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<span>Postulados</span> </div> </a> <ul id="toc-Postulados-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Nociones_comunes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Nociones_comunes"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.1.2</span> <span>Nociones comunes</span> </div> </a> <ul id="toc-Nociones_comunes-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Lógica" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Lógica"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Lógica</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Lógica-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Alternar subsección Lógica</span> </button> <ul id="toc-Lógica-sublist" class="vector-toc-list"> <li 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class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Notas" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Notas"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>Notas</span> </div> </a> <ul id="toc-Notas-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Referencias" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Referencias"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>Referencias</span> </div> </a> <ul id="toc-Referencias-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Bibliografía" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Bibliografía"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9</span> <span>Bibliografía</span> </div> </a> <ul id="toc-Bibliografía-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Enlaces_externos" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Enlaces_externos"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">10</span> <span>Enlaces externos</span> </div> </a> <ul id="toc-Enlaces_externos-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Contenidos" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Cambiar a la tabla de contenidos" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" 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Disponible en 105 idiomas" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-105" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">105 idiomas</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-als mw-list-item"><a href="https://als.wikipedia.org/wiki/Axiom" title="Axiom (alemán suizo)" lang="gsw" hreflang="gsw" data-title="Axiom" data-language-autonym="Alemannisch" data-language-local-name="alemán suizo" class="interlanguage-link-target"><span>Alemannisch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-am mw-list-item"><a href="https://am.wikipedia.org/wiki/%E1%8A%A5%E1%88%99%E1%8A%95" title="እሙን (amárico)" lang="am" hreflang="am" data-title="እሙን" data-language-autonym="አማርኛ" data-language-local-name="amárico" class="interlanguage-link-target"><span>አማርኛ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-an mw-list-item"><a href="https://an.wikipedia.org/wiki/Axioma" title="Axioma (aragonés)" lang="an" hreflang="an" data-title="Axioma" data-language-autonym="Aragonés" data-language-local-name="aragonés" class="interlanguage-link-target"><span>Aragonés</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D8%B3%D9%84%D9%85%D8%A9_(%D9%81%D9%84%D8%B3%D9%81%D8%A9)" title="مسلمة (فلسفة) (árabe)" lang="ar" hreflang="ar" data-title="مسلمة (فلسفة)" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="árabe" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-arz mw-list-item"><a href="https://arz.wikipedia.org/wiki/%D8%A8%D8%AF%D9%8A%D9%87%D9%8A%D9%87" title="بديهيه (Egyptian Arabic)" lang="arz" hreflang="arz" data-title="بديهيه" data-language-autonym="مصرى" data-language-local-name="Egyptian Arabic" class="interlanguage-link-target"><span>مصرى</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Axoma" title="Axoma (asturiano)" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Axoma" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="asturiano" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/Aksiom" title="Aksiom (azerbaiyano)" lang="az" hreflang="az" data-title="Aksiom" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="azerbaiyano" class="interlanguage-link-target"><span>Azərbaycanca</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BE%D0%BC%D0%B0" title="Аксиома (baskir)" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Аксиома" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="baskir" class="interlanguage-link-target"><span>Башҡортса</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D1%96%D1%91%D0%BC%D0%B0" title="Аксіёма (bielorruso)" lang="be" hreflang="be" data-title="Аксіёма" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="bielorruso" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be-x-old mw-list-item"><a href="https://be-tarask.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D1%96%D1%91%D0%BC%D0%B0" title="Аксіёма (Belarusian (Taraškievica orthography))" lang="be-tarask" hreflang="be-tarask" data-title="Аксіёма" data-language-autonym="Беларуская (тарашкевіца)" data-language-local-name="Belarusian 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data-title="Aksiom" data-language-autonym="Brezhoneg" data-language-local-name="bretón" class="interlanguage-link-target"><span>Brezhoneg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Aksiom" title="Aksiom (bosnio)" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Aksiom" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="bosnio" class="interlanguage-link-target"><span>Bosanski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Axioma" title="Axioma (catalán)" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Axioma" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="catalán" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%D8%A8%DB%95%DA%B5%DA%AF%DB%95%D9%86%DB%95%D9%88%DB%8C%D8%B3%D8%AA" title="بەڵگەنەویست (kurdo sorani)" lang="ckb" hreflang="ckb" 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data-language-local-name="griego" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom" title="Axiom (inglés)" lang="en" hreflang="en" data-title="Axiom" data-language-autonym="English" data-language-local-name="inglés" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Aksiomo" title="Aksiomo (esperanto)" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Aksiomo" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="esperanto" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Aksioom" title="Aksioom (estonio)" lang="et" hreflang="et" data-title="Aksioom" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="estonio" 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class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Frumsenda" title="Frumsenda (islandés)" lang="is" hreflang="is" data-title="Frumsenda" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="islandés" class="interlanguage-link-target"><span>Íslenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Assioma_(matematica)" title="Assioma (matematica) (italiano)" lang="it" hreflang="it" data-title="Assioma (matematica)" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italiano" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86" title="公理 (japonés)" lang="ja" hreflang="ja" data-title="公理" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japonés" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%90%E1%83%A5%E1%83%A1%E1%83%98%E1%83%9D%E1%83%9B%E1%83%90" title="აქსიომა (georgiano)" lang="ka" hreflang="ka" data-title="აქსიომა" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="georgiano" class="interlanguage-link-target"><span>ქართული</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kbd mw-list-item"><a href="https://kbd.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BE%D0%BC%D1%8D" title="Аксиомэ (kabardiano)" lang="kbd" hreflang="kbd" data-title="Аксиомэ" data-language-autonym="Адыгэбзэ" data-language-local-name="kabardiano" class="interlanguage-link-target"><span>Адыгэбзэ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ki mw-list-item"><a href="https://ki.wikipedia.org/wiki/Kabir%C5%A9_(axiom)" title="Kabirũ (axiom) (kikuyu)" lang="ki" hreflang="ki" data-title="Kabirũ (axiom)" data-language-autonym="Gĩkũyũ" data-language-local-name="kikuyu" class="interlanguage-link-target"><span>Gĩkũyũ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BE%D0%BC%D0%B0" title="Аксиома (kazajo)" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Аксиома" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="kazajo" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B3%B5%EB%A6%AC" title="공리 (coreano)" lang="ko" hreflang="ko" data-title="공리" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="coreano" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ky mw-list-item"><a href="https://ky.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BE%D0%BC%D0%B0" title="Аксиома (kirguís)" lang="ky" hreflang="ky" data-title="Аксиома" data-language-autonym="Кыргызча" data-language-local-name="kirguís" class="interlanguage-link-target"><span>Кыргызча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Axioma" title="Axioma (latín)" lang="la" hreflang="la" data-title="Axioma" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="latín" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-li mw-list-item"><a href="https://li.wikipedia.org/wiki/Axioma" title="Axioma (limburgués)" lang="li" hreflang="li" data-title="Axioma" data-language-autonym="Limburgs" data-language-local-name="limburgués" class="interlanguage-link-target"><span>Limburgs</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Aksioma" title="Aksioma (lituano)" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Aksioma" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="lituano" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Aksioma" title="Aksioma (letón)" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Aksioma" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="letón" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mg mw-list-item"><a href="https://mg.wikipedia.org/wiki/Matoan-kevitra" title="Matoan-kevitra (malgache)" lang="mg" hreflang="mg" data-title="Matoan-kevitra" data-language-autonym="Malagasy" data-language-local-name="malgache" class="interlanguage-link-target"><span>Malagasy</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mhr mw-list-item"><a href="https://mhr.