CINXE.COM

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs" lang="uk" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Декартова система координат — Вікіпедія</title> <script>(function(){var className="client-js";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )ukwikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t."," \t,"],"wgDigitTransformTable":["",""],"wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","січень","лютий","березень","квітень","травень","червень","липень","серпень","вересень","жовтень","листопад","грудень"],"wgRequestId":"065b6294-551c-4a6d-8b13-9d8573e3feb7","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Декартова_система_координат","wgTitle":"Декартова система координат", "wgCurRevisionId":42349937,"wgRevisionId":42349937,"wgArticleId":15480,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Сторінки з використанням розширення JsonConfig","Вікіпедія:Сторінки з посиланням на Вікіпідручник","Незавершені статті з математики","Системи координат","З'явилися 1637","Аналітична геометрія","1637 у науці"],"wgPageViewLanguage":"uk","wgPageContentLanguage":"uk","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Декартова_система_координат","wgRelevantArticleId":15480,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgFlaggedRevsParams":{"tags":{"accuracy":{"levels":3}}},"wgStableRevisionId": 42349937,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"uk","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"uk"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":30000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgCentralAuthMobileDomain":false,"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":true,"wgVector2022LanguageInHeader":false,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q62912","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles": "ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.math.styles":"ready","ext.cite.styles":"ready","skins.vector.styles.legacy":"ready","ext.flaggedRevs.basic":"ready","mediawiki.codex.messagebox.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","codex-search-styles":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","mediawiki.page.media","site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.legacy.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.flaggedRevs.advanced","ext.gadget.CurIDLink","ext.gadget.collapserefs","ext.gadget.showContributorContent","ext.gadget.switcher","ext.gadget.edittop","ext.gadget.new-section","ext.gadget.newTopicOnTop","ext.gadget.MonobookToolbarStandard","ext.gadget.ProtectionIndicator","ext.gadget.Statistics","ext.gadget.interwiki-langlist","ext.urlShortener.toolbar", "ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.compactlinks","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=uk&modules=codex-search-styles%7Cext.cite.styles%7Cext.flaggedRevs.basic%7Cext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cmediawiki.codex.messagebox.styles%7Cskins.vector.styles.legacy%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector"> <script async="" src="/w/load.php?lang=uk&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=uk&modules=site.styles&only=styles&skin=vector"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.4"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="noindex,nofollow,max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0e/Cartesian-coordinate-system.svg/1200px-Cartesian-coordinate-system.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="1200"> <meta property="og:image:height" content="1187"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0e/Cartesian-coordinate-system.svg/800px-Cartesian-coordinate-system.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="800"> <meta property="og:image:height" content="792"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0e/Cartesian-coordinate-system.svg/640px-Cartesian-coordinate-system.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="640"> <meta property="og:image:height" content="633"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Декартова система координат — Вікіпедія"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//uk.m.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Редагувати" href="/w/index.php?title=%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Вікіпедія (uk)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//uk.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.uk"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Вікіпедія — Atom-стрічка" href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9D%D0%BE%D0%B2%D1%96_%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D0%B3%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="//login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin-vector-legacy mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Декартова_система_координат rootpage-Декартова_система_координат skin-vector action-view"><div id="mw-page-base" class="noprint"></div> <div id="mw-head-base" class="noprint"></div> <div id="content" class="mw-body" role="main"> <a id="top"></a> <div id="siteNotice"></div> <div class="mw-indicators"> </div> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Декартова система координат</span></h1> <div id="bodyContent" class="vector-body"> <div id="siteSub" class="noprint">Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.</div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="contentSub2"></div> <div id="jump-to-nav"></div> <a class="mw-jump-link" href="#mw-head">Перейти до навігації</a> <a class="mw-jump-link" href="#searchInput">Перейти до пошуку</a> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="uk" dir="ltr"><figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Cartesian-coordinate-system.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0e/Cartesian-coordinate-system.svg/250px-Cartesian-coordinate-system.svg.png" decoding="async" width="250" height="247" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0e/Cartesian-coordinate-system.svg/375px-Cartesian-coordinate-system.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0e/Cartesian-coordinate-system.svg/500px-Cartesian-coordinate-system.svg.png 2x" data-file-width="661" data-file-height="654" /></a><figcaption>Демонстрація декартових координат на площині. Чотири точки відмічено й задано їх відповідними координатами: <span style="white-space: nowrap;">(2, 3)</span> зеленим, <span style="white-space: nowrap;">(−3, 1)</span> червоним, <span style="white-space: nowrap;">(−1.5, −2.5)</span> синім, і початок координат <span style="white-space: nowrap;">(0, 0)</span> — фіолетовим.</figcaption></figure> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Cartesian-coordinate-system-with-circle.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2e/Cartesian-coordinate-system-with-circle.svg/250px-Cartesian-coordinate-system-with-circle.svg.png" decoding="async" width="250" height="257" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2e/Cartesian-coordinate-system-with-circle.svg/375px-Cartesian-coordinate-system-with-circle.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2e/Cartesian-coordinate-system-with-circle.svg/500px-Cartesian-coordinate-system-with-circle.svg.png 2x" data-file-width="768" data-file-height="790" /></a><figcaption>Коло із радіусом 2 із центром в початку координат в декартовій системі координат. Рівнянням кола є <span style="white-space: nowrap;">(<i>x</i> − <i>a</i>)<sup>2</sup> + (<i>y</i> − <i>b</i>)<sup>2</sup> = <i>r</i><sup>2</sup></span> де <i>a</i> і <i>b</i> є координатами центра <span style="white-space: nowrap;">(<i>a</i>, <i>b</i>)</span>, а <i>r</i> є радіусом кола.</figcaption></figure> <p><b>Дека́ртова систе́ма координа́т</b> (або <b>прямоку́тна систе́ма координа́т</b>, <a href="/wiki/%D0%90%D0%BD%D0%B3%D0%BB%D1%96%D0%B9%D1%81%D1%8C%D0%BA%D0%B0_%D0%BC%D0%BE%D0%B2%D0%B0" title="Англійська мова">англ.</a> <i lang="en">Cartesian coordinate system</i>) — <a href="/wiki/%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82" title="Система координат">система координат</a>, яка дозволяє однозначним чином визначити кожну <a href="/wiki/%D0%A2%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B0" title="Точка">точку</a> на <a href="/wiki/%D0%9F%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B8%D0%BD%D0%B0" title="Площина">площині</a> за допомогою пари <a href="/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Число">числових</a> <b>координа́т</b>, які задають <a href="/wiki/%D0%97%D0%BD%D0%B0%D0%BA_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Знак (математика)">знакові</a> відстані до точки відносно двох визначених <a href="/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%B4%D0%B8%D0%BA%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Перпендикулярність">перпендикулярно</a> спрямованих прямих, що задано в однакових <a href="/wiki/%D0%9E%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80" title="Одиничний вектор">одиницях довжини</a>. Кожна така пряма, від якої відкладається відстань, називається <i>віссю координат</i> (<a href="/wiki/%D0%90%D0%BD%D0%B3%D0%BB%D1%96%D0%B9%D1%81%D1%8C%D0%BA%D0%B0_%D0%BC%D0%BE%D0%B2%D0%B0" title="Англійська мова">англ.</a> <i lang="en">coordinate axis</i>) або просто <i>віссю</i> системи, а точка, де вони перетинаються, називається <i><a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%87%D0%B0%D1%82%D0%BE%D0%BA_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82" title="Початок координат">початком координат</a></i>, що має впорядковану пару координат <span style="white-space: nowrap;">(0, 0)</span>. Координати також можна визначати як положення <a href="/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%86%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8F" class="mw-redirect" title="Проекційна матриця">ортогональних проєкцій</a> точки на ці дві осі, що задаються як знакові відстані від початку координат. </p><p>Декартову систему координат вперше запропонував відомий <a href="/wiki/%D0%A4%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Франція">французький</a> математик <a href="/wiki/%D0%A0%D0%B5%D0%BD%D0%B5_%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82" title="Рене Декарт">Рене Декарт</a> близько <a href="/wiki/1637" title="1637">1637</a> року в праці «Геометрія», одному з додатків до видатного філософського твору <a href="/wiki/%D0%9C%D1%96%D1%80%D0%BA%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%BF%D1%80%D0%BE_%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4" title="Міркування про метод">«Міркування про метод»</a>. </p><p>Аналогічний принцип можливо застосовувати для визначення положення будь-якої точки у три-<a href="/wiki/%D0%A0%D0%BE%D0%B7%D0%BC%D1%96%D1%80%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%83" title="Розмірність простору">вимірному</a> <a href="/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Простір (математика)">просторі</a> за допомогою трьох впорядкованих декартових координат: знакових відстаней від неї до трьох взаємно перпендикулярних площин (або, так само, за допомогою її ортогональних проєкцій на три взаємно перпендикулярні прямі). В загальному випадку, <i>n</i> декартових координат (елемент <a href="/w/index.php?title=%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B8%D0%B9_n-%D0%B2%D0%B8%D0%BC%D1%96%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80&action=edit&redlink=1" class="new" title="Дійсний n-вимірний простір (ще не написана)">дійсного <i>n</i>-вимірного простору</a><sup class="noprint"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Real_n-space" class="extiw" title="en:Real n-space"><span title="Real n-space — версія статті «Дійсний n-вимірний простір» англійською мовою" style="font-style:normal;font-weight:normal;font-size:normal">[en]</span></a></sup>) задають точку в <i>n</i>-вимірному <a href="/wiki/%D0%95%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D1%96%D0%B4%D1%96%D0%B2_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80" title="Евклідів простір">евклідовому просторі</a> будь-якої <a href="/wiki/%D0%A0%D0%BE%D0%B7%D0%BC%D1%96%D1%80%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%83" title="Розмірність простору">розмірності</a> <i>n</i>. Ці координати дорівнюють, з точністю до <a href="/wiki/%D0%97%D0%BD%D0%B0%D0%BA_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Знак (математика)">знаку</a>, відстаням від точки до <i>n</i> взаємно перпендикулярних <a href="/wiki/%D0%93%D1%96%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B8%D0%BD%D0%B0" title="Гіперплощина">гіперплощин</a>. </p><p>Використовуючи декартову систему координат, геометричні фігури (а також <a href="/wiki/%D0%9A%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%B0" title="Крива">криві</a>) можливо описувати за допомогою <a href="/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B5_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Алгебричне рівняння">алгебричних рівнянь</a>, які містять координати точок, що належать фігурі. Наприклад, коло з радіусом 2, із центром у початку координат, можливо задати як множину всіх точок, координати <i>x</i> та <i>y</i> яких задовольняють рівнянню <span style="white-space: nowrap;"><i>x</i><sup>2</sup> + <i>y</i><sup>2</sup> = 4</span>. </p><p>Декартова система координат є основою <a href="/wiki/%D0%90%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F" title="Аналітична геометрія">аналітичної геометрії</a>, а також надає інструмент для розуміння геометричних інтерпретацій для багатьох інших галузей математики, таких як <a href="/wiki/%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0" title="Лінійна алгебра">лінійна алгебра</a>, <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7" title="Комплексний аналіз">комплексний аналіз</a>, <a href="/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F" title="Диференціальна геометрія">диференціальна геометрія</a>, числення багатьох змінних, <a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF" title="Теорія груп">теорія груп</a> та інші. Знайомим усім прикладом є поняття <a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D0%B0%D1%84%D1%96%D0%BA_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%97" title="Графік