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id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">Início</div> </a> </li> <li id="toc-Problemas_de_otimização" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Problemas_de_otimização"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1</span> <span>Problemas de otimização</span> </div> </a> <ul id="toc-Problemas_de_otimização-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Notação" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Notação"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>Notação</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Notação-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Alternar a subsecção Notação</span> </button> <ul id="toc-Notação-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Valor_mínimo_e_máximo_de_uma_função" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Valor_mínimo_e_máximo_de_uma_função"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.1</span> <span>Valor mínimo e máximo de uma função</span> </div> </a> <ul id="toc-Valor_mínimo_e_máximo_de_uma_função-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Argumentos_ótimos_de_variáveis" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Argumentos_ótimos_de_variáveis"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2</span> <span>Argumentos ótimos de variáveis</span> </div> </a> <ul id="toc-Argumentos_ótimos_de_variáveis-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-História" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#História"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>História</span> </div> </a> <ul id="toc-História-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Aplicações" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Aplicações"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Aplicações</span> </div> </a> <ul id="toc-Aplicações-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Ver_também" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Ver_também"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Ver também</span> </div> </a> <ul id="toc-Ver_também-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Referências" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Referências"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Referências</span> </div> </a> <ul id="toc-Referências-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Ligações_externas" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Ligações_externas"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>Ligações externas</span> </div> </a> <ul id="toc-Ligações_externas-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Conteúdo" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" title="Índice" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Alternar o índice" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Alternar o índice</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Otimização</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Ir para um artigo noutra língua. Disponível em 55 línguas" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-55" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">55 línguas</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%A7%D8%B3%D8%AA%D9%85%D8%AB%D8%A7%D9%84_(%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%B6%D9%8A%D8%A7%D8%AA)" title="استمثال (رياضيات) — árabe" lang="ar" hreflang="ar" data-title="استمثال (رياضيات)" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="árabe" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/Optimalla%C5%9Fd%C4%B1rma" title="Optimallaşdırma — azerbaijano" lang="az" hreflang="az" data-title="Optimallaşdırma" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="azerbaijano" class="interlanguage-link-target"><span>Azərbaycanca</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D3%99%D1%88%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B5%D2%AF_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Оптималләштереү (математика) — bashkir" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Оптималләштереү (математика)" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="bashkir" class="interlanguage-link-target"><span>Башҡортса</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F" title="Математическа оптимизация — búlgaro" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Математическа оптимизация" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="búlgaro" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%97%E0%A6%BE%E0%A6%A3%E0%A6%BF%E0%A6%A4%E0%A6%BF%E0%A6%95_%E0%A6%95%E0%A6%BE%E0%A6%AE%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%A4%E0%A6%AE%E0%A6%95%E0%A6%B0%E0%A6%A3" title="গাণিতিক কাম্যতমকরণ — bengalês" lang="bn" hreflang="bn" data-title="গাণিতিক কাম্যতমকরণ" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="bengalês" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Optimitzaci%C3%B3_matem%C3%A0tica" title="Optimització matemàtica — catalão" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Optimització matemàtica" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="catalão" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Optimalizace_(matematika)" title="Optimalizace (matematika) — checo" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Optimalizace (matematika)" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="checo" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Optimering_(matematik)" title="Optimering (matematik) — dinamarquês" lang="da" hreflang="da" data-title="Optimering (matematik)" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="dinamarquês" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Mathematische_Optimierung" title="Mathematische Optimierung — alemão" lang="de" hreflang="de" data-title="Mathematische Optimierung" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="alemão" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%92%CE%B5%CE%BB%CF%84%CE%B9%CF%83%CF%84%CE%BF%CF%80%CE%BF%CE%AF%CE%B7%CF%83%CE%B7" title="Βελτιστοποίηση — grego" lang="el" hreflang="el" data-title="Βελτιστοποίηση" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="grego" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_optimization" title="Mathematical optimization — inglês" lang="en" hreflang="en" data-title="Mathematical optimization" data-language-autonym="English" data-language-local-name="inglês" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Optimumigo_(matematiko)" title="Optimumigo (matematiko) — esperanto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Optimumigo (matematiko)" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="esperanto" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Optimizaci%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)" title="Optimización (matemática) — espanhol" lang="es" hreflang="es" data-title="Optimización (matemática)" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="espanhol" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Optimizazio_(matematika)" title="Optimizazio (matematika) — basco" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Optimizazio (matematika)" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="basco" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%A8%D9%87%DB%8C%D9%86%D9%87%E2%80%8C%D8%B3%D8%A7%D8%B2%DB%8C" title="بهینه‌سازی — persa" lang="fa" hreflang="fa" data-title="بهینه‌سازی" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="persa" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Matemaattinen_optimointi" title="Matemaattinen optimointi — finlandês" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Matemaattinen optimointi" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="finlandês" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Optimisation_(math%C3%A9matiques)" title="Optimisation (mathématiques) — francês" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Optimisation (mathématiques)" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="francês" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gcr mw-list-item"><a href="https://gcr.wikipedia.org/wiki/Optimizasyon_(mat%C3%A9matik)" title="Optimizasyon (matématik) — Guianan Creole" lang="gcr" hreflang="gcr" data-title="Optimizasyon (matématik)" data-language-autonym="Kriyòl gwiyannen" data-language-local-name="Guianan Creole" class="interlanguage-link-target"><span>Kriyòl gwiyannen</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Optimizaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica" title="Optimización matemática — galego" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Optimización matemática" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="galego" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%95%D7%A4%D7%98%D7%99%D7%9E%D7%99%D7%96%D7%A6%D7%99%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)" title="אופטימיזציה (מתמטיקה) — hebraico" lang="he" hreflang="he" data-title="אופטימיזציה (מתמטיקה)" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hebraico" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%87%E0%A4%B7%E0%A5%8D%E0%A4%9F%E0%A4%A4%E0%A4%AE%E0%A4%95%E0%A4%B0%E0%A4%A3" title="इष्टतमकरण — hindi" lang="hi" hreflang="hi" data-title="इष्टतमकरण" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="hindi" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Optimizacija_(matematika)" title="Optimizacija (matematika) — croata" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Optimizacija (matematika)" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="croata" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Matematikai_optimaliz%C3%A1l%C3%A1s" title="Matematikai optimalizálás — húngaro" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Matematikai optimalizálás" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="húngaro" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D5%84%D5%A1%D5%A9%D5%A5%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D6%85%D5%BA%D5%BF%D5%AB%D5%B4%D5%AB%D5%A6%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%A1" title="Մաթեմատիկական օպտիմիզացիա — arménio" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Մաթեմատիկական օպտիմիզացիա" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="arménio" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hyw mw-list-item"><a