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<!DOCTYPE html> <html lang="en"> <head> <meta content="text/html; charset=utf-8" http-equiv="content-type"/> <title>Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics</title>  <meta content="width=device-width, initial-scale=1, shrink-to-fit=no" name="viewport"/> <link href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/css/bootstrap.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv-fonts.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/latexml_styles.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/js/bootstrap.bundle.min.js"></script> <script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/html2canvas/1.3.3/html2canvas.min.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/addons_new.js"></script> <script 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class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3 </span>Steady-states and local stability.</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.SS1" title="In 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3.1 </span>Positive steady-states.</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.SS2" title="In 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3.2 </span>Time delayed QS local stability.</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_subsection"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.SS2.SSS1" title="In 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3.2.1 </span>Existence of purely imaginary eigenvalues.</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.SS2.SSS2" title="In 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3.2.2 </span>A geometric transversality condition.</span></a></li> </ol> </li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S4" title="In Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4 </span>Numerical bifurcation analysis of time delay QS system.</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S5" title="In Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">5 </span>Intermittent chaos in time delay QS system</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S6" title="In Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">6 </span>Concluding Remarks</span></a></li> </ol></nav> </nav> <div class="ltx_page_main"> <div class="ltx_page_content"> <article class="ltx_document ltx_authors_1line ltx_leqno"> <h1 class="ltx_title ltx_title_document">Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics</h1> <div class="ltx_authors"> <span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname"> Anahí Flores </span><span class="ltx_author_notes">Faculty of Engineering, UNAM, Escolar 04360, C.U., Coyoacán, 04510 Ciudad de México, CDMX. . Funded by ‘Programa CAPSEM I+DT’, Faculty of Engineering, UNAM. <span class="ltx_contact ltx_role_email"><a href="mailto:afloresperez@comunidad.unam.mx">afloresperez@comunidad.unam.mx</a> </span></span></span> <span class="ltx_author_before"> </span><span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname">Marcos A. González </span><span class="ltx_author_notes">Science and Technology College, Autonomous University of Mexico City, Dr. García Diego 168, Cuauhtémoc, 06720 Ciudad de México, CDMX. . Funded by project UACM CCYT2023-IMP-05 and CONAHCyT-SNII. <span class="ltx_contact ltx_role_email"><a href="mailto:marcos.angel.gonzalez@uacm.edu.mx">marcos.angel.gonzalez@uacm.edu.mx</a> </span></span></span> <span class="ltx_author_before"> </span><span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname">Víctor F. Breña–Medina </span><span class="ltx_author_notes">Department of Mathematics, ITAM, Río Hondo 1, Ciudad de México 01080, México. . Funded by Asociación Mexicana de Cultura A.C. <span class="ltx_contact ltx_role_email"><a href="mailto:victor.brena@itam.mx">victor.brena@itam.mx</a> </span></span></span> </div> <div class="ltx_abstract"> <h6 class="ltx_title ltx_title_abstract">Abstract</h6> <p class="ltx_p" id="id1.id1">This study analyses the dynamical consequences of heterogeneous temporal delays within a quorum sensing-inspired (QS-inspired) system, specifically addressing the differential response kinetics of two subpopulations to signalling molecules. A nonlinear delay differential equation (DDE) model, predicated upon an activator-inhibitor framework, is formulated to represent the interspecies interactions. Key analytical techniques, including the derivation of the pseudo-characteristic polynomial and the determination of Hopf bifurcation criteria, are employed to investigate the stability properties of steady-state solutions. The analysis reveals the critical role of multiple, dissimilar delays in modulating system dynamics and inducing bifurcations. Numerical simulations, conducted in conjunction with analytical results, reveal the emergence of periodic self-sustained oscillations and intermittent chaotic behaviour. These observations emphasise the intricate relationship between temporal heterogeneity and the stability landscape of systems exhibiting QS-inspired dynamics. This interplay highlights the capacity for temporal variations to induce complex dynamical transitions within such systems. These findings assist to the comprehension of temporal dynamics within these and related systems, and may contribute to the development of strategies aimed at modulating intercellular communication and engineering synthetic biological systems with temporal control.</p> </div> <div class="ltx_classification"> <h6 class="ltx_title ltx_title_classification">keywords: </h6> Delay Differential Equations, Quorum Sensing, Chaos, Bifurcation Theory. </div> <div class="ltx_para" id="p1"> <span class="ltx_ERROR undefined" id="p1.1">{AMS}</span> <p class="ltx_p" id="p1.2">34C28, 34C23, 34H10, 37N25, 37D45</p> </div> <section class="ltx_section" id="S1"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">1 </span>Introduction</h2> <div class="ltx_para" id="S1.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.p1.1">Quorum sensing (QS) is a fundamental mechanism of microbial communication that was first proposed in the early 1970s to explain the bioluminescence observed in marine bacteria, particularly <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.p1.1.1">Vibrio fischeri</span> <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#bib.bib29" title="">29</a>]</cite>. Over the decades, QS has emerged as a sophisticated strategy that enables bacterial populations to synchronise their behaviour and enhance collective fitness. This process allows bacteria to assess their local density by monitoring the concentration of signalling molecules known as autoinducers. Once the concentration of autoinducers surpasses a critical threshold, a coordinated response is initiated, conferring advantages such as enhanced virulence <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#bib.bib21" title="">21</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#bib.bib23" title="">23</a>]</cite> and biofilm formation <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#bib.bib17" title="">17</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p2"> <p class="ltx_p" id="S1.p2.1">The study of QS mechanisms has been benefited from diverse mathematical modelling approaches, each offering unique insights into the underlying biological dynamics. These approaches span deterministic models, which describe average system behaviours; stochastic models, which account for intrinsic fluctuations; and hybrid models that combine both perspectives. For instance, Velázquez <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.p2.1.1">et al.</span> <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#bib.bib31" title="">31</a>]</cite> employed a continuous-time Markov process to investigate virulence in plant-pathogen interactions on leaf surfaces. Their model integrates linear birth rates, logistic death-migration processes, and an autocatalytic mechanism for <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.p2.1.2">acyl homoserine lactone</span> autoinducers, revealing an inverse relationship between QS efficiency and the diffusion of autoinducers. Similarly, Frederick <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.p2.1.3">et al.</span> <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#bib.bib11" title="">11</a>]</cite> used a reaction-diffusion model with density-dependent diffusion coefficients to study extracellular polymeric substance (EPS) production in biofilms. They demonstrated how QS-regulated EPS production facilitates biofilms’ transition from a colonisation phase to a protective state, underscoring the adaptive benefits of QS in biofilm environments.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p3"> <p class="ltx_p" id="S1.p3.1">Delays and anomalous diffusion have also been key features in deterministic modelling approaches. Kuttler <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.p3.1.1">et al.</span> <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#bib.bib19" title="">19</a>]</cite> explored anomalous diffusion processes to model delayed substance transport caused by transcriptional delays. Chen <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.p3.1.2">et al.</span> <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#bib.bib5" title="">5</a>]</cite>, Elowitz <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.p3.1.3">et al.</span> <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#bib.bib7" title="">7</a>]</cite>, and Ojalvo <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.p3.1.4">et al.</span> <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#bib.bib12" title="">12</a>]</cite> studied QS pathways using gene regulatory networks with feedforward and negative feedback loops. Their models incorporated transcriptional time delays to explore phenomena such as Hopf bifurcations and sustained oscillations. These studies showed that transcriptional delays can act as critical parameters, leading to oscillatory and complex behaviours, particularly in the context of QS-regulated drug delivery systems for cancer therapy.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p4"> <p class="ltx_p" id="S1.p4.1">In bacterial QS, specialised receptor proteins detect autoinducers, triggering gene expression changes that orchestrate collective behaviours. These changes lead to a division into two sub-populations: <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.p4.1.1">motile</span> (up-regulated), which engage in collective activities, and <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.p4.1.2">static</span> (down-regulated), which remain inactive. However, transitions between these states are not instantaneous, as biochemical processes like transcription and translation introduce inherent time delays <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#bib.bib22" title="">22</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#bib.bib27" title="">27</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#bib.bib38" title="">38</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#bib.bib37" title="">37</a>]</cite>. These delays, which reflect processes such as signal production, diffusion, and cellular response, significantly influence the timing and robustness of QS-driven behaviours <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#bib.bib28" title="">28</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p5"> <p class="ltx_p" id="S1.p5.1">The inclusion of time delays in QS models is crucial for accurately capturing the temporal dynamics of bacterial communication. For example, Barbarossa <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.p5.1.1">et al.</span> <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#bib.bib1" title="">1</a>]</cite> developed a delay differential equations (DDE) model for <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.p5.1.2">Pseudomonas putida</span> to explain experimental observations of autoinducer production. Their results supported the hypothesis of an enzyme degrading autoinducers into an inactive form, thereby introducing a feedback delay. Time delays have been shown to induce oscillatory behaviours, as demonstrated in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#bib.bib4" title="">4</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#bib.bib3" title="">3</a>]</cite>, where the amplitude and frequency of oscillations depended on the delay length. Furthermore, bifurcation analyses of QS models have revealed transitions between stable steady states, periodic oscillations, chaotic behaviours (<span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.p5.1.3">e.g.</span> <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#bib.bib24" title="">24</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#bib.bib16" title="">16</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#bib.bib18" title="">18</a>]</cite>), and multi-stability <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#bib.bib35" title="">35</a>]</cite>. These features align with experimental observations where bacterial populations exhibit synchronised or desynchronised behaviours under varying environmental conditions <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#bib.bib14" title="">14</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p6"> <p class="ltx_p" id="S1.p6.1">Incorporating these temporal factors into QS models not only enriches our understanding of microbial communication but also strengthen the development of practical applications. Manipulating QS systems can lead to novel strategies for microbial control and synthetic biology, with potential implications for environmental management and medical therapeutics <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#bib.bib9" title="">9</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#bib.bib10" title="">10</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#bib.bib39" title="">39</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#bib.bib40" title="">40</a>]</cite>. For instance, in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#bib.bib4" title="">4</a>]</cite>, a single delay introduced into a QS model led to sustained oscillations in signalling molecule concentrations, highlighting the pivotal role of temporal factors in QS regulation. Moreover, Chen <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.p6.1.1">et al.</span> <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#bib.bib5" title="">5</a>]</cite> analysed the effects of two distinct delays: one representing the time required for autoinducers to diffuse and another capturing the lag between signal detection and target gene expression. Their results demonstrated the importance of these delays in driving oscillatory behaviours and determining system stability.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p7"> <p class="ltx_p" id="S1.p7.2">In the present manuscript, we analyse a nonlinear DDE quorum sensing system in which motile and static bacterial sub-populations respond differently to autoinducers due to distinct response times. This is characterised by the introduction of two independent delay parameters, <math alttext="\tau_{1}>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p7.1.m1.1"><semantics id="S1.p7.1.m1.1a"><mrow id="S1.p7.1.m1.1.1" xref="S1.p7.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S1.p7.1.m1.1.1.2" xref="S1.p7.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S1.p7.1.m1.1.1.2.2" xref="S1.p7.1.m1.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S1.p7.1.m1.1.1.2.3" xref="S1.p7.1.m1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.p7.1.m1.1.1.1" xref="S1.p7.1.m1.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S1.p7.1.m1.1.1.3" xref="S1.p7.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p7.1.m1.1b"><apply id="S1.p7.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p7.1.m1.1.1"><gt id="S1.p7.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S1.p7.1.m1.1.1.1"></gt><apply id="S1.p7.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.p7.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p7.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.p7.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S1.p7.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.p7.1.m1.1.1.2.2">𝜏</ci><cn id="S1.p7.1.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.p7.1.m1.1.1.2.3">1</cn></apply><cn id="S1.p7.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.p7.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p7.1.m1.1c">\tau_{1}>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p7.1.m1.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT > 0</annotation></semantics></math> and <math alttext="\tau_{2}>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p7.2.m2.1"><semantics id="S1.p7.2.m2.1a"><mrow id="S1.p7.2.m2.1.1" xref="S1.p7.2.m2.1.1.cmml"><msub id="S1.p7.2.m2.1.1.2" xref="S1.p7.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S1.p7.2.m2.1.1.2.2" xref="S1.p7.2.m2.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S1.p7.2.m2.1.1.2.3" xref="S1.p7.2.m2.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S1.p7.2.m2.1.1.1" xref="S1.p7.2.m2.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S1.p7.2.m2.1.1.3" xref="S1.p7.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p7.2.m2.1b"><apply id="S1.p7.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p7.2.m2.1.1"><gt id="S1.p7.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S1.p7.2.m2.1.1.1"></gt><apply id="S1.p7.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S1.p7.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p7.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S1.p7.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S1.p7.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S1.p7.2.m2.1.1.2.2">𝜏</ci><cn id="S1.p7.2.m2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.p7.2.m2.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="S1.p7.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.p7.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p7.2.m2.1c">\tau_{2}>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p7.2.m2.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT > 0</annotation></semantics></math>, corresponding to the motile and static sub-populations, respectively. A local stability analysis is conducted by varying these delay parameters, identifying diverse bifurcations and the conditions under which they arise. These findings contribute to a deeper understanding of how time delays shape the dynamics of QS systems, particularly in the context of bifurcations and stability transitions.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p8"> <p class="ltx_p" id="S1.p8.1">The manuscript is structured as follows: Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S2" title="2 Nonlinear time delayed Quorum Sensing system ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a> introduces the nonlinear time-delayed QS system under investigation, detailing the model’s assumptions and highlighting the activator-inhibitor framework employed to represent the dynamic interplay between motile and static bacterial subpopulations. Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3" title="3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a> rigorously analyzes the existence and local stability properties of the system’s steady states, deriving the pseudo-characteristic polynomial and formulating conditions for the emergence of purely imaginary eigenvalues, thereby facilitating the analysis of Hopf bifurcations. Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S4" title="4 Numerical bifurcation analysis of time delay QS system. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a> presents the results of extensive numerical simulations, exploring the system’s dynamical behavior across a range of parameter values and illustrating the profound influence of varying delay parameters on the system’s dynamics. A detailed analysis of the observed intermittent chaotic behaviour, including a discussion of its characteristics and underlying mechanisms, is presented in Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S5" title="5 Intermittent chaos in time delay QS system ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a>. Finally, Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S6" title="6 Concluding Remarks ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a> concludes the manuscript with a comprehensive discussion of the key findings, emphasising their implications for advancing our understanding of QS-inspired systems and, in particular, the emergence of complex dynamical behaviour in the presence of multiple delays.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S2"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">2 </span>Nonlinear time delayed Quorum Sensing system </h2> <div class="ltx_para" id="S2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.p1.1">The present work investigates the dynamics of QS, emphasising the critical role of local interactions mediated by autoinducer concentrations. Autoinducers are signalling molecules produced by both motile and static bacteria, following the law of mass action, whose production rates increase with bacterial population density. The growth of motile bacteria is intrinsically driven as well as is inhibited by the presence of static bacteria, with long-term behaviour regulated by environmental saturation constraints.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.p2.1">The bacterial population dynamics in this context can be modelled using an activator-inhibitor framework analogous to the Gierer–Meinhardt system. Here, motile bacteria function as activators, driving QS processes, while static bacteria act as inhibitors, imposing regulatory constraints. To reduce the complexity of the parameter space and address scenarios where static bacteria may be negligible, rescaling transformations and desingularisation techniques are employed. The resulting QS model is governed by the following system of equations, as described in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#bib.bib18" title="">18</a>]</cite>:</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p3"> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S2.E1"> <tbody> <tr class="ltx_eqn_row" id="Sx1.EGx1"><td class="ltx_eqn_cell" colspan="5"></td></tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S2.E1.1"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(1a)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\dot{w}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E1.1.m1.1"><semantics id="S2.E1.1.m1.1a"><mover accent="true" id="S2.E1.1.m1.1.1" xref="S2.E1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.E1.1.m1.1.1.2" 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xref="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">v</mi></mrow><mo id="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">c</mi><mo id="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">w</mi><mo id="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.1.3.4" xref="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.1.3.4.cmml">v</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E1.1.m2.1.1.1.2" xref="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E1.1.m2.1b"><apply id="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.1.m2.1.1.1"><eq id="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.1"><minus id="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.1.2"></minus><apply id="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.1.1.3">𝑑</ci><ci id="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.1.1.4">𝑣</ci><apply id="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑢</ci><ci id="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑣</ci></apply></apply><apply id="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.1.3.2">𝑐</ci><ci id="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.1.3.3">𝑤</ci><ci id="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S2.E1.1.m2.1.1.1.1.1.3.4">𝑣</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E1.1.m2.1c">\displaystyle=dv(u+v)-cwv,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E1.1.m2.1d">= italic_d italic_v ( italic_u + italic_v ) - italic_c italic_w italic_v ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S2.E1.2"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(1b)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\dot{v}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E1.2.m1.1"><semantics id="S2.E1.2.m1.1a"><mover accent="true" id="S2.E1.2.m1.1.1" xref="S2.E1.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.E1.2.m1.1.1.2" xref="S2.E1.2.m1.1.1.2.cmml">v</mi><mo id="S2.E1.2.m1.1.1.1" xref="S2.E1.2.m1.1.1.1.cmml">˙</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E1.2.m1.1b"><apply id="S2.E1.2.m1.1.1.cmml" xref="S2.E1.2.m1.1.1"><ci id="S2.E1.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.2.m1.1.1.1">˙</ci><ci id="S2.E1.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.E1.2.m1.1.1.2">𝑣</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E1.2.m1.1c">\displaystyle\dot{v}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E1.2.m1.1d">over˙ start_ARG italic_v end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=wvu^{2}+a\varepsilon v-v^{2}," class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E1.2.m2.1"><semantics id="S2.E1.2.m2.1a"><mrow id="S2.E1.2.m2.1.1.1" xref="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E1.2.m2.1.1.1.1" xref="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.2" xref="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3" xref="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">w</mi><mo id="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">v</mi><mo id="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.2.1a" xref="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.2.4" xref="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.2.4.cmml"><mi id="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.2.4.2" xref="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.cmml">u</mi><mn id="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.2.4.3" xref="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.1" xref="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">a</mi><mo id="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">ε</mi><mo id="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.3.1a" xref="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.3.4" xref="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.3.4.cmml">v</mi></mrow></mrow><mo id="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><msup id="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">v</mi><mn id="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S2.E1.2.m2.1.1.1.2" xref="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E1.2.m2.1b"><apply id="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.2.m2.1.1.1"><eq id="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3"><minus id="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.1"></minus><apply id="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2"><plus id="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.1"></plus><apply id="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.2"><times id="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.2.1"></times><ci id="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑤</ci><ci id="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.2.3">𝑣</ci><apply id="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.2.4.cmml" xref="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.2.4.1.cmml" xref="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.cmml" xref="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.2.4.2">𝑢</ci><cn id="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.2.4.3">2</cn></apply></apply><apply id="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑎</ci><ci id="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.3.3">𝜀</ci><ci id="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.3.4.cmml" xref="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.2.3.4">𝑣</ci></apply></apply><apply id="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.3.2">𝑣</ci><cn id="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E1.2.m2.1.1.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E1.2.m2.1c">\displaystyle=wvu^{2}+a\varepsilon v-v^{2},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E1.2.m2.1d">= italic_w italic_v italic_u start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_a italic_ε italic_v - italic_v start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S2.E1.3"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(1c)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\dot{u}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E1.3.m1.1"><semantics id="S2.E1.3.m1.1a"><mover accent="true" id="S2.E1.3.m1.1.1" xref="S2.E1.3.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.E1.3.m1.1.1.2" xref="S2.E1.3.m1.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="S2.E1.3.m1.1.1.1" xref="S2.E1.3.m1.1.1.1.cmml">˙</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E1.3.m1.1b"><apply id="S2.E1.3.m1.1.1.cmml" xref="S2.E1.3.m1.1.1"><ci id="S2.E1.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.3.m1.1.1.1">˙</ci><ci id="S2.E1.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.E1.3.m1.1.1.2">𝑢</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E1.3.m1.1c">\displaystyle\dot{u}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E1.3.m1.1d">over˙ start_ARG italic_u end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{wu^{2}}{1+Ku^{2}}+av-buv," class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E1.3.m2.1"><semantics id="S2.E1.3.m2.1a"><mrow id="S2.E1.3.m2.1.1.1" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.2" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.1" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mfrac id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2a" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mrow id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">w</mi><mo id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.1" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml">u</mi><mn id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mrow id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mn id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml"><mi id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2.cmml">K</mi><mo id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.1" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3.cmml"><mi id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3.2" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3.2.cmml">u</mi><mn id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3.3" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.1" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">a</mi><mo id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">v</mi></mrow></mrow><mo id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">b</mi><mo id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.3.1" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml">u</mi><mo id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.3.1a" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.3.4" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.3.4.cmml">v</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E1.3.m2.1.1.1.2" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" 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xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2">𝑢</ci><cn id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3"><plus id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.1"></plus><cn id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.2">1</cn><apply id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3"><times id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.1.cmml" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.1"></times><ci id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2.cmml" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2">𝐾</ci><apply id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3.cmml" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3.1.cmml" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3.2.cmml" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3.2">𝑢</ci><cn id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑎</ci><ci id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑣</ci></apply></apply><apply id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.3"><times id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.3.2">𝑏</ci><ci id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.3.3">𝑢</ci><ci id="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.3.4.cmml" xref="S2.E1.3.m2.1.1.1.1.3.3.4">𝑣</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E1.3.m2.1c">\displaystyle=\frac{wu^{2}}{1+Ku^{2}}+av-buv,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E1.3.m2.1d">= divide start_ARG italic_w italic_u start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 1 + italic_K italic_u start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG + italic_a italic_v - italic_b italic_u italic_v ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.p3.3">where <math alttext="w" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.1.m1.1"><semantics id="S2.p3.1.m1.1a"><mi id="S2.p3.1.m1.1.1" xref="S2.p3.1.m1.1.1.cmml">w</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.1.m1.1b"><ci id="S2.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.p3.1.m1.1.1">𝑤</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.1.m1.1c">w</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.1.m1.1d">italic_w</annotation></semantics></math>, <math alttext="v" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.2.m2.1"><semantics id="S2.p3.2.m2.1a"><mi id="S2.p3.2.m2.1.1" xref="S2.p3.2.m2.1.1.cmml">v</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.2.m2.1b"><ci id="S2.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.p3.2.m2.1.1">𝑣</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.2.m2.1c">v</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.2.m2.1d">italic_v</annotation></semantics></math>, and <math alttext="u" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.3.m3.1"><semantics id="S2.p3.3.m3.1a"><mi id="S2.p3.3.m3.1.1" xref="S2.p3.3.m3.1.1.cmml">u</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.3.m3.1b"><ci id="S2.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.p3.3.m3.1.1">𝑢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.3.m3.1c">u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.3.m3.1d">italic_u</annotation></semantics></math> represent the concentrations of autoinducers, static bacteria, and motile bacteria subpopulations, respectively. The parameters are defined as follows: <span class="ltx_inline-enumerate" id="S2.I1"> <span class="ltx_inline-item" id="S2.I1.i1"><span class="ltx_tag ltx_tag_inline-item">(i)</span> <math alttext="K" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i1.m1.1"><semantics id="S2.I1.i1.m1.1a"><mi id="S2.I1.i1.m1.1.1" xref="S2.I1.i1.m1.1.1.cmml">K</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i1.m1.1b"><ci id="S2.I1.i1.m1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i1.m1.1.1">𝐾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i1.m1.1c">K</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i1.m1.1d">italic_K</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S2.I1.i1.1">is the saturation parameter, modulating the regulatory effects of autoinducer concentrations, </span></span> <span class="ltx_inline-item" id="S2.I1.i2"><span class="ltx_tag ltx_tag_inline-item">(ii)</span> <math alttext="a" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i2.m1.1"><semantics id="S2.I1.i2.m1.1a"><mi id="S2.I1.i2.m1.1.1" xref="S2.I1.i2.m1.1.1.cmml">a</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i2.m1.1b"><ci id="S2.I1.i2.m1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i2.m1.1.1">𝑎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i2.m1.1c">a</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i2.m1.1d">italic_a</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S2.I1.i2.1">and <math alttext="\varepsilon a" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i2.1.m1.1"><semantics id="S2.I1.i2.1.m1.1a"><mrow id="S2.I1.i2.1.m1.1.1" xref="S2.I1.i2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.I1.i2.1.m1.1.1.2" xref="S2.I1.i2.1.m1.1.1.2.cmml">ε</mi><mo id="S2.I1.i2.1.m1.1.1.1" xref="S2.I1.i2.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.I1.i2.1.m1.1.1.3" xref="S2.I1.i2.1.m1.1.1.3.cmml">a</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i2.1.m1.1b"><apply id="S2.I1.i2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i2.1.m1.1.1"><times id="S2.I1.i2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i2.1.m1.1.1.1"></times><ci id="S2.I1.i2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i2.1.m1.1.1.2">𝜀</ci><ci id="S2.I1.i2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.I1.i2.1.m1.1.1.3">𝑎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i2.1.m1.1c">\varepsilon a</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i2.1.m1.1d">italic_ε italic_a</annotation></semantics></math> denote the production rates of autoinducers and the bacterial population, respectively, </span></span> <span class="ltx_inline-item" id="S2.I1.i3"><span class="ltx_tag ltx_tag_inline-item">(iii)</span> <math alttext="b" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i3.m1.1"><semantics id="S2.I1.i3.m1.1a"><mi id="S2.I1.i3.m1.1.1" xref="S2.I1.i3.m1.1.1.cmml">b</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i3.m1.1b"><ci id="S2.I1.i3.m1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i3.m1.1.1">𝑏</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i3.m1.1c">b</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i3.m1.1d">italic_b</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S2.I1.i3.1">is the decay rate of the bacterial population, and </span></span> <span class="ltx_inline-item" id="S2.I1.i4"><span class="ltx_tag ltx_tag_inline-item">(iv)</span> <math alttext="c" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i4.m1.1"><semantics id="S2.I1.i4.m1.1a"><mi id="S2.I1.i4.m1.1.1" xref="S2.I1.i4.m1.1.1.cmml">c</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i4.m1.1b"><ci id="S2.I1.i4.m1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i4.m1.1.1">𝑐</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i4.m1.1c">c</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i4.m1.1d">italic_c</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S2.I1.i4.1">and <math alttext="d" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i4.1.m1.1"><semantics id="S2.I1.i4.1.m1.1a"><mi id="S2.I1.i4.1.m1.1.1" xref="S2.I1.i4.1.m1.1.1.cmml">d</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i4.1.m1.1b"><ci id="S2.I1.i4.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i4.1.m1.1.1">𝑑</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i4.1.m1.1c">d</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i4.1.m1.1d">italic_d</annotation></semantics></math> describe the decay and production rates of autoinducers. </span></span> </span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p4"> <p class="ltx_p" id="S2.p4.1">The system in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S2.E1" title="Equation 1 ‣ 2 Nonlinear time delayed Quorum Sensing system ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>) encompasses the dynamic interplay between motile and static bacteria populations, governed by their interactions with autoinducers. Specifically: <span class="ltx_inline-enumerate" id="S2.I2"> <span class="ltx_inline-item" id="S2.I2.i1"><span class="ltx_tag ltx_tag_inline-item">(i)</span> <span class="ltx_text" id="S2.I2.i1.1">the rate of change of the autoinducer concentration depends on the production and decay rates driven by interactions between motile and static bacteria; </span></span> <span class="ltx_inline-item" id="S2.I2.i2"><span class="ltx_tag ltx_tag_inline-item">(ii)</span> <span class="ltx_text" id="S2.I2.i2.1">the static bacteria concentration evolves according to its interactions with autoinducers and its own production-decay dynamics; </span></span> <span class="ltx_inline-item" id="S2.I2.i3"><span class="ltx_tag ltx_tag_inline-item">(iii)</span> <span class="ltx_text" id="S2.I2.i3.1">the motile bacteria concentration is influenced by its interactions with autoinducers and static bacteria, along with intrinsic production and decay rates. </span></span> </span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p5"> <p class="ltx_p" id="S2.p5.1">This study advances a rigorous framework, predicated upon an activator-inhibitor paradigm, for the comprehensive analysis of QS regulatory mechanisms and localised interaction dynamics. By explicitly formulating the dependence of bacterial population dynamics on cell densities and autoinducer-mediated feedback loops, the framework captures the salient features of QS behaviour. Notably, the application of rescaling transformations enhances the model’s applicability, particularly in scenarios characterised by the absence of static bacterial populations.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p6"> <p class="ltx_p" id="S2.p6.1">Beyond its methodological contributions, this work provides novel insights into the nuanced dynamics of microbial communication within spatially constrained environments. The model elucidates the synergistic interplay between localised interactions and intrinsic regulatory mechanisms in shaping emergent bacterial population dynamics, offering critical perspectives on the complex, density-dependent behaviours characteristic of QS systems. These findings establish a robust theoretical foundation for the systematic investigation of QS dynamics across diverse environmental and biological contexts, facilitating advancements in fields such as microbial ecology, systems biology, and biomedical engineering. Specifically, the rescaling transformations further enhance the model’s applicability, particularly in cases where static bacteria may be absent.</p> </div> <figure class="ltx_table" id="S2.T1"> <table class="ltx_tabular ltx_centering ltx_align_middle" id="S2.T1.16"> <tbody class="ltx_tbody"> <tr class="ltx_tr" id="S2.T1.8.8"> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S2.T1.1.1.1"><math alttext="a" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.T1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.T1.1.1.1.m1.1a"><mi id="S2.T1.1.1.1.m1.1.1" xref="S2.T1.1.1.1.m1.1.1.cmml">a</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.T1.1.1.1.m1.1b"><ci id="S2.T1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.T1.1.1.1.m1.1.1">𝑎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.T1.1.1.1.m1.1c">a</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.T1.1.1.1.m1.1d">italic_a</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S2.T1.2.2.2"><math alttext="b" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.T1.2.2.2.m1.1"><semantics id="S2.T1.2.2.2.m1.1a"><mi id="S2.T1.2.2.2.m1.1.1" xref="S2.T1.2.2.2.m1.1.1.cmml">b</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.T1.2.2.2.m1.1b"><ci id="S2.T1.2.2.2.m1.1.1.cmml" xref="S2.T1.2.2.2.m1.1.1">𝑏</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.T1.2.2.2.m1.1c">b</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.T1.2.2.2.m1.1d">italic_b</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S2.T1.3.3.3"><math alttext="\varepsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.T1.3.3.3.m1.1"><semantics id="S2.T1.3.3.3.m1.1a"><mi id="S2.T1.3.3.3.m1.1.1" xref="S2.T1.3.3.3.m1.1.1.cmml">ε</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.T1.3.3.3.m1.1b"><ci id="S2.T1.3.3.3.m1.1.1.cmml" xref="S2.T1.3.3.3.m1.1.1">𝜀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.T1.3.3.3.m1.1c">\varepsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.T1.3.3.3.m1.1d">italic_ε</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S2.T1.4.4.4"><math alttext="c" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.T1.4.4.4.m1.1"><semantics id="S2.T1.4.4.4.m1.1a"><mi id="S2.T1.4.4.4.m1.1.1" xref="S2.T1.4.4.4.m1.1.1.cmml">c</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.T1.4.4.4.m1.1b"><ci id="S2.T1.4.4.4.m1.1.1.cmml" xref="S2.T1.4.4.4.m1.1.1">𝑐</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.T1.4.4.4.m1.1c">c</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.T1.4.4.4.m1.1d">italic_c</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S2.T1.5.5.5"><math alttext="d" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.T1.5.5.5.m1.1"><semantics id="S2.T1.5.5.5.m1.1a"><mi id="S2.T1.5.5.5.m1.1.1" xref="S2.T1.5.5.5.m1.1.1.cmml">d</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.T1.5.5.5.m1.1b"><ci id="S2.T1.5.5.5.m1.1.1.cmml" xref="S2.T1.5.5.5.m1.1.1">𝑑</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.T1.5.5.5.m1.1c">d</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.T1.5.5.5.m1.1d">italic_d</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S2.T1.6.6.6"><math alttext="K" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.T1.6.6.6.m1.1"><semantics id="S2.T1.6.6.6.m1.1a"><mi id="S2.T1.6.6.6.m1.1.1" xref="S2.T1.6.6.6.m1.1.1.cmml">K</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.T1.6.6.6.m1.1b"><ci id="S2.T1.6.6.6.m1.1.1.cmml" xref="S2.T1.6.6.6.m1.1.1">𝐾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.T1.6.6.6.m1.1c">K</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.T1.6.6.6.m1.1d">italic_K</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S2.T1.7.7.7"><math alttext="\tau_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.T1.7.7.7.m1.1"><semantics id="S2.T1.7.7.7.m1.1a"><msub id="S2.T1.7.7.7.m1.1.1" xref="S2.T1.7.7.7.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.T1.7.7.7.m1.1.1.2" xref="S2.T1.7.7.7.m1.1.1.2.cmml">τ</mi><mn id="S2.T1.7.7.7.m1.1.1.3" xref="S2.T1.7.7.7.m1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.T1.7.7.7.m1.1b"><apply id="S2.T1.7.7.7.m1.1.1.cmml" xref="S2.T1.7.7.7.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.T1.7.7.7.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.T1.7.7.7.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.T1.7.7.7.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.T1.7.7.7.m1.1.1.2">𝜏</ci><cn id="S2.T1.7.7.7.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.T1.7.7.7.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.T1.7.7.7.m1.1c">\tau_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.T1.7.7.7.m1.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S2.T1.8.8.8"><math alttext="\tau_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.T1.8.8.8.m1.1"><semantics id="S2.T1.8.8.8.m1.1a"><msub id="S2.T1.8.8.8.m1.1.1" xref="S2.T1.8.8.8.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.T1.8.8.8.m1.1.1.2" xref="S2.T1.8.8.8.m1.1.1.2.cmml">τ</mi><mn id="S2.T1.8.8.8.m1.1.1.3" xref="S2.T1.8.8.8.m1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.T1.8.8.8.m1.1b"><apply id="S2.T1.8.8.8.m1.1.1.cmml" xref="S2.T1.8.8.8.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.T1.8.8.8.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.T1.8.8.8.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.T1.8.8.8.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.T1.8.8.8.m1.1.1.2">𝜏</ci><cn id="S2.T1.8.8.8.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.T1.8.8.8.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.T1.8.8.8.m1.1c">\tau_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.T1.8.8.8.m1.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S2.T1.16.16"> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_b ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S2.T1.9.9.1"><math alttext="0.0428" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.T1.9.9.1.m1.1"><semantics id="S2.T1.9.9.1.m1.1a"><mn id="S2.T1.9.9.1.m1.1.1" xref="S2.T1.9.9.1.m1.1.1.cmml">0.0428</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.T1.9.9.1.m1.1b"><cn id="S2.T1.9.9.1.m1.1.1.cmml" type="float" xref="S2.T1.9.9.1.m1.1.1">0.0428</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.T1.9.9.1.m1.1c">0.0428</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.T1.9.9.1.m1.1d">0.0428</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_b ltx_border_r ltx_border_t" id="S2.T1.10.10.2"><math alttext="[1.2,1.5]" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.T1.10.10.2.m1.2"><semantics id="S2.T1.10.10.2.m1.2a"><mrow id="S2.T1.10.10.2.m1.2.3.2" xref="S2.T1.10.10.2.m1.2.3.1.cmml"><mo id="S2.T1.10.10.2.m1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.T1.10.10.2.m1.2.3.1.cmml">[</mo><mn id="S2.T1.10.10.2.m1.1.1" xref="S2.T1.10.10.2.m1.1.1.cmml">1.2</mn><mo id="S2.T1.10.10.2.m1.2.3.2.2" xref="S2.T1.10.10.2.m1.2.3.1.cmml">,</mo><mn id="S2.T1.10.10.2.m1.2.2" xref="S2.T1.10.10.2.m1.2.2.cmml">1.5</mn><mo id="S2.T1.10.10.2.m1.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.T1.10.10.2.m1.2.3.1.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.T1.10.10.2.m1.2b"><interval closure="closed" id="S2.T1.10.10.2.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.T1.10.10.2.m1.2.3.2"><cn id="S2.T1.10.10.2.m1.1.1.cmml" type="float" xref="S2.T1.10.10.2.m1.1.1">1.2</cn><cn id="S2.T1.10.10.2.m1.2.2.cmml" type="float" xref="S2.T1.10.10.2.m1.2.2">1.5</cn></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.T1.10.10.2.m1.2c">[1.2,1.5]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.T1.10.10.2.m1.2d">[ 1.2 , 1.5 ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_b ltx_border_r ltx_border_t" id="S2.T1.11.11.3"><math alttext="0.1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.T1.11.11.3.m1.1"><semantics id="S2.T1.11.11.3.m1.1a"><mn id="S2.T1.11.11.3.m1.1.1" xref="S2.T1.11.11.3.m1.1.1.cmml">0.1</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.T1.11.11.3.m1.1b"><cn id="S2.T1.11.11.3.m1.1.1.cmml" type="float" xref="S2.T1.11.11.3.m1.1.1">0.1</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.T1.11.11.3.m1.1c">0.1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.T1.11.11.3.m1.1d">0.1</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_b ltx_border_r ltx_border_t" id="S2.T1.12.12.4"><math alttext="0.16" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.T1.12.12.4.m1.1"><semantics id="S2.T1.12.12.4.m1.1a"><mn id="S2.T1.12.12.4.m1.1.1" xref="S2.T1.12.12.4.m1.1.1.cmml">0.16</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.T1.12.12.4.m1.1b"><cn id="S2.T1.12.12.4.m1.1.1.cmml" type="float" xref="S2.T1.12.12.4.m1.1.1">0.16</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.T1.12.12.4.m1.1c">0.16</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.T1.12.12.4.m1.1d">0.16</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_b ltx_border_r ltx_border_t" id="S2.T1.13.13.5"><math alttext="0.0522" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.T1.13.13.5.m1.1"><semantics id="S2.T1.13.13.5.m1.1a"><mn id="S2.T1.13.13.5.m1.1.1" xref="S2.T1.13.13.5.m1.1.1.cmml">0.0522</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.T1.13.13.5.m1.1b"><cn id="S2.T1.13.13.5.m1.1.1.cmml" type="float" xref="S2.T1.13.13.5.m1.1.1">0.0522</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.T1.13.13.5.m1.1c">0.0522</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.T1.13.13.5.m1.1d">0.0522</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_b ltx_border_r ltx_border_t" id="S2.T1.14.14.6"><math alttext="0.0435" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.T1.14.14.6.m1.1"><semantics id="S2.T1.14.14.6.m1.1a"><mn id="S2.T1.14.14.6.m1.1.1" xref="S2.T1.14.14.6.m1.1.1.cmml">0.0435</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.T1.14.14.6.m1.1b"><cn id="S2.T1.14.14.6.m1.1.1.cmml" type="float" xref="S2.T1.14.14.6.m1.1.1">0.0435</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.T1.14.14.6.m1.1c">0.0435</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.T1.14.14.6.m1.1d">0.0435</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_b ltx_border_r ltx_border_t" id="S2.T1.15.15.7"><math alttext="[0,500]" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.T1.15.15.7.m1.2"><semantics id="S2.T1.15.15.7.m1.2a"><mrow id="S2.T1.15.15.7.m1.2.3.2" xref="S2.T1.15.15.7.m1.2.3.1.cmml"><mo id="S2.T1.15.15.7.m1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.T1.15.15.7.m1.2.3.1.cmml">[</mo><mn id="S2.T1.15.15.7.m1.1.1" xref="S2.T1.15.15.7.m1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S2.T1.15.15.7.m1.2.3.2.2" xref="S2.T1.15.15.7.m1.2.3.1.cmml">,</mo><mn id="S2.T1.15.15.7.m1.2.2" xref="S2.T1.15.15.7.m1.2.2.cmml">500</mn><mo id="S2.T1.15.15.7.m1.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.T1.15.15.7.m1.2.3.1.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.T1.15.15.7.m1.2b"><interval closure="closed" id="S2.T1.15.15.7.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.T1.15.15.7.m1.2.3.2"><cn id="S2.T1.15.15.7.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.T1.15.15.7.m1.1.1">0</cn><cn id="S2.T1.15.15.7.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.T1.15.15.7.m1.2.2">500</cn></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.T1.15.15.7.m1.2c">[0,500]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.T1.15.15.7.m1.2d">[ 0 , 500 ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_b ltx_border_r ltx_border_t" id="S2.T1.16.16.8"><math alttext="[0,500]" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.T1.16.16.8.m1.2"><semantics id="S2.T1.16.16.8.m1.2a"><mrow id="S2.T1.16.16.8.m1.2.3.2" xref="S2.T1.16.16.8.m1.2.3.1.cmml"><mo id="S2.T1.16.16.8.m1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.T1.16.16.8.m1.2.3.1.cmml">[</mo><mn id="S2.T1.16.16.8.m1.1.1" xref="S2.T1.16.16.8.m1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S2.T1.16.16.8.m1.2.3.2.2" xref="S2.T1.16.16.8.m1.2.3.1.cmml">,</mo><mn id="S2.T1.16.16.8.m1.2.2" xref="S2.T1.16.16.8.m1.2.2.cmml">500</mn><mo id="S2.T1.16.16.8.m1.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.T1.16.16.8.m1.2.3.1.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.T1.16.16.8.m1.2b"><interval closure="closed" id="S2.T1.16.16.8.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.T1.16.16.8.m1.2.3.2"><cn id="S2.T1.16.16.8.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.T1.16.16.8.m1.1.1">0</cn><cn id="S2.T1.16.16.8.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.T1.16.16.8.m1.2.2">500</cn></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.T1.16.16.8.m1.2c">[0,500]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.T1.16.16.8.m1.2d">[ 0 , 500 ]</annotation></semantics></math></td> </tr> </tbody> </table> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_table">Table 1: </span>Parameter values set.</figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S2.p7"> <p class="ltx_p" id="S2.p7.1">As the bacterial response to stimuli communicated by autoinducers is not necessarily instantaneous, it is reasonable to hypothesise that this response may depend on intrinsic receptor properties within each sub-population or on bacterial activities carried out at earlier times.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p8"> <p class="ltx_p" id="S2.p8.4">To account for these temporal effects, the original system (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S2.E1" title="Equation 1 ‣ 2 Nonlinear time delayed Quorum Sensing system ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>) is extended by incorporating delayed autoinducer concentrations into the growth rates. Specifically, let <math alttext="w_{1}=w(t-\tau_{1})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p8.1.m1.1"><semantics id="S2.p8.1.m1.1a"><mrow id="S2.p8.1.m1.1.1" xref="S2.p8.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S2.p8.1.m1.1.1.3" xref="S2.p8.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.p8.1.m1.1.1.3.2" xref="S2.p8.1.m1.1.1.3.2.cmml">w</mi><mn id="S2.p8.1.m1.1.1.3.3" xref="S2.p8.1.m1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.p8.1.m1.1.1.2" xref="S2.p8.1.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.p8.1.m1.1.1.1" xref="S2.p8.1.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p8.1.m1.1.1.1.3" xref="S2.p8.1.m1.1.1.1.3.cmml">w</mi><mo id="S2.p8.1.m1.1.1.1.2" xref="S2.p8.1.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p8.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.p8.1.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S2.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S2.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">τ</mi><mn id="S2.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S2.p8.1.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p8.1.m1.1b"><apply id="S2.p8.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.p8.1.m1.1.1"><eq id="S2.p8.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.p8.1.m1.1.1.2"></eq><apply id="S2.p8.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.p8.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p8.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p8.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.p8.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p8.1.m1.1.1.3.2">𝑤</ci><cn id="S2.p8.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.p8.1.m1.1.1.3.3">1</cn></apply><apply id="S2.p8.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.p8.1.m1.1.1.1"><times id="S2.p8.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p8.1.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S2.p8.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p8.1.m1.1.1.1.3">𝑤</ci><apply id="S2.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p8.1.m1.1.1.1.1.1"><minus id="S2.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S2.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><apply id="S2.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜏</ci><cn id="S2.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p8.1.m1.1c">w_{1}=w(t-\tau_{1})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p8.1.m1.1d">italic_w start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = italic_w ( italic_t - italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> and <math alttext="w_{2}=w(t-\tau_{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p8.2.m2.1"><semantics id="S2.p8.2.m2.1a"><mrow id="S2.p8.2.m2.1.1" xref="S2.p8.2.m2.1.1.cmml"><msub id="S2.p8.2.m2.1.1.3" xref="S2.p8.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S2.p8.2.m2.1.1.3.2" xref="S2.p8.2.m2.1.1.3.2.cmml">w</mi><mn id="S2.p8.2.m2.1.1.3.3" xref="S2.p8.2.m2.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S2.p8.2.m2.1.1.2" xref="S2.p8.2.m2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.p8.2.m2.1.1.1" xref="S2.p8.2.m2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p8.2.m2.1.1.1.3" xref="S2.p8.2.m2.1.1.1.3.cmml">w</mi><mo id="S2.p8.2.m2.1.1.1.2" xref="S2.p8.2.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p8.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S2.p8.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.p8.2.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p8.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.p8.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.p8.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p8.2.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.p8.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S2.p8.2.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.p8.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S2.p8.2.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.p8.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.p8.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.p8.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">τ</mi><mn id="S2.p8.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.p8.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S2.p8.2.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.p8.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p8.2.m2.1b"><apply id="S2.p8.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.p8.2.m2.1.1"><eq id="S2.p8.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.p8.2.m2.1.1.2"></eq><apply id="S2.p8.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.p8.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p8.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p8.2.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.p8.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p8.2.m2.1.1.3.2">𝑤</ci><cn id="S2.p8.2.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.p8.2.m2.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S2.p8.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.p8.2.m2.1.1.1"><times id="S2.p8.2.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p8.2.m2.1.1.1.2"></times><ci id="S2.p8.2.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p8.2.m2.1.1.1.3">𝑤</ci><apply id="S2.p8.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p8.2.m2.1.1.1.1.1"><minus id="S2.p8.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p8.2.m2.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S2.p8.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p8.2.m2.1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><apply id="S2.p8.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p8.2.m2.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p8.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p8.2.m2.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.p8.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p8.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜏</ci><cn id="S2.p8.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.p8.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p8.2.m2.1c">w_{2}=w(t-\tau_{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p8.2.m2.1d">italic_w start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = italic_w ( italic_t - italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, where <math alttext="\tau_{1}>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p8.3.m3.1"><semantics id="S2.p8.3.m3.1a"><mrow id="S2.p8.3.m3.1.1" xref="S2.p8.3.m3.1.1.cmml"><msub id="S2.p8.3.m3.1.1.2" xref="S2.p8.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S2.p8.3.m3.1.1.2.2" xref="S2.p8.3.m3.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S2.p8.3.m3.1.1.2.3" xref="S2.p8.3.m3.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.p8.3.m3.1.1.1" xref="S2.p8.3.m3.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S2.p8.3.m3.1.1.3" xref="S2.p8.3.m3.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p8.3.m3.1b"><apply id="S2.p8.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.p8.3.m3.1.1"><gt id="S2.p8.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.p8.3.m3.1.1.1"></gt><apply id="S2.p8.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.p8.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p8.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p8.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p8.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.p8.3.m3.1.1.2.2">𝜏</ci><cn id="S2.p8.3.m3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.p8.3.m3.1.1.2.3">1</cn></apply><cn id="S2.p8.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.p8.3.m3.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p8.3.m3.1c">\tau_{1}>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p8.3.m3.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT > 0</annotation></semantics></math> and <math alttext="\tau_{2}>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p8.4.m4.1"><semantics id="S2.p8.4.m4.1a"><mrow id="S2.p8.4.m4.1.1" xref="S2.p8.4.m4.1.1.cmml"><msub id="S2.p8.4.m4.1.1.2" xref="S2.p8.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S2.p8.4.m4.1.1.2.2" xref="S2.p8.4.m4.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S2.p8.4.m4.1.1.2.3" xref="S2.p8.4.m4.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S2.p8.4.m4.1.1.1" xref="S2.p8.4.m4.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S2.p8.4.m4.1.1.3" xref="S2.p8.4.m4.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p8.4.m4.1b"><apply id="S2.p8.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.p8.4.m4.1.1"><gt id="S2.p8.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.p8.4.m4.1.1.1"></gt><apply id="S2.p8.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.p8.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p8.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p8.4.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p8.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S2.p8.4.m4.1.1.2.2">𝜏</ci><cn id="S2.p8.4.m4.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.p8.4.m4.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="S2.p8.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.p8.4.m4.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p8.4.m4.1c">\tau_{2}>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p8.4.m4.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT > 0</annotation></semantics></math> represent the delay times associated with the non-instantaneous responses of motile and static bacteria, respectively. The modified QS system is then given by:</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p9"> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S2.E2"> <tbody> <tr class="ltx_eqn_row" id="Sx1.EGx2"><td class="ltx_eqn_cell" colspan="5"></td></tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S2.E2.1"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(2a)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\dot{w}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E2.1.m1.1"><semantics id="S2.E2.1.m1.1a"><mover accent="true" id="S2.E2.1.m1.1.1" xref="S2.E2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.E2.1.m1.1.1.2" xref="S2.E2.1.m1.1.1.2.cmml">w</mi><mo id="S2.E2.1.m1.1.1.1" xref="S2.E2.1.m1.1.1.1.cmml">˙</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E2.1.m1.1b"><apply id="S2.E2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.E2.1.m1.1.1"><ci id="S2.E2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.1.m1.1.1.1">˙</ci><ci id="S2.E2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.1.m1.1.1.2">𝑤</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E2.1.m1.1c">\displaystyle\dot{w}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E2.1.m1.1d">over˙ start_ARG italic_w end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=dv(u+v)-cwv," class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E2.1.m2.1"><semantics id="S2.E2.1.m2.1a"><mrow id="S2.E2.1.m2.1.1.1" xref="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E2.1.m2.1.1.1.1" xref="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.3" xref="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.2" xref="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1" xref="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">d</mi><mo id="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.1.4" xref="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.1.4.cmml">v</mi><mo id="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">v</mi></mrow><mo id="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">c</mi><mo id="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">w</mi><mo id="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.3.4" xref="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.3.4.cmml">v</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E2.1.m2.1.1.1.2" xref="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E2.1.m2.1b"><apply id="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.1.m2.1.1.1"><eq id="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1"><minus id="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.2"></minus><apply id="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.1.3">𝑑</ci><ci id="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.1.4">𝑣</ci><apply id="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑢</ci><ci id="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑣</ci></apply></apply><apply id="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.3.2">𝑐</ci><ci id="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" 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id="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.3.2.2.4.3" xref="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.3.2.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.3.2.1" xref="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">a</mi><mo id="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">ε</mi><mo id="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.3.2.3.1a" xref="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.3.2.3.4" xref="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.3.2.3.4.cmml">v</mi></mrow></mrow><mo id="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><msup id="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">v</mi><mn id="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S2.E2.2.m2.1.1.1.2" xref="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E2.2.m2.1b"><apply id="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.2.m2.1.1.1"><eq id="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.3"><minus id="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.3.1"></minus><apply id="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.3.2"><plus id="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.3.2.1"></plus><apply id="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.3.2.2"><times id="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.3.2.2.1"></times><apply id="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" 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id="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.3.2.3.3">𝜀</ci><ci id="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.3.2.3.4.cmml" xref="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.3.2.3.4">𝑣</ci></apply></apply><apply id="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.3.3.2">𝑣</ci><cn id="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E2.2.m2.1c">\displaystyle=w_{1}vu^{2}+a\varepsilon v-v^{2},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E2.2.m2.1d">= italic_w start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_v italic_u start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_a italic_ε italic_v - italic_v start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S2.E2.3"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(2c)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\dot{u}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E2.3.m1.1"><semantics id="S2.E2.3.m1.1a"><mover accent="true" id="S2.E2.3.m1.1.1" xref="S2.E2.3.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.E2.3.m1.1.1.2" xref="S2.E2.3.m1.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="S2.E2.3.m1.1.1.1" xref="S2.E2.3.m1.1.1.1.cmml">˙</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E2.3.m1.1b"><apply id="S2.E2.3.m1.1.1.cmml" xref="S2.E2.3.m1.1.1"><ci id="S2.E2.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.3.m1.1.1.1">˙</ci><ci id="S2.E2.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.3.m1.1.1.2">𝑢</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E2.3.m1.1c">\displaystyle\dot{u}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E2.3.m1.1d">over˙ start_ARG italic_u end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{w_{2}u^{2}}{1+Ku^{2}}+av-buv," class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E2.3.m2.1"><semantics id="S2.E2.3.m2.1a"><mrow id="S2.E2.3.m2.1.1.1" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.2" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.1" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mfrac id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2a" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mrow id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml"><msub id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml">w</mi><mn id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.1" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml">u</mi><mn id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mrow id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mn id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml"><mi id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2.cmml">K</mi><mo id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.1" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3.cmml"><mi id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3.2" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3.2.cmml">u</mi><mn id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3.3" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.1" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">a</mi><mo id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">v</mi></mrow></mrow><mo id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">b</mi><mo id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.3.1" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml">u</mi><mo id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.3.1a" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.3.4" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.3.4.cmml">v</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E2.3.m2.1.1.1.2" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E2.3.m2.1b"><apply id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1"><eq id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3"><minus id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.1"></minus><apply id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2"><plus id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.1"></plus><apply id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2"><divide id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2"></divide><apply id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2"><times id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.1"></times><apply id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2">𝑤</ci><cn id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2">𝑢</ci><cn id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3"><plus id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.1"></plus><cn id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.2">1</cn><apply id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3"><times id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.1.cmml" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.1"></times><ci id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2.cmml" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2">𝐾</ci><apply id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3.cmml" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3.1.cmml" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3.2.cmml" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3.2">𝑢</ci><cn id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑎</ci><ci id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑣</ci></apply></apply><apply id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.3"><times id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.3.2">𝑏</ci><ci id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.3.3">𝑢</ci><ci id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.3.4.cmml" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.3.3.4">𝑣</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E2.3.m2.1c">\displaystyle=\frac{w_{2}u^{2}}{1+Ku^{2}}+av-buv,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E2.3.m2.1d">= divide start_ARG italic_w start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT italic_u start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 1 + italic_K italic_u start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG + italic_a italic_v - italic_b italic_u italic_v ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.p9.1">where the parameters retain their original definitions, as described earlier, and their distinguished values are as in Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S2.T1" title="Table 1 ‣ 2 Nonlinear time delayed Quorum Sensing system ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p10"> <p class="ltx_p" id="S2.p10.4">Notice that the inclusion of delays <math alttext="\tau_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p10.1.m1.1"><semantics id="S2.p10.1.m1.1a"><msub id="S2.p10.1.m1.1.1" xref="S2.p10.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.p10.1.m1.1.1.2" xref="S2.p10.1.m1.1.1.2.cmml">τ</mi><mn id="S2.p10.1.m1.1.1.3" xref="S2.p10.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p10.1.m1.1b"><apply id="S2.p10.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.p10.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p10.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.p10.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p10.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.p10.1.m1.1.1.2">𝜏</ci><cn id="S2.p10.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.p10.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p10.1.m1.1c">\tau_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p10.1.m1.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\tau_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p10.2.m2.1"><semantics id="S2.p10.2.m2.1a"><msub id="S2.p10.2.m2.1.1" xref="S2.p10.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.p10.2.m2.1.1.2" xref="S2.p10.2.m2.1.1.2.cmml">τ</mi><mn id="S2.p10.2.m2.1.1.3" xref="S2.p10.2.m2.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p10.2.m2.1b"><apply id="S2.p10.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.p10.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p10.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.p10.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p10.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.p10.2.m2.1.1.2">𝜏</ci><cn id="S2.p10.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.p10.2.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p10.2.m2.1c">\tau_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p10.2.m2.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> introduces additional complexity to the system dynamics, as these delays reflect the temporal lag between autoinducer production and its regulatory effects on bacterial populations. The delayed terms <math alttext="w_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p10.3.m3.1"><semantics id="S2.p10.3.m3.1a"><msub id="S2.p10.3.m3.1.1" xref="S2.p10.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.p10.3.m3.1.1.2" xref="S2.p10.3.m3.1.1.2.cmml">w</mi><mn id="S2.p10.3.m3.1.1.3" xref="S2.p10.3.m3.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p10.3.m3.1b"><apply id="S2.p10.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.p10.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p10.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.p10.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p10.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.p10.3.m3.1.1.2">𝑤</ci><cn id="S2.p10.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.p10.3.m3.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p10.3.m3.1c">w_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p10.3.m3.1d">italic_w start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="w_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p10.4.m4.1"><semantics id="S2.p10.4.m4.1a"><msub id="S2.p10.4.m4.1.1" xref="S2.p10.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S2.p10.4.m4.1.1.2" xref="S2.p10.4.m4.1.1.2.cmml">w</mi><mn id="S2.p10.4.m4.1.1.3" xref="S2.p10.4.m4.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p10.4.m4.1b"><apply id="S2.p10.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.p10.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p10.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.p10.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p10.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.p10.4.m4.1.1.2">𝑤</ci><cn id="S2.p10.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.p10.4.m4.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p10.4.m4.1c">w_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p10.4.m4.1d">italic_w start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> capture the influence of past autoinducer concentrations on the current growth rates of static and motile bacteria, respectively. Our analysis focuses on examining the dynamic impact of these delays, particularly how they influence stability and potential bifurcation phenomena.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S3"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">3 </span>Steady-states and local stability.</h2> <div class="ltx_para" id="S3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.p1.1">To initiate our analysis, we first establish the existence and positivity of steady-states under the parameter values specified in Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S2.T1" title="Table 1 ‣ 2 Nonlinear time delayed Quorum Sensing system ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>. Subsequently, we proceed to examine the local stability properties of these steady-states to gain insights into the system’s dynamic behaviour.</p> </div> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">3.1 </span>Positive steady-states.</h3> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p1.2">Biologically meaningful steady-states of system (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S2.E2" title="Equation 2 ‣ 2 Nonlinear time delayed Quorum Sensing system ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>) correspond to constant solutions that lie within the first octant. These steady-states can be determined by solving the following algebraic system:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S3.E3"> <tbody> <tr class="ltx_eqn_row" id="Sx1.EGx3"><td class="ltx_eqn_cell" colspan="4"></td></tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E3.1"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(3a)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left[(u+v)d-cw\right]v=0\,," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E3.1.m1.1"><semantics id="S3.E3.1.m1.1a"><mrow id="S3.E3.1.m1.1.1.1" xref="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E3.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">v</mi></mrow><mo id="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">d</mi></mrow><mo id="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">c</mi><mo id="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">w</mi></mrow></mrow><mo id="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">v</mi></mrow><mo id="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S3.E3.1.m1.1.1.1.2" lspace="0.170em" xref="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E3.1.m1.1b"><apply id="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E3.1.m1.1.1.1"><eq id="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></minus><apply id="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑢</ci><ci id="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑣</ci></apply><ci id="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑑</ci></apply><apply id="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑐</ci><ci id="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑤</ci></apply></apply></apply><ci id="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.1.3">𝑣</ci></apply><cn id="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E3.1.m1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E3.1.m1.1c">\displaystyle\left[(u+v)d-cw\right]v=0\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E3.1.m1.1d">[ ( italic_u + italic_v ) italic_d - italic_c italic_w ] italic_v = 0 ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E3.2"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(3b)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left(wu^{2}+a\varepsilon-v\right)v=0\,," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E3.2.m1.1"><semantics id="S3.E3.2.m1.1a"><mrow id="S3.E3.2.m1.1.1.1" xref="S3.E3.2.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E3.2.m1.1.1.1.1" 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id="S3.E3.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E3.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E3.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E3.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E3.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E3.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">a</mi><mo id="S3.E3.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S3.E3.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E3.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.E3.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">ε</mi></mrow></mrow><mo id="S3.E3.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E3.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S3.E3.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E3.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">v</mi></mrow><mo id="S3.E3.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E3.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E3.2.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E3.2.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E3.2.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E3.2.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">v</mi></mrow><mo id="S3.E3.2.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E3.2.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="S3.E3.2.m1.1.1.1.1.3" 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wu^{2}+\left(a-bu\right)\left(1+Ku^{2}\right)v=0\,," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E3.3.m1.1"><semantics id="S3.E3.3.m1.1a"><mrow id="S3.E3.3.m1.1.1.1" xref="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E3.3.m1.1.1.1.1" xref="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2.4" xref="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">w</mi><mo id="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2.4.1" xref="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2.4.3.cmml"><mi id="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2.4.3.2" xref="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2.4.3.2.cmml">u</mi><mn id="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2.4.3.3" xref="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2.4.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" 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xref="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2.4.2">𝑤</ci><apply id="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2.4.3.1.cmml" xref="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2.4.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2.4.3.2.cmml" xref="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2.4.3.2">𝑢</ci><cn id="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2.4.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2.2"><times id="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2.2.3"></times><apply id="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑎</ci><apply id="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑏</ci><ci id="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑢</ci></apply></apply><apply id="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2.2.2.1"><plus id="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1"></plus><cn id="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2">1</cn><apply id="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3"><times id="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2">𝐾</ci><apply id="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3.2">𝑢</ci><cn id="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply><ci id="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2.2.4.cmml" xref="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.2.2.4">𝑣</ci></apply></apply><cn id="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.4.cmml" type="integer" xref="S3.E3.3.m1.1.1.1.1.4">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E3.3.m1.1c">\displaystyle wu^{2}+\left(a-bu\right)\left(1+Ku^{2}\right)v=0\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E3.3.m1.1d">italic_w italic_u start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + ( italic_a - italic_b italic_u ) ( 1 + italic_K italic_u start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_v = 0 ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p1.1">where <math alttext="w_{1}=w_{2}=w" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.2" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml">w</mi><mn id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.3" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml">=</mo><msub id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.4" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.4.2" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.4.2.cmml">w</mi><mn id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.4.3" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.4.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.5" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.5.cmml">=</mo><mi id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.6" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.6.cmml">w</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1"><and id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1a.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1"></and><apply id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1b.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1"><eq id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3"></eq><apply id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.2">𝑤</ci><cn id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.4.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.4.2">𝑤</ci><cn id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.4.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1"><eq id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.5.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.SS1.p1.1.m1.1.1.4.cmml" id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1"></share><ci id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.6.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.6">𝑤</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.1.m1.1c">w_{1}=w_{2}=w</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.1.m1.1d">italic_w start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = italic_w start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = italic_w</annotation></semantics></math>, since steady-states are temporally invariant.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p2.2">The null steady-state <math alttext="(w,v,u)=(0,0,0)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.1.m1.6"><semantics id="S3.SS1.p2.1.m1.6a"><mrow id="S3.SS1.p2.1.m1.6.7" xref="S3.SS1.p2.1.m1.6.7.cmml"><mrow id="S3.SS1.p2.1.m1.6.7.2.2" xref="S3.SS1.p2.1.m1.6.7.2.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p2.1.m1.6.7.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.1.m1.6.7.2.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml">w</mi><mo id="S3.SS1.p2.1.m1.6.7.2.2.2" xref="S3.SS1.p2.1.m1.6.7.2.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS1.p2.1.m1.2.2" xref="S3.SS1.p2.1.m1.2.2.cmml">v</mi><mo id="S3.SS1.p2.1.m1.6.7.2.2.3" xref="S3.SS1.p2.1.m1.6.7.2.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS1.p2.1.m1.3.3" xref="S3.SS1.p2.1.m1.3.3.cmml">u</mi><mo id="S3.SS1.p2.1.m1.6.7.2.2.4" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.1.m1.6.7.2.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.SS1.p2.1.m1.6.7.1" xref="S3.SS1.p2.1.m1.6.7.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS1.p2.1.m1.6.7.3.2" xref="S3.SS1.p2.1.m1.6.7.3.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p2.1.m1.6.7.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.1.m1.6.7.3.1.cmml">(</mo><mn id="S3.SS1.p2.1.m1.4.4" xref="S3.SS1.p2.1.m1.4.4.cmml">0</mn><mo id="S3.SS1.p2.1.m1.6.7.3.2.2" xref="S3.SS1.p2.1.m1.6.7.3.1.cmml">,</mo><mn id="S3.SS1.p2.1.m1.5.5" xref="S3.SS1.p2.1.m1.5.5.cmml">0</mn><mo id="S3.SS1.p2.1.m1.6.7.3.2.3" xref="S3.SS1.p2.1.m1.6.7.3.1.cmml">,</mo><mn id="S3.SS1.p2.1.m1.6.6" xref="S3.SS1.p2.1.m1.6.6.cmml">0</mn><mo id="S3.SS1.p2.1.m1.6.7.3.2.4" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.1.m1.6.7.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.1.m1.6b"><apply id="S3.SS1.p2.1.m1.6.7.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.6.7"><eq id="S3.SS1.p2.1.m1.6.7.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.6.7.1"></eq><vector id="S3.SS1.p2.1.m1.6.7.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.6.7.2.2"><ci id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1">𝑤</ci><ci id="S3.SS1.p2.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.2.2">𝑣</ci><ci id="S3.SS1.p2.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.3.3">𝑢</ci></vector><vector id="S3.SS1.p2.1.m1.6.7.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.6.7.3.2"><cn id="S3.SS1.p2.1.m1.4.4.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p2.1.m1.4.4">0</cn><cn id="S3.SS1.p2.1.m1.5.5.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p2.1.m1.5.5">0</cn><cn id="S3.SS1.p2.1.m1.6.6.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p2.1.m1.6.6">0</cn></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.1.m1.6c">(w,v,u)=(0,0,0)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.1.m1.6d">( italic_w , italic_v , italic_u ) = ( 0 , 0 , 0 )</annotation></semantics></math> corresponds to the absence of bacterial populations and autoinducer concentration. For non-trivial steady-states, equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.E3.1" title="Equation 3a ‣ Equation 3 ‣ 3.1 Positive steady-states. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3a</span></a>) provides the following expression for <math alttext="w" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.2.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p2.2.m2.1a"><mi id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml">w</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.2.m2.1b"><ci id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1">𝑤</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.2.m2.1c">w</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.2.m2.1d">italic_w</annotation></semantics></math>:</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p3"> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S3.E4"> <tbody> <tr class="ltx_eqn_row" id="Sx1.EGx4"><td class="ltx_eqn_cell" colspan="4"></td></tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E4.1"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(4a)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle w=\frac{d(u+v)}{c}>0\,," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E4.1.m1.2"><semantics id="S3.E4.1.m1.2a"><mrow id="S3.E4.1.m1.2.2.1" xref="S3.E4.1.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E4.1.m1.2.2.1.1" xref="S3.E4.1.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.E4.1.m1.2.2.1.1.2" xref="S3.E4.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">w</mi><mo id="S3.E4.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.E4.1.m1.2.2.1.1.3.cmml">=</mo><mfrac id="S3.E4.1.m1.1.1" xref="S3.E4.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E4.1.m1.1.1.1" xref="S3.E4.1.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E4.1.m1.1.1.1.3" xref="S3.E4.1.m1.1.1.1.3.cmml">d</mi><mo id="S3.E4.1.m1.1.1.1.2" xref="S3.E4.1.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E4.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E4.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E4.1.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E4.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E4.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E4.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E4.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E4.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="S3.E4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S3.E4.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E4.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">v</mi></mrow><mo id="S3.E4.1.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E4.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mi id="S3.E4.1.m1.1.1.3" xref="S3.E4.1.m1.1.1.3.cmml">c</mi></mfrac><mo id="S3.E4.1.m1.2.2.1.1.4" xref="S3.E4.1.m1.2.2.1.1.4.cmml">></mo><mn id="S3.E4.1.m1.2.2.1.1.5" xref="S3.E4.1.m1.2.2.1.1.5.cmml">0</mn></mrow><mo id="S3.E4.1.m1.2.2.1.2" lspace="0.170em" xref="S3.E4.1.