CINXE.COM

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs" lang="uk" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Дійсне число — Вікіпедія</title> <script>(function(){var className="client-js";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )ukwikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t."," \t,"],"wgDigitTransformTable":["",""],"wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","січень","лютий","березень","квітень","травень","червень","липень","серпень","вересень","жовтень","листопад","грудень"],"wgRequestId":"fe0cef51-46b3-4fe8-8617-f99c75f8b875","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Дійсне_число","wgTitle":"Дійсне число","wgCurRevisionId":43243692,"wgRevisionId":43243692,"wgArticleId":19362, "wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Шаблон:Webarchive:посилання на Wayback Machine","Сторінки, що використовують магічні посилання ISBN","Статті з джерелами з Вікіданих","Вікіпедія:P373:використовується","Математичний аналіз","Числа"],"wgPageViewLanguage":"uk","wgPageContentLanguage":"uk","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Дійсне_число","wgRelevantArticleId":19362,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgFlaggedRevsParams":{"tags":{"accuracy":{"levels":3}}},"wgStableRevisionId":43243692,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"uk", "pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"uk"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":70000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgCentralAuthMobileDomain":false,"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":true,"wgVector2022LanguageInHeader":false,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q12916","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.cite.styles":"ready", "ext.math.styles":"ready","skins.vector.styles.legacy":"ready","ext.flaggedRevs.basic":"ready","mediawiki.codex.messagebox.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","codex-search-styles":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","mediawiki.page.media","ext.scribunto.logs","site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.legacy.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.flaggedRevs.advanced","ext.gadget.CurIDLink","ext.gadget.collapserefs","ext.gadget.showContributorContent","ext.gadget.switcher","ext.gadget.edittop","ext.gadget.new-section","ext.gadget.newTopicOnTop","ext.gadget.MonobookToolbarStandard","ext.gadget.ProtectionIndicator","ext.gadget.Statistics","ext.gadget.interwiki-langlist","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init", "ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.compactlinks","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=uk&modules=codex-search-styles%7Cext.cite.styles%7Cext.flaggedRevs.basic%7Cext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cmediawiki.codex.messagebox.styles%7Cskins.vector.styles.legacy%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector"> <script async="" src="/w/load.php?lang=uk&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=uk&modules=site.styles&only=styles&skin=vector"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.4"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Number-systems.svg/1200px-Number-systems.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="1200"> <meta property="og:image:height" content="600"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Number-systems.svg/800px-Number-systems.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="800"> <meta property="og:image:height" content="400"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Number-systems.svg/640px-Number-systems.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="640"> <meta property="og:image:height" content="320"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Дійсне число — Вікіпедія"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//uk.m.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Редагувати" href="/w/index.php?title=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Вікіпедія (uk)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//uk.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.uk"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Вікіпедія — Atom-стрічка" href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9D%D0%BE%D0%B2%D1%96_%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D0%B3%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="//login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin-vector-legacy mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Дійсне_число rootpage-Дійсне_число skin-vector action-view"><div id="mw-page-base" class="noprint"></div> <div id="mw-head-base" class="noprint"></div> <div id="content" class="mw-body" role="main"> <a id="top"></a> <div id="siteNotice"></div> <div class="mw-indicators"> </div> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Дійсне число</h1> <div id="bodyContent" class="vector-body"> <div id="siteSub" class="noprint">Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.</div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="contentSub2"></div> <div id="jump-to-nav"></div> <a class="mw-jump-link" href="#mw-head">Перейти до навігації</a> <a class="mw-jump-link" href="#searchInput">Перейти до пошуку</a> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="uk" dir="ltr"><table class="infobox" cellspacing="2" data-name="Універсальна картка" style="width:23em; text-align:left; font-size:88%; line-height:1.5em"> <tbody><tr><td colspan="2" style="text-align:center;font-size:125%; font-weight:bold; background:#eaecf0">Дійсне число</td></tr> <tr><td colspan="2" style="text-align:center;"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Number-line.svg" class="mw-file-description" title="Зображення"><img alt="Зображення" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/93/Number-line.svg/280px-Number-line.svg.png" decoding="async" width="280" height="19" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/93/Number-line.svg/420px-Number-line.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/93/Number-line.svg/560px-Number-line.svg.png 2x" data-file-width="750" data-file-height="50" /></a></td></tr> <tr><th style="width:9em;">Досліджується в</th><td style=""> <a href="/w/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F_%D0%B4%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BB&action=edit&redlink=1" class="new" title="Теорія дійсних чисел (ще не написана)">теорія дійсних чисел</a><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q114450604" class="extiw" title="d:Q114450604">d</a></td></tr> <tr><td colspan="2" style="text-align:center;"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Number-systems.svg" class="mw-file-description" title="Колаж"><img alt="Колаж" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Number-systems.svg/280px-Number-systems.svg.png" decoding="async" width="280" height="140" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Number-systems.svg/420px-Number-systems.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Number-systems.svg/560px-Number-systems.svg.png 2x" data-file-width="800" data-file-height="400" /></a></td></tr> <tr><th style="width:9em;">Підтримується Вікіпроєктом</th><td style=""> <a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%94%D0%BA%D1%82:%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Вікіпедія:Проєкт:Математика">Вікіпедія:Проєкт:Математика</a></td></tr> <tr><th style="width:9em;">Протилежне</th><td style=""> <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Комплексне число">комплексне число</a><div_style="display:none"></div>_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-[https://www.britannica.com/science/real-number_https://www.britannica.com/science/real-number]<span_class="wef_low_priority_links"><div_style="display:none"></div>-1">[1]</a> і <a href="/wiki/%D0%A3%D1%8F%D0%B2%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Уявне число">уявне число</a><div_style="display:none"></div>_2-0" class="reference"><a href="#cite_note-[https://mathworld.wolfram.com/RealNumber.html_https://mathworld.wolfram.com/RealNumber.html]<span_class="wef_low_priority_links"><div_style="display:none"></div>-2">[2]</a></td></tr> <tr><td colspan="2" style="text-align:center;background:#eaecf0"> <a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Real_numbers" title="commons:Category:Real numbers"><img alt="CMNS:" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/15px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="15" height="20" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/23px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></a> <a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Real_numbers" class="extiw" title="commons:Category:Real numbers">Дійсне число</a> у <a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D1%81%D1%85%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%89%D0%B5" title="Вікісховище">Вікісховищі</a></td></tr> </tbody></table><figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Real_number_line.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d7/Real_number_line.svg/350px-Real_number_line.svg.png" decoding="async" width="350" height="114" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d7/Real_number_line.svg/525px-Real_number_line.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d7/Real_number_line.svg/700px-Real_number_line.svg.png 2x" data-file-width="689" data-file-height="225" /></a><figcaption><a href="/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D0%B0" class="mw-redirect" title="Числова пряма">Числова пряма</a></figcaption></figure> Дійсні числа — елементи <a href="/wiki/%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Система числення">числової системи</a>, яка містить у собі <a href="/wiki/%D0%A0%D0%B0%D1%86%D1%96%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0" class="mw-redirect" title="Раціональні числа">раціональні числа</a> і, в свою чергу, є підмножиною <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0" class="mw-redirect" title="Комплексні числа">комплексних чисел</a>. Математична <a href="/wiki/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Абстракція">абстракція</a>, яка виникла з потреб <a href="/wiki/%D0%92%D0%B8%D0%BC%D1%96%D1%80%D1%8E%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Вимірювання">вимірювання</a> <a href="/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F" title="Геометрія">геометричних</a> і <a href="/wiki/%D0%A4%D1%96%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Фізика">фізичних</a> величин навколишнього світу, а також виконання таких математичних операцій як добування <a href="/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BA%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D1%8C" title="Квадратний корінь">кореня</a>, обчислення <a href="/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC" title="Логарифм">логарифмів</a>, розв'язування <a href="/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0%D1%97%D1%87%D0%BD%D0%B5_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F" class="mw-redirect" title="Алгебраїчне рівняння">алгебраїчних рівнянь</a>. Наочно поняття дійсного числа можна уявити за допомогою <a href="/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D0%B0" class="mw-redirect" title="Числова пряма">числової прямої</a>. Якщо на прямій обрати напрям, початкову точку та одиницю довжини для вимірювання відрізків, то кожному дійсному числу можна поставити у відповідність єдину точку на цій прямій, і навпаки, кожна точка представлятиме єдине дійсне число. Через цю відповідність, термін числова пряма зазвичай використовується як синонім множини дійсних чисел. Множину дійсних чисел стандартно позначають <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }"> чи <big>R</big> (від <a href="/wiki/%D0%90%D0%BD%D0%B3%D0%BB%D1%96%D0%B9%D1%81%D1%8C%D0%BA%D0%B0_%D0%BC%D0%BE%D0%B2%D0%B0" title="Англійська мова">англ.</a> real, <a href="/wiki/%D0%9D%D1%96%D0%BC%D0%B5%D1%86%D1%8C%D0%BA%D0%B0_%D0%BC%D0%BE%D0%B2%D0%B0" title="Німецька мова">нім.</a> reel). З погляду сучасної математики, множина дійсних чисел утворює <a href="/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D1%96%D0%BE%D0%BC%D0%B0_%D0%BD%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%80%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96" class="mw-redirect" title="Аксіома неперервності">неперервне</a> <a href="/wiki/%D0%92%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B5_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%B5" title="Впорядковане поле">впорядковане поле</a>. Це означає, що дійсні числа можна <a href="/wiki/%D0%94%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Додавання">додавати</a>, <a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%B4%D0%BD%D1%96%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Віднімання">віднімати</a>, <a href="/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Множення">множити</a> та <a href="/wiki/%D0%94%D1%96%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Ділення">ділити</a> (окрім <a href="/wiki/%D0%94%D1%96%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%BD%D0%B0_%D0%BD%D1%83%D0%BB%D1%8C" title="Ділення на нуль">ділення на нуль</a>), і для них справджуються всі звичні властивості арифметичних дій (<a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D1%83%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Комутативність">комутативність</a> і <a href="/wiki/%D0%90%D1%81%D0%BE%D1%86%D1%96%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Асоціативність">асоціативність</a> додавання та множення, <a href="/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B1%D1%83%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Дистрибутивність">дистрибутивність</a> додавання та віднімання відносно множення тощо), їх можна порівнювати між собою (відомо котре з двох дійсних чисел більше, а котре менше чи вони рівні між собою), а також, що на числовій прямій немає «дірок» — між будь-якими дійсними числами знайдеться дійсне число. <div id="toc" class="toc" role="navigation" aria-labelledby="mw-toc-heading"><input type="checkbox" role="button" id="toctogglecheckbox" class="toctogglecheckbox" style="display:none" /><div class="toctitle" lang="uk" dir="ltr"><h2 id="mw-toc-heading">Зміст</h2><label class="toctogglelabel" for="toctogglecheckbox"></label></div> <ul> <li class="toclevel-1 tocsection-1"><a href="#Історія_виникнення_поняття_дійсного_числа">1 Історія виникнення поняття дійсного числа</a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-2"><a href="#«Наївна»_теорія_дійсних_чисел">1.1 «Наївна» теорія дійсних чисел</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-3"><a href="#Створення_строгої_теорії">1.2 Створення строгої теорії</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-4"><a href="#Конструктивні_способи_побудови_дійсних_чисел">2 Конструктивні способи побудови дійсних чисел</a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-5"><a href="#Теорія_нескінченних_десяткових_дробів">2.1 Теорія нескінченних десяткових дробів</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-6"><a href="#Теорія_перерізів_в_області_раціональних_чисел">2.2 Теорія перерізів в області раціональних чисел</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-7"><a href="#Теорія_фундаментальних_послідовностей_Кантора">2.3 Теорія фундаментальних послідовностей Кантора</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-8"><a href="#Аксіоматика_множини_дійсних_чисел">3 Аксіоматика множини дійсних чисел</a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-9"><a href="#Аксіоми_поля">3.1 Аксіоми поля</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-10"><a href="#Аксіоми_порядку">3.2 Аксіоми порядку</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-11"><a href="#Аксіоми_неперервності">3.3 Аксіоми неперервності</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-12"><a href="#Наслідки_з_аксіом_множини_дійсних_чисел">3.4 Наслідки з аксіом множини дійсних чисел</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-13"><a href="#Класи_дійсних_чисел">4 Класи дійсних чисел</a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-14"><a href="#Зв'язок_з_раціональними_числами">4.1 Зв'язок з раціональними числами</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-15"><a href="#Піднесення_до_степеня_та_добування_кореня">5 Піднесення до степеня та добування кореня</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-16"><a href="#Властивості">6 Властивості</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-17"><a href="#Узагальнення">7 Узагальнення</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-18"><a href="#Використання">8 Використання</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-19"><a href="#Див._також">9 Див. також</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-20"><a href="#Примітки">10 Примітки</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-21"><a href="#Джерела">11 Джерела</a></li> </ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Історія_виникнення_поняття_дійсного_числа"><span id=".D0.86.D1.81.D1.82.D0.BE.D1.80.D1.96.D1.8F_.D0.B2.D0.B8.D0.BD.D0.B8.D0.BA.D0.BD.D0.B5.D0.BD.D0.BD.D1.8F_.D0.BF.D0.BE.D0.BD.D1.8F.D1.82.D1.82.D1.8F_.D0.B4.D1.96.D0.B9.D1.81.D0.BD.D0.BE.D0.B3.D0.BE_.D1.87.D0.B8.D1.81.D0.BB.D0.B0">Історія виникнення поняття дійсного числа</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&veaction=edit&section=1" title="Редагувати розділ: Історія виникнення поняття дійсного числа" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&action=edit&section=1" title="Редагувати вихідний код розділу: Історія виникнення поняття дійсного числа">ред. код</a>]</div> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Latex_real_numbers_square.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d0/Latex_real_numbers_square.svg/100px-Latex_real_numbers_square.svg.png" decoding="async" width="100" height="99" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d0/Latex_real_numbers_square.svg/150px-Latex_real_numbers_square.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d0/Latex_real_numbers_square.svg/200px-Latex_real_numbers_square.svg.png 2x" data-file-width="343" data-file-height="341" /></a><figcaption>Символ яким найчастіше позначають множину дійсних чисел</figcaption></figure> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="«Наївна»_теорія_дійсних_чисел">«Наївна» теорія дійсних чисел</h3>[<a href="/w/index.php?title=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&veaction=edit&section=2" title="Редагувати розділ: «Наївна» теорія дійсних чисел" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&action=edit&section=2" title="Редагувати вихідний код розділу: «Наївна» теорія дійсних чисел">ред. код</a>]</div> Перша розвинена <a href="/wiki/%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Система числення">числова система</a>, побудована в <a href="/wiki/%D0%A1%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D1%8F_%D0%93%D1%80%D0%B5%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Стародавня Греція">Стародавній Греції</a>, містила лише <a href="/wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0" class="mw-redirect" title="Натуральні числа">натуральні числа</a> і їх відношення (<a href="/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Пропорція">пропорції</a>, в сучасному розумінні — додатні <a href="/wiki/%D0%A0%D0%B0%D1%86%D1%96%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Раціональне число">раціональні числа</a>). Однак з'ясувалось, що для задач геометрії і астрономії їх недостатньо: наприклад, відношення довжини <a href="/wiki/%D0%94%D1%96%D0%B0%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C" title="Діагональ">діагоналі</a> <a href="/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82" title="Квадрат">квадрата</a> до довжини його сторони (яке <a href="/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BA%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D1%8C_%D0%B7_%D0%B4%D0%B2%D0%BE%D1%85" title="Квадратний корінь з двох">дорівнює <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {2}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4afc1e27d418021bf10898eb44a7f5f315735ff" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.098ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {2}}}"></a>) не може бути представлено ні натуральним, ні раціональним числом<a href="#cite_note-3">[3]</a>. Щоб якось вийти з положення <a href="/wiki/%D0%95%D0%B2%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D1%81_%D0%9A%D0%BD%D1%96%D0%B4%D1%81%D1%8C%D0%BA%D0%B8%D0%B9" title="Евдокс Кнідський">Евдокс Кнідський</a> ввів, в доповнення до чисел, більш широке поняття <a href="/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B8%D0%BD%D0%B0" title="Величина">геометричної величини</a>, тобто довжини відрізка, площі чи об'єму. Теорія Евдокса дійшла до нас у працях <a href="/wiki/%D0%95%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D1%96%D0%B4" title="Евклід">Евкліда</a> (<a href="/wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0_%D0%95%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D1%96%D0%B4%D0%B0" title="Начала Евкліда">«Начала»</a>, книга V). По суті, теорія Евдокса — це геометрична модель дійсних чисел. З сучасної точки зору, при такому підході число є відношення двох однорідних величин — наприклад, досліджуваної і одиничного еталону. Однак потрібно зауважити, що Евдокс не розглядав таке відношення саме як число; через це в «Началах» багато теорем про властивості чисел потім заново доводяться для величин. Класична теорія <a href="/wiki/%D0%A0%D1%96%D1%85%D0%B0%D1%80%D0%B4_%D0%94%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BA%D1%96%D0%BD%D0%B4" title="Ріхард Дедекінд">Дедекінда</a> побудови дійсних чисел за своїми принципами дуже подібна на викладки Евдокса. Але модель Евдокса неповна в багатьох відношеннях — наприклад, вона не містить <a href="/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D1%96%D0%BE%D0%BC%D0%B0_%D0%BD%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%80%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96" class="mw-redirect" title="Аксіома неперервності">аксіоми неперервності</a>, немає загальної теорії арифметичних операцій для величин чи їх відношень та ін.<a href="#cite_note-4">[4]</a> В перші століття н. е. ситуація стала змінюватись. Вже <a href="/wiki/%D0%94%D1%96%D0%BE%D1%84%D0%B0%D0%BD%D1%82_%D0%90%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D1%80%D1%96%D0%B9%D1%81%D1%8C%D0%BA%D0%B8%D0%B9" title="Діофант Александрійський">Діофант Александрійський</a>, всупереч попереднім традиціям, розглядає дроби так, як і натуральні числа, а в IV книзі «Арифметика» навіть стверджує: «Число виявляється не раціональним»<a href="#cite_note-B150-5">[5]</a>. Після розпаду античної науки на перший план вийшли індійські та ісламські математики, для яких будь-який результат вимірювання чи обчислення вважався числом. Ці погляди поступово стали домінуючими і в середньовічній Європі<a href="#cite_note-6">[6]</a>, де спочатку розділяли раціональні і <a href="/wiki/%D0%86%D1%80%D1%80%D0%B0%D1%86%D1%96%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Ірраціональне число">ірраціональні</a> (буквально: нерозумні) числа (їх називали також уявними, абсурдними, глухими і т. п.). Повне зрівняння в правах ірраціональних чисел пов'язане з працями <a href="/wiki/%D0%A1%D1%96%D0%BC%D0%BE%D0%BD_%D0%A1%D1%82%D0%B5%D0%B2%D1%96%D0%BD" title="Сімон Стевін">Сімона Стевіна</a> (кінець XVI століття)<a href="#cite_note-B150-5">[5]</a>. Він же, з деякими зауваженнями, легалізував <a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%B4%27%D1%94%D0%BC%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0" class="mw-redirect" title="Від'ємні числа">від'ємні числа</a>, а також розвинув теорію і символіку <a href="/wiki/%D0%94%D0%B5%D1%81%D1%8F%D1%82%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%B9_%D0%B4%D1%80%D1%96%D0%B1" title="Десятковий дріб">десяткових дробів</a>. Через століття <a href="/wiki/%D0%86%D1%81%D0%B0%D0%B0%D0%BA_%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD" title="Ісаак Ньютон">Ньютон</a> у своїй <a href="/wiki/%D0%A3%D0%BD%D1%96%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Універсальна арифметика">«Універсальній арифметиці»</a> (<a href="/wiki/1707" title="1707">1707</a>) дає класичне означення (дійсного) числа як відношення результату вимірювання до одиничного еталону<a href="#cite_note-7">[7]</a>. Тривалий час це прикладне означення вважалось достатнім, так що важливі для практики властивості дійсних чисел і функцій не доводились, а вважались інтуїтивно очевидними (із геометричних чи <a href="/wiki/%D0%9A%D1%96%D0%BD%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Кінематика">кінематичних</a> міркувань). Строге визначення поняття неперервності також було відсутнім<a href="#cite_note-8">[8]</a>. Як наслідок, багато теорем містили помилки, нечіткі або надто загальні формулювання. Навіть після того, як <a href="/wiki/%D0%9E%D0%B3%D1%8E%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BD_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D1%96" class="mw-redirect" title="Огюстен Коші">Коші</a> розробив достатньо строгий фундамент <a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7" title="Математичний аналіз">математичного аналізу</a>, ситуація не змінилась, оскільки теорії дійсних чисел, на яку повинен був опиратися аналіз, не існувало. Через це Коші зробив немало помилок, поклавшись на інтуїцію там, де вона приводила до неправильних висновків: наприклад, він вважав, що сума ряду із <a href="/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%80%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Неперервна функція">неперервних функцій</a> завжди неперервна. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Створення_строгої_теорії">Створення строгої теорії</h3>[<a href="/w/index.php?title=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&veaction=edit&section=3" title="Редагувати розділ: Створення строгої теорії" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&action=edit&section=3" title="Редагувати вихідний код розділу: Створення строгої теорії">ред. код</a>]</div> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Bernard_Bolzano.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9b/Bernard_Bolzano.jpg/200px-Bernard_Bolzano.jpg" decoding="async" width="200" height="230" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9b/Bernard_Bolzano.jpg/300px-Bernard_Bolzano.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9b/Bernard_Bolzano.jpg/400px-Bernard_Bolzano.jpg 2x" data-file-width="599" data-file-height="689" /></a><figcaption>Бернард Больцано</figcaption></figure> Першу спробу заповнити цю прогалину в основах математики зробив <a href="/wiki/%D0%91%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%B4_%D0%91%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%B0%D0%BD%D0%BE" title="Бернард Больцано">Бернард Больцано</a> у <a href="/wiki/1817" title="1817">1817</a> році. В його роботі ще немає цілісної системи дійсних чисел, але вже наводиться сучасне означення неперервності<a href="#cite_note-9">[9]</a>. В пізнішій праці<a href="#cite_note-10">[10]</a> Больцано наводить начерк загальної теорії дійсних чисел, за ідеями близький до <a href="/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B3_%D0%9A%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D1%80" title="Георг Кантор">канторовської</a> <a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D0%BD" title="Теорія множин">теорії множин</a><a href="#cite_note-11">[11]</a>, але ця його робота не була надрукована за життя автора і побачила світ лише в 1851 році. Погляди Больцано значно випередили свій час і залишились без належної уваги математичного товариства. Сучасна теорія дійсних чисел була побудована у другій половині XIX століття, в першу чергу працями <a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%BB_%D0%92%D0%B5%D0%B9%D1%94%D1%80%D1%88%D1%82%D1%80%D0%B0%D1%81%D1%81" class="mw-redirect" title="Карл Вейєрштрасс">Вейєрштрасса</a>, <a href="/wiki/%D0%A0%D1%96%D1%85%D0%B0%D1%80%D0%B4_%D0%94%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BA%D1%96%D0%BD%D0%B4" title="Ріхард Дедекінд">Дедекінда</a> і <a href="/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B3_%D0%9A%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D1%80" title="Георг Кантор">Кантора</a>. Вони запропонували різні, але еквівалентні підходи до теорії цієї важливої математичної структури і остаточно відділили це поняття від геометрії і механіки. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Конструктивні_способи_побудови_дійсних_чисел"><span id=".D0.9A.D0.BE.D0.BD.D1.81.D1.82.D1.80.D1.83.D0.BA.D1.82.D0.B8.D0.B2.D0.BD.D1.96_.D1.81.D0.BF.D0.BE.D1.81.D0.BE.D0.B1.D0.B8_.D0.BF.D0.BE.D0.B1.D1.83.D0.B4.D0.BE.D0.B2.D0.B8_.D0.B4.D1.96.D0.B9.D1.81.D0.BD.D0.B8.D1.85_.D1.87.D0.B8.D1.81.D0.B5.D0.BB">Конструктивні способи побудови дійсних чисел</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&veaction=edit&section=4" title="Редагувати розділ: Конструктивні способи побудови дійсних чисел" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&action=edit&section=4" title="Редагувати вихідний код розділу: Конструктивні способи побудови дійсних чисел">ред. код</a>]</div> При конструктивному визначенні поняття дійсного числа, на основі відомих математичних об'єктів (наприклад, множини <a href="/wiki/%D0%A0%D0%B0%D1%86%D1%96%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Раціональне число">раціональних чисел</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5909f0b54e4718fa24d5fd34d54189d24a66e9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.808ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} }">), які вважаються заданими, будують нові об'єкти, які, в певному значенні, відтворюють наше інтуїтивне розуміння дійсного числа. Вагомою відмінністю між дійсними числами і цими побудованими об'єктами є те, що перші, на відміну від других, розуміються нами лишень інтуїтивно і поки що не є строго визначеним математичним поняттям. Ці об'єкти і називають дійсними числами. Для них вводять основні <a href="/wiki/%D0%90%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%96_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97" class="mw-redirect" title="Арифметичні операції">арифметичні операції</a>, визначають <a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D1%83" title="Відношення порядку">відношення порядку</a> і доводять їх властивості. Історично першими строгими визначеннями дійсного числа були саме конструктивні визначення. В 1872 році були одночасно опубліковані три роботи: теорія фундаментальних послідовностей <a href="/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B3_%D0%9A%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D1%80" title="Георг Кантор">Кантора</a>, теорія <a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%BB_%D0%92%D0%B5%D0%B9%D1%94%D1%80%D1%88%D1%82%D1%80%D0%B0%D1%81%D1%81" class="mw-redirect" title="Карл Вейєрштрасс">Вейєрштрасса</a> (в сучасному варіанті — теорія нескінченних десяткових дробів) і теорія перерізів в області раціональних чисел <a href="/wiki/%D0%A0%D1%96%D1%85%D0%B0%D1%80%D0%B4_%D0%94%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BA%D1%96%D0%BD%D0%B4" title="Ріхард Дедекінд">Дедекінда</a><a href="#cite_note-12">[12]</a>. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Теорія_нескінченних_десяткових_дробів"><span id=".D0.A2.D0.B5.D0.BE.D1.80.D1.96.D1.8F_.D0.BD.D0.B5.D1.81.D0.BA.D1.96.D0.BD.D1.87.D0.B5.D0.BD.D0.BD.D0.B8.D1.85_.D0.B4.D0.B5.D1.81.D1.8F.