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class="vector-toc-numb">3.1</span> <span>Fonction de répartition empirique</span> </div> </a> <ul id="toc-Fonction_de_répartition_empirique-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Physique_statistique" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Physique_statistique"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.2</span> <span>Physique statistique</span> </div> </a> <ul id="toc-Physique_statistique-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Notes_et_références" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Notes_et_références"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Notes et références</span> </div> </a> <ul id="toc-Notes_et_références-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Voir_aussi" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Voir_aussi"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Voir aussi</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Voir_aussi-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Afficher / masquer la sous-section Voir aussi</span> </button> <ul id="toc-Voir_aussi-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Bibliographie" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Bibliographie"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.1</span> <span>Bibliographie</span> </div> </a> <ul id="toc-Bibliographie-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Article_connexe" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Article_connexe"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.2</span> <span>Article 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Disponible en 51 langues." > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-51" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">51 langues</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%82%D8%A7%D9%86%D9%88%D9%86_%D8%A7%D9%84%D8%A3%D8%B9%D8%AF%D8%A7%D8%AF_%D8%A7%D9%84%D9%83%D8%A8%D9%8A%D8%B1%D8%A9" title="قانون الأعداد الكبيرة – arabe" lang="ar" hreflang="ar" data-title="قانون الأعداد الكبيرة" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="arabe" 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class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%A7%E6%95%B0%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87" title="大数の法則 – japonais" lang="ja" hreflang="ja" data-title="大数の法則" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japonais" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%81%B0_%EC%88%98%EC%9D%98_%EB%B2%95%EC%B9%99" title="큰 수의 법칙 – coréen" lang="ko" hreflang="ko" data-title="큰 수의 법칙" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="coréen" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Lielo_skait%C4%BCu_likums" title="Lielo skaitļu likums – letton" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Lielo skaitļu likums" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="letton" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mn mw-list-item"><a href="https://mn.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D1%85_%D1%82%D0%BE%D0%BE%D0%BD%D1%8B_%D1%85%D1%83%D1%83%D0%BB%D1%8C" title="Их тооны хууль – mongol" lang="mn" hreflang="mn" data-title="Их тооны хууль" data-language-autonym="Монгол" data-language-local-name="mongol" class="interlanguage-link-target"><span>Монгол</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mt mw-list-item"><a href="https://mt.wikipedia.org/wiki/Li%C4%A1i_tan-numri_kbar" title="Liġi tan-numri kbar – maltais" lang="mt" hreflang="mt" data-title="Liġi tan-numri kbar" data-language-autonym="Malti" data-language-local-name="maltais" class="interlanguage-link-target"><span>Malti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Wetten_van_de_grote_aantallen" title="Wetten van de grote aantallen – néerlandais" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Wetten van de grote aantallen" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="néerlandais" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Lova_om_store_tal" title="Lova om store tal – norvégien nynorsk" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Lova om store tal" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="norvégien nynorsk" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Store_talls_lov" title="Store talls lov – norvégien bokmål" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Store talls lov" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="norvégien bokmål" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/L%C3%A8i_dei_grands_nombres" title="Lèi dei grands nombres – occitan" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Lèi dei grands nombres" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="occitan" class="interlanguage-link-target"><span>Occitan</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Prawo_wielkich_liczb" title="Prawo wielkich liczb – polonais" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Prawo wielkich liczb" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="polonais" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pms mw-list-item"><a href="https://pms.wikipedia.org/wiki/Teorema_%C3%ABd_Bernoulli" title="Teorema ëd Bernoulli – piémontais" lang="pms" hreflang="pms" data-title="Teorema ëd Bernoulli" data-language-autonym="Piemontèis" data-language-local-name="piémontais" class="interlanguage-link-target"><span>Piemontèis</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="article de qualité"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_dos_grandes_n%C3%BAmeros" title="Lei dos grandes números – portugais" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Lei dos grandes números" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugais" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Legea_numerelor_mari" title="Legea numerelor mari – roumain" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Legea numerelor mari" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="roumain" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a 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data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="slovène" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Ligji_i_numrave_t%C3%AB_m%C3%ABdhenj" title="Ligji i numrave të mëdhenj – albanais" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Ligji i numrave të mëdhenj" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="albanais" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D1%85_%D0%B1%D1%80%D0%BE%D1%98%D0%B5%D0%B2%D0%B0" title="Закон великих бројева – serbe" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Закон великих бројева" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="serbe" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/De_stora_talens_lag" title="De stora talens lag – suédois" lang="sv" hreflang="sv" data-title="De stora talens lag" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="suédois" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/B%C3%BCy%C3%BCk_say%C4%B1lar_yasas%C4%B1" title="Büyük sayılar yasası – turc" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Büyük sayılar yasası" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turc" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D1%85_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BB" title="Закон великих чисел – ukrainien" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Закон великих чисел" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ukrainien" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%DA%A9%D8%AB%DB%8C%D8%B1_%D8%A7%D8%B9%D8%AF%D8%A7%D8%AF_%DA%A9%D8%A7_%D9%82%D8%A7%D9%86%D9%88%D9%86" title="کثیر اعداد کا قانون – ourdou" lang="ur" hreflang="ur" data-title="کثیر اعداد کا قانون" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="ourdou" class="interlanguage-link-target"><span>اردو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Katta_sonlar_qonuni" title="Katta sonlar qonuni – ouzbek" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Katta sonlar qonuni" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="ouzbek" class="interlanguage-link-target"><span>Oʻzbekcha / ўзбекча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/Lu%E1%BA%ADt_s%E1%BB%91_l%E1%BB%9Bn" title="Luật số lớn – vietnamien" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Luật số lớn" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vietnamien" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%A7%E6%95%B0%E5%AE%9A%E5%BE%8B" title="大数定律 – wu" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="大数定律" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="wu" class="interlanguage-link-target"><span>吴语</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%A7%E6%95%B8%E6%B3%95%E5%89%87" title="大數法則 – chinois" lang="zh" hreflang="zh" data-title="大數法則" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chinois" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%A7%E6%95%B8%E5%AE%9A%E5%BE%8B" title="大數定律 – cantonais" lang="yue" hreflang="yue" data-title="大數定律" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="cantonais" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q207952#sitelinks-wikipedia" title="Modifier les liens interlangues" class="wbc-editpage">Modifier les liens</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Espaces de noms"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a 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<div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Outils de la page"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Apparence"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Apparence</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">déplacer vers la barre latérale</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">masquer</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="fr" dir="ltr"><figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Law-of-large-numbers.