Ekstremum funkcji – Wikipedia, wolna encyklopedia

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<li id="toc-Funkcje_rzeczywiste_jednej_zmiennej" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Funkcje_rzeczywiste_jednej_zmiennej"> <div class="vector-toc-text"> 3 Funkcje rzeczywiste jednej zmiennej </div> </a> <button aria-controls="toc-Funkcje_rzeczywiste_jednej_zmiennej-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Przełącz podsekcję Funkcje rzeczywiste jednej zmiennej </button> <ul id="toc-Funkcje_rzeczywiste_jednej_zmiennej-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Proste_przykłady_ekstremów" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Proste_przykłady_ekstremów"> <div class="vector-toc-text"> 3.1 Proste przykłady ekstremów </div> </a> <ul id="toc-Proste_przykłady_ekstremów-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Przykład_–_właściwe_minimum_lokalne_w_każdym_punkcie_dziedziny" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Przykład_–_właściwe_minimum_lokalne_w_każdym_punkcie_dziedziny"> <div class="vector-toc-text"> 3.2 Przykład – właściwe minimum lokalne w każdym punkcie dziedziny </div> </a> <ul id="toc-Przykład_–_właściwe_minimum_lokalne_w_każdym_punkcie_dziedziny-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Warunek_wystarczający_ekstremum_globalnego_–_twierdzenie_Weierstrassa" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Warunek_wystarczający_ekstremum_globalnego_–_twierdzenie_Weierstrassa"> <div class="vector-toc-text"> 3.3 Warunek wystarczający ekstremum globalnego – twierdzenie Weierstrassa </div> </a> <ul id="toc-Warunek_wystarczający_ekstremum_globalnego_–_twierdzenie_Weierstrassa-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Funkcje_różniczkowalne" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Funkcje_różniczkowalne"> <div class="vector-toc-text"> 3.4 Funkcje różniczkowalne </div> </a> <ul id="toc-Funkcje_różniczkowalne-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Warunek_konieczny_istnienia_ekstremum_lokalnego_(twierdzenie_Fermata)" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Warunek_konieczny_istnienia_ekstremum_lokalnego_(twierdzenie_Fermata)"> <div class="vector-toc-text"> 3.4.1 Warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego (twierdzenie Fermata) </div> </a> <ul id="toc-Warunek_konieczny_istnienia_ekstremum_lokalnego_(twierdzenie_Fermata)-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Warunek_konieczny_i_wystarczający_istnienia_ekstremum_lokalnego" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Warunek_konieczny_i_wystarczający_istnienia_ekstremum_lokalnego"> <div class="vector-toc-text"> 3.4.2 Warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum lokalnego </div> </a> <ul id="toc-Warunek_konieczny_i_wystarczający_istnienia_ekstremum_lokalnego-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Inne_warunki_wystarczające_istnienia_ekstremów" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Inne_warunki_wystarczające_istnienia_ekstremów"> <div class="vector-toc-text"> 3.4.3 Inne warunki wystarczające istnienia ekstremów </div> </a> <ul id="toc-Inne_warunki_wystarczające_istnienia_ekstremów-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Kryterium_istnienia_ekstremów_funkcji_n-krotnie_różniczkowalnych" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Kryterium_istnienia_ekstremów_funkcji_n-krotnie_różniczkowalnych"> <div class="vector-toc-text"> 3.4.4 Kryterium istnienia ekstremów funkcji n-krotnie różniczkowalnych </div> </a> <ul id="toc-Kryterium_istnienia_ekstremów_funkcji_n-krotnie_różniczkowalnych-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Proste_zagadnienia_optymalizacyjne" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Proste_zagadnienia_optymalizacyjne"> <div class="vector-toc-text"> 3.5 Proste zagadnienia optymalizacyjne </div> </a> <ul id="toc-Proste_zagadnienia_optymalizacyjne-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Pudełko_o_największej_objętości" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Pudełko_o_największej_objętości"> <div class="vector-toc-text"> 3.5.1 Pudełko o największej objętości </div> </a> <ul id="toc-Pudełko_o_największej_objętości-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Koszt_eksploatacji_statku" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Koszt_eksploatacji_statku"> <div class="vector-toc-text"> 3.5.2 Koszt eksploatacji statku </div> </a> <ul id="toc-Koszt_eksploatacji_statku-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Funkcje_określone_na_podzbiorach_przestrzeni_unormowanych" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Funkcje_określone_na_podzbiorach_przestrzeni_unormowanych"> <div class="vector-toc-text"> 4 Funkcje określone na podzbiorach przestrzeni unormowanych </div> </a> <button aria-controls="toc-Funkcje_określone_na_podzbiorach_przestrzeni_unormowanych-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Przełącz podsekcję Funkcje określone na podzbiorach przestrzeni unormowanych </button> <ul id="toc-Funkcje_określone_na_podzbiorach_przestrzeni_unormowanych-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Definicje_pomocnicze" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Definicje_pomocnicze"> <div class="vector-toc-text"> 4.1 Definicje pomocnicze </div> </a> <ul id="toc-Definicje_pomocnicze-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Ekstrema_a_druga_pochodna" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Ekstrema_a_druga_pochodna"> <div class="vector-toc-text"> 4.2 Ekstrema a druga pochodna </div> </a> <ul id="toc-Ekstrema_a_druga_pochodna-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Warunek_konieczny_i_wystarczający_istnienia_ekstremum" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Warunek_konieczny_i_wystarczający_istnienia_ekstremum"> <div class="vector-toc-text"> 4.3 Warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum </div> </a> <ul id="toc-Warunek_konieczny_i_wystarczający_istnienia_ekstremum-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Funkcje_określone_na_podzbiorach_płaszczyzny" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Funkcje_określone_na_podzbiorach_płaszczyzny"> <div class="vector-toc-text"> 5 Funkcje określone na podzbiorach płaszczyzny </div> </a> <button aria-controls="toc-Funkcje_określone_na_podzbiorach_płaszczyzny-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Przełącz podsekcję Funkcje określone na podzbiorach płaszczyzny </button> <ul id="toc-Funkcje_określone_na_podzbiorach_płaszczyzny-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Przykład" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Przykład"> <div class="vector-toc-text"> 5.1 Przykład </div> </a> <ul id="toc-Przykład-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Funkcje_uwikłane" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Funkcje_uwikłane"> <div class="vector-toc-text"> 6 Funkcje uwikłane </div> </a> <button aria-controls="toc-Funkcje_uwikłane-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Przełącz podsekcję Funkcje uwikłane </button> <ul id="toc-Funkcje_uwikłane-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Przykład_2" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Przykład_2"> <div class="vector-toc-text"> 6.1 Przykład </div> </a> <ul id="toc-Przykład_2-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Rachunek_wariacyjny" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Rachunek_wariacyjny"> <div class="vector-toc-text"> 7 Rachunek wariacyjny </div> </a> <button aria-controls="toc-Rachunek_wariacyjny-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Przełącz podsekcję Rachunek wariacyjny </button> <ul id="toc-Rachunek_wariacyjny-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Ekstrema_mocne_i_słabe" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Ekstrema_mocne_i_słabe"> <div class="vector-toc-text"> 7.1 Ekstrema mocne i słabe </div> </a> <ul id="toc-Ekstrema_mocne_i_słabe-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Przykład_–_równania_Eulera-Lagrange’a" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Przykład_–_równania_Eulera-Lagrange’a"> <div class="vector-toc-text"> 7.2 Przykład – równania Eulera-Lagrange’a </div> </a> <ul id="toc-Przykład_–_równania_Eulera-Lagrange’a-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Ekstrema_warunkowe" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Ekstrema_warunkowe"> <div class="vector-toc-text"> 8 Ekstrema warunkowe </div> </a> <button aria-controls="toc-Ekstrema_warunkowe-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Przełącz podsekcję Ekstrema warunkowe </button> <ul id="toc-Ekstrema_warunkowe-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Warunek_konieczny_istnienia_ekstremum_warunkowego" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Warunek_konieczny_istnienia_ekstremum_warunkowego"> <div class="vector-toc-text"> 8.1 Warunek konieczny istnienia ekstremum warunkowego </div> </a> <ul id="toc-Warunek_konieczny_istnienia_ekstremum_warunkowego-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Warunki_wystarczające_istnienia_ekstremum_warunkowego" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Warunki_wystarczające_istnienia_ekstremum_warunkowego"> <div class="vector-toc-text"> 8.2 Warunki wystarczające istnienia ekstremum warunkowego </div> </a> <ul id="toc-Warunki_wystarczające_istnienia_ekstremum_warunkowego-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Ekstrema_warunkowe_w_'"`UNIQ--postMath-00000179-QINU`"'" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Ekstrema_warunkowe_w_'"`UNIQ--postMath-00000179-QINU`"'"> <div class="vector-toc-text"> 8.3 Ekstrema warunkowe w '"`UNIQ--postMath-00000179-QINU`"' </div> </a> <ul id="toc-Ekstrema_warunkowe_w_'"`UNIQ--postMath-00000179-QINU`"'-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Przykład_–_ekstrema_funkcji_na_okręgu" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Przykład_–_ekstrema_funkcji_na_okręgu"> <div class="vector-toc-text"> 8.4 Przykład – ekstrema funkcji na okręgu </div> </a> <ul id="toc-Przykład_–_ekstrema_funkcji_na_okręgu-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Przykład_–_problem_maksymalnej_entropii" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Przykład_–_problem_maksymalnej_entropii"> <div class="vector-toc-text"> 8.5 Przykład – problem maksymalnej entropii </div> </a> <ul id="toc-Przykład_–_problem_maksymalnej_entropii-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Gradacyjna_analiza_odpowiedniości" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Gradacyjna_analiza_odpowiedniości"> <div class="vector-toc-text"> 9 Gradacyjna analiza odpowiedniości </div> </a> <ul id="toc-Gradacyjna_analiza_odpowiedniości-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Zobacz_też" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Zobacz_też"> <div class="vector-toc-text"> 10 Zobacz też </div> </a> <ul id="toc-Zobacz_też-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Uwagi" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Uwagi"> <div class="vector-toc-text"> 11 Uwagi </div> </a> <ul id="toc-Uwagi-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Przypisy" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Przypisy"> <div class="vector-toc-text"> 12 Przypisy </div> </a> <ul id="toc-Przypisy-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Bibliografia" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Bibliografia"> <div class="vector-toc-text"> 13 Bibliografia </div> </a> <ul id="toc-Bibliografia-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Literatura_dodatkowa" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Literatura_dodatkowa"> <div class="vector-toc-text"> 14 Literatura dodatkowa </div> </a> <ul id="toc-Literatura_dodatkowa-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Linki_zewnętrzne" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Linki_zewnętrzne"> <div class="vector-toc-text"> 15 Linki zewnętrzne </div> </a> <ul id="toc-Linki_zewnętrzne-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Spis treści" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Przełącz stan spisu treści" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" > Przełącz stan spisu treści </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Ekstremum funkcji</h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Przejdź do artykułu w innym języku. Treść dostępna w 52 językach" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-52" aria-hidden="true" > 52 języki </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%A7%D9%84%D9%86%D9%82%D8%A7%D8%B7_%D8%A7%D9%84%D8%AD%D8%AF%D9%8A%D8%A9" title="النقاط الحدية – arabski" lang="ar" hreflang="ar" data-title="النقاط الحدية" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="arabski" class="interlanguage-link-target">العربية</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/Ekstremum" title="Ekstremum – azerbejdżański" lang="az" hreflang="az" data-title="Ekstremum" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="azerbejdżański" class="interlanguage-link-target">Azərbaycanca</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-min-nan mw-list-item"><a href="https://zh-min-nan.wikipedia.org/wiki/Ke%CC%8Dk-ta%CC%8Dt" title="Ke̍k-ta̍t – minnański" lang="nan" hreflang="nan" data-title="Ke̍k-ta̍t" data-language-autonym="閩南語 / Bân-lâm-gú" data-language-local-name="minnański" class="interlanguage-link-target">閩南語 / Bân-lâm-gú</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/E%D0%BA%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%83%D0%BC" title="Eкстремум – bułgarski" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Eкстремум" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="bułgarski" class="interlanguage-link-target">Български</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/M%C3%A0xims_i_m%C3%ADnims" title="Màxims i mínims – kataloński" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Màxims i mínims" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="kataloński" class="interlanguage-link-target">Català</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%83%D0%BC" title="Экстремум – czuwaski" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Экстремум" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="czuwaski" class="interlanguage-link-target">Чӑвашла</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Extr%C3%A9m_funkce" title="Extrém funkce – czeski" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Extrém funkce" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="czeski" class="interlanguage-link-target">Čeština</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sn mw-list-item"><a href="https://sn.wikipedia.org/wiki/Zvinyanye" title="Zvinyanye – shona" lang="sn" hreflang="sn" data-title="Zvinyanye" data-language-autonym="ChiShona" data-language-local-name="shona" class="interlanguage-link-target">ChiShona</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Uchafbwyntiau_ac_isafbwyntiau" title="Uchafbwyntiau ac isafbwyntiau – walijski" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Uchafbwyntiau ac isafbwyntiau" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="walijski" class="interlanguage-link-target">Cymraeg</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Maksimum_og_minimum" title="Maksimum og minimum – duński" lang="da" hreflang="da" data-title="Maksimum og minimum" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="duński" class="interlanguage-link-target">Dansk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Extremwert" title="Extremwert – niemiecki" lang="de" hreflang="de" data-title="Extremwert" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="niemiecki" class="interlanguage-link-target">Deutsch</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Ekstreemum" title="Ekstreemum – estoński" lang="et" hreflang="et" data-title="Ekstreemum" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="estoński" class="interlanguage-link-target">Eesti</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Maximum_and_minimum" title="Maximum and minimum – angielski" lang="en" hreflang="en" data-title="Maximum and minimum" data-language-autonym="English" data-language-local-name="angielski" class="interlanguage-link-target">English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Extremos_de_una_funci%C3%B3n" title="Extremos de una función – hiszpański" lang="es" hreflang="es" data-title="Extremos de una función" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="hiszpański" class="interlanguage-link-target">Español</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Maksimumo_kaj_minimumo" title="Maksimumo kaj minimumo – esperanto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Maksimumo kaj minimumo" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="esperanto" class="interlanguage-link-target">Esperanto</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Funtzio_baten_muturrak" title="Funtzio baten muturrak – baskijski" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Funtzio baten muturrak" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="baskijski" class="interlanguage-link-target">Euskara</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%A8%DB%8C%D8%B4%DB%8C%D9%86%D9%87_%D9%88_%DA%A9%D9%85%DB%8C%D9%86%D9%87" title="بیشینه و کمینه – perski" lang="fa" hreflang="fa" data-title="بیشینه و کمینه" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="perski" class="interlanguage-link-target">فارسی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Extremum" title="Extremum – francuski" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Extremum" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="francuski" class="interlanguage-link-target">Français</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Extremos_dunha_funci%C3%B3n" title="Extremos dunha función – galicyjski" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Extremos dunha función" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="galicyjski" class="interlanguage-link-target">Galego</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B7%B9%EA%B0%92" title="극값 – koreański" lang="ko" hreflang="ko" data-title="극값" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="koreański" class="interlanguage-link-target">한국어</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D5%96%D5%B8%D6%82%D5%B6%D5%AF%D6%81%D5%AB%D5%A1%D5%B5%D5%AB_%D5%A7%D6%84%D5%BD%D5%BF%D6%80%D5%A5%D5%B4%D5%B8%D6%82%D5%B4" title="Ֆունկցիայի էքստրեմում – ormiański" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Ֆունկցիայի էքստրեմում" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="ormiański" class="interlanguage-link-target">Հայերեն</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%89%E0%A4%9A%E0%A5%8D%E0%A4%9A%E0%A4%BF%E0%A4%B7%E0%A5%8D%E0%A4%A0_%E0%A4%94%E0%A4%B0_%E0%A4%A8%E0%A4%BF%E0%A4%AE%E0%A5%8D%E0%A4%A8%E0%A4%BF%E0%A4%B7%E0%A5%8D%E0%A4%A0" title="उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ – hindi" lang="hi" hreflang="hi" data-title="उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="hindi" class="interlanguage-link-target">हिन्दी</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Maksimum_dan_minimum" title="Maksimum dan minimum – indonezyjski" lang="id" hreflang="id" data-title="Maksimum dan minimum" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonezyjski" class="interlanguage-link-target">Bahasa Indonesia</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/%C3%9Atgildi" title="Útgildi – islandzki" lang="is" hreflang="is" data-title="Útgildi" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="islandzki" class="interlanguage-link-target">Íslenska</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Massimo_e_minimo_di_una_funzione" title="Massimo e minimo di una funzione – włoski" lang="it" hreflang="it" data-title="Massimo e minimo di una funzione" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="włoski" class="interlanguage-link-target">Italiano</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A0%D7%A7%D7%95%D7%93%D7%AA_%D7%A7%D7%99%D7%A6%D7%95%D7%9F" title="נקודת קיצון – hebrajski" lang="he" hreflang="he" data-title="נקודת קיצון" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hebrajski" class="interlanguage-link-target">עברית</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kn mw-list-item"><a href="https://kn.wikipedia.org/wiki/%E0%B2%97%E0%B2%B0%E0%B2%BF%E0%B2%B7%E0%B3%8D%E0%B2%A0_%E0%B2%AE%E0%B2%A4%E0%B3%8D%E0%B2%A4%E0%B3%81_%E0%B2%95%E0%B2%A8%E0%B2%BF%E0%B2%B7%E0%B3%8D%E0%B2%A0_%E0%B2%AE%E0%B3%8C%E0%B2%B2%E0%B3%8D%E0%B2%AF%E0%B2%97%E0%B2%B3%E0%B3%81" title="ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಗಳು – kannada" lang="kn" hreflang="kn" data-title="ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಗಳು" data-language-autonym="ಕನ್ನಡ" data-language-local-name="kannada" class="interlanguage-link-target">ಕನ್ನಡ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%83%D0%BC" title="Экстремум – kazachski" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Экстремум" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="kazachski" class="interlanguage-link-target">Қазақша</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Maksimums_un_minimums" title="Maksimums un minimums – łotewski" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Maksimums un minimums" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="łotewski" class="interlanguage-link-target">Latviešu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lmo mw-list-item"><a href="https://lmo.wikipedia.org/wiki/Massim_e_minim_de_%27na_fonzion" title="Massim e minim de 'na fonzion – lombardzki" lang="lmo" hreflang="lmo" data-title="Massim e minim de 'na fonzion" data-language-autonym="Lombard" data-language-local-name="lombardzki" class="interlanguage-link-target">Lombard</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Sz%C3%A9ls%C5%91%C3%A9rt%C3%A9k" title="Szélsőérték – węgierski" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Szélsőérték" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="węgierski" class="interlanguage-link-target">Magyar</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%95%D0%BA%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%BD%D0%B8_%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8" title="Екстремни вредности – macedoński" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Екстремни вредности" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="macedoński" class="interlanguage-link-target">Македонски</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Extreme_waarde" title="Extreme waarde – niderlandzki" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Extreme waarde" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="niderlandzki" class="interlanguage-link-target">Nederlands</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E5%80%A4" title="極値 – japoński" lang="ja" hreflang="ja" data-title="極値" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japoński" class="interlanguage-link-target">日本語</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Maksimum_og_minimum" title="Maksimum og minimum – norweski (bokmål)" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Maksimum og minimum" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="norweski (bokmål)" class="interlanguage-link-target">Norsk bokmål</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Maksimum_og_minimum" title="Maksimum og minimum – norweski (nynorsk)" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Maksimum og minimum" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="norweski (nynorsk)" class="interlanguage-link-target">Norsk nynorsk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Ekstremum" title="Ekstremum – uzbecki" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Ekstremum" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="uzbecki" class="interlanguage-link-target">Oʻzbekcha / ўзбекча</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Pontos_extremos_de_uma_fun%C3%A7%C3%A3o" title="Pontos extremos de uma função – portugalski" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Pontos extremos de uma função" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugalski" class="interlanguage-link-target">Português</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Maxim_%C8%99i_minim" title="Maxim și minim – rumuński" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Maxim și minim" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="rumuński" class="interlanguage-link-target">Română</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%83%D0%BC" title="Экстремум – rosyjski" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Экстремум" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="rosyjski" class="interlanguage-link-target">Русский</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Maximum_and_minimum" title="Maximum and minimum – Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Maximum and minimum" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target">Simple English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Extr%C3%A9m_(funkcia)" title="Extrém (funkcia) – słowacki" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Extrém (funkcia)" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="słowacki" class="interlanguage-link-target">Slovenčina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Ekstrem_funkcije" title="Ekstrem funkcije – słoweński" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Ekstrem funkcije" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="słoweński" class="interlanguage-link-target">Slovenščina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/%C3%84%C3%A4riarvo" title="Ääriarvo – fiński" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Ääriarvo" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="fiński" class="interlanguage-link-target">Suomi</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Extremum" title="Extremum – szwedzki" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Extremum" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="szwedzki" class="interlanguage-link-target">Svenska</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Maksima_at_minima" title="Maksima at minima – tagalski" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Maksima at minima" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="tagalski" class="interlanguage-link-target">Tagalog</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%AA%E0%AF%86%E0%AE%B0%E0%AF%81%E0%AE%AE%E0%AE%AE%E0%AF%8D_%E0%AE%AE%E0%AE%B1%E0%AF%8D%E0%AE%B1%E0%AF%81%E0%AE%AE%E0%AF%8D_%E0%AE%9A%E0%AE%BF%E0%AE%B1%E0%AF%81%E0%AE%AE%E0%AE%AE%E0%AF%8D" title="பெருமம் மற்றும் சிறுமம் – tamilski" lang="ta" hreflang="ta" data-title="பெருமம் மற்றும் சிறுமம்" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="tamilski" class="interlanguage-link-target">தமிழ்</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tt mw-list-item"><a href="https://tt.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%83%D0%BC" title="Экстремум – tatarski" lang="tt" hreflang="tt" data-title="Экстремум" data-language-autonym="Татарча / tatarça" data-language-local-name="tatarski" class="interlanguage-link-target">Татарча / tatarça</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%95%D0%BA%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%83%D0%BC" title="Екстремум – ukraiński" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Екстремум" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ukraiński" class="interlanguage-link-target">Українська</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/C%E1%BB%B1c_tr%E1%BB%8B_c%E1%BB%A7a_h%C3%A0m_s%E1%BB%91" title="Cực trị của hàm số – wietnamski" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Cực trị của hàm số" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="wietnamski" class="interlanguage-link-target">Tiếng Việt</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E5%87%BD%E6%95%B8%E6%9C%80%E9%AB%98%E9%BB%9E%E5%90%8C%E6%9C%80%E4%BD%8E%E9%BB%9E" title="函數最高點同最低點 – kantoński" lang="yue" hreflang="yue" data-title="函數最高點同最低點" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="kantoński" class="interlanguage-link-target">粵語</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9E%81%E5%80%BC" title="极值 – chiński" lang="zh" hreflang="zh" data-title="极值" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chiński" class="interlanguage-link-target">中文</a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q845060#sitelinks-wikipedia" title="Edytuj linki pomiędzy wersjami językowymi" class="wbc-editpage">Edytuj linki</a></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Przestrzenie nazw"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Ekstremum_funkcji" title="Zobacz stronę treści [c]" accesskey="c">Artykuł</a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Dyskusja:Ekstremum_funkcji" rel="discussion" title="Dyskusja o zawartości tej strony [t]" accesskey="t">Dyskusja</a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input 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id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> W innych projektach </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Extrema_(calculus)" hreflang="en">Wikimedia Commons</a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q845060" title="Link do powiązanego elementu w repozytorium danych [g]" accesskey="g">Element Wikidanych</a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Narzędzia dla stron"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> 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aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Z Wikipedii, wolnej encyklopedii</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="pl" dir="ltr"><figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Plik:Extrema1.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/97/Extrema1.gif/250px-Extrema1.gif" decoding="async" width="250" height="154" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/97/Extrema1.gif/375px-Extrema1.gif 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/97/Extrema1.gif 2x" data-file-width="420" data-file-height="259" /></a><figcaption>Ekstrema lokalne funkcji <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=2x^{3}-9x^{2}+12x-3}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>9</mn> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>12</mn> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mn>3</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=2x^{3}-9x^{2}+12x-3}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0258d2298c271d1147f22f83a1121ad8317f541c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.947ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(x)=2x^{3}-9x^{2}+12x-3}"> zaznaczone kolorem niebieskim (właściwe maksimum lokalne) i czerwonym (właściwe minimum lokalne)</figcaption></figure> <div class="metadata plainlinks mbox mbox-content" tabindex="0"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r75358068">.mw-parser-output .mbox{border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);border-left:10px solid var(--color-progressive,#36c);background-color:var(--background-color-neutral-subtle,#f8f9fa);box-sizing:border-box;margin:0 10%0.5em 10%;display:grid;padding:.3em;gap:.3em;grid-template-columns:60px 1fr;align-items:center;word-break:break-word}.mw-parser-output .mbox.with-iconright{grid-template-columns:60px 1fr min-content}.mw-parser-output .mbox.without-icon{grid-template-columns:1fr}.mw-parser-output .mbox-iconright,.mw-parser-output .mbox-icon{justify-self:center}.mw-parser-output .mbox-icon img{max-width:100%;object-fit:contain}.mw-parser-output .mbox p{font-size:inherit}@media(max-width:720px){.mw-parser-output .mbox{margin-left:0;margin-right:0}}@media(max-width:600px){.mw-parser-output .mbox{width:100%}}@media(max-width:450px){.mw-parser-output .mbox-iconright{grid-row:2;grid-column:1/span 2;justify-self:end}.mw-parser-output .mbox.with-iconright{grid-template-columns:40px 1fr}.mw-parser-output .mbox{grid-template-columns:40px 1fr;font-size:0.85rem}}.mw-parser-output .mbox+.mbox{margin-top:calc(-0.5em + 2px)}.mw-parser-output .mbox.mbox-serious{border-left-color:#d33}.mw-parser-output .mbox.mbox-content{border-left-color:#f28500}.mw-parser-output .mbox.mbox-notice{border-left-color:var(--color-progressive,#36c)}.mw-parser-output .mbox.mbox-merge{border-left-color:#9932cc}body.ns-6 .mw-parser-output .mbox{width:unset;max-width:unset}</style> <div class="mbox-icon"> <div><a href="/wiki/Wikipedia:Weryfikowalno%C5%9B%C4%87" title="Wikipedia:Weryfikowalność"><img alt="Wikipedia:Weryfikowalność" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Question_book-4.svg/50px-Question_book-4.svg.png" decoding="async" width="50" height="39" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Question_book-4.svg/75px-Question_book-4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Question_book-4.svg/100px-Question_book-4.svg.png 2x" data-file-width="262" data-file-height="204" /></a></div></div> <div class="mbox-text">Ten artykuł od 2022-01 wymaga <a href="/wiki/Wikipedia:Weryfikowalno%C5%9B%C4%87" title="Wikipedia:Weryfikowalność">zweryfikowania</a> podanych informacji.<div class="hide-when-compact">Należy podać wiarygodne źródła w formie <a href="/wiki/Pomoc:Przypisy" title="Pomoc:Przypisy">przypisów bibliograficznych</a>. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Sprawdź w źródłach: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyklopedia.pwn.pl/szukaj/Ekstremum+funkcji.html">Encyklopedia PWN</a> • <a rel="nofollow" class="external text" href="http://books.google.com/books?as_brr=0&as_pub=-icon&q=%22Ekstremum+funkcji%22">Google Books</a> • <a rel="nofollow" class="external text" href="http://scholar.google.com/scholar?q=%22Ekstremum+funkcji%22">Google Scholar</a> • <a rel="nofollow" class="external text" href="https://fbc.pionier.net.pl/search#fq={!tag=dcterms_accessRights}dcterms_accessRights%3A%22Dost%C4%99p%20otwarty%22&q=%22Ekstremum+funkcji%22">Federacja Bibliotek Cyfrowych</a> • <a rel="nofollow" class="external text" href="https://bazhum.muzhp.pl/artykul/lista/?generalQuery=%22Ekstremum+funkcji%22">BazHum</a> • <a rel="nofollow" class="external text" href="https://yadda.icm.edu.pl/baztech/search/page.action?qt=SEARCH&q=c_0language_0eq.all*sc.article*c_0keywords_0eq.Ekstremum+funkcji*l_0*c_0fulltext_0eq.all">BazTech</a> • <a rel="nofollow" class="external text" href="https://rcin.org.pl/dlibra/results?q=%22Ekstremum+funkcji%22&action=SimpleSearchAction&type=-6&p=0">RCIN</a> • Internet Archive (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/texts?query=%22Ekstremum+funkcji%22">texts</a> / <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/inlibrary?query=%22Ekstremum+funkcji%22">inlibrary</a>) Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w <a href="/wiki/Dyskusja:Ekstremum_funkcji" title="Dyskusja:Ekstremum funkcji">dyskusji tego artykułu</a>. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon <a href="/wiki/Szablon:Dopracowa%C4%87" title="Szablon:Dopracować">{{Dopracować}}</a> z tego artykułu.</div></div> </div> Ekstremum funkcji (l. mn. ekstrema; z <a href="/wiki/%C5%81acina" title="Łacina">łac.</a> extrēmus – najdalszy, ostatni) – maksymalna lub minimalna wartość <a href="/wiki/Funkcja" title="Funkcja">funkcji</a><a href="#cite_note-epwn-1">[1]</a>. <ul><li>Funkcja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.418ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)}"> przyjmuje w punkcie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}"> maksimum lokalne (odpowiednio: minimum lokalne), jeśli w pewnym <a href="/wiki/Zbi%C3%B3r_otwarty" title="Zbiór otwarty">otwartym</a><a href="#cite_note-2">[a]</a> <a href="/wiki/Otoczenie_i_s%C4%85siedztwo" title="Otoczenie i sąsiedztwo">otoczeniu</a> tego punktu (np. w pewnym <a href="/wiki/Przedzia%C5%82_(matematyka)" title="Przedział (matematyka)">przedziale otwartym</a>) funkcja nigdzie nie ma wartości większych (odpowiednio: mniejszych).