微分 - Wikipedia

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vector-toc-landmark"> <div id="vector-toc-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-toc" class="vector-toc vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-toc-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="toc-pinned" data-pinnable-element-id="vector-toc" > <h2 class="vector-pinnable-header-label">目次</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">サイドバーに移動</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">非表示</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">ページ先頭</div> </a> </li> <li id="toc-概要" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#概要"> <div class="vector-toc-text"> 1 概要 </div> </a> <ul id="toc-概要-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-1変数関数の微分法" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#1変数関数の微分法"> <div class="vector-toc-text"> 2 1変数関数の微分法 </div> </a> <button aria-controls="toc-1変数関数の微分法-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> 1変数関数の微分法サブセクションを切り替えます </button> <ul id="toc-1変数関数の微分法-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-直観的な説明" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#直観的な説明"> <div class="vector-toc-text"> 2.1 直観的な説明 </div> </a> <ul id="toc-直観的な説明-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-厳密な定式化" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#厳密な定式化"> <div class="vector-toc-text"> 2.2 厳密な定式化 </div> </a> <ul id="toc-厳密な定式化-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-一点における微分可能性と微分係数" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#一点における微分可能性と微分係数"> <div class="vector-toc-text"> 2.2.1 一点における微分可能性と微分係数 </div> </a> <ul id="toc-一点における微分可能性と微分係数-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-区間における微分可能性と導関数" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#区間における微分可能性と導関数"> <div class="vector-toc-text"> 2.2.2 区間における微分可能性と導関数 </div> </a> <ul id="toc-区間における微分可能性と導関数-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-1次近似による定式化" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#1次近似による定式化"> <div class="vector-toc-text"> 2.2.3 1次近似による定式化 </div> </a> <ul id="toc-1次近似による定式化-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-連続性と可微分性" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#連続性と可微分性"> <div class="vector-toc-text"> 2.3 連続性と可微分性 </div> </a> <ul id="toc-連続性と可微分性-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-高階微分" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#高階微分"> <div class="vector-toc-text"> 2.4 高階微分 </div> </a> <ul id="toc-高階微分-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-微分と関数の増減・凹凸" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#微分と関数の増減・凹凸"> <div class="vector-toc-text"> 2.5 微分と関数の増減・凹凸 </div> </a> <ul id="toc-微分と関数の増減・凹凸-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-導関数の符号と関数の増減" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#導関数の符号と関数の増減"> <div class="vector-toc-text"> 2.5.1 導関数の符号と関数の増減 </div> </a> <ul id="toc-導関数の符号と関数の増減-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-2階導関数の符号と関数の凹凸" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#2階導関数の符号と関数の凹凸"> <div class="vector-toc-text"> 2.5.2 2階導関数の符号と関数の凹凸 </div> </a> <ul id="toc-2階導関数の符号と関数の凹凸-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-多項式近似への応用" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#多項式近似への応用"> <div class="vector-toc-text"> 2.6 多項式近似への応用 </div> </a> <ul id="toc-多項式近似への応用-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-ベクトル値関数の微分" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#ベクトル値関数の微分"> <div class="vector-toc-text"> 2.7 ベクトル値関数の微分 </div> </a> <ul id="toc-ベクトル値関数の微分-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-超準解析による定式化" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#超準解析による定式化"> <div class="vector-toc-text"> 2.8 超準解析による定式化 </div> </a> <ul id="toc-超準解析による定式化-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-記法について" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#記法について"> <div class="vector-toc-text"> 3 記法について </div> </a> <button aria-controls="toc-記法について-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> 記法についてサブセクションを切り替えます </button> <ul id="toc-記法について-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-微分係数" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#微分係数"> <div class="vector-toc-text"> 3.1 微分係数 </div> </a> <ul id="toc-微分係数-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-微分公式" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#微分公式"> <div class="vector-toc-text"> 4 微分公式 </div> </a> <button aria-controls="toc-微分公式-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> 微分公式サブセクションを切り替えます </button> <ul id="toc-微分公式-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-基本法則" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#基本法則"> <div class="vector-toc-text"> 4.1 基本法則 </div> </a> <ul id="toc-基本法則-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-初等関数に関する公式" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#初等関数に関する公式"> <div class="vector-toc-text"> 4.2 初等関数に関する公式 </div> </a> <ul id="toc-初等関数に関する公式-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-多変数函数の微分法" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#多変数函数の微分法"> <div class="vector-toc-text"> 5 多変数函数の微分法 </div> </a> <button aria-controls="toc-多変数函数の微分法-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> 多変数函数の微分法サブセクションを切り替えます </button> <ul id="toc-多変数函数の微分法-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-偏微分と方向微分" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#偏微分と方向微分"> <div class="vector-toc-text"> 5.1 偏微分と方向微分 </div> </a> <ul id="toc-偏微分と方向微分-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-偏微分" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#偏微分"> <div class="vector-toc-text"> 5.1.1 偏微分 </div> </a> <ul id="toc-偏微分-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-高階の偏微分" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#高階の偏微分"> <div class="vector-toc-text"> 5.1.2 高階の偏微分 </div> </a> <ul id="toc-高階の偏微分-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-方向微分" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#方向微分"> <div class="vector-toc-text"> 5.1.3 方向微分 </div> </a> <ul id="toc-方向微分-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-全微分" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#全微分"> <div class="vector-toc-text"> 5.2 全微分 </div> </a> <ul id="toc-全微分-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-偏微分・方向微分との関係" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#偏微分・方向微分との関係"> <div class="vector-toc-text"> 5.2.1 偏微分・方向微分との関係 </div> </a> <ul id="toc-偏微分・方向微分との関係-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-高階の全微分" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#高階の全微分"> <div class="vector-toc-text"> 5.2.2 高階の全微分 </div> </a> <ul id="toc-高階の全微分-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-一般化" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#一般化"> <div class="vector-toc-text"> 6 一般化 </div> </a> <ul id="toc-一般化-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-訳語の由来" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#訳語の由来"> <div class="vector-toc-text"> 7 訳語の由来 </div> </a> <ul id="toc-訳語の由来-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-関連項目" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#関連項目"> <div class="vector-toc-text"> 8 関連項目 </div> </a> <ul id="toc-関連項目-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-脚注" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#脚注"> <div class="vector-toc-text"> 9 脚注 </div> </a> <button aria-controls="toc-脚注-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> 脚注サブセクションを切り替えます </button> <ul id="toc-脚注-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-注釈" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#注釈"> <div class="vector-toc-text"> 9.1 注釈 </div> </a> <ul id="toc-注釈-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-出典" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#出典"> <div class="vector-toc-text"> 9.2 出典 </div> </a> <ul id="toc-出典-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-参考文献" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#参考文献"> <div class="vector-toc-text"> 10 参考文献 </div> </a> <button aria-controls="toc-参考文献-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> 参考文献サブセクションを切り替えます </button> <ul id="toc-参考文献-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-関連文献" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#関連文献"> <div class="vector-toc-text"> 10.1 関連文献 </div> </a> <ul id="toc-関連文献-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-印刷物" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#印刷物"> <div class="vector-toc-text"> 10.1.1 印刷物 </div> </a> <ul id="toc-印刷物-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-オンライン本" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#オンライン本"> <div class="vector-toc-text"> 10.1.2 オンライン本 </div> </a> <ul id="toc-オンライン本-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-ウェブサイト" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#ウェブサイト"> <div class="vector-toc-text"> 10.1.3 ウェブサイト </div> </a> <ul id="toc-ウェブサイト-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="目次" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="目次の表示・非表示を切り替え" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" > 目次の表示・非表示を切り替え </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">微分</h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="特定の記事の別の言語版に移動します。利用可能な言語91件" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-91" aria-hidden="true" > 91の言語版 </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Afgeleide" title="アフリカーンス語: Afgeleide" lang="af" hreflang="af" data-title="Afgeleide" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="アフリカーンス語" class="interlanguage-link-target">Afrikaans</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-am mw-list-item"><a href="https://am.wikipedia.org/wiki/%E1%8B%8D%E1%8B%B5%E1%8B%B5%E1%88%AD" title="アムハラ語: ውድድር" lang="am" hreflang="am" data-title="ውድድር" data-language-autonym="አማርኛ" data-language-local-name="アムハラ語" class="interlanguage-link-target">አማርኛ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-an mw-list-item"><a href="https://an.wikipedia.org/wiki/Derivada" title="アラゴン語: Derivada" lang="an" hreflang="an" data-title="Derivada" data-language-autonym="Aragonés" data-language-local-name="アラゴン語" class="interlanguage-link-target">Aragonés</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D8%B4%D8%AA%D9%82_(%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%B6%D9%8A%D8%A7%D8%AA)" title="アラビア語: مشتق (رياضيات)" lang="ar" hreflang="ar" data-title="مشتق (رياضيات)" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="アラビア語" class="interlanguage-link-target">العربية</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Derivada" title="アストゥリアス語: Derivada" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Derivada" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="アストゥリアス語" class="interlanguage-link-target">Asturianu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/T%C3%B6r%C9%99m%C9%99" title="アゼルバイジャン語: Törəmə" lang="az" hreflang="az" data-title="Törəmə" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="アゼルバイジャン語" class="interlanguage-link-target">Azərbaycanca</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-azb mw-list-item"><a href="https://azb.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D8%A4%D8%B1%D9%87%E2%80%8C%D9%85%D9%87" title="South Azerbaijani: تؤره‌مه" lang="azb" hreflang="azb" data-title="تؤره‌مه" data-language-autonym="تۆرکجه" data-language-local-name="South Azerbaijani" class="interlanguage-link-target">تۆرکجه</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F%D0%BD%D1%8B%D2%A3_%D1%81%D1%8B%D2%93%D0%B0%D1%80%D1%8B%D0%BB%D0%BC%D0%B0%D2%BB%D1%8B" title="バシキール語: Функцияның сығарылмаһы" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Функцияның сығарылмаһы" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="バシキール語" class="interlanguage-link-target">Башҡортса</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D1%8B%D1%82%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%8B%D1%96" title="ベラルーシ語: Вытворная функцыі" lang="be" hreflang="be" data-title="Вытворная функцыі" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="ベラルーシ語" class="interlanguage-link-target">Беларуская</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be-x-old mw-list-item"><a href="https://be-tarask.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D1%8B%D1%82%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%8B%D1%96" title="Belarusian (Taraškievica orthography): Вытворная функцыі" lang="be-tarask" hreflang="be-tarask" data-title="Вытворная функцыі" data-language-autonym="Беларуская (тарашкевіца)" data-language-local-name="Belarusian (Taraškievica orthography)" class="interlanguage-link-target">Беларуская (тарашкевіца)</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%B0" title="ブルガリア語: Производна" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Производна" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="ブルガリア語" class="interlanguage-link-target">Български</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bh mw-list-item"><a href="https://bh.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%85%E0%A4%B5%E0%A4%95%E0%A4%B2%E0%A4%A8" title="Bhojpuri: अवकलन" lang="bh" hreflang="bh" data-title="अवकलन" data-language-autonym="भोजपुरी" data-language-local-name="Bhojpuri" class="interlanguage-link-target">भोजपुरी</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%85%E0%A6%A8%E0%A7%8D%E0%A6%A4%E0%A6%B0%E0%A6%9C" title="ベンガル語: অন্তরজ" lang="bn" hreflang="bn" data-title="অন্তরজ" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="ベンガル語" class="interlanguage-link-target">বাংলা</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Izvod" title="ボスニア語: Izvod" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Izvod" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="ボスニア語" class="interlanguage-link-target">Bosanski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="秀逸な記事"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Derivada" title="カタロニア語: Derivada" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Derivada" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="カタロニア語" class="interlanguage-link-target">Català</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%DA%AF%D8%B1%D8%AA%DB%95" title="中央クルド語: گرتە" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="گرتە" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="中央クルド語" class="interlanguage-link-target">کوردی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Derivace" title="チェコ語: Derivace" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Derivace" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="チェコ語" class="interlanguage-link-target">Čeština</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%BD_%D1%82%C4%83%D1%85%C4%83%D0%BC%C4%95" title="チュヴァシ語: Функцин тăхăмĕ" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Функцин тăхăмĕ" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="チュヴァシ語" class="interlanguage-link-target">Чӑвашла</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Deilliant" title="ウェールズ語: Deilliant" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Deilliant" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="ウェールズ語" class="interlanguage-link-target">Cymraeg</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de badge-Q70894304 mw-list-item" title=""><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Ableitung_(Mathematik)" title="ドイツ語: Ableitung (Mathematik)" lang="de" hreflang="de" data-title="Ableitung (Mathematik)" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="ドイツ語" class="interlanguage-link-target">Deutsch</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A0%CE%B1%CF%81%CE%AC%CE%B3%CF%89%CE%B3%CE%BF%CF%82" title="ギリシャ語: Παράγωγος" lang="el" hreflang="el" data-title="Παράγωγος" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="ギリシャ語" class="interlanguage-link-target">Ελληνικά</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en badge-Q17437798 badge-goodarticle mw-list-item" title="良質な記事"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Derivative" title="英語: Derivative" lang="en" hreflang="en" data-title="Derivative" data-language-autonym="English" data-language-local-name="英語" class="interlanguage-link-target">English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Deriva%C4%B5o_(matematiko)" title="エスペラント語: Derivaĵo (matematiko)" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Derivaĵo (matematiko)" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="エスペラント語" class="interlanguage-link-target">Esperanto</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada" title="スペイン語: Derivada" lang="es" hreflang="es" data-title="Derivada" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="スペイン語" class="interlanguage-link-target">Español</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Tuletis_(matemaatika)" title="エストニア語: Tuletis (matemaatika)" lang="et" hreflang="et" data-title="Tuletis (matemaatika)" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="エストニア語" class="interlanguage-link-target">Eesti</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Deribatu" title="バスク語: Deribatu" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Deribatu" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="バスク語" class="interlanguage-link-target">Euskara</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D8%B4%D8%AA%D9%82" title="ペルシア語: مشتق" lang="fa" hreflang="fa" data-title="مشتق" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="ペルシア語" class="interlanguage-link-target">فارسی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Derivaatta" title="フィンランド語: Derivaatta" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Derivaatta" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="フィンランド語" class="interlanguage-link-target">Suomi</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9riv%C3%A9e" title="フランス語: Dérivée" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Dérivée" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="フランス語" class="interlanguage-link-target">Français</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fur mw-list-item"><a href="https://fur.wikipedia.org/wiki/Derivade" title="フリウリ語: Derivade" lang="fur" hreflang="fur" data-title="Derivade" data-language-autonym="Furlan" data-language-local-name="フリウリ語" class="interlanguage-link-target">Furlan</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/D%C3%ADorthach" title="アイルランド語: Díorthach" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Díorthach" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="アイルランド語" class="interlanguage-link-target">Gaeilge</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Derivada" title="ガリシア語: Derivada" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Derivada" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="ガリシア語" class="interlanguage-link-target">Galego</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A0%D7%92%D7%96%D7%A8%D7%AA" title="ヘブライ語: נגזרת" lang="he" hreflang="he" data-title="נגזרת" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="ヘブライ語" class="interlanguage-link-target">עברית</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%85%E0%A4%B5%E0%A4%95%E0%A4%B2%E0%A4%9C" title="ヒンディー語: अवकलज" lang="hi" hreflang="hi" data-title="अवकलज" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="ヒンディー語" class="interlanguage-link-target">हिन्दी</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Derivacija" title="クロアチア語: Derivacija" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Derivacija" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="クロアチア語" class="interlanguage-link-target">Hrvatski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Deriv%C3%A1lt" title="ハンガリー語: Derivált" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Derivált" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="ハンガリー語" class="interlanguage-link-target">Magyar</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D4%B1%D5%AE%D5%A1%D5%B6%D6%81%D5%B5%D5%A1%D5%AC" title="アルメニア語: Ածանցյալ" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Ածանցյալ" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="アルメニア語" class="interlanguage-link-target">Հայերեն</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Turunan" title="インドネシア語: Turunan" lang="id" hreflang="id" data-title="Turunan" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="インドネシア語" class="interlanguage-link-target">Bahasa Indonesia</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-io mw-list-item"><a href="https://io.wikipedia.org/wiki/Derivajo" title="イド語: Derivajo" lang="io" hreflang="io" data-title="Derivajo" data-language-autonym="Ido" data-language-local-name="イド語" class="interlanguage-link-target">Ido</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Aflei%C3%B0a_(st%C3%A6r%C3%B0fr%C3%A6%C3%B0i)" title="アイスランド語: Afleiða (stærðfræði)" lang="is" hreflang="is" data-title="Afleiða (stærðfræði)" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="アイスランド語" class="interlanguage-link-target">Íslenska</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Derivata" title="イタリア語: Derivata" lang="it" hreflang="it" data-title="Derivata" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="イタリア語" class="interlanguage-link-target">Italiano</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%AC%E1%83%90%E1%83%A0%E1%83%9B%E1%83%9D%E1%83%94%E1%83%91%E1%83%A3%E1%83%9A%E1%83%98" title="ジョージア語: წარმოებული" lang="ka" hreflang="ka" data-title="წარმოებული" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="ジョージア語" class="interlanguage-link-target">ქართული</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kaa mw-list-item"><a href="https://kaa.wikipedia.org/wiki/Differencial" title="カラカルパク語: Differencial" lang="kaa" hreflang="kaa" data-title="Differencial" data-language-autonym="Qaraqalpaqsha" data-language-local-name="カラカルパク語" class="interlanguage-link-target">Qaraqalpaqsha</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%AF%B8%EB%B6%84" title="韓国語: 미분" lang="ko" hreflang="ko" data-title="미분" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="韓国語" class="interlanguage-link-target">한국어</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Derivativum" title="ラテン語: Derivativum" lang="la" hreflang="la" data-title="Derivativum" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="ラテン語" class="interlanguage-link-target">Latina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lmo badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="秀逸な記事"><a href="https://lmo.wikipedia.org/wiki/Derivada" title="ロンバルド語: Derivada" lang="lmo" hreflang="lmo" data-title="Derivada" data-language-autonym="Lombard" data-language-local-name="ロンバルド語" class="interlanguage-link-target">Lombard</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lo mw-list-item"><a href="https://lo.wikipedia.org/wiki/%E0%BA%9C%E0%BA%BB%E0%BA%99%E0%BA%95%E0%BA%B3%E0%BA%A5%E0%BA%B2" title="ラオ語: ຜົນຕຳລາ" lang="lo" hreflang="lo" data-title="ຜົນຕຳລາ" data-language-autonym="ລາວ" data-language-local-name="ラオ語" class="interlanguage-link-target">ລາວ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/I%C5%A1vestin%C4%97" title="リトアニア語: Išvestinė" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Išvestinė" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="リトアニア語" class="interlanguage-link-target">Lietuvių</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Atvasin%C4%81jums" title="ラトビア語: Atvasinājums" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Atvasinājums" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="ラトビア語" class="interlanguage-link-target">Latviešu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4" title="マケドニア語: Извод" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Извод" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="マケドニア語" class="interlanguage-link-target">Македонски</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%85%E0%B4%B5%E0%B4%95%E0%B4%B2%E0%B4%9C%E0%B4%82" title="マラヤーラム語: അവകലജം" lang="ml" hreflang="ml" data-title="അവകലജം" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="マラヤーラム語" class="interlanguage-link-target">മലയാളം</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mr mw-list-item"><a href="https://mr.