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/18/Law-of-large-numbers.png/220px-Law-of-large-numbers.png" decoding="async" width="220" height="110" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/18/Law-of-large-numbers.png/330px-Law-of-large-numbers.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/18/Law-of-large-numbers.png/440px-Law-of-large-numbers.png 2x" data-file-width="3469" data-file-height="1733" /></a><figcaption>Visualisation de la loi des grands nombres.</figcaption></figure> <p>En <a href="/wiki/Math%C3%A9matiques" title="Mathématiques">mathématiques</a>, la <b>loi des grands nombres</b> permet d’interpréter la <a href="/wiki/Probabilit%C3%A9" title="Probabilité">probabilité</a> comme une <a href="/wiki/Fr%C3%A9quence_(statistiques)" title="Fréquence (statistiques)">fréquence</a> de réalisation, justifiant ainsi le principe des <a href="/wiki/Sondage_(statistique)" title="Sondage (statistique)">sondages</a>, et présente l’<a href="/wiki/Esp%C3%A9rance_(math%C3%A9matiques)" class="mw-redirect" title="Espérance (mathématiques)">espérance</a> comme une <a href="/wiki/Moyenne" title="Moyenne">moyenne</a>. Plus formellement, elle signifie que la <a href="/wiki/Moyenne_empirique" title="Moyenne empirique">moyenne empirique</a>, calculée sur les valeurs d’un <a href="/wiki/%C3%89chantillon_(statistiques)" title="Échantillon (statistiques)">échantillon</a>, converge vers l’espérance lorsque la taille de l’échantillon tend vers l’infini. </p><p>Plusieurs théorèmes expriment cette loi, pour différents types de convergence en <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_des_probabilit%C3%A9s" title="Théorie des probabilités">théorie des probabilités</a>. La <b>loi faible des grands nombres</b> met en évidence une <a href="/wiki/Convergence_en_probabilit%C3%A9" class="mw-redirect" title="Convergence en probabilité">convergence en probabilité</a>, tandis que la <b><a href="/wiki/Loi_forte_des_grands_nombres" title="Loi forte des grands nombres">loi forte des grands nombres</a></b> donne une <a href="/wiki/Convergence_presque_s%C3%BBre" class="mw-redirect" title="Convergence presque sûre">convergence presque sûre</a>. </p><p>La convergence ne s’applique pas pour des <a href="/wiki/Loi_de_probabilit%C3%A9" title="Loi de probabilité">lois de probabilité</a> sans espérance, comme la <a href="/wiki/Loi_de_Cauchy_(probabilit%C3%A9s)" title="Loi de Cauchy (probabilités)">loi de Cauchy</a>. </p><p>D’autres théorèmes affinent l’énoncé de cette loi, comme le <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_central_limite" title="Théorème central limite">théorème central limite</a> et la <a href="/wiki/Loi_du_logarithme_it%C3%A9r%C3%A9" title="Loi du logarithme itéré">loi du logarithme itéré</a>, qui précisent la vitesse de convergence, ou le <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Glivenko-Cantelli" title="Théorème de Glivenko-Cantelli">théorème de Glivenko-Cantelli</a> sur la convergence de la <a href="/wiki/Fonction_de_r%C3%A9partition_empirique" title="Fonction de répartition empirique">fonction de répartition empirique</a>. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Présentation"><span id="Pr.C3.A9sentation"></span>Présentation</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Loi_des_grands_nombres&veaction=edit&section=1" title="Modifier la section : Présentation" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Loi_des_grands_nombres&action=edit&section=1" title="Modifier le code source de la section : Présentation"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Probabilité_et_fréquence"><span id="Probabilit.C3.A9_et_fr.C3.A9quence"></span>Probabilité et fréquence</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Loi_des_grands_nombres&veaction=edit&section=2" title="Modifier la section : Probabilité et fréquence" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Loi_des_grands_nombres&action=edit&section=2" title="Modifier le code source de la section : Probabilité et fréquence"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <table class="wikitable" style="margin-left:1em;float:right;text-align:right"> <caption>Écarts entre pile et face lors d’une simulation de lancers sur Python </caption> <tbody><tr> <th>Nombre de lancers </th> <td>100</td> <td>1000</td> <td>10000</td> <td>100000 </td></tr> <tr> <th>Nombre de « pile » </th> <td>51</td> <td>477</td> <td>5074</td> <td>50026 </td></tr> <tr> <th>Nombre de « face » </th> <td>49</td> <td>523</td> <td>4926</td> <td>49974 </td></tr> <tr> <th>Écart absolu </th> <td>2</td> <td>46</td> <td>148</td> <td>52 </td></tr> <tr> <th>Écart relatif </th> <td>2%</td> <td>4,6%</td> <td>1,48%</td> <td>0,05% </td></tr></tbody></table> <p>Lors d’un <a href="/wiki/Pile_ou_face" title="Pile ou face">lancer d’une pièce de monnaie</a> équilibrée, les deux côtés « pile » et « face » apparaissent de façon <a href="/wiki/%C3%89quiprobabilit%C3%A9" title="Équiprobabilité">équiprobable</a> pour des raisons de symétrie : on ne s’attend pas plus à l’un ou à l’autre côté. Cette mesure de l’attente s’appuie souvent sur une considération statistique : sur un grand nombre de lancers, on observe à peu près autant d’occurrences pour chaque côté de la pièce, même s’il est rare d’en obtenir exactement autant. </p><p>En réalité, le nombre d’occurrences pour pile est différent du nombre d’occurrences pour face, avec une différence qui a tendance à s’accroître quand on augmente le nombre de lancers. Mais la <a href="/wiki/Fr%C3%A9quence_(statistiques)" title="Fréquence (statistiques)">fréquence</a> des occurrences de chaque côté se rapproche de <span class="texhtml">1/2</span>. </p><p>De même, lors de lancers d’un <a href="/wiki/D%C3%A9" title="Dé">dé</a> équilibré les six faces n’apparaîtront pas aussi souvent les unes que les autres en pratique, mais la fréquence d’apparition de chaque face sera proche de <span class="texhtml">1/6</span>. </p><p>Ce constat ne se cantonne pas aux situations d’équiprobabilité. Il s’applique aussi à des problèmes dans lesquels aucune considération de symétrie ne permet de prédire par défaut les fréquences de réalisation. La modélisation d’une épreuve aléatoire ne peut alors être satisfaisante que si elle aboutit à une probabilité cohérente avec sa fréquence d’occurrence en réalité. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Espérance_et_moyenne"><span id="Esp.C3.A9rance_et_moyenne"></span>Espérance et moyenne</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Loi_des_grands_nombres&veaction=edit&section=3" title="Modifier la section : Espérance et moyenne" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Loi_des_grands_nombres&action=edit&section=3" title="Modifier le code source de la section : Espérance et moyenne"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <table class="wikitable" style="float:right;margin-left:1em;text-align:center"> <caption>Simulation sur Python de 100000 lancers d’un dé équilibré, de moyenne 3,50131 </caption> <tbody><tr> <th> Valeur </th> <td>1</td> <td>2</td> <td>3</td> <td>4</td> <td>5</td> <td>6 </td></tr> <tr> <th>Occurrences </th> <td>16620</td> <td>16815</td> <td>16558</td> <td>16687</td> <td>16461</td> <td>16859 </td></tr></tbody></table> <p>Sur un grand nombre de lancers d’un dé équilibré à six faces numérotées de 1 à 6, la <a href="/wiki/Moyenne_arithm%C3%A9tique" title="Moyenne arithmétique">moyenne arithmétique</a> des résultats obtenus est la somme des résultats divisée par le nombre de lancers. En rassemblant les occurrences de chaque face, cette moyenne est obtenue en pondérant chaque valeur <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k\in [\![1;6]\!]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> <mo>∈</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mspace width="negativethinmathspace" /> <mo stretchy="false">[</mo> <mn>1</mn> <mo>;</mo> <mn>6</mn> <mo stretchy="false">]</mo> <mspace width="negativethinmathspace" /> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k\in [\![1;6]\!]