CINXE.COM

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available" lang="pl" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Pęd (fizyka) – Wikipedia, wolna encyklopedia</title> <script>(function(){var className="client-js vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )plwikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t."," \t,"],"wgDigitTransformTable":["",""], "wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","styczeń","luty","marzec","kwiecień","maj","czerwiec","lipiec","sierpień","wrzesień","październik","listopad","grudzień"],"wgRequestId":"88edf8a6-51f4-4a7d-9ae5-b5e68f25a9d9","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Pęd_(fizyka)","wgTitle":"Pęd (fizyka)","wgCurRevisionId":74907044,"wgRevisionId":74907044,"wgArticleId":33326,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Dynamika","Całki ruchu"],"wgPageViewLanguage":"pl","wgPageContentLanguage":"pl","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Pęd_(fizyka)","wgRelevantArticleId":33326,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgFlaggedRevsParams":{"tags":{"accuracy":{"levels":1}}},"wgStableRevisionId":74907044, "wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"pl","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"pl"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":20000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgCentralAuthMobileDomain":false,"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":false,"wgVector2022LanguageInHeader":true,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q41273","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["architecture","bitness","brands","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.gadget.wikiflex":"ready","ext.gadget.infobox":"ready", "ext.gadget.hlist":"ready","ext.gadget.darkmode-overrides":"ready","ext.gadget.small-references":"ready","ext.gadget.citation-access-info":"ready","ext.gadget.sprawdz-problemy-szablony":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.math.styles":"ready","ext.cite.styles":"ready","skins.vector.search.codex.styles":"ready","skins.vector.styles":"ready","skins.vector.icons":"ready","jquery.makeCollapsible.styles":"ready","ext.flaggedRevs.basic":"ready","mediawiki.codex.messagebox.styles":"ready","ext.wikimediamessages.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","ext.scribunto.logs","site","mediawiki.page.ready","jquery.makeCollapsible","mediawiki.toc","skins.vector.js","ext.centralNotice.geoIP", "ext.centralNotice.startUp","ext.flaggedRevs.advanced","ext.gadget.ll-script-loader","ext.gadget.veKeepParameters","ext.gadget.szablon-galeria","ext.gadget.NavFrame","ext.gadget.maps","ext.gadget.padlock-indicators","ext.gadget.interwiki-langlist","ext.gadget.edit-summaries","ext.gadget.edit-first-section","ext.gadget.wikibugs","ext.gadget.map-toggler","ext.gadget.narrowFootnoteColumns","ext.gadget.WDsearch","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.cx.uls.quick.actions","wikibase.client.vector-2022","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=pl&modules=ext.cite.styles%7Cext.flaggedRevs.basic%7Cext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cext.wikimediamessages.styles%7Cjquery.makeCollapsible.styles%7Cmediawiki.codex.messagebox.styles%7Cskins.vector.icons%2Cstyles%7Cskins.vector.search.codex.styles%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector-2022"> <script async="" src="/w/load.php?lang=pl&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector-2022"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=pl&modules=ext.gadget.citation-access-info%2Cdarkmode-overrides%2Chlist%2Cinfobox%2Csmall-references%2Csprawdz-problemy-szablony%2Cwikiflex&only=styles&skin=vector-2022"> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=pl&modules=site.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.3"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Pęd (fizyka) – Wikipedia, wolna encyklopedia"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//pl.m.wikipedia.org/wiki/P%C4%99d_(fizyka)"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Edytuj" href="/w/index.php?title=P%C4%99d_(fizyka)&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Wikipedia (pl)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//pl.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://pl.wikipedia.org/wiki/P%C4%99d_(fizyka)"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.pl"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Kanał Atom Wikipedii" href="/w/index.php?title=Specjalna:Ostatnie_zmiany&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="//login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin--responsive skin-vector skin-vector-search-vue mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Pęd_fizyka rootpage-Pęd_fizyka skin-vector-2022 action-view"><a class="mw-jump-link" href="#bodyContent">Przejdź do zawartości</a> <div class="vector-header-container"> <header class="vector-header mw-header"> <div class="vector-header-start"> <nav class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Witryna"> <div id="vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown vector-main-menu-dropdown vector-button-flush-left vector-button-flush-right" > <input type="checkbox" id="vector-main-menu-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Menu główne" > <label id="vector-main-menu-dropdown-label" for="vector-main-menu-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-menu mw-ui-icon-wikimedia-menu"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Menu główne</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-main-menu-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-main-menu" class="vector-main-menu vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-main-menu-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="main-menu-pinned" data-pinnable-element-id="vector-main-menu" data-pinned-container-id="vector-main-menu-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-main-menu-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Menu główne</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.unpin">ukryj</button> </div> <div id="p-navigation" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-navigation" > <div class="vector-menu-heading"> Nawigacja </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-description" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Strona_g%C5%82%C3%B3wna" title="Przejdź na stronę główną [z]" accesskey="z"><span>Strona główna</span></a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Losowa_strona" title="Załaduj losową stronę [x]" accesskey="x"><span>Losuj artykuł</span></a></li><li id="n-Kategorie" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Portal:Kategorie_G%C5%82%C3%B3wne"><span>Kategorie artykułów</span></a></li><li id="n-Featured-articles" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Wyr%C3%B3%C5%BCniona_zawarto%C5%9B%C4%87_Wikipedii"><span>Najlepsze artykuły</span></a></li><li id="n-FAQ" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Pomoc:FAQ"><span>Częste pytania (FAQ)</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-zmiany" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-zmiany" > <div class="vector-menu-heading"> Dla czytelników </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-czytelnicy" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:O_Wikipedii"><span>O Wikipedii</span></a></li><li id="n-contact" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Kontakt_z_wikipedystami"><span>Kontakt</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-edytorzy" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-edytorzy" > <div class="vector-menu-heading"> Dla wikipedystów </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-pierwsze-kroki" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Pomoc:Pierwsze_kroki"><span>Pierwsze kroki</span></a></li><li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Portal_wikipedyst%C3%B3w" title="O projekcie – co możesz zrobić, gdzie możesz znaleźć informacje"><span>Portal wikipedystów</span></a></li><li id="n-Noticeboard" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Tablica_og%C5%82osze%C5%84"><span>Ogłoszenia</span></a></li><li id="n-Guidelines" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Zasady"><span>Zasady</span></a></li><li id="n-helppage-name" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Pomoc:Spis_tre%C5%9Bci"><span>Pomoc</span></a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Ostatnie_zmiany" title="Lista ostatnich zmian w Wikipedii. [r]" accesskey="r"><span>Ostatnie zmiany</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> <a href="/wiki/Wikipedia:Strona_g%C5%82%C3%B3wna" class="mw-logo"> <img class="mw-logo-icon" src="/static/images/icons/wikipedia.png" alt="" aria-hidden="true" height="50" width="50"> <span class="mw-logo-container skin-invert"> <img class="mw-logo-wordmark" alt="Wikipedia" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-en.svg" style="width: 7.5em; height: 1.125em;"> <img class="mw-logo-tagline" alt="wolna encyklopedia" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-pl.svg" width="120" height="13" style="width: 7.5em; height: 0.8125em;"> </span> </a> </div> <div class="vector-header-end"> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-collapses vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <a href="/wiki/Specjalna:Szukaj" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only search-toggle" title="Przeszukaj Wikipedię [f]" accesskey="f"><span class="vector-icon mw-ui-icon-search mw-ui-icon-wikimedia-search"></span> <span>Szukaj</span> </a> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail cdx-typeahead-search--auto-expand-width"> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div id="simpleSearch" class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="Przeszukaj Wikipedię" aria-label="Przeszukaj Wikipedię" autocapitalize="sentences" title="Przeszukaj Wikipedię [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <span class="cdx-text-input__icon cdx-text-input__start-icon"></span> </div> <input type="hidden" name="title" value="Specjalna:Szukaj"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">Szukaj</button> </form> </div> </div> </div> <nav class="vector-user-links vector-user-links-wide" aria-label="Narzędzia osobiste"> <div class="vector-user-links-main"> <div id="p-vector-user-menu-preferences" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-userpage" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Wygląd"> <div id="vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown " title="Zmień rozmiar czcionki, szerokość oraz kolorystykę strony" > <input type="checkbox" id="vector-appearance-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Wygląd" > <label id="vector-appearance-dropdown-label" for="vector-appearance-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-appearance mw-ui-icon-wikimedia-appearance"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Wygląd</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-appearance-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div id="p-vector-user-menu-notifications" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-overflow" class="vector-menu mw-portlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_pl.wikipedia.org&uselang=pl" class=""><span>Wspomóż Wikipedię</span></a> </li> <li id="pt-createaccount-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Specjalna:Utw%C3%B3rz_konto&returnto=P%C4%99d+%28fizyka%29" title="Zachęcamy do stworzenia konta i zalogowania, ale nie jest to obowiązkowe." class=""><span>Utwórz konto</span></a> </li> <li id="pt-login-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Specjalna:Zaloguj&returnto=P%C4%99d+%28fizyka%29" title="Zachęcamy do zalogowania się, choć nie jest to obowiązkowe. [o]" accesskey="o" class=""><span>Zaloguj się</span></a> </li> </ul> </div> </div> </div> <div id="vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown vector-user-menu vector-button-flush-right vector-user-menu-logged-out" title="Więcej opcji" > <input type="checkbox" id="vector-user-links-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Narzędzia osobiste" > <label id="vector-user-links-dropdown-label" for="vector-user-links-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-ellipsis mw-ui-icon-wikimedia-ellipsis"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Narzędzia osobiste</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-personal" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-personal user-links-collapsible-item" title="Menu użytkownika" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_pl.wikipedia.org&uselang=pl"><span>Wspomóż Wikipedię</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Utw%C3%B3rz_konto&returnto=P%C4%99d+%28fizyka%29" title="Zachęcamy do stworzenia konta i zalogowania, ale nie jest to obowiązkowe."><span class="vector-icon mw-ui-icon-userAdd mw-ui-icon-wikimedia-userAdd"></span> <span>Utwórz konto</span></a></li><li id="pt-login" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Zaloguj&returnto=P%C4%99d+%28fizyka%29" title="Zachęcamy do zalogowania się, choć nie jest to obowiązkowe. [o]" accesskey="o"><span class="vector-icon mw-ui-icon-logIn mw-ui-icon-wikimedia-logIn"></span> <span>Zaloguj się</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-user-menu-anon-editor" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-user-menu-anon-editor" > <div class="vector-menu-heading"> Strony dla anonimowych edytorów <a href="/wiki/Pomoc:Pierwsze_kroki" aria-label="Dowiedz się więcej na temat edytowania"><span>dowiedz się więcej</span></a> </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:M%C3%B3j_wk%C5%82ad" title="Lista edycji wykonanych z tego adresu IP [y]" accesskey="y"><span>Edycje</span></a></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Moja_dyskusja" title="Dyskusja użytkownika dla tego adresu IP [n]" accesskey="n"><span>Dyskusja</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> </div> <div class="mw-page-container"> <div class="mw-page-container-inner"> <div class="vector-sitenotice-container"> <div id="siteNotice"></div> </div> <div class="vector-column-start"> <div class="vector-main-menu-container"> <div id="mw-navigation"> <nav id="mw-panel" class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Witryna"> <div id="vector-main-menu-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> </div> </div> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav id="mw-panel-toc" aria-label="Spis treści" data-event-name="ui.sidebar-toc" class="mw-table-of-contents-container vector-toc-landmark"> <div id="vector-toc-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-toc" class="vector-toc vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-toc-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="toc-pinned" data-pinnable-element-id="vector-toc" > <h2 class="vector-pinnable-header-label">Spis treści</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">ukryj</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">Początek</div> </a> </li> <li id="toc-Pęd_w_mechanice_klasycznej" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Pęd_w_mechanice_klasycznej"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1</span> <span>Pęd w mechanice klasycznej</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Pęd_w_mechanice_klasycznej-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Przełącz podsekcję Pęd w mechanice klasycznej</span> </button> <ul id="toc-Pęd_w_mechanice_klasycznej-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Pęd_punktu_materialnego" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Pęd_punktu_materialnego"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.1</span> <span>Pęd punktu materialnego</span> </div> </a> <ul id="toc-Pęd_punktu_materialnego-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Zasada_zachowania_pędu" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Zasada_zachowania_pędu"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.2</span> <span>Zasada zachowania pędu</span> </div> </a> <ul id="toc-Zasada_zachowania_pędu-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Przykłady_zasady_zachowania_pędu" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Przykłady_zasady_zachowania_pędu"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.2.1</span> <span>Przykłady zasady zachowania pędu</span> </div> </a> <ul id="toc-Przykłady_zasady_zachowania_pędu-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Pęd_układu_punktów_materialnych" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Pęd_układu_punktów_materialnych"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.3</span> <span>Pęd układu punktów materialnych</span> </div> </a> <ul id="toc-Pęd_układu_punktów_materialnych-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Pędy_uogólnione_–_opis_hamiltonowski" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Pędy_uogólnione_–_opis_hamiltonowski"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.4</span> <span>Pędy