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E4.1.m1.2b"><apply id="S3.E4.1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E4.1.m1.2.2.1"><and id="S3.E4.1.m1.2.2.1.1a.cmml" xref="S3.E4.1.m1.2.2.1"></and><apply id="S3.E4.1.m1.2.2.1.1b.cmml" xref="S3.E4.1.m1.2.2.1"><eq id="S3.E4.1.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E4.1.m1.2.2.1.1.3"></eq><ci id="S3.E4.1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E4.1.m1.2.2.1.1.2">𝑤</ci><apply id="S3.E4.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.E4.1.m1.1.1"><divide id="S3.E4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.E4.1.m1.1.1"></divide><apply id="S3.E4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.1.m1.1.1.1"><times id="S3.E4.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E4.1.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E4.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E4.1.m1.1.1.1.3">𝑑</ci><apply id="S3.E4.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.1.m1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.E4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.E4.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E4.1.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑢</ci><ci id="S3.E4.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E4.1.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑣</ci></apply></apply><ci id="S3.E4.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.E4.1.m1.1.1.3">𝑐</ci></apply></apply><apply id="S3.E4.1.m1.2.2.1.1c.cmml" xref="S3.E4.1.m1.2.2.1"><gt id="S3.E4.1.m1.2.2.1.1.4.cmml" xref="S3.E4.1.m1.2.2.1.1.4"></gt><share href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.E4.1.m1.1.1.cmml" id="S3.E4.1.m1.2.2.1.1d.cmml" xref="S3.E4.1.m1.2.2.1"></share><cn id="S3.E4.1.m1.2.2.1.1.5.cmml" type="integer" xref="S3.E4.1.m1.2.2.1.1.5">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E4.1.m1.2c">\displaystyle w=\frac{d(u+v)}{c}>0\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E4.1.m1.2d">italic_w = divide start_ARG italic_d ( italic_u + italic_v ) end_ARG start_ARG italic_c end_ARG > 0 ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> <tr class="ltx_eqn_row ltx_align_baseline"><td class="ltx_eqn_cell ltx_align_left" colspan="4" style="white-space:normal;">which can be substituted into (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.E3.2" title="Equation 3b ‣ Equation 3 ‣ 3.1 Positive steady-states. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3b</span></a>), yielding the expression for <math alttext="v" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E4.1.m1a.1"><semantics id="S3.E4.1.m1a.1a"><mi id="S3.E4.1.m1a.1.1" xref="S3.E4.1.m1a.1.1.cmml">v</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E4.1.m1a.1b"><ci id="S3.E4.1.m1a.1.1.cmml" xref="S3.E4.1.m1a.1.1">𝑣</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E4.1.m1a.1c">v</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E4.1.m1a.1d">italic_v</annotation></semantics></math>:</td></tr> <tr class="ltx_eqn_row" id="Sx1.EGx5"><td class="ltx_eqn_cell" colspan="4"></td></tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E4.2"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(4b)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle v=\frac{du^{3}+a\varepsilon c}{c-du^{2}}\,," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E4.2.m1.1"><semantics id="S3.E4.2.m1.1a"><mrow id="S3.E4.2.m1.1.1.1" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.2.cmml">v</mi><mo id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mfrac id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">u</mi><mn id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">3</mn></msup></mrow><mo id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">a</mi><mo id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">ε</mi><mo id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.3.1a" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.3.4" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.3.4.cmml">c</mi></mrow></mrow><mrow id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">c</mi><mo id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">d</mi><mo id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml">u</mi><mn id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mfrac></mrow><mo id="S3.E4.2.m1.1.1.1.2" lspace="0.170em" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E4.2.m1.1b"><apply id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1"><eq id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.2">𝑣</ci><apply id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3"><divide id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3"></divide><apply id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2"><plus id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.1"></plus><apply id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.2"><times id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.2.1"></times><ci id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑑</ci><apply id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2">𝑢</ci><cn id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3">3</cn></apply></apply><apply id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑎</ci><ci id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝜀</ci><ci id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.3.4.cmml" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.2.3.4">𝑐</ci></apply></apply><apply id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.3"><minus id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.3.1"></minus><ci id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.3.2">𝑐</ci><apply id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.3.3"><times id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑑</ci><apply id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2">𝑢</ci><cn id="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E4.2.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E4.2.m1.1c">\displaystyle v=\frac{du^{3}+a\varepsilon c}{c-du^{2}}\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E4.2.m1.1d">italic_v = divide start_ARG italic_d italic_u start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_a italic_ε italic_c end_ARG start_ARG italic_c - italic_d italic_u start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p3.4">provided that <math alttext="|u|<\sqrt{c/d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p3.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p3.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS1.p3.1.m1.1.2" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.2.cmml"><mrow id="S3.SS1.p3.1.m1.1.2.2.2" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.2.2.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p3.1.m1.1.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.2.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.SS1.p3.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml">u</mi><mo id="S3.SS1.p3.1.m1.1.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.2.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.SS1.p3.1.m1.1.2.1" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.2.1.cmml"><</mo><msqrt id="S3.SS1.p3.1.m1.1.2.3" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.2.3.cmml"><mrow id="S3.SS1.p3.1.m1.1.2.3.2" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p3.1.m1.1.2.3.2.2" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.2.3.2.2.cmml">c</mi><mo id="S3.SS1.p3.1.m1.1.2.3.2.1" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.2.3.2.1.cmml">/</mo><mi id="S3.SS1.p3.1.m1.1.2.3.2.3" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.2.3.2.3.cmml">d</mi></mrow></msqrt></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p3.1.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p3.1.m1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.2"><lt id="S3.SS1.p3.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.2.1"></lt><apply id="S3.SS1.p3.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.2.2.2"><abs id="S3.SS1.p3.1.m1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.2.2.2.1"></abs><ci id="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.1">𝑢</ci></apply><apply id="S3.SS1.p3.1.m1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.2.3"><root id="S3.SS1.p3.1.m1.1.2.3a.cmml" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.2.3"></root><apply id="S3.SS1.p3.1.m1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.2.3.2"><divide id="S3.SS1.p3.1.m1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.2.3.2.1"></divide><ci id="S3.SS1.p3.1.m1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.2.3.2.2">𝑐</ci><ci id="S3.SS1.p3.1.m1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.2.3.2.3">𝑑</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p3.1.m1.1c">|u|<\sqrt{c/d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p3.1.m1.1d">| italic_u | < square-root start_ARG italic_c / italic_d end_ARG</annotation></semantics></math> is satisfied to ensure <math alttext="v>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p3.2.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p3.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.2.cmml">v</mi><mo id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.1" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p3.2.m2.1b"><apply id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1"><gt id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.1"></gt><ci id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.2">𝑣</ci><cn id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p3.2.m2.1c">v>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p3.2.m2.1d">italic_v > 0</annotation></semantics></math>. Substituting (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.E4.1" title="Equation 4a ‣ Equation 4 ‣ 3.1 Positive steady-states. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4a</span></a>) and (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.E4.2" title="Equation 4b ‣ Equation 4 ‣ 3.1 Positive steady-states. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4b</span></a>) into (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.E3.3" title="Equation 3c ‣ Equation 3 ‣ 3.1 Positive steady-states. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3c</span></a>) reduces the system to solving <math alttext="f_{eq}(u)=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p3.3.m3.1"><semantics id="S3.SS1.p3.3.m3.1a"><mrow id="S3.SS1.p3.3.m3.1.2" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.2.cmml"><mrow id="S3.SS1.p3.3.m3.1.2.2" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.2.2.cmml"><msub id="S3.SS1.p3.3.m3.1.2.2.2" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p3.3.m3.1.2.2.2.2" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.2.2.2.2.cmml">f</mi><mrow id="S3.SS1.p3.3.m3.1.2.2.2.3" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p3.3.m3.1.2.2.2.3.2" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.2.2.2.3.2.cmml">e</mi><mo id="S3.SS1.p3.3.m3.1.2.2.2.3.1" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p3.3.m3.1.2.2.2.3.3" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.2.2.2.3.3.cmml">q</mi></mrow></msub><mo id="S3.SS1.p3.3.m3.1.2.2.1" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3.2" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.2.2.cmml"><mo id="S3.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.cmml">u</mi><mo id="S3.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS1.p3.3.m3.1.2.1" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.2.1.cmml">=</mo><mn id="S3.SS1.p3.3.m3.1.2.3" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.2.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p3.3.m3.1b"><apply id="S3.SS1.p3.3.m3.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.2"><eq id="S3.SS1.p3.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.2.1"></eq><apply id="S3.SS1.p3.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.2.2"><times id="S3.SS1.p3.3.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.2.2.1"></times><apply id="S3.SS1.p3.3.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p3.3.m3.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p3.3.m3.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.2.2.2.2">𝑓</ci><apply id="S3.SS1.p3.3.m3.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.2.2.2.3"><times id="S3.SS1.p3.3.m3.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.2.2.2.3.1"></times><ci id="S3.SS1.p3.3.m3.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.2.2.2.3.2">𝑒</ci><ci id="S3.SS1.p3.3.m3.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.2.2.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><ci id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1">𝑢</ci></apply><cn id="S3.SS1.p3.3.m3.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.2.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p3.3.m3.1c">f_{eq}(u)=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p3.3.m3.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_e italic_q end_POSTSUBSCRIPT ( italic_u ) = 0</annotation></semantics></math>, where <math alttext="f_{eq}(u)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p3.4.m4.1"><semantics id="S3.SS1.p3.4.m4.1a"><mrow id="S3.SS1.p3.4.m4.1.2" xref="S3.SS1.p3.4.m4.1.2.cmml"><msub id="S3.SS1.p3.4.m4.1.2.2" xref="S3.SS1.p3.4.m4.1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p3.4.m4.1.2.2.2" xref="S3.SS1.p3.4.m4.1.2.2.2.cmml">f</mi><mrow id="S3.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3" xref="S3.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3.2" xref="S3.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3.2.cmml">e</mi><mo id="S3.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3.1" xref="S3.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3.3" xref="S3.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3.3.cmml">q</mi></mrow></msub><mo id="S3.SS1.p3.4.m4.1.2.1" xref="S3.SS1.p3.4.m4.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p3.4.m4.1.2.3.2" xref="S3.SS1.p3.4.m4.1.2.cmml"><mo id="S3.SS1.p3.4.m4.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p3.4.m4.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p3.4.m4.1.1" xref="S3.SS1.p3.4.m4.1.1.cmml">u</mi><mo id="S3.SS1.p3.4.m4.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p3.4.m4.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p3.4.m4.1b"><apply id="S3.SS1.p3.4.m4.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.4.m4.1.2"><times id="S3.SS1.p3.4.m4.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.4.m4.1.2.1"></times><apply id="S3.SS1.p3.4.m4.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.4.m4.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p3.4.m4.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.4.m4.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p3.4.m4.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.4.m4.1.2.2.2">𝑓</ci><apply id="S3.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3"><times id="S3.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3.1"></times><ci id="S3.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3.2">𝑒</ci><ci id="S3.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><ci id="S3.SS1.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.4.m4.1.1">𝑢</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p3.4.m4.1c">f_{eq}(u)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p3.4.m4.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_e italic_q end_POSTSUBSCRIPT ( italic_u )</annotation></semantics></math> is a monic polynomial of degree six, given by</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p4"> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx6"> <tbody id="S3.E5"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(5)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle f_{eq}(u):=" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E5.m1.1"><semantics id="S3.E5.m1.1a"><mrow id="S3.E5.m1.1.2" xref="S3.E5.m1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E5.m1.1.2.2" xref="S3.E5.m1.1.2.2.cmml"><msub id="S3.E5.m1.1.2.2.2" xref="S3.E5.m1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E5.m1.1.2.2.2.2" xref="S3.E5.m1.1.2.2.2.2.cmml">f</mi><mrow id="S3.E5.m1.1.2.2.2.3" xref="S3.E5.m1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E5.m1.1.2.2.2.3.2" xref="S3.E5.m1.1.2.2.2.3.2.cmml">e</mi><mo id="S3.E5.m1.1.2.2.2.3.1" xref="S3.E5.m1.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E5.m1.1.2.2.2.3.3" xref="S3.E5.m1.1.2.2.2.3.3.cmml">q</mi></mrow></msub><mo id="S3.E5.m1.1.2.2.1" xref="S3.E5.m1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E5.m1.1.2.2.3.2" xref="S3.E5.m1.1.2.2.cmml"><mo id="S3.E5.m1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E5.m1.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E5.m1.1.1" xref="S3.E5.m1.1.1.cmml">u</mi><mo id="S3.E5.m1.1.2.2.3.2.2" rspace="0.278em" stretchy="false" xref="S3.E5.m1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E5.m1.1.2.1" rspace="0.278em" xref="S3.E5.m1.1.2.1.cmml">:=</mo><mi id="S3.E5.m1.1.2.3" xref="S3.E5.m1.1.2.3.cmml"></mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E5.m1.1b"><apply id="S3.E5.m1.1.2.cmml" xref="S3.E5.m1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E5.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.1.2.1">assign</csymbol><apply id="S3.E5.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.1.2.2"><times id="S3.E5.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.1.2.2.1"></times><apply id="S3.E5.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E5.m1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.1.2.2.2.2">𝑓</ci><apply id="S3.E5.m1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E5.m1.1.2.2.2.3"><times id="S3.E5.m1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E5.m1.1.2.2.2.3.1"></times><ci id="S3.E5.m1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E5.m1.1.2.2.2.3.2">𝑒</ci><ci id="S3.E5.m1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.E5.m1.1.2.2.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><ci id="S3.E5.m1.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.1.1">𝑢</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="S3.E5.m1.1.2.3.cmml" xref="S3.E5.m1.1.2.3">absent</csymbol></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E5.m1.1c">\displaystyle f_{eq}(u):=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E5.m1.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_e italic_q end_POSTSUBSCRIPT ( italic_u ) :=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\>u^{6}-\frac{a}{b}u^{5}+\frac{1}{K}u^{4}-\frac{ad+d-ba% \varepsilon cK}{bdK}u^{3}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E5.m2.1"><semantics id="S3.E5.m2.1a"><mrow id="S3.E5.m2.1.1" xref="S3.E5.m2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E5.m2.1.1.2" xref="S3.E5.m2.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E5.m2.1.1.2.2" xref="S3.E5.m2.1.1.2.2.cmml"><msup id="S3.E5.m2.1.1.2.2.2" xref="S3.E5.m2.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E5.m2.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E5.m2.1.1.2.2.2.2.cmml">u</mi><mn id="S3.E5.m2.1.1.2.2.2.3" xref="S3.E5.m2.1.1.2.2.2.3.cmml">6</mn></msup><mo id="S3.E5.m2.1.1.2.2.1" xref="S3.E5.m2.1.1.2.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E5.m2.1.1.2.2.3" xref="S3.E5.m2.1.1.2.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E5.m2.1.1.2.2.3.2" xref="S3.E5.m2.1.1.2.2.3.2.cmml"><mfrac id="S3.E5.m2.1.1.2.2.3.2a" xref="S3.E5.m2.1.1.2.2.3.2.cmml"><mi id="S3.E5.m2.1.1.2.2.3.2.2" xref="S3.E5.m2.1.1.2.2.3.2.2.cmml">a</mi><mi id="S3.E5.m2.1.1.2.2.3.2.3" xref="S3.E5.m2.1.1.2.2.3.2.3.cmml">b</mi></mfrac></mstyle><mo id="S3.E5.m2.1.1.2.2.3.1" xref="S3.E5.m2.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E5.m2.1.1.2.2.3.3" xref="S3.E5.m2.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S3.E5.m2.1.1.2.2.3.3.2" xref="S3.E5.m2.1.1.2.2.3.3.2.cmml">u</mi><mn 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xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.4" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.4.cmml">ε</mi></mrow><mo id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml"><msup id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.2" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml">a</mi><mn id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.3" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3.cmml">ε</mi><mo id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1a" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.4" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.4.cmml">c</mi><mo 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id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.4.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.4">𝑐</ci><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.5.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.5">𝐾</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3"><times id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2">𝑏</ci><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3">𝑑</ci><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.4.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.4">𝐾</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2">𝑢</ci><cn id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.3"><times id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.3.1"></times><apply id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.3.2"><divide id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.3.2"></divide><apply id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.3.2.2"><times id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.3.2.2.1"></times><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.3.2.2.2">𝑎</ci><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.3.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.3.2.2.3">𝜀</ci><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.3.2.2.4.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.3.2.2.4">𝑐</ci></apply><apply id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.3.2.3"><times id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.1"></times><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.2">𝑑</ci><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.3">𝐾</ci></apply></apply><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.3.3">𝑢</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3"><divide id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3"></divide><apply id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2"><times id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.1"></times><apply id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑎</ci><cn id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2.3">2</cn></apply><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.3">𝜀</ci><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.4.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.4">𝑐</ci></apply><apply id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.3"><times id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.3.2">𝑏</ci><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.3.3">𝑑</ci><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.3.4">𝐾</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex1.m1.1c">\displaystyle-\frac{da\varepsilon+a^{2}\varepsilon cK}{bdK}u^{2}+\frac{a% \varepsilon c}{dK}u-\frac{a^{2}\varepsilon c}{bdK}\,.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex1.m1.1d">- divide start_ARG italic_d italic_a italic_ε + italic_a start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ε italic_c italic_K end_ARG start_ARG italic_b italic_d italic_K end_ARG italic_u start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + divide start_ARG italic_a italic_ε italic_c end_ARG start_ARG italic_d italic_K end_ARG italic_u - divide start_ARG italic_a start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ε italic_c end_ARG start_ARG italic_b italic_d italic_K end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p4.2">Since all coefficients of <math alttext="f_{eq}(u)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p4.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p4.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS1.p4.1.m1.1.2" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.2.cmml"><msub id="S3.SS1.p4.1.m1.1.2.2" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p4.1.m1.1.2.2.2" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.2.2.2.cmml">f</mi><mrow id="S3.SS1.p4.1.m1.1.2.2.3" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p4.1.m1.1.2.2.3.2" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.2.2.3.2.cmml">e</mi><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.1.2.2.3.1" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p4.1.m1.1.2.2.3.3" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.2.2.3.3.cmml">q</mi></mrow></msub><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.1.2.1" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p4.1.m1.1.2.3.2" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml">u</mi><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p4.1.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p4.1.m1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.2"><times id="S3.SS1.p4.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.2.1"></times><apply id="S3.SS1.p4.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p4.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p4.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.2.2.2">𝑓</ci><apply id="S3.SS1.p4.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.2.2.3"><times id="S3.SS1.p4.1.m1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S3.SS1.p4.1.m1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.2.2.3.2">𝑒</ci><ci id="S3.SS1.p4.1.m1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.2.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><ci id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1">𝑢</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p4.1.m1.1c">f_{eq}(u)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p4.1.m1.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_e italic_q end_POSTSUBSCRIPT ( italic_u )</annotation></semantics></math> are real, the Fundamental Theorem of Algebra guarantees six roots in total, which may include real and complex ones. The number of positive, negative, and complex roots is constrained by Descartes’ rule of signs. That is, based on the five sign changes in the polynomial’s coefficients, provided <math alttext="(a+1)d>ba\varepsilon cK" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p4.2.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p4.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">a</mi><mo id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.3.cmml">d</mi></mrow><mo id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.cmml">></mo><mrow id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3.2.cmml">b</mi><mo id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3.1" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3.3.cmml">a</mi><mo id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3.1a" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3.4" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3.4.cmml">ε</mi><mo id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3.1b" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3.5" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3.5.cmml">c</mi><mo id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3.1c" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3.6" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3.6.cmml">K</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p4.2.m2.1b"><apply id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1"><gt id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2"></gt><apply id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1"><times id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.2"></times><apply id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.1"><plus id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.2">𝑎</ci><cn id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.3">𝑑</ci></apply><apply id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3"><times id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3.2">𝑏</ci><ci id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3.3">𝑎</ci><ci id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3.4.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3.4">𝜀</ci><ci id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3.5.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3.5">𝑐</ci><ci id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3.6.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.3.6">𝐾</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p4.2.m2.1c">(a+1)d>ba\varepsilon cK</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p4.2.m2.1d">( italic_a + 1 ) italic_d > italic_b italic_a italic_ε italic_c italic_K</annotation></semantics></math>, three possible configurations arise: <span class="ltx_inline-enumerate" id="S3.I1"> <span class="ltx_inline-item" id="S3.I1.i1"><span class="ltx_tag ltx_tag_inline-item">(i)</span> <span class="ltx_text" id="S3.I1.i1.1">five positive roots and one negative root; </span></span> <span class="ltx_inline-item" id="S3.I1.i2"><span class="ltx_tag ltx_tag_inline-item">(ii)</span> <span class="ltx_text" id="S3.I1.i2.1">three positive roots, one negative root, and two complex conjugate roots; </span></span> <span class="ltx_inline-item" id="S3.I1.i3"><span class="ltx_tag ltx_tag_inline-item">(iii)</span> <span class="ltx_text" id="S3.I1.i3.1">one positive root, one negative root, and four complex conjugate roots. </span></span> </span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p5"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p5.4">To refine this further, the Sturm Theorem <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#bib.bib36" title="">36</a>]</cite> can be applied to determine the number of distinct real roots of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.E5" title="Equation 5 ‣ 3.1 Positive steady-states. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a>) within the interval <math alttext="|u|<\sqrt{c/d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p5.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p5.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS1.p5.1.m1.1.2" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.cmml"><mrow id="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.2.2" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.2.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.SS1.p5.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml">u</mi><mo id="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.1" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.1.cmml"><</mo><msqrt id="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.3" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.3.cmml"><mrow id="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.3.2" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.3.2.2" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.3.2.2.cmml">c</mi><mo id="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.3.2.1" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.3.2.1.cmml">/</mo><mi id="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.3.2.3" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.3.2.3.cmml">d</mi></mrow></msqrt></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p5.1.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.2"><lt id="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.1"></lt><apply id="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.2.2"><abs id="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.2.2.1"></abs><ci id="S3.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.1">𝑢</ci></apply><apply id="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.3"><root id="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.3a.cmml" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.3"></root><apply id="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.3.2"><divide id="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.3.2.1"></divide><ci id="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.3.2.2">𝑐</ci><ci id="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.3.2.3">𝑑</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p5.1.m1.1c">|u|<\sqrt{c/d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p5.1.m1.1d">| italic_u | < square-root start_ARG italic_c / italic_d end_ARG</annotation></semantics></math>. Specifically, the difference in sign variations of the Sturm sequence at the interval’s endpoints provides the number of real roots in the interval. Using the parameter values given in Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S2.T1" title="Table 1 ‣ 2 Nonlinear time delayed Quorum Sensing system ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> with <math alttext="b=1.4" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p5.2.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p5.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS1.p5.2.m2.1.1" xref="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.2.cmml">b</mi><mo id="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.1" xref="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.3.cmml">1.4</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p5.2.m2.1b"><apply id="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p5.2.m2.1.1"><eq id="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.2">𝑏</ci><cn id="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.3.cmml" type="float" xref="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.3">1.4</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p5.2.m2.1c">b=1.4</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p5.2.m2.1d">italic_b = 1.4</annotation></semantics></math>, the signs of the Sturm sequence are calculated at the ends of the interval of consideration as follows: <span class="ltx_inline-enumerate" id="S3.I2"> <span class="ltx_inline-item" id="S3.I2.i1"><span class="ltx_tag ltx_tag_inline-item">(a)</span> <span class="ltx_text" id="S3.I2.i1.2">at <math alttext="u=-1.75" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i1.1.m1.1"><semantics id="S3.I2.i1.1.m1.1a"><mrow id="S3.I2.i1.1.m1.1.1" xref="S3.I2.i1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.I2.i1.1.m1.1.1.2" xref="S3.I2.i1.1.m1.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="S3.I2.i1.1.m1.1.1.1" xref="S3.I2.i1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.I2.i1.1.m1.1.1.3" xref="S3.I2.i1.1.m1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.I2.i1.1.m1.1.1.3a" xref="S3.I2.i1.1.m1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S3.I2.i1.1.m1.1.1.3.2" xref="S3.I2.i1.1.m1.1.1.3.2.cmml">1.75</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i1.1.m1.1b"><apply id="S3.I2.i1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i1.1.m1.1.1"><eq id="S3.I2.i1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i1.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S3.I2.i1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i1.1.m1.1.1.2">𝑢</ci><apply id="S3.I2.i1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.I2.i1.1.m1.1.1.3"><minus id="S3.I2.i1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I2.i1.1.m1.1.1.3"></minus><cn id="S3.I2.i1.1.m1.1.1.3.2.cmml" type="float" xref="S3.I2.i1.1.m1.1.1.3.2">1.75</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i1.1.m1.1c">u=-1.75</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i1.1.m1.1d">italic_u = - 1.75</annotation></semantics></math>, the sequence is <span class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex2"> <span><span class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <span class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></span> <span class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="S(-1.75)=\{+,-,-,+,-,+,-\}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex2.m1.8"><semantics id="S3.Ex2.m1.8a"><mrow id="S3.Ex2.m1.8.8" xref="S3.Ex2.m1.8.8.cmml"><mrow id="S3.Ex2.m1.8.8.1" xref="S3.Ex2.m1.8.8.1.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.8.8.1.3" xref="S3.Ex2.m1.8.8.1.3.cmml">S</mi><mo id="S3.Ex2.m1.8.8.1.2" xref="S3.Ex2.m1.8.8.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.8.8.1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.8.8.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex2.m1.8.8.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m1.8.8.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.8.8.1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.8.8.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex2.m1.8.8.1.1.1.1a" xref="S3.Ex2.m1.8.8.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S3.Ex2.m1.8.8.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex2.m1.8.8.1.1.1.1.2.cmml">1.75</mn></mrow><mo id="S3.Ex2.m1.8.8.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m1.8.8.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex2.m1.8.8.2" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.8.8.3.2" xref="S3.Ex2.m1.8.8.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex2.m1.8.8.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m1.8.8.3.1.cmml">{</mo><mo id="S3.Ex2.m1.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.Ex2.m1.1.1.cmml">+</mo><mo id="S3.Ex2.m1.8.8.3.2.2" rspace="0em" xref="S3.Ex2.m1.8.8.3.1.cmml">,</mo><mo id="S3.Ex2.m1.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.Ex2.m1.2.2.cmml">−</mo><mo id="S3.Ex2.m1.8.8.3.2.3" rspace="0em" xref="S3.Ex2.m1.8.8.3.1.cmml">,</mo><mo id="S3.Ex2.m1.3.3" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.Ex2.m1.3.3.cmml">−</mo><mo id="S3.Ex2.m1.8.8.3.2.4" rspace="0em" xref="S3.Ex2.m1.8.8.3.1.cmml">,</mo><mo id="S3.Ex2.m1.4.4" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.Ex2.m1.4.4.cmml">+</mo><mo id="S3.Ex2.m1.8.8.3.2.5" rspace="0em" xref="S3.Ex2.m1.8.8.3.1.cmml">,</mo><mo id="S3.Ex2.m1.5.5" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.Ex2.m1.5.5.cmml">−</mo><mo id="S3.Ex2.m1.8.8.3.2.6" rspace="0em" xref="S3.Ex2.m1.8.8.3.1.cmml">,</mo><mo id="S3.Ex2.m1.6.6" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.Ex2.m1.6.6.cmml">+</mo><mo id="S3.Ex2.m1.8.8.3.2.7" rspace="0em" xref="S3.Ex2.m1.8.8.3.1.cmml">,</mo><mo id="S3.Ex2.m1.7.7" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.Ex2.m1.7.7.cmml">−</mo><mo id="S3.Ex2.m1.8.8.3.2.8" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m1.8.8.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex2.m1.8b"><apply id="S3.Ex2.m1.8.8.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8"><eq id="S3.Ex2.m1.8.8.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2"></eq><apply id="S3.Ex2.m1.8.8.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.1"><times id="S3.Ex2.m1.8.8.1.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.1.2"></times><ci id="S3.Ex2.m1.8.8.1.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.1.3">𝑆</ci><apply id="S3.Ex2.m1.8.8.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.1.1.1"><minus id="S3.Ex2.m1.8.8.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.1.1.1"></minus><cn id="S3.Ex2.m1.8.8.1.1.1.1.2.cmml" type="float" xref="S3.Ex2.m1.8.8.1.1.1.1.2">1.75</cn></apply></apply><set id="S3.Ex2.m1.8.8.3.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.3.2"><plus id="S3.Ex2.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1"></plus><minus id="S3.Ex2.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.2.2"></minus><minus id="S3.Ex2.m1.3.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.3.3"></minus><plus id="S3.Ex2.m1.4.4.cmml" xref="S3.Ex2.m1.4.4"></plus><minus id="S3.Ex2.m1.5.5.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5"></minus><plus id="S3.Ex2.m1.6.6.cmml" xref="S3.Ex2.m1.6.6"></plus><minus id="S3.Ex2.m1.7.7.cmml" xref="S3.Ex2.m1.7.7"></minus></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex2.m1.8c">S(-1.75)=\{+,-,-,+,-,+,-\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex2.m1.8d">italic_S ( - 1.75 ) = { + , - , - , + , - , + , - }</annotation></semantics></math></span> <span class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></span></span></span> </span>, resulting in <math alttext="V(-1.75)=5" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i1.2.m2.1"><semantics id="S3.I2.i1.2.m2.1a"><mrow id="S3.I2.i1.2.m2.1.1" xref="S3.I2.i1.2.m2.1.1.cmml"><mrow id="S3.I2.i1.2.m2.1.1.1" xref="S3.I2.i1.2.m2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I2.i1.2.m2.1.1.1.3" xref="S3.I2.i1.2.m2.1.1.1.3.cmml">V</mi><mo id="S3.I2.i1.2.m2.1.1.1.2" xref="S3.I2.i1.2.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I2.i1.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.I2.i1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I2.i1.2.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I2.i1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.I2.i1.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I2.i1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I2.i1.2.m2.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.I2.i1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S3.I2.i1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I2.i1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1.75</mn></mrow><mo id="S3.I2.i1.2.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I2.i1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.I2.i1.2.m2.1.1.2" xref="S3.I2.i1.2.m2.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="S3.I2.i1.2.m2.1.1.3" xref="S3.I2.i1.2.m2.1.1.3.cmml">5</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i1.2.m2.1b"><apply id="S3.I2.i1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I2.i1.2.m2.1.1"><eq id="S3.I2.i1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i1.2.m2.1.1.2"></eq><apply id="S3.I2.i1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i1.2.m2.1.1.1"><times id="S3.I2.i1.2.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i1.2.m2.1.1.1.2"></times><ci id="S3.I2.i1.2.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I2.i1.2.m2.1.1.1.3">𝑉</ci><apply id="S3.I2.i1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i1.2.m2.1.1.1.1.1"><minus id="S3.I2.i1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i1.2.m2.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S3.I2.i1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="float" xref="S3.I2.i1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2">1.75</cn></apply></apply><cn id="S3.I2.i1.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.I2.i1.2.m2.1.1.3">5</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i1.2.m2.1c">V(-1.75)=5</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i1.2.m2.1d">italic_V ( - 1.75 ) = 5</annotation></semantics></math> sign changes; </span></span> <span class="ltx_inline-item" id="S3.I2.i2"><span class="ltx_tag ltx_tag_inline-item">(b)</span> <span class="ltx_text" id="S3.I2.i2.2">at <math alttext="u=1.75" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i2.1.m1.1"><semantics id="S3.I2.i2.1.m1.1a"><mrow id="S3.I2.i2.1.m1.1.1" xref="S3.I2.i2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.I2.i2.1.m1.1.1.2" xref="S3.I2.i2.1.m1.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="S3.I2.i2.1.m1.1.1.1" xref="S3.I2.i2.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.I2.i2.1.m1.1.1.3" xref="S3.I2.i2.1.m1.1.1.3.cmml">1.75</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i2.1.m1.1b"><apply id="S3.I2.i2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i2.1.m1.1.1"><eq id="S3.I2.i2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i2.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S3.I2.i2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i2.1.m1.1.1.2">𝑢</ci><cn id="S3.I2.i2.1.m1.1.1.3.cmml" type="float" xref="S3.I2.i2.1.m1.1.1.3">1.75</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i2.1.m1.1c">u=1.75</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i2.1.m1.1d">italic_u = 1.75</annotation></semantics></math>, the sequence is <span class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex3"> <span><span class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <span class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></span> <span class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="S(1.75)=\{+,+,-,-,-,-,-\}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex3.m1.8"><semantics id="S3.Ex3.m1.8a"><mrow id="S3.Ex3.m1.8.9" xref="S3.Ex3.m1.8.9.cmml"><mrow id="S3.Ex3.m1.8.9.2" xref="S3.Ex3.m1.8.9.2.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.8.9.2.2" xref="S3.Ex3.m1.8.9.2.2.cmml">S</mi><mo id="S3.Ex3.m1.8.9.2.1" xref="S3.Ex3.m1.8.9.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.8.9.2.3.2" xref="S3.Ex3.m1.8.9.2.cmml"><mo id="S3.Ex3.m1.8.9.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m1.8.9.2.cmml">(</mo><mn id="S3.Ex3.m1.1.1" xref="S3.Ex3.m1.1.1.cmml">1.75</mn><mo id="S3.Ex3.m1.8.9.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m1.8.9.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex3.m1.8.9.1" xref="S3.Ex3.m1.8.9.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.8.9.3.2" xref="S3.Ex3.m1.8.9.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex3.m1.8.9.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m1.8.9.3.1.cmml">{</mo><mo id="S3.Ex3.m1.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.Ex3.m1.2.2.cmml">+</mo><mo id="S3.Ex3.m1.8.9.3.2.2" rspace="0em" xref="S3.Ex3.m1.8.9.3.1.cmml">,</mo><mo id="S3.Ex3.m1.3.3" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.Ex3.m1.3.3.cmml">+</mo><mo id="S3.Ex3.m1.8.9.3.2.3" rspace="0em" xref="S3.Ex3.m1.8.9.3.1.cmml">,</mo><mo id="S3.Ex3.m1.4.4" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.Ex3.m1.4.4.cmml">−</mo><mo id="S3.Ex3.m1.8.9.3.2.4" rspace="0em" xref="S3.Ex3.m1.8.9.3.1.cmml">,</mo><mo id="S3.Ex3.m1.5.5" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.Ex3.m1.5.5.cmml">−</mo><mo id="S3.Ex3.m1.8.9.3.2.5" rspace="0em" xref="S3.Ex3.m1.8.9.3.1.cmml">,</mo><mo id="S3.Ex3.m1.6.6" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.Ex3.m1.6.6.cmml">−</mo><mo id="S3.Ex3.m1.8.9.3.2.6" rspace="0em" xref="S3.Ex3.m1.8.9.3.1.cmml">,</mo><mo id="S3.Ex3.m1.7.7" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.Ex3.m1.7.7.cmml">−</mo><mo id="S3.Ex3.m1.8.9.3.2.7" rspace="0em" xref="S3.Ex3.m1.8.9.3.1.cmml">,</mo><mo id="S3.Ex3.m1.8.8" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.Ex3.m1.8.8.cmml">−</mo><mo id="S3.Ex3.m1.8.9.3.2.8" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m1.8.9.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex3.m1.8b"><apply id="S3.Ex3.m1.8.9.cmml" xref="S3.Ex3.m1.8.9"><eq id="S3.Ex3.m1.8.9.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.8.9.1"></eq><apply id="S3.Ex3.m1.8.9.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.8.9.2"><times id="S3.Ex3.m1.8.9.2.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.8.9.2.1"></times><ci id="S3.Ex3.m1.8.9.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.8.9.2.2">𝑆</ci><cn id="S3.Ex3.m1.1.1.cmml" type="float" xref="S3.Ex3.m1.1.1">1.75</cn></apply><set id="S3.Ex3.m1.8.9.3.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.8.9.3.2"><plus id="S3.Ex3.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.2.2"></plus><plus id="S3.Ex3.m1.3.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3"></plus><minus id="S3.Ex3.m1.4.4.cmml" xref="S3.Ex3.m1.4.4"></minus><minus id="S3.Ex3.m1.5.5.cmml" xref="S3.Ex3.m1.5.5"></minus><minus id="S3.Ex3.m1.6.6.cmml" xref="S3.Ex3.m1.6.6"></minus><minus id="S3.Ex3.m1.7.7.cmml" xref="S3.Ex3.m1.7.7"></minus><minus id="S3.Ex3.m1.8.8.cmml" xref="S3.Ex3.m1.8.8"></minus></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex3.m1.8c">S(1.75)=\{+,+,-,-,-,-,-\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex3.m1.8d">italic_S ( 1.75 ) = { + , + , - , - , - , - , - }</annotation></semantics></math></span> <span class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></span></span></span> </span>, resulting in <math alttext="V(1.75)=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i2.2.m2.1"><semantics id="S3.I2.i2.2.m2.1a"><mrow id="S3.I2.i2.2.m2.1.2" xref="S3.I2.i2.2.m2.1.2.cmml"><mrow id="S3.I2.i2.2.m2.1.2.2" xref="S3.I2.i2.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S3.I2.i2.2.m2.1.2.2.2" xref="S3.I2.i2.2.m2.1.2.2.2.cmml">V</mi><mo id="S3.I2.i2.2.m2.1.2.2.1" xref="S3.I2.i2.2.m2.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I2.i2.2.m2.1.2.2.3.2" xref="S3.I2.i2.2.m2.1.2.2.cmml"><mo id="S3.I2.i2.2.m2.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I2.i2.2.m2.1.2.2.cmml">(</mo><mn id="S3.I2.i2.2.m2.1.1" xref="S3.I2.i2.2.m2.1.1.cmml">1.75</mn><mo id="S3.I2.i2.2.m2.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.I2.i2.2.m2.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.I2.i2.2.m2.1.2.1" xref="S3.I2.i2.2.m2.1.2.1.cmml">=</mo><mn id="S3.I2.i2.2.m2.1.2.3" xref="S3.I2.i2.2.m2.1.2.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i2.2.m2.1b"><apply id="S3.I2.i2.2.m2.1.2.cmml" xref="S3.I2.i2.2.m2.1.2"><eq id="S3.I2.i2.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S3.I2.i2.2.m2.1.2.1"></eq><apply id="S3.I2.i2.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S3.I2.i2.2.m2.1.2.2"><times id="S3.I2.i2.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S3.I2.i2.2.m2.1.2.2.1"></times><ci id="S3.I2.i2.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S3.I2.i2.2.m2.1.2.2.2">𝑉</ci><cn id="S3.I2.i2.2.m2.1.1.cmml" type="float" xref="S3.I2.i2.2.m2.1.1">1.75</cn></apply><cn id="S3.I2.i2.2.m2.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.I2.i2.2.m2.1.2.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i2.2.m2.1c">V(1.75)=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i2.2.m2.1d">italic_V ( 1.75 ) = 1</annotation></semantics></math> sign change. </span></span> </span> Hence, the number of real roots within the interval is given by <math alttext="V(-1.75)-V(1.75)=4" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p5.3.m3.2"><semantics id="S3.SS1.p5.3.m3.2a"><mrow id="S3.SS1.p5.3.m3.2.2" xref="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1" xref="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.cmml"><mrow id="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1" xref="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.3" xref="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.3.cmml">V</mi><mo id="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.2" xref="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1a" xref="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">1.75</mn></mrow><mo id="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.2" xref="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.3" xref="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.3.2" xref="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.3.2.cmml">V</mi><mo id="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.3.1" xref="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.3.3.2" xref="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.3.cmml"><mo id="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.3.cmml">(</mo><mn id="S3.SS1.p5.3.m3.1.1" xref="S3.SS1.p5.3.m3.1.1.cmml">1.75</mn><mo id="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.2" xref="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.2.cmml">=</mo><mn id="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.3" xref="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.3.cmml">4</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p5.3.m3.2b"><apply id="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p5.3.m3.2.2"><eq id="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.2"></eq><apply id="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1"><minus id="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.2"></minus><apply id="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1"><times id="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.2"></times><ci id="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.3">𝑉</ci><apply id="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1"><minus id="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1"></minus><cn id="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" type="float" xref="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2">1.75</cn></apply></apply><apply id="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.3"><times id="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.3.1"></times><ci id="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.1.3.2">𝑉</ci><cn id="S3.SS1.p5.3.m3.1.1.cmml" type="float" xref="S3.SS1.p5.3.m3.1.1">1.75</cn></apply></apply><cn id="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.3">4</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p5.3.m3.2c">V(-1.75)-V(1.75)=4</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p5.3.m3.2d">italic_V ( - 1.75 ) - italic_V ( 1.75 ) = 4</annotation></semantics></math>. Combining this result with Descartes’ rule of signs confirms that the roots of <math alttext="f_{eq}(u)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p5.4.m4.1"><semantics id="S3.SS1.p5.4.m4.1a"><mrow id="S3.SS1.p5.4.m4.1.2" xref="S3.SS1.p5.4.m4.1.2.cmml"><msub id="S3.SS1.p5.4.m4.1.2.2" xref="S3.SS1.p5.4.m4.1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p5.4.m4.1.2.2.2" xref="S3.SS1.p5.4.m4.1.2.2.2.cmml">f</mi><mrow id="S3.SS1.p5.4.m4.1.2.2.3" xref="S3.SS1.p5.4.m4.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p5.4.m4.1.2.2.3.2" xref="S3.SS1.p5.4.m4.1.2.2.3.2.cmml">e</mi><mo id="S3.SS1.p5.4.m4.1.2.2.3.1" xref="S3.SS1.p5.4.m4.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p5.4.m4.1.2.2.3.3" xref="S3.SS1.p5.4.m4.1.2.2.3.3.cmml">q</mi></mrow></msub><mo id="S3.SS1.p5.4.m4.1.2.1" xref="S3.SS1.p5.4.m4.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p5.4.m4.1.2.3.2" xref="S3.SS1.p5.4.m4.1.2.cmml"><mo id="S3.SS1.p5.4.m4.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p5.4.m4.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p5.4.m4.1.1" xref="S3.SS1.p5.4.m4.1.1.cmml">u</mi><mo id="S3.SS1.p5.4.m4.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p5.4.m4.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p5.4.m4.1b"><apply id="S3.SS1.p5.4.m4.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p5.4.m4.1.2"><times id="S3.SS1.p5.4.m4.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p5.4.m4.1.2.1"></times><apply id="S3.SS1.p5.4.m4.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p5.4.m4.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p5.4.m4.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p5.4.m4.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p5.4.m4.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p5.4.m4.1.2.2.2">𝑓</ci><apply id="S3.SS1.p5.4.m4.1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p5.4.m4.1.2.2.3"><times id="S3.SS1.p5.4.m4.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p5.4.m4.1.2.2.3.1"></times><ci id="S3.SS1.p5.4.m4.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p5.4.m4.1.2.2.3.2">𝑒</ci><ci id="S3.SS1.p5.4.m4.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p5.4.m4.1.2.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><ci id="S3.SS1.p5.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p5.4.m4.1.1">𝑢</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p5.4.m4.1c">f_{eq}(u)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p5.4.m4.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_e italic_q end_POSTSUBSCRIPT ( italic_u )</annotation></semantics></math> comprise three positive, one negative, and two complex conjugate roots. In consequence, there are three steady-states lying within the first octant.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">3.2 </span>Time delayed QS local stability.</h3> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p1.1">Now, to analyse the local stability properties of the system, let us denote the positive steady-states as <math alttext="E_{1},E_{2},E_{3}\in\mathbb{R}^{3}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.1.m1.3"><semantics id="S3.SS2.p1.1.m1.3a"><mrow id="S3.SS2.p1.1.m1.3.3" xref="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.cmml"><mrow id="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.3.3" xref="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.3.4.cmml"><msub id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">E</mi><mn id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.3.3.4" xref="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">E</mi><mn id="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.3.3.5" xref="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.3.3.3" xref="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.3.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2" xref="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.cmml">E</mi><mn id="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.3.3.3.3" xref="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.3.3.3.3.cmml">3</mn></msub></mrow><mo id="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.4" xref="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.4.cmml">∈</mo><msup id="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.5" xref="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.5.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.5.2" xref="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.5.2.cmml">ℝ</mi><mn id="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.5.3" xref="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.5.3.cmml">3</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.1.m1.3b"><apply id="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.3.3"><in id="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.4.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.4"></in><list id="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.3.4.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.3.3"><apply id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2">𝐸</ci><cn id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2">𝐸</ci><cn id="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2">𝐸</ci><cn id="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.3.3.3.3">3</cn></apply></list><apply id="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.5.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.5.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.5">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.5.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.5.2">ℝ</ci><cn id="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.5.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.5.3">3</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.1.m1.3c">E_{1},E_{2},E_{3}\in\mathbb{R}^{3}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.1.m1.3d">italic_E start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_E start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_E start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. The pseudo-characteristic polynomial at these steady-states is given by (see, for instance, <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#bib.bib26" title="">26</a>]</cite>):</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S3.E6"> <tbody> <tr class="ltx_eqn_row" id="Sx1.EGx7"><td class="ltx_eqn_cell" colspan="4"></td></tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E6.1"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(6a)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\det(\mathbf{J}_{0}+\exp(-\lambda\tau_{1})\mathbf{J}_{\tau_{1}}+% \exp(-\lambda\tau_{2})\mathbf{J}_{\tau_{2}}-\lambda\mathbf{I}_{3\times 3})=0\,," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E6.1.m1.3"><semantics id="S3.E6.1.m1.3a"><mrow id="S3.E6.1.m1.3.3.1" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">det</mo><mrow id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">𝐉</mi><mn id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E6.1.m1.1.1" xref="S3.E6.1.m1.1.1.cmml">exp</mi><mo id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝐉</mi><msub id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></msub></msub></mrow><mo id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3a" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml"><mi id="S3.E6.1.m1.2.2" xref="S3.E6.1.m1.2.2.cmml">exp</mi><mo id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1a" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1a" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">𝐉</mi><msub id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.3" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml">2</mn></msub></msub></mrow></mrow><mo id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">𝐈</mi><mrow id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml"><mn id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3.3.2" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3.3.2.cmml">3</mn><mo id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3.3.1.cmml">×</mo><mn id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3.3.3" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3.3.3.cmml">3</mn></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.2" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.3" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S3.E6.1.m1.3.3.1.2" lspace="0.170em" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E6.1.m1.3b"><apply id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.cmml" 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xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3.2">𝐈</ci><apply id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3.3"><times id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3.3.1.cmml" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3.3.1"></times><cn id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3.3.2">3</cn><cn id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3.3.3">3</cn></apply></apply></apply></apply></apply><cn id="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E6.1.m1.3.3.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E6.1.m1.3c">\displaystyle\det(\mathbf{J}_{0}+\exp(-\lambda\tau_{1})\mathbf{J}_{\tau_{1}}+% \exp(-\lambda\tau_{2})\mathbf{J}_{\tau_{2}}-\lambda\mathbf{I}_{3\times 3})=0\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E6.1.m1.3d">roman_det ( bold_J start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT + roman_exp ( - italic_λ italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) bold_J start_POSTSUBSCRIPT italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT + roman_exp ( - italic_λ italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) bold_J start_POSTSUBSCRIPT italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT - italic_λ bold_I start_POSTSUBSCRIPT 3 × 3 end_POSTSUBSCRIPT ) = 0 ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> <tr class="ltx_eqn_row ltx_align_baseline"><td class="ltx_eqn_cell ltx_align_left" colspan="4" style="white-space:normal;">where <math alttext="\mathbf{I}_{3\times 3}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E6.1.m1a.1"><semantics id="S3.E6.1.m1a.1a"><msub id="S3.E6.1.m1a.1.1" xref="S3.E6.1.m1a.1.1.cmml"><mi id="S3.E6.1.m1a.1.1.2" xref="S3.E6.1.m1a.1.1.2.cmml">𝐈</mi><mrow id="S3.E6.1.m1a.1.1.3" xref="S3.E6.1.m1a.1.1.3.cmml"><mn id="S3.E6.1.m1a.1.1.3.2" xref="S3.E6.1.m1a.1.1.3.2.cmml">3</mn><mo id="S3.E6.1.m1a.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.E6.1.m1a.1.1.3.1.cmml">×</mo><mn id="S3.E6.1.m1a.1.1.3.3" xref="S3.E6.1.m1a.1.1.3.3.cmml">3</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E6.1.m1a.1b"><apply id="S3.E6.1.m1a.1.1.cmml" xref="S3.E6.1.m1a.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.1.m1a.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.1.m1a.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.1.m1a.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.1.m1a.1.1.2">𝐈</ci><apply id="S3.E6.1.m1a.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.1.m1a.1.1.3"><times id="S3.E6.1.m1a.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E6.1.m1a.1.1.3.1"></times><cn id="S3.E6.1.m1a.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E6.1.m1a.1.1.3.2">3</cn><cn id="S3.E6.1.m1a.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E6.1.m1a.1.1.3.3">3</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E6.1.m1a.1c">\mathbf{I}_{3\times 3}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E6.1.m1a.1d">bold_I start_POSTSUBSCRIPT 3 × 3 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the identity matrix, and the matrices <math alttext="\mathbf{J}_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E6.2.m2.1"><semantics id="S3.E6.2.m2.1a"><msub id="S3.E6.2.m2.1.1" xref="S3.E6.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.E6.2.m2.1.1.2" xref="S3.E6.2.m2.1.1.2.cmml">𝐉</mi><mn id="S3.E6.2.m2.1.1.3" xref="S3.E6.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E6.2.m2.1b"><apply id="S3.E6.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.E6.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.2.m2.1.1.2">𝐉</ci><cn id="S3.E6.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E6.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E6.2.m2.1c">\mathbf{J}_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E6.2.m2.1d">bold_J start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="\mathbf{J}_{\tau_{1}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E6.3.m3.1"><semantics id="S3.E6.3.m3.1a"><msub id="S3.E6.3.m3.1.1" xref="S3.E6.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.E6.3.m3.1.1.2" xref="S3.E6.3.m3.1.1.2.cmml">𝐉</mi><msub id="S3.E6.3.m3.1.1.3" xref="S3.E6.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E6.3.m3.1.1.3.2" xref="S3.E6.3.m3.1.1.3.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.E6.3.m3.1.1.3.3" xref="S3.E6.3.m3.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E6.3.m3.1b"><apply id="S3.E6.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.E6.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.3.m3.1.1.2">𝐉</ci><apply id="S3.E6.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E6.3.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E6.3.m3.1.1.3.2">𝜏</ci><cn id="S3.E6.3.m3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E6.3.m3.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E6.3.m3.1c">\mathbf{J}_{\tau_{1}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E6.3.m3.1d">bold_J start_POSTSUBSCRIPT italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, and <math alttext="\mathbf{J}_{\tau_{2}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E6.4.m4.1"><semantics id="S3.E6.4.m4.1a"><msub id="S3.E6.4.m4.1.1" xref="S3.E6.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.E6.4.m4.1.1.2" xref="S3.E6.4.m4.1.1.2.cmml">𝐉</mi><msub id="S3.E6.4.m4.1.1.3" xref="S3.E6.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E6.4.m4.1.1.3.2" xref="S3.E6.4.m4.1.1.3.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.E6.4.m4.1.1.3.3" xref="S3.E6.4.m4.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E6.4.m4.1b"><apply id="S3.E6.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.E6.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.4.m4.1.1.2">𝐉</ci><apply id="S3.E6.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E6.4.m4.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E6.4.m4.1.1.3.2">𝜏</ci><cn id="S3.E6.4.m4.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E6.4.m4.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E6.4.m4.1c">\mathbf{J}_{\tau_{2}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E6.4.m4.1d">bold_J start_POSTSUBSCRIPT italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are defined as follows:</td></tr> <tr class="ltx_eqn_row" id="Sx1.EGx8"><td class="ltx_eqn_cell" colspan="4"></td></tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E6.2"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(6b)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\mathbf{J}_{0}=\begin{pmatrix}-cv&du+2dv-cw&dv\\ 0&w_{1}u^{2}+a\varepsilon-2v&2w_{1}vu\\ 0&a-bu&\frac{2uw_{2}}{(1+Ku^{2})^{2}}-bv\end{pmatrix}\,," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E6.2.m1.2"><semantics id="S3.E6.2.m1.2a"><mrow id="S3.E6.2.m1.2.2.1" xref="S3.E6.2.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E6.2.m1.2.2.1.1" xref="S3.E6.2.m1.2.2.1.1.cmml"><msub id="S3.E6.2.m1.2.2.1.1.2" xref="S3.E6.2.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E6.2.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S3.E6.2.m1.2.2.1.1.2.2.cmml">𝐉</mi><mn id="S3.E6.2.m1.2.2.1.1.2.3" xref="S3.E6.2.m1.2.2.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.E6.2.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.E6.2.m1.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E6.2.m1.1.1.3" xref="S3.E6.2.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E6.2.m1.1.1.3.1" xref="S3.E6.2.m1.1.1.2.1.cmml">(</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.cmml"><mtr id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1a" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1b" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mo id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.1.1a" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.2" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.cmml">c</mi><mo id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.1" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.3" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.3.cmml">v</mi></mrow></mrow></mtd><mtd id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1c" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml"><mrow id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.2" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml"><mrow id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.2" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.2.2" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.2.1" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.2.3" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.2.3.cmml">u</mi></mrow><mo id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.1" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.3" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.3.cmml"><mn id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.3.2" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.3.1" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.3.3" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.3.3.cmml">d</mi><mo id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.3.1a" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.3.4" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.3.4.cmml">v</mi></mrow></mrow><mo id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.3" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.cmml"><mi id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2.cmml">c</mi><mo id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.1" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.cmml">w</mi></mrow></mrow></mtd><mtd id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1d" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml"><mi id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.3.1.2" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.3.1.2.cmml">d</mi><mo id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.3.1.1" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.3.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.3.1.3" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.3.1.3.cmml">v</mi></mrow></mtd></mtr><mtr id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1e" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1f" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.1.1" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1g" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml"><mrow id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.cmml"><mrow id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.2" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.2.cmml"><msub id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.2.2" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.2.2.2" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.2.2.2.cmml">w</mi><mn id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.2.2.3" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.2.1" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.2.3" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.2.3.2" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.2.3.2.cmml">u</mi><mn id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.2.3.3" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.1" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.3" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.3.2" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.3.2.cmml">a</mi><mo id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.3.1" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.3.3" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.3.3.cmml">ε</mi></mrow></mrow><mo id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.1" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.3" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.3.cmml"><mn id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.3.2" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.3.1" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.3.3" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.3.3.cmml">v</mi></mrow></mrow></mtd><mtd id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1h" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mn id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.3.1.2" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.cmml">2</mn><mo id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.3.1.1" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.3.1.3" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.3.1.3.cmml"><mi id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.3.1.3.2" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.3.1.3.2.cmml">w</mi><mn id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.3.1.3.3" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.3.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.3.1.1a" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.3.1.4" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.3.1.4.cmml">v</mi><mo id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.3.1.1b" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.3.1.5" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.3.1.5.cmml">u</mi></mrow></mtd></mtr><mtr id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1i" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1j" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1k" 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id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">u</mi><mo id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml">w</mi><mn id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">2</mn></msub></mrow><msup id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" 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xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.2.3">𝑢</ci></apply><apply id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.3.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.3"><times id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.3.1"></times><cn id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.3.2">2</cn><ci id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.3.3.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.3.3">𝑑</ci><ci id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.3.4.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.3.4">𝑣</ci></apply></apply><apply id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.3"><times id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.1"></times><ci id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2">𝑐</ci><ci id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3">𝑤</ci></apply></apply><apply id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.3.1"><times id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.3.1.1.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.3.1.1"></times><ci id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.3.1.2.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.3.1.2">𝑑</ci><ci id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.3.1.3.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.2.3.1.3">𝑣</ci></apply></matrixrow><matrixrow id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1"><cn id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.1.1">0</cn><apply id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1"><minus id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.1"></minus><apply id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2"><plus id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.1.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.1"></plus><apply id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.2.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.2"><times id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.2.1"></times><apply id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.2.2.2">𝑤</ci><cn id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.2.3.2">𝑢</ci><cn id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.3.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.3"><times id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.3.1"></times><ci id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.3.2">𝑎</ci><ci id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.3.3.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.3.3">𝜀</ci></apply></apply><apply id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.3.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.3"><times id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.3.1.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.3.1"></times><cn id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.3.2">2</cn><ci id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.3.3.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.2.1.3.3">𝑣</ci></apply></apply><apply id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.3.1"><times id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.3.1.1"></times><cn id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.3.1.2">2</cn><apply id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.3.1.3.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.3.1.3.1.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.3.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.3.1.3.2.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.3.1.3.2">𝑤</ci><cn id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.3.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.3.1.3.3">1</cn></apply><ci id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.3.1.4.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.3.1.4">𝑣</ci><ci id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.3.1.5.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.3.3.1.5">𝑢</ci></apply></matrixrow><matrixrow id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1"><cn id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" type="integer" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.1">0</cn><apply id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"><minus id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1"></minus><ci id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2">𝑎</ci><apply id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3"><times id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.1.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.1"></times><ci id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.2.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.2">𝑏</ci><ci id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.3.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.3">𝑢</ci></apply></apply><apply id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></minus><apply id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><divide id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></divide><apply id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><cn id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑢</ci><apply id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2">𝑤</ci><cn id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><cn id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐾</ci><apply id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑢</ci><cn id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply><cn id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑏</ci><ci id="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E6.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑣</ci></apply></apply></matrixrow></matrix></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E6.2.m1.2c">\displaystyle\mathbf{J}_{0}=\begin{pmatrix}-cv&du+2dv-cw&dv\\ 0&w_{1}u^{2}+a\varepsilon-2v&2w_{1}vu\\ 0&a-bu&\frac{2uw_{2}}{(1+Ku^{2})^{2}}-bv\end{pmatrix}\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E6.2.m1.2d">bold_J start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = ( start_ARG start_ROW start_CELL - italic_c italic_v end_CELL start_CELL italic_d italic_u + 2 italic_d italic_v - italic_c italic_w end_CELL start_CELL italic_d italic_v end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL italic_w start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_u start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_a italic_ε - 2 italic_v end_CELL start_CELL 2 italic_w start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_v italic_u end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL italic_a - italic_b italic_u end_CELL start_CELL divide start_ARG 2 italic_u italic_w start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ( 1 + italic_K italic_u start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG - italic_b italic_v end_CELL end_ROW end_ARG ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E6.3"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(6c)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\mathbf{J}_{\tau_{1}}=\begin{pmatrix}0&0&0\\ vu^{2}&0&0\\ 0&0&0\end{pmatrix}\,,\quad\mathbf{J}_{\tau_{2}}=\begin{pmatrix}0&0&0\\ 0&0&0\\ \frac{u^{2}}{1+Ku^{2}}&0&0\end{pmatrix}\,." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E6.3.m1.3"><semantics id="S3.E6.3.m1.3a"><mrow id="S3.E6.3.m1.3.3.1"><mrow id="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.2" xref="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐉</mi><msub id="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></msub></msub><mo id="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E6.3.m1.1.1.3" xref="S3.E6.3.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E6.3.m1.1.1.3.1" xref="S3.E6.3.m1.1.1.2.1.cmml">(</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S3.E6.3.m1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.cmml"><mtr id="S3.E6.3.m1.1.1.1.1a" xref="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="S3.E6.3.m1.1.1.1.1b" xref="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S3.E6.3.m1.1.1.1.1c" xref="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S3.E6.3.m1.1.1.1.1d" xref="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="S3.E6.3.m1.1.1.1.1e" xref="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="S3.E6.3.m1.1.1.1.1f" xref="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">v</mi><mo id="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.2" xref="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml">u</mi><mn id="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.3" xref="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mtd><mtd id="S3.E6.3.m1.1.1.1.1g" xref="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S3.E6.3.m1.1.1.1.1h" xref="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="S3.E6.3.m1.1.1.1.1i" xref="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="S3.E6.3.m1.1.1.1.1j" xref="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.3.1.1" xref="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S3.E6.3.m1.1.1.1.1k" xref="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S3.E6.3.m1.1.1.1.1l" 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columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1" rowspacing="0pt" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.cmml"><mtr id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1a" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.cmml"><mtd id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1b" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.cmml"><mn id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1c" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.cmml"><mn id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.1.2.1" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1d" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.cmml"><mn id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.1.3.1" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1e" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.cmml"><mtd id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1f" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.cmml"><mn id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.2.1.1" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.2.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1g" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.cmml"><mn id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.2.2.1" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1h" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.cmml"><mn id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.2.3.1" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1i" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.cmml"><mtd id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1j" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.cmml"><mfrac id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1a" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.cmml"><msup id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.2" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.2.2" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.2.2.cmml">u</mi><mn id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.2.3" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mrow id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.3" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.3.cmml"><mn id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.3.2" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.3.1" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.3.3" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.3.3.2" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.3.3.2.cmml">K</mi><mo id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.3.3.1" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.3.3.3" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.3.3.3.2" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.3.3.3.2.cmml">u</mi><mn id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.3.3.3.3" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mfrac></mstyle></mtd><mtd id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1k" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.cmml"><mn id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.2.1" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1l" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.cmml"><mn id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.3.1" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml">0</mn></mtd></mtr></mtable><mo id="S3.E6.3.m1.2.2.3.2" xref="S3.E6.3.m1.2.2.2.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E6.3.m1.3.3.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E6.3.m1.3b"><apply id="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.3a.cmml" xref="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.1.1"><eq id="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.1.1.2.2">𝐉</ci><apply id="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2">𝜏</ci><cn id="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.E6.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.3.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.E6.3.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E6.3.m1.1.1.3.1">matrix</csymbol><matrix id="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.3.m1.1.1.1.1"><matrixrow id="S3.E6.3.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S3.E6.3.m1.1.1.1.1"><cn id="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.1.1.1">0</cn><cn id="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" type="integer" xref="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.1.2.1">0</cn><cn id="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" type="integer" xref="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.1.3.1">0</cn></matrixrow><matrixrow id="S3.E6.3.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="S3.E6.3.m1.1.1.1.1"><apply id="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.2.1.1"><times id="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1"></times><ci id="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.2.1.1.2">𝑣</ci><apply id="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.2">𝑢</ci><cn id="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><cn id="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" type="integer" xref="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.2.2.1">0</cn><cn id="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" type="integer" xref="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.2.3.1">0</cn></matrixrow><matrixrow id="S3.E6.3.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="S3.E6.3.m1.1.1.1.1"><cn id="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.3.1.1">0</cn><cn id="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" type="integer" xref="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.3.2.1">0</cn><cn id="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" type="integer" xref="S3.E6.3.m1.1.1.1.1.3.3.1">0</cn></matrixrow></matrix></apply></apply><apply id="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.2.2"><eq id="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.2.2.1"></eq><apply id="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2">𝐉</ci><apply id="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.2">𝜏</ci><cn id="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E6.3.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.E6.3.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.E6.3.m1.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.E6.3.m1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E6.3.m1.2.2.3.1">matrix</csymbol><matrix id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1"><matrixrow id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1a.cmml" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1"><cn id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.1.1.1">0</cn><cn id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" type="integer" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.1.2.1">0</cn><cn id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" type="integer" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.1.3.1">0</cn></matrixrow><matrixrow id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1b.cmml" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1"><cn id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.2.1.1">0</cn><cn id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" type="integer" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.2.2.1">0</cn><cn id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml" type="integer" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.2.3.1">0</cn></matrixrow><matrixrow id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1c.cmml" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1"><apply id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1"><divide id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1"></divide><apply id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.2.2">𝑢</ci><cn id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.3"><plus id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.3.1"></plus><cn id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.3.2">1</cn><apply id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.3.3"><times id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.3.3.2">𝐾</ci><apply id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.3.3.3.2">𝑢</ci><cn id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.1.1.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><cn id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" type="integer" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.2.1">0</cn><cn id="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml" type="integer" xref="S3.E6.3.m1.2.2.1.1.3.3.1">0</cn></matrixrow></matrix></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E6.3.m1.3c">\displaystyle\mathbf{J}_{\tau_{1}}=\begin{pmatrix}0&0&0\\ vu^{2}&0&0\\ 0&0&0\end{pmatrix}\,,\quad\mathbf{J}_{\tau_{2}}=\begin{pmatrix}0&0&0\\ 0&0&0\\ \frac{u^{2}}{1+Ku^{2}}&0&0\end{pmatrix}\,.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E6.3.m1.3d">bold_J start_POSTSUBSCRIPT italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT = ( start_ARG start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_v italic_u start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW end_ARG ) , bold_J start_POSTSUBSCRIPT italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT = ( start_ARG start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL divide start_ARG italic_u start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 1 + italic_K italic_u start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW end_ARG ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p1.6">The matrix <math alttext="\mathbf{J}_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.2.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p1.2.m1.1a"><msub id="S3.SS2.p1.2.m1.1.1" xref="S3.SS2.p1.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.2.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.p1.2.m1.1.1.2.cmml">𝐉</mi><mn id="S3.SS2.p1.2.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.p1.2.m1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.2.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p1.2.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m1.1.1.2">𝐉</ci><cn id="S3.SS2.p1.2.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p1.2.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.2.m1.1c">\mathbf{J}_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.2.m1.1d">bold_J start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> corresponds to the Jacobian evaluated at the steady-state in the absence of delays, while <math alttext="\mathbf{J}_{\tau_{1}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.3.m2.1"><semantics id="S3.SS2.p1.3.m2.1a"><msub id="S3.SS2.p1.3.m2.1.1" xref="S3.SS2.p1.3.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.3.m2.1.1.2" xref="S3.SS2.p1.3.m2.1.1.2.cmml">𝐉</mi><msub id="S3.SS2.p1.3.m2.1.1.3" xref="S3.SS2.p1.3.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.3.m2.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p1.3.m2.1.1.3.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.SS2.p1.3.m2.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p1.3.m2.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.3.m2.1b"><apply id="S3.SS2.p1.3.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.3.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.3.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m2.1.1.2">𝐉</ci><apply id="S3.SS2.p1.3.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.3.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.3.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m2.1.1.3.2">𝜏</ci><cn id="S3.SS2.p1.3.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p1.3.m2.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.3.m2.1c">\mathbf{J}_{\tau_{1}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.3.m2.1d">bold_J start_POSTSUBSCRIPT italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\mathbf{J}_{\tau_{2}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.4.m3.1"><semantics id="S3.SS2.p1.4.m3.1a"><msub id="S3.SS2.p1.4.m3.1.1" xref="S3.SS2.p1.4.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.4.m3.1.1.2" xref="S3.SS2.p1.4.m3.1.1.2.cmml">𝐉</mi><msub id="S3.SS2.p1.4.m3.1.1.3" xref="S3.SS2.p1.4.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.4.m3.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p1.4.m3.1.1.3.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.SS2.p1.4.m3.