href="https://hyw.wikipedia.org/wiki/%D5%88%D6%82%D5%BD%D5%B8%D5%B2%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D4%BE%D6%80%D5%A1%D5%A3%D6%80%D5%A1%D6%82%D5%B8%D6%80%D5%B8%D6%82%D5%B4" title="Ուսողական Ծրագրաւորում — Western Armenian" lang="hyw" hreflang="hyw" data-title="Ուսողական Ծրագրաւորում" data-language-autonym="Արեւմտահայերէն" data-language-local-name="Western Armenian" class="interlanguage-link-target"><span>Արեւմտահայերէն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Optimisasi" title="Optimisasi — indonésio" lang="id" hreflang="id" data-title="Optimisasi" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonésio" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Ottimizzazione_(matematica)" title="Ottimizzazione (matematica) — italiano" lang="it" hreflang="it" data-title="Ottimizzazione (matematica)" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italiano" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E7%90%86%E6%9C%80%E9%81%A9%E5%8C%96" title="数理最適化 — japonês" lang="ja" hreflang="ja" data-title="数理最適化" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japonês" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8B%D2%9B_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F" title="Математикалық оптимизация — cazaque" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Математикалық оптимизация" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="cazaque" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%88%98%ED%95%99%EC%A0%81_%EC%B5%9C%EC%A0%81%ED%99%94" title="수학적 최적화 — coreano" lang="ko" hreflang="ko" data-title="수학적 최적화" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="coreano" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lo mw-list-item"><a href="https://lo.wikipedia.org/wiki/%E0%BA%81%E0%BA%B2%E0%BA%99%E0%BA%8A%E0%BA%AD%E0%BA%81%E0%BA%84%E0%BB%88%E0%BA%B2%E0%BB%80%E0%BB%9D%E0%BA%B2%E0%BA%B0%E0%BA%AA%E0%BA%BB%E0%BA%A1_(%E0%BA%84%E0%BA%B0%E0%BA%99%E0%BA%B4%E0%BA%94%E0%BA%AA%E0%BA%B2%E0%BA%94)" title="ການຊອກຄ່າເໝາະສົມ (ຄະນິດສາດ) — laosiano" lang="lo" hreflang="lo" data-title="ການຊອກຄ່າເໝາະສົມ (ຄະນິດສາດ)" data-language-autonym="ລາວ" data-language-local-name="laosiano" class="interlanguage-link-target"><span>ລາວ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Optimizavimas_(matematika)" title="Optimizavimas (matematika) — lituano" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Optimizavimas (matematika)" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="lituano" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a 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data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="neerlandês" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Matematisk_programmering" title="Matematisk programmering — norueguês nynorsk" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Matematisk programmering" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="norueguês nynorsk" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Optimering" title="Optimering — norueguês bokmål" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Optimering" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="norueguês bokmål" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Optymalizacja_(matematyka)" title="Optymalizacja (matematyka) — polaco" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Optymalizacja (matematyka)" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="polaco" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Optimizare" title="Optimizare — romeno" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Optimizare" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="romeno" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Оптимизация (математика) — russo" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Оптимизация (математика)" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="russo" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Mathematical_optimization" title="Mathematical optimization — Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Mathematical optimization" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Optimaliz%C3%A1cia_(matematika)" title="Optimalizácia (matematika) — eslovaco" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Optimalizácia (matematika)" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="eslovaco" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Optimizacija_(matematika)" title="Optimizacija (matematika) — esloveno" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Optimizacija (matematika)" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="esloveno" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Optimizimi_matematikor" title="Optimizimi matematikor — albanês" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Optimizimi matematikor" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="albanês" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%98%D0%B0_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Оптимизација (математика) — sérvio" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Оптимизација (математика)" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="sérvio" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-su mw-list-item"><a href="https://su.wikipedia.org/wiki/Optimisasi_(matematik)" title="Optimisasi (matematik) — sundanês" lang="su" hreflang="su" data-title="Optimisasi (matematik)" data-language-autonym="Sunda" data-language-local-name="sundanês" class="interlanguage-link-target"><span>Sunda</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Optimeringsl%C3%A4ra" title="Optimeringslära — sueco" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Optimeringslära" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="sueco" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%AB%E0%B8%B2%E0%B8%84%E0%B9%88%E0%B8%B2%E0%B9%80%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B2%E0%B8%B0%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B8%AA%E0%B8%B8%E0%B8%94" title="การหาค่าเหมาะที่สุด — tailandês" lang="th" hreflang="th" data-title="การหาค่าเหมาะที่สุด" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="tailandês" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Optimisasyong_matematikal" title="Optimisasyong matematikal — tagalo" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Optimisasyong matematikal" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="tagalo" class="interlanguage-link-target"><span>Tagalog</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Optimizasyon" title="Optimizasyon — turco" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Optimizasyon" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turco" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D1%96%D0%B7%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Оптимізація (математика) — ucraniano" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Оптимізація (математика)" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ucraniano" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%DA%A9%D8%A7%D9%85%D9%84%DB%8C%D8%AA_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%D8%A7%D8%AA)" title="کاملیت (ریاضیات) — urdu" lang="ur" hreflang="ur" data-title="کاملیت (ریاضیات)" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="urdu" class="interlanguage-link-target"><span>اردو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/T%E1%BB%91i_%C6%B0u_h%C3%B3a_(to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc)" title="Tối ưu hóa (toán học) — vietnamita" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Tối ưu hóa (toán học)" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vietnamita" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%80%E4%BC%98%E5%8C%96" title="最优化 — chinês" lang="zh" hreflang="zh" data-title="最优化" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chinês" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%80%E4%BD%B3%E5%8C%96" title="最佳化 — cantonês" lang="yue" hreflang="yue" data-title="最佳化" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="cantonês" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q141495#sitelinks-wikipedia" title="Editar hiperligações interlínguas" class="wbc-editpage">Editar hiperligações</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Espaços nominais"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Otimiza%C3%A7%C3%A3o" title="Ver a página de conteúdo [c]" accesskey="c"><span>Artigo</span></a></li><li id="ca-talk" class="new vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Discuss%C3%A3o:Otimiza%C3%A7%C3%A3o&action=edit&redlink=1" rel="discussion" class="new" title="Discussão sobre o conteúdo da página (página não existe) [t]" accesskey="t"><span>Discussão</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Mudar a variante da língua" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">português</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div 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</div> <div id="siteSub" class="noprint">Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="pt" dir="ltr"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r68971778">.mw-parser-output .ambox{border:1px solid #a2a9b1;border-left:10px solid #36c;background-color:#fbfbfb;box-sizing:border-box}.mw-parser-output .ambox+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+link+style+.ambox,.mw-parser-output .ambox+link+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+style+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+link+.ambox{margin-top:-1px}html body.mediawiki .mw-parser-output .ambox.mbox-small-left{margin:4px 1em 4px 0;overflow:hidden;width:238px;border-collapse:collapse;font-size:88%;line-height:1.25em}.mw-parser-output .ambox-speedy{border-left:10px solid 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src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/99/Question_book-new.svg/50px-Question_book-new.svg.png" decoding="async" width="50" height="39" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/99/Question_book-new.svg/75px-Question_book-new.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/99/Question_book-new.svg/100px-Question_book-new.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="399" /></a></span></div></td><td class="mbox-text"><div class="mbox-text-span">Esta página <a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Livro_de_estilo/Cite_as_fontes" title="Wikipédia:Livro de estilo/Cite as fontes">cita fontes</a>, mas que <b><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:V" class="mw-redirect" title="Wikipédia:V">não cobrem</a> todo o conteúdo</b>.