функції">графіка функції</a>. Декартова система координат є також важливим інструментом для багатьох прикладних дисциплін, які мають справу із геометрією, зокрема для <a href="/wiki/%D0%90%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D1%96%D1%8F" title="Астрономія">астрономії</a>, <a href="/wiki/%D0%A4%D1%96%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Фізика">фізики</a>, <a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D1%80%D1%96%D1%8F" title="Інженерія">інженерії</a> та багатьох інших. Вона також є найчастіше вживаною системою координат у <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%27%D1%8E%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B0_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D1%96%D0%BA%D0%B0" class="mw-redirect" title="Комп'ютерна графіка">комп'ютерній графіці</a>, <a href="/wiki/%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%B0%D0%B2%D1%82%D0%BE%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%96_%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83" class="mw-redirect" title="Система автоматизованого проектування і розрахунку">системах автоматизованого проектування та розрахунку</a> та інших засобах з <a href="/wiki/%D0%9E%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D1%8E%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F" title="Обчислювальна геометрія">обчислювальної геометрії</a>. </p> <div id="toc" class="toc" role="navigation" aria-labelledby="mw-toc-heading"><input type="checkbox" role="button" id="toctogglecheckbox" class="toctogglecheckbox" style="display:none" /><div class="toctitle" lang="uk" dir="ltr"><h2 id="mw-toc-heading">Зміст</h2><span class="toctogglespan"><label class="toctogglelabel" for="toctogglecheckbox"></label></span></div> <ul> <li class="toclevel-1 tocsection-1"><a href="#Двовимірна_система_координат"><span class="tocnumber">1</span> <span class="toctext">Двовимірна система координат</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-2"><a href="#Тривимірна_та_n-вимірна_система_координат"><span class="tocnumber">2</span> <span class="toctext">Тривимірна та n-вимірна система координат</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-3"><a href="#Орієнтація_осей"><span class="tocnumber">3</span> <span class="toctext">Орієнтація осей</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-4"><a href="#Формули_в_декартовій_системі_на_площині"><span class="tocnumber">4</span> <span class="toctext">Формули в декартовій системі на площині</span></a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-5"><a href="#Відстань_між_двома_точками"><span class="tocnumber">4.1</span> <span class="toctext">Відстань між двома точками</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-6"><a href="#Евклідові_перетворення"><span class="tocnumber">4.2</span> <span class="toctext">Евклідові перетворення</span></a> <ul> <li class="toclevel-3 tocsection-7"><a href="#Перенесення"><span class="tocnumber">4.2.1</span> <span class="toctext">Перенесення</span></a></li> <li class="toclevel-3 tocsection-8"><a href="#Обертання"><span class="tocnumber">4.2.2</span> <span class="toctext">Обертання</span></a></li> <li class="toclevel-3 tocsection-9"><a href="#Відбиття"><span class="tocnumber">4.2.3</span> <span class="toctext">Відбиття</span></a></li> <li class="toclevel-3 tocsection-10"><a href="#Ковзна_симетрія"><span class="tocnumber">4.2.4</span> <span class="toctext">Ковзна симетрія</span></a></li> <li class="toclevel-3 tocsection-11"><a href="#Загальний_матричний_вигляд_перетворень"><span class="tocnumber">4.2.5</span> <span class="toctext">Загальний матричний вигляд перетворень</span></a></li> <li class="toclevel-3 tocsection-12"><a href="#Афінне_перетворення"><span class="tocnumber">4.2.6</span> <span class="toctext">Афінне перетворення</span></a></li> <li class="toclevel-3 tocsection-13"><a href="#Масштабування"><span class="tocnumber">4.2.7</span> <span class="toctext">Масштабування</span></a></li> <li class="toclevel-3 tocsection-14"><a href="#Скіс"><span class="tocnumber">4.2.8</span> <span class="toctext">Скіс</span></a></li> </ul> </li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-15"><a href="#Додаткова_інформація"><span class="tocnumber">5</span> <span class="toctext">Додаткова інформація</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-16"><a href="#Див._також"><span class="tocnumber">6</span> <span class="toctext">Див. також</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-17"><a href="#Примітки"><span class="tocnumber">7</span> <span class="toctext">Примітки</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-18"><a href="#Джерела"><span class="tocnumber">8</span> <span class="toctext">Джерела</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-19"><a href="#Посилання"><span class="tocnumber">9</span> <span class="toctext">Посилання</span></a></li> </ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Двовимірна_система_координат"><span id=".D0.94.D0.B2.D0.BE.D0.B2.D0.B8.D0.BC.D1.96.D1.80.D0.BD.D0.B0_.D1.81.D0.B8.D1.81.D1.82.D0.B5.D0.BC.D0.B0_.D0.BA.D0.BE.D0.BE.D1.80.D0.B4.D0.B8.D0.BD.D0.B0.D1.82"></span>Двовимірна система координат</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82&veaction=edit&section=1" title="Редагувати розділ: Двовимірна система координат" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82&action=edit&section=1" title="Редагувати вихідний код розділу: Двовимірна система координат"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r43328044">.mw-parser-output .side-box{margin:4px 0;box-sizing:border-box;border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);font-size:88%;line-height:1.25em;background-color:var(--background-color-interactive-subtle,#f8f9fa);display:flow-root}.mw-parser-output .side-box-abovebelow,.mw-parser-output .side-box-text{padding:0.25em 0.9em}.mw-parser-output .side-box-image{padding:2px 0 2px 0.9em;text-align:center}.mw-parser-output .side-box-imageright{padding:2px 0.9em 2px 0;text-align:center}@media(min-width:500px){.mw-parser-output .side-box-flex{display:flex;align-items:center}.mw-parser-output .side-box-text{flex:1}}@media(min-width:720px){.mw-parser-output .side-box{width:238px}.mw-parser-output .side-box-right{clear:right;float:right;margin-left:1em}.mw-parser-output .side-box-left{margin-right:1em}}</style><div class="side-box metadata side-box-right plainlinks"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r43327770">.mw-parser-output .plainlist ol,.mw-parser-output .plainlist ul{line-height:inherit;list-style:none;margin:0;padding:0}.mw-parser-output .plainlist ol li,.mw-parser-output .plainlist ul li{margin-bottom:0}</style> <div class="side-box-flex"> <div class="side-box-image"><span typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/df/Wikibooks-logo-en-noslogan.svg/40px-Wikibooks-logo-en-noslogan.svg.png" decoding="async" width="40" height="40" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/df/Wikibooks-logo-en-noslogan.svg/60px-Wikibooks-logo-en-noslogan.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/df/Wikibooks-logo-en-noslogan.svg/80px-Wikibooks-logo-en-noslogan.svg.png 2x" data-file-width="400" data-file-height="400" /></span></span></div> <div class="side-box-text plainlist"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D1%96%D0%B4%D1%80%D1%83%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%BA" title="Вікіпідручник">Вікіпідручник</a> має книгу на тему <div style="margin-left:10px;"><i><b><a href="https://uk.wikibooks.org/wiki/%D0%90%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F/%D0%9F%D1%80%D1%8F%D0%BC%D0%BE%D0%BA%D1%83%D1%82%D0%BD%D1%96_%D0%B4%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D1%96_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%B8_%D0%BD%D0%B0_%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B8%D0%BD%D1%96/%D0%92%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82_%D0%BD%D0%B0_%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B8%D0%BD%D1%96" class="extiw" title="b:Аналітична геометрія/Прямокутні декартові координати на площині/Визначення координат на площині">Аналітична геометрія/Прямокутні декартові координати на площині/Визначення координат на площині</a></b></i></div></div></div> </div> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Cartesian_coordinates_2D_uk.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/75/Cartesian_coordinates_2D_uk.svg/300px-Cartesian_coordinates_2D_uk.svg.png" decoding="async" width="300" height="278" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/75/Cartesian_coordinates_2D_uk.svg/450px-Cartesian_coordinates_2D_uk.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/75/Cartesian_coordinates_2D_uk.svg/600px-Cartesian_coordinates_2D_uk.svg.png 2x" data-file-width="800" data-file-height="742" /></a><figcaption>Точка <b>P</b> має координати <b>(3,5)</b>.</figcaption></figure> <p>Сучасна декартова <a href="/wiki/%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82" title="Система координат">система координат</a> в двох вимірах (також знана під назвою <b>прямокутна система координат</b>) задається двома <a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D1%81%D1%8C_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82" class="mw-redirect" title="Вісь координат">осями</a>, розташованими під <a href="/wiki/%D0%9F%D1%80%D1%8F%D0%BC%D0%B8%D0%B9_%D0%BA%D1%83%D1%82" title="Прямий кут">прямим кутом</a> одна до одної. Площину, в якій знаходяться осі, називають іноді <i>xy</i>-площиною. Горизонтальну вісь позначають через <b>x</b> (вісь <a href="/wiki/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%86%D0%B8%D1%81%D0%B0" title="Абсциса">абсцис</a>), вертикальну — через <b>y</b> (вісь <a href="/wiki/%D0%9E%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%B0" title="Ордината">ординат</a>). У тривимірному просторі до цих двох додається третя вісь, перпендикулярна <i>xy</i>-площині — вісь <b>z</b> (<a href="/wiki/%D0%90%D0%BF%D0%BB%D1%96%D0%BA%D0%B0%D1%82%D0%B0" title="Апліката">аплікат</a>). Всі точки в системі декартових координат, складають так званий <b>декартів простір</b>. </p><p>Точка перетину, де осі перетинаються, називається <i>початком координат</i> та позначається як <b>O</b>. Відповідно, вісь <b>x</b> може бути позначена як <b>Ox</b>, а вісь y — як <b>Oy</b>. Прямі, проведені паралельно до кожної осі на відстані одиничного відрізку (одиниці вимірювання довжини) починаючи з початку координат, формують <b>координатну сітку</b>. </p><p>Точка в двовимірній системі координат задається двома числами, які визначають відстань від осі <b>Oy</b> (<a href="/wiki/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%86%D0%B8%D1%81%D0%B0" title="Абсциса">абсциса</a> або х-координата) та від осі <b>Ох</b> (<a href="/wiki/%D0%9E%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%B0" title="Ордината">ордината</a> або y-координата) відповідно. Таким чином, координати формують впорядковану пару (<a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B5%D0%B6" class="mw-redirect" title="Кортеж">кортеж</a>) чисел <b>(x, y)</b>. У тривимірному просторі додається ще z-координата (відстань точки від ху-площини), та формується впорядкована трійка координат <b>(x, y, z)</b>. </p><p>Вибір букв x, y, z походить від загального правила найменування невідомих величин другою половиною латинського алфавіту. Букви першої його половини використовуються для іменування відомих величин. </p><p>Стрілки на осях відображають те, що вони простягаються до <a href="/wiki/%D0%9D%D0%B5%D1%81%D0%BA%D1%96%D0%BD%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Нескінченність">нескінечності</a> в цьому напрямі. </p><p>Перетин двох осей створює чотири квадранти на координатній площині, які позначаються римськими цифрами I, II, III, та IV. Зазвичай порядок нумерації квадрантів — проти годинникової стрілки, починаючи з правого верхнього (тобто там, де абсциси та ординати — додатні числа). Значення, яких набувають абсциси та ординати в кожному квадранті, можна звести в наступну таблицю: </p> <table class="wikitable"> <tbody><tr> <th>Квадрант </th> <th>x </th> <th>y </th></tr> <tr> <th>I </th> <td>> 0 </td> <td>> 0 </td></tr> <tr> <th>II </th> <td>< 0 </td> <td>> 0 </td></tr> <tr> <th>III </th> <td>< 0 </td> <td>< 0 </td></tr> <tr> <th>IV </th> <td>> 0 </td> <td>< 0 </td></tr></tbody></table> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Тривимірна_та_n-вимірна_система_координат"><span id=".D0.A2.D1.80.D0.B8.D0.B2.D0.B8.D0.BC.D1.96.D1.80.D0.BD.D0.B0_.D1.82.D0.B0_n-.D0.B2.D0.B8.D0.BC.D1.96.D1.80.D0.BD.D0.B0_.D1.81.D0.B8.D1.81.D1.82.D0.B5.D0.BC.D0.B0_.D0.BA.D0.BE.D0.BE.D1.80.D0.B4.D0.B8.D0.BD.D0.B0.D1.82"></span>Тривимірна та n-вимірна система координат</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82&veaction=edit&section=2" title="Редагувати розділ: Тривимірна та n-вимірна система координат" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82&action=edit&section=2" title="Редагувати вихідний код розділу: Тривимірна та n-вимірна система координат"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Cartesiese_koordinate_3D-uk.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/db/Cartesiese_koordinate_3D-uk.svg/300px-Cartesiese_koordinate_3D-uk.svg.png" decoding="async" width="300" height="266" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/db/Cartesiese_koordinate_3D-uk.svg/450px-Cartesiese_koordinate_3D-uk.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/db/Cartesiese_koordinate_3D-uk.svg/600px-Cartesiese_koordinate_3D-uk.svg.png 2x" data-file-width="800" data-file-height="710" /></a><figcaption>На цьому малюнку точка P має координати (3,0,5), а точка Q — координати (-5,-5,7)</figcaption></figure> <p>Координати в тривимірному просторі формують трійку <b>(x, y, z)</b>. </p><p>Координати x, y, z для тривимірної декартової системи можна розуміти як відстані від точки до відповідних площин: yz, xz, та xy. </p><p>Тривимірна декартова система координат є дуже популярною, тому що відповідає звичним уявам про просторові виміри — висоту, ширину та довжину (тобто три виміри). Але залежно від галузі застосування та особливостей математичного апарату, сенс цих трьох осей може бути зовсім іншим. </p><p>Системи координат вищих розмірностей також застосовуються (наприклад, 4-вимірна система для зображення <a href="/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80-%D1%87%D0%B0%D1%81" title="Простір-час">простору-часу</a> в <a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F_%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%81%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96_%D1%81%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0" class="mw-redirect" title="Теорія відносності спеціальна">спеціальній теорії відносності</a>). </p><p>Система декартових координат у абстрактному <i>n</i>-вимірному просторі є узагальненням викладених вище положень та має <i>n</i> осей (по кожній на вимір), що є взаємоперпендикулярні. Відповідно, положення точки в такому просторі буде визначатися кортежем з <b>n</b> координат, або <b>n</b>-кою. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Орієнтація_осей"><span id=".D0.9E.D1.80.D1.96.D1.94.D0.BD.D1.82.D0.B0.D1.86.D1.96.D1.8F_.D0.BE.D1.81.D0.B5.D0.B9"></span>Орієнтація осей</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82&veaction=edit&section=3" title="Редагувати розділ: Орієнтація осей" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82&action=edit&section=3" title="Редагувати вихідний код розділу: Орієнтація осей"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Frame"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Cartesian_coordinate_system_handedness.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e2/Cartesian_coordinate_system_handedness.svg/400px-Cartesian_coordinate_system_handedness.svg.png" decoding="async" width="400" height="245" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e2/Cartesian_coordinate_system_handedness.svg/600px-Cartesian_coordinate_system_handedness.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e2/Cartesian_coordinate_system_handedness.svg/800px-Cartesian_coordinate_system_handedness.svg.png 2x" data-file-width="400" data-file-height="245" /></a><figcaption>Ліва орієнтація — зліва, права орієнтація — справа.</figcaption></figure> <p>У тривимірних декартових координатах є неоднозначність: як тільки напрями осей x та у обрано, вісь z може бути направлена як в одну сторону від xy-площини, так і в іншу. Це потребує спеціального визначення поняття орієнтації системи координат. Для тривимірної системи ці дві можливості орієнтації осей прийнято називати «лівою» та «правою». Системи координат при цьому називають «лівою» та «правою» відповідно. Вони зображені на наступному малюнку. Права система координат характеризується тим, що з додатного напряму відповідних осей повороти від осей х до у, у до z, z до х відбуваються проти руху годинникової стрілки. </p><p>Загальноприйнятою вважається «права» орієнтація, хоча ліва теж застосовується. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Формули_в_декартовій_системі_на_площині"><span id=".D0.A4.D0.BE.D1.80.D0.BC.D1.83.D0.BB.D0.B8_.D0.B2_.D0.B4.D0.B5.D0.BA.D0.B0.D1.80.D1.82.D0.BE.D0.B2.D1.96.D0.B9_.D1.81.D0.B8.D1.81.D1.82.D0.B5.D0.BC.D1.96_.D0.BD.D0.B0_.D0.BF.D0.BB.D0.BE.D1.89.D0.B8.D0.BD.D1.96"></span>Формули в декартовій системі на площині</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82&veaction=edit&section=4" title="Редагувати розділ: Формули в декартовій системі на площині" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82&action=edit&section=4" title="Редагувати вихідний код розділу: Формули в декартовій системі на площині"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Відстань_між_двома_точками"><span id=".D0.92.D1.96.D0.B4.D1.81.D1.82.D0.B0.D0.BD.D1.8C_.D0.BC.D1.96.D0.B6_.D0.B4.D0.B2.D0.BE.D0.BC.D0.B0_.D1.82.D0.BE.D1.87.D0.BA.D0.B0.D0.BC.D0.B8"></span>Відстань між двома точками</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82&veaction=edit&section=5" title="Редагувати розділ: Відстань між двома точками" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82&action=edit&section=5" title="Редагувати вихідний код розділу: Відстань між двома точками"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%B4%D0%B4%D0%B0%D0%BB%D1%8C_%D0%BC%D1%96%D0%B6_%D0%B4%D0%B2%D0%BE%D0%BC%D0%B0_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B0%D0%BC%D0%B8" class="mw-redirect" title="Віддаль між двома точками">Евклідовою відстанню</a> між двома точками на площині, що мають декартові координати <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{1},y_{1})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{1},y_{1})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fc74086e56542bd28b46a84faaee3cebdd4a899" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.421ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x_{1},y_{1})}"></span> та <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{2},y_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{2},y_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d52d44e16a796acee486af49af05f678566d181a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.421ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x_{2},y_{2})}"></span>, є </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ba52e38f3619c2c8ff3aa5255c92920174e1d95" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:30.688ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}.}"></span></dd></dl> <p>Це є версією <a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%9F%D1%96%D1%84%D0%B0%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B0" title="Теорема Піфагора">теореми Піфагора</a> у декартовій системі координат. У тривимірному просторі відстанню між точками <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/781d7569148878d5fab8e65498162edcc5430791" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.59ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})}"></span> та <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{2},y_{2},z_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{2},y_{2},z_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6c761bb04bd0bf983b9b8e83310e5407b7426ad" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.59ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x_{2},y_{2},z_{2})}"></span> є </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d6cd0e23208033c817be89edb353f500eb8d04" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:43.503ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}},}"></span></dd></dl> <p>це рівняння можна отримати, якщо двічі послідовно застосувати теорему Піфагора.<sup id="cite_ref-Hughes_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-Hughes-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Евклідові_перетворення"><span id=".D0.95.D0.B2.D0.BA.D0.BB.D1.96.D0.B4.D0.BE.D0.B2.D1.96_.D0.BF.D0.B5.D1.80.D0.B5.D1.82.D0.B2.D0.BE.D1.80.D0.B5.D0.BD.D0.BD.D1.8F"></span>Евклідові перетворення</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82&veaction=edit&section=6" title="Редагувати розділ: Евклідові перетворення" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82&action=edit&section=6" title="Редагувати вихідний код розділу: Евклідові перетворення"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/w/index.php?title=%D0%95%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D1%96%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%96%D0%B7%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F_%D0%BD%D0%B0_%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B8%D0%BD%D1%96&action=edit&redlink=1" class="new" title="Евклідова ізометрія на площині (ще не написана)">Евклідові перетворення</a><sup class="noprint"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_plane_isometry" class="extiw" title="en:Euclidean plane isometry"><span title="Euclidean plane isometry — версія статті «Евклідова ізометрія на площині» англійською мовою" style="font-style:normal;font-weight:normal;font-size:normal">[en]</span></a></sup> це (<a href="/wiki/%D0%91%D1%96%D1%94%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Бієкція">бієктивні</a>) відображення точок <a href="/wiki/%D0%94%D0%B2%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%BC%D1%96%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80" title="Двовимірний простір">евклідового простору</a> в самих себе зі збереженням відстаней між точками. Існує чотири типи таких відображень (які також називають ізометрією): <a href="/wiki/%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D1%81%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Паралельне перенесення">паралельне перенесення</a>, <a href="/wiki/%D0%9E%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Обертання (математика)">обертання</a>, <a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%B4%D0%B1%D0%B8%D1%82%D1%82%D1%8F_(%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F)" title="Відбиття (геометрія)">відбиття</a> і <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%B2%D0%B7%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F" title="Ковзна симетрія">ковзна симетрія</a>.<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Перенесення"><span id=".D0.9F.D0.B5.D1.80.D0.B5.D0.BD.D0.B5.D1.81.D0.B5.D0.BD.D0.BD.D1.8F"></span>Перенесення</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82&veaction=edit&section=7" title="Редагувати розділ: Перенесення" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82&action=edit&section=7" title="Редагувати вихідний код розділу: Перенесення"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D1%81%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Паралельне перенесення">Паралельне перенесення</a> множини точок на площині, що зберігає відстані й напрямки між ними, є аналогічним додаванню пари сталих чисел <span style="white-space: nowrap;">(<i>a</i>, <i>b</i>)</span> до декартових координат кожної точки множини. Таким чином, якщо початковими координатами точки є <span style="white-space: nowrap;">(<i>x</i>, <i>y</i>)</span>, після перенесення вони будуть наступними: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x',y')=(x+a,y+b).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x',y')=(x+a,y+b).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d55e7205584f1956fbda574fd7ae9d7e71a80ae" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.685ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (x',y')=(x+a,y+b).}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Обертання"><span id=".D0.9E.D0.B1.D0.B5.D1.80.D1.82.D0.B0.D0.BD.D0.BD.D1.8F"></span>Обертання</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82&veaction=edit&section=8" title="Редагувати розділ: Обертання" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82&action=edit&section=8" title="Редагувати вихідний код розділу: Обертання"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Для того, щоб <a href="/wiki/%D0%9E%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Обертання (математика)">обернути</a> фігуру проти годинникової стрілки довкола початку координат на деякий кут <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>θ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \theta }"></span>, необхідно замінити кожну точку фігури із координатами (<i>x</i>,<i>y</i>) відповідною точкою із координатами (<i>x'</i>,<i>y'</i>), де </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x'=x\cos \theta -y\sin \theta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mo>−</mo> <mi>y</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x'=x\cos \theta -y\sin \theta }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea2a2afb8c2c5d404999fe1d9be93838cba5dc4c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:20.134ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x'=x\cos \theta -y\sin \theta }"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y'=x\sin \theta +y\cos \theta .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y'=x\sin \theta +y\cos \theta .}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3bfeeef5ac09018d9f5741512150af4f7623897" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:20.612ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y'=x\sin \theta +y\cos \theta .}"></span></dd></dl> <p>Таким чином, </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x',y')=((x\cos \theta -y\sin \theta \,),(x\sin \theta +y\cos \theta \,)).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mo>−</mo> <mi>y</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x',y')=((x\cos \theta -y\sin \theta \,),(x\sin \theta +y\cos \theta \,)).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce9f7cd7ae4908e5a226f687c4dcfaa9c8995fb6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:47.727ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (x',y')=((x\cos \theta -y\sin \theta \,),(x\sin \theta +y\cos \theta \,)).}"></span> </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Відбиття"><span id=".D0.92.D1.96.D0.B4.D0.B1.D0.B8.D1.82.D1.82.D1.8F"></span>Відбиття</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82&veaction=edit&section=9" title="Редагувати розділ: Відбиття" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82&action=edit&section=9" title="Редагувати вихідний код розділу: Відбиття"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Якщо <span style="white-space: nowrap;">(<i>x</i>, <i>y</i>)</span> є декартовими координатами точки, тоді <span style="white-space: nowrap;">(−<i>x</i>, <i>y</i>)</span> є координатами її відбиття відносно другої осі координат (осі <i>y</i>), так ніби вона є дзеркалом. Аналогічно, <span style="white-space: nowrap;">(<i>x</i>, −<i>y</i>)</span> є координатами відбиття точки відносно першої осі координат (осі <i>x</i>). У загальнішому випадку, відбиття відносно прямої лінії, що проходить через початок координат під кутом <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>θ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \theta }"></span> до осі x, рівнозначне заміні кожної точки із координатами <span style="white-space: nowrap;">(<i>x</i>, <i>y</i>)</span> відповідними точками із координатами <span style="white-space: nowrap;">(<i>x</i>′,<i>y</i>′)</span>, де </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x'=x\cos 2\theta +y\sin 2\theta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mn>2</mn> <mi>θ</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mn>2</mn> <mi>θ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x'=x\cos 2\theta +y\sin 2\theta }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f59acb44398e9a26257219e0bf426c89cc68384f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:22.459ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x'=x\cos 2\theta +y\sin 2\theta }"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y'=x\sin 2\theta -y\cos 2\theta .