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p1.4.m3.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.4.m3.1b"><apply id="S3.SS2.p1.4.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.4.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.4.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.4.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.4.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.4.m3.1.1.2">𝐉</ci><apply id="S3.SS2.p1.4.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.4.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.4.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.4.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.4.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.4.m3.1.1.3.2">𝜏</ci><cn id="S3.SS2.p1.4.m3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p1.4.m3.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.4.m3.1c">\mathbf{J}_{\tau_{2}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.4.m3.1d">bold_J start_POSTSUBSCRIPT italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> capture the contributions from delayed interactions associated with <math alttext="w_{1}=w(t-\tau_{1})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.5.m4.1"><semantics id="S3.SS2.p1.5.m4.1a"><mrow id="S3.SS2.p1.5.m4.1.1" xref="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.3" xref="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.3.2.cmml">w</mi><mn id="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.2" xref="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.1" xref="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.1.3.cmml">w</mi><mo id="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.5.m4.1b"><apply id="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.5.m4.1.1"><eq id="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.2"></eq><apply id="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.3.2">𝑤</ci><cn id="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.3.3">1</cn></apply><apply id="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.1"><times id="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.1.2"></times><ci id="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.1.3">𝑤</ci><apply id="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.1.1.1"><minus id="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><apply id="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜏</ci><cn id="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.5.m4.1c">w_{1}=w(t-\tau_{1})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.5.m4.1d">italic_w start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = italic_w ( italic_t - italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> and <math alttext="w_{2}=w(t-\tau_{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.6.m5.1"><semantics id="S3.SS2.p1.6.m5.1a"><mrow id="S3.SS2.p1.6.m5.1.1" xref="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.3" xref="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.3.2.cmml">w</mi><mn id="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.2" xref="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.1" xref="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.1.3.cmml">w</mi><mo id="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.6.m5.1b"><apply id="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.6.m5.1.1"><eq id="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.2"></eq><apply id="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.3.2">𝑤</ci><cn id="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.1"><times id="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.1.2"></times><ci id="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.1.3">𝑤</ci><apply id="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.1.1.1"><minus id="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><apply id="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜏</ci><cn id="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p1.6.m5.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.6.m5.1c">w_{2}=w(t-\tau_{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.6.m5.1d">italic_w start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = italic_w ( italic_t - italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, respectively. These delay terms reflect the biological reality that bacterial responses to autoinducers may not be instantaneous, depending on the activity of each subpopulation or autoinducers response characteristics.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p2.1">The determinant condition in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.E6" title="Equation 6 ‣ 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>) incorporates the interplay of delays in the system’s dynamics, where the <math alttext="\tau_{1,2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.1.m1.2"><semantics id="S3.SS2.p2.1.m1.2a"><msub id="S3.SS2.p2.1.m1.2.3" xref="S3.SS2.p2.1.m1.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.1.m1.2.3.2" xref="S3.SS2.p2.1.m1.2.3.2.cmml">τ</mi><mrow id="S3.SS2.p2.1.m1.2.2.2.4" xref="S3.SS2.p2.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mn id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.SS2.p2.1.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.SS2.p2.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="S3.SS2.p2.1.m1.2.2.2.2" xref="S3.SS2.p2.1.m1.2.2.2.2.cmml">2</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.1.m1.2b"><apply id="S3.SS2.p2.1.m1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.2.3.2">𝜏</ci><list id="S3.SS2.p2.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.2.2.2.4"><cn id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1">1</cn><cn id="S3.SS2.p2.1.m1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p2.1.m1.2.2.2.2">2</cn></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.1.m1.2c">\tau_{1,2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.1.m1.2d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 , 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>-dependent exponential terms introduce non-trivial dependencies on the delay parameters. These factors fundamentally affect the stability of the steady-states, as they influence the eigenvalue spectrum of the pseudo-characteristic equation.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p3.3">Notice that the structure of the matrices <math alttext="\mathbf{J}_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p3.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p3.1.m1.1a"><msub id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.2.cmml">𝐉</mi><mn id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p3.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.2">𝐉</ci><cn id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p3.1.m1.1c">\mathbf{J}_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p3.1.m1.1d">bold_J start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="\mathbf{J}_{\tau_{1}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p3.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.p3.2.m2.1a"><msub id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.2.cmml">𝐉</mi><msub id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p3.2.m2.1b"><apply id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.2">𝐉</ci><apply id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3.2">𝜏</ci><cn id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p3.2.m2.1c">\mathbf{J}_{\tau_{1}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p3.2.m2.1d">bold_J start_POSTSUBSCRIPT italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, and <math alttext="\mathbf{J}_{\tau_{2}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p3.3.m3.1"><semantics id="S3.SS2.p3.3.m3.1a"><msub id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.2.cmml">𝐉</mi><msub id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.3" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.3.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p3.3.m3.1b"><apply id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.2">𝐉</ci><apply id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.3.2">𝜏</ci><cn id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p3.3.m3.1c">\mathbf{J}_{\tau_{2}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p3.3.m3.1d">bold_J start_POSTSUBSCRIPT italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> highlights the coupling between up- and down-regulated bacteria, and autoinducer concentrations. In other words, <span class="ltx_inline-enumerate" id="S3.I3"> <span class="ltx_inline-item" id="S3.I3.i1"><span class="ltx_tag ltx_tag_inline-item">(i)</span> <span class="ltx_text" id="S3.I3.i1.1">the matrix (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.E6.2" title="Equation 6b ‣ Equation 6 ‣ 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6b</span></a>) encapsulates the direct interactions and self-regulation of each variable; </span></span> <span class="ltx_inline-item" id="S3.I3.i2"><span class="ltx_tag ltx_tag_inline-item">(ii)</span> <span class="ltx_text" id="S3.I3.i2.1">the left-hand side delay matrix in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.E6.3" title="Equation 6c ‣ Equation 6 ‣ 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6c</span></a>) accounts for the delayed contribution of motile bacteria to the growth of static bacteria via autoinducer-mediated interactions; </span></span> <span class="ltx_inline-item" id="S3.I3.i3"><span class="ltx_tag ltx_tag_inline-item">(iii)</span> <span class="ltx_text" id="S3.I3.i3.1">similarly, right-hand side delay matrix in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.E6.3" title="Equation 6c ‣ Equation 6 ‣ 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6c</span></a>) reflects the delayed influence of motile bacteria on their own growth due to the saturation effects regulated by autoinducer concentration. </span></span> </span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p4"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p4.1">As the pseudo-characteristic polynomial (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.E6" title="Equation 6 ‣ 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>) defines a transcendental equation, it inherently possesses an infinite number of roots due to the presence of exponential terms. These roots, corresponding to the eigenvalues of the linearised system, determine the growth rates and oscillatory behaviours of the dynamics. However, such linearisation at any steady-state is characterised by at most a finite number of eigenvalues with positive real parts, which correspond to unstable modes. The remaining eigenvalues typically have negative real parts or tend asymptotically to <math alttext="-\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p4.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p4.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS2.p4.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p4.1.m1.1.1a" xref="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.2.cmml">∞</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p4.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.1.m1.1.1"><minus id="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.1.m1.1.1"></minus><infinity id="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.2"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p4.1.m1.1c">-\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p4.1.m1.1d">- ∞</annotation></semantics></math>. As a consequence, despite the infinite-dimensional nature of system (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S2.E2" title="Equation 2 ‣ 2 Nonlinear time delayed Quorum Sensing system ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>), which arises from their dependence on the history of the solution over the delays interval, bifurcation theory reveals that their nonlinear dynamical events are qualitatively analogous to those of ordinary differential equations; see, for instance, <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#bib.bib20" title="">20</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#bib.bib2" title="">2</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p5"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p5.3">Observe that the determinant in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.E6" title="Equation 6 ‣ 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>) gives rise to the quasi-polynomial expression</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S3.E7"> <tbody> <tr class="ltx_eqn_row" id="Sx1.EGx9"><td class="ltx_eqn_cell" colspan="5"></td></tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E7.1"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(7a)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle q(\lambda,\boldsymbol{\tau},\mathbf{p})=" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E7.1.m1.3"><semantics id="S3.E7.1.m1.3a"><mrow id="S3.E7.1.m1.3.4" xref="S3.E7.1.m1.3.4.cmml"><mrow id="S3.E7.1.m1.3.4.2" xref="S3.E7.1.m1.3.4.2.cmml"><mi id="S3.E7.1.m1.3.4.2.2" xref="S3.E7.1.m1.3.4.2.2.cmml">q</mi><mo id="S3.E7.1.m1.3.4.2.1" xref="S3.E7.1.m1.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E7.1.m1.3.4.2.3.2" xref="S3.E7.1.m1.3.4.2.3.1.cmml"><mo id="S3.E7.1.m1.3.4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E7.1.m1.3.4.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E7.1.m1.1.1" xref="S3.E7.1.m1.1.1.cmml">λ</mi><mo id="S3.E7.1.m1.3.4.2.3.2.2" xref="S3.E7.1.m1.3.4.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E7.1.m1.2.2" xref="S3.E7.1.m1.2.2.cmml">𝝉</mi><mo id="S3.E7.1.m1.3.4.2.3.2.3" xref="S3.E7.1.m1.3.4.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E7.1.m1.3.3" xref="S3.E7.1.m1.3.3.cmml">𝐩</mi><mo id="S3.E7.1.m1.3.4.2.3.2.4" stretchy="false" xref="S3.E7.1.m1.3.4.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E7.1.m1.3.4.1" xref="S3.E7.1.m1.3.4.1.cmml">=</mo><mi id="S3.E7.1.m1.3.4.3" xref="S3.E7.1.m1.3.4.3.cmml"></mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E7.1.m1.3b"><apply id="S3.E7.1.m1.3.4.cmml" xref="S3.E7.1.m1.3.4"><eq id="S3.E7.1.m1.3.4.1.cmml" xref="S3.E7.1.m1.3.4.1"></eq><apply id="S3.E7.1.m1.3.4.2.cmml" xref="S3.E7.1.m1.3.4.2"><times id="S3.E7.1.m1.3.4.2.1.cmml" xref="S3.E7.1.m1.3.4.2.1"></times><ci id="S3.E7.1.m1.3.4.2.2.cmml" xref="S3.E7.1.m1.3.4.2.2">𝑞</ci><vector id="S3.E7.1.m1.3.4.2.3.1.cmml" xref="S3.E7.1.m1.3.4.2.3.2"><ci id="S3.E7.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.E7.1.m1.1.1">𝜆</ci><ci id="S3.E7.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.E7.1.m1.2.2">𝝉</ci><ci id="S3.E7.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.E7.1.m1.3.3">𝐩</ci></vector></apply><csymbol cd="latexml" id="S3.E7.1.m1.3.4.3.cmml" xref="S3.E7.1.m1.3.4.3">absent</csymbol></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E7.1.m1.3c">\displaystyle q(\lambda,\boldsymbol{\tau},\mathbf{p})=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E7.1.m1.3d">italic_q ( italic_λ , bold_italic_τ , bold_p ) =</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\>p_{3}(\lambda,\mathbf{p})+p_{2}(\lambda,\mathbf{p})\exp(-% \lambda\tau_{2})+p_{1}(\lambda,\mathbf{p})\exp(-\lambda\tau_{1})\,," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E7.1.m2.9"><semantics id="S3.E7.1.m2.9a"><mrow id="S3.E7.1.m2.9.9.1" xref="S3.E7.1.m2.9.9.1.1.cmml"><mrow id="S3.E7.1.m2.9.9.1.1" xref="S3.E7.1.m2.9.9.1.1.cmml"><mrow id="S3.E7.1.m2.9.9.1.1.4" xref="S3.E7.1.m2.9.9.1.1.4.cmml"><msub id="S3.E7.1.m2.9.9.1.1.4.2" xref="S3.E7.1.m2.9.9.1.1.4.2.cmml"><mi id="S3.E7.1.m2.9.9.1.1.4.2.2" xref="S3.E7.1.m2.9.9.1.1.4.2.2.cmml">p</mi><mn id="S3.E7.1.m2.9.9.1.1.4.2.3" xref="S3.E7.1.m2.9.9.1.1.4.2.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S3.E7.1.m2.9.9.1.1.4.1" xref="S3.E7.1.m2.9.9.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E7.1.m2.9.9.1.1.4.3.2" xref="S3.E7.1.m2.9.9.1.1.4.3.1.cmml"><mo id="S3.E7.1.m2.9.9.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E7.1.m2.9.9.1.1.4.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E7.1.m2.1.1" xref="S3.E7.1.m2.1.1.cmml">λ</mi><mo id="S3.E7.1.m2.9.9.1.1.4.3.2.2" xref="S3.E7.1.m2.9.9.1.1.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E7.1.m2.2.2" xref="S3.E7.1.m2.2.2.cmml">𝐩</mi><mo id="S3.E7.1.m2.9.9.1.1.4.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.E7.1.m2.9.9.1.1.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E7.1.m2.9.9.1.1.3" xref="S3.E7.1.m2.9.9.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="S3.E7.1.m2.9.9.1.1.1" xref="S3.E7.1.m2.9.9.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E7.1.m2.9.9.1.1.1.3" xref="S3.E7.1.m2.9.9.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E7.1.m2.9.9.1.1.1.3.2" xref="S3.E7.1.m2.9.9.1.1.1.3.2.cmml">p</mi><mn id="S3.E7.1.m2.9.9.1.1.1.3.3" xref="S3.E7.1.m2.9.9.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.E7.1.m2.9.9.1.1.1.2" xref="S3.E7.1.m2.9.9.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E7.1.m2.9.9.1.1.1.4.2" xref="S3.E7.1.m2.9.9.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="S3.E7.1.m2.9.9.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.E7.1.m2.9.9.1.1.1.4.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E7.1.m2.3.3" xref="S3.E7.1.m2.3.3.cmml">λ</mi><mo id="S3.E7.1.m2.9.9.1.1.1.4.2.2" xref="S3.E7.1.m2.9.9.1.1.1.4.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E7.1.m2.4.4" 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1 end_POSTSUBSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> <tr class="ltx_eqn_row ltx_align_baseline"><td class="ltx_eqn_cell ltx_align_left" colspan="5" style="white-space:normal;">where</td></tr> <tr class="ltx_eqn_row" id="Sx1.EGx10"><td class="ltx_eqn_cell" colspan="5"></td></tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E7.x1"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle p_{3}(\lambda,\boldsymbol{\tau},\mathbf{p})=" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E7.x1.m1.3"><semantics id="S3.E7.x1.m1.3a"><mrow id="S3.E7.x1.m1.3.4" xref="S3.E7.x1.m1.3.4.cmml"><mrow id="S3.E7.x1.m1.3.4.2" xref="S3.E7.x1.m1.3.4.2.cmml"><msub id="S3.E7.x1.m1.3.4.2.2" xref="S3.E7.x1.m1.3.4.2.2.cmml"><mi id="S3.E7.x1.m1.3.4.2.2.2" xref="S3.E7.x1.m1.3.4.2.2.2.cmml">p</mi><mn id="S3.E7.x1.m1.3.4.2.2.3" 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p_{3}(\lambda,\boldsymbol{\tau},\mathbf{p})=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E7.x1.m1.3d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_λ , bold_italic_τ , bold_p ) =</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\>(-cv-\lambda)\bigg{[}\big{(}a\varepsilon-\lambda+u^{2}{w_{1}}-2% v\big{)}\bigg{(}-bv-\lambda+\frac{2u{w_{2}}}{\big{(}Ku^{2}+1\big{)}^{2}}\bigg{)}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S3.E7.x1.m2.1"><semantics id="S3.E7.x1.m2.1a"><mrow id="S3.E7.x1.m2.1b"><mrow id="S3.E7.x1.m2.1.2"><mo id="S3.E7.x1.m2.1.2.1" stretchy="false">(</mo><mo id="S3.E7.x1.m2.1.2.2" lspace="0em">−</mo><mi id="S3.E7.x1.m2.1.2.3">c</mi><mi id="S3.E7.x1.m2.1.2.4">v</mi><mo id="S3.E7.x1.m2.1.2.5">−</mo><mi id="S3.E7.x1.m2.1.2.6">λ</mi><mo id="S3.E7.x1.m2.1.2.7" stretchy="false">)</mo></mrow><mrow id="S3.E7.x1.m2.1.3"><mo id="S3.E7.x1.m2.1.3.1" maxsize="210%" minsize="210%">[</mo><mrow 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displaystyle="true" id="S3.E7.x1.m2.1.1"><mfrac id="S3.E7.x1.m2.1.1a"><mrow id="S3.E7.x1.m2.1.1.3"><mn id="S3.E7.x1.m2.1.1.3.2">2</mn><mo id="S3.E7.x1.m2.1.1.3.1">⁢</mo><mi id="S3.E7.x1.m2.1.1.3.3">u</mi><mo id="S3.E7.x1.m2.1.1.3.1a">⁢</mo><msub id="S3.E7.x1.m2.1.1.3.4"><mi id="S3.E7.x1.m2.1.1.3.4.2">w</mi><mn id="S3.E7.x1.m2.1.1.3.4.3">2</mn></msub></mrow><msup id="S3.E7.x1.m2.1.1.1"><mrow id="S3.E7.x1.m2.1.1.1.1.1"><mo id="S3.E7.x1.m2.1.1.1.1.1.2" maxsize="120%" minsize="120%">(</mo><mrow id="S3.E7.x1.m2.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S3.E7.x1.m2.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S3.E7.x1.m2.1.1.1.1.1.1.2.2">K</mi><mo id="S3.E7.x1.m2.1.1.1.1.1.1.2.1">⁢</mo><msup id="S3.E7.x1.m2.1.1.1.1.1.1.2.3"><mi id="S3.E7.x1.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2">u</mi><mn id="S3.E7.x1.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3">2</mn></msup></mrow><mo id="S3.E7.x1.m2.1.1.1.1.1.1.1">+</mo><mn id="S3.E7.x1.m2.1.1.1.1.1.1.3">1</mn></mrow><mo id="S3.E7.x1.m2.1.1.1.1.1.3" maxsize="120%" minsize="120%">)</mo></mrow><mn id="S3.E7.x1.m2.1.1.1.3">2</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="S3.E7.x1.m2.1.3.3.8" maxsize="210%" minsize="210%">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E7.x1.m2.1c">\displaystyle\>(-cv-\lambda)\bigg{[}\big{(}a\varepsilon-\lambda+u^{2}{w_{1}}-2% v\big{)}\bigg{(}-bv-\lambda+\frac{2u{w_{2}}}{\big{(}Ku^{2}+1\big{)}^{2}}\bigg{)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E7.x1.m2.1d">( - italic_c italic_v - italic_λ ) [ ( italic_a italic_ε - italic_λ + italic_u start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_w start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT - 2 italic_v ) ( - italic_b italic_v - italic_λ + divide start_ARG 2 italic_u italic_w start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ( italic_K italic_u start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 1 ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E7.2"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(7b)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\quad-2uv{w_{1}}(a-bu)\bigg{]}\,," class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S3.E7.2.m1.1"><semantics id="S3.E7.2.m1.1a"><mrow id="S3.E7.2.m1.1b"><mo id="S3.E7.2.m1.1.1">−</mo><mn id="S3.E7.2.m1.1.2">2</mn><mi id="S3.E7.2.m1.1.3">u</mi><mi id="S3.E7.2.m1.1.4">v</mi><msub id="S3.E7.2.m1.1.5"><mi id="S3.E7.2.m1.1.5.2">w</mi><mn id="S3.E7.2.m1.1.5.3">1</mn></msub><mrow id="S3.E7.2.m1.1.6"><mo id="S3.E7.2.m1.1.6.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S3.E7.2.m1.1.6.2">a</mi><mo id="S3.E7.2.m1.1.6.3">−</mo><mi id="S3.E7.2.m1.1.6.4">b</mi><mi id="S3.E7.2.m1.1.6.5">u</mi><mo id="S3.E7.2.m1.1.6.6" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S3.E7.2.m1.1.7" maxsize="210%" minsize="210%" rspace="0.170em">]</mo><mo id="S3.E7.2.m1.1.8">,</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E7.2.m1.1c">\displaystyle\quad-2uv{w_{1}}(a-bu)\bigg{]}\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E7.2.m1.1d">- 2 italic_u italic_v italic_w start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_a - italic_b italic_u ) ] ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E7.3"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(7c)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle p_{2}(\lambda,\boldsymbol{\tau},\mathbf{p})=" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E7.3.m1.3"><semantics id="S3.E7.3.m1.3a"><mrow id="S3.E7.3.m1.3.4" xref="S3.E7.3.m1.3.4.cmml"><mrow id="S3.E7.3.m1.3.4.2" xref="S3.E7.3.m1.3.4.2.cmml"><msub id="S3.E7.3.m1.3.4.2.2" xref="S3.E7.3.m1.3.4.2.2.cmml"><mi id="S3.E7.3.m1.3.4.2.2.2" xref="S3.E7.3.m1.3.4.2.2.2.cmml">p</mi><mn id="S3.E7.3.m1.3.4.2.2.3" xref="S3.E7.3.m1.3.4.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.E7.3.m1.3.4.2.1" xref="S3.E7.3.m1.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E7.3.m1.3.4.2.3.2" xref="S3.E7.3.m1.3.4.2.3.1.cmml"><mo id="S3.E7.3.m1.3.4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E7.3.m1.3.4.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E7.3.m1.1.1" xref="S3.E7.3.m1.1.1.cmml">λ</mi><mo id="S3.E7.3.m1.3.4.2.3.2.2" xref="S3.E7.3.m1.3.4.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E7.3.m1.2.2" xref="S3.E7.3.m1.2.2.cmml">𝝉</mi><mo id="S3.E7.3.m1.3.4.2.3.2.3" xref="S3.E7.3.m1.3.4.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E7.3.m1.3.3" xref="S3.E7.3.m1.3.3.cmml">𝐩</mi><mo id="S3.E7.3.m1.3.4.2.3.2.4" stretchy="false" xref="S3.E7.3.m1.3.4.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E7.3.m1.3.4.1" xref="S3.E7.3.m1.3.4.1.cmml">=</mo><mi id="S3.E7.3.m1.3.4.3" xref="S3.E7.3.m1.3.4.3.cmml"></mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E7.3.m1.3b"><apply id="S3.E7.3.m1.3.4.cmml" xref="S3.E7.3.m1.3.4"><eq id="S3.E7.3.m1.3.4.1.cmml" xref="S3.E7.3.m1.3.4.1"></eq><apply id="S3.E7.3.m1.3.4.2.cmml" xref="S3.E7.3.m1.3.4.2"><times id="S3.E7.3.m1.3.4.2.1.cmml" xref="S3.E7.3.m1.3.4.2.1"></times><apply id="S3.E7.3.m1.3.4.2.2.cmml" xref="S3.E7.3.m1.3.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.3.m1.3.4.2.2.1.cmml" xref="S3.E7.3.m1.3.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E7.3.m1.3.4.2.2.2.cmml" xref="S3.E7.3.m1.3.4.2.2.2">𝑝</ci><cn id="S3.E7.3.m1.3.4.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E7.3.m1.3.4.2.2.3">2</cn></apply><vector id="S3.E7.3.m1.3.4.2.3.1.cmml" xref="S3.E7.3.m1.3.4.2.3.2"><ci id="S3.E7.3.m1.1.1.cmml" xref="S3.E7.3.m1.1.1">𝜆</ci><ci id="S3.E7.3.m1.2.2.cmml" xref="S3.E7.3.m1.2.2">𝝉</ci><ci id="S3.E7.3.m1.3.3.cmml" xref="S3.E7.3.m1.3.3">𝐩</ci></vector></apply><csymbol cd="latexml" id="S3.E7.3.m1.3.4.3.cmml" xref="S3.E7.3.m1.3.4.3">absent</csymbol></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E7.3.m1.3c">\displaystyle p_{2}(\lambda,\boldsymbol{\tau},\mathbf{p})=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E7.3.m1.3d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_λ , bold_italic_τ , bold_p ) =</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\>\frac{u^{2}v}{Ku^{2}+1}\big{(}-ad\varepsilon-2cuw{w_{1}}-du^{2}% {w_{1}}+4duv{w_{1}}+2dv+d\lambda\big{)}," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E7.3.m2.1"><semantics id="S3.E7.3.m2.1a"><mrow id="S3.E7.3.m2.1.1.1" xref="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E7.3.m2.1.1.1.1" xref="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.3" xref="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.3a" xref="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.3.2" 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xref="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.2" xref="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="120%" minsize="120%" xref="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2a" xref="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">a</mi><mo id="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">d</mi><mo id="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1a" xref="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.4" xref="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.4.cmml">ε</mi></mrow></mrow><mo id="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mn id="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">c</mi><mo id="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1a" xref="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4" xref="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.cmml">u</mi><mo id="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1b" xref="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.5" xref="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.5.cmml">w</mi><mo id="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1c" xref="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.6" xref="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.6.cmml"><mi id="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.6.2" xref="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.6.2.cmml">w</mi><mn id="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.6.3" xref="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.6.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">d</mi><mo id="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.4.1" xref="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml"><mi id="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.2" xref="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.2.cmml">u</mi><mn id="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.3" xref="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.4.1a" xref="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.4.4" xref="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.4.4.cmml"><mi id="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.4.4.2" xref="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.4.4.2.cmml">w</mi><mn id="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.4.4.3" xref="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.4.4.3.cmml">1</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">4</mn><mo id="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E7.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">d</mi><mo 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start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_v end_ARG start_ARG italic_K italic_u start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 1 end_ARG ( - italic_a italic_d italic_ε - 2 italic_c italic_u italic_w italic_w start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT - italic_d italic_u start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_w start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + 4 italic_d italic_u italic_v italic_w start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + 2 italic_d italic_v + italic_d italic_λ ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E7.x2"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle p_{1}(\lambda,\boldsymbol{\tau},\mathbf{p})=" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E7.x2.m1.3"><semantics id="S3.E7.x2.m1.3a"><mrow id="S3.E7.x2.m1.3.4" xref="S3.E7.x2.m1.3.4.cmml"><mrow 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id="S3.E7.x2.m1.3.4.3" xref="S3.E7.x2.m1.3.4.3.cmml"></mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E7.x2.m1.3b"><apply id="S3.E7.x2.m1.3.4.cmml" xref="S3.E7.x2.m1.3.4"><eq id="S3.E7.x2.m1.3.4.1.cmml" xref="S3.E7.x2.m1.3.4.1"></eq><apply id="S3.E7.x2.m1.3.4.2.cmml" xref="S3.E7.x2.m1.3.4.2"><times id="S3.E7.x2.m1.3.4.2.1.cmml" xref="S3.E7.x2.m1.3.4.2.1"></times><apply id="S3.E7.x2.m1.3.4.2.2.cmml" xref="S3.E7.x2.m1.3.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.x2.m1.3.4.2.2.1.cmml" xref="S3.E7.x2.m1.3.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E7.x2.m1.3.4.2.2.2.cmml" xref="S3.E7.x2.m1.3.4.2.2.2">𝑝</ci><cn id="S3.E7.x2.m1.3.4.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E7.x2.m1.3.4.2.2.3">1</cn></apply><vector id="S3.E7.x2.m1.3.4.2.3.1.cmml" xref="S3.E7.x2.m1.3.4.2.3.2"><ci id="S3.E7.x2.m1.1.1.cmml" xref="S3.E7.x2.m1.1.1">𝜆</ci><ci id="S3.E7.x2.m1.2.2.cmml" xref="S3.E7.x2.m1.2.2">𝝉</ci><ci id="S3.E7.x2.m1.3.3.cmml" xref="S3.E7.x2.m1.3.3">𝐩</ci></vector></apply><csymbol cd="latexml" id="S3.E7.x2.m1.3.4.3.cmml" xref="S3.E7.x2.m1.3.4.3">absent</csymbol></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E7.x2.m1.3c">\displaystyle p_{1}(\lambda,\boldsymbol{\tau},\mathbf{p})=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E7.x2.m1.3d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_λ , bold_italic_τ , bold_p ) =</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\>-u^{2}v(-cw+du+2dv)\bigg{(}-bv-\lambda+\frac{2u{w_{2}}}{\big{(}% Ku^{2}+1\big{)}^{2}}\bigg{)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E7.x2.m2.3"><semantics id="S3.E7.x2.m2.3a"><mrow id="S3.E7.x2.m2.3.3" xref="S3.E7.x2.m2.3.3.cmml"><mo id="S3.E7.x2.m2.3.3a" xref="S3.E7.x2.m2.3.3.cmml">−</mo><mrow id="S3.E7.x2.m2.3.3.2" xref="S3.E7.x2.m2.3.3.2.cmml"><msup id="S3.E7.x2.m2.3.3.2.4" xref="S3.E7.x2.m2.3.3.2.4.cmml"><mi id="S3.E7.x2.m2.3.3.2.4.2" xref="S3.E7.x2.m2.3.3.2.4.2.cmml">u</mi><mn id="S3.E7.x2.m2.3.3.2.4.3" xref="S3.E7.x2.m2.3.3.2.4.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E7.x2.m2.3.3.2.3" xref="S3.E7.x2.m2.3.3.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E7.x2.m2.3.3.2.5" xref="S3.E7.x2.m2.3.3.2.5.cmml">v</mi><mo id="S3.E7.x2.m2.3.3.2.3a" xref="S3.E7.x2.m2.3.3.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E7.x2.m2.2.2.1.1.1" xref="S3.E7.x2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E7.x2.m2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E7.x2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E7.x2.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E7.x2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E7.x2.m2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E7.x2.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E7.x2.m2.2.2.1.1.1.1.2a" xref="S3.E7.x2.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.E7.x2.m2.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E7.x2.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E7.x2.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E7.x2.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">c</mi><mo id="S3.E7.x2.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.1" xref="S3.E7.x2.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E7.x2.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.3" 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xref="S3.E7.x2.m2.1.1.3.4.3.cmml">2</mn></msub></mrow><msup id="S3.E7.x2.m2.1.1.1" xref="S3.E7.x2.m2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E7.x2.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.E7.x2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E7.x2.m2.1.1.1.1.1.2" maxsize="120%" minsize="120%" xref="S3.E7.x2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E7.x2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E7.x2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E7.x2.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E7.x2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E7.x2.m2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E7.x2.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">K</mi><mo id="S3.E7.x2.m2.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E7.x2.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E7.x2.m2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E7.x2.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E7.x2.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E7.x2.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">u</mi><mn id="S3.E7.x2.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.E7.x2.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S3.E7.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E7.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S3.E7.x2.m2.1.1.1.1.1.1.3" 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xref="S3.E7.4.m1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.E7.4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.E7.4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E7.4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑎</ci><apply id="S3.E7.4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E7.4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.E7.4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E7.4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E7.4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E7.4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑏</ci><ci id="S3.E7.4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E7.4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑢</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E7.4.m1.1c">\displaystyle\quad+du^{2}v^{2}(a-bu)\,;</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E7.4.m1.1d">+ italic_d italic_u start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_v start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_a - italic_b italic_u ) ;</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p5.2">here, <math alttext="\boldsymbol{\tau}=(\tau_{1},\tau_{2})^{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p5.1.m1.2"><semantics id="S3.SS2.p5.1.m1.2a"><mrow id="S3.SS2.p5.1.m1.2.2" xref="S3.SS2.p5.1.m1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p5.1.m1.2.2.4" xref="S3.SS2.p5.1.m1.2.2.4.cmml">𝝉</mi><mo id="S3.SS2.p5.1.m1.2.2.3" xref="S3.SS2.p5.1.m1.2.2.3.cmml">=</mo><msup id="S3.SS2.p5.1.m1.2.2.2" xref="S3.SS2.p5.1.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS2.p5.1.m1.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.p5.1.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.SS2.p5.1.m1.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p5.1.m1.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.SS2.p5.1.m1.2.2.2.2.2.4" xref="S3.SS2.p5.1.m1.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.SS2.p5.1.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.p5.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p5.1.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.p5.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.SS2.p5.1.m1.2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.SS2.p5.1.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.SS2.p5.1.m1.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.SS2.p5.1.m1.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mi id="S3.SS2.p5.1.m1.2.2.2.4" xref="S3.SS2.p5.1.m1.2.2.2.4.cmml">T</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p5.1.m1.2b"><apply id="S3.SS2.p5.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.1.m1.2.2"><eq id="S3.SS2.p5.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p5.1.m1.2.2.3"></eq><ci id="S3.SS2.p5.1.m1.2.2.4.cmml" xref="S3.SS2.p5.1.m1.2.2.4">𝝉</ci><apply id="S3.SS2.p5.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.1.m1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p5.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p5.1.m1.2.2.2">superscript</csymbol><interval closure="open" id="S3.SS2.p5.1.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p5.1.m1.2.2.2.2.2"><apply id="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝜏</ci><cn id="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S3.SS2.p5.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.1.m1.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p5.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.1.m1.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p5.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.1.m1.2.2.2.2.2.2.2">𝜏</ci><cn id="S3.SS2.p5.1.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p5.1.m1.2.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply></interval><ci id="S3.SS2.p5.1.m1.2.2.2.4.cmml" xref="S3.SS2.p5.1.m1.2.2.2.4">𝑇</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p5.1.m1.2c">\boldsymbol{\tau}=(\tau_{1},\tau_{2})^{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p5.1.m1.2d">bold_italic_τ = ( italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> represents the delay vector, while <math alttext="\mathbf{p}=(a,b,c,d,\varepsilon,K)^{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p5.2.m2.6"><semantics id="S3.SS2.p5.2.m2.6a"><mrow id="S3.SS2.p5.2.m2.6.7" xref="S3.SS2.p5.2.m2.6.7.cmml"><mi id="S3.SS2.p5.2.m2.6.7.2" xref="S3.SS2.p5.2.m2.6.7.2.cmml">𝐩</mi><mo id="S3.SS2.p5.2.m2.6.7.1" xref="S3.SS2.p5.2.m2.6.7.1.cmml">=</mo><msup id="S3.SS2.p5.2.m2.6.7.3" xref="S3.SS2.p5.2.m2.6.7.3.cmml"><mrow id="S3.SS2.p5.2.m2.6.7.3.2.2" xref="S3.SS2.p5.2.m2.6.7.3.2.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p5.2.m2.6.7.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p5.2.m2.6.7.3.2.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.p5.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.cmml">a</mi><mo id="S3.SS2.p5.2.m2.6.7.3.2.2.2" xref="S3.SS2.p5.2.m2.6.7.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.p5.2.m2.2.2" xref="S3.SS2.p5.2.m2.2.2.cmml">b</mi><mo id="S3.SS2.p5.2.m2.6.7.3.2.2.3" xref="S3.SS2.p5.2.m2.6.7.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.p5.2.m2.3.3" xref="S3.SS2.p5.2.m2.3.3.cmml">c</mi><mo id="S3.SS2.p5.2.m2.6.7.3.2.2.4" xref="S3.SS2.p5.2.m2.6.7.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.p5.2.m2.4.4" xref="S3.SS2.p5.2.m2.4.4.cmml">d</mi><mo id="S3.SS2.p5.2.m2.6.7.3.2.2.5" xref="S3.SS2.p5.2.m2.6.7.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.p5.2.m2.5.5" xref="S3.SS2.p5.2.m2.5.5.cmml">ε</mi><mo id="S3.SS2.p5.2.m2.6.7.3.2.2.6" xref="S3.SS2.p5.2.m2.6.7.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.p5.2.m2.6.6" xref="S3.SS2.p5.2.m2.6.6.cmml">K</mi><mo id="S3.SS2.p5.2.m2.6.7.3.2.2.7" stretchy="false" xref="S3.SS2.p5.2.m2.6.7.3.2.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S3.SS2.p5.2.m2.6.7.3.3" xref="S3.SS2.p5.2.m2.6.7.3.3.cmml">T</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p5.2.m2.6b"><apply id="S3.SS2.p5.2.m2.6.7.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.6.7"><eq id="S3.SS2.p5.2.m2.6.7.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.6.7.1"></eq><ci id="S3.SS2.p5.2.m2.6.7.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.6.7.2">𝐩</ci><apply id="S3.SS2.p5.2.m2.6.7.3.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.6.7.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p5.2.m2.6.7.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.6.7.3">superscript</csymbol><vector id="S3.SS2.p5.2.m2.6.7.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.6.7.3.2.2"><ci id="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.1.1">𝑎</ci><ci id="S3.SS2.p5.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.2.2">𝑏</ci><ci id="S3.SS2.p5.2.m2.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.3.3">𝑐</ci><ci id="S3.SS2.p5.2.m2.4.4.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.4.4">𝑑</ci><ci id="S3.SS2.p5.2.m2.5.5.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.5.5">𝜀</ci><ci id="S3.SS2.p5.2.m2.6.6.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.6.6">𝐾</ci></vector><ci id="S3.SS2.p5.2.m2.6.7.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.6.7.3.3">𝑇</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p5.2.m2.6c">\mathbf{p}=(a,b,c,d,\varepsilon,K)^{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p5.2.m2.6d">bold_p = ( italic_a , italic_b , italic_c , italic_d , italic_ε , italic_K ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> encapsulates the system parameter vector.</p> </div> <section class="ltx_subsubsection" id="S3.SS2.SSS1"> <h4 class="ltx_title ltx_title_subsubsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsubsection">3.2.1 </span>Existence of purely imaginary eigenvalues.</h4> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.SSS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS1.p1.7">We begin our analysis by considering the non-delayed case in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.E7.1" title="Equation 7a ‣ Equation 7 ‣ 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7a</span></a>). In so doing, it is reduced to the polynomial determined by (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.E7" title="Equation 7 ‣ 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7</span></a>) with <math alttext="\tau_{1}=\tau_{2}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.2.3" xref="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml">=</mo><msub id="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.4" xref="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.4.2" xref="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.4.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.4.3" xref="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.4.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.5" xref="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.5.cmml">=</mo><mn id="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.6" xref="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.6.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1"><and id="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1a.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1"></and><apply id="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1b.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1"><eq id="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.3"></eq><apply id="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.2.2">𝜏</ci><cn id="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.4.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.4.2">𝜏</ci><cn id="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.4.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1"><eq id="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.5.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.4.cmml" id="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1"></share><cn id="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.6.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.6">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1c">\tau_{1}=\tau_{2}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math>. For the parameter values given in Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S2.T1" title="Table 1 ‣ 2 Nonlinear time delayed Quorum Sensing system ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>, the positive steady-states <math alttext="E_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p1.2.m2.1a"><msub id="S3.SS2.SSS1.p1.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p1.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p1.2.m2.1.1.2.cmml">E</mi><mn id="S3.SS2.SSS1.p1.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p1.2.m2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.SS2.SSS1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p1.2.m2.1.1.2">𝐸</ci><cn id="S3.SS2.SSS1.p1.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.p1.2.m2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p1.2.m2.1c">E_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p1.2.m2.1d">italic_E start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="E_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p1.3.m3.1a"><msub id="S3.SS2.SSS1.p1.3.m3.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p1.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p1.3.m3.1.1.2.cmml">E</mi><mn id="S3.SS2.SSS1.p1.3.m3.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p1.3.m3.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p1.3.m3.1b"><apply id="S3.SS2.SSS1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p1.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p1.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p1.3.m3.1.1.2">𝐸</ci><cn id="S3.SS2.SSS1.p1.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.p1.3.m3.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p1.3.m3.1c">E_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p1.3.m3.1d">italic_E start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, and <math alttext="E_{3}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p1.4.m4.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p1.4.m4.1a"><msub id="S3.SS2.SSS1.p1.4.m4.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p1.4.m4.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p1.4.m4.1.1.2.cmml">E</mi><mn id="S3.SS2.SSS1.p1.4.m4.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p1.4.m4.1.1.3.cmml">3</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p1.4.m4.1b"><apply id="S3.SS2.SSS1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p1.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p1.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p1.4.m4.1.1.2">𝐸</ci><cn id="S3.SS2.SSS1.p1.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.p1.4.m4.1.1.3">3</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p1.4.m4.1c">E_{3}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p1.4.m4.1d">italic_E start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> correspond to hyperbolic points. Specifically, <math alttext="E_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p1.5.m5.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p1.5.m5.1a"><msub id="S3.SS2.SSS1.p1.5.m5.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p1.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p1.5.m5.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p1.5.m5.1.1.2.cmml">E</mi><mn id="S3.SS2.SSS1.p1.5.m5.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p1.5.m5.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p1.5.m5.1b"><apply id="S3.SS2.SSS1.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p1.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p1.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p1.5.m5.1.1.2">𝐸</ci><cn id="S3.SS2.SSS1.p1.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.p1.5.m5.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p1.5.m5.1c">E_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p1.5.m5.1d">italic_E start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is a saddle point, while <math alttext="E_{3}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p1.6.m6.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p1.6.m6.1a"><msub id="S3.SS2.SSS1.p1.6.m6.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p1.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p1.6.m6.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p1.6.m6.1.1.2.cmml">E</mi><mn id="S3.SS2.SSS1.p1.6.m6.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p1.6.m6.1.1.3.cmml">3</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p1.6.m6.1b"><apply id="S3.SS2.SSS1.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p1.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.p1.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p1.6.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.p1.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p1.6.m6.1.1.2">𝐸</ci><cn id="S3.SS2.SSS1.p1.6.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.p1.6.m6.1.1.3">3</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p1.6.m6.1c">E_{3}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p1.6.m6.1d">italic_E start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> corresponds to a stable node. In particular, the steady-state <math alttext="E_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p1.7.m7.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p1.7.m7.1a"><msub id="S3.SS2.SSS1.p1.7.m7.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p1.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p1.7.m7.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p1.7.m7.1.1.2.cmml">E</mi><mn id="S3.SS2.SSS1.p1.7.m7.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p1.7.m7.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p1.7.m7.1b"><apply id="S3.SS2.SSS1.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p1.7.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.p1.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p1.7.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.p1.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p1.7.m7.1.1.2">𝐸</ci><cn id="S3.SS2.SSS1.p1.7.m7.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.p1.7.m7.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p1.7.m7.1c">E_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p1.7.m7.1d">italic_E start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> exhibits a saddle-type instability as is characterised by the presence of one real negative eigenvalue and a pair of complex conjugate eigenvalues with positive real parts. Furthermore, the number of positive steady-states and their corresponding stability properties align precisely with the results reported in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#bib.bib18" title="">18</a>]</cite>, which states the robustness and validity of our theoretical framework.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.SSS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS1.p2.5">For sufficiently small positive values of the delays, <math alttext="0<\tau_{1},\tau_{2}\ll 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.2"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.2a"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">0</mn><mo id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><</mo><msub id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.2.2.2.3" xref="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.2.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.2.2.2.2.cmml"><msub id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.2.2.2.2.1" xref="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.2.2.2.2.1.cmml">≪</mo><mn id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.2.2.2.2.3" xref="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.2.2.2.2.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.2b"><apply id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.2.2.3a.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1"><lt id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1"></lt><cn id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.2">0</cn><apply id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.2">𝜏</ci><cn id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.2.2.2.2.1">much-less-than</csymbol><apply id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.2.2.2.2.2.2">𝜏</ci><cn id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply><cn id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.2.2.2.2.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.2c">0<\tau_{1},\tau_{2}\ll 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.2d">0 < italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ≪ 1</annotation></semantics></math>, the number of eigenvalues <math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p2.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p2.2.m2.1a"><mi id="S3.SS2.SSS1.p2.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p2.2.m2.1.1.cmml">λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p2.2.m2.1b"><ci id="S3.SS2.SSS1.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.2.m2.1.1">𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p2.2.m2.1c">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p2.2.m2.1d">italic_λ</annotation></semantics></math> satisfying <math alttext="q(\lambda,\boldsymbol{\tau},\mathbf{p})=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3a"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.4" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.4.cmml"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.4.2" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.4.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.4.2.2" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.4.2.2.cmml">q</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.4.2.1" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.4.2.3.2" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.4.2.3.1.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.4.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1.cmml">λ</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.4.2.3.2.2" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.4.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.2.2" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.2.2.cmml">𝝉</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.4.2.3.2.3" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.4.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.cmml">𝐩</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.4.2.3.2.4" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.4.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.4.1" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.4.1.cmml">=</mo><mn id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.4.3" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.4.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3b"><apply id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.4.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.4"><eq id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.4.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.4.1"></eq><apply id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.4.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.4.2"><times id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.4.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.4.2.1"></times><ci id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.4.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.4.2.2">𝑞</ci><vector id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.4.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.4.2.3.2"><ci id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1">𝜆</ci><ci id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.2.2">𝝉</ci><ci id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3">𝐩</ci></vector></apply><cn id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.4.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3c">q(\lambda,\boldsymbol{\tau},\mathbf{p})=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3d">italic_q ( italic_λ , bold_italic_τ , bold_p ) = 0</annotation></semantics></math> not only becomes infinite, but also the real parts of these eigenvalues drift: they shift to the right when <math alttext="\Re{(\lambda)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p2.4.m4.2"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p2.4.m4.2a"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p2.4.m4.2.3.2" xref="S3.SS2.SSS1.p2.4.m4.2.3.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p2.4.m4.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.SSS1.p2.4.m4.1.1.cmml">ℜ</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p2.4.m4.2.3.2a" xref="S3.SS2.SSS1.p2.4.m4.2.3.1.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.SS2.SSS1.p2.4.m4.2.3.2.1" xref="S3.SS2.SSS1.p2.4.m4.2.3.1.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS1.p2.4.m4.2.3.2.1.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS1.p2.4.m4.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.SSS1.p2.4.m4.2.2" xref="S3.SS2.SSS1.p2.4.m4.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p2.4.m4.2.3.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS1.p2.4.m4.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p2.4.m4.2b"><apply id="S3.SS2.SSS1.p2.4.m4.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.4.m4.2.3.2"><real id="S3.SS2.SSS1.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.4.m4.1.1"></real><ci id="S3.SS2.SSS1.p2.4.m4.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.4.m4.2.2">𝜆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p2.4.m4.2c">\Re{(\lambda)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p2.4.m4.2d">roman_ℜ ( italic_λ )</annotation></semantics></math> is negative and to the left when <math alttext="\Re{(\lambda)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p2.5.m5.2"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p2.5.m5.2a"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p2.5.m5.2.3.2" xref="S3.SS2.SSS1.p2.5.m5.2.3.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p2.5.m5.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.SSS1.p2.5.m5.1.1.cmml">ℜ</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p2.5.m5.2.3.2a" xref="S3.SS2.SSS1.p2.5.m5.2.3.1.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.SS2.SSS1.p2.5.m5.2.3.2.1" xref="S3.SS2.SSS1.p2.5.m5.2.3.1.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS1.p2.5.m5.2.3.2.1.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS1.p2.5.m5.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.SSS1.p2.5.m5.2.2" xref="S3.SS2.SSS1.p2.5.m5.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p2.5.m5.2.3.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS1.p2.5.m5.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p2.5.m5.2b"><apply id="S3.SS2.SSS1.p2.5.m5.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.5.m5.2.3.2"><real id="S3.SS2.SSS1.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.5.m5.1.1"></real><ci id="S3.SS2.SSS1.p2.5.m5.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.5.m5.2.2">𝜆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p2.5.m5.2c">\Re{(\lambda)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p2.5.m5.2d">roman_ℜ ( italic_λ )</annotation></semantics></math> is positive. This phenomenon suggests a transition in stability, which is intrinsically linked to the emergence of purely imaginary eigenvalues; see, for a detailed discussion, <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#bib.bib26" title="">26</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.SSS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS1.p3.2">To determine purely imaginary roots of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.E7.1" title="Equation 7a ‣ Equation 7 ‣ 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7a</span></a>), let us set <math alttext="\lambda=i\omega" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.1" xref="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.3.cmml">ω</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1"><eq id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.2">𝜆</ci><apply id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.3"><times id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.3">𝜔</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1c">\lambda=i\omega</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1d">italic_λ = italic_i italic_ω</annotation></semantics></math> for <math alttext="\omega>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p3.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p3.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p3.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p3.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p3.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.2.m2.1.1.2.cmml">ω</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.2.m2.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p3.2.m2.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S3.SS2.SSS1.p3.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p3.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p3.2.m2.1b"><apply id="S3.SS2.SSS1.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.2.m2.1.1"><gt id="S3.SS2.SSS1.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.2.m2.1.1.1"></gt><ci id="S3.SS2.SSS1.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.2.m2.1.1.2">𝜔</ci><cn id="S3.SS2.SSS1.p3.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.p3.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p3.2.m2.1c">\omega>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p3.2.m2.1d">italic_ω > 0</annotation></semantics></math>, yielding</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E8"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(8)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="p_{3}(i\omega,\mathbf{p})+p_{2}(i\omega,\mathbf{p})e^{-i\omega\tau_{2}}+p_{1}(% i\omega,\mathbf{p})e^{-i\omega\tau_{1}}=0\,." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E8.m1.4"><semantics id="S3.E8.m1.4a"><mrow id="S3.E8.m1.4.4.1" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.E8.m1.4.4.1.1" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.E8.m1.4.4.1.1.3" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E8.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E8.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E8.m1.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml">p</mi><mn id="S3.E8.m1.4.4.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S3.E8.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo 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id="S3.E8.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.2.2.3.2">𝑝</ci><cn id="S3.E8.m1.4.4.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.2.2.3.3">2</cn></apply><interval closure="open" id="S3.E8.m1.4.4.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.2.2.1.1"><apply id="S3.E8.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1"><times id="S3.E8.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1"></times><ci id="S3.E8.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S3.E8.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.3">𝜔</ci></apply><ci id="S3.E8.m1.2.2.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2">𝐩</ci></interval><apply id="S3.E8.m1.4.4.1.1.2.2.4.cmml" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.4.4.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.4.4.1.1.2.2.4.2.cmml" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.2.2.4.2">𝑒</ci><apply id="S3.E8.m1.4.4.1.1.2.2.4.3.cmml" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.2.2.4.3"><minus id="S3.E8.m1.4.4.1.1.2.2.4.3.1.cmml" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.2.2.4.3"></minus><apply id="S3.E8.m1.4.4.1.1.2.2.4.3.2.cmml" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.2.2.4.3.2"><times id="S3.E8.m1.4.4.1.1.2.2.4.3.2.1.cmml" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.2.2.4.3.2.1"></times><ci id="S3.E8.m1.4.4.1.1.2.2.4.3.2.2.cmml" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.2.2.4.3.2.2">𝑖</ci><ci id="S3.E8.m1.4.4.1.1.2.2.4.3.2.3.cmml" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.2.2.4.3.2.3">𝜔</ci><apply id="S3.E8.m1.4.4.1.1.2.2.4.3.2.4.cmml" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.2.2.4.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.4.4.1.1.2.2.4.3.2.4.1.cmml" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.2.2.4.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.4.4.1.1.2.2.4.3.2.4.2.cmml" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.2.2.4.3.2.4.2">𝜏</ci><cn id="S3.E8.m1.4.4.1.1.2.2.4.3.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.2.2.4.3.2.4.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E8.m1.4.4.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.3.3"><times id="S3.E8.m1.4.4.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.3.3.2"></times><apply id="S3.E8.m1.4.4.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.4.4.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.4.4.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.3.3.3.2">𝑝</ci><cn id="S3.E8.m1.4.4.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.3.3.3.3">1</cn></apply><interval closure="open" id="S3.E8.m1.4.4.1.1.3.3.1.2.cmml" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.3.3.1.1"><apply id="S3.E8.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1"><times id="S3.E8.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.1"></times><ci id="S3.E8.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S3.E8.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.3">𝜔</ci></apply><ci id="S3.E8.m1.3.3.cmml" xref="S3.E8.m1.3.3">𝐩</ci></interval><apply id="S3.E8.m1.4.4.1.1.3.3.4.cmml" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.4.4.1.1.3.3.4.1.cmml" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.3.3.4">superscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.4.4.1.1.3.3.4.2.cmml" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.3.3.4.2">𝑒</ci><apply id="S3.E8.m1.4.4.1.1.3.3.4.3.cmml" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.3.3.4.3"><minus id="S3.E8.m1.4.4.1.1.3.3.4.3.1.cmml" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.3.3.4.3"></minus><apply id="S3.E8.m1.4.4.1.1.3.3.4.3.2.cmml" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.3.3.4.3.2"><times id="S3.E8.m1.4.4.1.1.3.3.4.3.2.1.cmml" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.3.3.4.3.2.1"></times><ci id="S3.E8.m1.4.4.1.1.3.3.4.3.2.2.cmml" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.3.3.4.3.2.2">𝑖</ci><ci id="S3.E8.m1.4.4.1.1.3.3.4.3.2.3.cmml" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.3.3.4.3.2.3">𝜔</ci><apply id="S3.E8.m1.4.4.1.1.3.3.4.3.2.4.cmml" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.3.3.4.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.4.4.1.1.3.3.4.3.2.4.1.cmml" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.3.3.4.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.4.4.1.1.3.3.4.3.2.4.2.cmml" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.3.3.4.3.2.4.2">𝜏</ci><cn id="S3.E8.m1.4.4.1.1.3.3.4.3.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.3.3.4.3.2.4.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply><cn id="S3.E8.m1.4.4.1.1.5.cmml" type="integer" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.5">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E8.m1.4c">p_{3}(i\omega,\mathbf{p})+p_{2}(i\omega,\mathbf{p})e^{-i\omega\tau_{2}}+p_{1}(% i\omega,\mathbf{p})e^{-i\omega\tau_{1}}=0\,.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E8.m1.4d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i italic_ω , bold_p ) + italic_p start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i italic_ω , bold_p ) italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_i italic_ω italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT + italic_p start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i italic_ω , bold_p ) italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_i italic_ω italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT = 0 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS1.p3.6">First, observe that (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.E7.2" title="Equation 7b ‣ Equation 7 ‣ 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7b</span></a>) has no zeros on the imaginary axis at the steady-states <math alttext="E_{1},E_{2},E_{3}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.3"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.3a"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.3.3.3" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.3.3.4.cmml"><msub id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.1.2.cmml">E</mi><mn id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.3.3.3.4" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.2.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.2.2.2.2.2.cmml">E</mi><mn id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.2.2.2.2.3" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.3.3.3.5" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.3.3.3.3" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.3.3.3.3.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.3.3.3.3.2.cmml">E</mi><mn id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.3.3.3.3.3" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.3.3.3.3.3.cmml">3</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.3b"><list id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.3.3.4.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.3.3.3"><apply id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.1.2">𝐸</ci><cn id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.2.2.2.2.2">𝐸</ci><cn id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.2.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.3.3.3.3.2">𝐸</ci><cn id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.3.3.3.3.3">3</cn></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.3c">E_{1},E_{2},E_{3}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.3d">italic_E start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_E start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_E start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> for the parameter values given in Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S2.T1" title="Table 1 ‣ 2 Nonlinear time delayed Quorum Sensing system ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>. Consequently, defining <math alttext="q_{i}(i\omega)=p_{i}(i\omega,\mathbf{p})/p_{3}(i\omega,\mathbf{p})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.5"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.5a"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.5.5" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.5.5.cmml"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.3.3.1" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.3.3.1.cmml"><msub id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.3.3.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.3.3.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.3.3.1.3.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.3.3.1.3.2.cmml">q</mi><mi id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.3.3.1.3.3" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.3.3.1.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.3.3.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.3.3.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.3.3.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.3.3.1.1.1.1.3.cmml">ω</mi></mrow><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.5.5.4" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.5.5.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.5.5.3" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.5.5.3.cmml"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.cmml"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.1.3.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.1.3.2.cmml">p</mi><mi id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.1.3.3" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.1.1.1.1.3.cmml">ω</mi></mrow><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.cmml">𝐩</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.2.cmml">/</mo><msub id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.3.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.3.2.cmml">p</mi><mn id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.3.3" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.3.3.cmml">3</mn></msub></mrow><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.5.5.3.3" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.5.5.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.5.5.3.2.1" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.5.5.3.2.2.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.5.5.3.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.5.5.3.2.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.5.5.3.2.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.5.5.3.2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.5.5.3.2.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.5.5.3.2.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.5.5.3.2.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.5.5.3.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.5.5.3.2.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.5.5.3.2.1.1.3.cmml">ω</mi></mrow><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.5.5.3.2.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.5.5.3.2.2.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.2.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.2.2.cmml">𝐩</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.5.5.3.2.1.4" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.5.5.3.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.5b"><apply id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.5.5.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.5.5"><eq id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.5.5.4.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.5.5.4"></eq><apply id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.3.3.1"><times id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.3.3.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.3.3.1.2"></times><apply id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.3.3.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.3.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.3.3.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.3.3.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.3.3.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.3.3.1.3.2">𝑞</ci><ci id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.3.3.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.3.3.1.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.3.3.1.1.1"><times id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.3.3.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.3.3.1.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.3.3.1.1.1.1.3">𝜔</ci></apply></apply><apply id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.5.5.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.5.5.3"><times id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.5.5.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.5.5.3.3"></times><apply id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1"><divide id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.2"></divide><apply id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.1"><times id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.1.2"></times><apply id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.1.3.2">𝑝</ci><ci id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.1.3.3">𝑖</ci></apply><interval closure="open" id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.1.1.1"><apply id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.1.1.1.1"><times id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.1.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.4.4.2.1.1.1.1.1.3.cmml" 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id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.5.5.3.2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.5.5.3.2.1.1.3">𝜔</ci></apply><ci id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.2.2">𝐩</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.5c">q_{i}(i\omega)=p_{i}(i\omega,\mathbf{p})/p_{3}(i\omega,\mathbf{p})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.5d">italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i italic_ω ) = italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i italic_ω , bold_p ) / italic_p start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i italic_ω , bold_p )</annotation></semantics></math> for <math alttext="i=1,2" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p3.5.m3.2"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p3.5.m3.2a"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p3.5.m3.2.3" xref="S3.SS2.SSS1.p3.5.m3.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p3.5.m3.2.3.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.5.m3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.5.m3.2.3.1" xref="S3.SS2.SSS1.p3.5.m3.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.SSS1.p3.5.m3.2.3.3.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.5.m3.2.3.3.1.cmml"><mn id="S3.SS2.SSS1.p3.5.m3.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p3.5.m3.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.5.m3.2.3.3.2.1" xref="S3.SS2.SSS1.p3.5.m3.2.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="S3.SS2.SSS1.p3.5.m3.2.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.5.m3.2.2.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p3.5.m3.2b"><apply id="S3.SS2.SSS1.p3.5.m3.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.5.m3.2.3"><eq id="S3.SS2.SSS1.p3.5.m3.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.5.m3.2.3.1"></eq><ci id="S3.SS2.SSS1.p3.5.m3.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.5.m3.2.3.2">𝑖</ci><list id="S3.SS2.SSS1.p3.5.m3.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.5.m3.2.3.3.2"><cn id="S3.SS2.SSS1.p3.5.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.p3.5.m3.1.1">1</cn><cn id="S3.SS2.SSS1.p3.5.m3.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.p3.5.m3.2.2">2</cn></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p3.5.m3.2c">i=1,2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p3.5.m3.2d">italic_i = 1 , 2</annotation></semantics></math>, where we have omitted explicit dependence on <math alttext="\mathbf{p}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p3.6.m4.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p3.6.m4.1a"><mi id="S3.SS2.SSS1.p3.6.m4.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p3.6.m4.1.1.cmml">𝐩</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p3.6.m4.1b"><ci id="S3.SS2.SSS1.p3.6.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.6.m4.1.1">𝐩</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p3.6.m4.1c">\mathbf{p}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p3.6.m4.1d">bold_p</annotation></semantics></math> to ease notation, the pseudo-polynomial in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.E8" title="Equation 8 ‣ 3.2.1 Existence of purely imaginary eigenvalues. ‣ 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">8</span></a>) can be rewritten as</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S3.E9"> <tbody> <tr class="ltx_eqn_row" id="Sx1.EGx11"><td class="ltx_eqn_cell" colspan="4"></td></tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E9.1"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(9a)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle 1+q_{1}(i\omega)e^{-i\omega\tau_{1}}+q_{2}(i\omega)e^{-i\omega% \tau_{2}}=0\,," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E9.1.m1.1"><semantics id="S3.E9.1.m1.1a"><mrow id="S3.E9.1.m1.1.1.1" xref="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E9.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.2.4" xref="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.2.4.cmml">1</mn><mo id="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">q</mi><mn id="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ω</mi></mrow><mo id="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">e</mi><mrow id="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mo id="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.1.1.4.3a" xref="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">−</mo><mrow id="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml"><mi id="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2" xref="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2.cmml">i</mi><mo 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xref="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.2.2.4.3"></minus><apply id="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.2.2.4.3.2.cmml" xref="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.2.2.4.3.2"><times id="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.2.2.4.3.2.1.cmml" xref="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.2.2.4.3.2.1"></times><ci id="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.2.2.4.3.2.2.cmml" xref="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.2.2.4.3.2.2">𝑖</ci><ci id="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.2.2.4.3.2.3.cmml" xref="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.2.2.4.3.2.3">𝜔</ci><apply id="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.2.2.4.3.2.4.cmml" xref="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.2.2.4.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.2.2.4.3.2.4.1.cmml" xref="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.2.2.4.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.2.2.4.3.2.4.2.cmml" xref="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.2.2.4.3.2.4.2">𝜏</ci><cn id="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.2.2.4.3.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.2.2.4.3.2.4.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply><cn id="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.4.cmml" type="integer" xref="S3.E9.1.m1.1.1.1.1.4">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E9.1.m1.1c">\displaystyle 1+q_{1}(i\omega)e^{-i\omega\tau_{1}}+q_{2}(i\omega)e^{-i\omega% \tau_{2}}=0\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E9.1.m1.1d">1 + italic_q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i italic_ω ) italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_i italic_ω italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT + italic_q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i italic_ω ) italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_i italic_ω italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT = 0 ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> <tr class="ltx_eqn_row ltx_align_baseline"><td class="ltx_eqn_cell ltx_align_left" colspan="4" style="white-space:normal;">which leads to <math alttext="|q_{1}(i\omega)e^{-i\omega\tau_{1}}+q_{2}(i\omega)e^{-i\omega\tau_{2}}|=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E9.1.m1a.1"><semantics id="S3.E9.1.m1a.1a"><mrow id="S3.E9.1.m1a.1.1" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.cmml"><mrow id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">q</mi><mn id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ω</mi></mrow><mo id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">e</mi><mrow id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mo id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.4.3a" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">−</mo><mrow id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml"><mi id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.4.3.2.1" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.cmml">ω</mi><mo id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.4.3.2.1a" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.4.3.2.4" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.4.3.2.4.cmml"><mi id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.4.3.2.4.2" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.4.3.2.4.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.4.3.2.4.3" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.4.3.2.4.3.cmml">1</mn></msub></mrow></mrow></msup></mrow><mo id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">q</mi><mn id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml">ω</mi></mrow><mo id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.2a" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.4" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">e</mi><mrow id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml"><mo id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.4.3a" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">−</mo><mrow id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.4.3.2" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.4.3.2.cmml"><mi id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.4.3.2.2" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.4.3.2.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.4.3.2.1" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.4.3.2.3" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.4.3.2.3.cmml">ω</mi><mo id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.4.3.2.1a" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.4.3.2.4" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.4.3.2.4.cmml"><mi id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.4.3.2.4.2" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.4.3.2.4.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.4.3.2.4.3" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.4.3.2.4.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow></msup></mrow></mrow><mo id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.E9.1.m1a.1.1.2" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="S3.E9.1.m1a.1.1.3" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E9.1.m1a.1b"><apply id="S3.E9.1.m1a.1.1.cmml" xref="S3.E9.1.m1a.1.1"><eq id="S3.E9.1.m1a.1.1.2.cmml" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.2"></eq><apply id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1"><abs id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1"><plus id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.3"></plus><apply id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑞</ci><cn id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply><apply id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜔</ci></apply><apply id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑒</ci><apply id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.4.3"><minus id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.4.3"></minus><apply id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.4.3.2"><times id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.4.3.2.1.cmml" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.4.3.2.1"></times><ci id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2.cmml" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2">𝑖</ci><ci id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.cmml" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3">𝜔</ci><apply id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.4.3.2.4.cmml" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.4.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.4.3.2.4.1.cmml" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.4.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.4.3.2.4.2.cmml" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.4.3.2.4.2">𝜏</ci><cn id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.4.3.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.1.4.3.2.4.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2"><times id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.2"></times><apply id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑞</ci><cn id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.1.1"><times id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1"></times><ci id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3">𝜔</ci></apply><apply id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.4">superscript</csymbol><ci id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.4.2">𝑒</ci><apply id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.4.3"><minus id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.4.3.1.cmml" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.4.3"></minus><apply id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.4.3.2.cmml" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.4.3.2"><times id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.4.3.2.1.cmml" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.4.3.2.1"></times><ci id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.4.3.2.2.cmml" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.4.3.2.2">𝑖</ci><ci id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.4.3.2.3.cmml" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.4.3.2.3">𝜔</ci><apply id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.4.3.2.4.cmml" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.4.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.4.3.2.4.1.cmml" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.4.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.4.3.2.4.2.cmml" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.4.3.2.4.2">𝜏</ci><cn id="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.4.3.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.1.1.1.2.4.3.2.4.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><cn id="S3.E9.1.m1a.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E9.1.m1a.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E9.1.m1a.1c">|q_{1}(i\omega)e^{-i\omega\tau_{1}}+q_{2}(i\omega)e^{-i\omega\tau_{2}}|=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E9.1.m1a.1d">| italic_q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i italic_ω ) italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_i italic_ω italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT + italic_q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i italic_ω ) italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_i italic_ω italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT | = 1</annotation></semantics></math>. Notice that, upon introducing the definitions <math alttext="A(\omega)=\operatorname{Re}(\overline{q_{1}(i\omega)}q_{2}(i\omega))" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E9.2.m2.4"><semantics id="S3.E9.2.m2.4a"><mrow id="S3.E9.2.m2.4.4" xref="S3.E9.2.m2.4.4.cmml"><mrow id="S3.E9.2.m2.4.4.3" xref="S3.E9.2.m2.4.4.3.cmml"><mi id="S3.E9.2.m2.4.4.3.2" xref="S3.E9.2.m2.4.4.3.2.cmml">A</mi><mo id="S3.E9.2.m2.4.4.3.1" xref="S3.E9.2.m2.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E9.2.m2.4.4.3.3.2" xref="S3.E9.2.m2.4.4.3.cmml"><mo id="S3.E9.2.m2.4.4.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E9.2.m2.4.4.3.cmml">(</mo><mi id="S3.E9.2.m2.2.2" xref="S3.E9.2.m2.2.2.cmml">ω</mi><mo id="S3.E9.2.m2.4.4.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E9.2.m2.4.4.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E9.2.m2.4.4.2" xref="S3.E9.2.m2.4.4.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.E9.2.m2.4.4.1.1" xref="S3.E9.2.m2.4.4.1.2.cmml"><mi id="S3.E9.2.m2.3.3" xref="S3.E9.2.m2.3.3.cmml">Re</mi><mo id="S3.E9.2.m2.4.4.1.1a" xref="S3.E9.2.m2.4.4.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.E9.2.m2.4.4.1.1.1" xref="S3.E9.2.m2.4.4.1.2.cmml"><mo id="S3.E9.2.m2.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E9.2.m2.4.4.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.E9.2.m2.4.4.1.1.1.1" xref="S3.E9.2.m2.4.4.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.E9.2.m2.1.1" xref="S3.E9.2.m2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E9.2.m2.1.1.1" xref="S3.E9.2.m2.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E9.2.m2.1.1.1.3" xref="S3.E9.2.m2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E9.2.m2.1.1.1.3.2" xref="S3.E9.2.m2.1.1.1.3.2.cmml">q</mi><mn id="S3.E9.2.m2.1.1.1.3.3" xref="S3.E9.2.m2.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.E9.2.m2.1.1.1.2" xref="S3.E9.2.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E9.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.E9.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E9.2.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E9.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E9.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E9.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E9.2.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E9.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E9.2.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E9.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E9.2.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E9.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ω</mi></mrow><mo id="S3.E9.2.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E9.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E9.2.m2.1.1.2" xref="S3.E9.2.m2.1.1.2.cmml">¯</mo></mover><mo id="S3.E9.2.m2.4.4.1.1.1.1.2" xref="S3.E9.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E9.2.m2.4.4.1.1.1.1.3" xref="S3.E9.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E9.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E9.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml">q</mi><mn id="S3.E9.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E9.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.E9.2.m2.4.4.1.1.1.1.2a" xref="S3.E9.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E9.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E9.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E9.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E9.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E9.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E9.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E9.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E9.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E9.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E9.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E9.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E9.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ω</mi></mrow><mo id="S3.E9.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E9.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E9.2.m2.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E9.2.m2.4.4.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E9.2.m2.4b"><apply id="S3.E9.2.m2.4.4.cmml" xref="S3.E9.2.m2.4.4"><eq id="S3.E9.2.m2.4.4.2.cmml" xref="S3.E9.2.m2.4.4.2"></eq><apply id="S3.E9.2.m2.4.4.3.cmml" xref="S3.E9.2.m2.4.4.3"><times id="S3.E9.2.m2.4.4.3.1.cmml" xref="S3.E9.2.m2.4.4.3.1"></times><ci id="S3.E9.2.m2.4.4.3.2.cmml" xref="S3.E9.2.m2.4.4.3.2">𝐴</ci><ci id="S3.E9.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.E9.2.m2.2.2">𝜔</ci></apply><apply id="S3.E9.2.m2.4.4.1.2.cmml" xref="S3.E9.2.m2.4.4.1.1"><ci id="S3.E9.2.m2.3.3.cmml" xref="S3.E9.2.m2.3.3">Re</ci><apply id="S3.E9.2.m2.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E9.2.m2.4.4.1.1.1.1"><times id="S3.E9.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E9.2.m2.4.4.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E9.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.E9.2.m2.1.1"><ci id="S3.E9.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.E9.2.m2.1.1.2">¯</ci><apply id="S3.E9.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.E9.2.m2.1.1.1"><times id="S3.E9.2.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E9.2.m2.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E9.2.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E9.2.m2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E9.2.m2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E9.2.m2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E9.2.m2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E9.2.m2.1.1.1.3.2">𝑞</ci><cn id="S3.E9.2.m2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E9.2.m2.1.1.1.3.3">1</cn></apply><apply id="S3.E9.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E9.2.m2.1.1.1.1.1"><times id="S3.E9.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E9.2.m2.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.E9.