<span class="hide-when-compact"> Ajude a <a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Livro_de_estilo/Refer%C3%AAncias_e_notas_de_rodap%C3%A9" title="Wikipédia:Livro de estilo/Referências e notas de rodapé">inserir referências</a> (<small><i>Encontre fontes:</i> <span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://wikipedialibrary.wmflabs.org/">ABW</a>  •  <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.periodicos.capes.gov.br">CAPES</a>  •  <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.google.com/search?as_eq=wikipedia&as_epq=Otimiza%C3%A7%C3%A3o">Google</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.google.com/search?hl=pt&tbm=nws&q=Otimiza%C3%A7%C3%A3o&oq=Otimiza%C3%A7%C3%A3o">notícias</a> • <a rel="nofollow" class="external text" href="http://books.google.com/books?&as_brr=0&as_epq=Otimiza%C3%A7%C3%A3o">livros</a> • <a rel="nofollow" class="external text" href="https://scholar.google.com/scholar?hl=pt&q=Otimiza%C3%A7%C3%A3o">acadêmico</a>)</span></small>).</span> <small class="date-container"><i>(<span class="date">Fevereiro de 2020</span>)</i></small></div></td></tr></tbody></table> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Ficheiro:Max_paraboloid.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/72/Max_paraboloid.svg/220px-Max_paraboloid.svg.png" decoding="async" width="220" height="176" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/72/Max_paraboloid.svg/330px-Max_paraboloid.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/72/Max_paraboloid.svg/440px-Max_paraboloid.svg.png 2x" data-file-width="700" data-file-height="560" /></a><figcaption>Gráfico de a dado por <i>z</i> = f(<i>x</i>, <i>y</i>) = −(<i>x</i>² + <i>y</i>²) + 4. O <a href="/wiki/Pontos_extremos_de_uma_fun%C3%A7%C3%A3o" title="Pontos extremos de uma função">máximo</a> global em (<i>x, y, z</i>) = (0, 0, 4) é indicado por um ponto azul</figcaption></figure> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Ficheiro:Nelder-Mead_Simionescu.gif" class="mw-file-description"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/33/Nelder-Mead_Simionescu.gif/220px-Nelder-Mead_Simionescu.gif" decoding="async" width="220" height="220" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/33/Nelder-Mead_Simionescu.gif/330px-Nelder-Mead_Simionescu.gif 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/33/Nelder-Mead_Simionescu.gif/440px-Nelder-Mead_Simionescu.gif 2x" data-file-width="1000" data-file-height="1000" /></a><figcaption>Pesquisa mínima de Nelder-Mead da função de Simionescu . Os vértices <a href="/wiki/Simplex_(topologia)" title="Simplex (topologia)">simplex</a> são ordenados por seus valores, sendo 1 o valor mais baixo (<span style="font-family: Georgia, 'DejaVu Serif', serif;"><i><b>fx</b></i></span> melhor)</figcaption></figure> <p><span class="no-conversion"><b><span lang="pt-br">Otimização</span></b> <sup>(<a href="/wiki/Portugu%C3%AAs_brasileiro" title="Português brasileiro">português brasileiro</a>)</sup> ou <b><span lang="pt-pt">optimização</span></b> <sup>(<a href="/wiki/Portugu%C3%AAs_europeu" title="Português europeu">português europeu</a>)</sup></span> <b>matemática</b> ou <b>programação matemática</b> é a seleção de um melhor elemento, com relação a algum critério, de algum conjunto de alternativas disponíveis.<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span>[</span>1<span>]</span></a></sup> Problemas de otimização surgem em todas as <a href="/wiki/Disciplina_(conhecimento)" title="Disciplina (conhecimento)">disciplinas</a> quantitativas, desde <a href="/wiki/Ci%C3%AAncia_da_computa%C3%A7%C3%A3o" title="Ciência da computação">ciência da computação</a> e <a href="/wiki/Engenharia" title="Engenharia">engenharia</a><sup id="cite_ref-edo2021_2-0" class="reference"><a href="#cite_note-edo2021-2"><span>[</span>2<span>]</span></a></sup> até <a href="/wiki/Investiga%C3%A7%C3%A3o_operacional" title="Investigação operacional">pesquisa operacional</a> e <a href="/wiki/Economia" title="Economia">economia</a>, e o desenvolvimento de métodos de solução tem sido de interesse da <a href="/wiki/Matem%C3%A1tica" title="Matemática">matemática</a> há séculos.<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span>[</span>3<span>]</span></a></sup> </p><p>No caso mais simples, um problema de otimização consiste em maximizar ou minimizar uma <a href="/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_real" title="Função real">função real</a> escolhendo sistematicamente valores de entrada de um conjunto permitido e computando o valor da <a href="/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)" title="Função (matemática)">função</a>. A generalização da teoria e técnicas de otimização para outras formulações constitui uma grande área da matemática aplicada. De maneira mais geral, a otimização inclui encontrar os "melhores valores disponíveis" de alguma função objetivo dado um domínio (ou entrada) definido, incluindo uma variedade de diferentes tipos de funções objetivas e diferentes tipos de domínios. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Problemas_de_otimização"><span id="Problemas_de_otimiza.C3.A7.C3.A3o"></span>Problemas de otimização</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Otimiza%C3%A7%C3%A3o&veaction=edit&section=1" title="Editar secção: Problemas de otimização" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Otimiza%C3%A7%C3%A3o&action=edit&section=1" title="Editar código-fonte da secção: Problemas de otimização"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Um problema de otimização pode ser representado da seguinte forma: </p> <dl><dd><i>Dados:</i> uma <a href="/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)" title="Função (matemática)">função</a> <i>f</i> : <i>A</i> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \to }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">→</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \to }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1daab843254cfcb23a643070cf93f3badc4fbbbd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.324ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \to }"></span> <b>R</b> de algum <a href="/wiki/Conjunto" title="Conjunto">conjunto</a> <i>A</i> de <a href="/wiki/N%C3%BAmero_real" title="Número real">números reais</a>;</dd> <dd><i>Buscando:</i> um elemento <i>x</i><sub>0</sub> em <i>A</i> tal que <i>f</i>(<i>x</i><sub>0</sub>) ≤ <i>f</i>(<i>x</i>) para todo <i>x</i> em <i>A</i> ("minimização") ou tal que <i>f</i>(<i>x</i><sub>0</sub>) ≥ <i>f</i>(<i>x</i>) para todo <i>x</i> em <i>A</i> ("maximização").</dd></dl> <p>Tal formulação é chamada de um <i><a href="/wiki/Problema_de_otimiza%C3%A7%C3%A3o" title="Problema de otimização">problema de otimização</a></i> ou um <i>problema de programação matemática</i> (um termo não diretamente relacionado à <a href="/wiki/Programa%C3%A7%C3%A3o_de_computadores" title="Programação de computadores">programação de computadores</a>, mas ainda em uso, por exemplo, na <a href="/wiki/Programa%C3%A7%C3%A3o_linear" title="Programação linear">programação linear</a>). Muitos problemas do mundo real e teóricos podem ser modelados nessa estrutura geral. Problemas formulados usando esta técnica nos campos da <a href="/wiki/F%C3%ADsica" title="Física">física</a> e da <a href="/wiki/Vis%C3%A3o_computacional" title="Visão computacional">visão computacional</a> podem se referir à técnica como <i>minimização de energia</i>, tratando o valor da função <i>f</i> como representativo da energia do <a href="/wiki/Sistema" title="Sistema">sistema</a> sendo <a href="/wiki/Modelo_(matem%C3%A1tica)" title="Modelo (matemática)">modelado</a>. </p><p>Normalmente, <i>A</i> é algum <a href="/wiki/Subconjunto" title="Subconjunto">subconjunto</a> do <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_euclidiano" title="Espaço euclidiano">espaço euclidiano</a> <b>R</b><sup><i>n</i></sup>, muitas vezes especificado por um conjunto de <i><a href="/wiki/Restri%C3%A7%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)" title="Restrição (matemática)">restrições</a></i>, igualdades ou desigualdades que os membros de <i>A</i> devem satisfazer. O <a href="/wiki/Dom%C3%ADnio_(matem%C3%A1tica)" title="Domínio (matemática)">domínio</a> <i>A</i> de <i>f</i> é chamado de <i>espaço de busca</i> ou o <i>conjunto de escolha</i>, enquanto os elementos de <i>A</i> são chamados de <i><a href="/w/index.php?title=Solu%C3%A7%C3%A3o_candidata&action=edit&redlink=1" class="new" title="Solução candidata (página não existe)">soluções candidatas</a></i> ou <i>soluções viáveis</i>. </p><p>A função <i>f</i> é chamada, alternadamente, de <b>função objetivo</b>, <b>função de custo</b> (minimização), <b>função utilidade</b> (maximização), ou, em certos campos, <b>função de energia</b>, ou <b>energia <a href="/w/index.php?title=Funcional_(matem%C3%A1tica)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Funcional (matemática) (página não existe)">funcional</a></b>. Uma solução viável que minimiza (ou maximiza, se este é a intenção) a função objetivo é chamada de uma <i>solução ótima</i>. </p><p>Por convenção, a forma padrão de um problema de otimização é definida em termos de minimização. Geralmente, a menos que tanto a função objetivo quanto a região viável sejam convexas em um problema de minimização, pode haver alguns mínimos locais, onde um <i>mínimo local</i> x<sup>*</sup> é definido como um ponto para o qual existe algum δ > 0 de modo que para todo x </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|\mathbf {x} -\mathbf {x} ^{*}\|\leq \delta ;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo>−</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mo>≤</mo> <mi>δ</mi> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|\mathbf {x} -\mathbf {x} ^{*}\|\leq \delta ;}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a38ff30060e09d5f7861da3d4396c7308a539e3f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.835ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \|\mathbf {x} -\mathbf {x} ^{*}\|\leq \delta ;}"></span></dd></dl> <p>a expressão </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(\mathbf {x} ^{*})\leq f(\mathbf {x} )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≤</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(\mathbf {x} ^{*})\leq f(\mathbf {x} )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2bdfeeeaea0eabf6be5ba400a6b35d66ae64cbd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.15ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(\mathbf {x} ^{*})\leq f(\mathbf {x} )}"></span></dd></dl> <p>é verdadeira. Ou seja, em alguma região ao redor de x<sup>*</sup> todos os valores de função são maiores ou iguais ao valor naquele ponto. Os máximos locais são definidos de forma similar. </p><p>Um grande número de algoritmos propostos para resolver problemas não-convexos - incluindo a maioria dos programas comercialmente disponíveis - não são capazes de fazer uma distinção entre soluções ótimas locais e soluções ótimas rigorosas, e irão tratar as primeiras como verdadeiras soluções para o problema original. O ramo da <a href="/wiki/Matem%C3%A1tica_aplicada" title="Matemática aplicada">matemática aplicada</a> e da <a href="/wiki/An%C3%A1lise_num%C3%A9rica" title="Análise numérica">análise numérica</a> que se preocupa com o desenvolvimento de algoritmos deterministas que são capazes de garantir convergência em um tempo finito à solução ótima verdadeira de um problema não-convexo é chamada de <a href="/w/index.php?title=Otimiza%C3%A7%C3%A3o_global&action=edit&redlink=1" class="new" title="Otimização global (página não existe)">otimização global</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notação"><span id="Nota.C3.A7.C3.A3o"></span>Notação</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Otimiza%C3%A7%C3%A3o&veaction=edit&section=2" title="Editar secção: Notação" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Otimiza%C3%A7%C3%A3o&action=edit&section=2" title="Editar código-fonte da secção: Notação"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Os problemas de otimização são normalmente expressos com uma notação especial. Aqui estão alguns exemplos. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Valor_mínimo_e_máximo_de_uma_função"><span id="Valor_m.C3.ADnimo_e_m.C3.A1ximo_de_uma_fun.C3.A7.C3.A3o"></span>Valor mínimo e máximo de uma função</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Otimiza%C3%A7%C3%A3o&veaction=edit&section=3" title="Editar secção: Valor mínimo e máximo de uma função" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Otimiza%C3%A7%C3%A3o&action=edit&section=3" title="Editar código-fonte da secção: Valor mínimo e máximo de uma função"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Considere a seguinte notação: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \min _{x\in \mathbb {R} }\;(x^{2}+1)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">min</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mrow> </munder> <mspace width="thickmathspace" /> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \min _{x\in \mathbb {R} }\;(x^{2}+1)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dab584903c901e13c4cf7efa1226c84b25f2f94" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:12.716ex; height:4.343ex;" alt="{\displaystyle \min _{x\in \mathbb {R} }\;(x^{2}+1)}"></span></dd></dl> <p>Ela denota o <a href="/w/index.php?title=Valor_(matem%C3%A1tica)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Valor (matemática) (página não existe)">valor</a> mínimo de uma função objetivo <i>x</i><sup>2</sup><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle +1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle +1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d04cf05c67d41d9f39dabf6a90722ce860a76958" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:2.971ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle +1}"></span>, ao escolher <i>x</i> de um conjunto de <a href="/wiki/N%C3%BAmero_real" title="Número real">números reais</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }"></span>. O valor mínimo neste caso é <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}"></span>, ocorrendo em <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/953917eaf52f2e1baad54c8c9e3d6f9bb3710cdc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.591ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x=0}"></span>. </p><p>Da mesma forma, a notação </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \max _{x\in \mathbb {R} }\;2x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">max</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mrow> </munder> <mspace width="thickmathspace" /> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \max _{x\in \mathbb {R} }\;2x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a128d2c279975694f4c98533554a03f500780804" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:7.85ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle \max _{x\in \mathbb {R} }\;2x}"></span></dd></dl> <p>pede pelo valor máximo de uma função objetivo 2<i>x</i>, onde <i>x</i> pode ser qualquer número real. Neste caso, não há qualquer máximo visto que a função objetivo é irrestrita, então a resposta é "<a href="/wiki/Infinito" title="Infinito">infinito</a>" ou "indefinida". </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Argumentos_ótimos_de_variáveis"><span id="Argumentos_.C3.B3timos_de_vari.C3.A1veis"></span>Argumentos ótimos de variáveis</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Otimiza%C3%A7%C3%A3o&veaction=edit&section=4" title="Editar secção: Argumentos ótimos de variáveis" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Otimiza%C3%A7%C3%A3o&action=edit&section=4" title="Editar código-fonte da secção: Argumentos ótimos de variáveis"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Considere a seguinte notação: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\underset {x\in (-\infty ,-1]}{\operatorname {arg\,min} }}\;x^{2}+1,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <mi mathvariant="normal">a</mi> <mi mathvariant="normal">r</mi> <mi mathvariant="normal">g</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi mathvariant="normal">m</mi> <mi mathvariant="normal">i</mi> <mi mathvariant="normal">n</mi> </mrow> <mrow> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> <mo>,</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">]</mo> </mrow> </munder> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\underset {x\in (-\infty ,-1]}{\operatorname {arg\,min} }}\;x^{2}+1,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39c071258fcecb43aaf25920b9833589bc35036c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:16.292ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle {\underset {x\in (-\infty ,-1]}{\operatorname {arg\,min} }}\;x^{2}+1,}"></span></dd></dl> <p>ou de forma equivalente </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,min} }}\;x^{2}+1,\;{\text{subject to:}}\;x\in (-\infty ,-1].}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <mi mathvariant="normal">a</mi> <mi mathvariant="normal">r</mi> <mi mathvariant="normal">g</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi mathvariant="normal">m</mi> <mi mathvariant="normal">i</mi> <mi mathvariant="normal">n</mi> </mrow> <mi>x</mi> </munder> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>subject to:</mtext> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> <mo>,</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,min} }}\;x^{2}+1,\;{\text{subject to:}}\;x\in (-\infty ,-1].}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2ecc7504e271936684860c5d738740d0841edac" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:41.837ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,min} }}\;x^{2}+1,\;{\text{subject to:}}\;x\in (-\infty ,-1].}"></span></dd></dl> <p>Ela representa o valor (ou valores) do <a href="/wiki/Argumento_de_uma_fun%C3%A7%C3%A3o" title="Argumento de uma função">argumento</a> <i>x</i> no <a href="/wiki/Intervalo_(matem%C3%A1tica)" title="Intervalo (matemática)">intervalo</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (-\infty ,-1]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> <mo>,</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (-\infty ,-1]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3159526ce3102ba58727dfc08cb732b19fdd0b96" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.688ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (-\infty ,-1]}"></span> que minimiza (ou minimizam) a função objetivo <i>x</i><sup>2</sup> + 1 (o verdadeiro valor mínimo da função pelo qual o problema não perguntou). Neste caso, a resposta é <i>x</i> = -1, desde que <i>x</i> = 0 é inviável, i.e., não pertence ao <a href="/w/index.php?title=Conjunto_candidato&action=edit&redlink=1" class="new" title="Conjunto candidato (página não existe)">conjunto candidato</a>. </p><p>De forma semelhante, </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\underset {x\in [-5,5],\;y\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\;x\cos(y),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <mi mathvariant="normal">a</mi> <mi mathvariant="normal">r</mi> <mi mathvariant="normal">g</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi mathvariant="normal">m</mi> <mi mathvariant="normal">a</mi> <mi mathvariant="normal">x</mi> </mrow> <mrow> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mo>−</mo> <mn>5</mn> <mo>,</mo> <mn>5</mn> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>y</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mrow> </munder> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>x</mi> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\underset {x\in [-5,5],\;y\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\;x\cos(y),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a821b5f32ba0a33ed4f712423e44edd613e3696" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:19.618ex; height:5.009ex;" alt="{\displaystyle {\underset {x\in [-5,5],\;y\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\;x\cos(y),}"></span></dd></dl> <p>ou equivalentemente </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\underset {x,\;y}{\operatorname {arg\,max} }}\;x\cos(y),\;{\text{subject to:}}\;x\in [-5,5],\;y\in \mathbb {R} ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <mi mathvariant="normal">a</mi> <mi mathvariant="normal">r</mi> <mi mathvariant="normal">g</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi mathvariant="normal">m</mi> <mi mathvariant="normal">a</mi> <mi