Derivada material - Wikipedia, la enciclopedia libre

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available" lang="es" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Derivada material - Wikipedia, la enciclopedia libre</title> <script>(function(){var className="client-js vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )eswikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t."," \t,"],"wgDigitTransformTable":["",""], "wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","enero","febrero","marzo","abril","mayo","junio","julio","agosto","septiembre","octubre","noviembre","diciembre"],"wgRequestId":"73b663f0-3de7-4431-b0b4-5a6ebd02699e","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Derivada_material","wgTitle":"Derivada material","wgCurRevisionId":156210705,"wgRevisionId":156210705,"wgArticleId":8837218,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Cálculo multivariable","Dinámica de fluidos"],"wgPageViewLanguage":"es","wgPageContentLanguage":"es","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Derivada_material","wgRelevantArticleId":8837218,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":false,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault": true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"es","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"es"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":10000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":false,"wgVector2022LanguageInHeader":true,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q1801562","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":true,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.gadget.imagenesinfobox":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user": "ready","user.options":"loading","ext.cite.styles":"ready","ext.math.styles":"ready","skins.vector.search.codex.styles":"ready","skins.vector.styles":"ready","skins.vector.icons":"ready","ext.wikimediamessages.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.gadget.a-commons-directo","ext.gadget.ReferenceTooltips","ext.gadget.refToolbar","ext.gadget.switcher","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.cx.uls.quick.actions", "wikibase.client.vector-2022","ext.checkUser.clientHints","ext.quicksurveys.init","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=es&modules=ext.cite.styles%7Cext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cext.wikimediamessages.styles%7Cskins.vector.icons%2Cstyles%7Cskins.vector.search.codex.styles%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector-2022"> <script async="" src="/w/load.php?lang=es&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector-2022"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=es&modules=ext.gadget.imagenesinfobox&only=styles&skin=vector-2022"> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=es&modules=site.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <noscript><link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=es&modules=noscript&only=styles&skin=vector-2022"></noscript> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.6"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Derivada material - Wikipedia, la enciclopedia libre"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//es.m.wikipedia.org/wiki/Derivada_material"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Editar" href="/w/index.php?title=Derivada_material&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Wikipedia (es)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//es.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_material"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.es"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Canal Atom de Wikipedia" href="/w/index.php?title=Especial:CambiosRecientes&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin--responsive skin-vector skin-vector-search-vue mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Derivada_material rootpage-Derivada_material skin-vector-2022 action-view"><a class="mw-jump-link" href="#bodyContent">Ir al contenido</a> <div class="vector-header-container"> <header class="vector-header mw-header"> <div class="vector-header-start"> <nav class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Sitio"> <div id="vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown vector-main-menu-dropdown vector-button-flush-left vector-button-flush-right" > <input type="checkbox" id="vector-main-menu-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Menú principal" > <label id="vector-main-menu-dropdown-label" for="vector-main-menu-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-menu mw-ui-icon-wikimedia-menu"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Menú principal</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-main-menu-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-main-menu" class="vector-main-menu vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-main-menu-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="main-menu-pinned" data-pinnable-element-id="vector-main-menu" data-pinned-container-id="vector-main-menu-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-main-menu-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Menú principal</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.pin">mover a la barra lateral</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.unpin">ocultar</button> </div> <div id="p-navigation" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-navigation" > <div class="vector-menu-heading"> Navegación </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-description" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Portada" title="Visitar la página principal [z]" accesskey="z"><span>Portada</span></a></li><li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Portal:Comunidad" title="Acerca del proyecto, lo que puedes hacer, dónde encontrar información"><span>Portal de la comunidad</span></a></li><li id="n-currentevents" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Portal:Actualidad" title="Encuentra información de contexto sobre acontecimientos actuales"><span>Actualidad</span></a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:CambiosRecientes" title="Lista de cambios recientes en la wiki [r]" accesskey="r"><span>Cambios recientes</span></a></li><li id="n-newpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:P%C3%A1ginasNuevas"><span>Páginas nuevas</span></a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:Aleatoria" title="Cargar una página al azar [x]" accesskey="x"><span>Página aleatoria</span></a></li><li id="n-help" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Ayuda:Contenidos" title="El lugar para aprender"><span>Ayuda</span></a></li><li id="n-bug_in_article" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Informes_de_error"><span>Notificar un error</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> <a href="/wiki/Wikipedia:Portada" class="mw-logo"> <img class="mw-logo-icon" src="/static/images/icons/wikipedia.png" alt="" aria-hidden="true" height="50" width="50"> <span class="mw-logo-container skin-invert"> <img class="mw-logo-wordmark" alt="Wikipedia" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-en.svg" style="width: 7.5em; height: 1.125em;"> <img class="mw-logo-tagline" alt="La enciclopedia libre" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-es.svg" width="120" height="13" style="width: 7.5em; height: 0.8125em;"> </span> </a> </div> <div class="vector-header-end"> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-collapses vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <a href="/wiki/Especial:Buscar" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only search-toggle" title="Buscar en este wiki [f]" accesskey="f"><span class="vector-icon mw-ui-icon-search mw-ui-icon-wikimedia-search"></span> <span>Buscar</span> </a> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail cdx-typeahead-search--auto-expand-width"> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div id="simpleSearch" class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="Buscar en Wikipedia" aria-label="Buscar en Wikipedia" autocapitalize="sentences" title="Buscar en este wiki [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <span class="cdx-text-input__icon cdx-text-input__start-icon"></span> </div> <input type="hidden" name="title" value="Especial:Buscar"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">Buscar</button> </form> </div> </div> </div> <nav class="vector-user-links vector-user-links-wide" aria-label="Herramientas personales"> <div class="vector-user-links-main"> <div id="p-vector-user-menu-preferences" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-userpage" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Apariencia"> <div id="vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown " title="Change the appearance of the page's font size, width, and color" > <input type="checkbox" id="vector-appearance-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Apariencia" > <label