Relativitat especial - Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available" lang="ca" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Relativitat especial - Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure</title> <script>(function(){var className="client-js vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )cawikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t.",".\t,"],"wgDigitTransformTable":["",""], "wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","gener","febrer","març","abril","maig","juny","juliol","agost","setembre","octubre","novembre","desembre"],"wgRequestId":"079b09b5-b8f1-4188-869b-a3ad4674bca5","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Relativitat_especial","wgTitle":"Relativitat especial","wgCurRevisionId":34140498,"wgRevisionId":34140498,"wgArticleId":55096,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Articles amb la plantilla Webarchive amb enllaç wayback","Articles que necessiten un aclariment","Pàgines amb enllaç commonscat des de Wikidata","1.000 articles fonamentals","Ciència (Els 1000 de META)","Control d'autoritats","Relativitat especial"],"wgPageViewLanguage":"ca","wgPageContentLanguage":"ca","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Relativitat_especial","wgRelevantArticleId":55096,"wgIsProbablyEditable":true, "wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"ca","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"ca"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":80000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgCentralAuthMobileDomain":false,"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":false,"wgVector2022LanguageInHeader":true,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q11455","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false, "wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.cite.styles":"ready","ext.math.styles":"ready","skins.vector.search.codex.styles":"ready","skins.vector.styles":"ready","skins.vector.icons":"ready","ext.wikimediamessages.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","wikibase.client.data-bridge.externalModifiers":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","mediawiki.page.media","site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.gadget.UkensKonkurranse","ext.gadget.refToolbar","ext.gadget.charinsert","ext.gadget.AltresViccionari","ext.gadget.purgetab","ext.gadget.DocTabs", "ext.gadget.switcher","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.cx.uls.quick.actions","wikibase.client.vector-2022","wikibase.client.data-bridge.init","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","oojs-ui.styles.icons-media","oojs-ui-core.icons","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=ca&modules=ext.cite.styles%7Cext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cext.wikimediamessages.styles%7Cskins.vector.icons%2Cstyles%7Cskins.vector.search.codex.styles%7Cwikibase.client.data-bridge.externalModifiers%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector-2022"> <script async="" src="/w/load.php?lang=ca&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector-2022"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=ca&modules=site.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.4"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/50/Albert_Einstein_%28Nobel%29.png"> <meta property="og:image:width" content="1200"> <meta property="og:image:height" content="1697"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/50/Albert_Einstein_%28Nobel%29.png"> <meta property="og:image:width" content="800"> <meta property="og:image:height" content="1131"> <meta property="og:image:width" content="640"> <meta property="og:image:height" content="905"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Relativitat especial - Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//ca.m.wikipedia.org/wiki/Relativitat_especial"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Modifica" href="/w/index.php?title=Relativitat_especial&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Viquipèdia (ca)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//ca.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Relativitat_especial"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.ca"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Canal de sindicació Atom Viquipèdia" href="/w/index.php?title=Especial:Canvis_recents&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="//login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin--responsive skin-vector skin-vector-search-vue mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Relativitat_especial rootpage-Relativitat_especial skin-vector-2022 action-view"><a class="mw-jump-link" href="#bodyContent">Vés al contingut</a> <div class="vector-header-container"> <header class="vector-header mw-header"> <div class="vector-header-start"> <nav class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Lloc"> <div id="vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown vector-main-menu-dropdown vector-button-flush-left vector-button-flush-right" > <input type="checkbox" id="vector-main-menu-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Menú principal" > <label id="vector-main-menu-dropdown-label" for="vector-main-menu-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-menu mw-ui-icon-wikimedia-menu"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Menú principal</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-main-menu-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-main-menu" class="vector-main-menu vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-main-menu-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="main-menu-pinned" data-pinnable-element-id="vector-main-menu" data-pinned-container-id="vector-main-menu-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-main-menu-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Menú principal</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.pin">mou a la barra lateral</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.unpin">amaga</button> </div> <div id="p-navigation" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-navigation" > <div class="vector-menu-heading"> Navegació </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-description" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Portada" title="Visiteu la pàgina principal [z]" accesskey="z"><span>Portada</span></a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:Article_aleatori" title="Carrega una pàgina a l’atzar [x]" accesskey="x"><span>Article a l'atzar</span></a></li><li id="n-Articles-de-qualitat" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Articles_de_qualitat"><span>Articles de qualitat</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-Comunitat" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-Comunitat" > <div class="vector-menu-heading"> Comunitat </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Portal" title="Sobre el projecte, què podeu fer, on trobareu les coses"><span>Portal viquipedista</span></a></li><li id="n-Agenda-d'actes" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Trobades"><span>Agenda d'actes</span></a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:Canvis_recents" title="Una llista dels canvis recents al wiki [r]" accesskey="r"><span>Canvis recents</span></a></li><li id="n-La-taverna" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:La_taverna"><span>La taverna</span></a></li><li id="n-contactpage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Contacte"><span>Contacte</span></a></li><li id="n-Xat" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Canals_IRC"><span>Xat</span></a></li><li id="n-help" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Ajuda" title="El lloc per a saber més coses"><span>Ajuda</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> <a href="/wiki/Portada" class="mw-logo"> <img class="mw-logo-icon" src="/static/images/icons/wikipedia.png" alt="" aria-hidden="true" height="50" width="50"> <span class="mw-logo-container skin-invert"> <img class="mw-logo-wordmark" alt="Viquipèdia" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-ca.svg" style="width: 7.5em; height: 1.4375em;"> <img class="mw-logo-tagline" alt="l'Enciclopèdia Lliure" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-ca.svg" width="120" height="14" style="width: 7.5em; height: 0.875em;"> </span> </a> </div> <div class="vector-header-end"> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-collapses vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <a href="/wiki/Especial:Cerca" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only search-toggle" title="Cerca a la Viquipèdia [f]" accesskey="f"><span class="vector-icon mw-ui-icon-search mw-ui-icon-wikimedia-search"></span> <span>Cerca</span> </a> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail cdx-typeahead-search--auto-expand-width"> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div id="simpleSearch" class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="Cerca a Viquipèdia" aria-label="Cerca a Viquipèdia" autocapitalize="sentences" title="Cerca a la Viquipèdia [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <span class="cdx-text-input__icon cdx-text-input__start-icon"></span> </div> <input type="hidden" name="title" value="Especial:Cerca"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">Cerca</button> </form> </div> </div> </div> <nav class="vector-user-links vector-user-links-wide" aria-label="Eines personals"> <div class="vector-user-links-main"> <div id="p-vector-user-menu-preferences" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-userpage" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Aparença"> <div id="vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown " title="Change the appearance of the page's font size, width, and color" > <input type="checkbox" id="vector-appearance-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Aparença" > <label id="vector-appearance-dropdown-label" for="vector-appearance-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-appearance mw-ui-icon-wikimedia-appearance"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Aparença</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-appearance-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div id="p-vector-user-menu-notifications" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-overflow" class="vector-menu mw-portlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_ca.wikipedia.org&uselang=ca" class=""><span>Donatius</span></a> </li> <li id="pt-createaccount-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Especial:Crea_compte&returnto=Relativitat+especial" title="Us animem a crear un compte i iniciar una sessió, encara que no és obligatori" class=""><span>Crea un compte</span></a> </li> <li id="pt-login-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Especial:Registre_i_entrada&returnto=Relativitat+especial" title="Us animem a registrar-vos, però no és obligatori [o]" accesskey="o" class=""><span>Inicia la sessió</span></a> </li> </ul> </div> </div> </div> <div id="vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown vector-user-menu vector-button-flush-right vector-user-menu-logged-out" title="Més opcions" > <input type="checkbox" id="vector-user-links-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Eines personals" > <label id="vector-user-links-dropdown-label" for="vector-user-links-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-ellipsis mw-ui-icon-wikimedia-ellipsis"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Eines personals</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-personal" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-personal user-links-collapsible-item" title="Menú d'usuari" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_ca.wikipedia.org&uselang=ca"><span>Donatius</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:Crea_compte&returnto=Relativitat+especial" title="Us animem a crear un compte i iniciar una sessió, encara que no és obligatori"><span class="vector-icon mw-ui-icon-userAdd mw-ui-icon-wikimedia-userAdd"></span> <span>Crea un compte</span></a></li><li id="pt-login" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:Registre_i_entrada&returnto=Relativitat+especial" title="Us animem a registrar-vos, però no és obligatori [o]" accesskey="o"><span class="vector-icon mw-ui-icon-logIn mw-ui-icon-wikimedia-logIn"></span> <span>Inicia la sessió</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-user-menu-anon-editor" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-user-menu-anon-editor" > <div class="vector-menu-heading"> Pàgines per a editors no registrats <a href="/wiki/Ajuda:Introducci%C3%B3" aria-label="Vegeu més informació sobre l'edició"><span>més informació</span></a> </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:Contribucions_pr%C3%B2pies" title="Una llista de les modificacions fetes des d'aquesta adreça IP [y]" accesskey="y"><span>Contribucions</span></a></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:Discussi%C3%B3_personal" title="Discussió sobre les edicions per aquesta adreça ip. [n]" accesskey="n"><span>Discussió per aquest IP</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> </div> <div class="mw-page-container"> <div class="mw-page-container-inner"> <div class="vector-sitenotice-container"> <div id="siteNotice"></div> </div> <div class="vector-column-start"> <div class="vector-main-menu-container"> <div id="mw-navigation"> <nav id="mw-panel" class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Lloc"> <div id="vector-main-menu-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> </div> </div> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav id="mw-panel-toc" aria-label="Contingut" data-event-name="ui.sidebar-toc" class="mw-table-of-contents-container vector-toc-landmark"> <div id="vector-toc-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-toc" class="vector-toc vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-toc-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="toc-pinned" data-pinnable-element-id="vector-toc" > <h2 class="vector-pinnable-header-label">Contingut</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">mou a la barra lateral</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">amaga</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">Inici</div> </a> </li> <li id="toc-Motivació_de_la_teoria" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Motivació_de_la_teoria"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1</span> <span>Motivació de la teoria</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Motivació_de_la_teoria-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Commuta la subsecció Motivació de la teoria</span> </button> <ul id="toc-Motivació_de_la_teoria-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Camps_magnètics_generats_pel_corrent_elèctric" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Camps_magnètics_generats_pel_corrent_elèctric"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.1</span> <span>Camps magnètics generats pel corrent elèctric</span> </div> </a> <ul id="toc-Camps_magnètics_generats_pel_corrent_elèctric-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-L'experiment_de_Francesc_Aragó_de_1810" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#L'experiment_de_Francesc_Aragó_de_1810"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.2</span> <span>L'experiment de Francesc Aragó de 1810</span> </div> </a> <ul id="toc-L'experiment_de_Francesc_Aragó_de_1810-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Transformacions_de_coordenades" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Transformacions_de_coordenades"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>Transformacions de coordenades</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Transformacions_de_coordenades-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Commuta la subsecció Transformacions de coordenades</span> </button> <ul id="toc-Transformacions_de_coordenades-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-La_transformació_de_Galileu" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#La_transformació_de_Galileu"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.1</span> <span>La transformació de Galileu</span> </div> </a> <ul id="toc-La_transformació_de_Galileu-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-La_transformació_de_Lorentz" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#La_transformació_de_Lorentz"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2</span> <span>La transformació de Lorentz</span> </div> </a> <ul id="toc-La_transformació_de_Lorentz-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Contracció_de_l'espai_i_dilatació_del_temps" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Contracció_de_l'espai_i_dilatació_del_temps"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Contracció de l'espai i dilatació del temps</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Contracció_de_l'espai_i_dilatació_del_temps-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Commuta la subsecció Contracció de l'espai i dilatació del temps</span> </button> <ul id="toc-Contracció_de_l'espai_i_dilatació_del_temps-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Contracció_de_l'espai" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Contracció_de_l'espai"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.1</span> <span>Contracció de l'espai</span> </div> </a> <ul id="toc-Contracció_de_l'espai-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Dilatació_del_temps" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Dilatació_del_temps"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.2</span> <span>Dilatació del temps</span> </div> </a> <ul id="toc-Dilatació_del_temps-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Transformació_d'una_velocitat" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Transformació_d'una_velocitat"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.3</span> <span>Transformació d'una velocitat</span> </div> </a> <ul id="toc-Transformació_d'una_velocitat-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Simultaneïtat" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Simultaneïtat"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.4</span> <span>Simultaneïtat</span> </div> </a> <ul id="toc-Simultaneïtat-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Causalitat._Velocitat_màxima_dels_senyals" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Causalitat._Velocitat_màxima_dels_senyals"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.5</span> <span>Causalitat. Velocitat màxima dels senyals</span> </div> </a> <ul id="toc-Causalitat._Velocitat_màxima_dels_senyals-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Altres_resultats_de_la_relativitat_especial" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Altres_resultats_de_la_relativitat_especial"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Altres resultats de la relativitat especial</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Altres_resultats_de_la_relativitat_especial-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Commuta la subsecció Altres resultats de la relativitat especial</span> </button> <ul id="toc-Altres_resultats_de_la_relativitat_especial-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Transformació_de_la_massa" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Transformació_de_la_massa"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.1</span> <span>Transformació de la massa</span> </div> </a> <ul id="toc-Transformació_de_la_massa-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Transformació_de_la_quantitat_de_moviment" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Transformació_de_la_quantitat_de_moviment"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.2</span> <span>Transformació de la quantitat de moviment</span> </div> </a> <ul id="toc-Transformació_de_la_quantitat_de_moviment-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Transformació_de_la_força._Força_magnètica" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Transformació_de_la_força._Força_magnètica"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.3</span> <span>Transformació de la força. Força magnètica</span> </div> </a> <ul id="toc-Transformació_de_la_força._Força_magnètica-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Equivalència_de_la_massa_i_l'energia" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Equivalència_de_la_massa_i_l'energia"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.4</span> <span>Equivalència de la massa i l'energia</span> </div> </a> <ul id="toc-Equivalència_de_la_massa_i_l'energia-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Espai_de_Minkowski" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Espai_de_Minkowski"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Espai de Minkowski</span> </div> </a> <ul id="toc-Espai_de_Minkowski-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Indicis_de_la_teoria_de_la_relativitat_general:_Conservació_de_l'energia_cinètica" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Indicis_de_la_teoria_de_la_relativitat_general:_Conservació_de_l'energia_cinètica"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Indicis de la teoria de la relativitat general: Conservació de l'energia cinètica</span> </div> </a> <ul id="toc-Indicis_de_la_teoria_de_la_relativitat_general:_Conservació_de_l'energia_cinètica-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Modificacions_de_la_relativitat_especial" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Modificacions_de_la_relativitat_especial"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>Modificacions de la relativitat especial</span> </div> </a> <ul id="toc-Modificacions_de_la_relativitat_especial-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Tests_de_postulats_de_la_relativitat_especial" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Tests_de_postulats_de_la_relativitat_especial"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>Tests de postulats de la relativitat especial</span> </div> </a> <ul id="toc-Tests_de_postulats_de_la_relativitat_especial-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Vegeu_també" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Vegeu_també"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9</span> <span>Vegeu també</span> </div> </a> <ul id="toc-Vegeu_també-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Referències_i_notes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Referències_i_notes"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">10</span> <span>Referències i notes</span> </div> </a> <ul id="toc-Referències_i_notes-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Bibliografia" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Bibliografia"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">11</span> <span>Bibliografia</span> </div> </a> <ul id="toc-Bibliografia-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Enllaços_externs" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Enllaços_externs"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">12</span> <span>Enllaços externs</span> </div> </a> <ul id="toc-Enllaços_externs-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Contingut" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Commuta la taula de continguts." > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Commuta la taula de continguts.</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Relativitat especial</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Vés a un article en una altra llengua. Disponible en 109 llengües" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-109" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">109 llengües</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Spesiale_relatiwiteit" title="Spesiale relatiwiteit - afrikaans" lang="af" hreflang="af" data-title="Spesiale relatiwiteit" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="afrikaans" class="interlanguage-link-target"><span>Afrikaans</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-als mw-list-item"><a href="https://als.wikipedia.org/wiki/Spezielle_Relativit%C3%A4tstheorie" title="Spezielle Relativitätstheorie - alemany suís" lang="gsw" hreflang="gsw" data-title="Spezielle Relativitätstheorie" data-language-autonym="Alemannisch" data-language-local-name="alemany suís" class="interlanguage-link-target"><span>Alemannisch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-am mw-list-item"><a href="https://am.wikipedia.org/wiki/%E1%88%8D%E1%8B%A9_%E1%8A%A0%E1%8A%95%E1%8C%BB%E1%88%AB%E1%8B%8A%E1%8A%90%E1%89%B5" title="ልዩ አንጻራዊነት - amhàric" lang="am" hreflang="am" data-title="ልዩ አንጻራዊነት" data-language-autonym="አማርኛ" data-language-local-name="amhàric" class="interlanguage-link-target"><span>አማርኛ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-an mw-list-item"><a href="https://an.wikipedia.org/wiki/Relatividat_especial" title="Relatividat especial - aragonès" lang="an" hreflang="an" data-title="Relatividat especial" data-language-autonym="Aragonés" data-language-local-name="aragonès" class="interlanguage-link-target"><span>Aragonés</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%A7%D9%84%D9%86%D8%B3%D8%A8%D9%8A%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D8%AE%D8%A7%D8%B5%D8%A9" title="النسبية الخاصة - àrab" lang="ar" hreflang="ar" data-title="النسبية الخاصة" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="àrab" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-arz mw-list-item"><a href="https://arz.wikipedia.org/wiki/%D9%86%D8%B3%D8%A8%D9%8A%D9%87_%D8%AE%D8%A7%D8%B5%D9%87" title="نسبيه خاصه - àrab egipci" lang="arz" hreflang="arz" data-title="نسبيه خاصه" data-language-autonym="مصرى" data-language-local-name="àrab egipci" class="interlanguage-link-target"><span>مصرى</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-as mw-list-item"><a href="https://as.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%AC%E0%A6%BF%E0%A6%B6%E0%A7%87%E0%A6%B7_%E0%A6%86%E0%A6%AA%E0%A7%87%E0%A6%95%E0%A7%8D%E0%A6%B7%E0%A6%BF%E0%A6%95%E0%A6%A4%E0%A6%BE%E0%A6%AC%E0%A6%BE%E0%A6%A6_%E0%A6%A4%E0%A6%A4%E0%A7%8D%E0%A6%A4%E0%A7%8D%E0%A6%AC" title="বিশেষ আপেক্ষিকতাবাদ তত্ত্ব - assamès" lang="as" hreflang="as" data-title="বিশেষ আপেক্ষিকতাবাদ তত্ত্ব" data-language-autonym="অসমীয়া" data-language-local-name="assamès" class="interlanguage-link-target"><span>অসমীয়া</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_relativid%C3%A1_especial" title="Teoría de la relatividá especial - asturià" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Teoría de la relatividá especial" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="asturià" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/X%C3%BCsusi_nisbilik_n%C9%99z%C9%99riyy%C9%99si" title="Xüsusi nisbilik nəzəriyyəsi - azerbaidjanès" lang="az" hreflang="az" data-title="Xüsusi nisbilik nəzəriyyəsi" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="azerbaidjanès" class="interlanguage-link-target"><span>Azərbaycanca</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-azb mw-list-item"><a href="https://azb.wikipedia.org/wiki/%D8%A7%D8%A4%D8%B2%D9%84_%D9%86%DB%8C%D8%B3%D8%A8%DB%8C%D8%AA" title="اؤزل نیسبیت - South Azerbaijani" lang="azb" hreflang="azb" data-title="اؤزل نیسبیت" data-language-autonym="تۆرکجه" data-language-local-name="South Azerbaijani" class="interlanguage-link-target"><span>تۆرکجه</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%85%D1%81%D1%83%D1%81_%D1%81%D0%B0%D2%93%D1%8B%D1%88%D1%82%D1%8B%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8B%D2%A1_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F%D2%BB%D1%8B" title="Махсус сағыштырмалыҡ теорияһы - baixkir" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Махсус сағыштырмалыҡ теорияһы" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="baixkir" class="interlanguage-link-target"><span>Башҡортса</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ban mw-list-item"><a href="https://ban.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9lativitas_khusus" title="Rélativitas khusus - balinès" lang="ban" hreflang="ban" data-title="Rélativitas khusus" data-language-autonym="Basa Bali" data-language-local-name="balinès" class="interlanguage-link-target"><span>Basa Bali</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bar mw-list-item"><a href="https://bar.wikipedia.org/wiki/Spezieje_Relativitetstheorie" title="Spezieje Relativitetstheorie - bavarès" lang="bar" hreflang="bar" data-title="Spezieje Relativitetstheorie" data-language-autonym="Boarisch" data-language-local-name="bavarès" class="interlanguage-link-target"><span>Boarisch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bat-smg mw-list-item"><a href="https://bat-smg.wikipedia.org/wiki/Spec%C4%93liuoj%C4%97_rel%C4%93t%C4%ABvoma_teuor%C4%97j%C4%97" title="Specēliuojė relētīvoma teuorėjė - Samogitian" lang="sgs" hreflang="sgs" data-title="Specēliuojė relētīvoma teuorėjė" data-language-autonym="Žemaitėška" data-language-local-name="Samogitian" class="interlanguage-link-target"><span>Žemaitėška</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%8B%D1%8F%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%82%D1%8D%D0%BE%D1%80%D1%8B%D1%8F_%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%81%D0%BD%D0%B0%D1%81%D1%86%D1%96" title="Спецыяльная тэорыя адноснасці - belarús" lang="be" hreflang="be" data-title="Спецыяльная тэорыя адноснасці" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="belarús" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be-x-old mw-list-item"><a href="https://be-tarask.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BF%D1%8D%D1%86%D1%8B%D1%8F%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%82%D1%8D%D0%BE%D1%80%D1%8B%D1%8F_%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%81%D0%BD%D0%B0%D1%81%D1%8C%D1%86%D1%96" title="Спэцыяльная тэорыя адноснасьці - Belarusian (Taraškievica orthography)" lang="be-tarask" hreflang="be-tarask" data-title="Спэцыяльная тэорыя адноснасьці" data-language-autonym="Беларуская (тарашкевіца)" data-language-local-name="Belarusian (Taraškievica orthography)" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская (тарашкевіца)</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BD%D0%B0_%D0%BE%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%82%D0%B0" title="Специална теория на относителността - búlgar" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Специална теория на относителността" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="búlgar" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bh mw-list-item"><a href="https://bh.