CINXE.COM

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available" lang="fr" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Ensemble fini — Wikipédia</title> <script>(function(){var className="client-js vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )frwikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t."," \t,"],"wgDigitTransformTable":["",""], "wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","janvier","février","mars","avril","mai","juin","juillet","août","septembre","octobre","novembre","décembre"],"wgRequestId":"235f3255-f5fb-4e13-b142-a78b8df6314a","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Ensemble_fini","wgTitle":"Ensemble fini","wgCurRevisionId":218462518,"wgRevisionId":218462518,"wgArticleId":39236,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Article contenant un appel à traduction en anglais","Article à fusionner","Portail:Mathématiques/Articles liés","Portail:Sciences/Articles liés","Projet:Mathématiques/Articles","Théorie des ensembles"],"wgPageViewLanguage":"fr","wgPageContentLanguage":"fr","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Ensemble_fini","wgRelevantArticleId":39236,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[], "wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"fr","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"fr"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":20000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":false,"wgVector2022LanguageInHeader":true,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q272404","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={ "ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.math.styles":"ready","ext.cite.styles":"ready","skins.vector.search.codex.styles":"ready","skins.vector.styles":"ready","skins.vector.icons":"ready","ext.wikimediamessages.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.gadget.ArchiveLinks","ext.gadget.Wdsearch","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.interface", "ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.cx.uls.quick.actions","wikibase.client.vector-2022","ext.checkUser.clientHints","ext.quicksurveys.init","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=fr&modules=ext.cite.styles%7Cext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cext.wikimediamessages.styles%7Cskins.vector.icons%2Cstyles%7Cskins.vector.search.codex.styles%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector-2022"> <script async="" src="/w/load.php?lang=fr&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector-2022"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=fr&modules=site.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.6"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Ensemble fini — Wikipédia"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//fr.m.wikipedia.org/wiki/Ensemble_fini"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Modifier" href="/w/index.php?title=Ensemble_fini&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Wikipédia (fr)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//fr.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_fini"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.fr"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Flux Atom de Wikipédia" href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:Modifications_r%C3%A9centes&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin--responsive skin-vector skin-vector-search-vue mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Ensemble_fini rootpage-Ensemble_fini skin-vector-2022 action-view"><a class="mw-jump-link" href="#bodyContent">Aller au contenu</a> <div class="vector-header-container"> <header class="vector-header mw-header"> <div class="vector-header-start"> <nav class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Site"> <div id="vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown vector-main-menu-dropdown vector-button-flush-left vector-button-flush-right" > <input type="checkbox" id="vector-main-menu-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Menu principal" > <label id="vector-main-menu-dropdown-label" for="vector-main-menu-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-menu mw-ui-icon-wikimedia-menu"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Menu principal</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-main-menu-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-main-menu" class="vector-main-menu vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-main-menu-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="main-menu-pinned" data-pinnable-element-id="vector-main-menu" data-pinned-container-id="vector-main-menu-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-main-menu-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Menu principal</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.pin">déplacer vers la barre latérale</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.unpin">masquer</button> </div> <div id="p-navigation" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-navigation" > <div class="vector-menu-heading"> Navigation </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-description" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Accueil_principal" title="Accueil général [z]" accesskey="z"><span>Accueil</span></a></li><li id="n-thema" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Portail:Accueil"><span>Portails thématiques</span></a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Page_au_hasard" title="Affiche un article au hasard [x]" accesskey="x"><span>Article au hasard</span></a></li><li id="n-contact" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Contact"><span>Contact</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-Contribuer" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-Contribuer" > <div class="vector-menu-heading"> Contribuer </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-aboutwp" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Aide:D%C3%A9buter"><span>Débuter sur Wikipédia</span></a></li><li id="n-help" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Aide:Accueil" title="Accès à l’aide"><span>Aide</span></a></li><li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Accueil_de_la_communaut%C3%A9" title="À propos du projet, ce que vous pouvez faire, où trouver les informations"><span>Communauté</span></a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Modifications_r%C3%A9centes" title="Liste des modifications récentes sur le wiki [r]" accesskey="r"><span>Modifications récentes</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> <a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Accueil_principal" class="mw-logo"> <img class="mw-logo-icon" src="/static/images/icons/wikipedia.png" alt="" aria-hidden="true" height="50" width="50"> <span class="mw-logo-container skin-invert"> <img class="mw-logo-wordmark" alt="Wikipédia" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-fr.svg" style="width: 7.4375em; height: 1.125em;"> <img class="mw-logo-tagline" alt="l'encyclopédie libre" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-fr.svg" width="120" height="13" style="width: 7.5em; height: 0.8125em;"> </span> </a> </div> <div class="vector-header-end"> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-collapses vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Recherche" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only search-toggle" title="Rechercher sur Wikipédia [f]" accesskey="f"><span class="vector-icon mw-ui-icon-search mw-ui-icon-wikimedia-search"></span> <span>Rechercher</span> </a> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail cdx-typeahead-search--auto-expand-width"> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div id="simpleSearch" class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="Rechercher sur Wikipédia" aria-label="Rechercher sur Wikipédia" autocapitalize="sentences" title="Rechercher sur Wikipédia [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <span class="cdx-text-input__icon cdx-text-input__start-icon"></span> </div> <input type="hidden" name="title" value="Spécial:Recherche"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">Rechercher</button> </form> </div> </div> </div> <nav class="vector-user-links vector-user-links-wide" aria-label="Outils personnels"> <div class="vector-user-links-main"> <div id="p-vector-user-menu-preferences" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-userpage" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Apparence"> <div id="vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown " title="Modifier l'apparence de la taille, de la largeur et de la couleur de la police de la page" > <input type="checkbox" id="vector-appearance-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Apparence" > <label id="vector-appearance-dropdown-label" for="vector-appearance-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-appearance mw-ui-icon-wikimedia-appearance"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Apparence</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-appearance-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div id="p-vector-user-menu-notifications" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-overflow" class="vector-menu mw-portlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="https://donate.wikimedia.org/?wmf_source=donate&wmf_medium=sidebar&wmf_campaign=fr.wikipedia.org&uselang=fr" class=""><span>Faire un don</span></a> </li> <li id="pt-createaccount-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:Cr%C3%A9er_un_compte&returnto=Ensemble+fini" title="Nous vous encourageons à créer un compte utilisateur et vous connecter ; ce n’est cependant pas obligatoire." class=""><span>Créer un compte</span></a> </li> <li id="pt-login-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:Connexion&returnto=Ensemble+fini" title="Nous vous encourageons à vous connecter ; ce n’est cependant pas obligatoire. [o]" accesskey="o" class=""><span>Se connecter</span></a> </li> </ul> </div> </div> </div> <div id="vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown vector-user-menu vector-button-flush-right vector-user-menu-logged-out" title="Plus d’options" > <input type="checkbox" id="vector-user-links-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Outils personnels" > <label id="vector-user-links-dropdown-label" for="vector-user-links-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-ellipsis mw-ui-icon-wikimedia-ellipsis"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Outils personnels</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-personal" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-personal user-links-collapsible-item" title="Menu utilisateur" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="https://donate.wikimedia.org/?wmf_source=donate&wmf_medium=sidebar&wmf_campaign=fr.wikipedia.org&uselang=fr"><span>Faire un don</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:Cr%C3%A9er_un_compte&returnto=Ensemble+fini" title="Nous vous encourageons à créer un compte utilisateur et vous connecter ; ce n’est cependant pas obligatoire."><span class="vector-icon mw-ui-icon-userAdd mw-ui-icon-wikimedia-userAdd"></span> <span>Créer un compte</span></a></li><li id="pt-login" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:Connexion&returnto=Ensemble+fini" title="Nous vous encourageons à vous connecter ; ce n’est cependant pas obligatoire. [o]" accesskey="o"><span class="vector-icon mw-ui-icon-logIn mw-ui-icon-wikimedia-logIn"></span> <span>Se connecter</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-user-menu-anon-editor" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-user-menu-anon-editor" > <div class="vector-menu-heading"> Pages pour les contributeurs déconnectés <a href="/wiki/Aide:Premiers_pas" aria-label="En savoir plus sur la contribution"><span>en savoir plus</span></a> </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Mes_contributions" title="Une liste des modifications effectuées depuis cette adresse IP [y]" accesskey="y"><span>Contributions</span></a></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Mes_discussions" title="La page de discussion pour les contributions depuis cette adresse IP [n]" accesskey="n"><span>Discussion</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> </div> <div class="mw-page-container"> <div class="mw-page-container-inner"> <div class="vector-sitenotice-container"> <div id="siteNotice"></div> </div> <div class="vector-column-start"> <div class="vector-main-menu-container"> <div id="mw-navigation"> <nav id="mw-panel" class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Site"> <div id="vector-main-menu-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> </div> </div> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav id="mw-panel-toc" aria-label="Sommaire" data-event-name="ui.sidebar-toc" class="mw-table-of-contents-container vector-toc-landmark"> <div id="vector-toc-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-toc" class="vector-toc vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-toc-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="toc-pinned" data-pinnable-element-id="vector-toc" > <h2 class="vector-pinnable-header-label">Sommaire</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">déplacer vers la barre latérale</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">masquer</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">Début</div> </a> </li> <li id="toc-Cardinal_d'un_ensemble_fini" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Cardinal_d'un_ensemble_fini"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1</span> <span>Cardinal d'un ensemble