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%85%E0%A4%B5%E0%A4%95%E0%A4%B2%E0%A4%A8" title="マラーティー語: अवकलन" lang="mr" hreflang="mr" data-title="अवकलन" data-language-autonym="मराठी" data-language-local-name="マラーティー語" class="interlanguage-link-target">मराठी</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Terbitan" title="マレー語: Terbitan" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Terbitan" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="マレー語" class="interlanguage-link-target">Bahasa Melayu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mt mw-list-item"><a href="https://mt.wikipedia.org/wiki/Derivata" title="マルタ語: Derivata" lang="mt" hreflang="mt" data-title="Derivata" data-language-autonym="Malti" data-language-local-name="マルタ語" class="interlanguage-link-target">Malti</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-my mw-list-item"><a href="https://my.wikipedia.org/wiki/%E1%80%A1%E1%80%9C%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%80%E1%80%BA%E1%80%95%E1%80%BC%E1%80%B1%E1%80%AC%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%B8%E1%80%94%E1%80%BE%E1%80%AF%E1%80%94%E1%80%BA%E1%80%B8_%E1%80%90%E1%80%BD%E1%80%80%E1%80%BA%E1%80%91%E1%80%AF%E1%80%90%E1%80%BA%E1%80%81%E1%80%BC%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%B8" title="ミャンマー語: အလိုက်ပြောင်းနှုန်း တွက်ထုတ်ခြင်း" lang="my" hreflang="my" data-title="အလိုက်ပြောင်းနှုန်း တွက်ထုတ်ခြင်း" data-language-autonym="မြန်မာဘာသာ" data-language-local-name="ミャンマー語" class="interlanguage-link-target">မြန်မာဘာသာ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Afgeleide" title="オランダ語: Afgeleide" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Afgeleide" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="オランダ語" class="interlanguage-link-target">Nederlands</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Derivasjon" title="ノルウェー語(ニーノシュク): Derivasjon" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Derivasjon" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="ノルウェー語(ニーノシュク)" class="interlanguage-link-target">Norsk nynorsk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Derivasjon" title="ノルウェー語(ブークモール): Derivasjon" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Derivasjon" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="ノルウェー語(ブークモール)" class="interlanguage-link-target">Norsk bokmål</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Derivada" title="オック語: Derivada" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Derivada" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="オック語" class="interlanguage-link-target">Occitan</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-om mw-list-item"><a href="https://om.wikipedia.org/wiki/Babbaafamaa" title="オロモ語: Babbaafamaa" lang="om" hreflang="om" data-title="Babbaafamaa" data-language-autonym="Oromoo" data-language-local-name="オロモ語" class="interlanguage-link-target">Oromoo</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Pochodna_funkcji" title="ポーランド語: Pochodna funkcji" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Pochodna funkcji" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="ポーランド語" class="interlanguage-link-target">Polski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pnb mw-list-item"><a href="https://pnb.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D8%B4%D8%AA%D9%82" title="Western Punjabi: مشتق" lang="pnb" hreflang="pnb" data-title="مشتق" data-language-autonym="پنجابی" data-language-local-name="Western Punjabi" class="interlanguage-link-target">پنجابی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada" title="ポルトガル語: Derivada" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Derivada" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="ポルトガル語" class="interlanguage-link-target">Português</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Derivat%C4%83" title="ルーマニア語: Derivată" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Derivată" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="ルーマニア語" class="interlanguage-link-target">Română</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8" title="ロシア語: Производная функции" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Производная функции" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="ロシア語" class="interlanguage-link-target">Русский</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/Dirivata_(matim%C3%A0tica)" title="シチリア語: Dirivata (matimàtica)" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Dirivata (matimàtica)" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="シチリア語" class="interlanguage-link-target">Sicilianu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sco mw-list-item"><a href="https://sco.wikipedia.org/wiki/Derivative" title="スコットランド語: Derivative" lang="sco" hreflang="sco" data-title="Derivative" data-language-autonym="Scots" data-language-local-name="スコットランド語" class="interlanguage-link-target">Scots</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Izvod" title="セルボ・クロアチア語: Izvod" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Izvod" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="セルボ・クロアチア語" class="interlanguage-link-target">Srpskohrvatski / српскохрватски</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Derivative_(mathematics)" title="シンプル英語: Derivative (mathematics)" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Derivative (mathematics)" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="シンプル英語" class="interlanguage-link-target">Simple English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Deriv%C3%A1cia_(funkcia)" title="スロバキア語: Derivácia (funkcia)" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Derivácia (funkcia)" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="スロバキア語" class="interlanguage-link-target">Slovenčina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Odvod" title="スロベニア語: Odvod" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Odvod" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="スロベニア語" class="interlanguage-link-target">Slovenščina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Derivati" title="アルバニア語: Derivati" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Derivati" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="アルバニア語" class="interlanguage-link-target">Shqip</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4" title="セルビア語: Извод" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Извод" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="セルビア語" 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class="interlanguage-link interwiki-wa mw-list-item"><a href="https://wa.wikipedia.org/wiki/Deriv%C3%AAye" title="ワロン語: Derivêye" lang="wa" hreflang="wa" data-title="Derivêye" data-language-autonym="Walon" data-language-local-name="ワロン語" class="interlanguage-link-target">Walon</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%8E%E6%95%B8" title="呉語: 導數" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="導數" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="呉語" class="interlanguage-link-target">吴语</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yi mw-list-item"><a href="https://yi.wikipedia.org/wiki/%D7%93%D7%A2%D7%A8%D7%99%D7%95%D7%95%D7%90%D7%98%D7%99%D7%95%D7%95" title="イディッシュ語: דעריוואטיוו" lang="yi" hreflang="yi" data-title="דעריוואטיוו" data-language-autonym="ייִדיש" data-language-local-name="イディッシュ語" class="interlanguage-link-target">ייִדיש</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh badge-Q17437798 badge-goodarticle mw-list-item" title="良質な記事"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BC%E6%95%B0" title="中国語: 导数" lang="zh" hreflang="zh" data-title="导数" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="中国語" class="interlanguage-link-target">中文</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-classical mw-list-item"><a href="https://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%8E%E6%95%B8" title="漢文: 導數" lang="lzh" hreflang="lzh" data-title="導數" data-language-autonym="文言" data-language-local-name="漢文" class="interlanguage-link-target">文言</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%8E%E6%95%B8" title="広東語: 導數" lang="yue" hreflang="yue" data-title="導數" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="広東語" class="interlanguage-link-target">粵語</a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q29175#sitelinks-wikipedia" title="言語間リンクを編集" 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.hatnote{margin:0.5em 0;padding:3px 2em;background-color:transparent;border-bottom:1px solid #a2a9b1;font-size:90%}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .hatnote>table{color:inherit}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .hatnote>table{color:inherit}}</style><div class="hatnote dablink noprint"><table style="width:100%; background:transparent;"> <tbody><tr><td style="width:25px;"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Disambig_gray.svg" class="mw-file-description" title="曖昧さ回避"><img alt="曖昧さ回避" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Disambig_gray.svg/25px-Disambig_gray.svg.png" decoding="async" width="25" height="19" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Disambig_gray.svg/38px-Disambig_gray.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Disambig_gray.svg/50px-Disambig_gray.svg.png 2x" data-file-width="220" data-file-height="168" /></a></td> <td>この項目では、英語の "differentiation" に対応して微分係数や導関数（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/derivative" class="extiw" title="en:derivative">derivative</a>）を計算すること、あるいは用語の濫用によりその計算結果自体を指す「微分」について説明しています。 <ul><li>英語の "<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_of_a_function" class="extiw" title="en:Differential of a function">differential</a>" に対応する「微分」については「<a href="/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%BE%AE%E5%88%86" title="関数の微分">関数の微分</a>」をご覧ください。</li> <li>その他の「微分」については「<a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86_(%E6%9B%96%E6%98%A7%E3%81%95%E5%9B%9E%E9%81%BF)" class="mw-disambig" title="微分 (曖昧さ回避)">微分 (曖昧さ回避)</a>」をご覧ください。</li></ul></td> </tr></tbody></table></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r101304250">.mw-parser-output .ambox{border:1px solid #a2a9b1;border-left:10px solid #36c;background-color:#fbfbfb;box-sizing:border-box}.mw-parser-output .ambox+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+link+style+.ambox,.mw-parser-output .ambox+link+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+style+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+link+.ambox{margin-top:-1px}html body.mediawiki .mw-parser-output .ambox.mbox-small-left{margin:4px 1em 4px 0;overflow:hidden;width:238px;border-collapse:collapse;font-size:88%;line-height:1.25em}.mw-parser-output .ambox-speedy{border-left:10px solid #b32424;background-color:#fee7e6}.mw-parser-output .ambox-delete{border-left:10px solid #b32424}.mw-parser-output .ambox-content{border-left:10px solid #f28500}.mw-parser-output .ambox-style{border-left:10px solid #fc3}.mw-parser-output .ambox-move{border-left:10px solid #9932cc}.mw-parser-output .ambox-protection{border-left:10px solid #a2a9b1}.mw-parser-output .ambox .mbox-text{border:none;padding:0.25em 0.5em;width:100%;font-size:90%}.mw-parser-output .ambox .mbox-image{border:none;padding:2px 0 2px 0.5em;text-align:center}.mw-parser-output .ambox 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data-file-width="262" data-file-height="204" /></div></td><td class="mbox-text"><div class="mbox-text-span">この記事は<a href="/wiki/Wikipedia:%E6%A4%9C%E8%A8%BC%E5%8F%AF%E8%83%BD%E6%80%A7" title="Wikipedia:検証可能性">検証可能</a>な<a href="/wiki/Wikipedia:%E4%BF%A1%E9%A0%BC%E3%81%A7%E3%81%8D%E3%82%8B%E6%83%85%E5%A0%B1%E6%BA%90" title="Wikipedia:信頼できる情報源">参考文献や出典</a>が全く示されていないか、不十分です。 <a href="/wiki/Wikipedia:%E5%87%BA%E5%85%B8%E3%82%92%E6%98%8E%E8%A8%98%E3%81%99%E3%82%8B" title="Wikipedia:出典を明記する">出典を追加</a>して記事の信頼性向上にご協力ください。（<a href="/wiki/Template:%E5%87%BA%E5%85%B8%E3%81%AE%E6%98%8E%E8%A8%98/doc" title="Template:出典の明記/doc">このテンプレートの使い方</a>） 出典検索<a href="/wiki/Template:Find_sources_mainspace" title="Template:Find sources mainspace">?</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.google.co.jp/search?hl=ja&as_eq=wikipedia&q=%22%E5%BE%AE%E5%88%86%22&num=50">"微分"</a> – <a rel="nofollow" class="external text" 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href="https://jpsearch.go.jp/csearch/jps-cross?csid=jps-cross&keyword=%22%E5%BE%AE%E5%88%86%22">ジャパンサーチ</a> · <a rel="nofollow" class="external text" href="https://wikipedialibrary.wmflabs.org/partners/">TWL</a> (2013年8月)</div></td></tr></tbody></table> <div style="float:right;width:22.0em;"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r101384370">.mw-parser-output .sidebar{width:auto;float:right;clear:right;margin:0.5em 0 1em 1em;background:var(--background-color-neutral-subtle,#f8f9fa);border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);padding:0.2em;text-align:center;line-height:1.4em;font-size:88%;border-collapse:collapse;display:table}body.skin-minerva .mw-parser-output .sidebar{display:table!important;float:right!important;margin:0.5em 0 1em 1em!important}.mw-parser-output .sidebar-subgroup{width:100%;margin:0;border-spacing:0}.mw-parser-output .sidebar-left{float:left;clear:left;margin:0.5em 1em 1em 0}.mw-parser-output .sidebar-none{float:none;clear:both;margin:0.5em 1em 1em 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class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a5/Fundamental_Theorem_of_Calculus.svg/200px-Fundamental_Theorem_of_Calculus.svg.png" decoding="async" width="200" height="51" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a5/Fundamental_Theorem_of_Calculus.svg/300px-Fundamental_Theorem_of_Calculus.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a5/Fundamental_Theorem_of_Calculus.svg/400px-Fundamental_Theorem_of_Calculus.svg.png 2x" data-file-width="117" data-file-height="30" /></a></td></tr><tr><td class="sidebar-above" style="padding:0.15em 0.25em 0.3em;font-weight:normal;"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%AD%A6%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86" title="微分積分学の基本定理">基本定理</a></li></ul> <div class="hlist hlist-separated"> <ul><li><a href="/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%AE%E6%A5%B5%E9%99%90" title="関数の極限">関数の極限</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E5%86%99%E5%83%8F" title="連続写像">連続性</a></li></ul> </div><div class="hlist hlist-separated"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%80%A4%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" title="平均値の定理">平均値の定理</a></li></ul> </div></td></tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible"><div class="sidebar-list-title" style="text-align:center;;display:block;margin-top:0.65em;"><a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%B3%95" title="微分法">微分法</a></div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content" style="border-top:1px solid #aaa;padding-top:0.15em;border-bottom:1px solid #aaa;"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101384370"><table class="sidebar nomobile nowraplinks" style="border-collapse:collapse; border-spacing:0px; border:none; width:100%; margin:0px; font-size:100%; clear:none; float:none"><tbody><tr><th class="sidebar-heading"> 定義</th></tr><tr><td class="sidebar-content hlist"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%B0%8E%E9%96%A2%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="導関数">導関数</a> (<a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E3%81%AE%E4%B8%80%E8%88%AC%E5%8C%96" title="微分の一般化">一般化</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Generalizations_of_the_derivative" class="extiw" title="en:Generalizations of the derivative">英語版</a>）)</li></ul> <div class="hlist hlist-separated" style="padding:0.1em 0;line-height:1.2em;"> <ul><li>微分 <ul><li><a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%B0%8F" title="微分小">無限小</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%BE%AE%E5%88%86" title="関数の微分">関数の</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%85%A8%E5%BE%AE%E5%88%86" title="全微分">全</a></li></ul></li></ul> </div></td> </tr><tr><th class="sidebar-heading"> 概念</th></tr><tr><td class="sidebar-content hlist"> <div class="hlist hlist-separated"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E3%81%AE%E8%A8%98%E6%B3%95" title="微分の記法">微分の記法</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%BA%8C%E9%9A%8E%E5%B0%8E%E9%96%A2%E6%95%B0" title="二階導関数">二階導関数</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E4%B8%89%E9%9A%8E%E5%B0%8E%E9%96%A2%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「三階導関数」 (存在しないページ)">三階導関数</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Third_derivative" class="extiw" title="en:Third derivative">英語版</a>）</li> <li><a href="/w/index.php?title=%E5%A4%89%E6%95%B0%E5%A4%89%E6%8F%9B&action=edit&redlink=1" class="new" title="「変数変換」 (存在しないページ)">変数変換</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Change_of_variables" class="extiw" title="en:Change of variables">英語版</a>）</li> <li><a href="/wiki/%E9%99%B0%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%BE%AE%E5%88%86" class="mw-redirect" title="陰函数微分">陰関数の微分</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Related_rates&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Related rates」 (存在しないページ)">Related rates</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Related_rates" class="extiw" title="en:Related rates">英語版</a>）</li> <li><a href="/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" title="テイラーの定理">テイラーの定理</a></li></ul> </div></td> </tr><tr><th class="sidebar-heading"> <a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AE%E5%88%86%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87&action=edit&redlink=1" class="new" title="「微分の法則」 (存在しないページ)">法則と恒等式</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Differentiation_rules" class="extiw" title="en:Differentiation rules">英語版</a>）</th></tr><tr><td class="sidebar-content hlist"> <div class="hlist hlist-separated"> <ul><li><a href="/w/index.php?title=%E5%92%8C%E3%81%AE%E5%BE%AE%E5%88%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「和の微分」 (存在しないページ)">和</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Sum_rule_in_differentiation" class="extiw" title="en:Sum rule in differentiation">英語版</a>）</li> <li><a href="/wiki/%E7%A9%8D%E3%81%AE%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%B3%95%E5%89%87" title="積の微分法則">積</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%80%A3%E9%8E%96%E5%BE%8B" title="連鎖律">合成</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E5%86%AA%E3%81%AE%E5%BE%AE%E5%88%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「冪の微分」 (存在しないページ)">冪</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Power_rule" class="extiw" title="en:Power rule">英語版</a>）</li> <li><a href="/wiki/%E5%95%86%E3%81%AE%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%B3%95%E5%89%87" title="商の微分法則">商</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%B8%80%E8%88%AC%E3%81%AE%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%97%E3%83%8B%E3%83%83%E3%83%84%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87" title="一般のライプニッツの法則">一般ライプニッツ</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BB%E3%83%96%E3%83%AB%E3%83%BC%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ファー・ディ・ブルーノの公式」 (存在しないページ)">ファー・ディ・ブルーノの公式</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Fa%C3%A0_di_Bruno%27s_formula" class="extiw" title="en:Faà di Bruno's formula">英語版</a>）</li></ul> </div></td> </tr></tbody></table></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible mw-collapsed"><div class="sidebar-list-title" style="text-align:center;"><a href="/wiki/%E7%A9%8D%E5%88%86%E6%B3%95" title="積分法">積分法</a></div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content" style="border-top:1px solid #aaa;padding-top:0.15em;border-bottom:1px solid #aaa;"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101384370"><table class="sidebar nomobile nowraplinks" style="border-collapse:collapse; border-spacing:0px; border:none; width:100%; margin:0px; font-size:100%; clear:none; float:none"><tbody><tr><td class="sidebar-content hlist"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%8E%9F%E5%A7%8B%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%AE%E4%B8%80%E8%A6%A7" title="原始関数の一覧">積分一覧</a></li></ul></td> </tr><tr><th class="sidebar-heading"> 定義</th></tr><tr><td class="sidebar-content hlist"> <ul><li><a href="/wiki/%E4%B8%8D%E5%AE%9A%E7%A9%8D%E5%88%86" title="不定積分">不定積分</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%A9%8D%E5%88%86" class="mw-redirect" title="積分">積分</a> (<a href="/wiki/%E5%BA%83%E7%BE%A9%E7%A9%8D%E5%88%86" title="広義積分">広義</a>)</li> <li><a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E7%A9%8D%E5%88%86" title="リーマン積分">リーマン積分</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%BC%E3%82%B0%E7%A9%8D%E5%88%86" title="ルベーグ積分">ルベーグ積分</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%B7%9A%E7%A9%8D%E5%88%86" title="線積分">線積分</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E7%B7%9A%E7%A9%8D%E5%88%86" title="複素線積分">複素線積分</a></li></ul></td> </tr><tr><th class="sidebar-heading"> 道具</th></tr><tr><td class="sidebar-content hlist"> <ul><li><a href="/wiki/%E9%83%A8%E5%88%86%E7%A9%8D%E5%88%86" title="部分積分">部分</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Disc_integration&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Disc integration」 (存在しないページ)">Discs</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Disc_integration" class="extiw" title="en:Disc integration">英語版</a>）</li> <li><a href="/wiki/%E3%83%90%E3%82%A6%E3%83%A0%E3%82%AF%E3%83%BC%E3%83%98%E3%83%B3%E7%A9%8D%E5%88%86" title="バウムクーヘン積分">円殻（バウムクーヘン）</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%BD%AE%E6%8F%9B%E7%A9%8D%E5%88%86" title="置換積分">置換</a> <ul><li><a href="/w/index.php?title=%E4%B8%89%E8%A7%92%E7%BD%AE%E6%8F%9B%E7%A9%8D%E5%88%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「三角置換積分」 (存在しないページ)">三角置換</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_substitution" class="extiw" title="en:Trigonometric substitution">英語版</a>）</li></ul></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E9%83%A8%E5%88%86%E5%88%86%E6%95%B0%E5%88%86%E8%A7%A3%E3%81%AB%E3%82%88%E3%82%8B%E6%9C%89%E7%90%86%E5%87%BD%E6%95%B0%E3%81%AE%E7%A9%8D%E5%88%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「部分分数分解による有理函数の積分」 (存在しないページ)">部分分数</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Partial_fractions_in_integration" class="extiw" title="en:Partial fractions in integration">英語版</a>）</li> <li><a href="/w/index.php?title=%E7%A9%8D%E5%88%86%E3%81%AE%E9%A0%86%E5%BA%8F&action=edit&redlink=1" class="new" title="「積分の順序」 (存在しないページ)">順序</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Order_of_integration_(calculus)" class="extiw" title="en:Order of integration (calculus)">英語版</a>）</li> <li><a href="/wiki/%E6%BC%B8%E5%8C%96%E5%BC%8F%E3%81%AB%E3%82%88%E3%82%8B%E7%A9%8D%E5%88%86" title="漸化式による積分">漸化式</a></li></ul></td> </tr></tbody></table></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible mw-collapsed"><div class="sidebar-list-title" style="text-align:center;"><a href="/wiki/%E7%B4%9A%E6%95%B0" title="級数">級数</a></div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content" style="border-top:1px