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Disponible en 71 idiomas" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-71" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">71 idiomas</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Oppervlak" title="Oppervlak (afrikáans)" lang="af" hreflang="af" data-title="Oppervlak" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="afrikáans" class="interlanguage-link-target"><span>Afrikaans</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-als mw-list-item"><a href="https://als.wikipedia.org/wiki/Fl%C3%A4che_(Topologie)" title="Fläche (Topologie) (alemán suizo)" lang="gsw" hreflang="gsw" data-title="Fläche (Topologie)" data-language-autonym="Alemannisch" data-language-local-name="alemán suizo" class="interlanguage-link-target"><span>Alemannisch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-an mw-list-item"><a href="https://an.wikipedia.org/wiki/Superficie" title="Superficie (aragonés)" lang="an" hreflang="an" data-title="Superficie" data-language-autonym="Aragonés" data-language-local-name="aragonés" class="interlanguage-link-target"><span>Aragonés</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%B3%D8%B7%D8%AD" title="سطح (árabe)" lang="ar" hreflang="ar" data-title="سطح" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="árabe" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Superficie" title="Superficie (asturiano)" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Superficie" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="asturiano" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/S%C9%99th" title="Səth (azerbaiyano)" lang="az" hreflang="az" data-title="Səth" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="azerbaiyano" class="interlanguage-link-target"><span>Azərbaycanca</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D1%8F" title="Паверхня (bielorruso)" lang="be" hreflang="be" data-title="Паверхня" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="bielorruso" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%B2%D1%8A%D1%80%D1%85%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82" title="Повърхност (búlgaro)" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Повърхност" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="búlgaro" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%A4%E0%A6%B2_(%E0%A6%9F%E0%A6%AA%E0%A7%8B%E0%A6%B2%E0%A6%9C%E0%A6%BF)" title="তল (টপোলজি) (bengalí)" lang="bn" hreflang="bn" data-title="তল (টপোলজি)" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="bengalí" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Povr%C5%A1" title="Površ (bosnio)" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Površ" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="bosnio" class="interlanguage-link-target"><span>Bosanski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Superf%C3%ADcie_(matem%C3%A0tiques)" title="Superfície (matemàtiques) (catalán)" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Superfície (matemàtiques)" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="catalán" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%DA%95%D9%88%D9%88" title="ڕوو (kurdo sorani)" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="ڕوو" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="kurdo sorani" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Plocha" title="Plocha (checo)" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Plocha" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="checo" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%C3%87%D0%B8%D0%B9" title="Çий (chuvasio)" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Çий" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="chuvasio" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Surface_(topology)" title="Surface (topology) (inglés)" lang="en" hreflang="en" data-title="Surface (topology)" data-language-autonym="English" data-language-local-name="inglés" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Surfaco" title="Surfaco (esperanto)" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Surfaco" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="esperanto" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Pind" title="Pind (estonio)" lang="et" hreflang="et" data-title="Pind" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="estonio" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Gainazal" title="Gainazal (euskera)" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Gainazal" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="euskera" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%B1%D9%88%DB%8C%D9%87_(%D8%AA%D9%88%D9%BE%D9%88%D9%84%D9%88%DA%98%DB%8C)" title="رویه (توپولوژی) (persa)" lang="fa" hreflang="fa" data-title="رویه (توپولوژی)" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="persa" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Pinta_(geometria)" title="Pinta (geometria) (finés)" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Pinta (geometria)" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="finés" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr badge-Q70893996 mw-list-item" title=""><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Surface_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Surface (géométrie) (francés)" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Surface (géométrie)" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="francés" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fur mw-list-item"><a href="https://fur.wikipedia.org/wiki/Superficie" title="Superficie (friulano)" lang="fur" hreflang="fur" data-title="Superficie" data-language-autonym="Furlan" data-language-local-name="friulano" class="interlanguage-link-target"><span>Furlan</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/Dromchla_(toipeola%C3%ADocht)" title="Dromchla (toipeolaíocht) (irlandés)" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Dromchla (toipeolaíocht)" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="irlandés" class="interlanguage-link-target"><span>Gaeilge</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Superficie" title="Superficie (gallego)" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Superficie" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="gallego" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%98%D7%97_(%D7%98%D7%95%D7%A4%D7%95%D7%9C%D7%95%D7%92%D7%99%D7%94)" title="משטח (טופולוגיה) (hebreo)" lang="he" hreflang="he" data-title="משטח (טופולוגיה)" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hebreo" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AA%E0%A5%83%E0%A4%B7%E0%A5%8D%E0%A4%9F" title="पृष्ट (hindi)" lang="hi" hreflang="hi" data-title="पृष्ट" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="hindi" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Ploha_(geometrija)" title="Ploha (geometrija) (croata)" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Ploha (geometrija)" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="croata" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Felsz%C3%ADn" title="Felszín (húngaro)" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Felszín" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="húngaro" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D5%84%D5%A1%D5%AF%D5%A5%D6%80%D6%87%D5%B8%D6%82%D5%B5%D5%A9" title="Մակերևույթ (armenio)" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Մակերևույթ" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="armenio" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Superficie" title="Superficie (interlingua)" lang="ia" hreflang="ia" data-title="Superficie" data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="interlingua" class="interlanguage-link-target"><span>Interlingua</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Permukaan_(topologi)" title="Permukaan (topologi) (indonesio)" lang="id" hreflang="id" data-title="Permukaan (topologi)" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonesio" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-inh mw-list-item"><a href="https://inh.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D3%80%D0%B5%D1%85%D0%B5" title="ТӀехе (ingush)" lang="inh" hreflang="inh" data-title="ТӀехе" data-language-autonym="ГӀалгӀай" data-language-local-name="ingush" class="interlanguage-link-target"><span>ГӀалгӀай</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-io mw-list-item"><a href="https://io.wikipedia.org/wiki/Surfaco" title="Surfaco (ido)" lang="io" hreflang="io" data-title="Surfaco" data-language-autonym="Ido" data-language-local-name="ido" class="interlanguage-link-target"><span>Ido</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Yfirbor%C3%B0" title="Yfirborð (islandés)" lang="is" hreflang="is" data-title="Yfirborð" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="islandés" class="interlanguage-link-target"><span>Íslenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Superficie" title="Superficie (italiano)" lang="it" hreflang="it" data-title="Superficie" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italiano" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9B%B2%E9%9D%A2" title="曲面 (japonés)" lang="ja" hreflang="ja" data-title="曲面" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japonés" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B5%D1%82_(%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F)" title="Бет (геометрия) (kazajo)" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Бет (геометрия)" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="kazajo" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B3%A1%EB%A9%B4" title="곡면 (coreano)" lang="ko" hreflang="ko" data-title="곡면" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="coreano" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ky mw-list-item"><a href="https://ky.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B5%D1%82_(%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F)" title="Бет (Геометрия) (kirguís)" lang="ky" hreflang="ky" data-title="Бет (Геометрия)" data-language-autonym="Кыргызча" data-language-local-name="kirguís" class="interlanguage-link-target"><span>Кыргызча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lij mw-list-item"><a href="https://lij.wikipedia.org/wiki/Superfi%C3%A7ie_(matematica)" title="Superfiçie (matematica) (Ligurian)" lang="lij" hreflang="lij" data-title="Superfiçie (matematica)" data-language-autonym="Ligure" data-language-local-name="Ligurian" class="interlanguage-link-target"><span>Ligure</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Pavir%C5%A1ius" title="Paviršius (lituano)" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Paviršius" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="lituano" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Virsma" title="Virsma (letón)" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Virsma" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="letón" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mr mw-list-item"><a href="https://mr.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%86%E0%A4%A1" title="आड (maratí)" lang="mr" hreflang="mr" data-title="आड" data-language-autonym="मराठी" data-language-local-name="maratí" class="interlanguage-link-target"><span>मराठी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Oppervlak_(topologie)" title="Oppervlak (topologie) (neerlandés)" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Oppervlak (topologie)" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="neerlandés" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Flate" title="Flate (noruego nynorsk)" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Flate" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="noruego nynorsk" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Flate" title="Flate (noruego bokmal)" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Flate" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="noruego bokmal" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Superf%C3%ADcia_(matematicas)" title="Superfícia (matematicas) (occitano)" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Superfícia (matematicas)" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="occitano" class="interlanguage-link-target"><span>Occitan</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Powierzchnia" title="Powierzchnia (polaco)" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Powierzchnia" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="polaco" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pms mw-list-item"><a href="https://pms.wikipedia.org/wiki/Surfassa" title="Surfassa (Piedmontese)" lang="pms" hreflang="pms" data-title="Surfassa" data-language-autonym="Piemontèis" data-language-local-name="Piedmontese" class="interlanguage-link-target"><span>Piemontèis</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Superf%C3%ADcie" title="Superfície (portugués)" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Superfície" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugués" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Suprafa%C8%9B%C4%83" title="Suprafață (rumano)" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Suprafață" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="rumano" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-rsk mw-list-item"><a href="https://rsk.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%86" title="Поверхносц (Pannonian Rusyn)" lang="rsk" hreflang="rsk" data-title="Поверхносц" data-language-autonym="Руски" data-language-local-name="Pannonian Rusyn" class="interlanguage-link-target"><span>Руски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Поверхность (ruso)" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Поверхность" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="ruso" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Povr%C5%A1" title="Površ (serbocroata)" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Površ" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="serbocroata" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Surface" title="Surface (Simple English)" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Surface" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Povrch" title="Povrch (eslovaco)" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Povrch" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="eslovaco" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Ploskev" title="Ploskev (esloveno)" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Ploskev" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="esloveno" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sn mw-list-item"><a href="https://sn.wikipedia.org/wiki/Chiso_(Chiumbwa)" title="Chiso (Chiumbwa) (shona)" lang="sn" hreflang="sn" data-title="Chiso (Chiumbwa)" data-language-autonym="ChiShona" data-language-local-name="shona" class="interlanguage-link-target"><span>ChiShona</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-so mw-list-item"><a href="https://so.wikipedia.org/wiki/Oogo_(dhul)" title="Oogo (dhul) (somalí)" lang="so" hreflang="so" data-title="Oogo (dhul)" data-language-autonym="Soomaaliga" data-language-local-name="somalí" class="interlanguage-link-target"><span>Soomaaliga</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%B2%D1%80%D1%88" title="Површ (serbio)" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Површ" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="serbio" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Yta" title="Yta (sueco)" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Yta" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="sueco" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-te mw-list-item"><a href="https://te.wikipedia.org/wiki/%E0%B0%89%E0%B0%AA%E0%B0%B0%E0%B0%BF%E0%B0%A4%E0%B0%B2%E0%B0%82" title="ఉపరితలం (telugu)" lang="te" hreflang="te" data-title="ఉపరితలం" data-language-autonym="తెలుగు" data-language-local-name="telugu" class="interlanguage-link-target"><span>తెలుగు</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Y%C3%BCzey" title="Yüzey (turco)" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Yüzey" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turco" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D1%8F" title="Поверхня (ucraniano)" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Поверхня" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ucraniano" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D8%B3%D8%B7%D8%AD" title="سطح (urdu)" lang="ur" hreflang="ur" data-title="سطح" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="urdu" class="interlanguage-link-target"><span>اردو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Sirt" title="Sirt (uzbeko)" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Sirt" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="uzbeko" class="interlanguage-link-target"><span>Oʻzbekcha / ўзбекча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vec mw-list-item"><a href="https://vec.wikipedia.org/wiki/Superficie" title="Superficie (Venetian)" lang="vec" hreflang="vec" data-title="Superficie" data-language-autonym="Vèneto" data-language-local-name="Venetian" class="interlanguage-link-target"><span>Vèneto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/M%E1%BA%B7t_(t%C3%B4_p%C3%B4)" title="Mặt (tô pô) (vietnamita)" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Mặt (tô pô)" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vietnamita" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E6%9B%B2%E9%9D%A2" title="曲面 (chino wu)" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="曲面" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="chino wu" class="interlanguage-link-target"><span>吴语</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9B%B2%E9%9D%A2" title="曲面 (chino)" lang="zh" hreflang="zh" data-title="曲面" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chino" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E6%9B%B2%E9%9D%A2" title="曲面 (cantonés)" lang="yue" hreflang="yue" data-title="曲面" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="cantonés" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q484298#sitelinks-wikipedia" title="Editar enlaces interlingüísticos" class="wbc-editpage">Editar enlaces</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Espacios de nombres"> 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id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Más opciones" > <div class="vector-menu-heading"> Acciones </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/Superficie_(topolog%C3%ADa)"><span>Leer</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Superficie_(topolog%C3%ADa)&action=edit" title="Editar esta página [e]" accesskey="e"><span>Editar</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Superficie_(topolog%C3%ADa)&action=history"><span>Ver historial</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> General </div> <div class="vector-menu-content"> <ul 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decoding="async" width="300" height="216" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/db/Saddle_Point.png/450px-Saddle_Point.