fini</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Cardinal_d'un_ensemble_fini-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Afficher / masquer la sous-section Cardinal d'un ensemble fini</span> </button> <ul id="toc-Cardinal_d'un_ensemble_fini-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Définitions" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Définitions"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.1</span> <span>Définitions</span> </div> </a> <ul id="toc-Définitions-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Unicité_du_cardinal" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Unicité_du_cardinal"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.2</span> <span>Unicité du cardinal</span> </div> </a> <ul id="toc-Unicité_du_cardinal-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Comparaison_des_cardinaux" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Comparaison_des_cardinaux"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.3</span> <span>Comparaison des cardinaux</span> </div> </a> <ul id="toc-Comparaison_des_cardinaux-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Clôture_sous_les_opérations_usuelles" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Clôture_sous_les_opérations_usuelles"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>Clôture sous les opérations usuelles</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Clôture_sous_les_opérations_usuelles-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Afficher / masquer la sous-section Clôture sous les opérations usuelles</span> </button> <ul id="toc-Clôture_sous_les_opérations_usuelles-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Union" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Union"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.1</span> <span>Union</span> </div> </a> <ul id="toc-Union-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Produit_cartésien" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Produit_cartésien"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2</span> <span>Produit cartésien</span> </div> </a> <ul id="toc-Produit_cartésien-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Ensemble_des_applications_d'un_ensemble_fini_dans_un_ensemble_fini" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Ensemble_des_applications_d'un_ensemble_fini_dans_un_ensemble_fini"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.3</span> <span>Ensemble des applications d'un ensemble fini dans un ensemble fini</span> </div> </a> <ul id="toc-Ensemble_des_applications_d'un_ensemble_fini_dans_un_ensemble_fini-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Ensemble_des_parties" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Ensemble_des_parties"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.4</span> <span>Ensemble des parties</span> </div> </a> <ul id="toc-Ensemble_des_parties-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Axiomatisation" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Axiomatisation"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Axiomatisation</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Axiomatisation-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Afficher / masquer la sous-section Axiomatisation</span> </button> <ul id="toc-Axiomatisation-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Diverses_caractérisations_des_ensembles_finis" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Diverses_caractérisations_des_ensembles_finis"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.1</span> <span>Diverses caractérisations des ensembles finis</span> </div> </a> <ul id="toc-Diverses_caractérisations_des_ensembles_finis-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Les_entiers_et_les_bons_ordres" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Les_entiers_et_les_bons_ordres"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.1.1</span> <span>Les entiers et les bons ordres</span> </div> </a> <ul id="toc-Les_entiers_et_les_bons_ordres-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Les_définitions_de_Tarski_et_de_Russell-Whitehead" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Les_définitions_de_Tarski_et_de_Russell-Whitehead"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.1.2</span> <span>Les définitions de Tarski et de Russell-Whitehead</span> </div> </a> <ul id="toc-Les_définitions_de_Tarski_et_de_Russell-Whitehead-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-La_définition_de_Dedekind" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#La_définition_de_Dedekind"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.1.3</span> <span>La définition de Dedekind</span> </div> </a> <ul id="toc-La_définition_de_Dedekind-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Les_propriétés_de_clôture_du_point_de_vue_des_axiomes_de_la_théorie_des_ensembles" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Les_propriétés_de_clôture_du_point_de_vue_des_axiomes_de_la_théorie_des_ensembles"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.2</span> <span>Les propriétés de clôture du point de vue des axiomes de la théorie des ensembles</span> </div> </a> <ul id="toc-Les_propriétés_de_clôture_du_point_de_vue_des_axiomes_de_la_théorie_des_ensembles-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Les_premiers_axiomes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Les_premiers_axiomes"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.2.1</span> <span>Les premiers axiomes</span> </div> </a> <ul id="toc-Les_premiers_axiomes-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Le_schéma_de_remplacement" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Le_schéma_de_remplacement"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.2.2</span> <span>Le schéma de remplacement</span> </div> </a> <ul id="toc-Le_schéma_de_remplacement-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-L'axiome_du_choix" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#L'axiome_du_choix"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.2.3</span> <span>L'axiome du choix</span> </div> </a> <ul id="toc-L'axiome_du_choix-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Les_ensembles_héréditairement_finis" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Les_ensembles_héréditairement_finis"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.2.4</span> <span>Les ensembles héréditairement finis</span> </div> </a> <ul id="toc-Les_ensembles_héréditairement_finis-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Notes_et_références" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Notes_et_références"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Notes et références</span> </div> </a> <ul id="toc-Notes_et_références-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Bibliographie" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Bibliographie"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Bibliographie</span> </div> </a> <ul id="toc-Bibliographie-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Sommaire" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Basculer la table des matières" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Basculer la table des matières</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Ensemble fini</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Aller à un article dans une autre langue. Disponible en 48 langues." > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-48" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">48 langues</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Eindige_versameling" title="Eindige versameling – afrikaans" lang="af" hreflang="af" data-title="Eindige versameling" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="afrikaans" class="interlanguage-link-target"><span>Afrikaans</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D8%AC%D9%85%D9%88%D8%B9%D8%A9_%D9%85%D9%86%D8%AA%D9%87%D9%8A%D8%A9" title="مجموعة منتهية – arabe" lang="ar" hreflang="ar" data-title="مجموعة منتهية" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="arabe" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%80%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D0%BE_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE" title="Крайно множество – bulgare" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Крайно множество" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="bulgare" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Conjunt_finit" title="Conjunt finit – catalan" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Conjunt finit" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="catalan" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%DA%A9%DB%86%D9%85%DB%95%DA%B5%DB%95%DB%8C_%D8%A8%DB%95%DA%A9%DB%86%D8%AA%D8%A7%DB%8C%DB%8C" title="کۆمەڵەی بەکۆتایی – sorani" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="کۆمەڵەی بەکۆتایی" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="sorani" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Kone%C4%8Dn%C3%A1_mno%C5%BEina" title="Konečná množina – tchèque" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Konečná množina" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="tchèque" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%92%C4%95%C3%A7%D0%BB%C4%95_%D0%B9%D1%8B%D1%88" title="Вĕçлĕ йыш – tchouvache" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Вĕçлĕ йыш" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="tchouvache" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Set_feidraidd" title="Set feidraidd – gallois" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Set feidraidd" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="gallois" class="interlanguage-link-target"><span>Cymraeg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Endliche_Menge" title="Endliche Menge – allemand" lang="de" hreflang="de" data-title="Endliche Menge" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="allemand" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A0%CE%B5%CF%80%CE%B5%CF%81%CE%B1%CF%83%CE%BC%CE%AD%CE%BD%CE%BF_%CF%83%CF%8D%CE%BD%CE%BF%CE%BB%CE%BF" title="Πεπερασμένο σύνολο – grec" lang="el" hreflang="el" data-title="Πεπερασμένο σύνολο" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="grec" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Finite_set" title="Finite set – anglais" lang="en" hreflang="en" data-title="Finite set" data-language-autonym="English" data-language-local-name="anglais" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Finia_aro" title="Finia aro – espéranto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Finia aro" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="espéranto" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_finito" title="Conjunto finito – espagnol" lang="es" hreflang="es" data-title="Conjunto finito" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="espagnol" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/L%C3%B5plik_hulk" title="Lõplik hulk – estonien" lang="et" hreflang="et" data-title="Lõplik hulk" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="estonien" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Multzo_finitu" title="Multzo finitu – basque" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Multzo finitu" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="basque" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D8%AC%D9%85%D9%88%D8%B9%D9%87_%D9%85%D8%AA%D9%86%D8%A7%D9%87%DB%8C" title="مجموعه متناهی – persan" lang="fa" hreflang="fa" data-title="مجموعه متناهی" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="persan" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/%C3%84%C3%A4rellinen_joukko" title="Äärellinen joukko – finnois" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Äärellinen joukko" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="finnois" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A7%D7%91%D7%95%D7%A6%D7%94_%D7%A1%D7%95%D7%A4%D7%99%D7%AA" title="קבוצה סופית – hébreu" lang="he" hreflang="he" data-title="קבוצה סופית" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hébreu" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AA%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%AE%E0%A4%BF%E0%A4%A4_%E0%A4%B8%E0%A4%AE%E0%A5%81%E0%A4%9A%E0%A5%8D%E0%A4%9A%E0%A4%AF" title="परिमित समुच्चय – hindi" lang="hi" hreflang="hi" data-title="परिमित समुच्चय" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="hindi" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Kona%C4%8Dan_skup" title="Konačan skup – croate" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Konačan skup" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="croate" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/V%C3%A9ges_halmaz" title="Véges halmaz – hongrois" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Véges halmaz" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="hongrois" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Himpunan_hingga" title="Himpunan hingga – indonésien" lang="id" hreflang="id" data-title="Himpunan hingga" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonésien" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Endanlegt_mengi" title="Endanlegt mengi – islandais" lang="is" hreflang="is" data-title="Endanlegt mengi" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="islandais" class="interlanguage-link-target"><span>Íslenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Insieme_finito" title="Insieme finito – italien" lang="it" hreflang="it" data-title="Insieme finito" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italien" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E9%9B%86%E5%90%88" title="有限集合 – japonais" lang="ja" hreflang="ja" data-title="有限集合" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japonais" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%A8%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%96_%D0%B6%D0%B8%D1%8B%D0%BD" title="Шекті жиын – kazakh" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Шекті жиын" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="kazakh" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9C%A0%ED%95%9C_%EC%A7%91%ED%95%A9" title="유한 집합 – coréen" lang="ko" hreflang="ko" data-title="유한 집합" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="coréen" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lmo mw-list-item"><a href="https://lmo.wikipedia.org/wiki/Insema_finid" title="Insema finid – lombard" lang="lmo" hreflang="lmo" data-title="Insema finid" data-language-autonym="Lombard" data-language-local-name="lombard" class="interlanguage-link-target"><span>Lombard</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Gal%C4%ABga_kopa" title="Galīga kopa – letton" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Galīga kopa" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="letton" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%B8%E0%B4%BE%E0%B4%A8%E0%B5%8D%E0%B4%A4_%E0%B4%97%E0%B4%A3%E0%B4%82" title="സാന്ത ഗണം – malayalam" lang="ml" hreflang="ml" data-title="സാന്ത ഗണം" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="malayalam" class="interlanguage-link-target"><span>മലയാളം</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Eindige_verzameling" title="Eindige verzameling – néerlandais" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Eindige verzameling" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="néerlandais" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Endelig_mengde" title="Endelig mengde – norvégien bokmål" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Endelig mengde" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="norvégien bokmål" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Zbi%C3%B3r_sko%C5%84czony" title="Zbiór skończony – polonais" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Zbiór skończony" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="polonais" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_finito" title="Conjunto finito – portugais" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Conjunto finito" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugais" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Mul%C8%9Bime_finit%C4%83" title="Mulțime finită – roumain" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Mulțime finită" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="roumain" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE" title="Конечное множество – russe" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Конечное множество" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="russe" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Kona%C4%8Dni_i_beskona%C4%8Dni_skupovi" title="Konačni i beskonačni skupovi – serbo-croate" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Konačni i beskonačni skupovi" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="serbo-croate" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-si mw-list-item"><a href="https://si.wikipedia.org/wiki/%E0%B6%B4%E0%B6%BB%E0%B7%92%E0%B6%B8%E0%B7%92%E0%B6%AD_%E0%B6%9A%E0%B7%94%E0%B6%BD%E0%B6%9A%E0%B6%BA" title="පරිමිත කුලකය – cingalais" lang="si" hreflang="si" data-title="පරිමිත කුලකය" data-language-autonym="සිංහල" data-language-local-name="cingalais" class="interlanguage-link-target"><span>සිංහල</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Finite_set" title="Finite set – Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Finite set" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Kone%C4%8Dn%C3%A1_mno%C5%BEina" title="Konečná množina – slovaque" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Konečná množina" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="slovaque" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Kon%C4%8Dna_mno%C5%BEica" title="Končna množica – slovène" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Končna množica" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="slovène" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-so mw-list-item"><a href="https://so.wikipedia.org/wiki/Urur_kooban" title="Urur kooban – somali" lang="so" hreflang="so" data-title="Urur kooban" data-language-autonym="Soomaaliga" data-language-local-name="somali" class="interlanguage-link-target"><span>Soomaaliga</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/%C3%84ndlig_m%C3%A4ngd" title="Ändlig mängd – suédois" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Ändlig mängd" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="suédois" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%8B%E0%B8%95%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%81%E0%B8%B1%E0%B8%94" title="เซตจำกัด – thaï" lang="th" hreflang="th" data-title="เซตจำกัด" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="thaï" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BA%D1%96%D0%BD%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D0%BD%D0%B0" title="Скінченна множина – ukrainien" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Скінченна множина" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ukrainien" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/T%E1%BA%ADp_h%E1%BB%A3p_h%E1%BB%AFu_h%E1%BA%A1n" title="Tập hợp hữu hạn – vietnamien" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Tập hợp hữu hạn" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vietnamien" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E9%9B%86%E5%90%88" title="有限集合 – chinois" lang="zh" hreflang="zh" data-title="有限集合" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chinois" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E9%9B%86%E5%90%88" title="有限集合 – cantonais" lang="yue" hreflang="yue" data-title="有限集合" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="cantonais" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q272404#sitelinks-wikipedia" title="Modifier les liens interlangues" class="wbc-editpage">Modifier les liens</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Espaces de noms"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Ensemble_fini" title="Voir le contenu de la page [c]" accesskey="c"><span>Article</span></a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Discussion:Ensemble_fini" rel="discussion" title="Discussion au sujet de cette page de contenu [t]" accesskey="t"><span>Discussion</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Modifier la variante de langue" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">français</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="Affichages"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Ensemble_fini"><span>Lire</span></a></li><li id="ca-ve-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Ensemble_fini&veaction=edit" title="Modifier cette page [v]" accesskey="v"><span>Modifier</span></a></li><li id="ca-edit" class="collapsible vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Ensemble_fini&action=edit" title="Modifier le wikicode de cette page [e]" accesskey="e"><span>Modifier le code</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Ensemble_fini&action=history" title="Historique des versions de cette page [h]" accesskey="h"><span>Voir l’historique</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Outils de la page"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Outils" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">Outils</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Outils</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">déplacer vers la barre latérale</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">masquer</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Plus d’options" > <div class="vector-menu-heading"> Actions </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/Ensemble_fini"><span>Lire</span></a></li><li id="ca-more-ve-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Ensemble_fini&veaction=edit" title="Modifier cette page [v]" accesskey="v"><span>Modifier</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Ensemble_fini&action=edit" title="Modifier le wikicode de cette page [e]" accesskey="e"><span>Modifier le code</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Ensemble_fini&action=history"><span>Voir l’historique</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Général </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Pages_li%C3%A9es/Ensemble_fini" title="Liste des pages liées qui pointent sur celle-ci [j]" accesskey="j"><span>Pages liées</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Suivi_des_liens/Ensemble_fini" rel="nofollow" title="Liste des modifications récentes des pages appelées par celle-ci [k]" accesskey="k"><span>Suivi des pages liées</span></a></li><li id="t-upload" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Aide:Importer_un_fichier" title="Téléverser des fichiers [u]" accesskey="u"><span>Téléverser un fichier</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Pages_sp%C3%A9ciales" title="Liste de toutes les pages spéciales [q]" accesskey="q"><span>Pages spéciales</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Ensemble_fini&oldid=218462518" title="Adresse permanente de cette version de cette page"><span>Lien permanent</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Ensemble_fini&action=info" title="Davantage d’informations sur cette page"><span>Informations sur la page</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:Citer&page=Ensemble_fini&id=218462518&wpFormIdentifier=titleform" title="Informations sur la manière de citer cette page"><span>Citer cette page</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:UrlQ%C4%B1sald%C4%B1c%C4%B1s%C4%B1&url=https%3A%2F%2Ffr.wikipedia.org%2Fwiki%2FEnsemble_fini"><span>Obtenir l'URL raccourcie</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:QrKodu&url=https%3A%2F%2Ffr.wikipedia.org%2Fwiki%2FEnsemble_fini"><span>Télécharger le code QR</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> Imprimer / exporter </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:Livre&bookcmd=book_creator&referer=Ensemble+fini"><span>Créer un livre</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:DownloadAsPdf&page=Ensemble_fini&action=show-download-screen"><span>Télécharger comme PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Ensemble_fini&printable=yes" title="Version imprimable de cette page [p]" accesskey="p"><span>Version imprimable</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> Dans d’autres projets </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q272404" title="Lien vers l’élément dans le dépôt de données connecté [g]" accesskey="g"><span>Élément Wikidata</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Outils de la page"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Apparence"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Apparence</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">déplacer vers la barre latérale</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">masquer</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="fr" dir="ltr"><div class="bandeau-container metadata bandeau-article bandeau-niveau-neutre" style="border-color:#9932cc; background-color:#f9f2fc;"><div class="bandeau-cell bandeau-icone" style="display:table-cell;padding-right:0.5em"><span class="noviewer" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Fichier:Merge-arrows.svg" class="mw-file-description"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/52/Merge-arrows.svg/45px-Merge-arrows.svg.png" decoding="async" width="45" height="18" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/52/Merge-arrows.svg/68px-Merge-arrows.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/52/Merge-arrows.svg/90px-Merge-arrows.svg.png 2x" data-file-width="50" data-file-height="20" /></a></span></div><div class="bandeau-cell" style="display:table-cell;padding-right:0.5em"> <p class="bandeau-titre"><b>Une proposition de fusion est en cours entre <a href="/wiki/Ensemble_fini_au_sens_de_Tarski" title="Ensemble fini au sens de Tarski">Ensemble fini au sens de Tarski</a> et <a class="mw-selflink-fragment" href="#Les_définitions_de_Tarski_et_de_Russell-Whitehead">Ensemble fini#Les définitions de Tarski et de Russell-Whitehead</a>.</b></p> Les avis sur cette proposition sont rassemblés dans une <b><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Pages_%C3%A0_fusionner#Ensemble_fini_au_sens_de_Tarski_et_Ensemble_fini#Les_définitions_de_Tarski_et_de_Russell-Whitehead" title="Wikipédia:Pages à fusionner">section de Wikipédia:Pages à fusionner</a></b>. Les modifications majeures apportées, entre-temps, aux articles doivent être commentées sur la même page.<p class="mw-empty-elt"></p> </div><div><div class="NavFrame" title="À faire après la pose du bandeau" style="border-style:none;padding:0;font-size:90%;"> <div class="NavHead" style="background-color:transparent; color:inherit; padding-right:5px; text-align:right;"> <p><span typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3f/Logo_informations.svg/16px-Logo_informations.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3f/Logo_informations.svg/24px-Logo_informations.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3f/Logo_informations.svg/32px-Logo_informations.svg.png 2x" data-file-width="452" data-file-height="452" /></span></span> </p> </div> <div class="NavContent" style="display:none; text-align:left;"> <p><i>Vous venez d’apposer le modèle <a href="/wiki/Mod%C3%A8le:%C3%80_fusionner" title="Modèle:À fusionner">{{à fusionner}}</a>, suivez ces étapes :</i> </p> <table style="width:100%; border-spacing:10px 5px; table-layout:fixed;"> <tbody><tr> <th scope="row" style="width:1em;">1.