solid #aaa;padding-top:0.15em;border-bottom:1px solid #aaa;"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101384370"><table class="sidebar nomobile nowraplinks" style="border-collapse:collapse; border-spacing:0px; border:none; width:100%; margin:0px; font-size:100%; clear:none; float:none"><tbody><tr><td class="sidebar-content hlist"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%B9%BE%E4%BD%95%E7%B4%9A%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="幾何級数">幾何</a> (<a href="/wiki/%E7%AE%97%E8%A1%93%E5%B9%BE%E4%BD%95%E6%95%B0%E5%88%97" title="算術幾何数列">算術幾何</a>)</li> <li><a href="/wiki/%E8%AA%BF%E5%92%8C%E7%B4%9A%E6%95%B0" title="調和級数">調和</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%BA%A4%E9%A0%85%E7%B4%9A%E6%95%B0" title="交項級数">交代</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%86%AA%E7%B4%9A%E6%95%B0" title="冪級数">冪</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E7%B4%9A%E6%95%B0" title="二項級数">二項</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%B4%9A%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="テイラー級数">テイラー</a></li></ul></td> </tr><tr><th class="sidebar-heading"> <a href="/w/index.php?title=%E5%8F%8E%E6%9D%9F%E5%88%A4%E5%AE%9A%E6%B3%95&action=edit&redlink=1" class="new" title="「収束判定法」 (存在しないページ)">収束判定法</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Convergence_tests" class="extiw" title="en:Convergence tests">英語版</a>）</th></tr><tr><td class="sidebar-content hlist"> <ul><li><a href="/w/index.php?title=%E9%A0%85%E5%88%A4%E5%AE%9A%E6%B3%95&action=edit&redlink=1" class="new" title="「項判定法」 (存在しないページ)">項の極限（項判定法）</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Term_test" class="extiw" title="en:Term test">英語版</a>）</li> <li><a href="/wiki/%E3%83%80%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%99%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%8F%8E%E6%9D%9F%E5%88%A4%E5%AE%9A%E6%B3%95" title="ダランベールの収束判定法">比</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%86%AA%E6%A0%B9%E5%88%A4%E5%AE%9A%E6%B3%95" title="コーシーの冪根判定法">冪根</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%88%A4%E5%AE%9A%E6%B3%95" title="積分判定法">積分</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%AF%94%E8%BC%83%E5%88%A4%E5%AE%9A%E6%B3%95" title="比較判定法">比較</a></li> <li> <a href="/w/index.php?title=%E6%A5%B5%E9%99%90%E6%AF%94%E8%BC%83%E5%88%A4%E5%AE%9A%E6%B3%95&action=edit&redlink=1" class="new" title="「極限比較判定法」 (存在しないページ)">極限比較</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Limit_comparison_test" class="extiw" title="en:Limit comparison test">英語版</a>）</li> <li><a href="/w/index.php?title=%E4%BA%A4%E4%BB%A3%E7%B4%9A%E6%95%B0%E5%88%A4%E5%AE%9A%E6%B3%95&action=edit&redlink=1" class="new" title="「交代級数判定法」 (存在しないページ)">交代級数</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Alternating_series_test" class="extiw" title="en:Alternating series test">英語版</a>）</li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%87%9D%E9%9B%86%E5%88%A4%E5%AE%9A%E6%B3%95" title="コーシーの凝集判定法">凝集</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%AA%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%81%AE%E5%88%A4%E5%AE%9A%E6%B3%95" title="ディリクレの判定法">ディリクレ</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%88%A4%E5%AE%9A%E6%B3%95&action=edit&redlink=1" class="new" title="「アーベルの判定法」 (存在しないページ)">アーベル</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Abel%27s_test" class="extiw" title="en:Abel's test">英語版</a>）</li></ul></td> </tr></tbody></table></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible mw-collapsed"><div class="sidebar-list-title" style="text-align:center;"><a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E8%A7%A3%E6%9E%90" title="ベクトル解析">ベクトル</a></div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content" style="border-top:1px solid #aaa;padding-top:0.15em;border-bottom:1px solid #aaa;"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101384370"><table class="sidebar nomobile nowraplinks" style="border-collapse:collapse; border-spacing:0px; border:none; width:100%; margin:0px; font-size:100%; clear:none; float:none"><tbody><tr><td class="sidebar-content hlist"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%8B%BE%E9%85%8D_(%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E8%A7%A3%E6%9E%90)" title="勾配 (ベクトル解析)">勾配</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%99%BA%E6%95%A3_(%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E8%A7%A3%E6%9E%90)" title="発散 (ベクトル解析)">発散</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%9B%9E%E8%BB%A2_(%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E8%A7%A3%E6%9E%90)" title="回転 (ベクトル解析)">回転</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%A9%E3%83%97%E3%83%A9%E3%82%B9%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0" title="ラプラス作用素">ラプラシアン</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%96%B9%E5%90%91%E5%BE%AE%E5%88%86" title="方向微分">方向微分</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E8%A7%A3%E6%9E%90%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ベクトル解析の公式」 (存在しないページ)">公式</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_calculus_identities" class="extiw" title="en:Vector calculus identities">英語版</a>）</li></ul></td> </tr><tr><th class="sidebar-heading"> 定理</th></tr><tr><td class="sidebar-content hlist"> <ul><li><a href="/wiki/%E7%99%BA%E6%95%A3%E5%AE%9A%E7%90%86" title="発散定理">発散</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E5%8B%BE%E9%85%8D%E5%AE%9A%E7%90%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「勾配定理」 (存在しないページ)">勾配</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Gradient_theorem" class="extiw" title="en:Gradient theorem">英語版</a>）</li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" title="グリーンの定理">グリーン</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B1%E3%83%AB%E3%83%93%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" title="ケルビン・ストークスの定理">ケルビン・ストークス</a></li></ul></td> </tr></tbody></table></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible mw-collapsed"><div class="sidebar-list-title" style="text-align:center;"><a href="/wiki/%E5%A4%9A%E5%A4%89%E6%95%B0%E5%BE%AE%E5%88%86%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%AD%A6" title="多変数微分積分学">多変数</a></div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content" style="border-top:1px solid #aaa;padding-top:0.15em;border-bottom:1px solid #aaa;"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101384370"><table class="sidebar nomobile nowraplinks" style="border-collapse:collapse; border-spacing:0px; border:none; width:100%; margin:0px; font-size:100%; clear:none; float:none"><tbody><tr><th class="sidebar-heading"> 形式と枠組み</th></tr><tr><td class="sidebar-content hlist"> <ul><li><a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E5%BE%AE%E5%88%86%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%AD%A6&action=edit&redlink=1" class="new" title="「行列の微分積分学」 (存在しないページ)">行列</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_calculus" class="extiw" title="en:Matrix calculus">英語版</a>）</li> <li><a href="/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB%E8%A7%A3%E6%9E%90" title="テンソル解析">テンソル</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%A4%96%E5%BE%AE%E5%88%86" title="外微分">外</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6%E7%9A%84%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%AD%A6&action=edit&redlink=1" class="new" title="「幾何学的解析学」 (存在しないページ)">幾何学的</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_calculus" class="extiw" title="en:Geometric calculus">英語版</a>）</li></ul></td> </tr><tr><th class="sidebar-heading"> 定義</th></tr><tr><td class="sidebar-content hlist"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%81%8F%E5%BE%AE%E5%88%86" title="偏微分">偏微分</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%A4%9A%E9%87%8D%E7%A9%8D%E5%88%86" title="多重積分">多重積分</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%B7%9A%E7%A9%8D%E5%88%86" title="線積分">線積分</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%9D%A2%E7%A9%8D%E5%88%86" title="面積分">面積分</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%BD%93%E7%A9%8D%E7%A9%8D%E5%88%86" title="体積積分">体積分</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%A4%E3%82%B3%E3%83%93%E8%A1%8C%E5%88%97" title="ヤコビ行列">ヤコビアン</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%98%E3%83%83%E3%82%BB%E8%A1%8C%E5%88%97" title="ヘッセ行列">ヘッセ行列</a></li></ul></td> </tr></tbody></table></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible mw-collapsed"><div class="sidebar-list-title" style="text-align:center;">特殊化</div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content" style="border-top:1px solid #aaa;padding-top:0.15em;border-bottom:1px solid #aaa;"><div class="hlist hlist-separated"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%88%86%E6%95%B0%E9%9A%8E%E5%BE%AE%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%AD%A6" title="分数階微積分学">分数階微積分</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E6%8E%A5%E7%B6%9A" title="解析接続">解析接続</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E3%83%9E%E3%83%AA%E3%82%A2%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%B3%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%AD%A6&action=edit&redlink=1" class="new" title="「マリアヴァン解析学」 (存在しないページ)">マリアヴァン</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Malliavin_calculus" class="extiw" title="en:Malliavin calculus">英語版</a>）</li> <li><a href="/wiki/%E7%A2%BA%E7%8E%87%E8%A7%A3%E6%9E%90" title="確率解析">確率</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Stochastic_calculus" class="extiw" title="en:Stochastic calculus">英語版</a>）</li> <li><a href="/wiki/%E5%A4%89%E5%88%86%E6%B3%95" title="変分法">変分</a></li></ul> </div></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible mw-collapsed"><div class="sidebar-list-title" style="text-align:center;">その他</div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content" style="border-top:1px solid #aaa;padding-top:0.15em;border-bottom:1px solid #aaa;"> <ul><li><a href="/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%A8%98%E5%8F%B7%E3%81%AE%E8%A1%A8#解析学の記号" title="数学記号の表">解析学記号</a></li></ul></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-navbar"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r99966302">.mw-parser-output .hlist ul,.mw-parser-output .hlist ol{padding-left:0}.mw-parser-output .hlist li,.mw-parser-output .hlist dd,.mw-parser-output .hlist dt{margin-right:0;display:inline-block;white-space:nowrap}.mw-parser-output .hlist dt:after,.mw-parser-output .hlist dd:after,.mw-parser-output .hlist li:after{white-space:normal}.mw-parser-output .hlist li:after,.mw-parser-output .hlist dd:after{content:" ·\a0 ";font-weight:bold}.mw-parser-output .hlist dt:after{content:": "}.mw-parser-output .hlist-pipe dd:after,.mw-parser-output .hlist-pipe li:after{content:" |\a0 ";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist-hyphen dd:after,.mw-parser-output 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.navbar-boxtext{word-spacing:0}.mw-parser-output .navbar ul{display:inline-block;white-space:nowrap;line-height:inherit}.mw-parser-output .navbar-brackets::before{margin-right:-0.125em;content:"[ "}.mw-parser-output .navbar-brackets::after{margin-left:-0.125em;content:" ]"}.mw-parser-output .navbar li{word-spacing:-0.125em}.mw-parser-output .navbar-mini abbr{font-variant:small-caps;border-bottom:none;text-decoration:none;cursor:inherit}.mw-parser-output .navbar-ct-full{font-size:114%;margin:0 7em}.mw-parser-output .navbar-ct-mini{font-size:114%;margin:0 4em}.mw-parser-output .infobox .navbar{font-size:88%}.mw-parser-output .navbox .navbar{display:block;font-size:88%}.mw-parser-output .navbox-title .navbar{float:left;text-align:left;margin-right:0.5em}</style><div class="navbar plainlinks hlist navbar-mini"><ul><li class="nv-view"><a href="/wiki/Template:Calculus" title="Template:Calculus"><abbr title="参照先のページを表示します。">表</abbr></a></li><li class="nv-talk"><a href="/w/index.php?title=Template%E2%80%90%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%88:Calculus&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Template‐ノート:Calculus」 (存在しないページ)"><abbr title="参照先のノートを表示します。">話</abbr></a></li><li class="nv-edit"><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template:Calculus&action=edit"><abbr title="参照先のページを編集します。">編</abbr></a></li><li class="nv-hist"><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template:Calculus&action=history"><abbr title="参照先のページの履歴を表示します。">歴</abbr></a></li></ul></div></td></tr></tbody></table></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Tangent_to_a_curve.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0f/Tangent_to_a_curve.svg/220px-Tangent_to_a_curve.svg.png" decoding="async" width="220" height="154" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0f/Tangent_to_a_curve.svg/330px-Tangent_to_a_curve.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0f/Tangent_to_a_curve.svg/440px-Tangent_to_a_curve.svg.png 2x" data-file-width="400" data-file-height="280" /></a><figcaption><a href="/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%AE%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%95" class="mw-redirect" title="関数のグラフ">函数のグラフ</a>（黒線）と<a href="/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="関数 (数学)">函数</a>が描く<a href="/wiki/%E6%9B%B2%E7%B7%9A" title="曲線">曲線</a>の<a href="/wiki/%E6%8E%A5%E7%B7%9A" title="接線">接線</a>（赤線）。接線の<a href="/wiki/%E5%82%BE%E3%81%8D_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="傾き (数学)">傾き</a>は接点上の函数の微分係数に等しい。</figcaption></figure> <a href="/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="数学">数学</a>における<a href="/w/index.php?title=%E5%AE%9F%E5%A4%89%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「実変数函数」 (存在しないページ)">実変数函数</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/function_of_a_real_variable" class="extiw" title="en:function of a real variable">英語版</a>）の微分係数、微分商または導関数（どうかんすう、<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: derivative）は、別の量（独立変数）に依存して決まる、ある量（関数の値あるいは従属変数）の変化の度合いを測るものであり、これらを求めることを微分（びぶん、<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: differentiation）するという。微分演算の結果である微分係数や導関数も用語の濫用でしばしば微分と呼ばれる。 <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="概要">概要</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AE%E5%88%86&action=edit&section=1" title="節を編集: 概要">編集</a>]</div> 微分は<a href="/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%AD%A6" title="解析学">解析学</a>分野（特に<a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%AD%A6" title="微分積分学">微分積分学</a>分野）の基本的な道具である。例えば、動く物体の位置の時間に関する導函数はその物体の<a href="/wiki/%E9%80%9F%E5%BA%A6" title="速度">速度</a>であり、これは時間が進んだときその物体の位置がどれほど早く変わるかを測る。 一変数函数の適当に選んだ入力値における微分係数は、その点における<a href="/wiki/%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%95_(%E9%96%A2%E6%95%B0)" title="グラフ (関数)">グラフ</a>の<a href="/wiki/%E6%8E%A5%E7%B7%9A" title="接線">接線</a>の<a href="/wiki/%E5%82%BE%E3%81%8D_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="傾き (数学)">傾き</a>である。これは導函数がその入力値の近くでその函数の最適<a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E8%BF%91%E4%BC%BC" title="線型近似">線型近似</a>を記述するものであることを意味する。そのような理由で、微分係数はしばしば「<a href="/wiki/%E7%9E%AC%E9%96%93" title="瞬間">瞬間</a>の変化率」として記述される。瞬間の変化率は独立変数に依存する従属変数である。 微分は<a href="/w/index.php?title=%E5%AE%9F%E5%A4%9A%E5%A4%89%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「実多変数函数」 (存在しないページ)">実多変数函数</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/function_of_several_real_variables" class="extiw" title="en:function of several real variables">英語版</a>）にも拡張できる。この一般化において、導函数はそのグラフが（適当な変換の後）もとの函数のグラフを最適線型近似する<a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%86%99%E5%83%8F" title="線型写像">線型写像</a>と解釈しなおされる。<a href="/wiki/%E3%83%A4%E3%82%B3%E3%83%93%E8%A1%8C%E5%88%97" title="ヤコビ行列">ヤコビ行列</a>はこの線型変換を独立および従属変数を選ぶことで与えられる基底に関して表現する<a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" class="mw-redirect" title="行列 (数学)">行列</a>であり、独立変数に関する<a href="/wiki/%E5%81%8F%E5%BE%AE%E5%88%86" title="偏微分">偏微分</a>を用いて計算することができる。多変数<a href="/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0%E5%80%A4%E9%96%A2%E6%95%B0" title="実数値関数">実数値函数</a>に対して、ヤコビ行列は<a href="/wiki/%E5%8B%BE%E9%85%8D_(%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E8%A7%A3%E6%9E%90)" title="勾配 (ベクトル解析)">勾配</a>に簡約される。 導函数を求める過程を微分あるいは微分法、微分演算（<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: differentiation）と言い、その逆の過程（原始函数を求めること）を反微分という。<a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%AD%A6%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86" title="微分積分学の基本定理">微分積分学の基本定理</a>は反微分が積分と同じであることを主張する。一変数の微分積分学において微分と積分は基本的な操作の二本柱である<a href="#cite_note-1">[1]</a>。 <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:What_is_derivative_(animation).gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/21/What_is_derivative_%28animation%29.gif/220px-What_is_derivative_%28animation%29.gif" decoding="async" width="220" height="234" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/21/What_is_derivative_%28animation%29.gif/330px-What_is_derivative_%28animation%29.gif 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/21/What_is_derivative_%28animation%29.gif 2x" data-file-width="365" data-file-height="388" /></a><figcaption>引数が変更されたときの関数のスイングのように、微分の直感的なアイデアを与えるアニメーション。</figcaption></figure> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="1変数関数の微分法">1変数関数の微分法</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AE%E5%88%86&action=edit&section=2" title="節を編集: 1変数関数の微分法">編集</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="直観的な説明">直観的な説明</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AE%E5%88%86&action=edit&section=3" title="節を編集: 直観的な説明">編集</a>]</div> 初めに最も簡単な場合を扱う。すなわち、実数値の変数を1個もち、値も1個の実数であるような関数 f(x)（または単に f とも書く）を微分することを考える。「微分する」というのは、より正確には、<a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E4%BF%82%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="微分係数">微分係数</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/differential_coefficient" class="extiw" title="en:differential coefficient">英語版</a>）または<a class="mw-selflink-fragment" href="#区間における微分可能性と導関数">導関数</a>のいずれかを求めることを意味している。 説明を単純にするため、f(x) はすべての実数 x に対して定義されているとしよう。すると各々の実数 a に対して、f の a における微分係数と呼ばれる数がある（定義されない場合もあるが、ここでは理想的な状況のみを想定して説明する）。これを f′(a) で表す。また、実数 a に対して微分係数 f′(a) を対応させる関数 f′ のことを f の導関数という。 微分係数 f′(a) とは何であるか直観的に説明するには、いくつかの方法がある。 <ol><li>微分係数 f′(a) とは、関数 f の<a href="/wiki/%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%95_(%E9%96%A2%E6%95%B0)" title="グラフ (関数)">グラフ</a>に x = a において（すなわち点 (a, f(a)) において）接線をひいたときの、その接線の<a href="/wiki/%E5%82%BE%E3%81%8D_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="傾き (数学)">傾き</a>のことである。</li> <li>微分係数 f′(a) とは、変数 x の値の変化に伴う f(x) の変化を考えたときの、x = a における f(x) の瞬間変化率のことである。</li> <li>微分係数 f′(a) とは、関数 f のグラフの x = a 付近を（すなわち点 (a, f(a)) 付近を）限りなく拡大していったときに、グラフが直線に近づいて見える場合における、その直線の傾きのことである。</li></ol> これらはいずれも、論理的に厳密な定義とはいえない。それは、「接線」や「瞬間変化率」について厳密な定義が与えられていないし、またグラフを「限りなく拡大する」ということの意味も定かではないからである。 ごく単純な関数については、上記の説明が微分係数の具体的な値について十分な示唆を与えるのは確かだ。たとえば<a href="/wiki/%E4%B8%80%E6%AC%A1%E9%96%A2%E6%95%B0" title="一次関数">一次関数</a> f(x) = Ax + B を考えると、そのグラフは直線なので、「x = a における接線」もその直線自身であると考えるのが妥当だろう。直線 y = Ax + B の傾きは A だから、微分係数 f′(a) の値も A とすべきだと考えられる。また、<a href="/wiki/%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E9%96%A2%E6%95%B0" title="二次関数">二次関数</a>についても、グラフの接線の概念を微分とは無関係に定義して、その傾きを求めることはできる。だが、ほとんどの関数にはこのような手法は通用しないから、一般的な定義を与えるためには新しい考えが必要である。 <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r89142196/mw-parser-output/.tmulti">.mw-parser-output .tmulti .thumbinner{display:flex;flex-direction:column}.mw-parser-output .tmulti .trow{display:flex;flex-direction:row;clear:left;flex-wrap:wrap;width:100%;box-sizing:border-box}.mw-parser-output .tmulti .tsingle{margin:1px;float:left}.mw-parser-output .tmulti .theader{clear:both;font-weight:bold;text-align:center;align-self:center;background-color:transparent;width:100%}.mw-parser-output .tmulti .thumbcaption{background-color:transparent}.mw-parser-output .tmulti .text-align-left{text-align:left}.mw-parser-output .tmulti .text-align-right{text-align:right}.mw-parser-output .tmulti .text-align-center{text-align:center}@media all and (max-width:720px){.mw-parser-output .tmulti .thumbinner{width:100%!important;box-sizing:border-box;max-width:none!important;align-items:center}.mw-parser-output .tmulti .trow{justify-content:center}.mw-parser-output .tmulti .tsingle{float:none!important;max-width:100%!important;box-sizing:border-box;align-items:center}.mw-parser-output .tmulti .trow>.thumbcaption{text-align:center}}</style><div class="thumb tmulti tright"><div class="thumbinner" style="width:254px;max-width:254px"><div class="trow"><div class="theader">極限としての変化率</div></div><div class="trow"><div class="tsingle" style="width:252px;max-width:252px"><div class="thumbimage"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Tangent-calculus.svg" class="mw-file-description"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Tangent-calculus.svg/250px-Tangent-calculus.svg.png" decoding="async" width="250" height="178" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Tangent-calculus.svg/375px-Tangent-calculus.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Tangent-calculus.svg/500px-Tangent-calculus.svg.png 2x" data-file-width="823" data-file-height="586" /></a></div><div class="thumbcaption">Figure 1. (x, f(x)) における<a href="/wiki/%E6%8E%A5%E7%B7%9A" title="接線">接線</a></div></div></div><div class="trow"><div class="tsingle" style="width:252px;max-width:252px"><div class="thumbimage"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Secant-calculus.svg" class="mw-file-description"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/61/Secant-calculus.svg/250px-Secant-calculus.svg.png" decoding="async" width="250" height="178" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/61/Secant-calculus.svg/375px-Secant-calculus.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/61/Secant-calculus.svg/500px-Secant-calculus.svg.png 2x" data-file-width="823" data-file-height="586" /></a></div><div class="thumbcaption">Figure 2. 二点 (x, f(x)) および (x+h, f(x+h)) の定める、曲線 y= f(x) の<a href="/wiki/%E5%89%B2%E7%B7%9A" title="割線">割線</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Secant_line" class="extiw" title="en:Secant line">英語版</a>）</div></div></div><div class="trow"><div class="tsingle" style="width:252px;max-width:252px"><div class="thumbimage"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Lim-secant.svg" class="mw-file-description"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/dc/Lim-secant.svg/250px-Lim-secant.svg.png" decoding="async" width="250" height="178" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/dc/Lim-secant.svg/375px-Lim-secant.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/dc/Lim-secant.svg/500px-Lim-secant.svg.png 2x" data-file-width="823" data-file-height="586" /></a></div><div class="thumbcaption">Figure 3. 割線の極限としての接線</div></div></div><div class="trow"><div class="tsingle" style="width:252px;max-width:252px"><div class="thumbimage"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Derivative_GIF.gif" class="mw-file-description"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/aa/Derivative_GIF.gif/250px-Derivative_GIF.gif" decoding="async" width="250" height="188" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/aa/Derivative_GIF.gif/375px-Derivative_GIF.gif 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/aa/Derivative_GIF.gif/500px-Derivative_GIF.gif 2x" data-file-width="800" data-file-height="600" /></a></div><div class="thumbcaption">Figure 4. 