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<!DOCTYPE html> <html lang="en"> <head> <meta content="text/html; charset=utf-8" http-equiv="content-type"/> <title>LSU factorization</title>  <meta content="width=device-width, initial-scale=1, shrink-to-fit=no" name="viewport"/> <link href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/css/bootstrap.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv-fonts.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/latexml_styles.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/js/bootstrap.bundle.min.js"></script> <script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/html2canvas/1.3.3/html2canvas.min.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/addons_new.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/feedbackOverlay.js"></script> <meta content=" matrix algorithm, LU factorization, LSU factorization, complexity, parallel algorithm " lang="en" name="keywords"/> <base href="/html/2503.13640v1/"/></head> <body> <nav class="ltx_page_navbar"> <nav class="ltx_TOC"> <ol class="ltx_toclist"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#S1" title="In LSU factorization"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">I </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps">Introduction</span></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#S2" title="In LSU factorization"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">II </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps">Initial statement of the problem</span></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#S3" title="In LSU factorization"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">III </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps"> Preliminaries</span></span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#S3.SS1" title="In III Preliminaries ‣ LSU factorization"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">III-A</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic"> Semigroup of weighted permutations</span></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#S3.SS2" title="In III Preliminaries ‣ LSU factorization"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">III-B</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic">Some mappings on semigroups</span></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#S3.SS3" title="In III Preliminaries ‣ LSU factorization"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">III-C</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic">Surrounding minors</span></span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#S4" title="In LSU factorization"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">IV </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps">Statement of the problem</span></span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#S4.SS1" title="In IV Statement of the problem ‣ LSU factorization"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">IV-A</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic">General statement of the problem</span></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#S4.SS2" title="In IV Statement of the problem ‣ LSU factorization"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">IV-B</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic"> Inverse and pseudo inverse matrices</span></span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#S5" title="In LSU factorization"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">V </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps">Construction of a dichotomous recursive factorization</span></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#S6" title="In LSU factorization"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">VI </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps"> Algorithm of LSU factorization </span></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#S7" title="In LSU factorization"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">VII </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps">Complexity</span></span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#S7.SS1" title="In VII Complexity ‣ LSU factorization"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">VII-A</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic">The number of arithmetic operations in the numeric field</span></span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#S8" title="In LSU factorization"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">VIII </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps">Examples</span></span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#S8.SS1" title="In VIII Examples ‣ LSU factorization"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">VIII-A</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic">Detailed description of an example of matrix factorization</span></span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#S9" title="In LSU factorization"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">IX </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps">Conclusion</span></span></a></li> </ol></nav> </nav> <div class="ltx_page_main"> <div class="ltx_page_content"> <article class="ltx_document ltx_authors_1line"> <h1 class="ltx_title ltx_title_document">LSU factorization </h1> <div class="ltx_authors"> <span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname"> Gennadi Malaschonok<sup class="ltx_sup" id="id4.4.id1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="id4.4.id1.1">∗</span></sup> </span><span class="ltx_author_notes"><sup class="ltx_sup" id="id5.5.id1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="id5.5.id1.1">∗</span></sup>This is preprint of the paper: G. Malaschonok, ”LSU Factorization,” 2023 International Conference on Computational Science and Computational Intelligence (CSCI), Las Vegas, NV, USA, 2023, pp. 472-478, doi: 10.1109/CSCI62032.2023.00083.<sup class="ltx_sup" id="id6.6.id1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="id6.6.id1.1">∗∗</span></sup>This work was supported by a grant from the Simons Foundation, ID:1030285. The conference registration fee was paid by the Ukrainian company Genesis. <span class="ltx_contact ltx_role_affiliation"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="id7.7.id1">Faculty of Computer Science</span> <br class="ltx_break"/><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="id8.8.id2">National University of Kyiv-Mohyla Academy <br class="ltx_break"/></span>Kyiv, Ukraine <br class="ltx_break"/>malaschonok@ukma.edu.ua </span></span></span> </div> <div class="ltx_abstract"> <h6 class="ltx_title ltx_title_abstract">Abstract</h6> <p class="ltx_p" id="id9.id1">The matrix LU factorization algorithm is a fundamental algorithm in linear algebra. We propose a generalization of the LU and LEU algorithms to accommodate the case of a commutative domain and its field of quotients. This algorithm decomposes any matrix A into a product of three matrices A=LSU, where each element of the triangular matrices L and U is a minor of matrix A. The number of non-zero elements in matrix S is equal to rank(A), and each of them is the inverse of the product of a specific pair of matrix A minors. The algorithm’s complexity is equivalent to that of matrix multiplication.</p> </div> <div class="ltx_keywords"> <h6 class="ltx_title ltx_title_keywords">Index Terms: </h6> matrix algorithm, LU factorization, LSU factorization, complexity, parallel algorithm </div> <section class="ltx_section" id="S1"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">I </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="S1.1.1">Introduction</span> </h2> <div class="ltx_para" id="S1.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.p1.2">The LU factorization represents matrix <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.1.m1.1"><semantics id="S1.p1.1.m1.1a"><mi id="S1.p1.1.m1.1.1" xref="S1.p1.1.m1.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.1.m1.1b"><ci id="S1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p1.1.m1.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.1.m1.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.1.m1.1d">italic_A</annotation></semantics></math> as a product, <math alttext="A=LU" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.2.m2.1"><semantics id="S1.p1.2.m2.1a"><mrow id="S1.p1.2.m2.1.1" xref="S1.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S1.p1.2.m2.1.1.2" xref="S1.p1.2.m2.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="S1.p1.2.m2.1.1.1" xref="S1.p1.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S1.p1.2.m2.1.1.3" xref="S1.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S1.p1.2.m2.1.1.3.2" xref="S1.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml">L</mi><mo id="S1.p1.2.m2.1.1.3.1" xref="S1.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p1.2.m2.1.1.3.3" xref="S1.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml">U</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.2.m2.1b"><apply id="S1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.1"><eq id="S1.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S1.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.1.2">𝐴</ci><apply id="S1.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.1.3"><times id="S1.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.1.3.1"></times><ci id="S1.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.1.3.2">𝐿</ci><ci id="S1.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.1.3.3">𝑈</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.2.m2.1c">A=LU</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.2.m2.1d">italic_A = italic_L italic_U</annotation></semantics></math>, where L is a lower triangular matrix, and U is an upper triangular matrix. It serves as a foundational algorithm in linear algebra program libraries <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#bib.bib1" title="">1</a>]</cite>, and various algorithms, including solving linear systems, matrix inversion, and rank calculation.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p2"> <p class="ltx_p" id="S1.p2.1">With supercomputers, handling larger matrices in applied problem-solving has become possible, but limitations of matrix algorithms have also become evident. To effectively use big data, issues like rounding errors, loss of precision, poor parallelism, and high computational complexity must be addressed (see, for example, <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#bib.bib2" title="">2</a>]</cite>).</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p3"> <p class="ltx_p" id="S1.p3.2">As matrix sizes increase, computational errors also grow. Today’s calculation limitations are not due to insufficient computing power of supercomputers, but rather the accumulation of computational errors. As such, the LEU algorithm (<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#bib.bib3" title="">3</a>]</cite>), a block recursive algorithm with matrix multiplication complexity, is efficient for sparse matrices and its coarse-grained algorithm parallelizes well. However, accumulating computational errors for matrices over classical fields <math alttext="{\mathbb{R}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p3.1.m1.1"><semantics id="S1.p3.1.m1.1a"><mi id="S1.p3.1.m1.1.1" xref="S1.p3.1.m1.1.1.cmml">ℝ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p3.1.m1.1b"><ci id="S1.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p3.1.m1.1.1">ℝ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p3.1.m1.1c">{\mathbb{R}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p3.1.m1.1d">blackboard_R</annotation></semantics></math> and <math alttext="{\mathbb{C}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p3.2.m2.1"><semantics id="S1.p3.2.m2.1a"><mi id="S1.p3.2.m2.1.1" xref="S1.p3.2.m2.1.1.cmml">ℂ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p3.2.m2.1b"><ci id="S1.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p3.2.m2.1.1">ℂ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p3.2.m2.1c">{\mathbb{C}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p3.2.m2.1d">blackboard_C</annotation></semantics></math> remains a challenge.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p4"> <p class="ltx_p" id="S1.p4.6">We consider matrices over commutative domains and their quotient fields and propose a generalization of the LEU algorithm, which we call the LSU algorithm. Simultaneously with the calculation of the factors of the original matrix <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.1.m1.1"><semantics id="S1.p4.1.m1.1a"><mi id="S1.p4.1.m1.1.1" xref="S1.p4.1.m1.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.1.m1.1b"><ci id="S1.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p4.1.m1.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.1.m1.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.1.m1.1d">italic_A</annotation></semantics></math>, the factors of the matrix <math alttext="P" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.2.m2.1"><semantics id="S1.p4.2.m2.1a"><mi id="S1.p4.2.m2.1.1" xref="S1.p4.2.m2.1.1.cmml">P</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.2.m2.1b"><ci id="S1.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p4.2.m2.1.1">𝑃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.2.m2.1c">P</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.2.m2.1d">italic_P</annotation></semantics></math> inverse to <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.3.m3.1"><semantics id="S1.p4.3.m3.1a"><mi id="S1.p4.3.m3.1.1" xref="S1.p4.3.m3.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.3.m3.1b"><ci id="S1.p4.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.p4.3.m3.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.3.m3.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.3.m3.1d">italic_A</annotation></semantics></math> are also computed. If the original matrix <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.4.m4.1"><semantics id="S1.p4.4.m4.1a"><mi id="S1.p4.4.m4.1.1" xref="S1.p4.4.m4.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.4.m4.1b"><ci id="S1.p4.4.m4.1.1.cmml" xref="S1.p4.4.m4.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.4.m4.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.4.m4.1d">italic_A</annotation></semantics></math> is not invertible, then <math alttext="P" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.5.m5.1"><semantics id="S1.p4.5.m5.1a"><mi id="S1.p4.5.m5.1.1" xref="S1.p4.5.m5.1.1.cmml">P</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.5.m5.1b"><ci id="S1.p4.5.m5.1.1.cmml" xref="S1.p4.5.m5.1.1">𝑃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.5.m5.1c">P</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.5.m5.1d">italic_P</annotation></semantics></math> is a pseudoinverse matrix for which two identities hold: <math alttext="A=APA\hbox{ and }P=PAP." class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.6.m6.1"><semantics id="S1.p4.6.m6.1a"><mrow id="S1.p4.6.m6.1.1.1" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S1.p4.6.m6.1.1.1.1" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.2" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.3" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.4" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.4.2" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.4.2.cmml">A</mi><mo id="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.4.1" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.4.3" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.4.3.cmml">P</mi><mo id="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.4.1a" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.4.4" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.4.4.cmml">A</mi><mo id="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.4.1b" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mtext id="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.4.5" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.4.5a.cmml"> and </mtext><mo id="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.4.1c" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.4.6" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.4.6.cmml">P</mi></mrow><mo id="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.5" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.6" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.6.2" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.6.2.cmml">P</mi><mo id="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.6.1" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.6.3" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.6.3.cmml">A</mi><mo id="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.6.1a" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.6.4" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.6.4.cmml">P</mi></mrow></mrow><mo id="S1.p4.6.m6.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.6.m6.1b"><apply id="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1"><and id="S1.p4.6.m6.1.1.1.1a.cmml" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1"></and><apply id="S1.p4.6.m6.1.1.1.1b.cmml" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1"><eq id="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.3"></eq><ci id="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.2">𝐴</ci><apply id="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.4.cmml" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.4"><times id="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.4.1"></times><ci id="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.4.2">𝐴</ci><ci id="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.4.3">𝑃</ci><ci id="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.4.4.cmml" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.4.4">𝐴</ci><ci id="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.4.5a.cmml" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.4.5"><mtext id="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.4.5.cmml" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.4.5"> and </mtext></ci><ci id="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.4.6.cmml" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.4.6">𝑃</ci></apply></apply><apply id="S1.p4.6.m6.1.1.1.1c.cmml" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1"><eq id="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.5.cmml" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#S1.p4.6.m6.1.1.1.1.4.cmml" id="S1.p4.6.m6.1.1.1.1d.cmml" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1"></share><apply id="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.6.cmml" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.6"><times id="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.6.1"></times><ci id="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.6.2">𝑃</ci><ci id="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.6.3.cmml" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.6.3">𝐴</ci><ci id="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.6.4.cmml" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.6.4">𝑃</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.6.m6.1c">A=APA\hbox{ and }P=PAP.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.6.m6.1d">italic_A = italic_A italic_P italic_A and italic_P = italic_P italic_A italic_P .</annotation></semantics></math></p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p5"> <p class="ltx_p" id="S1.p5.1">In what follows, we propose a new factorization algorithm, demonstrate its existence and correctness, and estimate the total number of operations required. Additionally, we provide a detailed example of the LSU factorization. Preliminary results in this direction were previously obtained in papers <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#bib.bib4" title="">4</a>]</cite> - <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#bib.bib7" title="">7</a>]</cite>. The LSU factorization algorithm serves as another step towards creating a comprehensive library of block-recursive linear algebra algorithms.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p6"> <p class="ltx_p" id="S1.p6.1">A.A. Karatsuba and W. Strassen achieved the initial results in this field, but the importance of recursive algorithms for supercomputer computations has only been recognized in recent decades, spurring a program to develop decentralized dynamic control technology for supercomputer processing (see <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#bib.bib8" title="">8</a>]</cite>, <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#bib.bib9" title="">9</a>]</cite>). Other examples of recursive algorithms in the commutative domain, such as computing inverse and adjoint matrices, and the kernels of a linear operator, can be found in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#bib.bib10" title="">10</a>]</cite> and <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#bib.bib9" title="">9</a>]</cite>.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S2"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">II </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="S2.1.1">Initial statement of the problem</span> </h2> <div class="ltx_para" id="S2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.p1.17">Let <math alttext="R" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.p1.1.m1.1a"><mi id="S2.p1.1.m1.1.1" xref="S2.p1.1.m1.1.1.cmml">R</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.1.m1.1b"><ci id="S2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.p1.1.m1.1.1">𝑅</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.1.m1.1c">R</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.1.m1.1d">italic_R</annotation></semantics></math> be a commutative domain, <math alttext="F" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.2.m2.1"><semantics id="S2.p1.2.m2.1a"><mi id="S2.p1.2.m2.1.1" xref="S2.p1.2.m2.1.1.cmml">F</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.2.m2.1b"><ci id="S2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.p1.2.m2.1.1">𝐹</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.2.m2.1c">F</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.2.m2.1d">italic_F</annotation></semantics></math> its field of quotients. Let <math alttext="A\in R^{n\times n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.3.m3.1"><semantics id="S2.p1.3.m3.1a"><mrow id="S2.p1.3.m3.1.1" xref="S2.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.p1.3.m3.1.1.2" xref="S2.p1.3.m3.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="S2.p1.3.m3.1.1.1" xref="S2.p1.3.m3.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S2.p1.3.m3.1.1.3" xref="S2.p1.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S2.p1.3.m3.1.1.3.2" xref="S2.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml">R</mi><mrow id="S2.p1.3.m3.1.1.3.3" xref="S2.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.p1.3.m3.1.1.3.3.2" xref="S2.p1.3.m3.1.1.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S2.p1.3.m3.1.1.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.p1.3.m3.1.1.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="S2.p1.3.m3.1.1.3.3.3" xref="S2.p1.3.m3.1.1.3.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.3.m3.1b"><apply id="S2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.p1.3.m3.1.1"><in id="S2.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.p1.3.m3.1.1.1"></in><ci id="S2.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.p1.3.m3.1.1.2">𝐴</ci><apply id="S2.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.p1.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p1.3.m3.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p1.3.m3.1.1.3.2">𝑅</ci><apply id="S2.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S2.p1.3.m3.1.1.3.3"><times id="S2.p1.3.m3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.p1.3.m3.1.1.3.3.1"></times><ci id="S2.p1.3.m3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.p1.3.m3.1.1.3.3.2">𝑛</ci><ci id="S2.p1.3.m3.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.p1.3.m3.1.1.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.3.m3.1c">A\in R^{n\times n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.3.m3.1d">italic_A ∈ italic_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n × italic_n end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> be a matrix that has rank <math alttext="r" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.4.m4.1"><semantics id="S2.p1.4.m4.1a"><mi id="S2.p1.4.m4.1.1" xref="S2.p1.4.m4.1.1.cmml">r</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.4.m4.1b"><ci id="S2.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.p1.4.m4.1.1">𝑟</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.4.m4.1c">r</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.4.m4.1d">italic_r</annotation></semantics></math>, <math alttext="r\leq n" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.5.m5.1"><semantics id="S2.p1.5.m5.1a"><mrow id="S2.p1.5.m5.1.1" xref="S2.p1.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S2.p1.5.m5.1.1.2" xref="S2.p1.5.m5.1.1.2.cmml">r</mi><mo id="S2.p1.5.m5.1.1.1" xref="S2.p1.5.m5.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S2.p1.5.m5.1.1.3" xref="S2.p1.5.m5.1.1.3.cmml">n</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.5.m5.1b"><apply id="S2.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.p1.5.m5.1.1"><leq id="S2.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.p1.5.m5.1.1.1"></leq><ci id="S2.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.p1.5.m5.1.1.2">𝑟</ci><ci id="S2.p1.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S2.p1.5.m5.1.1.3">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.5.m5.1c">r\leq n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.5.m5.1d">italic_r ≤ italic_n</annotation></semantics></math>. Let <math alttext="det_{r},det_{r-1},..,det_{1}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S2.p1.6.m6.1"><semantics id="S2.p1.6.m6.1a"><mrow id="S2.p1.6.m6.1b"><mi id="S2.p1.6.m6.1.1">d</mi><mi id="S2.p1.6.m6.1.2">e</mi><msub id="S2.p1.6.m6.1.3"><mi id="S2.p1.6.m6.1.3.2">t</mi><mi id="S2.p1.6.m6.1.3.3">r</mi></msub><mo id="S2.p1.6.m6.1.4">,</mo><mi id="S2.p1.6.m6.1.5">d</mi><mi id="S2.p1.6.m6.1.6">e</mi><msub id="S2.p1.6.m6.1.7"><mi id="S2.p1.6.m6.1.7.2">t</mi><mrow id="S2.p1.6.m6.1.7.3"><mi id="S2.p1.6.m6.1.7.3.2">r</mi><mo id="S2.p1.6.m6.1.7.3.1">−</mo><mn id="S2.p1.6.m6.1.7.3.3">1</mn></mrow></msub><mo id="S2.p1.6.m6.1.8">,</mo><mo id="S2.p1.6.m6.1.9" lspace="0em" rspace="0.0835em">.</mo><mo id="S2.p1.6.m6.1.10" lspace="0.0835em" rspace="0.167em">.</mo><mo id="S2.p1.6.m6.1.11">,</mo><mi id="S2.p1.6.m6.1.12">d</mi><mi id="S2.p1.6.m6.1.13">e</mi><msub id="S2.p1.6.m6.1.14"><mi id="S2.p1.6.m6.1.14.2">t</mi><mn id="S2.p1.6.m6.1.14.3">1</mn></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.6.m6.1c">det_{r},det_{r-1},..,det_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.6.m6.1d">italic_d italic_e italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT , italic_d italic_e italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_r - 1 end_POSTSUBSCRIPT , . . , italic_d italic_e italic_t start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> be some sequence consisting of <math alttext="r" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.7.m7.1"><semantics id="S2.p1.7.m7.1a"><mi id="S2.p1.7.m7.1.1" xref="S2.p1.7.m7.1.1.cmml">r</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.7.m7.1b"><ci id="S2.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="S2.p1.7.m7.1.1">𝑟</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.7.m7.1c">r</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.7.m7.1d">italic_r</annotation></semantics></math> nested nondegenerate minors of matrix <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.8.m8.1"><semantics id="S2.p1.8.m8.1a"><mi id="S2.p1.8.m8.1.1" xref="S2.p1.8.m8.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.8.m8.1b"><ci id="S2.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="S2.p1.8.m8.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.8.m8.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.8.m8.1d">italic_A</annotation></semantics></math>, which have sizes <math alttext="r,r-1,..,1" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S2.p1.9.m9.1"><semantics id="S2.p1.9.m9.1a"><mrow id="S2.p1.9.m9.1b"><mi id="S2.p1.9.m9.1.1">r</mi><mo id="S2.p1.9.m9.1.2">,</mo><mi id="S2.p1.9.m9.1.3">r</mi><mo id="S2.p1.9.m9.1.4">−</mo><mn id="S2.p1.9.m9.1.5">1</mn><mo id="S2.p1.9.m9.1.6">,</mo><mo id="S2.p1.9.m9.1.7" lspace="0em" rspace="0.0835em">.</mo><mo id="S2.p1.9.m9.1.8" lspace="0.0835em" rspace="0.167em">.</mo><mo id="S2.p1.9.m9.1.9">,</mo><mn id="S2.p1.9.m9.1.10">1</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.9.m9.1c">r,r-1,..,1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.9.m9.1d">italic_r , italic_r - 1 , . . , 1</annotation></semantics></math>, respectively. We want to get matrices <math alttext="L,U\in R^{n\times n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.10.m10.2"><semantics id="S2.p1.10.m10.2a"><mrow id="S2.p1.10.m10.2.3" xref="S2.p1.10.m10.2.3.cmml"><mrow id="S2.p1.10.m10.2.3.2.2" xref="S2.p1.10.m10.2.3.2.1.cmml"><mi id="S2.p1.10.m10.1.1" xref="S2.p1.10.m10.1.1.cmml">L</mi><mo id="S2.p1.10.m10.2.3.2.2.1" xref="S2.p1.10.m10.2.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="S2.p1.10.m10.2.2" xref="S2.p1.10.m10.2.2.cmml">U</mi></mrow><mo id="S2.p1.10.m10.2.3.1" xref="S2.p1.10.m10.2.3.1.cmml">∈</mo><msup id="S2.p1.10.m10.2.3.3" xref="S2.p1.10.m10.2.3.3.cmml"><mi id="S2.p1.10.m10.2.3.3.2" xref="S2.p1.10.m10.2.3.3.2.cmml">R</mi><mrow id="S2.p1.10.m10.2.3.3.3" xref="S2.p1.10.m10.2.3.3.3.cmml"><mi id="S2.p1.10.m10.2.3.3.3.2" xref="S2.p1.10.m10.2.3.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S2.p1.10.m10.2.3.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.p1.10.m10.2.3.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="S2.p1.10.m10.2.3.3.3.3" xref="S2.p1.10.m10.2.3.3.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.10.m10.2b"><apply id="S2.p1.10.m10.2.3.cmml" xref="S2.p1.10.m10.2.3"><in id="S2.p1.10.m10.2.3.1.cmml" xref="S2.p1.10.m10.2.3.1"></in><list id="S2.p1.10.m10.2.3.2.1.cmml" xref="S2.p1.10.m10.2.3.2.2"><ci id="S2.p1.10.m10.1.1.cmml" xref="S2.p1.10.m10.1.1">𝐿</ci><ci id="S2.p1.10.m10.2.2.cmml" xref="S2.p1.10.m10.2.2">𝑈</ci></list><apply id="S2.p1.10.m10.2.3.3.cmml" xref="S2.p1.10.m10.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.10.m10.2.3.3.1.cmml" xref="S2.p1.10.m10.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.p1.10.m10.2.3.3.2.cmml" xref="S2.p1.10.m10.2.3.3.2">𝑅</ci><apply id="S2.p1.10.m10.2.3.3.3.cmml" xref="S2.p1.10.m10.2.3.3.3"><times id="S2.p1.10.m10.2.3.3.3.1.cmml" xref="S2.p1.10.m10.2.3.3.3.1"></times><ci id="S2.p1.10.m10.2.3.3.3.2.cmml" xref="S2.p1.10.m10.2.3.3.3.2">𝑛</ci><ci id="S2.p1.10.m10.2.3.3.3.3.cmml" xref="S2.p1.10.m10.2.3.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.10.m10.2c">L,U\in R^{n\times n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.10.m10.2d">italic_L , italic_U ∈ italic_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n × italic_n end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> of rank <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.11.m11.1"><semantics id="S2.p1.11.m11.1a"><mi id="S2.p1.11.m11.1.1" xref="S2.p1.11.m11.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.11.m11.1b"><ci id="S2.p1.11.m11.1.1.cmml" xref="S2.p1.11.m11.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.11.m11.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.11.m11.1d">italic_n</annotation></semantics></math>,( L is lower triangular, U is upper triangular), matrix <math alttext="S" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.12.m12.1"><semantics id="S2.p1.12.m12.1a"><mi id="S2.p1.12.m12.1.1" xref="S2.p1.12.m12.1.1.cmml">S</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.12.m12.1b"><ci id="S2.p1.12.m12.1.1.cmml" xref="S2.p1.12.m12.1.1">𝑆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.12.m12.1c">S</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.12.m12.1d">italic_S</annotation></semantics></math>, that has rank <math alttext="r" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.13.m13.1"><semantics id="S2.p1.13.m13.1a"><mi id="S2.p1.13.m13.1.1" xref="S2.p1.13.m13.1.1.cmml">r</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.13.m13.1b"><ci id="S2.p1.13.m13.1.1.cmml" xref="S2.p1.13.m13.1.1">𝑟</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.13.m13.1c">r</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.13.m13.1d">italic_r</annotation></semantics></math>, with <math alttext="r" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.14.m14.1"><semantics id="S2.p1.14.m14.1a"><mi id="S2.p1.14.m14.1.1" xref="S2.p1.14.m14.1.1.cmml">r</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.14.m14.1b"><ci id="S2.p1.14.m14.1.1.cmml" xref="S2.p1.14.m14.1.1">𝑟</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.14.m14.1c">r</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.14.m14.1d">italic_r</annotation></semantics></math> non-zero elements equal to <math alttext="(\ det_{1})^{-1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.15.m15.1"><semantics id="S2.p1.15.m15.1a"><msup id="S2.p1.15.m15.1.1" xref="S2.p1.15.m15.1.1.cmml"><mrow id="S2.p1.15.m15.1.1.1.1" xref="S2.p1.15.m15.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.p1.15.m15.1.1.1.1.2" rspace="0.500em" stretchy="false" xref="S2.p1.15.m15.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.p1.15.m15.1.1.1.1.1" xref="S2.p1.15.m15.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p1.15.m15.1.1.1.1.1.2" xref="S2.p1.15.m15.1.1.1.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S2.p1.15.m15.1.1.1.1.1.1" xref="S2.p1.15.m15.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p1.15.m15.1.1.1.1.1.3" xref="S2.p1.15.m15.1.1.1.1.1.3.cmml">e</mi><mo id="S2.p1.15.m15.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.p1.15.m15.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.p1.15.m15.1.1.1.1.1.4" xref="S2.p1.15.m15.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S2.p1.15.m15.1.1.1.1.1.4.2" xref="S2.p1.15.m15.1.1.1.1.1.4.2.cmml">t</mi><mn id="S2.p1.15.m15.1.1.1.1.1.4.3" xref="S2.p1.15.m15.1.1.1.1.1.4.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S2.p1.15.m15.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.p1.15.m15.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S2.p1.15.m15.1.1.3" xref="S2.p1.15.m15.1.1.3.cmml"><mo id="S2.p1.15.m15.1.1.3a" xref="S2.p1.15.m15.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S2.p1.15.m15.1.1.3.2" xref="S2.p1.15.m15.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.15.m15.1b"><apply id="S2.p1.15.m15.1.1.cmml" xref="S2.p1.15.m15.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.15.m15.1.1.2.cmml" xref="S2.p1.15.m15.1.1">superscript</csymbol><apply 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id="S2.p1.17.m17.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.p1.17.m17.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.17.m17.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.p1.17.m17.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S2.p1.17.m17.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S2.p1.17.m17.1.1.1.1.1.4.2">𝑡</ci><apply id="S2.p1.17.m17.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S2.p1.17.m17.1.1.1.1.1.4.3"><minus id="S2.p1.17.m17.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S2.p1.17.m17.1.1.1.1.1.4.3.1"></minus><ci id="S2.p1.17.m17.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S2.p1.17.m17.1.1.1.1.1.4.3.2">𝑟</ci><cn id="S2.p1.17.m17.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.p1.17.m17.1.1.1.1.1.4.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.p1.17.m17.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S2.p1.17.m17.1.1.1.1.1.5">𝑑</ci><ci id="S2.p1.17.m17.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S2.p1.17.m17.1.1.1.1.1.6">𝑒</ci><apply id="S2.p1.17.m17.1.1.1.1.1.7.cmml" xref="S2.p1.17.m17.1.1.1.1.1.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.17.m17.1.1.1.1.1.7.1.cmml" xref="S2.p1.17.m17.1.1.1.1.1.7">subscript</csymbol><ci id="S2.p1.17.m17.1.1.1.1.1.7.2.cmml" xref="S2.p1.17.m17.1.1.1.1.1.7.2">𝑡</ci><ci id="S2.p1.17.m17.1.1.1.1.1.7.3.cmml" xref="S2.p1.17.m17.1.1.1.1.1.7.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S2.p1.17.m17.1.1.3.cmml" xref="S2.p1.17.m17.1.1.3"><minus id="S2.p1.17.m17.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p1.17.m17.1.1.3"></minus><cn id="S2.p1.17.m17.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.p1.17.m17.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.17.m17.1c">(det_{r-1}det_{r})^{-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.17.m17.1d">( italic_d italic_e italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_r - 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_e italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> such that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="A=LSU." class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex1.m1.1"><semantics id="S2.Ex1.m1.1a"><mrow id="S2.Ex1.m1.1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mo id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">S</mi><mo id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.1a" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.4" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.4.cmml">U</mi></mrow></mrow><mo id="S2.Ex1.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex1.m1.1b"><apply id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1"><eq id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.2">𝐴</ci><apply id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3"><times id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2">𝐿</ci><ci id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.3">𝑆</ci><ci id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.4">𝑈</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex1.m1.1c">A=LSU.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex1.m1.1d">italic_A = italic_L italic_S italic_U .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.p1.18">To solve this problem, we will formulate a more general problem, but first we will give some necessary definitions.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S3"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">III </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="S3.1.1"> Preliminaries</span> </h2> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection"><span class="ltx_text" id="S3.SS1.4.1.1">III-A</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.SS1.5.2"> Semigroup of weighted permutations</span> </h3> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p1.2">The set of all matrices from <math alttext="F^{n\times n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p1.1.m1.1a"><msup id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">F</mi><mrow id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">n</mi><mo id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">×</mo><mi id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2">𝐹</ci><apply id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3"><times id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2">𝑛</ci><ci id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.1.m1.1c">F^{n\times n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.1.m1.1d">italic_F start_POSTSUPERSCRIPT italic_n × italic_n end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> that contain at most one nonzero element in each row and each column forms a weighted permutations semigroup <math alttext="{\bf S}_{wp}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p1.2.m2.1a"><msub id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.2.cmml">𝐒</mi><mrow id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml">w</mi><mo id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.3.1" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml">p</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.2">𝐒</ci><apply id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.3"><times id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.3.2">𝑤</ci><ci id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.3.3">𝑝</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.2.m2.1c">{\bf S}_{wp}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.2.m2.1d">bold_S start_POSTSUBSCRIPT italic_w italic_p end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p2.1">The diagram at Fig.1 shows the structure of this semigroup.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S3.F1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="161" id="S3.F1.1.g1" src="extracted/6287831/diagr-8.png" width="200"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 1: </span>The structure of the weighted permutations semigroup <math alttext="{\bf S}_{wp}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F1.3.2.m1.1"><semantics id="S3.F1.3.2.m1.1b"><msub id="S3.F1.3.2.m1.1.1" xref="S3.F1.3.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.F1.3.2.m1.1.1.2" xref="S3.F1.3.2.m1.1.1.2.cmml">𝐒</mi><mrow id="S3.F1.3.2.m1.1.1.3" xref="S3.F1.3.2.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.F1.3.2.m1.1.1.3.2" xref="S3.F1.3.2.m1.1.1.3.2.cmml">w</mi><mo id="S3.F1.3.2.m1.1.1.3.1" xref="S3.F1.3.2.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.F1.3.2.m1.1.1.3.3" xref="S3.F1.3.2.m1.1.1.3.3.cmml">p</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.3.2.m1.1c"><apply id="S3.F1.3.2.m1.1.1.cmml" xref="S3.F1.3.2.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F1.3.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.F1.3.2.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.F1.3.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.F1.3.2.m1.1.1.2">𝐒</ci><apply id="S3.F1.3.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.F1.3.2.m1.1.1.3"><times id="S3.F1.3.2.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.F1.3.2.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.F1.3.2.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.F1.3.2.m1.1.1.3.2">𝑤</ci><ci id="S3.F1.3.2.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.F1.3.2.m1.1.1.3.3">𝑝</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.3.2.m1.1d">{\bf S}_{wp}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.3.2.m1.1e">bold_S start_POSTSUBSCRIPT italic_w italic_p end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p3.5">In the center of the diagram we see the permutation group <math alttext="{\bf G}_{p}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p3.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p3.1.m1.1a"><msub id="S3.SS1.p3.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.2.cmml">𝐆</mi><mi id="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.3.cmml">p</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p3.1.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.2">𝐆</ci><ci id="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.3">𝑝</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p3.1.m1.1c">{\bf G}_{p}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p3.1.m1.1d">bold_G start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Between <math alttext="{\bf S}_{wp}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p3.2.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p3.2.m2.1a"><msub id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.2.cmml">𝐒</mi><mrow id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.3.2.cmml">w</mi><mo id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.3.1" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.3.3.cmml">p</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p3.2.m2.1b"><apply id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.2">𝐒</ci><apply id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.3"><times id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.3.2">𝑤</ci><ci id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.3.3">𝑝</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p3.2.m2.1c">{\bf S}_{wp}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p3.2.m2.1d">bold_S start_POSTSUBSCRIPT italic_w italic_p end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="{\bf G}_{p}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p3.3.m3.1"><semantics id="S3.SS1.p3.3.m3.1a"><msub id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.2.cmml">𝐆</mi><mi id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.3" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.3.cmml">p</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p3.3.m3.1b"><apply id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.2">𝐆</ci><ci id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.3">𝑝</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p3.3.m3.1c">{\bf G}_{p}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p3.3.m3.1d">bold_G start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> there are two more subalgebras: <math alttext="{\bf S}_{p}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p3.4.m4.1"><semantics id="S3.SS1.p3.4.m4.1a"><msub id="S3.SS1.p3.4.m4.1.1" xref="S3.SS1.p3.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p3.4.m4.1.1.2" xref="S3.SS1.p3.4.m4.1.1.2.cmml">𝐒</mi><mi id="S3.SS1.p3.4.m4.1.1.3" xref="S3.SS1.p3.4.m4.1.1.3.cmml">p</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p3.4.m4.1b"><apply id="S3.SS1.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p3.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p3.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.4.m4.1.1.2">𝐒</ci><ci id="S3.SS1.p3.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p3.4.m4.1.1.3">𝑝</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p3.4.m4.1c">{\bf S}_{p}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p3.4.m4.1d">bold_S start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="{\bf G}_{wp}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p3.5.m5.1"><semantics id="S3.SS1.p3.5.m5.1a"><msub id="S3.SS1.p3.5.m5.1.1" xref="S3.SS1.p3.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p3.5.m5.1.1.2" xref="S3.SS1.p3.5.m5.1.1.2.cmml">𝐆</mi><mrow id="S3.SS1.p3.5.m5.1.1.3" xref="S3.SS1.p3.5.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p3.5.m5.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p3.5.m5.1.1.3.2.cmml">w</mi><mo id="S3.SS1.p3.5.m5.1.1.3.1" xref="S3.SS1.p3.5.m5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p3.5.m5.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p3.5.m5.1.1.3.3.cmml">p</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p3.5.m5.1b"><apply id="S3.SS1.p3.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p3.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p3.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.5.m5.1.1.2">𝐆</ci><apply id="S3.SS1.p3.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p3.5.m5.1.1.3"><times id="S3.SS1.p3.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.5.m5.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS1.p3.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.5.m5.1.1.3.2">𝑤</ci><ci id="S3.SS1.p3.5.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p3.5.m5.1.1.3.3">𝑝</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p3.5.m5.1c">{\bf G}_{wp}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p3.5.m5.1d">bold_G start_POSTSUBSCRIPT italic_w italic_p end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p4"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p4.2">If matrices from the permutation group <math alttext="{\bf G}_{p}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p4.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p4.1.m1.1a"><msub id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.2.cmml">𝐆</mi><mi id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.3.cmml">p</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p4.1.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.2">𝐆</ci><ci id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.3">𝑝</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p4.1.m1.1c">{\bf G}_{p}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p4.1.m1.1d">bold_G start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are supplemented with matrices that are obtained by replacing identity elements with arbitrary nonzero elements, then we get a group of weighted permutations <math alttext="{\bf G}_{wp}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p4.2.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p4.2.m2.1a"><msub id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.cmml">𝐆</mi><mrow id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3.2.cmml">w</mi><mo id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3.1" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3.3.cmml">p</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p4.2.m2.1b"><apply id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2">𝐆</ci><apply id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3"><times id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3.2">𝑤</ci><ci id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3.3">𝑝</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p4.2.m2.1c">{\bf G}_{wp}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p4.2.m2.1d">bold_G start_POSTSUBSCRIPT italic_w italic_p end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p5"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p5.2">If, on the contrary, to the matrices from the permutation group <math alttext="{\bf G}_{p}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p5.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p5.1.m1.1a"><msub id="S3.SS1.p5.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p5.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.1.2.cmml">𝐆</mi><mi id="S3.SS1.p5.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.1.3.cmml">p</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p5.1.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.1.2">𝐆</ci><ci id="S3.SS1.p5.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.1.3">𝑝</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p5.1.m1.1c">{\bf G}_{p}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p5.1.m1.1d">bold_G start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> we add the matrices that will be obtained after replacing some identity elements with zero ones, then we get the permutation semigroup <math alttext="{\bf S}_{p}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p5.2.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p5.2.m2.1a"><msub id="S3.SS1.p5.2.m2.1.1" xref="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.2.cmml">𝐒</mi><mi id="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.3.cmml">p</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p5.2.m2.1b"><apply id="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p5.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p5.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.2">𝐒</ci><ci id="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.3">𝑝</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p5.2.m2.1c">{\bf S}_{p}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p5.2.m2.1d">bold_S start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p6"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p6.2">The weighted permutation semigroup <math alttext="{\bf S}_{wp}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p6.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p6.1.m1.1a"><msub id="S3.SS1.p6.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.p6.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p6.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS1.p6.1.m1.1.1.2.cmml">𝐒</mi><mrow id="S3.SS1.p6.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS1.p6.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p6.1.m1.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p6.1.m1.1.1.3.2.cmml">w</mi><mo id="S3.SS1.p6.1.m1.1.1.3.1" xref="S3.SS1.p6.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p6.1.m1.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p6.1.m1.1.1.3.3.cmml">p</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p6.1.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p6.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p6.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p6.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p6.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p6.1.m1.1.1.2">𝐒</ci><apply id="S3.SS1.p6.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p6.1.m1.1.1.3"><times id="S3.SS1.p6.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p6.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS1.p6.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p6.1.m1.1.1.3.2">𝑤</ci><ci id="S3.SS1.p6.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p6.1.m1.1.1.3.3">𝑝</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p6.1.m1.1c">{\bf S}_{wp}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p6.1.m1.1d">bold_S start_POSTSUBSCRIPT italic_w italic_p end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is obtained from the group <math alttext="{\bf G}_{wp}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p6.2.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p6.2.m2.1a"><msub id="S3.SS1.p6.2.m2.1.1" xref="S3.SS1.p6.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p6.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS1.p6.2.m2.1.1.2.cmml">𝐆</mi><mrow id="S3.SS1.p6.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS1.p6.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p6.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p6.2.m2.1.1.3.2.cmml">w</mi><mo id="S3.SS1.p6.2.m2.1.1.3.1" xref="S3.SS1.p6.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p6.2.m2.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p6.2.m2.1.1.3.3.cmml">p</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p6.2.m2.1b"><apply id="S3.SS1.p6.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p6.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p6.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p6.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p6.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p6.2.m2.1.1.2">𝐆</ci><apply id="S3.SS1.p6.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p6.2.m2.1.1.3"><times id="S3.SS1.p6.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p6.2.m2.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS1.p6.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p6.2.m2.1.1.3.2">𝑤</ci><ci id="S3.SS1.p6.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p6.2.m2.1.1.3.3">𝑝</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p6.2.m2.1c">{\bf G}_{wp}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p6.2.m2.1d">bold_G start_POSTSUBSCRIPT italic_w italic_p end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> by adding matrices, which are obtained after replacing some non-zero elements with zeros.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p7"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p7.4">All diagonal matrices in the semigroup <math alttext="{\bf S}_{wp}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p7.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p7.1.m1.1a"><msub id="S3.SS1.p7.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.p7.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p7.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS1.p7.1.m1.1.1.2.cmml">𝐒</mi><mrow id="S3.SS1.p7.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS1.p7.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p7.1.m1.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p7.1.m1.1.1.3.2.cmml">w</mi><mo id="S3.SS1.p7.1.m1.1.1.3.1" xref="S3.SS1.p7.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p7.1.m1.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p7.1.m1.1.1.3.3.cmml">p</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p7.1.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p7.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p7.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p7.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p7.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p7.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p7.1.m1.1.1.2">𝐒</ci><apply id="S3.SS1.p7.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p7.1.m1.1.1.3"><times id="S3.SS1.p7.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p7.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS1.p7.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p7.1.m1.1.1.3.2">𝑤</ci><ci id="S3.SS1.p7.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p7.1.m1.1.1.3.3">𝑝</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p7.1.m1.1c">{\bf S}_{wp}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p7.1.m1.1d">bold_S start_POSTSUBSCRIPT italic_w italic_p end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> form a semigroup of weighted diagonal matrices <math alttext="{\bf S}_{wd}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p7.2.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p7.2.m2.1a"><msub id="S3.SS1.p7.2.m2.1.1" xref="S3.SS1.p7.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p7.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS1.p7.2.m2.1.1.2.cmml">𝐒</mi><mrow id="S3.SS1.p7.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS1.p7.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p7.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p7.2.m2.1.1.3.2.cmml">w</mi><mo id="S3.SS1.p7.2.m2.1.1.3.1" xref="S3.SS1.p7.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p7.2.m2.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p7.2.m2.1.1.3.3.cmml">d</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p7.2.m2.1b"><apply id="S3.SS1.p7.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p7.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p7.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p7.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p7.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p7.2.m2.1.1.2">𝐒</ci><apply id="S3.SS1.p7.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p7.2.m2.1.1.3"><times id="S3.SS1.p7.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p7.2.m2.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS1.p7.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p7.2.m2.1.1.3.2">𝑤</ci><ci id="S3.SS1.p7.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p7.2.m2.1.1.3.3">𝑑</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p7.2.m2.1c">{\bf S}_{wd}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p7.2.m2.1d">bold_S start_POSTSUBSCRIPT italic_w italic_d end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Two other subalgebras <math alttext="{\bf S}_{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p7.3.m3.1"><semantics id="S3.SS1.p7.3.m3.1a"><msub id="S3.SS1.p7.3.m3.1.1" xref="S3.SS1.p7.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p7.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS1.p7.3.m3.1.1.2.cmml">𝐒</mi><mi id="S3.SS1.p7.3.m3.1.1.3" xref="S3.SS1.p7.3.m3.1.1.3.cmml">d</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p7.3.m3.1b"><apply id="S3.SS1.p7.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p7.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p7.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p7.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p7.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p7.3.m3.1.1.2">𝐒</ci><ci id="S3.SS1.p7.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p7.3.m3.1.1.3">𝑑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p7.3.m3.1c">{\bf S}_{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p7.3.m3.1d">bold_S start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="{\bf G}_{wd}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p7.4.m4.1"><semantics id="S3.SS1.p7.4.m4.1a"><msub id="S3.SS1.p7.4.m4.1.1" xref="S3.SS1.p7.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p7.4.m4.1.1.2" xref="S3.SS1.p7.4.m4.1.1.2.cmml">𝐆</mi><mrow id="S3.SS1.p7.4.m4.1.1.3" xref="S3.SS1.p7.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p7.4.m4.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p7.4.m4.1.1.3.2.cmml">w</mi><mo id="S3.SS1.p7.4.m4.1.1.3.1" xref="S3.SS1.p7.4.m4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p7.4.m4.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p7.4.m4.1.1.3.3.cmml">d</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p7.4.m4.1b"><apply id="S3.SS1.p7.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p7.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p7.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p7.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p7.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p7.4.m4.1.1.2">𝐆</ci><apply id="S3.SS1.p7.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p7.4.m4.1.1.3"><times id="S3.SS1.p7.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p7.4.m4.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS1.p7.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p7.4.m4.1.1.3.2">𝑤</ci><ci id="S3.SS1.p7.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p7.4.m4.1.1.3.3">𝑑</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p7.4.m4.1c">{\bf G}_{wd}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p7.4.m4.1d">bold_G start_POSTSUBSCRIPT italic_w italic_d end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are embedded in it.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p8"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p8.3">The semigroup <math alttext="{\bf S}_{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p8.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p8.1.m1.1a"><msub id="S3.SS1.p8.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.p8.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p8.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS1.p8.1.m1.1.1.2.cmml">𝐒</mi><mi id="S3.SS1.p8.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS1.p8.1.m1.1.1.3.cmml">d</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p8.1.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p8.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p8.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p8.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p8.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p8.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p8.1.m1.1.1.2">𝐒</ci><ci id="S3.SS1.p8.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p8.1.m1.1.1.3">𝑑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p8.1.m1.1c">{\bf S}_{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p8.1.m1.1d">bold_S start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is formed by diagonal matrices that can have only 1 and 0 on the diagonal. The group <math alttext="{\bf G}_{wd}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p8.2.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p8.2.m2.1a"><msub id="S3.SS1.p8.2.m2.1.1" xref="S3.SS1.p8.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p8.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS1.p8.2.m2.1.1.2.cmml">𝐆</mi><mrow id="S3.SS1.p8.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS1.p8.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p8.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p8.2.m2.1.1.3.2.cmml">w</mi><mo id="S3.SS1.p8.2.m2.1.1.3.1" xref="S3.SS1.p8.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p8.2.m2.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p8.2.m2.1.1.3.3.cmml">d</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p8.2.m2.1b"><apply id="S3.SS1.p8.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p8.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p8.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p8.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p8.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p8.2.m2.1.1.2">𝐆</ci><apply id="S3.SS1.p8.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p8.2.m2.1.1.3"><times id="S3.SS1.p8.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p8.2.m2.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS1.p8.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p8.2.m2.1.1.3.2">𝑤</ci><ci id="S3.SS1.p8.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p8.2.m2.1.1.3.3">𝑑</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p8.2.m2.1c">{\bf G}_{wd}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p8.2.m2.1d">bold_G start_POSTSUBSCRIPT italic_w italic_d end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is formed by those diagonal matrices from <math alttext="{\bf S}_{wp}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p8.3.m3.1"><semantics id="S3.SS1.p8.3.m3.1a"><msub id="S3.SS1.p8.3.m3.1.1" xref="S3.SS1.p8.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p8.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS1.p8.3.m3.1.1.2.cmml">𝐒</mi><mrow id="S3.SS1.p8.3.m3.1.1.3" xref="S3.SS1.p8.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p8.3.m3.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p8.3.m3.1.1.3.2.cmml">w</mi><mo id="S3.SS1.p8.3.m3.1.1.3.1" xref="S3.SS1.p8.3.m3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p8.3.m3.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p8.3.m3.1.1.3.3.cmml">p</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p8.3.m3.1b"><apply id="S3.SS1.p8.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p8.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p8.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p8.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p8.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p8.3.m3.1.1.2">𝐒</ci><apply id="S3.SS1.p8.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p8.3.m3.1.1.3"><times id="S3.SS1.p8.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p8.3.m3.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS1.p8.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p8.3.m3.1.1.3.2">𝑤</ci><ci id="S3.SS1.p8.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p8.3.m3.1.1.3.3">𝑝</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p8.3.m3.1c">{\bf S}_{wp}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p8.3.m3.1d">bold_S start_POSTSUBSCRIPT italic_w italic_p end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> that do not have zero elements on the diagonal.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p9"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p9.1">The identity group <math alttext="\bf I" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p9.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p9.1.m1.1a"><mi id="S3.SS1.p9.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.p9.1.m1.1.1.cmml">𝐈</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p9.1.m1.1b"><ci id="S3.SS1.p9.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p9.1.m1.1.1">𝐈</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p9.1.m1.1c">\bf I</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p9.1.m1.1d">bold_I</annotation></semantics></math> completes this construction.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection"><span class="ltx_text" id="S3.SS2.4.1.1">III-B</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.SS2.5.2">Some mappings on semigroups</span> </h3> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p1.1">For matrices from the semigroup <math alttext="{\bf S}_{wp}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p1.1.m1.1a"><msub id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">𝐒</mi><mrow id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">w</mi><mo id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">p</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.2">𝐒</ci><apply id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3"><times id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2">𝑤</ci><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.3">𝑝</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.1.m1.1c">{\bf S}_{wp}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.1.m1.1d">bold_S start_POSTSUBSCRIPT italic_w italic_p end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> we introduce two mappings: <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.SS2.p1.1.1">unit</span> and <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.SS2.p1.1.2">extended</span>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p2.6">A homomorphism of the multiplicative group <math alttext="F^{*}\to 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p2.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml">F</mi><mo id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.1.cmml">→</mo><mn id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1"><ci id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.1">→</ci><apply id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.2.2">𝐹</ci><times id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.2.3"></times></apply><cn id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.1.m1.1c">F^{*}\to 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.1.m1.1d">italic_F start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT → 1</annotation></semantics></math> (and semigroup <math alttext="R^{*}\to 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.p2.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml"><msup id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.2.2.cmml">R</mi><mo id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.cmml">→</mo><mn id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.2.m2.1b"><apply id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1"><ci id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.1">→</ci><apply id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.2.2">𝑅</ci><times id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.2.3"></times></apply><cn id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.2.m2.1c">R^{*}\to 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.2.m2.1d">italic_R start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT → 1</annotation></semantics></math>) induces a homomorphism of the corresponding subalgebras: <math alttext="{\bf S}_{wp}\to{\bf S}_{p}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.3.m3.1"><semantics id="S3.SS2.p2.3.m3.1a"><mrow id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.2.2.cmml">𝐒</mi><mrow id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.2.3.2" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.2.3.2.cmml">w</mi><mo id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.2.3.1" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.2.3.3" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.2.3.3.cmml">p</mi></mrow></msub><mo id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1.cmml">→</mo><msub id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.3.2.cmml">𝐒</mi><mi id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.3.3.cmml">p</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.3.m3.1b"><apply id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1"><ci id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1">→</ci><apply id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.2.2">𝐒</ci><apply id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.2.3"><times id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.2.3.2">𝑤</ci><ci id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.2.3.3">𝑝</ci></apply></apply><apply id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.3.2">𝐒</ci><ci id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.3.3">𝑝</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.3.m3.1c">{\bf S}_{wp}\to{\bf S}_{p}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.3.m3.1d">bold_S start_POSTSUBSCRIPT italic_w italic_p end_POSTSUBSCRIPT → bold_S start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="{\bf S}_{wd}\to{\bf S}_{{d}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.4.m4.1"><semantics id="S3.SS2.p2.4.m4.1a"><mrow id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2.2.cmml">𝐒</mi><mrow id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2.3.2" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2.3.2.cmml">w</mi><mo id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2.3.1" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2.3.3" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2.3.3.cmml">d</mi></mrow></msub><mo id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.1.cmml">→</mo><msub id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.3.2.cmml">𝐒</mi><mi id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.3.3.cmml">d</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.4.m4.1b"><apply id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1"><ci id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.1">→</ci><apply id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2.2">𝐒</ci><apply id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2.3"><times id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2.3.2">𝑤</ci><ci id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2.3.3">𝑑</ci></apply></apply><apply id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.3.2">𝐒</ci><ci id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.3.3">𝑑</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.4.m4.1c">{\bf S}_{wd}\to{\bf S}_{{d}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.4.m4.1d">bold_S start_POSTSUBSCRIPT italic_w italic_d end_POSTSUBSCRIPT → bold_S start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="{\bf G}_{wp}\to{\bf G}_{p}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.5.m5.1"><semantics id="S3.SS2.p2.5.m5.1a"><mrow id="S3.SS2.p2.5.m5.1.1" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.2.2.cmml">𝐆</mi><mrow id="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.2.3.2" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.2.3.2.cmml">w</mi><mo id="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.2.3.1" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.2.3.3" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.2.3.3.cmml">p</mi></mrow></msub><mo id="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.1.cmml">→</mo><msub id="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.3.2.cmml">𝐆</mi><mi id="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.3.3.cmml">p</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.5.m5.1b"><apply id="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.1"><ci id="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.1">→</ci><apply id="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.2.2">𝐆</ci><apply id="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.2.3"><times id="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.2.3.2">𝑤</ci><ci id="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.2.3.3">𝑝</ci></apply></apply><apply id="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.3.2">𝐆</ci><ci id="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.3.3">𝑝</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.5.m5.1c">{\bf G}_{wp}\to{\bf G}_{p}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.5.m5.1d">bold_G start_POSTSUBSCRIPT italic_w italic_p end_POSTSUBSCRIPT → bold_G start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="{\bf G}_{wd}\to I" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.6.m6.1"><semantics id="S3.SS2.p2.6.m6.1a"><mrow id="S3.SS2.p2.6.m6.1.1" xref="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.2.2.cmml">𝐆</mi><mrow id="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.2.3.2" xref="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.2.3.2.cmml">w</mi><mo id="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.2.3.1" xref="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.2.3.3" xref="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.2.3.3.cmml">d</mi></mrow></msub><mo id="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.3.cmml">I</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.6.m6.1b"><apply id="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m6.1.1"><ci id="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.1">→</ci><apply id="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.2.2">𝐆</ci><apply id="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.2.3"><times id="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.2.3.2">𝑤</ci><ci id="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.2.3.3">𝑑</ci></apply></apply><ci id="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.3">𝐼</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.6.m6.1c">{\bf G}_{wd}\to I</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.6.m6.1d">bold_G start_POSTSUBSCRIPT italic_w italic_d end_POSTSUBSCRIPT → italic_I</annotation></semantics></math>. All nonzero elements of the matrix are replaced by unit elements. This corresponds to the communication lines in the diagram, which are directed down and to the left. </p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_definition" id="Thmdefinition1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"><span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmdefinition1.1.1.1">Definition 1</span></span></h6> <div class="ltx_para" id="Thmdefinition1.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmdefinition1.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmdefinition1.p1.2.2">The mapping of the matrix <math alttext="S\in{\bf S}_{wp}(F)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.2" xref="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.2.cmml"><mi id="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.2.2" xref="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.2.2.cmml">S</mi><mo id="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.2.1" xref="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.2.3" xref="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.2.3.cmml"><msub id="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.2.3.2" xref="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.2.3.2.cmml"><mi id="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.2.3.2.2" xref="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.2.3.2.2.cmml">𝐒</mi><mrow id="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.2.3.2.3" xref="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.2.3.2.3.2" xref="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.2.3.2.3.2.cmml">w</mi><mo id="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.2.3.2.3.1" xref="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.2.3.2.3.3" xref="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.2.3.2.3.3.cmml">p</mi></mrow></msub><mo id="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.2.3.1" xref="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.2.3.3.2" xref="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.2.3.cmml"><mo id="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.cmml">F</mi><mo id="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.2.cmml" xref="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.2"><in id="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.2.1"></in><ci id="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.2.2">𝑆</ci><apply id="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.2.3.cmml" xref="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.2.3"><times id="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.2.3.1"></times><apply id="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.2.3.2.cmml" xref="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.2.3.2.1.cmml" xref="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.2.3.2.2.cmml" xref="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.2.3.2.2">𝐒</ci><apply id="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.2.3.2.3.cmml" xref="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.2.3.2.3"><times id="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.2.3.2.3.1"></times><ci id="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.2.3.2.3.2">𝑤</ci><ci id="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.2.3.2.3.3">𝑝</ci></apply></apply><ci id="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1">𝐹</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1c">S\in{\bf S}_{wp}(F)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1d">italic_S ∈ bold_S start_POSTSUBSCRIPT italic_w italic_p end_POSTSUBSCRIPT ( italic_F )</annotation></semantics></math> induced by the homomorphism <math alttext="F^{*}\to 1" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><msup id="Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.2.2" xref="Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.2.2.cmml">F</mi><mo id="Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.2.3" xref="Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.1" stretchy="false" xref="Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml">→</mo><mn id="Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1"><ci id="Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.1">→</ci><apply id="Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.2.2">𝐹</ci><times id="Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.2.3"></times></apply><cn id="Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1c">F^{*}\to 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1d">italic_F start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT → 1</annotation></semantics></math>:</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex2"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="S\in{\bf S}_{wp}\to S^{\to 1}\in{\bf S}_{p}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex2.m1.1"><semantics id="S3.Ex2.m1.1a"><mrow id="S3.Ex2.m1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.1.1.2" xref="S3.Ex2.m1.1.1.2.cmml">S</mi><mo id="S3.Ex2.m1.1.1.3" xref="S3.Ex2.m1.1.1.3.cmml">∈</mo><msub id="S3.Ex2.m1.1.1.4" xref="S3.Ex2.m1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.1.1.4.2" xref="S3.Ex2.m1.1.1.4.2.cmml">𝐒</mi><mrow id="S3.Ex2.m1.1.1.4.3" xref="S3.Ex2.m1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.1.1.4.3.2" xref="S3.Ex2.m1.1.1.4.3.2.cmml">w</mi><mo id="S3.Ex2.m1.1.1.4.3.1" xref="S3.Ex2.m1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex2.m1.1.1.4.3.3" xref="S3.Ex2.m1.1.1.4.3.3.cmml">p</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex2.m1.1.1.5" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m1.1.1.5.cmml">→</mo><msup id="S3.Ex2.m1.1.1.6" xref="S3.Ex2.m1.1.1.6.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.1.1.6.2" xref="S3.Ex2.m1.1.1.6.2.cmml">S</mi><mrow id="S3.Ex2.m1.1.1.6.3" xref="S3.Ex2.m1.1.1.6.3.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.1.1.6.3.2" xref="S3.Ex2.m1.1.1.6.3.2.cmml"></mi><mo id="S3.Ex2.m1.1.1.6.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m1.1.1.6.3.1.cmml">→</mo><mn id="S3.Ex2.m1.1.1.6.3.3" xref="S3.Ex2.m1.1.1.6.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S3.Ex2.m1.1.1.7" xref="S3.Ex2.m1.1.1.7.cmml">∈</mo><msub id="S3.Ex2.m1.1.1.8" xref="S3.Ex2.m1.1.1.8.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.1.1.8.2" xref="S3.Ex2.m1.1.1.8.2.cmml">𝐒</mi><mi id="S3.Ex2.m1.1.1.8.3" xref="S3.Ex2.m1.1.1.8.3.cmml">p</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex2.m1.1b"><apply id="S3.Ex2.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1"><and id="S3.Ex2.m1.1.1a.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1"></and><apply id="S3.Ex2.m1.1.1b.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1"><in id="S3.Ex2.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.3"></in><ci id="S3.Ex2.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.2">𝑆</ci><apply id="S3.Ex2.m1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex2.m1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.4.2">𝐒</ci><apply id="S3.Ex2.m1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.4.3"><times id="S3.Ex2.m1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.4.3.1"></times><ci id="S3.Ex2.m1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.4.3.2">𝑤</ci><ci id="S3.Ex2.m1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.4.3.3">𝑝</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex2.m1.1.1c.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1"><ci id="S3.Ex2.m1.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.5">→</ci><share href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#S3.Ex2.m1.1.1.4.cmml" id="S3.Ex2.m1.1.1d.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1"></share><apply id="S3.Ex2.m1.1.1.6.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m1.1.1.6.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.6">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex2.m1.1.1.6.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.6.2">𝑆</ci><apply id="S3.Ex2.m1.1.1.6.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.6.3"><ci id="S3.Ex2.m1.1.1.6.3.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.6.3.1">→</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex2.m1.1.1.6.3.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.6.3.2">absent</csymbol><cn id="S3.Ex2.m1.1.1.6.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex2.m1.1.1.6.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex2.m1.1.1e.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1"><in id="S3.Ex2.m1.1.1.7.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.7"></in><share href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#S3.Ex2.m1.1.1.6.cmml" id="S3.Ex2.m1.1.1f.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1"></share><apply id="S3.Ex2.m1.1.1.8.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m1.1.1.8.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.8">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex2.m1.1.1.8.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.8.2">𝐒</ci><ci id="S3.Ex2.m1.1.1.8.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.8.3">𝑝</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex2.m1.1c">S\in{\bf S}_{wp}\to S^{\to 1}\in{\bf S}_{p}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex2.m1.1d">italic_S ∈ bold_S start_POSTSUBSCRIPT italic_w italic_p end_POSTSUBSCRIPT → italic_S start_POSTSUPERSCRIPT → 1 end_POSTSUPERSCRIPT ∈ bold_S start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmdefinition1.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmdefinition1.p1.3.1">is called unit mapping.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p3.1">The unit homomorphism of semigroups can be represented by the following commutative diagram:</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p4"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p4.1"><math alttext="\hskip 113.81102pt(A,B){\longrightarrow}(A^{\to 1},B^{\to 1})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p4.1.m1.4"><semantics id="S3.SS2.p4.1.m1.4a"><mrow id="S3.SS2.p4.1.m1.4.4" xref="S3.SS2.p4.1.m1.4.4.cmml"><mrow id="S3.SS2.p4.1.m1.4.4.4.2" xref="S3.SS2.p4.1.m1.4.4.4.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p4.1.m1.4.4.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p4.1.m1.4.4.4.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.p4.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.cmml">A</mi><mo id="S3.SS2.p4.1.m1.4.4.4.2.2" xref="S3.SS2.p4.1.m1.4.4.4.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.p4.1.m1.2.2" xref="S3.SS2.p4.1.m1.2.2.cmml">B</mi><mo id="S3.SS2.p4.1.m1.4.4.4.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p4.1.m1.4.4.4.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.SS2.p4.1.m1.4.4.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p4.1.m1.4.4.3.cmml">⟶</mo><mrow id="S3.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2" xref="S3.SS2.p4.1.m1.4.4.2.3.cmml"><mo id="S3.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p4.1.m1.4.4.2.3.cmml">(</mo><msup id="S3.SS2.p4.1.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.SS2.p4.1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.1.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p4.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">A</mi><mrow id="S3.SS2.p4.1.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p4.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.1.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p4.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml"></mi><mo id="S3.SS2.p4.1.m1.3.3.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p4.1.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml">→</mo><mn id="S3.SS2.p4.1.m1.3.3.1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p4.1.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S3.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.4" xref="S3.SS2.p4.1.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><msup id="S3.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2" xref="S3.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.2" xref="S3.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.2.cmml">B</mi><mrow id="S3.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.3" xref="S3.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.3.2" xref="S3.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.3.2.cmml"></mi><mo id="S3.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.3.1.cmml">→</mo><mn id="S3.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.3.3" xref="S3.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S3.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.SS2.p4.1.m1.4.4.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p4.1.m1.4b"><apply id="S3.SS2.p4.1.m1.4.4.cmml" xref="S3.SS2.p4.1.m1.4.4"><ci id="S3.SS2.p4.1.m1.4.4.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.1.m1.4.4.3">⟶</ci><interval closure="open" id="S3.SS2.p4.1.m1.4.4.4.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.1.m1.4.4.4.2"><ci id="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.1.m1.1.1">𝐴</ci><ci id="S3.SS2.p4.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.1.m1.2.2">𝐵</ci></interval><interval closure="open" id="S3.SS2.p4.1.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2"><apply id="S3.SS2.p4.1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.1.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p4.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.1.m1.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p4.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.1.m1.3.3.1.1.1.2">𝐴</ci><apply id="S3.SS2.p4.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.1.m1.3.3.1.1.1.3"><ci id="S3.SS2.p4.1.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.1.m1.3.3.1.1.1.3.1">→</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p4.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.1.m1.3.3.1.1.1.3.2">absent</csymbol><cn id="S3.SS2.p4.1.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p4.1.m1.3.3.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.2">𝐵</ci><apply id="S3.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.3"><ci id="S3.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.3.1">→</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.3.2">absent</csymbol><cn id="S3.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p4.1.m1.4c">\hskip 113.81102pt(A,B){\longrightarrow}(A^{\to 1},B^{\to 1})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p4.1.m1.4d">( italic_A , italic_B ) ⟶ ( italic_A start_POSTSUPERSCRIPT → 1 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_B start_POSTSUPERSCRIPT → 1 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p5"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p5.1"><math alttext="\hskip 113.81102pt\ \times\downarrow\hskip 48.36967pt\times\downarrow" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p5.1.m1.4"><semantics id="S3.SS2.p5.1.m1.4a"><mrow id="S3.SS2.p5.1.m1.4.5.2" xref="S3.SS2.p5.1.m1.4.5.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p5.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.cmml">×</mo><mo id="S3.SS2.p5.1.m1.4.5.2.1" lspace="0em" xref="S3.SS2.p5.1.m1.4.5.1.cmml">⁣</mo><mo id="S3.SS2.p5.1.m1.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p5.1.m1.2.2.cmml">↓</mo><mspace id="S3.SS2.p5.1.m1.4.5.2.2" width="5.062em" xref="S3.SS2.p5.1.m1.4.5.1.cmml"></mspace><mo id="S3.SS2.p5.1.m1.3.3" xref="S3.SS2.p5.1.m1.3.3.cmml">×</mo><mo id="S3.SS2.p5.1.m1.4.5.2.3" lspace="0em" xref="S3.SS2.p5.1.m1.4.5.1.cmml">⁣</mo><mo id="S3.SS2.p5.1.m1.4.4" stretchy="false" xref="S3.SS2.p5.1.m1.4.4.cmml">↓</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p5.1.m1.4b"><list id="S3.SS2.p5.1.m1.4.5.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.1.m1.4.5.2"><times id="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.1.m1.1.1"></times><ci id="S3.SS2.p5.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.1.m1.2.2">↓</ci><times id="S3.SS2.p5.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p5.1.m1.3.3"></times><ci id="S3.SS2.p5.1.m1.4.4.cmml" xref="S3.SS2.p5.1.m1.4.4">↓</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p5.1.m1.4c">\hskip 113.81102pt\ \times\downarrow\hskip 48.36967pt\times\downarrow</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p5.1.m1.4d">× ↓ × ↓</annotation></semantics></math></p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p6"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p6.1"><math alttext="\hskip 128.0374ptC\ \ \ {\longrightarrow}\ \ \ \ \hskip 11.38109ptC^{\to 1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p6.1.m1.3"><semantics id="S3.SS2.p6.1.m1.3a"><mrow id="S3.SS2.p6.1.m1.3.3.1" xref="S3.SS2.p6.1.m1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p6.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.cmml">C</mi><mspace id="S3.SS2.p6.1.m1.3.3.1.2" width="1.5em" xref="S3.SS2.p6.1.m1.3.3.2.cmml"></mspace><mo id="S3.SS2.p6.1.m1.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p6.1.m1.2.2.cmml">⟶</mo><mspace id="S3.SS2.p6.1.m1.3.3.1.3" width="3.14em" xref="S3.SS2.p6.1.m1.3.3.2.cmml"></mspace><msup id="S3.SS2.p6.1.m1.3.3.1.1" xref="S3.SS2.p6.1.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p6.1.m1.3.3.1.1.2" xref="S3.SS2.p6.1.m1.3.3.1.1.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.SS2.p6.1.m1.3.3.1.1.3" xref="S3.SS2.p6.1.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p6.1.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p6.1.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"></mi><mo id="S3.SS2.p6.1.m1.3.3.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p6.1.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">→</mo><mn id="S3.SS2.p6.1.m1.3.3.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p6.1.m1.3.3.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p6.1.m1.3b"><list id="S3.SS2.p6.1.m1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p6.1.m1.3.3.1"><ci id="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p6.1.m1.1.1">𝐶</ci><ci id="S3.SS2.p6.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p6.1.m1.2.2">⟶</ci><apply id="S3.SS2.p6.1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p6.1.m1.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p6.1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p6.1.m1.3.3.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p6.1.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p6.1.m1.3.3.1.1.2">𝐶</ci><apply id="S3.SS2.p6.1.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p6.1.m1.3.3.1.1.3"><ci id="S3.SS2.p6.1.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p6.1.m1.3.3.1.1.3.1">→</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p6.1.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p6.1.m1.3.3.1.1.3.2">absent</csymbol><cn id="S3.SS2.p6.1.m1.3.3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p6.1.m1.3.3.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p6.1.m1.3c">\hskip 128.0374ptC\ \ \ {\longrightarrow}\ \ \ \ \hskip 11.38109ptC^{\to 1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p6.1.m1.3d">italic_C ⟶ italic_C start_POSTSUPERSCRIPT → 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_definition" id="Thmdefinition2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"><span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmdefinition2.1.1.1">Definition 2</span></span></h6> <div class="ltx_para" id="Thmdefinition2.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmdefinition2.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmdefinition2.p1.1.1">The matrix mapping <math alttext="S\in{\bf S}_{wp}\to S^{Ext}\in{\bf G}_{wp}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">S</mi><mo id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">∈</mo><msub id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.4" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.4.cmml"><mi id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.4.2" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.4.2.cmml">𝐒</mi><mrow id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.4.3" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.4.3.cmml"><mi id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.4.3.2" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.4.3.2.cmml">w</mi><mo id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.4.3.1" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.4.3.3" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.4.3.3.cmml">p</mi></mrow></msub><mo id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.5" stretchy="false" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.5.cmml">→</mo><msup id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.6" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.6.cmml"><mi id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.6.2" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.6.2.cmml">S</mi><mrow id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.6.3" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.6.3.cmml"><mi id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.6.3.2" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.6.3.2.cmml">E</mi><mo id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.6.3.1" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.6.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.6.3.3" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.6.3.3.cmml">x</mi><mo id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.6.3.1a" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.6.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.6.3.4" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.6.3.4.cmml">t</mi></mrow></msup><mo id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.7" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.7.cmml">∈</mo><msub id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.8" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.8.cmml"><mi id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.8.2" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.8.2.cmml">𝐆</mi><mrow id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.8.3" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.8.3.cmml"><mi id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.8.3.2" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.8.3.2.cmml">w</mi><mo id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.8.3.1" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.8.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.8.3.3" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.8.3.3.cmml">p</mi></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1"><and id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1a.cmml" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1"></and><apply id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1b.cmml" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1"><in id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.3"></in><ci id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑆</ci><apply id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.4.cmml" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.4.1.cmml" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.4.2.cmml" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.4.2">𝐒</ci><apply id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.4.3.cmml" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.4.3"><times id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.4.3.1.cmml" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.4.3.1"></times><ci id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.4.3.2.cmml" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.4.3.2">𝑤</ci><ci id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.4.3.3.cmml" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.4.3.3">𝑝</ci></apply></apply></apply><apply id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1c.cmml" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1"><ci id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.5.cmml" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.5">→</ci><share href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.4.cmml" id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1d.cmml" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1"></share><apply id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.6.cmml" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.6.1.cmml" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.6">superscript</csymbol><ci id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.6.2.cmml" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.6.2">𝑆</ci><apply id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.6.3.cmml" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.6.3"><times id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.6.3.1.cmml" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.6.3.1"></times><ci id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.6.3.2.cmml" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.6.3.2">𝐸</ci><ci id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.6.3.3.cmml" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.6.3.3">𝑥</ci><ci id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.6.3.4.cmml" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.6.3.4">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1e.cmml" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1"><in id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.7.cmml" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.7"></in><share href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.6.cmml" id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1f.cmml" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1"></share><apply id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.8.cmml" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.8"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.8.1.cmml" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.8">subscript</csymbol><ci id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.8.2.cmml" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.8.2">𝐆</ci><apply id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.8.3.cmml" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.8.3"><times id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.8.3.1.cmml" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.8.3.1"></times><ci id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.8.3.2.cmml" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.8.3.2">𝑤</ci><ci id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.8.3.3.cmml" xref="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.8.3.3">𝑝</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1c">S\in{\bf S}_{wp}\to S^{Ext}\in{\bf G}_{wp}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1d">italic_S ∈ bold_S start_POSTSUBSCRIPT italic_w italic_p end_POSTSUBSCRIPT → italic_S start_POSTSUPERSCRIPT italic_E italic_x italic_t end_POSTSUPERSCRIPT ∈ bold_G start_POSTSUBSCRIPT italic_w italic_p end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> in which the block at the intersection of zero rows and zero columns is replaced by a unit block called </span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmdefinition2.p1.1.2">extended mapping</span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmdefinition2.p1.1.3"> and is indicated by a ”Ext” upper index.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p7"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p7.4">On the diagram, the extended mapping corresponds to 4 arrows that are directed down and to the right: <math alttext="{\bf S}_{wp}\to{\bf G}_{wp}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p7.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p7.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.2.2.cmml">𝐒</mi><mrow id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.2.3.2" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.2.3.2.cmml">w</mi><mo id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.2.3.1" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.2.3.3" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.2.3.3.cmml">p</mi></mrow></msub><mo id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.1.cmml">→</mo><msub id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.2.cmml">𝐆</mi><mrow id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.3.2" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">w</mi><mo id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.3.1" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.3.3" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">p</mi></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p7.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1"><ci id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.1">→</ci><apply id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.2.2">𝐒</ci><apply id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.2.3"><times id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.2.3.2">𝑤</ci><ci id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.2.3.3">𝑝</ci></apply></apply><apply id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.2">𝐆</ci><apply id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.3"><times id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.3.2">𝑤</ci><ci id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.3.3">𝑝</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p7.1.m1.1c">{\bf S}_{wp}\to{\bf G}_{wp}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p7.1.m1.1d">bold_S start_POSTSUBSCRIPT italic_w italic_p end_POSTSUBSCRIPT → bold_G start_POSTSUBSCRIPT italic_w italic_p end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="{\bf S}_{wd}\to{\bf G}_{wd}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p7.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.p7.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.2.2.cmml">𝐒</mi><mrow id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.2.3.2" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.2.3.2.cmml">w</mi><mo id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.2.3.1" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.2.3.3" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.2.3.3.cmml">d</mi></mrow></msub><mo id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.1.cmml">→</mo><msub id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.2.cmml">𝐆</mi><mrow id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.3.2" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.3.2.cmml">w</mi><mo id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.3.1" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.3.3" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.3.3.cmml">d</mi></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p7.2.m2.1b"><apply id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1"><ci id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.1">→</ci><apply id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.2.2">𝐒</ci><apply id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.2.3"><times id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.2.3.2">𝑤</ci><ci id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.2.3.3">𝑑</ci></apply></apply><apply id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.2">𝐆</ci><apply id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.3"><times id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.3.2">𝑤</ci><ci id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.3.3">𝑑</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p7.2.m2.1c">{\bf S}_{wd}\to{\bf G}_{wd}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p7.2.m2.1d">bold_S start_POSTSUBSCRIPT italic_w italic_d end_POSTSUBSCRIPT → bold_G start_POSTSUBSCRIPT italic_w italic_d end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="{\bf S}_{p}\to{\bf G}_{p}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p7.3.m3.1"><semantics id="S3.SS2.p7.3.m3.1a"><mrow id="S3.SS2.p7.3.m3.1.1" xref="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.2.2.cmml">𝐒</mi><mi id="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.2.3.cmml">p</mi></msub><mo id="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.1.cmml">→</mo><msub id="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.3" xref="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.3.2.cmml">𝐆</mi><mi id="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.3.3.cmml">p</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p7.3.m3.1b"><apply id="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.3.m3.1.1"><ci id="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.1">→</ci><apply id="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.2.2">𝐒</ci><ci id="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.2.3">𝑝</ci></apply><apply id="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.3.2">𝐆</ci><ci id="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.3.3">𝑝</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p7.3.m3.1c">{\bf S}_{p}\to{\bf G}_{p}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p7.3.m3.1d">bold_S start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT → bold_G start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="{\bf S}_{d}\to I" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p7.4.m4.1"><semantics id="S3.SS2.p7.4.m4.1a"><mrow id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.2" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.2.2.cmml">𝐒</mi><mi id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.2.3.cmml">d</mi></msub><mo id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.3" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.3.cmml">I</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p7.4.m4.1b"><apply id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1"><ci id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1">→</ci><apply id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.2.2">𝐒</ci><ci id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.2.3">𝑑</ci></apply><ci id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.3">𝐼</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p7.4.m4.1c">{\bf S}_{d}\to I</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p7.4.m4.1d">bold_S start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT → italic_I</annotation></semantics></math>. As a result of such a transformation, a matrix of full rank is obtained.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_definition" id="Thmdefinition3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"><span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmdefinition3.1.1.1">Definition 3</span></span></h6> <div class="ltx_para" id="Thmdefinition3.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmdefinition3.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmdefinition3.p1.1.1">The mapping of the matrix <math alttext="S\in{\bf S}_{wp}\to\bar{S}=S^{Ext}-S\in{\bf S}_{p}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">S</mi><mo id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">∈</mo><msub id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.4" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.4.cmml"><mi id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.4.2" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.4.2.cmml">𝐒</mi><mrow id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.4.3" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.4.3.cmml"><mi id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.4.3.2" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.4.3.2.cmml">w</mi><mo id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.4.3.1" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.4.3.3" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.4.3.3.cmml">p</mi></mrow></msub><mo id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.5" stretchy="false" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.5.cmml">→</mo><mover accent="true" id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.6" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.6.cmml"><mi id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.6.2" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.6.2.cmml">S</mi><mo id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.6.1" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.6.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.7" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.7.cmml">=</mo><mrow id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.8" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.8.cmml"><msup id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.8.2" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.8.2.cmml"><mi id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.8.2.2" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.8.2.2.cmml">S</mi><mrow id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.8.2.3" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.8.2.3.cmml"><mi id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.8.2.3.2" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.8.2.3.2.cmml">E</mi><mo id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.8.2.3.1" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.8.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.8.2.3.3" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.8.2.3.3.cmml">x</mi><mo id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.8.2.3.1a" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.8.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.8.2.3.4" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.8.2.3.4.cmml">t</mi></mrow></msup><mo id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.8.1" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.8.1.cmml">−</mo><mi id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.8.3" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.8.3.cmml">S</mi></mrow><mo id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.9" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.9.cmml">∈</mo><msub id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.10" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.10.cmml"><mi id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.10.2" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.10.2.cmml">𝐒</mi><mi id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.10.3" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.10.3.cmml">p</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1"><and id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1a.cmml" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1"></and><apply id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1b.cmml" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1"><in id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.3"></in><ci id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑆</ci><apply id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.4.cmml" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.4.1.cmml" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.4.2.cmml" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.4.2">𝐒</ci><apply id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.4.3.cmml" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.4.3"><times id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.4.3.1.cmml" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.4.3.1"></times><ci id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.4.3.2.cmml" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.4.3.2">𝑤</ci><ci id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.4.3.3.cmml" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.4.3.3">𝑝</ci></apply></apply></apply><apply id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1c.cmml" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1"><ci id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.5.cmml" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.5">→</ci><share href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.4.cmml" id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1d.cmml" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1"></share><apply id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.6.cmml" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.6"><ci id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.6.1.cmml" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.6.1">¯</ci><ci id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.6.2.cmml" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.6.2">𝑆</ci></apply></apply><apply id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1e.cmml" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1"><eq id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.7.cmml" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.7"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.6.cmml" id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1f.cmml" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1"></share><apply id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.8.cmml" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.8"><minus id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.8.1.cmml" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.8.1"></minus><apply id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.8.2.cmml" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.8.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.8.2.1.cmml" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.8.2">superscript</csymbol><ci id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.8.2.2.cmml" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.8.2.2">𝑆</ci><apply id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.8.2.3.cmml" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.8.2.3"><times id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.8.2.3.1.cmml" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.8.2.3.1"></times><ci id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.8.2.3.2.cmml" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.8.2.3.2">𝐸</ci><ci id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.8.2.3.3.cmml" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.8.2.3.3">𝑥</ci><ci id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.8.2.3.4.cmml" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.8.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><ci id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.8.3.cmml" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.8.3">𝑆</ci></apply></apply><apply id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1g.cmml" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1"><in id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.9.cmml" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.9"></in><share href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.8.cmml" id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1h.cmml" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1"></share><apply id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.10.cmml" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.10"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.10.1.cmml" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.10">subscript</csymbol><ci id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.10.2.cmml" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.10.2">𝐒</ci><ci id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.10.3.cmml" xref="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.10.3">𝑝</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1c">S\in{\bf S}_{wp}\to\bar{S}=S^{Ext}-S\in{\bf S}_{p}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1d">italic_S ∈ bold_S start_POSTSUBSCRIPT italic_w italic_p end_POSTSUBSCRIPT → over¯ start_ARG italic_S end_ARG = italic_S start_POSTSUPERSCRIPT italic_E italic_x italic_t end_POSTSUPERSCRIPT - italic_S ∈ bold_S start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is called the </span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmdefinition3.p1.1.2">complementary mapping</span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmdefinition3.p1.1.3"> and is denoted by a “bar”.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_property" id="Thmproperty1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"><span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmproperty1.1.1.1">Property 1</span></span></h6> <div class="ltx_para" id="Thmproperty1.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmproperty1.p1.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmproperty1.p1.4.4">The special case of the complementary mapping, when the matrix <math alttext="S" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproperty1.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmproperty1.p1.1.1.m1.1a"><mi id="Thmproperty1.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmproperty1.p1.1.1.m1.1.1.cmml">S</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproperty1.p1.1.1.m1.1b"><ci id="Thmproperty1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmproperty1.p1.1.1.m1.1.1">𝑆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproperty1.p1.1.1.m1.1c">S</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproperty1.p1.1.1.m1.1d">italic_S</annotation></semantics></math> belongs to the semigroup <math alttext="{\bf S}_{p}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproperty1.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmproperty1.p1.2.2.m2.1a"><msub id="Thmproperty1.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmproperty1.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmproperty1.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmproperty1.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">𝐒</mi><mi id="Thmproperty1.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmproperty1.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">p</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproperty1.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmproperty1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmproperty1.p1.2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproperty1.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmproperty1.p1.2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmproperty1.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmproperty1.p1.2.2.m2.1.1.2">𝐒</ci><ci id="Thmproperty1.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmproperty1.p1.2.2.m2.1.1.3">𝑝</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproperty1.p1.2.2.m2.1c">{\bf S}_{p}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproperty1.p1.2.2.m2.1d">bold_S start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, is an involution on the semigroup <math alttext="{\bf S}_{p}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproperty1.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmproperty1.p1.3.3.m3.1a"><msub id="Thmproperty1.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmproperty1.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="Thmproperty1.p1.3.3.m3.1.1.2" xref="Thmproperty1.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml">𝐒</mi><mi id="Thmproperty1.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="Thmproperty1.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml">p</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproperty1.p1.3.3.m3.1b"><apply id="Thmproperty1.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmproperty1.p1.3.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproperty1.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmproperty1.p1.3.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmproperty1.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmproperty1.p1.3.3.m3.1.1.2">𝐒</ci><ci id="Thmproperty1.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmproperty1.p1.3.3.m3.1.1.3">𝑝</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproperty1.p1.3.3.m3.1c">{\bf S}_{p}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproperty1.p1.3.3.m3.1d">bold_S start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Involution is reversible: <math alttext="\bar{\bar{S}}=S" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproperty1.p1.4.4.m4.1"><semantics id="Thmproperty1.p1.4.4.m4.1a"><mrow id="Thmproperty1.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmproperty1.p1.4.4.m4.1.1.cmml"><mover accent="true" id="Thmproperty1.p1.4.4.m4.1.1.2" xref="Thmproperty1.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="Thmproperty1.p1.4.4.m4.1.1.2.2" xref="Thmproperty1.p1.4.4.m4.1.1.2.2.cmml"><mi id="Thmproperty1.p1.4.4.m4.1.1.2.2.2" xref="Thmproperty1.p1.4.4.m4.1.1.2.2.2.cmml">S</mi><mo id="Thmproperty1.p1.4.4.m4.1.1.2.2.1" xref="Thmproperty1.p1.4.4.m4.1.1.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="Thmproperty1.p1.4.4.m4.1.1.2.1" xref="Thmproperty1.p1.4.4.m4.1.1.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="Thmproperty1.p1.4.4.m4.1.1.1" xref="Thmproperty1.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="Thmproperty1.p1.4.4.m4.1.1.3" xref="Thmproperty1.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml">S</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproperty1.p1.4.4.m4.1b"><apply id="Thmproperty1.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmproperty1.p1.4.4.m4.1.1"><eq id="Thmproperty1.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="Thmproperty1.p1.4.4.m4.1.1.1"></eq><apply id="Thmproperty1.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="Thmproperty1.p1.4.4.m4.1.1.2"><ci id="Thmproperty1.p1.4.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="Thmproperty1.p1.4.4.m4.1.1.2.1">¯</ci><apply id="Thmproperty1.p1.4.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="Thmproperty1.p1.4.4.m4.1.1.2.2"><ci id="Thmproperty1.p1.4.4.m4.1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmproperty1.p1.4.4.m4.1.1.2.2.1">¯</ci><ci id="Thmproperty1.p1.4.4.m4.1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmproperty1.p1.4.4.m4.1.1.2.2.2">𝑆</ci></apply></apply><ci id="Thmproperty1.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml" xref="Thmproperty1.p1.4.4.m4.1.1.3">𝑆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproperty1.p1.4.4.m4.1c">\bar{\bar{S}}=S</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproperty1.p1.4.4.m4.1d">over¯ start_ARG over¯ start_ARG italic_S end_ARG end_ARG = italic_S</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p8"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p8.1">Examples of involution:</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p9"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex3"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\left[\begin{array}[]{ccc}0&0&0\\ 0&0&0\\ 1&0&0\end{array}\right]\to\left[\begin{array}[]{ccc}0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0\end{array}\right]." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex3.m1.3"><semantics id="S3.Ex3.m1.3a"><mrow id="S3.Ex3.m1.3.3.1" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.1.cmml"><mo id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S3.Ex3.m1.1.1" rowspacing="0pt" 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id="S3.Ex3.m1.2.2.1.2.1" xref="S3.Ex3.m1.2.2.1.2.1.cmml">1</mn></mtd><mtd id="S3.Ex3.m1.2.2d" xref="S3.Ex3.m1.2.2.cmml"><mn id="S3.Ex3.m1.2.2.1.3.1" xref="S3.Ex3.m1.2.2.1.3.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="S3.Ex3.m1.2.2e" xref="S3.Ex3.m1.2.2.cmml"><mtd id="S3.Ex3.m1.2.2f" xref="S3.Ex3.m1.2.2.cmml"><mn id="S3.Ex3.m1.2.2.2.1.1" xref="S3.Ex3.m1.2.2.2.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S3.Ex3.m1.2.2g" xref="S3.Ex3.m1.2.2.cmml"><mn id="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S3.Ex3.m1.2.2h" xref="S3.Ex3.m1.2.2.cmml"><mn id="S3.Ex3.m1.2.2.2.3.1" xref="S3.Ex3.m1.2.2.2.3.1.cmml">1</mn></mtd></mtr><mtr id="S3.Ex3.m1.2.2i" xref="S3.Ex3.m1.2.2.cmml"><mtd id="S3.Ex3.m1.2.2j" xref="S3.Ex3.m1.2.2.cmml"><mn id="S3.Ex3.m1.2.2.3.1.1" xref="S3.Ex3.m1.2.2.3.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S3.Ex3.m1.2.2k" xref="S3.Ex3.m1.2.2.cmml"><mn id="S3.Ex3.m1.2.2.3.2.1" xref="S3.Ex3.m1.2.2.3.2.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S3.Ex3.m1.2.2l" xref="S3.Ex3.m1.2.2.cmml"><mn id="S3.Ex3.m1.2.2.3.3.1" xref="S3.Ex3.m1.2.2.3.3.1.cmml">0</mn></mtd></mtr></mtable><mo id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex3.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex3.m1.3b"><apply id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1"><ci id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.1">→</ci><apply id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S3.Ex3.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.1.1"><matrixrow id="S3.Ex3.m1.1.1a.cmml" xref="S3.Ex3.m1.1.1"><cn id="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.1">0</cn><cn id="S3.Ex3.m1.1.1.1.2.1.cmml" type="integer" xref="S3.Ex3.m1.1.1.1.2.1">0</cn><cn id="S3.Ex3.m1.1.1.1.3.1.cmml" type="integer" xref="S3.Ex3.m1.1.1.1.3.1">0</cn></matrixrow><matrixrow 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1&0&0\end{array}\right]\to\left[\begin{array}[]{ccc}0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0\end{array}\right].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex3.m1.3d">[ start_ARRAY start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 1 end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW end_ARRAY ] → [ start_ARRAY start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL 1 end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL 1 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW end_ARRAY ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_property" id="Thmproperty2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"><span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmproperty2.1.1.1">Property 2</span></span></h6> <div class="ltx_para" id="Thmproperty2.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmproperty2.p1.1"><math alttext="\forall S\in{\bf S}_{p}:S+\bar{S}\in{\bf G}_{p}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproperty2.p1.1.m1.1"><semantics id="Thmproperty2.p1.1.m1.1a"><mrow id="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1" xref="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.2" xref="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mrow id="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.2.2" xref="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml"><mo id="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.2.2.1" rspace="0.167em" xref="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">∀</mo><mi id="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.2.2.2" xref="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml">S</mi></mrow><mo id="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.2.1" xref="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml">∈</mo><msub id="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.2.3" xref="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.2.3.2" xref="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml">𝐒</mi><mi id="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.2.3.3" xref="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.2.3.3.cmml">p</mi></msub></mrow><mo id="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.3" xref="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mrow id="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.3.2.2" xref="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">S</mi><mo id="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.3.2.1" xref="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml">+</mo><mover accent="true" id="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.3.2.3" xref="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.3.2.3.2" xref="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">S</mi><mo id="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.3.2.3.1" xref="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.3.2.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><mo id="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.3.1" xref="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">∈</mo><msub id="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.3.3.2" xref="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">𝐆</mi><mi id="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.3.3.3" xref="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">p</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproperty2.p1.1.m1.1b"><apply id="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1"><ci id="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.1">:</ci><apply id="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.2"><in id="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.2.1"></in><apply id="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.2.2.1">for-all</csymbol><ci id="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.2.2.2">𝑆</ci></apply><apply id="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.2.3.2">𝐒</ci><ci id="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.2.3.3.cmml" xref="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.2.3.3">𝑝</ci></apply></apply><apply id="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.3"><in id="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.3.1"></in><apply id="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.3.2"><plus id="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.3.2.1"></plus><ci id="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.3.2.2">𝑆</ci><apply id="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.3.2.3"><ci id="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.3.2.3.1">¯</ci><ci id="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.3.2.3.2">𝑆</ci></apply></apply><apply id="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.3.3.2">𝐆</ci><ci id="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="Thmproperty2.p1.1.m1.1.1.3.3.3">𝑝</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproperty2.p1.1.m1.1c">\forall S\in{\bf S}_{p}:S+\bar{S}\in{\bf G}_{p}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproperty2.p1.1.m1.1d">∀ italic_S ∈ bold_S start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT : italic_S + over¯ start_ARG italic_S end_ARG ∈ bold_G start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmproperty2.p1.1.1">.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p10"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p10.1">To denote the Moore-Penrose generalized inverse matrix, we use the superscript plus. It is easy to check the following property.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_property" id="Thmproperty3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"><span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmproperty3.1.1.1">Property 3</span></span></h6> <div class="ltx_para" id="Thmproperty3.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmproperty3.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmproperty3.p1.1.1">For any matrix <math alttext="S=(a_{i,j})\in{\bf S}_{wp}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3"><semantics id="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3a"><mrow id="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3" xref="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.cmml"><mi id="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.3" xref="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.3.cmml">S</mi><mo id="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.4" xref="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.4.cmml">=</mo><mrow id="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.1.1" xref="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1" xref="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2" xref="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">a</mi><mrow id="Thmproperty3.p1.1.1.m1.2.2.2.4" xref="Thmproperty3.p1.1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="Thmproperty3.p1.1.1.m1.1.1.1.1" xref="Thmproperty3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="Thmproperty3.p1.1.1.m1.2.2.2.4.1" xref="Thmproperty3.p1.1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="Thmproperty3.p1.1.1.m1.2.2.2.2" xref="Thmproperty3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.5" xref="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.5.cmml">∈</mo><msub id="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.6" xref="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.6.cmml"><mi id="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.6.2" xref="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.6.2.cmml">𝐒</mi><mrow id="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.6.3" xref="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.6.3.cmml"><mi id="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.6.3.2" xref="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.6.3.2.cmml">w</mi><mo id="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.6.3.1" xref="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.6.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.6.3.3" xref="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.6.3.3.cmml">p</mi></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3b"><apply id="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.cmml" xref="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3"><and id="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3a.cmml" xref="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3"></and><apply id="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3b.cmml" xref="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3"><eq id="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.4.cmml" xref="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.4"></eq><ci id="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.3.cmml" xref="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.3">𝑆</ci><apply id="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2">𝑎</ci><list id="Thmproperty3.p1.1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="Thmproperty3.p1.1.1.m1.2.2.2.4"><ci id="Thmproperty3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmproperty3.p1.1.1.m1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="Thmproperty3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="Thmproperty3.p1.1.1.m1.2.2.2.2">𝑗</ci></list></apply></apply><apply id="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3c.cmml" xref="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3"><in id="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.5.cmml" xref="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.5"></in><share href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.1.cmml" id="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3d.cmml" xref="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3"></share><apply id="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.6.cmml" xref="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.6"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.6.1.cmml" xref="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.6">subscript</csymbol><ci id="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.6.2.cmml" xref="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.6.2">𝐒</ci><apply id="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.6.3.cmml" xref="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.6.3"><times id="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.6.3.1.cmml" xref="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.6.3.1"></times><ci id="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.6.3.2.cmml" xref="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.6.3.2">𝑤</ci><ci id="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.6.3.3.cmml" xref="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3.3.6.3.3">𝑝</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3c">S=(a_{i,j})\in{\bf S}_{wp}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproperty3.p1.1.1.m1.3d">italic_S = ( italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ∈ bold_S start_POSTSUBSCRIPT italic_w italic_p end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> the Moore-Penrose generalized inverse matrix is equal</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex4"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="S^{+}=\{(b_{i,j}):b_{i,j}=0\hbox{ if }a_{j,i}=0,b_{i,j}=a_{j,i}^{-1}\hbox{ if % }a_{j,i}\neq 0\}." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex4.m1.13"><semantics id="S3.Ex4.m1.13a"><mrow id="S3.Ex4.m1.13.13.1" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.4" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.4.2" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.4.2.cmml">S</mi><mo id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.4.3" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.4.3.cmml">+</mo></msup><mo id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.3" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.3.1.cmml">{</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">b</mi><mrow id="S3.Ex4.m1.2.2.2.4" xref="S3.Ex4.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex4.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.Ex4.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex4.m1.2.2.2.2" xref="S3.Ex4.m1.2.2.2.2.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.3" rspace="0.278em" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.4" rspace="0.278em" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.3.1.cmml">:</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.1.1" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.1.1.2.2" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.1.1.2.2.cmml">b</mi><mrow id="S3.Ex4.m1.4.4.2.4" xref="S3.Ex4.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.3.3.1.1" xref="S3.Ex4.m1.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.2.4.1" xref="S3.Ex4.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex4.m1.4.4.2.2" xref="S3.Ex4.m1.4.4.2.2.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.1.1.4" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.1.1.4.cmml"><mn id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.1.1.4.2" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.1.1.4.2.cmml">0</mn><mo id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.1.1.4.1" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.1.1.4.3" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.1.1.4.3a.cmml"> if </mtext><mo id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.1.1.4.1a" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.1.1.4.4" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.1.1.4.4.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.1.1.4.4.2" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.1.1.4.4.2.cmml">a</mi><mrow id="S3.Ex4.m1.6.6.2.4" xref="S3.Ex4.m1.6.6.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.5.5.1.1" xref="S3.Ex4.m1.5.5.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex4.m1.6.6.2.4.1" xref="S3.Ex4.m1.6.6.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex4.m1.6.6.2.2" xref="S3.Ex4.m1.6.6.2.2.cmml">i</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.1.1.5" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.1.1.5.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.1.1.6" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.1.1.6.cmml">0</mn></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><msub id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">b</mi><mrow id="S3.Ex4.m1.8.8.2.4" xref="S3.Ex4.m1.8.8.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.7.7.1.1" xref="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex4.m1.8.8.2.4.1" xref="S3.Ex4.m1.8.8.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex4.m1.8.8.2.2" xref="S3.Ex4.m1.8.8.2.2.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4.cmml"><msubsup id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4.2" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4.2.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4.2.2.2" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4.2.2.2.cmml">a</mi><mrow id="S3.Ex4.m1.10.10.2.4" xref="S3.Ex4.m1.10.10.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex4.m1.10.10.2.4.1" xref="S3.Ex4.m1.10.10.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex4.m1.10.10.2.2" xref="S3.Ex4.m1.10.10.2.2.cmml">i</mi></mrow><mrow id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4.2.3" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4.2.3a" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4.2.3.cmml">−</mo><mn id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4.2.3.2" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4.1" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4.1.cmml">⁢</mo><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4.3" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4.3a.cmml"> if </mtext><mo id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4.1a" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4.4" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4.4.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4.4.2" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4.4.2.cmml">a</mi><mrow id="S3.Ex4.m1.12.12.2.4" xref="S3.Ex4.m1.12.12.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.11.11.1.1" xref="S3.Ex4.m1.11.11.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex4.m1.12.12.2.4.1" xref="S3.Ex4.m1.12.12.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex4.m1.12.12.2.2" xref="S3.Ex4.m1.12.12.2.2.cmml">i</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.5" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.5.cmml">≠</mo><mn id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.6" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.6.cmml">0</mn></mrow></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.13.13.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex4.m1.13b"><apply id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1"><eq id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.3"></eq><apply id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.4.2">𝑆</ci><plus id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.4.3"></plus></apply><apply id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.3">conditional-set</csymbol><apply id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑏</ci><list id="S3.Ex4.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.2.4"><ci id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Ex4.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.2.2">𝑗</ci></list></apply><apply id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" 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xref="S3.Ex4.m1.6.6.2.2">𝑖</ci></list></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.1.1c.cmml" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.1.1"><eq id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.1.1.4.cmml" id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.1.1d.cmml" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.1.1"></share><cn id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.1.1.6.cmml" type="integer" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.1.1.6">0</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2"><and id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2a.cmml" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2"></and><apply id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2b.cmml" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2"><eq id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.3"></eq><apply id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.2.2">𝑏</ci><list id="S3.Ex4.m1.8.8.2.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.8.8.2.4"><ci id="S3.Ex4.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.7.7.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Ex4.m1.8.8.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.8.8.2.2">𝑗</ci></list></apply><apply id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4.cmml" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4"><times id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4.1"></times><apply id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4.2.2.2">𝑎</ci><list id="S3.Ex4.m1.10.10.2.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.10.10.2.4"><ci id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.Ex4.m1.10.10.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.10.10.2.2">𝑖</ci></list></apply><apply id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4.2.3"><minus id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4.2.3"></minus><cn id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4.3a.cmml" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4.3"> if </mtext></ci><apply id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4.4.cmml" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4.4.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4.4.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4.4.2">𝑎</ci><list id="S3.Ex4.m1.12.12.2.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.12.12.2.4"><ci id="S3.Ex4.m1.11.11.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.11.11.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.Ex4.m1.12.12.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.12.12.2.2">𝑖</ci></list></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2c.cmml" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2"><neq id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.5.cmml" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.5"></neq><share href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.4.cmml" id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2d.cmml" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2"></share><cn id="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.6.cmml" type="integer" xref="S3.Ex4.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.6">0</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex4.m1.13c">S^{+}=\{(b_{i,j}):b_{i,j}=0\hbox{ if }a_{j,i}=0,b_{i,j}=a_{j,i}^{-1}\hbox{ if % }a_{j,i}\neq 0\}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex4.m1.13d">italic_S start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT = { ( italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) : italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_j end_POSTSUBSCRIPT = 0 if italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_i end_POSTSUBSCRIPT = 0 , italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_j end_POSTSUBSCRIPT = italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT if italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_i end_POSTSUBSCRIPT ≠ 0 } .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p11"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p11.2">The matrix <math alttext="S^{+}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p11.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p11.1.m1.1a"><msup id="S3.SS2.p11.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.p11.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p11.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.p11.1.m1.1.1.2.cmml">S</mi><mo id="S3.SS2.p11.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.p11.1.m1.1.1.3.cmml">+</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p11.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p11.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p11.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p11.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p11.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p11.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p11.1.m1.1.1.2">𝑆</ci><plus id="S3.SS2.p11.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p11.1.m1.1.1.3"></plus></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p11.1.m1.1c">S^{+}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p11.1.m1.1d">italic_S start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is obtained by transposing the matrix <math alttext="S\ (S\in{\mathbb{Z}}_{wp})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p11.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.p11.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS2.p11.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.3.cmml">S</mi><mo id="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.2" lspace="0.500em" xref="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">S</mi><mo id="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">∈</mo><msub id="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ℤ</mi><mrow id="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">w</mi><mo id="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">p</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p11.2.m2.1b"><apply id="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p11.2.m2.1.1"><times id="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.2"></times><ci id="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.3">𝑆</ci><apply id="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.1.1"><in id="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.1.1.1.1"></in><ci id="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.1.1.1.2">𝑆</ci><apply id="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.1.1.1.3.2">ℤ</ci><apply id="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.1.1.1.3.3"><times id="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑤</ci><ci id="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑝</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p11.2.m2.1c">S\ (S\in{\mathbb{Z}}_{wp})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p11.2.m2.1d">italic_S ( italic_S ∈ blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_w italic_p end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> and replacing each non-zero element by the inverse element.