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class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Angle_géométrique" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Angle_géométrique"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Angle géométrique</span> </div> </a> <ul id="toc-Angle_géométrique-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Angles_orientés_dans_le_plan" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Angles_orientés_dans_le_plan"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Angles orientés dans le plan</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Angles_orientés_dans_le_plan-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Afficher / masquer la sous-section Angles orientés dans le plan</span> </button> <ul id="toc-Angles_orientés_dans_le_plan-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Une_approche_multiple" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Une_approche_multiple"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.1</span> <span>Une approche multiple</span> </div> </a> <ul id="toc-Une_approche_multiple-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Arcs_de_cercle_orientés" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Arcs_de_cercle_orientés"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.2</span> <span>Arcs de cercle orientés</span> </div> </a> <ul id="toc-Arcs_de_cercle_orientés-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Angles_orientés_de_vecteurs_par_classe_d'équivalence" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Angles_orientés_de_vecteurs_par_classe_d'équivalence"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.3</span> <span>Angles orientés de vecteurs par classe d'équivalence</span> </div> </a> <ul id="toc-Angles_orientés_de_vecteurs_par_classe_d'équivalence-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Un_angle_orienté_de_vecteurs_est_une_classe_d'équivalence" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Un_angle_orienté_de_vecteurs_est_une_classe_d'équivalence"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.3.1</span> <span>Un angle orienté de vecteurs est une classe d'équivalence</span> </div> </a> <ul id="toc-Un_angle_orienté_de_vecteurs_est_une_classe_d'équivalence-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Chaque_angle_orienté_correspond_à_une_rotation" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Chaque_angle_orienté_correspond_à_une_rotation"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.3.2</span> <span>Chaque angle orienté correspond à une rotation</span> </div> </a> <ul id="toc-Chaque_angle_orienté_correspond_à_une_rotation-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Les_angles_orientés_de_vecteurs_forment_un_groupe" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Les_angles_orientés_de_vecteurs_forment_un_groupe"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.3.3</span> <span>Les angles orientés de vecteurs forment un groupe</span> </div> </a> <ul id="toc-Les_angles_orientés_de_vecteurs_forment_un_groupe-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Effet_des_isométries_sur_les_angles_orientés_de_vecteurs" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Effet_des_isométries_sur_les_angles_orientés_de_vecteurs"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.3.4</span> <span>Effet des isométries sur les angles orientés de vecteurs</span> </div> </a> <ul id="toc-Effet_des_isométries_sur_les_angles_orientés_de_vecteurs-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Enfin_presque_une_vraie_mesure_d'angles" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Enfin_presque_une_vraie_mesure_d'angles"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.3.5</span> <span>Enfin presque une vraie mesure d'angles</span> </div> </a> <ul id="toc-Enfin_presque_une_vraie_mesure_d'angles-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Angle_orienté_de_deux_droites" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Angle_orienté_de_deux_droites"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.4</span> <span>Angle orienté de deux droites</span> </div> </a> <ul id="toc-Angle_orienté_de_deux_droites-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Angles_dans_l'espace" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Angles_dans_l'espace"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Angles dans l'espace</span> </div> </a> <ul id="toc-Angles_dans_l'espace-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Usages_des_angles" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Usages_des_angles"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Usages des angles</span> </div> </a> <ul id="toc-Usages_des_angles-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Notes_et_références" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Notes_et_références"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>Notes et références</span> </div> </a> <ul id="toc-Notes_et_références-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Voir_aussi" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Voir_aussi"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>Voir aussi</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Voir_aussi-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Afficher / masquer la sous-section Voir aussi</span> </button> <ul id="toc-Voir_aussi-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Articles_connexes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Articles_connexes"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8.1</span> <span>Articles connexes</span> </div> </a> <ul id="toc-Articles_connexes-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Liens_externes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Liens_externes"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8.2</span> <span>Liens externes</span> </div> </a> <ul id="toc-Liens_externes-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Bibliographie" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Bibliographie"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8.3</span> <span>Bibliographie</span> </div> </a> <ul id="toc-Bibliographie-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Sommaire" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" title="Table des matières" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Basculer la table des matières" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Basculer la table des matières</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Angle</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Aller à un article dans une autre langue. Disponible en 141 langues." > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-141" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">141 langues</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Hoek_(meetkunde)" title="Hoek (meetkunde) – afrikaans" lang="af" hreflang="af" data-title="Hoek (meetkunde)" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="afrikaans" class="interlanguage-link-target"><span>Afrikaans</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-als mw-list-item"><a href="https://als.wikipedia.org/wiki/Winkel_(Geometrie)" title="Winkel (Geometrie) – alémanique" lang="gsw" hreflang="gsw" data-title="Winkel (Geometrie)" data-language-autonym="Alemannisch" data-language-local-name="alémanique" class="interlanguage-link-target"><span>Alemannisch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-an mw-list-item"><a href="https://an.wikipedia.org/wiki/Anglo" title="Anglo – aragonais" lang="an" hreflang="an" data-title="Anglo" data-language-autonym="Aragonés" data-language-local-name="aragonais" class="interlanguage-link-target"><span>Aragonés</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%B2%D8%A7%D9%88%D9%8A%D8%A9_(%D9%87%D9%86%D8%AF%D8%B3%D8%A9)" title="زاوية (هندسة) – arabe" lang="ar" hreflang="ar" data-title="زاوية (هندسة)" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="arabe" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-arc mw-list-item"><a href="https://arc.wikipedia.org/wiki/%DC%99%DC%98%DC%9D%DC%AC%DC%90_(%DC%A1%DC%9A%DC%AA%DC%98%DC%AC%DC%90)" title="ܙܘܝܬܐ (ܡܚܪܘܬܐ) – araméen" lang="arc" hreflang="arc" data-title="ܙܘܝܬܐ (ܡܚܪܘܬܐ)" data-language-autonym="ܐܪܡܝܐ" data-language-local-name="araméen" class="interlanguage-link-target"><span>ܐܪܡܝܐ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ary mw-list-item"><a href="https://ary.wikipedia.org/wiki/%D8%B2%D8%A7%D9%88%D9%8A%D8%A9" title="زاوية – arabe marocain" lang="ary" hreflang="ary" data-title="زاوية" data-language-autonym="الدارجة" data-language-local-name="arabe marocain" class="interlanguage-link-target"><span>الدارجة</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-arz mw-list-item"><a href="https://arz.wikipedia.org/wiki/%D8%B2%D8%A7%D9%88%D9%8A%D9%87_(%D9%87%D9%86%D8%AF%D8%B3%D9%87)" title="زاويه (هندسه) – arabe égyptien" lang="arz" hreflang="arz" data-title="زاويه (هندسه)" data-language-autonym="مصرى" data-language-local-name="arabe égyptien" class="interlanguage-link-target"><span>مصرى</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-as mw-list-item"><a href="https://as.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%95%E0%A7%8B%E0%A6%A3" title="কোণ – assamais" lang="as" hreflang="as" data-title="কোণ" data-language-autonym="অসমীয়া" data-language-local-name="assamais" class="interlanguage-link-target"><span>অসমীয়া</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulu" title="Ángulu – asturien" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Ángulu" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="asturien" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ay mw-list-item"><a href="https://ay.wikipedia.org/wiki/K%27uchu" title="K'uchu – aymara" lang="ay" hreflang="ay" data-title="K'uchu" data-language-autonym="Aymar aru" data-language-local-name="aymara" class="interlanguage-link-target"><span>Aymar aru</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/Bucaq" title="Bucaq – azerbaïdjanais" lang="az" hreflang="az" data-title="Bucaq" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="azerbaïdjanais" class="interlanguage-link-target"><span>Azərbaycanca</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-azb mw-list-item"><a href="https://azb.wikipedia.org/wiki/%D8%A2%DA%86%DB%8C" title="آچی – South Azerbaijani" lang="azb" hreflang="azb" data-title="آچی" data-language-autonym="تۆرکجه" data-language-local-name="South Azerbaijani" class="interlanguage-link-target"><span>تۆرکجه</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D3%A9%D0%B9%D3%A9%D1%88" title="Мөйөш – bachkir" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Мөйөш" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="bachkir" class="interlanguage-link-target"><span>Башҡортса</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bat-smg mw-list-item"><a href="https://bat-smg.wikipedia.org/wiki/Komps" title="Komps – samogitien" lang="sgs" hreflang="sgs" data-title="Komps" data-language-autonym="Žemaitėška" data-language-local-name="samogitien" class="interlanguage-link-target"><span>Žemaitėška</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bcl mw-list-item"><a href="https://bcl.wikipedia.org/wiki/Anggulo" title="Anggulo – Central Bikol" lang="bcl" hreflang="bcl" data-title="Anggulo" data-language-autonym="Bikol Central" data-language-local-name="Central Bikol" class="interlanguage-link-target"><span>Bikol Central</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D1%83%D0%B3%D0%B0%D0%BB" title="Вугал – biélorusse" lang="be" hreflang="be" data-title="Вугал" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="biélorusse" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be-x-old mw-list-item"><a href="https://be-tarask.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%83%D1%82" title="Кут – Belarusian (Taraškievica orthography)" lang="be-tarask" hreflang="be-tarask" data-title="Кут" data-language-autonym="Беларуская (тарашкевіца)" data-language-local-name="Belarusian (Taraškievica orthography)" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская (тарашкевіца)</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%AA%D0%B3%D1%8A%D0%BB" title="Ъгъл – bulgare" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Ъгъл" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="bulgare" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%95%E0%A7%8B%E0%A6%A3" title="কোণ – bengali" lang="bn" hreflang="bn" data-title="কোণ" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="bengali" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-br mw-list-item"><a href="https://br.wikipedia.org/wiki/Korn_(mentoniezh)" title="Korn (mentoniezh) – breton" lang="br" hreflang="br" data-title="Korn (mentoniezh)" data-language-autonym="Brezhoneg" data-language-local-name="breton" class="interlanguage-link-target"><span>Brezhoneg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Ugao" title="Ugao – bosniaque" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Ugao" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="bosniaque" class="interlanguage-link-target"><span>Bosanski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bxr mw-list-item"><a href="https://bxr.wikipedia.org/wiki/%D2%AE%D0%BD%D1%81%D1%8D%D0%B3" title="Үнсэг – Russia Buriat" lang="bxr" hreflang="bxr" data-title="Үнсэг" data-language-autonym="Буряад" data-language-local-name="Russia Buriat" class="interlanguage-link-target"><span>Буряад</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Angle" title="Angle – catalan" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Angle" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="catalan" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-chr mw-list-item"><a href="https://chr.wikipedia.org/wiki/%E1%8E%A4%E1%8F%9C%E1%8F%85%E1%8F%9B_%E1%8E%A4%E1%8F%9E%E1%8F%B4%E1%8F%8D%E1%8F%9B" title="ᎤᏜᏅᏛ ᎤᏞᏴᏍᏛ – cherokee" lang="chr" hreflang="chr" data-title="ᎤᏜᏅᏛ ᎤᏞᏴᏍᏛ" data-language-autonym="ᏣᎳᎩ" data-language-local-name="cherokee" class="interlanguage-link-target"><span>ᏣᎳᎩ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%DA%AF%DB%86%D8%B4%DB%95" title="گۆشە – sorani" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="گۆشە" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="sorani" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-crh mw-list-item"><a href="https://crh.wikipedia.org/wiki/Muyu%C5%9F" title="Muyuş – tatar de Crimée" lang="crh" hreflang="crh" data-title="Muyuş" data-language-autonym="Qırımtatarca" data-language-local-name="tatar de Crimée" class="interlanguage-link-target"><span>Qırımtatarca</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/%C3%9Ahel" title="Úhel – tchèque" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Úhel" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="tchèque" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cu mw-list-item"><a href="https://cu.wikipedia.org/wiki/%D1%AA%D0%B3%D1%8A%D0%BB%D1%8A" title="Ѫгълъ – slavon d’église" lang="cu" hreflang="cu" data-title="Ѫгълъ" data-language-autonym="Словѣньскъ / ⰔⰎⰑⰂⰡⰐⰠⰔⰍⰟ" data-language-local-name="slavon d’église" class="interlanguage-link-target"><span>Словѣньскъ / ⰔⰎⰑⰂⰡⰐⰠⰔⰍⰟ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%C4%95%D1%82%D0%B5%D1%81" title="Кĕтес – tchouvache" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Кĕтес" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="tchouvache" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Ongl" title="Ongl – gallois" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Ongl" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="gallois" class="interlanguage-link-target"><span>Cymraeg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Vinkel" title="Vinkel – danois" lang="da" hreflang="da" data-title="Vinkel" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="danois" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Winkel" title="Winkel – allemand" lang="de" hreflang="de" data-title="Winkel" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="allemand" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%93%CF%89%CE%BD%CE%AF%CE%B1" title="Γωνία – grec" lang="el" hreflang="el" data-title="Γωνία" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="grec" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Angle" title="Angle – anglais" lang="en" hreflang="en" data-title="Angle" data-language-autonym="English" data-language-local-name="anglais" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Angulo" title="Angulo – espéranto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Angulo" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="espéranto" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo" title="Ángulo – espagnol" lang="es" hreflang="es" data-title="Ángulo" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="espagnol" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Nurk" title="Nurk – estonien" lang="et" hreflang="et" data-title="Nurk" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="estonien" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Angelu_(geometria)" title="Angelu (geometria) – basque" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Angelu (geometria)" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="basque" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%B2%D8%A7%D9%88%DB%8C%D9%87" title="زاویه – persan" lang="fa" hreflang="fa" data-title="زاویه" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="persan" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Kulma" title="Kulma – finnois" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Kulma" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="finnois" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fj mw-list-item"><a href="https://fj.wikipedia.org/wiki/Tutuni" title="Tutuni – fidjien" lang="fj" hreflang="fj" data-title="Tutuni" data-language-autonym="Na Vosa Vakaviti" data-language-local-name="fidjien" class="interlanguage-link-target"><span>Na Vosa Vakaviti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-frr mw-list-item"><a href="https://frr.wikipedia.org/wiki/Winkel" title="Winkel – frison septentrional" lang="frr" hreflang="frr" data-title="Winkel" data-language-autonym="Nordfriisk" data-language-local-name="frison septentrional" class="interlanguage-link-target"><span>Nordfriisk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/Uillinn_(matamaitic)" title="Uillinn (matamaitic) – irlandais" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Uillinn (matamaitic)" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="irlandais" class="interlanguage-link-target"><span>Gaeilge</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gan mw-list-item"><a href="https://gan.