CINXE.COM

<!DOCTYPE html>    <html>  <head><script type="text/javascript" src="https://web-static.archive.org/_static/js/bundle-playback.js?v=7YQSqjSh" charset="utf-8"></script> <script type="text/javascript" src="https://web-static.archive.org/_static/js/wombat.js?v=txqj7nKC" charset="utf-8"></script> <script>window.RufflePlayer=window.RufflePlayer||{};window.RufflePlayer.config={"autoplay":"on","unmuteOverlay":"hidden"};</script> <script type="text/javascript" src="https://web-static.archive.org/_static/js/ruffle/ruffle.js"></script> <script type="text/javascript"> __wm.init("https://web.archive.org/web"); __wm.wombat("http://n-t.ru:80/tp/lt/vtf.htm","20181123190634","https://web.archive.org/","web","https://web-static.archive.org/_static/", "1542999994"); </script> <link rel="stylesheet" type="text/css" href="https://web-static.archive.org/_static/css/banner-styles.css?v=p7PEIJWi" /> <link rel="stylesheet" type="text/css" href="https://web-static.archive.org/_static/css/iconochive.css?v=3PDvdIFv" />  <title>Великая теорема Ферма. Cтатьи. Наука и техника</title> <meta http-equiv="X-UA-Compatible" content="IE=edge,chrome=1"/> <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1"> <meta name="SKYPE_TOOLBAR" content="SKYPE_TOOLBAR_PARSER_COMPATIBLE"/>  <meta property="og:title" content="Великая теорема Ферма"> <meta property="og:url" content="https://web.archive.org/web/20181123190634/http://n-t.ru/tp/lt/vtf.htm"> <meta property="og:image" content="https://web.archive.org/web/20181123190634im_/http://n-t.ru/n-t158.png"> <meta property="og:image:width" content="316"> <meta property="og:image:height" content="316"> <meta property="og:description" content=""> <link rel="icon" href="/web/20181123190634im_/http://n-t.ru/favicon.ico" type="image/x-icon"> <link href="/web/20181123190634cs_/http://n-t.ru/dz/nit.css" rel="stylesheet" type="text/css"> </head> <body> <script type="text/javascript"></script> <div id="fb-root"></div> <script>(function(d, s, id) { var js, fjs = d.getElementsByTagName(s)[0]; if (d.getElementById(id)) return; js = d.createElement(s); js.id = id; js.src = "//web.archive.org/web/20181123190634/http://connect.facebook.net/ru_RU/sdk.js#xfbml=1&version=v2.4&appId=1615304618725556"; fjs.parentNode.insertBefore(js, fjs); }(document, 'script', 'facebook-jssdk'));</script> <div class="vk vkm">  <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/"> <img class="il1" style="float: left;" src="/web/20181123190634im_/http://n-t.ru/dz/1024-logo.gif" border="0" width="208" height="72" alt="Перейти в начало сайта" title="Перейти в начало сайта"> <img class="il2" style="float: left;" src="/web/20181123190634im_/http://n-t.ru/dz/480-800-logo.gif" border="0" width="50" height="50" alt="Перейти в начало сайта" title="Перейти в начало сайта"> </a>  <div class="nv nm1">Электронная библиотека «Наука и техника»</div> <div class="nv nm2">n-t.ru: Наука и техника</div>  <div class="nv nv1"><a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/">Начало сайта</a> / <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/tp/">Cтатьи</a> / <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/tp/lt/"></a></div> <div class="nv nv2"><a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/">Начало сайта</a> / <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/tp/">Cтатьи</a> / <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/tp/lt/"></a></div> <div class="fp1"><div class="ya-site-form ya-site-form_inited_no" onclick="return {'action':'https://web.archive.org/web/20181123190634/http://n-t.ru/sy.htm','arrow':false,'bg':'transparent','fontsize':14,'fg':'#000000','language':'ru','logo':'rb','publicname':'Поиск по n-t.ru','suggest':false,'target':'_self','tld':'ru','type':3,'usebigdictionary':true,'searchid':149297,'webopt':false,'websearch':false,'input_fg':'#a1aab3','input_bg':'#ffffff','input_fontStyle':'normal','input_fontWeight':'normal','input_placeholder':'Поиск по n-t.ru:','input_placeholderColor':'#a1aab3','input_borderColor':'#B8D9B8'}"><form action="https://web.archive.org/web/20181123190634/http://yandex.ru/sitesearch" method="get" target="_self"><input type="hidden" name="searchid" value="149297"/><input type="hidden" name="l10n" value="ru"/><input type="hidden" name="reqenc" value=""/><input type="search" name="text" value=""/><input type="submit" value="Найти"/></form></div><style type="text/css">.ya-page_js_yes .ya-site-form_inited_no { display: none; }</style><script type="text/javascript">(function(w,d,c){var s=d.createElement('script'),h=d.getElementsByTagName('script')[0],e=d.documentElement;if((' '+e.className+' ').indexOf(' ya-page_js_yes ')===-1){e.className+=' ya-page_js_yes';}s.type='text/javascript';s.async=true;s.charset='utf-8';s.src=(d.location.protocol==='https:'?'https:':'http:')+'//web.archive.org/web/20181123190634/http://site.yandex.net/v2.0/js/all.js';h.parentNode.insertBefore(s,h);(w[c]||(w[c]=[])).push(function(){Ya.Site.Form.init()})})(window,document,'yandex_site_callbacks');</script></div> </div> <div class="pl plm"> <div class="pll"> <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/ns/" class="arz">Научные статьи</a> <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/ns/fz/" class="arb">Физика звёзд</a> <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/ns/fm/" class="arb">Физика микромира</a> <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/nj/" class="arz">Журналы</a> <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/nj/pr/" class="arb">Природа</a> <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/nj/nz/" class="arb">Наука и жизнь</a> <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/nj/pl/" class="arb">Природа и люди</a> <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/nj/tm/" class="arb">Техника – молодёжи</a> <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/nl/" class="arz">Нобелевские лауреаты</a> <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/nl/fz/" class="arb">Премия по физике</a> <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/nl/hm/" class="arb">Премия по химии</a> <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/nl/lt/" class="arb">Премия по литературе</a> <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/nl/mf/" class="arb">Премия по медицине</a> <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/nl/ek/" class="arb">Премия по экономике</a> <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/nl/mr/" class="arb">Премия мира</a> <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/ri/" class="arz">Книги</a> <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/ri/lz/da.htm" id="rb">Во главе двух академий</a> <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/ri/ms/dz.htm" id="rb">Доктор занимательных наук</a> <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/ri/fr/" id="rb">Генри Форд</a>. <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/ri/fr/mz.htm" id="rb">Моя жизнь, мои достижения</a> <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/ri/ch/pi.htm" id="rb">Популярная информатика</a> <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/ri/kr/pu.htm" id="rb">Приключения великих уравнений</a> <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/ri/mh/ch.htm" id="rb">Часы. От гномона до атомных часов</a> <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/ii/" class="arz">Издания НиТ</a> <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/ii/ba/" class="arb">Батарейки и аккумуляторы</a> <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/ii/os/" class="arb">Охранные системы</a> <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/ii/ie/" class="arb">Источники энергии</a> <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/ii/st/" class="arb">Свет и тепло</a> <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/tp/" class="arz">Научно-популярные статьи</a> <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/tp/ns/" class="arb">Наука сегодня</a> <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/tp/ng/" class="arb">Научные гипотезы</a> <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/tp/to/" class="arb">Теория относительности</a> <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/tp/in/" class="arb">История науки</a> <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/tp/nr/" class="arb">Научные развлечения</a> <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/tp/ts/" class="arb">Техника сегодня</a> <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/tp/it/" class="arb">История техники</a> <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/tp/iz/" class="arb">Измерения в технике</a> <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/tp/ie/" class="arb">Источники энергии</a> <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/tp/rn/" class="arb">Наука и религия</a> <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/tp/mr/" class="arb">Мир, в котором мы живём</a> <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/tp/lt/" class="arb">Лит. творчество ученых</a> <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/tp/br/" class="arb">Человек и общество</a> <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/tp/ob/" class="arb">Образование</a> <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/tp/rz/" class="arb">Разное</a> </div> <div class="plp plpm"> <h1>Великая теорема Ферма</h1> <a href="https://web.archive.org/web/20181123190634/http://n-t.ru/ac/ap.htm#P07">Валерий Петров</a> Как рассказывает В. Латышев, «Более 350 лет математики всего мира безуспешно ищут ответ на вопрос: «Верна ли великая теорема Ферма?». Не находит его и дьявол, изучив за 10 часов все без исключения разделы математики и потратив остаток времени на собственные изыскания, он, за 10 минут до истечения срока, появляется с пачкой исписанных листков, швыряет их на пол и топчет ногами. И, признав свое поражение, исчезает... Однако спустя несколько минут появляется вновь и вместе с человеком начинает искать ответ на поставленный вопрос». В действительности, однако, все было несколько иначе. Когда дьявол узнал об условии заключения договора с ученым-математиком о продажи его души, он рассмеялся и сказал: «Нет ничего проще. У меня есть доказательство этой теоремы, написанное самим Ферма». С этими словами дьявол достал из кармана аккуратно сложенный лист бумаги и протянул его ученому. Флэгг уселся поудобнее в кресло у камина и стал читать. «Пусть имеется три целых числа, удовлетворяющих уравнению: <table width="100%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="4" style="font-size: 106%; line-height: 120%; text-align: center; margin: 10px 0px;"><tr><td>zn = xn + yn</td><td width="7%" align="right">(1)</td></tr> </table> Известно, что три числа, удовлетворяющих уравнению (1), должны удовлетворять следующим условиям: <ul> <li>одно из чисел, например, z, должно быть четным, два других – нечетными;</li> <li>числа должны быть взаимно простыми, т.е. попарно не должны иметь общих множителей;</li> <li>никакие два числа не могут быть равны друг другу.</li> </ul> Предположим для определенности, что z > x > y. Очевидно, что число z меньше суммы двух других чисел, т.е. <table width="100%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="4" style="font-size: 106%; line-height: 120%; text-align: center; margin: 10px 0px;"><tr><td>z < x + y</td><td width="7%" align="right">(2)</td></tr> </table> Пусть имеется три отрезка длиной z, x, y, удовлетворяющих условию (2). Тогда в силу известной теоремы на этих отрезках можно построить треугольник как на сторонах. Известно, что треугольник, между сторонами которого имеет место соотношение (1), при n > 2 остроугольный. Тогда для сторон этого треугольника имеет место соотношение, вытекающее из теоремы косинусов: z2 = x2 + y2 – 2xycosα: где α – угол между сторонами x и y. Построим остроугольный треугольник ABC со сторонами AB = x, BC = y, AC = z. Опустим из точки A остроугольного треугольника ABC перпендикуляр на противолежащую сторону BC, как это изображено на рисунке. <img src="/web/20181123190634im_/http://n-t.ru/tp/lt/vtf1.gif" alt="Великая теорема Ферма. Остроугольный треугольник" width="277" height="226" vspace="15" border="0"> Рис. 1. Остроугольный треугольник Из треугольника BC1C находим cosα = m1 / BC = m1 / y. Подставляя значение cosα в (2), получим: z2 = x2 + y2 – 2xym1 / y <table width="100%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="4" style="font-size: 106%; line-height: 120%; text-align: center; margin: 10px 0px;"><tr><td>z2 = x2 + y2 – 2xm1</td><td width="7%" align="right">(3)</td></tr> </table> Таким образом, для одного и того же треугольника одновременно имеем два различных соотношения между его сторонами: (1) и (3). Тогда суть теоремы может быть выражена иначе: Требуется доказать, что никакие целочисленные решения уравнения (3) не являются таковыми для уравнения (1). Умножим уравнение (3) на zn–2. Получим: <table width="100%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="4" style="font-size: 106%; line-height: 120%; text-align: center; margin: 10px 0px;"><tr><td>zn–2z2 = zn–2x2 + zn–2y2 – 2xzn–2m1</td><td width="7%" align="right">(4)</td></tr> </table> Пусть zn–2 = xn–2 + a = yn–2 + b, где a и b – некоторые целые числа, обеспечивающие указанные равенства. Тогда, подставляя значение zn–2 в (4), получим: zn = (xn–2 + a) x2 + (yn–2 + b) y2 – 2x(xn–2 + a)m1 <table width="100%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="4" style="font-size: 106%; line-height: 120%; text-align: center; margin: 10px 0px;"><tr><td>zn = xn + ax2 + yn + by2 – 2x(xn–2 + a)m1</td><td width="7%" align="right">(5)</td></tr> </table> Вычитая (1) из (5), получим: <table width="100%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="4" style="font-size: 106%; line-height: 120%; text-align: center; margin: 10px 0px;"><tr><td>0 = ax2 + by2 – 2x(xn–2 + a)m1</td><td width="7%" align="right">(6)</td></tr> </table> Таким образом, если при каких-либо целочисленных значениях чисел x и y уравнение (6) окажется равным нулю, то решение этого уравнения (т.е. значения чисел x и y) будет одновременно решением уравнения (1). Решая данное уравнение, получим: by2 = 2x(xn–2 + a)m1 – ax2 by2 = x[2(xn–2 + a)m1 – ax] Запишем для простоты вычислений 2(xn–2 + a)m1 – ax = k. Получим: by2 = kx, откуда следует: y = √kx/b, т.