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<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs" lang="de" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Funktion (Mathematik) – Wikipedia</title> <script>(function(){var className="client-js";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )dewikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t.",".\t,"],"wgDigitTransformTable":["",""],"wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","Januar","Februar","März","April","Mai","Juni","Juli","August","September","Oktober","November","Dezember"],"wgRequestId":"1ad608e3-0611-47d0-89b7-07c50531317e","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Funktion_(Mathematik)","wgTitle":"Funktion (Mathematik)","wgCurRevisionId":250228594,"wgRevisionId":250228594,"wgArticleId":1653,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"], "wgCategories":["Mathematische Funktion","Mengenlehre","Mathematischer Grundbegriff"],"wgPageViewLanguage":"de","wgPageContentLanguage":"de","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Funktion_(Mathematik)","wgRelevantArticleId":1653,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgFlaggedRevsParams":{"tags":{"accuracy":{"levels":1}}},"wgStableRevisionId":250228594,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"de","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"de"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":50000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":true, "wgVector2022LanguageInHeader":false,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q11348","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.gadget.citeRef":"ready","ext.gadget.defaultPlainlinks":"ready","ext.gadget.dewikiCommonHide":"ready","ext.gadget.dewikiCommonLayout":"ready","ext.gadget.dewikiCommonStyle":"ready","ext.gadget.NavFrame":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.math.styles":"ready","ext.cite.styles":"ready","mediawiki.page.gallery.styles":"ready","skins.vector.styles.legacy":"ready","ext.flaggedRevs.basic":"ready","mediawiki.codex.messagebox.styles":"ready", "ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","codex-search-styles":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","mediawiki.page.media","site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.legacy.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.flaggedRevs.advanced","ext.gadget.createNewSection","ext.gadget.WikiMiniAtlas","ext.gadget.OpenStreetMap","ext.gadget.CommonsDirekt","ext.gadget.donateLink","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.compactlinks","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.checkUser.clientHints","ext.quicksurveys.init","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); 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width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}">-Wert) genau ein Element der anderen Menge (Funktionswert, abhängige Variable, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}">-Wert) zuordnet. Der Funktionsbegriff wird in der Literatur unterschiedlich definiert, jedoch geht man generell von der Vorstellung aus, dass Funktionen <a href="/wiki/Mathematisches_Objekt" title="Mathematisches Objekt">mathematischen Objekten</a> mathematische Objekte zuordnen, zum Beispiel jeder reellen Zahl deren Quadrat. Das Konzept der Funktion oder Abbildung nimmt in der modernen Mathematik eine zentrale Stellung ein; es enthält als Spezialfälle unter anderem <a href="/wiki/Parametrische_Kurve" class="mw-redirect" title="Parametrische Kurve">parametrische Kurven</a>, <a href="/wiki/Skalarfeld" title="Skalarfeld">Skalar-</a> und <a href="/wiki/Vektorfeld" title="Vektorfeld">Vektorfelder</a>, <a href="/wiki/Transformation_(Mathematik)" class="mw-redirect" title="Transformation (Mathematik)">Transformationen</a>, <a href="/wiki/Verkn%C3%BCpfung_(Mathematik)" title="Verknüpfung (Mathematik)">Operationen</a>, <a href="/wiki/Operator_(Mathematik)" title="Operator (Mathematik)">Operatoren</a> und vieles mehr. <div id="toc" class="toc" role="navigation" aria-labelledby="mw-toc-heading"><input type="checkbox" role="button" id="toctogglecheckbox" class="toctogglecheckbox" style="display:none" /><div class="toctitle" lang="de" dir="ltr"><h2 id="mw-toc-heading">Inhaltsverzeichnis</h2><label class="toctogglelabel" for="toctogglecheckbox"></label></div> <ul> <li class="toclevel-1 tocsection-1"><a href="#Begriffsgeschichte">1 Begriffsgeschichte</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-2"><a href="#Definition">2 Definition</a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-3"><a href="#Grundidee">2.1 Grundidee</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-4"><a href="#Mengentheoretische_Definition">2.2 Mengentheoretische Definition</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-5"><a href="#Notation">3 Notation</a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-6"><a href="#Schreibweisen">3.1 Schreibweisen</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-7"><a href="#Sprechweisen">3.2 Sprechweisen</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-8"><a href="#Darstellung">4 Darstellung</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-9"><a href="#Grundeigenschaften">5 Grundeigenschaften</a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-10"><a href="#Bild_und_Urbild">5.1 Bild und Urbild</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-11"><a href="#Injektivität,_Surjektivität,_Bijektivität">5.2 Injektivität, Surjektivität, Bijektivität</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-12"><a href="#Stelligkeit">5.3 Stelligkeit</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-13"><a href="#Menge_der_Funktionen">5.4 Menge der Funktionen</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-14"><a href="#Operationen">6 Operationen</a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-15"><a href="#Einschränkung">6.1 Einschränkung</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-16"><a href="#Umkehrfunktion">6.2 Umkehrfunktion</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-17"><a href="#Verkettung">6.3 Verkettung</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-18"><a href="#Verknüpfung">6.4 Verknüpfung</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-19"><a href="#Weitere_Eigenschaften">7 Weitere Eigenschaften</a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-20"><a href="#Algebraische_Eigenschaften">7.1 Algebraische Eigenschaften</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-21"><a href="#Analytische_Eigenschaften">7.2 Analytische Eigenschaften</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-22"><a href="#Spezielle_Funktionen">8 Spezielle Funktionen</a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-23"><a href="#Funktionale">8.1 Funktionale</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-24"><a href="#Matrixfunktionen">8.2 Matrixfunktionen</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-25"><a href="#Verwendung">9 Verwendung</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-26"><a href="#Verallgemeinerungen">10 Verallgemeinerungen</a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-27"><a href="#Multifunktionen">10.1 Multifunktionen</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-28"><a href="#Umkehrungen_von_Funktionen_als_Multifunktionen">10.2 Umkehrungen von Funktionen als Multifunktionen</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-29"><a href="#Partielle_Funktionen">10.3 Partielle Funktionen</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-30"><a href="#Funktionen_mit_Werten_in_einer_echten_Klasse">10.4 Funktionen mit Werten in einer echten Klasse</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-31"><a href="#Symbolik">11 Symbolik</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-32"><a href="#Literatur">12 Literatur</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-33"><a href="#Weblinks">13 Weblinks</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-34"><a href="#Einzelnachweise_und_Anmerkungen">14 Einzelnachweise und Anmerkungen</a></li> </ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Begriffsgeschichte">Begriffsgeschichte</h2>[<a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&veaction=edit&section=1" title="Abschnitt bearbeiten: Begriffsgeschichte" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&action=edit&section=1" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Begriffsgeschichte">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Erste Ansätze zu einer impliziten Verwendung des Funktionsbegriffs in Tabellenform (Schattenlänge abhängig von der Tageszeit, Sehnenlängen abhängig vom Zentriwinkel etc.) sind bereits in der Antike zu erkennen. Den ersten Beleg einer expliziten Definition des Funktionsbegriffs findet man bei <a href="/wiki/Nikolaus_von_Oresme" title="Nikolaus von Oresme">Nikolaus von Oresme</a>, der im 14. Jahrhundert Abhängigkeiten sich ändernder Größen (Wärme, Bewegung etc.) graphisch durch senkrecht aufeinander stehende Strecken (longitudo, latitudo) darstellte.<a href="#cite_note-1">[1]</a> Am Beginn des Prozesses zur Entwicklung des Funktionsbegriffs stehen <a href="/wiki/Ren%C3%A9_Descartes" title="René Descartes">Descartes</a> und <a href="/wiki/Pierre_de_Fermat" title="Pierre de Fermat">Fermat</a>, die mit Hilfe der von <a href="/wiki/Fran%C3%A7ois_Vi%C3%A8te" title="François Viète">Vieta</a> eingeführten <a href="/wiki/Variable_(Mathematik)" title="Variable (Mathematik)">Variablen</a> die analytische Methode der Einführung von Funktionen entwickelten.<a href="#cite_note-2">[2]</a> Funktionale Abhängigkeiten sollten durch Gleichungen wie zum Beispiel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=x^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=x^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad1108c4c9ee8ac7de90b77f9bd27415b13b6bf1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.638ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle y=x^{2}}"> dargestellt werden. In der Schulmathematik wurde dieser naive Funktionsbegriff bis weit in die zweite Hälfte des 20. Jahrhunderts beibehalten. Die erste Umschreibung des Funktionsbegriffs nach dieser Idee stammt von <a href="/wiki/James_Gregory_(Mathematiker)" title="James Gregory (Mathematiker)">Gregory</a> in seinem 1667 erschienenen Buch Vera circuli et hyperbolae quadratura. Der Begriff Funktion kommt wohl erstmals 1673 in einem Manuskript von <a href="/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz" title="Gottfried Wilhelm Leibniz">Leibniz</a> vor, der in seiner Abhandlung von 1692 De linea ex lineis numero infinitis ordinatim ductis auch die Begriffe „Konstante“, „Variable“, „Ordinate“ und „Abszisse“ benutzt. Im Schriftwechsel zwischen Leibniz und <a href="/wiki/Johann_I_Bernoulli" title="Johann I Bernoulli">Johann I Bernoulli</a> wird der Funktionsbegriff von der Geometrie losgelöst und in die Algebra übertragen. In Beiträgen von 1706, 1708 und 1718 stellt Bernoulli diese Entwicklung dar. 1748 präzisiert <a href="/wiki/Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Leonhard Euler</a>, ein Schüler Johann Bernoullis, in seinem Buch <a href="/wiki/Introductio_in_analysin_infinitorum" title="Introductio in analysin infinitorum">Introductio in analysin infinitorum</a> den Funktionsbegriff weiter.<a href="#cite_note-3">[3]</a> Bei Euler findet man zwei verschiedene Erklärungen des Funktionsbegriffs: Zum einen stellt jeder „analytische Ausdruck“ in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> eine Funktion dar, zum anderen wird <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y(x)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e871993bfd131a8b0c3591c26084cf8171a74dcd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.294ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y(x)}"> im Koordinatensystem durch eine freihändig gezeichnete Kurve definiert.<a href="#cite_note-4">[4]</a> 1755 formuliert er diese Vorstellungen ohne Verwendung des Terminus „analytischer Ausdruck“ um. Außerdem führte er bereits 1734 die Schreibweise <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.418ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)}"> ein. Er unterscheidet zwischen eindeutigen und mehrdeutigen Funktionen. Bei Euler ist damit auch die Umkehrung der <a href="/wiki/Normalparabel" title="Normalparabel">Normalparabel</a>, bei der jeder nicht-negativen reellen Zahl sowohl ihre positive als auch ihre negative Wurzel zugeordnet wird, als Funktion zugelassen. Für <a href="/wiki/Joseph-Louis_Lagrange" title="Joseph-Louis Lagrange">Lagrange</a> sind nur Funktionen zulässig, die durch Potenzreihen definiert sind, wie er 1797 in seiner Théorie des fonctions analytiques festlegt. Eine fruchtbare Auseinandersetzung über das Bewegungsgesetz einer schwingenden Saite, zu dem <a href="/wiki/Jean-Baptiste_le_Rond_d%E2%80%99Alembert" title="Jean-Baptiste le Rond d’Alembert">d’Alembert</a> 1747, Euler 1748 und <a href="/wiki/Daniel_Bernoulli" title="Daniel Bernoulli">Daniel Bernoulli</a> 1753 unterschiedliche Lösungen vorstellten, führte zur Entdeckung der <a href="/wiki/Definitionsmenge" title="Definitionsmenge">Definitionsmenge</a> und einem weiter präzisierten Funktionsbegriff, in dem schon so etwas wie eindeutige Zuordnung umschrieben wird, durch <a href="/wiki/Joseph_Fourier" title="Joseph Fourier">Fourier</a> in seinem 1822 erschienenen Buch Théorie analytique de la chaleur. Ähnliches formuliert <a href="/wiki/Augustin-Louis_Cauchy" title="Augustin-Louis Cauchy">Cauchy</a> 1823 in Résumé des leçons … sur le calcul infinitésimal. Als die <a href="/wiki/Analysis" title="Analysis">Analysis</a> im 19. Jahrhundert mit einem exakten <a href="/wiki/Grenzwert_(Funktion)" title="Grenzwert (Funktion)">Grenzwertbegriff</a> auf eine neue Grundlage gestellt wurde, wurden Eigenschaften, die bisher als für Funktionen konstituierend aufgefasst wurden, in einem Exaktifizierungsprozess als selbständige Begriffe eingeführt und vom Funktionsbegriff losgelöst. <a href="/wiki/Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlet" title="Peter Gustav Lejeune Dirichlet">Dirichlet</a>, ein Schüler Fouriers, formulierte diese neue Sicht: „Ideen an die Stelle von Rechnungen“ und stellte 1837 seine Ideen dar. <a href="/wiki/George_Gabriel_Stokes" title="George Gabriel Stokes">Stokes</a> führte in Arbeiten 1848 und 1849 ähnliche Ansichten aus. So verfuhr <a href="/wiki/Bernhard_Riemann" title="Bernhard Riemann">Riemann</a>, Schüler von Dirichlet, 1851 in Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Größe mit der Stetigkeit, später folgten Integrierbarkeit und Differenzierbarkeit. Eine Zusammenfassung dieser Entwicklung macht <a href="/wiki/Hermann_Hankel" title="Hermann Hankel">Hankel</a> 1870 in Untersuchungen über die unendlich oft oscillierenden und unstetigen Functionen. Auch hier wird noch nicht zwischen der Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> und dem Funktionswert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.418ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)}"> an der Stelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> unterschieden.<a href="#cite_note-5">[5]</a> <a href="/wiki/Weierstra%C3%9F" class="mw-redirect" title="Weierstraß">Weierstraß</a>, <a href="/wiki/Richard_Dedekind" title="Richard Dedekind">Dedekind</a> und andere entdeckten, dass Grenzwerte unendlicher Folgen „klassischer“ Funktionen sprunghaft sein können und sich nicht immer durch „geschlossene“ Formeln, d. h. mit endlich vielen Rechenoperationen, ausdrücken lassen. Das erzwang eine schrittweise Ausweitung des Funktionsbegriffs. Davon unabhängig wurde im 19. Jahrhundert die <a href="/wiki/Gruppentheorie" title="Gruppentheorie">Gruppentheorie</a> begründet, mit der man systematisch untersuchen kann, wie sich <a href="/wiki/Algebraische_Gleichung" title="Algebraische Gleichung">algebraische Gleichungen</a> unter der Wirkung aufeinanderfolgender Transformationen verändern. Bei der Anwendung dieser Theorie auf geometrische Probleme wurden gleichbedeutend mit Transformation auch die Begriffe Bewegung und Abbildung gebraucht. Als Anfang des 20. Jahrhunderts die Grundlagen der Mathematik einheitlich in der Sprache der <a href="/wiki/Mengenlehre" title="Mengenlehre">Mengenlehre</a> formuliert wurden, stellten sich die mathematischen Begriffe Funktion und Abbildung als deckungsgleich heraus. Im Sprachgebrauch wirken die unterschiedlichen Traditionen jedoch fort. In der Analysis spricht man heute häufig noch von Funktionen, während man in der Algebra und in der Geometrie von Abbildungen spricht. Einige Mathematiker unterscheiden auch heute noch streng zwischen einer Abbildung und einer Funktion. Diese verstehen unter einer Funktion eine Abbildung in den reellen oder komplexen <a href="/wiki/Zahlenk%C3%B6rper" class="mw-redirect" title="Zahlenkörper">Zahlenkörper</a> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }"> bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} }">) oder auch <a href="/wiki/Kartesisches_Produkt#Produkt_endlich_vieler_Mengen" title="Kartesisches Produkt">Potenzen</a> davon (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}"> bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a53b4e76242764d1bca004168353c380fef25258" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}">), andererseits ist es in der <a href="/wiki/Boolesche_Algebra" title="Boolesche Algebra">Booleschen Algebra</a> gebräuchlich, von <a href="/wiki/Boolesche_Funktion" title="Boolesche Funktion">Booleschen Funktionen</a> zu sprechen. Weitere Synonyme für Funktion in spezielleren Zusammenhängen sind unter anderem <a href="/wiki/Operator_(Mathematik)" title="Operator (Mathematik)">Operator</a> in der Analysis, Operation, <a href="/wiki/Verkn%C3%BCpfung_(Mathematik)" title="Verknüpfung (Mathematik)">Verknüpfung</a> und (etwas verallgemeinert) <a href="/wiki/Morphismus" title="Morphismus">Morphismus</a> in der Algebra. Heute sehen manche Autoren den Funktionsbegriff (genauso wie den Relationsbegriff) nicht unbedingt als auf Mengen beschränkt an, sondern lassen jede aus <a href="/wiki/Geordnetes_Paar" title="Geordnetes Paar">geordneten Paaren</a> bestehende <a href="/wiki/Klasse_(Mengenlehre)" title="Klasse (Mengenlehre)">Klasse</a>, die keine verschiedenen Elemente mit gleicher linker Komponente enthält, als Funktion gelten.<a href="#cite_note-6">[6]</a><a href="#cite_note-7">[7]</a> Mengentheoretisch ausgedrückt werden Funktionen also als <a href="/wiki/Relation_(Mathematik)#Relationen_und_Funktionen" title="Relation (Mathematik)">rechtseindeutige Relationen</a> definiert. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2>[<a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&veaction=edit&section=2" title="Abschnitt bearbeiten: Definition" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&action=edit&section=2" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Definition">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Grundidee">Grundidee</h3>[<a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&veaction=edit&section=3" title="Abschnitt bearbeiten: Grundidee" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&action=edit&section=3" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Grundidee">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Eine Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> ordnet jedem <a href="/wiki/Element_(Mathematik)" title="Element (Mathematik)">Element</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> einer <a href="/wiki/Definitionsmenge" title="Definitionsmenge">Definitionsmenge</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}"> genau ein Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"> einer <a href="/wiki/Zielmenge" title="Zielmenge">Zielmenge</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}"> zu. Schreibweise: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon D\to Z,\;x\mapsto y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>D</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Z</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon D\to Z,\;x\mapsto y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c66c2254878a5303b2d23c0d19df22c0fa836a0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.31ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon D\to Z,\;x\mapsto y}"> oder äquivalent auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon {\begin{cases}D\to Z\\x\mapsto y\end{cases}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>{</mo> <mtable columnalign="left left" rowspacing=".2em" columnspacing="1em" displaystyle="false"> <mtr> <mtd> <mi>D</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Z</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <mi>y</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon {\begin{cases}D\to Z\\x\mapsto y\end{cases}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54d205717990bc2dcb0b23e8263c2d7175f6874a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:12.026ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle f\colon {\begin{cases}D\to Z\\x\mapsto y\end{cases}}}"></dd></dl> Für das dem Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in D}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in D}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaf3e2c3607ccf1c1d7ee6620b44ef9d9e2e1f6f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.095ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in D}"> zugeordnete Element der Zielmenge schreibt man im Allgemeinen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.418ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)}">. Man bezeichnet <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.418ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)}"> als den „Funktionswert der Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> an der Stelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}">“, häufig sprachlich stark verkürzt zu „<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}">“. Anmerkungen: <ul><li>Die Umkehrung gilt nicht: Ein Element der Zielmenge kann genau einem, mehreren, aber auch keinem Element der Definitionsmenge zugeordnet sein, in letzterem Fall gehört es nicht zur <a href="#Bild_und_Urbild">Bildmenge</a>.<a href="#cite_note-8">[8]</a> Beispiel: Die <a href="/wiki/Betragsfunktion" title="Betragsfunktion">Betragsfunktion</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=|x|}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=|x|}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/094ddc9667a7f47e36687c1d2a94d35c0c7d5c67" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.139ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)=|x|}"> ordnet den Zahlen +1 und −1 der Definitionsmenge die Zahl +1 der Zielmenge zu. Der Zahl +1 der Zielmenge sind also zwei Zahlen der Definitionsmenge zugeordnet. Andererseits ist der Zahl −2 keine Zahl der Definitionsmenge zugeordnet.</li> <li>Oft ist an Stelle der Definitionsmenge zunächst eine Quellmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8752c7023b4b3286800fe3238271bbca681219ed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.838ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Q}"> gegeben. Wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> als Rechenvorschrift gegeben ist, erhält man die Definitionsmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D_{f}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D_{f}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13b8420d715315c8e8b57f178a1b3a8512bd0959" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.061ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle D_{f}}">, indem man von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8752c7023b4b3286800fe3238271bbca681219ed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.838ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Q}"> diejenigen Elemente ausschließt, für die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> nicht definiert ist. Siehe auch Abschnitt „<a href="#Partielle_Funktionen">Partielle Funktionen</a>“.