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/220946586ef85dbef55c5f9b8e043c3d817e11df" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.224ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle k\in [\![1;6]\!]}"></span> par sa fréquence d’apparition <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f<sub>k</sub></span>, d’où la formule <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}={\frac {1}{N}}(n_{1}+n_{2}\times 2+n_{3}\times 3+n_{4}\times 4+n_{5}\times 5+n_{6}\times 6)=\sum _{k=1}^{6}k\times f_{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>N</mi> </mfrac> </mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>N</mi> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <mn>3</mn> <mo>+</mo> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <mn>4</mn> <mo>+</mo> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <mn>5</mn> <mo>+</mo> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>6</mn> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <mn>6</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>6</mn> </mrow> </munderover> <mi>k</mi> <mo>×</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}={\frac {1}{N}}(n_{1}+n_{2}\times 2+n_{3}\times 3+n_{4}\times 4+n_{5}\times 5+n_{6}\times 6)=\sum _{k=1}^{6}k\times f_{k}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f8f0bce7b3418029cf0646fae20e0e286ae77b6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:84.135ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle m={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}={\frac {1}{N}}(n_{1}+n_{2}\times 2+n_{3}\times 3+n_{4}\times 4+n_{5}\times 5+n_{6}\times 6)=\sum _{k=1}^{6}k\times f_{k}}"></span> avec <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{k=1}^{6}n_{k}=N}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>6</mn> </mrow> </munderover> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{k=1}^{6}n_{k}=N}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5a2487db4ce580d717518325c5ca01bc4acc0ff" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:11.388ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle \sum _{k=1}^{6}n_{k}=N}"></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{k}={\frac {n_{k}}{N}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mi>N</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{k}={\frac {n_{k}}{N}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/008585e492ed80794e84f0d7521389f26c5ef072" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:8.646ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle f_{k}={\frac {n_{k}}{N}}}"></span> </p><p>Or les fréquences d’apparition <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f<sub>k</sub></span> se rapprochent des probabilités associées pour chaque valeur quand <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N\to +\infty }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mo>+</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N\to +\infty }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58924c669aea0190cff7a52af4053710b82a1c7b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.81ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle N\to +\infty }"></span>, donc la moyenne <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}"></span> obtenue se rapproche de la somme <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E=\sum _{k=1}^{6}k\times p_{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>6</mn> </mrow> </munderover> <mi>k</mi> <mo>×</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E=\sum _{k=1}^{6}k\times p_{k}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cc6d5847e3592fa81359a04d654c8144113830d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:14.926ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle E=\sum _{k=1}^{6}k\times p_{k}}"></span>, qui correspond à la définition de son <a href="/wiki/Esp%C3%A9rance_(math%C3%A9matiques)" class="mw-redirect" title="Espérance (mathématiques)">espérance</a>. </p><p>La démonstration mathématique de ce rapprochement repose sur la notion de <a href="/wiki/Variable_al%C3%A9atoire_r%C3%A9elle" title="Variable aléatoire réelle">variable aléatoire réelle</a>, dont l’ensemble des valeurs prises dans <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }"></span> est muni d’une <a href="/wiki/Loi_de_probabilit%C3%A9" title="Loi de probabilité">loi de probabilité</a>, c’est-à-dire qu'à chaque valeur ou intervalle de valeurs réelles on lui associe un nombre entre 0 et 1, sa <i>probabilité</i>, de façon à satisfaire quelques règles de calcul. Chaque lancer de dé est donc représenté par une variable aléatoire, mais la notion permet de traiter beaucoup plus de phénomènes aléatoires discrets ou continus. La répétition des lancers est formalisée par la notion d’<a href="/wiki/%C3%89chantillon_(statistiques)" title="Échantillon (statistiques)">échantillon</a>, qui résume deux propriétés : </p> <ul><li>toutes les variables considérées ont la même loi (on lance le même dé, ou des dés semblables) ;</li> <li>les variables sont indépendantes (le résultat d’un lancer n’a pas d’influence sur les résultats suivants).</li></ul> <p>Si le traitement de certaines lois de probabilité peut se résumer à la convergence des fréquences d’apparition (comme dans le cas du dé), les résultats mathématiques ci-dessous s’appliquent plus généralement à toute variable aléatoire admettant une espérance. Réciproquement, en démontrant la loi des grands nombres pour les variables aléatoires réelles, on peut l’appliquer aux <a href="/wiki/Loi_de_Bernoulli" title="Loi de Bernoulli">variables de Bernoulli</a> qui indiquent la réalisation d’évènements, et obtenir ainsi la convergence des fréquences d’apparition vers les probabilités associées. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Énoncés"><span id=".C3.89nonc.C3.A9s"></span>Énoncés</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Loi_des_grands_nombres&veaction=edit&section=4" title="Modifier la section : Énoncés" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Loi_des_grands_nombres&action=edit&section=4" title="Modifier le code source de la section : Énoncés"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Loi_faible_des_grands_nombres">Loi faible des grands nombres</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Loi_des_grands_nombres&veaction=edit&section=5" title="Modifier la section : Loi faible des grands nombres" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Loi_des_grands_nombres&action=edit&section=5" title="Modifier le code source de la section : Loi faible des grands nombres"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La forme faible de la loi des grands nombres repose sur une <a href="/wiki/Convergence_en_probabilit%C3%A9" class="mw-redirect" title="Convergence en probabilité">convergence en probabilité</a>, c’est-à-dire qu’elle affirme que parmi tous les échantillons de valeurs possibles, ceux dont la moyenne s’éloigne de l'espérance sont rares, et que cette rareté s’accentue avec la taille de l’échantillon. Ce phénomène était déjà remarqué dans l’étude statistique sur des jeux de hasard, en <a href="/wiki/Astronomie" title="Astronomie">astronomie</a> et en finance notamment<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite_crochet">[</span>1<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p><p><a href="/wiki/Jacques_Bernoulli" title="Jacques Bernoulli">Jacques Bernoulli</a> publie en 1713 son <i><a href="/wiki/Ars_Conjectandi" title="Ars Conjectandi">Ars Conjectandi</a></i> (« Art de la <a href="/wiki/Conjecture" title="Conjecture">conjecture</a> ») dans lequel il montre, dans la quatrième partie, que dans le cas d’épreuves indépendantes avec la même probabilité de succès, l’écart entre la fréquence de succès observée et la fréquence attendue peut être majorée par une constante arbitrairement petite, avec une probabilité qui se rapproche de 1 lorsque le nombre d’épreuves augmente. En termes modernes, il montre que si <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">X</span> est une <a href="/wiki/Loi_binomiale" title="Loi binomiale">variable binomiale</a>, représentant la somme de <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">N</span> variables de Bernoulli indépendantes et de même paramètre <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">p</span>, la probabilité <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {P} \left(\left|{\frac {1}{N}}X-p\right|\leq {\frac {1}{t}}\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">P</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>N</mi> </mfrac> </mrow> <mi>X</mi> <mo>−</mo> <mi>p</mi> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>≤</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>t</mi> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {P} \left(\left|{\frac {1}{N}}X-p\right|\leq {\frac {1}{t}}\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75fc794553274c8e0fac612a8268024b3ffe0c9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:20.915ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {P} \left(\left|{\frac {1}{N}}X-p\right|\leq {\frac {1}{t}}\right)}"></span> est supérieure à une constante proche de 1, dépendant de <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">t</span> et <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">N</span>. </p><p>Ce résultat est appelé « loi des grands nombres » par <a href="/wiki/Sim%C3%A9on_Denis_Poisson" title="Siméon Denis Poisson">Siméon Denis Poisson</a>, et sera généralisé à toutes les lois de probabilités admettant une variance notamment grâce à l’<a href="/wiki/In%C3%A9galit%C3%A9_de_Markov" title="Inégalité de Markov">inégalité de Markov</a> au début du <a href="/wiki/XXe_si%C3%A8cle" title="XXe siècle"><abbr class="abbr" title="20ᵉ siècle"><span class="romain">XX</span><sup style="font-size:72%">e</sup></abbr> siècle</a>. Diverses généralisations apparaitront ensuite, remplaçant la condition d’indépendance par l’absence de corrélation linéaire entre les variables, ou en autorisant les variables à suivre des lois différentes mais de variance bornée. La suppression de la condition de variance finie est obtenue par <a href="/wiki/Alexandre_Khintchine" title="Alexandre Khintchine">Alexandre Khintchine</a> pour obtenir l’énoncé suivant : </p> <div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid #aaa; text-align: justify;"> <p><strong class="theoreme-nom">Théorème (Khintchine)</strong><span class="theoreme-tiret"> — </span>Soit <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (X_{n})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (X_{n})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3076fe5f4da5c004de5c8a5f99eb0f8b2989f2e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.952ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (X_{n})}"></span> une suite de variables aléatoires réelles indépendantes et de même loi (ie variables aléatoires <a href="/wiki/Variables_ind%C3%A9pendantes_et_identiquement_distribu%C3%A9es" title="Variables indépendantes et identiquement distribuées">iid</a>) admettant une espérance <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>μ</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu .}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ef6db045c1f6193799bd25a4b68ba9f78646d2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.049ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu .}"></span> La <a href="/wiki/Moyenne_empirique" title="Moyenne empirique">moyenne empirique</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {X}}_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}X_{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>X</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {X}}_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}X_{k}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64e4aa0bbd898be5d3b1328abb8d650e39d9377f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:15.821ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle {\overline {X}}_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}X_{k}}"></span> converge en probabilité vers cette espérance : pour tout <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon >0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ε</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon >0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon >0}"></span>, on a </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\mathbf {P} \left(\left|{\overline {X}}_{n}-\mu \right|>\varepsilon \right)=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mo>+</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">P</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>X</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mi>μ</mi> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>></mo> <mi>ε</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\mathbf {P} \left(\left|{\overline {X}}_{n}-\mu \right|>\varepsilon \right)=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f550bec0115ae4bd5a86d332d353e4239e332a7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:28.256ex; height:5.009ex;" alt="{\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\mathbf {P} \left(\left|{\overline {X}}_{n}-\mu \right|>\varepsilon \right)=0}"></span>. </p> </div> <p>Ce résultat assure en particulier que la moyenne empirique est un <a href="/wiki/Estimateur_(statistique)#Convergence" title="Estimateur (statistique)">estimateur convergent</a> de l'espérance. </p><p>Dans le cas d’une loi de probabilité admettant une variance finie, la loi faible des grands nombres se démontre en utilisant l'<a href="/wiki/In%C3%A9galit%C3%A9_de_Bienaym%C3%A9-Tchebychev" title="Inégalité de Bienaymé-Tchebychev">inégalité de Bienaymé-Tchebychev</a> : </p> <div class="NavFrame" style="border: thin solid #aaaaaa; margin:1em 2em; padding: 0 1em; font-size:100%; text-align:justify; overflow:hidden;"> <div class="NavHead" style="background-color:transparent; color:inherit; padding:0;">Démonstration</div><div class="NavContent" style="padding-bottom:0.4em"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {P} (|Y-E(Y)|\geqslant \varepsilon )\leqslant {\frac {V(Y)}{\varepsilon ^{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">P</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>Y</mi> <mo>−</mo> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>Y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>⩾</mo> <mi>ε</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⩽</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>Y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <msup> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {P} (|Y-E(Y)|\geqslant \varepsilon )\leqslant {\frac {V(Y)}{\varepsilon ^{2}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2751fb3d847681f7d985bbaafae13de8537bf0e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:27.982ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {P} (|Y-E(Y)|\geqslant \varepsilon )\leqslant {\frac {V(Y)}{\varepsilon ^{2}}}}"></span> . </p><p>On remarque que la variable aléatoire <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y_{n}={\frac {X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}}{n}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>Y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y_{n}={\frac {X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}}{n}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/394f3983f96bc6b8d691dbdabc5c821b5b19c884" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:26.848ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle Y_{n}={\frac {X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}}{n}}}"></span> a pour espérance <span class="texhtml"><i>E</i>(<i>X</i>)</span> et pour <a href="/wiki/Variance_(statistiques_et_probabilit%C3%A9s)" class="mw-redirect" title="Variance (statistiques et probabilités)">variance</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {V(X)}{n}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {V(X)}{n}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf9aa95921b7b45da4c73c05a50652629c089e3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:6.413ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {V(X)}{n}}}"></span> . Ainsi, pour tout <i>n</i> : <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {P} \left(\left|{\frac {X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}}{n}}-E(X)\right|\geqslant \varepsilon \right)\leqslant {\frac {V(X)}{n\,\varepsilon ^{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">P</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>⩾</mo> <mi>ε</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⩽</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <msup> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {P} \left(\left|{\frac {X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}}{n}}-E(X)\right|\geqslant \varepsilon \right)\leqslant {\frac {V(X)}{n\,\varepsilon ^{2}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f964d8a7ec3e36b15a6ec4ca880e19182dafd42a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:49.801ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {P} \left(\left|{\frac {X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}}{n}}-E(X)\right|\geqslant \varepsilon \right)\leqslant {\frac {V(X)}{n\,\varepsilon ^{2}}}}"></span> . </p> </div><div class="clear" style="clear:both;"></div> </div> <p>Dans le cas général, la démonstration repose sur un <a href="/wiki/D%C3%A9veloppement_limit%C3%A9" title="Développement limité">développement limité</a> de la <a href="/wiki/Fonction_caract%C3%A9ristique_(probabilit%C3%A9s)" title="Fonction caractéristique (probabilités)">fonction caractéristique</a> à l’ordre 1, permettant de montrer que la moyenne empirique <a href="/wiki/Convergence_en_loi" title="Convergence en loi">converge en loi</a> vers la valeur (déterministe) de l’espérance. Puis on utilise le fait que la convergence en loi vers une constante implique la convergence en probabilité. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Loi_forte_des_grands_nombres">Loi forte des grands nombres</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Loi_des_grands_nombres&veaction=edit&section=6" title="Modifier la section : Loi forte des grands nombres" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Loi_des_grands_nombres&action=edit&section=6" title="Modifier le code source de la section : Loi forte des grands nombres"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Loi_forte_des_grands_nombres" title="Loi forte des grands nombres">Loi forte des grands nombres</a>.</div></div> <p>Considérons une suite <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f72d615b59119dee59b0e70748e31345311103c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.453ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}"></span> de <a href="/wiki/Variable_al%C3%A9atoire" title="Variable aléatoire">variables aléatoires</a> <a href="/wiki/Ind%C3%A9pendance_en_probabilit%C3%A9_%C3%A9l%C3%A9mentaire" title="Indépendance en probabilité élémentaire">indépendantes</a> qui suivent la même <a href="/wiki/Loi_de_probabilit%C3%A9" title="Loi de probabilité">loi de probabilité</a>, intégrables, <i>i. e.</i> <span class="texhtml"><i>E</i>(|<i>X</i><sub>0</sub>|) < +∞</span>. En reprenant les notations ci-dessus, la loi forte des grands nombres précise que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ({\overline {X}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>X</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\overline {X}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4887a6572d27fec4f61493f65b322b566c6db72f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.66ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle ({\overline {X}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}"></span> converge vers <span class="texhtml"><i>E</i>(<i>X</i>)</span> « <i><a href="/wiki/Presque_s%C3%BBrement" title="Presque sûrement">presque sûrement</a></i> ». </p><p>C’est-à-dire que : </p> <div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid #aaa; text-align: justify;"> <p><strong class="theoreme-nom">Théorème</strong><span class="theoreme-tiret"> — </span><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {P} \left(\lim _{n\to +\infty }{\overline {X}}_{n}=E(X)\right)=1.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">P</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mo>+</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munder> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>X</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>1.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {P} \left(\lim _{n\to +\infty }{\overline {X}}_{n}=E(X)\right)=1.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b0a5fc68d7694bde19b15d6ffc38afbbdbf7033" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:28.088ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {P} \left(\lim _{n\to +\infty }{\overline {X}}_{n}=E(X)\right)=1.}"></span> </p> </div> <p>Autrement dit, selon la loi forte des grands nombres, la moyenne empirique est un <a href="/wiki/Estimateur_(statistique)#Convergence" title="Estimateur (statistique)">estimateur fortement convergent</a> de l'espérance. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Applications">Applications</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Loi_des_grands_nombres&veaction=edit&section=7" title="Modifier la section : Applications" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Loi_des_grands_nombres&action=edit&section=7" title="Modifier le code source de la section : Applications"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Fonction_de_répartition_empirique"><span id="Fonction_de_r.C3.A9partition_empirique"></span>Fonction de répartition empirique</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Loi_des_grands_nombres&veaction=edit&section=8" title="Modifier la section : Fonction de répartition empirique" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Loi_des_grands_nombres&action=edit&section=8" title="Modifier le code source de la section : Fonction de répartition empirique"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La loi des grands nombres permet de dire que la fonction de répartition de <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">X</span> peut être approchée par la fonction de répartition empirique calculée sur les valeurs d’un échantillon. </p><p>En effet, pour tout réel <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span>, la probabilité <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {P} ({\overline {X}}_{n}\leq x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">P</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>X</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>≤</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {P} ({\overline {X}}_{n}\leq x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d357ec03a0c3c545e4c26eb70008e664e343f9d4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.007ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {P} ({\overline {X}}_{n}\leq x)}"></span> converge vers la valeur de la fonction de répartition en <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span> : </p> <ul><li>en probabilité (d'après la loi faible des grands nombres) ;</li> <li>presque sûrement (d'après la loi forte des grands nombres).</li></ul> <p>Cette <a href="/wiki/Convergence_simple" title="Convergence simple">convergence simple</a> est en fait <a href="/wiki/Convergence_uniforme" title="Convergence uniforme">uniforme</a> d’après le <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Glivenko-Cantelli" title="Théorème de Glivenko-Cantelli">théorème de Glivenko-Cantelli</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Physique_statistique">Physique statistique</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Loi_des_grands_nombres&veaction=edit&section=9" title="Modifier la section : Physique statistique" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Loi_des_grands_nombres&action=edit&section=9" title="Modifier le code source de la section : Physique statistique"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La <a href="/wiki/Physique_statistique" title="Physique statistique">physique statistique</a> décrit le comportement d’un grand nombre de particules pour lesquelles les grandeurs individuelles sont inconnues mais leur accumulation peut être évaluée avec la loi des grands nombres. En particulier, la <a href="/wiki/D%C3%A9sint%C3%A9gration" class="mw-disambig" title="Désintégration">désintégration</a> d’un <a href="/wiki/Atome" title="Atome">atome</a> radioactif se présente comme un évènement aléatoire, sans <a href="/wiki/Taux_de_d%C3%A9faillance" title="Taux de défaillance">vieillissement</a>, qui se traduit à un niveau macroscopique par la <a href="/wiki/D%C3%A9croissance_exponentielle" title="Décroissance exponentielle">décroissance exponentielle</a> de la <a href="/wiki/Radioactivit%C3%A9" title="Radioactivité">radioactivité</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notes_et_références"><span id="Notes_et_r.C3.A9f.C3.A9rences"></span>Notes et références</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Loi_des_grands_nombres&veaction=edit&section=10" title="Modifier la section : Notes et références" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Loi_des_grands_nombres&action=edit&section=10" title="Modifier le code source de la section : Notes et références"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="references-small decimal" style=""><div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-1">↑</a> </span><span class="reference-text">Oscar Sheynin, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.sheynin.de/download/bernoulli.pdf">« On the Law of Large Numbers »</a>, page 5, traduction de <i>Ars Conjectandi</i> de Jacques Bernoulli.