mathvariant="normal">x</mi> </mrow> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>y</mi> </mrow> </munder> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>x</mi> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>subject to:</mtext> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mo>−</mo> <mn>5</mn> <mo>,</mo> <mn>5</mn> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>y</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\underset {x,\;y}{\operatorname {arg\,max} }}\;x\cos(y),\;{\text{subject to:}}\;x\in [-5,5],\;y\in \mathbb {R} ,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a588eccb13c01b752b4fae06f4b90fff204f06ea" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:47.82ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle {\underset {x,\;y}{\operatorname {arg\,max} }}\;x\cos(y),\;{\text{subject to:}}\;x\in [-5,5],\;y\in \mathbb {R} ,}"></span></dd></dl> <p>representa o par (ou pares) <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,y)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41cf50e4a314ca8e2c30964baa8d26e5be7a9386" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.328ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,y)}"></span> que maximiza (ou maximizam) o valor da função objetivo <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\cos(y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\cos(y)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6380b1ab1185be3f64791b973b3bdb6745670f7c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.793ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x\cos(y)}"></span>, com a restrição adicional de que <i>x</i> está no intervalo <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [-5,5]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mo>−</mo> <mn>5</mn> <mo>,</mo> <mn>5</mn> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [-5,5]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6e33603930f175fbb5b1bb25c0a106f4564cb47" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.461ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [-5,5]}"></span> (novamente, o valor máximo verdadeiro da expressão não importa). Neste caso, as soluções são os pares da forma (5, 2k<a href="/wiki/Pi" title="Pi">π</a>) e (−5,(2k+1)π), onde <i>k</i> varia sobre todos os <a href="/wiki/N%C3%BAmero_inteiro" title="Número inteiro">números inteiros</a>. </p><p><b>Arg min</b> e <b>arg max</b> algumas vezes são escritos como <b>argmin</b> e <b>argmax</b>, e correspondem a <b>argumento do mínimo</b> e <b>argumento do máximo</b>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="História"><span id="Hist.C3.B3ria"></span>História</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Otimiza%C3%A7%C3%A3o&veaction=edit&section=5" title="Editar secção: História" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Otimiza%C3%A7%C3%A3o&action=edit&section=5" title="Editar código-fonte da secção: História"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>O <a href="/wiki/M%C3%A9todo_do_gradiente" title="Método do gradiente">método do gradiente</a> ("<i>gradient descent</i>"), ou "método da descida mais íngreme" ("<i>steepest descent</i>"), e o <a href="/wiki/M%C3%A9todo_dos_m%C3%ADnimos_quadrados" title="Método dos mínimos quadrados">método dos mínimos quadrados</a> são técnicas de otimização que remontam a <a href="/wiki/Gauss" class="mw-redirect" title="Gauss">Gauss</a>. Historicamente, a terminologia <a href="/wiki/Programa%C3%A7%C3%A3o_linear" title="Programação linear">programação linear</a> ("<i>linear programming</i>"), criada por <a href="/wiki/George_Dantzig" title="George Dantzig">George Dantzig</a>, foi a primeira utilizada, embora muito da teoria tivesse sido introduzida por <a href="/wiki/Leonid_Kantorovich" title="Leonid Kantorovich">Leonid Kantorovich</a>, em 1939. Dantzig publicou o <a href="/wiki/Algoritmo_simplex" title="Algoritmo simplex">algoritmo simplex</a>, em 1947, e <a href="/wiki/John_von_Neumann" title="John von Neumann">John von Neumann</a> desenvolveu a teoria da <a href="/wiki/Dualidade" class="mw-redirect" title="Dualidade">dualidade</a> no mesmo ano. Nesse contexto, "<i>programação</i>" não se refere a <a href="/wiki/Programa%C3%A7%C3%A3o" class="mw-redirect" title="Programação">programação</a> de <a href="/wiki/Computador" title="Computador">computadores</a> (apesar destes serem extensivamente usados hoje em dia para resolver <a href="/wiki/Problema_matem%C3%A1tico" title="Problema matemático">problemas matemáticos</a>), mas ao termo "<i>programa</i>", utilizado pelos militares norte-americanos para referirem-se à agenda proposta de horários para <a href="/wiki/Treinamento" title="Treinamento">treinamentos</a> e ações <a href="/wiki/Log%C3%ADstica" title="Logística">logísticas</a>, que eram os problemas que Dantzig estava estudando à época. (Além disso, mais tarde, a utilização do termo "programação" foi aparentemente importante para obtenção de financiamento público, pois estava associada a áreas de pesquisa de <a href="/wiki/Alta_tecnologia" title="Alta tecnologia">alta tecnologia</a> consideradas importantes.) </p><p>Outros importantes matemáticos no campo da otimização são: </p> <div>   <table class="multicol" role="presentation" style="border-collapse: collapse; padding: 0; border: 0; background:transparent; color: inherit; width:100%;"><tbody><tr> <td style="width: 50%;text-align: left; vertical-align: top;"> <ul><li><a href="/wiki/Richard_Bellman" title="Richard Bellman">Richard Bellman</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Ronald_A._Howard&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ronald A. Howard (página não existe)">Ronald A. Howard</a></li> <li><a href="/wiki/Leonid_Kantorovich" title="Leonid Kantorovich">Leonid Kantorovich</a></li> <li><a href="/wiki/Narendra_Karmarkar" title="Narendra Karmarkar">Narendra Karmarkar</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=William_Karush&action=edit&redlink=1" class="new" title="William Karush (página não existe)">William Karush</a></li> <li><a href="/wiki/Leonid_Khachiyan" title="Leonid Khachiyan">Leonid Khachiyan</a></li> <li><a href="/wiki/Bernard_Koopman" title="Bernard Koopman">Bernard Koopman</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Harold_Kuhn&action=edit&redlink=1" class="new" title="Harold Kuhn (página não existe)">Harold Kuhn</a></li> <li><a href="/wiki/Joseph_Louis_Lagrange" class="mw-redirect" title="Joseph Louis Lagrange">Joseph Louis Lagrange</a></li> <li><a href="/wiki/L%C3%A1szl%C3%B3_Lov%C3%A1sz" title="László Lovász">László Lovász</a></li></ul> <p>  </p> </td> <td style="width: 50%;text-align: left; vertical-align: top;"> <ul><li><a href="/w/index.php?title=Arkadii_Nemirovskii&action=edit&redlink=1" class="new" title="Arkadii Nemirovskii (página não existe)">Arkadii Nemirovskii</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Yurii_Nesterov&action=edit&redlink=1" class="new" title="Yurii Nesterov (página não existe)">Yurii Nesterov</a></li> <li><a href="/wiki/John_von_Neumann" title="John von Neumann">John von Neumann</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Boris_Polyak&action=edit&redlink=1" class="new" title="Boris Polyak (página não existe)">Boris Polyak</a></li> <li><a href="/wiki/Lev_Pontryagin" title="Lev Pontryagin">Lev Pontryagin</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=James_Renegar&action=edit&redlink=1" class="new" title="James Renegar (página não existe)">James Renegar</a></li> <li><a href="/wiki/R._Tyrrell_Rockafellar" class="mw-redirect" title="R. Tyrrell Rockafellar">R. Tyrrell Rockafellar</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Cornelis_Roos&action=edit&redlink=1" class="new" title="Cornelis Roos (página não existe)">Cornelis Roos</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Naum_Z._Shor&action=edit&redlink=1" class="new" title="Naum Z. Shor (página não existe)">Naum Z. Shor</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Michael_J._Todd_(mathematician)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Michael J. Todd (mathematician) (página não existe)">Michael J. Todd</a></li> <li><a href="/wiki/Albert_W._Tucker" class="mw-redirect" title="Albert W. Tucker">Albert Tucker</a></li></ul> <p>  </p> </td> <td style="width: 50%;text-align: left; vertical-align: top;"> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Ficheiro:Gradient_descent.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/79/Gradient_descent.png/190px-Gradient_descent.png" decoding="async" width="190" height="209" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/79/Gradient_descent.png/285px-Gradient_descent.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/79/Gradient_descent.png/380px-Gradient_descent.png 2x" data-file-width="482" data-file-height="529" /></a><figcaption>Ilustração do método do gradiente</figcaption></figure> <p>  </p> </td></tr></tbody></table></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Aplicações"><span id="Aplica.C3.A7.C3.B5es"></span>Aplicações</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Otimiza%C3%A7%C3%A3o&veaction=edit&section=6" title="Editar secção: Aplicações" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Otimiza%C3%A7%C3%A3o&action=edit&section=6" title="Editar código-fonte da secção: Aplicações"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Anteriormente, a principal preocupação do desenhista era conceber e construir um sistema com uma capacidade previamente especificada, enquanto a eficiência e o custo eram de secundária importância. Atualmente, a tarefa é muito mais demandante e consiste em atingir o objetivo principal (capacidade), porém com o máximo possível de efeitos positivos (eficiência, réditos, benefícios sociais e ambientais) e/ou o mínimo possível de efeitos adversos (consumo de combustível, custos, degradação ambiental). Em outras palavras, o objetivo da otimização de um sistema energético é encontrar a estrutura e os valores dos parâmetros do sistema que minimizam o custo final dos produtos, considerando as restrições impostas pela confiabilidade, disponibilidade, manutenção, operabilidade e impacto ambiental desejados para o sistema. Contudo, a complexidade dos sistemas e processos é tal que a busca pelo máximo ou mínimo de um critério de desempenho pode não ser atingido efetivamente a menos que procedimentos matemáticos determinísticos ou estocásticos, chamados geralmente de otimização, sejam usados. Para aplicar tais procedimentos, o problema considerado deve estar bem definido (objetivos e restrições), requerendo-se primeiro construir um modelo matemático que descreva o desempenho do sistema energético tão fielmente como for possível. Contudo, embora os objetivos estejam bem definidos, os dados frequentemente estão incompletos ou expressados em forma qualitativa ao invés de quantitativa e, além disso, as restrições são fracas ou imprecisas, ambos os casos devendo ser manejados pela expertise do engenheiro e a análise de sensibilidade. Diferentes ferramentas computacionais como são MATLAB, GAMS, LINGO, EXCEL, APMonitor, entre outras, são usadas para a solução desse tipo de problemas. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ver_também"><span id="Ver_tamb.C3.A9m"></span>Ver também</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Otimiza%C3%A7%C3%A3o&veaction=edit&section=7" title="Editar secção: Ver também" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Otimiza%C3%A7%C3%A3o&action=edit&section=7" title="Editar código-fonte da secção: Ver também"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/M%C3%A9todo_do_gradiente_conjugado" title="Método do gradiente conjugado">Método do gradiente conjugado</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%93timo_de_Pareto" class="mw-redirect" title="Ótimo de Pareto">Ótimo de Pareto</a></li> <li><a href="/wiki/Regi%C3%A3o_de_confian%C3%A7a" title="Região de confiança">Região de confiança</a></li></ul> <h2 id="Referências" style="cursor: help;" title="Esta seção foi configurada para não ser editável diretamente. Edite a página toda ou a seção anterior em vez disso."><span id="Refer.C3.AAncias"></span>Referências</h2> <div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"><div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">"<a rel="nofollow" class="external text" href="http://glossary.computing.society.informs.org/index.php?page=nature.html">The Nature of Mathematical Programming</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20140305080324/http://glossary.computing.society.informs.org/index.php?page=nature.html">Arquivado em</a> 2014-03-05 no <a href="/wiki/Wayback_Machine" title="Wayback Machine">Wayback Machine</a>," <i>Mathematical Programming Glossary</i>, INFORMS Computing Society.</span> </li> <li id="cite_note-edo2021-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-edo2021_2-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation book">Martins, Joaquim R. R. A.; Ning, Andrew (1 de outubro de 2021). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.researchgate.net/publication/352413464"><i>Engineering Design Optimization</i></a> (em inglês). [S.l.]: Cambridge University Press. <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:Fontes_de_livros/978-1108833417" title="Especial:Fontes de livros/978-1108833417">978-1108833417</a></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3AOtimiza%C3%A7%C3%A3o&rft.au=Ning%2C+Andrew&rft.aufirst=Joaquim+R.+R.+A.&rft.aulast=Martins&rft.btitle=Engineering+Design+Optimization&rft.date=2021-10-01&rft.genre=book&rft.isbn=978-1108833417&rft.pub=Cambridge+University+Press&rft_id=https%3A%2F%2Fwww.researchgate.net%2Fpublication%2F352413464&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation book">Du, D. Z.; Pardalos, P. M.; Wu, W. (2008). «History of Optimization». In: <a href="/w/index.php?title=Christodoulos_Floudas&action=edit&redlink=1" class="new" title="Christodoulos Floudas (página não existe)">Floudas, C.</a>; Pardalos, P. <i>Encyclopedia of Optimization</i>. Boston: Springer. pp. 1538–1542</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3AOtimiza%C3%A7%C3%A3o&rft.atitle=History+of+Optimization&rft.au=Pardalos%2C+P.+M.&rft.au=Wu%2C+W.&rft.aufirst=D.+Z.&rft.aulast=Du&rft.btitle=Encyclopedia+of+Optimization&rft.date=2008&rft.genre=bookitem&rft.pages=1538-1542&rft.place=Boston&rft.pub=Springer&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> </ol></div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ligações_externas"><span id="Liga.C3.A7.C3.B5es_externas"></span>Ligações externas</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Otimiza%C3%A7%C3%A3o&veaction=edit&section=8" title="Editar secção: Ligações externas" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Otimiza%C3%A7%C3%A3o&action=edit&section=8" title="Editar código-fonte da secção: Ligações externas"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r69325977">@media(max-width:768px){.mw-parser-output .mobile-stack{width:100%!important;float:none!important;margin:10px auto!important;text-align:center!important;box-sizing:border-box!important}.mw-parser-output .mobile-stack .image-container{float:none!important;display:inline-block;padding-bottom:10px}.mw-parser-output .mobile-stack .text-container{margin-left:0!important}}</style><div class="noprint mobile-stack" style="clear: right; border: solid #aaa 1px; margin: 0 0 1em 1em; font-size: 90%; background: var(--background-color-neutral-subtle, #f9f9f9); color: inherit; width: 238px; padding: 5px; spacing: 0; text-align: left; float: right;"> <div class="image-container" style="float: left; vertical-align:middle; margin: 0 10px 0 5px;"><figure class="mw-halign-none" typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/38px-Wikibooks-logo.svg.png" decoding="async" width="38" height="38" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/57px-Wikibooks-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/76px-Wikibooks-logo.svg.png 2x" data-file-width="300" data-file-height="300" /></span><figcaption></figcaption></figure></div> <div class="text-container" style="margin-left: 30px; line-height:normal; vertical-align:middle;">O <a href="/wiki/Wikilivros" title="Wikilivros">Wikilivros</a> tem um livro chamado <i><b><a href="https://pt.wikibooks.org/wiki/Special:Search/Otimiza%C3%A7%C3%A3o" class="extiw" title="b:Special:Search/Otimização">Otimização</a></b></i> </div> </div> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.mathprog.org/">Mathematical Programming Society</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.coin-or.org/">COIN-OR</a>— Infraestrutura Computacional para Pesquisa operacional</li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://glossary.computing.society.informs.org/">Glossário de programação matemática</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.mat.univie.ac.at/%7Eneum/glopt.html">Otimização global</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www2.arnes.si/%7Eljc3m2/igor/links.html">Ligações relacionadas à Otimização</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://plato.asu.edu/guide.html">Decision Tree for Optimization Software</a>Ligações para códigos fontes de algoritmos de otimização</li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.optimization-online.org">Optimization Online</a>Um repositório para <i>e-prints</i> de otimização</li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20081201073937/http://www.bowdoin.edu/faculty/a/alevy/book.shtml">The Basics of Practical Optimization</a>Um texto sobre otimização</li></ul> <dl><dt>Linguagens de modelagem</dt> <dd></dd></dl> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.aimms.com">AIMMS</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.ampl.com/">AMPL</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.gams.com/">GAMS</a>— General Algebraic Modeling System</li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.maximal-usa.com/mpl/">MPL</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.ilog.com/products/oplstudio/">OPL</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20081204072200/http://www.ateji.com/optimj.html">OPTIMJ</a></li></ul> <dl><dt>Solvers</dt> <dd></dd></dl> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.conopt.com/">CONOPT</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.ilog.com/products/cplex/">CPLEX</a>- linear, quadratic, and mixed-integer programming solver</li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20081219135528/http://www.dna-evolutions.com/dnaappletsample.html">JOpt</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20081223123403/http://trilinos.sandia.gov/packages/moocho/">Moocho</a>- a very flexible open-source NLP solver</li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.mosek.com/">Mosek</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20081206021433/http://www.sas.com/technologies/analytics/optimization/">SAS/OR</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.stanford.edu/group/SOL/software.html">Free Optimization Software by Systems Optimization Laboratory, Stanford 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href="http://www.alglib.net/optimization/">ALGLIB</a>Optimization sources. C++, C#, Delphi, Visual Basic.</li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://optalgtoolkit.sourceforge.net/">OAT (Optimization Algorithm Toolkit)</a>- a set of standard optimization algorithms and problems in Java.