</li> <li>Jeśli dodatkowo w pewnym otwartym <a href="/wiki/Otoczenie_i_s%C4%85siedztwo" title="Otoczenie i sąsiedztwo">sąsiedztwie</a> punktu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}"> funkcja nie ma również wartości równych <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x_{0}),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x_{0}),}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb5db9ee9dda1268a6f01a6ee628945a22f6ab27" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.119ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x_{0}),}"> to jest to maksimum (odpowiednio: minimum) lokalne właściwe.</li> <li>Minima i maksima lokalne są zbiorczo nazywane ekstremami lokalnymi.</li> <li>Największa i najmniejsza wartość funkcji w całej <a href="/wiki/Dziedzina_(matematyka)" title="Dziedzina (matematyka)">dziedzinie</a> nazywane są odpowiednio maksimum i minimum globalnym, a zbiorczo ekstremami globalnymi.</li></ul> Obrazowo: Na powierzchni Ziemi maksimum globalne <a href="/wiki/Wysoko%C5%9B%C4%87_bezwzgl%C4%99dna" title="Wysokość bezwzględna">wysokości nad poziomem morza</a> występuje na szczycie <a href="/wiki/Mount_Everest" title="Mount Everest">Mount Everestu</a>, maksimum lokalnym jest szczyt każdego pagórka. Jeśli szczyt pagórka jest poziomy i płaski (a także niekiedy w innych przypadkach<a href="#cite_note-3">[b]</a>), nie będzie to maksimum lokalne właściwe. Istnieją funkcje nieposiadające ekstremów lokalnych ani globalnych, np. funkcja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=x.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=x.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/371e2230e8398b74dc1fb7a0bc38e21e7574bfbd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.493ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)=x.}"> Poszukiwanie ekstremów jest ważne w praktycznych zastosowaniach matematyki, na przykład w <a href="/wiki/Technika" title="Technika">technice</a> i <a href="/wiki/Statystyka" title="Statystyka">statystyce</a>. Wiele zagadnień <a href="/wiki/Optymalizacja" title="Optymalizacja">optymalizacyjnych</a> sprowadza się do poszukiwania ekstremów odpowiednich funkcji, jak na przykład funkcji kosztu, albo miary jakości dla różnych parametrów danego urządzenia. Teoria ekstremów w naturalny sposób ma silny związek z teorią nierówności: wiele problemów i twierdzeń można formułować równoważnie zarówno w języku ekstremów, jak i nierówności, co rzuca światło na obie te dziedziny. <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Funkcje,_dla_których_można_rozważać_ekstrema">Funkcje, dla których można rozważać ekstrema</h2>[<a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&veaction=edit&section=1" title="Edytuj sekcję: Funkcje, dla których można rozważać ekstrema" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&action=edit&section=1" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Funkcje, dla których można rozważać ekstrema">edytuj kod</a>]</div> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Plik:Function_illustration.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/Function_illustration.svg/250px-Function_illustration.svg.png" decoding="async" width="250" height="250" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/Function_illustration.svg/375px-Function_illustration.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/Function_illustration.svg/500px-Function_illustration.svg.png 2x" data-file-width="200" data-file-height="200" /></a><figcaption>Funkcja jako przyporządkowanie</figcaption></figure> W matematyce wartością <a href="/wiki/Funkcja" title="Funkcja">funkcji</a> nie musi być koniecznie liczba – funkcją jest dowolne <a href="/wiki/Funkcja" title="Funkcja">przyporządkowanie</a> każdemu elementowi zbioru zwanego <a href="/wiki/Dziedzina_(matematyka)" title="Dziedzina (matematyka)">dziedziną</a> po jednym elemencie zbioru zwanego <a href="/wiki/Funkcja" title="Funkcja">przeciwdziedziną</a>. Funkcją jest więc również przyporządkowanie każdemu łysemu aktorowi Teatru Wielkiego koloru włosów jego ulubionej peruki. Pojęcie ekstremum wymaga, by wartości funkcji dało się ze sobą porównywać – w <a href="/wiki/Funkcja" title="Funkcja">przeciwdziedzinie</a> funkcji powinien być zatem zdefiniowany jakiś <a href="/wiki/Cz%C4%99%C5%9Bciowy_porz%C4%85dek" title="Częściowy porządek">porządek</a>. Zbiór uporządkowany, i to <a href="/wiki/Porz%C4%85dek_liniowy" title="Porządek liniowy">liniowo</a>, tworzą np. <a href="/wiki/Liczby_rzeczywiste" title="Liczby rzeczywiste">liczby rzeczywiste</a>. Nie ma natomiast powszechnie przyjętego uporządkowania kolorów, zwłaszcza porządku liniowego. W przypadku ekstremum lokalnego konieczne jest ponadto sprecyzowanie pojęcia „lokalności”. Dokonuje się to przez określenie dla każdego argumentu funkcji, które punkty z jej dziedziny są mu „bliskie”. Formalizując to podejście, określamy w każdym punkcie dziedziny funkcji tak zwaną <a href="/wiki/Baza_otocze%C5%84" title="Baza otoczeń">bazę otoczeń</a> punktu. Dla liczby rzeczywistej otoczeniem jest np. <a href="/wiki/Przedzia%C5%82_(matematyka)" title="Przedział (matematyka)">przedział otwarty</a>, zawierający tę liczbę. Ogólnie, zbiór z systemem otoczeń, spełniającym pewne <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_topologiczna#Określenie_systemu_otoczeń" title="Przestrzeń topologiczna">naturalne warunki</a> tworzy tzw. <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_topologiczna" title="Przestrzeń topologiczna">przestrzeń topologiczną</a>. O ekstremach lokalnych można zatem mówić w przypadku dowolnej funkcji, której dziedzina jest przestrzenią topologiczną, a przeciwdziedzina zbiorem częściowo uporządkowanym. Ze względu na zastosowania najczęściej rozważa się szczególny przypadek – funkcje rzeczywiste, czyli funkcje o wartościach w <a href="/wiki/Liczby_rzeczywiste" title="Liczby rzeczywiste">liczbach rzeczywistych</a>, których dziedzina jest podzbiorem skończenie wymiarowej <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_euklidesowa" title="Przestrzeń euklidesowa">przestrzeni euklidesowej</a>. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definicje">Definicje</h2>[<a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&veaction=edit&section=2" title="Edytuj sekcję: Definicje" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&action=edit&section=2" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Definicje">edytuj kod</a>]</div> Funkcja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> o wartościach w zbiorze uporządkowanym określona na przestrzeni topologicznej ma w punkcie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}"> tej przestrzeni: <ul><li>minimum lokalne, jeśli istnieje <a href="/wiki/Otoczenie_i_s%C4%85siedztwo" title="Otoczenie i sąsiedztwo">otoczenie</a> otwarte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>U</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}"> punktu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}"> takie, że dla każdego <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in U,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>U</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in U,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6464e502c893c31824dbf63bef563fede447bf6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.6ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x\in U,}"></li></ul> <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)\geqslant f(x_{0}),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⩾</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)\geqslant f(x_{0}),}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42944dfbd514c104caba6187f6d9fffecbe785cd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)\geqslant f(x_{0}),}"></dd></dl></dd> <dd>więc nie występują w okolicy punktu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}"> wartości funkcji mniejsze od <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x_{0})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x_{0})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27cf1dbaefc6038a22779fb2943aff758a592a3a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.472ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x_{0})}"> (ani nieporównywalne), choć mogą występować wartości równe,</dd></dl> <ul><li>maksimum lokalne, gdy istnieje otoczenie otwarte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>U</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}"> punktu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}"> takie, że dla każdego <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in U,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>U</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in U,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6464e502c893c31824dbf63bef563fede447bf6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.6ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x\in U,}"></li></ul> <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)\leqslant f(x_{0}),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⩽</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)\leqslant f(x_{0}),}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c279a747154c3b4ea7cbfe95fd3353ac4f676ae" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)\leqslant f(x_{0}),}"></dd></dl></dd> <dd>więc nie występują w okolicy punktu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}"> wartości funkcji większe od <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x_{0})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x_{0})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27cf1dbaefc6038a22779fb2943aff758a592a3a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.472ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x_{0})}"> (ani nieporównywalne), choć mogą występować wartości równe,</dd></dl> <ul><li>właściwe minimum lokalne, jeśli w pewnym otoczeniu otwartym <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>U</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}"> punktu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}"> funkcja przyjmuje wszędzie, z wyjątkiem tego punktu, wartości większe od <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x_{0}),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x_{0}),}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb5db9ee9dda1268a6f01a6ee628945a22f6ab27" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.119ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x_{0}),}"> czyli nie ma wartości równych dla <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\neq x_{0},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>≠</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\neq x_{0},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43238f9bace05c126bd4e48cbe95f55c682be408" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.459ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x\neq x_{0},}"> formalnie:</li></ul> <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=x_{0}\vee f(x)>f(x_{0})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>∨</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>></mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=x_{0}\vee f(x)>f(x_{0})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47a2eecaa678a6ab9eb8976b258e2d8fdbda4286" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.382ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x=x_{0}\vee f(x)>f(x_{0})}"> dla każdego <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in U,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>U</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in U,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6464e502c893c31824dbf63bef563fede447bf6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.6ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x\in U,}"></dd></dl></dd></dl> <ul><li>właściwe maksimum lokalne, jeśli w pewnym otoczeniu otwartym <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>U</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}"> punktu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}"> funkcja przyjmuje wszędzie, z wyjątkiem tego punktu, wartości mniejsze od <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x_{0}),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x_{0}),}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb5db9ee9dda1268a6f01a6ee628945a22f6ab27" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.119ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x_{0}),}"> formalnie:</li></ul> <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=x_{0}\vee f(x)<f(x_{0})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>∨</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo><</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=x_{0}\vee f(x)<f(x_{0})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47ed564fd3ed2e25ee431d8cf73ab6ee77325549" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.382ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x=x_{0}\vee f(x)<f(x_{0})}"> dla każdego <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in U.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>U</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in U.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2494bed786064aac20efd5ea0fcaa3f787dd6f14" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.6ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in U.}"></dd></dl></dd></dl> Funkcja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> o wartościach w zbiorze uporządkowanym<a href="#cite_note-4">[c]</a> ma w punkcie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}"> swojej dziedziny: <ul><li>minimum globalne, jeśli dla każdego <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> należącego do jej dziedziny:</li></ul> <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)\geqslant f(x_{0}),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⩾</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)\geqslant f(x_{0}),}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42944dfbd514c104caba6187f6d9fffecbe785cd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)\geqslant f(x_{0}),}"></dd></dl></dd></dl> <ul><li>maksimum globalne, jeśli dla każdego <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> należącego do jej dziedziny:</li></ul> <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)\leqslant f(x_{0}),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⩽</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)\leqslant f(x_{0}),}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c279a747154c3b4ea7cbfe95fd3353ac4f676ae" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)\leqslant f(x_{0}),}"></dd></dl></dd></dl> <ul><li>właściwe minimum globalne, jeśli dla każdego <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> należącego do jej dziedziny:</li></ul> <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=x_{0}\vee f(x)>f(x_{0}),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>∨</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>></mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=x_{0}\vee f(x)>f(x_{0}),}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8493c27e3180cd4c146f461d8ef37ff3a60bb9b4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.029ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x=x_{0}\vee f(x)>f(x_{0}),}"></dd></dl></dd> <dd>czyli funkcja przyjmuje wszędzie z wyjątkiem punktu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}"> wartości większe od <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x_{0})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x_{0})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27cf1dbaefc6038a22779fb2943aff758a592a3a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.472ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x_{0})}"></dd></dl> <ul><li>właściwe maksimum globalne, jeśli dla każdego <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> należącego do jej dziedziny:</li></ul> <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=x_{0}\vee f(x)<f(x_{0}),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>∨</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo><</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=x_{0}\vee f(x)<f(x_{0}),}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e52685107a5c34e951f9d9ec7e20bd738fb99e57" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.029ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x=x_{0}\vee f(x)<f(x_{0}),}"></dd></dl></dd> <dd>czyli funkcja przyjmuje wszędzie z wyjątkiem punktu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}"> wartości mniejsze od <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x_{0}).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x_{0}).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b64f7fa11a167db2c55f7ee4d587dbf8fb1ae44" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.119ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x_{0}).}"></dd></dl> Nie każda funkcja posiada ekstrema. Jeśli funkcja nie jest <a href="/wiki/Funkcja_ograniczona" title="Funkcja ograniczona">ograniczona</a> (np. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f690285952308aa49e3c6aac892df31cad6d1b06" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.846ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)=x}">), to nie ma maksimum ani minimum globalnego – jeżeli nie jest ograniczona od góry, to nie ma maksimum globalnego; a jeżeli od dołu, to nie ma minimum globalnego. Można też mówić o maksimach i minimach w <a href="/wiki/Podzbi%C3%B3r" title="Podzbiór">podzbiorze</a> dziedziny – są to wówczas największe lub najmniejsze wartości funkcji dla argumentów z tego podzbioru. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Funkcje_rzeczywiste_jednej_zmiennej">Funkcje rzeczywiste jednej zmiennej</h2>[<a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&veaction=edit&section=3" title="Edytuj sekcję: Funkcje rzeczywiste jednej zmiennej" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&action=edit&section=3" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Funkcje rzeczywiste jednej zmiennej">edytuj kod</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Proste_przykłady_ekstremów">Proste przykłady ekstremów</h3>[<a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&veaction=edit&section=4" title="Edytuj sekcję: Proste przykłady ekstremów" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&action=edit&section=4" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Proste przykłady ekstremów">edytuj kod</a>]</div> <ul class="gallery mw-gallery-traditional" style="max-width: 786px;"> <li class="gallerybox" style="width: 385px"> <div class="thumb" style="width: 380px; height: 280px;"><a href="/wiki/Plik:Cosinus.svg" class="mw-file-description" title="Funkcja cosinus osiąga maksimum dla każdej parzystej wielokrotności '"`UNIQ--postMath-0000002F-QINU`"' czyli '"`UNIQ--postMath-00000030-QINU`"' oraz minimum dla każdej nieparzystej wielokrotności '"`UNIQ--postMath-00000031-QINU`"' czyli '"`UNIQ--postMath-00000032-QINU`"' Są to lokalne ekstrema właściwe i jednocześnie ekstrema globalne (ale nie globalne ekstrema właściwe!)."><img alt="Funkcja cosinus osiąga maksimum dla każdej parzystej wielokrotności '"`UNIQ--postMath-0000002F-QINU`"' czyli '"`UNIQ--postMath-00000030-QINU`"' oraz minimum dla każdej nieparzystej wielokrotności '"`UNIQ--postMath-00000031-QINU`"' czyli '"`UNIQ--postMath-00000032-QINU`"' Są to lokalne ekstrema właściwe i jednocześnie ekstrema globalne (ale nie globalne ekstrema właściwe!)." src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/da/Cosinus.svg/316px-Cosinus.svg.png" decoding="async" width="316" height="250" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/da/Cosinus.svg/474px-Cosinus.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/da/Cosinus.svg/631px-Cosinus.svg.png 2x" data-file-width="298" data-file-height="236" /></a></div> <div class="gallerytext">Funkcja <a href="/wiki/Funkcje_trygonometryczne" title="Funkcje trygonometryczne">cosinus</a> osiąga maksimum dla każdej parzystej wielokrotności <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi ,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47495546dd4b7607bbcb5658efe66abaf1955034" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.979ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \pi ,}"> czyli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \dots ,-4\pi ,-2\pi ,0,2\pi ,4\pi ,\dots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mo>−</mo> <mn>4</mn> <mi>π</mi> <mo>,</mo> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mo>,</mo> <mn>4</mn> <mi>π</mi> <mo>,</mo> <mo>…</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \dots ,-4\pi ,-2\pi ,0,2\pi ,4\pi ,\dots }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2f79276c00ab7f593284e54a4cb43046c8d0909" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:26.794ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \dots ,-4\pi ,-2\pi ,0,2\pi ,4\pi ,\dots }"> oraz minimum dla każdej nieparzystej wielokrotności <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi ,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47495546dd4b7607bbcb5658efe66abaf1955034" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.979ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \pi ,}"> czyli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \dots ,-5\pi ,-3\pi ,-\pi ,\pi ,3\pi ,5\pi ,\dots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mo>−</mo> <mn>5</mn> <mi>π</mi> <mo>,</mo> <mo>−</mo> <mn>3</mn> <mi>π</mi> <mo>,</mo> <mo>−</mo> <mi>π</mi> <mo>,</mo> <mi>π</mi> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mi>π</mi> <mo>,</mo> <mn>5</mn> <mi>π</mi> <mo>,</mo> <mo>…</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \dots ,-5\pi ,-3\pi ,-\pi ,\pi ,3\pi ,5\pi ,\dots }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22054306e2cdd4e8222af88c7f491b44cd083e52" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:31.137ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \dots ,-5\pi ,-3\pi ,-\pi ,\pi ,3\pi ,5\pi ,\dots }"> Są to lokalne ekstrema właściwe i jednocześnie ekstrema globalne (ale nie globalne ekstrema właściwe!).</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 385px"> <div class="thumb" style="width: 380px; height: 280px;"><a href="/wiki/Plik:Function_x%5E2.svg" class="mw-file-description" title="Funkcja kwadratowa '"`UNIQ--postMath-00000033-QINU`"' osiąga właściwe minimum (lokalne i globalne) dla '"`UNIQ--postMath-00000034-QINU`"' Nie ma maksimum, nawet lokalnego. Dla każdego argumentu można w jego bezpośrednim sąsiedztwie wskazać punkt w którym funkcja przyjmuje większą wartość."><img alt="Funkcja kwadratowa '"`UNIQ--postMath-00000033-QINU`"' osiąga właściwe minimum (lokalne i globalne) dla '"`UNIQ--postMath-00000034-QINU`"' Nie ma maksimum, nawet lokalnego. Dla każdego argumentu można w jego bezpośrednim sąsiedztwie wskazać punkt w którym funkcja przyjmuje większą wartość." src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/dd/Function_x%5E2.svg/225px-Function_x%5E2.svg.png" decoding="async" width="225" height="250" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/dd/Function_x%5E2.svg/337px-Function_x%5E2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/dd/Function_x%5E2.svg/450px-Function_x%5E2.svg.png 2x" data-file-width="900" data-file-height="1000" /></a></div> <div class="gallerytext"><a href="/wiki/Funkcja_kwadratowa" title="Funkcja kwadratowa">Funkcja kwadratowa</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=x^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=x^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84ddac4ae10b1aa4a11741c79771a583419fb1fb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.9ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(x)=x^{2}}"> osiąga właściwe minimum (lokalne i globalne) dla <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=0.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mn>0.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=0.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71320d636c7a43546bf4e94edb94649c5b2e82b9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.237ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x=0.}"> Nie ma maksimum, nawet lokalnego. Dla każdego argumentu można w jego bezpośrednim sąsiedztwie wskazać punkt w którym funkcja przyjmuje większą wartość.</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 385px"> <div class="thumb" style="width: 380px; height: 280px;"><a href="/wiki/Plik:Floor_function.svg" class="mw-file-description" title="Funkcja entier osiąga w każdym punkcie maksimum lokalne niewłaściwe. Minimum lokalne występuje jednak tylko dla liczb niecałkowitych. W każdym otoczeniu liczby całkowitej z lewej strony występują mniejsze wartości funkcji. Nie ma ekstremów globalnych."><img alt="Funkcja entier osiąga w każdym punkcie maksimum lokalne niewłaściwe. Minimum lokalne występuje jednak tylko dla liczb niecałkowitych. W każdym otoczeniu liczby całkowitej z lewej strony występują mniejsze wartości funkcji. Nie ma ekstremów globalnych." src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e1/Floor_function.svg/250px-Floor_function.svg.png" decoding="async" width="250" height="250" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e1/Floor_function.svg/375px-Floor_function.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e1/Floor_function.svg/500px-Floor_function.svg.png 2x" data-file-width="1000" data-file-height="1000" /></a></div> <div class="gallerytext">Funkcja <a href="/wiki/Pod%C5%82oga_i_sufit" title="Podłoga i sufit">entier</a> osiąga w każdym punkcie maksimum lokalne niewłaściwe. Minimum lokalne występuje jednak tylko dla liczb niecałkowitych. W każdym otoczeniu <a href="/wiki/Liczby_ca%C5%82kowite" title="Liczby całkowite">liczby całkowitej</a> z lewej strony występują mniejsze wartości funkcji. Nie ma ekstremów globalnych.</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 385px"> <div class="thumb" style="width: 380px; height: 280px;"><a href="/wiki/Plik:Non-strict_minimum.svg" class="mw-file-description" title="Funkcja '"`UNIQ--postMath-00000035-QINU`"' ma w punkcie '"`UNIQ--postMath-00000036-QINU`"' minimum lokalne, jednak nie jest to minimum właściwe – w dowolnej bliskości tego punktu można znaleźć inne punkty, w których przyjmuje ona tę samą wartość (oprócz tego posiada nieskończoną liczbę minimów i maksimów właściwych)."><img alt="Funkcja '"`UNIQ--postMath-00000035-QINU`"' ma w punkcie '"`UNIQ--postMath-00000036-QINU`"' minimum lokalne, jednak nie jest to minimum właściwe – w dowolnej bliskości tego punktu można znaleźć inne punkty, w których przyjmuje ona tę samą wartość (oprócz tego posiada nieskończoną liczbę minimów i maksimów właściwych)." src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7f/Non-strict_minimum.svg/350px-Non-strict_minimum.svg.png" decoding="async" width="350" height="219" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7f/Non-strict_minimum.svg/525px-Non-strict_minimum.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7f/Non-strict_minimum.svg/700px-Non-strict_minimum.svg.png 2x" data-file-width="800" data-file-height="500" /></a></div> <div class="gallerytext">Funkcja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{array}{l}{x^{2}(1+\sin {\frac {1}{x}}),\;x\neq 0}\\{0,\;x=0}\end{array}}\right.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="left" rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>x</mi> <mo>≠</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{array}{l}{x^{2}(1+\sin {\frac {1}{x}}),\;x\neq 0}\\{0,\;x=0}\end{array}}\right.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1c0cbd91c8c751dccdb765bd3d4f18eeeafbe1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:30.495ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{array}{l}{x^{2}(1+\sin {\frac {1}{x}}),\;x\neq 0}\\{0,\;x=0}\end{array}}\right.}"> ma w punkcie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d18a96da37e1748deeb8d4c590dd4ad6629efef" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.645ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{0}=0}"> minimum lokalne, jednak nie jest to minimum właściwe – w dowolnej bliskości tego punktu można znaleźć inne punkty, w których przyjmuje ona tę samą wartość (oprócz tego posiada nieskończoną liczbę minimów i maksimów właściwych).</div> </li> </ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Przykład_–_właściwe_minimum_lokalne_w_każdym_punkcie_dziedziny">Przykład – właściwe minimum lokalne w każdym punkcie dziedziny</h3>[<a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&veaction=edit&section=5" title="Edytuj sekcję: Przykład – właściwe minimum lokalne w każdym punkcie dziedziny" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&action=edit&section=5" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Przykład – właściwe minimum lokalne w każdym punkcie dziedziny">edytuj kod</a>]</div> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Plik:Strict_minimum_everywhere.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d9/Strict_minimum_everywhere.png/350px-Strict_minimum_everywhere.png" decoding="async" width="350" height="316" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d9/Strict_minimum_everywhere.png/525px-Strict_minimum_everywhere.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d9/Strict_minimum_everywhere.png/700px-Strict_minimum_everywhere.png 2x" data-file-width="714" data-file-height="644" /></a><figcaption>Fragment wykresu funkcji <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon \mathbb {Q} \ni {\frac {p}{q}}\mapsto \left|{\frac {q}{\operatorname {NWD} (p,q)}}\right|,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> <mo>∋</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">↦</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>q</mi> <mrow> <mi>NWD</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon \mathbb {Q} \ni {\frac {p}{q}}\mapsto \left|{\frac {q}{\operatorname {NWD} (p,q)}}\right|,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0b54858966661dbd59d1cc3aa910d596f1efaf2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:26.734ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon \mathbb {Q} \ni {\frac {p}{q}}\mapsto \left|{\frac {q}{\operatorname {NWD} (p,q)}}\right|,}"> mającej właściwe minimum w każdym punkcie swojej dziedziny. Kropki – punkty <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left({\frac {p}{q}},q\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mi>q</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left({\frac {p}{q}},q\right)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/801b6441a367696cbd5a247df4d4e48cd3257d87" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:7.53ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \left({\frac {p}{q}},q\right)}"> odpowiadają nieskracalnym ułamkom <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {p}{q}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {p}{q}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9903bc1de26879e5fc4c7f78b54b952bcbb800f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:2.006ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {p}{q}}}"></figcaption></figure> Niech funkcja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> przyporządkowuje każdej <a href="/wiki/Liczby_wymierne" title="Liczby wymierne">liczbie wymiernej</a> wartość mianownika wyrażającego ją <a href="/wiki/U%C5%82amek" title="Ułamek">ułamka</a> <a href="/wiki/U%C5%82amek#Działania_na_ułamkach" title="Ułamek">skróconego</a>. Formalnie: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon \mathbb {Q} \ni {\frac {p}{q}}\mapsto \left|{\frac {q}{\operatorname {NWD} (p,q)}}\right|,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> <mo>∋</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">↦</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>q</mi> <mrow> <mi>NWD</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon \mathbb {Q} \ni {\frac {p}{q}}\mapsto \left|{\frac {q}{\operatorname {NWD} (p,q)}}\right|,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0b54858966661dbd59d1cc3aa910d596f1efaf2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:26.734ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon \mathbb {Q} \ni {\frac {p}{q}}\mapsto \left|{\frac {q}{\operatorname {NWD} (p,q)}}\right|,}"></dd></dl> gdzie NWD oznacza <a href="/wiki/Najwi%C4%99kszy_wsp%C3%B3lny_dzielnik" title="Największy wspólny dzielnik">największy wspólny dzielnik</a>. Dla dowolnego wymiernego <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> istnieje otoczenie otwarte, w którym wszystkie inne liczby wymierne mają większy mianownik, a więc większą wartość funkcji <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"><a href="#cite_note-5">[d]</a>. A zatem funkcja ta ma dla każdej liczby wymiernej (czyli dla każdego punktu swojej dziedziny) właściwe minimum lokalne. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Warunek_wystarczający_ekstremum_globalnego_–_twierdzenie_Weierstrassa">Warunek wystarczający ekstremum globalnego – twierdzenie Weierstrassa</h3>[<a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&veaction=edit&section=6" title="Edytuj sekcję: Warunek wystarczający ekstremum globalnego – twierdzenie Weierstrassa" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&action=edit&section=6" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Warunek wystarczający ekstremum globalnego – twierdzenie Weierstrassa">edytuj kod</a>]</div> <a href="/wiki/Twierdzenie_Weierstrassa_o_kresach" title="Twierdzenie Weierstrassa o kresach">Twierdzenie Weierstrassa o kresach</a> mówi, że <a href="/wiki/Funkcja_ci%C4%85g%C5%82a" title="Funkcja ciągła">funkcja ciągła</a> o wartościach rzeczywistych, określona na <a href="/wiki/Przedzia%C5%82_(matematyka)" title="Przedział (matematyka)">przedziale domkniętym</a>, osiąga ekstrema globalne. Twierdzenie to jest prawdziwe w pełnej ogólności – nie tylko dla funkcji liczbowych, a dla dowolnych funkcji ciągłych, określonych na <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_zwarta" title="Przestrzeń zwarta">zwartych</a> podzbiorach dowolnych <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_topologiczna" title="Przestrzeń topologiczna">przestrzeni topologicznych</a>. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Funkcje_różniczkowalne">Funkcje różniczkowalne</h3>[<a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&veaction=edit&section=7" title="Edytuj sekcję: Funkcje różniczkowalne" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&action=edit&section=7" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Funkcje różniczkowalne">edytuj kod</a>]</div> W dalszej części sekcji rozważane będą funkcje <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5ab61178bf5349838758ffe3d96135406ed0245" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.16ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }"> <a href="/wiki/Funkcja_ci%C4%85g%C5%82a" title="Funkcja ciągła">ciągłe</a> oraz <a href="/wiki/Funkcja_r%C3%B3%C5%BCniczkowalna" title="Funkcja różniczkowalna">różniczkowalne</a> w przedziale <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a,b).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a,b).