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.B2.D0.B8.D1.85_.D0.B4.D1.80.D0.BE.D0.B1.D1.96.D0.B2">Теорія нескінченних десяткових дробів</h3>[<a href="/w/index.php?title=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&veaction=edit&section=5" title="Редагувати розділ: Теорія нескінченних десяткових дробів" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&action=edit&section=5" title="Редагувати вихідний код розділу: Теорія нескінченних десяткових дробів">ред. код</a>]</div> Дійсне число позначається як нескінченний <a href="/wiki/%D0%94%D0%B5%D1%81%D1%8F%D1%82%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%B9_%D0%B4%D1%80%D1%96%D0%B1" title="Десятковий дріб">десятковий дріб</a>, тобто вираз вигляду <div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pm \,a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>±</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>…</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>…</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pm \,a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cac9caf3c0b75e080bc149227a72e3eabbab2f6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:19.137ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \pm \,a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots }"></div> де <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pm }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>±</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pm }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/869e366caf596564de4de06cb0ba124056d4064b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \pm }"> є одним із символів <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle +}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>+</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle +}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle +}"> або <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bd52ce670743d3b61bec928a7ec9f47309eb36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle -}">, який називається знаком числа, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{0}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/693ad9f934775838bd72406b41ada4a59785d7ba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.284ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{0}}"> — ціле невід'ємне число, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots a_{n},\ldots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots a_{n},\ldots }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dcce35066d06cba4f83890fab5d04eed96ddb64" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.952ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots a_{n},\ldots }"> — послідовність десяткових знаків, тобто елементів числової множини <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{0,1,\ldots ,9\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mn>9</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{0,1,\ldots ,9\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f967d37231436ef21fac473fb0cce07bff5d90f9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.024ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{0,1,\ldots ,9\}}">. Нескінченний десятковий дріб інтерпретується як таке число, яке на числовій прямій лежить між раціональними точками вигляду <div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>±</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>…</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6be456225c905aea4ddac6d55e40e8374b409af" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.64ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}}"> і <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pm \left(a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}+10^{-n}\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>±</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>…</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pm \left(a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}+10^{-n}\right)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3670d5f7502fec3d0a705081463a7c40d4e18fd9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:25.819ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \pm \left(a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}+10^{-n}\right)}"> для всіх <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=0,1,2,\ldots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=0,1,2,\ldots }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a19cb2cfd4f9ebdbc8e5cbb9b92ecb9ace85cab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.806ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle n=0,1,2,\ldots }"> </div> Порівняння дійсних чисел в формі нескінченних десяткових дробів проводиться по <a href="/wiki/%D0%A0%D0%BE%D0%B7%D1%80%D1%8F%D0%B4_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" class="mw-redirect" title="Розряд (математика)">розрядах</a>. Наприклад, нехай задано два невід'ємних числа <div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{matrix}\alpha &=+a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots \\\beta &=+b_{0},b_{1}b_{2}\ldots b_{n}\ldots \end{matrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>α</mi> </mtd> <mtd> <mo>=</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>…</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>…</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>β</mi> </mtd> <mtd> <mo>=</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>…</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>…</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{matrix}\alpha &=+a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots \\\beta &=+b_{0},b_{1}b_{2}\ldots b_{n}\ldots \end{matrix}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e3f3df86eeaa754c85d20bfe06ae38e0e544de3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:25.765ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{matrix}\alpha &=+a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots \\\beta &=+b_{0},b_{1}b_{2}\ldots b_{n}\ldots \end{matrix}}}"></div> Якщо <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{0}<b_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo><</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{0}<b_{0}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb5f9439cd05186623eff4d76fbad953aff4bc73" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.434ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a_{0}<b_{0}}">, то <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha <\beta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> <mo><</mo> <mi>β</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha <\beta }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc4250c976810fd3abc5916c47ee4984a7e5882b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.918ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \alpha <\beta }">; якщо <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{0}>b_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>></mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{0}>b_{0}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f1c5383e7afea38383f16ccbb8039e727c368a5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.434ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a_{0}>b_{0}}">, то <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha >\beta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> <mo>></mo> <mi>β</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha >\beta }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/878aa4ba937a08258b46361229c9c35d970672ff" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.918ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \alpha >\beta }">. У випадку рівності <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{0}=b_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{0}=b_{0}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c244a1fcf1d02c1e6a650c1933c8b1f8d7ecb49" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.434ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a_{0}=b_{0}}"> переходять до порівняння наступного розряду. І так далі. Якщо <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha \neq \beta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> <mo>≠</mo> <mi>β</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha \neq \beta }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0fa83832e27c24569e10eb40f1296faadab48ec" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.918ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha \neq \beta }">, то після скінченного числа кроків зустрінеться розряд <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> такий, що <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{n}\neq b_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>≠</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{n}\neq b_{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b71a1c7bef135d2a99d9efd5209b71d439af7fa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.763ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a_{n}\neq b_{n}}">. Якщо <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{n}<b_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo><</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{n}<b_{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf8e8dce32064580a5c50a9a1569bfb3988bbd9d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.763ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a_{n}<b_{n}}">, то <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha <\beta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> <mo><</mo> <mi>β</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha <\beta }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc4250c976810fd3abc5916c47ee4984a7e5882b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.918ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \alpha <\beta }">; якщо <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{n}>b_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>></mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{n}>b_{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4047244d69264c4e3662e2a2b7ff2d127da8600d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.763ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a_{n}>b_{n}}">, то <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha >\beta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> <mo>></mo> <mi>β</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha >\beta }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/878aa4ba937a08258b46361229c9c35d970672ff" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.918ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \alpha >\beta }">. Але при цьому треба враховувати, що число <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}(9)=a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}+10^{-n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>…</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>9</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>…</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}(9)=a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}+10^{-n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb1c7f651921aad62f032a0177ea11090618dcdd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:41.396ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}(9)=a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}+10^{-n}}"><a href="#cite_note-13">[13]</a>. Тому, якщо запис одного із порівнюваних чисел, починаючи з деякого розряду, є періодичним десятковим дробом, у якого в періоді стоїть 9, то його слід замінити на еквівалентний запис, з нулем в періоді. Арифметичні операції над нескінченними десятковими дробами визначаються як неперервне продовження<a href="#cite_note-14">[14]</a> відповідних операцій над раціональними числами. Наприклад, сумою дійсних чисел <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }"> і <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>β</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.332ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta }"> назвемо дійсне число <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha +\beta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mi>β</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha +\beta }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99b80a3fdecb9cf75091789bb4335a1bb3561b08" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.66ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \alpha +\beta }">, яке задовольняє наступну умову: <div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} \quad (a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow (a'+b'\leqslant \alpha +\beta \leqslant a''+b'')}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <msup> <mi>a</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mi>a</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mi>b</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mi>b</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>a</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>⩽</mo> <mi>α</mi> <mo>⩽</mo> <msup> <mi>a</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∧</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>b</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>⩽</mo> <mi>β</mi> <mo>⩽</mo> <msup> <mi>b</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>a</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>b</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>⩽</mo> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mi>β</mi> <mo>⩽</mo> <msup> <mi>a</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>b</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} \quad (a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow (a'+b'\leqslant \alpha +\beta \leqslant a''+b'')}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a46ff6ab523266f29deb321411e9f4c88741d84" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:80.037ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} \quad (a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow (a'+b'\leqslant \alpha +\beta \leqslant a''+b'')}"></div> Аналогічно визначається операція множення нескінченних десяткових дробів. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Теорія_перерізів_в_області_раціональних_чисел"><span id=".D0.A2.D0.B5.D0.BE.D1.80.D1.96.D1.8F_.D0.BF.D0.B5.D1.80.D0.B5.D1.80.D1.96.D0.B7.D1.96.D0.B2_.D0.B2_.D0.BE.D0.B1.D0.BB.D0.B0.D1.81.D1.82.D1.96_.D1.80.D0.B0.D1.86.D1.96.D0.BE.D0.BD.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D0.B8.D1.85_.D1.87.D0.B8.D1.81.D0.B5.D0.BB">Теорія перерізів в області раціональних чисел</h3>[<a href="/w/index.php?title=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&veaction=edit&section=6" title="Редагувати розділ: Теорія перерізів в області раціональних чисел" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&action=edit&section=6" title="Редагувати вихідний код розділу: Теорія перерізів в області раціональних чисел">ред. код</a>]</div> <div class="noprint" style="padding-left:20px">Докладніше: <a href="/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%80%D1%96%D0%B7_%D0%94%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BA%D1%96%D0%BD%D0%B4%D0%B0" title="Переріз Дедекінда">Переріз Дедекінда</a></div> Згідно з підходом Дедекінда дійсні числа визначаться за допомогою перерізів на множині раціональних чисел. Перерізом на множині раціональних чисел <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5909f0b54e4718fa24d5fd34d54189d24a66e9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.808ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} }"> називається будь-яке розбиття сукупності всіх раціональних чисел на два непорожніх класи — нижній <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> та верхній <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A'}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>A</mi> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A'}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98a12527148d6ed68adc91d9b419eb4b92d58ef6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.428ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A'}"> так, що кожне число із нижнього класу строго менше будь-якого числа із верхнього: <div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} =A\cup A'\quad \land \quad A,A'\neq \varnothing \quad \land \quad \forall a\in A,\forall a'\in A'\quad (a<a')}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mo>∪</mo> <msup> <mi>A</mi> <mo>′</mo> </msup> <mspace width="1em" /> <mo>∧</mo> <mspace width="1em" /> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>A</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>≠</mo> <mi class="MJX-variant">∅</mi> <mspace width="1em" /> <mo>∧</mo> <mspace width="1em" /> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <msup> <mi>a</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>∈</mo> <msup> <mi>A</mi> <mo>′</mo> </msup> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo><</mo> <msup> <mi>a</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} =A\cup A'\quad \land \quad A,A'\neq \varnothing \quad \land \quad \forall a\in A,\forall a'\in A'\quad (a<a')}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03b73c3dc0076b8bd2cdc70ed2eaf7df091f3aa2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:63.217ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} =A\cup A'\quad \land \quad A,A'\neq \varnothing \quad \land \quad \forall a\in A,\forall a'\in A'\quad (a<a')}"> </div> Якщо існує число <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }">, яке є максимальним у нижньому класі, або мінімальним у верхньому класі, то це число розділяє множини <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> і <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A'}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>A</mi> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A'}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98a12527148d6ed68adc91d9b419eb4b92d58ef6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.428ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A'}">: числа нижнього і верхнього класів лежать по різні сторони від <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }">. Кажуть також, що раціональне число <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }"> призводить до заданого перерізу множини раціональних чисел. Якщо ж у нижньому класі перерізу немає максимального елемента, а в верхньому — мінімального, то не існує ніякого раціонального числа, яке б розділяло множини <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> і <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A'}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>A</mi> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A'}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98a12527148d6ed68adc91d9b419eb4b92d58ef6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.428ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A'}">. В цьому випадку за означенням вважають, що цей переріз визначає деяке ірраціональне число <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }">, яке знаходиться між нижнім і верхнім класами, і тим самим призводить до заданого перерізу. Інакше кажучи, для довільного перерізу, до якого не призводить жодне раціональне число, вводять новий об'єкт — ірраціональне число, яке за означенням більше довільного числа із нижнього класу і менше будь-якого числа із верхнього класу: <div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall a\in A,\quad \forall a'\in A'\quad a<\alpha <a'}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <msup> <mi>a</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>∈</mo> <msup> <mi>A</mi> <mo>′</mo> </msup> <mspace width="1em" /> <mi>a</mi> <mo><</mo> <mi>α</mi> <mo><</mo> <msup> <mi>a</mi> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall a\in A,\quad \forall a'\in A'\quad a<\alpha <a'}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eb5592aaa2c3e65067c601c96fca80d661bf0b6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:32.09ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall a\in A,\quad \forall a'\in A'\quad a<\alpha <a'}"> </div> Об'єднання всіх раціональних і всіх ірраціональних чисел називають множиною дійсних чисел, а його елементи — дійсними числами. Арифметичні операції над дійсними числами визначаються як неперервне продовження відповідних операцій над раціональними числами, так само як у теорії нескінченних десяткових дробів. Наприклад, сумою дійсних чисел <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }"> і <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>β</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.332ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta }"> називається дійсне число <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha +\beta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mi>β</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha +\beta }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99b80a3fdecb9cf75091789bb4335a1bb3561b08" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.66ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \alpha +\beta }">, яке задовольняє наступну умову: <div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} \quad (a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow (a'+b'\leqslant \alpha +\beta \leqslant a''+b'')}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <msup> <mi>a</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mi>a</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mi>b</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mi>b</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>a</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>⩽</mo> <mi>α</mi> <mo>⩽</mo> <msup> <mi>a</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∧</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>b</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>⩽</mo> <mi>β</mi> <mo>⩽</mo> <msup> <mi>b</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>a</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>b</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>⩽</mo> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mi>β</mi> <mo>⩽</mo> <msup> <mi>a</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>b</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} \quad (a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow (a'+b'\leqslant \alpha +\beta \leqslant a''+b'')}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a46ff6ab523266f29deb321411e9f4c88741d84" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:80.037ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} \quad (a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow (a'+b'\leqslant \alpha +\beta \leqslant a''+b'')}"></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Теорія_фундаментальних_послідовностей_Кантора"><span id=".D0.A2.D0.B5.D0.BE.D1.80.D1.96.D1.8F_.D1.84.D1.83.D0.BD.D0.B4.D0.B0.D0.BC.D0.B5.D0.BD.D1.82.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D0.B8.D1.85_.D0.BF.D0.BE.D1.81.D0.BB.D1.96.D0.B4.D0.BE.D0.B2.D0.BD.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B5.D0.B9_.D0.9A.D0.B0.D0.BD.D1.82.D0.BE.D1.80.D0.B0">Теорія фундаментальних послідовностей Кантора</h3>[<a href="/w/index.php?title=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&veaction=edit&section=7" title="Редагувати розділ: Теорія фундаментальних послідовностей Кантора" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&action=edit&section=7" title="Редагувати вихідний код розділу: Теорія фундаментальних послідовностей Кантора">ред. код</a>]</div> У підході Кантора дійсне число розглядається як <a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%86%D1%8F_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D1%97_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D1%96%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96" title="Границя числової послідовності">границя числової послідовності</a> раціональних чисел. Для того, щоб послідовність раціональних чисел збігалась, на неї накладається <a href="/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D1%96%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Фундаментальна послідовність">умова Коші</a>: <div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists N(\varepsilon ):\;\forall n>N(\varepsilon )\;\forall m>0\quad |a_{n+m}-a_{n}|<\varepsilon }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>ε</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> <mspace width="thickmathspace" /> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ε</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>n</mi> <mo>></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ε</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>m</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo><</mo> <mi>ε</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists N(\varepsilon ):\;\forall n>N(\varepsilon )\;\forall m>0\quad |a_{n+m}-a_{n}|<\varepsilon }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6704aa34520efe529a1fdb838b010e62109b163a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:53.351ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists N(\varepsilon ):\;\forall n>N(\varepsilon )\;\forall m>0\quad |a_{n+m}-a_{n}|<\varepsilon }"></div> Суть цієї умови в тому, для будь-якої заданої відстані, існує такий номер елемента послідовності після якого члени послідовності будуть розташовані один від одного на відстані, меншій цієї заданої відстані. Послідовності, які задовольняють умову Коші, називаються фундаментальними. Дійсне число, яке визначається фундаментальною послідовністю раціональних чисел <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{a_{n}\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{a_{n}\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/339d461b497fb8f8670bb29308fe09f0e7bfd34a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.773ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{a_{n}\}}">, позначимо <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [a_{n}]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [a_{n}]}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac819208e1146ac08706a43030b597eb7b7a803f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.742ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [a_{n}]}">. Два дійсних числа <div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha =[a_{n}]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha =[a_{n}]}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c222a30a9a92c2e3eef762e7c2c43dceb2bb4d8c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.328ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \alpha =[a_{n}]}"> і <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta =[b_{n}]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>β</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta =[b_{n}]}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a26985ffa366493195dac10ceda47058558cd721" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.94ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \beta =[b_{n}]}">, </div> визначені відповідно фундаментальними послідовностями <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{a_{n}\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{a_{n}\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/339d461b497fb8f8670bb29308fe09f0e7bfd34a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.773ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{a_{n}\}}"> і <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{b_{n}\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{b_{n}\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cad2485b9672375982ec521a53ee5a4104001a15" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.541ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{b_{n}\}}">, називаються <a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B5%D0%BA%D0%B2%D1%96%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96" title="Відношення еквівалентності">рівними</a>, якщо <div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(a_{n}-b_{n}\right)=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munder> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(a_{n}-b_{n}\right)=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ef91da6be0c8e66ea3699244f878c65848c797e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:18.235ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(a_{n}-b_{n}\right)=0}"></div> Якщо задані два дійсних числа <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha =[a_{n}]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha =[a_{n}]}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c222a30a9a92c2e3eef762e7c2c43dceb2bb4d8c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.328ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \alpha =[a_{n}]}"> і <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta =[b_{n}]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>β</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta =[b_{n}]}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a26985ffa366493195dac10ceda47058558cd721" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.94ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \beta =[b_{n}]}">, то їх сумою і добутком називаються числа, визначені відповідно сумою і добутком послідовностей <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{a_{n}\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{a_{n}\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/339d461b497fb8f8670bb29308fe09f0e7bfd34a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.773ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{a_{n}\}}"> і <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{b_{n}\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{b_{n}\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cad2485b9672375982ec521a53ee5a4104001a15" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.541ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{b_{n}\}}">: <div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha +\beta \,{\overset {\text{def}}{=}}\,[a_{n}+b_{n}]\qquad \alpha \cdot \beta \,{\overset {\text{def}}{=}}\,[a_{n}\cdot b_{n}]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mi>β</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mo>=</mo> <mtext>def</mtext> </mover> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mo stretchy="false">[</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">]</mo> <mspace width="2em" /> <mi>α</mi> <mo>⋅</mo> <mi>β</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mo>=</mo> <mtext>def</mtext> </mover> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mo stretchy="false">[</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha +\beta \,{\overset {\text{def}}{=}}\,[a_{n}+b_{n}]\qquad \alpha \cdot \beta \,{\overset {\text{def}}{=}}\,[a_{n}\cdot b_{n}]}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97a8f5805bfcd044e12be3283a20ef970bce62f8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:37.082ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \alpha +\beta \,{\overset {\text{def}}{=}}\,[a_{n}+b_{n}]\qquad \alpha \cdot \beta \,{\overset {\text{def}}{=}}\,[a_{n}\cdot b_{n}]}"></div> <a href="/wiki/%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%BE_%D0%B2%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D0%BD%D0%B0" title="Частково впорядкована множина">Відношення порядку</a> на множині дійсних чисел встановлюється за допомогою такої домовленості: число <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha =[a_{n}]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha =[a_{n}]}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c222a30a9a92c2e3eef762e7c2c43dceb2bb4d8c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.328ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \alpha =[a_{n}]}"> за означенням більше числа <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta =[b_{n}]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>β</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta =[b_{n}]}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a26985ffa366493195dac10ceda47058558cd721" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.94ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \beta =[b_{n}]}">, тобто <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha >\beta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> <mo>></mo> <mi>β</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha >\beta }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/878aa4ba937a08258b46361229c9c35d970672ff" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.918ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \alpha >\beta }">, якщо <div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \exists \varepsilon >0\;\exists N:\;\forall n>N\;a_{n}\geqslant b_{n}+\varepsilon }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mi>ε</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> <mspace width="thickmathspace" /> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mi>N</mi> <mo>:</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>n</mi> <mo>></mo> <mi>N</mi> <mspace width="thickmathspace" /> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>⩾</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>ε</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exists \varepsilon >0\;\exists N:\;\forall n>N\;a_{n}\geqslant b_{n}+\varepsilon }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74bdcfdc772a0099192d76c6cf5a7b8d4694117e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:33.402ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \exists \varepsilon >0\;\exists N:\;\forall n>N\;a_{n}\geqslant b_{n}+\varepsilon }"></div> Спосіб побудови множини дійсних чисел за допомогою фундаментальних послідовностей раціональних чисел є частковим випадком побудови поповнення довільного <a href="/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80" title="Метричний простір">метричного простору</a>. Як і в загальному випадку, отримана в результаті поповнення множина дійсних чисел вже є повною, тобто містить в собі границі всіх фундаментальних послідовностей своїх елементів. <div class="NavFrame collapsed" style=""> <div class="NavHead" style="text-align: left;">Альтернативні поповнення раціональних чисел  </div> <div class="NavContent" style="text-align: left;"> У теорії Кантора множина дійсних чисел будується у вигляді поповнення множини раціональних чисел, розглянутої у вигляді метричного простору з метрикою, яка породжена нормою, що є <a href="/wiki/%D0%90%D0%B1%D1%81%D0%BE%D0%BB%D1%8E%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B8%D0%BD%D0%B0" class="mw-redirect" title="Абсолютна величина">абсолютною величиною</a> (модулем) числа. Однак множина раціональних чисел може бути поповнена і за іншою нормою, зокрема, за так званою <a href="/wiki/P-%D0%B0%D0%B4%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="P-адичне число">p-адичною нормою</a>, де p — просте число. Замикання множини раціональних чисел за p-адичною нормою утворює поле p-адичних чисел, яке не <a href="/wiki/%D0%86%D0%B7%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%80%D1%84%D1%96%D0%B7%D0%BC" title="Ізоморфізм">ізомрофне</a> до поля дійсних чисел і володіє зовсім відмінними від дійсних чисел властивостями (математично не збігається з дійсними числами). Більше того, за <a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%9E%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B2%D1%81%D1%8C%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%BE" title="Теорема Островського">теоремою Островського</a> будь-яка норма, задана на множині раціональних чисел є еквівалентною або до p-адичної норми, або до абсолютної величини. Тобто інших поповнень множини раціональних чисел, крім дійсних та p-адичних чисел не існує. </div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Аксіоматика_множини_дійсних_чисел">Аксіоматика множини дійсних чисел</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&veaction=edit&section=8" title="Редагувати розділ: Аксіоматика множини дійсних чисел" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&action=edit&section=8" title="Редагувати вихідний код розділу: Аксіоматика множини дійсних чисел">ред. код</a>]</div> Побудувати множину дійсних чисел можна різними способами. В теорії Кантора дійсні числа — класи еквівалентних фундаментальних послідовностей раціональних чисел, в теорії Вейєрштрасса — нескінченні десяткові дроби, в теорії Дедекінда — перерізи в області раціональних чисел. У всіх цих підходах в результаті отримуємо деяку множину об'єктів (дійсних чисел), які наділені певними властивостями: їх можна додавати, множити, порівнювати між собою. Більш того, оскільки встановлені властивості цих об'єктів, то можна більше не апелювати до тих конкретних конструкцій, з допомогою яких вони були побудовані. В <a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Математика">математиці</a> важлива не конкретна природа об'єктів, а тільки математичні співвідношення, які існують між ними. Іншими словами, саме поняття дійсного числа визначається існуючими для нього математичними співвідношеннями. Якщо вони встановлені, то визначено і поняття дійсного числа. В цьому і полягає аксіоматичний підхід до означення дійсного числа, як множини елементів, які володіють деякими наперед заданими властивостями. А класи фундаментальних послідовностей раціональних чисел, нескінченні десяткові дроби, перерізи в області раціональних чисел є лиш конкретними реалізаціями, моделями дійсного числа. Отже Множина <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }"> називається множиною дійсних чисел, а її елементи — дійсними числами, якщо виконаний певний комплекс умов, який називається <a href="/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D1%96%D0%BE%D0%BC%D0%B0" title="Аксіома">аксіомами</a> дійсних чисел: <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Аксіоми_поля">Аксіоми поля</h3>[<a href="/w/index.php?title=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&veaction=edit&section=9" title="Редагувати розділ: Аксіоми поля" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&action=edit&section=9" title="Редагувати вихідний код розділу: Аксіоми поля">ред. код</a>]</div> <div class="noprint" style="padding-left:20px">Докладніше: <a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%B5_(%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0)" title="Поле (алгебра)"> Поле (алгебра)</a></div> На множині <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }"> визначено <a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%B4%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" class="mw-redirect" title="Відображення">відображення</a> (<a href="/wiki/%D0%91%D1%96%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B0_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Бінарна операція">операція</a> додавання) <div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle +:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>+</mo> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle +:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e7f521b0e627fa1c4bf3c04a00a40a2467b0a00" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:15.234ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle +:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }"> </div> яка кожній впорядковані парі елементів <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/181523deba732fda302fd176275a0739121d3bc8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.261ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b}"> з <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }"> ставить у відповідність деякий елемент <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}"> з тієї ж множини <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }">, який називається сумою елементів <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> і <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a+b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a+b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2391acf09244b9dba74eb940e871a6be7e7973a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.068ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a+b}"> еквівалентний запис елемента <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}"> множини <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c=a+b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c=a+b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f30ef8641775f6e48cf40db2d040125f17bfb360" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.173ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle c=a+b}">). Також, на множині <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }"> визначено відображення (операція множення) <div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cdot :\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>⋅</mo> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cdot :\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/643ae47b3f2820f2e6c6f18ebd7dd19288392208" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:14.073ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \cdot :\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }"> </div> яке кожній впорядкованій парі елементів <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/181523deba732fda302fd176275a0739121d3bc8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.261ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b}"> із <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }"> ставить у відповідність деякий елемент <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\cdot b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\cdot b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/620419d3ed53abc98659a5fc0f3a5eb6177830ae" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.906ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\cdot b}">, який називається добутком <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> і <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}">. При цьому виконуються такі властивості: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\text{I}}_{1}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>I</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{I}}_{1}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76b3dfd1544ba1048b865dc498127ad3d02803d8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.541ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\text{I}}_{1}.