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Mengentheoretische_Definition">Mengentheoretische Definition</h3>[<a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&veaction=edit&section=4" title="Abschnitt bearbeiten: Mengentheoretische Definition" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&action=edit&section=4" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Mengentheoretische Definition">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Mengentheoretisch ist eine Funktion eine spezielle <a href="/wiki/Relation_(Mathematik)" title="Relation (Mathematik)">Relation</a>: <dl><dd>Eine Funktion von der Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}"> in die Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}"> ist eine Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}">, die die folgenden Eigenschaften hat:<a href="#cite_note-Halmos-9">[9]</a> <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> ist eine Teilmenge des <a href="/wiki/Kartesisches_Produkt" title="Kartesisches Produkt">kartesischen Produkts</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D\times Z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> <mo>×</mo> <mi>Z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D\times Z}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18e97ac25da1139d5ecb173d4ab459d93709a8b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.445ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D\times Z}"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}">, d. h., <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> ist eine <a href="/wiki/Relation_(Mathematik)" title="Relation (Mathematik)">Relation</a> zwischen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}">.</li> <li>Für jedes Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}"> existiert mindestens ein Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}">, sodass das <a href="/wiki/Geordnetes_Paar" title="Geordnetes Paar">geordnete Paar</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,y)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41cf50e4a314ca8e2c30964baa8d26e5be7a9386" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.328ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,y)}"> Element der Relation <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> ist. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> ist also linkstotal.</li> <li>Zu jedem Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}"> gibt es höchstens ein Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}">, sodass das Paar <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,y)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41cf50e4a314ca8e2c30964baa8d26e5be7a9386" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.328ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,y)}"> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> liegt. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> ist damit rechtseindeutig oder funktional.</li></ul></dd></dl> Die letzten beiden Eigenschaften lassen sich auch wie folgt zusammenfassen: <dl><dd><ul><li>Zu jedem Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}"> gibt es genau ein Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}">, sodass das Paar <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,y)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41cf50e4a314ca8e2c30964baa8d26e5be7a9386" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.328ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,y)}"> Element der Relation <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> ist.</li></ul></dd></dl> Manchmal möchte man alle möglichen Funktionen von beliebigen Mengen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}"> zu beliebigen Mengen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}"> in einer Klasse zusammenfassen. Um dann Aussagen über etwa <a href="/wiki/Surjektivit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Surjektivität">Surjektivität</a> zu treffen, muss der Kontext, also die Information, um welche <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}"> es sich handelt, von den Objekten selbst mitgebracht werden. Der jeweilige Definitionsbereich lässt sich aus den Graphen rekonstruieren, der Zielbereich nicht. Eine minimale Kodierung wäre dann: <dl><dd>Ein Paar <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f=(G,Z)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>G</mi> <mo>,</mo> <mi>Z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=(G,Z)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ef305093160eb033bdd244b158293d2d09c91c1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.727ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f=(G,Z)}">, bestehend aus einer Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}"> und einer Menge von Paaren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G\subseteq D\times Z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>⊆</mo> <mi>D</mi> <mo>×</mo> <mi>Z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G\subseteq D\times Z}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/687c033c75b864465978eac6ce661e7975af9954" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.37ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle G\subseteq D\times Z}"> mit einer weiteren Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}">, heißt Funktion von der Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}"> nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}">, wenn gilt: Zu jedem Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}"> gibt es genau ein Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}"> (geschrieben <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a5080a8b0a963407ea74ffa50702563771518d1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.672ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)=y}">), sodass das Paar <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,y)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41cf50e4a314ca8e2c30964baa8d26e5be7a9386" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.328ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,y)}"> Element von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}"> ist.</dd></dl> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}"> wird dann auch der <a href="/wiki/Funktionsgraph" title="Funktionsgraph">Graph</a> der Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> genannt. Die Definitionsmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}"> der Funktion ist dabei durch ihren Graphen eindeutig bestimmt und besteht aus den ersten Komponenten aller Elemente des Graphen. Stimmen zwei Funktionen in ihren Graphen überein, so sagt man auch, sie seien im Wesentlichen gleich. Insbesondere ist jede Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f=(G,Z)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>G</mi> <mo>,</mo> <mi>Z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=(G,Z)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ef305093160eb033bdd244b158293d2d09c91c1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.727ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f=(G,Z)}"> im Wesentlichen gleich mit der surjektiven Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (G,W(f))}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>G</mi> <mo>,</mo> <mi>W</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (G,W(f))}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87e6afa1b1d9715be616e1a42f81b9785229d6af" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.193ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (G,W(f))}"> mit der Bildmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W(f):=\{y\in {Z}|\exists x\in {D}\mid (x,y)\in G\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>W</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>y</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>D</mi> </mrow> <mo>∣</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <mi>G</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W(f):=\{y\in {Z}|\exists x\in {D}\mid (x,y)\in G\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c81d50e1d9b61b6f0fe0384969b2aede00a6012f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:37.237ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle W(f):=\{y\in {Z}|\exists x\in {D}\mid (x,y)\in G\}}">. Findet man die Asymmetrie unschön, dass der Zielbereich angegeben wird, der Quellbereich aber nicht, definiert man die Objekte der Klasse als Tripel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f=(G,D,Z)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>G</mi> <mo>,</mo> <mi>D</mi> <mo>,</mo> <mi>Z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=(G,D,Z)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/484fd284696f97e793bb69f90705a705e547f284" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.686ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f=(G,D,Z)}">. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notation">Notation</h2>[<a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&veaction=edit&section=5" title="Abschnitt bearbeiten: Notation" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&action=edit&section=5" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Notation">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Schreibweisen">Schreibweisen</h3>[<a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&veaction=edit&section=6" title="Abschnitt bearbeiten: Schreibweisen" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&action=edit&section=6" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Schreibweisen">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Eine Zuordnung kann unter anderem in einer der folgenden Formen beschrieben werden: <ul><li>Funktionsgleichung mit Definitionsmenge</li></ul> <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=x^{2},\qquad x\in \mathbb {N} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mspace width="2em" /> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=x^{2},\qquad x\in \mathbb {N} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b341ca73c1e166e0ce7e31276fedf6d5ae8cc6cc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.427ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(x)=x^{2},\qquad x\in \mathbb {N} }"></dd></dl></dd></dl> <ul><li>Eindeutige Zuordnungsvorschrift (englisch: maplet) mit Definitionsmenge</li></ul> <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\mapsto x^{2},\qquad x\in \mathbb {N} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mspace width="2em" /> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\mapsto x^{2},\qquad x\in \mathbb {N} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/008d46982b4a7ae796cb376957be10f48c3355b3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.855ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x\mapsto x^{2},\qquad x\in \mathbb {N} }"></dd></dl></dd></dl> <ul><li>Eindeutige Zuordnungsvorschrift mit Definitions- und Zielmenge</li></ul> <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} ,\;x\mapsto x^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} ,\;x\mapsto x^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a238691a9d015aa4cf01f76ab9722af90d2a16d5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.29ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f\colon \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} ,\;x\mapsto x^{2}}"> oder äquivalent <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon {\begin{cases}\mathbb {N} \to \mathbb {N} \\x\mapsto x^{2}\end{cases}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>{</mo> <mtable columnalign="left left" rowspacing=".2em" columnspacing="1em" displaystyle="false"> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> </mtable> <mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon {\begin{cases}\mathbb {N} \to \mathbb {N} \\x\mapsto x^{2}\end{cases}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8175c4fd2d9697c10c934f4db69b1e35462ba2df" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:12.135ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle f\colon {\begin{cases}\mathbb {N} \to \mathbb {N} \\x\mapsto x^{2}\end{cases}}}"></dd></dl></dd></dl> <ul><li><a href="/wiki/Familie_(Mathematik)" title="Familie (Mathematik)">Familienschreibweise</a> (mit der Bezeichnung Indexmenge für die Definitionsmenge)</li></ul> <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (f_{x})_{x\in {\mathbb {N} }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (f_{x})_{x\in {\mathbb {N} }}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1944bafdd8379f645cf90af8a5237615dd37239e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.576ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (f_{x})_{x\in {\mathbb {N} }}}"><a href="#cite_note-10">[10]</a></dd></dl></dd></dl> <ul><li>Wertetabelle (für endliche, aber auch <a href="/wiki/Abz%C3%A4hlbare_Menge" title="Abzählbare Menge">abzählbar</a> unendliche Definitionsmengen)</li></ul> <dl><dd><table cellpadding="3" cellspacing="0" style="text-align:right; margin-left:2em;"> <tbody><tr> <td style="width:2ex; border-right:1px double black; border-bottom:1px solid black"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> </td> <td style="width:2ex; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black">1 </td> <td style="width:2ex; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black">2 </td> <td style="width:2ex; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black">3 </td> <td style="width:2ex; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black">4 </td> <td style="width:2ex; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black">5 </td> <td style="width:2ex; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black">6 </td> <td style="width:2ex; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black">7 </td> <td style="width:2ex; border-bottom:1px solid black">… </td></tr> <tr> <td style="border-right:1px double black;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"> </td> <td style="border-right:1px solid black">1 </td> <td style="border-right:1px solid black">4 </td> <td style="border-right:1px solid black">9 </td> <td style="border-right:1px solid black">16 </td> <td style="border-right:1px solid black">25 </td> <td style="border-right:1px solid black">36 </td> <td style="border-right:1px solid black">49 </td> <td>… </td></tr></tbody></table></dd></dl> <ul><li>Relation, insbesondere auch als beschrieben oder aufgezählt dargestellte Menge</li></ul> <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f=\{(x,x^{2})\mid x\in \mathbb {N} \}=\{(1,1),(2,4),(3,9),(4,16),\ldots \}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∣</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>4</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> <mn>9</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>4</mn> <mo>,</mo> <mn>16</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=\{(x,x^{2})\mid x\in \mathbb {N} \}=\{(1,1),(2,4),(3,9),(4,16),\ldots \}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e0784cda7f64269d9e0de4880465b229fe5019e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:55.162ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f=\{(x,x^{2})\mid x\in \mathbb {N} \}=\{(1,1),(2,4),(3,9),(4,16),\ldots \}}"></dd></dl></dd></dl> <ul><li>Ergebnis von Verknüpfungen und Operationen (zum Beispiel <a href="/wiki/Komposition_(Mathematik)" title="Komposition (Mathematik)">Komposition</a>, Bildung der Umkehrfunktion, Ableitung u. Ä.), die auf andere Funktionen angewendet werden</li></ul> <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f=(g^{\prime }\circ h)^{-1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-variant" mathvariant="normal">′</mi> </mrow> </msup> <mo>∘</mo> <mi>h</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=(g^{\prime }\circ h)^{-1}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ded2f7442442273b4dd91870c780413cd6f50f3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.856ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f=(g^{\prime }\circ h)^{-1}}"></dd></dl></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Sprechweisen">Sprechweisen</h3>[<a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&veaction=edit&section=7" title="Abschnitt bearbeiten: Sprechweisen" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&action=edit&section=7" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Sprechweisen">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Für die Zuordnung eines Funktionswertes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"> zu einem Argument <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> gibt es eine Reihe verschiedener Sprech- oder ausführlicher Schreibweisen, die alle mehr oder weniger gleichwertig sind und vor allem in Abhängigkeit von dem, was vordergründig ausgedrückt werden soll, vom jeweiligen Kontext, der benutzten Symbolik und auch vom Geschmack des Sprechers (Schreibers) gewählt werden. Hier einige Beispiele: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> wird abgebildet auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}">.</dd> <dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> wird <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> eindeutig zugeordnet (vornehmlich, wenn das <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mapsto }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">↦</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mapsto }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc09de045e7d82eef9fe078e7e7606576640c11b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.324ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \mapsto }">-Symbol in der Symbolik steht).</dd> <dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"> gleich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> (vornehmlich, wenn ein Gleichheitszeichen in der Symbolik steht).</dd> <dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"> ist das Bild von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> unter der Abbildung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}">.</dd></dl> Davon zu unterscheiden ist die Sprech- und Schreibweise: „<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"> ist eine Funktion von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}">“, die vor allem in der Physik sehr nahestehenden Bereichen der Mathematik auftaucht. Sie ist die ältere und ursprüngliche Sprech- und Schreibweise und beschreibt die Abhängigkeit einer Variablen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"> von einer anderen Variablen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}">, im Gegensatz dazu, dass mit Hilfe der Variablen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"> (stellvertretend) die Zuordnung bestimmter Elemente von Mengen beschrieben wird. Die „physikalische“ Sprechweise stammt von dem Vorgehen, zunächst zwei veränderlichen Größen (der physikalischen Realität) Symbole, nämlich die Variablen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}">, zuzuordnen und danach deren Abhängigkeit festzustellen. Steht beispielsweise <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"> für die Raumtemperatur und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> für die Zeit, so wird man feststellen können, dass sich die Raumtemperatur in Abhängigkeit von der Zeit ändert und somit „die Raumtemperatur eine Funktion der Zeit ist“ oder stellvertretend „<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"> eine Funktion von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> ist.“ Statt Definitionsmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}"> wird auch Definitionsbereich, Urbildmenge oder schlicht Urbild gesagt. Die Elemente von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}"> heißen Funktionsargumente, Funktionsstellen oder Urbilder, salopp auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}">-Werte. Die Elemente der Zielmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}"> heißen Zielwerte oder Zielelemente, salopp auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}">-Werte. Diejenigen Elemente von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}">, die tatsächlich auch als Bild eines Arguments auftreten, heißen Funktionswerte, Bildelemente oder schlicht Bilder. Sie bilden die Wertemenge oder den Wertebereich, der oft nur eine echte Teilmenge von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}"> ist. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Darstellung">Darstellung</h2>[<a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&veaction=edit&section=8" title="Abschnitt bearbeiten: Darstellung" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&action=edit&section=8" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Darstellung">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Eine Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} ,\ U\subseteq \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>U</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mi>U</mi> <mo>⊆</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} ,\ U\subseteq \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/003f3499977bf2f05b2ea459533a8237fbdf314b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.561ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} ,\ U\subseteq \mathbb {R} }">, kann man visualisieren, indem man ihren Graphen in ein (zweidimensionales) <a href="/wiki/Koordinatensystem" title="Koordinatensystem">Koordinatensystem</a> zeichnet. Der <a href="/wiki/Funktionsgraph" title="Funktionsgraph">Funktionsgraph</a> einer Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> kann mathematisch definiert werden als die Menge aller Elementepaare <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,y)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41cf50e4a314ca8e2c30964baa8d26e5be7a9386" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.328ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,y)}">, für die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=f(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=f(x)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2311a6a75c54b0ea085a381ba472c31d59321514" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.672ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y=f(x)}"> ist. Der Graph einer <a href="/wiki/Stetige_Funktion" title="Stetige Funktion">stetigen Funktion</a> auf einem zusammenhängenden Intervall bildet eine <a href="/wiki/Zusammenh%C3%A4ngender_Raum" title="Zusammenhängender Raum">zusammenhängende</a> <a href="/wiki/Kurve_(Mathematik)" title="Kurve (Mathematik)">Kurve</a> (genauer: Die Menge der Punkte der Kurve, aufgefasst als Unterraum des <a href="/wiki/Topologischer_Raum" title="Topologischer Raum">topologischen Raumes</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e150115ab9f63023215109595b76686a1ff890fd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}"> ist zusammenhängend). Analog kann man Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} ^{2},\,U\subseteq \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>U</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>U</mi> <mo>⊆</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} ^{2},\,U\subseteq \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2189b01e68be7c251f38b949152661f142af295b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.422ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} ^{2},\,U\subseteq \mathbb {R} }"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g\colon U\to \mathbb {R} ,\,U\subseteq \mathbb {R} ^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> <mo>:</mo> <mi>U</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>U</mi> <mo>⊆</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\colon U\to \mathbb {R} ,\,U\subseteq \mathbb {R} ^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61ac4cfda8529e7c73e10f3aac583c2df8c5f751" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.259ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle g\colon U\to \mathbb {R} ,\,U\subseteq \mathbb {R} ^{2}}"> visualisieren, indem man sie in ein dreidimensionales Koordinatensystem zeichnet. Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> stetig, so ergibt sich eine Kurve (die auch Ecken haben kann), die sich durch das Koordinatensystem „schlängelt“. Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}"> stetig, so ergibt sich eine Fläche als Bild, typischerweise in Form einer „Gebirgslandschaft“. Computerprogramme zur Darstellung von Funktionen heißen <a href="/wiki/Funktionenplotter" title="Funktionenplotter">Funktionenplotter</a>. Funktionsprogramme gehören auch zum Funktionsumfang von <a href="/wiki/Computeralgebrasystem" title="Computeralgebrasystem">Computeralgebrasystemen</a> (CAS), matrizenfähigen Programmierumgebungen wie <a href="/wiki/MATLAB" class="mw-redirect" title="MATLAB">MATLAB</a>, <a href="/wiki/Scilab" title="Scilab">Scilab</a>, <a href="/wiki/GNU_Octave" title="GNU Octave">GNU Octave</a> und anderen Systemen. Die wesentlichen Fähigkeiten eines Funktionenplotters sind auch auf einem graphikfähigen <a href="/wiki/Taschenrechner" title="Taschenrechner">Taschenrechner</a> verfügbar. Es gibt auch Web-gestützte Angebote, die nur einen aktuellen Browser benötigen. <ul class="gallery mw-gallery-traditional center"> <li class="gallerycaption">Beispiele einiger Funktionsgraphen</li> <li class="gallerybox" style="width: 155px"> <div class="thumb" style="width: 150px; height: 150px;"><a href="/wiki/Datei:Graph_describing_a_linear_function.svg" class="mw-file-description" title="Lineare Funktion (genauer: Affine Abbildung)"><img alt="Lineare Funktion (genauer: Affine Abbildung)" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/95/Graph_describing_a_linear_function.svg/120px-Graph_describing_a_linear_function.svg.png" decoding="async" width="120" height="87" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/95/Graph_describing_a_linear_function.svg/180px-Graph_describing_a_linear_function.