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b828bde62741f9a659d25b1264068c81c3d0b946" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.717ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a,b).}"> Geometrycznie oznacza to, że ich wykres jest „nieprzerwany” i „gładki”, czyli ma w każdym punkcie <a href="/wiki/Styczna" title="Styczna">styczną</a>. <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Warunek_konieczny_istnienia_ekstremum_lokalnego_(twierdzenie_Fermata)">Warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego (twierdzenie Fermata)</h4>[<a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&veaction=edit&section=8" title="Edytuj sekcję: Warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego (twierdzenie Fermata)" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&action=edit&section=8" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego (twierdzenie Fermata)">edytuj kod</a>]</div> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Plik:Extrema2.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/79/Extrema2.gif/250px-Extrema2.gif" decoding="async" width="250" height="154" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/79/Extrema2.gif/375px-Extrema2.gif 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/79/Extrema2.gif 2x" data-file-width="419" data-file-height="258" /></a><figcaption>Funkcja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g(x)=x^{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(x)=x^{3}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a419274b405fc1a03734fac5f77ae22fe0a5807" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.737ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle g(x)=x^{3}}"> nie ma dla <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/953917eaf52f2e1baad54c8c9e3d6f9bb3710cdc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.591ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x=0}"> ekstremum lokalnego, mimo że jej pochodna w tym punkcie jest równa zero</figcaption></figure> <a href="/wiki/Warunek_konieczny" title="Warunek konieczny">Warunkiem koniecznym</a> istnienia ekstremów lokalnych różniczkowawalnych funkcji <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> w pewnym punkcie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}\in (a,b)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}\in (a,b)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4d03f71523a733bbcdbd4ef0601099717cd1b75" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.295ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x_{0}\in (a,b)}"> jest <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f'(x_{0})=0.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'(x_{0})=0.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d61f6c2d95ae5013b81cbe85a39df6ae12e79ac" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.106ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f'(x_{0})=0.}"></dd></dl> Geometrycznie oznacza to, że <a href="/wiki/Styczna" title="Styczna">styczna</a> do <a href="/wiki/Wykres_funkcji" title="Wykres funkcji">wykresu funkcji</a> jest w tym punkcie prostą poziomą. Jest to tzw. twierdzenie Fermata. Udowodnijmy je: jeśli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> ma w punkcie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}"> ekstremum lokalne, to istnieje takie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \epsilon >0,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ϵ</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \epsilon >0,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44c08d32cc0a46cfa7ccabd48ba8a50a87e0ca66" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.852ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \epsilon >0,}"> że dla każdej liczby rzeczywistej <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8c92993ef69282ac39ddc98b7150dabfae40c14" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.986ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle h,}"> spełniającej <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0<|h|<\epsilon ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> <mo><</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo><</mo> <mi>ϵ</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0<|h|<\epsilon ,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00db201b29550efb0d4e60c0de7a8a0bf0123760" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.583ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 0<|h|<\epsilon ,}"> zachodzi: <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (f(x_{0}-h)-f(x_{0}))\cdot (f(x_{0}+h)-f(x_{0}))\geqslant 0,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⩾</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (f(x_{0}-h)-f(x_{0}))\cdot (f(x_{0}+h)-f(x_{0}))\geqslant 0,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/772d5a1601da2f24db582748204e9a6f6ad24c1a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:46.132ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (f(x_{0}-h)-f(x_{0}))\cdot (f(x_{0}+h)-f(x_{0}))\geqslant 0,}"></dd></dl></dd></dl> a więc: <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {f(x_{0}-h)-f(x_{0})}{-h}}\cdot {\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}\leqslant 0.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mi>h</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mi>h</mi> </mfrac> </mrow> <mo>⩽</mo> <mn>0.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {f(x_{0}-h)-f(x_{0})}{-h}}\cdot {\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}\leqslant 0.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f62251159ac203c9000d93811ff1639c1e4fa580" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:44.186ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {f(x_{0}-h)-f(x_{0})}{-h}}\cdot {\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}\leqslant 0.}"></dd></dl></dd></dl> Po przejściu do granicy, dla <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h\to 0,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h\to 0,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90d07427e9fa8df15fee10756e5dcaa0d786010c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.762ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle h\to 0,}"> otrzymujemy: <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (f'(x_{0}))^{2}\leqslant 0.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⩽</mo> <mn>0.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (f'(x_{0}))^{2}\leqslant 0.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40e12ebcfe13cf9746cd1b9b31d6d8c05021713e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.97ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (f'(x_{0}))^{2}\leqslant 0.}"></dd></dl></dd></dl> Zatem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f'(x_{0})=0.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'(x_{0})=0.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d61f6c2d95ae5013b81cbe85a39df6ae12e79ac" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.106ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f'(x_{0})=0.}"> Warunek Fermata nie jest jednak <a href="/wiki/Warunek_wystarczaj%C4%85cy" title="Warunek wystarczający">wystarczający</a>. Np. funkcja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g(x)=x^{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(x)=x^{3}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a419274b405fc1a03734fac5f77ae22fe0a5807" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.737ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle g(x)=x^{3}}"> nie ma ekstremum, chociaż jej pochodna <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g'(x)=3x^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>g</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>3</mn> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g'(x)=3x^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e286810696b3a559136b94627f8b03cf1c403e71" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.587ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle g'(x)=3x^{2}}"> zeruje się dla <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}=0.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}=0.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d08c8302932ed9501edf4ed6586d0205762ef63" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.292ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{0}=0.}"> Ekstremum może natomiast istnieć w punktach, w których nie istnieje (obustronna) pochodna skończona: <ul><li>funkcja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h(x)=x^{\frac {2}{3}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>2</mn> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h(x)=x^{\frac {2}{3}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa3c4bcb0e83724e93882d69f7cf364a30f069c2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.642ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle h(x)=x^{\frac {2}{3}}}"> ma na przykład, minimum w punkcie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}=0,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}=0,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a72c7ee7f5880074db8a515f79734b09160980b8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.292ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{0}=0,}"> podczas gdy jej pochodna lewostronna w tym punkcie równa się <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -\infty ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -\infty ,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79d5ae78431259d0588140f827d0a1fcdfa4ec7f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.779ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -\infty ,}"> a prawostronna <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle +\infty ;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>+</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle +\infty ;}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cce22acee4f5cf15aec5f5561f2942ada6078ab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.779ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle +\infty ;}"></li> <li>podobnie funkcja <a href="/wiki/Warto%C5%9B%C4%87_bezwzgl%C4%99dna" title="Wartość bezwzględna">wartość bezwzględna</a> ma w punkcie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d18a96da37e1748deeb8d4c590dd4ad6629efef" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.645ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{0}=0}"> minimum globalne, chociaż w tym punkcie nie jest różniczkowalna.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Warunek_konieczny_i_wystarczający_istnienia_ekstremum_lokalnego">Warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum lokalnego</h4>[<a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&veaction=edit&section=9" title="Edytuj sekcję: Warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum lokalnego" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&action=edit&section=9" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum lokalnego">edytuj kod</a>]</div> Funkcja ciągła <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} ,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2c01a60c3c8a1f109bae99184904b938e80cd31" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.806ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} ,}"> różniczkowalna w przedziale <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a,b)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a,b)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7e5710198f33b00695903460983021e75860e2c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.071ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a,b)}"> i mająca skończoną liczbę <a href="/wiki/Punkt_stacjonarny" title="Punkt stacjonarny">punktów stacjonarnych</a> (tj. takich, w których zeruje się jej pierwsza pochodna)<a href="#cite_note-6">[e]</a> ma w punkcie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}\in (a,b){:}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>:</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}\in (a,b){:}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b4c12f1d146473588078d25f6bcb1d240a9cc36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.942ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x_{0}\in (a,b){:}}"> <ul><li>minimum lokalne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta >0,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>δ</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta >0,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60f776a7a2322f7eb139801d00d029887455b081" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.956ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \delta >0,}"> że: <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f'(x_{0})=0,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'(x_{0})=0,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb4fa4d22f6ff219eb211ee865cd9f4fa035b176" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.106ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f'(x_{0})=0,}"></li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f'(x)<0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo><</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'(x)<0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c0bde42688139808aad1cefc4036c0c5a8ff9da" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.405ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f'(x)<0}"> dla <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in (x_{0}-\delta ,x_{0}),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mi>δ</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in (x_{0}-\delta ,x_{0}),}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5475bd718c8b66ae2500ea36f5618500f640f6b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.317ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x\in (x_{0}-\delta ,x_{0}),}"></li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f'(x)>0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'(x)>0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f0ead843d3e61f79403b8ef4e9259c76bcf2465" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.405ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f'(x)>0}"> dla <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in (x_{0},x_{0}+\delta );}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>δ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in (x_{0},x_{0}+\delta );}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2d1caa93f4ba1bffc0132608c4d3805804206d9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.317ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x\in (x_{0},x_{0}+\delta );}"></li></ul></li></ul> <ul><li>maksimum lokalne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta >0,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>δ</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta >0,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60f776a7a2322f7eb139801d00d029887455b081" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.956ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \delta >0,}"> że <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f'(x_{0})=0,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'(x_{0})=0,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb4fa4d22f6ff219eb211ee865cd9f4fa035b176" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.106ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f'(x_{0})=0,}"></li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f'(x)>0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'(x)>0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f0ead843d3e61f79403b8ef4e9259c76bcf2465" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.405ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f'(x)>0}"> dla <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in (x_{0}-\delta ,x_{0}),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mi>δ</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in (x_{0}-\delta ,x_{0}),}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5475bd718c8b66ae2500ea36f5618500f640f6b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.317ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x\in (x_{0}-\delta ,x_{0}),}"></li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f'(x)<0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo><</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'(x)<0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c0bde42688139808aad1cefc4036c0c5a8ff9da" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.405ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f'(x)<0}"> dla <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in (x_{0},x_{0}+\delta ).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>δ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in (x_{0},x_{0}+\delta ).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da84c7e2f2d31f8cf9b8717b1c215a1a9cc5c64f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.317ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x\in (x_{0},x_{0}+\delta ).}"></li></ul></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Inne_warunki_wystarczające_istnienia_ekstremów">Inne warunki wystarczające istnienia ekstremów</h4>[<a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&veaction=edit&section=10" title="Edytuj sekcję: Inne warunki wystarczające istnienia ekstremów" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&action=edit&section=10" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Inne warunki wystarczające istnienia ekstremów">edytuj kod</a>]</div> Jeśli o funkcji <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e9687ea22c0f310582e97ee5f6c6a5fca28203d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.925ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f,}"> określonej jak wyżej, założy się dodatkowo, że jest dwukrotnie różniczkowalna w przedziale <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a,b)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a,b)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7e5710198f33b00695903460983021e75860e2c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.071ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a,b)}"> oraz jej <a href="/wiki/Pochodna_funkcji" title="Pochodna funkcji">druga pochodna</a> jest ciągła, to jeżeli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f'(x_{0})=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'(x_{0})=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7174944436b983b143e07db4f628f53dc8508922" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.459ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f'(x_{0})=0}"> i <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f''(x_{0})\neq 0,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≠</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f''(x_{0})\neq 0,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94aa1bd86575f6b13d42fc4cc6ecedebf236c07b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.559ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f''(x_{0})\neq 0,}"> to funkcja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> ma w punkcie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}"> ekstremum, przy czym, gdy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f''(x_{0})<0,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo><</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f''(x_{0})<0,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e9b2d28b627387c23217fe0cb7e2f7f13ac6d67" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.559ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f''(x_{0})<0,}"> to jest to maksimum lokalne, a gdy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f''(x_{0})>0,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>></mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f''(x_{0})>0,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8313ae3b0596dc3e53828f024a90aa9cbcf82672" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.559ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f''(x_{0})>0,}"> to minimum lokalne<a href="#cite_note-7">[f]</a>. Powyższe kryterium nie rozstrzyga przypadku, gdy druga pochodna jest równa zero. <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Kryterium_istnienia_ekstremów_funkcji_n-krotnie_różniczkowalnych">Kryterium istnienia ekstremów funkcji n-krotnie różniczkowalnych</h4>[<a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&veaction=edit&section=11" title="Edytuj sekcję: Kryterium istnienia ekstremów funkcji n-krotnie różniczkowalnych" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&action=edit&section=11" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Kryterium istnienia ekstremów funkcji n-krotnie różniczkowalnych">edytuj kod</a>]</div> Jeżeli założy się dodatkowo o funkcji <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e9687ea22c0f310582e97ee5f6c6a5fca28203d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.925ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f,}"> że jest <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}">-krotnie razy różniczkowalna i <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}">-ta pochodna jest ciągła w <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a,b),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a,b),}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0066e8fc90702a659ee69bff970050aba59ee02c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.717ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a,b),}"> to zachodzi następujące twierdzenie<a href="#cite_note-CITEREFKrych2010214-8">[2]</a>: jeżeli <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f'(x_{0})=f''(x_{0})=\ldots =f^{(n-1)}(x_{0})=0,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>f</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo>…</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'(x_{0})=f''(x_{0})=\ldots =f^{(n-1)}(x_{0})=0,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72909f6cb6c283cea47ab7dfebaffb0db639c4cc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:39.888ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle f'(x_{0})=f''(x_{0})=\ldots =f^{(n-1)}(x_{0})=0,}"></dd></dl> tj. wszystkie pochodne do <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (n-1)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (n-1)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df88c6333caaf6471cf277f24b802ff9931b133e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.207ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (n-1)}">-ej zerują się w punkcie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8b35dd572e629881da4083ad1681bc7cf420304" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.031ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0},}"> a <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}">-ta pochodna jest różna od zera, to <ul><li>gdy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> jest liczbą <a href="/wiki/Parzysto%C5%9B%C4%87_liczb" title="Parzystość liczb">parzystą</a>, to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> ma ekstremum w punkcie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8b35dd572e629881da4083ad1681bc7cf420304" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.031ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0},}"> przy czym jest to maksimum, gdy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{(n)}(x_{0})<0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo><</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{(n)}(x_{0})<0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d155b384ec46e4e5002fee2b52ee3c63b19c7bb1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.272ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle f^{(n)}(x_{0})<0}"> lub minimum, gdy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{(n)}(x_{0})>0,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>></mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{(n)}(x_{0})>0,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f87468d0403278c66268db96b6f93c95cdb4c66" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.919ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle f^{(n)}(x_{0})>0,}"></li> <li>gdy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> jest liczbą <a href="/wiki/Parzysto%C5%9B%C4%87_liczb" title="Parzystość liczb">nieparzystą</a>, ekstremum nie istnieje.</li></ul> <dl><dt>Dowód</dt></dl> Z założenia zerowania się pochodnych do <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (n-1),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (n-1),}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a66e866dabbeec4f1d945eb097b98ea44f8dd9de" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.854ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (n-1),}"> można wyprowadzić korzystając ze <a href="/wiki/Wz%C3%B3r_Taylora" title="Wzór Taylora">wzoru Taylora</a>: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x_{0}+h)-f(x_{0})={\frac {h^{n}}{n!}}f^{(n)}(x_{0}+\theta h)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>θ</mi> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x_{0}+h)-f(x_{0})={\frac {h^{n}}{n!}}f^{(n)}(x_{0}+\theta h)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecb5564e5909954b02f243b1e9701f7d53bd9975" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:37.737ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle f(x_{0}+h)-f(x_{0})={\frac {h^{n}}{n!}}f^{(n)}(x_{0}+\theta h)}"></dd></dl> dla pewnego <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0<\theta <1.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> <mo><</mo> <mi>θ</mi> <mo><</mo> <mn>1.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0<\theta <1.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32d13e57ce56869f5194631e06bc78b404652ee6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.259ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0<\theta <1.}"> Jeśli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> jest parzyste, rozumowanie przebiega jak poprzednio. Gdy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> jest nieparzyste, prawa strona równości zmienia znak, gdy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}"> zmienia znak, a funkcja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{(n)}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{(n)}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dfb1963ccde0e87eb3838f51dc19041e2ff3816" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.818ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f^{(n)}}"> zachowuje w pewnym otoczeniu punktu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}"> ten sam znak co <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ec756993d89cc1bd74f84040c07f5e11f0a8102" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.031ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}.}"> Czyli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x_{0}+h)-f(x_{0})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x_{0}+h)-f(x_{0})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f42e62f90c1e60284df33dd18373c3016f1e26c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.963ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x_{0}+h)-f(x_{0})}"> ma dla <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h<0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> <mo><</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h<0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/065876face3f8cfccba95026d285ae5460c5f8a4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.6ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h<0}"> inny znak niż dla <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h>0,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h>0,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54d157abaf3f9530a2c65f7a21ad44fe673378c2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.247ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle h>0,}"> więc nie istnieje ekstremum w punkcie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ec756993d89cc1bd74f84040c07f5e11f0a8102" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.031ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}.}"> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Proste_zagadnienia_optymalizacyjne">Proste zagadnienia optymalizacyjne</h3>[<a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&veaction=edit&section=12" title="Edytuj sekcję: Proste zagadnienia optymalizacyjne" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&action=edit&section=12" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Proste zagadnienia optymalizacyjne">edytuj kod</a>]</div> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Plik:Pudelko.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3d/Pudelko.png/200px-Pudelko.png" decoding="async" width="200" height="180" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3d/Pudelko.png 1.5x" data-file-width="261" data-file-height="235" /></a><figcaption>Siatka prostopadłościennego pudełka wykonana z kwadratu o boku długości <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b803da9c45c1186883bde55107e9ccb102c92c6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.877ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a.}"></figcaption></figure> Zagadnienie wyznaczania ekstremów funkcji występuje często w fizyce i technice. Oto przykład: <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Pudełko_o_największej_objętości">Pudełko o największej objętości</h4>[<a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&veaction=edit&section=13" title="Edytuj sekcję: Pudełko o największej objętości" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&action=edit&section=13" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Pudełko o największej objętości">edytuj kod</a>]</div> <dl><dt>Problem</dt> <dd>Z kwadratowego arkusza blachy o boku <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> wycinane są przy wierzchołkach <a href="/wiki/Przystawanie_(geometria)" title="Przystawanie (geometria)">przystające</a> kwadraty i po zagięciu brzegów tworzone jest <a href="/wiki/Prostopad%C5%82o%C5%9Bcian" title="Prostopadłościan">prostopadłościenne</a> pudełko. Jak otrzymać pudełko o największej objętości?</dd></dl> <dl><dt>Rozwiązanie 1</dt> <dd>Jeśli przez <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> oznaczyć długość boku wyciętego kwadratu, to objętość <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}"> pudełka będzie równa <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V(x)=x(a-2x)^{2},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>x</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V(x)=x(a-2x)^{2},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4961fb66b260fc724295c2af19f46680ad9855e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.427ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle V(x)=x(a-2x)^{2},}"></dd></dl></dd> <dd>przy czym <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0\leqslant x\leqslant {\tfrac {1}{2}}a.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> <mo>⩽</mo> <mi>x</mi> <mo>⩽</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mi>a</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0\leqslant x\leqslant {\tfrac {1}{2}}a.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c756099f2594ac7f73a2c1de39bdf55b72ae081c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:12.224ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle 0\leqslant x\leqslant {\tfrac {1}{2}}a.}"></dd></dl></dd> <dd>Zadanie sprowadza się do znalezienia ekstremum funkcji <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}"> w przedziale <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [0,{\tfrac {1}{2}}a],}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [0,{\tfrac {1}{2}}a],}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/175045330e0cd30b701a84c77fac45ff75dee509" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:7.025ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle [0,{\tfrac {1}{2}}a],}"> przy czym wartości krańcowe reprezentują pudełko odpowiednio bez ścianek oraz bez podstawki, a więc o zerowej (minimalnej) objętości.</dd> <dd>Pochodna <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V'(x)=(a-2x)(a-6x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>V</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mn>6</mn> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V'(x)=(a-2x)(a-6x)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edb7729f5f287e6e75a80c85c5b6c6b832df1d6f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.582ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle V'(x)=(a-2x)(a-6x)}"></dd></dl></dd> <dd>zeruje się na tym przedziale w punktach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}:={\tfrac {a}{6}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>:=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mi>a</mi> <mn>6</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}:={\tfrac {a}{6}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4577ceaf8cef854d8f617402328316c1bfb363d8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:7.835ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle x_{0}:={\tfrac {a}{6}}}"> oraz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1}:={\tfrac {a}{2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>:=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1}:={\tfrac {a}{2}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5080cd309bcba576383211db90e973858977371a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:7.835ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle x_{1}:={\tfrac {a}{2}}}"> (w tym przypadku objętość jest zerowa). Ponieważ funkcja objętości jest dodatnia wewnątrz przedziału, 0 na jego końcach i ma we wnętrzu nie więcej niż jedno ekstremum lokalne, to ma ona dokładnie jedno maksimum, które jest zarazem lokalne i globalne (<a href="/wiki/Twierdzenie_Rolle%E2%80%99a" title="Twierdzenie Rolle’a">twierdzenie Rolle’a</a>); osiągane jest ono w <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ec756993d89cc1bd74f84040c07f5e11f0a8102" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.031ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}.}"> Dlatego największa objętość pudełka wynosi <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V(x_{0})={\frac {2}{27}}a^{3}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>2</mn> <mn>27</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V(x_{0})={\frac {2}{27}}a^{3}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13fa5f6dbd40d67bc84e8faa15fad76644cc1b5f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:15.171ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle V(x_{0})={\frac {2}{27}}a^{3}.}"></dd></dl></dd></dl> <dl><dt>Rozwiązanie 2</dt> <dd>Wielkość <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W(x):=4V(x)=ABC,\quad {}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>W</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:=</mo> <mn>4</mn> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mi>B</mi> <mi>C</mi> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W(x):=4V(x)=ABC,\quad {}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1a38b5cee1b3ef5bb00feddcc1e72dd51ba67d2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.137ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle W(x):=4V(x)=ABC,\quad {}}"> gdzie <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A:=4x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>:=</mo> <mn>4</mn> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A:=4x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36783ecfce6bfecc4575cf0011489b32e5bc1c5c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.981ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A:=4x}"> oraz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B:=C:=a-2x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> <mo>:=</mo> <mi>C</mi> <mo>:=</mo> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B:=C:=a-2x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f491c18a582deb34060aa6302d1ea53b88ce812" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:17.583ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle B:=C:=a-2x}"></dd></dl></dd> <dd>są nieujemne, przyjmuje wartość maksymalną dla tego samego <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> co <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V(x).