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS3"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection"><span class="ltx_text" id="S3.SS3.4.1.1">III-C</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.SS3.5.2">Surrounding minors</span> </h3> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p1.1">Hereinafter, we consider matrices over the commutative domain <math alttext="R" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS3.p1.1.m1.1a"><mi id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.cmml">R</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.1.m1.1b"><ci id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1">𝑅</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.1.m1.1c">R</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.1.m1.1d">italic_R</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_definition" id="Thmdefinition4"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"><span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmdefinition4.1.1.1">Definition 4</span></span></h6> <div class="ltx_para" id="Thmdefinition4.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmdefinition4.p1.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmdefinition4.p1.4.4">Let a matrix <math alttext="\mathcal{M}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefinition4.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmdefinition4.p1.1.1.m1.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmdefinition4.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmdefinition4.p1.1.1.m1.1.1.cmml">ℳ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefinition4.p1.1.1.m1.1b"><ci id="Thmdefinition4.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmdefinition4.p1.1.1.m1.1.1">ℳ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefinition4.p1.1.1.m1.1c">\mathcal{M}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefinition4.p1.1.1.m1.1d">caligraphic_M</annotation></semantics></math> be given and let <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefinition4.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmdefinition4.p1.2.2.m2.1a"><mi id="Thmdefinition4.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmdefinition4.p1.2.2.m2.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefinition4.p1.2.2.m2.1b"><ci id="Thmdefinition4.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmdefinition4.p1.2.2.m2.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefinition4.p1.2.2.m2.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefinition4.p1.2.2.m2.1d">italic_A</annotation></semantics></math> be a square block located in the upper left corner of the matrix <math alttext="\mathcal{M}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefinition4.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmdefinition4.p1.3.3.m3.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmdefinition4.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmdefinition4.p1.3.3.m3.1.1.cmml">ℳ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefinition4.p1.3.3.m3.1b"><ci id="Thmdefinition4.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmdefinition4.p1.3.3.m3.1.1">ℳ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefinition4.p1.3.3.m3.1c">\mathcal{M}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefinition4.p1.3.3.m3.1d">caligraphic_M</annotation></semantics></math>. Any submatrix <math alttext="G" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefinition4.p1.4.4.m4.1"><semantics id="Thmdefinition4.p1.4.4.m4.1a"><mi id="Thmdefinition4.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmdefinition4.p1.4.4.m4.1.1.cmml">G</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefinition4.p1.4.4.m4.1b"><ci id="Thmdefinition4.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmdefinition4.p1.4.4.m4.1.1">𝐺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefinition4.p1.4.4.m4.1c">G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefinition4.p1.4.4.m4.1d">italic_G</annotation></semantics></math>,</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex5"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="G=\left[\begin{array}[]{cc}A&c\\ r&\omega\end{array}\right]," class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex5.m1.2"><semantics id="S3.Ex5.m1.2a"><mrow id="S3.Ex5.m1.2.2.1" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.2.cmml">G</mi><mo id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.3.2.1" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S3.Ex5.m1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S3.Ex5.m1.1.1.cmml"><mtr id="S3.Ex5.m1.1.1a" xref="S3.Ex5.m1.1.1.cmml"><mtd id="S3.Ex5.m1.1.1b" xref="S3.Ex5.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.cmml">A</mi></mtd><mtd id="S3.Ex5.m1.1.1c" xref="S3.Ex5.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.2.1.cmml">c</mi></mtd></mtr><mtr id="S3.Ex5.m1.1.1d" xref="S3.Ex5.m1.1.1.cmml"><mtd id="S3.Ex5.m1.1.1e" xref="S3.Ex5.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.1.1.2.1.1" xref="S3.Ex5.m1.1.1.2.1.1.cmml">r</mi></mtd><mtd id="S3.Ex5.m1.1.1f" xref="S3.Ex5.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex5.m1.1.1.2.2.1.cmml">ω</mi></mtd></mtr></mtable><mo id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex5.m1.2.2.1.2" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex5.m1.2b"><apply id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1"><eq id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.1"></eq><ci id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.2">𝐺</ci><apply id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S3.Ex5.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1"><matrixrow id="S3.Ex5.m1.1.1a.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1"><ci id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1">𝐴</ci><ci id="S3.Ex5.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.2.1">𝑐</ci></matrixrow><matrixrow id="S3.Ex5.m1.1.1b.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1"><ci id="S3.Ex5.m1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.2.1.1">𝑟</ci><ci id="S3.Ex5.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.2.2.1">𝜔</ci></matrixrow></matrix></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex5.m1.2c">G=\left[\begin{array}[]{cc}A&c\\ r&\omega\end{array}\right],</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex5.m1.2d">italic_G = [ start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_A end_CELL start_CELL italic_c end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_r end_CELL start_CELL italic_ω end_CELL end_ROW end_ARRAY ] ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right"><math class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex5.1.1.m1.1"><semantics id="S3.Ex5.1.1.m1.1b"><mrow id="S3.Ex5.1.1.m1.1.2.2"><mo id="S3.Ex5.1.1.m1.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S3.Ex5.1.1.m1.1.1" xref="S3.Ex5.1.1.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.Ex5.1.1.m1.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex5.1.1.m1.1c"><cn id="S3.Ex5.1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.Ex5.1.1.m1.1.1">1</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex5.1.1.m1.1d">( 1 )</annotation></semantics></math></span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmdefinition4.p1.9"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmdefinition4.p1.9.5">that is obtained by adding to the block <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefinition4.p1.5.1.m1.1"><semantics id="Thmdefinition4.p1.5.1.m1.1a"><mi id="Thmdefinition4.p1.5.1.m1.1.1" xref="Thmdefinition4.p1.5.1.m1.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefinition4.p1.5.1.m1.1b"><ci id="Thmdefinition4.p1.5.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmdefinition4.p1.5.1.m1.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefinition4.p1.5.1.m1.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefinition4.p1.5.1.m1.1d">italic_A</annotation></semantics></math> some row <math alttext="r" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefinition4.p1.6.2.m2.1"><semantics id="Thmdefinition4.p1.6.2.m2.1a"><mi id="Thmdefinition4.p1.6.2.m2.1.1" xref="Thmdefinition4.p1.6.2.m2.1.1.cmml">r</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefinition4.p1.6.2.m2.1b"><ci id="Thmdefinition4.p1.6.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmdefinition4.p1.6.2.m2.1.1">𝑟</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefinition4.p1.6.2.m2.1c">r</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefinition4.p1.6.2.m2.1d">italic_r</annotation></semantics></math> and some column <math alttext="c" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefinition4.p1.7.3.m3.1"><semantics id="Thmdefinition4.p1.7.3.m3.1a"><mi id="Thmdefinition4.p1.7.3.m3.1.1" xref="Thmdefinition4.p1.7.3.m3.1.1.cmml">c</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefinition4.p1.7.3.m3.1b"><ci id="Thmdefinition4.p1.7.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmdefinition4.p1.7.3.m3.1.1">𝑐</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefinition4.p1.7.3.m3.1c">c</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefinition4.p1.7.3.m3.1d">italic_c</annotation></semantics></math> of matrix <math alttext="\mathcal{M}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefinition4.p1.8.4.m4.1"><semantics id="Thmdefinition4.p1.8.4.m4.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmdefinition4.p1.8.4.m4.1.1" xref="Thmdefinition4.p1.8.4.m4.1.1.cmml">ℳ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefinition4.p1.8.4.m4.1b"><ci id="Thmdefinition4.p1.8.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmdefinition4.p1.8.4.m4.1.1">ℳ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefinition4.p1.8.4.m4.1c">\mathcal{M}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefinition4.p1.8.4.m4.1d">caligraphic_M</annotation></semantics></math> is called the submatrix that surrounds the block <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefinition4.p1.9.5.m5.1"><semantics id="Thmdefinition4.p1.9.5.m5.1a"><mi id="Thmdefinition4.p1.9.5.m5.1.1" xref="Thmdefinition4.p1.9.5.m5.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefinition4.p1.9.5.m5.1b"><ci id="Thmdefinition4.p1.9.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmdefinition4.p1.9.5.m5.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefinition4.p1.9.5.m5.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefinition4.p1.9.5.m5.1d">italic_A</annotation></semantics></math>. Its determinant we call the surrounding minor.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_theorem" id="Thmtheorem1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"><span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem1.1.1.1">Theorem 1</span></span></h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem1.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem1.p1.6"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem1.p1.6.6">Let <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1a"><mi id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1b"><ci id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1d">italic_A</annotation></semantics></math> be a square matrix, <math alttext="A^{*}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1a"><msup id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">∗</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.2">𝐴</ci><times id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.3"></times></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1c">A^{*}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1d">italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> the adjoint matrix for <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1a"><mi id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1b"><ci id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1d">italic_A</annotation></semantics></math>, <math alttext="det(A)\neq 0" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1"><semantics id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1a"><mrow id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.2" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.2.cmml"><mrow id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.2.2" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.2.2.2" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.2.2.1" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.2.2.3" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.2.2.3.cmml">e</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.2.2.1a" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.2.2.4" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.2.2.4.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.2.2.1b" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.2.2.5.2" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.2.2.cmml"><mo id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.cmml">A</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.2.2.5.2.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.2.1" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.2.1.cmml">≠</mo><mn id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.2.3" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.2.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1b"><apply id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.2"><neq id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.2.1"></neq><apply id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.2.2"><times id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.2.2.1"></times><ci id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.2.2.2">𝑑</ci><ci id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.2.2.3">𝑒</ci><ci id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.2.2.4.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.2.2.4">𝑡</ci><ci id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1">𝐴</ci></apply><cn id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.2.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1c">det(A)\neq 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1d">italic_d italic_e italic_t ( italic_A ) ≠ 0</annotation></semantics></math>, <math alttext="G" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1"><semantics id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1a"><mi id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1.cmml">G</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1b"><ci id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1">𝐺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1c">G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1d">italic_G</annotation></semantics></math> (1) be the surrounding matrix for <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1"><semantics id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1a"><mi id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1b"><ci id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1d">italic_A</annotation></semantics></math>, then</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex6"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="det(G)=det(A)\omega-rA^{*}c." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex6.m1.3"><semantics id="S3.Ex6.m1.3a"><mrow id="S3.Ex6.m1.3.3.1" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">e</mi><mo id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1a" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.4" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.4.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1b" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.5.2" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex6.m1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.1.1.cmml">G</mi><mo id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2.1" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml">e</mi><mo id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2.1a" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2.4" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2.4.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2.1b" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2.5.2" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mo id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex6.m1.2.2" xref="S3.Ex6.m1.2.2.cmml">A</mi><mo id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2.1c" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2.6" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2.6.cmml">ω</mi></mrow><mo id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.1" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.3" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.3.2.cmml">r</mi><mo id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.3.1" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.3.3.2" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.cmml">A</mi><mo id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.3.3.3" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.3.1a" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.3.4" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.3.4.cmml">c</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex6.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex6.m1.3b"><apply id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1"><eq id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1"></eq><apply id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2"><times id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1"></times><ci id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2">𝑑</ci><ci id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.3">𝑒</ci><ci id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.4.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.4">𝑡</ci><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1">𝐺</ci></apply><apply id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3"><minus id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.1"></minus><apply id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2"><times id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2.1"></times><ci id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2.2">𝑑</ci><ci id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2.3">𝑒</ci><ci id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2.4.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2.4">𝑡</ci><ci id="S3.Ex6.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.2.2">𝐴</ci><ci id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2.6.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2.6">𝜔</ci></apply><apply id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.3"><times id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.3.2">𝑟</ci><apply id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.3.3.2">𝐴</ci><times id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.3.3.3"></times></apply><ci id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.3.4">𝑐</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex6.m1.3c">det(G)=det(A)\omega-rA^{*}c.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex6.m1.3d">italic_d italic_e italic_t ( italic_G ) = italic_d italic_e italic_t ( italic_A ) italic_ω - italic_r italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_c .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p2.4"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.SS3.p2.4.1">Proof.</span> This equality expresses the decomposition of the determinant <math alttext="G" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.1.m1.1"><semantics id="S3.SS3.p2.1.m1.1a"><mi id="S3.SS3.p2.1.m1.1.1" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.1.cmml">G</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.1.m1.1b"><ci id="S3.SS3.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.1">𝐺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.1.m1.1c">G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.1.m1.1d">italic_G</annotation></semantics></math> in row <math alttext="r" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.2.m2.1"><semantics id="S3.SS3.p2.2.m2.1a"><mi id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.cmml">r</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.2.m2.1b"><ci id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1">𝑟</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.2.m2.1c">r</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.2.m2.1d">italic_r</annotation></semantics></math> and column <math alttext="c" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.3.m3.1"><semantics id="S3.SS3.p2.3.m3.1a"><mi id="S3.SS3.p2.3.m3.1.1" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.cmml">c</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.3.m3.1b"><ci id="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.1">𝑐</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.3.m3.1c">c</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.3.m3.1d">italic_c</annotation></semantics></math>. <math alttext="\square" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.4.m4.1"><semantics id="S3.SS3.p2.4.m4.1a"><mi id="S3.SS3.p2.4.m4.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.SS3.p2.4.m4.1.1.cmml">□</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.4.m4.1b"><ci id="S3.SS3.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.4.m4.1.1">□</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.4.m4.1c">\square</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.4.m4.1d">□</annotation></semantics></math></p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_theorem" id="Thmtheorem2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"><span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem2.1.1.1">Theorem 2</span></span></h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem2.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem2.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem2.p1.1.1">Let a matrix <math alttext="\mathcal{M}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.cmml">ℳ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1b"><ci id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1">ℳ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1c">\mathcal{M}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1d">caligraphic_M</annotation></semantics></math> be divided into blocks</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex7"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="{\mathcal{M}}=\left[\begin{array}[]{cc}A_{k}&B\\ C&D\end{array}\right]," class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex7.m1.2"><semantics id="S3.Ex7.m1.2a"><mrow id="S3.Ex7.m1.2.2.1" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.2.cmml">ℳ</mi><mo id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.3.2.1" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S3.Ex7.m1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S3.Ex7.m1.1.1.cmml"><mtr id="S3.Ex7.m1.1.1a" xref="S3.Ex7.m1.1.1.cmml"><mtd id="S3.Ex7.m1.1.1b" xref="S3.Ex7.m1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">A</mi><mi id="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub></mtd><mtd id="S3.Ex7.m1.1.1c" xref="S3.Ex7.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.2.1.cmml">B</mi></mtd></mtr><mtr id="S3.Ex7.m1.1.1d" xref="S3.Ex7.m1.1.1.cmml"><mtd id="S3.Ex7.m1.1.1e" xref="S3.Ex7.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.1.1.2.1.1" xref="S3.Ex7.m1.1.1.2.1.1.cmml">C</mi></mtd><mtd id="S3.Ex7.m1.1.1f" xref="S3.Ex7.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex7.m1.1.1.2.2.1.cmml">D</mi></mtd></mtr></mtable><mo id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.2.2.1.2" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex7.m1.2b"><apply id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1"><eq id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.1"></eq><ci id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.2">ℳ</ci><apply id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S3.Ex7.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1"><matrixrow id="S3.Ex7.m1.1.1a.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1"><apply id="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.2">𝐴</ci><ci id="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><ci id="S3.Ex7.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.2.1">𝐵</ci></matrixrow><matrixrow id="S3.Ex7.m1.1.1b.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1"><ci id="S3.Ex7.m1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1.2.1.1">𝐶</ci><ci id="S3.Ex7.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1.2.2.1">𝐷</ci></matrixrow></matrix></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex7.m1.2c">{\mathcal{M}}=\left[\begin{array}[]{cc}A_{k}&B\\ C&D\end{array}\right],</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex7.m1.2d">caligraphic_M = [ start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_B end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_C end_CELL start_CELL italic_D end_CELL end_ROW end_ARRAY ] ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem2.p1.7"><math alttext="A_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem2.p1.2.m1.1"><semantics id="Thmtheorem2.p1.2.m1.1a"><msub id="Thmtheorem2.p1.2.m1.1.1" xref="Thmtheorem2.p1.2.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem2.p1.2.m1.1.1.2" xref="Thmtheorem2.p1.2.m1.1.1.2.cmml">A</mi><mi id="Thmtheorem2.p1.2.m1.1.1.3" xref="Thmtheorem2.p1.2.m1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem2.p1.2.m1.1b"><apply id="Thmtheorem2.p1.2.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.2.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem2.p1.2.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.2.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem2.p1.2.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.2.m1.1.1.2">𝐴</ci><ci id="Thmtheorem2.p1.2.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.2.m1.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem2.p1.2.m1.1c">A_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem2.p1.2.m1.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem2.p1.7.5"> is a square block of size <math alttext="k\times k" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem2.p1.3.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem2.p1.3.1.m1.1a"><mrow id="Thmtheorem2.p1.3.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem2.p1.3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem2.p1.3.1.m1.1.1.2" xref="Thmtheorem2.p1.3.1.m1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="Thmtheorem2.p1.3.1.m1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Thmtheorem2.p1.3.1.m1.1.1.1.cmml">×</mo><mi id="Thmtheorem2.p1.3.1.m1.1.1.3" xref="Thmtheorem2.p1.3.1.m1.1.1.3.cmml">k</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem2.p1.3.1.m1.1b"><apply id="Thmtheorem2.p1.3.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.3.1.m1.1.1"><times id="Thmtheorem2.p1.3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.3.1.m1.1.1.1"></times><ci id="Thmtheorem2.p1.3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.3.1.m1.1.1.2">𝑘</ci><ci id="Thmtheorem2.p1.3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.3.1.m1.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem2.p1.3.1.m1.1c">k\times k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem2.p1.3.1.m1.1d">italic_k × italic_k</annotation></semantics></math>, its determinant <math alttext="det_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1a"><mrow id="Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1.1.2" xref="Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1.1.1" xref="Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1.1.3" xref="Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1.1.3.cmml">e</mi><mo id="Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1.1.1a" xref="Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1.1.4" xref="Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1.1.4.cmml"><mi id="Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1.1.4.2" xref="Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1.1.4.2.cmml">t</mi><mi id="Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1.1.4.3" xref="Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1.1.4.3.cmml">k</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1b"><apply id="Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1.1"><times id="Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1.1.1"></times><ci id="Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1.1.2">𝑑</ci><ci id="Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1.1.3">𝑒</ci><apply id="Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1.1.4.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1.1.4.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1.1.4.2.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1.1.4.2">𝑡</ci><ci id="Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1.1.4.3.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1.1.4.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1c">det_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1d">italic_d italic_e italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is non-zero and <math alttext="A_{k}^{*}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem2.p1.5.3.m3.1"><semantics id="Thmtheorem2.p1.5.3.m3.1a"><msubsup id="Thmtheorem2.p1.5.3.m3.1.1" xref="Thmtheorem2.p1.5.3.m3.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem2.p1.5.3.m3.1.1.2.2" xref="Thmtheorem2.p1.5.3.m3.1.1.2.2.cmml">A</mi><mi id="Thmtheorem2.p1.5.3.m3.1.1.2.3" xref="Thmtheorem2.p1.5.3.m3.1.1.2.3.cmml">k</mi><mo id="Thmtheorem2.p1.5.3.m3.1.1.3" xref="Thmtheorem2.p1.5.3.m3.1.1.3.cmml">∗</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem2.p1.5.3.m3.1b"><apply id="Thmtheorem2.p1.5.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.5.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem2.p1.5.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.5.3.m3.1.1">superscript</csymbol><apply id="Thmtheorem2.p1.5.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.5.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem2.p1.5.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.5.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem2.p1.5.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.5.3.m3.1.1.2.2">𝐴</ci><ci id="Thmtheorem2.p1.5.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.5.3.m3.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><times id="Thmtheorem2.p1.5.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.5.3.m3.1.1.3"></times></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem2.p1.5.3.m3.1c">A_{k}^{*}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem2.p1.5.3.m3.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is an adjoint matrix for <math alttext="A_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1"><semantics id="Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1a"><msub id="Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.1" xref="Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.1.2" xref="Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.1.2.cmml">A</mi><mi id="Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.1.3" xref="Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1b"><apply id="Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.1.2">𝐴</ci><ci id="Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1c">A_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, then each element of the matrix <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem2.p1.7.5.m5.1"><semantics id="Thmtheorem2.p1.7.5.m5.1a"><mi id="Thmtheorem2.p1.7.5.m5.1.1" xref="Thmtheorem2.p1.7.5.m5.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem2.p1.7.5.m5.1b"><ci id="Thmtheorem2.p1.7.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.7.5.m5.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem2.p1.7.5.m5.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem2.p1.7.5.m5.1d">italic_A</annotation></semantics></math>,</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex8"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="A=(det_{k})D-CA_{k}^{*}B," class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex8.m1.1"><semantics id="S3.Ex8.m1.1a"><mrow id="S3.Ex8.m1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.3.cmml">A</mi><mo id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">e</mi><mo id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">t</mi><mi id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">D</mi></mrow><mo id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">C</mi><mo id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">A</mi><mi id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.3.4.cmml">B</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex8.m1.1.1.1.2" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex8.m1.1b"><apply id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1"><eq id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.2"></eq><ci id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.3">𝐴</ci><apply id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.2"></minus><apply id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑑</ci><ci id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑒</ci><apply id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑡</ci><ci id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3">𝑘</ci></apply></apply><ci id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝐷</ci></apply><apply id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝐶</ci><apply id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝐴</ci><ci id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">𝑘</ci></apply><times id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.3.3.3"></times></apply><ci id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.3.4">𝐵</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex8.m1.1c">A=(det_{k})D-CA_{k}^{*}B,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex8.m1.1d">italic_A = ( italic_d italic_e italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) italic_D - italic_C italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_B ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem2.p1.8"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem2.p1.8.1">is a surrounding minor for the <math alttext="A_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem2.p1.8.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem2.p1.8.1.m1.1a"><msub id="Thmtheorem2.p1.8.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem2.p1.8.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem2.p1.8.1.m1.1.1.2" xref="Thmtheorem2.p1.8.1.m1.1.1.2.cmml">A</mi><mi id="Thmtheorem2.p1.8.1.m1.1.1.3" xref="Thmtheorem2.p1.8.1.m1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem2.p1.8.1.m1.1b"><apply id="Thmtheorem2.p1.8.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.8.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem2.p1.8.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.8.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem2.p1.8.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.8.1.m1.1.1.2">𝐴</ci><ci id="Thmtheorem2.p1.8.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.8.1.m1.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem2.p1.8.1.m1.1c">A_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem2.p1.8.1.m1.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> block.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p3.2"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.SS3.p3.2.1">Proof.</span> To prove it, we need to apply Theorem 1 to each element of the matrix <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p3.1.m1.1"><semantics id="S3.SS3.p3.1.m1.1a"><mi id="S3.SS3.p3.1.m1.1.1" xref="S3.SS3.p3.1.m1.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p3.1.m1.1b"><ci id="S3.SS3.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.1.m1.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p3.1.m1.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p3.1.m1.1d">italic_A</annotation></semantics></math>. <math alttext="\square" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p3.2.m2.1"><semantics id="S3.SS3.p3.2.m2.1a"><mi id="S3.SS3.p3.2.m2.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.SS3.p3.2.m2.1.1.cmml">□</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p3.2.m2.1b"><ci id="S3.SS3.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.2.m2.1.1">□</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p3.2.m2.1c">\square</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p3.2.m2.1d">□</annotation></semantics></math></p> </div> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S4"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">IV </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="S4.1.1">Statement of the problem</span> </h2> <section class="ltx_subsection" id="S4.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection"><span class="ltx_text" id="S4.SS1.4.1.1">IV-A</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.SS1.5.2">General statement of the problem</span> </h3> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p1.7">Let <math alttext="R" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p1.1.m1.1a"><mi id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml">R</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.1.m1.1b"><ci id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1">𝑅</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.1.m1.1c">R</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.1.m1.1d">italic_R</annotation></semantics></math> be a commutative domain, <math alttext="F" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.SS1.p1.2.m2.1a"><mi id="S4.SS1.p1.2.m2.1.1" xref="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml">F</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.2.m2.1b"><ci id="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.1.1">𝐹</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.2.m2.1c">F</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.2.m2.1d">italic_F</annotation></semantics></math> its field of quotients. Let a matrix <math alttext="{\mathcal{M}}\in R^{N\times N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.3.m3.1"><semantics id="S4.SS1.p1.3.m3.1a"><mrow id="S4.SS1.p1.3.m3.1.1" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.2.cmml">ℳ</mi><mo id="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.1" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.3" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml">R</mi><mrow id="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.3.3" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.3.3.2" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.3.3.2.cmml">N</mi><mo id="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.3.3.3" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.3.m3.1b"><apply id="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.1"><in id="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.1"></in><ci id="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.2">ℳ</ci><apply id="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.3.2">𝑅</ci><apply id="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.3.3"><times id="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.3.3.2">𝑁</ci><ci id="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.3.m3.1c">{\mathcal{M}}\in R^{N\times N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.3.m3.1d">caligraphic_M ∈ italic_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_N × italic_N end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> (<math alttext="N=2^{\nu}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.4.m4.1"><semantics id="S4.SS1.p1.4.m4.1a"><mrow id="S4.SS1.p1.4.m4.1.1" xref="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1" xref="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.cmml">=</mo><msup id="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.3" xref="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.3.cmml"><mn id="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml">2</mn><mi id="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.3.3" xref="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.3.3.cmml">ν</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.4.m4.1b"><apply id="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.1.1"><eq id="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1"></eq><ci id="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.2">𝑁</ci><apply id="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.3">superscript</csymbol><cn id="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.3.2">2</cn><ci id="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.3.3">𝜈</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.4.m4.1c">N=2^{\nu}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.4.m4.1d">italic_N = 2 start_POSTSUPERSCRIPT italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>) be given, and let <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.5.m5.1"><semantics id="S4.SS1.p1.5.m5.1a"><mi id="S4.SS1.p1.5.m5.1.1" xref="S4.SS1.p1.5.m5.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.5.m5.1b"><ci id="S4.SS1.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m5.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.5.m5.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.5.m5.1d">italic_α</annotation></semantics></math> be the determinant of the largest nondegenerate (or empty) submatrix located in the upper left corner of the matrix <math alttext="{\mathcal{M}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.6.m6.1"><semantics id="S4.SS1.p1.6.m6.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.SS1.p1.6.m6.1.1" xref="S4.SS1.p1.6.m6.1.1.cmml">ℳ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.6.m6.1b"><ci id="S4.SS1.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.6.m6.1.1">ℳ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.6.m6.1c">{\mathcal{M}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.6.m6.1d">caligraphic_M</annotation></semantics></math>. For the case of an empty submatrix, we set <math alttext="\alpha=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.7.m7.1"><semantics id="S4.SS1.p1.7.m7.1a"><mrow id="S4.SS1.p1.7.m7.1.1" xref="S4.SS1.p1.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.7.m7.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.7.m7.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="S4.SS1.p1.7.m7.1.1.1" xref="S4.SS1.p1.7.m7.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS1.p1.7.m7.1.1.3" xref="S4.SS1.p1.7.m7.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.7.m7.1b"><apply id="S4.SS1.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m7.1.1"><eq id="S4.SS1.p1.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m7.1.1.1"></eq><ci id="S4.SS1.p1.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m7.1.1.2">𝛼</ci><cn id="S4.SS1.p1.7.m7.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p1.7.m7.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.7.m7.1c">\alpha=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.7.m7.1d">italic_α = 1</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p2.10">Let <math alttext="n=2^{p}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p2.1.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p2.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><msup id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mi id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.3.3" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml">p</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p2.1.m1.1b"><apply id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1"><eq id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><cn id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.3.3">𝑝</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.1.m1.1c">n=2^{p}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.1.m1.1d">italic_n = 2 start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="A\in R^{n\times n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p2.2.m2.1"><semantics id="S4.SS1.p2.2.m2.1a"><mrow id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1" xref="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.1" xref="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.3" xref="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.3.2.cmml">R</mi><mrow id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3" xref="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.2" xref="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.3" xref="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p2.2.m2.1b"><apply id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.1.1"><in id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.1"></in><ci id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.2">𝐴</ci><apply id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.3.2">𝑅</ci><apply id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3"><times id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.2">𝑛</ci><ci id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.2.m2.1c">A\in R^{n\times n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.2.m2.1d">italic_A ∈ italic_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n × italic_n end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> be a matrix of rank <math alttext="r" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p2.3.m3.1"><semantics id="S4.SS1.p2.3.m3.1a"><mi id="S4.SS1.p2.3.m3.1.1" xref="S4.SS1.p2.3.m3.1.1.cmml">r</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p2.3.m3.1b"><ci id="S4.SS1.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.3.m3.1.1">𝑟</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.3.m3.1c">r</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.3.m3.1d">italic_r</annotation></semantics></math>, <math alttext="r\leq n" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p2.4.m4.1"><semantics id="S4.SS1.p2.4.m4.1a"><mrow id="S4.SS1.p2.4.m4.1.1" xref="S4.SS1.p2.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.4.m4.1.1.2" xref="S4.SS1.p2.4.m4.1.1.2.cmml">r</mi><mo id="S4.SS1.p2.4.m4.1.1.1" xref="S4.SS1.p2.4.m4.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S4.SS1.p2.4.m4.1.1.3" xref="S4.SS1.p2.4.m4.1.1.3.cmml">n</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p2.4.m4.1b"><apply id="S4.SS1.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.1.1"><leq id="S4.SS1.p2.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.1.1.1"></leq><ci id="S4.SS1.p2.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.1.1.2">𝑟</ci><ci id="S4.SS1.p2.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.1.1.3">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.4.m4.1c">r\leq n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.4.m4.1d">italic_r ≤ italic_n</annotation></semantics></math>, and elements of the matrix <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p2.5.m5.1"><semantics id="S4.SS1.p2.5.m5.1a"><mi id="S4.SS1.p2.5.m5.1.1" xref="S4.SS1.p2.5.m5.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p2.5.m5.1b"><ci id="S4.SS1.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.5.m5.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.5.m5.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.5.m5.1d">italic_A</annotation></semantics></math> be surrounding minors with respect to the minor <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p2.6.m6.1"><semantics id="S4.SS1.p2.6.m6.1a"><mi id="S4.SS1.p2.6.m6.1.1" xref="S4.SS1.p2.6.m6.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p2.6.m6.1b"><ci id="S4.SS1.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.6.m6.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.6.m6.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.6.m6.1d">italic_α</annotation></semantics></math>. In the case of an empty submatrix, we can take <math alttext="A=\mathcal{M}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p2.7.m7.1"><semantics id="S4.SS1.p2.7.m7.1a"><mrow id="S4.SS1.p2.7.m7.1.1" xref="S4.SS1.p2.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.7.m7.1.1.2" xref="S4.SS1.p2.7.m7.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="S4.SS1.p2.7.m7.1.1.1" xref="S4.SS1.p2.7.m7.1.1.1.cmml">=</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.SS1.p2.7.m7.1.1.3" xref="S4.SS1.p2.7.m7.1.1.3.cmml">ℳ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p2.7.m7.1b"><apply id="S4.SS1.p2.7.m7.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.7.m7.1.1"><eq id="S4.SS1.p2.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.7.m7.1.1.1"></eq><ci id="S4.SS1.p2.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.7.m7.1.1.2">𝐴</ci><ci id="S4.SS1.p2.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.7.m7.1.1.3">ℳ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.7.m7.1c">A=\mathcal{M}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.7.m7.1d">italic_A = caligraphic_M</annotation></semantics></math>. Let <math alttext="det_{r},det_{r-1},..,det_{1}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S4.SS1.p2.8.m8.1"><semantics id="S4.SS1.p2.8.m8.1a"><mrow id="S4.SS1.p2.8.m8.1b"><mi id="S4.SS1.p2.8.m8.1.1">d</mi><mi id="S4.SS1.p2.8.m8.1.2">e</mi><msub id="S4.SS1.p2.8.m8.1.3"><mi id="S4.SS1.p2.8.m8.1.3.2">t</mi><mi id="S4.SS1.p2.8.m8.1.3.3">r</mi></msub><mo id="S4.SS1.p2.8.m8.1.4">,</mo><mi id="S4.SS1.p2.8.m8.1.5">d</mi><mi id="S4.SS1.p2.8.m8.1.6">e</mi><msub id="S4.SS1.p2.8.m8.1.7"><mi id="S4.SS1.p2.8.m8.1.7.2">t</mi><mrow id="S4.SS1.p2.8.m8.1.7.3"><mi id="S4.SS1.p2.8.m8.1.7.3.2">r</mi><mo id="S4.SS1.p2.8.m8.1.7.3.1">−</mo><mn id="S4.SS1.p2.8.m8.1.7.3.3">1</mn></mrow></msub><mo id="S4.SS1.p2.8.m8.1.8">,</mo><mo id="S4.SS1.p2.8.m8.1.9" lspace="0em" rspace="0.0835em">.</mo><mo id="S4.SS1.p2.8.m8.1.10" lspace="0.0835em" rspace="0.167em">.</mo><mo id="S4.SS1.p2.8.m8.1.11">,</mo><mi id="S4.SS1.p2.8.m8.1.12">d</mi><mi id="S4.SS1.p2.8.m8.1.13">e</mi><msub id="S4.SS1.p2.8.m8.1.14"><mi id="S4.SS1.p2.8.m8.1.14.2">t</mi><mn id="S4.SS1.p2.8.m8.1.14.3">1</mn></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.8.m8.1c">det_{r},det_{r-1},..,det_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.8.m8.1d">italic_d italic_e italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT , italic_d italic_e italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_r - 1 end_POSTSUBSCRIPT , . . , italic_d italic_e italic_t start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> be some sequence consisting of <math alttext="r" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p2.9.m9.1"><semantics id="S4.SS1.p2.9.m9.1a"><mi id="S4.SS1.p2.9.m9.1.1" xref="S4.SS1.p2.9.m9.1.1.cmml">r</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p2.9.m9.1b"><ci id="S4.SS1.p2.9.m9.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.9.m9.1.1">𝑟</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.9.m9.1c">r</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.9.m9.1d">italic_r</annotation></semantics></math> nested nondegenerate minors of matrix <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p2.10.m10.1"><semantics id="S4.SS1.p2.10.m10.1a"><mi id="S4.SS1.p2.10.m10.1.1" xref="S4.SS1.p2.10.m10.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p2.10.m10.1b"><ci id="S4.SS1.p2.10.m10.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.10.m10.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.10.m10.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.10.m10.1d">italic_A</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p3.8">We want to obtain matrices <math alttext="L,U,M,W\in R^{n\times n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.1.m1.4"><semantics id="S4.SS1.p3.1.m1.4a"><mrow id="S4.SS1.p3.1.m1.4.5" xref="S4.SS1.p3.1.m1.4.5.cmml"><mrow id="S4.SS1.p3.1.m1.4.5.2.2" xref="S4.SS1.p3.1.m1.4.5.2.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.1.m1.1.1" xref="S4.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml">L</mi><mo id="S4.SS1.p3.1.m1.4.5.2.2.1" xref="S4.SS1.p3.1.m1.4.5.2.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS1.p3.1.m1.2.2" xref="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.cmml">U</mi><mo id="S4.SS1.p3.1.m1.4.5.2.2.2" xref="S4.SS1.p3.1.m1.4.5.2.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS1.p3.1.m1.3.3" xref="S4.SS1.p3.1.m1.3.3.cmml">M</mi><mo id="S4.SS1.p3.1.m1.4.5.2.2.3" xref="S4.SS1.p3.1.m1.4.5.2.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS1.p3.1.m1.4.4" xref="S4.SS1.p3.1.m1.4.4.cmml">W</mi></mrow><mo id="S4.SS1.p3.1.m1.4.5.1" xref="S4.SS1.p3.1.m1.4.5.1.cmml">∈</mo><msup id="S4.SS1.p3.1.m1.4.5.3" xref="S4.SS1.p3.1.m1.4.5.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.1.m1.4.5.3.2" xref="S4.SS1.p3.1.m1.4.5.3.2.cmml">R</mi><mrow id="S4.SS1.p3.1.m1.4.5.3.3" xref="S4.SS1.p3.1.m1.4.5.3.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.1.m1.4.5.3.3.2" xref="S4.SS1.p3.1.m1.4.5.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S4.SS1.p3.1.m1.4.5.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.SS1.p3.1.m1.4.5.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="S4.SS1.p3.1.m1.4.5.3.3.3" xref="S4.SS1.p3.1.m1.4.5.3.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.1.m1.4b"><apply id="S4.SS1.p3.1.m1.4.5.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.4.5"><in id="S4.SS1.p3.1.m1.4.5.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.4.5.1"></in><list id="S4.SS1.p3.1.m1.4.5.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.4.5.2.2"><ci id="S4.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.1.1">𝐿</ci><ci id="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.2.2">𝑈</ci><ci id="S4.SS1.p3.1.m1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.3.3">𝑀</ci><ci id="S4.SS1.p3.1.m1.4.4.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.4.4">𝑊</ci></list><apply id="S4.SS1.p3.1.m1.4.5.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.4.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.1.m1.4.5.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.4.5.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.1.m1.4.5.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.4.5.3.2">𝑅</ci><apply id="S4.SS1.p3.1.m1.4.5.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.4.5.3.3"><times id="S4.SS1.p3.1.m1.4.5.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.4.5.3.3.1"></times><ci id="S4.SS1.p3.1.m1.4.5.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.4.5.3.3.2">𝑛</ci><ci id="S4.SS1.p3.1.m1.4.5.3.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.4.5.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.1.m1.4c">L,U,M,W\in R^{n\times n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.1.m1.4d">italic_L , italic_U , italic_M , italic_W ∈ italic_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n × italic_n end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> of rank <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.2.m2.1"><semantics id="S4.SS1.p3.2.m2.1a"><mi id="S4.SS1.p3.2.m2.1.1" xref="S4.SS1.p3.2.m2.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.2.m2.1b"><ci id="S4.SS1.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m2.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.2.m2.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.2.m2.1d">italic_n</annotation></semantics></math>, (L lower triangular, U - upper triangular), a matrix <math alttext="S\in{\bf S}_{wp}(F)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.3.m3.1"><semantics id="S4.SS1.p3.3.m3.1a"><mrow id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.cmml">S</mi><mo id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.1" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.3" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.3.cmml"><msub id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.3.2" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.3.2.2" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.3.2.2.cmml">𝐒</mi><mrow id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.3.2.3" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.3.2.3.2" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.3.2.3.2.cmml">w</mi><mo id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.3.2.3.1" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.3.2.3.3" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.3.2.3.3.cmml">p</mi></mrow></msub><mo id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.3.1" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.3.3.2" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.3.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p3.3.m3.1.1" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.1.cmml">F</mi><mo id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.3.m3.1b"><apply id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2"><in id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.1"></in><ci id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2">𝑆</ci><apply id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.3"><times id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.3.1"></times><apply id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.3.2.2">𝐒</ci><apply id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.3.2.3"><times id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.3.2.3.2">𝑤</ci><ci id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.3.2.3.3">𝑝</ci></apply></apply><ci id="S4.SS1.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.1">𝐹</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.3.m3.1c">S\in{\bf S}_{wp}(F)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.3.m3.1d">italic_S ∈ bold_S start_POSTSUBSCRIPT italic_w italic_p end_POSTSUBSCRIPT ( italic_F )</annotation></semantics></math>, of rank <math alttext="r" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.4.m4.1"><semantics id="S4.SS1.p3.4.m4.1a"><mi id="S4.SS1.p3.4.m4.1.1" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.1.cmml">r</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.4.m4.1b"><ci id="S4.SS1.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.1">𝑟</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.4.m4.1c">r</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.4.m4.1d">italic_r</annotation></semantics></math>, with <math alttext="r" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.5.m5.1"><semantics id="S4.SS1.p3.5.m5.1a"><mi id="S4.SS1.p3.5.m5.1.1" xref="S4.SS1.p3.5.m5.1.1.cmml">r</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.5.m5.1b"><ci id="S4.SS1.p3.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.5.m5.1.1">𝑟</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.5.m5.1c">r</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.5.m5.1d">italic_r</annotation></semantics></math> non-zero elements equal <math alttext="(\alpha\det_{1})^{-1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.6.m6.1"><semantics id="S4.SS1.p3.6.m6.1a"><msup id="S4.SS1.p3.6.m6.1.1" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS1.p3.6.m6.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.6.m6.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS1.p3.6.m6.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.6.m6.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.1.1.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="S4.SS1.p3.6.m6.1.1.1.1.1.1" lspace="0.167em" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.SS1.p3.6.m6.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.6.m6.1.1.1.1.1.3.2" rspace="0em" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.1.1.1.1.3.2.cmml">det</mo><mn id="S4.SS1.p3.6.m6.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S4.SS1.p3.6.m6.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.SS1.p3.6.m6.1.1.3" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.1.3.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.6.m6.1.1.3a" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S4.SS1.p3.6.m6.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.6.m6.1b"><apply id="S4.SS1.p3.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p3.6.m6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.1.1.1"><times id="S4.SS1.p3.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.SS1.p3.6.m6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.1.1.1.1.2">𝛼</ci><apply id="S4.SS1.p3.6.m6.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.6.m6.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><determinant id="S4.SS1.p3.6.m6.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.1.1.1.1.3.2"></determinant><cn id="S4.SS1.p3.6.m6.1.1.1.1.1.3.3.cmml" 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alttext="\left\{\begin{array}[]{rcl}\alpha LSU=A\\ L\widehat{S}M={\mathbf{I}}\\ W\widehat{S}U={\mathbf{I}}\end{array}\right.." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex9.m1.2"><semantics id="S4.Ex9.m1.2a"><mrow id="S4.Ex9.m1.2.2.1"><mrow id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.2.1" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">{</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S4.Ex9.m1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S4.Ex9.m1.1.1.cmml"><mtr id="S4.Ex9.m1.1.1a" xref="S4.Ex9.m1.1.1.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S4.Ex9.m1.1.1b" xref="S4.Ex9.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">α</mi><mo id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">L</mi><mo id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.2.4.cmml">S</mi><mo id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.2.1b" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.2.5" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.2.5.cmml">U</mi></mrow><mo id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">A</mi></mrow></mtd><mtd id="S4.Ex9.m1.1.1c" xref="S4.Ex9.m1.1.1.cmml"></mtd><mtd id="S4.Ex9.m1.1.1d" xref="S4.Ex9.m1.1.1.cmml"></mtd></mtr><mtr id="S4.Ex9.m1.1.1e" xref="S4.Ex9.m1.1.1.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S4.Ex9.m1.1.1f" xref="S4.Ex9.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex9.m1.1.1.2.1.1" xref="S4.Ex9.m1.1.1.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex9.m1.1.1.2.1.1.2" xref="S4.Ex9.m1.1.1.2.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.1.1.2.1.1.2.2" xref="S4.Ex9.m1.1.1.2.1.1.2.2.cmml">L</mi><mo id="S4.Ex9.m1.1.1.2.1.1.2.1" 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id="S4.Ex9.m1.1.1.3.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.3.1.1.2.3"><ci id="S4.Ex9.m1.1.1.3.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.3.1.1.2.3.1">^</ci><ci id="S4.Ex9.m1.1.1.3.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.3.1.1.2.3.2">𝑆</ci></apply><ci id="S4.Ex9.m1.1.1.3.1.1.2.4.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.3.1.1.2.4">𝑈</ci></apply><ci id="S4.Ex9.m1.1.1.3.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.3.1.1.3">𝐈</ci></apply><cerror id="S4.Ex9.m1.1.1l.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex9.m1.1.1m.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol></cerror><cerror id="S4.Ex9.m1.1.1n.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex9.m1.1.1o.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol></cerror></matrixrow></matrix></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex9.m1.2c">\left\{\begin{array}[]{rcl}\alpha LSU=A\\ L\widehat{S}M={\mathbf{I}}\\ W\widehat{S}U={\mathbf{I}}\end{array}\right..</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" 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encoding="MathML-Content" id="S4.Ex9.1.1.m1.1c"><cn id="S4.Ex9.1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Ex9.1.1.m1.1.1">1</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex9.1.1.m1.1d">( 1 )</annotation></semantics></math></span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p3.14">Here <math alttext="det_{r},det_{r-1},..,det_{1}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S4.SS1.p3.9.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p3.9.m1.1a"><mrow id="S4.SS1.p3.9.m1.1b"><mi id="S4.SS1.p3.9.m1.1.1">d</mi><mi id="S4.SS1.p3.9.m1.1.2">e</mi><msub id="S4.SS1.p3.9.m1.1.3"><mi id="S4.SS1.p3.9.m1.1.3.2">t</mi><mi id="S4.SS1.p3.9.m1.1.3.3">r</mi></msub><mo id="S4.SS1.p3.9.m1.1.4">,</mo><mi id="S4.SS1.p3.9.m1.1.5">d</mi><mi id="S4.SS1.p3.9.m1.1.6">e</mi><msub id="S4.SS1.p3.9.m1.1.7"><mi id="S4.SS1.p3.9.m1.1.7.2">t</mi><mrow id="S4.SS1.p3.9.m1.1.7.3"><mi id="S4.SS1.p3.9.m1.1.7.3.2">r</mi><mo id="S4.SS1.p3.9.m1.1.7.3.1">−</mo><mn id="S4.SS1.p3.9.m1.1.7.3.3">1</mn></mrow></msub><mo id="S4.SS1.p3.9.m1.1.8">,</mo><mo id="S4.SS1.p3.9.m1.1.9" lspace="0em" rspace="0.0835em">.</mo><mo id="S4.SS1.p3.9.m1.1.10" lspace="0.0835em" rspace="0.167em">.</mo><mo id="S4.SS1.p3.9.m1.1.11">,</mo><mi id="S4.SS1.p3.9.m1.1.12">d</mi><mi id="S4.SS1.p3.9.m1.1.13">e</mi><msub id="S4.SS1.p3.9.m1.1.14"><mi id="S4.SS1.p3.9.m1.1.14.2">t</mi><mn id="S4.SS1.p3.9.m1.1.14.3">1</mn></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.9.m1.1c">det_{r},det_{r-1},..,det_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.9.m1.1d">italic_d italic_e italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT , italic_d italic_e italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_r - 1 end_POSTSUBSCRIPT , . . , italic_d italic_e italic_t start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is a sequence consisting of <math alttext="r" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.10.m2.1"><semantics id="S4.SS1.p3.10.m2.1a"><mi id="S4.SS1.p3.10.m2.1.1" xref="S4.SS1.p3.10.m2.1.1.cmml">r</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.10.m2.1b"><ci id="S4.SS1.p3.10.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m2.1.1">𝑟</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.10.m2.1c">r</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.10.m2.1d">italic_r</annotation></semantics></math> nested nondegenerate minors of the matrix <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.11.m3.1"><semantics id="S4.SS1.p3.11.m3.1a"><mi id="S4.SS1.p3.11.m3.1.1" xref="S4.SS1.p3.11.m3.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.11.m3.1b"><ci id="S4.SS1.p3.11.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.11.m3.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.11.m3.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.11.m3.1d">italic_A</annotation></semantics></math>, which have sizes <math alttext="r,r-1,..,1" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S4.SS1.p3.12.m4.1"><semantics id="S4.SS1.p3.12.m4.1a"><mrow id="S4.SS1.p3.12.m4.1b"><mi id="S4.SS1.p3.12.m4.1.1">r</mi><mo id="S4.SS1.p3.12.m4.1.2">,</mo><mi id="S4.SS1.p3.12.m4.1.3">r</mi><mo id="S4.SS1.p3.12.m4.1.4">−</mo><mn id="S4.SS1.p3.12.m4.1.5">1</mn><mo id="S4.SS1.p3.12.m4.1.6">,</mo><mo id="S4.SS1.p3.12.m4.1.7" lspace="0em" rspace="0.0835em">.</mo><mo id="S4.SS1.p3.12.m4.1.8" lspace="0.0835em" rspace="0.167em">.</mo><mo id="S4.SS1.p3.12.m4.1.9">,</mo><mn id="S4.SS1.p3.12.m4.1.10">1</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.12.m4.1c">r,r-1,..,1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.12.m4.1d">italic_r , italic_r - 1 , . . , 1</annotation></semantics></math>, respectively. <math alttext="{\mathbf{I}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.13.m5.1"><semantics id="S4.SS1.p3.13.m5.1a"><mi id="S4.SS1.p3.13.m5.1.1" xref="S4.SS1.p3.13.m5.1.1.cmml">𝐈</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.13.m5.1b"><ci id="S4.SS1.p3.13.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.13.m5.1.1">𝐈</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.13.m5.1c">{\mathbf{I}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.13.m5.1d">bold_I</annotation></semantics></math> is the unit matrix and we denote by <math alttext="\widehat{S}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.14.m6.1"><semantics id="S4.SS1.p3.14.m6.1a"><mover accent="true" id="S4.SS1.p3.14.m6.1.1" xref="S4.SS1.p3.14.m6.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.14.m6.1.1.2" xref="S4.SS1.p3.14.m6.1.1.2.cmml">S</mi><mo id="S4.SS1.p3.14.m6.1.1.1" xref="S4.SS1.p3.14.m6.1.1.1.cmml">^</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.14.m6.1b"><apply id="S4.SS1.p3.14.m6.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.14.m6.1.1"><ci id="S4.SS1.p3.14.m6.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.14.m6.1.1.1">^</ci><ci id="S4.SS1.p3.14.m6.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.14.m6.1.1.2">𝑆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.14.m6.1c">\widehat{S}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.14.m6.1d">over^ start_ARG italic_S end_ARG</annotation></semantics></math> a matrix</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex10"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\widehat{S}=\frac{1}{det_{r}}(\alpha S)^{Ext}=\frac{1}{det_{r}}(\alpha S+\bar{% S})." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex10.m1.1"><semantics id="S4.Ex10.m1.1a"><mrow id="S4.Ex10.m1.1.1.1" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.4.2.cmml">S</mi><mo id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.4.1" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.4.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.5" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mrow id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">d</mi><mo id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">e</mi><mo id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3.3.1a" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3.3.4" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3.3.4.cmml"><mi id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3.3.4.2" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3.3.4.2.cmml">t</mi><mi id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3.3.4.3" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3.3.4.3.cmml">r</mi></msub></mrow></mfrac><mo id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">S</mi></mrow><mo id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">E</mi><mo id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">x</mi><mo id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml">t</mi></mrow></msup></mrow><mo id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.6" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mn id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn><mrow id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml">d</mi><mo id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.3.3.1" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">e</mi><mo id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.3.3.1a" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.3.3.4" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.3.3.4.cmml"><mi id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.3.3.4.2" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.3.3.4.2.cmml">t</mi><mi id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.3.3.4.3" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.3.3.4.3.cmml">r</mi></msub></mrow></mfrac><mo id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml">α</mi><mo id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml">S</mi></mrow><mo id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mover accent="true" id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml">S</mi><mo id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><mo id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex10.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex10.m1.1b"><apply id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1"><and id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1"></and><apply id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1"><eq id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.5"></eq><apply id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.4"><ci id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.4.1">^</ci><ci id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.4.2">𝑆</ci></apply><apply id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3"></divide><cn id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><apply id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑑</ci><ci id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑒</ci><apply id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3.3.4.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3.3.4.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3.3.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3.3.4.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3.3.4.2">𝑡</ci><ci id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3.3.4.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3.3.4.3">𝑟</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝛼</ci><ci id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑆</ci></apply><apply id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐸</ci><ci id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑥</ci><ci id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.4">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1"><eq id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.cmml" id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1"></share><apply id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.2"></times><apply id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.3"><divide id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.3"></divide><cn id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.3.2">1</cn><apply id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.3.3"><times id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.3.3.2">𝑑</ci><ci id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.3.3.3">𝑒</ci><apply id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.3.3.4.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.3.3.4.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.3.3.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.3.3.4.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.3.3.4.2">𝑡</ci><ci id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.3.3.4.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.3.3.4.3">𝑟</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.1.1"><plus id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2"><times id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2">𝛼</ci><ci id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3">𝑆</ci></apply><apply id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3"><ci id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1">¯</ci><ci id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2">𝑆</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex10.m1.1c">\widehat{S}=\frac{1}{det_{r}}(\alpha S)^{Ext}=\frac{1}{det_{r}}(\alpha S+\bar{% S}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex10.m1.1d">over^ start_ARG italic_S end_ARG = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_d italic_e italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ( italic_α italic_S ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_E italic_x italic_t end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_d italic_e italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ( italic_α italic_S + over¯ start_ARG italic_S end_ARG ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p4"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p4.4">As can be seen from (1), we want to find not only the triangular factors <math alttext="L" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p4.1.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p4.1.m1.1a"><mi id="S4.SS1.p4.1.m1.1.1" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml">L</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p4.1.m1.1b"><ci id="S4.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.1">𝐿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p4.1.m1.1c">L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p4.1.m1.1d">italic_L</annotation></semantics></math> and <math alttext="U" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p4.2.m2.1"><semantics id="S4.SS1.p4.2.m2.1a"><mi id="S4.SS1.p4.2.m2.1.1" xref="S4.SS1.p4.2.m2.1.1.cmml">U</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p4.2.m2.1b"><ci id="S4.SS1.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.1.1">𝑈</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p4.2.m2.1c">U</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p4.2.m2.1d">italic_U</annotation></semantics></math>, but also their inverse matrices. These are matrices <math alttext="\widehat{S}M" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p4.3.m3.1"><semantics id="S4.SS1.p4.3.m3.1a"><mrow id="S4.SS1.p4.3.m3.1.1" xref="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.2" xref="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.2.2.cmml">S</mi><mo id="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.2.1" xref="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.1" xref="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.3" xref="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.3.cmml">M</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p4.3.m3.1b"><apply id="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m3.1.1"><times id="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.1"></times><apply id="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.2"><ci id="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.2.1">^</ci><ci id="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.2.2">𝑆</ci></apply><ci id="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.3">𝑀</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p4.3.m3.1c">\widehat{S}M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p4.3.m3.1d">over^ start_ARG italic_S end_ARG italic_M</annotation></semantics></math> and <math alttext="W\widehat{S}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p4.4.m4.1"><semantics id="S4.SS1.p4.4.m4.1a"><mrow id="S4.SS1.p4.4.m4.1.1" xref="S4.SS1.p4.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.4.m4.1.1.2" xref="S4.SS1.p4.4.m4.1.1.2.cmml">W</mi><mo id="S4.SS1.p4.4.m4.1.1.1" xref="S4.SS1.p4.4.m4.1.1.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.SS1.p4.4.m4.1.1.3" xref="S4.SS1.p4.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.4.m4.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p4.4.m4.1.1.3.2.cmml">S</mi><mo id="S4.SS1.p4.4.m4.1.1.3.1" xref="S4.SS1.p4.4.m4.1.1.3.1.cmml">^</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p4.4.m4.1b"><apply id="S4.SS1.p4.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.4.m4.1.1"><times id="S4.SS1.p4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.4.m4.1.1.1"></times><ci id="S4.SS1.p4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.4.m4.1.1.2">𝑊</ci><apply id="S4.SS1.p4.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.4.m4.1.1.3"><ci id="S4.SS1.p4.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.4.m4.1.1.3.1">^</ci><ci id="S4.SS1.p4.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.4.m4.1.1.3.2">𝑆</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p4.4.m4.1c">W\widehat{S}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p4.4.m4.1d">italic_W over^ start_ARG italic_S end_ARG</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p5"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p5.2">Let us denote</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex11"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="E=S^{\to 1},I=EE^{T},J=E^{T}E,\bar{I}={\bf I}-I,\bar{J}={\bf I}-J," class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex11.m1.1"><semantics id="S4.Ex11.m1.1a"><mrow id="S4.Ex11.m1.1.1.1"><mrow id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">E</mi><mo id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><msup id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">S</mi><mrow id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"></mi><mo id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" stretchy="false" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">→</mo><mn id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><mo id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml">E</mi><mo id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.cmml">E</mi><mi id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.cmml">T</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.2.cmml">J</mi><mo id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><msup id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml">E</mi><mi id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml">T</mi></msup><mo id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml">E</mi></mrow></mrow><mo id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.2" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml">I</mi><mo id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.1" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml">𝐈</mi><mo id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.1" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml">−</mo><mi id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml">I</mi></mrow></mrow><mo id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">J</mi><mo id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3" 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cd="ambiguous" id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑆</ci><apply id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><ci id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1">→</ci><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">absent</csymbol><cn id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.3a.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1"><eq id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1"></eq><ci id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2">𝐼</ci><apply id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3"><times id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1"></times><ci id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2">𝐸</ci><apply id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2">𝐸</ci><ci id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3">𝑇</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3a.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1"><eq id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1"></eq><ci id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.2">𝐽</ci><apply id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3"><times id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.2">𝐸</ci><ci id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.3">𝑇</ci></apply><ci id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3">𝐸</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3a.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1"><eq id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2"><ci id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.2">𝐼</ci></apply><apply id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3"><minus id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.1"></minus><ci id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2">𝐈</ci><ci id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3">𝐼</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2"><eq id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1"></eq><apply id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2"><ci id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1">¯</ci><ci id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2">𝐽</ci></apply><apply id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3"><minus id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1"></minus><ci id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2">𝐈</ci><ci id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3">𝐽</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex11.m1.1c">E=S^{\to 1},I=EE^{T},J=E^{T}E,\bar{I}={\bf I}-I,\bar{J}={\bf I}-J,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex11.m1.1d">italic_E = italic_S start_POSTSUPERSCRIPT → 1 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_I = italic_E italic_E start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT , italic_J = italic_E start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_E , over¯ start_ARG italic_I end_ARG = bold_I - italic_I , over¯ start_ARG italic_J end_ARG = bold_I - italic_J ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right"><math class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex11.1.1.m1.1"><semantics id="S4.Ex11.1.1.m1.1b"><mrow id="S4.Ex11.1.1.m1.1.2.2"><mo id="S4.Ex11.1.1.m1.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S4.Ex11.1.1.m1.1.1" xref="S4.Ex11.1.1.m1.1.1.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex11.1.1.m1.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex11.1.1.m1.1c"><cn id="S4.Ex11.1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Ex11.1.1.m1.1.1">2</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex11.1.1.m1.1d">( 2 )</annotation></semantics></math></span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p5.1"><math alttext="E\in{\bf S}_{p},\ I,J\in\bf S_{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.1.m1.3"><semantics id="S4.SS1.p5.1.m1.3a"><mrow id="S4.SS1.p5.1.m1.3.3.2" xref="S4.SS1.p5.1.m1.3.3.3.cmml"><mrow id="S4.SS1.p5.1.m1.2.2.1.1" xref="S4.SS1.p5.1.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.1.m1.2.2.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="S4.SS1.p5.1.m1.2.2.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S4.SS1.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p5.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><msub id="S4.SS1.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐒</mi><mi id="S4.SS1.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">p</mi></msub><mo id="S4.SS1.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.2" rspace="0.667em" xref="S4.SS1.p5.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml">I</mi></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.p5.1.m1.3.3.2.3" xref="S4.SS1.p5.1.m1.3.3.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.SS1.p5.1.m1.3.3.2.2" xref="S4.SS1.p5.1.m1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.1.m1.3.3.2.2.2" xref="S4.SS1.p5.1.m1.3.3.2.2.2.cmml">J</mi><mo id="S4.SS1.p5.1.m1.3.3.2.2.1" xref="S4.SS1.p5.1.m1.3.3.2.2.1.cmml">∈</mo><msub id="S4.SS1.p5.1.m1.3.3.2.2.3" xref="S4.SS1.p5.1.m1.3.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.1.m1.3.3.2.2.3.2" xref="S4.SS1.p5.1.m1.3.3.2.2.3.2.cmml">𝐒</mi><mi id="S4.SS1.p5.1.m1.3.3.2.2.3.3" xref="S4.SS1.p5.1.m1.3.3.2.2.3.3.cmml">𝐝</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.1.m1.3b"><apply id="S4.SS1.p5.1.m1.3.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.1.m1.3.3.3a.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.3.3.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.SS1.p5.1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.2.2.1.1"><in id="S4.SS1.p5.1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.2.2.1.1.2"></in><ci id="S4.SS1.p5.1.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.2.2.1.1.3">𝐸</ci><list id="S4.SS1.p5.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1"><apply id="S4.SS1.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">𝐒</ci><ci id="S4.SS1.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑝</ci></apply><ci id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1">𝐼</ci></list></apply><apply id="S4.SS1.p5.1.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.3.3.2.2"><in id="S4.SS1.p5.1.m1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.3.3.2.2.1"></in><ci id="S4.SS1.p5.1.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.3.3.2.2.2">𝐽</ci><apply id="S4.SS1.p5.1.m1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.3.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.1.m1.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.3.3.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.1.m1.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.3.3.2.2.3.2">𝐒</ci><ci id="S4.SS1.p5.1.m1.3.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.3.3.2.2.3.3">𝐝</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.1.m1.3c">E\in{\bf S}_{p},\ I,J\in\bf S_{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.1.m1.3d">italic_E ∈ bold_S start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT , italic_I , italic_J ∈ bold_S start_POSTSUBSCRIPT bold_d end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p6"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p6.4">It should be noted that the matrices <math alttext="I" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.1.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p6.1.m1.1a"><mi id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.cmml">I</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p6.1.m1.1b"><ci id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1">𝐼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.1.m1.1c">I</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.1.m1.1d">italic_I</annotation></semantics></math> and <math alttext="S" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.2.m2.1"><semantics id="S4.SS1.p6.2.m2.1a"><mi id="S4.SS1.p6.2.m2.1.1" xref="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.cmml">S</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p6.2.m2.1b"><ci id="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.2.m2.1.1">𝑆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.2.m2.1c">S</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.2.m2.1d">italic_S</annotation></semantics></math> have the same nonzero rows, and the matrices <math alttext="J" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.3.m3.1"><semantics id="S4.SS1.p6.3.m3.1a"><mi id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.cmml">J</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p6.3.m3.1b"><ci id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1">𝐽</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.3.m3.1c">J</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.3.m3.1d">italic_J</annotation></semantics></math> and <math alttext="S" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.4.m4.1"><semantics id="S4.SS1.p6.4.m4.1a"><mi id="S4.SS1.p6.4.m4.1.1" xref="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.cmml">S</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p6.4.m4.1b"><ci id="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.4.m4.1.1">𝑆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.4.m4.1c">S</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.4.m4.1d">italic_S</annotation></semantics></math> have the same nonzero columns:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex12"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="ISJ=S,\ \ \bar{I}S=0,\ \ S\bar{J}=0." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex12.m1.1"><semantics id="S4.Ex12.m1.1a"><mrow id="S4.Ex12.m1.1.1.1"><mrow id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">I</mi><mo id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">S</mi><mo id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml">J</mi></mrow><mo id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">S</mi></mrow><mo id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.cmml">I</mi><mo id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml">S</mi></mrow><mo id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" rspace="1.167em" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">S</mi><mo id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1" 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id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐼</ci><ci id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑆</ci><ci id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.4">𝐽</ci></apply><ci id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑆</ci></apply><apply id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.3a.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.1.1"><eq id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2"><times id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1"></times><apply id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2"><ci id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.1">¯</ci><ci id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2">𝐼</ci></apply><ci id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3">𝑆</ci></apply><cn id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.2.2"><eq id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1"></eq><apply id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2"><times id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1"></times><ci id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2">𝑆</ci><apply id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3"><ci id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1">¯</ci><ci id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2">𝐽</ci></apply></apply><cn id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex12.m1.1c">ISJ=S,\ \ \bar{I}S=0,\ \ S\bar{J}=0.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex12.m1.1d">italic_I italic_S italic_J = italic_S , over¯ start_ARG italic_I end_ARG italic_S = 0 , italic_S over¯ start_ARG italic_J end_ARG = 0 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p6.6">We define the properties of the matrices <math alttext="L" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.5.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p6.5.m1.1a"><mi id="S4.SS1.p6.5.m1.1.1" xref="S4.SS1.p6.5.m1.1.1.cmml">L</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p6.5.m1.1b"><ci id="S4.SS1.p6.5.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.5.m1.1.1">𝐿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.5.m1.1c">L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.5.m1.1d">italic_L</annotation></semantics></math> and <math alttext="U" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.6.m2.1"><semantics id="S4.SS1.p6.6.m2.1a"><mi id="S4.SS1.p6.6.m2.1.1" xref="S4.SS1.p6.6.m2.1.1.cmml">U</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p6.6.m2.1b"><ci id="S4.SS1.p6.6.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.6.m2.1.1">𝑈</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.6.m2.1c">U</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.6.m2.1d">italic_U</annotation></semantics></math> as follows:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex13"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="L\bar{I}=\bar{I},\ \ \ \bar{J}U=\bar{J}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex13.m1.1"><semantics id="S4.Ex13.m1.1a"><mrow id="S4.Ex13.m1.1.1.1"><mrow id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">L</mi><mo id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">I</mi><mo id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" 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id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">U</mi></mrow><mo id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><mover accent="true" id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">J</mi><mo id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><mo id="S4.Ex13.m1.1.1.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex13.m1.1b"><apply id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐿</ci><apply id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"><ci id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1">¯</ci><ci id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝐼</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.3"><ci id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.3.1">¯</ci><ci id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐼</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2"><eq id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1"></eq><apply id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2"><times id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.1"></times><apply id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2"><ci id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1">¯</ci><ci id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝐽</ci></apply><ci id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.3">𝑈</ci></apply><apply id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.3"><ci id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.3.1">¯</ci><ci id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝐽</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex13.m1.1c">L\bar{I}=\bar{I},\ \ \ \bar{J}U=\bar{J}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex13.m1.1d">italic_L over¯ start_ARG italic_I end_ARG = over¯ start_ARG italic_I end_ARG , over¯ start_ARG italic_J end_ARG italic_U = over¯ start_ARG italic_J end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right"><math class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex13.1.1.m1.1"><semantics id="S4.Ex13.1.1.m1.1b"><mrow id="S4.Ex13.1.1.m1.1.2.2"><mo id="S4.Ex13.1.1.m1.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S4.Ex13.1.1.m1.1.1" xref="S4.Ex13.1.1.m1.1.1.cmml">3</mn><mo id="S4.Ex13.1.1.m1.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex13.1.1.m1.1c"><cn id="S4.Ex13.1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Ex13.1.1.m1.1.1">3</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex13.1.1.m1.1d">( 3 )</annotation></semantics></math></span></td> </tr></tbody> </table> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S4.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection"><span class="ltx_text" id="S4.SS2.4.1.1">IV-B</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.SS2.5.2"> Inverse and pseudo inverse matrices</span> </h3> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p1.1">If matrix <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.SS2.p1.1.m1.1a"><mi id="S4.SS2.p1.1.m1.1.1" xref="S4.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.1.m1.1b"><ci id="S4.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.1.m1.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.1.m1.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.1.m1.1d">italic_A</annotation></semantics></math> is invertible, then matrix</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex14"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="P=(1/det_{r}^{2})WSM" class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex14.m1.1"><semantics id="S4.Ex14.m1.1a"><mrow id="S4.Ex14.m1.1.1" xref="S4.Ex14.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex14.m1.1.1.3" xref="S4.Ex14.m1.1.1.3.cmml">P</mi><mo id="S4.Ex14.m1.1.1.2" xref="S4.Ex14.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex14.m1.1.1.1" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">/</mo><mi id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">d</mi></mrow><mo id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">e</mi><mo id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">t</mi><mi id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">r</mi><mn id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex14.m1.1.1.1.2" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex14.m1.1.1.1.3" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.3.cmml">W</mi><mo id="S4.Ex14.m1.1.1.1.2a" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex14.m1.1.1.1.4" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.4.cmml">S</mi><mo id="S4.Ex14.m1.1.1.1.2b" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex14.m1.1.1.1.5" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.5.cmml">M</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex14.m1.1b"><apply id="S4.Ex14.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1"><eq id="S4.Ex14.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.2"></eq><ci id="S4.Ex14.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.3">𝑃</ci><apply id="S4.Ex14.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1"><times id="S4.Ex14.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.2"><divide id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.2.1"></divide><cn id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">1</cn><ci id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑑</ci></apply><ci id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑒</ci><apply id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2">𝑡</ci><ci id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.3">𝑟</ci></apply><cn id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.4.3">2</cn></apply></apply><ci id="S4.Ex14.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.3">𝑊</ci><ci id="S4.Ex14.m1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.4">𝑆</ci><ci id="S4.Ex14.m1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.5">𝑀</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex14.m1.1c">P=(1/det_{r}^{2})WSM</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex14.m1.1d">italic_P = ( 1 / italic_d italic_e italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_W italic_S italic_M</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p1.5">is the inverse matrix for <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.2.m1.1"><semantics id="S4.SS2.p1.2.m1.1a"><mi id="S4.SS2.p1.2.m1.1.1" xref="S4.SS2.p1.2.m1.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.2.m1.1b"><ci id="S4.SS2.p1.2.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m1.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.2.m1.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.2.m1.1d">italic_A</annotation></semantics></math>: <math alttext="L^{-1}=\hat{S}M" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.3.m2.1"><semantics id="S4.SS2.p1.3.m2.1a"><mrow id="S4.SS2.p1.3.m2.1.1" xref="S4.SS2.p1.3.m2.1.1.cmml"><msup id="S4.SS2.p1.3.m2.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.3.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.3.m2.1.1.2.2" xref="S4.SS2.p1.3.m2.1.1.2.2.cmml">L</mi><mrow id="S4.SS2.p1.3.m2.1.1.2.3" xref="S4.SS2.p1.3.m2.1.1.2.3.cmml"><mo id="S4.SS2.p1.3.m2.1.1.2.3a" xref="S4.SS2.p1.3.m2.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S4.SS2.p1.3.m2.1.1.2.3.2" xref="S4.SS2.p1.3.m2.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.SS2.p1.3.m2.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.3.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS2.p1.3.m2.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.3.m2.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS2.p1.3.m2.1.1.3.2" xref="S4.SS2.p1.3.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.3.m2.1.1.3.2.2" xref="S4.SS2.p1.3.m2.1.1.3.2.2.cmml">S</mi><mo id="S4.SS2.p1.3.m2.1.1.3.2.1" xref="S4.SS2.p1.3.m2.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S4.SS2.p1.3.m2.1.1.3.1" xref="S4.SS2.p1.3.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS2.p1.3.m2.1.1.3.3" xref="S4.SS2.p1.3.m2.1.1.3.3.cmml">M</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.3.m2.1b"><apply id="S4.SS2.p1.3.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m2.1.1"><eq id="S4.SS2.p1.3.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m2.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS2.p1.3.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.3.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.3.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m2.1.1.2.2">𝐿</ci><apply id="S4.SS2.p1.3.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m2.1.1.2.3"><minus id="S4.SS2.p1.3.m2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m2.1.1.2.3"></minus><cn id="S4.SS2.p1.3.m2.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p1.3.m2.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S4.SS2.p1.3.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m2.1.1.3"><times id="S4.SS2.p1.3.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m2.1.1.3.1"></times><apply id="S4.SS2.p1.3.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m2.1.1.3.2"><ci id="S4.SS2.p1.3.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m2.1.1.3.2.1">^</ci><ci 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id="S4.SS2.p1.5.m4.1.1.3.1b" xref="S4.SS2.p1.5.m4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.SS2.p1.5.m4.1.1.3.5" xref="S4.SS2.p1.5.m4.1.1.3.5.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.5.m4.1.1.3.5.2" xref="S4.SS2.p1.5.m4.1.1.3.5.2.cmml">S</mi><mo id="S4.SS2.p1.5.m4.1.1.3.5.1" xref="S4.SS2.p1.5.m4.1.1.3.5.1.cmml">^</mo></mover></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.5.m4.1b"><apply id="S4.SS2.p1.5.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m4.1.1"><eq id="S4.SS2.p1.5.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m4.1.1.1"></eq><ci id="S4.SS2.p1.5.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m4.1.1.2">𝑆</ci><apply id="S4.SS2.p1.5.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m4.1.1.3"><times id="S4.SS2.p1.5.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m4.1.1.3.1"></times><ci id="S4.SS2.p1.5.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m4.1.1.3.2">𝑑</ci><ci id="S4.SS2.p1.5.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m4.1.1.3.3">𝑒</ci><apply id="S4.SS2.p1.5.m4.1.1.3.4.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m4.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" 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xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.5" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.5.cmml">U</mi><mo id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.2b" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">/</mo><mi id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">d</mi></mrow><mo id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">e</mi><mo id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">t</mi><mi id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">r</mi><mn id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.2c" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.6" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.6.cmml">W</mi><mo id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.2d" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.7" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.7.cmml">S</mi><mo id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.2e" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.8" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.8.cmml">M</mi></mrow><mo id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.5" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><mi id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.6" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.6.cmml">I</mi></mrow><mo id="S4.Ex15.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex15.m1.1b"><apply id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1"><and id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1"></and><apply id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1"><eq id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.4"></eq><apply id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.3.2">𝐴</ci><ci id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.3.3">𝑃</ci></apply><apply id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.3">𝐿</ci><ci id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.4">𝑆</ci><ci id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.5">𝑈</ci><apply id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><divide id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></divide><cn id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">1</cn><ci id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑑</ci></apply><ci id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑒</ci><apply id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2">𝑡</ci><ci id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3">𝑟</ci></apply><cn id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3">2</cn></apply></apply><ci id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.6">𝑊</ci><ci id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.7.cmml" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.7">𝑆</ci><ci id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.8.cmml" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.8">𝑀</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1"><eq id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#S4.Ex15.m1.1.1.1.1.1.cmml" id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1"></share><ci id="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S4.Ex15.m1.1.1.1.1.6">𝐼</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex15.m1.1c">AP=LSU(1/det_{r}^{2})WSM=I.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex15.m1.1d">italic_A italic_P = italic_L italic_S italic_U ( 1 / italic_d italic_e italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_W italic_S italic_M = italic_I .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p1.6">If matrix <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.6.m1.1"><semantics id="S4.SS2.p1.6.m1.1a"><mi id="S4.SS2.p1.6.m1.1.1" xref="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.6.m1.1b"><ci id="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m1.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.6.m1.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.6.m1.1d">italic_A</annotation></semantics></math> is not invertible, then one can easily check that two identities</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex16"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="PAP=P\ \hbox{and }\ APA=A" class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex16.m1.1"><semantics id="S4.Ex16.m1.1a"><mrow id="S4.Ex16.m1.1.1" xref="S4.Ex16.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex16.m1.1.1.2" xref="S4.Ex16.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.2.2" xref="S4.Ex16.m1.1.1.2.2.cmml">P</mi><mo id="S4.Ex16.m1.1.1.2.1" xref="S4.Ex16.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.2.3" xref="S4.Ex16.m1.1.1.2.3.cmml">A</mi><mo id="S4.Ex16.m1.1.1.2.1a" xref="S4.Ex16.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.2.4" xref="S4.Ex16.m1.1.1.2.4.cmml">P</mi></mrow><mo id="S4.Ex16.m1.1.1.3" xref="S4.Ex16.m1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex16.m1.1.1.4" xref="S4.Ex16.m1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.4.2" xref="S4.Ex16.m1.1.1.4.2.cmml">P</mi><mo id="S4.Ex16.m1.1.1.4.1" lspace="0.500em" xref="S4.Ex16.m1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mtext id="S4.Ex16.m1.1.1.4.3" xref="S4.Ex16.m1.1.1.4.3a.cmml">and </mtext><mo id="S4.Ex16.m1.1.1.4.1a" lspace="0.500em" xref="S4.Ex16.m1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.4.4" xref="S4.Ex16.m1.1.1.4.4.cmml">A</mi><mo id="S4.Ex16.m1.1.1.4.1b" xref="S4.Ex16.m1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.4.5" xref="S4.Ex16.m1.1.1.4.5.cmml">P</mi><mo id="S4.Ex16.m1.1.1.4.1c" xref="S4.Ex16.m1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.4.6" xref="S4.Ex16.m1.1.1.4.6.cmml">A</mi></mrow><mo id="S4.Ex16.m1.1.1.5" xref="S4.Ex16.m1.1.1.5.cmml">=</mo><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.6" xref="S4.Ex16.m1.1.1.6.cmml">A</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex16.m1.1b"><apply id="S4.Ex16.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1"><and id="S4.Ex16.m1.1.1a.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1"></and><apply id="S4.Ex16.m1.1.1b.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1"><eq id="S4.Ex16.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.3"></eq><apply id="S4.Ex16.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.2"><times id="S4.Ex16.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.2.2">𝑃</ci><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.2.3">𝐴</ci><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.2.4.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.2.4">𝑃</ci></apply><apply id="S4.Ex16.m1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.4"><times id="S4.Ex16.m1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.4.1"></times><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.4.2">𝑃</ci><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.4.3a.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.4.3"><mtext id="S4.Ex16.m1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.4.3">and </mtext></ci><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.4.4.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.4.4">𝐴</ci><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.4.5.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.4.5">𝑃</ci><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.4.6.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.4.6">𝐴</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex16.m1.1.1c.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1"><eq id="S4.Ex16.m1.1.1.5.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#S4.Ex16.m1.1.1.4.cmml" id="S4.Ex16.m1.1.1d.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1"></share><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.6.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.6">𝐴</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex16.m1.1c">PAP=P\ \hbox{and }\ APA=A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex16.m1.1d">italic_P italic_A italic_P = italic_P and italic_A italic_P italic_A = italic_A</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p1.10">hold. But, in the general case, identities <math alttext="PA=(PA)^{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.7.m1.1"><semantics id="S4.SS2.p1.7.m1.1a"><mrow id="S4.SS2.p1.7.m1.1.1" xref="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.3.2" xref="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.3.2.cmml">P</mi><mo id="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.3.1" xref="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.3.3" xref="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.3.3.cmml">A</mi></mrow><mo id="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.2.cmml">=</mo><msup id="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">P</mi><mo id="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">A</mi></mrow><mo id="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.1.3.cmml">T</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.7.m1.1b"><apply id="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.7.m1.1.1"><eq id="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.2"></eq><apply id="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.3"><times id="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.3.2">𝑃</ci><ci id="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.3.3">𝐴</ci></apply><apply id="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.1.1.1"><times id="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑃</ci><ci id="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝐴</ci></apply><ci id="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.1.3">𝑇</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.7.m1.1c">PA=(PA)^{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.7.m1.1d">italic_P italic_A = ( italic_P italic_A ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="AP=(AP)^{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.8.m2.1"><semantics id="S4.SS2.p1.8.m2.1a"><mrow id="S4.SS2.p1.8.m2.1.1" xref="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.3.2" xref="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.3.2.cmml">A</mi><mo id="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.3.1" xref="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.3.3" xref="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.3.3.cmml">P</mi></mrow><mo id="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.2.cmml">=</mo><msup id="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">P</mi></mrow><mo id="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.1.3.cmml">T</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.8.m2.1b"><apply id="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.8.m2.1.1"><eq id="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.2"></eq><apply id="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.3"><times id="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.3.1"></times><ci id="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.3.2">𝐴</ci><ci id="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.3.3">𝑃</ci></apply><apply id="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.1.1.1"><times id="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.1.1.1.1.2">𝐴</ci><ci id="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.1.1.1.1.3">𝑃</ci></apply><ci id="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.1.3">𝑇</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.8.m2.1c">AP=(AP)^{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.8.m2.1d">italic_A italic_P = ( italic_A italic_P ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> do not hold. Thus, in this case, matrix <math alttext="P" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.9.m3.1"><semantics id="S4.SS2.p1.9.m3.1a"><mi id="S4.SS2.p1.9.m3.1.1" xref="S4.SS2.p1.9.m3.1.1.cmml">P</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.9.m3.1b"><ci id="S4.SS2.p1.9.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m3.1.1">𝑃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.9.m3.1c">P</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.9.m3.1d">italic_P</annotation></semantics></math> is a pseudo-inverse, but is not the Moore-Penrose generalized inverse for the matrix <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.10.m4.1"><semantics id="S4.SS2.p1.10.m4.1a"><mi id="S4.SS2.p1.10.m4.1.1" xref="S4.SS2.p1.10.m4.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.10.m4.1b"><ci id="S4.SS2.p1.10.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.10.m4.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.10.m4.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.10.m4.1d">italic_A</annotation></semantics></math>.</p> </div> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S5"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">V </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="S5.1.1">Construction of a dichotomous recursive factorization</span> </h2> <div class="ltx_para" id="S5.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.p1.1">We want to describe a procedure that allows you to compute the LSU-factorization</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex17"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="(L,S,U,M,W,\alpha_{r})={\bf LSU}(A,\alpha)" class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex17.m1.8"><semantics id="S5.Ex17.m1.8a"><mrow id="S5.Ex17.m1.8.8" xref="S5.Ex17.m1.8.8.cmml"><mrow id="S5.Ex17.m1.8.8.1.1" xref="S5.Ex17.m1.8.8.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex17.m1.8.8.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex17.m1.8.8.1.2.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex17.m1.1.1" xref="S5.Ex17.m1.1.1.cmml">L</mi><mo id="S5.Ex17.m1.8.8.1.1.3" xref="S5.Ex17.m1.8.8.1.2.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex17.m1.2.2" xref="S5.Ex17.m1.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.Ex17.m1.8.8.1.1.4" xref="S5.Ex17.m1.8.8.1.2.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex17.m1.3.3" xref="S5.Ex17.m1.3.3.cmml">U</mi><mo id="S5.Ex17.m1.8.8.1.1.5" xref="S5.Ex17.m1.8.8.1.2.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex17.m1.4.4" xref="S5.Ex17.m1.4.4.cmml">M</mi><mo id="S5.Ex17.m1.8.8.1.1.6" xref="S5.Ex17.m1.8.8.1.2.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex17.m1.5.5" xref="S5.Ex17.m1.5.5.cmml">W</mi><mo id="S5.Ex17.m1.8.8.1.1.7" xref="S5.Ex17.m1.8.8.1.2.cmml">,</mo><msub id="S5.Ex17.m1.8.8.1.1.1" xref="S5.Ex17.m1.8.8.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex17.m1.8.8.1.1.1.2" xref="S5.Ex17.m1.8.8.1.1.1.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex17.m1.8.8.1.1.1.3" xref="S5.Ex17.m1.8.8.1.1.1.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S5.Ex17.m1.8.8.1.1.8" stretchy="false" xref="S5.Ex17.m1.8.8.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex17.m1.8.8.2" xref="S5.Ex17.m1.8.8.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex17.m1.8.8.3" xref="S5.Ex17.m1.8.8.3.cmml"><mi id="S5.Ex17.m1.8.8.3.2" xref="S5.Ex17.m1.8.8.3.2.cmml">𝐋𝐒𝐔</mi><mo id="S5.Ex17.m1.8.8.3.1" xref="S5.Ex17.m1.8.8.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex17.m1.8.8.3.3.2" xref="S5.Ex17.m1.8.8.3.3.1.cmml"><mo id="S5.Ex17.m1.8.8.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex17.m1.8.8.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex17.m1.6.6" xref="S5.Ex17.m1.6.6.cmml">A</mi><mo id="S5.Ex17.m1.8.8.3.3.2.2" xref="S5.Ex17.m1.8.8.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex17.m1.7.7" xref="S5.Ex17.m1.7.7.cmml">α</mi><mo id="S5.Ex17.m1.8.8.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S5.Ex17.m1.8.8.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex17.m1.8b"><apply id="S5.Ex17.m1.8.8.cmml" xref="S5.Ex17.m1.8.8"><eq id="S5.Ex17.m1.8.8.2.cmml" xref="S5.Ex17.m1.8.8.2"></eq><vector id="S5.Ex17.m1.8.8.1.2.cmml" xref="S5.Ex17.m1.8.8.1.1"><ci id="S5.Ex17.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex17.m1.1.1">𝐿</ci><ci id="S5.Ex17.m1.2.2.cmml" xref="S5.Ex17.m1.2.2">𝑆</ci><ci id="S5.Ex17.m1.3.3.cmml" xref="S5.Ex17.m1.3.3">𝑈</ci><ci id="S5.Ex17.m1.4.4.cmml" xref="S5.Ex17.m1.4.4">𝑀</ci><ci id="S5.Ex17.m1.5.5.cmml" xref="S5.Ex17.m1.5.5">𝑊</ci><apply id="S5.Ex17.m1.8.8.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex17.m1.8.8.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex17.m1.8.8.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex17.m1.8.8.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex17.m1.8.8.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex17.m1.8.8.1.1.1.2">𝛼</ci><ci id="S5.Ex17.m1.8.8.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex17.m1.8.8.1.1.1.3">𝑟</ci></apply></vector><apply id="S5.Ex17.m1.8.8.3.cmml" xref="S5.Ex17.m1.8.8.3"><times id="S5.Ex17.m1.8.8.3.1.cmml" xref="S5.Ex17.m1.8.8.3.1"></times><ci id="S5.Ex17.m1.8.8.3.2.cmml" xref="S5.Ex17.m1.8.8.3.2">𝐋𝐒𝐔</ci><interval closure="open" id="S5.Ex17.m1.8.8.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex17.m1.8.8.3.3.2"><ci id="S5.Ex17.m1.6.6.cmml" xref="S5.Ex17.m1.6.6">𝐴</ci><ci id="S5.Ex17.m1.7.7.cmml" xref="S5.Ex17.m1.7.7">𝛼</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex17.m1.8c">(L,S,U,M,W,\alpha_{r})={\bf LSU}(A,\alpha)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex17.m1.8d">( italic_L , italic_S , italic_U , italic_M , italic_W , italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT ) = bold_LSU ( italic_A , italic_α )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p1.2">in a recursive and dichotomous way.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p2"> <p class="ltx_p" id="S5.p2.6">(1) If <math alttext="A=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.1.m1.1"><semantics id="S5.p2.1.m1.1a"><mrow id="S5.p2.1.m1.1.1" xref="S5.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.p2.1.m1.1.1.2" xref="S5.p2.1.m1.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="S5.p2.1.m1.1.1.1" xref="S5.p2.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.p2.1.m1.1.1.3" xref="S5.p2.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.1.m1.1b"><apply id="S5.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p2.1.m1.1.1"><eq id="S5.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.p2.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S5.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p2.1.m1.1.1.2">𝐴</ci><cn id="S5.p2.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p2.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.1.m1.1c">A=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.1.m1.1d">italic_A = 0</annotation></semantics></math>, then we assume that <math alttext="S=I=J=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.2.m2.1"><semantics id="S5.p2.2.m2.1a"><mrow id="S5.p2.2.m2.1.1" xref="S5.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.p2.2.m2.1.1.2" xref="S5.p2.2.m2.1.1.2.cmml">S</mi><mo id="S5.p2.2.m2.1.1.3" xref="S5.p2.2.m2.1.1.3.cmml">=</mo><mi id="S5.p2.2.m2.1.1.4" xref="S5.p2.2.m2.1.1.4.cmml">I</mi><mo id="S5.p2.2.m2.1.1.5" xref="S5.p2.2.m2.1.1.5.cmml">=</mo><mi id="S5.p2.2.m2.1.1.6" xref="S5.p2.2.m2.1.1.6.cmml">J</mi><mo id="S5.p2.2.m2.1.1.7" xref="S5.p2.2.m2.1.1.7.cmml">=</mo><mn id="S5.p2.2.m2.1.1.8" xref="S5.p2.2.m2.1.1.8.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.2.m2.1b"><apply id="S5.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.p2.2.m2.1.1"><and id="S5.p2.2.m2.1.1a.cmml" xref="S5.p2.2.m2.1.1"></and><apply id="S5.p2.2.m2.1.1b.cmml" xref="S5.p2.2.m2.1.1"><eq id="S5.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.p2.2.m2.1.1.3"></eq><ci id="S5.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.p2.2.m2.1.1.2">𝑆</ci><ci id="S5.p2.2.m2.1.1.4.cmml" xref="S5.p2.2.m2.1.1.4">𝐼</ci></apply><apply id="S5.p2.2.m2.1.1c.cmml" xref="S5.p2.2.m2.1.1"><eq id="S5.p2.2.m2.1.1.5.cmml" xref="S5.p2.2.m2.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#S5.p2.2.m2.1.1.4.cmml" id="S5.p2.2.m2.1.1d.cmml" xref="S5.p2.2.m2.1.1"></share><ci id="S5.p2.2.m2.1.1.6.cmml" xref="S5.p2.2.m2.1.1.6">𝐽</ci></apply><apply id="S5.p2.2.m2.1.1e.cmml" xref="S5.p2.2.m2.1.1"><eq id="S5.p2.2.m2.1.1.7.cmml" xref="S5.p2.2.m2.1.1.7"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#S5.p2.2.m2.1.1.6.cmml" id="S5.p2.2.m2.1.1f.cmml" xref="S5.p2.2.m2.1.1"></share><cn id="S5.p2.2.m2.1.1.8.cmml" type="integer" xref="S5.p2.2.m2.1.1.8">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.2.m2.1c">S=I=J=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.2.m2.1d">italic_S = italic_I = italic_J = 0</annotation></semantics></math>, <math alttext="M=W=\alpha\bf I" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.3.m3.1"><semantics id="S5.p2.3.m3.1a"><mrow id="S5.p2.3.m3.1.1" xref="S5.p2.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S5.p2.3.m3.1.1.2" xref="S5.p2.3.m3.1.1.2.cmml">M</mi><mo id="S5.p2.3.m3.1.1.3" xref="S5.p2.3.m3.1.1.3.cmml">=</mo><mi id="S5.p2.3.m3.1.1.4" xref="S5.p2.3.m3.1.1.4.cmml">W</mi><mo id="S5.p2.3.m3.1.1.5" xref="S5.p2.3.m3.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S5.p2.3.m3.1.1.6" xref="S5.p2.3.m3.1.1.6.cmml"><mi id="S5.p2.3.m3.1.1.6.2" xref="S5.p2.3.m3.1.1.6.2.cmml">α</mi><mo id="S5.p2.3.m3.1.1.6.1" xref="S5.p2.3.m3.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p2.3.m3.1.1.6.3" xref="S5.p2.3.m3.1.1.6.3.cmml">𝐈</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.3.m3.1b"><apply id="S5.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.p2.3.m3.1.1"><and id="S5.p2.3.m3.1.1a.cmml" xref="S5.p2.3.m3.1.1"></and><apply id="S5.p2.3.m3.1.1b.cmml" xref="S5.p2.3.m3.1.1"><eq id="S5.p2.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.p2.3.m3.1.1.3"></eq><ci id="S5.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.p2.3.m3.1.1.2">𝑀</ci><ci id="S5.p2.3.m3.1.1.4.cmml" xref="S5.p2.3.m3.1.1.4">𝑊</ci></apply><apply id="S5.p2.3.m3.1.1c.cmml" xref="S5.p2.3.m3.1.1"><eq id="S5.p2.3.m3.1.1.5.cmml" xref="S5.p2.3.m3.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#S5.p2.3.m3.1.1.4.cmml" id="S5.p2.3.m3.1.1d.cmml" xref="S5.p2.3.m3.1.1"></share><apply id="S5.p2.3.m3.1.1.6.cmml" xref="S5.p2.3.m3.1.1.6"><times id="S5.p2.3.m3.1.1.6.1.cmml" xref="S5.p2.3.m3.1.1.6.1"></times><ci id="S5.p2.3.m3.1.1.6.2.cmml" xref="S5.p2.3.m3.1.1.6.2">𝛼</ci><ci id="S5.p2.3.m3.1.1.6.3.cmml" xref="S5.p2.3.m3.1.1.6.3">𝐈</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.3.m3.1c">M=W=\alpha\bf I</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.3.m3.1d">italic_M = italic_W = italic_α bold_I</annotation></semantics></math>, <math alttext="{\widehat{S}}=\alpha^{-1}\bf I" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.4.m4.1"><semantics id="S5.p2.4.m4.1a"><mrow id="S5.p2.4.m4.1.1" xref="S5.p2.4.m4.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S5.p2.4.m4.1.1.2" xref="S5.p2.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p2.4.m4.1.1.2.2" xref="S5.p2.4.m4.1.1.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.p2.4.m4.1.1.2.1" xref="S5.p2.4.m4.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S5.p2.4.m4.1.1.1" xref="S5.p2.4.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.p2.4.m4.1.1.3" xref="S5.p2.4.m4.1.1.3.cmml"><msup id="S5.p2.4.m4.1.1.3.2" xref="S5.p2.4.m4.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.p2.4.m4.1.1.3.2.2" xref="S5.p2.4.m4.1.1.3.2.2.cmml">α</mi><mrow id="S5.p2.4.m4.1.1.3.2.3" xref="S5.p2.4.m4.1.1.3.2.3.cmml"><mo id="S5.p2.4.m4.1.1.3.2.3a" xref="S5.p2.4.m4.1.1.3.2.3.cmml">−</mo><mn id="S5.p2.4.m4.1.1.3.2.3.2" xref="S5.p2.4.m4.1.1.3.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.p2.4.m4.1.1.3.1" xref="S5.p2.4.m4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p2.4.m4.1.1.3.3" xref="S5.p2.4.m4.1.1.3.3.cmml">𝐈</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.4.m4.1b"><apply id="S5.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.p2.4.m4.1.1"><eq id="S5.p2.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S5.p2.4.m4.1.1.1"></eq><apply id="S5.p2.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S5.p2.4.m4.1.1.2"><ci id="S5.p2.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p2.4.m4.1.1.2.1">^</ci><ci id="S5.p2.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p2.4.m4.1.1.2.2">𝑆</ci></apply><apply id="S5.p2.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S5.p2.4.m4.1.1.3"><times id="S5.p2.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p2.4.m4.1.1.3.1"></times><apply id="S5.p2.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p2.4.m4.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p2.4.m4.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.p2.4.m4.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S5.p2.4.m4.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.p2.4.m4.1.1.3.2.2">𝛼</ci><apply id="S5.p2.4.m4.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.p2.4.m4.1.1.3.2.3"><minus id="S5.p2.4.m4.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.p2.4.m4.1.1.3.2.3"></minus><cn id="S5.p2.4.m4.1.1.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.p2.4.m4.1.1.3.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="S5.p2.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p2.4.m4.1.1.3.3">𝐈</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.4.m4.1c">{\widehat{S}}=\alpha^{-1}\bf I</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.4.m4.1d">over^ start_ARG italic_S end_ARG = italic_α start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT bold_I</annotation></semantics></math>, <math alttext="L=U=\bar{I}=\bar{J}=\bar{S}=\bf I" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.5.m5.1"><semantics id="S5.p2.5.m5.1a"><mrow id="S5.p2.5.m5.1.1" xref="S5.p2.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S5.p2.5.m5.1.1.2" xref="S5.p2.5.m5.1.1.2.cmml">L</mi><mo id="S5.p2.5.m5.1.1.3" xref="S5.p2.5.m5.1.1.3.cmml">=</mo><mi id="S5.p2.5.m5.1.1.4" xref="S5.p2.5.m5.1.1.4.cmml">U</mi><mo id="S5.p2.5.m5.1.1.5" xref="S5.p2.5.m5.1.1.5.cmml">=</mo><mover accent="true" id="S5.p2.5.m5.1.1.6" xref="S5.p2.5.m5.1.1.6.cmml"><mi id="S5.p2.5.m5.1.1.6.2" xref="S5.p2.5.m5.1.1.6.2.cmml">I</mi><mo id="S5.p2.5.m5.1.1.6.1" xref="S5.p2.5.m5.1.1.6.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S5.p2.5.m5.1.1.7" xref="S5.p2.5.m5.1.1.7.cmml">=</mo><mover accent="true" id="S5.p2.5.m5.1.1.8" xref="S5.p2.5.m5.1.1.8.cmml"><mi id="S5.p2.5.m5.1.1.8.2" xref="S5.p2.5.m5.1.1.8.2.cmml">J</mi><mo id="S5.p2.5.m5.1.1.8.1" xref="S5.p2.5.m5.1.1.8.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S5.p2.5.m5.1.1.9" xref="S5.p2.5.m5.1.1.9.cmml">=</mo><mover accent="true" id="S5.p2.5.m5.1.1.10" xref="S5.p2.5.m5.1.1.10.cmml"><mi id="S5.p2.5.m5.1.1.10.2" xref="S5.p2.5.m5.1.1.10.2.cmml">S</mi><mo id="S5.p2.5.m5.1.1.10.1" xref="S5.p2.5.m5.1.1.10.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S5.p2.5.m5.1.1.11" xref="S5.p2.5.m5.1.1.11.cmml">=</mo><mi id="S5.p2.5.m5.1.1.12" xref="S5.p2.5.m5.1.1.12.cmml">𝐈</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.5.m5.1b"><apply id="S5.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S5.p2.5.m5.1.1"><and id="S5.p2.5.m5.1.1a.cmml" xref="S5.p2.5.m5.1.1"></and><apply id="S5.p2.5.m5.1.1b.cmml" xref="S5.p2.5.m5.1.1"><eq id="S5.p2.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S5.p2.5.m5.1.1.3"></eq><ci id="S5.p2.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S5.p2.5.m5.1.1.2">𝐿</ci><ci id="S5.p2.5.m5.1.1.4.cmml" xref="S5.p2.5.m5.1.1.4">𝑈</ci></apply><apply id="S5.p2.5.m5.1.1c.cmml" xref="S5.p2.5.m5.1.1"><eq id="S5.p2.5.m5.1.1.5.cmml" xref="S5.p2.5.m5.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#S5.p2.5.m5.1.1.4.cmml" id="S5.p2.5.m5.1.1d.cmml" xref="S5.p2.5.m5.1.1"></share><apply id="S5.p2.5.m5.1.1.6.cmml" xref="S5.p2.5.m5.1.1.6"><ci id="S5.p2.5.m5.1.1.6.1.cmml" xref="S5.p2.5.m5.1.1.6.1">¯</ci><ci id="S5.p2.5.m5.1.1.6.2.cmml" xref="S5.p2.5.m5.1.1.6.2">𝐼</ci></apply></apply><apply id="S5.p2.5.m5.1.1e.cmml" xref="S5.p2.5.m5.1.1"><eq id="S5.p2.5.m5.1.1.7.cmml" xref="S5.p2.5.m5.1.1.7"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#S5.p2.5.m5.1.1.6.cmml" id="S5.p2.5.m5.1.1f.cmml" xref="S5.p2.5.m5.1.1"></share><apply id="S5.p2.5.m5.1.1.8.cmml" xref="S5.p2.5.m5.1.1.8"><ci id="S5.p2.5.m5.1.1.8.1.cmml" xref="S5.p2.5.m5.1.1.8.1">¯</ci><ci id="S5.p2.5.m5.1.1.8.2.cmml" xref="S5.p2.5.m5.1.1.8.2">𝐽</ci></apply></apply><apply id="S5.p2.5.m5.1.1g.cmml" xref="S5.p2.5.m5.1.1"><eq id="S5.p2.5.m5.1.1.9.cmml" xref="S5.p2.5.m5.1.1.9"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#S5.p2.5.m5.1.1.8.cmml" id="S5.p2.5.m5.1.1h.cmml" xref="S5.p2.5.m5.1.1"></share><apply id="S5.p2.5.m5.1.1.10.cmml" xref="S5.p2.5.m5.1.1.10"><ci id="S5.p2.5.m5.1.1.10.1.cmml" xref="S5.p2.5.m5.1.1.10.1">¯</ci><ci id="S5.p2.5.m5.1.1.10.2.cmml" xref="S5.p2.5.m5.1.1.10.2">𝑆</ci></apply></apply><apply id="S5.p2.5.m5.1.1i.cmml" xref="S5.p2.5.m5.1.1"><eq id="S5.p2.5.m5.1.1.11.cmml" xref="S5.p2.5.m5.1.1.11"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#S5.p2.5.m5.1.1.10.cmml" id="S5.p2.5.m5.1.1j.cmml" xref="S5.p2.5.m5.1.1"></share><ci id="S5.p2.5.m5.1.1.12.cmml" xref="S5.p2.5.m5.1.1.12">𝐈</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.5.m5.1c">L=U=\bar{I}=\bar{J}=\bar{S}=\bf I</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.5.m5.1d">italic_L = italic_U = over¯ start_ARG italic_I end_ARG = over¯ start_ARG italic_J end_ARG = over¯ start_ARG italic_S end_ARG = bold_I</annotation></semantics></math>, <math alttext="\alpha_{r}=\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.6.m6.1"><semantics id="S5.p2.6.m6.1a"><mrow id="S5.p2.6.m6.1.1" xref="S5.p2.6.m6.1.1.cmml"><msub id="S5.p2.6.m6.1.1.2" xref="S5.p2.6.m6.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p2.6.m6.1.1.2.2" xref="S5.p2.6.m6.1.1.2.2.cmml">α</mi><mi id="S5.p2.6.m6.1.1.2.3" xref="S5.p2.6.m6.1.1.2.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S5.p2.6.m6.1.1.1" xref="S5.p2.6.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S5.p2.6.m6.1.1.3" xref="S5.p2.6.m6.1.1.3.cmml">α</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.6.m6.1b"><apply id="S5.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S5.p2.6.m6.1.1"><eq id="S5.p2.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S5.p2.6.m6.1.1.1"></eq><apply id="S5.p2.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S5.p2.6.m6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p2.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p2.6.m6.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p2.6.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p2.6.m6.1.1.2.2">𝛼</ci><ci id="S5.p2.6.m6.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p2.6.m6.1.1.2.3">𝑟</ci></apply><ci id="S5.p2.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S5.p2.6.m6.1.1.3">𝛼</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.6.m6.1c">\alpha_{r}=\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.6.m6.1d">italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT = italic_α</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S5.p3"> <p class="ltx_p" id="S5.p3.8">(2) If <math alttext="n=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p3.1.m1.1"><semantics id="S5.p3.1.m1.1a"><mrow id="S5.p3.1.m1.1.1" xref="S5.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.p3.1.m1.1.1.2" xref="S5.p3.1.m1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S5.p3.1.m1.1.1.1" xref="S5.p3.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.p3.1.m1.1.1.3" xref="S5.p3.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p3.1.m1.1b"><apply id="S5.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p3.1.m1.1.1"><eq id="S5.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.p3.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S5.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p3.1.m1.1.1.2">𝑛</ci><cn id="S5.p3.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p3.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p3.1.m1.1c">n=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p3.1.m1.1d">italic_n = 1</annotation></semantics></math> (<math alttext="A=[a],a\neq 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p3.2.m2.3"><semantics id="S5.p3.2.m2.3a"><mrow id="S5.p3.2.m2.3.3.2" xref="S5.p3.2.m2.3.3.3.cmml"><mrow id="S5.p3.2.m2.2.2.1.1" xref="S5.p3.2.m2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S5.p3.2.m2.2.2.1.1.2" xref="S5.p3.2.m2.2.2.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="S5.p3.2.m2.2.2.1.1.1" xref="S5.p3.2.m2.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.p3.2.m2.2.2.1.1.3.2" xref="S5.p3.2.m2.2.2.1.1.3.1.cmml"><mo id="S5.p3.2.m2.2.2.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.p3.2.m2.2.2.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S5.p3.2.m2.1.1" xref="S5.p3.2.m2.1.1.cmml">a</mi><mo id="S5.p3.2.m2.2.2.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.p3.2.m2.2.2.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S5.p3.2.m2.3.3.2.3" xref="S5.p3.2.m2.3.3.3a.cmml">,</mo><mrow id="S5.p3.2.m2.3.3.2.2" xref="S5.p3.2.m2.3.3.2.2.cmml"><mi id="S5.p3.2.m2.3.3.2.2.2" xref="S5.p3.2.m2.3.3.2.2.2.cmml">a</mi><mo id="S5.p3.2.m2.3.3.2.2.1" xref="S5.p3.2.m2.3.3.2.2.1.cmml">≠</mo><mn id="S5.p3.2.m2.3.3.2.2.3" xref="S5.p3.2.m2.3.3.2.2.3.cmml">0</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p3.2.m2.3b"><apply id="S5.p3.2.m2.3.3.3.cmml" xref="S5.p3.2.m2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p3.2.m2.3.3.3a.cmml" xref="S5.p3.2.m2.3.3.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S5.p3.2.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S5.p3.2.m2.2.2.1.1"><eq id="S5.p3.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.p3.2.m2.2.2.1.1.1"></eq><ci id="S5.p3.2.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.p3.2.m2.2.2.1.1.2">𝐴</ci><apply id="S5.p3.2.m2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p3.2.m2.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.p3.2.m2.2.2.1.1.3.1.1.cmml" xref="S5.p3.2.m2.2.2.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S5.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.p3.2.m2.1.1">𝑎</ci></apply></apply><apply id="S5.p3.2.m2.3.3.2.2.cmml" xref="S5.p3.2.m2.3.3.2.2"><neq id="S5.p3.2.m2.3.3.2.2.1.cmml" xref="S5.p3.2.m2.3.3.2.2.1"></neq><ci id="S5.p3.2.m2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S5.p3.2.m2.3.3.2.2.2">𝑎</ci><cn id="S5.p3.2.m2.3.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p3.2.m2.3.3.2.2.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p3.2.m2.3c">A=[a],a\neq 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p3.2.m2.3d">italic_A = [ italic_a ] , italic_a ≠ 0</annotation></semantics></math>), then we assume that <math alttext="S=[(\alpha a)^{-1}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p3.3.m3.1"><semantics id="S5.p3.3.m3.1a"><mrow id="S5.p3.3.m3.1.1" xref="S5.p3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S5.p3.3.m3.1.1.3" xref="S5.p3.3.m3.1.1.3.cmml">S</mi><mo id="S5.p3.3.m3.1.1.2" xref="S5.p3.3.m3.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.p3.3.m3.1.1.1.1" xref="S5.p3.3.m3.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.p3.3.m3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.p3.3.m3.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msup id="S5.p3.3.m3.1.1.1.1.1" xref="S5.p3.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="S5.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">a</mi></mrow><mo id="S5.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S5.p3.3.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S5.p3.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S5.p3.3.m3.1.1.1.1.1.3a" xref="S5.p3.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S5.p3.3.m3.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.p3.3.m3.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.p3.3.m3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.p3.3.m3.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p3.3.m3.1b"><apply id="S5.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.p3.3.m3.1.1"><eq id="S5.p3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.p3.3.m3.1.1.2"></eq><ci id="S5.p3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.p3.3.m3.1.1.3">𝑆</ci><apply id="S5.p3.3.m3.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p3.3.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.p3.3.m3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p3.3.m3.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S5.p3.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p3.3.m3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p3.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p3.3.m3.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S5.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S5.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝛼</ci><ci id="S5.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑎</ci></apply><apply id="S5.p3.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p3.3.m3.1.1.1.1.1.3"><minus id="S5.p3.3.m3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p3.3.m3.1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="S5.p3.3.m3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.p3.3.m3.1.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p3.3.m3.1c">S=[(\alpha a)^{-1}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p3.3.m3.1d">italic_S = [ ( italic_α italic_a ) start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ]</annotation></semantics></math>, <math alttext="{\widehat{S}}=[a^{-2}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p3.4.m4.1"><semantics id="S5.p3.4.m4.1a"><mrow id="S5.p3.4.m4.1.1" xref="S5.p3.4.m4.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S5.p3.4.m4.1.1.3" xref="S5.p3.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p3.4.m4.1.1.3.2" xref="S5.p3.4.m4.1.1.3.2.cmml">S</mi><mo id="S5.p3.4.m4.1.1.3.1" xref="S5.p3.4.m4.1.1.3.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S5.p3.4.m4.1.1.2" xref="S5.p3.4.m4.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.p3.4.m4.1.1.1.1" xref="S5.p3.4.m4.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.p3.4.m4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.p3.4.m4.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msup id="S5.p3.4.m4.1.1.1.1.1" xref="S5.p3.4.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.p3.4.m4.1.1.1.1.1.2" xref="S5.p3.4.m4.1.1.1.1.1.2.cmml">a</mi><mrow id="S5.p3.4.m4.1.1.1.1.1.3" xref="S5.p3.4.m4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S5.p3.4.m4.1.1.1.1.1.3a" xref="S5.p3.4.m4.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S5.p3.4.m4.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.p3.4.m4.1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S5.p3.4.m4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.p3.4.m4.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p3.4.m4.1b"><apply id="S5.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.p3.4.m4.1.1"><eq id="S5.p3.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S5.p3.4.m4.1.1.2"></eq><apply id="S5.p3.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S5.p3.4.m4.1.1.3"><ci id="S5.p3.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p3.4.m4.1.1.3.1">^</ci><ci id="S5.p3.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p3.4.m4.1.1.3.2">𝑆</ci></apply><apply id="S5.p3.4.m4.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p3.4.m4.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.p3.4.m4.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p3.4.m4.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S5.p3.4.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p3.4.m4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p3.4.m4.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.p3.4.m4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p3.4.m4.1.1.1.1.1.2">𝑎</ci><apply id="S5.p3.4.m4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p3.4.m4.1.1.1.1.1.3"><minus id="S5.p3.4.m4.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p3.4.m4.1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="S5.p3.4.m4.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.p3.4.m4.1.1.1.1.1.3.2">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p3.4.m4.1c">{\widehat{S}}=[a^{-2}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p3.4.m4.1d">over^ start_ARG italic_S end_ARG = [ italic_a start_POSTSUPERSCRIPT - 2 end_POSTSUPERSCRIPT ]</annotation></semantics></math>, <math alttext="L=U=M=W=[a]" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p3.5.m5.1"><semantics id="S5.p3.5.m5.1a"><mrow id="S5.p3.5.m5.1.2" xref="S5.p3.5.m5.1.2.cmml"><mi id="S5.p3.5.m5.1.2.2" xref="S5.p3.5.m5.1.2.2.cmml">L</mi><mo id="S5.p3.5.m5.1.2.3" xref="S5.p3.5.m5.1.2.3.cmml">=</mo><mi id="S5.p3.5.m5.1.2.4" xref="S5.p3.5.m5.1.2.4.cmml">U</mi><mo id="S5.p3.5.m5.1.2.5" xref="S5.p3.5.m5.1.2.5.cmml">=</mo><mi id="S5.p3.5.m5.1.2.6" xref="S5.p3.5.m5.1.2.6.cmml">M</mi><mo id="S5.p3.5.m5.1.2.7" xref="S5.p3.5.m5.1.2.7.cmml">=</mo><mi id="S5.p3.5.m5.1.2.8" xref="S5.p3.5.m5.1.2.8.cmml">W</mi><mo id="S5.p3.5.m5.1.2.9" xref="S5.p3.5.m5.1.2.9.cmml">=</mo><mrow id="S5.p3.5.m5.1.2.10.2" xref="S5.p3.5.m5.1.2.10.1.cmml"><mo id="S5.p3.5.m5.1.2.10.2.1" stretchy="false" xref="S5.p3.5.m5.1.2.10.1.1.cmml">[</mo><mi id="S5.p3.5.m5.1.1" xref="S5.p3.5.m5.1.1.cmml">a</mi><mo id="S5.p3.5.m5.1.2.10.2.2" stretchy="false" xref="S5.p3.5.m5.1.2.10.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p3.5.m5.1b"><apply id="S5.p3.5.m5.1.2.cmml" xref="S5.p3.5.m5.1.2"><and id="S5.p3.5.m5.1.2a.cmml" xref="S5.p3.5.m5.1.2"></and><apply id="S5.p3.5.m5.1.2b.cmml" xref="S5.p3.5.m5.1.2"><eq id="S5.p3.5.m5.1.2.3.cmml" xref="S5.p3.5.m5.1.2.3"></eq><ci id="S5.p3.5.m5.1.2.2.cmml" xref="S5.p3.5.m5.1.2.2">𝐿</ci><ci id="S5.p3.5.m5.1.2.4.cmml" xref="S5.p3.5.m5.1.2.4">𝑈</ci></apply><apply id="S5.p3.5.m5.1.2c.cmml" xref="S5.p3.5.m5.1.2"><eq id="S5.p3.5.m5.1.2.5.cmml" xref="S5.p3.5.m5.1.2.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#S5.p3.5.m5.1.2.4.cmml" id="S5.p3.5.m5.1.2d.cmml" xref="S5.p3.5.m5.1.2"></share><ci id="S5.p3.5.m5.1.2.6.cmml" xref="S5.p3.5.m5.1.2.6">𝑀</ci></apply><apply id="S5.p3.5.m5.1.2e.cmml" xref="S5.p3.5.m5.1.2"><eq id="S5.p3.5.m5.1.2.7.cmml" xref="S5.p3.5.m5.1.2.7"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#S5.p3.5.m5.1.2.6.cmml" id="S5.p3.5.m5.1.2f.cmml" xref="S5.p3.5.m5.1.2"></share><ci id="S5.p3.5.m5.1.2.8.cmml" xref="S5.p3.5.m5.1.2.8">𝑊</ci></apply><apply id="S5.p3.5.m5.1.2g.cmml" xref="S5.p3.5.m5.1.2"><eq id="S5.p3.5.m5.1.2.9.cmml" xref="S5.p3.5.m5.1.2.9"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#S5.p3.5.m5.1.2.8.cmml" id="S5.p3.5.m5.1.2h.cmml" xref="S5.p3.5.m5.1.2"></share><apply id="S5.p3.5.m5.1.2.10.1.cmml" xref="S5.p3.5.m5.1.2.10.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.p3.5.m5.1.2.10.1.1.cmml" xref="S5.p3.5.m5.1.2.10.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S5.p3.5.m5.1.1.cmml" xref="S5.p3.5.m5.1.1">𝑎</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p3.5.m5.1c">L=U=M=W=[a]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p3.5.m5.1d">italic_L = italic_U = italic_M = italic_W = [ italic_a ]</annotation></semantics></math>, <math alttext="I=J=[1]" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p3.6.m6.1"><semantics id="S5.p3.6.m6.1a"><mrow id="S5.p3.6.m6.1.2" xref="S5.p3.6.m6.1.2.cmml"><mi id="S5.p3.6.m6.1.2.2" xref="S5.p3.6.m6.1.2.2.cmml">I</mi><mo id="S5.p3.6.m6.1.2.3" xref="S5.p3.6.m6.1.2.3.cmml">=</mo><mi id="S5.p3.6.m6.1.2.4" xref="S5.p3.6.m6.1.2.4.cmml">J</mi><mo id="S5.p3.6.m6.1.2.5" xref="S5.p3.6.m6.1.2.5.cmml">=</mo><mrow id="S5.p3.6.m6.1.2.6.2" xref="S5.p3.6.m6.1.2.6.1.cmml"><mo id="S5.p3.6.m6.1.2.6.2.1" stretchy="false" xref="S5.p3.6.m6.1.2.6.1.1.cmml">[</mo><mn id="S5.p3.6.m6.1.1" xref="S5.p3.6.m6.1.1.cmml">1</mn><mo id="S5.p3.6.m6.1.2.6.2.2" stretchy="false" xref="S5.p3.6.m6.1.2.6.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p3.6.m6.1b"><apply id="S5.p3.6.m6.1.2.cmml" xref="S5.p3.6.m6.1.2"><and id="S5.p3.6.m6.1.2a.cmml" xref="S5.p3.6.m6.1.2"></and><apply id="S5.p3.6.m6.1.2b.cmml" xref="S5.p3.6.m6.1.2"><eq id="S5.p3.6.m6.1.2.3.cmml" xref="S5.p3.6.m6.1.2.3"></eq><ci id="S5.p3.6.m6.1.2.2.cmml" xref="S5.p3.6.m6.1.2.2">𝐼</ci><ci id="S5.p3.6.m6.1.2.4.cmml" xref="S5.p3.6.m6.1.2.4">𝐽</ci></apply><apply id="S5.p3.6.m6.1.2c.cmml" xref="S5.p3.6.m6.1.2"><eq id="S5.p3.6.m6.1.2.5.cmml" xref="S5.p3.6.m6.1.2.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#S5.p3.6.m6.1.2.4.cmml" id="S5.p3.6.m6.1.2d.cmml" xref="S5.p3.6.m6.1.2"></share><apply id="S5.p3.6.m6.1.2.6.1.cmml" xref="S5.p3.6.m6.1.2.6.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.p3.6.m6.1.2.6.1.1.cmml" xref="S5.p3.6.m6.1.2.6.2.1">delimited-[]</csymbol><cn id="S5.p3.6.m6.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.p3.6.m6.1.1">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p3.6.m6.1c">I=J=[1]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p3.6.m6.1d">italic_I = italic_J = [ 1 ]</annotation></semantics></math>, <math alttext="\bar{I}=\bar{J}=\bar{S}=[0]" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p3.7.m7.1"><semantics id="S5.p3.7.m7.1a"><mrow id="S5.p3.7.m7.1.2" xref="S5.p3.7.m7.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S5.p3.7.m7.1.2.2" xref="S5.p3.7.m7.1.2.2.cmml"><mi id="S5.p3.7.m7.1.2.2.2" xref="S5.p3.7.m7.1.2.2.2.cmml">I</mi><mo id="S5.p3.7.m7.1.2.2.1" xref="S5.p3.7.m7.1.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S5.p3.7.m7.1.2.3" xref="S5.p3.7.m7.1.2.3.cmml">=</mo><mover accent="true" id="S5.p3.7.m7.1.2.4" xref="S5.p3.7.m7.1.2.4.cmml"><mi id="S5.p3.7.m7.1.2.4.2" xref="S5.p3.7.m7.1.2.4.2.cmml">J</mi><mo id="S5.p3.7.m7.1.2.4.1" xref="S5.p3.7.m7.1.2.4.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S5.p3.7.m7.1.2.5" xref="S5.p3.7.m7.1.2.5.cmml">=</mo><mover accent="true" id="S5.p3.7.m7.1.2.6" xref="S5.p3.7.m7.1.2.6.cmml"><mi id="S5.p3.7.m7.1.2.6.2" xref="S5.p3.7.m7.1.2.6.2.cmml">S</mi><mo id="S5.p3.7.m7.1.2.6.1" xref="S5.p3.7.m7.1.2.6.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S5.p3.7.m7.1.2.7" xref="S5.p3.7.m7.1.2.7.cmml">=</mo><mrow id="S5.p3.7.m7.1.2.8.2" xref="S5.p3.7.m7.1.2.8.1.cmml"><mo id="S5.p3.7.m7.1.2.8.2.1" stretchy="false" xref="S5.p3.7.m7.1.2.8.1.1.cmml">[</mo><mn id="S5.p3.7.m7.1.1" xref="S5.p3.7.m7.1.1.cmml">0</mn><mo id="S5.p3.7.m7.1.2.8.2.2" stretchy="false" xref="S5.p3.7.m7.1.2.8.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p3.7.m7.1b"><apply id="S5.p3.7.m7.1.2.cmml" xref="S5.p3.7.m7.1.2"><and id="S5.p3.7.m7.1.2a.cmml" xref="S5.p3.7.m7.1.2"></and><apply id="S5.p3.7.m7.1.2b.cmml" xref="S5.p3.7.m7.1.2"><eq id="S5.p3.7.m7.1.2.3.cmml" xref="S5.p3.7.m7.1.2.3"></eq><apply id="S5.p3.7.m7.1.2.2.cmml" xref="S5.p3.7.m7.1.2.2"><ci id="S5.p3.7.m7.1.2.2.1.cmml" xref="S5.p3.7.m7.1.2.2.1">¯</ci><ci id="S5.p3.7.m7.1.2.2.2.cmml" xref="S5.p3.7.m7.1.2.2.2">𝐼</ci></apply><apply id="S5.p3.7.m7.1.2.4.cmml" xref="S5.p3.7.m7.1.2.4"><ci id="S5.p3.7.m7.1.2.4.1.cmml" xref="S5.p3.7.m7.1.2.4.1">¯</ci><ci id="S5.p3.7.m7.1.2.4.2.cmml" xref="S5.p3.7.m7.1.2.4.2">𝐽</ci></apply></apply><apply id="S5.p3.7.m7.1.2c.cmml" xref="S5.p3.7.m7.1.2"><eq id="S5.p3.7.m7.1.2.5.cmml" xref="S5.p3.7.m7.1.2.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#S5.p3.7.m7.1.2.4.cmml" id="S5.p3.7.m7.1.2d.cmml" xref="S5.p3.7.m7.1.2"></share><apply id="S5.p3.7.m7.1.2.6.cmml" xref="S5.p3.7.m7.1.2.6"><ci id="S5.p3.7.m7.1.2.6.1.cmml" xref="S5.p3.7.m7.1.2.6.1">¯</ci><ci id="S5.p3.7.m7.1.2.6.2.cmml" xref="S5.p3.7.m7.1.2.6.2">𝑆</ci></apply></apply><apply id="S5.p3.7.m7.1.2e.cmml" xref="S5.p3.7.m7.1.2"><eq id="S5.p3.7.m7.1.2.7.cmml" xref="S5.p3.7.m7.1.2.7"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#S5.p3.7.m7.1.2.6.cmml" id="S5.p3.7.m7.1.2f.cmml" xref="S5.p3.7.m7.1.2"></share><apply id="S5.p3.7.m7.1.2.8.1.cmml" xref="S5.p3.7.m7.1.2.8.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.p3.7.m7.1.2.8.1.1.cmml" xref="S5.p3.7.m7.1.2.8.2.1">delimited-[]</csymbol><cn id="S5.p3.7.m7.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.p3.7.m7.1.1">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p3.7.m7.1c">\bar{I}=\bar{J}=\bar{S}=[0]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p3.7.m7.1d">over¯ start_ARG italic_I end_ARG = over¯ start_ARG italic_J end_ARG = over¯ start_ARG italic_S end_ARG = [ 0 ]</annotation></semantics></math>, <math alttext="\alpha_{r}=a" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p3.8.m8.1"><semantics id="S5.p3.8.m8.1a"><mrow id="S5.p3.8.m8.1.1" xref="S5.p3.8.m8.1.1.cmml"><msub id="S5.p3.8.m8.1.1.2" xref="S5.p3.8.m8.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p3.8.m8.1.1.2.2" xref="S5.p3.8.m8.1.1.2.2.cmml">α</mi><mi id="S5.p3.8.m8.1.1.2.3" xref="S5.p3.8.m8.1.1.2.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S5.p3.8.m8.1.1.1" xref="S5.p3.8.m8.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S5.p3.8.m8.1.1.3" xref="S5.p3.8.m8.1.1.3.cmml">a</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p3.8.m8.1b"><apply id="S5.p3.8.m8.1.1.cmml" xref="S5.p3.8.m8.1.1"><eq id="S5.p3.