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E9.2.m2.1.1.1.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S3.E9.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E9.2.m2.1.1.1.1.1.1.3">𝜔</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E9.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E9.2.m2.4.4.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E9.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E9.2.m2.4.4.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E9.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E9.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.2">𝑞</ci><cn id="S3.E9.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E9.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.E9.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E9.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E9.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E9.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.E9.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E9.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S3.E9.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E9.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜔</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E9.2.m2.4c">A(\omega)=\operatorname{Re}(\overline{q_{1}(i\omega)}q_{2}(i\omega))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E9.2.m2.4d">italic_A ( italic_ω ) = roman_Re ( over¯ start_ARG italic_q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i italic_ω ) end_ARG italic_q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i italic_ω ) )</annotation></semantics></math>, <math alttext="B(\omega)=-\operatorname{Im}(\overline{q_{1}(i\omega)}q_{2}(i\omega))" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E9.3.m3.4"><semantics id="S3.E9.3.m3.4a"><mrow id="S3.E9.3.m3.4.4" xref="S3.E9.3.m3.4.4.cmml"><mrow id="S3.E9.3.m3.4.4.3" xref="S3.E9.3.m3.4.4.3.cmml"><mi id="S3.E9.3.m3.4.4.3.2" xref="S3.E9.3.m3.4.4.3.2.cmml">B</mi><mo id="S3.E9.3.m3.4.4.3.1" xref="S3.E9.3.m3.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E9.3.m3.4.4.3.3.2" xref="S3.E9.3.m3.4.4.3.cmml"><mo id="S3.E9.3.m3.4.4.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E9.3.m3.4.4.3.cmml">(</mo><mi id="S3.E9.3.m3.2.2" xref="S3.E9.3.m3.2.2.cmml">ω</mi><mo id="S3.E9.3.m3.4.4.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E9.3.m3.4.4.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E9.3.m3.4.4.2" xref="S3.E9.3.m3.4.4.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.E9.3.m3.4.4.1" xref="S3.E9.3.m3.4.4.1.cmml"><mo id="S3.E9.3.m3.4.4.1a" rspace="0.167em" xref="S3.E9.3.m3.4.4.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.1" xref="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E9.3.m3.3.3" xref="S3.E9.3.m3.3.3.cmml">Im</mi><mo id="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.1a" xref="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.1.1" xref="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1" xref="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.E9.3.m3.1.1" xref="S3.E9.3.m3.1.1.cmml"><mrow id="S3.E9.3.m3.1.1.1" xref="S3.E9.3.m3.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E9.3.m3.1.1.1.3" xref="S3.E9.3.m3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E9.3.m3.1.1.1.3.2" xref="S3.E9.3.m3.1.1.1.3.2.cmml">q</mi><mn id="S3.E9.3.m3.1.1.1.3.3" xref="S3.E9.3.m3.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.E9.3.m3.1.1.1.2" xref="S3.E9.3.m3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E9.3.m3.1.1.1.1.1" xref="S3.E9.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E9.3.m3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E9.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E9.3.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E9.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E9.3.m3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E9.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E9.3.m3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E9.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E9.3.m3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E9.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ω</mi></mrow><mo id="S3.E9.3.m3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E9.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E9.3.m3.1.1.2" xref="S3.E9.3.m3.1.1.2.cmml">¯</mo></mover><mo id="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml">q</mi><mn id="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ω</mi></mrow><mo id="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E9.3.m3.4b"><apply id="S3.E9.3.m3.4.4.cmml" xref="S3.E9.3.m3.4.4"><eq id="S3.E9.3.m3.4.4.2.cmml" xref="S3.E9.3.m3.4.4.2"></eq><apply id="S3.E9.3.m3.4.4.3.cmml" xref="S3.E9.3.m3.4.4.3"><times id="S3.E9.3.m3.4.4.3.1.cmml" xref="S3.E9.3.m3.4.4.3.1"></times><ci id="S3.E9.3.m3.4.4.3.2.cmml" xref="S3.E9.3.m3.4.4.3.2">𝐵</ci><ci id="S3.E9.3.m3.2.2.cmml" xref="S3.E9.3.m3.2.2">𝜔</ci></apply><apply id="S3.E9.3.m3.4.4.1.cmml" xref="S3.E9.3.m3.4.4.1"><minus id="S3.E9.3.m3.4.4.1.2.cmml" xref="S3.E9.3.m3.4.4.1"></minus><apply id="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.2.cmml" xref="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.1"><ci id="S3.E9.3.m3.3.3.cmml" xref="S3.E9.3.m3.3.3">Im</ci><apply id="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1"><times id="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E9.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.E9.3.m3.1.1"><ci id="S3.E9.3.m3.1.1.2.cmml" 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xref="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.2">𝑞</ci><cn id="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜔</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E9.3.m3.4c">B(\omega)=-\operatorname{Im}(\overline{q_{1}(i\omega)}q_{2}(i\omega))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E9.3.m3.4d">italic_B ( italic_ω ) = - roman_Im ( over¯ start_ARG italic_q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i italic_ω ) end_ARG italic_q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i italic_ω ) )</annotation></semantics></math> and <math alttext="h=\tau_{1}-\tau_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E9.4.m4.1"><semantics id="S3.E9.4.m4.1a"><mrow id="S3.E9.4.m4.1.1" xref="S3.E9.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.E9.4.m4.1.1.2" xref="S3.E9.4.m4.1.1.2.cmml">h</mi><mo id="S3.E9.4.m4.1.1.1" xref="S3.E9.4.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E9.4.m4.1.1.3" xref="S3.E9.4.m4.1.1.3.cmml"><msub id="S3.E9.4.m4.1.1.3.2" xref="S3.E9.4.m4.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E9.4.m4.1.1.3.2.2" xref="S3.E9.4.m4.1.1.3.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.E9.4.m4.1.1.3.2.3" xref="S3.E9.4.m4.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.E9.4.m4.1.1.3.1" xref="S3.E9.4.m4.1.1.3.1.cmml">−</mo><msub id="S3.E9.4.m4.1.1.3.3" xref="S3.E9.4.m4.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E9.4.m4.1.1.3.3.2" xref="S3.E9.4.m4.1.1.3.3.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.E9.4.m4.1.1.3.3.3" xref="S3.E9.4.m4.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E9.4.m4.1b"><apply id="S3.E9.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.E9.4.m4.1.1"><eq id="S3.E9.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.E9.4.m4.1.1.1"></eq><ci id="S3.E9.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.E9.4.m4.1.1.2">ℎ</ci><apply id="S3.E9.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.E9.4.m4.1.1.3"><minus id="S3.E9.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E9.4.m4.1.1.3.1"></minus><apply id="S3.E9.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E9.4.m4.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E9.4.m4.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E9.4.m4.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E9.4.m4.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E9.4.m4.1.1.3.2.2">𝜏</ci><cn id="S3.E9.4.m4.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E9.4.m4.1.1.3.2.3">1</cn></apply><apply id="S3.E9.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E9.4.m4.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E9.4.m4.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E9.4.m4.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E9.4.m4.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E9.4.m4.1.1.3.3.2">𝜏</ci><cn id="S3.E9.4.m4.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E9.4.m4.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E9.4.m4.1c">h=\tau_{1}-\tau_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E9.4.m4.1d">italic_h = italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT - italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, it can be recasted as </td></tr> <tr class="ltx_eqn_row" id="Sx1.EGx12"><td class="ltx_eqn_cell" colspan="4"></td></tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E9.2"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(9b)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle|q_{1}(i\omega)|^{2}+|q_{2}(i\omega)|^{2}+2R(\omega)\cos(\omega h% -\alpha(\omega))=1\,," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E9.2.m1.4"><semantics id="S3.E9.2.m1.4a"><mrow id="S3.E9.2.m1.4.4.1" xref="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.E9.2.m1.4.4.1.1" xref="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.3" xref="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.3.cmml"><msup id="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">q</mi><mn id="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo 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cd="ambiguous" id="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.3.2">𝑞</ci><cn id="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1"><times id="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">𝜔</ci></apply></apply></apply><cn id="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.3.3"><times id="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.3.3.2"></times><cn id="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.3.3.3">2</cn><ci id="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.3.3.4.cmml" xref="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.3.3.4">𝑅</ci><ci id="S3.E9.2.m1.1.1.cmml" xref="S3.E9.2.m1.1.1">𝜔</ci><apply id="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.3.3.1.2.cmml" xref="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.3.3.1.1"><cos id="S3.E9.2.m1.3.3.cmml" xref="S3.E9.2.m1.3.3"></cos><apply id="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.1"><minus id="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.1.2"><times id="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.1.2.2">𝜔</ci><ci id="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.1.2.3">ℎ</ci></apply><apply id="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.1.3"><times id="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.1.3.2">𝛼</ci><ci id="S3.E9.2.m1.2.2.cmml" xref="S3.E9.2.m1.2.2">𝜔</ci></apply></apply></apply></apply></apply><cn id="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.5.cmml" type="integer" xref="S3.E9.2.m1.4.4.1.1.5">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E9.2.m1.4c">\displaystyle|q_{1}(i\omega)|^{2}+|q_{2}(i\omega)|^{2}+2R(\omega)\cos(\omega h% -\alpha(\omega))=1\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E9.2.m1.4d">| italic_q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i italic_ω ) | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + | italic_q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i italic_ω ) | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 2 italic_R ( italic_ω ) roman_cos ( italic_ω italic_h - italic_α ( italic_ω ) ) = 1 ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS1.p3.8">where <math alttext="R(\omega)=\sqrt{A^{2}(\omega)+B^{2}(\omega)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.3"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.3a"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.3.4" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.3.4.cmml"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.3.4.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.3.4.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.3.4.2.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.3.4.2.2.cmml">R</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.3.4.2.1" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.3.4.2.3.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.3.4.2.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.3.4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.3.4.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.3.3" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.3.3.cmml">ω</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.3.4.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.3.4.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.3.4.1" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.3.4.1.cmml">=</mo><msqrt id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.4" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.4.cmml"><msup id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.4.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.4.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.4.2.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.4.2.2.cmml">A</mi><mn id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.4.2.3" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.4.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.4.3.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.4.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.4.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.1.1.1.1.cmml">ω</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.3" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.5" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.5.cmml"><msup id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.5.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.5.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.5.2.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.5.2.2.cmml">B</mi><mn id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.5.2.3" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.5.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.5.1" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.5.3.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.5.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.5.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.5.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.2.cmml">ω</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.5.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.5.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></msqrt></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.3b"><apply id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.3.4.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.3.4"><eq id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.3.4.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.3.4.1"></eq><apply id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.3.4.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.3.4.2"><times id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.3.4.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.3.4.2.1"></times><ci id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.3.4.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.3.4.2.2">𝑅</ci><ci id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.3.3">𝜔</ci></apply><apply id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2"><root id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2a.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2"></root><apply id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2"><plus id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.3"></plus><apply id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.4.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.4"><times id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.4.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.4.1"></times><apply id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.4.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.4.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.4.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.4.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.4.2.2">𝐴</ci><cn id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.4.2.3">2</cn></apply><ci id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.1.1.1.1">𝜔</ci></apply><apply id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.5.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.5"><times id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.5.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.5.1"></times><apply id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.5.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.5.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.5.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.5.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.5.2.2">𝐵</ci><cn id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.5.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.5.2.3">2</cn></apply><ci id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.2.2.2.2">𝜔</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.3c">R(\omega)=\sqrt{A^{2}(\omega)+B^{2}(\omega)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p3.7.m1.3d">italic_R ( italic_ω ) = square-root start_ARG italic_A start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_ω ) + italic_B start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_ω ) end_ARG</annotation></semantics></math> and <math alttext="\tan\alpha(\omega)=B(\omega)/A(\omega)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3a"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4" xref="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.cmml"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.2.cmml"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.2.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.2.2.1" xref="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.2.2.1.cmml">tan</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.2.2a" lspace="0.167em" xref="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.2.2.cmml">⁡</mo><mi id="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.2.2.2.cmml">α</mi></mrow><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.2.1" xref="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.2.3.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.2.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.1.1.cmml">ω</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.1" xref="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.3" xref="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.3.cmml"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.3.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.3.2.cmml"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.3.2.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.3.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.3.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.3.2.2.2.cmml">B</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.3.2.2.1" xref="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.3.2.2.3.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.3.2.2.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.3.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.3.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.2.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.2.2.cmml">ω</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.3.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.3.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.3.2.1" xref="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.3.2.1.cmml">/</mo><mi id="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.3.2.3" xref="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.3.2.3.cmml">A</mi></mrow><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.3.1" xref="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.3.3.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.3.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.3.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.3" xref="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.3.cmml">ω</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3b"><apply id="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4"><eq id="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.1"></eq><apply id="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.2"><times id="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.2.1"></times><apply id="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.2.2"><tan id="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.2.2.1"></tan><ci id="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.2.2.2">𝛼</ci></apply><ci id="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.1.1">𝜔</ci></apply><apply id="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.3"><times id="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.3.1"></times><apply id="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.3.2"><divide id="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.3.2.1"></divide><apply id="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.3.2.2"><times id="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.3.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.3.2.2.1"></times><ci id="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.3.2.2.2">𝐵</ci><ci id="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.2.2">𝜔</ci></apply><ci id="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.3.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.4.3.2.3">𝐴</ci></apply><ci id="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3.3">𝜔</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3c">\tan\alpha(\omega)=B(\omega)/A(\omega)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p3.8.m2.3d">roman_tan italic_α ( italic_ω ) = italic_B ( italic_ω ) / italic_A ( italic_ω )</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.SSS1.p4"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS1.p4.1">From equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.E9.2" title="Equation 9b ‣ Equation 9 ‣ 3.2.1 Existence of purely imaginary eigenvalues. ‣ 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">9b</span></a>), the existence of roots of <math alttext="q(i\omega,\boldsymbol{\tau},\mathbf{p})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.3"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.3a"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.3" xref="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.3.3" xref="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.3.3.cmml">q</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.3.2" xref="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.3.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.3.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.3.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">ω</mi></mrow><mo id="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.3.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.3.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.1.1.cmml">𝝉</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.3.1.1.4" xref="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.3.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.2.2" xref="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.2.2.cmml">𝐩</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.3.1.1.5" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.3b"><apply id="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.3"><times id="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.3.2"></times><ci id="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.3.3">𝑞</ci><vector id="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.3.1.1"><apply id="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.3.1.1.1"><times id="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.3.1.1.1.1"></times><ci id="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.3.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.3.1.1.1.3">𝜔</ci></apply><ci id="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.1.1">𝝉</ci><ci id="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.2.2">𝐩</ci></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.3c">q(i\omega,\boldsymbol{\tau},\mathbf{p})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.3d">italic_q ( italic_i italic_ω , bold_italic_τ , bold_p )</annotation></semantics></math> is ensured if the following conditions hold uniquely and simultaneously:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S3.E10"> <tbody> <tr class="ltx_eqn_row" id="Sx1.EGx13"><td class="ltx_eqn_cell" colspan="4"></td></tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E10.1"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(10a)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\left|1-|q_{1}(i\omega)|^{2}-|q_{2}(i\omega)|^{2}\right|\leq 2R(% \omega)\,," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E10.1.m1.2"><semantics id="S3.E10.1.m1.2a"><mrow id="S3.E10.1.m1.2.2.1" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.4" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.cmml">1</mn><mo id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><msup id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">q</mi><mn id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ω</mi></mrow><mo id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3a" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><msup id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml">q</mi><mn id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ω</mi></mrow><mo id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.2" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">≤</mo><mrow id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mn id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.3.1" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.3.3.cmml">R</mi><mo id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.3.1a" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.3.4.2" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.E10.1.m1.1.1" xref="S3.E10.1.m1.1.1.cmml">ω</mi><mo id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.3.4.2.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E10.1.m1.2.2.1.2" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E10.1.m1.2b"><apply id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1"><leq id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.2"></leq><apply id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.1"><abs id="S3.E10.1.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" 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class="ltx_Math" display="block" id="S3.E10.2.m1.4"><semantics id="S3.E10.2.m1.4a"><mrow id="S3.E10.2.m1.4.4.1" xref="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.E10.2.m1.4.4.1.1" xref="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.3" xref="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">ξ</mi><mo id="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.3.1" xref="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.3.3.2" xref="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mo id="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.E10.2.m1.1.1" xref="S3.E10.2.m1.1.1.cmml">ω</mi><mo id="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.2" xref="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E10.2.m1.3.3" xref="S3.E10.2.m1.3.3.cmml">cos</mi><mo id="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.1.1a" xref="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">ω</mi><mo id="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">h</mi></mrow><mo id="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">α</mi><mo id="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.E10.2.m1.2.2" xref="S3.E10.2.m1.2.2.cmml">ω</mi><mo id="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E10.2.m1.4.4.1.2" xref="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E10.2.m1.4b"><apply id="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.E10.2.m1.4.4.1"><eq id="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.2"></eq><apply id="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.3"><times id="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.3.2">𝜉</ci><ci id="S3.E10.2.m1.1.1.cmml" xref="S3.E10.2.m1.1.1">𝜔</ci></apply><apply id="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.1.1"><cos id="S3.E10.2.m1.3.3.cmml" xref="S3.E10.2.m1.3.3"></cos><apply id="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜔</ci><ci id="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3">ℎ</ci></apply><apply id="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E10.2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci 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id="S3.Ex1a.m1.5"><semantics id="S3.Ex1a.m1.5a"><mrow id="S3.Ex1a.m1.5.5.1" xref="S3.Ex1a.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex1a.m1.5.5.1.1" xref="S3.Ex1a.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex1a.m1.5.5.1.1.2" xref="S3.Ex1a.m1.5.5.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex1a.m1.5.5.1.1.2.2" xref="S3.Ex1a.m1.5.5.1.1.2.2.cmml">ξ</mi><mo id="S3.Ex1a.m1.5.5.1.1.2.1" xref="S3.Ex1a.m1.5.5.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex1a.m1.5.5.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex1a.m1.5.5.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex1a.m1.5.5.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex1a.m1.5.5.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex1a.m1.4.4" xref="S3.Ex1a.m1.4.4.cmml">ω</mi><mo id="S3.Ex1a.m1.5.5.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex1a.m1.5.5.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex1a.m1.5.5.1.1.1" xref="S3.Ex1a.m1.5.5.1.1.1.cmml">=</mo><mfrac id="S3.Ex1a.m1.3.3" xref="S3.Ex1a.m1.3.3.cmml"><mrow id="S3.Ex1a.m1.2.2.2" xref="S3.Ex1a.m1.2.2.2.cmml"><mn id="S3.Ex1a.m1.2.2.2.4" xref="S3.Ex1a.m1.2.2.2.4.cmml">1</mn><mo id="S3.Ex1a.m1.2.2.2.3" xref="S3.Ex1a.m1.2.2.2.3.cmml">−</mo><msup id="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">q</mi><mn id="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ω</mi></mrow><mo id="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex1a.m1.2.2.2.3a" xref="S3.Ex1a.m1.2.2.2.3.cmml">−</mo><msup id="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2" xref="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">q</mi><mn id="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ω</mi></mrow><mo id="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mrow id="S3.Ex1a.m1.3.3.3" xref="S3.Ex1a.m1.3.3.3.cmml"><mn id="S3.Ex1a.m1.3.3.3.3" xref="S3.Ex1a.m1.3.3.3.3.cmml">2</mn><mo id="S3.Ex1a.m1.3.3.3.2" xref="S3.Ex1a.m1.3.3.3.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex1a.m1.3.3.3.4" xref="S3.Ex1a.m1.3.3.3.4.cmml">R</mi><mo id="S3.Ex1a.m1.3.3.3.2a" xref="S3.Ex1a.m1.3.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex1a.m1.3.3.3.5.2" xref="S3.Ex1a.m1.3.3.3.cmml"><mo id="S3.Ex1a.m1.3.3.3.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex1a.m1.3.3.3.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex1a.m1.3.3.3.1" xref="S3.Ex1a.m1.3.3.3.1.cmml">ω</mi><mo id="S3.Ex1a.m1.3.3.3.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex1a.m1.3.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow><mo id="S3.Ex1a.m1.5.5.1.2" lspace="0.170em" xref="S3.Ex1a.m1.5.5.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex1a.m1.5b"><apply id="S3.Ex1a.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S3.Ex1a.m1.5.5.1"><eq id="S3.Ex1a.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex1a.m1.5.5.1.1.1"></eq><apply id="S3.Ex1a.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex1a.m1.5.5.1.1.2"><times id="S3.Ex1a.m1.5.5.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex1a.m1.5.5.1.1.2.1"></times><ci id="S3.Ex1a.m1.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex1a.m1.5.5.1.1.2.2">𝜉</ci><ci id="S3.Ex1a.m1.4.4.cmml" xref="S3.Ex1a.m1.4.4">𝜔</ci></apply><apply id="S3.Ex1a.m1.3.3.cmml" xref="S3.Ex1a.m1.3.3"><divide id="S3.Ex1a.m1.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex1a.m1.3.3"></divide><apply id="S3.Ex1a.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex1a.m1.2.2.2"><minus id="S3.Ex1a.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex1a.m1.2.2.2.3"></minus><cn id="S3.Ex1a.m1.2.2.2.4.cmml" type="integer" xref="S3.Ex1a.m1.2.2.2.4">1</cn><apply id="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.1"><abs id="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑞</ci><cn id="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply><apply id="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜔</ci></apply></apply></apply><cn id="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex1a.m1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.1"><abs id="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.1.2"></abs><apply id="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.1.1"><times id="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2">𝑞</ci><cn id="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3">𝜔</ci></apply></apply></apply><cn id="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex1a.m1.2.2.2.2.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex1a.m1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex1a.m1.3.3.3"><times id="S3.Ex1a.m1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex1a.m1.3.3.3.2"></times><cn id="S3.Ex1a.m1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex1a.m1.3.3.3.3">2</cn><ci id="S3.Ex1a.m1.3.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex1a.m1.3.3.3.4">𝑅</ci><ci id="S3.Ex1a.m1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex1a.m1.3.3.3.1">𝜔</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex1a.m1.5c">\xi(\omega)=\frac{1-|q_{1}(i\omega)|^{2}-|q_{2}(i\omega)|^{2}}{2R(\omega)}\,.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex1a.m1.5d">italic_ξ ( italic_ω ) = divide start_ARG 1 - | italic_q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i italic_ω ) | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - | italic_q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i italic_ω ) | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 italic_R ( italic_ω ) end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS1.p4.23">Condition (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.E10.1" title="Equation 10a ‣ Equation 10 ‣ 3.2.1 Existence of purely imaginary eigenvalues. ‣ 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10a</span></a>) ensures that <math alttext="|\xi(\omega)|\leq 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p4.2.m1.2"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p4.2.m1.2a"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p4.2.m1.2.2" xref="S3.SS2.SSS1.p4.2.m1.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p4.2.m1.2.2.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p4.2.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS1.p4.2.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS1.p4.2.m1.2.2.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.SS2.SSS1.p4.2.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p4.2.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p4.2.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p4.2.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">ξ</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p4.2.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p4.2.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.SSS1.p4.2.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.SSS1.p4.2.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS1.p4.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS1.p4.2.m1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.SSS1.p4.2.m1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p4.2.m1.1.1.cmml">ω</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p4.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS1.p4.2.m1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.SSS1.p4.2.m1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS1.p4.2.m1.2.2.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.SS2.SSS1.p4.2.m1.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS1.p4.2.m1.2.2.2.cmml">≤</mo><mn id="S3.SS2.SSS1.p4.2.m1.2.2.3" xref="S3.SS2.SSS1.p4.2.m1.2.2.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p4.2.m1.2b"><apply id="S3.SS2.SSS1.p4.2.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.2.m1.2.2"><leq id="S3.SS2.SSS1.p4.2.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.2.m1.2.2.2"></leq><apply id="S3.SS2.SSS1.p4.2.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.2.m1.2.2.1.1"><abs id="S3.SS2.SSS1.p4.2.m1.2.2.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.2.m1.2.2.1.1.2"></abs><apply id="S3.SS2.SSS1.p4.2.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.2.m1.2.2.1.1.1"><times id="S3.SS2.SSS1.p4.2.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.2.m1.2.2.1.1.1.1"></times><ci id="S3.SS2.SSS1.p4.2.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.2.m1.2.2.1.1.1.2">𝜉</ci><ci id="S3.SS2.SSS1.p4.2.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.2.m1.1.1">𝜔</ci></apply></apply><cn id="S3.SS2.SSS1.p4.2.m1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.p4.2.m1.2.2.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p4.2.m1.2c">|\xi(\omega)|\leq 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p4.2.m1.2d">| italic_ξ ( italic_ω ) | ≤ 1</annotation></semantics></math>, which constitutes a necessary criterion for the solvability of equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.E10.2" title="Equation 10b ‣ Equation 10 ‣ 3.2.1 Existence of purely imaginary eigenvalues. ‣ 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10b</span></a>). Consequently, the roots of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.E8" title="Equation 8 ‣ 3.2.1 Existence of purely imaginary eigenvalues. ‣ 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">8</span></a>) correspond to values of <math alttext="h\in\mathbb{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p4.3.m2.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p4.3.m2.1a"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p4.3.m2.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p4.3.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p4.3.m2.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p4.3.m2.1.1.2.cmml">h</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p4.3.m2.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p4.3.m2.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.SS2.SSS1.p4.3.m2.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p4.3.m2.1.1.3.cmml">ℝ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p4.3.m2.1b"><apply id="S3.SS2.SSS1.p4.3.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.3.m2.1.1"><in id="S3.SS2.SSS1.p4.3.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.3.m2.1.1.1"></in><ci id="S3.SS2.SSS1.p4.3.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.3.m2.1.1.2">ℎ</ci><ci id="S3.SS2.SSS1.p4.3.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.3.m2.1.1.3">ℝ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p4.3.m2.1c">h\in\mathbb{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p4.3.m2.1d">italic_h ∈ blackboard_R</annotation></semantics></math> and <math alttext="\omega>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p4.4.m3.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p4.4.m3.1a"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p4.4.m3.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p4.4.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p4.4.m3.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p4.4.m3.1.1.2.cmml">ω</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p4.4.m3.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p4.4.m3.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S3.SS2.SSS1.p4.4.m3.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p4.4.m3.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p4.4.m3.1b"><apply id="S3.SS2.SSS1.p4.4.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.4.m3.1.1"><gt id="S3.SS2.SSS1.p4.4.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.4.m3.1.1.1"></gt><ci id="S3.SS2.SSS1.p4.4.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.4.m3.1.1.2">𝜔</ci><cn id="S3.SS2.SSS1.p4.4.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.p4.4.m3.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p4.4.m3.1c">\omega>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p4.4.m3.1d">italic_ω > 0</annotation></semantics></math> at which the functions <math alttext="\xi(\omega)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p4.5.m4.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p4.5.m4.1a"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p4.5.m4.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p4.5.m4.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p4.5.m4.1.2.2" xref="S3.SS2.SSS1.p4.5.m4.1.2.2.cmml">ξ</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p4.5.m4.1.2.1" xref="S3.SS2.SSS1.p4.5.m4.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.SSS1.p4.5.m4.1.2.3.2" xref="S3.SS2.SSS1.p4.5.m4.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS1.p4.5.m4.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS1.p4.5.m4.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.SSS1.p4.5.m4.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p4.5.m4.1.1.cmml">ω</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p4.5.m4.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS1.p4.5.m4.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p4.5.m4.1b"><apply id="S3.SS2.SSS1.p4.5.m4.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.5.m4.1.2"><times id="S3.SS2.SSS1.p4.5.m4.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.5.m4.1.2.1"></times><ci id="S3.SS2.SSS1.p4.5.m4.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.5.m4.1.2.2">𝜉</ci><ci id="S3.SS2.SSS1.p4.5.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.5.m4.1.1">𝜔</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p4.5.m4.1c">\xi(\omega)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p4.5.m4.1d">italic_ξ ( italic_ω )</annotation></semantics></math> and <math alttext="\cos(\omega h-\alpha(\omega))" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3a"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.1" xref="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.2.2" xref="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.2.2.cmml">cos</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.1a" xref="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.2.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.1.1.1.2.2.cmml">ω</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.1.1.1.2.1" xref="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.1.1.1.2.3" xref="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.1.1.1.2.3.cmml">h</mi></mrow><mo id="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.1.1.1.3.2.cmml">α</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.1.1.1.3.1" xref="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.1.1.1.3.3.2" xref="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.1.1.cmml">ω</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3b"><apply id="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.1"><cos id="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.2.2"></cos><apply id="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.1.1.1"><minus id="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.1.1.1.2"><times id="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.1.1.1.2.2">𝜔</ci><ci id="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.1.1.1.2.3">ℎ</ci></apply><apply id="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.1.1.1.3"><times id="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3.3.1.1.1.3.2">𝛼</ci><ci id="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.1.1">𝜔</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3c">\cos(\omega h-\alpha(\omega))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p4.6.m5.3d">roman_cos ( italic_ω italic_h - italic_α ( italic_ω ) )</annotation></semantics></math> intersect. This behaviour is depicted in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.F1" title="Figure 1 ‣ 3.2.1 Existence of purely imaginary eigenvalues. ‣ 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>(a), which illustrates the intersection points for the steady-state <math alttext="E_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p4.7.m6.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p4.7.m6.1a"><msub id="S3.SS2.SSS1.p4.7.m6.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p4.7.m6.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p4.7.m6.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p4.7.m6.1.1.2.cmml">E</mi><mn id="S3.SS2.SSS1.p4.7.m6.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p4.7.m6.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p4.7.m6.1b"><apply id="S3.SS2.SSS1.p4.7.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.7.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.p4.7.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.7.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.p4.7.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.7.m6.1.1.2">𝐸</ci><cn id="S3.SS2.SSS1.p4.7.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.p4.7.m6.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p4.7.m6.1c">E_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p4.7.m6.1d">italic_E start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> at three distinct values of <math alttext="h" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p4.8.m7.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p4.8.m7.1a"><mi id="S3.SS2.SSS1.p4.8.m7.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p4.8.m7.1.1.cmml">h</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p4.8.m7.1b"><ci id="S3.SS2.SSS1.p4.8.m7.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.8.m7.1.1">ℎ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p4.8.m7.1c">h</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p4.8.m7.1d">italic_h</annotation></semantics></math>. A similar pattern is observed for the steady-state <math alttext="E_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p4.9.m8.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p4.9.m8.1a"><msub id="S3.SS2.SSS1.p4.9.m8.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p4.9.m8.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p4.9.m8.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p4.9.m8.1.1.2.cmml">E</mi><mn id="S3.SS2.SSS1.p4.9.m8.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p4.9.m8.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p4.9.m8.1b"><apply id="S3.SS2.SSS1.p4.9.m8.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.9.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.p4.9.m8.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.9.m8.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.p4.9.m8.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.9.m8.1.1.2">𝐸</ci><cn id="S3.SS2.SSS1.p4.9.m8.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.p4.9.m8.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p4.9.m8.1c">E_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p4.9.m8.1d">italic_E start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, as is shown in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.F1" title="Figure 1 ‣ 3.2.1 Existence of purely imaginary eigenvalues. ‣ 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>(b). Notably, the orders of magnitude of <math alttext="h" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p4.10.m9.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p4.10.m9.1a"><mi id="S3.SS2.SSS1.p4.10.m9.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p4.10.m9.1.1.cmml">h</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p4.10.m9.1b"><ci id="S3.SS2.SSS1.p4.10.m9.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.10.m9.1.1">ℎ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p4.10.m9.1c">h</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p4.10.m9.1d">italic_h</annotation></semantics></math> at which these intersections occur differ significantly between the two steady-states: for <math alttext="E_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p4.11.m10.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p4.11.m10.1a"><msub id="S3.SS2.SSS1.p4.11.m10.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p4.11.m10.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p4.11.m10.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p4.11.m10.1.1.2.cmml">E</mi><mn id="S3.SS2.SSS1.p4.11.m10.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p4.11.m10.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p4.11.m10.1b"><apply id="S3.SS2.SSS1.p4.11.m10.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.11.m10.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.p4.11.m10.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.11.m10.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.p4.11.m10.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.11.m10.1.1.2">𝐸</ci><cn id="S3.SS2.SSS1.p4.11.m10.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.p4.11.m10.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p4.11.m10.1c">E_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p4.11.m10.1d">italic_E start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, intersections arise at values of <math alttext="h" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p4.12.m11.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p4.12.m11.1a"><mi id="S3.SS2.SSS1.p4.12.m11.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p4.12.m11.1.1.cmml">h</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p4.12.m11.1b"><ci id="S3.SS2.SSS1.p4.12.m11.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.12.m11.1.1">ℎ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p4.12.m11.1c">h</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p4.12.m11.1d">italic_h</annotation></semantics></math> on the order of <math alttext="10^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p4.13.m12.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p4.13.m12.1a"><msup id="S3.SS2.SSS1.p4.13.m12.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p4.13.m12.1.1.cmml"><mn id="S3.SS2.SSS1.p4.13.m12.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p4.13.m12.1.1.2.cmml">10</mn><mn id="S3.SS2.SSS1.p4.13.m12.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p4.13.m12.1.1.3.cmml">2</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p4.13.m12.1b"><apply id="S3.SS2.SSS1.p4.13.m12.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.13.m12.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.p4.13.m12.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.13.m12.1.1">superscript</csymbol><cn id="S3.SS2.SSS1.p4.13.m12.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.p4.13.m12.1.1.2">10</cn><cn id="S3.SS2.SSS1.p4.13.m12.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.p4.13.m12.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p4.13.m12.1c">10^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p4.13.m12.1d">10 start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, whereas for <math alttext="E_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p4.14.m13.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p4.14.m13.1a"><msub id="S3.SS2.SSS1.p4.14.m13.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p4.14.m13.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p4.14.m13.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p4.14.m13.1.1.2.cmml">E</mi><mn id="S3.SS2.SSS1.p4.14.m13.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p4.14.m13.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p4.14.m13.1b"><apply id="S3.SS2.SSS1.p4.14.m13.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.14.m13.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.p4.14.m13.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.14.m13.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.p4.14.m13.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.14.m13.1.1.2">𝐸</ci><cn id="S3.SS2.SSS1.p4.14.m13.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.p4.14.m13.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p4.14.m13.1c">E_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p4.14.m13.1d">italic_E start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, they occur at values two orders of magnitude greater. In both cases, the frequency of oscillations in <math alttext="\cos(\omega h-\alpha(\omega))" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3a"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.1" xref="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.2.2" xref="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.2.2.cmml">cos</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.1a" xref="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.2.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.1.1.1.2.2.cmml">ω</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.1.1.1.2.1" xref="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.1.1.1.2.3" xref="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.1.1.1.2.3.cmml">h</mi></mrow><mo id="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.1.1.1.3.2.cmml">α</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.1.1.1.3.1" xref="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.1.1.1.3.3.2" xref="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.1.1.cmml">ω</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3b"><apply id="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.1"><cos id="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.2.2"></cos><apply id="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.1.1.1"><minus id="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.1.1.1.2"><times id="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.1.1.1.2.2">𝜔</ci><ci id="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.1.1.1.2.3">ℎ</ci></apply><apply id="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.1.1.1.3"><times id="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3.3.1.1.1.3.2">𝛼</ci><ci id="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.1.1">𝜔</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3c">\cos(\omega h-\alpha(\omega))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p4.15.m14.3d">roman_cos ( italic_ω italic_h - italic_α ( italic_ω ) )</annotation></semantics></math> increases proportionally with <math alttext="h" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p4.16.m15.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p4.16.m15.1a"><mi id="S3.SS2.SSS1.p4.16.m15.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p4.16.m15.1.1.cmml">h</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p4.16.m15.1b"><ci id="S3.SS2.SSS1.p4.16.m15.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.16.m15.1.1">ℎ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p4.16.m15.1c">h</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p4.16.m15.1d">italic_h</annotation></semantics></math>, facilitating the number of intersections, which suggests that the emergence of purely imaginary roots is strongly influenced by the introduction of two distinct delay terms, particularly when their magnitudes differ considerably. On the other hand, the steady-state <math alttext="E_{3}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p4.17.m16.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p4.17.m16.1a"><msub id="S3.SS2.SSS1.p4.17.m16.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p4.17.m16.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p4.17.m16.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p4.17.m16.1.1.2.cmml">E</mi><mn id="S3.SS2.SSS1.p4.17.m16.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p4.17.m16.1.1.3.cmml">3</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p4.17.m16.1b"><apply id="S3.SS2.SSS1.p4.17.m16.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.17.m16.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.p4.17.m16.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.17.m16.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.p4.17.m16.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.17.m16.1.1.2">𝐸</ci><cn id="S3.SS2.SSS1.p4.17.m16.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.p4.17.m16.1.1.3">3</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p4.17.m16.1c">E_{3}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p4.17.m16.1d">italic_E start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is evaluated in the functions <math alttext="\xi(\omega)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p4.18.m17.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p4.18.m17.1a"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p4.18.m17.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p4.18.m17.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p4.18.m17.1.2.2" xref="S3.SS2.SSS1.p4.18.m17.1.2.2.cmml">ξ</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p4.18.m17.1.2.1" xref="S3.SS2.SSS1.p4.18.m17.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.SSS1.p4.18.m17.1.2.3.2" xref="S3.SS2.SSS1.p4.18.m17.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS1.p4.18.m17.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS1.p4.18.m17.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.SSS1.p4.18.m17.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p4.18.m17.1.1.cmml">ω</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p4.18.m17.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS1.p4.18.m17.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p4.18.m17.1b"><apply id="S3.SS2.SSS1.p4.18.m17.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.18.m17.1.2"><times id="S3.SS2.SSS1.p4.18.m17.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.18.m17.1.2.1"></times><ci id="S3.SS2.SSS1.p4.18.m17.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.18.m17.1.2.2">𝜉</ci><ci id="S3.SS2.SSS1.p4.18.m17.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.18.m17.1.1">𝜔</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p4.18.m17.1c">\xi(\omega)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p4.18.m17.1d">italic_ξ ( italic_ω )</annotation></semantics></math> and <math alttext="\cos(\cdot)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p4.19.m18.2"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p4.19.m18.2a"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p4.19.m18.2.3.2" xref="S3.SS2.SSS1.p4.19.m18.2.3.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p4.19.m18.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p4.19.m18.1.1.cmml">cos</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p4.19.m18.2.3.2a" xref="S3.SS2.SSS1.p4.19.m18.2.3.1.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.SS2.SSS1.p4.19.m18.2.3.2.1" xref="S3.SS2.SSS1.p4.19.m18.2.3.1.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS1.p4.19.m18.2.3.2.1.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS1.p4.19.m18.2.3.1.cmml">(</mo><mo id="S3.SS2.SSS1.p4.19.m18.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.SS2.SSS1.p4.19.m18.2.2.cmml">⋅</mo><mo id="S3.SS2.SSS1.p4.19.m18.2.3.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS1.p4.19.m18.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p4.19.m18.2b"><apply id="S3.SS2.SSS1.p4.19.m18.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.19.m18.2.3.2"><cos id="S3.SS2.SSS1.p4.19.m18.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.19.m18.1.1"></cos><ci id="S3.SS2.SSS1.p4.19.m18.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.19.m18.2.2">⋅</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p4.19.m18.2c">\cos(\cdot)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p4.19.m18.2d">roman_cos ( ⋅ )</annotation></semantics></math>. In this case, it is disclosed that <math alttext="|\xi(\omega)|>1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p4.20.m19.2"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p4.20.m19.2a"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p4.20.m19.2.2" xref="S3.SS2.SSS1.p4.20.m19.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p4.20.m19.2.2.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p4.20.m19.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS1.p4.20.m19.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS1.p4.20.m19.2.2.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.SS2.SSS1.p4.20.m19.2.2.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p4.20.m19.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p4.20.m19.2.2.1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p4.20.m19.2.2.1.1.1.2.cmml">ξ</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p4.20.m19.2.2.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p4.20.m19.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.SSS1.p4.20.m19.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.SSS1.p4.20.m19.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS1.p4.20.m19.2.2.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS1.p4.20.m19.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.SSS1.p4.20.m19.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p4.20.m19.1.1.cmml">ω</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p4.20.m19.2.2.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS1.p4.20.m19.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.SSS1.p4.20.m19.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS1.p4.20.m19.2.2.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.SS2.SSS1.p4.20.m19.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS1.p4.20.m19.2.2.2.cmml">></mo><mn id="S3.SS2.SSS1.p4.20.m19.2.2.3" xref="S3.SS2.SSS1.p4.20.m19.2.2.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p4.20.m19.2b"><apply id="S3.SS2.SSS1.p4.20.m19.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.20.m19.2.2"><gt id="S3.SS2.SSS1.p4.20.m19.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.20.m19.2.2.2"></gt><apply id="S3.SS2.SSS1.p4.20.m19.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.20.m19.2.2.1.1"><abs id="S3.SS2.SSS1.p4.20.m19.2.2.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.20.m19.2.2.1.1.2"></abs><apply id="S3.SS2.SSS1.p4.20.m19.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.20.m19.2.2.1.1.1"><times id="S3.SS2.SSS1.p4.20.m19.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.20.m19.2.2.1.1.1.1"></times><ci id="S3.SS2.SSS1.p4.20.m19.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.20.m19.2.2.1.1.1.2">𝜉</ci><ci id="S3.SS2.SSS1.p4.20.m19.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.20.m19.1.1">𝜔</ci></apply></apply><cn id="S3.SS2.SSS1.p4.20.m19.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.p4.20.m19.2.2.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p4.20.m19.2c">|\xi(\omega)|>1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p4.20.m19.2d">| italic_ξ ( italic_ω ) | > 1</annotation></semantics></math> for all <math alttext="\omega\geq 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p4.21.m20.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p4.21.m20.1a"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p4.21.m20.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p4.21.m20.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p4.21.m20.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p4.21.m20.1.1.2.cmml">ω</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p4.21.m20.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p4.21.m20.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="S3.SS2.SSS1.p4.21.m20.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p4.21.m20.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p4.21.m20.1b"><apply id="S3.SS2.SSS1.p4.21.m20.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.21.m20.1.1"><geq id="S3.SS2.SSS1.p4.21.m20.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.21.m20.1.1.1"></geq><ci id="S3.SS2.SSS1.p4.21.m20.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.21.m20.1.1.2">𝜔</ci><cn id="S3.SS2.SSS1.p4.21.m20.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.p4.21.m20.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p4.21.m20.1c">\omega\geq 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p4.21.m20.1d">italic_ω ≥ 0</annotation></semantics></math>. Consequently, condition (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.E10.1" title="Equation 10a ‣ Equation 10 ‣ 3.2.1 Existence of purely imaginary eigenvalues. ‣ 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10a</span></a>) is hence not satisfied, preventing the existence of intersection solutions for (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.E10.2" title="Equation 10b ‣ Equation 10 ‣ 3.2.1 Existence of purely imaginary eigenvalues. ‣ 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10b</span></a>), which results in confirming that <math alttext="E_{3}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p4.22.m21.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p4.22.m21.1a"><msub id="S3.SS2.SSS1.p4.22.m21.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p4.22.m21.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p4.22.m21.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p4.22.m21.1.1.2.cmml">E</mi><mn id="S3.SS2.SSS1.p4.22.m21.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p4.22.m21.1.1.3.cmml">3</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p4.22.m21.1b"><apply id="S3.SS2.SSS1.p4.22.m21.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.22.m21.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.p4.22.m21.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.22.m21.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.p4.22.m21.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.22.m21.1.1.2">𝐸</ci><cn id="S3.SS2.SSS1.p4.22.m21.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.p4.22.m21.1.1.3">3</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p4.22.m21.1c">E_{3}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p4.22.m21.1d">italic_E start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> remains stable for all <math alttext="\tau_{1},\tau_{2}>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p4.23.m22.2"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p4.23.m22.2a"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p4.23.m22.2.2" xref="S3.SS2.SSS1.p4.23.m22.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p4.23.m22.2.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS1.p4.23.m22.2.2.2.3.cmml"><msub id="S3.SS2.SSS1.p4.23.m22.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p4.23.m22.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p4.23.m22.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p4.23.m22.1.1.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.SS2.SSS1.p4.23.m22.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p4.23.m22.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.SS2.SSS1.p4.23.m22.2.2.2.2.3" xref="S3.SS2.SSS1.p4.23.m22.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.SS2.SSS1.p4.23.m22.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS1.p4.23.m22.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p4.23.m22.2.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS1.p4.23.m22.2.2.2.2.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.SS2.SSS1.p4.23.m22.2.2.2.2.2.3" xref="S3.SS2.SSS1.p4.23.m22.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S3.SS2.SSS1.p4.23.m22.2.2.3" xref="S3.SS2.SSS1.p4.23.m22.2.2.3.cmml">></mo><mn id="S3.SS2.SSS1.p4.23.m22.2.2.4" xref="S3.SS2.SSS1.p4.23.m22.2.2.4.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p4.23.m22.2b"><apply id="S3.SS2.SSS1.p4.23.m22.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.23.m22.2.2"><gt id="S3.SS2.SSS1.p4.23.m22.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.23.m22.2.2.3"></gt><list id="S3.SS2.SSS1.p4.23.m22.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.23.m22.2.2.2.2"><apply id="S3.SS2.SSS1.p4.23.m22.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.23.m22.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.p4.23.m22.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.23.m22.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.p4.23.m22.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.23.m22.1.1.1.1.1.2">𝜏</ci><cn id="S3.SS2.SSS1.p4.23.m22.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.p4.23.m22.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S3.SS2.SSS1.p4.23.m22.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.23.m22.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.p4.23.m22.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.23.m22.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.p4.23.m22.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.23.m22.2.2.2.2.2.2">𝜏</ci><cn id="S3.SS2.SSS1.p4.23.m22.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.p4.23.m22.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply></list><cn id="S3.SS2.SSS1.p4.23.m22.2.2.4.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.p4.23.m22.2.2.4">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p4.23.m22.2c">\tau_{1},\tau_{2}>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p4.23.m22.2d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT > 0</annotation></semantics></math>.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S3.F1"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_figure_panel ltx_img_landscape" height="525" id="S3.F1.g1" src="extracted/6294707/CsiCosE1.png" width="700"/></div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_figure_panel ltx_img_landscape" height="525" id="S3.F1.g2" src="extracted/6294707/CsiCosE2.png" width="700"/></div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <p class="ltx_p ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S3.F1.2"><math alttext="(a)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F1.1.m1.1"><semantics id="S3.F1.1.m1.1a"><mrow id="S3.F1.1.m1.1.2.2"><mo id="S3.F1.1.m1.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S3.F1.1.m1.1.1" xref="S3.F1.1.m1.1.1.cmml">a</mi><mo id="S3.F1.1.m1.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.1.m1.1b"><ci id="S3.F1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.F1.1.m1.1.1">𝑎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.1.m1.1c">(a)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.1.m1.1d">( italic_a )</annotation></semantics></math> <math alttext="(b)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F1.2.m2.1"><semantics id="S3.F1.2.m2.1a"><mrow id="S3.F1.2.m2.1.2.2"><mo id="S3.F1.2.m2.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S3.F1.2.m2.1.1" xref="S3.F1.2.m2.1.1.cmml">b</mi><mo id="S3.F1.2.m2.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.2.m2.1b"><ci id="S3.F1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.F1.2.m2.1.1">𝑏</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.2.m2.1c">(b)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.2.m2.1d">( italic_b )</annotation></semantics></math></p> </div> </div> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 1: </span>Graphs of <math alttext="\xi(\omega)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F1.9.m1.1"><semantics id="S3.F1.9.m1.1b"><mrow id="S3.F1.9.m1.1.2" xref="S3.F1.9.m1.1.2.cmml"><mi id="S3.F1.9.m1.1.2.2" xref="S3.F1.9.m1.1.2.2.cmml">ξ</mi><mo id="S3.F1.9.m1.1.2.1" xref="S3.F1.9.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.F1.9.m1.1.2.3.2" xref="S3.F1.9.m1.1.2.cmml"><mo id="S3.F1.9.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.F1.9.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.F1.9.m1.1.1" xref="S3.F1.9.m1.1.1.cmml">ω</mi><mo id="S3.F1.9.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.F1.9.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.9.m1.1c"><apply id="S3.F1.9.m1.1.2.cmml" xref="S3.F1.9.m1.1.2"><times id="S3.F1.9.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.F1.9.m1.1.2.1"></times><ci id="S3.F1.9.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.F1.9.m1.1.2.2">𝜉</ci><ci id="S3.F1.9.m1.1.1.cmml" xref="S3.F1.9.m1.1.1">𝜔</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.9.m1.1d">\xi(\omega)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.9.m1.1e">italic_ξ ( italic_ω )</annotation></semantics></math> (black) and <math alttext="\cos(\cdot)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F1.10.m2.2"><semantics id="S3.F1.10.m2.2b"><mrow id="S3.F1.10.m2.2.3.2" xref="S3.F1.10.m2.2.3.1.cmml"><mi id="S3.F1.10.m2.1.1" xref="S3.F1.10.m2.1.1.cmml">cos</mi><mo id="S3.F1.10.m2.2.3.2b" xref="S3.F1.10.m2.2.3.1.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.F1.10.m2.2.3.2.1" xref="S3.F1.10.m2.2.3.1.cmml"><mo id="S3.F1.10.m2.2.3.2.1.1" stretchy="false" xref="S3.F1.10.m2.2.3.1.cmml">(</mo><mo id="S3.F1.10.m2.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.F1.10.m2.2.2.cmml">⋅</mo><mo id="S3.F1.10.m2.2.3.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.F1.10.m2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.10.m2.2c"><apply id="S3.F1.10.m2.2.3.1.cmml" xref="S3.F1.10.m2.2.3.2"><cos id="S3.F1.10.m2.1.1.cmml" xref="S3.F1.10.m2.1.1"></cos><ci id="S3.F1.10.m2.2.2.cmml" xref="S3.F1.10.m2.2.2">⋅</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.10.m2.2d">\cos(\cdot)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.10.m2.2e">roman_cos ( ⋅ )</annotation></semantics></math> (blue), along with their intersection points, are shown for the steady-states: (a) <math alttext="E_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F1.11.m3.1"><semantics id="S3.F1.11.m3.1b"><msub id="S3.F1.11.m3.1.1" xref="S3.F1.11.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.F1.11.m3.1.1.2" xref="S3.F1.11.m3.1.1.2.cmml">E</mi><mn id="S3.F1.11.m3.1.1.3" xref="S3.F1.11.m3.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.11.m3.1c"><apply id="S3.F1.11.m3.1.1.cmml" xref="S3.F1.11.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F1.11.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.F1.11.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.F1.11.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.F1.11.m3.1.1.2">𝐸</ci><cn id="S3.F1.11.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.F1.11.m3.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.11.m3.1d">E_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.11.m3.1e">italic_E start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> at <math alttext="h=124,262,400" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F1.12.m4.3"><semantics id="S3.F1.12.m4.3b"><mrow id="S3.F1.12.m4.3.4" xref="S3.F1.12.m4.3.4.cmml"><mi id="S3.F1.12.m4.3.4.2" xref="S3.F1.12.m4.3.4.2.cmml">h</mi><mo id="S3.F1.12.m4.3.4.1" xref="S3.F1.12.m4.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.F1.12.m4.3.4.3.2" xref="S3.F1.12.m4.3.4.3.1.cmml"><mn id="S3.F1.12.m4.1.1" xref="S3.F1.12.m4.1.1.cmml">124</mn><mo id="S3.F1.12.m4.3.4.3.2.1" xref="S3.F1.12.m4.3.4.3.1.cmml">,</mo><mn id="S3.F1.12.m4.2.2" xref="S3.F1.12.m4.2.2.cmml">262</mn><mo id="S3.F1.12.m4.3.4.3.2.2" xref="S3.F1.12.m4.3.4.3.1.cmml">,</mo><mn id="S3.F1.12.m4.3.3" xref="S3.F1.12.m4.3.3.cmml">400</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.12.m4.3c"><apply id="S3.F1.12.m4.3.4.cmml" xref="S3.F1.12.m4.3.4"><eq id="S3.F1.12.m4.3.4.1.cmml" xref="S3.F1.12.m4.3.4.1"></eq><ci id="S3.F1.12.m4.3.4.2.cmml" xref="S3.F1.12.m4.3.4.2">ℎ</ci><list id="S3.F1.12.m4.3.4.3.1.cmml" xref="S3.F1.12.m4.3.4.3.2"><cn id="S3.F1.12.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.F1.12.m4.1.1">124</cn><cn id="S3.F1.12.m4.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.F1.12.m4.2.2">262</cn><cn id="S3.F1.12.m4.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.F1.12.m4.3.3">400</cn></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.12.m4.3d">h=124,262,400</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.12.m4.3e">italic_h = 124 , 262 , 400</annotation></semantics></math>; (b) <math alttext="E_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F1.13.m5.1"><semantics id="S3.F1.13.m5.1b"><msub id="S3.F1.13.m5.1.1" xref="S3.F1.13.m5.1.1.cmml"><mi id="S3.F1.13.m5.1.1.2" xref="S3.F1.13.m5.1.1.2.cmml">E</mi><mn id="S3.F1.13.m5.1.1.3" xref="S3.F1.13.m5.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.13.m5.1c"><apply id="S3.F1.13.m5.1.1.cmml" xref="S3.F1.13.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F1.13.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.F1.13.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.F1.13.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.F1.13.m5.1.1.2">𝐸</ci><cn id="S3.F1.13.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.F1.13.m5.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.13.m5.1d">E_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.13.m5.1e">italic_E start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> at <math alttext="h=2\times 10^{4},3\times 10^{4},4\times 10^{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F1.14.m6.3"><semantics id="S3.F1.14.m6.3b"><mrow id="S3.F1.14.m6.3.3" xref="S3.F1.14.m6.3.3.cmml"><mi id="S3.F1.14.m6.3.3.5" xref="S3.F1.14.m6.3.3.5.cmml">h</mi><mo id="S3.F1.14.m6.3.3.4" xref="S3.F1.14.m6.3.3.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.F1.14.m6.3.3.3.3" xref="S3.F1.14.m6.3.3.3.4.cmml"><mrow id="S3.F1.14.m6.1.1.1.1.1" xref="S3.F1.14.m6.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.F1.14.m6.1.1.1.1.1.2" xref="S3.F1.14.m6.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S3.F1.14.m6.1.1.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.F1.14.m6.1.1.1.1.1.1.cmml">×</mo><msup id="S3.F1.14.m6.1.1.1.1.1.3" xref="S3.F1.14.m6.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.F1.14.m6.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.F1.14.m6.1.1.1.1.1.3.2.cmml">10</mn><mn id="S3.F1.14.m6.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.F1.14.m6.1.1.1.1.1.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow><mo id="S3.F1.14.m6.3.3.3.3.4" xref="S3.F1.14.m6.3.3.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S3.F1.14.m6.2.2.2.2.2" xref="S3.F1.14.m6.2.2.2.2.2.cmml"><mn id="S3.F1.14.m6.2.2.2.2.2.2" xref="S3.F1.14.m6.2.2.2.2.2.2.cmml">3</mn><mo id="S3.F1.14.m6.2.2.2.2.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.F1.14.m6.2.2.2.2.2.1.cmml">×</mo><msup id="S3.F1.14.m6.2.2.2.2.2.3" xref="S3.F1.14.m6.2.2.2.2.2.3.cmml"><mn id="S3.F1.14.m6.2.2.2.2.2.3.2" xref="S3.F1.14.m6.2.2.2.2.2.3.2.cmml">10</mn><mn id="S3.F1.14.m6.2.2.2.2.2.3.3" xref="S3.F1.14.m6.2.2.2.2.2.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow><mo id="S3.F1.14.m6.3.3.3.3.5" xref="S3.F1.14.m6.3.3.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S3.F1.14.m6.3.3.3.3.3" xref="S3.F1.14.m6.3.3.3.3.3.cmml"><mn id="S3.F1.14.m6.3.3.3.3.3.2" xref="S3.F1.14.m6.3.3.3.3.3.2.cmml">4</mn><mo id="S3.F1.14.m6.3.3.3.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.F1.14.m6.3.3.3.3.3.1.cmml">×</mo><msup id="S3.F1.14.m6.3.3.3.3.3.3" xref="S3.F1.14.m6.3.3.3.3.3.3.cmml"><mn id="S3.F1.14.m6.3.3.3.3.3.3.2" xref="S3.F1.14.m6.3.3.3.3.3.3.2.cmml">10</mn><mn id="S3.F1.14.m6.3.3.3.3.3.3.3" xref="S3.F1.14.m6.3.3.3.3.3.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.14.m6.3c"><apply id="S3.F1.14.m6.3.3.cmml" xref="S3.F1.14.m6.3.3"><eq id="S3.F1.14.m6.3.3.4.cmml" xref="S3.F1.14.m6.3.3.4"></eq><ci id="S3.F1.14.m6.3.3.5.cmml" xref="S3.F1.14.m6.3.3.5">ℎ</ci><list id="S3.F1.14.m6.3.3.3.4.cmml" xref="S3.F1.14.m6.3.3.3.3"><apply id="S3.F1.14.m6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.F1.14.m6.1.1.1.1.1"><times id="S3.F1.14.m6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.F1.14.m6.1.1.1.1.1.1"></times><cn id="S3.F1.14.m6.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.F1.14.m6.1.1.1.1.1.2">2</cn><apply id="S3.F1.14.m6.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.F1.14.m6.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F1.14.m6.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.F1.14.m6.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><cn id="S3.F1.14.m6.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.F1.14.m6.1.1.1.1.1.3.2">10</cn><cn id="S3.F1.14.m6.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.F1.14.m6.1.1.1.1.1.3.3">4</cn></apply></apply><apply id="S3.F1.14.m6.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.F1.14.m6.2.2.2.2.2"><times id="S3.F1.14.m6.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.F1.14.m6.2.2.2.2.2.1"></times><cn id="S3.F1.14.m6.2.2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.F1.14.m6.2.2.2.2.2.2">3</cn><apply id="S3.F1.14.m6.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.F1.14.m6.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F1.14.m6.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.F1.14.m6.2.2.2.2.2.3">superscript</csymbol><cn id="S3.F1.14.m6.2.2.2.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.F1.14.m6.2.2.2.2.2.3.2">10</cn><cn id="S3.F1.14.m6.2.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.F1.14.m6.2.2.2.2.2.3.3">4</cn></apply></apply><apply id="S3.F1.14.m6.3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.F1.14.m6.3.3.3.3.3"><times id="S3.F1.14.m6.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.F1.14.m6.3.3.3.3.3.1"></times><cn id="S3.F1.14.m6.3.3.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.F1.14.m6.3.3.3.3.3.2">4</cn><apply id="S3.F1.14.m6.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.F1.14.m6.3.3.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F1.14.m6.3.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.F1.14.m6.3.3.3.3.3.3">superscript</csymbol><cn id="S3.F1.14.m6.3.3.3.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.F1.14.m6.3.3.3.3.3.3.2">10</cn><cn id="S3.F1.14.m6.3.3.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.F1.14.m6.3.3.3.3.3.3.3">4</cn></apply></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.14.m6.3d">h=2\times 10^{4},3\times 10^{4},4\times 10^{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.14.m6.3e">italic_h = 2 × 10 start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT , 3 × 10 start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT , 4 × 10 start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. All other parameter values are as in Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S2.T1" title="Table 1 ‣ 2 Nonlinear time delayed Quorum Sensing system ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>. </figcaption> </figure> </section> <section class="ltx_subsubsection" id="S3.SS2.SSS2"> <h4 class="ltx_title ltx_title_subsubsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsubsection">3.2.2 </span>A geometric transversality condition.</h4> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.SSS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS2.p1.11">Once we have established the existence of imaginary roots for the pseudo-polynomial (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.E7" title="Equation 7 ‣ 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7</span></a>), we now provide a geometric characterisation of their crossing of the imaginary axis as a function of the delays <math alttext="\tau_{1},\tau_{2}>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.2"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.2a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><msub id="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.2.2.2.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.2.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.2.2.3.cmml">></mo><mn id="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.2.2.4" xref="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.2.2.4.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.2b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.2.2"><gt id="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.2.2.3"></gt><list id="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.2.2.2.2"><apply id="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2">𝜏</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2">𝜏</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply></list><cn id="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.2.2.4.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.2.2.4">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.2c">\tau_{1},\tau_{2}>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.2d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT > 0</annotation></semantics></math>. Given the oscillatory behaviour of the steady-state <math alttext="E_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p1.2.m2.1a"><msub id="S3.SS2.SSS2.p1.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p1.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p1.2.m2.1.1.2.cmml">E</mi><mn id="S3.SS2.SSS2.p1.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p1.2.m2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.2.m2.1.1.2">𝐸</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p1.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p1.2.m2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p1.2.m2.1c">E_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p1.2.m2.1d">italic_E start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> at <math alttext="\tau_{1}=\tau_{2}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1.3.cmml">=</mo><msub id="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1.4" xref="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1.4.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1.4.2" xref="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1.4.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1.4.3" xref="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1.4.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1.5" xref="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1.5.cmml">=</mo><mn id="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1.6" xref="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1.6.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1"><and id="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1a.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1"></and><apply id="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1b.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1"><eq id="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1.3"></eq><apply id="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1.2.2">𝜏</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1.4.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1.4.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1.4.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1.4.2">𝜏</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1.4.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1c.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1"><eq id="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1.5.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1.4.cmml" id="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1d.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1"></share><cn id="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1.6.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1.6">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1c">\tau_{1}=\tau_{2}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math>, our analysis is focused on this point. Crucially, <math alttext="q(0,\boldsymbol{\tau},\mathbf{p})\neq 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.3"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.3a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.3.4" xref="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.3.4.cmml"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.3.4.2" xref="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.3.4.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.3.4.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.3.4.2.2.cmml">q</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.3.4.2.1" xref="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.3.4.2.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.3.4.2.3.1.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.3.4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.3.4.2.3.1.cmml">(</mo><mn id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.3.4.2.3.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.3.4.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.2.2.cmml">𝝉</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.3.4.2.3.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.3.4.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.3.3" xref="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.3.3.cmml">𝐩</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.3.4.2.3.2.4" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.3.4.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.3.4.1" xref="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.3.4.1.cmml">≠</mo><mn id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.3.4.3" xref="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.3.4.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.3b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.3.4.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.3.4"><neq id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.3.4.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.3.4.1"></neq><apply id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.3.4.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.3.4.2"><times id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.3.4.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.3.4.2.1"></times><ci id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.3.4.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.3.4.2.2">𝑞</ci><vector id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.3.4.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.3.4.2.3.2"><cn id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.1.1">0</cn><ci id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.2.2">𝝉</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.3.3">𝐩</ci></vector></apply><cn id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.3.4.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.3c">q(0,\boldsymbol{\tau},\mathbf{p})\neq 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m4.3d">italic_q ( 0 , bold_italic_τ , bold_p ) ≠ 0</annotation></semantics></math>, as shown by (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.E7" title="Equation 7 ‣ 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7</span></a>). Furthermore, the polynomials <math alttext="p_{i}(\lambda,\boldsymbol{\tau},\mathbf{p})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p1.5.m5.3"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p1.5.m5.3a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p1.5.m5.3.4" xref="S3.SS2.SSS2.p1.5.m5.3.4.cmml"><msub id="S3.SS2.SSS2.p1.5.m5.3.4.2" xref="S3.SS2.SSS2.p1.5.m5.3.4.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p1.5.m5.3.4.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p1.5.m5.3.4.2.2.cmml">p</mi><mi id="S3.SS2.SSS2.p1.5.m5.3.4.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p1.5.m5.3.4.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.5.m5.3.4.1" xref="S3.SS2.SSS2.p1.5.m5.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p1.5.m5.3.4.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p1.5.m5.3.4.3.1.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.5.m5.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p1.5.m5.3.4.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p1.5.m5.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p1.5.m5.1.1.cmml">λ</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.5.m5.3.4.3.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p1.5.m5.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p1.5.m5.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p1.5.m5.2.2.cmml">𝝉</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.5.m5.3.4.3.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p1.5.m5.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p1.5.m5.3.3" xref="S3.SS2.SSS2.p1.5.m5.3.3.cmml">𝐩</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.5.m5.3.4.3.2.4" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p1.5.m5.3.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p1.5.m5.3b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p1.5.m5.3.4.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.5.m5.3.4"><times id="S3.SS2.SSS2.p1.5.m5.3.4.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.5.m5.3.4.1"></times><apply id="S3.SS2.SSS2.p1.5.m5.3.4.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.5.m5.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p1.5.m5.3.4.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.5.m5.3.4.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p1.5.m5.3.4.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.5.m5.3.4.2.2">𝑝</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p1.5.m5.3.4.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.5.m5.3.4.2.3">𝑖</ci></apply><vector id="S3.SS2.SSS2.p1.5.m5.3.4.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.5.m5.3.4.3.2"><ci id="S3.SS2.SSS2.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.5.m5.1.1">𝜆</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p1.5.m5.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.5.m5.2.2">𝝉</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p1.5.m5.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.5.m5.3.3">𝐩</ci></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p1.5.m5.3c">p_{i}(\lambda,\boldsymbol{\tau},\mathbf{p})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p1.5.m5.3d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_λ , bold_italic_τ , bold_p )</annotation></semantics></math>, for <math alttext="i=1,2,3" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p1.6.m6.3"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p1.6.m6.3a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p1.6.m6.3.4" xref="S3.SS2.SSS2.p1.6.m6.3.4.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p1.6.m6.3.4.2" xref="S3.SS2.SSS2.p1.6.m6.3.4.2.cmml">i</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.6.m6.3.4.1" xref="S3.SS2.SSS2.p1.6.m6.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p1.6.m6.3.4.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p1.6.m6.3.4.3.1.cmml"><mn id="S3.SS2.SSS2.p1.6.m6.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p1.6.m6.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.6.m6.3.4.3.2.1" xref="S3.SS2.SSS2.p1.6.m6.3.4.3.1.cmml">,</mo><mn id="S3.SS2.SSS2.p1.6.m6.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p1.6.m6.2.2.cmml">2</mn><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.6.m6.3.4.3.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p1.6.m6.3.4.3.1.cmml">,</mo><mn id="S3.SS2.SSS2.p1.6.m6.3.3" xref="S3.SS2.SSS2.p1.6.m6.3.3.cmml">3</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p1.6.m6.3b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p1.6.m6.3.4.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.6.m6.3.4"><eq id="S3.SS2.SSS2.p1.6.m6.3.4.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.6.m6.3.4.1"></eq><ci id="S3.SS2.SSS2.p1.6.m6.3.4.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.6.m6.3.4.2">𝑖</ci><list id="S3.SS2.SSS2.p1.6.m6.3.4.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.6.m6.3.4.3.2"><cn id="S3.SS2.SSS2.p1.6.m6.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p1.6.m6.1.1">1</cn><cn id="S3.SS2.SSS2.p1.6.m6.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p1.6.m6.2.2">2</cn><cn id="S3.SS2.SSS2.p1.6.m6.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p1.6.m6.3.3">3</cn></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p1.6.m6.3c">i=1,2,3</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p1.6.m6.3d">italic_i = 1 , 2 , 3</annotation></semantics></math>, defined in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.E7.2" title="Equation 7b ‣ Equation 7 ‣ 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7b</span></a>)-(<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.E7.4" title="Equation 7d ‣ Equation 7 ‣ 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7d</span></a>), are numerically verified to have no common zeros, and <math alttext="\deg(p_{3}(\lambda,\boldsymbol{\tau},\mathbf{p}))>\max\{\deg(p_{2}(\lambda,% \boldsymbol{\tau},\mathbf{p})),\deg(p_{1}(\lambda,\boldsymbol{\tau},\mathbf{p}% ))\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.cmml"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.14.14.