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AC%E0%A4%BF%E0%A4%B6%E0%A5%87%E0%A4%B8_%E0%A4%B8%E0%A4%BE%E0%A4%AA%E0%A5%87%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B7%E0%A4%A4%E0%A4%BE" title="बिशेस सापेक्षता - Bhojpuri" lang="bh" hreflang="bh" data-title="बिशेस सापेक्षता" data-language-autonym="भोजपुरी" data-language-local-name="Bhojpuri" class="interlanguage-link-target"><span>भोजपुरी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%AC%E0%A6%BF%E0%A6%B6%E0%A7%87%E0%A6%B7_%E0%A6%86%E0%A6%AA%E0%A7%87%E0%A6%95%E0%A7%8D%E0%A6%B7%E0%A6%BF%E0%A6%95%E0%A6%A4%E0%A6%BE" title="বিশেষ আপেক্ষিকতা - bengalí" lang="bn" hreflang="bn" data-title="বিশেষ আপেক্ষিকতা" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="bengalí" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Posebna_teorija_relativnosti" title="Posebna teorija relativnosti - bosnià" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Posebna teorija relativnosti" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="bosnià" class="interlanguage-link-target"><span>Bosanski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bxr mw-list-item"><a href="https://bxr.wikipedia.org/wiki/%D0%A5%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D1%8B_%D0%B1%D0%B0%D0%B9%D0%B4%D0%B0%D0%BB%D0%B0%D0%B9_%D1%82%D1%83%D1%81%D1%85%D0%B0%D0%B9_%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BB" title="Харисангы байдалай тусхай онол - Russia Buriat" lang="bxr" hreflang="bxr" data-title="Харисангы байдалай тусхай онол" data-language-autonym="Буряад" data-language-local-name="Russia Buriat" class="interlanguage-link-target"><span>Буряад</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%DA%95%DB%8E%DA%98%DB%95%DB%8C%DB%8C%DB%8C_%D8%AA%D8%A7%DB%8C%D8%A8%DB%95%D8%AA" title="ڕێژەییی تایبەت - kurd central" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="ڕێژەییی تایبەت" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="kurd central" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Speci%C3%A1ln%C3%AD_teorie_relativity" title="Speciální teorie relativity - txec" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Speciální teorie relativity" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="txec" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B0%D0%BD%D0%BB%D0%B0%D1%88%D1%82%D0%B0%D1%80%D1%83%D0%BB%C4%83%D1%85%C4%83%D0%BD_%D1%8F%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BB%C4%83_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B9%C4%95" title="Танлаштарулăхăн ятарлă теорийĕ - txuvaix" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Танлаштарулăхăн ятарлă теорийĕ" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="txuvaix" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Perthnasedd_arbennig" title="Perthnasedd arbennig - gal·lès" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Perthnasedd arbennig" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="gal·lès" class="interlanguage-link-target"><span>Cymraeg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Speciel_relativitetsteori" title="Speciel relativitetsteori - danès" lang="da" hreflang="da" data-title="Speciel relativitetsteori" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="danès" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de badge-Q17437798 badge-goodarticle mw-list-item" title="article bo"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Spezielle_Relativit%C3%A4tstheorie" title="Spezielle Relativitätstheorie - alemany" lang="de" hreflang="de" data-title="Spezielle Relativitätstheorie" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="alemany" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-diq mw-list-item"><a href="https://diq.wikipedia.org/wiki/Teoriya_Relatifiya_X%C4%B1susiye" title="Teoriya Relatifiya Xısusiye - Zazaki" lang="diq" hreflang="diq" data-title="Teoriya Relatifiya Xısusiye" data-language-autonym="Zazaki" data-language-local-name="Zazaki" class="interlanguage-link-target"><span>Zazaki</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%95%CE%B9%CE%B4%CE%B9%CE%BA%CE%AE_%CF%83%CF%87%CE%B5%CF%84%CE%B9%CE%BA%CF%8C%CF%84%CE%B7%CF%84%CE%B1" title="Ειδική σχετικότητα - grec" lang="el" hreflang="el" data-title="Ειδική σχετικότητα" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="grec" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Special_relativity" title="Special relativity - anglès" lang="en" hreflang="en" data-title="Special relativity" data-language-autonym="English" data-language-local-name="anglès" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Speciala_teorio_de_relativeco" title="Speciala teorio de relativeco - esperanto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Speciala teorio de relativeco" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="esperanto" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_relatividad_especial" title="Teoría de la relatividad especial - espanyol" lang="es" hreflang="es" data-title="Teoría de la relatividad especial" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="espanyol" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Erirelatiivsusteooria" title="Erirelatiivsusteooria - estonià" lang="et" hreflang="et" data-title="Erirelatiivsusteooria" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="estonià" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Erlatibitate_berezia" title="Erlatibitate berezia - basc" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Erlatibitate berezia" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="basc" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%86%D8%B3%D8%A8%DB%8C%D8%AA_%D8%AE%D8%A7%D8%B5" title="نسبیت خاص - persa" lang="fa" hreflang="fa" data-title="نسبیت خاص" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="persa" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Erityinen_suhteellisuusteoria" title="Erityinen suhteellisuusteoria - finès" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Erityinen suhteellisuusteoria" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="finès" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Relativit%C3%A9_restreinte" title="Relativité restreinte - francès" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Relativité restreinte" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="francès" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gd mw-list-item"><a href="https://gd.wikipedia.org/wiki/Te%C3%B2irig_sh%C3%B2nraichte_na_d%C3%A0imheachd" title="Teòirig shònraichte na dàimheachd - gaèlic escocès" lang="gd" hreflang="gd" data-title="Teòirig shònraichte na dàimheachd" data-language-autonym="Gàidhlig" data-language-local-name="gaèlic escocès" class="interlanguage-link-target"><span>Gàidhlig</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Relatividade_especial" title="Relatividade especial - gallec" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Relatividade especial" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="gallec" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gn mw-list-item"><a href="https://gn.wikipedia.org/wiki/Mba%27ekuaar%C3%A3_joguerahavi%C3%A1rava_ijap%C3%BDva" title="Mba'ekuaarã joguerahaviárava ijapýva - guaraní" lang="gn" hreflang="gn" data-title="Mba'ekuaarã joguerahaviárava ijapýva" data-language-autonym="Avañe'ẽ" data-language-local-name="guaraní" class="interlanguage-link-target"><span>Avañe'ẽ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%AA%D7%95%D7%A8%D7%AA_%D7%94%D7%99%D7%97%D7%A1%D7%95%D7%AA_%D7%94%D7%A4%D7%A8%D7%98%D7%99%D7%AA" title="תורת היחסות הפרטית - hebreu" lang="he" hreflang="he" data-title="תורת היחסות הפרטית" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hebreu" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="article de qualitat"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B5%E0%A4%BF%E0%A4%B6%E0%A4%BF%E0%A4%B7%E0%A5%8D%E0%A4%9F_%E0%A4%86%E0%A4%AA%E0%A5%87%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B7%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A4%A4%E0%A4%BE" title="विशिष्ट आपेक्षिकता - hindi" lang="hi" hreflang="hi" data-title="विशिष्ट आपेक्षिकता" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="hindi" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hif mw-list-item"><a href="https://hif.wikipedia.org/wiki/Special_relativity" title="Special relativity - hindi de Fiji" lang="hif" hreflang="hif" data-title="Special relativity" data-language-autonym="Fiji Hindi" data-language-local-name="hindi de Fiji" class="interlanguage-link-target"><span>Fiji Hindi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="article de qualitat"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Posebna_teorija_relativnosti" title="Posebna teorija relativnosti - croat" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Posebna teorija relativnosti" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="croat" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Speci%C3%A1lis_relativit%C3%A1selm%C3%A9let" title="Speciális relativitáselmélet - hongarès" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Speciális relativitáselmélet" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="hongarès" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D5%80%D5%A1%D6%80%D5%A1%D5%A2%D5%A5%D6%80%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%A1%D5%B6_%D5%B0%D5%A1%D5%BF%D5%B8%D6%82%D5%AF_%D5%BF%D5%A5%D5%BD%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Հարաբերականության հատուկ տեսություն - armeni" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Հարաբերականության հատուկ տեսություն" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="armeni" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Relativitate_special" title="Relativitate special - interlingua" lang="ia" hreflang="ia" data-title="Relativitate special" data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="interlingua" class="interlanguage-link-target"><span>Interlingua</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Relativitas_khusus" title="Relativitas khusus - indonesi" lang="id" hreflang="id" data-title="Relativitas khusus" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonesi" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-io mw-list-item"><a href="https://io.wikipedia.org/wiki/Specala_relativeso" title="Specala relativeso - ido" lang="io" hreflang="io" data-title="Specala relativeso" data-language-autonym="Ido" data-language-local-name="ido" class="interlanguage-link-target"><span>Ido</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Takmarka%C3%B0a_afst%C3%A6%C3%B0iskenningin" title="Takmarkaða afstæðiskenningin - islandès" lang="is" hreflang="is" data-title="Takmarkaða afstæðiskenningin" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="islandès" class="interlanguage-link-target"><span>Íslenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Relativit%C3%A0_ristretta" title="Relatività ristretta - italià" lang="it" hreflang="it" data-title="Relatività ristretta" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italià" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E6%80%A7%E7%90%86%E8%AB%96" title="特殊相対性理論 - japonès" lang="ja" hreflang="ja" data-title="特殊相対性理論" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japonès" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%A4%E1%83%90%E1%83%A0%E1%83%93%E1%83%9D%E1%83%91%E1%83%98%E1%83%97%E1%83%9D%E1%83%91%E1%83%98%E1%83%A1_%E1%83%A1%E1%83%9E%E1%83%94%E1%83%AA%E1%83%98%E1%83%90%E1%83%9A%E1%83%A3%E1%83%A0%E1%83%98_%E1%83%97%E1%83%94%E1%83%9D%E1%83%A0%E1%83%98%E1%83%90" title="ფარდობითობის სპეციალური თეორია - georgià" lang="ka" hreflang="ka" data-title="ფარდობითობის სპეციალური თეორია" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="georgià" class="interlanguage-link-target"><span>ქართული</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%80%D0%BD%D0%B0%D0%B9%D1%8B_%D1%81%D0%B0%D0%BB%D1%8B%D1%81%D1%82%D1%8B%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8B%D0%BB%D1%8B%D2%9B_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F%D1%81%D1%8B" title="Арнайы салыстырмалылық теориясы - kazakh" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Арнайы салыстырмалылық теориясы" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="kazakh" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%8A%B9%EC%88%98_%EC%83%81%EB%8C%80%EC%84%B1%EC%9D%B4%EB%A1%A0" title="특수 상대성이론 - coreà" lang="ko" hreflang="ko" data-title="특수 상대성이론" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="coreà" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ky mw-list-item"><a href="https://ky.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%82%D0%B0%D0%B9%D1%8B%D0%BD_%D1%81%D0%B0%D0%BB%D1%8B%D1%88%D1%82%D1%8B%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%83%D1%83%D0%BB%D1%83%D0%BA_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F%D1%81%D1%8B" title="Атайын салыштырмалуулук теориясы - kirguís" lang="ky" hreflang="ky" data-title="Атайын салыштырмалуулук теориясы" data-language-autonym="Кыргызча" data-language-local-name="kirguís" class="interlanguage-link-target"><span>Кыргызча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="article de qualitat"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Relativitas_specialis" title="Relativitas specialis - llatí" lang="la" hreflang="la" data-title="Relativitas specialis" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="llatí" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Specialioji_reliatyvumo_teorija" title="Specialioji reliatyvumo teorija - lituà" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Specialioji reliatyvumo teorija" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="lituà" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Speci%C4%81l%C4%81_relativit%C4%81tes_teorija" title="Speciālā relativitātes teorija - letó" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Speciālā relativitātes teorija" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="letó" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="article de qualitat"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D0%B8%D1%98%D0%B0%D0%BB%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%98%D0%B0_%D0%B7%D0%B0_%D1%80%D0%B5%D0%BB%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0" title="Специјална теорија за релативноста - macedoni" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Специјална теорија за релативноста" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="macedoni" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%B5%E0%B4%BF%E0%B4%B6%E0%B4%BF%E0%B4%B7%E0%B5%8D%E0%B4%9F_%E0%B4%86%E0%B4%AA%E0%B5%87%E0%B4%95%E0%B5%8D%E0%B4%B7%E0%B4%BF%E0%B4%95%E0%B4%A4%E0%B4%BE_%E0%B4%B8%E0%B4%BF%E0%B4%A6%E0%B5%8D%E0%B4%A7%E0%B4%BE%E0%B4%A8%E0%B5%8D%E0%B4%A4%E0%B4%82" title="വിശിഷ്ട ആപേക്ഷികതാ സിദ്ധാന്തം - malaiàlam" lang="ml" hreflang="ml" data-title="വിശിഷ്ട ആപേക്ഷികതാ സിദ്ധാന്തം" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="malaiàlam" class="interlanguage-link-target"><span>മലയാളം</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mn badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="article de qualitat"><a href="https://mn.wikipedia.org/wiki/%D0%A5%D0%B0%D1%80%D1%8C%D1%86%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D1%83%D0%B9%D0%BD_%D1%82%D1%83%D1%81%D0%B3%D0%B0%D0%B9_%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BB" title="Харьцангуйн тусгай онол - mongol" lang="mn" hreflang="mn" data-title="Харьцангуйн тусгай онол" data-language-autonym="Монгол" data-language-local-name="mongol" class="interlanguage-link-target"><span>Монгол</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mr mw-list-item"><a href="https://mr.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B5%E0%A4%BF%E0%A4%B6%E0%A5%87%E0%A4%B7_%E0%A4%B8%E0%A4%BE%E0%A4%AA%E0%A5%87%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B7%E0%A4%A4%E0%A4%BE" title="विशेष सापेक्षता - marathi" lang="mr" hreflang="mr" data-title="विशेष सापेक्षता" data-language-autonym="मराठी" data-language-local-name="marathi" class="interlanguage-link-target"><span>मराठी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Kerelatifan_khas" title="Kerelatifan khas - malai" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Kerelatifan khas" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="malai" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mt mw-list-item"><a href="https://mt.wikipedia.org/wiki/Relattivit%C3%A0_ristretta" title="Relattività ristretta - maltès" lang="mt" hreflang="mt" data-title="Relattività ristretta" data-language-autonym="Malti" data-language-local-name="maltès" class="interlanguage-link-target"><span>Malti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-my mw-list-item"><a href="https://my.wikipedia.org/wiki/%E1%80%A1%E1%80%91%E1%80%B0%E1%80%B8%E1%80%94%E1%80%BE%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%B8%E1%80%9B%E1%80%9E%E1%80%AE%E1%80%A1%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%9B%E1%80%AE" title="အထူးနှိုင်းရသီအိုရီ - birmà" lang="my" hreflang="my" data-title="အထူးနှိုင်းရသီအိုရီ" data-language-autonym="မြန်မာဘာသာ" data-language-local-name="birmà" class="interlanguage-link-target"><span>မြန်မာဘာသာ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nds mw-list-item"><a href="https://nds.wikipedia.org/wiki/Spetschale_Relativit%C3%A4tstheorie" title="Spetschale Relativitätstheorie - baix alemany" lang="nds" hreflang="nds" data-title="Spetschale Relativitätstheorie" data-language-autonym="Plattdüütsch" data-language-local-name="baix alemany" class="interlanguage-link-target"><span>Plattdüütsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Speciale_relativiteitstheorie" title="Speciale relativiteitstheorie - neerlandès" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Speciale relativiteitstheorie" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="neerlandès" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Den_spesielle_relativitetsteorien" title="Den spesielle relativitetsteorien - noruec nynorsk" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Den spesielle relativitetsteorien" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="noruec nynorsk" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Den_spesielle_relativitetsteorien" title="Den spesielle relativitetsteorien - noruec bokmål" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Den spesielle relativitetsteorien" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="noruec bokmål" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Relativitat_especiala" title="Relativitat especiala - occità" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Relativitat especiala" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="occità" class="interlanguage-link-target"><span>Occitan</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-or mw-list-item"><a href="https://or.wikipedia.org/wiki/%E0%AC%AC%E0%AC%BF%E0%AC%B6%E0%AD%87%E0%AC%B7_%E0%AC%86%E0%AC%AA%E0%AD%87%E0%AC%95%E0%AD%8D%E0%AC%B7%E0%AC%BF%E0%AC%95_%E0%AC%A4%E0%AC%A4%E0%AD%8D%E0%AC%A4%E0%AD%8D%E0%AD%B1" title="ବିଶେଷ ଆପେକ୍ଷିକ ତତ୍ତ୍ୱ - oriya" lang="or" hreflang="or" data-title="ବିଶେଷ ଆପେକ୍ଷିକ ତତ୍ତ୍ୱ" data-language-autonym="ଓଡ଼ିଆ" data-language-local-name="oriya" class="interlanguage-link-target"><span>ଓଡ଼ିଆ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%B5%E0%A8%BF%E0%A8%B8%E0%A8%BC%E0%A9%87%E0%A8%B8%E0%A8%BC_%E0%A8%B8%E0%A8%BE%E0%A8%AA%E0%A9%87%E0%A8%96%E0%A8%A4%E0%A8%BE" title="ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਸਾਪੇਖਤਾ - panjabi" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਸਾਪੇਖਤਾ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="panjabi" class="interlanguage-link-target"><span>ਪੰਜਾਬੀ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Szczeg%C3%B3lna_teoria_wzgl%C4%99dno%C5%9Bci" title="Szczególna teoria względności - polonès" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Szczególna teoria względności" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="polonès" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pms mw-list-item"><a href="https://pms.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ACa_dla_relativit%C3%A0_limit%C3%A0" title="Teorìa dla relatività limità - piemontès" lang="pms" hreflang="pms" data-title="Teorìa dla relatività limità" data-language-autonym="Piemontèis" data-language-local-name="piemontès" class="interlanguage-link-target"><span>Piemontèis</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pnb mw-list-item"><a href="https://pnb.wikipedia.org/wiki/%D8%B3%D9%BE%DB%8C%D8%B4%D9%84_%D8%B1%DB%8C%D9%84%DB%8C%D9%B9%DB%8C%D9%88%D9%B9%DB%8C" title="سپیشل ریلیٹیوٹی - Western Punjabi" lang="pnb" hreflang="pnb" data-title="سپیشل ریلیٹیوٹی" data-language-autonym="پنجابی" data-language-local-name="Western Punjabi" class="interlanguage-link-target"><span>پنجابی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ps mw-list-item"><a href="https://ps.wikipedia.org/wiki/%DA%81%D8%A7%D9%86%DA%AB%DA%93%DB%8C_%D9%86%D8%B3%D8%A8%D9%8A%D8%AA" title="ځانګړی نسبيت - paixtu" lang="ps" hreflang="ps" data-title="ځانګړی نسبيت" data-language-autonym="پښتو" data-language-local-name="paixtu" class="interlanguage-link-target"><span>پښتو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Relatividade_restrita" title="Relatividade restrita - portuguès" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Relatividade restrita" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portuguès" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Teoria_relativit%C4%83%C8%9Bii_restr%C3%A2nse" title="Teoria relativității restrânse - romanès" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Teoria relativității restrânse" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="romanès" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BE%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8" title="Специальная теория относительности - rus" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Специальная теория относительности" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="rus" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/Tiur%C3%ACa_di_la_rilativitati_spiciali" title="Tiurìa di la rilativitati spiciali - sicilià" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Tiurìa di la rilativitati spiciali" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="sicilià" class="interlanguage-link-target"><span>Sicilianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sco mw-list-item"><a href="https://sco.wikipedia.org/wiki/Special_relativity" title="Special relativity - escocès" lang="sco" hreflang="sco" data-title="Special relativity" data-language-autonym="Scots" data-language-local-name="escocès" class="interlanguage-link-target"><span>Scots</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sd mw-list-item"><a href="https://sd.wikipedia.org/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5_%D9%86%D8%B3%D8%A8%D8%AA_%D8%AC%D9%88_%D9%86%D8%B8%D8%B1%D9%8A%D9%88" title="خاص نسبت جو نظريو - sindi" lang="sd" hreflang="sd" data-title="خاص نسبت جو نظريو" data-language-autonym="سنڌي" data-language-local-name="sindi" class="interlanguage-link-target"><span>سنڌي</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Specijalna_teorija_relativnosti" title="Specijalna teorija relativnosti - serbocroat" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Specijalna teorija relativnosti" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="serbocroat" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-si mw-list-item"><a href="https://si.wikipedia.org/wiki/%E0%B7%80%E0%B7%92%E0%B7%81%E0%B7%9A%E0%B7%82_%E0%B7%83%E0%B7%8F%E0%B6%B4%E0%B7%9A%E0%B6%9A%E0%B7%8A%E0%B7%82%E0%B6%AD%E0%B7%8F%E0%B7%80%E0%B7%8F%E0%B6%AF%E0%B6%BA" title="විශේෂ සාපේක්ෂතාවාදය - singalès" lang="si" hreflang="si" data-title="විශේෂ සාපේක්ෂතාවාදය" data-language-autonym="සිංහල" data-language-local-name="singalès" class="interlanguage-link-target"><span>සිංහල</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Special_relativity" title="Special relativity - Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Special relativity" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="article de qualitat"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/%C5%A0peci%C3%A1lna_te%C3%B3ria_relativity" title="Špeciálna teória relativity - eslovac" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Špeciálna teória relativity" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="eslovac" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Posebna_teorija_relativnosti" title="Posebna teorija relativnosti - eslovè" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Posebna teorija relativnosti" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="eslovè" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Teoria_speciale_e_relativitetit" title="Teoria speciale e relativitetit - albanès" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Teoria speciale e relativitetit" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="albanès" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/Specijalna_teorija_relativnosti" title="Specijalna teorija relativnosti - serbi" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Specijalna teorija relativnosti" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="serbi" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-su mw-list-item"><a href="https://su.wikipedia.org/wiki/Teori_Relativitas_Khusus" title="Teori Relativitas Khusus - sondanès" lang="su" hreflang="su" data-title="Teori Relativitas Khusus" data-language-autonym="Sunda" data-language-local-name="sondanès" class="interlanguage-link-target"><span>Sunda</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Speciella_relativitetsteorin" title="Speciella relativitetsteorin - suec" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Speciella relativitetsteorin" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="suec" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sw mw-list-item"><a href="https://sw.wikipedia.org/wiki/Uhusianifu_maalumu" title="Uhusianifu maalumu - suahili" lang="sw" hreflang="sw" data-title="Uhusianifu maalumu" data-language-autonym="Kiswahili" data-language-local-name="suahili" class="interlanguage-link-target"><span>Kiswahili</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%9A%E0%AE%BF%E0%AE%B1%E0%AE%AA%E0%AF%8D%E0%AE%AA%E0%AF%81%E0%AE%9A%E0%AF%8D_%E0%AE%9A%E0%AE%BE%E0%AE%B0%E0%AF%8D%E0%AE%AA%E0%AF%81%E0%AE%95%E0%AF%8D_%E0%AE%95%E0%AF%8B%E0%AE%9F%E0%AF%8D%E0%AE%AA%E0%AE%BE%E0%AE%9F%E0%AF%81" title="சிறப்புச் சார்புக் கோட்பாடு - tàmil" lang="ta" hreflang="ta" data-title="சிறப்புச் சார்புக் கோட்பாடு" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="tàmil" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%97%E0%B8%A4%E0%B8%A9%E0%B8%8E%E0%B8%B5%E0%B8%AA%E0%B8%B1%E0%B8%A1%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%97%E0%B8%98%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%9E%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9" title="ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ - tai" lang="th" hreflang="th" data-title="ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="tai" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Teorya_ng_natatanging_relatibidad" title="Teorya ng natatanging relatibidad - tagal" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Teorya ng natatanging relatibidad" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="tagal" class="interlanguage-link-target"><span>Tagalog</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/%C3%96zel_g%C3%B6relilik" title="Özel görelilik - turc" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Özel görelilik" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turc" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tt badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="article de qualitat"><a href="https://tt.wikipedia.org/wiki/Maxsus_%C3%A7a%C4%9F%C4%B1%C5%9Ft%C4%B1rmal%C4%B1l%C4%B1q_teori%C3%A4se" title="Maxsus çağıştırmalılıq teoriäse - tàtar" lang="tt" hreflang="tt" data-title="Maxsus çağıştırmalılıq teoriäse" data-language-autonym="Татарча / tatarça" data-language-local-name="tàtar" class="interlanguage-link-target"><span>Татарча / tatarça</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F_%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%81%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96" title="Спеціальна теорія відносності - ucraïnès" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Спеціальна теорія відносності" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ucraïnès" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D8%A7%D8%B6%D8%A7%D9%81%DB%8C%D8%AA_%D9%85%D8%AE%D8%B5%D9%88%D8%B5%DB%81" title="اضافیت مخصوصہ - urdú" lang="ur" hreflang="ur" data-title="اضافیت مخصوصہ" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="urdú" class="interlanguage-link-target"><span>اردو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Maxsus_nisbiylik_nazariyasi" title="Maxsus nisbiylik nazariyasi - uzbek" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Maxsus nisbiylik nazariyasi" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="uzbek" class="interlanguage-link-target"><span>Oʻzbekcha / ўзбекча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vep mw-list-item"><a href="https://vep.wikipedia.org/wiki/Specialine_rel%C3%A4tivi%C5%BEusen_teorii" title="Specialine relätivižusen teorii - vepse" lang="vep" hreflang="vep" data-title="Specialine relätivižusen teorii" data-language-autonym="Vepsän kel’" data-language-local-name="vepse" class="interlanguage-link-target"><span>Vepsän kel’</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/Thuy%E1%BA%BFt_t%C6%B0%C6%A1ng_%C4%91%E1%BB%91i_h%E1%BA%B9p" title="Thuyết tương đối hẹp - vietnamita" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Thuyết tương đối hẹp" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vietnamita" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-war mw-list-item"><a href="https://war.wikipedia.org/wiki/Pinaurog_nga_relatibidad" title="Pinaurog nga relatibidad - waray" lang="war" hreflang="war" data-title="Pinaurog nga relatibidad" data-language-autonym="Winaray" data-language-local-name="waray" class="interlanguage-link-target"><span>Winaray</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E7%8B%AD%E4%B9%89%E7%9B%B8%E5%AF%B9%E8%AE%BA" title="狭义相对论 - xinès wu" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="狭义相对论" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="xinès wu" class="interlanguage-link-target"><span>吴语</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yi mw-list-item"><a href="https://yi.wikipedia.org/wiki/%D7%A1%D7%A4%D7%A2%D7%A6%D7%99%D7%A2%D7%9C%D7%A2_%D7%98%D7%A2%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%A2_%D7%A4%D7%95%D7%9F_%D7%A8%D7%A2%D7%9C%D7%90%D7%98%D7%99%D7%95%D7%95%D7%99%D7%98%D7%A2%D7%98" title="ספעציעלע טעאריע פון רעלאטיוויטעט - ídix" lang="yi" hreflang="yi" data-title="ספעציעלע טעאריע פון רעלאטיוויטעט" data-language-autonym="ייִדיש" data-language-local-name="ídix" class="interlanguage-link-target"><span>ייִדיש</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%8B%AD%E4%B9%89%E7%9B%B8%E5%AF%B9%E8%AE%BA" title="狭义相对论 - xinès" lang="zh" hreflang="zh" data-title="狭义相对论" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="xinès" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-classical mw-list-item"><a href="https://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E7%8B%B9%E7%BE%A9%E7%9B%B8%E5%B0%8D%E8%AB%96" title="狹義相對論 - xinès clàssic" lang="lzh" hreflang="lzh" data-title="狹義相對論" data-language-autonym="文言" data-language-local-name="xinès clàssic" class="interlanguage-link-target"><span>文言</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E7%8B%B9%E7%BE%A9%E7%9B%B8%E5%B0%8D%E8%AB%96" title="狹義相對論 - cantonès" lang="yue" hreflang="yue" data-title="狹義相對論" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="cantonès" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q11455#sitelinks-wikipedia" title="Modifica enllaços interlingües" class="wbc-editpage">Modifica els enllaços</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Espais de noms"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Relativitat_especial" title="Vegeu el contingut de la pàgina [c]" accesskey="c"><span>Pàgina</span></a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Discussi%C3%B3:Relativitat_especial" rel="discussion" title="Discussió sobre el contingut d'aquesta pàgina [t]" accesskey="t"><span>Discussió</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Canvia la variant de llengua" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">català</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="Vistes"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Relativitat_especial"><span>Mostra</span></a></li><li id="ca-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Relativitat_especial&action=edit" title="Modifica el codi font d'aquesta pàgina [e]" accesskey="e"><span>Modifica</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Relativitat_especial&action=history" title="Versions antigues d'aquesta pàgina [h]" accesskey="h"><span>Mostra l'historial</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Eines de la pàgina"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Eines" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">Eines</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Eines</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">mou a la barra lateral</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">amaga</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Més opcions" > <div class="vector-menu-heading"> Accions </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/Relativitat_especial"><span>Mostra</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Relativitat_especial&action=edit" title="Modifica el codi font d'aquesta pàgina [e]" accesskey="e"><span>Modifica</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Relativitat_especial&action=history"><span>Mostra l'historial</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> General </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:Enlla%C3%A7os/Relativitat_especial" title="Una llista de totes les pàgines wiki que enllacen amb aquesta [j]" accesskey="j"><span>Què hi enllaça</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:Seguiment/Relativitat_especial" rel="nofollow" title="Canvis recents a pàgines enllaçades des d'aquesta pàgina [k]" accesskey="k"><span>Canvis relacionats</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:P%C3%A0gines_especials" title="Llista totes les pàgines especials [q]" accesskey="q"><span>Pàgines especials</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Relativitat_especial&oldid=34140498" title="Enllaç permanent a aquesta revisió de la pàgina"><span>Enllaç permanent</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Relativitat_especial&action=info" title="Més informació sobre aquesta pàgina"><span>Informació de la pàgina</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:Citau&page=Relativitat_especial&id=34140498&wpFormIdentifier=titleform" title="Informació sobre com citar aquesta pàgina"><span>Citau aquest article</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Fca.wikipedia.org%2Fwiki%2FRelativitat_especial"><span>Obtén una URL abreujada</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:QrCode&url=https%3A%2F%2Fca.wikipedia.org%2Fwiki%2FRelativitat_especial"><span>Descarrega el codi QR</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> Imprimeix/exporta </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:Llibre&bookcmd=book_creator&referer=Relativitat+especial"><span>Crea un llibre</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:DownloadAsPdf&page=Relativitat_especial&action=show-download-screen"><span>Baixa com a PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Relativitat_especial&printable=yes" title="Versió per a impressió d'aquesta pàgina [p]" accesskey="p"><span>Versió per a impressora</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> En altres projectes </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Special_relativity" hreflang="en"><span>Commons</span></a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q11455" title="Enllaç a l'element del repositori de dades connectat [g]" accesskey="g"><span>Element a Wikidata</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Eines de la pàgina"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Aparença"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Aparença</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">mou a la barra lateral</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">amaga</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> <div id="mw-indicator-ind-100" class="mw-indicator"><div class="mw-parser-output"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Llista_dels_1000_articles_fonamentals" title="Els 1.000 fonamentals de la Viquipèdia"><img alt="Els 1.000 fonamentals de la Viquipèdia" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/34/Segell_1000_unificat_Viquip%C3%A8dia.svg/30px-Segell_1000_unificat_Viquip%C3%A8dia.svg.png" decoding="async" width="30" height="36" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/34/Segell_1000_unificat_Viquip%C3%A8dia.svg/45px-Segell_1000_unificat_Viquip%C3%A8dia.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/34/Segell_1000_unificat_Viquip%C3%A8dia.svg/60px-Segell_1000_unificat_Viquip%C3%A8dia.svg.png 2x" data-file-width="2408" data-file-height="2896" /></a></span></div></div> </div> <div id="siteSub" class="noprint">De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="ca" dir="ltr"><figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fitxer:Albert_Einstein_(Nobel).png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/50/Albert_Einstein_%28Nobel%29.png/220px-Albert_Einstein_%28Nobel%29.png" decoding="async" width="220" height="311" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/50/Albert_Einstein_%28Nobel%29.png 1.5x" data-file-width="280" data-file-height="396" /></a><figcaption><a href="/wiki/Albert_Einstein" title="Albert Einstein">Albert Einstein</a> 1921</figcaption></figure> <p>La <b>Teoria especial de la relativitat</b> (coneguda també com a <b>relativitat especial</b>, <b>relativitat restringida</b> o <b>RE</b>), va ser publicada per <a href="/wiki/Albert_Einstein" title="Albert Einstein">Albert Einstein</a> el <a href="/wiki/1905" title="1905">1905</a>,<sup id="cite_ref-electro_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-electro-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> i descriu la <a href="/wiki/F%C3%ADsica" title="Física">física</a> del moviment en absència de camps gravitacionals. Aquests conceptes van ser presentats anteriorment per <a href="/wiki/Henri_Poincar%C3%A9" title="Henri Poincaré">Henri Poincaré</a> i <a href="/wiki/Hendrik_Lorentz" title="Hendrik Lorentz">Hendrik Lorentz</a>, que també són considerats com a iniciadors de la teoria. Fins aleshores, els físics pensaven que la <a href="/wiki/Mec%C3%A0nica_cl%C3%A0ssica" title="Mecànica clàssica">mecànica clàssica</a> d'<a href="/wiki/Isaac_Newton" title="Isaac Newton">Isaac Newton</a>, basada en l'anomenada relativitat de <a href="/wiki/Galileo_Galilei" title="Galileo Galilei">Galileu</a> (origen de les equacions <a href="/wiki/Matem%C3%A0tiques" title="Matemàtiques">matemàtiques</a> conegudes com a transformacions de Galileu), descrivia els conceptes de velocitat i força per a tots els observadors, o <a href="/wiki/Sistema_de_refer%C3%A8ncia" title="Sistema de referència">sistemes de referència</a>. No obstant això, Hendrik Lorentz i altres, havien comprovat que les <a href="/wiki/Equacions_de_Maxwell" title="Equacions de Maxwell">equacions de Maxwell</a>, que governen l'<a href="/wiki/Electromagnetisme" title="Electromagnetisme">electromagnetisme</a>, no es comportaven d'acord amb les lleis de Newton quan el sistema de referència canvia; per exemple, quan es considera el mateix problema físic des del punt de vista de dos observadors que es mouen l'un respecte de l'altre. </p><p>La noció de transformació de les lleis de la física respecte als <a href="/wiki/Observador" title="Observador">observadors</a> és la que dona nom a la teoria, que s'ajusta amb el qualificatiu d'especial o restringida per cenyir-se a casos de sistemes en els quals no es té en compte els camps gravitatoris. Una extensió d'aquesta teoria, que inclou els <a href="/wiki/Camp_gravitatori" title="Camp gravitatori">camps gravitatoris</a>, és la <a href="/wiki/Relativitat_general" title="Relativitat general">Teoria General de la Relativitat</a>, publicada per Einstein el <a href="/wiki/1916" title="1916">1916</a>. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Motivació_de_la_teoria"><span id="Motivaci.C3.B3_de_la_teoria"></span>Motivació de la teoria</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Relativitat_especial&action=edit&section=1" title="Modifica la secció: Motivació de la teoria"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>A començaments del <a href="/wiki/Segle_XIX" title="Segle XIX">segle <span title="Nombre escrit en xifres romanes" style="font-variant:small-caps;">xix</span></a> les <a href="/wiki/Lleis_de_Newton" title="Lleis de Newton">lleis de Newton</a> tenien un ampli reconeixement. Aquest reconeixement es va acabar de consolidar amb el descobriment del planeta <a href="/wiki/Nept%C3%BA_(planeta)" title="Neptú (planeta)">Neptú</a>. El planeta <a href="/wiki/Ur%C3%A0_(planeta)" title="Urà (planeta)">Urà</a> semblava que no seguia l'òrbita exacta que preveien les lleis de Newton, llavors <a href="/wiki/Francesc_Arag%C3%B3" class="mw-redirect" title="Francesc Aragó">Francesc Aragó</a> va suggerir al seu alumne <a href="/wiki/Le_Verrier" class="mw-redirect" title="Le Verrier">Le Verrier</a> que fes els càlculs de quina òrbita hauria de tenir un hipotètic planeta que provoqués les alteracions observades en l'òrbita d'Urà. Els astrònoms van enfocar els telescopis a la posició del cel on segons els càlculs de Leverrier hi havia d'haver el nou planeta i efectivament van descobrir Neptú. </p><p>No obstant això s'estaven gestant altres observacions que feien pensar que les lleis de Newton no eren del tot correctes. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Camps_magnètics_generats_pel_corrent_elèctric"><span id="Camps_magn.C3.A8tics_generats_pel_corrent_el.C3.A8ctric"></span>Camps magnètics generats pel corrent elèctric</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Relativitat_especial&action=edit&section=2" title="Modifica la secció: Camps magnètics generats pel corrent elèctric"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La relació entre l'<a href="/wiki/Electricitat" title="Electricitat">electricitat</a> i el <a href="/wiki/Magnetisme" title="Magnetisme">magnetisme</a>, basada en la capacitat del <a href="/wiki/Corrent_el%C3%A8ctric" title="Corrent elèctric">corrent elèctric</a> per desviar una agulla magnètica, va ser descoberta de forma independent per <a href="/w/index.php?title=Gian_Domenico_Romagnosi&action=edit&redlink=1" class="new" title="Gian Domenico Romagnosi (encara no existeix)">Gian Domenico Romagnosi</a> i <a href="/wiki/Hans_Christian_%C3%98rsted" title="Hans Christian Ørsted">Hans Christian Ørsted</a>. Cap dels dos en van treure més conseqüències ni van desenvolupar cap teoria per explicar-ho. Romagosi ho va descobrir el 1802 i va enviar un informe a l'<a href="/w/index.php?title=Acad%C3%A8mia_de_Par%C3%ADs&action=edit&redlink=1" class="new" title="Acadèmia de París (encara no existeix)">Acadèmia de París</a>, però en aquell moment la comunitat científica l'ignora.<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> El 1820 <a href="/wiki/Hans_Christian_%C3%98rsted" title="Hans Christian Ørsted">Hans Christian Ørsted</a> redescobreix el fenomen i presenta el seu experiment a <a href="/wiki/Ginebra" title="Ginebra">Ginebra</a>. <a href="/wiki/Francesc_Arag%C3%B3" class="mw-redirect" title="Francesc Aragó">Francesc Aragó</a> va presenciar l'experiment d'Ørsted a Ginebra, el va repetir a <a href="/wiki/Par%C3%ADs" title="París">París</a> i va animar a <a href="/wiki/Andr%C3%A9-Marie_Amp%C3%A8re" title="André-Marie Ampère">Ampère</a> a investigar sobre el fenomen.<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Ampère va deduir-ne que les accions magnètiques són degudes al moviment de l'electricitat. </p><p>Aquest fet presenta un problema fonamental. Per una banda si un corrent elèctric crea un camp magnètic, una <a href="/wiki/C%C3%A0rrega_el%C3%A8ctrica" title="Càrrega elèctrica">càrrega elèctrica</a> en moviment ha de crear un camp magnètic. Però si un observador es mou conjuntament amb la càrrega, o bé no observa cap camp magnètic (perquè per a ell la càrrega no es mou), o bé la llei del camp magnètic induït per un corrent no és la mateixa depenent de la velocitat de l'observador. </p><p>De fet, si dues càrregues elèctriques romanen immòbils entre si i l'observador, aquest només hauria d'observar la força calculada segons la llei de l'electroestàtica: </p> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fitxer:AtractionTwoWires.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a2/AtractionTwoWires.svg/220px-AtractionTwoWires.svg.png" decoding="async" width="220" height="188" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a2/AtractionTwoWires.svg/330px-AtractionTwoWires.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a2/AtractionTwoWires.svg/440px-AtractionTwoWires.svg.png 2x" data-file-width="320" data-file-height="273" /></a><figcaption>Dos cables pels quals circula un corrent elèctric experimenten una força d'atracció que es pot interpretar com deguda als camps magnètics que crea el corrent elèctric</figcaption></figure><p>. </p><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overset {\to }{\mathop {F} }}\,_{e}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r^{2}}}{\frac {{\overset {\to }{\mathop {r} }}\,}{r}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <mi>F</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <msub> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>4</mn> <mi>π</mi> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>Q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>Q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <mi>r</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> </mrow> <mi>r</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overset {\to }{\mathop {F} }}\,_{e}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r^{2}}}{\frac {{\overset {\to }{\mathop {r} }}\,}{r}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22c28be19b1da99cfd587f410a07dc8765e600e7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:20.791ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\overset {\to }{\mathop {F} }}\,_{e}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r^{2}}}{\frac {{\overset {\to }{\mathop {r} }}\,}{r}}}"></span></dd></dl> <p>En canvi, si les dues càrregues es mouen conjuntament a una velocitat <i>v</i> respecte de l'observador, llavors segons les lleis del camp magnètic, a més hauria d'observar una força magnètica. </p><p>El camp magnètic generat per la segona càrrega al punt on es troba la primera seria: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overset {\to }{\mathop {B} }}\,={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {Q_{2}{\overset {\to }{\mathop {v} }}\,\times {\overset {\to }{\mathop {r} }}\,}{r^{3}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <mi>B</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mn>4</mn> <mi>π</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>Q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <mi>v</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <mi>r</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> </mrow> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overset {\to }{\mathop {B} }}\,={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {Q_{2}{\overset {\to }{\mathop {v} }}\,\times {\overset {\to }{\mathop {r} }}\,}{r^{3}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e7a387f653b9baf3b5ff9bd212c7d656a11f1bc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:18.322ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\overset {\to }{\mathop {B} }}\,={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {Q_{2}{\overset {\to }{\mathop {v} }}\,\times {\overset {\to }{\mathop {r} }}\,}{r^{3}}}}"></span></dd></dl> <p>I la força que aquest camp magnètic faria sobre la primera càrrega: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}{\overset {\to }{\mathop {F} }}\,_{m}&=Q_{1}{\overset {\to }{\mathop {v} }}\,\times {\overset {\to }{\mathop {B} }}\,\\&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r^{3}}}{\overset {\to }{\mathop {v} }}\,\times {\overset {\to }{\mathop {r} }}\,\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <mi>F</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <msub> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>Q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <mi>v</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <mi>B</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mn>4</mn> <mi>π</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>Q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>Q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <mi>v</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <mi>r</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\overset {\to }{\mathop {F} }}\,_{m}&=Q_{1}{\overset {\to }{\mathop {v} }}\,\times {\overset {\to }{\mathop {B} }}\,\\&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r^{3}}}{\overset {\to }{\mathop {v} }}\,\times {\overset {\to }{\mathop {r} }}\,\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55160585fb1404b78705dad74c012386034d06f7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:23.648ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\overset {\to }{\mathop {F} }}\,_{m}&=Q_{1}{\overset {\to }{\mathop {v} }}\,\times {\overset {\to }{\mathop {B} }}\,\\&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r^{3}}}{\overset {\to }{\mathop {v} }}\,\times {\overset {\to }{\mathop {r} }}\,\\\end{aligned}}}"></span></dd></dl> <p>Per tant ara la força total que s'observaria entre les dues càrregues seria: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overset {\to }{\mathop {F} }}\,={\frac {Q_{2}Q_{1}}{4\pi r^{2}}}\left({\frac {\mu _{0}{\overset {\to }{\mathop {v} }}\,\times {\overset {\to }{\mathop {r} }}\,}{r}}+{\frac {{\overset {\to }{\mathop {r} }}\,}{\varepsilon _{0}r}}\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <mi>F</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>Q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>Q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> <mi>π</mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <mi>v</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <mi>r</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> </mrow> <mi>r</mi> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <mi>r</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> </mrow> <mrow> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overset {\to }{\mathop {F} }}\,={\frac {Q_{2}Q_{1}}{4\pi r^{2}}}\left({\frac {\mu _{0}{\overset {\to }{\mathop {v} }}\,\times {\overset {\to }{\mathop {r} }}\,}{r}}+{\frac {{\overset {\to }{\mathop {r} }}\,}{\varepsilon _{0}r}}\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39c87356a64c78b1b3305c5afdcee90d4331c87a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:31.854ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\overset {\to }{\mathop {F} }}\,={\frac {Q_{2}Q_{1}}{4\pi r^{2}}}\left({\frac {\mu _{0}{\overset {\to }{\mathop {v} }}\,\times {\overset {\to }{\mathop {r} }}\,}{r}}+{\frac {{\overset {\to }{\mathop {r} }}\,}{\varepsilon _{0}r}}\right)}"></span></dd></dl> <p>Però això és independent de si la velocitat relativa entre les càrregues i l'observador s'ha produït perquè les càrregues s'han posat en moviment o perquè s'ha accelerat l'observador. Un observador pot començar l'experiment mesurant la força entre dues càrregues en repòs a terra, pujar ell a un vagó de tren i en posar-se en marxa el tren, veure com la força entre les càrregues varia. </p><p>La força magnètica comparada amb la força electroestàtica és extraordinàriament petita: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left\|{\frac {{\overset {\to }{\mathop {F} }}\,_{m}}{{\overset {\to }{\mathop {F} }}\,_{e}}}\right\|=\left\|{\frac {{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r^{2}}}{\overset {\to }{\mathop {v} }}\,\times {\frac {{\overset {\to }{\mathop {r} }}\,}{r}}}{{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r^{2}}}{\frac {{\overset {\to }{\mathop {r} }}\,}{r}}}}\right\|=\mu _{0}\varepsilon _{0}\left\|{\overset {\to }{\mathop {v} }}\,\right\|\sin \alpha }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <mi>F</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <msub> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <mi>F</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <msub> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>e</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mn>4</mn> <mi>π</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>Q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>Q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <mi>v</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <mi>r</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> </mrow> <mi>r</mi> </mfrac> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>4</mn> <mi>π</mi> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>Q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>Q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <mi>r</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> </mrow> <mi>r</mi> </mfrac> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <mi>v</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> </mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> </mrow> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\|{\frac {{\overset {\to }{\mathop {F} }}\,_{m}}{{\overset {\to }{\mathop {F} }}\,_{e}}}\right\|=\left\|{\frac {{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r^{2}}}{\overset {\to }{\mathop {v} }}\,\times {\frac {{\overset {\to }{\mathop {r} }}\,}{r}}}{{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r^{2}}}{\frac {{\overset {\to }{\mathop {r} }}\,}{r}}}}\right\|=\mu _{0}\varepsilon _{0}\left\|{\overset {\to }{\mathop {v} }}\,\right\|\sin \alpha }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bd6b6a3fbcd4cc41adab6c6cdebf586254d1956" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.338ex; width:44.624ex; height:9.843ex;" alt="{\displaystyle \left\|{\frac {{\overset {\to }{\mathop {F} }}\,_{m}}{{\overset {\to }{\mathop {F} }}\,_{e}}}\right\|=\left\|{\frac {{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r^{2}}}{\overset {\to }{\mathop {v} }}\,\times {\frac {{\overset {\to }{\mathop {r} }}\,}{r}}}{{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r^{2}}}{\frac {{\overset {\to }{\mathop {r} }}\,}{r}}}}\right\|=\mu _{0}\varepsilon _{0}\left\|{\overset {\to }{\mathop {v} }}\,\right\|\sin \alpha }"></span></dd></dl> <p>On <i>v</i> és la velocitat relativa entre les càrregues i l'observador i α és l'angle entre el vector que va d'una càrrega a l'altre i el vector velocitat. </p><p>Tenint en compte que: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}&\mu _{0}=4\pi \cdot 10^{-7}\\&\varepsilon _{0}=8,8542\cdot 10^{-12}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd /> <mtd> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>4</mn> <mi>π</mi> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>7</mn> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>8</mn> <mo>,</mo> <mn>8542</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>12</mn> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}&\mu _{0}=4\pi \cdot 10^{-7}\\&\varepsilon _{0}=8,8542\cdot 10^{-12}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fe4edc9e1d9d1defc1f3b3a1f4b922136c5e7fe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:19.993ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}&\mu _{0}=4\pi \cdot 10^{-7}\\&\varepsilon _{0}=8,8542\cdot 10^{-12}\\\end{aligned}}}"></span></dd></dl> <p>Resulta que el coeficient que multiplica la velocitat és: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu _{0}\varepsilon _{0}=4\pi \cdot 10^{-7}\cdot 8,8542\cdot 10^{-12}\approx 11,1265\cdot 10^{-18}={\frac {1}{\left(299,792\cdot 10^{6}\right)^{2}}}\approx {\frac {1}{c^{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>4</mn> <mi>π</mi> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>7</mn> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <mn>8</mn> <mo>,</mo> <mn>8542</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>12</mn> </mrow> </msup> <mo>≈</mo> <mn>11</mn> <mo>,</mo> <mn>1265</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>18</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>299</mn> <mo>,</mo> <mn>792</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>6</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>≈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu _{0}\varepsilon _{0}=4\pi \cdot 10^{-7}\cdot 8,8542\cdot 10^{-12}\approx 11,1265\cdot 10^{-18}={\frac {1}{\left(299,792\cdot 10^{6}\right)^{2}}}\approx {\frac {1}{c^{2}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63cbe24f555a98b7a10ce77309eaafc2455fcc64" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:76.655ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \mu _{0}\varepsilon _{0}=4\pi \cdot 10^{-7}\cdot 8,8542\cdot 10^{-12}\approx 11,1265\cdot 10^{-18}={\frac {1}{\left(299,792\cdot 10^{6}\right)^{2}}}\approx {\frac {1}{c^{2}}}}"></span></dd></dl> <p>Perquè aquesta força sigui apreciable cal que, o bé la velocitat sigui molt gran, o bé que les forces electroestàtiques siguin molt grans i es cancel·lin de forma que només s'apreciï la força magnètica. Això és el que passa en el cas de fils conductors del corrent, els fils tenen càrregues positives i negatives que es cancel·len les forces electroestàtiques i només resten les forces magnètiques entre els portadors en moviment respecte de l'observador. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="L'experiment_de_Francesc_Aragó_de_1810"><span id="L.27experiment_de_Francesc_Arag.C3.B3_de_1810"></span>L'experiment de Francesc Aragó de 1810</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Relativitat_especial&action=edit&section=3" title="Modifica la secció: L'experiment de Francesc Aragó de 1810"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fitxer:Fran%C3%A7ois_Arago.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/69/Fran%C3%A7ois_Arago.jpg/220px-Fran%C3%A7ois_Arago.jpg" decoding="async" width="220" height="239" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/69/Fran%C3%A7ois_Arago.jpg/330px-Fran%C3%A7ois_Arago.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/69/Fran%C3%A7ois_Arago.jpg/440px-Fran%C3%A7ois_Arago.jpg 2x" data-file-width="536" data-file-height="582" /></a><figcaption><a href="/wiki/Francesc_Joan_Dom%C3%A8nec_Arag%C3%B3" class="mw-redirect" title="Francesc Joan Domènec Aragó">Francesc Joan Domènec Aragó</a>.</figcaption></figure> <p>El <a href="/wiki/1810" title="1810">1810</a> <a href="/wiki/Francesc_Arag%C3%B3" class="mw-redirect" title="Francesc Aragó">Francesc Aragó</a> fa un experiment, que presenta oralment a l'Acadèmia de Ciències el 10 de desembre (tot i que no es va publicar fins al 1853 just abans de la seva mort, més de quaranta anys més tard): es tractava de mesurar la <a href="/wiki/Velocitat_de_la_llum" title="Velocitat de la llum">velocitat de la llum</a> que ve dels estels, comparant el valor al matí a les 6 h i al vespre a les 18 h. A les 6 h, quan s'observa un estel al zenit, la <a href="/wiki/Terra" title="Terra">Terra</a> s'apropa a l'estel, s'hauria de mesurar <i>c</i> + <i>V</i>, on <i>V</i> és la velocitat tangencial de rotació de la Terra i <i>c</i> la velocitat de la llum; a les 18 h, per a un estel al zenit, la Terra s'allunya, s'hauria de mesurar <i>c</i> - V. Ara bé l'experiència va resultar negativa. Les diferències observades van ser molt petites, del mateix ordre de magnitud que les observades entre diferents estels i perfectament atribuïbles a errors d'experimentació. A l'octubre, Aragó repeteix l'experiment i el resultat torna a ser el mateix. La velocitat de rotació de la terra al votant del <a href="/wiki/Sol" title="Sol">sol</a> tampoc no afecta la velocitat observada de la llum.<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p><p>En aquest experiment Aragó no mesura directament la velocitat de la llum sinó que ho fa indirectament a partir de l'índex de refracció. Això fa que hi hagi una possible explicació que permeti conciliar aquest resultat amb les lleis de Newton, Aragó diu: </p> <div style="clear:{{#switch:left|center=both|#default=left;"> <table style="margin:auto; width:auto; border-collapse:collapse; border-style:none;"> <tbody><tr> <td width="20" valign="top" style="font-size:35px; padding:0 10px; text-align:left; font-family:'Times New Roman', serif; font-weight:bold; color:silver;">« </td> <td valign="middle" align="left" style="">Sembla fins i tot que no se'n pot donar raó més que suposant que els cossos lluminosos emeten raigs amb tota mena de velocitats, amb la condició que s'admeti igualment que aquests raigs no són visibles més que quan les seves velocitats estan compreses entre uns límits determinats: sota aquestes hipòtesis, en efecte, la visibilitat dels raigs dependrà de les seves velocitats relatives, i, com que aquestes velocitats determinen la quantitat de refracció, els raigs visibles seran sempre igualment refractats. </td> <td width="20" valign="bottom" style="font-size:35px; padding:0 10px 10px; text-align:right; font-family:'Times New Roman', serif; font-weight:bold; color:silver;">» </td></tr> <tr> <td colspan="3" style="text-align:right; font-size:smaller;">— Francesc Aragó </td></tr></tbody></table></div> <p>L'única forma de resoldre la qüestió era la mesura directa de la velocitat de la llum. Aragó va definir els principis generals del sistema per mesurar directament la velocitat de la llum però els seus problemes de visió li impediren participar en els experiments. </p><p>Finalment <a href="/wiki/Fizeau" class="mw-redirect" title="Fizeau">Fizeau</a> va mesurar-la directament el <a href="/wiki/1849" title="1849">1849</a>,<sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> més tard <a href="/wiki/L%C3%A9on_Foucault" title="Léon Foucault">Léon Foucault</a> el <a href="/wiki/1862" title="1862">1862</a><sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> i <a href="/wiki/Albert_Abraham_Michelson" title="Albert Abraham Michelson">Albert Abraham Michelson</a> el <a href="/wiki/1878" title="1878">1878</a><sup id="cite_ref-7" class="reference"><a href="#cite_note-7"><span class="cite-bracket">[</span>7<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p><p>Les mesures experimentals tenien cada cop més precisió i sempre donaven el mateix resultat de l'experiment d'Aragó del 1810: La velocitat de la llum era constant i independent de la velocitat relativa entre l'emissor i el receptor. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Transformacions_de_coordenades">Transformacions de coordenades</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Relativitat_especial&action=edit&section=4" title="Modifica la secció: Transformacions de coordenades"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Abans de la formulació de la teoria especial de la relativitat, <a href="/wiki/Hendrik_Antoon_Lorentz" class="mw-redirect" title="Hendrik Antoon Lorentz">Hendrik Lorentz</a> i uns altres ja havien descobert que l'electromagnetisme diferia de la física newtoniana que les observacions d'un fenomen podrien diferir d'una persona a una altra que estigués movent-se relativament a la primera a velocitats pròximes a les de la llum. Així, una pot observar la inexistència d'un <a href="/wiki/Camp_magn%C3%A8tic" title="Camp magnètic">camp magnètic</a> mentre l'altra l'observa amb claredat en el mateix espai físic. </p><p>Lorentz va suggerir una <a href="/w/index.php?title=Teoria_de_l%27%C3%A8ter&action=edit&redlink=1" class="new" title="Teoria de l'èter (encara no existeix)">teoria de l'èter</a> en la qual objectes i observadors viatjarien a través d'un <a href="/wiki/%C3%88ter_(f%C3%ADsica)" title="Èter (física)">èter</a> estacionari, sofrint un escurçament físic (hipòtesi de <a href="/wiki/Contracci%C3%B3_de_Lorentz" title="Contracció de Lorentz">contracció de Lorentz</a>) i un canvi en el pas del temps (<a href="/wiki/Dilataci%C3%B3_del_temps" title="Dilatació del temps">dilatació del temps</a>). Lorentz estava motivat pels resultats negatius del moviment relatiu de la llum pel que fa a l'èter proporcionat uns anys abans pel cèlebre <a href="/wiki/Experiment_de_Michelson-Morley" title="Experiment de Michelson-Morley">experiment de Michelson-Morley</a>. L'explicació de Lorentz subministrava una reconciliació parcial entre la física newtoniana i l'electromagnetisme, que es conjugaven aplicant la <a href="/wiki/Transformaci%C3%B3_de_Lorentz" title="Transformació de Lorentz">transformació de Lorentz</a>, que vindria a substituir a la <a href="/wiki/Transformaci%C3%B3_de_Galileu" title="Transformació de Galileu">transformació de Galileu</a> vigent en el sistema newtonià. La formulació de l'electromagnetisme enfront de les transformacions de Lorentz va anar també estudiada pel físic francès <a href="/wiki/Henri_Poincar%C3%A9" title="Henri Poincaré">Henri Poincaré</a>. Quan les velocitats involucrades són molt menors que <i><b>c</b></i> (la velocitat de la llum), les lleis resultants són en la pràctica les mateixes que en la teoria de Newton, i les transformacions es redueixen a les de Galileu. En qualsevol cas, la teoria de l'èter va ser criticada fins i tot pel mateix Lorentz, a causa de la seva naturalesa. </p><p>Lorentz va suggerir la seva transformació com una descripció matemàtica precisa dels resultats dels experiments. </p><p>Einstein a més d'obtenir les mateixes equacions imposant la constància de la velocitat de la llum per a tots els observadors, va interpretar el significat de la transformació imposant la condició addicional que aplicant aquesta transformació en comptes de la de <a href="/wiki/Galileo_Galilei" title="Galileo Galilei">Galileu</a> les lleis de la física havien de ser independents de la velocitat relativa entre els observadors (invariants en diferents <a href="/wiki/Sistema_de_refer%C3%A8ncia_inercial" title="Sistema de referència inercial">sistemes inercials</a>, és a dir, per a diferents observadors). D'aquesta idea va sorgir el títol original de la teoria, "Teoria dels invariables". Va ser <a href="/wiki/Max_Planck" title="Max Planck">Max Planck</a> qui va suggerir posteriorment el terme "relativitat" per a ressaltar la noció de transformació de les lleis de la física entre observadors movent-se relativament entre si. El fet d'imposar la condició que les lleis de la física siguin invariants obliga en alguns casos a reformular algunes lleis, i en altres certes magnituds han de patir transformacions de l'estil com passa amb la posició i la duració. Per exemple la velocitat i la massa d'un objecte són magnituds que no donen el mateix valor si les mesura un observador o si les mesura un altre que es mou amb determinada velocitat relativa respecte del primer, lleis com la dels camps magnètics apareixen de manera natural aplicant la transformació relativista a la força del camp electroestàtic i apareixen altres fenòmens nous, per exemple, qualsevol força s'ha de transformar igual que una força electroestàtica per tant hi ha un equivalent "magnètic" de qualsevol classe de força, l'energia cinètica relativista no és igual a l'energia cinètica clàssica, etc. </p><p>La relativitat especial estudia el comportament d'objectes i observadors que romanen en repòs o es mouen amb moviment uniforme (i.e., velocitat relativa constant). En aquest cas, es diu que l'observador està en un <a href="/wiki/Sistema_de_refer%C3%A8ncia_inercial" title="Sistema de referència inercial">sistema de referència inercial</a>. La comparació d'espais i temps entre observadors inercials pot ser realitzada usant les transformacions de *Lorentz. La teoria especial de la relativitat pot predir així mateix el comportament de cossos accelerats quan aquesta acceleració no impliqui forces gravitatòries, en aquest cas és necessària la <a href="/wiki/Relativitat_general" title="Relativitat general">relativitat general</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="La_transformació_de_Galileu"><span id="La_transformaci.C3.B3_de_Galileu"></span>La transformació de Galileu</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Relativitat_especial&action=edit&section=5" title="Modifica la secció: La transformació de Galileu"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fitxer:Galileo_Galilei_2.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/94/Galileo_Galilei_2.jpg/220px-Galileo_Galilei_2.jpg" decoding="async" width="220" height="278" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/94/Galileo_Galilei_2.jpg/330px-Galileo_Galilei_2.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/94/Galileo_Galilei_2.jpg/440px-Galileo_Galilei_2.jpg 2x" data-file-width="700" data-file-height="886" /></a><figcaption><a href="/wiki/Galileo_Galilei" title="Galileo Galilei">Galileo Galilei</a>.</figcaption></figure> <p>El <a href="/wiki/Relativitat_Galileana" title="Relativitat Galileana">primer concepte de teoria de la relativitat</a> és degut a <a href="/wiki/Galileo_Galilei" title="Galileo Galilei">Galileo Galilei</a> en el seu llibre <i>Dialogus de Duobus Systematis Maximis Mundani</i>.<sup id="cite_ref-8" class="reference"><a href="#cite_note-8"><span class="cite-bracket">[</span>8<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> El problema de trobar una llei que permeti calcular les mesures que farà un observador <i>O</i>₂ sabent les mesures que ha fet un altre observador <i>O</i><sub>1</sub> i la velocitat <i>v</i> relativa entre ells, es pot plantejar donant per fet el resultat intuïtiu de la transformació de Galileu. Si cada observador té un <a href="/wiki/Sistema_de_coordenades_cartesianes" title="Sistema de coordenades cartesianes">sistema de coordenades cartesianes</a>, mesurant la posició dels objectes en l'eix <i>x</i> i suposant que la velocitat relativa entre els dos és també en l'eix <i>x</i>, si al començament (<i>t</i><sub>1</sub> = <i>t</i>₂ = 0) els sistemes de coordenades dels dos observadors tenen els orígens coincidents (<i>x</i><sub>1</sub> = <i>x</i>₂), llavors si en un moment <i>t</i><sub>1</sub> l'observador <i>O</i><sub>1</sub> observa un objecte en la posició <i>x</i><sub>1</sub>, l'observador <i>O</i>₂ l'observarà en: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}&x_{2}=x_{1}+v\cdot t_{1}\\&t_{2}=t_{1}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd /> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}&x_{2}=x_{1}+v\cdot t_{1}\\&t_{2}=t_{1}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/271b211c89ced6efabc20204d4cd87d129c48e14" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:16.159ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}&x_{2}=x_{1}+v\cdot t_{1}\\&t_{2}=t_{1}\\\end{aligned}}}"></span></dd></dl> <p>Però per entendre la teoria de la relativitat és preferible deduir aquesta transformació a partir de principis més elementals. El problema consisteix a trobar dues funcions que permetin calcular les mesures que obtindrà l'observador <i>O</i>₂ a partir de les mesures fetes per l'observador <i>O</i><sub>1</sub>: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}&x_{2}=f\left(v,x_{1},t_{1}\right)\\&t_{2}=g\left(v,x_{1},t_{1}\right)\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd /> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>v</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>v</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}&x_{2}=f\left(v,x_{1},t_{1}\right)\\&t_{2}=g\left(v,x_{1},t_{1}\right)\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d26f9a78b3299f21678254e881a5e121d9aaa471" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:17.182ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}&x_{2}=f\left(v,x_{1},t_{1}\right)\\&t_{2}=g\left(v,x_{1},t_{1}\right)\\\end{aligned}}}"></span></dd></dl> <p>Els principis més elementals o resultats d'experiments són: </p> <ol><li>L'extensió i la duració dels objectes són acumulatives. <dl><dd><dl><dd>Si es fiquen dos objectes un a continuació de l'altre en línia recta, per a tots dos observadors la longitud total és la suma de longituds.</dd> <dd>Si dos esdeveniments succeeixen un a continuació de l'altre, per a tots dos observadors la durada total és la suma de durades.</dd></dl></dd></dl></li> <li>Si un objecte resta quiet, respecte d'un observador l'altre el veu moure's amb la mateixa velocitat amb què veu que es mou aquest observador.</li> <li>Si un observador veu que un altre es mou a una determinada velocitat v l'altre el veu a ell movent-se a la mateixa velocitat però en sentit contrari: -v.</li> <li>A l'espai no hi ha direccions privilegiades: Si l'observador <i>O</i><sub>1</sub> es mou amb velocitat -<i>v</i> el resultat és el mateix que si es mou amb velocitat <i>v</i>.</li></ol> <p>D'aquests quatre principis es dedueix que les funcions de transformació han de ser de la forma: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left({\begin{matrix}{\text{x}}_{\text{2}}\\{\text{t}}_{\text{2}}\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}a\left(v\right)&v\cdot a\left(v\right)\\d\left(v\right)&a\left(v\right)\\\end{matrix}}\right)\cdot \left({\begin{matrix}x_{1}\\t_{1}\\\end{matrix}}\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>x</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>2</mtext> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>t</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>2</mtext> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left({\begin{matrix}{\text{x}}_{\text{2}}\\{\text{t}}_{\text{2}}\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}a\left(v\right)&v\cdot a\left(v\right)\\d\left(v\right)&a\left(v\right)\\\end{matrix}}\right)\cdot \left({\begin{matrix}x_{1}\\t_{1}\\\end{matrix}}\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee94765752d40ee86ede399c441d94d8e15317a5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:36.198ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \left({\begin{matrix}{\text{x}}_{\text{2}}\\{\text{t}}_{\text{2}}\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}a\left(v\right)&v\cdot a\left(v\right)\\d\left(v\right)&a\left(v\right)\\\end{matrix}}\right)\cdot \left({\begin{matrix}x_{1}\\t_{1}\\\end{matrix}}\right)}"></span></dd></dl> <p>Amb la restricció afegida que: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left[a\left(v\right)\right]^{2}-v\cdot a\left(v\right)\cdot d\left(v\right)=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left[a\left(v\right)\right]^{2}-v\cdot a\left(v\right)\cdot d\left(v\right)=1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b48998885f2da333da341cffbdabc31890c0b05" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.583ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \left[a\left(v\right)\right]^{2}-v\cdot a\left(v\right)\cdot d\left(v\right)=1}"></span></dd></dl> <p>Per tant, no queda completament determinat. Hi ha moltes solucions possibles, una és: <i>a</i>(<i>v</i>) = 1; <i>d</i>(<i>v</i>) = 0, que condueix a la transformació de Galileu: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left({\begin{matrix}{\text{x}}_{\text{2}}\\{\text{t}}_{\text{2}}\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}1&v\\0&1\\\end{matrix}}\right)\cdot \left({\begin{matrix}x_{1}\\t_{1}\\\end{matrix}}\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>x</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>2</mtext> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>t</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>2</mtext> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mi>v</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left({\begin{matrix}{\text{x}}_{\text{2}}\\{\text{t}}_{\text{2}}\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}1&v\\0&1\\\end{matrix}}\right)\cdot \left({\begin{matrix}x_{1}\\t_{1}\\\end{matrix}}\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5e18ef3766c6c955af2720fb2236c60a036f37a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:26.609ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \left({\begin{matrix}{\text{x}}_{\text{2}}\\{\text{t}}_{\text{2}}\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}1&v\\0&1\\\end{matrix}}\right)\cdot \left({\begin{matrix}x_{1}\\t_{1}\\\end{matrix}}\right)}"></span></dd></dl> <p>De fet és l'única solució on les funcions <i>a</i>(<i>v</i>) i <i>d</i>(<i>v</i>) són independents de <i>v</i> i és l'única compatible amb el fet que el temps mesurat per tots els observadors sigui el mateix. </p> <div class="NavFrame" style="background-color: transparent; width:100%;margin-bottom:0px;float:left; border-radius:4px"> <div class="NavPic" style="display: none;"></div> <div class="NavHead" align="center" style="background-color: transparent;border-radius:4px;">Demostració</div> <div class="NavContent" align="left" style="padding:7px;">Del <b>principi 1</b> resulta que les funcions <i>f</i> i <i>g</i> no poden ser completament arbitràries, si es transformen la unitat de longitud i la unitat de temps de forma: <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}&f\left(1,0,v\right)=a\left(v\right)\\&g\left(1,0,v\right)=d\left(v\right)\\&f\left(0,1,v\right)=b\left(v\right)\\&g\left(0,1,v\right)=e\left(v\right)\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mi>v</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mi>v</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>v</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>b</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>v</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}&f\left(1,0,v\right)=a\left(v\right)\\&g\left(1,0,v\right)=d\left(v\right)\\&f\left(0,1,v\right)=b\left(v\right)\\&g\left(0,1,v\right)=e\left(v\right)\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b932700bb6ccf60ad0d1bb801d1b3abd1a013da" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.671ex; width:17.399ex; height:12.