</th> <td class="plainlinks" style="width:35%; padding:4px; border:1px solid #0088BB; background-color:#E8F3FF;"> <p>Apposez le bandeau sur les <b>autres pages à fusionner</b> : </p> <ul><li><a class="external text" href="https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Ensemble_fini_au_sens_de_Tarski&action=edit&section=0&summary=%5B%5BWP:PàF%7CProposition%20de%20fusion%5D%5D#editform">Ensemble fini au sens de Tarski</a></li> <li><a class="external text" href="https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Ensemble_fini&action=edit&section=0&summary=%5B%5BWP:PàF%7CProposition%20de%20fusion%5D%5D#editform#Les_définitions_de_Tarski_et_de_Russell-Whitehead">Ensemble fini#Les définitions de Tarski et de Russell-Whitehead</a></li></ul> </td> <td> <p>Utilisez ce texte : <code style="display:block; padding:1em; line-height:1.3em;">{{à fusionner |Ensemble fini au sens de Tarski |Ensemble fini#Les définitions de Tarski et de Russell-Whitehead}}</code> </p> </td> </tr> <tr> <th scope="row">2.</th> <td class="plainlinks" style="padding:4px; border:1px solid #0088BB; background-color:#E8F3FF;"> <p><u>Important</u> : ajoutez une section dans <b><a class="external text" href="https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Wikip%C3%A9dia:Pages_%C3%A0_fusionner&action=edit&section=new&preload=Wikipédia:Pages%20à%20fusionner/preload&preloadtitle=%5B%5BEnsemble%20fini%20au%20sens%20de%20Tarski%5D%5D%20et%20%5B%5BEnsemble%20fini%23Les%20d%C3%A9finitions%20de%20Tarski%20et%20de%20Russell-Whitehead%5D%5D">Pages à fusionner</a></b> en motivant votre proposition. </p> </td> <td> <p>Pour créer la section : </p><p><span class="plainlinks" style=""><a class="external text" href="https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Wikip%C3%A9dia:Pages_%C3%A0_fusionner&action=edit&section=new&dtpreload=1&preload=Wikipédia:Pages_à_fusionner/preload&preloadtitle=%5B%5BEnsemble%20fini%20au%20sens%20de%20Tarski%5D%5D%20et%20%5B%5BEnsemble%20fini%23Les%20d%C3%A9finitions%20de%20Tarski%20et%20de%20Russell-Whitehead%5D%5D"><span class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--action-progressive cdx-button--weight-primary" style="white-space:break-spaces; text-align:center;" role="button">Créer la section sur la page des <i>Pages à fusionner</i></span></a></span> </p> </td> </tr> <tr> <th scope="row">3.</th> <td class="plainlinks" style="padding:4px; border:1px solid #0088BB; background-color:#E8F3FF;"> <p>Pensez à informer les <b><a class="external text" href="https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Ensemble_fini&action=history">contributeurs principaux de la page</a></b> et les <b><a href="/wiki/Projet:Accueil" title="Projet:Accueil">projets associés</a></b> lorsque cela est possible. </p> </td> <td> <p>Utilisez ce texte : <code style="display:block; padding:1em; line-height:1.3em;">{{subst:Avertissement fusion |Ensemble fini au sens de Tarski |Ensemble fini#Les définitions de Tarski et de Russell-Whitehead}}</code> </p> </td> </tr> </tbody></table> </div> </div></div></div> <p>En <a href="/wiki/Math%C3%A9matiques" title="Mathématiques">mathématiques</a>, un <b>ensemble fini</b> est un <a href="/wiki/Ensemble" title="Ensemble">ensemble</a> qui possède un nombre fini d'<a href="/wiki/Appartenance_(math%C3%A9matiques)" title="Appartenance (mathématiques)">éléments</a>, c'est-à-dire qu'il est possible de compter ses éléments, le résultat étant un nombre entier. Un <a href="/wiki/Ensemble_infini" title="Ensemble infini">ensemble infini</a> est un ensemble qui n'est pas fini. </p><p>Ainsi l'ensemble des <a href="/wiki/Chiffre" title="Chiffre">chiffres</a> usuels (en base dix) </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> <mn>4</mn> <mo>,</mo> <mn>5</mn> <mo>,</mo> <mn>6</mn> <mo>,</mo> <mn>7</mn> <mo>,</mo> <mn>8</mn> <mo>,</mo> <mn>9</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87e79c813bba1455d02d5f887975b42ac3b7adaf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.255ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}}"></span></dd></dl> <p>qui possède 10 éléments, est fini. De même l'ensemble des lettres de l'alphabet qui possède 26 éléments. </p><p>L'ensemble de tous les nombres <a href="/wiki/Entier_naturel" title="Entier naturel">entiers naturels</a> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{0,1,2,3,\ldots ,10,\ldots ,100,\ldots \}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mn>10</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mn>100</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{0,1,2,3,\ldots ,10,\ldots ,100,\ldots \}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5760fb24a90c4b6c07caa37000e5e6a0335f9d9d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.002ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{0,1,2,3,\ldots ,10,\ldots ,100,\ldots \}}"></span></dd></dl> <p>est, lui, infini : on peut toujours aller au-delà d'un nombre entier. De même, l'ensemble de tous les mots que l'on peut former avec les 26 lettres de l'alphabet, sans se préoccuper de leur signification, et sans restreindre leur longueur, est lui aussi infini. </p><p>Plus formellement, un ensemble <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}"></span> est dit <i>fini</i> s'il existe un entier naturel <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> et une <a href="/wiki/Bijection" title="Bijection">bijection</a> entre <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}"></span> et l'ensemble des entiers naturels strictement plus petits que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span>. Cet entier <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span>, qui est alors unique, est appelé le <i>nombre d'éléments</i>, ou <a href="/wiki/Cardinalit%C3%A9_(math%C3%A9matiques)#Cardinal_d'un_ensemble_fini" title="Cardinalité (mathématiques)"><i>cardinal</i>, de l'ensemble fini</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}"></span>. Établir une telle bijection revient à étiqueter les éléments de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}"></span> avec les entiers de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}"></span> à <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n-1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n-1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbd0b0f32b28f51962943ee9ede4fb34198a2521" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.398ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle n-1}"></span> ou, ce qui revient au même, avec les entiers de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}"></span> à <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span>. </p><p>Une propriété importante des ensembles finis est donnée par le <a href="/wiki/Principe_des_tiroirs" title="Principe des tiroirs">principe des tiroirs</a> de <a href="/wiki/Johann_Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlet" title="Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet">Dirichlet</a> : une fonction d'un ensemble fini dans un ensemble fini de cardinal strictement inférieur ne peut être <a href="/wiki/Injection_(math%C3%A9matiques)" title="Injection (mathématiques)">injective</a>. Cette propriété est utile en particulier en <a href="/wiki/Combinatoire" title="Combinatoire">combinatoire</a>, qui plus généralement étudie les structures finies. </p><p>La définition d'ensemble fini fait référence aux entiers naturels, mais certains mathématiciens et logiciens ont souhaité <a href="/wiki/Fondements_des_math%C3%A9matiques" title="Fondements des mathématiques">fonder les mathématiques</a> sur la notion d'ensemble, qui leur semblait plus primitive. Des définitions d'ensemble fini ou d'ensemble infini ont été proposées, qui ne faisaient pas référence aux entiers. La première d'entre elles est celle de <a href="/wiki/Richard_Dedekind" title="Richard Dedekind">Dedekind</a><sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite_crochet">[</span>1<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>, qui s'appuie sur le principe des tiroirs : un ensemble est fini au sens de Dedekind s'il ne peut pas être mis en bijection avec l'une de ses <a href="/wiki/Inclusion_(math%C3%A9matiques)" title="Inclusion (mathématiques)">parties</a> propres. Mais les ensembles finis au sens de Dedekind ne sont finis au sens usuel que dans une <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_des_ensembles" title="Théorie des ensembles">théorie des ensembles</a> munie d'une forme faible de l'<a href="/wiki/Axiome_du_choix" title="Axiome du choix">axiome du choix</a>. </p><p>Les développements de la théorie des ensembles, après sa première axiomatisation par <a href="/wiki/Ernst_Zermelo" title="Ernst Zermelo">Ernst Zermelo</a>, ont permis ensuite de définir les entiers dans celle-ci, et donc la définition donnée en termes d'entiers peut se voir finalement comme une définition purement ensembliste. Par ailleurs, d'autres caractérisations d'ensemble fini ont été données, comme celle d'<a href="/wiki/Alfred_Tarski" title="Alfred Tarski">Alfred Tarski</a>, dont l'équivalence avec la définition usuelle n'utilise pas l'axiome du choix. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Cardinal_d'un_ensemble_fini"><span id="Cardinal_d.27un_ensemble_fini"></span>Cardinal d'un ensemble fini</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Ensemble_fini&veaction=edit&section=1" title="Modifier la section : Cardinal d'un ensemble fini" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Ensemble_fini&action=edit&section=1" title="Modifier le code source de la section : Cardinal d'un ensemble fini"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Définitions"><span id="D.C3.A9finitions"></span>Définitions</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Ensemble_fini&veaction=edit&section=2" title="Modifier la section : Définitions" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Ensemble_fini&action=edit&section=2" title="Modifier le code source de la section : Définitions"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Pour tout entier naturel <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span>, on va noter, dans ce paragraphe et les suivants, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N_{n}=\{x\in \mathbb {N} \mid x<n\}=\{0,\ldots ,n-1\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>N</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mo>∣</mo> <mi>x</mi> <mo><</mo> <mi>n</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N_{n}=\{x\in \mathbb {N} \mid x<n\}=\{0,\ldots ,n-1\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07eba1c8040bdf5dfa4e9d0f9e1963b691ed39e5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:39.278ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N_{n}=\{x\in \mathbb {N} \mid x<n\}=\{0,\ldots ,n-1\}}"></span> l'ensemble des <i>n</i> premiers entiers naturels (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {N} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {N} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdf9a96b565ea202d0f4322e9195613fb26a9bed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {N} }"></span> désigne l'ensemble des entiers naturels). On dit que </p> <blockquote style="width:90%; border-left: solid #D0D0D0 1px; padding-left:1em;"> <p><i>E est un ensemble fini de cardinal n</i>, quand <i>E</i> est <a href="/wiki/%C3%89quipotence" title="Équipotence">équipotent</a> à N<sub><i>n</i></sub>, c'est-à-dire en <a href="/wiki/Bijection" title="Bijection">bijection</a> avec cet ensemble.</p></blockquote><p> En particulier, l'<a href="/wiki/Ensemble_vide" title="Ensemble vide">ensemble vide</a> est l'unique ensemble fini de cardinal 0. Pour <i>n</i> non nul, il est équivalent de dire que <i>E</i> est équipotent à l'ensemble {1, … , <i>n</i>} des <i>n</i> premiers entiers naturels non nuls. </p><p>On dit aussi de <i>n</i> que c'est le nombre des éléments de <i>E</i>, ou (en <a href="/wiki/Statistique" title="Statistique">statistique</a>, en <a href="/wiki/D%C3%A9mographie" title="Démographie">démographie</a>, <abbr class="abbr" title="et cetera">etc.</abbr>) son <i>effectif</i>. </p><p>Cette notion est stable par équipotence : un ensemble en bijection avec un ensemble fini de cardinal <i>n</i> est lui-même fini de cardinal <i>n</i>, la composée de deux bijections étant une bijection. </p><p>On dit alors que </p> <blockquote style="width:90%; border-left: solid #D0D0D0 1px; padding-left:1em;"> <p><i>E est un ensemble fini</i> quand il existe un entier naturel <i>n</i> tel que <i>E</i> soit fini de cardinal <i>n</i>.