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.14.14.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.4.4" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.4.4.cmml">deg</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.14.14.1.1a" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.14.14.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.14.14.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.14.14.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.14.14.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.14.14.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.14.14.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.14.14.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.14.14.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.14.14.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.14.14.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.14.14.1.1.1.1.2.2.cmml">p</mi><mn id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.14.14.1.1.1.1.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.14.14.1.1.1.1.2.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.14.14.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.14.14.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.14.14.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.14.14.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.14.14.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.14.14.1.1.1.1.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.1.1.cmml">λ</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.14.14.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.14.14.1.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.2.2.cmml">𝝉</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.14.14.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.14.14.1.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.3.3" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.3.3.cmml">𝐩</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.14.14.1.1.1.1.3.2.4" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.14.14.1.1.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.14.14.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.14.14.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.4" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.4.cmml">></mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.13.13" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.13.13.cmml">max</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2a" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.3.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.3.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.3.cmml">{</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.15.15.2.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.15.15.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.8.8" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.8.8.cmml">deg</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.15.15.2.1.1.1.1a" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.15.15.2.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.15.15.2.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.15.15.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.15.15.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.15.15.2.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.15.15.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.15.15.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.15.15.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.15.15.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.15.15.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.15.15.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">p</mi><mn id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.15.15.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.15.15.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.15.15.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.15.15.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.15.15.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.15.15.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.15.15.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.15.15.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.5.5" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.5.5.cmml">λ</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.15.15.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.15.15.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.6.6" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.6.6.cmml">𝝉</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.15.15.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.15.15.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.7.7" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.7.7.cmml">𝐩</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.15.15.2.1.1.1.1.1.1.3.2.4" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.15.15.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.15.15.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.15.15.2.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2.2.4" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2.2.2.1" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.12.12" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.12.12.cmml">deg</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2.2.2.1a" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2.2.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2.2.2.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2.2.2.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2.2.2.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">p</mi><mn id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2.2.2.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.9.9" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.9.9.cmml">λ</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.10.10" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.10.10.cmml">𝝉</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.11.11" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.11.11.cmml">𝐩</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2.2.2.1.1.1.3.2.4" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.3.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16"><gt id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.4.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.4"></gt><apply id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.14.14.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.14.14.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.4.4.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.4.4">degree</csymbol><apply id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.14.14.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.14.14.1.1.1.1"><times id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.14.14.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.14.14.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.14.14.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.14.14.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.14.14.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.14.14.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.14.14.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.14.14.1.1.1.1.2.2">𝑝</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.14.14.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.14.14.1.1.1.1.2.3">3</cn></apply><vector id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.14.14.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.14.14.1.1.1.1.3.2"><ci id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.1.1">𝜆</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.2.2">𝝉</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.3.3">𝐩</ci></vector></apply></apply><apply id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2"><max id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.13.13.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.13.13"></max><apply id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.15.15.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.15.15.2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.8.8.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.8.8">degree</csymbol><apply id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.15.15.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.15.15.2.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.15.15.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.15.15.2.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.15.15.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.15.15.2.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.15.15.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.15.15.2.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.15.15.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.15.15.2.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑝</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.15.15.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.15.15.2.1.1.1.1.1.1.2.3">2</cn></apply><vector id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.15.15.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.15.15.2.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.5.5.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.5.5">𝜆</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.6.6.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.6.6">𝝉</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.7.7.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.7.7">𝐩</ci></vector></apply></apply><apply id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.12.12.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.12.12">degree</csymbol><apply id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2.2.2.1.1.1"><times id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2.2.2.1.1.1.1"></times><apply id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2.2.2.1.1.1.2.2">𝑝</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2.2.2.1.1.1.2.3">1</cn></apply><vector id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16.16.3.2.2.2.1.1.1.3.2"><ci id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.9.9.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.9.9">𝜆</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.10.10.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.10.10">𝝉</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.11.11.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.11.11">𝐩</ci></vector></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16c">\deg(p_{3}(\lambda,\boldsymbol{\tau},\mathbf{p}))>\max\{\deg(p_{2}(\lambda,% \boldsymbol{\tau},\mathbf{p})),\deg(p_{1}(\lambda,\boldsymbol{\tau},\mathbf{p}% ))\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p1.7.m7.16d">roman_deg ( italic_p start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_λ , bold_italic_τ , bold_p ) ) > roman_max { roman_deg ( italic_p start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_λ , bold_italic_τ , bold_p ) ) , roman_deg ( italic_p start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_λ , bold_italic_τ , bold_p ) ) }</annotation></semantics></math>. These conditions ensure that for <math alttext="E_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p1.8.m8.1"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p1.8.m8.1a"><msub id="S3.SS2.SSS2.p1.8.m8.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p1.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p1.8.m8.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p1.8.m8.1.1.2.cmml">E</mi><mn id="S3.SS2.SSS2.p1.8.m8.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p1.8.m8.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p1.8.m8.1b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.8.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p1.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.8.m8.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p1.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.8.m8.1.1.2">𝐸</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p1.8.m8.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p1.8.m8.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p1.8.m8.1c">E_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p1.8.m8.1d">italic_E start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, there exist values of <math alttext="\tau_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p1.9.m9.1"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p1.9.m9.1a"><msub id="S3.SS2.SSS2.p1.9.m9.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p1.9.m9.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p1.9.m9.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p1.9.m9.1.1.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.SS2.SSS2.p1.9.m9.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p1.9.m9.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p1.9.m9.1b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p1.9.m9.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.9.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p1.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.9.m9.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p1.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.9.m9.1.1.2">𝜏</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p1.9.m9.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p1.9.m9.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p1.9.m9.1c">\tau_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p1.9.m9.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\tau_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p1.10.m10.1"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p1.10.m10.1a"><msub id="S3.SS2.SSS2.p1.10.m10.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p1.10.m10.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p1.10.m10.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p1.10.m10.1.1.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.SS2.SSS2.p1.10.m10.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p1.10.m10.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p1.10.m10.1b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p1.10.m10.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.10.m10.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p1.10.m10.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.10.m10.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p1.10.m10.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.10.m10.1.1.2">𝜏</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p1.10.m10.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p1.10.m10.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p1.10.m10.1c">\tau_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p1.10.m10.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> for which the real parts of the roots of <math alttext="q(\lambda,\boldsymbol{\tau},\mathbf{p})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p1.11.m11.3"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p1.11.m11.3a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p1.11.m11.3.4" xref="S3.SS2.SSS2.p1.11.m11.3.4.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p1.11.m11.3.4.2" xref="S3.SS2.SSS2.p1.11.m11.3.4.2.cmml">q</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.11.m11.3.4.1" xref="S3.SS2.SSS2.p1.11.m11.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p1.11.m11.3.4.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p1.11.m11.3.4.3.1.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.11.m11.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p1.11.m11.3.4.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p1.11.m11.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p1.11.m11.1.1.cmml">λ</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.11.m11.3.4.3.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p1.11.m11.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p1.11.m11.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p1.11.m11.2.2.cmml">𝝉</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.11.m11.3.4.3.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p1.11.m11.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p1.11.m11.3.3" xref="S3.SS2.SSS2.p1.11.m11.3.3.cmml">𝐩</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.11.m11.3.4.3.2.4" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p1.11.m11.3.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p1.11.m11.3b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p1.11.m11.3.4.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.11.m11.3.4"><times id="S3.SS2.SSS2.p1.11.m11.3.4.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.11.m11.3.4.1"></times><ci id="S3.SS2.SSS2.p1.11.m11.3.4.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.11.m11.3.4.2">𝑞</ci><vector id="S3.SS2.SSS2.p1.11.m11.3.4.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.11.m11.3.4.3.2"><ci id="S3.SS2.SSS2.p1.11.m11.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.11.m11.1.1">𝜆</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p1.11.m11.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.11.m11.2.2">𝝉</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p1.11.m11.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.11.m11.3.3">𝐩</ci></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p1.11.m11.3c">q(\lambda,\boldsymbol{\tau},\mathbf{p})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p1.11.m11.3d">italic_q ( italic_λ , bold_italic_τ , bold_p )</annotation></semantics></math> lie in the left-hand side of the complex plane; see, for instance, <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#bib.bib15" title="">15</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.SSS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS2.p2.3">To characterise the intersections, we interpret the three terms in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.E9.1" title="Equation 9a ‣ Equation 9 ‣ 3.2.1 Existence of purely imaginary eigenvalues. ‣ 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">9a</span></a>) as vectors in the complex plane. The first term has a magnitude of unity and is oriented along the real axis. The remaining two terms are given by <math alttext="|q_{j}(i\omega)|\exp(-i\omega\tau_{j}+i\arg(q_{j}(i\omega)))" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.cmml"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml">q</mi><mi id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ω</mi></mrow><mo id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.3" lspace="0.167em" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.2.2.cmml">exp</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1a" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.2.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.3a" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.2.cmml">i</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.1" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.3.cmml">ω</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.1a" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.4" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.4.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.4.2" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.4.2.cmml">τ</mi><mi id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.4.3" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.4.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.cmml">i</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.2" lspace="0.167em" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.1.1.cmml">arg</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">q</mi><mi id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ω</mi></mrow><mo id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4"><times id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.3"></times><apply id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1"><abs id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.2"></abs><apply id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1"><times id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.2"></times><apply id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.3.2">𝑞</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.1"><times id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3">𝜔</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1"><exp id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.2.2"></exp><apply id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1"><plus id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.2"></plus><apply id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.3"><minus id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.3"></minus><apply id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2"><times id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.1"></times><ci id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.2">𝑖</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.3">𝜔</ci><apply id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.4.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.4.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.4.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.4.2">𝜏</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.4.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.4.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1"><times id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.3">𝑖</ci><apply id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1"><arg id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.1.1"></arg><apply id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑞</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜔</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4c">|q_{j}(i\omega)|\exp(-i\omega\tau_{j}+i\arg(q_{j}(i\omega)))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.4d">| italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i italic_ω ) | roman_exp ( - italic_i italic_ω italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT + italic_i roman_arg ( italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i italic_ω ) ) )</annotation></semantics></math>, for <math alttext="j=1,2" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.2"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.2a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.2.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.2.3.1" xref="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.2.3.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.2.3.3.1.cmml"><mn id="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.2.3.3.2.1" xref="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.2.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.2.2.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.2b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.2.3"><eq id="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.2.3.1"></eq><ci id="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.2.3.2">𝑗</ci><list id="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.2.3.3.2"><cn id="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.1.1">1</cn><cn id="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.2.2">2</cn></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.2c">j=1,2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.2d">italic_j = 1 , 2</annotation></semantics></math>. Since equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.E9.1" title="Equation 9a ‣ Equation 9 ‣ 3.2.1 Existence of purely imaginary eigenvalues. ‣ 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">9a</span></a>) holds, these vector orientations must form a triangle. This geometric constraint is satisfied only for non-zero values of <math alttext="\omega" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p2.3.m3.1"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p2.3.m3.1a"><mi id="S3.SS2.SSS2.p2.3.m3.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p2.3.m3.1.1.cmml">ω</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p2.3.m3.1b"><ci id="S3.SS2.SSS2.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.3.m3.1.1">𝜔</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p2.3.m3.1c">\omega</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p2.3.m3.1d">italic_ω</annotation></semantics></math> that also fulfill the conditions stated in Proposition 3.1 of <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#bib.bib15" title="">15</a>]</cite>:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx14"> <tbody id="S3.E11"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(11)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle 1\leq\left|q_{1}(i\omega)\right|+\left|q_{2}(i\omega)\right|\,,% \quad-1\leq\left|q_{1}(i\omega)\right|-\left|q_{2}(i\omega)\right|\leq 1\,." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E11.m1.1"><semantics id="S3.E11.m1.1a"><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1"><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">1</mn><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">≤</mo><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">q</mi><mn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ω</mi></mrow><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><msub id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml">q</mi><mn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">ω</mi></mrow><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.3" rspace="0.170em" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.4" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.4.cmml"><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.4a" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.4.cmml">−</mo><mn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.4.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.4.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.5" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.5.cmml">≤</mo><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">q</mi><mn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ω</mi></mrow><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">−</mo><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml"><msub id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml">q</mi><mn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">ω</mi></mrow><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.6" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.6.cmml">≤</mo><mn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.7" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.7.cmml">1</mn></mrow></mrow><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.2" lspace="0.170em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E11.m1.1b"><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1"><leq id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3"></leq><cn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" type="integer" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.4">1</cn><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2"><plus id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"></plus><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><abs id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑞</ci><cn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜔</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1"><abs id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2"></abs><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1"><times id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2"></times><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2">𝑞</ci><cn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1"><times id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3">𝜔</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2"><and id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2a.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2"></and><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2b.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2"><leq id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.5.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.5"></leq><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.4.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.4"><minus id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.4"></minus><cn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.4.2.cmml" type="integer" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.4.2">1</cn></apply><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2"><minus id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.3"></minus><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1"><abs id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1"><times id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2">𝑞</ci><cn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜔</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1"><abs id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.2"></abs><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1"><times id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.2"></times><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2">𝑞</ci><cn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1"><times id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3">𝜔</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2c.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2"><leq id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.6.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.6"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2d.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2"></share><cn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.7.cmml" type="integer" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.7">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E11.m1.1c">\displaystyle 1\leq\left|q_{1}(i\omega)\right|+\left|q_{2}(i\omega)\right|\,,% \quad-1\leq\left|q_{1}(i\omega)\right|-\left|q_{2}(i\omega)\right|\leq 1\,.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E11.m1.1d">1 ≤ | italic_q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i italic_ω ) | + | italic_q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i italic_ω ) | , - 1 ≤ | italic_q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i italic_ω ) | - | italic_q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i italic_ω ) | ≤ 1 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS2.p2.6">These conditions are illustrated in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.F2" title="Figure 2 ‣ 3.2.2 A geometric transversality condition. ‣ 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>(a) at the steady-state <math alttext="E_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p2.4.m1.1"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p2.4.m1.1a"><msub id="S3.SS2.SSS2.p2.4.m1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p2.4.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p2.4.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p2.4.m1.1.1.2.cmml">E</mi><mn id="S3.SS2.SSS2.p2.4.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p2.4.m1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p2.4.m1.1b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p2.4.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.4.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p2.4.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.4.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p2.4.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.4.m1.1.1.2">𝐸</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p2.4.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p2.4.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p2.4.m1.1c">E_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p2.4.m1.1d">italic_E start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. As is depicted there, inequalities in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.E11" title="Equation 11 ‣ 3.2.2 A geometric transversality condition. ‣ 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">11</span></a>) are simultaneously satisfied only within the subintervals <math alttext="\Omega_{1}=[0,0.0466554]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p2.5.m2.2"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p2.5.m2.2a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p2.5.m2.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p2.5.m2.2.3.cmml"><msub id="S3.SS2.SSS2.p2.5.m2.2.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p2.5.m2.2.3.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p2.5.m2.2.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.SSS2.p2.5.m2.2.3.2.2.cmml">Ω</mi><mn id="S3.SS2.SSS2.p2.5.m2.2.3.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p2.5.m2.2.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.SS2.SSS2.p2.5.m2.2.3.1" xref="S3.SS2.SSS2.p2.5.m2.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p2.5.m2.2.3.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p2.5.m2.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p2.5.m2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p2.5.m2.2.3.3.1.cmml">[</mo><mn id="S3.SS2.SSS2.p2.5.m2.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p2.5.m2.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.SS2.SSS2.p2.5.m2.2.3.3.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p2.5.m2.2.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="S3.SS2.SSS2.p2.5.m2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p2.5.m2.2.2.cmml">0.0466554</mn><mo id="S3.SS2.SSS2.p2.5.m2.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p2.5.m2.2.3.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p2.5.m2.2b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p2.5.m2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.5.m2.2.3"><eq id="S3.SS2.SSS2.p2.5.m2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.5.m2.2.3.1"></eq><apply id="S3.SS2.SSS2.p2.5.m2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.5.m2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p2.5.m2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.5.m2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p2.5.m2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.5.m2.2.3.2.2">Ω</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p2.5.m2.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p2.5.m2.2.3.2.3">1</cn></apply><interval closure="closed" id="S3.SS2.SSS2.p2.5.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.5.m2.2.3.3.2"><cn id="S3.SS2.SSS2.p2.5.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p2.5.m2.1.1">0</cn><cn id="S3.SS2.SSS2.p2.5.m2.2.2.cmml" type="float" xref="S3.SS2.SSS2.p2.5.m2.2.2">0.0466554</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p2.5.m2.2c">\Omega_{1}=[0,0.0466554]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p2.5.m2.2d">roman_Ω start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = [ 0 , 0.0466554 ]</annotation></semantics></math> and <math alttext="\Omega_{2}=[0.136335,0.187117]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p2.6.m3.2"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p2.6.m3.2a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p2.6.m3.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p2.6.m3.2.3.cmml"><msub id="S3.SS2.SSS2.p2.6.m3.2.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p2.6.m3.2.3.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p2.6.m3.2.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.SSS2.p2.6.m3.2.3.2.2.cmml">Ω</mi><mn id="S3.SS2.SSS2.p2.6.m3.2.3.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p2.6.m3.2.3.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.SS2.SSS2.p2.6.m3.2.3.1" xref="S3.SS2.SSS2.p2.6.m3.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p2.6.m3.2.3.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p2.6.m3.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p2.6.m3.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p2.6.m3.2.3.3.1.cmml">[</mo><mn id="S3.SS2.SSS2.p2.6.m3.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p2.6.m3.1.1.cmml">0.136335</mn><mo id="S3.SS2.SSS2.p2.6.m3.2.3.3.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p2.6.m3.2.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="S3.SS2.SSS2.p2.6.m3.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p2.6.m3.2.2.cmml">0.187117</mn><mo id="S3.SS2.SSS2.p2.6.m3.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p2.6.m3.2.3.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p2.6.m3.2b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p2.6.m3.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.6.m3.2.3"><eq id="S3.SS2.SSS2.p2.6.m3.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.6.m3.2.3.1"></eq><apply id="S3.SS2.SSS2.p2.6.m3.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.6.m3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p2.6.m3.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.6.m3.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p2.6.m3.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.6.m3.2.3.2.2">Ω</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p2.6.m3.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p2.6.m3.2.3.2.3">2</cn></apply><interval closure="closed" id="S3.SS2.SSS2.p2.6.m3.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.6.m3.2.3.3.2"><cn id="S3.SS2.SSS2.p2.6.m3.1.1.cmml" type="float" xref="S3.SS2.SSS2.p2.6.m3.1.1">0.136335</cn><cn id="S3.SS2.SSS2.p2.6.m3.2.2.cmml" type="float" xref="S3.SS2.SSS2.p2.6.m3.2.2">0.187117</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p2.6.m3.2c">\Omega_{2}=[0.136335,0.187117]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p2.6.m3.2d">roman_Ω start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = [ 0.136335 , 0.187117 ]</annotation></semantics></math> for the parameter values given in Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S2.T1" title="Table 1 ‣ 2 Nonlinear time delayed Quorum Sensing system ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S3.F2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="282" id="S3.F2.g1" src="extracted/6294707/unifiedDef.png" width="844"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 2: </span>Purely imaginary eigenvalues for <math alttext="\tau_{1},\tau_{2}>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F2.9.m1.2"><semantics id="S3.F2.9.m1.2b"><mrow id="S3.F2.9.m1.2.2" xref="S3.F2.9.m1.2.2.cmml"><mrow id="S3.F2.9.m1.2.2.2.2" xref="S3.F2.9.m1.2.2.2.3.cmml"><msub id="S3.F2.9.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.F2.9.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.F2.9.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.F2.9.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.F2.9.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.F2.9.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.F2.9.m1.2.2.2.2.3" xref="S3.F2.9.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.F2.9.m1.2.2.2.2.2" xref="S3.F2.9.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.F2.9.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.F2.9.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.F2.9.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S3.F2.9.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S3.F2.9.m1.2.2.3" xref="S3.F2.9.m1.2.2.3.cmml">></mo><mn id="S3.F2.9.m1.2.2.4" xref="S3.F2.9.m1.2.2.4.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F2.9.m1.2c"><apply id="S3.F2.9.m1.2.2.cmml" xref="S3.F2.9.m1.2.2"><gt id="S3.F2.9.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.F2.9.m1.2.2.3"></gt><list id="S3.F2.9.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.F2.9.m1.2.2.2.2"><apply id="S3.F2.9.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.F2.9.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F2.9.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.F2.9.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.F2.9.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.F2.9.m1.1.1.1.1.1.2">𝜏</ci><cn id="S3.F2.9.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.F2.9.m1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S3.F2.9.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.F2.9.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F2.9.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.F2.9.m1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.F2.9.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.F2.9.m1.2.2.2.2.2.2">𝜏</ci><cn id="S3.F2.9.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.F2.9.m1.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply></list><cn id="S3.F2.9.m1.2.2.4.cmml" type="integer" xref="S3.F2.9.m1.2.2.4">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F2.9.m1.2d">\tau_{1},\tau_{2}>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F2.9.m1.2e">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT > 0</annotation></semantics></math> for low and high frequency intervals. (a) Conditions in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.E11" title="Equation 11 ‣ 3.2.2 A geometric transversality condition. ‣ 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">11</span></a>) hold for <math alttext="\omega>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F2.10.m2.1"><semantics id="S3.F2.10.m2.1b"><mrow id="S3.F2.10.m2.1.1" xref="S3.F2.10.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.F2.10.m2.1.1.2" xref="S3.F2.10.m2.1.1.2.cmml">ω</mi><mo id="S3.F2.10.m2.1.1.1" xref="S3.F2.10.m2.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S3.F2.10.m2.1.1.3" xref="S3.F2.10.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F2.10.m2.1c"><apply id="S3.F2.10.m2.1.1.cmml" xref="S3.F2.10.m2.1.1"><gt id="S3.F2.10.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.F2.10.m2.1.1.1"></gt><ci id="S3.F2.10.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.F2.10.m2.1.1.2">𝜔</ci><cn id="S3.F2.10.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.F2.10.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F2.10.m2.1d">\omega>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F2.10.m2.1e">italic_ω > 0</annotation></semantics></math> within the two distinct frequency intervals given by <math alttext="\Omega_{1}=[0,0.0466554]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F2.11.m3.2"><semantics id="S3.F2.11.m3.2b"><mrow id="S3.F2.11.m3.2.3" xref="S3.F2.11.m3.2.3.cmml"><msub id="S3.F2.11.m3.2.3.2" xref="S3.F2.11.m3.2.3.2.cmml"><mi id="S3.F2.11.m3.2.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.F2.11.m3.2.3.2.2.cmml">Ω</mi><mn id="S3.F2.11.m3.2.3.2.3" xref="S3.F2.11.m3.2.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.F2.11.m3.2.3.1" xref="S3.F2.11.m3.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.F2.11.m3.2.3.3.2" xref="S3.F2.11.m3.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.F2.11.m3.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.F2.11.m3.2.3.3.1.cmml">[</mo><mn id="S3.F2.11.m3.1.1" xref="S3.F2.11.m3.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.F2.11.m3.2.3.3.2.2" xref="S3.F2.11.m3.2.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="S3.F2.11.m3.2.2" xref="S3.F2.11.m3.2.2.cmml">0.0466554</mn><mo id="S3.F2.11.m3.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.F2.11.m3.2.3.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F2.11.m3.2c"><apply id="S3.F2.11.m3.2.3.cmml" xref="S3.F2.11.m3.2.3"><eq id="S3.F2.11.m3.2.3.1.cmml" xref="S3.F2.11.m3.2.3.1"></eq><apply id="S3.F2.11.m3.2.3.2.cmml" xref="S3.F2.11.m3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F2.11.m3.2.3.2.1.cmml" xref="S3.F2.11.m3.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.F2.11.m3.2.3.2.2.cmml" xref="S3.F2.11.m3.2.3.2.2">Ω</ci><cn id="S3.F2.11.m3.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.F2.11.m3.2.3.2.3">1</cn></apply><interval closure="closed" id="S3.F2.11.m3.2.3.3.1.cmml" xref="S3.F2.11.m3.2.3.3.2"><cn id="S3.F2.11.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.F2.11.m3.1.1">0</cn><cn id="S3.F2.11.m3.2.2.cmml" type="float" xref="S3.F2.11.m3.2.2">0.0466554</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F2.11.m3.2d">\Omega_{1}=[0,0.0466554]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F2.11.m3.2e">roman_Ω start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = [ 0 , 0.0466554 ]</annotation></semantics></math> and <math alttext="\Omega_{2}=[0.136335,0.187117]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F2.12.m4.2"><semantics id="S3.F2.12.m4.2b"><mrow id="S3.F2.12.m4.2.3" xref="S3.F2.12.m4.2.3.cmml"><msub id="S3.F2.12.m4.2.3.2" xref="S3.F2.12.m4.2.3.2.cmml"><mi id="S3.F2.12.m4.2.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.F2.12.m4.2.3.2.2.cmml">Ω</mi><mn id="S3.F2.12.m4.2.3.2.3" xref="S3.F2.12.m4.2.3.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.F2.12.m4.2.3.1" xref="S3.F2.12.m4.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.F2.12.m4.2.3.3.2" xref="S3.F2.12.m4.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.F2.12.m4.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.F2.12.m4.2.3.3.1.cmml">[</mo><mn id="S3.F2.12.m4.1.1" xref="S3.F2.12.m4.1.1.cmml">0.136335</mn><mo id="S3.F2.12.m4.2.3.3.2.2" xref="S3.F2.12.m4.2.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="S3.F2.12.m4.2.2" xref="S3.F2.12.m4.2.2.cmml">0.187117</mn><mo id="S3.F2.12.m4.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.F2.12.m4.2.3.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F2.12.m4.2c"><apply id="S3.F2.12.m4.2.3.cmml" xref="S3.F2.12.m4.2.3"><eq id="S3.F2.12.m4.2.3.1.cmml" xref="S3.F2.12.m4.2.3.1"></eq><apply id="S3.F2.12.m4.2.3.2.cmml" xref="S3.F2.12.m4.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F2.12.m4.2.3.2.1.cmml" xref="S3.F2.12.m4.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.F2.12.m4.2.3.2.2.cmml" xref="S3.F2.12.m4.2.3.2.2">Ω</ci><cn id="S3.F2.12.m4.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.F2.12.m4.2.3.2.3">2</cn></apply><interval closure="closed" id="S3.F2.12.m4.2.3.3.1.cmml" xref="S3.F2.12.m4.2.3.3.2"><cn id="S3.F2.12.m4.1.1.cmml" type="float" xref="S3.F2.12.m4.1.1">0.136335</cn><cn id="S3.F2.12.m4.2.2.cmml" type="float" xref="S3.F2.12.m4.2.2">0.187117</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F2.12.m4.2d">\Omega_{2}=[0.136335,0.187117]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F2.12.m4.2e">roman_Ω start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = [ 0.136335 , 0.187117 ]</annotation></semantics></math>. (b)-(c) Sets of positive delay values for which the pseudo-polynomial (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.E7" title="Equation 7 ‣ 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7</span></a>) admits at least one zero of the form <math alttext="\lambda=i\omega" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F2.13.m5.1"><semantics id="S3.F2.13.m5.1b"><mrow id="S3.F2.13.m5.1.1" xref="S3.F2.13.m5.1.1.cmml"><mi id="S3.F2.13.m5.1.1.2" xref="S3.F2.13.m5.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.F2.13.m5.1.1.1" xref="S3.F2.13.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.F2.13.m5.1.1.3" xref="S3.F2.13.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S3.F2.13.m5.1.1.3.2" xref="S3.F2.13.m5.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.F2.13.m5.1.1.3.1" xref="S3.F2.13.m5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.F2.13.m5.1.1.3.3" xref="S3.F2.13.m5.1.1.3.3.cmml">ω</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F2.13.m5.1c"><apply id="S3.F2.13.m5.1.1.cmml" xref="S3.F2.13.m5.1.1"><eq id="S3.F2.13.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.F2.13.m5.1.1.1"></eq><ci id="S3.F2.13.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.F2.13.m5.1.1.2">𝜆</ci><apply id="S3.F2.13.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.F2.13.m5.1.1.3"><times id="S3.F2.13.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S3.F2.13.m5.1.1.3.1"></times><ci id="S3.F2.13.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S3.F2.13.m5.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.F2.13.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S3.F2.13.m5.1.1.3.3">𝜔</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F2.13.m5.1d">\lambda=i\omega</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F2.13.m5.1e">italic_λ = italic_i italic_ω</annotation></semantics></math> with <math alttext="\omega\in\Omega_{1}=[0,0.0466554]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F2.14.m6.2"><semantics id="S3.F2.14.m6.2b"><mrow id="S3.F2.14.m6.2.3" xref="S3.F2.14.m6.2.3.cmml"><mi id="S3.F2.14.m6.2.3.2" xref="S3.F2.14.m6.2.3.2.cmml">ω</mi><mo id="S3.F2.14.m6.2.3.3" xref="S3.F2.14.m6.2.3.3.cmml">∈</mo><msub id="S3.F2.14.m6.2.3.4" xref="S3.F2.14.m6.2.3.4.cmml"><mi id="S3.F2.14.m6.2.3.4.2" mathvariant="normal" xref="S3.F2.14.m6.2.3.4.2.cmml">Ω</mi><mn id="S3.F2.14.m6.2.3.4.3" xref="S3.F2.14.m6.2.3.4.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.F2.14.m6.2.3.5" xref="S3.F2.14.m6.2.3.5.cmml">=</mo><mrow id="S3.F2.14.m6.2.3.6.2" xref="S3.F2.14.m6.2.3.6.1.cmml"><mo id="S3.F2.14.m6.2.3.6.2.1" stretchy="false" xref="S3.F2.14.m6.2.3.6.1.cmml">[</mo><mn id="S3.F2.14.m6.1.1" xref="S3.F2.14.m6.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.F2.14.m6.2.3.6.2.2" xref="S3.F2.14.m6.2.3.6.1.cmml">,</mo><mn id="S3.F2.14.m6.2.2" xref="S3.F2.14.m6.2.2.cmml">0.0466554</mn><mo id="S3.F2.14.m6.2.3.6.2.3" stretchy="false" xref="S3.F2.14.m6.2.3.6.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F2.14.m6.2c"><apply id="S3.F2.14.m6.2.3.cmml" xref="S3.F2.14.m6.2.3"><and id="S3.F2.14.m6.2.3a.cmml" xref="S3.F2.14.m6.2.3"></and><apply id="S3.F2.14.m6.2.3b.cmml" xref="S3.F2.14.m6.2.3"><in id="S3.F2.14.m6.2.3.3.cmml" xref="S3.F2.14.m6.2.3.3"></in><ci id="S3.F2.14.m6.2.3.2.cmml" xref="S3.F2.14.m6.2.3.2">𝜔</ci><apply id="S3.F2.14.m6.2.3.4.cmml" xref="S3.F2.14.m6.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F2.14.m6.2.3.4.1.cmml" xref="S3.F2.14.m6.2.3.4">subscript</csymbol><ci id="S3.F2.14.m6.2.3.4.2.cmml" xref="S3.F2.14.m6.2.3.4.2">Ω</ci><cn id="S3.F2.14.m6.2.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.F2.14.m6.2.3.4.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.F2.14.m6.2.3c.cmml" xref="S3.F2.14.m6.2.3"><eq id="S3.F2.14.m6.2.3.5.cmml" xref="S3.F2.14.m6.2.3.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.F2.14.m6.2.3.4.cmml" id="S3.F2.14.m6.2.3d.cmml" xref="S3.F2.14.m6.2.3"></share><interval closure="closed" id="S3.F2.14.m6.2.3.6.1.cmml" xref="S3.F2.14.m6.2.3.6.2"><cn id="S3.F2.14.m6.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.F2.14.m6.1.1">0</cn><cn id="S3.F2.14.m6.2.2.cmml" type="float" xref="S3.F2.14.m6.2.2">0.0466554</cn></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F2.14.m6.2d">\omega\in\Omega_{1}=[0,0.0466554]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F2.14.m6.2e">italic_ω ∈ roman_Ω start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = [ 0 , 0.0466554 ]</annotation></semantics></math> (panel (b)) and <math alttext="\omega\in\Omega_{2}=[0.136335,0.187117]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F2.15.m7.2"><semantics id="S3.F2.15.m7.2b"><mrow id="S3.F2.15.m7.2.3" xref="S3.F2.15.m7.2.3.cmml"><mi id="S3.F2.15.m7.2.3.2" xref="S3.F2.15.m7.2.3.2.cmml">ω</mi><mo id="S3.F2.15.m7.2.3.3" xref="S3.F2.15.m7.2.3.3.cmml">∈</mo><msub id="S3.F2.15.m7.2.3.4" xref="S3.F2.15.m7.2.3.4.cmml"><mi id="S3.F2.15.m7.2.3.4.2" mathvariant="normal" xref="S3.F2.15.m7.2.3.4.2.cmml">Ω</mi><mn id="S3.F2.15.m7.2.3.4.3" xref="S3.F2.15.m7.2.3.4.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.F2.15.m7.2.3.5" xref="S3.F2.15.m7.2.3.5.cmml">=</mo><mrow id="S3.F2.15.m7.2.3.6.2" xref="S3.F2.15.m7.2.3.6.1.cmml"><mo id="S3.F2.15.m7.2.3.6.2.1" stretchy="false" xref="S3.F2.15.m7.2.3.6.1.cmml">[</mo><mn id="S3.F2.15.m7.1.1" xref="S3.F2.15.m7.1.1.cmml">0.136335</mn><mo id="S3.F2.15.m7.2.3.6.2.2" xref="S3.F2.15.m7.2.3.6.1.cmml">,</mo><mn id="S3.F2.15.m7.2.2" xref="S3.F2.15.m7.2.2.cmml">0.187117</mn><mo id="S3.F2.15.m7.2.3.6.2.3" stretchy="false" xref="S3.F2.15.m7.2.3.6.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F2.15.m7.2c"><apply id="S3.F2.15.m7.2.3.cmml" xref="S3.F2.15.m7.2.3"><and id="S3.F2.15.m7.2.3a.cmml" xref="S3.F2.15.m7.2.3"></and><apply id="S3.F2.15.m7.2.3b.cmml" xref="S3.F2.15.m7.2.3"><in id="S3.F2.15.m7.2.3.3.cmml" xref="S3.F2.15.m7.2.3.3"></in><ci id="S3.F2.15.m7.2.3.2.cmml" xref="S3.F2.15.m7.2.3.2">𝜔</ci><apply id="S3.F2.15.m7.2.3.4.cmml" xref="S3.F2.15.m7.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F2.15.m7.2.3.4.1.cmml" xref="S3.F2.15.m7.2.3.4">subscript</csymbol><ci id="S3.F2.15.m7.2.3.4.2.cmml" xref="S3.F2.15.m7.2.3.4.2">Ω</ci><cn id="S3.F2.15.m7.2.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.F2.15.m7.2.3.4.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.F2.15.m7.2.3c.cmml" xref="S3.F2.15.m7.2.3"><eq id="S3.F2.15.m7.2.3.5.cmml" xref="S3.F2.15.m7.2.3.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.F2.15.m7.2.3.4.cmml" id="S3.F2.15.m7.2.3d.cmml" xref="S3.F2.15.m7.2.3"></share><interval closure="closed" id="S3.F2.15.m7.2.3.6.1.cmml" xref="S3.F2.15.m7.2.3.6.2"><cn id="S3.F2.15.m7.1.1.cmml" type="float" xref="S3.F2.15.m7.1.1">0.136335</cn><cn id="S3.F2.15.m7.2.2.cmml" type="float" xref="S3.F2.15.m7.2.2">0.187117</cn></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F2.15.m7.2d">\omega\in\Omega_{2}=[0.136335,0.187117]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F2.15.m7.2e">italic_ω ∈ roman_Ω start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = [ 0.136335 , 0.187117 ]</annotation></semantics></math> (panel (c)). The asterisks mark points in (b) and (c) correspond to the specific case of <math alttext="\tau_{1}=52" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F2.16.m8.1"><semantics id="S3.F2.16.m8.1b"><mrow id="S3.F2.16.m8.1.1" xref="S3.F2.16.m8.1.1.cmml"><msub id="S3.F2.16.m8.1.1.2" xref="S3.F2.16.m8.1.1.2.cmml"><mi id="S3.F2.16.m8.1.1.2.2" xref="S3.F2.16.m8.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.F2.16.m8.1.1.2.3" xref="S3.F2.16.m8.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.F2.16.m8.1.1.1" xref="S3.F2.16.m8.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.F2.16.m8.1.1.3" xref="S3.F2.16.m8.1.1.3.cmml">52</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F2.16.m8.1c"><apply id="S3.F2.16.m8.1.1.cmml" xref="S3.F2.16.m8.1.1"><eq id="S3.F2.16.m8.1.1.1.cmml" xref="S3.F2.16.m8.1.1.1"></eq><apply id="S3.F2.16.m8.1.1.2.cmml" xref="S3.F2.16.m8.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F2.16.m8.1.1.2.1.cmml" xref="S3.F2.16.m8.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.F2.16.m8.1.1.2.2.cmml" xref="S3.F2.16.m8.1.1.2.2">𝜏</ci><cn id="S3.F2.16.m8.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.F2.16.m8.1.1.2.3">1</cn></apply><cn id="S3.F2.16.m8.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.F2.16.m8.1.1.3">52</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F2.16.m8.1d">\tau_{1}=52</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F2.16.m8.1e">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = 52</annotation></semantics></math>. Delay values satisfying the transversality parameter (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.E13" title="Equation 13 ‣ 3.2.2 A geometric transversality condition. ‣ 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">13</span></a>) to be positive are in red, otherwise correspond to blue solid curves. Other parameter values as in Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S2.T1" title="Table 1 ‣ 2 Nonlinear time delayed Quorum Sensing system ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>. </figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.SSS2.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS2.p3.3">Now, as is established in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#bib.bib15" title="">15</a>]</cite>, equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.E9.1" title="Equation 9a ‣ Equation 9 ‣ 3.2.1 Existence of purely imaginary eigenvalues. ‣ 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">9a</span></a>) yields expressions for the delays, <math alttext="\tau_{1}=\tau_{1}^{n\pm}(\omega)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.cmml"><msub id="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.1" xref="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.3.cmml"><msubsup id="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.3.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.3.2.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.3.2.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.3.2.2.3.cmml">1</mn><mrow id="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.3.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.3.2.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.3.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.3.2.3.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.3.2.3.3.cmml">±</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.3.1" xref="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.3.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.1.cmml">ω</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2"><eq id="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.1"></eq><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.2.2">𝜏</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.3"><times id="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.3.1"></times><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.3.2">superscript</csymbol><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.3.2.2.2">𝜏</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.2.3.2.2.3.cmml" type="integer" 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of <math alttext="\omega>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p3.3.m3.1"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p3.3.m3.1a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p3.3.m3.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.3.m3.1.1.2.cmml">ω</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.3.m3.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p3.3.m3.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S3.SS2.SSS2.p3.3.m3.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.3.m3.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p3.3.m3.1b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.3.m3.1.1"><gt id="S3.SS2.SSS2.p3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.3.m3.1.1.1"></gt><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.3.m3.1.1.2">𝜔</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p3.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p3.3.m3.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p3.3.m3.1c">\omega>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" 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xref="S3.E12.1.m1.9.9.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E12.1.m1.9.9.1.1.1" xref="S3.E12.1.m1.9.9.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E12.1.m1.9.9.1.1.3" xref="S3.E12.1.m1.9.9.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E12.1.m1.9.9.1.1.3.2" xref="S3.E12.1.m1.9.9.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S3.E12.1.m1.2.2" xref="S3.E12.1.m1.2.2.cmml"><mrow id="S3.E12.1.m1.2.2.2.2" xref="S3.E12.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E12.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.E12.1.m1.1.1.1.1.cmml">arg</mi><mo id="S3.E12.1.m1.2.2.2.2a" xref="S3.E12.1.m1.2.2.2.3.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.E12.1.m1.2.2.2.2.1" xref="S3.E12.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.E12.1.m1.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.E12.1.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S3.E12.1.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S3.E12.1.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><msub id="S3.E12.1.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S3.E12.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E12.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S3.E12.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml">q</mi><mn id="S3.E12.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.3" xref="S3.E12.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.E12.1.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S3.E12.1.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E12.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E12.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E12.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E12.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E12.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E12.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E12.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E12.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E12.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E12.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">ω</mi></mrow><mo id="S3.E12.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E12.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E12.1.m1.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.E12.1.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mi id="S3.E12.1.m1.2.2.4" xref="S3.E12.1.m1.2.2.4.cmml">ω</mi></mfrac><mo id="S3.E12.1.m1.9.9.1.1.3.2.1" xref="S3.E12.1.m1.9.9.1.1.3.2.1.cmml">±</mo><mrow id="S3.E12.1.m1.9.9.1.1.3.2.2" xref="S3.E12.1.m1.9.9.1.1.3.2.2.cmml"><mfrac id="S3.E12.1.m1.9.9.1.1.3.2.2.2" xref="S3.E12.1.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.cmml"><mn id="S3.E12.1.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.2" xref="S3.E12.1.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.2.cmml">1</mn><mi id="S3.E12.1.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3" xref="S3.E12.1.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.cmml">ω</mi></mfrac><mo id="S3.E12.1.m1.9.9.1.1.3.2.2.1" lspace="0.167em" xref="S3.E12.1.m1.9.9.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E12.1.m1.9.9.1.1.3.2.2.3.2" xref="S3.E12.1.m1.9.9.1.1.3.2.2.3.1.cmml"><mi id="S3.E12.1.m1.8.8" xref="S3.E12.1.m1.8.8.cmml">arccos</mi><mo id="S3.E12.1.m1.9.9.1.1.3.2.2.3.2a" xref="S3.E12.1.m1.9.9.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.E12.1.m1.9.9.1.1.3.2.2.3.2.1" xref="S3.E12.1.m1.9.9.1.1.3.2.2.3.1.cmml"><mo id="S3.E12.1.m1.9.9.1.1.3.2.2.3.2.1.1" xref="S3.E12.1.m1.9.9.1.1.3.2.2.3.1.cmml">(</mo><mfrac id="S3.E12.1.m1.5.5" xref="S3.E12.1.m1.5.5.cmml"><mrow id="S3.E12.1.m1.4.4.2" xref="S3.E12.1.m1.4.4.2.cmml"><mrow id="S3.E12.1.m1.3.3.1.1" xref="S3.E12.1.m1.3.3.1.1.cmml"><mn id="S3.E12.1.m1.3.3.1.1.3" xref="S3.E12.1.m1.3.3.1.1.3.cmml">1</mn><mo id="S3.E12.1.m1.3.3.1.1.2" xref="S3.E12.1.m1.3.3.1.1.2.cmml">+</mo><msup id="S3.E12.1.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.E12.1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E12.1.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E12.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E12.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E12.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E12.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E12.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E12.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E12.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">q</mi><mn id="S3.E12.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E12.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.E12.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E12.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E12.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E12.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E12.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E12.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E12.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E12.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E12.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E12.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E12.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ω</mi></mrow><mo id="S3.E12.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E12.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E12.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E12.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S3.E12.1.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S3.E12.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S3.E12.1.m1.4.4.2.3" xref="S3.E12.1.m1.4.4.2.3.cmml">−</mo><msup id="S3.E12.1.m1.4.4.2.2" xref="S3.E12.1.m1.4.4.2.2.cmml"><mrow id="S3.E12.1.m1.4.4.2.2.1.1" xref="S3.E12.1.m1.4.4.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.E12.1.m1.4.4.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E12.1.m1.4.4.2.2.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E12.1.m1.4.4.2.2.1.1.1" xref="S3.E12.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E12.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.3" xref="S3.E12.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E12.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.E12.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.cmml">q</mi><mn id="S3.E12.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.3" xref="S3.E12.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.E12.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.2" xref="S3.E12.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E12.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E12.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E12.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E12.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E12.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E12.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E12.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E12.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E12.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ω</mi></mrow><mo id="S3.E12.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E12.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E12.1.m1.4.4.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E12.1.m1.4.4.2.2.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S3.E12.1.m1.4.4.2.2.3" xref="S3.E12.1.m1.4.4.2.2.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mrow id="S3.E12.1.m1.5.5.3" xref="S3.E12.1.m1.5.5.3.cmml"><mn id="S3.E12.1.m1.5.5.3.3" xref="S3.E12.1.m1.5.5.3.3.cmml">2</mn><mo id="S3.E12.1.m1.5.5.3.2" xref="S3.E12.1.m1.5.5.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E12.1.m1.5.5.3.1.1" xref="S3.E12.1.m1.5.5.3.1.2.cmml"><mo id="S3.E12.1.m1.5.5.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E12.1.m1.5.5.3.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E12.1.m1.5.5.3.1.1.1" xref="S3.E12.1.m1.5.5.3.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E12.1.m1.5.5.3.1.1.1.3" xref="S3.E12.1.m1.5.5.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E12.1.m1.5.5.3.1.1.1.3.2" xref="S3.E12.1.m1.5.5.3.1.1.1.3.2.cmml">q</mi><mn id="S3.E12.1.m1.5.5.3.1.1.1.3.3" xref="S3.E12.1.m1.5.5.3.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.E12.1.m1.5.5.3.1.1.1.2" xref="S3.E12.1.m1.5.5.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E12.1.m1.5.5.3.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.1.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E12.1.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E12.1.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E12.1.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.1.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E12.1.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E12.1.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E12.1.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.1.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E12.1.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E12.1.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ω</mi></mrow><mo id="S3.E12.1.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E12.1.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E12.1.m1.5.5.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E12.1.m1.5.5.3.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mfrac><mo id="S3.E12.1.m1.9.9.1.1.3.2.2.3.2.1.2" 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id="S3.E12.1.m1.6.6.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E12.1.m1.6.6.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E12.1.m1.6.6.1.2" xref="S3.E12.1.m1.6.6.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E12.1.m1.6.6.1.3" xref="S3.E12.1.m1.6.6.1.3.cmml">π</mi></mrow><mi id="S3.E12.1.m1.6.6.3" xref="S3.E12.1.m1.6.6.3.cmml">ω</mi></mfrac></mrow></mrow><mo id="S3.E12.1.m1.9.9.1.2" xref="S3.E12.1.m1.9.9.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E12.1.m1.9b"><apply id="S3.E12.1.m1.9.9.1.1.cmml" xref="S3.E12.1.m1.9.9.1"><eq id="S3.E12.1.m1.9.9.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.1.m1.9.9.1.1.1"></eq><apply id="S3.E12.1.m1.9.9.1.1.2.cmml" xref="S3.E12.1.m1.9.9.1.1.2"><times id="S3.E12.1.m1.9.9.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E12.1.m1.9.9.1.1.2.1"></times><apply id="S3.E12.1.m1.9.9.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E12.1.m1.9.9.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E12.1.m1.9.9.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E12.1.m1.9.9.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E12.1.m1.9.9.1.1.2.2.2.cmml" 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\frac{1}{\omega}\arccos\left(\frac{1+|q_{1}(i\omega)|^{2}-|q_{2}(i\omega)|^{2}% }{2|q_{1}(i\omega)|}\right)+\frac{(2n-1)\pi}{\omega},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E12.1.m1.9d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ± end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_ω ) = divide start_ARG roman_arg ( italic_q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i italic_ω ) ) end_ARG start_ARG italic_ω end_ARG ± divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_ω end_ARG roman_arccos ( divide start_ARG 1 + | italic_q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i italic_ω ) | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - | italic_q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i italic_ω ) | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 | italic_q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i italic_ω ) | end_ARG ) + divide start_ARG ( 2 italic_n - 1 ) italic_π end_ARG start_ARG italic_ω end_ARG ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E12.2"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(12b)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\tau_{2}^{m^{\pm}}(\omega)=\frac{\arg(q_{2}(i\omega))}{\omega}\mp% \frac{1}{\omega}\arccos\left(\frac{1+|q_{2}(i\omega)|^{2}-|q_{1}(i\omega)|^{2}% }{2|q_{2}(i\omega)|}\right)+\frac{(2m-1)\pi}{\omega}," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E12.2.m1.9"><semantics id="S3.E12.2.m1.9a"><mrow id="S3.E12.2.m1.9.9.1" xref="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.cmml"><mrow id="S3.E12.2.m1.9.9.1.1" xref="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.cmml"><mrow id="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.2" xref="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.2.cmml"><msubsup id="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.2.2" xref="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.2.2.2.3" xref="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.2.2.2.3.cmml">2</mn><msup id="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.2.2.3" xref="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.2.2.3.2" xref="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.2.2.3.3" xref="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.cmml">±</mo></msup></msubsup><mo id="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.2.1" xref="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.2.3.2" xref="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E12.2.m1.7.7" xref="S3.E12.2.m1.7.7.cmml">ω</mi><mo id="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.1" xref="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.3" xref="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.3.2" xref="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S3.E12.2.m1.2.2" xref="S3.E12.2.m1.2.2.cmml"><mrow id="S3.E12.2.m1.2.2.2.2" xref="S3.E12.2.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E12.2.m1.1.1.1.1" xref="S3.E12.2.m1.1.1.1.1.cmml">arg</mi><mo id="S3.E12.2.m1.2.2.2.2a" xref="S3.E12.2.m1.2.2.2.3.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.E12.2.m1.2.2.2.2.1" xref="S3.E12.2.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.E12.2.m1.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.E12.2.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S3.E12.2.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S3.E12.2.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><msub id="S3.E12.2.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S3.E12.2.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E12.2.m1.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S3.E12.2.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml">q</mi><mn id="S3.E12.2.m1.2.2.2.2.1.1.3.3" xref="S3.E12.2.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.E12.2.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S3.E12.2.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E12.2.m1.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E12.2.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E12.2.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E12.2.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E12.2.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.2.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E12.2.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E12.2.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E12.2.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.2.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E12.2.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E12.2.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">ω</mi></mrow><mo id="S3.E12.2.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E12.2.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E12.2.m1.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.E12.2.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mi id="S3.E12.2.m1.2.2.4" xref="S3.E12.2.m1.2.2.4.cmml">ω</mi></mfrac><mo id="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.3.2.1" xref="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.3.2.1.cmml">∓</mo><mrow id="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.3.2.2" xref="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.3.2.2.cmml"><mfrac id="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.3.2.2.2" xref="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.cmml"><mn id="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.2" xref="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.2.cmml">1</mn><mi id="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3" xref="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.cmml">ω</mi></mfrac><mo id="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.3.2.2.1" lspace="0.167em" xref="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.3.2.2.3.2" xref="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.3.2.2.3.1.cmml"><mi id="S3.E12.2.m1.8.8" xref="S3.E12.2.m1.8.8.cmml">arccos</mi><mo id="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.3.2.2.3.2a" xref="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.3.2.2.3.2.1" xref="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.3.2.2.3.1.cmml"><mo id="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.3.2.2.3.2.1.1" xref="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.3.2.2.3.1.cmml">(</mo><mfrac id="S3.E12.2.m1.5.5" xref="S3.E12.2.m1.5.5.cmml"><mrow id="S3.E12.2.m1.4.4.2" xref="S3.E12.2.m1.4.4.2.cmml"><mrow id="S3.E12.2.m1.3.3.1.1" xref="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.cmml"><mn id="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.3" xref="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.3.cmml">1</mn><mo id="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.2" xref="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.2.cmml">+</mo><msup id="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">q</mi><mn id="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ω</mi></mrow><mo id="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S3.E12.2.m1.4.4.2.3" xref="S3.E12.2.m1.4.4.2.3.cmml">−</mo><msup id="S3.E12.2.m1.4.4.2.2" xref="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.cmml"><mrow id="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.1" xref="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.1.1" xref="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.1.1.3" xref="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.cmml">q</mi><mn id="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.3" xref="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.1.1.2" xref="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ω</mi></mrow><mo id="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.3" xref="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mrow id="S3.E12.2.m1.5.5.3" xref="S3.E12.2.m1.5.5.3.cmml"><mn id="S3.E12.2.m1.5.5.3.3" xref="S3.E12.2.m1.5.5.3.3.cmml">2</mn><mo id="S3.E12.2.m1.5.5.3.2" xref="S3.E12.2.m1.5.5.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.1" xref="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.2.cmml"><mo id="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.1.1" xref="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.1.1.3" xref="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.1.1.3.2" xref="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.1.1.3.2.cmml">q</mi><mn id="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.1.1.3.3" xref="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.1.1.2" xref="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ω</mi></mrow><mo id="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mfrac><mo id="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.3.2.2.3.2.1.2" xref="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.3.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.3.1" xref="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.3.1.cmml">+</mo><mfrac id="S3.E12.2.m1.6.6" xref="S3.E12.2.m1.6.6.cmml"><mrow id="S3.E12.2.m1.6.6.1" xref="S3.E12.2.m1.6.6.1.cmml"><mrow id="S3.E12.2.m1.6.6.1.1.1" xref="S3.E12.2.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E12.2.m1.6.6.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E12.2.m1.6.6.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E12.2.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S3.E12.2.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E12.2.m1.6.6.1.1.1.1.2" xref="S3.E12.2.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S3.E12.2.m1.6.6.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E12.2.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S3.E12.2.m1.6.6.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E12.2.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E12.2.m1.6.6.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E12.2.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.cmml">m</mi></mrow><mo id="S3.E12.2.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.2.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S3.E12.2.m1.6.6.1.1.1.1.3" xref="S3.E12.2.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.E12.2.m1.6.6.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E12.2.m1.6.6.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E12.2.m1.6.6.1.2" xref="S3.E12.2.m1.6.6.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E12.2.m1.6.6.1.3" xref="S3.E12.2.m1.6.6.1.3.cmml">π</mi></mrow><mi id="S3.E12.2.m1.6.6.3" xref="S3.E12.2.m1.6.6.3.cmml">ω</mi></mfrac></mrow></mrow><mo id="S3.E12.2.m1.9.9.1.2" xref="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E12.2.m1.9b"><apply id="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.cmml" xref="S3.E12.2.m1.9.9.1"><eq id="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.1"></eq><apply id="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.2.cmml" xref="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.2"><times id="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.2.1"></times><apply id="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E12.2.m1.9.9.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" 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xref="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑞</ci><cn id="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜔</ci></apply></apply></apply><cn id="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E12.2.m1.3.3.1.1.1.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S3.E12.2.m1.4.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="S3.E12.2.m1.4.4.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.1"><abs id="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.2.1.cmml" xref="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.1.2"></abs><apply id="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.1.1"><times id="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2">𝑞</ci><cn id="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.3">1</cn></apply><apply id="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1"><times id="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.3">𝜔</ci></apply></apply></apply><cn id="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E12.2.m1.4.4.2.2.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.E12.2.m1.5.5.3.cmml" xref="S3.E12.2.m1.5.5.3"><times id="S3.E12.2.m1.5.5.3.2.cmml" xref="S3.E12.2.m1.5.5.3.2"></times><cn id="S3.E12.2.m1.5.5.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E12.2.m1.5.5.3.3">2</cn><apply id="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.2.cmml" xref="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.1"><abs id="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.2.1.cmml" xref="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.1.2"></abs><apply id="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.1.1"><times id="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.1.1.3.2">𝑞</ci><cn id="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1"><times id="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E12.2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.3">𝜔</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E12.2.m1.6.6.cmml" xref="S3.E12.2.m1.6.6"><divide id="S3.E12.2.m1.6.6.2.cmml" xref="S3.E12.2.m1.6.6"></divide><apply id="S3.E12.2.m1.6.6.1.cmml" xref="S3.E12.2.m1.6.6.1"><times id="S3.E12.2.m1.6.6.1.2.cmml" xref="S3.E12.2.m1.6.6.1.2"></times><apply id="S3.E12.2.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.2.m1.6.6.1.1.1"><minus id="S3.E12.2.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.2.m1.6.6.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.E12.2.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E12.2.m1.6.6.1.1.1.1.2"><times id="S3.E12.2.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E12.2.m1.6.6.1.1.1.1.2.1"></times><cn id="S3.E12.2.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.E12.2.m1.6.6.1.1.1.1.2.2">2</cn><ci id="S3.E12.2.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E12.2.m1.6.6.1.1.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><cn id="S3.E12.2.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E12.2.m1.6.6.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S3.E12.2.m1.6.6.1.3.cmml" xref="S3.E12.2.m1.6.6.1.3">𝜋</ci></apply><ci id="S3.E12.2.m1.6.6.3.cmml" xref="S3.E12.2.m1.6.6.3">𝜔</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E12.2.m1.9c">\displaystyle\tau_{2}^{m^{\pm}}(\omega)=\frac{\arg(q_{2}(i\omega))}{\omega}\mp% \frac{1}{\omega}\arccos\left(\frac{1+|q_{2}(i\omega)|^{2}-|q_{1}(i\omega)|^{2}% }{2|q_{2}(i\omega)|}\right)+\frac{(2m-1)\pi}{\omega},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E12.2.m1.9d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m start_POSTSUPERSCRIPT ± end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_ω ) = divide start_ARG roman_arg ( italic_q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i italic_ω ) ) end_ARG start_ARG italic_ω end_ARG ∓ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_ω end_ARG roman_arccos ( divide start_ARG 1 + | italic_q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i italic_ω ) | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - | italic_q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i italic_ω ) | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 | italic_q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i italic_ω ) | end_ARG ) + divide start_ARG ( 2 italic_m - 1 ) italic_π end_ARG start_ARG italic_ω end_ARG ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS2.p3.18">where <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p3.4.m1.1"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p3.4.m1.1a"><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.4.m1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p3.4.m1.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p3.4.m1.1b"><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.4.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.4.m1.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p3.4.m1.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p3.4.m1.1d">italic_n</annotation></semantics></math> and <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p3.5.m2.1"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p3.5.m2.1a"><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.5.m2.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p3.5.m2.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p3.5.m2.1b"><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.5.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.5.m2.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p3.5.m2.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p3.5.m2.1d">italic_m</annotation></semantics></math> are integers such that <math alttext="n=n_{0}^{+},n_{0}^{+}+1,n_{0}^{+}+2,\dots" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p3.6.m3.4"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p3.6.m3.4a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p3.6.m3.4.4" xref="S3.SS2.SSS2.p3.6.m3.4.4.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.6.m3.4.4.5" xref="S3.SS2.SSS2.p3.6.m3.4.4.5.cmml">n</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.6.m3.4.4.4" xref="S3.SS2.SSS2.p3.6.m3.4.4.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p3.6.m3.4.4.3.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.6.m3.4.4.3.4.cmml"><msubsup id="S3.SS2.SSS2.p3.6.m3.2.2.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p3.6.m3.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.6.m3.2.2.1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.6.m3.2.2.1.1.1.2.2.cmml">n</mi><mn 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xref="S3.SS2.SSS2.p3.7.m4.4.4.3.3.3.2">superscript</csymbol><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.7.m4.4.4.3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.7.m4.4.4.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p3.7.m4.4.4.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.7.m4.4.4.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.7.m4.4.4.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.7.m4.4.4.3.3.3.2.2.2">𝑚</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p3.7.m4.4.4.3.3.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p3.7.m4.4.4.3.3.3.2.2.3">0</cn></apply><plus id="S3.SS2.SSS2.p3.7.m4.4.4.3.3.3.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.7.m4.4.4.3.3.3.2.3"></plus></apply><cn id="S3.SS2.SSS2.p3.7.m4.4.4.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p3.7.m4.4.4.3.3.3.3">2</cn></apply><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.7.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.7.m4.1.1">…</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p3.7.m4.4c">m=m_{0}^{+},m_{0}^{+}+1,m_{0}^{+}+2,\dots</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p3.7.m4.4d">italic_m = italic_m start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT , italic_m start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT + 1 , italic_m start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT + 2 , …</annotation></semantics></math>, respectively. Here, <math alttext="n_{0}^{+}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p3.8.m5.1"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p3.8.m5.1a"><msubsup id="S3.SS2.SSS2.p3.8.m5.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p3.8.m5.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.8.m5.1.1.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.8.m5.1.1.2.2.cmml">n</mi><mn id="S3.SS2.SSS2.p3.8.m5.1.1.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.8.m5.1.1.2.3.cmml">0</mn><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.8.m5.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.8.m5.1.1.3.cmml">+</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p3.8.m5.1b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.8.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.8.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p3.8.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.8.m5.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.8.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.8.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p3.8.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.8.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.8.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.8.m5.1.1.2.2">𝑛</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p3.8.m5.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p3.8.m5.1.1.2.3">0</cn></apply><plus id="S3.SS2.SSS2.p3.8.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.8.m5.1.1.3"></plus></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p3.8.m5.1c">n_{0}^{+}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p3.8.m5.1d">italic_n start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="n_{0}^{-}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p3.9.m6.1"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p3.9.m6.1a"><msubsup id="S3.SS2.SSS2.p3.9.m6.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p3.9.m6.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.9.m6.1.1.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.9.m6.1.1.2.2.cmml">n</mi><mn id="S3.SS2.SSS2.p3.9.m6.1.1.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.9.m6.1.1.2.3.cmml">0</mn><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.9.m6.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.9.m6.1.1.3.cmml">−</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p3.9.m6.1b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.9.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.9.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p3.9.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.9.m6.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.9.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.9.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p3.9.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.9.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.9.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.9.m6.1.1.2.2">𝑛</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p3.9.m6.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p3.9.m6.1.1.2.3">0</cn></apply><minus id="S3.SS2.SSS2.p3.9.m6.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.9.m6.1.1.3"></minus></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p3.9.m6.1c">n_{0}^{-}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p3.9.m6.1d">italic_n start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="m_{0}^{+}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p3.10.m7.1"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p3.10.m7.1a"><msubsup id="S3.SS2.SSS2.p3.10.m7.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p3.10.m7.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.10.m7.1.1.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.10.m7.1.1.2.2.cmml">m</mi><mn id="S3.SS2.SSS2.p3.10.m7.1.1.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.10.m7.1.1.2.3.cmml">0</mn><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.10.m7.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.10.m7.1.1.3.cmml">+</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p3.10.m7.1b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.10.m7.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.10.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p3.10.m7.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.10.m7.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.10.m7.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.10.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p3.10.m7.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.10.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.10.m7.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.10.m7.1.1.2.2">𝑚</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p3.10.m7.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p3.10.m7.1.1.2.3">0</cn></apply><plus id="S3.SS2.SSS2.p3.10.m7.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.10.m7.1.1.3"></plus></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p3.10.m7.1c">m_{0}^{+}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p3.10.m7.1d">italic_m start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, and <math alttext="m_{0}^{-}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p3.11.m8.1"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p3.11.m8.1a"><msubsup id="S3.SS2.SSS2.p3.11.m8.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p3.11.m8.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.11.m8.1.1.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.11.m8.1.1.2.2.cmml">m</mi><mn id="S3.SS2.SSS2.p3.11.m8.1.1.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.11.m8.1.1.2.3.cmml">0</mn><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.11.m8.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.11.m8.1.1.3.cmml">−</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p3.11.m8.1b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.11.m8.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.11.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p3.11.m8.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.11.m8.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.11.m8.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.11.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p3.11.m8.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.11.m8.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.11.m8.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.11.m8.1.1.2.2">𝑚</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p3.11.m8.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p3.11.m8.1.1.2.3">0</cn></apply><minus id="S3.SS2.SSS2.p3.11.m8.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.11.m8.1.1.3"></minus></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p3.11.m8.1c">m_{0}^{-}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p3.11.m8.1d">italic_m start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> represent the smallest non negative integers for which <math alttext="\tau_{1}^{n_{0}^{\pm}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p3.12.m9.1"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p3.12.m9.1a"><msubsup id="S3.SS2.SSS2.p3.12.m9.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p3.12.m9.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.12.m9.1.1.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.12.m9.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.SS2.SSS2.p3.12.m9.1.1.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.12.m9.1.1.2.3.cmml">1</mn><msubsup id="S3.SS2.SSS2.p3.12.m9.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.12.m9.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.12.m9.1.1.3.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.12.m9.1.1.3.2.2.cmml">n</mi><mn id="S3.SS2.SSS2.p3.12.m9.1.1.3.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.12.m9.1.1.3.2.3.cmml">0</mn><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.12.m9.1.1.3.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.12.m9.1.1.3.3.cmml">±</mo></msubsup></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p3.12.m9.1b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.12.m9.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.12.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p3.12.m9.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.12.m9.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.12.m9.