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}&f\left(1,0,v\right)=a\left(v\right)\\&g\left(1,0,v\right)=d\left(v\right)\\&f\left(0,1,v\right)=b\left(v\right)\\&g\left(0,1,v\right)=e\left(v\right)\\\end{aligned}}}"></span></dd></dl> <p>Llavors la transformació d'una mesura de longitud <i>x</i><sub>1</sub> i durada <i>t</i><sub>1</sub> ha de ser: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}&x_{2}=a\left(v\right)\cdot x_{1}+b\left(v\right)\cdot t_{1}\\&t_{2}=d\left(v\right)\cdot x_{1}+e\left(v\right)\cdot t_{1}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd /> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}&x_{2}=a\left(v\right)\cdot x_{1}+b\left(v\right)\cdot t_{1}\\&t_{2}=d\left(v\right)\cdot x_{1}+e\left(v\right)\cdot t_{1}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e914aa4a6008247c5df364bf6ec3085c8d43f087" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:25.586ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}&x_{2}=a\left(v\right)\cdot x_{1}+b\left(v\right)\cdot t_{1}\\&t_{2}=d\left(v\right)\cdot x_{1}+e\left(v\right)\cdot t_{1}\\\end{aligned}}}"></span></dd></dl> <p>Només cal posar un a continuació de l'altre en línia recta, <i>x</i><sub>1</sub> objectes de longitud 1 i al lloc on s'acaba l'últim objecte, un després de l'altre en el temps, <i>t</i><sub>1</sub> objectes de durada 1. Un cop fet això s'aplica el <b>principi 1</b> als primers dos objectes, després a l'objecte resultat de considerar units els dos primers i el tercer i així successivament fins a l'últim. </p><p>Aquesta expressió es pot escriure de forma matricial: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left({\begin{matrix}x_{2}\\t_{2}\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}a\left(v\right)&b\left(v\right)\\d\left(v\right)&e\left(v\right)\\\end{matrix}}\right)\cdot \left({\begin{matrix}x_{1}\\t_{1}\\\end{matrix}}\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mi>b</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left({\begin{matrix}x_{2}\\t_{2}\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}a\left(v\right)&b\left(v\right)\\d\left(v\right)&e\left(v\right)\\\end{matrix}}\right)\cdot \left({\begin{matrix}x_{1}\\t_{1}\\\end{matrix}}\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9bb75471eae605b501b2bc011c1b906f024a7a6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:33.347ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \left({\begin{matrix}x_{2}\\t_{2}\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}a\left(v\right)&b\left(v\right)\\d\left(v\right)&e\left(v\right)\\\end{matrix}}\right)\cdot \left({\begin{matrix}x_{1}\\t_{1}\\\end{matrix}}\right)}"></span></dd></dl> <p>Si la longitud <i>x</i><sub>1</sub> i la durada <i>t</i><sub>1</sub> no són nombres enters, el resultat és el mateix. Es pot demostrar de moltes maneres, però la més natural és fixant-se que les unitats de mesura es poden triar prou petites perquè l'error d'arrodonir a nombres enters sigui completament inapreciable. </p><p>Si es considera objecte de longitud zero (un punt) fix a l'origen de <i>O</i><sub>1</sub>, per a l'observador <i>O</i><sub>1</sub> aquest objecte romandrà sempre a <i>x</i><sub>1</sub> = 0. Per tant per a l'observador <i>O</i>₂ ha de ser: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}&x_{2}=b\left(v\right)\cdot t_{1}\\&t_{2}=e\left(v\right)\cdot t_{1}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd /> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>b</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}&x_{2}=b\left(v\right)\cdot t_{1}\\&t_{2}=e\left(v\right)\cdot t_{1}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2460b203fc7072bed0523ed75ab83fd683e6b01c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:14.128ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}&x_{2}=b\left(v\right)\cdot t_{1}\\&t_{2}=e\left(v\right)\cdot t_{1}\\\end{aligned}}}"></span></dd></dl> <p>Però com que pel <b>principi 2</b> l'observador 2 veu aquest objecte movent-se a velocitat <i>v</i> (donat que els dos observadors han triat els seus sistemes de coordenades de forma que al començament els dos orígens coincideixen) per a l'observador 2: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{2}=v\cdot t_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{2}=v\cdot t_{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb132ebf451e02cbcf00341d5b2b1d94dff38f1f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.183ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x_{2}=v\cdot t_{2}}"></span></dd></dl> <p>Substituint el valor de <i>t</i>₂ anterior en aquesta equació queda: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{2}=v\cdot e\left(v\right)\cdot t_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{2}=v\cdot e\left(v\right)\cdot t_{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6546c7d58f8378fe602b392bf700c44483887240" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.27ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x_{2}=v\cdot e\left(v\right)\cdot t_{1}}"></span></dd></dl> <p>Per tant ha de ser: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b\left(v\right)=v\cdot e\left(v\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b\left(v\right)=v\cdot e\left(v\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4a7e81913aaebef963c1d9d60fec64655fc40ec" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.634ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle b\left(v\right)=v\cdot e\left(v\right)}"></span></dd></dl> <p>Amb això les quatre funcions de la transformació matricial queden reduïdes a tres: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left({\begin{matrix}x_{2}\\t_{2}\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}a\left(v\right)&v\cdot e\left(v\right)\\d\left(v\right)&e\left(v\right)\\\end{matrix}}\right)\cdot \left({\begin{matrix}x_{1}\\t_{1}\\\end{matrix}}\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left({\begin{matrix}x_{2}\\t_{2}\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}a\left(v\right)&v\cdot e\left(v\right)\\d\left(v\right)&e\left(v\right)\\\end{matrix}}\right)\cdot \left({\begin{matrix}x_{1}\\t_{1}\\\end{matrix}}\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97fb7a8e4c7725fb85388c7d2d9f625f7cd8fb49" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:36.154ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \left({\begin{matrix}x_{2}\\t_{2}\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}a\left(v\right)&v\cdot e\left(v\right)\\d\left(v\right)&e\left(v\right)\\\end{matrix}}\right)\cdot \left({\begin{matrix}x_{1}\\t_{1}\\\end{matrix}}\right)}"></span></dd></dl> <p>A partir d'aquesta expressió es pot <i>x</i><sub>1</sub> i <i>t</i><sub>1</sub>, i s'obté: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}&\left\{{\begin{aligned}&x_{1}\\&t_{1}\\\end{aligned}}\right\}=\left[{\begin{matrix}a\left(v\right)&v\cdot e\left(v\right)\\d\left(v\right)&e\left(v\right)\\\end{matrix}}\right]^{-1}\cdot \left\{{\begin{matrix}x_{2}\\t_{2}\\\end{matrix}}\right\}\\&\left\{{\begin{aligned}&x_{1}\\&t_{1}\\\end{aligned}}\right\}={\frac {1}{a\left(v\right)\cdot e\left(v\right)-v\cdot e\left(v\right)\cdot d\left(v\right)}}\cdot \left[{\begin{matrix}e\left(v\right)&-v\cdot e\left(v\right)\\-d\left(v\right)&a\left(v\right)\\\end{matrix}}\right]^{-1}\cdot \left\{{\begin{matrix}x_{2}\\t_{2}\\\end{matrix}}\right\}\\&\left\{{\begin{aligned}&x_{1}\\&t_{1}\\\end{aligned}}\right\}=D\cdot \left[{\begin{matrix}e\left(v\right)&-v\cdot e\left(v\right)\\-d\left(v\right)&a\left(v\right)\\\end{matrix}}\right]^{-1}\cdot \left\{{\begin{matrix}x_{2}\\t_{2}\\\end{matrix}}\right\}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd /> <mtd> <mrow> <mo>{</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd /> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mrow> <mo>{</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd /> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>−</mo> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <msup> <mrow> <mo>[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mo>−</mo> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mrow> <mo>{</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd /> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>D</mi> <mo>⋅</mo> <msup> <mrow> <mo>[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mo>−</mo> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}&\left\{{\begin{aligned}&x_{1}\\&t_{1}\\\end{aligned}}\right\}=\left[{\begin{matrix}a\left(v\right)&v\cdot e\left(v\right)\\d\left(v\right)&e\left(v\right)\\\end{matrix}}\right]^{-1}\cdot \left\{{\begin{matrix}x_{2}\\t_{2}\\\end{matrix}}\right\}\\&\left\{{\begin{aligned}&x_{1}\\&t_{1}\\\end{aligned}}\right\}={\frac {1}{a\left(v\right)\cdot e\left(v\right)-v\cdot e\left(v\right)\cdot d\left(v\right)}}\cdot \left[{\begin{matrix}e\left(v\right)&-v\cdot e\left(v\right)\\-d\left(v\right)&a\left(v\right)\\\end{matrix}}\right]^{-1}\cdot \left\{{\begin{matrix}x_{2}\\t_{2}\\\end{matrix}}\right\}\\&\left\{{\begin{aligned}&x_{1}\\&t_{1}\\\end{aligned}}\right\}=D\cdot \left[{\begin{matrix}e\left(v\right)&-v\cdot e\left(v\right)\\-d\left(v\right)&a\left(v\right)\\\end{matrix}}\right]^{-1}\cdot \left\{{\begin{matrix}x_{2}\\t_{2}\\\end{matrix}}\right\}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b37b4e9a84e1bb49867c64064965690a8c181dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -9.838ex; width:71.434ex; height:20.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}&\left\{{\begin{aligned}&x_{1}\\&t_{1}\\\end{aligned}}\right\}=\left[{\begin{matrix}a\left(v\right)&v\cdot e\left(v\right)\\d\left(v\right)&e\left(v\right)\\\end{matrix}}\right]^{-1}\cdot \left\{{\begin{matrix}x_{2}\\t_{2}\\\end{matrix}}\right\}\\&\left\{{\begin{aligned}&x_{1}\\&t_{1}\\\end{aligned}}\right\}={\frac {1}{a\left(v\right)\cdot e\left(v\right)-v\cdot e\left(v\right)\cdot d\left(v\right)}}\cdot \left[{\begin{matrix}e\left(v\right)&-v\cdot e\left(v\right)\\-d\left(v\right)&a\left(v\right)\\\end{matrix}}\right]^{-1}\cdot \left\{{\begin{matrix}x_{2}\\t_{2}\\\end{matrix}}\right\}\\&\left\{{\begin{aligned}&x_{1}\\&t_{1}\\\end{aligned}}\right\}=D\cdot \left[{\begin{matrix}e\left(v\right)&-v\cdot e\left(v\right)\\-d\left(v\right)&a\left(v\right)\\\end{matrix}}\right]^{-1}\cdot \left\{{\begin{matrix}x_{2}\\t_{2}\\\end{matrix}}\right\}\\\end{aligned}}}"></span></dd></dl> <p>On: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D={\frac {1}{a\left(v\right)\cdot e\left(v\right)-v\cdot e\left(v\right)\cdot d\left(v\right)}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>−</mo> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D={\frac {1}{a\left(v\right)\cdot e\left(v\right)-v\cdot e\left(v\right)\cdot d\left(v\right)}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93c2a3ac4bd62048bdbf8c5c9e97a9327622d4b4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:32.773ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle D={\frac {1}{a\left(v\right)\cdot e\left(v\right)-v\cdot e\left(v\right)\cdot d\left(v\right)}}}"></span></dd></dl> <p>Però d'acord amb el <b>principi 3</b>, l'observador <i>O</i><sub>1</sub> veu a l'observador <i>O</i>₂ movent-se a velocitat -<i>v</i>, per tant també ha de ser: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&x_{1}\\&t_{1}\\\end{aligned}}\right\}=\left[{\begin{matrix}a\left(-v\right)&-v\cdot e\left(-v\right)\\d\left(-v\right)&e\left(-v\right)\\\end{matrix}}\right]\cdot \left\{{\begin{matrix}x_{2}\\t_{2}\\\end{matrix}}\right\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>{</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd /> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mi>v</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mo>−</mo> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mi>v</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mi>v</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mi>v</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&x_{1}\\&t_{1}\\\end{aligned}}\right\}=\left[{\begin{matrix}a\left(-v\right)&-v\cdot e\left(-v\right)\\d\left(-v\right)&e\left(-v\right)\\\end{matrix}}\right]\cdot \left\{{\begin{matrix}x_{2}\\t_{2}\\\end{matrix}}\right\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2214dc3a716813d2f51ca46bafca6bd3eed83097" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:40.742ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&x_{1}\\&t_{1}\\\end{aligned}}\right\}=\left[{\begin{matrix}a\left(-v\right)&-v\cdot e\left(-v\right)\\d\left(-v\right)&e\left(-v\right)\\\end{matrix}}\right]\cdot \left\{{\begin{matrix}x_{2}\\t_{2}\\\end{matrix}}\right\}}"></span></dd></dl> <p>Per tant, igualant els coeficients de les dues matrius, ha de ser: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}D\cdot e\left(v\right)&=a\left(-v\right)\quad \quad \ \,\left(1\right)\\-D\cdot v\cdot e\left(v\right)&=-v\cdot e\left(-v\right)\quad \left(2\right)\\-D\cdot d\left(v\right)&=d\left(-v\right)\quad \quad \ \,\left(3\right)\\D\cdot a\left(v\right)&=e\left(-v\right)\quad \quad \ \,\,\left(4\right)\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>D</mi> <mo>⋅</mo> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mi>v</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mspace width="1em" /> <mspace width="1em" /> <mtext> </mtext> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> <mi>D</mi> <mo>⋅</mo> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mi>v</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mspace width="1em" /> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> <mi>D</mi> <mo>⋅</mo> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mi>v</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mspace width="1em" /> <mspace width="1em" /> <mtext> </mtext> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>D</mi> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mi>v</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mspace width="1em" /> <mspace width="1em" /> <mtext> </mtext> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}D\cdot e\left(v\right)&=a\left(-v\right)\quad \quad \ \,\left(1\right)\\-D\cdot v\cdot e\left(v\right)&=-v\cdot e\left(-v\right)\quad \left(2\right)\\-D\cdot d\left(v\right)&=d\left(-v\right)\quad \quad \ \,\left(3\right)\\D\cdot a\left(v\right)&=e\left(-v\right)\quad \quad \ \,\,\left(4\right)\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52fbfbdfa3f96325eeb882cd3d954286eaa5cb76" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.671ex; width:32.988ex; height:12.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}D\cdot e\left(v\right)&=a\left(-v\right)\quad \quad \ \,\left(1\right)\\-D\cdot v\cdot e\left(v\right)&=-v\cdot e\left(-v\right)\quad \left(2\right)\\-D\cdot d\left(v\right)&=d\left(-v\right)\quad \quad \ \,\left(3\right)\\D\cdot a\left(v\right)&=e\left(-v\right)\quad \quad \ \,\,\left(4\right)\end{aligned}}}"></span></dd></dl> <p>Aïllant <i>e</i>(-<i>v</i>) a (2) i substituint a (4) resulta que ha de ser <i>a</i>(<i>v</i>) = <i>e</i>(<i>v</i>) per tant l'expressió matricial queda: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&x_{2}\\&t_{2}\\\end{aligned}}\right\}=\left[{\begin{matrix}a\left(v\right)&v\cdot a\left(v\right)\\d\left(v\right)&a\left(v\right)\\\end{matrix}}\right]\cdot \left\{{\begin{matrix}x_{1}\\t_{1}\\\end{matrix}}\right\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>{</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd /> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&x_{2}\\&t_{2}\\\end{aligned}}\right\}=\left[{\begin{matrix}a\left(v\right)&v\cdot a\left(v\right)\\d\left(v\right)&a\left(v\right)\\\end{matrix}}\right]\cdot \left\{{\begin{matrix}x_{1}\\t_{1}\\\end{matrix}}\right\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3465ec779a02ed814fbbe244ad2649bd7f81981e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:35.464ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&x_{2}\\&t_{2}\\\end{aligned}}\right\}=\left[{\begin{matrix}a\left(v\right)&v\cdot a\left(v\right)\\d\left(v\right)&a\left(v\right)\\\end{matrix}}\right]\cdot \left\{{\begin{matrix}x_{1}\\t_{1}\\\end{matrix}}\right\}}"></span></dd></dl> <p>I substituint a la primera queda: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D\cdot a\left(v\right)=a\left(-v\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mi>v</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D\cdot a\left(v\right)=a\left(-v\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4783a2803c7cb27809c52203bf314938bf49a1ba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.618ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle D\cdot a\left(v\right)=a\left(-v\right)}"></span></dd></dl> <p>Però pel <b>principi 4</b> la transformació d'una distància o d'una durada ha de ser la mateixa per a v que per a –v altrament hi hauria una direcció que donaria un resultat diferent que l'altre, hi hauria una direcció privilegiada. Per tant ha de ser: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}a\left(v\right)&=a\left(v\right)\\D\cdot a\left(v\right)&=a\left(v\right)\\D&=1\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>D</mi> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>D</mi> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}a\left(v\right)&=a\left(v\right)\\D\cdot a\left(v\right)&=a\left(v\right)\\D&=1\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1982abd9cb5eae517c8a5b691b9e85d278af2d94" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:16.561ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}a\left(v\right)&=a\left(v\right)\\D\cdot a\left(v\right)&=a\left(v\right)\\D&=1\\\end{aligned}}}"></span></dd></dl> <p>Per tant, substituint en l'expressió de <i>D</i> el valor de <i>e</i>(<i>v</i>) trobat abans queda: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D={\frac {1}{\left[a\left(v\right)\right]^{2}-v\cdot a\left(v\right)\cdot d\left(v\right)}}=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msup> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D={\frac {1}{\left[a\left(v\right)\right]^{2}-v\cdot a\left(v\right)\cdot d\left(v\right)}}=1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60e1be2532d1902e71868f3d5e280a5d23255a87" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:33.441ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle D={\frac {1}{\left[a\left(v\right)\right]^{2}-v\cdot a\left(v\right)\cdot d\left(v\right)}}=1}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left[a\left(v\right)\right]^{2}-v\cdot a\left(v\right)\cdot d\left(v\right)=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left[a\left(v\right)\right]^{2}-v\cdot a\left(v\right)\cdot d\left(v\right)=1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b48998885f2da333da341cffbdabc31890c0b05" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.583ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \left[a\left(v\right)\right]^{2}-v\cdot a\left(v\right)\cdot d\left(v\right)=1}"></span></dd></dl> Q.E.D</div> <div style="clear:both;"></div> </div> <p><br style="clear:both;" /> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="La_transformació_de_Lorentz"><span id="La_transformaci.C3.B3_de_Lorentz"></span>La transformació de Lorentz</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Relativitat_especial&action=edit&section=6" title="Modifica la secció: La transformació de Lorentz"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fitxer:Hendrik_Antoon_Lorentz.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/33/Hendrik_Antoon_Lorentz.jpg/220px-Hendrik_Antoon_Lorentz.jpg" decoding="async" width="220" height="314" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/33/Hendrik_Antoon_Lorentz.jpg/330px-Hendrik_Antoon_Lorentz.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/33/Hendrik_Antoon_Lorentz.jpg 2x" data-file-width="420" data-file-height="600" /></a><figcaption><a href="/wiki/Hendrik_Antoon_Lorentz" class="mw-redirect" title="Hendrik Antoon Lorentz">Hendrik Antoon Lorentz</a> 1916.</figcaption></figure> <p>La transformació de <a href="/wiki/Hendrik_Lorentz" title="Hendrik Lorentz">Lorentz</a> resulta de manera natural d'acceptar el resultat verificat pels diversos experiments començant pel de <a href="/wiki/Francesc_Arag%C3%B3" class="mw-redirect" title="Francesc Aragó">Francesc Aragó</a> de 1810 que la velocitat de la llum és sempre la mateixa per a tots els observadors. </p><p>Aquest és el principi fonamental que mancava per acabar de determinar la fórmula que ha de permetre calcular les mesures que farà l'observador <i>O</i>₂ a partir de les que ha fet l'observador <i>O</i><sub>1</sub> i que en la transformació de Galileu s'havia obtingut de forma arbitrària. </p><p>El resultat és: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&x_{2}\\&t_{2}\\\end{aligned}}\right\}={\frac {1}{\sqrt {\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)}}}\cdot \left[{\begin{matrix}1&v\\{\frac {v}{c^{2}}}&1\\\end{matrix}}\right]\cdot \left\{{\begin{matrix}x_{1}\\t_{1}\\\end{matrix}}\right\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>{</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd /> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msqrt> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </msqrt> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow> <mo>[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mi>v</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>v</mi> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&x_{2}\\&t_{2}\\\end{aligned}}\right\}={\frac {1}{\sqrt {\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)}}}\cdot \left[{\begin{matrix}1&v\\{\frac {v}{c^{2}}}&1\\\end{matrix}}\right]\cdot \left\{{\begin{matrix}x_{1}\\t_{1}\\\end{matrix}}\right\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5fbbf5e45f3e07b2bcb5d6762b78aa53ee4a733" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:41.43ex; height:10.343ex;" alt="{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&x_{2}\\&t_{2}\\\end{aligned}}\right\}={\frac {1}{\sqrt {\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)}}}\cdot \left[{\begin{matrix}1&v\\{\frac {v}{c^{2}}}&1\\\end{matrix}}\right]\cdot \left\{{\begin{matrix}x_{1}\\t_{1}\\\end{matrix}}\right\}}"></span></dd></dl> <p>On <i>c</i> és la velocitat de la llum. </p> <figure class="mw-default-size mw-halign-left" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fitxer:Lorentz_factor.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/00/Lorentz_factor.svg/220px-Lorentz_factor.svg.png" decoding="async" width="220" height="223" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/00/Lorentz_factor.svg/330px-Lorentz_factor.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/00/Lorentz_factor.svg/440px-Lorentz_factor.svg.png 2x" data-file-width="1102" data-file-height="1118" /></a><figcaption>Representació gràfica del factor de Lorentz en funció de la fracció de <i>c</i> que assoleix <i>v</i>.</figcaption></figure> <p>Aquesta expressió es presenta de forma més compacta definint l'anomenat <i>factor de Lorentz</i> γ: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma \equiv {\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>γ</mi> <mo>≡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </msqrt> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma \equiv {\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3637d12331b0a945541f7d931528074286c1e9f9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.671ex; width:13.989ex; height:8.009ex;" alt="{\displaystyle \gamma \equiv {\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}"></span></dd></dl> <p>Llavors queda: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x_{2}\\t_{2}\\\end{matrix}}\right\}=\gamma \left({\begin{matrix}1&v\\{\frac {v}{c^{2}}}&1\\\end{matrix}}\right)\cdot \left\{{\begin{matrix}x_{1}\\t_{1}\\\end{matrix}}\right\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>{</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>γ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mi>v</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>v</mi> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x_{2}\\t_{2}\\\end{matrix}}\right\}=\gamma \left({\begin{matrix}1&v\\{\frac {v}{c^{2}}}&1\\\end{matrix}}\right)\cdot \left\{{\begin{matrix}x_{1}\\t_{1}\\\end{matrix}}\right\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee1c57f654c5ab556a2398b7ad63eea46e4fa0b7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:29.968ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x_{2}\\t_{2}\\\end{matrix}}\right\}=\gamma \left({\begin{matrix}1&v\\{\frac {v}{c^{2}}}&1\\\end{matrix}}\right)\cdot \left\{{\begin{matrix}x_{1}\\t_{1}\\\end{matrix}}\right\}}"></span></dd></dl> <p>Fixeu-vos que el factor de Lorentz a velocitats petites creix molt a poc a poc, per exemple, per a velocitats més petites de 30.000 km/s, és a dir 108.000.000 km/h o un 10% de la velocitat de la llum, el factor és més petit d'1,005 és a dir un 0,5% més gran que 1. </p><p>A l'esquerra es presenta la representació gràfica de la funció que a cada fracció de la velocitat de la llum li fa correspondre el seu factor de Lorentz on es pot apreciar que al començament creix molt lentament i és al final, entre el 90% i el 100% de <i>c</i> quan el pendent creix ràpidament i la funció tendeix a infinit. </p> <div class="NavFrame" style="background-color: transparent; width:100%;margin-bottom:0px;float:left; border-radius:4px"> <div class="NavPic" style="display: none;"></div> <div class="NavHead" align="center" style="background-color: transparent;border-radius:4px;">Demostració</div> <div class="NavContent" align="left" style="padding:7px;">Si la velocitat de la llum és la mateixa per tots els observadors, per tant considerant un <a href="/wiki/Flaix" title="Flaix">flaix</a> de llum que s'emeti a l'origen de coordenades dels dos observadors al començament, tots dos el veuran allunyar-se de l'origen a la mateixa velocitat és a dir a la mateixa relació entre la posició i el temps tal com prenen aquestes mesures cada un d'ells. És a dir, dient-ne <i>c</i> a la velocitat de la llum: <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x_{1}\\t_{1}\\\end{matrix}}\right\}=\left\{{\begin{matrix}c\cdot t_{1}\\t_{1}\\\end{matrix}}\right\}\quad i\quad \left\{{\begin{matrix}x_{2}\\t_{2}\\\end{matrix}}\right\}=\left\{{\begin{matrix}c\cdot t_{2}\\t_{2}\\\end{matrix}}\right\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>{</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>c</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mspace width="1em" /> <mi>i</mi> <mspace width="1em" /> <mrow> <mo>{</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>c</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x_{1}\\t_{1}\\\end{matrix}}\right\}=\left\{{\begin{matrix}c\cdot t_{1}\\t_{1}\\\end{matrix}}\right\}\quad i\quad \left\{{\begin{matrix}x_{2}\\t_{2}\\\end{matrix}}\right\}=\left\{{\begin{matrix}c\cdot t_{2}\\t_{2}\\\end{matrix}}\right\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a666cf360771923ea8a551dd26e479dd84b4c49" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:43.297ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x_{1}\\t_{1}\\\end{matrix}}\right\}=\left\{{\begin{matrix}c\cdot t_{1}\\t_{1}\\\end{matrix}}\right\}\quad i\quad \left\{{\begin{matrix}x_{2}\\t_{2}\\\end{matrix}}\right\}=\left\{{\begin{matrix}c\cdot t_{2}\\t_{2}\\\end{matrix}}\right\}}"></span></dd></dl> <p>Per tant ha de ser: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&x_{2}\\&t_{2}\\\end{aligned}}\right\}=\left[{\begin{matrix}a\left(v\right)&v\cdot a\left(v\right)\\d\left(v\right)&a\left(v\right)\\\end{matrix}}\right]\cdot \left\{{\begin{matrix}x_{1}\\t_{1}\\\end{matrix}}\right\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>{</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd /> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&x_{2}\\&t_{2}\\\end{aligned}}\right\}=\left[{\begin{matrix}a\left(v\right)&v\cdot a\left(v\right)\\d\left(v\right)&a\left(v\right)\\\end{matrix}}\right]\cdot \left\{{\begin{matrix}x_{1}\\t_{1}\\\end{matrix}}\right\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3465ec779a02ed814fbbe244ad2649bd7f81981e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:35.464ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&x_{2}\\&t_{2}\\\end{aligned}}\right\}=\left[{\begin{matrix}a\left(v\right)&v\cdot a\left(v\right)\\d\left(v\right)&a\left(v\right)\\\end{matrix}}\right]\cdot \left\{{\begin{matrix}x_{1}\\t_{1}\\\end{matrix}}\right\}}"></span></dd></dl> <p>O sigui: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}&\left\{{\begin{matrix}c\cdot t_{2}=a\left(v\right)\cdot c\cdot t_{1}+v\cdot a\left(v\right)\cdot t_{1}\\t_{2}=d\left(v\right)\cdot c\cdot t_{1}+a\left(v\right)\cdot t_{1}\\\end{matrix}}\right.\\&\left\{{\begin{matrix}c\cdot t_{2}=a\left(v\right)\cdot c\cdot t_{1}+v\cdot a\left(v\right)\cdot t_{1}\\c\cdot t_{2}=d\left(v\right)\cdot c^{2}\cdot t_{1}+c\cdot a\left(v\right)\cdot t_{1}\\\end{matrix}}\right.\\&a\left(v\right)\cdot c\cdot t_{2}+v\cdot a\left(v\right)\cdot t_{2}=d\left(v\right)\cdot c^{2}\cdot t_{2}+c\cdot a\left(v\right)\cdot t_{2}\\&a\left(v\right)\cdot c+v\cdot a\left(v\right)=d\left(v\right)\cdot c^{2}+c\cdot a\left(v\right)\\&v\cdot a\left(v\right)=d\left(v\right)\cdot c^{2}\\&d\left(v\right)={\frac {v\cdot a\left(v\right)}{c^{2}}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd /> <mtd> <mrow> <mo>{</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>c</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <mi>c</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <mi>c</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mrow> <mo>{</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>c</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <mi>c</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>c</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <mi>c</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <mi>c</mi> <mo>+</mo> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}&\left\{{\begin{matrix}c\cdot t_{2}=a\left(v\right)\cdot c\cdot t_{1}+v\cdot a\left(v\right)\cdot t_{1}\\t_{2}=d\left(v\right)\cdot c\cdot t_{1}+a\left(v\right)\cdot t_{1}\\\end{matrix}}\right.\\&\left\{{\begin{matrix}c\cdot t_{2}=a\left(v\right)\cdot c\cdot t_{1}+v\cdot a\left(v\right)\cdot t_{1}\\c\cdot t_{2}=d\left(v\right)\cdot c^{2}\cdot t_{1}+c\cdot a\left(v\right)\cdot t_{1}\\\end{matrix}}\right.\\&a\left(v\right)\cdot c\cdot t_{2}+v\cdot a\left(v\right)\cdot t_{2}=d\left(v\right)\cdot c^{2}\cdot t_{2}+c\cdot a\left(v\right)\cdot t_{2}\\&a\left(v\right)\cdot c+v\cdot a\left(v\right)=d\left(v\right)\cdot c^{2}+c\cdot a\left(v\right)\\&v\cdot a\left(v\right)=d\left(v\right)\cdot c^{2}\\&d\left(v\right)={\frac {v\cdot a\left(v\right)}{c^{2}}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/958b31093872d80ea7c79f5f40a10af82703a755" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -13.838ex; width:53.943ex; height:28.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}&\left\{{\begin{matrix}c\cdot t_{2}=a\left(v\right)\cdot c\cdot t_{1}+v\cdot a\left(v\right)\cdot t_{1}\\t_{2}=d\left(v\right)\cdot c\cdot t_{1}+a\left(v\right)\cdot t_{1}\\\end{matrix}}\right.\\&\left\{{\begin{matrix}c\cdot t_{2}=a\left(v\right)\cdot c\cdot t_{1}+v\cdot a\left(v\right)\cdot t_{1}\\c\cdot t_{2}=d\left(v\right)\cdot c^{2}\cdot t_{1}+c\cdot a\left(v\right)\cdot t_{1}\\\end{matrix}}\right.\\&a\left(v\right)\cdot c\cdot t_{2}+v\cdot a\left(v\right)\cdot t_{2}=d\left(v\right)\cdot c^{2}\cdot t_{2}+c\cdot a\left(v\right)\cdot t_{2}\\&a\left(v\right)\cdot c+v\cdot a\left(v\right)=d\left(v\right)\cdot c^{2}+c\cdot a\left(v\right)\\&v\cdot a\left(v\right)=d\left(v\right)\cdot c^{2}\\&d\left(v\right)={\frac {v\cdot a\left(v\right)}{c^{2}}}\\\end{aligned}}}"></span></dd></dl> <p>I com que, <i>D</i> ha de ser igual a 1: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}&a\left(v\right)^{2}-v\cdot a\left(v\right)\cdot d\left(v\right)=1\\&a\left(v\right)^{2}-v\cdot a\left(v\right)\cdot {\frac {v\cdot a\left(v\right)}{c^{2}}}=1\\&a\left(v\right)^{2}-{\frac {v^{2}\cdot a\left(v\right)^{2}}{c^{2}}}=1\\&c^{2}\cdot a\left(v\right)^{2}-v^{2}\cdot a\left(v\right)^{2}=c^{2}\\&\left(c^{2}-v^{2}\right)\cdot a\left(v\right)^{2}=c^{2}\\&a\left(v\right)\cdot {\sqrt {\left(c^{2}-v^{2}\right)}}=\pm c\\&a\left(v\right)={\frac {c}{\sqrt {\left(c^{2}-v^{2}\right)}}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi>a</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi>a</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi>a</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </msqrt> </mrow> <mo>=</mo> <mo>±</mo> <mi>c</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>c</mi> <msqrt> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </msqrt> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}&a\left(v\right)^{2}-v\cdot a\left(v\right)\cdot d\left(v\right)=1\\&a\left(v\right)^{2}-v\cdot a\left(v\right)\cdot {\frac {v\cdot a\left(v\right)}{c^{2}}}=1\\&a\left(v\right)^{2}-{\frac {v^{2}\cdot a\left(v\right)^{2}}{c^{2}}}=1\\&c^{2}\cdot a\left(v\right)^{2}-v^{2}\cdot a\left(v\right)^{2}=c^{2}\\&\left(c^{2}-v^{2}\right)\cdot a\left(v\right)^{2}=c^{2}\\&a\left(v\right)\cdot {\sqrt {\left(c^{2}-v^{2}\right)}}=\pm c\\&a\left(v\right)={\frac {c}{\sqrt {\left(c^{2}-v^{2}\right)}}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daf230fa462aa2a2d4ca484be06121a50b2c2d23" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -16.671ex; width:30.31ex; height:34.