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/db/Saddle_Point.png/600px-Saddle_Point.png 2x" data-file-width="1550" data-file-height="1117" /></a><figcaption>Una <a href="/w/index.php?title=Superficie_abierta&action=edit&redlink=1" class="new" title="Superficie abierta (aún no redactado)">superficie abierta</a> con los contornos <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"></span> y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}"></span> mostrados.</figcaption></figure> <p>En la parte de las matemáticas denominada <a href="/wiki/Topolog%C3%ADa" title="Topología">topología</a>, una <b>superficie</b> es una <a href="/wiki/Variedad_(matem%C3%A1ticas)" title="Variedad (matemáticas)">variedad</a> bidimensional. Algunas superficies surgen como límites de sólidos tridimensionales; por ejemplo, la esfera es el límite del sólido bola. Otras superficies surgen como gráficos de <a href="/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)" title="Función (matemática)">funciones</a> de dos variables; véase la figura de la derecha. Sin embargo, las superficies también pueden definirse de forma abstracta, sin referencia a ningún espacio ambiental. Por ejemplo, la <a href="/wiki/Botella_de_Klein" title="Botella de Klein">botella de Klein</a> es una superficie que no puede <a href="/wiki/Encaje_(matem%C3%A1tica)" title="Encaje (matemática)">incrustarse</a> en un <a href="/wiki/Espacio_Euclidiano" class="mw-redirect" title="Espacio Euclidiano">espacio euclidiano</a> tridimensional. </p><p>Las superficies topológicas están a veces dotadas de información adicional, como una <a href="/wiki/M%C3%A9trica_de_Riemann" class="mw-redirect" title="Métrica de Riemann">métrica de Riemann</a> o una estructura compleja, lo que las conecta con otras disciplinas matemáticas, como la <a href="/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencial" title="Geometría diferencial">geometría diferencial</a> y el <a href="/wiki/An%C3%A1lisis_complejo" title="Análisis complejo">análisis complejo</a>. Las distintas <a href="/wiki/Superficie_(matem%C3%A1ticas)" class="mw-redirect" title="Superficie (matemáticas)">nociones matemáticas de superficie</a> pueden utilizarse para modelizar <a href="/wiki/Superficie" class="mw-disambig" title="Superficie">superficies</a> en el mundo físico. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="En_general">En general</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Superficie_(topolog%C3%ADa)&action=edit&section=1" title="Editar sección: En general"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="VT rellink"><span style="font-size:88%">Véase también:</span> <i><a href="/wiki/Superficie_(matem%C3%A1tica)" title="Superficie (matemática)">Superficie (matemática)</a></i></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Archivo:Sphere.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Sphere.png/220px-Sphere.png" decoding="async" width="220" height="212" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Sphere.png/330px-Sphere.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1f/Sphere.png 2x" data-file-width="400" data-file-height="385" /></a><figcaption>La esfera, una clase de superficie tridimensional.</figcaption></figure> <p>En <a href="/wiki/Matem%C3%A1ticas" title="Matemáticas">matemáticas</a>, una <b>superficie</b> es una forma geométrica que se asemeja a un <a href="/wiki/Plano_(geometr%C3%ADa)" title="Plano (geometría)">plano</a> deformado. Los ejemplos más conocidos surgen como límites de objetos sólidos en el <a href="/wiki/Espacio_Euclidiano" class="mw-redirect" title="Espacio Euclidiano">espacio euclidiano</a> ordinario <b>R</b><sup>3</sup>, como las <a href="/wiki/Esfera" title="Esfera">esferas</a>. La definición exacta de una superficie puede depender del contexto. Normalmente, en la <a href="/wiki/Geometr%C3%ADa_algebraica" title="Geometría algebraica">geometría algebraica</a>, una superficie puede cruzarse a sí misma (y puede tener otras singularidades), mientras que no puede hacerlo en <a href="/wiki/Topolog%C3%ADa" title="Topología">topología</a> y la <a href="/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencial" title="Geometría diferencial">geometría diferencial</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Propiedades_y_tipos_de_superficies">Propiedades y tipos de superficies</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Superficie_(topolog%C3%ADa)&action=edit&section=2" title="Editar sección: Propiedades y tipos de superficies"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Las superficies usuales son versiones curvadas del plano, de hecho son localmente homeomorfas a él. No es extraño por tanto que varios tipos de superficies interesantes en las aplicaciones, se definan a partir de propiedades de curvatura respecto al plano euclídeo o en términos de isometrías. Además otros conceptos topológicos interesantes como la <a href="/wiki/Orientabilidad" title="Orientabilidad">orientabilidad</a> permiten expresar formalmente ciertas propiedades de las superficies. </p> <div class="VT rellink"><span style="font-size:88%">Véanse también:</span> <i><a href="/wiki/Variedad_diferenciable" title="Variedad diferenciable">Variedad diferenciable</a></i><span style="font-size:88%">, </span><i><a href="/wiki/Variedad_algebraica" title="Variedad algebraica"> Variedad algebraica</a></i><span style="font-size:88%"> y </span><i><a href="/wiki/Variedad_topol%C3%B3gica" title="Variedad topológica"> Variedad topológica</a></i>.