割線の極限としての接線（アニメーション）</div></div></div></div></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="厳密な定式化">厳密な定式化</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AE%E5%88%86&action=edit&section=4" title="節を編集: 厳密な定式化">編集</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="一点における微分可能性と微分係数">一点における微分可能性と微分係数</h4>[<a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AE%E5%88%86&action=edit&section=5" title="節を編集: 一点における微分可能性と微分係数">編集</a>]</div> 関数 f(x) が開区間 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I\subset \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>I</mi> <mo>⊂</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I\subset \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5cde0281fd5d2d1b103f9430aab29b7c2a2e324" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.948ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I\subset \mathbb {R} }"> において定義されているとする。そのとき、<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in I}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mi>I</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in I}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c06736171fb6cabbf6888f6c07cfc4630cd799ab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.242ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\in I}"> に対し、<a href="/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90" title="極限">極限</a> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mn>0</mn> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mi>h</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30df07a0657f89848c2aec5f29bd9e63c610d110" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:20.29ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}"></dd></dl> が存在するとき、f(x) は x = a において微分可能であるという（極限は有限確定値であることを要請する。すなわち、正の無限大や負の無限大であることは許容しない）。またそのとき、上記の極限を x = a における f(x) の微分係数とよび、f′(a) によって表す。 これにともない、f(x) のグラフ上の点 (a, f(a)) を通り傾き f′(a) をもつ直線のことを、f(x) のグラフの x = a における接線という。つまり、x = a における接線とは、y = f′(a)(x − a) + f(a) によって与えられる直線のことである。 上述の微分係数の定義に現れる分数 <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mi>h</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b91f9b7202d20a7fecd3a859af9ed420d765fce9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:16.491ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}"></dd></dl> は<a href="/wiki/%E5%B7%AE%E5%88%86%E5%95%86" title="差分商">差分商</a>とよばれる。これは関数 f(x) のグラフ上の2点 (a, f(a)) と (a + h, f(a + h)) を通る直線（割線という）の傾きを表している。あるいは、変数 x の値が a から a + h まで変化するあいだの、関数の値の平均変化率を表しているとみることもできる。これらの見方によれば、微分係数の定義について、次のような解釈を与えることができる。 <ol><li>グラフ上の2点 (a, f(a)), (a + h, f(a + h)) を通る割線が、h を 0 へと近づけたときにある直線に近づくならば、それを接線とみなすのが妥当であろう。この意味での接線の傾きが、微分係数 f′(a) である。</li> <li>「変数 x の値が a から a + h まで変化するあいだの関数値の平均変化率」が、h を 0 へと近づけたときにある数に近づくならば、それを瞬間変化率とみなすのが妥当であろう。この瞬間変化率が、微分係数 f′(a) である。</li></ol> なお、上述の微分可能性の定義では h が 0 にどのようにして近づいても差分商が一定の値に収束することを要請したが、近づき方を限定することも考えられる。h が正の値をとりながら 0 に近づいたときの<a href="/wiki/%E7%89%87%E5%81%B4%E6%A5%B5%E9%99%90" title="片側極限">片側極限</a> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lim _{h\searrow 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">↘</mo> <mn>0</mn> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mi>h</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{h\searrow 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70e4b6e235825170e0355933480bf36eb3294f2f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:20.29ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \lim _{h\searrow 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}"></dd></dl> が存在するとき、f(x) は x = a において右側微分可能であるといい、この片側極限を右側微分係数とよぶ。同様に、h が負の値をとりながら 0 に近づいたときの片側極限 <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lim _{h\nearrow 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">↗</mo> <mn>0</mn> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mi>h</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{h\nearrow 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d28afcebad75cc41599d53210cde062fb9903d8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:20.29ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \lim _{h\nearrow 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}"></dd></dl> が存在するとき、f(x) は x = a において左側微分可能であるといい、この片側極限を左側微分係数とよぶ。f(x) が x = a において微分可能であるためには、「f(x) が x = a において右側微分可能かつ左側微分可能で、かつ右側微分係数と左側微分係数が一致する」ということが必要十分である。 <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="区間における微分可能性と導関数">区間における微分可能性と導関数</h4>[<a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AE%E5%88%86&action=edit&section=6" title="節を編集: 区間における微分可能性と導関数">編集</a>]</div> 関数 f(x) が開区間 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I\subset \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>I</mi> <mo>⊂</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I\subset \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5cde0281fd5d2d1b103f9430aab29b7c2a2e324" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.948ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I\subset \mathbb {R} }"> で定義されており、すべての <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in I}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mi>I</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in I}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c06736171fb6cabbf6888f6c07cfc4630cd799ab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.242ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\in I}"> において微分可能であるとき、f は区間 I において微分可能であるという。またそのとき、a に対して微分係数 f(a) を対応させる区間 I 上の関数のことを、f の導関数といい f′（または変数の記号を補って f′(x)）で表す。 I がその他のタイプの区間である場合にも、区間 I における微分可能性を定義することができる。たとえば、I が有界閉区間 [α, β] である場合には、区間の内点では通常の意味での微分係数の存在を要請し、α では右側微分係数が、β では左側微分係数が存在することを要請する。導関数 f′(x) の値は、x = α では右側微分係数、x = β では左側微分係数とする。 関数 f が区間 I において微分可能で、さらに導関数 f′ が I で連続であるとき、f は I において連続微分可能である、または C1 級であるという。 <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="1次近似による定式化">1次近似による定式化</h4>[<a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AE%E5%88%86&action=edit&section=7" title="節を編集: 1次近似による定式化">編集</a>]</div> 開区間 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I\subset \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>I</mi> <mo>⊂</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I\subset \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5cde0281fd5d2d1b103f9430aab29b7c2a2e324" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.948ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I\subset \mathbb {R} }"> で定義された関数 f(x) について、<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in I}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mi>I</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in I}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c06736171fb6cabbf6888f6c07cfc4630cd799ab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.242ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\in I}"> とするとき、次の条件は f(x) の x = a における微分可能性と同値である。 <blockquote> ある定数 A が存在して、h → 0 のとき f(a + h) = f(a) + Ah + o(h) である。 </blockquote> ここで o(h) は<a href="/wiki/%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%80%E3%82%A6%E3%81%AE%E8%A8%98%E5%8F%B7" title="ランダウの記号">ランダウの記号</a>である。この条件が成り立つとき、A は微分係数 f′(a) に他ならない。 「h → 0 のとき f(a + h) = f(a) + Ah + o(h)」が成り立つことを指して、f(a) + Ah は f(a + h) の x = a における1次近似であるという。この言葉を用いれば、一点における微分可能性とは1次近似可能性のことだといえる。またこれは、<a href="#直観的な説明">#直観的な説明</a>の、微分係数に関する3番目の説明を厳密化したものとみることができる。 <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="連続性と可微分性">連続性と可微分性</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AE%E5%88%86&action=edit&section=8" title="節を編集: 連続性と可微分性">編集</a>]</div> 関数 f(x) が x = a において微分可能ならば、 f(x) は x = a で必ず連続である。 <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Absolute_value.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6b/Absolute_value.svg/220px-Absolute_value.svg.png" decoding="async" width="220" height="147" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6b/Absolute_value.svg/330px-Absolute_value.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6b/Absolute_value.svg/440px-Absolute_value.svg.png 2x" data-file-width="600" data-file-height="400" /></a><figcaption>絶対値関数は x = 0 において連続だが、割線の傾きが左側で −1、右側で 1 だから微分可能でない。</figcaption></figure> 一方で、関数がある一点で連続だったとしても、そこで微分可能でないことがある。 <ul><li><a href="/wiki/%E7%B5%B6%E5%AF%BE%E5%80%A4" title="絶対値">絶対値</a>関数 f(x) = |x| は x = 0 において連続だが、この点で微分可能でない。h > 0 のときは (0, 0), (h, f(h)) を通る割線の傾きは 1 だが、h < 0 のときは −1 である。この例では、グラフは x = 0 においてカスプ（<a href="/wiki/%E5%B0%96%E7%82%B9" title="尖点">尖点</a>）をもつという言い方をする。</li> <li>関数 f(x) = x1/3 は x = 0 において連続だが、この点で微分可能でない。(0, 0), (h, f(h)) を通る割線の傾きは、h → 0 のとき正の無限大に発散するからである。この例は、グラフが滑らかにつながっているからといって微分可能とはかぎらないことを示している。</li></ul> 実用上現れる関数の大半は、<a href="/wiki/%E3%81%BB%E3%81%A8%E3%82%93%E3%81%A9_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)#ほとんど至るところで" title="ほとんど (数学)">ほとんど至るところで</a>微分可能である。<a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AE%E5%88%86%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%AD%A6%E3%81%AE%E6%AD%B4%E5%8F%B2&action=edit&redlink=1" class="new" title="「微分積分学の歴史」 (存在しないページ)">微分積分学の歴史</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/history_of_calculus" class="extiw" title="en:history of calculus">英語版</a>）の初期には、多くの数学者は連続関数はほとんど至るところで微分可能であると考えていた。この仮定は緩やかな条件、たとえば<a href="/wiki/%E5%8D%98%E8%AA%BF%E5%86%99%E5%83%8F" title="単調写像">単調写像</a>や<a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84%E9%80%A3%E7%B6%9A" title="リプシッツ連続">リプシッツ連続</a>などのもとでは確かに満たされる。しかし1872年に<a href="/wiki/%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%88%E3%83%A9%E3%82%B9" title="カール・ワイエルシュトラス">ワイエルシュトラス</a>は、至るところ連続だが、至るところ微分不可能な関数の例を与えた（<a href="/wiki/%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%88%E3%83%A9%E3%82%B9%E9%96%A2%E6%95%B0" title="ワイエルシュトラス関数">ワイエルシュトラス関数</a>）。1931年に<a href="/wiki/%E3%82%B9%E3%83%86%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%90%E3%83%8A%E3%83%95" title="ステファン・バナフ">ステファン・バナフ</a>は、連続関数全体のなす空間において、少なくとも1点で微分可能な関数全体のなす集合が痩せている(meager)ことを示した<a href="#cite_note-FOOTNOTEBanach1931-2">[2]</a>。くだけた言い方をすれば、ほとんどあらゆる連続関数がすべての点で微分不可能なのである。 <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="高階微分">高階微分</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AE%E5%88%86&action=edit&section=9" title="節を編集: 高階微分">編集</a>]</div> 関数 f が区間 I で<a class="mw-selflink-fragment" href="#区間における微分可能性と導関数">導関数</a> f ′ をもち、それがさらに I で微分可能なとき、f ′ の導関数を f の2階導関数とよび f ″ で表す。より一般に、関数 f が区間 I で n 回繰り返して微分できるとき、f は I で n 回微分可能であるといい、n 回微分して得られる関数を n 階導関数といって f (n) で表す。 f が n 回微分可能であって、さらに n 階導関数 f (n) が連続であるとき、f は n 回連続微分可能である（または C n 級である）という。何回でも微分可能な関数は無限回微分可能である（または C ∞ 級である）という。C ∞ 級関数のことを<a href="/wiki/%E6%BB%91%E3%82%89%E3%81%8B%E3%81%AA%E9%96%A2%E6%95%B0" title="滑らかな関数">滑らかな関数</a>ということもある（ただしこの語の用法は必ずしも一定していず、たとえば単に微分可能であることを指して滑らかであるという場合もある）。 <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="微分と関数の増減・凹凸">微分と関数の増減・凹凸</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AE%E5%88%86&action=edit&section=10" title="節を編集: 微分と関数の増減・凹凸">編集</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="導関数の符号と関数の増減">導関数の符号と関数の増減</h4>[<a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AE%E5%88%86&action=edit&section=11" title="節を編集: 導関数の符号と関数の増減">編集</a>]</div> 微分可能な関数 f(x) について、導関数 f′(x) が正の値をとる区間では、f(x) の値は単調増加する（より詳しくいえば、狭義単調増加する）。導関数 f′(x) が負の値をとる区間では f(x) の値は単調減少する。導関数 f′(x) の値がつねに 0 であるような区間では、関数 f(x) の値は一定である。 <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="2階導関数の符号と関数の凹凸">2階導関数の符号と関数の凹凸</h4>[<a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AE%E5%88%86&action=edit&section=12" title="節を編集: 2階導関数の符号と関数の凹凸">編集</a>]</div> 2階微分可能な関数 f(x) について、2階導関数 f′′(x) が正の値をとる区間では、関数 f(x) は凸（下に凸）である。f′′(x) が負の値をとる区間では関数 f(x) は凹（上に凸）である。 関数 f(x) が x = a の前後で凸から凹に、あるいは凹から凸に切り替わるとき、点 (a, f(a)) は f(x) のグラフの<a href="/wiki/%E5%A4%89%E6%9B%B2%E7%82%B9" title="変曲点">変曲点</a>であるという<a href="#cite_note-FOOTNOTEApostol1967§4.18-3">[3]</a>。2階微分可能な関数 f(x) については、これは2階導関数 f′′(x) の符号が切り替わる x の値に対応する点ということができる。 <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="多項式近似への応用">多項式近似への応用</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AE%E5%88%86&action=edit&section=13" title="節を編集: 多項式近似への応用">編集</a>]</div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" title="テイラーの定理">テイラーの定理</a>」を参照</div> 関数 f が開区間 I で n − 1 階微分可能で、n − 1 階導関数 f(n − 1) が x = a で微分可能なとき、f(n − 1) の x = a における微分係数を f(n)(a) とすれば <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(a+h)={\frac {f(a)}{0!}}+{\frac {f'(a)h}{1!}}+{\frac {f''(a)}{2!}}h^{2}+\dots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}h^{n}+O(h^{n})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>h</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>f</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>O</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(a+h)={\frac {f(a)}{0!}}+{\frac {f'(a)h}{1!}}+{\frac {f''(a)}{2!}}h^{2}+\dots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}h^{n}+O(h^{n})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcd9f8a8629a7f2533b9cb0f9f68efd934f1688d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:66.011ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle f(a+h)={\frac {f(a)}{0!}}+{\frac {f'(a)h}{1!}}+{\frac {f''(a)}{2!}}h^{2}+\dots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}h^{n}+O(h^{n})}"></dd></dl> が成り立つ（テイラーの定理のペアノの剰余項による形）。これは、前述の、一点における微分可能性の1次近似による定式化の一般化にあたる。 <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="ベクトル値関数の微分">ベクトル値関数の微分</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AE%E5%88%86&action=edit&section=14" title="節を編集: ベクトル値関数の微分">編集</a>]</div> 実数値の変数 x をもち、<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a87a024931038d1858dc22e8a194e5978c3412e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.353ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}"> に値をもつ<a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E5%80%A4%E5%87%BD%E6%95%B0" title="ベクトル値函数">ベクトル値函数</a> f(x) = (f1(x), …, fm(x)) を考える。これが一点 x = a において微分可能であるというのは、 <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mn>0</mn> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mi>h</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30df07a0657f89848c2aec5f29bd9e63c610d110" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:20.29ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}"></dd></dl> という極限が存在することである<a href="#cite_note-4">[注釈 1]</a>。上記の極限として現れるベクトルを f′(a) で表す（これも<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a87a024931038d1858dc22e8a194e5978c3412e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.353ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}">の元である）。一般には f′(a) に特に名前はないが、f(x) が <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a87a024931038d1858dc22e8a194e5978c3412e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.353ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}"> における点の位置の変化（<a href="/wiki/%E6%9B%B2%E7%B7%9A" title="曲線">曲線</a>といってもよい）を表しているとみなす場合は、f′(a) を<a href="/wiki/%E9%80%9F%E5%BA%A6" title="速度">速度</a>とよぶことがある。 f(x) = (f1(x), …, fm(x)) が x = a において微分可能であることと、各成分 fi(x) がすべて x = a において微分可能であることは同値である。また <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f'(a)=(f'_{1}(a),\dots ,f'_{m}(a))}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msubsup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'(a)=(f'_{1}(a),\dots ,f'_{m}(a))}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0868f2b718125e804a076f225c8fce111c331916" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:26.216ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f'(a)=(f'_{1}(a),\dots ,f'_{m}(a))}"></dd></dl> が成り立つ。 ベクトル値関数 f(x) が区間 I の各点で微分可能なとき、f(x) は区間 I において微分可能であるという。 ベクトル値関数については、高階微分も同様にして考えることができる。f′′(a) は、f(x) が <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a87a024931038d1858dc22e8a194e5978c3412e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.353ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}"> における点の位置の変化を表しているとみなす場合は、<a href="/wiki/%E5%8A%A0%E9%80%9F%E5%BA%A6" title="加速度">加速度</a>とよばれる。 <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="超準解析による定式化">超準解析による定式化</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AE%E5%88%86&action=edit&section=15" title="節を編集: 超準解析による定式化">編集</a>]</div> 実数を拡大して<a href="/wiki/%E8%B6%85%E5%AE%9F%E6%95%B0" title="超実数">超実数</a> R* (⊃ R) の体系の中で考えるとき、実函数 y = f(x) の実点 x における微分係数は（f の超実数への自然延長をやはり f と書くとき）、<a href="/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%B0%8F" title="無限小">無限小</a> ∆x に対して ∆y = f(x+ ∆x) - f(x) とすれば、Δy の Δx に関する商 <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r89142261">.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}</style>∆y/∆x の<a href="/w/index.php?title=%E6%A8%99%E6%BA%96%E9%83%A8&action=edit&redlink=1" class="new" title="「標準部」 (存在しないページ)">標準部</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/shadow_(mathematics)" class="extiw" title="en:shadow (mathematics)">英語版</a>） を考えることで定義することができる。ここで、上記の差分商の標準部が無限小 ∆x の取り方に依らずに定まるとき、すなわち <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \exists !m\in \mathbb {R} ,\forall {\mathit {\Delta x}}({\mathit {\Delta x}}\in \operatorname {monad} (0)\land {\mathit {\Delta x}}\neq 0),\;m=\operatorname {st} \!\left({\frac {f(a+{\mathit {\Delta x}})-f(a)}{\mathit {\Delta x}}}\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mo>!</mo> <mi>m</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic">Δ</mi> <mi class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic">x</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic">Δ</mi> <mi class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic">x</mi> </mrow> </mrow> <mo>∈</mo> <mi>monad</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∧</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic">Δ</mi> <mi class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic">x</mi> </mrow> </mrow> <mo>≠</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mi>st</mi> <mspace width="negativethinmathspace" /> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic">Δ</mi> <mi class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic">x</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic">Δ</mi> <mi class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic">x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exists !m\in \mathbb {R} ,\forall {\mathit {\Delta x}}({\mathit {\Delta x}}\in \operatorname {monad} (0)\land {\mathit {\Delta x}}\neq 0),\;m=\operatorname {st} \!\left({\frac {f(a+{\mathit {\Delta x}})-f(a)}{\mathit {\Delta x}}}\right)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c85df0fa6b836b5c602094fc9d8a6fef92b2921e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:71.268ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \exists !m\in \mathbb {R} ,\forall {\mathit {\Delta x}}({\mathit {\Delta x}}\in \operatorname {monad} (0)\land {\mathit {\Delta x}}\neq 0),\;m=\operatorname {st} \!\left({\frac {f(a+{\mathit {\Delta x}})-f(a)}{\mathit {\Delta x}}}\right)}"></dd></dl> が成り立つとき、この実数 m を実函数 f の a における微分係数と呼ぶ。 <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="記法について">記法について</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AE%E5%88%86&action=edit&section=16" title="節を編集: 記法について">編集</a>]</div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E3%81%AE%E8%A8%98%E6%B3%95" title="微分の記法">微分の記法</a>」を参照</div> 関数 f(x) の導関数や高階導関数を表す記法には次のようなものがある<a href="#cite_note-FOOTNOTECajori1923-5">[4]</a>。 また、y = f(x) とおいて、下記の記法における f を y で置き換えた記法も用いられる。 <table class="wikitable"> <caption>導関数や高階導関数を表す記法 </caption> <tbody><tr> <th></th> <th>導関数</th> <th>2階導関数</th> <th>3階導関数</th> <th>n 階導関数 </th></tr> <tr> <th>ラグランジュの記法 </th> <td>f′</td> <td>f″</td> <td>f′′′</td> <td>f(n) </td></tr> <tr> <th><a href="/wiki/%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%97%E3%83%8B%E3%83%83%E3%83%84%E3%81%AE%E8%A8%98%E6%B3%95" title="ライプニッツの記法">ライプニッツの記法</a> </th> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {df}{dx}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {df}{dx}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5d4eb531911adb8362a989a2c6b9e10bd46c099" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:3.382ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {df}{dx}}}"></td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eb3485c467b9a7471113bff667ecc022754fb12" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:4.436ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}}"> または <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff1587792435b153078694d4c7691e65583637e9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:5.715ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f}"></td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {d^{3}f}{dx^{3}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d^{3}f}{dx^{3}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e2245d40d09b2dce34232586b18a192bc0712b1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:4.436ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {d^{3}f}{dx^{3}}}}"> または <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {d^{3}}{dx^{3}}}f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d^{3}}{dx^{3}}}f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03e55ddc41d1532148fde22c5541c5c7eb104a89" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:5.715ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {d^{3}}{dx^{3}}}f}"></td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fe47b98f88eab92e3a02caa848a4f2583fa7a32" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:4.6ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}}"> または <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26f658ccd803ac783224e890820342f3019d1c38" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:5.879ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f}"> </td></tr> <tr> <th><a href="/wiki/%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%B3%E3%81%AE%E8%A8%98%E6%B3%95" title="ニュートンの記法">ニュートンの記法</a> </th> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {f}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>f</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {f}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30c87207a865fc766fb126d736bbca2e75111a12" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.699ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\dot {f}}}"></td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\ddot {f}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>f</mi> <mo>¨</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\ddot {f}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8345a84beb079ea440e778ed5c792838cc919deb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.699ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\ddot {f}}}"></td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overset {...}{f}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>f</mi> <mrow> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> </mrow> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overset {...}{f}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ead11833dac1dc77fcdd92ac61c439bbf8e7f022" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.463ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\overset {...