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}&a\left(v\right)^{2}-v\cdot a\left(v\right)\cdot d\left(v\right)=1\\&a\left(v\right)^{2}-v\cdot a\left(v\right)\cdot {\frac {v\cdot a\left(v\right)}{c^{2}}}=1\\&a\left(v\right)^{2}-{\frac {v^{2}\cdot a\left(v\right)^{2}}{c^{2}}}=1\\&c^{2}\cdot a\left(v\right)^{2}-v^{2}\cdot a\left(v\right)^{2}=c^{2}\\&\left(c^{2}-v^{2}\right)\cdot a\left(v\right)^{2}=c^{2}\\&a\left(v\right)\cdot {\sqrt {\left(c^{2}-v^{2}\right)}}=\pm c\\&a\left(v\right)={\frac {c}{\sqrt {\left(c^{2}-v^{2}\right)}}}\\\end{aligned}}}"></span></dd></dl> <p>S'ha deixat només el signe positiu perquè els signes dels eixos de coordenades en els dos sistemes de referència es poden triar de forma que si el signe de la velocitat és positiu, no canviï el signe de la posició en passar de les mesures d'un observador a les de l'altre. </p><p>Substituint al valor de <i>d</i>(<i>v</i>) que s'ha trobat abans queda: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}&d\left(v\right)={\frac {v\cdot {\frac {c}{\sqrt {\left(c^{2}-v^{2}\right)}}}}{c^{2}}}\\&d\left(v\right)={\frac {c\cdot v}{c^{2}\cdot {\sqrt {\left(c^{2}-v^{2}\right)}}}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>c</mi> <msqrt> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </msqrt> </mfrac> </mrow> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mo>⋅</mo> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}&d\left(v\right)={\frac {v\cdot {\frac {c}{\sqrt {\left(c^{2}-v^{2}\right)}}}}{c^{2}}}\\&d\left(v\right)={\frac {c\cdot v}{c^{2}\cdot {\sqrt {\left(c^{2}-v^{2}\right)}}}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c41659532dc25c8e82143ebb146989815c845d7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.436ex; margin-bottom: -0.235ex; width:24.183ex; height:14.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}&d\left(v\right)={\frac {v\cdot {\frac {c}{\sqrt {\left(c^{2}-v^{2}\right)}}}}{c^{2}}}\\&d\left(v\right)={\frac {c\cdot v}{c^{2}\cdot {\sqrt {\left(c^{2}-v^{2}\right)}}}}\\\end{aligned}}}"></span></dd></dl> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}&\left\{{\begin{aligned}&x_{2}\\&t_{2}\\\end{aligned}}\right\}=\left[{\begin{matrix}{\frac {c}{\sqrt {\left(c^{2}-v^{2}\right)}}}&v\cdot {\frac {c}{\sqrt {\left(c^{2}-v^{2}\right)}}}\\{\frac {c\cdot v}{c^{2}\cdot {\sqrt {\left(c^{2}-v^{2}\right)}}}}&{\frac {c}{\sqrt {\left(c^{2}-v^{2}\right)}}}\\\end{matrix}}\right]\cdot \left\{{\begin{matrix}x_{1}\\t_{1}\\\end{matrix}}\right\}\\&\left\{{\begin{aligned}&x_{2}\\&t_{2}\\\end{aligned}}\right\}={\frac {c}{\sqrt {\left(c^{2}-v^{2}\right)}}}\cdot \left[{\begin{matrix}1&v\\{\frac {v}{c^{2}}}&1\\\end{matrix}}\right]\cdot \left\{{\begin{matrix}x_{1}\\t_{1}\\\end{matrix}}\right\}\\&\left\{{\begin{aligned}&x_{2}\\&t_{2}\\\end{aligned}}\right\}={\frac {1}{\sqrt {\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)}}}\cdot \left[{\begin{matrix}1&v\\{\frac {v}{c^{2}}}&1\\\end{matrix}}\right]\cdot \left\{{\begin{matrix}x_{1}\\t_{1}\\\end{matrix}}\right\}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd /> <mtd> <mrow> <mo>{</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd /> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>c</mi> <msqrt> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </msqrt> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>c</mi> <msqrt> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </msqrt> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mo>⋅</mo> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>c</mi> <msqrt> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </msqrt> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mrow> <mo>{</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd /> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>c</mi> <msqrt> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </msqrt> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow> <mo>[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mi>v</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>v</mi> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mrow> <mo>{</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd /> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msqrt> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </msqrt> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow> <mo>[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mi>v</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>v</mi> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}&\left\{{\begin{aligned}&x_{2}\\&t_{2}\\\end{aligned}}\right\}=\left[{\begin{matrix}{\frac {c}{\sqrt {\left(c^{2}-v^{2}\right)}}}&v\cdot {\frac {c}{\sqrt {\left(c^{2}-v^{2}\right)}}}\\{\frac {c\cdot v}{c^{2}\cdot {\sqrt {\left(c^{2}-v^{2}\right)}}}}&{\frac {c}{\sqrt {\left(c^{2}-v^{2}\right)}}}\\\end{matrix}}\right]\cdot \left\{{\begin{matrix}x_{1}\\t_{1}\\\end{matrix}}\right\}\\&\left\{{\begin{aligned}&x_{2}\\&t_{2}\\\end{aligned}}\right\}={\frac {c}{\sqrt {\left(c^{2}-v^{2}\right)}}}\cdot \left[{\begin{matrix}1&v\\{\frac {v}{c^{2}}}&1\\\end{matrix}}\right]\cdot \left\{{\begin{matrix}x_{1}\\t_{1}\\\end{matrix}}\right\}\\&\left\{{\begin{aligned}&x_{2}\\&t_{2}\\\end{aligned}}\right\}={\frac {1}{\sqrt {\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)}}}\cdot \left[{\begin{matrix}1&v\\{\frac {v}{c^{2}}}&1\\\end{matrix}}\right]\cdot \left\{{\begin{matrix}x_{1}\\t_{1}\\\end{matrix}}\right\}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d591430b8b3d06e3bc76c69cbbea1a733ff6bb9c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -14.005ex; width:46.627ex; height:29.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}&\left\{{\begin{aligned}&x_{2}\\&t_{2}\\\end{aligned}}\right\}=\left[{\begin{matrix}{\frac {c}{\sqrt {\left(c^{2}-v^{2}\right)}}}&v\cdot {\frac {c}{\sqrt {\left(c^{2}-v^{2}\right)}}}\\{\frac {c\cdot v}{c^{2}\cdot {\sqrt {\left(c^{2}-v^{2}\right)}}}}&{\frac {c}{\sqrt {\left(c^{2}-v^{2}\right)}}}\\\end{matrix}}\right]\cdot \left\{{\begin{matrix}x_{1}\\t_{1}\\\end{matrix}}\right\}\\&\left\{{\begin{aligned}&x_{2}\\&t_{2}\\\end{aligned}}\right\}={\frac {c}{\sqrt {\left(c^{2}-v^{2}\right)}}}\cdot \left[{\begin{matrix}1&v\\{\frac {v}{c^{2}}}&1\\\end{matrix}}\right]\cdot \left\{{\begin{matrix}x_{1}\\t_{1}\\\end{matrix}}\right\}\\&\left\{{\begin{aligned}&x_{2}\\&t_{2}\\\end{aligned}}\right\}={\frac {1}{\sqrt {\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)}}}\cdot \left[{\begin{matrix}1&v\\{\frac {v}{c^{2}}}&1\\\end{matrix}}\right]\cdot \left\{{\begin{matrix}x_{1}\\t_{1}\\\end{matrix}}\right\}\\\end{aligned}}}"></span></dd></dl> Q.E.D.</div> <div style="clear:both;"></div> </div> <p><br style="clear:both;" /> </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Contracció_de_l'espai_i_dilatació_del_temps"><span id="Contracci.C3.B3_de_l.27espai_i_dilataci.C3.B3_del_temps"></span>Contracció de l'espai i dilatació del temps</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Relativitat_especial&action=edit&section=7" title="Modifica la secció: Contracció de l'espai i dilatació del temps"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La primera conseqüència d'interpretar la <a href="/wiki/Transformaci%C3%B3_de_Lorentz" title="Transformació de Lorentz">transformació de Lorentz</a> com la fórmula que permet determinar el que mesurarà un observador a partir del que ha mesurat un altre que es mou a velocitat constant respecte del primer, és que la durada dels fets i la longitud dels objectes no és una constant independent de la velocitat relativa entre l'objecte i l'observador. Això porta que el concepte de simultaneïtat s'hagi de revisar, dos fets que per un determinat observador succeeixen simultàniament per un altre no (tret que també succeeixin exactament en el mateix punt de l'espai). També porta que, perquè es compleixi el principi de causalitat, cal imposar un límit a la velocitat màxima a la qual es poden desplaçar els senyals i en conseqüència a la velocitat màxima a què es pot desplaçar qualsevol cosa. Aquest límit és la velocitat de la llum. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Contracció_de_l'espai"><span id="Contracci.C3.B3_de_l.27espai"></span>Contracció de l'espai</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Relativitat_especial&action=edit&section=8" title="Modifica la secció: Contracció de l'espai"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r30997230">.mw-parser-output .hatnote{font-style:italic}.mw-parser-output div.hatnote{padding-left:1.6em;margin-bottom:0.5em}.mw-parser-output .hatnote i{font-style:normal}.mw-parser-output .hatnote+link+.hatnote{margin-top:-0.5em}</style><div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">Article principal: <a href="/wiki/Contracci%C3%B3_de_l%27espai" class="mw-redirect" title="Contracció de l'espai">Contracció de l'espai</a></div> <p>La contracció de l'espai és el fenomen que es desprèn de la teoria de la relativitat especial en mesurar la longitud d'un objecte que es mou a una velocitat <i>v</i> paral·lela a la direcció en què es mesura la longitud. </p><p>Per determinar quin valor obté un observador <i>O</i>₂ en mesurar un objecte que es mou a velocitat <i>v</i>, es parteix del fet que un observador <i>O</i> <sub>1</sub> que es mou a la mateixa velocitat respecte <i>O</i>₂ que l'objecte, veu l'objecte quiet, el mesura obtenint el valor <i>l</i>. Llavors aplicant la transformació de Lorentz als dos extrems de l'objecte i calculant la diferència de les posicions Δ<i>x</i><sub>1</sub>, i dels moments en què s'ha fet la mesura Δ<i>x</i><sub>1</sub> s'obté: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta x_{2}=\gamma \cdot \Delta x_{1}+\gamma \cdot v\cdot \Delta t_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>γ</mi> <mo>⋅</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>γ</mi> <mo>⋅</mo> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta x_{2}=\gamma \cdot \Delta x_{1}+\gamma \cdot v\cdot \Delta t_{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ec0c8c0c76ef211fdbf460d683b576c4ed37669" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.098ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \Delta x_{2}=\gamma \cdot \Delta x_{1}+\gamma \cdot v\cdot \Delta t_{1}}"></span> (1)</dd></dl> <p>Per tant la diferència entre les posicions dels extrems depèn (com era d'esperar) de les deferències de les posicions que ha mesurat <i>O</i> <sub>1</sub> i també de la diferència dels moments en què ha fet la mesura. Com que <i>O</i> <sub>1</sub> veu a <i>O</i> ₂ movent-se a una velocitat de –<i>v</i>, la transformació de Lorentz permet obtenir: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta t_{1}=\gamma \cdot {\frac {-v}{c^{2}}}\Delta x_{2}+\gamma \cdot \Delta t_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>γ</mi> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo>−</mo> <mi>v</mi> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>γ</mi> <mo>⋅</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta t_{1}=\gamma \cdot {\frac {-v}{c^{2}}}\Delta x_{2}+\gamma \cdot \Delta t_{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce261b8d2daf7e5eb89902b5fef0ebfc6e48b836" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:27.573ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle \Delta t_{1}=\gamma \cdot {\frac {-v}{c^{2}}}\Delta x_{2}+\gamma \cdot \Delta t_{2}}"></span></dd></dl> <p>Perquè la mesura de la longitud que fa <i>O</i> ₂ sigui correcta, ha de mesurar la posició dels dos extrems al mateix temps (altrament, com que l'objecte s'està movent, obtindria una combinació de la longitud de l'objecte i de l'espai recorregut durant el temps que passa des que mesura un extrem fins que mesura l'altre) per tant ha de ser Δ<i>t</i>₂ = 0, és a dir, en aquest cas: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta t_{1}=\gamma \cdot {\frac {-v}{c^{2}}}\Delta x_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>γ</mi> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo>−</mo> <mi>v</mi> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta t_{1}=\gamma \cdot {\frac {-v}{c^{2}}}\Delta x_{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1505c789251fee0d2d8f44360689bcc34b325ee3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:17.961ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle \Delta t_{1}=\gamma \cdot {\frac {-v}{c^{2}}}\Delta x_{2}}"></span></dd></dl> <p>Substituint aquesta expressió a (1) s'obté: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta x_{2}=\gamma \cdot \Delta x_{1}+\gamma \cdot v\cdot \gamma \cdot {\frac {-v}{c^{2}}}\Delta x_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>γ</mi> <mo>⋅</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>γ</mi> <mo>⋅</mo> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <mi>γ</mi> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo>−</mo> <mi>v</mi> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta x_{2}=\gamma \cdot \Delta x_{1}+\gamma \cdot v\cdot \gamma \cdot {\frac {-v}{c^{2}}}\Delta x_{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/467e7ab2248abe6722447291e5870ecd0ed2cd90" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:34.301ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle \Delta x_{2}=\gamma \cdot \Delta x_{1}+\gamma \cdot v\cdot \gamma \cdot {\frac {-v}{c^{2}}}\Delta x_{2}}"></span></dd></dl> <p>Aïllant Δ<i>x</i>₂ d'aquesta equació resulta: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta x_{2}={\frac {\Delta x_{1}}{\gamma }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mi>γ</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta x_{2}={\frac {\Delta x_{1}}{\gamma }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ddf445a34f39db1df36a7fdbd925b256ad7010a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:12.574ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \Delta x_{2}={\frac {\Delta x_{1}}{\gamma }}}"></span></dd></dl> <div class="NavFrame" style="background-color: transparent; width:100%;margin-bottom:0px;float:left; border-radius:4px"> <div class="NavPic" style="display: none;"></div> <div class="NavHead" align="center" style="background-color: transparent;border-radius:4px;">Demostració</div> <div class="NavContent" align="left" style="padding:7px;">:<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta x_{2}&=\gamma \cdot \Delta x_{1}-\gamma ^{2}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\Delta x_{2}\\\left(1+\gamma ^{2}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\Delta x_{2}&=\gamma \cdot \Delta x_{1}\\\left(1+{\frac {1}{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\cdot {\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\Delta x_{2}&=\gamma \cdot \Delta x_{1}\\\left(1+{\frac {c^{2}}{c^{2}-v^{2}}}\cdot {\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\Delta x_{2}&=\gamma \cdot \Delta x_{1}\\\left(1+{\frac {v^{2}}{c^{2}-v^{2}}}\right)\Delta x_{2}&=\gamma \cdot \Delta x_{1}\\\left({\frac {c^{2}-v^{2}}{c^{2}-v^{2}}}+{\frac {v^{2}}{c^{2}-v^{2}}}\right)\Delta x_{2}&=\gamma \cdot \Delta x_{1}\\\left({\frac {c^{2}}{c^{2}-v^{2}}}\right)\Delta x_{2}&=\gamma \cdot \Delta x_{1}\\\gamma ^{2}\Delta x_{2}&=\gamma \cdot \Delta x_{1}\\\Delta x_{2}&={\frac {\Delta x_{1}}{\gamma }}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>γ</mi> <mo>⋅</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msup> <mi>γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>γ</mi> <mo>⋅</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>γ</mi> <mo>⋅</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>γ</mi> <mo>⋅</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>γ</mi> <mo>⋅</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>γ</mi> <mo>⋅</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>γ</mi> <mo>⋅</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msup> <mi>γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>γ</mi> <mo>⋅</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mi>γ</mi> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta x_{2}&=\gamma \cdot \Delta x_{1}-\gamma ^{2}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\Delta x_{2}\\\left(1+\gamma ^{2}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\Delta x_{2}&=\gamma \cdot \Delta x_{1}\\\left(1+{\frac {1}{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\cdot {\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\Delta x_{2}&=\gamma \cdot \Delta x_{1}\\\left(1+{\frac {c^{2}}{c^{2}-v^{2}}}\cdot {\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\Delta x_{2}&=\gamma \cdot \Delta x_{1}\\\left(1+{\frac {v^{2}}{c^{2}-v^{2}}}\right)\Delta x_{2}&=\gamma \cdot \Delta x_{1}\\\left({\frac {c^{2}-v^{2}}{c^{2}-v^{2}}}+{\frac {v^{2}}{c^{2}-v^{2}}}\right)\Delta x_{2}&=\gamma \cdot \Delta x_{1}\\\left({\frac {c^{2}}{c^{2}-v^{2}}}\right)\Delta x_{2}&=\gamma \cdot \Delta x_{1}\\\gamma ^{2}\Delta x_{2}&=\gamma \cdot \Delta x_{1}\\\Delta x_{2}&={\frac {\Delta x_{1}}{\gamma }}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95b7e3d3ed81da93a48944ab1f87dba362b12609" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -27.671ex; width:50.431ex; height:56.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta x_{2}&=\gamma \cdot \Delta x_{1}-\gamma ^{2}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\Delta x_{2}\\\left(1+\gamma ^{2}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\Delta x_{2}&=\gamma \cdot \Delta x_{1}\\\left(1+{\frac {1}{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\cdot {\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\Delta x_{2}&=\gamma \cdot \Delta x_{1}\\\left(1+{\frac {c^{2}}{c^{2}-v^{2}}}\cdot {\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\Delta x_{2}&=\gamma \cdot \Delta x_{1}\\\left(1+{\frac {v^{2}}{c^{2}-v^{2}}}\right)\Delta x_{2}&=\gamma \cdot \Delta x_{1}\\\left({\frac {c^{2}-v^{2}}{c^{2}-v^{2}}}+{\frac {v^{2}}{c^{2}-v^{2}}}\right)\Delta x_{2}&=\gamma \cdot \Delta x_{1}\\\left({\frac {c^{2}}{c^{2}-v^{2}}}\right)\Delta x_{2}&=\gamma \cdot \Delta x_{1}\\\gamma ^{2}\Delta x_{2}&=\gamma \cdot \Delta x_{1}\\\Delta x_{2}&={\frac {\Delta x_{1}}{\gamma }}\\\end{aligned}}}"></span></div> <div style="clear:both;"></div> </div> <p>Com que l'observador <i>O</i> <sub>1</sub> és solidari a l'objecte, la mesura <i>l</i> que obté, s'anomena la longitud pròpia de l'objecte: Δ<i>x</i><sub>1</sub> = <i>l</i>, anomenant <i>l' </i> la longitud que s'obté mesurant l'objecte quan es mou a velocitat <i>v</i>, resulta que <i>l' </i> = Δ<i>x</i>₂ i </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle l'={\frac {l}{\gamma }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>l</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>l</mi> <mi>γ</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l'={\frac {l}{\gamma }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12a7d242cb4ad30f0b57f8e6e1a501df4476a11b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:6.575ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle l'={\frac {l}{\gamma }}}"></span></dd></dl> <p>Si |<i>v</i>| < <i>c</i> llavors γ > 1, per tant, els objectes en moure's es contrauen en la direcció paral·lela a la seva velocitat. Aquesta és la <a href="/wiki/Contracci%C3%B3_de_Lorentz" title="Contracció de Lorentz">contracció de Lorentz</a>. </p> <div class="NavFrame" style="background-color: transparent; width:100%;margin-bottom:0px;float:left; border-radius:4px"> <div class="NavPic" style="display: none;"></div> <div class="NavHead" align="center" style="background-color: transparent;border-radius:4px;">Demostració</div> <div class="NavContent" align="left" style="padding:7px;">:<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}\left|v\right|<c&\Rightarrow 0<v^{2}<c^{2}\\&\Rightarrow 0<{\frac {v^{2}}{c^{2}}}<1\\&\Rightarrow 0<1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}<1\\&\Rightarrow 0<{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}<1\\&\Rightarrow \infty >{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}>1\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>|</mo> <mi>v</mi> <mo>|</mo> </mrow> <mo><</mo> <mi>c</mi> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mn>0</mn> <mo><</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo><</mo> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mn>0</mn> <mo><</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo><</mo> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mn>0</mn> <mo><</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo><</mo> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mn>0</mn> <mo><</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </msqrt> </mrow> <mo><</mo> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> <mo>></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </msqrt> </mfrac> </mrow> <mo>></mo> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\left|v\right|<c&\Rightarrow 0<v^{2}<c^{2}\\&\Rightarrow 0<{\frac {v^{2}}{c^{2}}}<1\\&\Rightarrow 0<1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}<1\\&\Rightarrow 0<{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}<1\\&\Rightarrow \infty >{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}>1\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b2e09632c04767e2e266f3910f0c8cdcbb38228" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -14.783ex; margin-bottom: -0.222ex; width:30.203ex; height:31.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\left|v\right|<c&\Rightarrow 0<v^{2}<c^{2}\\&\Rightarrow 0<{\frac {v^{2}}{c^{2}}}<1\\&\Rightarrow 0<1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}<1\\&\Rightarrow 0<{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}<1\\&\Rightarrow \infty >{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}>1\\\end{aligned}}}"></span></div> <div style="clear:both;"></div> </div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fitxer:TrainTunnelAnim.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/34/TrainTunnelAnim.gif/220px-TrainTunnelAnim.gif" decoding="async" width="220" height="220" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/34/TrainTunnelAnim.gif/330px-TrainTunnelAnim.gif 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/34/TrainTunnelAnim.gif/440px-TrainTunnelAnim.gif 2x" data-file-width="650" data-file-height="650" /></a><figcaption>Il·lustració de la paradoxa del tren i el túnel.</figcaption></figure> <p>Si la teoria de la relativitat és correcte, aquesta contracció no és un efecte aparent pel fet de mesurar l'objecte mentre es mou, sinó que és un fenomen real. D'acord amb la interpretació que va fer Einstein de la transformació de Lorentz, qualsevol llei de la física aplicada a qualsevol objecte es compleix agafant <i>l' </i> en lloc de <i>l</i> pel que fa a la longitud de l'objecte. </p><p>A l'animació de la dreta es representa l'aparent paradoxa anomenada del tren i el túnel. Si el tren i el túnel en repòs tenen exactament la mateixa longitud, un observador situat a l'andana del túnel quan veu que el tren es mou mesura una longitud més petita que la de l'andana. En canvi un observador situat al tren, com que veu que el túnel es mou, mesura una longitud més curta que la del tren. Això no és cap dificultat, tots els experiments que es facin en moviment donaran com a resultat que tots dos tenen raó. Per exemple, des dels dos extrems de l'andana es poden tirar dos objectes al mateix temps (temps mesurat des de l'andana) cap a l'altra banda del túnel mentre el tren està passant sense tocar-lo. Des dels dos extrems del tren es poden tirar fora al mateix temps (temps mesurat des del tren) dos objectes mentre està travessant el túnel, sense que cap dels dos caigui dins del túnel. </p><p>La resolució d'aquesta aparent paradoxa prové del fet que els fets que per a un observador són simultanis, en relativitat, no ho són per a un altre. Llavors cada un, en observar els llançaments d'objectes que ha fet l'altre, els observa en instants de temps que no són simultanis. Vegeu <a href="#Simultaneïtat">simultaneïtat</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Dilatació_del_temps"><span id="Dilataci.C3.B3_del_temps"></span>Dilatació del temps</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Relativitat_especial&action=edit&section=9" title="Modifica la secció: Dilatació del temps"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r30997230"><div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">Article principal: <a href="/wiki/Dilataci%C3%B3_del_temps" title="Dilatació del temps">Dilatació del temps</a></div> <p>Una altra conseqüència de la transformació de Lorentz és que la durada dels fenòmens depèn de la velocitat relativa entre el sistema on succeeix el fenomen i l'observador. </p><p>Si un observador <i>O</i><sub>1</sub> es mou solidari al sistema on succeïx el fenomen pot mesurar la durada amb un únic rellotge i observar que entre el començament del fenomen i el final, ha transcorregut un temps ∆<i>t</i><sub>1</sub>. Un altre observador <i>O</i>₂ necessita dos rellotges sincronitzats, un situat en un punt que coincideixi en la posició del sistema on es produeix el fenomen en el moment d'iniciar-se i l'altre situat en el punt on es troba en acabar-se, és a dir separats la distància recorreguda pel sistema on es produeix el fenomen. </p><p>Aplicant la transformació de Lorentz s'obté: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta t_{2}=\gamma \cdot {\frac {v}{c^{2}}}\Delta x_{1}+\gamma \cdot \Delta t_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>γ</mi> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>v</mi> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>γ</mi> <mo>⋅</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta t_{2}=\gamma \cdot {\frac {v}{c^{2}}}\Delta x_{1}+\gamma \cdot \Delta t_{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c1c975967bbf75c88e961028d386ac8c278aa99" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:26.698ex; height:5.009ex;" alt="{\displaystyle \Delta t_{2}=\gamma \cdot {\frac {v}{c^{2}}}\Delta x_{1}+\gamma \cdot \Delta t_{1}}"></span></dd></dl> <p>Però com que per l'observador <i>O</i><sub>1</sub> el sistema on transcorre el fenomen no es mou, la posició final és igual a la inicial i per tant ∆<i>x</i><sub>1</sub> = 0, en conseqüència: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta t_{2}=\gamma \cdot \Delta t_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>γ</mi> <mo>⋅</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta t_{2}=\gamma \cdot \Delta t_{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/360dce39164278fc3b85d4220670dc2fb98b22c2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.699ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \Delta t_{2}=\gamma \cdot \Delta t_{1}}"></span></dd></dl> <p>Com que ∆<i>t</i><sub>1</sub> és la durada del fenomen mesurada per un observador que no es mou respecte del sistema on es produeix el fenomen, d'aquesta durada se'n diu el <i>temps propi</i> del fenomen. Com que si 0 < <i>v</i> < <i>c</i> llavors γ és més gran que 1 (vegeu <a href="#Contracció_de_l'espai">Contracció de l'espai</a>) Qualsevol observador en moviment respecte del sistema on es produeix el fenomen (a una velocitat més petita que <i>c</i>) observarà que el fenomen té una durada més gran que el seu temps propi, per això d'aquest fet se'n diu <a href="/wiki/Dilataci%C3%B3_temporal" class="mw-redirect" title="Dilatació temporal">dilatació temporal</a>. </p><p>Aquest resultat s'ha pogut posar a prova amb l'<a href="/w/index.php?title=Experiment_de_Rossi-Hall&action=edit&redlink=1" class="new" title="Experiment de Rossi-Hall (encara no existeix)">experiment de Rossi-Hall</a> en què es mesura la <a href="/wiki/Vida_mitjana" title="Vida mitjana">vida mitjana</a> dels <a href="/wiki/Mu%C3%B3" title="Muó">muons</a>. La vida mitjana mesurada quan els muons es mouen a diferents velocitats respecte del laboratori s'allarga d'acord amb la dilatació del temps prevista en la teoria. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Transformació_d'una_velocitat"><span id="Transformaci.C3.B3_d.27una_velocitat"></span>Transformació d'una velocitat</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Relativitat_especial&action=edit&section=10" title="Modifica la secció: Transformació d'una velocitat"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La contracció de l'espai i la dilatació del temps porta de manera natural a analitzar com es transforma una velocitat, és a dir, si un objecte es desplaça a una velocitat <i>v</i><sub>1</sub> en la direcció de l'eix <i>x</i> respecte de l'observador <i>O</i><sub>1</sub>, a quina velocitat es desplaça respecte de l'observador <i>O</i>₂. </p><p>El resultat s'obté expressant l'espai recorregut i el temps que tarda a recórrer-lo mesurats per l'observador <i>O</i>₂ en funció dels mesurats per l'observador <i>O</i><sub>1</sub> i dividint. </p><p>Pel que fa a la component de la velocitat sobre l'eix <i>x</i> (l'eix de la velocitat relativa als dos observadors s'obté: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{x2}={\frac {v_{x1}+v}{{\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{x2}={\frac {v_{x1}+v}{{\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/169dc65aeab796980c8ce66ab4becaa4e4f77f13" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.671ex; width:15.543ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle v_{x2}={\frac {v_{x1}+v}{{\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1}}}"></span></dd></dl> <p>Fixeu-vos que en el cas que la velocitat del cos i la de l'observador tinguin el mateix sentit, en comptes de sumar-se per obtenir la velocitat mesurada per l'altre observador, la suma cal dividir-la entre un nombre que és sempre més gran que 1. Per tant el resultat és sempre més petit que el que s'obtenia en la transformació de Galileu. En el cas límit que les dues velocitats (tant la de l'observador com la de l'objecte) siguin iguals a la velocitat de la llum <i>c</i>, aquest factor que divideix val 2 i per tant la velocitat que mesura l'altre observador és també igual a la velocitat de la llum. </p><p>Per a les components perpendiculars a aquesta, s'obté: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{y2}={\frac {v_{y1}}{\gamma \left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right)}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mi>γ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{y2}={\frac {v_{y1}}{\gamma \left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right)}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/723483a65ae0e7e2e38e4d679cfbc621841621c8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.505ex; width:19.844ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle v_{y2}={\frac {v_{y1}}{\gamma \left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right)}}}"></span></dd></dl> <div class="NavFrame" style="background-color: transparent; width:100%;margin-bottom:0px;float:left; border-radius:4px"> <div class="NavPic" style="display: none;"></div> <div class="NavHead" align="center" style="background-color: transparent;border-radius:4px;">Demostració</div> <div class="NavContent" align="left" style="padding:7px;">Emprant les transformacions que s'han trobat abans dels intervals de temps i de les longituds: <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}v_{x2}&={\frac {\Delta x_{2}}{\Delta t_{2}}}\\&={\frac {\gamma \cdot \Delta x_{1}+\gamma \cdot v\cdot \Delta t_{1}}{\gamma \cdot {\frac {v}{c^{2}}}\Delta x_{1}+\gamma \cdot \Delta t_{1}}}\\&={\frac {\Delta x_{1}+v\cdot \Delta t_{1}}{{\frac {v}{c^{2}}}\Delta x_{1}+\Delta t_{1}}}\\&={\frac {v_{x1}+v}{{\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>γ</mi> <mo>⋅</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>γ</mi> <mo>⋅</mo> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>γ</mi> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>v</mi> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>γ</mi> <mo>⋅</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>v</mi> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}v_{x2}&={\frac {\Delta x_{2}}{\Delta t_{2}}}\\&={\frac {\gamma \cdot \Delta x_{1}+\gamma \cdot v\cdot \Delta t_{1}}{\gamma \cdot {\frac {v}{c^{2}}}\Delta x_{1}+\gamma \cdot \Delta t_{1}}}\\&={\frac {\Delta x_{1}+v\cdot \Delta t_{1}}{{\frac {v}{c^{2}}}\Delta x_{1}+\Delta t_{1}}}\\&={\frac {v_{x1}+v}{{\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b976482b96f5c7211dcdfb1502ddb445ab107d3e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -13.005ex; width:27.488ex; height:27.009ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}v_{x2}&={\frac {\Delta x_{2}}{\Delta t_{2}}}\\&={\frac {\gamma \cdot \Delta x_{1}+\gamma \cdot v\cdot \Delta t_{1}}{\gamma \cdot {\frac {v}{c^{2}}}\Delta x_{1}+\gamma \cdot \Delta t_{1}}}\\&={\frac {\Delta x_{1}+v\cdot \Delta t_{1}}{{\frac {v}{c^{2}}}\Delta x_{1}+\Delta t_{1}}}\\&={\frac {v_{x1}+v}{{\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1}}\\\end{aligned}}}"></span></dd></dl> <p>En qualsevol component perpendicular a la velocitat relativa entre els observadors, les distàncies mesurades pels dos observadors són les mateixes, però els intervals de temps no. </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}v_{y2}&={\frac {\Delta y}{\Delta t_{2}}}\\&={\frac {\Delta y}{\gamma \cdot {\frac {v}{c^{2}}}\Delta x_{1}+\gamma \cdot \Delta t_{1}}}\\&={\frac {\Delta y}{\Delta t_{1}}}\cdot {\frac {\Delta t_{1}}{\gamma \cdot {\frac {v}{c^{2}}}\Delta x_{1}+\gamma \cdot \Delta t_{1}}}\\&={\frac {\Delta y}{\Delta t_{1}}}\cdot {\frac {1}{\gamma \cdot {\frac {v}{c^{2}}}{\frac {\Delta x_{1}}{\Delta t_{1}}}+\gamma }}\\&=v_{y1}\cdot {\frac {1}{\gamma \cdot {\frac {v}{c^{2}}}v_{x1}+\gamma }}\\&={\frac {v_{y1}}{\gamma \left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right)}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <mi>γ</mi> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>v</mi> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>γ</mi> <mo>⋅</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>γ</mi> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>v</mi> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>γ</mi> <mo>⋅</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>γ</mi> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>v</mi> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>γ</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>γ</mi> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>v</mi> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>γ</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mi>γ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}v_{y2}&={\frac {\Delta y}{\Delta t_{2}}}\\&={\frac {\Delta y}{\gamma \cdot {\frac {v}{c^{2}}}\Delta x_{1}+\gamma \cdot \Delta t_{1}}}\\&={\frac {\Delta y}{\Delta t_{1}}}\cdot {\frac {\Delta t_{1}}{\gamma \cdot {\frac {v}{c^{2}}}\Delta x_{1}+\gamma \cdot \Delta t_{1}}}\\&={\frac {\Delta y}{\Delta t_{1}}}\cdot {\frac {1}{\gamma \cdot {\frac {v}{c^{2}}}{\frac {\Delta x_{1}}{\Delta t_{1}}}+\gamma }}\\&=v_{y1}\cdot {\frac {1}{\gamma \cdot {\frac {v}{c^{2}}}v_{x1}+\gamma }}\\&={\frac {v_{y1}}{\gamma \left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right)}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ffd2a6b35288de7bf068c8d215a89e7fc50fb65" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -20.629ex; margin-bottom: -0.209ex; width:33.282ex; height:42.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}v_{y2}&={\frac {\Delta y}{\Delta t_{2}}}\\&={\frac {\Delta y}{\gamma \cdot {\frac {v}{c^{2}}}\Delta x_{1}+\gamma \cdot \Delta t_{1}}}\\&={\frac {\Delta y}{\Delta t_{1}}}\cdot {\frac {\Delta t_{1}}{\gamma \cdot {\frac {v}{c^{2}}}\Delta x_{1}+\gamma \cdot \Delta t_{1}}}\\&={\frac {\Delta y}{\Delta t_{1}}}\cdot {\frac {1}{\gamma \cdot {\frac {v}{c^{2}}}{\frac {\Delta x_{1}}{\Delta t_{1}}}+\gamma }}\\&=v_{y1}\cdot {\frac {1}{\gamma \cdot {\frac {v}{c^{2}}}v_{x1}+\gamma }}\\&={\frac {v_{y1}}{\gamma \left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right)}}\\\end{aligned}}}"></span></dd></dl></div> <div style="clear:both;"></div> </div> <p><br style="clear:both;" /> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Simultaneïtat"><span id="Simultane.C3.AFtat"></span>Simultaneïtat</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Relativitat_especial&action=edit&section=11" title="Modifica la secció: Simultaneïtat"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fitxer:Relativity_of_Simultaneity_Animation.