</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Superficies_cerradas">Superficies cerradas</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Superficie_(topolog%C3%ADa)&action=edit&section=3" title="Editar sección: Superficies cerradas"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Archivo:Triple_torus_illustration.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f0/Triple_torus_illustration.png/200px-Triple_torus_illustration.png" decoding="async" width="200" height="141" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f0/Triple_torus_illustration.png/300px-Triple_torus_illustration.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f0/Triple_torus_illustration.png/400px-Triple_torus_illustration.png 2x" data-file-width="2204" data-file-height="1550" /></a><figcaption>Un ejemplo de una <b>superficie cerrada</b> y <a href="/wiki/Conjunto_simplemente_conexo" title="Conjunto simplemente conexo">múltiplemente conexa</a> es el triple toro.</figcaption></figure> <p>Intuitivamente una <b>superficie cerrada</b> en el espacio tridimensional es cualquier superficie que encierra un volumen, dividiendo a dicho espacio en una región "acotada" y una región "no acotada". En 4 o más dimensiones también existen superficies cerradas pero la noción intuitiva anterior no es válida, ya que las superficies cerradas en más dimensiones no dividen al espacio de esta forma. </p> <ul><li>Puede comprobarse que en tres dimensiones una superficie sin borde encierra un volumen, como por ejemplo la <a href="/wiki/Esfera" title="Esfera">esfera</a> y el <a href="/wiki/Toro_(matem%C3%A1ticas)" class="mw-redirect" title="Toro (matemáticas)">toro</a> o "donut", estas superficies son además <a href="#Superficies_orientables">superficies orientables</a>. De hecho todas las superficies cerradas inmersas en el espacio tridimensional son orientables, a diferencia de lo que ocurre en más dimensiones.</li> <li>Otras superficies cerradas más exóticas son el <a href="/wiki/Plano_proyectivo" title="Plano proyectivo">plano proyectivo</a> y la <a href="/wiki/Botella_de_Klein" title="Botella de Klein">botella de Klein</a> (definible en 4 dimensiones).</li> <li>Un disco (en <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e150115ab9f63023215109595b76686a1ff890fd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}"></span>), un <a href="/wiki/Cilindro_(geometr%C3%ADa)" class="mw-redirect" title="Cilindro (geometría)">cilindro</a> de altura finita o la <a href="/wiki/Banda_de_M%C3%B6bius" title="Banda de Möbius">banda de Möbius</a> son ejemplos de superficies con frontera. Como la imagen de la derecha.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Superficies_desarrollables,_regladas_y_alabeadas"><span id="Superficies_desarrollables.2C_regladas_y_alabeadas"></span>Superficies desarrollables, regladas y alabeadas</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Superficie_(topolog%C3%ADa)&action=edit&section=4" title="Editar sección: Superficies desarrollables, regladas y alabeadas"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint AP rellink"><span style="font-size:88%">Artículos principales:</span> <i><a href="/wiki/Superficie_desarrollable" title="Superficie desarrollable"> Superficie desarrollable</a></i><span style="font-size:88%"> y </span><i><a href="/wiki/Superficie_reglada" title="Superficie reglada"> Superficie reglada</a></i>.</div> <p>Algunas superficies tienen propiedades interesantes que son expresables en términos de su curvatura, estos tipos son las superficies desarrollables, regladas y alabeadas: </p> <ul><li>Intuitivamente una superficie es desarrollable si puede fabricarse a partir de un plano euclídeo mediante "doblado". El <a href="/wiki/Cono_(geometr%C3%ADa)" title="Cono (geometría)">cono</a> y el <a href="/wiki/Cilindro" title="Cilindro">cilindro</a> son desarrollables, lo cual se manifiesta en que se pueden construir modelos apropiados a partir de una hoja de papel o cartulina plana. Formalmente dada una <b>superficie desarrollable</b> existe una <a href="/wiki/Isometr%C3%ADa" title="Isometría">isometría</a> entre la superficie y el plano euclídeo. Una condición necesaria y suficiente para que una superficie se desarrollable, se desprende del <i><a href="/wiki/Teorema_egregium" class="mw-redirect" title="Teorema egregium">theorema egregium</a></i> de <a href="/wiki/Carl_Friedrich_Gauss" title="Carl Friedrich Gauss">Gauss</a>, es que la <a href="/wiki/Curvatura_gaussiana" class="mw-redirect" title="Curvatura gaussiana">curvatura gaussiana</a> de dicha superficie sea idénticamente nula.</li> <li>Una <b>superficie es reglada</b> cuando el plano tangente para cada punto de la misma contiene una línea recta completamente contenida sobre la superficie. Una condición necesaria es que la <a href="/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencial_de_superficies#Segunda_forma_fundamental" title="Geometría diferencial de superficies">segunda forma fundamental</a> sea en ese punto una <a href="/wiki/Forma_cuadr%C3%A1tica" title="Forma cuadrática">forma cuadrática</a> indefinida y por tanto la <a href="/wiki/Curvatura_gaussiana" class="mw-redirect" title="Curvatura gaussiana">curvatura gaussiana</a> es negativa.</li> <li>Una <b>superficie alabeada</b> es una superficie reglada y no-desarrollable.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Superficies_orientables">Superficies orientables</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Superficie_(topolog%C3%ADa)&action=edit&section=5" title="Editar sección: Superficies orientables"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Archivo:MobiusStrip-01.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e7/MobiusStrip-01.png/200px-MobiusStrip-01.png" decoding="async" width="200" height="158" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e7/MobiusStrip-01.png 1.5x" data-file-width="273" data-file-height="216" /></a><figcaption>La banda de Möbius es una superficie no-orientable con una frontera (su frontera es una curva cerrada simple).