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subsección Clases de distribuciones relevantes</span> </button> <ul id="toc-Clases_de_distribuciones_relevantes-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Monotonía_de_la_tasa_de_fallo" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Monotonía_de_la_tasa_de_fallo"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.1</span> <span>Monotonía de la tasa de fallo</span> </div> </a> <ul id="toc-Monotonía_de_la_tasa_de_fallo-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Clases_según_uso" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Clases_según_uso"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2</span> <span>Clases según uso</span> </div> </a> <ul id="toc-Clases_según_uso-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Referencias" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" 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class="mw-page-title-main">Métodos estocásticos en teoría de la fiabilidad</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Este artículo existe sólo en este idioma. 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mw-list-item"><a href="/wiki/M%C3%A9todos_estoc%C3%A1sticos_en_teor%C3%ADa_de_la_fiabilidad"><span>Leer</span></a></li><li id="ca-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9todos_estoc%C3%A1sticos_en_teor%C3%ADa_de_la_fiabilidad&action=edit" title="Editar esta página [e]" accesskey="e"><span>Editar</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9todos_estoc%C3%A1sticos_en_teor%C3%ADa_de_la_fiabilidad&action=history" title="Versiones anteriores de esta página [h]" accesskey="h"><span>Ver historial</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Página de herramientas"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " 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<li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=book_creator&referer=M%C3%A9todos+estoc%C3%A1sticos+en+teor%C3%ADa+de+la+fiabilidad"><span>Crear un libro</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:DownloadAsPdf&page=M%C3%A9todos_estoc%C3%A1sticos_en_teor%C3%ADa_de_la_fiabilidad&action=show-download-screen"><span>Descargar como PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9todos_estoc%C3%A1sticos_en_teor%C3%ADa_de_la_fiabilidad&printable=yes" title="Versión imprimible de esta página [p]" accesskey="p"><span>Versión para imprimir</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> En otros proyectos </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q17154952" title="Enlace al elemento conectado del repositorio de datos [g]" accesskey="g"><span>Elemento de Wikidata</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Página de herramientas"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Apariencia"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Apariencia</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">mover a la barra lateral</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">ocultar</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">De Wikipedia, la enciclopedia libre</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="es" dir="ltr"><p>Los <b>métodos estocásticos en teoría de la fiabilidad</b> son una parte de los métodos de la <a href="/wiki/Fiabilidad_de_sistemas" title="Fiabilidad de sistemas">fiabilidad de sistemas</a> caracterizada, que se caracterizan por el uso de herramientas matemáticas avanzadas y en particular la <a href="/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_probabilidad" title="Teoría de la probabilidad">teoría de la probabilidad</a>. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definiciones_básicas"><span id="Definiciones_b.C3.A1sicas"></span>Definiciones básicas</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9todos_estoc%C3%A1sticos_en_teor%C3%ADa_de_la_fiabilidad&action=edit&section=1" title="Editar sección: Definiciones básicas"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>El problema básico de la teoría de la fiabilidad <a href="/wiki/Variable_aleatoria" title="Variable aleatoria">variables aleatorias</a> que son interpretables como el tiempo de vida de un elemento, el tiempo entre reparaciones, etc, de un determinado elemento importante en la funcionalidad de un sistema que se pretende estudiar. El tiempo de vida antes de fallo se define como el tiempo durante el cual un determinado elemento de un sistema opera satisfactoriamente, y transcurrido el cual el elemento queda en un estado de fallo (que puede ser reparable, no reparable pero reemplazable o fatal). Durante su funcionamiento normal un elemento se va desgastando o va degenerando hasta dejar de ser operativo, el tiempo de vida puede ser tratado mediante métodos estocásticos y estadísticos. Una evidencia de este desgaste es que la probabilidad esperada de fallo dado que ha estado en funcionamiento hasta el tiempo <i>t</i>, sea una función decreciente: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbb {E} [T_{t}]\leq 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">E</mi> </mrow> <mo stretchy="false">[</mo> <msub> <mi>T</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>≤</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbb {E} [T_{t}]\leq 