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/78/Relativity_of_Simultaneity_Animation.gif/220px-Relativity_of_Simultaneity_Animation.gif" decoding="async" width="220" height="237" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/78/Relativity_of_Simultaneity_Animation.gif/330px-Relativity_of_Simultaneity_Animation.gif 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/78/Relativity_of_Simultaneity_Animation.gif 2x" data-file-width="400" data-file-height="430" /></a><figcaption>Tres fenòmens A, B i C, simultanis respecte de l'observador <i>O</i><sub>1</sub>, són observats en diferent ordre de precedència per l'observador <i>O</i>₂ depenent de la seva velocitat La recta blanca conté tots els successos simultanis per l'observador <i>O</i>₂ i avança en el temps.</figcaption></figure> <p>L'equació que permet calcular l'interval de temps mesurat per l'observador <i>O</i>₂ a partir de les mesures fetes per <i>O</i><sub>1</sub>: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta t_{2}=\gamma \cdot {\frac {v}{c^{2}}}\Delta x_{1}+\gamma \cdot \Delta t_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>γ</mi> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>v</mi> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>γ</mi> <mo>⋅</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta t_{2}=\gamma \cdot {\frac {v}{c^{2}}}\Delta x_{1}+\gamma \cdot \Delta t_{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c1c975967bbf75c88e961028d386ac8c278aa99" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:26.698ex; height:5.009ex;" alt="{\displaystyle \Delta t_{2}=\gamma \cdot {\frac {v}{c^{2}}}\Delta x_{1}+\gamma \cdot \Delta t_{1}}"></span></dd></dl> <p>Indica que el fet que dos successos siguin simultanis per a l'observador <i>O</i><sub>1</sub> (és a dir el fet que ∆<i>t</i><sub>1</sub> = 0) no implica que també ho siguin per a l'observador <i>O</i>₂. En funció del signe de la velocitat <i>v</i> seran un primer i després l'altre (per exemple donant ∆<i>t</i>₂ positiu) o viceversa (obtenint ∆<i>t</i>₂ negatiu). </p><p>Per a un observador <i>O</i>₂ seran simultanis tots els successos que compleixin ∆<i>t</i>₂ = 0 per tant: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0=\gamma \cdot {\frac {v}{c^{2}}}\Delta x_{1}+\gamma \cdot \Delta t_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> <mo>=</mo> <mi>γ</mi> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>v</mi> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>γ</mi> <mo>⋅</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0=\gamma \cdot {\frac {v}{c^{2}}}\Delta x_{1}+\gamma \cdot \Delta t_{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fae9d61836d7be121510eb91957155bc70b3d864" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:24.031ex; height:5.009ex;" alt="{\displaystyle 0=\gamma \cdot {\frac {v}{c^{2}}}\Delta x_{1}+\gamma \cdot \Delta t_{1}}"></span></dd></dl> <p>I aïllant ∆<i>t</i><sub>1</sub>: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta t_{1}={\frac {-v}{c^{2}}}\Delta x_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo>−</mo> <mi>v</mi> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta t_{1}={\frac {-v}{c^{2}}}\Delta x_{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52dd4f549252f89db960552e09051caf93e95931" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:15.02ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle \Delta t_{1}={\frac {-v}{c^{2}}}\Delta x_{1}}"></span></dd></dl> <p>Que representant l'espaitemps en un sistema de coordenades cartesianes és una recta amb un pendent de -<i>v</i>/<i>c</i>. Per tant, diversos fenòmens poden ser simultanis o no per un observador depenent si estan damunt d'aquesta recta o no. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Causalitat._Velocitat_màxima_dels_senyals"><span id="Causalitat._Velocitat_m.C3.A0xima_dels_senyals"></span>Causalitat. Velocitat màxima dels senyals</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Relativitat_especial&action=edit&section=12" title="Modifica la secció: Causalitat. Velocitat màxima dels senyals"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Que la simultaneïtat dels fets no sigui la mateixa per a tots els observadors permet imposar una condició per tal que es preservi el <a href="/w/index.php?title=Principi_de_causalitat&action=edit&redlink=1" class="new" title="Principi de causalitat (encara no existeix)">principi de causalitat</a>. El Principi de causalitat estableix que una causa sempre precedeix a un efecte. El fet que certs esdeveniments puguin ser observats amb un ordre cronològic diferent per diferents observadors permetria que uns observessin primer els efectes i després les causes si no hi hagués cap restricció addicional. </p><p>La diferència d'instants en els temps en què l'observador <i>O</i>₂ detecta dos esdeveniments depèn de la diferència en què els observa <i>O</i><sub>1</sub> i de la distància entre els dos esdeveniments. Perquè una causa pugui provocar un efecte a una certa distància, un senyal ha de viatjar des del lloc on és la causa fins al lloc on es produeix l'efecte. </p><p>Si per l'observador <i>O</i><sub>1</sub> la distància entre la causa i l'efecte és de ∆<i>x</i><sub>1</sub> i el temps que passa des que es produeix la causa fins que es produeix l'efecte és ∆<i>t</i><sub>1</sub>, el temps que passa per l'observador <i>O</i>₂ serà: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta t_{2}=\gamma {\frac {v}{c^{2}}}\Delta x_{1}+\gamma \cdot \Delta t_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>v</mi> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>γ</mi> <mo>⋅</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta t_{2}=\gamma {\frac {v}{c^{2}}}\Delta x_{1}+\gamma \cdot \Delta t_{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b511bfed0df3feb930e0c0c249ce6704f41928bb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:25.019ex; height:5.009ex;" alt="{\displaystyle \Delta t_{2}=\gamma {\frac {v}{c^{2}}}\Delta x_{1}+\gamma \cdot \Delta t_{1}}"></span></dd></dl> <p>Per complir el principi de causalitat aquest valor ha de ser més gran que zero per a qualsevol observador, per tant, ha de ser: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0<\gamma {\frac {v}{c^{2}}}\Delta x_{1}+\gamma \cdot \Delta t_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> <mo><</mo> <mi>γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>v</mi> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>γ</mi> <mo>⋅</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0<\gamma {\frac {v}{c^{2}}}\Delta x_{1}+\gamma \cdot \Delta t_{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83338d674783a692b80270c0dbf81563c0e0295b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:22.352ex; height:5.009ex;" alt="{\displaystyle 0<\gamma {\frac {v}{c^{2}}}\Delta x_{1}+\gamma \cdot \Delta t_{1}}"></span></dd></dl> <p>I per tant, com que γ ≠ 0: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0<{\frac {v}{c^{2}}}\Delta x_{1}+\Delta t_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> <mo><</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>v</mi> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0<{\frac {v}{c^{2}}}\Delta x_{1}+\Delta t_{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ac514f1b01861c9da9bbe020adeffb4ef871fc6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:18.148ex; height:5.009ex;" alt="{\displaystyle 0<{\frac {v}{c^{2}}}\Delta x_{1}+\Delta t_{1}}"></span></dd></dl> <p>On <i>v</i> és la velocitat relativa de l'observador <i>O</i><sub>1</sub> respecte de l'observador <i>O</i>₂, per l'observador <i>O</i><sub>1</sub>, el senyal que va des de la causa fins a l'efecte ha de recórrer una distància <i>x</i><sub>1</sub> en un temps <i>t</i><sub>1</sub>, per tant anomenant <i>v</i><sub>s</sub> la velocitat del senyal mesurada per l'observador <i>O</i><sub>1</sub>, dividint els dos cantons de la inequació entre ∆<i>t</i><sub>1</sub>, s'obté: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}0&<{\frac {v\cdot v_{s}}{c^{2}}}+1\\-1&<{\frac {v\cdot v_{s}}{c^{2}}}\\1&>{\frac {-v\cdot v_{s}}{c^{2}}}\\c^{2}&>-v\cdot v_{s}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo><</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo><</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo>−</mo> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>></mo> <mo>−</mo> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}0&<{\frac {v\cdot v_{s}}{c^{2}}}+1\\-1&<{\frac {v\cdot v_{s}}{c^{2}}}\\1&>{\frac {-v\cdot v_{s}}{c^{2}}}\\c^{2}&>-v\cdot v_{s}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ee186bd3062b21273898348186754ba59cfadd9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -8.838ex; width:16.597ex; height:18.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}0&<{\frac {v\cdot v_{s}}{c^{2}}}+1\\-1&<{\frac {v\cdot v_{s}}{c^{2}}}\\1&>{\frac {-v\cdot v_{s}}{c^{2}}}\\c^{2}&>-v\cdot v_{s}\\\end{aligned}}}"></span></dd></dl> <p>Si la velocitat del senyal i la de l'observador tenen el mateix signe aquesta desigualtat es compleix sempre, però si tenen signe contrari, ha de ser: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c^{2}>\left|-v\right|\cdot \left|v_{s}\right|}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>></mo> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mi>v</mi> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c^{2}>\left|-v\right|\cdot \left|v_{s}\right|}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8a54e601e2a7ef2b10a9bd8cb1b6fa395c2a73f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.493ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle c^{2}>\left|-v\right|\cdot \left|v_{s}\right|}"></span></dd></dl> <p>Però qualsevol observador pot ser portador d'un senyal, per tant, la velocitat màxima dels observadors no pot ser més gran que la velocitat màxima dels senyals, si la velocitat dels observadors es pot apropar tant com es vulgui a <i>c</i>, llavors la velocitat màxima dels senyals ha de ser <i>c</i>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Altres_resultats_de_la_relativitat_especial">Altres resultats de la relativitat especial</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Relativitat_especial&action=edit&section=13" title="Modifica la secció: Altres resultats de la relativitat especial"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Aplicant sistemàticament el concepte de què les lleis de la <a href="/wiki/F%C3%ADsica" title="Física">física</a> són les mateixes per a tots els observadors, la teoria de la relativitat especial porta a la conclusió de què altres magnituds físiques com la <a href="/wiki/Massa" title="Massa">massa</a>, la <a href="/wiki/Quantitat_de_moviment" title="Quantitat de moviment">quantitat de moviment</a> i la <a href="/wiki/For%C3%A7a_(f%C3%ADsica)" class="mw-redirect" title="Força (física)">força</a> també s'han de transformar en ser mesurades per observadors que es mouen a velocitat constant entre ells. Això permet una interpretació clara de les forces <a href="/wiki/Magnetisme" title="Magnetisme">magnètiques</a> i per tant, permet el desenvolupament de l'<a href="/wiki/Electromagnetisme" title="Electromagnetisme">electromagnetisme</a> directament a partir de l'<a href="/wiki/Electroest%C3%A0tica" title="Electroestàtica">electroestàtica</a>. </p><p>Un resultat de l'electromagnetisme (i per tant es pot considerar resultat de la teoria de la relativitat especial) és que les <a href="/wiki/Ones_electromagn%C3%A8tiques" class="mw-redirect" title="Ones electromagnètiques">ones electromagnètiques</a> exerceixen una pressió sobre els cossos que les emeten o les absorbeixen. Aquest resultat era un resultat obtingut a partir de les <a href="/wiki/Lleis_de_Maxwell" class="mw-redirect" title="Lleis de Maxwell">lleis de Maxwell</a> abans del desenvolupament de la teoria de la relativitat. <a href="/wiki/Albert_Einstein" title="Albert Einstein">Einstein</a> va fer servir aquest resultat per arribar a la conclusió que els objectes en emetre o absorbir ones electromagnètiques perden o guanyen massa respectivament i que les ones electromagnètiques emeses o absorbides són les que tenen aquesta massa perduda o guanyada pels cossos en emetre-les o absorbir-les. A partir d'aquesta conclusió postula l'equivalència entre la massa i l'energia. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Transformació_de_la_massa"><span id="Transformaci.C3.B3_de_la_massa"></span>Transformació de la massa</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Relativitat_especial&action=edit&section=14" title="Modifica la secció: Transformació de la massa"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Per entendre el concepte de transformació de la massa, primer cal examinar un <a href="/wiki/Experiment" title="Experiment">experiment</a> que permeti mesurar la massa d'un objecte. </p><p>Mesurar és comparar i per tant, <a href="/wiki/Mesurar" class="mw-redirect" title="Mesurar">mesurar</a> la massa és comparar la massa d'un objecte patró amb la massa de l'objecte que es vol mesurar i determinar quantes vegades, la massa d'aquest objecte, és més gran que la massa patró. 0 quina fracció de la massa patró conté l'objecte que s'està mesurant. </p><p>Un experiment que es fa servir sovint per mesurar la massa dels objectes és pesar-los en una balança. Però aquest experiment compara les <a href="/wiki/For%C3%A7a_(f%C3%ADsica)" class="mw-redirect" title="Força (física)">forces</a> que la <a href="/wiki/Gravetat" title="Gravetat">gravetat</a> de la <a href="/wiki/Terra" title="Terra">Terra</a> exerceix sobre els objectes. Un altre experiment que determina directament la resistència dels objectes a variar la seva quantitat de moviment (és a dir la seva massa) és un <a href="/wiki/Xoc_inel%C3%A0stic" title="Xoc inelàstic">xoc inelàstic</a>. </p><p>Si es té l'objecte amb massa <i>m</i><sub>0</sub> en repòs respecte de l'observador i es fa xocar l'objecte amb la massa que es vol mesurar <i>m</i> a velocitat <i>v</i><sub>i</sub> contra l'objecte patró, de forma que després del xoc tots dos objectes romanguin units (xoc inelàstic), després del xoc tots dos objectes es desplacen junts a una velocitat <i>v</i><sub>f</sub>. Mesurant aquesta velocitat es pot deduir la massa <i>m</i> de l'objecte de la següent manera: </p><p>Per la llei de conservació de la quantitat de moviment, la quantitat de moviment ha de ser la mateixa abans i després del xoc, per tant </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m\cdot v_{i}=\left(m+m_{0}\right)\cdot v_{f}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m\cdot v_{i}=\left(m+m_{0}\right)\cdot v_{f}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29369868e4f9a4c9a76e1b7af0e3534a8b191e27" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:22.473ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle m\cdot v_{i}=\left(m+m_{0}\right)\cdot v_{f}}"></span></dd></dl> <p>donat que la velocitat de la massa patró és zero abans del xoc i donat que, per la <a href="/wiki/Llei_de_conservaci%C3%B3_de_la_massa" title="Llei de conservació de la massa">llei de conservació de la massa</a>, la massa total després del xoc ha de ser igual a la suma de masses abans del xoc. A partir d'aquí s'obté </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m={\frac {v_{f}}{\left(v_{i}-v_{f}\right)}}m_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m={\frac {v_{f}}{\left(v_{i}-v_{f}\right)}}m_{0}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3175697b406268dec7f449971391474d1da3e57e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:17.911ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle m={\frac {v_{f}}{\left(v_{i}-v_{f}\right)}}m_{0}}"></span> (2)</dd></dl> <div class="NavFrame" style="background-color: transparent; width:100%;margin-bottom:0px;float:left; border-radius:4px"> <div class="NavPic" style="display: none;"></div> <div class="NavHead" align="center" style="background-color: transparent;border-radius:4px;">Demostració</div> <div class="NavContent" align="left" style="padding:7px;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}m\cdot v_{i}&=\left(m+m_{0}\right)\cdot v_{f}\\m\cdot v_{i}&=m\cdot v_{f}+m_{0}\cdot v_{f}\\m\cdot v_{i}-m\cdot v_{f}&=m_{0}\cdot v_{f}\\m\cdot \left(v_{i}-v_{f}\right)&=m_{0}\cdot v_{f}\\m&={\frac {m_{0}\cdot v_{f}}{\left(v_{i}-v_{f}\right)}}\\m&={\frac {v_{f}}{\left(v_{i}-v_{f}\right)}}m_{0}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>m</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>m</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>m</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mi>m</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>m</mi> <mo>⋅</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>m</mi> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>m</mi> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}m\cdot v_{i}&=\left(m+m_{0}\right)\cdot v_{f}\\m\cdot v_{i}&=m\cdot v_{f}+m_{0}\cdot v_{f}\\m\cdot v_{i}-m\cdot v_{f}&=m_{0}\cdot v_{f}\\m\cdot \left(v_{i}-v_{f}\right)&=m_{0}\cdot v_{f}\\m&={\frac {m_{0}\cdot v_{f}}{\left(v_{i}-v_{f}\right)}}\\m&={\frac {v_{f}}{\left(v_{i}-v_{f}\right)}}m_{0}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e88f1e9307ad33998c2d9f24808fd91fb8587867" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -12.005ex; width:34.182ex; height:25.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}m\cdot v_{i}&=\left(m+m_{0}\right)\cdot v_{f}\\m\cdot v_{i}&=m\cdot v_{f}+m_{0}\cdot v_{f}\\m\cdot v_{i}-m\cdot v_{f}&=m_{0}\cdot v_{f}\\m\cdot \left(v_{i}-v_{f}\right)&=m_{0}\cdot v_{f}\\m&={\frac {m_{0}\cdot v_{f}}{\left(v_{i}-v_{f}\right)}}\\m&={\frac {v_{f}}{\left(v_{i}-v_{f}\right)}}m_{0}\\\end{aligned}}}"></span></div> <div style="clear:both;"></div> </div> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fitxer:Mass_transformation_in_special_relativity.PNG" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e3/Mass_transformation_in_special_relativity.PNG/400px-Mass_transformation_in_special_relativity.PNG" decoding="async" width="400" height="181" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e3/Mass_transformation_in_special_relativity.PNG 1.5x" data-file-width="448" data-file-height="203" /></a><figcaption>Dos objectes iguals pateixen un xoc inelàstic. L'observador <i>O</i><sub>1</sub> és solidari al centre de masses dels dos objectes. L'Observador <i>O</i>₂ abans del xoc es desplaça conjuntament amb un dels objectes.</figcaption></figure> <p>El problema de determinar com es transforma la massa es redueix al problema de transformació de velocitats si es pot trobar un experiment de xoc inelàstic en què les velocitats abans i després del xoc siguin conegudes i la massa dels dos objectes sigui la mateixa si la mesura un observador en repòs respecte de cada un dels objectes. </p><p>A la figura de la dreta es presenta un experiment en què dues masses iguals xoquen. </p><p>L'observador <i>O</i><sub>1</sub> roman fix al centre de masses dels dos objectes. Les mesures de velocitats que fa s'han representat amb vectors de color verd. Per ell abans del xoc l'objecte de l'esquerra igual com l'observador <i>O</i>₂ es mouen a velocitat <i>v</i> mentre que l'objecte de la dreta es mou a velocitat -<i>v</i>. Després del xoc tots dos objectes queden junts i amb velocitat zero. </p><p>L'observador <i>O</i>₂ abans del xoc es desplaça conjuntament amb l'objecte de l'esquerra. Les mesures de velocitats que fa s'han representat amb color vermell. Per a ell l'observador <i>O</i><sub>1</sub> es desplaça a velocitat -<i>v</i> i d'acord amb la <a href="#Transformació_d'una_velocitat">llei de transformació de velocitats</a>, l'objecte de la dreta es desplaça, abans del xoc, amb una velocitat de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {-2v}{1+{v^{2}}/{c^{2}}\;}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {-2v}{1+{v^{2}}/{c^{2}}\;}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/278aebeb1a108120db3c4e59ae130a1335e0a293" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:10.89ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {-2v}{1+{v^{2}}/{c^{2}}\;}}}"></span>. Després del xoc els dos objectes queden junts i solidaris amb l'observador <i>O</i><sub>1</sub>, per tant l'observador <i>O</i>₂ els veu desplaçant-se a una velocitat de -<i>v</i>. </p><p>Des del punt de vista de l'observador <i>O</i>₂ l'objecte de l'esquerra al començament està en repòs, per tant la seva massa <i>m</i><sub>0</sub> correspon a la massa en repòs, els dos objectes són iguals, per tant la massa de l'objecte de la dreta correspon a la massa en moviment a la velocitat <i>v</i><sub>i</sub>. La velocitat <i>v</i> (que és la velocitat final <i>v</i><sub>f)</sub> després del xoc) es pot expressar en funció de <i>v</i><sub>i</sub> i dona: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{f}={\frac {c^{2}-c{\sqrt {c^{2}-v_{i}^{2}}}}{v_{i}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </msqrt> </mrow> </mrow> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{f}={\frac {c^{2}-c{\sqrt {c^{2}-v_{i}^{2}}}}{v_{i}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32c3760cb7f01c20e13edb21423f3f74b9ac5f9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:21.514ex; height:8.009ex;" alt="{\displaystyle v_{f}={\frac {c^{2}-c{\sqrt {c^{2}-v_{i}^{2}}}}{v_{i}}}}"></span></dd></dl> <p>Substituint aquesta expressió a l'equació (2) s'obté la fórmula que permet calcular la massa en moviment a la velocitat <i>v</i> d'un objecte que té massa en repòs <i>m</i><sub>0</sub> el resultat és: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </msqrt> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ff2a40618bc9cd33363bf9282821e5aba01918e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.671ex; width:14.767ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle m={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}"></span></dd></dl> <div class="NavFrame" style="background-color: transparent; width:100%;margin-bottom:0px;float:left; border-radius:4px"> <div class="NavPic" style="display: none;"></div> <div class="NavHead" align="center" style="background-color: transparent;border-radius:4px;">Demostració</div> <div class="NavContent" align="left" style="padding:7px;">La primera part es tracta d'aïllar <i>v</i><sub>f</sub> de l'equació que expressa <i>v</i><sub>i</sub> en funció de <i>v</i><sub>f</sub>: <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}&-v_{i}={\frac {-2v_{f}}{1+{\frac {v_{f}^{2}}{c^{2}}}}}\\&-v_{i}\cdot \left(1+{\frac {v_{f}^{2}}{c^{2}}}\right)=-2v_{f}\\&-v_{i}-v_{i}\cdot {\frac {v_{f}^{2}}{c^{2}}}=-2v_{f}\\&v_{i}\cdot {\frac {v_{f}^{2}}{c^{2}}}-2v_{f}+v_{i}=0\\&v_{i}\cdot v_{f}^{2}-2c^{2}v_{f}+c^{2}v_{i}=0\\&v_{f}={\frac {2c^{2}\pm {\sqrt {4c^{4}-4v_{i}^{2}c^{2}}}}{2v_{i}}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>±</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>4</mn> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>4</mn> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}&-v_{i}={\frac {-2v_{f}}{1+{\frac {v_{f}^{2}}{c^{2}}}}}\\&-v_{i}\cdot \left(1+{\frac {v_{f}^{2}}{c^{2}}}\right)=-2v_{f}\\&-v_{i}-v_{i}\cdot {\frac {v_{f}^{2}}{c^{2}}}=-2v_{f}\\&v_{i}\cdot {\frac {v_{f}^{2}}{c^{2}}}-2v_{f}+v_{i}=0\\&v_{i}\cdot v_{f}^{2}-2c^{2}v_{f}+c^{2}v_{i}=0\\&v_{f}={\frac {2c^{2}\pm {\sqrt {4c^{4}-4v_{i}^{2}c^{2}}}}{2v_{i}}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c44669e324549d5dda0bcef639f13812f5c5077a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -20.505ex; width:26.807ex; height:42.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}&-v_{i}={\frac {-2v_{f}}{1+{\frac {v_{f}^{2}}{c^{2}}}}}\\&-v_{i}\cdot \left(1+{\frac {v_{f}^{2}}{c^{2}}}\right)=-2v_{f}\\&-v_{i}-v_{i}\cdot {\frac {v_{f}^{2}}{c^{2}}}=-2v_{f}\\&v_{i}\cdot {\frac {v_{f}^{2}}{c^{2}}}-2v_{f}+v_{i}=0\\&v_{i}\cdot v_{f}^{2}-2c^{2}v_{f}+c^{2}v_{i}=0\\&v_{f}={\frac {2c^{2}\pm {\sqrt {4c^{4}-4v_{i}^{2}c^{2}}}}{2v_{i}}}\\\end{aligned}}}"></span></dd></dl> <p>El signe ha de ser negatiu perquè en substituir a l'equació original es compleixi la igualtat, per tant: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{f}={\frac {c^{2}-c{\sqrt {c^{2}-v_{i}^{2}}}}{v_{i}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </msqrt> </mrow> </mrow> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{f}={\frac {c^{2}-c{\sqrt {c^{2}-v_{i}^{2}}}}{v_{i}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32c3760cb7f01c20e13edb21423f3f74b9ac5f9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:21.514ex; height:8.009ex;" alt="{\displaystyle v_{f}={\frac {c^{2}-c{\sqrt {c^{2}-v_{i}^{2}}}}{v_{i}}}}"></span></dd></dl> <p>La segona part s'obté substituint a l'equació (2) aquesta expressió i simplificant: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}&m={\frac {v_{f}}{v_{i}-v_{f}}}m_{0}\\&m={\frac {\frac {c^{2}-c{\sqrt {c^{2}-v_{i}^{2}}}}{v_{i}}}{v_{i}-{\frac {c^{2}-c{\sqrt {c^{2}-v_{i}^{2}}}}{v_{i}}}}}m_{0}\\&m={\frac {c^{2}-c{\sqrt {c^{2}-v_{i}^{2}}}}{v_{i}^{2}-\left(c^{2}-c{\sqrt {c^{2}-v_{i}^{2}}}\right)}}m_{0}\\&m={\frac {1-{\sqrt {1-{\frac {v_{i}^{2}}{c^{2}}}}}}{{\frac {v_{i}^{2}}{c^{2}}}-\left(1-{\sqrt {1-{\frac {v_{i}^{2}}{c^{2}}}}}\right)}}m_{0}\\&m={\frac {1-{\sqrt {1-{\frac {v_{i}^{2}}{c^{2}}}}}}{{\frac {v_{i}^{2}}{c^{2}}}-1+{\sqrt {1-{\frac {v_{i}^{2}}{c^{2}}}}}}}m_{0}\\&m={\frac {1-{\sqrt {1-{\frac {v_{i}^{2}}{c^{2}}}}}}{\left(1-{\sqrt {1-{\frac {v_{i}^{2}}{c^{2}}}}}\right){\sqrt {1-{\frac {v_{i}^{2}}{c^{2}}}}}}}m_{0}\\&m={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </msqrt> </mrow> </mrow> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </msqrt> </mrow> </mrow> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </msqrt> </mrow> </mrow> <mrow> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </msqrt> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </msqrt> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </msqrt> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </msqrt> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </msqrt> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </msqrt> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </msqrt> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}&m={\frac {v_{f}}{v_{i}-v_{f}}}m_{0}\\&m={\frac {\frac {c^{2}-c{\sqrt {c^{2}-v_{i}^{2}}}}{v_{i}}}{v_{i}-{\frac {c^{2}-c{\sqrt {c^{2}-v_{i}^{2}}}}{v_{i}}}}}m_{0}\\&m={\frac {c^{2}-c{\sqrt {c^{2}-v_{i}^{2}}}}{v_{i}^{2}-\left(c^{2}-c{\sqrt {c^{2}-v_{i}^{2}}}\right)}}m_{0}\\&m={\frac {1-{\sqrt {1-{\frac {v_{i}^{2}}{c^{2}}}}}}{{\frac {v_{i}^{2}}{c^{2}}}-\left(1-{\sqrt {1-{\frac {v_{i}^{2}}{c^{2}}}}}\right)}}m_{0}\\&m={\frac {1-{\sqrt {1-{\frac {v_{i}^{2}}{c^{2}}}}}}{{\frac {v_{i}^{2}}{c^{2}}}-1+{\sqrt {1-{\frac {v_{i}^{2}}{c^{2}}}}}}}m_{0}\\&m={\frac {1-{\sqrt {1-{\frac {v_{i}^{2}}{c^{2}}}}}}{\left(1-{\sqrt {1-{\frac {v_{i}^{2}}{c^{2}}}}}\right){\sqrt {1-{\frac {v_{i}^{2}}{c^{2}}}}}}}m_{0}\\&m={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81c7652e37e4854f7b74e82210fbb93350d37b5e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -39.005ex; width:35.476ex; height:79.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}&m={\frac {v_{f}}{v_{i}-v_{f}}}m_{0}\\&m={\frac {\frac {c^{2}-c{\sqrt {c^{2}-v_{i}^{2}}}}{v_{i}}}{v_{i}-{\frac {c^{2}-c{\sqrt {c^{2}-v_{i}^{2}}}}{v_{i}}}}}m_{0}\\&m={\frac {c^{2}-c{\sqrt {c^{2}-v_{i}^{2}}}}{v_{i}^{2}-\left(c^{2}-c{\sqrt {c^{2}-v_{i}^{2}}}\right)}}m_{0}\\&m={\frac {1-{\sqrt {1-{\frac {v_{i}^{2}}{c^{2}}}}}}{{\frac {v_{i}^{2}}{c^{2}}}-\left(1-{\sqrt {1-{\frac {v_{i}^{2}}{c^{2}}}}}\right)}}m_{0}\\&m={\frac {1-{\sqrt {1-{\frac {v_{i}^{2}}{c^{2}}}}}}{{\frac {v_{i}^{2}}{c^{2}}}-1+{\sqrt {1-{\frac {v_{i}^{2}}{c^{2}}}}}}}m_{0}\\&m={\frac {1-{\sqrt {1-{\frac {v_{i}^{2}}{c^{2}}}}}}{\left(1-{\sqrt {1-{\frac {v_{i}^{2}}{c^{2}}}}}\right){\sqrt {1-{\frac {v_{i}^{2}}{c^{2}}}}}}}m_{0}\\&m={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\\\end{aligned}}}"></span></dd></dl></div> <div style="clear:both;"></div> </div> <p>Aquesta fórmula permet calcular la massa que mesura un observador a partir de la massa que mesura un altre observador que roman en repòs respecte de l'objecte. Per trobar la fórmula que permet calcular ma massa que mesura un observador a partir de la massa que mesura un altre es pot descompondre la velocitat relativa entre l'objecte i cada un dels observadors en una component paral·lela a la velocitat relativa entre els observadors <i>v</i><sub>x</sub> i un altre component perpendicular <i>v</i><sub>y</sub>, llavors les fórmules que permeten calcular la massa que mesura cada observador són: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}&m_{1}={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v_{x1}^{2}+v_{y1}^{2}}{c^{2}}}}}}\\&m_{2}={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v_{x2}^{2}+v_{y2}^{2}}{c^{2}}}}}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd /> <mtd> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </msqrt> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </msqrt> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}&m_{1}={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v_{x1}^{2}+v_{y1}^{2}}{c^{2}}}}}}\\&m_{2}={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v_{x2}^{2}+v_{y2}^{2}}{c^{2}}}}}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e4027b4bb948b3a9ad5a756a3fb496c819ee2b3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -8.338ex; width:20.906ex; height:17.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}&m_{1}={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v_{x1}^{2}+v_{y1}^{2}}{c^{2}}}}}}\\&m_{2}={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v_{x2}^{2}+v_{y2}^{2}}{c^{2}}}}}}\\\end{aligned}}}"></span></dd></dl> <p>Aplicant les fórmules de transformació de la velocitat s'obté que: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {v_{x2}^{2}+v_{y2}^{2}}{c^{2}}}={\frac {v_{y1}^{2}+\gamma ^{2}\left(v_{x1}+v\right)^{2}}{c^{2}\gamma ^{2}\left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right)^{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msup> <mi>γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>v</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {v_{x2}^{2}+v_{y2}^{2}}{c^{2}}}={\frac {v_{y1}^{2}+\gamma ^{2}\left(v_{x1}+v\right)^{2}}{c^{2}\gamma ^{2}\left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right)^{2}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb3f32bf5d0e7ebf223f9b312b760ed2b1be348f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.005ex; width:31.859ex; height:9.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {v_{x2}^{2}+v_{y2}^{2}}{c^{2}}}={\frac {v_{y1}^{2}+\gamma ^{2}\left(v_{x1}+v\right)^{2}}{c^{2}\gamma ^{2}\left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right)^{2}}}}"></span></dd></dl> <p>A partir d'aquí s'obté que: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{2}=m_{1}\cdot \gamma \left[1+\left({\frac {v_{x1}v}{c^{2}}}\right)\right]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <mi>γ</mi> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>v</mi> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{2}=m_{1}\cdot \gamma \left[1+\left({\frac {v_{x1}v}{c^{2}}}\right)\right]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed90ddc444ce4e0715ab2d5bb2a35b26e72314ef" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:27.581ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle m_{2}=m_{1}\cdot \gamma \left[1+\left({\frac {v_{x1}v}{c^{2}}}\right)\right]}"></span></dd></dl> <div class="NavFrame" style="background-color: transparent; width:100%;margin-bottom:0px;float:left; border-radius:4px"> <div class="NavPic" style="display: none;"></div> <div class="NavHead" align="center" style="background-color: transparent;border-radius:4px;">Demostració</div> <div class="NavContent" align="left" style="padding:7px;">Per la primera, aplicant les fórmules de transformació de la velocitat i operant s'obté: <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {v_{x2}^{2}+v_{y2}^{2}}{c^{2}}}={\frac {\left({\frac {v_{y1}}{\gamma \left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right)}}\right)^{2}+\left({\frac {v_{x1}+v}{{\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1}}\right)^{2}}{c^{2}}}\\&={\frac {{\frac {v_{y1}^{2}}{\gamma ^{2}\left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right)^{2}}}+{\frac {\left(v_{x1}+v\right)^{2}}{\left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right)^{2}}}}{c^{2}}}\\&={\frac {v_{y1}^{2}+\gamma ^{2}\left(v_{x1}+v\right)^{2}}{c^{2}\gamma ^{2}\left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right)^{2}}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd /> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mi>γ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mrow> <msup> <mi>γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>v</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msup> <mi>γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>v</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {v_{x2}^{2}+v_{y2}^{2}}{c^{2}}}={\frac {\left({\frac {v_{y1}}{\gamma \left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right)}}\right)^{2}+\left({\frac {v_{x1}+v}{{\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1}}\right)^{2}}{c^{2}}}\\&={\frac {{\frac {v_{y1}^{2}}{\gamma ^{2}\left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right)^{2}}}+{\frac {\left(v_{x1}+v\right)^{2}}{\left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right)^{2}}}}{c^{2}}}\\&={\frac {v_{y1}^{2}+\gamma ^{2}\left(v_{x1}+v\right)^{2}}{c^{2}\gamma ^{2}\left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right)^{2}}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01b5043aa58140f280f24c80ac66e0caa8dd8d53" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -16.338ex; width:44.498ex; height:33.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {v_{x2}^{2}+v_{y2}^{2}}{c^{2}}}={\frac {\left({\frac {v_{y1}}{\gamma \left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right)}}\right)^{2}+\left({\frac {v_{x1}+v}{{\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1}}\right)^{2}}{c^{2}}}\\&={\frac {{\frac {v_{y1}^{2}}{\gamma ^{2}\left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right)^{2}}}+{\frac {\left(v_{x1}+v\right)^{2}}{\left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right)^{2}}}}{c^{2}}}\\&={\frac {v_{y1}^{2}+\gamma ^{2}\left(v_{x1}+v\right)^{2}}{c^{2}\gamma ^{2}\left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right)^{2}}}\\\end{aligned}}}"></span></dd></dl> <p>Llavors, escrivint les massa mesurada per cada observador en funció de la massa en repòs: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}&m_{1}={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v_{x1}^{2}+v_{y1}^{2}}{c^{2}}}}}}\\&m_{2}={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v_{x2}^{2}+v_{y2}^{2}}{c^{2}}}}}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd /> <mtd> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </msqrt> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </msqrt> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}&m_{1}={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v_{x1}^{2}+v_{y1}^{2}}{c^{2}}}}}}\\&m_{2}={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v_{x2}^{2}+v_{y2}^{2}}{c^{2}}}}}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e4027b4bb948b3a9ad5a756a3fb496c819ee2b3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -8.338ex; width:20.906ex; height:17.