</span> </li> </ol></div> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Voir_aussi">Voir aussi</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Loi_des_grands_nombres&veaction=edit&section=11" title="Modifier la section : Voir aussi" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Loi_des_grands_nombres&action=edit&section=11" title="Modifier le code source de la section : Voir aussi"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r194021218">.mw-parser-output .autres-projets>.titre{text-align:center;margin:0.2em 0}.mw-parser-output .autres-projets>ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output .autres-projets>ul>li{list-style:none;margin:0.2em 0;text-indent:0;padding-left:24px;min-height:20px;text-align:left;display:block}.mw-parser-output .autres-projets>ul>li>a{font-style:italic}@media(max-width:720px){.mw-parser-output .autres-projets{float:none}}</style><div class="autres-projets boite-grise boite-a-droite noprint js-interprojets"> <p class="titre">Sur les autres projets Wikimedia :</p> <ul class="noarchive plainlinks"> <li class="wikiversity"><a href="https://fr.wikiversity.org/wiki/Loi_des_grands_nombres" class="extiw" title="v:Loi des grands nombres">Loi des grands nombres</a>, <span class="nowrap">sur <span class="project">Wikiversity</span></span></li> </ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bibliographie">Bibliographie</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Loi_des_grands_nombres&veaction=edit&section=12" title="Modifier la section : Bibliographie" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Loi_des_grands_nombres&action=edit&section=12" title="Modifier le code source de la section : Bibliographie"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Geoffrey Grimmett et David Strizaker, <i>Probability and Random Processes</i>.</li> <li><a href="/wiki/Dominique_Foata" title="Dominique Foata">Dominique Foata</a> et Aimé Fuchs, <i>Calcul des Probabilités</i>.</li> <li><a href="/wiki/Daniel_Dugu%C3%A9" title="Daniel Dugué">Daniel Dugué</a>, « Calcul des probabilités », <i>Dictionnaire des mathématiques, fondements, probabilités, applications</i>, <a href="/wiki/Encyclop%C3%A6dia_Universalis" title="Encyclopædia Universalis">Encyclopædia Universalis</a> et Albin Michel, Paris 1998.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Article_connexe">Article connexe</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Loi_des_grands_nombres&veaction=edit&section=13" title="Modifier la section : Article connexe" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Loi_des_grands_nombres&action=edit&section=13" title="Modifier le code source de la section : Article connexe"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Jacques_Bernoulli" title="Jacques Bernoulli">Jacques Bernoulli</a></li> <li><a href="/wiki/Andre%C3%AF_Markov_(math%C3%A9maticien)" title="Andreï Markov (mathématicien)">Andreï Markov</a></li> <li><a href="/wiki/Alexandre_Khintchine" title="Alexandre Khintchine">Alexandre Khintchine</a></li> <li><a href="/wiki/In%C3%A9galit%C3%A9_de_Bienaym%C3%A9-Tchebychev" title="Inégalité de Bienaymé-Tchebychev">Inégalité de Bienaymé-Tchebychev</a></li> <li><a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_central_limite" title="Théorème central limite">Théorème central limite</a></li> <li><a href="/wiki/Loi_du_logarithme_it%C3%A9r%C3%A9" title="Loi du logarithme itéré">Loi du logarithme itéré</a></li> <li><a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Glivenko-Cantelli" title="Théorème de Glivenko-Cantelli">Théorème de Glivenko-Cantelli</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Lien_externe">Lien externe</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Loi_des_grands_nombres&veaction=edit&section=14" title="Modifier la section : Lien externe" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Loi_des_grands_nombres&action=edit&section=14" title="Modifier le code source de la section : Lien externe"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.bibnum.education.fr/mathematiques/probabilites/demonstration-du-theoreme-de-bernoulli">Une démonstration algébrique de la loi faible des grands nombres (théorème de Bernoulli)</a> par <a href="/wiki/Charles-Jean_de_La_Vall%C3%A9e_Poussin" title="Charles-Jean de La Vallée Poussin">de La Vallée Poussin</a>, en ligne et commentée sur <a href="/wiki/BibNum" class="mw-redirect" title="BibNum">BibNum</a></li> <li>Kelly Sedor, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://pdfs.semanticscholar.org/d99e/754ed8d336cc29bd4342a196cfb1bc69bddb.pdf">The Law of Large Numbers and its Applications</a>, Lakehead University, Ontario, <a href="/wiki/Canada" title="Canada">Canada</a> 2015.</li></ul> <div class="navbox-container" style="clear:both;"> <table class="navbox collapsible noprint autocollapse" style=""> <tbody><tr><th class="navbox-title" colspan="2" style=""><div style="float:left; width:6em; text-align:left"><div class="noprint plainlinks nowrap tnavbar" style="padding:0; font-size:xx-small; color:var(--color-emphasized, #000000);"><a href="/wiki/Mod%C3%A8le:Palette_Probabilit%C3%A9s_et_statistiques" title="Modèle:Palette Probabilités et statistiques"><abbr class="abbr" title="Voir ce modèle.">v</abbr></a> · <a class="external text" href="https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Mod%C3%A8le:Palette_Probabilit%C3%A9s_et_statistiques&action=edit"><abbr class="abbr" title="Modifier ce modèle. Merci de prévisualiser avant de sauvegarder.">m</abbr></a></div></div><div style="font-size:110%"><a href="/wiki/Projet:Probabilit%C3%A9s_et_statistiques" title="Projet:Probabilités et statistiques">Index du projet probabilités et statistiques</a></div></th> </tr> <tr> <td class="navbox-list" style="" colspan="2"><table class="navbox collapsible noprint autocollapse" style="font-size:100%; padding:0; border:0; margin:-3px 0;"> <tbody><tr><th class="navbox-title" colspan="2" style=""><span style="font-size:110%"><a href="/wiki/Th%C3%A9orie_des_probabilit%C3%A9s" title="Théorie des probabilités">Théorie des probabilités</a></span></th> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="">Bases théoriques</th> <td class="navbox-list" style=""><table class="navbox-subgroup" style=""> <tbody><tr> <th class="navbox-group" style="width:120px;">Principes généraux</th> <td class="navbox-list" style="text-align:left;;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Axiomes_des_probabilit%C3%A9s" title="Axiomes des probabilités">Axiomes des probabilités</a></li> <li><a href="/wiki/Espace_mesurable" title="Espace mesurable">Espace mesurable</a></li> <li><a href="/wiki/Probabilit%C3%A9" title="Probabilité">Probabilité</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%89v%C3%A9nement_(probabilit%C3%A9s)" title="Événement (probabilités)">Événement</a></li> <li><span typeof="mw:File"><span title="Bon article"><img alt="Bon article" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Bon_article.svg/10px-Bon_article.svg.png" decoding="async" width="10" height="10" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Bon_article.svg/15px-Bon_article.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Bon_article.svg/20px-Bon_article.svg.png 2x" data-file-width="20" data-file-height="20" /></span></span> <a href="/wiki/Tribu_(math%C3%A9matiques)" title="Tribu (mathématiques)">Tribu</a></li> <li><a href="/wiki/Ind%C3%A9pendance_(probabilit%C3%A9s)" title="Indépendance (probabilités)">Indépendance</a></li> <li><a href="/wiki/Variable_al%C3%A9atoire" title="Variable aléatoire">Variable aléatoire</a></li> <li><a href="/wiki/Esp%C3%A9rance_math%C3%A9matique" title="Espérance mathématique">Espérance</a></li> <li><span typeof="mw:File"><span title="Bon article"><img alt="Bon article" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Bon_article.svg/10px-Bon_article.svg.png" decoding="async" width="10" height="10" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Bon_article.svg/15px-Bon_article.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Bon_article.svg/20px-Bon_article.svg.png 2x" data-file-width="20" data-file-height="20" /></span></span> <a href="/wiki/Variables_ind%C3%A9pendantes_et_identiquement_distribu%C3%A9es" title="Variables indépendantes et identiquement distribuées">Variables iid</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:120px;"><a href="/wiki/Convergence_de_variables_al%C3%A9atoires" title="Convergence de variables aléatoires">Convergence de lois</a></th> <td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_central_limite" title="Théorème central limite">Théorème central limite</a></li> <li><a class="mw-selflink selflink">Loi des grands nombres</a></li> <li><a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Borel-Cantelli" title="Théorème de Borel-Cantelli">Théorème de Borel-Cantelli</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:120px;"><a href="/wiki/Calcul_stochastique" title="Calcul stochastique">Calcul stochastique</a></th> <td class="navbox-list" style="text-align:left;;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Marche_al%C3%A9atoire" title="Marche aléatoire">Marche aléatoire</a></li> <li><a href="/wiki/Cha%C3%AEne_de_Markov" title="Chaîne de Markov">Chaîne de Markov</a></li> <li><a href="/wiki/Processus_stochastique" title="Processus stochastique">Processus stochastique</a></li> <li><a href="/wiki/Processus_de_Markov" title="Processus de Markov">Processus de Markov</a></li> <li><a href="/wiki/Martingale_(calcul_stochastique)" title="Martingale (calcul stochastique)">Martingale</a></li> <li><a href="/wiki/Mouvement_brownien" title="Mouvement brownien">Mouvement brownien</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%89quation_diff%C3%A9rentielle_stochastique" title="Équation différentielle stochastique">Équation différentielle stochastique</a></li></ul> </div></td> </tr> </tbody></table></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style=""><a href="/wiki/Loi_de_probabilit%C3%A9" title="Loi de probabilité">Lois de probabilité</a></th> <td class="navbox-list navbox-even" style=""><table class="navbox-subgroup" style=""> <tbody><tr> <th class="navbox-group" style="width:120px;">Lois continues</th> <td class="navbox-list" style="text-align:left;;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Loi_exponentielle" title="Loi exponentielle">Loi exponentielle</a></li> <li><span typeof="mw:File"><span title="Bon article"><img alt="Bon article" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Bon_article.svg/10px-Bon_article.svg.png" decoding="async" width="10" height="10" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Bon_article.svg/15px-Bon_article.