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%92" title="角 – gan" lang="gan" hreflang="gan" data-title="角" data-language-autonym="贛語" data-language-local-name="gan" class="interlanguage-link-target"><span>贛語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gcr mw-list-item"><a href="https://gcr.wikipedia.org/wiki/Ang" title="Ang – créole guyanais" lang="gcr" hreflang="gcr" data-title="Ang" data-language-autonym="Kriyòl gwiyannen" data-language-local-name="créole guyanais" class="interlanguage-link-target"><span>Kriyòl gwiyannen</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gd mw-list-item"><a href="https://gd.wikipedia.org/wiki/Ce%C3%A0rn_(Matamataig)" title="Ceàrn (Matamataig) – gaélique écossais" lang="gd" hreflang="gd" data-title="Ceàrn (Matamataig)" data-language-autonym="Gàidhlig" data-language-local-name="gaélique écossais" class="interlanguage-link-target"><span>Gàidhlig</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo" title="Ángulo – galicien" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Ángulo" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="galicien" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gn mw-list-item"><a href="https://gn.wikipedia.org/wiki/Takamby" title="Takamby – guarani" lang="gn" hreflang="gn" data-title="Takamby" data-language-autonym="Avañe'ẽ" data-language-local-name="guarani" class="interlanguage-link-target"><span>Avañe'ẽ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%96%D7%95%D7%95%D7%99%D7%AA" title="זווית – hébreu" lang="he" hreflang="he" data-title="זווית" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hébreu" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%95%E0%A5%8B%E0%A4%A3" title="कोण – hindi" lang="hi" hreflang="hi" data-title="कोण" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="hindi" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hif mw-list-item"><a href="https://hif.wikipedia.org/wiki/Angle" title="Angle – hindi fidjien" lang="hif" hreflang="hif" data-title="Angle" data-language-autonym="Fiji Hindi" data-language-local-name="hindi fidjien" class="interlanguage-link-target"><span>Fiji Hindi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Kut" title="Kut – croate" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Kut" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="croate" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ht mw-list-item"><a href="https://ht.wikipedia.org/wiki/Ang" title="Ang – créole haïtien" lang="ht" hreflang="ht" data-title="Ang" data-language-autonym="Kreyòl ayisyen" data-language-local-name="créole haïtien" class="interlanguage-link-target"><span>Kreyòl ayisyen</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Sz%C3%B6g" title="Szög – hongrois" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Szög" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="hongrois" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D4%B1%D5%B6%D5%AF%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Անկյուն – arménien" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Անկյուն" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="arménien" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hyw mw-list-item"><a href="https://hyw.wikipedia.org/wiki/%D4%B1%D5%B6%D5%AF%D5%AB%D6%82%D5%B6" title="Անկիւն – arménien occidental" lang="hyw" hreflang="hyw" data-title="Անկիւն" data-language-autonym="Արեւմտահայերէն" data-language-local-name="arménien occidental" class="interlanguage-link-target"><span>Արեւմտահայերէն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Angulo" title="Angulo – interlingua" lang="ia" hreflang="ia" data-title="Angulo" data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="interlingua" class="interlanguage-link-target"><span>Interlingua</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Sudut_(geometri)" title="Sudut (geometri) – indonésien" lang="id" hreflang="id" data-title="Sudut (geometri)" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonésien" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ilo mw-list-item"><a href="https://ilo.wikipedia.org/wiki/Anggulo" title="Anggulo – ilocano" lang="ilo" hreflang="ilo" data-title="Anggulo" data-language-autonym="Ilokano" data-language-local-name="ilocano" class="interlanguage-link-target"><span>Ilokano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-io mw-list-item"><a href="https://io.wikipedia.org/wiki/Angulo" title="Angulo – ido" lang="io" hreflang="io" data-title="Angulo" data-language-autonym="Ido" data-language-local-name="ido" class="interlanguage-link-target"><span>Ido</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Horn_(r%C3%BAmfr%C3%A6%C3%B0i)" title="Horn (rúmfræði) – islandais" lang="is" hreflang="is" data-title="Horn (rúmfræði)" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="islandais" class="interlanguage-link-target"><span>Íslenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Angolo" title="Angolo – italien" lang="it" hreflang="it" data-title="Angolo" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italien" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%92%E5%BA%A6" title="角度 – japonais" lang="ja" hreflang="ja" data-title="角度" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japonais" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jam mw-list-item"><a href="https://jam.wikipedia.org/wiki/Hanggl" title="Hanggl – créole jamaïcain" lang="jam" hreflang="jam" data-title="Hanggl" data-language-autonym="Patois" data-language-local-name="créole jamaïcain" class="interlanguage-link-target"><span>Patois</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%99%E1%83%A3%E1%83%97%E1%83%AE%E1%83%94" title="კუთხე – géorgien" lang="ka" hreflang="ka" data-title="კუთხე" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="géorgien" class="interlanguage-link-target"><span>ქართული</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kbd mw-list-item"><a href="https://kbd.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BB%D3%80%D0%B0%D0%BD%D1%8D%D0%BF%D1%8D" title="ПлӀанэпэ – kabarde" lang="kbd" hreflang="kbd" data-title="ПлӀанэпэ" data-language-autonym="Адыгэбзэ" data-language-local-name="kabarde" class="interlanguage-link-target"><span>Адыгэбзэ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D2%B1%D1%80%D1%8B%D1%88_(%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F)" title="Бұрыш (геометрия) – kazakh" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Бұрыш (геометрия)" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="kazakh" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-km mw-list-item"><a href="https://km.wikipedia.org/wiki/%E1%9E%98%E1%9E%BB%E1%9F%86" title="មុំ – khmer" lang="km" hreflang="km" data-title="មុំ" data-language-autonym="ភាសាខ្មែរ" data-language-local-name="khmer" class="interlanguage-link-target"><span>ភាសាខ្មែរ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kn mw-list-item"><a href="https://kn.wikipedia.org/wiki/%E0%B2%95%E0%B3%8B%E0%B2%A8" title="ಕೋನ – kannada" lang="kn" hreflang="kn" data-title="ಕೋನ" data-language-autonym="ಕನ್ನಡ" data-language-local-name="kannada" class="interlanguage-link-target"><span>ಕನ್ನಡ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B0%81_(%EC%88%98%ED%95%99)" title="각 (수학) – coréen" lang="ko" hreflang="ko" data-title="각 (수학)" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="coréen" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ku mw-list-item"><a href="https://ku.wikipedia.org/wiki/Hoke" title="Hoke – kurde" lang="ku" hreflang="ku" data-title="Hoke" data-language-autonym="Kurdî" data-language-local-name="kurde" class="interlanguage-link-target"><span>Kurdî</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kw mw-list-item"><a href="https://kw.wikipedia.org/wiki/Angle" title="Angle – cornique" lang="kw" hreflang="kw" data-title="Angle" data-language-autonym="Kernowek" data-language-local-name="cornique" class="interlanguage-link-target"><span>Kernowek</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ky mw-list-item"><a href="https://ky.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%83%D1%80%D1%87" title="Бурч – kirghize" lang="ky" hreflang="ky" data-title="Бурч" data-language-autonym="Кыргызча" data-language-local-name="kirghize" class="interlanguage-link-target"><span>Кыргызча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Angulus" title="Angulus – latin" lang="la" hreflang="la" data-title="Angulus" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="latin" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-li mw-list-item"><a href="https://li.wikipedia.org/wiki/Hook" title="Hook – limbourgeois" lang="li" hreflang="li" data-title="Hook" data-language-autonym="Limburgs" data-language-local-name="limbourgeois" class="interlanguage-link-target"><span>Limburgs</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lmo mw-list-item"><a href="https://lmo.wikipedia.org/wiki/Angol" title="Angol – lombard" lang="lmo" hreflang="lmo" data-title="Angol" data-language-autonym="Lombard" data-language-local-name="lombard" class="interlanguage-link-target"><span>Lombard</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ln mw-list-item"><a href="https://ln.wikipedia.org/wiki/Lit%C3%BAmu" title="Litúmu – lingala" lang="ln" hreflang="ln" data-title="Litúmu" data-language-autonym="Lingála" data-language-local-name="lingala" class="interlanguage-link-target"><span>Lingála</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Kampas" title="Kampas – lituanien" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Kampas" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="lituanien" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Le%C5%86%C4%B7is" title="Leņķis – letton" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Leņķis" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="letton" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mdf mw-list-item"><a href="https://mdf.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%8C" title="Ужесь – mokcha" lang="mdf" hreflang="mdf" data-title="Ужесь" data-language-autonym="Мокшень" data-language-local-name="mokcha" class="interlanguage-link-target"><span>Мокшень</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mg mw-list-item"><a href="https://mg.wikipedia.org/wiki/Zoro_(je%C3%B4metria)" title="Zoro (jeômetria) – malgache" lang="mg" hreflang="mg" data-title="Zoro (jeômetria)" data-language-autonym="Malagasy" data-language-local-name="malgache" class="interlanguage-link-target"><span>Malagasy</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mhr mw-list-item"><a href="https://mhr.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D1%83%D0%BA" title="Лук – Eastern Mari" lang="mhr" hreflang="mhr" data-title="Лук" data-language-autonym="Олык марий" data-language-local-name="Eastern Mari" class="interlanguage-link-target"><span>Олык марий</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%B3%D0%BE%D0%BB" title="Агол – macédonien" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Агол" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="macédonien" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%95%E0%B5%8B%E0%B5%BA" title="കോൺ – malayalam" lang="ml" hreflang="ml" data-title="കോൺ" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="malayalam" class="interlanguage-link-target"><span>മലയാളം</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mn mw-list-item"><a href="https://mn.wikipedia.org/wiki/%D3%A8%D0%BD%D1%86%D3%A9%D0%B3_(%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80)" title="Өнцөг (геометр) – mongol" lang="mn" hreflang="mn" data-title="Өнцөг (геометр)" data-language-autonym="Монгол" data-language-local-name="mongol" class="interlanguage-link-target"><span>Монгол</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mr mw-list-item"><a href="https://mr.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%95%E0%A5%8B%E0%A4%A8" title="कोन – marathi" lang="mr" hreflang="mr" data-title="कोन" data-language-autonym="मराठी" data-language-local-name="marathi" class="interlanguage-link-target"><span>मराठी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Sudut" title="Sudut – malais" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Sudut" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="malais" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-my mw-list-item"><a href="https://my.wikipedia.org/wiki/%E1%80%91%E1%80%B1%E1%80%AC%E1%80%84%E1%80%B7%E1%80%BA" title="ထောင့် – birman" lang="my" hreflang="my" data-title="ထောင့်" data-language-autonym="မြန်မာဘာသာ" data-language-local-name="birman" class="interlanguage-link-target"><span>မြန်မာဘာသာ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-myv mw-list-item"><a href="https://myv.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D0%B6%D0%BE" title="Ужо – erzya" lang="myv" hreflang="myv" data-title="Ужо" data-language-autonym="Эрзянь" data-language-local-name="erzya" class="interlanguage-link-target"><span>Эрзянь</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mzn mw-list-item"><a href="https://mzn.wikipedia.org/wiki/%D8%B3%D9%88%DA%A9(%D9%87%D9%86%D9%91%D8%B3%D9%87)" title="سوک(هنّسه) – mazandérani" lang="mzn" hreflang="mzn" data-title="سوک(هنّسه)" data-language-autonym="مازِرونی" data-language-local-name="mazandérani" class="interlanguage-link-target"><span>مازِرونی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nds mw-list-item"><a href="https://nds.wikipedia.org/wiki/Winkel_(Geometrie)" title="Winkel (Geometrie) – bas-allemand" lang="nds" hreflang="nds" data-title="Winkel (Geometrie)" data-language-autonym="Plattdüütsch" data-language-local-name="bas-allemand" class="interlanguage-link-target"><span>Plattdüütsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ne mw-list-item"><a href="https://ne.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%95%E0%A5%8B%E0%A4%A3" title="कोण – népalais" lang="ne" hreflang="ne" data-title="कोण" data-language-autonym="नेपाली" data-language-local-name="népalais" class="interlanguage-link-target"><span>नेपाली</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-new mw-list-item"><a href="https://new.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%95%E0%A5%81%E0%A4%82" title="कुं – newari" lang="new" hreflang="new" data-title="कुं" data-language-autonym="नेपाल भाषा" data-language-local-name="newari" class="interlanguage-link-target"><span>नेपाल भाषा</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Hoek_(meetkunde)" title="Hoek (meetkunde) – néerlandais" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Hoek (meetkunde)" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="néerlandais" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Vinkel" title="Vinkel – norvégien nynorsk" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Vinkel" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="norvégien nynorsk" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Vinkel" title="Vinkel – norvégien bokmål" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Vinkel" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="norvégien bokmål" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nqo mw-list-item"><a href="https://nqo.wikipedia.org/wiki/%DF%9E%DF%8B%DF%B2%DF%9B%DF%90%DF%B2" title="ߞߋ߲ߛߐ߲ – n’ko" lang="nqo" hreflang="nqo" data-title="ߞߋ߲ߛߐ߲" data-language-autonym="ߒߞߏ" data-language-local-name="n’ko" class="interlanguage-link-target"><span>ߒߞߏ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Angle" title="Angle – occitan" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Angle" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="occitan" class="interlanguage-link-target"><span>Occitan</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%95%E0%A9%8B%E0%A8%A8" title="ਕੋਨ – pendjabi" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਕੋਨ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="pendjabi" class="interlanguage-link-target"><span>ਪੰਜਾਬੀ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/K%C4%85t" title="Kąt – polonais" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Kąt" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="polonais" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pms mw-list-item"><a href="https://pms.wikipedia.org/wiki/%C3%80ngol" title="Àngol – piémontais" lang="pms" hreflang="pms" data-title="Àngol" data-language-autonym="Piemontèis" data-language-local-name="piémontais" class="interlanguage-link-target"><span>Piemontèis</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pnb mw-list-item"><a href="https://pnb.wikipedia.org/wiki/%D8%B2%D8%A7%D9%88%DB%8C%DB%81" title="زاویہ – Western Punjabi" lang="pnb" hreflang="pnb" data-title="زاویہ" data-language-autonym="پنجابی" data-language-local-name="Western Punjabi" class="interlanguage-link-target"><span>پنجابی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ps mw-list-item"><a href="https://ps.wikipedia.org/wiki/%D8%B2%D8%A7%D9%88%D9%8A%D9%87" title="زاويه – pachto" lang="ps" hreflang="ps" data-title="زاويه" data-language-autonym="پښتو" data-language-local-name="pachto" class="interlanguage-link-target"><span>پښتو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%82ngulo" title="Ângulo – portugais" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Ângulo" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugais" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-qu mw-list-item"><a href="https://qu.wikipedia.org/wiki/Chhuka" title="Chhuka – quechua" lang="qu" hreflang="qu" data-title="Chhuka" data-language-autonym="Runa Simi" data-language-local-name="quechua" class="interlanguage-link-target"><span>Runa Simi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Unghi" title="Unghi – roumain" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Unghi" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="roumain" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D0%B3%D0%BE%D0%BB" title="Угол – russe" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Угол" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="russe" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sah mw-list-item"><a href="https://sah.