uogólnione – opis hamiltonowski</span> </div> </a> <ul id="toc-Pędy_uogólnione_–_opis_hamiltonowski-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Pęd_w_mechanice_relatywistycznej" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Pęd_w_mechanice_relatywistycznej"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>Pęd w mechanice relatywistycznej</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Pęd_w_mechanice_relatywistycznej-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Przełącz podsekcję Pęd w mechanice relatywistycznej</span> </button> <ul id="toc-Pęd_w_mechanice_relatywistycznej-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Wyprowadzenie_wzoru" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Wyprowadzenie_wzoru"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.1</span> <span>Wyprowadzenie wzoru</span> </div> </a> <ul id="toc-Wyprowadzenie_wzoru-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Pęd_fotonu" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Pęd_fotonu"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2</span> <span>Pęd fotonu</span> </div> </a> <ul id="toc-Pęd_fotonu-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Pęd_w_mechanice_kwantowej" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Pęd_w_mechanice_kwantowej"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Pęd w mechanice kwantowej</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Pęd_w_mechanice_kwantowej-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Przełącz podsekcję Pęd w mechanice kwantowej</span> </button> <ul id="toc-Pęd_w_mechanice_kwantowej-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Mechanika_kwantowa_nierelatywistyczna" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Mechanika_kwantowa_nierelatywistyczna"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.1</span> <span>Mechanika kwantowa nierelatywistyczna</span> </div> </a> <ul id="toc-Mechanika_kwantowa_nierelatywistyczna-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Mechanika_kwantowa_relatywistyczna" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Mechanika_kwantowa_relatywistyczna"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.2</span> <span>Mechanika kwantowa relatywistyczna</span> </div> </a> <ul id="toc-Mechanika_kwantowa_relatywistyczna-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Zobacz_też" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Zobacz_też"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Zobacz też</span> </div> </a> <ul id="toc-Zobacz_też-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Przypisy" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Przypisy"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Przypisy</span> </div> </a> <ul id="toc-Przypisy-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Spis treści" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Przełącz stan spisu treści" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Przełącz stan spisu treści</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Pęd (fizyka)</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Przejdź do artykułu w innym języku. Treść dostępna w 97 językach" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-97" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">97 języków</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Momentum" title="Momentum – afrikaans" lang="af" hreflang="af" data-title="Momentum" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="afrikaans" class="interlanguage-link-target"><span>Afrikaans</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-als mw-list-item"><a href="https://als.wikipedia.org/wiki/Impuls_(Physik)" title="Impuls (Physik) – szwajcarski niemiecki" lang="gsw" hreflang="gsw" data-title="Impuls (Physik)" data-language-autonym="Alemannisch" data-language-local-name="szwajcarski niemiecki" class="interlanguage-link-target"><span>Alemannisch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%B2%D8%AE%D9%85_%D8%A7%D9%84%D8%AD%D8%B1%D9%83%D8%A9" title="زخم الحركة – arabski" lang="ar" hreflang="ar" data-title="زخم الحركة" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="arabski" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-as mw-list-item"><a href="https://as.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%AD%E0%A7%B0%E0%A6%AC%E0%A7%87%E0%A6%97" title="ভৰবেগ – asamski" lang="as" hreflang="as" data-title="ভৰবেগ" data-language-autonym="অসমীয়া" data-language-local-name="asamski" class="interlanguage-link-target"><span>অসমীয়া</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Cantid%C3%A1_de_movimientu" title="Cantidá de movimientu – asturyjski" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Cantidá de movimientu" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="asturyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/%C4%B0mpuls" title="İmpuls – azerbejdżański" lang="az" hreflang="az" data-title="İmpuls" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="azerbejdżański" class="interlanguage-link-target"><span>Azərbaycanca</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%AD%E0%A6%B0%E0%A6%AC%E0%A7%87%E0%A6%97" title="ভরবেগ – bengalski" lang="bn" hreflang="bn" data-title="ভরবেগ" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="bengalski" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-min-nan mw-list-item"><a href="https://zh-min-nan.wikipedia.org/wiki/%C5%AAn-t%C5%8Dng-li%C5%8Dng" title="Ūn-tōng-liōng – minnański" lang="nan" hreflang="nan" data-title="Ūn-tōng-liōng" data-language-autonym="閩南語 / Bân-lâm-gú" data-language-local-name="minnański" class="interlanguage-link-target"><span>閩南語 / Bân-lâm-gú</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%86%D0%BC%D0%BF%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%81" title="Імпульс – białoruski" lang="be" hreflang="be" data-title="Імпульс" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="białoruski" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be-x-old mw-list-item"><a href="https://be-tarask.wikipedia.org/wiki/%D0%86%D0%BC%D0%BF%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%81" title="Імпульс – Belarusian (Taraškievica orthography)" lang="be-tarask" hreflang="be-tarask" data-title="Імпульс" data-language-autonym="Беларуская (тарашкевіца)" data-language-local-name="Belarusian (Taraškievica orthography)" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская (тарашкевіца)</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bh mw-list-item"><a href="https://bh.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B5%E0%A5%87%E0%A4%97%E0%A4%AE%E0%A4%BE%E0%A4%A8" title="वेगमान – Bhojpuri" lang="bh" hreflang="bh" data-title="वेगमान" data-language-autonym="भोजपुरी" data-language-local-name="Bhojpuri" class="interlanguage-link-target"><span>भोजपुरी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bcl mw-list-item"><a href="https://bcl.wikipedia.org/wiki/Momentum" title="Momentum – Central Bikol" lang="bcl" hreflang="bcl" data-title="Momentum" data-language-autonym="Bikol Central" data-language-local-name="Central Bikol" class="interlanguage-link-target"><span>Bikol Central</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BC%D0%BF%D1%83%D0%BB%D1%81_(%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Импулс (механика) – bułgarski" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Импулс (механика)" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="bułgarski" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Koli%C4%8Dina_kretanja" title="Količina kretanja – bośniacki" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Količina kretanja" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="bośniacki" class="interlanguage-link-target"><span>Bosanski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bxr mw-list-item"><a href="https://bxr.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BC%D0%BF%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%81" title="Импульс – Russia Buriat" lang="bxr" hreflang="bxr" data-title="Импульс" data-language-autonym="Буряад" data-language-local-name="Russia Buriat" class="interlanguage-link-target"><span>Буряад</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Quantitat_de_moviment" title="Quantitat de moviment – kataloński" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Quantitat de moviment" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="kataloński" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BC%D0%BF%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%81" title="Импульс – czuwaski" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Импульс" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="czuwaski" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Hybnost" title="Hybnost – czeski" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Hybnost" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="czeski" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sn mw-list-item"><a href="https://sn.wikipedia.org/wiki/Runhanhira" title="Runhanhira – shona" lang="sn" hreflang="sn" data-title="Runhanhira" data-language-autonym="ChiShona" data-language-local-name="shona" class="interlanguage-link-target"><span>ChiShona</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Momentwm" title="Momentwm – walijski" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Momentwm" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="walijski" class="interlanguage-link-target"><span>Cymraeg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Impuls_(fysik)" title="Impuls (fysik) – duński" lang="da" hreflang="da" data-title="Impuls (fysik)" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="duński" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Impuls" title="Impuls – niemiecki" lang="de" hreflang="de" data-title="Impuls" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="niemiecki" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Impulss" title="Impulss – estoński" lang="et" hreflang="et" data-title="Impulss" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="estoński" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%9F%CF%81%CE%BC%CE%AE" title="Ορμή – grecki" lang="el" hreflang="el" data-title="Ορμή" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="grecki" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Momentum" title="Momentum – angielski" lang="en" hreflang="en" data-title="Momentum" data-language-autonym="English" data-language-local-name="angielski" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Cantidad_de_movimiento" title="Cantidad de movimiento – hiszpański" lang="es" hreflang="es" data-title="Cantidad de movimiento" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="hiszpański" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Movokvanto" title="Movokvanto – esperanto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Movokvanto" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="esperanto" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Momentu_lineal" title="Momentu lineal – baskijski" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Momentu lineal" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="baskijski" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%DA%A9%D8%A7%D9%86%D9%87" title="تکانه – perski" lang="fa" hreflang="fa" data-title="تکانه" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="perski" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Quantit%C3%A9_de_mouvement" title="Quantité de mouvement – francuski" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Quantité de mouvement" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="francuski" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fy mw-list-item"><a href="https://fy.wikipedia.org/wiki/Ympuls_(natuerkunde)" title="Ympuls (natuerkunde) – zachodniofryzyjski" lang="fy" hreflang="fy" data-title="Ympuls (natuerkunde)" data-language-autonym="Frysk" data-language-local-name="zachodniofryzyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Frysk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3iminteam" title="Móiminteam – irlandzki" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Móiminteam" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="irlandzki" class="interlanguage-link-target"><span>Gaeilge</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Cantidade_de_movemento" title="Cantidade de movemento – galicyjski" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Cantidade de movemento" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="galicyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gu mw-list-item"><a href="https://gu.wikipedia.org/wiki/%E0%AA%B5%E0%AB%87%E0%AA%97%E0%AA%AE%E0%AA%BE%E0%AA%A8_%E0%AA%B8%E0%AA%82%E0%AA%B0%E0%AA%95%E0%AB%8D%E0%AA%B7%E0%AA%A3%E0%AA%A8%E0%AB%8B_%E0%AA%A8%E0%AA%BF%E0%AA%AF%E0%AA%AE" title="વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ – gudżarati" lang="gu" hreflang="gu" data-title="વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ" data-language-autonym="ગુજરાતી" data-language-local-name="gudżarati" class="interlanguage-link-target"><span>ગુજરાતી</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9A%B4%EB%8F%99%EB%9F%89" title="운동량 – koreański" lang="ko" hreflang="ko" data-title="운동량" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="koreański" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D4%BB%D5%B4%D5%BA%D5%B8%D6%82%D5%AC%D5%BD_(%D5%B7%D5%A1%D6%80%D5%AA%D5%B4%D5%A1%D5%B6_%D6%84%D5%A1%D5%B6%D5%A1%D5%AF)" title="Իմպուլս (շարժման քանակ) – ormiański" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Իմպուլս (շարժման քանակ)" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="ormiański" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B8%E0%A4%82%E0%A4%B5%E0%A5%87%E0%A4%97_(%E0%A4%AD%E0%A5%8C%E0%A4%A4%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A5%80)" title="संवेग (भौतिकी) – hindi" lang="hi" hreflang="hi" data-title="संवेग (भौतिकी)" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="hindi" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Koli%C4%8Dina_gibanja" title="Količina gibanja – chorwacki" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Količina gibanja" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="chorwacki" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Momentum" title="Momentum – indonezyjski" lang="id" hreflang="id" data-title="Momentum" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonezyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Skri%C3%B0%C3%BEungi" title="Skriðþungi – islandzki" lang="is" hreflang="is" data-title="Skriðþungi" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="islandzki" class="interlanguage-link-target"><span>Íslenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Quantit%C3%A0_di_moto" title="Quantità di moto – włoski" lang="it" hreflang="it" data-title="Quantità di moto" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="włoski" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%AA%D7%A0%D7%A2" title="תנע – hebrajski" lang="he" hreflang="he" data-title="תנע" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hebrajski" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jv mw-list-item"><a href="https://jv.wikipedia.org/wiki/Mom%C3%A8ntum" title="Momèntum – jawajski" lang="jv" hreflang="jv" data-title="Momèntum" data-language-autonym="Jawa" data-language-local-name="jawajski" class="interlanguage-link-target"><span>Jawa</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kn mw-list-item"><a href="https://kn.wikipedia.org/wiki/%E0%B2%86%E0%B2%B5%E0%B3%87%E0%B2%97_(%E0%B2%AD%E0%B3%8C%E0%B2%A4%E0%B2%B6%E0%B2%BE%E0%B2%B8%E0%B3%8D%E0%B2%A4%E0%B3%8D%E0%B2%B0)" title="ಆವೇಗ (ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ) – kannada" lang="kn" hreflang="kn" data-title="ಆವೇಗ (ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ)" data-language-autonym="ಕನ್ನಡ" data-language-local-name="kannada" class="interlanguage-link-target"><span>ಕನ್ನಡ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%98%E1%83%9B%E1%83%9E%E1%83%A3%E1%83%9A%E1%83%A1%E1%83%98" title="იმპულსი – gruziński" lang="ka" hreflang="ka" data-title="იმპულსი" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="gruziński" class="interlanguage-link-target"><span>ქართული</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D0%BD%D0%B5_%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%96" title="Дене импульсі – kazachski" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Дене импульсі" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="kazachski" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ht mw-list-item"><a href="https://ht.wikipedia.org/wiki/Elan" title="Elan – kreolski haitański" lang="ht" hreflang="ht" data-title="Elan" data-language-autonym="Kreyòl ayisyen" data-language-local-name="kreolski haitański" class="interlanguage-link-target"><span>Kreyòl ayisyen</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Momentum" title="Momentum – łaciński" lang="la" hreflang="la" data-title="Momentum" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="łaciński" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Impulss" title="Impulss – łotewski" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Impulss" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="łotewski" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Judesio_kiekis" title="Judesio kiekis – litewski" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Judesio kiekis" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="litewski" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Lend%C3%BClet" title="Lendület – węgierski" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Lendület" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="węgierski" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BC%D0%BF%D1%83%D0%BB%D1%81_(%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Импулс (механика) – macedoński" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Импулс (механика)" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="macedoński" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%86%E0%B4%95%E0%B5%8D%E0%B4%95%E0%B4%82" title="ആക്കം – malajalam" lang="ml" hreflang="ml" data-title="ആക്കം" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="malajalam" class="interlanguage-link-target"><span>മലയാളം</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mr mw-list-item"><a href="https://mr.