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Bon_article.svg/20px-Bon_article.svg.png 2x" data-file-width="20" data-file-height="20" /></span></span> <a href="/wiki/Loi_normale" title="Loi normale">Loi normale</a></li> <li><a href="/wiki/Loi_uniforme_continue" title="Loi uniforme continue">Loi uniforme</a></li> <li><a href="/wiki/Loi_de_Student" title="Loi de Student">Loi de Student</a></li> <li><a href="/wiki/Loi_de_Fisher" title="Loi de Fisher">Loi de Fisher</a></li> <li><a href="/wiki/Loi_du_%CF%87%C2%B2" title="Loi du χ²">Loi du χ²</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:120px;">Lois discrètes</th> <td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Loi_de_Bernoulli" title="Loi de Bernoulli">Loi de Bernoulli</a></li> <li><span typeof="mw:File"><span title="Bon article"><img alt="Bon article" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Bon_article.svg/10px-Bon_article.svg.png" decoding="async" width="10" height="10" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Bon_article.svg/15px-Bon_article.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Bon_article.svg/20px-Bon_article.svg.png 2x" data-file-width="20" data-file-height="20" /></span></span> <a href="/wiki/Loi_binomiale" title="Loi binomiale">Loi binomiale</a></li> <li><a href="/wiki/Loi_de_Poisson" title="Loi de Poisson">Loi de Poisson</a></li> <li><a href="/wiki/Loi_g%C3%A9om%C3%A9trique" title="Loi géométrique">Loi géométrique</a></li> <li><a href="/wiki/Loi_hyperg%C3%A9om%C3%A9trique" title="Loi hypergéométrique">Loi hypergéométrique</a></li></ul> </div></td> </tr> </tbody></table></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="">Mélange entre statistiques et probabilités</th> <td class="navbox-list" style=""><table class="navbox-subgroup" style=""> <tbody><tr> <td class="navbox-list" style=";" colspan="2"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Intervalle_de_confiance" title="Intervalle de confiance">Intervalle de confiance</a></li></ul> </div></td> </tr> </tbody></table></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style=""><a href="/wiki/Interpr%C3%A9tations_de_la_probabilit%C3%A9" title="Interprétations de la probabilité">Interprétations de la probabilité</a></th> <td class="navbox-list navbox-even" style=""><table class="navbox-subgroup" style=""> <tbody><tr> <td class="navbox-list" style=";" colspan="2"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Bay%C3%A9sianisme" title="Bayésianisme">Bayésianisme</a></li></ul> </div></td> </tr> </tbody></table></td> </tr> </tbody></table> <table class="navbox collapsible noprint autocollapse" style="font-size:100%; padding:0; border:0; margin:-3px 0;"> <tbody><tr><th class="navbox-title" colspan="2" style=""><span style="font-size:110%"><a href="/wiki/Statistique" title="Statistique">Théorie des statistiques</a></span></th> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style=""><a href="/wiki/Statistique_descriptive" title="Statistique descriptive">Statistiques descriptives</a></th> <td class="navbox-list" style=""><table class="navbox-subgroup" style=""> <tbody><tr> <th class="navbox-group" style="width:120px;">Bases théoriques</th> <td class="navbox-list" style="text-align:left;;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Statistique_(indicateur)" title="Statistique (indicateur)">Une statistique</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Caract%C3%A8re_(statistique)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Caractère (statistique) (page inexistante)">Caractère</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%89chantillon_(statistiques)" title="Échantillon (statistiques)">Échantillon</a></li> <li><a href="/wiki/Erreur_type" title="Erreur type">Erreur type</a></li> <li><a href="/wiki/Intervalle_de_confiance" title="Intervalle de confiance">Intervalle de confiance</a></li> <li><a href="/wiki/Fonction_de_r%C3%A9partition_empirique" title="Fonction de répartition empirique">Fonction de répartition empirique</a></li> <li><a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Glivenko-Cantelli" title="Théorème de Glivenko-Cantelli">Théorème de Glivenko-Cantelli</a></li> <li><a href="/wiki/Inf%C3%A9rence_bay%C3%A9sienne" title="Inférence bayésienne">Inférence bayésienne</a></li> <li><a href="/wiki/R%C3%A9gression_lin%C3%A9aire" title="Régression linéaire">Régression linéaire</a></li> <li><a href="/wiki/M%C3%A9thode_des_moindres_carr%C3%A9s" title="Méthode des moindres carrés">Méthode des moindres carrés</a></li> <li><a href="/wiki/Analyse_des_donn%C3%A9es" title="Analyse des données">Analyse des données</a></li> <li><a href="/wiki/Corr%C3%A9lation_(statistiques)" title="Corrélation (statistiques)">Corrélation</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:120px;"><a href="/wiki/Tableau_(statistique)" title="Tableau (statistique)">Tableaux</a></th> <td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Tableau_de_contingence" title="Tableau de contingence">Tableau de contingence</a></li> <li><a href="/wiki/Tableau_disjonctif_complet" title="Tableau disjonctif complet">Tableau disjonctif complet</a></li> <li><a href="/wiki/Table_de_Burt" title="Table de Burt">Table de Burt</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:120px;"><a href="/wiki/Visualisation_de_donn%C3%A9es" title="Visualisation de données">Visualisation de données</a></th> <td class="navbox-list" style="text-align:left;;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Histogramme" title="Histogramme">Histogramme</a></li> <li><a href="/wiki/Diagramme_%C3%A0_barres" title="Diagramme à barres">Diagramme à barres</a></li> <li><a href="/wiki/Graphique_en_aires" title="Graphique en aires">Graphique en aires</a></li> <li><a href="/wiki/Diagramme_circulaire" title="Diagramme circulaire">Diagramme circulaire</a></li> <li><a href="/wiki/Treemap" title="Treemap">Treemap</a></li> <li><a href="/wiki/Bo%C3%AEte_%C3%A0_moustaches" title="Boîte à moustaches">Boîte à moustaches</a></li> <li><a href="/wiki/Nuage_de_points_(statistique)" title="Nuage de points (statistique)">Nuage de points</a></li> <li><a href="/wiki/Graphique_%C3%A0_bulles" title="Graphique à bulles">Graphique à bulles</a></li> <li><a href="/wiki/Diagramme_en_cascade" title="Diagramme en cascade">Diagramme en cascade</a></li> <li><a href="/wiki/Graphique_en_entonnoir" title="Graphique en entonnoir">Graphique en entonnoir</a></li> <li><a href="/wiki/Diagramme_de_Kiviat" title="Diagramme de Kiviat">Diagramme de Kiviat</a></li> <li><a href="/wiki/Corr%C3%A9logramme" title="Corrélogramme">Corrélogramme</a></li> <li><a href="/wiki/Graphique_en_for%C3%AAt" title="Graphique en forêt">Graphique en forêt</a></li> <li><a href="/wiki/Diagramme_branche-et-feuille" title="Diagramme branche-et-feuille">Diagramme branche-et-feuille</a></li> <li><a href="/wiki/Carte_thermique" title="Carte thermique">Heat map</a></li> <li><a href="/wiki/Sparkline" title="Sparkline">Sparkline</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:120px;"><a href="/wiki/Indicateur_de_position" title="Indicateur de position">Paramètres de position</a></th> <td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Moyenne_arithm%C3%A9tique" title="Moyenne arithmétique">Moyenne arithmétique</a></li> <li><a href="/wiki/Mode_(statistiques)" title="Mode (statistiques)">Mode</a></li> <li><a href="/wiki/M%C3%A9diane_(statistiques)" title="Médiane (statistiques)">Médiane</a></li> <li><a href="/wiki/Quantile" title="Quantile">Quantile</a> <ul><li><a href="/wiki/Quartile" title="Quartile">Quartile</a></li> <li><a href="/wiki/D%C3%A9cile" title="Décile">Décile</a></li> <li><a href="/wiki/Centile" title="Centile">Centile</a></li></ul></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:120px;"><a