0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/664ba86632943cdc438ca43f519d0c082bfde52b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:12.257ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbb {E} [T_{t}]\leq 0}"></span> </p> </blockquote> <p>donde <i>T<sub>t</sub></i> el <a href="/wiki/Tiempo_de_vida" class="mw-redirect" title="Tiempo de vida">tiempo de vida</a> dado que el elemento ha subsistido a hasta el tiempo <i>t</i>, la derivada anterior está definida en el sentido de la <a href="/wiki/Teor%C3%ADa_de_distribuciones" title="Teoría de distribuciones">teoría de distribuciones</a> (y podría no existir en el sentido del cálculo clásico). </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Tasa_de_fallo_y_razón_de_fallo_acumulada"><span id="Tasa_de_fallo_y_raz.C3.B3n_de_fallo_acumulada"></span>Tasa de fallo y razón de fallo acumulada</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9todos_estoc%C3%A1sticos_en_teor%C3%ADa_de_la_fiabilidad&action=edit&section=2" title="Editar sección: Tasa de fallo y razón de fallo acumulada"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint AP rellink"><span style="font-size:88%">Artículo principal:</span> <i><a href="/wiki/Funci%C3%B3n_de_riesgo" title="Función de riesgo"> Función de riesgo</a></i></div> <p>La <b>tasa de fallo</b>, <b>razón de fallo</b> o <b>función de riesgo</b> se define la razón de fallo de la variable aleatoria <i>T</i> > 0 como </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathrm {Prob} \{t<T\leq t+h\}}{h}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mn>0</mn> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">P</mi> <mi mathvariant="normal">r</mi> <mi mathvariant="normal">o</mi> <mi mathvariant="normal">b</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>t</mi> <mo><</mo> <mi>T</mi> <mo>≤</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>h</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mrow> <mi>h</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathrm {Prob} \{t<T\leq t+h\}}{h}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e736b239145884ab5b1f9133bfc63ea0fbc21df8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:32.397ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle r(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathrm {Prob} \{t<T\leq t+h\}}{h}}}"></span> </p> </blockquote> <p>Si la variable tiene una <a href="/wiki/Funci%C3%B3n_de_distribuci%C3%B3n" title="Función de distribución">función de distribución</a> <a href="/wiki/Funci%C3%B3n_absolutamente_continua" class="mw-redirect" title="Función absolutamente continua">absolutamente continua</a>, hay una expresión para esta función en términos de <a href="/wiki/Funci%C3%B3n_de_densidad_de_probabilidad" title="Función de densidad de probabilidad">función de densidad de probabilidad</a>: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r(t)={\frac {f(t)}{{\overline {F}}(t)}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r(t)={\frac {f(t)}{{\overline {F}}(t)}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac00a539ef88faa27b56fa0613bb34b0cde6937c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:12.297ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle r(t)={\frac {f(t)}{{\overline {F}}(t)}}}"></span> </p> </blockquote> <p>donde: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(t)=\mathrm {d} F(t)/\mathrm {d} t}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(t)=\mathrm {d} F(t)/\mathrm {d} t}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf317291e98fe6ee87974b6c927361cf9579f366" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.003ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(t)=\mathrm {d} F(t)/\mathrm {d} t}"></span> es la <a href="/wiki/Funci%C3%B3n_de_densidad_de_probabilidad" title="Función de densidad de probabilidad">función de densidad de probabilidad</a>.</dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {F}}(t)=1-F(t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {F}}(t)=1-F(t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97bcca654bcf880cdbfadf8e15617c70e67d2b4e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.156ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\overline {F}}(t)=1-F(t)}"></span> es la <a href="/wiki/Funci%C3%B3n_de_supervivencia" title="Función de supervivencia">función de supervivencia</a>.</dd></dl> <p>La razón de fallo acumulada se define como la integral: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Lambda (t)=\int _{0}^{t}r(\tau )\mathrm {d} \tau }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Λ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msubsup> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>τ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>τ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Lambda (t)=\int _{0}^{t}r(\tau )\mathrm {d} \tau }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8553c752bf4dc21c51c6a5e35293b467f65101f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:17.592ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \Lambda (t)=\int _{0}^{t}r(\tau )\mathrm {d} \tau }"></span> </p> </blockquote> <p>Es sencillo ver la función de supervivencia está directamente relacionada con la razón de fallo acumulada: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {F}}(t)=\exp \left[-\int _{0}^{t}r(\tau )\mathrm {d} \tau \right]=\exp[-\Lambda (t)]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mo>−</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msubsup> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>τ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>τ</mi> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mo>−</mo> <mi mathvariant="normal">Λ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {F}}(t)=\exp \left[-\int _{0}^{t}r(\tau )\mathrm {d} \tau \right]=\exp[-\Lambda (t)]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3cdcdfdc61f53d5fbbd1ec153a09e9c0281d955" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:40.212ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {\overline {F}}(t)=\exp \left[-\int _{0}^{t}r(\tau )\mathrm {d} \tau \right]=\exp[-\Lambda (t)]}"></span> </p> </blockquote> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Clases_de_distribuciones_relevantes">Clases de distribuciones relevantes</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9todos_estoc%C3%A1sticos_en_teor%C3%ADa_de_la_fiabilidad&action=edit&section=3" title="Editar sección: Clases de distribuciones relevantes"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Monotonía_de_la_tasa_de_fallo"><span id="Monoton.C3.ADa_de_la_tasa_de_fallo"></span>Monotonía de la tasa de fallo</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9todos_estoc%C3%A1sticos_en_teor%C3%ADa_de_la_fiabilidad&action=edit&section=4" title="Editar sección: Monotonía de la tasa de fallo"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Una variable aleatoria <i>T</i> tiene una tasa de fallo creciente (TFC o IFR <i>Increasing Failure Rate</i>) si la función de tasa de fallo es mónotona creciente para todo <i>t</i>, en este caso se dice que la variable aleatoria es de tipo TFC. Análogamente si la función de tasa de falla es monótona decreciente la variable es de tipo TFD (Tasa de fallo decreciente o DFR <i>Decreasing Failure Rate</i>). Puede demostrarse que una variable es de tipo TFC (o TFD) si y solo si el tiempo de vida residual <i>T<sub>t</sub></i> es estocásticamente decreciente en <i>t</i>. </p> <dl><dt>Ejemplos</dt></dl> <p>La distribución exponencial <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(t)=1-\exp(-\lambda t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>λ</mi> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(t)=1-\exp(-\lambda t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2573e17887a85e5ab044b55087688b6cdead67f6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.856ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(t)=1-\exp(-\lambda t)}"></span> tiene una tasa de fallo constante <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r(t)=\lambda }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>λ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r(t)=\lambda }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc3c7ddaf9b3e99b4daa2d4ff8305a9c27f6e581" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.151ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle r(t)=\lambda }"></span>, y es la única distribución que pertenece al mismo tiempo a la clase TFC y TFD. Otras clases de distribuciones usadas en <a href="/wiki/Fiabilidad_de_sistemas" title="Fiabilidad de sistemas">fiabilidad de sistemas</a> como la <a href="/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_Weibull" title="Distribución de Weibull">distribución de Weibull</a> que viene dada por: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(t)=1-\exp[(-\lambda t)^{\beta }]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>λ</mi> <mi>t</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>β</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(t)=1-\exp[(-\lambda t)^{\beta }]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6b48c6d5b397df4736ef18e2cfd0f4a5fbdb2e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.323ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle F(t)=1-\exp[(-\lambda t)^{\beta }]}"></span>, para <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t\geq 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>t</mi> <mo>≥</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t\geq 0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/248525429e9cd266f53ab8c52d17bc206c546060" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.101ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle t\geq 0}"></span> </p> </blockquote> <p>tiene una distribución <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r(t)=\beta \lambda (\lambda t)^{\beta -1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>β</mi> <mi>λ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>λ</mi> <mi>t</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>β</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r(t)=\beta \lambda (\lambda t)^{\beta -1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/194e230cabe46f6e777d6c93868b5640bed45bff" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.762ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle r(t)=\beta \lambda (\lambda t)^{\beta -1}}"></span> esta función es estrictamente creciente para <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta >1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>β</mi> <mo>></mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta >1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1476a19e8f0d4cee97bf949617be8ed3cbc676e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.593ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta >1}"></span> y estrictamente decreciente <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta <1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>β</mi> <mo><</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta <1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a25a2be3655a09dd4938ea4991c5749cb46708c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.593ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta <1}"></span>. Por esa razón la distribución de Weibull puede ser de la clase TFC y TFD, según el valor de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta \,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>β</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta \,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cf629bdcc90521bb174119ac00d2f82e66b6858" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.719ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta \,}"></span>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Clases_según_uso"><span id="Clases_seg.C3.BAn_uso"></span>Clases según uso</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9todos_estoc%C3%A1sticos_en_teor%C3%ADa_de_la_fiabilidad&action=edit&section=5" title="Editar sección: Clases según uso"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La noción de desgaste TFC compara estocásticamente la vida residual de un elemento en dos instantes diferentes. Cuando se compara la vida residual en <i>t</i>> 0 con la vida de un elemento nuevo (<i>t</i> = 0) surge una clase de fistribuciones. Una variable aleatoria <i>T</i> se dice que es "nueva mejor que usada" (NMU o NBU <i>New Better than Used</i>) si se cumple que: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {F}}(t+\tau )\leq {\overline {F}}(t)\cdot {\overline {F}}(\tau )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>τ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≤</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>τ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {F}}(t+\tau )\leq {\overline {F}}(t)\cdot {\overline {F}}(\tau )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7418b4e13ecd036a4f6b83702c07769d17e1883" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.176ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\overline {F}}(t+\tau )\leq {\overline {F}}(t)\cdot {\overline {F}}(\tau )}"></span> </p> </blockquote> <p>Análogamente revirtiendo el sentido de la desigualdad se define una variable "nueva peor que usada" (NPU o NWU <i>New Worse than Used</i>). Puede demostrarse cualquier variable aleatoria que sea de tipo TFC es necesariamente de clase NMU (y análogamente una variable aleatoria de tipo TFD es necesariamente NPU). Además las clases NMU y NPU son caracterizables a partir de la tasa de fallo acumulativa. Una variable aleatoria es NMU si su tasa de fallo acumulativa es superaditiva: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Lambda (t+\tau )\geq \Lambda (t)+\Lambda (\tau )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Λ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>τ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≥</mo> <mi mathvariant="normal">Λ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi mathvariant="normal">Λ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>τ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Lambda (t+\tau )\geq \Lambda (t)+\Lambda (\tau )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e4b82c43e1d2474b8f37995df1d6842632bd796" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.129ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Lambda (t+\tau )\geq \Lambda (t)+\Lambda (\tau )}"></span> </p> </blockquote> <p>Análogamente es NPU si su tasa de fallo acumlativo es subaditiva. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Referencias">Referencias</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9todos_estoc%C3%A1sticos_en_teor%C3%ADa_de_la_fiabilidad&action=edit&section=6" title="Editar sección: Referencias"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="listaref" style="-moz-column-count:2; -webkit-column-count:2; column-count:2; list-style-type: decimal;"></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bibliografía"><span id="Bibliograf.C3.ADa"></span>Bibliografía</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9todos_estoc%C3%A1sticos_en_teor%C3%ADa_de_la_fiabilidad&action=edit&section=7" title="Editar sección: Bibliografía"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>R. Borges (2005) <a rel="nofollow" class="external text" href="http://webdelprofesor.ula.ve/economia/borgesr/PaipaREBP.pdf">Disponible en PDF <i>Análisis de sobrevivencia utilizando el Lenguaje R</i></a> XV Simposio de Estadística, Paipa, Colombia.</li> <li>R. Pérez Ocón, M. L. Gámiz Pérez, J. E. Ruiz Castro (1998) <i>Métodos estocásticos en teoría de la fiabilidad</i>, Proyecto Sur, Universidad de Granada. <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/8482554926" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 84-82554-926</a>-X.