id="vector-appearance-dropdown-label" for="vector-appearance-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-appearance mw-ui-icon-wikimedia-appearance"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Apariencia</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-appearance-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div id="p-vector-user-menu-notifications" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-overflow" class="vector-menu mw-portlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="https://donate.wikimedia.org/?wmf_source=donate&wmf_medium=sidebar&wmf_campaign=es.wikipedia.org&uselang=es" class=""><span>Donaciones</span></a> </li> <li id="pt-createaccount-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Especial:Crear_una_cuenta&returnto=Derivada+material" title="Te recomendamos crear una cuenta e iniciar sesión; sin embargo, no es obligatorio" class=""><span>Crear una cuenta</span></a> </li> <li id="pt-login-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Especial:Entrar&returnto=Derivada+material" title="Te recomendamos iniciar sesión, aunque no es obligatorio [o]" accesskey="o" class=""><span>Acceder</span></a> </li> </ul> </div> </div> </div> <div id="vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown vector-user-menu vector-button-flush-right vector-user-menu-logged-out" title="Más opciones" > <input type="checkbox" id="vector-user-links-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Herramientas personales" > <label id="vector-user-links-dropdown-label" for="vector-user-links-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-ellipsis mw-ui-icon-wikimedia-ellipsis"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Herramientas personales</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-personal" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-personal user-links-collapsible-item" title="Menú de usuario" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="https://donate.wikimedia.org/?wmf_source=donate&wmf_medium=sidebar&wmf_campaign=es.wikipedia.org&uselang=es"><span>Donaciones</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:Crear_una_cuenta&returnto=Derivada+material" title="Te recomendamos crear una cuenta e iniciar sesión; sin embargo, no es obligatorio"><span class="vector-icon mw-ui-icon-userAdd mw-ui-icon-wikimedia-userAdd"></span> <span>Crear una cuenta</span></a></li><li id="pt-login" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:Entrar&returnto=Derivada+material" title="Te recomendamos iniciar sesión, aunque no es obligatorio [o]" accesskey="o"><span class="vector-icon mw-ui-icon-logIn mw-ui-icon-wikimedia-logIn"></span> <span>Acceder</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-user-menu-anon-editor" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-user-menu-anon-editor" > <div class="vector-menu-heading"> Páginas para editores desconectados <a href="/wiki/Ayuda:Introducci%C3%B3n" aria-label="Obtenga más información sobre editar"><span>más información</span></a> </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:MisContribuciones" title="Una lista de modificaciones hechas desde esta dirección IP [y]" accesskey="y"><span>Contribuciones</span></a></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:MiDiscusi%C3%B3n" title="Discusión sobre ediciones hechas desde esta dirección IP [n]" accesskey="n"><span>Discusión</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> </div> <div class="mw-page-container"> <div class="mw-page-container-inner"> <div class="vector-sitenotice-container"> <div id="siteNotice"></div> </div> <div class="vector-column-start"> <div class="vector-main-menu-container"> <div id="mw-navigation"> <nav id="mw-panel" class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Sitio"> <div id="vector-main-menu-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> </div> </div> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav id="mw-panel-toc" aria-label="Contenidos" data-event-name="ui.sidebar-toc" class="mw-table-of-contents-container vector-toc-landmark"> <div id="vector-toc-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-toc" class="vector-toc vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-toc-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="toc-pinned" data-pinnable-element-id="vector-toc" > <h2 class="vector-pinnable-header-label">Contenidos</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">mover a la barra lateral</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">ocultar</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">Inicio</div> </a> </li> <li id="toc-Nombres" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Nombres"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1</span> <span>Nombres</span> </div> </a> <ul id="toc-Nombres-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Definición" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Definición"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>Definición</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Definición-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Alternar subsección Definición</span> </button> <ul id="toc-Definición-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Campos_escalares_y_vectoriales" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Campos_escalares_y_vectoriales"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.1</span> <span>Campos escalares y vectoriales</span> </div> </a> <ul id="toc-Campos_escalares_y_vectoriales-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Desarrollo" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Desarrollo"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Desarrollo</span> </div> </a> <ul id="toc-Desarrollo-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Coordenadas_ortogonales" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Coordenadas_ortogonales"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Coordenadas ortogonales</span> </div> </a> <ul id="toc-Coordenadas_ortogonales-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Véase_también" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Véase_también"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Véase también</span> </div> </a> <ul id="toc-Véase_también-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Referencias" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Referencias"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Referencias</span> </div> </a> <ul id="toc-Referencias-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Otras_lecturas" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Otras_lecturas"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>Otras lecturas</span> </div> </a> <ul id="toc-Otras_lecturas-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Contenidos" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Cambiar a la tabla de contenidos" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Cambiar a la tabla de contenidos</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Derivada material</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Ir a un artículo en otro idioma. Disponible en 16 idiomas" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-16" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">16 idiomas</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Materi%C3%A1lov%C3%A1_derivace" title="Materiálová derivace (checo)" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Materiálová derivace" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="checo" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Materielt_afledte" title="Materielt afledte (danés)" lang="da" hreflang="da" data-title="Materielt afledte" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="danés" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Substantielle_Ableitung" title="Substantielle Ableitung (alemán)" lang="de" hreflang="de" data-title="Substantielle Ableitung" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="alemán" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Material_derivative" title="Material derivative (inglés)" lang="en" hreflang="en" data-title="Material derivative" data-language-autonym="English" data-language-local-name="inglés" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Materiaalne_tuletis" title="Materiaalne tuletis (estonio)" lang="et" hreflang="et" data-title="Materiaalne tuletis" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="estonio" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D8%B4%D8%AA%D9%82_%D9%85%D8%A7%D8%AF%D9%87" title="مشتق ماده (persa)" lang="fa" hreflang="fa" data-title="مشتق ماده" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="persa" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Materiaaliderivaatta" title="Materiaaliderivaatta (finés)" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Materiaaliderivaatta" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="finés" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A0%D7%92%D7%96%D7%A8%D7%AA_%D7%97%D7%95%D7%9E%D7%A8%D7%99%D7%AA" title="נגזרת חומרית (hebreo)" lang="he" hreflang="he" data-title="נגזרת חומרית" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hebreo" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Derivata_materiale" title="Derivata materiale (italiano)" lang="it" hreflang="it" data-title="Derivata materiale" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italiano" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%89%A9%E8%B3%AA%E5%BE%AE%E5%88%86" title="物質微分 (japonés)" lang="ja" hreflang="ja" data-title="物質微分" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japonés" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Materi%C3%ABle_afgeleide" title="Materiële afgeleide (neerlandés)" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Materiële afgeleide" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="neerlandés" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Operator_Stokesa" title="Operator Stokesa (polaco)" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Operator Stokesa" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="polaco" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada_material" title="Derivada material (portugués)" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Derivada material" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugués" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B0" title="Производная Лагранжа (ruso)" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Производная Лагранжа" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="ruso" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90%E1%BA%A1o_h%C3%A0m_h%E1%BB%AFu_h%C3%ACnh" title="Đạo hàm hữu hình (vietnamita)" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Đạo hàm hữu hình" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vietnamita" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%89%A9%E8%B3%AA%E5%B0%8E%E6%95%B8" title="物質導數 (chino)" lang="zh" hreflang="zh" data-title="物質導數" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chino" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q1801562#sitelinks-wikipedia" title="Editar enlaces interlingüísticos" class="wbc-editpage">Editar enlaces</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Espacios de nombres"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Derivada_material" title="Ver la página de contenido [c]" accesskey="c"><span>Artículo</span></a></li><li id="ca-talk" class="new vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Discusi%C3%B3n:Derivada_material&action=edit&redlink=1" rel="discussion" class="new" title="Discusión acerca de la página (aún no redactado) [t]" accesskey="t"><span>Discusión</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Cambiar variante de idioma" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">español</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="Vistas"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Derivada_material"><span>Leer</span></a></li><li id="ca-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Derivada_material&action=edit" title="Editar esta página [e]" accesskey="e"><span>Editar</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Derivada_material&action=history" title="Versiones anteriores de esta página [h]" accesskey="h"><span>Ver historial</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Página de herramientas"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Herramientas" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">Herramientas</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Herramientas</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">mover a la barra lateral</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">ocultar</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Más opciones" > <div class="vector-menu-heading"> Acciones </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/Derivada_material"><span>Leer</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Derivada_material&action=edit" title="Editar esta página [e]" accesskey="e"><span>Editar</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Derivada_material&action=history"><span>Ver historial</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> General </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:LoQueEnlazaAqu%C3%AD/Derivada_material" title="Lista de todas las páginas de la wiki que enlazan aquí [j]" accesskey="j"><span>Lo que enlaza aquí</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:CambiosEnEnlazadas/Derivada_material" rel="nofollow" title="Cambios recientes en las páginas que enlazan con esta [k]" accesskey="k"><span>Cambios en enlazadas</span></a></li><li id="t-upload" class="mw-list-item"><a href="//commons.wikimedia.org/wiki/Special:UploadWizard?uselang=es" title="Subir archivos [u]" accesskey="u"><span>Subir archivo</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:P%C3%A1ginasEspeciales" title="Lista de todas las páginas especiales [q]" accesskey="q"><span>Páginas especiales</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Derivada_material&oldid=156210705" title="Enlace permanente a esta versión de la página"><span>Enlace permanente</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Derivada_material&action=info" title="Más información sobre esta página"><span>Información de la página</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:Citar&page=Derivada_material&id=156210705&wpFormIdentifier=titleform" title="Información sobre cómo citar esta página"><span>Citar esta página</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:Acortador_de_URL&url=https%3A%2F%2Fes.wikipedia.org%2Fwiki%2FDerivada_material"><span>Obtener URL acortado</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:QrKodu&url=https%3A%2F%2Fes.wikipedia.org%2Fwiki%2FDerivada_material"><span>Descargar código QR</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> Imprimir/exportar </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=book_creator&referer=Derivada+material"><span>Crear un libro</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:DownloadAsPdf&page=Derivada_material&action=show-download-screen"><span>Descargar como PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Derivada_material&printable=yes" title="Versión imprimible de esta página [p]" accesskey="p"><span>Versión para imprimir</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> En otros proyectos </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q1801562" title="Enlace al elemento conectado del repositorio de datos [g]" accesskey="g"><span>Elemento de Wikidata</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Página de herramientas"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Apariencia"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Apariencia</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">mover a la barra lateral</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">ocultar</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">De Wikipedia, la enciclopedia libre</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="es" dir="ltr"><p>En Mecánica de medios continuos, la <b>derivada material</b><sup id="cite_ref-BSLr2_1-0" class="reference separada"><a href="#cite_note-BSLr2-1"><span class="corchete-llamada">[</span>1<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-Batchelor_2-0" class="reference separada"><a href="#cite_note-Batchelor-2"><span class="corchete-llamada">[</span>2<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> describe la variación temporal de alguna cantidad física (como <a href="/wiki/Calor" title="Calor">calor</a> o <a href="/wiki/Cantidad_de_movimiento" title="Cantidad de movimiento">impulso</a>) de una partícula fluida que está sujeto a variaciones del campo de velocidad macroscópica dependientes del espacio y el tiempo de esa cantidad física. La derivada material puede servir como un enlace entre las descripciones <a href="/wiki/Mec%C3%A1nica_de_medios_continuos" title="Mecánica de medios continuos">eulerianas</a> y <a href="/wiki/Mec%C3%A1nica_de_medios_continuos" title="Mecánica de medios continuos">lagrangianas</a> de la <a href="/wiki/Deformaci%C3%B3n" title="Deformación">deformación</a> continua.