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S5.p3.8.m8.1.1.1"></eq><apply id="S5.p3.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S5.p3.8.m8.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p3.8.m8.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p3.8.m8.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p3.8.m8.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p3.8.m8.1.1.2.2">𝛼</ci><ci id="S5.p3.8.m8.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p3.8.m8.1.1.2.3">𝑟</ci></apply><ci id="S5.p3.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S5.p3.8.m8.1.1.3">𝑎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p3.8.m8.1c">\alpha_{r}=a</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p3.8.m8.1d">italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT = italic_a</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S5.p4"> <p class="ltx_p" id="S5.p4.3">(3) For <math alttext="A\neq 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p4.1.m1.1"><semantics id="S5.p4.1.m1.1a"><mrow id="S5.p4.1.m1.1.1" xref="S5.p4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.p4.1.m1.1.1.2" xref="S5.p4.1.m1.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="S5.p4.1.m1.1.1.1" xref="S5.p4.1.m1.1.1.1.cmml">≠</mo><mn id="S5.p4.1.m1.1.1.3" xref="S5.p4.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p4.1.m1.1b"><apply id="S5.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p4.1.m1.1.1"><neq id="S5.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.p4.1.m1.1.1.1"></neq><ci id="S5.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p4.1.m1.1.1.2">𝐴</ci><cn id="S5.p4.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p4.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p4.1.m1.1c">A\neq 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p4.1.m1.1d">italic_A ≠ 0</annotation></semantics></math> and <math alttext="n>1" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p4.2.m2.1"><semantics id="S5.p4.2.m2.1a"><mrow id="S5.p4.2.m2.1.1" xref="S5.p4.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.p4.2.m2.1.1.2" xref="S5.p4.2.m2.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S5.p4.2.m2.1.1.1" xref="S5.p4.2.m2.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S5.p4.2.m2.1.1.3" xref="S5.p4.2.m2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p4.2.m2.1b"><apply id="S5.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.p4.2.m2.1.1"><gt id="S5.p4.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.p4.2.m2.1.1.1"></gt><ci id="S5.p4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.p4.2.m2.1.1.2">𝑛</ci><cn id="S5.p4.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p4.2.m2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p4.2.m2.1c">n>1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p4.2.m2.1d">italic_n > 1</annotation></semantics></math> we divide matrix <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p4.3.m3.1"><semantics id="S5.p4.3.m3.1a"><mi id="S5.p4.3.m3.1.1" xref="S5.p4.3.m3.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p4.3.m3.1b"><ci id="S5.p4.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.p4.3.m3.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p4.3.m3.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p4.3.m3.1d">italic_A</annotation></semantics></math> into four equal blocks</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex18"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="A=\left[\begin{array}[]{cc}A_{11}&A_{12}\\ A_{21}&A_{22}\end{array}\right]." class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex18.m1.2"><semantics id="S5.Ex18.m1.2a"><mrow id="S5.Ex18.m1.2.2.1" xref="S5.Ex18.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex18.m1.2.2.1.1" xref="S5.Ex18.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex18.m1.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex18.m1.2.2.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="S5.Ex18.m1.2.2.1.1.1" xref="S5.Ex18.m1.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex18.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S5.Ex18.m1.2.2.1.1.3.1.cmml"><mo id="S5.Ex18.m1.2.2.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex18.m1.2.2.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S5.Ex18.m1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S5.Ex18.m1.1.1.cmml"><mtr id="S5.Ex18.m1.1.1a" xref="S5.Ex18.m1.1.1.cmml"><mtd id="S5.Ex18.m1.1.1b" xref="S5.Ex18.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex18.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex18.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex18.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex18.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex18.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex18.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">11</mn></msub></mtd><mtd id="S5.Ex18.m1.1.1c" xref="S5.Ex18.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex18.m1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex18.m1.1.1.1.2.1.cmml"><mi id="S5.Ex18.m1.1.1.1.2.1.2" xref="S5.Ex18.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex18.m1.1.1.1.2.1.3" xref="S5.Ex18.m1.1.1.1.2.1.3.cmml">12</mn></msub></mtd></mtr><mtr id="S5.Ex18.m1.1.1d" xref="S5.Ex18.m1.1.1.cmml"><mtd id="S5.Ex18.m1.1.1e" xref="S5.Ex18.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex18.m1.1.1.2.1.1" xref="S5.Ex18.m1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex18.m1.1.1.2.1.1.2" xref="S5.Ex18.m1.1.1.2.1.1.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex18.m1.1.1.2.1.1.3" xref="S5.Ex18.m1.1.1.2.1.1.3.cmml">21</mn></msub></mtd><mtd id="S5.Ex18.m1.1.1f" xref="S5.Ex18.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex18.m1.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex18.m1.1.1.2.2.1.cmml"><mi id="S5.Ex18.m1.1.1.2.2.1.2" xref="S5.Ex18.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex18.m1.1.1.2.2.1.3" xref="S5.Ex18.m1.1.1.2.2.1.3.cmml">22</mn></msub></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.Ex18.m1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex18.m1.2.2.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex18.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S5.Ex18.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex18.m1.2b"><apply id="S5.Ex18.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex18.m1.2.2.1"><eq id="S5.Ex18.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex18.m1.2.2.1.1.1"></eq><ci id="S5.Ex18.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex18.m1.2.2.1.1.2">𝐴</ci><apply id="S5.Ex18.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex18.m1.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex18.m1.2.2.1.1.3.1.1.cmml" xref="S5.Ex18.m1.2.2.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S5.Ex18.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex18.m1.1.1"><matrixrow id="S5.Ex18.m1.1.1a.cmml" xref="S5.Ex18.m1.1.1"><apply id="S5.Ex18.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex18.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex18.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex18.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex18.m1.1.1.1.1.1.2">𝐴</ci><cn id="S5.Ex18.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex18.m1.1.1.1.1.1.3">11</cn></apply><apply id="S5.Ex18.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex18.m1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex18.m1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex18.m1.1.1.1.2.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex18.m1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex18.m1.1.1.1.2.1.2">𝐴</ci><cn id="S5.Ex18.m1.1.1.1.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex18.m1.1.1.1.2.1.3">12</cn></apply></matrixrow><matrixrow id="S5.Ex18.m1.1.1b.cmml" xref="S5.Ex18.m1.1.1"><apply id="S5.Ex18.m1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex18.m1.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex18.m1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex18.m1.1.1.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex18.m1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex18.m1.1.1.2.1.1.2">𝐴</ci><cn id="S5.Ex18.m1.1.1.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex18.m1.1.1.2.1.1.3">21</cn></apply><apply id="S5.Ex18.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex18.m1.1.1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex18.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex18.m1.1.1.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex18.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex18.m1.1.1.2.2.1.2">𝐴</ci><cn id="S5.Ex18.m1.1.1.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex18.m1.1.1.2.2.1.3">22</cn></apply></matrixrow></matrix></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex18.m1.2c">A=\left[\begin{array}[]{cc}A_{11}&A_{12}\\ A_{21}&A_{22}\end{array}\right].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex18.m1.2d">italic_A = [ start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_A start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_A start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_A start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_A start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARRAY ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right"><math class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex18.1.1.m1.1"><semantics id="S5.Ex18.1.1.m1.1b"><mrow id="S5.Ex18.1.1.m1.1.2.2"><mo id="S5.Ex18.1.1.m1.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S5.Ex18.1.1.m1.1.1" xref="S5.Ex18.1.1.m1.1.1.cmml">4</mn><mo id="S5.Ex18.1.1.m1.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex18.1.1.m1.1c"><cn id="S5.Ex18.1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex18.1.1.m1.1.1">4</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex18.1.1.m1.1d">( 4 )</annotation></semantics></math></span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p4.4">We can do the LSU-decomposition for block <math alttext="A_{11}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p4.4.m1.1"><semantics id="S5.p4.4.m1.1a"><msub id="S5.p4.4.m1.1.1" xref="S5.p4.4.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.p4.4.m1.1.1.2" xref="S5.p4.4.m1.1.1.2.cmml">A</mi><mn id="S5.p4.4.m1.1.1.3" xref="S5.p4.4.m1.1.1.3.cmml">11</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p4.4.m1.1b"><apply id="S5.p4.4.m1.1.1.cmml" xref="S5.p4.4.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p4.4.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.p4.4.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p4.4.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p4.4.m1.1.1.2">𝐴</ci><cn id="S5.p4.4.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p4.4.m1.1.1.3">11</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p4.4.m1.1c">A_{11}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p4.4.m1.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex19"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\left\{\begin{array}[]{rcl}\alpha L_{11}S_{11}U_{11}=\ A_{11}\\ L_{11}{\widehat{S}}_{11}M_{11}={\mathbf{I}}\\ W_{11}{\widehat{S}}_{11}U_{11}={\mathbf{I}}\end{array}\right.." class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex19.m1.2"><semantics id="S5.Ex19.m1.2a"><mrow id="S5.Ex19.m1.2.2.1"><mrow id="S5.Ex19.m1.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex19.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex19.m1.2.2.1.1.2.1" xref="S5.Ex19.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">{</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S5.Ex19.m1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S5.Ex19.m1.1.1.cmml"><mtr id="S5.Ex19.m1.1.1a" xref="S5.Ex19.m1.1.1.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S5.Ex19.m1.1.1b" xref="S5.Ex19.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">α</mi><mo id="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">L</mi><mn id="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">S</mi><mn id="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.1b" xref="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.5" xref="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.5.cmml"><mi id="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.5.2" xref="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.5.2.cmml">U</mi><mn id="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.5.3" xref="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.5.3.cmml">11</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1" rspace="0.778em" xref="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><msub id="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">11</mn></msub></mrow></mtd><mtd id="S5.Ex19.m1.1.1c" xref="S5.Ex19.m1.1.1.cmml"></mtd><mtd id="S5.Ex19.m1.1.1d" xref="S5.Ex19.m1.1.1.cmml"></mtd></mtr><mtr id="S5.Ex19.m1.1.1e" xref="S5.Ex19.m1.1.1.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S5.Ex19.m1.1.1f" xref="S5.Ex19.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1" xref="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2" xref="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.cmml"><msub id="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.2" xref="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.cmml">L</mi><mn id="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.2.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.1" xref="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.3" xref="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.2" xref="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.1" xref="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.3.3" xref="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.3.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.1a" xref="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.4" xref="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.4.cmml"><mi id="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.4.2" xref="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.4.2.cmml">M</mi><mn id="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.4.3" xref="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.4.3.cmml">11</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.1" xref="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.3" xref="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.3.cmml">𝐈</mi></mrow></mtd><mtd id="S5.Ex19.m1.1.1g" xref="S5.Ex19.m1.1.1.cmml"></mtd><mtd id="S5.Ex19.m1.1.1h" xref="S5.Ex19.m1.1.1.cmml"></mtd></mtr><mtr id="S5.Ex19.m1.1.1i" xref="S5.Ex19.m1.1.1.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S5.Ex19.m1.1.1j" xref="S5.Ex19.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1" xref="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2" xref="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.cmml"><msub id="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.2" xref="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.2.2.cmml">W</mi><mn id="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.2.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.1" xref="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.3" xref="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.3.2.2" xref="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.3.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.3.2.1" xref="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.3.3" xref="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.3.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.1a" xref="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.4" xref="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.4.cmml"><mi id="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.4.2" xref="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.4.2.cmml">U</mi><mn id="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.4.3" xref="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.4.3.cmml">11</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.1" xref="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.3" xref="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.3.cmml">𝐈</mi></mrow></mtd><mtd id="S5.Ex19.m1.1.1k" xref="S5.Ex19.m1.1.1.cmml"></mtd><mtd id="S5.Ex19.m1.1.1l" xref="S5.Ex19.m1.1.1.cmml"></mtd></mtr></mtable><mi id="S5.Ex19.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S5.Ex19.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"></mi></mrow><mo id="S5.Ex19.m1.2.2.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex19.m1.2b"><apply id="S5.Ex19.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex19.m1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex19.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex19.m1.2.2.1.1.2.1">cases</csymbol><matrix id="S5.Ex19.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1"><matrixrow id="S5.Ex19.m1.1.1a.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1"><apply id="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1"><eq id="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2"><times id="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.2">𝛼</ci><apply id="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝐿</ci><cn id="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.3.3">11</cn></apply><apply id="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.4.2">𝑆</ci><cn id="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.4.3">11</cn></apply><apply id="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.5.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.5.1.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.5">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.5.2.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.5.2">𝑈</ci><cn id="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.5.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.5.3">11</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝐴</ci><cn id="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex19.m1.1.1.1.1.1.3.3">11</cn></apply></apply><cerror id="S5.Ex19.m1.1.1b.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex19.m1.1.1c.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol></cerror><cerror id="S5.Ex19.m1.1.1d.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex19.m1.1.1e.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol></cerror></matrixrow><matrixrow id="S5.Ex19.m1.1.1f.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1"><apply id="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1"><eq id="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.1"></eq><apply id="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2"><times id="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.1"></times><apply id="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.2.2">𝐿</ci><cn id="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.2.3">11</cn></apply><apply id="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.3.2"><ci id="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.1">^</ci><ci id="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.3.3">11</cn></apply><apply id="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.4.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.4.1.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.4.2.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.4.2">𝑀</ci><cn id="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.2.4.3">11</cn></apply></apply><ci id="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1.2.1.1.3">𝐈</ci></apply><cerror id="S5.Ex19.m1.1.1g.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex19.m1.1.1h.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol></cerror><cerror id="S5.Ex19.m1.1.1i.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex19.m1.1.1j.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol></cerror></matrixrow><matrixrow id="S5.Ex19.m1.1.1k.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1"><apply id="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1"><eq id="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.1"></eq><apply id="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2"><times id="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.1"></times><apply id="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.2.2">𝑊</ci><cn id="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.2.3">11</cn></apply><apply id="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.3.2"><ci id="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.3.2.1">^</ci><ci id="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.3.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.3.3">11</cn></apply><apply id="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.4.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.4.1.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.4.2.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.4.2">𝑈</ci><cn id="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.2.4.3">11</cn></apply></apply><ci id="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1.3.1.1.3">𝐈</ci></apply><cerror id="S5.Ex19.m1.1.1l.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex19.m1.1.1m.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol></cerror><cerror id="S5.Ex19.m1.1.1n.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex19.m1.1.1o.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol></cerror></matrixrow></matrix></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex19.m1.2c">\left\{\begin{array}[]{rcl}\alpha L_{11}S_{11}U_{11}=\ A_{11}\\ L_{11}{\widehat{S}}_{11}M_{11}={\mathbf{I}}\\ W_{11}{\widehat{S}}_{11}U_{11}={\mathbf{I}}\end{array}\right..</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex19.m1.2d">{ start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_α italic_L start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT italic_S start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT = italic_A start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL end_CELL start_CELL end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_L start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT = bold_I end_CELL start_CELL end_CELL start_CELL end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_W start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT = bold_I end_CELL start_CELL end_CELL start_CELL end_CELL end_ROW end_ARRAY .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right"><math class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex19.1.1.m1.1"><semantics id="S5.Ex19.1.1.m1.1b"><mrow id="S5.Ex19.1.1.m1.1.2.2"><mo id="S5.Ex19.1.1.m1.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S5.Ex19.1.1.m1.1.1" xref="S5.Ex19.1.1.m1.1.1.cmml">5</mn><mo id="S5.Ex19.1.1.m1.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex19.1.1.m1.1c"><cn id="S5.Ex19.1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex19.1.1.m1.1.1">5</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex19.1.1.m1.1d">( 5 )</annotation></semantics></math></span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p4.13">Let <math alttext="k=\,\mathbf{rank}(A_{11})" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p4.5.m1.1"><semantics id="S5.p4.5.m1.1a"><mrow id="S5.p4.5.m1.1.1" xref="S5.p4.5.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.p4.5.m1.1.1.3" xref="S5.p4.5.m1.1.1.3.cmml">k</mi><mo id="S5.p4.5.m1.1.1.2" rspace="0.448em" xref="S5.p4.5.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.p4.5.m1.1.1.1" xref="S5.p4.5.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.p4.5.m1.1.1.1.3" xref="S5.p4.5.m1.1.1.1.3.cmml">𝐫𝐚𝐧𝐤</mi><mo id="S5.p4.5.m1.1.1.1.2" xref="S5.p4.5.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p4.5.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.p4.5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.p4.5.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.p4.5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S5.p4.5.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.p4.5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.p4.5.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.p4.5.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">A</mi><mn id="S5.p4.5.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.p4.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S5.p4.5.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.p4.5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p4.5.m1.1b"><apply id="S5.p4.5.m1.1.1.cmml" xref="S5.p4.5.m1.1.1"><eq id="S5.p4.5.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p4.5.m1.1.1.2"></eq><ci id="S5.p4.5.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.p4.5.m1.1.1.3">𝑘</ci><apply id="S5.p4.5.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.p4.5.m1.1.1.1"><times id="S5.p4.5.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p4.5.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S5.p4.5.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p4.5.m1.1.1.1.3">𝐫𝐚𝐧𝐤</ci><apply id="S5.p4.5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p4.5.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p4.5.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p4.5.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p4.5.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p4.5.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝐴</ci><cn id="S5.p4.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p4.5.m1.1.1.1.1.1.1.3">11</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p4.5.m1.1c">k=\,\mathbf{rank}(A_{11})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p4.5.m1.1d">italic_k = bold_rank ( italic_A start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> and <math alttext="det_{1},det_{2},..,det_{k}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S5.p4.6.m2.1"><semantics id="S5.p4.6.m2.1a"><mrow id="S5.p4.6.m2.1b"><mi id="S5.p4.6.m2.1.1">d</mi><mi id="S5.p4.6.m2.1.2">e</mi><msub id="S5.p4.6.m2.1.3"><mi id="S5.p4.6.m2.1.3.2">t</mi><mn id="S5.p4.6.m2.1.3.3">1</mn></msub><mo id="S5.p4.6.m2.1.4">,</mo><mi id="S5.p4.6.m2.1.5">d</mi><mi id="S5.p4.6.m2.1.6">e</mi><msub id="S5.p4.6.m2.1.7"><mi id="S5.p4.6.m2.1.7.2">t</mi><mn id="S5.p4.6.m2.1.7.3">2</mn></msub><mo id="S5.p4.6.m2.1.8">,</mo><mo id="S5.p4.6.m2.1.9" lspace="0em" rspace="0.0835em">.</mo><mo id="S5.p4.6.m2.1.10" lspace="0.0835em" rspace="0.167em">.</mo><mo id="S5.p4.6.m2.1.11">,</mo><mi id="S5.p4.6.m2.1.12">d</mi><mi id="S5.p4.6.m2.1.13">e</mi><msub id="S5.p4.6.m2.1.14"><mi id="S5.p4.6.m2.1.14.2">t</mi><mi id="S5.p4.6.m2.1.14.3">k</mi></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p4.6.m2.1c">det_{1},det_{2},..,det_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p4.6.m2.1d">italic_d italic_e italic_t start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_d italic_e italic_t start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , . . , italic_d italic_e italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are the non-zero nested leading minors of <math alttext="A_{11}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p4.7.m3.1"><semantics id="S5.p4.7.m3.1a"><msub id="S5.p4.7.m3.1.1" xref="S5.p4.7.m3.1.1.cmml"><mi id="S5.p4.7.m3.1.1.2" xref="S5.p4.7.m3.1.1.2.cmml">A</mi><mn id="S5.p4.7.m3.1.1.3" xref="S5.p4.7.m3.1.1.3.cmml">11</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p4.7.m3.1b"><apply id="S5.p4.7.m3.1.1.cmml" xref="S5.p4.7.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p4.7.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.p4.7.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p4.7.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.p4.7.m3.1.1.2">𝐴</ci><cn id="S5.p4.7.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p4.7.m3.1.1.3">11</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p4.7.m3.1c">A_{11}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p4.7.m3.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, that were found recursively, <math alttext="\alpha_{k}=det_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p4.8.m4.1"><semantics id="S5.p4.8.m4.1a"><mrow id="S5.p4.8.m4.1.1" xref="S5.p4.8.m4.1.1.cmml"><msub id="S5.p4.8.m4.1.1.2" xref="S5.p4.8.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p4.8.m4.1.1.2.2" xref="S5.p4.8.m4.1.1.2.2.cmml">α</mi><mi id="S5.p4.8.m4.1.1.2.3" xref="S5.p4.8.m4.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S5.p4.8.m4.1.1.1" xref="S5.p4.8.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.p4.8.m4.1.1.3" xref="S5.p4.8.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p4.8.m4.1.1.3.2" xref="S5.p4.8.m4.1.1.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.p4.8.m4.1.1.3.1" xref="S5.p4.8.m4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p4.8.m4.1.1.3.3" xref="S5.p4.8.m4.1.1.3.3.cmml">e</mi><mo id="S5.p4.8.m4.1.1.3.1a" xref="S5.p4.8.m4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p4.8.m4.1.1.3.4" xref="S5.p4.8.m4.1.1.3.4.cmml"><mi id="S5.p4.8.m4.1.1.3.4.2" xref="S5.p4.8.m4.1.1.3.4.2.cmml">t</mi><mi id="S5.p4.8.m4.1.1.3.4.3" xref="S5.p4.8.m4.1.1.3.4.3.cmml">k</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p4.8.m4.1b"><apply id="S5.p4.8.m4.1.1.cmml" xref="S5.p4.8.m4.1.1"><eq id="S5.p4.8.m4.1.1.1.cmml" xref="S5.p4.8.m4.1.1.1"></eq><apply id="S5.p4.8.m4.1.1.2.cmml" xref="S5.p4.8.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p4.8.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p4.8.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p4.8.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p4.8.m4.1.1.2.2">𝛼</ci><ci id="S5.p4.8.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p4.8.m4.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S5.p4.8.m4.1.1.3.cmml" xref="S5.p4.8.m4.1.1.3"><times id="S5.p4.8.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p4.8.m4.1.1.3.1"></times><ci id="S5.p4.8.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p4.8.m4.1.1.3.2">𝑑</ci><ci id="S5.p4.8.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p4.8.m4.1.1.3.3">𝑒</ci><apply id="S5.p4.8.m4.1.1.3.4.cmml" xref="S5.p4.8.m4.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p4.8.m4.1.1.3.4.1.cmml" xref="S5.p4.8.m4.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S5.p4.8.m4.1.1.3.4.2.cmml" xref="S5.p4.8.m4.1.1.3.4.2">𝑡</ci><ci id="S5.p4.8.m4.1.1.3.4.3.cmml" xref="S5.p4.8.m4.1.1.3.4.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p4.8.m4.1c">\alpha_{k}=det_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p4.8.m4.1d">italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT = italic_d italic_e italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="{\widehat{S}}_{11}=\alpha_{k}^{-1}(\alpha S_{11}+\bar{S}_{11})" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p4.9.m5.1"><semantics id="S5.p4.9.m5.1a"><mrow id="S5.p4.9.m5.1.1" xref="S5.p4.9.m5.1.1.cmml"><msub id="S5.p4.9.m5.1.1.3" xref="S5.p4.9.m5.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.p4.9.m5.1.1.3.2" xref="S5.p4.9.m5.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.p4.9.m5.1.1.3.2.2" xref="S5.p4.9.m5.1.1.3.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.p4.9.m5.1.1.3.2.1" xref="S5.p4.9.m5.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="S5.p4.9.m5.1.1.3.3" xref="S5.p4.9.m5.1.1.3.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S5.p4.9.m5.1.1.2" xref="S5.p4.9.m5.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.p4.9.m5.1.1.1" xref="S5.p4.9.m5.1.1.1.cmml"><msubsup id="S5.p4.9.m5.1.1.1.3" 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det_{1})^{-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p4.11.m7.1d">( italic_α italic_d italic_e italic_t start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="(det_{1}det_{2})^{-1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p4.12.m8.1"><semantics id="S5.p4.12.m8.1a"><msup id="S5.p4.12.m8.1.1" xref="S5.p4.12.m8.1.1.cmml"><mrow id="S5.p4.12.m8.1.1.1.1" xref="S5.p4.12.m8.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.p4.12.m8.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.p4.12.m8.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.p4.12.m8.1.1.1.1.1" xref="S5.p4.12.m8.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.p4.12.m8.1.1.1.1.1.2" xref="S5.p4.12.m8.1.1.1.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S5.p4.12.m8.1.1.1.1.1.1" xref="S5.p4.12.m8.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p4.12.m8.1.1.1.1.1.3" xref="S5.p4.12.m8.1.1.1.1.1.3.cmml">e</mi><mo id="S5.p4.12.m8.1.1.1.1.1.1a" xref="S5.p4.12.m8.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p4.12.m8.1.1.1.1.1.4" 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id="S5.p4.13.m9.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S5.p4.13.m9.1.1.1.1.1.4.3.2">𝑘</ci><cn id="S5.p4.13.m9.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p4.13.m9.1.1.1.1.1.4.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S5.p4.13.m9.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S5.p4.13.m9.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p4.13.m9.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S5.p4.13.m9.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S5.p4.13.m9.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S5.p4.13.m9.1.1.1.1.1.5.2">𝛼</ci><ci id="S5.p4.13.m9.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S5.p4.13.m9.1.1.1.1.1.5.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S5.p4.13.m9.1.1.3.cmml" xref="S5.p4.13.m9.1.1.3"><minus id="S5.p4.13.m9.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p4.13.m9.1.1.3"></minus><cn id="S5.p4.13.m9.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.p4.13.m9.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p4.13.m9.1c">(det_{k-1}\alpha_{k})^{-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p4.13.m9.1d">( italic_d italic_e italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_k - 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p5"> <p class="ltx_p" id="S5.p5.1">Then we can write the equality <math alttext="\left[\begin{array}[]{cc}A_{11}&A_{12}\\ A_{21}&A_{22}\end{array}\right]=" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p5.1.m1.1"><semantics id="S5.p5.1.m1.1a"><mrow id="S5.p5.1.m1.1.2" xref="S5.p5.1.m1.1.2.cmml"><mrow id="S5.p5.1.m1.1.2.2.2" xref="S5.p5.1.m1.1.2.2.1.cmml"><mo id="S5.p5.1.m1.1.2.2.2.1" xref="S5.p5.1.m1.1.2.2.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S5.p5.1.m1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S5.p5.1.m1.1.1.cmml"><mtr id="S5.p5.1.m1.1.1a" xref="S5.p5.1.m1.1.1.cmml"><mtd id="S5.p5.1.m1.1.1b" xref="S5.p5.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.p5.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.p5.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.p5.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.p5.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">A</mi><mn 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id="S5.p5.1.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p5.1.m1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p5.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.p5.1.m1.1.1.1.2.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p5.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S5.p5.1.m1.1.1.1.2.1.2">𝐴</ci><cn id="S5.p5.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p5.1.m1.1.1.1.2.1.3">12</cn></apply></matrixrow><matrixrow id="S5.p5.1.m1.1.1b.cmml" xref="S5.p5.1.m1.1.1"><apply id="S5.p5.1.m1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.p5.1.m1.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p5.1.m1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S5.p5.1.m1.1.1.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p5.1.m1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S5.p5.1.m1.1.1.2.1.1.2">𝐴</ci><cn id="S5.p5.1.m1.1.1.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p5.1.m1.1.1.2.1.1.3">21</cn></apply><apply id="S5.p5.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.p5.1.m1.1.1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p5.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.p5.1.m1.1.1.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p5.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S5.p5.1.m1.1.1.2.2.1.2">𝐴</ci><cn 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<td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\left[\begin{array}[]{cc}L_{11}&0\\ 0&{\mathbf{I}}\end{array}\right]\left[\begin{array}[]{cc}\alpha S_{11}&\frac{1% }{\alpha_{k}}A^{\prime}_{12}\\ \frac{1}{\alpha_{k}}A^{\prime}_{21}&A_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array% }[]{cc}U_{11}&0\\ 0&{\mathbf{I}}\end{array}\right]." class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex20.m1.4"><semantics id="S5.Ex20.m1.4a"><mrow id="S5.Ex20.m1.4.4.1" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.2.1.cmml"><mo id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.2.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S5.Ex20.m1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S5.Ex20.m1.1.1.cmml"><mtr id="S5.Ex20.m1.1.1a" xref="S5.Ex20.m1.1.1.cmml"><mtd id="S5.Ex20.m1.1.1b" xref="S5.Ex20.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex20.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex20.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex20.m1.1.1.1.1.1.2" 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id="S5.Ex20.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex20.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex20.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex20.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex20.m1.1.1.1.1.1.2">𝐿</ci><cn id="S5.Ex20.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex20.m1.1.1.1.1.1.3">11</cn></apply><cn id="S5.Ex20.m1.1.1.1.2.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex20.m1.1.1.1.2.1">0</cn></matrixrow><matrixrow id="S5.Ex20.m1.1.1b.cmml" xref="S5.Ex20.m1.1.1"><cn id="S5.Ex20.m1.1.1.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex20.m1.1.1.2.1.1">0</cn><ci id="S5.Ex20.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex20.m1.1.1.2.2.1">𝐈</ci></matrixrow></matrix></apply><apply id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.3.1.1.cmml" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S5.Ex20.m1.2.2.cmml" xref="S5.Ex20.m1.2.2"><matrixrow id="S5.Ex20.m1.2.2a.cmml" xref="S5.Ex20.m1.2.2"><apply 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id="S5.Ex20.m1.2.2.1.2.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex20.m1.2.2.1.2.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex20.m1.2.2.1.2.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex20.m1.2.2.1.2.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex20.m1.2.2.1.2.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex20.m1.2.2.1.2.1.2.3.2">𝛼</ci><ci id="S5.Ex20.m1.2.2.1.2.1.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex20.m1.2.2.1.2.1.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex20.m1.2.2.1.2.1.3.cmml" xref="S5.Ex20.m1.2.2.1.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex20.m1.2.2.1.2.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex20.m1.2.2.1.2.1.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex20.m1.2.2.1.2.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex20.m1.2.2.1.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex20.m1.2.2.1.2.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex20.m1.2.2.1.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex20.m1.2.2.1.2.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex20.m1.2.2.1.2.1.3.2.2">𝐴</ci><ci id="S5.Ex20.m1.2.2.1.2.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex20.m1.2.2.1.2.1.3.2.3">′</ci></apply><cn id="S5.Ex20.m1.2.2.1.2.1.3.3.cmml" type="integer" 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id="S5.Ex20.m1.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex20.m1.2.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex20.m1.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex20.m1.2.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex20.m1.2.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex20.m1.2.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex20.m1.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex20.m1.2.2.2.1.1.3.2.2">𝐴</ci><ci id="S5.Ex20.m1.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex20.m1.2.2.2.1.1.3.2.3">′</ci></apply><cn id="S5.Ex20.m1.2.2.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex20.m1.2.2.2.1.1.3.3">21</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex20.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex20.m1.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex20.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex20.m1.2.2.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex20.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex20.m1.2.2.2.2.1.2">𝐴</ci><cn id="S5.Ex20.m1.2.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex20.m1.2.2.2.2.1.3">22</cn></apply></matrixrow></matrix></apply><apply id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.4.1.cmml" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.4.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.4.1.1.cmml" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.4.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S5.Ex20.m1.3.3.cmml" xref="S5.Ex20.m1.3.3"><matrixrow id="S5.Ex20.m1.3.3a.cmml" xref="S5.Ex20.m1.3.3"><apply id="S5.Ex20.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex20.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex20.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex20.m1.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex20.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex20.m1.3.3.1.1.1.2">𝑈</ci><cn id="S5.Ex20.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex20.m1.3.3.1.1.1.3">11</cn></apply><cn id="S5.Ex20.m1.3.3.1.2.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex20.m1.3.3.1.2.1">0</cn></matrixrow><matrixrow id="S5.Ex20.m1.3.3b.cmml" xref="S5.Ex20.m1.3.3"><cn id="S5.Ex20.m1.3.3.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex20.m1.3.3.2.1.1">0</cn><ci id="S5.Ex20.m1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex20.m1.3.3.2.2.1">𝐈</ci></matrixrow></matrix></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex20.m1.4c">\left[\begin{array}[]{cc}L_{11}&0\\ 0&{\mathbf{I}}\end{array}\right]\left[\begin{array}[]{cc}\alpha S_{11}&\frac{1% }{\alpha_{k}}A^{\prime}_{12}\\ \frac{1}{\alpha_{k}}A^{\prime}_{21}&A_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array% }[]{cc}U_{11}&0\\ 0&{\mathbf{I}}\end{array}\right].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex20.m1.4d">[ start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_L start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL bold_I end_CELL end_ROW end_ARRAY ] [ start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_α italic_S start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_A start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARRAY ] [ start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_U start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL bold_I end_CELL end_ROW end_ARRAY ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right"><math class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex20.1.1.m1.1"><semantics id="S5.Ex20.1.1.m1.1b"><mrow id="S5.Ex20.1.1.m1.1.2.2"><mo id="S5.Ex20.1.1.m1.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S5.Ex20.1.1.m1.1.1" xref="S5.Ex20.1.1.m1.1.1.cmml">6</mn><mo id="S5.Ex20.1.1.m1.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex20.1.1.m1.1c"><cn id="S5.Ex20.1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex20.1.1.m1.1.1">6</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex20.1.1.m1.1d">( 6 )</annotation></semantics></math></span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p5.3">We denote the new blocks</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex21"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="A^{\prime}_{12}={\alpha_{k}}{\widehat{S}}_{11}M_{11}A_{12},\ \ A^{\prime}_{21}% ={\alpha_{k}}A_{21}W_{11}{\widehat{S}}_{11}," class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex21.m1.1"><semantics id="S5.Ex21.m1.1a"><mrow id="S5.Ex21.m1.1.1.1"><mrow id="S5.Ex21.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex21.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S5.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.2" 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xref="S5.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" xref="S5.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="S5.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S5.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S5.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S5.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S5.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S5.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml">M</mi><mn id="S5.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S5.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S5.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.3.1b" xref="S5.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.3.5" xref="S5.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.cmml"><mi id="S5.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.2" xref="S5.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.3" xref="S5.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.cmml">12</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S5.Ex21.m1.1.1.1.1.2.3" rspace="1.167em" 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cd="ambiguous" id="S5.Ex21.m1.1.1.1.1.2.2.3.4.1.cmml" xref="S5.Ex21.m1.1.1.1.1.2.2.3.4">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex21.m1.1.1.1.1.2.2.3.4.2.cmml" xref="S5.Ex21.m1.1.1.1.1.2.2.3.4.2">𝑊</ci><cn id="S5.Ex21.m1.1.1.1.1.2.2.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex21.m1.1.1.1.1.2.2.3.4.3">11</cn></apply><apply id="S5.Ex21.m1.1.1.1.1.2.2.3.5.cmml" xref="S5.Ex21.m1.1.1.1.1.2.2.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex21.m1.1.1.1.1.2.2.3.5.1.cmml" xref="S5.Ex21.m1.1.1.1.1.2.2.3.5">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex21.m1.1.1.1.1.2.2.3.5.2.cmml" xref="S5.Ex21.m1.1.1.1.1.2.2.3.5.2"><ci id="S5.Ex21.m1.1.1.1.1.2.2.3.5.2.1.cmml" xref="S5.Ex21.m1.1.1.1.1.2.2.3.5.2.1">^</ci><ci id="S5.Ex21.m1.1.1.1.1.2.2.3.5.2.2.cmml" xref="S5.Ex21.m1.1.1.1.1.2.2.3.5.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.Ex21.m1.1.1.1.1.2.2.3.5.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex21.m1.1.1.1.1.2.2.3.5.3">11</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex21.m1.1c">A^{\prime}_{12}={\alpha_{k}}{\widehat{S}}_{11}M_{11}A_{12},\ \ A^{\prime}_{21}% ={\alpha_{k}}A_{21}W_{11}{\widehat{S}}_{11},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex21.m1.1d">italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT = italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT italic_A start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT , italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT = italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_A start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right"><math class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex21.1.1.m1.1"><semantics id="S5.Ex21.1.1.m1.1b"><mrow id="S5.Ex21.1.1.m1.1.2.2"><mo id="S5.Ex21.1.1.m1.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S5.Ex21.1.1.m1.1.1" xref="S5.Ex21.1.1.m1.1.1.cmml">7</mn><mo id="S5.Ex21.1.1.m1.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex21.1.1.m1.1c"><cn id="S5.Ex21.1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex21.1.1.m1.1.1">7</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex21.1.1.m1.1d">( 7 )</annotation></semantics></math></span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p5.2">decompose the middle matrix <math alttext="\left[\begin{array}[]{cc}\alpha S_{11}&{\frac{1}{\alpha_{k}}}A^{\prime}_{12}\\ {\frac{1}{\alpha_{k}}}A^{\prime}_{21}&A_{22}\end{array}\right]=" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p5.2.m1.1"><semantics id="S5.p5.2.m1.1a"><mrow id="S5.p5.2.m1.1.2" xref="S5.p5.2.m1.1.2.cmml"><mrow id="S5.p5.2.m1.1.2.2.2" xref="S5.p5.2.m1.1.2.2.1.cmml"><mo id="S5.p5.2.m1.1.2.2.2.1" xref="S5.p5.2.m1.1.2.2.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S5.p5.2.m1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S5.p5.2.m1.1.1.cmml"><mtr id="S5.p5.2.m1.1.1a" xref="S5.p5.2.m1.1.1.cmml"><mtd id="S5.p5.2.m1.1.1b" xref="S5.p5.2.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.p5.2.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.p5.2.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.p5.2.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.p5.2.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="S5.p5.2.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.p5.2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p5.2.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.p5.2.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p5.2.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.p5.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">S</mi><mn id="S5.p5.2.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.p5.2.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">11</mn></msub></mrow></mtd><mtd id="S5.p5.2.m1.1.1c" xref="S5.p5.2.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1" xref="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1.cmml"><mfrac id="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1.2" xref="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1.2.cmml"><mn id="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1.2.2" xref="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1.2.2.cmml">1</mn><msub id="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1.2.3" xref="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1.2.3.cmml"><mi id="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1.2.3.2" xref="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1.2.3.2.cmml">α</mi><mi id="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1.2.3.3" xref="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1.2.3.3.cmml">k</mi></msub></mfrac><mo id="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1.1" xref="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1.3" xref="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1.3.cmml"><mi id="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1.3.2.2" xref="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1.3.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1.3.3" xref="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1.3.3.cmml">12</mn><mo id="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1.3.2.3" xref="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1.3.2.3.cmml">′</mo></msubsup></mrow></mtd></mtr><mtr id="S5.p5.2.m1.1.1d" xref="S5.p5.2.m1.1.1.cmml"><mtd id="S5.p5.2.m1.1.1e" xref="S5.p5.2.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1" xref="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1.cmml"><mfrac id="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1.2" xref="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1.2.cmml"><mn id="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1.2.2" xref="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1.2.2.cmml">1</mn><msub id="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1.2.3" xref="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1.2.3.2" xref="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.cmml">α</mi><mi id="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1.2.3.3" xref="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1.2.3.3.cmml">k</mi></msub></mfrac><mo id="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1.1" xref="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1.3" xref="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1.3.2.2" xref="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1.3.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1.3.3" xref="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1.3.3.cmml">21</mn><mo id="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1.3.2.3" xref="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1.3.2.3.cmml">′</mo></msubsup></mrow></mtd><mtd id="S5.p5.2.m1.1.1f" xref="S5.p5.2.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.p5.2.m1.1.1.2.2.1" xref="S5.p5.2.m1.1.1.2.2.1.cmml"><mi id="S5.p5.2.m1.1.1.2.2.1.2" xref="S5.p5.2.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">A</mi><mn id="S5.p5.2.m1.1.1.2.2.1.3" xref="S5.p5.2.m1.1.1.2.2.1.3.cmml">22</mn></msub></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.p5.2.m1.1.2.2.2.2" xref="S5.p5.2.m1.1.2.2.1.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.p5.2.m1.1.2.1" xref="S5.p5.2.m1.1.2.1.cmml">=</mo><mi id="S5.p5.2.m1.1.2.3" xref="S5.p5.2.m1.1.2.3.cmml"></mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p5.2.m1.1b"><apply id="S5.p5.2.m1.1.2.cmml" xref="S5.p5.2.m1.1.2"><eq id="S5.p5.2.m1.1.2.1.cmml" xref="S5.p5.2.m1.1.2.1"></eq><apply id="S5.p5.2.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.p5.2.m1.1.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.p5.2.m1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.p5.2.m1.1.2.2.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S5.p5.2.m1.1.1.cmml" xref="S5.p5.2.m1.1.1"><matrixrow id="S5.p5.2.m1.1.1a.cmml" xref="S5.p5.2.m1.1.1"><apply id="S5.p5.2.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p5.2.m1.1.1.1.1.1"><times id="S5.p5.2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p5.2.m1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S5.p5.2.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p5.2.m1.1.1.1.1.1.2">𝛼</ci><apply id="S5.p5.2.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p5.2.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p5.2.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p5.2.m1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p5.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p5.2.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑆</ci><cn id="S5.p5.2.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p5.2.m1.1.1.1.1.1.3.3">11</cn></apply></apply><apply id="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1"><times id="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1.1"></times><apply id="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1.2"><divide id="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1.2"></divide><cn id="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1.2.2">1</cn><apply id="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1.2.3.cmml" xref="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1.2.3.1.cmml" xref="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1.2.3.2.cmml" xref="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1.2.3.2">𝛼</ci><ci id="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1.2.3.3.cmml" xref="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1.3">subscript</csymbol><apply id="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1.3.2.1.cmml" xref="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1.3.2.2.cmml" xref="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1.3.2.2">𝐴</ci><ci id="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1.3.2.3.cmml" xref="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1.3.2.3">′</ci></apply><cn id="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p5.2.m1.1.1.1.2.1.3.3">12</cn></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S5.p5.2.m1.1.1b.cmml" xref="S5.p5.2.m1.1.1"><apply id="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1"><times id="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1.1"></times><apply id="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1.2"><divide id="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1.2"></divide><cn id="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1.2.2">1</cn><apply id="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1.2.3.2">𝛼</ci><ci id="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1.3.2.2">𝐴</ci><ci id="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1.3.2.3">′</ci></apply><cn id="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p5.2.m1.1.1.2.1.1.3.3">21</cn></apply></apply><apply id="S5.p5.2.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.p5.2.m1.1.1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p5.2.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.p5.2.m1.1.1.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p5.2.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S5.p5.2.m1.1.1.2.2.1.2">𝐴</ci><cn id="S5.p5.2.m1.1.1.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p5.2.m1.1.1.2.2.1.3">22</cn></apply></matrixrow></matrix></apply><csymbol cd="latexml" id="S5.p5.2.m1.1.2.3.cmml" xref="S5.p5.2.m1.1.2.3">absent</csymbol></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p5.2.m1.1c">\left[\begin{array}[]{cc}\alpha S_{11}&{\frac{1}{\alpha_{k}}}A^{\prime}_{12}\\ 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class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\left[\begin{array}[]{cc}{\mathbf{I}}&0\\ {\frac{1}{\alpha_{k}}}A^{\prime}_{21}S^{+}_{11}&{\mathbf{I}}\end{array}\right]% \left[\begin{array}[]{cc}\alpha S_{11}&{\frac{\alpha}{\alpha_{k}}}A^{\prime% \prime}_{12}\\ {\frac{1}{\alpha_{k}}}A^{\prime\prime}_{21}&{\frac{1}{\alpha_{k}}}A^{\prime}_{% 22}\end{array}\right]\left[\begin{array}[]{cc}{\mathbf{I}}&{\frac{1}{\alpha_{k% }}}S^{+}_{11}A^{\prime}_{12}\\ 0&{\mathbf{I}}\end{array}\right]." class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex22.m1.4"><semantics id="S5.Ex22.m1.4a"><mrow id="S5.Ex22.m1.4.4.1" xref="S5.Ex22.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex22.m1.4.4.1.1" xref="S5.Ex22.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex22.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S5.Ex22.m1.4.4.1.1.2.1.cmml"><mo id="S5.Ex22.m1.4.4.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex22.m1.4.4.1.1.2.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S5.Ex22.m1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S5.Ex22.m1.1.1.cmml"><mtr id="S5.Ex22.m1.1.1a" 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xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex22.m1.1.1.2.1.1.3" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex22.m1.1.1.2.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.1.1.3.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex22.m1.1.1.2.1.1.3.3" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.1.1.3.3.cmml">21</mn><mo id="S5.Ex22.m1.1.1.2.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.1.1.3.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S5.Ex22.m1.1.1.2.1.1.1a" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex22.m1.1.1.2.1.1.4" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.1.1.4.cmml"><mi id="S5.Ex22.m1.1.1.2.1.1.4.2.2" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.1.1.4.2.2.cmml">S</mi><mn id="S5.Ex22.m1.1.1.2.1.1.4.3" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.1.1.4.3.cmml">11</mn><mo id="S5.Ex22.m1.1.1.2.1.1.4.2.3" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.1.1.4.2.3.cmml">+</mo></msubsup></mrow></mtd><mtd id="S5.Ex22.m1.1.1f" xref="S5.Ex22.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex22.m1.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.2.1.cmml">𝐈</mi></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.Ex22.m1.4.4.1.1.2.2.2" 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id="S5.Ex22.m1.2.2.1.2.1" xref="S5.Ex22.m1.2.2.1.2.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S5.Ex22.m1.2.2.1.2.1.2" xref="S5.Ex22.m1.2.2.1.2.1.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex22.m1.2.2.1.2.1.2a" xref="S5.Ex22.m1.2.2.1.2.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex22.m1.2.2.1.2.1.2.2" xref="S5.Ex22.m1.2.2.1.2.1.2.2.cmml">α</mi><msub id="S5.Ex22.m1.2.2.1.2.1.2.3" xref="S5.Ex22.m1.2.2.1.2.1.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex22.m1.2.2.1.2.1.2.3.2" xref="S5.Ex22.m1.2.2.1.2.1.2.3.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex22.m1.2.2.1.2.1.2.3.3" xref="S5.Ex22.m1.2.2.1.2.1.2.3.3.cmml">k</mi></msub></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex22.m1.2.2.1.2.1.1" xref="S5.Ex22.m1.2.2.1.2.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex22.m1.2.2.1.2.1.3" xref="S5.Ex22.m1.2.2.1.2.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex22.m1.2.2.1.2.1.3.2.2" xref="S5.Ex22.m1.2.2.1.2.1.3.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex22.m1.2.2.1.2.1.3.3" xref="S5.Ex22.m1.2.2.1.2.1.3.3.cmml">12</mn><mo id="S5.Ex22.m1.2.2.1.2.1.3.2.3" xref="S5.Ex22.m1.2.2.1.2.1.3.2.3.cmml">′′</mo></msubsup></mrow></mtd></mtr><mtr id="S5.Ex22.m1.2.2d" 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id="S5.Ex22.m1.2.2.2.2.1.3.2.3" xref="S5.Ex22.m1.2.2.2.2.1.3.2.3.cmml">′</mo></msubsup></mrow></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.Ex22.m1.4.4.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex22.m1.4.4.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.Ex22.m1.4.4.1.1.1a" xref="S5.Ex22.m1.4.4.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex22.m1.4.4.1.1.4.2" xref="S5.Ex22.m1.4.4.1.1.4.1.cmml"><mo id="S5.Ex22.m1.4.4.1.1.4.2.1" xref="S5.Ex22.m1.4.4.1.1.4.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S5.Ex22.m1.3.3" rowspacing="0pt" xref="S5.Ex22.m1.3.3.cmml"><mtr id="S5.Ex22.m1.3.3a" xref="S5.Ex22.m1.3.3.cmml"><mtd id="S5.Ex22.m1.3.3b" xref="S5.Ex22.m1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex22.m1.3.3.1.1.1" xref="S5.Ex22.m1.3.3.1.1.1.cmml">𝐈</mi></mtd><mtd id="S5.Ex22.m1.3.3c" xref="S5.Ex22.m1.3.3.cmml"><mrow id="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1" xref="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.2" xref="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.2a" xref="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.2.cmml"><mn id="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.2.2" xref="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.2.2.cmml">1</mn><msub id="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.2.3" xref="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.2.3.2" xref="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.2.3.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.2.3.3" xref="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.2.3.3.cmml">k</mi></msub></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.1" xref="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.3" xref="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.3.2.2" xref="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.3.2.2.cmml">S</mi><mn id="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.3.3" xref="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.3.3.cmml">11</mn><mo id="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.3.2.3" xref="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.3.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.1a" xref="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.4" xref="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.4.cmml"><mi id="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.4.2.2" xref="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.4.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.4.3" 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id="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.3.2.2">𝑆</ci><plus id="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.3.2.3"></plus></apply><cn id="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.3.3">11</cn></apply><apply id="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.4.cmml" xref="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.4.1.cmml" xref="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.4">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.4.2.cmml" xref="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.4.2.1.cmml" xref="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.4">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.4.2.2">𝐴</ci><ci id="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.4.2.3.cmml" xref="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.4.2.3">′</ci></apply><cn id="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex22.m1.3.3.1.2.1.4.3">12</cn></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S5.Ex22.m1.3.3b.cmml" xref="S5.Ex22.m1.3.3"><cn id="S5.Ex22.m1.3.3.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex22.m1.3.3.2.1.1">0</cn><ci id="S5.Ex22.m1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex22.m1.3.3.2.2.1">𝐈</ci></matrixrow></matrix></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex22.m1.4c">\left[\begin{array}[]{cc}{\mathbf{I}}&0\\ {\frac{1}{\alpha_{k}}}A^{\prime}_{21}S^{+}_{11}&{\mathbf{I}}\end{array}\right]% \left[\begin{array}[]{cc}\alpha S_{11}&{\frac{\alpha}{\alpha_{k}}}A^{\prime% \prime}_{12}\\ {\frac{1}{\alpha_{k}}}A^{\prime\prime}_{21}&{\frac{1}{\alpha_{k}}}A^{\prime}_{% 22}\end{array}\right]\left[\begin{array}[]{cc}{\mathbf{I}}&{\frac{1}{\alpha_{k% }}}S^{+}_{11}A^{\prime}_{12}\\ 0&{\mathbf{I}}\end{array}\right].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex22.m1.4d">[ start_ARRAY start_ROW start_CELL bold_I end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_S start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL bold_I end_CELL end_ROW end_ARRAY ] [ start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_α italic_S start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL divide start_ARG italic_α end_ARG start_ARG italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARRAY ] [ start_ARRAY start_ROW start_CELL bold_I end_CELL start_CELL divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_S start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL bold_I end_CELL end_ROW end_ARRAY ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right"><math class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex22.1.1.m1.1"><semantics id="S5.Ex22.1.1.m1.1b"><mrow id="S5.Ex22.1.1.m1.1.2.2"><mo id="S5.Ex22.1.1.m1.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S5.Ex22.1.1.m1.1.1" xref="S5.Ex22.1.1.m1.1.1.cmml">8</mn><mo id="S5.Ex22.1.1.m1.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex22.1.1.m1.1c"><cn id="S5.Ex22.1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex22.1.1.m1.1.1">8</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex22.1.1.m1.1d">( 8 )</annotation></semantics></math></span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p5.4">We denote</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex23"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="E_{11}=S_{11}^{\to 1},\ \ I_{11}=E_{11}E^{T}_{11},\ \ J_{11}=E^{T}_{11}E_{11}." class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex23.m1.1"><semantics id="S5.Ex23.m1.1a"><mrow id="S5.Ex23.m1.1.1.1"><mrow id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">E</mi><mn id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><msubsup id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">S</mi><mn id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">11</mn><mrow id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"></mi><mo id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" stretchy="false" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">→</mo><mn id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msubsup></mrow><mo id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml">I</mi><mn id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><msub id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2.cmml">E</mi><mn id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.2" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.2.cmml">E</mi><mn id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.cmml">11</mn><mi id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.3" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.3.cmml">T</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" rspace="1.167em" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><msub id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">J</mi><mn id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><msubsup id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2.2" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2.2.cmml">E</mi><mn id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3.cmml">11</mn><mi id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.2" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.2.cmml">E</mi><mn id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.3" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.3.cmml">11</mn></msub></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex23.m1.1.1.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex23.m1.1b"><apply id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐸</ci><cn id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">11</cn></apply><apply id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑆</ci><cn id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">11</cn></apply><apply id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><ci id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1">→</ci><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">absent</csymbol><cn id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.3a.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1"><eq id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1"></eq><apply id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2">𝐼</ci><cn id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3">11</cn></apply><apply id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3"><times id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1"></times><apply id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2">𝐸</ci><cn id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3">11</cn></apply><apply id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.2">𝐸</ci><ci id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.3">𝑇</ci></apply><cn id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3">11</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2"><eq id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1"></eq><apply id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2">𝐽</ci><cn id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3">11</cn></apply><apply id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3"><times id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1"></times><apply id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2.2">𝐸</ci><ci id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2.3">𝑇</ci></apply><cn id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3">11</cn></apply><apply id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.2">𝐸</ci><cn id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.3">11</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex23.m1.1c">E_{11}=S_{11}^{\to 1},\ \ I_{11}=E_{11}E^{T}_{11},\ \ J_{11}=E^{T}_{11}E_{11}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex23.m1.1d">italic_E start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT = italic_S start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT → 1 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_I start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT = italic_E start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT italic_E start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT , italic_J start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT = italic_E start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT italic_E start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p6"> <p class="ltx_p" id="S5.p6.3">As far as <math alttext="\bar{I}_{11}\widehat{S}_{11}=\bar{S}_{11}=\widehat{S}_{11}\bar{J}_{11}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p6.1.m1.1"><semantics id="S5.p6.1.m1.1a"><mrow id="S5.p6.1.m1.1.1" xref="S5.p6.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.p6.1.m1.1.1.2" xref="S5.p6.1.m1.1.1.2.cmml"><msub id="S5.p6.1.m1.1.1.2.2" xref="S5.p6.1.m1.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S5.p6.1.m1.1.1.2.2.2" xref="S5.p6.1.m1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S5.p6.1.m1.1.1.2.2.2.2" xref="S5.p6.1.m1.1.1.2.2.2.2.cmml">I</mi><mo id="S5.p6.1.m1.1.1.2.2.2.1" xref="S5.p6.1.m1.1.1.2.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.p6.1.m1.1.1.2.2.3" xref="S5.p6.1.m1.1.1.2.2.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S5.p6.1.m1.1.1.2.1" xref="S5.p6.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p6.1.m1.1.1.2.3" xref="S5.p6.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.p6.1.m1.1.1.2.3.2" xref="S5.p6.1.m1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S5.p6.1.m1.1.1.2.3.2.2" xref="S5.p6.1.m1.1.1.2.3.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.p6.1.m1.1.1.2.3.2.1" xref="S5.p6.1.m1.1.1.2.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="S5.p6.1.m1.1.1.2.3.3" xref="S5.p6.1.m1.1.1.2.3.3.cmml">11</mn></msub></mrow><mo id="S5.p6.1.m1.1.1.3" xref="S5.p6.1.m1.1.1.3.cmml">=</mo><msub id="S5.p6.1.m1.1.1.4" xref="S5.p6.1.m1.1.1.4.cmml"><mover accent="true" id="S5.p6.1.m1.1.1.4.2" xref="S5.p6.1.m1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S5.p6.1.m1.1.1.4.2.2" xref="S5.p6.1.m1.1.1.4.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.p6.1.m1.1.1.4.2.1" xref="S5.p6.1.m1.1.1.4.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.p6.1.m1.1.1.4.3" xref="S5.p6.1.m1.1.1.4.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S5.p6.1.m1.1.1.5" xref="S5.p6.1.m1.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S5.p6.1.m1.1.1.6" xref="S5.p6.1.m1.1.1.6.cmml"><msub id="S5.p6.1.m1.1.1.6.2" xref="S5.p6.1.m1.1.1.6.2.cmml"><mover accent="true" id="S5.p6.1.m1.1.1.6.2.2" xref="S5.p6.1.m1.1.1.6.2.2.cmml"><mi id="S5.p6.1.m1.1.1.6.2.2.2" xref="S5.p6.1.m1.1.1.6.2.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.p6.1.m1.1.1.6.2.2.1" xref="S5.p6.1.m1.1.1.6.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="S5.p6.1.m1.1.1.6.2.3" xref="S5.p6.1.m1.1.1.6.2.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S5.p6.1.m1.1.1.6.1" xref="S5.p6.1.m1.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p6.1.m1.1.1.6.3" xref="S5.p6.1.m1.1.1.6.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.p6.1.m1.1.1.6.3.2" xref="S5.p6.1.m1.1.1.6.3.2.cmml"><mi id="S5.p6.1.m1.1.1.6.3.2.2" xref="S5.p6.1.m1.1.1.6.3.2.2.cmml">J</mi><mo id="S5.p6.1.m1.1.1.6.3.2.1" xref="S5.p6.1.m1.1.1.6.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.p6.1.m1.1.1.6.3.3" xref="S5.p6.1.m1.1.1.6.3.3.cmml">11</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p6.1.m1.1b"><apply id="S5.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1"><and id="S5.p6.1.m1.1.1a.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1"></and><apply id="S5.p6.1.m1.1.1b.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1"><eq id="S5.p6.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.3"></eq><apply id="S5.p6.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.2"><times id="S5.p6.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.2.1"></times><apply id="S5.p6.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p6.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S5.p6.1.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.2.2.2"><ci id="S5.p6.1.m1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.2.2.2.1">¯</ci><ci id="S5.p6.1.m1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.2.2.2.2">𝐼</ci></apply><cn id="S5.p6.1.m1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p6.1.m1.1.1.2.2.3">11</cn></apply><apply id="S5.p6.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p6.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.2.3">subscript</csymbol><apply id="S5.p6.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.2.3.2"><ci id="S5.p6.1.m1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.2.3.2.1">^</ci><ci id="S5.p6.1.m1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.2.3.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.p6.1.m1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p6.1.m1.1.1.2.3.3">11</cn></apply></apply><apply id="S5.p6.1.m1.1.1.4.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p6.1.m1.1.1.4.1.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.4">subscript</csymbol><apply id="S5.p6.1.m1.1.1.4.2.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.4.2"><ci id="S5.p6.1.m1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.4.2.1">¯</ci><ci id="S5.p6.1.m1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.4.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.p6.1.m1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.p6.1.m1.1.1.4.3">11</cn></apply></apply><apply id="S5.p6.1.m1.1.1c.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1"><eq id="S5.p6.1.m1.1.1.5.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#S5.p6.1.m1.1.1.4.cmml" id="S5.p6.1.m1.1.1d.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1"></share><apply id="S5.p6.1.m1.1.1.6.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.6"><times id="S5.p6.1.m1.1.1.6.1.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.6.1"></times><apply id="S5.p6.1.m1.1.1.6.2.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p6.1.m1.1.1.6.2.1.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.6.2">subscript</csymbol><apply id="S5.p6.1.m1.1.1.6.2.2.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.6.2.2"><ci id="S5.p6.1.m1.1.1.6.2.2.1.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.6.2.2.1">^</ci><ci id="S5.p6.1.m1.1.1.6.2.2.2.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.6.2.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.p6.1.m1.1.1.6.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p6.1.m1.1.1.6.2.3">11</cn></apply><apply id="S5.p6.1.m1.1.1.6.3.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p6.1.m1.1.1.6.3.1.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.6.3">subscript</csymbol><apply id="S5.p6.1.m1.1.1.6.3.2.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.6.3.2"><ci id="S5.p6.1.m1.1.1.6.3.2.1.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.6.3.2.1">¯</ci><ci id="S5.p6.1.m1.1.1.6.3.2.2.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.6.3.2.2">𝐽</ci></apply><cn id="S5.p6.1.m1.1.1.6.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p6.1.m1.1.1.6.3.3">11</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p6.1.m1.1c">\bar{I}_{11}\widehat{S}_{11}=\bar{S}_{11}=\widehat{S}_{11}\bar{J}_{11}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p6.1.m1.1d">over¯ start_ARG italic_I end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT = over¯ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT = over^ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT over¯ start_ARG italic_J end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="S^{+}_{11}\bar{I}_{11}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p6.2.m2.1"><semantics id="S5.p6.2.m2.1a"><mrow id="S5.p6.2.m2.1.1" xref="S5.p6.2.m2.1.1.cmml"><mrow id="S5.p6.2.m2.1.1.2" xref="S5.p6.2.m2.1.1.2.cmml"><msubsup id="S5.p6.2.m2.1.1.2.2" xref="S5.p6.2.m2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.p6.2.m2.1.1.2.2.2.2" xref="S5.p6.2.m2.1.1.2.2.2.2.cmml">S</mi><mn id="S5.p6.2.m2.1.1.2.2.3" xref="S5.p6.2.m2.1.1.2.2.3.cmml">11</mn><mo id="S5.p6.2.m2.1.1.2.2.2.3" xref="S5.p6.2.m2.1.1.2.2.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S5.p6.2.m2.1.1.2.1" xref="S5.p6.2.m2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p6.2.m2.1.1.2.3" xref="S5.p6.2.m2.1.1.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.p6.2.m2.1.1.2.3.2" xref="S5.p6.2.m2.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S5.p6.2.m2.1.1.2.3.2.2" xref="S5.p6.2.m2.1.1.2.3.2.2.cmml">I</mi><mo id="S5.p6.2.m2.1.1.2.3.2.1" xref="S5.p6.2.m2.1.1.2.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.p6.2.m2.1.1.2.3.3" xref="S5.p6.2.m2.1.1.2.3.3.cmml">11</mn></msub></mrow><mo id="S5.p6.2.m2.1.1.1" xref="S5.p6.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.p6.2.m2.1.1.3" xref="S5.p6.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p6.2.m2.1b"><apply id="S5.p6.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.p6.2.m2.1.1"><eq id="S5.p6.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.p6.2.m2.1.1.1"></eq><apply id="S5.p6.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.p6.2.m2.1.1.2"><times id="S5.p6.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p6.2.m2.1.1.2.1"></times><apply id="S5.p6.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p6.2.m2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p6.2.m2.1.1.2.2.1.cmml" 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id="S5.p6.3.m3.1.1.2.1" xref="S5.p6.3.m3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p6.3.m3.1.1.2.3" xref="S5.p6.3.m3.1.1.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.p6.3.m3.1.1.2.3.2" xref="S5.p6.3.m3.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S5.p6.3.m3.1.1.2.3.2.2" xref="S5.p6.3.m3.1.1.2.3.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.p6.3.m3.1.1.2.3.2.1" xref="S5.p6.3.m3.1.1.2.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="S5.p6.3.m3.1.1.2.3.3" xref="S5.p6.3.m3.1.1.2.3.3.cmml">11</mn></msub></mrow><mo id="S5.p6.3.m3.1.1.1" xref="S5.p6.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.p6.3.m3.1.1.3" xref="S5.p6.3.m3.1.1.3.cmml"><mfrac id="S5.p6.3.m3.1.1.3.2" xref="S5.p6.3.m3.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.p6.3.m3.1.1.3.2.2" xref="S5.p6.3.m3.1.1.3.2.2.cmml">α</mi><msub id="S5.p6.3.m3.1.1.3.2.3" xref="S5.p6.3.m3.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S5.p6.3.m3.1.1.3.2.3.2" xref="S5.p6.3.m3.1.1.3.2.3.2.cmml">α</mi><mi id="S5.p6.3.m3.1.1.3.2.3.3" xref="S5.p6.3.m3.1.1.3.2.3.3.cmml">r</mi></msub></mfrac><mo id="S5.p6.3.m3.1.1.3.1" xref="S5.p6.3.m3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p6.3.m3.1.1.3.3" xref="S5.p6.3.m3.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.p6.3.m3.1.1.3.3.2" xref="S5.p6.3.m3.1.1.3.3.2.cmml">J</mi><mn id="S5.p6.3.m3.1.1.3.3.3" xref="S5.p6.3.m3.1.1.3.3.3.cmml">11</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p6.3.m3.1b"><apply id="S5.p6.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.p6.3.m3.1.1"><eq id="S5.p6.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.p6.3.m3.1.1.1"></eq><apply id="S5.p6.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.p6.3.m3.1.1.2"><times id="S5.p6.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p6.3.m3.1.1.2.1"></times><apply id="S5.p6.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p6.3.m3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p6.3.m3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.p6.3.m3.1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S5.p6.3.m3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.p6.3.m3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p6.3.m3.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.p6.3.m3.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S5.p6.3.m3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.p6.3.m3.1.1.2.2.2.2">𝑆</ci><plus id="S5.p6.3.m3.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.p6.3.m3.1.1.2.2.2.3"></plus></apply><cn id="S5.p6.3.m3.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p6.3.m3.1.1.2.2.3">11</cn></apply><apply id="S5.p6.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p6.3.m3.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p6.3.m3.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.p6.3.m3.1.1.2.3">subscript</csymbol><apply id="S5.p6.3.m3.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.p6.3.m3.1.1.2.3.2"><ci id="S5.p6.3.m3.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S5.p6.3.m3.1.1.2.3.2.1">^</ci><ci id="S5.p6.3.m3.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S5.p6.3.m3.1.1.2.3.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.p6.3.m3.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p6.3.m3.1.1.2.3.3">11</cn></apply></apply><apply id="S5.p6.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.p6.3.m3.1.1.3"><times id="S5.p6.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p6.3.m3.1.1.3.1"></times><apply id="S5.p6.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p6.3.m3.1.1.3.2"><divide id="S5.p6.3.m3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.p6.3.m3.1.1.3.2"></divide><ci id="S5.p6.3.m3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.p6.3.m3.1.1.3.2.2">𝛼</ci><apply id="S5.p6.3.m3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.p6.3.m3.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p6.3.m3.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.p6.3.m3.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p6.3.m3.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S5.p6.3.m3.1.1.3.2.3.2">𝛼</ci><ci id="S5.p6.3.m3.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S5.p6.3.m3.1.1.3.2.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S5.p6.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p6.3.m3.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p6.3.m3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.p6.3.m3.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p6.3.m3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.p6.3.m3.1.1.3.3.2">𝐽</ci><cn id="S5.p6.3.m3.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p6.3.m3.1.1.3.3.3">11</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p6.3.m3.1c">S^{+}_{11}\widehat{S}_{11}=\frac{\alpha}{\alpha_{r}}J_{11}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p6.3.m3.1d">italic_S start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 11 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id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">′′</mo></msubsup><mo id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.4" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mfrac id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.4.2" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mn id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.4.2.3.2" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml">α</mi><mo id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.4.2.3.1" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.4.2.3.3" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.4.2.3.3.2" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.4.2.3.3.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.4.2.3.3.3" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.4.2.3.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow></mfrac><mo id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.4.1" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.4.3" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.4.3.2.2" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.4.3.2.2.cmml">I</mi><mo id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.4.3.2.1" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.4.1a" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.4.4" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.4.4.cmml"><mi id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.4.4.2.2" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.4.4.3" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.4.4.3.cmml">12</mn><mo id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.4.4.2.3" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.4.4.2.3.cmml">′</mo></msubsup></mrow><mo id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.5" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.6" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.6.cmml"><mfrac id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.6.2" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.6.2.cmml"><mn 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id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.6.4.2.cmml" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.6.4.2">𝑀</ci><cn id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.6.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.6.4.3">11</cn></apply><apply id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.6.5.cmml" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.6.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.6.5.1.cmml" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.6.5">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.6.5.2.cmml" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.6.5.2">𝐴</ci><cn id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.6.5.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.6.5.3">12</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex24.m1.1c">A^{\prime\prime}_{12}={\frac{1}{\alpha\alpha_{k}}}\bar{I}_{11}A^{\prime}_{12}=% {\frac{1}{\alpha}}\bar{S}_{11}M_{11}A_{12},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex24.m1.1d">italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_α italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG over¯ start_ARG italic_I end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_α end_ARG over¯ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT italic_A start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex25"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="A^{\prime\prime}_{21}={\frac{1}{\alpha\alpha_{k}}}A^{\prime}_{21}\bar{J}_{11}=% {\frac{1}{\alpha}}A_{21}W_{11}\bar{S}_{11}." class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex25.m1.1"><semantics id="S5.Ex25.m1.1a"><mrow id="S5.Ex25.m1.1.1.1" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex25.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">21</mn><mo id="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">′′</mo></msubsup><mo id="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.4" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mfrac id="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.4.2" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mn id="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.4.2.3.2" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml">α</mi><mo id="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.4.2.3.1" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.4.2.3.3" 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id="S5.Ex25.m1.1c">A^{\prime\prime}_{21}={\frac{1}{\alpha\alpha_{k}}}A^{\prime}_{21}\bar{J}_{11}=% {\frac{1}{\alpha}}A_{21}W_{11}\bar{S}_{11}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex25.m1.1d">italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_α italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT over¯ start_ARG italic_J end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_α end_ARG italic_A start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT over¯ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right"><math class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex25.1.1.m1.1"><semantics id="S5.Ex25.1.1.m1.1b"><mrow id="S5.Ex25.1.1.m1.1.2.2"><mo id="S5.Ex25.1.1.m1.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S5.Ex25.1.1.m1.1.1" xref="S5.Ex25.1.1.m1.1.1.cmml">9</mn><mo id="S5.Ex25.1.1.m1.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex25.1.1.m1.1c"><cn id="S5.Ex25.1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex25.1.1.m1.1.1">9</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex25.1.1.m1.1d">( 9 )</annotation></semantics></math></span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p7"> <p class="ltx_p" id="S5.p7.4">For the lower right block we get</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex26"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\alpha\alpha_{k}^{2}A_{22}=(A^{\prime}_{21}J_{11}+A^{\prime\prime}_{21})S^{+}_% {11}A^{\prime}_{12}+A^{\prime}_{21}S^{+}_{11}A^{\prime\prime}_{12}+\alpha% \alpha_{k}A^{\prime}_{22}" class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex26.m1.1"><semantics id="S5.Ex26.m1.1a"><mrow id="S5.Ex26.m1.1.1" xref="S5.Ex26.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex26.m1.1.1.3" xref="S5.Ex26.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex26.m1.1.1.3.2" xref="S5.Ex26.m1.1.1.3.2.cmml">α</mi><mo id="S5.Ex26.m1.1.1.3.1" xref="S5.Ex26.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex26.m1.1.1.3.3" xref="S5.Ex26.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex26.m1.1.1.3.3.2.2" xref="S5.Ex26.m1.1.1.3.3.2.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex26.m1.1.1.3.3.2.3" xref="S5.Ex26.m1.1.1.3.3.2.3.cmml">k</mi><mn id="S5.Ex26.m1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex26.m1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S5.Ex26.m1.1.1.3.1a" xref="S5.Ex26.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex26.m1.1.1.3.4" xref="S5.Ex26.m1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S5.Ex26.m1.1.1.3.4.2" xref="S5.Ex26.m1.1.1.3.4.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex26.m1.1.1.3.4.3" xref="S5.Ex26.m1.1.1.3.4.3.cmml">22</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex26.m1.1.1.2" xref="S5.Ex26.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex26.m1.1.1.1" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">21</mn><mo id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">J</mi><mn id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">11</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">21</mn><mo id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">′′</mo></msubsup></mrow><mo id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">S</mi><mn id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">11</mn><mo id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.2a" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.4" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.4.3" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.4.3.cmml">12</mn><mo id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">′</mo></msubsup></mrow><mo id="S5.Ex26.m1.1.1.1.2" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex26.m1.1.1.1.3" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S5.Ex26.m1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex26.m1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex26.m1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.3.2.3.cmml">21</mn><mo id="S5.Ex26.m1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S5.Ex26.m1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex26.m1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex26.m1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">S</mi><mn id="S5.Ex26.m1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.3.3.3.cmml">11</mn><mo id="S5.Ex26.m1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S5.Ex26.m1.1.1.1.3.1a" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex26.m1.1.1.1.3.4" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S5.Ex26.m1.1.1.1.3.4.2.2" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.3.4.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex26.m1.1.1.1.3.4.3" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.3.4.3.cmml">12</mn><mo id="S5.Ex26.m1.1.1.1.3.4.2.3" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.3.4.2.3.cmml">′′</mo></msubsup></mrow><mo id="S5.Ex26.m1.1.1.1.2a" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex26.m1.1.1.1.4" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S5.Ex26.m1.1.1.1.4.2" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.4.2.cmml">α</mi><mo id="S5.Ex26.m1.1.1.1.4.1" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex26.m1.1.1.1.4.3" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S5.Ex26.m1.1.1.1.4.3.2" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.4.3.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex26.m1.1.1.1.4.3.3" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.4.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S5.Ex26.m1.1.1.1.4.1a" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex26.m1.1.1.1.4.4" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.4.4.cmml"><mi id="S5.Ex26.m1.1.1.1.4.4.2.2" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.4.4.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex26.m1.1.1.1.4.4.3" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.4.4.3.cmml">22</mn><mo id="S5.Ex26.m1.1.1.1.4.4.2.3" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.4.4.2.3.cmml">′</mo></msubsup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex26.m1.1b"><apply id="S5.Ex26.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1"><eq id="S5.Ex26.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.2"></eq><apply id="S5.Ex26.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.3"><times id="S5.Ex26.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S5.Ex26.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.3.2">𝛼</ci><apply id="S5.Ex26.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex26.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex26.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex26.m1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex26.m1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.3.3.2.2">𝛼</ci><ci id="S5.Ex26.m1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.3.3.2.3">𝑘</ci></apply><cn id="S5.Ex26.m1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex26.m1.1.1.3.3.3">2</cn></apply><apply id="S5.Ex26.m1.1.1.3.4.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex26.m1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex26.m1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.3.4.2">𝐴</ci><cn id="S5.Ex26.m1.1.1.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex26.m1.1.1.3.4.3">22</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex26.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1"><plus id="S5.Ex26.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.2"></plus><apply id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1"><times id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" 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xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝐴</ci><ci id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">′′</ci></apply><cn id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">21</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝑆</ci><plus id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.3.2.3"></plus></apply><cn id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.3.3">11</cn></apply><apply id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.4.2.2">𝐴</ci><ci id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.4.2.3">′</ci></apply><cn id="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.1.4.3">12</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex26.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.3"><times id="S5.Ex26.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S5.Ex26.m1.1.1.1.3.2.cmml" 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xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.4.2">𝛼</ci><apply id="S5.Ex26.m1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex26.m1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.4.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex26.m1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.4.3.2">𝛼</ci><ci id="S5.Ex26.m1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.4.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="S5.Ex26.m1.1.1.1.4.4.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex26.m1.1.1.1.4.4.1.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.4.4">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex26.m1.1.1.1.4.4.2.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex26.m1.1.1.1.4.4.2.1.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.4.4">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex26.m1.1.1.1.4.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.4.4.2.2">𝐴</ci><ci id="S5.Ex26.m1.1.1.1.4.4.2.3.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.1.4.4.2.3">′</ci></apply><cn id="S5.Ex26.m1.1.1.1.4.4.3.cmml" type="integer" 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italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_S start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT + italic_α italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex27"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="A^{\prime}_{22}={\frac{1}{\alpha\alpha_{k}}}({\alpha\alpha_{k}^{2}}A_{22}-A^{% \prime}_{21}S^{+}_{11}A^{\prime}_{12})." class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex27.m1.1"><semantics id="S5.Ex27.m1.1a"><mrow id="S5.Ex27.m1.1.1.1" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">22</mn><mo id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mrow id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">α</mi><mo id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow></mfrac><mo id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">α</mi><mo id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">k</mi><mn id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">22</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">21</mn><mo id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">S</mi><mn id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">11</mn><mo id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">12</mn><mo id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.cmml">′</mo></msubsup></mrow></mrow><mo id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex27.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex27.m1.1b"><apply id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1"><eq id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝐴</ci><ci id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.3.2.3">′</ci></apply><cn id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.3.3">22</cn></apply><apply id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1"><times id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.3"></divide><cn id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><apply id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝛼</ci><apply id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝛼</ci><ci id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝛼</ci><apply id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝛼</ci><ci id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3">𝑘</ci></apply><cn id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">2</cn></apply><apply id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2">𝐴</ci><cn id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3">22</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝐴</ci><ci id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">′</ci></apply><cn id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">21</cn></apply><apply id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑆</ci><plus id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3"></plus></apply><cn id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">11</cn></apply><apply id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2">𝐴</ci><ci id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3">′</ci></apply><cn id="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3">12</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex27.m1.1c">A^{\prime}_{22}={\frac{1}{\alpha\alpha_{k}}}({\alpha\alpha_{k}^{2}}A_{22}-A^{% \prime}_{21}S^{+}_{11}A^{\prime}_{12}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex27.m1.1d">italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_α italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ( italic_α italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_A start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT - italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_S start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right"><math class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex27.1.1.m1.1"><semantics id="S5.Ex27.1.1.m1.1b"><mrow id="S5.Ex27.1.1.m1.1.2.2"><mo id="S5.Ex27.1.1.m1.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S5.Ex27.1.1.m1.1.1" xref="S5.Ex27.1.1.m1.1.1.cmml">10</mn><mo id="S5.Ex27.1.1.m1.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex27.1.1.m1.1c"><cn id="S5.Ex27.1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex27.1.1.m1.1.1">10</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex27.1.1.m1.1d">( 10 )</annotation></semantics></math></span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p7.3">Matrices <math alttext="A^{\prime\prime}_{12}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p7.1.m1.1"><semantics id="S5.p7.1.m1.1a"><msubsup id="S5.p7.1.m1.1.1" xref="S5.p7.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.p7.1.m1.1.1.2.2" xref="S5.p7.1.m1.1.1.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.p7.1.m1.1.1.3" xref="S5.p7.1.m1.1.1.3.cmml">12</mn><mo id="S5.p7.1.m1.1.1.2.3" xref="S5.p7.1.m1.1.1.2.3.cmml">′′</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p7.1.m1.1b"><apply id="S5.p7.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p7.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p7.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.p7.1.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.p7.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p7.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p7.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p7.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.p7.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p7.1.m1.1.1.2.2">𝐴</ci><ci id="S5.p7.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p7.1.m1.1.1.2.3">′′</ci></apply><cn id="S5.p7.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p7.1.m1.1.1.3">12</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p7.1.m1.1c">A^{\prime\prime}_{12}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p7.1.m1.1d">italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="A^{\prime\prime}_{21}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p7.2.m2.1"><semantics id="S5.p7.2.m2.1a"><msubsup id="S5.p7.2.m2.1.1" xref="S5.p7.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.p7.2.m2.1.1.2.2" xref="S5.p7.2.m2.1.1.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.p7.2.m2.1.1.3" xref="S5.p7.2.m2.1.1.3.cmml">21</mn><mo id="S5.p7.2.m2.1.1.2.3" xref="S5.p7.2.m2.1.1.2.3.cmml">′′</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p7.2.m2.1b"><apply id="S5.p7.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.p7.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p7.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.p7.2.m2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.p7.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.p7.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p7.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p7.2.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.p7.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p7.2.m2.1.1.2.2">𝐴</ci><ci id="S5.p7.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p7.2.m2.1.1.2.3">′′</ci></apply><cn id="S5.p7.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p7.2.m2.1.1.3">21</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p7.2.m2.1c">A^{\prime\prime}_{21}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p7.2.m2.1d">italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are matrices of surrounding minors with respect to minor <math alttext="\alpha_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p7.3.m3.1"><semantics id="S5.p7.3.m3.1a"><msub id="S5.p7.3.m3.1.1" xref="S5.p7.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S5.p7.3.m3.1.1.2" xref="S5.p7.3.m3.1.1.2.cmml">α</mi><mi id="S5.p7.3.m3.1.1.3" xref="S5.p7.3.m3.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p7.3.m3.1b"><apply id="S5.p7.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.p7.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p7.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.p7.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p7.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.p7.3.m3.1.1.2">𝛼</ci><ci id="S5.p7.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.p7.3.m3.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p7.3.m3.1c">\alpha_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p7.3.m3.1d">italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. See the prove in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#bib.bib11" title="">11</a>]</cite> Theorem 8.2.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p8"> <p class="ltx_p" id="S5.p8.3">Let</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex28"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\left\{\begin{array}[]{rcl}\alpha_{k}L_{21}S_{21}U_{21}=A^{\prime\prime}_{21}% \\ L_{21}\widehat{S}_{21}M_{21}={\mathbf{I}}\\ W_{21}\widehat{S}_{21}U_{21}={\mathbf{I}}\end{array}\right.\hbox{ and }\left\{% \begin{array}[]{rcl}\alpha_{k}L_{12}S_{12}U_{12}=A^{\prime\prime}_{12}\\ L_{12}\widehat{S}_{12}M_{12}={\mathbf{I}}\\ W_{12}\widehat{S}_{12}U_{12}={\mathbf{I}}\end{array}\right." class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex28.m1.2"><semantics id="S5.Ex28.m1.2a"><mrow id="S5.Ex28.m1.2.3" xref="S5.Ex28.m1.2.3.cmml"><mrow id="S5.Ex28.m1.2.3.2.2" xref="S5.Ex28.m1.2.3.2.1.cmml"><mo id="S5.Ex28.m1.2.3.2.2.1" xref="S5.Ex28.m1.2.3.2.1.1.cmml">{</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S5.Ex28.m1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S5.Ex28.m1.1.1.cmml"><mtr id="S5.Ex28.m1.1.1a" xref="S5.Ex28.m1.1.1.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S5.Ex28.m1.1.1b" xref="S5.Ex28.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">L</mi><mn id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">21</mn></msub><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">S</mi><mn id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">21</mn></msub><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.2.1b" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.2.5" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.2.5.cmml"><mi id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.2.5.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.2.5.2.cmml">U</mi><mn id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.2.5.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.2.5.3.cmml">21</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><msubsup id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">21</mn><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">′′</mo></msubsup></mrow></mtd><mtd id="S5.Ex28.m1.1.1c" xref="S5.Ex28.m1.1.1.cmml"></mtd><mtd id="S5.Ex28.m1.1.1d" xref="S5.Ex28.m1.1.1.cmml"></mtd></mtr><mtr id="S5.Ex28.m1.1.1e" xref="S5.Ex28.m1.1.1.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S5.Ex28.m1.1.1f" xref="S5.Ex28.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1" xref="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.cmml"><msub id="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.cmml">L</mi><mn id="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.2.3.cmml">21</mn></msub><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.1" xref="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.1" xref="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.3.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.3.3.cmml">21</mn></msub><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.1a" xref="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.4" xref="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.4.cmml"><mi id="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.4.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.4.2.cmml">M</mi><mn id="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.4.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.4.3.cmml">21</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.1" xref="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.3.cmml">𝐈</mi></mrow></mtd><mtd id="S5.Ex28.m1.1.1g" xref="S5.Ex28.m1.1.1.cmml"></mtd><mtd id="S5.Ex28.m1.1.1h" xref="S5.Ex28.m1.1.1.cmml"></mtd></mtr><mtr id="S5.Ex28.m1.1.1i" xref="S5.Ex28.m1.1.1.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S5.Ex28.m1.1.1j" xref="S5.Ex28.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1" xref="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.cmml"><msub id="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.2.2.cmml">W</mi><mn id="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.2.3.cmml">21</mn></msub><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.1" xref="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.3.2.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.3.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.3.2.1" xref="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.3.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.3.3.cmml">21</mn></msub><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.1a" xref="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.4" xref="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.4.cmml"><mi id="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.4.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.4.2.cmml">U</mi><mn id="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.4.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.4.3.cmml">21</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.1" xref="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.3.cmml">𝐈</mi></mrow></mtd><mtd id="S5.Ex28.m1.1.1k" xref="S5.Ex28.m1.1.1.cmml"></mtd><mtd id="S5.Ex28.m1.1.1l" xref="S5.Ex28.m1.1.1.cmml"></mtd></mtr></mtable><mi id="S5.Ex28.m1.2.3.2.2.2" xref="S5.Ex28.m1.2.3.2.1.1.cmml"></mi></mrow><mo id="S5.Ex28.m1.2.3.1" xref="S5.Ex28.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mtext id="S5.Ex28.m1.2.3.3" xref="S5.Ex28.m1.2.3.3a.cmml"> and </mtext><mo id="S5.Ex28.m1.2.3.1a" xref="S5.Ex28.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex28.m1.2.3.4.2" xref="S5.Ex28.m1.2.3.4.1.cmml"><mo id="S5.Ex28.m1.2.3.4.2.1" xref="S5.Ex28.m1.2.3.4.1.1.cmml">{</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S5.Ex28.m1.2.2" rowspacing="0pt" xref="S5.Ex28.m1.2.2.cmml"><mtr id="S5.Ex28.m1.2.2a" xref="S5.Ex28.m1.2.2.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S5.Ex28.m1.2.2b" xref="S5.Ex28.m1.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1" xref="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><msub id="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml">L</mi><mn id="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.3.3" xref="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml">12</mn></msub><mo id="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.1a" xref="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.4" xref="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.4.2" xref="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.4.2.cmml">S</mi><mn id="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.4.3" xref="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.4.3.cmml">12</mn></msub><mo id="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.1b" xref="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.5" xref="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.5.cmml"><mi id="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.5.2" xref="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.5.2.cmml">U</mi><mn id="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.5.3" xref="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.5.3.cmml">12</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">=</mo><msubsup id="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">12</mn><mo id="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml">′′</mo></msubsup></mrow></mtd><mtd id="S5.Ex28.m1.2.2c" xref="S5.Ex28.m1.2.2.cmml"></mtd><mtd id="S5.Ex28.m1.2.2d" xref="S5.Ex28.m1.2.2.cmml"></mtd></mtr><mtr id="S5.Ex28.m1.2.2e" xref="S5.Ex28.m1.2.2.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S5.Ex28.m1.2.2f" xref="S5.Ex28.m1.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex28.m1.2.2.2.1.1" xref="S5.Ex28.m1.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex28.m1.2.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex28.m1.2.2.2.1.1.2.cmml"><msub id="S5.Ex28.m1.2.2.2.1.1.2.2" xref="S5.Ex28.m1.2.2.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex28.m1.2.2.2.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex28.m1.2.2.2.1.1.2.2.2.cmml">L</mi><mn id="S5.Ex28.m1.2.2.2.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex28.m1.2.2.2.1.1.2.2.3.cmml">12</mn></msub><mo id="S5.Ex28.m1.2.2.2.1.1.2.1" xref="S5.Ex28.m1.2.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex28.m1.2.2.2.1.1.2.3" xref="S5.Ex28.m1.2.2.2.1.1.2.3.cmml"><mover accent="true" 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xref="S5.Ex28.m1.2.2.3.1.1.2.3.3.cmml">12</mn></msub><mo id="S5.Ex28.m1.2.2.3.1.1.2.1a" xref="S5.Ex28.m1.2.2.3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex28.m1.2.2.3.1.1.2.4" xref="S5.Ex28.m1.2.2.3.1.1.2.4.cmml"><mi id="S5.Ex28.m1.2.2.3.1.1.2.4.2" xref="S5.Ex28.m1.2.2.3.1.1.2.4.2.cmml">U</mi><mn id="S5.Ex28.m1.2.2.3.1.1.2.4.3" xref="S5.Ex28.m1.2.2.3.1.1.2.4.3.cmml">12</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex28.m1.2.2.3.1.1.1" xref="S5.Ex28.m1.2.2.3.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S5.Ex28.m1.2.2.3.1.1.3" xref="S5.Ex28.m1.2.2.3.1.1.3.cmml">𝐈</mi></mrow></mtd><mtd id="S5.Ex28.m1.2.2k" xref="S5.Ex28.m1.2.2.cmml"></mtd><mtd id="S5.Ex28.m1.2.2l" xref="S5.Ex28.m1.2.2.cmml"></mtd></mtr></mtable><mi id="S5.Ex28.m1.2.3.4.2.2" xref="S5.Ex28.m1.2.3.4.1.1.cmml"></mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex28.m1.2b"><apply id="S5.Ex28.m1.2.3.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.3"><times id="S5.Ex28.m1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.3.1"></times><apply id="S5.Ex28.m1.2.3.2.1.cmml" 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xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.2.5.3">21</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝐴</ci><ci id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.3.2.3">′′</ci></apply><cn id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.3.3">21</cn></apply></apply><cerror id="S5.Ex28.m1.1.1b.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m1.1.1c.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol></cerror><cerror id="S5.Ex28.m1.1.1d.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m1.1.1e.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol></cerror></matrixrow><matrixrow id="S5.Ex28.m1.1.1f.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1"><apply id="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1"><eq id="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.1"></eq><apply id="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2"><times id="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.1"></times><apply id="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.2.2">𝐿</ci><cn id="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.2.3">21</cn></apply><apply id="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.3.2"><ci id="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.1">^</ci><ci id="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.3.3">21</cn></apply><apply id="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.4.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.4.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.4.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.4.2">𝑀</ci><cn id="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.2.4.3">21</cn></apply></apply><ci id="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.2.1.1.3">𝐈</ci></apply><cerror id="S5.Ex28.m1.1.1g.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m1.1.1h.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol></cerror><cerror id="S5.Ex28.m1.1.1i.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m1.1.1j.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol></cerror></matrixrow><matrixrow id="S5.Ex28.m1.1.1k.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1"><apply id="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1"><eq id="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.1"></eq><apply id="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2"><times id="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.1"></times><apply id="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.2.2">𝑊</ci><cn id="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.2.3">21</cn></apply><apply id="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.3.2"><ci id="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.3.2.1">^</ci><ci id="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.3.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.3.3">21</cn></apply><apply id="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.4.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.4.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.4.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.4.2">𝑈</ci><cn id="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.2.4.3">21</cn></apply></apply><ci id="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.3.1.1.3">𝐈</ci></apply><cerror id="S5.Ex28.m1.1.1l.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m1.1.1m.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol></cerror><cerror id="S5.Ex28.m1.1.1n.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m1.1.1o.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol></cerror></matrixrow></matrix></apply><ci id="S5.Ex28.m1.2.3.3a.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.3.3"><mtext id="S5.Ex28.m1.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.3.3"> and </mtext></ci><apply id="S5.Ex28.m1.2.3.4.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.3.4.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex28.m1.2.3.4.1.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.3.4.2.1">cases</csymbol><matrix id="S5.Ex28.m1.2.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2"><matrixrow id="S5.Ex28.m1.2.2a.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2"><apply id="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1"><eq id="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.1"></eq><apply id="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2"><times id="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.1"></times><apply id="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.2">𝛼</ci><ci id="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.3.2">𝐿</ci><cn id="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.3.3">12</cn></apply><apply id="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.4.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.4.2">𝑆</ci><cn id="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.4.3">12</cn></apply><apply id="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.5.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.5.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.5">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.5.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.5.2">𝑈</ci><cn id="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.5.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.5.3">12</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.3.2.2">𝐴</ci><ci id="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.3.2.3">′′</ci></apply><cn id="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex28.m1.2.2.1.1.1.3.3">12</cn></apply></apply><cerror id="S5.Ex28.m1.2.2b.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m1.2.2c.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2">missing-subexpression</csymbol></cerror><cerror id="S5.Ex28.m1.2.2d.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m1.2.2e.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2">missing-subexpression</csymbol></cerror></matrixrow><matrixrow id="S5.Ex28.m1.2.2f.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2"><apply id="S5.Ex28.m1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.2.1.1"><eq id="S5.Ex28.m1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.2.1.1.1"></eq><apply id="S5.Ex28.m1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.2.1.1.2"><times id="S5.Ex28.m1.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.2.1.1.2.1"></times><apply id="S5.Ex28.m1.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m1.2.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.2.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex28.m1.2.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.2.1.1.2.2.2">𝐿</ci><cn id="S5.Ex28.m1.2.2.2.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex28.m1.2.2.2.1.1.2.2.3">12</cn></apply><apply id="S5.Ex28.m1.2.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m1.2.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.2.1.1.2.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex28.m1.2.2.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.2.1.1.2.3.2"><ci id="S5.Ex28.m1.2.2.2.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.2.1.1.2.3.2.1">^</ci><ci id="S5.Ex28.m1.2.2.2.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.2.1.1.2.3.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.Ex28.m1.2.2.2.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex28.m1.2.2.2.1.1.2.3.3">12</cn></apply><apply id="S5.Ex28.m1.2.2.2.1.1.2.4.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.2.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m1.2.2.2.1.1.2.4.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.2.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex28.m1.2.2.2.1.1.2.4.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.2.1.1.2.4.2">𝑀</ci><cn id="S5.Ex28.m1.2.2.2.1.1.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex28.m1.2.2.2.1.1.2.4.3">12</cn></apply></apply><ci id="S5.Ex28.m1.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.2.1.1.3">𝐈</ci></apply><cerror id="S5.Ex28.m1.2.2g.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m1.2.2h.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2">missing-subexpression</csymbol></cerror><cerror id="S5.Ex28.m1.2.2i.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m1.2.2j.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2">missing-subexpression</csymbol></cerror></matrixrow><matrixrow id="S5.Ex28.m1.2.2k.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2"><apply id="S5.Ex28.m1.2.2.3.1.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.3.1.1"><eq id="S5.Ex28.m1.2.2.3.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.3.1.1.1"></eq><apply id="S5.Ex28.m1.2.2.3.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.3.1.1.2"><times id="S5.Ex28.m1.2.2.3.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.3.1.1.2.1"></times><apply id="S5.Ex28.m1.2.2.3.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m1.2.2.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.3.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex28.m1.2.2.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.3.1.1.2.2.2">𝑊</ci><cn id="S5.Ex28.m1.2.2.3.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex28.m1.2.2.3.1.1.2.2.3">12</cn></apply><apply id="S5.Ex28.m1.2.2.3.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.3.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m1.2.2.3.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.3.1.1.2.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex28.m1.2.2.3.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.3.1.1.2.3.2"><ci id="S5.Ex28.m1.2.2.3.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.3.1.1.2.3.2.1">^</ci><ci id="S5.Ex28.m1.2.2.3.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.3.1.1.2.3.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.Ex28.m1.2.2.3.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex28.m1.2.2.3.1.1.2.3.3">12</cn></apply><apply id="S5.Ex28.m1.2.2.3.1.1.2.4.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.3.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m1.2.2.3.1.1.2.4.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.3.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex28.m1.2.2.3.1.1.2.4.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.3.1.1.2.4.2">𝑈</ci><cn id="S5.Ex28.m1.2.2.3.1.1.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex28.m1.2.2.3.1.1.2.4.3">12</cn></apply></apply><ci id="S5.Ex28.m1.2.2.3.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2.3.1.1.3">𝐈</ci></apply><cerror id="S5.Ex28.m1.2.2l.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m1.2.2m.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2">missing-subexpression</csymbol></cerror><cerror id="S5.Ex28.m1.2.2n.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m1.2.2o.cmml" xref="S5.Ex28.m1.2.2">missing-subexpression</csymbol></cerror></matrixrow></matrix></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex28.m1.2c">\left\{\begin{array}[]{rcl}\alpha_{k}L_{21}S_{21}U_{21}=A^{\prime\prime}_{21}% \\ L_{21}\widehat{S}_{21}M_{21}={\mathbf{I}}\\ W_{21}\widehat{S}_{21}U_{21}={\mathbf{I}}\end{array}\right.\hbox{ and }\left\{% \begin{array}[]{rcl}\alpha_{k}L_{12}S_{12}U_{12}=A^{\prime\prime}_{12}\\ L_{12}\widehat{S}_{12}M_{12}={\mathbf{I}}\\ W_{12}\widehat{S}_{12}U_{12}={\mathbf{I}}\end{array}\right.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex28.m1.2d">{ start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_S start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT = italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL end_CELL start_CELL end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_L start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT = bold_I end_CELL start_CELL end_CELL start_CELL end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_W start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT = bold_I end_CELL start_CELL end_CELL start_CELL end_CELL end_ROW end_ARRAY and { start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT italic_S start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT = italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL end_CELL start_CELL end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_L start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT = bold_I end_CELL start_CELL end_CELL start_CELL end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_W start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT = bold_I end_CELL start_CELL end_CELL start_CELL end_CELL end_ROW end_ARRAY</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p8.2">be LSU-decomposition of blocks <math alttext="A^{\prime\prime}_{21}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p8.1.m1.1"><semantics id="S5.p8.1.m1.1a"><msubsup id="S5.p8.1.m1.1.1" xref="S5.p8.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.p8.1.m1.1.1.2.2" xref="S5.p8.1.m1.1.1.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.p8.1.m1.1.1.3" xref="S5.p8.1.m1.1.1.3.cmml">21</mn><mo id="S5.p8.1.m1.1.1.2.3" xref="S5.p8.1.m1.1.1.2.3.cmml">′′</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p8.1.m1.1b"><apply id="S5.p8.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p8.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p8.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.p8.1.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.p8.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p8.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p8.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p8.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.p8.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p8.1.m1.1.1.2.2">𝐴</ci><ci id="S5.p8.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p8.1.m1.1.1.2.3">′′</ci></apply><cn id="S5.p8.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p8.1.m1.1.1.3">21</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p8.1.m1.1c">A^{\prime\prime}_{21}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p8.1.m1.1d">italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="A^{\prime\prime}_{12}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p8.2.m2.1"><semantics id="S5.p8.2.m2.1a"><msubsup id="S5.p8.2.m2.1.1" xref="S5.p8.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.p8.2.m2.1.1.2.2" xref="S5.p8.2.m2.1.1.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.p8.2.m2.1.1.3" xref="S5.p8.2.m2.1.1.3.cmml">12</mn><mo id="S5.p8.2.m2.1.1.2.3" xref="S5.p8.2.m2.1.1.2.3.cmml">′′</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p8.2.m2.1b"><apply id="S5.p8.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.p8.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p8.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.p8.2.m2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.p8.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.p8.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p8.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p8.2.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.p8.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p8.2.m2.1.1.2.2">𝐴</ci><ci id="S5.p8.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p8.2.m2.1.1.2.3">′′</ci></apply><cn id="S5.p8.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p8.2.m2.1.1.3">12</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p8.2.m2.1c">A^{\prime\prime}_{12}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p8.2.m2.1d">italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p9"> <p class="ltx_p" id="S5.p9.8">Let <math alttext="A^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p9.1.m1.1"><semantics id="S5.p9.1.m1.1a"><msup id="S5.p9.1.m1.1.1" xref="S5.p9.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.p9.1.m1.1.1.2" xref="S5.p9.1.m1.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="S5.p9.1.m1.1.1.3" xref="S5.p9.1.m1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p9.1.m1.1b"><apply id="S5.p9.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p9.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p9.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.p9.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.p9.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p9.1.m1.1.1.2">𝐴</ci><ci id="S5.p9.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.p9.1.m1.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p9.1.m1.1c">A^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p9.1.m1.1d">italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> be submatrix of <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p9.2.m2.1"><semantics id="S5.p9.2.m2.1a"><mi id="S5.p9.2.m2.1.1" xref="S5.p9.2.m2.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p9.2.m2.1b"><ci id="S5.p9.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.p9.2.m2.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p9.2.m2.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p9.2.m2.1d">italic_A</annotation></semantics></math> which is fixed with non zero rows of the matrix <math alttext="diag(I_{11},I_{12},I_{21})" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p9.3.m3.3"><semantics id="S5.p9.3.m3.3a"><mrow id="S5.p9.3.m3.3.3" xref="S5.p9.3.m3.3.3.cmml"><mi id="S5.p9.3.m3.3.3.5" xref="S5.p9.3.m3.3.3.5.cmml">d</mi><mo id="S5.p9.3.m3.3.3.4" xref="S5.p9.3.m3.3.3.4.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p9.3.m3.3.3.6" xref="S5.p9.3.m3.3.3.6.cmml">i</mi><mo id="S5.p9.3.m3.3.3.4a" xref="S5.p9.3.m3.3.3.4.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p9.3.m3.3.3.7" xref="S5.p9.3.m3.3.3.7.cmml">a</mi><mo id="S5.p9.3.m3.3.3.4b" xref="S5.p9.3.m3.3.3.4.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p9.3.m3.3.3.8" xref="S5.p9.3.m3.3.3.8.cmml">g</mi><mo id="S5.p9.3.m3.3.3.4c" xref="S5.p9.3.m3.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p9.3.m3.3.3.3.3" xref="S5.p9.3.m3.3.3.3.4.cmml"><mo id="S5.p9.3.m3.3.3.3.3.4" stretchy="false" xref="S5.p9.3.m3.3.3.3.4.cmml">(</mo><msub id="S5.p9.3.m3.1.1.1.1.1" xref="S5.p9.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.p9.3.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S5.p9.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml">I</mi><mn id="S5.p9.3.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S5.p9.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S5.p9.3.m3.3.3.3.3.5" xref="S5.p9.3.m3.3.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S5.p9.3.m3.2.2.2.2.2" xref="S5.p9.3.m3.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.p9.3.m3.2.2.2.2.2.2" xref="S5.p9.3.m3.2.2.2.2.2.2.cmml">I</mi><mn id="S5.p9.3.m3.2.2.2.2.2.3" xref="S5.p9.3.m3.2.2.2.2.2.3.cmml">12</mn></msub><mo id="S5.p9.3.m3.3.3.3.3.6" xref="S5.p9.3.m3.3.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S5.p9.3.m3.3.3.3.3.3" xref="S5.p9.3.m3.3.3.3.3.3.cmml"><mi id="S5.p9.3.m3.3.3.3.3.3.2" xref="S5.p9.3.m3.3.3.3.3.3.2.cmml">I</mi><mn id="S5.p9.3.m3.3.3.3.3.3.3" xref="S5.p9.3.m3.3.3.3.3.3.3.cmml">21</mn></msub><mo id="S5.p9.3.m3.3.3.3.3.7" stretchy="false" xref="S5.p9.3.m3.3.3.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p9.3.m3.3b"><apply id="S5.p9.3.m3.3.3.cmml" xref="S5.p9.3.m3.3.3"><times id="S5.p9.3.m3.3.3.4.cmml" xref="S5.p9.3.m3.3.3.4"></times><ci id="S5.p9.3.m3.3.3.5.cmml" xref="S5.p9.3.m3.3.3.5">𝑑</ci><ci id="S5.p9.3.m3.3.3.6.cmml" xref="S5.p9.3.m3.3.3.6">𝑖</ci><ci id="S5.p9.3.m3.3.3.7.cmml" xref="S5.p9.3.m3.3.3.7">𝑎</ci><ci id="S5.p9.3.m3.3.3.8.cmml" xref="S5.p9.3.m3.3.3.8">𝑔</ci><vector id="S5.p9.3.m3.3.3.3.4.cmml" xref="S5.p9.3.m3.3.3.3.3"><apply id="S5.p9.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p9.3.m3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p9.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p9.3.m3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p9.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p9.3.m3.1.1.1.1.1.2">𝐼</ci><cn id="S5.p9.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p9.3.m3.1.1.1.1.1.3">11</cn></apply><apply id="S5.p9.3.m3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.p9.3.m3.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p9.3.m3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.p9.3.m3.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p9.3.m3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.p9.3.m3.2.2.2.2.2.2">𝐼</ci><cn id="S5.p9.3.m3.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p9.3.m3.2.2.2.2.2.3">12</cn></apply><apply id="S5.p9.3.m3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S5.p9.3.m3.3.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p9.3.m3.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="S5.p9.3.m3.3.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p9.3.m3.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="S5.p9.3.m3.3.3.3.3.3.2">𝐼</ci><cn id="S5.p9.3.m3.3.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p9.3.m3.3.3.3.3.3.3">21</cn></apply></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p9.3.m3.3c">diag(I_{11},I_{12},I_{21})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p9.3.m3.3d">italic_d italic_i italic_a italic_g ( italic_I start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT , italic_I start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT , italic_I start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> and non zero columns of the matrix <math alttext="diag(J_{11},J_{21},J_{12})" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p9.4.m4.3"><semantics id="S5.p9.4.m4.3a"><mrow id="S5.p9.4.m4.3.3" xref="S5.p9.4.m4.3.3.cmml"><mi id="S5.p9.4.m4.3.3.5" xref="S5.p9.4.m4.3.3.5.cmml">d</mi><mo id="S5.p9.4.m4.3.3.4" xref="S5.p9.4.m4.3.3.4.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p9.4.m4.3.3.6" xref="S5.p9.4.m4.3.3.6.cmml">i</mi><mo id="S5.p9.4.m4.3.3.4a" xref="S5.p9.4.m4.3.3.4.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p9.4.m4.3.3.7" xref="S5.p9.4.m4.3.3.7.cmml">a</mi><mo id="S5.p9.4.m4.3.3.4b" xref="S5.p9.4.m4.3.3.4.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p9.4.m4.3.3.8" xref="S5.p9.4.m4.3.3.8.cmml">g</mi><mo id="S5.p9.4.m4.3.3.4c" xref="S5.p9.4.m4.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p9.4.m4.3.3.3.3" xref="S5.p9.4.m4.3.3.3.4.cmml"><mo id="S5.p9.4.m4.3.3.3.3.4" stretchy="false" xref="S5.p9.4.m4.3.3.3.4.cmml">(</mo><msub id="S5.p9.4.m4.1.1.1.1.1" xref="S5.p9.4.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.p9.4.m4.1.1.1.1.1.2" xref="S5.p9.4.m4.1.1.1.1.1.2.cmml">J</mi><mn id="S5.p9.4.m4.1.1.1.1.1.3" xref="S5.p9.4.m4.1.1.1.1.1.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S5.p9.4.m4.3.3.3.3.5" xref="S5.p9.4.m4.3.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S5.p9.4.m4.2.2.2.2.2" xref="S5.p9.4.m4.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.p9.4.m4.2.2.2.2.2.2" xref="S5.p9.4.m4.2.2.2.2.2.2.cmml">J</mi><mn id="S5.p9.4.m4.2.2.2.2.2.3" xref="S5.p9.4.m4.2.2.2.2.2.3.cmml">21</mn></msub><mo id="S5.p9.4.m4.3.3.3.3.6" xref="S5.p9.4.m4.3.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S5.p9.4.m4.3.3.3.3.3" xref="S5.p9.4.m4.3.3.3.3.3.cmml"><mi id="S5.p9.4.m4.3.3.3.3.3.2" xref="S5.p9.4.m4.3.3.3.3.3.2.cmml">J</mi><mn id="S5.p9.4.m4.3.3.3.3.3.3" xref="S5.p9.4.m4.3.3.3.3.3.3.cmml">12</mn></msub><mo id="S5.p9.4.m4.3.3.3.3.7" stretchy="false" xref="S5.p9.4.m4.3.3.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p9.4.m4.3b"><apply id="S5.p9.4.m4.3.3.cmml" xref="S5.p9.4.m4.3.3"><times id="S5.p9.4.m4.3.3.4.cmml" xref="S5.p9.4.m4.3.3.4"></times><ci id="S5.p9.4.m4.3.3.5.cmml" xref="S5.p9.4.m4.3.3.5">𝑑</ci><ci id="S5.p9.4.m4.3.3.6.cmml" xref="S5.p9.4.m4.3.3.6">𝑖</ci><ci id="S5.p9.4.m4.3.3.7.cmml" xref="S5.p9.4.m4.3.3.7">𝑎</ci><ci id="S5.p9.4.m4.3.3.8.cmml" xref="S5.p9.4.m4.3.3.8">𝑔</ci><vector id="S5.p9.4.m4.3.3.3.4.cmml" xref="S5.p9.4.m4.3.3.3.3"><apply id="S5.p9.4.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p9.4.m4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p9.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p9.4.m4.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p9.4.m4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p9.4.m4.1.1.1.1.1.2">𝐽</ci><cn id="S5.p9.4.m4.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p9.4.m4.1.1.1.1.1.3">11</cn></apply><apply id="S5.p9.4.m4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.p9.4.m4.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p9.4.m4.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.p9.4.m4.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p9.4.m4.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.p9.4.m4.2.2.2.2.2.2">𝐽</ci><cn id="S5.p9.4.m4.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p9.4.m4.2.2.2.2.2.3">21</cn></apply><apply id="S5.p9.4.m4.3.3.3.3.3.cmml" xref="S5.p9.4.m4.3.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p9.4.m4.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="S5.p9.4.m4.3.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p9.4.m4.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="S5.p9.4.m4.3.3.3.3.3.2">𝐽</ci><cn id="S5.p9.4.m4.3.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p9.4.m4.3.3.3.3.3.3">12</cn></apply></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p9.4.m4.3c">diag(J_{11},J_{21},J_{12})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p9.4.m4.3d">italic_d italic_i italic_a italic_g ( italic_J start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT , italic_J start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT , italic_J start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>. Submatrices <math alttext="A^{\prime\prime}_{12}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p9.5.m5.1"><semantics id="S5.p9.5.m5.1a"><msubsup id="S5.p9.5.m5.1.1" xref="S5.p9.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S5.p9.5.m5.1.1.2.2" xref="S5.p9.5.m5.1.1.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.p9.5.m5.1.1.3" xref="S5.p9.5.m5.1.1.3.cmml">12</mn><mo id="S5.p9.5.m5.1.1.2.3" xref="S5.p9.5.m5.1.1.2.3.cmml">′′</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p9.5.m5.1b"><apply id="S5.p9.5.m5.1.1.cmml" xref="S5.p9.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p9.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S5.p9.5.m5.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.p9.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S5.p9.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p9.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p9.5.m5.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.p9.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p9.5.m5.1.1.2.2">𝐴</ci><ci id="S5.p9.5.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p9.5.m5.1.1.2.3">′′</ci></apply><cn id="S5.p9.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p9.5.m5.1.1.3">12</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p9.5.m5.1c">A^{\prime\prime}_{12}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p9.5.m5.1d">italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="A^{\prime\prime}_{21}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p9.6.m6.1"><semantics id="S5.p9.6.m6.1a"><msubsup id="S5.p9.6.m6.1.1" xref="S5.p9.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S5.p9.6.m6.1.1.2.2" xref="S5.p9.6.m6.1.1.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.p9.6.m6.1.1.3" xref="S5.p9.6.m6.1.1.3.cmml">21</mn><mo id="S5.p9.6.m6.1.1.2.3" xref="S5.p9.6.m6.1.1.2.3.cmml">′′</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p9.6.m6.1b"><apply id="S5.p9.6.m6.1.1.cmml" xref="S5.p9.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p9.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S5.p9.6.m6.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.p9.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S5.p9.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p9.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p9.6.m6.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.p9.6.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p9.6.m6.1.1.2.2">𝐴</ci><ci id="S5.p9.6.m6.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p9.6.m6.1.1.2.3">′′</ci></apply><cn id="S5.p9.6.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p9.6.m6.1.1.3">21</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p9.6.m6.1c">A^{\prime\prime}_{21}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p9.6.m6.1d">italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and the submatrix, which corresponds to minor <math alttext="\alpha_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p9.7.m7.1"><semantics id="S5.p9.7.m7.1a"><msub id="S5.p9.7.m7.1.1" xref="S5.p9.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S5.p9.7.m7.1.1.2" xref="S5.p9.7.m7.1.1.2.cmml">α</mi><mi id="S5.p9.7.m7.1.1.3" xref="S5.p9.7.m7.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p9.7.m7.1b"><apply id="S5.p9.7.m7.1.1.cmml" xref="S5.p9.7.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p9.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S5.p9.7.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p9.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S5.p9.7.m7.1.1.2">𝛼</ci><ci id="S5.p9.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S5.p9.7.m7.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p9.7.m7.1c">\alpha_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p9.7.m7.1d">italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, do not have common nonzero rows and columns, so the sequence of nested non zero minors of submatrix <math alttext="A^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p9.8.m8.1"><semantics id="S5.p9.8.m8.1a"><msup id="S5.p9.8.m8.1.1" xref="S5.p9.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S5.p9.8.m8.1.1.2" xref="S5.p9.8.m8.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="S5.p9.8.m8.1.1.3" xref="S5.p9.8.m8.1.1.3.cmml">′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p9.8.m8.1b"><apply id="S5.p9.8.m8.1.1.cmml" xref="S5.p9.8.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p9.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S5.p9.8.m8.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.p9.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S5.p9.8.m8.1.1.2">𝐴</ci><ci id="S5.p9.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S5.p9.8.m8.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p9.8.m8.1c">A^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p9.8.m8.1d">italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> can be selected in different ways.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p10"> <p class="ltx_p" id="S5.p10.6">Let <math alttext="rank(A^{\prime\prime}_{21})=l_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p10.1.m1.1"><semantics id="S5.p10.1.m1.1a"><mrow id="S5.p10.1.m1.1.1" xref="S5.p10.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.p10.1.m1.1.1.1" xref="S5.p10.1.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.p10.1.m1.1.1.1.3" xref="S5.p10.1.m1.1.1.1.3.cmml">r</mi><mo id="S5.p10.1.m1.1.1.1.2" xref="S5.p10.1.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p10.1.m1.1.1.1.4" xref="S5.p10.1.m1.1.1.1.4.cmml">a</mi><mo id="S5.p10.1.m1.1.1.1.2a" xref="S5.p10.1.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p10.1.m1.1.1.1.5" xref="S5.p10.1.m1.1.1.1.5.cmml">n</mi><mo id="S5.p10.1.m1.1.1.1.2b" xref="S5.p10.1.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p10.1.m1.1.1.1.6" xref="S5.p10.1.m1.1.1.1.6.cmml">k</mi><mo id="S5.p10.1.m1.1.1.1.2c" xref="S5.p10.1.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p10.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">21</mn><mo id="S5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">′′</mo></msubsup><mo id="S5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.p10.1.m1.1.1.2" xref="S5.p10.1.m1.1.1.2.cmml">=</mo><msub id="S5.p10.1.m1.1.1.3" xref="S5.p10.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p10.1.m1.1.1.3.2" xref="S5.p10.1.m1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mn id="S5.p10.1.m1.1.1.3.3" xref="S5.p10.1.m1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p10.1.m1.1b"><apply id="S5.p10.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p10.1.m1.1.1"><eq id="S5.p10.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p10.1.m1.1.1.2"></eq><apply id="S5.p10.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.p10.1.m1.1.1.1"><times id="S5.p10.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p10.1.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S5.p10.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p10.1.m1.1.1.1.3">𝑟</ci><ci id="S5.p10.1.m1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.p10.1.m1.1.1.1.4">𝑎</ci><ci id="S5.p10.1.m1.1.1.1.5.cmml" xref="S5.p10.1.m1.1.1.1.5">𝑛</ci><ci id="S5.p10.1.m1.1.1.1.6.cmml" xref="S5.p10.1.m1.1.1.1.6">𝑘</ci><apply id="S5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p10.1.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p10.1.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p10.1.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p10.1.m1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐴</ci><ci id="S5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">′′</ci></apply><cn id="S5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.3">21</cn></apply></apply><apply id="S5.p10.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.p10.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p10.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p10.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p10.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p10.1.m1.1.1.3.2">𝑙</ci><cn id="S5.p10.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p10.1.m1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p10.1.m1.1c">rank(A^{\prime\prime}_{21})=l_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p10.1.m1.1d">italic_r italic_a italic_n italic_k ( italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT ) = italic_l start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="rank(A^{\prime\prime}_{12})=m_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p10.2.m2.1"><semantics id="S5.p10.2.m2.1a"><mrow id="S5.p10.2.m2.1.1" xref="S5.p10.2.m2.1.1.cmml"><mrow id="S5.p10.2.m2.1.1.1" xref="S5.p10.2.m2.1.1.1.cmml"><mi id="S5.p10.2.m2.1.1.1.3" xref="S5.p10.2.m2.1.1.1.3.cmml">r</mi><mo id="S5.p10.2.m2.1.1.1.2" xref="S5.p10.2.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p10.2.m2.1.1.1.4" xref="S5.p10.2.m2.1.1.1.4.cmml">a</mi><mo id="S5.p10.2.m2.1.1.1.2a" xref="S5.p10.2.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p10.2.m2.1.1.1.5" xref="S5.p10.2.m2.1.1.1.5.cmml">n</mi><mo id="S5.p10.2.m2.1.1.1.2b" xref="S5.p10.2.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p10.2.m2.1.1.1.6" xref="S5.p10.2.m2.1.1.1.6.cmml">k</mi><mo id="S5.p10.2.m2.1.1.1.2c" xref="S5.p10.2.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p10.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S5.p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.p10.2.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S5.p10.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S5.p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">12</mn><mo id="S5.p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">′′</mo></msubsup><mo id="S5.p10.2.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.p10.2.m2.1.1.2" xref="S5.p10.2.m2.1.1.2.cmml">=</mo><msub id="S5.p10.2.m2.1.1.3" xref="S5.p10.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p10.2.m2.1.1.3.2" xref="S5.p10.2.m2.1.1.3.2.cmml">m</mi><mn id="S5.p10.2.m2.1.1.3.3" xref="S5.p10.2.m2.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p10.2.m2.1b"><apply id="S5.p10.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.p10.2.m2.1.1"><eq id="S5.p10.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.p10.2.m2.1.1.2"></eq><apply id="S5.p10.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.p10.2.m2.1.1.1"><times id="S5.p10.2.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p10.2.m2.1.1.1.2"></times><ci id="S5.p10.2.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p10.2.m2.1.1.1.3">𝑟</ci><ci id="S5.p10.2.m2.1.1.1.4.cmml" xref="S5.p10.2.m2.1.1.1.4">𝑎</ci><ci id="S5.p10.2.m2.1.1.1.5.cmml" xref="S5.p10.2.m2.1.1.1.5">𝑛</ci><ci id="S5.p10.2.m2.1.1.1.6.cmml" xref="S5.p10.2.m2.1.1.1.6">𝑘</ci><apply id="S5.p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p10.2.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p10.2.m2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p10.2.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p10.2.m2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐴</ci><ci id="S5.p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.3">′′</ci></apply><cn id="S5.p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.3">12</cn></apply></apply><apply id="S5.p10.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.p10.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p10.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p10.2.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p10.