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/95/Graph_describing_a_linear_function.svg/240px-Graph_describing_a_linear_function.svg.png 2x" data-file-width="549" data-file-height="396" /></a></div> <div class="gallerytext"><a href="/wiki/Lineare_Funktion" title="Lineare Funktion">Lineare Funktion</a> (genauer: <a href="/wiki/Affine_Abbildung" title="Affine Abbildung">Affine Abbildung</a>)</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 155px"> <div class="thumb" style="width: 150px; height: 150px;"><a href="/wiki/Datei:Polynomialdeg5.svg" class="mw-file-description" title="Polynomfunktion 5. Grades"><img alt="Polynomfunktion 5. Grades" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/55/Polynomialdeg5.svg/120px-Polynomialdeg5.svg.png" decoding="async" width="120" height="92" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/55/Polynomialdeg5.svg/180px-Polynomialdeg5.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/55/Polynomialdeg5.svg/240px-Polynomialdeg5.svg.png 2x" data-file-width="233" data-file-height="179" /></a></div> <div class="gallerytext"><a href="/wiki/Polynom" title="Polynom">Polynomfunktion</a> 5. Grades</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 155px"> <div class="thumb" style="width: 150px; height: 150px;"><a href="/wiki/Datei:Exp_re.png" class="mw-file-description" title="Realteil der komplexen Exponentialfunktion"><img alt="Realteil der komplexen Exponentialfunktion" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/92/Exp_re.png/120px-Exp_re.png" decoding="async" width="120" height="95" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/92/Exp_re.png/180px-Exp_re.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/92/Exp_re.png/240px-Exp_re.png 2x" data-file-width="768" data-file-height="606" /></a></div> <div class="gallerytext">Realteil der komplexen <a href="/wiki/Exponentialfunktion" title="Exponentialfunktion">Exponentialfunktion</a></div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 155px"> <div class="thumb" style="width: 150px; height: 150px;"><a href="/wiki/Datei:Sin.svg" class="mw-file-description" title="Sinusfunktion"><img alt="Sinusfunktion" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b2/Sin.svg/120px-Sin.svg.png" decoding="async" width="120" height="82" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b2/Sin.svg/180px-Sin.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b2/Sin.svg/240px-Sin.svg.png 2x" data-file-width="1122" data-file-height="765" /></a></div> <div class="gallerytext"><a href="/wiki/Sinus_und_Kosinus" title="Sinus und Kosinus">Sinusfunktion</a></div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 155px"> <div class="thumb" style="width: 150px; height: 150px;"><a href="/wiki/Datei:Normal_density-3.svg" class="mw-file-description" title="Gaußsche Glockenkurven"><img alt="Gaußsche Glockenkurven" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/93/Normal_density-3.svg/120px-Normal_density-3.svg.png" decoding="async" width="120" height="92" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/93/Normal_density-3.svg/180px-Normal_density-3.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/93/Normal_density-3.svg/240px-Normal_density-3.svg.png 2x" data-file-width="931" data-file-height="715" /></a></div> <div class="gallerytext"><a href="/wiki/Normalverteilung" title="Normalverteilung">Gaußsche Glockenkurven</a></div> </li> </ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Grundeigenschaften">Grundeigenschaften</h2>[<a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&veaction=edit&section=9" title="Abschnitt bearbeiten: Grundeigenschaften" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&action=edit&section=9" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Grundeigenschaften">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bild_und_Urbild">Bild und Urbild</h3>[<a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&veaction=edit&section=10" title="Abschnitt bearbeiten: Bild und Urbild" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&action=edit&section=10" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Bild und Urbild">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Bild_(Mathematik)" title="Bild (Mathematik)">Bild (Mathematik)</a> und <a href="/wiki/Urbild_(Mathematik)" title="Urbild (Mathematik)">Urbild (Mathematik)</a></div> Das Bild eines Elements <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> der Definitionsmenge ist einfach der Funktionswert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.418ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)}">. Das Bild einer Funktion ist die Menge der Bilder aller Elemente der Definitionsmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}">, also <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(D):=\{f(x)\mid x\in D\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>D</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∣</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>D</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(D):=\{f(x)\mid x\in D\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1514261761f3334d23e77d096329b9ab2a1001b4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.532ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(D):=\{f(x)\mid x\in D\}}">.</dd></dl> Das Bild einer Funktion ist folglich eine Teilmenge der Zielmenge und wird Bild- oder Wertemenge genannt. Ist allgemeiner <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}"> eine Teilmenge von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}">, dann ist <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(S)=\{f(x)\mid x\in S\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∣</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>S</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(S)=\{f(x)\mid x\in S\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96b4acf73df67c13c4d4c7c4b95cb3095a69ad40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.035ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(S)=\{f(x)\mid x\in S\}}"></dd></dl> das Bild von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}"> unter der Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}">. Das Urbild eines Elements <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"> der Zielmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}"> ist die Menge aller Elemente der Definitionsmenge, deren Bild <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"> ist. Es ist <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \kappa _{f^{-1}}(y)=f^{-1}(\{y\})=\{x\in D\mid f(x)=y\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>κ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>y</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>D</mi> <mo>∣</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>y</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \kappa _{f^{-1}}(y)=f^{-1}(\{y\})=\{x\in D\mid f(x)=y\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df9534bc845814cb807469dc54fc5cd6f62838b2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:41.507ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \kappa _{f^{-1}}(y)=f^{-1}(\{y\})=\{x\in D\mid f(x)=y\}}">,</dd></dl> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{-1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{-1}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e5cfa2f5c08d6fe7d046b73faa6e3f213acc802" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.653ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f^{-1}}"> ist im Allgemeinen keine eindeutige Funktion, sondern eine <a href="#Multifunktionen">Multifunktion</a>, zur Schreibweise <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \kappa _{f^{-1}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>κ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \kappa _{f^{-1}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56f203c9468345068e6140b142edd097b0b40e88" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:4.375ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \kappa _{f^{-1}}}"> siehe dort sowie bei <a href="/wiki/Relation_(Mathematik)#Relationen_und_Funktionen" title="Relation (Mathematik)">Relation (Mathematik)#Relationen und Funktionen</a> und <a href="/wiki/Korrespondenz_(Mathematik)" title="Korrespondenz (Mathematik)">Korrespondenz (Mathematik)</a>). Oft werden diese <a href="/wiki/Urbild_(Mathematik)#Definition" title="Urbild (Mathematik)">Fasern</a> einfach mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{-1}(y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{-1}(y)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b357745fa4a2178733a502b4432072be8222fd4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.618ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f^{-1}(y)}"> bezeichnet, was aber im Fall (eindeutig) umkehrbarer Funktionen einerseits x, andererseits {x} bezeichnet. Das Urbild einer Teilmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>T</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}"> der Zielmenge ist die Menge aller Elemente der Definitionsmenge, deren Bild Element dieser Teilmenge ist: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{-1}(T)=\{x\in D\mid f(x)\in T\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>D</mi> <mo>∣</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <mi>T</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{-1}(T)=\{x\in D\mid f(x)\in T\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baef7eb6a07d07a28bb3751efd74dfaa28114ae4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.448ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f^{-1}(T)=\{x\in D\mid f(x)\in T\}}"></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Injektivität,_Surjektivität,_Bijektivität">Injektivität, Surjektivität, Bijektivität</h3>[<a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&veaction=edit&section=11" title="Abschnitt bearbeiten: Injektivität, Surjektivität, Bijektivität" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&action=edit&section=11" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Injektivität, Surjektivität, Bijektivität">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Injektivit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Injektivität">Injektivität</a>, <a href="/wiki/Surjektivit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Surjektivität">Surjektivität</a> und <a href="/wiki/Bijektivit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Bijektivität">Bijektivität</a></div> <ul><li>Eine Funktion ist <a href="/wiki/Injektivit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Injektivität">injektiv</a>, wenn jedes Element der <a href="/wiki/Zielmenge" title="Zielmenge">Zielmenge</a> höchstens ein Urbild hat – d. h., wenn gilt: Aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35f10bca283601ed76d4517058b1d9e43eb65e35" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.042ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})}"> folgt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1}=x_{2}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1}=x_{2}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52aef8706f105f6ddf5706388027b255cd4e1326" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.513ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{1}=x_{2}.}"></li> <li>Sie ist <a href="/wiki/Surjektivit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Surjektivität">surjektiv</a>, wenn jedes Element der <a href="/wiki/Zielmenge" title="Zielmenge">Zielmenge</a> mindestens ein Urbild hat – d. h., wenn gilt: Zu jedem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"> gibt es ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}">, sodass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=y.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>y</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=y.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de09d5f1e42dc957864c2d2321712e2e168c1298" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.318ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)=y.}"></li> <li>Sie ist <a href="/wiki/Bijektivit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Bijektivität">bijektiv</a>, wenn sie injektiv und surjektiv ist, wenn also jedes Element der Zielmenge genau ein Urbild hat.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Stelligkeit">Stelligkeit</h3>[<a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&veaction=edit&section=12" title="Abschnitt bearbeiten: Stelligkeit" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&action=edit&section=12" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Stelligkeit">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Stelligkeit" title="Stelligkeit">Stelligkeit</a></div> Eine Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon D\to Z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>D</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon D\to Z}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70e09385942a0cc64216ddecd3a1e8254dbacf81" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.531ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon D\to Z}">, deren Definitionsmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}"> eine <a href="/wiki/Produktmenge" class="mw-redirect" title="Produktmenge">Produktmenge</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D=A\times B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mo>×</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D=A\times B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de5cc94d566b3a4aa2e5b4af64a90798aba22491" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.37ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D=A\times B}"> ist, heißt oft <a href="/wiki/Zweistellige_Verkn%C3%BCpfung" title="Zweistellige Verknüpfung">zweistellig</a>. Den Wert von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}">, der bei Anwendung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> auf das Paar <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a,b)\in D}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a,b)\in D}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fa12bb2bbf5a06e953857b247cb9f511c0bd542" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.836ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a,b)\in D}"> erhalten wird, schreibt man (unter Weglassung eines Klammernpaares) als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(a,b)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(a,b)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/408a449654fb6a8e6141ee6bbcb637efe3f9e4c7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.349ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(a,b)}">. Analoges gilt für höhere Stelligkeiten. Eine Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon A\times B\times C\to Z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>A</mi> <mo>×</mo> <mi>B</mi> <mo>×</mo> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A\times B\times C\to Z}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44ccbdce51c205addb530a1f55510879c7ca8531" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.561ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon A\times B\times C\to Z}"> bezeichnet man üblicherweise als dreistellig. Eine Funktion, deren Definitionsmenge keine Produktmenge ist (oder bei der die innere Struktur der Definitionsmenge keine Rolle spielt), bezeichnet man als einstellig. Unter einer nullstelligen Funktion versteht man eine Funktion, deren Definitionsmenge das <a href="/wiki/Leeres_Produkt" title="Leeres Produkt">leere Produkt</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{()\}=\{\emptyset \}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi mathvariant="normal">∅</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{()\}=\{\emptyset \}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f978b29f8b2099755c455fba235fea0bc65ab646" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.72ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{()\}=\{\emptyset \}}"> ist, bei einem beliebigen Funktionswert. Daher können nullstellige Funktionen als <a href="/wiki/Mathematische_Konstante" title="Mathematische Konstante">Konstanten</a> aufgefasst werden, was bei <a href="/wiki/Algebraische_Strukturen" class="mw-redirect" title="Algebraische Strukturen">algebraischen Strukturen</a> (wie auch bei <a href="/wiki/Heterogene_Algebra" title="Heterogene Algebra">heterogenen Algebren</a>) Anwendung findet. Statt nullstellig, einstellig, zweistellig, dreistellig sagt man auch oft unär, binär, ternär; Stelligkeit wird daher auch als „Arität“ (englisch: arity) bezeichnet. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Menge_der_Funktionen">Menge der Funktionen</h3>[<a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&veaction=edit&section=13" title="Abschnitt bearbeiten: Menge der Funktionen" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&action=edit&section=13" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Menge der Funktionen">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z^{D},\ {}^{D}Z,\ [D\to Z]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>Z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>D</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>D</mi> </mrow> </msup> <mi>Z</mi> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>D</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Z</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z^{D},\ {}^{D}Z,\ [D\to Z]}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8a3efbec5b42fa81ba2142e9a623bc670681851" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.316ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle Z^{D},\ {}^{D}Z,\ [D\to Z]}"><a href="#cite_note-noekla-11">[11]</a> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Abb} (D,Z)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Abb</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>D</mi> <mo>,</mo> <mi>Z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Abb} (D,Z)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d87ac6bfb86de62527427bab1d80e795ddfb9fc5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.776ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Abb} (D,Z)}"> wird die Menge aller Abbildungen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}"> nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}"> bezeichnet: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z^{D}:=\{f\mid f\colon D\to Z\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>Z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>D</mi> </mrow> </msup> <mo>:=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>f</mi> <mo>∣</mo> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>D</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Z</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z^{D}:=\{f\mid f\colon D\to Z\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e81eea2b6c5e0b13ec12e003b315c0c7690f80a4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.119ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle Z^{D}:=\{f\mid f\colon D\to Z\}}"></dd></dl> Für die <a href="/wiki/M%C3%A4chtigkeit_(Mathematik)" title="Mächtigkeit (Mathematik)">Mächtigkeit</a> gilt: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left|Z^{D}\right|=|Z|^{|D|}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>|</mo> <msup> <mi>Z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>D</mi> </mrow> </msup> <mo>|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>Z</mi> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left|Z^{D}\right|=|Z|^{|D|}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/812992d035c1f3eb398613c2105e06f76eff8059" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:13.175ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \left|Z^{D}\right|=|Z|^{|D|}}"></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Operationen">Operationen</h2>[<a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&veaction=edit&section=14" title="Abschnitt bearbeiten: Operationen" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&action=edit&section=14" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Operationen">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Einschränkung">Einschränkung</h3>[<a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&veaction=edit&section=15" title="Abschnitt bearbeiten: Einschränkung" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&action=edit&section=15" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Einschränkung">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Einschr%C3%A4nkung" title="Einschränkung">Einschränkung</a></div> Die Einschränkung einer Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon A\to B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A\to B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dec1893560fabff9fa9c17b83b71f7f97996119" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.434ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon A\to B}"> auf eine Teilmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}"> der Definitionsmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> ist die Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f|_{C}\colon C\to B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f|_{C}\colon C\to B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c51131f81d0940b43b29b0eb9780faca792c3f7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:11.585ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f|_{C}\colon C\to B}">, deren Graph durch <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G_{f|_{C}}:=G_{f}\cap (C\times B)=\{(x,y)\in G_{f}\mid x\in C\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>:=</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>∩</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>C</mi> <mo>×</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>∣</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>C</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G_{f|_{C}}:=G_{f}\cap (C\times B)=\{(x,y)\in G_{f}\mid x\in C\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1abd81a91ddd6a0b7f64381bc3e3f9b7de15f2a1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:46.499ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle G_{f|_{C}}:=G_{f}\cap (C\times B)=\{(x,y)\in G_{f}\mid x\in C\}}"></dd></dl> gegeben ist. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Umkehrfunktion">Umkehrfunktion</h3>[<a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&veaction=edit&section=16" title="Abschnitt bearbeiten: Umkehrfunktion" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&action=edit&section=16" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Umkehrfunktion">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Umkehrfunktion" title="Umkehrfunktion">Umkehrfunktion</a></div> Zu jeder bijektiven Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon A\to B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A\to B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dec1893560fabff9fa9c17b83b71f7f97996119" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.434ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon A\to B}"> gibt es eine Umkehrfunktion <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{-1}\colon B\to A,\,y\mapsto f^{-1}(y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>:</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{-1}\colon B\to A,\,y\mapsto f^{-1}(y)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/067ca693a8ec26adf81b82de66a50d25f78e851f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.617ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f^{-1}\colon B\to A,\,y\mapsto f^{-1}(y)}">,</dd></dl> sodass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{-1}(y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{-1}(y)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b357745fa4a2178733a502b4432072be8222fd4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.618ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f^{-1}(y)}"> das eindeutig bestimmte Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27bcc9b2afb295d4234bc294860cd0c63bcad2ca" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.913ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in A}"> ist, für das <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a5080a8b0a963407ea74ffa50702563771518d1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.672ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)=y}"> gilt. Die Umkehrfunktion erfüllt damit für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27bcc9b2afb295d4234bc294860cd0c63bcad2ca" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.913ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in A}"> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{-1}(f(x))=x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{-1}(f(x))=x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3935ccdf5e235ae36eec389d8b5a155c5159716c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.308ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f^{-1}(f(x))=x}">.