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mn>2</mn> <mi>θ</mi> <mo>−</mo> <mi>y</mi> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mn>2</mn> <mi>θ</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y'=x\sin 2\theta -y\cos 2\theta .}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc87302e9c2111be1de5a3639cbd55196f6a3c85" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:22.937ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y'=x\sin 2\theta -y\cos 2\theta .}"></span></dd></dl> <p>Таким чином, </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x',y')=((x\cos 2\theta +y\sin 2\theta \,),(x\sin 2\theta -y\cos 2\theta \,)).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mn>2</mn> <mi>θ</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mn>2</mn> <mi>θ</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mn>2</mn> <mi>θ</mi> <mo>−</mo> <mi>y</mi> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mn>2</mn> <mi>θ</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x',y')=((x\cos 2\theta +y\sin 2\theta \,),(x\sin 2\theta -y\cos 2\theta \,)).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fe2674eddd7ed77d14b8b496ce4d81692fcd3cb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:52.377ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (x',y')=((x\cos 2\theta +y\sin 2\theta \,),(x\sin 2\theta -y\cos 2\theta \,)).}"></span> </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Ковзна_симетрія"><span id=".D0.9A.D0.BE.D0.B2.D0.B7.D0.BD.D0.B0_.D1.81.D0.B8.D0.BC.D0.B5.D1.82.D1.80.D1.96.D1.8F"></span>Ковзна симетрія</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82&veaction=edit&section=10" title="Редагувати розділ: Ковзна симетрія" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82&action=edit&section=10" title="Редагувати вихідний код розділу: Ковзна симетрія"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Ковзна симетрія є поєднанням відбиття відносно прямої лінії із наступним перенесенням в напрямку тієї лінії. Легко побачити, що порядок цих операцій не має значення (перенесення може бути першим, а за ним слідуватиме відбиття). </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Загальний_матричний_вигляд_перетворень"><span id=".D0.97.D0.B0.D0.B3.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D0.B8.D0.B9_.D0.BC.D0.B0.D1.82.D1.80.D0.B8.D1.87.D0.BD.D0.B8.D0.B9_.D0.B2.D0.B8.D0.B3.D0.BB.D1.8F.D0.B4_.D0.BF.D0.B5.D1.80.D0.B5.D1.82.D0.B2.D0.BE.D1.80.D0.B5.D0.BD.D1.8C"></span>Загальний матричний вигляд перетворень</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82&veaction=edit&section=11" title="Редагувати розділ: Загальний матричний вигляд перетворень" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82&action=edit&section=11" title="Редагувати вихідний код розділу: Загальний матричний вигляд перетворень"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Ці всі евклідові перетворення на площині може бути описано однорідним способом за допомогою матриць. Результат <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x',y')}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x',y')}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8a15d455ed3a65797ebe92e0c6a42e7ce98f007" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.703ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (x',y')}"></span> застосування евклідового перетворення до точки <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,y)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41cf50e4a314ca8e2c30964baa8d26e5be7a9386" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.328ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,y)}"></span> можливо задати наступною формулою </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x',y')=(x,y)A+b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>A</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x',y')=(x,y)A+b}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbd77ab1702af80a7f05ad9f2c3ecac7b9ff9883" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.711ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (x',y')=(x,y)A+b}"></span></dd></dl> <p>де <i>A</i> є ортогональною <a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Матриця (математика)">матрицею</a> 2×2, а <span style="white-space: nowrap;"><i>b</i> = (<i>b</i><sub>1</sub>, <i>b</i><sub>2</sub>)</span> є довільною впорядкованою парою чисел,<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> таких що, </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x'=xA_{11}+yA_{21}+b_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>11</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>21</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x'=xA_{11}+yA_{21}+b_{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4173ab954a8869f5336f6337b72ee7ff1fd85ea4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:22.569ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x'=xA_{11}+yA_{21}+b_{1}}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y'=xA_{12}+yA_{22}+b_{2},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>12</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>22</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y'=xA_{12}+yA_{22}+b_{2},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f278fce631e016fa2b0f494964aeb22fedfd8a42" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:23.047ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y'=xA_{12}+yA_{22}+b_{2},}"></span></dd></dl> <p>де </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>11</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>12</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>21</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>22</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc0a2930c667b908003fd81b7373a2f56c379a75" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:19.222ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle A={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}}.}"></span> [Зверніть увагу, що вектор координат є рядком, а матриця записується праворуч.]</dd></dl></dd></dl> <p>Аби матриця <i>A</i> вважалася <i>ортогональною</i>, вона повинна мати <a href="/wiki/%D0%9E%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Ортогональність">ортогональні</a> рядки з однаковою евклідовою відстанню, що дорівнюватиме одиниці, тобто, </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{11}A_{21}+A_{12}A_{22}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>11</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>21</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>12</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>22</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{11}A_{21}+A_{12}A_{22}=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23b2d738b2fbe5ab0dfde0de5f536a149593b729" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:21.579ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{11}A_{21}+A_{12}A_{22}=0}"></span></dd></dl> <p>і </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{11}^{2}+A_{12}^{2}=A_{21}^{2}+A_{22}^{2}=1.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>11</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>12</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>21</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>22</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mn>1.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{11}^{2}+A_{12}^{2}=A_{21}^{2}+A_{22}^{2}=1.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab35b594b46c37b1444a93ac597cc5348b1fd35f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:28.164ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle A_{11}^{2}+A_{12}^{2}=A_{21}^{2}+A_{22}^{2}=1.}"></span></dd></dl> <p>Це рівнозначне твердженню, що добуток <i>A</i> на її <a href="/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8F" title="Транспонована матриця">транспоновану матрицю</a> мусить бути <a href="/wiki/%D0%9E%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8F" title="Одинична матриця">одиничною матрицею</a>. Якщо ці умови не виконуються, то формула описує загальніше <a href="/wiki/%D0%90%D1%84%D1%96%D0%BD%D0%BD%D0%B5_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Афінне перетворення">афінне перетворення</a> на площині, за умови, що <a href="/wiki/%D0%92%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%BA" title="Визначник">визначник</a> матриці <i>A</i> не є нулем. </p><p>Ця формула визначає перенесення <a href="/wiki/%D0%A2%D0%BE%D0%B4%D1%96_%D0%B9_%D0%BB%D0%B8%D1%88%D0%B5_%D1%82%D0%BE%D0%B4%D1%96" title="Тоді й лише тоді">тоді й лише тоді</a>, коли <i>A</i> є <a href="/wiki/%D0%9E%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8F" title="Одинична матриця">одиничною матрицею</a>. Перетворення є обертанням довкола деякої точки тоді і лише тоді, коли <i>A</i> є <a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%BE%D1%82%D1%83" title="Матриця повороту">матрицею повороту</a>, що означає наступне: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{11}A_{22}-A_{21}A_{12}=1.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>11</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>22</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>21</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>12</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{11}A_{22}-A_{21}A_{12}=1.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/192afe9d4bba4d8b20b04ac87d53450ef9aacab1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:22.225ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{11}A_{22}-A_{21}A_{12}=1.}"></span></dd></dl> <p>Відбиття та ковзну симетрію буде отримувано тоді коли, </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{11}A_{22}-A_{21}A_{12}=-1.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>11</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>22</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>21</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>12</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>1.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{11}A_{22}-A_{21}A_{12}=-1.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40bf3d4d7bba3cd754a24e79040261b3da176ed1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:24.034ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{11}A_{22}-A_{21}A_{12}=-1.}"></span></dd></dl> <p>За умови, що паралельне перенесення не використовується, інші перетворення можна поєднувати простим множенням відповідних матриць перетворення. </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Афінне_перетворення"><span id=".D0.90.D1.84.D1.96.D0.BD.D0.BD.D0.B5_.D0.BF.D0.B5.D1.80.D0.B5.D1.82.D0.B2.D0.BE.D1.80.D0.B5.D0.BD.D0.BD.D1.8F"></span>Афінне перетворення</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82&veaction=edit&section=12" title="Редагувати розділ: Афінне перетворення" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82&action=edit&section=12" title="Редагувати вихідний код розділу: Афінне перетворення"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Іншим способом описувати перетворення координат в декартовій системі координат є використання <a href="/wiki/%D0%90%D1%84%D1%96%D0%BD%D0%BD%D0%B5_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Афінне перетворення">афінних перетвореннь</a>. При застосуванні афінних перетворень додають один додатковий вимір, а всім точкам в цьому додатковому вимірі надають значення 1. Перевагою цього методу є те, що паралельне перенесення точки можливо задавати в останньому стовпчику матриці <i>A</i>. Таким чином, усі евклідові перетворення можливо виконувати за допомогою множення матриці на точку. Афінне перетворення задається наступним чином: </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{11}&A_{21}&b_{1}\\A_{12}&A_{22}&b_{2}\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>11</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>21</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>12</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>22</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>x</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>y</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{11}&A_{21}&b_{1}\\A_{12}&A_{22}&b_{2}\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/211aad6d2599698028eabd133b9e67bb2d5156bb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.171ex; width:35.48ex; height:9.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{11}&A_{21}&b_{1}\\A_{12}&A_{22}&b_{2}\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}}.}"></span> [Зауважте, що в даному випадку наведену вище матрицю <i>A</i> було транспоновано. Матрицю задано ліворуч, а для координат точки використано стовпчикові вектори.]</dd></dl></dd></dl> <p>При використанні афінних перетворень кілька послідовних евклідових перетворень, в тому числі паралельне перенесення, можливо поєднувати простим множенням відповідних матриць. </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Масштабування"><span id=".D0.9C.D0.B0.D1.81.D1.88.D1.82.D0.B0.D0.B1.D1.83.D0.B2.D0.B0.D0.BD.D0.BD.D1.8F"></span>Масштабування</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82&veaction=edit&section=13" title="Редагувати розділ: Масштабування" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82&action=edit&section=13" title="Редагувати вихідний код розділу: Масштабування"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Прикладом афінного перетворення, яке не є евклідовим перетворенням, є масштабування. Щоби збільшити або зменшити фігуру, необхідно помножити декартові координати кожної точки на однакове додатне число <i>m</i>. Якщо <span style="white-space: nowrap;">(<i>x</i>, <i>y</i>)</span> є координатами точки початкової фігури, то відповідна точка масштабованої фігури матиме координати </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x',y')=(mx,my).