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D1%83%D0%BD%D0%BD%D1%83%D0%BA" title="Муннук – iakoute" lang="sah" hreflang="sah" data-title="Муннук" data-language-autonym="Саха тыла" data-language-local-name="iakoute" class="interlanguage-link-target"><span>Саха тыла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/%C3%80nculu" title="Ànculu – sicilien" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Ànculu" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="sicilien" class="interlanguage-link-target"><span>Sicilianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Ugao" title="Ugao – serbo-croate" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Ugao" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="serbo-croate" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-si mw-list-item"><a href="https://si.wikipedia.org/wiki/%E0%B6%9A%E0%B7%9D%E0%B6%AB%E0%B6%BA" title="කෝණය – cingalais" lang="si" hreflang="si" data-title="කෝණය" data-language-autonym="සිංහල" data-language-local-name="cingalais" class="interlanguage-link-target"><span>සිංහල</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Angle" title="Angle – Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Angle" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Uhol" title="Uhol – slovaque" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Uhol" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="slovaque" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Kot" title="Kot – slovène" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Kot" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="slovène" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sn mw-list-item"><a href="https://sn.wikipedia.org/wiki/Gonyo" title="Gonyo – shona" lang="sn" hreflang="sn" data-title="Gonyo" data-language-autonym="ChiShona" data-language-local-name="shona" class="interlanguage-link-target"><span>ChiShona</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-so mw-list-item"><a href="https://so.wikipedia.org/wiki/Xagal" title="Xagal – somali" lang="so" hreflang="so" data-title="Xagal" data-language-autonym="Soomaaliga" data-language-local-name="somali" class="interlanguage-link-target"><span>Soomaaliga</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/K%C3%ABndi" title="Këndi – albanais" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Këndi" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="albanais" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D0%B3%D0%B0%D0%BE" title="Угао – serbe" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Угао" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="serbe" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-su mw-list-item"><a href="https://su.wikipedia.org/wiki/Juru_(%C3%A9lmu_ukur)" title="Juru (élmu ukur) – soundanais" lang="su" hreflang="su" data-title="Juru (élmu ukur)" data-language-autonym="Sunda" data-language-local-name="soundanais" class="interlanguage-link-target"><span>Sunda</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Vinkel" title="Vinkel – suédois" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Vinkel" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="suédois" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sw mw-list-item"><a href="https://sw.wikipedia.org/wiki/Pembe_(jiometria)" title="Pembe (jiometria) – swahili" lang="sw" hreflang="sw" data-title="Pembe (jiometria)" data-language-autonym="Kiswahili" data-language-local-name="swahili" class="interlanguage-link-target"><span>Kiswahili</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%95%E0%AF%8B%E0%AE%A3%E0%AE%AE%E0%AF%8D" title="கோணம் – tamoul" lang="ta" hreflang="ta" data-title="கோணம்" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="tamoul" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-te mw-list-item"><a href="https://te.wikipedia.org/wiki/%E0%B0%95%E0%B1%8B%E0%B0%A3%E0%B0%82" title="కోణం – télougou" lang="te" hreflang="te" data-title="కోణం" data-language-autonym="తెలుగు" data-language-local-name="télougou" class="interlanguage-link-target"><span>తెలుగు</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tg mw-list-item"><a href="https://tg.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%83%D0%BD%D2%B7" title="Кунҷ – tadjik" lang="tg" hreflang="tg" data-title="Кунҷ" data-language-autonym="Тоҷикӣ" data-language-local-name="tadjik" class="interlanguage-link-target"><span>Тоҷикӣ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%A1%E0%B8%B8%E0%B8%A1" title="มุม – thaï" lang="th" hreflang="th" data-title="มุม" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="thaï" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Anggulo" title="Anggulo – tagalog" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Anggulo" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="tagalog" class="interlanguage-link-target"><span>Tagalog</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/A%C3%A7%C4%B1" title="Açı – turc" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Açı" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turc" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tt mw-list-item"><a href="https://tt.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%87%D0%BC%D0%B0%D0%BA" title="Почмак – tatar" lang="tt" hreflang="tt" data-title="Почмак" data-language-autonym="Татарча / tatarça" data-language-local-name="tatar" class="interlanguage-link-target"><span>Татарча / tatarça</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%83%D1%82" title="Кут – ukrainien" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Кут" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ukrainien" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D8%B2%D8%A7%D9%88%DB%8C%DB%81" title="زاویہ – ourdou" lang="ur" hreflang="ur" data-title="زاویہ" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="ourdou" class="interlanguage-link-target"><span>اردو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Burchak" title="Burchak – ouzbek" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Burchak" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="ouzbek" class="interlanguage-link-target"><span>Oʻzbekcha / ўзбекча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/G%C3%B3c" title="Góc – vietnamien" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Góc" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vietnamien" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-war mw-list-item"><a href="https://war.wikipedia.org/wiki/Anggulo" title="Anggulo – waray" lang="war" hreflang="war" data-title="Anggulo" data-language-autonym="Winaray" data-language-local-name="waray" class="interlanguage-link-target"><span>Winaray</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%92" title="角 – wu" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="角" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="wu" class="interlanguage-link-target"><span>吴语</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-xmf mw-list-item"><a href="https://xmf.wikipedia.org/wiki/%E1%83%99%E1%83%A3%E1%83%9C%E1%83%97%E1%83%AE%E1%83%A3" title="კუნთხუ – mingrélien" lang="xmf" hreflang="xmf" data-title="კუნთხუ" data-language-autonym="მარგალური" data-language-local-name="mingrélien" class="interlanguage-link-target"><span>მარგალური</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yi mw-list-item"><a href="https://yi.wikipedia.org/wiki/%D7%95%D7%95%D7%99%D7%A0%D7%A7%D7%9C" title="ווינקל – yiddish" lang="yi" hreflang="yi" data-title="ווינקל" data-language-autonym="ייִדיש" data-language-local-name="yiddish" class="interlanguage-link-target"><span>ייִדיש</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%92" title="角 – chinois" lang="zh" hreflang="zh" data-title="角" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chinois" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-classical mw-list-item"><a href="https://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%92" title="角 – chinois littéraire" lang="lzh" hreflang="lzh" data-title="角" data-language-autonym="文言" data-language-local-name="chinois littéraire" class="interlanguage-link-target"><span>文言</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-min-nan mw-list-item"><a href="https://zh-min-nan.wikipedia.org/wiki/Kak-t%C5%8D%CD%98" title="Kak-tō͘ – minnan" lang="nan" hreflang="nan" data-title="Kak-tō͘" data-language-autonym="閩南語 / Bân-lâm-gú" data-language-local-name="minnan" class="interlanguage-link-target"><span>閩南語 / Bân-lâm-gú</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%92_(%E5%B9%BE%E4%BD%95)" title="角 (幾何) – cantonais" lang="yue" hreflang="yue" data-title="角 (幾何)" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="cantonais" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zu mw-list-item"><a href="https://zu.wikipedia.org/wiki/Ingoni" title="Ingoni – zoulou" lang="zu" hreflang="zu" data-title="Ingoni" data-language-autonym="IsiZulu" data-language-local-name="zoulou" class="interlanguage-link-target"><span>IsiZulu</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q11352#sitelinks-wikipedia" title="Modifier les liens interlangues" class="wbc-editpage">Modifier les liens</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Espaces de noms"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Angle" title="Voir le contenu de la 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metadata homonymie hatnote"><div class="bandeau-cell bandeau-icone" style="display:table-cell;padding-right:0.5em"><span class="noviewer" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Aide:Homonymie" title="Aide:Homonymie"><img alt="Page d’aide sur l’homonymie" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a9/Logo_disambig.svg/20px-Logo_disambig.svg.png" decoding="async" width="20" height="15" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a9/Logo_disambig.svg/30px-Logo_disambig.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a9/Logo_disambig.svg/40px-Logo_disambig.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="375" /></a></span></div><div class="bandeau-cell" style="display:table-cell;padding-right:0.5em"> <p>Pour les articles homonymes, voir <a href="/wiki/Angle_(homonymie)" class="mw-disambig" title="Angle (homonymie)">Angle (homonymie)</a> et <a href="/wiki/Angles" class="mw-disambig" title="Angles">Angles</a>. </p> </div></div> <p>En <a href="/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie" title="Géométrie">géométrie</a>, la notion générale d'<b>angle</b> se décline en plusieurs concepts. </p><p>Dans son sens ancien, l'angle est une figure plane, portion de <a href="/wiki/Plan_(math%C3%A9matiques)" title="Plan (mathématiques)">plan</a> délimitée par deux <a href="/wiki/Demi-droite" title="Demi-droite">demi-droites</a>. C'est ainsi qu'on parle des angles d'un <a href="/wiki/Polygone" title="Polygone">polygone</a>. Cependant, l'usage est maintenant d'employer le terme « secteur angulaire » pour une telle figure. L'angle peut désigner également une portion de l'espace délimitée par deux plans (<a href="/wiki/Angle_di%C3%A8dre" title="Angle dièdre">angle dièdre</a>). La mesure de tels angles porte couramment mais abusivement le nom d'angle, elle aussi. </p><p>En un sens plus abstrait, l'angle est une <a href="/wiki/Relation_d%27%C3%A9quivalence" title="Relation d'équivalence">classe d'équivalence</a>, c'est-à-dire un ensemble obtenu en assimilant entre eux tous les angles-figures identifiables par <a href="/wiki/Isom%C3%A9trie_affine" title="Isométrie affine">isométrie</a>. L'une quelconque des figures identifiées est alors appelée représentant de l'angle. Tous ces représentants ayant même mesure, on peut parler de mesure de l'angle abstrait. </p><p>Il est possible de définir une notion d'<b>angle orienté</b> en <a href="/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_euclidienne" title="Géométrie euclidienne">géométrie euclidienne</a> du plan, ainsi que d'étendre la notion d'angle au cadre des <a href="/wiki/Espace_pr%C3%A9hilbertien" title="Espace préhilbertien">espaces vectoriels préhilbertiens</a> ou des <a href="/wiki/Vari%C3%A9t%C3%A9_riemannienne" title="Variété riemannienne">variétés riemanniennes</a>. </p><p>Il y a plusieurs sortes d'angles : <a href="/wiki/Angle_droit" title="Angle droit">Angle droit</a>, <a href="/wiki/Angle_aigu" title="Angle aigu">Angle aigu</a> et <a href="/wiki/Angle_obtus" title="Angle obtus">Angle obtus</a>. </p><p>La notion d'angle entre deux demi-droites s'étend à celle d'<b>angle entre deux droites</b>, ainsi qu'à celle d'<b>angle entre deux courbes</b> : c'est l'angle que forment les <a href="/wiki/Tangente_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Tangente (géométrie)">tangentes</a> à ces courbes en leur point commun. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Histoire">Histoire</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Angle&veaction=edit&section=1" title="Modifier la section : Histoire" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Angle&action=edit&section=1" title="Modifier le code source de la section : Histoire"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone"><span class="mw-valign-text-top noviewer" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Fichier:Logo_travaux_orange-simple.svg" class="mw-file-description"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d5/Logo_travaux_orange-simple.svg/15px-Logo_travaux_orange-simple.svg.png" decoding="async" width="15" height="17" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d5/Logo_travaux_orange-simple.svg/22px-Logo_travaux_orange-simple.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d5/Logo_travaux_orange-simple.svg/29px-Logo_travaux_orange-simple.svg.png 2x" data-file-width="190" data-file-height="219" /></a></span></div><div class="bandeau-cell">Cette section est vide, insuffisamment détaillée ou incomplète. <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:EditPage/Angle" title="Spécial:EditPage/Angle">Votre aide</a> est la bienvenue ! <a href="/wiki/Aide:Comment_modifier_une_page" title="Aide:Comment modifier une page">Comment faire ?</a></div></div> <p>Le mot angle dérive du latin <i>angulus</i>, mot qui signifie « le coin ». Selon le <a href="/wiki/Math%C3%A9maticien" title="Mathématicien">mathématicien</a> <a href="/wiki/Carpos_d%27Antioche" title="Carpos d'Antioche">Carpos d'Antioche</a>, l'angle est une quantité et l'intervalle des lignes ou des surfaces qui le comprennent ; cet intervalle est dimensionné d'une seule manière, et pourtant l'angle n'est pas une ligne pour cela. </p><p>Par ailleurs, l'<a href="/wiki/Angle_de_mur_(hi%C3%A9roglyphe_%C3%A9gyptien_O38)" title="Angle de mur (hiéroglyphe égyptien O38)">angle de mur</a> est un <a href="/wiki/Hi%C3%A9roglyphe_%C3%A9gyptien" class="mw-redirect" title="Hiéroglyphe égyptien">hiéroglyphe égyptien</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="L'angle_comme_figure_du_plan_ou_de_l'espace"><span id="L.27angle_comme_figure_du_plan_ou_de_l.27espace"></span>L'angle comme figure du plan ou de l'espace</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Angle&veaction=edit&section=2" title="Modifier la section : L'angle comme figure du plan ou de l'espace" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Angle&action=edit&section=2" title="Modifier le code source de la section : L'angle comme figure du plan ou de l'espace"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Secteur_angulaire_et_angle">Secteur angulaire et angle</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Angle&veaction=edit&section=3" title="Modifier la section : Secteur angulaire et angle" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Angle&action=edit&section=3" title="Modifier le code source de la section : Secteur angulaire et angle"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size mw-halign-left" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Angel_sectors.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Angel_sectors.svg/250px-Angel_sectors.svg.png" decoding="async" width="220" height="220" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Angel_sectors.svg/330px-Angel_sectors.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Angel_sectors.svg/500px-Angel_sectors.svg.png 2x" data-file-width="744" data-file-height="744" /></a><figcaption><a href="/wiki/Angle_rentrant_et_angle_saillant" title="Angle rentrant et angle saillant">Angle saillant α et angle rentrant β</a> déterminés par deux demi-droites.