}{f}}}"></td> <td>（通常使われない） </td></tr> <tr> <th><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AB%E3%82%A4%E3%83%BB%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%9C%E3%82%AC%E3%82%B9%E3%83%88&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ルイ・アーボガスト」 (存在しないページ)">ルイ・アーボガスト</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Louis_Fran%C3%A7ois_Antoine_Arbogast" class="extiw" title="en:Louis François Antoine Arbogast">英語版</a>）の記法<a href="#cite_note-8">[注釈 2]</a> </th> <td>Df または Dxf</td> <td>D2f または <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D_{x}^{2}f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D_{x}^{2}f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d88ed8b7af89736298f2d24d01aa74093bf62cd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.375ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle D_{x}^{2}f}"></td> <td>D3f または <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D_{x}^{3}f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msubsup> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D_{x}^{3}f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2bbfaa28f06201145e5539fd244c9ae639a32c2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.375ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle D_{x}^{3}f}"></td> <td>Dnf または <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D_{x}^{n}f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msubsup> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D_{x}^{n}f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfa2aac812cf803f33d84be112ca6809984ea171" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.421ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle D_{x}^{n}f}"> </td></tr></tbody></table> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="微分係数">微分係数</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AE%E5%88%86&action=edit&section=17" title="節を編集: 微分係数">編集</a>]</div> 点 a における微分係数（および高階の微分係数）を表すには、(a) を添えたり | x = a を添えたりする。 例えば、 <blockquote class="toccolours" style="float:none; display:table; border: 1px solid #aaa;"><div style="padding: 10px 15px 10px 15px;"> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{(n)}(a)={\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}(a)=\left.{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}\right|_{x=a}=D^{n}f(a)=\left.D^{n}f\right|_{x=a}=\left.y^{(n)}\right|_{x=a}=\left.{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}\right|_{x=a}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mrow> <mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mi>D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mrow> <mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo> <mrow> <msup> <mi>D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mi>f</mi> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mrow> <mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo>|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mrow> <mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{(n)}(a)={\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}(a)=\left.{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}\right|_{x=a}=D^{n}f(a)=\left.D^{n}f\right|_{x=a}=\left.y^{(n)}\right|_{x=a}=\left.{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}\right|_{x=a}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bf32a4466e5e2ebfaa49e2991cbbcd682e6a7cc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:73.698ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle f^{(n)}(a)={\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}(a)=\left.{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}\right|_{x=a}=D^{n}f(a)=\left.D^{n}f\right|_{x=a}=\left.y^{(n)}\right|_{x=a}=\left.{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}\right|_{x=a}}"></dd></dl></div></blockquote> である。 <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="微分公式">微分公式</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AE%E5%88%86&action=edit&section=18" title="節を編集: 微分公式">編集</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="基本法則">基本法則</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AE%E5%88%86&action=edit&section=19" title="節を編集: 基本法則">編集</a>]</div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%B3%95%E5%89%87&action=edit&redlink=1" class="new" title="「微分法則」 (存在しないページ)">微分法則</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Differentiation_rules" class="extiw" title="en:Differentiation rules">英語版</a>）」を参照</div> u, v が微分可能な x の函数で、a, b が x に無関係な<a href="/wiki/%E5%AE%9A%E6%95%B0" title="定数">定数</a>のとき <ul><li><a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E6%80%A7" title="線型性">線型性</a>: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (au+bv)'=au'+bv'.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mi>u</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mi>v</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>′</mo> </msup> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <msup> <mi>u</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <msup> <mi>v</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (au+bv)'=au'+bv'.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8670050f256983cd3055d8169205870a2cca80e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.659ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (au+bv)'=au'+bv'.}"></dd></dl></li> <li><a href="/wiki/%E7%A9%8D%E3%81%AE%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%B3%95%E5%89%87" title="積の微分法則">積の微分法則</a>: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (uv)'=u'v+uv',}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>u</mi> <mi>v</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>′</mo> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>u</mi> <mo>′</mo> </msup> <mi>v</mi> <mo>+</mo> <mi>u</mi> <msup> <mi>v</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (uv)'=u'v+uv',}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d860b26da64983a8274335d272b446555fb53cee" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.821ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (uv)'=u'v+uv',}"></dd> <dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d(u_{1}u_{2}\cdots u_{n})}{\mathit {dx}}}&=\sum _{i=1}^{n}u_{1}\cdots u_{i-1}{\frac {du_{i}}{\mathit {dx}}}u_{i+1}\cdots u_{n}\\&={\frac {du_{1}}{\mathit {dx}}}u_{2}u_{3}\cdots u_{n}+u_{1}{\frac {du_{2}}{\mathit {dx}}}u_{3}\cdots u_{n}+\cdots +u_{1}u_{2}\cdots u_{n-1}{\frac {du_{n}}{\mathit {dx}}},\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic">d</mi> <mi class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic">x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic">d</mi> <mi class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic">x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic">d</mi> <mi class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic">x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic">d</mi> <mi class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic">x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic">d</mi> <mi class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic">x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d(u_{1}u_{2}\cdots u_{n})}{\mathit {dx}}}&=\sum _{i=1}^{n}u_{1}\cdots u_{i-1}{\frac {du_{i}}{\mathit {dx}}}u_{i+1}\cdots u_{n}\\&={\frac {du_{1}}{\mathit {dx}}}u_{2}u_{3}\cdots u_{n}+u_{1}{\frac {du_{2}}{\mathit {dx}}}u_{3}\cdots u_{n}+\cdots +u_{1}u_{2}\cdots u_{n-1}{\frac {du_{n}}{\mathit {dx}}},\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a452359c0d8785f920a034a84462a13e6109896b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.671ex; width:78.429ex; height:12.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d(u_{1}u_{2}\cdots u_{n})}{\mathit {dx}}}&=\sum _{i=1}^{n}u_{1}\cdots u_{i-1}{\frac {du_{i}}{\mathit {dx}}}u_{i+1}\cdots u_{n}\\&={\frac {du_{1}}{\mathit {dx}}}u_{2}u_{3}\cdots u_{n}+u_{1}{\frac {du_{2}}{\mathit {dx}}}u_{3}\cdots u_{n}+\cdots +u_{1}u_{2}\cdots u_{n-1}{\frac {du_{n}}{\mathit {dx}}},\end{aligned}}}"></dd> <dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {d^{n}(uv)}{{\mathit {dx}}^{n}}}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}u^{(n-i)}v^{(i)}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>u</mi> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic">d</mi> <mi class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic">x</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mo> </mrow> <mfrac linethickness="0"> <mi>n</mi> <mi>i</mi> </mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <msup> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>i</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>i</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d^{n}(uv)}{{\mathit {dx}}^{n}}}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}u^{(n-i)}v^{(i)}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0e082d4349502192b66bb47d3b8f732e946dee5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:28.723ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {d^{n}(uv)}{{\mathit {dx}}^{n}}}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}u^{(n-i)}v^{(i)}.}"></dd></dl></li> <li><a href="/wiki/%E9%80%A3%E9%8E%96%E5%BE%8B" title="連鎖律">連鎖律</a> (Chain-rule): <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {d(u\circ v)}{\mathit {dx}}}={\frac {du}{\mathit {dv}}}\cdot {\frac {dv}{\mathit {dx}}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>u</mi> <mo>∘</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic">d</mi> <mi class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic">x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>u</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic">d</mi> <mi class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic">v</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic">d</mi> <mi class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic">x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d(u\circ v)}{\mathit {dx}}}={\frac {du}{\mathit {dv}}}\cdot {\frac {dv}{\mathit {dx}}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b4f37305e08ddc70dd23b3abeeb9fef3a2462d8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:20.499ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {d(u\circ v)}{\mathit {dx}}}={\frac {du}{\mathit {dv}}}\cdot {\frac {dv}{\mathit {dx}}}.}"></dd></dl></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="初等関数に関する公式">初等関数に関する公式</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AE%E5%88%86&action=edit&section=20" title="節を編集: 初等関数に関する公式">編集</a>]</div> いくつかの<a href="/wiki/%E5%88%9D%E7%AD%89%E9%96%A2%E6%95%B0" title="初等関数">初等関数</a>に関して、特徴的な微分公式が挙げられる。ex、ax、loge x、logax はそれぞれ<a href="/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0" title="指数関数">指数関数</a>と<a href="/wiki/%E5%AF%BE%E6%95%B0" title="対数">対数</a>であり、sin、cos、tan は<a href="/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0" title="三角関数">三角関数</a>、arcsin、arccos、arctan は三角函数の逆函数（<a href="/wiki/%E9%80%86%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0" title="逆三角関数">逆三角関数</a>）、sinh、cosh、tanh は<a href="/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E9%96%A2%E6%95%B0" title="双曲線関数">双曲線関数</a>、arsinh、arcosh、artanh は双曲線函数の逆函数（<a href="/wiki/%E9%80%86%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E9%96%A2%E6%95%B0" title="逆双曲線関数">逆双曲線関数</a>）である。また、三角函数および双曲線函数の<a href="/wiki/%E5%86%AA%E4%B9%97" title="冪乗">冪乗</a>は cos2x ≔ (cos x)2 のように函数名の肩に指数を書いて表していることに注意。 <table class="wikitable" style="font-size:small"> <caption>初等関数の微分 </caption> <tbody><tr> <th>原始関数 </th> <th>導関数 </th> <th>備考 </th></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {e} ^{x}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {e} ^{x}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/671522476834c1addcede5863cd14e9c86e75cd5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.205ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {e} ^{x}}"> </td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {e} ^{x}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {e} ^{x}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/671522476834c1addcede5863cd14e9c86e75cd5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.205ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {e} ^{x}}"> </td> <td>指数関数の微分 </td></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{x}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{x}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c031175c5142c25946f910813bf41c034fed75c1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.402ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a^{x}}"> </td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left(\log _{e}a\right)a^{x}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mi>a</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(\log _{e}a\right)a^{x}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6783dbecd0bd4499c8445d5ec67cd041cd1dc5a6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.186ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \left(\log _{e}a\right)a^{x}}"> </td> <td>一般の底の指数函数に対する微分 </td></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \log _{e}x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log _{e}x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b74001a2ed34b09d34925acf521a9d5fe2705b0a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.687ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \log _{e}x}"> </td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {1 \over x}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {1 \over x}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a57d55909e5a63655f3dbf70574ab0176e816a0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:2.166ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {1 \over x}}"> </td> <td><a href="/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%AF%BE%E6%95%B0" title="自然対数">自然対数</a>の微分 </td></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \log _{a}x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log _{a}x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c00152ae7a112add8460bca74d30d8ceb503d5c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.79ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \log _{a}x}"> </td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {1 \over x\log _{e}a}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>x</mi> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mi>a</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {1 \over x\log _{e}a}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acc2350429945e89c24464592f8491998bfcf916" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:8.14ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {1 \over x\log _{e}a}}"> </td> <td>一般の底の<a href="/wiki/%E5%AF%BE%E6%95%B0" title="対数">対数</a>に対する微分 </td></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{a}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{a}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39e0aeaa9f539d95a769634b9e33974b45675111" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.432ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x^{a}}"> </td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ax^{a-1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ax^{a-1}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9d21a5665193be6c60510441511d414820efa4b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.762ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle ax^{a-1}}"> </td> <td><a href="/wiki/%E5%86%AA%E4%B9%97" title="冪乗">冪乗</a>の微分 </td></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sin x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sin x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09b4b55580d6a821a07ad9fe35be88976917b10b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.572ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \sin x}"> </td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cos x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cos x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/184ba70c3a71df25a25c09f34cd7f8175a9b5280" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.828ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \cos x}"> </td> <td>正弦函数の微分 </td></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cos x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cos x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/184ba70c3a71df25a25c09f34cd7f8175a9b5280" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.828ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \cos x}"> </td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -\sin x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -\sin x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/506006811ed806ee55fb1db8a7c1060c012fa313" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.768ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -\sin x}"> </td> <td>余弦函数の微分 </td></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tan x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>tan</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tan x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3983a722002d77dd3d0babab871c50488aef9f4b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.076ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \tan x}"> </td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {1 \over \cos ^{2}x}=1+\tan ^{2}x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msup> <mi>cos</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>tan</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {1 \over \cos ^{2}x}=1+\tan ^{2}x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/650d7fb0f6dfdf4bd819cbc5c363baa8abdfd5d9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:19.95ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {1 \over \cos ^{2}x}=1+\tan ^{2}x}"> </td> <td>正接函数の微分 </td></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \arcsin x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>arcsin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \arcsin x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8941574c0f224adeedae0f72bd48098116cc2068" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.679ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \arcsin x}"> </td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}},\quad \left(-1<x<1\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo><</mo> <mi>x</mi> <mo><</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}},\quad \left(-1<x<1\right)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dbac11ce15e0a916c3c64abf496da1b23d3f064" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:26.372ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}},\quad \left(-1<x<1\right)}"> </td> <td>逆正弦函数の微分 </td></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \arccos x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>arccos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \arccos x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2f5e84a5218f798ae5d01f85cec659fbb6e3df2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.934ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \arccos x}"> </td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}},\quad \left(-1<x<1\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo><</mo> <mi>x</mi> <mo><</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}},\quad \left(-1<x<1\right)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e5ead25b663b02053ff20bae89693925f15647d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:28.18ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle -{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}},\quad \left(-1<x<1\right)}"> </td> <td>逆余弦函数の微分 </td></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \arctan x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>arctan</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \arctan x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea7315ab90c047f16ec0972c15e14988ed737c1f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.183ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \arctan x}"> </td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {1 \over 1+x^{2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {1 \over 1+x^{2}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74636adf3426bd825714ba2d3286c28de7791d37" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:7.223ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {1 \over 1+x^{2}}}"> </td> <td>逆正接函数の微分 </td></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sinh x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>sinh</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sinh x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa855e59efeb97e8146142f9aa3414fca17f24a8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.865ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \sinh x}"> </td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cosh x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>cosh</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cosh x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa23e796f0d4eae2439367502f387edfa6c4b559" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.12ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \cosh x}"> </td> <td>双曲線正弦函数の微分 </td></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cosh x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>cosh</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cosh x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa23e796f0d4eae2439367502f387edfa6c4b559" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.12ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \cosh x}"> </td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sinh x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>sinh</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sinh x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa855e59efeb97e8146142f9aa3414fca17f24a8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.865ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \sinh x}"> </td> <td>双曲線余弦函数の微分 </td></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tanh x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>tanh</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tanh x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0be1dd47ba059a32307fa7dbcf98c0877931e39" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.369ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \tanh x}"> </td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {1 \over \cosh ^{2}x}=1-\tanh ^{2}x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msup> <mi>cosh</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <msup> <mi>tanh</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {1 \over \cosh ^{2}x}=1-\tanh ^{2}x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b66fdd518f4bab125d9fbc4979433d05d82d796a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:22.535ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {1 \over \cosh ^{2}x}=1-\tanh ^{2}x}"> </td> <td>双曲線正接函数の微分 </td></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {arsinh} x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>arsinh</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {arsinh} x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ae4dd27fb2ea192a32d2dc919170dd6028efec2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.939ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {arsinh} x}"> </td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {1 \over {\sqrt {1+x^{2}}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {1 \over {\sqrt {1+x^{2}}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae8dc7fc6ee7816716af03fb37d7e24a7ee22d8c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:9.547ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {1 \over {\sqrt {1+x^{2}}}}}"> </td> <td>逆双曲線正弦函数の微分 </td></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {arcosh} x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>arcosh</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {arcosh} x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f3d1be50bda0a00cb4354fce22fd95826dd8b73" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.194ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {arcosh} x}"> </td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {1 \over {\sqrt {x^{2}-1}}},\quad \left(|x|>1\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </msqrt> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>></mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {1 \over {\sqrt {x^{2}-1}}},\quad \left(|x|>1\right)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2413d1cddcdd2718641a539a90a3d3e1321fbca1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:21.597ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {1 \over {\sqrt {x^{2}-1}}},\quad \left(|x|>1\right)}"> </td> <td>逆双曲線余弦函数の微分 </td></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {artanh} x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>artanh</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {artanh} x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00e5332b77be1339db02748afcf70ce1814d5819" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.443ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {artanh} x}"> </td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {1 \over {1-x^{2}}},\quad \left(-1<x<1\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo><</mo> <mi>x</mi> <mo><</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {1 \over {1-x^{2}}},\quad \left(-1<x<1\right)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1985013bb14e9f215c6e29567dfb17ba67e53eea" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:24.048ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {1 \over {1-x^{2}}},\quad \left(-1<x<1\right)}"> </td> <td>逆双曲線正接函数の微分 </td></tr></tbody></table> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="多変数函数の微分法">多変数函数の微分法</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AE%E5%88%86&action=edit&section=21" title="節を編集: 多変数函数の微分法">編集</a>]</div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E8%A7%A3%E6%9E%90" title="ベクトル解析">ベクトル解析</a>」および「<a href="/wiki/%E5%A4%9A%E5%A4%89%E6%95%B0%E5%BE%AE%E5%88%86%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%AD%A6" title="多変数微分積分学">多変数微分積分学</a>」を参照</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="偏微分と方向微分">偏微分と方向微分</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AE%E5%88%86&action=edit&section=22" title="節を編集: 偏微分と方向微分">編集</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="偏微分">偏微分</h4>[<a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AE%E5%88%86&action=edit&section=23" title="節を編集: 偏微分">編集</a>]</div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E5%81%8F%E5%BE%AE%E5%88%86" title="偏微分">偏微分</a>」を参照</div> n 個の実数値変数をもつ多変数関数 f(x1, …, xn) が与えられたとする（f はスカラー値でなくベクトル値でもよい）。