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>m</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x',y')=(mx,my).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7aa538d48f3d97fca0dc6e6d4ad0c87230fa096" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.857ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (x',y')=(mx,my).}"></span></dd></dl> <p>Якщо значення <i>m</i> є більшим за 1, то фігуру буде збільшено, якщо значення <i>m</i> знаходиться між 0 і 1, то її буде зменшено. </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Скіс"><span id=".D0.A1.D0.BA.D1.96.D1.81"></span>Скіс</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82&veaction=edit&section=14" title="Редагувати розділ: Скіс" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82&action=edit&section=14" title="Редагувати вихідний код розділу: Скіс"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BA%D1%96%D1%81_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" class="mw-redirect" title="Скіс (математика)">Перетворення скосу</a> виглядатиме так, ніби верхівку квадрату потягли в сторону таким чином, що утвориться паралелограм. Горизонтальний скіс визначається наступним чином: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x',y')=(x+ys,y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x',y')=(x+ys,y)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9871cabfbe5f97c991406190280a5ebdea9967f5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.216ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (x',y')=(x+ys,y)}"></span></dd></dl> <p>Скіс також можна застосувати й вертикально: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x',y')=(x,xs+y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mi>s</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x',y')=(x,xs+y)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a738a9e3d84c6850e505debbfbe964b9b8c64e1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.39ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (x',y')=(x,xs+y)}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Додаткова_інформація"><span id=".D0.94.D0.BE.D0.B4.D0.B0.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.B2.D0.B0_.D1.96.D0.BD.D1.84.D0.BE.D1.80.D0.BC.D0.B0.D1.86.D1.96.D1.8F"></span>Додаткова інформація</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82&veaction=edit&section=15" title="Редагувати розділ: Додаткова інформація" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82&action=edit&section=15" title="Редагувати вихідний код розділу: Додаткова інформація"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>З часів <a href="/wiki/%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82_%D0%A0%D0%B5%D0%BD%D0%B5" class="mw-redirect" title="Декарт Рене">Декарта</a> було розроблено багато інших систем координат. Один з важливих різновидів <a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82" title="Полярна система координат">полярної систему координат</a>, а саме <a href="/wiki/%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82" title="Сферична система координат">сферичну систему координат</a> застосовують в астрономії та навігації. В математиці нерідко переходять від однієї системи координат до іншої, в якій <a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C" title="Математична модель">математична модель</a> досліджуваної системи може бути набагато простішою. Доступний виклад основних систем координат в елементарній математиці можна знайти у статті <a href="/wiki/%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B8_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82_%D0%B2_%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D1%96%D0%B9_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%86%D1%96" class="mw-redirect" title="Системи координат в елементарній математиці">Системи координат в елементарній математиці</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Див._також"><span id=".D0.94.D0.B8.D0.B2._.D1.82.D0.B0.D0.BA.D0.BE.D0.B6"></span>Див. також</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82&veaction=edit&section=16" title="Редагувати розділ: Див. також" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82&action=edit&section=16" title="Редагувати вихідний код розділу: Див. також"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B8_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82" class="mw-redirect" title="Системи координат">Системи координат</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82" title="Полярна система координат">Полярна система координат</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D1%96%D0%B2_%D0%B4%D0%BE%D0%B1%D1%83%D1%82%D0%BE%D0%BA" title="Декартів добуток">Декартів добуток</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Примітки"><span id=".D0.9F.D1.80.D0.B8.D0.BC.D1.96.D1.82.D0.BA.D0.B8"></span>Примітки</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82&veaction=edit&section=17" title="Редагувати розділ: Примітки" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82&action=edit&section=17" title="Редагувати вихідний код розділу: Примітки"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r43816068">.mw-parser-output .reflist{margin-bottom:0.5em;list-style-type:decimal}@media screen{.mw-parser-output .reflist{font-size:90%}}.mw-parser-output .reflist .references{font-size:100%;margin-bottom:0;list-style-type:inherit}.mw-parser-output .reflist-columns-2{column-width:30em}.mw-parser-output .reflist-columns-3{column-width:25em}.mw-parser-output .reflist-columns{margin-top:0.3em}.mw-parser-output .reflist-columns ol{margin-top:0}.mw-parser-output .reflist-columns li{page-break-inside:avoid;break-inside:avoid-column}.mw-parser-output .reflist-upper-alpha{list-style-type:upper-alpha}.mw-parser-output .reflist-upper-roman{list-style-type:upper-roman}.mw-parser-output .reflist-lower-alpha{list-style-type:lower-alpha}.mw-parser-output .reflist-lower-greek{list-style-type:lower-greek}.mw-parser-output .reflist-lower-roman{list-style-type:lower-roman}</style><div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"> <div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-Hughes-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-Hughes_1-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r43245077">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free.id-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited.id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration.id-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription.id-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ref-lang{font-size:85%;cursor:help;margin-left:0.2em;color:var(--color-subtle,#54595d)}.mw-parser-output .cs1-ref-lg{font-style:normal;cursor:help}.mw-parser-output .cs1-ref-lg-text{color:#252525;text-decoration:inherit;text-decoration-color:#252525}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}body:not(.skin-timeless):not(.skin-minerva) .mw-parser-output .id-lock-free a,body:not(.skin-timeless):not(.skin-minerva) .mw-parser-output .id-lock-limited a,body:not(.skin-timeless):not(.skin-minerva) .mw-parser-output .id-lock-registration a,body:not(.skin-timeless):not(.skin-minerva) .mw-parser-output .id-lock-subscription a,body:not(.skin-timeless):not(.skin-minerva) .mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background-size:contain;padding:0 1em 0 0}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:var(--color-error,#d33)}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:var(--color-error,#d33)}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#085;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}@media screen{.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .cs1-maint{color:#18911f}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .cs1-ref-lg-text{color:#dadad6;text-decoration-color:#dadad6}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .cs1-maint{color:#18911f}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .cs1-ref-lg-text{color:#dadad6;text-decoration-color:#dadad6}}</style><cite class="citation book cs1">Hughes-Hallett, Deborah; McCallum, William G.; Gleason, Andrew M. (2013). <i>Calculus : Single and Multivariable</i> (вид. 6). John wiley. <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" class="mw-redirect" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%94%D0%B6%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BB%D0%B0_%D0%BA%D0%BD%D0%B8%D0%B3/978-0470-88861-2" title="Спеціальна:Джерела книг/978-0470-88861-2"><bdi>978-0470-88861-2</bdi></a>.</cite> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r43693355">.mw-parser-output .ref-info{font-size:85%;cursor:help;margin-left:0.2em;color:var(--color-subtle,#54595d)}</style><span title="англійською мовою" class="ref-info">(англ.)</span></span> </li> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFSmart1998">Smart, 1998</a>, Chap. 2</span> </li> <li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFBrannanEsplenGray1998">Brannan, Esplen та Gray, 1998</a>, pg. 49</span> </li> </ol></div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Джерела"><span id=".D0.94.D0.B6.D0.B5.D1.80.D0.B5.D0.BB.D0.B0"></span>Джерела</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82&veaction=edit&section=18" title="Редагувати розділ: Джерела" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82&action=edit&section=18" title="Редагувати вихідний код розділу: Джерела"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43245077"><cite id="CITEREFBrannanEsplenGray1998" class="citation cs2">Brannan, David A.; Esplen, Matthew F.; Gray, Jeremy J. (1998), <i>Geometry</i>, Cambridge: Cambridge University Press, <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" class="mw-redirect" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%94%D0%B6%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BB%D0%B0_%D0%BA%D0%BD%D0%B8%D0%B3/0-521-59787-0" title="Спеціальна:Джерела книг/0-521-59787-0"><bdi>0-521-59787-0</bdi></a></cite> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43693355"><span title="англійською мовою" class="ref-info">(англ.)</span></li> <li><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43245077"><cite id="CITEREFBurton2011" class="citation cs2">Burton, David M. (2011), <i>The History of Mathematics/An Introduction</i> (вид. 7th), New York: McGraw-Hill, <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" class="mw-redirect" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%94%D0%B6%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BB%D0%B0_%D0%BA%D0%BD%D0%B8%D0%B3/978-0-07-338315-6" title="Спеціальна:Джерела книг/978-0-07-338315-6"><bdi>978-0-07-338315-6</bdi></a></cite> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43693355"><span title="англійською мовою" class="ref-info">(англ.)</span></li> <li><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43245077"><cite id="CITEREFSmart1998" class="citation cs2">Smart, James R. (1998), <i>Modern Geometries</i> (вид. 5th), Pacific Grove: Brooks/Cole, <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" class="mw-redirect" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%94%D0%B6%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BB%D0%B0_%D0%BA%D0%BD%D0%B8%D0%B3/0-534-35188-3" title="Спеціальна:Джерела книг/0-534-35188-3"><bdi>0-534-35188-3</bdi></a></cite> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43693355"><span title="англійською мовою" class="ref-info">(англ.)</span></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Посилання"><span id=".D0.9F.D0.BE.D1.81.D0.B8.D0.BB.D0.B0.D0.BD.D0.BD.D1.8F"></span>Посилання</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82&veaction=edit&section=19" title="Редагувати розділ: Посилання" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82&action=edit&section=19" title="Редагувати вихідний код розділу: Посилання"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span class="citation">Прямокутні координати в просторі // <a rel="nofollow" class="external text" href="http://chtyvo.org.ua/authors/Klepko_Viktor/Vyscha_matematyka_v_prykladakh_i_zadachakh.pdf">Вища математика в прикладах і задачах</a> / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — <span style="border-bottom:1px dotted gray; cursor:default;" title="Київ">К</span>. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 79. — 594 с.</span></li></ul> <table align="center" border="0" cellpadding="0" cellspacing="4" class="metadata"> <tbody><tr> <td style="padding-right: 4px"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:E-to-the-i-pi.svg" class="mw-file-description" title="Сигма"><img alt="Сигма" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/35/E-to-the-i-pi.svg/55px-E-to-the-i-pi.svg.png" decoding="async" width="55" height="49" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/35/E-to-the-i-pi.svg/83px-E-to-the-i-pi.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/35/E-to-the-i-pi.svg/110px-E-to-the-i-pi.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="453" /></a></span> </td> <td><span style="white-space: nowrap;"><i>Це незавершена стаття з <a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Математика">математики</a>.<br />Ви можете <a href="/wiki/%D0%94%D0%BE%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%BA%D0%B0:%D0%AF%D0%BA_%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D0%B3%D1%83%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B8_%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%82%D1%8E" title="Довідка:Як редагувати статтю">допомогти</a> проєкту, <span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://uk.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82&action=edit">виправивши або дописавши її</a></span>.