href="/wiki/Indicateur_de_dispersion" title="Indicateur de dispersion">Paramètres de dispersion</a></th> <td class="navbox-list" style="text-align:left;;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Indicateur_de_dispersion" title="Indicateur de dispersion">Étendue</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%89cart_moyen" title="Écart moyen">Écart moyen</a></li> <li><a href="/wiki/Variance_(math%C3%A9matiques)" title="Variance (mathématiques)">Variance</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%89cart_type" title="Écart type">Écart type</a></li> <li><a href="/wiki/Valeur_absolue_des_%C3%A9carts" title="Valeur absolue des écarts">Déviation absolue moyenne</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%89cart_interquartile" title="Écart interquartile">Écart interquartile</a></li> <li><a href="/wiki/Coefficient_de_variation" title="Coefficient de variation">Coefficient de variation</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:120px;">Paramètres de forme</th> <td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Asym%C3%A9trie_(statistiques)" title="Asymétrie (statistiques)">Coefficient d'asymétrie</a></li> <li><a href="/wiki/Kurtosis" title="Kurtosis">Coefficient d'aplatissement</a></li></ul> </div></td> </tr> </tbody></table></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style=""><a href="/wiki/Test_statistique" title="Test statistique">Statistiques inductives</a></th> <td class="navbox-list navbox-even" style=""><table class="navbox-subgroup" style=""> <tbody><tr> <th class="navbox-group" style="width:120px;">Bases théoriques</th> <td class="navbox-list" style="text-align:left;;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Hypoth%C3%A8se_nulle" title="Hypothèse nulle">Hypothèse nulle</a></li> <li><a href="/wiki/Estimateur_(statistique)" title="Estimateur (statistique)">Estimateur</a></li> <li><a href="/wiki/Signification_statistique" title="Signification statistique">Signification statistique</a></li> <li><a href="/wiki/Sensibilit%C3%A9_et_sp%C3%A9cificit%C3%A9" title="Sensibilité et spécificité">Sensibilité et spécificité</a></li> <li><a href="/wiki/Courbe_ROC" title="Courbe ROC">Courbe ROC</a></li> <li><a href="/wiki/Nombre_de_sujets_n%C3%A9cessaires" title="Nombre de sujets nécessaires">Nombre de sujets nécessaires</a></li> <li><a href="/wiki/Valeur_p" title="Valeur p">Valeur p</a></li> <li><a href="/wiki/Contraste_(statistiques)" title="Contraste (statistiques)">Contraste (statistiques)</a></li> <li><a href="/wiki/Statistique_de_test" title="Statistique de test">Statistique de test</a></li> <li><a href="/wiki/Taille_d%27effet" title="Taille d'effet">Taille d'effet</a></li> <li><a href="/wiki/Puissance_statistique" title="Puissance statistique">Puissance statistique</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:120px;">Tests paramétriques</th> <td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Test_statistique" title="Test statistique">Test d'hypothèse</a></li> <li><a href="/wiki/Test_de_Bartlett" title="Test de Bartlett">Test de Bartlett</a></li> <li><a href="/wiki/Test_de_normalit%C3%A9" title="Test de normalité">Test de normalité</a></li> <li><a href="/wiki/Test_de_Fisher_d%27%C3%A9galit%C3%A9_de_deux_variances" title="Test de Fisher d'égalité de deux variances">Test de Fisher d'égalité de deux variances</a></li> <li><a href="/wiki/Test_d%27Hausman" title="Test d'Hausman">Test d'Hausman</a></li> <li><a href="/wiki/Test_d%27Anderson-Darling" title="Test d'Anderson-Darling">Test d'Anderson-Darling</a></li> <li><a href="/wiki/Test_de_Banerji_(statistiques)" title="Test de Banerji (statistiques)">Test de Banerji</a></li> <li><a href="/wiki/Test_de_Durbin-Watson" title="Test de Durbin-Watson">Test de Durbin-Watson</a></li> <li><a href="/wiki/Test_de_Goldfeld_et_Quandt" title="Test de Goldfeld et Quandt">Test de Goldfeld et Quandt</a></li> <li><a href="/wiki/Test_de_Jarque-Bera" title="Test de Jarque-Bera">Test de Jarque-Bera</a></li> <li><a href="/wiki/Test_de_Mood" title="Test de Mood">Test de Mood</a></li> <li><a href="/wiki/Test_de_Lilliefors" title="Test de Lilliefors">Test de Lilliefors</a></li> <li><a href="/wiki/Test_de_Wald" title="Test de Wald">Test de Wald</a></li> <li><a href="/wiki/Test_de_Student" title="Test de Student">Test T pour des échantillons indépendants</a></li> <li><a href="/wiki/Test_de_Student" title="Test de Student">Test T pour des échantillons appariés</a></li> <li><a href="/wiki/Corr%C3%A9lation_(statistiques)" title="Corrélation (statistiques)">Test de corrélation de Pearson</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:120px;">Tests non-paramétriques</th> <td class="navbox-list" style="text-align:left;;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Test_de_Wilcoxon-Mann-Whitney" title="Test de Wilcoxon-Mann-Whitney">Test U de Mann-Whitney</a></li> <li><a href="/wiki/Test_de_Kruskal-Wallis" title="Test de Kruskal-Wallis">Test de Kruskal-Wallis</a></li> <li><a href="/wiki/Test_exact_de_Fisher" title="Test exact de Fisher">Test exact de Fisher</a></li> <li><a href="/wiki/Test_de_Kolmogorov-Smirnov" title="Test de Kolmogorov-Smirnov">Test de Kolmogorov-Smirnov</a></li> <li><a href="/wiki/Test_de_Shapiro-Wilk" title="Test de Shapiro-Wilk">Test de Shapiro-Wilk</a></li> <li><a href="/wiki/Test_de_Chow" title="Test de Chow">Test de Chow</a></li> <li><a href="/wiki/Test_de_McNemar" title="Test de McNemar">Test de McNemar</a></li> <li><a href="/wiki/Corr%C3%A9lation_de_Spearman" title="Corrélation de Spearman">Test de Spearman</a></li> <li><a href="/wiki/Tau_de_Kendall" title="Tau de Kendall">Tau de Kendall</a></li> <li><a href="/wiki/Test_Gamma" title="Test Gamma">Test Gamma</a></li> <li><a href="/wiki/Test_des_suites_de_Wald-Wolfowitz" title="Test des suites de Wald-Wolfowitz">Test des suites de Wald-Wolfowitz</a></li> <li><a href="/wiki/M%C3%A9thode_m%C3%A9diane-m%C3%A9diane" title="Méthode médiane-médiane">Test de la médiane</a></li> <li><a href="/wiki/Test_des_signes" title="Test des signes">Test des signes</a></li> <li><a href="/wiki/ANOVA_de_Friedman" title="ANOVA de Friedman">ANOVA de Friedman</a></li> <li><a href="/wiki/Concordance_de_Kendall" title="Concordance de Kendall">Concordance de Kendall</a></li> <li><a href="/wiki/Test_Q_de_Cochran" title="Test Q de Cochran">Test Q de Cochran</a></li> <li><a href="/wiki/Test_des_rangs_sign%C3%A9s_de_Wilcoxon" title="Test des rangs signés de Wilcoxon">Test des rangs signés de Wilcoxon</a></li> <li><a href="/wiki/Test_de_Sargan" title="Test de Sargan">Test de Sargan</a></li></ul> </div></td> </tr> </tbody></table></td> </tr> </tbody></table> <table class="navbox collapsible noprint autocollapse" style="font-size:100%; padding:0; border:0; margin:-3px 0;"> <tbody><tr><th class="navbox-title" colspan="2" style=""><span style="font-size:110%">Application</span></th> </tr> <tr> <td class="navbox-list" style="" colspan="2"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/%C3%89conom%C3%A9trie" title="Économétrie">Économétrie</a></li> <li><a href="/wiki/Physique_statistique" title="Physique statistique">Mécanique statistique</a></li> <li><a href="/wiki/Jeu_de_hasard" title="Jeu de hasard">Jeu de hasard</a></li> <li><a href="/wiki/Biomath%C3%A9matique" title="Biomathématique">Biomathématique</a></li> <li><a href="/wiki/Biostatistique" title="Biostatistique">Biostatistique</a></li> <li><a href="/wiki/Math%C3%A9matiques_financi%C3%A8res" title="Mathématiques financières">Mathématiques financières</a></li></ul> </div></td> </tr> </tbody></table></td> </tr> </tbody></table> </div> <ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><span class="noviewer" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Portail:Probabilit%C3%A9s_et_statistiques" title="Portail des probabilités et de la statistique"><img alt="icône décorative" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f7/Logo_proba_4.svg/31px-Logo_proba_4.svg.png" decoding="async" width="31" height="24" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f7/Logo_proba_4.svg/47px-Logo_proba_4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f7/Logo_proba_4.svg/62px-Logo_proba_4.svg.png 2x" data-file-width="150" data-file-height="116" /></a></span></span> <span class="bandeau-portail-texte"><a href="/wiki/Portail:Probabilit%C3%A9s_et_statistiques" title="Portail:Probabilités et statistiques">Portail des probabilités et de la statistique</a></span> </span></li> </ul>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?useformat=desktop&type=1x1&usesul3=0" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Ce document provient de « <a dir="ltr" href="https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Loi_des_grands_nombres&oldid=218661343">https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Loi_des_grands_nombres&oldid=218661343</a> ».</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a 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