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BE%D0%BC%D0%BE" title="Аксиомо (Eastern Mari)" lang="mhr" hreflang="mhr" data-title="Аксиомо" data-language-autonym="Олык марий" data-language-local-name="Eastern Mari" class="interlanguage-link-target"><span>Олык марий</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BE%D0%BC%D0%B0" title="Аксиома (macedonio)" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Аксиома" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="macedonio" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%B8%E0%B5%8D%E0%B4%B5%E0%B4%AF%E0%B4%82%E2%80%8C%E0%B4%B8%E0%B4%BF%E0%B4%A6%E0%B5%8D%E0%B4%A7%E0%B4%AA%E0%B5%8D%E0%B4%B0%E0%B4%AE%E0%B4%BE%E0%B4%A3%E0%B4%82" title="സ്വയം‌സിദ്ധപ്രമാണം (malayálam)" lang="ml" hreflang="ml" data-title="സ്വയം‌സിദ്ധപ്രമാണം" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="malayálam" class="interlanguage-link-target"><span>മലയാളം</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mn mw-list-item"><a href="https://mn.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BE%D0%BC" title="Аксиом (mongol)" lang="mn" hreflang="mn" data-title="Аксиом" data-language-autonym="Монгол" data-language-local-name="mongol" class="interlanguage-link-target"><span>Монгол</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Aksiom" title="Aksiom (malayo)" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Aksiom" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="malayo" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-my mw-list-item"><a href="https://my.wikipedia.org/wiki/%E1%80%99%E1%80%BE%E1%80%90%E1%80%BA%E1%80%9B%E1%80%8A%E1%80%BA%E1%80%81%E1%80%BB%E1%80%80%E1%80%BA" title="မှတ်ရည်ချက် (birmano)" lang="my" hreflang="my" data-title="မှတ်ရည်ချက်" data-language-autonym="မြန်မာဘာသာ" data-language-local-name="birmano" class="interlanguage-link-target"><span>မြန်မာဘာသာ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-new mw-list-item"><a href="https://new.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%8F%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%9C%E0%A4%BF%E0%A4%AF%E0%A4%AE" title="एक्जियम (nevarí)" lang="new" hreflang="new" data-title="एक्जियम" data-language-autonym="नेपाल भाषा" data-language-local-name="nevarí" class="interlanguage-link-target"><span>नेपाल भाषा</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Axioma" title="Axioma (neerlandés)" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Axioma" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="neerlandés" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Aksiom" title="Aksiom (noruego nynorsk)" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Aksiom" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="noruego nynorsk" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Aksiom" title="Aksiom (noruego bokmal)" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Aksiom" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="noruego bokmal" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nov mw-list-item"><a href="https://nov.wikipedia.org/wiki/Axiome" title="Axiome (Novial)" lang="nov" hreflang="nov" data-title="Axiome" data-language-autonym="Novial" data-language-local-name="Novial" class="interlanguage-link-target"><span>Novial</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Axi%C3%B2ma" title="Axiòma (occitano)" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Axiòma" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="occitano" class="interlanguage-link-target"><span>Occitan</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-om mw-list-item"><a href="https://om.wikipedia.org/wiki/Yaad-yaboo" title="Yaad-yaboo (oromo)" lang="om" hreflang="om" data-title="Yaad-yaboo" data-language-autonym="Oromoo" data-language-local-name="oromo" class="interlanguage-link-target"><span>Oromoo</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%A4%E0%A8%A4%E0%A8%B8%E0%A8%AE%E0%A8%95" title="ਤਤਸਮਕ (punyabí)" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਤਤਸਮਕ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="punyabí" class="interlanguage-link-target"><span>ਪੰਜਾਬੀ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Aksjomat" title="Aksjomat (polaco)" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Aksjomat" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="polaco" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pnb mw-list-item"><a href="https://pnb.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D9%86%DB%8C%D8%A7_%D9%BE%D8%B1%D9%85%D9%86%DB%8C%D8%A7" title="منیا پرمنیا (Western Punjabi)" lang="pnb" hreflang="pnb" data-title="منیا پرمنیا" data-language-autonym="پنجابی" data-language-local-name="Western Punjabi" class="interlanguage-link-target"><span>پنجابی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Axioma" title="Axioma (portugués)" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Axioma" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugués" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Axiom%C4%83" title="Axiomă (rumano)" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Axiomă" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="rumano" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BE%D0%BC%D0%B0" title="Аксиома (ruso)" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Аксиома" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="ruso" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-rue mw-list-item"><a href="https://rue.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D1%96%D0%BE%D0%BC%D0%B0" title="Аксіома (Rusyn)" lang="rue" hreflang="rue" data-title="Аксіома" data-language-autonym="Русиньскый" data-language-local-name="Rusyn" class="interlanguage-link-target"><span>Русиньскый</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sah mw-list-item"><a href="https://sah.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BE%D0%BC%D0%B0" title="Аксиома (sakha)" lang="sah" hreflang="sah" data-title="Аксиома" data-language-autonym="Саха тыла" data-language-local-name="sakha" class="interlanguage-link-target"><span>Саха тыла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/Assioma" title="Assioma (siciliano)" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Assioma" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="siciliano" class="interlanguage-link-target"><span>Sicilianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sco mw-list-item"><a href="https://sco.wikipedia.org/wiki/Define:Axiom" title="Define:Axiom (escocés)" lang="sco" hreflang="sco" data-title="Define:Axiom" data-language-autonym="Scots" data-language-local-name="escocés" class="interlanguage-link-target"><span>Scots</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Aksiom" title="Aksiom (serbocroata)" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Aksiom" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="serbocroata" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Axiom" title="Axiom (Simple English)" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Axiom" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Axi%C3%B3ma" title="Axióma (eslovaco)" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Axióma" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="eslovaco" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Aksiom" title="Aksiom (esloveno)" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Aksiom" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="esloveno" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Aksioma" title="Aksioma (albanés)" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Aksioma" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="albanés" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BE%D0%BC%D0%B0" title="Аксиома (serbio)" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Аксиома" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="serbio" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-su mw-list-item"><a href="https://su.wikipedia.org/wiki/Aksioma" title="Aksioma (sundanés)" lang="su" hreflang="su" data-title="Aksioma" data-language-autonym="Sunda" data-language-local-name="sundanés" class="interlanguage-link-target"><span>Sunda</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv badge-Q17559452 badge-recommendedarticle mw-list-item" title="artículo recomendado"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Axiom" title="Axiom (sueco)" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Axiom" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="sueco" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%AE%E0%AF%86%E0%AE%AF%E0%AF%8D%E0%AE%95%E0%AF%8B%E0%AE%B3%E0%AF%8D" title="மெய்கோள் (tamil)" lang="ta" hreflang="ta" data-title="மெய்கோள்" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="tamil" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tg mw-list-item"><a href="https://tg.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BE%D0%BC%D0%B0" title="Аксиома (tayiko)" lang="tg" hreflang="tg" data-title="Аксиома" data-language-autonym="Тоҷикӣ" data-language-local-name="tayiko" class="interlanguage-link-target"><span>Тоҷикӣ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%AA%E0%B8%B1%E0%B8%88%E0%B8%9E%E0%B8%88%E0%B8%99%E0%B9%8C" title="สัจพจน์ (tailandés)" lang="th" hreflang="th" data-title="สัจพจน์" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="tailandés" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Aksiyom" title="Aksiyom (turco)" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Aksiyom" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turco" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tt mw-list-item"><a href="https://tt.