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B8%E0%A4%82%E0%A4%B5%E0%A5%87%E0%A4%97" title="संवेग – marathi" lang="mr" hreflang="mr" data-title="संवेग" data-language-autonym="मराठी" data-language-local-name="marathi" class="interlanguage-link-target"><span>मराठी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Momentum" title="Momentum – malajski" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Momentum" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="malajski" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mn mw-list-item"><a href="https://mn.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82" title="Момент – mongolski" lang="mn" hreflang="mn" data-title="Момент" data-language-autonym="Монгол" data-language-local-name="mongolski" class="interlanguage-link-target"><span>Монгол</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-my mw-list-item"><a href="https://my.wikipedia.org/wiki/%E1%80%A1%E1%80%9F%E1%80%AF%E1%80%94%E1%80%BA" title="အဟုန် – birmański" lang="my" hreflang="my" data-title="အဟုန်" data-language-autonym="မြန်မာဘာသာ" data-language-local-name="birmański" class="interlanguage-link-target"><span>မြန်မာဘာသာ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Impuls_(natuurkunde)" title="Impuls (natuurkunde) – niderlandzki" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Impuls (natuurkunde)" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="niderlandzki" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ne mw-list-item"><a href="https://ne.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AA%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%B5%E0%A5%87%E0%A4%97" title="परिवेग – nepalski" lang="ne" hreflang="ne" data-title="परिवेग" data-language-autonym="नेपाली" data-language-local-name="nepalski" class="interlanguage-link-target"><span>नेपाली</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F" title="運動量 – japoński" lang="ja" hreflang="ja" data-title="運動量" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japoński" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Bevegelsesmengde" title="Bevegelsesmengde – norweski (bokmål)" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Bevegelsesmengde" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="norweski (bokmål)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/R%C3%B8rslemengd" title="Rørslemengd – norweski (nynorsk)" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Rørslemengd" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="norweski (nynorsk)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Quantitat_de_movement" title="Quantitat de movement – oksytański" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Quantitat de movement" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="oksytański" class="interlanguage-link-target"><span>Occitan</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-om mw-list-item"><a href="https://om.wikipedia.org/wiki/Furguga" title="Furguga – oromo" lang="om" hreflang="om" data-title="Furguga" data-language-autonym="Oromoo" data-language-local-name="oromo" class="interlanguage-link-target"><span>Oromoo</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Impuls" title="Impuls – uzbecki" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Impuls" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="uzbecki" class="interlanguage-link-target"><span>Oʻzbekcha / ўзбекча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%B8%E0%A9%B0%E0%A8%B5%E0%A9%87%E0%A8%97" title="ਸੰਵੇਗ – pendżabski" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਸੰਵੇਗ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="pendżabski" class="interlanguage-link-target"><span>ਪੰਜਾਬੀ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pnb mw-list-item"><a href="https://pnb.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D9%88%D9%85%D9%86%D9%B9%D9%85" title="مومنٹم – Western Punjabi" lang="pnb" hreflang="pnb" data-title="مومنٹم" data-language-autonym="پنجابی" data-language-local-name="Western Punjabi" class="interlanguage-link-target"><span>پنجابی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pms mw-list-item"><a href="https://pms.wikipedia.org/wiki/Quantit%C3%A0_%C3%ABd_moviment" title="Quantità ëd moviment – piemoncki" lang="pms" hreflang="pms" data-title="Quantità ëd moviment" data-language-autonym="Piemontèis" data-language-local-name="piemoncki" class="interlanguage-link-target"><span>Piemontèis</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nds mw-list-item"><a href="https://nds.wikipedia.org/wiki/Impuls_(Physik)" title="Impuls (Physik) – dolnoniemiecki" lang="nds" hreflang="nds" data-title="Impuls (Physik)" data-language-autonym="Plattdüütsch" data-language-local-name="dolnoniemiecki" class="interlanguage-link-target"><span>Plattdüütsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Momento_linear" title="Momento linear – portugalski" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Momento linear" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugalski" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Impuls" title="Impuls – rumuński" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Impuls" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="rumuński" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BC%D0%BF%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%81" title="Импульс – rosyjski" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Импульс" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="rosyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Vrulli" title="Vrulli – albański" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Vrulli" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="albański" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-si mw-list-item"><a href="https://si.wikipedia.org/wiki/%E0%B6%9C%E0%B6%B8%E0%B7%8A%E2%80%8D%E0%B6%BA%E0%B6%AD%E0%B7%8F%E0%B7%80%E0%B6%BA" title="ගම්‍යතාවය – syngaleski" lang="si" hreflang="si" data-title="ගම්‍යතාවය" data-language-autonym="සිංහල" data-language-local-name="syngaleski" class="interlanguage-link-target"><span>සිංහල</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Momentum" title="Momentum – Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Momentum" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Hybnos%C5%A5" title="Hybnosť – słowacki" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Hybnosť" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="słowacki" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Gibalna_koli%C4%8Dina" title="Gibalna količina – słoweński" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Gibalna količina" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="słoweński" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%DA%95%D8%A7%D9%88%DB%95%D8%B4" title="ڕاوەش – sorani" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="ڕاوەش" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="sorani" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BC%D0%BF%D1%83%D0%BB%D1%81" title="Импулс – serbski" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Импулс" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="serbski" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Impuls" title="Impuls – serbsko-chorwacki" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Impuls" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="serbsko-chorwacki" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-su mw-list-item"><a href="https://su.wikipedia.org/wiki/Mom%C3%A9ntum" title="Moméntum – sundajski" lang="su" hreflang="su" data-title="Moméntum" data-language-autonym="Sunda" data-language-local-name="sundajski" class="interlanguage-link-target"><span>Sunda</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Liikem%C3%A4%C3%A4r%C3%A4" title="Liikemäärä – fiński" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Liikemäärä" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="fiński" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/R%C3%B6relsem%C3%A4ngd" title="Rörelsemängd – szwedzki" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Rörelsemängd" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="szwedzki" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Momentum" title="Momentum – tagalski" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Momentum" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="tagalski" class="interlanguage-link-target"><span>Tagalog</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%89%E0%AE%A8%E0%AF%8D%E0%AE%A4%E0%AE%AE%E0%AF%8D" title="உந்தம் – tamilski" lang="ta" hreflang="ta" data-title="உந்தம்" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="tamilski" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tt mw-list-item"><a href="https://tt.wikipedia.org/wiki/%C4%B0mpuls" title="İmpuls – tatarski" lang="tt" hreflang="tt" data-title="İmpuls" data-language-autonym="Татарча / tatarça" data-language-local-name="tatarski" class="interlanguage-link-target"><span>Татарча / tatarça</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-te mw-list-item"><a href="https://te.wikipedia.org/wiki/%E0%B0%A6%E0%B1%8D%E0%B0%B0%E0%B0%B5%E0%B1%8D%E0%B0%AF%E0%B0%B5%E0%B1%87%E0%B0%97%E0%B0%82" title="ద్రవ్యవేగం – telugu" lang="te" hreflang="te" data-title="ద్రవ్యవేగం" data-language-autonym="తెలుగు" data-language-local-name="telugu" class="interlanguage-link-target"><span>తెలుగు</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B9%82%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%A1%E0%B8%99%E0%B8%95%E0%B8%B1%E0%B8%A1" title="โมเมนตัม – tajski" lang="th" hreflang="th" data-title="โมเมนตัม" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="tajski" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Momentum" title="Momentum – turecki" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Momentum" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turecki" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%86%D0%BC%D0%BF%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%81_(%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D1%96%D0%BA%D0%B0)" title="Імпульс (механіка) – ukraiński" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Імпульс (механіка)" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ukraiński" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D8%B9%DB%8C%D8%A7%D8%B1_%D8%AD%D8%B1%DA%A9%D8%AA" title="معیار حرکت – urdu" lang="ur" hreflang="ur" data-title="معیار حرکت" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="urdu" class="interlanguage-link-target"><span>اردو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90%E1%BB%99ng_l%C6%B0%E1%BB%A3ng" title="Động lượng – wietnamski" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Động lượng" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="wietnamski" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-classical mw-list-item"><a href="https://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E5%8B%95%E9%87%8F" title="動量 – chiński klasyczny" lang="lzh" hreflang="lzh" data-title="動量" data-language-autonym="文言" data-language-local-name="chiński klasyczny" class="interlanguage-link-target"><span>文言</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E5%8A%A8%E9%87%8F" title="动量 – wu" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="动量" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="wu" class="interlanguage-link-target"><span>吴语</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yi mw-list-item"><a href="https://yi.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%99%D7%9E%D7%A4%D7%A2%D7%98" title="אימפעט – jidysz" lang="yi" hreflang="yi" data-title="אימפעט" data-language-autonym="ייִדיש" data-language-local-name="jidysz" class="interlanguage-link-target"><span>ייִדיש</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E5%8B%95%E9%87%8F" title="動量 – kantoński" lang="yue" hreflang="yue" data-title="動量" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="kantoński" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8A%A8%E9%87%8F" title="动量 – chiński" lang="zh" hreflang="zh" data-title="动量" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chiński" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q41273#sitelinks-wikipedia" title="Edytuj linki pomiędzy wersjami językowymi" class="wbc-editpage">Edytuj linki</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Przestrzenie nazw"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/P%C4%99d_(fizyka)" title="Zobacz stronę treści [c]" accesskey="c"><span>Artykuł</span></a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Dyskusja:P%C4%99d_(fizyka)" rel="discussion" title="Dyskusja o zawartości tej strony [t]" accesskey="t"><span>Dyskusja</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Zmień wariant języka" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">polski</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="Widok"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/P%C4%99d_(fizyka)"><span>Czytaj</span></a></li><li id="ca-ve-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=P%C4%99d_(fizyka)&veaction=edit" title="Edytuj tę stronę [v]" accesskey="v"><span>Edytuj</span></a></li><li id="ca-edit" class="collapsible vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=P%C4%99d_(fizyka)&action=edit" title="Edycja kodu źródłowego strony [e]" accesskey="e"><span>Edytuj kod źródłowy</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=P%C4%99d_(fizyka)&action=history" title="Starsze wersje tej strony [h]" accesskey="h"><span>Pokaż historię</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Narzędzia dla stron"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Narzędzia" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">Narzędzia</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Narzędzia</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">ukryj</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Więcej opcji" > <div class="vector-menu-heading"> Działania </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/P%C4%99d_(fizyka)"><span>Czytaj</span></a></li><li id="ca-more-ve-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=P%C4%99d_(fizyka)&veaction=edit" title="Edytuj tę stronę [v]" accesskey="v"><span>Edytuj</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=P%C4%99d_(fizyka)&action=edit" title="Edycja kodu źródłowego strony [e]" accesskey="e"><span>Edytuj kod źródłowy</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=P%C4%99d_(fizyka)&action=history"><span>Pokaż historię</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Ogólne </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Linkuj%C4%85ce/P%C4%99d_(fizyka)" title="Pokaż listę wszystkich stron linkujących do tej strony [j]" accesskey="j"><span>Linkujące</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Zmiany_w_linkowanych/P%C4%99d_(fizyka)" rel="nofollow" title="Ostatnie zmiany w stronach, do których ta strona linkuje [k]" accesskey="k"><span>Zmiany w linkowanych</span></a></li><li id="t-upload" class="mw-list-item"><a href="//pl.