</li></ul> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r69328899">.mw-parser-output .navbox{box-sizing:border-box;border:1px solid #a2a9b1;width:100%;clear:both;font-size:88%;text-align:center;padding:1px;margin:0 auto 0}.mw-parser-output .navbox .navbox{margin-top:0}.mw-parser-output .navbox+.navbox,.mw-parser-output .navbox+.navbox-styles+.navbox{margin-top:-1px}.mw-parser-output .navbox-inner,.mw-parser-output .navbox-subgroup{width:100%}.mw-parser-output .navbox-group,.mw-parser-output .navbox-title,.mw-parser-output .navbox-abovebelow{padding:0.25em 1em;line-height:1.5em;text-align:center}.mw-parser-output .navbox-group{white-space:nowrap;text-align:right}.mw-parser-output .navbox,.mw-parser-output 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transparent;border:none;-moz-box-shadow:none;-webkit-box-shadow:none;box-shadow:none; padding:0;">v</abbr></a></li><li class="nv-discutir"><a href="/w/index.php?title=Predefini%C3%A7%C3%A3o_Discuss%C3%A3o:%C3%81reas_da_matem%C3%A1tica&action=edit&redlink=1" class="new" title="Predefinição Discussão:Áreas da matemática (página não existe)"><abbr title="Discutir esta predefinição" style=";;background:none transparent;border:none;-moz-box-shadow:none;-webkit-box-shadow:none;box-shadow:none; padding:0;">d</abbr></a></li><li class="nv-editar"><a class="external text" href="https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Predefini%C3%A7%C3%A3o:%C3%81reas_da_matem%C3%A1tica&action=edit"><abbr title="Editar esta predefinição" style=";;background:none transparent;border:none;-moz-box-shadow:none;-webkit-box-shadow:none;box-shadow:none; padding:0;">e</abbr></a></li></ul></div><div id="Áreas_da_matemática" style="font-size:114%;margin:0 4em">Áreas da matemática</div></th></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">Áreas</th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%C3%81lgebra" title="Álgebra">Álgebra</a> (<a href="/wiki/%C3%81lgebra_elementar" title="Álgebra elementar">elementar</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%81lgebra_linear" title="Álgebra linear">linear</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%81lgebra_multilinear" title="Álgebra multilinear">multilinear</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%81lgebra_abstrata" title="Álgebra abstrata">abstrata</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%81lgebra_booleana" class="mw-redirect" title="Álgebra booleana">booleana</a>)</li> <li><a href="/wiki/An%C3%A1lise_matem%C3%A1tica" title="Análise matemática">Análise</a> (<a href="/wiki/An%C3%A1lise_real" title="Análise real">real</a></li> <li><a href="/wiki/An%C3%A1lise_complexa" title="Análise complexa">complexa</a></li> <li><a href="/wiki/An%C3%A1lise_funcional" title="Análise funcional">funcional</a></li> <li><a href="/wiki/An%C3%A1lise_num%C3%A9rica" title="Análise numérica">numérica</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=An%C3%A1lise_matricial&action=edit&redlink=1" class="new" title="Análise matricial (página não existe)">matricial</a></li> <li><a href="/wiki/An%C3%A1lise_n%C3%A3o_padronizada" title="Análise não padronizada">não standard</a>)</li> <li><a href="/wiki/Aritm%C3%A9tica" title="Aritmética">Aritmética</a></li> <li><a href="/wiki/C%C3%A1lculo" class="mw-redirect" title="Cálculo">Cálculo</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_das_categorias" title="Teoria das categorias">Teoria das categorias</a></li> <li><a href="/wiki/Combinat%C3%B3ria" title="Combinatória">Combinatória</a> (<a href="/wiki/Combinat%C3%B3ria" title="Combinatória">finita</a></li> <li><a href="/wiki/Combinat%C3%B3ria_infinit%C3%A1ria" title="Combinatória infinitária">infinita</a>)</li> <li><a href="/wiki/Teoria_da_computa%C3%A7%C3%A3o" title="Teoria da computação">Computação</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_dos_conjuntos" title="Teoria dos conjuntos">Teoria dos conjuntos</a></li> <li><a href="/wiki/Regula%C3%A7%C3%A3o" title="Regulação">Teoria de controle</a></li> <li><a href="/wiki/Criptografia" title="Criptografia">Criptografia</a></li> <li><a href="/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial" title="Equação diferencial">Equações diferenciais</a></li> <li><a href="/wiki/Geometria" title="Geometria">Geometria</a> (<a href="/wiki/Geometria_euclidiana" title="Geometria euclidiana">euclidiana</a></li> <li><a href="/wiki/Geometria_discreta" title="Geometria discreta">discreta</a></li> <li><a href="/wiki/Geometria_alg%C3%A9brica" title="Geometria algébrica">algébrica</a></li> <li><a href="/wiki/Geometria_diferencial" title="Geometria diferencial">diferencial</a></li> <li><a href="/wiki/Geometria_finita" title="Geometria finita">finita</a>)</li> <li><a href="/wiki/Teoria_dos_grafos" title="Teoria dos grafos">Teoria dos grafos</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_da_informa%C3%A7%C3%A3o" title="Teoria da informação">Teoria da informação</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_dos_jogos" title="Teoria dos jogos">Teoria dos jogos</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_de_Lie" title="Teoria de Lie">Teoria de Lie</a></li> <li><a href="/wiki/L%C3%B3gica_matem%C3%A1tica" title="Lógica matemática">Lógica matemática</a></li> <li><a href="/wiki/Estat%C3%ADstica" title="Estatística">Estatística matemática</a></li> <li><a href="/wiki/F%C3%ADsica_matem%C3%A1tica" title="Física matemática">Física matemática</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_da_medida" title="Teoria da medida">Teoria da medida</a></li> <li><a href="/wiki/Metamatem%C3%A1tica" title="Metamatemática">Metamatemática</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_dos_modelos" title="Teoria dos modelos">Teoria dos modelos</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_dos_n%C3%BAmeros" title="Teoria dos números">Teoria dos números</a></li> <li><a class="mw-selflink selflink">Otimização</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_das_probabilidades" title="Teoria das probabilidades">Teoria das probabilidades</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_de_representa%C3%A7%C3%A3o" title="Teoria de representação">Teoria de representação</a></li> <li><a href="/wiki/Sistema_din%C3%A2mico" title="Sistema dinâmico">Sistemas dinâmicos</a></li> <li><a href="/wiki/Topologia_(matem%C3%A1tica)" title="Topologia (matemática)">Topologia</a></li> <li><a href="/wiki/Trigonometria" title="Trigonometria">Trigonometria</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_das_singularidades" title="Teoria das singularidades">Teoria das singularidades</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">Divisões</th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Matem%C3%A1tica_pura" title="Matemática pura">Pura</a></li> <li><a href="/wiki/Matem%C3%A1tica_aplicada" title="Matemática aplicada">Aplicada</a></li> <li><a href="/wiki/Matem%C3%A1tica_discreta" title="Matemática discreta">Discreta</a></li> <li><a href="/wiki/Matem%C3%A1tica_computacional" title="Matemática computacional">Computacional</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r69328899"><div role="navigation" class="navbox" aria-labelledby="Tópicos_em_matemática_industrial_e_aplicada" style="padding:3px"><table class="nowraplinks hlist collapsible autocollapse navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="2"><div class="plainlinks hlist navbar mini"><ul><li class="nv-ver"><a href="/wiki/Predefini%C3%A7%C3%A3o:Matem%C3%A1tica_industrial_e_aplicada" title="Predefinição:Matemática industrial e aplicada"><abbr title="Ver esta predefinição" style=";;background:none transparent;border:none;-moz-box-shadow:none;-webkit-box-shadow:none;box-shadow:none; padding:0;">v</abbr></a></li><li class="nv-discutir"><a href="/w/index.php?title=Predefini%C3%A7%C3%A3o_Discuss%C3%A3o:Matem%C3%A1tica_industrial_e_aplicada&action=edit&redlink=1" class="new" title="Predefinição Discussão:Matemática industrial e aplicada (página não existe)"><abbr title="Discutir esta predefinição" style=";;background:none transparent;border:none;-moz-box-shadow:none;-webkit-box-shadow:none;box-shadow:none; padding:0;">d</abbr></a></li><li class="nv-editar"><a class="external text" href="https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Predefini%C3%A7%C3%A3o:Matem%C3%A1tica_industrial_e_aplicada&action=edit"><abbr title="Editar esta predefinição" style=";;background:none transparent;border:none;-moz-box-shadow:none;-webkit-box-shadow:none;box-shadow:none; padding:0;">e</abbr></a></li></ul></div><div id="Tópicos_em_matemática_industrial_e_aplicada" style="font-size:114%;margin:0 4em">Tópicos em <a href="/wiki/Matem%C3%A1tica_industrial" title="Matemática industrial">matemática industrial</a> e <a href="/wiki/Matem%C3%A1tica_aplicada" title="Matemática aplicada">aplicada</a></div></th></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Matem%C3%A1tica_computacional" title="Matemática computacional">Matemática computacional</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/L%C3%B3gica_computacional" title="Lógica computacional">Lógica computacional</a></li> <li><a href="/wiki/Projeto_de_algoritmos" title="Projeto de algoritmos">Projeto</a> e <a href="/wiki/An%C3%A1lise_de_algoritmos" title="Análise de algoritmos">análise de algoritmos</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_da_informa%C3%A7%C3%A3o" title="Teoria da informação">Teoria da informação</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_de_c%C3%B3digos" title="Teoria de códigos">Teoria de códigos</a></li> <li><a href="/wiki/Criptografia" title="Criptografia">Criptografia</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Matem%C3%A1tica_discreta" title="Matemática discreta">Matemática discreta</a></th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Matem%C3%A1tica_simb%C3%B3lica" title="Matemática simbólica">Álgebra computacional</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_computacional_dos_n%C3%BAmeros" title="Teoria computacional dos números">Teoria computacional dos números</a></li> <li><a href="/wiki/Combinat%C3%B3ria" title="Combinatória">Combinatória</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_dos_grafos" title="Teoria dos grafos">Teoria dos grafos</a></li> <li><a href="/wiki/Geometria_discreta" title="Geometria discreta">Geometria discreta</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/F%C3%ADsica_matem%C3%A1tica" title="Física matemática">Física algébrica</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/w/index.php?title=%C3%81lgebra_de_operadores&action=edit&redlink=1" class="new" title="Álgebra de operadores (página não existe)">Álgebra de operadores</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=F%C3%ADsica_de_part%C3%ADculas_e_teoria_da_representa%C3%A7%C3%A3o&action=edit&redlink=1" class="new" title="Física de partículas e teoria da representação (página não existe)">Física de partículas e teoria da representação</a></li> <li><a href="/wiki/Grupo_de_renormaliza%C3%A7%C3%A3o" title="Grupo de renormalização">Grupo de renormalização</a></li> <li><a href="/wiki/Integra%C3%A7%C3%A3o_funcional" title="Integração funcional">Integração funcional</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria-M" title="Teoria-M">Teoria-M</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/F%C3%ADsica_matem%C3%A1tica" title="Física matemática">Física analítica</a></th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Geometria_diferencial" title="Geometria diferencial">Geometria diferencial</a></li> <li><a href="/wiki/An%C3%A1lise_de_Fourier" title="Análise de Fourier">Análise de Fourier</a></li> <li><a href="/wiki/An%C3%A1lise_harm%C3%B3nica" title="Análise harmónica">Análise