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BE%D0%BC%D0%B0" title="Аксиома (tártaro)" lang="tt" hreflang="tt" data-title="Аксиома" data-language-autonym="Татарча / tatarça" data-language-local-name="tártaro" class="interlanguage-link-target"><span>Татарча / tatarça</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D1%96%D0%BE%D0%BC%D0%B0" title="Аксіома (ucraniano)" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Аксіома" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ucraniano" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D8%B3%D9%84%D9%85%DB%81_%D8%AE%DB%8C%D8%A7%D9%84" title="مسلمہ خیال (urdu)" lang="ur" hreflang="ur" data-title="مسلمہ خیال" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="urdu" class="interlanguage-link-target"><span>اردو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Aksioma" title="Aksioma (uzbeko)" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Aksioma" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="uzbeko" class="interlanguage-link-target"><span>Oʻzbekcha / ўзбекча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vec mw-list-item"><a href="https://vec.wikipedia.org/wiki/Asioma" title="Asioma (Venetian)" lang="vec" hreflang="vec" data-title="Asioma" data-language-autonym="Vèneto" data-language-local-name="Venetian" class="interlanguage-link-target"><span>Vèneto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/Ti%C3%AAn_%C4%91%E1%BB%81" title="Tiên đề (vietnamita)" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Tiên đề" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vietnamita" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-war mw-list-item"><a href="https://war.wikipedia.org/wiki/Aksyoma" title="Aksyoma (waray)" lang="war" hreflang="war" data-title="Aksyoma" data-language-autonym="Winaray" data-language-local-name="waray" class="interlanguage-link-target"><span>Winaray</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86" title="公理 (chino wu)" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="公理" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="chino wu" class="interlanguage-link-target"><span>吴语</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yi mw-list-item"><a href="https://yi.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%A7%D7%A1%D7%99%D7%90%D7%9D" title="אקסיאם (yidis)" lang="yi" hreflang="yi" data-title="אקסיאם" data-language-autonym="ייִדיש" data-language-local-name="yidis" class="interlanguage-link-target"><span>ייִדיש</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86" title="公理 (chino)" lang="zh" hreflang="zh" data-title="公理" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chino" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-classical mw-list-item"><a href="https://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86" title="公理 (Literary Chinese)" lang="lzh" hreflang="lzh" data-title="公理" data-language-autonym="文言" data-language-local-name="Literary Chinese" class="interlanguage-link-target"><span>文言</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-min-nan mw-list-item"><a href="https://zh-min-nan.wikipedia.org/wiki/Kong-siat" title="Kong-siat (chino min nan)" lang="nan" hreflang="nan" data-title="Kong-siat" data-language-autonym="閩南語 / Bân-lâm-gú" data-language-local-name="chino min nan" class="interlanguage-link-target"><span>閩南語 / Bân-lâm-gú</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86" title="公理 (cantonés)" lang="yue" hreflang="yue" data-title="公理" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="cantonés" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q17736#sitelinks-wikipedia" title="Editar enlaces interlingüísticos" class="wbc-editpage">Editar enlaces</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Espacios de nombres"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Axioma" title="Ver la página de contenido [c]" accesskey="c"><span>Artículo</span></a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a 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class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">De Wikipedia, la enciclopedia libre</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="es" dir="ltr"><figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Archivo:Avocado_Seedling.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2e/Avocado_Seedling.jpg/150px-Avocado_Seedling.jpg" decoding="async" width="150" height="236" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2e/Avocado_Seedling.jpg/225px-Avocado_Seedling.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2e/Avocado_Seedling.jpg/300px-Avocado_Seedling.jpg 2x" data-file-width="1503" data-file-height="2364" /></a><figcaption>A veces se compara a los axiomas con <a href="/wiki/Semilla" title="Semilla">semillas</a>, porque de ellas surge toda la teoría de la cual son axiomas.<sup>[<i><a href="/wiki/Wikipedia:Verificabilidad" title="Wikipedia:Verificabilidad">cita requerida</a></i>]</sup></figcaption></figure> <p><b>Axioma</b> es una proposición tan clara y evidente que se admite sin demostración.<sup id="cite_ref-:1_1-0" class="reference separada"><a href="#cite_note-:1-1"><span class="corchete-llamada">[</span>1<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> Aplicado en matemáticas y otras ciencias, es cada uno de los principios indemostrables sobre los que, por medio de un razonamiento deductivo, se construye una teoría.<sup id="cite_ref-:1_1-1" class="reference separada"><a href="#cite_note-:1-1"><span class="corchete-llamada">[</span>1<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p><p>En la metodología de investigación un <b>axioma</b> es una <a href="/wiki/Proposici%C3%B3n" title="Proposición">proposición</a> asumida dentro de un cuerpo teórico sobre la cual descansan otros razonamientos y proposiciones deducidas de esas premisas.<sup id="cite_ref-2" class="reference separada"><a href="#cite_note-2"><span class="corchete-llamada">[</span>2<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p><p>Introducido originalmente por los matemáticos griegos del <a href="/wiki/Per%C3%ADodo_helen%C3%ADstico" title="Período helenístico">período helenístico</a>, el <b>axioma</b> se consideraba como una proposición «evidente» y que se aceptaba sin requerir demostración previa.<sup id="cite_ref-3" class="reference separada"><a href="#cite_note-3"><span class="corchete-llamada">[</span>3<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> Posteriormente, en un sistema hipotético-deductivo, un axioma era toda <a href="/wiki/Proposici%C3%B3n" title="Proposición">proposición</a> no deducida de otras, sino que constituye una regla general de pensamiento lógico (por oposición a los <a href="/wiki/Postulado" title="Postulado">postulados</a>).<sup id="cite_ref-4" class="reference separada"><a href="#cite_note-4"><span class="corchete-llamada">[</span>4<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> Así en <a href="/wiki/L%C3%B3gica" title="Lógica">lógica</a> y <a href="/wiki/Matem%C3%A1ticas" title="Matemáticas">matemáticas</a>, un <b>axioma</b> es solo una premisa que se asume, con independencia de que sea o no evidente, y que se usa para demostrar otras proposiciones. Actualmente se busca qué consecuencias lógicas comportan un conjunto de axiomas, y de hecho en algunos casos se opta por introducir un axioma o bien su contrario, viendo que ninguna de las dos parece una proposición evidente. Así, si tradicionalmente los axiomas se elegían de entre «afirmaciones evidentes», con el objetivo de deducir el resto de proposiciones, en la moderna <a href="/wiki/Teor%C3%ADa_de_modelos" title="Teoría de modelos">teoría de modelos</a> un axioma es solo una asunción, y en modo alguno se considera que la verdad o falsedad de los axiomas dependa del sentido intuitivo que se le pueda atribuir, o se recurre a que puedan ser autoevidentes. </p><p>En <a href="/wiki/L%C3%B3gica" title="Lógica">lógica</a> un postulado es una proposición no necesariamente evidente: una <a href="/wiki/F%C3%B3rmula_bien_formada" title="Fórmula bien formada">fórmula bien formada</a> (planteada) de un <a href="/wiki/Lenguaje_formal" title="Lenguaje formal">lenguaje formal</a> utilizada en una <a href="/wiki/Razonamiento_deductivo" title="Razonamiento deductivo">deducción</a> para llegar a una <a href="/wiki/Conclusi%C3%B3n" title="Conclusión">conclusión</a>. </p><p>Los axiomas no lógicos también pueden denominarse «postulados» o «suposiciones». En la mayoría de los casos, un axioma no lógico es simplemente una expresión lógica formal utilizada en la deducción para construir una teoría matemática, y puede o no ser evidente por sí mismo (por ejemplo, el <a href="/w/index.php?title=Postulado_paralelo&action=edit&redlink=1" class="new" title="Postulado paralelo (aún no redactado)">postulado paralelo</a> en <a href="/wiki/Geometr%C3%ADa_euclidiana" title="Geometría euclidiana">geometría euclidiana</a>). Axiomatizar un sistema de conocimiento es mostrar que sus afirmaciones pueden derivarse de un conjunto pequeño y bien entendido de sentencias (los axiomas), y típicamente hay muchas maneras de axiomatizar un dominio matemático dado. </p><p>Cualquier axioma es una afirmación que sirve como punto de partida a partir del cual se derivan lógicamente otras afirmaciones. Si tiene sentido (y, en caso afirmativo, qué significa) que un axioma sea «verdadero» es un tema de debate en la <a href="/wiki/Filosof%C3%ADa_de_las_matem%C3%A1ticas" title="Filosofía de las matemáticas">filosofía de las matemáticas</a>.<sup id="cite_ref-5" class="reference separada"><a href="#cite_note-5"><span class="corchete-llamada">[</span>5<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Etimología"><span id="Etimolog.C3.ADa"></span>Etimología</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Axioma&action=edit&section=1" title="Editar sección: Etimología"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La palabra <i>axioma</i> proviene del sustantivo <a href="/wiki/Griego_antiguo" title="Griego antiguo">griego</a> ἀξίωμα, que significa «lo que parece justo» o, que se le considera evidente, sin necesidad de demostración. El término viene del verbo griego ἀξιόειν (axioein), que significa «valorar», que a su vez procede de ἄξιος (axios): «valioso» o «digno». Entre los <a href="/wiki/Filosof%C3%ADa" title="Filosofía">filósofos</a> griegos antiguos, un axioma era lo que parecía verdadero sin necesidad de prueba alguna.