</figcaption></figure> <p>Dans le plan, deux demi-droites de même origine délimitent deux régions, appelées <b>secteurs angulaires</b>. </p><p>On dit que deux secteurs angulaires définissent le même angle lorsqu'ils sont superposables (plus formellement : l'angle d'un secteur angulaire est sa classe de <a href="/wiki/Congruence_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Congruence (géométrie)">congruence</a>). On parle traditionnellement d'<b>angle géométrique</b> pour cette notion d'angle<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> mais ce terme peut aussi désigner, dans la terminologie moderne, une notion voisine moins fine (<span title="Voir la section Angle géométrique"><a href="#Angle_géométrique">voir <i>infra</i></a></span>). </p><p>Un angle est dit saillant si les secteurs angulaires qui le représentent sont <a href="/wiki/Ensemble_convexe" title="Ensemble convexe">convexes</a>, et rentrant sinon. </p><p>Une <a href="/wiki/Paire" title="Paire">paire</a> de demi-droites de même origine définit donc en général deux angles : <a href="/wiki/Angle_rentrant" class="mw-redirect" title="Angle rentrant">l'un saillant et l'autre rentrant</a> (le cas exceptionnel est celui de l'<a href="#Nom_des_angles">angle plat</a>). </p> <div class="clear" style="clear:both;"></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Secteurs_angulaires.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d4/Secteurs_angulaires.png" decoding="async" width="203" height="152" class="mw-file-element" data-file-width="203" data-file-height="152" /></a><figcaption>Les quatre secteurs angulaires saillants obtenus par intersection des <a href="/wiki/Demi-plan" title="Demi-plan">demi-plans</a> délimités par deux <a href="/wiki/Droite_(math%C3%A9matiques)" title="Droite (mathématiques)">droites</a> <a href="/wiki/Droite_s%C3%A9cante" title="Droite sécante">sécantes</a>.</figcaption></figure> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Angles_entre_deux_droites">Angles entre deux droites</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Angle&veaction=edit&section=4" title="Modifier la section : Angles entre deux droites" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Angle&action=edit&section=4" title="Modifier le code source de la section : Angles entre deux droites"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Dans le plan, on peut parler de l'angle de deux droites sécantes. Deux droites sécantes découpent le plan en 4 secteurs angulaires saillants, correspondant à deux paires d'angles opposés par le sommet. Les angles opposés sont de même mesure et les <a href="/wiki/Angles_adjacents" title="Angles adjacents">angles adjacents</a> sont <a href="/wiki/Angles_suppl%C3%A9mentaires" title="Angles supplémentaires">supplémentaires</a><sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. Il y a en général deux valeurs possibles pour ces angles ; on choisit parfois de privilégier celui qui a la plus petite mesure, c'est-à-dire l'angle aigu ou droit. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Valeur_d'un_angle"><span id="Valeur_d.27un_angle"></span>Valeur d'un angle</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Angle&veaction=edit&section=5" title="Modifier la section : Valeur d'un angle" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Angle&action=edit&section=5" title="Modifier le code source de la section : Valeur d'un angle"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La mesure de l'angle d'un secteur angulaire est le <a href="/wiki/Nombre_r%C3%A9el" title="Nombre réel">nombre réel</a> positif qui mesure la proportion du plan occupée par le secteur angulaire. Les <a href="/wiki/Unit%C3%A9_de_mesure" title="Unité de mesure">unités</a> utilisées pour le quantifier sont le <a href="/wiki/Radian" title="Radian">radian</a>, le <a href="/wiki/Quadrant_(math%C3%A9matiques)" title="Quadrant (mathématiques)">quadrant</a> et ses subdivisions, le <a href="/wiki/Degr%C3%A9_(angle)" title="Degré (angle)">degré</a>, ses <a href="/wiki/Sous-unit%C3%A9s_du_degr%C3%A9" title="Sous-unités du degré">sous-unités</a> et le <a href="/wiki/Grade_(angle)" title="Grade (angle)">grade</a>. Les angles sont fréquemment notés par une lettre grecque minuscule, par exemple α, β, θ, ρ… Lorsque l'angle est au sommet d'un <a href="/wiki/Polygone" title="Polygone">polygone</a> et qu'il n'y a pas d'ambiguïté, on utilise alors le nom du sommet surmonté d'un chapeau, par exemple <i>Â</i>. </p> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Secteur_circulaire" title="Secteur circulaire">Secteur circulaire</a>.</div></div> <figure class="mw-default-size mw-halign-left" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:ArcMeasure.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b9/ArcMeasure.svg/220px-ArcMeasure.svg.png" decoding="async" width="220" height="148" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b9/ArcMeasure.svg/330px-ArcMeasure.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b9/ArcMeasure.svg/440px-ArcMeasure.svg.png 2x" data-file-width="195" data-file-height="131" /></a><figcaption>On mesure l'angle d'un secteur angulaire par la proportion de la portion d'un disque ou d'un cercle centré sur l'origine des deux demi-droites.</figcaption></figure> <p>Pour évaluer cet angle, cette « proportion de surface », on prend un disque centré au point d'intersection, et on effectue le rapport entre l'<a href="/wiki/Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Aire (géométrie)">aire</a> de la portion de disque interceptée par le secteur angulaire et l'aire totale du disque. On peut montrer que cela revient également à faire le rapport entre la <a href="/wiki/Longueur_d%27un_arc" title="Longueur d'un arc">longueur de l'arc</a> intercepté et la circonférence du cercle ; cette valeur inférieure à 1 est appelée <b>nombre de tour</b>. La valeur 1/4 (quart de tour) correspond au <a href="/wiki/Quadrant_(math%C3%A9matiques)" title="Quadrant (mathématiques)">quadrant</a>. </p><p>Une unité couramment utilisée est le <a href="/wiki/Degr%C3%A9_(angle)" title="Degré (angle)">degré</a>, qui est le résultat de la division du quadrant en 90 parts égales. Le tour complet correspond donc à 360 degrés. La minute d'arc est un sous-multiple du degré, égale à 1/60 de degré. De même, la seconde d'arc est égale à 1/60 de la minute d'arc, soit 1/3 600 de degré. On utilise plus rarement le <a href="/wiki/Grade_(angle)" title="Grade (angle)">grade</a>, qui correspond à une subdivision centésimale du quadrant. </p> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Radian_definition.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ca/Radian_definition.png/220px-Radian_definition.png" decoding="async" width="220" height="160" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/ca/Radian_definition.png 1.5x" data-file-width="248" data-file-height="180" /></a><figcaption>Définition du radian, unité de mesure de l'angle.</figcaption></figure> <p>L'unité internationale de mesure des angles est cependant le <a href="/wiki/Radian" title="Radian">radian</a>, défini comme le rapport entre la longueur de l'arc intercepté et le rayon du cercle. Le tour complet correspond donc à <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\pi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73efd1f6493490b058097060a572606d2c550a06" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.494ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2\pi }" /></span> radians. </p><p>Les angles peuvent être calculés à partir des longueurs des côtés de <a href="/wiki/Polygone" title="Polygone">polygones</a>, notamment de <a href="/wiki/Triangle" title="Triangle">triangles</a>, en utilisant la <a href="/wiki/Trigonom%C3%A9trie" title="Trigonométrie">trigonométrie</a>. </p><p>L'unité de mesure des angles utilisée principalement par les militaires est le <a href="/wiki/Milli%C3%A8me" title="Millième">millième</a>. Il est l'angle sous lequel on voit 1 mètre à 1 kilomètre. 6283 millièmes correspond à 2π radians ou 360 degrés, soit <span title="6,283 184 rad" style="cursor:help">360</span><abbr class="abbr" title="degré">°</abbr>/arctan(1 <abbr class="abbr" title="mètre">m</abbr>/1 000 <abbr class="abbr" title="mètre">m</abbr>). Autrement-dit, millième = mrad (milliradian). </p><p>« Sur le terrain », les angles peuvent être mesurés avec un appareil appelé <a href="/wiki/Goniom%C3%A8tre" title="Goniomètre">goniomètre</a> ; il comporte en général une règle courbe graduée en degrés, appelée <a href="/wiki/Rapporteur" title="Rapporteur">rapporteur</a>. </p><p>En informatique, le 1/16<sup>e</sup> de degré peut être utilisé, soit 5760 pour 360°. </p> <div class="clear" style="clear:both;"></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Nom_des_angles">Nom des angles</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Angle&veaction=edit&section=6" title="Modifier la section : Nom des angles" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Angle&action=edit&section=6" title="Modifier le code source de la section : Nom des angles"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Les angles correspondant à un nombre entier de quadrants portent un nom particulier. Le tableau suivant représente les valeurs des angles particuliers dans les diverses unités. </p> <center> <table class="wikitable"> <tbody><tr> <th>Angle</th> <th>Représentation</th> <th>Nombre de tours</th> <th>Nombre de quadrants</th> <th>Radians</th> <th>Degré</th> <th>Grade </th></tr> <tr> <td>Angle plein</td> <td><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Fichier:Angolo_giro.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b0/Angolo_giro.png/100px-Angolo_giro.png" decoding="async" width="100" height="82" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b0/Angolo_giro.png/150px-Angolo_giro.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b0/Angolo_giro.png 2x" data-file-width="173" data-file-height="142" /></a></span></td> <td>1 tour</td> <td>4 quadrants</td> <td>2π rad</td> <td>360°</td> <td>400 gr </td></tr> <tr> <td>Angle plat</td> <td><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Fichier:Angolo_piatto.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2f/Angolo_piatto.png/100px-Angolo_piatto.png" decoding="async" width="100" height="63" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2f/Angolo_piatto.png/150px-Angolo_piatto.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2f/Angolo_piatto.png/200px-Angolo_piatto.png 2x" data-file-width="283" data-file-height="178" /></a></span></td> <td>1/2 tour</td> <td>2 quadrants</td> <td>π rad</td> <td>180°</td> <td>200 gr </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/Angle_droit" title="Angle droit">Angle droit</a></td> <td><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Fichier:Right_angle.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6c/Right_angle.svg/120px-Right_angle.svg.png" decoding="async" width="100" height="100" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6c/Right_angle.svg/250px-Right_angle.svg.png 1.5x" data-file-width="800" data-file-height="800" /></a></span></td> <td>1/4 de tour</td> <td>1 quadrant</td> <td>π/<span title="114,591 56°" style="cursor:help">2</span> <abbr class="abbr" title="radian">rad</abbr></td> <td>90°</td> <td>100 gr </td></tr> <tr> <td>Angle nul</td> <td><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Fichier:Angle_empty1.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ad/Angle_empty1.svg/100px-Angle_empty1.svg.png" decoding="async" width="100" height="42" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ad/Angle_empty1.svg/150px-Angle_empty1.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ad/Angle_empty1.svg/200px-Angle_empty1.svg.png 2x" data-file-width="334" data-file-height="139" /></a></span></td> <td>0 tour</td> <td>0 quadrant</td> <td><span title="0°" style="cursor:help">0</span> <abbr class="abbr" title="radian">rad</abbr></td> <td>0°</td> <td>0 gr </td></tr> <tr> <td>Angle rentrant</td> <td><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Fichier:Reflex_angle,_numbers.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7c/Reflex_angle%2C_numbers.svg/100px-Reflex_angle%2C_numbers.svg.png" decoding="async" width="100" height="58" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7c/Reflex_angle%2C_numbers.svg/150px-Reflex_angle%2C_numbers.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7c/Reflex_angle%2C_numbers.svg/200px-Reflex_angle%2C_numbers.svg.png 2x" data-file-width="335" data-file-height="195" /></a></span></td> <td>entre 1/2 et 1 tour</td> <td>entre 2 et 4 quadrants</td> <td>entre π et 2π rad</td> <td>supérieur à 180°, inférieur à 360°</td> <td>entre 200 et 400 gr </td></tr></tbody></table> </center> <p>L'<a href="/wiki/Angle_droit" title="Angle droit">angle droit</a> est obtenu en considérant deux droites qui divisent le plan en quatre secteurs égaux. De telles droites sont dites <a href="/wiki/Orthogonalit%C3%A9" title="Orthogonalité">orthogonales</a> ou perpendiculaires. </p><p>On confond fréquemment l'angle avec sa mesure. Ainsi par exemple un angle plat est abusivement dit « égal » à 180°. Cet abus est pratiqué largement dans la suite de cet article. </p> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Angles_particuliers.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4f/Angles_particuliers.png/220px-Angles_particuliers.png" decoding="async" width="220" height="216" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4f/Angles_particuliers.png 1.5x" data-file-width="223" data-file-height="219" /></a><figcaption>Définition des angles droit, plat, complémentaires et supplémentaires.</figcaption></figure> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Geometry_Coterminal_Angles.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b8/Geometry_Coterminal_Angles.svg/220px-Geometry_Coterminal_Angles.svg.png" decoding="async" width="220" height="220" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b8/Geometry_Coterminal_Angles.svg/330px-Geometry_Coterminal_Angles.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b8/Geometry_Coterminal_Angles.svg/440px-Geometry_Coterminal_Angles.svg.png 2x" data-file-width="800" data-file-height="800" /></a><figcaption>Angles coterminaux</figcaption></figure> <p>Les qualificatifs suivants sont employés pour les angles prenant des valeurs intermédiaires entre ces valeurs remarquables : </p> <ul><li>l'angle rentrant est un angle supérieur à l'angle plat ;</li> <li>l'angle saillant est un angle inférieur à l'angle plat : <ul><li>l'<a href="/wiki/Angle_obtus" title="Angle obtus">angle obtus</a> est compris entre 90° et 180°,</li> <li>l'<a href="/wiki/Angle_aigu" title="Angle aigu">angle aigu</a> est compris entre 0° et 90°.</li></ul></li></ul> <p>Pour qualifier les valeurs relatives de deux angles, on emploie les expressions suivantes : </p> <ul><li>deux angles sont <a href="/wiki/Angles_compl%C3%A9mentaires" title="Angles complémentaires">complémentaires</a> quand leur somme fait <span title="1,570 796 rad" style="cursor:help">90</span><abbr class="abbr" title="degré">°</abbr> ; si deux angles sont complémentaires, chacun est dit être le complément de l'autre ;</li> <li>deux angles sont <a href="/wiki/Angles_suppl%C3%A9mentaires" title="Angles supplémentaires">supplémentaires</a> quand leur somme fait <span title="3,141 592 rad" style="cursor:help">180</span><abbr class="abbr" title="degré">°</abbr>.</li></ul> <p>On emploie encore d'autres expressions pour qualifier la position des angles sur une figure, c'est-à-dire plus justement, la position relative de secteurs angulaires : </p> <ul><li>deux secteurs angulaires sont opposés par le sommet, lorsqu'ils ont le même sommet et que les côtés de l'un sont dans le prolongement de ceux de l'autre. Dans ce cas les angles correspondants sont égaux.</li> <li>deux secteurs angulaires sont adjacents lorsqu'ils ont le même sommet, un côté commun, et que leur intersection est égale à ce côté commun. Les angles s'ajoutent lorsqu'on considère la réunion de ces secteurs.</li> <li>les <a href="/wiki/Angles_alternes-externes" title="Angles alternes-externes">angles alternes-externes</a> et les <a href="/wiki/Angles_alternes-internes" title="Angles alternes-internes">angles alternes-internes</a> sont formés par deux droites coupées par une <a href="/wiki/Droite_s%C3%A9cante" title="Droite sécante">sécante</a>. Ces angles ont la même mesure lorsque les deux droites sont parallèles.</li></ul> <p>Remarque, deux angles complémentaires ou supplémentaires ne sont pas nécessairement adjacents : Par exemple, dans un triangle ABE <a href="/wiki/Triangle_rectangle" title="Triangle rectangle">rectangle</a> en B, les angles Â et Ê sont complémentaires. </p><p>Par extension, on définit également les angles entre des demi-droites, des segments de droite et des <a href="/wiki/Vecteur" title="Vecteur">vecteurs</a>, en prolongeant les droites portant ces objets jusqu'à leur intersection. La définition par des demi-droites ou des vecteurs permet de lever l'indétermination entre les angles supplémentaires, c'est-à-dire de définir sans ambiguïté quel secteur angulaire utiliser pour définir l'inclinaison des directions. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Angle_géométrique"><span id="Angle_g.C3.A9om.C3.A9trique"></span>Angle géométrique</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Angle&veaction=edit&section=7" title="Modifier la section : Angle géométrique" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Angle&action=edit&section=7" title="Modifier le code source de la section : Angle géométrique"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Un <b>angle géométrique</b> est, dans la terminologie actuelle, la classe d'équivalence d'un <a href="/wiki/Couple_(math%C3%A9matiques)" title="Couple (mathématiques)">couple</a> de demi-droites de même origine, deux tels couples étant considérées comme équivalents s'ils sont <a href="/wiki/Congruence_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Congruence (géométrie)">superposables</a><sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. </p><p>Si l'on note <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\widehat {xOy}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>x</mi> <mi>O</mi> <mi>y</mi> </mrow> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\widehat {xOy}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/883b689d9bc9063ced9ecc919048fada82c1a764" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.021ex; margin-right: -0.03ex; width:4.45ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\widehat {xOy}}}" /></span> l'angle géométrique associé au couple de demi-droites <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left([Ox),[Oy)\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>O</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>O</mi> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left([Ox),[Oy)\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abc172fc49632fd09661cd9d15b78fe4ed974657" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.978ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \left([Ox),[Oy)\right)}" /></span>, on a (par <a href="/wiki/Sym%C3%A9trie_axiale" title="Symétrie axiale">symétrie</a> par rapport à la <a href="/wiki/Bissectrice" title="Bissectrice">bissectrice</a>) : <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\widehat {xOy}}={\widehat {yOx}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>x</mi> <mi>O</mi> <mi>y</mi> </mrow> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>y</mi> <mi>O</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\widehat {xOy}}={\widehat {yOx}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/063b7e898825fc34172810524d9a73dc9d58618c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.021ex; margin-right: -0.03ex; width:11.937ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\widehat {xOy}}={\widehat {yOx}}}" /></span>, c'est-à-dire que cet angle ne dépend que de la <a href="/wiki/Paire" title="Paire">paire</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{[Ox),[Oy)\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>O</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>O</mi> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{[Ox),[Oy)\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3d837aba661569b6e06060c97c11775a0eb070a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.494ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{[Ox),[Oy)\}}" /></span>. </p><p>L'angle saillant et l'angle rentrant associés à une telle paire (<span title="Voir la section Secteur angulaire et angle"><a href="#Secteur_angulaire_et_angle">voir <i>supra</i></a></span>) correspondent donc, avec cette nouvelle terminologie, à un même « angle géométrique », dont le représentant privilégié est l'angle saillant<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup class="reference cite_virgule">,</sup><sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> (de mesure comprise entre 0 et 180°). </p><p>On peut l'interpréter de plusieurs façons : divergence entre deux directions, directions des faces d'un objet (coin), direction visée par rapport au nord (angle donné par une boussole)… L'angle peut aussi s'interpréter comme l'ouverture du secteur angulaire. C'est la mesure de l'inclinaison d'une demi-droite par rapport à l'autre. </p><p>Si une <a href="/wiki/Translation" title="Translation">translation</a> transforme <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [Ox)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>O</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [Ox)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aaf3461d6fb9fc7de30862b79106006b688fcf3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.654ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [Ox)}" /></span> en <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [O'x')}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <msup> <mi>O</mi> <mo>′</mo> </msup> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [O'x')}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35b7636610784e78e6342afd72e0b57e681ec536" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.024ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle [O'x')}" /></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [Oy)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>O</mi> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [Oy)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8487eb2bff783b8d706cf88fdec2e02f1582232f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.48ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [Oy)}" /></span> en <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [O'y')}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <msup> <mi>O</mi> <mo>′</mo> </msup> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [O'y')}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb1045b0f2f6bf9c741d0fd861e5e8b9d4e049ad" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.855ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle [O'y')}" /></span>, elle ne modifie pas l'angle géométrique : <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\widehat {x'O'y'}}={\widehat {xOy}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> <msup> <mi>O</mi> <mo>′</mo> </msup> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> </mrow> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>x</mi> <mi>O</mi> <mi>y</mi> </mrow> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\widehat {x'O'y'}}={\widehat {xOy}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81655a8381bfd74d79fa98a8697c7db1e0ffdc63" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-right: -0.03ex; width:13.845ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\widehat {x'O'y'}}={\widehat {xOy}}}" /></span>. On peut donc définir l'angle géométrique <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\widehat {({\vec {u}},{\vec {v}})}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\widehat {({\vec {u}},{\vec {v}})}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79037b97eb263f29adc83f9a22bc49bba86adffc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.348ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\widehat {({\vec {u}},{\vec {v}})}}}" /></span> de deux <a href="/wiki/Vecteur" title="Vecteur">vecteurs</a> non nuls <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {u}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {u}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89c41e9cf70c5e5b56e2128a136985a75f90ba43" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {u}}}" /></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85820588abd7333ef4d0c56539cb31c20e730753" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.175ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}}" /></span> comme l'angle entre deux demi-droites dirigées par ces deux vecteurs, et d'origine commune arbitraire. Ou encore : deux couples <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ({\vec {u}},{\vec {v}})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\vec {u}},{\vec {v}})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae5144f4b0435449f5da70666518d502679c2c18" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.348ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ({\vec {u}},{\vec {v}})}" /></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ({\vec {u}}',{\vec {v}}')}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\vec {u}}',{\vec {v}}')}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1743298b5afc29beaa0d0548c2aace6ee0567759" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.718ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle ({\vec {u}}',{\vec {v}}')}" /></span> de vecteurs non nuls sont équivalents (représentent le même angle géométrique) s'il existe une <a href="/wiki/Isom%C3%A9trie" title="Isométrie">isométrie</a> vectorielle qui transforme les <a href="/wiki/Vecteur_unitaire" title="Vecteur unitaire">vecteurs unitaires</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\vec {u}}{\|{\vec {u}}\|}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <mrow> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\vec {u}}{\|{\vec {u}}\|}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e159fe118f8fda317dd226b4a26d67134bb5e3c0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:4.491ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\vec {u}}{\|{\vec {u}}\|}}}" /></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\vec {v}}{\|{\vec {v}}\|}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <mrow> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\vec {v}}{\|{\vec {v}}\|}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fe85caa7c52d886525ce53bf41e4769a5514cda" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:4.336ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\vec {v}}{\|{\vec {v}}\|}}}" /></span> en <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {{\vec {u}}'}{\|{\vec {u}}'\|}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mrow> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {{\vec {u}}'}{\|{\vec {u}}'\|}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39d0c82c25f16334096412f7247abfb684678dfa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:5.175ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {{\vec {u}}'}{\|{\vec {u}}'\|}}}" /></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {{\vec {v}}'}{\|{\vec {v}}'\|}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mrow> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {{\vec {v}}'}{\|{\vec {v}}'\|}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c08da3f321418f11ba2464807f86e74ae75b32f0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:5.021ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {{\vec {v}}'}{\|{\vec {v}}'\|}}}" /></span>. (On définit bien ainsi une <a href="/wiki/Relation_d%27%C3%A9quivalence" title="Relation d'équivalence">relation d'équivalence</a> entre couples, parce que <a href="/wiki/Groupe_orthogonal" title="Groupe orthogonal">les isométries vectorielles</a> forment un <a href="/wiki/Groupe_(math%C3%A9matiques)" title="Groupe (mathématiques)">groupe</a>.) </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Angles_orientés_dans_le_plan"><span id="Angles_orient.C3.A9s_dans_le_plan"></span>Angles orientés dans le plan</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Angle&veaction=edit&section=8" title="Modifier la section : Angles orientés dans le plan" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Angle&action=edit&section=8" title="Modifier le code source de la section : Angles orientés dans le plan"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Une_approche_multiple">Une approche multiple</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Angle&veaction=edit&section=9" title="Modifier la section : Une approche multiple" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Angle&action=edit&section=9" title="Modifier le code source de la section : Une approche multiple"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Angles_orientes.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/32/Angles_orientes.svg/550px-Angles_orientes.svg.png" decoding="async" width="550" height="376" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/32/Angles_orientes.svg/825px-Angles_orientes.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/32/Angles_orientes.svg/1100px-Angles_orientes.svg.png 2x" data-file-width="952" data-file-height="651" /></a><figcaption>Sur chacune des quatre figures, la flèche bleue et la verte représentent un même angle orienté, par un secteur angulaire muni de l'indication du sens dans lequel il est « balayé » (l'ordre entre les deux demi-droites). Les angles des deux figures de droite sont différents de ceux de gauche car les « sens de balayage » sont inversés. Cette inversion transforme un angle en son opposé dans le groupe des angles orientés (<span title="Voir la section Les angles orientés de vecteurs forment un groupe"><a href="#Les_angles_orientés_de_vecteurs_forment_un_groupe">voir <i>infra</i></a></span>).</figcaption></figure> <p>La présentation des angles orientés dans un plan peut se faire de manière intuitive ou plus formaliste. </p><p>La première approche consiste à voir l'angle comme la trace d'une rotation : la rotation qui envoie la demi-droite (Ox) sur la demi-droite (Oy) est en général différente de celle envoyant (Oy) sur (Ox). On considère alors comme distincts les angles (Ox, Oy) et (Oy, Ox) en signalant qu'ils ont même mesure mais des sens de parcours différents<sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. </p><p>Une autre approche consiste à confondre l'angle orienté et sa mesure<sup id="cite_ref-7" class="reference"><a href="#cite_note-7"><span class="cite-bracket">[</span>7<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. Cette démarche nécessite de définir une orientation préalable du plan pour pouvoir définir le sens dit <i>positif</i>. C'est ce type d'approche que l'on retrouve quand on définit la mesure de l'angle orienté d'un couple de vecteurs unitaires à l'aide de la longueur de l'arc de cercle orienté qu'il détermine sur un cercle unité<sup id="cite_ref-8" class="reference"><a href="#cite_note-8"><span class="cite-bracket">[</span>8<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. </p><p>La dernière approche, plus formalisée consiste à voir un angle orienté comme une classe d'équivalence de couple de demi-droites vectorielles modulo les rotations planes, ou ce qui revient au même, comme des <a href="/wiki/Action_de_groupe_(math%C3%A9matiques)#Orbite" title="Action de groupe (mathématiques)">orbites</a> de couples de demi-droites vectorielles par l'<a href="/wiki/Action_de_groupe_(math%C3%A9matiques)" title="Action de groupe (mathématiques)">action de groupe</a> des isométries positives<sup id="cite_ref-9" class="reference"><a href="#cite_note-9"><span class="cite-bracket">[</span>9<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. </p><p>Par la suite seront présentées les approches par les longueurs d'arcs de cercle et comme classes d'équivalence. Par les mêmes techniques que ci-dessus, il revient au même, lorsqu'on parle d'angles, de considérer deux demi-droites de même origine, deux vecteurs non nuls, ou deux vecteurs unitaires. Nous limitons donc l'exposé à ce dernier cas. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Arcs_de_cercle_orientés"><span id="Arcs_de_cercle_orient.C3.A9s"></span>Arcs de cercle orientés</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Angle&veaction=edit&section=10" title="Modifier la section : Arcs de cercle orientés" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Angle&action=edit&section=10" title="Modifier le code source de la section : Arcs de cercle orientés"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Circle_and_real_line.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e7/Circle_and_real_line.svg/220px-Circle_and_real_line.svg.png" decoding="async" width="220" height="479" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e7/Circle_and_real_line.svg/330px-Circle_and_real_line.