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Prześlij_plik" title="Prześlij pliki [u]" accesskey="u"><span>Prześlij plik</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Strony_specjalne" title="Lista wszystkich stron specjalnych [q]" accesskey="q"><span>Strony specjalne</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=P%C4%99d_(fizyka)&oldid=74907044" title="Stały link do tej wersji tej strony"><span>Link do tej wersji</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=P%C4%99d_(fizyka)&action=info" title="Więcej informacji na temat tej strony"><span>Informacje o tej stronie</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Cytuj&page=P%C4%99d_%28fizyka%29&id=74907044&wpFormIdentifier=titleform" title="Informacja o tym jak należy cytować tę stronę"><span>Cytowanie tego artykułu</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Skr%C3%B3%C4%87_adres_URL&url=https%3A%2F%2Fpl.wikipedia.org%2Fwiki%2FP%25C4%2599d_%28fizyka%29"><span>Zobacz skrócony adres URL</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Kod_QR&url=https%3A%2F%2Fpl.wikipedia.org%2Fwiki%2FP%25C4%2599d_%28fizyka%29"><span>Pobierz kod QR</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> Drukuj lub eksportuj </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Ksi%C4%85%C5%BCka&bookcmd=book_creator&referer=P%C4%99d+%28fizyka%29"><span>Utwórz książkę</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:DownloadAsPdf&page=P%C4%99d_%28fizyka%29&action=show-download-screen"><span>Pobierz jako PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=P%C4%99d_(fizyka)&printable=yes" title="Wersja do wydruku [p]" accesskey="p"><span>Wersja do druku</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> W innych projektach </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Momentum" hreflang="en"><span>Wikimedia Commons</span></a></li><li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikiquote mw-list-item"><a href="https://pl.wikiquote.org/wiki/P%C4%99d_(fizyka)" hreflang="pl"><span>Wikicytaty</span></a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q41273" title="Link do powiązanego elementu w repozytorium danych [g]" accesskey="g"><span>Element Wikidanych</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Narzędzia dla stron"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Wygląd"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Wygląd</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">ukryj</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Z Wikipedii, wolnej encyklopedii</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="pl" dir="ltr"><div class="noprint noexcerpt disambig navigation-not-searchable" style="line-height:1.5em; padding: 3px 6px; background-color: var(--background-color-interactive-subtle, #f8f9fa); color: inherit; border-bottom: 1px solid var(--border-color-subtle, #c8ccd1); font-size: 95%; margin-bottom: 1em; display: flex; gap: 4px; align-items: center;"><span class="notpageimage" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikipedia:Strona_ujednoznaczniaj%C4%85ca" title="Inne znaczenia"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/72/Disambig.svg/25px-Disambig.svg.png" decoding="async" width="25" height="20" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/72/Disambig.svg/38px-Disambig.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/72/Disambig.svg/50px-Disambig.svg.png 2x" data-file-width="230" data-file-height="183" /></a></span><span>Zobacz też: <a href="/wiki/P%C4%99d" class="mw-disambig" title="Pęd">inne znaczenia wyrazu „pęd”</a>.</span></div> <p><b>Pęd</b> – wektorowa <a href="/wiki/Wielko%C5%9B%C4%87_fizyczna" title="Wielkość fizyczna">wielkość fizyczna</a> opisująca mechanikę, a więc ruch i oddziaływania <a href="/wiki/Przedmiot_fizyczny" title="Przedmiot fizyczny">obiektu fizycznego</a>. Pęd mogą mieć wszystkie formy <a href="/wiki/Materia_(fizyka)" title="Materia (fizyka)">materii</a>, np. <a href="/wiki/Cia%C5%82o_(fizyka)" title="Ciało (fizyka)">ciała</a> o niezerowej <a href="/wiki/Masa_spoczynkowa" title="Masa spoczynkowa">masie spoczynkowej</a>, <a href="/wiki/Pole_elektromagnetyczne" title="Pole elektromagnetyczne">pole elektromagnetyczne</a>, <a href="/wiki/Pole_grawitacyjne" title="Pole grawitacyjne">pole grawitacyjne</a>. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Pęd_w_mechanice_klasycznej"><span id="P.C4.99d_w_mechanice_klasycznej"></span>Pęd w mechanice klasycznej</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=P%C4%99d_(fizyka)&veaction=edit&section=1" title="Edytuj sekcję: Pęd w mechanice klasycznej" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=P%C4%99d_(fizyka)&action=edit&section=1" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Pęd w mechanice klasycznej"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Pęd_punktu_materialnego"><span id="P.C4.99d_punktu_materialnego"></span>Pęd punktu materialnego</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=P%C4%99d_(fizyka)&veaction=edit&section=2" title="Edytuj sekcję: Pęd punktu materialnego" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=P%C4%99d_(fizyka)&action=edit&section=2" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Pęd punktu materialnego"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Pęd <a href="/wiki/Punkt_materialny" title="Punkt materialny">punktu materialnego</a> jest równy iloczynowi <a href="/wiki/Masa_(fizyka)" title="Masa (fizyka)">masy</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}"></span> i <a href="/wiki/Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87" title="Prędkość">prędkości</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85820588abd7333ef4d0c56539cb31c20e730753" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.175ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}}"></span> punktu. Pęd jest wielkością <a href="/wiki/Wektor" title="Wektor">wektorową</a>; kierunek i zwrot pędu jest zgodny z kierunkiem i zwrotem prędkości<sup id="cite_ref-epwn_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-epwn-1">[1]</a></sup>: </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ab44546c9c3d4e98379e356b0bef27dbe530606" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:8.376ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}.}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>Ruch ciała, a tym samym i jego prędkość określana jest względem wybranego <a href="/wiki/Uk%C5%82ad_odniesienia" title="Układ odniesienia">układu odniesienia</a>, dlatego też pęd jest określany względem tego układu odniesienia. </p><p>W układzie <a href="/wiki/Uk%C5%82ad_SI" title="Układ SI">SI</a> jednostka pędu nie ma odrębnej nazwy, a jest określana za pomocą innych jednostek, np. kilogram·metr/sekunda [kg·m/s] lub <a href="/wiki/Niuton" title="Niuton">niuton</a>·sekunda [N·s]. W języku polskim tę drugą jednostkę, N·s, nazywa się niutonosekundą<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2">[2]</a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Zasada_zachowania_pędu"><span id="Zasada_zachowania_p.C4.99du"></span>Zasada zachowania pędu</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=P%C4%99d_(fizyka)&veaction=edit&section=3" title="Edytuj sekcję: Zasada zachowania pędu" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=P%C4%99d_(fizyka)&action=edit&section=3" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Zasada zachowania pędu"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Pęd zmienia się w wyniku działania na ciało <a href="/wiki/Si%C5%82a" title="Siła">siły</a> przez pewien <a href="/wiki/Czas" title="Czas">czas</a>. Iloczyn siły i czasu jej działania nazywany jest <a href="/wiki/Pop%C4%99d_(fizyka)" title="Popęd (fizyka)">popędem</a> siły <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (I){:}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>I</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>:</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (I){:}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/189fe3338e0eebb56b6b22879323abfb74d28830" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.628ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (I){:}}"></span> </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {\Delta p}}={\vec {F}}\Delta t,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>p</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\Delta p}}={\vec {F}}\Delta t,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a78af95643f01acd8b9b3d68fb5fb65f3d8ffb8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.397ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\Delta p}}={\vec {F}}\Delta t,}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {I}}={\vec {F}}\Delta t.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>I</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {I}}={\vec {F}}\Delta t.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0356bb2b15b517ed4fe40b27d9babe827e56cd4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.779ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {I}}={\vec {F}}\Delta t.}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>Jeżeli w <a href="/wiki/Uk%C5%82ad_inercjalny" title="Układ inercjalny">układzie inercjalnym</a> na <a href="/wiki/Cia%C5%82o_(fizyka)" title="Ciało (fizyka)">ciało</a> (układ ciał) nie działa siła zewnętrzna, lub działające siły zewnętrzne równoważą się: </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {F}}=0,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}=0,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cdba9df520ffe21dbb6969504ec08de57148ed1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.679ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}=0,}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>to całkowity pęd ciała (układu ciał) nie zmienia się: </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta {\vec {p}}=0,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta {\vec {p}}=0,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0976f950f0ff8b8cbecf2b94ceb620b538eb274b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.169ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \Delta {\vec {p}}=0,}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {p}}={\text{const}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>const</mtext> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {p}}={\text{const}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c5225930d7a84b4cb04d39460c45d77c84bbb11" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:10.468ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {p}}={\text{const}}.}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>Powyższe zdanie stanowi treść <a href="/wiki/Zasada_zachowania_p%C4%99du" title="Zasada zachowania pędu">zasady zachowania pędu</a>. Zasada zachowania pędu jest konsekwencją symetrii translacji w przestrzeni (<a href="/wiki/Twierdzenie_Noether" title="Twierdzenie Noether">twierdzenie Noether</a>): </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}\to {\vec {x}}'={\vec {x}}+{\vec {a}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}\to {\vec {x}}'={\vec {x}}+{\vec {a}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fce1a45ca1e9d2e95587102057698b91b2067c4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:16.103ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}\to {\vec {x}}'={\vec {x}}+{\vec {a}}.}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>Jeżeli <a href="/wiki/Energia_potencjalna" title="Energia potencjalna">energia potencjalna</a> jest niezmiennicza ze względu na <a href="/wiki/Translacja_(matematyka)" title="Translacja (matematyka)">translację</a> </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U({\vec {x}})=U({\vec {x}}')=U({\vec {x}}+{\vec {a}})=U({\vec {x}})+a^{i}{\frac {\partial U}{\partial {x^{i}}}}+\dots ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>U</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>U</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>U</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>U</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>U</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U({\vec {x}})=U({\vec {x}}')=U({\vec {x}}+{\vec {a}})=U({\vec {x}})+a^{i}{\frac {\partial U}{\partial {x^{i}}}}+\dots ,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0d1d758a23e7387e96c43ed063a6bb331d4f3a7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:49.488ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle U({\vec {x}})=U({\vec {x}}')=U({\vec {x}}+{\vec {a}})=U({\vec {x}})+a^{i}{\frac {\partial U}{\partial {x^{i}}}}+\dots ,}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>to </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F^{i}=-{\frac {\partial U}{\partial {x^{i}}}}=0,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>U</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F^{i}=-{\frac {\partial U}{\partial {x^{i}}}}=0,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d35d1756b4b676aef4cf608d18df1dd83e056d9f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:16.712ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle F^{i}=-{\frac {\partial U}{\partial {x^{i}}}}=0,}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>czyli na ciało nie działa żadna siła i w konsekwencji pęd układu jest zachowany. </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Przykłady_zasady_zachowania_pędu"><span id="Przyk.C5.82ady_zasady_zachowania_p.C4.99du"></span>Przykłady zasady zachowania pędu</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=P%C4%99d_(fizyka)&veaction=edit&section=4" title="Edytuj sekcję: Przykłady zasady zachowania pędu" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=P%C4%99d_(fizyka)&action=edit&section=4" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Przykłady zasady zachowania pędu"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Wyskakując z łódki stojącej przy brzegu jeziora uzyskujemy pęd skierowany w stronę lądu. Równocześnie łódka – zgodnie z zasadą zachowania pędu – oddala się nieco od brzegu uzyskując pęd równy co do wartości, lecz przeciwnie skierowany. Wypadkowy pęd układu łódka-człowiek pozostaje nadal równy zeru. </p><p>Pocisk porusza się w powietrzu, w pewnej chwili pod wpływem wybuchu wewnątrz niego (sił wewnętrznych) ulega rozerwaniu. Ponieważ siły wewnętrzne nie zmieniają wypadkowego pędu układu, więc odłamki rozlatują się na wszystkie strony w ten sposób, że suma wektorowa pędów w chwili rozerwania jest równa pędowi pocisku tworzącego jeszcze całość. Pomijając zmiany oporu powietrza spowodowane zmianą kształtu i wielkości ciała, środek masy odłamków porusza się po takim samym torze, jak poruszał się pocisk. </p><p>Na zasadzie zachowania pędu opiera się działanie śruby <a href="/wiki/Okr%C4%99t" title="Okręt">okrętowej</a> i śmigła <a href="/wiki/Samolot" title="Samolot">samolotu</a>. <a href="/wiki/%C5%9Aruba_okr%C4%99towa" class="mw-redirect" title="Śruba okrętowa">Śruba</a> odrzuca wodę do tyłu, statek uzyskuje pęd skierowany ku przodowi. Podobnie <a href="/wiki/%C5%9Amig%C5%82o" title="Śmigło">śmigło</a> odrzuca do tyłu masy powietrza, a samolot przesuwa się naprzód. </p><p>Znane są zjawiska <a href="/wiki/Odrzut_broni" title="Odrzut broni">odrzutu</a> podczas użycia <a href="/wiki/Bro%C5%84_palna" title="Broń palna">broni palnej</a>: dubeltówka czy karabin „uderzają” strzelca, broń „cofa się” przy wystrzale. Zjawisko odrzutu jest wykorzystywane w <a href="/wiki/Samolot_odrzutowy" title="Samolot odrzutowy">samolotach odrzutowych</a> i <a href="/wiki/Rakieta" title="Rakieta">rakietach</a>. Zasada ich ruchu polega na tym, że w komorze wewnętrznej odbywa się spalanie mieszanki wybuchowej. Gazy z dużą prędkością, a więc i z dużym pędem, uchodzą przez dyszę w tylnej części silnika lub rakiety, które równocześnie uzyskują dodatkowy pęd równy co do wartości pędowi wyrzucanych gazów, lecz skierowany ku przodowi. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Pęd_układu_punktów_materialnych"><span id="P.C4.99d_uk.C5.82adu_punkt.C3.B3w_materialnych"></span>Pęd układu punktów materialnych</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=P%C4%99d_(fizyka)&veaction=edit&section=5" title="Edytuj sekcję: Pęd układu punktów materialnych" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=P%C4%99d_(fizyka)&action=edit&section=5" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Pęd układu punktów materialnych"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Pęd układu punktów materialnych jest równy sumie wektorowej pędów, wszystkich punktów <a href="/wiki/Uk%C5%82ad_fizyczny" title="Układ fizyczny">układu</a>. Można łatwo udowodnić<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3">[3]</a></sup>, że pęd układu jest równy całkowitej jego masie pomnożonej przez prędkość <a href="/wiki/%C5%9Arodek_masy" title="Środek masy">środka masy</a> układu. </p><p>Pęd układu punktów zmienia się tylko wtedy, gdy działa na nie siła zewnętrzna. Jeżeli układ rozpada się w wyniku działania sił wewnętrznych na części, suma pędów części jest równa pędowi układu przed rozpadem, podobnie przy łączeniu się części w układ. Zderzenie ciał możemy traktować jako złączenie i rozłączenie układu ciał. </p><p>Zasada ta umożliwia wyznaczenie masy lub prędkości i jest stosowana np. do: </p> <ul><li>wyznaczania prędkości pocisków, przez wyznaczenie wychylenia klocka do którego wbija się pocisk,</li> <li>wyznaczania mas cząstek elementarnych na podstawie śladów (kątów) pod jakimi rozbiegają się produkty rozpadu,</li> <li>wyznaczania cząstkowych śladów rozpadu elementu.