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.12.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p3.12.m9.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.12.m9.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.12.m9.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.12.m9.1.1.2.2">𝜏</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p3.12.m9.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p3.12.m9.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.12.m9.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.12.m9.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p3.12.m9.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.12.m9.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.12.m9.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.12.m9.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p3.12.m9.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.12.m9.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.12.m9.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.12.m9.1.1.3.2.2">𝑛</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p3.12.m9.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p3.12.m9.1.1.3.2.3">0</cn></apply><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.SSS2.p3.12.m9.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.12.m9.1.1.3.3">plus-or-minus</csymbol></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p3.12.m9.1c">\tau_{1}^{n_{0}^{\pm}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p3.12.m9.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ± end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\tau_{2}^{m_{0}^{\pm}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p3.13.m10.1"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p3.13.m10.1a"><msubsup id="S3.SS2.SSS2.p3.13.m10.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p3.13.m10.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.13.m10.1.1.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.13.m10.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.SS2.SSS2.p3.13.m10.1.1.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.13.m10.1.1.2.3.cmml">2</mn><msubsup id="S3.SS2.SSS2.p3.13.m10.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.13.m10.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.13.m10.1.1.3.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.13.m10.1.1.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S3.SS2.SSS2.p3.13.m10.1.1.3.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.13.m10.1.1.3.2.3.cmml">0</mn><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.13.m10.1.1.3.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.13.m10.1.1.3.3.cmml">±</mo></msubsup></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p3.13.m10.1b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.13.m10.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.13.m10.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p3.13.m10.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.13.m10.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.13.m10.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.13.m10.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p3.13.m10.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.13.m10.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.13.m10.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.13.m10.1.1.2.2">𝜏</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p3.13.m10.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p3.13.m10.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.13.m10.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.13.m10.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p3.13.m10.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.13.m10.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.13.m10.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.13.m10.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p3.13.m10.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.13.m10.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.13.m10.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.13.m10.1.1.3.2.2">𝑚</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p3.13.m10.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p3.13.m10.1.1.3.2.3">0</cn></apply><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.SSS2.p3.13.m10.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.13.m10.1.1.3.3">plus-or-minus</csymbol></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p3.13.m10.1c">\tau_{2}^{m_{0}^{\pm}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p3.13.m10.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ± end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> are non negative. These delay values can be gathered in the set <math alttext="\mathcal{T}_{\omega,n,m}^{\pm}=\left\{(\tau_{1}^{n^{\pm}}(\omega),\tau_{2}^{m^% {\pm}}(\omega))\right\}\subset\mathbb{R}_{+}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.cmml"><msubsup id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.3.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.3.2.2.cmml">𝒯</mi><mrow id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.3.3.3.5" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.3.3.3.4.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.1.1.1.1.cmml">ω</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.3.3.3.5.1" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.2.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.2.2.2.2.cmml">n</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.3.3.3.5.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.3.3.3.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.3.3.3.3.cmml">m</mi></mrow><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.3.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.3.3.cmml">±</mo></msubsup><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.4" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.3.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">1</mn><msup id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">±</mo></msup></msubsup><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.4.4" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.4.4.cmml">ω</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.2.4" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.2.2.cmml"><msubsup id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">2</mn><msup id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.2.2.2.3.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml">±</mo></msup></msubsup><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.2.2.1" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.5.5" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.5.5.cmml">ω</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.2.5" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.2.cmml">}</mo></mrow><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.5" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.5.cmml">⊂</mo><msubsup id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.6" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.6.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.6.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.6.2.2.cmml">ℝ</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.6.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.6.2.3.cmml">+</mo><mn id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.6.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.6.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6"><and id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6a.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6"></and><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6b.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6"><eq id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.4.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.4"></eq><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.3">superscript</csymbol><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.3.2.2">𝒯</ci><list id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.3.3.3.4.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.3.3.3.5"><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.1.1.1.1">𝜔</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.2.2.2.2">𝑛</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.3.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.3.3.3.3">𝑚</ci></list></apply><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.3.3">plus-or-minus</csymbol></apply><set id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1"><interval closure="open" id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.2"><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.1.1"><times id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.1.1.2.2.2">𝜏</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci 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xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6"><subset id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.5.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.5"></subset><share href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.1.cmml" id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6d.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6"></share><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.6.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.6.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.6">superscript</csymbol><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.6.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.6.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.6">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.6.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.6.2.2">ℝ</ci><plus id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.6.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.6.2.3"></plus></apply><cn id="S3.SS2.SSS2.p3.14.m11.6.6.6.3.cmml" type="integer" 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class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p3.15.m12.1"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p3.15.m12.1a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p3.15.m12.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p3.15.m12.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.15.m12.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.15.m12.1.1.2.cmml">ω</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.15.m12.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p3.15.m12.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S3.SS2.SSS2.p3.15.m12.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.15.m12.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p3.15.m12.1b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.15.m12.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.15.m12.1.1"><gt id="S3.SS2.SSS2.p3.15.m12.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.15.m12.1.1.1"></gt><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.15.m12.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.15.m12.1.1.2">𝜔</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p3.15.m12.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p3.15.m12.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p3.15.m12.1c">\omega>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p3.15.m12.1d">italic_ω > 0</annotation></semantics></math>, and define <math alttext="\mathcal{T}_{n,m}^{\pm k}=\bigcup_{\omega\in\Omega_{k}}\mathcal{T}_{\omega,n,m% }^{\pm}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.cmml"><msubsup id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.2.2.2.cmml">𝒯</mi><mrow id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.2.2.2.4" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.2.2.2.4.1" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.2.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.2.2.2.2.cmml">m</mi></mrow><mrow id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.2.3.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.2.3a" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.2.3.cmml">±</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.2.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.2.3.2.cmml">k</mi></mrow></msubsup><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.1" rspace="0.111em" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.cmml"><msub id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.1" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.1.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.1.2.cmml">⋃</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.1.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.1.3.2.cmml">ω</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.1.3.1" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.1.3.1.cmml">∈</mo><msub id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.1.3.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.1.3.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.1.3.3.2.cmml">Ω</mi><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.1.3.3.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.1.3.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow></msub><msubsup id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.2.2.2.cmml">𝒯</mi><mrow id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.5.3.5" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.5.3.4.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.3.3.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.3.3.1.1.cmml">ω</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.5.3.5.1" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.5.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.4.4.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.4.4.2.2.cmml">n</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.5.3.5.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.5.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.5.3.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.5.3.3.cmml">m</mi></mrow><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.2.3.cmml">±</mo></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6"><eq id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.1"></eq><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.2">superscript</csymbol><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.2.2.2">𝒯</ci><list id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.2.2.2.4"><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.1.1.1.1">𝑛</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.2.2.2.2">𝑚</ci></list></apply><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.2.3">plus-or-minus</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.2.3.2">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3"><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.1">subscript</csymbol><union id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.1.2"></union><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.1.3"><in id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.1.3.1"></in><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.1.3.2">𝜔</ci><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.1.3.3.2">Ω</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.1.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.2">superscript</csymbol><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.2.2.2">𝒯</ci><list id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.5.3.4.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.5.3.5"><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.3.3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.3.3.1.1">𝜔</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.4.4.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.4.4.2.2">𝑛</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.5.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.5.3.3">𝑚</ci></list></apply><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5.6.3.2.3">plus-or-minus</csymbol></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5c">\mathcal{T}_{n,m}^{\pm k}=\bigcup_{\omega\in\Omega_{k}}\mathcal{T}_{\omega,n,m% }^{\pm}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p3.16.m13.5d">caligraphic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_n , italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ± italic_k end_POSTSUPERSCRIPT = ⋃ start_POSTSUBSCRIPT italic_ω ∈ roman_Ω start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT caligraphic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_ω , italic_n , italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ± end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> for <math alttext="k=1,2" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p3.17.m14.2"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p3.17.m14.2a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p3.17.m14.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.17.m14.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.17.m14.2.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.17.m14.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.17.m14.2.3.1" xref="S3.SS2.SSS2.p3.17.m14.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p3.17.m14.2.3.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.17.m14.2.3.3.1.cmml"><mn id="S3.SS2.SSS2.p3.17.m14.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p3.17.m14.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.17.m14.2.3.3.2.1" xref="S3.SS2.SSS2.p3.17.m14.2.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="S3.SS2.SSS2.p3.17.m14.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.17.m14.2.2.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p3.17.m14.2b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.17.m14.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.17.m14.2.3"><eq id="S3.SS2.SSS2.p3.17.m14.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.17.m14.2.3.1"></eq><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.17.m14.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.17.m14.2.3.2">𝑘</ci><list id="S3.SS2.SSS2.p3.17.m14.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.17.m14.2.3.3.2"><cn id="S3.SS2.SSS2.p3.17.m14.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p3.17.m14.1.1">1</cn><cn id="S3.SS2.SSS2.p3.17.m14.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p3.17.m14.2.2">2</cn></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p3.17.m14.2c">k=1,2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p3.17.m14.2d">italic_k = 1 , 2</annotation></semantics></math>. Hence, the set <math alttext="\mathcal{T}=\mathcal{T}^{1}\cup\mathcal{T}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1.1.2.cmml">𝒯</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1.1.3.cmml"><msup id="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1.1.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1.1.3.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1.1.3.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1.1.3.2.2.cmml">𝒯</mi><mn id="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1.1.3.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1.1.3.1" xref="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1.1.3.1.cmml">∪</mo><msup id="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1.1.3.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1.1.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1.1.3.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1.1.3.3.2.cmml">𝒯</mi><mn id="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1.1.3.3.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1.1"><eq id="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1.1.1"></eq><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1.1.2">𝒯</ci><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1.1.3"><union id="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1.1.3.1"></union><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1.1.3.2.2">𝒯</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1.1.3.2.3">1</cn></apply><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1.1.3.3.2">𝒯</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1c">\mathcal{T}=\mathcal{T}^{1}\cup\mathcal{T}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p3.18.m15.1d">caligraphic_T = caligraphic_T start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT ∪ caligraphic_T start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, where</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx16"> <tbody id="S3.Ex1b"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\mathcal{T}^{k}=\bigcup_{n,m\in\mathbb{Z}}\left(\mathcal{T}_{n,m}% ^{+k}\cup\mathcal{T}_{n,m}^{-k}\right)\cap\mathbb{R}_{+}^{2}\,,\quad k=1,2\,," class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex1b.m1.9"><semantics id="S3.Ex1b.m1.9a"><mrow id="S3.Ex1b.m1.9.9.1"><mrow id="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.2" xref="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1" xref="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.cmml">𝒯</mi><mi id="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msup><mo id="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.2" rspace="0.111em" xref="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.cmml"><munder id="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">⋃</mo><mrow id="S3.Ex1b.m1.2.2.2" xref="S3.Ex1b.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex1b.m1.2.2.2.4.2" xref="S3.Ex1b.m1.2.2.2.4.1.cmml"><mi id="S3.Ex1b.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex1b.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex1b.m1.2.2.2.4.2.1" xref="S3.Ex1b.m1.2.2.2.4.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex1b.m1.2.2.2.2" xref="S3.Ex1b.m1.2.2.2.2.cmml">m</mi></mrow><mo id="S3.Ex1b.m1.2.2.2.3" xref="S3.Ex1b.m1.2.2.2.3.cmml">∈</mo><mi id="S3.Ex1b.m1.2.2.2.5" xref="S3.Ex1b.m1.2.2.2.5.cmml">ℤ</mi></mrow></munder><mrow id="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝒯</mi><mrow id="S3.Ex1b.m1.4.4.2.4" xref="S3.Ex1b.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex1b.m1.3.3.1.1" xref="S3.Ex1b.m1.3.3.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex1b.m1.4.4.2.4.1" xref="S3.Ex1b.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex1b.m1.4.4.2.2" xref="S3.Ex1b.m1.4.4.2.2.cmml">m</mi></mrow><mrow id="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3a" xref="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">+</mo><mi id="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">k</mi></mrow></msubsup><mo id="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∪</mo><msubsup id="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">𝒯</mi><mrow id="S3.Ex1b.m1.6.6.2.4" xref="S3.Ex1b.m1.6.6.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex1b.m1.5.5.1.1" xref="S3.Ex1b.m1.5.5.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex1b.m1.6.6.2.4.1" xref="S3.Ex1b.m1.6.6.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex1b.m1.6.6.2.2" xref="S3.Ex1b.m1.6.6.2.2.cmml">m</mi></mrow><mrow id="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3a" xref="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mi id="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi></mrow></msubsup></mrow><mo id="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.cmml">∩</mo><msubsup id="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">ℝ</mi><mo id="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow><mo id="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.2.2" xref="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.2.2.3.2" xref="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.2.2.3.1.cmml"><mn id="S3.Ex1b.m1.7.7" xref="S3.Ex1b.m1.7.7.cmml">1</mn><mo id="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.1" xref="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.2.2.3.1.cmml">,</mo><mn id="S3.Ex1b.m1.8.8" xref="S3.Ex1b.m1.8.8.cmml">2</mn></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex1b.m1.9.9.1.2" lspace="0.170em">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex1b.m1.9b"><apply id="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.3a.cmml" xref="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1"><eq id="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.3.2">𝒯</ci><ci 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id="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.2.3"></plus></apply><cn id="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.2.2"><eq id="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.2.2.1"></eq><ci id="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.2.2.2">𝑘</ci><list id="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex1b.m1.9.9.1.1.2.2.3.2"><cn id="S3.Ex1b.m1.7.7.cmml" type="integer" xref="S3.Ex1b.m1.7.7">1</cn><cn id="S3.Ex1b.m1.8.8.cmml" type="integer" xref="S3.Ex1b.m1.8.8">2</cn></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex1b.m1.9c">\displaystyle\mathcal{T}^{k}=\bigcup_{n,m\in\mathbb{Z}}\left(\mathcal{T}_{n,m}% ^{+k}\cup\mathcal{T}_{n,m}^{-k}\right)\cap\mathbb{R}_{+}^{2}\,,\quad k=1,2\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex1b.m1.9d">caligraphic_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT = ⋃ start_POSTSUBSCRIPT italic_n , italic_m ∈ blackboard_Z end_POSTSUBSCRIPT ( caligraphic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_n , italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ∪ caligraphic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_n , italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ) ∩ blackboard_R start_POSTSUBSCRIPT + end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_k = 1 , 2 ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS2.p3.26">consists of all points <math alttext="(\tau_{1},\tau_{2})\in\mathbb{R}_{+}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2.2.2.4" xref="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2.3.cmml">∈</mo><msubsup id="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2.4" xref="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2.4.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2.4.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2.4.2.2.cmml">ℝ</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2.4.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2.4.2.3.cmml">+</mo><mn id="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2.4.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2.4.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2"><in id="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2.3"></in><interval closure="open" id="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2.2.2"><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.1.1.1.1.1.2">𝜏</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2.2.2.2.2">𝜏</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply></interval><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2.4.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2.4.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2.4">superscript</csymbol><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2.4.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2.4.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2.4.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2.4.2.2">ℝ</ci><plus id="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2.4.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2.4.2.3"></plus></apply><cn id="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2.2.4.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2c">(\tau_{1},\tau_{2})\in\mathbb{R}_{+}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p3.19.m1.2d">( italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) ∈ blackboard_R start_POSTSUBSCRIPT + end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> for which the pseudo-polynomial <math alttext="q(i\omega,\boldsymbol{\tau},\mathbf{p})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.3"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.3a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.3.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.3.3.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.3.3.3.cmml">q</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.3.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.3.3.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.3.3.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.3.3.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.3.3.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.3.3.1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.3.3.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.3.3.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.3.3.1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.3.3.1.1.1.3.cmml">ω</mi></mrow><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.3.3.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.3.3.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.1.1.cmml">𝝉</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.3.3.1.1.4" xref="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.3.3.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.2.2.cmml">𝐩</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.3.3.1.1.5" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.3.3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.3b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.3.3"><times id="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.3.3.2"></times><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.3.3.3">𝑞</ci><vector id="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.3.3.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.3.3.1.1"><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.3.3.1.1.1"><times id="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.3.3.1.1.1.1"></times><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.3.3.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.3.3.1.1.1.3">𝜔</ci></apply><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.1.1">𝝉</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.2.2">𝐩</ci></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.3c">q(i\omega,\boldsymbol{\tau},\mathbf{p})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p3.20.m2.3d">italic_q ( italic_i italic_ω , bold_italic_τ , bold_p )</annotation></semantics></math> possesses at least one zero on the imaginary axis; see <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#bib.bib15" title="">15</a>]</cite>. In Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.F2" title="Figure 2 ‣ 3.2.2 A geometric transversality condition. ‣ 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>, the points <math alttext="(\tau_{1},\tau_{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p3.21.m3.2"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p3.21.m3.2a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p3.21.m3.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.21.m3.2.2.3.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.21.m3.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p3.21.m3.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.SS2.SSS2.p3.21.m3.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p3.21.m3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.21.m3.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.21.m3.1.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.SS2.SSS2.p3.21.m3.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.21.m3.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.21.m3.2.2.2.4" xref="S3.SS2.SSS2.p3.21.m3.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.SS2.SSS2.p3.21.m3.2.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.21.m3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.21.m3.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.21.m3.2.2.2.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.SS2.SSS2.p3.21.m3.2.2.2.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.21.m3.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.21.m3.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p3.21.m3.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p3.21.m3.2b"><interval closure="open" id="S3.SS2.SSS2.p3.21.m3.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.21.m3.2.2.2"><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.21.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.21.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p3.21.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.21.m3.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.21.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.21.m3.1.1.1.1.2">𝜏</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p3.21.m3.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p3.21.m3.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.21.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.21.m3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p3.21.m3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.21.m3.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.21.m3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.21.m3.2.2.2.2.2">𝜏</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p3.21.m3.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p3.21.m3.2.2.2.2.3">2</cn></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p3.21.m3.2c">(\tau_{1},\tau_{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p3.21.m3.2d">( italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> in the <math alttext="\mathbb{R}_{+}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p3.22.m4.1"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p3.22.m4.1a"><msubsup id="S3.SS2.SSS2.p3.22.m4.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p3.22.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.22.m4.1.1.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.22.m4.1.1.2.2.cmml">ℝ</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.22.m4.1.1.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.22.m4.1.1.2.3.cmml">+</mo><mn id="S3.SS2.SSS2.p3.22.m4.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.22.m4.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p3.22.m4.1b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.22.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.22.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p3.22.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.22.m4.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.22.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.22.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p3.22.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.22.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.22.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.22.m4.1.1.2.2">ℝ</ci><plus id="S3.SS2.SSS2.p3.22.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.22.m4.1.1.2.3"></plus></apply><cn id="S3.SS2.SSS2.p3.22.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p3.22.m4.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p3.22.m4.1c">\mathbb{R}_{+}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p3.22.m4.1d">blackboard_R start_POSTSUBSCRIPT + end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> plane corresponding to the sets <math alttext="\mathcal{T}^{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p3.23.m5.1"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p3.23.m5.1a"><msup id="S3.SS2.SSS2.p3.23.m5.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p3.23.m5.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.SSS2.p3.23.m5.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.23.m5.1.1.2.cmml">𝒯</mi><mn id="S3.SS2.SSS2.p3.23.m5.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.23.m5.1.1.3.cmml">1</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p3.23.m5.1b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.23.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.23.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p3.23.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.23.m5.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.23.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.23.m5.1.1.2">𝒯</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p3.23.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p3.23.m5.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p3.23.m5.1c">\mathcal{T}^{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p3.23.m5.1d">caligraphic_T start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, for <math alttext="\omega\in\Omega_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p3.24.m6.1"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p3.24.m6.1a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p3.24.m6.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p3.24.m6.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.24.m6.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.24.m6.1.1.2.cmml">ω</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.24.m6.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p3.24.m6.1.1.1.cmml">∈</mo><msub id="S3.SS2.SSS2.p3.24.m6.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.24.m6.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.24.m6.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.SSS2.p3.24.m6.1.1.3.2.cmml">Ω</mi><mn id="S3.SS2.SSS2.p3.24.m6.1.1.3.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.24.m6.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p3.24.m6.1b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.24.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.24.m6.1.1"><in id="S3.SS2.SSS2.p3.24.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.24.m6.1.1.1"></in><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.24.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.24.m6.1.1.2">𝜔</ci><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.24.m6.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.24.m6.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p3.24.m6.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.24.m6.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.24.m6.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.24.m6.1.1.3.2">Ω</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p3.24.m6.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p3.24.m6.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p3.24.m6.1c">\omega\in\Omega_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p3.24.m6.1d">italic_ω ∈ roman_Ω start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, and <math alttext="\mathcal{T}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p3.25.m7.1"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p3.25.m7.1a"><msup id="S3.SS2.SSS2.p3.25.m7.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p3.25.m7.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.SSS2.p3.25.m7.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.25.m7.1.1.2.cmml">𝒯</mi><mn id="S3.SS2.SSS2.p3.25.m7.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.25.m7.1.1.3.cmml">2</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p3.25.m7.1b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.25.m7.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.25.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p3.25.m7.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.25.m7.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.25.m7.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.25.m7.1.1.2">𝒯</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p3.25.m7.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p3.25.m7.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p3.25.m7.1c">\mathcal{T}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p3.25.m7.1d">caligraphic_T start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, for <math alttext="\omega\in\Omega_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p3.26.m8.1"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p3.26.m8.1a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p3.26.m8.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p3.26.m8.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.26.m8.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p3.26.m8.1.1.2.cmml">ω</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p3.26.m8.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p3.26.m8.1.1.1.cmml">∈</mo><msub id="S3.SS2.SSS2.p3.26.m8.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.26.m8.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p3.26.m8.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.SSS2.p3.26.m8.1.1.3.2.cmml">Ω</mi><mn id="S3.SS2.SSS2.p3.26.m8.1.1.3.3" xref="S3.SS2.SSS2.p3.26.m8.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p3.26.m8.1b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.26.m8.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.26.m8.1.1"><in id="S3.SS2.SSS2.p3.26.m8.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.26.m8.1.1.1"></in><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.26.m8.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.26.m8.1.1.2">𝜔</ci><apply id="S3.SS2.SSS2.p3.26.m8.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.26.m8.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p3.26.m8.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.26.m8.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p3.26.m8.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p3.26.m8.1.1.3.2">Ω</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p3.26.m8.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p3.26.m8.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p3.26.m8.1c">\omega\in\Omega_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p3.26.m8.1d">italic_ω ∈ roman_Ω start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, can be seen in panels (b) and (c), respectively, for the parameter set values in Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S2.T1" title="Table 1 ‣ 2 Nonlinear time delayed Quorum Sensing system ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.SSS2.p4"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS2.p4.5">To analyse the direction of imaginary axis crossings for the roots of <math alttext="q(\lambda,\boldsymbol{\tau},\mathbf{p})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p4.1.m1.3"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p4.1.m1.3a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p4.1.m1.3.4" xref="S3.SS2.SSS2.p4.1.m1.3.4.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p4.1.m1.3.4.2" xref="S3.SS2.SSS2.p4.1.m1.3.4.2.cmml">q</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p4.1.m1.3.4.1" xref="S3.SS2.SSS2.p4.1.m1.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p4.1.m1.3.4.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p4.1.m1.3.4.3.1.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p4.1.m1.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p4.1.m1.3.4.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.1.cmml">λ</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p4.1.m1.3.4.3.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p4.1.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p4.1.m1.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p4.1.m1.2.2.cmml">𝝉</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p4.1.m1.3.4.3.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p4.1.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p4.1.m1.3.3" xref="S3.SS2.SSS2.p4.1.m1.3.3.cmml">𝐩</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p4.1.m1.3.4.3.2.4" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p4.1.m1.3.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p4.1.m1.3b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p4.1.m1.3.4.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p4.1.m1.3.4"><times id="S3.SS2.SSS2.p4.1.m1.3.4.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p4.1.m1.3.4.1"></times><ci id="S3.SS2.SSS2.p4.1.m1.3.4.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p4.1.m1.3.4.2">𝑞</ci><vector id="S3.SS2.SSS2.p4.1.m1.3.4.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p4.1.m1.3.4.3.2"><ci id="S3.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.1">𝜆</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p4.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p4.1.m1.2.2">𝝉</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p4.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p4.1.m1.3.3">𝐩</ci></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p4.1.m1.3c">q(\lambda,\boldsymbol{\tau},\mathbf{p})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p4.1.m1.3d">italic_q ( italic_λ , bold_italic_τ , bold_p )</annotation></semantics></math> at points <math alttext="(\tau_{1},\tau_{2})\in\mathcal{T}^{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.2"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.2a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.2.2.2.2.4" xref="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.2.2.2.2.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.2.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.2.2.3.cmml">∈</mo><msup id="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.2.2.4" xref="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.2.2.4.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.2.2.4.2" xref="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.2.2.4.2.cmml">𝒯</mi><mi id="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.2.2.4.3" xref="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.2.2.4.3.cmml">k</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.2b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.2.2"><in id="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.2.2.3"></in><interval closure="open" id="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.2.2.2.2"><apply id="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.2">𝜏</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.2.2.2.2.2.2">𝜏</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply></interval><apply id="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.2.2.4.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.2.2.4.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.2.2.4.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.2.2.4.2">𝒯</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.2.2.4.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.2.2.4.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.2c">(\tau_{1},\tau_{2})\in\mathcal{T}^{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p4.2.m2.2d">( italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) ∈ caligraphic_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, where <math alttext="k=1,2" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p4.3.m3.2"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p4.3.m3.2a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p4.3.m3.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p4.3.m3.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p4.3.m3.2.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p4.3.m3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p4.3.m3.2.3.1" xref="S3.SS2.SSS2.p4.3.m3.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p4.3.m3.2.3.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p4.3.m3.2.3.3.1.cmml"><mn id="S3.SS2.SSS2.p4.3.m3.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p4.3.m3.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.SS2.SSS2.p4.3.m3.2.3.3.2.1" xref="S3.SS2.SSS2.p4.3.m3.2.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="S3.SS2.SSS2.p4.3.m3.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p4.3.m3.2.2.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p4.3.m3.2b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p4.3.m3.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p4.3.m3.2.3"><eq id="S3.SS2.SSS2.p4.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p4.3.m3.2.3.1"></eq><ci id="S3.SS2.SSS2.p4.3.m3.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p4.3.m3.2.3.2">𝑘</ci><list id="S3.SS2.SSS2.p4.3.m3.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p4.3.m3.2.3.3.2"><cn id="S3.SS2.SSS2.p4.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p4.3.m3.1.1">1</cn><cn id="S3.SS2.SSS2.p4.3.m3.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p4.3.m3.2.2">2</cn></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p4.3.m3.2c">k=1,2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p4.3.m3.2d">italic_k = 1 , 2</annotation></semantics></math>, we consider eigenvalues of the form <math alttext="\lambda=\sigma+i\omega" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p4.4.m4.1"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p4.4.m4.1a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p4.4.m4.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p4.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p4.4.m4.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p4.4.m4.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p4.4.m4.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p4.4.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p4.4.m4.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p4.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p4.4.m4.1.1.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p4.4.m4.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p4.4.m4.1.1.3.1" xref="S3.SS2.SSS2.p4.4.m4.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p4.4.m4.1.1.3.3" xref="S3.SS2.SSS2.p4.4.m4.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p4.4.m4.1.1.3.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p4.4.m4.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p4.4.m4.1.1.3.3.1" xref="S3.SS2.SSS2.p4.4.m4.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p4.4.m4.1.1.3.3.3" xref="S3.SS2.SSS2.p4.4.m4.1.1.3.3.3.cmml">ω</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p4.4.m4.1b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p4.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p4.4.m4.1.1"><eq id="S3.SS2.SSS2.p4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p4.4.m4.1.1.1"></eq><ci id="S3.SS2.SSS2.p4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p4.4.m4.1.1.2">𝜆</ci><apply id="S3.SS2.SSS2.p4.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p4.4.m4.1.1.3"><plus id="S3.SS2.SSS2.p4.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p4.4.m4.1.1.3.1"></plus><ci id="S3.SS2.SSS2.p4.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p4.4.m4.1.1.3.2">𝜎</ci><apply id="S3.SS2.SSS2.p4.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p4.4.m4.1.1.3.3"><times id="S3.SS2.SSS2.p4.4.m4.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p4.4.m4.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.SS2.SSS2.p4.4.m4.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p4.4.m4.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p4.4.m4.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p4.4.m4.1.1.3.3.3">𝜔</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p4.4.m4.1c">\lambda=\sigma+i\omega</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p4.4.m4.1d">italic_λ = italic_σ + italic_i italic_ω</annotation></semantics></math>. Specifically, we examine how the real part, <math alttext="\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p4.5.m5.1"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p4.5.m5.1a"><mi id="S3.SS2.SSS2.p4.5.m5.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p4.5.m5.1.1.cmml">σ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p4.5.m5.1b"><ci id="S3.SS2.SSS2.p4.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p4.5.m5.1.1">𝜎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p4.5.m5.1c">\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p4.5.m5.1d">italic_σ</annotation></semantics></math>, changes as the delays vary.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.SSS2.p5"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS2.p5.5">First, we define the tangent vector to <math alttext="\mathcal{T}^{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p5.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p5.1.m1.1a"><msup id="S3.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.1.2.cmml">𝒯</mi><mi id="S3.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.1.3.cmml">k</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p5.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.1.2">𝒯</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p5.1.m1.1c">\mathcal{T}^{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p5.1.m1.1d">caligraphic_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> along the curve of increasing <math alttext="\omega" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p5.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p5.2.m2.1a"><mi id="S3.SS2.SSS2.p5.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p5.2.m2.1.1.cmml">ω</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p5.2.m2.1b"><ci id="S3.SS2.SSS2.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.2.m2.1.1">𝜔</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p5.2.m2.1c">\omega</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p5.2.m2.1d">italic_ω</annotation></semantics></math> as <math alttext="\mathbf{w}_{\theta}=(\partial\tau_{1}/\partial\omega,\partial\tau_{2}/\partial\omega)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.cmml"><msub id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.4" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.4.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.4.2" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.4.2.cmml">𝐰</mi><mi id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.4.3" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.4.3.cmml">θ</mi></msub><mo id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.1.1.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">∂</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.1.1.1.2.1.cmml">/</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">∂</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">ω</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.2.2.4" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.2.2.2.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.2.2.2.1.cmml">∂</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.cmml"><msub id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.1" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.1.cmml">/</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.3.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">∂</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">ω</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2"><eq id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.3"></eq><apply id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.4.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.4.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.4.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.4.2">𝐰</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.4.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.4.3">𝜃</ci></apply><interval closure="open" id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.2.2"><apply id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.1.1.1"><partialdiff id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.1.1.1.1"></partialdiff><apply id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.1.1.1.2"><divide id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.1.1.1.2.1"></divide><apply id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.1.1.1.2.2.2">𝜏</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.1.1.1.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.1.1.1.2.3"><partialdiff id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.1"></partialdiff><ci id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.2">𝜔</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.2.2.2"><partialdiff id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.2.2.2.1"></partialdiff><apply id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2"><divide id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.1"></divide><apply id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.2">𝜏</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.3"><partialdiff id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.3.1"></partialdiff><ci id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.3.2">𝜔</ci></apply></apply></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2c">\mathbf{w}_{\theta}=(\partial\tau_{1}/\partial\omega,\partial\tau_{2}/\partial\omega)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p5.3.m3.2d">bold_w start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT = ( ∂ italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT / ∂ italic_ω , ∂ italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT / ∂ italic_ω )</annotation></semantics></math>. A normal vector pointing towards the left-hand region of the positively oriented curve <math alttext="\mathcal{T}^{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p5.4.m4.1"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p5.4.m4.1a"><msup id="S3.SS2.SSS2.p5.4.m4.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p5.4.m4.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.SSS2.p5.4.m4.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p5.4.m4.1.1.2.cmml">𝒯</mi><mi id="S3.SS2.SSS2.p5.4.m4.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p5.4.m4.1.1.3.cmml">k</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p5.4.m4.1b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p5.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p5.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.4.m4.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p5.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.4.m4.1.1.2">𝒯</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p5.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.4.m4.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p5.4.m4.1c">\mathcal{T}^{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p5.4.m4.1d">caligraphic_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is then provided by <math alttext="\mathbf{v}_{\theta}=(-\partial\tau_{2}/\partial\omega,\partial\tau_{1}/% \partial\omega)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.cmml"><msub id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.4" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.4.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.4.2" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.4.2.cmml">𝐯</mi><mi id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.4.3" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.4.3.cmml">θ</mi></msub><mo id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.1.1.1.1.1a" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.1.1.1.1.1.2.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∂</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><msub id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">/</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.3.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">∂</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">ω</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.2.2.4" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.2.2.2.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.2.2.2.1.cmml">∂</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.2.2.2.2.cmml"><msub id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.2.2.2.2.1" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.2.2.2.2.1.cmml">/</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.2.2.2.2.3.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">∂</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">ω</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2"><eq id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.3"></eq><apply id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.4.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.4.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.4.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.4.2">𝐯</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.4.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.4.3">𝜃</ci></apply><interval closure="open" id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.2.2"><apply id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.1.1.1.1.1"><minus id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.1.1.1.1.1.2"><partialdiff id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.1.1.1.1.1.2.1"></partialdiff><apply id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2"><divide id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.1"></divide><apply id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝜏</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.3"><partialdiff id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></partialdiff><ci id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝜔</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.2.2.2"><partialdiff id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.2.2.2.1"></partialdiff><apply id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.2.2.2.2"><divide id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.2.2.2.2.1"></divide><apply id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.2.2.2.2.2.2">𝜏</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.2.2.2.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.2.2.2.2.3"><partialdiff id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.2.2.2.2.3.1"></partialdiff><ci id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2.2.2.2.2.2.3.2">𝜔</ci></apply></apply></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2c">\mathbf{v}_{\theta}=(-\partial\tau_{2}/\partial\omega,\partial\tau_{1}/% \partial\omega)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p5.5.m5.2d">bold_v start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT = ( - ∂ italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT / ∂ italic_ω , ∂ italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT / ∂ italic_ω )</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.SSS2.p6"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS2.p6.8">Second, we consider the scenario where a pair of complex conjugate roots of <math alttext="q(\lambda,\boldsymbol{\tau},\mathbf{p})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p6.1.m1.3"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p6.1.m1.3a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p6.1.m1.3.4" xref="S3.SS2.SSS2.p6.1.m1.3.4.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p6.1.m1.3.4.2" xref="S3.SS2.SSS2.p6.1.m1.3.4.2.cmml">q</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p6.1.m1.3.4.1" xref="S3.SS2.SSS2.p6.1.m1.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p6.1.m1.3.4.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p6.1.m1.3.4.3.1.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p6.1.m1.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p6.1.m1.3.4.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p6.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p6.1.m1.1.1.cmml">λ</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p6.1.m1.3.4.3.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p6.1.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p6.1.m1.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p6.1.m1.2.2.cmml">𝝉</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p6.1.m1.3.4.3.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p6.1.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p6.1.m1.3.3" xref="S3.SS2.SSS2.p6.1.m1.3.3.cmml">𝐩</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p6.1.m1.3.4.3.2.4" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p6.1.m1.3.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p6.1.m1.3b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p6.1.m1.3.4.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.1.m1.3.4"><times id="S3.SS2.SSS2.p6.1.m1.3.4.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.1.m1.3.4.1"></times><ci id="S3.SS2.SSS2.p6.1.m1.3.4.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.1.m1.3.4.2">𝑞</ci><vector id="S3.SS2.SSS2.p6.1.m1.3.4.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.1.m1.3.4.3.2"><ci id="S3.SS2.SSS2.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.1.m1.1.1">𝜆</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p6.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.1.m1.2.2">𝝉</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p6.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.1.m1.3.3">𝐩</ci></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p6.1.m1.3c">q(\lambda,\boldsymbol{\tau},\mathbf{p})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p6.1.m1.3d">italic_q ( italic_λ , bold_italic_τ , bold_p )</annotation></semantics></math> crosses the imaginary axis into the right-hand side of the complex plane. In this case, the delay vector <math alttext="\boldsymbol{\tau}=(\tau_{1},\tau_{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.2"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.2a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.2.2.4" xref="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.2.2.4.cmml">𝝉</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.2.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.2.2.2.2.4" xref="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.2.2.2.2.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.2b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.2.2"><eq id="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.2.2.3"></eq><ci id="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.2.2.4.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.2.2.4">𝝉</ci><interval closure="open" id="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.2.2.2.2"><apply id="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.1.1.1.1.1.2">𝜏</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.2.2.2.2.2.2">𝜏</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.2c">\boldsymbol{\tau}=(\tau_{1},\tau_{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p6.2.m2.2d">bold_italic_τ = ( italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> shifts parallel to the vector <math alttext="\mathbf{w}_{r}=(\partial\tau_{1}/\partial\sigma,\partial\tau_{2}/\partial\sigma)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.cmml"><msub id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.4" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.4.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.4.2" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.4.2.cmml">𝐰</mi><mi id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.4.3" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.4.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.1.1.1.1.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">∂</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.1.cmml">/</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">∂</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">σ</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.2.2.4" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.2.2.2.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.2.2.2.1.cmml">∂</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.2.2.2.2.cmml"><msub id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.2.2.2.2.1" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.2.2.2.2.1.cmml">/</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.2.2.2.2.3.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">∂</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">σ</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2"><eq id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.3"></eq><apply id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.4.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.4.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.4.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.4.2">𝐰</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.4.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.4.3">𝑟</ci></apply><interval closure="open" id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.2.2"><apply id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.1.1.1.1.1"><partialdiff id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.1.1.1.1.1.1"></partialdiff><apply id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2"><divide id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.1"></divide><apply id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.2.2">𝜏</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.3"><partialdiff id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.1"></partialdiff><ci id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.2">𝜎</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.2.2.2"><partialdiff id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.2.2.2.1"></partialdiff><apply id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.2.2.2.2"><divide id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.2.2.2.2.1"></divide><apply id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.2">𝜏</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.2.2.2.2.3"><partialdiff id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.2.2.2.2.3.1"></partialdiff><ci id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2.2.2.2.2.2.3.2">𝜎</ci></apply></apply></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2c">\mathbf{w}_{r}=(\partial\tau_{1}/\partial\sigma,\partial\tau_{2}/\partial\sigma)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p6.3.m3.2d">bold_w start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT = ( ∂ italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT / ∂ italic_σ , ∂ italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT / ∂ italic_σ )</annotation></semantics></math>. Consequently, if <math alttext="\boldsymbol{\tau}\in\mathbb{R}_{+}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p6.4.m4.1"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p6.4.m4.1a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p6.4.m4.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p6.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p6.4.m4.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p6.4.m4.1.1.2.cmml">𝝉</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p6.4.m4.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p6.4.m4.1.1.1.cmml">∈</mo><msubsup id="S3.SS2.SSS2.p6.4.m4.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p6.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p6.4.m4.1.1.3.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p6.4.m4.1.1.3.2.2.cmml">ℝ</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p6.4.m4.1.1.3.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p6.4.m4.1.1.3.2.3.cmml">+</mo><mn id="S3.SS2.SSS2.p6.4.m4.1.1.3.3" xref="S3.SS2.SSS2.p6.4.m4.1.1.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p6.4.m4.1b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p6.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.4.m4.1.1"><in id="S3.SS2.SSS2.p6.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.4.m4.1.1.1"></in><ci id="S3.SS2.SSS2.p6.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.4.m4.1.1.2">𝝉</ci><apply id="S3.SS2.SSS2.p6.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p6.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.4.m4.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.SS2.SSS2.p6.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p6.4.m4.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.4.m4.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p6.4.m4.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.4.m4.1.1.3.2.2">ℝ</ci><plus id="S3.SS2.SSS2.p6.4.m4.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.4.m4.1.1.3.2.3"></plus></apply><cn id="S3.SS2.SSS2.p6.4.m4.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p6.4.m4.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p6.4.m4.1c">\boldsymbol{\tau}\in\mathbb{R}_{+}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p6.4.m4.1d">bold_italic_τ ∈ blackboard_R start_POSTSUBSCRIPT + end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> lies to the left of a positively oriented trajectory <math alttext="\mathcal{T}^{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p6.5.m5.1"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p6.5.m5.1a"><msup id="S3.SS2.SSS2.p6.5.m5.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p6.5.m5.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.SSS2.p6.5.m5.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p6.5.m5.1.1.2.cmml">𝒯</mi><mi id="S3.SS2.SSS2.p6.5.m5.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p6.5.m5.1.1.3.cmml">k</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p6.5.m5.1b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p6.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p6.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.5.m5.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p6.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.5.m5.1.1.2">𝒯</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p6.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.5.m5.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p6.5.m5.1c">\mathcal{T}^{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p6.5.m5.1d">caligraphic_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, two additional roots of <math alttext="q(\lambda,\boldsymbol{\tau},\mathbf{p})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p6.6.m6.3"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p6.6.m6.3a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p6.6.m6.3.4" xref="S3.SS2.SSS2.p6.6.m6.3.4.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p6.6.m6.3.4.2" xref="S3.SS2.SSS2.p6.6.m6.3.4.2.cmml">q</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p6.6.m6.3.4.1" xref="S3.SS2.SSS2.p6.6.m6.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p6.6.m6.3.4.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p6.6.m6.3.4.3.1.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p6.6.m6.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p6.6.m6.3.4.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p6.6.m6.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p6.6.m6.1.1.cmml">λ</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p6.6.m6.3.4.3.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p6.6.m6.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p6.6.m6.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p6.6.m6.2.2.cmml">𝝉</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p6.6.m6.3.4.3.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p6.6.m6.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p6.6.m6.3.3" xref="S3.SS2.SSS2.p6.6.m6.3.3.cmml">𝐩</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p6.6.m6.3.4.3.2.4" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p6.6.m6.3.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p6.6.m6.3b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p6.6.m6.3.4.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.6.m6.3.4"><times id="S3.SS2.SSS2.p6.6.m6.3.4.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.6.m6.3.4.1"></times><ci id="S3.SS2.SSS2.p6.6.m6.3.4.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.6.m6.3.4.2">𝑞</ci><vector id="S3.SS2.SSS2.p6.6.m6.3.4.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.6.m6.3.4.3.2"><ci id="S3.SS2.SSS2.p6.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.6.m6.1.1">𝜆</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p6.6.m6.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.6.m6.2.2">𝝉</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p6.6.m6.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.6.m6.3.3">𝐩</ci></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p6.6.m6.3c">q(\lambda,\boldsymbol{\tau},\mathbf{p})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p6.6.m6.3d">italic_q ( italic_λ , bold_italic_τ , bold_p )</annotation></semantics></math> become unstable when the inner product <math alttext="\langle\mathbf{w}_{r}\,,\mathbf{v}_{\theta}\rangle>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.2"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.2a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.2.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><msub id="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐰</mi><mi id="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.1.1.1.1.1.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.2.2.2.2.4" xref="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.2.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.2.2.2.2.2.2.cmml">𝐯</mi><mi id="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.2.2.2.2.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.2.2.2.2.2.3.cmml">θ</mi></msub><mo id="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.2.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.2.2.3.cmml">></mo><mn id="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.2.2.4" xref="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.2.2.4.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.2b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.2.2"><gt id="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.2.2.3"></gt><list id="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.2.2.2.2"><apply id="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.1.1.1.1.1.2">𝐰</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.1.1.1.1.1.3">𝑟</ci></apply><apply id="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.2.2.2.2.2.2">𝐯</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.2.2.2.2.2.3">𝜃</ci></apply></list><cn id="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.2.2.4.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.2.2.4">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.2c">\langle\mathbf{w}_{r}\,,\mathbf{v}_{\theta}\rangle>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p6.7.m7.2d">⟨ bold_w start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT , bold_v start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT ⟩ > 0</annotation></semantics></math>. Thus, as a consequence of the Implicit Function Theorem and Proposition 6.1 of <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#bib.bib15" title="">15</a>]</cite>, this condition is equivalent to <math alttext="\mathcal{C}>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p6.8.m8.1"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p6.8.m8.1a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p6.8.m8.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p6.8.m8.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.SSS2.p6.8.m8.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p6.8.m8.1.1.2.cmml">𝒞</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p6.8.m8.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p6.8.m8.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S3.SS2.SSS2.p6.8.m8.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p6.8.m8.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p6.8.m8.1b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p6.8.m8.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.8.m8.1.1"><gt id="S3.SS2.SSS2.p6.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.8.m8.1.1.1"></gt><ci id="S3.SS2.SSS2.p6.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p6.8.m8.1.1.2">𝒞</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p6.8.m8.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p6.8.m8.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p6.8.m8.1c">\mathcal{C}>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p6.8.m8.1d">caligraphic_C > 0</annotation></semantics></math>, where</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx17"> <tbody id="S3.E13"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(13)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\mathcal{C}:=\text{Im}\left(q_{1}(i\omega)q_{2}(-i\omega)e^{i% \omega(\tau_{2}-\tau_{1})}\right)\,," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E13.m1.2"><semantics id="S3.E13.m1.2a"><mrow id="S3.E13.m1.2.2.1" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E13.m1.2.2.1.1" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E13.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.3.cmml">𝒞</mi><mo id="S3.E13.m1.2.2.1.1.2" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.cmml">:=</mo><mrow id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mtext id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.3a.cmml">Im</mtext><mo id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">q</mi><mn id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ω</mi></mrow><mo id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.5" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">q</mi><mn id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3b" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mo id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mo id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1a" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.2" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.1" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.3" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.3.cmml">ω</mi></mrow></mrow><mo id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3c" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.6" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.6.2" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.6.2.cmml">e</mi><mrow id="S3.E13.m1.1.1.1" xref="S3.E13.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E13.m1.1.1.1.3" xref="S3.E13.m1.1.1.1.3.cmml">i</mi><mo id="S3.E13.m1.1.1.1.2" xref="S3.E13.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E13.m1.1.1.1.4" xref="S3.E13.m1.1.1.1.4.cmml">ω</mi><mo id="S3.E13.m1.1.1.1.2a" xref="S3.E13.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E13.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup></mrow><mo id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" rspace="0.170em" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E13.m1.2.2.1.2" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E13.m1.2b"><apply id="S3.E13.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.2">assign</csymbol><ci id="S3.E13.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.3">𝒞</ci><apply id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1"><times id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.3"><mtext id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.3">Im</mtext></ci><apply id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1"><times id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3"></times><apply id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑞</ci><cn id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.3">1</cn></apply><apply id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜔</ci></apply><apply id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.5.2">𝑞</ci><cn id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" type="integer" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.5.3">2</cn></apply><apply id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1"><minus id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1"></minus><apply id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2"><times id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.1"></times><ci id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.2">𝑖</ci><ci id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.3">𝜔</ci></apply></apply><apply id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.6">superscript</csymbol><ci id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.6.2">𝑒</ci><apply id="S3.E13.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1"><times id="S3.E13.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E13.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.3">𝑖</ci><ci id="S3.E13.m1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.4">𝜔</ci><apply id="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜏</ci><cn id="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜏</ci><cn id="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E13.m1.2c">\displaystyle\mathcal{C}:=\text{Im}\left(q_{1}(i\omega)q_{2}(-i\omega)e^{i% \omega(\tau_{2}-\tau_{1})}\right)\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E13.m1.2d">caligraphic_C := Im ( italic_q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i italic_ω ) italic_q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( - italic_i italic_ω ) italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_ω ( italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT - italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS2.p6.9">which is known as <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.SS2.SSS2.p6.9.1">geometric transversality parameter</span> as it provides a criterion for determining the crossing direction of the roots.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.SSS2.p7"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS2.p7.10">The parameter <math alttext="\mathcal{C}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p7.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p7.1.m1.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.SSS2.p7.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p7.1.m1.1.1.cmml">𝒞</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p7.1.m1.1b"><ci id="S3.SS2.SSS2.p7.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p7.1.m1.1.1">𝒞</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p7.1.m1.1c">\mathcal{C}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p7.1.m1.1d">caligraphic_C</annotation></semantics></math>, defined in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.E13" title="Equation 13 ‣ 3.2.2 A geometric transversality condition. ‣ 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">13</span></a>), characterises the direction of root crossing and, consequently, the type of Hopf bifurcation. Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.F2" title="Figure 2 ‣ 3.2.2 A geometric transversality condition. ‣ 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>(b)-(c) visualises the delays <math alttext="(\tau_{1},\tau_{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p7.2.m2.2"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p7.2.m2.2a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p7.2.m2.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p7.2.m2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p7.2.m2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p7.2.m2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.SS2.SSS2.p7.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p7.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p7.2.m2.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p7.2.m2.1.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.SS2.SSS2.p7.2.m2.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p7.2.m2.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.SS2.SSS2.p7.2.m2.2.2.2.4" xref="S3.SS2.SSS2.p7.2.m2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.SS2.SSS2.p7.2.m2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p7.2.m2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p7.2.m2.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p7.2.m2.2.2.2.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.SS2.SSS2.p7.2.m2.2.2.2.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p7.2.m2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.SS2.SSS2.p7.2.m2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p7.2.m2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p7.2.m2.2b"><interval closure="open" id="S3.SS2.SSS2.p7.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p7.2.m2.2.2.2"><apply id="S3.SS2.SSS2.p7.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p7.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p7.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p7.2.m2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p7.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p7.2.m2.1.1.1.1.2">𝜏</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p7.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p7.2.m2.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S3.SS2.SSS2.p7.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p7.2.m2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p7.2.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p7.2.m2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p7.2.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p7.2.m2.2.2.2.2.2">𝜏</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p7.2.m2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p7.2.m2.2.2.2.2.3">2</cn></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p7.2.m2.2c">(\tau_{1},\tau_{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p7.2.m2.2d">( italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> categorised by this parameter. Red curves delineate regions where <math alttext="\mathcal{C}<0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p7.3.m3.1"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p7.3.m3.1a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p7.3.m3.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p7.3.m3.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.SSS2.p7.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p7.3.m3.1.1.2.cmml">𝒞</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p7.3.m3.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p7.3.m3.1.1.1.cmml"><</mo><mn id="S3.SS2.SSS2.p7.3.m3.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p7.3.m3.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p7.3.m3.1b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p7.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p7.3.m3.1.1"><lt id="S3.SS2.SSS2.p7.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p7.3.m3.1.1.1"></lt><ci id="S3.SS2.SSS2.p7.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p7.3.m3.1.1.2">𝒞</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p7.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p7.3.m3.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p7.3.m3.1c">\mathcal{C}<0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p7.3.m3.1d">caligraphic_C < 0</annotation></semantics></math>, while blue regions represent <math alttext="\mathcal{C}>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p7.4.m4.1"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p7.4.m4.1a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p7.4.m4.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p7.4.m4.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.SSS2.p7.4.m4.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p7.4.m4.1.1.2.cmml">𝒞</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p7.4.m4.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p7.4.m4.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S3.SS2.SSS2.p7.4.m4.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p7.4.m4.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p7.4.m4.1b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p7.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p7.4.m4.1.1"><gt id="S3.SS2.SSS2.p7.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p7.4.m4.1.1.1"></gt><ci id="S3.SS2.SSS2.p7.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p7.4.m4.1.1.2">𝒞</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p7.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p7.4.m4.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p7.4.m4.1c">\mathcal{C}>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p7.4.m4.1d">caligraphic_C > 0</annotation></semantics></math>. Each intersection of a root of <math alttext="q(\lambda,\boldsymbol{\tau},\mathbf{p})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p7.5.m5.3"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p7.5.m5.3a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p7.5.m5.3.4" xref="S3.SS2.SSS2.p7.5.m5.3.4.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p7.5.m5.3.4.2" xref="S3.SS2.SSS2.p7.5.m5.3.4.2.cmml">q</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p7.5.m5.3.4.1" xref="S3.SS2.SSS2.p7.5.m5.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p7.5.m5.3.4.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p7.5.m5.3.4.3.1.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p7.5.m5.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p7.5.m5.3.4.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p7.5.m5.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p7.5.m5.1.1.cmml">λ</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p7.5.m5.3.4.3.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p7.5.m5.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p7.5.m5.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p7.5.m5.2.2.cmml">𝝉</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p7.5.m5.3.4.3.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p7.5.m5.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p7.5.m5.3.3" xref="S3.SS2.SSS2.p7.5.m5.3.3.cmml">𝐩</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p7.5.m5.3.4.3.2.4" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p7.5.m5.3.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p7.5.m5.3b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p7.5.m5.3.4.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p7.5.m5.3.4"><times id="S3.SS2.SSS2.p7.5.m5.3.4.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p7.5.m5.3.4.1"></times><ci id="S3.SS2.SSS2.p7.5.m5.3.4.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p7.5.m5.3.4.2">𝑞</ci><vector id="S3.SS2.SSS2.p7.5.m5.3.4.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p7.5.m5.3.4.3.2"><ci id="S3.SS2.SSS2.p7.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p7.5.m5.1.1">𝜆</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p7.5.m5.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p7.5.m5.2.2">𝝉</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p7.5.m5.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p7.5.m5.3.3">𝐩</ci></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p7.5.m5.3c">q(\lambda,\boldsymbol{\tau},\mathbf{p})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p7.5.m5.3d">italic_q ( italic_λ , bold_italic_τ , bold_p )</annotation></semantics></math> with the imaginary axis corresponds to a Hopf bifurcation. Specifically, a <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.SS2.SSS2.p7.10.1">supercritical</span> Hopf bifurcation occurs when the root crosses from left to right (i.e., <math alttext="\mathcal{C}>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p7.6.m6.1"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p7.6.m6.1a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p7.6.m6.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p7.6.m6.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.SSS2.p7.6.m6.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p7.6.m6.1.1.2.cmml">𝒞</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p7.6.m6.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p7.6.m6.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S3.SS2.SSS2.p7.6.m6.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p7.6.m6.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p7.6.m6.1b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p7.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p7.6.m6.1.1"><gt id="S3.SS2.SSS2.p7.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p7.6.m6.1.1.1"></gt><ci id="S3.SS2.SSS2.p7.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p7.6.m6.1.1.2">𝒞</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p7.6.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p7.6.m6.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p7.6.m6.1c">\mathcal{C}>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p7.6.m6.1d">caligraphic_C > 0</annotation></semantics></math>), while a <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.SS2.SSS2.p7.10.2">subcritical</span> Hopf bifurcation occurs for a crossing from right to left (i.e., <math alttext="\mathcal{C}<0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p7.7.m7.1"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p7.7.m7.1a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p7.7.m7.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p7.7.m7.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.SSS2.p7.7.m7.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p7.7.m7.1.1.2.cmml">𝒞</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p7.7.m7.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p7.7.m7.1.1.1.cmml"><</mo><mn id="S3.SS2.SSS2.p7.7.m7.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p7.7.m7.