}"> <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D1%83%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Комутативність">Комутативність</a> додавання. Для довільних <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe0bf0e2324bac843fab916c46d1b3349017a616" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.78ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }"></dd></dl> <div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a+b=b+a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a+b=b+a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/684f43b5094501674e8314be5e24a80ee64682e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:13.234ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a+b=b+a}"></div> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\text{I}}_{2}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>I</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{I}}_{2}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c350682e8254d03e7ee156c0aa13a9e152445bc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.541ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\text{I}}_{2}.}"> <a href="/wiki/%D0%90%D1%81%D0%BE%D1%86%D1%96%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Асоціативність">Асоціативність</a> додавання. Для довільних <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5db5a5687f2ba931e229a9a3c402f70bb49aad61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.821ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }"></dd></dl> <div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44038eb287a7d11c82ecf1642362bff63a012b2f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.547ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c}"></div> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\text{I}}_{3}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>I</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{I}}_{3}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/299522b2e44e7aa23abde01451f87d27201a6422" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.541ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\text{I}}_{3}.}"> Існування <a href="/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%B9%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82" title="Нейтральний елемент">нейтрального елемента</a> відносно додавання. Існує елемент <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0\in \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0\in \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3b744aa80fd21e49f206ec213a0889eb81b80ce" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.681ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0\in \mathbb {R} }">, який називається нулем, такий, що для довільного <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b044c60e01b54c7116ee355431f37ed846badc53" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.749ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\in \mathbb {R} }"></dd></dl> <div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a+0=a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mn>0</mn> <mo>=</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a+0=a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4564e28f0f8274644ca4e58664c0593ed48de541" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.561ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a+0=a}"></div> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\text{I}}_{4}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>I</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{I}}_{4}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db94850acb6976827c87f7747c493abd4cd45249" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.541ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\text{I}}_{4}.}"> Існування <a href="/wiki/%D0%9E%D0%B1%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82" title="Обернений елемент">оберненого елемента</a> відносно додавання. Для довільного <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b044c60e01b54c7116ee355431f37ed846badc53" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.749ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\in \mathbb {R} }"> існує елемент <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -a\in \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -a\in \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92135fa35d83ab2e4287ba792bbf0b9a65c86276" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.557ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -a\in \mathbb {R} }">, який називається протилежним до <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}">, такий, що</dd></dl> <div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a+(-a)=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a+(-a)=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bee04ca35f37fa95ee387e42959af9038fb8251" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.178ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a+(-a)=0}"></div> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\text{I}}_{5}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>I</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{I}}_{5}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10ae95c305570f03fabd2495275656162ce1c1f5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.541ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\text{I}}_{5}.}"> Комутативність множення. Для довільних <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe0bf0e2324bac843fab916c46d1b3349017a616" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.78ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }"></dd></dl> <div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mi>b</mi> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a4b7dede7493e0231b3ad6ff9b54f4eae954108" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.911ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}"></div> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\text{I}}_{6}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>I</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>6</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{I}}_{6}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d02010489d5d4073a4a15d056c34ae716e585eb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.541ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\text{I}}_{6}.}"> Асоціативність множення. Для довільних <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5db5a5687f2ba931e229a9a3c402f70bb49aad61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.821ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }"></dd></dl> <div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo>⋅</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4be34a5bcecdbbd7f3d5a983e34f00bf0b80c5f6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.902ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c}"></div> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\text{I}}_{7}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>I</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>7</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{I}}_{7}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16962b265cba3ec9a94ddd26dfa33181d0c35ba0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.541ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\text{I}}_{7}.}"> Існування нейтрального елемента відносно множення. Існує елемент <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1\in R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mo>∈</mo> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1\in R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ced69ca76045409978b6c9299d4d07f86d68b05f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.767ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1\in R}">, який називається одиницею, такий, що для довільного <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49b8332c70318b1c764cb4bcea0a6eb274600975" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.834ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\in R}"></dd></dl> <div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\cdot 1=a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\cdot 1=a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3e5c8aeb598f9dadf4767a03328e05849f37035" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.4ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\cdot 1=a}"></div> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\text{I}}_{8}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>I</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>8</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{I}}_{8}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22d50be4c99c549ab2ca11058da78004162306cb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.541ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\text{I}}_{8}.}"> Існування оберненого елемента відносно множення. Для довільного <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in \mathbb {R} ,a\neq 0,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mi>a</mi> <mo>≠</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in \mathbb {R} ,a\neq 0,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e044d230c1665b0b765947f2d2e92cf2db6a8642" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.92ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a\in \mathbb {R} ,a\neq 0,}"> існує елемент <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{-1}\in \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{-1}\in \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8280a506ddc5535b8160679c3d84b934cacb87c2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.081ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a^{-1}\in \mathbb {R} }">, який також позначається <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1/a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1/a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77da3744bf9edd650bb5dc02004c95129e2bc826" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.555ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 1/a}"> і називається оберненим до <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}">, такий, що</dd></dl> <div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\cdot a^{-1}=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\cdot a^{-1}=1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75d0141fcc95d71d4666a3ef3d084f69c72954df" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a\cdot a^{-1}=1}"></div> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\text{I}}_{9}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>I</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>9</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{I}}_{9}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a30c0d7934de18a546ee8d58db5b05c75ba0e36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.541ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\text{I}}_{9}.}"> <a href="/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B1%D1%83%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD" class="mw-redirect" title="Дистрибутивний закон">Дистрибутивний закон</a> множення відносно додавання (правило розкриття дужок). Для довільних <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5db5a5687f2ba931e229a9a3c402f70bb49aad61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.821ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }"></dd></dl> <div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8827e12f09f1ab8a5f3d7783b7357bd4cc398db7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.324ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}"></div> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\text{I}}_{10}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>I</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>10</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{I}}_{10}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c5a6ba8099dbcf543d8c385f0c57a6cbbcb7036" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.363ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\text{I}}_{10}.}"> Нетривіальність поля. Одиниця і нуль — різні елементи <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }">:</dd></dl> <div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1\neq 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mo>≠</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1\neq 0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bee82995e4ac724a7b5fdfb4b0d76560321e1d4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.423ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 1\neq 0}"> </div> На основі операцій додавання та множення вводять додаткові операції на множині дійсних чисел <div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a-b\;{\overset {\text{def}}{=}}\;a+(-b)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mo>=</mo> <mtext>def</mtext> </mover> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a-b\;{\overset {\text{def}}{=}}\;a+(-b)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2bb5d63253e0f3174d668cfefa4da59fb7157f8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.191ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle a-b\;{\overset {\text{def}}{=}}\;a+(-b)}"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {a}{b}}\;{\overset {\text{def}}{=}}\;a\cdot b^{-1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <mi>b</mi> </mfrac> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mo>=</mo> <mtext>def</mtext> </mover> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {a}{b}}\;{\overset {\text{def}}{=}}\;a\cdot b^{-1}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e14f2c366352e1e6ac35b6cb293227012404438" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:11.743ex; height:5.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {a}{b}}\;{\overset {\text{def}}{=}}\;a\cdot b^{-1}}"> </div> Тобто віднімання деякого числа <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> це додавання протилежного до <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> елемента, а ділення на <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> — множення на обернений елемент до <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}">. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Аксіоми_порядку">Аксіоми порядку</h3>[<a href="/w/index.php?title=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&veaction=edit&section=10" title="Редагувати розділ: Аксіоми порядку" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&action=edit&section=10" title="Редагувати вихідний код розділу: Аксіоми порядку">ред. код</a>]</div> <div class="noprint" style="padding-left:20px">Докладніше: <a href="/wiki/%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%BE_%D0%B2%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D0%BD%D0%B0" title="Лінійно впорядкована множина"> Лінійно впорядкована множина</a></div> <div class="noprint" style="padding-left:20px">Докладніше: <a href="/wiki/%D0%92%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B5_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%B5" title="Впорядковане поле"> Впорядковане поле</a></div> Між елементами <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }"> визначено відношення порядку <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \leqslant }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>⩽</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \leqslant }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/641be8b31b3bebbb9122010d73df358f4cf7203a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \leqslant }">, тобто для довільної впорядкованої пари елементів <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/181523deba732fda302fd176275a0739121d3bc8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.261ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b}"> із <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }"> встановлено, чи виконується відношення <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\leqslant b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>⩽</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\leqslant b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f994f4b416430409bb184cfa927b85392ee9d18" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.326ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a\leqslant b}"> чи не виконується. При цьому справджуються такі властивості: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\text{II}}_{1}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>II</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{II}}_{1}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41f5c9d18c6965e04be3308013d7423e473ce6f9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.38ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\text{II}}_{1}.}"> <a href="/wiki/%D0%A0%D0%B5%D1%84%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C" class="mw-redirect" title="Рефлексивність">Рефлексивність</a>. Для довільного <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b044c60e01b54c7116ee355431f37ed846badc53" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.749ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\in \mathbb {R} }"></dd></dl> <div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\leqslant a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>⩽</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\leqslant a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89258c5d94db50210b896067219d2c7bf9106b1a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.558ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\leqslant a}"> </div> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\text{II}}_{2}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>II</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{II}}_{2}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f65f54b72927fc7b0c5f1d1e8d2cf1e2dc7113d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.38ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\text{II}}_{2}.}"> <a href="/wiki/%D0%90%D0%BD%D1%82%D0%B8%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C" class="mw-redirect" title="Антисиметричність">Антисиметричність</a>. Для довільних <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe0bf0e2324bac843fab916c46d1b3349017a616" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.78ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }"></dd></dl> <div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a\leqslant b)\land (b\leqslant a)\Rightarrow (a=b)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>⩽</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∧</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo>⩽</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a\leqslant b)\land (b\leqslant a)\Rightarrow (a=b)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e92a6b7d90b19c80ac08ae0a60d750f22c55924a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.602ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a\leqslant b)\land (b\leqslant a)\Rightarrow (a=b)}"> </div> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\text{II}}_{3}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>II</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{II}}_{3}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c82a7809c73bfed9841e52fd104efe994a95f6c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.38ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\text{II}}_{3}.}"> <a href="/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B7%D0%B8%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C" class="mw-redirect" title="Транзитивність">Транзитивність</a>. Для довільних <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5db5a5687f2ba931e229a9a3c402f70bb49aad61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.821ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }"></dd></dl> <div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a\leqslant b)\land (b\leqslant c)\Rightarrow (a\leqslant c)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>⩽</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∧</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo>⩽</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>⩽</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a\leqslant b)\land (b\leqslant c)\Rightarrow (a\leqslant c)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24d5d84f36208383ca7a4af4ae6c4a7a21a6a702" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.388ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a\leqslant b)\land (b\leqslant c)\Rightarrow (a\leqslant c)}"> </div> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\text{II}}_{4}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>II</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{II}}_{4}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/030e0ccc87b544c83cac3a228baa070fe78134b5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.38ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\text{II}}_{4}.}"> Лінійна впорядкованість. Для довільних <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe0bf0e2324bac843fab916c46d1b3349017a616" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.78ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }"></dd></dl> <div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a\leqslant b)\lor (b\leqslant a)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>⩽</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∨</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo>⩽</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a\leqslant b)\lor (b\leqslant a)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eb1ba525f3752c66a9026896f26fa7646ae897b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.853ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a\leqslant b)\lor (b\leqslant a)}"> </div> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\text{II}}_{5}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>II</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{II}}_{5}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a358d50c1bbe5917c52c8d3246eae599d0e74ca" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.38ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\text{II}}_{5}.}"> Зв'язок між додаванням і порядком. Для довільних <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5db5a5687f2ba931e229a9a3c402f70bb49aad61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.821ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }"></dd></dl> <div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a\leqslant b)\Rightarrow (a+c\leqslant b+c)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>⩽</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mo>⩽</mo> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a\leqslant b)\Rightarrow (a+c\leqslant b+c)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/670d970e945b0d9908ca98458a04df639e2371de" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.579ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a\leqslant b)\Rightarrow (a+c\leqslant b+c)}"> </div> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\text{II}}_{6}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>II</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>6</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{II}}_{6}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c64be6e055f1b22cb48519424e1a621a1220adea" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.38ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\text{II}}_{6}.}"> Зв'язок між множенням і порядком. Для довільних <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe0bf0e2324bac843fab916c46d1b3349017a616" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.78ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }"></dd></dl> <div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (0\leqslant a)\land (0\leqslant b)\Rightarrow (0\leqslant a\cdot b)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo>⩽</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∧</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo>⩽</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo>⩽</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (0\leqslant a)\land (0\leqslant b)\Rightarrow (0\leqslant a\cdot b)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a65e705fd7ce8b8fed6f543a4005c48a6b469c4f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.541ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (0\leqslant a)\land (0\leqslant b)\Rightarrow (0\leqslant a\cdot b)}"> </div> На основі відношення порядку <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \leqslant }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>⩽</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \leqslant }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/641be8b31b3bebbb9122010d73df358f4cf7203a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \leqslant }"> означують інші відношення між дійсними числами: <div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (b\geqslant a)\;{\overset {\text{def}}{\Leftrightarrow }}\;(a\leqslant b)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo>⩾</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mo stretchy="false">⇔</mo> <mtext>def</mtext> </mover> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>⩽</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (b\geqslant a)\;{\overset {\text{def}}{\Leftrightarrow }}\;(a\leqslant b)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d5787434a15d8b96646bcdb4f5d508c3b6ac3ba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.884ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle (b\geqslant a)\;{\overset {\text{def}}{\Leftrightarrow }}\;(a\leqslant b)}"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a<b)\;{\overset {\text{def}}{\Leftrightarrow }}\;(a\leqslant b)\land (a\neq b)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo><</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mo stretchy="false">⇔</mo> <mtext>def</mtext> </mover> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>⩽</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∧</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>≠</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a<b)\;{\overset {\text{def}}{\Leftrightarrow }}\;(a\leqslant b)\land (a\neq b)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa58962f431c3761ca402bdea8f6936ba90733e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.602ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle (a<b)\;{\overset {\text{def}}{\Leftrightarrow }}\;(a\leqslant b)\land (a\neq b)}"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (b>a)\;{\overset {\text{def}}{\Leftrightarrow }}\;(a<b)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo>></mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mo stretchy="false">⇔</mo> <mtext>def</mtext> </mover> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo><</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (b>a)\;{\overset {\text{def}}{\Leftrightarrow }}\;(a<b)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d92ac0eb9a28a05ad533cf810776e2f2abac2f46" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.884ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle (b>a)\;{\overset {\text{def}}{\Leftrightarrow }}\;(a<b)}"> </div> Також, для довільного впорядкованого поля можна ввести поняття абсолютної величини його елементів. Для довільного дійсного числа <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> дійсне число, яке позначається <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |a|}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |a|}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b61d5baa05004815f3abc52f517ce62b609b9b6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.523ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |a|}"> і визначене формулою <div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |a|=\left\{{\begin{array}{ll}a,&a\geqslant 0,\\-a,&a<0,\end{array}}\right.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="left left" rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>a</mi> <mo>,</mo> </mtd> <mtd> <mi>a</mi> <mo>⩾</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> </mtd> <mtd> <mi>a</mi> <mo><</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |a|=\left\{{\begin{array}{ll}a,&a\geqslant 0,\\-a,&a<0,\end{array}}\right.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cc8265daebaa63c5214355144889e467e227405" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:20.261ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle |a|=\left\{{\begin{array}{ll}a,&a\geqslant 0,\\-a,&a<0,\end{array}}\right.}"></div> називається абсолютною величиною або модулем числа <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}">. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Аксіоми_неперервності"><a href="/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D1%96%D0%BE%D0%BC%D0%B0_%D0%BD%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%80%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96" class="mw-redirect" title="Аксіома неперервності">Аксіоми неперервності</a></h3>[<a href="/w/index.php?title=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&veaction=edit&section=11" title="Редагувати розділ: Аксіоми неперервності" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&action=edit&section=11" title="Редагувати вихідний код розділу: Аксіоми неперервності">ред. код</a>]</div> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\text{III}}_{1}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>III</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{III}}_{1}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cc2c92b02cd3ab9873a29aa373cfa4fc2ee9549" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.22ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\text{III}}_{1}.}"> Які б не були непорожні множини <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\subset \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>⊂</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\subset \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef692ec1b19585252716a62d8951d503037bf4ad" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\subset \mathbb {R} }"> і <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B\subset \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> <mo>⊂</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B\subset \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a11afcfbded2c6393d0185cf3e31814d8fb67b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.541ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B\subset \mathbb {R} }"> такі, що для довільних двох елементів <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a97387981adb5d65f74518e20b6785a284d7abd5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.814ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\in A}"> і <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b\in B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b\in B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61dbfba9ff608c8700a30596649d98dcc6147d86" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.602ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b\in B}"> виконується нерівність <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\leqslant b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>⩽</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\leqslant b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f994f4b416430409bb184cfa927b85392ee9d18" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.326ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a\leqslant b}">, існує таке число <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ξ</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d76d71407fc7c7e1978c8f4a7d393f243ea1c83" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.549ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }">, що для всіх <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a97387981adb5d65f74518e20b6785a284d7abd5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.814ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\in A}"> і <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b\in B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b\in B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61dbfba9ff608c8700a30596649d98dcc6147d86" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.602ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b\in B}"> виконуються нерівності</dd></dl> <div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\leqslant \xi \leqslant b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>⩽</mo> <mi>ξ</mi> <mo>⩽</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\leqslant \xi \leqslant b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bad712c1f558cb7dd2a05dbc3fa2b14af460f57" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.454ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a\leqslant \xi \leqslant b}"></div> Аксіома <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\text{III}}_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>III</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{III}}_{1}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e011cd78f9bc28ae1ac7cde549cd0553b83e5f38" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.573ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\text{III}}_{1}}"> може бути замінена на наступні два твердження: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\text{III}}_{1}'.