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p10.2.m2.1.1.3.2">𝑚</ci><cn id="S5.p10.2.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p10.2.m2.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p10.2.m2.1c">rank(A^{\prime\prime}_{12})=m_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p10.2.m2.1d">italic_r italic_a italic_n italic_k ( italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT ) = italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, then the rank of submatrix <math alttext="A^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p10.3.m3.1"><semantics id="S5.p10.3.m3.1a"><msup id="S5.p10.3.m3.1.1" xref="S5.p10.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S5.p10.3.m3.1.1.2" xref="S5.p10.3.m3.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="S5.p10.3.m3.1.1.3" xref="S5.p10.3.m3.1.1.3.cmml">′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p10.3.m3.1b"><apply id="S5.p10.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.p10.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p10.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.p10.3.m3.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.p10.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.p10.3.m3.1.1.2">𝐴</ci><ci id="S5.p10.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.p10.3.m3.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p10.3.m3.1c">A^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p10.3.m3.1d">italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is equal <math alttext="s=k+m_{1}+l_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p10.4.m4.1"><semantics id="S5.p10.4.m4.1a"><mrow id="S5.p10.4.m4.1.1" xref="S5.p10.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S5.p10.4.m4.1.1.2" xref="S5.p10.4.m4.1.1.2.cmml">s</mi><mo id="S5.p10.4.m4.1.1.1" xref="S5.p10.4.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.p10.4.m4.1.1.3" xref="S5.p10.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p10.4.m4.1.1.3.2" xref="S5.p10.4.m4.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="S5.p10.4.m4.1.1.3.1" xref="S5.p10.4.m4.1.1.3.1.cmml">+</mo><msub id="S5.p10.4.m4.1.1.3.3" xref="S5.p10.4.m4.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.p10.4.m4.1.1.3.3.2" xref="S5.p10.4.m4.1.1.3.3.2.cmml">m</mi><mn id="S5.p10.4.m4.1.1.3.3.3" xref="S5.p10.4.m4.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.p10.4.m4.1.1.3.1a" xref="S5.p10.4.m4.1.1.3.1.cmml">+</mo><msub id="S5.p10.4.m4.1.1.3.4" xref="S5.p10.4.m4.1.1.3.4.cmml"><mi id="S5.p10.4.m4.1.1.3.4.2" xref="S5.p10.4.m4.1.1.3.4.2.cmml">l</mi><mn id="S5.p10.4.m4.1.1.3.4.3" xref="S5.p10.4.m4.1.1.3.4.3.cmml">1</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p10.4.m4.1b"><apply id="S5.p10.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.p10.4.m4.1.1"><eq id="S5.p10.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S5.p10.4.m4.1.1.1"></eq><ci id="S5.p10.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S5.p10.4.m4.1.1.2">𝑠</ci><apply id="S5.p10.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S5.p10.4.m4.1.1.3"><plus id="S5.p10.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p10.4.m4.1.1.3.1"></plus><ci id="S5.p10.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p10.4.m4.1.1.3.2">𝑘</ci><apply id="S5.p10.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p10.4.m4.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p10.4.m4.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.p10.4.m4.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p10.4.m4.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.p10.4.m4.1.1.3.3.2">𝑚</ci><cn id="S5.p10.4.m4.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p10.4.m4.1.1.3.3.3">1</cn></apply><apply id="S5.p10.4.m4.1.1.3.4.cmml" xref="S5.p10.4.m4.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p10.4.m4.1.1.3.4.1.cmml" xref="S5.p10.4.m4.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S5.p10.4.m4.1.1.3.4.2.cmml" xref="S5.p10.4.m4.1.1.3.4.2">𝑙</ci><cn id="S5.p10.4.m4.1.1.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.p10.4.m4.1.1.3.4.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p10.4.m4.1c">s=k+m_{1}+l_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p10.4.m4.1d">italic_s = italic_k + italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_l start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Suppose that we have obtained the following sequences of nested minors: <math alttext="det_{1},...,det_{k},,...,det_{l}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S5.p10.5.m5.1"><semantics id="S5.p10.5.m5.1a"><mrow id="S5.p10.5.m5.1b"><mi id="S5.p10.5.m5.1.2">d</mi><mi id="S5.p10.5.m5.1.3">e</mi><msub id="S5.p10.5.m5.1.4"><mi id="S5.p10.5.m5.1.4.2">t</mi><mn id="S5.p10.5.m5.1.4.3">1</mn></msub><mo id="S5.p10.5.m5.1.5">,</mo><mi id="S5.p10.5.m5.1.1" mathvariant="normal">…</mi><mo id="S5.p10.5.m5.1.6">,</mo><mi id="S5.p10.5.m5.1.7">d</mi><mi id="S5.p10.5.m5.1.8">e</mi><msub id="S5.p10.5.m5.1.9"><mi id="S5.p10.5.m5.1.9.2">t</mi><mi id="S5.p10.5.m5.1.9.3">k</mi></msub><mo id="S5.p10.5.m5.1.10">,</mo><mo id="S5.p10.5.m5.1.11">,</mo><mi id="S5.p10.5.m5.1.12" mathvariant="normal">…</mi><mo id="S5.p10.5.m5.1.13">,</mo><mi id="S5.p10.5.m5.1.14">d</mi><mi id="S5.p10.5.m5.1.15">e</mi><msub id="S5.p10.5.m5.1.16"><mi id="S5.p10.5.m5.1.16.2">t</mi><mi id="S5.p10.5.m5.1.16.3">l</mi></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p10.5.m5.1c">det_{1},...,det_{k},,...,det_{l}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p10.5.m5.1d">italic_d italic_e italic_t start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_d italic_e italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , , … , italic_d italic_e italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="(l=l_{1}+k)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p10.6.m6.1"><semantics id="S5.p10.6.m6.1a"><mrow id="S5.p10.6.m6.1.1.1" xref="S5.p10.6.m6.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.p10.6.m6.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.p10.6.m6.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.p10.6.m6.1.1.1.1" xref="S5.p10.6.m6.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.p10.6.m6.1.1.1.1.2" xref="S5.p10.6.m6.1.1.1.1.2.cmml">l</mi><mo id="S5.p10.6.m6.1.1.1.1.1" xref="S5.p10.6.m6.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.p10.6.m6.1.1.1.1.3" xref="S5.p10.6.m6.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S5.p10.6.m6.1.1.1.1.3.2" xref="S5.p10.6.m6.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.p10.6.m6.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.p10.6.m6.1.1.1.1.3.2.2.cmml">l</mi><mn id="S5.p10.6.m6.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.p10.6.m6.1.1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.p10.6.m6.1.1.1.1.3.1" xref="S5.p10.6.m6.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mi id="S5.p10.6.m6.1.1.1.1.3.3" xref="S5.p10.6.m6.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></mrow><mo id="S5.p10.6.m6.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.p10.6.m6.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p10.6.m6.1b"><apply id="S5.p10.6.m6.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p10.6.m6.1.1.1"><eq id="S5.p10.6.m6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p10.6.m6.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S5.p10.6.m6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p10.6.m6.1.1.1.1.2">𝑙</ci><apply id="S5.p10.6.m6.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p10.6.m6.1.1.1.1.3"><plus id="S5.p10.6.m6.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p10.6.m6.1.1.1.1.3.1"></plus><apply id="S5.p10.6.m6.1.1.1.1.3.2.cmml" 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class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex29.m1.1"><semantics id="S5.Ex29.m1.1a"><mrow id="S5.Ex29.m1.1.2.2" xref="S5.Ex29.m1.1.2.1.cmml"><mo id="S5.Ex29.m1.1.2.2.1" xref="S5.Ex29.m1.1.2.1.1.cmml">[</mo><mtable displaystyle="true" id="S5.Ex29.m1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S5.Ex29.m1.1.1.cmml"><mtr id="S5.Ex29.m1.1.1a" xref="S5.Ex29.m1.1.1.cmml"><mtd id="S5.Ex29.m1.1.1b" xref="S5.Ex29.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">11</mn></msub></mtd></mtr><mtr id="S5.Ex29.m1.1.1c" xref="S5.Ex29.m1.1.1.cmml"><mtd id="S5.Ex29.m1.1.1d" xref="S5.Ex29.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex29.m1.1.1.2.1.1" xref="S5.Ex29.m1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex29.m1.1.1.2.1.1.2" xref="S5.Ex29.m1.1.1.2.1.1.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex29.m1.1.1.2.1.1.3" xref="S5.Ex29.m1.1.1.2.1.1.3.cmml">21</mn></msub></mtd></mtr></mtable><mo 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xref="S5.p10.7.m1.2.2.1.1.4.3">1</cn></apply></apply><ci id="S5.p10.7.m1.1.1.cmml" xref="S5.p10.7.m1.1.1">…</ci><apply id="S5.p10.7.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.p10.7.m1.3.3.2.2"><times id="S5.p10.7.m1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S5.p10.7.m1.3.3.2.2.1"></times><ci id="S5.p10.7.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S5.p10.7.m1.3.3.2.2.2">𝑑</ci><ci id="S5.p10.7.m1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S5.p10.7.m1.3.3.2.2.3">𝑒</ci><apply id="S5.p10.7.m1.3.3.2.2.4.cmml" xref="S5.p10.7.m1.3.3.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p10.7.m1.3.3.2.2.4.1.cmml" xref="S5.p10.7.m1.3.3.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S5.p10.7.m1.3.3.2.2.4.2.cmml" xref="S5.p10.7.m1.3.3.2.2.4.2">𝑡</ci><ci id="S5.p10.7.m1.3.3.2.2.4.3.cmml" xref="S5.p10.7.m1.3.3.2.2.4.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S5.p10.7.m1.4.4.3.3.cmml" xref="S5.p10.7.m1.4.4.3.3"><times id="S5.p10.7.m1.4.4.3.3.1.cmml" xref="S5.p10.7.m1.4.4.3.3.1"></times><ci id="S5.p10.7.m1.4.4.3.3.2.cmml" xref="S5.p10.7.m1.4.4.3.3.2">𝑑</ci><ci id="S5.p10.7.m1.4.4.3.3.3.cmml" xref="S5.p10.7.m1.4.4.3.3.3">𝑒</ci><apply id="S5.p10.7.m1.4.4.3.3.4.cmml" xref="S5.p10.7.m1.4.4.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p10.7.m1.4.4.3.3.4.1.cmml" xref="S5.p10.7.m1.4.4.3.3.4">subscript</csymbol><apply id="S5.p10.7.m1.4.4.3.3.4.2.cmml" xref="S5.p10.7.m1.4.4.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p10.7.m1.4.4.3.3.4.2.1.cmml" xref="S5.p10.7.m1.4.4.3.3.4">superscript</csymbol><ci id="S5.p10.7.m1.4.4.3.3.4.2.2.cmml" xref="S5.p10.7.m1.4.4.3.3.4.2.2">𝑡</ci><ci id="S5.p10.7.m1.4.4.3.3.4.2.3.cmml" xref="S5.p10.7.m1.4.4.3.3.4.2.3">′</ci></apply><apply id="S5.p10.7.m1.4.4.3.3.4.3.cmml" xref="S5.p10.7.m1.4.4.3.3.4.3"><plus id="S5.p10.7.m1.4.4.3.3.4.3.1.cmml" xref="S5.p10.7.m1.4.4.3.3.4.3.1"></plus><ci id="S5.p10.7.m1.4.4.3.3.4.3.2.cmml" xref="S5.p10.7.m1.4.4.3.3.4.3.2">𝑘</ci><cn id="S5.p10.7.m1.4.4.3.3.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p10.7.m1.4.4.3.3.4.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S5.p10.7.m1.4.4.3.3.5.cmml" xref="S5.p10.7.m1.4.4.3.3.5">…</ci></apply><apply id="S5.p10.7.m1.5.5.4.4.cmml" xref="S5.p10.7.m1.5.5.4.4"><times id="S5.p10.7.m1.5.5.4.4.1.cmml" xref="S5.p10.7.m1.5.5.4.4.1"></times><ci id="S5.p10.7.m1.5.5.4.4.2.cmml" xref="S5.p10.7.m1.5.5.4.4.2">𝑑</ci><ci id="S5.p10.7.m1.5.5.4.4.3.cmml" xref="S5.p10.7.m1.5.5.4.4.3">𝑒</ci><apply id="S5.p10.7.m1.5.5.4.4.4.cmml" xref="S5.p10.7.m1.5.5.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p10.7.m1.5.5.4.4.4.1.cmml" xref="S5.p10.7.m1.5.5.4.4.4">subscript</csymbol><apply id="S5.p10.7.m1.5.5.4.4.4.2.cmml" xref="S5.p10.7.m1.5.5.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p10.7.m1.5.5.4.4.4.2.1.cmml" xref="S5.p10.7.m1.5.5.4.4.4">superscript</csymbol><ci id="S5.p10.7.m1.5.5.4.4.4.2.2.cmml" xref="S5.p10.7.m1.5.5.4.4.4.2.2">𝑡</ci><ci id="S5.p10.7.m1.5.5.4.4.4.2.3.cmml" xref="S5.p10.7.m1.5.5.4.4.4.2.3">′</ci></apply><ci id="S5.p10.7.m1.5.5.4.4.4.3.cmml" xref="S5.p10.7.m1.5.5.4.4.4.3">𝑚</ci></apply></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p10.7.m1.5c">det_{1},...,det_{k},det^{\prime}_{k+1}...,det^{\prime}_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p10.7.m1.5d">italic_d italic_e italic_t start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_d italic_e italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_d italic_e italic_t start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUBSCRIPT … , italic_d italic_e italic_t start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="m=m_{1}+k" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p10.8.m2.1"><semantics id="S5.p10.8.m2.1a"><mrow id="S5.p10.8.m2.1.1" xref="S5.p10.8.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.p10.8.m2.1.1.2" xref="S5.p10.8.m2.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="S5.p10.8.m2.1.1.1" xref="S5.p10.8.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.p10.8.m2.1.1.3" xref="S5.p10.8.m2.1.1.3.cmml"><msub id="S5.p10.8.m2.1.1.3.2" xref="S5.p10.8.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.p10.8.m2.1.1.3.2.2" xref="S5.p10.8.m2.1.1.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S5.p10.8.m2.1.1.3.2.3" xref="S5.p10.8.m2.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.p10.8.m2.1.1.3.1" xref="S5.p10.8.m2.1.1.3.1.cmml">+</mo><mi id="S5.p10.8.m2.1.1.3.3" xref="S5.p10.8.m2.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p10.8.m2.1b"><apply id="S5.p10.8.m2.1.1.cmml" xref="S5.p10.8.m2.1.1"><eq id="S5.p10.8.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.p10.8.m2.1.1.1"></eq><ci id="S5.p10.8.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.p10.8.m2.1.1.2">𝑚</ci><apply id="S5.p10.8.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.p10.8.m2.1.1.3"><plus id="S5.p10.8.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p10.8.m2.1.1.3.1"></plus><apply id="S5.p10.8.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p10.8.m2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p10.8.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.p10.8.m2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p10.8.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.p10.8.m2.1.1.3.2.2">𝑚</ci><cn id="S5.p10.8.m2.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p10.8.m2.1.1.3.2.3">1</cn></apply><ci id="S5.p10.8.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p10.8.m2.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p10.8.m2.1c">m=m_{1}+k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p10.8.m2.1d">italic_m = italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_k</annotation></semantics></math>, for the block</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex30"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\left[\begin{array}[]{cc}A_{11}&A_{12}\end{array}\right]." class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex30.m1.2"><semantics id="S5.Ex30.m1.2a"><mrow id="S5.Ex30.m1.2.2.1"><mrow id="S5.Ex30.m1.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex30.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1" xref="S5.Ex30.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S5.Ex30.m1.1.1" xref="S5.Ex30.m1.1.1.cmml"><mtr id="S5.Ex30.m1.1.1a" xref="S5.Ex30.m1.1.1.cmml"><mtd id="S5.Ex30.m1.1.1b" xref="S5.Ex30.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex30.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex30.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex30.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex30.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex30.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex30.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">11</mn></msub></mtd><mtd id="S5.Ex30.m1.1.1c" xref="S5.Ex30.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex30.m1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex30.m1.1.1.1.2.1.cmml"><mi id="S5.Ex30.m1.1.1.1.2.1.2" xref="S5.Ex30.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex30.m1.1.1.1.2.1.3" xref="S5.Ex30.m1.1.1.1.2.1.3.cmml">12</mn></msub></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.Ex30.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S5.Ex30.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.Ex30.m1.2.2.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex30.m1.2b"><apply id="S5.Ex30.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex30.m1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex30.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S5.Ex30.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex30.m1.1.1"><matrixrow id="S5.Ex30.m1.1.1a.cmml" xref="S5.Ex30.m1.1.1"><apply id="S5.Ex30.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex30.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex30.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex30.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex30.m1.1.1.1.1.1.2">𝐴</ci><cn id="S5.Ex30.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex30.m1.1.1.1.1.1.3">11</cn></apply><apply id="S5.Ex30.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex30.m1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex30.m1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex30.m1.1.1.1.2.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex30.m1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex30.m1.1.1.1.2.1.2">𝐴</ci><cn id="S5.Ex30.m1.1.1.1.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex30.m1.1.1.1.2.1.3">12</cn></apply></matrixrow></matrix></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex30.m1.2c">\left[\begin{array}[]{cc}A_{11}&A_{12}\end{array}\right].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex30.m1.2d">[ start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_A start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_A start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARRAY ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p11"> <p class="ltx_p" id="S5.p11.1">For the matrix <math alttext="A^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p11.1.m1.1"><semantics id="S5.p11.1.m1.1a"><msup id="S5.p11.1.m1.1.1" xref="S5.p11.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.p11.1.m1.1.1.2" xref="S5.p11.1.m1.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="S5.p11.1.m1.1.1.3" xref="S5.p11.1.m1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p11.1.m1.1b"><apply id="S5.p11.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p11.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p11.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.p11.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.p11.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p11.1.m1.1.1.2">𝐴</ci><ci id="S5.p11.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.p11.1.m1.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p11.1.m1.1c">A^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p11.1.m1.1d">italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> we can set the following sequences of nested minors:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex31"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="det_{1},...,det_{k},...,det_{l},det_{l+1},,...,det_{s}," class="ltx_math_unparsed" display="block" id="S5.Ex31.m1.2"><semantics id="S5.Ex31.m1.2a"><mrow id="S5.Ex31.m1.2b"><mi id="S5.Ex31.m1.2.3">d</mi><mi id="S5.Ex31.m1.2.4">e</mi><msub id="S5.Ex31.m1.2.5"><mi id="S5.Ex31.m1.2.5.2">t</mi><mn id="S5.Ex31.m1.2.5.3">1</mn></msub><mo id="S5.Ex31.m1.2.6">,</mo><mi id="S5.Ex31.m1.1.1" mathvariant="normal">…</mi><mo id="S5.Ex31.m1.2.7">,</mo><mi id="S5.Ex31.m1.2.8">d</mi><mi id="S5.Ex31.m1.2.9">e</mi><msub id="S5.Ex31.m1.2.10"><mi id="S5.Ex31.m1.2.10.2">t</mi><mi id="S5.Ex31.m1.2.10.3">k</mi></msub><mo id="S5.Ex31.m1.2.11">,</mo><mi id="S5.Ex31.m1.2.2" mathvariant="normal">…</mi><mo id="S5.Ex31.m1.2.12">,</mo><mi id="S5.Ex31.m1.2.13">d</mi><mi id="S5.Ex31.m1.2.14">e</mi><msub id="S5.Ex31.m1.2.15"><mi id="S5.Ex31.m1.2.15.2">t</mi><mi id="S5.Ex31.m1.2.15.3">l</mi></msub><mo id="S5.Ex31.m1.2.16">,</mo><mi id="S5.Ex31.m1.2.17">d</mi><mi id="S5.Ex31.m1.2.18">e</mi><msub id="S5.Ex31.m1.2.19"><mi id="S5.Ex31.m1.2.19.2">t</mi><mrow id="S5.Ex31.m1.2.19.3"><mi id="S5.Ex31.m1.2.19.3.2">l</mi><mo id="S5.Ex31.m1.2.19.3.1">+</mo><mn id="S5.Ex31.m1.2.19.3.3">1</mn></mrow></msub><mo id="S5.Ex31.m1.2.20">,</mo><mo id="S5.Ex31.m1.2.21">,</mo><mi id="S5.Ex31.m1.2.22" mathvariant="normal">…</mi><mo id="S5.Ex31.m1.2.23">,</mo><mi id="S5.Ex31.m1.2.24">d</mi><mi id="S5.Ex31.m1.2.25">e</mi><msub id="S5.Ex31.m1.2.26"><mi id="S5.Ex31.m1.2.26.2">t</mi><mi id="S5.Ex31.m1.2.26.3">s</mi></msub><mo id="S5.Ex31.m1.2.27">,</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex31.m1.2c">det_{1},...,det_{k},...,det_{l},det_{l+1},,...,det_{s},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex31.m1.2d">italic_d italic_e italic_t start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_d italic_e italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_d italic_e italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT , italic_d italic_e italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_l + 1 end_POSTSUBSCRIPT , , … , italic_d italic_e italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p11.3">with</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex32"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="det_{l+i}=\lambda det^{\prime}_{k+i},\ \ i=1,2,..,m_{1},\ (\lambda=det_{l}/det% _{k})," class="ltx_math_unparsed" display="block" id="S5.Ex32.m1.2"><semantics id="S5.Ex32.m1.2a"><mrow id="S5.Ex32.m1.2b"><mi id="S5.Ex32.m1.2.3">d</mi><mi id="S5.Ex32.m1.2.4">e</mi><msub id="S5.Ex32.m1.2.5"><mi id="S5.Ex32.m1.2.5.2">t</mi><mrow id="S5.Ex32.m1.2.5.3"><mi id="S5.Ex32.m1.2.5.3.2">l</mi><mo id="S5.Ex32.m1.2.5.3.1">+</mo><mi id="S5.Ex32.m1.2.5.3.3">i</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex32.m1.2.6">=</mo><mi id="S5.Ex32.m1.2.7">λ</mi><mi id="S5.Ex32.m1.2.8">d</mi><mi id="S5.Ex32.m1.2.9">e</mi><msubsup id="S5.Ex32.m1.2.10"><mi id="S5.Ex32.m1.2.10.2.2">t</mi><mrow id="S5.Ex32.m1.2.10.3"><mi id="S5.Ex32.m1.2.10.3.2">k</mi><mo id="S5.Ex32.m1.2.10.3.1">+</mo><mi id="S5.Ex32.m1.2.10.3.3">i</mi></mrow><mo id="S5.Ex32.m1.2.10.2.3">′</mo></msubsup><mo id="S5.Ex32.m1.2.11" rspace="1.167em">,</mo><mi id="S5.Ex32.m1.2.12">i</mi><mo id="S5.Ex32.m1.2.13">=</mo><mn id="S5.Ex32.m1.1.1">1</mn><mo id="S5.Ex32.m1.2.14">,</mo><mn id="S5.Ex32.m1.2.2">2</mn><mo id="S5.Ex32.m1.2.15">,</mo><mo id="S5.Ex32.m1.2.16" lspace="0em" rspace="0.0835em">.</mo><mo id="S5.Ex32.m1.2.17" lspace="0.0835em" rspace="0.167em">.</mo><mo id="S5.Ex32.m1.2.18">,</mo><msub id="S5.Ex32.m1.2.19"><mi id="S5.Ex32.m1.2.19.2">m</mi><mn id="S5.Ex32.m1.2.19.3">1</mn></msub><mo id="S5.Ex32.m1.2.20" rspace="0.667em">,</mo><mrow id="S5.Ex32.m1.2.21"><mo id="S5.Ex32.m1.2.21.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S5.Ex32.m1.2.21.2">λ</mi><mo id="S5.Ex32.m1.2.21.3">=</mo><mi id="S5.Ex32.m1.2.21.4">d</mi><mi id="S5.Ex32.m1.2.21.5">e</mi><msub id="S5.Ex32.m1.2.21.6"><mi id="S5.Ex32.m1.2.21.6.2">t</mi><mi id="S5.Ex32.m1.2.21.6.3">l</mi></msub><mo id="S5.Ex32.m1.2.21.7">/</mo><mi id="S5.Ex32.m1.2.21.8">d</mi><mi id="S5.Ex32.m1.2.21.9">e</mi><msub id="S5.Ex32.m1.2.21.10"><mi id="S5.Ex32.m1.2.21.10.2">t</mi><mi id="S5.Ex32.m1.2.21.10.3">k</mi></msub><mo id="S5.Ex32.m1.2.21.11" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex32.m1.2.22">,</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex32.m1.2c">det_{l+i}=\lambda det^{\prime}_{k+i},\ \ i=1,2,..,m_{1},\ (\lambda=det_{l}/det% _{k}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex32.m1.2d">italic_d italic_e italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_l + italic_i end_POSTSUBSCRIPT = italic_λ italic_d italic_e italic_t start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k + italic_i end_POSTSUBSCRIPT , italic_i = 1 , 2 , . . , italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , ( italic_λ = italic_d italic_e italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT / italic_d italic_e italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p11.2">in particular, <math alttext="det_{s}=\lambda det^{\prime}_{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p11.2.m1.1"><semantics id="S5.p11.2.m1.1a"><mrow id="S5.p11.2.m1.1.1" xref="S5.p11.2.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.p11.2.m1.1.1.2" xref="S5.p11.2.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p11.2.m1.1.1.2.2" xref="S5.p11.2.m1.1.1.2.2.cmml">d</mi><mo id="S5.p11.2.m1.1.1.2.1" xref="S5.p11.2.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p11.2.m1.1.1.2.3" xref="S5.p11.2.m1.1.1.2.3.cmml">e</mi><mo id="S5.p11.2.m1.1.1.2.1a" xref="S5.p11.2.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p11.2.m1.1.1.2.4" xref="S5.p11.2.m1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S5.p11.2.m1.1.1.2.4.2" xref="S5.p11.2.m1.1.1.2.4.2.cmml">t</mi><mi id="S5.p11.2.m1.1.1.2.4.3" xref="S5.p11.2.m1.1.1.2.4.3.cmml">s</mi></msub></mrow><mo id="S5.p11.2.m1.1.1.1" xref="S5.p11.2.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.p11.2.m1.1.1.3" xref="S5.p11.2.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p11.2.m1.1.1.3.2" xref="S5.p11.2.m1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mo id="S5.p11.2.m1.1.1.3.1" xref="S5.p11.2.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p11.2.m1.1.1.3.3" xref="S5.p11.2.m1.1.1.3.3.cmml">d</mi><mo id="S5.p11.2.m1.1.1.3.1a" xref="S5.p11.2.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p11.2.m1.1.1.3.4" xref="S5.p11.2.m1.1.1.3.4.cmml">e</mi><mo id="S5.p11.2.m1.1.1.3.1b" xref="S5.p11.2.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.p11.2.m1.1.1.3.5" xref="S5.p11.2.m1.1.1.3.5.cmml"><mi id="S5.p11.2.m1.1.1.3.5.2.2" xref="S5.p11.2.m1.1.1.3.5.2.2.cmml">t</mi><mi id="S5.p11.2.m1.1.1.3.5.3" xref="S5.p11.2.m1.1.1.3.5.3.cmml">m</mi><mo id="S5.p11.2.m1.1.1.3.5.2.3" xref="S5.p11.2.m1.1.1.3.5.2.3.cmml">′</mo></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p11.2.m1.1b"><apply id="S5.p11.2.m1.1.1.cmml" xref="S5.p11.2.m1.1.1"><eq id="S5.p11.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.p11.2.m1.1.1.1"></eq><apply id="S5.p11.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p11.2.m1.1.1.2"><times id="S5.p11.2.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p11.2.m1.1.1.2.1"></times><ci id="S5.p11.2.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p11.2.m1.1.1.2.2">𝑑</ci><ci id="S5.p11.2.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p11.2.m1.1.1.2.3">𝑒</ci><apply id="S5.p11.2.m1.1.1.2.4.cmml" xref="S5.p11.2.m1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p11.2.m1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S5.p11.2.m1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S5.p11.2.m1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S5.p11.2.m1.1.1.2.4.2">𝑡</ci><ci id="S5.p11.2.m1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S5.p11.2.m1.1.1.2.4.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S5.p11.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.p11.2.m1.1.1.3"><times id="S5.p11.2.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p11.2.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S5.p11.2.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p11.2.m1.1.1.3.2">𝜆</ci><ci id="S5.p11.2.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p11.2.m1.1.1.3.3">𝑑</ci><ci id="S5.p11.2.m1.1.1.3.4.cmml" xref="S5.p11.2.m1.1.1.3.4">𝑒</ci><apply id="S5.p11.2.m1.1.1.3.5.cmml" xref="S5.p11.2.m1.1.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p11.2.m1.1.1.3.5.1.cmml" xref="S5.p11.2.m1.1.1.3.5">subscript</csymbol><apply id="S5.p11.2.m1.1.1.3.5.2.cmml" xref="S5.p11.2.m1.1.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p11.2.m1.1.1.3.5.2.1.cmml" xref="S5.p11.2.m1.1.1.3.5">superscript</csymbol><ci id="S5.p11.2.m1.1.1.3.5.2.2.cmml" xref="S5.p11.2.m1.1.1.3.5.2.2">𝑡</ci><ci id="S5.p11.2.m1.1.1.3.5.2.3.cmml" xref="S5.p11.2.m1.1.1.3.5.2.3">′</ci></apply><ci id="S5.p11.2.m1.1.1.3.5.3.cmml" xref="S5.p11.2.m1.1.1.3.5.3">𝑚</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p11.2.m1.1c">det_{s}=\lambda det^{\prime}_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p11.2.m1.1d">italic_d italic_e italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT = italic_λ italic_d italic_e italic_t start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p12"> <p class="ltx_p" id="S5.p12.3">We denote <math alttext="\alpha_{l}=det_{l},\ \alpha_{s}=det_{s}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p12.1.m1.2"><semantics id="S5.p12.1.m1.2a"><mrow id="S5.p12.1.m1.2.2.2" xref="S5.p12.1.m1.2.2.3.cmml"><mrow id="S5.p12.1.m1.1.1.1.1" xref="S5.p12.1.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.p12.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.p12.1.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p12.1.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.p12.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">α</mi><mi id="S5.p12.1.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.p12.1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S5.p12.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.p12.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.p12.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.p12.1.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p12.1.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.p12.1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.p12.1.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.p12.1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p12.1.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.p12.1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">e</mi><mo id="S5.p12.1.m1.1.1.1.1.3.1a" xref="S5.p12.1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p12.1.m1.1.1.1.1.3.4" xref="S5.p12.1.m1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S5.p12.1.m1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S5.p12.1.m1.1.1.1.1.3.4.2.cmml">t</mi><mi id="S5.p12.1.m1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S5.p12.1.m1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">l</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S5.p12.1.m1.2.2.2.3" rspace="0.667em" xref="S5.p12.1.m1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S5.p12.1.m1.2.2.2.2" xref="S5.p12.1.m1.2.2.2.2.cmml"><msub id="S5.p12.1.m1.2.2.2.2.2" xref="S5.p12.1.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.p12.1.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S5.p12.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">α</mi><mi id="S5.p12.1.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S5.p12.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">s</mi></msub><mo id="S5.p12.1.m1.2.2.2.2.1" xref="S5.p12.1.m1.2.2.2.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.p12.1.m1.2.2.2.2.3" xref="S5.p12.1.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.p12.1.m1.2.2.2.2.3.2" xref="S5.p12.1.m1.2.2.2.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.p12.1.m1.2.2.2.2.3.1" xref="S5.p12.1.m1.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p12.1.m1.2.2.2.2.3.3" xref="S5.p12.1.m1.2.2.2.2.3.3.cmml">e</mi><mo id="S5.p12.1.m1.2.2.2.2.3.1a" xref="S5.p12.1.m1.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub 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xref="S5.p12.1.m1.1.1.1.1.3"><times id="S5.p12.1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p12.1.m1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S5.p12.1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p12.1.m1.1.1.1.1.3.2">𝑑</ci><ci id="S5.p12.1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p12.1.m1.1.1.1.1.3.3">𝑒</ci><apply id="S5.p12.1.m1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S5.p12.1.m1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p12.1.m1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S5.p12.1.m1.1.1.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S5.p12.1.m1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S5.p12.1.m1.1.1.1.1.3.4.2">𝑡</ci><ci id="S5.p12.1.m1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S5.p12.1.m1.1.1.1.1.3.4.3">𝑙</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.p12.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.p12.1.m1.2.2.2.2"><eq id="S5.p12.1.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.p12.1.m1.2.2.2.2.1"></eq><apply id="S5.p12.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.p12.1.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p12.1.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.p12.1.m1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p12.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" 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id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">21</mn></msub><mo id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mfrac id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><msub id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" 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id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1"></times><apply id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2">𝛼</ci><ci id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2">𝑆</ci><cn id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3">21</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2"><ci id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.1">¯</ci><ci id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">21</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝛼</ci><ci id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑚</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2"><eq id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.1"></eq><apply id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.2"><ci id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1">^</ci><ci id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.3">12</cn></apply><apply id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3"><divide id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3"></divide><apply id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.2"><plus id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1"></plus><apply id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2"><times id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.1"></times><apply id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.2.2">𝛼</ci><ci id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3.2">𝑆</ci><cn id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3.3">12</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2"><ci id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.1">¯</ci><ci id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.3">12</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2">𝛼</ci><ci id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3">𝑙</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex33.m1.1c">\widehat{S}_{21}=\frac{\alpha_{k}S_{21}+\bar{S}_{21}}{\alpha_{m}},\ \widehat{S% }_{12}=\frac{\alpha_{k}S_{12}+\bar{S}_{12}}{\alpha_{l}},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex33.m1.1d">over^ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_S start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT + over¯ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT end_ARG , over^ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_S start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT + over¯ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex34"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\ L^{\sim}_{12}=L_{12}I^{\lambda}_{12},\ \ U^{\sim}_{12}=J^{\lambda}_{12}U_{12}," class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex34.m1.1"><semantics id="S5.Ex34.m1.1a"><mrow id="S5.Ex34.m1.1.1.1"><mrow id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">L</mi><mn id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">12</mn><mo id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">∼</mo></msubsup><mo id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">L</mi><mn id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">12</mn></msub><mo id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">I</mi><mn id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">12</mn><mi id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">λ</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><msubsup id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">U</mi><mn id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">12</mn><mo id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">∼</mo></msubsup><mo id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><msubsup id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.2" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.2.cmml">J</mi><mn id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml">12</mn><mi id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3.cmml">λ</mi></msubsup><mo id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml">U</mi><mn id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml">12</mn></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex34.m1.1.1.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex34.m1.1b"><apply id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝐿</ci><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">similar-to</csymbol></apply><cn id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">12</cn></apply><apply id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝐿</ci><cn id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">12</cn></apply><apply id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝐼</ci><ci id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">𝜆</ci></apply><cn id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">12</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2"><eq id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.1"></eq><apply id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝑈</ci><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">similar-to</csymbol></apply><cn id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.2.3">12</cn></apply><apply id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><apply id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.3.2">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.2">𝐽</ci><ci id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3">𝜆</ci></apply><cn id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3">12</cn></apply><apply id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2">𝑈</ci><cn id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3">12</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex34.m1.1c">\ L^{\sim}_{12}=L_{12}I^{\lambda}_{12},\ \ U^{\sim}_{12}=J^{\lambda}_{12}U_{12},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex34.m1.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT ∼ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT = italic_L start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT italic_I start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT , italic_U start_POSTSUPERSCRIPT ∼ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT = italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right"><math class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex34.1.1.m1.1"><semantics id="S5.Ex34.1.1.m1.1b"><mrow id="S5.Ex34.1.1.m1.1.2.2"><mo id="S5.Ex34.1.1.m1.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S5.Ex34.1.1.m1.1.1" xref="S5.Ex34.1.1.m1.1.1.cmml">11</mn><mo id="S5.Ex34.1.1.m1.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex34.1.1.m1.1c"><cn id="S5.Ex34.1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex34.1.1.m1.1.1">11</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex34.1.1.m1.1d">( 11 )</annotation></semantics></math></span></td> </tr></tbody> </table> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex35"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="S^{\sim}_{12}=\lambda^{-2}S_{12},\ \ {\widehat{S}}^{\sim}_{12}=I^{\lambda^{-2}% }_{12}{\widehat{S}}_{12}," class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex35.m1.1"><semantics id="S5.Ex35.m1.1a"><mrow id="S5.Ex35.m1.1.1.1"><mrow id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">S</mi><mn id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">12</mn><mo id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">∼</mo></msubsup><mo id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">λ</mi><mrow id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3a" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">S</mi><mn id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">12</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><msubsup id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">12</mn><mo id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">∼</mo></msubsup><mo id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><msubsup id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.2" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.2.cmml">I</mi><mn id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml">12</mn><msup id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3.2" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3.2.cmml">λ</mi><mrow id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3.3" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3.3.cmml"><mo id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3.3a" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3.3.2" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3.3.2.cmml">2</mn></mrow></msup></msubsup><mo id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml">12</mn></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex35.m1.1.1.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex35.m1.1b"><apply id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑆</ci><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">similar-to</csymbol></apply><cn id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">12</cn></apply><apply id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜆</ci><apply id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><minus id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"></minus><cn id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">2</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑆</ci><cn id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">12</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2"><eq id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.1"></eq><apply id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2"><ci id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1">^</ci><ci id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2">𝑆</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">similar-to</csymbol></apply><cn id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.2.3">12</cn></apply><apply id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><apply id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.2">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.2">𝐼</ci><apply id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3.2">𝜆</ci><apply id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3.3"><minus id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3.3"></minus><cn id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3.3.2">2</cn></apply></apply></apply><cn id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3">12</cn></apply><apply id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2"><ci id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1">^</ci><ci id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3">12</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex35.m1.1c">S^{\sim}_{12}=\lambda^{-2}S_{12},\ \ {\widehat{S}}^{\sim}_{12}=I^{\lambda^{-2}% }_{12}{\widehat{S}}_{12},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex35.m1.1d">italic_S start_POSTSUPERSCRIPT ∼ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT = italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT - 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_S start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT , over^ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ∼ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT = italic_I start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT - 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex36"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\ \ M^{\sim}_{12}=J^{\lambda}_{12}M_{12},\ \ W^{\sim}_{12}=W_{12}I^{\lambda}_{% 12}," class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex36.m1.1"><semantics id="S5.Ex36.m1.1a"><mrow id="S5.Ex36.m1.1.1.1"><mrow id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">M</mi><mn id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">12</mn><mo id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">∼</mo></msubsup><mo id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">J</mi><mn id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">12</mn><mi id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">λ</mi></msubsup><mo id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">M</mi><mn id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">12</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><msubsup id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">W</mi><mn id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">12</mn><mo id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">∼</mo></msubsup><mo id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><msub id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml">W</mi><mn id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml">12</mn></msub><mo id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.cmml">I</mi><mn id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml">12</mn><mi id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3.cmml">λ</mi></msubsup></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex36.m1.1.1.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex36.m1.1b"><apply id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑀</ci><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">similar-to</csymbol></apply><cn id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">12</cn></apply><apply id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝐽</ci><ci id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">𝜆</ci></apply><cn id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">12</cn></apply><apply id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑀</ci><cn id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">12</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2"><eq id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.1"></eq><apply id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝑊</ci><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">similar-to</csymbol></apply><cn id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.2.3">12</cn></apply><apply id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><apply id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2">𝑊</ci><cn id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3">12</cn></apply><apply id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.3.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2">𝐼</ci><ci id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3">𝜆</ci></apply><cn id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3">12</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex36.m1.1c">\ \ M^{\sim}_{12}=J^{\lambda}_{12}M_{12},\ \ W^{\sim}_{12}=W_{12}I^{\lambda}_{% 12},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex36.m1.1d">italic_M start_POSTSUPERSCRIPT ∼ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT = italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT , italic_W start_POSTSUPERSCRIPT ∼ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT = italic_W start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT italic_I start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right"><math class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex36.1.1.m1.1"><semantics id="S5.Ex36.1.1.m1.1b"><mrow id="S5.Ex36.1.1.m1.1.2.2"><mo id="S5.Ex36.1.1.m1.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S5.Ex36.1.1.m1.1.1" xref="S5.Ex36.1.1.m1.1.1.cmml">12</mn><mo id="S5.Ex36.1.1.m1.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex36.1.1.m1.1c"><cn id="S5.Ex36.1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex36.1.1.m1.1.1">12</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex36.1.1.m1.1d">( 12 )</annotation></semantics></math></span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p12.12">Then the last system can be written as follows:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex37"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\left\{\begin{array}[]{rcl}(\lambda\alpha_{k})L^{\sim}_{12}S^{\sim}_{12}U^{% \sim}_{12}=\lambda A^{\prime\prime}_{12}\\ L^{\sim}_{12}{\widehat{S}}^{\sim}_{12}M^{\sim}_{12}={\mathbf{I}}\\ W^{\sim}_{12}{\widehat{S}}^{\sim}_{12}U^{\sim}_{12}={\mathbf{I}}\end{array}% \right.," class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex37.m1.2"><semantics id="S5.Ex37.m1.2a"><mrow id="S5.Ex37.m1.2.2.1"><mrow id="S5.Ex37.m1.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex37.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex37.m1.2.2.1.1.2.1" xref="S5.Ex37.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">{</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S5.Ex37.m1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S5.Ex37.m1.1.1.cmml"><mtr id="S5.Ex37.m1.1.1a" xref="S5.Ex37.m1.1.1.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S5.Ex37.m1.1.1b" xref="S5.Ex37.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">L</mi><mn id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">12</mn><mo id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">∼</mo></msubsup><mo id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">S</mi><mn id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">12</mn><mo id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">∼</mo></msubsup><mo id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.2b" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.5" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.2" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.2.cmml">U</mi><mn id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">12</mn><mo id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.3" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.3.cmml">∼</mo></msubsup></mrow><mo id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mo id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">12</mn><mo id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">′′</mo></msubsup></mrow></mrow></mtd><mtd id="S5.Ex37.m1.1.1c" xref="S5.Ex37.m1.1.1.cmml"></mtd><mtd id="S5.Ex37.m1.1.1d" xref="S5.Ex37.m1.1.1.cmml"></mtd></mtr><mtr id="S5.Ex37.m1.1.1e" xref="S5.Ex37.m1.1.1.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S5.Ex37.m1.1.1f" xref="S5.Ex37.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.cmml"><msubsup id="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.2" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.2" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.2.cmml">L</mi><mn id="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.2.3.cmml">12</mn><mo id="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.3" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.3.cmml">∼</mo></msubsup><mo id="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.1" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.3" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.2" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.2.2" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.2.1" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.3.3" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.3.3.cmml">12</mn><mo id="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.3" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.3.cmml">∼</mo></msubsup><mo id="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.1a" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.4" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.4.cmml"><mi id="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.4.2.2" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.4.2.2.cmml">M</mi><mn id="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.4.3" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.4.3.cmml">12</mn><mo id="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.4.2.3" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.4.2.3.cmml">∼</mo></msubsup></mrow><mo id="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.1" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.3" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.3.cmml">𝐈</mi></mrow></mtd><mtd id="S5.Ex37.m1.1.1g" xref="S5.Ex37.m1.1.1.cmml"></mtd><mtd id="S5.Ex37.m1.1.1h" xref="S5.Ex37.m1.1.1.cmml"></mtd></mtr><mtr id="S5.Ex37.m1.1.1i" xref="S5.Ex37.m1.1.1.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S5.Ex37.m1.1.1j" xref="S5.Ex37.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1" xref="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2" xref="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.cmml"><msubsup id="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.2" xref="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.2.2.2" xref="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.2.2.2.cmml">W</mi><mn id="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.2.3.cmml">12</mn><mo id="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.2.2.3" xref="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.2.2.3.cmml">∼</mo></msubsup><mo id="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.1" xref="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.3" xref="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.3.2.2" xref="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.3.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.3.2.2.2" xref="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.3.2.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.3.2.2.1" xref="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.3.3" xref="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.3.3.cmml">12</mn><mo id="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.3.2.3" xref="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.3.2.3.cmml">∼</mo></msubsup><mo id="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.1a" xref="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.4" xref="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.4.cmml"><mi id="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.4.2.2" xref="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.4.2.2.cmml">U</mi><mn id="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.4.3" xref="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.4.3.cmml">12</mn><mo id="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.4.2.3" xref="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.4.2.3.cmml">∼</mo></msubsup></mrow><mo id="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.1" xref="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.3" xref="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.3.cmml">𝐈</mi></mrow></mtd><mtd id="S5.Ex37.m1.1.1k" xref="S5.Ex37.m1.1.1.cmml"></mtd><mtd id="S5.Ex37.m1.1.1l" xref="S5.Ex37.m1.1.1.cmml"></mtd></mtr></mtable><mi id="S5.Ex37.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S5.Ex37.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"></mi></mrow><mo id="S5.Ex37.m1.2.2.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex37.m1.2b"><apply id="S5.Ex37.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex37.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.2.2.1.1.2.1">cases</csymbol><matrix id="S5.Ex37.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1"><matrixrow id="S5.Ex37.m1.1.1a.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1"><apply id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1"><eq id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜆</ci><apply id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝛼</ci><ci id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝐿</ci><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">similar-to</csymbol></apply><cn id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">12</cn></apply><apply id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2">𝑆</ci><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.3">similar-to</csymbol></apply><cn id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.4.3">12</cn></apply><apply id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.5">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.2">𝑈</ci><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.3.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.3">similar-to</csymbol></apply><cn id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.5.3">12</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3"><times id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝜆</ci><apply id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝐴</ci><ci id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">′′</ci></apply><cn id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.3.3">12</cn></apply></apply></apply><cerror id="S5.Ex37.m1.1.1b.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex37.m1.1.1c.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol></cerror><cerror id="S5.Ex37.m1.1.1d.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex37.m1.1.1e.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol></cerror></matrixrow><matrixrow id="S5.Ex37.m1.1.1f.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1"><apply id="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1"><eq id="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.1"></eq><apply id="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2"><times id="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.1"></times><apply id="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.2">𝐿</ci><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.3">similar-to</csymbol></apply><cn id="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.2.3">12</cn></apply><apply id="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.2"><ci id="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.2.1">^</ci><ci id="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.2.2">𝑆</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.3">similar-to</csymbol></apply><cn id="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.3.3">12</cn></apply><apply id="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.4.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.4.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.4">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.4.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.4.2.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.4">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.4.2.2">𝑀</ci><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.4.2.3.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.4.2.3">similar-to</csymbol></apply><cn id="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.2.4.3">12</cn></apply></apply><ci id="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.2.1.1.3">𝐈</ci></apply><cerror id="S5.Ex37.m1.1.1g.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex37.m1.1.1h.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol></cerror><cerror id="S5.Ex37.m1.1.1i.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex37.m1.1.1j.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol></cerror></matrixrow><matrixrow id="S5.Ex37.m1.1.1k.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1"><apply id="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1"><eq id="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.1"></eq><apply id="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2"><times id="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.1"></times><apply id="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.2.2.2">𝑊</ci><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.2.2.3">similar-to</csymbol></apply><cn id="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.2.3">12</cn></apply><apply id="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.3.2.2"><ci id="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.3.2.2.1">^</ci><ci id="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.3.2.2.2">𝑆</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.3.2.3">similar-to</csymbol></apply><cn id="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.3.3">12</cn></apply><apply id="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.4.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.4.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.4">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.4.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.4.2.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.4">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.4.2.2">𝑈</ci><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.4.2.3.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.4.2.3">similar-to</csymbol></apply><cn id="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.2.4.3">12</cn></apply></apply><ci id="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.3.1.1.3">𝐈</ci></apply><cerror id="S5.Ex37.m1.1.1l.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex37.m1.1.1m.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol></cerror><cerror id="S5.Ex37.m1.1.1n.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex37.m1.1.1o.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol></cerror></matrixrow></matrix></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex37.m1.2c">\left\{\begin{array}[]{rcl}(\lambda\alpha_{k})L^{\sim}_{12}S^{\sim}_{12}U^{% \sim}_{12}=\lambda A^{\prime\prime}_{12}\\ L^{\sim}_{12}{\widehat{S}}^{\sim}_{12}M^{\sim}_{12}={\mathbf{I}}\\ W^{\sim}_{12}{\widehat{S}}^{\sim}_{12}U^{\sim}_{12}={\mathbf{I}}\end{array}% \right.,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex37.m1.2d">{ start_ARRAY start_ROW start_CELL ( italic_λ italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) italic_L start_POSTSUPERSCRIPT ∼ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT italic_S start_POSTSUPERSCRIPT ∼ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUPERSCRIPT ∼ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT = italic_λ italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL end_CELL start_CELL end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_L start_POSTSUPERSCRIPT ∼ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ∼ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUPERSCRIPT ∼ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT = bold_I end_CELL start_CELL end_CELL start_CELL end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_W start_POSTSUPERSCRIPT ∼ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ∼ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUPERSCRIPT ∼ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT = bold_I end_CELL start_CELL end_CELL start_CELL end_CELL end_ROW end_ARRAY ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p12.4">and the matrix equation <math alttext="\left[\begin{array}[]{cc}\alpha S_{11}&{\frac{\alpha}{\alpha_{k}}}A^{\prime% \prime}_{12}\\ {\frac{1}{\alpha_{k}}}A^{\prime\prime}_{21}&{\frac{1}{\alpha_{k}}}A^{\prime}_{% 22}\end{array}\right]=" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p12.4.m1.1"><semantics id="S5.p12.4.m1.1a"><mrow id="S5.p12.4.m1.1.2" xref="S5.p12.4.m1.1.2.cmml"><mrow id="S5.p12.4.m1.1.2.2.2" xref="S5.p12.4.m1.1.2.2.1.cmml"><mo id="S5.p12.4.m1.1.2.2.2.1" xref="S5.p12.4.m1.1.2.2.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S5.p12.4.m1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S5.p12.4.m1.1.1.cmml"><mtr id="S5.p12.4.m1.1.1a" xref="S5.p12.4.m1.1.1.cmml"><mtd id="S5.p12.4.m1.1.1b" xref="S5.p12.4.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.p12.4.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.p12.4.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.p12.4.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.p12.4.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="S5.p12.4.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.p12.4.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p12.4.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.p12.4.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p12.4.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.p12.4.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">S</mi><mn id="S5.p12.4.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.p12.4.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">11</mn></msub></mrow></mtd><mtd id="S5.p12.4.m1.1.1c" xref="S5.p12.4.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.p12.4.m1.1.1.1.2.1" xref="S5.p12.4.m1.1.1.1.2.1.cmml"><mfrac id="S5.p12.4.m1.1.1.1.2.1.2" xref="S5.p12.4.m1.1.1.1.2.1.2.cmml"><mi id="S5.p12.4.m1.1.1.1.2.1.2.2" xref="S5.p12.4.m1.1.1.1.2.1.2.2.cmml">α</mi><msub id="S5.p12.4.m1.1.1.1.2.1.2.3" xref="S5.p12.4.m1.1.1.1.2.1.2.3.cmml"><mi id="S5.p12.4.m1.1.1.1.2.1.2.3.2" xref="S5.p12.4.m1.1.1.1.2.1.2.3.2.cmml">α</mi><mi id="S5.p12.4.m1.1.1.1.2.1.2.3.3" xref="S5.p12.4.m1.1.1.1.2.1.2.3.3.cmml">k</mi></msub></mfrac><mo id="S5.p12.4.m1.1.1.1.2.1.1" xref="S5.p12.4.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.p12.4.m1.1.1.1.2.1.3" xref="S5.p12.4.m1.1.1.1.2.1.3.cmml"><mi id="S5.p12.4.m1.1.1.1.2.1.3.2.2" xref="S5.p12.4.m1.1.1.1.2.1.3.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.p12.4.m1.1.1.1.2.1.3.3" xref="S5.p12.4.m1.1.1.1.2.1.3.3.cmml">12</mn><mo id="S5.p12.4.m1.1.1.1.2.1.3.2.3" xref="S5.p12.4.m1.1.1.1.2.1.3.2.3.cmml">′′</mo></msubsup></mrow></mtd></mtr><mtr id="S5.p12.4.m1.1.1d" xref="S5.p12.4.m1.1.1.cmml"><mtd id="S5.p12.4.m1.1.1e" xref="S5.p12.4.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.p12.4.m1.1.1.2.1.1" xref="S5.p12.4.m1.1.1.2.1.1.cmml"><mfrac id="S5.p12.4.m1.1.1.2.1.1.2" xref="S5.p12.4.m1.1.1.2.1.1.2.cmml"><mn id="S5.p12.4.m1.1.1.2.1.1.2.2" xref="S5.p12.4.m1.1.1.2.1.1.2.2.cmml">1</mn><msub id="S5.p12.4.m1.1.1.2.1.1.2.3" xref="S5.p12.4.m1.1.1.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.p12.4.m1.1.1.2.1.1.2.3.2" xref="S5.p12.4.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.cmml">α</mi><mi id="S5.p12.4.m1.1.1.2.1.1.2.3.3" xref="S5.p12.4.m1.1.1.2.1.1.2.3.3.cmml">k</mi></msub></mfrac><mo id="S5.p12.4.m1.1.1.2.1.1.1" xref="S5.p12.4.m1.1.1.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.p12.4.m1.1.1.2.1.1.3" xref="S5.p12.4.m1.1.1.2.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p12.4.m1.1.1.2.1.1.3.2.2" xref="S5.p12.4.m1.1.1.2.1.1.3.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.p12.4.m1.1.1.2.1.1.3.3" xref="S5.p12.4.m1.1.1.2.1.1.3.3.cmml">21</mn><mo id="S5.p12.4.m1.1.1.2.1.1.3.2.3" xref="S5.p12.4.m1.1.1.2.1.1.3.2.3.cmml">′′</mo></msubsup></mrow></mtd><mtd id="S5.p12.4.m1.1.1f" xref="S5.p12.4.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.p12.4.m1.1.1.2.2.1" xref="S5.p12.4.m1.1.1.2.2.1.cmml"><mfrac id="S5.p12.4.m1.1.1.2.2.1.2" xref="S5.p12.4.m1.1.1.2.2.1.2.cmml"><mn id="S5.p12.4.m1.1.1.2.2.1.2.2" xref="S5.p12.4.m1.1.1.2.2.1.2.2.cmml">1</mn><msub id="S5.p12.4.m1.1.1.2.2.1.2.3" xref="S5.p12.4.m1.1.1.2.2.1.2.3.cmml"><mi id="S5.p12.4.m1.1.1.2.2.1.2.3.2" xref="S5.p12.4.m1.1.1.2.2.1.2.3.2.cmml">α</mi><mi id="S5.p12.4.m1.1.1.2.2.1.2.3.3" xref="S5.p12.4.m1.1.1.2.2.1.2.3.3.cmml">k</mi></msub></mfrac><mo id="S5.p12.4.m1.1.1.2.2.1.1" xref="S5.p12.4.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.p12.4.m1.1.1.2.2.1.3" xref="S5.p12.4.m1.1.1.2.2.1.3.cmml"><mi id="S5.p12.4.m1.1.1.2.2.1.3.2.2" xref="S5.p12.4.m1.1.1.2.2.1.3.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.p12.4.m1.1.1.2.2.1.3.3" xref="S5.p12.4.m1.1.1.2.2.1.3.3.cmml">22</mn><mo id="S5.p12.4.m1.1.1.2.2.1.3.2.3" xref="S5.p12.4.m1.1.1.2.2.1.3.2.3.cmml">′</mo></msubsup></mrow></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.p12.4.m1.1.2.2.2.2" xref="S5.p12.4.m1.1.2.2.1.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.p12.4.m1.1.2.1" xref="S5.p12.4.m1.1.2.1.cmml">=</mo><mi id="S5.p12.4.m1.1.2.3" xref="S5.p12.4.m1.1.2.3.cmml"></mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p12.4.m1.1b"><apply id="S5.p12.4.m1.1.2.cmml" xref="S5.p12.4.m1.1.2"><eq id="S5.p12.4.m1.1.2.1.cmml" xref="S5.p12.4.m1.1.2.1"></eq><apply id="S5.p12.4.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.p12.4.m1.1.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.p12.4.m1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.p12.4.m1.1.2.2.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S5.p12.4.m1.1.1.cmml" xref="S5.p12.4.m1.1.1"><matrixrow id="S5.p12.4.m1.1.1a.cmml" xref="S5.p12.4.m1.1.1"><apply id="S5.p12.4.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p12.4.m1.1.1.1.1.1"><times id="S5.p12.4.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p12.4.m1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S5.p12.4.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p12.4.m1.1.1.1.1.1.2">𝛼</ci><apply id="S5.p12.4.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p12.4.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p12.4.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p12.4.m1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p12.4.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p12.4.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑆</ci><cn id="S5.p12.4.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p12.4.m1.1.1.1.1.1.3.3">11</cn></apply></apply><apply id="S5.p12.4.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p12.4.m1.1.1.1.2.1"><times id="S5.p12.4.m1.1.1.1.2.1.1.cmml" 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id="S5.Ex38.m1.2.2.1.2.1.3.2.2" xref="S5.Ex38.m1.2.2.1.2.1.3.2.2.cmml">S</mi><mn id="S5.Ex38.m1.2.2.1.2.1.3.3" xref="S5.Ex38.m1.2.2.1.2.1.3.3.cmml">12</mn><mo id="S5.Ex38.m1.2.2.1.2.1.3.2.3" xref="S5.Ex38.m1.2.2.1.2.1.3.2.3.cmml">∼</mo></msubsup></mrow></mtd></mtr><mtr id="S5.Ex38.m1.2.2d" xref="S5.Ex38.m1.2.2.cmml"><mtd id="S5.Ex38.m1.2.2e" xref="S5.Ex38.m1.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex38.m1.2.2.2.1.1" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.2.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="S5.Ex38.m1.2.2.2.1.1.1" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex38.m1.2.2.2.1.1.3" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.2.2.2.1.1.3.2" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.1.1.3.2.cmml">S</mi><mn id="S5.Ex38.m1.2.2.2.1.1.3.3" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.1.1.3.3.cmml">21</mn></msub></mrow></mtd><mtd id="S5.Ex38.m1.2.2f" xref="S5.Ex38.m1.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2a" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2.cmml"><mn id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2.2" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2.2.cmml">1</mn><msub id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2.3" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2.3.2" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2.3.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2.3.3" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2.3.3.cmml">k</mi></msub></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.3.2.2" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.3.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.3.3" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.3.3.cmml">22</mn><mo id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.3.2.3" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.3.2.3.cmml">′′</mo></msubsup></mrow></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.Ex38.m1.4.4.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex38.m1.4.4.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.Ex38.m1.4.4.1.1.1a" xref="S5.Ex38.m1.4.4.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex38.m1.4.4.1.1.4.2" xref="S5.Ex38.m1.4.4.1.1.4.1.cmml"><mo id="S5.Ex38.m1.4.4.1.1.4.2.1" xref="S5.Ex38.m1.4.4.1.1.4.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S5.Ex38.m1.3.3" rowspacing="0pt" xref="S5.Ex38.m1.3.3.cmml"><mtr id="S5.Ex38.m1.3.3a" xref="S5.Ex38.m1.3.3.cmml"><mtd id="S5.Ex38.m1.3.3b" xref="S5.Ex38.m1.3.3.cmml"><msub id="S5.Ex38.m1.3.3.1.1.1" xref="S5.Ex38.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S5.Ex38.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">U</mi><mn id="S5.Ex38.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S5.Ex38.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">21</mn></msub></mtd><mtd id="S5.Ex38.m1.3.3c" xref="S5.Ex38.m1.3.3.cmml"><mn id="S5.Ex38.m1.3.3.1.2.1" xref="S5.Ex38.m1.3.3.1.2.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="S5.Ex38.m1.3.3d" xref="S5.Ex38.m1.3.3.cmml"><mtd id="S5.Ex38.m1.3.3e" xref="S5.Ex38.m1.3.3.cmml"><mn id="S5.Ex38.m1.3.3.2.1.1" xref="S5.Ex38.m1.3.3.2.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S5.Ex38.m1.3.3f" xref="S5.Ex38.m1.3.3.cmml"><msubsup id="S5.Ex38.m1.3.3.2.2.1" xref="S5.Ex38.m1.3.3.2.2.1.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.3.3.2.2.1.2.2" xref="S5.Ex38.m1.3.3.2.2.1.2.2.cmml">U</mi><mn id="S5.Ex38.m1.3.3.2.2.1.3" xref="S5.Ex38.m1.3.3.2.2.1.3.cmml">12</mn><mo id="S5.Ex38.m1.3.3.2.2.1.2.3" xref="S5.Ex38.m1.3.3.2.2.1.2.3.cmml">∼</mo></msubsup></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.Ex38.m1.4.4.1.1.4.2.2" xref="S5.Ex38.m1.4.4.1.1.4.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex38.m1.4.4.1.2" xref="S5.Ex38.m1.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex38.m1.4b"><apply id="S5.Ex38.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.4.4.1"><times id="S5.Ex38.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.4.4.1.1.1"></times><apply id="S5.Ex38.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.4.4.1.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex38.m1.4.4.1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.4.4.1.1.2.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S5.Ex38.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.1.1"><matrixrow id="S5.Ex38.m1.1.1a.cmml" 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id="S5.Ex38.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.1.1.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex38.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.1.1.2.2.1.2">𝐿</ci><cn id="S5.Ex38.m1.1.1.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex38.m1.1.1.2.2.1.3">21</cn></apply></matrixrow></matrix></apply><apply id="S5.Ex38.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.4.4.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex38.m1.4.4.1.1.3.1.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.4.4.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S5.Ex38.m1.2.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2"><matrixrow id="S5.Ex38.m1.2.2a.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2"><apply id="S5.Ex38.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2.1.1.1"><times id="S5.Ex38.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2.1.1.1.1"></times><ci id="S5.Ex38.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2.1.1.1.2">𝛼</ci><apply id="S5.Ex38.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex38.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex38.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2.1.1.1.3.2">𝑆</ci><cn id="S5.Ex38.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex38.m1.2.2.1.1.1.3.3">11</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex38.m1.2.2.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2.1.2.1"><times id="S5.Ex38.m1.2.2.1.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2.1.2.1.1"></times><ci id="S5.Ex38.m1.2.2.1.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2.1.2.1.2">𝛼</ci><apply id="S5.Ex38.m1.2.2.1.2.1.3.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2.1.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex38.m1.2.2.1.2.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2.1.2.1.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex38.m1.2.2.1.2.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2.1.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex38.m1.2.2.1.2.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2.1.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex38.m1.2.2.1.2.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2.1.2.1.3.2.2">𝑆</ci><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex38.m1.2.2.1.2.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2.1.2.1.3.2.3">similar-to</csymbol></apply><cn id="S5.Ex38.m1.2.2.1.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex38.m1.2.2.1.2.1.3.3">12</cn></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S5.Ex38.m1.2.2b.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2"><apply id="S5.Ex38.m1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.1.1"><times id="S5.Ex38.m1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.1.1.1"></times><ci id="S5.Ex38.m1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.1.1.2">𝛼</ci><apply id="S5.Ex38.m1.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex38.m1.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex38.m1.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.1.1.3.2">𝑆</ci><cn id="S5.Ex38.m1.2.2.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.1.1.3.3">21</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1"><times id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1"></times><apply id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2"><divide id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2"></divide><cn id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2.2">1</cn><apply id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2.3.2">𝛼</ci><ci id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.3.2.2">𝐴</ci><ci id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.3.2.3">′′</ci></apply><cn id="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex38.m1.2.2.2.2.1.3.3">22</cn></apply></apply></matrixrow></matrix></apply><apply id="S5.Ex38.m1.4.4.1.1.4.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.4.4.1.1.4.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex38.m1.4.4.1.1.4.1.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.4.4.1.1.4.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S5.Ex38.m1.3.3.cmml" xref="S5.Ex38.m1.3.3"><matrixrow id="S5.Ex38.m1.3.3a.cmml" xref="S5.Ex38.m1.3.3"><apply id="S5.Ex38.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex38.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.3.3.1.1.1.2">𝑈</ci><cn id="S5.Ex38.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex38.m1.3.3.1.1.1.3">21</cn></apply><cn id="S5.Ex38.m1.3.3.1.2.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex38.m1.3.3.1.2.1">0</cn></matrixrow><matrixrow id="S5.Ex38.m1.3.3b.cmml" xref="S5.Ex38.m1.3.3"><cn id="S5.Ex38.m1.3.3.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex38.m1.3.3.2.1.1">0</cn><apply id="S5.Ex38.m1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.3.3.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex38.m1.3.3.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.3.3.2.2.1">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex38.m1.3.3.2.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.3.3.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex38.m1.3.3.2.2.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.3.3.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex38.m1.3.3.2.2.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.3.3.2.2.1.2.2">𝑈</ci><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex38.m1.3.3.2.2.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex38.m1.3.3.2.2.1.2.3">similar-to</csymbol></apply><cn id="S5.Ex38.m1.3.3.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex38.m1.3.3.2.2.1.3">12</cn></apply></matrixrow></matrix></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex38.m1.4c">\left[\begin{array}[]{cc}L^{\sim}_{12}&0\\ 0&L_{21}\end{array}\right]\left[\begin{array}[]{cc}\alpha S_{11}&\alpha S^{% \sim}_{12}\\ \alpha S_{21}&{\frac{1}{\alpha_{k}}}A^{\prime\prime}_{22}\end{array}\right]% \left[\begin{array}[]{cc}U_{21}&0\\ 0&U^{\sim}_{12}\end{array}\right],</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex38.m1.4d">[ start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_L start_POSTSUPERSCRIPT ∼ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL italic_L start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARRAY ] [ start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_α italic_S start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_α italic_S start_POSTSUPERSCRIPT ∼ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_α italic_S start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARRAY ] [ start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_U start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL italic_U start_POSTSUPERSCRIPT ∼ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARRAY ] ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right"><math class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex38.1.1.m1.1"><semantics id="S5.Ex38.1.1.m1.1b"><mrow id="S5.Ex38.1.1.m1.1.2.2"><mo id="S5.Ex38.1.1.m1.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S5.Ex38.1.1.m1.1.1" xref="S5.Ex38.1.1.m1.1.1.cmml">13</mn><mo id="S5.Ex38.1.1.m1.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex38.1.1.m1.1c"><cn id="S5.Ex38.1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex38.1.1.m1.1.1">13</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex38.1.1.m1.1d">( 13 )</annotation></semantics></math></span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p12.5">is true, where we denote <math alttext="A^{\prime\prime}_{22}=" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p12.5.m1.1"><semantics id="S5.p12.5.m1.1a"><mrow id="S5.p12.5.m1.1.1" xref="S5.p12.5.m1.1.1.cmml"><msubsup id="S5.p12.5.m1.1.1.2" xref="S5.p12.5.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p12.5.m1.1.1.2.2.2" xref="S5.p12.5.m1.1.1.2.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.p12.5.m1.1.1.2.3" xref="S5.p12.5.m1.1.1.2.3.cmml">22</mn><mo id="S5.p12.5.m1.1.1.2.2.3" xref="S5.p12.5.m1.1.1.2.2.3.cmml">′′</mo></msubsup><mo id="S5.p12.5.m1.1.1.1" xref="S5.p12.5.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S5.p12.5.m1.1.1.3" xref="S5.p12.5.m1.1.1.3.cmml"></mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p12.5.m1.1b"><apply id="S5.p12.5.m1.1.1.cmml" xref="S5.p12.5.m1.1.1"><eq id="S5.p12.5.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.p12.5.m1.1.1.1"></eq><apply id="S5.p12.5.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p12.5.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p12.5.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p12.5.m1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S5.p12.5.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p12.5.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p12.5.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.p12.5.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.p12.5.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.p12.5.m1.1.1.2.2.2">𝐴</ci><ci id="S5.p12.5.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.p12.5.m1.1.1.2.2.3">′′</ci></apply><cn id="S5.p12.5.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p12.5.m1.1.1.2.3">22</cn></apply><csymbol cd="latexml" id="S5.p12.5.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.p12.5.m1.1.1.3">absent</csymbol></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p12.5.m1.1c">A^{\prime\prime}_{22}=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p12.5.m1.1d">italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT =</annotation></semantics></math></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex39"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="{\widehat{S}}_{21}M_{21}A^{\prime}_{22}W^{\sim}_{12}{\widehat{S}}^{\sim}_{12}=% {\widehat{S}}_{21}M_{21}A^{\prime}_{22}W_{12}I^{\lambda^{-1}}_{12}{\widehat{S}% }_{12}" class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex39.m1.1"><semantics id="S5.Ex39.m1.1a"><mrow id="S5.Ex39.m1.1.1" xref="S5.Ex39.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex39.m1.1.1.2" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.cmml"><msub id="S5.Ex39.m1.1.1.2.2" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex39.m1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex39.m1.1.1.2.2.2.2" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.2.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.Ex39.m1.1.1.2.2.2.1" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="S5.Ex39.m1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.2.3.cmml">21</mn></msub><mo id="S5.Ex39.m1.1.1.2.1" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex39.m1.1.1.2.3" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex39.m1.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.3.2.cmml">M</mi><mn id="S5.Ex39.m1.1.1.2.3.3" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.3.3.cmml">21</mn></msub><mo id="S5.Ex39.m1.1.1.2.1a" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex39.m1.1.1.2.4" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S5.Ex39.m1.1.1.2.4.2.2" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.4.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex39.m1.1.1.2.4.3" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.4.3.cmml">22</mn><mo id="S5.Ex39.m1.1.1.2.4.2.3" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.4.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S5.Ex39.m1.1.1.2.1b" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex39.m1.1.1.2.5" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.5.cmml"><mi id="S5.Ex39.m1.1.1.2.5.2.2" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.5.2.2.cmml">W</mi><mn id="S5.Ex39.m1.1.1.2.5.3" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.5.3.cmml">12</mn><mo id="S5.Ex39.m1.1.1.2.5.2.3" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.5.2.3.cmml">∼</mo></msubsup><mo id="S5.Ex39.m1.1.1.2.1c" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex39.m1.1.1.2.6" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.6.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex39.m1.1.1.2.6.2.2" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.6.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex39.m1.1.1.2.6.2.2.2" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.6.2.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.Ex39.m1.1.1.2.6.2.2.1" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.6.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="S5.Ex39.m1.1.1.2.6.3" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.6.3.cmml">12</mn><mo id="S5.Ex39.m1.1.1.2.6.2.3" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.6.2.3.cmml">∼</mo></msubsup></mrow><mo id="S5.Ex39.m1.1.1.1" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex39.m1.1.1.3" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.cmml"><msub id="S5.Ex39.m1.1.1.3.2" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex39.m1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex39.m1.1.1.3.2.2.2" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.2.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.Ex39.m1.1.1.3.2.2.1" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="S5.Ex39.m1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.2.3.cmml">21</mn></msub><mo id="S5.Ex39.m1.1.1.3.1" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex39.m1.1.1.3.3" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex39.m1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.3.2.cmml">M</mi><mn id="S5.Ex39.m1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.3.3.cmml">21</mn></msub><mo id="S5.Ex39.m1.1.1.3.1a" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex39.m1.1.1.3.4" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S5.Ex39.m1.1.1.3.4.2.2" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.4.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex39.m1.1.1.3.4.3" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.4.3.cmml">22</mn><mo id="S5.Ex39.m1.1.1.3.4.2.3" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.4.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S5.Ex39.m1.1.1.3.1b" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex39.m1.1.1.3.5" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.5.cmml"><mi id="S5.Ex39.m1.1.1.3.5.2" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.5.2.cmml">W</mi><mn id="S5.Ex39.m1.1.1.3.5.3" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.5.3.cmml">12</mn></msub><mo id="S5.Ex39.m1.1.1.3.1c" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex39.m1.1.1.3.6" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.6.cmml"><mi id="S5.Ex39.m1.1.1.3.6.2.2" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.6.2.2.cmml">I</mi><mn id="S5.Ex39.m1.1.1.3.6.3" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.6.3.cmml">12</mn><msup id="S5.Ex39.m1.1.1.3.6.2.3" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.6.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex39.m1.1.1.3.6.2.3.2" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.6.2.3.2.cmml">λ</mi><mrow id="S5.Ex39.m1.1.1.3.6.2.3.3" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.6.2.3.3.cmml"><mo id="S5.Ex39.m1.1.1.3.6.2.3.3a" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.6.2.3.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex39.m1.1.1.3.6.2.3.3.2" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.6.2.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></msubsup><mo id="S5.Ex39.m1.1.1.3.1d" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex39.m1.1.1.3.7" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.7.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex39.m1.1.1.3.7.2" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.7.2.cmml"><mi id="S5.Ex39.m1.1.1.3.7.2.2" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.7.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.Ex39.m1.1.1.3.7.2.1" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.7.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="S5.Ex39.m1.1.1.3.7.3" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.7.3.cmml">12</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex39.m1.1b"><apply id="S5.Ex39.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1"><eq id="S5.Ex39.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1"></eq><apply id="S5.Ex39.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2"><times id="S5.Ex39.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.1"></times><apply id="S5.Ex39.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex39.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex39.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.2.2"><ci id="S5.Ex39.m1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.2.2.1">^</ci><ci id="S5.Ex39.m1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.2.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.Ex39.m1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.2.3">21</cn></apply><apply id="S5.Ex39.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex39.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex39.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.3.2">𝑀</ci><cn id="S5.Ex39.m1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.3.3">21</cn></apply><apply id="S5.Ex39.m1.1.1.2.4.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex39.m1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.4">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex39.m1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex39.m1.1.1.2.4.2.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.4">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex39.m1.1.1.2.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.4.2.2">𝐴</ci><ci id="S5.Ex39.m1.1.1.2.4.2.3.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.4.2.3">′</ci></apply><cn id="S5.Ex39.m1.1.1.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.4.3">22</cn></apply><apply id="S5.Ex39.m1.1.1.2.5.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex39.m1.1.1.2.5.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.5">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex39.m1.1.1.2.5.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex39.m1.1.1.2.5.2.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.5">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex39.m1.1.1.2.5.2.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.5.2.2">𝑊</ci><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex39.m1.1.1.2.5.2.3.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.5.2.3">similar-to</csymbol></apply><cn id="S5.Ex39.m1.1.1.2.5.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.5.3">12</cn></apply><apply id="S5.Ex39.m1.1.1.2.6.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex39.m1.1.1.2.6.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.6">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex39.m1.1.1.2.6.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex39.m1.1.1.2.6.2.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.6">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex39.m1.1.1.2.6.2.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.6.2.2"><ci id="S5.Ex39.m1.1.1.2.6.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.6.2.2.1">^</ci><ci id="S5.Ex39.m1.1.1.2.6.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.6.2.2.2">𝑆</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex39.m1.1.1.2.6.2.3.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.6.2.3">similar-to</csymbol></apply><cn id="S5.Ex39.m1.1.1.2.6.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex39.m1.1.1.2.6.3">12</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex39.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3"><times id="S5.Ex39.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.1"></times><apply id="S5.Ex39.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex39.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex39.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.2.2"><ci id="S5.Ex39.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.2.2.1">^</ci><ci id="S5.Ex39.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.2.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.Ex39.m1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.2.3">21</cn></apply><apply id="S5.Ex39.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex39.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex39.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.3.2">𝑀</ci><cn id="S5.Ex39.m1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.3.3">21</cn></apply><apply id="S5.Ex39.m1.1.1.3.4.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex39.m1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.4">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex39.m1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex39.m1.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.4">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex39.m1.1.1.3.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.4.2.2">𝐴</ci><ci id="S5.Ex39.m1.1.1.3.4.2.3.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.4.2.3">′</ci></apply><cn id="S5.Ex39.m1.1.1.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.4.3">22</cn></apply><apply id="S5.Ex39.m1.1.1.3.5.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex39.m1.1.1.3.5.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.5">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex39.m1.1.1.3.5.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.5.2">𝑊</ci><cn id="S5.Ex39.m1.1.1.3.5.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.5.3">12</cn></apply><apply id="S5.Ex39.m1.1.1.3.6.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex39.m1.1.1.3.6.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.6">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex39.m1.1.1.3.6.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex39.m1.1.1.3.6.2.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.6">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex39.m1.1.1.3.6.2.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.6.2.2">𝐼</ci><apply id="S5.Ex39.m1.1.1.3.6.2.3.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.6.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex39.m1.1.1.3.6.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.6.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex39.m1.1.1.3.6.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.6.2.3.2">𝜆</ci><apply id="S5.Ex39.m1.1.1.3.6.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.6.2.3.3"><minus id="S5.Ex39.m1.1.1.3.6.2.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.6.2.3.3"></minus><cn id="S5.Ex39.m1.1.1.3.6.2.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.6.2.3.3.2">1</cn></apply></apply></apply><cn id="S5.Ex39.m1.1.1.3.6.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.6.3">12</cn></apply><apply id="S5.Ex39.m1.1.1.3.7.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex39.m1.1.1.3.7.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.7">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex39.m1.1.1.3.7.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.7.2"><ci id="S5.Ex39.m1.1.1.3.7.2.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.7.2.1">^</ci><ci id="S5.Ex39.m1.1.1.3.7.2.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.7.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.Ex39.m1.1.1.3.7.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex39.m1.1.1.3.7.3">12</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex39.m1.1c">{\widehat{S}}_{21}M_{21}A^{\prime}_{22}W^{\sim}_{12}{\widehat{S}}^{\sim}_{12}=% {\widehat{S}}_{21}M_{21}A^{\prime}_{22}W_{12}I^{\lambda^{-1}}_{12}{\widehat{S}% }_{12}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex39.m1.1d">over^ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUPERSCRIPT ∼ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ∼ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT = over^ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT italic_I start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right"><math class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex39.1.1.m1.1"><semantics id="S5.Ex39.1.1.m1.1b"><mrow id="S5.Ex39.1.1.m1.1.2.2"><mo id="S5.Ex39.1.1.m1.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S5.Ex39.1.1.m1.1.1" xref="S5.Ex39.1.1.m1.1.1.cmml">14</mn><mo id="S5.Ex39.1.1.m1.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex39.1.1.m1.1c"><cn id="S5.Ex39.1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex39.1.1.m1.1.1">14</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex39.1.1.m1.1d">( 14 )</annotation></semantics></math></span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p12.11">and use the following equation: <math alttext="I_{12}I_{11}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p12.6.m1.1"><semantics id="S5.p12.6.m1.1a"><mrow id="S5.p12.6.m1.1.1" xref="S5.p12.6.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.p12.6.m1.1.1.2" xref="S5.p12.6.m1.1.1.2.cmml"><msub id="S5.p12.6.m1.1.1.2.2" xref="S5.p12.6.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.p12.6.m1.1.1.2.2.2" xref="S5.p12.6.m1.1.1.2.2.2.cmml">I</mi><mn id="S5.p12.6.m1.1.1.2.2.3" xref="S5.p12.6.m1.1.1.2.2.3.cmml">12</mn></msub><mo id="S5.p12.6.m1.1.1.2.1" xref="S5.p12.6.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p12.6.m1.1.1.2.3" xref="S5.p12.6.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.p12.6.m1.1.1.2.3.2" xref="S5.p12.6.m1.1.1.2.3.2.cmml">I</mi><mn id="S5.p12.6.m1.1.1.2.3.3" xref="S5.p12.6.m1.1.1.2.3.3.cmml">11</mn></msub></mrow><mo id="S5.p12.6.m1.1.1.1" xref="S5.p12.6.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.p12.6.m1.1.1.3" xref="S5.p12.6.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p12.6.m1.1b"><apply id="S5.p12.6.m1.1.1.cmml" xref="S5.p12.6.m1.1.1"><eq id="S5.p12.6.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.p12.6.m1.1.1.1"></eq><apply id="S5.p12.6.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p12.6.m1.1.1.2"><times id="S5.p12.6.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p12.6.m1.1.1.2.1"></times><apply id="S5.p12.6.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p12.6.m1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p12.6.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.p12.6.m1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p12.6.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.p12.6.m1.1.1.2.2.2">𝐼</ci><cn id="S5.p12.6.m1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p12.6.m1.1.1.2.2.3">12</cn></apply><apply id="S5.p12.6.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p12.6.m1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p12.6.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.p12.6.m1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p12.6.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.p12.6.m1.1.1.2.3.2">𝐼</ci><cn id="S5.p12.6.m1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p12.6.m1.1.1.2.3.3">11</cn></apply></apply><cn id="S5.p12.6.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p12.6.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p12.6.m1.1c">I_{12}I_{11}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p12.6.m1.1d">italic_I start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT italic_I start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math>, <math alttext="J_{11}J_{21}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p12.7.m2.1"><semantics id="S5.p12.7.m2.1a"><mrow id="S5.p12.7.m2.1.1" xref="S5.p12.7.m2.1.1.cmml"><mrow id="S5.p12.7.m2.1.1.2" xref="S5.p12.7.m2.1.1.2.cmml"><msub id="S5.p12.7.m2.1.1.2.2" xref="S5.p12.7.m2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.p12.7.m2.1.1.2.2.2" xref="S5.p12.7.m2.1.1.2.2.2.cmml">J</mi><mn id="S5.p12.7.m2.1.1.2.2.3" xref="S5.p12.7.m2.1.1.2.2.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S5.p12.7.m2.1.1.2.1" xref="S5.p12.7.m2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p12.7.m2.1.1.2.3" xref="S5.p12.7.m2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.p12.7.m2.1.1.2.3.2" xref="S5.p12.7.m2.1.1.2.3.2.cmml">J</mi><mn id="S5.p12.7.m2.1.1.2.3.3" xref="S5.p12.7.m2.1.1.2.3.3.cmml">21</mn></msub></mrow><mo id="S5.p12.7.m2.1.1.1" xref="S5.p12.7.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.p12.7.m2.1.1.3" xref="S5.p12.7.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p12.7.m2.1b"><apply id="S5.p12.7.m2.1.1.cmml" xref="S5.p12.7.m2.1.1"><eq id="S5.p12.7.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.p12.7.m2.1.1.1"></eq><apply id="S5.p12.7.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.p12.7.m2.1.1.2"><times id="S5.p12.7.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p12.7.m2.1.1.2.1"></times><apply id="S5.p12.7.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p12.7.m2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p12.7.m2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.p12.7.m2.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p12.7.m2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.p12.7.m2.1.1.2.2.2">𝐽</ci><cn id="S5.p12.7.m2.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p12.7.m2.1.1.2.2.3">11</cn></apply><apply id="S5.p12.7.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p12.7.m2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p12.7.m2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.p12.7.m2.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p12.7.m2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.p12.7.m2.1.1.2.3.2">𝐽</ci><cn id="S5.p12.7.m2.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p12.7.m2.1.1.2.3.3">21</cn></apply></apply><cn id="S5.p12.7.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p12.7.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p12.7.m2.1c">J_{11}J_{21}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p12.7.m2.1d">italic_J start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT italic_J start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math> and <math alttext="L_{12}S_{11}U_{21}=S_{11}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p12.8.m3.1"><semantics id="S5.p12.8.m3.1a"><mrow id="S5.p12.8.m3.1.1" xref="S5.p12.8.m3.1.1.cmml"><mrow id="S5.p12.8.m3.1.1.2" xref="S5.p12.8.m3.1.1.2.cmml"><msub id="S5.p12.8.m3.1.1.2.2" xref="S5.p12.8.m3.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.p12.8.m3.1.1.2.2.2" xref="S5.p12.8.m3.1.1.2.2.2.cmml">L</mi><mn id="S5.p12.8.m3.1.1.2.2.3" xref="S5.p12.8.m3.1.1.2.2.3.cmml">12</mn></msub><mo id="S5.p12.8.m3.1.1.2.1" xref="S5.p12.8.m3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p12.8.m3.1.1.2.3" xref="S5.p12.8.m3.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.p12.8.m3.1.1.2.3.2" xref="S5.p12.8.m3.1.1.2.3.2.cmml">S</mi><mn id="S5.p12.8.m3.1.1.2.3.3" xref="S5.p12.8.m3.1.1.2.3.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S5.p12.8.m3.1.1.2.1a" xref="S5.p12.8.m3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p12.8.m3.1.1.2.4" xref="S5.p12.8.m3.1.1.2.4.cmml"><mi id="S5.p12.8.m3.1.1.2.4.2" xref="S5.p12.8.m3.1.1.2.4.2.cmml">U</mi><mn id="S5.p12.8.m3.1.1.2.4.3" xref="S5.p12.8.m3.1.1.2.4.3.cmml">21</mn></msub></mrow><mo id="S5.p12.8.m3.1.1.1" xref="S5.p12.8.m3.1.1.1.cmml">=</mo><msub id="S5.p12.8.m3.1.1.3" xref="S5.p12.8.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p12.8.m3.1.1.3.2" xref="S5.p12.8.m3.1.1.3.2.cmml">S</mi><mn id="S5.p12.8.m3.1.1.3.3" xref="S5.p12.8.m3.1.1.3.3.cmml">11</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p12.8.m3.1b"><apply id="S5.p12.8.m3.1.1.cmml" xref="S5.p12.8.m3.1.1"><eq id="S5.p12.8.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.p12.8.m3.1.1.1"></eq><apply id="S5.p12.8.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.p12.8.m3.1.1.2"><times id="S5.p12.8.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p12.8.m3.1.1.2.1"></times><apply id="S5.p12.8.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p12.8.m3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p12.8.m3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.p12.8.m3.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p12.8.m3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.p12.8.m3.1.1.2.2.2">𝐿</ci><cn id="S5.p12.8.m3.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p12.8.m3.1.1.2.2.3">12</cn></apply><apply id="S5.p12.8.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p12.8.m3.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p12.8.m3.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.p12.8.m3.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p12.8.m3.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.p12.8.m3.1.1.2.3.2">𝑆</ci><cn id="S5.p12.8.m3.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p12.8.m3.1.1.2.3.3">11</cn></apply><apply id="S5.p12.8.m3.1.1.2.4.cmml" xref="S5.p12.8.m3.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p12.8.m3.1.1.2.4.1.cmml" xref="S5.p12.8.m3.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S5.p12.8.m3.1.1.2.4.2.cmml" xref="S5.p12.8.m3.1.1.2.4.2">𝑈</ci><cn id="S5.p12.8.m3.1.1.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.p12.8.m3.1.1.2.4.3">21</cn></apply></apply><apply id="S5.p12.8.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.p12.8.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p12.8.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p12.8.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p12.8.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p12.8.m3.1.1.3.2">𝑆</ci><cn id="S5.p12.8.m3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p12.8.m3.1.1.3.3">11</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p12.8.m3.1c">L_{12}S_{11}U_{21}=S_{11}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p12.8.m3.1d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT italic_S start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT = italic_S start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. To check the last equation we can write each matrices as follows: <math alttext="L_{12}=L_{12}I_{12}+\bar{I}_{12}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p12.9.m4.1"><semantics id="S5.p12.9.m4.1a"><mrow id="S5.p12.9.m4.1.1" xref="S5.p12.9.m4.1.1.cmml"><msub id="S5.p12.9.m4.1.1.2" xref="S5.p12.9.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p12.9.m4.1.1.2.2" xref="S5.p12.9.m4.1.1.2.2.cmml">L</mi><mn id="S5.p12.9.m4.1.1.2.3" xref="S5.p12.9.m4.1.1.2.3.cmml">12</mn></msub><mo id="S5.p12.9.m4.1.1.1" xref="S5.p12.9.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.p12.9.m4.1.1.3" xref="S5.p12.9.m4.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.p12.9.m4.1.1.3.2" xref="S5.p12.9.m4.1.1.3.2.cmml"><msub id="S5.p12.9.m4.1.1.3.2.2" xref="S5.p12.9.m4.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S5.p12.9.m4.1.1.3.2.2.2" xref="S5.p12.9.m4.1.1.3.2.2.2.cmml">L</mi><mn id="S5.p12.9.m4.1.1.3.2.2.3" xref="S5.p12.9.m4.1.1.3.2.2.3.cmml">12</mn></msub><mo id="S5.p12.9.m4.1.1.3.2.1" xref="S5.p12.9.m4.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p12.9.m4.1.1.3.2.3" xref="S5.p12.9.m4.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S5.p12.9.m4.1.1.3.2.3.2" xref="S5.p12.9.m4.1.1.3.2.3.2.cmml">I</mi><mn id="S5.p12.9.m4.1.1.3.2.3.3" xref="S5.p12.9.m4.1.1.3.2.3.3.cmml">12</mn></msub></mrow><mo id="S5.p12.9.m4.1.1.3.1" xref="S5.p12.9.m4.1.1.3.1.cmml">+</mo><msub id="S5.p12.9.m4.1.1.3.3" xref="S5.p12.9.m4.1.1.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.p12.9.m4.1.1.3.3.2" xref="S5.p12.9.m4.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S5.p12.9.m4.1.1.3.3.2.2" xref="S5.p12.9.m4.1.1.3.3.2.2.cmml">I</mi><mo id="S5.p12.9.m4.1.1.3.3.2.1" xref="S5.p12.9.m4.1.1.3.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.p12.9.m4.1.1.3.3.3" xref="S5.p12.9.m4.1.1.3.3.3.cmml">12</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p12.9.m4.1b"><apply id="S5.p12.9.m4.1.1.cmml" xref="S5.p12.9.m4.1.1"><eq id="S5.p12.9.m4.1.1.1.cmml" xref="S5.p12.9.m4.1.1.1"></eq><apply id="S5.p12.9.m4.1.1.2.cmml" xref="S5.p12.9.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p12.9.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p12.9.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p12.9.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p12.9.m4.1.1.2.2">𝐿</ci><cn id="S5.p12.9.m4.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p12.9.m4.1.1.2.3">12</cn></apply><apply id="S5.p12.9.m4.1.1.3.cmml" xref="S5.p12.9.m4.1.1.3"><plus id="S5.p12.9.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p12.9.m4.1.1.3.1"></plus><apply id="S5.p12.9.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p12.9.m4.1.1.3.2"><times id="S5.p12.9.m4.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.p12.9.m4.1.1.3.2.1"></times><apply id="S5.p12.9.m4.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.p12.9.m4.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p12.9.m4.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.p12.9.m4.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p12.9.m4.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.p12.9.m4.1.1.3.2.2.2">𝐿</ci><cn id="S5.p12.9.m4.1.1.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p12.9.m4.1.1.3.2.2.3">12</cn></apply><apply id="S5.p12.9.m4.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.p12.9.m4.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p12.9.m4.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.p12.9.m4.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p12.9.m4.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S5.p12.9.m4.1.1.3.2.3.2">𝐼</ci><cn id="S5.p12.9.m4.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p12.9.m4.1.1.3.2.3.3">12</cn></apply></apply><apply id="S5.p12.9.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p12.9.m4.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p12.9.m4.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.p12.9.m4.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S5.p12.9.m4.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.p12.9.m4.1.1.3.3.2"><ci id="S5.p12.9.m4.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.p12.9.m4.1.1.3.3.2.1">¯</ci><ci id="S5.p12.9.m4.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.p12.9.m4.1.1.3.3.2.2">𝐼</ci></apply><cn id="S5.p12.9.m4.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p12.9.m4.1.1.3.3.3">12</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p12.9.m4.1c">L_{12}=L_{12}I_{12}+\bar{I}_{12}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p12.9.m4.1d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT = italic_L start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT italic_I start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT + over¯ start_ARG italic_I end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="S_{11}=I_{11}S_{11}J_{11}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p12.10.m5.1"><semantics id="S5.p12.10.m5.1a"><mrow id="S5.p12.10.m5.1.1" xref="S5.p12.10.m5.1.1.cmml"><msub id="S5.p12.10.m5.1.1.2" xref="S5.p12.10.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p12.10.m5.1.1.2.2" xref="S5.p12.10.m5.1.1.2.2.cmml">S</mi><mn id="S5.p12.10.m5.1.1.2.3" xref="S5.p12.10.m5.1.1.2.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S5.p12.10.m5.1.1.1" xref="S5.p12.10.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.p12.10.m5.1.1.3" xref="S5.p12.10.m5.1.1.3.cmml"><msub id="S5.p12.10.m5.1.1.3.2" xref="S5.p12.10.m5.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.p12.10.m5.1.1.3.2.2" xref="S5.p12.10.m5.1.1.3.2.2.cmml">I</mi><mn id="S5.p12.10.m5.1.1.3.2.3" xref="S5.p12.10.m5.1.1.3.2.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S5.p12.10.m5.1.1.3.1" xref="S5.p12.10.m5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p12.10.m5.1.1.3.3" xref="S5.p12.10.m5.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.p12.10.m5.1.1.3.3.2" xref="S5.p12.10.m5.1.1.3.3.2.cmml">S</mi><mn id="S5.p12.10.m5.1.1.3.3.3" xref="S5.p12.10.m5.1.1.3.3.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S5.p12.10.m5.1.1.3.1a" xref="S5.p12.10.m5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p12.10.m5.1.1.3.4" xref="S5.p12.10.m5.1.1.3.4.cmml"><mi id="S5.p12.10.m5.1.1.3.4.2" xref="S5.p12.10.m5.1.1.3.4.2.cmml">J</mi><mn id="S5.p12.10.m5.1.1.3.4.3" xref="S5.p12.10.m5.1.1.3.4.3.cmml">11</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p12.10.m5.1b"><apply id="S5.p12.10.m5.1.1.cmml" xref="S5.p12.10.m5.1.1"><eq id="S5.p12.10.m5.1.1.1.cmml" xref="S5.p12.10.m5.1.1.1"></eq><apply id="S5.p12.10.m5.1.1.2.cmml" xref="S5.p12.10.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p12.10.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p12.10.m5.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p12.10.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p12.10.m5.1.1.2.2">𝑆</ci><cn id="S5.p12.10.m5.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p12.10.m5.1.1.2.3">11</cn></apply><apply id="S5.p12.10.m5.1.1.3.cmml" xref="S5.p12.10.m5.1.1.3"><times id="S5.p12.10.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p12.10.m5.1.1.3.1"></times><apply id="S5.p12.10.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p12.10.m5.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p12.10.m5.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.p12.10.m5.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p12.10.m5.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.p12.10.m5.1.1.3.2.2">𝐼</ci><cn id="S5.p12.10.m5.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p12.10.m5.1.1.3.2.3">11</cn></apply><apply id="S5.p12.10.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p12.10.m5.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p12.10.m5.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.p12.10.m5.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p12.10.m5.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.p12.10.m5.1.1.3.3.2">𝑆</ci><cn id="S5.p12.10.m5.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p12.10.m5.1.1.3.3.3">11</cn></apply><apply id="S5.p12.10.m5.1.1.3.4.cmml" xref="S5.p12.10.m5.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p12.10.m5.1.1.3.4.1.cmml" xref="S5.p12.10.m5.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S5.p12.10.m5.1.1.3.4.2.cmml" xref="S5.p12.10.m5.1.1.3.4.2">𝐽</ci><cn id="S5.p12.10.m5.1.1.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.p12.10.m5.1.1.3.4.3">11</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p12.10.m5.1c">S_{11}=I_{11}S_{11}J_{11}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p12.10.m5.1d">italic_S start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT = italic_I start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT italic_S start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT italic_J start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="U_{21}=J_{21}U_{21}+\bar{J}_{21}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p12.11.m6.1"><semantics id="S5.p12.11.m6.1a"><mrow id="S5.p12.11.m6.1.1" xref="S5.p12.11.m6.1.1.cmml"><msub id="S5.p12.11.m6.1.1.2" xref="S5.p12.11.m6.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p12.11.m6.1.1.2.2" xref="S5.p12.11.m6.1.1.2.2.cmml">U</mi><mn id="S5.p12.11.m6.1.1.2.3" xref="S5.p12.11.m6.1.1.2.3.cmml">21</mn></msub><mo id="S5.p12.11.m6.1.1.1" xref="S5.p12.11.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.p12.11.m6.1.1.3" xref="S5.p12.11.m6.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.p12.11.m6.1.1.3.2" xref="S5.p12.11.m6.1.1.3.2.cmml"><msub id="S5.p12.11.m6.1.1.3.2.2" xref="S5.p12.11.m6.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S5.p12.11.m6.1.1.3.2.2.2" xref="S5.p12.11.m6.1.1.3.2.2.2.cmml">J</mi><mn id="S5.p12.11.m6.1.1.3.2.2.3" xref="S5.p12.11.m6.1.1.3.2.2.3.cmml">21</mn></msub><mo id="S5.p12.11.m6.1.1.3.2.1" xref="S5.p12.11.m6.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p12.11.m6.1.1.3.2.3" xref="S5.p12.11.m6.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S5.p12.11.m6.1.1.3.2.3.2" xref="S5.p12.11.m6.1.1.3.2.3.2.cmml">U</mi><mn id="S5.p12.11.m6.1.1.3.2.3.3" xref="S5.p12.11.m6.1.1.3.2.3.3.cmml">21</mn></msub></mrow><mo id="S5.p12.11.m6.1.1.3.1" xref="S5.p12.11.m6.1.1.3.1.cmml">+</mo><msub id="S5.p12.11.m6.1.1.3.3" xref="S5.p12.11.m6.1.1.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.p12.11.m6.1.1.3.3.2" xref="S5.p12.11.m6.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S5.p12.11.m6.1.1.3.3.2.2" xref="S5.p12.11.m6.1.1.3.3.2.2.cmml">J</mi><mo id="S5.p12.11.m6.1.1.3.3.2.1" xref="S5.p12.11.m6.1.1.3.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.p12.11.m6.1.1.3.3.3" xref="S5.p12.11.m6.1.1.3.3.3.cmml">21</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p12.11.m6.1b"><apply id="S5.p12.11.m6.1.1.cmml" xref="S5.p12.11.m6.1.1"><eq id="S5.p12.11.m6.1.1.1.cmml" xref="S5.p12.11.m6.1.1.1"></eq><apply id="S5.p12.11.m6.1.1.2.cmml" xref="S5.p12.11.m6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p12.11.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p12.11.m6.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p12.11.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p12.11.m6.1.1.2.2">𝑈</ci><cn id="S5.p12.11.m6.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p12.11.m6.1.1.2.3">21</cn></apply><apply id="S5.p12.11.m6.1.1.3.cmml" xref="S5.p12.11.m6.1.1.3"><plus id="S5.p12.11.m6.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p12.11.m6.1.1.3.1"></plus><apply id="S5.p12.11.m6.1.1.3.2.cmml" 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xref="S5.p12.11.m6.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S5.p12.11.m6.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.p12.11.m6.1.1.3.3.2"><ci id="S5.p12.11.m6.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.p12.11.m6.1.1.3.3.2.1">¯</ci><ci id="S5.p12.11.m6.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.p12.11.m6.1.1.3.3.2.2">𝐽</ci></apply><cn id="S5.p12.11.m6.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p12.11.m6.1.1.3.3.3">21</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p12.11.m6.1c">U_{21}=J_{21}U_{21}+\bar{J}_{21}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p12.11.m6.1d">italic_U start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT = italic_J start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT + over¯ start_ARG italic_J end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p13"> <p class="ltx_p" id="S5.p13.1">The middle matrix <math alttext="\left[\begin{array}[]{cc}\alpha S_{11}&\alpha S^{\sim}_{12}\\ \alpha S_{21}&{\frac{1}{\alpha_{k}}}A^{\prime\prime}_{22}\end{array}\right]" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p13.1.m1.1"><semantics id="S5.p13.1.m1.1a"><mrow id="S5.p13.1.m1.1.2.2" xref="S5.p13.1.m1.1.2.1.cmml"><mo id="S5.p13.1.m1.1.2.2.1" xref="S5.p13.1.m1.1.2.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S5.p13.1.m1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S5.p13.1.m1.1.1.cmml"><mtr id="S5.p13.1.m1.1.1a" xref="S5.p13.1.m1.1.1.cmml"><mtd id="S5.p13.1.m1.1.1b" xref="S5.p13.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.p13.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.p13.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.p13.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.p13.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="S5.p13.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.p13.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p13.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.p13.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p13.1.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.p13.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">S</mi><mn id="S5.p13.1.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.p13.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">11</mn></msub></mrow></mtd><mtd id="S5.p13.1.m1.1.1c" xref="S5.p13.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.p13.1.m1.1.1.1.2.1" xref="S5.p13.1.m1.1.1.1.2.1.cmml"><mi id="S5.p13.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="S5.p13.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">α</mi><mo id="S5.p13.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="S5.p13.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.p13.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="S5.p13.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml"><mi id="S5.p13.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.2" xref="S5.p13.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.2.cmml">S</mi><mn id="S5.p13.1.m1.1.1.1.2.1.3.3" xref="S5.p13.1.m1.1.1.1.2.1.3.3.cmml">12</mn><mo id="S5.p13.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.3" xref="S5.p13.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.3.cmml">∼</mo></msubsup></mrow></mtd></mtr><mtr id="S5.p13.1.m1.1.1d" xref="S5.p13.1.m1.1.1.cmml"><mtd id="S5.p13.1.m1.1.1e" xref="S5.p13.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.p13.1.m1.1.1.2.1.1" xref="S5.p13.1.m1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S5.p13.1.m1.1.1.2.1.1.2" xref="S5.p13.1.m1.1.1.2.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="S5.p13.1.m1.1.1.2.1.1.1" xref="S5.p13.1.m1.1.1.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p13.1.m1.1.1.2.1.1.3" xref="S5.p13.1.m1.1.1.2.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p13.1.m1.1.1.2.1.1.3.2" xref="S5.p13.1.m1.1.1.2.1.1.3.2.cmml">S</mi><mn id="S5.p13.1.m1.1.1.2.1.1.3.3" xref="S5.p13.1.m1.1.1.2.1.1.3.3.cmml">21</mn></msub></mrow></mtd><mtd id="S5.p13.1.m1.1.1f" xref="S5.p13.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1" xref="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1.cmml"><mfrac id="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml"><mn id="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1.2.2" xref="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.cmml">1</mn><msub id="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1.2.3" xref="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.cmml"><mi id="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.2" xref="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.2.cmml">α</mi><mi id="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.3" xref="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.3.cmml">k</mi></msub></mfrac><mo id="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml"><mi id="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1.3.2.2" xref="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1.3.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1.3.3" xref="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1.3.3.cmml">22</mn><mo id="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1.3.2.3" xref="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1.3.2.3.cmml">′′</mo></msubsup></mrow></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.p13.1.m1.1.2.2.2" xref="S5.p13.1.m1.1.2.1.1.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p13.1.m1.1b"><apply id="S5.p13.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S5.p13.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.p13.1.m1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.p13.1.m1.1.2.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S5.p13.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p13.1.m1.1.1"><matrixrow id="S5.p13.1.m1.1.1a.cmml" xref="S5.p13.1.m1.1.1"><apply id="S5.p13.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p13.1.m1.1.1.1.1.1"><times id="S5.p13.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p13.1.m1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S5.p13.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p13.1.m1.1.1.1.1.1.2">𝛼</ci><apply id="S5.p13.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p13.1.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p13.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p13.1.m1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p13.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p13.1.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑆</ci><cn id="S5.p13.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p13.1.m1.1.1.1.1.1.3.3">11</cn></apply></apply><apply id="S5.p13.1.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p13.1.m1.1.1.1.2.1"><times id="S5.p13.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.p13.1.m1.1.1.1.2.1.1"></times><ci id="S5.p13.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S5.p13.1.m1.1.1.1.2.1.2">𝛼</ci><apply id="S5.p13.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="S5.p13.1.m1.1.1.1.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p13.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="S5.p13.1.m1.1.1.1.2.1.3">subscript</csymbol><apply id="S5.p13.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="S5.p13.1.m1.1.1.1.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p13.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.1.cmml" xref="S5.p13.1.m1.1.1.1.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.p13.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.2.cmml" xref="S5.p13.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.2">𝑆</ci><csymbol cd="latexml" id="S5.p13.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.3.cmml" xref="S5.p13.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.3">similar-to</csymbol></apply><cn id="S5.p13.1.m1.1.1.1.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p13.1.m1.1.1.1.2.1.3.3">12</cn></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S5.p13.1.m1.1.1b.cmml" xref="S5.p13.1.m1.1.1"><apply id="S5.p13.1.m1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.p13.1.m1.1.1.2.1.1"><times id="S5.p13.1.m1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S5.p13.1.m1.1.1.2.1.1.1"></times><ci id="S5.p13.1.m1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S5.p13.1.m1.1.1.2.1.1.2">𝛼</ci><apply id="S5.p13.1.m1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S5.p13.1.m1.1.1.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p13.1.m1.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p13.1.m1.1.1.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p13.1.m1.1.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p13.1.m1.1.1.2.1.1.3.2">𝑆</ci><cn id="S5.p13.1.m1.1.1.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p13.1.m1.1.1.2.1.1.3.3">21</cn></apply></apply><apply id="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1"><times id="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1.1"></times><apply id="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1.2"><divide id="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1.2.1.cmml" xref="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1.2"></divide><cn id="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1.2.2">1</cn><apply id="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.cmml" xref="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.1.cmml" xref="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.2.cmml" xref="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.2">𝛼</ci><ci id="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.3.cmml" xref="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1.3">subscript</csymbol><apply id="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1.3.2.1.cmml" xref="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1.3.2.2.cmml" xref="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1.3.2.2">𝐴</ci><ci id="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1.3.2.3.cmml" xref="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1.3.2.3">′′</ci></apply><cn id="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p13.1.m1.1.1.2.2.1.3.3">22</cn></apply></apply></matrixrow></matrix></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p13.1.m1.1c">\left[\begin{array}[]{cc}\alpha S_{11}&\alpha S^{\sim}_{12}\\ \alpha S_{21}&{\frac{1}{\alpha_{k}}}A^{\prime\prime}_{22}\end{array}\right]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p13.1.m1.1d">[ start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_α italic_S start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_α italic_S start_POSTSUPERSCRIPT ∼ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_α italic_S start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARRAY ]</annotation></semantics></math> can be decomposed in two ways:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex40"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\left[\begin{array}[]{cc}{\mathbf{I}}&0\\ \frac{A^{\prime\prime}_{22}S^{\sim+}_{12}}{\alpha\alpha_{k}}&{\mathbf{I}}\end{% array}\right]\left[\begin{array}[]{cc}\alpha S_{11}&\alpha S^{\sim}_{12}\\ \alpha S_{21}&{\frac{\alpha}{\alpha_{s}}}A^{\prime\prime\prime}_{22}\end{array% }\right]\left[\begin{array}[]{cc}{\mathbf{I}}&\frac{S^{+}_{21}A^{\prime\prime}% _{22}\bar{J}_{12}}{\alpha\alpha_{k}}\\ 0&{\mathbf{I}}\end{array}\right]" class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex40.m1.3"><semantics id="S5.Ex40.m1.3a"><mrow id="S5.Ex40.m1.3.4" xref="S5.Ex40.m1.3.4.cmml"><mrow id="S5.Ex40.m1.3.4.2.2" xref="S5.Ex40.m1.3.4.2.1.cmml"><mo id="S5.Ex40.m1.3.4.2.2.1" xref="S5.Ex40.m1.3.4.2.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S5.Ex40.m1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S5.Ex40.m1.1.1.cmml"><mtr id="S5.Ex40.m1.1.1a" xref="S5.Ex40.m1.1.1.cmml"><mtd id="S5.Ex40.m1.1.1b" xref="S5.Ex40.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.1.cmml">𝐈</mi></mtd><mtd id="S5.Ex40.m1.1.1c" xref="S5.Ex40.m1.1.1.cmml"><mn id="S5.Ex40.m1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex40.m1.1.1.1.2.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="S5.Ex40.m1.1.1d" xref="S5.Ex40.m1.1.1.cmml"><mtd id="S5.Ex40.m1.1.1e" xref="S5.Ex40.m1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1" xref="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.cmml"><mfrac id="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1a" xref="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.2" xref="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.2.cmml"><msubsup id="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.2.2" xref="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.2" xref="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.2.2.3.cmml">22</mn><mo id="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.3" xref="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.3.cmml">′′</mo></msubsup><mo id="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.2.1" xref="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.2.3" xref="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.2" xref="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.2.cmml">S</mi><mn id="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.2.3.3" xref="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.2.3.3.cmml">12</mn><mrow id="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.3" xref="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.3.2" xref="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.3.2.cmml"></mi><mo id="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.3.1" rspace="0em" xref="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.3.1.cmml">∼</mo><mo id="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.3.3" lspace="0em" xref="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.3.3.cmml">+</mo></mrow></msubsup></mrow><mrow id="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.3" xref="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.3.2" xref="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.3.2.cmml">α</mi><mo id="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.3.1" xref="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.3.3" xref="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.3.3.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.3.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow></mfrac></mstyle></mtd><mtd id="S5.Ex40.m1.1.1f" xref="S5.Ex40.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex40.m1.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex40.m1.1.1.2.2.1.cmml">𝐈</mi></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.Ex40.m1.3.4.2.2.2" xref="S5.Ex40.m1.3.4.2.1.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.Ex40.m1.3.4.1" xref="S5.Ex40.m1.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex40.m1.3.4.3.2" xref="S5.Ex40.m1.3.4.3.1.cmml"><mo id="S5.Ex40.m1.3.4.3.2.1" xref="S5.Ex40.m1.3.4.3.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S5.Ex40.m1.2.2" rowspacing="0pt" xref="S5.Ex40.m1.2.2.cmml"><mtr id="S5.Ex40.m1.2.2a" xref="S5.Ex40.m1.2.2.cmml"><mtd id="S5.Ex40.m1.2.2b" xref="S5.Ex40.m1.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex40.m1.2.2.1.1.1" xref="S5.Ex40.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex40.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S5.Ex40.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="S5.Ex40.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S5.Ex40.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex40.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S5.Ex40.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex40.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex40.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">S</mi><mn id="S5.Ex40.m1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex40.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">11</mn></msub></mrow></mtd><mtd id="S5.Ex40.m1.2.2c" xref="S5.Ex40.m1.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex40.m1.2.2.1.2.1" xref="S5.Ex40.m1.2.2.1.2.1.cmml"><mi id="S5.Ex40.m1.2.2.1.2.1.2" xref="S5.Ex40.m1.2.2.1.2.1.2.cmml">α</mi><mo id="S5.Ex40.m1.2.2.1.2.1.1" xref="S5.Ex40.m1.2.2.1.2.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex40.m1.2.2.1.2.1.3" xref="S5.Ex40.m1.2.2.1.2.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex40.m1.2.2.1.2.1.3.2.2" xref="S5.Ex40.m1.2.2.1.2.1.3.2.2.cmml">S</mi><mn id="S5.Ex40.m1.2.2.1.2.1.3.3" xref="S5.Ex40.m1.2.2.1.2.1.3.3.cmml">12</mn><mo id="S5.Ex40.m1.2.2.1.2.1.3.2.3" xref="S5.Ex40.m1.2.2.1.2.1.3.2.3.cmml">∼</mo></msubsup></mrow></mtd></mtr><mtr id="S5.Ex40.m1.2.2d" xref="S5.Ex40.m1.2.2.cmml"><mtd id="S5.Ex40.m1.2.2e" xref="S5.Ex40.m1.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex40.m1.2.2.2.1.1" xref="S5.Ex40.m1.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex40.m1.2.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex40.m1.2.2.2.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="S5.Ex40.m1.2.2.2.1.1.1" xref="S5.Ex40.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex40.m1.2.2.2.1.1.3" xref="S5.Ex40.m1.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex40.m1.2.2.2.1.1.3.2" xref="S5.Ex40.m1.2.2.2.1.1.3.2.cmml">S</mi><mn id="S5.Ex40.m1.2.2.2.1.1.3.3" xref="S5.Ex40.m1.2.2.2.1.1.3.3.cmml">21</mn></msub></mrow></mtd><mtd id="S5.Ex40.m1.2.2f" xref="S5.Ex40.m1.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex40.m1.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex40.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S5.Ex40.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S5.Ex40.m1.2.2.2.2.1.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex40.m1.2.2.2.2.1.2a" xref="S5.Ex40.m1.2.2.2.2.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex40.m1.2.2.2.2.1.2.2" xref="S5.Ex40.m1.2.2.2.2.1.2.2.cmml">α</mi><msub id="S5.Ex40.m1.2.2.2.2.1.2.3" xref="S5.Ex40.m1.2.2.2.2.1.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex40.m1.2.2.2.2.1.2.3.2" xref="S5.Ex40.m1.2.2.2.2.1.2.3.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex40.m1.2.2.2.2.1.2.3.3" xref="S5.Ex40.m1.2.2.2.2.1.2.3.3.cmml">s</mi></msub></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex40.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S5.Ex40.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex40.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S5.Ex40.m1.2.2.2.2.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex40.m1.2.2.2.2.1.3.2.2" xref="S5.Ex40.m1.2.2.2.2.1.3.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex40.m1.2.2.2.2.1.3.3" xref="S5.Ex40.m1.2.2.2.2.1.3.3.cmml">22</mn><mo id="S5.Ex40.m1.2.2.2.2.1.3.2.3" xref="S5.Ex40.m1.2.2.2.2.1.3.2.3.cmml">′′′</mo></msubsup></mrow></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.Ex40.m1.3.4.3.2.2" xref="S5.Ex40.m1.3.4.3.1.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.Ex40.m1.3.4.1a" xref="S5.Ex40.m1.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex40.m1.3.4.4.2" xref="S5.Ex40.m1.3.4.4.1.cmml"><mo id="S5.Ex40.m1.3.4.4.2.1" xref="S5.Ex40.m1.3.4.4.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S5.Ex40.m1.3.3" rowspacing="0pt" xref="S5.Ex40.m1.3.3.cmml"><mtr id="S5.Ex40.m1.3.3a" xref="S5.Ex40.m1.3.3.cmml"><mtd id="S5.Ex40.m1.3.3b" xref="S5.Ex40.m1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex40.m1.3.3.1.1.1" xref="S5.Ex40.m1.3.3.1.1.1.cmml">𝐈</mi></mtd><mtd id="S5.Ex40.m1.3.3c" xref="S5.Ex40.m1.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1" xref="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.cmml"><mfrac id="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1a" xref="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.cmml"><mrow id="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2" xref="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.cmml"><msubsup id="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.2" xref="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.2.2.2" xref="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.2.2.2.cmml">S</mi><mn id="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.2.3" xref="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.2.3.cmml">21</mn><mo id="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.2.2.3" xref="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.2.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.1" xref="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.3" xref="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.3.2.2" xref="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.3.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.3.3" xref="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.3.3.cmml">22</mn><mo id="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.3.2.3" xref="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.3.2.3.cmml">′′</mo></msubsup><mo id="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.1a" xref="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.4" xref="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.4.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.4.2" xref="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.4.2.2" xref="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.4.2.2.cmml">J</mi><mo id="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.4.2.1" xref="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.4.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.4.3" xref="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.4.3.cmml">12</mn></msub></mrow><mrow id="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.3" 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id="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.3.1">similar-to</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.3.2">absent</csymbol><plus id="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.3.3"></plus></apply></apply><cn id="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.2.3.3">12</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.3"><times id="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.3.1"></times><ci id="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.3.2">𝛼</ci><apply id="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.3.3.2">𝛼</ci><ci id="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.1.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><ci id="S5.Ex40.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.1.1.2.2.1">𝐈</ci></matrixrow></matrix></apply><apply id="S5.Ex40.m1.3.4.3.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.3.4.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex40.m1.3.4.3.1.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.3.4.3.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S5.Ex40.m1.2.2.cmml" xref="S5.Ex40.m1.2.2"><matrixrow id="S5.Ex40.m1.2.2a.cmml" xref="S5.Ex40.m1.2.2"><apply id="S5.Ex40.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.2.2.1.1.1"><times id="S5.Ex40.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.2.2.1.1.1.1"></times><ci id="S5.Ex40.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex40.m1.2.2.1.1.1.2">𝛼</ci><apply id="S5.Ex40.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex40.m1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex40.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex40.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex40.m1.2.2.1.1.1.3.2">𝑆</ci><cn id="S5.Ex40.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex40.m1.2.2.1.1.1.3.3">11</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex40.m1.2.2.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.2.2.1.2.1"><times id="S5.Ex40.m1.2.2.1.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.2.2.1.2.1.1"></times><ci id="S5.Ex40.m1.2.2.1.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex40.m1.2.2.1.2.1.2">𝛼</ci><apply id="S5.Ex40.m1.2.2.1.2.1.3.cmml" xref="S5.Ex40.m1.2.2.1.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex40.m1.2.2.1.2.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.2.2.1.2.1.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex40.m1.2.2.1.2.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex40.m1.2.2.1.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex40.m1.2.2.1.2.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.2.2.1.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex40.m1.2.2.1.2.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex40.m1.2.2.1.2.1.3.2.2">𝑆</ci><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex40.m1.2.2.1.2.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex40.m1.2.2.1.2.1.3.2.3">similar-to</csymbol></apply><cn id="S5.Ex40.m1.2.2.1.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex40.m1.2.2.1.2.1.3.3">12</cn></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S5.Ex40.m1.2.2b.cmml" xref="S5.Ex40.m1.2.2"><apply id="S5.Ex40.m1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.2.2.2.1.1"><times id="S5.Ex40.m1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.2.2.2.1.1.1"></times><ci id="S5.Ex40.m1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex40.m1.2.2.2.1.1.2">𝛼</ci><apply id="S5.Ex40.m1.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex40.m1.2.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex40.m1.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.2.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex40.m1.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex40.m1.2.2.2.1.1.3.2">𝑆</ci><cn id="S5.Ex40.m1.2.2.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex40.m1.2.2.2.1.1.3.3">21</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex40.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.2.2.2.2.1"><times id="S5.Ex40.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.2.2.2.2.1.1"></times><apply id="S5.Ex40.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex40.m1.2.2.2.2.1.2"><divide id="S5.Ex40.m1.2.2.2.2.1.2.1.cmml" 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xref="S5.Ex40.m1.2.2.2.2.1.3.2.3">′′′</ci></apply><cn id="S5.Ex40.m1.2.2.2.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex40.m1.2.2.2.2.1.3.3">22</cn></apply></apply></matrixrow></matrix></apply><apply id="S5.Ex40.m1.3.4.4.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.3.4.4.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex40.m1.3.4.4.1.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.3.4.4.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S5.Ex40.m1.3.3.cmml" xref="S5.Ex40.m1.3.3"><matrixrow id="S5.Ex40.m1.3.3a.cmml" xref="S5.Ex40.m1.3.3"><ci id="S5.Ex40.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.3.3.1.1.1">𝐈</ci><apply id="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1"><divide id="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1"></divide><apply id="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2"><times id="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.1"></times><apply id="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.2.1.cmml" 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id="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.3.2.3">′′</ci></apply><cn id="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.3.3">22</cn></apply><apply id="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.4.cmml" xref="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.4.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.4">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.4.2.cmml" xref="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.4.2"><ci id="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.4.2.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.4.2.1">¯</ci><ci id="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.4.2.2">𝐽</ci></apply><cn id="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.2.4.3">12</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.3.cmml" xref="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.3"><times id="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.3.1"></times><ci id="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.3.2">𝛼</ci><apply id="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.3.3.2">𝛼</ci><ci id="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex40.m1.3.3.1.2.1.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S5.Ex40.m1.3.3b.cmml" xref="S5.Ex40.m1.3.3"><cn id="S5.Ex40.m1.3.3.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex40.m1.3.3.2.1.1">0</cn><ci id="S5.Ex40.m1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.3.3.2.2.1">𝐈</ci></matrixrow></matrix></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex40.m1.3c">\left[\begin{array}[]{cc}{\mathbf{I}}&0\\ \frac{A^{\prime\prime}_{22}S^{\sim+}_{12}}{\alpha\alpha_{k}}&{\mathbf{I}}\end{% array}\right]\left[\begin{array}[]{cc}\alpha S_{11}&\alpha S^{\sim}_{12}\\ \alpha S_{21}&{\frac{\alpha}{\alpha_{s}}}A^{\prime\prime\prime}_{22}\end{array% 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<tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\left[\begin{array}[]{cc}{\mathbf{I}}&0\\ \frac{\bar{I}_{21}A^{\prime\prime}_{22}S^{\sim+}_{12}}{\alpha\alpha_{k}}&{% \mathbf{I}}\end{array}\right]\left[\begin{array}[]{cc}\alpha S_{11}&\alpha S^{% \sim}_{12}\\ \alpha S_{21}&{\frac{\alpha}{\alpha_{s}}}A^{\prime\prime\prime}_{22}\end{array% }\right]\left[\begin{array}[]{cc}{\mathbf{I}}&\frac{S^{+}_{21}A^{\prime\prime}% _{22}}{\alpha\alpha_{k}}\\ 0&{\mathbf{I}}\end{array}\right]." class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex41.m1.4"><semantics id="S5.Ex41.m1.4a"><mrow id="S5.Ex41.m1.4.4.1" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.1.cmml"><mo id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" 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id="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1" xref="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.2.3.cmml">21</mn></msub><mo id="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.1" xref="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.3" xref="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.2" xref="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.3.3" xref="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.3.3.cmml">22</mn><mo id="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.3" xref="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.3.cmml">′′</mo></msubsup><mo id="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.1a" xref="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.4" xref="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.4.cmml"><mi id="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.4.2.2" xref="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.4.2.2.cmml">S</mi><mn id="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.4.3" xref="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.4.3.cmml">12</mn><mrow id="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.4.2.3" xref="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.4.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.4.2.3.2" xref="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.4.2.3.2.cmml"></mi><mo id="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.4.2.3.1" rspace="0em" xref="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.4.2.3.1.cmml">∼</mo><mo id="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.4.2.3.3" lspace="0em" xref="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.4.2.3.3.cmml">+</mo></mrow></msubsup></mrow><mrow id="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.3" xref="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.3.2" xref="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.3.2.cmml">α</mi><mo id="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.3.1" xref="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.3.3" xref="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.3.3.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.3.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow></mfrac></mstyle></mtd><mtd id="S5.Ex41.m1.1.1f" xref="S5.Ex41.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex41.m1.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex41.m1.1.1.2.2.1.cmml">𝐈</mi></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2" 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id="S5.Ex41.m1.2.2.1.2.1" xref="S5.Ex41.m1.2.2.1.2.1.cmml"><mi id="S5.Ex41.m1.2.2.1.2.1.2" xref="S5.Ex41.m1.2.2.1.2.1.2.cmml">α</mi><mo id="S5.Ex41.m1.2.2.1.2.1.1" xref="S5.Ex41.m1.2.2.1.2.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex41.m1.2.2.1.2.1.3" xref="S5.Ex41.m1.2.2.1.2.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex41.m1.2.2.1.2.1.3.2.2" xref="S5.Ex41.m1.2.2.1.2.1.3.2.2.cmml">S</mi><mn id="S5.Ex41.m1.2.2.1.2.1.3.3" xref="S5.Ex41.m1.2.2.1.2.1.3.3.cmml">12</mn><mo id="S5.Ex41.m1.2.2.1.2.1.3.2.3" xref="S5.Ex41.m1.2.2.1.2.1.3.2.3.cmml">∼</mo></msubsup></mrow></mtd></mtr><mtr id="S5.Ex41.m1.2.2d" xref="S5.Ex41.m1.2.2.cmml"><mtd id="S5.Ex41.m1.2.2e" xref="S5.Ex41.m1.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex41.m1.2.2.2.1.1" xref="S5.Ex41.m1.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex41.m1.2.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex41.m1.2.2.2.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="S5.Ex41.m1.2.2.2.1.1.1" xref="S5.Ex41.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex41.m1.2.2.2.1.1.3" xref="S5.Ex41.m1.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex41.m1.2.2.2.1.1.3.2" xref="S5.Ex41.m1.2.2.2.1.1.3.2.cmml">S</mi><mn id="S5.Ex41.m1.2.2.2.1.1.3.3" xref="S5.Ex41.m1.2.2.2.1.1.3.3.cmml">21</mn></msub></mrow></mtd><mtd id="S5.Ex41.m1.2.2f" xref="S5.Ex41.m1.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.2a" xref="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.2.2" xref="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.2.2.cmml">α</mi><msub id="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.2.3" xref="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.2.3.2" xref="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.2.3.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.2.3.3" xref="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.2.3.3.cmml">s</mi></msub></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.3.2.2" xref="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.3.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.3.3" xref="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.3.3.cmml">22</mn><mo id="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.3.2.3" xref="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.3.2.3.cmml">′′′</mo></msubsup></mrow></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1a" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.4.2" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.4.1.cmml"><mo id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.4.2.1" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.4.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S5.Ex41.m1.3.3" rowspacing="0pt" xref="S5.Ex41.m1.3.3.cmml"><mtr id="S5.Ex41.m1.3.3a" xref="S5.Ex41.m1.3.3.cmml"><mtd id="S5.Ex41.m1.3.3b" xref="S5.Ex41.m1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex41.m1.3.3.1.1.1" xref="S5.Ex41.m1.3.3.1.1.1.cmml">𝐈</mi></mtd><mtd id="S5.Ex41.m1.3.3c" xref="S5.Ex41.m1.