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p7.7.m7.1b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p7.7.m7.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p7.7.m7.1.1"><lt id="S3.SS2.SSS2.p7.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p7.7.m7.1.1.1"></lt><ci id="S3.SS2.SSS2.p7.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p7.7.m7.1.1.2">𝒞</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p7.7.m7.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p7.7.m7.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p7.7.m7.1c">\mathcal{C}<0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p7.7.m7.1d">caligraphic_C < 0</annotation></semantics></math>). The likelihood of these bifurcations increases with the difference between the delays, <math alttext="|\tau_{1}-\tau_{2}|" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p7.8.m8.1"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p7.8.m8.1a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p7.8.m8.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p7.8.m8.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p7.8.m8.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p7.8.m8.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p7.8.m8.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p7.8.m8.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.SSS2.p7.8.m8.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p7.8.m8.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p7.8.m8.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p7.8.m8.1.1.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.SS2.SSS2.p7.8.m8.1.1.1.1.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p7.8.m8.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.SS2.SSS2.p7.8.m8.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p7.8.m8.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.SS2.SSS2.p7.8.m8.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p7.8.m8.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p7.8.m8.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p7.8.m8.1.1.1.1.3.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.SS2.SSS2.p7.8.m8.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.SSS2.p7.8.m8.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S3.SS2.SSS2.p7.8.m8.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p7.8.m8.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p7.8.m8.1b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p7.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p7.8.m8.1.1.1"><abs id="S3.SS2.SSS2.p7.8.m8.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p7.8.m8.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.SS2.SSS2.p7.8.m8.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p7.8.m8.1.1.1.1"><minus id="S3.SS2.SSS2.p7.8.m8.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p7.8.m8.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.SS2.SSS2.p7.8.m8.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p7.8.m8.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p7.8.m8.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p7.8.m8.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p7.8.m8.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p7.8.m8.1.1.1.1.2.2">𝜏</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p7.8.m8.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p7.8.m8.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S3.SS2.SSS2.p7.8.m8.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p7.8.m8.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p7.8.m8.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p7.8.m8.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p7.8.m8.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p7.8.m8.1.1.1.1.3.2">𝜏</ci><cn id="S3.SS2.SSS2.p7.8.m8.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS2.p7.8.m8.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p7.8.m8.1c">|\tau_{1}-\tau_{2}|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p7.8.m8.1d">| italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT - italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT |</annotation></semantics></math>. Moreover, the direction of root crossing exhibits a quasi-periodic behaviour, as illustrated in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.F2" title="Figure 2 ‣ 3.2.2 A geometric transversality condition. ‣ 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>(b)-(c). These results further suggest a dependence of the bifurcation type on the frequency. Specifically, the emergence of <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p7.9.m9.1"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p7.9.m9.1a"><mi id="S3.SS2.SSS2.p7.9.m9.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p7.9.m9.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p7.9.m9.1b"><ci id="S3.SS2.SSS2.p7.9.m9.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p7.9.m9.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p7.9.m9.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p7.9.m9.1d">italic_α</annotation></semantics></math>- and <math alttext="\omega" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p7.10.m10.1"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p7.10.m10.1a"><mi id="S3.SS2.SSS2.p7.10.m10.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p7.10.m10.1.1.cmml">ω</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p7.10.m10.1b"><ci id="S3.SS2.SSS2.p7.10.m10.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p7.10.m10.1.1">𝜔</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p7.10.m10.1c">\omega</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p7.10.m10.1d">italic_ω</annotation></semantics></math>-limit cycles is observed across a range of oscillatory frequencies. These limit cycles manifest at both lower frequencies (Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.F2" title="Figure 2 ‣ 3.2.2 A geometric transversality condition. ‣ 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>(b)) and elevated frequencies (Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.F2" title="Figure 2 ‣ 3.2.2 A geometric transversality condition. ‣ 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>(c)), a phenomenon associated with an alternating sequence of criticality transitions. This observation underscores the nuanced relationship between oscillatory dynamics and system criticality within the explored parameter set values.</p> </div> </section> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S4"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">4 </span>Numerical bifurcation analysis of time delay QS system.</h2> <div class="ltx_para" id="S4.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.p1.4">As established in the preceding section, the introduction of two delays significantly alters the system’s dynamics, inducing self-sustained oscillations through Hopf bifurcations. To further investigate this phenomenon, we fix the time delay <math alttext="\tau_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.p1.1.m1.1a"><msub id="S4.p1.1.m1.1.1" xref="S4.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.p1.1.m1.1.1.2" xref="S4.p1.1.m1.1.1.2.cmml">τ</mi><mn id="S4.p1.1.m1.1.1.3" xref="S4.p1.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.1.m1.1b"><apply id="S4.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.p1.1.m1.1.1.2">𝜏</ci><cn id="S4.p1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p1.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.1.m1.1c">\tau_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.1.m1.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> at a specific value and slowly vary <math alttext="\tau_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.p1.2.m2.1a"><msub id="S4.p1.2.m2.1.1" xref="S4.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.p1.2.m2.1.1.2" xref="S4.p1.2.m2.1.1.2.cmml">τ</mi><mn id="S4.p1.2.m2.1.1.3" xref="S4.p1.2.m2.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.2.m2.1b"><apply id="S4.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.p1.2.m2.1.1.2">𝜏</ci><cn id="S4.p1.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p1.2.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.2.m2.1c">\tau_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.2.m2.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. The resulting bifurcation diagram is shown in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S4.F3" title="Figure 3 ‣ 4 Numerical bifurcation analysis of time delay QS system. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>, where their dynamical behaviour is initially depicted in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.F2" title="Figure 2 ‣ 3.2.2 A geometric transversality condition. ‣ 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>(b) and 2(c), where a countably infinite set of <math alttext="\tau_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.3.m3.1"><semantics id="S4.p1.3.m3.1a"><msub id="S4.p1.3.m3.1.1" xref="S4.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.p1.3.m3.1.1.2" xref="S4.p1.3.m3.1.1.2.cmml">τ</mi><mn id="S4.p1.3.m3.1.1.3" xref="S4.p1.3.m3.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.3.m3.1b"><apply id="S4.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.p1.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.p1.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.p1.3.m3.1.1.2">𝜏</ci><cn id="S4.p1.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p1.3.m3.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.3.m3.1c">\tau_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.3.m3.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> values at which Hopf bifurcations occur can be seen. This is illustrated by the distribution of asterisks along the dotted line <math alttext="\tau_{1}=52" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.4.m4.1"><semantics id="S4.p1.4.m4.1a"><mrow id="S4.p1.4.m4.1.1" xref="S4.p1.4.m4.1.1.cmml"><msub id="S4.p1.4.m4.1.1.2" xref="S4.p1.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S4.p1.4.m4.1.1.2.2" xref="S4.p1.4.m4.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S4.p1.4.m4.1.1.2.3" xref="S4.p1.4.m4.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.p1.4.m4.1.1.1" xref="S4.p1.4.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.p1.4.m4.1.1.3" xref="S4.p1.4.m4.1.1.3.cmml">52</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.4.m4.1b"><apply id="S4.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.p1.4.m4.1.1"><eq id="S4.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.p1.4.m4.1.1.1"></eq><apply id="S4.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.p1.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p1.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S4.p1.4.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p1.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S4.p1.4.m4.1.1.2.2">𝜏</ci><cn id="S4.p1.4.m4.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.p1.4.m4.1.1.2.3">1</cn></apply><cn id="S4.p1.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p1.4.m4.1.1.3">52</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.4.m4.1c">\tau_{1}=52</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.4.m4.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = 52</annotation></semantics></math> in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.F2" title="Figure 2 ‣ 3.2.2 A geometric transversality condition. ‣ 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>(b) and 2(c), each marking a bifurcation point.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S4.F3"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="243" id="S4.F3.g1" src="extracted/6294707/EstNPer.png" width="873"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 3: </span>Bifurcation diagram with respect to the delay parameter <math alttext="\tau_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F3.13.m1.1"><semantics id="S4.F3.13.m1.1b"><msub id="S4.F3.13.m1.1.1" xref="S4.F3.13.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.F3.13.m1.1.1.2" xref="S4.F3.13.m1.1.1.2.cmml">τ</mi><mn id="S4.F3.13.m1.1.1.3" xref="S4.F3.13.m1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F3.13.m1.1c"><apply id="S4.F3.13.m1.1.1.cmml" xref="S4.F3.13.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F3.13.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F3.13.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.F3.13.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F3.13.m1.1.1.2">𝜏</ci><cn id="S4.F3.13.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.F3.13.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F3.13.m1.1d">\tau_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F3.13.m1.1e">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, with <math alttext="\tau_{1}=52" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F3.14.m2.1"><semantics id="S4.F3.14.m2.1b"><mrow id="S4.F3.14.m2.1.1" xref="S4.F3.14.m2.1.1.cmml"><msub id="S4.F3.14.m2.1.1.2" xref="S4.F3.14.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F3.14.m2.1.1.2.2" xref="S4.F3.14.m2.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S4.F3.14.m2.1.1.2.3" xref="S4.F3.14.m2.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.F3.14.m2.1.1.1" xref="S4.F3.14.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.F3.14.m2.1.1.3" xref="S4.F3.14.m2.1.1.3.cmml">52</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F3.14.m2.1c"><apply id="S4.F3.14.m2.1.1.cmml" xref="S4.F3.14.m2.1.1"><eq id="S4.F3.14.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.F3.14.m2.1.1.1"></eq><apply id="S4.F3.14.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.F3.14.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F3.14.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F3.14.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.F3.14.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F3.14.m2.1.1.2.2">𝜏</ci><cn id="S4.F3.14.m2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.F3.14.m2.1.1.2.3">1</cn></apply><cn id="S4.F3.14.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.F3.14.m2.1.1.3">52</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F3.14.m2.1d">\tau_{1}=52</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F3.14.m2.1e">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = 52</annotation></semantics></math>. A sample of countably set of Hopf bifurcations is observed, with ten representative bifurcations labelled <math alttext="HB_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F3.15.m3.1"><semantics id="S4.F3.15.m3.1b"><mrow id="S4.F3.15.m3.1.1" xref="S4.F3.15.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.F3.15.m3.1.1.2" xref="S4.F3.15.m3.1.1.2.cmml">H</mi><mo id="S4.F3.15.m3.1.1.1" xref="S4.F3.15.m3.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.F3.15.m3.1.1.3" xref="S4.F3.15.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S4.F3.15.m3.1.1.3.2" xref="S4.F3.15.m3.1.1.3.2.cmml">B</mi><mi id="S4.F3.15.m3.1.1.3.3" xref="S4.F3.15.m3.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F3.15.m3.1c"><apply id="S4.F3.15.m3.1.1.cmml" xref="S4.F3.15.m3.1.1"><times id="S4.F3.15.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.F3.15.m3.1.1.1"></times><ci id="S4.F3.15.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.F3.15.m3.1.1.2">𝐻</ci><apply id="S4.F3.15.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.F3.15.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F3.15.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.F3.15.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.F3.15.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.F3.15.m3.1.1.3.2">𝐵</ci><ci id="S4.F3.15.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S4.F3.15.m3.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F3.15.m3.1d">HB_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F3.15.m3.1e">italic_H italic_B start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="i=1,\dots,10" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F3.16.m4.3"><semantics id="S4.F3.16.m4.3b"><mrow id="S4.F3.16.m4.3.4" xref="S4.F3.16.m4.3.4.cmml"><mi id="S4.F3.16.m4.3.4.2" xref="S4.F3.16.m4.3.4.2.cmml">i</mi><mo id="S4.F3.16.m4.3.4.1" xref="S4.F3.16.m4.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.F3.16.m4.3.4.3.2" xref="S4.F3.16.m4.3.4.3.1.cmml"><mn id="S4.F3.16.m4.1.1" xref="S4.F3.16.m4.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.F3.16.m4.3.4.3.2.1" xref="S4.F3.16.m4.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.F3.16.m4.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.F3.16.m4.2.2.cmml">…</mi><mo id="S4.F3.16.m4.3.4.3.2.2" xref="S4.F3.16.m4.3.4.3.1.cmml">,</mo><mn id="S4.F3.16.m4.3.3" xref="S4.F3.16.m4.3.3.cmml">10</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F3.16.m4.3c"><apply id="S4.F3.16.m4.3.4.cmml" xref="S4.F3.16.m4.3.4"><eq id="S4.F3.16.m4.3.4.1.cmml" xref="S4.F3.16.m4.3.4.1"></eq><ci id="S4.F3.16.m4.3.4.2.cmml" xref="S4.F3.16.m4.3.4.2">𝑖</ci><list id="S4.F3.16.m4.3.4.3.1.cmml" xref="S4.F3.16.m4.3.4.3.2"><cn id="S4.F3.16.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.F3.16.m4.1.1">1</cn><ci id="S4.F3.16.m4.2.2.cmml" xref="S4.F3.16.m4.2.2">…</ci><cn id="S4.F3.16.m4.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.F3.16.m4.3.3">10</cn></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F3.16.m4.3d">i=1,\dots,10</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F3.16.m4.3e">italic_i = 1 , … , 10</annotation></semantics></math>. The point labeled <math alttext="HB" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F3.17.m5.1"><semantics id="S4.F3.17.m5.1b"><mrow id="S4.F3.17.m5.1.1" xref="S4.F3.17.m5.1.1.cmml"><mi id="S4.F3.17.m5.1.1.2" xref="S4.F3.17.m5.1.1.2.cmml">H</mi><mo id="S4.F3.17.m5.1.1.1" xref="S4.F3.17.m5.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.F3.17.m5.1.1.3" xref="S4.F3.17.m5.1.1.3.cmml">B</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F3.17.m5.1c"><apply id="S4.F3.17.m5.1.1.cmml" xref="S4.F3.17.m5.1.1"><times id="S4.F3.17.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.F3.17.m5.1.1.1"></times><ci id="S4.F3.17.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.F3.17.m5.1.1.2">𝐻</ci><ci id="S4.F3.17.m5.1.1.3.cmml" xref="S4.F3.17.m5.1.1.3">𝐵</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F3.17.m5.1d">HB</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F3.17.m5.1e">italic_H italic_B</annotation></semantics></math>, located between <math alttext="HB_{6}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F3.18.m6.1"><semantics id="S4.F3.18.m6.1b"><mrow id="S4.F3.18.m6.1.1" xref="S4.F3.18.m6.1.1.cmml"><mi id="S4.F3.18.m6.1.1.2" xref="S4.F3.18.m6.1.1.2.cmml">H</mi><mo id="S4.F3.18.m6.1.1.1" xref="S4.F3.18.m6.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.F3.18.m6.1.1.3" xref="S4.F3.18.m6.1.1.3.cmml"><mi id="S4.F3.18.m6.1.1.3.2" xref="S4.F3.18.m6.1.1.3.2.cmml">B</mi><mn id="S4.F3.18.m6.1.1.3.3" xref="S4.F3.18.m6.1.1.3.3.cmml">6</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F3.18.m6.1c"><apply id="S4.F3.18.m6.1.1.cmml" xref="S4.F3.18.m6.1.1"><times id="S4.F3.18.m6.1.1.1.cmml" xref="S4.F3.18.m6.1.1.1"></times><ci id="S4.F3.18.m6.1.1.2.cmml" xref="S4.F3.18.m6.1.1.2">𝐻</ci><apply id="S4.F3.18.m6.1.1.3.cmml" xref="S4.F3.18.m6.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F3.18.m6.1.1.3.1.cmml" xref="S4.F3.18.m6.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.F3.18.m6.1.1.3.2.cmml" xref="S4.F3.18.m6.1.1.3.2">𝐵</ci><cn id="S4.F3.18.m6.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.F3.18.m6.1.1.3.3">6</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F3.18.m6.1d">HB_{6}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F3.18.m6.1e">italic_H italic_B start_POSTSUBSCRIPT 6 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="HB_{7}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F3.19.m7.1"><semantics id="S4.F3.19.m7.1b"><mrow id="S4.F3.19.m7.1.1" xref="S4.F3.19.m7.1.1.cmml"><mi id="S4.F3.19.m7.1.1.2" xref="S4.F3.19.m7.1.1.2.cmml">H</mi><mo id="S4.F3.19.m7.1.1.1" xref="S4.F3.19.m7.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.F3.19.m7.1.1.3" xref="S4.F3.19.m7.1.1.3.cmml"><mi id="S4.F3.19.m7.1.1.3.2" xref="S4.F3.19.m7.1.1.3.2.cmml">B</mi><mn id="S4.F3.19.m7.1.1.3.3" xref="S4.F3.19.m7.1.1.3.3.cmml">7</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F3.19.m7.1c"><apply id="S4.F3.19.m7.1.1.cmml" xref="S4.F3.19.m7.1.1"><times id="S4.F3.19.m7.1.1.1.cmml" xref="S4.F3.19.m7.1.1.1"></times><ci id="S4.F3.19.m7.1.1.2.cmml" xref="S4.F3.19.m7.1.1.2">𝐻</ci><apply id="S4.F3.19.m7.1.1.3.cmml" xref="S4.F3.19.m7.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F3.19.m7.1.1.3.1.cmml" xref="S4.F3.19.m7.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.F3.19.m7.1.1.3.2.cmml" xref="S4.F3.19.m7.1.1.3.2">𝐵</ci><cn id="S4.F3.19.m7.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.F3.19.m7.1.1.3.3">7</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F3.19.m7.1d">HB_{7}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F3.19.m7.1e">italic_H italic_B start_POSTSUBSCRIPT 7 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, corresponds to the first <math alttext="HB" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F3.20.m8.1"><semantics id="S4.F3.20.m8.1b"><mrow id="S4.F3.20.m8.1.1" xref="S4.F3.20.m8.1.1.cmml"><mi id="S4.F3.20.m8.1.1.2" xref="S4.F3.20.m8.1.1.2.cmml">H</mi><mo id="S4.F3.20.m8.1.1.1" xref="S4.F3.20.m8.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.F3.20.m8.1.1.3" xref="S4.F3.20.m8.1.1.3.cmml">B</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F3.20.m8.1c"><apply id="S4.F3.20.m8.1.1.cmml" xref="S4.F3.20.m8.1.1"><times id="S4.F3.20.m8.1.1.1.cmml" xref="S4.F3.20.m8.1.1.1"></times><ci id="S4.F3.20.m8.1.1.2.cmml" xref="S4.F3.20.m8.1.1.2">𝐻</ci><ci id="S4.F3.20.m8.1.1.3.cmml" xref="S4.F3.20.m8.1.1.3">𝐵</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F3.20.m8.1d">HB</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F3.20.m8.1e">italic_H italic_B</annotation></semantics></math> point shown in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.F2" title="Figure 2 ‣ 3.2.2 A geometric transversality condition. ‣ 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>(b). Periodic orbit branches emanate from each <math alttext="HB_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F3.21.m9.1"><semantics id="S4.F3.21.m9.1b"><mrow id="S4.F3.21.m9.1.1" xref="S4.F3.21.m9.1.1.cmml"><mi id="S4.F3.21.m9.1.1.2" xref="S4.F3.21.m9.1.1.2.cmml">H</mi><mo id="S4.F3.21.m9.1.1.1" xref="S4.F3.21.m9.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.F3.21.m9.1.1.3" xref="S4.F3.21.m9.1.1.3.cmml"><mi id="S4.F3.21.m9.1.1.3.2" xref="S4.F3.21.m9.1.1.3.2.cmml">B</mi><mi id="S4.F3.21.m9.1.1.3.3" xref="S4.F3.21.m9.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F3.21.m9.1c"><apply id="S4.F3.21.m9.1.1.cmml" xref="S4.F3.21.m9.1.1"><times id="S4.F3.21.m9.1.1.1.cmml" xref="S4.F3.21.m9.1.1.1"></times><ci id="S4.F3.21.m9.1.1.2.cmml" xref="S4.F3.21.m9.1.1.2">𝐻</ci><apply id="S4.F3.21.m9.1.1.3.cmml" xref="S4.F3.21.m9.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F3.21.m9.1.1.3.1.cmml" xref="S4.F3.21.m9.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.F3.21.m9.1.1.3.2.cmml" xref="S4.F3.21.m9.1.1.3.2">𝐵</ci><ci id="S4.F3.21.m9.1.1.3.3.cmml" xref="S4.F3.21.m9.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F3.21.m9.1d">HB_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F3.21.m9.1e">italic_H italic_B start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="HB" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F3.22.m10.1"><semantics id="S4.F3.22.m10.1b"><mrow id="S4.F3.22.m10.1.1" xref="S4.F3.22.m10.1.1.cmml"><mi id="S4.F3.22.m10.1.1.2" xref="S4.F3.22.m10.1.1.2.cmml">H</mi><mo id="S4.F3.22.m10.1.1.1" xref="S4.F3.22.m10.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.F3.22.m10.1.1.3" xref="S4.F3.22.m10.1.1.3.cmml">B</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F3.22.m10.1c"><apply id="S4.F3.22.m10.1.1.cmml" xref="S4.F3.22.m10.1.1"><times id="S4.F3.22.m10.1.1.1.cmml" xref="S4.F3.22.m10.1.1.1"></times><ci id="S4.F3.22.m10.1.1.2.cmml" xref="S4.F3.22.m10.1.1.2">𝐻</ci><ci id="S4.F3.22.m10.1.1.3.cmml" xref="S4.F3.22.m10.1.1.3">𝐵</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F3.22.m10.1d">HB</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F3.22.m10.1e">italic_H italic_B</annotation></semantics></math> point. Stable branches consisted of either periodic or steady-state orbits are indicated in blue, while unstable branches are shown in red. Asterisks mark torus (<math alttext="TR" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F3.23.m11.1"><semantics id="S4.F3.23.m11.1b"><mrow id="S4.F3.23.m11.1.1" xref="S4.F3.23.m11.1.1.cmml"><mi id="S4.F3.23.m11.1.1.2" xref="S4.F3.23.m11.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S4.F3.23.m11.1.1.1" xref="S4.F3.23.m11.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.F3.23.m11.1.1.3" xref="S4.F3.23.m11.1.1.3.cmml">R</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F3.23.m11.1c"><apply id="S4.F3.23.m11.1.1.cmml" xref="S4.F3.23.m11.1.1"><times id="S4.F3.23.m11.1.1.1.cmml" xref="S4.F3.23.m11.1.1.1"></times><ci id="S4.F3.23.m11.1.1.2.cmml" xref="S4.F3.23.m11.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S4.F3.23.m11.1.1.3.cmml" xref="S4.F3.23.m11.1.1.3">𝑅</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F3.23.m11.1d">TR</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F3.23.m11.1e">italic_T italic_R</annotation></semantics></math>) and fold (<math alttext="LP" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F3.24.m12.1"><semantics id="S4.F3.24.m12.1b"><mrow id="S4.F3.24.m12.1.1" xref="S4.F3.24.m12.1.1.cmml"><mi id="S4.F3.24.m12.1.1.2" xref="S4.F3.24.m12.1.1.2.cmml">L</mi><mo id="S4.F3.24.m12.1.1.1" xref="S4.F3.24.m12.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.F3.24.m12.1.1.3" xref="S4.F3.24.m12.1.1.3.cmml">P</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F3.24.m12.1c"><apply id="S4.F3.24.m12.1.1.cmml" xref="S4.F3.24.m12.1.1"><times id="S4.F3.24.m12.1.1.1.cmml" xref="S4.F3.24.m12.1.1.1"></times><ci id="S4.F3.24.m12.1.1.2.cmml" xref="S4.F3.24.m12.1.1.2">𝐿</ci><ci id="S4.F3.24.m12.1.1.3.cmml" xref="S4.F3.24.m12.1.1.3">𝑃</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F3.24.m12.1d">LP</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F3.24.m12.1e">italic_L italic_P</annotation></semantics></math>) bifurcation points detected along periodic orbit branches.</figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S4.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.p2.13">Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S4.F3" title="Figure 3 ‣ 4 Numerical bifurcation analysis of time delay QS system. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a> presents the Hopf bifurcations observed for a fixed delay <math alttext="\tau_{1}=52" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p2.1.m1.1"><semantics id="S4.p2.1.m1.1a"><mrow id="S4.p2.1.m1.1.1" xref="S4.p2.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S4.p2.1.m1.1.1.2" xref="S4.p2.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.p2.1.m1.1.1.2.2" xref="S4.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S4.p2.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.p2.1.m1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.p2.1.m1.1.1.1" xref="S4.p2.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.p2.1.m1.1.1.3" xref="S4.p2.1.m1.1.1.3.cmml">52</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p2.1.m1.1b"><apply id="S4.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p2.1.m1.1.1"><eq id="S4.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.p2.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="S4.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.p2.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.p2.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.p2.1.m1.1.1.2.2">𝜏</ci><cn id="S4.p2.1.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.p2.1.m1.1.1.2.3">1</cn></apply><cn id="S4.p2.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p2.1.m1.1.1.3">52</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p2.1.m1.1c">\tau_{1}=52</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p2.1.m1.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = 52</annotation></semantics></math>. A primary Hopf bifurcation, denoted <math alttext="HB_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p2.2.m2.1"><semantics id="S4.p2.2.m2.1a"><mrow id="S4.p2.2.m2.1.1" xref="S4.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.p2.2.m2.1.1.2" xref="S4.p2.2.m2.1.1.2.cmml">H</mi><mo id="S4.p2.2.m2.1.1.1" xref="S4.p2.2.m2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.p2.2.m2.1.1.3" xref="S4.p2.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.p2.2.m2.1.1.3.2" xref="S4.p2.2.m2.1.1.3.2.cmml">B</mi><mn id="S4.p2.2.m2.1.1.3.3" xref="S4.p2.2.m2.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p2.2.m2.1b"><apply id="S4.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p2.2.m2.1.1"><times id="S4.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.p2.2.m2.1.1.1"></times><ci id="S4.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.p2.2.m2.1.1.2">𝐻</ci><apply id="S4.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.p2.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p2.2.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p2.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.p2.2.m2.1.1.3.2">𝐵</ci><cn id="S4.p2.2.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p2.2.m2.1.1.3.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p2.2.m2.1c">HB_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p2.2.m2.1d">italic_H italic_B start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, occurs at <math alttext="\tau_{2}=10.4208" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p2.3.m3.1"><semantics id="S4.p2.3.m3.1a"><mrow id="S4.p2.3.m3.1.1" xref="S4.p2.3.m3.1.1.cmml"><msub id="S4.p2.3.m3.1.1.2" xref="S4.p2.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S4.p2.3.m3.1.1.2.2" xref="S4.p2.3.m3.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S4.p2.3.m3.1.1.2.3" xref="S4.p2.3.m3.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.p2.3.m3.1.1.1" xref="S4.p2.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.p2.3.m3.1.1.3" xref="S4.p2.3.m3.1.1.3.cmml">10.4208</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p2.3.m3.1b"><apply id="S4.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.p2.3.m3.1.1"><eq id="S4.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.p2.3.m3.1.1.1"></eq><apply id="S4.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.p2.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p2.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.p2.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p2.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.p2.3.m3.1.1.2.2">𝜏</ci><cn id="S4.p2.3.m3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.p2.3.m3.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="S4.p2.3.m3.1.1.3.cmml" type="float" xref="S4.p2.3.m3.1.1.3">10.4208</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p2.3.m3.1c">\tau_{2}=10.4208</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p2.3.m3.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = 10.4208</annotation></semantics></math> within the high-frequency interval <math alttext="\omega\in\Omega_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p2.4.m4.1"><semantics id="S4.p2.4.m4.1a"><mrow id="S4.p2.4.m4.1.1" xref="S4.p2.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.p2.4.m4.1.1.2" xref="S4.p2.4.m4.1.1.2.cmml">ω</mi><mo id="S4.p2.4.m4.1.1.1" xref="S4.p2.4.m4.1.1.1.cmml">∈</mo><msub id="S4.p2.4.m4.1.1.3" xref="S4.p2.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S4.p2.4.m4.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.p2.4.m4.1.1.3.2.cmml">Ω</mi><mn id="S4.p2.4.m4.1.1.3.3" xref="S4.p2.4.m4.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p2.4.m4.1b"><apply id="S4.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.p2.4.m4.1.1"><in id="S4.p2.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.p2.4.m4.1.1.1"></in><ci id="S4.p2.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.p2.4.m4.1.1.2">𝜔</ci><apply id="S4.p2.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.p2.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p2.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p2.4.m4.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p2.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S4.p2.4.m4.1.1.3.2">Ω</ci><cn id="S4.p2.4.m4.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p2.4.m4.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p2.4.m4.1c">\omega\in\Omega_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p2.4.m4.1d">italic_ω ∈ roman_Ω start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. This primary bifurcation is followed by a sequence of secondary Hopf bifurcations, labeled <math alttext="HB_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p2.5.m5.1"><semantics id="S4.p2.5.m5.1a"><mrow id="S4.p2.5.m5.1.1" xref="S4.p2.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S4.p2.5.m5.1.1.2" xref="S4.p2.5.m5.1.1.2.cmml">H</mi><mo id="S4.p2.5.m5.1.1.1" xref="S4.p2.5.m5.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.p2.5.m5.1.1.3" xref="S4.p2.5.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S4.p2.5.m5.1.1.3.2" xref="S4.p2.5.m5.1.1.3.2.cmml">B</mi><mi id="S4.p2.5.m5.1.1.3.3" xref="S4.p2.5.m5.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p2.5.m5.1b"><apply id="S4.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.p2.5.m5.1.1"><times id="S4.p2.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.p2.5.m5.1.1.1"></times><ci id="S4.p2.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.p2.5.m5.1.1.2">𝐻</ci><apply id="S4.p2.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S4.p2.5.m5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p2.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p2.5.m5.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p2.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S4.p2.5.m5.1.1.3.2">𝐵</ci><ci id="S4.p2.5.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S4.p2.5.m5.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p2.5.m5.1c">HB_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p2.5.m5.1d">italic_H italic_B start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="i=1,\dots,10" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p2.6.m6.3"><semantics id="S4.p2.6.m6.3a"><mrow id="S4.p2.6.m6.3.4" xref="S4.p2.6.m6.3.4.cmml"><mi id="S4.p2.6.m6.3.4.2" xref="S4.p2.6.m6.3.4.2.cmml">i</mi><mo id="S4.p2.6.m6.3.4.1" xref="S4.p2.6.m6.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.p2.6.m6.3.4.3.2" xref="S4.p2.6.m6.3.4.3.1.cmml"><mn id="S4.p2.6.m6.1.1" xref="S4.p2.6.m6.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.p2.6.m6.3.4.3.2.1" xref="S4.p2.6.m6.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.p2.6.m6.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.p2.6.m6.2.2.cmml">…</mi><mo id="S4.p2.6.m6.3.4.3.2.2" xref="S4.p2.6.m6.3.4.3.1.cmml">,</mo><mn id="S4.p2.6.m6.3.3" xref="S4.p2.6.m6.3.3.cmml">10</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p2.6.m6.3b"><apply id="S4.p2.6.m6.3.4.cmml" xref="S4.p2.6.m6.3.4"><eq id="S4.p2.6.m6.3.4.1.cmml" xref="S4.p2.6.m6.3.4.1"></eq><ci id="S4.p2.6.m6.3.4.2.cmml" xref="S4.p2.6.m6.3.4.2">𝑖</ci><list id="S4.p2.6.m6.3.4.3.1.cmml" xref="S4.p2.6.m6.3.4.3.2"><cn id="S4.p2.6.m6.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.p2.6.m6.1.1">1</cn><ci id="S4.p2.6.m6.2.2.cmml" xref="S4.p2.6.m6.2.2">…</ci><cn id="S4.p2.6.m6.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p2.6.m6.3.3">10</cn></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p2.6.m6.3c">i=1,\dots,10</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p2.6.m6.3d">italic_i = 1 , … , 10</annotation></semantics></math>. An additional Hopf bifurcation, <math alttext="HB" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p2.7.m7.1"><semantics id="S4.p2.7.m7.1a"><mrow id="S4.p2.7.m7.1.1" xref="S4.p2.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S4.p2.7.m7.1.1.2" xref="S4.p2.7.m7.1.1.2.cmml">H</mi><mo id="S4.p2.7.m7.1.1.1" xref="S4.p2.7.m7.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p2.7.m7.1.1.3" xref="S4.p2.7.m7.1.1.3.cmml">B</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p2.7.m7.1b"><apply id="S4.p2.7.m7.1.1.cmml" xref="S4.p2.7.m7.1.1"><times id="S4.p2.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S4.p2.7.m7.1.1.1"></times><ci id="S4.p2.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S4.p2.7.m7.1.1.2">𝐻</ci><ci id="S4.p2.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S4.p2.7.m7.1.1.3">𝐵</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p2.7.m7.1c">HB</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p2.7.m7.1d">italic_H italic_B</annotation></semantics></math>, is observed at <math alttext="\tau_{2}=118.0674" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p2.8.m8.1"><semantics id="S4.p2.8.m8.1a"><mrow id="S4.p2.8.m8.1.1" xref="S4.p2.8.m8.1.1.cmml"><msub id="S4.p2.8.m8.1.1.2" xref="S4.p2.8.m8.1.1.2.cmml"><mi id="S4.p2.8.m8.1.1.2.2" xref="S4.p2.8.m8.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S4.p2.8.m8.1.1.2.3" xref="S4.p2.8.m8.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.p2.8.m8.1.1.1" xref="S4.p2.8.m8.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.p2.8.m8.1.1.3" xref="S4.p2.8.m8.1.1.3.cmml">118.0674</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p2.8.m8.1b"><apply id="S4.p2.8.m8.1.1.cmml" xref="S4.p2.8.m8.1.1"><eq id="S4.p2.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S4.p2.8.m8.1.1.1"></eq><apply id="S4.p2.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S4.p2.8.m8.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p2.8.m8.1.1.2.1.cmml" xref="S4.p2.8.m8.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p2.8.m8.1.1.2.2.cmml" xref="S4.p2.8.m8.1.1.2.2">𝜏</ci><cn id="S4.p2.8.m8.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.p2.8.m8.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="S4.p2.8.m8.1.1.3.cmml" type="float" xref="S4.p2.8.m8.1.1.3">118.0674</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p2.8.m8.1c">\tau_{2}=118.0674</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p2.8.m8.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = 118.0674</annotation></semantics></math> for some <math alttext="\omega\in\Omega_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p2.9.m9.1"><semantics id="S4.p2.9.m9.1a"><mrow id="S4.p2.9.m9.1.1" xref="S4.p2.9.m9.1.1.cmml"><mi id="S4.p2.9.m9.1.1.2" xref="S4.p2.9.m9.1.1.2.cmml">ω</mi><mo id="S4.p2.9.m9.1.1.1" xref="S4.p2.9.m9.1.1.1.cmml">∈</mo><msub id="S4.p2.9.m9.1.1.3" xref="S4.p2.9.m9.1.1.3.cmml"><mi id="S4.p2.9.m9.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.p2.9.m9.1.1.3.2.cmml">Ω</mi><mn id="S4.p2.9.m9.1.1.3.3" xref="S4.p2.9.m9.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p2.9.m9.1b"><apply id="S4.p2.9.m9.1.1.cmml" xref="S4.p2.9.m9.1.1"><in id="S4.p2.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S4.p2.9.m9.1.1.1"></in><ci id="S4.p2.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S4.p2.9.m9.1.1.2">𝜔</ci><apply id="S4.p2.9.m9.1.1.3.cmml" xref="S4.p2.9.m9.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p2.9.m9.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p2.9.m9.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p2.9.m9.1.1.3.2.cmml" xref="S4.p2.9.m9.1.1.3.2">Ω</ci><cn id="S4.p2.9.m9.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p2.9.m9.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p2.9.m9.1c">\omega\in\Omega_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p2.9.m9.1d">italic_ω ∈ roman_Ω start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, as depicted in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.F2" title="Figure 2 ‣ 3.2.2 A geometric transversality condition. ‣ 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>(b). The remaining secondary <math alttext="HB_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p2.10.m10.1"><semantics id="S4.p2.10.m10.1a"><mrow id="S4.p2.10.m10.1.1" xref="S4.p2.10.m10.1.1.cmml"><mi id="S4.p2.10.m10.1.1.2" xref="S4.p2.10.m10.1.1.2.cmml">H</mi><mo id="S4.p2.10.m10.1.1.1" xref="S4.p2.10.m10.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.p2.10.m10.1.1.3" xref="S4.p2.10.m10.1.1.3.cmml"><mi id="S4.p2.10.m10.1.1.3.2" xref="S4.p2.10.m10.1.1.3.2.cmml">B</mi><mi id="S4.p2.10.m10.1.1.3.3" xref="S4.p2.10.m10.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p2.10.m10.1b"><apply id="S4.p2.10.m10.1.1.cmml" xref="S4.p2.10.m10.1.1"><times id="S4.p2.10.m10.1.1.1.cmml" xref="S4.p2.10.m10.1.1.1"></times><ci id="S4.p2.10.m10.1.1.2.cmml" xref="S4.p2.10.m10.1.1.2">𝐻</ci><apply id="S4.p2.10.m10.1.1.3.cmml" xref="S4.p2.10.m10.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p2.10.m10.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p2.10.m10.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p2.10.m10.1.1.3.2.cmml" xref="S4.p2.10.m10.1.1.3.2">𝐵</ci><ci id="S4.p2.10.m10.1.1.3.3.cmml" xref="S4.p2.10.m10.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p2.10.m10.1c">HB_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p2.10.m10.1d">italic_H italic_B start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> bifurcations also occur within the low- and high-frequency intervals <math alttext="\Omega_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p2.11.m11.1"><semantics id="S4.p2.11.m11.1a"><msub id="S4.p2.11.m11.1.1" xref="S4.p2.11.m11.1.1.cmml"><mi id="S4.p2.11.m11.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.p2.11.m11.1.1.2.cmml">Ω</mi><mn id="S4.p2.11.m11.1.1.3" xref="S4.p2.11.m11.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p2.11.m11.1b"><apply id="S4.p2.11.m11.1.1.cmml" xref="S4.p2.11.m11.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p2.11.m11.1.1.1.cmml" xref="S4.p2.11.m11.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p2.11.m11.1.1.2.cmml" xref="S4.p2.11.m11.1.1.2">Ω</ci><cn id="S4.p2.11.m11.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p2.11.m11.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p2.11.m11.1c">\Omega_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p2.11.m11.1d">roman_Ω start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\Omega_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p2.12.m12.1"><semantics id="S4.p2.12.m12.1a"><msub id="S4.p2.12.m12.1.1" xref="S4.p2.12.m12.1.1.cmml"><mi id="S4.p2.12.m12.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.p2.12.m12.1.1.2.cmml">Ω</mi><mn id="S4.p2.12.m12.1.1.3" xref="S4.p2.12.m12.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p2.12.m12.1b"><apply id="S4.p2.12.m12.1.1.cmml" xref="S4.p2.12.m12.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p2.12.m12.1.1.1.cmml" xref="S4.p2.12.m12.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p2.12.m12.1.1.2.cmml" xref="S4.p2.12.m12.1.1.2">Ω</ci><cn id="S4.p2.12.m12.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p2.12.m12.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p2.12.m12.1c">\Omega_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p2.12.m12.1d">roman_Ω start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, as can be seen in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.F2" title="Figure 2 ‣ 3.2.2 A geometric transversality condition. ‣ 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>(b) and 2(c). We pay special attention to the high-frequency interval <math alttext="\Omega_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p2.13.m13.1"><semantics id="S4.p2.13.m13.1a"><msub id="S4.p2.13.m13.1.1" xref="S4.p2.13.m13.1.1.cmml"><mi id="S4.p2.13.m13.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.p2.13.m13.1.1.2.cmml">Ω</mi><mn id="S4.p2.13.m13.1.1.3" xref="S4.p2.13.m13.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p2.13.m13.1b"><apply id="S4.p2.13.m13.1.1.cmml" xref="S4.p2.13.m13.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p2.13.m13.1.1.1.cmml" xref="S4.p2.13.m13.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p2.13.m13.1.1.2.cmml" xref="S4.p2.13.m13.1.1.2">Ω</ci><cn id="S4.p2.13.m13.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p2.13.m13.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p2.13.m13.1c">\Omega_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p2.13.m13.1d">roman_Ω start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. The bifurcation diagram in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S4.F3" title="Figure 3 ‣ 4 Numerical bifurcation analysis of time delay QS system. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a> validates the computations presented in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.F2" title="Figure 2 ‣ 3.2.2 A geometric transversality condition. ‣ 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>. Specifically, the criticality of the bifurcations in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S4.F3" title="Figure 3 ‣ 4 Numerical bifurcation analysis of time delay QS system. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a> is consistent with the predictions derived from (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.E13" title="Equation 13 ‣ 3.2.2 A geometric transversality condition. ‣ 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">13</span></a>), as indicated by the asterisks in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.F2" title="Figure 2 ‣ 3.2.2 A geometric transversality condition. ‣ 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>(c).</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p3"> <p class="ltx_p" id="S4.p3.10">Following the identification of the <math alttext="\tau_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p3.1.m1.1"><semantics id="S4.p3.1.m1.1a"><msub id="S4.p3.1.m1.1.1" xref="S4.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.p3.1.m1.1.1.2" xref="S4.p3.1.m1.1.1.2.cmml">τ</mi><mn id="S4.p3.1.m1.1.1.3" xref="S4.p3.1.m1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p3.1.m1.1b"><apply id="S4.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p3.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.p3.1.m1.1.1.2">𝜏</ci><cn id="S4.p3.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p3.1.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p3.1.m1.1c">\tau_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p3.1.m1.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> range associated with Hopf bifurcations, numerical continuation of equilibrium and periodic branches was performed using DDE-BIFTOOL <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#bib.bib8" title="">8</a>]</cite>. Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S4.F3" title="Figure 3 ‣ 4 Numerical bifurcation analysis of time delay QS system. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a> displays these branches, including their stability properties (stable branches in blue, unstable branches in red), in a neighbourhood of the equilibrium point <math alttext="E_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p3.2.m2.1"><semantics id="S4.p3.2.m2.1a"><msub id="S4.p3.2.m2.1.1" xref="S4.p3.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.p3.2.m2.1.1.2" xref="S4.p3.2.m2.1.1.2.cmml">E</mi><mn id="S4.p3.2.m2.1.1.3" xref="S4.p3.2.m2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p3.2.m2.1b"><apply id="S4.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p3.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.p3.2.m2.1.1.2">𝐸</ci><cn id="S4.p3.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p3.2.m2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p3.2.m2.1c">E_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p3.2.m2.1d">italic_E start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, parameterised by <math alttext="\tau_{2}\in[2,200]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p3.3.m3.2"><semantics id="S4.p3.3.m3.2a"><mrow id="S4.p3.3.m3.2.3" xref="S4.p3.3.m3.2.3.cmml"><msub id="S4.p3.3.m3.2.3.2" xref="S4.p3.3.m3.2.3.2.cmml"><mi id="S4.p3.3.m3.2.3.2.2" xref="S4.p3.3.m3.2.3.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S4.p3.3.m3.2.3.2.3" xref="S4.p3.3.m3.2.3.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.p3.3.m3.2.3.1" xref="S4.p3.3.m3.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S4.p3.3.m3.2.3.3.2" xref="S4.p3.3.m3.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.p3.3.m3.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p3.3.m3.2.3.3.1.cmml">[</mo><mn id="S4.p3.3.m3.1.1" xref="S4.p3.3.m3.1.1.cmml">2</mn><mo id="S4.p3.3.m3.2.3.3.2.2" xref="S4.p3.3.m3.2.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="S4.p3.3.m3.2.2" xref="S4.p3.3.m3.2.2.cmml">200</mn><mo id="S4.p3.3.m3.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.p3.3.m3.2.3.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p3.3.m3.2b"><apply id="S4.p3.3.m3.2.3.cmml" xref="S4.p3.3.m3.2.3"><in id="S4.p3.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S4.p3.3.m3.2.3.1"></in><apply id="S4.p3.3.m3.2.3.2.cmml" xref="S4.p3.3.m3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.3.m3.2.3.2.1.cmml" xref="S4.p3.3.m3.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p3.3.m3.2.3.2.2.cmml" xref="S4.p3.3.m3.2.3.2.2">𝜏</ci><cn id="S4.p3.3.m3.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.p3.3.m3.2.3.2.3">2</cn></apply><interval closure="closed" id="S4.p3.3.m3.2.3.3.1.cmml" xref="S4.p3.3.m3.2.3.3.2"><cn id="S4.p3.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.p3.3.m3.1.1">2</cn><cn id="S4.p3.3.m3.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.p3.3.m3.2.2">200</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p3.3.m3.2c">\tau_{2}\in[2,200]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p3.3.m3.2d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ∈ [ 2 , 200 ]</annotation></semantics></math> with <math alttext="\tau_{1}=52" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p3.4.m4.1"><semantics id="S4.p3.4.m4.1a"><mrow id="S4.p3.4.m4.1.1" xref="S4.p3.4.m4.1.1.cmml"><msub id="S4.p3.4.m4.1.1.2" xref="S4.p3.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S4.p3.4.m4.1.1.2.2" xref="S4.p3.4.m4.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S4.p3.4.m4.1.1.2.3" xref="S4.p3.4.m4.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.p3.4.m4.1.1.1" xref="S4.p3.4.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.p3.4.m4.1.1.3" xref="S4.p3.4.m4.1.1.3.cmml">52</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p3.4.m4.1b"><apply id="S4.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.p3.4.m4.1.1"><eq id="S4.p3.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.4.m4.1.1.1"></eq><apply id="S4.p3.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.p3.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S4.p3.4.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p3.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S4.p3.4.m4.1.1.2.2">𝜏</ci><cn id="S4.p3.4.m4.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.p3.4.m4.1.1.2.3">1</cn></apply><cn id="S4.p3.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p3.4.m4.1.1.3">52</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p3.4.m4.1c">\tau_{1}=52</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p3.4.m4.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = 52</annotation></semantics></math>. The Hopf bifurcations marked with asterisks in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.F2" title="Figure 2 ‣ 3.2.2 A geometric transversality condition. ‣ 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>(c) were successfully located using DDE-BIFTOOL and correspond to the <math alttext="HB_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p3.5.m5.1"><semantics id="S4.p3.5.m5.1a"><mrow id="S4.p3.5.m5.1.1" xref="S4.p3.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S4.p3.5.m5.1.1.2" xref="S4.p3.5.m5.1.1.2.cmml">H</mi><mo id="S4.p3.5.m5.1.1.1" xref="S4.p3.5.m5.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.p3.5.m5.1.1.3" xref="S4.p3.5.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S4.p3.5.m5.1.1.3.2" xref="S4.p3.5.m5.1.1.3.2.cmml">B</mi><mi id="S4.p3.5.m5.1.1.3.3" xref="S4.p3.5.m5.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p3.5.m5.1b"><apply id="S4.p3.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.p3.5.m5.1.1"><times id="S4.p3.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.5.m5.1.1.1"></times><ci id="S4.p3.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.p3.5.m5.1.1.2">𝐻</ci><apply id="S4.p3.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S4.p3.5.m5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p3.5.m5.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p3.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S4.p3.5.m5.1.1.3.2">𝐵</ci><ci id="S4.p3.5.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S4.p3.5.m5.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p3.5.m5.1c">HB_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p3.5.m5.1d">italic_H italic_B start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> points in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S4.F3" title="Figure 3 ‣ 4 Numerical bifurcation analysis of time delay QS system. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>. Note that <math alttext="HB_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p3.6.m6.1"><semantics id="S4.p3.6.m6.1a"><mrow id="S4.p3.6.m6.1.1" xref="S4.p3.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S4.p3.6.m6.1.1.2" xref="S4.p3.6.m6.1.1.2.cmml">H</mi><mo id="S4.p3.6.m6.1.1.1" xref="S4.p3.6.m6.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.p3.6.m6.1.1.3" xref="S4.p3.6.m6.1.1.3.cmml"><mi id="S4.p3.6.m6.1.1.3.2" xref="S4.p3.6.m6.1.1.3.2.cmml">B</mi><mn id="S4.p3.6.m6.1.1.3.3" xref="S4.p3.6.m6.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p3.6.m6.1b"><apply id="S4.p3.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.p3.6.m6.1.1"><times id="S4.p3.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.6.m6.1.1.1"></times><ci id="S4.p3.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S4.p3.6.m6.1.1.2">𝐻</ci><apply id="S4.p3.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S4.p3.6.m6.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.6.m6.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p3.6.m6.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p3.6.m6.1.1.3.2.cmml" xref="S4.p3.6.m6.1.1.3.2">𝐵</ci><cn id="S4.p3.6.m6.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p3.6.m6.1.1.3.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p3.6.m6.1c">HB_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p3.6.m6.1d">italic_H italic_B start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is not shown in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.F2" title="Figure 2 ‣ 3.2.2 A geometric transversality condition. ‣ 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>(c) due to the figure’s scale. The <math alttext="HB" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p3.7.m7.1"><semantics id="S4.p3.7.m7.1a"><mrow id="S4.p3.7.m7.1.1" xref="S4.p3.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S4.p3.7.m7.1.1.2" xref="S4.p3.7.m7.1.1.2.cmml">H</mi><mo id="S4.p3.7.m7.1.1.1" xref="S4.p3.7.m7.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p3.7.m7.1.1.3" xref="S4.p3.7.m7.1.1.3.cmml">B</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p3.7.m7.1b"><apply id="S4.p3.7.m7.1.1.cmml" xref="S4.p3.7.m7.1.1"><times id="S4.p3.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.7.m7.1.1.1"></times><ci id="S4.p3.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S4.p3.7.m7.1.1.2">𝐻</ci><ci id="S4.p3.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S4.p3.7.m7.1.1.3">𝐵</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p3.7.m7.1c">HB</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p3.7.m7.1d">italic_H italic_B</annotation></semantics></math> point in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S4.F3" title="Figure 3 ‣ 4 Numerical bifurcation analysis of time delay QS system. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a> (between <math alttext="HB_{6}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p3.8.m8.1"><semantics id="S4.p3.8.m8.1a"><mrow id="S4.p3.8.m8.1.1" xref="S4.p3.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S4.p3.8.m8.1.1.2" xref="S4.p3.8.m8.1.1.2.cmml">H</mi><mo id="S4.p3.8.m8.1.1.1" xref="S4.p3.8.m8.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.p3.8.m8.1.1.3" xref="S4.p3.8.m8.1.1.3.cmml"><mi id="S4.p3.8.m8.1.1.3.2" xref="S4.p3.8.m8.1.1.3.2.cmml">B</mi><mn id="S4.p3.8.m8.1.1.3.3" xref="S4.p3.8.m8.1.1.3.3.cmml">6</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p3.8.m8.1b"><apply id="S4.p3.8.m8.1.1.cmml" xref="S4.p3.8.m8.1.1"><times id="S4.p3.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.8.m8.1.1.1"></times><ci id="S4.p3.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S4.p3.8.m8.1.1.2">𝐻</ci><apply id="S4.p3.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S4.p3.8.m8.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.8.m8.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p3.8.m8.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p3.8.m8.1.1.3.2.cmml" xref="S4.p3.8.m8.1.1.3.2">𝐵</ci><cn id="S4.p3.8.m8.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p3.8.m8.1.1.3.3">6</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p3.8.m8.1c">HB_{6}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p3.8.m8.1d">italic_H italic_B start_POSTSUBSCRIPT 6 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="HB_{7}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p3.9.m9.1"><semantics id="S4.p3.9.m9.1a"><mrow id="S4.p3.9.m9.1.1" xref="S4.p3.9.m9.1.1.cmml"><mi id="S4.p3.9.m9.1.1.2" xref="S4.p3.9.m9.1.1.2.cmml">H</mi><mo id="S4.p3.9.m9.1.1.1" xref="S4.p3.9.m9.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.p3.9.m9.1.1.3" xref="S4.p3.9.m9.1.1.3.cmml"><mi id="S4.p3.9.m9.1.1.3.2" xref="S4.p3.9.m9.1.1.3.2.cmml">B</mi><mn id="S4.p3.9.m9.1.1.3.3" xref="S4.p3.9.m9.1.1.3.3.cmml">7</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p3.9.m9.1b"><apply id="S4.p3.9.m9.1.1.cmml" xref="S4.p3.9.m9.1.1"><times id="S4.p3.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.9.m9.1.1.1"></times><ci id="S4.p3.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S4.p3.9.m9.1.1.2">𝐻</ci><apply id="S4.p3.9.m9.1.1.3.cmml" xref="S4.p3.9.m9.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.9.m9.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p3.9.m9.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p3.9.m9.1.1.3.2.cmml" xref="S4.p3.9.m9.1.1.3.2">𝐵</ci><cn id="S4.p3.9.m9.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p3.9.m9.1.1.3.3">7</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p3.9.m9.1c">HB_{7}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p3.9.m9.1d">italic_H italic_B start_POSTSUBSCRIPT 7 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>) corresponds to the first <math alttext="HB\approx 117.3664" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p3.10.m10.1"><semantics id="S4.p3.10.m10.1a"><mrow id="S4.p3.10.m10.1.1" xref="S4.p3.10.m10.1.1.cmml"><mrow id="S4.p3.10.m10.1.1.2" xref="S4.p3.10.m10.1.1.2.cmml"><mi id="S4.p3.10.m10.1.1.2.2" xref="S4.p3.10.m10.1.1.2.2.cmml">H</mi><mo id="S4.p3.10.m10.1.1.2.1" xref="S4.p3.10.m10.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p3.10.m10.1.1.2.3" xref="S4.p3.10.m10.1.1.2.3.cmml">B</mi></mrow><mo id="S4.p3.10.m10.1.1.1" xref="S4.p3.10.m10.1.1.1.cmml">≈</mo><mn id="S4.p3.10.m10.1.1.3" xref="S4.p3.10.m10.1.1.3.cmml">117.3664</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p3.10.m10.1b"><apply id="S4.p3.10.m10.1.1.cmml" xref="S4.p3.10.m10.1.1"><approx id="S4.p3.10.m10.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.10.m10.1.1.1"></approx><apply id="S4.p3.10.m10.1.1.2.cmml" xref="S4.p3.10.m10.1.1.2"><times id="S4.p3.10.m10.1.1.2.1.cmml" xref="S4.p3.10.m10.1.1.2.1"></times><ci id="S4.p3.10.m10.1.1.2.2.cmml" xref="S4.p3.10.m10.1.1.2.2">𝐻</ci><ci id="S4.p3.10.m10.1.1.2.3.cmml" xref="S4.p3.10.m10.1.1.2.3">𝐵</ci></apply><cn id="S4.p3.10.m10.1.1.3.cmml" type="float" xref="S4.p3.10.m10.1.1.3">117.3664</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p3.10.m10.1c">HB\approx 117.3664</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p3.10.m10.1d">italic_H italic_B ≈ 117.3664</annotation></semantics></math> in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.F2" title="Figure 2 ‣ 3.2.2 A geometric transversality condition. ‣ 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>(b). Slight numerical discrepancies were observed between the Hopf bifurcation points identified in Figures <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.F2" title="Figure 2 ‣ 3.2.2 A geometric transversality condition. ‣ 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a> and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S4.F3" title="Figure 3 ‣ 4 Numerical bifurcation analysis of time delay QS system. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p4"> <p class="ltx_p" id="S4.p4.2">Furthermore, as illustrated in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S4.F3" title="Figure 3 ‣ 4 Numerical bifurcation analysis of time delay QS system. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>, the analysis of periodic solution bifurcations revealed several torus (<math alttext="TR" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p4.1.m1.1"><semantics id="S4.p4.1.m1.1a"><mrow id="S4.p4.1.m1.1.1" xref="S4.p4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.p4.1.m1.1.1.2" xref="S4.p4.1.m1.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S4.p4.1.m1.1.1.1" xref="S4.p4.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p4.1.m1.1.1.3" xref="S4.p4.1.m1.1.1.3.cmml">R</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p4.1.m1.1b"><apply id="S4.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.1"><times id="S4.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.1.1"></times><ci id="S4.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S4.p4.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.1.3">𝑅</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p4.1.m1.1c">TR</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p4.1.m1.1d">italic_T italic_R</annotation></semantics></math>) and fold (<math alttext="LP" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p4.2.m2.1"><semantics id="S4.p4.2.m2.1a"><mrow id="S4.p4.2.m2.1.1" xref="S4.p4.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.p4.2.m2.1.1.2" xref="S4.p4.2.m2.1.1.2.cmml">L</mi><mo id="S4.p4.2.m2.1.1.1" xref="S4.p4.2.m2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p4.2.m2.1.1.3" xref="S4.p4.2.m2.1.1.3.cmml">P</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p4.2.m2.1b"><apply id="S4.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p4.2.m2.1.1"><times id="S4.p4.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.p4.2.m2.1.1.1"></times><ci id="S4.p4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.p4.2.m2.1.1.2">𝐿</ci><ci id="S4.p4.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.p4.2.m2.1.1.3">𝑃</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p4.2.m2.1c">LP</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p4.2.m2.1d">italic_L italic_P</annotation></semantics></math>) bifurcations. However, neither period-doubling bifurcations, characteristic of the Ruelle–Takens–Newhouse route to chaos <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#bib.bib30" title="">30</a>]</cite>, nor homoclinic bifurcations, indicative of the Shilnikov homoclinic chaos mechanism (see, e.g., <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#bib.bib34" title="">34</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#bib.bib13" title="">13</a>]</cite>), were detected within the explored parameter regime. This absence suggests that, if a chaotic regime exists, it likely arises through a different bifurcation scenario.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S4.F4"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="540" id="S4.F4.g1" src="extracted/6294707/FigHopfNTime.png" width="675"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 4: </span>Top Panel: two-parameter continuation of Hopf bifurcation branches in the (<math alttext="b" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F4.12.m1.1"><semantics id="S4.F4.12.m1.1b"><mi id="S4.F4.12.m1.1.1" xref="S4.F4.12.m1.1.1.cmml">b</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F4.12.m1.1c"><ci id="S4.F4.12.m1.1.1.cmml" xref="S4.F4.12.m1.1.1">𝑏</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F4.12.m1.1d">b</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F4.12.m1.1e">italic_b</annotation></semantics></math>, <math alttext="\tau_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F4.13.m2.1"><semantics id="S4.F4.13.m2.1b"><msub id="S4.F4.13.m2.1.1" xref="S4.F4.13.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.F4.13.m2.1.1.2" xref="S4.F4.13.m2.1.1.2.cmml">τ</mi><mn id="S4.F4.13.m2.1.1.3" xref="S4.F4.13.m2.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F4.13.m2.1c"><apply id="S4.F4.13.m2.1.1.cmml" xref="S4.F4.13.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F4.13.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.F4.13.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.F4.13.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.F4.13.m2.1.1.2">𝜏</ci><cn id="S4.F4.13.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.F4.13.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F4.13.m2.1d">\tau_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F4.13.m2.1e">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>) parameter plane, with <math alttext="\tau_{2}\in[2,200]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F4.14.m3.2"><semantics id="S4.F4.14.m3.2b"><mrow id="S4.F4.14.m3.2.3" xref="S4.F4.14.m3.2.3.cmml"><msub id="S4.F4.14.m3.2.3.2" xref="S4.F4.14.m3.2.3.2.cmml"><mi id="S4.F4.14.m3.2.3.2.2" xref="S4.F4.14.m3.2.3.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S4.F4.14.m3.2.3.2.3" xref="S4.F4.14.m3.2.3.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.F4.14.m3.2.3.1" xref="S4.F4.14.m3.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S4.F4.14.m3.2.3.3.2" xref="S4.F4.14.m3.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.F4.14.m3.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.F4.14.m3.2.3.3.1.cmml">[</mo><mn id="S4.F4.14.m3.1.1" xref="S4.F4.14.m3.1.1.cmml">2</mn><mo id="S4.F4.14.m3.2.3.3.2.2" xref="S4.F4.14.m3.2.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="S4.F4.14.m3.2.2" xref="S4.F4.14.m3.2.2.cmml">200</mn><mo id="S4.F4.14.m3.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.F4.14.m3.2.3.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F4.14.m3.2c"><apply id="S4.F4.14.m3.2.3.cmml" xref="S4.F4.14.m3.2.3"><in id="S4.F4.14.m3.2.3.1.cmml" xref="S4.F4.14.m3.2.3.1"></in><apply id="S4.F4.14.m3.2.3.2.cmml" xref="S4.F4.14.m3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F4.14.m3.2.3.2.1.cmml" xref="S4.F4.14.m3.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.F4.14.m3.2.3.2.2.cmml" xref="S4.F4.14.m3.2.3.2.2">𝜏</ci><cn id="S4.F4.14.m3.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.F4.14.m3.2.3.2.3">2</cn></apply><interval closure="closed" id="S4.F4.14.m3.2.3.3.1.cmml" xref="S4.F4.14.m3.2.3.3.2"><cn id="S4.F4.14.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.F4.14.m3.1.1">2</cn><cn id="S4.F4.14.m3.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.F4.14.m3.2.2">200</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F4.14.m3.2d">\tau_{2}\in[2,200]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F4.14.m3.2e">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ∈ [ 2 , 200 ]</annotation></semantics></math>. Panels (1)-(4): temporal dynamics of the system variables for selected parameter values: (1) <math alttext="\tau_{2}=80" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F4.15.m4.1"><semantics id="S4.F4.15.m4.1b"><mrow id="S4.F4.15.m4.1.1" xref="S4.F4.15.m4.1.1.cmml"><msub id="S4.F4.15.m4.1.1.2" xref="S4.F4.15.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F4.15.m4.1.1.2.2" xref="S4.F4.15.m4.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S4.F4.15.m4.1.1.2.3" xref="S4.F4.15.m4.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.F4.15.m4.1.1.1" xref="S4.F4.15.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.F4.15.m4.1.1.3" xref="S4.F4.15.m4.1.1.3.cmml">80</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F4.15.m4.1c"><apply id="S4.F4.15.m4.1.1.cmml" xref="S4.F4.15.m4.1.1"><eq id="S4.F4.15.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.F4.15.m4.1.1.1"></eq><apply id="S4.F4.15.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.F4.15.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F4.15.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F4.15.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.F4.15.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F4.15.m4.1.1.2.2">𝜏</ci><cn id="S4.F4.15.m4.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.F4.15.m4.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="S4.F4.15.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.F4.15.m4.1.1.3">80</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F4.15.m4.1d">\tau_{2}=80</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F4.15.m4.1e">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = 80</annotation></semantics></math>, <math alttext="b=1.5" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F4.16.m5.1"><semantics id="S4.F4.16.m5.1b"><mrow id="S4.F4.16.m5.1.1" xref="S4.F4.16.m5.1.1.cmml"><mi id="S4.F4.16.m5.1.1.2" xref="S4.F4.16.m5.1.1.2.cmml">b</mi><mo id="S4.F4.16.m5.1.1.1" xref="S4.F4.16.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.F4.16.m5.1.1.3" xref="S4.F4.16.m5.1.1.3.cmml">1.5</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F4.16.m5.1c"><apply id="S4.F4.16.m5.1.1.cmml" xref="S4.F4.16.m5.1.1"><eq id="S4.F4.16.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.F4.16.m5.1.1.1"></eq><ci id="S4.F4.16.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.F4.16.m5.1.1.2">𝑏</ci><cn id="S4.F4.16.m5.1.1.3.cmml" type="float" xref="S4.F4.16.m5.1.1.3">1.5</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F4.16.m5.1d">b=1.5</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F4.16.m5.1e">italic_b = 1.5</annotation></semantics></math>; (2) <math alttext="\tau_{2}=105" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F4.17.m6.1"><semantics id="S4.F4.17.m6.1b"><mrow id="S4.F4.17.m6.1.1" xref="S4.F4.17.m6.1.1.cmml"><msub id="S4.F4.17.m6.1.1.2" xref="S4.F4.17.m6.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F4.17.m6.1.1.2.2" xref="S4.F4.17.m6.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S4.F4.17.m6.1.1.2.3" xref="S4.F4.17.m6.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.F4.17.m6.1.1.1" xref="S4.F4.17.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.F4.17.m6.1.1.3" xref="S4.F4.17.m6.1.1.3.cmml">105</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F4.17.m6.1c"><apply id="S4.F4.17.m6.1.1.cmml" xref="S4.F4.17.m6.1.1"><eq id="S4.F4.17.m6.1.1.1.cmml" xref="S4.F4.17.m6.1.1.1"></eq><apply id="S4.F4.17.m6.1.1.2.cmml" xref="S4.F4.17.m6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F4.17.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F4.17.m6.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.F4.17.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F4.17.m6.1.1.2.2">𝜏</ci><cn id="S4.F4.17.m6.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.F4.17.m6.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="S4.F4.17.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.F4.17.m6.1.1.3">105</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F4.17.m6.1d">\tau_{2}=105</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F4.17.m6.1e">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = 105</annotation></semantics></math>, <math alttext="b=1.36" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F4.18.m7.1"><semantics id="S4.F4.18.m7.1b"><mrow id="S4.F4.18.m7.1.1" xref="S4.F4.18.m7.1.1.cmml"><mi id="S4.F4.18.m7.1.1.2" xref="S4.F4.18.m7.1.1.2.cmml">b</mi><mo id="S4.F4.18.m7.1.1.1" xref="S4.F4.18.m7.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.F4.18.m7.1.1.3" xref="S4.F4.18.m7.1.1.3.cmml">1.36</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F4.18.m7.1c"><apply id="S4.F4.18.m7.1.1.cmml" xref="S4.F4.18.m7.1.1"><eq id="S4.F4.18.m7.1.1.1.cmml" xref="S4.F4.18.m7.1.1.1"></eq><ci id="S4.F4.18.m7.1.1.2.cmml" xref="S4.F4.18.m7.1.1.2">𝑏</ci><cn id="S4.F4.18.m7.1.1.3.cmml" type="float" xref="S4.F4.18.m7.1.1.3">1.36</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F4.18.m7.1d">b=1.36</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F4.18.m7.1e">italic_b = 1.36</annotation></semantics></math>; (3) <math alttext="\tau_{2}=115" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F4.19.m8.1"><semantics id="S4.F4.19.m8.1b"><mrow id="S4.F4.19.m8.1.1" xref="S4.F4.19.m8.1.1.cmml"><msub id="S4.F4.19.m8.1.1.2" xref="S4.F4.19.m8.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F4.19.m8.1.1.2.2" xref="S4.F4.19.m8.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S4.F4.19.m8.1.1.2.3" xref="S4.F4.19.m8.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.F4.19.m8.1.1.1" xref="S4.F4.19.m8.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.F4.19.m8.1.1.3" xref="S4.F4.19.m8.1.1.3.cmml">115</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F4.19.m8.1c"><apply id="S4.F4.19.m8.1.1.cmml" xref="S4.F4.19.m8.1.1"><eq id="S4.F4.19.m8.1.1.1.cmml" xref="S4.F4.19.m8.1.1.1"></eq><apply id="S4.F4.19.m8.1.1.2.cmml" xref="S4.F4.19.m8.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F4.19.m8.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F4.19.m8.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.F4.19.m8.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F4.19.m8.1.1.2.2">𝜏</ci><cn id="S4.F4.19.m8.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.F4.19.m8.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="S4.F4.19.m8.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.F4.19.m8.1.1.3">115</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F4.19.m8.1d">\tau_{2}=115</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F4.19.m8.1e">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = 115</annotation></semantics></math>, <math alttext="b=1.36" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F4.20.m9.1"><semantics id="S4.F4.20.m9.1b"><mrow id="S4.F4.20.m9.1.1" xref="S4.F4.20.m9.1.1.cmml"><mi id="S4.F4.20.m9.1.1.2" xref="S4.F4.20.m9.1.1.2.cmml">b</mi><mo id="S4.F4.20.m9.1.1.1" xref="S4.F4.20.m9.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.F4.20.m9.1.1.3" xref="S4.F4.20.m9.1.1.3.cmml">1.36</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F4.20.m9.1c"><apply id="S4.F4.20.m9.1.1.cmml" xref="S4.F4.20.m9.1.1"><eq id="S4.F4.20.m9.1.1.1.cmml" xref="S4.F4.20.m9.1.1.1"></eq><ci id="S4.F4.20.m9.1.1.2.cmml" xref="S4.F4.20.m9.1.1.2">𝑏</ci><cn id="S4.F4.20.m9.1.1.3.cmml" type="float" xref="S4.F4.20.m9.1.1.3">1.36</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F4.20.m9.1d">b=1.36</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F4.20.m9.1e">italic_b = 1.36</annotation></semantics></math>; and (4) <math alttext="\tau_{2}=160" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F4.21.m10.1"><semantics id="S4.F4.21.m10.1b"><mrow id="S4.F4.21.m10.1.1" xref="S4.F4.21.m10.1.1.cmml"><msub id="S4.F4.21.m10.1.1.2" xref="S4.F4.21.m10.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F4.21.m10.1.1.2.2" xref="S4.F4.21.m10.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S4.F4.21.m10.1.1.2.3" xref="S4.F4.21.m10.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.F4.21.m10.1.1.1" xref="S4.F4.21.m10.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.F4.21.m10.1.1.3" xref="S4.F4.21.m10.1.1.3.cmml">160</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F4.21.m10.1c"><apply id="S4.F4.21.m10.1.1.cmml" xref="S4.F4.21.m10.1.1"><eq id="S4.F4.21.m10.1.1.1.cmml" xref="S4.F4.21.m10.1.1.1"></eq><apply id="S4.F4.21.m10.1.1.2.cmml" xref="S4.F4.21.m10.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F4.21.m10.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F4.21.m10.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.F4.21.m10.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F4.21.m10.1.1.2.2">𝜏</ci><cn id="S4.F4.21.m10.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.F4.21.m10.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="S4.F4.21.m10.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.F4.21.m10.1.1.3">160</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F4.21.m10.1d">\tau_{2}=160</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F4.21.m10.1e">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = 160</annotation></semantics></math>, <math alttext="b=1.2" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F4.22.m11.1"><semantics id="S4.F4.22.m11.1b"><mrow id="S4.F4.22.m11.1.1" xref="S4.F4.22.m11.1.1.cmml"><mi id="S4.F4.22.m11.1.1.2" xref="S4.F4.22.m11.1.1.2.cmml">b</mi><mo id="S4.F4.22.m11.1.1.1" xref="S4.F4.22.m11.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.F4.22.m11.1.1.3" xref="S4.F4.22.m11.1.1.3.cmml">1.2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F4.22.m11.1c"><apply id="S4.F4.22.m11.1.1.cmml" xref="S4.F4.22.m11.1.1"><eq id="S4.F4.22.m11.1.1.1.cmml" xref="S4.F4.22.m11.1.1.1"></eq><ci id="S4.F4.22.m11.1.1.2.cmml" xref="S4.F4.22.m11.1.1.2">𝑏</ci><cn id="S4.F4.22.m11.1.1.3.cmml" type="float" xref="S4.F4.22.m11.1.1.3">1.2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F4.22.m11.1d">b=1.2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F4.22.m11.1e">italic_b = 1.2</annotation></semantics></math>. Other parameter values as in Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S2.T1" title="Table 1 ‣ 2 Nonlinear time delayed Quorum Sensing system ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>. </figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S4.p5"> <p class="ltx_p" id="S4.p5.18">Two-parameter continuation was then performed, varying <math alttext="b" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p5.1.m1.1"><semantics id="S4.p5.1.m1.1a"><mi id="S4.p5.1.m1.1.1" xref="S4.p5.1.m1.1.1.cmml">b</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p5.1.m1.1b"><ci id="S4.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.1">𝑏</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p5.1.m1.1c">b</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p5.1.m1.1d">italic_b</annotation></semantics></math> and <math alttext="\tau_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p5.2.m2.1"><semantics id="S4.p5.2.m2.1a"><msub id="S4.p5.2.m2.1.1" xref="S4.p5.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.p5.2.m2.1.1.2" xref="S4.p5.2.m2.1.1.2.cmml">τ</mi><mn id="S4.p5.2.m2.1.1.3" xref="S4.p5.2.m2.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p5.2.m2.1b"><apply id="S4.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p5.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p5.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.p5.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p5.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.p5.2.m2.1.1.2">𝜏</ci><cn id="S4.p5.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p5.2.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p5.2.m2.1c">\tau_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p5.2.m2.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> for each Hopf bifurcation point within the range <math alttext="\tau_{2}\in[2,200]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p5.3.m3.2"><semantics id="S4.p5.3.m3.2a"><mrow id="S4.p5.3.m3.2.3" xref="S4.p5.3.m3.2.3.cmml"><msub id="S4.p5.3.m3.2.3.2" xref="S4.p5.3.m3.2.3.2.cmml"><mi id="S4.p5.3.m3.2.3.2.2" xref="S4.p5.3.m3.2.3.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S4.p5.3.m3.2.3.2.3" xref="S4.p5.3.m3.2.3.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.p5.3.m3.2.3.1" xref="S4.p5.3.m3.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S4.p5.3.m3.2.3.3.2" xref="S4.p5.3.m3.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.p5.3.m3.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p5.3.m3.2.3.3.1.cmml">[</mo><mn id="S4.p5.3.m3.1.1" xref="S4.p5.3.m3.1.1.cmml">2</mn><mo id="S4.p5.3.m3.2.3.3.2.2" xref="S4.p5.3.m3.2.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="S4.p5.3.m3.2.2" xref="S4.p5.3.m3.2.2.cmml">200</mn><mo id="S4.p5.3.m3.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.p5.3.m3.2.3.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p5.3.m3.2b"><apply id="S4.p5.3.m3.2.3.cmml" xref="S4.p5.3.m3.2.3"><in id="S4.p5.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S4.p5.3.m3.2.3.1"></in><apply id="S4.p5.3.m3.2.3.2.cmml" xref="S4.p5.3.m3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p5.3.m3.2.3.2.1.cmml" xref="S4.p5.3.m3.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p5.3.m3.2.3.2.2.cmml" xref="S4.p5.3.m3.2.3.2.2">𝜏</ci><cn id="S4.p5.3.m3.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.p5.3.m3.2.3.2.3">2</cn></apply><interval closure="closed" id="S4.p5.3.m3.2.3.3.1.cmml" xref="S4.p5.3.m3.2.3.3.2"><cn id="S4.p5.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.p5.3.m3.1.1">2</cn><cn id="S4.p5.3.m3.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.p5.3.m3.2.2">200</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p5.3.m3.2c">\tau_{2}\in[2,200]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p5.3.m3.2d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ∈ [ 2 , 200 ]</annotation></semantics></math>. The parameter <math alttext="b" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p5.4.m4.1"><semantics id="S4.p5.4.m4.1a"><mi id="S4.p5.4.m4.1.1" xref="S4.p5.4.m4.1.1.cmml">b</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p5.4.m4.1b"><ci id="S4.p5.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.p5.4.m4.1.1">𝑏</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p5.4.m4.1c">b</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p5.4.m4.1d">italic_b</annotation></semantics></math>, related to the decay rate of motile to static bacteria, was chosen as the secondary bifurcation parameter due to its critical role in influencing the interplay of self-sustained oscillatory dynamics, as discussed in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#bib.bib18" title="">18</a>]</cite>. The results of this analysis are presented in the top panel of Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S4.F4" title="Figure 4 ‣ 4 Numerical bifurcation analysis of time delay QS system. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>. The two-parameter continuation of the Hopf branches reveals the formation of intersecting islands as <math alttext="\tau_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p5.5.m5.1"><semantics id="S4.p5.5.m5.1a"><msub id="S4.p5.5.m5.1.1" xref="S4.p5.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S4.p5.5.m5.1.1.2" xref="S4.p5.5.m5.1.1.2.cmml">τ</mi><mn id="S4.p5.5.m5.1.1.3" xref="S4.p5.5.m5.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p5.5.m5.1b"><apply id="S4.p5.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.p5.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.p5.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.p5.5.m5.1.1.2">𝜏</ci><cn id="S4.p5.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p5.5.m5.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p5.5.m5.1c">\tau_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p5.5.m5.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> increases, suggesting the potential for complex oscillatory behaviour. To shed light on this possibility, specific values of <math alttext="b" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p5.6.m6.1"><semantics id="S4.p5.6.m6.1a"><mi id="S4.p5.6.m6.1.1" xref="S4.p5.6.m6.1.1.cmml">b</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p5.6.m6.1b"><ci id="S4.p5.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.p5.6.m6.1.1">𝑏</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p5.6.m6.1c">b</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p5.6.m6.1d">italic_b</annotation></semantics></math> and <math alttext="\tau_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p5.7.m7.1"><semantics id="S4.p5.7.m7.1a"><msub id="S4.p5.7.m7.1.1" xref="S4.p5.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S4.p5.7.m7.1.1.2" xref="S4.p5.7.m7.1.1.2.cmml">τ</mi><mn id="S4.p5.7.m7.1.1.3" xref="S4.p5.7.m7.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p5.7.m7.1b"><apply id="S4.p5.7.m7.1.1.cmml" xref="S4.p5.7.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p5.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S4.p5.7.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p5.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S4.p5.7.m7.1.1.2">𝜏</ci><cn id="S4.p5.7.m7.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p5.7.m7.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p5.7.m7.1c">\tau_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p5.7.m7.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> were selected to explore key system behaviours over time. These values are: <math alttext="\tau_{2}=80" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p5.8.m8.1"><semantics id="S4.p5.8.m8.1a"><mrow id="S4.p5.8.m8.1.1" xref="S4.p5.8.m8.1.1.cmml"><msub id="S4.p5.8.m8.1.1.2" xref="S4.p5.8.m8.1.1.2.cmml"><mi id="S4.p5.8.m8.1.1.2.2" xref="S4.p5.8.m8.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S4.p5.8.m8.1.1.2.3" xref="S4.p5.8.m8.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.p5.8.m8.1.1.1" xref="S4.p5.8.m8.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.p5.8.m8.1.1.3" xref="S4.p5.8.m8.1.1.3.cmml">80</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p5.8.m8.1b"><apply id="S4.p5.8.m8.1.1.cmml" xref="S4.p5.8.m8.1.1"><eq id="S4.p5.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S4.p5.8.m8.1.1.1"></eq><apply id="S4.p5.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S4.p5.8.m8.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p5.8.m8.1.1.2.1.cmml" xref="S4.p5.8.m8.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p5.8.m8.1.1.2.2.cmml" xref="S4.p5.8.m8.1.1.2.2">𝜏</ci><cn id="S4.p5.8.m8.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.p5.8.m8.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="S4.p5.8.m8.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p5.8.m8.1.1.3">80</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p5.8.m8.1c">\tau_{2}=80</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p5.8.m8.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = 80</annotation></semantics></math>, <math alttext="b=1.5" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p5.9.m9.1"><semantics id="S4.p5.9.m9.1a"><mrow id="S4.p5.9.m9.1.1" xref="S4.p5.9.m9.1.1.cmml"><mi id="S4.p5.9.m9.1.1.2" xref="S4.p5.9.m9.1.1.2.cmml">b</mi><mo id="S4.p5.9.m9.1.1.1" xref="S4.p5.9.m9.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.p5.9.m9.1.1.3" xref="S4.p5.9.m9.1.1.3.cmml">1.5</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p5.9.m9.1b"><apply id="S4.p5.9.m9.1.1.cmml" xref="S4.p5.9.m9.1.1"><eq id="S4.p5.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S4.p5.9.m9.1.1.1"></eq><ci id="S4.p5.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S4.p5.9.m9.1.1.2">𝑏</ci><cn id="S4.p5.9.m9.1.1.3.cmml" type="float" xref="S4.p5.9.m9.1.1.3">1.5</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p5.9.m9.1c">b=1.5</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p5.9.m9.1d">italic_b = 1.5</annotation></semantics></math> (point 1); <math alttext="\tau_{2}=105" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p5.10.m10.1"><semantics id="S4.p5.10.m10.1a"><mrow id="S4.p5.10.m10.1.1" xref="S4.p5.10.m10.1.1.cmml"><msub id="S4.p5.10.m10.1.1.2" xref="S4.p5.10.m10.1.1.2.cmml"><mi id="S4.p5.10.m10.1.1.2.2" xref="S4.p5.10.m10.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S4.p5.10.m10.1.1.2.3" xref="S4.p5.10.m10.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.p5.10.m10.1.1.1" xref="S4.p5.10.m10.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.p5.10.m10.1.1.3" xref="S4.p5.10.m10.1.1.3.cmml">105</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p5.10.m10.1b"><apply id="S4.p5.10.m10.1.1.cmml" xref="S4.p5.10.m10.1.1"><eq id="S4.p5.10.m10.1.1.1.cmml" xref="S4.p5.10.m10.1.1.1"></eq><apply id="S4.p5.10.m10.1.1.2.cmml" xref="S4.p5.10.m10.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p5.10.m10.1.1.2.1.cmml" xref="S4.p5.10.m10.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p5.10.m10.1.1.2.2.cmml" xref="S4.p5.10.m10.1.1.2.2">𝜏</ci><cn id="S4.p5.10.m10.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.p5.10.m10.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="S4.p5.10.m10.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p5.10.m10.1.1.3">105</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p5.10.m10.1c">\tau_{2}=105</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p5.10.m10.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = 105</annotation></semantics></math>, <math alttext="b=1.36" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p5.11.m11.1"><semantics id="S4.p5.11.m11.1a"><mrow id="S4.p5.11.m11.1.1" xref="S4.p5.11.m11.1.1.cmml"><mi id="S4.p5.11.m11.1.1.2" xref="S4.p5.11.m11.1.1.2.cmml">b</mi><mo id="S4.p5.11.m11.1.1.1" xref="S4.p5.11.m11.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.p5.11.m11.1.1.3" xref="S4.p5.11.m11.1.1.3.cmml">1.36</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p5.11.m11.1b"><apply id="S4.p5.11.m11.1.1.cmml" xref="S4.p5.11.m11.1.1"><eq id="S4.p5.11.m11.1.1.1.cmml" xref="S4.p5.11.m11.1.1.1"></eq><ci id="S4.p5.11.m11.1.1.2.cmml" xref="S4.p5.11.m11.1.1.2">𝑏</ci><cn id="S4.p5.11.m11.1.1.3.cmml" type="float" xref="S4.p5.11.m11.1.1.3">1.36</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p5.11.m11.1c">b=1.36</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p5.11.m11.1d">italic_b = 1.36</annotation></semantics></math> (point 2); <math alttext="\tau_{2}=115" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p5.12.m12.1"><semantics id="S4.p5.12.m12.1a"><mrow id="S4.p5.12.m12.1.1" xref="S4.p5.12.m12.1.1.cmml"><msub id="S4.p5.12.m12.1.1.2" xref="S4.p5.12.m12.1.1.2.cmml"><mi id="S4.p5.12.m12.1.1.2.2" xref="S4.p5.12.m12.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S4.p5.12.m12.1.1.2.3" xref="S4.p5.12.m12.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.p5.12.m12.1.1.1" xref="S4.p5.12.m12.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.p5.12.m12.1.1.3" xref="S4.p5.12.m12.1.1.3.cmml">115</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p5.12.m12.1b"><apply id="S4.p5.12.m12.1.1.cmml" xref="S4.p5.12.m12.1.1"><eq id="S4.p5.12.m12.1.1.1.cmml" xref="S4.p5.12.m12.1.1.1"></eq><apply id="S4.p5.12.m12.1.1.2.cmml" xref="S4.p5.12.m12.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p5.12.m12.1.1.2.1.cmml" xref="S4.p5.12.m12.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p5.12.m12.1.1.2.2.cmml" xref="S4.p5.12.m12.1.1.2.2">𝜏</ci><cn id="S4.p5.12.m12.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.p5.12.m12.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="S4.p5.12.m12.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p5.12.m12.1.1.3">115</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p5.12.m12.1c">\tau_{2}=115</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p5.12.m12.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = 115</annotation></semantics></math>, <math alttext="b=1.36" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p5.13.m13.1"><semantics id="S4.p5.13.m13.1a"><mrow id="S4.p5.13.m13.1.1" xref="S4.p5.13.m13.1.1.cmml"><mi id="S4.p5.13.m13.1.1.2" xref="S4.p5.13.m13.1.1.2.cmml">b</mi><mo id="S4.p5.13.m13.1.1.1" xref="S4.p5.13.m13.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.p5.13.m13.1.1.3" xref="S4.p5.13.m13.1.1.3.cmml">1.36</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p5.13.m13.1b"><apply id="S4.p5.13.m13.1.1.cmml" xref="S4.p5.13.m13.1.1"><eq id="S4.p5.13.m13.1.1.1.cmml" xref="S4.p5.13.m13.1.1.1"></eq><ci id="S4.p5.13.m13.1.1.2.cmml" xref="S4.p5.13.m13.1.1.2">𝑏</ci><cn id="S4.p5.13.m13.1.1.3.cmml" type="float" xref="S4.p5.13.m13.1.1.3">1.36</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p5.13.m13.1c">b=1.36</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p5.13.m13.1d">italic_b = 1.36</annotation></semantics></math> (point 3); and <math alttext="\tau_{2}=160" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p5.14.m14.1"><semantics id="S4.p5.14.m14.1a"><mrow id="S4.p5.14.m14.1.1" xref="S4.p5.14.m14.1.1.cmml"><msub id="S4.p5.14.m14.1.1.2" xref="S4.p5.14.m14.1.1.2.cmml"><mi id="S4.p5.14.m14.1.1.2.2" xref="S4.p5.14.m14.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S4.p5.14.m14.1.1.2.3" xref="S4.p5.14.m14.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.p5.14.m14.1.1.1" xref="S4.p5.14.m14.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.p5.14.m14.1.1.3" xref="S4.p5.14.m14.1.1.3.cmml">160</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p5.14.m14.1b"><apply id="S4.p5.14.m14.1.1.cmml" xref="S4.p5.14.m14.1.1"><eq id="S4.p5.14.m14.1.1.1.cmml" xref="S4.p5.14.m14.1.1.1"></eq><apply id="S4.p5.14.m14.1.1.2.cmml" xref="S4.p5.14.m14.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p5.14.m14.1.1.2.1.cmml" xref="S4.p5.14.m14.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p5.14.m14.1.1.2.2.cmml" xref="S4.p5.14.m14.1.1.2.2">𝜏</ci><cn id="S4.p5.14.m14.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.p5.14.m14.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="S4.p5.14.m14.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p5.14.m14.1.1.3">160</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p5.14.m14.1c">\tau_{2}=160</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p5.14.m14.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = 160</annotation></semantics></math>, <math alttext="b=1.2" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p5.15.m15.1"><semantics id="S4.p5.15.m15.1a"><mrow id="S4.p5.15.m15.1.1" xref="S4.p5.15.m15.1.1.cmml"><mi id="S4.p5.15.m15.1.1.2" xref="S4.p5.15.m15.1.1.2.cmml">b</mi><mo id="S4.p5.15.m15.1.1.1" xref="S4.p5.15.m15.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.p5.15.m15.1.1.3" xref="S4.p5.15.m15.1.1.3.cmml">1.2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p5.15.m15.1b"><apply id="S4.p5.15.m15.1.1.cmml" xref="S4.p5.15.m15.1.1"><eq id="S4.p5.15.m15.1.1.1.cmml" xref="S4.p5.15.m15.1.1.1"></eq><ci id="S4.p5.15.m15.1.1.2.cmml" xref="S4.p5.15.m15.1.1.2">𝑏</ci><cn id="S4.p5.15.m15.1.1.3.cmml" type="float" xref="S4.p5.15.m15.1.1.3">1.2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p5.15.m15.1c">b=1.2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p5.15.m15.1d">italic_b = 1.2</annotation></semantics></math> (point 4). The corresponding time series are shown in panels 1-4 of Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S4.F4" title="Figure 4 ‣ 4 Numerical bifurcation analysis of time delay QS system. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>. While the temporal dynamics depicted in panels 1 through 3 are qualitatively similar, panel 4 suggests the emergence of complex, non-periodic oscillations. This behaviour may result from the combined effect of small <math alttext="b" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p5.16.m16.1"><semantics id="S4.p5.16.m16.1a"><mi id="S4.p5.16.m16.1.1" xref="S4.p5.16.m16.1.1.cmml">b</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p5.16.m16.1b"><ci id="S4.p5.16.m16.1.1.cmml" xref="S4.p5.16.m16.1.1">𝑏</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p5.16.m16.1c">b</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p5.16.m16.1d">italic_b</annotation></semantics></math> values and large <math alttext="\tau_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p5.17.m17.1"><semantics id="S4.p5.17.m17.1a"><msub id="S4.p5.17.m17.1.1" xref="S4.p5.17.m17.1.1.cmml"><mi id="S4.p5.17.m17.1.1.2" xref="S4.p5.17.m17.1.1.2.cmml">τ</mi><mn id="S4.p5.17.m17.1.1.3" xref="S4.p5.17.m17.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p5.17.m17.1b"><apply id="S4.p5.17.m17.1.1.cmml" xref="S4.p5.17.m17.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p5.17.m17.1.1.1.cmml" xref="S4.p5.17.m17.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p5.17.m17.1.1.2.cmml" xref="S4.p5.17.m17.1.1.2">𝜏</ci><cn id="S4.p5.17.m17.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p5.17.m17.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p5.17.m17.1c">\tau_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p5.17.m17.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> values, given that <math alttext="\tau_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p5.18.m18.1"><semantics id="S4.p5.18.m18.1a"><msub id="S4.p5.18.m18.1.1" xref="S4.p5.18.m18.1.1.cmml"><mi id="S4.p5.18.m18.1.1.2" xref="S4.p5.18.m18.1.1.2.cmml">τ</mi><mn id="S4.p5.18.m18.1.1.3" xref="S4.p5.18.m18.