<sup id="cite_ref-Trenberth_3-0" class="reference separada"><a href="#cite_note-Trenberth-3"><span class="corchete-llamada">[</span>3<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p><p>Por ejemplo, en <a href="/wiki/Fluidodin%C3%A1mica" title="Fluidodinámica">dinámica de fluidos</a>, el campo de velocidad es la <a href="/wiki/Velocidad_de_flujo" title="Velocidad de flujo">velocidad</a> del <a href="/wiki/Velocidad_de_flujo" title="Velocidad de flujo">flujo</a> y la cantidad de interés puede ser la <a href="/wiki/Temperatura" title="Temperatura">temperatura</a> del fluido. En cuyo caso, la derivada del material describe el cambio de temperatura de una determinada <a href="/wiki/Parcela_de_fluido" title="Parcela de fluido">parcela de fluido</a> con el tiempo, a medida que fluye a lo largo de su <a href="/wiki/L%C3%ADnea_de_corriente" title="Línea de corriente">línea de</a> trayectoria (trayectoria). </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Nombres">Nombres</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Derivada_material&action=edit&section=1" title="Editar sección: Nombres"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Hay muchos otros nombres para la derivada material, incluyendo: </p> <ul><li><b>derivada advectiva</b> <sup id="cite_ref-4" class="reference separada"><a href="#cite_note-4"><span class="corchete-llamada">[</span>4<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup></li> <li><b>derivada convectiva</b> <sup id="cite_ref-Ockendon_5-0" class="reference separada"><a href="#cite_note-Ockendon-5"><span class="corchete-llamada">[</span>5<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup></li> <li><b>derivada siguiendo el movimiento</b> <sup id="cite_ref-BSLr2_1-1" class="reference separada"><a href="#cite_note-BSLr2-1"><span class="corchete-llamada">[</span>1<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup></li> <li><b>derivada hidrodinámica</b> <sup id="cite_ref-BSLr2_1-2" class="reference separada"><a href="#cite_note-BSLr2-1"><span class="corchete-llamada">[</span>1<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup></li> <li><b>derivada de Lagrange</b> <sup id="cite_ref-Mellor_6-0" class="reference separada"><a href="#cite_note-Mellor-6"><span class="corchete-llamada">[</span>6<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup></li> <li><b>derivada de partícula</b> <sup id="cite_ref-7" class="reference separada"><a href="#cite_note-7"><span class="corchete-llamada">[</span>7<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup></li> <li><b>derivada sustancial</b> <sup id="cite_ref-BSLr2_1-3" class="reference separada"><a href="#cite_note-BSLr2-1"><span class="corchete-llamada">[</span>1<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup></li> <li><b>derivada sustantiva</b> <sup id="cite_ref-Granger_8-0" class="reference separada"><a href="#cite_note-Granger-8"><span class="corchete-llamada">[</span>8<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup></li> <li><b>derivada de Stokes</b> <sup id="cite_ref-Granger_8-1" class="reference separada"><a href="#cite_note-Granger-8"><span class="corchete-llamada">[</span>8<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup></li> <li><b>derivada total</b> <sup id="cite_ref-BSLr2_1-4" class="reference separada"><a href="#cite_note-BSLr2-1"><span class="corchete-llamada">[</span>1<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-9" class="reference separada"><a href="#cite_note-9"><span class="corchete-llamada">[</span>9<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definición"><span id="Definici.C3.B3n"></span>Definición</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Derivada_material&action=edit&section=2" title="Editar sección: Definición"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La derivada del material se define para cualquier <a href="/wiki/Campo_tensorial" title="Campo tensorial">campo tensorial</a> <i>y</i> que sea <i>macroscópico</i>, en el sentido de que depende solo de las coordenadas de posición y tiempo, <span style="white-space:nowrap"><i>y</i> = <i>y</i>(<b>x</b>, <i>t</i>)</span> : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\mathrm {D} y}{\mathrm {D} t}}\equiv {\frac {\partial y}{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla y,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">D</mi> </mrow> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">D</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>≡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">u</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mi>y</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\mathrm {D} y}{\mathrm {D} t}}\equiv {\frac {\partial y}{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla y,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/febc8628ce7a1555e3efd5f1fe590c84c9796fc4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:19.918ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\mathrm {D} y}{\mathrm {D} t}}\equiv {\frac {\partial y}{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla y,}"></span></dd></dl> <p>donde ∇<i>y</i> es la <a href="/wiki/Derivada_covariante" title="Derivada covariante">derivada covariante</a> del tensor, y <b>u</b> (<b>x</b>, <i>t</i>) es la <a href="/wiki/Velocidad_de_flujo" title="Velocidad de flujo">velocidad del flujo</a>. En general, la derivada convectiva del campo <b>u</b>·<i>y</i>, la que contiene la derivada covariante del campo, puede interpretarse como que involucra la derivada tensorial del campo <b>u</b> · (∇ <i>y</i> ) o como la <a href="/wiki/Derivada_direccional" title="Derivada direccional">derivada direccional</a> del campo <span style="white-space:nowrap">(<b>u</b>·∇) <i>y</i></span> , que lleva al mismo resultado.<sup id="cite_ref-10" class="reference separada"><a href="#cite_note-10"><span class="corchete-llamada">[</span>10<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> Solo este término espacial que contiene la velocidad del flujo describe el transporte del campo en el flujo, mientras que el otro describe la variación intrínseca del campo, independientemente de la presencia de cualquier flujo. Confusamente, a veces el nombre "derivada convectiva" se usa para todo la derivada material <i>D/Dt</i> , en lugar de solo para el término espacial <b>u</b>·∇,<sup id="cite_ref-Batchelor_2-1" class="reference separada"><a href="#cite_note-Batchelor-2"><span class="corchete-llamada">[</span>2<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> que también es una nomenclatura redundante. En la nomenclatura no redundante, la derivada material solo es igual a la derivada convectiva para los flujos ausentes. El efecto de los términos independientes del tiempo en las definiciones es para el caso escalar y tensor, respectivamente, conocido como <a href="/wiki/Advecci%C3%B3n" title="Advección">advección</a> y convección. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Campos_escalares_y_vectoriales">Campos escalares y vectoriales</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Derivada_material&action=edit&section=3" title="Editar sección: Campos escalares y vectoriales"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Por ejemplo, para un <a href="/wiki/Campo_escalar" title="Campo escalar">campo escalar</a> macroscópico <span style="white-space:nowrap"><i>φ</i>(<b>x</b>, <i>t</i>)</span> y un <a href="/wiki/Campo_vectorial" title="Campo vectorial">campo vectorial</a> macroscópico <span style="white-space:nowrap"><b>A</b>(<b>x</b>, <i>t</i>)</span> la definición se convierte en: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \varphi }{\mathrm {D} t}}\equiv {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \varphi ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">D</mi> </mrow> <mi>φ</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">D</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>≡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>φ</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">u</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mi>φ</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \varphi }{\mathrm {D} t}}\equiv {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \varphi ,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fce1243834d1a61f55053f9b0e4143233044a46d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:21.012ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \varphi }{\mathrm {D} t}}\equiv {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \varphi ,}"></span></dd></dl> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \mathbf {A} }{\mathrm {D} t}}\equiv {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {A} .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">D</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">A</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">D</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>≡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">A</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">u</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">A</mi> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \mathbf {A} }{\mathrm {D} t}}\equiv {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {A} .}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae83f3d2a806ba7c99024e4d084acce294c256b8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:22.51ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \mathbf {A} }{\mathrm {D} t}}\equiv {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {A} .