</figcaption></figure> <p>Una última propiedad menos intuitiva es la de orientabilidad, que permite distinguir entre superficies orientables y no-orientables. Una <b>superficie orientable</b> puede definirse simplemente como una variedad orientable de dimensión dos, donde toda curva cerrada simple contenida tiene una vecindad regular homeomorfa a un cilindro abierto. Cualquier variedad de dimensión dos que no es orientable es una <b>superficie no-orientable</b>. Esto es, existe al menos una curva cerrada simple contenida que tiene una vecindad regular homeomorfa a una <a href="/wiki/Banda_de_M%C3%B6bius" title="Banda de Möbius">banda de Möbius</a>. </p><p>Las <b>superficies orientables cerradas</b> tienen la propiedad de dividir el espacio tridimensional (donde siempre pueden ser <a href="/wiki/Encaje_(matem%C3%A1tica)" title="Encaje (matemática)">encajadas</a>) en dos regiones diferentes y disjuntas: una acotada por dicha superficie que es de volumen finito y otra no acotada exterior a dicho volumen. </p><p>Este término se utiliza para distinguirlas de las superficies que no encierran nada en su interior, como un plano infinito en referencia al espacio tridimensional. Es imposible hablar de que las superficies no orientables dividan el espacio tridimensional pues estas superficies no pueden ser encajadas en él. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Teorema_de_clasificación_de_superficies_cerradas"><span id="Teorema_de_clasificaci.C3.B3n_de_superficies_cerradas"></span>Teorema de clasificación de superficies cerradas</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Superficie_(topolog%C3%ADa)&action=edit&section=6" title="Editar sección: Teorema de clasificación de superficies cerradas"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Un importante resultado matemático es el <b>teorema de clasificación de superficies cerradas</b>, el cual afirma que toda superficie cerrada (es decir, compacta y sin frontera o borde) es <a href="/wiki/Homeomorfismo" title="Homeomorfismo">homeomorfa</a> a algún miembro de las siguientes tres familias de superficies: </p> <ol><li>la <a href="/wiki/Esfera" title="Esfera">esfera</a>;</li> <li>la <a href="/wiki/Suma_conexa" title="Suma conexa">suma conexa</a> de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecc456e58b207759836214cb501a1aa1af3be5bd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.503ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g\,}"></span>-<a href="/wiki/Toro_(matem%C3%A1ticas)" class="mw-redirect" title="Toro (matemáticas)">toros</a>, siendo <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g\geq 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> <mo>≥</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\geq 1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/597627de4c1b6d2f54f1717c542e7de112094699" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.377ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g\geq 1}"></span>;</li> <li>la suma conexa de <i>k</i> <a href="/wiki/Plano_proyectivo" title="Plano proyectivo">planos proyectivos reales</a>, siendo <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k\geq 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> <mo>≥</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k\geq 1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d30d7dcf305b7bce39d36df72fe3985b47aa9961" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.472ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle k\geq 1}"></span>.</li></ol> <p>Dicho de otra manera, las superficies anteriores son todas las superficies cerradas que existen (salvo homeomorfismo). La superficies de las dos primeras familias son orientables. Es conveniente combinar las dos primeras familias, considerando la esfera como la suma conexa de cero toros. El número <i>g</i> de toros involucrados en la construcción se denomina <a href="/w/index.php?title=G%C3%A9nero_(topol%C3%B3gico)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Género (topológico) (aún no redactado)">género</a> de la superficie. Puesto que la esfera y el toro tienen <a href="/wiki/Caracter%C3%ADstica_de_Euler" title="Característica de Euler">características de Euler</a> 2 y 0, respectivamente, se deduce que la característica de Euler de la suma conexa de <i>g</i> toros es precisamente <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2-2g\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>g</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2-2g\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ead39a9cbb950c71cf29751a3285ea94d6a6757b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.668ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 2-2g\,}"></span>. </p> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Archivo:Freeform1.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c8/Freeform1.gif/200px-Freeform1.gif" decoding="async" width="200" height="115" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c8/Freeform1.gif 1.5x" data-file-width="260" data-file-height="150" /></a><figcaption>Deformando una <b>2-variedad</b> con frontera.</figcaption></figure> <p>Las superficies de la tercera familia son no-orientables. La característica de Euler del <a href="/wiki/Plano_proyectivo_real" title="Plano proyectivo real">plano proyectivo real</a> es 1, así la suma conexa de <i>k</i> de ellos es <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2-k\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mo>−</mo> <mi>k</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2-k\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/021f3d994b50330420c021e711f63340bd5b1e9e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.601ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 2-k\,}"></span>. </p><p>De todo esto se sigue, que una superficie cerrada está determinada -salvo homeomorfismo- por dos propiedades: el valor numérico de su característica de Euler (o su género) y si es o no-orientable. </p><p>Es posible clasificar también las superficies que no son cerradas (es decir, con frontera). Esto se obtiene como el esquema anterior, añadiendo el número de fronteras que tiene la superficie. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Véase_también"><span id="V.C3.A9ase_tambi.C3.A9n"></span>Véase también</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Superficie_(topolog%C3%ADa)&action=edit&section=7" title="Editar sección: Véase también"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Variedad_diferenciable" title="Variedad diferenciable">Variedad diferenciable</a></li> <li><a href="/wiki/Variedad_algebraica" title="Variedad algebraica">Variedad algebraica</a></li> <li><a href="/wiki/Variedad_topol%C3%B3gica" title="Variedad topológica">Variedad topológica</a></li> <li><a href="/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencial_de_superficies" title="Geometría diferencial de superficies">Geometría diferencial de superficies</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%81rea" title="Área">Área</a></li> <li><a href="/wiki/Cu%C3%A1drica" title="Cuádrica">Cuádrica</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Enlaces_externos">Enlaces externos</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Superficie_(topolog%C3%ADa)&action=edit&section=8" title="Editar sección: Enlaces externos"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/15px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="15" height="20" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/23px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></span></span> <a href="/wiki/Wikimedia_Commons" title="Wikimedia Commons">Wikimedia Commons</a> alberga una categoría multimedia sobre <b><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Surfaces" class="extiw" title="commons:Category:Surfaces">Superficie</a></b>.</li> <li><i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20160204173915/http://mathifold.org/es/superficies-compactas/superficies-compactas">Clasificación de Superficies Compactas</a></i> en <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20160204170745/http://mathifold.org/">Proyecto Mathifold</a></li> <li><i><a rel="nofollow" class="external text" href="http://eom.springer.de/S/s091330.htm">Surface</a></i> en la Enciclopedia en-línea de la <a href="/wiki/Axel_Springer" title="Axel Springer">Springer-Verlag</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://webdelprofesor.ula.ve/nucleotrujillo/alperez/teoria/cap_01a-conceptos_geometricos/05-superficie.htm"><i>Clasificación de las superficies</i>, en webdelprofesor.ula.ve</a></li></ul> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r161257576">.mw-parser-output .mw-authority-control{margin-top:1.5em}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox table{margin:0}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox hr:last-child{display:none}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox+.mw-mf-linked-projects{display:none}.mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects{display:flex;padding:0.5em;border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);background-color:var(--background-color-neutral,#eaecf0);color:var(--color-base,#202122)}.mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects ul li{margin-bottom:0}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox{border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);background-color:var(--background-color-neutral-subtle,#f8f9fa)}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox-list{border-color:#f8f9fa}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox 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autoridades</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><b>Proyectos Wikimedia</b></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikidata" title="Wikidata"><img alt="Wd" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/20px-Wikidata-logo.svg.png" decoding="async" width="20" height="11" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/30px-Wikidata-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/40px-Wikidata-logo.svg.png 2x" data-file-width="1050" data-file-height="590" /></a></span> Datos:</span> <span class="uid"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q484298" class="extiw" title="wikidata:Q484298">Q484298</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikimedia_Commons" title="Commonscat"><img alt="Commonscat" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/15px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="15" height="20" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/23px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></a></span> Multimedia:</span> <span class="uid"><span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Surfaces">Surfaces</a></span> / <span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Special:MediaSearch?type=image&search=%22Q484298%22">Q484298</a></span></span></li></ul> <hr /> <ul><li><b>Identificadores</b></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Library_of_Congress_Control_Number" title="Library of Congress Control Number">LCCN</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/sh00005762">sh00005762</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Biblioteca_Nacional_de_la_Dieta" title="Biblioteca Nacional de la Dieta">NDL</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.ndl.go.jp/auth/ndlna/00567234">00567234</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Biblioteca_Nacional_de_la_Rep%C3%BAblica_Checa" title="Biblioteca Nacional de la República Checa">NKC</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://aleph.nkp.cz/F/?func=find-c&local_base=aut&ccl_term=ica=ph124120">ph124120</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Biblioteca_Nacional_de_Israel" title="Biblioteca Nacional de Israel">NLI</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://olduli.nli.org.il/F/?func=find-b&local_base=NLX10&find_code=UID&request=987007292879305171">987007292879305171</a></span></li> <li><b>Diccionarios y enciclopedias</b></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Enciclopedia_Brit%C3%A1nica" title="Enciclopedia Británica">Britannica</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.britannica.com/topic/surface-geometry">url</a></span></li> <li><b>Ontologías</b></li> <li><span