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1" xref="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1.cmml"><mfrac id="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1a" 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cd="ambiguous" id="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.2.2"><ci id="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1">¯</ci><ci id="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.2">𝐼</ci></apply><cn id="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.2.3">21</cn></apply><apply id="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.2">𝐴</ci><ci id="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.3">′′</ci></apply><cn id="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.3.3">22</cn></apply><apply id="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.4.cmml" xref="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.4.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.4">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.4.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.4.2.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.4">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.4.2.2">𝑆</ci><apply id="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.4.2.3.cmml" xref="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.4.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.4.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.4.2.3.1">similar-to</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.4.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.4.2.3.2">absent</csymbol><plus id="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.1.2.4.2.3.3.cmml" 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id="S5.Ex41.m1.2.2.1.2.1.3.cmml" xref="S5.Ex41.m1.2.2.1.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex41.m1.2.2.1.2.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.2.2.1.2.1.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex41.m1.2.2.1.2.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.2.2.1.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex41.m1.2.2.1.2.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.2.2.1.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex41.m1.2.2.1.2.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.2.2.1.2.1.3.2.2">𝑆</ci><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex41.m1.2.2.1.2.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex41.m1.2.2.1.2.1.3.2.3">similar-to</csymbol></apply><cn id="S5.Ex41.m1.2.2.1.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex41.m1.2.2.1.2.1.3.3">12</cn></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S5.Ex41.m1.2.2b.cmml" xref="S5.Ex41.m1.2.2"><apply id="S5.Ex41.m1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.2.2.2.1.1"><times id="S5.Ex41.m1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.2.2.2.1.1.1"></times><ci id="S5.Ex41.m1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.2.2.2.1.1.2">𝛼</ci><apply id="S5.Ex41.m1.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex41.m1.2.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex41.m1.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.2.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex41.m1.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.2.2.2.1.1.3.2">𝑆</ci><cn id="S5.Ex41.m1.2.2.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex41.m1.2.2.2.1.1.3.3">21</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1"><times id="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.1"></times><apply id="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.2"><divide id="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.2"></divide><ci id="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.2.2">𝛼</ci><apply id="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.2.3.2">𝛼</ci><ci id="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.3.2.2">𝐴</ci><ci id="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.3.2.3">′′′</ci></apply><cn id="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex41.m1.2.2.2.2.1.3.3">22</cn></apply></apply></matrixrow></matrix></apply><apply id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.4.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.4.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.4.1.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.4.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S5.Ex41.m1.3.3.cmml" xref="S5.Ex41.m1.3.3"><matrixrow id="S5.Ex41.m1.3.3a.cmml" xref="S5.Ex41.m1.3.3"><ci id="S5.Ex41.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.3.3.1.1.1">𝐈</ci><apply id="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1"><divide id="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1"></divide><apply id="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1.2"><times id="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1.2.1"></times><apply id="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1.2.2.2.2">𝑆</ci><plus id="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1.2.2.2.3"></plus></apply><cn id="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1.2.2.3">21</cn></apply><apply id="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1.2.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1.2.3.2.2">𝐴</ci><ci id="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1.2.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1.2.3.2.3">′′</ci></apply><cn id="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1.2.3.3">22</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1.3.cmml" xref="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1.3"><times id="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1.3.1"></times><ci id="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1.3.2">𝛼</ci><apply id="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1.3.3.2">𝛼</ci><ci id="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex41.m1.3.3.1.2.1.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S5.Ex41.m1.3.3b.cmml" xref="S5.Ex41.m1.3.3"><cn id="S5.Ex41.m1.3.3.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex41.m1.3.3.2.1.1">0</cn><ci id="S5.Ex41.m1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.3.3.2.2.1">𝐈</ci></matrixrow></matrix></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex41.m1.4c">\left[\begin{array}[]{cc}{\mathbf{I}}&0\\ \frac{\bar{I}_{21}A^{\prime\prime}_{22}S^{\sim+}_{12}}{\alpha\alpha_{k}}&{% \mathbf{I}}\end{array}\right]\left[\begin{array}[]{cc}\alpha S_{11}&\alpha S^{% \sim}_{12}\\ \alpha S_{21}&{\frac{\alpha}{\alpha_{s}}}A^{\prime\prime\prime}_{22}\end{array% }\right]\left[\begin{array}[]{cc}{\mathbf{I}}&\frac{S^{+}_{21}A^{\prime\prime}% _{22}}{\alpha\alpha_{k}}\\ 0&{\mathbf{I}}\end{array}\right].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex41.m1.4d">[ start_ARRAY start_ROW start_CELL bold_I end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL divide start_ARG over¯ start_ARG italic_I end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT italic_S start_POSTSUPERSCRIPT ∼ + end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_α italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG end_CELL start_CELL bold_I end_CELL end_ROW end_ARRAY ] [ start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_α italic_S start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_α italic_S start_POSTSUPERSCRIPT ∼ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_α italic_S start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL divide start_ARG italic_α end_ARG start_ARG italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARRAY ] [ start_ARRAY start_ROW start_CELL bold_I end_CELL start_CELL divide start_ARG italic_S start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_α italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL bold_I end_CELL end_ROW end_ARRAY ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right"><math class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex41.1.1.m1.1"><semantics id="S5.Ex41.1.1.m1.1b"><mrow id="S5.Ex41.1.1.m1.1.2.2"><mo id="S5.Ex41.1.1.m1.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S5.Ex41.1.1.m1.1.1" xref="S5.Ex41.1.1.m1.1.1.cmml">15</mn><mo id="S5.Ex41.1.1.m1.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex41.1.1.m1.1c"><cn id="S5.Ex41.1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex41.1.1.m1.1.1">15</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex41.1.1.m1.1d">( 15 )</annotation></semantics></math></span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p14"> <p class="ltx_p" id="S5.p14.2">We use the following equations <math alttext="S^{+}_{12}S_{11}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p14.1.m1.1"><semantics id="S5.p14.1.m1.1a"><mrow id="S5.p14.1.m1.1.1" xref="S5.p14.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.p14.1.m1.1.1.2" xref="S5.p14.1.m1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S5.p14.1.m1.1.1.2.2" xref="S5.p14.1.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.p14.1.m1.1.1.2.2.2.2" xref="S5.p14.1.m1.1.1.2.2.2.2.cmml">S</mi><mn id="S5.p14.1.m1.1.1.2.2.3" xref="S5.p14.1.m1.1.1.2.2.3.cmml">12</mn><mo id="S5.p14.1.m1.1.1.2.2.2.3" xref="S5.p14.1.m1.1.1.2.2.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S5.p14.1.m1.1.1.2.1" xref="S5.p14.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p14.1.m1.1.1.2.3" xref="S5.p14.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.p14.1.m1.1.1.2.3.2" xref="S5.p14.1.m1.1.1.2.3.2.cmml">S</mi><mn id="S5.p14.1.m1.1.1.2.3.3" xref="S5.p14.1.m1.1.1.2.3.3.cmml">11</mn></msub></mrow><mo id="S5.p14.1.m1.1.1.1" xref="S5.p14.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.p14.1.m1.1.1.3" xref="S5.p14.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p14.1.m1.1b"><apply id="S5.p14.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p14.1.m1.1.1"><eq id="S5.p14.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.p14.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="S5.p14.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p14.1.m1.1.1.2"><times id="S5.p14.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p14.1.m1.1.1.2.1"></times><apply id="S5.p14.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p14.1.m1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p14.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.p14.1.m1.1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S5.p14.1.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.p14.1.m1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p14.1.m1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.p14.1.m1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S5.p14.1.m1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.p14.1.m1.1.1.2.2.2.2">𝑆</ci><plus id="S5.p14.1.m1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.p14.1.m1.1.1.2.2.2.3"></plus></apply><cn id="S5.p14.1.m1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p14.1.m1.1.1.2.2.3">12</cn></apply><apply id="S5.p14.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p14.1.m1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p14.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.p14.1.m1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p14.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.p14.1.m1.1.1.2.3.2">𝑆</ci><cn id="S5.p14.1.m1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p14.1.m1.1.1.2.3.3">11</cn></apply></apply><cn id="S5.p14.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p14.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p14.1.m1.1c">S^{+}_{12}S_{11}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p14.1.m1.1d">italic_S start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT italic_S start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math>, <math alttext="S_{11}S^{+}_{21}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p14.2.m2.1"><semantics id="S5.p14.2.m2.1a"><mrow id="S5.p14.2.m2.1.1" xref="S5.p14.2.m2.1.1.cmml"><mrow id="S5.p14.2.m2.1.1.2" xref="S5.p14.2.m2.1.1.2.cmml"><msub id="S5.p14.2.m2.1.1.2.2" xref="S5.p14.2.m2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.p14.2.m2.1.1.2.2.2" xref="S5.p14.2.m2.1.1.2.2.2.cmml">S</mi><mn id="S5.p14.2.m2.1.1.2.2.3" xref="S5.p14.2.m2.1.1.2.2.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S5.p14.2.m2.1.1.2.1" xref="S5.p14.2.m2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.p14.2.m2.1.1.2.3" xref="S5.p14.2.m2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.p14.2.m2.1.1.2.3.2.2" xref="S5.p14.2.m2.1.1.2.3.2.2.cmml">S</mi><mn id="S5.p14.2.m2.1.1.2.3.3" xref="S5.p14.2.m2.1.1.2.3.3.cmml">21</mn><mo id="S5.p14.2.m2.1.1.2.3.2.3" xref="S5.p14.2.m2.1.1.2.3.2.3.cmml">+</mo></msubsup></mrow><mo id="S5.p14.2.m2.1.1.1" xref="S5.p14.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.p14.2.m2.1.1.3" xref="S5.p14.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p14.2.m2.1b"><apply id="S5.p14.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.p14.2.m2.1.1"><eq id="S5.p14.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.p14.2.m2.1.1.1"></eq><apply id="S5.p14.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.p14.2.m2.1.1.2"><times id="S5.p14.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p14.2.m2.1.1.2.1"></times><apply id="S5.p14.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p14.2.m2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p14.2.m2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.p14.2.m2.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p14.2.m2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.p14.2.m2.1.1.2.2.2">𝑆</ci><cn id="S5.p14.2.m2.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p14.2.m2.1.1.2.2.3">11</cn></apply><apply id="S5.p14.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p14.2.m2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p14.2.m2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.p14.2.m2.1.1.2.3">subscript</csymbol><apply id="S5.p14.2.m2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.p14.2.m2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p14.2.m2.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S5.p14.2.m2.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.p14.2.m2.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S5.p14.2.m2.1.1.2.3.2.2">𝑆</ci><plus id="S5.p14.2.m2.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S5.p14.2.m2.1.1.2.3.2.3"></plus></apply><cn id="S5.p14.2.m2.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p14.2.m2.1.1.2.3.3">21</cn></apply></apply><cn id="S5.p14.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p14.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p14.2.m2.1c">S_{11}S^{+}_{21}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p14.2.m2.1d">italic_S start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT italic_S start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math>, and for the lower right block we get</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex42"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="{1\over\alpha_{k}}A^{\prime\prime}_{22}={1\over\alpha_{k}^{2}}A^{\prime\prime}% _{22}J_{12}+{\frac{1}{\alpha_{k}^{2}}}I_{21}A^{\prime\prime}_{22}\bar{J}_{12}+% {\frac{\alpha}{\alpha_{s}}}A^{\prime\prime\prime}_{22}," class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex42.m1.1"><semantics id="S5.Ex42.m1.1a"><mrow id="S5.Ex42.m1.1.1.1" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">1</mn><msub id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">k</mi></msub></mfrac><mo id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">22</mn><mo id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">′′</mo></msubsup></mrow><mo id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac 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id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.2.4.1.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.2.4.2.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.2.4.2">𝐽</ci><cn id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.2.4.3">12</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3"><times id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.1"></times><apply id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.2"><divide id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.2"></divide><cn id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.2.2">1</cn><apply id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.2.3">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.2">𝛼</ci><ci id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3">𝑘</ci></apply><cn id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝐼</ci><cn id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.3.3">21</cn></apply><apply id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.4.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.4.1.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.4">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.1.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.4">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.2">𝐴</ci><ci id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.3.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.3">′′</ci></apply><cn id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.4.3">22</cn></apply><apply id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.5.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.5.1.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.5">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.5.2.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.5.2"><ci id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.5.2.1.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.5.2.1">¯</ci><ci id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.5.2.2.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.5.2.2">𝐽</ci></apply><cn id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.5.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.3.5.3">12</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.4"><times id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.4.1"></times><apply id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.4.2"><divide id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.4.2"></divide><ci id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.4.2.2">𝛼</ci><apply id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.4.2.3.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.4.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.4.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.4.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.4.2.3.2">𝛼</ci><ci id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.4.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.4.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.4.3.1.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.4.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.4.3.2.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.4.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.4.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.4.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.4.3.2.2">𝐴</ci><ci id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.4.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.4.3.2.3">′′′</ci></apply><cn id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.3.4.3.3">22</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex42.m1.1c">{1\over\alpha_{k}}A^{\prime\prime}_{22}={1\over\alpha_{k}^{2}}A^{\prime\prime}% _{22}J_{12}+{\frac{1}{\alpha_{k}^{2}}}I_{21}A^{\prime\prime}_{22}\bar{J}_{12}+% {\frac{\alpha}{\alpha_{s}}}A^{\prime\prime\prime}_{22},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex42.m1.1d">divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT italic_J start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG italic_I start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT over¯ start_ARG italic_J end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT + divide start_ARG italic_α end_ARG start_ARG italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p14.4">or</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex43"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="{1\over\alpha_{k}}A^{\prime\prime}_{22}={\frac{1}{\alpha_{k}}}I_{21}A^{\prime% \prime}_{22}+{\frac{1}{\alpha_{k}}}\bar{I}_{21}A^{\prime\prime}_{22}J_{12}+{% \frac{\alpha}{\alpha_{s}}}A^{\prime\prime\prime}_{22}." class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex43.m1.1"><semantics id="S5.Ex43.m1.1a"><mrow id="S5.Ex43.m1.1.1.1" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">1</mn><msub id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">k</mi></msub></mfrac><mo id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">22</mn><mo id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">′′</mo></msubsup></mrow><mo id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mn id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">1</mn><msub id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">k</mi></msub></mfrac><mo id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">I</mi><mn id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">21</mn></msub><mo id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.3.2.1a" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.3.2.4" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.3.2.4.cmml"><mi id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.3.2.4.2.2" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.3.2.4.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.3.2.4.3" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.3.2.4.3.cmml">22</mn><mo id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.3.2.4.2.3" 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</tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p14.3">Both of these expressions give the same value for <math alttext="A^{\prime\prime\prime}_{22}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p14.3.m1.1"><semantics id="S5.p14.3.m1.1a"><msubsup id="S5.p14.3.m1.1.1" xref="S5.p14.3.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.p14.3.m1.1.1.2.2" xref="S5.p14.3.m1.1.1.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.p14.3.m1.1.1.3" xref="S5.p14.3.m1.1.1.3.cmml">22</mn><mo id="S5.p14.3.m1.1.1.2.3" xref="S5.p14.3.m1.1.1.2.3.cmml">′′′</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p14.3.m1.1b"><apply id="S5.p14.3.m1.1.1.cmml" xref="S5.p14.3.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p14.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.p14.3.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.p14.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p14.3.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p14.3.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p14.3.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.p14.3.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p14.3.m1.1.1.2.2">𝐴</ci><ci id="S5.p14.3.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p14.3.m1.1.1.2.3">′′′</ci></apply><cn id="S5.p14.3.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p14.3.m1.1.1.3">22</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p14.3.m1.1c">A^{\prime\prime\prime}_{22}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p14.3.m1.1d">italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>:</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p15"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex44"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="A^{\prime\prime\prime}_{22}={\alpha_{s}\over\alpha\alpha_{k}}\bar{I}_{21}A^{% \prime\prime}_{22}\bar{J}_{12}={1\over\alpha_{k}^{2}\alpha}\bar{S}_{21}M_{21}A% ^{\prime}_{22}W_{12}\bar{S}_{12}." class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex44.m1.1"><semantics id="S5.Ex44.m1.1a"><mrow id="S5.Ex44.m1.1.1.1" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">22</mn><mo id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">′′′</mo></msubsup><mo id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mfrac id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.2.cmml"><msub id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.2.2.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.2.2.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml">s</mi></msub><mrow id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.2.3.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml">α</mi><mo id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.2.3.1" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.2.3.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.2.3.3.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.2.3.3.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.2.3.3.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.2.3.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow></mfrac><mo id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.1" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.3.2.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.3.2.2.cmml">I</mi><mo id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.3.2.1" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">21</mn></msub><mo id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.1a" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.4" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.4.cmml"><mi id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.4.2.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.4.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.4.3.cmml">22</mn><mo id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.4.2.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.4.2.3.cmml">′′</mo></msubsup><mo id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.1b" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.5" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.5.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.5.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.5.2.cmml"><mi id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.5.2.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.5.2.2.cmml">J</mi><mo id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.5.2.1" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.5.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.5.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.5.3.cmml">12</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.5" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.cmml"><mfrac id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.2.cmml"><mn id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.2.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.2.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.2.3.cmml"><msubsup id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.2.3.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.2.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.2.3.2.2.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.2.3.2.2.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.2.3.2.2.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.2.3.2.2.3.cmml">k</mi><mn id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.2.3.2.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.2.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.2.3.1" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.2.3.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.2.3.3.cmml">α</mi></mrow></mfrac><mo id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.1" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.3.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.3.2.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.3.2.1" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.3.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.3.3.cmml">21</mn></msub><mo id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.1a" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.4" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.4.cmml"><mi id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.4.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.4.2.cmml">M</mi><mn id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.4.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.4.3.cmml">21</mn></msub><mo id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.1b" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.5" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.5.cmml"><mi id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.5.2.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.5.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.5.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.5.3.cmml">22</mn><mo id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.5.2.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.5.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.1c" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.6" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.6.cmml"><mi id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.6.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.6.2.cmml">W</mi><mn id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.6.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.6.3.cmml">12</mn></msub><mo id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.1d" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.7" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.7.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.7.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.7.2.cmml"><mi id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.7.2.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.7.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.7.2.1" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.7.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.7.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.7.3.cmml">12</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S5.Ex44.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex44.m1.1b"><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1"><and id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1"></and><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1"><eq id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3"></eq><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.2">𝐴</ci><ci id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.3">′′′</ci></apply><cn id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.2.3">22</cn></apply><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4"><times id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.1"></times><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.2"><divide id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.2"></divide><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.2.2.2">𝛼</ci><ci id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.2.2.3">𝑠</ci></apply><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.2.3"><times id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.2.3.1"></times><ci id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.2.3.2">𝛼</ci><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.2.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.2.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.2.3.3.2">𝛼</ci><ci id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.2.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.2.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.3.2"><ci id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.3.2.1">¯</ci><ci id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.3.2.2">𝐼</ci></apply><cn id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.3.3">21</cn></apply><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.4.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.4.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.4">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.4.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.4.2.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.4">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.4.2.2">𝐴</ci><ci id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.4.2.3.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.4.2.3">′′</ci></apply><cn id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.4.3">22</cn></apply><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.5.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.5.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.5">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.5.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.5.2"><ci id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.5.2.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.5.2.1">¯</ci><ci id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.5.2.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.5.2.2">𝐽</ci></apply><cn id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.5.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.5.3">12</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1"><eq id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#S5.Ex44.m1.1.1.1.1.4.cmml" id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1"></share><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6"><times id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.1"></times><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.2"><divide id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.2.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.2"></divide><cn id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.2.2">1</cn><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.2.3.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.2.3"><times id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.2.3.1"></times><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.2.3.2">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.2.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.2.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.2.3.2.2.2">𝛼</ci><ci id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.2.3.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.2.3.2.2.3">𝑘</ci></apply><cn id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.2.3.2.3">2</cn></apply><ci id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.2.3.3">𝛼</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.3.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.3.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.3.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.3.2"><ci id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.3.2.1">¯</ci><ci id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.3.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.3.3">21</cn></apply><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.4.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.4.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.4">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.4.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.4.2">𝑀</ci><cn id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.4.3">21</cn></apply><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.5.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.5.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.5">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.5.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.5.2.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.5">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.5.2.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.5.2.2">𝐴</ci><ci id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.5.2.3.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.5.2.3">′</ci></apply><cn id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.5.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.5.3">22</cn></apply><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.6.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.6.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.6">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.6.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.6.2">𝑊</ci><cn id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.6.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.6.3">12</cn></apply><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.7.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.7.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.7">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.7.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.7.2"><ci id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.7.2.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.7.2.1">¯</ci><ci id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.7.2.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.7.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.7.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.6.7.3">12</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex44.m1.1c">A^{\prime\prime\prime}_{22}={\alpha_{s}\over\alpha\alpha_{k}}\bar{I}_{21}A^{% \prime\prime}_{22}\bar{J}_{12}={1\over\alpha_{k}^{2}\alpha}\bar{S}_{21}M_{21}A% ^{\prime}_{22}W_{12}\bar{S}_{12}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex44.m1.1d">italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_α italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG over¯ start_ARG italic_I end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT over¯ start_ARG italic_J end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_ARG over¯ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT over¯ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right"><math class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex44.1.1.m1.1"><semantics id="S5.Ex44.1.1.m1.1b"><mrow id="S5.Ex44.1.1.m1.1.2.2"><mo id="S5.Ex44.1.1.m1.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S5.Ex44.1.1.m1.1.1" xref="S5.Ex44.1.1.m1.1.1.cmml">16</mn><mo id="S5.Ex44.1.1.m1.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex44.1.1.m1.1c"><cn id="S5.Ex44.1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex44.1.1.m1.1.1">16</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex44.1.1.m1.1d">( 16 )</annotation></semantics></math></span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p15.1">Further we will use the second decomposition.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p16"> <p class="ltx_p" id="S5.p16.3">The matrix <math alttext="A^{\prime\prime\prime}_{22}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p16.1.m1.1"><semantics id="S5.p16.1.m1.1a"><msubsup id="S5.p16.1.m1.1.1" xref="S5.p16.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.p16.1.m1.1.1.2.2" xref="S5.p16.1.m1.1.1.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.p16.1.m1.1.1.3" xref="S5.p16.1.m1.1.1.3.cmml">22</mn><mo id="S5.p16.1.m1.1.1.2.3" xref="S5.p16.1.m1.1.1.2.3.cmml">′′′</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p16.1.m1.1b"><apply id="S5.p16.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p16.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p16.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.p16.1.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.p16.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p16.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p16.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p16.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.p16.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p16.1.m1.1.1.2.2">𝐴</ci><ci id="S5.p16.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p16.1.m1.1.1.2.3">′′′</ci></apply><cn id="S5.p16.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p16.1.m1.1.1.3">22</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p16.1.m1.1c">A^{\prime\prime\prime}_{22}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p16.1.m1.1d">italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the matrix of surrounding minors of <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p16.2.m2.1"><semantics id="S5.p16.2.m2.1a"><mi id="S5.p16.2.m2.1.1" xref="S5.p16.2.m2.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p16.2.m2.1b"><ci id="S5.p16.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.p16.2.m2.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p16.2.m2.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p16.2.m2.1d">italic_A</annotation></semantics></math> with respect to minor <math alttext="\alpha_{s}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p16.3.m3.1"><semantics id="S5.p16.3.m3.1a"><msub id="S5.p16.3.m3.1.1" xref="S5.p16.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S5.p16.3.m3.1.1.2" xref="S5.p16.3.m3.1.1.2.cmml">α</mi><mi id="S5.p16.3.m3.1.1.3" xref="S5.p16.3.m3.1.1.3.cmml">s</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p16.3.m3.1b"><apply id="S5.p16.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.p16.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p16.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.p16.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p16.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.p16.3.m3.1.1.2">𝛼</ci><ci id="S5.p16.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.p16.3.m3.1.1.3">𝑠</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p16.3.m3.1c">\alpha_{s}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p16.3.m3.1d">italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. See the prove in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#bib.bib11" title="">11</a>]</cite> .</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p17"> <p class="ltx_p" id="S5.p17.12">Let</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex45"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\left\{\begin{array}[]{rcl}\alpha_{s}L_{22}S_{22}U_{22}=A^{\prime\prime\prime}% _{22}\\ L_{22}\widehat{S}_{22}M_{22}={\mathbf{I}}\\ W_{22}\widehat{S}_{22}U_{22}={\mathbf{I}}\end{array}\right." class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex45.m1.1"><semantics id="S5.Ex45.m1.1a"><mrow id="S5.Ex45.m1.1.2.2" xref="S5.Ex45.m1.1.2.1.cmml"><mo id="S5.Ex45.m1.1.2.2.1" xref="S5.Ex45.m1.1.2.1.1.cmml">{</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S5.Ex45.m1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S5.Ex45.m1.1.1.cmml"><mtr id="S5.Ex45.m1.1.1a" xref="S5.Ex45.m1.1.1.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S5.Ex45.m1.1.1b" xref="S5.Ex45.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">s</mi></msub><mo id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">L</mi><mn id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">22</mn></msub><mo id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi 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id="S5.Ex45.m1.1.1.3.1.1.2.4.3" xref="S5.Ex45.m1.1.1.3.1.1.2.4.3.cmml">22</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex45.m1.1.1.3.1.1.1" xref="S5.Ex45.m1.1.1.3.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S5.Ex45.m1.1.1.3.1.1.3" xref="S5.Ex45.m1.1.1.3.1.1.3.cmml">𝐈</mi></mrow></mtd><mtd id="S5.Ex45.m1.1.1k" xref="S5.Ex45.m1.1.1.cmml"></mtd><mtd id="S5.Ex45.m1.1.1l" xref="S5.Ex45.m1.1.1.cmml"></mtd></mtr></mtable><mi id="S5.Ex45.m1.1.2.2.2" xref="S5.Ex45.m1.1.2.1.1.cmml"></mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex45.m1.1b"><apply id="S5.Ex45.m1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex45.m1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.2.2.1">cases</csymbol><matrix id="S5.Ex45.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1"><matrixrow id="S5.Ex45.m1.1.1a.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1"><apply id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1"><eq id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2"><times id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝛼</ci><ci id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑠</ci></apply><apply id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝐿</ci><cn id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.3.3">22</cn></apply><apply id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.4.2">𝑆</ci><cn id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.4.3">22</cn></apply><apply id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.5.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.5.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.5">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.5.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.5.2">𝑈</ci><cn id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.5.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.5.3">22</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝐴</ci><ci id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.3.2.3">′′′</ci></apply><cn id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.3.3">22</cn></apply></apply><cerror id="S5.Ex45.m1.1.1b.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex45.m1.1.1c.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol></cerror><cerror id="S5.Ex45.m1.1.1d.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex45.m1.1.1e.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol></cerror></matrixrow><matrixrow id="S5.Ex45.m1.1.1f.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1"><apply id="S5.Ex45.m1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.2.1.1"><eq id="S5.Ex45.m1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.2.1.1.1"></eq><apply id="S5.Ex45.m1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.2.1.1.2"><times id="S5.Ex45.m1.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.2.1.1.2.1"></times><apply id="S5.Ex45.m1.1.1.2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex45.m1.1.1.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.2.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex45.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.2.1.1.2.2.2">𝐿</ci><cn id="S5.Ex45.m1.1.1.2.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex45.m1.1.1.2.1.1.2.2.3">22</cn></apply><apply id="S5.Ex45.m1.1.1.2.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex45.m1.1.1.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.2.1.1.2.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex45.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.2.1.1.2.3.2"><ci id="S5.Ex45.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.1">^</ci><ci id="S5.Ex45.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.Ex45.m1.1.1.2.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex45.m1.1.1.2.1.1.2.3.3">22</cn></apply><apply id="S5.Ex45.m1.1.1.2.1.1.2.4.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.2.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex45.m1.1.1.2.1.1.2.4.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.2.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex45.m1.1.1.2.1.1.2.4.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.2.1.1.2.4.2">𝑀</ci><cn id="S5.Ex45.m1.1.1.2.1.1.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex45.m1.1.1.2.1.1.2.4.3">22</cn></apply></apply><ci id="S5.Ex45.m1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.2.1.1.3">𝐈</ci></apply><cerror id="S5.Ex45.m1.1.1g.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex45.m1.1.1h.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol></cerror><cerror id="S5.Ex45.m1.1.1i.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex45.m1.1.1j.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol></cerror></matrixrow><matrixrow id="S5.Ex45.m1.1.1k.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1"><apply id="S5.Ex45.m1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.3.1.1"><eq id="S5.Ex45.m1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.3.1.1.1"></eq><apply id="S5.Ex45.m1.1.1.3.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.3.1.1.2"><times id="S5.Ex45.m1.1.1.3.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.3.1.1.2.1"></times><apply id="S5.Ex45.m1.1.1.3.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex45.m1.1.1.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.3.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex45.m1.1.1.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.3.1.1.2.2.2">𝑊</ci><cn id="S5.Ex45.m1.1.1.3.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex45.m1.1.1.3.1.1.2.2.3">22</cn></apply><apply id="S5.Ex45.m1.1.1.3.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.3.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex45.m1.1.1.3.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.3.1.1.2.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex45.m1.1.1.3.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.3.1.1.2.3.2"><ci id="S5.Ex45.m1.1.1.3.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.3.1.1.2.3.2.1">^</ci><ci id="S5.Ex45.m1.1.1.3.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.3.1.1.2.3.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.Ex45.m1.1.1.3.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex45.m1.1.1.3.1.1.2.3.3">22</cn></apply><apply id="S5.Ex45.m1.1.1.3.1.1.2.4.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.3.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex45.m1.1.1.3.1.1.2.4.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.3.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex45.m1.1.1.3.1.1.2.4.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.3.1.1.2.4.2">𝑈</ci><cn id="S5.Ex45.m1.1.1.3.1.1.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex45.m1.1.1.3.1.1.2.4.3">22</cn></apply></apply><ci id="S5.Ex45.m1.1.1.3.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.3.1.1.3">𝐈</ci></apply><cerror id="S5.Ex45.m1.1.1l.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex45.m1.1.1m.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol></cerror><cerror id="S5.Ex45.m1.1.1n.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex45.m1.1.1o.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol></cerror></matrixrow></matrix></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex45.m1.1c">\left\{\begin{array}[]{rcl}\alpha_{s}L_{22}S_{22}U_{22}=A^{\prime\prime\prime}% _{22}\\ L_{22}\widehat{S}_{22}M_{22}={\mathbf{I}}\\ W_{22}\widehat{S}_{22}U_{22}={\mathbf{I}}\end{array}\right.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex45.m1.1d">{ start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT italic_S start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT = italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL end_CELL start_CELL end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_L start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT = bold_I end_CELL start_CELL end_CELL start_CELL end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_W start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT = bold_I end_CELL start_CELL end_CELL start_CELL end_CELL end_ROW end_ARRAY</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p17.2">be a decomposition of the matrix <math alttext="A^{\prime\prime\prime}_{22}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p17.1.m1.1"><semantics id="S5.p17.1.m1.1a"><msubsup id="S5.p17.1.m1.1.1" xref="S5.p17.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.p17.1.m1.1.1.2.2" xref="S5.p17.1.m1.1.1.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.p17.1.m1.1.1.3" xref="S5.p17.1.m1.1.1.3.cmml">22</mn><mo id="S5.p17.1.m1.1.1.2.3" xref="S5.p17.1.m1.1.1.2.3.cmml">′′′</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p17.1.m1.1b"><apply id="S5.p17.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p17.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p17.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.p17.1.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.p17.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p17.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p17.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p17.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.p17.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p17.1.m1.1.1.2.2">𝐴</ci><ci id="S5.p17.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p17.1.m1.1.1.2.3">′′′</ci></apply><cn id="S5.p17.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p17.1.m1.1.1.3">22</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p17.1.m1.1c">A^{\prime\prime\prime}_{22}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p17.1.m1.1d">italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="\widehat{S}_{22}=\frac{1}{\alpha_{r}}(\alpha_{s}S_{22}+\bar{S}_{22})" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p17.2.m2.1"><semantics id="S5.p17.2.m2.1a"><mrow id="S5.p17.2.m2.1.1" xref="S5.p17.2.m2.1.1.cmml"><msub id="S5.p17.2.m2.1.1.3" xref="S5.p17.2.m2.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.p17.2.m2.1.1.3.2" xref="S5.p17.2.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.p17.2.m2.1.1.3.2.2" xref="S5.p17.2.m2.1.1.3.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.p17.2.m2.1.1.3.2.1" xref="S5.p17.2.m2.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="S5.p17.2.m2.1.1.3.3" xref="S5.p17.2.m2.1.1.3.3.cmml">22</mn></msub><mo id="S5.p17.2.m2.1.1.2" xref="S5.p17.2.m2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.p17.2.m2.1.1.1" xref="S5.p17.2.m2.1.1.1.cmml"><mfrac id="S5.p17.2.m2.1.1.1.3" xref="S5.p17.2.m2.1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.p17.2.m2.1.1.1.3.2" xref="S5.p17.2.m2.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><msub id="S5.p17.2.m2.1.1.1.3.3" xref="S5.p17.2.m2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.p17.2.m2.1.1.1.3.3.2" xref="S5.p17.2.m2.1.1.1.3.3.2.cmml">α</mi><mi id="S5.p17.2.m2.1.1.1.3.3.3" xref="S5.p17.2.m2.1.1.1.3.3.3.cmml">r</mi></msub></mfrac><mo id="S5.p17.2.m2.1.1.1.2" xref="S5.p17.2.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">α</mi><mi id="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">s</mi></msub><mo id="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">S</mi><mn id="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">22</mn></msub></mrow><mo id="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">22</mn></msub></mrow><mo id="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p17.2.m2.1b"><apply id="S5.p17.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.p17.2.m2.1.1"><eq id="S5.p17.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.p17.2.m2.1.1.2"></eq><apply id="S5.p17.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.p17.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p17.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p17.2.m2.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S5.p17.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p17.2.m2.1.1.3.2"><ci id="S5.p17.2.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.p17.2.m2.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="S5.p17.2.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.p17.2.m2.1.1.3.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.p17.2.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p17.2.m2.1.1.3.3">22</cn></apply><apply id="S5.p17.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.p17.2.m2.1.1.1"><times id="S5.p17.2.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p17.2.m2.1.1.1.2"></times><apply id="S5.p17.2.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p17.2.m2.1.1.1.3"><divide id="S5.p17.2.m2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p17.2.m2.1.1.1.3"></divide><cn id="S5.p17.2.m2.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.p17.2.m2.1.1.1.3.2">1</cn><apply id="S5.p17.2.m2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p17.2.m2.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p17.2.m2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.p17.2.m2.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p17.2.m2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.p17.2.m2.1.1.1.3.3.2">𝛼</ci><ci id="S5.p17.2.m2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.p17.2.m2.1.1.1.3.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1"><plus id="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝛼</ci><ci id="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑠</ci></apply><apply id="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑆</ci><cn id="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3">22</cn></apply></apply><apply id="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.1">¯</ci><ci id="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p17.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3">22</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p17.2.m2.1c">\widehat{S}_{22}=\frac{1}{\alpha_{r}}(\alpha_{s}S_{22}+\bar{S}_{22})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p17.2.m2.1d">over^ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ( italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT italic_S start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT + over¯ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, then we can write the equality</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex46"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\left[\begin{array}[]{cc}S_{11}&S^{\sim}_{12}\\ S_{21}&\frac{A^{\prime\prime\prime}_{22}}{\alpha_{s}}\end{array}\right]=\left[% \begin{array}[]{cc}{\mathbf{I}}&0\\ 0&L_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}[]{cc}S_{11}&S^{\sim}_{12}\\ S_{21}&S_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}[]{cc}{\mathbf{I}}&0\\ 0&U_{12}\end{array}\right]." class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex46.m1.5"><semantics id="S5.Ex46.m1.5a"><mrow id="S5.Ex46.m1.5.5.1" xref="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex46.m1.5.5.1.1" xref="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.2.2" xref="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.2.1.cmml"><mo id="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.2.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S5.Ex46.m1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S5.Ex46.m1.1.1.cmml"><mtr id="S5.Ex46.m1.1.1a" xref="S5.Ex46.m1.1.1.cmml"><mtd id="S5.Ex46.m1.1.1b" xref="S5.Ex46.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex46.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex46.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">S</mi><mn id="S5.Ex46.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex46.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">11</mn></msub></mtd><mtd id="S5.Ex46.m1.1.1c" xref="S5.Ex46.m1.1.1.cmml"><msubsup id="S5.Ex46.m1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex46.m1.1.1.1.2.1.cmml"><mi id="S5.Ex46.m1.1.1.1.2.1.2.2" xref="S5.Ex46.m1.1.1.1.2.1.2.2.cmml">S</mi><mn id="S5.Ex46.m1.1.1.1.2.1.3" xref="S5.Ex46.m1.1.1.1.2.1.3.cmml">12</mn><mo id="S5.Ex46.m1.1.1.1.2.1.2.3" xref="S5.Ex46.m1.1.1.1.2.1.2.3.cmml">∼</mo></msubsup></mtd></mtr><mtr id="S5.Ex46.m1.1.1d" xref="S5.Ex46.m1.1.1.cmml"><mtd id="S5.Ex46.m1.1.1e" xref="S5.Ex46.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex46.m1.1.1.2.1.1" xref="S5.Ex46.m1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex46.m1.1.1.2.1.1.2" xref="S5.Ex46.m1.1.1.2.1.1.2.cmml">S</mi><mn id="S5.Ex46.m1.1.1.2.1.1.3" xref="S5.Ex46.m1.1.1.2.1.1.3.cmml">21</mn></msub></mtd><mtd id="S5.Ex46.m1.1.1f" xref="S5.Ex46.m1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S5.Ex46.m1.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex46.m1.1.1.2.2.1.cmml"><mfrac id="S5.Ex46.m1.1.1.2.2.1a" xref="S5.Ex46.m1.1.1.2.2.1.cmml"><msubsup id="S5.Ex46.m1.1.1.2.2.1.2" xref="S5.Ex46.m1.1.1.2.2.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex46.m1.1.1.2.2.1.2.2.2" xref="S5.Ex46.m1.1.1.2.2.1.2.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex46.m1.1.1.2.2.1.2.3" xref="S5.Ex46.m1.1.1.2.2.1.2.3.cmml">22</mn><mo id="S5.Ex46.m1.1.1.2.2.1.2.2.3" xref="S5.Ex46.m1.1.1.2.2.1.2.2.3.cmml">′′′</mo></msubsup><msub id="S5.Ex46.m1.1.1.2.2.1.3" xref="S5.Ex46.m1.1.1.2.2.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex46.m1.1.1.2.2.1.3.2" xref="S5.Ex46.m1.1.1.2.2.1.3.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex46.m1.1.1.2.2.1.3.3" xref="S5.Ex46.m1.1.1.2.2.1.3.3.cmml">s</mi></msub></mfrac></mstyle></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.2.1.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.1" xref="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.3" xref="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml"><mo id="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.3.2.2.1" xref="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S5.Ex46.m1.2.2" rowspacing="0pt" xref="S5.Ex46.m1.2.2.cmml"><mtr id="S5.Ex46.m1.2.2a" xref="S5.Ex46.m1.2.2.cmml"><mtd id="S5.Ex46.m1.2.2b" xref="S5.Ex46.m1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex46.m1.2.2.1.1.1" xref="S5.Ex46.m1.2.2.1.1.1.cmml">𝐈</mi></mtd><mtd id="S5.Ex46.m1.2.2c" xref="S5.Ex46.m1.2.2.cmml"><mn id="S5.Ex46.m1.2.2.1.2.1" xref="S5.Ex46.m1.2.2.1.2.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="S5.Ex46.m1.2.2d" xref="S5.Ex46.m1.2.2.cmml"><mtd id="S5.Ex46.m1.2.2e" xref="S5.Ex46.m1.2.2.cmml"><mn id="S5.Ex46.m1.2.2.2.1.1" xref="S5.Ex46.m1.2.2.2.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S5.Ex46.m1.2.2f" xref="S5.Ex46.m1.2.2.cmml"><msub id="S5.Ex46.m1.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex46.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S5.Ex46.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S5.Ex46.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">L</mi><mn id="S5.Ex46.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S5.Ex46.m1.2.2.2.2.1.3.cmml">22</mn></msub></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.3.2.2.2" xref="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.3.1" xref="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.3.3.2.1" xref="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.3.3.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S5.Ex46.m1.3.3" rowspacing="0pt" xref="S5.Ex46.m1.3.3.cmml"><mtr id="S5.Ex46.m1.3.3a" xref="S5.Ex46.m1.3.3.cmml"><mtd id="S5.Ex46.m1.3.3b" xref="S5.Ex46.m1.3.3.cmml"><msub id="S5.Ex46.m1.3.3.1.1.1" xref="S5.Ex46.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex46.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S5.Ex46.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">S</mi><mn id="S5.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S5.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">11</mn></msub></mtd><mtd id="S5.Ex46.m1.3.3c" xref="S5.Ex46.m1.3.3.cmml"><msubsup id="S5.Ex46.m1.3.3.1.2.1" xref="S5.Ex46.m1.3.3.1.2.1.cmml"><mi id="S5.Ex46.m1.3.3.1.2.1.2.2" xref="S5.Ex46.m1.3.3.1.2.1.2.2.cmml">S</mi><mn id="S5.Ex46.m1.3.3.1.2.1.3" xref="S5.Ex46.m1.3.3.1.2.1.3.cmml">12</mn><mo id="S5.Ex46.m1.3.3.1.2.1.2.3" xref="S5.Ex46.m1.3.3.1.2.1.2.3.cmml">∼</mo></msubsup></mtd></mtr><mtr id="S5.Ex46.m1.3.3d" xref="S5.Ex46.m1.3.3.cmml"><mtd id="S5.Ex46.m1.3.3e" xref="S5.Ex46.m1.3.3.cmml"><msub id="S5.Ex46.m1.3.3.2.1.1" xref="S5.Ex46.m1.3.3.2.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex46.m1.3.3.2.1.1.2" xref="S5.Ex46.m1.3.3.2.1.1.2.cmml">S</mi><mn id="S5.Ex46.m1.3.3.2.1.1.3" xref="S5.Ex46.m1.3.3.2.1.1.3.cmml">21</mn></msub></mtd><mtd id="S5.Ex46.m1.3.3f" xref="S5.Ex46.m1.3.3.cmml"><msub id="S5.Ex46.m1.3.3.2.2.1" xref="S5.Ex46.m1.3.3.2.2.1.cmml"><mi id="S5.Ex46.m1.3.3.2.2.1.2" xref="S5.Ex46.m1.3.3.2.2.1.2.cmml">S</mi><mn id="S5.Ex46.m1.3.3.2.2.1.3" xref="S5.Ex46.m1.3.3.2.2.1.3.cmml">22</mn></msub></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.3.3.2.2" xref="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.3.3.1.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.3.1a" xref="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.3.4.2" xref="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.3.4.1.cmml"><mo id="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.3.4.2.1" xref="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.3.4.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S5.Ex46.m1.4.4" rowspacing="0pt" xref="S5.Ex46.m1.4.4.cmml"><mtr id="S5.Ex46.m1.4.4a" xref="S5.Ex46.m1.4.4.cmml"><mtd id="S5.Ex46.m1.4.4b" xref="S5.Ex46.m1.4.4.cmml"><mi id="S5.Ex46.m1.4.4.1.1.1" xref="S5.Ex46.m1.4.4.1.1.1.cmml">𝐈</mi></mtd><mtd id="S5.Ex46.m1.4.4c" xref="S5.Ex46.m1.4.4.cmml"><mn id="S5.Ex46.m1.4.4.1.2.1" xref="S5.Ex46.m1.4.4.1.2.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="S5.Ex46.m1.4.4d" xref="S5.Ex46.m1.4.4.cmml"><mtd id="S5.Ex46.m1.4.4e" xref="S5.Ex46.m1.4.4.cmml"><mn id="S5.Ex46.m1.4.4.2.1.1" xref="S5.Ex46.m1.4.4.2.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S5.Ex46.m1.4.4f" xref="S5.Ex46.m1.4.4.cmml"><msub id="S5.Ex46.m1.4.4.2.2.1" xref="S5.Ex46.m1.4.4.2.2.1.cmml"><mi id="S5.Ex46.m1.4.4.2.2.1.2" xref="S5.Ex46.m1.4.4.2.2.1.2.cmml">U</mi><mn id="S5.Ex46.m1.4.4.2.2.1.3" xref="S5.Ex46.m1.4.4.2.2.1.3.cmml">12</mn></msub></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.3.4.2.2" xref="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.3.4.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex46.m1.5.5.1.2" lspace="0em" xref="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex46.m1.5b"><apply id="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.5.5.1"><eq id="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.1"></eq><apply id="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.2.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S5.Ex46.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.1.1"><matrixrow id="S5.Ex46.m1.1.1a.cmml" xref="S5.Ex46.m1.1.1"><apply id="S5.Ex46.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2">𝑆</ci><cn id="S5.Ex46.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex46.m1.1.1.1.1.1.3">11</cn></apply><apply id="S5.Ex46.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex46.m1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.1.1.1.2.1">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex46.m1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex46.m1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex46.m1.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.1.1.1.2.1">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex46.m1.1.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex46.m1.1.1.1.2.1.2.2">𝑆</ci><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex46.m1.1.1.1.2.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex46.m1.1.1.1.2.1.2.3">similar-to</csymbol></apply><cn id="S5.Ex46.m1.1.1.1.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex46.m1.1.1.1.2.1.3">12</cn></apply></matrixrow><matrixrow id="S5.Ex46.m1.1.1b.cmml" xref="S5.Ex46.m1.1.1"><apply id="S5.Ex46.m1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex46.m1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.1.1.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex46.m1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex46.m1.1.1.2.1.1.2">𝑆</ci><cn id="S5.Ex46.m1.1.1.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex46.m1.1.1.2.1.1.3">21</cn></apply><apply id="S5.Ex46.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.1.1.2.2.1"><divide id="S5.Ex46.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.1.1.2.2.1"></divide><apply id="S5.Ex46.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex46.m1.1.1.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex46.m1.1.1.2.2.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.1.1.2.2.1.2">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex46.m1.1.1.2.2.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex46.m1.1.1.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex46.m1.1.1.2.2.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.1.1.2.2.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex46.m1.1.1.2.2.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex46.m1.1.1.2.2.1.2.2.2">𝐴</ci><ci id="S5.Ex46.m1.1.1.2.2.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex46.m1.1.1.2.2.1.2.2.3">′′′</ci></apply><cn id="S5.Ex46.m1.1.1.2.2.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex46.m1.1.1.2.2.1.2.3">22</cn></apply><apply id="S5.Ex46.m1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="S5.Ex46.m1.1.1.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex46.m1.1.1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.1.1.2.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex46.m1.1.1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex46.m1.1.1.2.2.1.3.2">𝛼</ci><ci id="S5.Ex46.m1.1.1.2.2.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex46.m1.1.1.2.2.1.3.3">𝑠</ci></apply></apply></matrixrow></matrix></apply><apply id="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.3"><times id="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.3.1"></times><apply id="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.3.2.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S5.Ex46.m1.2.2.cmml" xref="S5.Ex46.m1.2.2"><matrixrow id="S5.Ex46.m1.2.2a.cmml" xref="S5.Ex46.m1.2.2"><ci id="S5.Ex46.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.2.2.1.1.1">𝐈</ci><cn id="S5.Ex46.m1.2.2.1.2.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex46.m1.2.2.1.2.1">0</cn></matrixrow><matrixrow id="S5.Ex46.m1.2.2b.cmml" xref="S5.Ex46.m1.2.2"><cn id="S5.Ex46.m1.2.2.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex46.m1.2.2.2.1.1">0</cn><apply id="S5.Ex46.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex46.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.2.2.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex46.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex46.m1.2.2.2.2.1.2">𝐿</ci><cn id="S5.Ex46.m1.2.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex46.m1.2.2.2.2.1.3">22</cn></apply></matrixrow></matrix></apply><apply id="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.3.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.3.3.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S5.Ex46.m1.3.3.cmml" xref="S5.Ex46.m1.3.3"><matrixrow id="S5.Ex46.m1.3.3a.cmml" xref="S5.Ex46.m1.3.3"><apply id="S5.Ex46.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex46.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex46.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex46.m1.3.3.1.1.1.2">𝑆</ci><cn id="S5.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3">11</cn></apply><apply id="S5.Ex46.m1.3.3.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.3.3.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex46.m1.3.3.1.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.3.3.1.2.1">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex46.m1.3.3.1.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex46.m1.3.3.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex46.m1.3.3.1.2.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.3.3.1.2.1">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex46.m1.3.3.1.2.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex46.m1.3.3.1.2.1.2.2">𝑆</ci><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex46.m1.3.3.1.2.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex46.m1.3.3.1.2.1.2.3">similar-to</csymbol></apply><cn id="S5.Ex46.m1.3.3.1.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex46.m1.3.3.1.2.1.3">12</cn></apply></matrixrow><matrixrow id="S5.Ex46.m1.3.3b.cmml" xref="S5.Ex46.m1.3.3"><apply id="S5.Ex46.m1.3.3.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.3.3.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex46.m1.3.3.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.3.3.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex46.m1.3.3.2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex46.m1.3.3.2.1.1.2">𝑆</ci><cn id="S5.Ex46.m1.3.3.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex46.m1.3.3.2.1.1.3">21</cn></apply><apply id="S5.Ex46.m1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.3.3.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex46.m1.3.3.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.3.3.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex46.m1.3.3.2.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex46.m1.3.3.2.2.1.2">𝑆</ci><cn id="S5.Ex46.m1.3.3.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex46.m1.3.3.2.2.1.3">22</cn></apply></matrixrow></matrix></apply><apply id="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.3.4.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.3.4.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.3.4.1.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.5.5.1.1.3.4.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S5.Ex46.m1.4.4.cmml" xref="S5.Ex46.m1.4.4"><matrixrow id="S5.Ex46.m1.4.4a.cmml" xref="S5.Ex46.m1.4.4"><ci id="S5.Ex46.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.4.4.1.1.1">𝐈</ci><cn id="S5.Ex46.m1.4.4.1.2.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex46.m1.4.4.1.2.1">0</cn></matrixrow><matrixrow id="S5.Ex46.m1.4.4b.cmml" xref="S5.Ex46.m1.4.4"><cn id="S5.Ex46.m1.4.4.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex46.m1.4.4.2.1.1">0</cn><apply id="S5.Ex46.m1.4.4.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.4.4.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex46.m1.4.4.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.4.4.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex46.m1.4.4.2.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex46.m1.4.4.2.2.1.2">𝑈</ci><cn id="S5.Ex46.m1.4.4.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex46.m1.4.4.2.2.1.3">12</cn></apply></matrixrow></matrix></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex46.m1.5c">\left[\begin{array}[]{cc}S_{11}&S^{\sim}_{12}\\ S_{21}&\frac{A^{\prime\prime\prime}_{22}}{\alpha_{s}}\end{array}\right]=\left[% \begin{array}[]{cc}{\mathbf{I}}&0\\ 0&L_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}[]{cc}S_{11}&S^{\sim}_{12}\\ S_{21}&S_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}[]{cc}{\mathbf{I}}&0\\ 0&U_{12}\end{array}\right].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex46.m1.5d">[ start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_S start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_S start_POSTSUPERSCRIPT ∼ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_S start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL divide start_ARG italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT end_ARG end_CELL end_ROW end_ARRAY ] = [ start_ARRAY start_ROW start_CELL bold_I end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL italic_L start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARRAY ] [ start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_S start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_S start_POSTSUPERSCRIPT ∼ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_S start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_S start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARRAY ] [ start_ARRAY start_ROW start_CELL bold_I end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL italic_U start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARRAY ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right"><math class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex46.1.1.m1.1"><semantics id="S5.Ex46.1.1.m1.1b"><mrow id="S5.Ex46.1.1.m1.1.2.2"><mo id="S5.Ex46.1.1.m1.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S5.Ex46.1.1.m1.1.1" xref="S5.Ex46.1.1.m1.1.1.cmml">17</mn><mo id="S5.Ex46.1.1.m1.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex46.1.1.m1.1c"><cn id="S5.Ex46.1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex46.1.1.m1.1.1">17</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex46.1.1.m1.1d">( 17 )</annotation></semantics></math></span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p17.8">To prove this equality we can write matrices <math alttext="L_{22}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p17.3.m1.1"><semantics id="S5.p17.3.m1.1a"><msub id="S5.p17.3.m1.1.1" xref="S5.p17.3.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.p17.3.m1.1.1.2" xref="S5.p17.3.m1.1.1.2.cmml">L</mi><mn id="S5.p17.3.m1.1.1.3" xref="S5.p17.3.m1.1.1.3.cmml">22</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p17.3.m1.1b"><apply id="S5.p17.3.m1.1.1.cmml" xref="S5.p17.3.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p17.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.p17.3.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p17.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p17.3.m1.1.1.2">𝐿</ci><cn id="S5.p17.3.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p17.3.m1.1.1.3">22</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p17.3.m1.1c">L_{22}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p17.3.m1.1d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="U_{22}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p17.4.m2.1"><semantics id="S5.p17.4.m2.1a"><msub id="S5.p17.4.m2.1.1" xref="S5.p17.4.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.p17.4.m2.1.1.2" xref="S5.p17.4.m2.1.1.2.cmml">U</mi><mn id="S5.p17.4.m2.1.1.3" xref="S5.p17.4.m2.1.1.3.cmml">22</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p17.4.m2.1b"><apply id="S5.p17.4.m2.1.1.cmml" xref="S5.p17.4.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p17.4.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.p17.4.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p17.4.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.p17.4.m2.1.1.2">𝑈</ci><cn id="S5.p17.4.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p17.4.m2.1.1.3">22</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p17.4.m2.1c">U_{22}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p17.4.m2.1d">italic_U start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="S_{12}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p17.5.m3.1"><semantics id="S5.p17.5.m3.1a"><msub id="S5.p17.5.m3.1.1" xref="S5.p17.5.m3.1.1.cmml"><mi id="S5.p17.5.m3.1.1.2" xref="S5.p17.5.m3.1.1.2.cmml">S</mi><mn id="S5.p17.5.m3.1.1.3" xref="S5.p17.5.m3.1.1.3.cmml">12</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p17.5.m3.1b"><apply id="S5.p17.5.m3.1.1.cmml" xref="S5.p17.5.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p17.5.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.p17.5.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p17.5.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.p17.5.m3.1.1.2">𝑆</ci><cn id="S5.p17.5.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p17.5.m3.1.1.3">12</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p17.5.m3.1c">S_{12}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p17.5.m3.1d">italic_S start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="S_{12}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p17.6.m4.1"><semantics id="S5.p17.6.m4.1a"><msub id="S5.p17.6.m4.1.1" xref="S5.p17.6.m4.1.1.cmml"><mi id="S5.p17.6.m4.1.1.2" xref="S5.p17.6.m4.1.1.2.cmml">S</mi><mn id="S5.p17.6.m4.1.1.3" xref="S5.p17.6.m4.1.1.3.cmml">12</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p17.6.m4.1b"><apply id="S5.p17.6.m4.1.1.cmml" xref="S5.p17.6.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p17.6.m4.1.1.1.cmml" xref="S5.p17.6.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p17.6.m4.1.1.2.cmml" xref="S5.p17.6.m4.1.1.2">𝑆</ci><cn id="S5.p17.6.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p17.6.m4.1.1.3">12</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p17.6.m4.1c">S_{12}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p17.6.m4.1d">italic_S start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> as follows <math alttext="L_{22}=L_{22}I_{22}+\bar{I}_{22},\ U_{22}=J_{22}U_{22}+\bar{J}_{22}," class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p17.7.m5.1"><semantics id="S5.p17.7.m5.1a"><mrow id="S5.p17.7.m5.1.1.1"><mrow id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">L</mi><mn id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">22</mn></msub><mo id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><msub id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">L</mi><mn id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">22</mn></msub><mo id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">I</mi><mn id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">22</mn></msub></mrow><mo id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><msub id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">I</mi><mo id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">22</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.3" rspace="0.667em" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.cmml"><msub id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">U</mi><mn id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">22</mn></msub><mo id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.1" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml"><msub id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.2.2" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml"><mi id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.2.2.2" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.2.2.2.cmml">J</mi><mn id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3.cmml">22</mn></msub><mo id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.2.1" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.2.3" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.cmml">U</mi><mn id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.2.3.3" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.2.3.3.cmml">22</mn></msub></mrow><mo id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">+</mo><msub id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.3.2" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml"><mi id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.cmml">J</mi><mo id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.3.3" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml">22</mn></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.p17.7.m5.1.1.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p17.7.m5.1b"><apply id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1"><eq id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐿</ci><cn id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.2.3">22</cn></apply><apply id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3"><plus id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.1"></plus><apply id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.2"><times id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.1"></times><apply id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝐿</ci><cn id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">22</cn></apply><apply id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝐼</ci><cn id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">22</cn></apply></apply><apply id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.2"><ci id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1">¯</ci><ci id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝐼</ci></apply><cn id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.3">22</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2"><eq id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.1"></eq><apply id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑈</ci><cn id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.2.3">22</cn></apply><apply id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3"><plus id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.1"></plus><apply id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.2"><times id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.2.1"></times><apply id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.2.2.1.cmml" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.2.2.2.cmml" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.2.2.2">𝐽</ci><cn id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3">22</cn></apply><apply id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.cmml" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2">𝑈</ci><cn id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.2.3.3">22</cn></apply></apply><apply id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.3">subscript</csymbol><apply id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.3.2"><ci id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.cmml" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1">¯</ci><ci id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.cmml" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2">𝐽</ci></apply><cn id="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p17.7.m5.1.1.1.1.2.2.3.3.3">22</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p17.7.m5.1c">L_{22}=L_{22}I_{22}+\bar{I}_{22},\ U_{22}=J_{22}U_{22}+\bar{J}_{22},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p17.7.m5.1d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT = italic_L start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT italic_I start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT + over¯ start_ARG italic_I end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT , italic_U start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT = italic_J start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT + over¯ start_ARG italic_J end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math> <math alttext="S_{21}=I_{21}S_{21}J_{21},\ S_{12}=I_{12}S_{12}J_{12}," class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p17.8.m6.1"><semantics id="S5.p17.8.m6.1a"><mrow id="S5.p17.8.m6.1.1.1"><mrow id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">S</mi><mn id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">21</mn></msub><mo id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">I</mi><mn id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">21</mn></msub><mo id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">S</mi><mn id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">21</mn></msub><mo id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml">J</mi><mn id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">21</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.3" rspace="0.667em" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.2" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.2.cmml"><msub id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.2.2" 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id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.2.3.1a" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.2.3.4" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.2.3.4.cmml"><mi id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.2.3.4.2" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.2.3.4.2.cmml">J</mi><mn id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.2.3.4.3" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.2.3.4.3.cmml">12</mn></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.p17.8.m6.1.1.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p17.8.m6.1b"><apply id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1"><eq id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑆</ci><cn id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.2.3">21</cn></apply><apply id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝐼</ci><cn id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.3.2.3">21</cn></apply><apply id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑆</ci><cn id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.3.3.3">21</cn></apply><apply id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.3.4.2">𝐽</ci><cn id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.1.1.3.4.3">21</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.2"><eq id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.2.1"></eq><apply id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑆</ci><cn id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.2.2.3">12</cn></apply><apply id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><apply id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.2.3.2.2">𝐼</ci><cn id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.2.3.2.3">12</cn></apply><apply id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.2.3.3.2">𝑆</ci><cn id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.2.3.3.3">12</cn></apply><apply id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.2.3.4.cmml" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.2.3.4.1.cmml" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.2.3.4">subscript</csymbol><ci id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.2.3.4.2.cmml" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.2.3.4.2">𝐽</ci><cn id="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.2.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.p17.8.m6.1.1.1.1.2.2.3.4.3">12</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p17.8.m6.1c">S_{21}=I_{21}S_{21}J_{21},\ S_{12}=I_{12}S_{12}J_{12},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p17.8.m6.1d">italic_S start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT = italic_I start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_S start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_J start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT , italic_S start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT = italic_I start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT italic_S start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT italic_J start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math> and check the equations</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex47"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="L_{22}S_{21}=S_{21}\hbox{ and }S^{\sim}_{12}U_{22}=S^{\sim}_{12}." class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex47.m1.1"><semantics id="S5.Ex47.m1.1a"><mrow id="S5.Ex47.m1.1.1.1" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">L</mi><mn id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">22</mn></msub><mo id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">S</mi><mn id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">21</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.cmml"><msub id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.2" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">S</mi><mn id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">21</mn></msub><mo id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.1" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mtext id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.3" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.3a.cmml"> and </mtext><mo id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.1a" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.4" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.4.cmml"><mi id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.4.2.2" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.cmml">S</mi><mn id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.4.3" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.4.3.cmml">12</mn><mo id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.4.2.3" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.4.2.3.cmml">∼</mo></msubsup><mo id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.1b" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.5" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.5.cmml"><mi id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.5.2" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.5.2.cmml">U</mi><mn id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.5.3" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.5.3.cmml">22</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.5" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><msubsup id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.6" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.6.2.2" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.6.2.2.cmml">S</mi><mn id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.6.3" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.6.3.cmml">12</mn><mo id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.6.2.3" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.6.2.3.cmml">∼</mo></msubsup></mrow><mo id="S5.Ex47.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex47.m1.1b"><apply id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1"><and id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1"></and><apply id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1"><eq id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.3"></eq><apply id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.2"><times id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2">𝐿</ci><cn id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.3">22</cn></apply><apply id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.2.3.2">𝑆</ci><cn id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.2.3.3">21</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4"><times id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.1"></times><apply id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.2.2">𝑆</ci><cn id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.2.3">21</cn></apply><ci id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.3a.cmml" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.3"><mtext id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.3"> and </mtext></ci><apply id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.4.cmml" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.4.1.cmml" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.4">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.4.2.cmml" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.4.2.1.cmml" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.4">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.4.2.2">𝑆</ci><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.4.2.3.cmml" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.4.2.3">similar-to</csymbol></apply><cn id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.4.3">12</cn></apply><apply id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.5.cmml" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.5.1.cmml" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.5">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.5.2.cmml" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.5.2">𝑈</ci><cn id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.5.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.5.3">22</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1"><eq id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#S5.Ex47.m1.1.1.1.1.4.cmml" id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1"></share><apply id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.6">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.6.2.1.cmml" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.6">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.6.2.2.cmml" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.6.2.2">𝑆</ci><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.6.2.3.cmml" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.6.2.3">similar-to</csymbol></apply><cn id="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.6.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex47.m1.1.1.1.1.6.3">12</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex47.m1.1c">L_{22}S_{21}=S_{21}\hbox{ and }S^{\sim}_{12}U_{22}=S^{\sim}_{12}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex47.m1.1d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT italic_S start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT = italic_S start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT and italic_S start_POSTSUPERSCRIPT ∼ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT = italic_S start_POSTSUPERSCRIPT ∼ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p17.13">As a result of the sequence (6), (8), (13), (15),(17) of decompositions we obtain the LSU-decomposition of the matrix A in the form</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex48"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\left[\begin{array}[]{cc}A_{11}&A_{12}\\ A_{21}&A_{22}\end{array}\right]=\alpha LSU," class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex48.m1.2"><semantics id="S5.Ex48.m1.2a"><mrow id="S5.Ex48.m1.2.2.1" xref="S5.Ex48.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex48.m1.2.2.1.1" xref="S5.Ex48.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex48.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S5.Ex48.m1.2.2.1.1.2.1.cmml"><mo id="S5.Ex48.m1.2.2.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex48.m1.2.2.1.1.2.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S5.Ex48.m1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S5.Ex48.m1.1.1.cmml"><mtr id="S5.Ex48.m1.1.1a" xref="S5.Ex48.m1.1.1.cmml"><mtd id="S5.Ex48.m1.1.1b" xref="S5.Ex48.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">11</mn></msub></mtd><mtd id="S5.Ex48.m1.1.1c" xref="S5.Ex48.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex48.m1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.2.1.cmml"><mi id="S5.Ex48.m1.1.1.1.2.1.2" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex48.m1.1.1.1.2.1.3" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.2.1.3.cmml">12</mn></msub></mtd></mtr><mtr id="S5.Ex48.m1.1.1d" xref="S5.Ex48.m1.1.1.cmml"><mtd id="S5.Ex48.m1.1.1e" xref="S5.Ex48.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex48.m1.1.1.2.1.1" xref="S5.Ex48.m1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex48.m1.1.1.2.1.1.2" xref="S5.Ex48.m1.1.1.2.1.1.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex48.m1.1.1.2.1.1.3" xref="S5.Ex48.m1.1.1.2.1.1.3.cmml">21</mn></msub></mtd><mtd id="S5.Ex48.m1.1.1f" xref="S5.Ex48.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex48.m1.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex48.m1.1.1.2.2.1.cmml"><mi id="S5.Ex48.m1.1.1.2.2.1.2" xref="S5.Ex48.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex48.m1.1.1.2.2.1.3" xref="S5.Ex48.m1.1.1.2.2.1.3.cmml">22</mn></msub></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.Ex48.m1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex48.m1.2.2.1.1.2.1.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.Ex48.m1.2.2.1.1.1" xref="S5.Ex48.m1.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex48.m1.2.2.1.1.3" xref="S5.Ex48.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex48.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S5.Ex48.m1.2.2.1.1.3.2.cmml">α</mi><mo id="S5.Ex48.m1.2.2.1.1.3.1" xref="S5.Ex48.m1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex48.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S5.Ex48.m1.2.2.1.1.3.3.cmml">L</mi><mo id="S5.Ex48.m1.2.2.1.1.3.1a" xref="S5.Ex48.m1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex48.m1.2.2.1.1.3.4" xref="S5.Ex48.m1.2.2.1.1.3.4.cmml">S</mi><mo id="S5.Ex48.m1.2.2.1.1.3.1b" xref="S5.Ex48.m1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex48.m1.2.2.1.1.3.5" xref="S5.Ex48.m1.2.2.1.1.3.5.cmml">U</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex48.m1.2.2.1.2" xref="S5.Ex48.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex48.m1.2b"><apply id="S5.Ex48.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.1"><eq id="S5.Ex48.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.1.1.1"></eq><apply id="S5.Ex48.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.1.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex48.m1.2.2.1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.1.1.2.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S5.Ex48.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex48.m1.1.1"><matrixrow id="S5.Ex48.m1.1.1a.cmml" xref="S5.Ex48.m1.1.1"><apply id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.2">𝐴</ci><cn id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.3">11</cn></apply><apply id="S5.Ex48.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex48.m1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.2.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex48.m1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.2.1.2">𝐴</ci><cn id="S5.Ex48.m1.1.1.1.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.2.1.3">12</cn></apply></matrixrow><matrixrow id="S5.Ex48.m1.1.1b.cmml" xref="S5.Ex48.m1.1.1"><apply id="S5.Ex48.m1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex48.m1.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex48.m1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex48.m1.1.1.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex48.m1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex48.m1.1.1.2.1.1.2">𝐴</ci><cn id="S5.Ex48.m1.1.1.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex48.m1.1.1.2.1.1.3">21</cn></apply><apply id="S5.Ex48.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex48.m1.1.1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex48.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex48.m1.1.1.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex48.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex48.m1.1.1.2.2.1.2">𝐴</ci><cn id="S5.Ex48.m1.1.1.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex48.m1.1.1.2.2.1.3">22</cn></apply></matrixrow></matrix></apply><apply id="S5.Ex48.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.1.1.3"><times id="S5.Ex48.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.1.1.3.1"></times><ci id="S5.Ex48.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.1.1.3.2">𝛼</ci><ci id="S5.Ex48.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.1.1.3.3">𝐿</ci><ci id="S5.Ex48.m1.2.2.1.1.3.4.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.1.1.3.4">𝑆</ci><ci id="S5.Ex48.m1.2.2.1.1.3.5.cmml" xref="S5.Ex48.m1.2.2.1.1.3.5">𝑈</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex48.m1.2c">\left[\begin{array}[]{cc}A_{11}&A_{12}\\ A_{21}&A_{22}\end{array}\right]=\alpha LSU,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex48.m1.2d">[ start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_A start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_A start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_A start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_A start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARRAY ] = italic_α italic_L italic_S italic_U ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex49"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\ \ S=\left[\begin{array}[]{cc}S_{11}&S^{\sim}_{12}\\ S_{21}&S_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{cc}S_{11}&\lambda^{-2}S_% {12}\\ S_{21}&S_{22}\end{array}\right]," class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex49.m1.3"><semantics id="S5.Ex49.m1.3a"><mrow id="S5.Ex49.m1.3.3.1" xref="S5.Ex49.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex49.m1.3.3.1.1" xref="S5.Ex49.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex49.m1.3.3.1.1.2" xref="S5.Ex49.m1.3.3.1.1.2.cmml">S</mi><mo id="S5.Ex49.m1.3.3.1.1.3" xref="S5.Ex49.m1.3.3.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex49.m1.3.3.1.1.4.2" xref="S5.Ex49.m1.3.3.1.1.4.1.cmml"><mo id="S5.Ex49.m1.3.3.1.1.4.2.1" xref="S5.Ex49.m1.3.3.1.1.4.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S5.Ex49.m1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S5.Ex49.m1.1.1.cmml"><mtr id="S5.Ex49.m1.1.1a" xref="S5.Ex49.m1.1.1.cmml"><mtd id="S5.Ex49.m1.1.1b" xref="S5.Ex49.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">S</mi><mn id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">11</mn></msub></mtd><mtd id="S5.Ex49.m1.1.1c" xref="S5.Ex49.m1.1.1.cmml"><msubsup id="S5.Ex49.m1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.2.1.cmml"><mi id="S5.Ex49.m1.1.1.1.2.1.2.2" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.2.1.2.2.cmml">S</mi><mn id="S5.Ex49.m1.1.1.1.2.1.3" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.2.1.3.cmml">12</mn><mo id="S5.Ex49.m1.1.1.1.2.1.2.3" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.2.1.2.3.cmml">∼</mo></msubsup></mtd></mtr><mtr id="S5.Ex49.m1.1.1d" xref="S5.Ex49.m1.1.1.cmml"><mtd id="S5.Ex49.m1.1.1e" xref="S5.Ex49.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex49.m1.1.1.2.1.1" xref="S5.Ex49.m1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex49.m1.1.1.2.1.1.2" xref="S5.Ex49.m1.1.1.2.1.1.2.cmml">S</mi><mn id="S5.Ex49.m1.1.1.2.1.1.3" xref="S5.Ex49.m1.1.1.2.1.1.3.cmml">21</mn></msub></mtd><mtd id="S5.Ex49.m1.1.1f" xref="S5.Ex49.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex49.m1.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex49.m1.1.1.2.2.1.cmml"><mi id="S5.Ex49.m1.1.1.2.2.1.2" xref="S5.Ex49.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">S</mi><mn id="S5.Ex49.m1.1.1.2.2.1.3" xref="S5.Ex49.m1.1.1.2.2.1.3.cmml">22</mn></msub></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.Ex49.m1.3.3.1.1.4.2.2" xref="S5.Ex49.m1.3.3.1.1.4.1.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.Ex49.m1.3.3.1.1.5" xref="S5.Ex49.m1.3.3.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex49.m1.3.3.1.1.6.2" xref="S5.Ex49.m1.3.3.1.1.6.1.cmml"><mo id="S5.Ex49.m1.3.3.1.1.6.2.1" xref="S5.Ex49.m1.3.3.1.1.6.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S5.Ex49.m1.2.2" rowspacing="0pt" xref="S5.Ex49.m1.2.2.cmml"><mtr id="S5.Ex49.m1.2.2a" xref="S5.Ex49.m1.2.2.cmml"><mtd id="S5.Ex49.m1.2.2b" xref="S5.Ex49.m1.2.2.cmml"><msub id="S5.Ex49.m1.2.2.1.1.1" xref="S5.Ex49.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex49.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S5.Ex49.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">S</mi><mn id="S5.Ex49.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S5.Ex49.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">11</mn></msub></mtd><mtd id="S5.Ex49.m1.2.2c" xref="S5.Ex49.m1.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex49.m1.2.2.1.2.1" xref="S5.Ex49.m1.2.2.1.2.1.cmml"><msup id="S5.Ex49.m1.2.2.1.2.1.2" xref="S5.Ex49.m1.2.2.1.2.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex49.m1.2.2.1.2.1.2.2" xref="S5.Ex49.m1.2.2.1.2.1.2.2.cmml">λ</mi><mrow id="S5.Ex49.m1.2.2.1.2.1.2.3" xref="S5.Ex49.m1.2.2.1.2.1.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex49.m1.2.2.1.2.1.2.3a" xref="S5.Ex49.m1.2.2.1.2.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex49.m1.2.2.1.2.1.2.3.2" xref="S5.Ex49.m1.2.2.1.2.1.2.3.2.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S5.Ex49.m1.2.2.1.2.1.1" xref="S5.Ex49.m1.2.2.1.2.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex49.m1.2.2.1.2.1.3" xref="S5.Ex49.m1.2.2.1.2.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex49.m1.2.2.1.2.1.3.2" xref="S5.Ex49.m1.2.2.1.2.1.3.2.cmml">S</mi><mn id="S5.Ex49.m1.2.2.1.2.1.3.3" xref="S5.Ex49.m1.2.2.1.2.1.3.3.cmml">12</mn></msub></mrow></mtd></mtr><mtr id="S5.Ex49.m1.2.2d" xref="S5.Ex49.m1.2.2.cmml"><mtd id="S5.Ex49.m1.2.2e" xref="S5.Ex49.m1.2.2.cmml"><msub id="S5.Ex49.m1.2.2.2.1.1" xref="S5.Ex49.m1.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex49.m1.2.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex49.m1.2.2.2.1.1.2.cmml">S</mi><mn id="S5.Ex49.m1.2.2.2.1.1.3" xref="S5.Ex49.m1.2.2.2.1.1.3.cmml">21</mn></msub></mtd><mtd id="S5.Ex49.m1.2.2f" xref="S5.Ex49.m1.2.2.cmml"><msub id="S5.Ex49.m1.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex49.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S5.Ex49.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S5.Ex49.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">S</mi><mn id="S5.Ex49.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S5.Ex49.m1.2.2.2.2.1.3.cmml">22</mn></msub></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.Ex49.m1.3.3.1.1.6.2.2" xref="S5.Ex49.m1.3.3.1.1.6.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex49.m1.3.3.1.2" xref="S5.Ex49.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex49.m1.3b"><apply id="S5.Ex49.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.3.3.1"><and id="S5.Ex49.m1.3.3.1.1a.cmml" xref="S5.Ex49.m1.3.3.1"></and><apply id="S5.Ex49.m1.3.3.1.1b.cmml" xref="S5.Ex49.m1.3.3.1"><eq id="S5.Ex49.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex49.m1.3.3.1.1.3"></eq><ci id="S5.Ex49.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex49.m1.3.3.1.1.2">𝑆</ci><apply id="S5.Ex49.m1.3.3.1.1.4.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.3.3.1.1.4.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex49.m1.3.3.1.1.4.1.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.3.3.1.1.4.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S5.Ex49.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1"><matrixrow id="S5.Ex49.m1.1.1a.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1"><apply id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.2">𝑆</ci><cn id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3">11</cn></apply><apply id="S5.Ex49.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex49.m1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.2.1">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex49.m1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex49.m1.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.2.1">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex49.m1.1.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.2.1.2.2">𝑆</ci><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex49.m1.1.1.1.2.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.2.1.2.3">similar-to</csymbol></apply><cn id="S5.Ex49.m1.1.1.1.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.2.1.3">12</cn></apply></matrixrow><matrixrow id="S5.Ex49.m1.1.1b.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1"><apply id="S5.Ex49.m1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex49.m1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex49.m1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.2.1.1.2">𝑆</ci><cn id="S5.Ex49.m1.1.1.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex49.m1.1.1.2.1.1.3">21</cn></apply><apply id="S5.Ex49.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex49.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex49.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.2.2.1.2">𝑆</ci><cn id="S5.Ex49.m1.1.1.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex49.m1.1.1.2.2.1.3">22</cn></apply></matrixrow></matrix></apply></apply><apply id="S5.Ex49.m1.3.3.1.1c.cmml" xref="S5.Ex49.m1.3.3.1"><eq id="S5.Ex49.m1.3.3.1.1.5.cmml" xref="S5.Ex49.m1.3.3.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#S5.Ex49.m1.3.3.1.1.4.cmml" id="S5.Ex49.m1.3.3.1.1d.cmml" xref="S5.Ex49.m1.3.3.1"></share><apply id="S5.Ex49.m1.3.3.1.1.6.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.3.3.1.1.6.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex49.m1.3.3.1.1.6.1.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.3.3.1.1.6.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S5.Ex49.m1.2.2.cmml" xref="S5.Ex49.m1.2.2"><matrixrow id="S5.Ex49.m1.2.2a.cmml" xref="S5.Ex49.m1.2.2"><apply id="S5.Ex49.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex49.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex49.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex49.m1.2.2.1.1.1.2">𝑆</ci><cn id="S5.Ex49.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex49.m1.2.2.1.1.1.3">11</cn></apply><apply id="S5.Ex49.m1.2.2.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.2.2.1.2.1"><times id="S5.Ex49.m1.2.2.1.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.2.2.1.2.1.1"></times><apply id="S5.Ex49.m1.2.2.1.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex49.m1.2.2.1.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex49.m1.2.2.1.2.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.2.2.1.2.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex49.m1.2.2.1.2.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex49.m1.2.2.1.2.1.2.2">𝜆</ci><apply id="S5.Ex49.m1.2.2.1.2.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex49.m1.2.2.1.2.1.2.3"><minus id="S5.Ex49.m1.2.2.1.2.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.2.2.1.2.1.2.3"></minus><cn id="S5.Ex49.m1.2.2.1.2.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex49.m1.2.2.1.2.1.2.3.2">2</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex49.m1.2.2.1.2.1.3.cmml" xref="S5.Ex49.m1.2.2.1.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex49.m1.2.2.1.2.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.2.2.1.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex49.m1.2.2.1.2.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex49.m1.2.2.1.2.1.3.2">𝑆</ci><cn id="S5.Ex49.m1.2.2.1.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex49.m1.2.2.1.2.1.3.3">12</cn></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S5.Ex49.m1.2.2b.cmml" xref="S5.Ex49.m1.2.2"><apply id="S5.Ex49.m1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex49.m1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex49.m1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex49.m1.2.2.2.1.1.2">𝑆</ci><cn id="S5.Ex49.m1.2.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex49.m1.2.2.2.1.1.3">21</cn></apply><apply id="S5.Ex49.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex49.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.2.2.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex49.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex49.m1.2.2.2.2.1.2">𝑆</ci><cn id="S5.Ex49.m1.2.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex49.m1.2.2.2.2.1.3">22</cn></apply></matrixrow></matrix></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex49.m1.3c">\ \ S=\left[\begin{array}[]{cc}S_{11}&S^{\sim}_{12}\\ S_{21}&S_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{cc}S_{11}&\lambda^{-2}S_% {12}\\ S_{21}&S_{22}\end{array}\right],</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex49.m1.3d">italic_S = [ start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_S start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_S start_POSTSUPERSCRIPT ∼ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_S start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_S start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARRAY ] = [ start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_S start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT - 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_S start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_S start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_S start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARRAY ] ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right"><math class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex49.1.1.m1.1"><semantics id="S5.Ex49.1.1.m1.1b"><mrow id="S5.Ex49.1.1.m1.1.2.2"><mo id="S5.Ex49.1.1.m1.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S5.Ex49.1.1.m1.1.1" xref="S5.Ex49.1.1.m1.1.1.cmml">18</mn><mo id="S5.Ex49.1.1.m1.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex49.1.1.m1.1c"><cn id="S5.Ex49.1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex49.1.1.m1.1.1">18</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex49.1.1.m1.1d">( 18 )</annotation></semantics></math></span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p17.11">with <math alttext="S^{\sim}_{12}=\lambda^{-2}S_{12}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p17.9.m1.1"><semantics id="S5.p17.9.m1.1a"><mrow id="S5.p17.9.m1.1.1" xref="S5.p17.9.m1.1.1.cmml"><msubsup id="S5.p17.9.m1.1.1.2" xref="S5.p17.9.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p17.9.m1.1.1.2.2.2" xref="S5.p17.9.m1.1.1.2.2.2.cmml">S</mi><mn id="S5.p17.9.m1.1.1.2.3" xref="S5.p17.9.m1.1.1.2.3.cmml">12</mn><mo id="S5.p17.9.m1.1.1.2.2.3" xref="S5.p17.9.m1.1.1.2.2.3.cmml">∼</mo></msubsup><mo id="S5.p17.9.m1.1.1.1" xref="S5.p17.9.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.p17.9.m1.1.1.3" xref="S5.p17.9.m1.1.1.3.cmml"><msup id="S5.p17.9.m1.1.1.3.2" xref="S5.p17.9.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.p17.9.m1.1.1.3.2.2" xref="S5.p17.9.m1.1.1.3.2.2.cmml">λ</mi><mrow id="S5.p17.9.m1.1.1.3.2.3" xref="S5.p17.9.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mo id="S5.p17.9.m1.1.1.3.2.3a" xref="S5.p17.9.m1.1.1.3.2.3.cmml">−</mo><mn id="S5.p17.9.m1.1.1.3.2.3.2" xref="S5.p17.9.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S5.p17.9.m1.1.1.3.1" xref="S5.p17.9.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p17.9.m1.1.1.3.3" xref="S5.p17.9.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.p17.9.m1.1.1.3.3.2" xref="S5.p17.9.m1.1.1.3.3.2.cmml">S</mi><mn id="S5.p17.9.m1.1.1.3.3.3" xref="S5.p17.9.m1.1.1.3.3.3.cmml">12</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p17.9.m1.1b"><apply id="S5.p17.9.m1.1.1.cmml" xref="S5.p17.9.m1.1.1"><eq id="S5.p17.9.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.p17.9.m1.1.1.1"></eq><apply id="S5.p17.9.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p17.9.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p17.9.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p17.9.m1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S5.p17.9.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p17.9.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p17.9.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.p17.9.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.p17.9.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.p17.9.m1.1.1.2.2.2">𝑆</ci><csymbol cd="latexml" id="S5.p17.9.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.p17.9.m1.1.1.2.2.3">similar-to</csymbol></apply><cn id="S5.p17.9.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p17.9.m1.1.1.2.3">12</cn></apply><apply id="S5.p17.9.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.p17.9.m1.1.1.3"><times id="S5.p17.9.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p17.9.m1.1.1.3.1"></times><apply id="S5.p17.9.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p17.9.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p17.9.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.p17.9.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S5.p17.9.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.p17.9.m1.1.1.3.2.2">𝜆</ci><apply id="S5.p17.9.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.p17.9.m1.1.1.3.2.3"><minus id="S5.p17.9.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.p17.9.m1.1.1.3.2.3"></minus><cn id="S5.p17.9.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.p17.9.m1.1.1.3.2.3.2">2</cn></apply></apply><apply id="S5.p17.9.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p17.9.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p17.9.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.p17.9.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p17.9.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.p17.9.m1.1.1.3.3.2">𝑆</ci><cn id="S5.p17.9.m1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p17.9.m1.1.1.3.3.3">12</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p17.9.m1.1c">S^{\sim}_{12}=\lambda^{-2}S_{12}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p17.9.m1.1d">italic_S start_POSTSUPERSCRIPT ∼ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT = italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT - 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_S start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and such matrices <math alttext="L" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p17.10.m2.1"><semantics id="S5.p17.10.m2.1a"><mi id="S5.p17.10.m2.1.1" xref="S5.p17.10.m2.1.1.cmml">L</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p17.10.m2.1b"><ci id="S5.p17.10.m2.1.1.cmml" xref="S5.p17.10.m2.1.1">𝐿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p17.10.m2.1c">L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p17.10.m2.1d">italic_L</annotation></semantics></math> and <math alttext="U" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p17.11.m3.1"><semantics id="S5.p17.11.m3.1a"><mi id="S5.p17.11.m3.1.1" xref="S5.p17.11.m3.1.1.cmml">U</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p17.11.m3.1b"><ci id="S5.p17.11.m3.1.1.cmml" xref="S5.p17.11.m3.1.1">𝑈</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p17.11.m3.1c">U</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p17.11.m3.1d">italic_U</annotation></semantics></math>:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex50"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="L=\left[\begin{array}[]{cc}L_{11}&0\\ 0&{\mathbf{I}}\end{array}\right]\left[\begin{array}[]{cc}{\mathbf{I}}&0\\ \frac{1}{\alpha_{k}}A^{\prime}_{21}S^{+}_{11}&{\mathbf{I}}\end{array}\right]% \left[\begin{array}[]{cc}L^{\sim}_{12}&0\\ 0&L_{21}\end{array}\right]" class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex50.m1.3"><semantics id="S5.Ex50.m1.3a"><mrow id="S5.Ex50.m1.3.4" xref="S5.Ex50.m1.3.4.cmml"><mi id="S5.Ex50.m1.3.4.2" xref="S5.Ex50.m1.3.4.2.cmml">L</mi><mo id="S5.Ex50.m1.3.4.1" xref="S5.Ex50.m1.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex50.m1.3.4.3" xref="S5.Ex50.m1.3.4.3.cmml"><mrow id="S5.Ex50.m1.3.4.3.2.2" xref="S5.Ex50.m1.3.4.3.2.1.cmml"><mo id="S5.Ex50.m1.3.4.3.2.2.1" xref="S5.Ex50.m1.3.4.3.2.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S5.Ex50.m1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S5.Ex50.m1.1.1.cmml"><mtr id="S5.Ex50.m1.1.1a" xref="S5.Ex50.m1.1.1.cmml"><mtd id="S5.Ex50.m1.1.1b" xref="S5.Ex50.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">L</mi><mn id="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">11</mn></msub></mtd><mtd id="S5.Ex50.m1.1.1c" xref="S5.Ex50.m1.1.1.cmml"><mn id="S5.Ex50.m1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.2.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="S5.Ex50.m1.1.1d" xref="S5.Ex50.m1.1.1.cmml"><mtd id="S5.Ex50.m1.1.1e" xref="S5.Ex50.m1.1.1.cmml"><mn id="S5.Ex50.m1.1.1.2.1.1" xref="S5.Ex50.m1.1.1.2.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S5.Ex50.m1.1.1f" xref="S5.Ex50.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex50.m1.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex50.m1.1.1.2.2.1.cmml">𝐈</mi></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.Ex50.m1.3.4.3.2.2.2" xref="S5.Ex50.m1.3.4.3.2.1.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.Ex50.m1.3.4.3.1" xref="S5.Ex50.m1.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex50.m1.3.4.3.3.2" xref="S5.Ex50.m1.3.4.3.3.1.cmml"><mo id="S5.Ex50.m1.3.4.3.3.2.1" xref="S5.Ex50.m1.3.4.3.3.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S5.Ex50.m1.2.2" rowspacing="0pt" xref="S5.Ex50.m1.2.2.cmml"><mtr id="S5.Ex50.m1.2.2a" xref="S5.Ex50.m1.2.2.cmml"><mtd id="S5.Ex50.m1.2.2b" xref="S5.Ex50.m1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex50.m1.2.2.1.1.1" xref="S5.Ex50.m1.2.2.1.1.1.cmml">𝐈</mi></mtd><mtd id="S5.Ex50.m1.2.2c" xref="S5.Ex50.m1.2.2.cmml"><mn id="S5.Ex50.m1.2.2.1.2.1" xref="S5.Ex50.m1.2.2.1.2.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="S5.Ex50.m1.2.2d" xref="S5.Ex50.m1.2.2.cmml"><mtd id="S5.Ex50.m1.2.2e" xref="S5.Ex50.m1.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex50.m1.2.2.2.1.1" xref="S5.Ex50.m1.2.2.2.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S5.Ex50.m1.2.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex50.m1.2.2.2.1.1.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex50.m1.2.2.2.1.1.2a" xref="S5.Ex50.m1.2.2.2.1.1.2.cmml"><mn id="S5.Ex50.m1.2.2.2.1.1.2.2" xref="S5.Ex50.m1.2.2.2.1.1.2.2.cmml">1</mn><msub id="S5.Ex50.m1.2.2.2.1.1.2.3" xref="S5.Ex50.m1.2.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex50.m1.2.2.2.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex50.m1.2.2.2.1.1.2.3.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex50.m1.2.2.2.1.1.2.3.3" xref="S5.Ex50.m1.2.2.2.1.1.2.3.3.cmml">k</mi></msub></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex50.m1.2.2.2.1.1.1" xref="S5.Ex50.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex50.m1.2.2.2.1.1.3" xref="S5.Ex50.m1.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex50.m1.2.2.2.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex50.m1.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex50.m1.2.2.2.1.1.3.3" xref="S5.Ex50.m1.2.2.2.1.1.3.3.cmml">21</mn><mo id="S5.Ex50.m1.2.2.2.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex50.m1.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S5.Ex50.m1.2.2.2.1.1.1a" xref="S5.Ex50.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex50.m1.2.2.2.1.1.4" xref="S5.Ex50.m1.2.2.2.1.1.4.cmml"><mi id="S5.Ex50.m1.2.2.2.1.1.4.2.2" xref="S5.Ex50.m1.2.2.2.1.1.4.2.2.cmml">S</mi><mn id="S5.Ex50.m1.2.2.2.1.1.4.3" xref="S5.Ex50.m1.2.2.2.1.1.4.3.cmml">11</mn><mo id="S5.Ex50.m1.2.2.2.1.1.4.2.3" xref="S5.Ex50.m1.2.2.2.1.1.4.2.3.cmml">+</mo></msubsup></mrow></mtd><mtd id="S5.Ex50.m1.2.2f" xref="S5.Ex50.m1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex50.m1.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex50.m1.2.2.2.2.1.cmml">𝐈</mi></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.Ex50.m1.3.4.3.3.2.2" xref="S5.Ex50.m1.3.4.3.3.1.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.Ex50.m1.3.4.3.1a" xref="S5.Ex50.m1.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex50.m1.3.4.3.4.2" xref="S5.Ex50.m1.3.4.3.4.1.cmml"><mo id="S5.Ex50.m1.3.4.3.4.2.1" xref="S5.Ex50.m1.3.4.3.4.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S5.Ex50.m1.3.3" rowspacing="0pt" xref="S5.Ex50.m1.3.3.cmml"><mtr id="S5.Ex50.m1.3.3a" xref="S5.Ex50.m1.3.3.cmml"><mtd id="S5.Ex50.m1.3.3b" xref="S5.Ex50.m1.3.3.cmml"><msubsup id="S5.Ex50.m1.3.3.1.1.1" xref="S5.Ex50.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex50.m1.3.3.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex50.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml">L</mi><mn id="S5.Ex50.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S5.Ex50.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">12</mn><mo id="S5.Ex50.m1.3.3.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex50.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml">∼</mo></msubsup></mtd><mtd id="S5.Ex50.m1.3.3c" xref="S5.Ex50.m1.3.3.cmml"><mn id="S5.Ex50.m1.3.3.1.2.1" xref="S5.Ex50.m1.3.3.1.2.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="S5.Ex50.m1.3.3d" xref="S5.Ex50.m1.3.3.cmml"><mtd id="S5.Ex50.m1.3.3e" xref="S5.Ex50.m1.3.3.cmml"><mn id="S5.Ex50.m1.3.3.2.1.1" xref="S5.Ex50.m1.3.3.2.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S5.Ex50.m1.3.3f" xref="S5.Ex50.m1.3.3.cmml"><msub id="S5.Ex50.m1.3.3.2.2.1" xref="S5.Ex50.m1.3.3.2.2.1.cmml"><mi id="S5.Ex50.m1.3.3.2.2.1.2" xref="S5.Ex50.m1.3.3.2.2.1.2.cmml">L</mi><mn id="S5.Ex50.m1.3.3.2.2.1.3" 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id="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.1.2">𝐿</ci><cn id="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.1.3">11</cn></apply><cn id="S5.Ex50.m1.1.1.1.2.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.2.1">0</cn></matrixrow><matrixrow id="S5.Ex50.m1.1.1b.cmml" xref="S5.Ex50.m1.1.1"><cn id="S5.Ex50.m1.1.1.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex50.m1.1.1.2.1.1">0</cn><ci id="S5.Ex50.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex50.m1.1.1.2.2.1">𝐈</ci></matrixrow></matrix></apply><apply id="S5.Ex50.m1.3.4.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex50.m1.3.4.3.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex50.m1.3.4.3.3.1.1.cmml" xref="S5.Ex50.m1.3.4.3.3.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S5.Ex50.m1.2.2.cmml" xref="S5.Ex50.m1.2.2"><matrixrow id="S5.Ex50.m1.2.2a.cmml" xref="S5.Ex50.m1.2.2"><ci id="S5.Ex50.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex50.m1.2.2.1.1.1">𝐈</ci><cn id="S5.Ex50.m1.2.2.1.2.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex50.m1.2.2.1.2.1">0</cn></matrixrow><matrixrow id="S5.Ex50.m1.2.2b.cmml" 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id="S5.Ex50.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex50.m1.3.3.1.1.1.3">12</cn></apply><cn id="S5.Ex50.m1.3.3.1.2.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex50.m1.3.3.1.2.1">0</cn></matrixrow><matrixrow id="S5.Ex50.m1.3.3b.cmml" xref="S5.Ex50.m1.3.3"><cn id="S5.Ex50.m1.3.3.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex50.m1.3.3.2.1.1">0</cn><apply id="S5.Ex50.m1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex50.m1.3.3.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex50.m1.3.3.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex50.m1.3.3.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex50.m1.3.3.2.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex50.m1.3.3.2.2.1.2">𝐿</ci><cn id="S5.Ex50.m1.3.3.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex50.m1.3.3.2.2.1.3">21</cn></apply></matrixrow></matrix></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex50.m1.3c">L=\left[\begin{array}[]{cc}L_{11}&0\\ 0&{\mathbf{I}}\end{array}\right]\left[\begin{array}[]{cc}{\mathbf{I}}&0\\ \frac{1}{\alpha_{k}}A^{\prime}_{21}S^{+}_{11}&{\mathbf{I}}\end{array}\right]% \left[\begin{array}[]{cc}L^{\sim}_{12}&0\\ 0&L_{21}\end{array}\right]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex50.m1.3d">italic_L = [ start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_L start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL bold_I end_CELL end_ROW end_ARRAY ] [ start_ARRAY start_ROW start_CELL bold_I end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_S start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL bold_I end_CELL end_ROW end_ARRAY ] [ start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_L start_POSTSUPERSCRIPT ∼ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 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id="S5.Ex51.m1.1.1.2.1.1.2a" xref="S5.Ex51.m1.1.1.2.1.1.2.cmml"><msup id="S5.Ex51.m1.1.1.2.1.1.2.2" xref="S5.Ex51.m1.1.1.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex51.m1.1.1.2.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex51.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.cmml">λ</mi><mn id="S5.Ex51.m1.1.1.2.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex51.m1.1.1.2.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mrow id="S5.Ex51.m1.1.1.2.1.1.2.3" xref="S5.Ex51.m1.1.1.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex51.m1.1.1.2.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex51.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.cmml">α</mi><mo id="S5.Ex51.m1.1.1.2.1.1.2.3.1" xref="S5.Ex51.m1.1.1.2.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex51.m1.1.1.2.1.1.2.3.3" xref="S5.Ex51.m1.1.1.2.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex51.m1.1.1.2.1.1.2.3.3.2" xref="S5.Ex51.m1.1.1.2.1.1.2.3.3.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex51.m1.1.1.2.1.1.2.3.3.3" xref="S5.Ex51.m1.1.1.2.1.1.2.3.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex51.m1.1.1.2.1.1.1" xref="S5.Ex51.m1.1.1.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex51.m1.1.1.2.1.1.3" xref="S5.Ex51.m1.1.1.2.1.1.3.cmml"><mover accent="true" 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xref="S5.Ex51.m1.1.1.2.1.1.5.3.cmml">12</mn><mo id="S5.Ex51.m1.1.1.2.1.1.5.2.3" xref="S5.Ex51.m1.1.1.2.1.1.5.2.3.cmml">+</mo></msubsup></mrow></mtd><mtd id="S5.Ex51.m1.1.1f" xref="S5.Ex51.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex51.m1.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex51.m1.1.1.2.2.1.cmml">𝐈</mi></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.Ex51.m1.3.3.1.1.3.2.2.2" xref="S5.Ex51.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.Ex51.m1.3.3.1.1.3.1" xref="S5.Ex51.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex51.m1.3.3.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex51.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S5.Ex51.m1.3.3.1.1.3.3.2.1" xref="S5.Ex51.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S5.Ex51.m1.2.2" rowspacing="0pt" xref="S5.Ex51.m1.2.2.cmml"><mtr id="S5.Ex51.m1.2.2a" xref="S5.Ex51.m1.2.2.cmml"><mtd id="S5.Ex51.m1.2.2b" xref="S5.Ex51.m1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex51.m1.2.2.1.1.1" xref="S5.Ex51.m1.2.2.1.1.1.cmml">𝐈</mi></mtd><mtd id="S5.Ex51.m1.2.2c" xref="S5.Ex51.m1.2.2.cmml"><mn id="S5.Ex51.m1.2.2.1.2.1" xref="S5.Ex51.m1.2.2.1.2.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="S5.Ex51.m1.2.2d" xref="S5.Ex51.m1.2.2.cmml"><mtd id="S5.Ex51.m1.2.2e" xref="S5.Ex51.m1.2.2.cmml"><mn id="S5.Ex51.m1.2.2.2.1.1" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S5.Ex51.m1.2.2f" xref="S5.Ex51.m1.2.2.cmml"><msub id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">L</mi><mn id="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S5.Ex51.m1.2.2.2.2.1.3.cmml">22</mn></msub></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.Ex51.m1.3.3.1.1.3.3.2.2" xref="S5.Ex51.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex51.m1.3.3.1.2" xref="S5.Ex51.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex51.m1.3b"><apply id="S5.Ex51.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S5.Ex51.m1.3.3.1"><times id="S5.Ex51.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex51.m1.3.3.1.1.1"></times><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex51.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex51.m1.3.3.1.1.2">absent</csymbol><apply 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xref="S5.Ex52.m1.2.2.1.2.1.3.3.cmml">21</mn><mo id="S5.Ex52.m1.2.2.1.2.1.3.2.3" xref="S5.Ex52.m1.2.2.1.2.1.3.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S5.Ex52.m1.2.2.1.2.1.1a" xref="S5.Ex52.m1.2.2.1.2.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex52.m1.2.2.1.2.1.4" xref="S5.Ex52.m1.2.2.1.2.1.4.cmml"><mi id="S5.Ex52.m1.2.2.1.2.1.4.2.2" xref="S5.Ex52.m1.2.2.1.2.1.4.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex52.m1.2.2.1.2.1.4.3" xref="S5.Ex52.m1.2.2.1.2.1.4.3.cmml">22</mn><mo id="S5.Ex52.m1.2.2.1.2.1.4.2.3" xref="S5.Ex52.m1.2.2.1.2.1.4.2.3.cmml">′′</mo></msubsup></mrow></mtd></mtr><mtr id="S5.Ex52.m1.2.2d" xref="S5.Ex52.m1.2.2.cmml"><mtd id="S5.Ex52.m1.2.2e" xref="S5.Ex52.m1.2.2.cmml"><mn id="S5.Ex52.m1.2.2.2.1.1" xref="S5.Ex52.m1.2.2.2.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S5.Ex52.m1.2.2f" xref="S5.Ex52.m1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex52.m1.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex52.m1.2.2.2.2.1.cmml">𝐈</mi></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.Ex52.m1.3.4.3.3.2.2" xref="S5.Ex52.m1.3.4.3.3.1.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.Ex52.m1.3.4.3.1a" 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id="S5.Ex52.m1.3.3.2.2.1" xref="S5.Ex52.m1.3.3.2.2.1.cmml"><mi id="S5.Ex52.m1.3.3.2.2.1.2.2" xref="S5.Ex52.m1.3.3.2.2.1.2.2.cmml">U</mi><mn id="S5.Ex52.m1.3.3.2.2.1.3" xref="S5.Ex52.m1.3.3.2.2.1.3.cmml">12</mn><mo id="S5.Ex52.m1.3.3.2.2.1.2.3" xref="S5.Ex52.m1.3.3.2.2.1.2.3.cmml">∼</mo></msubsup></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.Ex52.m1.3.4.3.4.2.2" xref="S5.Ex52.m1.3.4.3.4.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex52.m1.3b"><apply id="S5.Ex52.m1.3.4.cmml" xref="S5.Ex52.m1.3.4"><eq id="S5.Ex52.m1.3.4.1.cmml" xref="S5.Ex52.m1.3.4.1"></eq><ci id="S5.Ex52.m1.3.4.2.cmml" xref="S5.Ex52.m1.3.4.2">𝑈</ci><apply id="S5.Ex52.m1.3.4.3.cmml" xref="S5.Ex52.m1.3.4.3"><times id="S5.Ex52.m1.3.4.3.1.cmml" xref="S5.Ex52.m1.3.4.3.1"></times><apply id="S5.Ex52.m1.3.4.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex52.m1.3.4.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex52.m1.3.4.3.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex52.m1.3.4.3.2.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S5.Ex52.m1.1.1.cmml" 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xref="S5.Ex52.m1.3.3.2.2.1.2.2">𝑈</ci><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex52.m1.3.3.2.2.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex52.m1.3.3.2.2.1.2.3">similar-to</csymbol></apply><cn id="S5.Ex52.m1.3.3.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex52.m1.3.3.2.2.1.3">12</cn></apply></matrixrow></matrix></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex52.m1.3c">U=\left[\begin{array}[]{cc}{\mathbf{I}}&0\\ 0&U_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}[]{cc}{\mathbf{I}}&\frac{1}{% \alpha\alpha_{k}}S^{+}_{21}A^{\prime\prime}_{22}\\ 0&{\mathbf{I}}\end{array}\right]\left[\begin{array}[]{cc}U_{21}&0\\ 0&U^{\sim}_{12}\end{array}\right]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex52.m1.3d">italic_U = [ start_ARRAY start_ROW start_CELL bold_I end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL italic_U start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARRAY ] [ start_ARRAY start_ROW start_CELL bold_I end_CELL start_CELL divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_α italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_S start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL bold_I end_CELL end_ROW end_ARRAY ] [ start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_U start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL italic_U start_POSTSUPERSCRIPT ∼ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARRAY ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex53"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\times\left[\begin{array}[]{cc}{\mathbf{I}}&\alpha_{k}^{-1}S^{+}_{11}A^{\prime% }_{12}\\ 0&{\mathbf{I}}\end{array}\right]\left[\begin{array}[]{cc}U_{11}&0\\ 0&I\end{array}\right]." class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex53.m1.3"><semantics id="S5.Ex53.m1.3a"><mrow id="S5.Ex53.m1.3.3.1" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.1.cmml">×</mo><mrow id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.3" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml"><mo id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.3.2.2.1" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S5.Ex53.m1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S5.Ex53.m1.1.1.cmml"><mtr id="S5.Ex53.m1.1.1a" xref="S5.Ex53.m1.1.1.cmml"><mtd id="S5.Ex53.m1.1.1b" xref="S5.Ex53.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex53.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex53.m1.1.1.1.1.1.cmml">𝐈</mi></mtd><mtd id="S5.Ex53.m1.1.1c" xref="S5.Ex53.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.cmml"><msubsup id="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.2" xref="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.2.2.2" xref="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.2.2.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.2.2.3" xref="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.cmml">k</mi><mrow id="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.2.3" xref="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.2.3a" xref="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.2.3.2" xref="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.1" xref="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.3" xref="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.3.2.2" xref="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.3.2.2.cmml">S</mi><mn id="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.3.3" xref="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.3.3.cmml">11</mn><mo id="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.3.2.3" xref="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.3.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.1a" xref="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.4" xref="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.4.cmml"><mi id="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.4.2.2" xref="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.4.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.4.3" xref="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.4.3.cmml">12</mn><mo id="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.4.2.3" xref="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.4.2.3.cmml">′</mo></msubsup></mrow></mtd></mtr><mtr id="S5.Ex53.m1.1.1d" xref="S5.Ex53.m1.1.1.cmml"><mtd id="S5.Ex53.m1.1.1e" xref="S5.Ex53.m1.1.1.cmml"><mn id="S5.Ex53.m1.1.1.2.1.1" xref="S5.Ex53.m1.1.1.2.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S5.Ex53.m1.1.1f" xref="S5.Ex53.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex53.m1.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex53.m1.1.1.2.2.1.cmml">𝐈</mi></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.3.2.2.2" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.3.1" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.3.3.2.1" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S5.Ex53.m1.2.2" rowspacing="0pt" xref="S5.Ex53.m1.2.2.cmml"><mtr id="S5.Ex53.m1.2.2a" xref="S5.Ex53.m1.2.2.cmml"><mtd id="S5.Ex53.m1.2.2b" xref="S5.Ex53.m1.2.2.cmml"><msub id="S5.Ex53.m1.2.2.1.1.1" xref="S5.Ex53.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex53.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S5.Ex53.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">U</mi><mn id="S5.Ex53.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S5.Ex53.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">11</mn></msub></mtd><mtd id="S5.Ex53.m1.2.2c" xref="S5.Ex53.m1.2.2.cmml"><mn id="S5.Ex53.m1.2.2.1.2.1" xref="S5.Ex53.m1.2.2.1.2.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="S5.Ex53.m1.2.2d" xref="S5.Ex53.m1.2.2.cmml"><mtd id="S5.Ex53.m1.2.2e" xref="S5.Ex53.m1.2.2.cmml"><mn id="S5.Ex53.m1.2.2.2.1.1" xref="S5.Ex53.m1.2.2.2.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S5.Ex53.m1.2.2f" xref="S5.Ex53.m1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex53.m1.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex53.m1.2.2.2.2.1.cmml">I</mi></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.3.3.2.2" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex53.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex53.m1.3b"><apply id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1"><times id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.1"></times><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.3"><times id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.3.1"></times><apply id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.3.2.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S5.Ex53.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex53.m1.1.1"><matrixrow id="S5.Ex53.m1.1.1a.cmml" xref="S5.Ex53.m1.1.1"><ci id="S5.Ex53.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex53.m1.1.1.1.1.1">𝐈</ci><apply id="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1"><times id="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.1"></times><apply id="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.2">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.2.2.2">𝛼</ci><ci id="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.2.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.2.3"><minus id="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.2.3"></minus><cn id="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.3.2.2">𝑆</ci><plus id="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.3.2.3"></plus></apply><cn id="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.3.3">11</cn></apply><apply id="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.4.cmml" xref="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.4.1.cmml" xref="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.4">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.4.2.cmml" xref="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.4.2.1.cmml" xref="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.4">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.4.2.2">𝐴</ci><ci id="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.4.2.3.cmml" xref="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.4.2.3">′</ci></apply><cn id="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex53.m1.1.1.1.2.1.4.3">12</cn></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S5.Ex53.m1.1.1b.cmml" xref="S5.Ex53.m1.1.1"><cn id="S5.Ex53.m1.1.1.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex53.m1.1.1.2.1.1">0</cn><ci id="S5.Ex53.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex53.m1.1.1.2.2.1">𝐈</ci></matrixrow></matrix></apply><apply id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.3.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.3.3.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S5.Ex53.m1.2.2.cmml" xref="S5.Ex53.m1.2.2"><matrixrow id="S5.Ex53.m1.2.2a.cmml" xref="S5.Ex53.m1.2.2"><apply id="S5.Ex53.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex53.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex53.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex53.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex53.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex53.m1.2.2.1.1.1.2">𝑈</ci><cn id="S5.Ex53.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex53.m1.2.2.1.1.1.3">11</cn></apply><cn id="S5.Ex53.m1.2.2.1.2.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex53.m1.2.2.1.2.1">0</cn></matrixrow><matrixrow id="S5.Ex53.m1.2.2b.cmml" xref="S5.Ex53.m1.2.2"><cn id="S5.Ex53.m1.2.2.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex53.m1.2.2.2.1.1">0</cn><ci id="S5.Ex53.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex53.m1.2.2.2.2.1">𝐼</ci></matrixrow></matrix></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex53.m1.3c">\times\left[\begin{array}[]{cc}{\mathbf{I}}&\alpha_{k}^{-1}S^{+}_{11}A^{\prime% }_{12}\\ 0&{\mathbf{I}}\end{array}\right]\left[\begin{array}[]{cc}U_{11}&0\\ 0&I\end{array}\right].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex53.m1.3d">× [ start_ARRAY start_ROW start_CELL bold_I end_CELL start_CELL italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_S start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL bold_I end_CELL end_ROW end_ARRAY ] [ start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_U start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL italic_I end_CELL end_ROW end_ARRAY ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p17.14">After multiplying the matrices on the right side, we get</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex54"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="L=\left[\begin{array}[]{cc}L_{1}&0\\ L_{3}&L_{4}\end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{cc}L_{11}L^{\sim}_{12}&0\\ L_{3}&L_{21}L_{22}\end{array}\right]," class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex54.m1.3"><semantics id="S5.Ex54.m1.3a"><mrow id="S5.Ex54.m1.3.3.1" xref="S5.Ex54.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex54.m1.3.3.1.1" xref="S5.Ex54.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex54.m1.3.3.1.1.2" xref="S5.Ex54.m1.3.3.1.1.2.cmml">L</mi><mo id="S5.Ex54.m1.3.3.1.1.3" xref="S5.Ex54.m1.3.3.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex54.m1.3.3.1.1.4.2" xref="S5.Ex54.m1.3.3.1.1.4.1.cmml"><mo id="S5.Ex54.m1.3.3.1.1.4.2.1" xref="S5.Ex54.m1.3.3.1.1.4.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S5.Ex54.m1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S5.Ex54.m1.1.1.cmml"><mtr id="S5.Ex54.m1.1.1a" xref="S5.Ex54.m1.1.1.cmml"><mtd id="S5.Ex54.m1.1.1b" xref="S5.Ex54.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex54.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex54.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex54.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex54.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">L</mi><mn id="S5.Ex54.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex54.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub></mtd><mtd id="S5.Ex54.m1.1.1c" xref="S5.Ex54.m1.1.1.cmml"><mn id="S5.Ex54.m1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex54.m1.1.1.1.2.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="S5.Ex54.m1.1.1d" xref="S5.Ex54.m1.1.1.cmml"><mtd id="S5.Ex54.m1.1.1e" xref="S5.Ex54.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex54.m1.1.1.2.1.1" xref="S5.Ex54.m1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex54.m1.1.1.2.1.1.2" xref="S5.Ex54.m1.1.1.2.1.1.2.cmml">L</mi><mn id="S5.Ex54.m1.1.1.2.1.1.3" xref="S5.Ex54.m1.1.1.2.1.1.3.cmml">3</mn></msub></mtd><mtd id="S5.Ex54.m1.1.1f" xref="S5.Ex54.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex54.m1.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex54.m1.1.1.2.2.1.cmml"><mi id="S5.Ex54.m1.1.1.2.2.1.2" xref="S5.Ex54.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">L</mi><mn id="S5.Ex54.m1.1.1.2.2.1.3" xref="S5.Ex54.m1.1.1.2.2.1.3.cmml">4</mn></msub></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.Ex54.m1.3.3.1.1.4.2.2" xref="S5.Ex54.m1.3.3.1.1.4.1.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.Ex54.m1.3.3.1.1.5" xref="S5.Ex54.m1.3.3.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex54.m1.3.3.1.1.6.2" xref="S5.Ex54.m1.3.3.1.1.6.1.cmml"><mo id="S5.Ex54.m1.3.3.1.1.6.2.1" xref="S5.Ex54.m1.3.3.1.1.6.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S5.Ex54.m1.2.2" rowspacing="0pt" xref="S5.Ex54.m1.2.2.cmml"><mtr id="S5.Ex54.m1.2.2a" xref="S5.Ex54.m1.2.2.cmml"><mtd id="S5.Ex54.m1.2.2b" xref="S5.Ex54.m1.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex54.m1.2.2.1.1.1" xref="S5.Ex54.m1.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex54.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S5.Ex54.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex54.m1.2.2.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex54.m1.2.2.1.1.1.2.2.cmml">L</mi><mn id="S5.Ex54.m1.2.2.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex54.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S5.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S5.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex54.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S5.Ex54.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex54.m1.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex54.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">L</mi><mn id="S5.Ex54.m1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex54.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">12</mn><mo id="S5.Ex54.m1.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex54.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml">∼</mo></msubsup></mrow></mtd><mtd id="S5.Ex54.m1.2.2c" xref="S5.Ex54.m1.2.2.cmml"><mn id="S5.Ex54.m1.2.2.1.2.1" xref="S5.Ex54.m1.2.2.1.2.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="S5.Ex54.m1.2.2d" xref="S5.Ex54.m1.2.2.cmml"><mtd id="S5.Ex54.m1.2.2e" xref="S5.Ex54.m1.2.2.cmml"><msub id="S5.Ex54.m1.2.2.2.1.1" xref="S5.Ex54.m1.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex54.m1.2.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex54.m1.2.2.2.1.1.2.cmml">L</mi><mn id="S5.Ex54.m1.2.2.2.1.1.3" xref="S5.Ex54.m1.2.2.2.1.1.3.cmml">3</mn></msub></mtd><mtd id="S5.Ex54.m1.2.2f" xref="S5.Ex54.m1.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex54.m1.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex54.m1.2.2.2.2.1.cmml"><msub id="S5.Ex54.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S5.Ex54.m1.2.2.2.2.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex54.m1.2.2.2.2.1.2.2" xref="S5.Ex54.m1.2.2.2.2.1.2.2.cmml">L</mi><mn id="S5.Ex54.m1.2.2.2.2.1.2.3" xref="S5.Ex54.m1.2.2.2.2.1.2.3.cmml">21</mn></msub><mo id="S5.Ex54.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S5.Ex54.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex54.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S5.Ex54.m1.2.2.2.2.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex54.m1.2.2.2.2.1.3.2" xref="S5.Ex54.m1.2.2.2.2.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S5.Ex54.m1.2.2.2.2.1.3.3" xref="S5.Ex54.m1.2.2.2.2.1.3.3.cmml">22</mn></msub></mrow></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.Ex54.m1.3.3.1.1.6.2.2" xref="S5.Ex54.m1.3.3.1.1.6.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex54.m1.3.3.1.2" xref="S5.Ex54.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex54.m1.3b"><apply id="S5.Ex54.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S5.Ex54.m1.3.3.1"><and id="S5.Ex54.m1.3.3.1.1a.cmml" xref="S5.Ex54.m1.3.3.1"></and><apply id="S5.Ex54.m1.3.3.1.1b.cmml" xref="S5.Ex54.m1.3.3.1"><eq id="S5.Ex54.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex54.m1.3.3.1.1.3"></eq><ci id="S5.Ex54.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex54.m1.3.3.1.1.2">𝐿</ci><apply id="S5.Ex54.m1.3.3.1.1.4.1.cmml" xref="S5.Ex54.m1.3.3.1.1.4.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex54.m1.3.3.1.1.4.1.1.cmml" xref="S5.Ex54.m1.3.3.1.1.4.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S5.Ex54.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex54.m1.1.1"><matrixrow id="S5.Ex54.m1.1.1a.cmml" xref="S5.Ex54.m1.1.1"><apply id="S5.Ex54.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex54.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex54.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex54.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex54.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex54.m1.1.1.1.1.1.2">𝐿</ci><cn id="S5.Ex54.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex54.m1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><cn id="S5.Ex54.m1.1.1.1.2.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex54.m1.1.1.1.2.1">0</cn></matrixrow><matrixrow id="S5.Ex54.m1.1.1b.cmml" xref="S5.Ex54.m1.1.1"><apply id="S5.Ex54.m1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex54.m1.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex54.m1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex54.m1.1.1.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex54.m1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex54.m1.1.1.2.1.1.2">𝐿</ci><cn id="S5.Ex54.m1.1.1.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex54.m1.1.1.2.1.1.3">3</cn></apply><apply id="S5.Ex54.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex54.m1.1.1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex54.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex54.m1.1.1.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex54.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex54.m1.1.1.2.2.1.2">𝐿</ci><cn id="S5.Ex54.m1.1.1.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex54.m1.1.1.2.2.1.3">4</cn></apply></matrixrow></matrix></apply></apply><apply id="S5.Ex54.m1.3.3.1.1c.cmml" xref="S5.Ex54.m1.3.3.1"><eq id="S5.Ex54.m1.3.3.1.1.5.cmml" xref="S5.Ex54.m1.3.3.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#S5.Ex54.m1.3.3.1.1.4.cmml" id="S5.Ex54.m1.3.3.1.1d.cmml" xref="S5.Ex54.m1.3.3.1"></share><apply id="S5.Ex54.m1.3.3.1.1.6.1.cmml" xref="S5.Ex54.m1.3.3.1.1.6.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex54.m1.3.3.1.1.6.1.1.cmml" xref="S5.Ex54.m1.3.3.1.1.6.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S5.Ex54.m1.2.2.cmml" xref="S5.Ex54.m1.2.2"><matrixrow id="S5.Ex54.m1.2.2a.cmml" xref="S5.Ex54.m1.2.2"><apply id="S5.Ex54.