各 xj について、xj を除く n − 1 個の変数の値を固定することにより、f(x1, …, xn) を変数 xj のみをもつ1変数関数とみなすことができる。そのようにみた上で f(x1, …, xn) を変数 xj について微分するのが偏微分とよばれる操作である。 f(x1, …, xn) が <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}"> の開集合 D で定義されているとする。点 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})\in D}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})\in D}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ae73faa28952c6d97cb6229703d7e69006456dd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.485ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})\in D}"> に対し、xj 以外の変数を xk = ak とおいて固定し、 <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(a_{1},\dots ,a_{j-1},x_{j},a_{j+1},\dots ,a_{n})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(a_{1},\dots ,a_{j-1},x_{j},a_{j+1},\dots ,a_{n})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/443aba89a31dbcb7ba98902b5170d919b52ef6f4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:30.964ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f(a_{1},\dots ,a_{j-1},x_{j},a_{j+1},\dots ,a_{n})}"></dd></dl> という xj の1変数関数を考える。その xj = aj における微分係数 <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{j-1},a_{j}+h,a_{j+1},\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{j-1},a_{j},a_{j+1},\ldots ,a_{n})}{h}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mn>0</mn> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>h</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mi>h</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{j-1},a_{j}+h,a_{j+1},\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{j-1},a_{j},a_{j+1},\ldots ,a_{n})}{h}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f679c09c83d8623472f2483f1527715f95cfac2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:73.383ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{j-1},a_{j}+h,a_{j+1},\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{j-1},a_{j},a_{j+1},\ldots ,a_{n})}{h}}}"></dd></dl> を、f(x1, …, xn) の点 (a1, …, an) における xj に関する偏微分係数といい、 <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{x_{j}}(a_{1},\ldots ,a_{n})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{x_{j}}(a_{1},\ldots ,a_{n})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/272839e317e3625368eb82564ca04afd18df6df3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:14.746ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f_{x_{j}}(a_{1},\ldots ,a_{n})}">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8dc18afc92eeacbf8cde4c8d4626772ec2a0812" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:16.113ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})}">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \partial _{x_{j}}f(a_{1},\ldots ,a_{n})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \partial _{x_{j}}f(a_{1},\ldots ,a_{n})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f1d36478a1502cbf1cb0d0ce32ce872428ab2ac" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:16.12ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \partial _{x_{j}}f(a_{1},\ldots ,a_{n})}"></dd></dl> などの記号で表す。また、点 (a1, …, an) に対してこれらの偏微分係数を対応づける D 上の関数を f(x1, …, xn) の xj に関する偏導関数といい、 <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{x_{j}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{x_{j}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0a9b36f0ada690493c452e3d9ba75ed98ae34ca" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:3.026ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f_{x_{j}}}">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01f4ca95ee492b1be34e38651a9ac4629ffee5aa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:4.394ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}}">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \partial _{x_{j}}f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \partial _{x_{j}}f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ab586c32c083c899246810220379ec47482273f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:4.4ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \partial _{x_{j}}f}"></dd></dl> などで表す。丸い d の記号 <a href="/wiki/%E2%88%82" title="∂">∂</a> は偏微分記号などとよばれる。 f(x1, …, xn) が D の各点ですべての変数について偏微分可能で、かつすべての偏導関数 ∂f/∂xj が D で連続であるとき、関数 f は D で連続微分可能（または C1 級）であるという。 <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="高階の偏微分">高階の偏微分</h4>[<a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AE%E5%88%86&action=edit&section=24" title="節を編集: 高階の偏微分">編集</a>]</div> 偏微分を繰り返して行うことにより得られる微分係数のことを高階の偏微分係数という。これは微分の階数について帰納的に定義される。 たとえば f(x1, …, xn) の点 a = (a1, …, an) における2階偏微分係数 <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j_{1}}\partial x_{j_{2}}}}(a)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>j</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>j</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j_{1}}\partial x_{j_{2}}}}(a)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c141f0e77ab66c398f565a55950782ef1ca90602" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:12.653ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j_{1}}\partial x_{j_{2}}}}(a)}"></dd></dl> は次のように定義される。前提として、導関数 ∂f/∂xj2 が存在するものとする。この仮定のもとで、 ∂f/∂xj2 が点 a において xj1 に関して偏微分可能ならば、その偏微分係数のことを上記の記号で表すのである。∂f/∂xj2 があらゆる点 a において xj1 に関して偏微分可能であるとき、点 a に上記の2階偏微分係数を対応づける関数のことを、 <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j_{1}}\partial x_{j_{2}}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>j</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>j</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j_{1}}\partial x_{j_{2}}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/756671465ddf364d6dd4d5f8b91ba5f45a12c585" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:9.614ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j_{1}}\partial x_{j_{2}}}}}"></dd></dl> と書いて2階偏導関数とよぶ。同様のことを繰り返して、一般の k 階偏微分係数 <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial ^{k}f}{\partial x_{j_{1}}\partial x_{j_{2}}\dotsb \partial x_{j_{k}}}}(a)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>j</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>j</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>j</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial ^{k}f}{\partial x_{j_{1}}\partial x_{j_{2}}\dotsb \partial x_{j_{k}}}}(a)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/065a21f01ea6d3e0ef532e8a737a625a606d976f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:20.568ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial ^{k}f}{\partial x_{j_{1}}\partial x_{j_{2}}\dotsb \partial x_{j_{k}}}}(a)}"></dd></dl> および k 階偏導関数 <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial ^{k}f}{\partial x_{j_{1}}\partial x_{j_{2}}\dotsb \partial x_{j_{k}}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>j</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>j</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>j</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial ^{k}f}{\partial x_{j_{1}}\partial x_{j_{2}}\dotsb \partial x_{j_{k}}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a597810dc63177f58455ec0e5380aaeef31bec8b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:17.529ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial ^{k}f}{\partial x_{j_{1}}\partial x_{j_{2}}\dotsb \partial x_{j_{k}}}}}"></dd></dl> が定義される。 微分の順序交換については次が知られている。2変数関数 f(x, y) について、2階偏導関数 ∂2f/∂x∂y, ∂2f/∂y∂x がともに存在して、さらにいずれも点 a において連続ならば、 <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}(a)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}(a)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>y</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}(a)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}(a)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/754e12cbb44776a62846387728f5073e3a48b7ea" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:21.866ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}(a)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}(a)}"></dd></dl> が成立する。2階偏導関数の連続性の仮定が満たされなければこの等式は一般には成立しない。n 変数関数の微分の順序交換についても同じことがいえる。 <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="方向微分">方向微分</h4>[<a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AE%E5%88%86&action=edit&section=25" title="節を編集: 方向微分">編集</a>]</div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E6%96%B9%E5%90%91%E5%BE%AE%E5%88%86" title="方向微分">方向微分</a>」を参照</div> 関数 f(x1, …, xn) について、偏微分は f の各座標軸方向への変化を測る。f の任意の方向への変化を測るのが方向微分である。 ベクトル v = (v1, …, vn) に対して、関数 f の点 a = (a1, …, an) における v 方向への方向微分係数とは、 <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+hv)-f(a)}{h}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mn>0</mn> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>h</mi> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mi>h</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+hv)-f(a)}{h}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f41a92acc8f4d7bf3ac6d107aeefb6a03aff6e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:21.418ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+hv)-f(a)}{h}}}"></dd></dl> のことである。xj 軸正の方向の単位ベクトルを ej とするとき、ej 方向への方向微分係数は、xj に関する偏微分係数に他ならない。 f が点 a においてすべての変数に関して偏微分可能ならば、あらゆるベクトル v について、点 a における v 方向への方向微分係数が存在する。またこのとき、方向微分係数は v に関して線型である。特に、v = (v1, …, vn) に対して方向微分係数 Dvf(a) は <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D_{v}f(a)=\sum _{j=1}^{n}v_{j}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(a)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>v</mi> </mrow> </msub> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D_{v}f(a)=\sum _{j=1}^{n}v_{j}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(a)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f45cd3e30cc01a71347d58b9ca6b4fc75afe488" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:23.582ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle D_{v}f(a)=\sum _{j=1}^{n}v_{j}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(a)}"></dd></dl> によって与えられる。 <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="全微分">全微分</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AE%E5%88%86&action=edit&section=26" title="節を編集: 全微分">編集</a>]</div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E5%85%A8%E5%BE%AE%E5%88%86" title="全微分">全微分</a>」を参照</div> f が Rn の開集合から Rm への函数ならば、f の方向微分は、その点における f の選択した方向への最適線型近似を与える。しかし、 n > 1 のときは、位置方向への方向微分だけでは f の挙動を完全に捉えることはできない。全微分は、全ての方向を一度にまとめて考えることで函数の挙動を完全にとらえるものである。 f の a における全微分係数（あるいは単に全微分）は <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to 0}{\frac {\lVert f(\mathbf {a} +\mathbf {h} )-f(\mathbf {a} )-f'(\mathbf {a} )\mathbf {h} \rVert }{\lVert \mathbf {h} \rVert }}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">h</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mn>0</mn> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">h</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">h</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> </mrow> <mrow> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">h</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to 0}{\frac {\lVert f(\mathbf {a} +\mathbf {h} )-f(\mathbf {a} )-f'(\mathbf {a} )\mathbf {h} \rVert }{\lVert \mathbf {h} \rVert }}=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91fdfd0a79f2181b0785702850cc7a5fefb95e86" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:36.705ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to 0}{\frac {\lVert f(\mathbf {a} +\mathbf {h} )-f(\mathbf {a} )-f'(\mathbf {a} )\mathbf {h} \rVert }{\lVert \mathbf {h} \rVert }}=0}"></dd></dl> を満たす唯一の線型写像 f ′(a): Rn → Rm と定義される。ただし、h ∈ Rn だから分母におけるノルムは Rn における標準ノルムであり、他方 f ′(a)h ∈ Rm であり分子のノルムは Rm の標準ノルムである。v が a を始点とするベクトルならば、f ′(a)v は f による v の押し出しと呼ばれ、f∗v とも書かれる。f の点 a における全微分係数 f ′(a) は a を始点とする任意のベクトル v に対して、線型近似公式 <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )\approx f(\mathbf {a} )+f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">v</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≈</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">v</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )\approx f(\mathbf {a} )+f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd55534d01797da27bc6e71083b35dc3b23c9513" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.49ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )\approx f(\mathbf {a} )+f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} }"></dd></dl> が満足される。一変数の微分係数のときと同じく f ′(a) はこの近似の誤差が可能な限り最小となるように選ばれる。高次元の場合に、この線型近似公式が意味を持つためには f ′(a) は Rn のベクトルを Rm のベクトルへ写す線型写像でければならず、また f ′(a)v はその写像の v における値でなければならない。 <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="偏微分・方向微分との関係">偏微分・方向微分との関係</h4>[<a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AE%E5%88%86&action=edit&section=27" title="節を編集: 偏微分・方向微分との関係">編集</a>]</div> 点 a において全微分係数が存在するならば、a における f の任意の偏微分および方向微分が存在する。即ち、任意の v に対して f ′(a)v が f の a における v-方向への方向微分になる。f を座標成分函数を用いて f = (f1, f2, …, fm) と書けば、全微分係数は、偏微分を用いて<a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" class="mw-redirect" title="行列 (数学)">行列</a>として表すことができる。この行列 <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f'(\mathbf {a} )=\operatorname {Jac} _{\mathbf {a} }=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{ij}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>Jac</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'(\mathbf {a} )=\operatorname {Jac} _{\mathbf {a} }=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{ij}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8968ba9619b664c2e16b7745b8c3f7505ca032" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:25.144ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle f'(\mathbf {a} )=\operatorname {Jac} _{\mathbf {a} }=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{ij}}"></dd></dl> は f の a における<a href="/wiki/%E3%83%A4%E3%82%B3%E3%83%93%E8%A1%8C%E5%88%97" title="ヤコビ行列">ヤコビ行列</a>と呼ばれる。全微分係数 f ′(a) が存在することは、すべての偏微分が存在することよりも真に強い条件であるが、偏微分が全て存在して連続ならば全微分は存在し、それはヤコビ行列によって与えられ、a に関して連続的に変化する。 全微分係数の定義は一変数の場合も含むものになっている。f が実一変数の実数値函数であるとき、全微分係数の存在する必要十分条件は通常の微分係数が存在することである。ヤコビ行列は微分係数 f ′(x) を唯一の成分とする 1 × 1 行列であり、この行列は f(a + h) ≈ f(a) + f ′(a)h なる近似性質を持つ。<a href="/w/index.php?title=%E5%A4%89%E6%95%B0%E5%A4%89%E6%8F%9B&action=edit&redlink=1" class="new" title="「変数変換」 (存在しないページ)">変数を取り替える</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Change_of_variables" class="extiw" title="en:Change of variables">英語版</a>）<a href="/wiki/%E9%81%95%E3%81%84%E3%82%92%E9%99%A4%E3%81%84%E3%81%A6" title="違いを除いて">違いを除いて</a>、これは函数 x ↦ f(a) + f ′(a)(x − a) が f の a における最適線型近似であることを述べるものである。 <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="高階の全微分">高階の全微分</h4>[<a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AE%E5%88%86&action=edit&section=28" title="節を編集: 高階の全微分">編集</a>]</div> 函数の全微分をとる操作では、一変数の場合と同じやり方で考えたのでは、別の函数（導函数）を与えることは無い。これは多変数函数の全微分係数が一変数函数の微分係数よりも多くの情報をもつものであることからくるもので、実際に全微分は函数の始域となる空間の<a href="/wiki/%E6%8E%A5%E6%9D%9F" title="接束">接束</a>から終域となる空間の接束への写像を与えるものになっている。 自然な意味で高階導函数に対応する概念は、線型写像でも接束上の写像でもなく、また全微分を繰り返すことで構成されるものでもない。 <dl><dt>ジェット</dt> <dd>高階の全導函数となるべきものは<a href="/w/index.php?title=%E3%82%B8%E3%82%A7%E3%83%83%E3%83%88_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ジェット (数学)」 (存在しないページ)">ジェット</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/jet_(mathematics)" class="extiw" title="en:jet (mathematics)">英語版</a>）と呼ばれるもので、これは線型写像ではない（高階導函数は凹性（凸性）などの微妙な幾何学的性質を反映するので、これはベクトルのような線型の情報では記述できない）し、接束上の写像でもない（接束は底空間と方向微分に対してしか意味を成さない）。ジェットは高階の情報を反映することから、各方向への高階の変化を表す追加の座標を引数としてとる。このような余分の座標によって決定される空間は<a href="/w/index.php?title=%E3%82%B8%E3%82%A7%E3%83%83%E3%83%88%E6%9D%9F&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ジェット束」 (存在しないページ)">ジェット束</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/jet_bundle" class="extiw" title="en:jet bundle">英語版</a>）と呼ばれる。函数の全微分と偏微分との関係に並列に対応するものは、函数の k-階のジェットと k 階以下の偏微分との関係として理解することができる。</dd></dl> <dl><dt>高階フレシェ微分</dt> <dd>全微分を繰り返しとることは、高階の<a href="/wiki/%E3%83%95%E3%83%AC%E3%82%B7%E3%82%A7%E5%BE%AE%E5%88%86" title="フレシェ微分">フレシェ微分</a>（を Rp に特殊化したもの）として定式化することができる。つまり、k-階の全微分は <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D^{k}f\colon \mathbb {R} ^{n}\to L^{k}(\mathbb {R} ^{n}\times \cdots \times \mathbb {R} ^{n},\,\mathbb {R} ^{m})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">→</mo> <msup> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>×</mo> <mo>⋯</mo> <mo>×</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D^{k}f\colon \mathbb {R} ^{n}\to L^{k}(\mathbb {R} ^{n}\times \cdots \times \mathbb {R} ^{n},\,\mathbb {R} ^{m})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28e2eebf0c733ba207352e21accacdb7ec29e764" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:35.288ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle D^{k}f\colon \mathbb {R} ^{n}\to L^{k}(\mathbb {R} ^{n}\times \cdots \times \mathbb {R} ^{n},\,\mathbb {R} ^{m})}"></dd></dl></dd> <dd>なる写像として解釈することができる。この写像は点 x ∈ Rn に対して、Rn から Rm への k-<a href="/wiki/%E5%A4%9A%E9%87%8D%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%86%99%E5%83%8F" title="多重線型写像">多重線型写像</a>の空間の元で、その点において f を（ある特定の明確な意味において）「最適」に k-重線型近似するものを割り当てる。対角線埋め込み Δ: x → (x, x, …, x) との合成を考えれば、多変数のテイラー級数も最初の方の項が <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}f(\mathbf {x} )&\approx f(\mathbf {a} )+(Df)(\mathbf {x} )+(D^{2}f)(\Delta (\mathbf {x-a} ))+\cdots \\&=f(\mathbf {a} )+(Df)(\mathbf {x-a} )+(D^{2}f)(\mathbf {x-a} ,\mathbf {x-a} )+\cdots \\&=f(\mathbf {a} )+\sum _{i}(Df)_{i}(\mathbf {x-a} )^{i}+\sum _{j,k}(D^{2}f)_{jk}(\mathbf {x-a} )^{j}(\mathbf {x-a} )^{k}+\cdots \end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>≈</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>D</mi> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> <mo mathvariant="bold">−</mo> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>D</mi> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> <mo mathvariant="bold">−</mo> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> <mo mathvariant="bold">−</mo> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> <mo mathvariant="bold">−</mo> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>D</mi> <mi>f</mi> <msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> <mo mathvariant="bold">−</mo> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> </munder> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>f</mi> <msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> <mo mathvariant="bold">−</mo> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> <mo mathvariant="bold">−</mo> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}f(\mathbf {x} )&\approx f(\mathbf {a} )+(Df)(\mathbf {x} )+(D^{2}f)(\Delta (\mathbf {x-a} ))+\cdots \\&=f(\mathbf {a} )+(Df)(\mathbf {x-a} )+(D^{2}f)(\mathbf {x-a} ,\mathbf {x-a} )+\cdots \\&=f(\mathbf {a} )+\sum _{i}(Df)_{i}(\mathbf {x-a} )^{i}+\sum _{j,k}(D^{2}f)_{jk}(\mathbf {x-a} )^{j}(\mathbf {x-a} )^{k}+\cdots \end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8f6313d1b9466159d7d008dcb6a152dfd0791cb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.671ex; width:70.022ex; height:12.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}f(\mathbf {x} )&\approx f(\mathbf {a} )+(Df)(\mathbf {x} )+(D^{2}f)(\Delta (\mathbf {x-a} ))+\cdots \\&=f(\mathbf {a} )+(Df)(\mathbf {x-a} )+(D^{2}f)(\mathbf {x-a} ,\mathbf {x-a} )+\cdots \\&=f(\mathbf {a} )+\sum _{i}(Df)_{i}(\mathbf {x-a} )^{i}+\sum _{j,k}(D^{2}f)_{jk}(\mathbf {x-a} )^{j}(\mathbf {x-a} )^{k}+\cdots \end{aligned}}}"></dd></dl></dd> <dd>となるようなものとして与えられる。ただし、f(a) は定値函数と同一視され、各 (x − a)i はベクトル x − a の第 i-成分で、(Df)i, (D2f)jk, … は線型変換としての Df, D2f, … の各成分を表す。</dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="一般化">一般化</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AE%E5%88%86&action=edit&section=29" title="節を編集: 一般化">編集</a>]</div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E3%81%AE%E4%B8%80%E8%88%AC%E5%8C%96" title="微分の一般化">微分の一般化</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Derivative_(generalizations)" class="extiw" title="en:Derivative (generalizations)">英語版</a>）」を参照</div> 微分の概念を多くの他の状況設定の下でも拡張して定義することができる。共通することは、一つの点における函数の導函数がその点における函数の<a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E8%BF%91%E4%BC%BC" title="線型近似">線型近似</a>として働くことである。 <ul><li>実函数の微分の重要な一般化は、<a href="/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E5%B9%B3%E9%9D%A2" title="複素平面">複素平面</a>上の<a href="/wiki/%E9%A0%98%E5%9F%9F_(%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%AD%A6)" title="領域 (解析学)">領域</a>からガウス平面 C への函数のような<a href="/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="複素数">複素数</a>の<a href="/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E8%A7%A3%E6%9E%90" title="複素解析">複素解析</a>である。複素函数の微分の概念は、実函数の微分の定義において実変数であるところを複素変数に置き換えることで得られる。二つの実数 x, y を用いて複素数 z = x + i y と書くことによりガウス平面 C を座標平面 R2 と同一視するとき、C から C への複素可微分函数は R2 から R2 へのある種の（その偏導函数が全て存在するという意味での）実可微分函数とみなすことができるが、逆は一般には成り立たない（複素微分が存在するのは実導函数が「複素線型」であるときに限り、これは二つの偏導函数が<a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%81%AE%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" title="コーシー・リーマンの方程式">コーシー–リーマンの方程式</a>と呼ばれる関係式を満足することを課すものである）。<a href="/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E9%96%A2%E6%95%B0" title="正則関数">正則関数</a>の項を参照。</li> <li>別の一般化として<a href="/wiki/%E5%8F%AF%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93" title="可微分多様体">可微分多様体</a>（滑らかな多様体）の間の写像の微分を考えることができる。