}"></span></dd></dl> <p>En el caso escalar, ∇ <i>φ</i> es simplemente el <a href="/wiki/Gradiente" title="Gradiente">gradiente</a> de un escalar, mientras que ∇<b>A</b> es la <a href="/wiki/Derivada_covariante" title="Derivada covariante">derivada covariante</a> del vector macroscópico (que también se puede considerar como la <a href="/wiki/Jacobiano" class="mw-redirect" title="Jacobiano">matriz jacobiana</a> de <b>A</b> en función de <b>x</b>). En particular, para un campo escalar en un <a href="/wiki/Coordenadas_cartesianas" title="Coordenadas cartesianas">sistema de coordenadas cartesiano</a> tridimensional ( <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, <i>x</i><sub>3</sub>), las componentes de la velocidad <b>u</b> son <i>u</i><sub>1</sub>, <i>u</i><sub>2</sub>, <i>u</i><sub>3</sub>, el término convectivo es entonces: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \varphi =u_{1}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}}+u_{2}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{2}}}+u_{3}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{3}}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">u</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mi>φ</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>φ</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>φ</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>φ</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \varphi =u_{1}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}}+u_{2}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{2}}}+u_{3}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{3}}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b19c4d38bc64353cd6bca020eb31bb7096840c7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:36.813ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \varphi =u_{1}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}}+u_{2}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{2}}}+u_{3}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{3}}}.}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Desarrollo">Desarrollo</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Derivada_material&action=edit&section=4" title="Editar sección: Desarrollo"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Considere una cantidad escalar <i>φ</i> = <i>φ</i> (<b>x</b>, <i>t</i>), donde <i>t</i> es el tiempo y <b>x</b> es la posición. Aquí <i>φ</i> puede ser alguna variable física como la temperatura o la concentración química. La cantidad física, cuya cantidad escalar es <i>φ</i> , existe en un continuo cuya velocidad macroscópica está representada por el campo vectorial <b>u</b> (<b>x,</b> <i>t</i>). </p><p>La derivada (total) con respecto al tiempo de <i>φ</i> se expande utilizando la <a href="/wiki/Regla_de_la_cadena" title="Regla de la cadena">regla de la cadena</a> multivariable: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\varphi (\mathbf {x} ,t)={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla \varphi .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>φ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>φ</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>⋅</mo> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mi>φ</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\varphi (\mathbf {x} ,t)={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla \varphi .}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2f11c328d716802da2ce8e03e21b4ca9ba72b23" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:26.388ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\varphi (\mathbf {x} ,t)={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla \varphi .}"></span></dd></dl> <p>Es evidente que esta derivada depende del vector </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}\equiv {\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} }{\mathrm {d} t}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>≡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}\equiv {\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} }{\mathrm {d} t}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6845974b42e11c96763a66d60020df87c0bf748" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:8.696ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}\equiv {\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} }{\mathrm {d} t}},}"></span></dd></dl> <p>que describe un camino <i>elegido</i> <b>x</b>(<i>t</i>) en el espacio. Por ejemplo, cuando <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {0} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn mathvariant="bold">0</mn> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {0} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/656176ac46f80b5bb272c3b5d36059cd7afd2bc3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.846ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {0} }"></span>, la derivada sustancial se vuelve igual a la derivada parcial de tiempo, lo que concuerda con la definición de una <a href="/wiki/Derivada_parcial" title="Derivada parcial">derivada parcial</a>: una derivada tomada con respecto a alguna variable (tiempo en este caso) que mantiene constantes otras variables (espacio en este caso). Esto tiene sentido porque si <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e344b0efbbb87763fa94c34088809c0c6de8d92" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.672ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=0}"></span>, entonces la derivada se toma en <i>una</i> posición <i>fija</i>. Este derivado de posición estática se llama derivada de Euler. </p><p>Un ejemplo de este caso es un nadador que permanece quieto y percibe un cambio de temperatura en un lago temprano en la mañana: el agua se calienta gradualmente debido al calentamiento del sol. En cuyo caso el término <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>φ</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1147c3bca8fc9edf3042971eeb6190ccbfb52bbe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:3.674ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}}"></span>es suficiente para describir la tasa de cambio de temperatura. </p><p>Si el sol no está calentando el agua, pero el punto no está parado, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fce8ab3723fe7f431534391268cdaa9010b2ede3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.411ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}}"></span> no es nula, la derivada temporal de <i>φ</i> puede cambiar debido al camino. Por ejemplo, imagine que el nadador está en una piscina de agua inmóvil, dentro y no afectado por el sol. Un extremo está a una temperatura alta constante y el otro extremo a una temperatura baja constante. Al nadar de un extremo a otro, el nadador percibe un cambio de temperatura con respecto al tiempo, aunque la temperatura en cualquier punto (estático) dado sea constante. Esto se debe a que la derivada se toma en la ubicación cambiante del nadador y el segundo término a la derecha <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla \varphi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>⋅</mo> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mi>φ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla \varphi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b43b0f393426e30c59c4103a391489a5dbe39d0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.546ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla \varphi }"></span> es suficiente para describir la tasa de cambio de temperatura. Un <a href="/wiki/Sensor" title="Sensor">sensor</a> de temperatura conectado al nadador mostraría que la temperatura varía con el tiempo, simplemente debido a la variación de temperatura de un extremo de la piscina al otro. </p><p>La derivada material finalmente se obtiene cuando se elige la trayectoria <b>x</b>(<i>t</i>) para que tenga una velocidad igual a la velocidad del fluido </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {u} .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">u</mi> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {u} .}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b09564ac17c76e30754dc85e84b327db5365a12" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.642ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {u} .}"></span></dd></dl> <p>Es decir, la trayectoria sigue la corriente de fluido descrita por el campo de velocidad <b>u</b> del fluido. Entonces, la derivada material del escalar <i>φ</i> es </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \varphi }{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \varphi .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">D</mi> </mrow> <mi>φ</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">D</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>φ</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">u</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mi>φ</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \varphi }{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \varphi .}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9b1c7f240dedbc1df8058a4cfbb91b220153d6d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:21.012ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \varphi }{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \varphi .