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e7/Circle_and_real_line.svg/440px-Circle_and_real_line.svg.png 2x" data-file-width="136" data-file-height="296" /></a><figcaption>La droite réelle s'<b>enroule</b> autour du cercle trigonométrique permettant de définir des abscisses curvilignes. L'angle <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ({\vec {u}},{\vec {v}})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\vec {u}},{\vec {v}})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae5144f4b0435449f5da70666518d502679c2c18" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.348ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ({\vec {u}},{\vec {v}})}" /></span> a pour mesures, les mesures de l'arc orienté AB, c'est-à-dire, entre autres, les <a href="/wiki/Mesure_alg%C3%A9brique" title="Mesure algébrique">mesures algébriques</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {A_{1}B_{1}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>B</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {A_{1}B_{1}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a9eeb95d5c969f99280049f4d106af940552a12" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.731ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\overline {A_{1}B_{1}}}}" /></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {A_{1}B_{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>B</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {A_{1}B_{2}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c5ddaa349d888245cba789899501da81c7a886c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.731ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\overline {A_{1}B_{2}}}}" /></span> </figcaption></figure> <p>Dans un cercle de centre <i>O</i> et de rayon 1, on définit un sens de parcours dit <i>positif</i>, en général le sens inverse des aiguilles d'une montre, appelé sens trigonométrique. Si A et B sont deux points du cercle, on appelle longueur de l'arc orienté AB, la longueur de tout parcours sur le cercle partant de A et arrivant à B. Il existe plusieurs parcours possibles consistant à ajouter des tours complets du cercle parcourus dans le sens positif ou dans le sens négatif. Une longueur <span class="texhtml"><i>a</i></span> étant connue, les autres longueurs de l'arc orienté sont donc toutes de la forme <span class="texhtml"><i>a</i> + 2<i>k</i>π</span> où <span class="texhtml"><i>k</i></span> est un <a href="/wiki/Entier_relatif" title="Entier relatif">entier relatif</a> quelconque. La longueur correspondant au trajet le plus court pour se rendre de A à B est appelé la mesure principale de l'arc AB (s'il existe deux trajets possibles, on choisit celui de mesure positive). La mesure principale est donc un nombre appartenant à l'intervalle ]-π, π]. </p><p>Soient <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {u}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {u}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89c41e9cf70c5e5b56e2128a136985a75f90ba43" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {u}}}" /></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85820588abd7333ef4d0c56539cb31c20e730753" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.175ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}}" /></span> deux vecteurs unitaires, et A et B les points tels que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {u}}={\overrightarrow {OA}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>O</mi> <mi>A</mi> </mrow> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {u}}={\overrightarrow {OA}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c87b4c7216759e732ac3c76d91a3bea59a3c3ba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; margin-top: -0.372ex; width:8.075ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {u}}={\overrightarrow {OA}}}" /></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}={\overrightarrow {OB}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>O</mi> <mi>B</mi> </mrow> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}={\overrightarrow {OB}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95747cee5d2157a41012ed3ee904de190b507514" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; margin-top: -0.4ex; width:7.941ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}={\overrightarrow {OB}}}" /></span>, on appelle mesure de l'angle orienté <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ({\vec {u}},{\vec {v}})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\vec {u}},{\vec {v}})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae5144f4b0435449f5da70666518d502679c2c18" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.348ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ({\vec {u}},{\vec {v}})}" /></span> toute longueur de l'arc orienté AB. La mesure principale de l'angle <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ({\vec {u}},{\vec {v}})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\vec {u}},{\vec {v}})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae5144f4b0435449f5da70666518d502679c2c18" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.348ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ({\vec {u}},{\vec {v}})}" /></span> a donc pour <a href="/wiki/Valeur_absolue" title="Valeur absolue">valeur absolue</a> la mesure de l'angle géométrique <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\widehat {{\vec {u}},{\vec {v}}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\widehat {{\vec {u}},{\vec {v}}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96c960f8ee21a060928937448062e332dad53487" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.539ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\widehat {{\vec {u}},{\vec {v}}}}}" /></span> . Le signe de cette mesure principale est positif si le plus court chemin pour se rendre de A vers B est dans le sens direct , il est négatif dans le cas contraire. Deux couples de vecteurs ayant même mesure définissent le même angle orienté. </p><p>Dans cette approche, il est nécessaire que soit perçu comme naturel l'«enroulement» de la droite réelle sur le cercle<sup id="cite_ref-10" class="reference"><a href="#cite_note-10"><span class="cite-bracket">[</span>10<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>, enroulement qu'il resterait à formaliser. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Angles_orientés_de_vecteurs_par_classe_d'équivalence"><span id="Angles_orient.C3.A9s_de_vecteurs_par_classe_d.27.C3.A9quivalence"></span>Angles orientés de vecteurs par classe d'équivalence</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Angle&veaction=edit&section=11" title="Modifier la section : Angles orientés de vecteurs par classe d'équivalence" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Angle&action=edit&section=11" title="Modifier le code source de la section : Angles orientés de vecteurs par classe d'équivalence"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Le plan a la particularité suivante, par rapport aux <a href="/wiki/Dimension_d%27un_espace_vectoriel" title="Dimension d'un espace vectoriel">dimensions</a> supérieures : on peut y affiner la relation de congruence définie pour l'angle géométrique de telle façon que les couples <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ({\vec {u}},{\vec {v}})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\vec {u}},{\vec {v}})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae5144f4b0435449f5da70666518d502679c2c18" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.348ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ({\vec {u}},{\vec {v}})}" /></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ({\vec {v}},{\vec {u}})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\vec {v}},{\vec {u}})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e0bf0104d60a7b5d79eaa99753f2106bc1b598e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.348ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ({\vec {v}},{\vec {u}})}" /></span> ne représentent plus le même angle en général<sup id="cite_ref-11" class="reference"><a href="#cite_note-11"><span class="cite-bracket">[</span>11<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. Pour cela, on évite de faire intervenir les <a href="/wiki/R%C3%A9flexion_(math%C3%A9matiques)" title="Réflexion (mathématiques)">réflexions</a> parmi les isométries autorisées pour définir une nouvelle relation entre les couples, c'est-à-dire qu'<i>on se limite au <a href="/wiki/Sous-groupe" title="Sous-groupe">sous-groupe</a> des <a href="/wiki/Rotation_vectorielle" title="Rotation vectorielle">rotations</a> du <a href="/wiki/Plan_vectoriel" title="Plan vectoriel">plan vectoriel</a></i> (en dimension 3 par exemple, cette limitation échouerait car les deux couples sont transformés l'un de l'autre non seulement par réflexion par rapport au plan bissecteur, mais aussi par une rotation d'un demi-tour). Cela conduit à la définition suivante : </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Un_angle_orienté_de_vecteurs_est_une_classe_d'équivalence"><span id="Un_angle_orient.C3.A9_de_vecteurs_est_une_classe_d.27.C3.A9quivalence"></span>Un angle orienté de vecteurs est une classe d'équivalence</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Angle&veaction=edit&section=12" title="Modifier la section : Un angle orienté de vecteurs est une classe d'équivalence" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Angle&action=edit&section=12" title="Modifier le code source de la section : Un angle orienté de vecteurs est une classe d'équivalence"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>(On se dispense désormais des traditionnelles flèches sur les vecteurs.) </p> <blockquote style="width:90%; border-left: solid #D0D0D0 1px; padding-left:1em;"><p> Deux couples (u, v) et (u', v') de vecteurs unitaires du plan représentent le même angle orienté s'il existe une rotation g telle que u' = g(u) et v' = g(v).</p></blockquote> <p>En confondant abusivement un couple et l'angle orienté qu'il représente, on a par exemple : (–u, –v) = (u, v) par le demi-tour g = –<a href="/wiki/Application_identit%C3%A9" title="Application identité">Id</a>. </p><p>Cette nouvelle relation d'équivalence est <a href="/wiki/Relation_binaire#Définition_formelle" title="Relation binaire">plus fine que</a> celle qui définit les angles géométriques. Plus précisément, en tant que classe d'équivalence, l'angle géométrique <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\widehat {(u,v)}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\widehat {(u,v)}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b3650d403cf97ed1a92831f62609b5d830a42fa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.301ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\widehat {(u,v)}}}" /></span> est la réunion des deux angles orientés <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (u,v)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (u,v)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eadf12294edccd7a29c99cfc1765e4a14bf47e58" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.301ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (u,v)}" /></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (v,u)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>v</mi> <mo>,</mo> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (v,u)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e186c23c37b50f8ca8c2ad5624a3f6fd3808a2f7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.301ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (v,u)}" /></span>. </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Chaque_angle_orienté_correspond_à_une_rotation"><span id="Chaque_angle_orient.C3.A9_correspond_.C3.A0_une_rotation"></span>Chaque angle orienté correspond à une rotation</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Angle&veaction=edit&section=13" title="Modifier la section : Chaque angle orienté correspond à une rotation" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Angle&action=edit&section=13" title="Modifier le code source de la section : Chaque angle orienté correspond à une rotation"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <blockquote style="width:90%; border-left: solid #D0D0D0 1px; padding-left:1em;"><p> Étant donnés deux vecteurs unitaires, il existe une unique rotation du plan qui envoie le premier sur le second<sup id="cite_ref-12" class="reference"><a href="#cite_note-12"><span class="cite-bracket">[</span>12<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>.</p></blockquote> <p>Cette unicité permet de définir une application qui au couple (u, v) de vecteurs unitaires associe la rotation f telle que f(u) = v. </p><p>Cette application T : (u, v) ↦ f, des couples de vecteurs vers les rotations, « <a href="/wiki/Relation_d%27%C3%A9quivalence#Surjection_canonique" title="Relation d'équivalence">passe au quotient</a> », et <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_factorisation#Le_cas_des_ensembles" title="Théorème de factorisation">définit ainsi une bijection</a> S, des angles orientés vers les rotations. En effet : </p> <div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid var(--border-color-base, #a2a9b1); text-align: justify; display:table"> <p><strong class="theoreme-nom">Théorème</strong><span class="theoreme-tiret"> — </span>(u, v) et (u', v') représentent le même angle orienté si et seulement si la rotation qui envoie u sur v est la même que celle qui envoie u' sur v'. </p> </div> <p>Cela est dû au fait que le groupe des rotations du plan vectoriel est <a href="/wiki/Groupe_ab%C3%A9lien" title="Groupe abélien">abélien</a>. </p> <div class="NavFrame" style="border: thin solid #aaaaaa; margin:1em 2em; padding: 0 1em; font-size:100%; text-align:justify; overflow:hidden;"> <div class="NavHead" style="background-color:transparent; color:inherit; padding:0;">Démonstration</div><div class="NavContent" style="padding-bottom:0.4em"> <p>Par définition, (u, v) et (u', v') représentent le même angle orienté si et seulement si la rotation qui envoie u sur u' est la même que celle qui envoie v sur v', autrement dit : T(u,u') = T(v,v'). Par commutativité du groupe des rotations, ceci équivaut à T(u',v)∘T(u,u') = T(v,v')∘T(u',v), <abbr class="abbr nowrap" title="c’est-à-dire">c.-à-d.</abbr> T(u,v) = T(u',v'). </p> </div><div class="clear" style="clear:both;"></div> </div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Les_angles_orientés_de_vecteurs_forment_un_groupe"><span id="Les_angles_orient.C3.A9s_de_vecteurs_forment_un_groupe"></span>Les angles orientés de vecteurs forment un groupe</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Angle&veaction=edit&section=14" title="Modifier la section : Les angles orientés de vecteurs forment un groupe" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Angle&action=edit&section=14" title="Modifier le code source de la section : Les angles orientés de vecteurs forment un groupe"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>En utilisant cette bijection S, on peut alors <a href="/w/index.php?title=Transport_de_structure&action=edit&redlink=1" class="new" title="Transport de structure (page inexistante)">« plaquer » la structure</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Transport_of_structure" class="extiw" title="en:Transport of structure"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Transport of structure »">(en)</span></a> de groupe abélien du groupe des rotations sur l'ensemble des angles, c'est-à-dire définir l'addition des angles à partir de la <a href="/wiki/Composition_de_fonctions" title="Composition de fonctions">composition</a> des rotations, en posant<sup id="cite_ref-13" class="reference"><a href="#cite_note-13"><span class="cite-bracket">[</span>13<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> : </p> <center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (u,v)+(z,t):=S^{-1}[S(u,v)\circ S(z,t)]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:=</mo> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∘</mo> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (u,v)+(z,t):=S^{-1}[S(u,v)\circ S(z,t)]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d998eb6d32dfd837881d5e03e1603ae2f9edd27c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:37.07ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (u,v)+(z,t):=S^{-1}[S(u,v)\circ S(z,t)]}" /></span>.</center> <ul><li>Munis de cette addition, les angles orientés de vecteurs forment un groupe abélien.</li> <li>Avec T(u, v) ∘ T(v, w) = T(u, w), on obtient pour les angles la <a href="/wiki/Relation_de_Chasles" title="Relation de Chasles">relation de Chasles</a> (u, v) + (v, w) = (u, w).</li> <li>L'angle nul correspond à l'identité : (u, u) = 0.</li> <li>(v, u) + (u, v) = (v, v) = 0 et donc (v, u) est l'opposé de (u, v) (cf. figure ci-dessus).</li> <li><a href="/wiki/Groupe_de_Lie_compact" title="Groupe de Lie compact">Tout angle est divisible par <i>n</i></a> de <i>n</i> façons. Par exemple pour <i>n</i> = 2 : <ul><li>les deux angles dont le double est l'angle nul (u, u) sont l'angle plat (u, –u) et l'angle nul ;</li> <li>il y a deux angles droits, solutions de 2(u, v) = (u, –u)<sup id="cite_ref-14" class="reference"><a href="#cite_note-14"><span class="cite-bracket">[</span>14<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>.</li></ul></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Effet_des_isométries_sur_les_angles_orientés_de_vecteurs"><span id="Effet_des_isom.C3.A9tries_sur_les_angles_orient.C3.A9s_de_vecteurs"></span>Effet des isométries sur les angles orientés de vecteurs</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Angle&veaction=edit&section=15" title="Modifier la section : Effet des isométries sur les angles orientés de vecteurs" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Angle&action=edit&section=15" title="Modifier le code source de la section : Effet des isométries sur les angles orientés de vecteurs"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>Les isométries directes (les rotations) conservent les angles orientés de vecteurs, par définition.</li> <li>Les isométries indirectes (les réflexions) transforment tout angle orienté de vecteurs en l'angle opposé car pour toute droite D, un angle peut toujours être représenté par un couple (u, v) dont D est la bissectrice, et la réflexion d'axe D échange alors u et v.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Enfin_presque_une_vraie_mesure_d'angles"><span id="Enfin_presque_une_vraie_mesure_d.27angles"></span>Enfin presque une vraie mesure d'angles</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Angle&veaction=edit&section=16" title="Modifier la section : Enfin presque une vraie mesure d'angles" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Angle&action=edit&section=16" title="Modifier le code source de la section : Enfin presque une vraie mesure d'angles"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>On va définir, sur les angles orientés, une mesure, de telle façon que la mesure de la somme soit égale à la somme des mesures (pour les angles géométriques, on pouvait définir partiellement une addition des angles et des mesures correspondantes : seulement pour des angles « pas trop grands »). </p><p>Le choix de l'une des <a href="/wiki/Orientation_(math%C3%A9matiques)#Le_plan" title="Orientation (mathématiques)">deux orientations possibles du plan</a> détermine l'un des deux <a href="/wiki/Isomorphisme_de_groupes" class="mw-redirect" title="Isomorphisme de groupes">isomorphismes</a> du groupe des rotations avec le groupe SO(2) des <a href="/wiki/Matrice_de_rotation#En_dimension_deux" title="Matrice de rotation">matrices de rotations planes</a> ou encore avec le <a href="/wiki/Cercle_unit%C3%A9" title="Cercle unité">groupe U des nombres complexes de module 1</a>. L'<a href="/wiki/Exponentielle_complexe" title="Exponentielle complexe">exponentielle complexe</a> permet alors de définir la mesure de l'angle d'une rotation <b><a href="/wiki/%C3%80_quelque_chose_pr%C3%A8s" title="À quelque chose près">à 2π près</a></b>, ou « modulo 2π » (en radians). Si θ est une mesure de l'angle de la rotation f = T(u, v), on dira que θ est aussi une mesure de l'angle orienté de vecteurs (u, v). </p><p>Par exemple, la mesure de l'angle droit de sens direct est notée : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{2}}+2k\pi ,k\in \mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>θ</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>π</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>k</mi> <mi>π</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{2}}+2k\pi ,k\in \mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d90746df5eebd89b93b8320b768ccaf558917415" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:19.539ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{2}}+2k\pi ,k\in \mathbb {Z} }" /></span></dd></dl> <p>ou bien </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta \equiv {\frac {\pi }{2}}{\pmod {2\pi }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>θ</mi> <mo>≡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>π</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mspace width="1em"></mspace> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>mod</mi> <mspace width="0.333em"></mspace> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta \equiv {\frac {\pi }{2}}{\pmod {2\pi }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2edf4cebe3ff4d4caf914b1404c8210d774f135" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:18.536ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle \theta \equiv {\frac {\pi }{2}}{\pmod {2\pi }}}" /></span>.