直観的に言えば、可微分多様体 M とはその各点 x の近くで<a href="/wiki/%E6%8E%A5%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93" title="接ベクトル空間">接ベクトル空間</a>と呼ばれる<a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93" title="ベクトル空間">ベクトル空間</a>によって近似することのできる空間である（原型的な例は R3 内の<a href="/w/index.php?title=%E6%BB%91%E3%82%89%E3%81%8B%E3%81%AA%E6%9B%B2%E9%9D%A2&action=edit&redlink=1" class="new" title="「滑らかな曲面」 (存在しないページ)">滑らかな曲面</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/smooth_surface" class="extiw" title="en:smooth surface">英語版</a>）である）。そのような多様体間の可微分写像 f: M → N の点 x ∈ M における微分係数あるいは微分は、x における M の接空間から f(x) における N の接空間への<a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%86%99%E5%83%8F" title="線型写像">線型写像</a>であり、導函数は M の<a href="/wiki/%E6%8E%A5%E6%9D%9F" title="接束">接束</a>から N の接束への写像となる。この定義は<a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6" title="微分幾何学">微分幾何学</a>において基本的であり、多くの応用がある。<a href="/wiki/%E5%86%99%E5%83%8F%E3%81%AE%E5%BE%AE%E5%88%86" title="写像の微分">写像の微分</a>（押し出し）および<a href="/w/index.php?title=%E5%BC%95%E3%81%8D%E6%88%BB%E3%81%97_(%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6)&action=edit&redlink=1" class="new" title="「引き戻し (微分幾何学)」 (存在しないページ)">引き戻し (微分幾何学)</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/pullback_(differential_geometry)" class="extiw" title="en:pullback (differential geometry)">英語版</a>）の項を参照。</li> <li><a href="/wiki/%E3%83%90%E3%83%8A%E3%83%83%E3%83%8F%E7%A9%BA%E9%96%93" title="バナッハ空間">バナッハ空間</a>や<a href="/wiki/%E3%83%95%E3%83%AC%E3%82%B7%E3%82%A7%E7%A9%BA%E9%96%93" title="フレシェ空間">フレシェ空間</a>のような<a href="/w/index.php?title=%E7%84%A1%E9%99%90%E6%AC%A1%E5%85%83&action=edit&redlink=1" class="new" title="「無限次元」 (存在しないページ)">無限次元</a>線型空間の間の写像に対する微分法も定義できる。<a href="/wiki/%E6%96%B9%E5%90%91%E5%BE%AE%E5%88%86" title="方向微分">方向微分</a>の一般化である<a href="/wiki/%E3%82%AC%E3%83%88%E3%83%BC%E5%BE%AE%E5%88%86" title="ガトー微分">ガトー微分</a>や<a href="/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%BE%AE%E5%88%86" title="関数の微分">関数の微分</a>の一般化である<a href="/wiki/%E3%83%95%E3%83%AC%E3%82%B7%E3%82%A7%E5%BE%AE%E5%88%86" title="フレシェ微分">フレシェ微分</a>などがある。</li> <li>古典的な微分の欠点は微分可能な函数がそれほどまでには多くないことである。それにも関わらず、微分の概念を拡張して任意の連続函数やほかの多くの函数を微分可能とするものに、<a href="/wiki/%E5%BC%B1%E5%BE%AE%E5%88%86" title="弱微分">弱微分</a>がある。これは連続函数をより大きな分布の空間に埋め込んで、「平均の上で」のみ微分可能性を課すというものである。</li> <li>微分の性質に着想を得て代数学や位相空間論における同様の対象がたくさん導入され研究されている。例えば<a href="/w/index.php?title=%E5%B0%8E%E5%88%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「導分」 (存在しないページ)">導分</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Derivation_(differential_algebra)" class="extiw" title="en:Derivation (differential algebra)">英語版</a>）、<a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E7%92%B0" title="微分環">微分環</a>などを参照。</li> <li>微分の離散的対応物は<a href="/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E5%B7%AE%E5%88%86" title="有限差分">有限差分</a>である。微分法の研究は<a href="/wiki/%E6%99%82%E9%96%93%E5%B0%BA%E5%BA%A6%E5%BE%AE%E5%88%86%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%AD%A6" title="時間尺度微分積分学">時間尺度微分積分学</a>において差分法と統一される。</li> <li><a href="/w/index.php?title=%E7%AE%97%E8%A1%93%E5%BE%AE%E5%88%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「算術微分」 (存在しないページ)">算術微分</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/arithmetic_derivative" class="extiw" title="en:arithmetic derivative">英語版</a>）（数論的微分）</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="訳語の由来">訳語の由来</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AE%E5%88%86&action=edit&section=30" title="節を編集: 訳語の由来">編集</a>]</div> 微分・<a href="/wiki/%E7%A9%8D%E5%88%86" class="mw-redirect" title="積分">積分</a>という訳語は<a href="/wiki/%E6%9D%8E%E5%96%84%E8%98%AD" title="李善蘭">李善蘭</a>が<a href="/w/index.php?title=%E3%82%A2%E3%83%AC%E3%82%AF%E3%82%B5%E3%83%B3%E3%83%80%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%83%AA%E3%83%BC_(%E5%AE%A3%E6%95%99%E5%B8%AB)&action=edit&redlink=1" class="new" title="「アレクサンダー・ワイリー (宣教師)」 (存在しないページ)">アレクサンダー・ワイリー</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Alexander_Wylie_(missionary)" class="extiw" title="en:Alexander Wylie (missionary)">英語版</a>）（偉烈亜力）とともに<a href="/w/index.php?title=%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%82%A2%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%AB%E3%83%BC%E3%83%9F%E3%82%B9&action=edit&redlink=1" class="new" title="「イライアス・ルーミス」 (存在しないページ)">イライアス・ルーミス</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Elias_Loomis" class="extiw" title="en:Elias Loomis">英語版</a>）の著書 Elements of Analytical Geometry and of Differential and Integral Calculus を翻訳して『代微積拾級』（<a href="/wiki/1859%E5%B9%B4" title="1859年">1859年</a>（<a href="/wiki/%E5%AE%89%E6%94%BF" title="安政">安政</a>6年）出版）を著すときに作った<a href="#cite_note-9">[7]</a>。古代の成語「微を積みて著を成す」の意味からとったと推測されている。 <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="関連項目">関連項目</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AE%E5%88%86&action=edit&section=31" title="節を編集: 関連項目">編集</a>]</div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r94202605">.mw-parser-output .side-box{margin:4px 0;box-sizing:border-box;border:1px solid #aaa;font-size:88%;line-height:1.25em;background-color:#f9f9f9;display:flow-root}.mw-parser-output .side-box-abovebelow,.mw-parser-output .side-box-text{padding:0.25em 0.9em}.mw-parser-output .side-box-image{padding:2px 0 2px 0.9em;text-align:center}.mw-parser-output .side-box-imageright{padding:2px 0.9em 2px 0;text-align:center}@media(min-width:500px){.mw-parser-output .side-box-flex{display:flex;align-items:center}.mw-parser-output .side-box-text{flex:1}}@media(min-width:720px){.mw-parser-output .side-box{width:238px}.mw-parser-output .side-box-right{clear:right;float:right;margin-left:1em}.mw-parser-output .side-box-left{margin-right:1em}}</style><div class="side-box metadata side-box-right plainlinks noprint" style="background:#f6ffff; width:220px;"> <div class="side-box-flex"> <div class="side-box-image"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg" class="mw-file-description" title="Project:数学"><img alt="Project:数学" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg/34px-Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg.png" decoding="async" width="34" height="34" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg/51px-Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg/68px-Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg.png 2x" data-file-width="128" data-file-height="128" /></a></div> <div class="side-box-text plainlist" style="font-size:100%;"><a href="/wiki/%E3%83%97%E3%83%AD%E3%82%B8%E3%82%A7%E3%82%AF%E3%83%88:%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="プロジェクト:数学">プロジェクト 数学</a></div></div> </div> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r94202605"><div class="side-box metadata side-box-right portal plainlinks noprint" style="background:#f6ffff; width:220px;"> <div class="side-box-flex"> <div class="side-box-image"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg" class="mw-file-description" title="Portal:数学"><img alt="Portal:数学" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c2/Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg/34px-Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg.png" decoding="async" width="34" height="34" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c2/Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg/51px-Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c2/Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg/68px-Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg.png 2x" data-file-width="128" data-file-height="128" /></a></div> <div class="side-box-text plainlist" style="font-size:100%;"><a href="/wiki/Portal:%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="Portal:数学">ポータル 数学</a></div></div> </div> <div class="div-col columns column-count column-count-" style="-moz-column-count:; -webkit-column-count:; column-count:; -moz-column-width: 18em; -webkit-column-width: 18em; column-width: 18em;"> <ul><li><a href="/w/index.php?title=%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%AD%A6%E3%81%AE%E6%AD%B4%E5%8F%B2&action=edit&redlink=1" class="new" title="「解析学の歴史」 (存在しないページ)">解析学の歴史</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/History_of_calculus" class="extiw" title="en:History of calculus">英語版</a>）</li> <li><a href="/wiki/%E7%A9%8D%E5%88%86%E6%B3%95" title="積分法">積分法</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E3%81%AE%E4%B8%80%E8%88%AC%E5%8C%96" title="微分の一般化">微分の一般化</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Generalizations_of_the_derivative" class="extiw" title="en:Generalizations of the derivative">英語版</a>） <ul><li><a href="/wiki/%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%B3%E2%80%93%E3%83%8B%E3%82%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%A0%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" class="mw-redirect" title="ラドン–ニコディムの定理">ラドン–ニコディムの定理</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%80%E3%83%AB%E3%83%96%E3%83%BC%E5%B0%8E%E9%96%A2%E6%95%B0" title="ダルブー導関数">ダルブー導関数</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%AB%E3%83%84%E5%BE%AE%E5%88%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「シュヴァルツ微分」 (存在しないページ)">シュヴァルツ微分</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzian_derivative" class="extiw" title="en:Schwarzian derivative">英語版</a>）</li> <li><a href="/w/index.php?title=%E3%83%95%E3%83%A9%E3%82%AF%E3%82%BF%E3%83%AB%E5%BE%AE%E5%88%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「フラクタル微分」 (存在しないページ)">フラクタル微分</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Fractal_derivative" class="extiw" title="en:Fractal derivative">英語版</a>）</li> <li><a href="/w/index.php?title=%E3%83%8F%E3%83%83%E3%82%BB%E5%BE%AE%E5%88%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ハッセ微分」 (存在しないページ)">ハッセ微分</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Hasse_derivative" class="extiw" title="en:Hasse derivative">英語版</a>）</li></ul></li> <li><a href="/wiki/%E8%87%AA%E5%8B%95%E5%BE%AE%E5%88%86" title="自動微分">自動微分</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E6%95%B0%E5%80%A4%E5%BE%AE%E5%88%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「数値微分」 (存在しないページ)">数値微分</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Numerical_differentiation" class="extiw" title="en:Numerical differentiation">英語版</a>）</li> <li><a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E6%80%A7" title="線型性">線型性</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Linearization" class="extiw" title="en:Linearization">英語版</a>）</li> <li><a href="/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E5%BE%AE%E5%88%86" title="対称微分">対称微分</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E6%BB%91%E3%82%89%E3%81%8B%E3%81%95%E3%81%AE%E7%AD%89%E7%B4%9A&action=edit&redlink=1" class="new" title="「滑らかさの等級」 (存在しないページ)">滑らかさの等級</a>（<a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Classe_de_r%C3%A9gularit%C3%A9" class="extiw" title="fr:Classe de régularité">フランス語版</a>）</li> <li><a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AE%E7%A9%8D%E5%88%86%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「微積分作用素」 (存在しないページ)">微積分作用素</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Differintegral" class="extiw" title="en:Differintegral">英語版</a>）</li> <li><a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0" title="微分作用素">微分作用素</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%B3%95" title="微分法">微分法</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%B3%95%E5%89%87&action=edit&redlink=1" class="new" title="「微分法則」 (存在しないページ)">微分法則</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Differentiation_rules" class="extiw" title="en:Differentiation rules">英語版</a>）</li> <li><a href="/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%B0%8F" title="無限小">無限小</a></li></ul> </div> <ul><li><a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%8F%AF%E8%83%BD%E9%96%A2%E6%95%B0" title="微分可能関数">微分可能関数</a></li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%E3%82%B9%E3%82%B1%E3%83%BC%E3%83%AB%E5%9B%A0%E5%AD%90" title="スケール因子">スケール因子</a> - 異なる<a href="/wiki/%E7%89%A9%E7%90%86%E9%87%8F" title="物理量">物理量</a>間で微分を考える際、得られる値は実際の比というより、<a href="/wiki/%E7%89%A9%E7%90%86%E5%8D%98%E4%BD%8D" title="物理単位">物理単位</a>の取り方に依存した仮想的な値になる。</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="脚注">脚注</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AE%E5%88%86&action=edit&section=32" title="節を編集: 脚注">編集</a>]</div> <div class="noprint" style="float:right; font-size:90%;">[<a href="/wiki/Help:%E8%84%9A%E6%B3%A8/%E8%AA%AD%E8%80%85%E5%90%91%E3%81%91" title="Help:脚注/読者向け">脚注の使い方</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="注釈">注釈</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AE%E5%88%86&action=edit&section=33" title="節を編集: 注釈">編集</a>]</div> <div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">^</a> ここでベクトル値関数の極限は、2乗ノルム、絶対値ノルムなど、どんな<a href="/wiki/%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0" title="ノルム">ノルム</a>を用いて定めても同じことである。 </li> <li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">^</a> アーボガストが導入したのは変数記号を伴わない Df のような記法だった<a href="#cite_note-FOOTNOTECajori1923-5">[4]</a>。その後、多変数関数の微分を扱うために変数記号を付した Dxf のような記法が<a href="/wiki/%E3%82%AA%E3%83%BC%E3%82%AC%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%89%E3%83%BB%E3%83%A2%E3%83%AB%E3%82%AC%E3%83%B3" title="オーガスタス・ド・モルガン">ド・モルガン</a>や<a href="/wiki/%E3%82%AA%E3%83%BC%E3%82%AE%E3%83%A5%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%B3%EF%BC%9D%E3%83%AB%E3%82%A4%E3%83%BB%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC" title="オーギュスタン＝ルイ・コーシー">コーシー</a>により用いられるようになった<a href="#cite_note-FOOTNOTEde_Morgan1836267–268-6">[5]</a><a href="#cite_note-FOOTNOTECauchy18405-7">[6]</a>。 </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="出典">出典</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AE%E5%88%86&action=edit&section=34" title="節を編集: 出典">編集</a>]</div> <div class="reflist" style="-moz-column-count:auto; -webkit-column-count:auto; column-count:auto; -moz-column-width: 30em; -webkit-column-width: 30em; column-width: 30em; list-style-type: decimal;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">^</a> 本項に述べる微分法は多くの情報源を持つ非常によく確立された数学の分野である。本項に書かれているような内容の大半は <a href="#CITEREFApostol1967">Apostol 1967</a>, <a href="#CITEREFApostol1969">Apostol 1969</a>, <a href="#CITEREFSpivak1994">Spivak 1994</a> に含まれる。 </li> <li id="cite_note-FOOTNOTEBanach1931-2"><a href="#cite_ref-FOOTNOTEBanach1931_2-0">^</a> <a href="#CITEREFBanach1931">Banach 1931</a>. </li> <li id="cite_note-FOOTNOTEApostol1967§4.18-3"><a href="#cite_ref-FOOTNOTEApostol1967§4.18_3-0">^</a> <a href="#CITEREFApostol1967">Apostol 1967</a>, §4.18. </li> <li id="cite_note-FOOTNOTECajori1923-5">^ <a href="#cite_ref-FOOTNOTECajori1923_5-0">a</a> <a href="#cite_ref-FOOTNOTECajori1923_5-1">b</a> <a href="#CITEREFCajori1923">Cajori 1923</a>. </li> <li id="cite_note-FOOTNOTEde_Morgan1836267–268-6"><a href="#cite_ref-FOOTNOTEde_Morgan1836267–268_6-0">^</a> <a href="#CITEREFde_Morgan1836">de Morgan 1836</a>, pp. 267–268. </li> <li id="cite_note-FOOTNOTECauchy18405-7"><a href="#cite_ref-FOOTNOTECauchy18405_7-0">^</a> <a href="#CITEREFCauchy1840">Cauchy 1840</a>, p. 5. </li> <li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">^</a> <cite style="font-style:normal" class="citation journal">上垣渉「明治期の数学辞書における数学訳語・記号の標準化について」『数学教育史研究』第14巻、2014年、1–12頁、<a href="/wiki/Doi_(%E8%AD%98%E5%88%A5%E5%AD%90)" class="mw-redirect" title="Doi (識別子)">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.51012%2Fjshsme.14.0_1">10.51012/jshsme.14.0_1</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=%E6%98%8E%E6%B2%BB%E6%9C%9F%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%BE%9E%E6%9B%B8%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%A8%B3%E8%AA%9E%E3%83%BB%E8%A8%98%E5%8F%B7%E3%81%AE%E6%A8%99%E6%BA%96%E5%8C%96%E3%81%AB%E3%81%A4%E3%81%84%E3%81%A6&rft.jtitle=%E6%95%B0%E5%AD%A6%E6%95%99%E8%82%B2%E5%8F%B2%E7%A0%94%E7%A9%B6&rft.aulast=%E4%B8%8A%E5%9E%A3%E6%B8%89&rft.au=%E4%B8%8A%E5%9E%A3%E6%B8%89&rft.volume=14&rft.pages=1%E2%80%9312%E9%A0%81&rft_id=info:doi/10.51012%2Fjshsme.14.0_1&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E5%BE%AE%E5%88%86"> 5頁目と11頁目の注(12)。 </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="参考文献">参考文献</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AE%E5%88%86&action=edit&section=35" title="節を編集: 参考文献">編集</a>]</div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r89142249">.mw-parser-output .refbegin{margin-bottom:0.5em}.mw-parser-output .refbegin-hanging-indents>ul{margin-left:0}.mw-parser-output .refbegin-hanging-indents>ul>li{margin-left:0;padding-left:3.2em;text-indent:-3.2em}.mw-parser-output .refbegin-hanging-indents ul,.mw-parser-output .refbegin-hanging-indents ul li{list-style:none}@media(max-width:720px){.mw-parser-output .refbegin-hanging-indents>ul>li{padding-left:1.6em;text-indent:-1.6em}}.mw-parser-output .refbegin-100{font-size:100%}.mw-parser-output .refbegin-columns{margin-top:0.3em}.mw-parser-output .refbegin-columns ul{margin-top:0}.mw-parser-output .refbegin-columns li{page-break-inside:avoid;break-inside:avoid-column}</style><div class="refbegin" style=""> <ul><li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREFApostol1967"><a href="/wiki/Tom_M._Apostol" class="mw-redirect" title="Tom M. Apostol">Apostol, Tom M.</a> (1967). Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra (2nd ed.). Wiley. <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r101121245">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:var(--color-error,#d33)}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:var(--color-error,#d33)}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:var(--color-success,#3a3);margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}</style><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-0-471-00005-1" title="特別:文献資料/978-0-471-00005-1">978-0-471-00005-1</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Calculus%2C+Vol.+1%3A+One-Variable+Calculus+with+an+Introduction+to+Linear+Algebra&rft.aulast=Apostol&rft.aufirst=Tom+M.&rft.au=Apostol%2C%26%2332%3BTom+M.&rft.date=1967&rft.edition=2nd&rft.pub=Wiley&rft.isbn=978-0-471-00005-1&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E5%BE%AE%E5%88%86"> </li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREFApostol1969">Apostol, Tom M. (1969). Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications (2nd ed.). Wiley. <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-0-471-00007-5" title="特別:文献資料/978-0-471-00007-5">978-0-471-00007-5</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Calculus%2C+Vol.+2%3A+Multi-Variable+Calculus+and+Linear+Algebra+with+Applications&rft.aulast=Apostol&rft.aufirst=Tom+M.&rft.au=Apostol%2C%26%2332%3BTom+M.&rft.date=1969&rft.edition=2nd&rft.pub=Wiley&rft.isbn=978-0-471-00007-5&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E5%BE%AE%E5%88%86"> </li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFBanach1931">Banach, Stefan (1931), “Über die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen”, Studia. Math. 3 (1): 174–179</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=%C3%9Cber+die+Baire%27sche+Kategorie+gewisser+Funktionenmengen&rft.jtitle=Studia.+Math.&rft.aulast=Banach&rft.aufirst=Stefan&rft.au=Banach%2C%26%2332%3BStefan&rft.date=1931&rft.volume=3&rft.issue=1&rft.pages=174%E2%80%93179&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E5%BE%AE%E5%88%86"> </li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFCajori1923"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%83%AD%E3%83%AA%E3%82%A2%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%82%AB%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%AA" title="フロリアン・カジョリ">Cajori, Florian</a> (1923), <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.jstor.org/stable/1967725">“The History of Notations of the Calculus”</a>, Annals of Mathematics. 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Bachelier</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Exercices+d%27analyse+et+de+physique+mathematique&rft.aulast=Cauchy&rft.aufirst=Augustin+Louis&rft.au=Cauchy%2C%26%2332%3BAugustin+Louis&rft.date=1840&rft.volume=1&rft.pub=Bachelier&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E5%BE%AE%E5%88%86"> </li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREFde_Morgan1836">de Morgan, Augustus (1836). The differential and integral calculus. Baldwin and Cradock</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=The+differential+and+integral+calculus&rft.aulast=de+Morgan&rft.aufirst=Augustus&rft.au=de+Morgan%2C%26%2332%3BAugustus&rft.date=1836&rft.pub=Baldwin+and+Cradock&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E5%BE%AE%E5%88%86"> </li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREFSpivak1994"><a href="/w/index.php?title=Michael_Spivak&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Michael Spivak」 (存在しないページ)">Spivak, Michael</a> (1994). Calculus (3rd ed.). Publish or Perish. <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-0-914098-89-8" title="特別:文献資料/978-0-914098-89-8">978-0-914098-89-8</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Calculus&rft.aulast=Spivak&rft.aufirst=Michael&rft.au=Spivak%2C%26%2332%3BMichael&rft.date=1994&rft.edition=3rd&rft.pub=Publish+or+Perish&rft.isbn=978-0-914098-89-8&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E5%BE%AE%E5%88%86"> </li></ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="関連文献">関連文献</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AE%E5%88%86&action=edit&section=36" title="節を編集: 関連文献">編集</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="印刷物">印刷物</h4>[<a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AE%E5%88%86&action=edit&section=37" title="節を編集: 印刷物">編集</a>]</div> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142249"><div class="refbegin" style=""> <ul><li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFAntonBivensDavis2005">Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen (February 2, 2005), Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable (8th ed.), New York: Wiley, <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-0-471-47244-5" title="特別:文献資料/978-0-471-47244-5">978-0-471-47244-5</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Calculus%3A+Early+Transcendentals+Single+and+Multivariable&rft.aulast=Anton&rft.aufirst=Howard&rft.au=Anton%2C%26%2332%3BHoward&rft.au=Bivens%2C%26%2332%3BIrl&rft.au=Davis%2C%26%2332%3BStephen&rft.date=February+2%2C+2005&rft.edition=8th&rft.place=New+York&rft.pub=Wiley&rft.isbn=978-0-471-47244-5&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E5%BE%AE%E5%88%86"> </li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFCourantJohn1998">Courant, Richard; John, Fritz (December 22, 1998), Introduction to Calculus and Analysis, Vol. 1, Springer-Verlag, <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-3-540-65058-4" title="特別:文献資料/978-3-540-65058-4">978-3-540-65058-4</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Introduction+to+Calculus+and+Analysis%2C+Vol.+1&rft.aulast=Courant&rft.aufirst=Richard&rft.au=Courant%2C%26%2332%3BRichard&rft.au=John%2C%26%2332%3BFritz&rft.date=December+22%2C+1998&rft.pub=Springer-Verlag&rft.isbn=978-3-540-65058-4&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E5%BE%AE%E5%88%86"> </li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFEves1990">Eves, Howard (January 2, 1990), An Introduction to the History of Mathematics (6th ed.), Brooks Cole, <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-0-03-029558-4" title="特別:文献資料/978-0-03-029558-4">978-0-03-029558-4</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=An+Introduction+to+the+History+of+Mathematics&rft.aulast=Eves&rft.aufirst=Howard&rft.au=Eves%2C%26%2332%3BHoward&rft.date=January+2%2C+1990&rft.edition=6th&rft.pub=Brooks+Cole&rft.isbn=978-0-03-029558-4&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E5%BE%AE%E5%88%86"> </li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFLarsonHostetlerEdwards2006">Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; Edwards, Bruce H. (February 28, 2006), Calculus: Early Transcendental Functions (4th ed.), Houghton Mifflin Company, <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-0-618-60624-5" title="特別:文献資料/978-0-618-60624-5">978-0-618-60624-5</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Calculus%3A+Early+Transcendental+Functions&rft.aulast=Larson&rft.aufirst=Ron&rft.au=Larson%2C%26%2332%3BRon&rft.au=Hostetler%2C%26%2332%3BRobert+P.