</dd></dl> Bijektive Funktionen werden daher auch als eindeutig umkehrbare Funktionen bezeichnet. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Verkettung">Verkettung</h3>[<a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&veaction=edit&section=17" title="Abschnitt bearbeiten: Verkettung" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&action=edit&section=17" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Verkettung">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Komposition_(Mathematik)" title="Komposition (Mathematik)">Komposition (Mathematik)</a></div> Zwei Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon A\to B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A\to B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dec1893560fabff9fa9c17b83b71f7f97996119" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.434ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon A\to B}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g\colon B\to C}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> <mo>:</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\colon B\to C}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02572d111e174b9ad0bf94d95d47c8e4f7d9649d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.294ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g\colon B\to C}">, bei denen der Wertebereich der ersten Funktion mit dem Definitionsbereich der zweiten Funktion übereinstimmt (oder als Teilmenge enthalten ist), können verkettet werden. Die Verkettung oder Hintereinanderausführung dieser beiden Funktionen ist dann eine neue Funktion, die durch <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g\circ f\colon A\to C,\,x\mapsto (g\circ f)(x):=g(f(x))}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> <mo>∘</mo> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>C</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>g</mi> <mo>∘</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:=</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\circ f\colon A\to C,\,x\mapsto (g\circ f)(x):=g(f(x))}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aad9280ec34f5a7e3504b41a309cb08ac0ff3a77" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:39.737ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g\circ f\colon A\to C,\,x\mapsto (g\circ f)(x):=g(f(x))}"></dd></dl> gegeben ist. In dieser Notation steht meist die zuerst angewandte Abbildung rechts, das heißt, bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g\circ f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> <mo>∘</mo> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\circ f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10b5ad4985af48d0fb7efa3c8afa5ad7d42bfc92" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.589ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g\circ f}"> wird zuerst die Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> angewandt und dann die Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}"> („g nach f“). Gelegentlich wird in der Literatur allerdings auch die umgekehrte Reihung verwendet und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (g\circ f)(x):=f(g(x))}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>g</mi> <mo>∘</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (g\circ f)(x):=f(g(x))}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/684b0164afb94c363eb6c5caea69f2cf515ce0a7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.626ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (g\circ f)(x):=f(g(x))}"> geschrieben („g vor f“). <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Verknüpfung">Verknüpfung</h3>[<a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&veaction=edit&section=18" title="Abschnitt bearbeiten: Verknüpfung" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&action=edit&section=18" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Verknüpfung">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Binary_operations_as_black_box.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/79/Binary_operations_as_black_box.svg/220px-Binary_operations_as_black_box.svg.png" decoding="async" width="220" height="220" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/79/Binary_operations_as_black_box.svg/330px-Binary_operations_as_black_box.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/79/Binary_operations_as_black_box.svg/440px-Binary_operations_as_black_box.svg.png 2x" data-file-width="142" data-file-height="142" /></a><figcaption>Eine zweistellige Verknüpfung ist eine Abbildung, die jedem Paar von Argumenten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"> das mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\circ y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∘</mo> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\circ y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2ba86902ee98c41deb1275ddb8693977f27e1da" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.68ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x\circ y}"> bezeichnete „Rechen“-Ergebnis zuordnet</figcaption></figure> Ist auf der Zielmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}"> eine <a href="/wiki/Innere_zweistellige_Verkn%C3%BCpfung" class="mw-redirect" title="Innere zweistellige Verknüpfung">innere zweistellige Verknüpfung</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle *\colon B\times B\to B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∗</mo> <mo>:</mo> <mi>B</mi> <mo>×</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle *\colon B\times B\to B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af1a75be51fe3e460b9ca5d83677cfb4b23f4d14" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:13.943ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle *\colon B\times B\to B}"> gegeben, so lässt sich auch für Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f,g\in B^{A}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>g</mi> <mo>∈</mo> <msup> <mi>B</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f,g\in B^{A}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f32ae9dae990ffbaf86207bb6b88bbd30aa2dd8b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.498ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f,g\in B^{A}}"> eine innere zweistellige Verknüpfung definieren: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f*g\colon A\to B,\,x\mapsto (f*g)(x):=f(x)*g(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>∗</mo> <mi>g</mi> <mo>:</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>B</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo>∗</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∗</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f*g\colon A\to B,\,x\mapsto (f*g)(x):=f(x)*g(x)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5579feaf496b38a625e97e8a3fec477511592388" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:43.259ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f*g\colon A\to B,\,x\mapsto (f*g)(x):=f(x)*g(x)}">.</dd></dl> Beispiele hierfür sind die punktweise Addition und <a href="/wiki/Punktweises_Produkt" title="Punktweises Produkt">Multiplikation von Funktionen</a>. Weiter lässt sich mit Hilfe einer <a href="/wiki/%C3%84u%C3%9Fere_zweistellige_Verkn%C3%BCpfung" class="mw-redirect" title="Äußere zweistellige Verknüpfung">äußeren zweistelligen Verknüpfung</a> der Form <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle *\colon C\times B\to B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∗</mo> <mo>:</mo> <mi>C</mi> <mo>×</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle *\colon C\times B\to B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eafef32c22203076579362d31fdb99c144a7c15" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:13.945ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle *\colon C\times B\to B}"> auch die Verknüpfung einer Funktion mit einem Element aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}"> definieren: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c*f\colon A\to B,\,x\mapsto (c*f)(x):=c*f(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> <mo>∗</mo> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>B</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>c</mi> <mo>∗</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:=</mo> <mi>c</mi> <mo>∗</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c*f\colon A\to B,\,x\mapsto (c*f)(x):=c*f(x)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac9841fe6d87e8c5d17b70fe507a96026a1ee2ae" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:39.793ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle c*f\colon A\to B,\,x\mapsto (c*f)(x):=c*f(x)}"></dd></dl> Beispiel hierfür ist die punktweise Multiplikation einer Funktion mit einem <a href="/wiki/Skalar_(Mathematik)" title="Skalar (Mathematik)">Skalar</a>. Analog lässt sich so auch eine äußere Verknüpfung der Form <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f*c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>∗</mo> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f*c}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c953606fb3a56bbd891d409650688402da33bad6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.48ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f*c}"> definieren. Sind Verknüpfungen der gleichen Art sowohl auf der Definitionsmenge als auch auf der Zielmenge gegeben, dann heißt eine Funktion <a href="/wiki/Vertr%C3%A4glichkeit_(Mathematik)" title="Verträglichkeit (Mathematik)">verträglich</a> mit diesen Verknüpfungen, wenn sich die Bilder bezüglich der einen Verknüpfung genauso verhalten wie die Urbilder bezüglich der anderen Verknüpfung. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weitere_Eigenschaften">Weitere Eigenschaften</h2>[<a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&veaction=edit&section=19" title="Abschnitt bearbeiten: Weitere Eigenschaften" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&action=edit&section=19" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Weitere Eigenschaften">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Algebraische_Eigenschaften">Algebraische Eigenschaften</h3>[<a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&veaction=edit&section=20" title="Abschnitt bearbeiten: Algebraische Eigenschaften" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&action=edit&section=20" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Algebraische Eigenschaften">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <ul><li>Eine Funktion ist <a href="/wiki/Idempotenz" title="Idempotenz">idempotent</a>, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\circ f=f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>∘</mo> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\circ f=f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9172b7a50fccab6c28706005b1a6b8c5b16e9f0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.129ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\circ f=f}"> – d. h., wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(f(x))=f(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(f(x))=f(x)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38659935ace510e86dba5dcd12812ce033fb3d74" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.021ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(f(x))=f(x)}"> für alle Elemente <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> der Definitionsmenge gilt.</li> <li>Sie ist eine <a href="/wiki/Involution_(Mathematik)" title="Involution (Mathematik)">Involution</a>, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\circ f=\operatorname {id} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>∘</mo> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mi>id</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\circ f=\operatorname {id} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da9cba4bf623c30fda44fb6ac74d3fa4ed1b894c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.79ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\circ f=\operatorname {id} }"> – d. h., wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(f(x))=x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(f(x))=x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d04c2f87b1313815142f4089bddf9881977e4bdf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.934ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(f(x))=x}"> für alle Elemente <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> der Definitionsmenge gilt. <ul><li>Die <a href="/wiki/Identische_Abbildung" title="Identische Abbildung">Identität</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\mapsto x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\mapsto x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/033c0ae81eaf4c65cbb0759d7aa2c4f434c00f02" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.273ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle x\mapsto x}"> erfüllt natürlich diese Bedingung, wird aber in seltenen Fällen dennoch nicht als Involution angesehen.</li></ul></li> <li>Ein <a href="/wiki/Fixpunkt_(Mathematik)" title="Fixpunkt (Mathematik)">Fixpunkt</a> ist ein Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> der Definitionsmenge von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}">, für das <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(a)=a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(a)=a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70ea63e918d829b0f0b20efc54b2b6d739af5143" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.646ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(a)=a}"> gilt.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Analytische_Eigenschaften">Analytische Eigenschaften</h3>[<a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&veaction=edit&section=21" title="Abschnitt bearbeiten: Analytische Eigenschaften" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&action=edit&section=21" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Analytische Eigenschaften">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <ul><li><a href="/wiki/Beschr%C3%A4nktheit" class="mw-redirect" title="Beschränktheit">Beschränktheit</a></li> <li><a href="/wiki/Periodische_Funktion" title="Periodische Funktion">Periodizität</a></li> <li><a href="/wiki/Monotone_Abbildung" title="Monotone Abbildung">Monotonie</a></li> <li><a href="/wiki/Gerade_und_ungerade_Funktionen" title="Gerade und ungerade Funktionen">Symmetrie</a></li> <li><a href="/wiki/Stetige_Funktion" title="Stetige Funktion">Stetigkeit</a></li> <li><a href="/wiki/Differenzierbarkeit" title="Differenzierbarkeit">Differenzierbarkeit</a></li> <li><a href="/wiki/Glatte_Funktion" title="Glatte Funktion">Glattheit</a></li> <li><a href="/wiki/Holomorphie" class="mw-redirect" title="Holomorphie">Holomorphie</a></li> <li><a href="/wiki/Homogene_Funktion" title="Homogene Funktion">Homogenität</a></li> <li><a href="/wiki/Messbare_Funktion" title="Messbare Funktion">Messbarkeit</a></li> <li><a href="/wiki/Integralrechnung" title="Integralrechnung">Integrierbarkeit</a></li> <li><a href="/wiki/Konvexe_Funktion" class="mw-redirect" title="Konvexe Funktion">Konvexität</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Spezielle_Funktionen">Spezielle Funktionen</h2>[<a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&veaction=edit&section=22" title="Abschnitt bearbeiten: Spezielle Funktionen" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&action=edit&section=22" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Spezielle Funktionen">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <ul><li><a href="/wiki/Reellwertige_Funktion" title="Reellwertige Funktion">Reellwertige Funktion</a>, die sich dadurch auszeichnet, dass ihre Zielmenge <a href="/wiki/Teilmenge" title="Teilmenge">innerhalb</a> der <a href="/wiki/Reelle_Zahl" title="Reelle Zahl">reellen Zahlen</a> liegt</li> <li><a href="/wiki/Komplexwertige_Funktion" title="Komplexwertige Funktion">Komplexwertige Funktion</a>, die sich dadurch auszeichnet, dass ihre Zielmenge <a href="/wiki/Teilmenge" title="Teilmenge">innerhalb</a> der <a href="/wiki/Komplexe_Zahl" title="Komplexe Zahl">komplexen Zahlen</a> liegt</li> <li>Homogene <a href="/wiki/Lineare_Funktion" title="Lineare Funktion">lineare Funktion</a> (auch: <a href="/wiki/Proportional" class="mw-redirect" title="Proportional">Proportionalität</a>): allgemein beschrieben durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=mx}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=mx}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10f0d3e110d8da960bf9300287df68165a7286b5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.886ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)=mx}">; ist ein <a href="/wiki/Homomorphismus" title="Homomorphismus">Homomorphismus</a> bezüglich der Addition</li> <li>Allgemeine <a href="/wiki/Lineare_Funktion" title="Lineare Funktion">lineare Funktion</a> (oder affine Funktion): allgemein beschrieben durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=ax+b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=ax+b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75c655df4be41082c4bba924beab2c1dc27d019c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.913ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)=ax+b}">; siehe auch <a href="/wiki/Affine_Abbildung" title="Affine Abbildung">affine Abbildung</a></li> <li><a href="/wiki/Quadratische_Funktion" title="Quadratische Funktion">Quadratische Funktion</a>: allgemein beschrieben durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66fca4dfe28e7b4a4a336578daaab18c87397073" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.145ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}"> (s. <a href="/wiki/Quadratische_Gleichung" title="Quadratische Gleichung">Quadratische Gleichung</a>)</li> <li><a href="/wiki/Potenzfunktion" title="Potenzfunktion">Potenzfunktion</a></li> <li><a href="/wiki/Polynomfunktion" class="mw-redirect" title="Polynomfunktion">Polynomfunktion</a>, auch ganzrationale Funktion: allg. beschrieben durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a8df67ee0fb103d19e0109c17c77bba1a7a15af" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:41.693ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}}"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=\textstyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=\textstyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c48bc598fb0e653461fb32c277433bd96cf114e7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:17.416ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(x)=\textstyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}"></li> <li><a href="/wiki/Rationale_Funktion" title="Rationale Funktion">Rationale Funktion</a>, insbesondere gebrochen-rationale Funktion: Quotient zweier Polynomfunktionen, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=g(x)/h(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=g(x)/h(x)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63c0734ea3e4a16316fe9449c5af40b7e13ff957" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.411ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)=g(x)/h(x)}"></li> <li><a href="/wiki/Wurzelfunktion" class="mw-redirect" title="Wurzelfunktion">Wurzelfunktion</a>: Umkehrung der Potenzfunktionen und selbst Potenzfunktion</li> <li><a href="/wiki/Exponentialfunktion" title="Exponentialfunktion">Exponentialfunktion</a></li> <li><a href="/wiki/Logarithmus" title="Logarithmus">Logarithmus</a></li> <li><a href="/wiki/Trigonometrische_Funktion" title="Trigonometrische Funktion">Trigonometrische Funktion</a>: <a href="/wiki/Sinus_und_Kosinus" title="Sinus und Kosinus">sin</a>, <a href="/wiki/Sinus_und_Kosinus" title="Sinus und Kosinus">cos</a>, <a href="/wiki/Tangens" class="mw-redirect" title="Tangens">tan</a>, <a href="/wiki/Kotangens" class="mw-redirect" title="Kotangens">cot</a>, <a href="/wiki/Sekans" class="mw-redirect" title="Sekans">sec</a>, <a href="/wiki/Kosekans" class="mw-redirect" title="Kosekans">csc</a></li> <li><a href="/wiki/Absoluter_Betrag" class="mw-redirect" title="Absoluter Betrag">Betragsfunktion</a></li> <li><a href="/wiki/Maximumsfunktion" class="mw-redirect" title="Maximumsfunktion">Maximumsfunktion</a> und <a href="/wiki/Minimumsfunktion" class="mw-redirect" title="Minimumsfunktion">Minimumsfunktion</a></li> <li><a href="/wiki/Gau%C3%9Fklammer" class="mw-redirect" title="Gaußklammer">Gaußsche Ganzzahlfunktion</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Funktionale">Funktionale</h3>[<a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&veaction=edit&section=23" title="Abschnitt bearbeiten: Funktionale" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&action=edit&section=23" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Funktionale">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Vor allem in der <a href="/wiki/Funktionalanalysis" title="Funktionalanalysis">Funktionalanalysis</a> finden Funktionale große Anwendung. Als <a href="/wiki/Funktional" title="Funktional">Funktional</a> bezeichnet man eine Funktion, deren <a href="/wiki/Definitionsmenge" title="Definitionsmenge">Definitionsmenge</a> als Teilmenge in einem <a href="/wiki/Vektorraum" title="Vektorraum">Vektorraum</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}"> enthalten ist, während ihre <a href="/wiki/Zielmenge" title="Zielmenge">Zielmenge</a> in dem zugehörigen <a href="/wiki/Skalark%C3%B6rper" class="mw-redirect" title="Skalarkörper">Skalarkörper</a> liegt. Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}"> ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {K} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">K</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {K} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1848c435e64864e9ad4efa7e46bd6bc900c35c99" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {K} }">-<a href="/wiki/Vektorraum" title="Vektorraum">Vektorraum</a> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">K</mi> </mrow> <mo>∈</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d1dfbdbc9f282a890a4539ce701c2029c1e1820" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.364ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}">. Ein Funktional <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>T</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}"> ist eine Abbildung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\colon V\to \mathbb {K} .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>T</mi> <mo>:</mo> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">K</mi> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\colon V\to \mathbb {K} .}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88808df568f889369a969a354c3a115d31c5b0c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.526ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T\colon V\to \mathbb {K} .}"> Funktionale können somit als Argumente selbst Funktionen haben. Ein lineares Funktional auf dem Vektorraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {F}}(\mathbb {R} ,\mathbb {K} )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">F</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">K</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {F}}(\mathbb {R} ,\mathbb {K} )}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb97cbbbd6bd3e112869c84b913216e2815fc45e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.256ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {F}}(\mathbb {R} ,\mathbb {K} )}">, der Funktionen auf der reellen Achse, ist bspw. das Auswertungsfunktional an der Stelle Null <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta \colon {\mathcal {F}}(\mathbb {R} ,\mathbb {K} )\to \mathbb {K} ,\quad f\mapsto \delta [f]:=f(0).