</i></span> </td></tr></tbody></table></div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Отримано з <a dir="ltr" href="https://uk.wikipedia.org/w/index.php?title=Декартова_система_координат&oldid=42349937">https://uk.wikipedia.org/w/index.php?title=Декартова_система_координат&oldid=42349937</a></div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%97" title="Спеціальна:Категорії">Категорії</a>: <ul><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B8_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82" title="Категорія:Системи координат">Системи координат</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%97%27%D1%8F%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D1%81%D1%8F_1637" title="Категорія:З'явилися 1637">З'явилися 1637</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%90%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F" title="Категорія:Аналітична геометрія">Аналітична геометрія</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:1637_%D1%83_%D0%BD%D0%B0%D1%83%D1%86%D1%96" title="Категорія:1637 у науці">1637 у науці</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Приховані категорії: <ul><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%A1%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B8_%D0%B7_%D0%B2%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F%D0%BC_%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%88%D0%B8%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_JsonConfig" title="Категорія:Сторінки з використанням розширення JsonConfig">Сторінки з використанням розширення JsonConfig</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%A1%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B8_%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F%D0%BC_%D0%BD%D0%B0_%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D1%96%D0%B4%D1%80%D1%83%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%BA" title="Категорія:Вікіпедія:Сторінки з посиланням на Вікіпідручник">Вікіпедія:Сторінки з посиланням на Вікіпідручник</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%9D%D0%B5%D0%B7%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B5%D0%BD%D1%96_%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%82%D1%96_%D0%B7_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B8" title="Категорія:Незавершені статті з математики">Незавершені статті з математики</a></li></ul></div></div> </div> </div> <div id="mw-navigation"> <h2>Навігаційне меню</h2> <div id="mw-head"> <nav id="p-personal" class="mw-portlet mw-portlet-personal vector-user-menu-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-personal-label" > <h3 id="p-personal-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Особисті інструменти</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anonuserpage" class="mw-list-item"><span title="Сторінка користувача для вашої IP-адреси">Ви не увійшли до системи</span></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9C%D0%BE%D1%94_%D0%BE%D0%B1%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Обговорення редагувань з цієї IP-адреси [n]" accesskey="n"><span>Обговорення</span></a></li><li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9C%D1%96%D0%B9_%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D1%81%D0%BE%D0%BA" title="Список редагувань, зроблених з цієї IP-адреси [y]" accesskey="y"><span>Внесок</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%A1%D1%82%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B8_%D0%BE%D0%B1%D0%BB%D1%96%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D0%B8%D1%81&returnto=%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0+%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0+%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82&returntoquery=veaction%3Dedit%26redirect%3Dno" title="Пропонуємо створити обліковий запис і увійти в систему; однак, це не обов'язково"><span>Створити обліковий запис</span></a></li><li id="pt-login" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%92%D1%85%D1%96%D0%B4&returnto=%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0+%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0+%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82&returntoquery=veaction%3Dedit%26redirect%3Dno" title="Заохочуємо Вас увійти в систему, але це необов'язково. [o]" accesskey="o"><span>Увійти</span></a></li> </ul> </div> </nav> <div id="left-navigation"> <nav id="p-namespaces" class="mw-portlet mw-portlet-namespaces vector-menu-tabs vector-menu-tabs-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-namespaces-label" > <h3 id="p-namespaces-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Простори назв</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82" title="Вміст статті [c]" accesskey="c"><span>Стаття</span></a></li><li id="ca-talk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%9E%D0%B1%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F:%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82" rel="discussion" title="Обговорення сторінки [t]" accesskey="t"><span>Обговорення</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-variants" class="mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet vector-menu-dropdown vector-menu" aria-labelledby="p-variants-label" > <input type="checkbox" id="p-variants-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-variants" class="vector-menu-checkbox" aria-labelledby="p-variants-label" > <label id="p-variants-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">українська</span> </label> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation"> <nav id="p-views" class="mw-portlet mw-portlet-views vector-menu-tabs vector-menu-tabs-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-views-label" > <h3 id="p-views-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Перегляди</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82"><span>Читати</span></a></li><li id="ca-ve-edit" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82&veaction=edit" title="Редагувати цю сторінку [v]" accesskey="v"><span>Редагувати</span></a></li><li id="ca-edit" class="collapsible mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82&action=edit" title="Редагувати вихідний код сторінки [e]" accesskey="e"><span>Редагувати код</span></a></li><li id="ca-history" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82&action=history" title="Журнал змін сторінки [h]" accesskey="h"><span>Переглянути історію</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-cactions" class="mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-menu-dropdown vector-menu" aria-labelledby="p-cactions-label" title="Більше опцій" > <input type="checkbox" id="p-cactions-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-cactions" class="vector-menu-checkbox" aria-labelledby="p-cactions-label" > <label id="p-cactions-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Більше</span> </label> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </nav> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <h3 >Пошук</h3> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="vector-search-box-form"> <div id="simpleSearch" class="vector-search-box-inner" data-search-loc="header-navigation"> <input class="vector-search-box-input" type="search" name="search" placeholder="Пошук у Вікіпедії" aria-label="Пошук у Вікіпедії" autocapitalize="sentences" title="Шукати у Вікіпедії [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <input type="hidden" name="title" value="Спеціальна:Пошук"> <input id="mw-searchButton" class="searchButton mw-fallbackSearchButton" type="submit" name="fulltext" title="Знайти сторінки, що містять зазначений текст" value="Знайти"> <input id="searchButton" class="searchButton" type="submit" name="go" title="Перейти до сторінки, що має точно таку назву (якщо вона існує)" value="Перейти"> </div> </form> </div> </div> </div> <div id="mw-panel" class="vector-legacy-sidebar"> <div id="p-logo" role="banner"> <a class="mw-wiki-logo" href="/wiki/%D0%93%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0" title="Перейти на головну сторінку"></a> </div> <nav id="p-navigation" class="mw-portlet mw-portlet-navigation vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-navigation-label" > <h3 id="p-navigation-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Навігація</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-description" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%93%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0" title="Перейти на головну сторінку [z]" accesskey="z"><span>Головна сторінка</span></a></li><li id="n-currentevents" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B0%D0%BB:%D0%9F%D0%BE%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D1%96_%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D1%96%D1%97" title="Список поточних подій"><span>Поточні події</span></a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9D%D0%BE%D0%B2%D1%96_%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D0%B3%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Список останніх змін у цій вікі [r]" accesskey="r"><span>Нові редагування</span></a></li><li id="n-newpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9D%D0%BE%D0%B2%D1%96_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B8"><span>Нові сторінки</span></a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%92%D0%B8%D0%BF%D0%B0%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0" title="Переглянути випадкову сторінку [x]" accesskey="x"><span>Випадкова стаття</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-Участь" class="mw-portlet mw-portlet-Участь vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-Участь-label" > <h3 id="p-Участь-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Участь</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%9F%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B0%D0%BB_%D1%81%D0%BF%D1%96%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%82%D0%B8" title="Про проєкт, про те, що Ви можете зробити, і що де шукати"><span>Портал спільноти</span></a></li><li id="n-tavern" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%9A%D0%BD%D0%B0%D0%B9%D0%BF%D0%B0" title="Місце для обговорення більшості питань"><span>Кнайпа</span></a></li><li id="n-help" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%94%D0%BE%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%BA%D0%B0" title="Довідка з проєкту"><span>Довідка</span></a></li><li id="n-sitesupport" class="mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_uk.wikipedia.org&uselang=uk" title="Підтримайте проєкт"><span>Пожертвувати</span></a></li><li id="n-Сторінка-для-медіа" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%A1%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BC%D0%B5%D0%B4%D1%96%D0%B0"><span>Сторінка для медіа</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-tb" class="mw-portlet mw-portlet-tb vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-tb-label" > <h3 id="p-tb-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Інструменти</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9F%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%81%D1%8E%D0%B4%D0%B8/%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82" title="Перелік усіх сторінок, які посилаються на цю сторінку [j]" accesskey="j"><span>Посилання сюди</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9F%D0%BE%D0%B2%27%D1%8F%D0%B7%D0%B0%D0%BD%D1%96_%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D0%B3%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F/%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82" rel="nofollow" title="Останні зміни на сторінках, на які посилається ця сторінка [k]" accesskey="k"><span>Пов'язані редагування</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B8" title="Перелік спеціальних сторінок [q]" accesskey="q"><span>Спеціальні сторінки</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82&oldid=42349937" title="Постійне посилання на цю версію цієї сторінки"><span>Постійне посилання</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82&action=info" title="Додаткові відомості про цю сторінку"><span>Інформація про сторінку</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%A6%D0%B8%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B0&page=%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82&id=42349937&wpFormIdentifier=titleform" title="Інформація про те, як цитувати цю сторінку"><span>Цитувати сторінку</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Fuk.wikipedia.org%2Fw%2Findex.php%3Ftitle%3D%25D0%2594%25D0%25B5%25D0%25BA%25D0%25B0%25D1%2580%25D1%2582%25D0%25BE%25D0%25B2%25D0%25B0_%25D1%2581%25D0%25B8%25D1%2581%25D1%2582%25D0%25B5%25D0%25BC%25D0%25B0_%25D0%25BA%25D0%25BE%25D0%25BE%25D1%2580%25D0%25B4%25D0%25B8%25D0%25BD%25D0%25B0%25D1%2582%26veaction%3Dedit"><span>Отримати вкорочену URL-адресу</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:QrCode&url=https%3A%2F%2Fuk.wikipedia.org%2Fw%2Findex.php%3Ftitle%3D%25D0%2594%25D0%25B5%25D0%25BA%25D0%25B0%25D1%2580%25D1%2582%25D0%25BE%25D0%25B2%25D0%25B0_%25D1%2581%25D0%25B8%25D1%2581%25D1%2582%25D0%25B5%25D0%25BC%25D0%25B0_%25D0%25BA%25D0%25BE%25D0%25BE%25D1%2580%25D0%25B4%25D0%25B8%25D0%25BD%25D0%25B0%25D1%2582%26veaction%3Dedit"><span>Завантажити QR-код</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-coll-print_export" class="mw-portlet mw-portlet-coll-print_export vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-coll-print_export-label" > <h3 id="p-coll-print_export-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Друк/експорт</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0&bookcmd=book_creator&referer=%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0+%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0+%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82"><span>Створити книгу</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:DownloadAsPdf&page=%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82&action=show-download-screen"><span>Завантажити як PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82&printable=yes" title="Версія цієї сторінки для друку [p]" accesskey="p"><span>Версія до друку</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-wikibase-otherprojects" class="mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-wikibase-otherprojects-label" > <h3 id="p-wikibase-otherprojects-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">В інших проєктах</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Cartesian_coordinates" hreflang="en"><span>Вікісховище</span></a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q62912" title="Посилання на пов’язаний елемент сховища даних [g]" accesskey="g"><span>Елемент Вікіданих</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-lang" class="mw-portlet mw-portlet-lang vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-lang-label" > <h3 id="p-lang-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Іншими мовами</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Cartesiese_ko%C3%B6rdinatestelsel" title="Cartesiese koördinatestelsel — африкаанс" lang="af" hreflang="af" data-title="Cartesiese koördinatestelsel" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="африкаанс" class="interlanguage-link-target"><span>Afrikaans</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%86%D8%B8%D8%A7%D9%85_%D8%A5%D8%AD%D8%AF%D8%A7%D8%AB%D9%8A%D8%A7%D8%AA_%D8%AF%D9%8A%D9%83%D8%A7%D8%B1%D8%AA%D9%8A%D8%A9" title="نظام إحداثيات ديكارتية — арабська" lang="ar" hreflang="ar" data-title="نظام إحداثيات ديكارتية" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="арабська" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Coordenaes_cartesianes" title="Coordenaes cartesianes — астурійська" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Coordenaes cartesianes" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="астурійська" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/Karteziyan_koordinat_sistemi" title="Karteziyan koordinat sistemi — азербайджанська" lang="az" hreflang="az" data-title="Karteziyan koordinat sistemi" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="азербайджанська" class="interlanguage-link-target"><span>Azərbaycanca</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%83%D1%80%D0%B0_%D0%BC%D3%A9%D0%B9%D3%A9%D1%88%D0%BB%D3%A9_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B0%D1%80_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D2%BB%D1%8B" title="Тура мөйөшлө координаталар системаһы — башкирська" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Тура мөйөшлө координаталар системаһы" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="башкирська" class="interlanguage-link-target"><span>Башҡортса</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0" title="Декартова координатна система — болгарська" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Декартова координатна система" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="болгарська" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%95%E0%A6%BE%E0%A6%B0%E0%A7%8D%E0%A6%A4%E0%A7%87%E0%A6%B8%E0%A7%80%E0%A6%AF%E0%A6%BC_%E0%A6%B8%E0%A7%8D%E0%A6%A5%E0%A6%BE%E0%A6%A8%E0%A6%BE%E0%A6%82%E0%A6%95_%E0%A6%AC%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%AC%E0%A6%B8%E0%A7%8D%E0%A6%A5%E0%A6%BE" title="কার্তেসীয় স্থানাংক ব্যবস্থা — бенгальська" lang="bn" hreflang="bn" data-title="কার্তেসীয় স্থানাংক ব্যবস্থা" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="бенгальська" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Descartesov_koordinatni_sistem" title="Descartesov koordinatni sistem — боснійська" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Descartesov koordinatni sistem" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="боснійська" class="interlanguage-link-target"><span>Bosanski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenades_cartesianes" title="Sistema de coordenades cartesianes — каталонська" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Sistema de coordenades cartesianes" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="каталонська" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%D8%B3%DB%8C%D8%B3%D8%AA%D9%85%DB%8C_%D9%BE%DB%86%D8%AA%D8%A7%D9%86%DB%8C_%D8%AF%DB%8E%DA%A9%D8%A7%D8%B1%D8%AA%DB%8C" title="سیستمی پۆتانی دێکارتی — центральнокурдська" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="سیستمی پۆتانی دێکارتی" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="центральнокурдська" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Kart%C3%A9zsk%C3%A1_soustava_sou%C5%99adnic" title="Kartézská soustava souřadnic — чеська" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Kartézská soustava souřadnic" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="чеська" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D1%81%D0%B5%D0%BD_%D1%82%D3%B3%D1%80_%D0%BA%C4%95%D1%82%D0%B5%D1%81%D0%BB%D0%B5_%D1%82%D1%8B%D1%82%C4%83%D0%BC%C4%95" title="Координатсен тӳр кĕтесле тытăмĕ — чуваська" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Координатсен тӳр кĕтесле тытăмĕ" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="чуваська" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/System_gyfesurynnol_Gartesaidd" title="System gyfesurynnol Gartesaidd — валлійська" lang="cy" hreflang="cy" data-title="System gyfesurynnol Gartesaidd" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="валлійська" class="interlanguage-link-target"><span>Cymraeg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Kartesisk_koordinatsystem" title="Kartesisk koordinatsystem — данська" lang="da" hreflang="da" data-title="Kartesisk koordinatsystem" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="данська" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Kartesisches_Koordinatensystem" title="Kartesisches Koordinatensystem — німецька" lang="de" hreflang="de" data-title="Kartesisches Koordinatensystem" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="німецька" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%9A%CE%B1%CF%81%CF%84%CE%B5%CF%83%CE%B9%CE%B1%CE%BD%CF%8C_%CF%83%CF%8D%CF%83%CF%84%CE%B7%CE%BC%CE%B1_%CF%83%CF%85%CE%BD%CF%84%CE%B5%CF%84%CE%B1%CE%B3%CE%BC%CE%AD%CE%BD%CF%89%CE%BD" title="Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων — грецька" lang="el" hreflang="el" data-title="Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="грецька" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Cartesian_coordinate_system" title="Cartesian coordinate system — англійська" lang="en" hreflang="en" data-title="Cartesian coordinate system" data-language-autonym="English" data-language-local-name="англійська" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Kartezia_koordinato" title="Kartezia koordinato — есперанто" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Kartezia koordinato" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="есперанто" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianas" title="Coordenadas cartesianas — іспанська" lang="es" hreflang="es" data-title="Coordenadas cartesianas" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="іспанська" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Descartesi_koordinaadid" title="Descartesi koordinaadid — естонська" lang="et" hreflang="et" data-title="Descartesi koordinaadid" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="естонська" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Koordenatu_kartesiar" title="Koordenatu kartesiar — баскська" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Koordenatu kartesiar" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="баскська" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AF%D8%B3%D8%AA%DA%AF%D8%A7%D9%87_%D9%85%D8%AE%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AA_%D8%AF%DA%A9%D8%A7%D8%B1%D8%AA%DB%8C" title="دستگاه مختصات دکارتی — перська" lang="fa" hreflang="fa" data-title="دستگاه مختصات دکارتی" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="перська" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Suorakulmainen_koordinaatisto" title="Suorakulmainen koordinaatisto — фінська" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Suorakulmainen koordinaatisto" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="фінська" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Coordonn%C3%A9es_cart%C3%A9siennes" title="Coordonnées cartésiennes — французька" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Coordonnées cartésiennes" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="французька" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/Comhordan%C3%A1id%C3%AD_Cairt%C3%A9iseacha" title="Comhordanáidí Cairtéiseacha — ірландська" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Comhordanáidí Cairtéiseacha" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="ірландська" class="interlanguage-link-target"><span>Gaeilge</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas_cartesianas" title="Sistema de coordenadas cartesianas — галісійська" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Sistema de coordenadas cartesianas" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="галісійська" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9B%D7%AA_%D7%A6%D7%99%D7%A8%D7%99%D7%9D_%D7%A7%D7%A8%D7%98%D7%96%D7%99%D7%AA" title="מערכת צירים קרטזית — іврит" lang="he" hreflang="he" data-title="מערכת צירים קרטזית" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="іврит" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%95%E0%A4%BE%E0%A4%B0%E0%A5%8D%E0%A4%A4%E0%A5%80%E0%A4%AF_%E0%A4%A8%E0%A4%BF%E0%A4%B0%E0%A5%8D%E0%A4%A6%E0%A5%87%E0%A4%B6%E0%A4%BE%E0%A4%82%E0%A4%95_%E0%A4%AA%E0%A4%A6%E0%A5%8D%E0%A4%A7%E0%A4%A4%E0%A4%BF" title="कार्तीय निर्देशांक पद्धति — гінді" lang="hi" hreflang="hi" data-title="कार्तीय निर्देशांक पद्धति" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="гінді" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Kartezijev_koordinatni_sustav" title="Kartezijev koordinatni sustav — хорватська" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Kartezijev koordinatni sustav" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="хорватська" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Descartes-f%C3%A9le_koordin%C3%A1ta-rendszer" title="Descartes-féle koordináta-rendszer — угорська" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Descartes-féle koordináta-rendszer" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="угорська" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D4%B4%D5%A5%D5%AF%D5%A1%D6%80%D5%BF%D5%B5%D5%A1%D5%B6_%D5%AF%D5%B8%D5%B8%D6%80%D5%A4%D5%AB%D5%B6%D5%A1%D5%BF%D5%B6%D5%A5%D6%80%D5%AB_%D5%B0%D5%A1%D5%B4%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D6%80%D5%A3" title="Դեկարտյան կոորդինատների համակարգ — вірменська" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Դեկարտյան կոորդինատների համակարգ" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="вірменська" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Sistem_koordinat_Cartesius" title="Sistem koordinat Cartesius — індонезійська" lang="id" hreflang="id" data-title="Sistem koordinat Cartesius" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="індонезійська" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-io mw-list-item"><a href="https://io.wikipedia.org/wiki/Karteziana_koordinataro" title="Karteziana koordinataro — ідо" lang="io" hreflang="io" data-title="Karteziana koordinataro" data-language-autonym="Ido" data-language-local-name="ідо" class="interlanguage-link-target"><span>Ido</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Kartes%C3%ADusarhnitakerfi%C3%B0" title="Kartesíusarhnitakerfið — ісландська" lang="is" hreflang="is" data-title="Kartesíusarhnitakerfið" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="ісландська" class="interlanguage-link-target"><span>Íslenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Sistema_di_riferimento_cartesiano" title="Sistema di riferimento cartesiano — італійська" lang="it" hreflang="it" data-title="Sistema di riferimento cartesiano" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="італійська" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E5%BA%A7%E6%A8%99%E7%B3%BB" title="直交座標系 — японська" lang="ja" hreflang="ja" data-title="直交座標系" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="японська" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%93%E1%83%94%E1%83%99%E1%83%90%E1%83%A0%E1%83%A2%E1%83%98%E1%83%A1_%E1%83%99%E1%83%9D%E1%83%9D%E1%83%A0%E1%83%93%E1%83%98%E1%83%9C%E1%83%90%E1%83%A2%E1%83%97%E1%83%90_%E1%83%A1%E1%83%98%E1%83%A1%E1%83%A2%E1%83%94%E1%83%9B%E1%83%90" title="დეკარტის კოორდინატთა სისტემა — грузинська" lang="ka" hreflang="ka" data-title="დეკარტის კოორდინატთა სისტემა" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="грузинська" class="interlanguage-link-target"><span>ქართული</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ki mw-list-item"><a href="https://ki.wikipedia.org/wiki/Cartesian_Coordinates" title="Cartesian Coordinates — кікуйю" lang="ki" hreflang="ki" data-title="Cartesian Coordinates" data-language-autonym="Gĩkũyũ" data-language-local-name="кікуйю" class="interlanguage-link-target"><span>Gĩkũyũ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D1%82%D1%8B%D2%9B_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D1%82%D0%B0%D1%80_%D0%B6%D2%AF%D0%B9%D0%B5%D1%81%D1%96" title="Декарттық координаттар жүйесі — казахська" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Декарттық координаттар жүйесі" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="казахська" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%8D%B0%EC%B9%B4%EB%A5%B4%ED%8A%B8_%EC%A2%8C%ED%91%9C%EA%B3%84" title="데카르트 좌표계 — корейська" lang="ko" hreflang="ko" data-title="데카르트 좌표계" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="корейська" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Systema_Cartesianum_coordinatarum" title="Systema Cartesianum coordinatarum — латинська" lang="la" hreflang="la" data-title="Systema Cartesianum coordinatarum" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="латинська" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Dekarto_koordina%C4%8Di%C5%B3_sistema" title="Dekarto koordinačių sistema — литовська" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Dekarto koordinačių sistema" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="литовська" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Dekarta_koordin%C4%81tu_sist%C4%93ma" title="Dekarta koordinātu sistēma — латиська" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Dekarta koordinātu sistēma" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="латиська" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BD_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC" title="Декартов координатен систем — македонська" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Декартов координатен систем" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="македонська" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%85%E0%B4%95%E0%B5%8D%E0%B4%B7%E0%B4%82" title="അക്ഷം — малаялам" lang="ml" hreflang="ml" data-title="അക്ഷം" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="малаялам" class="interlanguage-link-target"><span>മലയാളം</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mr mw-list-item"><a href="https://mr.