<sup id="cite_ref-:0_6-0" class="reference separada"><a href="#cite_note-:0-6"><span class="corchete-llamada">[</span>6<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p><p>El significado raíz de la palabra <i>postulado</i> es <i>exigir</i>; por ejemplo, <a href="/wiki/Euclides" title="Euclides">Euclides</a> exige que uno esté de acuerdo en que algunas cosas se pueden hacer (por ejemplo, dos puntos cualesquiera se pueden unir por una línea recta).<sup id="cite_ref-7" class="reference separada"><a href="#cite_note-7"><span class="corchete-llamada">[</span>7<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p><p>Los antiguos geómetras mantenían cierta distinción entre axiomas y postulados. Al comentar los libros de Euclides, <a href="/wiki/Proclus" class="mw-redirect" title="Proclus">Proclus</a> señala que «<a href="/wiki/G%C3%A9mino_de_Rodas" title="Gémino de Rodas">Gemino</a> sostenía que este [4º] postulado no debía clasificarse como postulado sino como axioma, ya que no afirma, como los tres primeros postulados, la posibilidad de alguna construcción, sino que expresa una propiedad esencial».<sup id="cite_ref-8" class="reference separada"><a href="#cite_note-8"><span class="corchete-llamada">[</span>8<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> <a href="/wiki/Boecio" title="Boecio">Boecio</a> tradujo 'postulado' como <i>petitio</i> y llamó a los axiomas <i>notiones communes</i> pero en manuscritos posteriores no siempre se mantuvo estrictamente este uso. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Legado_helénico"><span id="Legado_hel.C3.A9nico"></span>Legado helénico</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Axioma&action=edit&section=2" title="Editar sección: Legado helénico"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Uno de los grandes frutos de los matemáticos griegos fue la reducción de asertos matemáticos y teoremas, en forma racional y coherente, a una pequeña cantidad de postulados o axiomas muy simples, los bien conocidos axiomas de la geometría, o bien las reglas de la aritmética, que presiden relaciones entre unos pocos objetos básicos, tales como los números enteros y los puntos geométricos. Los objetos matemáticos se generaron como abstracciones o idealizaciones de la realidad física. Los axiomas, ya sea aceptados como «evidentes» desde un punto de vista filosófico o bien meramente como abrumadoramente plausibles, se aceptan sin demostración; sobre ellos se ha erigido la cristalizada estructura de las matemáticas.<sup id="cite_ref-9" class="reference separada"><a href="#cite_note-9"><span class="corchete-llamada">[</span>9<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Los_primeros_griegos">Los primeros griegos</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Axioma&action=edit&section=3" title="Editar sección: Los primeros griegos"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>El método lógico-deductivo por el que las conclusiones (nuevos conocimientos) se derivan de las premisas (conocimientos antiguos) mediante la aplicación de argumentos sólidos (<a href="/wiki/Silogismos" class="mw-redirect" title="Silogismos">silogismos</a>, <a href="/wiki/Reglas_de_inferencia" class="mw-redirect" title="Reglas de inferencia">reglas de inferencia</a>) fue desarrollado por los antiguos griegos, y se ha convertido en el principio básico de las matemáticas modernas. <a href="/wiki/Tautolog%C3%ADa_(l%C3%B3gica)" class="mw-redirect" title="Tautología (lógica)">Tautologías</a> excluidas, nada puede deducirse si nada se supone. Los axiomas y postulados son, por tanto, los supuestos básicos que subyacen a un determinado cuerpo de conocimiento deductivo. Se aceptan sin demostración. Todas las demás afirmaciones (<a href="/wiki/Teoremas" class="mw-redirect" title="Teoremas">teoremas</a>, en el caso de las matemáticas) deben demostrarse con ayuda de estos supuestos básicos. Sin embargo, la interpretación del conocimiento matemático ha cambiado de la antigüedad a la modernidad y, en consecuencia, los términos <i>axioma</i> y <i>postulado</i> tienen un significado ligeramente distinto para el matemático actual del que tenían para <a href="/wiki/Arist%C3%B3teles" title="Aristóteles">Aristóteles</a> y <a href="/wiki/Euclides" title="Euclides">Euclides</a>.<sup id="cite_ref-:0_6-1" class="reference separada"><a href="#cite_note-:0-6"><span class="corchete-llamada">[</span>6<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p><p>Los antiguos griegos consideraban la <a href="/wiki/Geometr%C3%ADa" title="Geometría">geometría</a> como una de las diversas <a href="/wiki/Ciencias" class="mw-redirect" title="Ciencias">ciencias</a> y equiparaban los teoremas geométricos a los hechos científicos. Como tal, desarrollaron y utilizaron el método lógico-deductivo como medio para evitar el error y para estructurar y comunicar el conocimiento. La obra <a href="/wiki/Segundos_anal%C3%ADticos" title="Segundos analíticos">Segundos analíticos</a> de Aristóteles es una exposición definitiva del punto de vista clásico. </p><p>Un "axioma", en la terminología clásica, se refería a una suposición evidente común a muchas ramas de la ciencia. Un buen ejemplo sería la afirmación de que <i>Cuando se toma una cantidad igual de iguales, resulta una cantidad igual.</i> </p> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r161259348">.mw-parser-output .flexquote{display:flex;flex-direction:column;background-color:var(--background-color-neutral-subtle);color:var(--color-base);border-left:3px solid var(--border-color-base);font-size:90%;margin:1em 4em;padding:.4em .8em}.mw-parser-output .flexquote>.flex{display:flex;flex-direction:row}.mw-parser-output .flexquote>.flex>.quote{width:100%}.mw-parser-output .flexquote>.flex>.separator{border-left:1px solid var(--border-color-divider);border-top:1px solid var(--border-color-divider);margin:.4em .8em}.mw-parser-output .flexquote>.cite{text-align:right}@media all and (max-width:600px){.mw-parser-output .flexquote>.flex{flex-direction:column}}</style> <blockquote class="flexquote"> <div class="flex"> <div class="quote"><i>En la base de las diversas ciencias yacen ciertas <a href="/wiki/Hip%C3%B3tesis_(m%C3%A9todo_cient%C3%ADfico)" title="Hipótesis (método científico)">hipótesis</a> adicionales que se aceptaban sin pruebas. Tales hipótesis se denominaban </i>postulados<i>. Mientras que los axiomas eran comunes a muchas ciencias, los postulados de cada ciencia en particular eran diferentes. Su validez debía establecerse mediante la experiencia del mundo real. Aristóteles advierte que el contenido de una ciencia no se puede comunicar con éxito si el alumno tiene dudas sobre la verdad de los postulados</i>.<sup id="cite_ref-10" class="reference separada"><a href="#cite_note-10"><span class="corchete-llamada">[</span>10<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup></div> </div> </blockquote> <p>El enfoque clásico está bien ilustrado por los <a href="/wiki/Elementos_de_Euclides" title="Elementos de Euclides"><i>Elementos</i> de Euclides</a>,<sup id="cite_ref-11" class="reference separada"><a href="#cite_note-11"><span class="corchete-llamada">[</span>nota 1<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> donde se da una lista de postulados (hechos geométricos de sentido común extraídos de nuestra experiencia), seguida de una lista de «nociones comunes» (afirmaciones muy básicas y evidentes). </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Postulados">Postulados</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Axioma&action=edit&section=4" title="Editar sección: Postulados"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <dl><dd><ol><li>Es posible trazar una <a href="/wiki/L%C3%ADnea_recta" class="mw-redirect" title="Línea recta">línea recta</a> desde cualquier punto a cualquier otro punto.</li> <li>Es posible prolongar un segmento de recta continuamente en ambas direcciones.</li> <li>Es posible describir una <a href="/wiki/Circunferencia" title="Circunferencia">circunferencia</a> con cualquier centro y cualquier radio.</li> <li>Es cierto que todos los <a href="/wiki/%C3%81ngulos_rectos" class="mw-redirect" title="Ángulos rectos">ángulos rectos</a> son iguales entre sí.</li> <li>("<a href="/wiki/Postulado_de_las_paralelas" class="mw-redirect" title="Postulado de las paralelas">Postulado de las paralelas</a>") Es cierto que, si una recta que cae sobre dos rectas hace que el <a href="/wiki/Pol%C3%ADgono" title="Polígono">ángulos interiores</a> de un mismo lado sean menores que dos ángulos rectos, las dos rectas, si se producen indefinidamente, <a href="/w/index.php?title=Intersecci%C3%B3n_de_rectas&action=edit&redlink=1" class="new" title="Intersección de rectas (aún no redactado)">se intersecan</a> en aquel lado en el que están los <a href="/wiki/%C3%81ngulos" class="mw-redirect" title="Ángulos">ángulos</a> menores que los dos ángulos rectos.</li></ol></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Nociones_comunes">Nociones comunes</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Axioma&action=edit&section=5" title="Editar sección: Nociones comunes"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <dl><dd><ol><li>Las cosas que son iguales a la misma cosa también son iguales entre sí.</li> <li>Si se suman iguales a iguales, los enteros son iguales.</li> <li>Si iguales se restan de iguales, los restos son iguales.</li> <li>Las cosas que coinciden son iguales entre sí.</li> <li>El todo es mayor que la parte.</li></ol></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Lógica"><span id="L.C3.B3gica"></span>Lógica</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Axioma&action=edit&section=6" title="Editar sección: Lógica"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint AP rellink"><span style="font-size:88%">Artículo principal:</span> <i><a href="/wiki/L%C3%B3gica_proposicional" title="Lógica proposicional"> Lógica proposicional</a></i></div> <p>La <a href="/wiki/L%C3%B3gica" title="Lógica">lógica</a> del axioma es partir de una <a href="/wiki/Premisa" title="Premisa">premisa</a> calificada de <i>verdadera</i> por sí misma (el axioma), y de esta inferir otras <a href="/wiki/Proposici%C3%B3n" title="Proposición">proposiciones</a> por medio del <a href="/wiki/Razonamiento_deductivo" title="Razonamiento deductivo">método deductivo</a>, de lo cual se obtienen conclusiones coherentes con el axioma. A partir de los axiomas, y de <a href="/wiki/Regla_de_inferencia" title="Regla de inferencia">reglas de inferencia</a>, han de deducirse todas las demás proposiciones de una teoría dada. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Axioma_lógico"><span id="Axioma_l.C3.B3gico"></span>Axioma lógico</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Axioma&action=edit&section=7" title="Editar sección: Axioma lógico"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Los axiomas son ciertas fórmulas en un <a href="/wiki/Lenguaje_formal" title="Lenguaje formal">lenguaje formal</a> que son universalmente válidas, esto es fórmulas satisfechas por cualquier estructura y por cualquier función variable. En términos coloquiales son enunciados verdaderos en cualquier mundo posible, bajo cualquier interpretación posible, con cualquier asignación de valores. Comúnmente se toma como axioma un conjunto mínimo de <a href="/wiki/Tautolog%C3%ADa" title="Tautología">tautologías</a> suficientes para probar una teoría. </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Ejemplo_1">Ejemplo 1</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Axioma&action=edit&section=8" title="Editar sección: Ejemplo 1"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>En <a href="/wiki/C%C3%A1lculo_proposicional" class="mw-redirect" title="Cálculo proposicional">cálculo proposicional</a> es común tomar como axiomas lógicos todas las fórmulas siguientes: </p> <ol><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi \to (\psi \to \phi )\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ϕ</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>ϕ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi \to (\psi \to \phi )\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6380c2ace0ac65f51010fe41c977730fcef0f846" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.709ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi \to (\psi \to \phi )\,}"></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\phi \to (\psi \to \chi ))\to ((\phi \to \psi )\to (\phi \to \chi ))\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ϕ</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>χ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">→</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ϕ</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">→</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ϕ</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>χ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\phi \to (\psi \to \chi ))\to ((\phi \to \psi )\to (\phi \to \chi ))\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04cb4295f3dfadaee1063ce83b8fb08880f00b98" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:41.211ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\phi \to (\psi \to \chi ))\to ((\phi \to \psi )\to (\phi \to \chi ))\,}"></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\lnot \phi \to \lnot \psi )\to (\psi \to \phi )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mi>ϕ</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">→</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>ϕ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\lnot \phi \to \lnot \psi )\to (\psi \to \phi )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c6029b6ac23c8b5ff8b14c8b3c5f2c19a260955" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.359ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\lnot \phi \to \lnot \psi )\to (\psi \to \phi )}"></span>,</li></ol> <p>donde <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi \,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ϕ</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi \,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c69f1c4a95b2d750b30fa4cf5d5d068a573ac0d8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.773ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi \,}"></span>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi \,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ψ</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi \,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c0246f660f8317d29b9b2f21c339b3fe1171740" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.9ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \psi \,}"></span>, y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \chi \,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>χ</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \chi \,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20ccded05dc5366a538db649e7cb6648c02896f9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.842ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \chi \,}"></span> pueden ser cualquier fórmula en el lenguaje. </p><p>Cada uno de estos patrones es un esquema de axiomas, una regla para generar un número <a href="/wiki/Infinito" title="Infinito">infinito</a> de axiomas. Por ejemplo si <i>p</i>, <i>q</i>, y <i>r</i> son variables proposicionales, entonces <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p\to (q\to p)\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p\to (q\to p)\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/509b3d4d5f48eebb6a2640a7c12d88ea13b16a1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:12.922ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle p\to (q\to p)\,}"></span> y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (p\to \neg q)\to (r\to (p\to \neg q))\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">→</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (p\to \neg q)\to (r\to (p\to \neg q))\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e02ef9c3686211bb3b0876634d25879e3f41b75a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.899ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (p\to \neg q)\to (r\to (p\to \neg q))\,}"></span> son instancias del esquema 1 y por lo tanto son axiomas. </p><p>Puede probarse que, con solamente estos tres esquemas de axiomas y la regla de inferencia <a href="/wiki/Modus_ponens" class="mw-redirect" title="Modus ponens">modus ponens</a>, todas las tautologías del cálculo proposicional son demostrables. También se puede probar que ningún par de estos esquemas es suficiente para demostrar todas las tautologías utilizando <i>modus ponens</i>. Este conjunto de esquemas axiomáticos también se utiliza en el <a href="/wiki/C%C3%A1lculo_de_predicados" class="mw-redirect" title="Cálculo de predicados">cálculo de predicados</a>, pero son necesarios más axiomas lógicos. </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Ejemplo_2">Ejemplo 2</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Axioma&action=edit&section=9" title="Editar sección: Ejemplo 2"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Sea <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {L}}\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">L</mi> </mrow> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {L}}\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c2429ba2b7c53d9277c90cde7b0be4106cf5963" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.935ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {L}}\,}"></span> un <a href="/wiki/Lenguaje_de_primer_orden" class="mw-redirect" title="Lenguaje de primer orden">lenguaje de primer orden</a>. Para cada variable <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab34739435d9d9d99cddf4041740b107343b1398" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.717ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x\,}"></span> la fórmula <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=x\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=x\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69a6d815c0f93e54697891a2dcdfc25092e58c0a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.145ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x=x\,}"></span> es universalmente válida. </p><p>Esto significa que, para cualquier símbolo variable <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab34739435d9d9d99cddf4041740b107343b1398" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.717ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x\,}"></span>, la fórmula <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=x\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=x\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69a6d815c0f93e54697891a2dcdfc25092e58c0a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.145ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x=x\,}"></span> puede considerarse axioma. Para no incurrir en vaguedad o en una serie infinita de «nociones primitivas», primero se necesita una idea de lo que se desea expresar mediante <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=x\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=x\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69a6d815c0f93e54697891a2dcdfc25092e58c0a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.145ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x=x\,}"></span>, o definir un uso puramente formal y <a href="/wiki/Sintaxis" title="Sintaxis">sintáctico</a> del <a href="/wiki/Igualdad_matem%C3%A1tica" title="Igualdad matemática">símbolo</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle =\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>=</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle =\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2219e60aaf3efae72388ea5a38538ff64f0ce00" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:2.195ex; height:1.343ex;" alt="{\displaystyle =\,}"></span>. De hecho sucede esto en <a href="/wiki/L%C3%B3gica_matem%C3%A1tica" title="Lógica matemática">Lógica matemática</a>. </p><p>Otro ejemplo interesante es el de «instanciación universal» , mediante el <a href="/wiki/Cuantificador_universal" title="Cuantificador