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>III</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{III}}_{1}'.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b346d5a1a48dcdc9e0f0114a8b727c0f72e426ee" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.22ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\text{III}}_{1}'.}"> <a href="/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D1%96%D0%BE%D0%BC%D0%B0_%D0%90%D1%80%D1%85%D1%96%D0%BC%D0%B5%D0%B4%D0%B0" title="Аксіома Архімеда">Аксіома Архімеда</a>. Нехай <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ,\,a>0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>a</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ,\,a>0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2383b368366a0ee41300a3a2ac779c009c4b7293" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.692ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ,\,a>0}"> і <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b>0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b>0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94436473a90bd55191a79c59474cb5456dcbec00" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.258ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b>0}">. Тоді взявши елемент <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> доданком достатню кількість разів, можна перевершити <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}">:</dd></dl> <div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a+a+\ldots +a>b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mo>…</mo> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mo>></mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a+a+\ldots +a>b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/434fb94494fcc97e5dc788acde6f3fb38c31e739" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:19.03ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a+a+\ldots +a>b}"> </div> Поле для якого виконується аксіома Архімеда називається архімедовим. Прикладом неархімедового поля є, наприклад, <a href="/wiki/P-%D0%B0%D0%B4%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="P-адичне число">поле p-адичних чисел</a>. <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\text{III}}_{2}'.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>III</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{III}}_{2}'.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cd6ab1a4b621352a38ba83ee4660e11ff2f2e4a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.22ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\text{III}}_{2}'.}"> Аксіома повноти (в сенсі Гільберта). Систему <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }"> неможливо розширити до жодної іншої системи <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0533765ec036adbcb5cc15bb277b299906c49ff" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}"> так, щоб при збереженні попередніх відношень між елементами <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }">, для <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0533765ec036adbcb5cc15bb277b299906c49ff" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}"> виконувались би всі аксіоми <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\text{I}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>I</mtext> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{I}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20354ea5f11686221cb7f2442708c22593abd5df" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\text{I}}}">—<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\text{II}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>II</mtext> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{II}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53ccaff226a580decc272cf1922e6e9f4f92b542" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.679ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\text{II}}}">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\text{III}}_{1}'.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>III</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{III}}_{1}'.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b346d5a1a48dcdc9e0f0114a8b727c0f72e426ee" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.22ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\text{III}}_{1}'.}">.</dd></dl> Цих аксіом достатньо, щоб строго вивести всі відомі властивості дійсних чисел. Множина елементів, для яких виконуються наведені вище аксіоми називається неперервним впорядкованим полем. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Наслідки_з_аксіом_множини_дійсних_чисел"><span id=".D0.9D.D0.B0.D1.81.D0.BB.D1.96.D0.B4.D0.BA.D0.B8_.D0.B7_.D0.B0.D0.BA.D1.81.D1.96.D0.BE.D0.BC_.D0.BC.D0.BD.D0.BE.D0.B6.D0.B8.D0.BD.D0.B8_.D0.B4.D1.96.D0.B9.D1.81.D0.BD.D0.B8.D1.85_.D1.87.D0.B8.D1.81.D0.B5.D0.BB">Наслідки з аксіом множини дійсних чисел</h3>[<a href="/w/index.php?title=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&veaction=edit&section=12" title="Редагувати розділ: Наслідки з аксіом множини дійсних чисел" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&action=edit&section=12" title="Редагувати вихідний код розділу: Наслідки з аксіом множини дійсних чисел">ред. код</a>]</div> <ul><li>(єдиність нуля) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \exists !\,0\in \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mo>!</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mn>0</mn> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exists !\,0\in \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0015d3bfb0b87b1b25b50fda467c7a903905f22d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.008ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \exists !\,0\in \mathbb {R} }"></li></ul> <ul><li>(єдиність протилежного елемента) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} \quad \exists !\,(-a)\in \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mspace width="1em" /> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mo>!</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} \quad \exists !\,(-a)\in \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2357e0e40a3f1d8aca56e3d5bd113525a1dd87bb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.056ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} \quad \exists !\,(-a)\in \mathbb {R} }"></li></ul> <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {R} \quad \exists !\,x\in \mathbb {R} \quad \Rightarrow \quad a+x=b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mspace width="1em" /> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mo>!</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mspace width="1em" /> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {R} \quad \exists !\,x\in \mathbb {R} \quad \Rightarrow \quad a+x=b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa1232e4dd4e15256d6fdd43078f2c454166df1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:37.325ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {R} \quad \exists !\,x\in \mathbb {R} \quad \Rightarrow \quad a+x=b}"></li></ul> <ul><li>(єдиність одиниці) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \exists !\,1\in \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mo>!</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mn>1</mn> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exists !\,1\in \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90bc961a08edb92036bdf943fdd9b13185f43920" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.008ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \exists !\,1\in \mathbb {R} }"></li></ul> <ul><li>(єдиність оберненого елемента) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} \setminus \{0\}\quad \exists !\,a^{-1}\in \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo class="MJX-variant">∖</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>0</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mspace width="1em" /> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mo>!</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} \setminus \{0\}\quad \exists !\,a^{-1}\in \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54cfa32d9f1cf8e54cf5aebf3e18d82163f575a9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.454ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} \setminus \{0\}\quad \exists !\,a^{-1}\in \mathbb {R} }"></li></ul> <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} \setminus \{0\}\quad \forall b\in \mathbb {R} \quad \exists !\,x\in \mathbb {R} \quad \Rightarrow \quad a\cdot x=b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo class="MJX-variant">∖</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>0</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mspace width="1em" /> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mspace width="1em" /> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mo>!</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mspace width="1em" /> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} \setminus \{0\}\quad \forall b\in \mathbb {R} \quad \exists !\,x\in \mathbb {R} \quad \Rightarrow \quad a\cdot x=b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2117e7ebe0ff99b7529e94d7b2b46babe46ffef7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:48.946ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} \setminus \{0\}\quad \forall b\in \mathbb {R} \quad \exists !\,x\in \mathbb {R} \quad \Rightarrow \quad a\cdot x=b}"></li></ul> <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} \quad a\cdot 0=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mspace width="1em" /> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mn>0</mn> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} \quad a\cdot 0=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca15a1510fc2822f5cf29f149cb1854906a42c86" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:17.696ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} \quad a\cdot 0=0}"></li></ul> <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {R} \quad a\cdot b=0\quad \Rightarrow \quad (a=0)\lor (b=0)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mspace width="1em" /> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∨</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {R} \quad a\cdot b=0\quad \Rightarrow \quad (a=0)\lor (b=0)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/232085dce8fc8cc00190905e1ee41868b8ccf859" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:44.772ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {R} \quad a\cdot b=0\quad \Rightarrow \quad (a=0)\lor (b=0)}"></li></ul> <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} \quad (-1)\cdot a=-a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} \quad (-1)\cdot a=-a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8500e901b24e3fed16f78d47bd4bc23281abb4f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.189ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} \quad (-1)\cdot a=-a}"></li></ul> <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} \quad (-1)\cdot (-a)=a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} \quad (-1)\cdot (-a)=a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99ea8b6a92bac335cca2f57cac765c209cb13562" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.998ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} \quad (-1)\cdot (-a)=a}"></li></ul> <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} \quad (-a)\cdot (-a)=a\cdot a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} \quad (-a)\cdot (-a)=a\cdot a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe306c3e0afa8bca2e79c5a008926ac3de6c7186" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.974ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} \quad (-a)\cdot (-a)=a\cdot a}"></li></ul> <ul><li>Для довільних <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe0bf0e2324bac843fab916c46d1b3349017a616" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.78ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }"> виконується одне і лише одне зі співвідношень</li></ul> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1)a<b;\quad 2)a=b;\quad 3)a>b.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>a</mi> <mo><</mo> <mi>b</mi> <mo>;</mo> <mspace width="1em" /> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mi>b</mi> <mo>;</mo> <mspace width="1em" /> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>a</mi> <mo>></mo> <mi>b</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1)a<b;\quad 2)a=b;\quad 3)a>b.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aac1497c9cacfbe09ba4946cefe8c05be057f8b9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.539ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 1)a<b;\quad 2)a=b;\quad 3)a>b.}"></dd></dl> <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {R} \quad (a<b)\land (b\leqslant c)\Rightarrow (a<c)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo><</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∧</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo>⩽</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo><</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {R} \quad (a<b)\land (b\leqslant c)\Rightarrow (a<c)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4070ee7a8475f75c218a9c316ddc08b761eda96c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:40.824ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {R} \quad (a<b)\land (b\leqslant c)\Rightarrow (a<c)}"></li></ul> <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {R} \quad (a<b)\land (b<c)\Rightarrow (a<c)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo><</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∧</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo><</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo><</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {R} \quad (a<b)\land (b<c)\Rightarrow (a<c)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b27179f8de173753e1e31dfd242a8728ca65f743" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:40.824ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {R} \quad (a<b)\land (b<c)\Rightarrow (a<c)}"></li></ul> <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {R} \quad (a<b)\Rightarrow (a+c<b+c)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo><</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mo><</mo> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {R} \quad (a<b)\Rightarrow (a+c<b+c)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be02b7bcf7041f9e8b97d08dbc446ff4a73f47f0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:39.015ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {R} \quad (a<b)\Rightarrow (a+c<b+c)}"></li></ul> <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall a,b,c,d\in \mathbb {R} \quad (a\leqslant b)\land (c\leqslant d)\Rightarrow (a+c\leqslant b+d)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> <mo>,</mo> <mi>d</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>⩽</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∧</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>c</mi> <mo>⩽</mo> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mo>⩽</mo> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall a,b,c,d\in \mathbb {R} \quad (a\leqslant b)\land (c\leqslant d)\Rightarrow (a+c\leqslant b+d)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22123ca08c5d1ab5739a32d0db58e09ba1fc3e27" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:51.187ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall a,b,c,d\in \mathbb {R} \quad (a\leqslant b)\land (c\leqslant d)\Rightarrow (a+c\leqslant b+d)}"></li></ul> <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall a,b,c,d\in \mathbb {R} \quad (a\leqslant b)\land (c<d)\Rightarrow (a+c<b+d)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> <mo>,</mo> <mi>d</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>⩽</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∧</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>c</mi> <mo><</mo> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mo><</mo> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall a,b,c,d\in \mathbb {R} \quad (a\leqslant b)\land (c<d)\Rightarrow (a+c<b+d)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09c24da8eb15a3e27176a2f2c10893d48b93ce00" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:51.187ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall a,b,c,d\in \mathbb {R} \quad (a\leqslant b)\land (c<d)\Rightarrow (a+c<b+d)}"></li></ul> <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} \quad (0<a)\Rightarrow (-a<0)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo><</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo><</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} \quad (0<a)\Rightarrow (-a<0)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ec9c6cffd62cf39e0c61052b9279c534e705af3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.386ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} \quad (0<a)\Rightarrow (-a<0)}"></li></ul> <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (0<a)\land (0<b)\Rightarrow (0<a\cdot b)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo><</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∧</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo><</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo><</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (0<a)\land (0<b)\Rightarrow (0<a\cdot b)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce4d77d64dfda4522f0feddaad277d4ea911af39" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.541ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (0<a)\land (0<b)\Rightarrow (0<a\cdot b)}"></li></ul> <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a<0)\land (b<0)\Rightarrow (a\cdot b>0)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo><</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∧</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo><</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>b</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a<0)\land (b<0)\Rightarrow (a\cdot b>0)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a70863716ce56bcb6bdee63e778864570b7932e1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.541ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a<0)\land (b<0)\Rightarrow (a\cdot b>0)}"></li></ul> <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a<0)\land (0<b)\Rightarrow (a\cdot b<0)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo><</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∧</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo><</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>b</mi> <mo><</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a<0)\land (0<b)\Rightarrow (a\cdot b<0)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f61fc60d7f71c6c98826d3d05b3421d2287442d5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.541ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a<0)\land (0<b)\Rightarrow (a\cdot b<0)}"></li></ul> <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a<b)\land (0<c)\Rightarrow (a\cdot c<b\cdot c)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo><</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∧</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo><</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>c</mi> <mo><</mo> <mi>b</mi> <mo>⋅</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a<b)\land (0<c)\Rightarrow (a\cdot c<b\cdot c)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbf33130a0216b286f17f95aa42e0e53cc204716" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.916ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a<b)\land (0<c)\Rightarrow (a\cdot c<b\cdot c)}"></li></ul> <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a<b)\land (c<0)\Rightarrow (a\cdot c>b\cdot c)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo><</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∧</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>c</mi> <mo><</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>c</mi> <mo>></mo> <mi>b</mi> <mo>⋅</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a<b)\land (c<0)\Rightarrow (a\cdot c>b\cdot c)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/435f5900c383320d4006ef7ea05a3af88f5dc4c2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.916ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a<b)\land (c<0)\Rightarrow (a\cdot c>b\cdot c)}"></li></ul> <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (0<1)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo><</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (0<1)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6820f7e0973edc60ca591195cb86a3f1c245d7d7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.233ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (0<1)}"></li></ul> <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (0<a)\Rightarrow (0<a^{-1})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo><</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo><</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (0<a)\Rightarrow (0<a^{-1})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf42f47558ed670afa36603af43339f1805c573b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.547ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (0<a)\Rightarrow (0<a^{-1})}"></li></ul> <div class="NavFrame collapsed" style=""> <div class="NavHead" style="text-align: left;">Доведення деяких з наслідків  </div> <div class="NavContent" style="text-align: left;"> Приклад 1. Єдиність нуля. Припустимо, що існують два нулі <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0_{1}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffcbaadc369212b63913f69e032bad9c2a833d0a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.217ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 0_{1}}"> та <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10730d2cb2d29b632e4f4c5290bb74e09eaf2bbb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.217ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 0_{2}}">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0_{1}\neq 0_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>≠</mo> <msub> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0_{1}\neq 0_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c452f54262c23ef7aec3c4a055ff89657fbda11" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.532ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 0_{1}\neq 0_{2}}">. Оскільки елемент <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0_{1}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffcbaadc369212b63913f69e032bad9c2a833d0a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.217ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 0_{1}}"> є нулем, то <center> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0_{2}+0_{1}=0_{2},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0_{2}+0_{1}=0_{2},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e6e01b1f6fc0df36e1e4d4b184f0f031cf21621" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.236ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 0_{2}+0_{1}=0_{2},}"> </center> а оскільки елемент <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10730d2cb2d29b632e4f4c5290bb74e09eaf2bbb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.217ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 0_{2}}"> також є нулем, то <center> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0_{1}+0_{2}=0_{1}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0_{1}+0_{2}=0_{1}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7217e3879d25ae4d556f28b42c6b676b0bb7f56c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.236ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 0_{1}+0_{2}=0_{1}.}"> </center> Тоді, враховуючи аксіому <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\text{I}}_{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>I</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{I}}_{3}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0567b92a9e9c562c7ecbf55503f63433406c12e5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.894ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\text{I}}_{3}}">, отримуємо <center> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0_{1}=0_{1}+0_{2}=0_{2}+0_{1}=0_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0_{1}=0_{1}+0_{2}=0_{2}+0_{1}=0_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe9ee5fe356c482c44e7669ad1d8394c0d33c89e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:28.276ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 0_{1}=0_{1}+0_{2}=0_{2}+0_{1}=0_{2}}"> </center> Отже <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0_{1}=0_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0_{1}=0_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a55419cc2466b43574c924767ae29184b0990f2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.532ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 0_{1}=0_{2}}">. Приклад 2. Для довільного <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b044c60e01b54c7116ee355431f37ed846badc53" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.749ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\in \mathbb {R} }"> <center> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\cdot 0=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mn>0</mn> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\cdot 0=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31f39efe37450f6bce024486f458a90d11a08278" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.332ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\cdot 0=0}"> </center> За властивістю <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\text{I}}_{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>I</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{I}}_{3}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0567b92a9e9c562c7ecbf55503f63433406c12e5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.894ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\text{I}}_{3}}"> <center> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\cdot 0=a\cdot 0+0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mn>0</mn> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mn>0</mn> <mo>+</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\cdot 0=a\cdot 0+0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e51ad80d0acdbe881d52959e63fa034af80cead" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:15.244ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a\cdot 0=a\cdot 0+0}"> </center> За властивостями <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\text{I}}_{4},{\text{I}}_{7}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>I</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>I</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>7</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{I}}_{4},{\text{I}}_{7}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35786b09a1c9e284041c5c04bcde1eed8a69842f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.822ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\text{I}}_{4},{\text{I}}_{7}}"> <center> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\cdot 0=a\cdot 0+a+(-a)=a\cdot 0+a\cdot 1+(-a)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mn>0</mn> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mn>0</mn> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mn>0</mn> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\cdot 0=a\cdot 0+a+(-a)=a\cdot 0+a\cdot 1+(-a)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26ea09369533e6452aff8dd11cd2216bdb117e1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:44.768ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a\cdot 0=a\cdot 0+a+(-a)=a\cdot 0+a\cdot 1+(-a)}"> </center> За властивостями <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\text{I}}_{9},{\text{I}}_{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>I</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>9</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>I</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{I}}_{9},{\text{I}}_{3}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41e5d58db144f4a568cb7a799035a7892f42950a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.822ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\text{I}}_{9},{\text{I}}_{3}}"> <center> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\cdot 0=a\cdot 0+a\cdot 1+(-a)=a\cdot (0+1)+(-a)=a\cdot 1+(-a)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mn>0</mn> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mn>0</mn> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\cdot 0=a\cdot 0+a\cdot 1+(-a)=a\cdot (0+1)+(-a)=a\cdot 1+(-a)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3889fe82a5e4ffec9e66cbf4ea84d62aa01f364a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:61.368ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a\cdot 0=a\cdot 0+a\cdot 1+(-a)=a\cdot (0+1)+(-a)=a\cdot 1+(-a)}"> </center> і за властивостями <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\text{I}}_{7},{\text{I}}_{4}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>I</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>7</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>I</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{I}}_{7},{\text{I}}_{4}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/927d0995f1b93e97f7dfd7e8833d034854388a4b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.822ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\text{I}}_{7},{\text{I}}_{4}}"> <center> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\cdot 0=a\cdot 1+(-a)=a+(-a)=0.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mn>0</mn> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\cdot 0=a\cdot 1+(-a)=a+(-a)=0.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d918250b6e2f560bcf505dde5897dc840a083ae" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:35.853ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a\cdot 0=a\cdot 1+(-a)=a+(-a)=0.}"> </center> Приклад 3. Для довільного <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b044c60e01b54c7116ee355431f37ed846badc53" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.749ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\in \mathbb {R} }"> <center> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -a=(-1)\cdot a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -a=(-1)\cdot a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/908ea903fbf697e8c6aaf84b837eb57738744084" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.825ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle -a=(-1)\cdot a}"> </center> За властивостями <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\text{I}}_{7},{\text{I}}_{9},{\text{I}}_{4}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>I</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>7</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>I</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>9</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>I</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{I}}_{7},{\text{I}}_{9},{\text{I}}_{4}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1ed890e9c021bb3d35e4bd63fe4c08143e991c7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.749ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\text{I}}_{7},{\text{I}}_{9},{\text{I}}_{4}}"> та твердження прикладу 1 маємо <center> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a+(-1)\cdot a=1\cdot a+(-1)\cdot a=(1+(-1))\cdot a=0\cdot a=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a+(-1)\cdot a=1\cdot a+(-1)\cdot a=(1+(-1))\cdot a=0\cdot a=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21a29ae0a13e02f95143b0c04f2234f015dee9f8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:57.488ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a+(-1)\cdot a=1\cdot a+(-1)\cdot a=(1+(-1))\cdot a=0\cdot a=0}"> </center> Тоді з властивості <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\text{I}}_{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>I</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{I}}_{3}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0567b92a9e9c562c7ecbf55503f63433406c12e5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.894ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\text{I}}_{3}}"> та єдності протилежного елемента (спробуйте довести самостійно, що протилежний елемент до заданого числа визначається єдиним чином) випливає, що <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (-1)\cdot a=-a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (-1)\cdot a=-a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0316eaf9e3143ddb6ec3fcccf558f0d0c4a71603" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.825ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (-1)\cdot a=-a}">. Приклад 4 (мінус на мінус дорівнює плюс). Для довільного <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b044c60e01b54c7116ee355431f37ed846badc53" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.749ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\in \mathbb {R} }"> <center> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (-a)\cdot (-a)=a\cdot a.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (-a)\cdot (-a)=a\cdot a.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bc1d35faf5f606a19b85a4fe2d4dbc4e57d1e99" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.258ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (-a)\cdot (-a)=a\cdot a.}"> </center> Дійсно, згідно властивостей <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\text{I}}_{1},{\text{I}}_{2},{\text{I}}_{3},{\text{I}}_{4},{\text{I}}_{5},{\text{I}}_{9},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>I</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>I</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>I</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>I</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>I</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>I</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>9</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{I}}_{1},{\text{I}}_{2},{\text{I}}_{3},{\text{I}}_{4},{\text{I}}_{5},{\text{I}}_{9},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67236c8d68649bf0d78edc5d75fd8468e5428ff7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.18ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\text{I}}_{1},{\text{I}}_{2},{\text{I}}_{3},{\text{I}}_{4},{\text{I}}_{5},{\text{I}}_{9},}"> та прикладу 1 <center> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (-a)\cdot (-a)=(-a)\cdot (-a)+0=(-a)\cdot (-a)+a\cdot 0=(-a)\cdot (-a)+a\cdot (a+(-a))=(-a)\cdot (-a)+a\cdot a+a\cdot (-a)=}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mn>0</mn> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mn>0</mn> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (-a)\cdot (-a)=(-a)\cdot (-a)+0=(-a)\cdot (-a)+a\cdot 0=(-a)\cdot (-a)+a\cdot (a+(-a))=(-a)\cdot (-a)+a\cdot a+a\cdot (-a)=}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57295ddc26525423403539158d19be3d8812a3c5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:116.681ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (-a)\cdot (-a)=(-a)\cdot (-a)+0=(-a)\cdot (-a)+a\cdot 0=(-a)\cdot (-a)+a\cdot (a+(-a))=(-a)\cdot (-a)+a\cdot a+a\cdot (-a)=}"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle =(-a)\cdot (-a)+a\cdot (-a)+a\cdot a=((-a)\cdot (-a)+a\cdot (-a))+a\cdot a=(a+(-a))\cdot (-a)+a\cdot a=0\cdot (-a)+a\cdot a=0+a\cdot a=a\cdot a.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle =(-a)\cdot (-a)+a\cdot (-a)+a\cdot a=((-a)\cdot (-a)+a\cdot (-a))+a\cdot a=(a+(-a))\cdot (-a)+a\cdot a=0\cdot (-a)+a\cdot a=0+a\cdot a=a\cdot a.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c3c625dbbc9ab59d68f7257d4d3ecb642255c97" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:129.481ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle =(-a)\cdot (-a)+a\cdot (-a)+a\cdot a=((-a)\cdot (-a)+a\cdot (-a))+a\cdot a=(a+(-a))\cdot (-a)+a\cdot a=0\cdot (-a)+a\cdot a=0+a\cdot a=a\cdot a.}"> </center> </div></div> <div class="NavFrame collapsed" style=""> <div class="NavHead" style="text-align: left;">Про ділення на нуль  </div> <div class="NavContent" style="text-align: left;"> Наслідком аксіоми <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\text{I}}_{10}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>I</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>10</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{I}}_{10}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/478e788067a6dd9779e0b8bc7d775d7ed8443154" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.716ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\text{I}}_{10}}"> є неможливість ділення на нуль у межах поля дійсних чисел, оскільки тоді елемент обернений до нуля не може бути дійсним числом. Припустимо, що існує елемент обернений до нуля і позначимо його <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0^{-1}\in \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0^{-1}\in \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a3265766509b5668dd85779cbe53da09c620ca0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.014ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 0^{-1}\in \mathbb {R} }">. Тоді за аксіомою <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\text{I}}_{8}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>I</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>8</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{I}}_{8}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cbaa8c191548dd8b61282f225a9a5627b0e76c0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.894ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\text{I}}_{8}}"> <center> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0\cdot 0^{-1}=1.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>1.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0\cdot 0^{-1}=1.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eecd18a4520b12f347ea6538806f8ebd9ddbd748" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.245ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 0\cdot 0^{-1}=1.}"> </center> Враховуючи аксіоми <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\text{I}}_{6},{\text{I}}_{7},{\text{I}}_{8}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>I</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>6</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>I</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>7</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>I</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>8</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{I}}_{6},{\text{I}}_{7},{\text{I}}_{8}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e2db6663f6fa40048071ef002944f7ddb9ca296" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.749ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\text{I}}_{6},{\text{I}}_{7},{\text{I}}_{8}}"> для довільного <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b044c60e01b54c7116ee355431f37ed846badc53" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.749ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\in \mathbb {R} }"> отримуємо <center> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1=0\cdot 0^{-1}=(a\cdot 0)\cdot 0^{-1}=a\cdot (0\cdot 0^{-1})=a\cdot 1=a,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1=0\cdot 0^{-1}=(a\cdot 0)\cdot 0^{-1}=a\cdot (0\cdot 0^{-1})=a\cdot 1=a,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91d864b3e3e9087b6e59da353304fb3e5f34bdf2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:51.05ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle 1=0\cdot 0^{-1}=(a\cdot 0)\cdot 0^{-1}=a\cdot (0\cdot 0^{-1})=a\cdot 1=a,}"> </center> що неможливо. Отже <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0^{-1}\notin \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>∉</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0^{-1}\notin \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65047ad6cb1ad6cdfaa18f02900b8484c05f4654" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.014ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle 0^{-1}\notin \mathbb {R} }">. Ми тут припускали, що виконується аксіома <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\text{I}}_{10}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>I</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>10</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{I}}_{10}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/478e788067a6dd9779e0b8bc7d775d7ed8443154" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.716ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\text{I}}_{10}}">, інакше, в протилежному випадку, поле складається тільки з одного елемента — нуля (який є оберненим сам до себе), і є тривіальним. В силу аксіоми повноти <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\text{III}}_{2}'}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>III</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{III}}_{2}'}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a94af07d15e26abd668d10f4d9bbd3e194f68e7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.573ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\text{III}}_{2}'}">, нова система <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{0^{-1}\}\cup \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <msup> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>∪</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{0^{-1}\}\cup \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aae6a09d167b03e2c90111a8bfc929676cc17b06" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.081ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \{0^{-1}\}\cup \mathbb {R} }"> не буде полем дійсних чисел. </div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Класи_дійсних_чисел">Класи дійсних чисел</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&veaction=edit&section=13" title="Редагувати розділ: Класи дійсних чисел" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&action=edit&section=13" title="Редагувати вихідний код розділу: Класи дійсних чисел">ред. код</a>]</div> <ul><li>Підмножина дійсних чисел вигляду <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{1,1+1,1+1+1,1+1+1+1,\ldots \}=\{1,2,3,4,\ldots \}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> <mn>4</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{1,1+1,1+1+1,1+1+1+1,\ldots \}=\{1,2,3,4,\ldots \}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b73faa6f6ba5e6844d3eafefe5a71cee38b82c98" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:54.783ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{1,1+1,1+1+1,1+1+1+1,\ldots \}=\{1,2,3,4,\ldots \}}"> називається множиною натуральних чисел і позначається <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {N} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {N} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdf9a96b565ea202d0f4322e9195613fb26a9bed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {N} }">;</li></ul> <ul><li>Підмножина <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} =\{-\mathbb {N} \}\cup \{0\}\cup \mathbb {N} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>∪</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>0</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>∪</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} =\{-\mathbb {N} \}\cup \{0\}\cup \mathbb {N} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d22b3eb3011f17a5fc32e4ed08c514c28c67ddbd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.791ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} =\{-\mathbb {N} \}\cup \{0\}\cup \mathbb {N} }">, де <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{-\mathbb {N} \}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{-\mathbb {N} \}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/653c7d50875fde88b2da243c8fc357c81cf4ab22" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.811ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{-\mathbb {N} \}}"> множина чисел протилежних до натуральних, — називається множиною цілих чисел;</li></ul> <ul><li>Підмножина <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} =\{q=m\cdot n^{-1},m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} \}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} =\{q=m\cdot n^{-1},m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} \}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f6b9c950bd14ff3c32bfa502715e7522feca9b5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:33.259ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} =\{q=m\cdot n^{-1},m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} \}}"> називається множиною раціональних чисел;</li></ul> <ul><li>Підмножина <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {I} =\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">I</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo class="MJX-variant">∖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {I} =\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/720d781e3106162ca1f4e2ff351e5714f4308c23" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.684ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {I} =\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }"> — множина ірраціональних чисел;</li></ul> <ul><li>Якщо <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b044c60e01b54c7116ee355431f37ed846badc53" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.749ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\in \mathbb {R} }"> і <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a<0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo><</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a<0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5d7ca60f6ed64b99649dcee21847295fedf206c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.491ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a<0}">, то кажуть, що число a — від'ємне;</li></ul> <ul><li>Якщо <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b044c60e01b54c7116ee355431f37ed846badc53" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.749ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\in \mathbb {R} }"> і <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a>0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a>0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f34a80ea013edb56e340b19550430a8b6dfd7b9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.491ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a>0}">, то кажуть, що число a — додатне;</li></ul> <ul><li>Якщо <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b044c60e01b54c7116ee355431f37ed846badc53" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.749ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\in \mathbb {R} }"> і <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\leqslant 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>⩽</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\leqslant 0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f05b7f5ef2a4479f1e5da10480d9e6b150e17f29" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.491ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a\leqslant 0}">, то кажуть, що число a — недодатне;</li></ul> <ul><li>Якщо <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b044c60e01b54c7116ee355431f37ed846badc53" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.749ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\in \mathbb {R} }"> і <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\geqslant 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>⩾</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\geqslant 0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/446f4379983a9cc1adad897fca07302a50e8b1e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.491ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a\geqslant 0}">, то кажуть, що число a — невід'ємне;</li></ul> <ul><li>Якщо число <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b044c60e01b54c7116ee355431f37ed846badc53" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.749ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\in \mathbb {R} }"> є коренем деякого многочлена з раціональними коефіцієнтами, то воно називається <a href="/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0%D1%97%D1%87%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" class="mw-redirect" title="Алгебраїчне число">алгебраїчним</a>, інакше — <a href="/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Трансцендентне число">трансцендентним</a>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Зв'язок_з_раціональними_числами">Зв'язок з раціональними числами</h3>[<a href="/w/index.php?title=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&veaction=edit&section=14" title="Редагувати розділ: Зв'язок з раціональними числами" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&action=edit&section=14" title="Редагувати вихідний код розділу: Зв'язок з раціональними числами">ред. код</a>]</div> Очевидно, що на числовій прямій раціональні числа розміщені в купі з дійсними, причому множина дійсних чисел «щільніша» ніж множина раціональних. Виникає питання, як часто на числовій прямій зустрічаються раціональні і дійсні числа та чи можна одні числа наблизити іншими. Відповідь на це питання дають три наступні <a href="/wiki/%D0%9B%D0%B5%D0%BC%D0%B0" title="Лема">леми</a>, які ґрунтуються, в основному, на <a href="/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D1%96%D0%BE%D0%BC%D0%B0_%D0%90%D1%80%D1%85%D1%96%D0%BC%D0%B5%D0%B4%D0%B0" title="Аксіома Архімеда">аксіомі Архімеда</a>.<a href="#cite_note-ilyin-15">[15]</a> Лема 1. Для довільного дійсного числа і для довільного наперед взятого додатного раціонального числа <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ε</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon }"> знайдеться пара раціональних чисел, які знаходяться один від одного на відстані менш, ніж <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ε</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon }">, таких, що дійсне число лежить на <a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%B4%D1%80%D1%96%D0%B7%D0%BE%D0%BA" title="Відрізок">відрізку</a> між цими раціональними числами. <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} \quad \forall \varepsilon \in \mathbb {Q} _{+}\quad \exists q_{1},q_{2}\in \mathbb {Q} :~(q_{1}\leqslant a\leqslant q_{2})\land (q_{2}-q_{1}<\varepsilon )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mspace width="1em" /> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>ε</mi> <mo>∈</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> </mrow> </msub> <mspace width="1em" /> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> <mo>:</mo> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⩽</mo> <mi>a</mi> <mo>⩽</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∧</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo><</mo> <mi>ε</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} \quad \forall \varepsilon \in \mathbb {Q} _{+}\quad \exists q_{1},q_{2}\in \mathbb {Q} :~(q_{1}\leqslant a\leqslant q_{2})\land (q_{2}-q_{1}<\varepsilon )}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a64d1615b6a1281a76d2aad47a3580cd9a183e2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:62.913ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} \quad \forall \varepsilon \in \mathbb {Q} _{+}\quad \exists q_{1},q_{2}\in \mathbb {Q} :~(q_{1}\leqslant a\leqslant q_{2})\land (q_{2}-q_{1}<\varepsilon )}"></dd></dl> Іншими словами, будь-яке дійсне число можна з заданою точністю з обох боків наблизити раціональними числами. Лема 2. Між будь-якими двома різними дійсними числами міститься раціональне число. <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {R} :~a<b\quad \exists q\in \mathbb {Q} :a<q<b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>:</mo> <mtext> </mtext> <mi>a</mi> <mo><</mo> <mi>b</mi> <mspace width="1em" /> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mi>q</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> <mo>:</mo> <mi>a</mi> <mo><</mo> <mi>q</mi> <mo><</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {R} :~a<b\quad \exists q\in \mathbb {Q} :a<q<b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/861a3ff5782294d80037723225381bcff0c93ee5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:37.681ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {R} :~a<b\quad \exists q\in \mathbb {Q} :a<q<b}"></dd></dl> Як наслідок отримуємо, що між будь-якими двома різними дійсними числами міститься нескінченно багато раціональних. Крім того, очевидно, що між будь-якими двома різними раціональними числами міститься дійсне. Будь-який відрізок числової прямої містить як раціональні, так і ірраціональні точки. Лема 3. Наближення дійсного числа раціональним, описане в лемі 1, ідентифікує дійсне число єдиним чином. <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {R} \quad (\forall \varepsilon \in \mathbb {Q} _{+}\,\,\exists q_{1},q_{2}\in \mathbb {Q} :~(q_{1}\leqslant a\leqslant q_{2})\land (q_{1}\leqslant b\leqslant q_{2})\land (q_{2}-q_{1}<\varepsilon ))\quad \Rightarrow \quad a=b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>ε</mi> <mo>∈</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> <mo>:</mo> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⩽</mo> <mi>a</mi> <mo>⩽</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∧</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⩽</mo> <mi>b</mi> <mo>⩽</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∧</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo><</mo> <mi>ε</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mspace width="1em" /> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {R} \quad (\forall \varepsilon \in \mathbb {Q} _{+}\,\,\exists q_{1},q_{2}\in \mathbb {Q} :~(q_{1}\leqslant a\leqslant q_{2})\land (q_{1}\leqslant b\leqslant q_{2})\land (q_{2}-q_{1}<\varepsilon ))\quad \Rightarrow \quad a=b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b465877b9f8540ba1e89c9ed901481cf18f07dca" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:94.559ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {R} \quad (\forall \varepsilon \in \mathbb {Q} _{+}\,\,\exists q_{1},q_{2}\in \mathbb {Q} :~(q_{1}\leqslant a\leqslant q_{2})\land (q_{1}\leqslant b\leqslant q_{2})\land (q_{2}-q_{1}<\varepsilon ))\quad \Rightarrow \quad a=b}"></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Піднесення_до_степеня_та_добування_кореня"><span id=".D0.9F.D1.96.D0.B4.D0.BD.D0.B5.D1.81.D0.B5.D0.BD.D0.BD.D1.8F_.D0.B4.D0.BE_.D1.81.D1.82.D0.B5.D0.BF.D0.B5.D0.BD.D1.8F_.D1.82.D0.B0_.D0.B4.D0.BE.D0.B1.D1.83.D0.B2.D0.B0.D0.BD.D0.BD.D1.8F_.D0.BA.D0.BE.D1.80.D0.B5.D0.BD.D1.8F">Піднесення до степеня та добування кореня</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&veaction=edit&section=15" title="Редагувати розділ: Піднесення до степеня та добування кореня" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&action=edit&section=15" title="Редагувати вихідний код розділу: Піднесення до степеня та добування кореня">ред. код</a>]</div> Для довільного <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b044c60e01b54c7116ee355431f37ed846badc53" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.749ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\in \mathbb {R} }"> та довільного <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\in \mathbb {N} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\in \mathbb {N} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d059936e77a2d707e9ee0a1d9575a1d693ce5d0b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.913ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n\in \mathbb {N} }"> операція піднесення до степеня визначається так: <div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{n}\,{\overset {\text{def}}{=}}\,\underbrace {a\cdot a\cdots a} _{n},\quad a^{0}\,{\overset {\text{def}}{=}}\,1,\quad a^{-n}\,{\overset {\text{def}}{=}}\,{\frac {1}{a^{n}}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mo>=</mo> <mtext>def</mtext> </mover> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <munder> <mrow> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <mo>⋯</mo> <mi>a</mi> </mrow> <mo>⏟</mo> </munder> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munder> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mo>=</mo> <mtext>def</mtext> </mover> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mo>=</mo> <mtext>def</mtext> </mover> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{n}\,{\overset {\text{def}}{=}}\,\underbrace {a\cdot a\cdots a} _{n},\quad a^{0}\,{\overset {\text{def}}{=}}\,1,\quad a^{-n}\,{\overset {\text{def}}{=}}\,{\frac {1}{a^{n}}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89566410a728f17b445b80ca4fede07b6bc38ad3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.671ex; width:37.896ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle a^{n}\,{\overset {\text{def}}{=}}\,\underbrace {a\cdot a\cdots a} _{n},\quad a^{0}\,{\overset {\text{def}}{=}}\,1,\quad a^{-n}\,{\overset {\text{def}}{=}}\,{\frac {1}{a^{n}}}.}"> </div> Число <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b\in \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b\in \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c27fd8c1a9f159a07e13c05bfeda524a5b029f9b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.516ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b\in \mathbb {R} }"> таке, що <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b^{n}=a,\,n\in \mathbb {N} ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>n</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b^{n}=a,\,n\in \mathbb {N} ,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a0edfc9ea4938b010cb80c850e1f05be7e982c2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.526ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle b^{n}=a,\,n\in \mathbb {N} ,}"> називається коренем n-го степеня числа <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b044c60e01b54c7116ee355431f37ed846badc53" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.749ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\in \mathbb {R} }"> і позначається <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mroot> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </mroot> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7873203eb76042fcd24056c553de8c86054a2df" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.166ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}">, тобто <div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ({\sqrt[{n}]{a}})^{n}\,{\overset {\text{def}}{=}}\,a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mroot> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </mroot> </mrow> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mo>=</mo> <mtext>def</mtext> </mover> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\sqrt[{n}]{a}})^{n}\,{\overset {\text{def}}{=}}\,a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/773b344ca55aca29da77f78a1ceab4ca82ea849a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:10.345ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle ({\sqrt[{n}]{a}})^{n}\,{\overset {\text{def}}{=}}\,a}"> </div> Для довільного дійсного <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\geqslant 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>⩾</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\geqslant 0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/446f4379983a9cc1adad897fca07302a50e8b1e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.491ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a\geqslant 0}"> та довільного натурального <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}">, завжди існує дійсне число <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b\geqslant 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mo>⩾</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b\geqslant 0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17ceb681a69c2cef999308ce91a91e1d9dd3eb7d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.258ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle b\geqslant 0}"> таке, що <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b={\sqrt[{n}]{a}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mroot> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </mroot> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b={\sqrt[{n}]{a}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2876208e3c2515f3db368401bf07aa4fafa1e874" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:7.262ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle b={\sqrt[{n}]{a}}}">. Цей факт можна довести використовуючи, наприклад, перерізи Дедекінда. З наслідків аксіом поля дійсних чисел випливає, що корінь парного порядку з від'ємних дійсних чисел не існує (не належить до множини дійсних чисел). Нехай <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a>0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a>0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f34a80ea013edb56e340b19550430a8b6dfd7b9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.491ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a>0}"> і <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q\in \mathbb {Q} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q\in \mathbb {Q} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03aaa9327494402fb81829278f439afcf201313a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.718ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle q\in \mathbb {Q} }">, тобто <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q=m/n,m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q=m/n,m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b20bded79dbf67b1a145e2daa94a820702c7666" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.178ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle q=m/n,m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} }">, тоді <div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{q}\,{\overset {\text{def}}{=}}\,{\sqrt[{n}]{a^{m}}},\qquad a^{-q}\,=\,{\frac {1}{a^{q}}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>q</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mo>=</mo> <mtext>def</mtext> </mover> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mroot> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </mroot> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="2em" /> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>q</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>=</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>q</mi> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{q}\,{\overset {\text{def}}{=}}\,{\sqrt[{n}]{a^{m}}},\qquad a^{-q}\,=\,{\frac {1}{a^{q}}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef4c6eaaaae077af83ebeabc8c087b0bbe2f14d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:26.731ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle a^{q}\,{\overset {\text{def}}{=}}\,{\sqrt[{n}]{a^{m}}},\qquad a^{-q}\,=\,{\frac {1}{a^{q}}}.}"> </div> На основі означення степеня з раціональним показником, можна за неперервністю ввести поняття степеня з довільним дійсним показником (див. <a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Показникова функція">Показникова функція</a>). <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Властивості">Властивості</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&veaction=edit&section=16" title="Редагувати розділ: Властивості" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&action=edit&section=16" title="Редагувати вихідний код розділу: Властивості">ред. код</a>]</div> <ul><li>Множина дійсних чисел <a href="/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%B7%D0%BB%D1%96%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D0%BD%D0%B0" title="Незліченна множина">незліченна</a>. Її потужність (<a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Кардинальне число">кардинальне число</a>) називається потужністю <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D1%82%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%83%D0%BC_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D0%BD)" title="Континуум (теорія множин)">континуума</a> і позначається <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \aleph _{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi mathvariant="normal">ℵ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \aleph _{1}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78c211ce8badf4ffbf9417ecceb0ef7ab0a8caed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.475ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \aleph _{1}}"> і є «більшою» ніж <a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%82%D1%83%D0%B6%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D0%BD%D0%B8" title="Потужність множини">потужність множини</a> раціональних чисел (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \aleph _{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi mathvariant="normal">ℵ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \aleph _{0}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/721cd7f8c15a2e72ad162bdfa5baea8eef98aab1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.475ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \aleph _{0}}">).</li></ul> <ul><li>За алгебраїчною структурою множина дійсних чисел є неперервним впорядкованим полем. Більше того, множина дійсних чисел — максимальне архімедове впорядковане поле, тобто будь-яке архімедове поле <a href="/wiki/%D0%86%D0%B7%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%80%D1%84%D1%96%D0%B7%D0%BC" title="Ізоморфізм">ізоморфне</a> деякій підмножині дійсних чисел.</li></ul> <ul><li>Множина дійсних чисел утворює <a href="/wiki/%D0%A2%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%96%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80" title="Топологічний простір">топологічний простір</a>, у якому як стандартну топологію беруть множину відкритих інтервалів числової прямої. Як топологічний простір, множина дійсних чисел є <a href="/wiki/%D0%A1%D0%B5%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80" title="Сепарабельний простір">сепарабельною</a>, оскільки множина раціональних чисел є <a href="/wiki/%D0%97%D0%BB%D1%96%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D0%BD%D0%B0" title="Зліченна множина">зліченною</a> <a href="/wiki/%D0%A9%D1%96%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D0%BD%D0%B0" title="Щільна множина">щільною</a> підмножиною дійсних чисел (підмножина ірраціональних чисел теж є щільною, однак вона незліченна). Цей простір <a href="/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D1%96%D0%BE%D0%BC%D0%B8_%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%BB%D1%8E%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96" title="Аксіоми відокремлюваності">повністю регулярний</a> і <a href="/wiki/%D0%A5%D0%B0%D1%83%D1%81%D0%B4%D0%BE%D1%80%D1%84%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80" class="mw-redirect" title="Хаусдорфовий простір">хаусдорфовий</a>.</li></ul> <ul><li>Множина дійсних чисел утворює <a href="/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80" title="Метричний простір">метричний простір</a>, де відстанню між числами x і y є модуль їх різниці <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |x-y|}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |x-y|}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eca622011e2b10520e69a7fa83f3bd75159ab66" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.619ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |x-y|}">. Як метричний простір множина дійсних чисел є <a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80" title="Повний метричний простір">повною</a> — довільна фундаментальна послідовність дійсних чисел є збіжною до деякого дійсного числа.</li></ul> <ul><li>Множина дійсних чисел утворює <a href="/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80" title="Нормований простір">нормований простір</a>, з нормою, яка збігається з модулем дійсного числа. Цей простір — <a href="/wiki/%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85%D1%96%D0%B2_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80" title="Банахів простір">банахів</a>.</li></ul> <ul><li>Множина дійсних чисел не утворює <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80" title="Компактний простір">компактний простір</a>, а також не є <a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D2%91%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BA%D0%B0" class="mw-redirect" title="Повна ґратка">повною ґраткою</a>.</li></ul> <ul><li>Як впорядкована множина, дійсні числа успадковують <a href="/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%82%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%96%D1%8F" title="Права порядкова топологія">порядкову топологію</a>, яка є ідентичною до топології відкритих інтервалів, яка породжується метрикою. Теорія перерізів Дедекінда використовує порядкову топологію, теорія Кантора — топологію відкритих інтервалів.</li></ul> <ul><li>Множина дійсних чисел відносно кожної з операцій (додавання та множення) є <a href="/wiki/%D0%A2%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%96%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%B0" title="Топологічна група">топологічною групою</a>.</li></ul> <ul><li>На множині дійсних чисел задають стандартну <a href="/wiki/%D0%9C%D1%96%D1%80%D0%B0" class="mw-disambig" title="Міра">міру</a>, <a href="/wiki/%D0%9C%D1%96%D1%80%D0%B0_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0" title="Міра Лебега">міру Лебега</a>, яка є окремим випадком <a href="/wiki/%D0%9C%D1%96%D1%80%D0%B0_%D0%A5%D0%B0%D0%B0%D1%80%D0%B0" title="Міра Хаара">міри Хаара</a> множини дійсних чисел, як топологічної групи відносно операції додавання, нормованої так, щоб міра інтервалу <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [0,1]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [0,1]}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.653ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [0,1]}"> дорівнювала одиниці. Існують множини дійсних чисел, які не є вимірними за Лебегом.