</li></ul> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r161257576">.mw-parser-output .mw-authority-control{margin-top:1.5em}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox table{margin:0}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox hr:last-child{display:none}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox+.mw-mf-linked-projects{display:none}.mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects{display:flex;padding:0.5em;border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);background-color:var(--background-color-neutral,#eaecf0);color:var(--color-base,#202122)}.mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects ul li{margin-bottom:0}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox{border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);background-color:var(--background-color-neutral-subtle,#f8f9fa)}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox-list{border-color:#f8f9fa}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox th{background-color:#eeeeff}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects{border:1px solid var(--border-color-base,#72777d);background-color:var(--background-color-neutral,#27292d);color:var(--color-base,#eaecf0)}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox{border:1px solid var(--border-color-base,#72777d)!important;background-color:var(--background-color-neutral-subtle,#202122)!important}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox-list{border-color:#202122!important}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox th{background-color:#27292d!important}@media(prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects{border:1px solid var(--border-color-base,#72777d)!important;background-color:var(--background-color-neutral,#27292d)!important;color:var(--color-base,#eaecf0)!important}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox{border:1px solid var(--border-color-base,#72777d)!important;background-color:var(--background-color-neutral-subtle,#202122)!important}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox-list{border-color:#202122!important}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox th{background-color:#27292d!important}}</style><div class="mw-authority-control"><div role="navigation" class="navbox" aria-label="Navbox" style="width: inherit;padding:3px"><table class="hlist navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width: 12%; text-align:center;"><a href="/wiki/Control_de_autoridades" title="Control de autoridades">Control de autoridades</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><b>Proyectos Wikimedia</b></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikidata" title="Wikidata"><img alt="Wd" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/20px-Wikidata-logo.svg.png" decoding="async" width="20" height="11" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/30px-Wikidata-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/40px-Wikidata-logo.svg.png 2x" data-file-width="1050" data-file-height="590" /></a></span> Datos:</span> <span class="uid"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q17154952" class="extiw" title="wikidata:Q17154952">Q17154952</a></span></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div><div class="mw-mf-linked-projects hlist"> <ul><li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikidata" title="Wikidata"><img alt="Wd" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/20px-Wikidata-logo.svg.png" decoding="async" width="20" height="11" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/30px-Wikidata-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/40px-Wikidata-logo.svg.png 2x" data-file-width="1050" data-file-height="590" /></a></span> Datos:</span> <span class="uid"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q17154952" class="extiw" title="wikidata:Q17154952">Q17154952</a></span></li></ul> </div></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1&useformat=desktop" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Obtenido de «<a dir="ltr" href="https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Métodos_estocásticos_en_teoría_de_la_fiabilidad&oldid=155611412">https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Métodos_estocásticos_en_teoría_de_la_fiabilidad&oldid=155611412</a>»</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Especial:Categor%C3%ADas" title="Especial:Categorías">Categorías</a>: <ul><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Estad%C3%ADstica" title="Categoría:Estadística">Estadística</a></li><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Ingenier%C3%ADa" title="Categoría:Ingeniería">Ingeniería</a></li><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:An%C3%A1lisis_de_fiabilidad" title="Categoría:Análisis de fiabilidad">Análisis de fiabilidad</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Categoría oculta: <ul><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Wikipedia:P%C3%A1ginas_con_enlaces_m%C3%A1gicos_de_ISBN" title="Categoría:Wikipedia:Páginas con enlaces mágicos de ISBN">Wikipedia:Páginas con enlaces mágicos de ISBN</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Esta página se editó por última vez el 25 nov 2023 a las 14:40.</li> <li id="footer-info-copyright">El texto está disponible bajo la <a href="/wiki/Wikipedia:Texto_de_la_Licencia_Creative_Commons_Atribuci%C3%B3n-CompartirIgual_4.0_Internacional" title="Wikipedia:Texto de la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional">Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0</a>; 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