style="white-space:nowrap;">Número IEV:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-04-31">102-04-31</a></span></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div><div class="mw-mf-linked-projects hlist"> <ul><li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikidata" title="Wikidata"><img alt="Wd" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/20px-Wikidata-logo.svg.png" decoding="async" width="20" height="11" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/30px-Wikidata-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/40px-Wikidata-logo.svg.png 2x" data-file-width="1050" data-file-height="590" /></a></span> Datos:</span> <span class="uid"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q484298" class="extiw" title="wikidata:Q484298">Q484298</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikimedia_Commons" title="Commonscat"><img alt="Commonscat" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/15px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="15" height="20" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/23px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></a></span> Multimedia:</span> <span class="uid"><span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Surfaces">Surfaces</a></span> / <span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Special:MediaSearch?type=image&search=%22Q484298%22">Q484298</a></span></span></li></ul> </div></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Obtenido de «<a dir="ltr" href="https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Superficie_(topología)&oldid=159220738">https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Superficie_(topología)&oldid=159220738</a>»</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Especial:Categor%C3%ADas" title="Especial:Categorías">Categorías</a>: <ul><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Geometr%C3%ADa_elemental" title="Categoría:Geometría elemental">Geometría elemental</a></li><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Superficies" title="Categoría:Superficies">Superficies</a></li><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Topolog%C3%ADa" title="Categoría:Topología">Topología</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Categoría oculta: <ul><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Wikipedia:Art%C3%ADculos_con_identificadores_LCCN" title="Categoría:Wikipedia:Artículos con identificadores LCCN">Wikipedia:Artículos con identificadores LCCN</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Esta página se editó por última vez el 4 abr 2024 a las 13:43.</li> <li id="footer-info-copyright">El texto está disponible bajo la <a href="/wiki/Wikipedia:Texto_de_la_Licencia_Creative_Commons_Atribuci%C3%B3n-CompartirIgual_4.0_Internacional" title="Wikipedia:Texto de la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional">Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0</a>; pueden aplicarse cláusulas adicionales. Al usar este sitio aceptas nuestros <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Policy:Terms_of_Use/es">términos de uso</a> y nuestra <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Policy:Privacy_policy/es">política de privacidad</a>.<br />Wikipedia® es una marca registrada de la <a rel="nofollow" class="external text" href="https://wikimediafoundation.org/es/">Fundación Wikimedia</a>, una organización sin ánimo de lucro.</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy/es">Política de privacidad</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Wikipedia:Acerca_de">Acerca de Wikipedia</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Wikipedia:Limitaci%C3%B3n_general_de_responsabilidad">Limitación de responsabilidad</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Código de conducta</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Desarrolladores</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/es.wikipedia.org">Estadísticas</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement/es">Declaración de cookies</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//es.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Superficie_(topolog%C3%ADa)&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Versión para móviles</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-847495b4dd-pdcrx","wgBackendResponseTime":122,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.243","walltime":"0.367","ppvisitednodes":{"value":546,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":8183,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":690,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":14,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":7,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":2759,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":8,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 258.736 1 -total"," 73.73% 190.777 1 Plantilla:Control_de_autoridades"," 19.40% 50.205 1 Plantilla:Commonscat"," 10.92% 28.258 1 Plantilla:Propiedad"," 2.40% 6.202 1 Plantilla:Further"," 2.36% 6.094 1 Plantilla:Título_sin_coletilla"," 2.29% 5.928 1 Plantilla:VT"," 1.85% 4.797 1 Plantilla:AP"," 1.71% 4.422 2 Plantilla:Y-e"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.155","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":2902616,"limit":52428800}},"cachereport":{"origin":"mw-web.eqiad.main-68d6679558-vbsrk","timestamp":"20241106160054","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"Superficie (topolog\u00eda)","url":"https:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Superficie_(topolog%C3%ADa)","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q484298","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q484298","author":{"@type":"Organization","name":"Colaboradores de los proyectos Wikimedia"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Wikimedia Foundation, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2002-12-18T08:45:55Z","dateModified":"2024-04-04T13:43:24Z","image":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/d\/db\/Saddle_Point.png","headline":"espacio topol\u00f3gico bidimensional"}</script> </body> </html>