</li></ul> <ul><li>Множина раціональних чисел як підмножина дійсних має Лебегову міру нуль, тобто <a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D0%B9%D0%B6%D0%B5_%D1%81%D0%BA%D1%80%D1%96%D0%B7%D1%8C" title="Майже скрізь">майже всі</a> дійсні числа є ірраціональними. Більше того, майже всі дійсні числа є трансцендентними.</li></ul> <ul><li>На множині дійсних чисел однозначно розв'язне рівняння вигляду <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\cdot x+b=c,\,a,b,c\in \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mi>c</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\cdot x+b=c,\,a,b,c\in \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/063bfd24f8274a6220ad12ff979e56e19b580c4e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:23.424ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a\cdot x+b=c,\,a,b,c\in \mathbb {R} }">, однак поле дійсних чисел не є <a href="/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE_%D0%B7%D0%B0%D0%BC%D0%BA%D0%BD%D1%83%D1%82%D0%B5_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%B5" title="Алгебрично замкнуте поле">алгебрично замкнуте поле</a> — існують многочлени з дійсними коефіцієнтами, які не мають дійсних коренів (наприклад, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{2}+1=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{2}+1=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e01c67127b28bb80e2102c934d0d01daa5c20a61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:10.648ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x^{2}+1=0}">).</li></ul> <div class="NavFrame collapsed" style=""> <div class="NavHead" style="text-align: left;">Доведення незліченності множини дійсних чисел  </div> <div class="NavContent" style="text-align: left;"> Щоб довести незліченність множини дійсних чисел, достатньо показати незліченність <a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B2%D0%B0%D0%BB_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Інтервал (математика)">інтервалу</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left(0,1\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(0,1\right)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6525b3161f00a6a8102985317f0c048cf72467aa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.168ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \left(0,1\right)}">. Нехай всі числа заданого проміжку занумеровані у деякий спосіб. Тоді їх можна виписати наступним чином : <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1}=0,a_{11}a_{12}\cdots a_{1m}\cdots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>11</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>12</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1}=0,a_{11}a_{12}\cdots a_{1m}\cdots }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1011c09c506bb5e8faaf0621287556c5758760ee" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:24.225ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{1}=0,a_{11}a_{12}\cdots a_{1m}\cdots }"></dd> <dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{2}=0,a_{21}a_{22}\cdots a_{2m}\cdots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>21</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>22</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{2}=0,a_{21}a_{22}\cdots a_{2m}\cdots }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f80b1c085a1c448eed31b898f327d40c8ab6223" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:24.225ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{2}=0,a_{21}a_{22}\cdots a_{2m}\cdots }"></dd> <dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cdots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>⋯</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cdots }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d67495288eac0fa90d5bbcad7d9a343c15ad56" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: 0.439ex; margin-bottom: -0.61ex; width:2.723ex; height:1.176ex;" alt="{\displaystyle \cdots }"></dd> <dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{k}=0,a_{k1}a_{k2}\cdots a_{km}\cdots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{k}=0,a_{k1}a_{k2}\cdots a_{km}\cdots }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c029881a81d9a231886b0d7e3feabb114913a34" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:24.363ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{k}=0,a_{k1}a_{k2}\cdots a_{km}\cdots }"></dd> <dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cdots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>⋯</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cdots }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d67495288eac0fa90d5bbcad7d9a343c15ad56" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: 0.439ex; margin-bottom: -0.61ex; width:2.723ex; height:1.176ex;" alt="{\displaystyle \cdots }"></dd></dl> Тут <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{ij}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{ij}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebea6cd2813c330c798921a2894b358f7b643917" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.707ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a_{ij}}"> — <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle j}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>j</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle j}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f461e54f5c093e92a55547b9764291390f0b5d0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.027ex; width:0.985ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle j}">-та <a href="/wiki/%D0%A6%D0%B8%D1%84%D1%80%D0%B8" title="Цифри">цифра</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}">-ого числа. Очевидно, що всі числа вказаного вигляду дійсно належать до заданого проміжку, якщо тільки не всі цифри одночасно є <a href="/wiki/0_(%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE)" title="0 (число)">нулями</a> чи <a href="/wiki/0,(9)" title="0,(9)">дев'ятками</a>. Розглянемо наступне число: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=0,d_{1}d_{2}\cdots d_{m}\cdots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=0,d_{1}d_{2}\cdots d_{m}\cdots }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7e66b6e6cc0ed401a637695defdbd7b3834278d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:20.643ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x=0,d_{1}d_{2}\cdots d_{m}\cdots }"></dd></dl> Нехай кожна цифра <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abe3154db7d4f92fb42dd1f80f52f528c6312e4a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.009ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle d_{i}}"> цього числа задовольняє наступні три умови: <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d_{i}\neq 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>≠</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d_{i}\neq 0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e6a9344e23107305036d7a044825cf2163d59a5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.27ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle d_{i}\neq 0}"></li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d_{i}\neq 9}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>≠</mo> <mn>9</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d_{i}\neq 9}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6478fbe060849cb6cfea159739dada87d425a58" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.27ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle d_{i}\neq 9}"></li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d_{i}\neq a_{ii}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>≠</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d_{i}\neq a_{ii}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/900022acc51163d33388d3cc194a194e2c932916" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.704ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle d_{i}\neq a_{ii}}"></li></ul> Таке число дійсно існує на вказаному інтервалі, оскільки воно є дійсним, не збігається ні з нулем, ні з одиницею, а десяткових цифр достатньо, щоб виконувалась третя умова. Крім того, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> не збігається з жодним із чисел <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{j}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{j}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5db47cb3d2f9496205a17a6856c91c1d3d363ccd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.239ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x_{j}}">, виписаних вище, інакше <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle j}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>j</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle j}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f461e54f5c093e92a55547b9764291390f0b5d0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.027ex; width:0.985ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle j}">-та цифра числа <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> збіглася б з <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle j}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>j</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle j}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f461e54f5c093e92a55547b9764291390f0b5d0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.027ex; width:0.985ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle j}">-тою цифрою числа <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{j}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{j}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5db47cb3d2f9496205a17a6856c91c1d3d363ccd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.239ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x_{j}}">. Ми отримали протиріччя, яке полягає в тому, що у який би спосіб числа розглядуваного проміжку не були занумеровані, все одно знайдеться число з цього проміжку, якому не присвоєний номер. </div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Узагальнення">Узагальнення</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&veaction=edit&section=17" title="Редагувати розділ: Узагальнення" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&action=edit&section=17" title="Редагувати вихідний код розділу: Узагальнення">ред. код</a>]</div> Поняття дійсного числа може бути узагальнене та розширене різними способами. Однак, зауважимо, що внаслідок аксіоми повноти будь-яке розширення множини дійсних чисел приводить до втрати деяких властивостей (наприклад нова множина може не бути полем чи або не буде виконуватись <a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D1%83" title="Відношення порядку">відношення порядку</a>), але, з іншого боку, додає деякі інші важливі властивості. <ul><li>Поле <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Комплексне число">комплексних чисел</a> містить корені всіх <a href="/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%87%D0%BB%D0%B5%D0%BD" title="Многочлен">многочленів</a> з дійсними та комплексними коефіцієнтами, а тому є алгебраїчно замкненим полем. Однак не буде виконуватись відношення порядку. Це єдина зі <a href="/wiki/%D0%A0%D0%BE%D0%B7%D0%BC%D1%96%D1%80%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%83" title="Розмірність простору">скінченновимірних</a> <a href="/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%BD%D0%B0%D0%B4_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D0%BC" title="Алгебра над полем">алгебр над полем</a> дійсних чисел, яка є полем.</li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%B2%D0%BB%D0%B0%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Невласне число">Розширена числова пряма</a> утворюється додаванням до множини дійсних чисел двох елементів <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle +\infty }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>+</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle +\infty }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bddbb0e4420a7e744cf71bd71216e11b0bf88831" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:4.132ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle +\infty }"> та <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -\infty }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -\infty }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca2608c4b5fd3bffc73585f8c67e379b4e99b6f1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:4.132ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle -\infty }">. Нова множина позначається <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c62ecdf73d36e9d05a018732fd5f51db73d0c55b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.793ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}"> і є <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80" title="Компактний простір">компактним</a> <a href="/wiki/%D0%93%D0%B0%D1%83%D1%81%D0%B4%D0%BE%D1%80%D1%84%D1%96%D0%B2_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80" title="Гаусдорфів простір">хаусдорфовим простором</a> (на відміну від <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }">, який не є компактним), крім того зберігається <a href="/wiki/%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%BE_%D0%B2%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D0%BD%D0%B0" title="Лінійно впорядкована множина">лінійна впорядкованість</a>, більше того вона утворює повну ґратку. Однак нова множина вже не є полем. Її можна розглядати як двоточкову <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B8%D1%84%D1%96%D0%BA%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Компактифікація">компактифікацію</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} .}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc9de9049e03e5e5a0cab57076dbe4a369c1e3a7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.325ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} .}"></li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%94%D0%BA%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%BE_%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%88%D0%B8%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%B0_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D0%B0" title="Проєктивно розширена числова пряма">Проєктивно розширена числова пряма</a> (одновимірний дійсний <a href="/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%94%D0%BA%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80" title="Проєктивний простір">проєктивний простір</a>)  — <a href="/wiki/%D0%9E%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B8%D1%84%D1%96%D0%BA%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Одноточкова компактифікація">одноточкова компактифікація</a> дійсної прямої, яка утворюється додаванням точки <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \infty }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \infty }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c26c105004f30c27aa7c2a9c601550a4183b1f21" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.324ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \infty }">, дійсний одновимірний аналог <a href="/wiki/%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0_%D0%A0%D1%96%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0" title="Сфера Рімана">сфери Рімана</a>. Має специфічну структуру, відмінну від розширеної числової прямої та числової прямої. Не є полем, не впорядкована (наприклад, нерівності <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3<4}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>3</mn> <mo><</mo> <mn>4</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3<4}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93f119e6e436ea75b2e13c2a755c80b88ae5d241" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.423ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 3<4}"> і <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3>4}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>3</mn> <mo>></mo> <mn>4</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3>4}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f40f9470fab2957edd4efc2d2daa797366d545c9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.423ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 3>4}"> справджуються одночасно), однак є компактним простором. Дозволене ділення на нуль.</li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%D0%93%D1%96%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B4%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0" title="Гіпердійсні числа">Гіпердійсні числа</a> — розширення поля дійсних чисел у <a href="/wiki/%D0%9D%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7" title="Нестандартний аналіз">нестандартному аналізі</a> — впорядковане поле, однак неархімедове. Включає в себе <a href="/wiki/%D0%9D%D0%B5%D1%81%D0%BA%D1%96%D0%BD%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE_%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D0%B0_%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B8%D0%BD%D0%B0" title="Нескінченно мала величина">нескінченно малі</a> та нескінченно великі елементи (різних порядків).</li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0" class="mw-redirect" title="Інтервальні числа">Інтервальні числа</a> — узагальнення дійсних чисел, де роль числа відіграє відрізок дійсної прямої. Для відрізків вводяться поняття арифметичних дій з відповідними властивостями, які у випадку, коли відрізок вироджується в одне число, збігаються з аналогічними правилами для чисел. Використовуються переважно в теорії <a href="/wiki/%D0%9E%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D1%8E%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Обчислювальна математика">наближених обчислень</a>.</li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80" title="Симетричний оператор">Самоспряжені оператори</a> у <a href="/wiki/%D0%93%D1%96%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%D1%96%D0%B2_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80" title="Гільбертів простір">гільбертовому просторі</a> узагальнюють дійсні числа у багатьох відношеннях. Вони можуть бути впорядкованими (однак не лінійно впорядкованими), вони є повними (замкнутими відносно граничного переходу), всі їхні <a href="/wiki/%D0%92%D0%BB%D0%B0%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" class="mw-redirect" title="Власне значення">власні значення</a> є дійсними, а також вони утворюють дійсну асоціативну алгебру. Частковим випадком таких операторів є <a href="/wiki/%D0%95%D1%80%D0%BC%D1%96%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8F" title="Ермітова матриця">ермітові матриці</a>. Зв'язок дійсних чисел і самоспряжених операторів має і фізичне відображення — всі спостережувані величини <a href="/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D1%96%D0%BA%D0%B0" title="Квантова механіка">квантово-механічних систем</a> (ті, які ми вимірюємо приладами і моделлю яких у класичній фізиці є дійсні числа), є власними значеннями відповідного самоспряженого оператора.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Використання">Використання</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&veaction=edit&section=18" title="Редагувати розділ: Використання" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&action=edit&section=18" title="Редагувати вихідний код розділу: Використання">ред. код</a>]</div> <a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C" title="Математична модель">Математична модель</a> дійсних чисел широко використовується в науці і техніці для вимірювання величин, які неперервно змінюються. Однак це не є її головним застосуванням, тому що виміряні величини завжди мають скінченне число десяткових знаків, тобто є раціональними числами (крім того, при вимірювання завжди присутня похибка — неперервність дійсних чисел гарантує, що точне значення вимірюваної величини знаходиться в знайденому околі). Основне призначення цієї моделі — бути базою для <a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7" title="Математичний аналіз">аналітичних</a> методів досліджень. Величезний успіх цих методів за останні три століття показав, що модель дійсних чисел в більшості випадків достатньо адекватно відображає структуру неперервних фізичних величин. Це, звісно, не означає, що дійсна числова пряма є точним образом реальної неперервної величини. Наприклад, сучасній науці поки що не відомо, чи дискретний простір і час чи подільні необмежено; однак навіть у другому випадку модель дійсних чисел для цих величин може розглядатися як наближена, оскільки поняття точки простору і моменту час є по суті ідеалізації, які не мають реального аналога. Це фундаментальне питання є предметом широких дискусій в науці, починаючи з <a href="/wiki/%D0%97%D0%B5%D0%BD%D0%BE%D0%BD_%D0%95%D0%BB%D0%B5%D0%B9%D1%81%D1%8C%D0%BA%D0%B8%D0%B9" title="Зенон Елейський">апорій Зенона</a>. Наближеною ця модель є і при застосуванні до величин, які в <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BB%D0%B0%D1%81%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D1%84%D1%96%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Класична фізика">класичній фізиці</a> вважались неперервними, але в дійсності виявились дискретними (квантовими). Наприклад, внаслідок виконання <a href="/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BF_%D0%BD%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96" title="Принцип невизначеності">принципу невизначеностей</a> <a href="/wiki/%D0%92%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B5%D1%80_%D0%93%D0%B5%D0%B9%D0%B7%D0%B5%D0%BD%D0%B1%D0%B5%D1%80%D0%B3" title="Вернер Гейзенберг">Гейзенберга</a>, а також неможливості вимірювання відстаней менше <a href="/wiki/%D0%94%D0%BE%D0%B2%D0%B6%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%BA%D0%B0" class="mw-redirect" title="Довжина Планка">планківської довжини</a> квантові величини точніше моделюються неархімедовими полями<a href="#cite_note-16">[16]</a> (поле дійсних чисел є архімедовим). <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Див._також">Див. також</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&veaction=edit&section=19" title="Редагувати розділ: Див. також" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&action=edit&section=19" title="Редагувати вихідний код розділу: Див. також">ред. код</a>]</div> <div role="navigation" aria-label="Portals" class="noprint portal plainlist tright" style="margin:0.5em 0 0.5em 1em;border:1px solid var(--border-color-base, #a2a9b1);background:var(--background-color-neutral-subtle, #f8f9fa)"> <ul style="display:table;box-sizing:border-box;padding:0.1em;max-width:175px;font-size:85%;line-height:110%;font-style:italic;font-weight:bold"> <li style="display:table-row"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg/28px-Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg.png" decoding="async" width="28" height="28" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg/42px-Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg/56px-Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg.png 2x" data-file-width="128" data-file-height="128" /></a><a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B0%D0%BB:%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Портал:Математика">Портал «Математика»</a></li></ul></div> <ul><li><a href="/wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0" class="mw-redirect" title="Натуральні числа">Натуральні числа</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A0%D0%B0%D1%86%D1%96%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0" class="mw-redirect" title="Раціональні числа">Раціональні числа</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%86%D1%80%D1%80%D0%B0%D1%86%D1%96%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0" class="mw-redirect" title="Ірраціональні числа">Ірраціональні числа</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0" class="mw-redirect" title="Комплексні числа">Комплексні числа</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D1%96%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Фундаментальна послідовність">Фундаментальна послідовність</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D1%96%D0%BE%D0%BC%D0%B0_%D0%BD%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%80%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96" class="mw-redirect" title="Аксіома неперервності">Аксіома неперервності</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BB" title="Теорія чисел">Теорія чисел</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D1%82%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%83%D0%BC-%D0%B3%D1%96%D0%BF%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%B7%D0%B0" title="Континуум-гіпотеза">Континуум-гіпотеза</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A9%D1%96%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BE%D0%BA" title="Щільний порядок">Щільний порядок</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B0" title="Дійсна точка">Дійсна точка</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Примітки">Примітки</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&veaction=edit&section=20" title="Редагувати розділ: Примітки" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&action=edit&section=20" title="Редагувати вихідний код розділу: Примітки">ред. код</a>]</div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r43816068">.mw-parser-output .reflist{margin-bottom:0.5em;list-style-type:decimal}@media screen{.mw-parser-output .reflist{font-size:90%}}.mw-parser-output .reflist .references{font-size:100%;margin-bottom:0;list-style-type:inherit}.mw-parser-output .reflist-columns-2{column-width:30em}.mw-parser-output .reflist-columns-3{column-width:25em}.mw-parser-output .reflist-columns{margin-top:0.3em}.mw-parser-output .reflist-columns ol{margin-top:0}.mw-parser-output .reflist-columns li{page-break-inside:avoid;break-inside:avoid-column}.mw-parser-output .reflist-upper-alpha{list-style-type:upper-alpha}.mw-parser-output .reflist-upper-roman{list-style-type:upper-roman}.mw-parser-output .reflist-lower-alpha{list-style-type:lower-alpha}.mw-parser-output .reflist-lower-greek{list-style-type:lower-greek}.mw-parser-output .reflist-lower-roman{list-style-type:lower-roman}</style><div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"> <div class="mw-references-wrap mw-references-columns"><ol class="references"> <li id="cite_note-[https://www.britannica.com/science/real-number_https://www.britannica.com/science/real-number]<span_class="wef_low_priority_links"><div_style="display:none"></div>-1"><a href="#cite_ref-[https://www.britannica.com/science/real-number_https://www.britannica.com/science/real-number]<span_class="wef_low_priority_links"><div_style="display:none"></div>_1-0">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.britannica.com/science/real-number">https://www.britannica.com/science/real-number</a><div style="display:none"></div> </li> <li id="cite_note-[https://mathworld.wolfram.com/RealNumber.html_https://mathworld.wolfram.com/RealNumber.html]<span_class="wef_low_priority_links"><div_style="display:none"></div>-2"><a href="#cite_ref-[https://mathworld.wolfram.com/RealNumber.html_https://mathworld.wolfram.com/RealNumber.html]<span_class="wef_low_priority_links"><div_style="display:none"></div>_2-0">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/RealNumber.html">https://mathworld.wolfram.com/RealNumber.html</a><div style="display:none"></div> </li> <li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> <a href="/wiki/%D0%9D%D1%96%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D1%8F_%D0%91%D1%83%D1%80%D0%B1%D0%B0%D0%BA%D1%96" title="Ніколя Бурбакі">Бурбаки Н.</a>. Архитектура математики. Очерки по истории математики. — С. 147. </li> <li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> История математики. — Т. I. — С. 96-101. </li> <li id="cite_note-B150-5">↑ <a href="#cite_ref-B150_5-0">а</a> <a href="#cite_ref-B150_5-1">б</a> <a href="/wiki/%D0%9D%D1%96%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D1%8F_%D0%91%D1%83%D1%80%D0%B1%D0%B0%D0%BA%D1%96" title="Ніколя Бурбакі">Бурбаки Н.</a>. Архитектура математики. Очерки по истории математики. — С. 150-151. </li> <li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> История математики. — Т. I. — С. 190-191, 304-305. </li> <li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> История математики. — Т. II. — С. 35. </li> <li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> <a href="/wiki/%D0%9D%D1%96%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D1%8F_%D0%91%D1%83%D1%80%D0%B1%D0%B0%D0%BA%D1%96" title="Ніколя Бурбакі">Бурбаки Н.</a>. Архитектура математики. Очерки по истории математики. — С. 154. </li> <li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> Хрестоматия по истории математики. Математический анализ. Теория вероятностей. — Под ред. Юшкевича А. П. — М. : Просвещение, 1977. — С. 171-178. </li> <li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> Бернард Больцано.<a rel="nofollow" class="external text" href="http://bbi-math.narod.ru/bolzano/p0000.html">Парадоксы бесконечного.</a> [<a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20140413155658/http://bbi-math.narod.ru/bolzano/p0000.html">Архівовано</a> 13 квітня 2014 у <a href="/wiki/Wayback_Machine" title="Wayback Machine">Wayback Machine</a>.] </li> <li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11">↑</a> Рыхлик Карел. Теория вещественных чисел в рукописном наследии Больцано // ИМИ, 1958. № 11. С. 515–532. </li> <li id="cite_note-12"><a href="#cite_ref-12">↑</a> Рыбников К. А. История математики. — 1963. — Т. 2. — С. 196. </li> <li id="cite_note-13"><a href="#cite_ref-13">↑</a> дійсне число може бути записане у вигляді десяткового дробу не єдиним чином </li> <li id="cite_note-14"><a href="#cite_ref-14">↑</a> Оскільки на множині дійсних чисел вже введено відношення лінійного порядку, то ми можемо означити топологію числової прямої: як відкриті множини візьмемо всі можливі об'єднання інтервалів вигляду <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{x:\alpha <x<\beta \}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>x</mi> <mo>:</mo> <mi>α</mi> <mo><</mo> <mi>x</mi> <mo><</mo> <mi>β</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{x:\alpha <x<\beta \}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f71c29a7dd494abbd56cf97a4a0b7de7a3da0530" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.938ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{x:\alpha <x<\beta \}}"> </li> <li id="cite_note-ilyin-15"><a href="#cite_ref-ilyin_15-0">↑</a> Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. . <a rel="nofollow" class="external text" href="http://sci-lib.com/book000401.html">Математический анализ</a>. — 3-е изд., перераб. и доп. — М. : Проспект, 2006. — Т. 1. — 672 с. — <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%94%D0%B6%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BB%D0%B0_%D0%BA%D0%BD%D0%B8%D0%B3/5482004457" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 5-482-00445-7</a>. </li> <li id="cite_note-16"><a href="#cite_ref-16">↑</a> Владимиров B.C., Волович И.В., Зеленов Е.И. P-адический анализ и математическая физика. — М. : Физматлит, 1994. — 352 с. </li> </ol></div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Джерела">Джерела</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&veaction=edit&section=21" title="Редагувати розділ: Джерела" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&action=edit&section=21" title="Редагувати вихідний код розділу: Джерела">ред. код</a>]</div> <ul><li>Заболоцький М.В., Сторож О.Г., Тарасюк С.І. Математичний аналіз: Підручник. — Львів : Видавничий центр ЛНУ ім. Івана Франка, 2007. — 416 с. — <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%94%D0%B6%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BB%D0%B0_%D0%BA%D0%BD%D0%B8%D0%B3/9789666135129" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-966-613-512-9</a>.</li> <li><a href="/wiki/%D0%A4%D1%96%D1%85%D1%82%D0%B5%D0%BD%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%86_%D0%93%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B9_%D0%9C%D0%B8%D1%85%D0%B0%D0%B9%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87" title="Фіхтенгольц Григорій Михайлович">Григорій Михайлович Фіхтенгольц</a>. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://nebayduzhi-math.azurewebsites.net">Курс диференціального та інтегрального числення</a>. — 2024. — 2403 с.<style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r43693355">.mw-parser-output .ref-info{font-size:85%;cursor:help;margin-left:0.2em;color:var(--color-subtle,#54595d)}</style>(укр.)</li> <li><a href="/wiki/%D0%94%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D1%86%D0%B5%D0%B2_%D0%90%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D0%BB%D1%96%D0%B9_%D0%AF%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87" title="Дороговцев Анатолій Якович">Дороговцев А. Я.</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://pdf.lib.vntu.edu.ua/books/2015/Dorogovtsev_P1_1993_320.pdf">Математичний аналіз. Частина 1</a>. — <a href="/wiki/%D0%9A%D0%B8%D1%97%D0%B2" title="Київ">К.</a> : <a href="/wiki/%D0%9B%D0%B8%D0%B1%D1%96%D0%B4%D1%8C_(%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B8%D1%86%D1%82%D0%B2%D0%BE)" title="Либідь (видавництво)">Либідь</a>, 1993. — 320 с. — <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%94%D0%B6%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BB%D0%B0_%D0%BA%D0%BD%D0%B8%D0%B3/5325003801" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 5-325-00380-1</a>.<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43693355">(укр.)</li> <li><a href="/wiki/%D0%9A%D1%83%D0%B4%D1%80%D1%8F%D0%B2%D1%86%D0%B5%D0%B2_%D0%9B%D0%B5%D0%B2_%D0%94%D0%BC%D0%B8%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87" title="Кудрявцев Лев Дмитрович">Кудрявцев Л. Д.</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://drive.google.com/file/d/1TNyz501S4nvQJv0dCrnetAq0dMAA_iyj/view">Математический анализ</a>. — М. : Высшая школа, 2003. — Т. 1. — 703 с.<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43693355">(рос.)</li> <li><a href="/w/index.php?title=%D0%97%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%87_%D0%92%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D1%80_%D0%90%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87&action=edit&redlink=1" class="new" title="Зорич Володимир Антонович (ще не написана)">Зорич В. А.</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://matan.math.msu.su/media/uploads/2020/03/V.A.Zorich-Kniga-I-10-izdanie-Corr.pdf">Математический анализ</a>. — 10-е. — М : МЦНМО, 2019. — Т. 1. — 564 с. — <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%94%D0%B6%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BB%D0%B0_%D0%BA%D0%BD%D0%B8%D0%B3/9785443940298" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-5-4439-4029-8</a>.<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43693355">(рос.)</li> <li>Рыбников К. А. История математики. — М. : Изд-во Моск. Университета, 1963. — Т. 2. — 336 с.</li> <li>Множина дійсних чисел // <a rel="nofollow" class="external text" href="http://chtyvo.org.ua/authors/Klepko_Viktor/Vyscha_matematyka_v_prykladakh_i_zadachakh.pdf">Вища математика в прикладах і задачах</a> / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 163. — 594 с.