}"></span></dd></dl> <p>Un ejemplo de este caso es una partícula ligera y flotante neutral que se desplaza a lo largo de un río que fluye y experimenta cambios de temperatura al hacerlo. La temperatura del agua a nivel local puede estar aumentando debido a que una parte del río está soleada y la otra a la sombra, o el agua en general puede calentarse a medida que avanza el día. Los cambios debidos al movimiento de la partícula (en sí mismo causados por el movimiento del fluido) se llaman <i><a href="/wiki/Advecci%C3%B3n" title="Advección">advección</a></i> (o convección si se transporta un vector). </p><p>La definición anterior se basó en la naturaleza física de una corriente fluida; sin embargo, no se invocaron leyes de la física (por ejemplo, se asumió que una partícula liviana en un río seguirá la velocidad del agua), pero resulta que muchos conceptos físicos se pueden describir de manera concisa utilizando la derivada material. El caso general de advección, sin embargo, se basa en la conservación de la <a href="/wiki/Masa" title="Masa">masa</a> de la corriente de fluido; la situación se vuelve ligeramente diferente si la advección ocurre en un medio no conservador. </p><p>Solo un camino fue considerado para el escalar arriba. Para un vector, el gradiente se convierte en un tensor gradiente; para los campos de <a href="/wiki/C%C3%A1lculo_tensorial" title="Cálculo tensorial">tensor</a> podemos querer tener en cuenta no solo la traducción del sistema de coordenadas debido al movimiento del fluido, sino también su rotación y estiramiento. Esto se logra mediante la <a href="/w/index.php?title=Upper_convected_time_derivative&action=edit&redlink=1" class="new" title="Upper convected time derivative (aún no redactado)">derivada convectiva temporal superior</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Coordenadas_ortogonales">Coordenadas ortogonales</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Derivada_material&action=edit&section=5" title="Editar sección: Coordenadas ortogonales"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Se puede mostrar que, en <a href="/wiki/Coordenadas_ortogonales" title="Coordenadas ortogonales">coordenadas ortogonales</a> , el componente <i>j</i> -ésimo del término de convección de la derivada material está dado por<sup id="cite_ref-11" class="reference separada"><a href="#cite_note-11"><span class="corchete-llamada">[</span>11<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {A} ]_{j}=\sum _{i}{\frac {u_{i}}{h_{i}}}{\frac {\partial A_{j}}{\partial q^{i}}}+{\frac {A_{i}}{h_{i}h_{j}}}\left(u_{j}{\frac {\partial h_{j}}{\partial q^{i}}}-u_{i}{\frac {\partial h_{i}}{\partial q^{j}}}\right),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">u</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">A</mi> </mrow> <msub> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msup> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msup> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msup> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {A} ]_{j}=\sum _{i}{\frac {u_{i}}{h_{i}}}{\frac {\partial A_{j}}{\partial q^{i}}}+{\frac {A_{i}}{h_{i}h_{j}}}\left(u_{j}{\frac {\partial h_{j}}{\partial q^{i}}}-u_{i}{\frac {\partial h_{i}}{\partial q^{j}}}\right),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51ce22b469787db6d11e5b19ec3ca072019501af" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:52.756ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle [\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {A} ]_{j}=\sum _{i}{\frac {u_{i}}{h_{i}}}{\frac {\partial A_{j}}{\partial q^{i}}}+{\frac {A_{i}}{h_{i}h_{j}}}\left(u_{j}{\frac {\partial h_{j}}{\partial q^{i}}}-u_{i}{\frac {\partial h_{i}}{\partial q^{j}}}\right),}"></span></dd></dl> <p>donde los <i>h</i> <sub><i>i</i></sub> están relacionados con los <a href="/wiki/Tensor_m%C3%A9trico" title="Tensor métrico">tensores métricos</a> por </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h_{i}={\sqrt {g_{ii}}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </msqrt> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{i}={\sqrt {g_{ii}}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6edb6729ddc122b15a0a6b7301a39203295fb48e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:10.296ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle h_{i}={\sqrt {g_{ii}}}.}"></span></dd></dl> <p>En el caso especial de un <a href="/wiki/Coordenadas_cartesianas" title="Coordenadas cartesianas">sistema de coordenadas cartesiano</a> tridimensional ( <i>x</i> , <i>y</i> , <i>z</i> ) esto es solo </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\displaystyle u_{x}{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}\\\displaystyle u_{x}{\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}\\\displaystyle u_{x}{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}\end{pmatrix}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">u</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">A</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\displaystyle u_{x}{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}\\\displaystyle u_{x}{\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}\\\displaystyle u_{x}{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}\end{pmatrix}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50454e50c749ceba8086ac1ce775a4211283f435" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -8.838ex; width:43.786ex; height:18.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\displaystyle u_{x}{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}\\\displaystyle u_{x}{\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}\\\displaystyle u_{x}{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}\end{pmatrix}}.}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Véase_también"><span id="V.C3.A9ase_tambi.C3.A9n"></span>Véase también</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Derivada_material&action=edit&section=6" title="Editar sección: Véase también"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Ecuaciones_de_Navier-Stokes" title="Ecuaciones de Navier-Stokes">Ecuaciones de Navier-Stokes</a></li> <li><a href="/wiki/Ecuaciones_de_Euler_(fluidos)" title="Ecuaciones de Euler (fluidos)">Ecuaciones de Euler (fluidos)</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Derivada_(generalizaciones)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Derivada (generalizaciones) (aún no redactado)">Derivada (generalizaciones)</a></li> <li><a href="/wiki/Derivada_de_Lie" title="Derivada de Lie">Derivada de Lie</a></li> <li><a href="/wiki/Conexi%C3%B3n_de_Levi-Civita" title="Conexión de Levi-Civita">Conexión de Levi-Civita</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Referencias">Referencias</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Derivada_material&action=edit&section=7" title="Editar sección: Referencias"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-references-wrap mw-references-columns"><ol class="references"> <li id="cite_note-BSLr2-1"><span class="mw-cite-backlink">↑ <a href="#cite_ref-BSLr2_1-0"><sup><i><b>a</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-BSLr2_1-1"><sup><i><b>b</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-BSLr2_1-2"><sup><i><b>c</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-BSLr2_1-3"><sup><i><b>d</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-BSLr2_1-4"><sup><i><b>e</b></i></sup></a></span> <span class="reference-text"><span id="CITAREFBirdStewartLightfoot2007" class="citation libro">Bird, R.B.; Stewart, W.E.; <a href="/w/index.php?title=Edwin_N._Lightfoot&action=edit&redlink=1" class="new" title="Edwin N. Lightfoot (aún no redactado)">Lightfoot, E.N.</a> (2007). <i><a href="/w/index.php?title=Transport_Phenomena_(book)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Transport Phenomena (book) (aún no redactado)">Transport Phenomena</a></i> (Revised Second edición). John Wiley & Sons. p. 83. <small><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/978-0-470-11539-8" title="Especial:FuentesDeLibros/978-0-470-11539-8">978-0-470-11539-8</a></small>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3ADerivada+material&rft.au=Bird%2C+R.B.&rft.au=Lightfoot%2C+E.N.&rft.au=Stewart%2C+W.E.&rft.aufirst=R.B.&rft.aulast=Bird&rft.btitle=Transport+Phenomena&rft.date=2007&rft.edition=Revised+Second&rft.genre=book&rft.isbn=978-0-470-11539-8&rft.pages=83&rft.pub=John+Wiley+%26+Sons&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-Batchelor-2"><span class="mw-cite-backlink">↑ <a href="#cite_ref-Batchelor_2-0"><sup><i><b>a</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-Batchelor_2-1"><sup><i><b>b</b></i></sup></a></span> <span class="reference-text"><span id="CITAREFBatchelor1967" class="citation libro"><a href="/wiki/George_Batchelor" title="George Batchelor">Batchelor, G.K.</a> (1967). <i>An Introduction to Fluid Dynamics</i>. Cambridge University Press. pp. 72-73. <small><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/0-521-66396-2" title="Especial:FuentesDeLibros/0-521-66396-2">0-521-66396-2</a></small>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3ADerivada+material&rft.au=Batchelor%2C+G.K.&rft.aufirst=G.K.