</p></blockquote> <p>Un ensemble qui n'est pas fini est dit <a href="/wiki/Ensemble_infini" title="Ensemble infini">infini</a>. On va voir que la classe des ensembles finis est stable par les opérations usuelles de la <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_des_ensembles" title="Théorie des ensembles">théorie des ensembles</a> : on ne peut introduire d'ensemble infini par ces opérations, sauf à utiliser un ensemble dont on sait déjà qu'il est infini. </p><p>Mais il est plus commode de montrer d'abord les propriétés les plus évidentes des ensembles finis et de leurs cardinaux, en particulier l'unicité du cardinal c'est-à-dire, pour un ensemble <i>E</i> fini, l'unicité de l'entier <i>n</i> tel que <i>E</i> est équipotent à N<sub><i>n</i></sub>. Cette unicité, qui permet de parler <i>du</i> <a href="/wiki/Cardinalit%C3%A9_(math%C3%A9matiques)#Cardinal_d'un_ensemble_fini" title="Cardinalité (mathématiques)">cardinal d'un ensemble fini</a> <i>E</i>, est l'objet du paragraphe suivant. </p><p>La définition d'ensemble fini choisie présuppose l'existence (ou la définition ensembliste) des entiers, et l'on utilise dans la suite, en plus des propriétés fondamentales comme la <a href="/wiki/Raisonnement_par_r%C3%A9currence" title="Raisonnement par récurrence">récurrence</a>, quelques propriétés arithmétiques élémentaires, à commencer par celles de la <a href="/wiki/Relation_d%27ordre" title="Relation d'ordre">relation d'ordre</a> usuelle. </p><p><span id="Comparaison_des_cardinaux_et_unicité"></span> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Unicité_du_cardinal"><span id="Unicit.C3.A9_du_cardinal"></span>Unicité du cardinal</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Ensemble_fini&veaction=edit&section=3" title="Modifier la section : Unicité du cardinal" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Ensemble_fini&action=edit&section=3" title="Modifier le code source de la section : Unicité du cardinal"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Le premier objectif est de montrer l'unicité du cardinal d'un ensemble fini. Pour cela, on démontre le lemme suivant, dont l'énoncé ne présuppose pas cette unicité. </p><p><b>Lemme. — </b><i>S'il existe une <a href="/wiki/Injection_(math%C3%A9matiques)" title="Injection (mathématiques)">injection</a> d'un ensemble fini de cardinal <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}"></span> dans un ensemble fini de cardinal <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> alors <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p\leqslant n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> <mo>⩽</mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p\leqslant n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed11cffdecf083130ae3de64d0003ef73e226899" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:5.752ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle p\leqslant n}"></span>.</i> </p><p><a href="/wiki/%C3%80_quelque_chose_pr%C3%A8s" title="À quelque chose près">À bijection près</a>, il s'agit simplement de démontrer que s'il existe une injection de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N_{p}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>N</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N_{p}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fb238cb4527a90799df004d5b6879317369a4cb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.925ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N_{p}}"></span> dans <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>N</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N_{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1726319d75a0531be1b14f4f9a0c3bee00b786a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.085ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle N_{n}}"></span> alors <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p\leqslant n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> <mo>⩽</mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p\leqslant n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed11cffdecf083130ae3de64d0003ef73e226899" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:5.752ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle p\leqslant n}"></span>. On peut le prouver par récurrence sur <i>n</i><sup id="cite_ref-Wikiversité_2-0" class="reference"><a href="#cite_note-Wikiversité-2"><span class="cite_crochet">[</span>2<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p><p>Ce lemme peut être vu comme une formulation du <a href="/wiki/Principe_des_tiroirs" title="Principe des tiroirs">principe des tiroirs</a> de <a href="/wiki/Johann_Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlet" title="Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet">Dirichlet</a>, dont l'énoncé usuel est plutôt la <a href="/wiki/Contrapos%C3%A9e" class="mw-redirect" title="Contraposée">contraposée</a> : </p> <center>Une application d'un ensemble de cardinal <i>p</i> dans un ensemble de cardinal <i>n</i> < <i>p</i> ne peut pas être injective. </center> <p>On en déduit immédiatement l'unicité du cardinal. En effet, si un ensemble est à la fois de cardinal <i>n</i> et <i>p</i> alors, d'après le lemme, <i>p</i> ≤ <i>n</i> et <i>n</i> ≤ <i>p</i>. </p><p><b>Proposition. —</b> <i>Si E est un ensemble fini, alors il existe un unique entier naturel n tel que E soit de cardinal n</i>. </p><p>Cet entier est appelé le <i>cardinal</i> de <i>E</i> (ou son <i>nombre d'éléments</i>), et on le note dans la suite de cet article card <i>E</i> (la notation pour le cardinal varie suivant les ouvrages, on trouve <i>n</i> = card(<i>E</i>), <i>n</i> = <b>#</b><i>E</i>, <i>n</i> = <b>|</b><i>E</i><b>|</b>, ou même la notation originelle de <a href="/wiki/Georg_Cantor" title="Georg Cantor">Georg Cantor</a> <i>n</i> = <span style="border-top: 4px double;"><i>E</i></span>). </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Comparaison_des_cardinaux">Comparaison des cardinaux</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Ensemble_fini&veaction=edit&section=4" title="Modifier la section : Comparaison des cardinaux" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Ensemble_fini&action=edit&section=4" title="Modifier le code source de la section : Comparaison des cardinaux"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Si <i>E</i> est un ensemble fini de cardinal <i>n</i>, alors toute partie de <i>E</i> et toute <a href="/wiki/Image_d%27une_application" title="Image d'une application">image</a> de <i>E</i> (par une application) est un ensemble fini, de cardinal inférieur ou égal à <i>n</i>. Ou, ce qui est équivalent : </p><p><span id="Cardinal_de_l'image_d'un_ensemble_fini"></span> <b>Proposition<sup id="cite_ref-Wikiversité_2-1" class="reference"><a href="#cite_note-Wikiversité-2"><span class="cite_crochet">[</span>2<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. —</b> <i>Soient E un ensemble fini et F un ensemble quelconque. S'il existe une injection de F dans E ou une <a href="/wiki/Surjection" title="Surjection">surjection</a> de E dans F, alors F est fini et</i> card <i>F</i> ≤ card <i>E</i>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Clôture_sous_les_opérations_usuelles"><span id="Cl.C3.B4ture_sous_les_op.C3.A9rations_usuelles"></span>Clôture sous les opérations usuelles</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Ensemble_fini&veaction=edit&section=5" title="Modifier la section : Clôture sous les opérations usuelles" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Ensemble_fini&action=edit&section=5" title="Modifier le code source de la section : Clôture sous les opérations usuelles"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Une première remarque est que, comme tout sous-ensemble d'un ensemble fini est fini, on obtient directement la clôture par toute opération qui conduit à construire un sous-ensemble d'un des ensembles d'origine, comme l'<a href="/wiki/Intersection_(math%C3%A9matiques)" title="Intersection (mathématiques)">intersection</a>, ou la différence ensembliste. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Union">Union</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Ensemble_fini&veaction=edit&section=6" title="Modifier la section : Union" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Ensemble_fini&action=edit&section=6" title="Modifier le code source de la section : Union"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La <a href="/wiki/Union_(math%C3%A9matiques)" title="Union (mathématiques)">réunion</a> de deux ensembles finis <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}"></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}"></span> est finie, et </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\text{card}}(E\cup F)={\text{card}}\;E+{\text{card}}\;F-{\text{card}}(E\cap F)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>card</mtext> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>E</mi> <mo>∪</mo> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>card</mtext> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>E</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>card</mtext> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>F</mi> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>card</mtext> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>E</mi> <mo>∩</mo> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{card}}(E\cup F)={\text{card}}\;E+{\text{card}}\;F-{\text{card}}(E\cap F)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a431eb10f2bde7cf62bec2121883614987b0f58d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:46.998ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\text{card}}(E\cup F)={\text{card}}\;E+{\text{card}}\;F-{\text{card}}(E\cap F)}"></span></dd></dl> <p>On en déduit par récurrence qu'une réunion finie d'ensembles finis est finie. La formule obtenue pour le cardinal de la réunion se généralise. </p> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Principe_d%27inclusion-exclusion" title="Principe d'inclusion-exclusion">Principe d'inclusion-exclusion</a>.</div></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Produit_cartésien"><span id="Produit_cart.C3.A9sien"></span>Produit cartésien</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Ensemble_fini&veaction=edit&section=7" title="Modifier la section : Produit cartésien" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Ensemble_fini&action=edit&section=7" title="Modifier le code source de la section : Produit cartésien"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Si <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}"></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}"></span> sont finis, de cardinaux respectifs <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}"></span>, leur <a href="/wiki/Produit_cart%C3%A9sien" title="Produit cartésien">produit cartésien</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E\times F}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mo>×</mo> <mi>F</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E\times F}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea8736b40a0533aa9bc44eb0e8525b39459bdc2f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.357ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E\times F}"></span> est fini de cardinal <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle np}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle np}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d6eb41e0e5e136f594b1a703d2f371d9a5e0c27" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.564ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle np}"></span><sup id="cite_ref-Wikiversité_2-2" class="reference"><a href="#cite_note-Wikiversité-2"><span class="cite_crochet">[</span>2<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ensemble_des_applications_d'un_ensemble_fini_dans_un_ensemble_fini"><span id="Ensemble_des_applications_d.27un_ensemble_fini_dans_un_ensemble_fini"></span>Ensemble des applications d'un ensemble fini dans un ensemble fini</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Ensemble_fini&veaction=edit&section=8" title="Modifier la section : Ensemble des applications d'un ensemble fini dans un ensemble fini" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Ensemble_fini&action=edit&section=8" title="Modifier le code source de la section : Ensemble des applications d'un ensemble fini dans un ensemble fini"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>On déduit de la propriété précédente<sup id="cite_ref-Wikiversité_2-3" class="reference"><a href="#cite_note-Wikiversité-2"><span class="cite_crochet">[</span>2<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> que l'ensemble des <a href="/wiki/Application_(math%C3%A9matiques)" title="Application (mathématiques)">applications</a> d'un ensemble fini de cardinal <i>n</i> dans un ensemble fini de cardinal <i>p</i>, est un ensemble fini de cardinal <i>p<sup>n</sup></i>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ensemble_des_parties">Ensemble des parties</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Ensemble_fini&veaction=edit&section=9" title="Modifier la section : Ensemble des parties" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Ensemble_fini&action=edit&section=9" title="Modifier le code source de la section : Ensemble des parties"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>L'<a href="/wiki/Ensemble_des_parties_d%27un_ensemble" title="Ensemble des parties d'un ensemble">ensemble des parties</a> <i>P</i>(<i>E</i>) d'un ensemble fini <i>E</i> de cardinal <i>n</i> est un ensemble fini de cardinal 2<sup><i>n</i></sup>. </p><p>C'est le cas particulier <i>p</i> = 2 de la propriété précédente, via la bijection entre l'ensemble des parties de <i>E</i> et l'ensemble des applications de <i>E</i> dans {0, 1} qui associe à chaque partie de <i>E</i> sa <a href="/wiki/Fonction_caract%C3%A9ristique_(th%C3%A9orie_des_ensembles)" title="Fonction caractéristique (théorie des ensembles)">fonction caractéristique</a><sup id="cite_ref-Wikiversité_2-4" class="reference"><a href="#cite_note-Wikiversité-2"><span class="cite_crochet">[</span>2<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Axiomatisation">Axiomatisation</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Ensemble_fini&veaction=edit&section=10" title="Modifier la section : Axiomatisation" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Ensemble_fini&action=edit&section=10" title="Modifier le code source de la section : Axiomatisation"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Diverses_caractérisations_des_ensembles_finis"><span id="Diverses_caract.C3.A9risations_des_ensembles_finis"></span>Diverses caractérisations des ensembles finis</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Ensemble_fini&veaction=edit&section=11" title="Modifier la section : Diverses caractérisations des ensembles finis" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Ensemble_fini&action=edit&section=11" title="Modifier le code source de la section : Diverses caractérisations des ensembles finis"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Les_entiers_et_les_bons_ordres">Les entiers et les bons ordres</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Ensemble_fini&veaction=edit&section=12" title="Modifier la section : Les entiers et les bons ordres" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Ensemble_fini&action=edit&section=12" title="Modifier le code source de la section : Les entiers et les bons ordres"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Si l'on reprend la définition d'ensemble fini en <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_des_ensembles" title="Théorie des ensembles">théorie des ensembles</a> d'un point de vue plus axiomatique, elle repose sur la définition qu'on y donne des entiers. Dans la théorie de Zermelo ou de <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_des_ensembles_de_Zermelo-Fraenkel" title="Théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel">Zermelo-Fraenkel</a>, l'ensemble des entiers naturels, noté ω, est le plus petit ensemble auquel appartient 0 et clos par successeur, où 0 est l'ensemble vide et le successeur d'un ensemble <i>x</i> est l'ensemble obtenu en lui ajoutant <i>x</i> comme élément : le successeur de <i>x</i> est <i>x</i> ∪ {<i>x</i>}. On montre que l'ensemble des entiers naturels est bien ordonné par l'appartenance (comme ordre strict), et donc ses éléments, qui sont aussi des sous-ensembles, le sont aussi. L'ordre large correspondant est l'<a href="/wiki/Inclusion_(math%C3%A9matiques)" title="Inclusion (mathématiques)">inclusion ensembliste</a>. </p> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Axiome_de_l%27infini" title="Axiome de l'infini">Axiome de l'infini</a>.