</li></ul> <p>Zmiana pędu układu punktów materialnych jest równa popędowi sumy sił zewnętrznych. Jednak w ogólnym przypadku, gdy siły zewnętrzne zależą od położeń i prędkości punktów układu, siły wewnętrzne mają wpływ na zmianę całkowitego pędu i przyspieszenie środka masy<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4">[4]</a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Pędy_uogólnione_–_opis_hamiltonowski"><span id="P.C4.99dy_uog.C3.B3lnione_.E2.80.93_opis_hamiltonowski"></span>Pędy uogólnione – opis hamiltonowski</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=P%C4%99d_(fizyka)&veaction=edit&section=6" title="Edytuj sekcję: Pędy uogólnione – opis hamiltonowski" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=P%C4%99d_(fizyka)&action=edit&section=6" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Pędy uogólnione – opis hamiltonowski"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Ukoronowaniem klasycznej koncepcji pędu jest opis <a href="/wiki/Hamiltonian" title="Hamiltonian">hamiltonowski</a> mechaniki układu. Model układu zadaje się poprzez krok pośredni polegający na określeniu jego <a href="/wiki/Lagran%C5%BCjan" title="Lagranżjan">lagranżjanu</a>. Jest to funkcja równa: </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L=T-U,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> <mo>=</mo> <mi>T</mi> <mo>−</mo> <mi>U</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L=T-U,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7af9c2eb0a1496f8c9a6905db23035e549a01401" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.587ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle L=T-U,}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>gdzie: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>T</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}"></span> – energia kinetyczna <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {mv^{2}}{2}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>m</mi> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {mv^{2}}{2}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0791cefed374e769348bbea09dd6bc9f5e2b667e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:5.705ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {mv^{2}}{2}},}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U(q)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>U</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U(q)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/598f5c2b7c967e72c002c6b0a2ff8d677174e74f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.661ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle U(q)}"></span> – <a href="/wiki/Energia_potencjalna" title="Energia potencjalna">energia potencjalna</a>.</dd></dl> <p>Ogólniej lagranżjan konstruuje się posługując się informacjami o symetriach układu, stąd jego podstawowe w stosunku do hamiltonianu znaczenie. Następnie prowadzimy transformację Legendre’a do hamiltonianu, polegającą na zmianie postaci funkcyjnej i zmiennych niezależnych. Lagranżjan jest funkcją współrzędnych <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}"></span> i ich pochodnych po czasie – prędkości – <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {q}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>q</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {q}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36017e7ea51956cc1e210668b0487a2e37e19bbf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.024ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\dot {q}}.}"></span> Taki zestaw współrzędnych nazywamy współrzędnymi konfiguracyjnymi, gdyż opisują zachowanie się układu na <a href="/wiki/Rozmaito%C5%9B%C4%87" title="Rozmaitość">rozmaitości</a> dostępnych dla niego położeń – konfiguracji. <a href="/wiki/Transformacja_Legendre%E2%80%99a" title="Transformacja Legendre’a">Transformacja Legendre’a</a> to wprowadzenie innych zmiennych niezależnych poprzez rozwikłanie równania: </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H(p,q)=p\cdot {\dot {q}}-L(q),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>p</mi> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>q</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>−</mo> <mi>L</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H(p,q)=p\cdot {\dot {q}}-L(q),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aec479a33c9a1e22dda5f5d97dc0a17116d54a04" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.419ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle H(p,q)=p\cdot {\dot {q}}-L(q),}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>gdzie: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>q</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f56f836f03e204d83f907d56139361c73a88260a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; margin-left: -0.089ex; width:8.094ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}}"></span> – pęd uogólniony.</dd></dl> <p>W wyniku prostych obliczeń można pokazać, gdy spełnione są pewne warunki, że <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H=T+U,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> <mo>=</mo> <mi>T</mi> <mo>+</mo> <mi>U</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H=T+U,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/317b8ffd11b00cdfc19ef2a6c8e1ffd32f20b13b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.068ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H=T+U,}"></span> czyli hamiltonian jest funkcją równą całkowitej energii układu. Tak określone współrzędne noszą nazwę zmiennych kanonicznych, pędów i współrzędnych uogólnionych lub współrzędnych w <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_fazowa" title="Przestrzeń fazowa">przestrzeni fazowej</a> układu. Operacja ta odpowiada przejściu od przestrzeni konfiguracyjnej, czyli rozmaitości położeń układu, do <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_liniowa" title="Przestrzeń liniowa">wektorowej przestrzeni</a> do niej <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_styczna" title="Przestrzeń styczna">stycznej</a>. Warto wiedzieć, że nie zawsze przeprowadzenie takiej transformacji jest możliwe oraz że w wyniku nie zawsze dostaniemy <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p=m\cdot v}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mo>⋅</mo> <mi>v</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p=m\cdot v}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54e42e3866a37260f0be482ed43b42d985e0bfce" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:9.204ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p=m\cdot v}"></span> choć dla układów bez <a href="/wiki/Wi%C4%99zy" title="Więzy">więzów</a> tak będzie. </p><p>Równania ruchu wyprowadzane w formalizmie Lagrange’a noszą nazwę równań Eulera-Lagrange’a, zaś w formalizmie Hamiltona – równań Hamiltona. Obydwa sposoby opisu są równoważne o ile możemy wykonać transformacje Legendre’a. Rozwiązania równań Hamiltona są łatwiejsze, gdyż mamy do czynienia z niezależnymi zmiennymi <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (p,q),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (p,q),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5463a20578e5efbc2c937465a35eccca45a0028" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.729ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (p,q),}"></span> inaczej niż w formalizmie Lagrange’a, gdzie zmiennymi są <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}"></span> i ich pochodne czasowe. Jednocześnie konstrukcja <a href="/wiki/Lagran%C5%BCjan" title="Lagranżjan">lagranżjanu</a> wyprowadzona jest z zasad symetrii i jest na ogół prostsza niż wprowadzenie od razu gotowej postaci hamiltonianu. Dodatkowo w niektórych przypadkach możliwe staje się uwzględnienie więzów poprzez wprowadzenie <a href="/wiki/Mno%C5%BCniki_Lagrange%E2%80%99a" title="Mnożniki Lagrange’a">mnożników Lagrange’a</a>. Powodują one zmianę postaci funkcyjnej pędu (w stosunku do newtonowskiego <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p=m\cdot v}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mo>⋅</mo> <mi>v</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p=m\cdot v}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54e42e3866a37260f0be482ed43b42d985e0bfce" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:9.204ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p=m\cdot v}"></span>) i zostają włączone w równania, co powoduje, że dalsze obliczenia na ogół są łatwiejsze do wykonania, a przynajmniej mniejsza jest liczba równań dzięki jawnej eliminacji równań więzów. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Pęd_w_mechanice_relatywistycznej"><span id="P.C4.99d_w_mechanice_relatywistycznej"></span>Pęd w mechanice relatywistycznej</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=P%C4%99d_(fizyka)&veaction=edit&section=7" title="Edytuj sekcję: Pęd w mechanice relatywistycznej" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=P%C4%99d_(fizyka)&action=edit&section=7" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Pęd w mechanice relatywistycznej"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>W mechanice relatywistycznej pęd swobodnej cząstki o masie spoczynkowej <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}"></span> poruszającej się z prędkością <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85820588abd7333ef4d0c56539cb31c20e730753" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.175ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}}"></span> określony jest wzorem: </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {p}}=\gamma m{\vec {v}}={\frac {m{\vec {v}}}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}=m(v){\vec {v}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mi>γ</mi> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>c</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {p}}=\gamma m{\vec {v}}={\frac {m{\vec {v}}}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}=m(v){\vec {v}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4678a406c14104a18c3e5b5ad16954f8aab7310" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; margin-left: -0.089ex; width:35.311ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {p}}=\gamma m{\vec {v}}={\frac {m{\vec {v}}}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}=m(v){\vec {v}},}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>gdzie: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m(v)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m(v)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/425a15be3154bd4ff922258ef203172c21ffee64" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.977ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle m(v)}"></span> – <a href="/wiki/Masa_relatywistyczna" title="Masa relatywistyczna">masa relatywistyczna</a>.</dd></dl> <p>Między pędem i energią <a href="/wiki/Cz%C4%85stka" title="Cząstka">cząstki</a> istnieje zależność: </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E^{2}-(pc)^{2}=(mc^{2})^{2},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>E</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>p</mi> <mi>c</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>m</mi> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E^{2}-(pc)^{2}=(mc^{2})^{2},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cceada754f17da0fb4952bdf9c922002a694600" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.439ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle E^{2}-(pc)^{2}=(mc^{2})^{2},}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>inaczej </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E^{2}-p^{2}c^{2}=m^{2}c^{4},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>E</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E^{2}-p^{2}c^{2}=m^{2}c^{4},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebbcadc494dabf9a9033c78fd8382785cb6712b8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.874ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle E^{2}-p^{2}c^{2}=m^{2}c^{4},}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>stąd pęd ciała poruszającego się z prędkością relatywistyczną można wyrazić wzorem: </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p={\sqrt {{\frac {E^{2}}{c^{2}}}-m^{2}c^{2}}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>E</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <msup> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p={\sqrt {{\frac {E^{2}}{c^{2}}}-m^{2}c^{2}}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb7e30c7a4623f999cab48a706d0d077f6fd811b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; margin-left: -0.089ex; width:19.008ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle p={\sqrt {{\frac {E^{2}}{c^{2}}}-m^{2}c^{2}}}.}"></span></dd></dl></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Wyprowadzenie_wzoru">Wyprowadzenie wzoru</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=P%C4%99d_(fizyka)&veaction=edit&section=8" title="Edytuj sekcję: Wyprowadzenie wzoru" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=P%C4%99d_(fizyka)&action=edit&section=8" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Wyprowadzenie wzoru"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Cząstka poruszająca się z <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v={\text{const}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>const</mtext> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v={\text{const}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e496a77f1c64a2f753a0926adb1b7348a700de87" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.534ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle v={\text{const}}}"></span> w dodatnim kierunku osi <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span> ma pęd równy: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p=mv=m{\frac {\Delta x}{\Delta t_{0}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p=mv=m{\frac {\Delta x}{\Delta t_{0}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73f260f67f3241159e68813cc95079704b7f64ab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; margin-left: -0.089ex; width:17.33ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle p=mv=m{\frac {\Delta x}{\Delta t_{0}}}}"></span></dd></dl> <p>gdzie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta t_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta t_{0}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fe9157ee09a1bbe7197acdf57e5f3907c750ac4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.83ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta t_{0}}"></span> to czas, który wyznaczył obserwator poruszający się wraz z cząstką. </p><p>Mnożąc i dzieląc wyrażenie przez <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta t,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta t,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f06fe467038f5ddc05db9f430fc49d5e231d6795" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.422ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta t,}"></span> otrzymujemy: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p=m{\frac {\Delta x}{\Delta t_{0}}}{\frac {\Delta t}{\Delta t}}=m{\frac {\Delta x}{\Delta t}}{\frac {\Delta t}{\Delta t_{0}}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p=m{\frac {\Delta x}{\Delta t_{0}}}{\frac {\Delta t}{\Delta t}}=m{\frac {\Delta x}{\Delta t}}{\frac {\Delta t}{\Delta t_{0}}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f0aa2a21d144ed1d26d7000c94941b127ff3bbf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; margin-left: -0.089ex; width:29.228ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle p=m{\frac {\Delta x}{\Delta t_{0}}}{\frac {\Delta t}{\Delta t}}=m{\frac {\Delta x}{\Delta t}}{\frac {\Delta t}{\Delta t_{0}}}.}"></span></dd></dl> <p>Uwzględniając, że <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\Delta t}{\Delta t_{0}}}=\gamma }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mi>γ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\Delta t}{\Delta t_{0}}}=\gamma }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a7ef149eafe4c08c5f9798d2dc5c2c1fc3d5fdb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:9.027ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\Delta t}{\Delta t_{0}}}=\gamma }"></span> (<a href="/wiki/Dylatacja_czasu" title="Dylatacja czasu">dylatacja czasu</a>), to<sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5">[5]</a></sup>: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p=m{\frac {\Delta x}{\Delta t}}\gamma =\gamma mv.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>γ</mi> <mo>=</mo> <mi>γ</mi> <mi>m</mi> <mi>v</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p=m{\frac {\Delta x}{\Delta t}}\gamma =\gamma mv.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6da95c5e673b87c2f1f60d7cb7066192a16f50e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; margin-left: -0.089ex; width:19.937ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle p=m{\frac {\Delta x}{\Delta t}}\gamma =\gamma mv.