&rft.aulast=Batchelor&rft.btitle=An+Introduction+to+Fluid+Dynamics&rft.date=1967&rft.genre=book&rft.isbn=0-521-66396-2&rft.pages=72-73&rft.pub=Cambridge+University+Press&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-Trenberth-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-Trenberth_3-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><span id="CITAREFTrenberth1993" class="citation libro"><a href="/w/index.php?title=Kevin_Trenberth&action=edit&redlink=1" class="new" title="Kevin Trenberth (aún no redactado)">Trenberth, K. E.</a> (1993). <i>Climate System Modeling</i>. Cambridge University Press. p. 99. <small><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/0-521-43231-6" title="Especial:FuentesDeLibros/0-521-43231-6">0-521-43231-6</a></small>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3ADerivada+material&rft.au=Trenberth%2C+K.+E.&rft.aufirst=K.+E.&rft.aulast=Trenberth&rft.btitle=Climate+System+Modeling&rft.date=1993&rft.genre=book&rft.isbn=0-521-43231-6&rft.pages=99&rft.pub=Cambridge+University+Press&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a></span> <span class="reference-text"><span id="CITAREFMajda2003" class="citation libro"><a href="/wiki/Andrew_Majda" title="Andrew Majda">Majda, A.</a> (2003). <i>Introduction to PDEs and Waves for the Atmosphere and Ocean</i> <b>9</b>. American Mathematical Society. p. 1. <small><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/0-8218-2954-8" title="Especial:FuentesDeLibros/0-8218-2954-8">0-8218-2954-8</a></small>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3ADerivada+material&rft.au=Majda%2C+A.&rft.aufirst=A.&rft.aulast=Majda&rft.btitle=Introduction+to+PDEs+and+Waves+for+the+Atmosphere+and+Ocean&rft.date=2003&rft.genre=book&rft.isbn=0-8218-2954-8&rft.pages=1&rft.pub=American+Mathematical+Society&rft.volume=9&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-Ockendon-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-Ockendon_5-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><span id="CITAREFOckendonOckendon2004" class="citation libro">Ockendon, H.; Ockendon, J.R. (2004). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/wavescompressibl00ocke_728"><i>Waves and Compressible Flow</i></a>. Springer. p. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/wavescompressibl00ocke_728/page/n15">6</a>. <small><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/0-387-40399-X" title="Especial:FuentesDeLibros/0-387-40399-X">0-387-40399-X</a></small>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3ADerivada+material&rft.au=Ockendon%2C+H.&rft.au=Ockendon%2C+J.R.&rft.aufirst=H.&rft.aulast=Ockendon&rft.btitle=Waves+and+Compressible+Flow&rft.date=2004&rft.genre=book&rft.isbn=0-387-40399-X&rft.pages=6&rft.pub=Springer&rft_id=https%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Fwavescompressibl00ocke_728&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-Mellor-6"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-Mellor_6-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><span id="CITAREFMellor1996" class="citation libro">Mellor, G.L. (1996). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/introductiontoph0000mell"><i>Introduction to Physical Oceanography</i></a>. Springer. p. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/introductiontoph0000mell/page/19">19</a>. <small><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/1-56396-210-1" title="Especial:FuentesDeLibros/1-56396-210-1">1-56396-210-1</a></small>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3ADerivada+material&rft.au=Mellor%2C+G.L.&rft.aufirst=G.L.&rft.aulast=Mellor&rft.btitle=Introduction+to+Physical+Oceanography&rft.date=1996&rft.genre=book&rft.isbn=1-56396-210-1&rft.pages=19&rft.pub=Springer&rft_id=https%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Fintroductiontoph0000mell&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-7"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-7">↑</a></span> <span class="reference-text"><span id="CITAREFStoker1992" class="citation libro"><a href="/w/index.php?title=James_J._Stoker&action=edit&redlink=1" class="new" title="James J. Stoker (aún no redactado)">Stoker, J.J.</a> (1992). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/waterwavesmathem00stok"><i>Water Waves: The Mathematical Theory with Applications</i></a>. Wiley. p. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/waterwavesmathem00stok/page/n32">5</a>. <small><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/0-471-57034-6" title="Especial:FuentesDeLibros/0-471-57034-6">0-471-57034-6</a></small>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3ADerivada+material&rft.au=Stoker%2C+J.J.&rft.aufirst=J.J.&rft.aulast=Stoker&rft.btitle=Water+Waves%3A+The+Mathematical+Theory+with+Applications&rft.date=1992&rft.genre=book&rft.isbn=0-471-57034-6&rft.pages=5&rft.pub=Wiley&rft_id=https%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Fwaterwavesmathem00stok&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-Granger-8"><span class="mw-cite-backlink">↑ <a href="#cite_ref-Granger_8-0"><sup><i><b>a</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-Granger_8-1"><sup><i><b>b</b></i></sup></a></span> <span class="reference-text"><span id="CITAREFGranger1995" class="citation libro">Granger, R.A. (1995). <i>Fluid Mechanics</i>. Courier Dover Publications. p. 30. <small><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/0-486-68356-7" title="Especial:FuentesDeLibros/0-486-68356-7">0-486-68356-7</a></small>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3ADerivada+material&rft.au=Granger%2C+R.A.&rft.aufirst=R.A.&rft.aulast=Granger&rft.btitle=Fluid+Mechanics&rft.date=1995&rft.genre=book&rft.isbn=0-486-68356-7&rft.pages=30&rft.pub=Courier+Dover+Publications&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-9"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-9">↑</a></span> <span class="reference-text"><span id="CITAREFLandauLifshitz1987" class="citation libro"><a href="/wiki/Lev_Landau" class="mw-redirect" title="Lev Landau">Landau, L.D.</a>; <a href="/wiki/Evgeny_Lifshitz" class="mw-redirect" title="Evgeny Lifshitz">Lifshitz, E.M.</a> (1987). <i>Fluid Mechanics</i> <b>6</b> (2nd edición). Butterworth-Heinemann. pp. 3-4 & 227. <small><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/0-7506-2767-0" title="Especial:FuentesDeLibros/0-7506-2767-0">0-7506-2767-0</a></small>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3ADerivada+material&rft.au=Landau%2C+L.D.&rft.au=Lifshitz%2C+E.M.&rft.aufirst=L.D.&rft.aulast=Landau&rft.btitle=Fluid+Mechanics&rft.date=1987&rft.edition=2nd&rft.genre=book&rft.isbn=0-7506-2767-0&rft.pages=3-4+%26+227&rft.pub=Butterworth-Heinemann&rft.volume=6&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-10"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-10">↑</a></span> <span class="reference-text"><span id="CITAREFEmanuel2001" class="citation libro">Emanuel, G. (2001). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/analyticalfluidd00eman"><i>Analytical fluid dynamics</i></a> (second edición). CRC Press. pp. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/analyticalfluidd00eman/page/6">6</a>–7. <small><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/0-8493-9114-8" title="Especial:FuentesDeLibros/0-8493-9114-8">0-8493-9114-8</a></small>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3ADerivada+material&rft.au=Emanuel%2C+G.&rft.aufirst=G.&rft.aulast=Emanuel&rft.btitle=Analytical+fluid+dynamics&rft.date=2001&rft.edition=second&rft.genre=book&rft.isbn=0-8493-9114-8&rft.pages=6-7&rft.pub=CRC+Press&rft_id=https%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Fanalyticalfluidd00eman&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-11"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-11">↑</a></span> <span class="reference-text"><span id="CITAREFEric_W._Weisstein" class="citation web"><a href="/wiki/Eric_W._Weisstein" title="Eric W. Weisstein">Eric W. Weisstein</a>. <a rel="nofollow" class="external text" href="http://mathworld.wolfram.com/ConvectiveOperator.html">«Convective Operator»</a>. <a href="/wiki/MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a><span class="reference-accessdate">. Consultado el 22 de julio de 2008</span>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3ADerivada+material&rft.au=Eric+W.+Weisstein&rft.aulast=Eric+W.+Weisstein&rft.btitle=Convective+Operator&rft.genre=book&rft.pub=MathWorld&rft_id=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2FConvectiveOperator.html&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Otras_lecturas">Otras lecturas</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Derivada_material&action=edit&section=8" title="Editar sección: Otras lecturas"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span id="CITAREFCohenKundu2008" class="citation libro">Cohen, Ira M.; Kundu, Pijush K (2008). <i>Fluid Mechanics</i> (4th edición). <a href="/wiki/Academic_Press" title="Academic Press">Academic Press</a>. <small><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/978-0-12-373735-9" title="Especial:FuentesDeLibros/978-0-12-373735-9">978-0-12-373735-9</a></small>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3ADerivada+material&rft.au=Cohen%2C+Ira+M.