</div></div> <p>Une caractérisation plus directe, et qui ne nécessite pas l'axiome de l'infini, est de définir les entiers comme les <a href="/wiki/Nombre_ordinal#Propriétés" title="Nombre ordinal">ordinaux finis</a> : </p> <dl><dd><i>Un ordinal est fini quand tout ordinal non nul qui lui est inférieur ou égal a un prédécesseur<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite_crochet">[</span>3<span class="cite_crochet">]</span></a></sup></i></dd></dl> <p>ou, ce qui est équivalent<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite_crochet">[</span>4<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>, quand toute partie non vide de cet ordinal admet un plus grand élément, autrement dit : </p> <dl><dd><i>Un ordinal est fini quand son <a href="/wiki/Ordre_oppos%C3%A9" class="mw-redirect" title="Ordre opposé">ordre opposé</a> est un <a href="/wiki/Bon_ordre" class="mw-redirect" title="Bon ordre">bon ordre</a>.</i></dd></dl> <p>On appellera dans la suite <i>entiers de von Neumann</i> les ordinaux finis. En présence de l'axiome de l'infini (déjà dans la théorie de Zermelo), <a href="/wiki/Axiome_de_l%27infini#Ordre" title="Axiome de l'infini">ce sont les éléments de ω</a>. </p><p>Tout ensemble fini, c'est-à-dire en bijection avec un entier de von Neumann, est muni, en transférant l'ordre par la bijection, d'un bon ordre dont l'opposé est un bon ordre. Réciproquement, tout ensemble muni d'un tel ordre est fini, car tout bon ordre est <a href="/wiki/Isomorphisme_d%27ordres" class="mw-redirect" title="Isomorphisme d'ordres">isomorphe</a> à un ordinal. Par conséquent : </p> <dl><dd><i>Un ensemble est fini si et seulement s'il existe un bon ordre sur celui-ci dont l'ordre opposé est aussi un bon ordre</i><sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite_crochet">[</span>5<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>.</dd></dl> <p>Tous les <a href="/wiki/Ordre_total" title="Ordre total">ordres totaux</a> sur un ensemble fini étant isomorphes, on en déduit : </p> <dl><dd><i>Un ensemble bien ordonné est fini si et seulement si l'ordre opposé est aussi un bon ordre</i>.</dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Les_définitions_de_Tarski_et_de_Russell-Whitehead"><span id="Les_d.C3.A9finitions_de_Tarski_et_de_Russell-Whitehead"></span>Les définitions de Tarski et de Russell-Whitehead</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Ensemble_fini&veaction=edit&section=13" title="Modifier la section : Les définitions de Tarski et de Russell-Whitehead" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Ensemble_fini&action=edit&section=13" title="Modifier le code source de la section : Les définitions de Tarski et de Russell-Whitehead"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/Alfred_Tarski" title="Alfred Tarski">Alfred Tarski</a> a donné en 1924<sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6"><span class="cite_crochet">[</span>6<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> une définition des ensembles finis (reprise dans certains ouvrages plus récents<sup id="cite_ref-7" class="reference"><a href="#cite_note-7"><span class="cite_crochet">[</span>7<span class="cite_crochet">]</span></a></sup><sup class="reference cite_virgule">,</sup><sup id="cite_ref-8" class="reference"><a href="#cite_note-8"><span class="cite_crochet">[</span>8<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>) qui ne réfère pas à une définition préalable des entiers et qui s'avère équivalente à la précédente dans une théorie des ensembles sans <a href="/wiki/Axiome_du_choix" title="Axiome du choix">axiome du choix</a> : </p> <dl><dd><i>Un ensemble E est fini au sens de Tarski quand toute famille non vide de parties de E admet un <a href="/wiki/%C3%89l%C3%A9ment_minimal" class="mw-redirect" title="Élément minimal">élément minimal</a> pour l'inclusion</i>,</dd></dl> <p>ou encore (par passage aux <a href="/wiki/Compl%C3%A9mentaire_(th%C3%A9orie_des_ensembles)" title="Complémentaire (théorie des ensembles)">complémentaires</a>) quand toute famille non vide de parties de <i>E</i> admet un <a href="/wiki/%C3%89l%C3%A9ment_maximal" title="Élément maximal">élément maximal</a> pour l'inclusion. </p><p>Cette définition est équivalente à une caractérisation inductive des ensembles finis, donnée par <a href="/wiki/Bertrand_Russell" title="Bertrand Russell">Russell</a> et <a href="/wiki/Alfred_North_Whitehead" title="Alfred North Whitehead">Whitehead</a> dans le volume II (1912) des <i><a href="/wiki/Principia_Mathematica" title="Principia Mathematica">Principia Mathematica</a></i><sup id="cite_ref-9" class="reference"><a href="#cite_note-9"><span class="cite_crochet">[</span>9<span class="cite_crochet">]</span></a></sup><sup class="reference cite_virgule">,</sup><sup id="cite_ref-10" class="reference"><a href="#cite_note-10"><span class="cite_crochet">[</span>10<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> : </p> <dl><dd><i>Un ensemble E est fini (au sens de Russell et Whitehead) quand E appartient à toute famille S de parties de E qui vérifie les deux conditions</i> : <ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \emptyset \in S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∅</mi> <mo>∈</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \emptyset \in S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e778e4e693236fff3b0cdb2aa53ba0aeec2b7f22" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.502ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \emptyset \in S}"></span> (<i>l'ensemble vide appartient à S</i>) ;</li> <li><i>Si</i> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\in S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>∈</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\in S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33595da71537a99612daee84dcaa1441b01fff26" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.083ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\in S}"></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in E}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>E</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in E}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30b1971b01bc31d5b816f03cc7e1d9215d6c2ad8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.946ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in E}"></span>, alors <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\cup \{x\}\in S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>∪</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>x</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>∈</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\cup \{x\}\in S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7e49003efc4096a9abad43f71642c3f70cfc3d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.32ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A\cup \{x\}\in S}"></span> (<i>si A appartient à S, toute partie obtenue en ajoutant un élément de E à A appartient également à S</i>).</li></ul></dd></dl> <p>On montre l'équivalence entre les trois définitions données d'ensemble fini : en bijection avec un entier de von Neumann, fini au sens de Tarski, fini au sens de Russell-Whitehead, et ceci dans une théorie des ensembles faible (la théorie de Zermelo sans l'axiome de l'infini), en particulier sans l'axiome du choix. </p> <div class="NavFrame" style="border: thin solid #aaaaaa; margin:1em 2em; padding: 0 1em; font-size:100%; text-align:justify; overflow:hidden;"> <div class="NavHead" style="background-color:transparent; color:inherit; padding:0;">Preuve de l'équivalence entre les trois définitions</div><div class="NavContent" style="padding-bottom:0.4em"> <p>Montrons d'abord, <a href="/wiki/Raisonnement_par_r%C3%A9currence" title="Raisonnement par récurrence">par récurrence</a>, que tout entier de von Neumann <i>n</i> — donc aussi tout ensemble en bijection avec <i>n</i> — est fini au sens de Tarski. L'entier 0 (l'ensemble vide) est évidemment fini au sens de Tarski. Supposons maintenant que <i>n</i> = <i>m</i> ∪ {<i>m</i>} avec <i>m</i> fini au sens de Tarski, et soit <i>S</i> une famille de parties de <i>n</i>. Notons <i>S'</i> la sous-famille constituée des parties de <i>m</i> qui appartiennent à <i>S</i>, et <i>S"</i> la famille des parties <i>E</i> de <i>m</i> telles que <i>E</i> ∪ {<i>m</i>} appartient à <i>S</i>. Si <i>S</i> est non vide alors <i>S'</i> ou <i>S"</i> est non vide. Dans le premier cas, <i>S'</i> admet un élément minimal, qui est aussi minimal dans <i>S</i>. Dans le second cas, <i>S"</i> admet un élément minimal <i>E</i>, et <i>E</i> ∪ {<i>m</i>} est un élément minimal de <i>S</i>. </p><p>Montrons maintenant que si <i>E</i> est fini au sens de Tarski, alors <i>E</i> est fini au sens de Russell-Whitehead. Soit <i>S</i> une partie de <i>E</i> vérifiant les deux conditions de Russell-Whitehead. Comme ∅ ∈ <i>S</i>, <i>S</i> est non vide ; elle a donc un élément maximal <i>I</i>. D'après la seconde condition de Russell-Whitehead, <i>I</i> = <i>E</i>, c'est-à-dire que <i>E</i> appartient à <i>S</i>. </p><p>Enfin, pour tout ensemble <i>E</i>, l'ensemble <i>S</i> des parties finies de <i>E</i> (ses parties <a href="/wiki/%C3%89quipotence" title="Équipotence">équipotentes</a> à un entier de von Neumann) satisfait les deux conditions de Russell-Whitehead, donc si <i>E</i> est fini au sens de Russell-Whitehead alors il est équipotent à un entier de von Neumann. </p> </div><div class="clear" style="clear:both;"></div> </div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="La_définition_de_Dedekind"><span id="La_d.C3.A9finition_de_Dedekind"></span>La définition de Dedekind</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Ensemble_fini&veaction=edit&section=14" title="Modifier la section : La définition de Dedekind" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Ensemble_fini&action=edit&section=14" title="Modifier le code source de la section : La définition de Dedekind"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Un ensemble <i>E</i> est dit <a href="/w/index.php?title=Ensemble_infini_au_sens_de_Dedekind&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ensemble infini au sens de Dedekind (page inexistante)">fini au sens de Dedekind</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Dedekind-infinite_set" class="extiw" title="en:Dedekind-infinite set"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Dedekind-infinite set »">(en)</span></a> s'il ne peut pas être mis en <a href="/wiki/Bijection" title="Bijection">bijection</a> avec l'une de ses <a href="/wiki/Sous-ensemble_propre" class="mw-redirect" title="Sous-ensemble propre">parties propres</a> (ou encore : toute <a href="/wiki/Injection_(math%C3%A9matiques)" title="Injection (mathématiques)">injection</a> de <i>E</i> dans lui-même est <a href="/wiki/Surjection" title="Surjection">surjective</a>). <a href="/wiki/Richard_Dedekind" title="Richard Dedekind">Dedekind</a> est le premier à donner une définition des ensembles infinis, en 1888 dans <i>Was sind und was sollen die Zahlen</i>, et celle-ci revient à prendre le <a href="/wiki/Principe_des_tiroirs" title="Principe des tiroirs">principe des tiroirs</a> de Dirichlet comme caractérisation des ensembles finis<sup id="cite_ref-11" class="reference"><a href="#cite_note-11"><span class="cite_crochet">[</span>11<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p><p>Si <i>E</i> est fini (au sens utilisé précédemment, devenu le sens usuel), alors <i>E</i> est fini au sens de Dedekind, mais la réciproque n'est pas démontrable dans la <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_des_ensembles_de_Zermelo-Fraenkel" title="Théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel">théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel</a> sans <a href="/wiki/Axiome_du_choix" title="Axiome du choix">axiome du choix</a><sup id="cite_ref-Herrlich_12-0" class="reference"><a href="#cite_note-Herrlich-12"><span class="cite_crochet">[</span>12<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. L'<a href="/wiki/Axiome_du_choix#Axiome_du_choix_dénombrable" title="Axiome du choix">axiome du choix dénombrable</a> suffit pour démontrer l'équivalence entre la définition usuelle d'ensemble fini et celle de Dedekind, équivalence qui est cependant plus faible que l'axiome du choix dénombrable (il existe des modèles de la théorie de Zermelo-Fraenkel qui satisfont l'équivalence entre la définition de Dedekind et la définition usuelle mais pas l'axiome du choix dénombrable)<sup id="cite_ref-Herrlich_12-1" class="reference"><a href="#cite_note-Herrlich-12"><span class="cite_crochet">[</span>12<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Les_propriétés_de_clôture_du_point_de_vue_des_axiomes_de_la_théorie_des_ensembles"><span id="Les_propri.C3.A9t.C3.A9s_de_cl.C3.B4ture_du_point_de_vue_des_axiomes_de_la_th.C3.A9orie_des_ensembles"></span>Les propriétés de clôture du point de vue des axiomes de la théorie des ensembles</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Ensemble_fini&veaction=edit&section=15" title="Modifier la section : Les propriétés de clôture du point de vue des axiomes de la théorie des ensembles" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Ensemble_fini&action=edit&section=15" title="Modifier le code source de la section : Les propriétés de clôture du point de vue des axiomes de la théorie des ensembles"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>On peut réinterpréter et étendre les propriétés de clôture de la classe des ensembles finis au regard des axiomes de la <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_des_ensembles" title="Théorie des ensembles">théorie des ensembles</a>. Pour obtenir des propriétés vraiment satisfaisantes, il faut considérer la classe des ensembles <i>héréditairement finis</i>, c'est-à-dire les ensembles qui sont non seulement finis, mais dont les éléments sont aussi des ensembles finis et ainsi de suite. </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Les_premiers_axiomes">Les premiers axiomes</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Ensemble_fini&veaction=edit&section=16" title="Modifier la section : Les premiers axiomes" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Ensemble_fini&action=edit&section=16" title="Modifier le code source de la section : Les premiers axiomes"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>En dehors de l'<a href="/wiki/Axiome_d%27extensionnalit%C3%A9" title="Axiome d'extensionnalité">axiome d'extensionnalité</a> et de l'<a href="/wiki/Axiome_de_fondation" title="Axiome de fondation">axiome de fondation</a>, les axiomes de la théorie des ensembles <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_des_ensembles_de_Zermelo-Fraenkel" title="Théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel">ZFC</a> peuvent s'interpréter comme des propriétés d'existence d'ensembles, ou de clôture sous certaines constructions. </p><p>Les ensembles finis satisfont le <a href="/wiki/Sch%C3%A9ma_d%27axiomes_de_compr%C3%A9hension" title="Schéma d'axiomes de compréhension">schéma d'axiomes de compréhension</a>, puisque tout sous-ensemble d'un ensemble fini est fini (en particulier l'<a href="/wiki/Axiome_de_l%27ensemble_vide" title="Axiome de l'ensemble vide">ensemble vide</a>), l'<a href="/wiki/Axiome_de_la_paire" title="Axiome de la paire">axiome de la paire</a>, puisqu'une paire de deux ensembles quelconques est finie, l'<a href="/wiki/Axiome_de_l%27ensemble_des_parties" title="Axiome de l'ensemble des parties">axiome de l'ensemble des parties</a>, comme vu ci-dessus, mais pas l'<a href="/wiki/Axiome_de_la_r%C3%A9union" title="Axiome de la réunion">axiome de la réunion</a>, puisqu'il n'y a pas de raison que les éléments d'un ensemble fini soient des ensembles finis. Si cette condition est satisfaite on a vu que l'axiome est réalisé. </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Le_schéma_de_remplacement"><span id="Le_sch.C3.A9ma_de_remplacement"></span>Le schéma de remplacement</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Ensemble_fini&veaction=edit&section=17" title="Modifier la section : Le schéma de remplacement" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Ensemble_fini&action=edit&section=17" title="Modifier le code source de la section : Le schéma de remplacement"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>L'image d'un ensemble fini par une <a href="/wiki/Classe_(math%C3%A9matiques)" title="Classe (mathématiques)">classe</a> fonctionnelle est un ensemble fini : c'est la version pour les ensembles finis du <a href="/wiki/Sch%C3%A9ma_d%27axiomes_de_remplacement" title="Schéma d'axiomes de remplacement">schéma d'axiomes de remplacement</a>. Celui-ci a pour conséquence que la classe fonctionnelle en question est une fonction, et nous avons vu que l'image d'un ensemble fini par un ensemble fini est fini. cependant, dans le cas des ensembles finis, le schéma de remplacement n'ajoute rien. On peut démontrer directement, en utilisant l'axiome de la paire et de la réunion, que la classe fonctionnelle est finie, et donc le schéma de remplacement est superflu (il faut également le schéma de compréhension). </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="L'axiome_du_choix"><span id="L.27axiome_du_choix"></span>L'axiome du choix</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Ensemble_fini&veaction=edit&section=18" title="Modifier la section : L'axiome du choix" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Ensemble_fini&action=edit&section=18" title="Modifier le code source de la section : L'axiome du choix"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Étant donné un ensemble fini <i>E</i> = {<i>A</i><sub>1</sub>… , <i>A</i><sub>n</sub>} d'ensembles non vides, une fonction de choix <i>f</i> sur <i>E</i> associe à <i>A</i><sub><i>i</i></sub> un élément <i>a</i><sub><i>i</i></sub> est une fonction de graphe fini. L'existence d'une fonction de choix pour un ensemble fini se démontre sans utiliser l'<a href="/wiki/Axiome_du_choix" title="Axiome du choix">axiome du choix</a>. La fonction se définit par récurrence, en utilisant à chaque étape que l'élément de <i>E</i> en jeu est un ensemble non vide. Il est juste besoin de supposer que l'ensemble sur lequel est défini la fonction de choix est fini. </p><p>En revanche, on ne peut se passer de l'axiome du choix pour obtenir une fonction de choix sur un ensemble infini même s'il est constitué seulement d'ensembles finis<sup id="cite_ref-13" class="reference"><a href="#cite_note-13"><span class="cite_crochet">[</span>13<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Les_ensembles_héréditairement_finis"><span id="Les_ensembles_h.C3.A9r.C3.A9ditairement_finis"></span>Les ensembles héréditairement finis</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Ensemble_fini&veaction=edit&section=19" title="Modifier la section : Les ensembles héréditairement finis" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Ensemble_fini&action=edit&section=19" title="Modifier le code source de la section : Les ensembles héréditairement finis"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Les ensembles héréditairement finis sont des ensembles non seulement finis, mais dont les éléments sont eux-mêmes finis, et ainsi de suite. Plus formellement, dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, la classe des ensembles hériditairement finis est la plus petite classe contenant l'ensemble vide et close par passage à l'<a href="/wiki/Ensemble_des_parties_d%27un_ensemble" title="Ensemble des parties d'un ensemble">ensemble des parties</a>. On montre que c'est un ensemble en utilisant l'<a href="/wiki/Axiome_de_l%27infini" title="Axiome de l'infini">axiome de l'infini</a> et le <a href="/wiki/Sch%C3%A9ma_d%27axiomes_de_remplacement" title="Schéma d'axiomes de remplacement">schéma de remplacement</a>. On la note V<sub>ω</sub><sup id="cite_ref-14" class="reference"><a href="#cite_note-14"><span class="cite_crochet">[</span>14<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>, c'est le niveau ω de la <a href="/wiki/Axiome_de_fondation" title="Axiome de fondation">hiérarchie de von Neumann</a>, plus précisément : </p> <ul><li>V<sub>0</sub> = Ø</li> <li>V<sub><i>n</i>+1</sub> = <i>P</i>(V<sub><i>n</i></sub>)</li> <li>V<sub>ω</sub> = <span style="font-size:1.3em; line-height: 1.2em;"><b>∪</b></span><sub><i>n</i> ∈ <b>N</b></sub> <i>V</i><sub>n</sub> .</li></ul> <p>L'<a href="/wiki/Axiome_de_l%27infini" title="Axiome de l'infini">entier de von Neumann</a> <i>n</i> appartient à V<sub><i>n</i>+1</sub>, les entiers de von Neumann sont donc héréditairement finis. L'ensemble V<sub>ω</sub> des héréditairement finis est lui-même <a href="/wiki/Ensemble_d%C3%A9nombrable" title="Ensemble dénombrable">dénombrable</a>, au sens de la théorie, c'est-à-dire que l'on montre l'existence d'une bijection entre V<sub>ω</sub> et ω. </p><p>On montre que, dans un modèle de ZF, V<sub>ω</sub> muni de l'appartenance du modèle restreinte à V<sub>ω</sub> est un modèle de tous les axiomes de ZF excepté l'axiome de l'infini. Celui-ci n'est donc pas démontrable à partir des autres axiomes de ZF. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notes_et_références"><span id="Notes_et_r.C3.A9f.C3.A9rences"></span>Notes et références</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Ensemble_fini&veaction=edit&section=20" title="Modifier la section : Notes et références" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Ensemble_fini&action=edit&section=20" title="Modifier le code source de la section : Notes et références"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-references-wrap mw-references-columns"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-1">↑</a> </span><span class="reference-text">Exposée dans <i><span class="lang-de" lang="de">Was sind und was sollen die Zahlen</span></i>, 1888.</span> </li> <li id="cite_note-Wikiversité-2"><span class="mw-cite-backlink noprint">↑ <sup><a href="#cite_ref-Wikiversité_2-0">a</a> <a href="#cite_ref-Wikiversité_2-1">b</a> <a href="#cite_ref-Wikiversité_2-2">c</a> <a href="#cite_ref-Wikiversité_2-3">d</a> et <a href="#cite_ref-Wikiversité_2-4">e</a></sup> </span><span class="reference-text">Voir par exemple le chapitre <span class="plainlinks plainlinksneverexpand noarchive"><span class="lang-fr" lang="fr"><a class="external text" href="https://fr.wikiversity.org/wiki/fr:Introduction_aux_math%C3%A9matiques/Rudiments_de_combinatoire#Ensembles_finis">« Rudiments de combinatoire »</a></span> sur Wikiversité</span>.</span> </li> <li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-3">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Krivine"><span class="ouvrage" id="Jean-Louis_Krivine"><a href="/wiki/Jean-Louis_Krivine" title="Jean-Louis Krivine">Jean-Louis <span class="nom_auteur">Krivine</span></a>, <cite class="italique">Théorie des ensembles</cite> <small>[<a href="/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rence:Th%C3%A9orie_des_ensembles_(Krivine)" title="Référence:Théorie des ensembles (Krivine)">détail des éditions</a>]</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Th%C3%A9orie+des+ensembles&rft.aulast=Krivine&rft.aufirst=Jean-Louis&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AEnsemble+fini"></span></span></span>.</span> </li> <li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-4">↑</a> </span><span class="reference-text">Voir <a href="/wiki/Nombre_ordinal#Propriétés" title="Nombre ordinal">Nombre ordinal#Propriétés</a>.</span> </li> <li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-5">↑</a> </span><span class="reference-text">Définition donnée par <a href="/wiki/Paul_St%C3%A4ckel" title="Paul Stäckel">Paul Stäckel</a> en 1907, selon <a href="#Tarski1924">Tarski 1924</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 81.</span> </li> <li id="cite_note-6"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-6">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="#Tarski1924">Tarski 1924</a>.</span> </li> <li id="cite_note-7"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-7">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Suppes1972"><span class="ouvrage" id=":Patrick_Suppes1972"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/w/index.php?title=Patrick_Suppes&action=edit&redlink=1" class="new" title="Patrick Suppes (page inexistante)">Patrick Suppes</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Patrick_Suppes" class="extiw" title="en:Patrick Suppes"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Patrick Suppes »">(en)</span></a>, <cite class="italique" lang="en">Axiomatic Set Theory</cite>, Van Nostrand, <time>1972</time> (<abbr class="abbr" title="première">1<sup>re</sup></abbr> <abbr class="abbr" title="édition">éd.</abbr> 1960), 267 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="//books.google.com/books?id=sxr4LrgJGeAC&pg=PA100">lire en ligne</a>)</small>, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 100<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Axiomatic+Set+Theory&rft.pub=Van+Nostrand&rft.aulast=Suppes&rft.aufirst=%3APatrick&rft.date=1972&rft.pages=100&rft.tpages=267&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AEnsemble+fini"></span></span></span>.</span> </li> <li id="cite_note-8"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-8">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="/wiki/Roland_Fra%C3%AFss%C3%A9" title="Roland Fraïssé">Roland Fraïssé</a>, <i>Logique mathématique</i>, t.1, Gauthier-Villars, Paris, 1971, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 12-14.