е. √x является одним из множителей числа y. Таким образом, целочисленные решения уравнения (6) оказываются возможными только при условии, что √x является одним из множителей числа y, что противоречит начальным условиям задачи. Следовательно, ни при каких значениях чисел x и y, удовлетворяющих начальным условиям задачи, уравнение (6) не может быть равно нулю. Следовательно, ни при каких значениях чисел x и y, удовлетворяющих начальным условиям задачи, уравнение (5) не может быть преобразовано в уравнение (1). Следовательно, ни при каких значениях чисел x и y, удовлетворяющих начальным условиям задачи, уравнение (1) не может иметь каких-либо целочисленных решений. Это значит, что в остроугольном треугольнике, между сторонами которого имеет место соотношение (1), по крайней мере, одна из сторон не может быть выражена никаким целым числом. Что и требовалось доказать». Флэгг задумался на мгновенье и неожиданно швырнул бумагу прямо в огонь. «Зачем Вы это сделали?» – воскликнул дьявол. «Я нахожу, что слишком дешево продал свою душу. Так пусть же никто больше не воспользуется этим доказательством!» – ответил Флэгг. «В самом деле», подумал дьявол, «пусть математики еще поломают головы над доказательством этой теоремы».  <div class="dk"> <div class="dp"> Дата публикации: 1 апреля 2002 года </div> <div class="ev"> Электронная версия: © <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/">НиТ</a>. <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/tp/">Cтатьи</a>, 1997 </div> </div> </div>  </div>  <div class="nk nkm"> <div class="fp2"><div class="ya-site-form ya-site-form_inited_no" onclick="return {'action':'https://web.archive.org/web/20181123190634/http://n-t.ru/sy.htm','arrow':false,'bg':'transparent','fontsize':14,'fg':'#000000','language':'ru','logo':'rb','publicname':'Поиск по n-t.ru','suggest':false,'target':'_self','tld':'ru','type':3,'usebigdictionary':true,'searchid':149297,'webopt':false,'websearch':false,'input_fg':'#a1aab3','input_bg':'#ffffff','input_fontStyle':'normal','input_fontWeight':'normal','input_placeholder':'Поиск по n-t.ru:','input_placeholderColor':'#a1aab3','input_borderColor':'#B8D9B8'}"><form action="https://web.archive.org/web/20181123190634/http://yandex.ru/sitesearch" method="get" target="_self"><input type="hidden" name="searchid" value="149297"/><input type="hidden" name="l10n" value="ru"/><input type="hidden" name="reqenc" value=""/><input type="search" name="text" value=""/><input type="submit" value="Найти"/></form></div><style type="text/css">.ya-page_js_yes .ya-site-form_inited_no { display: none; }</style><script type="text/javascript">(function(w,d,c){var s=d.createElement('script'),h=d.getElementsByTagName('script')[0],e=d.documentElement;if((' '+e.className+' ').indexOf(' ya-page_js_yes ')===-1){e.className+=' ya-page_js_yes';}s.type='text/javascript';s.async=true;s.charset='utf-8';s.src=(d.location.protocol==='https:'?'https:':'http:')+'//web.archive.org/web/20181123190634/http://site.yandex.net/v2.0/js/all.js';h.parentNode.insertBefore(s,h);(w[c]||(w[c]=[])).push(function(){Ya.Site.Form.init()})})(window,document,'yandex_site_callbacks');</script></div> <div style="padding: 4px 0 6px 0; background: #f0faff;"><div class="fp2"><a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/">В начало сайта</a> | <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/ri/">Книги</a> | <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/tp/">Статьи</a> | <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/nj/">Журналы</a> | <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/nl/">Нобелевские лауреаты</a> | <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/ii/">Издания НиТ</a> <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/ks.htm#n-t">Карта сайта</a> | <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/sp/">Cовместные проекты</a> | <a href="https://web.archive.org/web/20181123190634/http://smbr.ru/">Журнал «Сумбур»</a> | <a href="https://web.archive.org/web/20181123190634/http://o-val.ru/">Игумен Валериан</a> </div></div> <div style="padding: 4px 0 6px 0; background: #fffceb; border-top: 1px solid #99D8FF;"><div class="fp2">© <a href="https://web.archive.org/web/20181123190634/http://n-t.ru/">МОО «Наука и техника»</a>, 1997...2018</div></div> <div style="padding: 4px 0 6px 0; background: #f0faff; border-top: 1px solid #99D8FF;"><div class="fp2"><a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/md.htm">Об организации</a> • <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/ad.htm">Аудитория</a> • <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/ki.htm">Связаться с нами</a> • <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/rr.htm">Разместить рекламу</a> • <a href="/web/20181123190634/http://n-t.ru/pi.htm">Правовая информация</a> </div></div> </div> </body></html>