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%95%E0%A4%BE%E0%A4%B0%E0%A5%8D%E0%A4%9F%E0%A5%87%E0%A4%B6%E0%A4%BF%E0%A4%AF%E0%A4%A8_%E0%A4%B8%E0%A4%B9%E0%A4%A8%E0%A4%BF%E0%A4%B0%E0%A5%8D%E0%A4%A6%E0%A5%87%E0%A4%B6%E0%A4%95_%E0%A4%AA%E0%A4%A6%E0%A5%8D%E0%A4%A7%E0%A4%A4%E0%A5%80" title="कार्टेशियन सहनिर्देशक पद्धती — маратхі" lang="mr" hreflang="mr" data-title="कार्टेशियन सहनिर्देशक पद्धती" data-language-autonym="मराठी" data-language-local-name="маратхі" class="interlanguage-link-target"><span>मराठी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Sistem_koordinat_Cartes" title="Sistem koordinat Cartes — малайська" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Sistem koordinat Cartes" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="малайська" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-my mw-list-item"><a href="https://my.wikipedia.org/wiki/%E1%80%80%E1%80%AC%E1%80%90%E1%80%80%E1%80%BA%E1%80%85%E1%80%AE%E1%80%B8%E1%80%9A%E1%80%94%E1%80%BA%E1%80%B8_%E1%80%80%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%A9%E1%80%92%E1%80%AD%E1%80%94%E1%80%AD%E1%80%90%E1%80%BA%E1%80%85%E1%80%94%E1%80%85%E1%80%BA" title="ကာတက်စီးယန်း ကိုဩဒိနိတ်စနစ် — бірманська" lang="my" hreflang="my" data-title="ကာတက်စီးယန်း ကိုဩဒိနိတ်စနစ်" data-language-autonym="မြန်မာဘာသာ" data-language-local-name="бірманська" class="interlanguage-link-target"><span>မြန်မာဘာသာ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nds mw-list-item"><a href="https://nds.wikipedia.org/wiki/Karteesch_Koordinatensystem" title="Karteesch Koordinatensystem — нижньонімецька" lang="nds" hreflang="nds" data-title="Karteesch Koordinatensystem" data-language-autonym="Plattdüütsch" data-language-local-name="нижньонімецька" class="interlanguage-link-target"><span>Plattdüütsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Cartesisch_co%C3%B6rdinatenstelsel" title="Cartesisch coördinatenstelsel — нідерландська" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Cartesisch coördinatenstelsel" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="нідерландська" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Kartesisk_koordinatsystem" title="Kartesisk koordinatsystem — норвезька (нюношк)" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Kartesisk koordinatsystem" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="норвезька (нюношк)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Kartesisk_koordinatsystem" title="Kartesisk koordinatsystem — норвезька (букмол)" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Kartesisk koordinatsystem" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="норвезька (букмол)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%95%E0%A8%BE%E0%A8%B0%E0%A8%9F%E0%A9%87%E0%A8%9C%E0%A8%BC%E0%A9%80_%E0%A8%97%E0%A9%81%E0%A8%A3%E0%A8%95_%E0%A8%AA%E0%A9%8D%E0%A8%B0%E0%A8%AC%E0%A9%B0%E0%A8%A7" title="ਕਾਰਟੇਜ਼ੀ ਗੁਣਕ ਪ੍ਰਬੰਧ — панджабі" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਕਾਰਟੇਜ਼ੀ ਗੁਣਕ ਪ੍ਰਬੰਧ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="панджабі" class="interlanguage-link-target"><span>ਪੰਜਾਬੀ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Uk%C5%82ad_wsp%C3%B3%C5%82rz%C4%99dnych_kartezja%C5%84skich" title="Układ współrzędnych kartezjańskich — польська" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Układ współrzędnych kartezjańskich" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="польська" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas_cartesiano" title="Sistema de coordenadas cartesiano — португальська" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Sistema de coordenadas cartesiano" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="португальська" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Coordonate_carteziene" title="Coordonate carteziene — румунська" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Coordonate carteziene" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="румунська" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D1%8F%D0%BC%D0%BE%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82" title="Прямоугольная система координат — російська" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Прямоугольная система координат" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="російська" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/Sistema_di_rifirimentu_cartisianu" title="Sistema di rifirimentu cartisianu — сицилійська" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Sistema di rifirimentu cartisianu" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="сицилійська" class="interlanguage-link-target"><span>Sicilianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Kartezijanski_koordinatni_sistem" title="Kartezijanski koordinatni sistem — сербсько-хорватська" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Kartezijanski koordinatni sistem" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="сербсько-хорватська" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Cartesian_coordinate_system" title="Cartesian coordinate system — Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Cartesian coordinate system" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Kartezi%C3%A1nska_s%C3%BAstava_s%C3%BAradn%C3%ADc_(v_naju%C5%BE%C5%A1om_zmysle)" title="Karteziánska sústava súradníc (v najužšom zmysle) — словацька" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Karteziánska sústava súradníc (v najužšom zmysle)" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="словацька" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Kartezi%C4%8Dni_koordinatni_sistem" title="Kartezični koordinatni sistem — словенська" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Kartezični koordinatni sistem" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="словенська" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Sistemi_koordinativ_kartezian" title="Sistemi koordinativ kartezian — албанська" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Sistemi koordinativ kartezian" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="албанська" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2_%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BE%D1%83%D0%B3%D0%BB%D0%B8_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC" title="Декартов правоугли координатни систем — сербська" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Декартов правоугли координатни систем" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="сербська" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Kartesiskt_koordinatsystem" title="Kartesiskt koordinatsystem — шведська" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Kartesiskt koordinatsystem" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="шведська" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%95%E0%AE%BE%E0%AE%9F%E0%AF%8D%E0%AE%9F%E0%AF%80%E0%AE%9A%E0%AE%BF%E0%AE%AF%E0%AE%A9%E0%AF%8D_%E0%AE%86%E0%AE%B3%E0%AF%8D%E0%AE%95%E0%AF%82%E0%AE%B1%E0%AF%8D%E0%AE%B1%E0%AF%81_%E0%AE%AE%E0%AF%81%E0%AE%B1%E0%AF%88%E0%AE%AE%E0%AF%88" title="காட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமை — тамільська" lang="ta" hreflang="ta" data-title="காட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமை" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="тамільська" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%9A%E0%B8%9A%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%B1%E0%B8%94%E0%B8%84%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%80%E0%B8%8B%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%99" title="ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน — тайська" lang="th" hreflang="th" data-title="ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="тайська" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Kartezyen_koordinat_sistemi" title="Kartezyen koordinat sistemi — турецька" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Kartezyen koordinat sistemi" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="турецька" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%DA%A9%D8%A7%D8%B1%D8%AA%DB%8C%D8%B3%DB%8C_%D9%85%D8%AA%D9%86%D8%A7%D8%B3%D9%82_%D9%86%D8%B8%D8%A7%D9%85" title="کارتیسی متناسق نظام — урду" lang="ur" hreflang="ur" data-title="کارتیسی متناسق نظام" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="урду" class="interlanguage-link-target"><span>اردو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Dekart_koordinatalar_tizimi" title="Dekart koordinatalar tizimi — узбецька" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Dekart koordinatalar tizimi" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="узбецька" class="interlanguage-link-target"><span>Oʻzbekcha / ўзбекча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/H%E1%BB%87_t%E1%BB%8Da_%C4%91%E1%BB%99_Descartes" title="Hệ tọa độ Descartes — вʼєтнамська" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Hệ tọa độ Descartes" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="вʼєтнамська" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E7%AC%9B%E5%8D%A1%E5%84%BF%E5%9D%90%E6%A0%87%E7%B3%BB" title="笛卡儿坐标系 — китайська уська" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="笛卡儿坐标系" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="китайська уська" class="interlanguage-link-target"><span>吴语</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%AC%9B%E5%8D%A1%E5%B0%94%E5%9D%90%E6%A0%87%E7%B3%BB" title="笛卡尔坐标系 — китайська" lang="zh" hreflang="zh" data-title="笛卡尔坐标系" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="китайська" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E7%AC%9B%E5%8D%A1%E5%85%92%E5%9D%90%E6%A8%99%E7%B3%BB%E7%B5%B1" title="笛卡兒坐標系統 — кантонська" lang="yue" hreflang="yue" data-title="笛卡兒坐標系統" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="кантонська" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q62912#sitelinks-wikipedia" title="Редагувати міжмовні посилання" class="wbc-editpage">Редагувати посилання</a></span></div> </div> </nav> </div> </div> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Цю сторінку востаннє відредаговано о 12:22, 19 квітня 2024.</li> <li id="footer-info-copyright">Текст доступний на умовах ліцензії <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.uk">Creative Commons Attribution-ShareAlike</a>; також можуть діяти додаткові умови. Детальніше див. <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Policy:Terms_of_Use/uk">Умови використання</a>.</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">Політика конфіденційності</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%9F%D1%80%D0%BE">Про Вікіпедію</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%92%D1%96%D0%B4%D0%BC%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%B2%D1%96%D0%B4_%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96">Відмова від відповідальності</a></li> <li id="footer-places-contact"><a href="//uk.wikipedia.org/wiki/Вікіпедія:Зворотний_зв%27язок">Зворотний зв'язок</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Кодекс поведінки</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Розробники</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/uk.wikipedia.org">Статистика</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Куки</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//uk.m.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82&veaction=edit&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Мобільний вигляд</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.log.warn("This page is using the deprecated ResourceLoader module \"codex-search-styles\".\n[1.43] Use a CodexModule with codexComponents to set your specific components used: https://www.mediawiki.org/wiki/Codex#Using_a_limited_subset_of_components");mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.canary-84779d6bf6-7hlq2","wgBackendResponseTime":168,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.380","walltime":"0.681","ppvisitednodes":{"value":1740,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":17813,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":3592,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":11,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":3,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":1,"limit":20},"unstrip-size":{"value":16356,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":0,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 424.464 1 -total"," 36.03% 152.934 2 Шаблон:Lang-en"," 33.77% 143.362 1 Шаблон:Примітки"," 21.49% 91.208 1 Шаблон:Cite_book"," 9.74% 41.363 1 Шаблон:Клепко_ВМ"," 8.83% 37.498 1 Шаблон:Публікація"," 8.77% 37.241 1 Шаблон:Wikibooks"," 6.68% 28.372 1 Шаблон:Sister"," 6.10% 25.902 1 Шаблон:Side_box"," 3.95% 16.749 4 Шаблон:Ref-en"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.200","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":19125621,"limit":52428800}},"cachereport":{"origin":"mw-web.codfw.main-f69cdc8f6-cdf8n","timestamp":"20241124142258","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"\u0414\u0435\u043a\u0430\u0440\u0442\u043e\u0432\u0430 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u0430 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442","url":"https:\/\/uk.wikipedia.org\/wiki\/%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q62912","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q62912","author":{"@type":"Organization","name":"\u0423\u0447\u0430\u0441\u043d\u0438\u043a\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0442\u0456\u0432 \u0412\u0456\u043a\u0456\u043c\u0435\u0434\u0456\u0430"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"\u0424\u043e\u043d\u0434 \u0412\u0456\u043a\u0456\u043c\u0435\u0434\u0456\u0430","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2005-01-13T22:53:57Z","image":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/0\/0e\/Cartesian-coordinate-system.svg"}</script> </body> </html>