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V(x).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5822a29980e53ab1489e731ded26aac72bf2fe6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.573ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle V(x).}"> Ponieważ <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A+B+C=2a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>+</mo> <mi>B</mi> <mo>+</mo> <mi>C</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A+B+C=2a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72ba4fe2f73f8052d18d62a447b5e151c3a92e34" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:16.445ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle A+B+C=2a}"></dd></dl></dd> <dd>jest stałe i dodatnie, więc stała i dodatnia jest też <a href="/wiki/%C5%9Arednia_arytmetyczna" title="Średnia arytmetyczna">średnia arytmetyczna</a> nieujemnych liczb <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A,B,C.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> <mo>,</mo> <mi>C</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A,B,C.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eb08f78c36e2db95c6c012de5c005e62a4e48ea" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.988ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A,B,C.}"></dd></dl> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>W</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W(x)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86ead36b42ec68c542b267f9e6bb62cf911a764b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.574ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle W(x)}"> jest natomiast sześcianem ich <a href="/wiki/%C5%9Arednia_geometryczna" title="Średnia geometryczna">średniej geometrycznej</a>. Wiadomo, że średnia geometryczna liczb nieujemnych jest zawsze mniejsza lub równa od arytmetycznej, przy czym równość między tymi średnimi zajdzie tylko, gdy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A=B=C}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mi>B</mi> <mo>=</mo> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=B=C}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c8a7e503dce9189c3025127bda01e72c2bdfa0b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.47ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A=B=C}"> (zob. <a href="/wiki/Nier%C3%B3wno%C5%9B%C4%87_mi%C4%99dzy_%C5%9Brednimi_pot%C4%99gowymi" title="Nierówność między średnimi potęgowymi">nierówności między średnimi potęgowymi</a>), czyli gdy <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4x=a-2x,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>4</mn> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>x</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4x=a-2x,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17f054a7e471b5d87b51846e0c8c25ec4b37a1ef" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.8ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 4x=a-2x,}"></dd></dl></dd> <dd>czyli dla <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x={\frac {a}{6}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <mn>6</mn> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x={\frac {a}{6}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac07d2f0b5f589ae347508d50a4708b055a83c59" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:7.141ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle x={\frac {a}{6}}.}"></dd></dl></dd> <dd>Zatem dla tej właśnie wartości <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.977ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x,}"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V(x)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ab3e825c2bf9c80d11d12e070a4626d48e03c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.926ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle V(x)}"> przyjmuje wartość maksymalną: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V\left({\frac {a}{6}}\right)={\frac {2}{27}}a^{3}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <mn>6</mn> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>2</mn> <mn>27</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V\left({\frac {a}{6}}\right)={\frac {2}{27}}a^{3}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abaa063ebf9d89220814896c23831abe6cdc7664" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:16.206ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle V\left({\frac {a}{6}}\right)={\frac {2}{27}}a^{3}.}"></dd></dl></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Koszt_eksploatacji_statku">Koszt eksploatacji statku</h4>[<a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&veaction=edit&section=14" title="Edytuj sekcję: Koszt eksploatacji statku" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&action=edit&section=14" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Koszt eksploatacji statku">edytuj kod</a>]</div> <dl><dt>Problem</dt> <dd>Wiadomo, że koszt eksploatacji statku w ciągu godziny pływania wyraża się wzorem empirycznym <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a+bv^{3},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a+bv^{3},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fec504b441874a109f8e6cc9b28fedab1e4cfece" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.896ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle a+bv^{3},}"> gdzie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e07b00e7fc0847fbd16391c778d65bc25c452597" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.128ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle v}"> oznacza prędkość statku w <a href="/wiki/W%C4%99ze%C5%82_(jednostka_pr%C4%99dko%C5%9Bci)" title="Węzeł (jednostka prędkości)">węzłach</a> (1 węzeł = 1 <a href="/wiki/Mila_morska" title="Mila morska">Mm</a>/<a href="/wiki/Godzina" title="Godzina">h</a> ≈ 1,85 <a href="/wiki/Kilometr_na_godzin%C4%99" title="Kilometr na godzinę">km/h</a>), natomiast <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> i <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> są stałymi, które powinny być obliczone dla każdego statku z osobna (część stała kosztu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> pochodzi od <a href="/wiki/Amortyzacja" title="Amortyzacja">amortyzacji</a> i kosztów utrzymania załogi, a część <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle bv^{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle bv^{3}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6978f5ca83d6d5eb976f078814f08b1fca25478" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.179ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle bv^{3}}"> od kosztów paliwa). Przy jakiej prędkości statek przebędzie dowolną odległość z najmniejszymi kosztami?</dd></dl> <dl><dt>Rozwiązanie</dt> <dd>Przebycie 1 mili morskiej trwa 1/v godziny, więc kosztuje: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(v):={\tfrac {1}{v}}(a+bv^{3})=bv^{2}+{\tfrac {a}{v}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>v</mi> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>b</mi> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mi>a</mi> <mi>v</mi> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(v):={\tfrac {1}{v}}(a+bv^{3})=bv^{2}+{\tfrac {a}{v}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa90a713926fec854b557570ccac9d14730b9969" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:30.149ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle f(v):={\tfrac {1}{v}}(a+bv^{3})=bv^{2}+{\tfrac {a}{v}}.}"></dd></dl></dd> <dd>Przyrównując pochodną <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f'}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/258eaada38956fb69b8cb1a2eef46bcb97d3126b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.005ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f'}"> do zera, mamy: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2bv-{\tfrac {a}{v^{2}}}=0,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mi>b</mi> <mi>v</mi> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mi>a</mi> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2bv-{\tfrac {a}{v^{2}}}=0,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5374053aefcf9bccfcc758bcdc0626cd42a536a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.505ex; width:13.501ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle 2bv-{\tfrac {a}{v^{2}}}=0,}"> skąd <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v={\sqrt[{3}]{\tfrac {a}{2b}}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mroot> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mi>a</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>b</mi> </mrow> </mfrac> </mstyle> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </mroot> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v={\sqrt[{3}]{\tfrac {a}{2b}}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bd772696217f704568062da6d05a966249fc878" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:9.56ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle v={\sqrt[{3}]{\tfrac {a}{2b}}}.}"></dd></dl></dd> <dd>Ponieważ druga pochodna <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f''(v)=2b+2{\tfrac {a}{v^{3}}}>0,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mi>a</mi> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>></mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f''(v)=2b+2{\tfrac {a}{v^{3}}}>0,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11523c04e5f98d5c01d99f83c414a3101ac7fbef" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.505ex; width:22.029ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle f''(v)=2b+2{\tfrac {a}{v^{3}}}>0,}"></dd></dl></dd> <dd>więc koszty rzeczywiście osiągną najmniejszą wartość dla znalezionej wartości <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb7b87f7afb1452b9d0e287f8ef746a9912c8333" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.774ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle v.}"></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Funkcje_określone_na_podzbiorach_przestrzeni_unormowanych">Funkcje określone na podzbiorach przestrzeni unormowanych</h2>[<a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&veaction=edit&section=15" title="Edytuj sekcję: Funkcje określone na podzbiorach przestrzeni unormowanych" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&action=edit&section=15" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Funkcje określone na podzbiorach przestrzeni unormowanych">edytuj kod</a>]</div> Pewne wyniki związane z istnieniem ekstremów, otrzymane dla funkcji argumentów rzeczywistych, przenoszą się na funkcje określone na <a href="/wiki/Podzbi%C3%B3r" title="Podzbiór">podzbiorach</a> <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_unormowana" title="Przestrzeń unormowana">przestrzeni unormowanych</a>. <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Plik:HyperbolicParaboloid2.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8b/HyperbolicParaboloid2.png/200px-HyperbolicParaboloid2.png" decoding="async" width="200" height="200" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8b/HyperbolicParaboloid2.png/300px-HyperbolicParaboloid2.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8b/HyperbolicParaboloid2.png 2x" data-file-width="350" data-file-height="350" /></a><figcaption><a href="/wiki/Paraboloida_hiperboliczna" title="Paraboloida hiperboliczna">Paraboloida hiperboliczna</a> – w pobliżu początku układu współrzędnych ma ona kształt podobny do siodła (zob. <a href="/wiki/Punkt_siod%C5%82owy" title="Punkt siodłowy">punkt siodłowy</a>)</figcaption></figure> W dalszej części tego paragrafu przez <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"> rozumiana jest dowolna przestrzeń unormowana, zaś przez <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}"> pewien jej <a href="/wiki/Zbi%C3%B3r_otwarty" title="Zbiór otwarty">otwarty</a><a href="#cite_note-9">[g]</a> podzbiór. Funkcja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>D</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/229e3a78dd4be03159691c3d4c84a9095784d26e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.529ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }"> musi być <a href="/wiki/Pochodna_Fr%C3%A9cheta" title="Pochodna Frécheta">różniczkowalna (w sensie Frécheta)</a> w zbiorze <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f173f63969b15d29f4efe8403a0a7032ec8f8186" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.571ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D.}"> Przez zapis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f'(x_{0})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'(x_{0})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc15f7bc4034ace9faccf92eb8e3f245541c5e6e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.198ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f'(x_{0})}"> lub <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle df(x_{0})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle df(x_{0})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6c78c3b7cad8af9173549db14497b4f51420d2c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.688ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle df(x_{0})}"> rozumie się <a href="/wiki/R%C3%B3%C5%BCniczka" title="Różniczka">różniczkę</a> funkcji <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e9687ea22c0f310582e97ee5f6c6a5fca28203d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.925ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f,}"> która jest <a href="/wiki/Przekszta%C5%82cenie_liniowe" title="Przekształcenie liniowe">odwzorowaniem liniowym</a> i ciągłym przestrzeni <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"> o wartościach w <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} .}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc9de9049e03e5e5a0cab57076dbe4a369c1e3a7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.325ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} .}"> Pochodna <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}">-tego rzędu funkcji (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}">-krotnie różniczkowalnej) jest <a href="/wiki/Przekszta%C5%82cenie_wieloliniowe" title="Przekształcenie wieloliniowe">odwzorowaniem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}">-liniowym</a> przestrzeni <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X\times \ldots \times X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> <mo>×</mo> <mo>…</mo> <mo>×</mo> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X\times \ldots \times X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fe05030481a112fc72d5dfc0d3564bb1fb5bac1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:12.364ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X\times \ldots \times X}"> o wartościach rzeczywistych i oznaczana jest przez <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{(n)}(x_{0})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{(n)}(x_{0})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ac1b7d6e1a488c73c3acab969be7c4a8f2a10aa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.012ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle f^{(n)}(x_{0})}"> lub <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle df^{n}(x_{0}).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle df^{n}(x_{0}).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d95965e984b187dd9d9297b5dcde76422f40431f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.595ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle df^{n}(x_{0}).}"> Podobnie jak dla funkcji rzeczywistych, warunkiem koniecznym istnienia ekstremum w punkcie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}\in D}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}\in D}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b107b130543b591ac3037f4bc152da314ec51586" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.149ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{0}\in D}"> jest, aby wartość funkcji będącej różniczką w <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}\in D}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}\in D}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b107b130543b591ac3037f4bc152da314ec51586" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.149ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{0}\in D}"> wynosiła zero dla wszystkich punktów w pewnym otoczeniu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (f'(x_{0})\equiv 0).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≡</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (f'(x_{0})\equiv 0).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bdc76c5e69d1c04ec50cbb81f698cddc8212a97" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.916ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (f'(x_{0})\equiv 0).}"> Punkt, w którym różniczka się zeruje (jest funkcją stale równą zero w pewnym otoczeniu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}">), nazywany jest punktem stacjonarnym. Tak jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, w punkcie stacjonarnym wcale nie musi być ekstremum. Na przykład dla funkcji <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> <mo>:</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/624f19bb2cc00026bedb58e3b10818f7dd2b5fa6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.174ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle g\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }"> danej wzorem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g(x,y)=xy,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mi>y</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(x,y)=xy,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57904cf6665f6fffc431b1cf2af7c97e155808be" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.675ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g(x,y)=xy,}"> której wykresem jest <a href="/wiki/Paraboloida_hiperboliczna" title="Paraboloida hiperboliczna">paraboloida hiperboliczna</a>, <a href="/wiki/Pochodna_cz%C4%85stkowa" title="Pochodna cząstkowa">pochodne cząstkowe</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g'_{x}(x,y)=x,\;g'_{y}(x,y)=y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <msubsup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g'_{x}(x,y)=x,\;g'_{y}(x,y)=y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85222c4b3d6f08d0a58e37933a457a0e5952822a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:25.458ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle g'_{x}(x,y)=x,\;g'_{y}(x,y)=y}"> są jednocześnie równe zeru<a href="#cite_note-10">[h]</a> tylko w punkcie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (0,0),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (0,0),}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/463191f337fe0d5d52ed35adfaf91da46fb3a984" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.815ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (0,0),}"> w którym <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x,y)=0.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x,y)=0.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d1dd904a02ab582ed0c2d31ba4984e797857b06" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.515ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x,y)=0.}"> Jednocześnie widać (por. rysunek obok), że w dowolnym otoczeniu zera funkcja przybiera zarówno wartości dodanie, jak i ujemne, a więc nie może być w nim ekstremum. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Definicje_pomocnicze">Definicje pomocnicze</h3>[<a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&veaction=edit&section=16" title="Edytuj sekcję: Definicje pomocnicze" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&action=edit&section=16" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Definicje pomocnicze">edytuj kod</a>]</div> Na potrzeby dalszych twierdzeń, konieczne będzie wprowadzenie kilku definicji: <a href="/wiki/Forma_dwuliniowa" title="Forma dwuliniowa">Funkcjonał dwuliniowy</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi \colon X\times X\to \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>φ</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo>×</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi \colon X\times X\to \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6da3dab25d56607a01a820115c21e016e57e3b17" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.647ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \varphi \colon X\times X\to \mathbb {R} }"> jest nieujemny, niedodatni, dodatni, ujemny jeśli odpowiednio <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi (h,h)\geqslant 0,\;\varphi (h,h)\leqslant 0,\;\varphi (h,h)>0,\;\varphi (h,h)<0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>φ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>h</mi> <mo>,</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⩾</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>φ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>h</mi> <mo>,</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⩽</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>φ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>h</mi> <mo>,</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>></mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>φ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>h</mi> <mo>,</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo><</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi (h,h)\geqslant 0,\;\varphi (h,h)\leqslant 0,\;\varphi (h,h)>0,\;\varphi (h,h)<0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98587dd9e02ba6608044f57a9df61114cbe82342" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:50.246ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varphi (h,h)\geqslant 0,\;\varphi (h,h)\leqslant 0,\;\varphi (h,h)>0,\;\varphi (h,h)<0}"> dla wszelkich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0\neq h\in X.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> <mo>≠</mo> <mi>h</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0\neq h\in X.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de986e0bdec0ac064d16de43460c6656c978e226" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.067ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 0\neq h\in X.}"> Funkcjonał dwuliniowy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi \colon X\times X\to \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>φ</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo>×</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi \colon X\times X\to \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6da3dab25d56607a01a820115c21e016e57e3b17" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.647ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \varphi \colon X\times X\to \mathbb {R} }"> jest <ul><li>dodatnio określony, jeśli</li></ul> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \bigvee _{c>0}\bigwedge _{h\in X}\varphi (h,h)\geqslant c\|h\|^{2},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo>⋁</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>c</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mrow> </munder> <munder> <mo>⋀</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>h</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> </mrow> </munder> <mi>φ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>h</mi> <mo>,</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⩾</mo> <mi>c</mi> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>h</mi> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \bigvee _{c>0}\bigwedge _{h\in X}\varphi (h,h)\geqslant c\|h\|^{2},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ca2f946ac87e7fb8c1cef34c66b05fa235e4a41" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:23.541ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \bigvee _{c>0}\bigwedge _{h\in X}\varphi (h,h)\geqslant c\|h\|^{2},}"></dd></dl> <ul><li>ujemnie określony, jeśli</li></ul> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \bigvee _{c>0}\bigwedge _{h\in X}\varphi (h,h)\leqslant -c\|h\|^{2}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo>⋁</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>c</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mrow> </munder> <munder> <mo>⋀</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>h</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> </mrow> </munder> <mi>φ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>h</mi> <mo>,</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⩽</mo> <mo>−</mo> <mi>c</mi> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>h</mi> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \bigvee _{c>0}\bigwedge _{h\in X}\varphi (h,h)\leqslant -c\|h\|^{2}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6005f5961ac6623eaf712e3ca90665fc8826b311" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:25.35ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \bigvee _{c>0}\bigwedge _{h\in X}\varphi (h,h)\leqslant -c\|h\|^{2}.}"></dd></dl> W szczególności, każda <a href="/wiki/Macierz" title="Macierz">macierz kwadratowa</a> może być interpretowana jako macierz funkcjonału dwuliniowego przestrzeni <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X=\mathbb {R} ^{m}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> <mo>=</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X=\mathbb {R} ^{m}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4021280dbf4d41cf0e2626d4693a1c779d8f33b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.432ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle X=\mathbb {R} ^{m}}"> (por. <a href="/wiki/Okre%C5%9Blono%C5%9B%C4%87_formy" title="Określoność formy">macierz dodatnio określona</a>). Prawdziwe jest twierdzenie, które mówi, że każdy dodatni (lub ujemny) funkcjonał dwuliniowy tej przestrzeni jest dodatnio określony (ujemnie określony). Do badania dodatniej (ujemnej) określoności macierzy służy <a href="/wiki/Kryterium_Sylvestera" title="Kryterium Sylvestera">kryterium Sylvestera</a>. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ekstrema_a_druga_pochodna">Ekstrema a druga pochodna</h3>[<a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&veaction=edit&section=17" title="Edytuj sekcję: Ekstrema a druga pochodna" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&action=edit&section=17" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Ekstrema a druga pochodna">edytuj kod</a>]</div> Jeżeli funkcja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> jest dwukrotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E\subseteq D}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mo>⊆</mo> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E\subseteq D}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/150289404deb2e5efcb7cfbb5233aff754dfbe00" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.798ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle E\subseteq D}"> punktu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8b35dd572e629881da4083ad1681bc7cf420304" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.031ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0},}"> przy czym <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f'(x_{0})=0,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'(x_{0})=0,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb4fa4d22f6ff219eb211ee865cd9f4fa035b176" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.106ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f'(x_{0})=0,}"> a <a href="/wiki/R%C3%B3%C5%BCniczka" title="Różniczka">pochodna</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f''}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mo>″</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f''}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbbdf186092f4353b7630fa8dda903e493cbbdc8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.458ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f''}"> jest ciągła w <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8b35dd572e629881da4083ad1681bc7cf420304" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.031ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0},}"> to <ul><li>jeżeli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> ma w <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}"> minimum lokalne, to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f''(x_{0})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f''(x_{0})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc5b1dfb5d31f526ed2ed25aa24dcdd9fd1cb690" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.651ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f''(x_{0})}"> jest nieujemna,</li> <li>jeżeli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> ma w <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}"> maksimum lokalne, to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f''(x_{0})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f''(x_{0})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc5b1dfb5d31f526ed2ed25aa24dcdd9fd1cb690" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.651ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f''(x_{0})}"> jest niedodatnia.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Warunek_konieczny_i_wystarczający_istnienia_ekstremum">Warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum</h3>[<a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&veaction=edit&section=18" title="Edytuj sekcję: Warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&action=edit&section=18" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum">edytuj kod</a>]</div> Niech, jak poprzednio, funkcja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> będzie dwukrotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U\subseteq D}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>U</mi> <mo>⊆</mo> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U\subseteq D}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb5d67c7d2fb454a79f15d958cfed4c9dbeb5305" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.805ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle U\subseteq D}"> punktu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8b35dd572e629881da4083ad1681bc7cf420304" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.031ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0},}"> przy czym <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f'(x_{0})=0,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'(x_{0})=0,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb4fa4d22f6ff219eb211ee865cd9f4fa035b176" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.106ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f'(x_{0})=0,}"> a <a href="/wiki/R%C3%B3%C5%BCniczka" title="Różniczka">pochodna</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f''}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mo>″</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f''}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbbdf186092f4353b7630fa8dda903e493cbbdc8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.458ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f''}"> jest ciągła w <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ec756993d89cc1bd74f84040c07f5e11f0a8102" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.031ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}.}"> <ul><li>Jeżeli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f''(x_{0})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f''(x_{0})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc5b1dfb5d31f526ed2ed25aa24dcdd9fd1cb690" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.651ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f''(x_{0})}"> jest dodatnio określona, to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> ma minimum lokalne właściwe w punkcie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ec756993d89cc1bd74f84040c07f5e11f0a8102" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.031ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}.}"></li> <li>Jeżeli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f''(x_{0})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f''(x_{0})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc5b1dfb5d31f526ed2ed25aa24dcdd9fd1cb690" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.651ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f''(x_{0})}"> jest ujemnie określona, to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> ma maksimum lokalne właściwe w punkcie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ec756993d89cc1bd74f84040c07f5e11f0a8102" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.031ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}.}"></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Funkcje_określone_na_podzbiorach_płaszczyzny">Funkcje określone na podzbiorach płaszczyzny</h2>[<a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&veaction=edit&section=19" title="Edytuj sekcję: Funkcje określone na podzbiorach płaszczyzny" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&action=edit&section=19" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Funkcje określone na podzbiorach płaszczyzny">edytuj kod</a>]</div> Ważnym przypadkiem są funkcje określone na podzbiorach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> <mo>=</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a1ed27e673a98e750080761f48db675d179b10d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.458ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}.}"> Przypadek ten zasługuje na wyróżnienie ponieważ funkcje tego typu szczególnie często pojawiają się w zastosowaniach. Korzystając z własności <a href="/wiki/Pochodna_cz%C4%85stkowa" title="Pochodna cząstkowa">pochodnych cząstkowych</a> takich funkcji można podać następujący <a href="/wiki/Algorytm" title="Algorytm">algorytm</a> badania istnienia ekstremów funkcji <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>D</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} ,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4d60eecbca5a8f0e8b0720f72d1a450d615f7c0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.176ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} ,}"> gdzie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}"> jest otwartym podzbiorem płaszczyzny. O funkcji <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> wiadomo, że jest dwukrotnie różniczkowalna i jej druga pochodna jest ciągła. <ol><li>Wyznaczamy wszystkie punkty <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{0},y_{0})\in D}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{0},y_{0})\in D}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d70223a3ebff85ecd59cf7db4d7584935a8f7cc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.186ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x_{0},y_{0})\in D}"> takie, że pochodne cząstkowe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}f'_{x}(x_{0},y_{0})=0\\f'_{y}(x_{0},y_{0})=0\end{matrix}}\right.