</li></ul> <div class="navbox-styles"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r43815798">.mw-parser-output .hlist dl,.mw-parser-output .hlist ol,.mw-parser-output .hlist ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output .hlist dd,.mw-parser-output .hlist dt,.mw-parser-output .hlist li{margin:0;display:inline}.mw-parser-output .hlist.inline,.mw-parser-output .hlist.inline dl,.mw-parser-output .hlist.inline ol,.mw-parser-output .hlist.inline ul,.mw-parser-output .hlist dl dl,.mw-parser-output .hlist dl ol,.mw-parser-output .hlist dl ul,.mw-parser-output .hlist ol dl,.mw-parser-output .hlist ol ol,.mw-parser-output .hlist ol ul,.mw-parser-output .hlist ul dl,.mw-parser-output .hlist ul ol,.mw-parser-output .hlist ul ul{display:inline}.mw-parser-output .hlist .mw-empty-li{display:none}.mw-parser-output .hlist dt::after{content:": "}.mw-parser-output .hlist dd::after,.mw-parser-output .hlist li::after{content:" · ";font-weight:bold}.mw-parser-output .hlist dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li:last-child::after{content:none}.mw-parser-output .hlist dd dd:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dd dt:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dd li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt dd:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt dt:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li dd:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li dt:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li li:first-child::before{content:" (";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist dd dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dd dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dd li:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt li:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li li:last-child::after{content:")";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist ol{counter-reset:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li{counter-increment:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li::before{content:" "counter(listitem)"\a0 "}.mw-parser-output .hlist dd ol>li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt ol>li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li ol>li:first-child::before{content:" ("counter(listitem)"\a0 "}</style><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r43353293">.mw-parser-output .navbox{box-sizing:border-box;border:1px solid #a2a9b1;width:100%;clear:both;font-size:88%;text-align:center;padding:1px;margin:1em auto 0}.mw-parser-output .navbox .navbox{margin-top:0}.mw-parser-output .navbox+.navbox,.mw-parser-output .navbox+.navbox-styles+.navbox{margin-top:-1px}.mw-parser-output .navbox-inner,.mw-parser-output .navbox-subgroup{width:100%}.mw-parser-output .navbox-group,.mw-parser-output .navbox-title,.mw-parser-output .navbox-abovebelow{padding:0.25em 1em;line-height:1.5em;text-align:center}.mw-parser-output .navbox-group{white-space:nowrap;text-align:right}.mw-parser-output .navbox,.mw-parser-output .navbox-subgroup{background-color:#fdfdfd}.mw-parser-output .navbox-list{line-height:1.5em;border-color:#fdfdfd}.mw-parser-output .navbox-list-with-group{text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid}.mw-parser-output tr+tr>.navbox-abovebelow,.mw-parser-output tr+tr>.navbox-group,.mw-parser-output tr+tr>.navbox-image,.mw-parser-output tr+tr>.navbox-list{border-top:2px solid #fdfdfd}.mw-parser-output .navbox-title{background-color:#ccf}.mw-parser-output .navbox-abovebelow,.mw-parser-output .navbox-group,.mw-parser-output .navbox-subgroup .navbox-title{background-color:#ddf}.mw-parser-output .navbox-subgroup .navbox-group,.mw-parser-output .navbox-subgroup .navbox-abovebelow{background-color:#e6e6ff}.mw-parser-output .navbox-even{background-color:#f7f7f7}.mw-parser-output .navbox-odd{background-color:transparent}.mw-parser-output .navbox .hlist td dl,.mw-parser-output .navbox .hlist td ol,.mw-parser-output .navbox .hlist td ul,.mw-parser-output .navbox td.hlist dl,.mw-parser-output .navbox td.hlist ol,.mw-parser-output .navbox td.hlist ul{padding:0.125em 0}.mw-parser-output .navbox .navbar{display:block;font-size:100%}.mw-parser-output .navbox-title .navbar{float:left;text-align:left;margin-right:0.5em}body.skin--responsive .mw-parser-output .navbox-image img{max-width:none!important}@media print{body.ns-0 .mw-parser-output .navbox{display:none!important}}</style></div><div role="navigation" class="navbox" aria-labelledby="Статті_з_математики,_пов&#039;язані_з_числами" style="padding:3px"><table class="nowraplinks collapsible autocollapse navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="3"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43815798"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r43094501">.mw-parser-output .navbar{display:inline;font-size:88%;font-weight:normal}.mw-parser-output .navbar-collapse{float:left;text-align:left}.mw-parser-output .navbar-boxtext{word-spacing:0}.mw-parser-output .navbar ul{display:inline-block;white-space:nowrap;line-height:inherit}.mw-parser-output .navbar-brackets::before{margin-right:-0.125em;content:"[ "}.mw-parser-output .navbar-brackets::after{margin-left:-0.125em;content:" ]"}.mw-parser-output .navbar li{word-spacing:-0.125em}.mw-parser-output .navbar a>span,.mw-parser-output .navbar a>abbr{text-decoration:inherit}.mw-parser-output .navbar-mini abbr{font-variant:small-caps;border-bottom:none;text-decoration:none;cursor:inherit}.mw-parser-output .navbar-ct-full{font-size:114%;margin:0 7em}.mw-parser-output .navbar-ct-mini{font-size:114%;margin:0 4em}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbar li a abbr{color:var(--color-base)!important}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbar li a abbr{color:var(--color-base)!important}}</style><div class="navbar plainlinks hlist navbar-mini"><ul><li class="nv-переглянути"><a href="/wiki/%D0%A8%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD:Quantity" title="Шаблон:Quantity"><abbr title="Переглянути цей шаблон">п</abbr></a></li><li class="nv-обговорити"><a href="/w/index.php?title=%D0%9E%D0%B1%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%88%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD%D1%83:Quantity&action=edit&redlink=1" class="new" title="Обговорення шаблону:Quantity (ще не написана)"><abbr title="Обговорити цей шаблон">о</abbr></a></li><li class="nv-редагувати"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:EditPage/%D0%A8%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD:Quantity" title="Спеціальна:EditPage/Шаблон:Quantity"><abbr title="Редагувати цей шаблон">р</abbr></a></li></ul></div><div id="Статті_з_математики,_пов&#039;язані_з_числами" style="font-size:114%;margin:0 4em">Статті з <a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Математика">математики</a>, пов'язані з <a href="/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Число">числами</a></div></th></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%D0%97%D0%BB%D1%96%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D0%BD%D0%B0" title="Зліченна множина">Зліченні множини</a></th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-odd hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Натуральне число">Натуральні числа</a> (ℕ)</li> <li><a href="/wiki/%D0%A6%D1%96%D0%BB%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Ціле число">Цілі числа</a> (ℤ)</li> <li><a href="/wiki/%D0%A0%D0%B0%D1%86%D1%96%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Раціональне число">Раціональні числа</a> (ℚ)</li> <li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D1%81%D1%82%D1%80%D1%83%D0%BA%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Конструктивне число">Конструктивні числа</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" class="mw-redirect" title="Алгебричне число">Алгебричні числа</a> (𝔸)</li> <li><a href="/w/index.php?title=%D0%9A%D1%96%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%B5_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D1%96%D0%BE%D0%B4%D1%96%D0%B2&action=edit&redlink=1" class="new" title="Кільце періодів (ще не написана)">Кільце періодів</a><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ring_of_periods" class="extiw" title="en:Ring of periods">[en]</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D0%9E%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D1%8E%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="Обчислювані числа (ще не написана)">Обчислювані числа</a><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Computable_number" class="extiw" title="en:Computable number">[en]</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%93%D0%B0%D1%83%D1%81%D1%81%D0%BE%D0%B2%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0" title="Гауссові числа">Гауссові числа</a></li></ul> </div></td><td class="noviewer navbox-image" rowspan="5" style="width:1px;padding:0 0 0 2px"><div><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:OCR-A_char_digits.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/OCR-A_char_digits.svg/150px-OCR-A_char_digits.svg.png" decoding="async" width="150" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/OCR-A_char_digits.svg/225px-OCR-A_char_digits.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/OCR-A_char_digits.svg/300px-OCR-A_char_digits.svg.png 2x" data-file-width="6906" data-file-height="741" /></a></div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%B7_%D0%B4%D1%96%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F%D0%BC" title="Алгебра з діленням">Алгебра з діленням</a></th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-even hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a class="mw-selflink selflink">Дійсні числа</a> (ℝ)</li> <li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Комплексне число">Комплексні числа</a> (ℂ)</li> <li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%96%D0%BE%D0%BD" class="mw-redirect" title="Кватерніон">Кватерніони</a> (ℍ)</li> <li><a href="/wiki/%D0%9E%D0%BA%D1%82%D0%BE%D0%BD%D1%96%D0%BE%D0%BD" title="Октоніон">Октоніони</a> (𝕆)</li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">Спліт- <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BE%D0%B7%D0%B8%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0" title="Композитна алгебра">композиційні алгебри</a></th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-odd hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li>над ℝ:</li> <li><a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%B4%D0%B2%D1%96%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0" title="Подвійні числа">Спліт-комплексні числа</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%BB%D1%96%D1%82-%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%96%D0%BE%D0%BD" title="Спліт-кватерніон">Спліт-кватерніони</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%BB%D1%96%D1%82-%D0%BE%D0%BA%D1%82%D0%BE%D0%BD%D1%96%D0%BE%D0%BD" title="Спліт-октоніон">Спліт-октоніони</a> над ℂ:</li> <li><a href="/wiki/%D0%91%D1%96%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0" title="Бікомплексні числа">Бікомплексні числа</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%91%D1%96%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%96%D0%BE%D0%BD%D0%B8" title="Бікватерніони">Бікватерніони</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D0%91%D1%96%D0%BE%D0%BA%D1%82%D0%BE%D0%BD%D1%96%D0%BE%D0%BD%D0%B8&action=edit&redlink=1" class="new" title="Біоктоніони (ще не написана)">Біоктоніони</a><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Bioctonion" class="extiw" title="en:Bioctonion">[en]</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">Інші <a href="/wiki/%D0%93%D1%96%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0" title="Гіперкомплексні числа">гіперкомплексні числа</a></th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-even hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%94%D1%83%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0" title="Дуальні числа">Дуальні числа</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%93%D1%96%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D1%96%D1%87%D0%BD%D1%96_%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%96%D0%BE%D0%BD%D0%B8" title="Гіперболічні кватерніони">Гіперболічні кватерніони</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A1%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D1%96%D0%BE%D0%BD%D0%B8" title="Седеніони">Седеніони</a>  (𝕊)</li> <li><a href="/wiki/%D0%93%D1%96%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0" title="Гіперкомплексні числа">Гіперкомплексні числа</a> (<a href="/wiki/%D0%94%D0%B2%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%BC%D1%96%D1%80%D0%BD%D1%96_%D0%B3%D1%96%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0" title="Двовимірні гіперкомплексні числа">2-вимірні</a>, <a href="/wiki/%D0%A7%D0%BE%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%B8%D0%BC%D1%96%D1%80%D0%BD%D1%96_%D0%B3%D1%96%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0" title="Чотиривимірні гіперкомплексні числа">4-вимірні</a>)</li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">Інші</th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-odd hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Кардинальне число">Кардинальні числа</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%86%D1%80%D1%80%D0%B0%D1%86%D1%96%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Ірраціональне число">Ірраціональні числа</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9C%D1%96%D1%80%D0%B0_%D1%96%D1%80%D1%80%D0%B0%D1%86%D1%96%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96" title="Міра ірраціональності">Міра ірраціональності</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%93%D1%96%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B4%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0" title="Гіпердійсні числа">Гіпердійсні числа</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A1%D1%8E%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0" title="Сюрреальні числа">Сюрреальні числа</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Трансцендентне число">Трансцендентні числа</a> <ul><li><a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F_%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BB" title="Теорія трансцендентних чисел">теорія</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Порядкове число">Ординальні числа</a></li> <li><a href="/wiki/P-%D0%B0%D0%B4%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7" title="P-адичний аналіз">p-адичний аналіз</a> <ul><li><a href="/wiki/P-%D0%B0%D0%B4%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="P-адичне число">p-адичні числа</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%D0%A1%D1%83%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B4%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0" title="Супердійсні числа">Супердійсні числа</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9D%D0%BE%D0%BC%D1%96%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0" title="Номінальні числа">Номінальні числа</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D0%9F%D0%BE%D1%81%D0%BB%D1%96%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96_%D0%BD%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BB&action=edit&redlink=1" class="new" title="Послідовності натуральних чисел (ще не написана)">Послідовності натуральних чисел</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%B0" title="Математична константа">Математичні константи</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D0%BA%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0" title="Великі числа">Великі числа</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9D%D0%B0%D0%B7%D0%B2%D0%B8_%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D1%85_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BB" title="Назви малих чисел">Назви малих чисел</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9D%D0%B5%D1%81%D0%BA%D1%96%D0%BD%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Нескінченність">Нескінченність</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div></div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Отримано з <a dir="ltr" href="https://uk.wikipedia.org/w/index.php?title=Дійсне_число&oldid=43243692">https://uk.wikipedia.org/w/index.php?title=Дійсне_число&oldid=43243692</a></div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%97" title="Спеціальна:Категорії">Категорії</a>: <ul><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7" title="Категорія:Математичний аналіз">Математичний аналіз</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0" title="Категорія:Числа">Числа</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Приховані категорії: <ul><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%A8%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD:Webarchive:%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%BD%D0%B0_Wayback_Machine" title="Категорія:Шаблон:Webarchive:посилання на Wayback Machine">Шаблон:Webarchive:посилання на Wayback Machine</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%A1%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B8,_%D1%89%D0%BE_%D0%B2%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B2%D1%83%D1%8E%D1%82%D1%8C_%D0%BC%D0%B0%D0%B3%D1%96%D1%87%D0%BD%D1%96_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_ISBN" title="Категорія:Сторінки, що використовують магічні посилання ISBN">Сторінки, що використовують магічні посилання ISBN</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%A1%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%82%D1%96_%D0%B7_%D0%B4%D0%B6%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BB%D0%B0%D0%BC%D0%B8_%D0%B7_%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%85" title="Категорія:Статті з джерелами з Вікіданих">Статті з джерелами з Вікіданих</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:P373:%D0%B2%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B2%D1%83%D1%94%D1%82%D1%8C%D1%81%D1%8F" title="Категорія:Вікіпедія:P373:використовується">Вікіпедія:P373:використовується</a></li></ul></div></div> </div> </div> <div id="mw-navigation"> <h2>Навігаційне меню</h2> <div id="mw-head"> <nav id="p-personal" class="mw-portlet mw-portlet-personal vector-user-menu-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-personal-label" > <h3 id="p-personal-label" class="vector-menu-heading " > Особисті інструменти </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anonuserpage" class="mw-list-item">Ви не увійшли до системи</li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9C%D0%BE%D1%94_%D0%BE%D0%B1%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Обговорення редагувань з цієї IP-адреси [n]" accesskey="n">Обговорення</a></li><li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9C%D1%96%D0%B9_%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D1%81%D0%BE%D0%BA" title="Список редагувань, зроблених з цієї IP-адреси [y]" accesskey="y">Внесок</a></li><li id="pt-createaccount" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%A1%D1%82%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B8_%D0%BE%D0%B1%D0%BB%D1%96%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D0%B8%D1%81&returnto=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5+%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Пропонуємо створити обліковий запис і увійти в систему; однак, це не обов'язково">Створити обліковий запис</a></li><li id="pt-login" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%92%D1%85%D1%96%D0%B4&returnto=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5+%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Заохочуємо Вас увійти в систему, але це необов'язково. [o]" accesskey="o">Увійти</a></li> </ul> </div> </nav> <div id="left-navigation"> <nav id="p-namespaces" class="mw-portlet mw-portlet-namespaces vector-menu-tabs vector-menu-tabs-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-namespaces-label" > <h3 id="p-namespaces-label" class="vector-menu-heading " > Простори назв </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Вміст статті [c]" accesskey="c">Стаття</a></li><li id="ca-talk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%9E%D0%B1%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F:%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" rel="discussion" title="Обговорення сторінки [t]" accesskey="t">Обговорення</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-variants" class="mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet vector-menu-dropdown vector-menu" aria-labelledby="p-variants-label" > <input type="checkbox" id="p-variants-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-variants" class="vector-menu-checkbox" aria-labelledby="p-variants-label" > <label id="p-variants-label" class="vector-menu-heading " > українська </label> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation"> <nav id="p-views" class="mw-portlet mw-portlet-views vector-menu-tabs vector-menu-tabs-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-views-label" > <h3 id="p-views-label" class="vector-menu-heading " > Перегляди </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE">Читати</a></li><li id="ca-ve-edit" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&veaction=edit" title="Редагувати цю сторінку [v]" accesskey="v">Редагувати</a></li><li id="ca-edit" class="collapsible mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&action=edit" title="Редагувати вихідний код сторінки [e]" accesskey="e">Редагувати код</a></li><li id="ca-history" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&action=history" title="Журнал змін сторінки [h]" accesskey="h">Переглянути історію</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-cactions" class="mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-menu-dropdown vector-menu" aria-labelledby="p-cactions-label" title="Більше опцій" > <input type="checkbox" id="p-cactions-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-cactions" class="vector-menu-checkbox" aria-labelledby="p-cactions-label" > <label id="p-cactions-label" class="vector-menu-heading " > Більше </label> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </nav> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <h3 >Пошук</h3> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="vector-search-box-form"> <div id="simpleSearch" class="vector-search-box-inner" data-search-loc="header-navigation"> <input class="vector-search-box-input" type="search" name="search" placeholder="Пошук у Вікіпедії" aria-label="Пошук у Вікіпедії" autocapitalize="sentences" title="Шукати у Вікіпедії [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <input type="hidden" name="title" value="Спеціальна:Пошук"> <input id="mw-searchButton" class="searchButton mw-fallbackSearchButton" type="submit" name="fulltext" title="Знайти сторінки, що містять зазначений текст" value="Знайти"> <input id="searchButton" class="searchButton" type="submit" name="go" title="Перейти до сторінки, що має точно таку назву (якщо вона існує)" value="Перейти"> </div> </form> </div> </div> </div> <div id="mw-panel" class="vector-legacy-sidebar"> <div id="p-logo" role="banner"> <a class="mw-wiki-logo" href="/wiki/%D0%93%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0" title="Перейти на головну сторінку"></a> </div> <nav id="p-navigation" class="mw-portlet mw-portlet-navigation vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-navigation-label" > <h3 id="p-navigation-label" class="vector-menu-heading " > Навігація </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-description" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%93%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0" title="Перейти на головну сторінку [z]" accesskey="z">Головна сторінка</a></li><li id="n-currentevents" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B0%D0%BB:%D0%9F%D0%BE%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D1%96_%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D1%96%D1%97" title="Список поточних подій">Поточні події</a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9D%D0%BE%D0%B2%D1%96_%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D0%B3%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Список останніх змін у цій вікі [r]" accesskey="r">Нові редагування</a></li><li id="n-newpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9D%D0%BE%D0%B2%D1%96_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B8">Нові сторінки</a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%92%D0%B8%D0%BF%D0%B0%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0" title="Переглянути випадкову сторінку [x]" accesskey="x">Випадкова стаття</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-Участь" class="mw-portlet mw-portlet-Участь vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-Участь-label" > <h3 id="p-Участь-label" class="vector-menu-heading " > Участь </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%9F%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B0%D0%BB_%D1%81%D0%BF%D1%96%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%82%D0%B8" title="Про проєкт, про те, що Ви можете зробити, і що де шукати">Портал спільноти</a></li><li id="n-tavern" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%9A%D0%BD%D0%B0%D0%B9%D0%BF%D0%B0" title="Місце для обговорення більшості питань">Кнайпа</a></li><li id="n-help" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%94%D0%BE%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%BA%D0%B0" title="Довідка з проєкту">Довідка</a></li><li id="n-sitesupport" class="mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_uk.wikipedia.org&uselang=uk" title="Підтримайте проєкт">Пожертвувати</a></li><li id="n-Сторінка-для-медіа" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%A1%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BC%D0%B5%D0%B4%D1%96%D0%B0">Сторінка для медіа</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-tb" class="mw-portlet mw-portlet-tb vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-tb-label" > <h3 id="p-tb-label" class="vector-menu-heading " > Інструменти </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9F%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%81%D1%8E%D0%B4%D0%B8/%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Перелік усіх сторінок, які посилаються на цю сторінку [j]" accesskey="j">Посилання сюди</a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9F%D0%BE%D0%B2%27%D1%8F%D0%B7%D0%B0%D0%BD%D1%96_%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D0%B3%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F/%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" rel="nofollow" title="Останні зміни на сторінках, на які посилається ця сторінка [k]" accesskey="k">Пов'язані редагування</a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B8" title="Перелік спеціальних сторінок [q]" accesskey="q">Спеціальні сторінки</a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&oldid=43243692" title="Постійне посилання на цю версію цієї сторінки">Постійне посилання</a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&action=info" title="Додаткові відомості про цю сторінку">Інформація про сторінку</a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%A6%D0%B8%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B0&page=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&id=43243692&wpFormIdentifier=titleform" title="Інформація про те, як цитувати цю сторінку">Цитувати сторінку</a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Fuk.wikipedia.org%2Fwiki%2F%25D0%2594%25D1%2596%25D0%25B9%25D1%2581%25D0%25BD%25D0%25B5_%25D1%2587%25D0%25B8%25D1%2581%25D0%25BB%25D0%25BE">Отримати вкорочену URL-адресу</a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:QrCode&url=https%3A%2F%2Fuk.wikipedia.org%2Fwiki%2F%25D0%2594%25D1%2596%25D0%25B9%25D1%2581%25D0%25BD%25D0%25B5_%25D1%2587%25D0%25B8%25D1%2581%25D0%25BB%25D0%25BE">Завантажити QR-код</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-coll-print_export" class="mw-portlet mw-portlet-coll-print_export vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-coll-print_export-label" > <h3 id="p-coll-print_export-label" class="vector-menu-heading " > Друк/експорт </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0&bookcmd=book_creator&referer=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5+%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE">Створити книгу</a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:DownloadAsPdf&page=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&action=show-download-screen">Завантажити як PDF</a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&printable=yes" title="Версія цієї сторінки для друку [p]" accesskey="p">Версія до друку</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-wikibase-otherprojects" class="mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-wikibase-otherprojects-label" > <h3 id="p-wikibase-otherprojects-label" class="vector-menu-heading " > В інших проєктах </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Real_numbers" hreflang="en">Вікісховище</a></li><li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibooks mw-list-item"><a href="https://uk.wikibooks.org/wiki/%D0%9E%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D1%96_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B8/%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0" hreflang="uk">Вікіпідручник</a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q12916" title="Посилання на пов’язаний елемент сховища даних [g]" accesskey="g">Елемент Вікіданих</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-lang" class="mw-portlet mw-portlet-lang vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-lang-label" > <h3 id="p-lang-label" class="vector-menu-heading " > Іншими мовами </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Re%C3%ABle_getal" title="Reële getal — африкаанс" lang="af" hreflang="af" data-title="Reële getal" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="африкаанс" class="interlanguage-link-target">Afrikaans</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-als mw-list-item"><a href="https://als.wikipedia.org/wiki/Reelle_Zahl" title="Reelle Zahl — німецька (Швейцарія)" lang="gsw" hreflang="gsw" data-title="Reelle Zahl" data-language-autonym="Alemannisch" data-language-local-name="німецька (Швейцарія)" class="interlanguage-link-target">Alemannisch</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%B9%D8%AF%D8%AF_%D8%AD%D9%82%D9%8A%D9%82%D9%8A" title="عدد حقيقي — арабська" lang="ar" hreflang="ar" data-title="عدد حقيقي" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="арабська" class="interlanguage-link-target">العربية</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmberu_real" title="Númberu real — астурійська" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Númberu real" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="астурійська" class="interlanguage-link-target">Asturianu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/H%C9%99qiqi_%C9%99d%C9%99dl%C9%99r" title="Həqiqi ədədlər — азербайджанська" lang="az" hreflang="az" data-title="Həqiqi ədədlər" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="азербайджанська" class="interlanguage-link-target">Azərbaycanca</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-azb mw-list-item"><a href="https://azb.wikipedia.org/wiki/%D8%AD%D9%82%DB%8C%D9%82%DB%8C_%D8%B3%D8%A7%DB%8C%DB%8C%D9%84%D8%A7%D8%B1" title="حقیقی ساییلار — South Azerbaijani" lang="azb" hreflang="azb" data-title="حقیقی ساییلار" data-language-autonym="تۆرکجه" data-language-local-name="South Azerbaijani" class="interlanguage-link-target">تۆرکجه</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%AB%D1%81%D1%8B%D0%BD_%D2%BB%D0%B0%D0%BD" title="Ысын һан — башкирська" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Ысын һан" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="башкирська" class="interlanguage-link-target">Башҡортса</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bcl mw-list-item"><a href="https://bcl.wikipedia.org/wiki/Tunay_na_bilang" title="Tunay na bilang — Central Bikol" lang="bcl" hreflang="bcl" data-title="Tunay na bilang" data-language-autonym="Bikol Central" data-language-local-name="Central Bikol" class="interlanguage-link-target">Bikol Central</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D1%8D%D1%87%D0%B0%D1%96%D1%81%D0%BD%D1%8B_%D0%BB%D1%96%D0%BA" title="Рэчаісны лік — білоруська" lang="be" hreflang="be" data-title="Рэчаісны лік" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="білоруська" class="interlanguage-link-target">Беларуская</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be-x-old mw-list-item"><a href="https://be-tarask.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D1%8D%D1%87%D0%B0%D1%96%D1%81%D0%BD%D1%8B_%D0%BB%D1%96%D0%BA" title="Рэчаісны лік — Belarusian (Taraškievica orthography)" lang="be-tarask" hreflang="be-tarask" data-title="Рэчаісны лік" data-language-autonym="Беларуская (тарашкевіца)" data-language-local-name="Belarusian (Taraškievica orthography)" class="interlanguage-link-target">Беларуская (тарашкевіца)</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D0%BD%D0%BE_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Реално число — болгарська" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Реално число" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="болгарська" class="interlanguage-link-target">Български</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bh mw-list-item"><a href="https://bh.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B5%E0%A4%BE%E0%A4%B8%E0%A5%8D%E0%A4%A4%E0%A4%B5%E0%A4%BF%E0%A4%95_%E0%A4%B8%E0%A4%82%E0%A4%96%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A4%BE" title="वास्तविक संख्या — Bhojpuri" lang="bh" hreflang="bh" data-title="वास्तविक संख्या" data-language-autonym="भोजपुरी" data-language-local-name="Bhojpuri" class="interlanguage-link-target">भोजपुरी</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%AC%E0%A6%BE%E0%A6%B8%E0%A7%8D%E0%A6%A4%E0%A6%AC_%E0%A6%B8%E0%A6%82%E0%A6%96%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%BE" title="বাস্তব সংখ্যা — бенгальська" lang="bn" hreflang="bn" data-title="বাস্তব সংখ্যা" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="бенгальська" class="interlanguage-link-target">বাংলা</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Realan_broj" title="Realan broj — боснійська" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Realan broj" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="боснійська" class="interlanguage-link-target">Bosanski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bxr mw-list-item"><a href="https://bxr.