</dd></dl> <p>En résumé, une orientation du plan étant choisie, la mesure d'un angle orienté de vecteurs est définie par : </p> <center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (u,v)\mapsto {\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}\leftrightarrow \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }\leftrightarrow \theta \mod 2\pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">↦</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> </mtd> <mtd> <mo>−</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> </mtd> <mtd> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">↔</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">i</mi> </mrow> <mi>θ</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">↔</mo> <mi>θ</mi> <mspace width="1em"></mspace> <mi>mod</mi> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mn>2</mn> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (u,v)\mapsto {\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}\leftrightarrow \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }\leftrightarrow \theta \mod 2\pi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bcce96a4a71a4dfa0d3ee7594f3ce2ca370a262" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:48.095ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle (u,v)\mapsto {\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}\leftrightarrow \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }\leftrightarrow \theta \mod 2\pi }" /></span>,</center> <p>où la matrice est <a href="/wiki/Matrice_d%27une_application_lin%C3%A9aire" title="Matrice d'une application linéaire">celle de T(u, v) dans</a> n'importe quelle <a href="/wiki/Base_orthonorm%C3%A9e" title="Base orthonormée">base orthonormée</a> <a href="/wiki/Orientation_(math%C3%A9matiques)#Le_plan" title="Orientation (mathématiques)">directe</a>. </p><p>C'est un isomorphisme du groupe des angles orientés dans le <a href="/wiki/Groupe_quotient" title="Groupe quotient">groupe additif des « réels modulo 2π »</a>. Ainsi, la mesure des angles est enfin additive. </p><p>Rappelons cependant qu'elle <i>dépend d'un choix d'orientation du plan</i> : <a href="/wiki/Matrice_de_rotation#En_dimension_deux" title="Matrice de rotation">inverser ce choix change toutes les mesures en leurs opposées</a>. On retrouve ici le fait qu'un angle géométrique, de mesure α comprise entre 0 et π, correspond à deux angles orientés opposés, l'attribution (modulo 2π) de la mesure α à l'un et donc –α à l'autre étant fonction de l'orientation du plan. </p><p>De plus, Daniel Perrin et <a href="/wiki/Jean_Dieudonn%C3%A9" title="Jean Dieudonné">Jean Dieudonné</a> font remarquer que l'on ne peut parler stricto sensu de <i>mesure</i> car aucune comparaison entre deux mesures d'angles n'est possible<sup id="cite_ref-15" class="reference"><a href="#cite_note-15"><span class="cite-bracket">[</span>15<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Angle_orienté_de_deux_droites"><span id="Angle_orient.C3.A9_de_deux_droites"></span>Angle orienté de deux droites</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Angle&veaction=edit&section=17" title="Modifier la section : Angle orienté de deux droites" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Angle&action=edit&section=17" title="Modifier le code source de la section : Angle orienté de deux droites"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Dans un plan, l'angle orienté de deux droites est la classe modulo π de l'angle orienté formé par leurs vecteurs directeurs. Ce travail modulo π provient du fait que l'on peut prendre comme <a href="/wiki/Vecteur_directeur" title="Vecteur directeur">vecteur directeur</a> d'une droite u ou -u et que changer un vecteur en son opposé revient à ajouter π à la mesure de l'angle correspondant<sup id="cite_ref-Psud_16-0" class="reference"><a href="#cite_note-Psud-16"><span class="cite-bracket">[</span>16<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. </p><p>Les angles orientés de droites sont utilisés pour déterminer l'angle d'une rotation composée de deux réflexions. Cette notion est également utile pour tous les problèmes d'alignement et de cyclicité<sup id="cite_ref-Psud_16-1" class="reference"><a href="#cite_note-Psud-16"><span class="cite-bracket">[</span>16<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Angles_dans_l'espace"><span id="Angles_dans_l.27espace"></span>Angles dans l'espace</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Angle&veaction=edit&section=18" title="Modifier la section : Angles dans l'espace" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Angle&action=edit&section=18" title="Modifier le code source de la section : Angles dans l'espace"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Deux droites sécantes sont nécessairement coplanaires, donc l'angle entre les droites est défini dans ce plan, de la même manière que ci-dessus. </p><p>Dans l'espace, il n'existe pas de notion d'angle orienté de droites mais on peut définir l'angle de deux droites quelconques de l'espace, sécantes ou non, à condition de travailler sur leurs vecteurs directeurs. On appelle angle de deux droites l'angle géométrique formé par leurs vecteurs directeurs. Il y a en général deux valeurs possibles pour cet angle, selon les vecteurs directeurs choisis. Il arrive que l'on privilégie le plus petit des angles<sup id="cite_ref-geothalg_17-0" class="reference"><a href="#cite_note-geothalg-17"><span class="cite-bracket">[</span>17<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. Ainsi l'angle entre deux droites parallèles est nul et celui entre deux droites orthogonales est de 90° ou π/2 rad. </p><p>L'angle de deux droites de vecteurs directeurs u et v peut se déterminer à l'aide du produit scalaire : c'est l'angle dont le cosinus vaut <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {|u\cdot v|}{\|u\|\|v\|}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>u</mi> <mo>⋅</mo> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>u</mi> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>v</mi> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {|u\cdot v|}{\|u\|\|v\|}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e97f2ca60380f4f5ba0ca6bbe627c8bc35ceaef7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:7.943ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {|u\cdot v|}{\|u\|\|v\|}}}" /></span><sup id="cite_ref-geothalg_17-1" class="reference"><a href="#cite_note-geothalg-17"><span class="cite-bracket">[</span>17<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. </p><p>On peut aussi considérer la notion voisine d'angle de deux axes, dans laquelle l'orientation des axes impose une unique valeur à l'angle qu'ils forment<sup id="cite_ref-18" class="reference"><a href="#cite_note-18"><span class="cite-bracket">[</span>18<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. </p><p>Pour définir l'angle entre deux plans, ou <a href="/wiki/Angle_di%C3%A8dre" title="Angle dièdre">angle dièdre</a>, on considère l'angle que font leurs <a href="/wiki/Normale_%C3%A0_une_surface#Normale_à_un_plan" class="mw-redirect" title="Normale à une surface">normales</a>. </p><p>Pour définir l'angle entre un plan et une droite, on considère l'angle α entre la droite et sa <a href="/wiki/Projection_orthogonale" title="Projection orthogonale">projection orthogonale</a> sur le plan, ou encore l'angle complémentaire entre la droite et la normale au plan : on retranche l'angle β entre la droite et la normale au plan de l'angle droit (α = π/2 – β en radians). </p><p>On définit également les <a href="/wiki/Angle_solide" title="Angle solide">angles solides</a> : on prend un point (parfois appelé « point d'observation ») et une surface dans l'espace (la « surface observée »), l'angle solide est la portion de l'espace délimitée par le <a href="/wiki/C%C3%B4ne_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Cône (géométrie)">cône</a> ayant pour sommet le point considéré et s'appuyant sur le contour de la surface. On mesure l'angle solide en calculant l'aire de la calotte découpée par le cône sur la sphère de rayon un et de centre le sommet du cône. L'unité de mesure d'angle solide est le <a href="/wiki/St%C3%A9radian" title="Stéradian">stéradian</a> (sr en abrégé), l'espace complet fait 4π sr. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Usages_des_angles">Usages des angles</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Angle&veaction=edit&section=19" title="Modifier la section : Usages des angles" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Angle&action=edit&section=19" title="Modifier le code source de la section : Usages des angles"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>En <a href="/wiki/G%C3%A9od%C3%A9sie" title="Géodésie">géodésie</a> (<a href="/wiki/G%C3%A9ographie" title="Géographie">géographie</a>) : <ul><li><a href="/wiki/Azimut" title="Azimut">azimut</a> : angle par rapport à l'axe Nord-Sud sur un plan contenant cet axe et le point visé, compté par rapport au Nord compté dans le sens des aiguilles d'une montre ;</li> <li><a href="/wiki/Latitude" title="Latitude">latitude</a> : angle que fait une verticale partant d'un point et allant au centre de la <a href="/wiki/Terre" title="Terre">Terre</a> par rapport au plan de l'équateur ; les points ayant la même latitude forment un cercle<sup id="cite_ref-terre_19-0" class="reference"><a href="#cite_note-terre-19"><span class="cite-bracket">[</span>19<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> dit "parallèle" ;</li> <li><a href="/wiki/Longitude" title="Longitude">longitude</a> : angle permettant de se repérer sur Terre : angle que fait le plan contenant l'axe Nord-Sud et le point considéré, dit appelé "plan méridien", avec un plan de référence contenant aussi l'axe Nord-Sud ; l'intersection d'un plan méridien avec la surface de la Terre est un demi grand-<a href="/wiki/Cercle" title="Cercle">cercle</a> <sup id="cite_ref-terre_19-1" class="reference"><a href="#cite_note-terre-19"><span class="cite-bracket">[</span>19<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> appelé <i><a href="/wiki/M%C3%A9ridien" title="Méridien">méridien</a></i>. Le méridien de référence est le "<i>méridien de Greenwich</i>" ;</li> <li><a href="/wiki/Navigation_astronomique" title="Navigation astronomique">droite de hauteur</a> : position d'un point calculé, comprenant azimut et différence angulaire, par rapport à un point estimé ;</li> <li><a href="/wiki/Pente_(topographie)" title="Pente (topographie)">pente</a> : tangente de l'angle d'un terrain vis-à-vis de l'horizontale.</li></ul></li> <li>En <a href="/wiki/Astronomie" title="Astronomie">astronomie</a> : <ul><li><a href="/wiki/Azimut" title="Azimut">azimut</a> (ou azimuth) : lorsque l'on vise un point depuis le centre de la Terre, angle par rapport à l'axe Nord-Sud sur un plan contenant cet axe et le point visé, compté par rapport au Sud ;</li> <li><a href="/wiki/Diam%C3%A8tre_apparent" class="mw-redirect" title="Diamètre apparent">diamètre apparent</a> : angle sous lequel on voit un objet ou un astre ;</li> <li><a href="/wiki/Distance_z%C3%A9nithale" title="Distance zénithale">distance zénithale</a> : angle entre la verticale et le point visé ;</li> <li><a href="/wiki/Hauteur_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Hauteur (géométrie)">hauteur</a> : angle entre l'horizontale et le point visé ;</li> <li><a href="/wiki/Inclinaison_de_l%27axe" title="Inclinaison de l'axe">inclinaison</a> : angle entre le plan de l'orbite d'un corps céleste et le plan de référence ;</li> <li><a href="/wiki/Parallaxe" title="Parallaxe">parallaxe</a> : angle formé par le regard d'une personne qui fixe un point quelconque d'un objet et son changement de position ;</li> <li><a href="/wiki/Nadir_(astronomie)" title="Nadir (astronomie)">nadir</a> : angle droit vers le bas verticalement par rapport au tour de l'horizon de l'observateur ;</li> <li><a href="/wiki/Z%C3%A9nith_(astronomie)" title="Zénith (astronomie)">zénith</a> : angle droit vers le haut verticalement par rapport au tour de l'horizon de l'observateur.</li></ul></li></ul> <dl><dd>Par ailleurs, la notion d'angle permet de définir une <a href="/wiki/Unit%C3%A9_de_longueur" title="Unité de longueur">unité de longueur</a>, le <a href="/wiki/Parsec" title="Parsec">parsec</a>.</dd></dl> <ul><li>En <a href="/wiki/Optique_g%C3%A9om%C3%A9trique" title="Optique géométrique">optique géométrique</a> : <ul><li>angle d'incidence : angle entre un vecteur et le vecteur de la surface, par exemple en <a href="/wiki/R%C3%A9flexion_(physique)" title="Réflexion (physique)">réflexion</a> et en <a href="/wiki/R%C3%A9fraction" title="Réfraction">réfraction</a>, angle entre un <a href="/wiki/Rayon_lumineux" title="Rayon lumineux">rayon lumineux</a> et la normale à la surface d'un <a href="/wiki/Dioptre" title="Dioptre">dioptre</a> ;</li> <li><a href="/wiki/Parallaxe" title="Parallaxe">parallaxe</a>.</li></ul></li> <li>En <a href="/wiki/A%C3%A9rodynamique" title="Aérodynamique">aérodynamique</a> : <ul><li><a href="/wiki/Angle_d%27attaque" class="mw-redirect" title="Angle d'attaque">angle d'attaque</a> ;</li> <li><a href="/wiki/Assiette_(navigation)" class="mw-redirect" title="Assiette (navigation)">assiette</a>.</li></ul></li> <li>En <a href="/wiki/Balistique" title="Balistique">balistique</a> : <ul><li><a href="/wiki/Hausse_(balistique)" class="mw-redirect" title="Hausse (balistique)">Hausse (balistique)</a>.</li></ul></li> <li>Sécurité <ul><li><a href="/wiki/Angle_mort" title="Angle mort">angle mort</a> ;</li> <li><a href="/wiki/Angle_de_tir_30%C2%B0" title="Angle de tir 30°">angle de tir 30°</a>.</li></ul></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notes_et_références"><span id="Notes_et_r.C3.A9f.C3.A9rences"></span>Notes et références</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Angle&veaction=edit&section=20" title="Modifier la section : Notes et références" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Angle&action=edit&section=20" title="Modifier le code source de la section : Notes et références"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="references-small decimal" style=""><div class="mw-references-wrap mw-references-columns"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="1975"><cite class="italique">Les mathématiques</cite>, CEPL, <abbr class="abbr" title="collection">coll.</abbr> « Les encyclopédies du savoir moderne », <time>1975</time> <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="//books.google.com/books?id=qd7CM2MpZMsC&pg=PA154">lire en ligne</a>)</small>, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 154<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Les+math%C3%A9matiques&rft.pub=CEPL&rft.date=1975&rft.pages=154&rft_id=%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3Dqd7CM2MpZMsC%26pg%3DPA154&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AAngle"></span></span>.</span> </li> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a> </span><span class="reference-text">Nadine Jacob, Claude Courivaud, <i>Mathématiques. Troisième</i>, Séquence Brevet, Bréal, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.fr/books?id=5OLamI-4K4MC&pg=PA200#v=onepage&q&f=false">p. 200</a></span> </li> <li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Mercier2011"><span class="ouvrage" id="Dany-Jack_Mercier2011">Dany-Jack Mercier, <cite class="italique">Mise à Niveau AGA : Révision équilibrée des thèmes d'algèbre, de géométrie et d'arithmétique</cite>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 1, <time>2011</time> <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="//books.google.com/books?id=2-iEAwAAQBAJ&pg=PA242">lire en ligne</a>)</small>, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 242<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Mise+%C3%A0+Niveau+AGA&rft.stitle=R%C3%A9vision+%C3%A9quilibr%C3%A9e+des+th%C3%A8mes+d%27alg%C3%A8bre%2C+de+g%C3%A9om%C3%A9trie+et+d%27arithm%C3%A9tique&rft.aulast=Mercier&rft.aufirst=Dany-Jack&rft.date=2011&rft.volume=1&rft.pages=242&rft_id=%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3D2-iEAwAAQBAJ%26pg%3DPA242&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AAngle"></span></span></span>.