universal">cuantificador universal</a>. Para una fórmula <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi \,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ϕ</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi \,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c69f1c4a95b2d750b30fa4cf5d5d068a573ac0d8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.773ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi \,}"></span> en un lenguaje de primer orden <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {L}}\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">L</mi> </mrow> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {L}}\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c2429ba2b7c53d9277c90cde7b0be4106cf5963" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.935ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {L}}\,}"></span>, una variable <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab34739435d9d9d99cddf4041740b107343b1398" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.717ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x\,}"></span> y un término <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>t</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/946383a7c6d1876177c662a95b369ced2ad99cd9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.227ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t\,}"></span> sustituible por <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab34739435d9d9d99cddf4041740b107343b1398" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.717ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x\,}"></span> en <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi \,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ϕ</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi \,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c69f1c4a95b2d750b30fa4cf5d5d068a573ac0d8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.773ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi \,}"></span>, la fórmula <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall x.\phi \to \phi _{t}^{x}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> <mo>.</mo> <mi>ϕ</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <msubsup> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall x.\phi \to \phi _{t}^{x}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9933d26c330bdd737f982311bde771d96a23e21c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:11.214ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall x.\phi \to \phi _{t}^{x}}"></span> es válida universalmente. </p><p>En términos informales este ejemplo permite afirmar que si se sabe que cierta propiedad <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f60e07ebc2aadee94e4cbbccef71fd9bcf44f5f9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.133ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P\,}"></span> se cumple para toda <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab34739435d9d9d99cddf4041740b107343b1398" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.717ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x\,}"></span> y que si <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>t</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/946383a7c6d1876177c662a95b369ced2ad99cd9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.227ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t\,}"></span> es un objeto particular en la estructura, se estaría en capacidad de afirmar <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(t)\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(t)\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ff43b7ba7c9f066cc775e4775e44ee9fcf32c9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.781ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P(t)\,}"></span>. </p><p>De nuevo se afirma que la fórmula <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall x.\phi \ \to \phi _{t}^{x}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> <mo>.</mo> <mi>ϕ</mi> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">→</mo> <msubsup> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall x.\phi \ \to \phi _{t}^{x}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a49204ebb8fe2543bb78641ee4eb21e4e37e5276" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:11.794ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall x.\phi \ \to \phi _{t}^{x}}"></span> es válida. Esto es, se debe ser capaz de aportar una prueba de este hecho, o -mejor expresado- una metaprueba. En efecto, estos ejemplos son metateoremas de la teoría de lógica matemática, ya que la referencia es meramente al <a href="/wiki/Concepto" title="Concepto">concepto</a> demostrativo en sí. Además se puede extender a una generalización existencial utilizando el <a href="/wiki/Cuantificador_existencial" title="Cuantificador existencial">cuantificador existencial</a>. </p><p><i>Esquema axiomático.</i> Para una fórmula <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi \,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ϕ</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi \,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c69f1c4a95b2d750b30fa4cf5d5d068a573ac0d8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.773ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi \,}"></span> en un lenguaje de primer orden <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {L}}\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">L</mi> </mrow> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {L}}\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c2429ba2b7c53d9277c90cde7b0be4106cf5963" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.935ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {L}}\,}"></span>, una variable <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab34739435d9d9d99cddf4041740b107343b1398" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.717ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x\,}"></span> y un término <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>t</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/946383a7c6d1876177c662a95b369ced2ad99cd9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.227ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t\,}"></span> sustituible por <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab34739435d9d9d99cddf4041740b107343b1398" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.717ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x\,}"></span> en <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi \,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ϕ</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi \,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c69f1c4a95b2d750b30fa4cf5d5d068a573ac0d8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.773ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi \,}"></span>, la <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi _{t}^{x}\to \exists x.\phi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msubsup> <mo stretchy="false">→</mo> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mi>x</mi> <mo>.</mo> <mi>ϕ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{t}^{x}\to \exists x.\phi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36a938450db7e9e0e106894a1d0f651ab614f9a0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:11.214ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi _{t}^{x}\to \exists x.\phi }"></span> es universalmente válida. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Matemáticas"><span id="Matem.C3.A1ticas"></span>Matemáticas</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Axioma&action=edit&section=10" title="Editar sección: Matemáticas"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Archivo:P._Oxy._I_29.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8d/P._Oxy._I_29.jpg/220px-P._Oxy._I_29.jpg" decoding="async" width="220" height="134" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8d/P._Oxy._I_29.jpg/330px-P._Oxy._I_29.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8d/P._Oxy._I_29.jpg/440px-P._Oxy._I_29.jpg 2x" data-file-width="1694" data-file-height="1032" /></a><figcaption>Papiro de Oxirrinco que muestra un fragmento de los Elementos de Euclides.</figcaption></figure> <p>En matemáticas para que una afirmación sea considerada válida debe o bien estar contenida dentro de una base de afirmaciones de partida, los denominados axiomas, o debe poder <a href="/wiki/Demostraci%C3%B3n_matem%C3%A1tica" title="Demostración matemática">demostrarse</a> a partir de los mismos. Los axiomas son por tanto los pilares fundamentales de toda rama de las matemáticas, y a partir de ellos, mediante las demostraciones matemáticas, se deduce la veracidad de cualquier afirmación. </p><p>Los axiomas serán, por tanto, afirmaciones que se aceptan como verdaderas y cuya veracidad no puede ser demostrada a partir de otros axiomas. Un axioma no se caracteriza por si resulta una afirmación trivial o intuitiva, siendo el <a href="/wiki/Axioma_de_elecci%C3%B3n" title="Axioma de elección">axioma de elección</a> un ejemplo de un axioma que no resulta trivial. </p><p>El otro tipo de afirmaciones a las que se hace referencia son los <b><a href="/wiki/Teorema" title="Teorema">teoremas</a></b>. Estas afirmaciones deben ser demostradas usando los axiomas u otros teoremas ya demostrados. Una consecuencia inmediata de un teorema se llamará <a href="/wiki/Corolario" title="Corolario">corolario</a>. </p><p>Muchas partes de la <a href="/wiki/Matem%C3%A1tica" class="mw-redirect" title="Matemática">matemática</a> están axiomatizadas, lo que significa que existe un conjunto de axiomas de los cuales es posible deducir todas las verdades de esa parte de la matemática. Por ejemplo, de los <a href="/wiki/Axiomas_de_Peano" title="Axiomas de Peano">axiomas de Peano</a> es posible deducir todas las verdades de la <a href="/wiki/Aritm%C3%A9tica" title="Aritmética">aritmética</a> (y por extensión, de otras partes de la matemática). </p><p>El formalismo