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>{</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}f'_{x}(x_{0},y_{0})=0\\f'_{y}(x_{0},y_{0})=0\end{matrix}}\right.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9026b464446db6d94b1fc705985868307e249c50" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:16.488ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}f'_{x}(x_{0},y_{0})=0\\f'_{y}(x_{0},y_{0})=0\end{matrix}}\right.}"> (rozwiązując ten układ równań)<a href="#cite_note-11">[i]</a>.</li> <li>Dla każdego punktu z osobna badamy znak <a href="/wiki/Macierz_Hessego" title="Macierz Hessego">wyznacznika Hessego</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta (x_{0},y_{0})=\left|{\begin{array}{l}f''_{xx}(x_{0},y_{0})&f''_{xy}(x_{0},y_{0})\\f''_{yx}(x_{0},y_{0})&f''_{yy}(x_{0},y_{0})\end{array}}\right|}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>δ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="left" rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mo>″</mo> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <msubsup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mi>y</mi> </mrow> <mo>″</mo> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mo>″</mo> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <msubsup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mi>y</mi> </mrow> <mo>″</mo> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta (x_{0},y_{0})=\left|{\begin{array}{l}f''_{xx}(x_{0},y_{0})&f''_{xy}(x_{0},y_{0})\\f''_{yx}(x_{0},y_{0})&f''_{yy}(x_{0},y_{0})\end{array}}\right|}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c11fd7c5c7e035c33f846549a61ced391c0e278" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:37.157ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \delta (x_{0},y_{0})=\left|{\begin{array}{l}f''_{xx}(x_{0},y_{0})&f''_{xy}(x_{0},y_{0})\\f''_{yx}(x_{0},y_{0})&f''_{yy}(x_{0},y_{0})\end{array}}\right|}"> Na mocy <a href="/wiki/Twierdzenie_Schwarza" title="Twierdzenie Schwarza">Twierdzenia Schwarza</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f''_{xy}(x_{0},y_{0})=f''_{yx}(x_{0},y_{0}),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mi>y</mi> </mrow> <mo>″</mo> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mo>″</mo> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f''_{xy}(x_{0},y_{0})=f''_{yx}(x_{0},y_{0}),}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f014fe156e212b86236fac17b311f1d38561f582" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:24.844ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f''_{xy}(x_{0},y_{0})=f''_{yx}(x_{0},y_{0}),}"> więc: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta (x_{0},y_{0})=f''_{xx}(x_{0},y_{0})f''_{yy}(x_{0},y_{0})-(f''_{xy}(x_{0},y_{0}))^{2}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>δ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mo>″</mo> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <msubsup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mi>y</mi> </mrow> <mo>″</mo> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msubsup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mi>y</mi> </mrow> <mo>″</mo> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta (x_{0},y_{0})=f''_{xx}(x_{0},y_{0})f''_{yy}(x_{0},y_{0})-(f''_{xy}(x_{0},y_{0}))^{2}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25fdd44d6489040b8c4f8309a3b71116c2f05655" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:49.567ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \delta (x_{0},y_{0})=f''_{xx}(x_{0},y_{0})f''_{yy}(x_{0},y_{0})-(f''_{xy}(x_{0},y_{0}))^{2}.}"></li> <li>Jeżeli w danym punkcie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{0},y_{0})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{0},y_{0})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29c296094af9a1c665425debeac5eaab99a37a04" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.421ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x_{0},y_{0})}"> wyznacznik <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta (x_{0},y_{0})<0,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>δ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo><</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta (x_{0},y_{0})<0,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44d96530399b8593b898669fdda06ceca750ace7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.377ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \delta (x_{0},y_{0})<0,}"> to w tym punkcie nie ma ekstremum, jeśli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta (x_{0},y_{0})=0,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>δ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta (x_{0},y_{0})=0,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3484dac3b0849c417bcfabcf42eddfc9fd49b18c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.377ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \delta (x_{0},y_{0})=0,}"> to w pewnych przypadkach może istnieć ekstremum, a pewnych nie<a href="#cite_note-12">[j]</a>. I ostatecznie, jeżeli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta (x_{0},y_{0})>0,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>δ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>></mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta (x_{0},y_{0})>0,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fce84b5a83aa9ca7476fecccf451861340950ad" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.377ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \delta (x_{0},y_{0})>0,}"> to istnieje ekstremum lokalne w tym punkcie, jeśli:</li></ol> <dl><dd><ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f''_{xx}(x_{0},y_{0})>0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mo>″</mo> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f''_{xx}(x_{0},y_{0})>0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9603114f2a9a3cc99a291a2462b4407d441182d7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.933ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f''_{xx}(x_{0},y_{0})>0}"> co dla <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta (x_{0},y_{0})>0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>δ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta (x_{0},y_{0})>0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a3ff8793f2422fcb3fdd5a9c716bbe643a27d6f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.73ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \delta (x_{0},y_{0})>0}"> jest równoważne <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f''_{yy}(x_{0},y_{0})>0,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mi>y</mi> </mrow> <mo>″</mo> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>></mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f''_{yy}(x_{0},y_{0})>0,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f04781ff4ef6096e12d6c2a90272b5976400c15" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:15.334ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f''_{yy}(x_{0},y_{0})>0,}"> to jest to minimum lokalne,</li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f''_{xx}(x_{0},y_{0})<0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mo>″</mo> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo><</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f''_{xx}(x_{0},y_{0})<0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d72e0c8f9d2cec233e91f3ffc879f05d4938209" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.933ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f''_{xx}(x_{0},y_{0})<0}"> co dla <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta (x_{0},y_{0})>0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>δ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta (x_{0},y_{0})>0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a3ff8793f2422fcb3fdd5a9c716bbe643a27d6f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.73ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \delta (x_{0},y_{0})>0}"> jest równoważne <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f''_{yy}(x_{0},y_{0})<0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mi>y</mi> </mrow> <mo>″</mo> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo><</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f''_{yy}(x_{0},y_{0})<0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98c7c69d2022f1f7244cbf78f60ade354416be18" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:14.687ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f''_{yy}(x_{0},y_{0})<0}"> to jest to maksimum lokalne.</li></ul></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Przykład">Przykład</h3>[<a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&veaction=edit&section=20" title="Edytuj sekcję: Przykład" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&action=edit&section=20" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Przykład">edytuj kod</a>]</div> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Plik:Extrema3.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1b/Extrema3.gif/250px-Extrema3.gif" decoding="async" width="250" height="203" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1b/Extrema3.gif/375px-Extrema3.gif 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1b/Extrema3.gif/500px-Extrema3.gif 2x" data-file-width="520" data-file-height="422" /></a><figcaption>Wykres funkcji <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x,y)=2x^{3}-y^{3}+12x^{2}+27y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>12</mn> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>27</mn> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x,y)=2x^{3}-y^{3}+12x^{2}+27y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82df566c1f16f3423b44b0607319969b4e5dfd21" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.177ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(x,y)=2x^{3}-y^{3}+12x^{2}+27y}"> z zaznaczonymi ekstremami lokalnymi i punktami siodłowymi</figcaption></figure> Znaleźć ekstrema funkcji <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x,y)=2x^{3}-y^{3}+12x^{2}+27y.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>12</mn> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>27</mn> <mi>y</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x,y)=2x^{3}-y^{3}+12x^{2}+27y.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e170da341a6298cd32cedf1cc58498280363bf8d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.824ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(x,y)=2x^{3}-y^{3}+12x^{2}+27y.}"></dd></dl> Obliczamy pierwsze pochodne cząstkowe funkcji <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> i przyrównujemy do zera: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}f'_{x}(x,y)=0\Leftrightarrow 6x^{2}+24x=0\\f'_{y}(x,y)=0\Leftrightarrow -3y^{2}+27=0\end{matrix}}\right.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>{</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">⇔</mo> <mn>6</mn> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>24</mn> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">⇔</mo> <mo>−</mo> <mn>3</mn> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>27</mn> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}f'_{x}(x,y)=0\Leftrightarrow 6x^{2}+24x=0\\f'_{y}(x,y)=0\Leftrightarrow -3y^{2}+27=0\end{matrix}}\right.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32d25ee182d2ba586217afb305b2191b9535a8eb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:32.498ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}f'_{x}(x,y)=0\Leftrightarrow 6x^{2}+24x=0\\f'_{y}(x,y)=0\Leftrightarrow -3y^{2}+27=0\end{matrix}}\right.}"></dd></dl> Układ równań ma dokładnie 4 rozwiązania, którymi są punkty <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=(0,3),\ b=(0,-3),\ c=(-4,-3),\ d=(-4,3),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mo>−</mo> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>4</mn> <mo>,</mo> <mo>−</mo> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mi>d</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>4</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=(0,3),\ b=(0,-3),\ c=(-4,-3),\ d=(-4,3),}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5d8dc4cc2ad9cac315580986a77c6bd5a16c499" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:50.24ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a=(0,3),\ b=(0,-3),\ c=(-4,-3),\ d=(-4,3),}"></dd></dl> <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta (a)<0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>δ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo><</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta (a)<0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e9aa05f9492f11d05b3fbda0ad12f7be41875bf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.349ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \delta (a)<0}"> i <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta (c)<0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>δ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo><</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta (c)<0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46c16181c29124c9bfd21f145ded1f519cba1c27" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.126ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \delta (c)<0}"> – zatem w tych punktach nie ma ekstremów (na wykresie zaznaczono je na pomarańczowo, są to tzw. <a href="/wiki/Punkt_siod%C5%82owy" title="Punkt siodłowy">punkty siodłowe</a> funkcji <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}">),</li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta (b)>0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>δ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta (b)>0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f10f4efa41c237ea5934a19575ab234757f3bd6a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.116ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \delta (b)>0}"> – w tym punkcie jest minimum lokalne (zaznaczono na czerwono),</li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta (d)>0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>δ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta (d)>0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/391f3647f703fc676709d23d7f7d0cee2a58e59f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.335ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \delta (d)>0}"> – w tym punkcie jest maksimum lokalne (zaznaczono na zielono).</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Funkcje_uwikłane">Funkcje uwikłane</h2>[<a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&veaction=edit&section=21" title="Edytuj sekcję: Funkcje uwikłane" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&action=edit&section=21" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Funkcje uwikłane">edytuj kod</a>]</div> W tej sekcji rozważane będą ekstrema funkcji <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y(x),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y(x),}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2556ff02af7367129a624a4c595a5516625727d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.941ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y(x),}"> dla której nie znamy jednak bezpośredniej zależności <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"> od <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.977ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x,}"> mając jedynie równanie postaci <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(x,y)=0.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(x,y)=0.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af57aaa2ab12a8038f4a65a0bfdfd9bbb4ec5d02" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.977ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(x,y)=0.}"> Podobnie jak w poprzednim przypadku, o funkcji <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}"> zakładamy, że jest dwukrotnie różniczkowalna w pewnym otwartym podzbiorze <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> <mo>⊂</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f74a53967cd4ea521ce1304564ad900dcffbd07" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.755ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{2}}"> oraz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}"> jest zbiorem punktów <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,y)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41cf50e4a314ca8e2c30964baa8d26e5be7a9386" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.328ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,y)}"> obszaru, w których <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(x,y)=0.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(x,y)=0.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af57aaa2ab12a8038f4a65a0bfdfd9bbb4ec5d02" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.977ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(x,y)=0.}"></dd></dl> Na mocy <a href="/wiki/Funkcja_uwik%C5%82ana#Funkcje_rzeczywiste" title="Funkcja uwikłana">twierdzenia o funkcji uwikłanej</a>, wzór <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y'(x)=-{\frac {F'_{x}(x,y)}{F'_{y}(x,y)}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y'(x)=-{\frac {F'_{x}(x,y)}{F'_{y}(x,y)}},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f0b7575d785453e9181faf91fa073350090aebe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:19.369ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle y'(x)=-{\frac {F'_{x}(x,y)}{F'_{y}(x,y)}},}"></dd></dl> gdzie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=y(x),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=y(x),}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/783d42fc3339c3ae307584afc0e2dc68c4805828" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.195ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y=y(x),}"> a w konsekwencji także <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y''=-{\frac {F''_{xx}(F'_{y})^{2}-2F''_{xy}F'_{x}F'_{y}+F''_{yy}(F'_{x})^{2}}{(F'_{y})^{3}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>y</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mo>″</mo> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mi>y</mi> </mrow> <mo>″</mo> </msubsup> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mi>y</mi> </mrow> <mo>″</mo> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y''=-{\frac {F''_{xx}(F'_{y})^{2}-2F''_{xy}F'_{x}F'_{y}+F''_{yy}(F'_{x})^{2}}{(F'_{y})^{3}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9dae7f91f522c2ffb7c91a14e3ae39634c2c2d4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:41.485ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle y''=-{\frac {F''_{xx}(F'_{y})^{2}-2F''_{xy}F'_{x}F'_{y}+F''_{yy}(F'_{x})^{2}}{(F'_{y})^{3}}}}"></dd></dl> pozwala wyznaczyć ekstrema funkcji <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"> uwikłanej w równaniu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(x,y)=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(x,y)=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c910dd64922e23f212bc46e970af0540811c48f2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.33ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(x,y)=0}"><a href="#cite_note-13">[k]</a>. W tym celu należy wyznaczyć punkty, w których <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(x,y)=0,y'=0,y''\neq 0.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <msup> <mi>y</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo>≠</mo> <mn>0.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(x,y)=0,y'=0,y''\neq 0.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c3491aa6b18863337df31a54500ae9b830d3f21" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.71ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle F(x,y)=0,y'=0,y''\neq 0.}"></dd></dl> Dwa ostatnie warunki równoważne są poniższym, tj. <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F'_{x}=0,-{\frac {F''_{xx}}{F'_{y}}}\neq 0.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mo>″</mo> </msubsup> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> </mfrac> </mrow> <mo>≠</mo> <mn>0.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F'_{x}=0,-{\frac {F''_{xx}}{F'_{y}}}\neq 0.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45ed1f7806c26291128ea5094aa2c08793001ebe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:19.121ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle F'_{x}=0,-{\frac {F''_{xx}}{F'_{y}}}\neq 0.}"></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Przykład_2">Przykład</h3>[<a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&veaction=edit&section=22" title="Edytuj sekcję: Przykład" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&action=edit&section=22" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Przykład">edytuj kod</a>]</div> Znaleźć ekstrema funkcji <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99bd9829c9ef4adcb0f9f5d53b27463a873a8e88" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.802ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y,}"> określonej równaniem <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(x,y)=x^{2}-2xy-3y^{2}+4=0.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>x</mi> <mi>y</mi> <mo>−</mo> <mn>3</mn> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mo>=</mo> <mn>0.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(x,y)=x^{2}-2xy-3y^{2}+4=0.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84f9882d895c8fd78db3caf6baceed819cfddac7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:34.168ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle F(x,y)=x^{2}-2xy-3y^{2}+4=0.}"></dd></dl> Ponieważ <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F'_{x}(x,y)=2x-2y=0,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F'_{x}(x,y)=2x-2y=0,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fca511d1169e6585662088bfbbe4ada377fe953" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.652ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F'_{x}(x,y)=2x-2y=0,}"></dd></dl> tylko gdy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=y,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=y,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30afb48bff6ee3b369304f64314cbec0aca3798d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.23ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x=y,}"> więc wstawiając to do równania <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(x,y)=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(x,y)=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c910dd64922e23f212bc46e970af0540811c48f2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.33ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(x,y)=0}"></dd></dl> otrzymujemy jako jedyne rozwiązania punkty <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (1,1),(-1,-1).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (1,1),(-1,-1).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d856ee568aecc1d00c2cabb8802e602d9afb0be6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.633ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (1,1),(-1,-1).}"> Ponieważ <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F'_{y}(x,y)=-2x-6y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mn>6</mn> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F'_{y}(x,y)=-2x-6y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/943c5fa50a9a2de4a3809fb27955fc6d57736e52" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:20.429ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle F'_{y}(x,y)=-2x-6y}"></dd></dl> oraz <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F''_{xx}(x,y)=2,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mo>″</mo> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F''_{xx}(x,y)=2,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2f83e591aa032cf436696c1db7058bb601ce717" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.843ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F''_{xx}(x,y)=2,}"></dd></dl> zatem w punkcie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (1,1)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (1,1)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c2a42feb07f4139bf871ae6856b11d4567bea23" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.168ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (1,1)}"> druga pochodna <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y''(-1)=-{\tfrac {2}{-8}}={\tfrac {1}{4}}>0,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>y</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>2</mn> <mrow> <mo>−</mo> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>></mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y''(-1)=-{\tfrac {2}{-8}}={\tfrac {1}{4}}>0,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dd3a15b78327fb3687844a1c4b9fa33ed16341c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:24.585ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle y''(-1)=-{\tfrac {2}{-8}}={\tfrac {1}{4}}>0,}"></dd></dl> czyli w tym punkcie jest minimum lokalne, natomiast w punkcie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (-1,-1),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (-1,-1),}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cb4b67a3bef100b0fe98619a2fcbaf6dba5864c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.431ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (-1,-1),}"> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y''(-1)={\tfrac {-2}{8}}=-{\tfrac {1}{4}}<0,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>y</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mrow> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mn>8</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo><</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y''(-1)={\tfrac {-2}{8}}=-{\tfrac {1}{4}}<0,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0857e1057c068fa87f2c6541e79388153349dff6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:24.585ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle y''(-1)={\tfrac {-2}{8}}=-{\tfrac {1}{4}}<0,}"></dd></dl> czyli w tym punkcie jest maksimum lokalne funkcji <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.802ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y.}"> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Rachunek_wariacyjny">Rachunek wariacyjny</h2>[<a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&veaction=edit&section=23" title="Edytuj sekcję: Rachunek wariacyjny" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&action=edit&section=23" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Rachunek wariacyjny">edytuj kod</a>]</div> <div class="noprint relarticle mainarticle" style="margin:0.2em 0 0.5em 1.6em"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/16px-Information_icon4.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/24px-Information_icon4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/32px-Information_icon4.svg.png 2x" data-file-width="620" data-file-height="620" /> Osobny artykuł: <a href="/wiki/Rachunek_wariacyjny" title="Rachunek wariacyjny">Rachunek wariacyjny</a>.</div> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Plik:Brachistochrone.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/63/Brachistochrone.gif/260px-Brachistochrone.gif" decoding="async" width="260" height="108" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/63/Brachistochrone.gif/390px-Brachistochrone.gif 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/63/Brachistochrone.gif 2x" data-file-width="488" data-file-height="203" /></a><figcaption>Na czerwono zaznaczono fragment <a href="/wiki/Cykloida" title="Cykloida">cykloidy</a> – brachistochronę. <a href="/wiki/Punkt_materialny" title="Punkt materialny">Punkt materialny</a> stacza się od punktu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> do punktu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}"> w najkrótszym czasie właśnie po tej krzywej.</figcaption></figure> Ważnymi obiektami matematycznymi są te <a href="/wiki/Funkcjona%C5%82" title="Funkcjonał">funkcjonały</a>, które danej funkcji przypisują liczbę rzeczywistą, np. długość <a href="/wiki/%C5%81uk_krzywej" title="Łuk krzywej">łuku</a> jej wykresu. <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_funkcyjna" title="Przestrzeń funkcyjna">Przestrzeń funkcyjna</a> jest przestrzenią unormowaną, opisywaną w jednej z wcześniejszych sekcji, jednak badanie ekstremów tych funkcjonałów jest szczególnie istotne ze względu na zastosowania w fizyce i technice – przykładowo jeśli funkcja będąca argumentem funkcjonału opisuje kształt <a href="/wiki/%C5%9Amig%C5%82o" title="Śmigło">śmigła</a> samolotu, a wartości funkcjonału opisują wydajność śmigła, to znalezienie globalnego maksimum jest równoważne wyliczeniu jaki kształt śmigła zapewni największą wydajność. Badania funkcjonałów zapoczątkował <a href="/wiki/Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Leonard Euler</a>. Klasycznym problemem, prowadzącym do znalezienia ekstremów pewnego funkcjonału jest <a href="/wiki/Brachistochrona" title="Brachistochrona">zagadnienie brachistochrony</a>, postawione w <a href="/wiki/1696" title="1696">1696</a> przez <a href="/wiki/Johann_Bernoulli" title="Johann Bernoulli">Jana Bernoulliego</a> w periodyku Acta Eroditorium. Sprowadza się ono do znalezienia takiej krzywej łączącej dwa punkty <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> i <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/075d661417b8ca5a991a2a7bd4991cc1ab856d9d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.411ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle B,}"> aby ciało staczające się po niej od punktu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> do <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}"> pokonało tę drogę w najkrótszym czasie<a href="#cite_note-14">[l]</a>. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ekstrema_mocne_i_słabe">Ekstrema mocne i słabe</h3>[<a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&veaction=edit&section=24" title="Edytuj sekcję: Ekstrema mocne i słabe" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&action=edit&section=24" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Ekstrema mocne i słabe">edytuj kod</a>]</div> Szukając lokalnych ekstremów funkcjonałów konieczne jest zdefiniowanie przestrzeni topologicznej. Najprościej zrobić to konstruując bazę coraz węższych otoczeń wokół każdego punktu dziedziny. Rozsądnie jest przyjąć, że ciąg funkcji należących do coraz węższych otoczeń powinien zbiegać do funkcji <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> odpowiadającej otaczanemu punktowi, jednak nie jest oczywiste, czy także pochodne tych funkcji muszą zbiegać do pochodnej <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecb3ed2e17fa8f336dcc0fd4b3eddbfb02a50ef3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.925ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f.}"> Jeśli przyjmiemy, że tak, to mówimy o tzw. ekstremum mocnym, jeśli natomiast dopuszczamy dowolne wartości pochodnej, o ekstremum słabym. Każde ekstremum mocne jest szczególnym przypadkiem słabego, odwrotnie – niekoniecznie. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Przykład_–_równania_Eulera-Lagrange’a">Przykład – równania Eulera-Lagrange’a</h3>[<a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&veaction=edit&section=25" title="Edytuj sekcję: Przykład – równania Eulera-Lagrange’a" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&action=edit&section=25" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Przykład – równania Eulera-Lagrange’a">edytuj kod</a>]</div> <div class="noprint relarticle mainarticle" style="margin:0.2em 0 0.5em 1.6em"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/16px-Information_icon4.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/24px-Information_icon4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/32px-Information_icon4.svg.png 2x" data-file-width="620" data-file-height="620" /> Osobne artykuły: <a href="/wiki/R%C3%B3wnania_Eulera-Lagrange%E2%80%99a" title="Równania Eulera-Lagrange’a">Równania Eulera-Lagrange’a</a> i <a href="/wiki/Zasada_minimum_energii_potencjalnej" title="Zasada minimum energii potencjalnej">Zasada minimum energii potencjalnej</a>.</div> Rachunek wariacyjny bada ekstrema funkcjonałów, często zadanych w postaci <a href="/wiki/Ca%C5%82ka_Lebesgue%E2%80%99a" title="Całka Lebesgue’a">całek</a>. W <a href="/wiki/Mechanika_klasyczna" title="Mechanika klasyczna">mechanice klasycznej</a> ważne są równania, pozwalające na znajdowanie torów cząstek <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q_{k},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q_{k},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/375a2cc617f944695890e3b8cffc81b8e820025f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q_{k},}"> jeśli znana jest funkcja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}"> (<a href="/wiki/Lagran%C5%BCjan" title="Lagranżjan">lagranżjan</a>), opisująca ten układ. Równania te zostały wprowadzone w <a href="/wiki/1750" title="1750">1750</a> roku przez <a href="/wiki/Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Leonharda Eulera</a> oraz <a href="/wiki/Joseph_Louis_Lagrange" title="Joseph Louis Lagrange">Josepha Louisa Lagrange’a</a> i zwane są dziś nazwiskami ich odkrywców. Równania Eulera-Lagrange’a mają ścisły związek z metodami rachunku wariacyjnego. Formalnie, o funkcji <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}"> zakłada się, że jest określona na <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9aac07172c3ef7c08f78b1b6aa513d909aa09870" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.819ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}"> oraz jest dwukrotnie różniczkowalna w sposób ciągły. Dalej, o funkcji <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [a,b]\ni t\mapsto q(t)=(q_{1}(t),\dots ,q_{n}(t))\in \mathbb {R} ^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>∋</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [a,b]\ni t\mapsto q(t)=(q_{1}(t),\dots ,q_{n}(t))\in \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2054147ed03d83d0abb0e651fb11cae7cdebeec" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:41.036ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [a,b]\ni t\mapsto q(t)=(q_{1}(t),\dots ,q_{n}(t))\in \mathbb {R} ^{n}}"></dd></dl> zakłada się, że jest funkcją o wartościach wektorowych, dwukrotnie różniczkowalną w sposób ciągły. W celu wyznaczenia toru cząstki, określa się funkcjonał <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(q)=\int \limits _{a}^{b}L\left(t,q_{1}(t),\dots ,q_{n}(t),{\frac {dq_{1}}{dt}}(t),\dots ,{\frac {dq_{n}}{dt}}(t)\right)dt.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </munderover> <mi>L</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(q)=\int \limits _{a}^{b}L\left(t,q_{1}(t),\dots ,q_{n}(t),{\frac {dq_{1}}{dt}}(t),\dots ,{\frac {dq_{n}}{dt}}(t)\right)dt.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91c0c871c1d0e5c3649d6a55631c71765575a27d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.838ex; width:55.437ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle F(q)=\int \limits _{a}^{b}L\left(t,q_{1}(t),\dots ,q_{n}(t),{\frac {dq_{1}}{dt}}(t),\dots ,{\frac {dq_{n}}{dt}}(t)\right)dt.