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p5.18.m18.1b"><apply id="S4.p5.18.m18.1.1.cmml" xref="S4.p5.18.m18.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p5.18.m18.1.1.1.cmml" xref="S4.p5.18.m18.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p5.18.m18.1.1.2.cmml" xref="S4.p5.18.m18.1.1.2">𝜏</ci><cn id="S4.p5.18.m18.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p5.18.m18.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p5.18.m18.1c">\tau_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p5.18.m18.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> remains fixed at 52.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S5"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">5 </span>Intermittent chaos in time delay QS system</h2> <figure class="ltx_figure" id="S5.F5"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="593" id="S5.F5.g1" src="extracted/6294707/Poincare2.png" width="837"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 5: </span>Upper row: Poincaré map computed on the cross-section <math alttext="u=2" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F5.7.m1.1"><semantics id="S5.F5.7.m1.1b"><mrow id="S5.F5.7.m1.1.1" xref="S5.F5.7.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.F5.7.m1.1.1.2" xref="S5.F5.7.m1.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="S5.F5.7.m1.1.1.1" xref="S5.F5.7.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.F5.7.m1.1.1.3" xref="S5.F5.7.m1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F5.7.m1.1c"><apply id="S5.F5.7.m1.1.1.cmml" xref="S5.F5.7.m1.1.1"><eq id="S5.F5.7.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.F5.7.m1.1.1.1"></eq><ci id="S5.F5.7.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.F5.7.m1.1.1.2">𝑢</ci><cn id="S5.F5.7.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.F5.7.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F5.7.m1.1d">u=2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F5.7.m1.1e">italic_u = 2</annotation></semantics></math> (black dots) after transient time, as <math alttext="\tau_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F5.8.m2.1"><semantics id="S5.F5.8.m2.1b"><msub id="S5.F5.8.m2.1.1" xref="S5.F5.8.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.F5.8.m2.1.1.2" xref="S5.F5.8.m2.1.1.2.cmml">τ</mi><mn id="S5.F5.8.m2.1.1.3" xref="S5.F5.8.m2.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F5.8.m2.1c"><apply id="S5.F5.8.m2.1.1.cmml" xref="S5.F5.8.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F5.8.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.F5.8.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.F5.8.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.F5.8.m2.1.1.2">𝜏</ci><cn id="S5.F5.8.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.F5.8.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F5.8.m2.1d">\tau_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F5.8.m2.1e">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is slowly varied; Pearson correlation coefficient (blue bars) measuring the correlation between two initially nearby <math alttext="w" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F5.9.m3.1"><semantics id="S5.F5.9.m3.1b"><mi id="S5.F5.9.m3.1.1" xref="S5.F5.9.m3.1.1.cmml">w</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F5.9.m3.1c"><ci id="S5.F5.9.m3.1.1.cmml" xref="S5.F5.9.m3.1.1">𝑤</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F5.9.m3.1d">w</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F5.9.m3.1e">italic_w</annotation></semantics></math>-component orbits. Bottom row: frequency-amplitude plots and projections of representative orbits onto the (<math alttext="u" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F5.10.m4.1"><semantics id="S5.F5.10.m4.1b"><mi id="S5.F5.10.m4.1.1" xref="S5.F5.10.m4.1.1.cmml">u</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F5.10.m4.1c"><ci id="S5.F5.10.m4.1.1.cmml" xref="S5.F5.10.m4.1.1">𝑢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F5.10.m4.1d">u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F5.10.m4.1e">italic_u</annotation></semantics></math>, <math alttext="v" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F5.11.m5.1"><semantics id="S5.F5.11.m5.1b"><mi id="S5.F5.11.m5.1.1" xref="S5.F5.11.m5.1.1.cmml">v</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F5.11.m5.1c"><ci id="S5.F5.11.m5.1.1.cmml" xref="S5.F5.11.m5.1.1">𝑣</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F5.11.m5.1d">v</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F5.11.m5.1e">italic_v</annotation></semantics></math>) plane for three key distinct values of <math alttext="\tau_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F5.12.m6.1"><semantics id="S5.F5.12.m6.1b"><msub id="S5.F5.12.m6.1.1" xref="S5.F5.12.m6.1.1.cmml"><mi id="S5.F5.12.m6.1.1.2" xref="S5.F5.12.m6.1.1.2.cmml">τ</mi><mn id="S5.F5.12.m6.1.1.3" xref="S5.F5.12.m6.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F5.12.m6.1c"><apply id="S5.F5.12.m6.1.1.cmml" xref="S5.F5.12.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F5.12.m6.1.1.1.cmml" xref="S5.F5.12.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.F5.12.m6.1.1.2.cmml" xref="S5.F5.12.m6.1.1.2">𝜏</ci><cn id="S5.F5.12.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.F5.12.m6.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F5.12.m6.1d">\tau_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F5.12.m6.1e">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>; the central panel depicts a quasi-periodic orbit, while the left-hand and right-hand panels show stable periodic orbits. Other parameter values as in Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S2.T1" title="Table 1 ‣ 2 Nonlinear time delayed Quorum Sensing system ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>.</figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S5.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.p1.1">In the preceding section, the existence of periodic self-sustained oscillations was established for specific parameter values, as illustrated in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S4.F4" title="Figure 4 ‣ 4 Numerical bifurcation analysis of time delay QS system. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>, panels 1-3. These periodic oscillations correspond to stable fixed points of the Poincaré map. Furthermore, as the time delay <math alttext="\tau_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.1.m1.1"><semantics id="S5.p1.1.m1.1a"><msub id="S5.p1.1.m1.1.1" xref="S5.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.p1.1.m1.1.1.2" xref="S5.p1.1.m1.1.1.2.cmml">τ</mi><mn id="S5.p1.1.m1.1.1.3" xref="S5.p1.1.m1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.1.m1.1b"><apply id="S5.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p1.1.m1.1.1.2">𝜏</ci><cn id="S5.p1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p1.1.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.1.m1.1c">\tau_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.1.m1.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> increases, the stability of these oscillations is altered, leading to a deformation of the oscillatory pattern, as observed in panel 4. This deformation suggests the emergence of complex, potentially non-periodic, dynamics.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p2"> <p class="ltx_p" id="S5.p2.16">To gain a comprehensive understanding of the oscillatory features governed by critical bifurcations, the Poincaré map of the time-delayed QS system (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S2.E2" title="Equation 2 ‣ 2 Nonlinear time delayed Quorum Sensing system ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>) was computed over a substantial range of <math alttext="\tau_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.1.m1.1"><semantics id="S5.p2.1.m1.1a"><msub id="S5.p2.1.m1.1.1" xref="S5.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.p2.1.m1.1.1.2" xref="S5.p2.1.m1.1.1.2.cmml">τ</mi><mn id="S5.p2.1.m1.1.1.3" xref="S5.p2.1.m1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.1.m1.1b"><apply id="S5.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p2.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.p2.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p2.1.m1.1.1.2">𝜏</ci><cn id="S5.p2.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p2.1.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.1.m1.1c">\tau_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.1.m1.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> values, while holding <math alttext="\tau_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.2.m2.1"><semantics id="S5.p2.2.m2.1a"><msub id="S5.p2.2.m2.1.1" xref="S5.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.p2.2.m2.1.1.2" xref="S5.p2.2.m2.1.1.2.cmml">τ</mi><mn id="S5.p2.2.m2.1.1.3" xref="S5.p2.2.m2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.2.m2.1b"><apply id="S5.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.p2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.p2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.p2.2.m2.1.1.2">𝜏</ci><cn id="S5.p2.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p2.2.m2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.2.m2.1c">\tau_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.2.m2.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> constant. The first row of Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S5.F5" title="Figure 5 ‣ 5 Intermittent chaos in time delay QS system ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a> depicts the intersections of the state variable <math alttext="u" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.3.m3.1"><semantics id="S5.p2.3.m3.1a"><mi id="S5.p2.3.m3.1.1" xref="S5.p2.3.m3.1.1.cmml">u</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.3.m3.1b"><ci id="S5.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.p2.3.m3.1.1">𝑢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.3.m3.1c">u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.3.m3.1d">italic_u</annotation></semantics></math> with the cross-section <math alttext="u=2" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.4.m4.1"><semantics id="S5.p2.4.m4.1a"><mrow id="S5.p2.4.m4.1.1" xref="S5.p2.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S5.p2.4.m4.1.1.2" xref="S5.p2.4.m4.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="S5.p2.4.m4.1.1.1" xref="S5.p2.4.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.p2.4.m4.1.1.3" xref="S5.p2.4.m4.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.4.m4.1b"><apply id="S5.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.p2.4.m4.1.1"><eq id="S5.p2.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S5.p2.4.m4.1.1.1"></eq><ci id="S5.p2.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S5.p2.4.m4.1.1.2">𝑢</ci><cn id="S5.p2.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p2.4.m4.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.4.m4.1c">u=2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.4.m4.1d">italic_u = 2</annotation></semantics></math> (black dots)—effectively, the Poincaré map—after transient time, as <math alttext="\tau_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.5.m5.1"><semantics id="S5.p2.5.m5.1a"><msub id="S5.p2.5.m5.1.1" xref="S5.p2.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S5.p2.5.m5.1.1.2" xref="S5.p2.5.m5.1.1.2.cmml">τ</mi><mn id="S5.p2.5.m5.1.1.3" xref="S5.p2.5.m5.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.5.m5.1b"><apply id="S5.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S5.p2.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p2.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S5.p2.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p2.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S5.p2.5.m5.1.1.2">𝜏</ci><cn id="S5.p2.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p2.5.m5.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.5.m5.1c">\tau_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.5.m5.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is slowly increased within the interval <math alttext="\tau_{2}\in[2,1000]" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.6.m6.2"><semantics id="S5.p2.6.m6.2a"><mrow id="S5.p2.6.m6.2.3" xref="S5.p2.6.m6.2.3.cmml"><msub id="S5.p2.6.m6.2.3.2" xref="S5.p2.6.m6.2.3.2.cmml"><mi id="S5.p2.6.m6.2.3.2.2" xref="S5.p2.6.m6.2.3.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S5.p2.6.m6.2.3.2.3" xref="S5.p2.6.m6.2.3.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.p2.6.m6.2.3.1" xref="S5.p2.6.m6.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S5.p2.6.m6.2.3.3.2" xref="S5.p2.6.m6.2.3.3.1.cmml"><mo id="S5.p2.6.m6.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.p2.6.m6.2.3.3.1.cmml">[</mo><mn id="S5.p2.6.m6.1.1" xref="S5.p2.6.m6.1.1.cmml">2</mn><mo id="S5.p2.6.m6.2.3.3.2.2" xref="S5.p2.6.m6.2.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="S5.p2.6.m6.2.2" xref="S5.p2.6.m6.2.2.cmml">1000</mn><mo id="S5.p2.6.m6.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S5.p2.6.m6.2.3.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.6.m6.2b"><apply id="S5.p2.6.m6.2.3.cmml" xref="S5.p2.6.m6.2.3"><in id="S5.p2.6.m6.2.3.1.cmml" xref="S5.p2.6.m6.2.3.1"></in><apply id="S5.p2.6.m6.2.3.2.cmml" xref="S5.p2.6.m6.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p2.6.m6.2.3.2.1.cmml" xref="S5.p2.6.m6.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p2.6.m6.2.3.2.2.cmml" xref="S5.p2.6.m6.2.3.2.2">𝜏</ci><cn id="S5.p2.6.m6.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p2.6.m6.2.3.2.3">2</cn></apply><interval closure="closed" id="S5.p2.6.m6.2.3.3.1.cmml" xref="S5.p2.6.m6.2.3.3.2"><cn id="S5.p2.6.m6.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.p2.6.m6.1.1">2</cn><cn id="S5.p2.6.m6.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.p2.6.m6.2.2">1000</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.6.m6.2c">\tau_{2}\in[2,1000]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.6.m6.2d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ∈ [ 2 , 1000 ]</annotation></semantics></math> for fixed values of <math alttext="\tau_{1}=52" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.7.m7.1"><semantics id="S5.p2.7.m7.1a"><mrow id="S5.p2.7.m7.1.1" xref="S5.p2.7.m7.1.1.cmml"><msub id="S5.p2.7.m7.1.1.2" xref="S5.p2.7.m7.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p2.7.m7.1.1.2.2" xref="S5.p2.7.m7.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S5.p2.7.m7.1.1.2.3" xref="S5.p2.7.m7.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.p2.7.m7.1.1.1" xref="S5.p2.7.m7.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.p2.7.m7.1.1.3" xref="S5.p2.7.m7.1.1.3.cmml">52</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.7.m7.1b"><apply id="S5.p2.7.m7.1.1.cmml" xref="S5.p2.7.m7.1.1"><eq id="S5.p2.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S5.p2.7.m7.1.1.1"></eq><apply id="S5.p2.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S5.p2.7.m7.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p2.7.m7.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p2.7.m7.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p2.7.m7.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p2.7.m7.1.1.2.2">𝜏</ci><cn id="S5.p2.7.m7.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p2.7.m7.1.1.2.3">1</cn></apply><cn id="S5.p2.7.m7.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p2.7.m7.1.1.3">52</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.7.m7.1c">\tau_{1}=52</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.7.m7.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = 52</annotation></semantics></math> and <math alttext="b=1.4" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.8.m8.1"><semantics id="S5.p2.8.m8.1a"><mrow id="S5.p2.8.m8.1.1" xref="S5.p2.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S5.p2.8.m8.1.1.2" xref="S5.p2.8.m8.1.1.2.cmml">b</mi><mo id="S5.p2.8.m8.1.1.1" xref="S5.p2.8.m8.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.p2.8.m8.1.1.3" xref="S5.p2.8.m8.1.1.3.cmml">1.4</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.8.m8.1b"><apply id="S5.p2.8.m8.1.1.cmml" xref="S5.p2.8.m8.1.1"><eq id="S5.p2.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S5.p2.8.m8.1.1.1"></eq><ci id="S5.p2.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S5.p2.8.m8.1.1.2">𝑏</ci><cn id="S5.p2.8.m8.1.1.3.cmml" type="float" xref="S5.p2.8.m8.1.1.3">1.4</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.8.m8.1c">b=1.4</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.8.m8.1d">italic_b = 1.4</annotation></semantics></math>. As can be seen there, intervals of stable periodic solutions and complex quasi-periodic oscillations are interspersed until <math alttext="\tau_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.9.m9.1"><semantics id="S5.p2.9.m9.1a"><msub id="S5.p2.9.m9.1.1" xref="S5.p2.9.m9.1.1.cmml"><mi id="S5.p2.9.m9.1.1.2" xref="S5.p2.9.m9.1.1.2.cmml">τ</mi><mn id="S5.p2.9.m9.1.1.3" xref="S5.p2.9.m9.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.9.m9.1b"><apply id="S5.p2.9.m9.1.1.cmml" xref="S5.p2.9.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p2.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S5.p2.9.m9.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p2.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S5.p2.9.m9.1.1.2">𝜏</ci><cn id="S5.p2.9.m9.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p2.9.m9.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.9.m9.1c">\tau_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.9.m9.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> reaches a value sufficient to completely disrupt the periodic dynamics; see Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S5.F5" title="Figure 5 ‣ 5 Intermittent chaos in time delay QS system ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a>, upper panel, <math alttext="\tau_{2}\approx 700" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.10.m10.1"><semantics id="S5.p2.10.m10.1a"><mrow id="S5.p2.10.m10.1.1" xref="S5.p2.10.m10.1.1.cmml"><msub id="S5.p2.10.m10.1.1.2" xref="S5.p2.10.m10.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p2.10.m10.1.1.2.2" xref="S5.p2.10.m10.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S5.p2.10.m10.1.1.2.3" xref="S5.p2.10.m10.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.p2.10.m10.1.1.1" xref="S5.p2.10.m10.1.1.1.cmml">≈</mo><mn id="S5.p2.10.m10.1.1.3" xref="S5.p2.10.m10.1.1.3.cmml">700</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.10.m10.1b"><apply id="S5.p2.10.m10.1.1.cmml" xref="S5.p2.10.m10.1.1"><approx id="S5.p2.10.m10.1.1.1.cmml" xref="S5.p2.10.m10.1.1.1"></approx><apply id="S5.p2.10.m10.1.1.2.cmml" xref="S5.p2.10.m10.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p2.10.m10.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p2.10.m10.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p2.10.m10.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p2.10.m10.1.1.2.2">𝜏</ci><cn id="S5.p2.10.m10.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p2.10.m10.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="S5.p2.10.m10.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p2.10.m10.1.1.3">700</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.10.m10.1c">\tau_{2}\approx 700</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.10.m10.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ≈ 700</annotation></semantics></math>. Beyond this point, the non-periodic oscillations suggest a chaotic regime, which is further explored in the bottom row of Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S5.F5" title="Figure 5 ‣ 5 Intermittent chaos in time delay QS system ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a> through frequency-amplitude plots and projections of distinguished orbits onto the <math alttext="(u,v)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.11.m11.2"><semantics id="S5.p2.11.m11.2a"><mrow id="S5.p2.11.m11.2.3.2" xref="S5.p2.11.m11.2.3.1.cmml"><mo id="S5.p2.11.m11.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.p2.11.m11.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S5.p2.11.m11.1.1" xref="S5.p2.11.m11.1.1.cmml">u</mi><mo id="S5.p2.11.m11.2.3.2.2" xref="S5.p2.11.m11.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S5.p2.11.m11.2.2" xref="S5.p2.11.m11.2.2.cmml">v</mi><mo id="S5.p2.11.m11.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S5.p2.11.m11.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.11.m11.2b"><interval closure="open" id="S5.p2.11.m11.2.3.1.cmml" xref="S5.p2.11.m11.2.3.2"><ci id="S5.p2.11.m11.1.1.cmml" xref="S5.p2.11.m11.1.1">𝑢</ci><ci id="S5.p2.11.m11.2.2.cmml" xref="S5.p2.11.m11.2.2">𝑣</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.11.m11.2c">(u,v)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.11.m11.2d">( italic_u , italic_v )</annotation></semantics></math> phase plane. That is, for <math alttext="\tau_{2}=250" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.12.m12.1"><semantics id="S5.p2.12.m12.1a"><mrow id="S5.p2.12.m12.1.1" xref="S5.p2.12.m12.1.1.cmml"><msub id="S5.p2.12.m12.1.1.2" xref="S5.p2.12.m12.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p2.12.m12.1.1.2.2" xref="S5.p2.12.m12.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S5.p2.12.m12.1.1.2.3" xref="S5.p2.12.m12.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.p2.12.m12.1.1.1" xref="S5.p2.12.m12.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.p2.12.m12.1.1.3" xref="S5.p2.12.m12.1.1.3.cmml">250</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.12.m12.1b"><apply id="S5.p2.12.m12.1.1.cmml" xref="S5.p2.12.m12.1.1"><eq id="S5.p2.12.m12.1.1.1.cmml" xref="S5.p2.12.m12.1.1.1"></eq><apply id="S5.p2.12.m12.1.1.2.cmml" xref="S5.p2.12.m12.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p2.12.m12.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p2.12.m12.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p2.12.m12.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p2.12.m12.1.1.2.2">𝜏</ci><cn id="S5.p2.12.m12.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p2.12.m12.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="S5.p2.12.m12.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p2.12.m12.1.1.3">250</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.12.m12.1c">\tau_{2}=250</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.12.m12.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = 250</annotation></semantics></math>, the Poincaré map indicates a stable periodic behaviour, which is corroborated by the well-defined orbit in the <math alttext="(u,v)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.13.m13.2"><semantics id="S5.p2.13.m13.2a"><mrow id="S5.p2.13.m13.2.3.2" xref="S5.p2.13.m13.2.3.1.cmml"><mo id="S5.p2.13.m13.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.p2.13.m13.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S5.p2.13.m13.1.1" xref="S5.p2.13.m13.1.1.cmml">u</mi><mo id="S5.p2.13.m13.2.3.2.2" xref="S5.p2.13.m13.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S5.p2.13.m13.2.2" xref="S5.p2.13.m13.2.2.cmml">v</mi><mo id="S5.p2.13.m13.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S5.p2.13.m13.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.13.m13.2b"><interval closure="open" id="S5.p2.13.m13.2.3.1.cmml" xref="S5.p2.13.m13.2.3.2"><ci id="S5.p2.13.m13.1.1.cmml" xref="S5.p2.13.m13.1.1">𝑢</ci><ci id="S5.p2.13.m13.2.2.cmml" xref="S5.p2.13.m13.2.2">𝑣</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.13.m13.2c">(u,v)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.13.m13.2d">( italic_u , italic_v )</annotation></semantics></math> phase plane and the discrete frequency spectrum shown in the left-hand panel of the bottom row. When <math alttext="\tau_{2}=380" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.14.m14.1"><semantics id="S5.p2.14.m14.1a"><mrow id="S5.p2.14.m14.1.1" xref="S5.p2.14.m14.1.1.cmml"><msub id="S5.p2.14.m14.1.1.2" xref="S5.p2.14.m14.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p2.14.m14.1.1.2.2" xref="S5.p2.14.m14.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S5.p2.14.m14.1.1.2.3" xref="S5.p2.14.m14.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.p2.14.m14.1.1.1" xref="S5.p2.14.m14.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.p2.14.m14.1.1.3" xref="S5.p2.14.m14.1.1.3.cmml">380</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.14.m14.1b"><apply id="S5.p2.14.m14.1.1.cmml" xref="S5.p2.14.m14.1.1"><eq id="S5.p2.14.m14.1.1.1.cmml" xref="S5.p2.14.m14.1.1.1"></eq><apply id="S5.p2.14.m14.1.1.2.cmml" xref="S5.p2.14.m14.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p2.14.m14.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p2.14.m14.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p2.14.m14.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p2.14.m14.1.1.2.2">𝜏</ci><cn id="S5.p2.14.m14.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p2.14.m14.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="S5.p2.14.m14.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p2.14.m14.1.1.3">380</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.14.m14.1c">\tau_{2}=380</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.14.m14.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = 380</annotation></semantics></math>, the dispersed Poincaré points and the dense orbit in the phase plane, coupled with the continuous frequency spectrum in the central panel, strongly indicate a chaotic regime. Finally, at <math alttext="\tau_{2}=450" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.15.m15.1"><semantics id="S5.p2.15.m15.1a"><mrow id="S5.p2.15.m15.1.1" xref="S5.p2.15.m15.1.1.cmml"><msub id="S5.p2.15.m15.1.1.2" xref="S5.p2.15.m15.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p2.15.m15.1.1.2.2" xref="S5.p2.15.m15.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S5.p2.15.m15.1.1.2.3" xref="S5.p2.15.m15.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.p2.15.m15.1.1.1" xref="S5.p2.15.m15.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.p2.15.m15.1.1.3" xref="S5.p2.15.m15.1.1.3.cmml">450</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.15.m15.1b"><apply id="S5.p2.15.m15.1.1.cmml" xref="S5.p2.15.m15.1.1"><eq id="S5.p2.15.m15.1.1.1.cmml" xref="S5.p2.15.m15.1.1.1"></eq><apply id="S5.p2.15.m15.1.1.2.cmml" xref="S5.p2.15.m15.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p2.15.m15.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p2.15.m15.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p2.15.m15.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p2.15.m15.1.1.2.2">𝜏</ci><cn id="S5.p2.15.m15.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p2.15.m15.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="S5.p2.15.m15.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p2.15.m15.1.1.3">450</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.15.m15.1c">\tau_{2}=450</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.15.m15.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = 450</annotation></semantics></math>, the system returns to a stable periodic window, and the conclusions drawn for the case of <math alttext="\tau_{2}=250" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.16.m16.1"><semantics id="S5.p2.16.m16.1a"><mrow id="S5.p2.16.m16.1.1" xref="S5.p2.16.m16.1.1.cmml"><msub id="S5.p2.16.m16.1.1.2" xref="S5.p2.16.m16.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p2.16.m16.1.1.2.2" xref="S5.p2.16.m16.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S5.p2.16.m16.1.1.2.3" xref="S5.p2.16.m16.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.p2.16.m16.1.1.1" xref="S5.p2.16.m16.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.p2.16.m16.1.1.3" xref="S5.p2.16.m16.1.1.3.cmml">250</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.16.m16.1b"><apply id="S5.p2.16.m16.1.1.cmml" xref="S5.p2.16.m16.1.1"><eq id="S5.p2.16.m16.1.1.1.cmml" xref="S5.p2.16.m16.1.1.1"></eq><apply id="S5.p2.16.m16.1.1.2.cmml" xref="S5.p2.16.m16.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p2.16.m16.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p2.16.m16.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p2.16.m16.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p2.16.m16.1.1.2.2">𝜏</ci><cn id="S5.p2.16.m16.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p2.16.m16.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="S5.p2.16.m16.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p2.16.m16.1.1.3">250</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.16.m16.1c">\tau_{2}=250</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.16.m16.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = 250</annotation></semantics></math> apply.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p3"> <p class="ltx_p" id="S5.p3.4">To further validate the observed chaotic behaviour, the Pearson correlation coefficient <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#bib.bib33" title="">33</a>]</cite> was computed and is displayed as blue bars in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S5.F5" title="Figure 5 ‣ 5 Intermittent chaos in time delay QS system ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a>, superimposed on the Poincaré map. Given two column vectors <math alttext="x\in\mathbb{R}^{n\times 1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p3.1.m1.1"><semantics id="S5.p3.1.m1.1a"><mrow id="S5.p3.1.m1.1.1" xref="S5.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.p3.1.m1.1.1.2" xref="S5.p3.1.m1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S5.p3.1.m1.1.1.1" xref="S5.p3.1.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S5.p3.1.m1.1.1.3" xref="S5.p3.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p3.1.m1.1.1.3.2" xref="S5.p3.1.m1.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S5.p3.1.m1.1.1.3.3" xref="S5.p3.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.p3.1.m1.1.1.3.3.2" xref="S5.p3.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S5.p3.1.m1.1.1.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S5.p3.1.m1.1.1.3.3.1.cmml">×</mo><mn id="S5.p3.1.m1.1.1.3.3.3" xref="S5.p3.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p3.1.m1.1b"><apply id="S5.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p3.1.m1.1.1"><in id="S5.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.p3.1.m1.1.1.1"></in><ci id="S5.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p3.1.m1.1.1.2">𝑥</ci><apply id="S5.p3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.p3.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p3.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p3.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.p3.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p3.1.m1.1.1.3.2">ℝ</ci><apply id="S5.p3.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p3.1.m1.1.1.3.3"><times id="S5.p3.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.p3.1.m1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S5.p3.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.p3.1.m1.1.1.3.3.2">𝑛</ci><cn id="S5.p3.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p3.1.m1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p3.1.m1.1c">x\in\mathbb{R}^{n\times 1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p3.1.m1.1d">italic_x ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n × 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="y\in\mathbb{R}^{n\times 1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p3.2.m2.1"><semantics id="S5.p3.2.m2.1a"><mrow id="S5.p3.2.m2.1.1" xref="S5.p3.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.p3.2.m2.1.1.2" xref="S5.p3.2.m2.1.1.2.cmml">y</mi><mo id="S5.p3.2.m2.1.1.1" xref="S5.p3.2.m2.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S5.p3.2.m2.1.1.3" xref="S5.p3.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p3.2.m2.1.1.3.2" xref="S5.p3.2.m2.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S5.p3.2.m2.1.1.3.3" xref="S5.p3.2.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.p3.2.m2.1.1.3.3.2" xref="S5.p3.2.m2.1.1.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S5.p3.2.m2.1.1.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S5.p3.2.m2.1.1.3.3.1.cmml">×</mo><mn id="S5.p3.2.m2.1.1.3.3.3" xref="S5.p3.2.m2.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p3.2.m2.1b"><apply id="S5.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.p3.2.m2.1.1"><in id="S5.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.p3.2.m2.1.1.1"></in><ci id="S5.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.p3.2.m2.1.1.2">𝑦</ci><apply id="S5.p3.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.p3.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p3.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p3.2.m2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.p3.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p3.2.m2.1.1.3.2">ℝ</ci><apply id="S5.p3.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p3.2.m2.1.1.3.3"><times id="S5.p3.2.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.p3.2.m2.1.1.3.3.1"></times><ci id="S5.p3.2.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.p3.2.m2.1.1.3.3.2">𝑛</ci><cn id="S5.p3.2.m2.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p3.2.m2.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p3.2.m2.1c">y\in\mathbb{R}^{n\times 1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p3.2.m2.1d">italic_y ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n × 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, with their respective averages <math alttext="\overline{x}=\sum_{i=1}^{n}x_{i}/n" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p3.3.m3.1"><semantics id="S5.p3.3.m3.1a"><mrow id="S5.p3.3.m3.1.1" xref="S5.p3.3.m3.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S5.p3.3.m3.1.1.2" xref="S5.p3.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p3.3.m3.1.1.2.2" xref="S5.p3.3.m3.1.1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.p3.3.m3.1.1.2.1" xref="S5.p3.3.m3.1.1.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S5.p3.3.m3.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S5.p3.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.p3.3.m3.1.1.3" xref="S5.p3.3.m3.1.1.3.cmml"><msubsup id="S5.p3.3.m3.1.1.3.1" xref="S5.p3.3.m3.1.1.3.1.cmml"><mo id="S5.p3.3.m3.1.1.3.1.2.2" xref="S5.p3.3.m3.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S5.p3.3.m3.1.1.3.1.2.3" xref="S5.p3.3.m3.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="S5.p3.3.m3.1.1.3.1.2.3.2" xref="S5.p3.3.m3.1.1.3.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S5.p3.3.m3.1.1.3.1.2.3.1" xref="S5.p3.3.m3.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S5.p3.3.m3.1.1.3.1.2.3.3" xref="S5.p3.3.m3.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S5.p3.3.m3.1.1.3.1.3" xref="S5.p3.3.m3.1.1.3.1.3.cmml">n</mi></msubsup><mrow id="S5.p3.3.m3.1.1.3.2" xref="S5.p3.3.m3.1.1.3.2.cmml"><msub id="S5.p3.3.m3.1.1.3.2.2" xref="S5.p3.3.m3.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S5.p3.3.m3.1.1.3.2.2.2" xref="S5.p3.3.m3.1.1.3.2.2.2.cmml">x</mi><mi id="S5.p3.3.m3.1.1.3.2.2.3" xref="S5.p3.3.m3.1.1.3.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S5.p3.3.m3.1.1.3.2.1" xref="S5.p3.3.m3.1.1.3.2.1.cmml">/</mo><mi id="S5.p3.3.m3.1.1.3.2.3" xref="S5.p3.3.m3.1.1.3.2.3.cmml">n</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p3.3.m3.1b"><apply id="S5.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.p3.3.m3.1.1"><eq id="S5.p3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.p3.3.m3.1.1.1"></eq><apply id="S5.p3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.p3.3.m3.1.1.2"><ci id="S5.p3.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p3.3.m3.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S5.p3.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p3.3.m3.1.1.2.2">𝑥</ci></apply><apply id="S5.p3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.p3.3.m3.1.1.3"><apply id="S5.p3.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p3.3.m3.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p3.3.m3.1.1.3.1.1.cmml" xref="S5.p3.3.m3.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="S5.p3.3.m3.1.1.3.1.2.cmml" xref="S5.p3.3.m3.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p3.3.m3.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="S5.p3.3.m3.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S5.p3.3.m3.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="S5.p3.3.m3.1.1.3.1.2.2"></sum><apply id="S5.p3.3.m3.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="S5.p3.3.m3.1.1.3.1.2.3"><eq id="S5.p3.3.m3.1.1.3.1.2.3.1.cmml" xref="S5.p3.3.m3.1.1.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S5.p3.3.m3.1.1.3.1.2.3.2.cmml" xref="S5.p3.3.m3.1.1.3.1.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S5.p3.3.m3.1.1.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p3.3.m3.1.1.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S5.p3.3.m3.1.1.3.1.3.cmml" xref="S5.p3.3.m3.1.1.3.1.3">𝑛</ci></apply><apply id="S5.p3.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p3.3.m3.1.1.3.2"><divide id="S5.p3.3.m3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.p3.3.m3.1.1.3.2.1"></divide><apply id="S5.p3.3.m3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.p3.3.m3.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p3.3.m3.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.p3.3.m3.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p3.3.m3.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.p3.3.m3.1.1.3.2.2.2">𝑥</ci><ci id="S5.p3.3.m3.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S5.p3.3.m3.1.1.3.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S5.p3.3.m3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.p3.3.m3.1.1.3.2.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p3.3.m3.1c">\overline{x}=\sum_{i=1}^{n}x_{i}/n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p3.3.m3.1d">over¯ start_ARG italic_x end_ARG = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT / italic_n</annotation></semantics></math> and <math alttext="\overline{y}=\sum_{i=1}^{n}y_{i}/n" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p3.4.m4.1"><semantics id="S5.p3.4.m4.1a"><mrow id="S5.p3.4.m4.1.1" xref="S5.p3.4.m4.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S5.p3.4.m4.1.1.2" xref="S5.p3.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p3.4.m4.1.1.2.2" xref="S5.p3.4.m4.1.1.2.2.cmml">y</mi><mo id="S5.p3.4.m4.1.1.2.1" xref="S5.p3.4.m4.1.1.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S5.p3.4.m4.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S5.p3.4.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.p3.4.m4.1.1.3" xref="S5.p3.4.m4.1.1.3.cmml"><msubsup id="S5.p3.4.m4.1.1.3.1" xref="S5.p3.4.m4.1.1.3.1.cmml"><mo id="S5.p3.4.m4.1.1.3.1.2.2" xref="S5.p3.4.m4.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S5.p3.4.m4.1.1.3.1.2.3" xref="S5.p3.4.m4.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="S5.p3.4.m4.1.1.3.1.2.3.2" xref="S5.p3.4.m4.1.1.3.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S5.p3.4.m4.1.1.3.1.2.3.1" xref="S5.p3.4.m4.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S5.p3.4.m4.1.1.3.1.2.3.3" xref="S5.p3.4.m4.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S5.p3.4.m4.1.1.3.1.3" xref="S5.p3.4.m4.1.1.3.1.3.cmml">n</mi></msubsup><mrow id="S5.p3.4.m4.1.1.3.2" xref="S5.p3.4.m4.1.1.3.2.cmml"><msub id="S5.p3.4.m4.1.1.3.2.2" xref="S5.p3.4.m4.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S5.p3.4.m4.1.1.3.2.2.2" xref="S5.p3.4.m4.1.1.3.2.2.2.cmml">y</mi><mi id="S5.p3.4.m4.1.1.3.2.2.3" xref="S5.p3.4.m4.1.1.3.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S5.p3.4.m4.1.1.3.2.1" xref="S5.p3.4.m4.1.1.3.2.1.cmml">/</mo><mi id="S5.p3.4.m4.1.1.3.2.3" xref="S5.p3.4.m4.1.1.3.2.3.cmml">n</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p3.4.m4.1b"><apply id="S5.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.p3.4.m4.1.1"><eq id="S5.p3.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S5.p3.4.m4.1.1.1"></eq><apply id="S5.p3.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S5.p3.4.m4.1.1.2"><ci id="S5.p3.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p3.4.m4.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S5.p3.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p3.4.m4.1.1.2.2">𝑦</ci></apply><apply id="S5.p3.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S5.p3.4.m4.1.1.3"><apply id="S5.p3.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p3.4.m4.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p3.4.m4.1.1.3.1.1.cmml" xref="S5.p3.4.m4.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="S5.p3.4.m4.1.1.3.1.2.cmml" xref="S5.p3.4.m4.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p3.4.m4.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="S5.p3.4.m4.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S5.p3.4.m4.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="S5.p3.4.m4.1.1.3.1.2.2"></sum><apply id="S5.p3.4.m4.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="S5.p3.4.m4.1.1.3.1.2.3"><eq id="S5.p3.4.m4.1.1.3.1.2.3.1.cmml" xref="S5.p3.4.m4.1.1.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S5.p3.4.m4.1.1.3.1.2.3.2.cmml" xref="S5.p3.4.m4.1.1.3.1.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S5.p3.4.m4.1.1.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p3.4.m4.1.1.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S5.p3.4.m4.1.1.3.1.3.cmml" xref="S5.p3.4.m4.1.1.3.1.3">𝑛</ci></apply><apply id="S5.p3.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p3.4.m4.1.1.3.2"><divide id="S5.p3.4.m4.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.p3.4.m4.1.1.3.2.1"></divide><apply id="S5.p3.4.m4.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.p3.4.m4.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p3.4.m4.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.p3.4.m4.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p3.4.m4.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.p3.4.m4.1.1.3.2.2.2">𝑦</ci><ci id="S5.p3.4.m4.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S5.p3.4.m4.1.1.3.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S5.p3.4.m4.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.p3.4.m4.1.1.3.2.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p3.4.m4.1c">\overline{y}=\sum_{i=1}^{n}y_{i}/n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p3.4.m4.1d">over¯ start_ARG italic_y end_ARG = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT / italic_n</annotation></semantics></math>, the Pearson linear correlation coefficient is given by</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx18"> <tbody id="S5.Ex2"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle r_{x,y}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-% \overline{y})}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}}\sqrt{\sum% \limits_{i=1}^{n}(y_{i}-\overline{y})^{2}}}." class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex2.m1.7"><semantics id="S5.Ex2.m1.7a"><mrow id="S5.Ex2.m1.7.7.1" xref="S5.Ex2.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex2.m1.7.7.1.1" xref="S5.Ex2.m1.7.7.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex2.m1.7.7.1.1.2" xref="S5.Ex2.m1.7.7.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2" xref="S5.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.cmml">r</mi><mrow id="S5.Ex2.m1.2.2.2.4" xref="S5.Ex2.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex2.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex2.m1.1.1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex2.m1.2.2.2.4.1" xref="S5.Ex2.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex2.m1.2.2.2.2" xref="S5.Ex2.m1.2.2.2.2.cmml">y</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex2.m1.7.7.1.1.1" xref="S5.Ex2.m1.7.7.1.1.1.cmml">=</mo><mfrac id="S5.Ex2.m1.6.6" xref="S5.Ex2.m1.6.6.cmml"><mrow id="S5.Ex2.m1.4.4.2" xref="S5.Ex2.m1.4.4.2.cmml"><munderover id="S5.Ex2.m1.4.4.2.3" xref="S5.Ex2.m1.4.4.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex2.m1.4.4.2.3.2.2" movablelimits="false" xref="S5.Ex2.m1.4.4.2.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S5.Ex2.m1.4.4.2.3.2.3" xref="S5.Ex2.m1.4.4.2.3.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex2.m1.4.4.2.3.2.3.2" xref="S5.Ex2.m1.4.4.2.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S5.Ex2.m1.4.4.2.3.2.3.1" xref="S5.Ex2.m1.4.4.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S5.Ex2.m1.4.4.2.3.2.3.3" xref="S5.Ex2.m1.4.4.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S5.Ex2.m1.4.4.2.3.3" xref="S5.Ex2.m1.4.4.2.3.3.cmml">n</mi></munderover><mrow id="S5.Ex2.m1.4.4.2.2" xref="S5.Ex2.m1.4.4.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S5.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.2" lspace="0em" stretchy="false" xref="S5.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mi id="S5.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S5.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mover accent="true" id="S5.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><mo id="S5.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex2.m1.4.4.2.2.3" xref="S5.Ex2.m1.4.4.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex2.m1.4.4.2.2.2.1" xref="S5.Ex2.m1.4.4.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex2.m1.4.4.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex2.m1.4.4.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex2.m1.4.4.2.2.2.1.1" xref="S5.Ex2.m1.4.4.2.2.2.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex2.m1.4.4.2.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex2.m1.4.4.2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex2.m1.4.4.2.2.2.1.1.2.2" xref="S5.Ex2.m1.4.4.2.2.2.1.1.2.2.cmml">y</mi><mi id="S5.Ex2.m1.4.4.2.2.2.1.1.2.3" xref="S5.Ex2.m1.4.4.2.2.2.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S5.Ex2.m1.4.4.2.2.2.1.1.1" xref="S5.Ex2.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mover accent="true" id="S5.Ex2.m1.4.4.2.2.2.1.1.3" xref="S5.Ex2.m1.4.4.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex2.m1.4.4.2.2.2.1.1.3.2" xref="S5.Ex2.m1.4.4.2.2.2.1.1.3.2.cmml">y</mi><mo id="S5.Ex2.m1.4.4.2.2.2.1.1.3.1" xref="S5.Ex2.m1.4.4.2.2.2.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><mo id="S5.Ex2.m1.4.4.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex2.m1.4.4.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mrow id="S5.Ex2.m1.6.6.4" xref="S5.Ex2.m1.6.6.4.cmml"><msqrt id="S5.Ex2.m1.5.5.3.1" xref="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.cmml"><mrow id="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1" xref="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.cmml"><munderover id="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.2" xref="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.2.2.3.2" xref="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.2.2.3.1" xref="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.2.2.3.3" xref="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.2.3" xref="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.2.3.cmml">n</mi></munderover><msup id="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.1" xref="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" stretchy="false" xref="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mi id="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mover accent="true" id="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><mo id="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.1.3" xref="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></msqrt><mo id="S5.Ex2.m1.6.6.4.3" xref="S5.Ex2.m1.6.6.4.3.cmml">⁢</mo><msqrt id="S5.Ex2.m1.6.6.4.2" xref="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.cmml"><mrow id="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1" xref="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.cmml"><munderover id="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.2" xref="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.2.2.3" xref="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.2.2.3.2" xref="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.2.2.3.1" xref="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.2.2.3.3" xref="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.2.3" xref="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.2.3.cmml">n</mi></munderover><msup id="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.1" xref="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.1.1.1" xref="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.1.1.1.2" lspace="0em" stretchy="false" xref="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">y</mi><mi id="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mover accent="true" id="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">y</mi><mo id="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><mo id="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.1.3" xref="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></msqrt></mrow></mfrac></mrow><mo id="S5.Ex2.m1.7.7.1.2" lspace="0em" xref="S5.Ex2.m1.7.7.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex2.m1.7b"><apply id="S5.Ex2.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.7.7.1"><eq id="S5.Ex2.m1.7.7.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.7.7.1.1.1"></eq><apply id="S5.Ex2.m1.7.7.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.7.7.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex2.m1.7.7.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.7.7.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2">𝑟</ci><list id="S5.Ex2.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex2.m1.2.2.2.4"><ci id="S5.Ex2.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.1.1.1.1">𝑥</ci><ci id="S5.Ex2.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.2.2.2.2">𝑦</ci></list></apply><apply id="S5.Ex2.m1.6.6.cmml" xref="S5.Ex2.m1.6.6"><divide id="S5.Ex2.m1.6.6.5.cmml" xref="S5.Ex2.m1.6.6"></divide><apply id="S5.Ex2.m1.4.4.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.2"><apply id="S5.Ex2.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex2.m1.4.4.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.2.3">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex2.m1.4.4.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex2.m1.4.4.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.2.3">subscript</csymbol><sum id="S5.Ex2.m1.4.4.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.2.3.2.2"></sum><apply id="S5.Ex2.m1.4.4.2.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.2.3.2.3"><eq id="S5.Ex2.m1.4.4.2.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.2.3.2.3.1"></eq><ci id="S5.Ex2.m1.4.4.2.3.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.2.3.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S5.Ex2.m1.4.4.2.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex2.m1.4.4.2.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S5.Ex2.m1.4.4.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.2.3.3">𝑛</ci></apply><apply id="S5.Ex2.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.2.2"><times id="S5.Ex2.m1.4.4.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.2.2.3"></times><apply id="S5.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1"><minus id="S5.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S5.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2">𝑥</ci><ci id="S5.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S5.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3"><ci id="S5.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1">¯</ci><ci id="S5.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex2.m1.4.4.2.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.2.2.2.1"><minus id="S5.Ex2.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.2.2.2.1.1.1"></minus><apply id="S5.Ex2.m1.4.4.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.2.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex2.m1.4.4.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.2.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex2.m1.4.4.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.2.2.2.1.1.2.2">𝑦</ci><ci id="S5.Ex2.m1.4.4.2.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.2.2.2.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S5.Ex2.m1.4.4.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.2.2.2.1.1.3"><ci id="S5.Ex2.m1.4.4.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.2.2.2.1.1.3.1">¯</ci><ci id="S5.Ex2.m1.4.4.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.4.4.2.2.2.1.1.3.2">𝑦</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex2.m1.6.6.4.cmml" xref="S5.Ex2.m1.6.6.4"><times id="S5.Ex2.m1.6.6.4.3.cmml" xref="S5.Ex2.m1.6.6.4.3"></times><apply id="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.5.5.3.1"><root id="S5.Ex2.m1.5.5.3.1a.cmml" xref="S5.Ex2.m1.5.5.3.1"></root><apply id="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1"><apply id="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.2.2.2"></sum><apply id="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.2.2.3"><eq id="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.2.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1"><minus id="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑥</ci><ci id="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.3"><ci id="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.3.1">¯</ci><ci id="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑥</ci></apply></apply><cn id="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex2.m1.5.5.3.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.6.6.4.2"><root id="S5.Ex2.m1.6.6.4.2a.cmml" xref="S5.Ex2.m1.6.6.4.2"></root><apply id="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1"><apply id="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.2">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.2">subscript</csymbol><sum id="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.2.2.2"></sum><apply id="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.2.2.3"><eq id="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.2.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.1.1.1"><minus id="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.1.1.1.1.2.2">𝑦</ci><ci id="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.1.1.1.1.3"><ci id="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.1.1.1.1.3.1">¯</ci><ci id="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.1.1.1.1.3.2">𝑦</ci></apply></apply><cn id="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex2.m1.6.6.4.2.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex2.m1.7c">\displaystyle r_{x,y}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-% \overline{y})}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}}\sqrt{\sum% \limits_{i=1}^{n}(y_{i}-\overline{y})^{2}}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex2.m1.7d">italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_x , italic_y end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - over¯ start_ARG italic_x end_ARG ) ( italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - over¯ start_ARG italic_y end_ARG ) end_ARG start_ARG square-root start_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - over¯ start_ARG italic_x end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG square-root start_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - over¯ start_ARG italic_y end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p3.7">This coefficient ranges from -1 to 1, where 1 indicates perfect positive correlation, -1 perfect negative correlation, and 0 no correlation. In this context, the correlation was calculated between two discretised trajectories of the <math alttext="w" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p3.5.m1.1"><semantics id="S5.p3.5.m1.1a"><mi id="S5.p3.5.m1.1.1" xref="S5.p3.5.m1.1.1.cmml">w</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p3.5.m1.1b"><ci id="S5.p3.5.m1.1.1.cmml" xref="S5.p3.5.m1.1.1">𝑤</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p3.5.m1.1c">w</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p3.5.m1.1d">italic_w</annotation></semantics></math> state-component, initialised with a difference of approximately <math alttext="10^{-9}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p3.6.m2.1"><semantics id="S5.p3.6.m2.1a"><msup id="S5.p3.6.m2.1.1" xref="S5.p3.6.m2.1.1.cmml"><mn id="S5.p3.6.m2.1.1.2" xref="S5.p3.6.m2.1.1.2.cmml">10</mn><mrow id="S5.p3.6.m2.1.1.3" xref="S5.p3.6.m2.1.1.3.cmml"><mo id="S5.p3.6.m2.1.1.3a" xref="S5.p3.6.m2.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S5.p3.6.m2.1.1.3.2" xref="S5.p3.6.m2.1.1.3.2.cmml">9</mn></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p3.6.m2.1b"><apply id="S5.p3.6.m2.1.1.cmml" xref="S5.p3.6.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p3.6.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.p3.6.m2.1.1">superscript</csymbol><cn id="S5.p3.6.m2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.p3.6.m2.1.1.2">10</cn><apply id="S5.p3.6.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.p3.6.m2.1.1.3"><minus id="S5.p3.6.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p3.6.m2.1.1.3"></minus><cn id="S5.p3.6.m2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.p3.6.m2.1.1.3.2">9</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p3.6.m2.1c">10^{-9}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p3.6.m2.1d">10 start_POSTSUPERSCRIPT - 9 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> units. As shown in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S5.F5" title="Figure 5 ‣ 5 Intermittent chaos in time delay QS system ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a>, the blue bars reveal strong correlation between <math alttext="w" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p3.7.m3.1"><semantics id="S5.p3.7.m3.1a"><mi id="S5.p3.7.m3.1.1" xref="S5.p3.7.m3.1.1.cmml">w</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p3.7.m3.1b"><ci id="S5.p3.7.m3.1.1.cmml" xref="S5.p3.7.m3.1.1">𝑤</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p3.7.m3.1c">w</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p3.7.m3.1d">italic_w</annotation></semantics></math>-orbits within the periodic regimes, while the correlation collapses to naught in the windows where chaotic behaviour dominates. This characteristic pattern is indicative of <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S5.p3.7.1">intermittent chaos</span>, a phenomenon first described by Pomeau and Manneville in their analysis of the Lorenz system <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#bib.bib25" title="">25</a>]</cite>. Intermittent chaos is a well-established phenomenon in time-delayed regulatory gene circuits, often attributed to the inherent delays in intracellular processes <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#bib.bib32" title="">32</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p4"> <p class="ltx_p" id="S5.p4.1">The comprehensive numerical simulations presented here provided further compelling evidence of the system’s richness dynamical repertoire. Such simulations not only corroborated the analytical predictions regarding the presence of self-sustained periodic oscillations, but also revealed the presence of intermittent chaotic behaviour as the delay parameters slowly vary. The intermittent nature of this chaotic regime, characterised by distinct phases of laminar flow punctuated by bursts of chaotic activity, strongly suggests a complex interaction between the destabilised steady-state and the emerging oscillatory modes. That is, the scheme that found and illustrated in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S5.F5" title="Figure 5 ‣ 5 Intermittent chaos in time delay QS system ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a> corresponds to Type-II intermittency, within the Pomeau–Manneville classification design, which represents a distinct pathway to chaotic dynamics characterised by the irregular, intermittent switching between laminar phases and bursts of chaotic activity. A key distinguishing feature of Type-II intermittency is its association with a subcritical Hopf bifurcation. Specifically, as a system parameter traverses a critical value, a complex conjugate pair of eigenvalues associated with a stable periodic orbit crosses the imaginary axis, destabilising such orbit. The complex monodromic eigenvalues at the bifurcation point are of the form <math alttext="\mu=\left(1+\varepsilon\right)e^{i\theta}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p4.1.m1.1"><semantics id="S5.p4.1.m1.1a"><mrow id="S5.p4.1.m1.1.1" xref="S5.p4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.p4.1.m1.1.1.3" xref="S5.p4.1.m1.1.1.3.cmml">μ</mi><mo id="S5.p4.1.m1.1.1.2" xref="S5.p4.1.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.p4.1.m1.1.1.1" xref="S5.p4.1.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.p4.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S5.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S5.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ε</mi></mrow><mo id="S5.p4.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.p4.1.m1.1.1.1.2" xref="S5.p4.1.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S5.p4.1.m1.1.1.1.3" xref="S5.p4.1.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p4.1.m1.1.1.1.3.2" xref="S5.p4.1.m1.1.1.1.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S5.p4.1.m1.1.1.1.3.3" xref="S5.p4.1.m1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.p4.1.m1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.p4.1.m1.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S5.p4.1.m1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.p4.1.m1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p4.1.m1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.p4.1.m1.1.1.1.3.3.3.cmml">θ</mi></mrow></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p4.1.m1.1b"><apply id="S5.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p4.1.m1.1.1"><eq id="S5.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p4.1.m1.1.1.2"></eq><ci id="S5.p4.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.p4.1.m1.1.1.3">𝜇</ci><apply id="S5.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.p4.1.m1.1.1.1"><times id="S5.p4.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p4.1.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p4.1.m1.1.1.1.1.1"><plus id="S5.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><cn id="S5.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="S5.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝜀</ci></apply><apply id="S5.p4.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p4.1.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p4.1.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p4.1.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.p4.1.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p4.1.m1.1.1.1.3.2">𝑒</ci><apply id="S5.p4.1.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p4.1.m1.1.1.1.3.3"><times id="S5.p4.1.m1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.p4.1.m1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S5.p4.1.m1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.p4.1.m1.1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S5.p4.1.m1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.p4.1.m1.1.1.1.3.3.3">𝜃</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p4.1.m1.1c">\mu=\left(1+\varepsilon\right)e^{i\theta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p4.1.m1.1d">italic_μ = ( 1 + italic_ε ) italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_θ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, where the local Poincare map can be described, in polar coordinates, by its normal form</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx19"> <tbody id="S5.Ex5"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\left\{\begin{array}[]{l}r_{n+1}=\left(1+\varepsilon\right)r_{n}+% ar^{3}_{n}\,,\\[4.30554pt] \theta_{n+1}=\theta_{n}+c+br^{2}\,,\end{array}\right." class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex5.m1.1"><semantics id="S5.Ex5.m1.1a"><mrow id="S5.Ex5.m1.1.2.2" xref="S5.Ex5.m1.1.2.1.cmml"><mo id="S5.Ex5.m1.1.2.2.1" xref="S5.Ex5.m1.1.2.1.1.cmml">{</mo><mtable displaystyle="true" id="S5.Ex5.m1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S5.Ex5.m1.1.1.cmml"><mtr id="S5.Ex5.m1.1.1a" xref="S5.Ex5.m1.1.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S5.Ex5.m1.1.1b" xref="S5.Ex5.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex3.1.1.1" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex3.1.1.1.1" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex3.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex3.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.3.2.cmml">r</mi><mrow id="S5.Ex3.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex3.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S5.Ex3.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S5.Ex3.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S5.Ex3.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex3.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex3.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.Ex3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S5.Ex3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S5.Ex3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ε</mi></mrow><mo id="S5.Ex3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">r</mi><mi id="S5.Ex3.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></msub></mrow><mo id="S5.Ex3.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex3.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex3.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.1.3.2.cmml">a</mi><mo id="S5.Ex3.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex3.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex3.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">r</mi><mi id="S5.Ex3.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">n</mi><mn id="S5.Ex3.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">3</mn></msubsup></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex3.1.1.1.2" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow></mtd></mtr><mtr id="S5.Ex5.m1.1.1c" xref="S5.Ex5.m1.1.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S5.Ex5.m1.1.1d" xref="S5.Ex5.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex4.1.1.1" xref="S5.Ex4.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex4.1.1.1.1" xref="S5.Ex4.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex4.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex4.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex4.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex4.1.1.1.1.2.2.cmml">θ</mi><mrow id="S5.Ex4.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex4.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex4.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex4.1.1.1.1.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S5.Ex4.1.1.1.1.2.3.1" xref="S5.Ex4.1.1.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S5.Ex4.1.1.1.1.2.3.3" xref="S5.Ex4.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S5.Ex4.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex4.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex4.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex4.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S5.Ex4.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex4.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex4.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex4.1.1.1.1.3.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S5.Ex4.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex4.1.1.1.1.3.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S5.Ex4.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex4.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mi id="S5.Ex4.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex4.1.1.1.1.3.3.cmml">c</mi><mo id="S5.Ex4.1.1.1.1.3.1a" xref="S5.Ex4.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex4.1.1.1.1.3.4" xref="S5.Ex4.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S5.Ex4.1.1.1.1.3.4.2" xref="S5.Ex4.1.1.1.1.3.4.2.cmml">b</mi><mo id="S5.Ex4.1.1.1.1.3.4.1" xref="S5.Ex4.1.1.1.1.3.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex4.1.1.1.1.3.4.3" xref="S5.Ex4.1.1.1.1.3.4.3.cmml"><mi id="S5.Ex4.1.1.1.1.3.4.3.2" xref="S5.Ex4.1.1.1.1.3.4.3.2.cmml">r</mi><mn id="S5.Ex4.1.1.1.1.3.4.3.3" xref="S5.Ex4.1.1.1.1.3.4.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex4.1.1.1.2" xref="S5.Ex4.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><mi id="S5.Ex5.m1.1.2.2.2" xref="S5.Ex5.m1.1.2.1.1.cmml"></mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex5.m1.1b"><apply id="S5.Ex5.m1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex5.m1.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex5.m1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex5.m1.1.2.2.1">cases</csymbol><matrix id="S5.Ex5.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex5.m1.1.1"><matrixrow id="S5.Ex5.m1.1.1a.cmml" xref="S5.Ex5.m1.1.1"><apply id="S5.Ex3.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex3.1.1.1"><eq id="S5.Ex3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S5.Ex3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.3.2">𝑟</ci><apply id="S5.Ex3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.3.3"><plus id="S5.Ex3.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.3.3.1"></plus><ci id="S5.Ex3.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.3.3.2">𝑛</ci><cn id="S5.Ex3.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.1"><plus id="S5.Ex3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.1.2"></plus><apply id="S5.Ex3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.1.1"><times id="S5.Ex3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.Ex3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S5.Ex3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><cn id="S5.Ex3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="S5.Ex3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜀</ci></apply><apply id="S5.Ex3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑟</ci><ci id="S5.Ex3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.1.3"><times id="S5.Ex3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S5.Ex3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.1.3.2">𝑎</ci><apply id="S5.Ex3.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex3.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex3.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex3.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex3.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑟</ci><cn id="S5.Ex3.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.1.3.3.2.3">3</cn></apply><ci id="S5.Ex3.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex3.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S5.Ex5.m1.1.1b.cmml" xref="S5.Ex5.m1.1.1"><apply id="S5.Ex4.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex4.1.1.1"><eq id="S5.Ex4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex4.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S5.Ex4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex4.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex4.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex4.1.1.1.1.2.2">𝜃</ci><apply id="S5.Ex4.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex4.1.1.1.1.2.3"><plus id="S5.Ex4.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex4.1.1.1.1.2.3.1"></plus><ci id="S5.Ex4.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex4.1.1.1.1.2.3.2">𝑛</ci><cn id="S5.Ex4.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex4.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex4.1.1.1.1.3"><plus id="S5.Ex4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex4.1.1.1.1.3.1"></plus><apply id="S5.Ex4.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex4.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex4.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex4.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex4.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex4.1.1.1.1.3.2.2">𝜃</ci><ci id="S5.Ex4.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex4.1.1.1.1.3.2.3">𝑛</ci></apply><ci id="S5.Ex4.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex4.1.1.1.1.3.3">𝑐</ci><apply id="S5.Ex4.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S5.Ex4.1.1.1.1.3.4"><times id="S5.Ex4.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S5.Ex4.1.1.1.1.3.4.1"></times><ci id="S5.Ex4.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S5.Ex4.1.1.1.1.3.4.2">𝑏</ci><apply id="S5.Ex4.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S5.Ex4.1.1.1.1.3.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex4.1.1.1.1.3.4.3.1.cmml" xref="S5.Ex4.1.1.1.1.3.4.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex4.1.1.1.1.3.4.3.2.cmml" xref="S5.Ex4.1.1.1.1.3.4.3.2">𝑟</ci><cn id="S5.Ex4.1.1.1.1.3.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex4.1.1.1.1.3.4.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></matrixrow></matrix></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex5.m1.1c">\displaystyle\left\{\begin{array}[]{l}r_{n+1}=\left(1+\varepsilon\right)r_{n}+% ar^{3}_{n}\,,\\[4.30554pt] \theta_{n+1}=\theta_{n}+c+br^{2}\,,\end{array}\right.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex5.m1.1d">{ start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_n + 1 end_POSTSUBSCRIPT = ( 1 + italic_ε ) italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT + italic_a italic_r start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT , end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_n + 1 end_POSTSUBSCRIPT = italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT + italic_c + italic_b italic_r start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT , end_CELL end_ROW end_ARRAY</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p4.5">where <math alttext="a,b,c\in\mathbb{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p4.2.m1.3"><semantics id="S5.p4.2.m1.3a"><mrow id="S5.p4.2.m1.3.4" xref="S5.p4.2.m1.3.4.cmml"><mrow id="S5.p4.2.m1.3.4.2.2" xref="S5.p4.2.m1.3.4.2.1.cmml"><mi id="S5.p4.2.m1.1.1" xref="S5.p4.2.m1.1.1.cmml">a</mi><mo id="S5.p4.2.m1.3.4.2.2.1" xref="S5.p4.2.m1.3.4.2.1.cmml">,</mo><mi id="S5.p4.2.m1.2.2" xref="S5.p4.2.m1.2.2.cmml">b</mi><mo id="S5.p4.2.m1.3.4.2.2.2" xref="S5.p4.2.m1.3.4.2.1.cmml">,</mo><mi id="S5.p4.2.m1.3.3" xref="S5.p4.2.m1.3.3.cmml">c</mi></mrow><mo id="S5.p4.2.m1.3.4.1" xref="S5.p4.2.m1.3.4.1.cmml">∈</mo><mi id="S5.p4.2.m1.3.4.3" xref="S5.p4.2.m1.3.4.3.cmml">ℝ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p4.2.m1.3b"><apply id="S5.p4.2.m1.3.4.cmml" xref="S5.p4.2.m1.3.4"><in id="S5.p4.2.m1.3.4.1.cmml" xref="S5.p4.2.m1.3.4.1"></in><list id="S5.p4.2.m1.3.4.2.1.cmml" xref="S5.p4.2.m1.3.4.2.2"><ci id="S5.p4.2.m1.1.1.cmml" xref="S5.p4.2.m1.1.1">𝑎</ci><ci id="S5.p4.2.m1.2.2.cmml" xref="S5.p4.2.m1.2.2">𝑏</ci><ci id="S5.p4.2.m1.3.3.cmml" xref="S5.p4.2.m1.3.3">𝑐</ci></list><ci id="S5.p4.2.m1.3.4.3.cmml" xref="S5.p4.2.m1.3.4.3">ℝ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p4.2.m1.3c">a,b,c\in\mathbb{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p4.2.m1.3d">italic_a , italic_b , italic_c ∈ blackboard_R</annotation></semantics></math> are constant, and Type-II intermittency occurs for <math alttext="\varepsilon>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p4.3.m2.1"><semantics id="S5.p4.3.m2.1a"><mrow id="S5.p4.3.m2.1.1" xref="S5.p4.3.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.p4.3.m2.1.1.2" xref="S5.p4.3.m2.1.1.2.cmml">ε</mi><mo id="S5.p4.3.m2.1.1.1" xref="S5.p4.3.m2.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S5.p4.3.m2.1.1.3" xref="S5.p4.3.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p4.3.m2.1b"><apply id="S5.p4.3.m2.1.1.cmml" xref="S5.p4.3.m2.1.1"><gt id="S5.p4.3.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.p4.3.m2.1.1.1"></gt><ci id="S5.p4.3.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.p4.3.m2.1.1.2">𝜀</ci><cn id="S5.p4.3.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p4.3.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p4.3.m2.1c">\varepsilon>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p4.3.m2.1d">italic_ε > 0</annotation></semantics></math>, see <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#bib.bib6" title="">6</a>]</cite>. This destabilisation gives rise not to a global chaotic attractor, but rather to a <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S5.p4.5.1">repeller</span> in the vicinity of the now-unstable periodic orbit. The dynamics near this repeller are inherently chaotic, due to its unstable nature provided by positive Lyapunov exponents, here described by means of the geometric transversality parameter (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.E13" title="Equation 13 ‣ 3.2.2 A geometric transversality condition. ‣ 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">13</span></a>) and confirmed by computations shown in Figures <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S3.F2" title="Figure 2 ‣ 3.2.2 A geometric transversality condition. ‣ 3.2 Time delayed QS local stability. ‣ 3 Steady-states and local stability. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a> and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S4.F3" title="Figure 3 ‣ 4 Numerical bifurcation analysis of time delay QS system. ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>. Orbits are intermittently “injected” into the neighbourhood of this repeller, leading to a burst of chaotic behaviour. Following this excursion into the chaotic region, the trajectory is subsequently re-injected into the phase space region previously occupied by the stable periodic orbit, resulting in a return to laminar periodic flow as is illustrated in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#S5.F5" title="Figure 5 ‣ 5 Intermittent chaos in time delay QS system ‣ Transitions to Intermittent Chaos in Quorum Sensing Dynamics"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a>, upper row. The average durations of these laminar phases, <math alttext="\bar{l}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p4.4.m3.1"><semantics id="S5.p4.4.m3.1a"><mover accent="true" id="S5.p4.4.m3.1.1" xref="S5.p4.4.m3.1.1.cmml"><mi id="S5.p4.4.m3.1.1.2" xref="S5.p4.4.m3.1.1.2.cmml">l</mi><mo id="S5.p4.4.m3.1.1.1" xref="S5.p4.4.m3.1.1.1.cmml">¯</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p4.4.m3.1b"><apply id="S5.p4.4.m3.1.1.cmml" xref="S5.p4.4.m3.1.1"><ci id="S5.p4.4.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.p4.4.m3.1.1.1">¯</ci><ci id="S5.p4.4.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.p4.4.m3.1.1.2">𝑙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p4.4.m3.1c">\bar{l}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p4.4.m3.1d">over¯ start_ARG italic_l end_ARG</annotation></semantics></math>, are statistically distributed, typically exhibiting a power-law scaling with the distance of the bifurcation parameter from its critical value, which is <math alttext="\bar{l}\sim\varepsilon^{-1/2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p4.5.m4.1"><semantics id="S5.p4.5.m4.1a"><mrow id="S5.p4.5.m4.1.1" xref="S5.p4.5.m4.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S5.p4.5.m4.1.1.2" xref="S5.p4.5.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p4.5.m4.1.1.2.2" xref="S5.p4.5.m4.1.1.2.2.cmml">l</mi><mo id="S5.p4.5.m4.1.1.2.1" xref="S5.p4.5.m4.1.1.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S5.p4.5.m4.1.1.1" xref="S5.p4.5.m4.1.1.1.cmml">∼</mo><msup id="S5.p4.5.m4.1.1.3" xref="S5.p4.5.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p4.5.m4.1.1.3.2" xref="S5.p4.5.m4.1.1.3.2.cmml">ε</mi><mrow id="S5.p4.5.m4.1.1.3.3" xref="S5.p4.5.m4.1.1.3.3.cmml"><mo id="S5.p4.5.m4.1.1.3.3a" xref="S5.p4.5.m4.1.1.3.3.cmml">−</mo><mrow id="S5.p4.5.m4.1.1.3.3.2" xref="S5.p4.5.m4.1.1.3.3.2.cmml"><mn id="S5.p4.5.m4.1.1.3.3.2.2" xref="S5.p4.5.m4.1.1.3.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="S5.p4.5.m4.1.1.3.3.2.1" xref="S5.p4.5.m4.1.1.3.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="S5.p4.5.m4.1.1.3.3.2.3" xref="S5.p4.5.m4.1.1.3.3.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p4.5.m4.1b"><apply id="S5.p4.5.m4.1.1.cmml" xref="S5.p4.5.m4.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.p4.5.m4.1.1.1.cmml" xref="S5.p4.5.m4.1.1.1">similar-to</csymbol><apply id="S5.p4.5.m4.1.1.2.cmml" xref="S5.p4.5.m4.1.1.2"><ci id="S5.p4.5.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p4.5.m4.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S5.p4.5.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p4.5.m4.1.1.2.2">𝑙</ci></apply><apply id="S5.p4.5.m4.1.1.3.cmml" xref="S5.p4.5.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p4.5.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p4.5.m4.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.p4.5.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p4.5.m4.1.1.3.2">𝜀</ci><apply id="S5.p4.5.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p4.5.m4.1.1.3.3"><minus id="S5.p4.5.m4.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.p4.5.m4.1.1.3.3"></minus><apply id="S5.p4.5.m4.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.p4.5.m4.1.1.3.3.2"><divide id="S5.p4.5.m4.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.p4.5.m4.1.1.3.3.2.1"></divide><cn id="S5.p4.5.m4.1.1.3.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.p4.5.m4.1.1.3.3.2.2">1</cn><cn id="S5.p4.5.m4.1.1.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p4.5.m4.1.1.3.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p4.5.m4.1c">\bar{l}\sim\varepsilon^{-1/2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p4.5.m4.1d">over¯ start_ARG italic_l end_ARG ∼ italic_ε start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, see <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14363v2#bib.bib6" title="">6</a>]</cite>. The essential mechanism underlying this phenomenon is the interplay between the destabilised periodic orbit (and its associated repeller) and the reinjection process that governs the transitions between laminar and chaotic phases.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S6"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">6 </span>Concluding Remarks</h2> <div class="ltx_para" id="S6.p1"> <p class="ltx_p" id="S6.p1.2">This present study has investigated the profound influence of distinct time delays on the dynamical behaviour of a QS-inspired system, employing a nonlinear delay differential equation framework. Specifically, we modelled a system comprising motile and static bacterial subpopulations, each exhibiting distinct response times to autoinducer signals, thereby introducing two independent delay parameters, <math alttext="\tau_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p1.1.m1.1"><semantics id="S6.p1.1.m1.1a"><msub id="S6.p1.1.m1.1.1" xref="S6.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.p1.1.m1.1.1.2" xref="S6.p1.1.m1.1.1.2.cmml">τ</mi><mn id="S6.p1.1.m1.1.1.3" xref="S6.p1.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p1.1.m1.1b"><apply id="S6.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.p1.1.m1.1.1.2">𝜏</ci><cn id="S6.p1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.p1.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p1.1.m1.1c">\tau_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p1.1.m1.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\tau_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p1.2.m2.1"><semantics id="S6.p1.2.m2.1a"><msub id="S6.p1.2.m2.1.1" xref="S6.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S6.p1.2.m2.1.1.2" xref="S6.p1.2.m2.1.1.2.cmml">τ</mi><mn id="S6.p1.2.m2.1.1.3" xref="S6.p1.2.m2.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p1.2.m2.1b"><apply id="S6.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S6.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S6.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S6.p1.2.m2.1.1.2">𝜏</ci><cn id="S6.p1.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.p1.2.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p1.2.m2.1c">\tau_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p1.2.m2.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. This approach acknowledges the inherent temporal lags associated with the intricate network of biochemical processes underpinning QS, which may include signal production, transport diffusion features, and cellular response.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S6.p2"> <p class="ltx_p" id="S6.p2.7">Our analysis commenced explicitly incorporating two distinct delays, building upon a well-established activator-inhibitor framework to effectively represent the dynamic interplay between motile (activator) and static (inhibitor) bacterial populations. Subsequently, we conducted a detailed analysis of the existence and local stability properties of the system’s steady-states. Upon deriving the pseudo-characteristic polynomial and meticulously examining the conditions governing the emergence of purely imaginary eigenvalues, we established the potential for Hopf bifurcations as the delay parameters were slowly varied. Our findings show that the presence of multiple delays, particularly when characterised by significant disparities in magnitude, can dramatically alter the system’s stability features and promote the emergence of complex nonlinear oscillatory behaviour. Specifically, we have demonstrated that the steady-states <math alttext="E_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p2.1.m1.1"><semantics id="S6.p2.1.m1.1a"><msub id="S6.p2.1.m1.1.1" xref="S6.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.p2.1.m1.1.1.2" xref="S6.p2.1.m1.1.1.2.cmml">E</mi><mn id="S6.p2.1.m1.1.1.3" xref="S6.p2.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p2.1.m1.1b"><apply id="S6.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.p2.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.p2.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.p2.1.m1.1.1.2">𝐸</ci><cn id="S6.p2.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.p2.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p2.1.m1.1c">E_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p2.1.m1.1d">italic_E start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="E_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p2.2.m2.1"><semantics id="S6.p2.2.m2.1a"><msub id="S6.p2.2.m2.1.1" xref="S6.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S6.p2.2.m2.1.1.2" xref="S6.p2.2.m2.1.1.2.cmml">E</mi><mn id="S6.p2.2.m2.1.1.3" xref="S6.p2.2.m2.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p2.2.m2.1b"><apply id="S6.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S6.p2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S6.p2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S6.p2.2.m2.1.1.2">𝐸</ci><cn id="S6.p2.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.p2.2.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p2.2.m2.1c">E_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p2.2.m2.1d">italic_E start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> can undergo Hopf bifurcations, losing stability as the difference between the delays, <math alttext="h=\tau_{1}-\tau_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p2.3.m3.1"><semantics id="S6.p2.3.m3.1a"><mrow id="S6.p2.3.m3.1.1" xref="S6.p2.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S6.p2.3.m3.1.1.2" xref="S6.p2.3.m3.1.1.2.cmml">h</mi><mo id="S6.p2.3.m3.1.1.1" xref="S6.p2.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S6.p2.3.m3.1.1.3" xref="S6.p2.3.m3.1.1.3.cmml"><msub id="S6.p2.3.m3.1.1.3.2" xref="S6.p2.3.m3.1.1.3.2.cmml"><mi id="S6.p2.3.m3.1.1.3.2.2" xref="S6.p2.3.m3.1.1.3.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S6.p2.3.m3.1.1.3.2.3" xref="S6.p2.3.m3.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.p2.3.m3.1.1.3.1" xref="S6.p2.3.m3.1.1.3.1.cmml">−</mo><msub id="S6.p2.3.m3.1.1.3.3" xref="S6.p2.3.m3.1.1.3.3.cmml"><mi id="S6.p2.3.m3.1.1.3.3.2" xref="S6.p2.3.m3.1.1.3.3.2.cmml">τ</mi><mn id="S6.p2.3.m3.1.1.3.3.3" xref="S6.p2.3.m3.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p2.3.m3.1b"><apply id="S6.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S6.p2.3.m3.1.1"><eq id="S6.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S6.p2.3.m3.1.1.1"></eq><ci id="S6.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S6.p2.3.m3.1.1.2">ℎ</ci><apply id="S6.p2.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S6.p2.3.m3.1.1.3"><minus id="S6.p2.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S6.p2.3.m3.1.1.3.1"></minus><apply id="S6.p2.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S6.p2.3.m3.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p2.3.m3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S6.p2.3.m3.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S6.p2.3.m3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S6.p2.3.m3.1.1.3.2.2">𝜏</ci><cn id="S6.p2.3.m3.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.p2.3.m3.1.1.3.2.3">1</cn></apply><apply id="S6.p2.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S6.p2.3.m3.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p2.3.m3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S6.p2.3.m3.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S6.p2.3.m3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S6.p2.3.m3.1.1.3.3.2">𝜏</ci><cn id="S6.p2.3.m3.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.p2.3.m3.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p2.3.m3.1c">h=\tau_{1}-\tau_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p2.3.m3.1d">italic_h = italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT - italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, is increased, while the steady-state <math alttext="E_{3}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p2.4.m4.1"><semantics id="S6.p2.4.m4.1a"><msub id="S6.p2.4.m4.1.1" xref="S6.p2.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S6.p2.4.m4.1.1.2" xref="S6.p2.4.m4.1.1.2.cmml">E</mi><mn id="S6.p2.4.m4.1.1.3" xref="S6.p2.4.m4.1.1.3.cmml">3</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p2.4.m4.1b"><apply id="S6.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S6.p2.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p2.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S6.p2.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.p2.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S6.p2.4.m4.1.1.2">𝐸</ci><cn id="S6.p2.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.p2.4.m4.1.1.3">3</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p2.4.m4.1c">E_{3}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p2.4.m4.1d">italic_E start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> robustly maintains its stability across the explored range of delay values. The observed difference in the magnitude of <math alttext="h" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p2.5.m5.1"><semantics id="S6.p2.5.m5.1a"><mi id="S6.p2.5.m5.1.1" xref="S6.p2.5.m5.1.1.cmml">h</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p2.5.m5.1b"><ci id="S6.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S6.p2.5.m5.1.1">ℎ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p2.5.m5.1c">h</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p2.5.m5.1d">italic_h</annotation></semantics></math> required to induce instability in <math alttext="E_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p2.6.m6.1"><semantics id="S6.p2.6.m6.1a"><msub id="S6.p2.6.m6.1.1" xref="S6.p2.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S6.p2.6.m6.1.1.2" xref="S6.p2.6.m6.1.1.2.cmml">E</mi><mn id="S6.p2.6.m6.1.1.3" xref="S6.p2.6.m6.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p2.6.m6.1b"><apply id="S6.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S6.p2.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p2.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S6.p2.6.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.p2.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S6.p2.6.m6.1.1.2">𝐸</ci><cn id="S6.p2.6.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.p2.6.m6.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p2.6.m6.1c">E_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p2.6.m6.1d">italic_E start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> compared to <math alttext="E_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p2.7.m7.1"><semantics id="S6.p2.7.m7.1a"><msub id="S6.p2.7.m7.1.1" xref="S6.p2.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S6.p2.7.m7.1.1.2" xref="S6.p2.7.m7.1.1.2.cmml">E</mi><mn id="S6.p2.7.m7.1.1.3" xref="S6.p2.7.m7.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p2.7.m7.1b"><apply id="S6.p2.7.m7.1.1.cmml" xref="S6.p2.7.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p2.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S6.p2.7.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.p2.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S6.p2.7.m7.1.1.2">𝐸</ci><cn id="S6.p2.7.m7.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.p2.7.m7.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p2.7.m7.1c">E_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p2.7.m7.1d">italic_E start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> suggests a complex and nuanced interplay between the two distinct delays and the inherent dynamical properties of each respective steady-state.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S6.p3"> <p class="ltx_p" id="S6.p3.1">The results presented in this study make a significant contribution to our fundamental understanding of the role of time delays in shaping the dynamics of QS systems. Upon explicitly incorporating distinct delays for different state-components, we have shown how temporal factors can dramatically influence system stability and give rise to a spectrum of complex dynamical behaviours, including intermittent chaos. These findings offer crucial contributions to our understanding of microbial communication and have the potential to inform the development of innovative strategies for targeted manipulation of QS systems. Future research directions could explore an extension of the current model to incorporate spatial heterogeneity and more complex interaction topologies, important factors that are beyond the scope of the present analysis and will be addressed in future work. Moreover, the insights gained from this study may prove invaluable in the design and engineering of synthetic biological systems where precise control of gene expression and population dynamics is paramount.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S6.p4"> <p class="ltx_p" id="S6.p4.1">In summary, we have exhibited the impact of heterogeneous time delays on QS dynamics. Upon modelling subpopulation-specific response times, we have revealed the complex interplay between temporal heterogeneity, stability, and emergent oscillations. These findings promote our understanding of delay-mediated regulation and may offer a foundation for developing control strategies in synthetic biology, emphasising the necessity of considering temporal heterogeneity in certain complex biological systems.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S6.p5"> <p class="ltx_p" id="S6.p5.1">Moreover, the presented investigation has yielded key insights into the temporal dynamics of QS; however, the inherent spatial heterogeneity arising from transport phenomena constitutes a critical determinant of system behaviour. To achieve a more comprehensive and predictive understanding, future research will extend the current model to explicitly incorporate transport dynamics. This integration is essential for capturing the spatiotemporal complexity inherent in QS systems.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="Sx1"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section">Acknowledgements</h2> <div class="ltx_para" id="Sx1.p1"> <p class="ltx_p" id="Sx1.p1.1">AF thanks the financial support by ‘Programa CAPSEM I+DT’, Faculty of Engineering, UNAM. MAGO would like to thank Colegio de Ciencia y Tecnología for its financial support through project UACM CCYT2023-IMP-05 and CONAHCyT-SNII. VFBM thanks the financial support by Asociación Mexicana de Cultura A.C.</p> </div> </section> <section class="ltx_bibliography" id="bib"> <h2 class="ltx_title ltx_title_bibliography">References</h2> <ul class="ltx_biblist"> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib1"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[1]</span> <span class="ltx_bibblock"> <span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="bib.bib1.1.1">M. Barbarossa, C. Kutter, A. Fekete, and M. 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