surgido como consecuencia de la crisis fundacional de principios del siglo <span style="font-variant:small-caps;text-transform:lowercase">XX</span> dio lugar al llamado <a href="/wiki/Programa_de_Hilbert" title="Programa de Hilbert">programa de Hilbert</a>. Dicho programa abogaba por la formalización de diferentes ramas de las matemáticas mediante un conjunto de axiomas explícitos, en general formulados en <a href="/wiki/Lenguaje_formal" title="Lenguaje formal">lenguajes formales</a> de <a href="/wiki/L%C3%B3gica_de_primer_orden" title="Lógica de primer orden">primer orden</a>. Eso significa que junto con los axiomas lógicos ordinarios de una teoría de primer orden se introducían símbolos extralógicos (para constantes, funciones y predicados) y ciertos axiomas matemáticos que usaban dichos signos que restringían su comportamiento. Cada teoría matemática necesita un conjunto diferente de signos extralógicos, por ejemplo la aritmética de primer orden requiere la función «siguiente» y una constante que designe al primer de los números naturales (a partir de esos dos signos nuevos una constante y una función, son definibles la suma, la multiplicación, la relación de orden «menor o igual» y todas las nociones necesarias para la aritmética). </p><p>El programa de Hilbert hizo concebir la posibilidad de unas matemáticas en que la propia consistencia de axiomas escogidos fuera verificable de manera relativamente simple. Sin embargo, el teorema de incompletitud de Gödel y otros resultados mostraron la inviabilidad del programa de Hilbert para los fines con los que fue propuesto. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Limitaciones_de_los_sistemas_axiomáticos"><span id="Limitaciones_de_los_sistemas_axiom.C3.A1ticos"></span>Limitaciones de los sistemas axiomáticos</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Axioma&action=edit&section=11" title="Editar sección: Limitaciones de los sistemas axiomáticos"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>A mediados del siglo <span style="font-variant:small-caps;text-transform:lowercase">XX</span>, <a href="/wiki/Kurt_G%C3%B6del" title="Kurt Gödel">Kurt Gödel</a> demostró sus famosos <a href="/wiki/Teoremas_de_incompletitud_de_G%C3%B6del" title="Teoremas de incompletitud de Gödel">teoremas de incompletitud</a>. Estos teoremas mostraban que, aunque un sistema de axiomas recursivos estuvieran bien definidos y fueran <a href="/wiki/Consistencia_(l%C3%B3gica)" title="Consistencia (lógica)">consistentes</a>, los sistemas axiomáticos con esos sistemas de axiomas adolecen de limitaciones graves. Es importante notar aquí la restricción de que el sistema de axiomas sea <a href="/wiki/Conjunto_recursivamente_enumerable" title="Conjunto recursivamente enumerable">recursivamente enumerable</a>, es decir, que el conjunto de axiomas forme un conjunto recursivamente enumerable dada una codificación o gödelización de los mismos. Esa condición técnica se requiere ya que si el conjunto de axiomas no es recursivo entonces la <a href="/wiki/Teor%C3%ADa_(l%C3%B3gica)" title="Teoría (lógica)">teoría</a> ni siquiera será <a href="/wiki/Decibilidad" class="mw-redirect" title="Decibilidad">decidible</a>. </p><p>Con esa restricción Gödel demostró, que si la teoría admite un <a href="/wiki/Teor%C3%ADa_de_modelos" title="Teoría de modelos">modelo</a> de cierta complejidad siempre hay una proposición <i>P</i> verdadera pero no demostrable. Gödel prueba que en cualquier <a href="/wiki/Sistema_formal" title="Sistema formal">sistema formal</a> que incluya <a href="/wiki/Aritm%C3%A9tica" title="Aritmética">aritmética</a> puede generarse una <a href="/wiki/Proposici%C3%B3n" title="Proposición">proposición</a> <i>P</i> mediante la cual se afirme que <i>este enunciado no es demostrable</i>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Véase_también"><span id="V.C3.A9ase_tambi.C3.A9n"></span>Véase también</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Axioma&action=edit&section=12" title="Editar sección: Véase también"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Sistema_axiom%C3%A1tico" title="Sistema axiomático">Sistema axiomático</a></li> <li><a href="/wiki/Axiomas_de_Zermelo-Fraenkel" title="Axiomas de Zermelo-Fraenkel">Axiomas de Zermelo-Fraenkel</a></li> <li><a href="/wiki/Postulado" title="Postulado">Postulado</a></li> <li><a href="/wiki/Principio" title="Principio">Principio</a></li> <li><a href="/wiki/Dogma" title="Dogma">Dogma</a></li> <li><a href="/wiki/Sistema_formal" title="Sistema formal">Sistema formal</a></li> <li><a href="/wiki/Regla_de_inferencia" title="Regla de inferencia">Regla de inferencia</a></li> <li><a href="/wiki/Conjetura" title="Conjetura">Conjetura</a></li> <li><a href="/wiki/Teorema" title="Teorema">Teorema</a></li> <li><a href="/wiki/Axiomas_de_Peano" title="Axiomas de Peano">Axiomas de Peano</a></li> <li><a href="/wiki/Teoremas_de_incompletitud_de_G%C3%B6del" title="Teoremas de incompletitud de Gödel">Teoremas de incompletitud de Gödel</a></li> <li><a href="/wiki/Axiomas_de_Hilbert" title="Axiomas de Hilbert">Axiomas de Hilbert</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notas">Notas</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Axioma&action=edit&section=13" title="Editar sección: Notas"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ol class="references"> <li id="cite_note-11"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-11">↑</a></span> <span class="reference-text">Aunque no completo; algunos de los resultados enunciados no se deducían realmente de los postulados y nociones comunes enunciados.</span> </li> </ol> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Referencias">Referencias</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Axioma&action=edit&section=14" title="Editar sección: Referencias"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="listaref" style="-moz-column-count:2; -webkit-column-count:2; column-count:2; list-style-type: decimal;"><ol class="references"> <li id="cite_note-:1-1"><span class="mw-cite-backlink">↑ <a href="#cite_ref-:1_1-0"><sup><i><b>a</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-:1_1-1"><sup><i><b>b</b></i></sup></a></span> <span class="reference-text"><span id="CITAREFReal_Academia_Española2023" class="citation web">Real Academia Española (2023). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://dle.rae.es/axioma">«Diccionario de la lengua española,»</a>. Real Academia Española. «(General) Proposición tan clara y evidente que se admite sin demostración. (en Matemáticas) Cada uno de los principios indemostrables sobre los que, por medio de un razonamiento deductivo, se construye una teoría.»</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AAxioma&rft.au=Real+Academia+Espa%C3%B1ola&rft.aulast=Real+Academia+Espa%C3%B1ola&rft.btitle=Diccionario+de+la+lengua+espa%C3%B1ola%2C&rft.date=2023&rft.genre=book&rft.pub=Real+Academia+Espa%C3%B1ola&rft_id=https%3A%2F%2Fdle.rae.es%2Faxioma&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text"><span id="CITAREFMoguel2005" class="citation libro">Moguel, Ernesto A. Rodríguez (2005). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.es/books?id=r4yrEW9Jhe0C&pg=PA12&dq=axioma++proposici%C3%B3n&hl=es&sa=X&ved=0ahUKEwiOlIWf6rTlAhVVAWMBHQNKBdsQ6AEIMTAB#v=onepage&q=axioma%20%20proposici%C3%B3n&f=false"><i>Metodología de la Investigación</i></a>. Univ. J. Autónoma de Tabasco. <small><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/9789685748667" title="Especial:FuentesDeLibros/9789685748667">9789685748667</a></small><span class="reference-accessdate">. Consultado el 24 de octubre de 2019</span>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AAxioma&rft.au=Moguel%2C+Ernesto+A.+Rodr%C3%ADguez&rft.aufirst=Ernesto+A.+Rodr%C3%ADguez&rft.aulast=Moguel&rft.btitle=Metodolog%C3%ADa+de+la+Investigaci%C3%B3n&rft.date=2005&rft.genre=book&rft.isbn=9789685748667&rft.pub=Univ.+J.+Aut%C3%B3noma+de+Tabasco&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.es%2Fbooks%3Fid%3Dr4yrEW9Jhe0C%26pg%3DPA12%26dq%3Daxioma%2B%2Bproposici%25C3%25B3n%26hl%3Des%26sa%3DX%26ved%3D0ahUKEwiOlIWf6rTlAhVVAWMBHQNKBdsQ6AEIMTAB%23v%3Donepage%26q%3Daxioma%2520%2520proposici%25C3%25B3n%26f%3Dfalse&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text"><span id="CITAREFVegaMartín-Gaitero2001" class="citation libro">Vega, Miguel Ángel; Martín-Gaitero, Rafael (2001). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.es/books?id=Iun9MkVtfxUC&pg=PA171&dq=axioma++proposici%C3%B3n&hl=es&sa=X&ved=0ahUKEwiOlIWf6rTlAhVVAWMBHQNKBdsQ6AEITTAF#v=onepage&q=axioma%20%20proposici%C3%B3n&f=false"><i>Traducción, metrópoli y diáspora: las variantes diatópicas de traducción ; actas de los VIII Encuentros Complutenses en torno a la Traducción</i></a>. Editorial Complutense. <small><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/9788474916089" title="Especial:FuentesDeLibros/9788474916089">9788474916089</a></small><span class="reference-accessdate">. Consultado el 24 de octubre de 2019</span>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AAxioma&rft.au=Mart%C3%ADn-Gaitero%2C+Rafael&rft.au=Vega%2C+Miguel+%C3%81ngel&rft.aufirst=Miguel+%C3%81ngel&rft.aulast=Vega&rft.btitle=Traducci%C3%B3n%2C+metr%C3%B3poli+y+di%C3%A1spora%3A+las+variantes+diat%C3%B3picas+de+traducci%C3%B3n+%3B+actas+de+los+VIII+Encuentros+Complutenses+en+torno+a+la+Traducci%C3%B3n&rft.date=2001&rft.genre=book&rft.isbn=9788474916089&rft.pub=Editorial+Complutense&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.es%2Fbooks%3Fid%3DIun9MkVtfxUC%26pg%3DPA171%26dq%3Daxioma%2B%2Bproposici%25C3%25B3n%26hl%3Des%26sa%3DX%26ved%3D0ahUKEwiOlIWf6rTlAhVVAWMBHQNKBdsQ6AEITTAF%23v%3Donepage%26q%3Daxioma%2520%2520proposici%25C3%25B3n%26f%3Dfalse&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://symploke.trujaman.org/index.php?title=Axiomas">Definición de axioma en Symploke.