&rft.au=Kundu%2C+Pijush+K&rft.aufirst=Ira+M.&rft.aulast=Cohen&rft.btitle=Fluid+Mechanics&rft.date=2008&rft.edition=4th&rft.genre=book&rft.isbn=978-0-12-373735-9&rft.pub=Academic+Press&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></li> <li><span id="CITAREFLaiKremplRuben2010" class="citation libro">Lai, Michael; Krempl, Erhard; Ruben, David (2010). <i>Introduction to Continuum Mechanics</i> (4th edición). Elsevier. <small><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/978-0-7506-8560-3" title="Especial:FuentesDeLibros/978-0-7506-8560-3">978-0-7506-8560-3</a></small>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3ADerivada+material&rft.au=Krempl%2C+Erhard&rft.au=Lai%2C+Michael&rft.au=Ruben%2C+David&rft.aufirst=Michael&rft.aulast=Lai&rft.btitle=Introduction+to+Continuum+Mechanics&rft.date=2010&rft.edition=4th&rft.genre=book&rft.isbn=978-0-7506-8560-3&rft.pub=Elsevier&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></li></ul> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r161257576">.mw-parser-output .mw-authority-control{margin-top:1.5em}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox table{margin:0}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox hr:last-child{display:none}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox+.mw-mf-linked-projects{display:none}.mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects{display:flex;padding:0.5em;border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);background-color:var(--background-color-neutral,#eaecf0);color:var(--color-base,#202122)}.mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects ul li{margin-bottom:0}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox{border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);background-color:var(--background-color-neutral-subtle,#f8f9fa)}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox-list{border-color:#f8f9fa}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox th{background-color:#eeeeff}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects{border:1px solid var(--border-color-base,#72777d);background-color:var(--background-color-neutral,#27292d);color:var(--color-base,#eaecf0)}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox{border:1px solid var(--border-color-base,#72777d)!important;background-color:var(--background-color-neutral-subtle,#202122)!important}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox-list{border-color:#202122!important}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox th{background-color:#27292d!important}@media(prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects{border:1px solid var(--border-color-base,#72777d)!important;background-color:var(--background-color-neutral,#27292d)!important;color:var(--color-base,#eaecf0)!important}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox{border:1px solid var(--border-color-base,#72777d)!important;background-color:var(--background-color-neutral-subtle,#202122)!important}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox-list{border-color:#202122!important}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox th{background-color:#27292d!important}}</style><div class="mw-authority-control"><div role="navigation" class="navbox" aria-label="Navbox" style="width: inherit;padding:3px"><table class="hlist navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width: 12%; text-align:center;"><a href="/wiki/Control_de_autoridades" title="Control de autoridades">Control de autoridades</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><b>Proyectos Wikimedia</b></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikidata" title="Wikidata"><img alt="Wd" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/20px-Wikidata-logo.svg.png" decoding="async" width="20" height="11" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/30px-Wikidata-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/40px-Wikidata-logo.svg.png 2x" data-file-width="1050" data-file-height="590" /></a></span> Datos:</span> <span class="uid"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q1801562" class="extiw" title="wikidata:Q1801562">Q1801562</a></span></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div><div class="mw-mf-linked-projects hlist"> <ul><li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikidata" title="Wikidata"><img alt="Wd" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/20px-Wikidata-logo.svg.png" decoding="async" width="20" height="11" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/30px-Wikidata-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/40px-Wikidata-logo.svg.png 2x" data-file-width="1050" data-file-height="590" /></a></span> Datos:</span> <span class="uid"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q1801562" class="extiw" title="wikidata:Q1801562">Q1801562</a></span></li></ul> </div></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?useformat=desktop&type=1x1&usesul3=0" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Obtenido de «<a dir="ltr" href="https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Derivada_material&oldid=156210705">https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Derivada_material&oldid=156210705</a>»</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Especial:Categor%C3%ADas" title="Especial:Categorías">Categorías</a>: <ul><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:C%C3%A1lculo_multivariable" title="Categoría:Cálculo multivariable">Cálculo multivariable</a></li><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Din%C3%A1mica_de_fluidos" title="Categoría:Dinámica de fluidos">Dinámica de fluidos</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Esta página se editó por última vez el 23 dic 2023 a las 23:27.</li> <li id="footer-info-copyright">El texto está disponible bajo la <a href="/wiki/Wikipedia:Texto_de_la_Licencia_Creative_Commons_Atribuci%C3%B3n-CompartirIgual_4.0_Internacional" title="Wikipedia:Texto de la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional">Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0</a>; pueden aplicarse cláusulas adicionales. Al usar este sitio aceptas nuestros <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Policy:Terms_of_Use/es">términos de uso</a> y nuestra <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Policy:Privacy_policy/es">política de privacidad</a>.<br />Wikipedia® es una marca registrada de la <a rel="nofollow" class="external text" href="https://wikimediafoundation.org/es/">Fundación Wikimedia</a>, una organización sin ánimo de lucro.</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy/es">Política de privacidad</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Wikipedia:Acerca_de">Acerca de Wikipedia</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Wikipedia:Limitaci%C3%B3n_general_de_responsabilidad">Limitación de responsabilidad</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Código de conducta</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Desarrolladores</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/es.wikipedia.org">Estadísticas</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement/es">Declaración de cookies</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//es.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Derivada_material&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Versión para móviles</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-5ccf8d5c58-7f7f8","wgBackendResponseTime":120,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.240","walltime":"0.356","ppvisitednodes":{"value":832,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":21457,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":94,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":4,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":0,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":19148,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":1,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 210.864 1 -total"," 53.71% 113.265 1 Plantilla:Control_de_autoridades"," 32.94% 69.467 12 Plantilla:Cita_libro"," 2.71% 5.709 1 Plantilla:Cita_web"," 1.47% 3.091 4 Plantilla:Nowrap"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.122","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":2216509,"limit":52428800}},"cachereport":{"origin":"mw-web.codfw.main-bb779d474-b2mnw","timestamp":"20241202152641","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"Derivada material","url":"https:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Derivada_material","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q1801562","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q1801562","author":{"@type":"Organization","name":"Colaboradores de los proyectos Wikimedia"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Wikimedia Foundation, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2019-03-01T02:10:53Z","dateModified":"2023-12-23T23:27:43Z"}</script> </body> </html>

CINXE.COM

Derivada material - Wikipedia, la enciclopedia libre