&rft.au=Edwards%2C%26%2332%3BBruce+H.&rft.date=February+28%2C+2006&rft.edition=4th&rft.pub=Houghton+Mifflin+Company&rft.isbn=978-0-618-60624-5&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E5%BE%AE%E5%88%86"> </li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFStewart2002">Stewart, James (December 24, 2002), Calculus (5th ed.), Brooks Cole, <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-0-534-39339-7" title="特別:文献資料/978-0-534-39339-7">978-0-534-39339-7</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Calculus&rft.aulast=Stewart&rft.aufirst=James&rft.au=Stewart%2C%26%2332%3BJames&rft.date=December+24%2C+2002&rft.edition=5th&rft.pub=Brooks+Cole&rft.isbn=978-0-534-39339-7&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E5%BE%AE%E5%88%86"> </li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFThompson1998">Thompson, Silvanus P. (September 8, 1998), Calculus Made Easy (Revised, Updated, Expanded ed.), New York: St. Martin's Press, <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-0-312-18548-0" title="特別:文献資料/978-0-312-18548-0">978-0-312-18548-0</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Calculus+Made+Easy&rft.aulast=Thompson&rft.aufirst=Silvanus+P.&rft.au=Thompson%2C%26%2332%3BSilvanus+P.&rft.date=September+8%2C+1998&rft.edition=Revised%2C+Updated%2C+Expanded&rft.place=New+York&rft.pub=St.+Martin%27s+Press&rft.isbn=978-0-312-18548-0&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E5%BE%AE%E5%88%86"> </li></ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="オンライン本">オンライン本</h4>[<a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AE%E5%88%86&action=edit&section=38" title="節を編集: オンライン本">編集</a>]</div> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r94202605"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r94205542">.mw-parser-output .sister-box .side-box-abovebelow{padding:0.75em 0;text-align:center}.mw-parser-output .sister-box .side-box-text>ul{border-top:1px solid #aaa;padding:0.75em 0;width:217px;margin:0 auto}.mw-parser-output .sister-box .side-box-text>ul>li{min-height:31px}.mw-parser-output .sister-logo{display:inline-block;width:31px;line-height:31px;vertical-align:middle;text-align:center}.mw-parser-output .sister-link{display:inline-block;margin-left:4px;width:182px;vertical-align:middle}</style><div role="navigation" aria-labelledby="sister-projects" class="side-box metadata side-box-right sister-box sistersitebox plainlinks"> <div class="side-box-abovebelow"> ウィキペディアの<a href="/wiki/Wikipedia:%E3%82%A6%E3%82%A3%E3%82%AD%E3%83%A1%E3%83%87%E3%82%A3%E3%82%A2%E3%83%BB%E3%83%97%E3%83%AD%E3%82%B8%E3%82%A7%E3%82%AF%E3%83%88" title="Wikipedia:ウィキメディア・プロジェクト">姉妹プロジェクト</a>で 「Differentiation」に関する情報が検索できます。</div> <div class="side-box-flex"> <div class="side-box-text plainlist"><ul><li><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f9/Wiktionary_small.svg/27px-Wiktionary_small.svg.png" decoding="async" width="27" height="27" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f9/Wiktionary_small.svg/41px-Wiktionary_small.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f9/Wiktionary_small.svg/54px-Wiktionary_small.svg.png 2x" data-file-width="350" data-file-height="350" />ウィクショナリーの<a href="https://ja.wiktionary.org/wiki/Special:Search/Differentiation" class="extiw" title="wikt:Special:Search/Differentiation">辞書項目</a></li><li><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/20px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="20" height="27" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/40px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" />コモンズの<a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Special:Search/Differentiation" class="extiw" title="c:Special:Search/Differentiation">メディア</a></li><li><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/Wikinews-logo.svg/27px-Wikinews-logo.svg.png" decoding="async" width="27" height="15" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/Wikinews-logo.svg/41px-Wikinews-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/Wikinews-logo.svg/54px-Wikinews-logo.svg.png 2x" data-file-width="759" data-file-height="415" />ウィキニュースの<a href="https://ja.wikinews.org/wiki/Special:Search/Differentiation" class="extiw" title="n:Special:Search/Differentiation">ニュース</a></li><li><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikiquote-logo.svg/23px-Wikiquote-logo.svg.png" decoding="async" width="23" height="27" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikiquote-logo.svg/35px-Wikiquote-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikiquote-logo.svg/46px-Wikiquote-logo.svg.png 2x" data-file-width="300" data-file-height="355" />ウィキクォートの<a href="https://ja.wikiquote.org/wiki/Special:Search/Differentiation" class="extiw" title="q:Special:Search/Differentiation">引用句集</a></li><li><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Wikisource-logo.svg/26px-Wikisource-logo.svg.png" decoding="async" width="26" height="27" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Wikisource-logo.svg/39px-Wikisource-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Wikisource-logo.svg/51px-Wikisource-logo.svg.png 2x" data-file-width="410" data-file-height="430" />ウィキソースの<a href="https://ja.wikisource.org/wiki/Special:Search/Differentiation" class="extiw" title="s:Special:Search/Differentiation">原文</a></li><li><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/27px-Wikibooks-logo.svg.png" decoding="async" width="27" height="27" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/41px-Wikibooks-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/54px-Wikibooks-logo.svg.png 2x" data-file-width="300" data-file-height="300" />ウィキブックスの<a href="https://ja.wikibooks.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%AD%A6%E5%9F%BA%E7%A4%8E/%E5%BE%AE%E5%88%86%EF%BC%91" class="extiw" title="b:解析学基礎/微分１">教科書や解説書</a></li><li><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0b/Wikiversity_logo_2017.svg/27px-Wikiversity_logo_2017.svg.png" decoding="async" width="27" height="22" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0b/Wikiversity_logo_2017.svg/41px-Wikiversity_logo_2017.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0b/Wikiversity_logo_2017.svg/54px-Wikiversity_logo_2017.svg.png 2x" data-file-width="626" data-file-height="512" />ウィキバーシティの<a href="https://ja.wikiversity.org/wiki/Special:Search/Differentiation" class="extiw" title="v:Special:Search/Differentiation">学習支援</a></li></ul></div></div> </div> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r94202605"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r94205542"><div role="navigation" aria-labelledby="sister-projects" class="side-box metadata side-box-right sister-box sistersitebox plainlinks"> <div class="side-box-abovebelow"> ウィキペディアの<a href="/wiki/Wikipedia:%E3%82%A6%E3%82%A3%E3%82%AD%E3%83%A1%E3%83%87%E3%82%A3%E3%82%A2%E3%83%BB%E3%83%97%E3%83%AD%E3%82%B8%E3%82%A7%E3%82%AF%E3%83%88" title="Wikipedia:ウィキメディア・プロジェクト">姉妹プロジェクト</a>で 「Derivative」に関する情報が検索できます。</div> <div class="side-box-flex"> <div class="side-box-text plainlist"><ul><li><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f9/Wiktionary_small.svg/27px-Wiktionary_small.svg.png" decoding="async" width="27" height="27" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f9/Wiktionary_small.svg/41px-Wiktionary_small.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f9/Wiktionary_small.svg/54px-Wiktionary_small.svg.png 2x" data-file-width="350" data-file-height="350" />ウィクショナリーの<a href="https://ja.wiktionary.org/wiki/Special:Search/Derivative" class="extiw" title="wikt:Special:Search/Derivative">辞書項目</a></li><li><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/20px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="20" height="27" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/40px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" />コモンズの<a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Special:Search/Derivative" class="extiw" title="c:Special:Search/Derivative">メディア</a></li><li><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/Wikinews-logo.svg/27px-Wikinews-logo.svg.png" decoding="async" width="27" height="15" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/Wikinews-logo.svg/41px-Wikinews-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/Wikinews-logo.svg/54px-Wikinews-logo.svg.png 2x" data-file-width="759" data-file-height="415" />ウィキニュースの<a href="https://ja.wikinews.org/wiki/Special:Search/Derivative" class="extiw" title="n:Special:Search/Derivative">ニュース</a></li><li><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikiquote-logo.svg/23px-Wikiquote-logo.svg.png" decoding="async" width="23" height="27" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikiquote-logo.svg/35px-Wikiquote-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikiquote-logo.svg/46px-Wikiquote-logo.svg.png 2x" data-file-width="300" data-file-height="355" />ウィキクォートの<a href="https://ja.wikiquote.org/wiki/Special:Search/Derivative" class="extiw" title="q:Special:Search/Derivative">引用句集</a></li><li><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Wikisource-logo.svg/26px-Wikisource-logo.svg.png" decoding="async" width="26" height="27" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Wikisource-logo.svg/39px-Wikisource-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Wikisource-logo.svg/51px-Wikisource-logo.svg.png 2x" data-file-width="410" data-file-height="430" />ウィキソースの<a href="https://ja.wikisource.org/wiki/Special:Search/Derivative" class="extiw" title="s:Special:Search/Derivative">原文</a></li><li><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/27px-Wikibooks-logo.svg.png" decoding="async" width="27" height="27" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/41px-Wikibooks-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/54px-Wikibooks-logo.svg.png 2x" data-file-width="300" data-file-height="300" />ウィキブックスの<a href="https://ja.wikibooks.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%AD%A6%E5%9F%BA%E7%A4%8E/%E5%BE%AE%E5%88%86%EF%BC%91" class="extiw" title="b:解析学基礎/微分１">教科書や解説書</a></li><li><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0b/Wikiversity_logo_2017.svg/27px-Wikiversity_logo_2017.svg.png" decoding="async" width="27" height="22" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0b/Wikiversity_logo_2017.svg/41px-Wikiversity_logo_2017.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0b/Wikiversity_logo_2017.svg/54px-Wikiversity_logo_2017.svg.png 2x" data-file-width="626" data-file-height="512" />ウィキバーシティの<a href="https://ja.wikiversity.org/wiki/Special:Search/Derivative" class="extiw" title="v:Special:Search/Derivative">学習支援</a></li></ul></div></div> </div> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101384370"><table class="sidebar nomobile nowraplinks infobox" style="width:auto"><tbody><tr><td class="sidebar-pretitle">Derivativeに関する 図書館収蔵著作物<hr /></td></tr><tr><td class="sidebar-content plainlist" style="text-align:left;"> <ul><li><a class="external text" href="//tools.wmflabs.org/ftl/cgi-bin/ftl?st=wp&su=%E5%BE%AE%E5%88%86">主な図書館収蔵著作物</a></li></ul></td> </tr></tbody></table> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142249"><div class="refbegin" style=""> <ul><li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFCrowell2003">Crowell, Benjamin (2003), <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.lightandmatter.com/calc/">Calculus</a>, <a rel="nofollow" class="external free" href="http://www.lightandmatter.com/calc/">http://www.lightandmatter.com/calc/</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Calculus&rft.aulast=Crowell&rft.aufirst=Benjamin&rft.au=Crowell%2C%26%2332%3BBenjamin&rft.date=2003&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.lightandmatter.com%2Fcalc%2F&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E5%BE%AE%E5%88%86"> </li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREF(Govt._of_TN)2006">(Govt. of TN), TamilNadu Textbook Corporation (2006), <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.textbooksonline.tn.nic.in/Books/11/Std11-Maths-EM-2.pdf">Mathematics- vol.2</a>, <a rel="nofollow" class="external free" href="http://www.textbooksonline.tn.nic.in/Books/11/Std11-Maths-EM-2.pdf">http://www.textbooksonline.tn.nic.in/Books/11/Std11-Maths-EM-2.pdf</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Mathematics-+vol.2&rft.aulast=%28Govt.+of+TN%29&rft.aufirst=TamilNadu+Textbook+Corporation&rft.au=%28Govt.+of+TN%29%2C%26%2332%3BTamilNadu+Textbook+Corporation&rft.date=2006&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.textbooksonline.tn.nic.in%2FBooks%2F11%2FStd11-Maths-EM-2.pdf&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E5%BE%AE%E5%88%86"> </li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFGarrett2004">Garrett, Paul (2004), <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.math.umn.edu/~garrett/calculus/">Notes on First-Year Calculus</a>, <a href="/wiki/University_of_Minnesota" class="mw-redirect" title="University of Minnesota">University of Minnesota</a>, <a rel="nofollow" class="external free" href="http://www.math.umn.edu/~garrett/calculus/">http://www.math.umn.edu/~garrett/calculus/</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Notes+on+First-Year+Calculus&rft.aulast=Garrett&rft.aufirst=Paul&rft.au=Garrett%2C%26%2332%3BPaul&rft.date=2004&rft.pub=%5B%5BUniversity+of+Minnesota%5D%5D&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.math.umn.edu%2F%7Egarrett%2Fcalculus%2F&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E5%BE%AE%E5%88%86"> </li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFHussain2006">Hussain, Faraz (2006), <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.understandingcalculus.com/">Understanding Calculus</a>, <a rel="nofollow" class="external free" href="http://www.understandingcalculus.com/">http://www.understandingcalculus.com/</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Understanding+Calculus&rft.aulast=Hussain&rft.aufirst=Faraz&rft.au=Hussain%2C%26%2332%3BFaraz&rft.date=2006&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.understandingcalculus.com%2F&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E5%BE%AE%E5%88%86"> </li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFKeisler2000">Keisler, H. Jerome (2000), <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html">Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals</a>, <a rel="nofollow" class="external free" href="http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html">http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Elementary+Calculus%3A+An+Approach+Using+Infinitesimals&rft.aulast=Keisler&rft.aufirst=H.+Jerome&rft.au=Keisler%2C%26%2332%3BH.+Jerome&rft.date=2000&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.math.wisc.edu%2F%7Ekeisler%2Fcalc.html&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E5%BE%AE%E5%88%86"> </li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFMauch2004">Mauch, Sean (2004), <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20060415161115/http://www.its.caltech.edu/~sean/book/unabridged.html">Unabridged Version of Sean's Applied Math Book</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.its.caltech.edu/~sean/book/unabridged.html">オリジナル</a>の2006年4月15日時点におけるアーカイブ。, <a rel="nofollow" class="external free" href="https://web.archive.org/web/20060415161115/http://www.its.caltech.edu/~sean/book/unabridged.html">https://web.archive.org/web/20060415161115/http://www.its.caltech.edu/~sean/book/unabridged.html</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Unabridged+Version+of+Sean%27s+Applied+Math+Book&rft.aulast=Mauch&rft.aufirst=Sean&rft.au=Mauch%2C%26%2332%3BSean&rft.date=2004&rft_id=https%3A%2F%2Fweb.archive.org%2Fweb%2F20060415161115%2Fhttp%3A%2F%2Fwww.its.caltech.edu%2F%7Esean%2Fbook%2Funabridged.html&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E5%BE%AE%E5%88%86"> </li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFSloughter2000">Sloughter, Dan (2000), <a rel="nofollow" class="external text" href="http://synechism.org/drupal/de2de/">Difference Equations to Differential Equations</a>, <a rel="nofollow" class="external free" href="http://synechism.org/drupal/de2de/">http://synechism.org/drupal/de2de/</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Difference+Equations+to+Differential+Equations&rft.aulast=Sloughter&rft.aufirst=Dan&rft.au=Sloughter%2C%26%2332%3BDan&rft.date=2000&rft_id=http%3A%2F%2Fsynechism.org%2Fdrupal%2Fde2de%2F&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E5%BE%AE%E5%88%86"> </li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFStrang1991">Strang, Gilbert (1991), <a rel="nofollow" class="external text" href="http://ocw.mit.edu/ans7870/resources/Strang/strangtext.htm">Calculus</a>, <a rel="nofollow" class="external free" href="http://ocw.mit.edu/ans7870/resources/Strang/strangtext.htm">http://ocw.mit.edu/ans7870/resources/Strang/strangtext.htm</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Calculus&rft.aulast=Strang&rft.aufirst=Gilbert&rft.au=Strang%2C%26%2332%3BGilbert&rft.date=1991&rft_id=http%3A%2F%2Focw.mit.edu%2Fans7870%2Fresources%2FStrang%2Fstrangtext.htm&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E5%BE%AE%E5%88%86"> </li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFStroyan1997"><a href="/w/index.php?title=Keith_Stroyan&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Keith Stroyan」 (存在しないページ)">Stroyan</a>, Keith D. (1997), <a rel="nofollow" class="external text" href="http://homepage.math.uiowa.edu/~stroyan/Site/Infinitesimals.html">A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus</a>, <a rel="nofollow" class="external free" href="http://homepage.math.uiowa.edu/~stroyan/Site/Infinitesimals.html">http://homepage.math.uiowa.edu/~stroyan/Site/Infinitesimals.html</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=A+Brief+Introduction+to+Infinitesimal+Calculus&rft.aulast=%5B%5BKeith+Stroyan%7CStroyan%5D%5D&rft.aufirst=Keith+D.&rft.au=%5B%5BKeith+Stroyan%7CStroyan%5D%5D%2C%26%2332%3BKeith+D.&rft.date=1997&rft_id=http%3A%2F%2Fhomepage.math.uiowa.edu%2F%7Estroyan%2FSite%2FInfinitesimals.html&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E5%BE%AE%E5%88%86"> </li></ul> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r94202605"><div class="side-box side-box-right plainlinks sistersitebox noprint" style="width:22em;"> <div class="side-box-flex"> <div class="side-box-image"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/df/Wikibooks-logo-en-noslogan.svg/40px-Wikibooks-logo-en-noslogan.svg.png" decoding="async" width="40" height="40" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/df/Wikibooks-logo-en-noslogan.svg/60px-Wikibooks-logo-en-noslogan.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/df/Wikibooks-logo-en-noslogan.svg/80px-Wikibooks-logo-en-noslogan.svg.png 2x" data-file-width="400" data-file-height="400" /></div> <div class="side-box-text plainlist" style="font-size:100%;">ウィキブックスに<a href="https://ja.wikibooks.org/wiki/Special:Search/%E5%BE%AE%E5%88%86" class="extiw" title="b:Special:Search/微分">微分</a>関連の解説書・教科書があります。</div></div> </div> </div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="ウェブサイト">ウェブサイト</h4>[<a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AE%E5%88%86&action=edit&section=39" title="節を編集: ウェブサイト">編集</a>]</div> <ul><li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFHazewinkel2001">Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Derivative">“Derivative”</a>, <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Encyclopedia_of_Mathematics" class="extiw" title="en:Encyclopedia of Mathematics">Encyclopedia of Mathematics</a>, Springer, <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-1-55608-010-4" title="特別:文献資料/978-1-55608-010-4">978-1-55608-010-4</a>, <a rel="nofollow" class="external free" href="https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Derivative">https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Derivative</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.btitle=Derivative&rft.atitle=%5B%5B%3Aen%3AEncyclopedia+of+Mathematics%7CEncyclopedia+of+Mathematics%5D%5D&rft.date=2001&rft.pub=Springer&rft.isbn=978-1-55608-010-4&rft_id=&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E5%BE%AE%E5%88%86"> </li> <li><a href="/wiki/Khan_Academy" class="mw-redirect" title="Khan Academy">Khan Academy</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.khanacademy.org/math/differential-calculus/taking-derivatives/intro_differential_calc/v/newton-leibniz-and-usain-bolt">"Newton, Leibniz, and Usain Bolt"</a></li> <li><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><cite id="CITEREFWeisstein" class="citation web cs1 cs1-prop-foreign-lang-source">Weisstein, Eric W. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/Derivative.html">"Derivative"</a>. mathworld.wolfram.com (英語).</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=unknown&rft.jtitle=mathworld.wolfram.com&rft.atitle=Derivative&rft.aulast=Weisstein&rft.aufirst=Eric+W.&rft_id=https%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2FDerivative.html&rfr_id=info%3Asid%2Fja.wikipedia.org%3A%E5%BE%AE%E5%88%86" class="Z3988"></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.wolframalpha.com/calculators/derivative-calculator/">Online Derivative Calculator</a> from <a href="/wiki/Wolfram_Alpha" title="Wolfram Alpha">Wolfram Alpha</a>.</li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.ugrad.math.ubc.ca/coursedoc/math100/notes/derivative/trig2.html">Derivatives of Trigonometric functions</a>, UBC</li></ul> <div role="navigation" class="navbox authority-control" aria-label="Navbox" style="padding:3px"><table class="nowraplinks hlist navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Help:%E5%85%B8%E6%8B%A0%E7%AE%A1%E7%90%86" title="Help:典拠管理">典拠管理データベース</a>: 国立図書館 <a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q29175#identifiers" title="ウィキデータを編集"><img alt="ウィキデータを編集" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/10px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png" decoding="async" width="10" height="10" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/15px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/20px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png 2x" data-file-width="20" data-file-height="20" /></a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><abbr title="Ableitung <Infinitesimalrechnung>"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4233840-2">ドイツ</a></abbr></li> <li><abbr title="נגזרים (מתמטיקה)"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://olduli.nli.org.il/F/?func=find-b&local_base=NLX10&find_code=UID&request=987007574837105171">イスラエル</a></abbr></li> <li><abbr title="Derivatives (Mathematics)"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/sh2011005437">アメリカ</a></abbr></li> <li><abbr title="derivace funkce"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://aleph.nkp.cz/F/?func=find-c&local_base=aut&ccl_term=ica=ph137564&CON_LNG=ENG">チェコ</a></abbr></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">「<a dir="ltr" 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