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex54.m1.2.2.1.1.1"><times id="S5.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1"></times><apply id="S5.Ex54.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex54.m1.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex54.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex54.m1.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex54.m1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex54.m1.2.2.1.1.1.2.2">𝐿</ci><cn id="S5.Ex54.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex54.m1.2.2.1.1.1.2.3">11</cn></apply><apply id="S5.Ex54.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex54.m1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex54.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex54.m1.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex54.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex54.m1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex54.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex54.m1.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex54.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex54.m1.2.2.1.1.1.3.2.2">𝐿</ci><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex54.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex54.m1.2.2.1.1.1.3.2.3">similar-to</csymbol></apply><cn id="S5.Ex54.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex54.m1.2.2.1.1.1.3.3">12</cn></apply></apply><cn id="S5.Ex54.m1.2.2.1.2.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex54.m1.2.2.1.2.1">0</cn></matrixrow><matrixrow id="S5.Ex54.m1.2.2b.cmml" xref="S5.Ex54.m1.2.2"><apply id="S5.Ex54.m1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex54.m1.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex54.m1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex54.m1.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex54.m1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex54.m1.2.2.2.1.1.2">𝐿</ci><cn id="S5.Ex54.m1.2.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex54.m1.2.2.2.1.1.3">3</cn></apply><apply id="S5.Ex54.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex54.m1.2.2.2.2.1"><times id="S5.Ex54.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex54.m1.2.2.2.2.1.1"></times><apply id="S5.Ex54.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex54.m1.2.2.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex54.m1.2.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex54.m1.2.2.2.2.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex54.m1.2.2.2.2.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex54.m1.2.2.2.2.1.2.2">𝐿</ci><cn id="S5.Ex54.m1.2.2.2.2.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex54.m1.2.2.2.2.1.2.3">21</cn></apply><apply id="S5.Ex54.m1.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S5.Ex54.m1.2.2.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex54.m1.2.2.2.2.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex54.m1.2.2.2.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex54.m1.2.2.2.2.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex54.m1.2.2.2.2.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S5.Ex54.m1.2.2.2.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex54.m1.2.2.2.2.1.3.3">22</cn></apply></apply></matrixrow></matrix></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex54.m1.3c">L=\left[\begin{array}[]{cc}L_{1}&0\\ L_{3}&L_{4}\end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{cc}L_{11}L^{\sim}_{12}&0\\ L_{3}&L_{21}L_{22}\end{array}\right],</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex54.m1.3d">italic_L = [ start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_L start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_L start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_L start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARRAY ] = [ start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_L start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT ∼ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_L start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_L start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARRAY ] ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex55"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\ \ U=\left[\begin{array}[]{cc}U_{1}&U_{2}\\ 0&U_{4}\end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{cc}U_{21}U_{11}&U_{2}\\ 0&U_{22}U^{\sim}_{12}\end{array}\right]," class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex55.m1.3"><semantics id="S5.Ex55.m1.3a"><mrow id="S5.Ex55.m1.3.3.1" xref="S5.Ex55.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex55.m1.3.3.1.1" xref="S5.Ex55.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex55.m1.3.3.1.1.2" xref="S5.Ex55.m1.3.3.1.1.2.cmml">U</mi><mo id="S5.Ex55.m1.3.3.1.1.3" xref="S5.Ex55.m1.3.3.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex55.m1.3.3.1.1.4.2" xref="S5.Ex55.m1.3.3.1.1.4.1.cmml"><mo id="S5.Ex55.m1.3.3.1.1.4.2.1" xref="S5.Ex55.m1.3.3.1.1.4.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S5.Ex55.m1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S5.Ex55.m1.1.1.cmml"><mtr id="S5.Ex55.m1.1.1a" xref="S5.Ex55.m1.1.1.cmml"><mtd id="S5.Ex55.m1.1.1b" xref="S5.Ex55.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex55.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex55.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex55.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex55.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">U</mi><mn 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id="S5.Ex55.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex55.m1.1.1"><matrixrow id="S5.Ex55.m1.1.1a.cmml" xref="S5.Ex55.m1.1.1"><apply id="S5.Ex55.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex55.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex55.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex55.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex55.m1.1.1.1.1.1.2">𝑈</ci><cn id="S5.Ex55.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex55.m1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex55.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex55.m1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex55.m1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex55.m1.1.1.1.2.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex55.m1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex55.m1.1.1.1.2.1.2">𝑈</ci><cn id="S5.Ex55.m1.1.1.1.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex55.m1.1.1.1.2.1.3">2</cn></apply></matrixrow><matrixrow id="S5.Ex55.m1.1.1b.cmml" xref="S5.Ex55.m1.1.1"><cn id="S5.Ex55.m1.1.1.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex55.m1.1.1.2.1.1">0</cn><apply id="S5.Ex55.m1.1.1.2.2.1.cmml" 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end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL italic_U start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARRAY ] = [ start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_U start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_U start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL italic_U start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUPERSCRIPT ∼ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARRAY ] ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right"><math class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex55.1.1.m1.1"><semantics id="S5.Ex55.1.1.m1.1b"><mrow id="S5.Ex55.1.1.m1.1.2.2"><mo id="S5.Ex55.1.1.m1.1.2.2.1" 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xref="S5.Ex56.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex56.m1.1.1.2" xref="S5.Ex56.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex56.m1.1.1.2.2" xref="S5.Ex56.m1.1.1.2.2.cmml">U</mi><mn id="S5.Ex56.m1.1.1.2.3" xref="S5.Ex56.m1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.Ex56.m1.1.1.3" xref="S5.Ex56.m1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex56.m1.1.1.4" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.cmml"><mrow id="S5.Ex56.m1.1.1.4.2" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.2" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.2.cmml"><mn id="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.2.2" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.2.2.cmml">1</mn><msub id="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.2.3" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.2.3.2" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.2.3.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.2.3.3" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.2.3.3.cmml">k</mi></msub></mfrac><mo id="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.1" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.3" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.3.2" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.3.2.cmml">U</mi><mn id="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.3.3" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.3.3.cmml">21</mn></msub><mo id="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.1a" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.4" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.4.cmml"><mi id="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.4.2.2" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.4.2.2.cmml">S</mi><mn id="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.4.3" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.4.3.cmml">11</mn><mo id="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.4.2.3" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.4.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.1b" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.5" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.5.cmml"><mi id="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.5.2.2" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.5.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.5.3" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.5.3.cmml">12</mn><mo id="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.5.2.3" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.5.2.3.cmml">′</mo></msubsup></mrow><mo id="S5.Ex56.m1.1.1.4.1" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.cmml"><msup id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.2" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.2.2" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.2.2.cmml">α</mi><mrow id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.2.3" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.2.3a" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.2.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.2.3.2" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.1" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.3" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.3.2.2" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.3.2.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.3.2.3" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.3.2.3.cmml">k</mi><mrow id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.3.3" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.3.3.cmml"><mo id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.3.3a" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.3.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.3.3.2" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.1a" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.4" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.4.cmml"><mi id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.4.2.2" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.4.2.2.cmml">S</mi><mn id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.4.3" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.4.3.cmml">21</mn><mo id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.4.2.3" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.4.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.1b" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.5" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.5.cmml"><mi id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.5.2.2" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.5.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.5.3" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.5.3.cmml">22</mn><mo id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.5.2.3" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.5.2.3.cmml">′′</mo></msubsup><mo id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.1c" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.6" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.6.cmml"><mi id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.6.2.2" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.6.2.2.cmml">U</mi><mn id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.6.3" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.6.3.cmml">12</mn><mo id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.6.2.3" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.6.2.3.cmml">∼</mo></msubsup></mrow></mrow><mo id="S5.Ex56.m1.1.1.5" xref="S5.Ex56.m1.1.1.5.cmml">=</mo><mi id="S5.Ex56.m1.1.1.6" xref="S5.Ex56.m1.1.1.6.cmml"></mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex56.m1.1b"><apply id="S5.Ex56.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1"><and id="S5.Ex56.m1.1.1a.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1"></and><apply id="S5.Ex56.m1.1.1b.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1"><eq id="S5.Ex56.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1.3"></eq><apply id="S5.Ex56.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex56.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex56.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1.2.2">𝑈</ci><cn id="S5.Ex56.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex56.m1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.Ex56.m1.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4"><plus id="S5.Ex56.m1.1.1.4.1.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.1"></plus><apply id="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.2"><times 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id="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.4.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.4.1.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.4">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.4.2.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.4.2.1.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.4">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.4.2.2">𝑆</ci><plus id="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.4.2.3.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.4.2.3"></plus></apply><cn id="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.4.3">11</cn></apply><apply id="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.5.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.5.1.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.5">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.5.2.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.5.2.1.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.5">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.5.2.2.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.5.2.2">𝐴</ci><ci id="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.5.2.3.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.5.2.3">′</ci></apply><cn id="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.5.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.2.5.3">12</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3"><times id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.1"></times><apply id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.2.2">𝛼</ci><apply id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.2.3"><minus id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.2.3"></minus><cn id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.2.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.3.1.cmml" 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id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.4.2.2">𝑆</ci><plus id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.4.2.3.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.4.2.3"></plus></apply><cn id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.4.3">21</cn></apply><apply id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.5.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.5.1.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.5">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.5.2.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.5.2.1.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.5">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.5.2.2.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.5.2.2">𝐴</ci><ci id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.5.2.3.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.5.2.3">′′</ci></apply><cn id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.5.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.5.3">22</cn></apply><apply id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.6.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.6.1.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.6">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.6.2.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.6.2.1.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.6">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.6.2.2.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.6.2.2">𝑈</ci><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.6.2.3.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.6.2.3">similar-to</csymbol></apply><cn id="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.6.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex56.m1.1.1.4.3.6.3">12</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex56.m1.1.1c.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1"><eq id="S5.Ex56.m1.1.1.5.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#S5.Ex56.m1.1.1.4.cmml" id="S5.Ex56.m1.1.1d.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1"></share><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex56.m1.1.1.6.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1.6">absent</csymbol></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex56.m1.1c">U_{2}=\frac{1}{\alpha_{k}}U_{21}S^{+}_{11}A^{\prime}_{12}+\alpha^{-1}\alpha_{k% }^{-1}S^{+}_{21}A^{\prime\prime}_{22}U^{\sim}_{12}=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex56.m1.1d">italic_U start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_U start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_S start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT + italic_α start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_S start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUPERSCRIPT ∼ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT =</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex57"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="=\alpha_{k}^{-1}J_{11}M_{11}A_{12}+\alpha^{-1}\alpha_{l}^{-1}J_{21}M_{21}A^{% \prime}_{22}," class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex57.m1.1"><semantics id="S5.Ex57.m1.1a"><mrow id="S5.Ex57.m1.1.1.1" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><msubsup id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml">k</mi><mrow id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.2.2.3a" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">J</mi><mn id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.2.1a" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.2.4" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.2.4.cmml"><mi id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.2.4.2" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.2.4.2.cmml">M</mi><mn id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.2.4.3" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.2.4.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.2.1b" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.2.5" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.2.5.cmml"><mi id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.2.5.2" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.2.5.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.2.5.3" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.2.5.3.cmml">12</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><msup id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">α</mi><mrow id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.2.3a" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml">l</mi><mrow id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml"><mo id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.3.3a" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.1a" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.4" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.4.cmml"><mi id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.4.2" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.cmml">J</mi><mn id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.4.3" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.cmml">21</mn></msub><mo id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.1b" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.5" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.5.cmml"><mi id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.5.2" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.5.2.cmml">M</mi><mn id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.5.3" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.5.3.cmml">21</mn></msub><mo id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.1c" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.6" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.6.cmml"><mi id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.6.2.2" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.6.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.6.3" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.6.3.cmml">22</mn><mo id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.6.2.3" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.6.2.3.cmml">′</mo></msubsup></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex57.m1.1.1.1.2" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex57.m1.1b"><apply id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1"><eq id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.1"></eq><csymbol 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id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.2.5.cmml" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.2.5.1.cmml" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.2.5">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.2.5.2.cmml" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.2.5.2">𝐴</ci><cn id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.2.5.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.2.5.3">12</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3"><times id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.1"></times><apply id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝛼</ci><apply id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.2.3"><minus id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.2.3"></minus><cn id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2">𝛼</ci><ci id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3">𝑙</ci></apply><apply id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.3.3"><minus id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.3.3"></minus><cn id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.4.cmml" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.4.1.cmml" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.4">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.cmml" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.4.2">𝐽</ci><cn id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.4.3">21</cn></apply><apply id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.5.cmml" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.5.1.cmml" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.5">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.5.2.cmml" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.5.2">𝑀</ci><cn id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.5.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.5.3">21</cn></apply><apply id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.6.cmml" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.6.1.cmml" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.6">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.6.2.cmml" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.6.2.1.cmml" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.6">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.6.2.2.cmml" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.6.2.2">𝐴</ci><ci id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.6.2.3.cmml" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.6.2.3">′</ci></apply><cn id="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.6.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex57.m1.1.1.1.1.3.3.6.3">22</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex57.m1.1c">=\alpha_{k}^{-1}J_{11}M_{11}A_{12}+\alpha^{-1}\alpha_{l}^{-1}J_{21}M_{21}A^{% \prime}_{22},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex57.m1.1d">= italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_J start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT italic_A start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT + italic_α start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_J start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right"><math class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex57.1.1.m1.1"><semantics id="S5.Ex57.1.1.m1.1b"><mrow id="S5.Ex57.1.1.m1.1.2.2"><mo id="S5.Ex57.1.1.m1.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S5.Ex57.1.1.m1.1.1" xref="S5.Ex57.1.1.m1.1.1.cmml">20</mn><mo id="S5.Ex57.1.1.m1.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex57.1.1.m1.1c"><cn id="S5.Ex57.1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex57.1.1.m1.1.1">20</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex57.1.1.m1.1d">( 20 )</annotation></semantics></math></span></td> </tr></tbody> </table> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex58"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="L_{3}=\alpha_{k}^{-1}A^{\prime}_{21}S^{+}_{11}L^{\sim}_{12}+{\alpha^{-1}\alpha% _{k}^{-1}}L_{21}\bar{\mathbf{I}}_{21}A^{\prime\prime}_{22}S^{\sim+}_{12}=" class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex58.m1.1"><semantics id="S5.Ex58.m1.1a"><mrow id="S5.Ex58.m1.1.1" xref="S5.Ex58.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex58.m1.1.1.2" xref="S5.Ex58.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex58.m1.1.1.2.2" xref="S5.Ex58.m1.1.1.2.2.cmml">L</mi><mn id="S5.Ex58.m1.1.1.2.3" xref="S5.Ex58.m1.1.1.2.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S5.Ex58.m1.1.1.3" xref="S5.Ex58.m1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex58.m1.1.1.4" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.cmml"><mrow id="S5.Ex58.m1.1.1.4.2" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.2.cmml"><msubsup id="S5.Ex58.m1.1.1.4.2.2" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex58.m1.1.1.4.2.2.2.2" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.2.2.2.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex58.m1.1.1.4.2.2.2.3" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.2.2.2.3.cmml">k</mi><mrow id="S5.Ex58.m1.1.1.4.2.2.3" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.2.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex58.m1.1.1.4.2.2.3a" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.2.2.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex58.m1.1.1.4.2.2.3.2" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.2.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="S5.Ex58.m1.1.1.4.2.1" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex58.m1.1.1.4.2.3" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex58.m1.1.1.4.2.3.2.2" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.2.3.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex58.m1.1.1.4.2.3.3" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.2.3.3.cmml">21</mn><mo id="S5.Ex58.m1.1.1.4.2.3.2.3" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.2.3.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S5.Ex58.m1.1.1.4.2.1a" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex58.m1.1.1.4.2.4" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.2.4.cmml"><mi id="S5.Ex58.m1.1.1.4.2.4.2.2" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.2.4.2.2.cmml">S</mi><mn id="S5.Ex58.m1.1.1.4.2.4.3" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.2.4.3.cmml">11</mn><mo id="S5.Ex58.m1.1.1.4.2.4.2.3" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.2.4.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S5.Ex58.m1.1.1.4.2.1b" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex58.m1.1.1.4.2.5" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.2.5.cmml"><mi id="S5.Ex58.m1.1.1.4.2.5.2.2" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.2.5.2.2.cmml">L</mi><mn id="S5.Ex58.m1.1.1.4.2.5.3" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.2.5.3.cmml">12</mn><mo id="S5.Ex58.m1.1.1.4.2.5.2.3" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.2.5.2.3.cmml">∼</mo></msubsup></mrow><mo id="S5.Ex58.m1.1.1.4.1" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex58.m1.1.1.4.3" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.cmml"><msup id="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.2" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.2.2" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.2.2.cmml">α</mi><mrow id="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.2.3" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.2.3a" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.2.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.2.3.2" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.1" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.3" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.3.2.2" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.3.2.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.3.2.3" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.3.2.3.cmml">k</mi><mrow id="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.3.3" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.3.3.cmml"><mo id="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.3.3a" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.3.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.3.3.2" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.1a" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.4" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.4.cmml"><mi id="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.4.2" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.4.2.cmml">L</mi><mn id="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.4.3" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.4.3.cmml">21</mn></msub><mo id="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.1b" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.5" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.5.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.5.2" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.5.2.cmml"><mi id="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.5.2.2" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.5.2.2.cmml">𝐈</mi><mo id="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.5.2.1" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.5.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.5.3" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.5.3.cmml">21</mn></msub><mo id="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.1c" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.6" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.6.cmml"><mi id="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.6.2.2" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.6.2.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.6.3" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.6.3.cmml">22</mn><mo id="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.6.2.3" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.6.2.3.cmml">′′</mo></msubsup><mo id="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.1d" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.7" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.7.cmml"><mi id="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.7.2.2" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.7.2.2.cmml">S</mi><mn id="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.7.3" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.7.3.cmml">12</mn><mrow id="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.7.2.3" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.7.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.7.2.3.2" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.7.2.3.2.cmml"></mi><mo id="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.7.2.3.1" rspace="0em" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.7.2.3.1.cmml">∼</mo><mo id="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.7.2.3.3" lspace="0em" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.7.2.3.3.cmml">+</mo></mrow></msubsup></mrow></mrow><mo id="S5.Ex58.m1.1.1.5" xref="S5.Ex58.m1.1.1.5.cmml">=</mo><mi id="S5.Ex58.m1.1.1.6" xref="S5.Ex58.m1.1.1.6.cmml"></mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex58.m1.1b"><apply id="S5.Ex58.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex58.m1.1.1"><and id="S5.Ex58.m1.1.1a.cmml" xref="S5.Ex58.m1.1.1"></and><apply id="S5.Ex58.m1.1.1b.cmml" xref="S5.Ex58.m1.1.1"><eq id="S5.Ex58.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex58.m1.1.1.3"></eq><apply id="S5.Ex58.m1.1.1.2.cmml" 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id="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.6.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.6.3">22</cn></apply><apply id="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.7.cmml" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.7.1.cmml" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.7">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.7.2.cmml" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.7.2.1.cmml" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.7">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.7.2.2.cmml" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.7.2.2">𝑆</ci><apply id="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.7.2.3.cmml" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.7.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.7.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.7.2.3.1">similar-to</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.7.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.7.2.3.2">absent</csymbol><plus id="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.7.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.7.2.3.3"></plus></apply></apply><cn id="S5.Ex58.m1.1.1.4.3.7.3.cmml" type="integer" 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start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT ∼ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT + italic_α start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT over¯ start_ARG bold_I end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT italic_S start_POSTSUPERSCRIPT ∼ + end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT =</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex59"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="=\alpha_{k}^{-1}A_{21}W_{11}I_{11}+(\alpha\alpha_{m}\alpha_{k})^{-1}\bar{S}_{2% 1}M_{21}A^{\prime}_{22}W_{12}I_{12}," class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex59.m1.1"><semantics id="S5.Ex59.m1.1a"><mrow id="S5.Ex59.m1.1.1.1" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">k</mi><mrow id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.2.3a" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">A</mi><mn id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">21</mn></msub><mo id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml">W</mi><mn id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.1b" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.5" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.5.cmml"><mi id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.5.2" 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id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.4.2">𝑊</ci><cn id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.4.3">11</cn></apply><apply id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.5.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.5.1.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.5">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.5.2.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.5.2">𝐼</ci><cn id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.5.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.5.3">11</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝛼</ci><apply id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝛼</ci><ci id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑚</ci></apply><apply id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝛼</ci><ci id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1">¯</ci><ci id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">21</cn></apply><apply id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑀</ci><cn id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.4.3">21</cn></apply><apply id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.1.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.5">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.2.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.2">𝐴</ci><ci id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.3.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.3">′</ci></apply><cn id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.5.3">22</cn></apply><apply id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.6">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.6.2">𝑊</ci><cn id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.6.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.6.3">12</cn></apply><apply id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.7.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.7.1.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.7">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.7.2.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.7.2">𝐼</ci><cn id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.7.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.7.3">12</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex59.m1.1c">=\alpha_{k}^{-1}A_{21}W_{11}I_{11}+(\alpha\alpha_{m}\alpha_{k})^{-1}\bar{S}_{2% 1}M_{21}A^{\prime}_{22}W_{12}I_{12},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex59.m1.1d">= italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_A start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT italic_I start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT + ( italic_α italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT over¯ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT italic_I start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right"><math class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex59.1.1.m1.1"><semantics id="S5.Ex59.1.1.m1.1b"><mrow id="S5.Ex59.1.1.m1.1.2.2"><mo id="S5.Ex59.1.1.m1.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S5.Ex59.1.1.m1.1.1" xref="S5.Ex59.1.1.m1.1.1.cmml">21</mn><mo id="S5.Ex59.1.1.m1.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex59.1.1.m1.1c"><cn id="S5.Ex59.1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex59.1.1.m1.1.1">21</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex59.1.1.m1.1d">( 21 )</annotation></semantics></math></span></td> </tr></tbody> </table> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex60"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="{\widehat{S}}=\alpha_{r}^{-1}(\alpha S+\bar{S})," class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex60.m1.1"><semantics id="S5.Ex60.m1.1a"><mrow id="S5.Ex60.m1.1.1.1" xref="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex60.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">S</mi><mo id="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">r</mi><mrow id="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3.3a" xref="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">α</mi><mo id="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">S</mi></mrow><mo id="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mover accent="true" id="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">S</mi><mo id="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><mo id="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex60.m1.1.1.1.2" xref="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex60.m1.1b"><apply id="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex60.m1.1.1.1"><eq id="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.3"><ci id="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.3.1">^</ci><ci id="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.3.2">𝑆</ci></apply><apply id="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1"><times id="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝛼</ci><ci id="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑟</ci></apply><apply id="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3.3"><minus id="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3.3"></minus><cn id="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝛼</ci><ci id="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑆</ci></apply><apply id="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><ci id="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1">¯</ci><ci id="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑆</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex60.m1.1c">{\widehat{S}}=\alpha_{r}^{-1}(\alpha S+\bar{S}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex60.m1.1d">over^ start_ARG italic_S end_ARG = italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_α italic_S + over¯ start_ARG italic_S end_ARG ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right"><math class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex60.1.1.m1.1"><semantics id="S5.Ex60.1.1.m1.1b"><mrow id="S5.Ex60.1.1.m1.1.2.2"><mo id="S5.Ex60.1.1.m1.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S5.Ex60.1.1.m1.1.1" xref="S5.Ex60.1.1.m1.1.1.cmml">22</mn><mo id="S5.Ex60.1.1.m1.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex60.1.1.m1.1c"><cn id="S5.Ex60.1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex60.1.1.m1.1.1">22</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex60.1.1.m1.1d">( 22 )</annotation></semantics></math></span></td> </tr></tbody> </table> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex61"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="M={\widehat{S}}^{-1}\left[\begin{array}[]{cc}L_{1}^{-1}&0\\ -L_{4}^{-1}L_{3}L_{1}^{-1}&L_{4}^{-1}\end{array}\right]," class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex61.m1.2"><semantics id="S5.Ex61.m1.2a"><mrow id="S5.Ex61.m1.2.2.1" xref="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex61.m1.2.2.1.1" xref="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.2.cmml">M</mi><mo id="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.1" xref="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.3" xref="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.3.cmml"><msup id="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.3.2.2.2" xref="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.3.2.2.1" xref="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.3.2.3a" xref="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.3.2.3.2" xref="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.3.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.3.1" xref="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.3.3.2.1" xref="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S5.Ex61.m1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S5.Ex61.m1.1.1.cmml"><mtr id="S5.Ex61.m1.1.1a" xref="S5.Ex61.m1.1.1.cmml"><mtd id="S5.Ex61.m1.1.1b" xref="S5.Ex61.m1.1.1.cmml"><msubsup id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">L</mi><mn id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn><mrow id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.3a" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup></mtd><mtd id="S5.Ex61.m1.1.1c" xref="S5.Ex61.m1.1.1.cmml"><mn id="S5.Ex61.m1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.2.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="S5.Ex61.m1.1.1d" xref="S5.Ex61.m1.1.1.cmml"><mtd id="S5.Ex61.m1.1.1e" xref="S5.Ex61.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex61.m1.1.1.2.1.1" xref="S5.Ex61.m1.1.1.2.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex61.m1.1.1.2.1.1a" xref="S5.Ex61.m1.1.1.2.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex61.m1.1.1.2.1.1.2" xref="S5.Ex61.m1.1.1.2.1.1.2.cmml"><msubsup id="S5.Ex61.m1.1.1.2.1.1.2.2" xref="S5.Ex61.m1.1.1.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex61.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.2" xref="S5.Ex61.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.2.cmml">L</mi><mn id="S5.Ex61.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.3" xref="S5.Ex61.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.3.cmml">4</mn><mrow id="S5.Ex61.m1.1.1.2.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex61.m1.1.1.2.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex61.m1.1.1.2.1.1.2.2.3a" xref="S5.Ex61.m1.1.1.2.1.1.2.2.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex61.m1.1.1.2.1.1.2.2.3.2" xref="S5.Ex61.m1.1.1.2.1.1.2.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="S5.Ex61.m1.1.1.2.1.1.2.1" xref="S5.Ex61.m1.1.1.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex61.m1.1.1.2.1.1.2.3" xref="S5.Ex61.m1.1.1.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex61.m1.1.1.2.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex61.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.cmml">L</mi><mn id="S5.Ex61.m1.1.1.2.1.1.2.3.3" xref="S5.Ex61.m1.1.1.2.1.1.2.3.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S5.Ex61.m1.1.1.2.1.1.2.1a" xref="S5.Ex61.m1.1.1.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex61.m1.1.1.2.1.1.2.4" xref="S5.Ex61.m1.1.1.2.1.1.2.4.cmml"><mi id="S5.Ex61.m1.1.1.2.1.1.2.4.2.2" xref="S5.Ex61.m1.1.1.2.1.1.2.4.2.2.cmml">L</mi><mn id="S5.Ex61.m1.1.1.2.1.1.2.4.2.3" xref="S5.Ex61.m1.1.1.2.1.1.2.4.2.3.cmml">1</mn><mrow id="S5.Ex61.m1.1.1.2.1.1.2.4.3" xref="S5.Ex61.m1.1.1.2.1.1.2.4.3.cmml"><mo id="S5.Ex61.m1.1.1.2.1.1.2.4.3a" xref="S5.Ex61.m1.1.1.2.1.1.2.4.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex61.m1.1.1.2.1.1.2.4.3.2" xref="S5.Ex61.m1.1.1.2.1.1.2.4.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup></mrow></mrow></mtd><mtd id="S5.Ex61.m1.1.1f" xref="S5.Ex61.m1.1.1.cmml"><msubsup id="S5.Ex61.m1.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex61.m1.1.1.2.2.1.cmml"><mi id="S5.Ex61.m1.1.1.2.2.1.2.2" xref="S5.Ex61.m1.1.1.2.2.1.2.2.cmml">L</mi><mn id="S5.Ex61.m1.1.1.2.2.1.2.3" xref="S5.Ex61.m1.1.1.2.2.1.2.3.cmml">4</mn><mrow id="S5.Ex61.m1.1.1.2.2.1.3" xref="S5.Ex61.m1.1.1.2.2.1.3.cmml"><mo id="S5.Ex61.m1.1.1.2.2.1.3a" xref="S5.Ex61.m1.1.1.2.2.1.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex61.m1.1.1.2.2.1.3.2" xref="S5.Ex61.m1.1.1.2.2.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.3.3.2.2" xref="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex61.m1.2.2.1.2" xref="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex61.m1.2b"><apply id="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex61.m1.2.2.1"><eq id="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.1"></eq><ci id="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.2">𝑀</ci><apply id="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.3"><times id="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.3.1"></times><apply id="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.3.2.2"><ci id="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.3.2.2.1">^</ci><ci id="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.3.2.2.2">𝑆</ci></apply><apply id="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.3.2.3"><minus id="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.3.2.3"></minus><cn id="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.3.2.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.3.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S5.Ex61.m1.2.2.1.1.3.3.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S5.Ex61.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1"><matrixrow id="S5.Ex61.m1.1.1a.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1"><apply id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.2.2">𝐿</ci><cn id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.3"><minus id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply><cn id="S5.Ex61.m1.1.1.1.2.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.2.1">0</cn></matrixrow><matrixrow id="S5.Ex61.m1.1.1b.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1"><apply 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id="S5.Ex62.m1.1.1.1.2.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex62.m1.1.1.1.2.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex62.m1.1.1.1.2.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex62.m1.1.1.1.2.1.2.3.2">𝑈</ci><cn id="S5.Ex62.m1.1.1.1.2.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex62.m1.1.1.1.2.1.2.3.3">2</cn></apply><apply id="S5.Ex62.m1.1.1.1.2.1.2.4.cmml" xref="S5.Ex62.m1.1.1.1.2.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex62.m1.1.1.1.2.1.2.4.1.cmml" xref="S5.Ex62.m1.1.1.1.2.1.2.4">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex62.m1.1.1.1.2.1.2.4.2.cmml" xref="S5.Ex62.m1.1.1.1.2.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex62.m1.1.1.1.2.1.2.4.2.1.cmml" xref="S5.Ex62.m1.1.1.1.2.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex62.m1.1.1.1.2.1.2.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex62.m1.1.1.1.2.1.2.4.2.2">𝑈</ci><cn id="S5.Ex62.m1.1.1.1.2.1.2.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex62.m1.1.1.1.2.1.2.4.2.3">4</cn></apply><apply id="S5.Ex62.m1.1.1.1.2.1.2.4.3.cmml" xref="S5.Ex62.m1.1.1.1.2.1.2.4.3"><minus id="S5.Ex62.m1.1.1.1.2.1.2.4.3.1.cmml" xref="S5.Ex62.m1.1.1.1.2.1.2.4.3"></minus><cn id="S5.Ex62.m1.1.1.1.2.1.2.4.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex62.m1.1.1.1.2.1.2.4.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S5.Ex62.m1.1.1b.cmml" xref="S5.Ex62.m1.1.1"><cn id="S5.Ex62.m1.1.1.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex62.m1.1.1.2.1.1">0</cn><apply id="S5.Ex62.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex62.m1.1.1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex62.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex62.m1.1.1.2.2.1">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex62.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex62.m1.1.1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex62.m1.1.1.2.2.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex62.m1.1.1.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex62.m1.1.1.2.2.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex62.m1.1.1.2.2.1.2.2">𝑈</ci><cn id="S5.Ex62.m1.1.1.2.2.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex62.m1.1.1.2.2.1.2.3">4</cn></apply><apply id="S5.Ex62.m1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="S5.Ex62.m1.1.1.2.2.1.3"><minus id="S5.Ex62.m1.1.1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex62.m1.1.1.2.2.1.3"></minus><cn id="S5.Ex62.m1.1.1.2.2.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex62.m1.1.1.2.2.1.3.2">1</cn></apply></apply></matrixrow></matrix></apply><apply id="S5.Ex62.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex62.m1.2.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex62.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex62.m1.2.2.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex62.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex62.m1.2.2.1.1.3.3.2"><ci id="S5.Ex62.m1.2.2.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex62.m1.2.2.1.1.3.3.2.1">^</ci><ci id="S5.Ex62.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex62.m1.2.2.1.1.3.3.2.2">𝑆</ci></apply><apply id="S5.Ex62.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex62.m1.2.2.1.1.3.3.3"><minus id="S5.Ex62.m1.2.2.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex62.m1.2.2.1.1.3.3.3"></minus><cn id="S5.Ex62.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex62.m1.2.2.1.1.3.3.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex62.m1.2c">\ W=\left[\begin{array}[]{cc}U_{1}^{-1}&-U_{1}^{-1}U_{2}U_{4}^{-1}\\ 0&U_{4}^{-1}\end{array}\right]{\widehat{S}}^{-1}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex62.m1.2d">italic_W = [ start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_U start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL - italic_U start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_U start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL italic_U start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARRAY ] over^ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p18"> <p class="ltx_p" id="S5.p18.4">We can use expressions <math alttext="L_{ij}^{-1}=\widehat{S}_{ij}M_{ij}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p18.1.m1.1"><semantics id="S5.p18.1.m1.1a"><mrow id="S5.p18.1.m1.1.1" xref="S5.p18.1.m1.1.1.cmml"><msubsup id="S5.p18.1.m1.1.1.2" xref="S5.p18.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p18.1.m1.1.1.2.2.2" xref="S5.p18.1.m1.1.1.2.2.2.cmml">L</mi><mrow id="S5.p18.1.m1.1.1.2.2.3" xref="S5.p18.1.m1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S5.p18.1.m1.1.1.2.2.3.2" xref="S5.p18.1.m1.1.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S5.p18.1.m1.1.1.2.2.3.1" xref="S5.p18.1.m1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p18.1.m1.1.1.2.2.3.3" xref="S5.p18.1.m1.1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow><mrow id="S5.p18.1.m1.1.1.2.3" xref="S5.p18.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S5.p18.1.m1.1.1.2.3a" xref="S5.p18.1.m1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S5.p18.1.m1.1.1.2.3.2" xref="S5.p18.1.m1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="S5.p18.1.m1.1.1.1" xref="S5.p18.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.p18.1.m1.1.1.3" xref="S5.p18.1.m1.1.1.3.cmml"><msub id="S5.p18.1.m1.1.1.3.2" xref="S5.p18.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S5.p18.1.m1.1.1.3.2.2" xref="S5.p18.1.m1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S5.p18.1.m1.1.1.3.2.2.2" xref="S5.p18.1.m1.1.1.3.2.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.p18.1.m1.1.1.3.2.2.1" xref="S5.p18.1.m1.1.1.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S5.p18.1.m1.1.1.3.2.3" xref="S5.p18.1.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S5.p18.1.m1.1.1.3.2.3.2" xref="S5.p18.1.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S5.p18.1.m1.1.1.3.2.3.1" xref="S5.p18.1.m1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p18.1.m1.1.1.3.2.3.3" xref="S5.p18.1.m1.1.1.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S5.p18.1.m1.1.1.3.1" xref="S5.p18.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p18.1.m1.1.1.3.3" xref="S5.p18.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.p18.1.m1.1.1.3.3.2" xref="S5.p18.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">M</mi><mrow id="S5.p18.1.m1.1.1.3.3.3" xref="S5.p18.1.m1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S5.p18.1.m1.1.1.3.3.3.2" xref="S5.p18.1.m1.1.1.3.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S5.p18.1.m1.1.1.3.3.3.1" xref="S5.p18.1.m1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p18.1.m1.1.1.3.3.3.3" xref="S5.p18.1.m1.1.1.3.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p18.1.m1.1b"><apply id="S5.p18.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p18.1.m1.1.1"><eq id="S5.p18.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.p18.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="S5.p18.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p18.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p18.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p18.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S5.p18.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p18.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p18.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.p18.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p18.1.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.p18.1.m1.1.1.2.2.2">𝐿</ci><apply id="S5.p18.1.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.p18.1.m1.1.1.2.2.3"><times id="S5.p18.1.m1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.p18.1.m1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S5.p18.1.m1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S5.p18.1.m1.1.1.2.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S5.p18.1.m1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S5.p18.1.m1.1.1.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S5.p18.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p18.1.m1.1.1.2.3"><minus id="S5.p18.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.p18.1.m1.1.1.2.3"></minus><cn id="S5.p18.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.p18.1.m1.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S5.p18.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.p18.1.m1.1.1.3"><times id="S5.p18.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p18.1.m1.1.1.3.1"></times><apply id="S5.p18.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p18.1.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p18.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.p18.1.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S5.p18.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.p18.1.m1.1.1.3.2.2"><ci id="S5.p18.1.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.p18.1.m1.1.1.3.2.2.1">^</ci><ci id="S5.p18.1.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.p18.1.m1.1.1.3.2.2.2">𝑆</ci></apply><apply id="S5.p18.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.p18.1.m1.1.1.3.2.3"><times id="S5.p18.1.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.p18.1.m1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S5.p18.1.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S5.p18.1.m1.1.1.3.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S5.p18.1.m1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S5.p18.1.m1.1.1.3.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S5.p18.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p18.1.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p18.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.p18.1.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p18.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.p18.1.m1.1.1.3.3.2">𝑀</ci><apply id="S5.p18.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.p18.1.m1.1.1.3.3.3"><times id="S5.p18.1.m1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S5.p18.1.m1.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="S5.p18.1.m1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S5.p18.1.m1.1.1.3.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S5.p18.1.m1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S5.p18.1.m1.1.1.3.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p18.1.m1.1c">L_{ij}^{-1}=\widehat{S}_{ij}M_{ij}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p18.1.m1.1d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT = over^ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="U_{ij}^{-1}=W_{ij}\widehat{S}_{ij}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p18.2.m2.1"><semantics id="S5.p18.2.m2.1a"><mrow id="S5.p18.2.m2.1.1" xref="S5.p18.2.m2.1.1.cmml"><msubsup id="S5.p18.2.m2.1.1.2" xref="S5.p18.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p18.2.m2.1.1.2.2.2" xref="S5.p18.2.m2.1.1.2.2.2.cmml">U</mi><mrow id="S5.p18.2.m2.1.1.2.2.3" xref="S5.p18.2.m2.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S5.p18.2.m2.1.1.2.2.3.2" xref="S5.p18.2.m2.1.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S5.p18.2.m2.1.1.2.2.3.1" xref="S5.p18.2.m2.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p18.2.m2.1.1.2.2.3.3" xref="S5.p18.2.m2.1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow><mrow id="S5.p18.2.m2.1.1.2.3" xref="S5.p18.2.m2.1.1.2.3.cmml"><mo id="S5.p18.2.m2.1.1.2.3a" xref="S5.p18.2.m2.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S5.p18.2.m2.1.1.2.3.2" xref="S5.p18.2.m2.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="S5.p18.2.m2.1.1.1" xref="S5.p18.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.p18.2.m2.1.1.3" xref="S5.p18.2.m2.1.1.3.cmml"><msub id="S5.p18.2.m2.1.1.3.2" xref="S5.p18.2.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.p18.2.m2.1.1.3.2.2" xref="S5.p18.2.m2.1.1.3.2.2.cmml">W</mi><mrow id="S5.p18.2.m2.1.1.3.2.3" xref="S5.p18.2.m2.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S5.p18.2.m2.1.1.3.2.3.2" xref="S5.p18.2.m2.1.1.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S5.p18.2.m2.1.1.3.2.3.1" xref="S5.p18.2.m2.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p18.2.m2.1.1.3.2.3.3" xref="S5.p18.2.m2.1.1.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S5.p18.2.m2.1.1.3.1" xref="S5.p18.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p18.2.m2.1.1.3.3" xref="S5.p18.2.m2.1.1.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.p18.2.m2.1.1.3.3.2" xref="S5.p18.2.m2.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S5.p18.2.m2.1.1.3.3.2.2" xref="S5.p18.2.m2.1.1.3.3.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.p18.2.m2.1.1.3.3.2.1" xref="S5.p18.2.m2.1.1.3.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S5.p18.2.m2.1.1.3.3.3" xref="S5.p18.2.m2.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S5.p18.2.m2.1.1.3.3.3.2" xref="S5.p18.2.m2.1.1.3.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S5.p18.2.m2.1.1.3.3.3.1" xref="S5.p18.2.m2.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p18.2.m2.1.1.3.3.3.3" xref="S5.p18.2.m2.1.1.3.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p18.2.m2.1b"><apply id="S5.p18.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.p18.2.m2.1.1"><eq id="S5.p18.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.p18.2.m2.1.1.1"></eq><apply id="S5.p18.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.p18.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p18.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p18.2.m2.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S5.p18.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p18.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p18.2.m2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.p18.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p18.2.m2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.p18.2.m2.1.1.2.2.2">𝑈</ci><apply id="S5.p18.2.m2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.p18.2.m2.1.1.2.2.3"><times id="S5.p18.2.m2.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.p18.2.m2.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S5.p18.2.m2.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S5.p18.2.m2.1.1.2.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S5.p18.2.m2.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S5.p18.2.m2.1.1.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S5.p18.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p18.2.m2.1.1.2.3"><minus id="S5.p18.2.m2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.p18.2.m2.1.1.2.3"></minus><cn id="S5.p18.2.m2.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.p18.2.m2.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S5.p18.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.p18.2.m2.1.1.3"><times id="S5.p18.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p18.2.m2.1.1.3.1"></times><apply id="S5.p18.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p18.2.m2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p18.2.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.p18.2.m2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p18.2.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.p18.2.m2.1.1.3.2.2">𝑊</ci><apply id="S5.p18.2.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.p18.2.m2.1.1.3.2.3"><times id="S5.p18.2.m2.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.p18.2.m2.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S5.p18.2.m2.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S5.p18.2.m2.1.1.3.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S5.p18.2.m2.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S5.p18.2.m2.1.1.3.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S5.p18.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p18.2.m2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p18.2.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.p18.2.m2.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S5.p18.2.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.p18.2.m2.1.1.3.3.2"><ci id="S5.p18.2.m2.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.p18.2.m2.1.1.3.3.2.1">^</ci><ci id="S5.p18.2.m2.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.p18.2.m2.1.1.3.3.2.2">𝑆</ci></apply><apply id="S5.p18.2.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.p18.2.m2.1.1.3.3.3"><times id="S5.p18.2.m2.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S5.p18.2.m2.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="S5.p18.2.m2.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S5.p18.2.m2.1.1.3.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S5.p18.2.m2.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S5.p18.2.m2.1.1.3.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p18.2.m2.1c">U_{ij}^{-1}=W_{ij}\widehat{S}_{ij}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p18.2.m2.1d">italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT = italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> to simplify the calculation of matrices <math alttext="M" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p18.3.m3.1"><semantics id="S5.p18.3.m3.1a"><mi id="S5.p18.3.m3.1.1" xref="S5.p18.3.m3.1.1.cmml">M</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p18.3.m3.1b"><ci id="S5.p18.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.p18.3.m3.1.1">𝑀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p18.3.m3.1c">M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p18.3.m3.1d">italic_M</annotation></semantics></math> and <math alttext="W" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p18.4.m4.1"><semantics id="S5.p18.4.m4.1a"><mi id="S5.p18.4.m4.1.1" xref="S5.p18.4.m4.1.1.cmml">W</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p18.4.m4.1b"><ci id="S5.p18.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.p18.4.m4.1.1">𝑊</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p18.4.m4.1c">W</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p18.4.m4.1d">italic_W</annotation></semantics></math>. Let us denote</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex63"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="U_{2}^{\prime}=W_{11}\widehat{S}_{11}W_{21}\widehat{S}_{21}U_{2},\ \ L_{3}^{% \prime}=L_{3}I^{\lambda^{-1}}_{12}{\widehat{S}}_{12}M_{12}{\widehat{S}}_{11}M_% {11}," class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex63.m1.1"><semantics id="S5.Ex63.m1.1a"><mrow id="S5.Ex63.m1.1.1.1"><mrow id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">U</mi><mn id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn><mo id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">W</mi><mn id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml">W</mi><mn id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">21</mn></msub><mo id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.1b" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.5" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.2" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.cmml"><mi id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.2" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.1" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.3" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.cmml">21</mn></msub><mo id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.1c" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.6" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.6.cmml"><mi id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.6.2" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.6.2.cmml">U</mi><mn id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.6.3" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.6.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><msubsup id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">L</mi><mn id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">3</mn><mo id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><msub id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml">L</mi><mn id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.cmml">I</mi><mn id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml">12</mn><msup id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3.2" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3.2.cmml">λ</mi><mrow id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3.3" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3.3.cmml"><mo id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3.3a" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3.3.2" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></msubsup><mo id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.1a" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.4" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.4.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.4.2" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.4.2.2" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.4.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.4.2.1" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.4.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.4.3" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.4.3.cmml">12</mn></msub><mo id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.1b" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.5" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.5.cmml"><mi id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.5.2" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.5.2.cmml">M</mi><mn id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.5.3" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.5.3.cmml">12</mn></msub><mo id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.1c" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.6" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.6.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.6.2" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.6.2.cmml"><mi id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.6.2.2" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.6.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.6.2.1" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.6.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.6.3" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.6.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.1d" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.7" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.7.cmml"><mi id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.7.2" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.7.2.cmml">M</mi><mn id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.7.3" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.7.3.cmml">11</mn></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex63.m1.1.1.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex63.m1.1b"><apply id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑈</ci><cn id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">2</cn></apply><ci id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">′</ci></apply><apply id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" 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xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2">𝑊</ci><cn id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.3">21</cn></apply><apply id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.1.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.5">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.2"><ci id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.1.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.1">^</ci><ci id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.2.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.3">21</cn></apply><apply id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.6.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.6.1.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.6">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.6.2.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.6.2">𝑈</ci><cn id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.6.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.6.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2"><eq id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1"></eq><apply id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝐿</ci><cn id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">3</cn></apply><ci id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.2.3">′</ci></apply><apply id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><apply id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2">𝐿</ci><cn id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3">3</cn></apply><apply id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2">𝐼</ci><apply id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3.2">𝜆</ci><apply id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3.3"><minus id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3.3"></minus><cn id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3.3.2">1</cn></apply></apply></apply><cn id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3">12</cn></apply><apply id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.4.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.4.1.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.4">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.4.2.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.4.2"><ci id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.4.2.1.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.4.2.1">^</ci><ci id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.4.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.4.3">12</cn></apply><apply id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.5.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.5.1.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.5">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.5.2.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.5.2">𝑀</ci><cn id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.5.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.5.3">12</cn></apply><apply id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.6.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.6.1.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.6">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.6.2.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.6.2"><ci id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.6.2.1.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.6.2.1">^</ci><ci id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.6.2.2.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.6.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.6.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.6.3">11</cn></apply><apply id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.7.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.7.1.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.7">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.7.2.cmml" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.7.2">𝑀</ci><cn id="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.7.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.7.3">11</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex63.m1.1c">U_{2}^{\prime}=W_{11}\widehat{S}_{11}W_{21}\widehat{S}_{21}U_{2},\ \ L_{3}^{% \prime}=L_{3}I^{\lambda^{-1}}_{12}{\widehat{S}}_{12}M_{12}{\widehat{S}}_{11}M_% {11},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex63.m1.1d">italic_U start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT = italic_W start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_L start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT = italic_L start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT italic_I start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p18.8">then we get</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex64"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="M={\widehat{S}}^{-1}\left[\begin{array}[]{cc}I^{\lambda^{-1}}_{12}{\widehat{S}% }_{12}M_{12}{\widehat{S}}_{11}M_{11}&0\\ 0&{\widehat{S}}_{22}M_{22}{\widehat{S}}_{21}M_{21}\end{array}\right]" class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex64.m1.1"><semantics id="S5.Ex64.m1.1a"><mrow id="S5.Ex64.m1.1.2" xref="S5.Ex64.m1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex64.m1.1.2.2" xref="S5.Ex64.m1.1.2.2.cmml">M</mi><mo id="S5.Ex64.m1.1.2.1" xref="S5.Ex64.m1.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex64.m1.1.2.3" xref="S5.Ex64.m1.1.2.3.cmml"><msup id="S5.Ex64.m1.1.2.3.2" xref="S5.Ex64.m1.1.2.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex64.m1.1.2.3.2.2" xref="S5.Ex64.m1.1.2.3.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex64.m1.1.2.3.2.2.2" xref="S5.Ex64.m1.1.2.3.2.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.Ex64.m1.1.2.3.2.2.1" xref="S5.Ex64.m1.1.2.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S5.Ex64.m1.1.2.3.2.3" xref="S5.Ex64.m1.1.2.3.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex64.m1.1.2.3.2.3a" xref="S5.Ex64.m1.1.2.3.2.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex64.m1.1.2.3.2.3.2" xref="S5.Ex64.m1.1.2.3.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.Ex64.m1.1.2.3.1" xref="S5.Ex64.m1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex64.m1.1.2.3.3.2" xref="S5.Ex64.m1.1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S5.Ex64.m1.1.2.3.3.2.1" xref="S5.Ex64.m1.1.2.3.3.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S5.Ex64.m1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S5.Ex64.m1.1.1.cmml"><mtr id="S5.Ex64.m1.1.1a" xref="S5.Ex64.m1.1.1.cmml"><mtd id="S5.Ex64.m1.1.1b" xref="S5.Ex64.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">I</mi><mn id="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">12</mn><msup id="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">λ</mi><mrow id="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml"><mo id="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.3a" xref="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2" xref="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></msubsup><mo id="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">12</mn></msub><mo id="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.4" xref="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">M</mi><mn id="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">12</mn></msub><mo id="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1b" xref="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.5" xref="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.5.2" xref="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.5.2.cmml"><mi id="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.5.2.2" xref="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.5.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.5.2.1" xref="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.5.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.5.3" xref="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1c" xref="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.6" xref="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.6.2" xref="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.6.2.cmml">M</mi><mn id="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.6.3" xref="S5.Ex64.m1.1.1.1.1.1.6.3.cmml">11</mn></msub></mrow></mtd><mtd id="S5.Ex64.m1.1.1c" xref="S5.Ex64.m1.1.1.cmml"><mn id="S5.Ex64.m1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex64.m1.1.1.1.2.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="S5.Ex64.m1.1.1d" xref="S5.Ex64.m1.1.1.cmml"><mtd id="S5.Ex64.m1.1.1e" xref="S5.Ex64.m1.1.1.cmml"><mn id="S5.Ex64.m1.1.1.2.1.1" xref="S5.Ex64.m1.1.1.2.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S5.Ex64.m1.1.1f" xref="S5.Ex64.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex64.m1.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex64.m1.1.1.2.2.1.cmml"><msub id="S5.Ex64.m1.1.1.2.2.1.2" xref="S5.Ex64.m1.1.1.2.2.1.2.cmml"><mover accent="true" 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xref="S5.Ex65.m1.2.2.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S5.Ex65.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex65.m1.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex65.m1.2.2.1.1.3.1.1.cmml" xref="S5.Ex65.m1.2.2.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S5.Ex65.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex65.m1.1.1"><matrixrow id="S5.Ex65.m1.1.1a.cmml" xref="S5.Ex65.m1.1.1"><ci id="S5.Ex65.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex65.m1.1.1.1.1.1">𝐈</ci><cn id="S5.Ex65.m1.1.1.1.2.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex65.m1.1.1.1.2.1">0</cn></matrixrow><matrixrow id="S5.Ex65.m1.1.1b.cmml" xref="S5.Ex65.m1.1.1"><apply id="S5.Ex65.m1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex65.m1.1.1.2.1.1"><minus id="S5.Ex65.m1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex65.m1.1.1.2.1.1"></minus><apply id="S5.Ex65.m1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex65.m1.1.1.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex65.m1.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex65.m1.1.1.2.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex65.m1.1.1.2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex65.m1.1.1.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex65.m1.1.1.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex65.m1.1.1.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex65.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex65.m1.1.1.2.1.1.2.2.2">𝐿</ci><cn id="S5.Ex65.m1.1.1.2.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex65.m1.1.1.2.1.1.2.2.3">3</cn></apply><ci id="S5.Ex65.m1.1.1.2.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex65.m1.1.1.2.1.1.2.3">′</ci></apply></apply><ci id="S5.Ex65.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex65.m1.1.1.2.2.1">𝐈</ci></matrixrow></matrix></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex65.m1.2c">\times\left[\begin{array}[]{cc}{\mathbf{I}}&0\\ -L_{3}^{\prime}&{\mathbf{I}}\end{array}\right],</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex65.m1.2d">× [ start_ARRAY start_ROW start_CELL bold_I end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL - italic_L start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL bold_I end_CELL end_ROW end_ARRAY ] ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right"><math class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex65.1.1.m1.1"><semantics id="S5.Ex65.1.1.m1.1b"><mrow id="S5.Ex65.1.1.m1.1.2.2"><mo id="S5.Ex65.1.1.m1.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S5.Ex65.1.1.m1.1.1" xref="S5.Ex65.1.1.m1.1.1.cmml">23</mn><mo id="S5.Ex65.1.1.m1.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex65.1.1.m1.1c"><cn id="S5.Ex65.1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex65.1.1.m1.1.1">23</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex65.1.1.m1.1d">( 23 )</annotation></semantics></math></span></td> </tr></tbody> </table> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex66"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="W=\left[\begin{array}[]{cc}{\mathbf{I}}&-U_{2}^{\prime}\\ 0&{\mathbf{I}}\end{array}\right]" class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex66.m1.1"><semantics id="S5.Ex66.m1.1a"><mrow id="S5.Ex66.m1.1.2" xref="S5.Ex66.m1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex66.m1.1.2.2" xref="S5.Ex66.m1.1.2.2.cmml">W</mi><mo id="S5.Ex66.m1.1.2.1" xref="S5.Ex66.m1.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex66.m1.1.2.3.2" xref="S5.Ex66.m1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S5.Ex66.m1.1.2.3.2.1" xref="S5.Ex66.m1.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S5.Ex66.m1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S5.Ex66.m1.1.1.cmml"><mtr id="S5.Ex66.m1.1.1a" xref="S5.Ex66.m1.1.1.cmml"><mtd id="S5.Ex66.m1.1.1b" xref="S5.Ex66.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex66.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex66.m1.1.1.1.1.1.cmml">𝐈</mi></mtd><mtd id="S5.Ex66.m1.1.1c" xref="S5.Ex66.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex66.m1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex66.m1.1.1.1.2.1.cmml"><mo id="S5.Ex66.m1.1.1.1.2.1a" xref="S5.Ex66.m1.1.1.1.2.1.cmml">−</mo><msubsup id="S5.Ex66.m1.1.1.1.2.1.2" xref="S5.Ex66.m1.1.1.1.2.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex66.m1.1.1.1.2.1.2.2.2" xref="S5.Ex66.m1.1.1.1.2.1.2.2.2.cmml">U</mi><mn id="S5.Ex66.m1.1.1.1.2.1.2.2.3" xref="S5.Ex66.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.cmml">2</mn><mo id="S5.Ex66.m1.1.1.1.2.1.2.3" xref="S5.Ex66.m1.1.1.1.2.1.2.3.cmml">′</mo></msubsup></mrow></mtd></mtr><mtr id="S5.Ex66.m1.1.1d" xref="S5.Ex66.m1.1.1.cmml"><mtd id="S5.Ex66.m1.1.1e" xref="S5.Ex66.m1.1.1.cmml"><mn id="S5.Ex66.m1.1.1.2.1.1" xref="S5.Ex66.m1.1.1.2.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S5.Ex66.m1.1.1f" xref="S5.Ex66.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex66.m1.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex66.m1.1.1.2.2.1.cmml">𝐈</mi></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.Ex66.m1.1.2.3.2.2" xref="S5.Ex66.m1.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex66.m1.1b"><apply id="S5.Ex66.m1.1.2.cmml" xref="S5.Ex66.m1.1.2"><eq id="S5.Ex66.m1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex66.m1.1.2.1"></eq><ci id="S5.Ex66.m1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex66.m1.1.2.2">𝑊</ci><apply id="S5.Ex66.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex66.m1.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex66.m1.1.2.3.1.1.cmml" xref="S5.Ex66.m1.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S5.Ex66.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex66.m1.1.1"><matrixrow id="S5.Ex66.m1.1.1a.cmml" xref="S5.Ex66.m1.1.1"><ci id="S5.Ex66.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex66.m1.1.1.1.1.1">𝐈</ci><apply id="S5.Ex66.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex66.m1.1.1.1.2.1"><minus id="S5.Ex66.m1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex66.m1.1.1.1.2.1"></minus><apply id="S5.Ex66.m1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex66.m1.1.1.1.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex66.m1.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex66.m1.1.1.1.2.1.2">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex66.m1.1.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex66.m1.1.1.1.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex66.m1.1.1.1.2.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex66.m1.1.1.1.2.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex66.m1.1.1.1.2.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex66.m1.1.1.1.2.1.2.2.2">𝑈</ci><cn id="S5.Ex66.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex66.m1.1.1.1.2.1.2.2.3">2</cn></apply><ci id="S5.Ex66.m1.1.1.1.2.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex66.m1.1.1.1.2.1.2.3">′</ci></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S5.Ex66.m1.1.1b.cmml" xref="S5.Ex66.m1.1.1"><cn id="S5.Ex66.m1.1.1.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex66.m1.1.1.2.1.1">0</cn><ci id="S5.Ex66.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex66.m1.1.1.2.2.1">𝐈</ci></matrixrow></matrix></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex66.m1.1c">W=\left[\begin{array}[]{cc}{\mathbf{I}}&-U_{2}^{\prime}\\ 0&{\mathbf{I}}\end{array}\right]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex66.m1.1d">italic_W = [ start_ARRAY start_ROW start_CELL bold_I end_CELL start_CELL - italic_U start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL bold_I end_CELL end_ROW end_ARRAY ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex67"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\times\left[\begin{array}[]{cc}W_{11}\widehat{S}_{11}W_{21}\widehat{S}_{21}&0% \\ 0&W_{12}\widehat{S}_{12}J^{\lambda^{-1}}_{12}W_{22}\widehat{S}_{22}\end{array}% \right]{\widehat{S}}^{-1}," class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex67.m1.2"><semantics id="S5.Ex67.m1.2a"><mrow id="S5.Ex67.m1.2.2.1" xref="S5.Ex67.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex67.m1.2.2.1.1" xref="S5.Ex67.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex67.m1.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex67.m1.2.2.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S5.Ex67.m1.2.2.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S5.Ex67.m1.2.2.1.1.1.cmml">×</mo><mrow id="S5.Ex67.m1.2.2.1.1.3" xref="S5.Ex67.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex67.m1.2.2.1.1.3.2.2" 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xref="S5.Ex67.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="S5.Ex67.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex67.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S5.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="S5.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex67.m1.1.1.1.1.1.4" xref="S5.Ex67.m1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S5.Ex67.m1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S5.Ex67.m1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">W</mi><mn id="S5.Ex67.m1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S5.Ex67.m1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">21</mn></msub><mo id="S5.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1b" xref="S5.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex67.m1.1.1.1.1.1.5" xref="S5.Ex67.m1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex67.m1.1.1.1.1.1.5.2" xref="S5.Ex67.m1.1.1.1.1.1.5.2.cmml"><mi id="S5.Ex67.m1.1.1.1.1.1.5.2.2" xref="S5.Ex67.m1.1.1.1.1.1.5.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.Ex67.m1.1.1.1.1.1.5.2.1" xref="S5.Ex67.m1.1.1.1.1.1.5.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="S5.Ex67.m1.1.1.1.1.1.5.3" xref="S5.Ex67.m1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">21</mn></msub></mrow></mtd><mtd id="S5.Ex67.m1.1.1c" xref="S5.Ex67.m1.1.1.cmml"><mn 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id="S5.Ex67.m1.1.1.2.2.1.4.2.3.cmml" xref="S5.Ex67.m1.1.1.2.2.1.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex67.m1.1.1.2.2.1.4.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex67.m1.1.1.2.2.1.4.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex67.m1.1.1.2.2.1.4.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex67.m1.1.1.2.2.1.4.2.3.2">𝜆</ci><apply id="S5.Ex67.m1.1.1.2.2.1.4.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex67.m1.1.1.2.2.1.4.2.3.3"><minus id="S5.Ex67.m1.1.1.2.2.1.4.2.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex67.m1.1.1.2.2.1.4.2.3.3"></minus><cn id="S5.Ex67.m1.1.1.2.2.1.4.2.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex67.m1.1.1.2.2.1.4.2.3.3.2">1</cn></apply></apply></apply><cn id="S5.Ex67.m1.1.1.2.2.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex67.m1.1.1.2.2.1.4.3">12</cn></apply><apply id="S5.Ex67.m1.1.1.2.2.1.5.cmml" xref="S5.Ex67.m1.1.1.2.2.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex67.m1.1.1.2.2.1.5.1.cmml" xref="S5.Ex67.m1.1.1.2.2.1.5">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex67.m1.1.1.2.2.1.5.2.cmml" xref="S5.Ex67.m1.1.1.2.2.1.5.2">𝑊</ci><cn id="S5.Ex67.m1.1.1.2.2.1.5.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex67.m1.1.1.2.2.1.5.3">22</cn></apply><apply id="S5.Ex67.m1.1.1.2.2.1.6.cmml" xref="S5.Ex67.m1.1.1.2.2.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex67.m1.1.1.2.2.1.6.1.cmml" xref="S5.Ex67.m1.1.1.2.2.1.6">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex67.m1.1.1.2.2.1.6.2.cmml" xref="S5.Ex67.m1.1.1.2.2.1.6.2"><ci id="S5.Ex67.m1.1.1.2.2.1.6.2.1.cmml" xref="S5.Ex67.m1.1.1.2.2.1.6.2.1">^</ci><ci id="S5.Ex67.m1.1.1.2.2.1.6.2.2.cmml" xref="S5.Ex67.m1.1.1.2.2.1.6.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.Ex67.m1.1.1.2.2.1.6.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex67.m1.1.1.2.2.1.6.3">22</cn></apply></apply></matrixrow></matrix></apply><apply id="S5.Ex67.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex67.m1.2.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex67.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex67.m1.2.2.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex67.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex67.m1.2.2.1.1.3.3.2"><ci id="S5.Ex67.m1.2.2.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex67.m1.2.2.1.1.3.3.2.1">^</ci><ci id="S5.Ex67.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex67.m1.2.2.1.1.3.3.2.2">𝑆</ci></apply><apply id="S5.Ex67.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex67.m1.2.2.1.1.3.3.3"><minus id="S5.Ex67.m1.2.2.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex67.m1.2.2.1.1.3.3.3"></minus><cn id="S5.Ex67.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex67.m1.2.2.1.1.3.3.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex67.m1.2c">\times\left[\begin{array}[]{cc}W_{11}\widehat{S}_{11}W_{21}\widehat{S}_{21}&0% \\ 0&W_{12}\widehat{S}_{12}J^{\lambda^{-1}}_{12}W_{22}\widehat{S}_{22}\end{array}% \right]{\widehat{S}}^{-1},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex67.m1.2d">× [ start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_W start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL italic_W start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARRAY ] over^ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right"><math class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex67.1.1.m1.1"><semantics id="S5.Ex67.1.1.m1.1b"><mrow id="S5.Ex67.1.1.m1.1.2.2"><mo id="S5.Ex67.1.1.m1.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S5.Ex67.1.1.m1.1.1" xref="S5.Ex67.1.1.m1.1.1.cmml">24</mn><mo id="S5.Ex67.1.1.m1.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex67.1.1.m1.1c"><cn id="S5.Ex67.1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex67.1.1.m1.1.1">24</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex67.1.1.m1.1d">( 24 )</annotation></semantics></math></span></td> </tr></tbody> </table> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex68"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\widehat{S}^{-1}=\frac{\alpha_{r}}{\alpha}(S^{+}+\alpha\bar{S}^{T})" class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex68.m1.1"><semantics id="S5.Ex68.m1.1a"><mrow id="S5.Ex68.m1.1.1" xref="S5.Ex68.m1.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex68.m1.1.1.3" xref="S5.Ex68.m1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex68.m1.1.1.3.2" xref="S5.Ex68.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex68.m1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex68.m1.1.1.3.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.Ex68.m1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex68.m1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S5.Ex68.m1.1.1.3.3" xref="S5.Ex68.m1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S5.Ex68.m1.1.1.3.3a" xref="S5.Ex68.m1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex68.m1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex68.m1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.Ex68.m1.1.1.2" xref="S5.Ex68.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex68.m1.1.1.1" xref="S5.Ex68.m1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S5.Ex68.m1.1.1.1.3" xref="S5.Ex68.m1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S5.Ex68.m1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex68.m1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex68.m1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex68.m1.1.1.1.3.2.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex68.m1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex68.m1.1.1.1.3.2.3.cmml">r</mi></msub><mi id="S5.Ex68.m1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex68.m1.1.1.1.3.3.cmml">α</mi></mfrac><mo id="S5.Ex68.m1.1.1.1.2" xref="S5.Ex68.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">+</mo></msup><mo id="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">α</mi><mo id="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" xref="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">T</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex68.m1.1b"><apply id="S5.Ex68.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex68.m1.1.1"><eq id="S5.Ex68.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex68.m1.1.1.2"></eq><apply id="S5.Ex68.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex68.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex68.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex68.m1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex68.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex68.m1.1.1.3.2"><ci id="S5.Ex68.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex68.m1.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="S5.Ex68.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex68.m1.1.1.3.2.2">𝑆</ci></apply><apply id="S5.Ex68.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex68.m1.1.1.3.3"><minus id="S5.Ex68.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex68.m1.1.1.3.3"></minus><cn id="S5.Ex68.m1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex68.m1.1.1.3.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex68.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex68.m1.1.1.1"><times id="S5.Ex68.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex68.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.Ex68.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex68.m1.1.1.1.3"><divide id="S5.Ex68.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex68.m1.1.1.1.3"></divide><apply id="S5.Ex68.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex68.m1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex68.m1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex68.m1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex68.m1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex68.m1.1.1.1.3.2.2">𝛼</ci><ci id="S5.Ex68.m1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex68.m1.1.1.1.3.2.3">𝑟</ci></apply><ci id="S5.Ex68.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex68.m1.1.1.1.3.3">𝛼</ci></apply><apply id="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1"><plus id="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑆</ci><plus id="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"></plus></apply><apply id="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝛼</ci><apply id="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2"><ci id="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1">¯</ci><ci id="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑆</ci></apply><ci id="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑇</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex68.m1.1c">\widehat{S}^{-1}=\frac{\alpha_{r}}{\alpha}(S^{+}+\alpha\bar{S}^{T})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex68.m1.1d">over^ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_α end_ARG ( italic_S start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT + italic_α over¯ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex69"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="=\frac{\alpha_{r}}{\alpha}\left[\begin{array}[]{cc}S_{11}^{+}+\alpha\tilde{S}_% {11}^{T}&S_{21}^{+}+\alpha\tilde{S}_{21}^{T}\\ \lambda^{2}S_{12}^{+}+\alpha\tilde{S}_{12}^{T}&S_{22}^{+}+\alpha\tilde{S}_{22}% ^{T}\end{array}\right]." class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex69.m1.2"><semantics id="S5.Ex69.m1.2a"><mrow id="S5.Ex69.m1.2.2.1" xref="S5.Ex69.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex69.m1.2.2.1.1" xref="S5.Ex69.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex69.m1.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex69.m1.2.2.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S5.Ex69.m1.2.2.1.1.1" xref="S5.Ex69.m1.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex69.m1.2.2.1.1.3" xref="S5.Ex69.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mfrac id="S5.Ex69.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S5.Ex69.m1.2.2.1.1.3.2.cmml"><msub id="S5.Ex69.m1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex69.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex69.m1.2.2.1.1.3.2.2.2" xref="S5.Ex69.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex69.m1.2.2.1.1.3.2.2.3" xref="S5.Ex69.m1.2.2.1.1.3.2.2.3.cmml">r</mi></msub><mi id="S5.Ex69.m1.2.2.1.1.3.2.3" 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id="S5.Ex69.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex69.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex69.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2"><ci id="S5.Ex69.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.1">~</ci><ci id="S5.Ex69.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.Ex69.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex69.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">11</cn></apply><ci id="S5.Ex69.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑇</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex69.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.1.2.1"><plus id="S5.Ex69.m1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.1.2.1.1"></plus><apply id="S5.Ex69.m1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.1.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex69.m1.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.1.2.1.2">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex69.m1.1.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.1.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex69.m1.1.1.1.2.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.1.2.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex69.m1.1.1.1.2.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.1.2.1.2.2.2">𝑆</ci><cn id="S5.Ex69.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex69.m1.1.1.1.2.1.2.2.3">21</cn></apply><plus id="S5.Ex69.m1.1.1.1.2.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.1.2.1.2.3"></plus></apply><apply id="S5.Ex69.m1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.1.2.1.3"><times id="S5.Ex69.m1.1.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.1.2.1.3.1"></times><ci id="S5.Ex69.m1.1.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.1.2.1.3.2">𝛼</ci><apply id="S5.Ex69.m1.1.1.1.2.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.1.2.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex69.m1.1.1.1.2.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.1.2.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex69.m1.1.1.1.2.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.1.2.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex69.m1.1.1.1.2.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.1.2.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex69.m1.1.1.1.2.1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.1.2.1.3.3.2.2"><ci id="S5.Ex69.m1.1.1.1.2.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.1.2.1.3.3.2.2.1">~</ci><ci id="S5.Ex69.m1.1.1.1.2.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.1.2.1.3.3.2.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.Ex69.m1.1.1.1.2.1.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex69.m1.1.1.1.2.1.3.3.2.3">21</cn></apply><ci id="S5.Ex69.m1.1.1.1.2.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.1.2.1.3.3.3">𝑇</ci></apply></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S5.Ex69.m1.1.1b.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1"><apply id="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1"><plus id="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.1"></plus><apply id="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.2"><times id="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.2.1"></times><apply id="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.2.2.2">𝜆</ci><cn id="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.2">𝑆</ci><cn id="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.3">12</cn></apply><plus id="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.2.3.3"></plus></apply></apply><apply id="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.3"><times id="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.3.1"></times><ci id="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.3.2">𝛼</ci><apply id="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.3.3.2.2"><ci id="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.3.3.2.2.1">~</ci><ci id="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.3.3.2.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.3.3.2.3">12</cn></apply><ci id="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.2.1.1.3.3.3">𝑇</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex69.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.2.2.1"><plus id="S5.Ex69.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.2.2.1.1"></plus><apply id="S5.Ex69.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex69.m1.1.1.2.2.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.2.2.1.2">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex69.m1.1.1.2.2.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex69.m1.1.1.2.2.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.2.2.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex69.m1.1.1.2.2.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.2.2.1.2.2.2">𝑆</ci><cn id="S5.Ex69.m1.1.1.2.2.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex69.m1.1.1.2.2.1.2.2.3">22</cn></apply><plus id="S5.Ex69.m1.1.1.2.2.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.2.2.1.2.3"></plus></apply><apply id="S5.Ex69.m1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.2.2.1.3"><times id="S5.Ex69.m1.1.1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.2.2.1.3.1"></times><ci id="S5.Ex69.m1.1.1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.2.2.1.3.2">𝛼</ci><apply id="S5.Ex69.m1.1.1.2.2.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.2.2.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex69.m1.1.1.2.2.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.2.2.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex69.m1.1.1.2.2.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.2.2.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex69.m1.1.1.2.2.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.2.2.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex69.m1.1.1.2.2.1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.2.2.1.3.3.2.2"><ci id="S5.Ex69.m1.1.1.2.2.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.2.2.1.3.3.2.2.1">~</ci><ci id="S5.Ex69.m1.1.1.2.2.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.2.2.1.3.3.2.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.Ex69.m1.1.1.2.2.1.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex69.m1.1.1.2.2.1.3.3.2.3">22</cn></apply><ci id="S5.Ex69.m1.1.1.2.2.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex69.m1.1.1.2.2.1.3.3.3">𝑇</ci></apply></apply></apply></matrixrow></matrix></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex69.m1.2c">=\frac{\alpha_{r}}{\alpha}\left[\begin{array}[]{cc}S_{11}^{+}+\alpha\tilde{S}_% {11}^{T}&S_{21}^{+}+\alpha\tilde{S}_{21}^{T}\\ \lambda^{2}S_{12}^{+}+\alpha\tilde{S}_{12}^{T}&S_{22}^{+}+\alpha\tilde{S}_{22}% ^{T}\end{array}\right].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex69.m1.2d">= divide start_ARG italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_α end_ARG [ start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_S start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT + italic_α over~ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL italic_S start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT + italic_α over~ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_S start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT + italic_α over~ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL italic_S start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT + italic_α over~ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARRAY ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right"><math class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex69.1.1.m1.1"><semantics id="S5.Ex69.1.1.m1.1b"><mrow id="S5.Ex69.1.1.m1.1.2.2"><mo id="S5.Ex69.1.1.m1.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S5.Ex69.1.1.m1.1.1" xref="S5.Ex69.1.1.m1.1.1.cmml">25</mn><mo id="S5.Ex69.1.1.m1.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex69.1.1.m1.1c"><cn id="S5.Ex69.1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex69.1.1.m1.1.1">25</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex69.1.1.m1.1d">( 25 )</annotation></semantics></math></span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p18.7">Here we denote the blocks of the matrix <math alttext="\bar{S}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p18.5.m1.1"><semantics id="S5.p18.5.m1.1a"><mover accent="true" id="S5.p18.5.m1.1.1" xref="S5.p18.5.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.p18.5.m1.1.1.2" xref="S5.p18.5.m1.1.1.2.cmml">S</mi><mo id="S5.p18.5.m1.1.1.1" xref="S5.p18.5.m1.1.1.1.cmml">¯</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p18.5.m1.1b"><apply id="S5.p18.5.m1.1.1.cmml" xref="S5.p18.5.m1.1.1"><ci id="S5.p18.5.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.p18.5.m1.1.1.1">¯</ci><ci id="S5.p18.5.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p18.5.m1.1.1.2">𝑆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p18.5.m1.1c">\bar{S}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p18.5.m1.1d">over¯ start_ARG italic_S end_ARG</annotation></semantics></math> by <math alttext="\tilde{S}_{ij}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p18.6.m2.1"><semantics id="S5.p18.6.m2.1a"><msub id="S5.p18.6.m2.1.1" xref="S5.p18.6.m2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S5.p18.6.m2.1.1.2" xref="S5.p18.6.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p18.6.m2.1.1.2.2" xref="S5.p18.6.m2.1.1.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.p18.6.m2.1.1.2.1" xref="S5.p18.6.m2.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S5.p18.6.m2.1.1.3" xref="S5.p18.6.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p18.6.m2.1.1.3.2" xref="S5.p18.6.m2.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S5.p18.6.m2.1.1.3.1" xref="S5.p18.6.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p18.6.m2.1.1.3.3" xref="S5.p18.6.m2.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p18.6.m2.1b"><apply id="S5.p18.6.m2.1.1.cmml" xref="S5.p18.6.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p18.6.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.p18.6.m2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.p18.6.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.p18.6.m2.1.1.2"><ci id="S5.p18.6.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p18.6.m2.1.1.2.1">~</ci><ci id="S5.p18.6.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p18.6.m2.1.1.2.2">𝑆</ci></apply><apply id="S5.p18.6.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.p18.6.m2.1.1.3"><times id="S5.p18.6.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p18.6.m2.1.1.3.1"></times><ci id="S5.p18.6.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p18.6.m2.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S5.p18.6.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p18.6.m2.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p18.6.m2.1c">\tilde{S}_{ij}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p18.6.m2.1d">over~ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="(i,j=1,2)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p18.7.m3.4"><semantics id="S5.p18.7.m3.4a"><mrow id="S5.p18.7.m3.4.4.1"><mo id="S5.p18.7.m3.4.4.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S5.p18.7.m3.4.4.1.1.1" xref="S5.p18.7.m3.4.4.1.1.2.cmml"><mrow id="S5.p18.7.m3.4.4.1.1.1.1" xref="S5.p18.7.m3.4.4.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.p18.7.m3.4.4.1.1.1.1.2.2" xref="S5.p18.7.m3.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml"><mi id="S5.p18.7.m3.1.1" xref="S5.p18.7.m3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S5.p18.7.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.1" xref="S5.p18.7.m3.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">,</mo><mi id="S5.p18.7.m3.2.2" xref="S5.p18.7.m3.2.2.cmml">j</mi></mrow><mo id="S5.p18.7.m3.4.4.1.1.1.1.1" xref="S5.p18.7.m3.4.4.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.p18.7.m3.4.4.1.1.1.1.3" xref="S5.p18.7.m3.4.4.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S5.p18.7.m3.4.4.1.1.1.2" xref="S5.p18.7.m3.4.4.1.1.2a.cmml">,</mo><mn id="S5.p18.7.m3.3.3" xref="S5.p18.7.m3.3.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="S5.p18.7.m3.4.4.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p18.7.m3.4b"><apply id="S5.p18.7.m3.4.4.1.1.2.cmml" xref="S5.p18.7.m3.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p18.7.m3.4.4.1.1.2a.cmml" xref="S5.p18.7.m3.4.4.1.1.1.2">formulae-sequence</csymbol><apply id="S5.p18.7.m3.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p18.7.m3.4.4.1.1.1.1"><eq id="S5.p18.7.m3.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p18.7.m3.4.4.1.1.1.1.1"></eq><list id="S5.p18.7.m3.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p18.7.m3.4.4.1.1.1.1.2.2"><ci id="S5.p18.7.m3.1.1.cmml" xref="S5.p18.7.m3.1.1">𝑖</ci><ci id="S5.p18.7.m3.2.2.cmml" xref="S5.p18.7.m3.2.2">𝑗</ci></list><cn id="S5.p18.7.m3.4.4.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p18.7.m3.4.4.1.1.1.1.3">1</cn></apply><cn id="S5.p18.7.m3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p18.7.m3.3.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p18.7.m3.4c">(i,j=1,2)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p18.7.m3.4d">( italic_i , italic_j = 1 , 2 )</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p19"> <p class="ltx_p" id="S5.p19.2">As far as <math alttext="S_{11}^{+}S_{12}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p19.1.m1.1"><semantics id="S5.p19.1.m1.1a"><mrow id="S5.p19.1.m1.1.1" xref="S5.p19.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.p19.1.m1.1.1.2" xref="S5.p19.1.m1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S5.p19.1.m1.1.1.2.2" xref="S5.p19.1.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.p19.1.m1.1.1.2.2.2.2" xref="S5.p19.1.m1.1.1.2.2.2.2.cmml">S</mi><mn id="S5.p19.1.m1.1.1.2.2.2.3" xref="S5.p19.1.m1.1.1.2.2.2.3.cmml">11</mn><mo id="S5.p19.1.m1.1.1.2.2.3" xref="S5.p19.1.m1.1.1.2.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S5.p19.1.m1.1.1.2.1" xref="S5.p19.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p19.1.m1.1.1.2.3" xref="S5.p19.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.p19.1.m1.1.1.2.3.2" xref="S5.p19.1.m1.1.1.2.3.2.cmml">S</mi><mn id="S5.p19.1.m1.1.1.2.3.3" xref="S5.p19.1.m1.1.1.2.3.3.cmml">12</mn></msub></mrow><mo id="S5.p19.1.m1.1.1.1" xref="S5.p19.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.p19.1.m1.1.1.3" xref="S5.p19.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p19.1.m1.1b"><apply id="S5.p19.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p19.1.m1.1.1"><eq id="S5.p19.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.p19.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="S5.p19.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p19.1.m1.1.1.2"><times id="S5.p19.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p19.1.m1.1.1.2.1"></times><apply id="S5.p19.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p19.1.m1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p19.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.p19.1.m1.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S5.p19.1.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.p19.1.m1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p19.1.m1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.p19.1.m1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p19.1.m1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.p19.1.m1.1.1.2.2.2.2">𝑆</ci><cn id="S5.p19.1.m1.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p19.1.m1.1.1.2.2.2.3">11</cn></apply><plus id="S5.p19.1.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.p19.1.m1.1.1.2.2.3"></plus></apply><apply id="S5.p19.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p19.1.m1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p19.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.p19.1.m1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p19.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.p19.1.m1.1.1.2.3.2">𝑆</ci><cn id="S5.p19.1.m1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p19.1.m1.1.1.2.3.3">12</cn></apply></apply><cn id="S5.p19.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p19.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p19.1.m1.1c">S_{11}^{+}S_{12}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p19.1.m1.1d">italic_S start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT italic_S start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math> and <math alttext="\tilde{S}_{11}^{T}S_{12}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p19.2.m2.1"><semantics id="S5.p19.2.m2.1a"><mrow id="S5.p19.2.m2.1.1" xref="S5.p19.2.m2.1.1.cmml"><mrow id="S5.p19.2.m2.1.1.2" xref="S5.p19.2.m2.1.1.2.cmml"><msubsup id="S5.p19.2.m2.1.1.2.2" xref="S5.p19.2.m2.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S5.p19.2.m2.1.1.2.2.2.2" xref="S5.p19.2.m2.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.p19.2.m2.1.1.2.2.2.2.2" xref="S5.p19.2.m2.1.1.2.2.2.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.p19.2.m2.1.1.2.2.2.2.1" xref="S5.p19.2.m2.1.1.2.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S5.p19.2.m2.1.1.2.2.2.3" xref="S5.p19.2.m2.1.1.2.2.2.3.cmml">11</mn><mi id="S5.p19.2.m2.1.1.2.2.3" xref="S5.p19.2.m2.1.1.2.2.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S5.p19.2.m2.1.1.2.1" xref="S5.p19.2.m2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p19.2.m2.1.1.2.3" xref="S5.p19.2.m2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.p19.2.m2.1.1.2.3.2" xref="S5.p19.2.m2.1.1.2.3.2.cmml">S</mi><mn id="S5.p19.2.m2.1.1.2.3.3" xref="S5.p19.2.m2.1.1.2.3.3.cmml">12</mn></msub></mrow><mo id="S5.p19.2.m2.1.1.1" xref="S5.p19.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.p19.2.m2.1.1.3" xref="S5.p19.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p19.2.m2.1b"><apply id="S5.p19.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.p19.2.m2.1.1"><eq id="S5.p19.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.p19.2.m2.1.1.1"></eq><apply id="S5.p19.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.p19.2.m2.1.1.2"><times id="S5.p19.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p19.2.m2.1.1.2.1"></times><apply id="S5.p19.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p19.2.m2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p19.2.m2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.p19.2.m2.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S5.p19.2.m2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.p19.2.m2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p19.2.m2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.p19.2.m2.1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S5.p19.2.m2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.p19.2.m2.1.1.2.2.2.2"><ci id="S5.p19.2.m2.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.p19.2.m2.1.1.2.2.2.2.1">~</ci><ci id="S5.p19.2.m2.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.p19.2.m2.1.1.2.2.2.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.p19.2.m2.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p19.2.m2.1.1.2.2.2.3">11</cn></apply><ci id="S5.p19.2.m2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.p19.2.m2.1.1.2.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="S5.p19.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p19.2.m2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p19.2.m2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.p19.2.m2.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p19.2.m2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.p19.2.m2.1.1.2.3.2">𝑆</ci><cn id="S5.p19.2.m2.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p19.2.m2.1.1.2.3.3">12</cn></apply></apply><cn id="S5.p19.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p19.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p19.2.m2.1c">\tilde{S}_{11}^{T}S_{12}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p19.2.m2.1d">over~ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_S start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math>, we get</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex70"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="(S_{11}^{+}+\alpha\tilde{S}_{11}^{T})I^{\lambda^{-1}}_{12}{\widehat{S}}_{12}=(% S_{11}^{+}+\alpha\tilde{S}_{11}^{T}){\bar{S}}_{12}\frac{1}{\alpha_{m}}" class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex70.m1.2"><semantics id="S5.Ex70.m1.2a"><mrow id="S5.Ex70.m1.2.2" xref="S5.Ex70.m1.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex70.m1.1.1.1" xref="S5.Ex70.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex70.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex70.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S5.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" 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xref="S5.Ex70.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.3">𝑇</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex70.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex70.m1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex70.m1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex70.m1.2.2.2.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex70.m1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex70.m1.2.2.2.3.2"><ci id="S5.Ex70.m1.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex70.m1.2.2.2.3.2.1">¯</ci><ci id="S5.Ex70.m1.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex70.m1.2.2.2.3.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.Ex70.m1.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex70.m1.2.2.2.3.3">12</cn></apply><apply id="S5.Ex70.m1.2.2.2.4.cmml" xref="S5.Ex70.m1.2.2.2.4"><divide id="S5.Ex70.m1.2.2.2.4.1.cmml" xref="S5.Ex70.m1.2.2.2.4"></divide><cn id="S5.Ex70.m1.2.2.2.4.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex70.m1.2.2.2.4.2">1</cn><apply id="S5.Ex70.m1.2.2.2.4.3.cmml" xref="S5.Ex70.m1.2.2.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex70.m1.2.2.2.4.3.1.cmml" xref="S5.Ex70.m1.2.2.2.4.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex70.m1.2.2.2.4.3.2.cmml" xref="S5.Ex70.m1.2.2.2.4.3.2">𝛼</ci><ci id="S5.Ex70.m1.2.2.2.4.3.3.cmml" xref="S5.Ex70.m1.2.2.2.4.3.3">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex70.m1.2c">(S_{11}^{+}+\alpha\tilde{S}_{11}^{T})I^{\lambda^{-1}}_{12}{\widehat{S}}_{12}=(% S_{11}^{+}+\alpha\tilde{S}_{11}^{T}){\bar{S}}_{12}\frac{1}{\alpha_{m}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex70.m1.2d">( italic_S start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT + italic_α over~ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_I start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT = ( italic_S start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT + italic_α over~ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ) over¯ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p19.3">and</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex71"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="(S_{11}^{+}+\alpha\tilde{S}_{11}^{T}){\widehat{S}}_{12}M_{12}\widehat{S}_{11}M% _{11}" class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex71.m1.1"><semantics id="S5.Ex71.m1.1a"><mrow id="S5.Ex71.m1.1.1" xref="S5.Ex71.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex71.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex71.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo 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xref="S5.Ex71.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝛼</ci><apply id="S5.Ex71.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex71.m1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex71.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex71.m1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex71.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex71.m1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex71.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex71.m1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex71.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex71.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2"><ci id="S5.Ex71.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex71.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.1">~</ci><ci id="S5.Ex71.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex71.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.Ex71.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex71.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">11</cn></apply><ci id="S5.Ex71.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex71.m1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑇</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex71.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex71.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex71.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex71.m1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex71.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex71.m1.1.1.3.2"><ci id="S5.Ex71.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex71.m1.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="S5.Ex71.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex71.m1.1.1.3.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.Ex71.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex71.m1.1.1.3.3">12</cn></apply><apply id="S5.Ex71.m1.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex71.m1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex71.m1.1.1.4.1.cmml" xref="S5.Ex71.m1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex71.m1.1.1.4.2.cmml" xref="S5.Ex71.m1.1.1.4.2">𝑀</ci><cn id="S5.Ex71.m1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex71.m1.1.1.4.3">12</cn></apply><apply id="S5.Ex71.m1.1.1.5.cmml" xref="S5.Ex71.m1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex71.m1.1.1.5.1.cmml" xref="S5.Ex71.m1.1.1.5">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex71.m1.1.1.5.2.cmml" xref="S5.Ex71.m1.1.1.5.2"><ci id="S5.Ex71.m1.1.1.5.2.1.cmml" xref="S5.Ex71.m1.1.1.5.2.1">^</ci><ci id="S5.Ex71.m1.1.1.5.2.2.cmml" xref="S5.Ex71.m1.1.1.5.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.Ex71.m1.1.1.5.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex71.m1.1.1.5.3">11</cn></apply><apply id="S5.Ex71.m1.1.1.6.cmml" xref="S5.Ex71.m1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex71.m1.1.1.6.1.cmml" xref="S5.Ex71.m1.1.1.6">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex71.m1.1.1.6.2.cmml" xref="S5.Ex71.m1.1.1.6.2">𝑀</ci><cn id="S5.Ex71.m1.1.1.6.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex71.m1.1.1.6.3">11</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex71.m1.1c">(S_{11}^{+}+\alpha\tilde{S}_{11}^{T}){\widehat{S}}_{12}M_{12}\widehat{S}_{11}M% _{11}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex71.m1.1d">( italic_S start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT + italic_α over~ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ) over^ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex72"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="=(E_{11}^{T}+\tilde{S}_{11}^{T}){\bar{S}}_{12}M_{12}(E_{11}+\bar{S}_{11})M_{11% }\frac{\alpha}{\alpha_{m}\alpha_{k}}." class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex72.m1.1"><semantics id="S5.Ex72.m1.1a"><mrow id="S5.Ex72.m1.1.1.1" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.4" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.4.cmml"></mi><mo id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">E</mi><mn id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">11</mn><mi id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">11</mn><mi id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">T</mi></msubsup></mrow><mo id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.4" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.4.2.2" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.4.2.1" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.4.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">12</mn></msub><mo id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.3a" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.5" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.5.cmml"><mi id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.5.2" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.5.2.cmml">M</mi><mn id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.5.3" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.5.3.cmml">12</mn></msub><mo id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.3b" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml">E</mi><mn id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml">11</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.3c" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.6" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.6.cmml"><mi id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.6.2" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.6.2.cmml">M</mi><mn id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.6.3" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.6.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.3d" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mfrac id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.7" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.7.cmml"><mi id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.7.2" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.7.2.cmml">α</mi><mrow id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.7.3" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.7.3.cmml"><msub id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.7.3.2" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.7.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.7.3.2.2" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.7.3.2.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.7.3.2.3" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.7.3.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.7.3.1" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.7.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.7.3.3" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.7.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.7.3.3.2" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.7.3.3.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.7.3.3.3" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.7.3.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo id="S5.Ex72.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex72.m1.1b"><apply id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1"><eq id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.4">absent</csymbol><apply id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2"><times id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.3"></times><apply id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝐸</ci><cn id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">11</cn></apply><ci id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><ci id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1">~</ci><ci id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">11</cn></apply><ci id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑇</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.4.2"><ci id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.4.2.1.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.4.2.1">¯</ci><ci id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.4.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.4.3">12</cn></apply><apply id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.5.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.5.1.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.5">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.5.2.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.5.2">𝑀</ci><cn id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.5.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.5.3">12</cn></apply><apply id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.1"><plus id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1"></plus><apply id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2">𝐸</ci><cn id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3">11</cn></apply><apply id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2"><ci id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.1">¯</ci><ci id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3">11</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.6.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.6.1.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.6">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.6.2.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.6.2">𝑀</ci><cn id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.6.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.6.3">11</cn></apply><apply id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.7.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.7"><divide id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.7.1.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.7"></divide><ci id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.7.2.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.7.2">𝛼</ci><apply id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.7.3.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.7.3"><times id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.7.3.1.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.7.3.1"></times><apply id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.7.3.2.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.7.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.7.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.7.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.7.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.7.3.2.2">𝛼</ci><ci id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.7.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.7.3.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.7.3.3.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.7.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.7.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.7.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.7.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.7.3.3.2">𝛼</ci><ci id="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.7.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex72.m1.1.1.1.1.2.7.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex72.m1.1c">=(E_{11}^{T}+\tilde{S}_{11}^{T}){\bar{S}}_{12}M_{12}(E_{11}+\bar{S}_{11})M_{11% }\frac{\alpha}{\alpha_{m}\alpha_{k}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex72.m1.1d">= ( italic_E start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT + over~ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ) over¯ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_E start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT + over¯ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_M start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG italic_α end_ARG start_ARG italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p20"> <p class="ltx_p" id="S5.p20.2">From such identities we get:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex73"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="(S_{12}^{+}+\alpha_{k}\tilde{S}_{12}^{T}){\widehat{S}}_{12}M_{12}\widehat{S}_{% 11}M_{11}" class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex73.m1.1"><semantics id="S5.Ex73.m1.1a"><mrow id="S5.Ex73.m1.1.1" xref="S5.Ex73.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex73.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">S</mi><mn id="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">12</mn><mo id="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2" xref="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.1" xref="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">12</mn><mi id="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">T</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex73.m1.1.1.2" xref="S5.Ex73.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex73.m1.1.1.3" xref="S5.Ex73.m1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex73.m1.1.1.3.2" xref="S5.Ex73.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex73.m1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex73.m1.1.1.3.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.Ex73.m1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex73.m1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="S5.Ex73.m1.1.1.3.3" xref="S5.Ex73.m1.1.1.3.3.cmml">12</mn></msub><mo id="S5.Ex73.m1.1.1.2a" xref="S5.Ex73.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex73.m1.1.1.4" xref="S5.Ex73.m1.1.1.4.cmml"><mi id="S5.Ex73.m1.1.1.4.2" xref="S5.Ex73.m1.1.1.4.2.cmml">M</mi><mn id="S5.Ex73.m1.1.1.4.3" xref="S5.Ex73.m1.1.1.4.3.cmml">12</mn></msub><mo id="S5.Ex73.m1.1.1.2b" xref="S5.Ex73.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex73.m1.1.1.5" xref="S5.Ex73.m1.1.1.5.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex73.m1.1.1.5.2" xref="S5.Ex73.m1.1.1.5.2.cmml"><mi id="S5.Ex73.m1.1.1.5.2.2" xref="S5.Ex73.m1.1.1.5.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.Ex73.m1.1.1.5.2.1" xref="S5.Ex73.m1.1.1.5.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="S5.Ex73.m1.1.1.5.3" xref="S5.Ex73.m1.1.1.5.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S5.Ex73.m1.1.1.2c" xref="S5.Ex73.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex73.m1.1.1.6" xref="S5.Ex73.m1.1.1.6.cmml"><mi id="S5.Ex73.m1.1.1.6.2" xref="S5.Ex73.m1.1.1.6.2.cmml">M</mi><mn id="S5.Ex73.m1.1.1.6.3" xref="S5.Ex73.m1.1.1.6.3.cmml">11</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex73.m1.1b"><apply id="S5.Ex73.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex73.m1.1.1"><times id="S5.Ex73.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex73.m1.1.1.2"></times><apply id="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex73.m1.1.1.1.1"><plus id="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑆</ci><cn id="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.2.2.3">12</cn></apply><plus id="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.2.3"></plus></apply><apply id="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.3"><times id="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝛼</ci><ci id="S5.Ex73.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" 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end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex74"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="=(E_{12}^{T}+\tilde{S}_{12}^{T})(\alpha_{l}E_{12}+\alpha{\bar{S}}_{12})M_{12}% \bar{S}_{11}M_{11}\frac{1}{\alpha_{m}\alpha_{k}}," class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex74.m1.1"><semantics id="S5.Ex74.m1.1a"><mrow id="S5.Ex74.m1.1.1.1" xref="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex74.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.4" xref="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.4.cmml"></mi><mo id="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.3" 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accent="true" id="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.2" xref="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.1" xref="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.cmml">12</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.3a" xref="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.4" xref="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">M</mi><mn id="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">12</mn></msub><mo id="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.3b" xref="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.5" xref="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.5.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.5.2" xref="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.5.2.cmml"><mi id="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.5.2.2" xref="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.5.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.5.2.1" xref="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.5.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.5.3" xref="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.5.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.3c" xref="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.6" xref="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.6.cmml"><mi id="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.6.2" xref="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.6.2.cmml">M</mi><mn id="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.6.3" xref="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.6.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.3d" xref="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mfrac id="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.7" xref="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.7.cmml"><mn id="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.7.2" xref="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.7.2.cmml">1</mn><mrow id="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.7.3" xref="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.7.3.cmml"><msub id="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.7.3.2" xref="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.7.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.7.3.2.2" xref="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.7.3.2.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.7.3.2.3" xref="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.7.3.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.7.3.1" xref="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.7.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.7.3.3" xref="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.7.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.7.3.3.2" xref="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.7.3.3.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.7.3.3.3" xref="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.7.3.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo id="S5.Ex74.m1.1.1.1.2" xref="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex74.m1.1b"><apply id="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex74.m1.1.1.1"><eq id="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.4">absent</csymbol><apply id="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.cmml" 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id="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3">12</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3"><times id="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1"></times><ci id="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2">𝛼</ci><apply id="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2"><ci id="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.1">¯</ci><ci id="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" 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end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ) ( italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT italic_E start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT + italic_α over¯ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_M start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT over¯ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex75"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="(S_{21}^{+}+\alpha_{k}\tilde{S}_{21}^{T}){\widehat{S}}_{22}M_{22}\widehat{S}_{% 21}M_{21}" class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex75.m1.1"><semantics id="S5.Ex75.m1.1a"><mrow id="S5.Ex75.m1.1.1" xref="S5.Ex75.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex75.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex75.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex75.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex75.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex75.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex75.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S5.Ex75.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex75.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex75.m1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex75.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">S</mi><mn id="S5.Ex75.m1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex75.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">21</mn><mo id="S5.Ex75.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex75.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S5.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex75.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex75.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S5.Ex75.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex75.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi 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end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex76"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="=(E_{21}^{T}+\tilde{S}_{21}^{T}){\bar{S}}_{22}M_{12}(\alpha_{k}E_{21}+\alpha% \bar{S}_{21})M_{21}\frac{1}{\alpha_{l}\alpha_{r}}," class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex76.m1.1"><semantics id="S5.Ex76.m1.1a"><mrow id="S5.Ex76.m1.1.1.1" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.4" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.4.cmml"></mi><mo id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo 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xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">21</mn><mi id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">T</mi></msubsup></mrow><mo id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.4" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.4.2.2" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.4.2.1" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.4.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">22</mn></msub><mo id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.3a" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.5" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.5.cmml"><mi id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.5.2" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.5.2.cmml">M</mi><mn id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.5.3" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.5.3.cmml">12</mn></msub><mo id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.3b" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><msub id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.2.cmml">E</mi><mn id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3.cmml">21</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml">α</mi><mo id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.2" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.1" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.cmml">21</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.3c" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.6" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.6.cmml"><mi id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.6.2" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.6.2.cmml">M</mi><mn id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.6.3" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.6.3.cmml">21</mn></msub><mo id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.3d" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mfrac id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.7" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.7.cmml"><mn id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.7.2" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.7.2.cmml">1</mn><mrow id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.7.3" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.7.3.cmml"><msub id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.7.3.2" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.7.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.7.3.2.2" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.7.3.2.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.7.3.2.3" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.7.3.2.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.7.3.1" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.7.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.7.3.3" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.7.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.7.3.3.2" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.7.3.3.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.7.3.3.3" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.7.3.3.3.cmml">r</mi></msub></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo id="S5.Ex76.m1.1.1.1.2" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex76.m1.1b"><apply id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1"><eq id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.4">absent</csymbol><apply id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2"><times id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.3"></times><apply id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" 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xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><ci id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1">~</ci><ci id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">21</cn></apply><ci id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑇</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.4.2"><ci id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.4.2.1.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.4.2.1">¯</ci><ci id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.4.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.4.3">22</cn></apply><apply id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.5.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.5.1.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.5">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.5.2.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.5.2">𝑀</ci><cn id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.5.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.5.3">12</cn></apply><apply id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1"><plus id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1"></plus><apply id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2"><times id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1"></times><apply id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2">𝛼</ci><ci id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.2">𝐸</ci><cn id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3">21</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3"><times id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1"></times><ci id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2">𝛼</ci><apply id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2"><ci id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.1">¯</ci><ci id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3">21</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.6.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.6.1.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.6">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.6.2.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.6.2">𝑀</ci><cn id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.6.