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>δ</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">F</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">K</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">K</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <mi>δ</mi> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>:=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta \colon {\mathcal {F}}(\mathbb {R} ,\mathbb {K} )\to \mathbb {K} ,\quad f\mapsto \delta [f]:=f(0).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea421cc54fb02979ec7207087a73c3a0fdcfc817" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:36.273ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \delta \colon {\mathcal {F}}(\mathbb {R} ,\mathbb {K} )\to \mathbb {K} ,\quad f\mapsto \delta [f]:=f(0).}"></dd></dl> Dieses Funktional heißt <a href="/wiki/Delta-Distribution" title="Delta-Distribution">Delta-Distribution</a> oder Dirac-Delta. Ein anderes Beispiel ist das Funktional <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{u}\colon L_{2}(-1,1)\to \mathbb {K} ,\quad f_{u}:=\langle u,\cdot \rangle _{L_{2}(-1,1)},\quad u\in L_{2}(-1,1)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>u</mi> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <msub> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">K</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>u</mi> </mrow> </msub> <mo>:=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mo>⋅</mo> <msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mi>u</mi> <mo>∈</mo> <msub> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{u}\colon L_{2}(-1,1)\to \mathbb {K} ,\quad f_{u}:=\langle u,\cdot \rangle _{L_{2}(-1,1)},\quad u\in L_{2}(-1,1)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b2a8a7d2a2838668638e357b5255dda68a59b59" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:56.597ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f_{u}\colon L_{2}(-1,1)\to \mathbb {K} ,\quad f_{u}:=\langle u,\cdot \rangle _{L_{2}(-1,1)},\quad u\in L_{2}(-1,1)}">,</dd></dl> das jeder <a href="/wiki/Lp-Raum" title="Lp-Raum">quadratintegrierbaren Funktion</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w\in L_{2}(-1,1)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>w</mi> <mo>∈</mo> <msub> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w\in L_{2}(-1,1)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f13e71f751660187b61754e09adc53b81c8e727" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.118ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle w\in L_{2}(-1,1)}"> den Wert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{u}(w)=\langle u,w\rangle _{L_{2}(-1,1)}\in \mathbb {K} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>u</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>w</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mi>w</mi> <msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">K</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{u}(w)=\langle u,w\rangle _{L_{2}(-1,1)}\in \mathbb {K} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68d6a2ecf11e92a36d78e033b9832b4fafc1d104" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:26.212ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f_{u}(w)=\langle u,w\rangle _{L_{2}(-1,1)}\in \mathbb {K} }"> zuordnet. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Matrixfunktionen">Matrixfunktionen</h3>[<a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&veaction=edit&section=24" title="Abschnitt bearbeiten: Matrixfunktionen" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&action=edit&section=24" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Matrixfunktionen">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Matrixfunktion" title="Matrixfunktion">Matrixfunktion</a></div> Matrixfunktionen sind Funktionen, welche als Funktionsargument eine <a href="/wiki/Matrix_(Mathematik)" title="Matrix (Mathematik)">Matrix</a> besitzen, das heißt für eine Matrix <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}"> kann <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(M)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(M)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/838e63aefd54118a54c25fd9f0ef22528a69e36c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.53ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(M)}"> gebildet werden. In der Regel beschränkt man solche Funktionen auf <a href="/wiki/Quadratische_Matrix" class="mw-redirect" title="Quadratische Matrix">quadratische Matrizen</a>. Im einfachen Fall ist der Funktionswert ein Skalar, dieser Fall ist oft selbsterklärend. Häufig meint man aber mit Matrixfunktion explizit den Fall, wenn der Funktionswert wieder eine Matrix ist, das heißt <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f:\mathbb {C} ^{n\times n}\to \mathbb {C} ^{n\times n}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>×</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">→</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>×</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f:\mathbb {C} ^{n\times n}\to \mathbb {C} ^{n\times n}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0f3da8a723603766a44c8850206a9a40cdb5f27" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.799ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle f:\mathbb {C} ^{n\times n}\to \mathbb {C} ^{n\times n}.}"></dd></dl> Klassische Funktionen können auf solche Matrixfunktionen verallgemeinert werden. Es gibt dafür unterschiedliche Ansätze, solche Funktionen zu definieren. In der Mathematik spielen aber nur die Ansätze eine wesentliche Rolle, bei denen die Regeln der <a href="/wiki/Algebra_%C3%BCber_einem_K%C3%B6rper" title="Algebra über einem Körper">Matrizen-Algebra</a> weiterhin gelten. Dies schließt insbesondere den Fall aus, wo man die Funktion auf jedes Element der Matrix anwendet, da dies die Regeln der Matrix-Algebra bricht.<a href="#cite_note-12">[12]</a> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Verwendung">Verwendung</h2>[<a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&veaction=edit&section=25" title="Abschnitt bearbeiten: Verwendung" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&action=edit&section=25" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Verwendung">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Ein fundamentales Konzept in der Mathematik stellen <a href="/wiki/Mathematische_Struktur" title="Mathematische Struktur">Strukturen</a> dar, die dadurch entstehen, dass Mengen in Verbindung mit dazugehörigen Abbildungen gesehen werden. Derartige Strukturen bilden die Grundlage praktisch aller mathematischen Disziplinen, sobald sie über elementare Mengenlehre, kombinatorische Probleme oder grundlegende mathematisch-philosophische Fragestellungen hinausgehen. Mengen können beispielsweise durch sogenannte <a href="/wiki/Verkn%C3%BCpfung_(Mathematik)" title="Verknüpfung (Mathematik)">Verknüpfungen</a> strukturiert werden. Der wichtigste Spezialfall ist die innere <a href="/wiki/Zweistellige_Verkn%C3%BCpfung" title="Zweistellige Verknüpfung">zweistellige Verknüpfung</a>, dabei handelt es sich um eine Abbildung der Form <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon A\times A\rightarrow A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>A</mi> <mo>×</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A\times A\rightarrow A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09f422b92ecaac92613e8eb863151e2c6d6ad7bd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.996ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon A\times A\rightarrow A}">. Beispiele für innere zweistellige Verknüpfungen sind Rechenoperationen wie die Addition oder Multiplikation auf Zahlenmengen. Dementsprechend wird das Bild <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle *(x,y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∗</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle *(x,y)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fded5aa3d04d29cbb61aaea05a8f8287129ed844" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.491ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle *(x,y)}"> eines Paares <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,y)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41cf50e4a314ca8e2c30964baa8d26e5be7a9386" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.328ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,y)}"> unter einer Verknüpfung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle *}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∗</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle *}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e9972f426d9e07855984f73ee195a21dbc21755" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: 0.079ex; margin-bottom: -0.25ex; width:1.162ex; height:1.509ex;" alt="{\displaystyle *}"> üblicherweise in der Form <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x*y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∗</mo> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x*y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fa45646c7b928fea01251f5fd07ed3e5838900a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.68ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x*y}"> geschrieben. Weitere wichtige Beispiele solcher Strukturen sind <a href="/wiki/Algebraische_Struktur" title="Algebraische Struktur">algebraische</a>, <a href="/wiki/Geometrie" title="Geometrie">geometrische</a> und <a href="/wiki/Topologie_(Mathematik)" title="Topologie (Mathematik)">topologische</a> Strukturen, wie beispielsweise <a href="/wiki/Skalarprodukt" title="Skalarprodukt">Skalarprodukte</a>, <a href="/wiki/Norm_(Mathematik)" title="Norm (Mathematik)">Normen</a> und <a href="/wiki/Metrik_(Mathematik)" class="mw-redirect" title="Metrik (Mathematik)">Metriken</a>. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Verallgemeinerungen">Verallgemeinerungen</h2>[<a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&veaction=edit&section=26" title="Abschnitt bearbeiten: Verallgemeinerungen" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&action=edit&section=26" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Verallgemeinerungen">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Multifunktionen">Multifunktionen</h3>[<a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&veaction=edit&section=27" title="Abschnitt bearbeiten: Multifunktionen" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&action=edit&section=27" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Multifunktionen">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Eine <a href="/wiki/Korrespondenz_(Mathematik)" title="Korrespondenz (Mathematik)">Multifunktion</a> (auch mehrwertige Funktion oder Korrespondenz genannt) ist eine linkstotale Relation. Das heißt, die Elemente der Definitionsmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"> können auf mehrere Elemente der Zielmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}"> abgebildet werden. Man schreibt auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon X\multimap Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo>⊸</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon X\multimap Y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d921e13601ddf5df45642f4bde576139a46b5f72" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.938ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon X\multimap Y}">. Wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}"> eine Menge ist, dann kann man jede Multifunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon X\multimap Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo>⊸</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon X\multimap Y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d921e13601ddf5df45642f4bde576139a46b5f72" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.938ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon X\multimap Y}"> auch als eine Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \kappa _{f}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>κ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \kappa _{f}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdc7d361fdfc25e18a91c1ad098cbafed86a8e06" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.475ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \kappa _{f}}"> darstellen, die in die Potenzmenge von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}"> geht:<a href="#cite_note-13">[13]</a> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \kappa _{f}\colon X\rightarrow {\mathcal {P}}(Y),\ x\mapsto \{y\in {Y}\mid (x,y)\in G_{f}\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>κ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">P</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>Y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>y</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>Y</mi> </mrow> <mo>∣</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \kappa _{f}\colon X\rightarrow {\mathcal {P}}(Y),\ x\mapsto \{y\in {Y}\mid (x,y)\in G_{f}\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eee8dff507b290dbb974691f6bf662d0c7a4168e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:42.112ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \kappa _{f}\colon X\rightarrow {\mathcal {P}}(Y),\ x\mapsto \{y\in {Y}\mid (x,y)\in G_{f}\}}"></dd></dl> Im Fall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y=X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Y</mi> <mo>=</mo> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y=X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/213f9e0bf2b88042d7d90cf9e765ae8201743d77" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.852ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Y=X}"> stellt eine mehrwertige Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> eine <a href="/wiki/Transitionsrelation" title="Transitionsrelation">Transitionsrelation</a> dar, und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \kappa _{f}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>κ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \kappa _{f}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdc7d361fdfc25e18a91c1ad098cbafed86a8e06" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.475ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \kappa _{f}}"> ist die zugehörige Transitionsfunktion. Die Verkettung von Multifunktionen lässt sich genauso definieren wie für (eindeutige) Funktionen, mengentheoretisch ist dies äquivalent einer <a href="/wiki/Relation_(Mathematik)#Verkettung_von_Relationen" title="Relation (Mathematik)">Verkettung zweier zweistelliger Relationen</a>.<a href="#cite_note-HKönig_S21-14">[14]</a> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Umkehrungen_von_Funktionen_als_Multifunktionen">Umkehrungen von Funktionen als Multifunktionen</h3>[<a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&veaction=edit&section=28" title="Abschnitt bearbeiten: Umkehrungen von Funktionen als Multifunktionen" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&action=edit&section=28" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Umkehrungen von Funktionen als Multifunktionen">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Ein Beispiel für Multifunktionen sind die Umkehrfunktionen (Umkehrungen) von nicht injektiven Funktionen. Wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f986e95e93b70de25a0084daf075cb02c3ccae8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.68ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}"> surjektiv ist, gilt automatisch: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{-1}\colon Y\multimap X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>:</mo> <mi>Y</mi> <mo>⊸</mo> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{-1}\colon Y\multimap X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97c4347cf77505dd53fcf8a14f6fdefed15c0575" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.312ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f^{-1}\colon Y\multimap X}"> ist eine Multifunktion. Die Darstellung der Umkehrfunktion in die Potenzmenge von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"> liefert mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \kappa _{f^{-1}}(y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>κ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \kappa _{f^{-1}}(y)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0812c230b7f80a1270c14b5cc3ea0c57c6327bd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:7.339ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \kappa _{f^{-1}}(y)}"> die Fasern von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> (<a href="#Bild_und_Urbild">siehe oben</a>). Die Verkettung einer Funktion mit ihrer (im Allgemeinen nicht eindeutigen) Umkehrung in der Form <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{-1}\circ f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>∘</mo> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{-1}\circ f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c92786c86f48b86694c9ddf911857e56164e323" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.127ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f^{-1}\circ f}"> ist eine Äquivalenzrelation,<a href="#cite_note-15">[15]</a> die durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> induzierte Äquivalenzrelation. Zwei Elemente aus dem Definitionsbereich sind genau dann äquivalent, wenn sie denselben Funktionswert haben.<a href="#cite_note-HKönig_S21-14">[14]</a> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Partielle_Funktionen">Partielle Funktionen</h3>[<a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&veaction=edit&section=29" title="Abschnitt bearbeiten: Partielle Funktionen" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&action=edit&section=29" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Partielle Funktionen">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Types_of_relation_ti.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/08/Types_of_relation_ti.svg/300px-Types_of_relation_ti.svg.png" decoding="async" width="300" height="182" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/08/Types_of_relation_ti.svg/450px-Types_of_relation_ti.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/08/Types_of_relation_ti.svg/600px-Types_of_relation_ti.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="310" /></a><figcaption>Die partielle Funktion und ihre Untermenge, die Funktion, als spezielle <a href="/wiki/Relation_(Mathematik)" title="Relation (Mathematik)">Relationen</a></figcaption></figure> Wohl zu unterscheiden vom Begriff der Funktion ist der Begriff der <a href="/wiki/Partielle_Funktion" title="Partielle Funktion">partiellen Funktion</a>, man spricht auch von einer „nicht überall definierten Funktion“ oder „<a href="/wiki/Relation_(Mathematik)#Eigenschaften_zweistelliger_Relationen" title="Relation (Mathematik)">funktionalen Relation</a>“. Hier darf es Elemente der Quellmenge (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}">-Werte) geben, denen kein Wert der Zielmenge (kein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}">-Wert) zugeordnet ist. Hier ist dann die Nennung der Quellmenge in der obigen Tripelschreibweise tatsächlich notwendig. Allerdings darf es auch dort für einen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}">-Wert nicht mehr als einen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}">-Wert geben. Um partielle Funktionen von Funktionen zu unterscheiden, bezeichnet man Letztere auch als totale oder überall definierte Funktionen. Die Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [D\rightharpoonup Z]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>D</mi> <mo stretchy="false">⇀</mo> <mi>Z</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [D\rightharpoonup Z]}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad0c804a555ba1b55160981ae0e4384eaa84c3c1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.512ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [D\rightharpoonup Z]}"><a href="#cite_note-noekla-11">[11]</a> der partiellen Abbildungen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}"> nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}"> ist die Vereinigung der totalen Abbildungen von Teilmengen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}"> nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}">: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [D\rightharpoonup Z]=\bigcup \limits _{X\subseteq {D}}[X\to Z]=\bigcup \limits _{X\subseteq {D}}Z^{X}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>D</mi> <mo stretchy="false">⇀</mo> <mi>Z</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo movablelimits="false">⋃</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> <mo>⊆</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>D</mi> </mrow> </mrow> </munder> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Z</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo movablelimits="false">⋃</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> <mo>⊆</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>D</mi> </mrow> </mrow> </munder> <msup> <mi>Z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [D\rightharpoonup Z]=\bigcup \limits _{X\subseteq {D}}[X\to Z]=\bigcup \limits _{X\subseteq {D}}Z^{X}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49acf8342679017f23cf89d4e5e218788a8d7154" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:35.084ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle [D\rightharpoonup Z]=\bigcup \limits _{X\subseteq {D}}[X\to Z]=\bigcup \limits _{X\subseteq {D}}Z^{X}}"></dd></dl> Sind die Mengen endlich, so gilt für ihre Kardinalzahlen <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left|[D\rightharpoonup Z]\right|=(|Z|+1)^{|D|}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>D</mi> <mo stretchy="false">⇀</mo> <mi>Z</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>Z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left|[D\rightharpoonup Z]\right|=(|Z|+1)^{|D|}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e63327c2efce22d696c88445af6e9d7183f615c0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.198ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \left|[D\rightharpoonup Z]\right|=(|Z|+1)^{|D|}}">,</dd></dl> schließlich kann man jede partielle Abbildung auf D umkehrbar eindeutig zu einer totalen Abbildung fortsetzen, indem man einen beliebigen festen Funktionswert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}"> festschreibt, der nicht in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}"> enthalten ist; und diese Operation stellt eine bijektive Abbildung auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (Z\cup \{c\})^{D}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>Z</mi> <mo>∪</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>c</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>D</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (Z\cup \{c\})^{D}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e2e4ed921e9a9d7f82eee4cc85ee1f301b6d168" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.997ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (Z\cup \{c\})^{D}}"> dar. Jede partielle Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f=(G_{f},X,Z)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=(G_{f},X,Z)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5399be7ac46b7ca49d57e267c5958db5b4affdf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:14.878ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f=(G_{f},X,Z)}"> ist im Wesentlichen gleich mit der (totalen) Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (G_{f},Db(f),Z)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>D</mi> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>Z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (G_{f},Db(f),Z)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75381defe3c70e34b95a5ba3c59cc11b547e16bc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:14.53ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (G_{f},Db(f),Z)}"> mit der Urbildmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Db(f):=\{x\in {X}\mid \exists y\in Z\colon (x,y)\in G_{f}\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> <mo>∣</mo> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mi>y</mi> <mo>∈</mo> <mi>Z</mi> <mo>:</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Db(f):=\{x\in {X}\mid \exists y\in Z\colon (x,y)\in G_{f}\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5526318c83cf3daecbbce9d69bf3bdbbf1bdbfe0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:39.303ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle Db(f):=\{x\in {X}\mid \exists y\in Z\colon (x,y)\in G_{f}\}}">. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Funktionen_mit_Werten_in_einer_echten_Klasse">Funktionen mit Werten in einer echten Klasse</h3>[<a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&veaction=edit&section=30" title="Abschnitt bearbeiten: Funktionen mit Werten in einer echten Klasse" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&action=edit&section=30" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Funktionen mit Werten in einer echten Klasse">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Häufig liegen die Werte einer Funktion nicht in einer Zielmenge, sondern lediglich in einer <a href="/wiki/Echte_Klasse" class="mw-redirect" title="Echte Klasse">echten Klasse</a>, beispielsweise sind <a href="/wiki/Mengenfolge" title="Mengenfolge">Mengenfolgen</a> „Funktionen“ mit Definitionsmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {N} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {N} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdf9a96b565ea202d0f4322e9195613fb26a9bed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {N} }"> und Werten in der <a href="/wiki/Allklasse" title="Allklasse">Allklasse</a>. Um die mengentheoretischen Probleme, die sich daraus ergeben, zu vermeiden, betrachtet man nur noch den Graph der entsprechenden Funktion, genauer: Ein funktionsartiger Graph ist eine Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}"> von <a href="/wiki/Geordnetes_Paar" title="Geordnetes Paar">Paaren</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,y)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41cf50e4a314ca8e2c30964baa8d26e5be7a9386" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.328ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,y)}">, sodass keine zwei Paare im ersten Eintrag übereinstimmen:<a href="#cite_note-16">[16]</a> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall x,y_{1},y_{2}\colon (x,y_{1}),(x,y_{2})\in G\implies y_{1}=y_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <mi>G</mi> <mspace width="thickmathspace" /> <mo stretchy="false">⟹</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall x,y_{1},y_{2}\colon (x,y_{1}),(x,y_{2})\in G\implies y_{1}=y_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c15c5877d0c7833142903433a645d005240955e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:42.417ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall x,y_{1},y_{2}\colon (x,y_{1}),(x,y_{2})\in G\implies y_{1}=y_{2}}"></dd></dl> Definitions- und Wertemenge sind tatsächlich Mengen, aber es ist nicht nötig, sich von vornherein auf eine Zielmenge festzulegen, solange die Funktionen im Wesentlichen gleich sind. Bei partiellen Funktionen gilt Gleiches für den Ziel- und Quellbereich. Beide können einzeln oder zusammen echte Klassen sein; mengentheoretische Probleme entstehen nicht, solange der Graph eine Menge bleibt. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Symbolik">Symbolik</h2>[<a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&veaction=edit&section=31" title="Abschnitt bearbeiten: Symbolik" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&action=edit&section=31" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Symbolik">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Für Funktionen gibt es etliche symbolische Schreibweisen, die jeweils einige spezielle Eigenschaften der Funktion ausdrücken. Im Folgenden werden einige wichtige genannt. <table class="wikitable"> <tbody><tr class="hintergrundfarbe6"> <th>Symbol </th> <th>Erklärung </th></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon A\to B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A\to B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dec1893560fabff9fa9c17b83b71f7f97996119" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.434ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon A\to B}"></td> <td>Funktion von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}"> </td></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon a\mapsto b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon a\mapsto b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca204dfc3b1a444074d2cb30fa89cc3455d9102f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.154ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon a\mapsto b}"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(a)=b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(a)=b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aed79484c7845e9abd1b1e8a32959e7e2a9d25fa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.414ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(a)=b}"> </td> <td>Funktion, die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> abbildet; statt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> kann auch ein Term o. Ä. stehen </td></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a,b)\in f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a,b)\in f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee8f33a5f38ac7e0c68be7d9f263b8a1a33c54ef" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.19ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a,b)\in f}"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a,b)\in G_{f}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a,b)\in G_{f}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d696a5bfb1f79df4eb31a5ece4bd7ca31566b363" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:10.874ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (a,b)\in G_{f}}"> </td> <td>Funktion, die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> abbildet; statt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> kann auch eine Formel o. Ä. stehen (mengentheoretische Schreibweise) </td></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon a\mapsto f(a):=b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:=</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon a\mapsto f(a):=b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc09091433661198d4f6ec6604328829e9c88864" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.217ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f\colon a\mapsto f(a):=b}"></td> <td>Funktion, die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> abbildet, die die elementweise Zuordnung mit Beschreibung der Funktionssymbolik (statt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(a)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(a)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/368cb4b81ba5754d7a354a4ce49c2f1084bdaace" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.318ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(a)}"> stehen oft Dinge wie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{{-}1},\;{\overline {a}},\;a\cdot c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> </mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>a</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{{-}1},\;{\overline {a}},\;a\cdot c}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e4198c4d1f31305a9f078a011912a8f38972704" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.181ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle a^{{-}1},\;{\overline {a}},\;a\cdot c}"> u. Ä.) und der Formel o. Ä. (an der Stelle von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}">) zur Berechnung des Bildes angibt </td></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon A\to B,\,a\mapsto f(a):=b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>B</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:=</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A\to B,\,a\mapsto f(a):=b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42891d2b430f4d5077f6f35c66cffc62a7730a97" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.759ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f\colon A\to B,\,a\mapsto f(a):=b}"></td> <td>Ausführlichste Notation, die alle beteiligten Mengen und die elementweise Zuordnung mit Beschreibung der Funktionssymbolik und der Formel o. Ä. zur Berechnung des Bildes angibt </td></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon A\twoheadrightarrow B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">↠</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A\twoheadrightarrow B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4464cc69dafcbc42e295746adc690685d118afe6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.434ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon A\twoheadrightarrow B}"></td> <td><a href="/wiki/Surjektivit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Surjektivität">surjektive</a> Funktion (Surjektion) von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}"> </td></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon A\rightarrowtail B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">↣</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A\rightarrowtail B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb8dff8b68095224bc9c0d420f449b008361db89" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.692ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon A\rightarrowtail B}"></td> <td><a href="/wiki/Injektivit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Injektivität">injektive</a> Funktion (Injektion) von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}"> </td></tr> <tr> <td> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon A\leftrightarrow B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">↔</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A\leftrightarrow B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aeb2cf139de69e366f9b2fac5a2b863e38577df" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.434ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon A\leftrightarrow B}"><a href="#cite_note-17">[17]</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon A\rightleftarrows B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">⇄</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A\rightleftarrows B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f90785f4d0b02b241ff8236d8fe615f3e2b22be9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.434ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon A\rightleftarrows B}"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon A\;{\!\;\twoheadrightarrow \;\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\rightarrowtail }\;B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>A</mi> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mspace width="negativethinmathspace" /> <mspace width="thickmathspace" /> <mo stretchy="false">↠</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mspace width="negativethinmathspace" /> <mspace width="negativethinmathspace" /> <mspace width="negativethinmathspace" /> <mspace width="negativethinmathspace" /> <mspace width="negativethinmathspace" /> <mspace width="negativethinmathspace" /> <mspace width="negativethinmathspace" /> <mspace width="negativethinmathspace" /> <mspace width="negativethinmathspace" /> <mspace width="negativethinmathspace" /> <mspace width="thickmathspace" /> <mo stretchy="false">↣</mo> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A\;{\!\;\twoheadrightarrow \;\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\rightarrowtail }\;B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83ba090d7e7fc4937b4ddb13929dccbe26ac0ab5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.693ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon A\;{\!\;\twoheadrightarrow \;\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\rightarrowtail }\;B}"> </td> <td><a href="/wiki/Bijektivit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Bijektivität">bijektive</a> Funktion (Bijektion) von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}"> </td></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon A\hookrightarrow B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">↪</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A\hookrightarrow B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18aeca0433bb531379c0d4a27b8efbb1a371518c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.726ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon A\hookrightarrow B}"></td> <td><a href="/wiki/Inklusionsabbildung" title="Inklusionsabbildung">Inklusionsabbildung</a>, natürliche Inklusion, natürliche Einbettung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}"> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> ist Untermenge von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}">, und die Funktion bildet jedes Element von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> auf sich ab) </td></tr> <tr> <td> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f=\operatorname {id} _{A}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>id</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=\operatorname {id} _{A}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cd195850367f4b303adaf9169a1971b111f9ea3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.781ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f=\operatorname {id} _{A}}"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon A\to A,\,a\mapsto a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A\to A,\,a\mapsto a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/268d9568abee0e3562b2d5ddd517fa31422e4483" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.908ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon A\to A,\,a\mapsto a}"> </td> <td>Identität, <a href="/wiki/Identische_Abbildung" title="Identische Abbildung">identische Abbildung</a> auf A oder von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> (die Funktion bildet jedes Element auf sich ab) </td></tr> <tr> <td> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon A\;{\stackrel {\cong }{\to }}\;B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>A</mi> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-REL"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <mo stretchy="false">→</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>≅</mo> </mrow> </mover> </mrow> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A\;{\stackrel {\cong }{\to }}\;B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4079de2e8a8e9c9820bc6d7eb2b5236a97bea88f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.434ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle f\colon A\;{\stackrel {\cong }{\to }}\;B}"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon A\cong B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>A</mi> <mo>≅</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A\cong B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf4c9c52da01aee387bafcbe45d03172fd61e173" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.918ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon A\cong B}"> </td> <td><a href="/wiki/Isomorphismus" title="Isomorphismus">Isomorphismus</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}"> </td></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon A\rightharpoonup B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">⇀</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A\rightharpoonup B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4debbfa8e1ea4d423b63e34d2181449868d4bf0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.434ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon A\rightharpoonup B}"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon A\rightsquigarrow B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">⇝</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A\rightsquigarrow B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4aa4accb5c32cabb753dcc6f74c62faa2b2c53a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.434ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon A\rightsquigarrow B}"></td> <td>partielle Funktion (s. o.) von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}"> </td></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon A\multimap B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>A</mi> <mo>⊸</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A\multimap B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87c2fa6fad85a8a8ec46d80bac3b429101a3d089" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.692ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon A\multimap B}"></td> <td>mehrwertige Funktion, Multifunktion, <a href="/wiki/Korrespondenz_(Mathematik)" title="Korrespondenz (Mathematik)">Korrespondenz</a> (s. o.) von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}"> </td></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [A\to B]=B^{A}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>B</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [A\to B]=B^{A}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd84487e3ecce4319bfbc282ef2adb22713f616a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.742ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle [A\to B]=B^{A}}"> (bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [A\rightharpoonup B]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">⇀</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [A\rightharpoonup B]}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cf08908d7847e96631a3b47862b405584be38fb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.415ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [A\rightharpoonup B]}"> …)</td> <td>Menge der Funktionen (bzw. partiellen Funktionen), … von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}"><a href="#cite_note-noekla-11">[11]</a> </td></tr></tbody></table> Die Symbole können auch, wo sinnvoll, miteinander kombiniert werden. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2>[<a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&veaction=edit&section=32" title="Abschnitt bearbeiten: Literatur" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&action=edit&section=32" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Literatur">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <ul><li><a href="/wiki/Heinz-Dieter_Ebbinghaus" title="Heinz-Dieter Ebbinghaus">Heinz-Dieter Ebbinghaus</a>: Einführung in die Mengenlehre. 4. Auflage. Spektrum, Akademischer Verlag, Heidelberg u. a. 2003, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/3827414113" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 3-8274-1411-3</a>.</li> <li><a href="/wiki/Paul_R._Halmos" class="mw-redirect" title="Paul R. Halmos">Paul R. Halmos</a>: Naive Mengenlehre (= Moderne Mathematik in elementarer Darstellung. Bd. 6). Übersetzt von Manfred Armbrust und Fritz Ostermann. 5. Auflage. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1994, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/3525405278" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 3-525-40527-8</a>.</li> <li><a href="/wiki/Arnold_Oberschelp" title="Arnold Oberschelp">Arnold Oberschelp</a>: Allgemeine Mengenlehre. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. a. 1994, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/3411172711" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 3-411-17271-1</a>.</li> <li>Adolf P. Youschkevitch: The Concept of Function up to the Middle of the 19th Century. In: Archive of the History of Exact Sciences. 16 Springer Verlag, Berlin 1976.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2>[<a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&veaction=edit&section=33" title="Abschnitt bearbeiten: Weblinks" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&action=edit&section=33" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Weblinks">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/16px-Wikibooks-logo.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/24px-Wikibooks-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/32px-Wikibooks-logo.svg.png 2x" data-file-width="300" data-file-height="300" /></div><a href="https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Abbildung,_Funktion" class="extiw" title="b:Mathe für Nicht-Freaks: Abbildung, Funktion">Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Abbildung, Funktion</a> – Lern- und Lehrmaterialien</div> <div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Wiktfavicon_en.svg/16px-Wiktfavicon_en.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Wiktfavicon_en.svg/24px-Wiktfavicon_en.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Wiktfavicon_en.svg/32px-Wiktfavicon_en.svg.png 2x" data-file-width="16" data-file-height="16" /><a href="https://de.wiktionary.org/wiki/Funktion" class="extiw" title="wikt:Funktion">Wiktionary: Funktion</a> – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen</div> <div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/12px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="12" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/18px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/24px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></div><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Functions_(mathematics)?uselang=de">Commons: Funktionen</a> – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien</div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise_und_Anmerkungen">Einzelnachweise und Anmerkungen</h2>[<a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&veaction=edit&section=34" title="Abschnitt bearbeiten: Einzelnachweise und Anmerkungen" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&action=edit&section=34" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Einzelnachweise und Anmerkungen">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <ol class="references"> <li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> M. Kronfellner: Historische Aspekte im Mathematikunterricht. Verlag Hölder-Pichler-Tempsky, Wien 1998, S. 67. </li> <li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Adolf P. Youschkevitch: The Concept of Function up to the Middle of the 19th Century. In: Archive of the History of Exakt Sciences. 16, Springer Verlag, Berlin 1976, S. 52. </li> <li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> D. Rüthing: Einige historische Stationen zum Funktionsbegriff. In: Der Mathematikunterricht. Heft 6/1986, Friedrich Verlag Velber, S. 5–6. </li> <li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> H.-J. Vollrath: Algebra in der Sekundarstufe. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim 1994, S.  118. </li> <li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> Rüthing, S. 6–12. </li> <li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> Arnold Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre. 1994. </li> <li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> Klassenfunktion genannt, siehe Claudius Röhl: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://ul.qucosa.de/api/qucosa%3A16622/attachment/ATT-0/">Das Auswahlaxiom.</a> Diplomarbeit Univ. Leipzig, Fakultät für Mathematik, 6. Oktober 2016, S. 18. </li> <li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> Funktionen, deren Zielmengen sich nur in diesen (wertlosen) Nichtbild-Elementen unterscheiden, werden gelegentlich als gleich angesehen, insbesondere dann, wenn keine von ihnen <a href="#Injektivität,_Surjektivität,_Bijektivität">surjektiv</a> ist. Also: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}&f_{1}\colon {\begin{cases}D_{1}\to Z_{1}\\x\mapsto y\end{cases}}\;=\;f_{2}\colon \,{\begin{cases}D_{2}\to Z_{2}\\x\mapsto y\end{cases}}\qquad :\Longleftrightarrow \\&(D_{1}=D_{2}=:D)\land {\bigl (}\forall x\in D\colon f_{1}(x)=f_{2}(x){\bigr )}\land {\bigl (}Z_{1}\supset f_{1}(D)=f_{2}(D)\subset Z_{2}{\bigr )}\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd /> <mtd> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>{</mo> <mtable columnalign="left left" rowspacing=".2em" columnspacing="1em" displaystyle="false"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">→</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <mi>y</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo> </mrow> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mo>=</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>{</mo> <mtable columnalign="left left" rowspacing=".2em" columnspacing="1em" displaystyle="false"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">→</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <mi>y</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo> </mrow> </mrow> <mspace width="2em" /> <mo>:⟺</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=:</mo> <mi>D</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∧</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mo> </mrow> </mrow> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>D</mi> <mo>:</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mo> </mrow> </mrow> <mo>∧</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mo> </mrow> </mrow> <msub> <mi>Z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⊃</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>D</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>D</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⊂</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}&f_{1}\colon {\begin{cases}D_{1}\to Z_{1}\\x\mapsto y\end{cases}}\;=\;f_{2}\colon \,{\begin{cases}D_{2}\to Z_{2}\\x\mapsto y\end{cases}}\qquad :\Longleftrightarrow \\&(D_{1}=D_{2}=:D)\land {\bigl (}\forall x\in D\colon f_{1}(x)=f_{2}(x){\bigr )}\land {\bigl (}Z_{1}\supset f_{1}(D)=f_{2}(D)\subset Z_{2}{\bigr )}\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35e58a5667c9033b60d27ace30fc7589a4621812" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.171ex; width:75.328ex; height:9.