</span> </li> <li id="cite_note-9"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-9">↑</a> </span><span class="reference-text">Selon <a href="#Tarski1924">Tarski 1924</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 56, Corollaire 15, Russell et Whitehead ne prennent pas cette caractérisation comme définition mais la donnent comme théorème, dans le cadre de la théorie des types.</span> </li> <li id="cite_note-10"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-10">↑</a> </span><span class="reference-text">Il en existe des variantes dues à <a href="/wiki/Wac%C5%82aw_Sierpi%C5%84ski" title="Wacław Sierpiński">Wacław Sierpiński</a> en 1919 et <a href="/wiki/Kazimierz_Kuratowski" title="Kazimierz Kuratowski">Kazimierz Kuratowski</a> en 1921, d'après <a href="#Tarski1924">Tarski 1924</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 56, et <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 47 pour les références bibliographiques précises.</span> </li> <li id="cite_note-11"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-11">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Kanamori2012"><span class="ouvrage" id="Akihiro_Kanamori2012"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/Akihiro_Kanamori" title="Akihiro Kanamori">Akihiro Kanamori</a>, « <cite style="font-style:normal" lang="en">The Mathematical Inﬁnite as a Matter of Method</cite> », <i><span class="lang-en" lang="en">Annals of the Japan Association for Philosophy of Science</span></i>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 20,‎ <time>2012</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <span class="nowrap">1-13</span> <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="http://math.bu.edu/people/aki/22.pdf">lire en ligne</a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=The+Mathematical+In%EF%AC%81nite+as+a+Matter+of+Method&rft.jtitle=Annals+of+the+Japan+Association+for+Philosophy+of+Science&rft.aulast=Kanamori&rft.aufirst=Akihiro&rft.date=2012&rft.volume=20&rft.pages=1-13&rft_id=http%3A%2F%2Fmath.bu.edu%2Fpeople%2Faki%2F22.pdf&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AEnsemble+fini"></span></span></span>, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 3.</span> </li> <li id="cite_note-Herrlich-12"><span class="mw-cite-backlink noprint">↑ <sup><a href="#cite_ref-Herrlich_12-0">a</a> et <a href="#cite_ref-Herrlich_12-1">b</a></sup> </span><span class="reference-text">Voir par exemple <span class="ouvrage" id="Herrlich2006"><span class="ouvrage" id="Horst_Herrlich2006"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/Horst_Herrlich" title="Horst Herrlich">Horst Herrlich</a>, <cite class="italique" lang="en">Axiom of Choice</cite>, Berlin, Springer, <time>2006</time>, 194 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-3-540-30989-5" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-3-540-30989-5"><span class="nowrap">978-3-540-30989-5</span></a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="//books.google.com/books?id=JXIiGGmq4ZAC&pg=PA48">lire en ligne</a>)</small>, <abbr class="abbr" title="chapitre(s)">chap.</abbr> 4, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 48<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Axiom+of+Choice&rft.place=Berlin&rft.pub=Springer&rft.aulast=Herrlich&rft.aufirst=Horst&rft.date=2006&rft.pages=48&rft.tpages=194&rft.isbn=978-3-540-30989-5&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AEnsemble+fini"></span></span></span>.</span> </li> <li id="cite_note-13"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-13">↑</a> </span><span class="reference-text">Cette restriction donne cependant un axiome du choix faible, voir par exemple <a href="#Herrlich2006">Herrlich 2006</a>, chap. 2, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 14-16.</span> </li> <li id="cite_note-14"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-14">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="#Krivine">Krivine 2007</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 45-46.</span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bibliographie">Bibliographie</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Ensemble_fini&veaction=edit&section=21" title="Modifier la section : Bibliographie" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Ensemble_fini&action=edit&section=21" title="Modifier le code source de la section : Bibliographie"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span class="ouvrage" id="Halmos"><span class="ouvrage" id="Paul_Halmos"><a href="/wiki/Paul_Halmos" title="Paul Halmos">Paul <span class="nom_auteur">Halmos</span></a>, <cite class="italique">Introduction à la théorie des ensembles</cite> <small>[<a href="/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rence:Introduction_%C3%A0_la_th%C3%A9orie_des_ensembles_(Halmos)" title="Référence:Introduction à la théorie des ensembles (Halmos)">détail des éditions</a>]</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Introduction+%C3%A0+la+th%C3%A9orie+des+ensembles&rft.aulast=Halmos&rft.aufirst=Paul&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AEnsemble+fini"></span></span></span>.</li> <li><span class="ouvrage" id="Tarski1924"><span class="ouvrage" id="Alfred_Tarski1924">Alfred Tarski, « <cite style="font-style:normal">Sur les ensembles finis</cite> », <i><a href="/wiki/Fundamenta_Mathematicae" title="Fundamenta Mathematicae">Fund. Math.</a></i>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 6,‎ <time>1924</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <span class="nowrap">45-95</span> <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm6/fm619.pdf">lire en ligne</a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Sur+les+ensembles+finis&rft.jtitle=Fund.+Math.&rft.aulast=Tarski&rft.aufirst=Alfred&rft.date=1924&rft.volume=6&rft.pages=45-95&rft_id=http%3A%2F%2Fmatwbn.icm.edu.pl%2Fksiazki%2Ffm%2Ffm6%2Ffm619.pdf&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AEnsemble+fini"></span></span></span>.</li> <li><span class="ouvrage" id="Cori-Lascar_II"><a href="/wiki/Ren%C3%A9_Cori" title="René Cori">René <span class="nom_auteur">Cori</span></a> et Daniel <span class="nom_auteur">Lascar</span>, <cite class="italique">Logique <span class="nowrap">mathématique <abbr class="abbr" title="2"><span class="romain" style="text-transform:uppercase">II</span></abbr></span>. Fonctions récursives, théorème de Gödel, théorie des ensembles, théorie des modèles</cite> <small>[<a href="/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rence:Logique_math%C3%A9matique_2_(Cori-Lascar)" title="Référence:Logique mathématique 2 (Cori-Lascar)">détail des éditions</a>]</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Logique+math%C3%A9matique+II.+Fonctions+r%C3%A9cursives%2C+th%C3%A9or%C3%A8me+de+G%C3%B6del%2C+th%C3%A9orie+des+ensembles%2C+th%C3%A9orie+des+mod%C3%A8les&rft.aulast=Cori&rft.aufirst=Ren%C3%A9&rft.au=Lascar%2C+Daniel&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AEnsemble+fini"></span></span> chap. 7.</li></ul> <ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><span class="noviewer skin-invert-image" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Portail:Math%C3%A9matiques" title="Portail des mathématiques"><img alt="icône décorative" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg/24px-Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg.png" decoding="async" width="24" height="24" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg/36px-Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg/48px-Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg.png 2x" data-file-width="128" data-file-height="128" /></a></span></span> <span class="bandeau-portail-texte"><a href="/wiki/Portail:Math%C3%A9matiques" title="Portail:Mathématiques">Portail des mathématiques</a></span> </span></li> </ul>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?useformat=desktop&type=1x1&usesul3=0" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Ce document provient de « <a dir="ltr" href="https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Ensemble_fini&oldid=218462518">https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Ensemble_fini&oldid=218462518</a> ».</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Accueil" title="Catégorie:Accueil">Catégorie</a> : <ul><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Th%C3%A9orie_des_ensembles" title="Catégorie:Théorie des ensembles">Théorie des ensembles</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Catégories cachées : <ul><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Article_contenant_un_appel_%C3%A0_traduction_en_anglais" title="Catégorie:Article contenant un appel à traduction en anglais">Article contenant un appel à traduction en anglais</a></li><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Article_%C3%A0_fusionner" title="Catégorie:Article à fusionner">Article à fusionner</a></li><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Portail:Math%C3%A9matiques/Articles_li%C3%A9s" title="Catégorie:Portail:Mathématiques/Articles liés">Portail:Mathématiques/Articles liés</a></li><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Portail:Sciences/Articles_li%C3%A9s" title="Catégorie:Portail:Sciences/Articles liés">Portail:Sciences/Articles liés</a></li><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Projet:Math%C3%A9matiques/Articles" title="Catégorie:Projet:Mathématiques/Articles">Projet:Mathématiques/Articles</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> La dernière modification de cette page a été faite le 8 septembre 2024 à 13:19.</li> <li id="footer-info-copyright"><span style="white-space: normal"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Citation_et_r%C3%A9utilisation_du_contenu_de_Wikip%C3%A9dia" title="Wikipédia:Citation et réutilisation du contenu de Wikipédia">Droit d'auteur</a> : les textes sont disponibles sous <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.fr">licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions</a> ; d’autres conditions peuvent s’appliquer. Voyez les <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Policy:Terms_of_Use/fr">conditions d’utilisation</a> pour plus de détails, ainsi que les <a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Cr%C3%A9dits_graphiques" title="Wikipédia:Crédits graphiques">crédits graphiques</a>. En cas de réutilisation des textes de cette page, voyez <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Citer/Ensemble_fini" title="Spécial:Citer/Ensemble fini">comment citer les auteurs et mentionner la licence</a>.<br /> Wikipedia® est une marque déposée de la <a rel="nofollow" class="external text" href="https://wikimediafoundation.org/">Wikimedia Foundation, Inc.</a>, organisation de bienfaisance régie par le paragraphe <a href="/wiki/501c" title="501c">501(c)(3)</a> du code fiscal des États-Unis.</span><br /></li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy/fr">Politique de confidentialité</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:%C3%80_propos_de_Wikip%C3%A9dia">À propos de Wikipédia</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Avertissements_g%C3%A9n%C3%A9raux">Avertissements</a></li> <li id="footer-places-contact"><a href="//fr.wikipedia.org/wiki/Wikipédia:Contact">Contact</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Code de conduite</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Développeurs</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/fr.wikipedia.org">Statistiques</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Déclaration sur les témoins (cookies)</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//fr.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Ensemble_fini&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Version mobile</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-5ccf8d5c58-jkcsk","wgBackendResponseTime":189,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.236","walltime":"0.384","ppvisitednodes":{"value":2190,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":43742,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":3862,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":14,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":2,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":13464,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":1,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 230.024 1 -total"," 17.20% 39.556 5 Modèle:Ouvrage"," 16.41% 37.753 1 Modèle:Portail"," 14.14% 32.536 1 Modèle:À_fusionner"," 13.00% 29.906 1 Modèle:Méta_bandeau"," 12.32% 28.339 1 Modèle:Krivine98"," 9.93% 22.836 2 Modèle:Lang"," 7.22% 16.605 1 Modèle:Catégorisation_badges"," 6.23% 14.332 1 Modèle:Suivi_des_biographies"," 5.56% 12.786 2 Modèle:Article_détaillé"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.070","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":4096813,"limit":52428800}},"cachereport":{"origin":"mw-web.codfw.main-59b954b7fb-phmgq","timestamp":"20241208054511","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"Ensemble fini","url":"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Ensemble_fini","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q272404","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q272404","author":{"@type":"Organization","name":"Contributeurs aux projets Wikimedia"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Fondation Wikimedia, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2003-12-03T20:11:53Z","dateModified":"2024-09-08T12:19:28Z","headline":"ensemble comportant un nombre fini d'\u00e9l\u00e9ments"}</script> </body> </html>