}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Pęd_fotonu"><span id="P.C4.99d_fotonu"></span>Pęd fotonu</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=P%C4%99d_(fizyka)&veaction=edit&section=9" title="Edytuj sekcję: Pęd fotonu" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=P%C4%99d_(fizyka)&action=edit&section=9" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Pęd fotonu"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Pęd <a href="/wiki/Foton" title="Foton">fotonu</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}"></span> jest określony wzorem </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p=h/\lambda }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> <mo>=</mo> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>λ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p=h/\lambda }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f76ec3b598cf22f9742c127f9be31661ab06f6d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:8.214ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle p=h/\lambda }"></span></dd></dl></dd></dl> <p>lub równoważnie </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p=hf/c,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> <mo>=</mo> <mi>h</mi> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>c</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p=hf/c,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/676932d0321c191c1df7c26ce7253eb2f046a4f0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:9.791ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle p=hf/c,}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>gdzie: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}"></span> – <a href="/wiki/Sta%C5%82a_Plancka" title="Stała Plancka">stała Plancka</a>.</dd></dl> <p>Foton oddziałując z materią podczas odbicia, pochłonięcia czy emisji wpływa na pęd ciała, z którym oddziałuje. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Pęd_w_mechanice_kwantowej"><span id="P.C4.99d_w_mechanice_kwantowej"></span>Pęd w mechanice kwantowej</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=P%C4%99d_(fizyka)&veaction=edit&section=10" title="Edytuj sekcję: Pęd w mechanice kwantowej" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=P%C4%99d_(fizyka)&action=edit&section=10" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Pęd w mechanice kwantowej"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>W procesie <a href="/wiki/Kwant" title="Kwant">kwantyzacji</a> wielkościom mechanicznym <a href="/wiki/Fizyka_klasyczna" title="Fizyka klasyczna">fizyki klasycznej</a> przyporządkowywane są właściwe dla <a href="/wiki/Mechanika_kwantowa" title="Mechanika kwantowa">mechaniki kwantowej</a> <a href="/wiki/Operator_p%C4%99du" title="Operator pędu">operatory</a>. Z formalnego punktu widzenia istnieje pewna dowolność w wyborze konkretnego operatora. Dowolność tę ogranicza <a href="/wiki/Zasada_odpowiednio%C5%9Bci" title="Zasada odpowiedniości">zasada korespondencji</a> (jednak niektóre wielkości, np. <a href="/wiki/Spin_(fizyka)" title="Spin (fizyka)">spin</a>, nie posiadają odpowiednika klasycznego). Wielkości kwantowe często wybiera się jako generatory <a href="/wiki/Grupa_Liego" title="Grupa Liego">grup Liego</a> odpowiadających im <a href="/wiki/Symetria_(fizyka)" title="Symetria (fizyka)">symetrii</a> układów fizycznych, zwłaszcza w wypadku gdy z daną symetrią można związać jakąś <a href="/wiki/Prawa_zachowania" title="Prawa zachowania">zasadę zachowania</a> (porównaj: <a href="/wiki/Twierdzenie_Noether" title="Twierdzenie Noether">Twierdzenie Noether</a>). </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Mechanika_kwantowa_nierelatywistyczna">Mechanika kwantowa nierelatywistyczna</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=P%C4%99d_(fizyka)&veaction=edit&section=11" title="Edytuj sekcję: Mechanika kwantowa nierelatywistyczna" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=P%C4%99d_(fizyka)&action=edit&section=11" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Mechanika kwantowa nierelatywistyczna"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Pęd kwantowy jest operatorem związanym z symetrią układu względem translacji </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{i}\to x'^{i}=x^{i}+a^{i}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">→</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mo class="MJX-variant">′</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{i}\to x'^{i}=x^{i}+a^{i}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a47f33943749da9150d62a93353696857f4f8c2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:19.07ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x^{i}\to x'^{i}=x^{i}+a^{i}.}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>Układ posiadający taką symetrię jest niezmienniczy względem translacji <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_(fizyka)" title="Przestrzeń (fizyka)">przestrzennych</a>, czyli przekształceń postaci </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi ({\vec {x}})\to \psi '({\vec {x}})=T({\vec {a}})\psi ({\vec {x}})=\psi ({\vec {x}}+{\vec {a}}),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">→</mo> <msup> <mi>ψ</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>T</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi ({\vec {x}})\to \psi '({\vec {x}})=T({\vec {a}})\psi ({\vec {x}})=\psi ({\vec {x}}+{\vec {a}}),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75670e43684423f57ef50f896e8bca1a99c79c3f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:38.497ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \psi ({\vec {x}})\to \psi '({\vec {x}})=T({\vec {a}})\psi ({\vec {x}})=\psi ({\vec {x}}+{\vec {a}}),}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>gdzie: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>T</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}"></span> – operator translacji o wektor <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b803da9c45c1186883bde55107e9ccb102c92c6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.877ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a.}"></span></dd></dl> <p>Dla <a href="/wiki/Niesko%C5%84czenie_ma%C5%82e" title="Nieskończenie małe">infinitezymalnych</a> translacji równanie powyższe może być rozwinięte w szereg: </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\psi ({\vec {x}})=\psi ({\vec {x}}+{\vec {a}})=\psi ({\vec {x}})+a^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\psi ({\vec {x}})+\dots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>T</mi> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mo>…</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\psi ({\vec {x}})=\psi ({\vec {x}}+{\vec {a}})=\psi ({\vec {x}})+a^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\psi ({\vec {x}})+\dots }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa4898a8af814a68f4ed529486af2c5384d401b8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:45.229ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle T\psi ({\vec {x}})=\psi ({\vec {x}}+{\vec {a}})=\psi ({\vec {x}})+a^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\psi ({\vec {x}})+\dots }"></span></dd></dl></dd></dl> <p>lub </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\psi ({\vec {x}})=e^{{\frac {i}{\hbar }}P_{i}a^{i}}\psi ({\vec {x}}),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>T</mi> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>i</mi> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> </mfrac> </mrow> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> </mrow> </msup> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\psi ({\vec {x}})=e^{{\frac {i}{\hbar }}P_{i}a^{i}}\psi ({\vec {x}}),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a22211779efdb580e42f0232b6e0de5bfb7766bb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.762ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle T\psi ({\vec {x}})=e^{{\frac {i}{\hbar }}P_{i}a^{i}}\psi ({\vec {x}}),}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>gdzie: </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{i}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>i</mi> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{i}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cd73edf94502912826f61acd8a542aa23a699ca" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:13.591ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle P_{i}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>jest operatorem pędu. Operator pędu jest generatorem <a href="/wiki/Translacja_(matematyka)" title="Translacja (matematyka)">translacji</a> w przestrzeni dla (<a href="/wiki/Algebra_Liego" title="Algebra Liego">algebry Liego</a>) związanej z <a href="/wiki/Grupa_Galileusza" title="Grupa Galileusza">grupą Galileusza</a> mechaniki nierelatywistycznej. </p><p>Historycznie jako pierwszy postać operatora pędu zaproponował <a href="/wiki/Erwin_Schr%C3%B6dinger" title="Erwin Schrödinger">Erwin Schrödinger</a>, który jednak wyznaczył jego postać wychodząc od <a href="/wiki/Hamiltonian" title="Hamiltonian">hamiltonianu</a> dla cząstki swobodnej podczas konstruowania swojego słynnego <a href="/wiki/R%C3%B3wnanie_Schr%C3%B6dingera" title="Równanie Schrödingera">równania Schrödingera</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Mechanika_kwantowa_relatywistyczna">Mechanika kwantowa relatywistyczna</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=P%C4%99d_(fizyka)&veaction=edit&section=12" title="Edytuj sekcję: Mechanika kwantowa relatywistyczna" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=P%C4%99d_(fizyka)&action=edit&section=12" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Mechanika kwantowa relatywistyczna"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>W czterowymiarowej <a href="/wiki/Czasoprzestrze%C5%84_Minkowskiego" title="Czasoprzestrzeń Minkowskiego">czasoprzestrzeni Minkowskiego</a> punkt posiada współrzędne <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{\mu }=\{x^{0}=ct,x^{1},x^{2},x^{3}\}\ (\mu =0,1,2,3).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>c</mi> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>μ</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{\mu }=\{x^{0}=ct,x^{1},x^{2},x^{3}\}\ (\mu =0,1,2,3).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83410c50467002b04d67e3891e6f97bf2b29b162" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:40.847ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle x^{\mu }=\{x^{0}=ct,x^{1},x^{2},x^{3}\}\ (\mu =0,1,2,3).}"></span> </p><p>Z symetrii układu fizycznego względem translacji w <a href="/wiki/Czasoprzestrze%C5%84" title="Czasoprzestrzeń">czasoprzestrzeni</a> </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{\mu }\to x'^{\mu }=x^{\mu }+a^{\mu }.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">→</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mo class="MJX-variant">′</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{\mu }\to x'^{\mu }=x^{\mu }+a^{\mu }.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0af55d2b9eb18b6bbd7161bbb1a89a4c1a9ac1ea" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:20.765ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x^{\mu }\to x'^{\mu }=x^{\mu }+a^{\mu }.}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>wynika prawo zachowania <a href="/wiki/Czterowektor" title="Czterowektor">czterowektora</a> pędu <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P^{\mu }.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P^{\mu }.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77c0aabe07838d3471804784b825edc23db0b948" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.692ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle P^{\mu }.}"></span> </p><p>Układ posiadający taką symetrię jest niezmienniczy względem translacji przestrzennych, czyli przekształceń postaci </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi (x)\to \psi '(x)=T(a)\psi (x)=\psi (x+a),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">→</mo> <msup> <mi>ψ</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>T</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi (x)\to \psi '(x)=T(a)\psi (x)=\psi (x+a),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ee11ff0cd221a6db52de19d7a01ca92be419010" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:38.497ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \psi (x)\to \psi '(x)=T(a)\psi (x)=\psi (x+a),}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>gdzie: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>T</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}"></span> – operator translacji o czterowektor <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b803da9c45c1186883bde55107e9ccb102c92c6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.877ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a.}"></span></dd></dl> <p>Dla infinitezymalnych translacji równanie powyższe może być rozwinięte w szereg: </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\psi (x)=\psi (x+a)=\psi (x)+a^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi ({\vec {x}})+\dots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>T</mi> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mo>…</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\psi (x)=\psi (x+a)=\psi (x)+a^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi ({\vec {x}})+\dots }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52ab32dd91280131feca85bf139db38fb172a039" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:46.077ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle T\psi (x)=\psi (x+a)=\psi (x)+a^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi ({\vec {x}})+\dots }"></span></dd></dl></dd></dl> <p>lub </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\psi (x)=e^{{\frac {i}{\hbar }}P_{\mu }a^{\mu }}\psi (x),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>T</mi> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>i</mi> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> </mfrac> </mrow> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msup> </mrow> </msup> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\psi (x)=e^{{\frac {i}{\hbar }}P_{\mu }a^{\mu }}\psi (x),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7548177ea7ff76ab4c770529c97bd3ffd4e7019a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.45ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle T\psi (x)=e^{{\frac {i}{\hbar }}P_{\mu }a^{\mu }}\psi (x),}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>gdzie: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{\mu }=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}=-i\hbar \partial _{\mu }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>i</mi> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>i</mi> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{\mu }=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}=-i\hbar \partial _{\mu }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c345da35fd251db77c37b1497ac071182105fddb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:23.912ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle P_{\mu }=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}=-i\hbar \partial _{\mu }}"></span> – operator pędu.</dd></dl> <p>Operator pędu jest generatorem translacji w przestrzeni dla (<a href="/wiki/Algebra_Liego" title="Algebra Liego">algebry Liego</a>) związanej z <a href="/wiki/Grupa_Poincar%C3%A9go" title="Grupa Poincarégo">grupą Poincarégo</a> mechaniki nierelatywistycznej. Konsekwencją tej symetrii jest istnienie globalnego niezmiennika Casimira </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{1}=P_{\mu }P^{\mu }=-\hbar ^{2}\partial _{\mu }\partial ^{\mu }=\hbar ^{2}\Box .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <msup> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>◻</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{1}=P_{\mu }P^{\mu }=-\hbar ^{2}\partial _{\mu }\partial ^{\mu }=\hbar ^{2}\Box .}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72ebdac7bfe16412608329c189f22e40e98534ba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:31.812ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle C_{1}=P_{\mu }P^{\mu }=-\hbar ^{2}\partial _{\mu }\partial ^{\mu }=\hbar ^{2}\Box .