}"></dd></dl> Ekstremów tego funkcjonału szuka się w klasie funkcji dwukrotnie różniczkowalnych, przyjmujących na końcach przedziału <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [a,b]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [a,b]}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.555ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [a,b]}"> wartości <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q_{1}(a),q_{1}(b),\dots ,q_{n}(a),q_{n}(b).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q_{1}(a),q_{1}(b),\dots ,q_{n}(a),q_{n}(b).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/554c5338c4a1400c2000620dbae5f4ce27852bb6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.278ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle q_{1}(a),q_{1}(b),\dots ,q_{n}(a),q_{n}(b).}"></dd></dl> Jest to problem z tzw. <a href="/wiki/Zagadnienie_brzegowe" title="Zagadnienie brzegowe">ustalonym brzegiem</a>. Okazuje się, że funkcje <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q_{i},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q_{i},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74a53728797e1c2249899ce0ebf36bec4fc1955e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.484ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q_{i},}"> dla których funkcjonał <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}"> przyjmuje ekstremum, spełniają układ <a href="/wiki/R%C3%B3wnanie_r%C3%B3%C5%BCniczkowe_cz%C4%85stkowe" title="Równanie różniczkowe cząstkowe">równań różniczkowych cząstkowych</a>, zwanych równaniami Eulera-Lagrange’a, postaci: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\right)=0,\quad 1\leqslant k\leqslant n,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>q</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mn>1</mn> <mo>⩽</mo> <mi>k</mi> <mo>⩽</mo> <mi>n</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\right)=0,\quad 1\leqslant k\leqslant n,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9874189c8696fc3d339a8fe15b9f0e048695a35e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:36.67ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\right)=0,\quad 1\leqslant k\leqslant n,}"></dd></dl> gdzie: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {q}}_{k}={\frac {dq_{k}}{dt}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>q</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {q}}_{k}={\frac {dq_{k}}{dt}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1b9f7a6ccfeb1ad2dfa08e1a8155b4ab747239f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:10.389ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\dot {q}}_{k}={\frac {dq_{k}}{dt}}.}"></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ekstrema_warunkowe">Ekstrema warunkowe</h2>[<a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&veaction=edit&section=26" title="Edytuj sekcję: Ekstrema warunkowe" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&action=edit&section=26" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Ekstrema warunkowe">edytuj kod</a>]</div> W matematyce i fizyce zachodzi często potrzeba badania ekstremów funkcji przy pewnych dodatkowych warunkach. Chcąc np. znaleźć odległość punktu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})\in \mathbb {R} ^{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})\in \mathbb {R} ^{3}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e7575b46b726165291cafd0eb34f5ced2863e82" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.163ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})\in \mathbb {R} ^{3}}"> od <a href="/wiki/Rozmaito%C5%9B%C4%87_topologiczna" title="Rozmaitość topologiczna">hiperpowierzchni</a> zadanej równaniem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g(x,y,z)=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(x,y,z)=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40b0ca5e1a35d085f8d905f9fd9052cb71971f5d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.827ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g(x,y,z)=0}"> należy zbadać minima funkcji <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x,y,z)=(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x,y,z)=(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fa9636319b68c5011de4a49eff7bb5e18e3976e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:44.906ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(x,y,z)=(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}}"></dd></dl> przy warunku dodatkowym <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g(x,y,z)=0.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(x,y,z)=0.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5119875d7f42c65b712cc862e346a0a9d9f26716" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.474ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g(x,y,z)=0.}"></dd></dl> W paragrafie tym podamy ogólną definicję ekstremum warunkowego (inaczej: związanego<a href="#cite_note-epwn-ew-15">[3]</a>) i ogólne wyniki tej teorii, badanie ekstremów warunkowych funkcji tylko dwóch zmiennych zostanie omówione w następnym ustępie. Jeśli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"> jest przestrzenią topologiczną, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}"> <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_liniowa" title="Przestrzeń liniowa">przestrzenią liniową</a>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G\colon X\to Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G\colon X\to Y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ee9576a053340d4c9def62ba4ee348a447598e8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.228ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G\colon X\to Y}"> oraz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M=\{x\in X\colon G(x)=0\},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> <mo>:</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M=\{x\in X\colon G(x)=0\},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a67dd3896563fbc389eabd469f06e460422e381" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.923ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle M=\{x\in X\colon G(x)=0\},}"> to mówimy, że funkcja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/359ea801448b482438cb2149cfce6559dc3385b9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.585ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }"> ma w punkcie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}\in M}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}\in M}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ffbdb59406dc64aa6769cecf0e9ee109d181119" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.667ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{0}\in M}"> minimum (maksimum) lokalne przy warunku <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}"> (albo związane zbiorem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}">), jeśli istnieje otoczenie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>U</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}"> punktu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}"> takie, że <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x_{0})\leqslant f(x),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⩽</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x_{0})\leqslant f(x),}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5947631fd3b4bc87680a5c9b35e0f0eb28309b1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x_{0})\leqslant f(x),}"> względnie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x_{0})\geqslant f(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⩾</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x_{0})\geqslant f(x)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95a5a2f9c0342b96ef3f922603584564fc697ce5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.988ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x_{0})\geqslant f(x)}"> dla <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in U\cap M.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>U</mi> <mo>∩</mo> <mi>M</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in U\cap M.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eb9a8de5ea17814ece2d2147e6d516469ea35e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.625ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in U\cap M.}"> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Warunek_konieczny_istnienia_ekstremum_warunkowego">Warunek konieczny istnienia ekstremum warunkowego</h3>[<a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&veaction=edit&section=27" title="Edytuj sekcję: Warunek konieczny istnienia ekstremum warunkowego" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&action=edit&section=27" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Warunek konieczny istnienia ekstremum warunkowego">edytuj kod</a>]</div> W dalszym ciągu będziemy zakładali spełnienie założeń <a href="/w/index.php?title=Twierdzenie_Lusternika_(ekstrema_warunkowe)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Twierdzenie Lusternika (ekstrema warunkowe) (strona nie istnieje)">twierdzenia Lusternika</a>, tj. <ol><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"> i <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}"> są <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_Banacha" title="Przestrzeń Banacha">przestrzeniami Banacha</a>,</li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G\colon X\to Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G\colon X\to Y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ee9576a053340d4c9def62ba4ee348a447598e8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.228ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G\colon X\to Y}"> jest różniczkowalne w sposób ciągły w pewnym otoczeniu punktu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}\in X,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}\in X,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eaa4ab3f3f8e50c1ed796481da37454d42347c0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.851ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{0}\in X,}"></li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}\in X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}\in X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b79e955b57dd7aada93b8afd459996ae941d480" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.205ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{0}\in X}"> jest <a href="/wiki/Punkt_regularny#Teoria_różniczkowania" title="Punkt regularny">punktem regularnym</a> zbioru <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M=G^{-1}(\{0\}),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>0</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M=G^{-1}(\{0\}),}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a411db1937ff7194a8ac40c1c596ebe600d33091" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.644ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle M=G^{-1}(\{0\}),}"> tj. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G'(x_{0})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>G</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G'(x_{0})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cbb8420a4f6253d105c77d62436b2ce7e3d3ad8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.705ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle G'(x_{0})}"> jest <a href="/wiki/Surjekcja" title="Surjekcja">suriekcją</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"> na <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Y</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3765557b7effa1a5f2f4dce9c80a25973b7009f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.42ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Y,}"></li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{1}:=(G'(x_{0}))^{-1}(\{0\}),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>:=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>G</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>0</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{1}:=(G'(x_{0}))^{-1}(\{0\}),}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/853d145e1114cb799230950da7e8727a9235bfed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.514ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle X_{1}:=(G'(x_{0}))^{-1}(\{0\}),}"> to znaczy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{1}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f70b2694445a5901b24338a2e7a7e58f02a72a32" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.979ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{1}}"> jest <a href="/wiki/J%C4%85dro_(algebra)" title="Jądro (algebra)">jądrem</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G'(x_{0}),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>G</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G'(x_{0}),}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb2e0c18140c5c73dacc27d763b5ad1cd638b7c4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.351ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle G'(x_{0}),}"></li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X=X_{1}\oplus X_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⊕</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X=X_{1}\oplus X_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5231aa78f735b163c4f7634f6d5d39631cb3cbe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.876ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X=X_{1}\oplus X_{2}}"> (rozkład przestrzeni <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"> na <a href="/wiki/Podprzestrze%C5%84_komplementarna" title="Podprzestrzeń komplementarna">topologiczną sumę prostą</a>).</li></ol> Niech <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> będzie funkcją określoną na otwartym podzbiorze <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>U</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}"> przestrzeni Banacha <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"> o wartościach w <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }"> oraz niech <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}\in X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}\in X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b79e955b57dd7aada93b8afd459996ae941d480" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.205ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{0}\in X}"> będzie punktem regularnym zbioru <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M=G^{-1}(0).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M=G^{-1}(0).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a550b75cde1a595a70453a9c2b247f29671ef26c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.319ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle M=G^{-1}(0).}"> Jeżeli funkcja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> jest różniczkowalna w punkcie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}"> i ma w tym punkcie ekstremum warunkowe, to <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f'(x_{0})x_{1}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'(x_{0})x_{1}=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16731fa3f9b20d78114dfa1af779d68b82c0e124" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.843ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f'(x_{0})x_{1}=0}">     dla każdego <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1}\in X_{1}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1}\in X_{1}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cc539360d48a6da1b82ce164c1feabe7b95fc74" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.85ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{1}\in X_{1}.}"></dd></dl> W praktyce, często wykorzystywanym faktem do badania ekstremów warunkowych jest tzw. <a href="/w/index.php?title=Twierdzenie_Lusternika_(ekstrema_warunkowe)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Twierdzenie Lusternika (ekstrema warunkowe) (strona nie istnieje)">drugie twierdzenie Lusternika</a>, mówiące o tym, że jeżeli spełnione są założenia twierdzenia Lusternika i funkcja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e9687ea22c0f310582e97ee5f6c6a5fca28203d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.925ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f,}"> określona jak wyżej, jest różniczkowalna w punkcie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}\in M}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}\in M}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ffbdb59406dc64aa6769cecf0e9ee109d181119" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.667ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{0}\in M}"> i ma w tym punkcie ekstremum warunkowe (związane warunkiem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}">), to istnieje <a href="/wiki/Forma_liniowa" title="Forma liniowa">funkcjonał liniowy</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Lambda \in Y^{\star }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Λ</mi> <mo>∈</mo> <msup> <mi>Y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>⋆</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Lambda \in Y^{\star }}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/899ec79cef07e68d45a957e5772f74de6803ccf4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.408ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \Lambda \in Y^{\star }}"> taki, że <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f'(x_{0})=\Lambda \circ G'(x_{0}).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">Λ</mi> <mo>∘</mo> <msup> <mi>G</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'(x_{0})=\Lambda \circ G'(x_{0}).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dabf9148efda8ff673752a7f1bbd1fbd61367904" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.456ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f'(x_{0})=\Lambda \circ G'(x_{0}).}"></dd></dl> Funkcjonał <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Lambda }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Λ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Lambda }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ac0a4a98a414e3480335f9ba652d12571ec6733" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.613ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Lambda }"> nazywany jest funkcjonałem Lagrange’a i ma ścisły związek z metodą szukania ekstremów warunkowych, zwaną metodą mnożników Lagrange’a, opisaną dalej. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Warunki_wystarczające_istnienia_ekstremum_warunkowego">Warunki wystarczające istnienia ekstremum warunkowego</h3>[<a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&veaction=edit&section=28" title="Edytuj sekcję: Warunki wystarczające istnienia ekstremum warunkowego" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&action=edit&section=28" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Warunki wystarczające istnienia ekstremum warunkowego">edytuj kod</a>]</div> <div class="noprint relarticle mainarticle" style="margin:0.2em 0 0.5em 1.6em"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/16px-Information_icon4.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/24px-Information_icon4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/32px-Information_icon4.svg.png 2x" data-file-width="620" data-file-height="620" /> Osobny artykuł: <a href="/wiki/Mno%C5%BCniki_Lagrange%E2%80%99a" title="Mnożniki Lagrange’a">mnożniki Lagrange’a</a>.</div> W dalszym ciągu, podtrzymując powyższe założenia i zakładając dodatkowo, że funkcje <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> i <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}"> są dwukrotnie różniczkowalne w sposób ciągły w pewnych otoczeniach punktu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8b35dd572e629881da4083ad1681bc7cf420304" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.031ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0},}"> można sformułować warunek wystarczający istnienia ekstremum warunkowego. Mianowicie, jeżeli istnieje funkcjonał liniowy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Lambda \in Y^{\star }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Λ</mi> <mo>∈</mo> <msup> <mi>Y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>⋆</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Lambda \in Y^{\star }}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/899ec79cef07e68d45a957e5772f74de6803ccf4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.408ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \Lambda \in Y^{\star }}"> taki, że <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f'(x_{0})=\Lambda \circ G'(x_{0})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">Λ</mi> <mo>∘</mo> <msup> <mi>G</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'(x_{0})=\Lambda \circ G'(x_{0})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07783a80ad1c2d87c66c73883cf9b8c594cd0814" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.809ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f'(x_{0})=\Lambda \circ G'(x_{0})}"></dd></dl> oraz <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (f''(x_{0})-\Lambda \circ G''(x_{0}))(h)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>f</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi mathvariant="normal">Λ</mi> <mo>∘</mo> <msup> <mi>G</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (f''(x_{0})-\Lambda \circ G''(x_{0}))(h)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4bf25ceb8b61e77fdc5c5b2297be1c748a58389" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.414ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (f''(x_{0})-\Lambda \circ G''(x_{0}))(h)}"></dd></dl> jest dodatnio (ujemnie) określona dla <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h\in X_{1}=\ker G'(x_{0}),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> <mo>∈</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>ker</mi> <mo>⁡</mo> <msup> <mi>G</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h\in X_{1}=\ker G'(x_{0}),}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f338cf13828198dade0816711b16859822ad05f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.167ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle h\in X_{1}=\ker G'(x_{0}),}"> to funkcja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> ma w punkcie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}"> minimum (maksimum) warunkowe. Twierdzenie to można udowodnić korzystając z twierdzenia Lusternika i odpowiednio wykorzystując <a href="/wiki/Wz%C3%B3r_Taylora" title="Wzór Taylora">twierdzenia Taylora</a>. Daje się ono łatwo uogólnić na przypadek pochodnych wyższych rzędów – w tym przypadku dodatkowo zakłada się, że odwzorowania <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> i <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}"> są różniczkowalne <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/134afa8ff09fdddd24b06f289e92e3a045092bd1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.557ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2n}"> razy w sposób ciągły w pewnym otoczeniu punktu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ec756993d89cc1bd74f84040c07f5e11f0a8102" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.031ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}.}"> Wówczas, jeżeli istnieje funkcjonał <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Lambda \in Y^{\star }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Λ</mi> <mo>∈</mo> <msup> <mi>Y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>⋆</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Lambda \in Y^{\star }}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/899ec79cef07e68d45a957e5772f74de6803ccf4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.408ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \Lambda \in Y^{\star }}"> taki, że <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{(k)}(x_{0})=\Lambda \circ G^{(k)}(x_{0})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">Λ</mi> <mo>∘</mo> <msup> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{(k)}(x_{0})=\Lambda \circ G^{(k)}(x_{0})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10f2b7995bb036cf37699b4ae0033dbb2103a117" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.176ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle f^{(k)}(x_{0})=\Lambda \circ G^{(k)}(x_{0})}"></dd></dl> dla <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k=1,2,\dots ,2n-1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k=1,2,\dots ,2n-1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8ad6d81ba5879df6a9e125b5f6a4d24d8a1f4e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:19.407ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k=1,2,\dots ,2n-1}"> oraz odwzorowanie <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left(f^{(2n)}(x_{0})-\Lambda \circ G^{(2n)}(x_{0})\right)(h)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi mathvariant="normal">Λ</mi> <mo>∘</mo> <msup> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(f^{(2n)}(x_{0})-\Lambda \circ G^{(2n)}(x_{0})\right)(h)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7944525be30339a586c8d6af1cc81e68048cc831" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:31.132ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \left(f^{(2n)}(x_{0})-\Lambda \circ G^{(2n)}(x_{0})\right)(h)}"></dd></dl> jest dodatnio<a href="#cite_note-16">[m]</a> (ujemnie) określona dla <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h\in X_{1},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> <mo>∈</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h\in X_{1},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/565641dd375a362195bdb49e072e2062ea3e7d1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.805ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle h\in X_{1},}"> to funkcja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> ma w punkcie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}"> minimum (maksimum) warunkowe. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ekstrema_warunkowe_w_'"`UNIQ--postMath-00000179-QINU`"'">Ekstrema warunkowe w <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}"></h3>[<a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&veaction=edit&section=29" title="Edytuj sekcję: Ekstrema warunkowe w '"`UNIQ--postMath-00000179-QINU`"'" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&action=edit&section=29" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Ekstrema warunkowe w '"`UNIQ--postMath-00000179-QINU`"'">edytuj kod</a>]</div> Badanie ekstremów warunkowych przekształceń dowolnych przestrzeni Banacha jest rzeczą trudną. Już samo spełnienie założeń twierdzenia Lusternika może okazać się niemożliwe, gdyż nie każdą przestrzeń unormowaną da się rozłożyć na topologiczną sumę prostą jej podprzestrzeni<a href="#cite_note-17">[n]</a>. Duża część zagadnień praktycznych sprowadza się do badania ekstremów warunkowych w przypadku gdy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n},\;Y=\mathbb {R} ^{m},\;n\geqslant m,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> <mo>=</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>Y</mi> <mo>=</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>n</mi> <mo>⩾</mo> <mi>m</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n},\;Y=\mathbb {R} ^{m},\;n\geqslant m,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8a38297bb408cc131a3610ce906bbb001035973" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:26.738ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n},\;Y=\mathbb {R} ^{m},\;n\geqslant m,}"> a odwzorowanie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>:</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">→</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5154c11e3c62b532ed83f64f657ada82ff175a68" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:12.724ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle G\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}"> reprezentowane jest przez układ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}"> funkcji o <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> zmiennych, tj. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G=(G_{1},\dots ,G_{m}).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G=(G_{1},\dots ,G_{m}).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb3a03400207d1b32d1017ce35442fa66b9ad71b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.942ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle G=(G_{1},\dots ,G_{m}).}"> Szukanie ekstremów warunkowych funkcji <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bffd7c6bfeea558644f4b2269b6e7b81f1252ac2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.148ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,}"> będących zarazem punktami regularnymi<a href="#cite_note-punktreg-18">[o]</a>, sprowadza się do rozwiązania układu równań operatorowych <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}f'(x)=\Lambda \circ G'(x)\\G(x)=0\end{array}}\right.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>{</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="left" rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">Λ</mi> <mo>∘</mo> <msup> <mi>G</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}f'(x)=\Lambda \circ G'(x)\\G(x)=0\end{array}}\right.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a0bd74259819bae8dae8e2df0d91cb120d52a51" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:20.195ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}f'(x)=\Lambda \circ G'(x)\\G(x)=0\end{array}}\right.}"></dd></dl> gdzie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Lambda \in (\mathbb {R} ^{m})^{\star }.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Λ</mi> <mo>∈</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>⋆</mo> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Lambda \in (\mathbb {R} ^{m})^{\star }.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d5f7ba6b312e8b7556fa2e0ca13aa0d737e0d3e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.317ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Lambda \in (\mathbb {R} ^{m})^{\star }.}"> Wiadomo, że każdy taki funkcjonał <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Lambda }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Λ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Lambda }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ac0a4a98a414e3480335f9ba652d12571ec6733" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.613ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Lambda }"> jest reprezentowany przez układ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}"> <a href="/wiki/Liczby_rzeczywiste" title="Liczby rzeczywiste">liczb rzeczywistych</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{m}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>λ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>λ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{m}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10efda2e9d2dfe29ba3a8ff88b96dcb311a6c501" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.618ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{m}}"> a pochodna <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G'(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>G</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G'(x)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/230589a15f66615290b2ffa282d1fe50070f83a7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.65ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle G'(x)}"> jest <a href="/wiki/Macierz" title="Macierz">macierzą</a> wymiaru <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m\times n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> <mo>×</mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m\times n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12b23d207d23dd430b93320539abbb0bde84870d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.276ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m\times n}"> <a href="/wiki/Rz%C4%85d_macierzy" title="Rząd macierzy">rzędu</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}"><a href="#cite_note-punktreg-18">[o]</a>. Układ równań operatorowych sprowadza się więc do układu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m+n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m+n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88528fefcfac1b22d2df9b71d0f4fc9e758f65ad" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.276ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle m+n}"> równań skalarnych: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\frac {\partial f(x)}{\partial x_{j}}}=\sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}{\frac {\partial G_{i}(x)}{\partial x_{j}}},\;j=1,\dots ,n\\G_{k}(x_{1},\dots ,x_{n})=0,\;k=1,\dots ,m\end{array}}\right.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>{</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="left" rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>λ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>m</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\frac {\partial f(x)}{\partial x_{j}}}=\sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}{\frac {\partial G_{i}(x)}{\partial x_{j}}},\;j=1,\dots ,n\\G_{k}(x_{1},\dots ,x_{n})=0,\;k=1,\dots ,m\end{array}}\right.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25fcd5b8292a927fc6d25f5c4bd25484f9eca7bc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.262ex; margin-bottom: -0.242ex; width:37.886ex; height:8.176ex;" alt="{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\frac {\partial f(x)}{\partial x_{j}}}=\sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}{\frac {\partial G_{i}(x)}{\partial x_{j}}},\;j=1,\dots ,n\\G_{k}(x_{1},\dots ,x_{n})=0,\;k=1,\dots ,m\end{array}}\right.}"></dd></dl> gdzie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4328c0b5216791ddb0b9aea9cf7d5f460e6481c2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.348ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})}"> o <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n+m}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mi>m</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n+m}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a25c9e9196bf3fdc8961a3ee7ef27d0d428d80c4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.276ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n+m}"> zmiennych <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda _{i},x_{k},\;i\leqslant m,k\leqslant n.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>λ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>i</mi> <mo>⩽</mo> <mi>m</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>⩽</mo> <mi>n</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda _{i},x_{k},\;i\leqslant m,k\leqslant n.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3250f5d879366d03a85b2ae9ade506b0ad685e85" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:20.613ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \lambda _{i},x_{k},\;i\leqslant m,k\leqslant n.