</span> </li> <li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="2017"><cite class="italique">Mathématiques <a href="/wiki/Concours_de_recrutement_de_professeur_des_%C3%A9coles" title="Concours de recrutement de professeur des écoles">CRPE</a></cite>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 2, Dunod, <time>2017</time> <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="//books.google.com/books?id=S9goDwAAQBAJ&pg=PA51">lire en ligne</a>)</small>, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 51<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Math%C3%A9matiques+CRPE&rft.pub=Dunod&rft.date=2017&rft.volume=2&rft.pages=51&rft_id=%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DS9goDwAAQBAJ%26pg%3DPA51&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AAngle"></span></span>.</span> </li> <li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-5">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Audin2006"><span class="ouvrage" id="Michèle_Audin2006"><a href="/wiki/Mich%C3%A8le_Audin" title="Michèle Audin">Michèle Audin</a>, <cite class="italique">Géométrie (<a href="/wiki/L3" class="mw-disambig" title="L3">L3</a>M1)</cite>, Les Ulis, <a href="/wiki/EDP_Sciences" title="EDP Sciences">EDP Sciences</a>, <time>2006</time>, <abbr class="abbr" title="troisième">3<sup>e</sup></abbr> <abbr class="abbr" title="édition">éd.</abbr>, 420 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-2-86883-883-4" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-2-86883-883-4"><span class="nowrap">978-2-86883-883-4</span></a>, <a href="/wiki/Biblioth%C3%A8que_nationale_de_France" title="Bibliothèque nationale de France">BNF</a> <span class="plainlinks noarchive nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb40151336r.public">40151336</a></span>, <a rel="nofollow" class="external text" href="//books.google.com/books?id=n1EdG4fcor0C&pg=PA79">lire en ligne</a>)</small>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <span class="nowrap">79-80</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=G%C3%A9om%C3%A9trie+%28L3M1%29&rft.place=Les+Ulis&rft.pub=EDP+Sciences&rft.edition=3&rft.aulast=Audin&rft.aufirst=Mich%C3%A8le&rft.date=2006&rft.pages=79-80&rft.tpages=420&rft.isbn=978-2-86883-883-4&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AAngle"></span></span></span>.</span> </li> <li id="cite_note-6"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-6">↑</a> </span><span class="reference-text"> Cette présentation est celle que l'on trouve par exemple dans l'enseignement français en classe de quatrième en 1988 IREM de Strasbourg, <i>Mathématiques - 4ème</i> -collectinn Istra, p. 236)</span> </li> <li id="cite_note-7"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-7">↑</a> </span><span class="reference-text"> C'est l'approche proposée par Daniel Perrin dans <i><a rel="nofollow" class="external text" href="http://docplayer.fr/38444130-A-propos-d-angles-orientes.html">A propos d'angles orienté</a></i>, p.2.</span> </li> <li id="cite_note-8"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-8">↑</a> </span><span class="reference-text"> Cette présentation est celle que l'on trouve par exemple dans l'enseignement français en classe de seconde en 1994 (Collection Terracher, Math - Seconde - Hachette éducation, p. 189 )</span> </li> <li id="cite_note-9"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-9">↑</a> </span><span class="reference-text">Marcel Berger, <i>Géométrie</i> T.2 Espaces euclidiens, triangles, cercles et sphères, Cedic Fernand Nathan, 1977, p. 42</span> </li> <li id="cite_note-10"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-10">↑</a> </span><span class="reference-text">GEPS de mathématiques, document d'accompagnement 1er S, 08-01-2001, P. 7/30</span> </li> <li id="cite_note-11"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-11">↑</a> </span><span class="reference-text">Sauf s'il s'agit <a href="#Les_angles_orientés_de_vecteurs_forment_un_groupe">de l'angle plat ou de l'angle nul</a>.</span> </li> <li id="cite_note-12"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-12">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="#Audin2006">Audin 2006</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 73-74.</span> </li> <li id="cite_note-13"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-13">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="#Audin2006">Audin 2006</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 75.</span> </li> <li id="cite_note-14"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-14">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="#Audin2006">Audin 2006</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 76.</span> </li> <li id="cite_note-15"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-15">↑</a> </span><span class="reference-text">Daniel Perrin, <i><a rel="nofollow" class="external text" href="http://docplayer.fr/38444130-A-propos-d-angles-orientes.html">A propos d'angles orienté</a></i>, p.4.</span> </li> <li id="cite_note-Psud-16"><span class="mw-cite-backlink noprint">↑ <sup><a href="#cite_ref-Psud_16-0">a</a> et <a href="#cite_ref-Psud_16-1">b</a></sup> </span><span class="reference-text">Marie-Claude Davis, Frédéric Haglund et Daniel Perrin, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.math.u-psud.fr/~perrin/CAPES/geometrie/GeometrieEuclidienne.pdf">Géométrie affine euclidienne</a>, Capes 2009-2010, Université Paris sud Orsay, p. 27-28.</span> </li> <li id="cite_note-geothalg-17"><span class="mw-cite-backlink noprint">↑ <sup><a href="#cite_ref-geothalg_17-0">a</a> et <a href="#cite_ref-geothalg_17-1">b</a></sup> </span><span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.geothalg.ulg.ac.be/cours1C/node78.html">Fiche «angle de deux droites»</a> sur le site <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.geothalg.ulg.ac.be/">Géométrie et théorie des algorithmes</a> de l'université de Liège</span> </li> <li id="cite_note-18"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-18">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="(dir._W._Gellert,_H._Küstner,_M._Hellwich,_H._Kästner)1997"><span class="ouvrage" id="Collectif_(dir._W._Gellert,_H._Küstner,_M._Hellwich,_H._Kästner)1997">Collectif (dir. W. Gellert, H. Küstner, M. Hellwich, H. Kästner) (<abbr class="abbr" title="traduction">trad.</abbr> sous la direction de Jacques-Louis Lions, professeur au Collège de France), <cite class="italique">Petite encyclopédie des mathématiques</cite> [« Kleine Enzyklopädie der Mathematik »], Paris, <a href="/wiki/Didier_(maison_d%27%C3%A9dition)" title="Didier (maison d'édition)">Didier</a>, <time>1997</time> (<abbr class="abbr" title="première">1<sup>re</sup></abbr> <abbr class="abbr" title="édition">éd.</abbr> 1980), 896 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-2-278-03526-7" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-2-278-03526-7"><span class="nowrap">978-2-278-03526-7</span></a>)</small>, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 585<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Petite+encyclop%C3%A9die+des+math%C3%A9matiques&rft.place=Paris&rft.pub=Didier&rft.au=Collectif+%28dir.+W.+Gellert%2C+H.+K%C3%BCstner%2C+M.+Hellwich%2C+H.+K%C3%A4stner%29&rft.date=1997&rft.pages=585&rft.tpages=896&rft.isbn=978-2-278-03526-7&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AAngle"></span></span></span>.</span> </li> <li id="cite_note-terre-19"><span class="mw-cite-backlink noprint">↑ <sup><a href="#cite_ref-terre_19-0">a</a> et <a href="#cite_ref-terre_19-1">b</a></sup> </span><span class="reference-text">On suppose ici que la Terre est sphérique, ce qui n'est pas tout à fait vrai : <a href="/wiki/Figure_de_la_Terre" title="Figure de la Terre">sa forme générale</a> est légèrement aplatie aux deux pôles, et sa surface présente des aspérités (fosses océaniques, montagnes).</span> </li> </ol></div> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Voir_aussi">Voir aussi</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Angle&veaction=edit&section=21" title="Modifier la section : Voir aussi" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Angle&action=edit&section=21" title="Modifier le code source de la section : Voir aussi"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r194021218">.mw-parser-output .autres-projets>.titre{text-align:center;margin:0.2em 0}.mw-parser-output .autres-projets>ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output .autres-projets>ul>li{list-style:none;margin:0.2em 0;text-indent:0;padding-left:24px;min-height:20px;text-align:left;display:block}.mw-parser-output .autres-projets>ul>li>a{font-style:italic}@media(max-width:720px){.mw-parser-output .autres-projets{float:none}}</style><div class="autres-projets boite-grise boite-a-droite noprint js-interprojets"> <p class="titre">Sur les autres projets Wikimedia :</p> <ul class="noarchive plainlinks"> <li class="wiktionary"><a href="https://fr.wiktionary.org/wiki/angle" class="extiw" title="wikt:angle">angle</a>, <span class="nowrap">sur le <span class="project">Wiktionnaire</span></span></li> </ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Articles_connexes">Articles connexes</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Angle&veaction=edit&section=22" title="Modifier la section : Articles connexes" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Angle&action=edit&section=22" title="Modifier le code source de la section : Articles connexes"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div style="column-count:2;column-gap:1em;" class="colonnes"> <ul><li><a href="/wiki/Angle_(t%C3%A9l%C3%A9d%C3%A9tection)" title="Angle (télédétection)">Angle (télédétection)</a></li> <li><a href="/wiki/Angle_d%27or" title="Angle d'or">Angle d'or</a></li> <li><a href="/wiki/Angle_magique" title="Angle magique">Angle magique</a></li> <li><a href="/wiki/Angulation" title="Angulation">Angulation</a></li> <li><a href="/wiki/Tri%C3%A8dre" title="Trièdre">Angle trièdre</a></li> <li><a href="/wiki/Coordonn%C3%A9es_polaires" title="Coordonnées polaires">Coordonnées polaires</a></li> <li><a href="/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_vectorielle" class="mw-redirect" title="Géométrie vectorielle">Géométrie vectorielle</a></li> <li><a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_bissectrice" class="mw-redirect" title="Théorème de la bissectrice">Théorème de la bissectrice</a></li> <li><a href="/wiki/Syst%C3%A8me_de_coordonn%C3%A9es_%C3%A9quatoriales" title="Système de coordonnées équatoriales">Système de coordonnées équatoriales</a></li></ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Liens_externes">Liens externes</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Angle&veaction=edit&section=23" title="Modifier la section : Liens externes" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Angle&action=edit&section=23" title="Modifier le code source de la section : Liens externes"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span class="ouvrage"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> « <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.mathopenref.com/tocs/anglestoc.html"><cite style="font-style:normal;" lang="en">Angles</cite></a> », sur <span class="italique">Math Open Reference</span></span></li> <li><span class="ouvrage" id="Wallis2005"><span class="ouvrage" id="David_A._Wallis2005"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> David A. Wallis, <cite style="font-style:normal" lang="en">« History of Angle Measurement »</cite>, dans <cite class="italique" lang="en">Proceedings, <a href="/wiki/F%C3%A9d%C3%A9ration_internationale_des_g%C3%A9om%C3%A8tres" title="Fédération internationale des géomètres">FIG</a> Workshop Week 2005 & <abbr class="abbr" title="Eighth" lang="en">8th</abbr> International Conference on the Global Spatial Data Infrastructure</cite>, <a href="/wiki/Le_Caire" title="Le Caire">Le Caire</a>, <time class="nowrap" datetime="2005-04" data-sort-value="2005-04">avril 2005</time> <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.fig.net/resources/proceedings/fig_proceedings/cairo/papers/wshs_01/wshs01_02_wallis.pdf">lire en ligne</a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.btitle=Proceedings%2C+FIG+Workshop+Week+2005+%26+8th+International+Conference+on+the+Global+Spatial+Data+Infrastructure&rft.atitle=History+of+Angle+Measurement&rft.place=Le+Caire&rft.aulast=Wallis&rft.aufirst=David+A.&rft.date=2005-04&rft_id=https%3A%2F%2Fwww.fig.net%2Fresources%2Fproceedings%2Ffig_proceedings%2Fcairo%2Fpapers%2Fwshs_01%2Fwshs01_02_wallis.pdf&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AAngle"></span></span></span></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bibliographie">Bibliographie</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Angle&veaction=edit&section=24" title="Modifier la section : Bibliographie" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Angle&action=edit&section=24" title="Modifier le code source de la section : Bibliographie"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>Gilles Cohen (dir.), <i>Les angles sous tous les angles</i>, Bibliothèque Tangente , Numéro 53, Editions Pôle Paris, 2015, <small><a rel="nofollow" class="external text" href="http://publimath.irem.univ-mrs.fr/biblio/AAT15039.htm">(Présentation en ligne)</a></small>.</li></ul> <div class="navbox-container" style="clear:both;"> <table class="navbox collapsible noprint autocollapse" style=""> <tbody><tr><th class="navbox-title" colspan="2" style=""><div style="float:left; width:6em; text-align:left"><div class="noprint plainlinks nowrap tnavbar" style="padding:0; font-size:xx-small; color:var(--color-emphasized, #000000);"><a href="/wiki/Mod%C3%A8le:Palette_Angles_remarquables" title="Modèle:Palette Angles remarquables"><abbr class="abbr" title="Voir ce modèle.">v</abbr></a> · <a class="external text" href="https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Mod%C3%A8le:Palette_Angles_remarquables&action=edit"><abbr class="abbr" title="Modifier ce modèle. Merci de prévisualiser avant de sauvegarder.">m</abbr></a></div></div><div style="font-size:110%"><a class="mw-selflink selflink">Angles</a> remarquables</div></th> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="">Angle seul</th> <td class="navbox-list" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Angle_nul" class="mw-redirect" title="Angle nul">Nul</a> (0°)</li> <li><a href="/wiki/Angle_rentrant_et_angle_saillant" title="Angle rentrant et angle saillant">Saillant</a> (0° - 180°)</li> <li><a href="/wiki/Angle_aigu" title="Angle aigu">Aigu</a> (0° - 90°)</li> <li><a href="/wiki/Angle_droit" title="Angle droit">Droit</a> (90°)</li> <li><a href="/wiki/Angle_obtus" title="Angle obtus">Obtus</a> (90° - 180°)</li> <li><a href="/wiki/Angle_plat" class="mw-redirect" title="Angle plat">Plat</a> (180°)</li> <li><a href="/wiki/Angle_rentrant_et_angle_saillant" title="Angle rentrant et angle saillant">Rentrant</a> (180° - 360°)</li> <li><a href="/wiki/Angle_plein" class="mw-redirect" title="Angle plein">Plein</a> (360°)</li> <li><a href="/wiki/Angle_interne_et_angle_externe" title="Angle interne et angle externe">Interne</a> / <a href="/wiki/Angle_interne_et_angle_externe" title="Angle interne et angle externe">Externe</a></li> <li><a href="/wiki/Angle_d%27or" title="Angle d'or">D'or</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="">Dimensions</th> <td class="navbox-list navbox-even" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Angle_plan" title="Angle plan">Plan</a></li> <li><a href="/wiki/Angle_solide" title="Angle solide">Solide</a> (<a href="/wiki/Angle_di%C3%A8dre" title="Angle dièdre">dièdre</a>, trièdre, tétraèdre...)</li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="">Relation entre les angles</th> <td class="navbox-list" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Angles_adjacents" title="Angles adjacents">Adjacents</a></li> <li><a href="/wiki/Angles_oppos%C3%A9s_par_le_sommet" title="Angles opposés par le sommet">Opposés par le sommet</a></li> <li><a href="/wiki/Angles_correspondants" title="Angles correspondants">Correspondants</a></li> <li><a href="/wiki/Angles_alternes-internes" title="Angles alternes-internes">Alternes-internes</a></li> <li><a href="/wiki/Angles_alternes-externes" title="Angles alternes-externes">Alternes-externes</a></li> <li><a href="/wiki/Angles_compl%C3%A9mentaires" title="Angles complémentaires">Complémentaires</a> (somme 90°)</li> <li><a href="/wiki/Angles_suppl%C3%A9mentaires" title="Angles supplémentaires">Supplémentaires</a> (somme 180°)</li> <li><a href="/wiki/Angles_antisuppl%C3%A9mentaires" title="Angles antisupplémentaires">Antisupplémentaires</a> (différence 180°)</li></ul> </div></td> </tr> </tbody></table> </div> <ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><span class="noviewer" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Portail:G%C3%A9om%C3%A9trie" title="Portail de la géométrie"><img alt="icône décorative" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/79/Circle-icons-rulertriangle.svg/24px-Circle-icons-rulertriangle.svg.png" decoding="async" width="24" height="24" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/79/Circle-icons-rulertriangle.svg/36px-Circle-icons-rulertriangle.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/79/Circle-icons-rulertriangle.svg/48px-Circle-icons-rulertriangle.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="512" /></a></span></span> <span class="bandeau-portail-texte"><a href="/wiki/Portail:G%C3%A9om%C3%A9trie" title="Portail:Géométrie">Portail de la géométrie</a></span> </span></li> </ul>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?useformat=desktop&type=1x1&usesul3=0" alt="" width="1" height="1" style="border: none; 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