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}&f_{1}\colon {\begin{cases}D_{1}\to Z_{1}\\x\mapsto y\end{cases}}\;=\;f_{2}\colon \,{\begin{cases}D_{2}\to Z_{2}\\x\mapsto y\end{cases}}\qquad :\Longleftrightarrow \\&(D_{1}=D_{2}=:D)\land {\bigl (}\forall x\in D\colon f_{1}(x)=f_{2}(x){\bigr )}\land {\bigl (}Z_{1}\supset f_{1}(D)=f_{2}(D)\subset Z_{2}{\bigr )}\end{aligned}}}"></dd></dl> </li> <li id="cite_note-Halmos-9"><a href="#cite_ref-Halmos_9-0">↑</a> Paul R. Halmos: <cite style="font-style:italic">Naive Mengenlehre</cite>. 1994, Kapitel 8, S. 43.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Funktion+%28Mathematik%29&rft.atitle=Kapitel+8&rft.au=Paul+R.+Halmos&rft.btitle=Naive+Mengenlehre&rft.date=1994&rft.genre=bookitem&rft.pages=43" style="display:none">  </li> <li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> Seltener in Anlehnung an die Mengenschreibweise äquivalent <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (f(x)\mid x\in N)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∣</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (f(x)\mid x\in N)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/338377987794b4e50f4cba117719bc4bb5c229c8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.398ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (f(x)\mid x\in N)}">. </li> <li id="cite_note-noekla-11">↑ <a href="#cite_ref-noekla_11-0">a</a> <a href="#cite_ref-noekla_11-1">b</a> <a href="#cite_ref-noekla_11-2">c</a> Teilweise auch ohne die eckigen Klammern notiert. </li> <li id="cite_note-12"><a href="#cite_ref-12">↑</a> Nicholas Higham: <cite style="font-style:italic">Functions of Matrices: Theory and Computation</cite>. Hrsg.: SIAM, Philadelphia (= <cite style="font-style:italic">Other Titles in Applied Mathematics</cite>). 2008, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9780898716467" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-0-89871-646-7</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Funktion+%28Mathematik%29&rft.au=Nicholas+Higham&rft.btitle=Functions+of+Matrices%3A+Theory+and+Computation&rft.date=2008&rft.genre=book&rft.isbn=9780898716467&rft.series=Other+Titles+in+Applied+Mathematics" style="display:none">  </li> <li id="cite_note-13"><a href="#cite_ref-13">↑</a> Oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\mapsto \{y\in {Y}\mid (x,y)\in f\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>y</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>Y</mi> </mrow> <mo>∣</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <mi>f</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\mapsto \{y\in {Y}\mid (x,y)\in f\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbe38fc87733daa94f751adc1340a5fb466e1c19" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.423ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x\mapsto \{y\in {Y}\mid (x,y)\in f\}}"> entsprechend der vereinfachten Funktionsdefinition mit Funktion = Graph. Alternative Bezeichnungsweisen: <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Phi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Φ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aed80a2011a3912b028ba32a52dfa57165455f24" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Phi }"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tilde {f}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">~</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {f}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6cb99679a4b79cb5ca3c242811bd91220c91f2e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.699ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {f}}}"> für die Korrespondenz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \kappa _{f}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>κ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \kappa _{f}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdc7d361fdfc25e18a91c1ad098cbafed86a8e06" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.475ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \kappa _{f}}"> zur Multifunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}">, im Fall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y=X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Y</mi> <mo>=</mo> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y=X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/213f9e0bf2b88042d7d90cf9e765ae8201743d77" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.852ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Y=X}"> (<a href="/wiki/Transitionsrelation" title="Transitionsrelation">Transitionsfunktion</a>) auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>δ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5321cfa797202b3e1f8620663ff43c4660ea03a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta }"></li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \wp (Y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">℘</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>Y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \wp (Y)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f256cd99f93dee663da2c3cc164f7b033f168ef6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.061ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \wp (Y)}"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {(}}Y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo mathvariant="fraktur" stretchy="false">(</mo> </mrow> </mrow> <mi>Y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {(}}Y)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8b33c19be3763e089a83a531378e0d16d9a9804" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.583ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {(}}Y)}"> für die Potenzmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {P}}(Y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">P</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>Y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {P}}(Y)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b078ac221848d7425500f94408b89c9de2251a7e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.286ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {P}}(Y)}"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}"></li></ul> </li> <li id="cite_note-HKönig_S21-14">↑ <a href="#cite_ref-HKönig_S21_14-0">a</a> <a href="#cite_ref-HKönig_S21_14-1">b</a> H. König: <cite style="font-style:italic">Entwurf und Strukturtheorie von Steuerungen für Fertigungseinrichtungen</cite> (= <cite style="font-style:italic">ISW Forschung und Praxis</cite>. Band 13). Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1976, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/3540076697" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 3-540-07669-7</a>, S. 15–17, <a href="/wiki/Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-642-81027-5_1">10.1007/978-3-642-81027-5_1</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Funktion+%28Mathematik%29&rft.au=H.+K%C3%B6nig&rft.btitle=Entwurf+und+Strukturtheorie+von+Steuerungen+f%C3%BCr+Fertigungseinrichtungen&rft.date=1976&rft.doi=10.1007%2F978-3-642-81027-5_1&rft.genre=book&rft.isbn=3540076697&rft.pages=15-17&rft.place=Berlin%2FHeidelberg&rft.pub=Springer-Verlag&rft.series=ISW+Forschung+und+Praxis" style="display:none">  Hier: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?hl=de&id=LXigBgAAQBAJ&q=%22sind%20dann%20gleichm%C3%A4chtig%22#v=onepage&f=false">Seite 21 f.</a> </li> <li id="cite_note-15"><a href="#cite_ref-15">↑</a> Wie immer für zweistellige Relationen; wir fassen die Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> als zweistellige Relation auf, erst recht ihre Umkehrung. </li> <li id="cite_note-16"><a href="#cite_ref-16">↑</a> <a href="/wiki/Nicolas_Bourbaki" title="Nicolas Bourbaki">Nicolas Bourbaki</a>: Éléments de mathématiques. Théorie des Ensembles. II. </li> <li id="cite_note-17"><a href="#cite_ref-17">↑</a> Die Notation <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\leftrightarrow B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">↔</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\leftrightarrow B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/936ab098710910e69e56ec2734dd89063ce21efa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.121ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\leftrightarrow B}"> wird manchmal abweichend für (beliebige) Relationen gebraucht. </li> </ol></div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1&useformat=desktop" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Abgerufen von „<a dir="ltr" href="https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&oldid=250228594">https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Funktion_(Mathematik)&oldid=250228594</a>“</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Wikipedia:Kategorien" title="Wikipedia:Kategorien">Kategorien</a>: <ul><li><a href="/wiki/Kategorie:Mathematische_Funktion" title="Kategorie:Mathematische Funktion">Mathematische Funktion</a></li><li><a href="/wiki/Kategorie:Mengenlehre" title="Kategorie:Mengenlehre">Mengenlehre</a></li><li><a href="/wiki/Kategorie:Mathematischer_Grundbegriff" title="Kategorie:Mathematischer Grundbegriff">Mathematischer Grundbegriff</a></li></ul></div></div> </div> </div> <div id="mw-navigation"> <h2>Navigationsmenü</h2> <div id="mw-head"> <nav id="p-personal" class="mw-portlet mw-portlet-personal vector-user-menu-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-personal-label" > <h3 id="p-personal-label" class="vector-menu-heading " > Meine Werkzeuge </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anonuserpage" class="mw-list-item">Nicht angemeldet</li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spezial:Meine_Diskussionsseite" title="Diskussion über Änderungen von dieser IP-Adresse [n]" accesskey="n">Diskussionsseite</a></li><li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spezial:Meine_Beitr%C3%A4ge" title="Eine Liste der Bearbeitungen, die von dieser IP-Adresse gemacht wurden [y]" accesskey="y">Beiträge</a></li><li id="pt-createaccount" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Spezial:Benutzerkonto_anlegen&returnto=Funktion+%28Mathematik%29" title="Wir ermutigen dich dazu, ein Benutzerkonto zu erstellen und dich anzumelden. Es ist jedoch nicht zwingend erforderlich.">Benutzerkonto erstellen</a></li><li id="pt-login" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Spezial:Anmelden&returnto=Funktion+%28Mathematik%29" title="Anmelden ist zwar keine Pflicht, wird aber gerne gesehen. [o]" accesskey="o">Anmelden</a></li> </ul> </div> </nav> <div id="left-navigation"> <nav id="p-namespaces" class="mw-portlet mw-portlet-namespaces vector-menu-tabs vector-menu-tabs-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-namespaces-label" > <h3 id="p-namespaces-label" class="vector-menu-heading " > Namensräume </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected mw-list-item"><a href="/wiki/Funktion_(Mathematik)" title="Seiteninhalt anzeigen [c]" accesskey="c">Artikel</a></li><li id="ca-talk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Diskussion:Funktion_(Mathematik)" rel="discussion" title="Diskussion zum Seiteninhalt [t]" accesskey="t">Diskussion</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-variants" class="mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet vector-menu-dropdown vector-menu" aria-labelledby="p-variants-label" > <input type="checkbox" id="p-variants-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" 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<form action="/w/index.php" id="searchform" class="vector-search-box-form"> <div id="simpleSearch" class="vector-search-box-inner" data-search-loc="header-navigation"> <input class="vector-search-box-input" type="search" name="search" placeholder="Wikipedia durchsuchen" aria-label="Wikipedia durchsuchen" autocapitalize="sentences" title="Durchsuche die Wikipedia [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <input type="hidden" name="title" value="Spezial:Suche"> <input id="mw-searchButton" class="searchButton mw-fallbackSearchButton" type="submit" name="fulltext" title="Suche nach Seiten, die diesen Text enthalten" value="Suchen"> <input id="searchButton" class="searchButton" type="submit" name="go" title="Gehe direkt zu der Seite mit genau diesem Namen, falls sie vorhanden ist." value="Artikel"> </div> </form> </div> </div> </div> <div id="mw-panel" class="vector-legacy-sidebar"> <div id="p-logo" role="banner"> <a class="mw-wiki-logo" href="/wiki/Wikipedia:Hauptseite" title="Hauptseite"></a> 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aria-labelledby="p-wikibase-otherprojects-label" > <h3 id="p-wikibase-otherprojects-label" class="vector-menu-heading " > In anderen Projekten </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Functions_(mathematics)" hreflang="en">Commons</a></li><li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibooks mw-list-item"><a href="https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Abbildung,_Funktion" hreflang="de">Wikibooks</a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q11348" title="Link zum verbundenen Objekt im Datenrepositorium [g]" accesskey="g">Wikidata-Datenobjekt</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-lang" class="mw-portlet mw-portlet-lang vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-lang-label" 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hreflang="am" data-title="አስረካቢ" data-language-autonym="አማርኛ" data-language-local-name="Amharisch" class="interlanguage-link-target">አማርኛ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-an mw-list-item"><a href="https://an.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matematica" title="Función matematica – Aragonesisch" lang="an" hreflang="an" data-title="Función matematica" data-language-autonym="Aragonés" data-language-local-name="Aragonesisch" class="interlanguage-link-target">Aragonés</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%AF%D8%A7%D9%84%D8%A9" title="دالة – Arabisch" lang="ar" hreflang="ar" data-title="دالة" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="Arabisch" class="interlanguage-link-target">العربية</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ary mw-list-item"><a href="https://ary.wikipedia.org/wiki/%D8%AF%D8%A7%D9%84%D8%A9" title="دالة – Marokkanisches Arabisch" lang="ary" hreflang="ary" data-title="دالة" data-language-autonym="الدارجة" data-language-local-name="Marokkanisches Arabisch" class="interlanguage-link-target">الدارجة</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica" title="Función matemática – Asturisch" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Función matemática" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="Asturisch" class="interlanguage-link-target">Asturianu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/Funksiya_(riyaziyyat)" title="Funksiya (riyaziyyat) – Aserbaidschanisch" lang="az" hreflang="az" data-title="Funksiya (riyaziyyat)" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="Aserbaidschanisch" class="interlanguage-link-target">Azərbaycanca</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Функция (математика) – Baschkirisch" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Функция (математика)" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="Baschkirisch" class="interlanguage-link-target">Башҡортса</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bat-smg mw-list-item"><a href="https://bat-smg.wikipedia.org/wiki/Funkc%C4%97j%C4%97" title="Funkcėjė – Samogitisch" lang="sgs" hreflang="sgs" data-title="Funkcėjė" data-language-autonym="Žemaitėška" data-language-local-name="Samogitisch" class="interlanguage-link-target">Žemaitėška</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%8B%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%8D%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%8B%D0%BA%D0%B0)" title="Функцыя (матэматыка) – Belarussisch" lang="be" hreflang="be" data-title="Функцыя (матэматыка)" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="Belarussisch" class="interlanguage-link-target">Беларуская</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be-x-old mw-list-item"><a href="https://be-tarask.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%8B%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%8D%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%8B%D0%BA%D0%B0)" title="Функцыя (матэматыка) – Weißrussisch (Taraschkewiza)" lang="be-tarask" hreflang="be-tarask" data-title="Функцыя (матэматыка)" data-language-autonym="Беларуская (тарашкевіца)" data-language-local-name="Weißrussisch (Taraschkewiza)" class="interlanguage-link-target">Беларуская (тарашкевіца)</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F" title="Функция – Bulgarisch" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Функция" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="Bulgarisch" class="interlanguage-link-target">Български</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bh mw-list-item"><a href="https://bh.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AB%E0%A4%82%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B6%E0%A4%A8_(%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%BF%E0%A4%A4)" title="फंक्शन (गणित) – Bhojpuri" lang="bh" hreflang="bh" data-title="फंक्शन (गणित)" data-language-autonym="भोजपुरी" data-language-local-name="Bhojpuri" class="interlanguage-link-target">भोजपुरी</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%85%E0%A6%AA%E0%A7%87%E0%A6%95%E0%A7%8D%E0%A6%B7%E0%A6%95_(%E0%A6%97%E0%A6%A3%E0%A6%BF%E0%A6%A4)" title="অপেক্ষক (গণিত) – Bengalisch" lang="bn" hreflang="bn" data-title="অপেক্ষক (গণিত)" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="Bengalisch" class="interlanguage-link-target">বাংলা</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Funkcija_(matematika)" title="Funkcija (matematika) – Bosnisch" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Funkcija (matematika)" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="Bosnisch" class="interlanguage-link-target">Bosanski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3" title="Funció – Katalanisch" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Funció" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="Katalanisch" class="interlanguage-link-target">Català</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%D9%81%D8%A7%D9%86%DA%A9%D8%B4%D9%86_(%D9%85%D8%A7%D8%AA%D9%85%D8%A7%D8%AA%DB%8C%DA%A9)" title="فانکشن (ماتماتیک) – Zentralkurdisch" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="فانکشن (ماتماتیک)" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="Zentralkurdisch" class="interlanguage-link-target">کوردی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Funkce_(matematika)" title="Funkce (matematika) – Tschechisch" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Funkce (matematika)" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="Tschechisch" class="interlanguage-link-target">Čeština</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Функци (математика) – Tschuwaschisch" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Функци (математика)" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="Tschuwaschisch" class="interlanguage-link-target">Чӑвашла</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Ffwythiant" title="Ffwythiant – Walisisch" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Ffwythiant" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="Walisisch" class="interlanguage-link-target">Cymraeg</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Funktion_(matematik)" title="Funktion (matematik) – Dänisch" lang="da" hreflang="da" data-title="Funktion (matematik)" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="Dänisch" class="interlanguage-link-target">Dansk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A3%CF%85%CE%BD%CE%AC%CF%81%CF%84%CE%B7%CF%83%CE%B7" title="Συνάρτηση – Griechisch" lang="el" hreflang="el" data-title="Συνάρτηση" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="Griechisch" class="interlanguage-link-target">Ελληνικά</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Function_(mathematics)" title="Function (mathematics) – Englisch" lang="en" hreflang="en" data-title="Function (mathematics)" data-language-autonym="English" data-language-local-name="Englisch" class="interlanguage-link-target">English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Funkcio_(matematiko)" title="Funkcio (matematiko) – Esperanto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Funkcio (matematiko)" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="Esperanto" class="interlanguage-link-target">Esperanto</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)" title="Función (matemática) – Spanisch" lang="es" hreflang="es" data-title="Función (matemática)" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="Spanisch" class="interlanguage-link-target">Español</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Funktsioon_(matemaatika)" title="Funktsioon (matemaatika) – Estnisch" lang="et" hreflang="et" data-title="Funktsioon (matemaatika)" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="Estnisch" class="interlanguage-link-target">Eesti</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Funtzio_(matematika)" title="Funtzio (matematika) – Baskisch" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Funtzio (matematika)" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="Baskisch" class="interlanguage-link-target">Euskara</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9" title="تابع – Persisch" lang="fa" hreflang="fa" data-title="تابع" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="Persisch" class="interlanguage-link-target">فارسی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Funktio" title="Funktio – Finnisch" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Funktio" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="Finnisch" class="interlanguage-link-target">Suomi</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fj mw-list-item"><a href="https://fj.wikipedia.org/wiki/Cakacaka_(fika)" title="Cakacaka (fika) – Fidschi" lang="fj" hreflang="fj" data-title="Cakacaka (fika)" data-language-autonym="Na Vosa Vakaviti" data-language-local-name="Fidschi" class="interlanguage-link-target">Na Vosa Vakaviti</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fo mw-list-item"><a href="https://fo.wikipedia.org/wiki/Funksj%C3%B3n" title="Funksjón – Färöisch" lang="fo" hreflang="fo" data-title="Funksjón" data-language-autonym="Føroyskt" data-language-local-name="Färöisch" class="interlanguage-link-target">Føroyskt</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_(math%C3%A9matiques)" title="Fonction (mathématiques) – Französisch" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Fonction (mathématiques)" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="Französisch" class="interlanguage-link-target">Français</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-frr mw-list-item"><a href="https://frr.wikipedia.org/wiki/Funksion" title="Funksion – Nordfriesisch" lang="frr" hreflang="frr" data-title="Funksion" data-language-autonym="Nordfriisk" data-language-local-name="Nordfriesisch" class="interlanguage-link-target">Nordfriisk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/Feidhm_(matamaitic)" title="Feidhm (matamaitic) – Irisch" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Feidhm (matamaitic)" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="Irisch" class="interlanguage-link-target">Gaeilge</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gan mw-list-item"><a href="https://gan.wikipedia.org/wiki/%E5%87%BD%E6%95%B8" title="函數 – Gan" lang="gan" hreflang="gan" data-title="函數" data-language-autonym="贛語" data-language-local-name="Gan" class="interlanguage-link-target">贛語</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gcr mw-list-item"><a href="https://gcr.wikipedia.org/wiki/Fonksyon_(mat%C3%A9matik)" title="Fonksyon (matématik) – Französisch-Guayana Kreolisch" lang="gcr" hreflang="gcr" data-title="Fonksyon (matématik)" data-language-autonym="Kriyòl gwiyannen" data-language-local-name="Französisch-Guayana Kreolisch" class="interlanguage-link-target">Kriyòl gwiyannen</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n" title="Función – Galicisch" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Función" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="Galicisch" class="interlanguage-link-target">Galego</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94" title="פונקציה – Hebräisch" lang="he" hreflang="he" data-title="פונקציה" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="Hebräisch" class="interlanguage-link-target">עברית</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AB%E0%A4%B2%E0%A4%A8" title="फलन – Hindi" lang="hi" hreflang="hi" data-title="फलन" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="Hindi" class="interlanguage-link-target">हिन्दी</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hif mw-list-item"><a href="https://hif.wikipedia.org/wiki/Function" title="Function – Fidschi-Hindi" lang="hif" hreflang="hif" data-title="Function" data-language-autonym="Fiji Hindi" data-language-local-name="Fidschi-Hindi" class="interlanguage-link-target">Fiji Hindi</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Funkcija_(matematika)" title="Funkcija (matematika) – Kroatisch" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Funkcija (matematika)" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="Kroatisch" class="interlanguage-link-target">Hrvatski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/F%C3%BCggv%C3%A9ny_(matematika)" title="Függvény (matematika) – Ungarisch" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Függvény (matematika)" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="Ungarisch" class="interlanguage-link-target">Magyar</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D5%96%D5%B8%D6%82%D5%B6%D5%AF%D6%81%D5%AB%D5%A1_(%D5%B4%D5%A1%D5%A9%D5%A5%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF%D5%A1)" title="Ֆունկցիա (մաթեմատիկա) – Armenisch" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Ֆունկցիա (մաթեմատիկա)" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="Armenisch" class="interlanguage-link-target">Հայերեն</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Function_(mathematica)" title="Function (mathematica) – Interlingua" lang="ia" hreflang="ia" data-title="Function (mathematica)" data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="Interlingua" class="interlanguage-link-target">Interlingua</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_(matematika)" title="Fungsi (matematika) – Indonesisch" lang="id" hreflang="id" data-title="Fungsi (matematika)" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="Indonesisch" class="interlanguage-link-target">Bahasa Indonesia</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-io mw-list-item"><a href="https://io.wikipedia.org/wiki/Funciono" title="Funciono – Ido" lang="io" hreflang="io" data-title="Funciono" data-language-autonym="Ido" data-language-local-name="Ido" class="interlanguage-link-target">Ido</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Fall_(st%C3%A6r%C3%B0fr%C3%A6%C3%B0i)" title="Fall (stærðfræði) – Isländisch" lang="is" hreflang="is" data-title="Fall (stærðfræði)" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="Isländisch" class="interlanguage-link-target">Íslenska</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_(matematica)" title="Funzione (matematica) – Italienisch" lang="it" hreflang="it" data-title="Funzione (matematica)" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="Italienisch" class="interlanguage-link-target">Italiano</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="関数 (数学) – Japanisch" lang="ja" hreflang="ja" data-title="関数 (数学)" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="Japanisch" class="interlanguage-link-target">日本語</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jam mw-list-item"><a href="https://jam.wikipedia.org/wiki/Fongshan_(matimatix)" title="Fongshan (matimatix) – Jamaikanisch-Kreolisch" lang="jam" hreflang="jam" data-title="Fongshan (matimatix)" data-language-autonym="Patois" data-language-local-name="Jamaikanisch-Kreolisch" class="interlanguage-link-target">Patois</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jbo mw-list-item"><a href="https://jbo.wikipedia.org/wiki/fancu" title="fancu – Lojban" lang="jbo" hreflang="jbo" data-title="fancu" data-language-autonym="La .lojban." data-language-local-name="Lojban" class="interlanguage-link-target">La .lojban.</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%A4%E1%83%A3%E1%83%9C%E1%83%A5%E1%83%AA%E1%83%98%E1%83%90_(%E1%83%9B%E1%83%90%E1%83%97%E1%83%94%E1%83%9B%E1%83%90%E1%83%A2%E1%83%98%E1%83%99%E1%83%90)" title="ფუნქცია (მათემატიკა) – Georgisch" lang="ka" hreflang="ka" data-title="ფუნქცია (მათემატიკა)" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="Georgisch" class="interlanguage-link-target">ქართული</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kab mw-list-item"><a href="https://kab.wikipedia.org/wiki/Tas%C9%A3ent_(tusnakt)" title="Tasɣent (tusnakt) – Kabylisch" lang="kab" hreflang="kab" data-title="Tasɣent (tusnakt)" data-language-autonym="Taqbaylit" data-language-local-name="Kabylisch" class="interlanguage-link-target">Taqbaylit</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kbp mw-list-item"><a href="https://kbp.wikipedia.org/wiki/K%C9%A9lab%C9%A9m" title="Kɩlabɩm – Kabiyé" lang="kbp" hreflang="kbp" data-title="Kɩlabɩm" data-language-autonym="Kabɩyɛ" data-language-local-name="Kabiyé" class="interlanguage-link-target">Kabɩyɛ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Функция (математика) – Kasachisch" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Функция (математика)" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="Kasachisch" class="interlanguage-link-target">Қазақша</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%95%A8%EC%88%98" title="함수 – Koreanisch" lang="ko" hreflang="ko" data-title="함수" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="Koreanisch" class="interlanguage-link-target">한국어</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Functio" title="Functio – Latein" lang="la" hreflang="la" data-title="Functio" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="Latein" class="interlanguage-link-target">Latina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lb mw-list-item"><a href="https://lb.wikipedia.org/wiki/Funktioun_(Mathematik)" title="Funktioun (Mathematik) – Luxemburgisch" lang="lb" hreflang="lb" data-title="Funktioun (Mathematik)" data-language-autonym="Lëtzebuergesch" data-language-local-name="Luxemburgisch" class="interlanguage-link-target">Lëtzebuergesch</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lmo mw-list-item"><a href="https://lmo.wikipedia.org/wiki/Fonzion_(matematega)" title="Fonzion (matematega) – Lombardisch" lang="lmo" hreflang="lmo" data-title="Fonzion (matematega)" data-language-autonym="Lombard" data-language-local-name="Lombardisch" class="interlanguage-link-target">Lombard</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lo mw-list-item"><a href="https://lo.wikipedia.org/wiki/%E0%BA%95%E0%BA%B3%E0%BA%A5%E0%BA%B2_(%E0%BA%84%E0%BA%B0%E0%BA%99%E0%BA%B4%E0%BA%94%E0%BA%AA%E0%BA%B2%E0%BA%94)" title="ຕຳລາ (ຄະນິດສາດ) – Laotisch" lang="lo" hreflang="lo" data-title="ຕຳລາ (ຄະນິດສາດ)" data-language-autonym="ລາວ" data-language-local-name="Laotisch" class="interlanguage-link-target">ລາວ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Funkcija_(matematika)" title="Funkcija (matematika) – Litauisch" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Funkcija (matematika)" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="Litauisch" class="interlanguage-link-target">Lietuvių</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Funkcija" title="Funkcija – Lettisch" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Funkcija" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="Lettisch" class="interlanguage-link-target">Latviešu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%98%D0%B0_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Функција (математика) – Mazedonisch" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Функција (математика)" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="Mazedonisch" class="interlanguage-link-target">Македонски</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%AB%E0%B4%99%E0%B5%8D%E0%B4%B7%E0%B5%BB" title="ഫങ്ഷൻ – Malayalam" lang="ml" hreflang="ml" data-title="ഫങ്ഷൻ" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="Malayalam" class="interlanguage-link-target">മലയാളം</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mn mw-list-item"><a href="https://mn.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA)" title="Функц (математик) – Mongolisch" lang="mn" hreflang="mn" data-title="Функц (математик)" data-language-autonym="Монгол" data-language-local-name="Mongolisch" class="interlanguage-link-target">Монгол</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mr mw-list-item"><a href="https://mr.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AB%E0%A4%B2_(%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%BF%E0%A4%A4)" title="फल (गणित) – Marathi" lang="mr" hreflang="mr" data-title="फल (गणित)" data-language-autonym="मराठी" data-language-local-name="Marathi" class="interlanguage-link-target">मराठी</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Fungsi" title="Fungsi – Malaiisch" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Fungsi" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="Malaiisch" class="interlanguage-link-target">Bahasa Melayu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mt mw-list-item"><a href="https://mt.wikipedia.org/wiki/Funzjonijiet_(matematika)" title="Funzjonijiet (matematika) – Maltesisch" lang="mt" hreflang="mt" data-title="Funzjonijiet (matematika)" data-language-autonym="Malti" data-language-local-name="Maltesisch" class="interlanguage-link-target">Malti</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-my mw-list-item"><a href="https://my.wikipedia.org/wiki/%E1%80%96%E1%80%94%E1%80%BA%E1%80%9B%E1%80%BE%E1%80%84%E1%80%BA" title="ဖန်ရှင် – Birmanisch" lang="my" hreflang="my" data-title="ဖန်ရှင်" data-language-autonym="မြန်မာဘာသာ" data-language-local-name="Birmanisch" class="interlanguage-link-target">မြန်မာဘာသာ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nds mw-list-item"><a href="https://nds.wikipedia.org/wiki/Afbillen_(Mathematik)" title="Afbillen (Mathematik) – Niederdeutsch" lang="nds" hreflang="nds" data-title="Afbillen (Mathematik)" data-language-autonym="Plattdüütsch" data-language-local-name="Niederdeutsch" class="interlanguage-link-target">Plattdüütsch</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Functie_(wiskunde)" title="Functie (wiskunde) – Niederländisch" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Functie (wiskunde)" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="Niederländisch" class="interlanguage-link-target">Nederlands</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Matematisk_funksjon" title="Matematisk funksjon – Norwegisch (Nynorsk)" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Matematisk funksjon" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="Norwegisch (Nynorsk)" class="interlanguage-link-target">Norsk nynorsk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Funksjon_(matematikk)" title="Funksjon (matematikk) – Norwegisch (Bokmål)" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Funksjon (matematikk)" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="Norwegisch (Bokmål)" class="interlanguage-link-target">Norsk bokmål</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Aplicacion_(matematicas)" title="Aplicacion (matematicas) – Okzitanisch" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Aplicacion (matematicas)" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="Okzitanisch" class="interlanguage-link-target">Occitan</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-om mw-list-item"><a href="https://om.wikipedia.org/wiki/Warroomii_(faankishinii)" title="Warroomii (faankishinii) – Oromo" lang="om" hreflang="om" data-title="Warroomii (faankishinii)" data-language-autonym="Oromoo" data-language-local-name="Oromo" class="interlanguage-link-target">Oromoo</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%AB%E0%A9%B0%E0%A8%95%E0%A8%B8%E0%A8%BC%E0%A8%A8_(%E0%A8%B9%E0%A8%BF%E0%A8%B8%E0%A8%BE%E0%A8%AC)" title="ਫੰਕਸ਼ਨ (ਹਿਸਾਬ) – Punjabi" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਫੰਕਸ਼ਨ (ਹਿਸਾਬ)" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="Punjabi" class="interlanguage-link-target">ਪੰਜਾਬੀ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja" title="Funkcja – Polnisch" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Funkcja" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="Polnisch" class="interlanguage-link-target">Polski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pms mw-list-item"><a href="https://pms.wikipedia.org/wiki/Fonsion" title="Fonsion – Piemontesisch" lang="pms" hreflang="pms" data-title="Fonsion" data-language-autonym="Piemontèis" data-language-local-name="Piemontesisch" class="interlanguage-link-target">Piemontèis</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pnb mw-list-item"><a href="https://pnb.wikipedia.org/wiki/%D9%81%D9%86%DA%A9%D8%B4%D9%86" title="فنکشن – Westliches Panjabi" lang="pnb" hreflang="pnb" data-title="فنکشن" data-language-autonym="پنجابی" data-language-local-name="Westliches Panjabi" class="interlanguage-link-target">پنجابی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)" title="Função (matemática) – Portugiesisch" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Função (matemática)" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="Portugiesisch" class="interlanguage-link-target">Português</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-qu mw-list-item"><a href="https://qu.wikipedia.org/wiki/Kinraysuyu" title="Kinraysuyu – Quechua" lang="qu" hreflang="qu" data-title="Kinraysuyu" data-language-autonym="Runa Simi" data-language-local-name="Quechua" class="interlanguage-link-target">Runa Simi</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Func%C8%9Bie" title="Funcție – Rumänisch" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Funcție" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="Rumänisch" class="interlanguage-link-target">Română</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Функция (математика) – Russisch" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Функция (математика)" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="Russisch" class="interlanguage-link-target">Русский</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sah mw-list-item"><a href="https://sah.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F._%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D1%87%D1%8D%D1%80%D1%87%D0%B8%D1%82%D1%8D,_%D1%81%D1%83%D0%BE%D0%BB%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B0%D1%80%D1%8B%D0%BD_%D1%82%D2%AF%D0%BC%D1%81%D1%8D%D1%8D%D0%BD%D1%8D" title="Функция. Функция чэрчитэ, суолталарын түмсээнэ – Jakutisch" lang="sah" hreflang="sah" data-title="Функция. Функция чэрчитэ, суолталарын түмсээнэ" data-language-autonym="Саха тыла" data-language-local-name="Jakutisch" class="interlanguage-link-target">Саха тыла</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/Funzioni_(matim%C3%A0tica)" title="Funzioni (matimàtica) – Sizilianisch" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Funzioni (matimàtica)" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="Sizilianisch" class="interlanguage-link-target">Sicilianu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sco mw-list-item"><a href="https://sco.wikipedia.org/wiki/Function_(mathematics)" title="Function (mathematics) – Schottisch" lang="sco" hreflang="sco" data-title="Function (mathematics)" data-language-autonym="Scots" data-language-local-name="Schottisch" class="interlanguage-link-target">Scots</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Funkcija" title="Funkcija – Serbokroatisch" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Funkcija" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="Serbokroatisch" class="interlanguage-link-target">Srpskohrvatski / српскохрватски</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Function_(mathematics)" title="Function (mathematics) – einfaches Englisch" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Function (mathematics)" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="einfaches Englisch" class="interlanguage-link-target">Simple English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Zobrazenie_(matematika)" title="Zobrazenie (matematika) – Slowakisch" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Zobrazenie (matematika)" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="Slowakisch" class="interlanguage-link-target">Slovenčina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Funkcija_(matematika)" title="Funkcija (matematika) – Slowenisch" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Funkcija (matematika)" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="Slowenisch" class="interlanguage-link-target">Slovenščina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-smn mw-list-item"><a href="https://smn.wikipedia.org/wiki/Funktio" title="Funktio – Inari-Samisch" lang="smn" hreflang="smn" data-title="Funktio" data-language-autonym="Anarâškielâ" data-language-local-name="Inari-Samisch" class="interlanguage-link-target">Anarâškielâ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sn mw-list-item"><a href="https://sn.wikipedia.org/wiki/Murimo_(Masvomhu)" title="Murimo (Masvomhu) – Shona" lang="sn" hreflang="sn" data-title="Murimo (Masvomhu)" data-language-autonym="ChiShona" data-language-local-name="Shona" class="interlanguage-link-target">ChiShona</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-so mw-list-item"><a href="https://so.wikipedia.org/wiki/Shaqada_(xisaabta)" title="Shaqada (xisaabta) – Somali" lang="so" hreflang="so" data-title="Shaqada (xisaabta)" data-language-autonym="Soomaaliga" data-language-local-name="Somali" class="interlanguage-link-target">Soomaaliga</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Funksioni" title="Funksioni – Albanisch" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Funksioni" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="Albanisch" class="interlanguage-link-target">Shqip</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%98%D0%B0_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Функција (математика) – Serbisch" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Функција (математика)" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="Serbisch" class="interlanguage-link-target">Српски / srpski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-su mw-list-item"><a href="https://su.wikipedia.org/wiki/Fungsi_(matematika)" title="Fungsi (matematika) – Sundanesisch" lang="su" hreflang="su" data-title="Fungsi (matematika)" data-language-autonym="Sunda" data-language-local-name="Sundanesisch" class="interlanguage-link-target">Sunda</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Funktion" title="Funktion – Schwedisch" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Funktion" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="Schwedisch" class="interlanguage-link-target">Svenska</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-szl mw-list-item"><a href="https://szl.wikipedia.org/wiki/Funkcyjo" title="Funkcyjo – Schlesisch (Wasserpolnisch)" lang="szl" hreflang="szl" data-title="Funkcyjo" data-language-autonym="Ślůnski" data-language-local-name="Schlesisch (Wasserpolnisch)" class="interlanguage-link-target">Ślůnski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%9A%E0%AE%BE%E0%AE%B0%E0%AF%8D%E0%AE%AA%E0%AF%81" title="சார்பு – Tamil" lang="ta" hreflang="ta" data-title="சார்பு" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="Tamil" class="interlanguage-link-target">தமிழ்</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99_(%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C)" title="ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์) – Thailändisch" lang="th" hreflang="th" data-title="ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="Thailändisch" class="interlanguage-link-target">ไทย</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Punsiyon_(matematika)" title="Punsiyon (matematika) – Tagalog" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Punsiyon (matematika)" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="Tagalog" class="interlanguage-link-target">Tagalog</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Fonksiyon" title="Fonksiyon – Türkisch" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Fonksiyon" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="Türkisch" class="interlanguage-link-target">Türkçe</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tt mw-list-item"><a href="https://tt.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Функция (математика) – Tatarisch" lang="tt" hreflang="tt" data-title="Функция (математика)" data-language-autonym="Татарча / tatarça" data-language-local-name="Tatarisch" class="interlanguage-link-target">Татарча / tatarça</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-udm mw-list-item"><a href="https://udm.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Функция (математика) – Udmurtisch" lang="udm" hreflang="udm" data-title="Функция (математика)" data-language-autonym="Удмурт" data-language-local-name="Udmurtisch" class="interlanguage-link-target">Удмурт</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ug mw-list-item"><a href="https://ug.wikipedia.org/wiki/%D9%81%DB%87%D9%86%D9%83%D8%B3%D9%89%D9%8A%DB%95" title="فۇنكسىيە – Uigurisch" lang="ug" hreflang="ug" data-title="فۇنكسىيە" data-language-autonym="ئۇيغۇرچە / Uyghurche" data-language-local-name="Uigurisch" class="interlanguage-link-target">ئۇيغۇرچە / Uyghurche</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Функція (математика) – Ukrainisch" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Функція (математика)" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="Ukrainisch" class="interlanguage-link-target">Українська</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D9%81%D8%A7%D8%B9%D9%84_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%D8%A7%D8%AA)" title="تفاعل (ریاضیات) – Urdu" lang="ur" hreflang="ur" data-title="تفاعل (ریاضیات)" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="Urdu" class="interlanguage-link-target">اردو</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Funksiya_(matematika)" title="Funksiya (matematika) – Usbekisch" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Funksiya (matematika)" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="Usbekisch" class="interlanguage-link-target">Oʻzbekcha / ўзбекча</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vep mw-list-item"><a href="https://vep.wikipedia.org/wiki/Funkcii_(matematik)" title="Funkcii (matematik) – Wepsisch" lang="vep" hreflang="vep" data-title="Funkcii (matematik)" data-language-autonym="Vepsän kel’" data-language-local-name="Wepsisch" class="interlanguage-link-target">Vepsän kel’</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/H%C3%A0m_s%E1%BB%91" title="Hàm số – Vietnamesisch" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Hàm số" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="Vietnamesisch" class="interlanguage-link-target">Tiếng Việt</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-war mw-list-item"><a href="https://war.wikipedia.org/wiki/Funsiyon_(matematika)" title="Funsiyon (matematika) – Waray" lang="war" hreflang="war" data-title="Funsiyon (matematika)" data-language-autonym="Winaray" data-language-local-name="Waray" class="interlanguage-link-target">Winaray</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E5%87%BD%E6%95%B0" title="函数 – Wu" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="函数" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="Wu" class="interlanguage-link-target">吴语</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-xal mw-list-item"><a href="https://xal.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F" title="Функция – Kalmückisch" lang="xal" hreflang="xal" data-title="Функция" data-language-autonym="Хальмг" data-language-local-name="Kalmückisch" class="interlanguage-link-target">Хальмг</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yi mw-list-item"><a href="https://yi.wikipedia.org/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%A2" title="פונקציע – Jiddisch" lang="yi" hreflang="yi" data-title="פונקציע" data-language-autonym="ייִדיש" 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