}"> Wszystkie punkty, w których funkcja może przyjmować ekstrema warunkowe, należą do zbioru rozwiązań tego układu równań. Liczby <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda _{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>λ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda _{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72fde940918edf84caf3d406cc7d31949166820f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.155ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \lambda _{i}}"> spełniają tylko rolę pomocniczą i nazywane są często <a href="/wiki/Mno%C5%BCniki_Lagrange%E2%80%99a" title="Mnożniki Lagrange’a">mnożnikami Lagrange’a</a>. Po znalezieniu punktów spełniających warunek konieczny dla ekstremum, należy odwołać się do warunku wystarczającego, tj. zbadać dodatnią (ujemną określoność) <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f''(x)-\Lambda \circ G''(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi mathvariant="normal">Λ</mi> <mo>∘</mo> <msup> <mi>G</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f''(x)-\Lambda \circ G''(x)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb28f798a413edf9e9c5780e0d8abc219013c790" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.348ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f''(x)-\Lambda \circ G''(x)}"></dd></dl> dla <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h\in X_{1}=\ker G'(x_{0}),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> <mo>∈</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>ker</mi> <mo>⁡</mo> <msup> <mi>G</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h\in X_{1}=\ker G'(x_{0}),}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f338cf13828198dade0816711b16859822ad05f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.167ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle h\in X_{1}=\ker G'(x_{0}),}"></dd></dl> co sprowadza się do badania <a href="/wiki/Forma_kwadratowa" title="Forma kwadratowa">formy kwadratowej</a> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}\left({\frac {\partial ^{2}f(x)}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}-\sum _{k=1}^{m}\lambda _{k}{\frac {\partial ^{2}G_{k}(x)}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}\right)h_{i}h_{j},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>λ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}\left({\frac {\partial ^{2}f(x)}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}-\sum _{k=1}^{m}\lambda _{k}{\frac {\partial ^{2}G_{k}(x)}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}\right)h_{i}h_{j},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f066d98bb049ac3092ca99c9c699f5959ee4892" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:39.448ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}\left({\frac {\partial ^{2}f(x)}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}-\sum _{k=1}^{m}\lambda _{k}{\frac {\partial ^{2}G_{k}(x)}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}\right)h_{i}h_{j},}"></dd></dl> gdzie: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h\in X_{1},h=(h_{1},\dots ,h_{n}).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> <mo>∈</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>h</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h\in X_{1},h=(h_{1},\dots ,h_{n}).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38d820f9f3055d4031fc519dd83cf9e972cb339a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.215ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle h\in X_{1},h=(h_{1},\dots ,h_{n}).}"></dd></dl> Warunek <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h\in X_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> <mo>∈</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h\in X_{1}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3802ced36313e2e17da93359ce4ce6790ec008d5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.158ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle h\in X_{1}}"> jest równoważny równaniu <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G'(x)h=0,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>G</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>h</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G'(x)h=0,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9b54a842ab622a3e580054e21f0667930cb54fc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.897ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle G'(x)h=0,}"></dd></dl> które w postaci macierzowej przybiera formę <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial G_{k}(x)}{\partial x_{i}}}h_{i}=0,\;k=1,2,\dots ,m.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial G_{k}(x)}{\partial x_{i}}}h_{i}=0,\;k=1,2,\dots ,m.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/319207777658857c607e6478e57fa74c2d756988" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:35.563ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial G_{k}(x)}{\partial x_{i}}}h_{i}=0,\;k=1,2,\dots ,m.}"></dd></dl> Do badania określoności tej macierzy można stosować kryterium Sylvestera. W praktyce, gdy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2},Y=\mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> <mo>=</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2},Y=\mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d49bc8a26f21ceed4f1b6342825c9cfaecf5c25" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.395ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2},Y=\mathbb {R} }"> wprowadzamy funkcję pomocniczą <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(x,y)=f(x,y)+\lambda G(x,y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>λ</mi> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(x,y)=f(x,y)+\lambda G(x,y)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ab05e80a1e8e60c8b99d09079e395780f0030ea" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.125ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(x,y)=f(x,y)+\lambda G(x,y)}"></dd></dl> i szukamy dla niej warunków koniecznych na istnienie jej ekstremów, jako funkcji dwóch zmiennych<a href="#cite_note-19">[p]</a>, tj. rozwiązaniu układu równań <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F'_{x}=0,F'_{y}=0,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F'_{x}=0,F'_{y}=0,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/490930b24b6daf33692d1a1642a8a38d233f80fc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:15.414ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F'_{x}=0,F'_{y}=0,}"> a następnie wyrugowaniu z tego układu równań czynnika nieoznaczonego <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>λ</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda .}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bb9c58e3f6b2de892e10ef516f96f07da0423e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.002ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda .}"> Do otrzymanego warunku dołączamy warunek <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G(x,y)=0.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G(x,y)=0.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bd1171991fd7971652acad59e4d3c7e810abe30" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.063ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle G(x,y)=0.}"> Równoważnie, wszystkie punkty, które mogą być ekstremami warunkowymi można wyznaczyć z układu równań <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\frac {D(f,G)}{D(x,y)}}=0\\G(x,y)=0\end{array}}\right.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>{</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="left" rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>D</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi>D</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\frac {D(f,G)}{D(x,y)}}=0\\G(x,y)=0\end{array}}\right.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f95353745396ab94f1a5f4087dc691d46e2ccd37" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:14.041ex; height:8.176ex;" alt="{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\frac {D(f,G)}{D(x,y)}}=0\\G(x,y)=0\end{array}}\right.}"></dd></dl> gdzie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {D(f,G)}{D(x,y)}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mrow> <mi>D</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi>D</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {D(f,G)}{D(x,y)}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00befde8f51c7cfc416c890af8f05d7c9bfbce77" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:6.129ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {D(f,G)}{D(x,y)}}}"> oznacza <a href="/wiki/Macierz_Jacobiego" title="Macierz Jacobiego">jakobian</a> funkcji <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> i <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc645a5b7e8a2022ad70fc42dbda04c008a33a9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.474ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G.}"> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Przykład_–_ekstrema_funkcji_na_okręgu">Przykład – ekstrema funkcji na okręgu</h3>[<a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&veaction=edit&section=30" title="Edytuj sekcję: Przykład – ekstrema funkcji na okręgu" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&action=edit&section=30" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Przykład – ekstrema funkcji na okręgu">edytuj kod</a>]</div> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Plik:Lagrange_very_simple.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c0/Lagrange_very_simple.jpg/300px-Lagrange_very_simple.jpg" decoding="async" width="300" height="261" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c0/Lagrange_very_simple.jpg/450px-Lagrange_very_simple.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c0/Lagrange_very_simple.jpg/600px-Lagrange_very_simple.jpg 2x" data-file-width="685" data-file-height="597" /></a><figcaption>Wykresem funkcji <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x,y)=x+y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x,y)=x+y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b56416bef45cdf8f146d331dbea5872fa1ed4acb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.031ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x,y)=x+y}"> jest <a href="/wiki/P%C5%82aszczyzna" title="Płaszczyzna">płaszczyzna</a>. W przestrzeni trójwymiarowej, równanie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec84b90236512e8d27ff1a8f7707b60b63327de1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.7ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}"> opisuje <a href="/wiki/Walec_(bry%C5%82a)" title="Walec (bryła)">walec</a> (u którego podstawy, na płaszczyźnie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle xy}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle xy}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c72eb345e496513fb8b2fa4aa8c4d89b855f9a01" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.485ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle xy}"> leży okrąg jednostkowy). Szukanie ekstremów warunkowych sprowadza się w tym wypadku do badania punktów ekstremalnych <a href="/wiki/Cz%C4%99%C5%9B%C4%87_wsp%C3%B3lna" title="Część wspólna">części wspólnej</a> walca i płaszczyzny.</figcaption></figure> Ilustracją zastosowania metody mnożników Lagrange’a jest problem wyznaczenia ekstremów funkcji: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x,y)=x+y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x,y)=x+y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b56416bef45cdf8f146d331dbea5872fa1ed4acb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.031ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x,y)=x+y}"></dd></dl> na kole jednostkowym, tj. przy warunku <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>1.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd4ba9a57bd82841e5889575e2ff3e1ef5fad8e9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.347ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1.}"></dd></dl> Zatem funkcja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}"> jest postaci <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G(x,y)=x^{2}+y^{2}-1,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G(x,y)=x^{2}+y^{2}-1,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5a4ac54688a4189bcc2449287761e65e6ddbb94" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.342ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle G(x,y)=x^{2}+y^{2}-1,}"></dd></dl> a więc funkcja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}"> wyraża się wzorem: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(x,y)=f(x,y)+\lambda G(x,y)=x+y+\lambda (x^{2}+y^{2}-1).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>λ</mi> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mi>λ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(x,y)=f(x,y)+\lambda G(x,y)=x+y+\lambda (x^{2}+y^{2}-1).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a8f38cd246dd5fb01ee43bf3297c723b8c42c63" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:54.643ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle F(x,y)=f(x,y)+\lambda G(x,y)=x+y+\lambda (x^{2}+y^{2}-1).}"></dd></dl> Wszystkie punkty, które mogą być ekstremami warunkowymi są rozwiązaniami układu równań <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}F'_{x}(x,y)=1+2\lambda x&=0\\F'_{y}(x,y)=1+2\lambda y&=0\\G(x,y)=x^{2}+y^{2}-1&=0\end{array}}\right.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>{</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="left" rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>λ</mi> <mi>x</mi> </mtd> <mtd> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>λ</mi> <mi>y</mi> </mtd> <mtd> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}F'_{x}(x,y)=1+2\lambda x&=0\\F'_{y}(x,y)=1+2\lambda y&=0\\G(x,y)=x^{2}+y^{2}-1&=0\end{array}}\right.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4528548615435284499bb87713cc8653397822c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.338ex; width:30.451ex; height:9.843ex;" alt="{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}F'_{x}(x,y)=1+2\lambda x&=0\\F'_{y}(x,y)=1+2\lambda y&=0\\G(x,y)=x^{2}+y^{2}-1&=0\end{array}}\right.}"></dd></dl> Podstawiając <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=y,x\neq 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo>≠</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=y,x\neq 0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26f6027a7d06f6518e55cc06ed365d0f307ff9ae" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.208ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x=y,x\neq 0}"> do pierwszego równania uzyskujemy: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda =-{\tfrac {1}{2x}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>λ</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda =-{\tfrac {1}{2x}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5801009e3387277374a4b1d072ea22731426d234" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:9.507ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \lambda =-{\tfrac {1}{2x}}.}"> Stosując podobne podstawienie do trzeciego równania, dostaje się warunek <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2x^{2}=1,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2x^{2}=1,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce51f24699dc3397778b64290a5cc91bcdffd02d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.454ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle 2x^{2}=1,}"> skąd wynika <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=\pm {\tfrac {\sqrt {2}}{2}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mo>±</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=\pm {\tfrac {\sqrt {2}}{2}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd3560e6d1f6ea060ae3cce9b5c3353b24356f20" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:9.91ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle x=\pm {\tfrac {\sqrt {2}}{2}}.}"> Funkcja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> może zatem przyjmować ekstrema tylko w punktach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left(-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right),\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>,</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right),\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d392d214b42cff6445de6a0340245bba129d541" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:25.798ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \left(-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right),\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right).}"> Ponieważ okrąg jest zbiorem domkniętym i ograniczonym (czyli <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_zwarta" title="Przestrzeń zwarta">zwartym</a><a href="#cite_note-20">[q]</a>), więc na mocy twierdzenia Weierstrassa, funkcja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> osiąga w tych punktach ekstrema (warunkowe): <ul><li>minimum warunkowe: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\left(-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)=-{\sqrt {2}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>,</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\left(-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)=-{\sqrt {2}},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a62fc756cdd3bd682e2737e5e753c1e272cecdf8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:23.797ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle f\left(-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)=-{\sqrt {2}},}"></li> <li>maksimum warunkowe: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)={\sqrt {2}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)={\sqrt {2}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bc2331fd7f4a0d9c1ec54a86e6b6c9be8a600bf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:18.373ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle f\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)={\sqrt {2}}.}"></li></ul> Warto zauważyć, że funkcja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e9687ea22c0f310582e97ee5f6c6a5fca28203d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.925ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f,}"> określona na całej płaszczyźnie (bez dodatkowego warunku) nie ma ekstremów. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Przykład_–_problem_maksymalnej_entropii">Przykład – problem maksymalnej entropii</h3>[<a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&veaction=edit&section=31" title="Edytuj sekcję: Przykład – problem maksymalnej entropii" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&action=edit&section=31" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Przykład – problem maksymalnej entropii">edytuj kod</a>]</div> Problem polega na znalezieniu <a href="/wiki/Dyskretny_rozk%C5%82ad_prawdopodobie%C5%84stwa" title="Dyskretny rozkład prawdopodobieństwa">dyskretnego rozkładu zmiennej losowej</a> maksymalizującego <a href="/wiki/Entropia_(teoria_informacji)" title="Entropia (teoria informacji)">entropię</a>. Funkcja entropii <a href="/wiki/Prawdopodobie%C5%84stwo" title="Prawdopodobieństwo">prawdopodobieństw</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{1},\dots ,p_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{1},\dots ,p_{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a90efd8373125c90affd49557696138859c165a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:9.879ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p_{1},\dots ,p_{n}}"> wyraża się wzorem <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})=-\sum _{k=1}^{n}p_{k}\log _{2}p_{k}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})=-\sum _{k=1}^{n}p_{k}\log _{2}p_{k}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0081bfce489791aa91f3e65f3174a9a43d37989" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:35.134ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle f(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})=-\sum _{k=1}^{n}p_{k}\log _{2}p_{k}.}"></dd></dl> Oczywiście, suma prawdopodobieństw <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{1},\dots ,p_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{1},\dots ,p_{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a90efd8373125c90affd49557696138859c165a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:9.879ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p_{1},\dots ,p_{n}}"> jest równa jeden, więc warunek na <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}"> przyjmuje postać <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})=\sum _{k=1}^{n}p_{k}-1.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mn>1.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})=\sum _{k=1}^{n}p_{k}-1.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e26fd52228bd2b07e33db7db4bf56854867b038" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:30.432ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle G(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})=\sum _{k=1}^{n}p_{k}-1.}"></dd></dl> Stosując metodę mnożników Lagrange’a, dostajemy <a href="/wiki/Uk%C5%82ad_r%C3%B3wna%C5%84" title="Układ równań">układ</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> równań: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial p_{k}}}(f(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})+\lambda (G(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})-1))=0,\quad 1\leqslant k\leqslant n,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>λ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mn>1</mn> <mo>⩽</mo> <mi>k</mi> <mo>⩽</mo> <mi>n</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial p_{k}}}(f(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})+\lambda (G(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})-1))=0,\quad 1\leqslant k\leqslant n,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/687f8260884b3cfdcaaf563e49a14b58a91ae76a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:67.278ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial p_{k}}}(f(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})+\lambda (G(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})-1))=0,\quad 1\leqslant k\leqslant n,}"></dd></dl> który sprowadza się do układu <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial p_{k}}}\left(-\sum _{k=1}^{n}p_{k}\log _{2}p_{k}+\lambda \left(\sum _{k=1}^{n}p_{k}-1\right)\right)=0,\quad 1\leqslant k\leqslant n.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>λ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mn>1</mn> <mo>⩽</mo> <mi>k</mi> <mo>⩽</mo> <mi>n</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial p_{k}}}\left(-\sum _{k=1}^{n}p_{k}\log _{2}p_{k}+\lambda \left(\sum _{k=1}^{n}p_{k}-1\right)\right)=0,\quad 1\leqslant k\leqslant n.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c84f9d94fe15f170640219979e898a6bdfcc085" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:60.231ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial p_{k}}}\left(-\sum _{k=1}^{n}p_{k}\log _{2}p_{k}+\lambda \left(\sum _{k=1}^{n}p_{k}-1\right)\right)=0,\quad 1\leqslant k\leqslant n.}"></dd></dl> Różniczkując każde równanie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}">-krotnie, powyższy układ sprowadza się do poniższego: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -\left({\frac {1}{\ln 2}}+\log _{2}p_{k}\right)+\lambda =0,\quad 1\leqslant k\leqslant n.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>λ</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mn>1</mn> <mo>⩽</mo> <mi>k</mi> <mo>⩽</mo> <mi>n</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -\left({\frac {1}{\ln 2}}+\log _{2}p_{k}\right)+\lambda =0,\quad 1\leqslant k\leqslant n.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58b570ca9379c7a9c89915bf1c8ebfad598f3e1f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:41.878ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle -\left({\frac {1}{\ln 2}}+\log _{2}p_{k}\right)+\lambda =0,\quad 1\leqslant k\leqslant n.}"></dd></dl> Z powyższego wynika, że wszystkie prawdopodobieństwa są równe, tj. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{1}=\ldots =p_{n},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>…</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{1}=\ldots =p_{n},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7176499457556076d880eda939a850ae9c011c7c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:14.268ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p_{1}=\ldots =p_{n},}"> a ponieważ ich suma jest równa jeden, wynika stąd, że dla dowolnego <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1\leqslant k\leqslant n{:}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mo>⩽</mo> <mi>k</mi> <mo>⩽</mo> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>:</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1\leqslant k\leqslant n{:}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af383850a539d0f95a39d8cb22c5e7a691f679f0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:10.612ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 1\leqslant k\leqslant n{:}}"> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{k}={\frac {1}{n}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{k}={\frac {1}{n}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b694bf759c94c2bfbf7f3b04c3889c5a559c6dd2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; margin-left: -0.089ex; width:8.324ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle p_{k}={\frac {1}{n}}.}"></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Gradacyjna_analiza_odpowiedniości">Gradacyjna analiza odpowiedniości</h2>[<a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&veaction=edit&section=32" title="Edytuj sekcję: Gradacyjna analiza odpowiedniości" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&action=edit&section=32" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Gradacyjna analiza odpowiedniości">edytuj kod</a>]</div> Ciekawym praktycznym zastosowaniem ekstremum lokalnego w przestrzeni par permutacji jest algorytm <a href="/wiki/Gradacyjna_analiza_danych" title="Gradacyjna analiza danych">statystyczny</a>, zwany <a href="/wiki/Gradacyjna_analiza_odpowiednio%C5%9Bci" title="Gradacyjna analiza odpowiedniości">gradacyjną analizą odpowiedniości</a> (Grade Correspondence Analysis, GCA). Algorytm ma na celu przekształcenie badanych <a href="/wiki/Skala_nominalna" title="Skala nominalna">nominalnych cech statystycznych</a> w <a href="/wiki/Skala_porz%C4%85dkowa" title="Skala porządkowa">cechy porządkowe</a> tak, aby <a href="/wiki/Korelacja_rangowa" title="Korelacja rangowa">korelacja rangowa</a> pomiędzy nimi w <a href="/wiki/Sprawdzian_krzy%C5%BCowy" title="Sprawdzian krzyżowy">zbiorze uczącym</a> była maksymalna<a href="#cite_note-21">[r]</a>. Algorytm GCA był stosowany m.in. do tabeli, w której wiersze odpowiadają <a href="/wiki/Okr%C4%99g_wyborczy" title="Okręg wyborczy">okręgom wyborczym</a>, kolumny <a href="/wiki/Partia_polityczna" title="Partia polityczna">partiom politycznym</a>, a liczby w komórkach macierzy liczbie głosów oddanych na poszczególne partie w poszczególnych okręgach<a href="#cite_note-22">[s]</a> GCA rozmieściło zarówno okręgi wyborcze, jak i partie na skali, która po zbadaniu okazała się odpowiadać continuum <a href="/wiki/Lewica" title="Lewica">lewica</a>-<a href="/wiki/Prawica" title="Prawica">prawica</a>. Ściśle: danymi wejściowymi jest tzw. <a href="/wiki/Tabela_krzy%C5%BCowa" title="Tabela krzyżowa">macierz kontyngencji</a>, której wiersze odpowiadają możliwym wartościom (tzw. etykietom) pewnej <a href="/wiki/Skala_nominalna" title="Skala nominalna">nominalnej cechy statystycznej</a> (zwanej zmienną wierszową), a kolumny możliwym wartościom innej cechy nominalnej (zwanej zmienną kolumnową). Wartości elementów macierzy reprezentują liczebność <a href="/wiki/Obserwacja_statystyczna" title="Obserwacja statystyczna">obserwacji</a> w <a href="/wiki/Pr%C3%B3ba_statystyczna" title="Próba statystyczna">próbie</a>, dla których rozważane dwie cechy mają wartości przypisane do danego wiersza i kolumny<a href="#cite_note-23">[t]</a>. Celem algorytmu jest znalezienie takiej <a href="/wiki/Permutacja" title="Permutacja">permutacji</a> wierszy i kolumn macierzy (czyli etykiet zmiennych wierszowej i kolumnowej), aby współczynnik <a href="/wiki/Wsp%C3%B3%C5%82czynnik_korelacji_rang_Spearmana" title="Współczynnik korelacji rang Spearmana">rho Spearmana</a> dla powstałego rozkładu dwuwymiarowego był największy. Odpowiada to znalezieniu takiego uszeregowania etykiet zmiennych nominalnych, aby powstałe w ten sposób <a href="/wiki/Skala_porz%C4%85dkowa" title="Skala porządkowa">zmienne porządkowe</a> wykazywały możliwie dużą <a href="/wiki/Zale%C5%BCno%C5%9B%C4%87_zmiennych_losowych" title="Zależność zmiennych losowych">zależność statystyczną</a> w sensie <a href="/wiki/Korelacja_rangowa" title="Korelacja rangowa">korelacji rangowej</a>. GCA jest algorytmem iteracyjnym, który wielokrotnie startując od losowych permutacji wierszy i kolumn macierzy, dochodzi do różnych lokalnych maksimów rho Spearmana. Maksima są lokalne w tym sensie, że aby uzyskać większą wartość trzeba zmienić jednocześnie kolejność wierszy i kolumn macierzy. Zmiana wyłącznie kolejności wierszy lub wyłącznie kolejności kolumn nie da wyższej wartości rho. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Zobacz_też">Zobacz też</h2>[<a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&veaction=edit&section=33" title="Edytuj sekcję: Zobacz też" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&action=edit&section=33" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Zobacz też">edytuj kod</a>]</div> <ul><li><a href="/wiki/Funkcje_minimum_i_maksimum" title="Funkcje minimum i maksimum">funkcje minimum i maksimum</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_Lagrange%E2%80%99a_(rachunek_r%C3%B3%C5%BCniczkowy)" title="Twierdzenie Lagrange’a (rachunek różniczkowy)">twierdzenie Lagrange’a</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_Rolle%E2%80%99a" title="Twierdzenie Rolle’a">twierdzenie Rolle’a</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Uwagi">Uwagi</h2>[<a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&veaction=edit&section=34" title="Edytuj sekcję: Uwagi" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&action=edit&section=34" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Uwagi">edytuj kod</a>]</div> <div class="do-not-make-smaller refsection refsection-uwagi ll-script ll-script-uwagi"><div class="mw-references-wrap mw-references-columns"><ol class="references"> <li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Czasem uogólnia się to na dowolne <a href="/wiki/Zbi%C3%B3r_pusty" title="Zbiór pusty">niepuste</a> <a href="/wiki/Zbi%C3%B3r_otwarty" title="Zbiór otwarty">zbiory otwarte</a>; Zbiór musi być otwarty, żeby wykluczyć patologiczny przypadek, gdy wybierzemy punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}"> na <a href="/wiki/Brzeg_(matematyka)" title="Brzeg (matematyka)">brzegu</a> tego zbioru. Wówczas np. funkcja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f690285952308aa49e3c6aac892df31cad6d1b06" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.846ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)=x}"> mogłaby mieć minimum i maksimum właściwe w każdym swoim punkcie. </li> <li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Ekstremum może nie być właściwe, nawet jeśli funkcja nie posiada odcinka stałego. Wystarczy, że w okolicach rozważanego ekstremum występuje nieskończona liczba ekstremów o tej samej wartości funkcji, tak że w każdym otoczeniu jest przynajmniej jedno. Zobacz sekcja <a href="#Proste_przykłady_ekstremów">#Proste przykłady ekstremów</a>. </li> <li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Dla ekstremów globalnych nie jest potrzebna definicja systemu otoczeń. </li> <li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> Stwierdzenie to wynika z następującej obserwacji: jeżeli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b38d2684323653daafdd152b7e988594003897d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:1.663ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}"> jest ułamkiem nieskracalnym, to każdy ułamek <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {a}{b}}\neq {\tfrac {p}{q}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mi>a</mi> <mi>b</mi> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>≠</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {a}{b}}\neq {\tfrac {p}{q}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13bd2598bcd8da2954ef33688819dbfbeee94b04" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:6.467ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {a}{b}}\neq {\tfrac {p}{q}}}"> różniący się od <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b38d2684323653daafdd152b7e988594003897d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:1.663ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}"> o mniej niż <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {1}{q^{2}}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {1}{q^{2}}},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7846c0e87f6acefb1ff371ae3e4569b33039b2fe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:3.078ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {1}{q^{2}}},}"> ma mianownik większy od q. Nierówność <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left|{\frac {p}{q}}-{\frac {a}{b}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <mi>b</mi> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo><</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left|{\frac {p}{q}}-{\frac {a}{b}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13e1e59ebc9a666cb82ab57932146a09c472f8dd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:14.274ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \left|{\frac {p}{q}}-{\frac {a}{b}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}}"></dd></dl> prowadzi bowiem do <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left|{\frac {pb-aq}{qb}}\right|={\frac {|pb-aq|}{qb}}<{\frac {1}{q^{2}}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>|</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>p</mi> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mi>q</mi> </mrow> <mrow> <mi>q</mi> <mi>b</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>p</mi> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>q</mi> <mi>b</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo><</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left|{\frac {pb-aq}{qb}}\right|={\frac {|pb-aq|}{qb}}<{\frac {1}{q^{2}}},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a84e17ac7f2a4a7ed9c9f207f35cd389abcc9d1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:28.687ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \left|{\frac {pb-aq}{qb}}\right|={\frac {|pb-aq|}{qb}}<{\frac {1}{q^{2}}},}"></dd></dl> a wobec <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |pb-aq|\geqslant 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>p</mi> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>⩾</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |pb-aq|\geqslant 1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40f37806d2e049b9e8cdd6702c7cd0698785d712" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.861ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |pb-aq|\geqslant 1}"> jest <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b>q.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mo>></mo> <mi>q</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b>q.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/724862dc4cea6b06da77c01b3ba6a45a46191877" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.812ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle b>q.}"> </li> <li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> Założenie o skończonej liczbie punktów stacjonarnych można zastąpić słabszym żądaniem, by każdy punkt stacjonarny był izolowany. Zobacz przykład funkcji <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{array}{l}{x^{2}(1+\sin {\frac {1}{x}}),\;x\neq 0}\\{0,\;x=0}\end{array}}\right.,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="left" rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>x</mi> <mo>≠</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{array}{l}{x^{2}(1+\sin {\frac {1}{x}}),\;x\neq 0}\\{0,\;x=0}\end{array}}\right.,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1169e266340180bdcc9f7f2cb11c6f9f04d36fe4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:31.529ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{array}{l}{x^{2}(1+\sin {\frac {1}{x}}),\;x\neq 0}\\{0,\;x=0}\end{array}}\right.,}"> której wykres pokazano w sekcji <a href="/wiki/Ekstremum#Proste_przykłady_ekstremów" class="mw-redirect" title="Ekstremum">Proste przykłady ekstremów</a>. </li> <li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> Dowód: Ze <a href="/wiki/Wz%C3%B3r_Taylora" title="Wzór Taylora">wzoru Taylora</a> dla <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=2}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a02c8bd752d2cc859747ca1f3a508281bdbc3b34" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n=2}"> wynika: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x_{0}+h)=f(x_{0})+hf'(x_{0})+{\frac {1}{2}}h^{2}f''(x_{0}+\theta h),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>h</mi> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>f</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>θ</mi> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x_{0}+h)=f(x_{0})+hf'(x_{0})+{\frac {1}{2}}h^{2}f''(x_{0}+\theta h),}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da42b76605c0baa054f6fde3356cb742b85d084b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:48.399ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle f(x_{0}+h)=f(x_{0})+hf'(x_{0})+{\frac {1}{2}}h^{2}f''(x_{0}+\theta h),}"></dd></dl> gdzie: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0<\theta <1,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> <mo><</mo> <mi>θ</mi> <mo><</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0<\theta <1,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4512613fe86889f1d340b4976382cb9ed379a38" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.259ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 0<\theta <1,}"></dd></dl> więc z: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f'(x_{0})=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'(x_{0})=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7174944436b983b143e07db4f628f53dc8508922" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.459ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f'(x_{0})=0}"></dd></dl> wynika: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x_{0}+h)-f(x_{0})={\frac {1}{2}}h^{2}f''(x_{0}+\theta h).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>f</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>θ</mi> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x_{0}+h)-f(x_{0})={\frac {1}{2}}h^{2}f''(x_{0}+\theta h).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e3ca66f23f692fd784a7f7985ac35631399228c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:38.021ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle f(x_{0}+h)-f(x_{0})={\frac {1}{2}}h^{2}f''(x_{0}+\theta h).}"></dd></dl> Dla <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h\neq 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> <mo>≠</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h\neq 0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/944b0b20842d846cb96b36fe95d44dabbc6d19fd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.6ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle h\neq 0}"> prawa strona ma ten sam znak, co <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f''(x_{0}+\theta h).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>θ</mi> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f''(x_{0}+\theta h).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec6d2dc11aefd085e8645750cb838467a405bb30" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.568ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f''(x_{0}+\theta h).}"> Gdy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f''(x_{0})<0,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo><</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f''(x_{0})<0,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e9b2d28b627387c23217fe0cb7e2f7f13ac6d67" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.559ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f''(x_{0})<0,}"> to z ciągłości <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f''}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mo>″</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f''}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbbdf186092f4353b7630fa8dda903e493cbbdc8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.458ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f''}"> wynika <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f''(x)<0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo><</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f''(x)<0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1afc130bd9e57a213dbbd456b8ac44cc2b80f03" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.858ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f''(x)<0}"> w pewnym otoczeniu punktu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8b35dd572e629881da4083ad1681bc7cf420304" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.031ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0},}"> więc w tym otoczeniu <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x_{0}+h)-f(x_{0})=f(x)-f(x_{0})<0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo><</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x_{0}+h)-f(x_{0})=f(x)-f(x_{0})<0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/370312739b0cbe00bc0f54d874e0903bdd178f16" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:38.053ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x_{0}+h)-f(x_{0})=f(x)-f(x_{0})<0}"> dla <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\neq x_{0},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>≠</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\neq x_{0},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43238f9bace05c126bd4e48cbe95f55c682be408" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.459ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x\neq x_{0},}"></dd></dl> zatem istnieje maksimum w punkcie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ec756993d89cc1bd74f84040c07f5e11f0a8102" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.031ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}.}"> Analogicznie, istnieje minimum gdy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f''(x_{0})>0.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>></mo> <mn>0.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f''(x_{0})>0.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b28ccf4a1ba19bc79bc9a8d4a6ab2ed9220d8f21" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.559ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f''(x_{0})>0.}"> </li> <li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> Por. <a href="/wiki/R%C3%B3%C5%BCniczka#Różniczkowalność_a_otwartość_zbioru" title="Różniczka">Różniczkowalność a otwartość zbioru</a>. </li> <li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> Jeśli którakolwiek pochodna kierunkowa, w tym pochodna cząstkowa, jest różna od zera, to również różniczka jest niezerowa (o ile istnieje). W tym przykładzie obie pochodne cząstkowe są ciągłe, istnieje również pochodna Frécheta i <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f'(x_{0})\equiv 0.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≡</mo> <mn>0.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'(x_{0})\equiv 0.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e5da2d7365dab43993d67c0770d083b17c2325b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.106ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f'(x_{0})\equiv 0.}"> </li> <li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11">↑</a> W przypadku funkcji różniczkowalnej <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z=f(x,y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z=f(x,y)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eefb2840000f404c8c0f3f5d6d72f2624854591" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.794ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle z=f(x,y)}"> równości te mają prosty sens geometryczny: <a href="/wiki/P%C5%82aszczyzna_styczna" title="Płaszczyzna styczna">płaszczyzna styczna</a> do powierzchni <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z=f(x,y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z=f(x,y)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eefb2840000f404c8c0f3f5d6d72f2624854591" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.794ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle z=f(x,y)}"> w jej punkcie odpowiadającym ekstremum powinna być równoległa do płaszczyzny <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle xy.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mi>y</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle xy.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0add5fb23e378ec970ad47ea154f8a6431843a8f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.132ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle xy.}"> </li> <li id="cite_note-12"><a href="#cite_ref-12">↑</a> Np. funkcja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x,y)=x^{4}+y^{4}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x,y)=x^{4}+y^{4}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bacbbea71f66e2cf55157df47edac5c298b1ffd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.144ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(x,y)=x^{4}+y^{4}}"> ma w punkcie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (0,0)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (0,0)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d630d3e781a53b0a3559ae7e5b45f9479a3141a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.168ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (0,0)}"> minimum, natomiast funkcja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g(x,y)=x^{3}+y^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(x,y)=x^{3}+y^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01ccd8b20aa762de93affdadccb27d10eef67434" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.982ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle g(x,y)=x^{3}+y^{2}}"> nie ma w punkcie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (0,0)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (0,0)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d630d3e781a53b0a3559ae7e5b45f9479a3141a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.168ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (0,0)}"> ekstremum lokalnego. </li> <li id="cite_note-13"><a href="#cite_ref-13">↑</a> Wzór ten można otrzymać różniczkując tożsamość <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F'_{x}+F'_{y}y'(x)=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F'_{x}+F'_{y}y'(x)=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8deb2d09b69d768804544f83bc89869ccf949d61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:17.296ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle F'_{x}+F'_{y}y'(x)=0}"> dla <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta ).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mi>δ</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>δ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta ).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89aa9b4652d541ef15e86b74fa686e596157f65d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.206ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x\in (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta ).}"> </li> <li id="cite_note-14"><a href="#cite_ref-14">↑</a> Problem brachistochrony został rozwiązany przez <a href="/wiki/Isaac_Newton" title="Isaac Newton">Newtona</a>, <a href="/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz" title="Gottfried Wilhelm Leibniz">Leibniza</a>, <a href="/wiki/Guillaume_Fran%C3%A7ois_Antoine_de_l%E2%80%99Hospital" title="Guillaume François Antoine de l’Hospital">de l’Hospitala</a> (ucznia Jana Bernoulliego) oraz <a href="/wiki/Jakob_Bernoulli" title="Jakob Bernoulli">Jakuba Bernoulliego</a>. </li> <li id="cite_note-16"><a href="#cite_ref-16">↑</a> Uwaga: w tym wypadku pojęcie dodatniej (ujemnej) określoności zostaje rozszerzone na <a href="/wiki/Przekszta%C5%82cenie_wieloliniowe" title="Przekształcenie wieloliniowe">funkcjonały n-liniowe</a>, tj. powiemy że funkcjonał <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}">-liniowy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi \colon X\times \ldots \times X\to \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>φ</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo>×</mo> <mo>…</mo> <mo>×</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi \colon X\times \ldots \times X\to \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7231ef21e5774aabc0f8414bf0ab3d3c4c7e842" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.21ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \varphi \colon X\times \ldots \times X\to \mathbb {R} }"> jest dodatnio (ujemnie) określony, jeśli istnieje takie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c>0,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c>0,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53df663fbf9022d4aa6cfe5489aa11fd0af3992d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.915ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle c>0,}"> że <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi (h,\dots ,h)\geqslant c\|h\|^{n}\;(\leqslant -c\|h\|^{n})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>φ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>h</mi> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⩾</mo> <mi>c</mi> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>h</mi> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thickmathspace" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>⩽</mo> <mo>−</mo> <mi>c</mi> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>h</mi> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi (h,\dots ,h)\geqslant c\|h\|^{n}\;(\leqslant -c\|h\|^{n})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7bb5e8089323f6c5e325c11f0e0e7acbbdf63ac" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.778ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varphi (h,\dots ,h)\geqslant c\|h\|^{n}\;(\leqslant -c\|h\|^{n})}"> dla wszelkich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h\in X.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h\in X.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cefeed445bb40f309d486fd65d6bde805a73909" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.806ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h\in X.}"> </li> <li id="cite_note-17"><a href="#cite_ref-17">↑</a> Da się to zrobić w przypadku <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_Hilberta" title="Przestrzeń Hilberta">przestrzeni Hilberta</a> – <a href="/w/index.php?title=Twierdzenie_o_rozk%C5%82adzie_ortogonalnym&action=edit&redlink=1" class="new" title="Twierdzenie o rozkładzie ortogonalnym (strona nie istnieje)">twierdzenie o rozkładzie ortogonalnym</a> mówi, że dla każdej <a href="/wiki/Zbi%C3%B3r_domkni%C4%99ty" title="Zbiór domknięty">domkniętej</a> podprzestrzeni przestrzeni Hilberta istnieje <a href="/wiki/Dope%C5%82nienie_ortogonalne" title="Dopełnienie ortogonalne">dopełnienie ortogonalne</a>. W szczególności, rozkład taki jest możliwy jeżeli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"> jest przestrzenią skończenie wymiarową. </li> <li id="cite_note-punktreg-18">↑ <a href="#cite_ref-punktreg_18-0">a</a> <a href="#cite_ref-punktreg_18-1">b</a> Por. <a href="/wiki/Punkt_regularny#Szczególne_przypadki" title="Punkt regularny">punkt regularny (szczególne przypadki)</a>. </li> <li id="cite_note-19"><a href="#cite_ref-19">↑</a> Por. ustęp <a href="/wiki/Ekstremum#Funkcje_określone_na_podzbiorach_płaszczyzny" class="mw-redirect" title="Ekstremum">Funkcje określone na podzbiorach płaszczyzny</a>. </li> <li id="cite_note-20"><a href="#cite_ref-20">↑</a> Na mocy <a href="/wiki/Twierdzenie_Heinego-Borela" title="Twierdzenie Heinego-Borela">twierdzenia Heinego-Borela</a>. </li> <li id="cite_note-21"><a href="#cite_ref-21">↑</a> Podobny problem ze zwykłą korelacją Pearsona rozwiązuje klasyczna <a href="/wiki/Analiza_odpowiednio%C5%9Bci" title="Analiza odpowiedniości">analiza odpowiedniości</a>. </li> <li id="cite_note-22"><a href="#cite_ref-22">↑</a> W <a href="/wiki/Wybory_parlamentarne_w_Polsce_w_1997_roku" title="Wybory parlamentarne w Polsce w 1997 roku">wyborach do Sejmu w 1997 roku</a>. </li> <li id="cite_note-23"><a href="#cite_ref-23">↑</a> Choć GCA można też stosować do innych <a href="/wiki/Zbi%C3%B3r_danych" title="Zbiór danych">zbiorów danych</a>, np. takich gdzie każda kolumna reprezentuje inną zmienną. </li> </ol></div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Przypisy">Przypisy</h2>[<a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&veaction=edit&section=35" title="Edytuj sekcję: Przypisy" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&action=edit&section=35" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Przypisy">edytuj kod</a>]</div> <div class="do-not-make-smaller refsection"><div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-epwn-1"><a href="#cite_ref-epwn_1-0">↑</a> <cite class="citation web open-access"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyklopedia.pwn.pl/haslo/;3897143">ekstremum funkcji</a>, [w:] <a href="/wiki/Encyklopedia_PWN_(internetowa)" title="Encyklopedia PWN (internetowa)">Encyklopedia PWN</a> [online], <a href="/wiki/Wydawnictwo_Naukowe_PWN" title="Wydawnictwo Naukowe PWN">Wydawnictwo Naukowe PWN</a> [dostęp 2022-03-12]<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=unknown&rft.atitle=ekstremum+funkcji&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.jtitle=%5B%5BWydawnictwo+Naukowe+PWN%5D%5D&rft_id=https%3A%2F%2Fencyklopedia.pwn.pl%2Fhaslo%2F%3B3897143" style="display:none"> .</cite> </li> <li id="cite_note-CITEREFKrych2010214-8"><a href="#cite_ref-CITEREFKrych2010214_8-0">↑</a> <a href="#CITEREFKrych2010">Krych 2010 ↓</a>, s. 214. </li> <li id="cite_note-epwn-ew-15"><a href="#cite_ref-epwn-ew_15-0">↑</a> <cite class="citation web open-access"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyklopedia.pwn.pl/haslo/;3897144">ekstremum warunkowe</a>, [w:] <a href="/wiki/Encyklopedia_PWN_(internetowa)" title="Encyklopedia PWN (internetowa)">Encyklopedia PWN</a> [online], <a href="/wiki/Wydawnictwo_Naukowe_PWN" title="Wydawnictwo Naukowe PWN">Wydawnictwo Naukowe PWN</a> [dostęp 2022-03-12]<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=unknown&rft.atitle=ekstremum+warunkowe&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.jtitle=%5B%5BWydawnictwo+Naukowe+PWN%5D%5D&rft_id=https%3A%2F%2Fencyklopedia.pwn.pl%2Fhaslo%2F%3B3897144" style="display:none"> .</cite> </li> </ol></div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bibliografia">Bibliografia</h2>[<a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&veaction=edit&section=36" title="Edytuj sekcję: Bibliografia" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&action=edit&section=36" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Bibliografia">edytuj kod</a>]</div> <ul><li><cite class="citation book" id="CITEREFKrych2010">Michał Krych: Analiza matematyczna dla ekonomistów. Wyd. I. Warszawa: <a href="/wiki/Wydawnictwa_Uniwersytetu_Warszawskiego" title="Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego">Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego</a>, 2010. <a href="/wiki/Specjalna:Ksi%C4%85%C5%BCki/9788323507765" title="Specjalna:Książki/9788323507765">ISBN 978-83-235-0776-5</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Analiza+matematyczna+dla+ekonomist%C3%B3w&rft.aulast=Krych&rft.aufirst=Micha%C5%82&rft.edition=I&rft.pub=%5B%5BWydawnictwa+Uniwersytetu+Warszawskiego%5D%5D&rft.place=Warszawa&rft.isbn=978-83-235-0776-5"></cite></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatura_dodatkowa">Literatura dodatkowa</h2>[<a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&veaction=edit&section=37" title="Edytuj sekcję: Literatura dodatkowa" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&action=edit&section=37" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Literatura dodatkowa">edytuj kod</a>]</div> <ul><li><cite class="citation book"><a href="/wiki/Grigorij_Michaj%C5%82owicz_Fichtenholz" class="mw-redirect" title="Grigorij Michajłowicz Fichtenholz">Grigorij Michajłowicz Fichtenholz</a>: Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 1. Warszawa: <a href="/wiki/Wydawnictwo_Naukowe_PWN" title="Wydawnictwo Naukowe PWN">Państwowe Wydawnictwo Naukowe</a>, 1966.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Rachunek+r%C3%B3%C5%BCniczkowy+i+ca%C5%82kowy%2C+t.+1&rft.aulast=Fichtenholz&rft.aufirst=Grigorij+Michaj%C5%82owicz&rft.pub=%5B%5BWydawnictwo+Naukowe+PWN%7CPa%C5%84stwowe+Wydawnictwo+Naukowe%5D%5D&rft.place=Warszawa"></cite> Brak numerów stron w książce</li> <li><cite class="citation book">Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Analiza+matematyczna&rft.aulast=Ko%C5%82odziej&rft.aufirst=Witold&rft.pub=PWN&rft.place=Warszawa"></cite> Brak numerów stron w książce</li> <li><cite class="citation book">Teresa Kowalczyk, <a href="/wiki/El%C5%BCbieta_Pleszczy%C5%84ska" title="Elżbieta Pleszczyńska">Elżbieta Pleszczyńska</a>, Fred (red.) Ruland: Grade Models and Methods for Data Analysis with Applications for the Analysis of Data Populations. Berlin Heidelberg New York: seria: Studies in Fuzziness and Soft Computing, vol. 151, Springer Verlag, 2004, s. 477.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Grade+Models+and+Methods+for+Data+Analysis+with+Applications+for+the+Analysis+of+Data+Populations&rft.aulast=Kowalczyk&rft.aufirst=Teresa&rft.pub=seria%3A+%27%27Studies+in+Fuzziness+and+Soft+Computing%27%27%2C+vol.+151%2C+Springer+Verlag&rft.place=Berlin+Heidelberg+New+York&rft.pages=477"></cite></li> <li><cite class="citation book"><a href="/wiki/Franciszek_Leja" title="Franciszek Leja">Franciszek Leja</a>: Rachunek różniczkowy i całkowy. Warszawa: PWN, 1976.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Rachunek+r%C3%B3%C5%BCniczkowy+i+ca%C5%82kowy&rft.aulast=Leja&rft.aufirst=Franciszek&rft.pub=PWN&rft.place=Warszawa"></cite> Brak numerów stron w książce</li> <li><cite class="citation book"><a href="/wiki/Krzysztof_Maurin" title="Krzysztof Maurin">Krzysztof Maurin</a>: Analiza – Część I – Elementy. Warszawa: PWN, 1976. <a href="/wiki/Specjalna:Ksi%C4%85%C5%BCki/9788301099398" title="Specjalna:Książki/9788301099398">ISBN 978-83-01-09939-8</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Analiza+%E2%80%93+Cz%C4%99%C5%9B%C4%87+I+%E2%80%93+Elementy&rft.aulast=Maurin&rft.aufirst=Krzysztof&rft.pub=PWN&rft.place=Warszawa&rft.isbn=978-83-01-09939-8"></cite> Brak numerów stron w książce</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Linki_zewnętrzne">Linki zewnętrzne</h2>[<a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&veaction=edit&section=38" title="Edytuj sekcję: Linki zewnętrzne" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Ekstremum_funkcji&action=edit&section=38" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Linki zewnętrzne">edytuj kod</a>]</div> <ul><li><a href="/wiki/Otwarty_dost%C4%99p" title="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać"><img alt="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/8px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png" decoding="async" width="8" height="13" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/12px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/16px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 2x" data-file-width="640" data-file-height="1000" /></a> Helena Kazieko, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.youtube.com/watch?v=Utsc7keOet8">Pochodne cząstkowe rzędu drugiego i ekstrema funkcji dwóch zmiennych</a>, kanał Nauka / Science <a href="/wiki/Szko%C5%82a_G%C5%82%C3%B3wna_Gospodarstwa_Wiejskiego_w_Warszawie" title="Szkoła Główna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie">SGGW</a> na <a href="/wiki/YouTube" title="YouTube">YouTube</a>, 13 maja 2020 [dostęp 2024-08-03].</li></ul> <div class="navbox do-not-make-smaller mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="pokaż" data-collapsetext="ukryj"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r74983602">.mw-parser-output .navbox{border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);margin:auto;text-align:center;padding:3px;margin-top:1em;clear:both}.mw-parser-output table.navbox:not(.pionowy){width:100%}.mw-parser-output .navbox+.navbox{border-top:0;margin-top:0}.mw-parser-output .navbox.pionowy{width:250px;float:right;clear:right;margin:0 0 0.4em 1.4em}.mw-parser-output .navbox.pionowy .before,.mw-parser-output .navbox.pionowy .after{padding:0.5em 0;text-align:center}.mw-parser-output .navbox>.caption,.mw-parser-output .navbox>tbody>tr>th{background:#ccf;text-align:center;font-weight:bold}.mw-parser-output .navbox .tnavbar{font-weight:normal;font-size:xx-small;white-space:nowrap;padding:0}.mw-parser-output .navbox>.tnavbar{margin-left:1em;float:left}.mw-parser-output .navbox 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Użyj przycisku podglądu przed zapisaniem zmian."><a class="external text" href="https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Szablon:Rachunek_r%C3%B3%C5%BCniczkowy&action=edit">e</a></li></ul><div class="navbox-title caption"><a href="/wiki/Historia_rachunku_r%C3%B3%C5%BCniczkowego_i_ca%C5%82kowego" title="Historia rachunku różniczkowego i całkowego">Rachunek różniczkowy</a></div><div class="mw-collapsible-content flex"><table class="navbox-main-content inner-standard"><tbody><tr class="a1"><th class="navbox-group opis" scope="row">pojęcia ogólne</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Iloraz_r%C3%B3%C5%BCnicowy" title="Iloraz różnicowy">iloraz różnicowy</a></li> <li><a href="/wiki/Styczna" title="Styczna">styczna</a></li> <li><a href="/wiki/R%C3%B3%C5%BCniczka_funkcji" title="Różniczka funkcji">różniczka funkcji</a></li> <li><a class="mw-selflink selflink">ekstremum funkcji</a></li></ul> </td></tr><tr class="a2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Pochodna_funkcji" title="Pochodna funkcji">pochodne funkcji</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Pochodna_Diniego" title="Pochodna Diniego">Diniego</a></li> <li><a href="/wiki/Pochodna_logarytmiczna" title="Pochodna logarytmiczna">logarytmiczna</a></li> <li><a href="/wiki/S%C5%82aba_pochodna" title="Słaba pochodna">słaba</a></li></ul> </td></tr><tr class="a3"><th class="navbox-group opis" scope="row">typy <a href="/wiki/Funkcja" title="Funkcja">funkcji</a> definiowane pochodnymi</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Wypuk%C5%82o%C5%9B%C4%87_funkcji" title="Wypukłość funkcji">funkcja wypukła i funkcja wklęsła</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_r%C3%B3%C5%BCniczkowalna" title="Funkcja różniczkowalna">funkcja różniczkowalna</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_regularna" title="Funkcja regularna">funkcja regularna</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_regularna" title="Funkcja regularna">funkcja gładka</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_analityczna" title="Funkcja analityczna">funkcja analityczna</a></li></ul> </td></tr><tr class="a4"><th class="navbox-group opis" scope="row">punkty w <a href="/wiki/Dziedzina_(matematyka)" title="Dziedzina (matematyka)">dziedzinie</a> definiowane pochodnymi</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Punkt_regularny" title="Punkt regularny">punkt regularny</a></li> <li><a href="/wiki/Punkt_krytyczny_(matematyka)" title="Punkt krytyczny (matematyka)">punkt krytyczny</a> <ul><li><a href="/wiki/Punkt_stacjonarny" title="Punkt stacjonarny">punkt stacjonarny</a></li> <li><a href="/wiki/Punkt_siod%C5%82owy" title="Punkt siodłowy">punkt siodłowy</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Punkt_przegi%C4%99cia" title="Punkt przegięcia">punkt przegięcia</a></li></ul> </td></tr><tr class="a5"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/w/index.php?title=Analiza_wielowymiarowa&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analiza wielowymiarowa (strona nie istnieje)">analiza wielowymiarowa</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Pochodna_cz%C4%85stkowa" title="Pochodna cząstkowa">pochodna cząstkowa</a></li> <li><a href="/wiki/Pochodna_kierunkowa" title="Pochodna kierunkowa">pochodna kierunkowa</a></li> <li><a href="/wiki/Pochodna_G%C3%A2teaux" title="Pochodna Gâteaux">pochodna Gâteaux</a></li> <li><a href="/wiki/Pochodna_Fr%C3%A9cheta" title="Pochodna Frécheta">pochodna Frécheta</a></li> <li><a href="/wiki/Gradient_(matematyka)" title="Gradient (matematyka)">gradient</a></li> <li><a href="/wiki/Operator_Laplace%E2%80%99a" title="Operator Laplace’a">laplasjan</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_harmoniczna" title="Funkcja harmoniczna">funkcja harmoniczna</a></li> <li><a href="/wiki/Operator_d%E2%80%99Alemberta" title="Operator d’Alemberta">dalambercjan</a></li> <li><a href="/wiki/Macierz_Hessego" title="Macierz Hessego">hesjan</a></li> <li><a href="/wiki/R%C3%B3wnanie_r%C3%B3%C5%BCniczkowe" title="Równanie różniczkowe">równanie różniczkowe</a> <ul><li><a href="/wiki/R%C3%B3wnanie_r%C3%B3%C5%BCniczkowe_zwyczajne" title="Równanie różniczkowe zwyczajne">zwyczajne</a></li> <li><a href="/wiki/R%C3%B3wnanie_r%C3%B3%C5%BCniczkowe_cz%C4%85stkowe" title="Równanie różniczkowe cząstkowe">cząstkowe</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a6"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Twierdzenie" title="Twierdzenie">twierdzenia</a> o funkcjach</th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a6_1"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Funkcja_jednej_zmiennej" title="Funkcja jednej zmiennej">jednej zmiennej</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Twierdzenie_Rolle%E2%80%99a" title="Twierdzenie Rolle’a">Rolle’a</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_Fermata_o_zerowaniu_si%C4%99_pochodnej" title="Twierdzenie Fermata o zerowaniu się pochodnej">Fermata</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_Lagrange%E2%80%99a_(rachunek_r%C3%B3%C5%BCniczkowy)" title="Twierdzenie Lagrange’a (rachunek różniczkowy)">Lagrange’a</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_Cauchy%E2%80%99ego_(rachunek_r%C3%B3%C5%BCniczkowy)" title="Twierdzenie Cauchy’ego (rachunek różniczkowy)">Cauchy’ego</a></li> <li><a href="/wiki/Regu%C5%82a_de_l%E2%80%99Hospitala" title="Reguła de l’Hospitala">reguła de l’Hospitala</a></li></ul> </td></tr><tr class="a6_2"><th class="navbox-group opis" scope="row">dowolnej liczby zmiennych</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Regu%C5%82a_%C5%82a%C5%84cuchowa" title="Reguła łańcuchowa">reguła łańcuchowa</a></li> <li><a href="/wiki/Wz%C3%B3r_Leibniza" title="Wzór Leibniza">wzór Leibniza</a></li> <li><a href="/wiki/Wz%C3%B3r_Taylora" title="Wzór Taylora">wzór Taylora</a></li></ul> </td></tr><tr class="a6_3"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Funkcja_wielu_zmiennych" title="Funkcja wielu zmiennych">wielu zmiennych</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Twierdzenie_Schwarza" title="Twierdzenie Schwarza">Schwarza</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a7"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Matematyk" title="Matematyk">badacze</a> według daty narodzin</th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a7_1"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/XVII_wiek" title="XVII wiek">XVII wiek</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Pierre_de_Fermat" title="Pierre de Fermat">Pierre de Fermat</a></li> <li><a href="/wiki/Gilles_de_Roberval" title="Gilles de Roberval">Gilles de Roberval</a></li> <li><a href="/wiki/James_Gregory" title="James Gregory">James Gregory</a></li> <li><a href="/wiki/Isaac_Newton" title="Isaac Newton">Isaac Newton</a></li> <li><a href="/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz" title="Gottfried Wilhelm Leibniz">Gottfried Wilhelm Leibniz</a></li> <li><a href="/wiki/Michel_Rolle" title="Michel Rolle">Michel Rolle</a></li> <li><a href="/wiki/Guillaume_Fran%C3%A7ois_Antoine_de_l%E2%80%99Hospital" title="Guillaume François Antoine de l’Hospital">Guillaume François Antoine de l’Hospital</a></li> <li><a href="/wiki/Johann_Bernoulli" title="Johann Bernoulli">Johann Bernoulli</a></li> <li><a href="/wiki/Brook_Taylor" title="Brook Taylor">Brook Taylor</a></li> <li><a href="/wiki/Colin_Maclaurin" title="Colin Maclaurin">Colin Maclaurin</a></li></ul> </td></tr><tr class="a7_2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/XVIII_wiek" title="XVIII wiek">XVIII wiek</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Joseph_Louis_Lagrange" title="Joseph Louis Lagrange">Joseph Louis Lagrange</a></li> <li><a href="/wiki/Augustin_Louis_Cauchy" title="Augustin Louis Cauchy">Augustin Louis Cauchy</a></li></ul> </td></tr><tr class="a7_3"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/XIX_wiek" title="XIX wiek">XIX wiek</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Otto_Hesse" title="Otto Hesse">Otto Hesse</a></li> <li><a href="/wiki/Jean_Darboux" title="Jean Darboux">Jean Darboux</a></li> <li><a href="/wiki/Hermann_Schwarz" title="Hermann Schwarz">Hermann Schwarz</a></li> <li><a href="/wiki/Ulisse_Dini" title="Ulisse Dini">Ulisse Dini</a></li> <li><a href="/wiki/Maurice_Fr%C3%A9chet" title="Maurice Fréchet">Maurice Fréchet</a></li> <li><a href="/wiki/Ren%C3%A9_G%C3%A2teaux" title="René Gâteaux">René Gâteaux</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a8"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne wątki <a href="/wiki/Historia_rachunku_r%C3%B3%C5%BCniczkowego_i_ca%C5%82kowego" title="Historia rachunku różniczkowego i całkowego">historyczne</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Metoda_fluksji" title="Metoda fluksji">Metoda fluksji</a></li></ul> </td></tr></tbody></table><div class="navbox-after after"> <a href="/wiki/Plik:Tangent_to_a_curve.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0f/Tangent_to_a_curve.svg/100px-Tangent_to_a_curve.svg.png" decoding="async" width="100" height="70" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0f/Tangent_to_a_curve.svg/150px-Tangent_to_a_curve.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0f/Tangent_to_a_curve.svg/200px-Tangent_to_a_curve.svg.png 2x" data-file-width="400" data-file-height="280" /></a> </div></div></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r74016753">.mw-parser-output #normdaten>div+div{margin-top:0.5em}.mw-parser-output #normdaten>div>div{background:var(--background-color-neutral,#eaecf0);padding:.2em .5em}.mw-parser-output #normdaten ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output #normdaten ul 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Ekstremum funkcji – Wikipedia, wolna encyklopedia