</a></span> </li> <li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-5">↑</a></span> <span class="reference-text">Véase, por ejemplo, <span id="CITAREFMaddyJun_1988" class="citation publicación">Maddy, Penelope (Jun 1988). «Believing the Axioms, I». <i>Journal of Symbolic Logic</i> <b>53</b> (2): 481-511. <small><a href="/wiki/JSTOR" title="JSTOR">JSTOR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.jstor.org/stable/2274520">2274520</a></small>. <small><a href="/wiki/Digital_object_identifier" class="mw-redirect" title="Digital object identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://dx.doi.org/10.2307%2F2274520">10.2307/2274520</a></small>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AAxioma&rft.atitle=Believing+the+Axioms%2C+I&rft.au=Maddy%2C+Penelope&rft.aufirst=Penelope&rft.aulast=Maddy&rft.date=Jun+1988&rft.genre=article&rft.issue=2&rft.jstor=2274520&rft.jtitle=Journal+of+Symbolic+Logic&rft.pages=481-511&rft.volume=53&rft_id=info%3Adoi%2F10.2307%2F2274520&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span> para un <a href="/wiki/Realismo_matem%C3%A1tico" class="mw-redirect" title="Realismo matemático">realista</a> punto de vista.</span> </li> <li id="cite_note-:0-6"><span class="mw-cite-backlink">↑ <a href="#cite_ref-:0_6-0"><sup><i><b>a</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-:0_6-1"><sup><i><b>b</b></i></sup></a></span> <span class="reference-text"><span class="citation web"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://ghostarchive.org/archive/20221009/http://www.ptta.pl/pef/haslaen/a/axiom.pdf">«Axiom — Powszechna Encyklopedia Filozofii»</a>. <i>Polskie Towarzystwo Tomasza z Akwinu</i>. Archivado desde <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.ptta.pl/pef/haslaen/a/axiom.pdf">el original</a> el 9 de octubre de 2022.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AAxioma&rft.atitle=Axiom+%E2%80%94+Powszechna+Encyklopedia+Filozofii&rft.genre=article&rft.jtitle=Polskie+Towarzystwo+Tomasza+z+Akwinu&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.ptta.pl%2Fpef%2Fhaslaen%2Fa%2Faxiom.pdf&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-7"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-7">↑</a></span> <span class="reference-text">Wolff, P. <i>Breakthroughs in Mathematics</i>, 1963, New York: New American Library, pp 47-48</span> </li> <li id="cite_note-8"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-8">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="/w/index.php?title=T._L._Heath&action=edit&redlink=1" class="new" title="T. L. Heath (aún no redactado)">Heath, T.</a> 1956. Los trece libros de los Elementos de Euclides. New York: Dover. <i>p 200</i></span> </li> <li id="cite_note-9"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-9">↑</a></span> <span class="reference-text">R. Courant c/ F. John. Introducción al cálculo y al análisis matemático. VolI <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/9681806345" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 968-18-0634-5</a></span> </li> <li id="cite_note-10"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-10">↑</a></span> <span class="reference-text">Aristóteles, Metafísica Bk IV, Capítulo 3, 1005b "La Física también es un tipo de Sabiduría, pero no es el primer tipo. - Y los intentos de algunos de los que discuten los términos en que la verdad debe ser aceptada, se deben a la falta de formación en lógica; porque deberían saber estas cosas ya cuando llegan a un estudio especial, y no estar indagando sobre ellas mientras escuchan conferencias sobre ello." Traducción de W.D. Ross, en The Basic Works of Aristotle, ed., Richard McKeon. Richard McKeon, (Random House, Nueva York, 1941)</span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bibliografía"><span id="Bibliograf.C3.ADa"></span>Bibliografía</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Axioma&action=edit&section=15" title="Editar sección: Bibliografía"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span id="CITAREFSagan1997" class="citation libro"><a href="/wiki/Carl_Sagan" title="Carl Sagan">Sagan, Carl</a> (1997). <i><a href="/wiki/El_mundo_y_sus_demonios" title="El mundo y sus demonios">El mundo y sus demonios</a></i>. 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class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Enlaces_externos">Enlaces externos</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Axioma&action=edit&section=16" title="Editar sección: Enlaces externos"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ec/Wiktionary-logo.svg/20px-Wiktionary-logo.svg.png" decoding="async" width="20" height="19" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ec/Wiktionary-logo.svg/30px-Wiktionary-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ec/Wiktionary-logo.svg/40px-Wiktionary-logo.svg.png 2x" data-file-width="370" data-file-height="350" /></span></span> <a href="/wiki/Wikcionario" title="Wikcionario">Wikcionario</a> tiene definiciones y otra información sobre <b><a href="https://es.wiktionary.org/wiki/axioma" class="extiw" title="wikt:axioma">axioma</a></b>.</li> <li><span typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/13/Spanish_Wikiquote.SVG/12px-Spanish_Wikiquote.SVG.png" decoding="async" width="12" height="15" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/13/Spanish_Wikiquote.SVG/19px-Spanish_Wikiquote.SVG.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/13/Spanish_Wikiquote.SVG/25px-Spanish_Wikiquote.SVG.png 2x" data-file-width="272" data-file-height="330" /></span></span> <a href="/wiki/Wikiquote" title="Wikiquote">Wikiquote</a> alberga frases célebres de o sobre <b><a href="https://es.wikiquote.org/wiki/" class="extiw" title="q:">Axioma</a></b>.</li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.filosofia.org/enc/ros/axioma.htm">Axioma, en el Diccionario soviético de filosofía</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.e-torredebabel.com/Enciclopedia-Hispano-Americana/V2/axioma-filosofia-D-E-H-A.htm">Axioma, en Diccionario enciclopédico hispanoamericano</a></li></ul> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r161257576">.mw-parser-output .mw-authority-control{margin-top:1.5em}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox table{margin:0}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox hr:last-child{display:none}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox+.mw-mf-linked-projects{display:none}.mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects{display:flex;padding:0.5em;border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);background-color:var(--background-color-neutral,#eaecf0);color:var(--color-base,#202122)}.mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects ul li{margin-bottom:0}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox{border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);background-color:var(--background-color-neutral-subtle,#f8f9fa)}.mw-parser-output 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autoridades</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><b>Proyectos Wikimedia</b></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikidata" title="Wikidata"><img alt="Wd" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/20px-Wikidata-logo.svg.png" decoding="async" width="20" height="11" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/30px-Wikidata-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/40px-Wikidata-logo.svg.png 2x" data-file-width="1050" data-file-height="590" /></a></span> Datos:</span> <span class="uid"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q17736" class="extiw" title="wikidata:Q17736">Q17736</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikcionario" title="Wiktionary"><img alt="Wiktionary" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ec/Wiktionary-logo.svg/15px-Wiktionary-logo.svg.png" decoding="async" width="15" height="14" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ec/Wiktionary-logo.svg/23px-Wiktionary-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ec/Wiktionary-logo.svg/30px-Wiktionary-logo.svg.png 2x" data-file-width="370" data-file-height="350" /></a></span> Diccionario:</span> <span class="uid"><a href="https://es.wiktionary.org/wiki/axioma" class="extiw" title="wikt:axioma">axioma</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikiquote" title="Wikiquote"><img alt="Wikiquote" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikiquote-logo.svg/15px-Wikiquote-logo.svg.png" decoding="async" width="15" height="18" class="mw-file-element" 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//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/40px-Wikidata-logo.svg.png 2x" data-file-width="1050" data-file-height="590" /></a></span> Datos:</span> <span class="uid"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q17736" class="extiw" title="wikidata:Q17736">Q17736</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikcionario" title="Wiktionary"><img alt="Wiktionary" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ec/Wiktionary-logo.svg/15px-Wiktionary-logo.svg.png" decoding="async" width="15" height="14" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ec/Wiktionary-logo.svg/23px-Wiktionary-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ec/Wiktionary-logo.svg/30px-Wiktionary-logo.svg.png 2x" data-file-width="370" data-file-height="350" /></a></span> Diccionario:</span> <span class="uid"><a href="https://es.wiktionary.org/wiki/axioma" class="extiw" title="wikt:axioma">axioma</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikiquote" title="Wikiquote"><img alt="Wikiquote" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikiquote-logo.svg/15px-Wikiquote-logo.svg.png" decoding="async" width="15" height="18" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikiquote-logo.svg/23px-Wikiquote-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikiquote-logo.svg/30px-Wikiquote-logo.svg.png 2x" data-file-width="300" data-file-height="355" /></a></span> Citas célebres:</span> <span class="uid"><a href="https://es.wikiquote.org/wiki/Axioma" class="extiw" title="q:Axioma">Axioma</a></span></li></ul> </div></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1&useformat=desktop" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" 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