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%BE%D0%B4%D0%BE%D1%82%D0%BE_%D1%82%D0%BE%D0%BE" title="Бодото тоо — Russia Buriat" lang="bxr" hreflang="bxr" data-title="Бодото тоо" data-language-autonym="Буряад" data-language-local-name="Russia Buriat" class="interlanguage-link-target">Буряад</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca badge-Q17437798 badge-goodarticle mw-list-item" title="добра стаття"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Nombre_real" title="Nombre real — каталонська" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Nombre real" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="каталонська" class="interlanguage-link-target">Català</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%DA%98%D9%85%D8%A7%D8%B1%DB%95%DB%8C_%DA%95%D8%A7%D8%B3%D8%AA%DB%95%D9%82%DB%8C%D9%86%DB%95" title="ژمارەی ڕاستەقینە — центральнокурдська" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="ژمارەی ڕاستەقینە" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="центральнокурдська" class="interlanguage-link-target">کوردی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-crh mw-list-item"><a href="https://crh.wikipedia.org/wiki/Aqiqiy_say%C4%B1" title="Aqiqiy sayı — кримськотатарська" lang="crh" hreflang="crh" data-title="Aqiqiy sayı" data-language-autonym="Qırımtatarca" data-language-local-name="кримськотатарська" class="interlanguage-link-target">Qırımtatarca</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Re%C3%A1ln%C3%A9_%C4%8D%C3%ADslo" title="Reálné číslo — чеська" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Reálné číslo" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="чеська" class="interlanguage-link-target">Čeština</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%C4%83%D0%BD_%D1%85%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BF" title="Чăн хисеп — чуваська" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Чăн хисеп" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="чуваська" class="interlanguage-link-target">Чӑвашла</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Rhif_real" title="Rhif real — валлійська" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Rhif real" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="валлійська" class="interlanguage-link-target">Cymraeg</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Reelle_tal" title="Reelle tal — данська" lang="da" hreflang="da" data-title="Reelle tal" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="данська" class="interlanguage-link-target">Dansk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Reelle_Zahl" title="Reelle Zahl — німецька" lang="de" hreflang="de" data-title="Reelle Zahl" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="німецька" class="interlanguage-link-target">Deutsch</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-diq mw-list-item"><a href="https://diq.wikipedia.org/wiki/Amaro_reel" title="Amaro reel — Zazaki" lang="diq" hreflang="diq" data-title="Amaro reel" data-language-autonym="Zazaki" data-language-local-name="Zazaki" class="interlanguage-link-target">Zazaki</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A0%CF%81%CE%B1%CE%B3%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CF%8C%CF%82_%CE%B1%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CF%8C%CF%82" title="Πραγματικός αριθμός — грецька" lang="el" hreflang="el" data-title="Πραγματικός αριθμός" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="грецька" class="interlanguage-link-target">Ελληνικά</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eml mw-list-item"><a href="https://eml.wikipedia.org/wiki/N%C3%B3mmer_re%C3%A8l" title="Nómmer reèl — Emiliano-Romagnolo" lang="egl" hreflang="egl" data-title="Nómmer reèl" data-language-autonym="Emiliàn e rumagnòl" data-language-local-name="Emiliano-Romagnolo" class="interlanguage-link-target">Emiliàn e rumagnòl</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Real_number" title="Real number — англійська" lang="en" hreflang="en" data-title="Real number" data-language-autonym="English" data-language-local-name="англійська" class="interlanguage-link-target">English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Reelo" title="Reelo — есперанто" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Reelo" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="есперанто" class="interlanguage-link-target">Esperanto</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real" title="Número real — іспанська" lang="es" hreflang="es" data-title="Número real" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="іспанська" class="interlanguage-link-target">Español</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Reaalarv" title="Reaalarv — естонська" lang="et" hreflang="et" data-title="Reaalarv" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="естонська" class="interlanguage-link-target">Eesti</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Zenbaki_erreal" title="Zenbaki erreal — баскська" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Zenbaki erreal" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="баскська" class="interlanguage-link-target">Euskara</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%B9%D8%AF%D8%AF_%D8%AD%D9%82%DB%8C%D9%82%DB%8C" title="عدد حقیقی — перська" lang="fa" hreflang="fa" data-title="عدد حقیقی" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="перська" class="interlanguage-link-target">فارسی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Reaaliluku" title="Reaaliluku — фінська" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Reaaliluku" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="фінська" class="interlanguage-link-target">Suomi</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fiu-vro mw-list-item"><a href="https://fiu-vro.wikipedia.org/wiki/Reaalarv" title="Reaalarv — Võro" lang="vro" hreflang="vro" data-title="Reaalarv" data-language-autonym="Võro" data-language-local-name="Võro" class="interlanguage-link-target">Võro</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fo mw-list-item"><a href="https://fo.wikipedia.org/wiki/Reelt_tal" title="Reelt tal — фарерська" lang="fo" hreflang="fo" data-title="Reelt tal" data-language-autonym="Føroyskt" data-language-local-name="фарерська" class="interlanguage-link-target">Føroyskt</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_r%C3%A9el" title="Nombre réel — французька" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Nombre réel" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="французька" class="interlanguage-link-target">Français</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-frr mw-list-item"><a href="https://frr.wikipedia.org/wiki/Re%27el_taal" title="Re'el taal — фризька північна" lang="frr" hreflang="frr" data-title="Re'el taal" data-language-autonym="Nordfriisk" data-language-local-name="фризька північна" class="interlanguage-link-target">Nordfriisk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fur mw-list-item"><a href="https://fur.wikipedia.org/wiki/Numars_re%C3%A2i" title="Numars reâi — фріульська" lang="fur" hreflang="fur" data-title="Numars reâi" data-language-autonym="Furlan" data-language-local-name="фріульська" class="interlanguage-link-target">Furlan</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9aduimhir" title="Réaduimhir — ірландська" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Réaduimhir" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="ірландська" class="interlanguage-link-target">Gaeilge</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gan mw-list-item"><a href="https://gan.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%A6%E6%95%B8" title="實數 — ґань" lang="gan" hreflang="gan" data-title="實數" data-language-autonym="贛語" data-language-local-name="ґань" class="interlanguage-link-target">贛語</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gcr mw-list-item"><a href="https://gcr.wikipedia.org/wiki/Nonm_r%C3%A9y%C3%A8l" title="Nonm réyèl — Guianan Creole" lang="gcr" hreflang="gcr" data-title="Nonm réyèl" data-language-autonym="Kriyòl gwiyannen" data-language-local-name="Guianan Creole" class="interlanguage-link-target">Kriyòl gwiyannen</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real" title="Número real — галісійська" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Número real" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="галісійська" class="interlanguage-link-target">Galego</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gv mw-list-item"><a href="https://gv.wikipedia.org/wiki/Feer_earroo" title="Feer earroo — менкська" lang="gv" hreflang="gv" data-title="Feer earroo" data-language-autonym="Gaelg" data-language-local-name="менкська" class="interlanguage-link-target">Gaelg</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8_%D7%9E%D7%9E%D7%A9%D7%99" title="מספר ממשי — іврит" lang="he" hreflang="he" data-title="מספר ממשי" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="іврит" class="interlanguage-link-target">עברית</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B5%E0%A4%BE%E0%A4%B8%E0%A5%8D%E0%A4%A4%E0%A4%B5%E0%A4%BF%E0%A4%95_%E0%A4%B8%E0%A4%82%E0%A4%96%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A4%BE" title="वास्तविक संख्या — гінді" lang="hi" hreflang="hi" data-title="वास्तविक संख्या" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="гінді" class="interlanguage-link-target">हिन्दी</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Realni_broj" title="Realni broj — хорватська" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Realni broj" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="хорватська" class="interlanguage-link-target">Hrvatski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Val%C3%B3s_sz%C3%A1mok" title="Valós számok — угорська" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Valós számok" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="угорська" class="interlanguage-link-target">Magyar</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D4%BB%D6%80%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%A9%D5%AB%D5%BE" title="Իրական թիվ — вірменська" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Իրական թիվ" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="вірменська" class="interlanguage-link-target">Հայերեն</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Numero_real" title="Numero real — інтерлінгва" lang="ia" hreflang="ia" data-title="Numero real" data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="інтерлінгва" class="interlanguage-link-target">Interlingua</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-iba mw-list-item"><a href="https://iba.wikipedia.org/wiki/Lumur_bendar" title="Lumur bendar — ібанська" lang="iba" hreflang="iba" data-title="Lumur bendar" data-language-autonym="Jaku Iban" data-language-local-name="ібанська" class="interlanguage-link-target">Jaku Iban</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_riil" title="Bilangan riil — індонезійська" lang="id" hreflang="id" data-title="Bilangan riil" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="індонезійська" class="interlanguage-link-target">Bahasa Indonesia</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-io mw-list-item"><a href="https://io.wikipedia.org/wiki/Reala_nombro" title="Reala nombro — ідо" lang="io" hreflang="io" data-title="Reala nombro" data-language-autonym="Ido" data-language-local-name="ідо" class="interlanguage-link-target">Ido</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Rauntala" title="Rauntala — ісландська" lang="is" hreflang="is" data-title="Rauntala" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="ісландська" class="interlanguage-link-target">Íslenska</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Numero_reale" title="Numero reale — італійська" lang="it" hreflang="it" data-title="Numero reale" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="італійська" class="interlanguage-link-target">Italiano</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0" title="実数 — японська" lang="ja" hreflang="ja" data-title="実数" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="японська" class="interlanguage-link-target">日本語</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jam mw-list-item"><a href="https://jam.wikipedia.org/wiki/Riil_nomba" title="Riil nomba — Jamaican Creole English" lang="jam" hreflang="jam" data-title="Riil nomba" data-language-autonym="Patois" data-language-local-name="Jamaican Creole English" class="interlanguage-link-target">Patois</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jbo mw-list-item"><a href="https://jbo.wikipedia.org/wiki/pavycimdyna%27u" title="pavycimdyna'u — ложбан" lang="jbo" hreflang="jbo" data-title="pavycimdyna'u" data-language-autonym="La .lojban." data-language-local-name="ложбан" class="interlanguage-link-target">La .lojban.</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%9C%E1%83%90%E1%83%9B%E1%83%93%E1%83%95%E1%83%98%E1%83%9A%E1%83%98_%E1%83%A0%E1%83%98%E1%83%AA%E1%83%AE%E1%83%95%E1%83%98" title="ნამდვილი რიცხვი — грузинська" lang="ka" hreflang="ka" data-title="ნამდვილი რიცხვი" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="грузинська" class="interlanguage-link-target">ქართული</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kbp mw-list-item"><a href="https://kbp.wikipedia.org/wiki/Si%C5%8B%C5%8B_%C3%B1%CA%8A%C5%8B_(t%CA%8A%CA%8Az%CA%8A%CA%8A)" title="Siŋŋ ñʊŋ (tʊʊzʊʊ) — Kabiye" lang="kbp" hreflang="kbp" data-title="Siŋŋ ñʊŋ (tʊʊzʊʊ)" data-language-autonym="Kabɩyɛ" data-language-local-name="Kabiye" class="interlanguage-link-target">Kabɩyɛ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B0%D2%9B%D1%82%D1%8B_%D1%81%D0%B0%D0%BD" title="Нақты сан — казахська" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Нақты сан" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="казахська" class="interlanguage-link-target">Қазақша</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-km mw-list-item"><a href="https://km.wikipedia.org/wiki/%E1%9E%85%E1%9F%86%E1%9E%93%E1%9E%BD%E1%9E%93%E1%9E%96%E1%9E%B7%E1%9E%8F" title="ចំនួនពិត — кхмерська" lang="km" hreflang="km" data-title="ចំនួនពិត" data-language-autonym="ភាសាខ្មែរ" data-language-local-name="кхмерська" class="interlanguage-link-target">ភាសាខ្មែរ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kn mw-list-item"><a href="https://kn.wikipedia.org/wiki/%E0%B2%A8%E0%B3%88%E0%B2%9C_%E0%B2%B8%E0%B2%82%E0%B2%96%E0%B3%8D%E0%B2%AF%E0%B3%86" title="ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ — каннада" lang="kn" hreflang="kn" data-title="ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ" data-language-autonym="ಕನ್ನಡ" data-language-local-name="каннада" class="interlanguage-link-target">ಕನ್ನಡ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%8B%A4%EC%88%98" title="실수 — корейська" lang="ko" hreflang="ko" data-title="실수" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="корейська" class="interlanguage-link-target">한국어</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ku mw-list-item"><a href="https://ku.wikipedia.org/wiki/Hejmar%C3%AAn_rast%C3%AEn" title="Hejmarên rastîn — курдська" lang="ku" hreflang="ku" data-title="Hejmarên rastîn" data-language-autonym="Kurdî" data-language-local-name="курдська" class="interlanguage-link-target">Kurdî</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ky mw-list-item"><a href="https://ky.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BD%D1%8B%D0%BA_%D1%81%D0%B0%D0%BD" title="Анык сан — киргизька" lang="ky" hreflang="ky" data-title="Анык сан" data-language-autonym="Кыргызча" data-language-local-name="киргизька" class="interlanguage-link-target">Кыргызча</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Numerus_realis" title="Numerus realis — латинська" lang="la" hreflang="la" data-title="Numerus realis" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="латинська" class="interlanguage-link-target">Latina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lfn mw-list-item"><a href="https://lfn.wikipedia.org/wiki/Numero_real" title="Numero real — Lingua Franca Nova" lang="lfn" hreflang="lfn" data-title="Numero real" data-language-autonym="Lingua Franca Nova" data-language-local-name="Lingua Franca Nova" class="interlanguage-link-target">Lingua Franca Nova</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-li mw-list-item"><a href="https://li.wikipedia.org/wiki/Re%C3%ABel_getal" title="Reëel getal — лімбургійська" lang="li" hreflang="li" data-title="Reëel getal" data-language-autonym="Limburgs" data-language-local-name="лімбургійська" class="interlanguage-link-target">Limburgs</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lij mw-list-item"><a href="https://lij.wikipedia.org/wiki/Numeri_re%C3%A6" title="Numeri reæ — лігурійська" lang="lij" hreflang="lij" data-title="Numeri reæ" data-language-autonym="Ligure" data-language-local-name="лігурійська" class="interlanguage-link-target">Ligure</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lmo mw-list-item"><a href="https://lmo.wikipedia.org/wiki/Numer_real" title="Numer real — ломбардська" lang="lmo" hreflang="lmo" data-title="Numer real" data-language-autonym="Lombard" data-language-local-name="ломбардська" class="interlanguage-link-target">Lombard</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lo mw-list-item"><a href="https://lo.wikipedia.org/wiki/%E0%BA%88%E0%BA%B3%E0%BA%99%E0%BA%A7%E0%BA%99%E0%BA%88%E0%BA%B4%E0%BA%87" title="ຈຳນວນຈິງ — лаоська" lang="lo" hreflang="lo" data-title="ຈຳນວນຈິງ" data-language-autonym="ລາວ" data-language-local-name="лаоська" class="interlanguage-link-target">ລາວ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Realusis_skai%C4%8Dius" title="Realusis skaičius — литовська" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Realusis skaičius" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="литовська" class="interlanguage-link-target">Lietuvių</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Re%C4%81ls_skaitlis" title="Reāls skaitlis — латиська" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Reāls skaitlis" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="латиська" class="interlanguage-link-target">Latviešu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mg mw-list-item"><a href="https://mg.wikipedia.org/wiki/Isa_voatsapa" title="Isa voatsapa — малагасійська" lang="mg" hreflang="mg" data-title="Isa voatsapa" data-language-autonym="Malagasy" data-language-local-name="малагасійська" class="interlanguage-link-target">Malagasy</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D0%B5%D0%BD_%D0%B1%D1%80%D0%BE%D1%98" title="Реален број — македонська" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Реален број" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="македонська" class="interlanguage-link-target">Македонски</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%B5%E0%B4%BE%E0%B4%B8%E0%B5%8D%E0%B4%A4%E0%B4%B5%E0%B4%BF%E0%B4%95%E0%B4%B8%E0%B4%82%E0%B4%96%E0%B5%8D%E0%B4%AF" title="വാസ്തവികസംഖ്യ — малаялам" lang="ml" hreflang="ml" data-title="വാസ്തവികസംഖ്യ" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="малаялам" class="interlanguage-link-target">മലയാളം</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mr mw-list-item"><a href="https://mr.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B5%E0%A4%BE%E0%A4%B8%E0%A5%8D%E0%A4%A4%E0%A4%B5%E0%A4%BF%E0%A4%95_%E0%A4%B8%E0%A4%82%E0%A4%96%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A4%BE" title="वास्तविक संख्या — маратхі" lang="mr" hreflang="mr" data-title="वास्तविक संख्या" data-language-autonym="मराठी" data-language-local-name="маратхі" class="interlanguage-link-target">मराठी</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Nombor_nyata" title="Nombor nyata — малайська" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Nombor nyata" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="малайська" class="interlanguage-link-target">Bahasa Melayu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-my mw-list-item"><a href="https://my.wikipedia.org/wiki/%E1%80%80%E1%80%AD%E1%80%94%E1%80%BA%E1%80%B8%E1%80%85%E1%80%85%E1%80%BA" title="ကိန်းစစ် — бірманська" lang="my" hreflang="my" data-title="ကိန်းစစ်" data-language-autonym="မြန်မာဘာသာ" data-language-local-name="бірманська" class="interlanguage-link-target">မြန်မာဘာသာ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ne mw-list-item"><a href="https://ne.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B5%E0%A4%BE%E0%A4%B8%E0%A5%8D%E0%A4%A4%E0%A4%B5%E0%A4%BF%E0%A4%95_%E0%A4%B8%E0%A4%99%E0%A5%8D%E0%A4%96%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A4%BE" title="वास्तविक सङ्ख्या — непальська" lang="ne" hreflang="ne" data-title="वास्तविक सङ्ख्या" data-language-autonym="नेपाली" data-language-local-name="непальська" class="interlanguage-link-target">नेपाली</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Re%C3%ABel_getal" title="Reëel getal — нідерландська" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Reëel getal" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="нідерландська" class="interlanguage-link-target">Nederlands</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Reelle_tal" title="Reelle tal — норвезька (нюношк)" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Reelle tal" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="норвезька (нюношк)" class="interlanguage-link-target">Norsk nynorsk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Reelt_tall" title="Reelt tall — норвезька (букмол)" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Reelt tall" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="норвезька (букмол)" class="interlanguage-link-target">Norsk bokmål</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Nombre_real" title="Nombre real — окситанська" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Nombre real" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="окситанська" class="interlanguage-link-target">Occitan</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-os mw-list-item"><a href="https://os.wikipedia.org/wiki/%D0%91%C3%A6%D0%BB%D0%B2%D1%8B%D1%80%D0%B4_%D0%BD%D1%8B%D0%BC%C3%A6%D1%86" title="Бæлвырд нымæц — осетинська" lang="os" hreflang="os" data-title="Бæлвырд нымæц" data-language-autonym="Ирон" data-language-local-name="осетинська" class="interlanguage-link-target">Ирон</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%B5%E0%A8%BE%E0%A8%B8%E0%A8%A4%E0%A8%B5%E0%A8%BF%E0%A8%95_%E0%A8%85%E0%A9%B0%E0%A8%95" title="ਵਾਸਤਵਿਕ ਅੰਕ — панджабі" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਵਾਸਤਵਿਕ ਅੰਕ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="панджабі" class="interlanguage-link-target">ਪੰਜਾਬੀ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_rzeczywiste" title="Liczby rzeczywiste — польська" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Liczby rzeczywiste" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="польська" class="interlanguage-link-target">Polski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pms mw-list-item"><a href="https://pms.wikipedia.org/wiki/N%C3%B9mer_real" title="Nùmer real — Piedmontese" lang="pms" hreflang="pms" data-title="Nùmer real" data-language-autonym="Piemontèis" data-language-local-name="Piedmontese" class="interlanguage-link-target">Piemontèis</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real" title="Número real — португальська" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Número real" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="португальська" class="interlanguage-link-target">Português</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Num%C4%83r_real" title="Număr real — румунська" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Număr real" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="румунська" class="interlanguage-link-target">Română</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D1%89%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Вещественное число — російська" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Вещественное число" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="російська" class="interlanguage-link-target">Русский</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sah mw-list-item"><a href="https://sah.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D1%8C%D0%B8%D2%A5%D0%BD%D1%8D%D1%8D%D1%85_%D1%87%D1%8B%D1%8B%D2%BB%D1%8B%D0%BB%D0%B0%D0%BB%D0%B0%D1%80" title="Дьиҥнээх чыыһылалар — саха" lang="sah" hreflang="sah" data-title="Дьиҥнээх чыыһылалар" data-language-autonym="Саха тыла" data-language-local-name="саха" class="interlanguage-link-target">Саха тыла</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/N%C3%B9mmuru_riali" title="Nùmmuru riali — сицилійська" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Nùmmuru riali" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="сицилійська" class="interlanguage-link-target">Sicilianu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Realan_broj" title="Realan broj — сербсько-хорватська" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Realan broj" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="сербсько-хорватська" class="interlanguage-link-target">Srpskohrvatski / српскохрватски</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-si mw-list-item"><a href="https://si.wikipedia.org/wiki/%E0%B6%AD%E0%B7%8F%E0%B6%AD%E0%B7%8A%E0%B7%80%E0%B7%92%E0%B6%9A_%E0%B7%83%E0%B6%82%E0%B6%9B%E0%B7%8A%E2%80%8D%E0%B6%BA%E0%B7%8F" title="තාත්වික සංඛ්‍යා — сингальська" lang="si" hreflang="si" data-title="තාත්වික සංඛ්‍යා" data-language-autonym="සිංහල" data-language-local-name="сингальська" class="interlanguage-link-target">සිංහල</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Real_number" title="Real number — Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Real number" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target">Simple English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Re%C3%A1lne_%C4%8D%C3%ADslo" title="Reálne číslo — словацька" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Reálne číslo" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="словацька" class="interlanguage-link-target">Slovenčina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Realno_%C5%A1tevilo" title="Realno število — словенська" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Realno število" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="словенська" class="interlanguage-link-target">Slovenščina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-smn mw-list-item"><a href="https://smn.wikipedia.org/wiki/Reaalloho" title="Reaalloho — саамська інарі" lang="smn" hreflang="smn" data-title="Reaalloho" data-language-autonym="Anarâškielâ" data-language-local-name="саамська інарі" class="interlanguage-link-target">Anarâškielâ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Numrat_real%C3%AB" title="Numrat realë — албанська" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Numrat realë" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="албанська" class="interlanguage-link-target">Shqip</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D0%B0%D0%BD_%D0%B1%D1%80%D0%BE%D1%98" title="Реалан број — сербська" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Реалан број" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="сербська" class="interlanguage-link-target">Српски / srpski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Reella_tal" title="Reella tal — шведська" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Reella tal" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="шведська" class="interlanguage-link-target">Svenska</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sw mw-list-item"><a href="https://sw.wikipedia.org/wiki/Namba_halisi" title="Namba halisi — суахілі" lang="sw" hreflang="sw" data-title="Namba halisi" data-language-autonym="Kiswahili" data-language-local-name="суахілі" class="interlanguage-link-target">Kiswahili</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%AE%E0%AF%86%E0%AE%AF%E0%AF%8D%E0%AE%AF%E0%AF%86%E0%AE%A3%E0%AF%8D" title="மெய்யெண் — тамільська" lang="ta" hreflang="ta" data-title="மெய்யெண்" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="тамільська" class="interlanguage-link-target">தமிழ்</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B8%88%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%87" title="จำนวนจริง — тайська" lang="th" hreflang="th" data-title="จำนวนจริง" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="тайська" class="interlanguage-link-target">ไทย</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Tunay_na_bilang" title="Tunay na bilang — тагальська" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Tunay na bilang" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="тагальська" class="interlanguage-link-target">Tagalog</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Reel_say%C4%B1lar" title="Reel sayılar — турецька" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Reel sayılar" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="турецька" class="interlanguage-link-target">Türkçe</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D8%AD%D9%82%DB%8C%D9%82%DB%8C_%D8%B9%D8%AF%D8%AF" title="حقیقی عدد — урду" lang="ur" hreflang="ur" data-title="حقیقی عدد" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="урду" class="interlanguage-link-target">اردو</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Haqiqiy_sonlar" title="Haqiqiy sonlar — узбецька" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Haqiqiy sonlar" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="узбецька" class="interlanguage-link-target">Oʻzbekcha / ўзбекча</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/S%E1%BB%91_th%E1%BB%B1c" title="Số thực — вʼєтнамська" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Số thực" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="вʼєтнамська" class="interlanguage-link-target">Tiếng Việt</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9E%E6%95%B0" title="实数 — китайська уська" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="实数" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="китайська уська" class="interlanguage-link-target">吴语</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-xal mw-list-item"><a href="https://xal.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D3%99%D3%99%D0%BB%D2%BB%D0%B0%D0%BD_%D1%82%D0%BE%D0%B9%D0%B3" title="Бәәлһан тойг — калмицька" lang="xal" hreflang="xal" data-title="Бәәлһан тойг" data-language-autonym="Хальмг" data-language-local-name="калмицька" class="interlanguage-link-target">Хальмг</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yi mw-list-item"><a href="https://yi.wikipedia.org/wiki/%D7%A8%D7%A2%D7%90%D7%9C%D7%A2_%D7%A6%D7%90%D7%9C" title="רעאלע צאל — їдиш" lang="yi" hreflang="yi" data-title="רעאלע צאל" data-language-autonym="ייִדיש" data-language-local-name="їдиш" class="interlanguage-link-target">ייִדיש</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yo badge-Q17437798 badge-goodarticle mw-list-item" title="добра стаття"><a href="https://yo.wikipedia.org/wiki/N%E1%BB%8D%CC%81mb%C3%A0_gidi" title="Nọ́mbà gidi — йоруба" lang="yo" hreflang="yo" data-title="Nọ́mbà gidi" data-language-autonym="Yorùbá" data-language-local-name="йоруба" class="interlanguage-link-target">Yorùbá</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9E%E6%95%B0" title="实数 — китайська" lang="zh" hreflang="zh" data-title="实数" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="китайська" class="interlanguage-link-target">中文</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-classical mw-list-item"><a href="https://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%A6%E6%95%B8" title="實數 — Literary Chinese" lang="lzh" hreflang="lzh" data-title="實數" data-language-autonym="文言" data-language-local-name="Literary Chinese" class="interlanguage-link-target">文言</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-min-nan mw-list-item"><a href="https://zh-min-nan.wikipedia.org/wiki/Si%CC%8Dt-s%C3%B2%CD%98" title="Si̍t-sò͘ — південноміньська" lang="nan" hreflang="nan" data-title="Si̍t-sò͘" data-language-autonym="閩南語 / Bân-lâm-gú" data-language-local-name="південноміньська" class="interlanguage-link-target">閩南語 / Bân-lâm-gú</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%A6%E6%95%B8" title="實數 — кантонська" lang="yue" hreflang="yue" data-title="實數" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="кантонська" class="interlanguage-link-target">粵語</a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q12916#sitelinks-wikipedia" title="Редагувати міжмовні посилання" class="wbc-editpage">Редагувати посилання</a></div> </div> </nav> </div> </div> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Цю сторінку востаннє відредаговано о 20:09, 8 серпня 2024.</li> <li id="footer-info-copyright">Текст доступний на умовах ліцензії <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.uk">Creative Commons Attribution-ShareAlike</a>; також можуть діяти додаткові умови. Детальніше див. <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Policy:Terms_of_Use/uk">Умови використання</a>.</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">Політика конфіденційності</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%9F%D1%80%D0%BE">Про Вікіпедію</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%92%D1%96%D0%B4%D0%BC%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%B2%D1%96%D0%B4_%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96">Відмова від відповідальності</a></li> <li id="footer-places-contact"><a href="//uk.wikipedia.org/wiki/Вікіпедія:Зворотний_зв%27язок">Зворотний зв'язок</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Кодекс поведінки</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Розробники</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/uk.wikipedia.org">Статистика</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Куки</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//uk.m.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Мобільний вигляд</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.log.warn("This page is using the deprecated ResourceLoader module \"codex-search-styles\".\n[1.43] Use a CodexModule with codexComponents to set your specific components used: https://www.mediawiki.org/wiki/Codex#Using_a_limited_subset_of_components");mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-f69cdc8f6-vbjf2","wgBackendResponseTime":170,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"1.084","walltime":"1.416","ppvisitednodes":{"value":7545,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":74053,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":26894,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":17,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":8,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":1,"limit":20},"unstrip-size":{"value":33712,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":9,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 848.616 1 -total"," 28.60% 242.665 1 Шаблон:Unibox"," 21.75% 184.572 16 Шаблон:Книга"," 16.29% 138.264 1 Шаблон:Lang-en"," 15.61% 132.471 1 Шаблон:Reflist"," 13.65% 115.815 1 Шаблон:Quantity"," 13.23% 112.261 1 Шаблон:Navbox"," 12.42% 105.420 24 Шаблон:Str_endswith"," 11.17% 94.781 48 Шаблон:Str_len"," 6.56% 55.668 24 Шаблон:Delink"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.451","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":24861286,"limit":52428800},"limitreport-logs":"Loaded datatype wikibase-item of P2579 from wikidata, consider passing datatype argument to formatProperty call or to Wikidata/config\nLoaded datatype commonsMedia of P2716 from wikidata, consider passing datatype argument to formatProperty call or to Wikidata/config\nLoaded datatype wikibase-item of P6104 from wikidata, consider passing datatype argument to formatProperty call or to Wikidata/config\nLoaded datatype wikibase-item of P461 from wikidata, consider passing datatype argument to formatProperty call or to Wikidata/config\n"},"cachereport":{"origin":"mw-web.codfw.main-f69cdc8f6-dhbcv","timestamp":"20241124141926","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"\u0414\u0456\u0439\u0441\u043d\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e","url":"https:\/\/uk.wikipedia.org\/wiki\/%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q12916","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q12916","author":{"@type":"Organization","name":"\u0423\u0447\u0430\u0441\u043d\u0438\u043a\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0442\u0456\u0432 \u0412\u0456\u043a\u0456\u043c\u0435\u0434\u0456\u0430"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"\u0424\u043e\u043d\u0434 \u0412\u0456\u043a\u0456\u043c\u0435\u0434\u0456\u0430","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2005-02-08T09:08:30Z","image":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/1\/17\/Number-systems.svg"}</script> </body> </html>