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.6.3">21</cn></apply><apply id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.7.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.7"><divide id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.7.1.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.7"></divide><cn id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.7.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.7.2">1</cn><apply id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.7.3.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.7.3"><times id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.7.3.1.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.7.3.1"></times><apply id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.7.3.2.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.7.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.7.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.7.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.7.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.7.3.2.2">𝛼</ci><ci id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.7.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.7.3.2.3">𝑙</ci></apply><apply id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.7.3.3.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.7.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.7.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.7.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.7.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.7.3.3.2">𝛼</ci><ci id="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.7.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex76.m1.1.1.1.1.2.7.3.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex76.m1.1c">=(E_{21}^{T}+\tilde{S}_{21}^{T}){\bar{S}}_{22}M_{12}(\alpha_{k}E_{21}+\alpha% \bar{S}_{21})M_{21}\frac{1}{\alpha_{l}\alpha_{r}},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex76.m1.1d">= ( italic_E start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT + over~ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ) over¯ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_E start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT + italic_α over¯ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_M start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex77"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="(S_{22}^{+}+\alpha_{s}\tilde{S}_{22}^{T}){\widehat{S}}_{22}M_{22}\widehat{S}_{% 21}M_{21}" class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex77.m1.1"><semantics id="S5.Ex77.m1.1a"><mrow id="S5.Ex77.m1.1.1" xref="S5.Ex77.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex77.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex77.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex77.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex77.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex77.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex77.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S5.Ex77.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex77.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex77.m1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex77.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">S</mi><mn id="S5.Ex77.m1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex77.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">22</mn><mo id="S5.Ex77.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex77.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S5.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex77.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex77.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S5.Ex77.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex77.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex77.m1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex77.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex77.m1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex77.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">s</mi></msub><mo id="S5.Ex77.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex77.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup 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xref="S5.Ex77.m1.1.1.3.3.cmml">22</mn></msub><mo id="S5.Ex77.m1.1.1.2a" xref="S5.Ex77.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex77.m1.1.1.4" xref="S5.Ex77.m1.1.1.4.cmml"><mi id="S5.Ex77.m1.1.1.4.2" xref="S5.Ex77.m1.1.1.4.2.cmml">M</mi><mn id="S5.Ex77.m1.1.1.4.3" xref="S5.Ex77.m1.1.1.4.3.cmml">22</mn></msub><mo id="S5.Ex77.m1.1.1.2b" xref="S5.Ex77.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex77.m1.1.1.5" xref="S5.Ex77.m1.1.1.5.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex77.m1.1.1.5.2" xref="S5.Ex77.m1.1.1.5.2.cmml"><mi id="S5.Ex77.m1.1.1.5.2.2" xref="S5.Ex77.m1.1.1.5.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.Ex77.m1.1.1.5.2.1" xref="S5.Ex77.m1.1.1.5.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="S5.Ex77.m1.1.1.5.3" xref="S5.Ex77.m1.1.1.5.3.cmml">21</mn></msub><mo id="S5.Ex77.m1.1.1.2c" xref="S5.Ex77.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex77.m1.1.1.6" xref="S5.Ex77.m1.1.1.6.cmml"><mi id="S5.Ex77.m1.1.1.6.2" xref="S5.Ex77.m1.1.1.6.2.cmml">M</mi><mn id="S5.Ex77.m1.1.1.6.3" xref="S5.Ex77.m1.1.1.6.3.cmml">21</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex77.m1.1b"><apply id="S5.Ex77.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex77.m1.1.1"><times id="S5.Ex77.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex77.m1.1.1.2"></times><apply id="S5.Ex77.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex77.m1.1.1.1.1"><plus id="S5.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S5.Ex77.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex77.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex77.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex77.m1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex77.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex77.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex77.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex77.m1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex77.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex77.m1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑆</ci><cn id="S5.Ex77.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex77.m1.1.1.1.1.1.2.2.3">22</cn></apply><plus id="S5.Ex77.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex77.m1.1.1.1.1.1.2.3"></plus></apply><apply id="S5.Ex77.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" 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xref="S5.Ex77.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.1">~</ci><ci id="S5.Ex77.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex77.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.Ex77.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex77.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">22</cn></apply><ci id="S5.Ex77.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex77.m1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑇</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex77.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex77.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex77.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex77.m1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex77.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex77.m1.1.1.3.2"><ci id="S5.Ex77.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex77.m1.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="S5.Ex77.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex77.m1.1.1.3.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.Ex77.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex77.m1.1.1.3.3">22</cn></apply><apply id="S5.Ex77.m1.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex77.m1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex77.m1.1.1.4.1.cmml" xref="S5.Ex77.m1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex77.m1.1.1.4.2.cmml" xref="S5.Ex77.m1.1.1.4.2">𝑀</ci><cn id="S5.Ex77.m1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex77.m1.1.1.4.3">22</cn></apply><apply id="S5.Ex77.m1.1.1.5.cmml" xref="S5.Ex77.m1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex77.m1.1.1.5.1.cmml" xref="S5.Ex77.m1.1.1.5">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex77.m1.1.1.5.2.cmml" xref="S5.Ex77.m1.1.1.5.2"><ci id="S5.Ex77.m1.1.1.5.2.1.cmml" xref="S5.Ex77.m1.1.1.5.2.1">^</ci><ci id="S5.Ex77.m1.1.1.5.2.2.cmml" xref="S5.Ex77.m1.1.1.5.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.Ex77.m1.1.1.5.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex77.m1.1.1.5.3">21</cn></apply><apply id="S5.Ex77.m1.1.1.6.cmml" xref="S5.Ex77.m1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex77.m1.1.1.6.1.cmml" xref="S5.Ex77.m1.1.1.6">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex77.m1.1.1.6.2.cmml" xref="S5.Ex77.m1.1.1.6.2">𝑀</ci><cn id="S5.Ex77.m1.1.1.6.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex77.m1.1.1.6.3">21</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex77.m1.1c">(S_{22}^{+}+\alpha_{s}\tilde{S}_{22}^{T}){\widehat{S}}_{22}M_{22}\widehat{S}_{% 21}M_{21}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex77.m1.1d">( italic_S start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT + italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ) over^ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex78"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="=(E_{22}^{T}+\tilde{S}_{22}^{T})(\alpha_{s}E_{22}+\alpha{\bar{S}}_{22})M_{22}% \bar{S}_{21}M_{21}\frac{1}{\alpha_{l}\alpha_{r}}." class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex78.m1.1"><semantics id="S5.Ex78.m1.1a"><mrow id="S5.Ex78.m1.1.1.1" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.4" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.4.cmml"></mi><mo id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">E</mi><mn id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">22</mn><mi id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">22</mn><mi id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">T</mi></msubsup></mrow><mo id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" 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id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.3c" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.6" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.6.cmml"><mi id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.6.2" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.6.2.cmml">M</mi><mn id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.6.3" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.6.3.cmml">21</mn></msub><mo id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.3d" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mfrac id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.7" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.7.cmml"><mn id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.7.2" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.7.2.cmml">1</mn><mrow id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.7.3" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.7.3.cmml"><msub id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.7.3.2" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.7.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.7.3.2.2" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.7.3.2.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.7.3.2.3" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.7.3.2.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.7.3.1" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.7.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.7.3.3" 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id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><ci id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1">~</ci><ci id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">22</cn></apply><ci id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑇</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.2.1"><plus id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1"></plus><apply id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2"><times id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1"></times><apply id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2">𝛼</ci><ci id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3">𝑠</ci></apply><apply id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.2">𝐸</ci><cn id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3">22</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3"><times id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1"></times><ci id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2">𝛼</ci><apply id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2"><ci id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.1">¯</ci><ci id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3">22</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.4.2">𝑀</ci><cn id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.4.3">22</cn></apply><apply id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.5.cmml" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.5.1.cmml" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.5">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.5.2.cmml" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.5.2"><ci id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.5.2.1.cmml" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.5.2.1">¯</ci><ci id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.5.2.2.cmml" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.5.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.5.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.5.3">21</cn></apply><apply id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.6.cmml" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.6.1.cmml" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.6">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.6.2.cmml" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.6.2">𝑀</ci><cn id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.6.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.6.3">21</cn></apply><apply id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.7.cmml" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.7"><divide id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.7.1.cmml" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.7"></divide><cn id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.7.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.7.2">1</cn><apply id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.7.3.cmml" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.7.3"><times id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.7.3.1.cmml" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.7.3.1"></times><apply id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.7.3.2.cmml" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.7.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.7.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.7.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.7.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.7.3.2.2">𝛼</ci><ci id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.7.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.7.3.2.3">𝑙</ci></apply><apply id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.7.3.3.cmml" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.7.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.7.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.7.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.7.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.7.3.3.2">𝛼</ci><ci id="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.7.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex78.m1.1.1.1.1.2.7.3.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex78.m1.1c">=(E_{22}^{T}+\tilde{S}_{22}^{T})(\alpha_{s}E_{22}+\alpha{\bar{S}}_{22})M_{22}% \bar{S}_{21}M_{21}\frac{1}{\alpha_{l}\alpha_{r}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex78.m1.1d">= ( italic_E start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT + over~ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ) ( italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT italic_E start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT + italic_α over¯ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_M start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT over¯ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p20.1">Therefore, if we denote <math alttext="(E_{S}+\bar{S})^{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p20.1.m1.1"><semantics id="S5.p20.1.m1.1a"><msup id="S5.p20.1.m1.1.1" xref="S5.p20.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.p20.1.m1.1.1.1.1" xref="S5.p20.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.p20.1.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.p20.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.p20.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.p20.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.p20.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.p20.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p20.1.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.p20.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">E</mi><mi id="S5.p20.1.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.p20.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">S</mi></msub><mo id="S5.p20.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.p20.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mover accent="true" id="S5.p20.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.p20.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p20.1.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.p20.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">S</mi><mo id="S5.p20.1.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.p20.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><mo id="S5.p20.1.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.p20.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S5.p20.1.m1.1.1.3" xref="S5.p20.1.m1.1.1.3.cmml">T</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p20.1.m1.1b"><apply id="S5.p20.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p20.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p20.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p20.1.m1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.p20.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p20.1.m1.1.1.1.1"><plus id="S5.p20.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p20.1.m1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S5.p20.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p20.1.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p20.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p20.1.m1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p20.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p20.1.m1.1.1.1.1.1.2.2">𝐸</ci><ci id="S5.p20.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p20.1.m1.1.1.1.1.1.2.3">𝑆</ci></apply><apply id="S5.p20.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p20.1.m1.1.1.1.1.1.3"><ci id="S5.p20.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p20.1.m1.1.1.1.1.1.3.1">¯</ci><ci id="S5.p20.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p20.1.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑆</ci></apply></apply><ci id="S5.p20.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.p20.1.m1.1.1.3">𝑇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p20.1.m1.1c">(E_{S}+\bar{S})^{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p20.1.m1.1d">( italic_E start_POSTSUBSCRIPT italic_S end_POSTSUBSCRIPT + over¯ start_ARG italic_S end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex79"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\left[\begin{array}[]{cc}E^{\prime}_{11}&E^{\prime}_{12}\\ E^{\prime}_{21}&E^{\prime}_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{cc}E_{% 11}^{T}+\tilde{S}_{11}^{T}&E_{21}^{T}+\tilde{S}_{21}^{T}\\ E_{12}^{T}+\tilde{S}_{12}^{T}&E_{22}^{T}+\tilde{S}_{22}^{T}\end{array}\right]," class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex79.m1.3"><semantics id="S5.Ex79.m1.3a"><mrow id="S5.Ex79.m1.3.3.1" xref="S5.Ex79.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex79.m1.3.3.1.1" xref="S5.Ex79.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex79.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S5.Ex79.m1.3.3.1.1.2.1.cmml"><mo id="S5.Ex79.m1.3.3.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex79.m1.3.3.1.1.2.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S5.Ex79.m1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S5.Ex79.m1.1.1.cmml"><mtr id="S5.Ex79.m1.1.1a" xref="S5.Ex79.m1.1.1.cmml"><mtd id="S5.Ex79.m1.1.1b" 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id="S5.Ex79.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex79.m1.1.1.2.2.1">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex79.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex79.m1.1.1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex79.m1.1.1.2.2.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex79.m1.1.1.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex79.m1.1.1.2.2.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex79.m1.1.1.2.2.1.2.2">𝐸</ci><ci id="S5.Ex79.m1.1.1.2.2.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex79.m1.1.1.2.2.1.2.3">′</ci></apply><cn id="S5.Ex79.m1.1.1.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex79.m1.1.1.2.2.1.3">22</cn></apply></matrixrow></matrix></apply><apply id="S5.Ex79.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex79.m1.3.3.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex79.m1.3.3.1.1.3.1.1.cmml" xref="S5.Ex79.m1.3.3.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S5.Ex79.m1.2.2.cmml" xref="S5.Ex79.m1.2.2"><matrixrow id="S5.Ex79.m1.2.2a.cmml" xref="S5.Ex79.m1.2.2"><apply id="S5.Ex79.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex79.m1.2.2.1.1.1"><plus id="S5.Ex79.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex79.m1.2.2.1.1.1.1"></plus><apply 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end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_S start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_S start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_S start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARRAY ] = [ start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_α italic_E start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT + italic_α over¯ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_E start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT + italic_α over¯ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT italic_E start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT + italic_α over¯ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT italic_E start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT + italic_α over¯ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARRAY ] ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex81"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="L_{3}^{\prime}=L_{3}I^{\lambda^{-1}}_{12}{\widehat{S}}_{12}M_{12}{\widehat{S}}% _{11}M_{11},\ \ U_{2}^{\prime}=W_{11}\widehat{S}_{11}W_{21}\widehat{S}_{21}U_{% 2}," class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex81.m1.1"><semantics id="S5.Ex81.m1.1a"><mrow id="S5.Ex81.m1.1.1.1"><mrow id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2" 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xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">I</mi><mn id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">12</mn><msup id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">λ</mi><mrow id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml"><mo id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3a" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></msubsup><mo id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.1" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">12</mn></msub><mo id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.1b" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.5" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.cmml"><mi id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.2" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.cmml">M</mi><mn id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.3" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.cmml">12</mn></msub><mo id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.1c" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.6" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.6.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.6.2" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.6.2.cmml"><mi id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.6.2.2" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.6.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.6.2.1" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.6.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.6.3" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.6.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.1d" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.7" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.7.cmml"><mi id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.7.2" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.7.2.cmml">M</mi><mn id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.7.3" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.7.3.cmml">11</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><msubsup id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">U</mi><mn id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">2</mn><mo id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><msub id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml">W</mi><mn id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.1a" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.4" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.4.cmml"><mi id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.4.2" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.4.2.cmml">W</mi><mn id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.4.3" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.4.3.cmml">21</mn></msub><mo id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.1b" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.5" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.5.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.5.2" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.5.2.cmml"><mi id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.5.2.2" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.5.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.5.2.1" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.5.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.5.3" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.5.3.cmml">21</mn></msub><mo id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.1c" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.6" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.6.cmml"><mi id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.6.2" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.6.2.cmml">U</mi><mn id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.6.3" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.6.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex81.m1.1.1.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex81.m1.1b"><apply id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" 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id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝐼</ci><apply id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2">𝜆</ci><apply id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3"><minus id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3"></minus><cn id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2">1</cn></apply></apply></apply><cn id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">12</cn></apply><apply id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.4">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2"><ci id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.1">^</ci><ci id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.3">12</cn></apply><apply id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.1.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.5">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.2">𝑀</ci><cn id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.3">12</cn></apply><apply id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.6.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.6.1.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.6">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.6.2.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.6.2"><ci id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.6.2.1.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.6.2.1">^</ci><ci id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.6.2.2.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.6.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.6.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.6.3">11</cn></apply><apply id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.7.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.7.1.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.7">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.7.2.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.7.2">𝑀</ci><cn id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.7.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1.3.7.3">11</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2"><eq id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.1"></eq><apply id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝑈</ci><cn id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">2</cn></apply><ci id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.2.3">′</ci></apply><apply id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><apply id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2">𝑊</ci><cn id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3">11</cn></apply><apply id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2"><ci id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1">^</ci><ci id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3">11</cn></apply><apply id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.4.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.4.1.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.4">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.4.2.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.4.2">𝑊</ci><cn id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.4.3">21</cn></apply><apply id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.5.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.5.1.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.5">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.5.2.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.5.2"><ci id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.5.2.1.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.5.2.1">^</ci><ci id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.5.2.2.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.5.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.5.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.5.3">21</cn></apply><apply id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.6.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.6.1.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.6">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.6.2.cmml" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.6.2">𝑈</ci><cn id="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.6.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex81.m1.1.1.1.1.2.2.3.6.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex81.m1.1c">L_{3}^{\prime}=L_{3}I^{\lambda^{-1}}_{12}{\widehat{S}}_{12}M_{12}{\widehat{S}}% _{11}M_{11},\ \ U_{2}^{\prime}=W_{11}\widehat{S}_{11}W_{21}\widehat{S}_{21}U_{% 2},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex81.m1.1d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT = italic_L start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT italic_I start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT , italic_U start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT = italic_W start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p20.3">then, based on (23) and (25), we get</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex82"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="M=\left[\begin{array}[]{cc}E^{\prime}_{11}\bar{S}_{12}M_{12}S^{\prime}_{11}M_{% 11}&E^{\prime}_{12}\bar{S}_{22}M_{22}S^{\prime}_{21}M_{21}\\ E^{\prime}_{21}S^{\prime}_{12}M_{12}\bar{S}_{11}M_{11}&E^{\prime}_{22}S^{% \prime}_{22}M_{22}\bar{S}_{21}M_{21}\end{array}\right]" class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex82.m1.1"><semantics id="S5.Ex82.m1.1a"><mrow id="S5.Ex82.m1.1.2" xref="S5.Ex82.m1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex82.m1.1.2.2" xref="S5.Ex82.m1.1.2.2.cmml">M</mi><mo id="S5.Ex82.m1.1.2.1" xref="S5.Ex82.m1.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex82.m1.1.2.3.2" xref="S5.Ex82.m1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S5.Ex82.m1.1.2.3.2.1" xref="S5.Ex82.m1.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S5.Ex82.m1.1.1" rowspacing="0pt" 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id="S5.Ex82.m1.1.1.2.1.1.1a" xref="S5.Ex82.m1.1.1.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex82.m1.1.1.2.1.1.4" xref="S5.Ex82.m1.1.1.2.1.1.4.cmml"><mi id="S5.Ex82.m1.1.1.2.1.1.4.2" xref="S5.Ex82.m1.1.1.2.1.1.4.2.cmml">M</mi><mn id="S5.Ex82.m1.1.1.2.1.1.4.3" xref="S5.Ex82.m1.1.1.2.1.1.4.3.cmml">12</mn></msub><mo id="S5.Ex82.m1.1.1.2.1.1.1b" xref="S5.Ex82.m1.1.1.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex82.m1.1.1.2.1.1.5" xref="S5.Ex82.m1.1.1.2.1.1.5.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex82.m1.1.1.2.1.1.5.2" xref="S5.Ex82.m1.1.1.2.1.1.5.2.cmml"><mi id="S5.Ex82.m1.1.1.2.1.1.5.2.2" xref="S5.Ex82.m1.1.1.2.1.1.5.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.Ex82.m1.1.1.2.1.1.5.2.1" xref="S5.Ex82.m1.1.1.2.1.1.5.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex82.m1.1.1.2.1.1.5.3" xref="S5.Ex82.m1.1.1.2.1.1.5.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S5.Ex82.m1.1.1.2.1.1.1c" xref="S5.Ex82.m1.1.1.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex82.m1.1.1.2.1.1.6" xref="S5.Ex82.m1.1.1.2.1.1.6.cmml"><mi id="S5.Ex82.m1.1.1.2.1.1.6.2" 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id="S5.Ex82.m1.1.1.2.2.1.1a" xref="S5.Ex82.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex82.m1.1.1.2.2.1.4" xref="S5.Ex82.m1.1.1.2.2.1.4.cmml"><mi id="S5.Ex82.m1.1.1.2.2.1.4.2" xref="S5.Ex82.m1.1.1.2.2.1.4.2.cmml">M</mi><mn id="S5.Ex82.m1.1.1.2.2.1.4.3" xref="S5.Ex82.m1.1.1.2.2.1.4.3.cmml">22</mn></msub><mo id="S5.Ex82.m1.1.1.2.2.1.1b" xref="S5.Ex82.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex82.m1.1.1.2.2.1.5" xref="S5.Ex82.m1.1.1.2.2.1.5.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex82.m1.1.1.2.2.1.5.2" xref="S5.Ex82.m1.1.1.2.2.1.5.2.cmml"><mi id="S5.Ex82.m1.1.1.2.2.1.5.2.2" xref="S5.Ex82.m1.1.1.2.2.1.5.2.2.cmml">S</mi><mo id="S5.Ex82.m1.1.1.2.2.1.5.2.1" xref="S5.Ex82.m1.1.1.2.2.1.5.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S5.Ex82.m1.1.1.2.2.1.5.3" xref="S5.Ex82.m1.1.1.2.2.1.5.3.cmml">21</mn></msub><mo id="S5.Ex82.m1.1.1.2.2.1.1c" xref="S5.Ex82.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex82.m1.1.1.2.2.1.6" xref="S5.Ex82.m1.1.1.2.2.1.6.cmml"><mi id="S5.Ex82.m1.1.1.2.2.1.6.2" 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id="S5.Ex82.m1.1.1.2.2.1.5.2.1.cmml" xref="S5.Ex82.m1.1.1.2.2.1.5.2.1">¯</ci><ci id="S5.Ex82.m1.1.1.2.2.1.5.2.2.cmml" xref="S5.Ex82.m1.1.1.2.2.1.5.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.Ex82.m1.1.1.2.2.1.5.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex82.m1.1.1.2.2.1.5.3">21</cn></apply><apply id="S5.Ex82.m1.1.1.2.2.1.6.cmml" xref="S5.Ex82.m1.1.1.2.2.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex82.m1.1.1.2.2.1.6.1.cmml" xref="S5.Ex82.m1.1.1.2.2.1.6">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex82.m1.1.1.2.2.1.6.2.cmml" xref="S5.Ex82.m1.1.1.2.2.1.6.2">𝑀</ci><cn id="S5.Ex82.m1.1.1.2.2.1.6.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex82.m1.1.1.2.2.1.6.3">21</cn></apply></apply></matrixrow></matrix></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex82.m1.1c">M=\left[\begin{array}[]{cc}E^{\prime}_{11}\bar{S}_{12}M_{12}S^{\prime}_{11}M_{% 11}&E^{\prime}_{12}\bar{S}_{22}M_{22}S^{\prime}_{21}M_{21}\\ E^{\prime}_{21}S^{\prime}_{12}M_{12}\bar{S}_{11}M_{11}&E^{\prime}_{22}S^{% \prime}_{22}M_{22}\bar{S}_{21}M_{21}\end{array}\right]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex82.m1.1d">italic_M = [ start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_E start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT over¯ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT italic_S start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_E start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT over¯ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT italic_S start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_E start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_S start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT over¯ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_E start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT italic_S start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT over¯ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARRAY ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex83"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\times\left[\begin{array}[]{cc}\frac{1}{\alpha_{m}\alpha_{k}}&0\\ -\frac{1}{\alpha_{l}\alpha_{r}}L_{3}^{\prime}&\frac{1}{\alpha_{l}\alpha_{r}}% \end{array}\right]\frac{\alpha_{r}}{\alpha}." class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex83.m1.2"><semantics id="S5.Ex83.m1.2a"><mrow id="S5.Ex83.m1.2.2.1" xref="S5.Ex83.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex83.m1.2.2.1.1" xref="S5.Ex83.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex83.m1.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex83.m1.2.2.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S5.Ex83.m1.2.2.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S5.Ex83.m1.2.2.1.1.1.cmml">×</mo><mrow id="S5.Ex83.m1.2.2.1.1.3" xref="S5.Ex83.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex83.m1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex83.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml"><mo id="S5.Ex83.m1.2.2.1.1.3.2.2.1" xref="S5.Ex83.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S5.Ex83.m1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S5.Ex83.m1.1.1.cmml"><mtr id="S5.Ex83.m1.1.1a" xref="S5.Ex83.m1.1.1.cmml"><mtd id="S5.Ex83.m1.1.1b" xref="S5.Ex83.m1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S5.Ex83.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex83.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S5.Ex83.m1.1.1.1.1.1a" xref="S5.Ex83.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.Ex83.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex83.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mrow id="S5.Ex83.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex83.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S5.Ex83.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex83.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex83.m1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex83.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex83.m1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex83.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S5.Ex83.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex83.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex83.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex83.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex83.m1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex83.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex83.m1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex83.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow></mfrac></mstyle></mtd><mtd id="S5.Ex83.m1.1.1c" xref="S5.Ex83.m1.1.1.cmml"><mn id="S5.Ex83.m1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex83.m1.1.1.1.2.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="S5.Ex83.m1.1.1d" xref="S5.Ex83.m1.1.1.cmml"><mtd id="S5.Ex83.m1.1.1e" xref="S5.Ex83.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1" xref="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1a" xref="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2" xref="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.2" xref="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.2a" xref="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.2.cmml"><mn id="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.2.3.cmml"><msub id="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.2.3.2" xref="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.2.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.2.3.2.2" xref="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.2.3.2.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.2.3.2.3" xref="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.2.3.2.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.2.3.1" xref="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.2.3.3" xref="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.2.3.3.2" xref="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.2.3.3.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.2.3.3.3" xref="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.2.3.3.3.cmml">r</mi></msub></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.1" xref="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.3" xref="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.2" xref="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.2.cmml">L</mi><mn id="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.3" xref="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.3.cmml">3</mn><mo id="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.3.3" xref="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.3.3.cmml">′</mo></msubsup></mrow></mrow></mtd><mtd id="S5.Ex83.m1.1.1f" xref="S5.Ex83.m1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S5.Ex83.m1.1.1.2.2.1" 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xref="S5.Ex83.m1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S5.Ex83.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S5.Ex83.m1.2.2.1.1.3.3.cmml"><msub id="S5.Ex83.m1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex83.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex83.m1.2.2.1.1.3.3.2.2" xref="S5.Ex83.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex83.m1.2.2.1.1.3.3.2.3" xref="S5.Ex83.m1.2.2.1.1.3.3.2.3.cmml">r</mi></msub><mi id="S5.Ex83.m1.2.2.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex83.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml">α</mi></mfrac></mrow></mrow><mo id="S5.Ex83.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S5.Ex83.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex83.m1.2b"><apply id="S5.Ex83.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex83.m1.2.2.1"><times id="S5.Ex83.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex83.m1.2.2.1.1.1"></times><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex83.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex83.m1.2.2.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S5.Ex83.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex83.m1.2.2.1.1.3"><times id="S5.Ex83.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex83.m1.2.2.1.1.3.1"></times><apply 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xref="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.2"></divide><cn id="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.2.2">1</cn><apply id="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.2.3"><times id="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.2.3.1"></times><apply id="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.2.3.2.2">𝛼</ci><ci id="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.2.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.2.3.2.3">𝑙</ci></apply><apply id="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.2.3.3.2">𝛼</ci><ci id="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.2.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.2.3.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.2">𝐿</ci><cn id="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.3">3</cn></apply><ci id="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex83.m1.1.1.2.1.1.2.3.3">′</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex83.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex83.m1.1.1.2.2.1"><divide id="S5.Ex83.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex83.m1.1.1.2.2.1"></divide><cn id="S5.Ex83.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex83.m1.1.1.2.2.1.2">1</cn><apply id="S5.Ex83.m1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="S5.Ex83.m1.1.1.2.2.1.3"><times id="S5.Ex83.m1.1.1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex83.m1.1.1.2.2.1.3.1"></times><apply id="S5.Ex83.m1.1.1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex83.m1.1.1.2.2.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex83.m1.1.1.2.2.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex83.m1.1.1.2.2.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex83.m1.1.1.2.2.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex83.m1.1.1.2.2.1.3.2.2">𝛼</ci><ci id="S5.Ex83.m1.1.1.2.2.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex83.m1.1.1.2.2.1.3.2.3">𝑙</ci></apply><apply id="S5.Ex83.m1.1.1.2.2.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex83.m1.1.1.2.2.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex83.m1.1.1.2.2.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex83.m1.1.1.2.2.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex83.m1.1.1.2.2.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex83.m1.1.1.2.2.1.3.3.2">𝛼</ci><ci id="S5.Ex83.m1.1.1.2.2.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex83.m1.1.1.2.2.1.3.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply></matrixrow></matrix></apply><apply id="S5.Ex83.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex83.m1.2.2.1.1.3.3"><divide id="S5.Ex83.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex83.m1.2.2.1.1.3.3"></divide><apply id="S5.Ex83.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex83.m1.2.2.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex83.m1.2.2.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex83.m1.2.2.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex83.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex83.m1.2.2.1.1.3.3.2.2">𝛼</ci><ci id="S5.Ex83.m1.2.2.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex83.m1.2.2.1.1.3.3.2.3">𝑟</ci></apply><ci id="S5.Ex83.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex83.m1.2.2.1.1.3.3.3">𝛼</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex83.m1.2c">\times\left[\begin{array}[]{cc}\frac{1}{\alpha_{m}\alpha_{k}}&0\\ -\frac{1}{\alpha_{l}\alpha_{r}}L_{3}^{\prime}&\frac{1}{\alpha_{l}\alpha_{r}}% \end{array}\right]\frac{\alpha_{r}}{\alpha}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex83.m1.2d">× [ start_ARRAY start_ROW start_CELL divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_L start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT end_ARG end_CELL end_ROW end_ARRAY ] divide start_ARG italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_α end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right"><math class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex83.1.1.m1.1"><semantics id="S5.Ex83.1.1.m1.1b"><mrow id="S5.Ex83.1.1.m1.1.2.2"><mo id="S5.Ex83.1.1.m1.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S5.Ex83.1.1.m1.1.1" xref="S5.Ex83.1.1.m1.1.1.cmml">26</mn><mo id="S5.Ex83.1.1.m1.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex83.1.1.m1.1c"><cn id="S5.Ex83.1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex83.1.1.m1.1.1">26</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex83.1.1.m1.1d">( 26 )</annotation></semantics></math></span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p20.4">Similarly, it is easy to show that starting from (24) and (25), we get</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex84"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="W=\frac{\alpha_{r}}{\alpha}\left[\begin{array}[]{cc}\frac{1}{\alpha_{k}\alpha_% {l}}&-\frac{1}{\alpha_{m}\alpha_{r}}U^{\prime}_{2}\\ 0&\frac{1}{\alpha_{m}\alpha_{r}}\end{array}\right]" class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex84.m1.1"><semantics id="S5.Ex84.m1.1a"><mrow id="S5.Ex84.m1.1.2" xref="S5.Ex84.m1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex84.m1.1.2.2" xref="S5.Ex84.m1.1.2.2.cmml">W</mi><mo id="S5.Ex84.m1.1.2.1" xref="S5.Ex84.m1.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex84.m1.1.2.3" xref="S5.Ex84.m1.1.2.3.cmml"><mfrac id="S5.Ex84.m1.1.2.3.2" xref="S5.Ex84.m1.1.2.3.2.cmml"><msub id="S5.Ex84.m1.1.2.3.2.2" xref="S5.Ex84.m1.1.2.3.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex84.m1.1.2.3.2.2.2" xref="S5.Ex84.m1.1.2.3.2.2.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex84.m1.1.2.3.2.2.3" xref="S5.Ex84.m1.1.2.3.2.2.3.cmml">r</mi></msub><mi id="S5.Ex84.m1.1.2.3.2.3" xref="S5.Ex84.m1.1.2.3.2.3.cmml">α</mi></mfrac><mo id="S5.Ex84.m1.1.2.3.1" xref="S5.Ex84.m1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex84.m1.1.2.3.3.2" xref="S5.Ex84.m1.1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S5.Ex84.m1.1.2.3.3.2.1" xref="S5.Ex84.m1.1.2.3.3.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S5.Ex84.m1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S5.Ex84.m1.1.1.cmml"><mtr id="S5.Ex84.m1.1.1a" xref="S5.Ex84.m1.1.1.cmml"><mtd id="S5.Ex84.m1.1.1b" xref="S5.Ex84.m1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S5.Ex84.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex84.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S5.Ex84.m1.1.1.1.1.1a" xref="S5.Ex84.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.Ex84.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex84.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mrow id="S5.Ex84.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex84.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S5.Ex84.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex84.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex84.m1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex84.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex84.m1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex84.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S5.Ex84.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex84.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex84.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex84.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex84.m1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex84.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex84.m1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex84.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">l</mi></msub></mrow></mfrac></mstyle></mtd><mtd id="S5.Ex84.m1.1.1c" xref="S5.Ex84.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.cmml"><mo id="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1a" xref="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2" xref="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.2" xref="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.2a" xref="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.2.cmml"><mn id="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.2.2" xref="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.2.3" xref="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.cmml"><msub id="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.2" xref="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.2.2" xref="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.2.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.2.3" xref="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.1" xref="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.3" xref="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.3.2" xref="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.3.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.3.3" xref="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.3.3.cmml">r</mi></msub></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.1" xref="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.3" xref="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.3.2.2" xref="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.3.2.2.cmml">U</mi><mn id="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.3.3" xref="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.3.3.cmml">2</mn><mo id="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.3.2.3" xref="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.3.2.3.cmml">′</mo></msubsup></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S5.Ex84.m1.1.1d" xref="S5.Ex84.m1.1.1.cmml"><mtd id="S5.Ex84.m1.1.1e" xref="S5.Ex84.m1.1.1.cmml"><mn id="S5.Ex84.m1.1.1.2.1.1" xref="S5.Ex84.m1.1.1.2.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S5.Ex84.m1.1.1f" xref="S5.Ex84.m1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S5.Ex84.m1.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex84.m1.1.1.2.2.1.cmml"><mfrac id="S5.Ex84.m1.1.1.2.2.1a" xref="S5.Ex84.m1.1.1.2.2.1.cmml"><mn id="S5.Ex84.m1.1.1.2.2.1.2" xref="S5.Ex84.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">1</mn><mrow id="S5.Ex84.m1.1.1.2.2.1.3" xref="S5.Ex84.m1.1.1.2.2.1.3.cmml"><msub id="S5.Ex84.m1.1.1.2.2.1.3.2" xref="S5.Ex84.m1.1.1.2.2.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex84.m1.1.1.2.2.1.3.2.2" xref="S5.Ex84.m1.1.1.2.2.1.3.2.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex84.m1.1.1.2.2.1.3.2.3" xref="S5.Ex84.m1.1.1.2.2.1.3.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S5.Ex84.m1.1.1.2.2.1.3.1" xref="S5.Ex84.m1.1.1.2.2.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex84.m1.1.1.2.2.1.3.3" xref="S5.Ex84.m1.1.1.2.2.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex84.m1.1.1.2.2.1.3.3.2" xref="S5.Ex84.m1.1.1.2.2.1.3.3.2.cmml">α</mi><mi id="S5.Ex84.m1.1.1.2.2.1.3.3.3" xref="S5.Ex84.m1.1.1.2.2.1.3.3.3.cmml">r</mi></msub></mrow></mfrac></mstyle></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.Ex84.m1.1.2.3.3.2.2" xref="S5.Ex84.m1.1.2.3.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex84.m1.1b"><apply id="S5.Ex84.m1.1.2.cmml" xref="S5.Ex84.m1.1.2"><eq id="S5.Ex84.m1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex84.m1.1.2.1"></eq><ci id="S5.Ex84.m1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex84.m1.1.2.2">𝑊</ci><apply id="S5.Ex84.m1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex84.m1.1.2.3"><times id="S5.Ex84.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex84.m1.1.2.3.1"></times><apply id="S5.Ex84.m1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex84.m1.1.2.3.2"><divide id="S5.Ex84.m1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex84.m1.1.2.3.2"></divide><apply id="S5.Ex84.m1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex84.m1.1.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex84.m1.1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex84.m1.1.2.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex84.m1.1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex84.m1.1.2.3.2.2.2">𝛼</ci><ci id="S5.Ex84.m1.1.2.3.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex84.m1.1.2.3.2.2.3">𝑟</ci></apply><ci id="S5.Ex84.m1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex84.m1.1.2.3.2.3">𝛼</ci></apply><apply id="S5.Ex84.m1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex84.m1.1.2.3.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex84.m1.1.2.3.3.1.1.cmml" xref="S5.Ex84.m1.1.2.3.3.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S5.Ex84.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex84.m1.1.1"><matrixrow id="S5.Ex84.m1.1.1a.cmml" xref="S5.Ex84.m1.1.1"><apply id="S5.Ex84.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex84.m1.1.1.1.1.1"><divide id="S5.Ex84.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex84.m1.1.1.1.1.1"></divide><cn id="S5.Ex84.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex84.m1.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S5.Ex84.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex84.m1.1.1.1.1.1.3"><times id="S5.Ex84.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex84.m1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S5.Ex84.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex84.m1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex84.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex84.m1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci 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id="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.2.2">1</cn><apply id="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.2.3"><times id="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.1"></times><apply id="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.2.2">𝛼</ci><ci id="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.3.2">𝛼</ci><ci id="S5.Ex84.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.3.3.cmml" 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id="S5.Ex84.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex84.m1.1.1.2.2.1"></divide><cn id="S5.Ex84.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex84.m1.1.1.2.2.1.2">1</cn><apply id="S5.Ex84.m1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="S5.Ex84.m1.1.1.2.2.1.3"><times id="S5.Ex84.m1.1.1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex84.m1.1.1.2.2.1.3.1"></times><apply id="S5.Ex84.m1.1.1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex84.m1.1.1.2.2.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex84.m1.1.1.2.2.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex84.m1.1.1.2.2.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex84.m1.1.1.2.2.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex84.m1.1.1.2.2.1.3.2.2">𝛼</ci><ci id="S5.Ex84.m1.1.1.2.2.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex84.m1.1.1.2.2.1.3.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S5.Ex84.m1.1.1.2.2.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex84.m1.1.1.2.2.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex84.m1.1.1.2.2.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex84.m1.1.1.2.2.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex84.m1.1.1.2.2.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex84.m1.1.1.2.2.1.3.3.2">𝛼</ci><ci id="S5.Ex84.m1.1.1.2.2.1.3.3.3.cmml" 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id="S5.Ex85.m1.1.1.1.2.1.5.2.3.cmml" xref="S5.Ex85.m1.1.1.1.2.1.5.2.3">′</ci></apply><cn id="S5.Ex85.m1.1.1.1.2.1.5.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex85.m1.1.1.1.2.1.5.3">21</cn></apply><apply id="S5.Ex85.m1.1.1.1.2.1.6.cmml" xref="S5.Ex85.m1.1.1.1.2.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex85.m1.1.1.1.2.1.6.1.cmml" xref="S5.Ex85.m1.1.1.1.2.1.6">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex85.m1.1.1.1.2.1.6.2.cmml" xref="S5.Ex85.m1.1.1.1.2.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex85.m1.1.1.1.2.1.6.2.1.cmml" xref="S5.Ex85.m1.1.1.1.2.1.6">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex85.m1.1.1.1.2.1.6.2.2.cmml" xref="S5.Ex85.m1.1.1.1.2.1.6.2.2">𝐸</ci><ci id="S5.Ex85.m1.1.1.1.2.1.6.2.3.cmml" xref="S5.Ex85.m1.1.1.1.2.1.6.2.3">′</ci></apply><cn id="S5.Ex85.m1.1.1.1.2.1.6.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex85.m1.1.1.1.2.1.6.3">12</cn></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S5.Ex85.m1.1.1b.cmml" xref="S5.Ex85.m1.1.1"><apply id="S5.Ex85.m1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex85.m1.1.1.2.1.1"><times 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xref="S5.Ex85.m1.1.1.2.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex85.m1.1.1.2.1.1.6.1.cmml" xref="S5.Ex85.m1.1.1.2.1.1.6">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex85.m1.1.1.2.1.1.6.2.cmml" xref="S5.Ex85.m1.1.1.2.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex85.m1.1.1.2.1.1.6.2.1.cmml" xref="S5.Ex85.m1.1.1.2.1.1.6">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex85.m1.1.1.2.1.1.6.2.2.cmml" xref="S5.Ex85.m1.1.1.2.1.1.6.2.2">𝐸</ci><ci id="S5.Ex85.m1.1.1.2.1.1.6.2.3.cmml" xref="S5.Ex85.m1.1.1.2.1.1.6.2.3">′</ci></apply><cn id="S5.Ex85.m1.1.1.2.1.1.6.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex85.m1.1.1.2.1.1.6.3">21</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1"><times id="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.1"></times><apply id="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.2.2">𝑊</ci><cn id="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.2.3">12</cn></apply><apply id="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.3.2"><ci id="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.3.2.1">¯</ci><ci id="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.3.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.3.3">12</cn></apply><apply id="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.4.cmml" xref="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.4.1.cmml" xref="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.4">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.4.2.cmml" xref="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.4.2">𝑊</ci><cn id="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.4.3">22</cn></apply><apply id="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.5.cmml" xref="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.5.1.cmml" xref="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.5">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.5.2.cmml" xref="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.5.2.1.cmml" xref="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.5">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.5.2.2.cmml" xref="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.5.2.2">𝑆</ci><ci id="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.5.2.3.cmml" xref="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.5.2.3">′</ci></apply><cn id="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.5.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.5.3">22</cn></apply><apply id="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.6.cmml" xref="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.6.1.cmml" xref="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.6">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.6.2.cmml" xref="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.6.2.1.cmml" xref="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.6">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.6.2.2.cmml" xref="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.6.2.2">𝐸</ci><ci id="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.6.2.3.cmml" xref="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.6.2.3">′</ci></apply><cn id="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.6.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex85.m1.1.1.2.2.1.6.3">22</cn></apply></apply></matrixrow></matrix></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex85.m1.2c">\times\left[\begin{array}[]{cc}W_{11}S^{\prime}_{11}W_{21}\bar{S}_{21}E^{% \prime}_{11}&W_{11}\bar{S}_{11}W_{21}S^{\prime}_{21}E^{\prime}_{12}\\ W_{12}S^{\prime}_{12}W_{22}\bar{S}_{22}E^{\prime}_{21}&W_{12}\bar{S}_{12}W_{22% }S^{\prime}_{22}E^{\prime}_{22}\end{array}\right].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex85.m1.2d">× [ start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_W start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT italic_S start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT over¯ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_E start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_W start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT over¯ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_S start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_E start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_W start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT italic_S start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT over¯ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT italic_E start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_W start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT over¯ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT italic_S start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT italic_E start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARRAY ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right"><math class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex85.1.1.m1.1"><semantics id="S5.Ex85.1.1.m1.1b"><mrow id="S5.Ex85.1.1.m1.1.2.2"><mo id="S5.Ex85.1.1.m1.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S5.Ex85.1.1.m1.1.1" xref="S5.Ex85.1.1.m1.1.1.cmml">27</mn><mo id="S5.Ex85.1.1.m1.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex85.1.1.m1.1c"><cn id="S5.Ex85.1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex85.1.1.m1.1.1">27</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex85.1.1.m1.1d">( 27 )</annotation></semantics></math></span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p21"> <p class="ltx_p" id="S5.p21.5">In the expressions (18) - (27), the LSU-decomposition of the matrix <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p21.1.m1.1"><semantics id="S5.p21.1.m1.1a"><mi id="S5.p21.1.m1.1.1" xref="S5.p21.1.m1.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p21.1.m1.1b"><ci id="S5.p21.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p21.1.m1.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p21.1.m1.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p21.1.m1.1d">italic_A</annotation></semantics></math> are given and the matrices <math alttext="W" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p21.2.m2.1"><semantics id="S5.p21.2.m2.1a"><mi id="S5.p21.2.m2.1.1" xref="S5.p21.2.m2.1.1.cmml">W</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p21.2.m2.1b"><ci id="S5.p21.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.p21.2.m2.1.1">𝑊</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p21.2.m2.1c">W</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p21.2.m2.1d">italic_W</annotation></semantics></math> and <math alttext="M" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p21.3.m3.1"><semantics id="S5.p21.3.m3.1a"><mi id="S5.p21.3.m3.1.1" xref="S5.p21.3.m3.1.1.cmml">M</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p21.3.m3.1b"><ci id="S5.p21.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.p21.3.m3.1.1">𝑀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p21.3.m3.1c">M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p21.3.m3.1d">italic_M</annotation></semantics></math> that satisfy the conditions <math alttext="L\hat{S}M={\mathbf{I}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p21.4.m4.1"><semantics id="S5.p21.4.m4.1a"><mrow id="S5.p21.4.m4.1.1" xref="S5.p21.4.m4.1.1.cmml"><mrow id="S5.p21.4.m4.1.1.2" xref="S5.p21.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p21.4.m4.1.1.2.2" xref="S5.p21.4.m4.1.1.2.2.cmml">L</mi><mo id="S5.p21.4.m4.1.1.2.1" xref="S5.p21.4.m4.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S5.p21.4.m4.1.1.2.3" xref="S5.p21.4.m4.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.p21.4.m4.1.1.2.3.2" xref="S5.p21.4.m4.1.1.2.3.2.cmml">S</mi><mo id="S5.p21.4.m4.1.1.2.3.1" xref="S5.p21.4.m4.1.1.2.3.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S5.p21.4.m4.1.1.2.1a" xref="S5.p21.4.m4.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p21.4.m4.1.1.2.4" xref="S5.p21.4.m4.1.1.2.4.cmml">M</mi></mrow><mo id="S5.p21.4.m4.1.1.1" xref="S5.p21.4.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S5.p21.4.m4.1.1.3" xref="S5.p21.4.m4.1.1.3.cmml">𝐈</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p21.4.m4.1b"><apply id="S5.p21.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.p21.4.m4.1.1"><eq id="S5.p21.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S5.p21.4.m4.1.1.1"></eq><apply id="S5.p21.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S5.p21.4.m4.1.1.2"><times id="S5.p21.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p21.4.m4.1.1.2.1"></times><ci id="S5.p21.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p21.4.m4.1.1.2.2">𝐿</ci><apply id="S5.p21.4.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p21.4.m4.1.1.2.3"><ci id="S5.p21.4.m4.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.p21.4.m4.1.1.2.3.1">^</ci><ci id="S5.p21.4.m4.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.p21.4.m4.1.1.2.3.2">𝑆</ci></apply><ci id="S5.p21.4.m4.1.1.2.4.cmml" xref="S5.p21.4.m4.1.1.2.4">𝑀</ci></apply><ci id="S5.p21.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S5.p21.4.m4.1.1.3">𝐈</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p21.4.m4.1c">L\hat{S}M={\mathbf{I}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p21.4.m4.1d">italic_L over^ start_ARG italic_S end_ARG italic_M = bold_I</annotation></semantics></math> and <math alttext="W\hat{S}U={\mathbf{I}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p21.5.m5.1"><semantics id="S5.p21.5.m5.1a"><mrow id="S5.p21.5.m5.1.1" xref="S5.p21.5.m5.1.1.cmml"><mrow id="S5.p21.5.m5.1.1.2" xref="S5.p21.5.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p21.5.m5.1.1.2.2" xref="S5.p21.5.m5.1.1.2.2.cmml">W</mi><mo id="S5.p21.5.m5.1.1.2.1" xref="S5.p21.5.m5.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S5.p21.5.m5.1.1.2.3" xref="S5.p21.5.m5.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.p21.5.m5.1.1.2.3.2" xref="S5.p21.5.m5.1.1.2.3.2.cmml">S</mi><mo id="S5.p21.5.m5.1.1.2.3.1" xref="S5.p21.5.m5.1.1.2.3.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S5.p21.5.m5.1.1.2.1a" xref="S5.p21.5.m5.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p21.5.m5.1.1.2.4" xref="S5.p21.5.m5.1.1.2.4.cmml">U</mi></mrow><mo id="S5.p21.5.m5.1.1.1" xref="S5.p21.5.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S5.p21.5.m5.1.1.3" xref="S5.p21.5.m5.1.1.3.cmml">𝐈</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p21.5.m5.1b"><apply id="S5.p21.5.m5.1.1.cmml" xref="S5.p21.5.m5.1.1"><eq id="S5.p21.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S5.p21.5.m5.1.1.1"></eq><apply id="S5.p21.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S5.p21.5.m5.1.1.2"><times id="S5.p21.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p21.5.m5.1.1.2.1"></times><ci id="S5.p21.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p21.5.m5.1.1.2.2">𝑊</ci><apply id="S5.p21.5.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p21.5.m5.1.1.2.3"><ci id="S5.p21.5.m5.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.p21.5.m5.1.1.2.3.1">^</ci><ci id="S5.p21.5.m5.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.p21.5.m5.1.1.2.3.2">𝑆</ci></apply><ci id="S5.p21.5.m5.1.1.2.4.cmml" xref="S5.p21.5.m5.1.1.2.4">𝑈</ci></apply><ci id="S5.p21.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S5.p21.5.m5.1.1.3">𝐈</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p21.5.m5.1c">W\hat{S}U={\mathbf{I}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p21.5.m5.1d">italic_W over^ start_ARG italic_S end_ARG italic_U = bold_I</annotation></semantics></math> are obtained.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p22"> <p class="ltx_p" id="S5.p22.1">We proved the correctness of the following recursive algorithm.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S6"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">VI </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="S6.1.1"> Algorithm of LSU factorization </span> </h2> <div class="ltx_para" id="S6.p1"> <p class="ltx_p" id="S6.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p1.2.1">Input:</span> matrix <math alttext="A\in R^{n\times n},n=2^{p},p>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p1.1.m1.2"><semantics id="S6.p1.1.m1.2a"><mrow id="S6.p1.1.m1.2.2.2" xref="S6.p1.1.m1.2.2.3.cmml"><mrow id="S6.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S6.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.p1.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S6.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="S6.p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S6.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S6.p1.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S6.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">R</mi><mrow id="S6.p1.1.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.p1.1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S6.p1.1.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S6.p1.1.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S6.p1.1.m1.1.1.1.1.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S6.p1.1.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="S6.p1.1.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S6.p1.1.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup></mrow><mo id="S6.p1.1.m1.2.2.2.3" xref="S6.p1.1.m1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S6.p1.1.m1.2.2.2.2.2" xref="S6.p1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S6.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S6.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S6.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S6.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S6.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S6.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><msup id="S6.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S6.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mn id="S6.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S6.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml">2</mn><mi id="S6.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.3" xref="S6.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml">p</mi></msup></mrow><mo id="S6.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S6.p1.1.m1.2.2.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S6.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S6.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S6.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S6.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="S6.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S6.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml">></mo><mn id="S6.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3" xref="S6.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">0</mn></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p1.1.m1.2b"><apply id="S6.p1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S6.p1.1.m1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p1.1.m1.2.2.3a.cmml" xref="S6.p1.1.m1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S6.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.p1.1.m1.1.1.1.1"><in id="S6.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.p1.1.m1.1.1.1.1.1"></in><ci id="S6.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.p1.1.m1.1.1.1.1.2">𝐴</ci><apply id="S6.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.p1.1.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p1.1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.p1.1.m1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S6.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2">𝑅</ci><apply id="S6.p1.1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S6.p1.1.m1.1.1.1.1.3.3"><times id="S6.p1.1.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S6.p1.1.m1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S6.p1.1.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S6.p1.1.m1.1.1.1.1.3.3.2">𝑛</ci><ci id="S6.p1.1.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S6.p1.1.m1.1.1.1.1.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply><apply id="S6.p1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S6.p1.1.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p1.1.m1.2.2.2.2.3a.cmml" xref="S6.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S6.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S6.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1"><eq id="S6.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S6.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1"></eq><ci id="S6.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S6.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S6.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S6.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S6.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><cn id="S6.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.2">2</cn><ci id="S6.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S6.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.3">𝑝</ci></apply></apply><apply id="S6.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S6.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2"><gt id="S6.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S6.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1"></gt><ci id="S6.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S6.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2">𝑝</ci><cn id="S6.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p1.1.m1.2c">A\in R^{n\times n},n=2^{p},p>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p1.1.m1.2d">italic_A ∈ italic_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n × italic_n end_POSTSUPERSCRIPT , italic_n = 2 start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT , italic_p > 0</annotation></semantics></math>, <math alttext="\alpha=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p1.2.m2.1"><semantics id="S6.p1.2.m2.1a"><mrow id="S6.p1.2.m2.1.1" xref="S6.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S6.p1.2.m2.1.1.2" xref="S6.p1.2.m2.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="S6.p1.2.m2.1.1.1" xref="S6.p1.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S6.p1.2.m2.1.1.3" xref="S6.p1.2.m2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p1.2.m2.1b"><apply id="S6.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S6.p1.2.m2.1.1"><eq id="S6.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S6.p1.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S6.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S6.p1.2.m2.1.1.2">𝛼</ci><cn id="S6.p1.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.p1.2.m2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p1.2.m2.1c">\alpha=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p1.2.m2.1d">italic_α = 1</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S6.p2"> <p class="ltx_p" id="S6.p2.2"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p2.2.1">Output:</span> matrices <math alttext="L,S,U,M,{\widehat{S}},W" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p2.1.m1.6"><semantics id="S6.p2.1.m1.6a"><mrow id="S6.p2.1.m1.6.7.2" xref="S6.p2.1.m1.6.7.1.cmml"><mi id="S6.p2.1.m1.1.1" xref="S6.p2.1.m1.1.1.cmml">L</mi><mo id="S6.p2.1.m1.6.7.2.1" xref="S6.p2.1.m1.6.7.1.cmml">,</mo><mi id="S6.p2.1.m1.2.2" xref="S6.p2.1.m1.2.2.cmml">S</mi><mo id="S6.p2.1.m1.6.7.2.2" xref="S6.p2.1.m1.6.7.1.cmml">,</mo><mi id="S6.p2.1.m1.3.3" xref="S6.p2.1.m1.3.3.cmml">U</mi><mo id="S6.p2.1.m1.6.7.2.3" xref="S6.p2.1.m1.6.7.1.cmml">,</mo><mi id="S6.p2.1.m1.4.4" xref="S6.p2.1.m1.4.4.cmml">M</mi><mo id="S6.p2.1.m1.6.7.2.4" xref="S6.p2.1.m1.6.7.1.cmml">,</mo><mover accent="true" id="S6.p2.1.m1.5.5" xref="S6.p2.1.m1.5.5.cmml"><mi id="S6.p2.1.m1.5.5.2" xref="S6.p2.1.m1.5.5.2.cmml">S</mi><mo id="S6.p2.1.m1.5.5.1" xref="S6.p2.1.m1.5.5.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S6.p2.1.m1.6.7.2.5" xref="S6.p2.1.m1.6.7.1.cmml">,</mo><mi id="S6.p2.1.m1.6.6" xref="S6.p2.1.m1.6.6.cmml">W</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p2.1.m1.6b"><list id="S6.p2.1.m1.6.7.1.cmml" xref="S6.p2.1.m1.6.7.2"><ci id="S6.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.p2.1.m1.1.1">𝐿</ci><ci id="S6.p2.1.m1.2.2.cmml" xref="S6.p2.1.m1.2.2">𝑆</ci><ci id="S6.p2.1.m1.3.3.cmml" xref="S6.p2.1.m1.3.3">𝑈</ci><ci id="S6.p2.1.m1.4.4.cmml" xref="S6.p2.1.m1.4.4">𝑀</ci><apply id="S6.p2.1.m1.5.5.cmml" xref="S6.p2.1.m1.5.5"><ci id="S6.p2.1.m1.5.5.1.cmml" xref="S6.p2.1.m1.5.5.1">^</ci><ci id="S6.p2.1.m1.5.5.2.cmml" xref="S6.p2.1.m1.5.5.2">𝑆</ci></apply><ci id="S6.p2.1.m1.6.6.cmml" xref="S6.p2.1.m1.6.6">𝑊</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p2.1.m1.6c">L,S,U,M,{\widehat{S}},W</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p2.1.m1.6d">italic_L , italic_S , italic_U , italic_M , over^ start_ARG italic_S end_ARG , italic_W</annotation></semantics></math>, and number <math alttext="\alpha_{r}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p2.2.m2.1"><semantics id="S6.p2.2.m2.1a"><msub id="S6.p2.2.m2.1.1" xref="S6.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S6.p2.2.m2.1.1.2" xref="S6.p2.2.m2.1.1.2.cmml">α</mi><mi id="S6.p2.2.m2.1.1.3" xref="S6.p2.2.m2.1.1.3.cmml">r</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p2.2.m2.1b"><apply id="S6.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S6.p2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S6.p2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S6.p2.2.m2.1.1.2">𝛼</ci><ci id="S6.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S6.p2.2.m2.1.1.3">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p2.2.m2.1c">\alpha_{r}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p2.2.m2.1d">italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S6.Ex86"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="(L,S,U,M,{\widehat{S}},W,\alpha_{r})=\,\mathbf{LSU}(A,\alpha)." class="ltx_Math" display="block" id="S6.Ex86.m1.9"><semantics id="S6.Ex86.m1.9a"><mrow id="S6.Ex86.m1.9.9.1" xref="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex86.m1.9.9.1.1" xref="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.1.1" xref="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.1.2.cmml"><mo id="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S6.Ex86.m1.1.1" xref="S6.Ex86.m1.1.1.cmml">L</mi><mo id="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S6.Ex86.m1.2.2" xref="S6.Ex86.m1.2.2.cmml">S</mi><mo id="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.1.1.4" xref="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S6.Ex86.m1.3.3" xref="S6.Ex86.m1.3.3.cmml">U</mi><mo id="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.1.1.5" xref="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S6.Ex86.m1.4.4" xref="S6.Ex86.m1.4.4.cmml">M</mi><mo id="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.1.1.6" xref="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.1.2.cmml">,</mo><mover accent="true" id="S6.Ex86.m1.5.5" xref="S6.Ex86.m1.5.5.cmml"><mi id="S6.Ex86.m1.5.5.2" xref="S6.Ex86.m1.5.5.2.cmml">S</mi><mo id="S6.Ex86.m1.5.5.1" xref="S6.Ex86.m1.5.5.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.1.1.7" xref="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S6.Ex86.m1.6.6" xref="S6.Ex86.m1.6.6.cmml">W</mi><mo id="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.1.1.8" xref="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.1.2.cmml">,</mo><msub id="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.cmml">α</mi><mi id="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.1.1.9" stretchy="false" xref="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.2" rspace="0.448em" xref="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.3" xref="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.3.2" xref="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.3.2.cmml">𝐋𝐒𝐔</mi><mo id="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.3.1" xref="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.3.3.2" xref="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S6.Ex86.m1.7.7" xref="S6.Ex86.m1.7.7.cmml">A</mi><mo id="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.3.3.2.2" xref="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S6.Ex86.m1.8.8" xref="S6.Ex86.m1.8.8.cmml">α</mi><mo id="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.Ex86.m1.9.9.1.2" lspace="0em" xref="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Ex86.m1.9b"><apply id="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.cmml" xref="S6.Ex86.m1.9.9.1"><eq id="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.2"></eq><vector id="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.1.1"><ci id="S6.Ex86.m1.1.1.cmml" xref="S6.Ex86.m1.1.1">𝐿</ci><ci id="S6.Ex86.m1.2.2.cmml" xref="S6.Ex86.m1.2.2">𝑆</ci><ci id="S6.Ex86.m1.3.3.cmml" xref="S6.Ex86.m1.3.3">𝑈</ci><ci id="S6.Ex86.m1.4.4.cmml" xref="S6.Ex86.m1.4.4">𝑀</ci><apply id="S6.Ex86.m1.5.5.cmml" xref="S6.Ex86.m1.5.5"><ci id="S6.Ex86.m1.5.5.1.cmml" xref="S6.Ex86.m1.5.5.1">^</ci><ci id="S6.Ex86.m1.5.5.2.cmml" xref="S6.Ex86.m1.5.5.2">𝑆</ci></apply><ci id="S6.Ex86.m1.6.6.cmml" xref="S6.Ex86.m1.6.6">𝑊</ci><apply id="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.1.1.1.2">𝛼</ci><ci id="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.1.1.1.3">𝑟</ci></apply></vector><apply id="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.3"><times id="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.3.1.cmml" xref="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.3.1"></times><ci id="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.3.2.cmml" xref="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.3.2">𝐋𝐒𝐔</ci><interval closure="open" id="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.3.3.1.cmml" xref="S6.Ex86.m1.9.9.1.1.3.3.2"><ci id="S6.Ex86.m1.7.7.cmml" xref="S6.Ex86.m1.7.7">𝐴</ci><ci id="S6.Ex86.m1.8.8.cmml" xref="S6.Ex86.m1.8.8">𝛼</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Ex86.m1.9c">(L,S,U,M,{\widehat{S}},W,\alpha_{r})=\,\mathbf{LSU}(A,\alpha).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Ex86.m1.9d">( italic_L , italic_S , italic_U , italic_M , over^ start_ARG italic_S end_ARG , italic_W , italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT ) = bold_LSU ( italic_A , italic_α ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S6.p3"> <p class="ltx_p" id="S6.p3.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p3.1.1">(1)</span> If (<math alttext="A=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p3.1.m1.1"><semantics id="S6.p3.1.m1.1a"><mrow id="S6.p3.1.m1.1.1" xref="S6.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.p3.1.m1.1.1.2" xref="S6.p3.1.m1.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="S6.p3.1.m1.1.1.1" xref="S6.p3.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S6.p3.1.m1.1.1.3" xref="S6.p3.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p3.1.m1.1b"><apply id="S6.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.p3.1.m1.1.1"><eq id="S6.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.p3.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S6.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.p3.1.m1.1.1.2">𝐴</ci><cn id="S6.p3.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.p3.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p3.1.m1.1c">A=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p3.1.m1.1d">italic_A = 0</annotation></semantics></math>) then</p> </div> <div class="ltx_para" id="S6.p4"> <p class="ltx_p" id="S6.p4.4"><math alttext="\{" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p4.1.m1.1"><semantics id="S6.p4.1.m1.1a"><mo id="S6.p4.1.m1.1.1" stretchy="false" xref="S6.p4.1.m1.1.1.cmml">{</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p4.1.m1.1b"><ci id="S6.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.p4.1.m1.1.1">{</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p4.1.m1.1c">\{</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p4.1.m1.1d">{</annotation></semantics></math> <math alttext="\alpha_{r}=\alpha;" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p4.2.m2.1"><semantics id="S6.p4.2.m2.1a"><mrow id="S6.p4.2.m2.1.1.1" xref="S6.p4.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.p4.2.m2.1.1.1.1" xref="S6.p4.2.m2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S6.p4.2.m2.1.1.1.1.2" xref="S6.p4.2.m2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.p4.2.m2.1.1.1.1.2.2" xref="S6.p4.2.m2.1.1.1.1.2.2.cmml">α</mi><mi id="S6.p4.2.m2.1.1.1.1.2.3" xref="S6.p4.2.m2.1.1.1.1.2.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S6.p4.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S6.p4.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S6.p4.2.m2.1.1.1.1.3" xref="S6.p4.2.m2.1.1.1.1.3.cmml">α</mi></mrow><mo id="S6.p4.2.m2.1.1.1.2" xref="S6.p4.2.m2.1.1.1.1.cmml">;</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p4.2.m2.1b"><apply id="S6.p4.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S6.p4.2.m2.1.1.1"><eq id="S6.p4.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.p4.2.m2.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S6.p4.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.p4.2.m2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p4.2.m2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.p4.2.m2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S6.p4.2.m2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S6.p4.2.m2.1.1.1.1.2.2">𝛼</ci><ci id="S6.p4.2.m2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S6.p4.2.m2.1.1.1.1.2.3">𝑟</ci></apply><ci id="S6.p4.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.p4.2.m2.1.1.1.1.3">𝛼</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p4.2.m2.1c">\alpha_{r}=\alpha;</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p4.2.m2.1d">italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT = italic_α ;</annotation></semantics></math> <math alttext="S=I=J=0;" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p4.3.m3.1"><semantics id="S6.p4.3.m3.1a"><mrow id="S6.p4.3.m3.1.1.1" xref="S6.p4.3.m3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.p4.3.m3.1.1.1.1" xref="S6.p4.3.m3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.p4.3.m3.1.1.1.1.2" xref="S6.p4.3.m3.1.1.1.1.2.cmml">S</mi><mo id="S6.p4.3.m3.1.1.1.1.3" xref="S6.p4.3.m3.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mi id="S6.p4.3.m3.1.1.1.1.4" xref="S6.p4.3.m3.1.1.1.1.4.cmml">I</mi><mo id="S6.p4.3.m3.1.1.1.1.5" xref="S6.p4.3.m3.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><mi id="S6.p4.3.m3.1.1.1.1.6" xref="S6.p4.3.m3.1.1.1.1.6.cmml">J</mi><mo id="S6.p4.3.m3.1.1.1.1.7" xref="S6.p4.3.m3.1.1.1.1.7.cmml">=</mo><mn id="S6.p4.3.m3.1.1.1.1.8" xref="S6.p4.3.m3.1.1.1.1.8.cmml">0</mn></mrow><mo id="S6.p4.3.m3.1.1.1.2" xref="S6.p4.3.m3.1.1.1.1.cmml">;</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p4.3.m3.1b"><apply id="S6.p4.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S6.p4.3.m3.1.1.1"><and id="S6.p4.3.m3.1.1.1.1a.cmml" xref="S6.p4.3.m3.1.1.1"></and><apply id="S6.p4.3.m3.1.1.1.1b.cmml" xref="S6.p4.3.m3.1.1.1"><eq id="S6.p4.3.m3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.p4.3.m3.1.1.1.1.3"></eq><ci id="S6.p4.3.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.p4.3.m3.1.1.1.1.2">𝑆</ci><ci id="S6.p4.3.m3.1.1.1.1.4.cmml" xref="S6.p4.3.m3.1.1.1.1.4">𝐼</ci></apply><apply id="S6.p4.3.m3.1.1.1.1c.cmml" xref="S6.p4.3.m3.1.1.1"><eq id="S6.p4.3.m3.1.1.1.1.5.cmml" xref="S6.p4.3.m3.1.1.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#S6.p4.3.m3.1.1.1.1.4.cmml" id="S6.p4.3.m3.1.1.1.1d.cmml" xref="S6.p4.3.m3.1.1.1"></share><ci id="S6.p4.3.m3.1.1.1.1.6.cmml" xref="S6.p4.3.m3.1.1.1.1.6">𝐽</ci></apply><apply id="S6.p4.3.m3.1.1.1.1e.cmml" xref="S6.p4.3.m3.1.1.1"><eq id="S6.p4.3.m3.1.1.1.1.7.cmml" xref="S6.p4.3.m3.1.1.1.1.7"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#S6.p4.3.m3.1.1.1.1.6.cmml" id="S6.p4.3.m3.1.1.1.1f.cmml" xref="S6.p4.3.m3.1.1.1"></share><cn id="S6.p4.3.m3.1.1.1.1.8.cmml" type="integer" xref="S6.p4.3.m3.1.1.1.1.8">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p4.3.m3.1c">S=I=J=0;</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p4.3.m3.1d">italic_S = italic_I = italic_J = 0 ;</annotation></semantics></math> <math alttext="L=U=\bar{I}=\bar{J}=\bar{S}=I;" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p4.4.m4.1"><semantics id="S6.p4.4.m4.1a"><mrow id="S6.p4.4.m4.1.1.1" xref="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.p4.4.m4.1.1.1.1" xref="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.2" xref="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.2.cmml">L</mi><mo id="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.3" xref="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mi id="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.4" xref="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.4.cmml">U</mi><mo id="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.5" xref="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><mover accent="true" id="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.6" xref="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.6.2" xref="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.6.2.cmml">I</mi><mo id="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.6.1" xref="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.6.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.7" xref="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.7.cmml">=</mo><mover accent="true" id="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.8" xref="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.8.cmml"><mi id="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.8.2" xref="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.8.2.cmml">J</mi><mo id="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.8.1" xref="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.8.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.9" xref="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.9.cmml">=</mo><mover accent="true" id="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.10" xref="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.10.cmml"><mi id="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.10.2" xref="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.10.2.cmml">S</mi><mo id="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.10.1" xref="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.10.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.11" xref="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.11.cmml">=</mo><mi id="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.12" xref="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.12.cmml">I</mi></mrow><mo id="S6.p4.4.m4.1.1.1.2" xref="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.cmml">;</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p4.4.m4.1b"><apply id="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S6.p4.4.m4.1.1.1"><and id="S6.p4.4.m4.1.1.1.1a.cmml" xref="S6.p4.4.m4.1.1.1"></and><apply id="S6.p4.4.m4.1.1.1.1b.cmml" xref="S6.p4.4.m4.1.1.1"><eq id="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.3"></eq><ci id="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.2">𝐿</ci><ci id="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.4.cmml" xref="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.4">𝑈</ci></apply><apply id="S6.p4.4.m4.1.1.1.1c.cmml" xref="S6.p4.4.m4.1.1.1"><eq id="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.5.cmml" xref="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#S6.p4.4.m4.1.1.1.1.4.cmml" id="S6.p4.4.m4.1.1.1.1d.cmml" xref="S6.p4.4.m4.1.1.1"></share><apply id="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.6.cmml" xref="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.6"><ci id="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.6.1">¯</ci><ci id="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.6.2">𝐼</ci></apply></apply><apply id="S6.p4.4.m4.1.1.1.1e.cmml" xref="S6.p4.4.m4.1.1.1"><eq id="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.7.cmml" xref="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.7"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#S6.p4.4.m4.1.1.1.1.6.cmml" id="S6.p4.4.m4.1.1.1.1f.cmml" xref="S6.p4.4.m4.1.1.1"></share><apply id="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.8.cmml" xref="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.8"><ci id="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.8.1.cmml" xref="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.8.1">¯</ci><ci id="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.8.2.cmml" xref="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.8.2">𝐽</ci></apply></apply><apply id="S6.p4.4.m4.1.1.1.1g.cmml" xref="S6.p4.4.m4.1.1.1"><eq id="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.9.cmml" xref="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.9"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#S6.p4.4.m4.1.1.1.1.8.cmml" id="S6.p4.4.m4.1.1.1.1h.cmml" xref="S6.p4.4.m4.1.1.1"></share><apply id="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.10.cmml" xref="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.10"><ci id="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.10.1.cmml" xref="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.10.1">¯</ci><ci id="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.10.2.cmml" xref="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.10.2">𝑆</ci></apply></apply><apply id="S6.p4.4.m4.1.1.1.1i.cmml" xref="S6.p4.4.m4.1.1.1"><eq id="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.11.cmml" xref="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.11"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#S6.p4.4.m4.1.1.1.1.10.cmml" id="S6.p4.4.m4.1.1.1.1j.cmml" xref="S6.p4.4.m4.1.1.1"></share><ci id="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.12.cmml" xref="S6.p4.4.m4.1.1.1.1.12">𝐼</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p4.4.m4.1c">L=U=\bar{I}=\bar{J}=\bar{S}=I;</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p4.4.m4.1d">italic_L = italic_U = over¯ start_ARG italic_I 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xref="S6.p5.1.m1.1.1.1.1.8.3">𝐼</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p5.1.m1.1c">M=W=\widehat{S}=\alpha I;</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p5.1.m1.1d">italic_M = italic_W = over^ start_ARG italic_S end_ARG = italic_α italic_I ;</annotation></semantics></math> <math alttext="\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p5.2.m2.1"><semantics id="S6.p5.2.m2.1a"><mo id="S6.p5.2.m2.1.1" stretchy="false" xref="S6.p5.2.m2.1.1.cmml">}</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p5.2.m2.1b"><ci id="S6.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S6.p5.2.m2.1.1">}</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p5.2.m2.1c">\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p5.2.m2.1d">}</annotation></semantics></math></p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S6.p6"> <p class="ltx_p" id="S6.p6.5"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p6.5.1">(2)</span> If (<math alttext="n=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p6.1.m1.1"><semantics id="S6.p6.1.m1.1a"><mrow id="S6.p6.1.m1.1.1" xref="S6.p6.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.p6.1.m1.1.1.2" xref="S6.p6.1.m1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S6.p6.1.m1.1.1.1" xref="S6.p6.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S6.p6.1.m1.1.1.3" xref="S6.p6.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p6.1.m1.1b"><apply id="S6.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.p6.1.m1.1.1"><eq id="S6.p6.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.p6.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S6.p6.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.p6.1.m1.1.1.2">𝑛</ci><cn id="S6.p6.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.p6.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p6.1.m1.1c">n=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p6.1.m1.1d">italic_n = 1</annotation></semantics></math> <math alttext="\&" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p6.2.m2.1"><semantics id="S6.p6.2.m2.1a"><mo id="S6.p6.2.m2.1.1" 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id="S6.p6.3.m3.1.2.cmml" xref="S6.p6.3.m3.1.2"><eq id="S6.p6.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S6.p6.3.m3.1.2.1"></eq><ci id="S6.p6.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S6.p6.3.m3.1.2.2">𝐴</ci><apply id="S6.p6.3.m3.1.2.3.1.cmml" xref="S6.p6.3.m3.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S6.p6.3.m3.1.2.3.1.1.cmml" xref="S6.p6.3.m3.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S6.p6.3.m3.1.1.cmml" xref="S6.p6.3.m3.1.1">𝑎</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p6.3.m3.1c">A=[a]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p6.3.m3.1d">italic_A = [ italic_a ]</annotation></semantics></math> <math alttext="\&" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p6.4.m4.1"><semantics id="S6.p6.4.m4.1a"><mo id="S6.p6.4.m4.1.1" xref="S6.p6.4.m4.1.1.cmml">&</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p6.4.m4.1b"><and id="S6.p6.4.m4.1.1.cmml" xref="S6.p6.4.m4.1.1"></and></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p6.4.m4.1c">\&</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p6.4.m4.1d">&</annotation></semantics></math> <math alttext="a\neq 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p6.5.m5.1"><semantics id="S6.p6.5.m5.1a"><mrow id="S6.p6.5.m5.1.1" xref="S6.p6.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S6.p6.5.m5.1.1.2" xref="S6.p6.5.m5.1.1.2.cmml">a</mi><mo id="S6.p6.5.m5.1.1.1" xref="S6.p6.5.m5.1.1.1.cmml">≠</mo><mn id="S6.p6.5.m5.1.1.3" xref="S6.p6.5.m5.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p6.5.m5.1b"><apply id="S6.p6.5.m5.1.1.cmml" xref="S6.p6.5.m5.1.1"><neq id="S6.p6.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S6.p6.5.m5.1.1.1"></neq><ci id="S6.p6.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S6.p6.5.m5.1.1.2">𝑎</ci><cn id="S6.p6.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.p6.5.m5.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p6.5.m5.1c">a\neq 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p6.5.m5.1d">italic_a ≠ 0</annotation></semantics></math>) then</p> </div> <div class="ltx_para" id="S6.p7"> <p class="ltx_p" id="S6.p7.1"><math alttext="\{\alpha_{r}=a;\ L=U=M=W=[a];S=[(\alpha a)^{-1}];" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S6.p7.1.m1.1"><semantics id="S6.p7.1.m1.1a"><mrow id="S6.p7.1.m1.1b"><mo id="S6.p7.1.m1.1.2" stretchy="false">{</mo><msub id="S6.p7.1.m1.1.3"><mi id="S6.p7.1.m1.1.3.2">α</mi><mi id="S6.p7.1.m1.1.3.3">r</mi></msub><mo id="S6.p7.1.m1.1.4">=</mo><mi id="S6.p7.1.m1.1.5">a</mi><mo id="S6.p7.1.m1.1.6" rspace="0.667em">;</mo><mi id="S6.p7.1.m1.1.7">L</mi><mo id="S6.p7.1.m1.1.8">=</mo><mi id="S6.p7.1.m1.1.9">U</mi><mo id="S6.p7.1.m1.1.10">=</mo><mi id="S6.p7.1.m1.1.11">M</mi><mo id="S6.p7.1.m1.1.12">=</mo><mi id="S6.p7.1.m1.1.13">W</mi><mo id="S6.p7.1.m1.1.14">=</mo><mrow id="S6.p7.1.m1.1.15"><mo id="S6.p7.1.m1.1.15.1" stretchy="false">[</mo><mi id="S6.p7.1.m1.1.1">a</mi><mo id="S6.p7.1.m1.1.15.2" stretchy="false">]</mo></mrow><mo id="S6.p7.1.m1.1.16">;</mo><mi id="S6.p7.1.m1.1.17">S</mi><mo id="S6.p7.1.m1.1.18">=</mo><mrow id="S6.p7.1.m1.1.19"><mo id="S6.p7.1.m1.1.19.1" stretchy="false">[</mo><msup id="S6.p7.1.m1.1.19.2"><mrow id="S6.p7.1.m1.1.19.2.2"><mo id="S6.p7.1.m1.1.19.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S6.p7.1.m1.1.19.2.2.2">α</mi><mi id="S6.p7.1.m1.1.19.2.2.3">a</mi><mo id="S6.p7.1.m1.1.19.2.2.4" stretchy="false">)</mo></mrow><mrow id="S6.p7.1.m1.1.19.2.3"><mo id="S6.p7.1.m1.1.19.2.3a">−</mo><mn id="S6.p7.1.m1.1.19.2.3.2">1</mn></mrow></msup><mo id="S6.p7.1.m1.1.19.3" stretchy="false">]</mo></mrow><mo id="S6.p7.1.m1.1.20">;</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p7.1.m1.1c">\{\alpha_{r}=a;\ L=U=M=W=[a];S=[(\alpha a)^{-1}];</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p7.1.m1.1d">{ italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT = italic_a ; italic_L = italic_U = italic_M = italic_W = [ italic_a ] ; italic_S = [ ( italic_α italic_a ) start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ] ;</annotation></semantics></math></p> </div> <div class="ltx_para" id="S6.p8"> <p class="ltx_p" id="S6.p8.2"><math alttext="\widehat{S}=[a^{-2}];" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p8.1.m1.1"><semantics id="S6.p8.1.m1.1a"><mrow id="S6.p8.1.m1.1.1.1" xref="S6.p8.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.p8.1.m1.1.1.1.1" xref="S6.p8.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S6.p8.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S6.p8.1.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.p8.1.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.p8.1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">S</mi><mo id="S6.p8.1.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S6.p8.1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S6.p8.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S6.p8.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S6.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.p8.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S6.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.p8.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msup id="S6.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">a</mi><mrow id="S6.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S6.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S6.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S6.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S6.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.p8.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S6.p8.1.m1.1.1.1.2" xref="S6.p8.1.m1.1.1.1.1.cmml">;</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p8.1.m1.1b"><apply id="S6.p8.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.p8.1.m1.1.1.1"><eq id="S6.p8.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.p8.1.m1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S6.p8.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.p8.1.m1.1.1.1.1.3"><ci id="S6.p8.1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.p8.1.m1.1.1.1.1.3.1">^</ci><ci id="S6.p8.1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.p8.1.m1.1.1.1.1.3.2">𝑆</ci></apply><apply id="S6.p8.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S6.p8.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S6.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S6.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑎</ci><apply id="S6.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="S6.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="S6.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p8.1.m1.1c">\widehat{S}=[a^{-2}];</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p8.1.m1.1d">over^ start_ARG italic_S end_ARG = [ italic_a start_POSTSUPERSCRIPT - 2 end_POSTSUPERSCRIPT ] ;</annotation></semantics></math> <math alttext="J=I=[1];\bar{I}=\bar{J}=\bar{S}=[0];\}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S6.p8.2.m2.2"><semantics id="S6.p8.2.m2.2a"><mrow id="S6.p8.2.m2.2b"><mi id="S6.p8.2.m2.2.3">J</mi><mo id="S6.p8.2.m2.2.4">=</mo><mi id="S6.p8.2.m2.2.5">I</mi><mo id="S6.p8.2.m2.2.6">=</mo><mrow id="S6.p8.2.m2.2.7"><mo id="S6.p8.2.m2.2.7.1" stretchy="false">[</mo><mn id="S6.p8.2.m2.1.1">1</mn><mo id="S6.p8.2.m2.2.7.2" stretchy="false">]</mo></mrow><mo id="S6.p8.2.m2.2.8">;</mo><mover accent="true" id="S6.p8.2.m2.2.9"><mi id="S6.p8.2.m2.2.9.2">I</mi><mo id="S6.p8.2.m2.2.9.1">¯</mo></mover><mo id="S6.p8.2.m2.2.10">=</mo><mover accent="true" id="S6.p8.2.m2.2.11"><mi id="S6.p8.2.m2.2.11.2">J</mi><mo id="S6.p8.2.m2.2.11.1">¯</mo></mover><mo id="S6.p8.2.m2.2.12">=</mo><mover accent="true" id="S6.p8.2.m2.2.13"><mi id="S6.p8.2.m2.2.13.2">S</mi><mo id="S6.p8.2.m2.2.13.1">¯</mo></mover><mo id="S6.p8.2.m2.2.14">=</mo><mrow id="S6.p8.2.m2.2.15"><mo id="S6.p8.2.m2.2.15.1" stretchy="false">[</mo><mn id="S6.p8.2.m2.2.2">0</mn><mo id="S6.p8.2.m2.2.15.2" stretchy="false">]</mo></mrow><mo id="S6.p8.2.m2.2.16">;</mo><mo id="S6.p8.2.m2.2.17" stretchy="false">}</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p8.2.m2.2c">J=I=[1];\bar{I}=\bar{J}=\bar{S}=[0];\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p8.2.m2.2d">italic_J = italic_I = [ 1 ] ; over¯ start_ARG italic_I end_ARG = over¯ start_ARG italic_J end_ARG = over¯ start_ARG italic_S end_ARG = [ 0 ] ; }</annotation></semantics></math></p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S6.p9"> <p class="ltx_p" id="S6.p9.5"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.p9.5.1">(3)</span> If (<math alttext="n\geq 2" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p9.1.m1.1"><semantics id="S6.p9.1.m1.1a"><mrow id="S6.p9.1.m1.1.1" xref="S6.p9.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.p9.1.m1.1.1.2" xref="S6.p9.1.m1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S6.p9.1.m1.1.1.1" xref="S6.p9.1.m1.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="S6.p9.1.m1.1.1.3" xref="S6.p9.1.m1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p9.1.m1.1b"><apply id="S6.p9.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.p9.1.m1.1.1"><geq id="S6.p9.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.p9.1.m1.1.1.1"></geq><ci id="S6.p9.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.p9.1.m1.1.1.2">𝑛</ci><cn id="S6.p9.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.p9.1.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p9.1.m1.1c">n\geq 2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p9.1.m1.1d">italic_n ≥ 2</annotation></semantics></math> <math alttext="\&" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p9.2.m2.1"><semantics id="S6.p9.2.m2.1a"><mo id="S6.p9.2.m2.1.1" xref="S6.p9.2.m2.1.1.cmml">&</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p9.2.m2.1b"><and id="S6.p9.2.m2.1.1.cmml" xref="S6.p9.2.m2.1.1"></and></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p9.2.m2.1c">\&</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p9.2.m2.1d">&</annotation></semantics></math> <math alttext="A\neq 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p9.3.m3.1"><semantics id="S6.p9.3.m3.1a"><mrow id="S6.p9.3.m3.1.1" xref="S6.p9.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S6.p9.3.m3.1.1.2" xref="S6.p9.3.m3.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="S6.p9.3.m3.1.1.1" xref="S6.p9.3.m3.1.1.1.cmml">≠</mo><mn id="S6.p9.3.m3.1.1.3" xref="S6.p9.3.m3.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p9.3.m3.1b"><apply id="S6.p9.3.m3.1.1.cmml" xref="S6.p9.3.m3.1.1"><neq id="S6.p9.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S6.p9.3.m3.1.1.1"></neq><ci id="S6.p9.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S6.p9.3.m3.1.1.2">𝐴</ci><cn id="S6.p9.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.p9.3.m3.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p9.3.m3.1c">A\neq 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p9.3.m3.1d">italic_A ≠ 0</annotation></semantics></math>) then <math alttext="\bigg{\{}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p9.4.m4.1"><semantics id="S6.p9.4.m4.1a"><mo id="S6.p9.4.m4.1.1" maxsize="210%" minsize="210%" xref="S6.p9.4.m4.1.1.cmml">{</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p9.4.m4.1b"><ci id="S6.p9.4.m4.1.1.cmml" xref="S6.p9.4.m4.1.1">{</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p9.4.m4.1c">\bigg{\{}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p9.4.m4.1d">{</annotation></semantics></math> <math alttext="A=\left[\begin{array}[]{cc}A_{11}&A_{12}\\ A_{21}&A_{22}\end{array}\right]" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p9.5.m5.1"><semantics id="S6.p9.5.m5.1a"><mrow id="S6.p9.5.m5.1.2" xref="S6.p9.5.m5.1.2.cmml"><mi id="S6.p9.5.m5.1.2.2" xref="S6.p9.5.m5.1.2.2.cmml">A</mi><mo id="S6.p9.5.m5.1.2.1" xref="S6.p9.5.m5.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S6.p9.5.m5.1.2.3.2" xref="S6.p9.5.m5.1.2.3.1.cmml"><mo id="S6.p9.5.m5.1.2.3.2.1" xref="S6.p9.5.m5.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S6.p9.5.m5.1.1" rowspacing="0pt" xref="S6.p9.5.m5.1.1.cmml"><mtr id="S6.p9.5.m5.1.1a" 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class="ltx_para" id="S6.p10"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S6.Ex87"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="(3.1)\hskip 17.07164pt(L_{11},S_{11},U_{11},M_{11},W_{11},\alpha_{k})=\,% \mathbf{LSU}(A_{11},\alpha);\hskip 45.5244pt" class="ltx_Math" display="block" id="S6.Ex87.m1.3"><semantics id="S6.Ex87.m1.3a"><mrow id="S6.Ex87.m1.3.3.1" xref="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex87.m1.3.3.1.1" xref="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.2.3.cmml"><mrow id="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.2.3.cmml"><mo id="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">(</mo><mn id="S6.Ex87.m1.1.1" xref="S6.Ex87.m1.1.1.cmml">3.1</mn><mo id="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow><mspace 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id="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.2">𝑈</ci><cn id="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.3">11</cn></apply><apply id="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.2.2.2.4.4.cmml" xref="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.2.2.2.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.2.2.2.4.4.1.cmml" xref="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.2.2.2.4.4">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.2.2.2.4.4.2.cmml" xref="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.2.2.2.4.4.2">𝑀</ci><cn id="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.2.2.2.4.4.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.2.2.2.4.4.3">11</cn></apply><apply id="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.2.2.2.5.5.cmml" xref="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.2.2.2.5.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.2.2.2.5.5.1.cmml" xref="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.2.2.2.5.5">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.2.2.2.5.5.2.cmml" xref="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.2.2.2.5.5.2">𝑊</ci><cn id="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.2.2.2.5.5.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.2.2.2.5.5.3">11</cn></apply><apply id="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.6.cmml" xref="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.6.1.cmml" xref="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.6">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.6.2.cmml" xref="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.6.2">𝛼</ci><ci id="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.6.3.cmml" xref="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.6.3">𝑘</ci></apply></vector></list><apply id="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.3"><times id="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.3.2"></times><ci id="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.3.3">𝐋𝐒𝐔</ci><interval closure="open" id="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.3.1.2.cmml" xref="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.3.1.1"><apply id="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.2">𝐴</ci><cn id="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex87.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.3">11</cn></apply><ci id="S6.Ex87.m1.2.2.cmml" xref="S6.Ex87.m1.2.2">𝛼</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Ex87.m1.3c">(3.1)\hskip 17.07164pt(L_{11},S_{11},U_{11},M_{11},W_{11},\alpha_{k})=\,% \mathbf{LSU}(A_{11},\alpha);\hskip 45.5244pt</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Ex87.m1.3d">( 3.1 ) ( italic_L start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT , italic_S start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT , italic_U start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT , italic_M start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT , italic_W start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT , italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) = bold_LSU ( italic_A start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT , italic_α ) ;</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S6.p11"> <p class="ltx_p" id="S6.p11.1"><math alttext="A_{12}^{0}=M_{11}A_{12};" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p11.1.m1.1"><semantics id="S6.p11.1.m1.1a"><mrow id="S6.p11.1.m1.1.1.1" xref="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.p11.1.m1.1.1.1.1" xref="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">A</mi><mn id="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">12</mn><mn id="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">0</mn></msubsup><mo id="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">M</mi><mn id="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">A</mi><mn id="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">12</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S6.p11.1.m1.1.1.1.2" xref="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.cmml">;</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p11.1.m1.1b"><apply id="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.p11.1.m1.1.1.1"><eq id="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.2.2.2">𝐴</ci><cn id="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.2.2.3">12</cn></apply><cn id="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.2.3">0</cn></apply><apply id="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.3"><times id="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝑀</ci><cn id="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.3.2.3">11</cn></apply><apply id="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.3.3.2">𝐴</ci><cn id="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.p11.1.m1.1.1.1.1.3.3.3">12</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p11.1.m1.1c">A_{12}^{0}=M_{11}A_{12};</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p11.1.m1.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 0 end_POSTSUPERSCRIPT = italic_M start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT italic_A start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT ;</annotation></semantics></math></p> </div> <div class="ltx_para" id="S6.p12"> <p class="ltx_p" id="S6.p12.1"><math alttext="A_{12}^{1}=\alpha_{k}\widehat{S}_{11}A_{12}^{0};" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p12.1.m1.1"><semantics id="S6.p12.1.m1.1a"><mrow id="S6.p12.1.m1.1.1.1" xref="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.p12.1.m1.1.1.1.1" xref="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">A</mi><mn id="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">12</mn><mn id="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msubsup><mo id="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">α</mi><mi id="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">S</mi><mo id="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.3.2.1" xref="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.1a" xref="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.4" xref="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.4.2.2" xref="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml">A</mi><mn id="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.4.2.3" xref="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.4.2.3.cmml">12</mn><mn id="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">0</mn></msubsup></mrow></mrow><mo id="S6.p12.1.m1.1.1.1.2" xref="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.cmml">;</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p12.1.m1.1b"><apply id="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.p12.1.m1.1.1.1"><eq id="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.2.2.2">𝐴</ci><cn id="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.2.2.3">12</cn></apply><cn id="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3"><times id="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝛼</ci><ci id="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.3.2"><ci id="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.3.2.1">^</ci><ci id="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.3.3">11</cn></apply><apply id="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.4">superscript</csymbol><apply id="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p12.1.m1.1.1.1.1.3.4.2.1.cmml" 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alttext="A_{12}^{2}=\bar{S}_{11}A_{12}^{0}/\alpha;" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p13.1.m1.1"><semantics id="S6.p13.1.m1.1a"><mrow id="S6.p13.1.m1.1.1.1" xref="S6.p13.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.p13.1.m1.1.1.1.1" xref="S6.p13.1.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S6.p13.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S6.p13.1.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.p13.1.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S6.p13.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">A</mi><mn id="S6.p13.1.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S6.p13.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">12</mn><mn id="S6.p13.1.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.p13.1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S6.p13.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S6.p13.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S6.p13.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S6.p13.1.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S6.p13.1.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.p13.1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><msub id="S6.p13.1.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S6.p13.1.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S6.p13.1.m1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S6.p13.1.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="S6.p13.1.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2" 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id="S6.p14"> <p class="ltx_p" id="S6.p14.1"><math alttext="A_{21}^{0}=A_{21}W_{11};" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p14.1.m1.1"><semantics id="S6.p14.1.m1.1a"><mrow id="S6.p14.1.m1.1.1.1" xref="S6.p14.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.p14.1.m1.1.1.1.1" xref="S6.p14.1.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S6.p14.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S6.p14.1.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.p14.1.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S6.p14.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">A</mi><mn id="S6.p14.1.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S6.p14.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">21</mn><mn id="S6.p14.1.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.p14.1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">0</mn></msubsup><mo id="S6.p14.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S6.p14.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S6.p14.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S6.p14.1.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S6.p14.1.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.p14.1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S6.p14.1.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S6.p14.1.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">A</mi><mn id="S6.p14.1.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S6.p14.1.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">21</mn></msub><mo 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class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S6.Ex88"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="(3.2)\hskip 17.07164pt(L_{21},S_{21},U_{21},M_{21},W_{21},\alpha_{l})=\,% \mathbf{LSU}(A_{21}^{2},\alpha_{k});\hskip 45.5244pt" class="ltx_Math" display="block" id="S6.Ex88.m1.2"><semantics id="S6.Ex88.m1.2a"><mrow id="S6.Ex88.m1.2.2.1" xref="S6.Ex88.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex88.m1.2.2.1.1" xref="S6.Ex88.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex88.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S6.Ex88.m1.2.2.1.1.2.3.cmml"><mrow id="S6.Ex88.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex88.m1.2.2.1.1.2.3.cmml"><mo id="S6.Ex88.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex88.m1.2.2.1.1.2.3.cmml">(</mo><mn id="S6.Ex88.m1.1.1" xref="S6.Ex88.m1.1.1.cmml">3.2</mn><mo id="S6.Ex88.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex88.m1.2.2.1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow><mspace id="S6.Ex88.m1.2.2.1.1.2.2.3" 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id="S6.Ex88.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S6.Ex88.m1.2.2.1.1.2.2"><cn id="S6.Ex88.m1.1.1.cmml" type="float" xref="S6.Ex88.m1.1.1">3.2</cn><vector id="S6.Ex88.m1.2.2.1.1.2.2.2.7.cmml" xref="S6.Ex88.m1.2.2.1.1.2.2.2.6"><apply id="S6.Ex88.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S6.Ex88.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex88.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex88.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex88.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex88.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2">𝐿</ci><cn id="S6.Ex88.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex88.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3">21</cn></apply><apply id="S6.Ex88.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S6.Ex88.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex88.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S6.Ex88.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex88.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S6.Ex88.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2">𝑆</ci><cn id="S6.Ex88.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" 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ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S6.Ex89"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="(3.3)\hskip 17.07164pt(L_{12},S_{12},U_{12},M_{12},W_{12},\alpha_{m})=\,% \mathbf{LSU}(A_{12}^{2},\alpha_{k});\hskip 45.5244pt" class="ltx_Math" display="block" id="S6.Ex89.m1.2"><semantics id="S6.Ex89.m1.2a"><mrow id="S6.Ex89.m1.2.2.1" xref="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex89.m1.2.2.1.1" xref="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.2.3.cmml"><mrow id="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.2.3.cmml"><mo id="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.2.3.cmml">(</mo><mn id="S6.Ex89.m1.1.1" xref="S6.Ex89.m1.1.1.cmml">3.3</mn><mo id="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2" stretchy="false" 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id="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.3.1.1.1" xref="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2.cmml">A</mi><mn id="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.2.3.cmml">12</mn><mn id="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.3" xref="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.4.2.2.4" xref="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.4.2.3.cmml">,</mo><msub id="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.4.2.2.2" xref="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.cmml"><mi id="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2" xref="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.cmml">α</mi><mi id="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.3" xref="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.4.2.2.5" stretchy="false" xref="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.4.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.Ex89.m1.2.2.1.2" xref="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.cmml">;</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Ex89.m1.2b"><apply id="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S6.Ex89.m1.2.2.1"><eq 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id="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3">12</cn></apply><apply id="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.2">𝑈</ci><cn id="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3">12</cn></apply><apply id="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.2.2.2.4.4.cmml" xref="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.2.2.2.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.2.2.2.4.4.1.cmml" xref="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.2.2.2.4.4">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.2.2.2.4.4.2.cmml" xref="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.2.2.2.4.4.2">𝑀</ci><cn id="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.2.2.2.4.4.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.2.2.2.4.4.3">12</cn></apply><apply id="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.2.2.2.5.5.cmml" xref="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.2.2.2.5.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.2.2.2.5.5.1.cmml" xref="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.2.2.2.5.5">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.2.2.2.5.5.2.cmml" xref="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.2.2.2.5.5.2">𝑊</ci><cn id="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.2.2.2.5.5.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.2.2.2.5.5.3">12</cn></apply><apply id="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.2.2.2.6.6.cmml" xref="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.2.2.2.6.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.2.2.2.6.6.1.cmml" xref="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.2.2.2.6.6">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.2.2.2.6.6.2.cmml" xref="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.2.2.2.6.6.2">𝛼</ci><ci id="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.2.2.2.6.6.3.cmml" xref="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.2.2.2.6.6.3">𝑚</ci></apply></vector></list><apply id="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.4.cmml" xref="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.4"><times id="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.4.3.cmml" xref="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.4.3"></times><ci id="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.4.4.cmml" xref="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.4.4">𝐋𝐒𝐔</ci><interval closure="open" id="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.4.2.3.cmml" xref="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.4.2.2"><apply id="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.3.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2">𝐴</ci><cn id="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.2.3">12</cn></apply><cn id="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.cmml" xref="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.1.cmml" xref="S6.Ex89.m1.2.2.1.1.4.2.2.2">subscript</csymbol><ci 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;</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S6.p18"> <p class="ltx_p" id="S6.p18.1"><math alttext="\lambda={\alpha_{l}\over\alpha_{k}};\alpha_{s}=\lambda\alpha_{m};" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p18.1.m1.1"><semantics id="S6.p18.1.m1.1a"><mrow id="S6.p18.1.m1.1.1.1"><mrow id="S6.p18.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S6.p18.1.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S6.p18.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.p18.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.p18.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.p18.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S6.p18.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.p18.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mfrac id="S6.p18.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.p18.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S6.p18.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.p18.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S6.p18.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S6.p18.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">α</mi><mi id="S6.p18.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" 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xref="S6.p19.1.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">S</mi><mn id="S6.p19.1.m1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S6.p19.1.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">11</mn><mo id="S6.p19.1.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S6.p19.1.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S6.p19.1.m1.1.1.1.1.3.1a" xref="S6.p19.1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S6.p19.1.m1.1.1.1.1.3.4" xref="S6.p19.1.m1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S6.p19.1.m1.1.1.1.1.3.4.2.2" xref="S6.p19.1.m1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml">A</mi><mn id="S6.p19.1.m1.1.1.1.1.3.4.2.3" xref="S6.p19.1.m1.1.1.1.1.3.4.2.3.cmml">12</mn><mn id="S6.p19.1.m1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S6.p19.1.m1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">1</mn></msubsup></mrow></mrow><mo id="S6.p19.1.m1.1.1.1.2" xref="S6.p19.1.m1.1.1.1.1.cmml">;</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p19.1.m1.1b"><apply id="S6.p19.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.p19.1.m1.1.1.1"><eq id="S6.p19.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.p19.1.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S6.p19.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.p19.1.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" 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xref="S6.p19.1.m1.1.1.1.1.3.3.3"></plus></apply><apply id="S6.p19.1.m1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S6.p19.1.m1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p19.1.m1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S6.p19.1.m1.1.1.1.1.3.4">superscript</csymbol><apply id="S6.p19.1.m1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S6.p19.1.m1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p19.1.m1.1.1.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="S6.p19.1.m1.1.1.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S6.p19.1.m1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml" xref="S6.p19.1.m1.1.1.1.1.3.4.2.2">𝐴</ci><cn id="S6.p19.1.m1.1.1.1.1.3.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.p19.1.m1.1.1.1.1.3.4.2.3">12</cn></apply><cn id="S6.p19.1.m1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S6.p19.1.m1.1.1.1.1.3.4.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p19.1.m1.1c">A_{22}^{0}=A_{21}^{1}S_{11}^{+}A_{12}^{1};</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p19.1.m1.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 0 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xref="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">k</mi><mn id="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">A</mi><mn id="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">22</mn></msub></mrow><mo id="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msubsup id="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">A</mi><mn id="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">22</mn><mn id="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">0</mn></msubsup></mrow><mo id="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">/</mo><mrow id="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2" xref="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml">α</mi><mi id="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3" xref="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.3" 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id="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.2"><divide id="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.2.3"></divide><apply id="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝛼</ci><apply id="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" 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id="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2">𝛼</ci><ci id="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S6.p20.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p20.1.m1.1c">A_{22}^{1}=(\alpha\alpha_{k}^{2}A_{22}-A_{22}^{0})/(\alpha\alpha_{k});</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p20.1.m1.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT = ( italic_α italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_A start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT - italic_A start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 0 end_POSTSUPERSCRIPT ) / ( italic_α italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) ;</annotation></semantics></math> <math alttext="A_{22}^{2}=\bar{S}_{21}M_{21}A_{22}^{1}W_{12}\bar{S}_{12};" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p20.2.m2.1"><semantics id="S6.p20.2.m2.1a"><mrow id="S6.p20.2.m2.1.1.1" xref="S6.p20.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.p20.2.m2.1.1.1.1" xref="S6.p20.2.m2.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S6.p20.2.m2.1.1.1.1.2" xref="S6.p20.2.m2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.p20.2.m2.1.1.1.1.2.2.2" xref="S6.p20.2.m2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">A</mi><mn id="S6.p20.2.m2.1.1.1.1.2.2.3" xref="S6.p20.2.m2.1.1.1.1.2.2.3.cmml">22</mn><mn id="S6.p20.2.m2.1.1.1.1.2.3" xref="S6.p20.2.m2.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S6.p20.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S6.p20.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S6.p20.2.m2.1.1.1.1.3" xref="S6.p20.2.m2.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S6.p20.2.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S6.p20.2.m2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S6.p20.2.m2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S6.p20.2.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S6.p20.2.m2.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S6.p20.2.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">S</mi><mo 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display="block" id="S6.Ex90.m1.2"><semantics id="S6.Ex90.m1.2a"><mrow id="S6.Ex90.m1.2.2.1" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.3.cmml"><mrow id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.3.cmml"><mo id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1" stretchy="false" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.3.cmml">(</mo><mn id="S6.Ex90.m1.1.1" xref="S6.Ex90.m1.1.1.cmml">3.4</mn><mo id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2" stretchy="false" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow><mspace id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.3" width="1.71em" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.3.cmml"></mspace><mrow id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.6" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.7.cmml"><mo id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.6.7" stretchy="false" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.7.cmml">(</mo><msub id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2" 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xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.cmml"><mi id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.cmml">α</mi><mi id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.3" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.3.cmml">s</mi></msub><mo id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.4.2.2.5" stretchy="false" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.4.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.Ex90.m1.2.2.1.2" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.cmml">;</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Ex90.m1.2b"><apply id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1"><eq id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.5.cmml" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.5"></eq><list id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2"><cn id="S6.Ex90.m1.1.1.cmml" type="float" xref="S6.Ex90.m1.1.1">3.4</cn><vector id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.7.cmml" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.6"><apply id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2">𝐿</ci><cn id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3">22</cn></apply><apply id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2">𝑆</ci><cn id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3">22</cn></apply><apply id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.2">𝑈</ci><cn id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3">22</cn></apply><apply id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.4.4.cmml" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.4.4.1.cmml" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.4.4">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.4.4.2.cmml" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.4.4.2">𝑀</ci><cn id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.4.4.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.4.4.3">22</cn></apply><apply id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.5.5.cmml" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.5.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.5.5.1.cmml" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.5.5">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.5.5.2.cmml" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.5.5.2">𝑊</ci><cn id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.5.5.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.5.5.3">22</cn></apply><apply id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.6.6.cmml" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.6.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.6.6.1.cmml" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.6.6">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.6.6.2.cmml" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.6.6.2">𝛼</ci><ci id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.6.6.3.cmml" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.2.2.2.6.6.3">𝑟</ci></apply></vector></list><apply id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.4.cmml" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.4"><times id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.4.3.cmml" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.4.3"></times><ci id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.4.4.cmml" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.4.4">𝐋𝐒𝐔</ci><interval closure="open" id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.4.2.3.cmml" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.4.2.2"><apply id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.3.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2">𝐴</ci><cn id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.2.3">22</cn></apply><cn id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.3">3</cn></apply><apply id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.cmml" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.1.cmml" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.4.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.cmml" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2">𝛼</ci><ci id="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.3.cmml" xref="S6.Ex90.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.3">𝑠</ci></apply></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Ex90.m1.2c">(3.4)\hskip 17.07164pt(L_{22},S_{22},U_{22},M_{22},W_{22},\alpha_{r})=\,% \mathbf{LSU}(A_{22}^{3},\alpha_{s});\hskip 45.5244pt</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Ex90.m1.2d">( 3.4 ) ( italic_L start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT , italic_S start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT , italic_U start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT , italic_M start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT , italic_W start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT , italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT ) = bold_LSU ( italic_A start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT ) ;</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S6.p22"> <p class="ltx_p" id="S6.p22.1"><math alttext="J_{12}^{\lambda}=\lambda J_{12}+\bar{J}_{12};\ \ I_{12}^{\lambda}=\lambda I_{1% 2}+\bar{I}_{12};" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p22.1.m1.1"><semantics id="S6.p22.1.m1.1a"><mrow id="S6.p22.1.m1.1.1.1"><mrow id="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.2" 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xref="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">J</mi><mn id="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">12</mn></msub></mrow><mo id="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><msub id="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">J</mi><mo id="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" xref="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">12</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.3a.cmml">;</mo><mrow id="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><msubsup id="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">I</mi><mn id="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">12</mn><mi id="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">λ</mi></msubsup><mo id="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml"><mi id="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2" xref="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1" xref="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3" xref="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2" xref="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.cmml">I</mi><mn id="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.3" xref="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.3.cmml">12</mn></msub></mrow><mo id="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.1" 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id="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.3">subscript</csymbol><apply id="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2"><ci id="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.cmml" xref="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1">¯</ci><ci id="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.cmml" xref="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2">𝐼</ci></apply><cn id="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.p22.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3">12</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p22.1.m1.1c">J_{12}^{\lambda}=\lambda J_{12}+\bar{J}_{12};\ \ I_{12}^{\lambda}=\lambda I_{1% 2}+\bar{I}_{12};</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p22.1.m1.1d">italic_J start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ end_POSTSUPERSCRIPT = italic_λ italic_J start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT + over¯ start_ARG italic_J end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT ; italic_I start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ end_POSTSUPERSCRIPT = italic_λ italic_I start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT + over¯ start_ARG italic_I end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT ;</annotation></semantics></math></p> </div> <div class="ltx_para" id="S6.p23"> <p class="ltx_p" id="S6.p23.1"><math alttext="L_{12}^{\sim}=L_{12}I_{12}^{\lambda};\ \ U_{12}^{\sim}=J_{12}^{\lambda}U_{12};" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p23.1.m1.1"><semantics id="S6.p23.1.m1.1a"><mrow id="S6.p23.1.m1.1.1.1"><mrow id="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">L</mi><mn id="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">12</mn><mo id="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">∼</mo></msubsup><mo id="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">L</mi><mn id="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">12</mn></msub><mo id="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">I</mi><mn id="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">12</mn><mi id="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">λ</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.2.3" rspace="1.167em" 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id="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2" xref="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml">U</mi><mn id="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3" xref="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml">12</mn></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.p23.1.m1.1.1.1.2">;</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p23.1.m1.1b"><apply id="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝐿</ci><cn id="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">12</cn></apply><csymbol cd="latexml" id="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">similar-to</csymbol></apply><apply id="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝐿</ci><cn id="S6.p23.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" 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alttext="U_{2}=J_{11}M_{11}A_{12}/\alpha_{k}+J_{21}M_{21}A_{22}^{1}/(\alpha_{l}\alpha);" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p24.1.m1.1"><semantics id="S6.p24.1.m1.1a"><mrow id="S6.p24.1.m1.1.1.1" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">U</mi><mn id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><msub id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">J</mi><mn id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">M</mi><mn id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.1a" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.4" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.4.cmml"><mi id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.4.2" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.4.2.cmml">A</mi><mn id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.4.3" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.4.3.cmml">12</mn></msub></mrow><mo id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><msub id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.2" 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id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml">A</mi><mn id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.cmml">22</mn><mn id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">1</mn></msubsup></mrow><mo id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">/</mo><mrow id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">α</mi><mi id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">α</mi></mrow><mo id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.p24.1.m1.1.1.1.2" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.cmml">;</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p24.1.m1.1b"><apply id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1"><eq id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.3.2">𝑈</ci><cn id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" 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cd="ambiguous" id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑀</ci><cn id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">11</cn></apply><apply id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.4.cmml" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.4.1.cmml" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.4.2.cmml" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.4.2">𝐴</ci><cn id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.4.3">12</cn></apply></apply><apply id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝛼</ci><ci id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1"><divide id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.2"></divide><apply id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝐽</ci><cn id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">21</cn></apply><apply id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑀</ci><cn id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">21</cn></apply><apply id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.4">superscript</csymbol><apply id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2">𝐴</ci><cn id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3">22</cn></apply><cn id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.3">1</cn></apply></apply><apply id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝛼</ci><ci id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑙</ci></apply><ci id="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.p24.