}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>Wielkość ta jest jednocześnie mierzalna (komutuje) z wszystkimi innymi wielkościami fizycznymi opisującymi cząstkę swobodną. jej równanie własne </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{1}\psi (x)=\hbar ^{2}\Box \psi (x)=\lambda \psi (x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>◻</mi> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>λ</mi> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{1}\psi (x)=\hbar ^{2}\Box \psi (x)=\lambda \psi (x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b5d4f8dcdfb8e9716db20b28c242a3a7877462f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.409ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle C_{1}\psi (x)=\hbar ^{2}\Box \psi (x)=\lambda \psi (x)}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>daje <a href="/wiki/R%C3%B3wnanie_Kleina-Gordona" title="Równanie Kleina-Gordona">równanie Kleina-Gordona</a> </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left(\Box -{\frac {\lambda }{\hbar ^{2}}}\right)\psi (x)=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>◻</mi> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>λ</mi> <msup> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(\Box -{\frac {\lambda }{\hbar ^{2}}}\right)\psi (x)=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a6e61f81a5d4ef134d6d002f249fb615b4717a6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:20.582ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \left(\Box -{\frac {\lambda }{\hbar ^{2}}}\right)\psi (x)=0}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>z masą spoczynkową zdefiniowaną przez relację </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda =(mc)^{2}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>λ</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>m</mi> <mi>c</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda =(mc)^{2}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a227e5760397edfa98824231c9b862b202dbfc94" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.011ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda =(mc)^{2}.}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>Wartości własne operatora Casimira <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/babf569931f1a7b5182b9bec51873c2f5692fbb8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.716ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C_{1}}"></span> definiują <a href="/wiki/Masa_spoczynkowa" title="Masa spoczynkowa">masę spoczynkową</a> cząstki. Formalnie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>λ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }"></span> jest liczbą rzeczywistą, może być dodatnia, ujemna lub zero. Klasyfikuje to odpowiednio cząstki na <a href="/wiki/Tardion" title="Tardion">tardiony</a> (cząstki ciężkie) poruszające się z prędkością mniejszą niż prędkość światła w próżni, <a href="/wiki/Tachion" title="Tachion">tachiony</a>, poruszające się z prędkością większą niż prędkość światła w próżni i <a href="/wiki/Lukson" title="Lukson">luksony</a> poruszające się w próżni stale z prędkością światła. Z tego równania własnego (z <a href="/wiki/R%C3%B3wnanie_Kleina-Gordona" title="Równanie Kleina-Gordona">równania Kleina-Gordona</a> czy <a href="/wiki/R%C3%B3wnanie_Diraca" title="Równanie Diraca">równania Diraca</a>) wynika relatywistyczna zależność między energią i pędem </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {E^{2}}{c^{2}}}=p^{2}+m^{2}c^{2}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>E</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {E^{2}}{c^{2}}}=p^{2}+m^{2}c^{2}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6f4aeffb8312187a62812bdcbd72af9f9bf757c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:17.649ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {E^{2}}{c^{2}}}=p^{2}+m^{2}c^{2}.}"></span></dd></dl></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Zobacz_też"><span id="Zobacz_te.C5.BC"></span>Zobacz też</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=P%C4%99d_(fizyka)&veaction=edit&section=13" title="Edytuj sekcję: Zobacz też" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=P%C4%99d_(fizyka)&action=edit&section=13" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Zobacz też"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <table class="infobox noprint plainlinks" cellpadding="4" role="presentation"> <tbody><tr> <td style="vertical-align:middle; text-align:center; width:30px;"><span class="notpageimage" typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/67/WiktionaryPl_nodesc.svg/28px-WiktionaryPl_nodesc.svg.png" decoding="async" width="28" height="27" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/67/WiktionaryPl_nodesc.svg/42px-WiktionaryPl_nodesc.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/67/WiktionaryPl_nodesc.svg/56px-WiktionaryPl_nodesc.svg.png 2x" data-file-width="122" data-file-height="117" /></span></span> </td> <td style="line-height:normal; vertical-align:middle; text-align:center; flex:unset;"><a href="https://pl.wiktionary.org/wiki/p%C4%99d" class="extiw" title="wikt:pęd"><strong>Zobacz hasło</strong> <em>pęd</em> w Wikisłowniku</a> </td></tr></tbody></table> <ul><li><a href="/wiki/Wsp%C3%B3%C5%82rz%C4%99dne_uog%C3%B3lnione" title="Współrzędne uogólnione">współrzędne uogólnione</a></li> <li><a href="/wiki/Mechanika_Hamiltona" title="Mechanika Hamiltona">mechanika Hamiltona</a></li> <li><a href="/wiki/Mechanika_Lagrange%E2%80%99a" title="Mechanika Lagrange’a">mechanika Lagrange'a</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Przypisy">Przypisy</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=P%C4%99d_(fizyka)&veaction=edit&section=14" title="Edytuj sekcję: Przypisy" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=P%C4%99d_(fizyka)&action=edit&section=14" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Przypisy"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="do-not-make-smaller refsection"><div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-epwn-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-epwn_1-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation web open-access"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyklopedia.pwn.pl/haslo/;3956407"><i>pęd</i></a>, [w:] <i><a href="/wiki/Encyklopedia_PWN_(internetowa)" title="Encyklopedia PWN (internetowa)">Encyklopedia PWN</a></i> [online], <a href="/wiki/Wydawnictwo_Naukowe_PWN" title="Wydawnictwo Naukowe PWN">Wydawnictwo Naukowe PWN</a><span class="accessdate"> [dostęp 2024-03-18]</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=unknown&rft.atitle=p%C4%99d&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.jtitle=%5B%5BWydawnictwo+Naukowe+PWN%5D%5D&rft_id=https%3A%2F%2Fencyklopedia.pwn.pl%2Fhaslo%2F%3B3956407" style="display:none"> </span>.</cite></span> </li> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation web"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://sjp.pwn.pl/sjp/niutonosekunda;2569201.html">Niutonosekunda – Słownik języka polskiego</a>. <a href="/wiki/Wydawnictwo_Naukowe_PWN" title="Wydawnictwo Naukowe PWN">Wydawnictwo Naukowe PWN SA</a>. [dostęp 2013-12-12]. <span class="lang-list tylko-pl">(<abbr title="Treść w języku polskim">pol.</abbr>)</span>.</cite></span> </li> <li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text">Patrz np. <cite class="citation book">Wojciech Rubinowicz, Wojciech Królikowski: <i>Mechanika teoretyczna</i>. Wyd. V. Warszawa: PWN, 1977, s. 106.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Mechanika+teoretyczna&rft.aulast=Rubinowicz&rft.aufirst=Wojciech&rft.edition=V&rft.pub=PWN&rft.place=Warszawa&rft.pages=106"></span></cite></span> </li> <li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation book">I.I. Olchowski: <i>Mechanika teoretyczna</i>. Warszawa: PWN, 1978, s. 90.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Mechanika+teoretyczna&rft.aulast=Olchowski&rft.aufirst=I.I.&rft.date=1978&rft.pub=PWN&rft.place=Warszawa&rft.pages=90"></span></cite></span> </li> <li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-5">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation book">David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker: <i>Podstawy fizyki</i>. T. 4. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2003, s. 171–172. <a href="/wiki/Specjalna:Ksi%C4%85%C5%BCki/9788301140601" title="Specjalna:Książki/9788301140601">ISBN <span class="isbn">978-83-01-14060-1</span></a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Podstawy+fizyki&rft.au=David+Halliday&rft.pub=Wydawnictwo+Naukowe+PWN&rft.place=Warszawa&rft.pages=171%E2%80%93172&rft.isbn=978-83-01-14060-1"></span></cite></span> </li> </ol></div></div> <div class="navbox do-not-make-smaller mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="pokaż" data-collapsetext="ukryj"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r74983602">.mw-parser-output .navbox{border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);margin:auto;text-align:center;padding:3px;margin-top:1em;clear:both}.mw-parser-output table.navbox:not(.pionowy){width:100%}.mw-parser-output .navbox+.navbox{border-top:0;margin-top:0}.mw-parser-output .navbox.pionowy{width:250px;float:right;clear:right;margin:0 0 0.4em 1.4em}.mw-parser-output .navbox.pionowy .before,.mw-parser-output .navbox.pionowy .after{padding:0.5em 0;text-align:center}.mw-parser-output .navbox>.caption,.mw-parser-output .navbox>tbody>tr>th{background:#ccf;text-align:center;font-weight:bold}.mw-parser-output .navbox .tnavbar{font-weight:normal;font-size:xx-small;white-space:nowrap;padding:0}.mw-parser-output .navbox>.tnavbar{margin-left:1em;float:left}.mw-parser-output .navbox .below>hr+.tnavbar{margin-left:auto;margin-right:auto}.mw-parser-output .navbox .below>.tnavbar:before{content:"Ten szablon: "}.mw-parser-output .navbox .tnavbar li:after{content:" · "}.mw-parser-output .navbox .tnavbar li:last-child:after{content:none}.mw-parser-output .navbox hr{margin:0.2em 1em}.mw-parser-output .navbox .title{background:#ddf;text-align:center;font-weight:bold}.mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content:not(.grupa-szablonów-nawigacyjnych){margin-top:2px;padding:0;font-size:smaller;overflow:auto}.mw-parser-output .navbox .above+div,.mw-parser-output .navbox .above+.navbox-main-content,.mw-parser-output .navbox .below,.mw-parser-output .navbox .title+.grid{margin-top:2px}.mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.above,.mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.below{background:#ddf;text-align:center;margin-left:auto;margin-right:auto}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .flex{display:flex;flex-direction:row}.mw-parser-output .navbox .flex>.before,.mw-parser-output .navbox .flex>.after{align-self:center;text-align:center}.mw-parser-output .navbox .flex>.navbox-main-content{flex-grow:1}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .before{margin-right:0.5em}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .after{margin-left:0.5em}.mw-parser-output .navbox .inner-columns,.mw-parser-output .navbox .inner-group,.mw-parser-output .navbox .inner-standard{border-spacing:0;border-collapse:collapse;width:100%}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>.opis{text-align:right;vertical-align:middle}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>.opis+.spis{border-left:2px solid var(--background-color-base,#fff);text-align:left}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>td{padding:0;width:100%}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>td:first-child{text-align:center}.mw-parser-output .navbox .inner-standard .inner-standard>tbody>tr>td{text-align:left}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>.navbox-odd,.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>.navbox-even{padding:0 0.3em}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr+tr>th,.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr+tr>td{border-top:2px solid var(--background-color-base,#fff)}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>th+td{border-left:2px solid var(--background-color-base,#fff)}.mw-parser-output .navbox .inner-columns{table-layout:fixed}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>th,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td{padding:0;border-left:2px solid var(--background-color-base,#fff);border-right:2px solid var(--background-color-base,#fff)}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td{vertical-align:top}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr+tr>td{border-top:2px solid var(--background-color-base,#fff)}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>th:first-child,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td:first-child{border-left:0}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>th:last-child,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td:last-child{border-right:0}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td>ul,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td>ol,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td>dl{text-align:left;column-width:24em}.mw-parser-output .navbox .inner-group>div+div,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>div+div,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>div+table{margin-top:2px}.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>.opis,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>.spis{padding:0.1em 1em;text-align:center}.mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-toggle,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div.mw-collapsible>.mw-collapsible-toggle{width:4em;text-align:right;margin-right:0.4em}.mw-parser-output .navbox>.fakebar,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div.mw-collapsible>.fakebar{float:left;width:4em;height:1em}.mw-parser-output .navbox .opis{background:#ddf;padding:0 1em;white-space:nowrap;font-weight:bold}.mw-parser-output .navbox.pionowy .opis{white-space:normal}.mw-parser-output .navbox.pionowy .navbox-even,.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .navbox-odd{background:transparent}.mw-parser-output .navbox.pionowy .navbox-odd,.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .navbox-even{background:var(--background-color-neutral-subtle,#f8f9fa)}.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>div+div{background:transparent}.mw-parser-output .navbox p{margin:0;padding:0.3em 0}.mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a1,.mw-parser-output .navbox.medaliści .a1 .opis{background:gold}.mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a2,.mw-parser-output .navbox.medaliści .a2 .opis{background:silver}.mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a3,.mw-parser-output .navbox.medaliści .a3 .opis{background:#c96}.mw-parser-output .navbox .navbox-main-content>ul,.mw-parser-output .navbox .navbox-main-content>dl,.mw-parser-output .navbox .navbox-main-content>ol{column-width:24em;text-align:left}.mw-parser-output .navbox ul{list-style:none}.mw-parser-output .navbox .references{background:transparent}.mw-parser-output .navbox .hwrap .hlist dd,.mw-parser-output .navbox .hwrap .hlist dt,.mw-parser-output .navbox .hwrap .hlist li{white-space:normal}.mw-parser-output .navbox .rok{display:inline-block;width:4em;padding-right:0.5em;text-align:right}.mw-parser-output .navbox .navbox-statistics{margin-top:2px;border-top:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);text-align:center;font-size:small}.mw-parser-output .navbox-summary>.title{font-weight:bold;font-size:larger}.mw-parser-output .navbox:not(.grupa-szablonów) .navbox{margin:0;border:0;padding:0}.mw-parser-output .navbox.grupa-szablonów>.grupa-szablonów-nawigacyjnych>.navbox:first-child{margin-top:2px}@media(max-width:800px){.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .flex>.before,.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .flex>.after{display:none}}.mw-parser-output .navbox .opis img,.mw-parser-output .navbox .opis .flagicon,.mw-parser-output .navbox>.caption>.flagicon,.mw-parser-output .navbox>.caption>.image{display:none}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox>.caption,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox>tbody>tr>th{background-color:#3a3c3e}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox .title,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.above,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.below,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox .opis{background-color:#303234}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a1,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .a1 .opis{background:#715f00}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a2,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .a2 .opis{background:#5f5f5f}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a3,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .a3 .opis{background:#764617}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox>.caption,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox>tbody>tr>th{background-color:#3a3c3e}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox .title,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.above,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.below,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox .opis{background-color:#303234}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a1,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .a1 .opis{background:#715f00}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a2,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .a2 .opis{background:#5f5f5f}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a3,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .a3 .opis{background:#764617}}</style><ul class="tnavbar noprint plainlinks hlist"><li><a href="/wiki/Szablon:Mechanika_klasyczna" title="Szablon:Mechanika klasyczna"><span title="Pokaż ten szablon">p</span></a></li><li><a href="/w/index.php?title=Dyskusja_szablonu:Mechanika_klasyczna&action=edit&redlink=1" class="new" title="Dyskusja szablonu:Mechanika klasyczna (strona nie istnieje)"><span title="Dyskusja na temat tego szablonu">d</span></a></li><li title="Możesz edytować ten szablon. Użyj przycisku podglądu przed zapisaniem zmian."