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}&m_{1}={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v_{x1}^{2}+v_{y1}^{2}}{c^{2}}}}}}\\&m_{2}={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v_{x2}^{2}+v_{y2}^{2}}{c^{2}}}}}}\\\end{aligned}}}"></span></dd></dl> <p>Aïllant <i>m</i>₂ i substituint l'expressió que s'ha trobat primer: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{2}={\frac {\sqrt {1-{\frac {v_{x1}^{2}+v_{y1}^{2}}{c^{2}}}}}{\sqrt {1-{\frac {v_{y1}^{2}+\gamma ^{2}\left(v_{x1}+v\right)^{2}}{c^{2}\gamma ^{2}\left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right)^{2}}}}}}\cdot m_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </msqrt> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msup> <mi>γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>v</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </msqrt> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{2}={\frac {\sqrt {1-{\frac {v_{x1}^{2}+v_{y1}^{2}}{c^{2}}}}}{\sqrt {1-{\frac {v_{y1}^{2}+\gamma ^{2}\left(v_{x1}+v\right)^{2}}{c^{2}\gamma ^{2}\left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right)^{2}}}}}}\cdot m_{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3454aab97eeb6fe4d42f326c2c4463d94c078f2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -8.505ex; width:31.793ex; height:15.676ex;" alt="{\displaystyle m_{2}={\frac {\sqrt {1-{\frac {v_{x1}^{2}+v_{y1}^{2}}{c^{2}}}}}{\sqrt {1-{\frac {v_{y1}^{2}+\gamma ^{2}\left(v_{x1}+v\right)^{2}}{c^{2}\gamma ^{2}\left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right)^{2}}}}}}\cdot m_{1}}"></span></dd></dl> <p>Llavors operant: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}&m_{2}={\frac {\gamma \left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right){\sqrt {c^{2}-\left(v_{x1}^{2}+v_{y1}^{2}\right)}}}{\sqrt {{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}\left(v\cdot v_{x1}+c^{2}\right)^{2}-\left(v_{y1}^{2}+\gamma ^{2}\left(v_{x1}+v\right)^{2}\right)}}}\cdot m_{1}\\&={\frac {\gamma \left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right){\sqrt {c^{2}-\left(v_{x1}^{2}+v_{y1}^{2}\right)}}}{\sqrt {{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}\left(v\cdot v_{x1}+c^{2}\right)^{2}-\left(v_{y1}^{2}+\gamma ^{2}\left(v_{x1}+v\right)^{2}\right)}}}\cdot m_{1}\\&={\frac {\gamma \left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right){\sqrt {c^{2}-\left(v_{x1}^{2}+v_{y1}^{2}\right)}}}{\sqrt {{\frac {v^{2}\cdot v_{x1}^{2}+2v\cdot v_{x1}c^{2}+c^{4}}{c^{2}-v^{2}}}-v_{y1}^{2}-{\frac {v_{x1}^{2}c^{2}+2vv_{x1}c^{2}+v^{2}c^{2}}{c^{2}-v^{2}}}}}}\cdot m_{1}\\&={\frac {\gamma \left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right){\sqrt {c^{2}-\left(v_{x1}^{2}+v_{y1}^{2}\right)}}}{\sqrt {{\frac {v^{2}\cdot v_{x1}^{2}+2v\cdot v_{x1}c^{2}+c^{4}-v_{x1}^{2}c^{2}-2vv_{x1}c^{2}-v^{2}c^{2}}{c^{2}-v^{2}}}-v_{y1}^{2}}}}\cdot m_{1}\\&={\frac {\gamma \left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right){\sqrt {c^{2}-\left(v_{x1}^{2}+v_{y1}^{2}\right)}}}{\sqrt {{\frac {\left(v^{2}-c^{2}\right)\cdot v_{x1}^{2}+\left(-v^{2}+c^{2}\right)\cdot c^{2}}{c^{2}-v^{2}}}-v_{y1}^{2}}}}\cdot m_{1}\\&={\frac {\gamma \left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right){\sqrt {c^{2}-\left(v_{x1}^{2}+v_{y1}^{2}\right)}}}{\sqrt {-v_{x1}^{2}+c^{2}-v_{y1}^{2}}}}\cdot m_{1}\\&=\gamma \left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right)\cdot m_{1}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd /> <mtd> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>γ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </msqrt> </mrow> </mrow> <msqrt> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msup> <mi>γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>v</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </msqrt> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>γ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </msqrt> </mrow> </mrow> <msqrt> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msup> <mi>γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>v</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </msqrt> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>γ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </msqrt> </mrow> </mrow> <msqrt> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>v</mi> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </msqrt> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>γ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </msqrt> </mrow> </mrow> <msqrt> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>v</mi> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </msqrt> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>γ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </msqrt> </mrow> </mrow> <msqrt> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </msqrt> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>γ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </msqrt> </mrow> </mrow> <msqrt> <mo>−</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </msqrt> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>γ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}&m_{2}={\frac {\gamma \left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right){\sqrt {c^{2}-\left(v_{x1}^{2}+v_{y1}^{2}\right)}}}{\sqrt {{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}\left(v\cdot v_{x1}+c^{2}\right)^{2}-\left(v_{y1}^{2}+\gamma ^{2}\left(v_{x1}+v\right)^{2}\right)}}}\cdot m_{1}\\&={\frac {\gamma \left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right){\sqrt {c^{2}-\left(v_{x1}^{2}+v_{y1}^{2}\right)}}}{\sqrt {{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}\left(v\cdot v_{x1}+c^{2}\right)^{2}-\left(v_{y1}^{2}+\gamma ^{2}\left(v_{x1}+v\right)^{2}\right)}}}\cdot m_{1}\\&={\frac {\gamma \left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right){\sqrt {c^{2}-\left(v_{x1}^{2}+v_{y1}^{2}\right)}}}{\sqrt {{\frac {v^{2}\cdot v_{x1}^{2}+2v\cdot v_{x1}c^{2}+c^{4}}{c^{2}-v^{2}}}-v_{y1}^{2}-{\frac {v_{x1}^{2}c^{2}+2vv_{x1}c^{2}+v^{2}c^{2}}{c^{2}-v^{2}}}}}}\cdot m_{1}\\&={\frac {\gamma \left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right){\sqrt {c^{2}-\left(v_{x1}^{2}+v_{y1}^{2}\right)}}}{\sqrt {{\frac {v^{2}\cdot v_{x1}^{2}+2v\cdot v_{x1}c^{2}+c^{4}-v_{x1}^{2}c^{2}-2vv_{x1}c^{2}-v^{2}c^{2}}{c^{2}-v^{2}}}-v_{y1}^{2}}}}\cdot m_{1}\\&={\frac {\gamma \left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right){\sqrt {c^{2}-\left(v_{x1}^{2}+v_{y1}^{2}\right)}}}{\sqrt {{\frac {\left(v^{2}-c^{2}\right)\cdot v_{x1}^{2}+\left(-v^{2}+c^{2}\right)\cdot c^{2}}{c^{2}-v^{2}}}-v_{y1}^{2}}}}\cdot m_{1}\\&={\frac {\gamma \left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right){\sqrt {c^{2}-\left(v_{x1}^{2}+v_{y1}^{2}\right)}}}{\sqrt {-v_{x1}^{2}+c^{2}-v_{y1}^{2}}}}\cdot m_{1}\\&=\gamma \left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right)\cdot m_{1}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db2cfe197092f3b69a6cf6125c2307af6ecd95d5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -41.665ex; margin-bottom: -0.173ex; width:54.888ex; height:84.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}&m_{2}={\frac {\gamma \left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right){\sqrt {c^{2}-\left(v_{x1}^{2}+v_{y1}^{2}\right)}}}{\sqrt {{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}\left(v\cdot v_{x1}+c^{2}\right)^{2}-\left(v_{y1}^{2}+\gamma ^{2}\left(v_{x1}+v\right)^{2}\right)}}}\cdot m_{1}\\&={\frac {\gamma \left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right){\sqrt {c^{2}-\left(v_{x1}^{2}+v_{y1}^{2}\right)}}}{\sqrt {{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}\left(v\cdot v_{x1}+c^{2}\right)^{2}-\left(v_{y1}^{2}+\gamma ^{2}\left(v_{x1}+v\right)^{2}\right)}}}\cdot m_{1}\\&={\frac {\gamma \left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right){\sqrt {c^{2}-\left(v_{x1}^{2}+v_{y1}^{2}\right)}}}{\sqrt {{\frac {v^{2}\cdot v_{x1}^{2}+2v\cdot v_{x1}c^{2}+c^{4}}{c^{2}-v^{2}}}-v_{y1}^{2}-{\frac {v_{x1}^{2}c^{2}+2vv_{x1}c^{2}+v^{2}c^{2}}{c^{2}-v^{2}}}}}}\cdot m_{1}\\&={\frac {\gamma \left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right){\sqrt {c^{2}-\left(v_{x1}^{2}+v_{y1}^{2}\right)}}}{\sqrt {{\frac {v^{2}\cdot v_{x1}^{2}+2v\cdot v_{x1}c^{2}+c^{4}-v_{x1}^{2}c^{2}-2vv_{x1}c^{2}-v^{2}c^{2}}{c^{2}-v^{2}}}-v_{y1}^{2}}}}\cdot m_{1}\\&={\frac {\gamma \left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right){\sqrt {c^{2}-\left(v_{x1}^{2}+v_{y1}^{2}\right)}}}{\sqrt {{\frac {\left(v^{2}-c^{2}\right)\cdot v_{x1}^{2}+\left(-v^{2}+c^{2}\right)\cdot c^{2}}{c^{2}-v^{2}}}-v_{y1}^{2}}}}\cdot m_{1}\\&={\frac {\gamma \left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right){\sqrt {c^{2}-\left(v_{x1}^{2}+v_{y1}^{2}\right)}}}{\sqrt {-v_{x1}^{2}+c^{2}-v_{y1}^{2}}}}\cdot m_{1}\\&=\gamma \left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right)\cdot m_{1}\\\end{aligned}}}"></span></dd></dl></div> <div style="clear:both;"></div> </div> <p><br style="clear:both;" /> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Transformació_de_la_quantitat_de_moviment"><span id="Transformaci.C3.B3_de_la_quantitat_de_moviment"></span>Transformació de la quantitat de moviment</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Relativitat_especial&action=edit&section=15" title="Modifica la secció: Transformació de la quantitat de moviment"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La <a href="/wiki/Quantitat_de_moviment" title="Quantitat de moviment">quantitat de moviment</a> d'un cos és el producte de la seva massa per la seva velocitat, per tant la transformació de la quantitat de moviment és un resultat immediat a partir de les transformacions d'aquestes dues magnituds. </p><p>Com que la velocitat es transforma de manera diferent depenent de si es tracta de la component paral·lela al moviment relatiu entre els observadors o de les components perpendiculars a aquesta, en el cas de la quantitat de moviment, també s'obtenen dues transformacions, una per cada un d'aquests dos casos, si la component <i>p</i><sub>x</sub> és la paral·lela a la velocitat relativa entre els observadors i la <i>p<sub>y</sub></i> és la perpendicular s'obté: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{x2}=\gamma \cdot \left(p_{x1}+m_{1}\cdot v\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>γ</mi> <mo>⋅</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <mi>v</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{x2}=\gamma \cdot \left(p_{x1}+m_{1}\cdot v\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d102b867a842fab16caf881409a4ded1935fbeb5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:23.008ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle p_{x2}=\gamma \cdot \left(p_{x1}+m_{1}\cdot v\right)}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{y2}=p_{y1}\ }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mtext> </mtext> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{y2}=p_{y1}\ }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46e3b520d6a189e75ae7b8640ce2c56a8ced6652" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; margin-left: -0.089ex; width:9.85ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle p_{y2}=p_{y1}\ }"></span></dd></dl> <div class="NavFrame" style="background-color: transparent; width:100%;margin-bottom:0px;float:left; border-radius:4px"> <div class="NavPic" style="display: none;"></div> <div class="NavHead" align="center" style="background-color: transparent;border-radius:4px;">Demostració</div> <div class="NavContent" align="left" style="padding:7px;">Pel cas de la component paral·lela a la velocitat relativa entre els observadors, es planteja: <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{x2}=m_{2}\cdot v_{x2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{x2}=m_{2}\cdot v_{x2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bedd8370777058479e4cd081c944b12891f304a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:14.248ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p_{x2}=m_{2}\cdot v_{x2}}"></span></dd></dl> <p>Substituint la massa i la velocitat mesurades per l'observador <i>O</i>₂ per les fórmules que permeten calcular-les a partir de les que mesura l'observador <i>O</i><sub>1</sub> queda: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{x2}=m_{1}\cdot \gamma \left[1+\left({\frac {v_{x1}v}{c^{2}}}\right)\right]\cdot {\frac {v_{x1}+v}{{\frac {v_{x1}v}{c^{2}}}+1}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <mi>γ</mi> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>v</mi> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>v</mi> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{x2}=m_{1}\cdot \gamma \left[1+\left({\frac {v_{x1}v}{c^{2}}}\right)\right]\cdot {\frac {v_{x1}+v}{{\frac {v_{x1}v}{c^{2}}}+1}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/066f01a0e5d5668ac2492ef9a001b96abd8ed67c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.671ex; margin-left: -0.089ex; width:38.284ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle p_{x2}=m_{1}\cdot \gamma \left[1+\left({\frac {v_{x1}v}{c^{2}}}\right)\right]\cdot {\frac {v_{x1}+v}{{\frac {v_{x1}v}{c^{2}}}+1}}}"></span></dd></dl> <p>Simplificant i operant resulta: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}p_{x2}&=m_{1}\cdot \gamma \cdot \left(v_{x1}+v\right)\\&=\gamma \cdot \left(m_{1}\cdot v_{x1}+m_{1}\cdot v\right)\\&=\gamma \cdot \left(p_{x1}+m_{1}\cdot v\right)\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <mi>γ</mi> <mo>⋅</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>v</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>γ</mi> <mo>⋅</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <mi>v</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>γ</mi> <mo>⋅</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <mi>v</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}p_{x2}&=m_{1}\cdot \gamma \cdot \left(v_{x1}+v\right)\\&=\gamma \cdot \left(m_{1}\cdot v_{x1}+m_{1}\cdot v\right)\\&=\gamma \cdot \left(p_{x1}+m_{1}\cdot v\right)\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23c5ae8300c2faafb14c1087b55a36830c95b020" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:28.402ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}p_{x2}&=m_{1}\cdot \gamma \cdot \left(v_{x1}+v\right)\\&=\gamma \cdot \left(m_{1}\cdot v_{x1}+m_{1}\cdot v\right)\\&=\gamma \cdot \left(p_{x1}+m_{1}\cdot v\right)\\\end{aligned}}}"></span></dd></dl> <p>Pel cas de la component perpendicular, seguint el mateix procés surt: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}p_{y2}&=m_{2}\cdot v_{y2}\\&=m_{1}\cdot \gamma \left[1+\left({\frac {v_{x1}v}{c^{2}}}\right)\right]\cdot {\frac {v_{y1}}{\gamma \cdot \left({\frac {v_{x1}v}{c^{2}}}+1\right)}}\\&=m_{1}\cdot v_{y1}\\&=p_{y1}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <mi>γ</mi> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>v</mi> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mi>γ</mi> <mo>⋅</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>v</mi> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}p_{y2}&=m_{2}\cdot v_{y2}\\&=m_{1}\cdot \gamma \left[1+\left({\frac {v_{x1}v}{c^{2}}}\right)\right]\cdot {\frac {v_{y1}}{\gamma \cdot \left({\frac {v_{x1}v}{c^{2}}}+1\right)}}\\&=m_{1}\cdot v_{y1}\\&=p_{y1}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/620be2a73771361ab5c940a64ee7121afca6e68c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -8.338ex; width:44.539ex; height:17.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}p_{y2}&=m_{2}\cdot v_{y2}\\&=m_{1}\cdot \gamma \left[1+\left({\frac {v_{x1}v}{c^{2}}}\right)\right]\cdot {\frac {v_{y1}}{\gamma \cdot \left({\frac {v_{x1}v}{c^{2}}}+1\right)}}\\&=m_{1}\cdot v_{y1}\\&=p_{y1}\\\end{aligned}}}"></span></dd></dl></div> <div style="clear:both;"></div> </div> <p><br style="clear:both;" /> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Transformació_de_la_força._Força_magnètica"><span id="Transformaci.C3.B3_de_la_for.C3.A7a._For.C3.A7a_magn.C3.A8tica"></span>Transformació de la força. Força magnètica</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Relativitat_especial&action=edit&section=16" title="Modifica la secció: Transformació de la força. Força magnètica"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La segona <a href="/wiki/Lleis_de_Newton" title="Lleis de Newton">llei de Newton</a> diu que la variació de la <a href="/wiki/Quantitat_de_moviment" title="Quantitat de moviment">quantitat de moviment</a> d'un cos és proporcional a la <a href="/wiki/For%C3%A7a" title="Força">força</a> aplicada (en paraules de Newton: doblada en produirà el doble i triplicada en produirà el triple) i al temps durant el qual s'aplica aquesta força (en paraules de Newton: tant si s'aplica d'un sol cop com si s'aplica gradualment i progressivament).<sup id="cite_ref-9" class="reference"><a href="#cite_note-9"><span class="cite-bracket">[</span>9<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> En notació algebraica moderna això s'expressa amb la fórmula: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F\cdot \Delta t=\Delta \left(m\cdot v\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> <mo>⋅</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>⋅</mo> <mi>v</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F\cdot \Delta t=\Delta \left(m\cdot v\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1549adf53c68c273bb74e6ad73835e99c48abcc8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.273ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F\cdot \Delta t=\Delta \left(m\cdot v\right)}"></span></dd></dl> <p>Com que en teoria de la relativitat la massa i la velocitat depenen de la velocitat relativa entre els observadors, per tal que es continuï complint per a tots ells la segona llei de Newton, cal imposar que la força es transformi de forma adequada. De fet és el mateix que considerar que la segona llei de Newton és la definició de la magnitud d'una força. El fet de mesurar l'augment de la quantitat de moviment que provoca durant un temps és la forma de mesurar la magnitud de la força. El fet que la llei de Newton sigui quelcom que va més enllà d'una mera definició apareix en considerar que la força es produeix per una causa (per exemple la posició en un determinat punt d'un camp provocat per una massa gravitatòria o la deformació d'un objecte elàstic) Una manera de duplicar la força és duplicar l'efecte o fer-lo actuar durant el doble del temps, la llei diu que la força que es mesurarà fent això serà el doble. </p><p>Llavors per mesurar una força es pot dur a terme un experiment que consisteix a aplicar-la a un objecte durant un temps, mesurar el temps durant el qual s'ha aplicat, mesurar l'augment de quantitat de moviment que ha provocat i obtenir el valor de la magnitud de la força amb la següent equació: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F={\frac {\Delta \left(m\cdot v\right)}{\Delta t}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>⋅</mo> <mi>v</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F={\frac {\Delta \left(m\cdot v\right)}{\Delta t}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fb58c11cea3242d7291648e742bb2ef3a762ff2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:14.655ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle F={\frac {\Delta \left(m\cdot v\right)}{\Delta t}}}"></span></dd></dl> <p>Aplicant aquesta equació a la quantitat de moviment i al temps mesurats per dos observadors s'obté com es veu transformada la força en ser mesurada per observadors que es mouen amb una velocitat relativa <i>v</i> contant entre ells. Com que la quantitat de moviment té una transformació diferent si es tracta de la component paral·lela a la velocitat relativa entre els observadors i un altre si es tracta de la component perpendicular, en el cas de la força s'obtindrà resultats diferents en aquestes dues direccions: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{2x}=F_{1x}+F_{1y}\cdot v_{1y}\cdot {\frac {v}{v\cdot v_{1x}+c^{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>v</mi> <mrow> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{2x}=F_{1x}+F_{1y}\cdot v_{1y}\cdot {\frac {v}{v\cdot v_{1x}+c^{2}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b531c27c759d15f6f7525df5582d94af375fecb8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:34.306ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle F_{2x}=F_{1x}+F_{1y}\cdot v_{1y}\cdot {\frac {v}{v\cdot v_{1x}+c^{2}}}}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{2y}={\frac {F_{y1}}{\gamma \left(1-{\frac {v\cdot v_{1x}}{c^{2}}}\right)}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mi>γ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{2y}={\frac {F_{y1}}{\gamma \left(1-{\frac {v\cdot v_{1x}}{c^{2}}}\right)}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d510108a14c7314b91e1dc23dcc5ebf13a3ddf9f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.505ex; width:20.211ex; height:8.176ex;" alt="{\displaystyle F_{2y}={\frac {F_{y1}}{\gamma \left(1-{\frac {v\cdot v_{1x}}{c^{2}}}\right)}}}"></span></dd></dl> <div class="NavFrame" style="background-color: transparent; width:100%;margin-bottom:0px;float:left; border-radius:4px"> <div class="NavPic" style="display: none;"></div> <div class="NavHead" align="center" style="background-color: transparent;border-radius:4px;">Demostració</div> <div class="NavContent" align="left" style="padding:7px;">En el cas de la component de la força paral·lela a la velocitat relativa entre els observadors es té: <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{2x}={\frac {\Delta \left(p_{2x}\right)}{\Delta t_{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{2x}={\frac {\Delta \left(p_{2x}\right)}{\Delta t_{2}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d82402238157fecb6c7bb45f2443c85c85a1676" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:14.72ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle F_{2x}={\frac {\Delta \left(p_{2x}\right)}{\Delta t_{2}}}}"></span></dd></dl> <p>Substituint la quantitat de moviment mesurada per l'observador <i>O</i>₂ per la fórmula que permet calcular-la a partir de la que mesura l'observador <i>O</i><sub>1</sub> i l'increment de temps per la fórmula que l'expressa en funció de les mesures de l'observador <i>O</i><sub>1</sub> s'obté: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{2x}={\frac {\Delta \left[\gamma \cdot \left(p_{1x}+m_{1}\cdot v\right)\right]}{\gamma \cdot {\frac {v}{c^{2}}}\Delta x_{1}+\gamma \cdot \Delta t_{1}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>γ</mi> <mo>⋅</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <mi>v</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>γ</mi> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>v</mi> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>γ</mi> <mo>⋅</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{2x}={\frac {\Delta \left[\gamma \cdot \left(p_{1x}+m_{1}\cdot v\right)\right]}{\gamma \cdot {\frac {v}{c^{2}}}\Delta x_{1}+\gamma \cdot \Delta t_{1}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/359b6935b01dbeaebbc4e918665ce95339940387" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:27.697ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle F_{2x}={\frac {\Delta \left[\gamma \cdot \left(p_{1x}+m_{1}\cdot v\right)\right]}{\gamma \cdot {\frac {v}{c^{2}}}\Delta x_{1}+\gamma \cdot \Delta t_{1}}}}"></span></dd></dl> <p>Operant: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}F_{2x}&={\frac {\Delta p_{1x}+\Delta m_{1}\cdot v}{{\frac {v}{c^{2}}}\Delta x_{1}+\Delta t_{1}}}\\&={\frac {{\frac {\Delta p_{1x}}{\Delta t_{1}}}+{\frac {\Delta m_{1}\cdot v}{\Delta t_{1}}}}{{\frac {v}{c^{2}}}{\frac {\Delta x_{1}}{\Delta t_{1}}}+1}}\\&={\frac {F_{1x}+v\cdot {\frac {\Delta m_{1}}{\Delta t_{1}}}}{{\frac {v\cdot v_{1x}}{c^{2}}}+1}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>v</mi> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>v</mi> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}F_{2x}&={\frac {\Delta p_{1x}+\Delta m_{1}\cdot v}{{\frac {v}{c^{2}}}\Delta x_{1}+\Delta t_{1}}}\\&={\frac {{\frac {\Delta p_{1x}}{\Delta t_{1}}}+{\frac {\Delta m_{1}\cdot v}{\Delta t_{1}}}}{{\frac {v}{c^{2}}}{\frac {\Delta x_{1}}{\Delta t_{1}}}+1}}\\&={\frac {F_{1x}+v\cdot {\frac {\Delta m_{1}}{\Delta t_{1}}}}{{\frac {v\cdot v_{1x}}{c^{2}}}+1}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16f449fe3ba06128fa345352ac1326666717b715" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -12.338ex; width:23.953ex; height:25.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}F_{2x}&={\frac {\Delta p_{1x}+\Delta m_{1}\cdot v}{{\frac {v}{c^{2}}}\Delta x_{1}+\Delta t_{1}}}\\&={\frac {{\frac {\Delta p_{1x}}{\Delta t_{1}}}+{\frac {\Delta m_{1}\cdot v}{\Delta t_{1}}}}{{\frac {v}{c^{2}}}{\frac {\Delta x_{1}}{\Delta t_{1}}}+1}}\\&={\frac {F_{1x}+v\cdot {\frac {\Delta m_{1}}{\Delta t_{1}}}}{{\frac {v\cdot v_{1x}}{c^{2}}}+1}}\\\end{aligned}}}"></span></dd></dl> <p>Com que </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\Delta m_{1}}{\Delta t_{1}}}={\frac {F_{1x}\cdot v_{1x}+F_{1y}\cdot v_{1y}}{c^{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\Delta m_{1}}{\Delta t_{1}}}={\frac {F_{1x}\cdot v_{1x}+F_{1y}\cdot v_{1y}}{c^{2}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a10a597f6f8b91573a1aaef34821ecdcb4180cc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:28.976ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\Delta m_{1}}{\Delta t_{1}}}={\frac {F_{1x}\cdot v_{1x}+F_{1y}\cdot v_{1y}}{c^{2}}}}"></span></dd></dl> <p>Substituint i operant resulta: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}F_{2x}&={\frac {c^{2}\cdot F_{1x}+v\cdot \left(F_{1x}\cdot v_{1x}+F_{1y}\cdot v_{1y}\right)}{v\cdot v_{1x}+c^{2}}}\\&={\frac {c^{2}\cdot F_{1x}+F_{1x}\cdot v\cdot v_{1x}+F_{1y}\cdot v\cdot v_{1y}}{v\cdot v_{1x}+c^{2}}}\\&={\frac {\left(c^{2}+v\cdot v_{1x}\right)\cdot F_{1x}+F_{1y}\cdot v\cdot v_{1y}}{v\cdot v_{1x}+c^{2}}}\\&={\frac {\left(c^{2}+v\cdot v_{1x}\right)\cdot F_{1x}}{v\cdot v_{1x}+c^{2}}}+{\frac {F_{1y}\cdot v\cdot v_{1y}}{v\cdot v_{1x}+c^{2}}}\\&=F_{1x}+F_{1y}\cdot v_{1y}\cdot {\frac {v}{v\cdot v_{1x}+c^{2}}}\\&={\frac {F_{y1}}{\gamma \left(1-{\frac {v\cdot v_{1x}}{c^{2}}}\right)}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>v</mi> <mrow> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mi>γ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}F_{2x}&={\frac {c^{2}\cdot F_{1x}+v\cdot \left(F_{1x}\cdot v_{1x}+F_{1y}\cdot v_{1y}\right)}{v\cdot v_{1x}+c^{2}}}\\&={\frac {c^{2}\cdot F_{1x}+F_{1x}\cdot v\cdot v_{1x}+F_{1y}\cdot v\cdot v_{1y}}{v\cdot v_{1x}+c^{2}}}\\&={\frac {\left(c^{2}+v\cdot v_{1x}\right)\cdot F_{1x}+F_{1y}\cdot v\cdot v_{1y}}{v\cdot v_{1x}+c^{2}}}\\&={\frac {\left(c^{2}+v\cdot v_{1x}\right)\cdot F_{1x}}{v\cdot v_{1x}+c^{2}}}+{\frac {F_{1y}\cdot v\cdot v_{1y}}{v\cdot v_{1x}+c^{2}}}\\&=F_{1x}+F_{1y}\cdot v_{1y}\cdot {\frac {v}{v\cdot v_{1x}+c^{2}}}\\&={\frac {F_{y1}}{\gamma \left(1-{\frac {v\cdot v_{1x}}{c^{2}}}\right)}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8bed8319fa17b7ce6ad9945c7ec8cbe89bf2563" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -19.838ex; width:43.033ex; height:40.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}F_{2x}&={\frac {c^{2}\cdot F_{1x}+v\cdot \left(F_{1x}\cdot v_{1x}+F_{1y}\cdot v_{1y}\right)}{v\cdot v_{1x}+c^{2}}}\\&={\frac {c^{2}\cdot F_{1x}+F_{1x}\cdot v\cdot v_{1x}+F_{1y}\cdot v\cdot v_{1y}}{v\cdot v_{1x}+c^{2}}}\\&={\frac {\left(c^{2}+v\cdot v_{1x}\right)\cdot F_{1x}+F_{1y}\cdot v\cdot v_{1y}}{v\cdot v_{1x}+c^{2}}}\\&={\frac {\left(c^{2}+v\cdot v_{1x}\right)\cdot F_{1x}}{v\cdot v_{1x}+c^{2}}}+{\frac {F_{1y}\cdot v\cdot v_{1y}}{v\cdot v_{1x}+c^{2}}}\\&=F_{1x}+F_{1y}\cdot v_{1y}\cdot {\frac {v}{v\cdot v_{1x}+c^{2}}}\\&={\frac {F_{y1}}{\gamma \left(1-{\frac {v\cdot v_{1x}}{c^{2}}}\right)}}\\\end{aligned}}}"></span></dd></dl></div> <div style="clear:both;"></div> </div> <p><br style="clear:both;" /> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Equivalència_de_la_massa_i_l'energia"><span id="Equival.C3.A8ncia_de_la_massa_i_l.27energia"></span>Equivalència de la massa i l'energia</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Relativitat_especial&action=edit&section=17" title="Modifica la secció: Equivalència de la massa i l'energia"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Einstein dedueix l'equivalència entre la massa i l'energia el 1905 a partir del resultat de la teoria electromagnètica de què un cos que emet o absorbeix un pols de radiació electromagnètica experimenta un impuls. </p><p>Einstein planteja un cos en repòs amb massa <i>M</i>. Si el cos s'observa en un sistema de referència que es mou amb una velocitat <i>v</i> petita, ja no està en repòs i en aquest sistema de referència té una quantitat de moviment <i>Mv</i>. </p><p>Einstein suposa que el cos emet dos polsos de llum un cap a l'esquerra i l'altre cap a la dreta, cada un porta una quantitat d'energia igual a <i>E</i>/2. Com que els dos polsos són iguals, l'objecte roman en repòs després de l'emissió, ja que rep el mateix impuls pels dos cantons. </p><p>Però si el mateix procés s'observa en un sistema de referència que es mou amb velocitat <i>v</i> cap a l'esquerra, el pols que es mou a l'esquerra es desplaçarà cap al vermell mentre que el pols es mou cap a la dreta es desplaçarà cap al blau. El llum blau transmet més impuls que el vermell, de manera que l'impuls del llum al sistema de referència en moviment no està equilibrat. El llum està transmetent un impuls net cap a la dreta. </p><p>L'objecte no ha canviat la seva velocitat abans o després de l'emissió. Encara que en aquest sistema de referència ha perdut part de la seva quantitat de moviment cap a la dreta a causa de l'impuls aplicat per la llum. L'única manera que pot perdre quantitat de moviment és perdent massa. </p><p>La velocitat és petita, per tant la llum que es mou cap a la dreta es desplaça cap al blau una quantitat igual al <a href="/wiki/Efecte_Doppler" title="Efecte Doppler">efecte Doppler</a> no relativista (1 - <i>v</i>/<i>c</i>). L'impuls de la llum és la seva energia es dividia per <i>c</i>, i augmenta en un factor de <i>v</i>/<i>c</i>. Així la llum que es mou cap a la dreta transporta un impuls extra <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta P}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta P}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6b96a223eb5eec6d7bee974542df2effaeff123" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.681ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta P}"></span> donat per: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta P={v \over c}{E \over 2c}.\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>v</mi> <mi>c</mi> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>E</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>c</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta P={v \over c}{E \over 2c}.\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aba71404fa9af72c299065bda34df821ea11f2b3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:12.783ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta P={v \over c}{E \over 2c}.\,}"></span></dd></dl> <p>El llum que es mou cap a l'esquerra transmet una mica menys d'impuls, en la mateixa quantitat <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta P}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta P}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6b96a223eb5eec6d7bee974542df2effaeff123" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.681ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta P}"></span>. Així l'impuls total cap a l'esquerra aplicat pels polsos de llum és dues vegades <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta P}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta P}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6b96a223eb5eec6d7bee974542df2effaeff123" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.681ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta P}"></span>. </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\Delta P=v{E \over c^{2}}.\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>E</mi> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\Delta P=v{E \over c^{2}}.\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901499773b732c17a38ce75ef39fa354a83c3037" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:13.001ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle 2\Delta P=v{E \over c^{2}}.\,}"></span></dd></dl> <p>La quantitat de moviment de l'objecte en el sistema de referència que es mou s'ha de reduir en aquesta quantitat després de l'emissió: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P'=Mv-2\Delta P=(M-{E \over c^{2}})v.\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>P</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>=</mo> <mi>M</mi> <mi>v</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>M</mi> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>E</mi> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>v</mi> <mo>.</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P'=Mv-2\Delta P=(M-{E \over c^{2}})v.\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5220d277bf553c3b4587d5dda49e8104a73d0b4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:32.108ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle P'=Mv-2\Delta P=(M-{E \over c^{2}})v.\,}"></span></dd></dl> <p>Per tant la variació de la massa de l'objecte és igual a l'energia total perduda dividida entre <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f3386a00382ce857fb0b3b04b9fa2bbe5cfae9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.061ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle c^{2}}"></span>. Com que qualsevol emissió d'energia es pot dur a terme en un procés en dos passos, primer l'energia s'emet en forma de llum i després la llum es transforma en qualsevol altra forma d'energia, qualsevol emissió d'energia ha de comportar una disminució de la massa. De forma similar qualsevol absorció d'energia ha d'anar acompanyada d'un augment de la massa. Einstein conclou que la massa d'un cos és una mesura del seu contingut d'energia. </p><p>Fixeu-vos que el fet de considerar la velocitat petita no treu exactitud al raonament, de fet es pot considerar <a href="/wiki/Infinitesimal" class="mw-redirect" title="Infinitesimal">infinitesimal</a>, amb la qual cosa el resultat és exacte, llavors els processos es poden considerar decomposts en infinits subprocessos infinitesimals. Fixeu-vos també que en aquest resultat no s'ha emprat per a res la teoria de la relativitat de forma directa. En considerar la velocitat petita es fan servir les fórmules sense relativitat. Però indirectament és una conseqüència de la teoria de la relativitat en la mesura que l'electromagnetisme se'n deriva de manera natural i per tant l'impuls provocat pels polsos de llum. </p><p>L'equivalència entre la massa i l'energia no s'ha d'interpretar com que la massa i l'energia es poden transformar mútuament sinó que són dues formes d'observar la mateixa cosa. Mesurar la massa d'un objecte és una manera de mesurar la seva energia. Si en un procés, un objecte emet energia i un altre l'absorbeix en mesurar la disminució de massa del primer s'obté el mateix resultat que en mesurar l'augment de massa del segon i multiplicant-la per <i>c</i>² s'obté la quantitat d'energia transferida. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Espai_de_Minkowski">Espai de Minkowski</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Relativitat_especial&action=edit&section=18" title="Modifica la secció: Espai de Minkowski"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r30997230"><div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">Article principal: <a href="/wiki/Espai_de_Minkowski" title="Espai de Minkowski">Espai de Minkowski</a></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fitxer:Light_cone.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/Light_cone.png/220px-Light_cone.png" decoding="async" width="220" height="276" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/Light_cone.png/330px-Light_cone.