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝛼</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p24.1.m1.1c">U_{2}=J_{11}M_{11}A_{12}/\alpha_{k}+J_{21}M_{21}A_{22}^{1}/(\alpha_{l}\alpha);</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p24.1.m1.1d">italic_U start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = italic_J start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT italic_A start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT / italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT + italic_J start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_A start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT / ( italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT italic_α ) ;</annotation></semantics></math></p> </div> <div class="ltx_para" id="S6.p25"> <p class="ltx_p" id="S6.p25.1"><math alttext="L_{3}=A_{21}W_{11}I_{11}/\alpha_{k}+\bar{S}_{21}M_{21}A_{22}^{1}W_{12}I_{12}/(% \alpha_{m}\alpha_{k}\alpha);" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p25.1.m1.1"><semantics id="S6.p25.1.m1.1a"><mrow id="S6.p25.1.m1.1.1.1" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi 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cd="ambiguous" id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑊</ci><cn id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">11</cn></apply><apply id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.4.cmml" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.4.1.cmml" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.4.2.cmml" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.4.2">𝐼</ci><cn id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.4.3">11</cn></apply></apply><apply id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝛼</ci><ci id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1"><divide id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.2"></divide><apply id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><ci id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1">¯</ci><ci id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">21</cn></apply><apply id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑀</ci><cn id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">21</cn></apply><apply id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.4">superscript</csymbol><apply id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2">𝐴</ci><cn id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3">22</cn></apply><cn id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.3">1</cn></apply><apply id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.cmml" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.1.cmml" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.5">subscript</csymbol><ci id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.cmml" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.2">𝑊</ci><cn id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.cmml" type="integer" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.3">12</cn></apply><apply id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.6.cmml" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.6.1.cmml" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.6">subscript</csymbol><ci id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.6.2.cmml" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.6.2">𝐼</ci><cn id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.6.3.cmml" type="integer" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.6.3">12</cn></apply></apply><apply id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝛼</ci><ci id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝛼</ci><ci id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply><ci id="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S6.p25.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">𝛼</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p25.1.m1.1c">L_{3}=A_{21}W_{11}I_{11}/\alpha_{k}+\bar{S}_{21}M_{21}A_{22}^{1}W_{12}I_{12}/(% \alpha_{m}\alpha_{k}\alpha);</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p25.1.m1.1d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT = italic_A start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT italic_I start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT / italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT + over¯ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_A start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT italic_I start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT / ( italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_α ) ;</annotation></semantics></math></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S6.Ex91"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="L=\left[\begin{array}[]{cc}L_{11}L^{\sim}_{12}&0\\ L_{3}&L_{21}L_{22}\end{array}\right];\ \ S=\left[\begin{array}[]{cc}S_{11}&% \lambda^{-2}S_{12}\\ S_{21}&S_{22}\end{array}\right];" class="ltx_Math" display="block" id="S6.Ex91.m1.3"><semantics id="S6.Ex91.m1.3a"><mrow id="S6.Ex91.m1.3.3.1"><mrow id="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.2" xref="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">L</mi><mo id="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1" xref="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S6.Ex91.m1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S6.Ex91.m1.1.1.cmml"><mtr id="S6.Ex91.m1.1.1a" xref="S6.Ex91.m1.1.1.cmml"><mtd id="S6.Ex91.m1.1.1b" xref="S6.Ex91.m1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex91.m1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex91.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S6.Ex91.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex91.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.Ex91.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex91.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">L</mi><mn id="S6.Ex91.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.Ex91.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S6.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S6.Ex91.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.Ex91.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex91.m1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S6.Ex91.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">L</mi><mn id="S6.Ex91.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.Ex91.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">12</mn><mo id="S6.Ex91.m1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S6.Ex91.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">∼</mo></msubsup></mrow></mtd><mtd id="S6.Ex91.m1.1.1c" xref="S6.Ex91.m1.1.1.cmml"><mn id="S6.Ex91.m1.1.1.1.2.1" xref="S6.Ex91.m1.1.1.1.2.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="S6.Ex91.m1.1.1d" xref="S6.Ex91.m1.1.1.cmml"><mtd id="S6.Ex91.m1.1.1e" xref="S6.Ex91.m1.1.1.cmml"><msub id="S6.Ex91.m1.1.1.2.1.1" xref="S6.Ex91.m1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex91.m1.1.1.2.1.1.2" xref="S6.Ex91.m1.1.1.2.1.1.2.cmml">L</mi><mn id="S6.Ex91.m1.1.1.2.1.1.3" xref="S6.Ex91.m1.1.1.2.1.1.3.cmml">3</mn></msub></mtd><mtd id="S6.Ex91.m1.1.1f" xref="S6.Ex91.m1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex91.m1.1.1.2.2.1" xref="S6.Ex91.m1.1.1.2.2.1.cmml"><msub id="S6.Ex91.m1.1.1.2.2.1.2" xref="S6.Ex91.m1.1.1.2.2.1.2.cmml"><mi id="S6.Ex91.m1.1.1.2.2.1.2.2" xref="S6.Ex91.m1.1.1.2.2.1.2.2.cmml">L</mi><mn id="S6.Ex91.m1.1.1.2.2.1.2.3" xref="S6.Ex91.m1.1.1.2.2.1.2.3.cmml">21</mn></msub><mo id="S6.Ex91.m1.1.1.2.2.1.1" xref="S6.Ex91.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S6.Ex91.m1.1.1.2.2.1.3" xref="S6.Ex91.m1.1.1.2.2.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex91.m1.1.1.2.2.1.3.2" xref="S6.Ex91.m1.1.1.2.2.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S6.Ex91.m1.1.1.2.2.1.3.3" xref="S6.Ex91.m1.1.1.2.2.1.3.3.cmml">22</mn></msub></mrow></mtd></mtr></mtable><mo id="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2" xref="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.3a.cmml">;</mo><mrow id="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><mi id="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml">S</mi><mo id="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.2.2.1" xref="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.2.2.3.2" xref="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.2.2.3.1.cmml"><mo id="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.1" xref="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.2.2.3.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S6.Ex91.m1.2.2" rowspacing="0pt" xref="S6.Ex91.m1.2.2.cmml"><mtr id="S6.Ex91.m1.2.2a" xref="S6.Ex91.m1.2.2.cmml"><mtd id="S6.Ex91.m1.2.2b" xref="S6.Ex91.m1.2.2.cmml"><msub id="S6.Ex91.m1.2.2.1.1.1" xref="S6.Ex91.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex91.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S6.Ex91.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">S</mi><mn id="S6.Ex91.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S6.Ex91.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">11</mn></msub></mtd><mtd id="S6.Ex91.m1.2.2c" xref="S6.Ex91.m1.2.2.cmml"><mrow id="S6.Ex91.m1.2.2.1.2.1" xref="S6.Ex91.m1.2.2.1.2.1.cmml"><msup id="S6.Ex91.m1.2.2.1.2.1.2" xref="S6.Ex91.m1.2.2.1.2.1.2.cmml"><mi id="S6.Ex91.m1.2.2.1.2.1.2.2" xref="S6.Ex91.m1.2.2.1.2.1.2.2.cmml">λ</mi><mrow id="S6.Ex91.m1.2.2.1.2.1.2.3" xref="S6.Ex91.m1.2.2.1.2.1.2.3.cmml"><mo id="S6.Ex91.m1.2.2.1.2.1.2.3a" xref="S6.Ex91.m1.2.2.1.2.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S6.Ex91.m1.2.2.1.2.1.2.3.2" xref="S6.Ex91.m1.2.2.1.2.1.2.3.2.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S6.Ex91.m1.2.2.1.2.1.1" xref="S6.Ex91.m1.2.2.1.2.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S6.Ex91.m1.2.2.1.2.1.3" xref="S6.Ex91.m1.2.2.1.2.1.3.cmml"><mi id="S6.Ex91.m1.2.2.1.2.1.3.2" xref="S6.Ex91.m1.2.2.1.2.1.3.2.cmml">S</mi><mn id="S6.Ex91.m1.2.2.1.2.1.3.3" xref="S6.Ex91.m1.2.2.1.2.1.3.3.cmml">12</mn></msub></mrow></mtd></mtr><mtr id="S6.Ex91.m1.2.2d" xref="S6.Ex91.m1.2.2.cmml"><mtd id="S6.Ex91.m1.2.2e" xref="S6.Ex91.m1.2.2.cmml"><msub id="S6.Ex91.m1.2.2.2.1.1" xref="S6.Ex91.m1.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex91.m1.2.2.2.1.1.2" xref="S6.Ex91.m1.2.2.2.1.1.2.cmml">S</mi><mn id="S6.Ex91.m1.2.2.2.1.1.3" xref="S6.Ex91.m1.2.2.2.1.1.3.cmml">21</mn></msub></mtd><mtd id="S6.Ex91.m1.2.2f" xref="S6.Ex91.m1.2.2.cmml"><msub id="S6.Ex91.m1.2.2.2.2.1" xref="S6.Ex91.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S6.Ex91.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S6.Ex91.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">S</mi><mn id="S6.Ex91.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S6.Ex91.m1.2.2.2.2.1.3.cmml">22</mn></msub></mtd></mtr></mtable><mo id="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.2" xref="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.2.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.Ex91.m1.3.3.1.2">;</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.Ex91.m1.3b"><apply id="S6.Ex91.m1.3.3.1.1.3.cmml" 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id="S6.Ex91.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S6.Ex91.m1.1.1.1.1.1.2.2">𝐿</ci><cn id="S6.Ex91.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex91.m1.1.1.1.1.1.2.3">11</cn></apply><apply id="S6.Ex91.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex91.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex91.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.Ex91.m1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S6.Ex91.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.Ex91.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex91.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S6.Ex91.m1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S6.Ex91.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S6.Ex91.m1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝐿</ci><csymbol cd="latexml" id="S6.Ex91.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S6.Ex91.m1.1.1.1.1.1.3.2.3">similar-to</csymbol></apply><cn id="S6.Ex91.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex91.m1.1.1.1.1.1.3.3">12</cn></apply></apply><cn id="S6.Ex91.m1.1.1.1.2.1.cmml" type="integer" xref="S6.Ex91.m1.1.1.1.2.1">0</cn></matrixrow><matrixrow id="S6.Ex91.m1.1.1b.cmml" 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id="S6.Ex91.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S6.Ex91.m1.2.2.1.1.1.2">𝑆</ci><cn id="S6.Ex91.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex91.m1.2.2.1.1.1.3">11</cn></apply><apply id="S6.Ex91.m1.2.2.1.2.1.cmml" xref="S6.Ex91.m1.2.2.1.2.1"><times id="S6.Ex91.m1.2.2.1.2.1.1.cmml" xref="S6.Ex91.m1.2.2.1.2.1.1"></times><apply id="S6.Ex91.m1.2.2.1.2.1.2.cmml" xref="S6.Ex91.m1.2.2.1.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex91.m1.2.2.1.2.1.2.1.cmml" xref="S6.Ex91.m1.2.2.1.2.1.2">superscript</csymbol><ci id="S6.Ex91.m1.2.2.1.2.1.2.2.cmml" xref="S6.Ex91.m1.2.2.1.2.1.2.2">𝜆</ci><apply id="S6.Ex91.m1.2.2.1.2.1.2.3.cmml" xref="S6.Ex91.m1.2.2.1.2.1.2.3"><minus id="S6.Ex91.m1.2.2.1.2.1.2.3.1.cmml" xref="S6.Ex91.m1.2.2.1.2.1.2.3"></minus><cn id="S6.Ex91.m1.2.2.1.2.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.Ex91.m1.2.2.1.2.1.2.3.2">2</cn></apply></apply><apply id="S6.Ex91.m1.2.2.1.2.1.3.cmml" xref="S6.Ex91.m1.2.2.1.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex91.m1.2.2.1.2.1.3.1.cmml" 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xref="S6.Ex91.m1.2.2.2.2.1.3">22</cn></apply></matrixrow></matrix></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Ex91.m1.3c">L=\left[\begin{array}[]{cc}L_{11}L^{\sim}_{12}&0\\ L_{3}&L_{21}L_{22}\end{array}\right];\ \ S=\left[\begin{array}[]{cc}S_{11}&% \lambda^{-2}S_{12}\\ S_{21}&S_{22}\end{array}\right];</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Ex91.m1.3d">italic_L = [ start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_L start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT ∼ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_L start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_L start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARRAY ] ; italic_S = [ start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_S start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT - 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_S start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_S start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_S start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARRAY ] ;</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S6.Ex92"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\ \ U=\left[\begin{array}[]{cc}U_{21}U_{11}&U_{2}\\ 0&U_{22}U^{\sim}_{12}\end{array}\right];" class="ltx_Math" display="block" id="S6.Ex92.m1.2"><semantics id="S6.Ex92.m1.2a"><mrow id="S6.Ex92.m1.2.2.1" xref="S6.Ex92.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex92.m1.2.2.1.1" xref="S6.Ex92.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex92.m1.2.2.1.1.2" xref="S6.Ex92.m1.2.2.1.1.2.cmml">U</mi><mo 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cd="ambiguous" id="S6.Ex92.m1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S6.Ex92.m1.1.1.1.2.1">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex92.m1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S6.Ex92.m1.1.1.1.2.1.2">𝑈</ci><cn id="S6.Ex92.m1.1.1.1.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex92.m1.1.1.1.2.1.3">2</cn></apply></matrixrow><matrixrow id="S6.Ex92.m1.1.1b.cmml" xref="S6.Ex92.m1.1.1"><cn id="S6.Ex92.m1.1.1.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S6.Ex92.m1.1.1.2.1.1">0</cn><apply id="S6.Ex92.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S6.Ex92.m1.1.1.2.2.1"><times id="S6.Ex92.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S6.Ex92.m1.1.1.2.2.1.1"></times><apply id="S6.Ex92.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S6.Ex92.m1.1.1.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex92.m1.1.1.2.2.1.2.1.cmml" xref="S6.Ex92.m1.1.1.2.2.1.2">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex92.m1.1.1.2.2.1.2.2.cmml" xref="S6.Ex92.m1.1.1.2.2.1.2.2">𝑈</ci><cn id="S6.Ex92.m1.1.1.2.2.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex92.m1.1.1.2.2.1.2.3">22</cn></apply><apply id="S6.Ex92.m1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="S6.Ex92.m1.1.1.2.2.1.3"><csymbol 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id="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">S</mi><mo id="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.3a.cmml">;</mo><mrow id="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">E</mi><mo id="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><msup id="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">S</mi><mrow id="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2" xref="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml"></mi><mo id="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1" stretchy="false" xref="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml">→</mo><mn id="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3" xref="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow></mrow><mo id="S6.p25.2.m1.1.1.1.2">;</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p25.2.m1.1b"><apply id="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.3"></eq><apply id="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.4"><ci id="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.4.1">^</ci><ci id="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑆</ci></apply><apply id="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.2"><plus id="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"></plus><apply id="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝛼</ci><apply id="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝛼</ci><ci id="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑟</ci></apply><apply id="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">𝑆</ci></apply><apply id="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2"><times id="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"></times><apply id="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1">superscript</csymbol><apply id="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S6.p25.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" 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id="S6.p25.3.m2.1.1.1.1.3.5" xref="S6.p25.3.m2.1.1.1.1.3.5.cmml"><mi id="S6.p25.3.m2.1.1.1.1.3.5.2" xref="S6.p25.3.m2.1.1.1.1.3.5.2.cmml">M</mi><mn id="S6.p25.3.m2.1.1.1.1.3.5.3" xref="S6.p25.3.m2.1.1.1.1.3.5.3.cmml">12</mn></msub><mo id="S6.p25.3.m2.1.1.1.1.3.1c" xref="S6.p25.3.m2.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S6.p25.3.m2.1.1.1.1.3.6" xref="S6.p25.3.m2.1.1.1.1.3.6.cmml"><mover accent="true" id="S6.p25.3.m2.1.1.1.1.3.6.2" xref="S6.p25.3.m2.1.1.1.1.3.6.2.cmml"><mi id="S6.p25.3.m2.1.1.1.1.3.6.2.2" xref="S6.p25.3.m2.1.1.1.1.3.6.2.2.cmml">S</mi><mo id="S6.p25.3.m2.1.1.1.1.3.6.2.1" xref="S6.p25.3.m2.1.1.1.1.3.6.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="S6.p25.3.m2.1.1.1.1.3.6.3" xref="S6.p25.3.m2.1.1.1.1.3.6.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S6.p25.3.m2.1.1.1.1.3.1d" xref="S6.p25.3.m2.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S6.p25.3.m2.1.1.1.1.3.7" xref="S6.p25.3.m2.1.1.1.1.3.7.cmml"><mi id="S6.p25.3.m2.1.1.1.1.3.7.2" xref="S6.p25.3.m2.1.1.1.1.3.7.2.cmml">M</mi><mn id="S6.p25.3.m2.1.1.1.1.3.7.3" xref="S6.p25.3.m2.1.1.1.1.3.7.3.cmml">11</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S6.p25.3.m2.1.1.1.2" xref="S6.p25.3.m2.1.1.1.1.cmml">;</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p25.3.m2.1b"><apply id="S6.p25.3.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S6.p25.3.m2.1.1.1"><eq id="S6.p25.3.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.p25.3.m2.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S6.p25.3.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.p25.3.m2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p25.3.m2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.p25.3.m2.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S6.p25.3.m2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S6.p25.3.m2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p25.3.m2.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S6.p25.3.m2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S6.p25.3.m2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S6.p25.3.m2.1.1.1.1.2.2.2">𝐿</ci><cn id="S6.p25.3.m2.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.p25.3.m2.1.1.1.1.2.2.3">3</cn></apply><ci id="S6.p25.3.m2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S6.p25.3.m2.1.1.1.1.2.3">′</ci></apply><apply id="S6.p25.3.m2.1.1.1.1.3.cmml" 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id="S6.p26.1"><math alttext="(E+\bar{S})^{T}=" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p26.1.m1.1"><semantics id="S6.p26.1.m1.1a"><mrow id="S6.p26.1.m1.1.1" xref="S6.p26.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S6.p26.1.m1.1.1.1" xref="S6.p26.1.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.p26.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S6.p26.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.p26.1.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.p26.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.p26.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.p26.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.p26.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.p26.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">E</mi><mo id="S6.p26.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.p26.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mover accent="true" id="S6.p26.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.p26.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.p26.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.p26.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">S</mi><mo id="S6.p26.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S6.p26.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><mo id="S6.p26.1.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" 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11}^{T}+\tilde{S}_{11}^{T}&E_{21}^{T}+\tilde{S}_{21}^{T}\\ E_{12}^{T}+\tilde{S}_{12}^{T}&E_{22}^{T}+\tilde{S}_{22}^{T}\end{array}\right];" class="ltx_Math" display="block" id="S6.Ex93.m1.3"><semantics id="S6.Ex93.m1.3a"><mrow id="S6.Ex93.m1.3.3.1" xref="S6.Ex93.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex93.m1.3.3.1.1" xref="S6.Ex93.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex93.m1.3.3.1.1.2" xref="S6.Ex93.m1.3.3.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S6.Ex93.m1.3.3.1.1.3" xref="S6.Ex93.m1.3.3.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S6.Ex93.m1.3.3.1.1.4.2" xref="S6.Ex93.m1.3.3.1.1.4.1.cmml"><mo id="S6.Ex93.m1.3.3.1.1.4.2.1" xref="S6.Ex93.m1.3.3.1.1.4.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S6.Ex93.m1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S6.Ex93.m1.1.1.cmml"><mtr id="S6.Ex93.m1.1.1a" xref="S6.Ex93.m1.1.1.cmml"><mtd id="S6.Ex93.m1.1.1b" xref="S6.Ex93.m1.1.1.cmml"><msubsup id="S6.Ex93.m1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex93.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex93.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.Ex93.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">E</mi><mn 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ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\left[\begin{array}[]{cc}S^{\prime}_{11}&S^{\prime}_{12}\\ S^{\prime}_{21}&S^{\prime}_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{cc}% \alpha E_{11}+\alpha\bar{S}_{11}&\alpha_{k}E_{21}+\alpha\bar{S}_{21}\\ \alpha_{l}E_{12}+\alpha\bar{S}_{12}&\alpha_{s}E_{22}+\alpha\bar{S}_{22}\end{% array}\right];" class="ltx_Math" display="block" id="S6.Ex94.m1.3"><semantics id="S6.Ex94.m1.3a"><mrow id="S6.Ex94.m1.3.3.1" xref="S6.Ex94.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex94.m1.3.3.1.1" xref="S6.Ex94.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex94.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S6.Ex94.m1.3.3.1.1.2.1.cmml"><mo id="S6.Ex94.m1.3.3.1.1.2.2.1" xref="S6.Ex94.m1.3.3.1.1.2.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S6.Ex94.m1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S6.Ex94.m1.1.1.cmml"><mtr id="S6.Ex94.m1.1.1a" xref="S6.Ex94.m1.1.1.cmml"><mtd id="S6.Ex94.m1.1.1b" 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xref="S6.Ex94.m1.2.2.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex94.m1.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex94.m1.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.1.1.1.2.3.2">𝐸</ci><cn id="S6.Ex94.m1.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex94.m1.2.2.1.1.1.2.3.3">11</cn></apply></apply><apply id="S6.Ex94.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.1.1.1.3"><times id="S6.Ex94.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.1.1.1.3.1"></times><ci id="S6.Ex94.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.1.1.1.3.2">𝛼</ci><apply id="S6.Ex94.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex94.m1.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S6.Ex94.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.1.1.1.3.3.2"><ci id="S6.Ex94.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.1">¯</ci><ci id="S6.Ex94.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S6.Ex94.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex94.m1.2.2.1.1.1.3.3.3">11</cn></apply></apply></apply><apply id="S6.Ex94.m1.2.2.1.2.1.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.1.2.1"><plus id="S6.Ex94.m1.2.2.1.2.1.1.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.1.2.1.1"></plus><apply id="S6.Ex94.m1.2.2.1.2.1.2.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.1.2.1.2"><times id="S6.Ex94.m1.2.2.1.2.1.2.1.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.1.2.1.2.1"></times><apply id="S6.Ex94.m1.2.2.1.2.1.2.2.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.1.2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex94.m1.2.2.1.2.1.2.2.1.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.1.2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex94.m1.2.2.1.2.1.2.2.2.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.1.2.1.2.2.2">𝛼</ci><ci id="S6.Ex94.m1.2.2.1.2.1.2.2.3.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.1.2.1.2.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S6.Ex94.m1.2.2.1.2.1.2.3.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.1.2.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex94.m1.2.2.1.2.1.2.3.1.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.1.2.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex94.m1.2.2.1.2.1.2.3.2.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.1.2.1.2.3.2">𝐸</ci><cn id="S6.Ex94.m1.2.2.1.2.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex94.m1.2.2.1.2.1.2.3.3">21</cn></apply></apply><apply id="S6.Ex94.m1.2.2.1.2.1.3.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.1.2.1.3"><times id="S6.Ex94.m1.2.2.1.2.1.3.1.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.1.2.1.3.1"></times><ci id="S6.Ex94.m1.2.2.1.2.1.3.2.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.1.2.1.3.2">𝛼</ci><apply id="S6.Ex94.m1.2.2.1.2.1.3.3.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.1.2.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex94.m1.2.2.1.2.1.3.3.1.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.1.2.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S6.Ex94.m1.2.2.1.2.1.3.3.2.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.1.2.1.3.3.2"><ci id="S6.Ex94.m1.2.2.1.2.1.3.3.2.1.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.1.2.1.3.3.2.1">¯</ci><ci id="S6.Ex94.m1.2.2.1.2.1.3.3.2.2.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.1.2.1.3.3.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S6.Ex94.m1.2.2.1.2.1.3.3.3.cmml" type="integer" 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id="S6.Ex94.m1.2.2.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.2.1.1.2.3.2">𝐸</ci><cn id="S6.Ex94.m1.2.2.2.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex94.m1.2.2.2.1.1.2.3.3">12</cn></apply></apply><apply id="S6.Ex94.m1.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.2.1.1.3"><times id="S6.Ex94.m1.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.2.1.1.3.1"></times><ci id="S6.Ex94.m1.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.2.1.1.3.2">𝛼</ci><apply id="S6.Ex94.m1.2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex94.m1.2.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.2.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S6.Ex94.m1.2.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.2.1.1.3.3.2"><ci id="S6.Ex94.m1.2.2.2.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.2.1.1.3.3.2.1">¯</ci><ci id="S6.Ex94.m1.2.2.2.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.2.1.1.3.3.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S6.Ex94.m1.2.2.2.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex94.m1.2.2.2.1.1.3.3.3">12</cn></apply></apply></apply><apply id="S6.Ex94.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.2.2.1"><plus id="S6.Ex94.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.2.2.1.1"></plus><apply id="S6.Ex94.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.2.2.1.2"><times id="S6.Ex94.m1.2.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.2.2.1.2.1"></times><apply id="S6.Ex94.m1.2.2.2.2.1.2.2.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.2.2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex94.m1.2.2.2.2.1.2.2.1.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.2.2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex94.m1.2.2.2.2.1.2.2.2.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.2.2.1.2.2.2">𝛼</ci><ci id="S6.Ex94.m1.2.2.2.2.1.2.2.3.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.2.2.1.2.2.3">𝑠</ci></apply><apply id="S6.Ex94.m1.2.2.2.2.1.2.3.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.2.2.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex94.m1.2.2.2.2.1.2.3.1.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.2.2.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex94.m1.2.2.2.2.1.2.3.2.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.2.2.1.2.3.2">𝐸</ci><cn id="S6.Ex94.m1.2.2.2.2.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex94.m1.2.2.2.2.1.2.3.3">22</cn></apply></apply><apply id="S6.Ex94.m1.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.2.2.1.3"><times id="S6.Ex94.m1.2.2.2.2.1.3.1.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.2.2.1.3.1"></times><ci id="S6.Ex94.m1.2.2.2.2.1.3.2.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.2.2.1.3.2">𝛼</ci><apply id="S6.Ex94.m1.2.2.2.2.1.3.3.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.2.2.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex94.m1.2.2.2.2.1.3.3.1.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.2.2.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S6.Ex94.m1.2.2.2.2.1.3.3.2.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.2.2.1.3.3.2"><ci id="S6.Ex94.m1.2.2.2.2.1.3.3.2.1.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.2.2.1.3.3.2.1">¯</ci><ci id="S6.Ex94.m1.2.2.2.2.1.3.3.2.2.cmml" xref="S6.Ex94.m1.2.2.2.2.1.3.3.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S6.Ex94.m1.2.2.2.2.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex94.m1.2.2.2.2.1.3.3.3">22</cn></apply></apply></apply></matrixrow></matrix></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Ex94.m1.3c">\left[\begin{array}[]{cc}S^{\prime}_{11}&S^{\prime}_{12}\\ S^{\prime}_{21}&S^{\prime}_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{cc}% \alpha E_{11}+\alpha\bar{S}_{11}&\alpha_{k}E_{21}+\alpha\bar{S}_{21}\\ \alpha_{l}E_{12}+\alpha\bar{S}_{12}&\alpha_{s}E_{22}+\alpha\bar{S}_{22}\end{% array}\right];</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Ex94.m1.3d">[ start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_S start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_S start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_S start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_S start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARRAY ] = [ start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_α italic_E start_POSTSUBSCRIPT 11 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ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="M=\frac{1}{\alpha}\left[\begin{array}[]{cc}E^{\prime}_{11}\bar{S}_{12}M_{12}S^% {\prime}_{11}M_{11}&E^{\prime}_{12}\bar{S}_{22}M_{22}S^{\prime}_{21}M_{21}\\ E^{\prime}_{21}S^{\prime}_{12}M_{12}\bar{S}_{11}M_{11}&E^{\prime}_{22}S^{% \prime}_{22}M_{22}\bar{S}_{21}M_{21}\end{array}\right]" class="ltx_Math" display="block" id="S6.Ex95.m1.1"><semantics id="S6.Ex95.m1.1a"><mrow id="S6.Ex95.m1.1.2" xref="S6.Ex95.m1.1.2.cmml"><mi id="S6.Ex95.m1.1.2.2" xref="S6.Ex95.m1.1.2.2.cmml">M</mi><mo id="S6.Ex95.m1.1.2.1" xref="S6.Ex95.m1.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S6.Ex95.m1.1.2.3" xref="S6.Ex95.m1.1.2.3.cmml"><mfrac id="S6.Ex95.m1.1.2.3.2" xref="S6.Ex95.m1.1.2.3.2.cmml"><mn id="S6.Ex95.m1.1.2.3.2.2" xref="S6.Ex95.m1.1.2.3.2.2.cmml">1</mn><mi id="S6.Ex95.m1.1.2.3.2.3" xref="S6.Ex95.m1.1.2.3.2.3.cmml">α</mi></mfrac><mo id="S6.Ex95.m1.1.2.3.1" 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id="S6.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1c" xref="S6.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S6.Ex95.m1.1.1.1.1.1.6" xref="S6.Ex95.m1.1.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="S6.Ex95.m1.1.1.1.1.1.6.2" xref="S6.Ex95.m1.1.1.1.1.1.6.2.cmml">M</mi><mn id="S6.Ex95.m1.1.1.1.1.1.6.3" xref="S6.Ex95.m1.1.1.1.1.1.6.3.cmml">11</mn></msub></mrow></mtd><mtd id="S6.Ex95.m1.1.1c" xref="S6.Ex95.m1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex95.m1.1.1.1.2.1" xref="S6.Ex95.m1.1.1.1.2.1.cmml"><msubsup id="S6.Ex95.m1.1.1.1.2.1.2" xref="S6.Ex95.m1.1.1.1.2.1.2.cmml"><mi id="S6.Ex95.m1.1.1.1.2.1.2.2.2" xref="S6.Ex95.m1.1.1.1.2.1.2.2.2.cmml">E</mi><mn id="S6.Ex95.m1.1.1.1.2.1.2.3" xref="S6.Ex95.m1.1.1.1.2.1.2.3.cmml">12</mn><mo id="S6.Ex95.m1.1.1.1.2.1.2.2.3" xref="S6.Ex95.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S6.Ex95.m1.1.1.1.2.1.1" xref="S6.Ex95.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S6.Ex95.m1.1.1.1.2.1.3" xref="S6.Ex95.m1.1.1.1.2.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S6.Ex95.m1.1.1.1.2.1.3.2" xref="S6.Ex95.m1.1.1.1.2.1.3.2.cmml"><mi 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id="S6.Ex95.m1.1.1.2.1.1.5.2.1.cmml" xref="S6.Ex95.m1.1.1.2.1.1.5.2.1">¯</ci><ci id="S6.Ex95.m1.1.1.2.1.1.5.2.2.cmml" xref="S6.Ex95.m1.1.1.2.1.1.5.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S6.Ex95.m1.1.1.2.1.1.5.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex95.m1.1.1.2.1.1.5.3">11</cn></apply><apply id="S6.Ex95.m1.1.1.2.1.1.6.cmml" xref="S6.Ex95.m1.1.1.2.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex95.m1.1.1.2.1.1.6.1.cmml" xref="S6.Ex95.m1.1.1.2.1.1.6">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex95.m1.1.1.2.1.1.6.2.cmml" xref="S6.Ex95.m1.1.1.2.1.1.6.2">𝑀</ci><cn id="S6.Ex95.m1.1.1.2.1.1.6.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex95.m1.1.1.2.1.1.6.3">11</cn></apply></apply><apply id="S6.Ex95.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S6.Ex95.m1.1.1.2.2.1"><times id="S6.Ex95.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S6.Ex95.m1.1.1.2.2.1.1"></times><apply id="S6.Ex95.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S6.Ex95.m1.1.1.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex95.m1.1.1.2.2.1.2.1.cmml" xref="S6.Ex95.m1.1.1.2.2.1.2">subscript</csymbol><apply id="S6.Ex95.m1.1.1.2.2.1.2.2.cmml" 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xref="S6.Ex95.m1.1.1.2.2.1.3.3">22</cn></apply><apply id="S6.Ex95.m1.1.1.2.2.1.4.cmml" xref="S6.Ex95.m1.1.1.2.2.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex95.m1.1.1.2.2.1.4.1.cmml" xref="S6.Ex95.m1.1.1.2.2.1.4">subscript</csymbol><ci id="S6.Ex95.m1.1.1.2.2.1.4.2.cmml" xref="S6.Ex95.m1.1.1.2.2.1.4.2">𝑀</ci><cn id="S6.Ex95.m1.1.1.2.2.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex95.m1.1.1.2.2.1.4.3">22</cn></apply><apply id="S6.Ex95.m1.1.1.2.2.1.5.cmml" xref="S6.Ex95.m1.1.1.2.2.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.Ex95.m1.1.1.2.2.1.5.1.cmml" xref="S6.Ex95.m1.1.1.2.2.1.5">subscript</csymbol><apply id="S6.Ex95.m1.1.1.2.2.1.5.2.cmml" xref="S6.Ex95.m1.1.1.2.2.1.5.2"><ci id="S6.Ex95.m1.1.1.2.2.1.5.2.1.cmml" xref="S6.Ex95.m1.1.1.2.2.1.5.2.1">¯</ci><ci id="S6.Ex95.m1.1.1.2.2.1.5.2.2.cmml" xref="S6.Ex95.m1.1.1.2.2.1.5.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S6.Ex95.m1.1.1.2.2.1.5.3.cmml" type="integer" xref="S6.Ex95.m1.1.1.2.2.1.5.3">21</cn></apply><apply id="S6.Ex95.m1.1.1.2.2.1.6.cmml" 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display="block" id="S6.Ex96.m1.2"><semantics id="S6.Ex96.m1.2a"><mrow id="S6.Ex96.m1.2.2.1" xref="S6.Ex96.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex96.m1.2.2.1.1" xref="S6.Ex96.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S6.Ex96.m1.2.2.1.1.2" xref="S6.Ex96.m1.2.2.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S6.Ex96.m1.2.2.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S6.Ex96.m1.2.2.1.1.1.cmml">×</mo><mrow id="S6.Ex96.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S6.Ex96.m1.2.2.1.1.3.1.cmml"><mo id="S6.Ex96.m1.2.2.1.1.3.2.1" xref="S6.Ex96.m1.2.2.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S6.Ex96.m1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S6.Ex96.m1.1.1.cmml"><mtr id="S6.Ex96.m1.1.1a" xref="S6.Ex96.m1.1.1.cmml"><mtd id="S6.Ex96.m1.1.1b" xref="S6.Ex96.m1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex96.m1.1.1.1.1.1" xref="S6.Ex96.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S6.Ex96.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.Ex96.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex96.m1.1.1.1.1.1.2a" xref="S6.Ex96.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S6.Ex96.m1.1.1.1.1.1.2.2" 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xref="S6.Ex96.m1.1.1.2.1.1.2.2.3.3.cmml">l</mi></msub></mfrac></mstyle><mo id="S6.Ex96.m1.1.1.2.1.1.2.1" xref="S6.Ex96.m1.1.1.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S6.Ex96.m1.1.1.2.1.1.2.3" xref="S6.Ex96.m1.1.1.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S6.Ex96.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.2" xref="S6.Ex96.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.2.cmml">L</mi><mn id="S6.Ex96.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.3" xref="S6.Ex96.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.3.cmml">3</mn><mo id="S6.Ex96.m1.1.1.2.1.1.2.3.3" xref="S6.Ex96.m1.1.1.2.1.1.2.3.3.cmml">′</mo></msubsup></mrow></mrow></mtd><mtd id="S6.Ex96.m1.1.1f" xref="S6.Ex96.m1.1.1.cmml"><mrow id="S6.Ex96.m1.1.1.2.2.1" xref="S6.Ex96.m1.1.1.2.2.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S6.Ex96.m1.1.1.2.2.1.2" xref="S6.Ex96.m1.1.1.2.2.1.2.cmml"><mfrac id="S6.Ex96.m1.1.1.2.2.1.2a" xref="S6.Ex96.m1.1.1.2.2.1.2.cmml"><mn id="S6.Ex96.m1.1.1.2.2.1.2.2" xref="S6.Ex96.m1.1.1.2.2.1.2.2.cmml">1</mn><msub id="S6.Ex96.m1.1.1.2.2.1.2.3" xref="S6.Ex96.m1.1.1.2.2.1.2.3.cmml"><mi id="S6.Ex96.m1.1.1.2.2.1.2.3.2" 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id="S6.Ex98.m1.1.1.1.1.1.6.2.3">′</mo></msubsup></mrow></mtd><mtd id="S6.Ex98.m1.1.1c"><mrow id="S6.Ex98.m1.1.1.1.2.1"><msub id="S6.Ex98.m1.1.1.1.2.1.2"><mi id="S6.Ex98.m1.1.1.1.2.1.2.2">W</mi><mn id="S6.Ex98.m1.1.1.1.2.1.2.3">11</mn></msub><mo id="S6.Ex98.m1.1.1.1.2.1.1">⁢</mo><msub id="S6.Ex98.m1.1.1.1.2.1.3"><mover accent="true" id="S6.Ex98.m1.1.1.1.2.1.3.2"><mi id="S6.Ex98.m1.1.1.1.2.1.3.2.2">S</mi><mo id="S6.Ex98.m1.1.1.1.2.1.3.2.1">¯</mo></mover><mn id="S6.Ex98.m1.1.1.1.2.1.3.3">11</mn></msub><mo id="S6.Ex98.m1.1.1.1.2.1.1a">⁢</mo><msub id="S6.Ex98.m1.1.1.1.2.1.4"><mi id="S6.Ex98.m1.1.1.1.2.1.4.2">W</mi><mn id="S6.Ex98.m1.1.1.1.2.1.4.3">21</mn></msub><mo id="S6.Ex98.m1.1.1.1.2.1.1b">⁢</mo><msubsup id="S6.Ex98.m1.1.1.1.2.1.5"><mi id="S6.Ex98.m1.1.1.1.2.1.5.2.2">S</mi><mn id="S6.Ex98.m1.1.1.1.2.1.5.3">21</mn><mo id="S6.Ex98.m1.1.1.1.2.1.5.2.3">′</mo></msubsup><mo id="S6.Ex98.m1.1.1.1.2.1.1c">⁢</mo><msubsup id="S6.Ex98.m1.1.1.1.2.1.6"><mi id="S6.Ex98.m1.1.1.1.2.1.6.2.2">E</mi><mn id="S6.Ex98.m1.1.1.1.2.1.6.3">12</mn><mo id="S6.Ex98.m1.1.1.1.2.1.6.2.3">′</mo></msubsup></mrow></mtd></mtr><mtr id="S6.Ex98.m1.1.1d"><mtd id="S6.Ex98.m1.1.1e"><mrow id="S6.Ex98.m1.1.1.2.1.1"><msub id="S6.Ex98.m1.1.1.2.1.1.2"><mi id="S6.Ex98.m1.1.1.2.1.1.2.2">W</mi><mn id="S6.Ex98.m1.1.1.2.1.1.2.3">12</mn></msub><mo id="S6.Ex98.m1.1.1.2.1.1.1">⁢</mo><msubsup id="S6.Ex98.m1.1.1.2.1.1.3"><mi id="S6.Ex98.m1.1.1.2.1.1.3.2.2">S</mi><mn id="S6.Ex98.m1.1.1.2.1.1.3.3">12</mn><mo id="S6.Ex98.m1.1.1.2.1.1.3.2.3">′</mo></msubsup><mo id="S6.Ex98.m1.1.1.2.1.1.1a">⁢</mo><msub id="S6.Ex98.m1.1.1.2.1.1.4"><mi id="S6.Ex98.m1.1.1.2.1.1.4.2">W</mi><mn id="S6.Ex98.m1.1.1.2.1.1.4.3">22</mn></msub><mo id="S6.Ex98.m1.1.1.2.1.1.1b">⁢</mo><msub id="S6.Ex98.m1.1.1.2.1.1.5"><mover accent="true" id="S6.Ex98.m1.1.1.2.1.1.5.2"><mi id="S6.Ex98.m1.1.1.2.1.1.5.2.2">S</mi><mo id="S6.Ex98.m1.1.1.2.1.1.5.2.1">¯</mo></mover><mn id="S6.Ex98.m1.1.1.2.1.1.5.3">22</mn></msub><mo id="S6.Ex98.m1.1.1.2.1.1.1c">⁢</mo><msubsup id="S6.Ex98.m1.1.1.2.1.1.6"><mi id="S6.Ex98.m1.1.1.2.1.1.6.2.2">E</mi><mn id="S6.Ex98.m1.1.1.2.1.1.6.3">21</mn><mo id="S6.Ex98.m1.1.1.2.1.1.6.2.3">′</mo></msubsup></mrow></mtd><mtd id="S6.Ex98.m1.1.1f"><mrow id="S6.Ex98.m1.1.1.2.2.1"><msub id="S6.Ex98.m1.1.1.2.2.1.2"><mi id="S6.Ex98.m1.1.1.2.2.1.2.2">W</mi><mn id="S6.Ex98.m1.1.1.2.2.1.2.3">12</mn></msub><mo id="S6.Ex98.m1.1.1.2.2.1.1">⁢</mo><msub id="S6.Ex98.m1.1.1.2.2.1.3"><mover accent="true" id="S6.Ex98.m1.1.1.2.2.1.3.2"><mi id="S6.Ex98.m1.1.1.2.2.1.3.2.2">S</mi><mo id="S6.Ex98.m1.1.1.2.2.1.3.2.1">¯</mo></mover><mn id="S6.Ex98.m1.1.1.2.2.1.3.3">12</mn></msub><mo id="S6.Ex98.m1.1.1.2.2.1.1a">⁢</mo><msub id="S6.Ex98.m1.1.1.2.2.1.4"><mi id="S6.Ex98.m1.1.1.2.2.1.4.2">W</mi><mn id="S6.Ex98.m1.1.1.2.2.1.4.3">22</mn></msub><mo id="S6.Ex98.m1.1.1.2.2.1.1b">⁢</mo><msubsup id="S6.Ex98.m1.1.1.2.2.1.5"><mi id="S6.Ex98.m1.1.1.2.2.1.5.2.2">S</mi><mn id="S6.Ex98.m1.1.1.2.2.1.5.3">22</mn><mo id="S6.Ex98.m1.1.1.2.2.1.5.2.3">′</mo></msubsup><mo id="S6.Ex98.m1.1.1.2.2.1.1c">⁢</mo><msubsup id="S6.Ex98.m1.1.1.2.2.1.6"><mi id="S6.Ex98.m1.1.1.2.2.1.6.2.2">E</mi><mn id="S6.Ex98.m1.1.1.2.2.1.6.3">22</mn><mo id="S6.Ex98.m1.1.1.2.2.1.6.2.3">′</mo></msubsup></mrow></mtd></mtr></mtable><mo id="S6.Ex98.m1.1.3.2">]</mo></mrow><mo id="S6.Ex98.m1.1.4" lspace="0em" rspace="0.167em">.</mo><mo id="S6.Ex98.m1.1.5" maxsize="210%" minsize="210%">}</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.Ex98.m1.1c">\times\left[\begin{array}[]{cc}W_{11}S^{\prime}_{11}W_{21}\bar{S}_{21}E^{% \prime}_{11}&W_{11}\bar{S}_{11}W_{21}S^{\prime}_{21}E^{\prime}_{12}\\ W_{12}S^{\prime}_{12}W_{22}\bar{S}_{22}E^{\prime}_{21}&W_{12}\bar{S}_{12}W_{22% }S^{\prime}_{22}E^{\prime}_{22}\end{array}\right].\bigg{\}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.Ex98.m1.1d">× [ start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_W start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT italic_S start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT over¯ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_E start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_W start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT over¯ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_S start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT italic_E start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_W start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT italic_S start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT over¯ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT italic_E start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_W start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT over¯ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT italic_S start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT italic_E start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARRAY ] . }</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S7"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">VII </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="S7.1.1">Complexity</span> </h2> <div class="ltx_para" id="S7.p1"> <p class="ltx_p" id="S7.p1.5">Let <math alttext="\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.p1.1.m1.1"><semantics id="S7.p1.1.m1.1a"><mi id="S7.p1.1.m1.1.1" xref="S7.p1.1.m1.1.1.cmml">γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.p1.1.m1.1b"><ci id="S7.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S7.p1.1.m1.1.1">𝛾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.p1.1.m1.1c">\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.p1.1.m1.1d">italic_γ</annotation></semantics></math> and <math alttext="\beta" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.p1.2.m2.1"><semantics id="S7.p1.2.m2.1a"><mi id="S7.p1.2.m2.1.1" xref="S7.p1.2.m2.1.1.cmml">β</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.p1.2.m2.1b"><ci id="S7.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S7.p1.2.m2.1.1">𝛽</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.p1.2.m2.1c">\beta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.p1.2.m2.1d">italic_β</annotation></semantics></math> be constants, <math alttext="3\geq\beta>2" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.p1.3.m3.1"><semantics id="S7.p1.3.m3.1a"><mrow id="S7.p1.3.m3.1.1" xref="S7.p1.3.m3.1.1.cmml"><mn id="S7.p1.3.m3.1.1.2" xref="S7.p1.3.m3.1.1.2.cmml">3</mn><mo id="S7.p1.3.m3.1.1.3" xref="S7.p1.3.m3.1.1.3.cmml">≥</mo><mi id="S7.p1.3.m3.1.1.4" xref="S7.p1.3.m3.1.1.4.cmml">β</mi><mo id="S7.p1.3.m3.1.1.5" xref="S7.p1.3.m3.1.1.5.cmml">></mo><mn id="S7.p1.3.m3.1.1.6" xref="S7.p1.3.m3.1.1.6.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.p1.3.m3.1b"><apply id="S7.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S7.p1.3.m3.1.1"><and id="S7.p1.3.m3.1.1a.cmml" xref="S7.p1.3.m3.1.1"></and><apply id="S7.p1.3.m3.1.1b.cmml" xref="S7.p1.3.m3.1.1"><geq id="S7.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S7.p1.3.m3.1.1.3"></geq><cn id="S7.p1.3.m3.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S7.p1.3.m3.1.1.2">3</cn><ci id="S7.p1.3.m3.1.1.4.cmml" xref="S7.p1.3.m3.1.1.4">𝛽</ci></apply><apply id="S7.p1.3.m3.1.1c.cmml" xref="S7.p1.3.m3.1.1"><gt id="S7.p1.3.m3.1.1.5.cmml" xref="S7.p1.3.m3.1.1.5"></gt><share href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#S7.p1.3.m3.1.1.4.cmml" id="S7.p1.3.m3.1.1d.cmml" xref="S7.p1.3.m3.1.1"></share><cn id="S7.p1.3.m3.1.1.6.cmml" type="integer" xref="S7.p1.3.m3.1.1.6">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.p1.3.m3.1c">3\geq\beta>2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.p1.3.m3.1d">3 ≥ italic_β > 2</annotation></semantics></math>, and let <math alttext="{\mathcal{M}}(n)=\gamma n^{\beta}+o(n^{\beta})" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.p1.4.m4.2"><semantics id="S7.p1.4.m4.2a"><mrow id="S7.p1.4.m4.2.2" xref="S7.p1.4.m4.2.2.cmml"><mrow id="S7.p1.4.m4.2.2.3" xref="S7.p1.4.m4.2.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S7.p1.4.m4.2.2.3.2" xref="S7.p1.4.m4.2.2.3.2.cmml">ℳ</mi><mo id="S7.p1.4.m4.2.2.3.1" xref="S7.p1.4.m4.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S7.p1.4.m4.2.2.3.3.2" xref="S7.p1.4.m4.2.2.3.cmml"><mo id="S7.p1.4.m4.2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.p1.4.m4.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S7.p1.4.m4.1.1" xref="S7.p1.4.m4.1.1.cmml">n</mi><mo id="S7.p1.4.m4.2.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.p1.4.m4.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.p1.4.m4.2.2.2" xref="S7.p1.4.m4.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S7.p1.4.m4.2.2.1" xref="S7.p1.4.m4.2.2.1.cmml"><mrow id="S7.p1.4.m4.2.2.1.3" xref="S7.p1.4.m4.2.2.1.3.cmml"><mi id="S7.p1.4.m4.2.2.1.3.2" xref="S7.p1.4.m4.2.2.1.3.2.cmml">γ</mi><mo id="S7.p1.4.m4.2.2.1.3.1" xref="S7.p1.4.m4.2.2.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S7.p1.4.m4.2.2.1.3.3" xref="S7.p1.4.m4.2.2.1.3.3.cmml"><mi id="S7.p1.4.m4.2.2.1.3.3.2" xref="S7.p1.4.m4.2.2.1.3.3.2.cmml">n</mi><mi id="S7.p1.4.m4.2.2.1.3.3.3" xref="S7.p1.4.m4.2.2.1.3.3.3.cmml">β</mi></msup></mrow><mo id="S7.p1.4.m4.2.2.1.2" xref="S7.p1.4.m4.2.2.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S7.p1.4.m4.2.2.1.1" xref="S7.p1.4.m4.2.2.1.1.cmml"><mi id="S7.p1.4.m4.2.2.1.1.3" xref="S7.p1.4.m4.2.2.1.1.3.cmml">o</mi><mo id="S7.p1.4.m4.2.2.1.1.2" xref="S7.p1.4.m4.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S7.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1" xref="S7.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S7.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1" xref="S7.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S7.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mi id="S7.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S7.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">β</mi></msup><mo id="S7.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.p1.4.m4.2b"><apply id="S7.p1.4.m4.2.2.cmml" xref="S7.p1.4.m4.2.2"><eq id="S7.p1.4.m4.2.2.2.cmml" xref="S7.p1.4.m4.2.2.2"></eq><apply id="S7.p1.4.m4.2.2.3.cmml" xref="S7.p1.4.m4.2.2.3"><times id="S7.p1.4.m4.2.2.3.1.cmml" xref="S7.p1.4.m4.2.2.3.1"></times><ci id="S7.p1.4.m4.2.2.3.2.cmml" xref="S7.p1.4.m4.2.2.3.2">ℳ</ci><ci id="S7.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S7.p1.4.m4.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S7.p1.4.m4.2.2.1.cmml" xref="S7.p1.4.m4.2.2.1"><plus id="S7.p1.4.m4.2.2.1.2.cmml" xref="S7.p1.4.m4.2.2.1.2"></plus><apply id="S7.p1.4.m4.2.2.1.3.cmml" xref="S7.p1.4.m4.2.2.1.3"><times id="S7.p1.4.m4.2.2.1.3.1.cmml" xref="S7.p1.4.m4.2.2.1.3.1"></times><ci id="S7.p1.4.m4.2.2.1.3.2.cmml" xref="S7.p1.4.m4.2.2.1.3.2">𝛾</ci><apply id="S7.p1.4.m4.2.2.1.3.3.cmml" xref="S7.p1.4.m4.2.2.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.p1.4.m4.2.2.1.3.3.1.cmml" xref="S7.p1.4.m4.2.2.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S7.p1.4.m4.2.2.1.3.3.2.cmml" xref="S7.p1.4.m4.2.2.1.3.3.2">𝑛</ci><ci id="S7.p1.4.m4.2.2.1.3.3.3.cmml" xref="S7.p1.4.m4.2.2.1.3.3.3">𝛽</ci></apply></apply><apply id="S7.p1.4.m4.2.2.1.1.cmml" xref="S7.p1.4.m4.2.2.1.1"><times id="S7.p1.4.m4.2.2.1.1.2.cmml" xref="S7.p1.4.m4.2.2.1.1.2"></times><ci id="S7.p1.4.m4.2.2.1.1.3.cmml" xref="S7.p1.4.m4.2.2.1.1.3">𝑜</ci><apply id="S7.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S7.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S7.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.3">𝛽</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.p1.4.m4.2c">{\mathcal{M}}(n)=\gamma n^{\beta}+o(n^{\beta})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.p1.4.m4.2d">caligraphic_M ( italic_n ) = italic_γ italic_n start_POSTSUPERSCRIPT italic_β end_POSTSUPERSCRIPT + italic_o ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT italic_β end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> be the number of arithmetic operations in one <math alttext="n\times n" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.p1.5.m5.1"><semantics id="S7.p1.5.m5.1a"><mrow id="S7.p1.5.m5.1.1" xref="S7.p1.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S7.p1.5.m5.1.1.2" xref="S7.p1.5.m5.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S7.p1.5.m5.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S7.p1.5.m5.1.1.1.cmml">×</mo><mi id="S7.p1.5.m5.1.1.3" xref="S7.p1.5.m5.1.1.3.cmml">n</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.p1.5.m5.1b"><apply id="S7.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S7.p1.5.m5.1.1"><times id="S7.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S7.p1.5.m5.1.1.1"></times><ci id="S7.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S7.p1.5.m5.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S7.p1.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S7.p1.5.m5.1.1.3">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.p1.5.m5.1c">n\times n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.p1.5.m5.1d">italic_n × italic_n</annotation></semantics></math> matrix multiplication.</p> </div> <section class="ltx_subsection" id="S7.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection"><span class="ltx_text" id="S7.SS1.4.1.1">VII-A</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S7.SS1.5.2">The number of arithmetic operations in the numeric field</span> </h3> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_theorem" id="Thmtheorem3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"><span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem3.1.1.1">Theorem 3</span></span></h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem3.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem3.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem3.p1.1.1">The LSU factorithation algorithm has the complexity of matrix multiplication.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S7.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S7.SS1.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S7.SS1.p1.1.1">Proof.</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S7.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S7.SS1.p2.5">The total number of matrix multiplications for calculating the factors <math alttext="L,S,U" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS1.p2.1.m1.3"><semantics id="S7.SS1.p2.1.m1.3a"><mrow id="S7.SS1.p2.1.m1.3.4.2" xref="S7.SS1.p2.1.m1.3.4.1.cmml"><mi id="S7.SS1.p2.1.m1.1.1" xref="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml">L</mi><mo id="S7.SS1.p2.1.m1.3.4.2.1" xref="S7.SS1.p2.1.m1.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="S7.SS1.p2.1.m1.2.2" xref="S7.SS1.p2.1.m1.2.2.cmml">S</mi><mo id="S7.SS1.p2.1.m1.3.4.2.2" xref="S7.SS1.p2.1.m1.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="S7.SS1.p2.1.m1.3.3" xref="S7.SS1.p2.1.m1.3.3.cmml">U</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS1.p2.1.m1.3b"><list id="S7.SS1.p2.1.m1.3.4.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.1.m1.3.4.2"><ci id="S7.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.1.m1.1.1">𝐿</ci><ci id="S7.SS1.p2.1.m1.2.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.1.m1.2.2">𝑆</ci><ci id="S7.SS1.p2.1.m1.3.3.cmml" xref="S7.SS1.p2.1.m1.3.3">𝑈</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS1.p2.1.m1.3c">L,S,U</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS1.p2.1.m1.3d">italic_L , italic_S , italic_U</annotation></semantics></math> is 13, and for calculating the matrices <math alttext="M" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS1.p2.2.m2.1"><semantics id="S7.SS1.p2.2.m2.1a"><mi id="S7.SS1.p2.2.m2.1.1" xref="S7.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml">M</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS1.p2.2.m2.1b"><ci id="S7.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.2.m2.1.1">𝑀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS1.p2.2.m2.1c">M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS1.p2.2.m2.1d">italic_M</annotation></semantics></math> and <math alttext="W" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS1.p2.3.m3.1"><semantics id="S7.SS1.p2.3.m3.1a"><mi id="S7.SS1.p2.3.m3.1.1" xref="S7.SS1.p2.3.m3.1.1.cmml">W</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS1.p2.3.m3.1b"><ci id="S7.SS1.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.3.m3.1.1">𝑊</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS1.p2.3.m3.1c">W</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS1.p2.3.m3.1d">italic_W</annotation></semantics></math> is 16. The total number of recursive calls is 4. We do not consider permutation matrix multiplications such as <math alttext="S,E,J,I" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS1.p2.4.m4.4"><semantics id="S7.SS1.p2.4.m4.4a"><mrow id="S7.SS1.p2.4.m4.4.5.2" xref="S7.SS1.p2.4.m4.4.5.1.cmml"><mi id="S7.SS1.p2.4.m4.1.1" xref="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.cmml">S</mi><mo id="S7.SS1.p2.4.m4.4.5.2.1" xref="S7.SS1.p2.4.m4.4.5.1.cmml">,</mo><mi id="S7.SS1.p2.4.m4.2.2" xref="S7.SS1.p2.4.m4.2.2.cmml">E</mi><mo id="S7.SS1.p2.4.m4.4.5.2.2" xref="S7.SS1.p2.4.m4.4.5.1.cmml">,</mo><mi id="S7.SS1.p2.4.m4.3.3" xref="S7.SS1.p2.4.m4.3.3.cmml">J</mi><mo id="S7.SS1.p2.4.m4.4.5.2.3" xref="S7.SS1.p2.4.m4.4.5.1.cmml">,</mo><mi id="S7.SS1.p2.4.m4.4.4" xref="S7.SS1.p2.4.m4.4.4.cmml">I</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS1.p2.4.m4.4b"><list id="S7.SS1.p2.4.m4.4.5.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.4.m4.4.5.2"><ci id="S7.SS1.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.4.m4.1.1">𝑆</ci><ci id="S7.SS1.p2.4.m4.2.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.4.m4.2.2">𝐸</ci><ci id="S7.SS1.p2.4.m4.3.3.cmml" xref="S7.SS1.p2.4.m4.3.3">𝐽</ci><ci id="S7.SS1.p2.4.m4.4.4.cmml" xref="S7.SS1.p2.4.m4.4.4">𝐼</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS1.p2.4.m4.4c">S,E,J,I</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS1.p2.4.m4.4d">italic_S , italic_E , italic_J , italic_I</annotation></semantics></math>, since their complexity does not exceed <math alttext="n^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS1.p2.5.m5.1"><semantics id="S7.SS1.p2.5.m5.1a"><msup id="S7.SS1.p2.5.m5.1.1" xref="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.2" xref="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.2.cmml">n</mi><mn id="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3" xref="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.cmml">2</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS1.p2.5.m5.1b"><apply id="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p2.5.m5.1.1">superscript</csymbol><ci id="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.2">𝑛</ci><cn id="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS1.p2.5.m5.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS1.p2.5.m5.1c">n^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS1.p2.5.m5.1d">italic_n start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S7.SS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S7.SS1.p3.1">Let <math alttext="T_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS1.p3.1.m1.1"><semantics id="S7.SS1.p3.1.m1.1a"><msub id="S7.SS1.p3.1.m1.1.1" xref="S7.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS1.p3.1.m1.1.1.2" xref="S7.SS1.p3.1.m1.1.1.2.cmml">T</mi><mn id="S7.SS1.p3.1.m1.1.1.3" xref="S7.SS1.p3.1.m1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS1.p3.1.m1.1b"><apply id="S7.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p3.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S7.SS1.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p3.1.m1.1.1.2">𝑇</ci><cn id="S7.SS1.p3.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS1.p3.1.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS1.p3.1.m1.1c">T_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS1.p3.1.m1.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> be the number of operations for LSU factorization of the second order matrix. Therefore we get the following recurrent equality for complexity</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S7.Ex99"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="t(n)=4t(n/2)+29{\mathcal{M}}(n/2),t(2)=T_{2}." class="ltx_Math" display="block" id="S7.Ex99.m1.3"><semantics id="S7.Ex99.m1.3a"><mrow id="S7.Ex99.m1.3.3.1"><mrow id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.2" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.4" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.4.2" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.4.2.cmml">t</mi><mo id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.4.1" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.4.3.2" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.4.cmml"><mo id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="S7.Ex99.m1.1.1" xref="S7.Ex99.m1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">4</mn><mo id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.cmml">t</mi><mo id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml">29</mn><mo id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.4" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.4.cmml">ℳ</mi><mo id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2a" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.2.2.2.2" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml">t</mi><mo id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.2.2.2.1" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.2" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml">(</mo><mn id="S7.Ex99.m1.2.2" xref="S7.Ex99.m1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.2.2.1" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><msub id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.2.2.3.2" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.cmml">T</mi><mn id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.2.2.3.3" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S7.Ex99.m1.3.3.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.Ex99.m1.3b"><apply id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.3a.cmml" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1"><eq id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.3"></eq><apply id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.4.cmml" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.4"><times id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.4.1"></times><ci id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.4.2">𝑡</ci><ci id="S7.Ex99.m1.1.1.cmml" xref="S7.Ex99.m1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.2"><plus id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.2.3"></plus><apply id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><times id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2"></times><cn id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" 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id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.2.2.3.2">𝑇</ci><cn id="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.Ex99.m1.3.3.1.1.2.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Ex99.m1.3c">t(n)=4t(n/2)+29{\mathcal{M}}(n/2),t(2)=T_{2}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Ex99.m1.3d">italic_t ( italic_n ) = 4 italic_t ( italic_n / 2 ) + 29 caligraphic_M ( italic_n / 2 ) , italic_t ( 2 ) = italic_T start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S7.SS1.p4"> <p class="ltx_p" id="S7.SS1.p4.2">After summation from <math alttext="n=2^{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS1.p4.1.m1.1"><semantics id="S7.SS1.p4.1.m1.1a"><mrow id="S7.SS1.p4.1.m1.1.1" xref="S7.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS1.p4.1.m1.1.1.2" xref="S7.SS1.p4.1.m1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S7.SS1.p4.1.m1.1.1.1" xref="S7.SS1.p4.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><msup id="S7.SS1.p4.1.m1.1.1.3" xref="S7.SS1.p4.1.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S7.SS1.p4.1.m1.1.1.3.2" xref="S7.SS1.p4.1.m1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mi id="S7.SS1.p4.1.m1.1.1.3.3" xref="S7.SS1.p4.1.m1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS1.p4.1.m1.1b"><apply id="S7.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p4.1.m1.1.1"><eq id="S7.SS1.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p4.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S7.SS1.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p4.1.m1.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S7.SS1.p4.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS1.p4.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p4.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS1.p4.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><cn id="S7.SS1.p4.1.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S7.SS1.p4.1.m1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S7.SS1.p4.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.SS1.p4.1.m1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS1.p4.1.m1.1c">n=2^{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS1.p4.1.m1.1d">italic_n = 2 start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> to <math alttext="2^{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS1.p4.2.m2.1"><semantics id="S7.SS1.p4.2.m2.1a"><msup id="S7.SS1.p4.2.m2.1.1" xref="S7.SS1.p4.2.m2.1.1.cmml"><mn id="S7.SS1.p4.2.m2.1.1.2" xref="S7.SS1.p4.2.m2.1.1.2.cmml">2</mn><mn id="S7.SS1.p4.2.m2.1.1.3" xref="S7.SS1.p4.2.m2.1.1.3.cmml">1</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS1.p4.2.m2.1b"><apply id="S7.SS1.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p4.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p4.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p4.2.m2.1.1">superscript</csymbol><cn id="S7.SS1.p4.2.m2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S7.SS1.p4.2.m2.1.1.2">2</cn><cn id="S7.SS1.p4.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS1.p4.2.m2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS1.p4.2.m2.1c">2^{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS1.p4.2.m2.1d">2 start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> we obtain</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S7.Ex100"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="29\gamma(4^{0}2^{\beta(k-1)}+\ldots+4^{k-2}2^{\beta*1})+4^{k-1}T_{2}" class="ltx_Math" display="block" id="S7.Ex100.m1.2"><semantics id="S7.Ex100.m1.2a"><mrow id="S7.Ex100.m1.2.2" xref="S7.Ex100.m1.2.2.cmml"><mrow id="S7.Ex100.m1.2.2.1" xref="S7.Ex100.m1.2.2.1.cmml"><mn id="S7.Ex100.m1.2.2.1.3" xref="S7.Ex100.m1.2.2.1.3.cmml">29</mn><mo id="S7.Ex100.m1.2.2.1.2" xref="S7.Ex100.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S7.Ex100.m1.2.2.1.4" xref="S7.Ex100.m1.2.2.1.4.cmml">γ</mi><mo id="S7.Ex100.m1.2.2.1.2a" xref="S7.Ex100.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S7.Ex100.m1.2.2.1.1.1" xref="S7.Ex100.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.Ex100.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.Ex100.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.Ex100.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S7.Ex100.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex100.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex100.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="S7.Ex100.m1.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S7.Ex100.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S7.Ex100.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2" xref="S7.Ex100.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">4</mn><mn id="S7.Ex100.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3" xref="S7.Ex100.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml">0</mn></msup><mo id="S7.Ex100.m1.2.2.1.1.1.1.2.1" xref="S7.Ex100.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S7.Ex100.m1.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S7.Ex100.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mn id="S7.Ex100.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.2" xref="S7.Ex100.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml">2</mn><mrow id="S7.Ex100.m1.1.1.1" xref="S7.Ex100.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex100.m1.1.1.1.3" xref="S7.Ex100.m1.1.1.1.3.cmml">β</mi><mo 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alttext="=29\gamma\frac{n^{\beta}-2^{\beta-2}n^{2}}{2^{\beta}-4}+\frac{T_{2}}{4}n^{2}." class="ltx_Math" display="block" id="S7.Ex101.m1.1"><semantics id="S7.Ex101.m1.1a"><mrow id="S7.Ex101.m1.1.1.1" xref="S7.Ex101.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S7.Ex101.m1.1.1.1.1" xref="S7.Ex101.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.Ex101.m1.1.1.1.1.2" xref="S7.Ex101.m1.1.1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S7.Ex101.m1.1.1.1.1.1" xref="S7.Ex101.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S7.Ex101.m1.1.1.1.1.3" xref="S7.Ex101.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S7.Ex101.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S7.Ex101.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S7.Ex101.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S7.Ex101.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">29</mn><mo id="S7.Ex101.m1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S7.Ex101.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S7.Ex101.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S7.Ex101.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">γ</mi><mo id="S7.Ex101.m1.1.1.1.1.3.2.1a" xref="S7.Ex101.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S7.Ex101.m1.1.1.1.1.3.2.4" xref="S7.Ex101.m1.1.1.1.1.3.2.4.cmml"><mrow 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id="S7.Ex101.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S7.Ex101.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.Ex101.m1.1b"><apply id="S7.Ex101.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex101.m1.1.1.1"><eq id="S7.Ex101.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.Ex101.m1.1.1.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S7.Ex101.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.Ex101.m1.1.1.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S7.Ex101.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.Ex101.m1.1.1.1.1.3"><plus id="S7.Ex101.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.Ex101.m1.1.1.1.1.3.1"></plus><apply id="S7.Ex101.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.Ex101.m1.1.1.1.1.3.2"><times id="S7.Ex101.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.Ex101.m1.1.1.1.1.3.2.1"></times><cn id="S7.Ex101.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S7.Ex101.m1.1.1.1.1.3.2.2">29</cn><ci id="S7.Ex101.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S7.Ex101.m1.1.1.1.1.3.2.3">𝛾</ci><apply id="S7.Ex101.m1.1.1.1.1.3.2.4.cmml" xref="S7.Ex101.m1.1.1.1.1.3.2.4"><divide id="S7.Ex101.m1.1.1.1.1.3.2.4.1.cmml" 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xref="S7.Ex101.m1.1.1.1.1.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.Ex101.m1.1c">=29\gamma\frac{n^{\beta}-2^{\beta-2}n^{2}}{2^{\beta}-4}+\frac{T_{2}}{4}n^{2}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.Ex101.m1.1d">= 29 italic_γ divide start_ARG italic_n start_POSTSUPERSCRIPT italic_β end_POSTSUPERSCRIPT - 2 start_POSTSUPERSCRIPT italic_β - 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_n start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 start_POSTSUPERSCRIPT italic_β end_POSTSUPERSCRIPT - 4 end_ARG + divide start_ARG italic_T start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 4 end_ARG italic_n start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S7.SS1.p4.4">Therefore the complexity of the LSU algorithm is <math alttext="\sim\sigma n^{\beta}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS1.p4.3.m1.1"><semantics id="S7.SS1.p4.3.m1.1a"><mrow id="S7.SS1.p4.3.m1.1.1" xref="S7.SS1.p4.3.m1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS1.p4.3.m1.1.1.2" xref="S7.SS1.p4.3.m1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S7.SS1.p4.3.m1.1.1.1" xref="S7.SS1.p4.3.m1.1.1.1.cmml">∼</mo><mrow id="S7.SS1.p4.3.m1.1.1.3" xref="S7.SS1.p4.3.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.SS1.p4.3.m1.1.1.3.2" xref="S7.SS1.p4.3.m1.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mo id="S7.SS1.p4.3.m1.1.1.3.1" xref="S7.SS1.p4.3.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S7.SS1.p4.3.m1.1.1.3.3" xref="S7.SS1.p4.3.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S7.SS1.p4.3.m1.1.1.3.3.2" xref="S7.SS1.p4.3.m1.1.1.3.3.2.cmml">n</mi><mi id="S7.SS1.p4.3.m1.1.1.3.3.3" xref="S7.SS1.p4.3.m1.1.1.3.3.3.cmml">β</mi></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS1.p4.3.m1.1b"><apply id="S7.SS1.p4.3.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p4.3.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S7.SS1.p4.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p4.3.m1.1.1.1">similar-to</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.SS1.p4.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p4.3.m1.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S7.SS1.p4.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS1.p4.3.m1.1.1.3"><times id="S7.SS1.p4.3.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS1.p4.3.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S7.SS1.p4.3.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS1.p4.3.m1.1.1.3.2">𝜎</ci><apply id="S7.SS1.p4.3.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.SS1.p4.3.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p4.3.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S7.SS1.p4.3.m1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S7.SS1.p4.3.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S7.SS1.p4.3.m1.1.1.3.3.2">𝑛</ci><ci id="S7.SS1.p4.3.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S7.SS1.p4.3.m1.1.1.3.3.3">𝛽</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS1.p4.3.m1.1c">\sim\sigma n^{\beta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS1.p4.3.m1.1d">∼ italic_σ italic_n start_POSTSUPERSCRIPT italic_β end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="\sigma=\frac{29\gamma}{2^{\beta}-4}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS1.p4.4.m2.1"><semantics id="S7.SS1.p4.4.m2.1a"><mrow id="S7.SS1.p4.4.m2.1.1" xref="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.cmml"><mi id="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.2" xref="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.2.cmml">σ</mi><mo id="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.1" xref="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mfrac id="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.3" xref="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.3.cmml"><mrow id="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.3.2" xref="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.3.2.cmml"><mn id="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.3.2.2" xref="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.3.2.2.cmml">29</mn><mo id="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.3.2.1" xref="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.3.2.3" xref="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.3.2.3.cmml">γ</mi></mrow><mrow id="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.3.3" xref="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.3.3.cmml"><msup id="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.3.3.2" xref="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.3.3.2.cmml"><mn id="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.3.3.2.2" xref="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.3.3.2.2.cmml">2</mn><mi id="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.3.3.2.3" xref="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.3.3.2.3.cmml">β</mi></msup><mo id="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.3.3.1" xref="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.3.3.3" xref="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.3.3.3.cmml">4</mn></mrow></mfrac></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS1.p4.4.m2.1b"><apply id="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p4.4.m2.1.1"><eq id="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.1"></eq><ci id="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.2">𝜎</ci><apply id="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.3.cmml" xref="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.3"><divide id="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.3"></divide><apply id="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.3.2"><times id="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.3.2.1"></times><cn id="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.3.2.2">29</cn><ci id="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.3.2.3">𝛾</ci></apply><apply id="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.3.3"><minus id="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.3.3.1"></minus><apply id="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.3.3.2">superscript</csymbol><cn id="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.3.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.3.3.2.2">2</cn><ci id="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.3.3.2.3">𝛽</ci></apply><cn id="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS1.p4.4.m2.1.1.3.3.3">4</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS1.p4.4.m2.1c">\sigma=\frac{29\gamma}{2^{\beta}-4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS1.p4.4.m2.1d">italic_σ = divide start_ARG 29 italic_γ end_ARG start_ARG 2 start_POSTSUPERSCRIPT italic_β end_POSTSUPERSCRIPT - 4 end_ARG</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S7.SS1.p5"> <p class="ltx_p" id="S7.SS1.p5.1"><math alttext="\square" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS1.p5.1.m1.1"><semantics id="S7.SS1.p5.1.m1.1a"><mi id="S7.SS1.p5.1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S7.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml">□</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS1.p5.1.m1.1b"><ci id="S7.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p5.1.m1.1.1">□</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS1.p5.1.m1.1c">\square</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS1.p5.1.m1.1d">□</annotation></semantics></math></p> </div> <div class="ltx_para" id="S7.SS1.p6"> <p class="ltx_p" id="S7.SS1.p6.1">If we take into account the rank of the matrix, then, similar to other algorithms, this estimate is reduced to <math alttext="\sim\sigma rn^{\beta-1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.SS1.p6.1.m1.1"><semantics id="S7.SS1.p6.1.m1.1a"><mrow id="S7.SS1.p6.1.m1.1.1" xref="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.2" xref="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.1" xref="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.1.cmml">∼</mo><mrow id="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.3" xref="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.3.2" xref="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mo id="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.3.1" xref="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.3.3" xref="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.3.3.cmml">r</mi><mo id="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.3.1a" xref="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.3.4" xref="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.3.4.2" xref="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.3.4.2.cmml">n</mi><mrow id="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.3.4.3" xref="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.3.4.3.cmml"><mi id="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.3.4.3.2" xref="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.3.4.3.2.cmml">β</mi><mo id="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.3.4.3.1" xref="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.3.4.3.1.cmml">−</mo><mn id="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.3.4.3.3" xref="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.3.4.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.SS1.p6.1.m1.1b"><apply id="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p6.1.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.1">similar-to</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.3"><times id="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.3.2">𝜎</ci><ci id="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.3.3">𝑟</ci><apply id="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.3.4.cmml" xref="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.3.4">superscript</csymbol><ci id="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.3.4.2">𝑛</ci><apply id="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.3.4.3"><minus id="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.3.4.3.1.cmml" xref="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.3.4.3.1"></minus><ci id="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.3.4.3.2.cmml" xref="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.3.4.3.2">𝛽</ci><cn id="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.3.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.SS1.p6.1.m1.1.1.3.4.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.SS1.p6.1.m1.1c">\sim\sigma rn^{\beta-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.SS1.p6.1.m1.1d">∼ italic_σ italic_r italic_n start_POSTSUPERSCRIPT italic_β - 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S8"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">VIII </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="S8.1.1">Examples</span> </h2> <section class="ltx_subsection" id="S8.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection"><span class="ltx_text" id="S8.SS1.4.1.1">VIII-A</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S8.SS1.5.2">Detailed description of an example of matrix factorization</span> </h3> <div class="ltx_para" id="S8.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S8.SS1.p1.2">We give below an example of a LSU factorization of a <math alttext="4\times 4" class="ltx_Math" display="inline" id="S8.SS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S8.SS1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S8.SS1.p1.1.m1.1.1" xref="S8.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mn id="S8.SS1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S8.SS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">4</mn><mo id="S8.SS1.p1.1.m1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S8.SS1.p1.1.m1.1.1.1.cmml">×</mo><mn id="S8.SS1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S8.SS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml">4</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S8.SS1.p1.1.m1.1b"><apply id="S8.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S8.SS1.p1.1.m1.1.1"><times id="S8.SS1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S8.SS1.p1.1.m1.1.1.1"></times><cn id="S8.SS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p1.1.m1.1.1.2">4</cn><cn id="S8.SS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p1.1.m1.1.1.3">4</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S8.SS1.p1.1.m1.1c">4\times 4</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S8.SS1.p1.1.m1.1d">4 × 4</annotation></semantics></math> matrix <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="S8.SS1.p1.2.m2.1"><semantics id="S8.SS1.p1.2.m2.1a"><mi id="S8.SS1.p1.2.m2.1.1" xref="S8.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S8.SS1.p1.2.m2.1b"><ci id="S8.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S8.SS1.p1.2.m2.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S8.SS1.p1.2.m2.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S8.SS1.p1.2.m2.1d">italic_A</annotation></semantics></math>:</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S8.SS1.p2"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S8.Ex102"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="A=\left[\begin{array}[]{cccc}0&0&3&0\\ 2&0&1&0\\ 0&0&0&0\\ 1&4&0&1\end{array}\right]." class="ltx_Math" display="block" id="S8.Ex102.m1.2"><semantics id="S8.Ex102.m1.2a"><mrow id="S8.Ex102.m1.2.2.1" xref="S8.Ex102.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S8.Ex102.m1.2.2.1.1" xref="S8.Ex102.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S8.Ex102.m1.2.2.1.1.2" xref="S8.Ex102.m1.2.2.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="S8.Ex102.m1.2.2.1.1.1" xref="S8.Ex102.m1.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S8.Ex102.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S8.Ex102.m1.2.2.1.1.3.1.cmml"><mo id="S8.Ex102.m1.2.2.1.1.3.2.1" xref="S8.Ex102.m1.2.2.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S8.Ex102.m1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S8.Ex102.m1.1.1.cmml"><mtr id="S8.Ex102.m1.1.1a" xref="S8.Ex102.m1.1.1.cmml"><mtd id="S8.Ex102.m1.1.1b" xref="S8.Ex102.m1.1.1.cmml"><mn id="S8.Ex102.m1.1.1.1.1.1" xref="S8.Ex102.m1.1.1.1.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S8.Ex102.m1.1.1c" xref="S8.Ex102.m1.1.1.cmml"><mn id="S8.Ex102.m1.1.1.1.2.1" xref="S8.Ex102.m1.1.1.1.2.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S8.Ex102.m1.1.1d" xref="S8.Ex102.m1.1.1.cmml"><mn id="S8.Ex102.m1.1.1.1.3.1" xref="S8.Ex102.m1.1.1.1.3.1.cmml">3</mn></mtd><mtd id="S8.Ex102.m1.1.1e" xref="S8.Ex102.m1.1.1.cmml"><mn id="S8.Ex102.m1.1.1.1.4.1" xref="S8.Ex102.m1.1.1.1.4.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="S8.Ex102.m1.1.1f" xref="S8.Ex102.m1.1.1.cmml"><mtd id="S8.Ex102.m1.1.1g" xref="S8.Ex102.m1.1.1.cmml"><mn id="S8.Ex102.m1.1.1.2.1.1" xref="S8.Ex102.m1.1.1.2.1.1.cmml">2</mn></mtd><mtd id="S8.Ex102.m1.1.1h" xref="S8.Ex102.m1.1.1.cmml"><mn id="S8.Ex102.m1.1.1.2.2.1" xref="S8.Ex102.m1.1.1.2.2.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S8.Ex102.m1.1.1i" xref="S8.Ex102.m1.1.1.cmml"><mn id="S8.Ex102.m1.1.1.2.3.1" xref="S8.Ex102.m1.1.1.2.3.1.cmml">1</mn></mtd><mtd id="S8.Ex102.m1.1.1j" xref="S8.Ex102.m1.1.1.cmml"><mn id="S8.Ex102.m1.1.1.2.4.1" xref="S8.Ex102.m1.1.1.2.4.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="S8.Ex102.m1.1.1k" xref="S8.Ex102.m1.1.1.cmml"><mtd id="S8.Ex102.m1.1.1l" xref="S8.Ex102.m1.1.1.cmml"><mn id="S8.Ex102.m1.1.1.3.1.1" xref="S8.Ex102.m1.1.1.3.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S8.Ex102.m1.1.1m" xref="S8.Ex102.m1.1.1.cmml"><mn id="S8.Ex102.m1.1.1.3.2.1" xref="S8.Ex102.m1.1.1.3.2.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S8.Ex102.m1.1.1n" xref="S8.Ex102.m1.1.1.cmml"><mn id="S8.Ex102.m1.1.1.3.3.1" xref="S8.Ex102.m1.1.1.3.3.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S8.Ex102.m1.1.1o" xref="S8.Ex102.m1.1.1.cmml"><mn id="S8.Ex102.m1.1.1.3.4.1" xref="S8.Ex102.m1.1.1.3.4.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="S8.Ex102.m1.1.1p" xref="S8.Ex102.m1.1.1.cmml"><mtd id="S8.Ex102.m1.1.1q" xref="S8.Ex102.m1.1.1.cmml"><mn id="S8.Ex102.m1.1.1.4.1.1" xref="S8.Ex102.m1.1.1.4.1.1.cmml">1</mn></mtd><mtd id="S8.Ex102.m1.1.1r" xref="S8.Ex102.m1.1.1.cmml"><mn id="S8.Ex102.m1.1.1.4.2.1" xref="S8.Ex102.m1.1.1.4.2.1.cmml">4</mn></mtd><mtd id="S8.Ex102.m1.1.1s" xref="S8.Ex102.m1.1.1.cmml"><mn id="S8.Ex102.m1.1.1.4.3.1" xref="S8.Ex102.m1.1.1.4.3.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S8.Ex102.m1.1.1t" xref="S8.Ex102.m1.1.1.cmml"><mn id="S8.Ex102.m1.1.1.4.4.1" xref="S8.Ex102.m1.1.1.4.4.1.cmml">1</mn></mtd></mtr></mtable><mo id="S8.Ex102.m1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S8.Ex102.m1.2.2.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S8.Ex102.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S8.Ex102.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S8.Ex102.m1.2b"><apply id="S8.Ex102.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S8.Ex102.m1.2.2.1"><eq id="S8.Ex102.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S8.Ex102.m1.2.2.1.1.1"></eq><ci id="S8.Ex102.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S8.Ex102.m1.2.2.1.1.2">𝐴</ci><apply id="S8.Ex102.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S8.Ex102.m1.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S8.Ex102.m1.2.2.1.1.3.1.1.cmml" xref="S8.Ex102.m1.2.2.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S8.Ex102.m1.1.1.cmml" xref="S8.Ex102.m1.1.1"><matrixrow id="S8.Ex102.m1.1.1a.cmml" xref="S8.Ex102.m1.1.1"><cn id="S8.Ex102.m1.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" 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start_CELL 0 end_CELL start_CELL 1 end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 1 end_CELL start_CELL 4 end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL 1 end_CELL end_ROW end_ARRAY ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S8.SS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S8.SS1.p3.6">First step: factorization of the upper left block. <br class="ltx_break"/><math alttext="\mathbf{LSU}\Big{(}A_{11}=\left[\begin{array}[]{cc}0&0\\ 2&0\end{array}\right],1\Big{)}:\\ L_{11}=\left[\begin{array}[]{cc}1&0\\ 0&2\end{array}\right];S_{11}=\left[\begin{array}[]{cc}0&0\\ 1/2&0\end{array}\right];U_{11}=\left[\begin{array}[]{cc}2&0\\ 0&1\end{array}\right];" class="ltx_Math" display="inline" id="S8.SS1.p3.1.m1.6"><semantics id="S8.SS1.p3.1.m1.6a"><mrow id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.3" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.3.cmml">𝐋𝐒𝐔</mi><mo id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.2" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" maxsize="160%" minsize="160%" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">A</mi><mn id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S8.SS1.p3.1.m1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S8.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml"><mtr id="S8.SS1.p3.1.m1.1.1a" xref="S8.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml"><mtd id="S8.SS1.p3.1.m1.1.1b" xref="S8.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml"><mn id="S8.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S8.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S8.SS1.p3.1.m1.1.1c" xref="S8.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml"><mn id="S8.SS1.p3.1.m1.1.1.1.2.1" xref="S8.SS1.p3.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="S8.SS1.p3.1.m1.1.1d" xref="S8.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml"><mtd id="S8.SS1.p3.1.m1.1.1e" xref="S8.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml"><mn id="S8.SS1.p3.1.m1.1.1.2.1.1" xref="S8.SS1.p3.1.m1.1.1.2.1.1.cmml">2</mn></mtd><mtd id="S8.SS1.p3.1.m1.1.1f" xref="S8.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml"><mn id="S8.SS1.p3.1.m1.1.1.2.2.1" xref="S8.SS1.p3.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">0</mn></mtd></mtr></mtable><mo id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mn id="S8.SS1.p3.1.m1.2.2" xref="S8.SS1.p3.1.m1.2.2.cmml">1</mn></mrow></mrow><mo id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" maxsize="160%" minsize="160%" rspace="0.278em" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.4" rspace="0.278em" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.4.cmml">:</mo><mrow id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.3.2" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.3.3.cmml"><mrow id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.2.1.1" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.2.1.1.cmml"><msub id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.2.1.1.2" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.2.1.1.2.cmml"><mi id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.2.1.1.2.2" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.2.1.1.2.2.cmml">L</mi><mn id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.2.1.1.2.3" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.2.1.1.2.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.2.1.1.3.2" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.2.1.1.3.1.cmml"><mo id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.2.1.1.3.2.1" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.2.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S8.SS1.p3.1.m1.3.3" rowspacing="0pt" xref="S8.SS1.p3.1.m1.3.3.cmml"><mtr id="S8.SS1.p3.1.m1.3.3a" xref="S8.SS1.p3.1.m1.3.3.cmml"><mtd id="S8.SS1.p3.1.m1.3.3b" xref="S8.SS1.p3.1.m1.3.3.cmml"><mn id="S8.SS1.p3.1.m1.3.3.1.1.1" xref="S8.SS1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.cmml">1</mn></mtd><mtd id="S8.SS1.p3.1.m1.3.3c" xref="S8.SS1.p3.1.m1.3.3.cmml"><mn id="S8.SS1.p3.1.m1.3.3.1.2.1" xref="S8.SS1.p3.1.m1.3.3.1.2.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="S8.SS1.p3.1.m1.3.3d" xref="S8.SS1.p3.1.m1.3.3.cmml"><mtd id="S8.SS1.p3.1.m1.3.3e" xref="S8.SS1.p3.1.m1.3.3.cmml"><mn id="S8.SS1.p3.1.m1.3.3.2.1.1" xref="S8.SS1.p3.1.m1.3.3.2.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S8.SS1.p3.1.m1.3.3f" xref="S8.SS1.p3.1.m1.3.3.cmml"><mn id="S8.SS1.p3.1.m1.3.3.2.2.1" xref="S8.SS1.p3.1.m1.3.3.2.2.1.cmml">2</mn></mtd></mtr></mtable><mo id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.2.1.1.3.2.2" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.2.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.3.2.3" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.3.3a.cmml">;</mo><mrow id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.3.2.2.2" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.3.2.2.3.cmml"><mrow id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.3.2.2.1.1" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.3.2.2.1.1.cmml"><msub id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.3.2.2.1.1.2" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.3.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.3.2.2.1.1.2.2" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.3.2.2.1.1.2.2.cmml">S</mi><mn id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.3.2.2.1.1.2.3" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.3.2.2.1.1.2.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.3.2.2.1.1.1" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.3.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.3.2.2.1.1.3.2" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.3.2.2.1.1.3.1.cmml"><mo id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.3.2.2.1.1.3.2.1" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.3.2.2.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S8.SS1.p3.1.m1.4.4" rowspacing="0pt" xref="S8.SS1.p3.1.m1.4.4.cmml"><mtr id="S8.SS1.p3.1.m1.4.4a" xref="S8.SS1.p3.1.m1.4.4.cmml"><mtd id="S8.SS1.p3.1.m1.4.4b" xref="S8.SS1.p3.1.m1.4.4.cmml"><mn id="S8.SS1.p3.1.m1.4.4.1.1.1" xref="S8.SS1.p3.1.m1.4.4.1.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S8.SS1.p3.1.m1.4.4c" xref="S8.SS1.p3.1.m1.4.4.cmml"><mn id="S8.SS1.p3.1.m1.4.4.1.2.1" xref="S8.SS1.p3.1.m1.4.4.1.2.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="S8.SS1.p3.1.m1.4.4d" xref="S8.SS1.p3.1.m1.4.4.cmml"><mtd id="S8.SS1.p3.1.m1.4.4e" xref="S8.SS1.p3.1.m1.4.4.cmml"><mrow id="S8.SS1.p3.1.m1.4.4.2.1.1" xref="S8.SS1.p3.1.m1.4.4.2.1.1.cmml"><mn id="S8.SS1.p3.1.m1.4.4.2.1.1.2" xref="S8.SS1.p3.1.m1.4.4.2.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S8.SS1.p3.1.m1.4.4.2.1.1.1" xref="S8.SS1.p3.1.m1.4.4.2.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="S8.SS1.p3.1.m1.4.4.2.1.1.3" xref="S8.SS1.p3.1.m1.4.4.2.1.1.3.cmml">2</mn></mrow></mtd><mtd id="S8.SS1.p3.1.m1.4.4f" xref="S8.SS1.p3.1.m1.4.4.cmml"><mn id="S8.SS1.p3.1.m1.4.4.2.2.1" xref="S8.SS1.p3.1.m1.4.4.2.2.1.cmml">0</mn></mtd></mtr></mtable><mo id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.3.2.2.1.1.3.2.2" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.3.2.2.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.3" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.3.2.2.3a.cmml">;</mo><mrow id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.cmml"><msub id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.2" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.2.2" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.2.2.cmml">U</mi><mn id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.2.3" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.2.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.1" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.3.2" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.3.1.cmml"><mo id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.3.2.1" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.3.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S8.SS1.p3.1.m1.5.5" rowspacing="0pt" xref="S8.SS1.p3.1.m1.5.5.cmml"><mtr id="S8.SS1.p3.1.m1.5.5a" xref="S8.SS1.p3.1.m1.5.5.cmml"><mtd id="S8.SS1.p3.1.m1.5.5b" xref="S8.SS1.p3.1.m1.5.5.cmml"><mn id="S8.SS1.p3.1.m1.5.5.1.1.1" xref="S8.SS1.p3.1.m1.5.5.1.1.1.cmml">2</mn></mtd><mtd id="S8.SS1.p3.1.m1.5.5c" xref="S8.SS1.p3.1.m1.5.5.cmml"><mn id="S8.SS1.p3.1.m1.5.5.1.2.1" xref="S8.SS1.p3.1.m1.5.5.1.2.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="S8.SS1.p3.1.m1.5.5d" xref="S8.SS1.p3.1.m1.5.5.cmml"><mtd id="S8.SS1.p3.1.m1.5.5e" xref="S8.SS1.p3.1.m1.5.5.cmml"><mn id="S8.SS1.p3.1.m1.5.5.2.1.1" xref="S8.SS1.p3.1.m1.5.5.2.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S8.SS1.p3.1.m1.5.5f" xref="S8.SS1.p3.1.m1.5.5.cmml"><mn id="S8.SS1.p3.1.m1.5.5.2.2.1" xref="S8.SS1.p3.1.m1.5.5.2.2.1.cmml">1</mn></mtd></mtr></mtable><mo id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.3.2.2" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.2" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.cmml">;</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S8.SS1.p3.1.m1.6b"><apply id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1"><ci id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.4.cmml" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.4">:</ci><apply id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1"><times id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.2"></times><ci id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.3.cmml" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.3">𝐋𝐒𝐔</ci><apply id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.1.1"><eq id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐴</ci><cn id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3">11</cn></apply><list id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S8.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S8.SS1.p3.1.m1.1.1"><matrixrow id="S8.SS1.p3.1.m1.1.1a.cmml" xref="S8.SS1.p3.1.m1.1.1"><cn id="S8.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.1">0</cn><cn 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id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.2.1.1.2.2.cmml" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.2.1.1.2.2">𝐿</ci><cn id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.2.1.1.2.3">11</cn></apply><apply id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.2.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.2.1.1.3.1.1.cmml" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.2.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S8.SS1.p3.1.m1.3.3.cmml" xref="S8.SS1.p3.1.m1.3.3"><matrixrow id="S8.SS1.p3.1.m1.3.3a.cmml" xref="S8.SS1.p3.1.m1.3.3"><cn id="S8.SS1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p3.1.m1.3.3.1.1.1">1</cn><cn id="S8.SS1.p3.1.m1.3.3.1.2.1.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p3.1.m1.3.3.1.2.1">0</cn></matrixrow><matrixrow id="S8.SS1.p3.1.m1.3.3b.cmml" xref="S8.SS1.p3.1.m1.3.3"><cn id="S8.SS1.p3.1.m1.3.3.2.1.1.cmml" type="integer" 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xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.3.2.2.1.1.2.3">11</cn></apply><apply id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.3.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.3.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.3.2.2.1.1.3.1.1.cmml" xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.3.2.2.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S8.SS1.p3.1.m1.4.4.cmml" xref="S8.SS1.p3.1.m1.4.4"><matrixrow id="S8.SS1.p3.1.m1.4.4a.cmml" xref="S8.SS1.p3.1.m1.4.4"><cn id="S8.SS1.p3.1.m1.4.4.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p3.1.m1.4.4.1.1.1">0</cn><cn id="S8.SS1.p3.1.m1.4.4.1.2.1.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p3.1.m1.4.4.1.2.1">0</cn></matrixrow><matrixrow id="S8.SS1.p3.1.m1.4.4b.cmml" xref="S8.SS1.p3.1.m1.4.4"><apply id="S8.SS1.p3.1.m1.4.4.2.1.1.cmml" xref="S8.SS1.p3.1.m1.4.4.2.1.1"><divide id="S8.SS1.p3.1.m1.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="S8.SS1.p3.1.m1.4.4.2.1.1.1"></divide><cn id="S8.SS1.p3.1.m1.4.4.2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p3.1.m1.4.4.2.1.1.2">1</cn><cn id="S8.SS1.p3.1.m1.4.4.2.1.1.3.cmml" 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xref="S8.SS1.p3.1.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S8.SS1.p3.1.m1.5.5.cmml" xref="S8.SS1.p3.1.m1.5.5"><matrixrow id="S8.SS1.p3.1.m1.5.5a.cmml" xref="S8.SS1.p3.1.m1.5.5"><cn id="S8.SS1.p3.1.m1.5.5.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p3.1.m1.5.5.1.1.1">2</cn><cn id="S8.SS1.p3.1.m1.5.5.1.2.1.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p3.1.m1.5.5.1.2.1">0</cn></matrixrow><matrixrow id="S8.SS1.p3.1.m1.5.5b.cmml" xref="S8.SS1.p3.1.m1.5.5"><cn id="S8.SS1.p3.1.m1.5.5.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p3.1.m1.5.5.2.1.1">0</cn><cn id="S8.SS1.p3.1.m1.5.5.2.2.1.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p3.1.m1.5.5.2.2.1">1</cn></matrixrow></matrix></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S8.SS1.p3.1.m1.6c">\mathbf{LSU}\Big{(}A_{11}=\left[\begin{array}[]{cc}0&0\\ 2&0\end{array}\right],1\Big{)}:\\ L_{11}=\left[\begin{array}[]{cc}1&0\\ 0&2\end{array}\right];S_{11}=\left[\begin{array}[]{cc}0&0\\ 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;</annotation></semantics></math> <br class="ltx_break"/><math alttext="M_{11}=\left[\begin{array}[]{cc}0&\ 2\\ 2&\ 0\end{array}\right];W_{11}=\left[\begin{array}[]{cc}0&2\\ 2&0\end{array}\right];" class="ltx_Math" display="inline" id="S8.SS1.p3.2.m2.3"><semantics id="S8.SS1.p3.2.m2.3a"><mrow id="S8.SS1.p3.2.m2.3.3.1"><mrow id="S8.SS1.p3.2.m2.3.3.1.1.2" xref="S8.SS1.p3.2.m2.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S8.SS1.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1" xref="S8.SS1.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><msub id="S8.SS1.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.2" xref="S8.SS1.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S8.SS1.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S8.SS1.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">M</mi><mn id="S8.SS1.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S8.SS1.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S8.SS1.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.1" xref="S8.SS1.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S8.SS1.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S8.SS1.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S8.SS1.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.1" 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id="S8.SS1.p3.2.m2.2.2c" xref="S8.SS1.p3.2.m2.2.2.cmml"><mn id="S8.SS1.p3.2.m2.2.2.1.2.1" xref="S8.SS1.p3.2.m2.2.2.1.2.1.cmml">2</mn></mtd></mtr><mtr id="S8.SS1.p3.2.m2.2.2d" xref="S8.SS1.p3.2.m2.2.2.cmml"><mtd id="S8.SS1.p3.2.m2.2.2e" xref="S8.SS1.p3.2.m2.2.2.cmml"><mn id="S8.SS1.p3.2.m2.2.2.2.1.1" xref="S8.SS1.p3.2.m2.2.2.2.1.1.cmml">2</mn></mtd><mtd id="S8.SS1.p3.2.m2.2.2f" xref="S8.SS1.p3.2.m2.2.2.cmml"><mn id="S8.SS1.p3.2.m2.2.2.2.2.1" xref="S8.SS1.p3.2.m2.2.2.2.2.1.cmml">0</mn></mtd></mtr></mtable><mo id="S8.SS1.p3.2.m2.3.3.1.1.2.2.3.2.2" xref="S8.SS1.p3.2.m2.3.3.1.1.2.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S8.SS1.p3.2.m2.3.3.1.2">;</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S8.SS1.p3.2.m2.3b"><apply id="S8.SS1.p3.2.m2.3.3.1.1.3.cmml" xref="S8.SS1.p3.2.m2.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S8.SS1.p3.2.m2.3.3.1.1.3a.cmml" xref="S8.SS1.p3.2.m2.3.3.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S8.SS1.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" 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alttext="I_{11}=\left[\begin{array}[]{cc}0&0\\ 0&1\end{array}\right];J_{11}=\left[\begin{array}[]{cc}1&0\\ 0&0\end{array}\right];\\ \alpha_{k}=2;\ \alpha=1;" class="ltx_Math" display="inline" id="S8.SS1.p3.4.m4.3"><semantics id="S8.SS1.p3.4.m4.3a"><mrow id="S8.SS1.p3.4.m4.3.3.1"><mrow id="S8.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.2" xref="S8.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S8.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1" xref="S8.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.cmml"><msub id="S8.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.2" xref="S8.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S8.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S8.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">I</mi><mn id="S8.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S8.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">11</mn></msub><mo id="S8.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.1" xref="S8.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S8.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S8.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S8.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.3.2.1" xref="S8.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" 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id="S8.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S8.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S8.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S8.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S8.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S8.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2">𝛼</ci><ci id="S8.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S8.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><cn id="S8.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S8.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S8.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2"><eq id="S8.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S8.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.1"></eq><ci id="S8.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S8.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2">𝛼</ci><cn id="S8.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" 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id="S8.SS1.p3.5.m5.2.2.1.1.1" xref="S8.SS1.p3.5.m5.2.2.1.1.1.cmml">6</mn></mtd><mtd id="S8.SS1.p3.5.m5.2.2c" xref="S8.SS1.p3.5.m5.2.2.cmml"><mn id="S8.SS1.p3.5.m5.2.2.1.2.1" xref="S8.SS1.p3.5.m5.2.2.1.2.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="S8.SS1.p3.5.m5.2.2d" xref="S8.SS1.p3.5.m5.2.2.cmml"><mtd id="S8.SS1.p3.5.m5.2.2e" xref="S8.SS1.p3.5.m5.2.2.cmml"><mn id="S8.SS1.p3.5.m5.2.2.2.1.1" xref="S8.SS1.p3.5.m5.2.2.2.1.1.cmml">1</mn></mtd><mtd id="S8.SS1.p3.5.m5.2.2f" xref="S8.SS1.p3.5.m5.2.2.cmml"><mn id="S8.SS1.p3.5.m5.2.2.2.2.1" xref="S8.SS1.p3.5.m5.2.2.2.2.1.cmml">0</mn></mtd></mtr></mtable><mo id="S8.SS1.p3.5.m5.3.3.1.1.2.2.3.2.2" xref="S8.SS1.p3.5.m5.3.3.1.1.2.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S8.SS1.p3.5.m5.3.3.1.2">;</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S8.SS1.p3.5.m5.3b"><apply id="S8.SS1.p3.5.m5.3.3.1.1.3.cmml" xref="S8.SS1.p3.5.m5.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S8.SS1.p3.5.m5.3.3.1.1.3a.cmml" 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xref="S8.SS1.p3.6.m6.2.2.2.2.1">8</cn></matrixrow></matrix></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S8.SS1.p3.6.m6.3c">A_{21}^{0}=\left[\begin{array}[]{cc}0&0\\ 8&2\end{array}\right];A_{21}^{1}=\left[\begin{array}[]{cc}0&0\\ 1&8\end{array}\right];</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S8.SS1.p3.6.m6.3d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 0 end_POSTSUPERSCRIPT = [ start_ARRAY start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 8 end_CELL start_CELL 2 end_CELL end_ROW end_ARRAY ] ; italic_A start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT = [ start_ARRAY start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 1 end_CELL start_CELL 8 end_CELL end_ROW end_ARRAY ] ;</annotation></semantics></math></p> </div> <div class="ltx_para" id="S8.SS1.p4"> <p class="ltx_p" id="S8.SS1.p4.5">Second step: factorization of the lower left block. <br class="ltx_break"/><math alttext="\mathbf{LSU}\Big{(}A_{21}^{2}=\left[\begin{array}[]{cc}0&0\\ 0&8\end{array}\right],\alpha_{k}\Big{)};" class="ltx_Math" display="inline" id="S8.SS1.p4.1.m1.2"><semantics id="S8.SS1.p4.1.m1.2a"><mrow id="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1" xref="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1" xref="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.3.cmml">𝐋𝐒𝐔</mi><mo id="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.2" xref="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.2" maxsize="160%" minsize="160%" xref="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.4" xref="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.2" 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xref="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.3" maxsize="160%" minsize="160%" xref="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.2" xref="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.cmml">;</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S8.SS1.p4.1.m1.2b"><apply id="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1"><times id="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.2"></times><ci id="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.3">𝐋𝐒𝐔</ci><apply id="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1"><eq id="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3"></eq><apply id="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.2">𝐴</ci><cn id="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.3">21</cn></apply><cn id="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.3">2</cn></apply><list id="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2"><apply id="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S8.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S8.SS1.p4.1.m1.1.1"><matrixrow id="S8.SS1.p4.1.m1.1.1a.cmml" xref="S8.SS1.p4.1.m1.1.1"><cn id="S8.SS1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p4.1.m1.1.1.1.1.1">0</cn><cn id="S8.SS1.p4.1.m1.1.1.1.2.1.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p4.1.m1.1.1.1.2.1">0</cn></matrixrow><matrixrow id="S8.SS1.p4.1.m1.1.1b.cmml" xref="S8.SS1.p4.1.m1.1.1"><cn id="S8.SS1.p4.1.m1.1.1.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p4.1.m1.1.1.2.1.1">0</cn><cn id="S8.SS1.p4.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p4.1.m1.1.1.2.2.1">8</cn></matrixrow></matrix></apply><apply id="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝛼</ci><ci id="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S8.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.3">𝑘</ci></apply></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S8.SS1.p4.1.m1.2c">\mathbf{LSU}\Big{(}A_{21}^{2}=\left[\begin{array}[]{cc}0&0\\ 0&8\end{array}\right],\alpha_{k}\Big{)};</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S8.SS1.p4.1.m1.2d">bold_LSU ( italic_A start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT = [ start_ARRAY start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL 8 end_CELL end_ROW end_ARRAY ] , italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) ;</annotation></semantics></math> <br class="ltx_break"/><math alttext="L_{21}=\left[\begin{array}[]{cc}1&0\\ 0&8\end{array}\right];" class="ltx_Math" display="inline" id="S8.SS1.p4.2.m2.2"><semantics id="S8.SS1.p4.2.m2.2a"><mrow id="S8.SS1.p4.2.m2.2.2.1" xref="S8.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S8.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1" xref="S8.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.cmml"><msub id="S8.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.2" xref="S8.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S8.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.2.2" 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id="S8.SS1.p4.4.m4.2.2.1.1.cmml" xref="S8.SS1.p4.4.m4.2.2.1"><eq id="S8.SS1.p4.4.m4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S8.SS1.p4.4.m4.2.2.1.1.1"></eq><apply id="S8.SS1.p4.4.m4.2.2.1.1.2.cmml" xref="S8.SS1.p4.4.m4.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S8.SS1.p4.4.m4.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S8.SS1.p4.4.m4.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S8.SS1.p4.4.m4.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S8.SS1.p4.4.m4.2.2.1.1.2.2"><ci id="S8.SS1.p4.4.m4.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S8.SS1.p4.4.m4.2.2.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="S8.SS1.p4.4.m4.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S8.SS1.p4.4.m4.2.2.1.1.2.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S8.SS1.p4.4.m4.2.2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p4.4.m4.2.2.1.1.2.3">21</cn></apply><apply id="S8.SS1.p4.4.m4.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S8.SS1.p4.4.m4.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S8.SS1.p4.4.m4.2.2.1.1.3.1.1.cmml" xref="S8.SS1.p4.4.m4.2.2.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S8.SS1.p4.4.m4.1.1.cmml" xref="S8.SS1.p4.4.m4.1.1"><matrixrow id="S8.SS1.p4.4.m4.1.1a.cmml" 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id="S8.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.2.cmml" xref="S8.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S8.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S8.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S8.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S8.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.2.2"><ci id="S8.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S8.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.2.2.1">¯</ci><ci id="S8.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S8.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.2.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S8.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.2.3">21</cn></apply><apply id="S8.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S8.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S8.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.3.1.1.cmml" xref="S8.SS1.p4.5.m5.2.2.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S8.SS1.p4.5.m5.1.1.cmml" xref="S8.SS1.p4.5.m5.1.1"><matrixrow id="S8.SS1.p4.5.m5.1.1a.cmml" xref="S8.SS1.p4.5.m5.1.1"><cn id="S8.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.1">1</cn><cn id="S8.SS1.p4.5.m5.1.1.1.2.1.cmml" 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class="ltx_break"/><math alttext="\mathbf{LSU}\Big{(}A_{12}^{2}=\left[\begin{array}[]{cc}6&0\\ 0&0\end{array}\right],\alpha_{k}\Big{)};\\ L_{12}=\left[\begin{array}[]{cc}6&0\\ 0&1\end{array}\right];S_{12}=\left[\begin{array}[]{cc}\frac{1}{12}&0\\ 0&0\end{array}\right];U_{12}=\left[\begin{array}[]{cc}6&0\\ 0&1\end{array}\right];\\ M_{12}=\left[\begin{array}[]{cc}6&0\\ 0&6\end{array}\right];W_{12}=\left[\begin{array}[]{cc}6&0\\ 0&6\end{array}\right];\widehat{S}_{12}=\left[\begin{array}[]{cc}\frac{1}{36}&0% \\ 0&\frac{1}{6}\end{array}\right];\\ \bar{S}_{12}=\left[\begin{array}[]{cc}0&0\\ 0&1\end{array}\right];" class="ltx_Math" display="inline" id="S8.SS1.p5.1.m1.9"><semantics id="S8.SS1.p5.1.m1.9a"><mrow id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1"><mrow id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.3.cmml"><mrow id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.2.2" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.cmml"><mrow id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝐋𝐒𝐔</mi><mo id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="160%" minsize="160%" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">A</mi><mn id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">12</mn><mn id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mrow id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S8.SS1.p5.1.m1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S8.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml"><mtr id="S8.SS1.p5.1.m1.1.1a" xref="S8.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml"><mtd id="S8.SS1.p5.1.m1.1.1b" xref="S8.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml"><mn id="S8.SS1.p5.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">6</mn></mtd><mtd id="S8.SS1.p5.1.m1.1.1c" xref="S8.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml"><mn id="S8.SS1.p5.1.m1.1.1.1.2.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="S8.SS1.p5.1.m1.1.1d" xref="S8.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml"><mtd id="S8.SS1.p5.1.m1.1.1e" xref="S8.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml"><mn id="S8.SS1.p5.1.m1.1.1.2.1.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.1.1.2.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S8.SS1.p5.1.m1.1.1f" xref="S8.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml"><mn id="S8.SS1.p5.1.m1.1.1.2.2.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">0</mn></mtd></mtr></mtable><mo id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">α</mi><mi id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="160%" minsize="160%" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.3" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.cmml">;</mo><msub id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">L</mi><mn id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">12</mn></msub></mrow><mo id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.3" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.4.2" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.4.2.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.4.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S8.SS1.p5.1.m1.2.2" rowspacing="0pt" xref="S8.SS1.p5.1.m1.2.2.cmml"><mtr id="S8.SS1.p5.1.m1.2.2a" xref="S8.SS1.p5.1.m1.2.2.cmml"><mtd id="S8.SS1.p5.1.m1.2.2b" xref="S8.SS1.p5.1.m1.2.2.cmml"><mn id="S8.SS1.p5.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.2.2.1.1.1.cmml">6</mn></mtd><mtd id="S8.SS1.p5.1.m1.2.2c" xref="S8.SS1.p5.1.m1.2.2.cmml"><mn id="S8.SS1.p5.1.m1.2.2.1.2.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.2.2.1.2.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="S8.SS1.p5.1.m1.2.2d" xref="S8.SS1.p5.1.m1.2.2.cmml"><mtd id="S8.SS1.p5.1.m1.2.2e" xref="S8.SS1.p5.1.m1.2.2.cmml"><mn id="S8.SS1.p5.1.m1.2.2.2.1.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.2.2.2.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S8.SS1.p5.1.m1.2.2f" xref="S8.SS1.p5.1.m1.2.2.cmml"><mn id="S8.SS1.p5.1.m1.2.2.2.2.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.2.2.2.2.1.cmml">1</mn></mtd></mtr></mtable><mo id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.4.2.2" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.1.1.4.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.3" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.3a.cmml">;</mo><mrow id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.1.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.cmml"><msub id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml">S</mi><mn id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.3" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml">12</mn></msub><mo id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.2" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml"><mo id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.2.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S8.SS1.p5.1.m1.3.3" rowspacing="0pt" xref="S8.SS1.p5.1.m1.3.3.cmml"><mtr id="S8.SS1.p5.1.m1.3.3a" xref="S8.SS1.p5.1.m1.3.3.cmml"><mtd id="S8.SS1.p5.1.m1.3.3b" xref="S8.SS1.p5.1.m1.3.3.cmml"><mfrac id="S8.SS1.p5.1.m1.3.3.1.1.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mn id="S8.SS1.p5.1.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S8.SS1.p5.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">1</mn><mn id="S8.SS1.p5.1.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S8.SS1.p5.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">12</mn></mfrac></mtd><mtd id="S8.SS1.p5.1.m1.3.3c" xref="S8.SS1.p5.1.m1.3.3.cmml"><mn id="S8.SS1.p5.1.m1.3.3.1.2.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.3.3.1.2.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="S8.SS1.p5.1.m1.3.3d" xref="S8.SS1.p5.1.m1.3.3.cmml"><mtd id="S8.SS1.p5.1.m1.3.3e" xref="S8.SS1.p5.1.m1.3.3.cmml"><mn id="S8.SS1.p5.1.m1.3.3.2.1.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.3.3.2.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S8.SS1.p5.1.m1.3.3f" xref="S8.SS1.p5.1.m1.3.3.cmml"><mn id="S8.SS1.p5.1.m1.3.3.2.2.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.3.3.2.2.1.cmml">0</mn></mtd></mtr></mtable><mo id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.3" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.3a.cmml">;</mo><mrow id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml"><msub id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml">U</mi><mn id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.3" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml">12</mn></msub><mo id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml"><mo id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S8.SS1.p5.1.m1.4.4" rowspacing="0pt" xref="S8.SS1.p5.1.m1.4.4.cmml"><mtr id="S8.SS1.p5.1.m1.4.4a" xref="S8.SS1.p5.1.m1.4.4.cmml"><mtd id="S8.SS1.p5.1.m1.4.4b" xref="S8.SS1.p5.1.m1.4.4.cmml"><mn id="S8.SS1.p5.1.m1.4.4.1.1.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.4.4.1.1.1.cmml">6</mn></mtd><mtd id="S8.SS1.p5.1.m1.4.4c" xref="S8.SS1.p5.1.m1.4.4.cmml"><mn id="S8.SS1.p5.1.m1.4.4.1.2.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.4.4.1.2.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="S8.SS1.p5.1.m1.4.4d" xref="S8.SS1.p5.1.m1.4.4.cmml"><mtd id="S8.SS1.p5.1.m1.4.4e" xref="S8.SS1.p5.1.m1.4.4.cmml"><mn id="S8.SS1.p5.1.m1.4.4.2.1.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.4.4.2.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S8.SS1.p5.1.m1.4.4f" xref="S8.SS1.p5.1.m1.4.4.cmml"><mn id="S8.SS1.p5.1.m1.4.4.2.2.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.4.4.2.2.1.cmml">1</mn></mtd></mtr></mtable><mo id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.2" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.3a.cmml">;</mo><mrow id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><msub id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.2" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml">M</mi><mn id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.3" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml">12</mn></msub><mo id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml"><mo id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S8.SS1.p5.1.m1.5.5" rowspacing="0pt" xref="S8.SS1.p5.1.m1.5.5.cmml"><mtr id="S8.SS1.p5.1.m1.5.5a" xref="S8.SS1.p5.1.m1.5.5.cmml"><mtd id="S8.SS1.p5.1.m1.5.5b" xref="S8.SS1.p5.1.m1.5.5.cmml"><mn id="S8.SS1.p5.1.m1.5.5.1.1.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.5.5.1.1.1.cmml">6</mn></mtd><mtd id="S8.SS1.p5.1.m1.5.5c" xref="S8.SS1.p5.1.m1.5.5.cmml"><mn id="S8.SS1.p5.1.m1.5.5.1.2.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.5.5.1.2.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="S8.SS1.p5.1.m1.5.5d" xref="S8.SS1.p5.1.m1.5.5.cmml"><mtd id="S8.SS1.p5.1.m1.5.5e" xref="S8.SS1.p5.1.m1.5.5.cmml"><mn id="S8.SS1.p5.1.m1.5.5.2.1.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.5.5.2.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S8.SS1.p5.1.m1.5.5f" xref="S8.SS1.p5.1.m1.5.5.cmml"><mn id="S8.SS1.p5.1.m1.5.5.2.2.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.5.5.2.2.1.cmml">6</mn></mtd></mtr></mtable><mo id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.3a.cmml">;</mo><mrow id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><msub id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.2" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml">W</mi><mn id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.3" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml">12</mn></msub><mo id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml"><mo id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S8.SS1.p5.1.m1.6.6" rowspacing="0pt" xref="S8.SS1.p5.1.m1.6.6.cmml"><mtr id="S8.SS1.p5.1.m1.6.6a" xref="S8.SS1.p5.1.m1.6.6.cmml"><mtd id="S8.SS1.p5.1.m1.6.6b" xref="S8.SS1.p5.1.m1.6.6.cmml"><mn id="S8.SS1.p5.1.m1.6.6.1.1.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.6.6.1.1.1.cmml">6</mn></mtd><mtd id="S8.SS1.p5.1.m1.6.6c" xref="S8.SS1.p5.1.m1.6.6.cmml"><mn id="S8.SS1.p5.1.m1.6.6.1.2.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.6.6.1.2.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="S8.SS1.p5.1.m1.6.6d" xref="S8.SS1.p5.1.m1.6.6.cmml"><mtd id="S8.SS1.p5.1.m1.6.6e" xref="S8.SS1.p5.1.m1.6.6.cmml"><mn id="S8.SS1.p5.1.m1.6.6.2.1.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.6.6.2.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S8.SS1.p5.1.m1.6.6f" xref="S8.SS1.p5.1.m1.6.6.cmml"><mn id="S8.SS1.p5.1.m1.6.6.2.2.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.6.6.2.2.1.cmml">6</mn></mtd></mtr></mtable><mo id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3a.cmml">;</mo><mrow id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><msub id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.2" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.2.2" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.2.2.cmml">S</mi><mo id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.2.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.3" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml">12</mn></msub><mo id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml"><mo id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S8.SS1.p5.1.m1.7.7" rowspacing="0pt" xref="S8.SS1.p5.1.m1.7.7.cmml"><mtr id="S8.SS1.p5.1.m1.7.7a" xref="S8.SS1.p5.1.m1.7.7.cmml"><mtd id="S8.SS1.p5.1.m1.7.7b" xref="S8.SS1.p5.1.m1.7.7.cmml"><mfrac id="S8.SS1.p5.1.m1.7.7.1.1.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.7.7.1.1.1.cmml"><mn id="S8.SS1.p5.1.m1.7.7.1.1.1.2" xref="S8.SS1.p5.1.m1.7.7.1.1.1.2.cmml">1</mn><mn id="S8.SS1.p5.1.m1.7.7.1.1.1.3" xref="S8.SS1.p5.1.m1.7.7.1.1.1.3.cmml">36</mn></mfrac></mtd><mtd id="S8.SS1.p5.1.m1.7.7c" xref="S8.SS1.p5.1.m1.7.7.cmml"><mn id="S8.SS1.p5.1.m1.7.7.1.2.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.7.7.1.2.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="S8.SS1.p5.1.m1.7.7d" xref="S8.SS1.p5.1.m1.7.7.cmml"><mtd id="S8.SS1.p5.1.m1.7.7e" xref="S8.SS1.p5.1.m1.7.7.cmml"><mn id="S8.SS1.p5.1.m1.7.7.2.1.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.7.7.2.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S8.SS1.p5.1.m1.7.7f" xref="S8.SS1.p5.1.m1.7.7.cmml"><mfrac id="S8.SS1.p5.1.m1.7.7.2.2.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.7.7.2.2.1.cmml"><mn id="S8.SS1.p5.1.m1.7.7.2.2.1.2" xref="S8.SS1.p5.1.m1.7.7.2.2.1.2.cmml">1</mn><mn id="S8.SS1.p5.1.m1.7.7.2.2.1.3" xref="S8.SS1.p5.1.m1.7.7.2.2.1.3.cmml">6</mn></mfrac></mtd></mtr></mtable><mo id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3a.cmml">;</mo><mrow id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><msub id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">S</mi><mo id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">12</mn></msub><mo id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml"><mo id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.1" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S8.SS1.p5.1.m1.8.8" rowspacing="0pt" xref="S8.SS1.p5.1.m1.8.8.cmml"><mtr id="S8.SS1.p5.1.m1.8.8a" xref="S8.SS1.p5.1.m1.8.8.cmml"><mtd id="S8.SS1.p5.1.m1.8.8b" xref="S8.SS1.p5.1.m1.8.8.cmml"><mn id="S8.SS1.p5.1.m1.8.8.1.1.1" 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id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1"></eq><apply id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2">𝑈</ci><cn id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.3">12</cn></apply><apply id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S8.SS1.p5.1.m1.4.4.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.4.4"><matrixrow id="S8.SS1.p5.1.m1.4.4a.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.4.4"><cn id="S8.SS1.p5.1.m1.4.4.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p5.1.m1.4.4.1.1.1">6</cn><cn id="S8.SS1.p5.1.m1.4.4.1.2.1.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p5.1.m1.4.4.1.2.1">0</cn></matrixrow><matrixrow id="S8.SS1.p5.1.m1.4.4b.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.4.4"><cn id="S8.SS1.p5.1.m1.4.4.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p5.1.m1.4.4.2.1.1">0</cn><cn id="S8.SS1.p5.1.m1.4.4.2.2.1.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p5.1.m1.4.4.2.2.1">1</cn></matrixrow></matrix></apply></apply><apply id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.3a.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1"><eq id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1"></eq><apply id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.2">𝑀</ci><cn id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.3">12</cn></apply><apply id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.1.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S8.SS1.p5.1.m1.5.5.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.5.5"><matrixrow id="S8.SS1.p5.1.m1.5.5a.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.5.5"><cn id="S8.SS1.p5.1.m1.5.5.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p5.1.m1.5.5.1.1.1">6</cn><cn id="S8.SS1.p5.1.m1.5.5.1.2.1.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p5.1.m1.5.5.1.2.1">0</cn></matrixrow><matrixrow id="S8.SS1.p5.1.m1.5.5b.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.5.5"><cn id="S8.SS1.p5.1.m1.5.5.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p5.1.m1.5.5.2.1.1">0</cn><cn id="S8.SS1.p5.1.m1.5.5.2.2.1.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p5.1.m1.5.5.2.2.1">6</cn></matrixrow></matrix></apply></apply><apply id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3a.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1"><eq id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1"></eq><apply id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.2">𝑊</ci><cn id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.3">12</cn></apply><apply id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.1.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S8.SS1.p5.1.m1.6.6.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.6.6"><matrixrow id="S8.SS1.p5.1.m1.6.6a.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.6.6"><cn id="S8.SS1.p5.1.m1.6.6.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p5.1.m1.6.6.1.1.1">6</cn><cn id="S8.SS1.p5.1.m1.6.6.1.2.1.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p5.1.m1.6.6.1.2.1">0</cn></matrixrow><matrixrow id="S8.SS1.p5.1.m1.6.6b.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.6.6"><cn id="S8.SS1.p5.1.m1.6.6.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p5.1.m1.6.6.2.1.1">0</cn><cn id="S8.SS1.p5.1.m1.6.6.2.2.1.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p5.1.m1.6.6.2.2.1">6</cn></matrixrow></matrix></apply></apply><apply id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3a.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1"><eq id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1"></eq><apply id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.2"><ci id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.3">12</cn></apply><apply id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.1.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S8.SS1.p5.1.m1.7.7.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.7.7"><matrixrow id="S8.SS1.p5.1.m1.7.7a.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.7.7"><apply id="S8.SS1.p5.1.m1.7.7.1.1.1.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.7.7.1.1.1"><divide id="S8.SS1.p5.1.m1.7.7.1.1.1.1.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.7.7.1.1.1"></divide><cn id="S8.SS1.p5.1.m1.7.7.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p5.1.m1.7.7.1.1.1.2">1</cn><cn id="S8.SS1.p5.1.m1.7.7.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p5.1.m1.7.7.1.1.1.3">36</cn></apply><cn id="S8.SS1.p5.1.m1.7.7.1.2.1.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p5.1.m1.7.7.1.2.1">0</cn></matrixrow><matrixrow id="S8.SS1.p5.1.m1.7.7b.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.7.7"><cn id="S8.SS1.p5.1.m1.7.7.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p5.1.m1.7.7.2.1.1">0</cn><apply id="S8.SS1.p5.1.m1.7.7.2.2.1.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.7.7.2.2.1"><divide id="S8.SS1.p5.1.m1.7.7.2.2.1.1.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.7.7.2.2.1"></divide><cn id="S8.SS1.p5.1.m1.7.7.2.2.1.2.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p5.1.m1.7.7.2.2.1.2">1</cn><cn id="S8.SS1.p5.1.m1.7.7.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p5.1.m1.7.7.2.2.1.3">6</cn></apply></matrixrow></matrix></apply></apply><apply id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2"><eq id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1"></eq><apply id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2"><ci id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1">¯</ci><ci id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2">𝑆</ci></apply><cn id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3">12</cn></apply><apply id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1.1.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S8.SS1.p5.1.m1.8.8.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.8.8"><matrixrow id="S8.SS1.p5.1.m1.8.8a.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.8.8"><cn id="S8.SS1.p5.1.m1.8.8.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p5.1.m1.8.8.1.1.1">0</cn><cn id="S8.SS1.p5.1.m1.8.8.1.2.1.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p5.1.m1.8.8.1.2.1">0</cn></matrixrow><matrixrow id="S8.SS1.p5.1.m1.8.8b.cmml" xref="S8.SS1.p5.1.m1.8.8"><cn id="S8.SS1.p5.1.m1.8.8.2.1.1.cmml" type="integer" 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start_ROW start_CELL 6 end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL 6 end_CELL end_ROW end_ARRAY ] ; italic_W start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT = [ start_ARRAY start_ROW start_CELL 6 end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL 6 end_CELL end_ROW end_ARRAY ] ; over^ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT = [ start_ARRAY start_ROW start_CELL divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 36 end_ARG end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 6 end_ARG end_CELL end_ROW end_ARRAY ] ; over¯ start_ARG italic_S end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT = [ start_ARRAY start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL 1 end_CELL end_ROW end_ARRAY ] ;</annotation></semantics></math> <math alttext="I_{12}=J_{12}=\left[\begin{array}[]{cc}1&0\\ 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id="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.1.1.5" xref="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.1.1.6.2" xref="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.1.1.6.1.cmml"><mo id="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.1.1.6.2.1" xref="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.1.1.6.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S8.SS1.p5.2.m2.1.1" rowspacing="0pt" xref="S8.SS1.p5.2.m2.1.1.cmml"><mtr id="S8.SS1.p5.2.m2.1.1a" xref="S8.SS1.p5.2.m2.1.1.cmml"><mtd id="S8.SS1.p5.2.m2.1.1b" xref="S8.SS1.p5.2.m2.1.1.cmml"><mn id="S8.SS1.p5.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S8.SS1.p5.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">1</mn></mtd><mtd id="S8.SS1.p5.2.m2.1.1c" xref="S8.SS1.p5.2.m2.1.1.cmml"><mn id="S8.SS1.p5.2.m2.1.1.1.2.1" xref="S8.SS1.p5.2.m2.1.1.1.2.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="S8.SS1.p5.2.m2.1.1d" xref="S8.SS1.p5.2.m2.1.1.cmml"><mtd id="S8.SS1.p5.2.m2.1.1e" xref="S8.SS1.p5.2.m2.1.1.cmml"><mn id="S8.SS1.p5.2.m2.1.1.2.1.1" xref="S8.SS1.p5.2.m2.1.1.2.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S8.SS1.p5.2.m2.1.1f" xref="S8.SS1.p5.2.m2.1.1.cmml"><mn 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id="S8.SS1.p5.2.m2.2.2.2.2.1" xref="S8.SS1.p5.2.m2.2.2.2.2.1.cmml">1</mn></mtd></mtr></mtable><mo id="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.2.2.6.2.2" xref="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.2.2.6.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.2">;</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S8.SS1.p5.2.m2.3b"><apply id="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.3.cmml" xref="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.3a.cmml" xref="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.1.1"><and id="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.1.1a.cmml" xref="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.1.1"></and><apply id="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.1.1b.cmml" xref="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.1.1"><eq id="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.1.1.3"></eq><apply id="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" 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xref="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.2.2"></and><apply id="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.2.2b.cmml" xref="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.2.2"><eq id="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.2.2.3"></eq><apply id="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.2.2.2.2">𝐼</ci><cn id="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.2.2.2.3">21</cn></apply><apply id="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.2.2.4.cmml" xref="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.2.2.4.2.cmml" xref="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.2.2.4.2">𝐽</ci><cn id="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.2.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.2.2.4.3">21</cn></apply></apply><apply id="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.2.2c.cmml" xref="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.2.2"><eq id="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.2.2.5.cmml" xref="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.2.2.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.2.2.4.cmml" id="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.2.2d.cmml" xref="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.2.2"></share><apply id="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.2.2.6.1.cmml" xref="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.2.2.6.2"><csymbol cd="latexml" id="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.2.2.6.1.1.cmml" xref="S8.SS1.p5.2.m2.3.3.1.1.2.2.6.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S8.SS1.p5.2.m2.2.2.cmml" xref="S8.SS1.p5.2.m2.2.2"><matrixrow id="S8.SS1.p5.2.m2.2.2a.cmml" xref="S8.SS1.p5.2.m2.2.2"><cn id="S8.SS1.p5.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p5.2.m2.2.2.1.1.1">0</cn><cn id="S8.SS1.p5.2.m2.2.2.1.2.1.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p5.2.m2.2.2.1.2.1">0</cn></matrixrow><matrixrow id="S8.SS1.p5.2.m2.2.2b.cmml" xref="S8.SS1.p5.2.m2.2.2"><cn 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id="S8.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.2.2.1.1.2.3" xref="S8.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S8.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.2.2.1.1.1" xref="S8.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S8.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.2.2.1.1.3" xref="S8.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.2.2.1.1.3.cmml">8</mn></mrow><mo id="S8.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.2.2.2.3" xref="S8.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.2.2.3a.cmml">;</mo><mrow id="S8.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.2.2.2.2.2" xref="S8.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S8.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.2.2.2.2.1.1" xref="S8.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml"><msub id="S8.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S8.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S8.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2" xref="S8.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml">α</mi><mi id="S8.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.2.2.2.2.1.1.2.3" xref="S8.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S8.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S8.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mn 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cd="ambiguous" id="S8.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.3a.cmml" xref="S8.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S8.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S8.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1"><eq id="S8.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S8.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1"></eq><apply id="S8.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S8.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S8.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S8.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S8.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S8.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.2">𝛼</ci><ci id="S8.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S8.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.3">𝑠</ci></apply><cn id="S8.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3">24</cn></apply><apply id="S8.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S8.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2"><eq id="S8.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S8.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1"></eq><ci id="S8.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S8.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2">𝜆</ci><cn id="S8.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3">4</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S8.SS1.p5.3.m3.2c">L_{12}^{\sim}=U_{12}^{\sim}=\left[\begin{array}[]{cc}24&0\\ 0&1\end{array}\right];\alpha_{l}=8;\alpha_{m}=6;\alpha_{s}=24;\lambda=4.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S8.SS1.p5.3.m3.2d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∼ end_POSTSUPERSCRIPT = italic_U start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∼ end_POSTSUPERSCRIPT = [ start_ARRAY start_ROW start_CELL 24 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end_POSTSUPERSCRIPT italic_S start_POSTSUBSCRIPT 11 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT italic_A start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT = [ start_ARRAY start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 2 end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW end_ARRAY ] ; italic_A start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG italic_α italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_A start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT - italic_A start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 0 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_α italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG = [ start_ARRAY start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL - 1 end_CELL start_CELL 2 end_CELL end_ROW end_ARRAY ] ;</annotation></semantics></math> <math alttext="A_{22}^{2}=\left[\begin{array}[]{cc}0&0\\ 0&0\end{array}\right]." class="ltx_Math" display="inline" id="S8.SS1.p5.5.m5.2"><semantics id="S8.SS1.p5.5.m5.2a"><mrow id="S8.SS1.p5.5.m5.2.2.1" xref="S8.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S8.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1" xref="S8.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.cmml"><msubsup id="S8.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.2" xref="S8.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S8.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.2.2.2" xref="S8.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.2.2.2.cmml">A</mi><mn id="S8.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.2.2.3" xref="S8.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.2.2.3.cmml">22</mn><mn id="S8.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.2.3" xref="S8.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S8.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.1" xref="S8.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S8.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.3.2" xref="S8.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.3.1.cmml"><mo id="S8.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.3.2.1" xref="S8.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S8.SS1.p5.5.m5.1.1" rowspacing="0pt" 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id="S8.SS1.p5.5.m5.2b"><apply id="S8.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.cmml" xref="S8.SS1.p5.5.m5.2.2.1"><eq id="S8.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.1.cmml" xref="S8.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.1"></eq><apply id="S8.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.2.cmml" xref="S8.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S8.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S8.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S8.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S8.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S8.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S8.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S8.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S8.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.2.2.2">𝐴</ci><cn id="S8.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.2.2.3">22</cn></apply><cn id="S8.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S8.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S8.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S8.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.3.1.1.cmml" xref="S8.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S8.SS1.p5.5.m5.1.1.cmml" xref="S8.SS1.p5.5.m5.1.1"><matrixrow id="S8.SS1.p5.5.m5.1.1a.cmml" xref="S8.SS1.p5.5.m5.1.1"><cn id="S8.SS1.p5.5.m5.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p5.5.m5.1.1.1.1.1">0</cn><cn id="S8.SS1.p5.5.m5.1.1.1.2.1.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p5.5.m5.1.1.1.2.1">0</cn></matrixrow><matrixrow id="S8.SS1.p5.5.m5.1.1b.cmml" xref="S8.SS1.p5.5.m5.1.1"><cn id="S8.SS1.p5.5.m5.1.1.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p5.5.m5.1.1.2.1.1">0</cn><cn id="S8.SS1.p5.5.m5.1.1.2.2.1.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p5.5.m5.1.1.2.2.1">0</cn></matrixrow></matrix></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S8.SS1.p5.5.m5.2c">A_{22}^{2}=\left[\begin{array}[]{cc}0&0\\ 0&0\end{array}\right].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S8.SS1.p5.5.m5.2d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT 22 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT = [ start_ARRAY start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW end_ARRAY ] .</annotation></semantics></math></p> </div> <div class="ltx_para" id="S8.SS1.p6"> <p class="ltx_p" id="S8.SS1.p6.10">Fourth step: factorization of the lower right block. <br class="ltx_break"/><math alttext="\mathbf{LSU}\Big{(}A_{22}^{3}=\left[\begin{array}[]{cc}0&0\\ 0&0\end{array}\right],\alpha_{s}\Big{)};" class="ltx_Math" display="inline" id="S8.SS1.p6.1.m1.2"><semantics id="S8.SS1.p6.1.m1.2a"><mrow id="S8.SS1.p6.1.m1.2.2.1" xref="S8.SS1.p6.1.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S8.SS1.p6.1.m1.2.2.1.1" xref="S8.SS1.p6.1.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S8.SS1.p6.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S8.SS1.p6.1.m1.2.2.1.1.3.cmml">𝐋𝐒𝐔</mi><mo id="S8.SS1.p6.1.m1.2.2.1.1.2" xref="S8.SS1.p6.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S8.SS1.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S8.SS1.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S8.SS1.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.2" maxsize="160%" minsize="160%" 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id="S8.SS1.p6.1.m1.1.1a" xref="S8.SS1.p6.1.m1.1.1.cmml"><mtd id="S8.SS1.p6.1.m1.1.1b" xref="S8.SS1.p6.1.m1.1.1.cmml"><mn id="S8.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S8.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S8.SS1.p6.1.m1.1.1c" xref="S8.SS1.p6.1.m1.1.1.cmml"><mn id="S8.SS1.p6.1.m1.1.1.1.2.1" xref="S8.SS1.p6.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="S8.SS1.p6.1.m1.1.1d" xref="S8.SS1.p6.1.m1.1.1.cmml"><mtd id="S8.SS1.p6.1.m1.1.1e" xref="S8.SS1.p6.1.m1.1.1.cmml"><mn id="S8.SS1.p6.1.m1.1.1.2.1.1" xref="S8.SS1.p6.1.m1.1.1.2.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S8.SS1.p6.1.m1.1.1f" xref="S8.SS1.p6.1.m1.1.1.cmml"><mn id="S8.SS1.p6.1.m1.1.1.2.2.1" xref="S8.SS1.p6.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">0</mn></mtd></mtr></mtable><mo id="S8.SS1.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S8.SS1.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S8.SS1.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S8.SS1.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S8.SS1.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2" 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xref="S8.SS1.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S8.SS1.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S8.SS1.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="S8.SS1.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S8.SS1.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S8.SS1.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S8.SS1.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S8.SS1.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S8.SS1.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.2">𝐴</ci><cn id="S8.SS1.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.3">22</cn></apply><cn id="S8.SS1.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S8.SS1.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.3">3</cn></apply><list id="S8.SS1.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S8.SS1.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2"><apply id="S8.SS1.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S8.SS1.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S8.SS1.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" 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id="S8.SS1.p6.2.m2.3"><semantics id="S8.SS1.p6.2.m2.3a"><mrow id="S8.SS1.p6.2.m2.3.3.1"><mrow id="S8.SS1.p6.2.m2.3.3.1.1.2" xref="S8.SS1.p6.2.m2.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S8.SS1.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1" xref="S8.SS1.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><msub id="S8.SS1.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.2" xref="S8.SS1.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S8.SS1.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S8.SS1.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">L</mi><mn id="S8.SS1.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S8.SS1.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">22</mn></msub><mo id="S8.SS1.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.3" xref="S8.SS1.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><msub id="S8.SS1.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.4" xref="S8.SS1.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S8.SS1.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.4.2" xref="S8.SS1.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.4.2.cmml">U</mi><mn id="S8.SS1.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.4.3" xref="S8.SS1.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.4.3.cmml">22</mn></msub><mo id="S8.SS1.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.5" xref="S8.SS1.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S8.SS1.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.6.2" 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The algorithm has the complexity of matrix multiplication, and just like the LEU algorithm <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#bib.bib3" title="">3</a>]</cite>, it proves efficient for sparse matrices.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S9.p2"> <p class="ltx_p" id="S9.p2.1">We can compare three algorithms LU, LEU, LSU.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S9.p3"> <p class="ltx_p" id="S9.p3.1">In algorithms LEU and LSU, the number of operations on the coefficients is of the same order as in the matrix multiplication algorithm they use (see Theorem 3 and <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13640v1#bib.bib3" title="">3</a>]</cite> Theorem 2), while algorithm LU has cubic complexity.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S9.p4"> <p class="ltx_p" id="S9.p4.1">Consider the case when the matrix coefficients are 64-bit real numbers. There are three possibilities.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S9.p5"> <p class="ltx_p" id="S9.p5.1">(1) The matrix is well-conditioned and the accumulation of errors is insignificant. In this scenario, the LEU algorithm will be the most optimal choice. It has the fewest number of operations when utilizing fast matrix multiplication algorithms.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S9.p6"> <p class="ltx_p" id="S9.p6.1">(2). When the matrix is not well-conditioned and the accumulation of errors is significant, the LU algorithm is the best choice, as it yields the smallest error. This is attributed to the fact that the pivot element is searched for among all coefficients of the matrix. Algorithm LEU is faster than LU; however, it accumulates more error.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S9.p7"> <p class="ltx_p" id="S9.p7.1">(3). When the matrix is ill-conditioned and no strategy provides an acceptable solution accuracy, both the LU and LEU algorithms are ineffective. In this situation, the LSU algorithm can be employed.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S9.p8"> <p class="ltx_p" id="S9.p8.1">For matrices over integers or over polynomials, the factorization can only be performed using the LSU algorithm.</p> </div> </section> <section class="ltx_bibliography" id="bib"> <h2 class="ltx_title ltx_title_bibliography">References</h2> <ul class="ltx_biblist"> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib1"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[1]</span> <span class="ltx_bibblock"> Bosilca G. et al.: Flexible Development of Dense Linear Algebra Algorithms on Massively Parallel Architectures with DPLASMA. 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