><a class="external text" href="https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Szablon:Mechanika_klasyczna&action=edit">e</a></li></ul><div class="navbox-title caption"><a href="/wiki/Mechanika_klasyczna" title="Mechanika klasyczna">Mechanika klasyczna</a></div><div class="mw-collapsible-content flex"><table class="navbox-main-content inner-standard"><tbody><tr class="a1"><th class="navbox-group opis" scope="row">działy</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Dynamika_(fizyka)" title="Dynamika (fizyka)">dynamika</a></li> <li><a href="/wiki/Kinematyka" title="Kinematyka">kinematyka</a></li> <li><a href="/wiki/Mechanika_nieba" title="Mechanika nieba">mechanika nieba</a></li> <li><a href="/wiki/Mechanika_o%C5%9Brodk%C3%B3w_ci%C4%85g%C5%82ych" title="Mechanika ośrodków ciągłych">mechanika ośrodków ciągłych</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Dynamika_bry%C5%82y_sztywnej&action=edit&redlink=1" class="new" title="Dynamika bryły sztywnej (strona nie istnieje)">dynamika bryły sztywnej</a></li> <li><a href="/wiki/Mechanika_statystyczna" title="Mechanika statystyczna">mechanika statystyczna</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Mechanika_stosowana&action=edit&redlink=1" class="new" title="Mechanika stosowana (strona nie istnieje)">mechanika stosowana</a></li> <li><a href="/wiki/Statyka" title="Statyka">statyka</a></li></ul> </td></tr><tr class="a2"><th class="navbox-group opis" scope="row">formalizmy</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Zasady_dynamiki_Newtona" title="Zasady dynamiki Newtona">Newtona</a></li> <li><a href="/wiki/Mechanika_Lagrange%E2%80%99a" title="Mechanika Lagrange’a">Lagrange’a</a></li> <li><a href="/wiki/Mechanika_Hamiltona" title="Mechanika Hamiltona">Hamiltona</a></li></ul> </td></tr><tr class="a3"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Wielko%C5%9B%C4%87_fizyczna" title="Wielkość fizyczna">wielkości</a></th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a3_1"><th class="navbox-group opis" scope="row">kinematyczne</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Czas" title="Czas">czas</a></li> <li><a href="/wiki/Przyspieszenie" title="Przyspieszenie">przyspieszenie</a></li> <li><a href="/wiki/Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87" title="Prędkość">prędkość</a></li> <li><a href="/wiki/Szybko%C5%9B%C4%87" title="Szybkość">szybkość</a></li> <li><a href="/wiki/Przemieszczenie_(fizyka)" title="Przemieszczenie (fizyka)">przemieszczenie</a></li> <li><a href="/wiki/Przyspieszenie_k%C4%85towe" title="Przyspieszenie kątowe">przyspieszenie kątowe</a></li> <li><a href="/wiki/Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87_k%C4%85towa" title="Prędkość kątowa">prędkość kątowa</a></li> <li><a href="/wiki/Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87_obrotowa" title="Prędkość obrotowa">prędkość obrotowa</a></li> <li><a href="/wiki/Pulsacja" title="Pulsacja">pulsacja</a></li></ul> </td></tr><tr class="a3_2"><th class="navbox-group opis" scope="row">dynamiczne</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Energia" title="Energia">energia</a> <ul><li><a href="/wiki/Energia_kinetyczna" title="Energia kinetyczna">energia kinetyczna</a></li> <li><a href="/wiki/Energia_potencjalna" title="Energia potencjalna">energia potencjalna</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Masa_(fizyka)" title="Masa (fizyka)">masa</a></li> <li><a href="/wiki/Moc" title="Moc">moc</a></li> <li><a href="/wiki/Moment_bezw%C5%82adno%C5%9Bci" title="Moment bezwładności">moment bezwładności</a></li> <li><a href="/wiki/Moment_p%C4%99du" title="Moment pędu">moment pędu</a></li> <li><a href="/wiki/Moment_si%C5%82y" title="Moment siły">moment siły</a> / <a href="/wiki/Moment_(fizyka)" title="Moment (fizyka)">moment</a></li> <li><a href="/wiki/Pop%C4%99d_(fizyka)" title="Popęd (fizyka)">popęd</a></li> <li><a href="/wiki/Praca_(fizyka)" title="Praca (fizyka)">praca</a></li> <li><a href="/wiki/Zasada_Lagrange%E2%80%99a" title="Zasada Lagrange’a">praca wirtualna</a></li> <li><a class="mw-selflink selflink">pęd</a></li> <li><a href="/wiki/Si%C5%82a" title="Siła">siła</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a4"><th class="navbox-group opis" scope="row">rodzaje <a href="/wiki/Ruch_(fizyka)" title="Ruch (fizyka)">ruchu</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Ruch_jednostajny_prostoliniowy" title="Ruch jednostajny prostoliniowy">jednostajny prostoliniowy</a></li> <li><a href="/wiki/Ruch_harmoniczny" title="Ruch harmoniczny">harmoniczny</a> <ul><li><a href="/wiki/Klasyczny_oscylator_harmoniczny" title="Klasyczny oscylator harmoniczny">oscylator harmoniczny</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Ruch_obrotowy" title="Ruch obrotowy">obrotowy</a></li> <li><a href="/wiki/Wahad%C5%82o" title="Wahadło">wahadło</a></li> <li><a href="/wiki/Wibracje" title="Wibracje">wibracje</a></li></ul> </td></tr><tr class="a5"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Zjawisko" title="Zjawisko">zjawiska</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Bezw%C5%82adno%C5%9B%C4%87" title="Bezwładność">bezwładność</a></li> <li><a href="/wiki/Grawitacja" title="Grawitacja">grawitacja</a></li> <li><a href="/wiki/Si%C5%82a_do%C5%9Brodkowa" title="Siła dośrodkowa">siła dośrodkowa</a></li> <li><a href="/wiki/Si%C5%82a_bezw%C5%82adno%C5%9Bci" title="Siła bezwładności">siła bezwładności</a> <ul><li><a href="/wiki/Si%C5%82a_od%C5%9Brodkowa" title="Siła odśrodkowa">siła odśrodkowa</a></li> <li><a href="/wiki/Efekt_Coriolisa" title="Efekt Coriolisa">siła Coriolisa</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Tarcie_(fizyka)" title="Tarcie (fizyka)">tarcie</a></li> <li><a href="/wiki/T%C5%82umienie" title="Tłumienie">tłumienie</a></li></ul> </td></tr><tr class="a6"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne pojęcia</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Bry%C5%82a_sztywna" title="Bryła sztywna">bryła sztywna</a></li> <li><a href="/wiki/Kinematyczne_r%C3%B3wnanie_ruchu" title="Kinematyczne równanie ruchu">kinematyczne równanie ruchu</a></li> <li><a href="/wiki/O%C5%9B_obrotu" title="Oś obrotu">oś obrotu</a></li> <li><a href="/wiki/Para_si%C5%82" title="Para sił">para sił</a></li> <li><a href="/wiki/Przestrze%C5%84_(fizyka)" title="Przestrzeń (fizyka)">przestrzeń</a></li> <li><a href="/wiki/Punkt_materialny" title="Punkt materialny">punkt materialny</a></li> <li><a href="/wiki/Uk%C5%82ad_odniesienia" title="Układ odniesienia">układ odniesienia</a> <ul><li><a href="/wiki/Uk%C5%82ad_inercjalny" title="Układ inercjalny">inercjalny</a></li> <li><a href="/wiki/Uk%C5%82ad_nieinercjalny" title="Układ nieinercjalny">nieinercjalny</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a7"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Prawa_fizyki" title="Prawa fizyki">prawa</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Zasady_dynamiki_Newtona" title="Zasady dynamiki Newtona">zasady dynamiki Newtona</a></li> <li><a href="/wiki/Zasada_d%E2%80%99Alemberta" title="Zasada d’Alemberta">zasada d’Alemberta</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=R%C3%B3wnania_Eulera_(dynamika_bry%C5%82y_sztywnej)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Równania Eulera (dynamika bryły sztywnej) (strona nie istnieje)">równania Eulera (dynamika bryły sztywnej)</a></li> <li><a href="/wiki/Prawo_powszechnego_ci%C4%85%C5%BCenia" title="Prawo powszechnego ciążenia">prawo powszechnego ciążenia</a></li></ul> </td></tr><tr class="a8"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Uog%C3%B3lnienie" title="Uogólnienie">uogólnienia</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Szczeg%C3%B3lna_teoria_wzgl%C4%99dno%C5%9Bci" title="Szczególna teoria względności">szczególna teoria względności</a></li> <li><a href="/wiki/Mechanika_kwantowa" title="Mechanika kwantowa">mechanika kwantowa</a> <ul><li><a href="/wiki/Relatywistyczna_mechanika_kwantowa" title="Relatywistyczna mechanika kwantowa">relatywistyczna mechanika kwantowa</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Kwantowa_teoria_pola" title="Kwantowa teoria pola">kwantowa teoria pola</a></li></ul> </td></tr><tr class="a9"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Naukowiec" title="Naukowiec">uczeni</a> według<br />daty narodzin</th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a9_1"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/XVI_wiek" title="XVI wiek">XVI wiek</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Galileusz" title="Galileusz">Galileusz</a></li> <li><a href="/wiki/Kartezjusz" class="mw-redirect" title="Kartezjusz">Kartezjusz</a></li></ul> </td></tr><tr class="a9_2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/XVII_wiek" title="XVII wiek">XVII wiek</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Jeremiah_Horrocks" title="Jeremiah Horrocks">Jeremiah Horrocks</a></li> <li><a href="/wiki/Isaac_Newton" title="Isaac Newton">Isaac Newton</a></li> <li><a href="/wiki/Pierre_Louis_Maupertuis" title="Pierre Louis Maupertuis">Pierre Louis Maupertuis</a></li></ul> </td></tr><tr class="a9_3"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/XVIII_wiek" title="XVIII wiek">XVIII wiek</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Leonhard Euler</a></li> <li><a href="/wiki/Alexis_Clairaut" title="Alexis Clairaut">Alexis Clairaut</a></li> <li><a href="/wiki/Jean_le_Rond_d%E2%80%99Alembert" title="Jean le Rond d’Alembert">Jean le Rond d’Alembert</a></li> <li><a href="/wiki/Joseph_Louis_Lagrange" title="Joseph Louis Lagrange">Joseph Louis Lagrange</a></li> <li><a href="/wiki/Pierre_Simon_de_Laplace" title="Pierre Simon de Laplace">Pierre Simon de Laplace</a></li> <li><a href="/wiki/Sim%C3%A9on_Denis_Poisson" title="Siméon Denis Poisson">Siméon Denis Poisson</a></li></ul> </td></tr><tr class="a9_4"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/XIX_wiek" title="XIX wiek">XIX wiek</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/William_Rowan_Hamilton" title="William Rowan Hamilton">William Rowan Hamilton</a></li> <li><a href="/wiki/Henri_Poincar%C3%A9" title="Henri Poincaré">Henri Poincaré</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr></tbody></table><div class="navbox-after after"> <p><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Plik:Rownia_tarcie.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c5/Rownia_tarcie.svg/120px-Rownia_tarcie.svg.png" decoding="async" width="120" height="120" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c5/Rownia_tarcie.svg/180px-Rownia_tarcie.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c5/Rownia_tarcie.svg/240px-Rownia_tarcie.svg.png 2x" data-file-width="715" data-file-height="715" /></a></span> </p> </div></div></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r74016753">.mw-parser-output #normdaten>div+div{margin-top:0.5em}.mw-parser-output #normdaten>div>div{background:var(--background-color-neutral,#eaecf0);padding:.2em .5em}.mw-parser-output #normdaten ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output #normdaten ul li:first-child{padding-left:.5em;border-left:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1)}</style> <div id="normdaten" class="catlinks"><div class="normdaten-typ-fehlt"><div><a href="/wiki/Kontrola_autorytatywna" title="Kontrola autorytatywna">Kontrola autorytatywna</a> (<span class="description">wielkość wektorowa</span>):</div><ul><li><a href="/wiki/Library_of_Congress_Control_Number" title="Library of Congress Control Number">LCCN</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://lccn.loc.gov/sh85086658">sh85086658</a></span></li><li><a href="/wiki/Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://d-nb.info/gnd/4130721-5">4130721-5</a></span></li><li><a href="/wiki/Biblioteka_Narodowa_Republiki_Czeskiej" title="Biblioteka Narodowa Republiki Czeskiej">NKC</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://aut.nkp.cz/ph120957">ph120957</a></span></li><li><a href="/wiki/Biblioteka_Narodowa_Izraela" title="Biblioteka Narodowa Izraela">J9U</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://olduli.nli.org.il/F/?func=find-b&local_base=NLX10&find_code=UID&request=987007541140805171">987007541140805171</a></span></li></ul></div><div class="normdaten-andere"><div><a href="/wiki/Encyklopedia_internetowa" title="Encyklopedia internetowa">Encyklopedie internetowe</a>:</div> <ul><li><a href="/wiki/Encyklopedia_Britannica" title="Encyklopedia Britannica">Britannica</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.britannica.com/science/momentum">science/momentum</a></span>, <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.britannica.com/science/linear-momentum">science/linear-momentum</a></span></li> <li><a href="/wiki/Store_norske_leksikon" title="Store norske leksikon">SNL</a>: <span class="uid"><a class="external text" href="https://wikidata-externalid-url.toolforge.org/?p=4342&url_prefix=https://snl.no/&id=bevegelsesmengde">bevegelsesmengde</a></span></li></ul> </div></div></div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Źródło: „<a dir="ltr" href="https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Pęd_(fizyka)&oldid=74907044">https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Pęd_(fizyka)&oldid=74907044</a>”</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Specjalna:Kategorie" title="Specjalna:Kategorie">Kategorie</a>: <ul><li><a href="/wiki/Kategoria:Dynamika" title="Kategoria:Dynamika">Dynamika</a></li><li><a href="/wiki/Kategoria:Ca%C5%82ki_ruchu" title="Kategoria:Całki ruchu">Całki ruchu</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Tę stronę ostatnio edytowano 6 paź 2024, 15:58.</li> <li id="footer-info-copyright">Tekst udostępniany na licencji <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.pl">Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach</a>, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Zobacz szczegółowe informacje o <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Policy:Terms_of_Use/pl">warunkach korzystania</a>.</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">Polityka prywatności</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Wikipedia:O_Wikipedii">O Wikipedii</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Wikipedia:Korzystasz_z_Wikipedii_tylko_na_w%C5%82asn%C4%85_odpowiedzialno%C5%9B%C4%87">Korzystasz z Wikipedii tylko na własną odpowiedzialność</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Powszechne Zasady Postępowania</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Dla deweloperów</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/pl.wikipedia.org">Statystyki</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Oświadczenie o ciasteczkach</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//pl.m.wikipedia.org/w/index.php?title=P%C4%99d_(fizyka)&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Wersja mobilna</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-84d8f4b96-fnh7f","wgBackendResponseTime":187,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.321","walltime":"0.546","ppvisitednodes":{"value":2822,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":31338,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":1818,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":12,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":1,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":15872,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":3,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 354.901 1 -total"," 33.98% 120.608 3 Szablon:Szablon_nawigacyjny"," 33.90% 120.322 1 Szablon:Mechanika_klasyczna"," 32.46% 115.204 1 Szablon:Kontrola_autorytatywna"," 23.18% 82.271 1 Szablon:Przypisy"," 8.64% 30.670 3 Szablon:Cytuj_książkę"," 7.48% 26.543 1 Szablon:Inne_znaczenia"," 5.80% 20.580 1 Szablon:Cytuj_stronę"," 5.51% 19.550 1 Szablon:Encyklopedia_PWN"," 3.16% 11.224 1 Szablon:Dmbox"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.170","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":3114063,"limit":52428800},"limitreport-logs":"required = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\nrequired = table#1 {\n}\n"},"cachereport":{"origin":"mw-web.eqiad.main-6c476644db-ch9zc","timestamp":"20241112195850","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"P\u0119d (fizyka)","url":"https:\/\/pl.wikipedia.org\/wiki\/P%C4%99d_(fizyka)","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q41273","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q41273","author":{"@type":"Organization","name":"Wsp\u00f3\u0142tw\u00f3rcy projekt\u00f3w Fundacji Wikimedia"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Wikimedia Foundation, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2004-01-07T04:11:24Z","headline":"wektorowa wielko\u015b\u0107 fizyczna"}</script> </body> </html>