harmônica</a></li> <li><a href="/wiki/An%C3%A1lise_funcional" title="Análise funcional">Análise funcional</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_dos_operadores" title="Teoria dos operadores">Teoria dos operadores</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/An%C3%A1lise_matem%C3%A1tica" title="Análise matemática">Análise</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Teoria_da_aproxima%C3%A7%C3%A3o" title="Teoria da aproximação">Teoria da aproximação</a></li> <li><a href="/wiki/An%C3%A1lise_num%C3%A9rica" title="Análise numérica">Análise numérica</a></li> <li><a href="/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial" title="Equação diferencial">Equações diferenciais</a></li> <li><a href="/wiki/Sistema_din%C3%A2mico" title="Sistema dinâmico">Sistemas dinâmicos</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_de_controle" title="Teoria de controle">Teoria de controle</a></li> <li><a href="/wiki/C%C3%A1lculo_de_varia%C3%A7%C3%B5es" class="mw-redirect" title="Cálculo de variações">Cálculo variacional</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Teoria_das_probabilidades" title="Teoria das probabilidades">Teoria das probabilidades</a></th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Distribui%C3%A7%C3%A3o_de_probabilidade" title="Distribuição de probabilidade">Distribuições</a> de <a href="/wiki/Vari%C3%A1vel_aleat%C3%B3ria" title="Variável aleatória">variáveis aleatórias</a></li> <li><a href="/wiki/Processo_estoc%C3%A1stico" title="Processo estocástico">Processo estocástico</a></li> <li><a href="/wiki/C%C3%A1lculo_estoc%C3%A1stico" title="Cálculo estocástico">Cálculo estocástico</a></li> <li><a href="/wiki/Integra%C3%A7%C3%A3o_funcional" title="Integração funcional">Integração funcional</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Teoria_da_decis%C3%A3o" title="Teoria da decisão">Teoria da decisão</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Estat%C3%ADstica" title="Estatística">Estatística</a></li> <li><a href="/wiki/Investiga%C3%A7%C3%A3o_operacional" title="Investigação operacional">Pesquisa operacional</a></li> <li><a class="mw-selflink selflink">Otimização</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_dos_jogos" title="Teoria dos jogos">Teoria dos jogos</a></li> <li><a href="/wiki/Economia_matem%C3%A1tica" title="Economia matemática">Economia matemática</a></li> <li><a href="/wiki/Matem%C3%A1tica_financeira" title="Matemática financeira">Matemática financeira</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">Outras aplicações</th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/w/index.php?title=The_Unreasonable_Effectiveness_of_Mathematics_in_the_Natural_Sciences&action=edit&redlink=1" class="new" title="The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences (página não existe)">Aplicabilidade da matemática (filosofia)</a></li> <li><a href="/wiki/Biologia_te%C3%B3rica" title="Biologia teórica">Biologia</a></li> <li><a href="/wiki/Qu%C3%ADmica_matem%C3%A1tica" title="Química matemática">Química</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Psicologia_matem%C3%A1tica&action=edit&redlink=1" class="new" title="Psicologia matemática (página não existe)">Psicologia</a></li> <li><a href="/wiki/Sociologia_matem%C3%A1tica" title="Sociologia matemática">Sociologia</a></li></ul> </div></td></tr><tr><td class="navbox-abovebelow" colspan="2"><div> <ul><li><b><a href="/wiki/Categoria:Matem%C3%A1tica" title="Categoria:Matemática">Categoria</a></b></li> <li><a href="/wiki/Portal:Matem%C3%A1tica" title="Portal:Matemática">Portal de matemática</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div> <ul class="noprint navigation-box" style="border-top: solid silver 1px; border-right: solid silver 1px; border-bottom:1px solid silver; border-left: solid silver 1px; padding:3px; background-color: #F9F9F9; text-align: center; margin-top:10px; margin-left: 0; clear: both;"><li style="display: inline;"><span style="white-space: nowrap; margin: auto 1.5em"><span style="margin-right: 0.5em"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Ficheiro:Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg" title="Portal da matemática"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c2/Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg/25px-Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg.png" decoding="async" width="25" height="25" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c2/Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg/38px-Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg.png 1.5x, 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style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Wikidata:Main_Page" title="Wikidata"><img alt="Wd" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/20px-Wikidata-logo.svg.png" decoding="async" width="20" height="11" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/30px-Wikidata-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/40px-Wikidata-logo.svg.png 2x" data-file-width="1050" data-file-height="590" /></a></span>: <span class="uid"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q141495" class="extiw" title="wikidata:Q141495">Q141495</a></span></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Biblioteca_Nacional_Central_de_Floren%C3%A7a" title="Biblioteca Nacional Central de Florença">BNCF</a>: <span class="uid"><span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://thes.bncf.firenze.sbn.it/termine.php?id=21954">21954</a></span></span></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Biblioteca_Nacional_da_Espanha" title="Biblioteca Nacional da Espanha">BNE</a>: <span class="uid"><span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://datos.bne.es/resource/XX533091">XX533091</a></span></span></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Biblioteca_Nacional_da_Fran%C3%A7a" title="Biblioteca Nacional da França">BNF</a>: <span class="uid"><span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb11932649z">11932649z</a></span></span></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Encyclop%C3%A6dia_Britannica" title="Encyclopædia Britannica">EBID</a>: <span class="uid"><span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.britannica.com/topic/optimization">ID</a></span></span></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Faceted_Application_of_Subject_Terminology" title="Faceted Application of Subject Terminology">FAST</a>: <span class="uid"><span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.worldcat.org/fast/1012099">1012099</a></span></span></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <span class="uid"><span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4043664-0">4043664-0</a></span></span></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/JSTOR" title="JSTOR">JSTOR</a>: <span class="uid"><span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/*/https://www.jstor.org/topic/numerical-optimization">numerical-optimization</a></span></span></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/N%C3%BAmero_de_controle_da_Biblioteca_do_Congresso" title="Número de controle da Biblioteca do Congresso">LCCN</a>: <span class="uid"><span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/sh85107312">sh85107312</a></span></span></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Biblioteca_T%C3%A9cnica_Nacional_de_Praga" title="Biblioteca Técnica Nacional de Praga">PSH</a>: <span class="uid"><span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://psh.techlib.cz/skos/PSH11409">11409</a></span></span></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Enciclop%C3%A9dia_Treccani" title="Enciclopédia Treccani">Treccani</a>: <span class="uid"><span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.treccani.it/enciclopedia/ottimizzazione">ottimizzazione</a></span></span></span></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?useformat=desktop&type=1x1&usesul3=0" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Obtida de "<a dir="ltr" href="https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Otimização&oldid=69408838">https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Otimização&oldid=69408838</a>"</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Especial:Categorias" title="Especial:Categorias">Categorias</a>: <ul><li><a href="/wiki/Categoria:Aritm%C3%A9tica_computacional" title="Categoria:Aritmética computacional">Aritmética computacional</a></li><li><a href="/wiki/Categoria:Pesquisa_operacional" title="Categoria:Pesquisa operacional">Pesquisa operacional</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Categorias ocultas: <ul><li><a href="/wiki/Categoria:!Predefini%C3%A7%C3%A3o_Webarchive_archiveis_links" title="Categoria:!Predefinição Webarchive archiveis links">!Predefinição Webarchive archiveis links</a></li><li><a href="/wiki/Categoria:!CS1_ingl%C3%AAs-fontes_em_l%C3%ADngua_(en)" title="Categoria:!CS1 inglês-fontes em língua (en)">!CS1 inglês-fontes em língua (en)</a></li><li><a href="/wiki/Categoria:!Artigos_que_carecem_de_notas_de_rodap%C3%A9_desde_fevereiro_de_2020" title="Categoria:!Artigos que carecem de notas de rodapé desde fevereiro de 2020">!Artigos que carecem de notas de rodapé desde fevereiro de 2020</a></li><li><a href="/wiki/Categoria:!Artigos_de_ci%C3%AAncia_que_carecem_de_notas_de_rodap%C3%A9" title="Categoria:!Artigos de ciência que carecem de notas de rodapé">!Artigos de ciência que carecem de notas de rodapé</a></li><li><a href="/wiki/Categoria:!Artigos_de_economia_que_carecem_de_notas_de_rodap%C3%A9" title="Categoria:!Artigos de economia que carecem de notas de rodapé">!Artigos de economia que carecem de notas de rodapé</a></li><li><a href="/wiki/Categoria:Palavras_que_diferem_em_vers%C3%B5es_da_l%C3%ADngua_portuguesa" title="Categoria:Palavras que diferem em versões da língua portuguesa">Palavras que diferem em versões da língua portuguesa</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Esta página foi editada pela última vez às 12h31min de 21 de janeiro de 2025.</li> <li id="footer-info-copyright">Este texto é disponibilizado nos termos da licença <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.pt">Atribuição-CompartilhaIgual 4.0 Internacional (CC BY-SA 4.0) da Creative Commons</a>; pode estar sujeito a 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