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/Light_cone.png/440px-Light_cone.png 2x" data-file-width="557" data-file-height="698" /></a><figcaption>Espai de Minkowski, només es representen dues dimensions de l'espai en el temps. El conus blau representa el conjunt de punts que estan a distància 0 de l'origen.</figcaption></figure> <p>La <a href="/wiki/Transformaci%C3%B3_de_Lorentz" title="Transformació de Lorentz">transformació de Lorentz</a> permet calcular la posició i el temps en què un observador detecta un fet puntual a partir de les dades de la posició i el temps en què ha detectat aquest mateix fet puntual un altre observador. Aquesta transformació, per cada velocitat relativa entre els dos observadors és una <a href="/wiki/Aplicaci%C3%B3_lineal" title="Aplicació lineal">aplicació lineal</a>. L'expressió matemàtica que adopta aquesta aplicació lineal és la següent: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left({\begin{matrix}{{x}'}\\{{t}'}\\\end{matrix}}\right)={\frac {1}{\sqrt {1-{}^{v^{2}}\!\!\diagup \!\!{}_{c^{2}}\;}}}\left({\begin{matrix}1&-v\\{\frac {-v}{c^{2}}}&1\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}x\\t\\\end{matrix}}\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </msup> <mspace width="negativethinmathspace" /> <mspace width="negativethinmathspace" /> <mi>╱</mi> <mspace width="negativethinmathspace" /> <mspace width="negativethinmathspace" /> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </msub> <mspace width="thickmathspace" /> </msqrt> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mo>−</mo> <mi>v</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo>−</mo> <mi>v</mi> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>x</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>t</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left({\begin{matrix}{{x}'}\\{{t}'}\\\end{matrix}}\right)={\frac {1}{\sqrt {1-{}^{v^{2}}\!\!\diagup \!\!{}_{c^{2}}\;}}}\left({\begin{matrix}1&-v\\{\frac {-v}{c^{2}}}&1\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}x\\t\\\end{matrix}}\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f444cbc01bce7f5c1bafe1638d327045980b3d2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.671ex; width:40.128ex; height:9.009ex;" alt="{\displaystyle \left({\begin{matrix}{{x}'}\\{{t}'}\\\end{matrix}}\right)={\frac {1}{\sqrt {1-{}^{v^{2}}\!\!\diagup \!\!{}_{c^{2}}\;}}}\left({\begin{matrix}1&-v\\{\frac {-v}{c^{2}}}&1\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}x\\t\\\end{matrix}}\right)}"></span></dd></dl> <p>On <i>x</i>, i <i>t</i> són la posició i el temps mesurats pel primer observador i <i>x<b> i </b></i><b>t</b> són els mesurats pel segon, <i>v</i> és la velocitat del segon observador respecte del primer i <i>c</i> és la velocitat de la llum. Aquesta equació parteix de la hipòtesi que els orígens dels sistemes de coordenades dels dos observadors coincideixen (en l'instant inicial <i>t=t'=0</i> el punt de <i>x=0</i> coincideix amb el punt <i>x'=0</i>) En aquesta equació, l'espai i el temps tenen un paper que no és simètric, si es fa el canvi de coordenades: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{m}=ict\quad {t}'_{m}=ict'}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>i</mi> <mi>c</mi> <mi>t</mi> <mspace width="1em" /> <msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <mo>=</mo> <mi>i</mi> <mi>c</mi> <msup> <mi>t</mi> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{m}=ict\quad {t}'_{m}=ict'}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/056a252f7d658711c5a58d77944dafeae56e1980" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.531ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle t_{m}=ict\quad {t}'_{m}=ict'}"></span></dd></dl> <p>On <i>i</i> és <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {-1}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {-1}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ea1ea9ac61e6e1e84ac39130f78143c18865719" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.906ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {-1}}}"></span>, l'aplicació adopta una forma especialment simètrica: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left({\begin{matrix}{{x}'}\\{t}'_{m}\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}{\sqrt {\frac {c^{2}}{c^{2}-v^{2}}}}&{\sqrt {\frac {-v^{2}}{c^{2}-v^{2}}}}\\{\sqrt {\frac {-v^{2}}{c^{2}-v^{2}}}}&{\sqrt {\frac {c^{2}}{c^{2}-v^{2}}}}\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}x\\t_{m}\\\end{matrix}}\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mfrac> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </msqrt> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mfrac> <mrow> <mo>−</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mfrac> <mrow> <mo>−</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </msqrt> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mfrac> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>x</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left({\begin{matrix}{{x}'}\\{t}'_{m}\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}{\sqrt {\frac {c^{2}}{c^{2}-v^{2}}}}&{\sqrt {\frac {-v^{2}}{c^{2}-v^{2}}}}\\{\sqrt {\frac {-v^{2}}{c^{2}-v^{2}}}}&{\sqrt {\frac {c^{2}}{c^{2}-v^{2}}}}\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}x\\t_{m}\\\end{matrix}}\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d085ca7886b6d2cf8b4df538253beb739aa2056" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.838ex; width:39.223ex; height:12.843ex;" alt="{\displaystyle \left({\begin{matrix}{{x}'}\\{t}'_{m}\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}{\sqrt {\frac {c^{2}}{c^{2}-v^{2}}}}&{\sqrt {\frac {-v^{2}}{c^{2}-v^{2}}}}\\{\sqrt {\frac {-v^{2}}{c^{2}-v^{2}}}}&{\sqrt {\frac {c^{2}}{c^{2}-v^{2}}}}\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}x\\t_{m}\\\end{matrix}}\right)}"></span></dd></dl> <p>Fixeu-vos que si no s'afegeix el component <i>i</i> al canvi de variables les velocitats <i>v</i> al quadrat queden positives al numerador i negatives al denominador, no assolin-se la simetria que es busca. </p><p>Amb aquest canvi de variables, afegint la coordenada del temps (afectat per aquest canvi de variable) a cada punt de l'espai s'obté un nou conjunt de <i>punts</i>, aquest conjunt s'anomena <a href="/wiki/Espai_de_Minkowski" title="Espai de Minkowski">espai de Minkowski</a>. La figura representa aquesta geometria. </p><p>En aquest espai es defineix la distància igual que en l'espai euclidià: la distància entre dos punts és igual a l'arrel quadrada de la suma dels quadrats de les diferències de les seves coordenades. Però com que el temps està multiplicat per <i>i</i> existeix una regió particular, on el quadrat de la distància posseeix una propietat especial: és negatiu. La <i>distància</i> d'aquesta teoria no és sempre positiva. </p><p>Un vector de coordenades <i>(x,y,z, t)</i> té per mòdul <i>x²+y²+z²-c².t²</i>. <a href="/wiki/Hermann_Minkowski" title="Hermann Minkowski">Hermann Minkowski</a> <a href="/wiki/1864" title="1864">1864</a>-<a href="/wiki/1909" title="1909">1909</a> desenvolupa un sistema matemàtic basat en aquests principis el <a href="/wiki/1907" title="1907">1907</a> en un article titulat <i>Espai-temps</i>, i l'aplica a la relativitat l'any següent. </p><p>Fixeu-vos que a l'espai de Minkowski els punts es poden identificar amb objectes de dimensió molt petita i de durada molt petita. Això és una diferència molt gran amb els punts de l'espai euclidià en què els punts es poden identificar amb objectes de dimensió molt petita però de durada infinita. </p><p>Les distàncies en aquest espai poden ser positives, zero o imaginaries. En l'espai euclidià, els si dos punts estan a distància zero són el mateix. En l'espai de Minkowski si dos punts estan a distància zero, en cert sentit estan a tocar (encara que estiguin separats milions de quilòmetres) però no tenen per què ser el mateix. </p><p>El con de la figura representa l'univers per a un observador en el punt A. El punt C està a una <i>distància</i> positiva, per arribar-hi caldria una velocitat superior a la de la llum, cosa que en el context d'aquesta teoria no és realitzable. És doncs inobservable i no pot tenir cap influència directa o indirecta sobre l'observador. El punt B és en el que es diu el <i>con de llum</i>, és un punt possible, podrà interaccionar amb l'observador (rebent senyals a la velocitat de la llum). </p><p>Els punts que estan a distància zero són aquells pels quals pot passar un pols de llum. Des del punt de vista d'un observador que viatgi amb la llum, a causa de la contracció de l'espai, la distància entre aquests punts és zero. De certa manera la teoria de la relativitat resol l'antic problema de l'<i>horror vacui</i> i de les accions a distància i l'espai de Minkowski ho recull: Les accions a distància (en cert sentit) no existeixen, totes les accions (en aquest cert sentit) són de contacte. Si un <a href="/wiki/Electr%C3%B3" title="Electró">electró</a> d'un <a href="/wiki/%C3%80tom" title="Àtom">àtom</a> a la superfície del <a href="/wiki/Sol" title="Sol">Sol</a> emet un <a href="/wiki/Fot%C3%B3" title="Fotó">fotó</a> que viatja fins a la <a href="/wiki/Terra" title="Terra">Terra</a> i és absorbit per un altre electró d'un material <a href="/wiki/Semiconductor" title="Semiconductor">semiconductor</a> d'una <a href="/wiki/Placa_solar" title="Placa solar">placa solar</a>, des del punt de vista d'un observador fix a la Terra, una ona electromagnètica ha viatjat per l'espai buit durant un temps i ha estat absorbida per la placa de la Terra, des del punt de vista d'un observador que viatja amb la llum, l'electró de l'àtom de la superfície solar i el del semiconductor de la placa solar estan a distància zero i la interacció entre ells és instantània. En l'espai de Minkowski la distància és zero per tots els observadors. Pel que està a la Terra és zero perquè de la distància que els separa en l'espai euclidià es resta el temps que els separa multiplicat per la velocitat de la llum (de fet, de la distància al quadrat li resta el temps al quadrat multiplicat per la velocitat de la llum al quadrat i després extreu l'arrel quadrada del resultat, però quan el resultat és zero tant se val restar quadrats que valors). Pel que viatja amb la llum és zero perquè tant el temps com l'espai que els separa són zero. </p><p>Els punts que estan a distància positiva són tals que la llum que surt d'un no hi és a temps d'arribar a l'altre. La distància que els separa és més gran que la que pot recórrer la llum durant els temps que els separa. Per exemple, tots els punts de l'espai euclidià en el present per un observador determinat estan a la mateixa distància positiva en l'espai de Minkowski que en l'espai euclidià perquè per aquest observador el temps que els separa és zero. Per a un observador que es mou respecte d'aquest, la distància en l'espai euclidià és més gran però com que ja no són simultanis la diferència de temps compensa l'augment de distància en l'espai euclidià i la distància en l'espai de Minkwski es manté constant. Per a tots els parells de punts de l'espai de Minkowski que estiguin a distància positiva entre ells hi ha un sistema de referència en el que es troben en el mateix temps i en el que la seva distància en l'espai euclidià és igual a la distància en l'espai de Minkowski. </p><p>Si per un determinat observador dos punts estan en la mateixa posició de l'espai euclidià però separats per un determinat període, la distància entre ells és un <a href="/wiki/Nombre_imaginari" title="Nombre imaginari">nombre imaginari</a> perquè la distància que pot recórrer la llum en el temps que els separa és més gran que l'espai que els separa. Per a un observador que es mou respecte d'aquest, la separació en el temps és més gran però com que ja no estan a la mateixa posició de l'espai la diferència es compensa i la distància de Minkowski és la mateixa. Per a tots els parells de punts tals que la distància que els separa és més petita que la que pot recórrer la llum en el temps que els separa, existeix un observador per al qual estan en la mateixa posició de l'espai i només estan separats per un determinat període. </p><p>En el cas que interessa Minkowski, els endomorfismes que tradueixen les lleis físiques d'un observador a un altre observador, tenen un paper important; són els que verifiquen l'equació <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle <u(x),u(y)>=<x,y>}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo><</mo> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>>=<</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>></mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle <u(x),u(y)>=<x,y>}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a15cdad7805dd42088fd4fcd4918e525d0301d4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.938ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle <u(x),u(y)>=<x,y>}"></span>, on <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle <,>}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo><</mo> <mo>,</mo> <mo>></mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle <,>}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/604b5eef119812216ab6ebe75ed26efaaf162628" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.65ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle <,>}"></span> és la forma bilineal que descriu la geometria considerada. Aquests endomorfismes deixen la geometria invariant, corresponen en una modelització euclidiana a les <a href="/wiki/Isometria" title="Isometria">isometries</a>. En la geometria de la relativitat, 1 és valor propi i el seu espai propi associat és de dimensió 3 i <i>i.c</i> és un valor propi amb subespai propi associat de dimensió 1, on i designa la unitat imaginaria i c la celeritat de la llum. Es parla de signatura de Sylvester (3,1). Totes les lleis físiques han de ser invariants per aquests endomorfismes. Aquests endomorfismes formen una estructura de <a href="/wiki/Grup_(matem%C3%A0tiques)" title="Grup (matemàtiques)">grup</a>, anomenat <a href="/wiki/Grup_especial_unitari" class="mw-redirect" title="Grup especial unitari">grup especial unitari</a>, la relativitat torna a escriure la física en lleis que resulten invariants pel grup especial unitari de dimensió 4 i de signatura (3,1). </p><p>Es pot veure que les <a href="/wiki/Geod%C3%A8sica" title="Geodèsica">geodèsiques</a> amb mesura zero formen un con dual: </p> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fitxer:Sr1.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4f/Sr1.svg/220px-Sr1.svg.png" decoding="async" width="220" height="171" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4f/Sr1.svg/330px-Sr1.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4f/Sr1.svg/440px-Sr1.svg.png 2x" data-file-width="401" data-file-height="312" /></a><figcaption>Con dual format per les geodèsiques</figcaption></figure> <p>definit per l'equació: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ds^{2}=0=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}-c^{2}dt^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <msup> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>=</mo> <mi>d</mi> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>d</mi> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ds^{2}=0=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}-c^{2}dt^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e43aa213a6206f390257013d99ba7b7c2a33fe2d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:28.771ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle ds^{2}=0=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}-c^{2}dt^{2}}"></span></dd></dl> <p>, o </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}=c^{2}dt^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>d</mi> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}=c^{2}dt^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f13e83090ebdfe1e9378dded386e629543fe2739" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:18.309ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}=c^{2}dt^{2}}"></span></dd></dl> <p>L'equació anterior és la de cercle amb <i>r=c**dt</i>. </p><p>Si s'estén l'anterior a les tres dimensions espacials, les geodèsiques nul·les són esferes concèntriques, amb radi = distancia = c*(+ o -)temps. </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ds^{2}=0=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}-c^{2}dt^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <msup> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>=</mo> <mi>d</mi> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>d</mi> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ds^{2}=0=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}-c^{2}dt^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/651ec5a5c69df295c86316d566133dfec28b076f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:35.211ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle ds^{2}=0=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}-c^{2}dt^{2}}"></span></dd></dl> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}=c^{2}dt^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>d</mi> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}=c^{2}dt^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9de9a20458007959615dc7a86a89e861fd939a3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:24.749ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}=c^{2}dt^{2}}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Indicis_de_la_teoria_de_la_relativitat_general:_Conservació_de_l'energia_cinètica"><span id="Indicis_de_la_teoria_de_la_relativitat_general:_Conservaci.C3.B3_de_l.27energia_cin.C3.A8tica"></span>Indicis de la teoria de la <a href="/wiki/Relativitat_general" title="Relativitat general">relativitat general</a>: Conservació de l'energia cinètica</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Relativitat_especial&action=edit&section=19" title="Modifica la secció: Indicis de la teoria de la relativitat general: Conservació de l'energia cinètica"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>En la relativitat especial, la geometria no roman constant quan hi ha implicada una <i><a href="/wiki/Acceleraci%C3%B3" title="Acceleració">acceleració</a></i> (<i>δx2/δ t2</i>), el que comporta l'aplicació d'una <a href="/wiki/For%C3%A7a" title="Força">força</a> (<i>F=dt.</i>), i en conseqüència un canvi d'<a href="/wiki/Energia" title="Energia">energia</a>. Aquests factors indicaven la necessitat d'una teoria més àmplia que permetés estudiar les relacions de transformació entre sistemes de referència <i>no inercials</i> o sotmesos a l'acció de forces. Aquests indicis van dur finalment a la formulació de la teoria de la <a href="/wiki/Relativitat_general" title="Relativitat general">relativitat general</a>, en la qual la <a href="/wiki/Curvatura" title="Curvatura">curvatura</a> intrínseca de l'espaitemps és directament proporcional a la densitat d'energia en aquest punt. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Modificacions_de_la_relativitat_especial">Modificacions de la relativitat especial</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Relativitat_especial&action=edit&section=20" title="Modifica la secció: Modificacions de la relativitat especial"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>A començament del <a href="/wiki/Segle_XXI" title="Segle XXI">segle <span title="Nombre escrit en xifres romanes" style="font-variant:small-caps;">xxi</span></a> han estat postulades un cert nombre de versions modificades de la RE. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Tests_de_postulats_de_la_relativitat_especial">Tests de postulats de la relativitat especial</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Relativitat_especial&action=edit&section=21" title="Modifica la secció: Tests de postulats de la relativitat especial"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Experiment_de_Michelson-Morley" title="Experiment de Michelson-Morley">Experiment Michelson-Morley</a> – arrossegament de l'<a href="/wiki/%C3%88ter_(f%C3%ADsica)" title="Èter (física)">èter</a>.</li> <li>Experimento Hamar – obstrucció del flux de l'<a href="/wiki/%C3%88ter_(f%C3%ADsica)" title="Èter (física)">èter</a>.</li> <li><a href="/w/index.php?title=Experiment_Trouton-Noble&action=edit&redlink=1" class="new" title="Experiment Trouton-Noble (encara no existeix)">Experiment Trouton-Noble</a> - torque<sup class="noprint Inline-Template" title="S'hauria d'aclarir el significat d'aquest text" style="white-space:nowrap;">[<i><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Llibre_d%27estil" title="Viquipèdia:Llibre d'estil"><span title="S'hauria d'aclarir el significat d'aquest text">Cal aclariment</span></a></i>]</sup> en un condensador produït per l'arrossegament de l'<a href="/wiki/%C3%88ter_(f%C3%ADsica)" title="Èter (física)">èter</a>.</li> <li><a href="/w/index.php?title=Experiment_Kennedy-Thorndike&action=edit&redlink=1" class="new" title="Experiment Kennedy-Thorndike (encara no existeix)">Experiment Kennedy-Thorndike</a> – contracció del temps.</li> <li>Experiment sobre les formes d'emissió.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Vegeu_també"><span id="Vegeu_tamb.C3.A9"></span>Vegeu també</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Relativitat_especial&action=edit&section=22" title="Modifica la secció: Vegeu també"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Taqui%C3%B3" title="Taquió">Taquió</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Referències_i_notes"><span id="Refer.C3.A8ncies_i_notes"></span>Referències i notes</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Relativitat_especial&action=edit&section=23" title="Modifica la secció: Referències i notes"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="reflist {{#if: | references-column-count references-column-count-{{{col}}}" style="list-style-type: decimal;"> <div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-electro-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-electro_1-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="/wiki/Albert_Einstein" title="Albert Einstein">Albert Einstein</a> (1905). "<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.pro-physik.de/Phy/pdfs/ger_890_921.pdf">Zur Elektrodynamik bewegter Körper</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20050220050316/http://www.pro-physik.de/Phy/pdfs/ger_890_921.pdf">Arxivat</a> 2005-02-20 a <a href="/wiki/Wayback_Machine" title="Wayback Machine">Wayback Machine</a>.", <i>Annalen der Physik</i> 17: 891.</span> </li> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text"><span class="citation" style="font-style:normal">«<a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20081205011407/http://www.unitn.it/unitn/numero30/fisico.html">Romagnosi fisico</a>». Arxivat de l'<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.unitn.it/unitn/numero30/fisico.html">original</a> el 2008-12-05. [Consulta: 17 juny 2009].</span></span> </li> <li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text">Iniciación a la física. Julian Fernandez Ferrer y Marcos Pujal Carrera, Tomo II pàgina 108 <a href="/wiki/Especial:Fonts_bibliogr%C3%A0fiques/84-400-6771-2" title="Especial:Fonts bibliogràfiques/84-400-6771-2">ISBN 84-400-6771-2</a></span> </li> <li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://bibnum.education.fr/physique/memoire-sur-la-vitesse-de-la-lumiere">Mémoire sur la vitesse de la lumière</a> Memòria llegida per Aragó a l'Acadèmia de les Ciències el 1810 i publicada el 1853</span> </li> <li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-5">↑</a></span> <span class="reference-text">Fizeau, H. L., «Sur une experience relative a la vitesse de propagation de la lumiere», <i>Comptes Rendus</i> 29, 90-92, 132, 1849</span> </li> <li id="cite_note-6"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-6">↑</a></span> <span class="reference-text">Foucault, J. L., «Determination experimentale de la vitesse de la lumiere: parallaxe du Soleil», a <i>Comptes Rendus</i> 55, 501-503, 792-796, 1862</span> </li> <li id="cite_note-7"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-7">↑</a></span> <span class="reference-text">Michelson, A. A., «Experimental Determination of the Velocity of Light», <i>Proceedings of the American Association for the Advancement of Science</i> 27, 71-77, 1878</span> </li> <li id="cite_note-8"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-8">↑</a></span> <span class="reference-text">(Italice) Galileo Galilei, <a class="external text" href="https://it.wikisource.org/wiki/Dialogo_sopra_i_due_massimi_sistemi_del_mondo_tolemaico_e_copernicano">"Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo"</a>, 1632; Wikifons Italica</span> </li> <li id="cite_note-9"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-9">↑</a></span> <span class="reference-text">Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, Isaac Newton, Londres, 1687. Axiomes o lleis del moviment. Llei II.</span> </li> </ol></div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bibliografia">Bibliografia</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Relativitat_especial&action=edit&section=24" title="Modifica la secció: Bibliografia"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://books.google.cat/books?id=9jr9Jd8IZLAC&printsec=frontcover&source=gbs_navlinks_s">Einstein en català</a> Einstein, Albert (1905). Barcelona, 1998, Edicions de la Revista de Física.</li> <li>Einstein, Albert (1916). La teoria de la relativitat i altres textos, Barcelona, 2000, Institut d'Estudis Catalans, Editorial Pòrtic, Eumo Editorial, Clàssics de la Ciència, IV.</li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://books.google.cat/books?id=ZMymx_CFyE0C&printsec=frontcover&source=gbs_v2_summary_r&cad=0">Relativitat especial i electrodinàmica clàssica</a> Llosa Carrasco, Josep / Molina Compte, Alfred. Edicions Universitat de Barcelona.</li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.fourmilab.ch/etexts/einstein/specrel/www/">On the electrodinamics of moving bodies</a> A. Einstein 30 de juny de 1905 (Traducció a l'anglès a partir de l'original en alemany) (en anglès)</li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.fourmilab.ch/etexts/einstein/E_mc2/www/">Does inertia of a body depend upon its Energy-content?</a> A. Einstein 27 de setembre de 1905 (Basat en la traducció a l'anglès a partir de l'original en alemany) (en anglès)</li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.traduccionssimoneweil.cat/pdf/reflexionsapropositdelateoriadelsquanta.pdf">Reflexions a propòsit de la teoria dels quanta (Simone Weil)</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Enllaços_externs"><span id="Enlla.C3.A7os_externs"></span>Enllaços externs</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Relativitat_especial&action=edit&section=25" title="Modifica la secció: Enllaços externs"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r33663753">.mw-parser-output .side-box{margin:4px 0;box-sizing:border-box;border:1px solid #aaa;font-size:88%;line-height:1.25em;background-color:#f9f9f9;display:flow-root}.mw-parser-output .side-box-abovebelow,.mw-parser-output .side-box-text{padding:0.25em 0.9em}.mw-parser-output .side-box-image{padding:2px 0 2px 0.9em;text-align:center}.mw-parser-output .side-box-imageright{padding:2px 0.9em 2px 0;text-align:center}@media(min-width:500px){.mw-parser-output .side-box-flex{display:flex;align-items:center}.mw-parser-output .side-box-text{flex:1;min-width:0}}@media(min-width:720px){.mw-parser-output .side-box{width:238px}.mw-parser-output .side-box-right{clear:right;float:right;margin-left:1em}.mw-parser-output .side-box-left{margin-right:1em}.mw-parser-output .side-box-center{clear:both;margin:auto}}</style><div class="side-box metadata side-box-right plainlinks"> <div class="side-box-flex"> <div class="side-box-image"><span typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="30" height="40" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/45px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/59px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></span></span></div> <div class="side-box-text plainlist">A <span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/P%C3%A0gina_principal?uselang=ca">Wikimedia Commons</a></span> hi ha contingut multimèdia relatiu a: <i><b><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Special_relativity" class="extiw" title="commons:Category:Special relativity">Relativitat especial</a></b></i></div></div> </div> <ul><li><a rel="nofollow" class="external free" href="http://www.hverdugo.cl/relatividad.htm">http://www.hverdugo.cl/relatividad.htm</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20051230004256/http://www.hverdugo.cl/relatividad.htm">Arxivat</a> 2005-12-30 a <a href="/wiki/Wayback_Machine" title="Wayback Machine">Wayback Machine</a>.</li> <li><a rel="nofollow" class="external free" href="http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Special_relativity.html">http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Special_relativity.html</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external free" href="http://www.ucm.es/info//hcontemp/leoc/hciencia.htm">http://www.ucm.es/info//hcontemp/leoc/hciencia.htm</a></li></ul> <p><br /> </p> <div role="navigation" class="navbox" aria-label="Navbox" style="padding:3px"><table class="nowraplinks hlist navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Control_d%27autoritats" title="Control d'autoritats">Registres d'autoritat</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Biblioth%C3%A8que_nationale_de_France" class="mw-redirect" title="Bibliothèque nationale de France">BNF</a> <span class="uid"> (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb119327466">1</a>)</span></li> <li><a href="/wiki/Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a> <span class="uid"> (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://d-nb.info/gnd/4182215-8">1</a>)</span></li> <li><a href="/wiki/LCCN" class="mw-redirect" title="LCCN">LCCN</a> <span class="uid"> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/subjects/sh85126383">1</a>)</span></li> <li><a href="/wiki/Biblioteca_Nacional_de_la_Rep%C3%BAblica_Txeca" title="Biblioteca Nacional de la República Txeca">NKC</a> <span class="uid"> (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://aleph.nkp.cz/F/?func=find-c&local_base=aut&ccl_term=ica=ph1086057&CON_LNG=ENG">1</a>)</span></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Obtingut de «<a dir="ltr" href="https://ca.wikipedia.org/w/index.php?title=Relativitat_especial&oldid=34140498">https://ca.wikipedia.org/w/index.php?title=Relativitat_especial&oldid=34140498</a>»</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Especial:Categorias" title="Especial:Categorias">Categoria</a>: <ul><li><a href="/wiki/Categoria:Relativitat_especial" title="Categoria:Relativitat especial">Relativitat especial</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Categories ocultes: <ul><li><a href="/wiki/Categoria:Articles_amb_la_plantilla_Webarchive_amb_enlla%C3%A7_wayback" title="Categoria:Articles amb la plantilla Webarchive amb enllaç wayback">Articles amb la plantilla Webarchive amb enllaç wayback</a></li><li><a href="/wiki/Categoria:Articles_que_necessiten_un_aclariment" title="Categoria:Articles que necessiten un aclariment">Articles que necessiten un aclariment</a></li><li><a href="/wiki/Categoria:P%C3%A0gines_amb_enlla%C3%A7_commonscat_des_de_Wikidata" title="Categoria:Pàgines amb enllaç commonscat des de Wikidata">Pàgines amb enllaç commonscat des de Wikidata</a></li><li><a href="/wiki/Categoria:1.000_articles_fonamentals" title="Categoria:1.000 articles fonamentals">1.000 articles fonamentals</a></li><li><a href="/wiki/Categoria:Ci%C3%A8ncia_(Els_1000_de_META)" title="Categoria:Ciència (Els 1000 de META)">Ciència (Els 1000 de META)</a></li><li><a href="/wiki/Categoria:Control_d%27autoritats" title="Categoria:Control d'autoritats">Control d'autoritats</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> La pàgina va ser modificada per darrera vegada el 24 oct 2024 a les 12:07.</li> <li id="footer-info-copyright">El text està disponible sota la <a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Text_de_la_llic%C3%A8ncia_de_Creative_Commons_Reconeixement-Compartir_Igual_4.0_No_adaptada" title="Viquipèdia:Text de la llicència de Creative Commons Reconeixement-Compartir Igual 4.0 No adaptada"> Llicència de Creative Commons Reconeixement i Compartir-Igual</a>; es poden aplicar termes addicionals. Vegeu les <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Terms_of_Use/ca">Condicions d'ús</a>. Wikipedia® (Viquipèdia™) és una <a href="/wiki/Marca_comercial" title="Marca comercial">marca registrada</a> de <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.wikimediafoundation.org">Wikimedia Foundation, Inc</a>.<br /></li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">Política de privadesa</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Quant_a_la_Viquip%C3%A8dia">Quant al projecte Viquipèdia</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Av%C3%ADs_d%27exempci%C3%B3_de_responsabilitat">Descàrrec de responsabilitat</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Codi de conducta</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Desenvolupadors</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/ca.wikipedia.org">Estadístiques</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Declaració de cookies</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//ca.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Relativitat_especial&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Versió per a mòbils</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-f69cdc8f6-h9gxb","wgBackendResponseTime":186,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.336","walltime":"0.622","ppvisitednodes":{"value":1630,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":21556,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":8348,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":11,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":3,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":10463,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":1,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 211.208 1 -total"," 31.05% 65.582 1 Plantilla:Commonscat"," 27.71% 58.531 1 Plantilla:Sister"," 26.87% 56.750 1 Plantilla:Caixa_lateral"," 18.82% 39.742 3 Plantilla:Article_principal"," 16.74% 35.352 1 Plantilla:Referències"," 12.46% 26.309 1 Plantilla:Autoritat"," 7.51% 15.852 1 Plantilla:Ref-web"," 4.76% 10.059 1 Plantilla:Data_consulta"," 4.40% 9.296 1 Plantilla:1000_Ciència"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.059","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":1547269,"limit":52428800}},"cachereport":{"origin":"mw-web.codfw.main-f69cdc8f6-7g25x","timestamp":"20241123132909","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"Relativitat especial","url":"https:\/\/ca.wikipedia.org\/wiki\/Relativitat_especial","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q11455","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q11455","author":{"@type":"Organization","name":"Contributors to Wikimedia projects"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Wikimedia Foundation, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2005-12-05T19:33:10Z","dateModified":"2024-10-24T11:07:38Z","image":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/5\/50\/Albert_Einstein_%28Nobel%29.png","headline":"teoria que descriu la f\u00edsica del moviment en abs\u00e8ncia de camps gravitacionals"}</script> </body> </html>

CINXE.COM

Relativitat especial - Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure