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<!DOCTYPE html> <html lang="en"> <head> <meta content="text/html; charset=utf-8" http-equiv="content-type"/> <title>1 Introduction</title>  <meta content="width=device-width, initial-scale=1, shrink-to-fit=no" name="viewport"/> <link href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/css/bootstrap.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv-fonts.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/latexml_styles.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/js/bootstrap.bundle.min.js"></script> <script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/html2canvas/1.3.3/html2canvas.min.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/addons_new.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/feedbackOverlay.js"></script> <base href="/html/2411.13575v1/"/></head> <body> <nav class="ltx_page_navbar"> <nav class="ltx_TOC"> <ol class="ltx_toclist"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S1" title=""><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">1 </span>Introduction</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S2" title=""><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2 </span>Main results</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S2.SS1" title="In 2 Main results"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2.1 </span>Determination of radiation solutions <math alttext="\psi" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><mi>ψ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content"><ci>𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">\psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">italic_ψ</annotation></semantics></math> from Im<math alttext="(\psi)" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>ψ</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content"><ci>𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">(\psi)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">( italic_ψ )</annotation></semantics></math></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S2.SS2" title="In 2 Main results"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2.2 </span>Applications to Gelfand-Krein-Levitan problem</span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S3" title=""><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3 </span>Preliminaries</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S3.SS1" title="In 3 Preliminaries"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3.1 </span>The Karp Expansion</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S3.SS2" title="In 3 Preliminaries"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3.2 </span>A two-point approximation for <math alttext="\psi" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><mi>ψ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content"><ci>𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">\psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">italic_ψ</annotation></semantics></math></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S3.SS3" title="In 3 Preliminaries"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3.3 </span>A Green type formula</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S3.SS4" title="In 3 Preliminaries"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3.4 </span>Some facts of direct scattering</span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S4" title=""><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4 </span>Proof of Theorem 1</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S4.SS1" title="In 4 Proof of Theorem 1"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4.1 </span>Case <math alttext="L^{+}_{x_{1},\theta}\cup L^{-}_{x_{2},\theta}\subseteq L_{0,\theta}" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><mrow><mrow><msubsup><mi>L</mi><mrow><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><mo>,</mo><mi>θ</mi></mrow><mo>+</mo></msubsup><mo>∪</mo><msubsup><mi>L</mi><mrow><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><mo>,</mo><mi>θ</mi></mrow><mo>−</mo></msubsup></mrow><mo>⊆</mo><msub><mi>L</mi><mrow><mn>0</mn><mo>,</mo><mi>θ</mi></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content"><apply><subset></subset><apply><union></union><apply><csymbol cd="ambiguous">subscript</csymbol><apply><csymbol cd="ambiguous">superscript</csymbol><ci>𝐿</ci><plus></plus></apply><list><apply><csymbol cd="ambiguous">subscript</csymbol><ci>𝑥</ci><cn type="integer">1</cn></apply><ci>𝜃</ci></list></apply><apply><csymbol cd="ambiguous">subscript</csymbol><apply><csymbol cd="ambiguous">superscript</csymbol><ci>𝐿</ci><minus></minus></apply><list><apply><csymbol cd="ambiguous">subscript</csymbol><ci>𝑥</ci><cn type="integer">2</cn></apply><ci>𝜃</ci></list></apply></apply><apply><csymbol cd="ambiguous">subscript</csymbol><ci>𝐿</ci><list><cn type="integer">0</cn><ci>𝜃</ci></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">L^{+}_{x_{1},\theta}\cup L^{-}_{x_{2},\theta}\subseteq L_{0,\theta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_θ end_POSTSUBSCRIPT ∪ italic_L start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_θ end_POSTSUBSCRIPT ⊆ italic_L start_POSTSUBSCRIPT 0 , italic_θ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S4.SS2" title="In 4 Proof of Theorem 1"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4.2 </span>General Case</span></a></li> </ol> </li> </ol></nav> </nav> <div class="ltx_page_main"> <div class="ltx_page_content"> <article class="ltx_document" lang="en"> <div class="ltx_para" id="p1"> <p class="ltx_p ltx_align_center" id="p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="p1.1.1">On reconstruction from imaginary part for radiation solutions in two dimensions</span> <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="p1.1.2">A.V. Nair, R.G. Novikov </span></p> </div> <div class="ltx_abstract"> <h6 class="ltx_title ltx_title_abstract">Abstract</h6> <p class="ltx_p" id="id6.6"><span class="ltx_text" id="id6.6.6">We consider a radiation solution <math alttext="\psi" class="ltx_Math" display="inline" id="id1.1.1.m1.1"><semantics id="id1.1.1.m1.1a"><mi id="id1.1.1.m1.1.1" xref="id1.1.1.m1.1.1.cmml">ψ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id1.1.1.m1.1b"><ci id="id1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="id1.1.1.m1.1.1">𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id1.1.1.m1.1c">\psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id1.1.1.m1.1d">italic_ψ</annotation></semantics></math> for the Helmholtz equation in an exterior region in <math alttext="\mathbb{R}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="id2.2.2.m2.1"><semantics id="id2.2.2.m2.1a"><msup id="id2.2.2.m2.1.1" xref="id2.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="id2.2.2.m2.1.1.2" xref="id2.2.2.m2.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mn id="id2.2.2.m2.1.1.3" xref="id2.2.2.m2.1.1.3.cmml">2</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id2.2.2.m2.1b"><apply id="id2.2.2.m2.1.1.cmml" xref="id2.2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="id2.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="id2.2.2.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="id2.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="id2.2.2.m2.1.1.2">ℝ</ci><cn id="id2.2.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="id2.2.2.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id2.2.2.m2.1c">\mathbb{R}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id2.2.2.m2.1d">blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. We show that <math alttext="\psi" class="ltx_Math" display="inline" id="id3.3.3.m3.1"><semantics id="id3.3.3.m3.1a"><mi id="id3.3.3.m3.1.1" xref="id3.3.3.m3.1.1.cmml">ψ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id3.3.3.m3.1b"><ci id="id3.3.3.m3.1.1.cmml" xref="id3.3.3.m3.1.1">𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id3.3.3.m3.1c">\psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id3.3.3.m3.1d">italic_ψ</annotation></semantics></math> in the exterior region is uniquely determined by its imaginary part <math alttext="Im(\psi)" class="ltx_Math" display="inline" id="id4.4.4.m4.1"><semantics id="id4.4.4.m4.1a"><mrow id="id4.4.4.m4.1.2" xref="id4.4.4.m4.1.2.cmml"><mi id="id4.4.4.m4.1.2.2" xref="id4.4.4.m4.1.2.2.cmml">I</mi><mo id="id4.4.4.m4.1.2.1" xref="id4.4.4.m4.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="id4.4.4.m4.1.2.3" xref="id4.4.4.m4.1.2.3.cmml">m</mi><mo id="id4.4.4.m4.1.2.1a" xref="id4.4.4.m4.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="id4.4.4.m4.1.2.4.2" xref="id4.4.4.m4.1.2.cmml"><mo id="id4.4.4.m4.1.2.4.2.1" stretchy="false" xref="id4.4.4.m4.1.2.cmml">(</mo><mi id="id4.4.4.m4.1.1" xref="id4.4.4.m4.1.1.cmml">ψ</mi><mo id="id4.4.4.m4.1.2.4.2.2" stretchy="false" xref="id4.4.4.m4.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id4.4.4.m4.1b"><apply id="id4.4.4.m4.1.2.cmml" xref="id4.4.4.m4.1.2"><times id="id4.4.4.m4.1.2.1.cmml" xref="id4.4.4.m4.1.2.1"></times><ci id="id4.4.4.m4.1.2.2.cmml" xref="id4.4.4.m4.1.2.2">𝐼</ci><ci id="id4.4.4.m4.1.2.3.cmml" xref="id4.4.4.m4.1.2.3">𝑚</ci><ci id="id4.4.4.m4.1.1.cmml" xref="id4.4.4.m4.1.1">𝜓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id4.4.4.m4.1c">Im(\psi)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id4.4.4.m4.1d">italic_I italic_m ( italic_ψ )</annotation></semantics></math> on an interval of a line <math alttext="L" class="ltx_Math" display="inline" id="id5.5.5.m5.1"><semantics id="id5.5.5.m5.1a"><mi id="id5.5.5.m5.1.1" xref="id5.5.5.m5.1.1.cmml">L</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id5.5.5.m5.1b"><ci id="id5.5.5.m5.1.1.cmml" xref="id5.5.5.m5.1.1">𝐿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id5.5.5.m5.1c">L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id5.5.5.m5.1d">italic_L</annotation></semantics></math> lying in the exterior region. This result has holographic prototype in the recent work [Nair, Novikov, arXiv:2408.08326]. Some other curves for measurements instead of the lines <math alttext="L" class="ltx_Math" display="inline" id="id6.6.6.m6.1"><semantics id="id6.6.6.m6.1a"><mi id="id6.6.6.m6.1.1" xref="id6.6.6.m6.1.1.cmml">L</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id6.6.6.m6.1b"><ci id="id6.6.6.m6.1.1.cmml" xref="id6.6.6.m6.1.1">𝐿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id6.6.6.m6.1c">L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id6.6.6.m6.1d">italic_L</annotation></semantics></math> are also considered. Applications to the Gelfand-Krein-Levitan inverse problem and passive imaging are also indicated.</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="p2"> <p class="ltx_p" id="p2.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="p2.1.1" style="font-size:90%;">Keywords: <span class="ltx_text ltx_font_medium" id="p2.1.1.1"> Two-dimensional Helmholtz equation, radiation solutions, Gelfand-Krein-Levitan inverse problem, passive imaging, holographic type uniqueness <br class="ltx_break"/> </span>AMS Subject classification: <span class="ltx_text ltx_font_medium" id="p2.1.1.2"> 35J05, 35J08, 35P25, 35R30</span></span></p> </div> <section class="ltx_section" id="S1"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section" style="font-size:90%;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">1 </span>Introduction</h2> <div class="ltx_para" id="S1.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.p1.10"><span class="ltx_text" id="S1.p1.10.1" style="font-size:90%;">We consider the two-dimensional Helmholtz equation</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S1.E1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Delta\psi(x)+\kappa^{2}\psi(x)=0,\ \ x\in{\cal U},\ \ \kappa>0," class="ltx_Math" display="block" id="S1.E1.m1.3"><semantics id="S1.E1.m1.3a"><mrow id="S1.E1.m1.3.3.1"><mrow id="S1.E1.m1.3.3.1.1.2" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2" mathsize="90%" mathvariant="normal" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Δ</mi><mo id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3" mathsize="90%" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml">ψ</mi><mo id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1a" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.4.2" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.4.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S1.E1.m1.1.1" mathsize="90%" xref="S1.E1.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.4.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1" mathsize="90%" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml"><msup id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.2" mathsize="90%" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">κ</mi><mn id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.3" mathsize="90%" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.1" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.3" mathsize="90%" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.3.cmml">ψ</mi><mo id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.1a" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.4.2" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.4.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S1.E1.m1.2.2" mathsize="90%" xref="S1.E1.m1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.4.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.3" mathsize="90%" rspace="1.067em" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.1.1" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2" mathsize="90%" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1" mathsize="90%" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.3" mathsize="90%" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.3.cmml">𝒰</mi></mrow><mo id="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.2.3" mathsize="90%" rspace="1.067em" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2" mathsize="90%" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.cmml">κ</mi><mo id="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1" mathsize="90%" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.cmml">></mo><mn id="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3" mathsize="90%" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml">0</mn></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.E1.m1.3.3.1.2" mathsize="90%">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E1.m1.3b"><apply id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3a.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1"><eq id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2"><plus id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1"></plus><apply id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2"><times id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1"></times><ci id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2">Δ</ci><ci id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3">𝜓</ci><ci id="S1.E1.m1.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1">𝑥</ci></apply><apply id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3"><times id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.1"></times><apply id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.2">𝜅</ci><cn id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.3">2</cn></apply><ci id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.3">𝜓</ci><ci id="S1.E1.m1.2.2.cmml" xref="S1.E1.m1.2.2">𝑥</ci></apply></apply><cn id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.3a.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.1.1"><in id="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1"></in><ci id="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.3">𝒰</ci></apply><apply id="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2"><gt id="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1"></gt><ci id="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2">𝜅</ci><cn id="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E1.m1.3c">\Delta\psi(x)+\kappa^{2}\psi(x)=0,\ \ x\in{\cal U},\ \ \kappa>0,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E1.m1.3d">roman_Δ italic_ψ ( italic_x ) + italic_κ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ψ ( italic_x ) = 0 , italic_x ∈ caligraphic_U , italic_κ > 0 ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(1)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.p1.8"><span class="ltx_text" id="S1.p1.8.1" style="font-size:90%;">where </span><math alttext="\Delta" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.1.m1.1"><semantics id="S1.p1.1.m1.1a"><mi id="S1.p1.1.m1.1.1" mathsize="90%" mathvariant="normal" xref="S1.p1.1.m1.1.1.cmml">Δ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.1.m1.1b"><ci id="S1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p1.1.m1.1.1">Δ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.1.m1.1c">\Delta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.1.m1.1d">roman_Δ</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S1.p1.8.2" style="font-size:90%;"> is the Laplacian in </span><math alttext="x" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.2.m2.1"><semantics id="S1.p1.2.m2.1a"><mi id="S1.p1.2.m2.1.1" mathsize="90%" xref="S1.p1.2.m2.1.1.cmml">x</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.2.m2.1b"><ci id="S1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.1">𝑥</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.2.m2.1c">x</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.2.m2.1d">italic_x</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S1.p1.8.3" style="font-size:90%;">, and </span><math alttext="\cal U" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.3.m3.1"><semantics id="S1.p1.3.m3.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.p1.3.m3.1.1" mathsize="90%" xref="S1.p1.3.m3.1.1.cmml">𝒰</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.3.m3.1b"><ci id="S1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.p1.3.m3.1.1">𝒰</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.3.m3.1c">\cal U</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.3.m3.1d">caligraphic_U</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S1.p1.8.4" style="font-size:90%;"> is a region (open connected set) in </span><math alttext="\mathbb{R}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.4.m4.1"><semantics id="S1.p1.4.m4.1a"><msup id="S1.p1.4.m4.1.1" xref="S1.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S1.p1.4.m4.1.1.2" mathsize="90%" xref="S1.p1.4.m4.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mn id="S1.p1.4.m4.1.1.3" mathsize="90%" xref="S1.p1.4.m4.1.1.3.cmml">2</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.4.m4.1b"><apply id="S1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S1.p1.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.4.m4.1.1">superscript</csymbol><ci id="S1.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.4.m4.1.1.2">ℝ</ci><cn id="S1.p1.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.p1.4.m4.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.4.m4.1c">\mathbb{R}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.4.m4.1d">blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S1.p1.8.5" style="font-size:90%;"> consisting of all points outside a closed bounded regular curve </span><math alttext="S" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.5.m5.1"><semantics id="S1.p1.5.m5.1a"><mi id="S1.p1.5.m5.1.1" mathsize="90%" xref="S1.p1.5.m5.1.1.cmml">S</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.5.m5.1b"><ci id="S1.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S1.p1.5.m5.1.1">𝑆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.5.m5.1c">S</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.5.m5.1d">italic_S</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S1.p1.8.6" style="font-size:90%;"> (for example as in </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S1.p1.8.7.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib13" title="">13</a><span class="ltx_text" id="S1.p1.8.8.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S1.p1.8.9" style="font-size:90%;">). For equation (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S1.E1" style="font-size:90%;" title="In 1 Introduction"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a><span class="ltx_text" id="S1.p1.8.10" style="font-size:90%;">) we consider the radiation solution </span><math alttext="\psi" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.6.m6.1"><semantics id="S1.p1.6.m6.1a"><mi id="S1.p1.6.m6.1.1" mathsize="90%" xref="S1.p1.6.m6.1.1.cmml">ψ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.6.m6.1b"><ci id="S1.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S1.p1.6.m6.1.1">𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.6.m6.1c">\psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.6.m6.1d">italic_ψ</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S1.p1.8.11" style="font-size:90%;"> such that: </span><math alttext="\psi" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.7.m7.1"><semantics id="S1.p1.7.m7.1a"><mi id="S1.p1.7.m7.1.1" mathsize="90%" xref="S1.p1.7.m7.1.1.cmml">ψ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.7.m7.1b"><ci id="S1.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="S1.p1.7.m7.1.1">𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.7.m7.1c">\psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.7.m7.1d">italic_ψ</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S1.p1.8.12" style="font-size:90%;"> is of class </span><math alttext="C^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.8.m8.1"><semantics id="S1.p1.8.m8.1a"><msup id="S1.p1.8.m8.1.1" xref="S1.p1.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S1.p1.8.m8.1.1.2" mathsize="90%" xref="S1.p1.8.m8.1.1.2.cmml">C</mi><mn id="S1.p1.8.m8.1.1.3" mathsize="90%" xref="S1.p1.8.m8.1.1.3.cmml">2</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.8.m8.1b"><apply id="S1.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="S1.p1.8.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.8.m8.1.1">superscript</csymbol><ci id="S1.p1.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.8.m8.1.1.2">𝐶</ci><cn id="S1.p1.8.m8.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.p1.8.m8.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.8.m8.1c">C^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.8.m8.1d">italic_C start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S1.p1.8.13" style="font-size:90%;"> and satisfies the Sommerfeld’s radiation condition</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S1.E2"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\sqrt{|x|}\bigl{(}\frac{\partial}{\partial|x|}-i\kappa\bigr{)}\psi(x)\to 0\ \ % as\ \ |x|\to+\infty," class="ltx_Math" display="block" id="S1.E2.m1.5"><semantics id="S1.E2.m1.5a"><mrow id="S1.E2.m1.5.5.1" xref="S1.E2.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S1.E2.m1.5.5.1.1" 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mathsize="90%" rspace="0em" xref="S1.E2.m1.2.2.1.2.cmml">∂</mo><mrow id="S1.E2.m1.2.2.1.3.2" xref="S1.E2.m1.2.2.1.3.1.cmml"><mo id="S1.E2.m1.2.2.1.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S1.E2.m1.2.2.1.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S1.E2.m1.2.2.1.1" mathsize="90%" xref="S1.E2.m1.2.2.1.1.cmml">x</mi><mo id="S1.E2.m1.2.2.1.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S1.E2.m1.2.2.1.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mfrac><mo id="S1.E2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S1.E2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S1.E2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S1.E2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="S1.E2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">i</mi><mo id="S1.E2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S1.E2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3" mathsize="90%" xref="S1.E2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">κ</mi></mrow></mrow><mo id="S1.E2.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" maxsize="120%" minsize="120%" 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xref="S1.E2.m1.5.5.1.1.6.2.cmml">∞</mi></mrow></mrow><mo id="S1.E2.m1.5.5.1.2" mathsize="90%" xref="S1.E2.m1.5.5.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E2.m1.5b"><apply id="S1.E2.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S1.E2.m1.5.5.1"><and id="S1.E2.m1.5.5.1.1a.cmml" xref="S1.E2.m1.5.5.1"></and><apply id="S1.E2.m1.5.5.1.1b.cmml" xref="S1.E2.m1.5.5.1"><ci id="S1.E2.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S1.E2.m1.5.5.1.1.3">→</ci><apply id="S1.E2.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S1.E2.m1.5.5.1.1.1"><times id="S1.E2.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E2.m1.5.5.1.1.1.2"></times><apply id="S1.E2.m1.1.1.cmml" xref="S1.E2.m1.1.1"><root id="S1.E2.m1.1.1a.cmml" xref="S1.E2.m1.1.1"></root><apply id="S1.E2.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E2.m1.1.1.1.3"><abs id="S1.E2.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E2.m1.1.1.1.3.1"></abs><ci id="S1.E2.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E2.m1.1.1.1.1">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S1.E2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E2.m1.5.5.1.1.1.1.1"><minus id="S1.E2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S1.E2.m1.2.2.cmml" xref="S1.E2.m1.2.2"><divide id="S1.E2.m1.2.2.2.cmml" xref="S1.E2.m1.2.2"></divide><partialdiff id="S1.E2.m1.2.2.3.cmml" xref="S1.E2.m1.2.2.3"></partialdiff><apply id="S1.E2.m1.2.2.1.cmml" xref="S1.E2.m1.2.2.1"><partialdiff id="S1.E2.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S1.E2.m1.2.2.1.2"></partialdiff><apply id="S1.E2.m1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S1.E2.m1.2.2.1.3.2"><abs id="S1.E2.m1.2.2.1.3.1.1.cmml" xref="S1.E2.m1.2.2.1.3.2.1"></abs><ci id="S1.E2.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S1.E2.m1.2.2.1.1">𝑥</ci></apply></apply></apply><apply id="S1.E2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S1.E2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S1.E2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.E2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑖</ci><ci id="S1.E2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S1.E2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3">𝜅</ci></apply></apply><ci id="S1.E2.m1.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E2.m1.5.5.1.1.1.3">𝜓</ci><ci id="S1.E2.m1.3.3.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3">𝑥</ci></apply><apply id="S1.E2.m1.5.5.1.1.4.cmml" xref="S1.E2.m1.5.5.1.1.4"><times id="S1.E2.m1.5.5.1.1.4.1.cmml" xref="S1.E2.m1.5.5.1.1.4.1"></times><cn id="S1.E2.m1.5.5.1.1.4.2.cmml" type="integer" xref="S1.E2.m1.5.5.1.1.4.2">0</cn><ci id="S1.E2.m1.5.5.1.1.4.3.cmml" xref="S1.E2.m1.5.5.1.1.4.3">𝑎</ci><ci id="S1.E2.m1.5.5.1.1.4.4.cmml" xref="S1.E2.m1.5.5.1.1.4.4">𝑠</ci><apply id="S1.E2.m1.5.5.1.1.4.5.1.cmml" xref="S1.E2.m1.5.5.1.1.4.5.2"><abs id="S1.E2.m1.5.5.1.1.4.5.1.1.cmml" xref="S1.E2.m1.5.5.1.1.4.5.2.1"></abs><ci id="S1.E2.m1.4.4.cmml" xref="S1.E2.m1.4.4">𝑥</ci></apply></apply></apply><apply id="S1.E2.m1.5.5.1.1c.cmml" xref="S1.E2.m1.5.5.1"><ci id="S1.E2.m1.5.5.1.1.5.cmml" xref="S1.E2.m1.5.5.1.1.5">→</ci><share href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S1.E2.m1.5.5.1.1.4.cmml" id="S1.E2.m1.5.5.1.1d.cmml" xref="S1.E2.m1.5.5.1"></share><apply id="S1.E2.m1.5.5.1.1.6.cmml" xref="S1.E2.m1.5.5.1.1.6"><plus id="S1.E2.m1.5.5.1.1.6.1.cmml" xref="S1.E2.m1.5.5.1.1.6"></plus><infinity id="S1.E2.m1.5.5.1.1.6.2.cmml" xref="S1.E2.m1.5.5.1.1.6.2"></infinity></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E2.m1.5c">\sqrt{|x|}\bigl{(}\frac{\partial}{\partial|x|}-i\kappa\bigr{)}\psi(x)\to 0\ \ % as\ \ |x|\to+\infty,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E2.m1.5d">square-root start_ARG | italic_x | end_ARG ( divide start_ARG ∂ end_ARG start_ARG ∂ | italic_x | end_ARG - italic_i italic_κ ) italic_ψ ( italic_x ) → 0 italic_a italic_s | italic_x | → + ∞ ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(2)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.p1.9"><span class="ltx_text" id="S1.p1.9.1" style="font-size:90%;">uniformly in </span><math alttext="x/|x|" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.9.m1.1"><semantics id="S1.p1.9.m1.1a"><mrow id="S1.p1.9.m1.1.2" xref="S1.p1.9.m1.1.2.cmml"><mi id="S1.p1.9.m1.1.2.2" mathsize="90%" xref="S1.p1.9.m1.1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S1.p1.9.m1.1.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" stretchy="true" symmetric="true" xref="S1.p1.9.m1.1.2.1.cmml">/</mo><mrow id="S1.p1.9.m1.1.2.3.2" xref="S1.p1.9.m1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S1.p1.9.m1.1.2.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S1.p1.9.m1.1.2.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S1.p1.9.m1.1.1" mathsize="90%" xref="S1.p1.9.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S1.p1.9.m1.1.2.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S1.p1.9.m1.1.2.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.9.m1.1b"><apply id="S1.p1.9.m1.1.2.cmml" xref="S1.p1.9.m1.1.2"><divide id="S1.p1.9.m1.1.2.1.cmml" xref="S1.p1.9.m1.1.2.1"></divide><ci id="S1.p1.9.m1.1.2.2.cmml" xref="S1.p1.9.m1.1.2.2">𝑥</ci><apply id="S1.p1.9.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S1.p1.9.m1.1.2.3.2"><abs id="S1.p1.9.m1.1.2.3.1.1.cmml" xref="S1.p1.9.m1.1.2.3.2.1"></abs><ci id="S1.p1.9.m1.1.1.cmml" xref="S1.p1.9.m1.1.1">𝑥</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.9.m1.1c">x/|x|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.9.m1.1d">italic_x / | italic_x |</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S1.p1.9.2" style="font-size:90%;">.</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p2"> <p class="ltx_p" id="S1.p2.11"><span class="ltx_text" id="S1.p2.11.1" style="font-size:90%;">Let</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S1.Ex1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="L=L_{x_{0},\theta}=\{x\in\mathbb{R}^{2}:\ \ x=x(s)=x_{0}+s\theta,\ \ -\infty<s% <+\infty\}," class="ltx_Math" display="block" id="S1.Ex1.m1.4"><semantics id="S1.Ex1.m1.4a"><mrow id="S1.Ex1.m1.4.4.1" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.cmml"><mi id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.4" mathsize="90%" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.4.cmml">L</mi><mo id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.5" mathsize="90%" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.5.cmml">=</mo><msub id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.6" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.6.cmml"><mi id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.6.2" mathsize="90%" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.6.2.cmml">L</mi><mrow id="S1.Ex1.m1.2.2.2.2" xref="S1.Ex1.m1.2.2.2.3.cmml"><msub id="S1.Ex1.m1.2.2.2.2.1" xref="S1.Ex1.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S1.Ex1.m1.2.2.2.2.1.2" mathsize="90%" xref="S1.Ex1.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">x</mi><mn id="S1.Ex1.m1.2.2.2.2.1.3" mathsize="90%" xref="S1.Ex1.m1.2.2.2.2.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S1.Ex1.m1.2.2.2.2.2" mathsize="90%" xref="S1.Ex1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S1.Ex1.m1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S1.Ex1.m1.1.1.1.1.cmml">θ</mi></mrow></msub><mo id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.7" mathsize="90%" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.7.cmml">=</mo><mrow id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.3.cmml"><mo id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml">{</mo><mrow id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mn id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.4" lspace="0.278em" mathsize="90%" rspace="1.178em" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml">:</mo><mrow id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.2" mathsize="90%" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.3" mathsize="90%" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4.cmml"><mi id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4.2" mathsize="90%" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4.2.cmml">x</mi><mo id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4.1" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4.3.2" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4.cmml"><mo id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex1.m1.3.3" mathsize="90%" xref="S1.Ex1.m1.3.3.cmml">s</mi><mo id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.5" mathsize="90%" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.cmml"><msub id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.2" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.2.cmml"><mi id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.2.2" mathsize="90%" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.2.2.cmml">x</mi><mn id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.2.3" mathsize="90%" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.1" mathsize="90%" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.1.cmml">+</mo><mrow id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.3" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.3.cmml"><mi id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.3.2" mathsize="90%" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.3.2.cmml">s</mi><mo id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.3.1" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.3.3" mathsize="90%" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.3.3.cmml">θ</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3" mathsize="90%" rspace="1.067em" 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id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><apply id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2">ℝ</ci><cn id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.3a.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1"><and id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1a.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1"></and><apply id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1b.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1"><eq id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.3"></eq><ci id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.2">𝑥</ci><apply id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4"><times id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4.1.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4.1"></times><ci id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4.2.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4.2">𝑥</ci><ci id="S1.Ex1.m1.3.3.cmml" xref="S1.Ex1.m1.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1c.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1"><eq id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.5.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4.cmml" id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1d.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1"></share><apply id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6"><plus id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.1.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.1"></plus><apply id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.2.cmml" 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xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2"><lt id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.3"></lt><apply id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.2"><minus id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.2"></minus><infinity id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.2.2"></infinity></apply><ci id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.4.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.4">𝑠</ci></apply><apply id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2c.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2"><lt id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.5.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.5"></lt><share href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.4.cmml" id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2d.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2"></share><apply id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.6.cmml" xref="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.6"><plus id="S1.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.6.1.cmml" 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ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="L^{+}=L^{+}_{x_{1},\theta}=\{x\in\mathbb{R}^{2}:x=x(s)=x_{1}+s\theta,\ \ 0<s<+% \infty\}," class="ltx_Math" display="block" id="S1.Ex2.m1.4"><semantics id="S1.Ex2.m1.4a"><mrow id="S1.Ex2.m1.4.4.1" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.cmml"><msup id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.4" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.4.cmml"><mi id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.4.2" mathsize="90%" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.4.2.cmml">L</mi><mo id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.4.3" mathsize="90%" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.4.3.cmml">+</mo></msup><mo id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.5" mathsize="90%" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.5.cmml">=</mo><msubsup id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.6" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.6.cmml"><mi id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.6.2.2" mathsize="90%" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.6.2.2.cmml">L</mi><mrow id="S1.Ex2.m1.2.2.2.2" xref="S1.Ex2.m1.2.2.2.3.cmml"><msub id="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.1" xref="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.1.2" mathsize="90%" xref="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">x</mi><mn id="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.1.3" mathsize="90%" xref="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.Ex2.m1.2.2.2.2.2" mathsize="90%" xref="S1.Ex2.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.cmml">θ</mi></mrow><mo id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.6.2.3" mathsize="90%" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.6.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.7" mathsize="90%" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.7.cmml">=</mo><mrow id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.3.cmml"><mo id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml">{</mo><mrow id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mn id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.4" lspace="0.278em" mathsize="90%" rspace="0.278em" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml">:</mo><mrow id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.2" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.2" mathsize="90%" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.3" mathsize="90%" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4.cmml"><mi id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4.2" mathsize="90%" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4.2.cmml">x</mi><mo id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4.1" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4.3.2" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4.cmml"><mo id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex2.m1.3.3" mathsize="90%" xref="S1.Ex2.m1.3.3.cmml">s</mi><mo id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.5" mathsize="90%" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.cmml"><msub id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.2" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.2.cmml"><mi id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.2.2" mathsize="90%" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.2.2.cmml">x</mi><mn id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.2.3" mathsize="90%" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.1" mathsize="90%" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.1.cmml">+</mo><mrow id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.3" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.3.cmml"><mi id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.3.2" mathsize="90%" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.3.2.cmml">s</mi><mo id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.3.1" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.3.3" mathsize="90%" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.3.3.cmml">θ</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3" mathsize="90%" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mn id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.2" mathsize="90%" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml"> 0</mn><mo id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.3" mathsize="90%" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml"><</mo><mi id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.4" mathsize="90%" 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alttext="L^{-}=L^{-}_{x_{2},\theta}=\{x\in\mathbb{R}^{2}:\ \ x=x(s)=x_{2}-s\theta,\ \ 0% <s<+\infty\}," class="ltx_Math" display="block" id="S1.E3.m1.4"><semantics id="S1.E3.m1.4a"><mrow id="S1.E3.m1.4.4.1" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S1.E3.m1.4.4.1.1" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.cmml"><msup id="S1.E3.m1.4.4.1.1.4" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.4.cmml"><mi id="S1.E3.m1.4.4.1.1.4.2" mathsize="90%" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.4.2.cmml">L</mi><mo id="S1.E3.m1.4.4.1.1.4.3" mathsize="90%" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.4.3.cmml">−</mo></msup><mo id="S1.E3.m1.4.4.1.1.5" mathsize="90%" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.5.cmml">=</mo><msubsup id="S1.E3.m1.4.4.1.1.6" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.6.cmml"><mi id="S1.E3.m1.4.4.1.1.6.2.2" mathsize="90%" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.6.2.2.cmml">L</mi><mrow id="S1.E3.m1.2.2.2.2" xref="S1.E3.m1.2.2.2.3.cmml"><msub id="S1.E3.m1.2.2.2.2.1" xref="S1.E3.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S1.E3.m1.2.2.2.2.1.2" mathsize="90%" xref="S1.E3.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">x</mi><mn id="S1.E3.m1.2.2.2.2.1.3" 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id="S1.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.4" lspace="0.278em" mathsize="90%" rspace="1.178em" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml">:</mo><mrow id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.2" mathsize="90%" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.3" mathsize="90%" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4.cmml"><mi id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4.2" mathsize="90%" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4.2.cmml">x</mi><mo id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4.1" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4.3.2" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4.cmml"><mo id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="S1.E3.m1.3.3" mathsize="90%" xref="S1.E3.m1.3.3.cmml">s</mi><mo id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.5" mathsize="90%" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.cmml"><msub id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.2" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.2.cmml"><mi id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.2.2" mathsize="90%" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.2.2.cmml">x</mi><mn id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.2.3" mathsize="90%" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.1" mathsize="90%" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.1.cmml">−</mo><mrow id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.3" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.3.cmml"><mi id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.3.2" mathsize="90%" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.3.2.cmml">s</mi><mo id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.3.1" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.3.3" mathsize="90%" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.3.3.cmml">θ</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3" mathsize="90%" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mn id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.2" mathsize="90%" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml"> 0</mn><mo id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.3" mathsize="90%" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml"><</mo><mi id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.4" mathsize="90%" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.4.cmml">s</mi><mo id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.5" mathsize="90%" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.5.cmml"><</mo><mrow id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.6" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.6.cmml"><mo id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.6a" mathsize="90%" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.6.cmml">+</mo><mi id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.6.2" mathsize="90%" mathvariant="normal" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.6.2.cmml">∞</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.5" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo id="S1.E3.m1.4.4.1.2" mathsize="90%" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E3.m1.4b"><apply id="S1.E3.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1"><and id="S1.E3.m1.4.4.1.1a.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1"></and><apply id="S1.E3.m1.4.4.1.1b.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1"><eq id="S1.E3.m1.4.4.1.1.5.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.5"></eq><apply id="S1.E3.m1.4.4.1.1.4.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E3.m1.4.4.1.1.4.1.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S1.E3.m1.4.4.1.1.4.2.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.4.2">𝐿</ci><minus id="S1.E3.m1.4.4.1.1.4.3.cmml" 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id="S1.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.3a.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1"><and id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1a.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1"></and><apply id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1b.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1"><eq id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.3"></eq><ci id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.2">𝑥</ci><apply id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4"><times id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4.1.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4.1"></times><ci id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4.2.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4.2">𝑥</ci><ci 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id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.3.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.3"><times id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.3.1.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.3.1"></times><ci id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.3.2.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.3.2">𝑠</ci><ci id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.3.3.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.6.3.3">𝜃</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2"><and id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2a.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2"></and><apply id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2b.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2"><lt id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.3"></lt><cn id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" type="float" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.2"> 0</cn><ci id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.4.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.4">𝑠</ci></apply><apply id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2c.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2"><lt id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.5.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.5"></lt><share href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.4.cmml" id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2d.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2"></share><apply id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.6.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.6"><plus id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.6.1.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.6"></plus><infinity id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.6.2.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.6.2"></infinity></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E3.m1.4c">L^{-}=L^{-}_{x_{2},\theta}=\{x\in\mathbb{R}^{2}:\ \ x=x(s)=x_{2}-s\theta,\ \ 0% <s<+\infty\},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E3.m1.4d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT = italic_L start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_θ end_POSTSUBSCRIPT = { italic_x ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT : italic_x = italic_x ( italic_s ) = italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT - italic_s italic_θ , 0 < italic_s < + ∞ } ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(3)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.p2.10"><span class="ltx_text" id="S1.p2.10.1" style="font-size:90%;">where </span><math alttext="x_{0},x_{1},x_{2}\in\mathbb{R}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p2.1.m1.3"><semantics id="S1.p2.1.m1.3a"><mrow id="S1.p2.1.m1.3.3" xref="S1.p2.1.m1.3.3.cmml"><mrow id="S1.p2.1.m1.3.3.3.3" xref="S1.p2.1.m1.3.3.3.4.cmml"><msub id="S1.p2.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S1.p2.1.m1.3.3.3.3.4" mathsize="90%" xref="S1.p2.1.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S1.p2.1.m1.2.2.2.2.2" xref="S1.p2.1.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S1.p2.1.m1.2.2.2.2.2.2" mathsize="90%" xref="S1.p2.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S1.p2.1.m1.2.2.2.2.2.3" mathsize="90%" xref="S1.p2.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.p2.1.m1.3.3.3.3.5" mathsize="90%" xref="S1.p2.1.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S1.p2.1.m1.3.3.3.3.3" xref="S1.p2.1.m1.3.3.3.3.3.cmml"><mi id="S1.p2.1.m1.3.3.3.3.3.2" mathsize="90%" xref="S1.p2.1.m1.3.3.3.3.3.2.cmml">x</mi><mn id="S1.p2.1.m1.3.3.3.3.3.3" mathsize="90%" xref="S1.p2.1.m1.3.3.3.3.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S1.p2.1.m1.3.3.4" mathsize="90%" xref="S1.p2.1.m1.3.3.4.cmml">∈</mo><msup id="S1.p2.1.m1.3.3.5" xref="S1.p2.1.m1.3.3.5.cmml"><mi id="S1.p2.1.m1.3.3.5.2" mathsize="90%" xref="S1.p2.1.m1.3.3.5.2.cmml">ℝ</mi><mn id="S1.p2.1.m1.3.3.5.3" mathsize="90%" xref="S1.p2.1.m1.3.3.5.3.cmml">2</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p2.1.m1.3b"><apply id="S1.p2.1.m1.3.3.cmml" xref="S1.p2.1.m1.3.3"><in id="S1.p2.1.m1.3.3.4.cmml" xref="S1.p2.1.m1.3.3.4"></in><list id="S1.p2.1.m1.3.3.3.4.cmml" xref="S1.p2.1.m1.3.3.3.3"><apply id="S1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p2.1.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p2.1.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S1.p2.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S1.p2.1.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p2.1.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S1.p2.1.m1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.p2.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S1.p2.1.m1.2.2.2.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S1.p2.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.p2.1.m1.2.2.2.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S1.p2.1.m1.3.3.3.3.3.cmml" xref="S1.p2.1.m1.3.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p2.1.m1.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="S1.p2.1.m1.3.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S1.p2.1.m1.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="S1.p2.1.m1.3.3.3.3.3.2">𝑥</ci><cn id="S1.p2.1.m1.3.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.p2.1.m1.3.3.3.3.3.3">2</cn></apply></list><apply id="S1.p2.1.m1.3.3.5.cmml" xref="S1.p2.1.m1.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p2.1.m1.3.3.5.1.cmml" xref="S1.p2.1.m1.3.3.5">superscript</csymbol><ci id="S1.p2.1.m1.3.3.5.2.cmml" xref="S1.p2.1.m1.3.3.5.2">ℝ</ci><cn id="S1.p2.1.m1.3.3.5.3.cmml" type="integer" xref="S1.p2.1.m1.3.3.5.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p2.1.m1.3c">x_{0},x_{1},x_{2}\in\mathbb{R}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p2.1.m1.3d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT , italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S1.p2.10.2" style="font-size:90%;">, </span><math alttext="\theta\in\mathbb{S}^{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p2.2.m2.1"><semantics id="S1.p2.2.m2.1a"><mrow id="S1.p2.2.m2.1.1" xref="S1.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S1.p2.2.m2.1.1.2" mathsize="90%" xref="S1.p2.2.m2.1.1.2.cmml">θ</mi><mo id="S1.p2.2.m2.1.1.1" mathsize="90%" xref="S1.p2.2.m2.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S1.p2.2.m2.1.1.3" xref="S1.p2.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S1.p2.2.m2.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S1.p2.2.m2.1.1.3.2.cmml">𝕊</mi><mn id="S1.p2.2.m2.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="S1.p2.2.m2.1.1.3.3.cmml">1</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p2.2.m2.1b"><apply id="S1.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p2.2.m2.1.1"><in id="S1.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S1.p2.2.m2.1.1.1"></in><ci id="S1.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S1.p2.2.m2.1.1.2">𝜃</ci><apply id="S1.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S1.p2.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p2.2.m2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S1.p2.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S1.p2.2.m2.1.1.3.2">𝕊</ci><cn id="S1.p2.2.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.p2.2.m2.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p2.2.m2.1c">\theta\in\mathbb{S}^{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p2.2.m2.1d">italic_θ ∈ blackboard_S start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S1.p2.10.3" style="font-size:90%;"> and </span><math alttext="x_{1},x_{2}\in L" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p2.3.m3.2"><semantics id="S1.p2.3.m3.2a"><mrow id="S1.p2.3.m3.2.2" xref="S1.p2.3.m3.2.2.cmml"><mrow id="S1.p2.3.m3.2.2.2.2" xref="S1.p2.3.m3.2.2.2.3.cmml"><msub id="S1.p2.3.m3.1.1.1.1.1" xref="S1.p2.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.p2.3.m3.1.1.1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S1.p2.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S1.p2.3.m3.1.1.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S1.p2.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.p2.3.m3.2.2.2.2.3" mathsize="90%" xref="S1.p2.3.m3.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S1.p2.3.m3.2.2.2.2.2" xref="S1.p2.3.m3.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S1.p2.3.m3.2.2.2.2.2.2" mathsize="90%" xref="S1.p2.3.m3.2.2.2.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S1.p2.3.m3.2.2.2.2.2.3" mathsize="90%" xref="S1.p2.3.m3.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S1.p2.3.m3.2.2.3" mathsize="90%" xref="S1.p2.3.m3.2.2.3.cmml">∈</mo><mi id="S1.p2.3.m3.2.2.4" mathsize="90%" xref="S1.p2.3.m3.2.2.4.cmml">L</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p2.3.m3.2b"><apply id="S1.p2.3.m3.2.2.cmml" xref="S1.p2.3.m3.2.2"><in id="S1.p2.3.m3.2.2.3.cmml" xref="S1.p2.3.m3.2.2.3"></in><list id="S1.p2.3.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S1.p2.3.m3.2.2.2.2"><apply id="S1.p2.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p2.3.m3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p2.3.m3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.p2.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p2.3.m3.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S1.p2.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.p2.3.m3.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S1.p2.3.m3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S1.p2.3.m3.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p2.3.m3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S1.p2.3.m3.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.p2.3.m3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S1.p2.3.m3.2.2.2.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S1.p2.3.m3.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.p2.3.m3.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply></list><ci id="S1.p2.3.m3.2.2.4.cmml" xref="S1.p2.3.m3.2.2.4">𝐿</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p2.3.m3.2c">x_{1},x_{2}\in L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p2.3.m3.2d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ∈ italic_L</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S1.p2.10.4" style="font-size:90%;">. </span> <br class="ltx_break"/><span class="ltx_text" id="S1.p2.10.5" style="font-size:90%;">The present work combines results in </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S1.p2.10.6.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib16" title="">16</a><span class="ltx_text" id="S1.p2.10.7.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S1.p2.10.8" style="font-size:90%;">, and methods of </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S1.p2.10.9.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib25" title="">25</a><span class="ltx_text" id="S1.p2.10.10.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S1.p2.10.11" style="font-size:90%;"> (the three-dimensional case), to obtain analogical results to </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S1.p2.10.12.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib25" title="">25</a><span class="ltx_text" id="S1.p2.10.13.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S1.p2.10.14" style="font-size:90%;"> in the two-dimensional case. In particular, we show that for any straight line </span><math alttext="L\subset{\cal U}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p2.4.m4.1"><semantics id="S1.p2.4.m4.1a"><mrow id="S1.p2.4.m4.1.1" xref="S1.p2.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S1.p2.4.m4.1.1.2" mathsize="90%" xref="S1.p2.4.m4.1.1.2.cmml">L</mi><mo id="S1.p2.4.m4.1.1.1" mathsize="90%" xref="S1.p2.4.m4.1.1.1.cmml">⊂</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.p2.4.m4.1.1.3" mathsize="90%" xref="S1.p2.4.m4.1.1.3.cmml">𝒰</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p2.4.m4.1b"><apply id="S1.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S1.p2.4.m4.1.1"><subset id="S1.p2.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S1.p2.4.m4.1.1.1"></subset><ci id="S1.p2.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S1.p2.4.m4.1.1.2">𝐿</ci><ci id="S1.p2.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S1.p2.4.m4.1.1.3">𝒰</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p2.4.m4.1c">L\subset{\cal U}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p2.4.m4.1d">italic_L ⊂ caligraphic_U</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S1.p2.10.15" style="font-size:90%;">, any complex-valued radiation solution </span><math alttext="\psi" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p2.5.m5.1"><semantics id="S1.p2.5.m5.1a"><mi id="S1.p2.5.m5.1.1" mathsize="90%" xref="S1.p2.5.m5.1.1.cmml">ψ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p2.5.m5.1b"><ci id="S1.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S1.p2.5.m5.1.1">𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p2.5.m5.1c">\psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p2.5.m5.1d">italic_ψ</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S1.p2.10.16" style="font-size:90%;"> on </span><math alttext="{\cal U}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p2.6.m6.1"><semantics id="S1.p2.6.m6.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.p2.6.m6.1.1" mathsize="90%" xref="S1.p2.6.m6.1.1.cmml">𝒰</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p2.6.m6.1b"><ci id="S1.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S1.p2.6.m6.1.1">𝒰</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p2.6.m6.1c">{\cal U}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p2.6.m6.1d">caligraphic_U</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S1.p2.10.17" style="font-size:90%;"> is uniquely determined by the </span><math alttext="Im(\psi)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p2.7.m7.1"><semantics id="S1.p2.7.m7.1a"><mrow id="S1.p2.7.m7.1.2" xref="S1.p2.7.m7.1.2.cmml"><mi id="S1.p2.7.m7.1.2.2" mathsize="90%" xref="S1.p2.7.m7.1.2.2.cmml">I</mi><mo id="S1.p2.7.m7.1.2.1" xref="S1.p2.7.m7.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p2.7.m7.1.2.3" mathsize="90%" xref="S1.p2.7.m7.1.2.3.cmml">m</mi><mo id="S1.p2.7.m7.1.2.1a" xref="S1.p2.7.m7.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p2.7.m7.1.2.4.2" xref="S1.p2.7.m7.1.2.cmml"><mo id="S1.p2.7.m7.1.2.4.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S1.p2.7.m7.1.2.cmml">(</mo><mi id="S1.p2.7.m7.1.1" mathsize="90%" xref="S1.p2.7.m7.1.1.cmml">ψ</mi><mo id="S1.p2.7.m7.1.2.4.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S1.p2.7.m7.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p2.7.m7.1b"><apply id="S1.p2.7.m7.1.2.cmml" xref="S1.p2.7.m7.1.2"><times id="S1.p2.7.m7.1.2.1.cmml" xref="S1.p2.7.m7.1.2.1"></times><ci id="S1.p2.7.m7.1.2.2.cmml" xref="S1.p2.7.m7.1.2.2">𝐼</ci><ci id="S1.p2.7.m7.1.2.3.cmml" xref="S1.p2.7.m7.1.2.3">𝑚</ci><ci id="S1.p2.7.m7.1.1.cmml" xref="S1.p2.7.m7.1.1">𝜓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p2.7.m7.1c">Im(\psi)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p2.7.m7.1d">italic_I italic_m ( italic_ψ )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S1.p2.10.18" style="font-size:90%;"> on an arbitrary non-empty interval </span><math alttext="\Lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p2.8.m8.1"><semantics id="S1.p2.8.m8.1a"><mi id="S1.p2.8.m8.1.1" mathsize="90%" mathvariant="normal" xref="S1.p2.8.m8.1.1.cmml">Λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p2.8.m8.1b"><ci id="S1.p2.8.m8.1.1.cmml" xref="S1.p2.8.m8.1.1">Λ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p2.8.m8.1c">\Lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p2.8.m8.1d">roman_Λ</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S1.p2.10.19" style="font-size:90%;"> of </span><math alttext="L" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p2.9.m9.1"><semantics id="S1.p2.9.m9.1a"><mi id="S1.p2.9.m9.1.1" mathsize="90%" xref="S1.p2.9.m9.1.1.cmml">L</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p2.9.m9.1b"><ci id="S1.p2.9.m9.1.1.cmml" xref="S1.p2.9.m9.1.1">𝐿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p2.9.m9.1c">L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p2.9.m9.1d">italic_L</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S1.p2.10.20" style="font-size:90%;">; see Theorem 2 (which is a corollary of Theorem 1) and Corollary 1 in Section 2. We also consider other curves for measurements instead of the lines </span><math alttext="L" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p2.10.m10.1"><semantics id="S1.p2.10.m10.1a"><mi id="S1.p2.10.m10.1.1" mathsize="90%" xref="S1.p2.10.m10.1.1.cmml">L</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p2.10.m10.1b"><ci id="S1.p2.10.m10.1.1.cmml" xref="S1.p2.10.m10.1.1">𝐿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p2.10.m10.1c">L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p2.10.m10.1d">italic_L</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S1.p2.10.21" style="font-size:90%;">; see Example 1 and Theorem 3 in Section 2.</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p3"> <p class="ltx_p" id="S1.p3.1"><span class="ltx_text" id="S1.p3.1.1" style="font-size:90%;">Our studies are motivated by the Gelfand-Krein-Levitan problem and passive imaging, see, e.g., </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S1.p3.1.2.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib2" title="">2</a><span class="ltx_text" id="S1.p3.1.3.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S1.p3.1.4" style="font-size:90%;">, </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S1.p3.1.5.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib3" title="">3</a><span class="ltx_text" id="S1.p3.1.6.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S1.p3.1.7" style="font-size:90%;">, </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S1.p3.1.8.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib5" title="">5</a><span class="ltx_text" id="S1.p3.1.9.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S1.p3.1.10" style="font-size:90%;">, </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S1.p3.1.11.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib8" title="">8</a><span class="ltx_text" id="S1.p3.1.12.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S1.p3.1.13" style="font-size:90%;">, </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S1.p3.1.14.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib11" title="">11</a><span class="ltx_text" id="S1.p3.1.15.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S1.p3.1.16" style="font-size:90%;">, </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S1.p3.1.17.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib12" title="">12</a><span class="ltx_text" id="S1.p3.1.18.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S1.p3.1.19" style="font-size:90%;">, </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S1.p3.1.20.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib14" title="">14</a><span class="ltx_text" id="S1.p3.1.21.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S1.p3.1.22" style="font-size:90%;">, </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S1.p3.1.23.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib15" title="">15</a><span class="ltx_text" id="S1.p3.1.24.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S1.p3.1.25" style="font-size:90%;">, </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S1.p3.1.26.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib25" title="">25</a><span class="ltx_text" id="S1.p3.1.27.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S1.p3.1.28" style="font-size:90%;">, </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S1.p3.1.29.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib26" title="">26</a><span class="ltx_text" id="S1.p3.1.30.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S1.p3.1.31" style="font-size:90%;"> and references therein. In particular, in this respect, we continue studies of </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S1.p3.1.32.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib25" title="">25</a><span class="ltx_text" id="S1.p3.1.33.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S1.p3.1.34" style="font-size:90%;">, where the three-dimensional case is considered.</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p4"> <p class="ltx_p" id="S1.p4.2"><span class="ltx_text" id="S1.p4.2.1" style="font-size:90%;">The Gelfand-Krein-Levitan problem (in its fixed energy version in dimension </span><math alttext="d=2" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.1.m1.1"><semantics id="S1.p4.1.m1.1a"><mrow id="S1.p4.1.m1.1.1" xref="S1.p4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S1.p4.1.m1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S1.p4.1.m1.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S1.p4.1.m1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S1.p4.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S1.p4.1.m1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S1.p4.1.m1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.1.m1.1b"><apply id="S1.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p4.1.m1.1.1"><eq id="S1.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S1.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.p4.1.m1.1.1.2">𝑑</ci><cn id="S1.p4.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.p4.1.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.1.m1.1c">d=2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.1.m1.1d">italic_d = 2</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S1.p4.2.2" style="font-size:90%;">) consists in determining the potential </span><math alttext="v" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.2.m2.1"><semantics id="S1.p4.2.m2.1a"><mi id="S1.p4.2.m2.1.1" mathsize="90%" xref="S1.p4.2.m2.1.1.cmml">v</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.2.m2.1b"><ci id="S1.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p4.2.m2.1.1">𝑣</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.2.m2.1c">v</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.2.m2.1d">italic_v</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S1.p4.2.3" style="font-size:90%;"> in the Schrödinger equation</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S1.E4"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="-\Delta\psi(x)+v(x)\psi(x)=\kappa^{2}\psi(x)+\delta(x-y),\ \ x,y\in\mathbb{R}^% {2},\ \ \kappa>0," class="ltx_Math" display="block" id="S1.E4.m1.6"><semantics id="S1.E4.m1.6a"><mrow id="S1.E4.m1.6.6.1"><mrow id="S1.E4.m1.6.6.1.1.2" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.3.cmml"><mrow id="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.2" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.2a" mathsize="90%" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.cmml">−</mo><mrow id="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.2" mathsize="90%" mathvariant="normal" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">Δ</mi><mo id="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.3" mathsize="90%" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">ψ</mi><mo id="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.1a" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.4.2" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mo id="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.4.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.cmml">(</mo><mi id="S1.E4.m1.1.1" mathsize="90%" xref="S1.E4.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.4.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" 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xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.5.2" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.5.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.cmml">(</mo><mi id="S1.E4.m1.3.3" mathsize="90%" xref="S1.E4.m1.3.3.cmml">x</mi><mo id="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.5.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" mathsize="90%" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">κ</mi><mn id="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" mathsize="90%" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">ψ</mi><mo id="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S1.E4.m1.4.4" mathsize="90%" xref="S1.E4.m1.4.4.cmml">x</mi><mo id="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3" mathsize="90%" 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xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1"><apply id="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2"></plus><apply id="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜅</ci><cn id="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><ci id="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝜓</ci><ci id="S1.E4.m1.4.4.cmml" xref="S1.E4.m1.4.4">𝑥</ci></apply><apply id="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝛿</ci><apply id="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑦</ci></apply></apply></apply><ci id="S1.E4.m1.5.5.cmml" xref="S1.E4.m1.5.5">𝑥</ci></list></apply><apply id="S1.E4.m1.6.6.1.1.2.2.3.cmml" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E4.m1.6.6.1.1.2.2.3a.cmml" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S1.E4.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.2.2.1.1"><in id="S1.E4.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1"></in><ci id="S1.E4.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2">𝑦</ci><apply id="S1.E4.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E4.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S1.E4.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.2">ℝ</ci><cn id="S1.E4.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S1.E4.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.2.2.2.2"><gt id="S1.E4.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1"></gt><ci id="S1.E4.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2">𝜅</ci><cn id="S1.E4.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.3">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E4.m1.6c">-\Delta\psi(x)+v(x)\psi(x)=\kappa^{2}\psi(x)+\delta(x-y),\ \ x,y\in\mathbb{R}^% {2},\ \ \kappa>0,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E4.m1.6d">- roman_Δ italic_ψ ( italic_x ) + italic_v ( italic_x ) italic_ψ ( italic_x ) = italic_κ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ψ ( italic_x ) + italic_δ ( italic_x - italic_y ) , italic_x , italic_y ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_κ > 0 ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(4)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.p4.9"><span class="ltx_text" id="S1.p4.9.1" style="font-size:90%;">from the imaginary part of its radiation solutions </span><math alttext="\psi=R_{v}^{+}(x,y,\kappa)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.3.m1.3"><semantics id="S1.p4.3.m1.3a"><mrow id="S1.p4.3.m1.3.4" xref="S1.p4.3.m1.3.4.cmml"><mi id="S1.p4.3.m1.3.4.2" mathsize="90%" xref="S1.p4.3.m1.3.4.2.cmml">ψ</mi><mo id="S1.p4.3.m1.3.4.1" mathsize="90%" xref="S1.p4.3.m1.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="S1.p4.3.m1.3.4.3" xref="S1.p4.3.m1.3.4.3.cmml"><msubsup id="S1.p4.3.m1.3.4.3.2" xref="S1.p4.3.m1.3.4.3.2.cmml"><mi id="S1.p4.3.m1.3.4.3.2.2.2" mathsize="90%" xref="S1.p4.3.m1.3.4.3.2.2.2.cmml">R</mi><mi id="S1.p4.3.m1.3.4.3.2.2.3" mathsize="90%" xref="S1.p4.3.m1.3.4.3.2.2.3.cmml">v</mi><mo id="S1.p4.3.m1.3.4.3.2.3" mathsize="90%" xref="S1.p4.3.m1.3.4.3.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S1.p4.3.m1.3.4.3.1" xref="S1.p4.3.m1.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p4.3.m1.3.4.3.3.2" xref="S1.p4.3.m1.3.4.3.3.1.cmml"><mo id="S1.p4.3.m1.3.4.3.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S1.p4.3.m1.3.4.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S1.p4.3.m1.1.1" mathsize="90%" xref="S1.p4.3.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S1.p4.3.m1.3.4.3.3.2.2" mathsize="90%" xref="S1.p4.3.m1.3.4.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S1.p4.3.m1.2.2" mathsize="90%" xref="S1.p4.3.m1.2.2.cmml">y</mi><mo id="S1.p4.3.m1.3.4.3.3.2.3" mathsize="90%" xref="S1.p4.3.m1.3.4.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S1.p4.3.m1.3.3" mathsize="90%" xref="S1.p4.3.m1.3.3.cmml">κ</mi><mo id="S1.p4.3.m1.3.4.3.3.2.4" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S1.p4.3.m1.3.4.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.3.m1.3b"><apply id="S1.p4.3.m1.3.4.cmml" xref="S1.p4.3.m1.3.4"><eq id="S1.p4.3.m1.3.4.1.cmml" xref="S1.p4.3.m1.3.4.1"></eq><ci id="S1.p4.3.m1.3.4.2.cmml" xref="S1.p4.3.m1.3.4.2">𝜓</ci><apply id="S1.p4.3.m1.3.4.3.cmml" xref="S1.p4.3.m1.3.4.3"><times id="S1.p4.3.m1.3.4.3.1.cmml" xref="S1.p4.3.m1.3.4.3.1"></times><apply id="S1.p4.3.m1.3.4.3.2.cmml" xref="S1.p4.3.m1.3.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p4.3.m1.3.4.3.2.1.cmml" xref="S1.p4.3.m1.3.4.3.2">superscript</csymbol><apply id="S1.p4.3.m1.3.4.3.2.2.cmml" xref="S1.p4.3.m1.3.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p4.3.m1.3.4.3.2.2.1.cmml" xref="S1.p4.3.m1.3.4.3.2">subscript</csymbol><ci id="S1.p4.3.m1.3.4.3.2.2.2.cmml" xref="S1.p4.3.m1.3.4.3.2.2.2">𝑅</ci><ci id="S1.p4.3.m1.3.4.3.2.2.3.cmml" xref="S1.p4.3.m1.3.4.3.2.2.3">𝑣</ci></apply><plus id="S1.p4.3.m1.3.4.3.2.3.cmml" xref="S1.p4.3.m1.3.4.3.2.3"></plus></apply><vector id="S1.p4.3.m1.3.4.3.3.1.cmml" xref="S1.p4.3.m1.3.4.3.3.2"><ci id="S1.p4.3.m1.1.1.cmml" xref="S1.p4.3.m1.1.1">𝑥</ci><ci id="S1.p4.3.m1.2.2.cmml" xref="S1.p4.3.m1.2.2">𝑦</ci><ci id="S1.p4.3.m1.3.3.cmml" xref="S1.p4.3.m1.3.3">𝜅</ci></vector></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.3.m1.3c">\psi=R_{v}^{+}(x,y,\kappa)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.3.m1.3d">italic_ψ = italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_v end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_x , italic_y , italic_κ )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S1.p4.9.2" style="font-size:90%;"> (that is, satisfying (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S1.E2" style="font-size:90%;" title="In 1 Introduction"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a><span class="ltx_text" id="S1.p4.9.3" style="font-size:90%;">)) for one </span><math alttext="\kappa" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.4.m2.1"><semantics id="S1.p4.4.m2.1a"><mi id="S1.p4.4.m2.1.1" mathsize="90%" xref="S1.p4.4.m2.1.1.cmml">κ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.4.m2.1b"><ci id="S1.p4.4.m2.1.1.cmml" xref="S1.p4.4.m2.1.1">𝜅</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.4.m2.1c">\kappa</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.4.m2.1d">italic_κ</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S1.p4.9.4" style="font-size:90%;"> and all </span><math alttext="x,y" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.5.m3.2"><semantics id="S1.p4.5.m3.2a"><mrow id="S1.p4.5.m3.2.3.2" xref="S1.p4.5.m3.2.3.1.cmml"><mi id="S1.p4.5.m3.1.1" mathsize="90%" xref="S1.p4.5.m3.1.1.cmml">x</mi><mo id="S1.p4.5.m3.2.3.2.1" mathsize="90%" xref="S1.p4.5.m3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S1.p4.5.m3.2.2" mathsize="90%" xref="S1.p4.5.m3.2.2.cmml">y</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.5.m3.2b"><list id="S1.p4.5.m3.2.3.1.cmml" xref="S1.p4.5.m3.2.3.2"><ci id="S1.p4.5.m3.1.1.cmml" xref="S1.p4.5.m3.1.1">𝑥</ci><ci id="S1.p4.5.m3.2.2.cmml" xref="S1.p4.5.m3.2.2">𝑦</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.5.m3.2c">x,y</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.5.m3.2d">italic_x , italic_y</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S1.p4.9.5" style="font-size:90%;"> on some part of the boundary of a domain containing the support of </span><math alttext="v" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.6.m4.1"><semantics id="S1.p4.6.m4.1a"><mi id="S1.p4.6.m4.1.1" mathsize="90%" xref="S1.p4.6.m4.1.1.cmml">v</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.6.m4.1b"><ci id="S1.p4.6.m4.1.1.cmml" xref="S1.p4.6.m4.1.1">𝑣</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.6.m4.1c">v</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.6.m4.1d">italic_v</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S1.p4.9.6" style="font-size:90%;">. Here, </span><math alttext="\delta" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.7.m5.1"><semantics id="S1.p4.7.m5.1a"><mi id="S1.p4.7.m5.1.1" mathsize="90%" xref="S1.p4.7.m5.1.1.cmml">δ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.7.m5.1b"><ci id="S1.p4.7.m5.1.1.cmml" xref="S1.p4.7.m5.1.1">𝛿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.7.m5.1c">\delta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.7.m5.1d">italic_δ</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S1.p4.9.7" style="font-size:90%;"> is the Dirac delta function. In this problem, Im</span><math alttext="(R_{v}^{+})" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.8.m6.1"><semantics id="S1.p4.8.m6.1a"><mrow id="S1.p4.8.m6.1.1.1" xref="S1.p4.8.m6.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.p4.8.m6.1.1.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S1.p4.8.m6.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S1.p4.8.m6.1.1.1.1" xref="S1.p4.8.m6.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.p4.8.m6.1.1.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="S1.p4.8.m6.1.1.1.1.2.2.cmml">R</mi><mi id="S1.p4.8.m6.1.1.1.1.2.3" mathsize="90%" xref="S1.p4.8.m6.1.1.1.1.2.3.cmml">v</mi><mo id="S1.p4.8.m6.1.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S1.p4.8.m6.1.1.1.1.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S1.p4.8.m6.1.1.1.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S1.p4.8.m6.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.8.m6.1b"><apply id="S1.p4.8.m6.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.8.m6.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p4.8.m6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.8.m6.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S1.p4.8.m6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p4.8.m6.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p4.8.m6.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.p4.8.m6.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.p4.8.m6.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.p4.8.m6.1.1.1.1.2.2">𝑅</ci><ci id="S1.p4.8.m6.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S1.p4.8.m6.1.1.1.1.2.3">𝑣</ci></apply><plus id="S1.p4.8.m6.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.p4.8.m6.1.1.1.1.3"></plus></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.8.m6.1c">(R_{v}^{+})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.8.m6.1d">( italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_v end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S1.p4.9.8" style="font-size:90%;"> is related to the spectral measure of the Schrödinger operator </span><math alttext="H=-\Delta+v" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.9.m7.1"><semantics id="S1.p4.9.m7.1a"><mrow id="S1.p4.9.m7.1.1" xref="S1.p4.9.m7.1.1.cmml"><mi id="S1.p4.9.m7.1.1.2" mathsize="90%" xref="S1.p4.9.m7.1.1.2.cmml">H</mi><mo id="S1.p4.9.m7.1.1.1" mathsize="90%" xref="S1.p4.9.m7.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S1.p4.9.m7.1.1.3" xref="S1.p4.9.m7.1.1.3.cmml"><mrow id="S1.p4.9.m7.1.1.3.2" xref="S1.p4.9.m7.1.1.3.2.cmml"><mo id="S1.p4.9.m7.1.1.3.2a" mathsize="90%" xref="S1.p4.9.m7.1.1.3.2.cmml">−</mo><mi id="S1.p4.9.m7.1.1.3.2.2" mathsize="90%" mathvariant="normal" xref="S1.p4.9.m7.1.1.3.2.2.cmml">Δ</mi></mrow><mo id="S1.p4.9.m7.1.1.3.1" mathsize="90%" xref="S1.p4.9.m7.1.1.3.1.cmml">+</mo><mi id="S1.p4.9.m7.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="S1.p4.9.m7.1.1.3.3.cmml">v</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.9.m7.1b"><apply id="S1.p4.9.m7.1.1.cmml" xref="S1.p4.9.m7.1.1"><eq id="S1.p4.9.m7.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.9.m7.1.1.1"></eq><ci id="S1.p4.9.m7.1.1.2.cmml" xref="S1.p4.9.m7.1.1.2">𝐻</ci><apply id="S1.p4.9.m7.1.1.3.cmml" xref="S1.p4.9.m7.1.1.3"><plus id="S1.p4.9.m7.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p4.9.m7.1.1.3.1"></plus><apply id="S1.p4.9.m7.1.1.3.2.cmml" xref="S1.p4.9.m7.1.1.3.2"><minus id="S1.p4.9.m7.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.p4.9.m7.1.1.3.2"></minus><ci id="S1.p4.9.m7.1.1.3.2.2.cmml" xref="S1.p4.9.m7.1.1.3.2.2">Δ</ci></apply><ci id="S1.p4.9.m7.1.1.3.3.cmml" xref="S1.p4.9.m7.1.1.3.3">𝑣</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.9.m7.1c">H=-\Delta+v</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.9.m7.1d">italic_H = - roman_Δ + italic_v</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S1.p4.9.9" style="font-size:90%;">. For more information about the Gelfand-Krein-Levitan problem and its relevance to passive imaging, see </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S1.p4.9.10.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib2" title="">2</a><span class="ltx_text" id="S1.p4.9.11.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S1.p4.9.12" style="font-size:90%;">, </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S1.p4.9.13.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib5" title="">5</a><span class="ltx_text" id="S1.p4.9.14.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S1.p4.9.15" style="font-size:90%;">, </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S1.p4.9.16.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib25" title="">25</a><span class="ltx_text" id="S1.p4.9.17.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S1.p4.9.18" style="font-size:90%;"> and references therein.</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p5"> <p class="ltx_p" id="S1.p5.1"><span class="ltx_text" id="S1.p5.1.1" style="font-size:90%;">Theorems 1, 2, Corollary 1, and Theorem 3 mentioned above admit the same applications to the Gelfand-Krein-Levitan inverse problem and passive imaging in two dimensions as their prototypes in </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S1.p5.1.2.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib25" title="">25</a><span class="ltx_text" id="S1.p5.1.3.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S1.p5.1.4" style="font-size:90%;"> in three dimensions, see subsection 2.2 for more details.</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p6"> <p class="ltx_p" id="S1.p6.1"><span class="ltx_text" id="S1.p6.1.1" style="font-size:90%;">In the present work, we use the Karp expansion (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S3.E9" style="font-size:90%;" title="In 3.1 The Karp Expansion ‣ 3 Preliminaries"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">9</span></a><span class="ltx_text" id="S1.p6.1.2" style="font-size:90%;">) below for the radiation solutions </span><math alttext="\psi" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p6.1.m1.1"><semantics id="S1.p6.1.m1.1a"><mi id="S1.p6.1.m1.1.1" mathsize="90%" xref="S1.p6.1.m1.1.1.cmml">ψ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p6.1.m1.1b"><ci id="S1.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p6.1.m1.1.1">𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p6.1.m1.1c">\psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p6.1.m1.1d">italic_ψ</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S1.p6.1.3" style="font-size:90%;"> of equation (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S1.E1" style="font-size:90%;" title="In 1 Introduction"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a><span class="ltx_text" id="S1.p6.1.4" style="font-size:90%;">) instead of the Atkinson-Wilcox expansion, used in </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S1.p6.1.5.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib25" title="">25</a><span class="ltx_text" id="S1.p6.1.6.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S1.p6.1.7" style="font-size:90%;">, for radiation solutions of the Helmholtz equation in three dimensions. In addition, we use very recent results on the Karp expansion obtained in </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S1.p6.1.8.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib16" title="">16</a><span class="ltx_text" id="S1.p6.1.9.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S1.p6.1.10" style="font-size:90%;">.</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p7"> <p class="ltx_p" id="S1.p7.1"><span class="ltx_text" id="S1.p7.1.1" style="font-size:90%;">The main results of the present work are presented in more detail and proved in Section 2, Subsection 3.2, and Section 4. In our proofs, we proceed from the results recalled in Section 3. </span></p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S2"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section" style="font-size:90%;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">2 </span>Main results</h2> <section class="ltx_subsection" id="S2.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection" style="font-size:90%;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">2.1 </span>Determination of radiation solutions <math alttext="\psi" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.1.m1.1b"><mi id="S2.SS1.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.1.m1.1.1.cmml">ψ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.1.m1.1c"><ci id="S2.SS1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.1.m1.1.1">𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.1.m1.1d">\psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.1.m1.1e">italic_ψ</annotation></semantics></math> from Im<math alttext="(\psi)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.2.m2.1"><semantics id="S2.SS1.2.m2.1b"><mrow id="S2.SS1.2.m2.1.2.2"><mo id="S2.SS1.2.m2.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S2.SS1.2.m2.1.1" xref="S2.SS1.2.m2.1.1.cmml">ψ</mi><mo id="S2.SS1.2.m2.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.2.m2.1c"><ci id="S2.SS1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.2.m2.1.1">𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.2.m2.1d">(\psi)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.2.m2.1e">( italic_ψ )</annotation></semantics></math> </h3> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p1.1"><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p1.1.1" style="font-size:90%;">Our key result is as follows.</span></p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_theorem" id="Thmtheorem1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem" style="font-size:90%;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem1.1.1.1">Theorem 1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem1.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem1.p1.18"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem1.p1.18.18" style="font-size:90%;">Let <math alttext="\psi" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1a"><mi id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.cmml">ψ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1b"><ci id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1">𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1c">\psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1d">italic_ψ</annotation></semantics></math> be a radiation solution of equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S1.E1" title="In 1 Introduction"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>) as in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S1.E3" title="In 1 Introduction"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>). Let <math alttext="L" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1a"><mi id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.cmml">L</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1b"><ci id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1">𝐿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1c">L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1d">italic_L</annotation></semantics></math>, <math alttext="L^{+}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1a"><msup id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.2" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml">L</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml">+</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1b"><apply id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.2">𝐿</ci><plus id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.3"></plus></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1c">L^{+}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="L^{-}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1"><semantics id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1a"><msup id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.2" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml">L</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.3" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml">−</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1b"><apply id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.2">𝐿</ci><minus id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.3"></minus></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1c">L^{-}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> be as given in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S1.E3" title="In 1 Introduction"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>) such that <math alttext="L^{+}=L^{+}_{x_{1},\theta}\subset{\cal U}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2"><semantics id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2a"><mrow id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.cmml"><msup id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.2" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.2.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.2.2" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.2.2.cmml">L</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.2.3" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.2.3.cmml">+</mo></msup><mo id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.3" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.3.cmml">=</mo><msubsup id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.4" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.4.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.4.2.2" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.4.2.2.cmml">L</mi><mrow id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.2.2" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.2.3.cmml"><msub id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.2.2.1" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.2.2.1.2" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.2.2.1.2.cmml">x</mi><mn id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.2.2.1.3" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.2.2.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.2.2.2" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.cmml">θ</mi></mrow><mo id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.4.2.3" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.4.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.5" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.5.cmml">⊂</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.6" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.6.cmml">𝒰</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2b"><apply id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3"><and id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3a.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3"></and><apply id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3b.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3"><eq id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.3"></eq><apply id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.2.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.2.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.2.2">𝐿</ci><plus id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.2.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.2.3"></plus></apply><apply id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.4.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.4.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.4">subscript</csymbol><apply id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.4.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.4.2.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.4">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.4.2.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.4.2.2">𝐿</ci><plus id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.4.2.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.4.2.3"></plus></apply><list id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.2.2"><apply id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.2.2.1.2">𝑥</ci><cn id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.2.2.1.3">1</cn></apply><ci id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1.1.1">𝜃</ci></list></apply></apply><apply id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3c.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3"><subset id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.5.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.5"></subset><share href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.4.cmml" id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3d.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3"></share><ci id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.6.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.6">𝒰</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2c">L^{+}=L^{+}_{x_{1},\theta}\subset{\cal U}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT = italic_L start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_θ end_POSTSUBSCRIPT ⊂ caligraphic_U</annotation></semantics></math> and <math alttext="L^{-}=L^{-}_{x_{2},\theta}\subset{\cal U}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2"><semantics id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2a"><mrow id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3" xref="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3.cmml"><msup id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3.2" xref="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3.2.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3.2.2" xref="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3.2.2.cmml">L</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3.2.3" xref="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3.2.3.cmml">−</mo></msup><mo id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3.3" xref="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3.3.cmml">=</mo><msubsup id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3.4" xref="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3.4.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3.4.2.2" xref="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3.4.2.2.cmml">L</mi><mrow id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.2.2.2" xref="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.2.2.3.cmml"><msub id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.2.2.2.1" xref="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.2.2.2.1.2" xref="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.2.2.2.1.2.cmml">x</mi><mn id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.2.2.2.1.3" xref="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.2.2.2.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.2.2.2.2" xref="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.1.1.cmml">θ</mi></mrow><mo id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3.4.2.3" xref="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3.4.2.3.cmml">−</mo></msubsup><mo id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3.5" xref="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3.5.cmml">⊂</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3.6" xref="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3.6.cmml">𝒰</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2b"><apply id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3"><and id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3a.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3"></and><apply id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3b.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3"><eq id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3.3"></eq><apply id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3.2.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3.2.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3.2.2">𝐿</ci><minus id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3.2.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3.2.3"></minus></apply><apply id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3.4.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3.4.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3.4">subscript</csymbol><apply id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3.4.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3.4.2.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3.4">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3.4.2.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3.4.2.2">𝐿</ci><minus id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3.4.2.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3.4.2.3"></minus></apply><list id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.2.2.2"><apply id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.2.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.2.2.2.1.2">𝑥</ci><cn id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.2.2.2.1.3">2</cn></apply><ci id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.1.1">𝜃</ci></list></apply></apply><apply id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3c.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3"><subset id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3.5.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3.5"></subset><share href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3.4.cmml" id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3d.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3"></share><ci id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3.6.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2.3.6">𝒰</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2c">L^{-}=L^{-}_{x_{2},\theta}\subset{\cal U}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.2d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT = italic_L start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_θ end_POSTSUBSCRIPT ⊂ caligraphic_U</annotation></semantics></math>, <math alttext="x_{1},x_{2}\in L" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.2"><semantics id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.2a"><mrow id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.2.2" xref="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.2.2.cmml"><mrow id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.2.2.2.2" xref="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.2.2.2.3.cmml"><msub id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.2" xref="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.3" xref="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.2.2.2.2.3" xref="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.2.2.2.2.2" xref="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.2.2.2.2.2.2" xref="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.2.2.2.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.2.2.2.2.2.3" xref="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.2.2.3" xref="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.2.2.3.cmml">∈</mo><mi id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.2.2.4" xref="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.2.2.4.cmml">L</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.2b"><apply id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.2.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.2.2"><in id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.2.2.3"></in><list id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.2.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.2.2.2.2"><apply id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.2.2.2.2.2.2">𝑥</ci><cn id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply></list><ci id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.2.2.4.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.2.2.4">𝐿</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.2c">x_{1},x_{2}\in L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.2d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ∈ italic_L</annotation></semantics></math>, where <math alttext="{\cal U}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1"><semantics id="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.cmml">𝒰</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1b"><ci id="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1">𝒰</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1c">{\cal U}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1d">caligraphic_U</annotation></semantics></math> is the region in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S1.E1" title="In 1 Introduction"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>). Then <math alttext="\psi" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem1.p1.9.9.m9.1"><semantics id="Thmtheorem1.p1.9.9.m9.1a"><mi id="Thmtheorem1.p1.9.9.m9.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.9.9.m9.1.1.cmml">ψ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem1.p1.9.9.m9.1b"><ci id="Thmtheorem1.p1.9.9.m9.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.9.9.m9.1.1">𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem1.p1.9.9.m9.1c">\psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem1.p1.9.9.m9.1d">italic_ψ</annotation></semantics></math> on <math alttext="L^{+}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1"><semantics id="Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1a"><msup id="Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1.1.2" xref="Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1.1.2.cmml">L</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1.1.3" xref="Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1.1.3.cmml">+</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1b"><apply id="Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1.1.2">𝐿</ci><plus id="Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1.1.3"></plus></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1c">L^{+}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem1.p1.10.10.m10.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> <math alttext="\cup" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem1.p1.11.11.m11.1"><semantics id="Thmtheorem1.p1.11.11.m11.1a"><mo id="Thmtheorem1.p1.11.11.m11.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.11.11.m11.1.1.cmml">∪</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem1.p1.11.11.m11.1b"><union id="Thmtheorem1.p1.11.11.m11.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.11.11.m11.1.1"></union></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem1.p1.11.11.m11.1c">\cup</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem1.p1.11.11.m11.1d">∪</annotation></semantics></math> <math alttext="L^{-}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem1.p1.12.12.m12.1"><semantics id="Thmtheorem1.p1.12.12.m12.1a"><msup id="Thmtheorem1.p1.12.12.m12.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.12.12.m12.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.12.12.m12.1.1.2" xref="Thmtheorem1.p1.12.12.m12.1.1.2.cmml">L</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.12.12.m12.1.1.3" xref="Thmtheorem1.p1.12.12.m12.1.1.3.cmml">−</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem1.p1.12.12.m12.1b"><apply id="Thmtheorem1.p1.12.12.m12.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.12.12.m12.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.12.12.m12.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.12.12.m12.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem1.p1.12.12.m12.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.12.12.m12.1.1.2">𝐿</ci><minus id="Thmtheorem1.p1.12.12.m12.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.12.12.m12.1.1.3"></minus></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem1.p1.12.12.m12.1c">L^{-}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem1.p1.12.12.m12.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is uniquely determined by Im<math alttext="(\psi)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1"><semantics id="Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1a"><mrow id="Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.2.2"><mo id="Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.1.cmml">ψ</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1b"><ci id="Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1.1">𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1c">(\psi)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem1.p1.13.13.m13.1d">( italic_ψ )</annotation></semantics></math> on <math alttext="\Lambda^{+}\cup\Lambda^{-}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1"><semantics id="Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1a"><mrow id="Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1.1.cmml"><msup id="Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1.1.2" xref="Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1.1.2.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1.1.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1.1.2.3" xref="Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1.1.2.3.cmml">+</mo></msup><mo id="Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1.1.1.cmml">∪</mo><msup id="Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1.1.3" xref="Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1.1.3.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1.1.3.2.cmml">Λ</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1.1.3.3" xref="Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1.1.3.3.cmml">−</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1b"><apply id="Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1.1"><union id="Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1.1.1"></union><apply id="Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1.1.2.2">Λ</ci><plus id="Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1.1.2.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1.1.2.3"></plus></apply><apply id="Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1.1.3.2">Λ</ci><minus id="Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1.1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1.1.3.3"></minus></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1c">\Lambda^{+}\cup\Lambda^{-}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem1.p1.14.14.m14.1d">roman_Λ start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT ∪ roman_Λ start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, where <math alttext="\Lambda^{+}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem1.p1.15.15.m15.1"><semantics id="Thmtheorem1.p1.15.15.m15.1a"><msup id="Thmtheorem1.p1.15.15.m15.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.15.15.m15.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.15.15.m15.1.1.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem1.p1.15.15.m15.1.1.2.cmml">Λ</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.15.15.m15.1.1.3" xref="Thmtheorem1.p1.15.15.m15.1.1.3.cmml">+</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem1.p1.15.15.m15.1b"><apply id="Thmtheorem1.p1.15.15.m15.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.15.15.m15.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.15.15.m15.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.15.15.m15.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem1.p1.15.15.m15.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.15.15.m15.1.1.2">Λ</ci><plus id="Thmtheorem1.p1.15.15.m15.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.15.15.m15.1.1.3"></plus></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem1.p1.15.15.m15.1c">\Lambda^{+}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem1.p1.15.15.m15.1d">roman_Λ start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\Lambda^{-}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem1.p1.16.16.m16.1"><semantics id="Thmtheorem1.p1.16.16.m16.1a"><msup id="Thmtheorem1.p1.16.16.m16.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.16.16.m16.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.16.16.m16.1.1.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem1.p1.16.16.m16.1.1.2.cmml">Λ</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.16.16.m16.1.1.3" xref="Thmtheorem1.p1.16.16.m16.1.1.3.cmml">−</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem1.p1.16.16.m16.1b"><apply id="Thmtheorem1.p1.16.16.m16.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.16.16.m16.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.16.16.m16.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.16.16.m16.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem1.p1.16.16.m16.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.16.16.m16.1.1.2">Λ</ci><minus id="Thmtheorem1.p1.16.16.m16.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.16.16.m16.1.1.3"></minus></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem1.p1.16.16.m16.1c">\Lambda^{-}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem1.p1.16.16.m16.1d">roman_Λ start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> are arbitrary non-empty intervals of <math alttext="L^{+}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem1.p1.17.17.m17.1"><semantics id="Thmtheorem1.p1.17.17.m17.1a"><msup id="Thmtheorem1.p1.17.17.m17.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.17.17.m17.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.17.17.m17.1.1.2" xref="Thmtheorem1.p1.17.17.m17.1.1.2.cmml">L</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.17.17.m17.1.1.3" xref="Thmtheorem1.p1.17.17.m17.1.1.3.cmml">+</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem1.p1.17.17.m17.1b"><apply id="Thmtheorem1.p1.17.17.m17.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.17.17.m17.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.17.17.m17.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.17.17.m17.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem1.p1.17.17.m17.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.17.17.m17.1.1.2">𝐿</ci><plus id="Thmtheorem1.p1.17.17.m17.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.17.17.m17.1.1.3"></plus></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem1.p1.17.17.m17.1c">L^{+}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem1.p1.17.17.m17.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="L^{-}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem1.p1.18.18.m18.1"><semantics id="Thmtheorem1.p1.18.18.m18.1a"><msup id="Thmtheorem1.p1.18.18.m18.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.18.18.m18.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.18.18.m18.1.1.2" xref="Thmtheorem1.p1.18.18.m18.1.1.2.cmml">L</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.18.18.m18.1.1.3" xref="Thmtheorem1.p1.18.18.m18.1.1.3.cmml">−</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem1.p1.18.18.m18.1b"><apply id="Thmtheorem1.p1.18.18.m18.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.18.18.m18.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.18.18.m18.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.18.18.m18.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem1.p1.18.18.m18.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.18.18.m18.1.1.2">𝐿</ci><minus id="Thmtheorem1.p1.18.18.m18.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.18.18.m18.1.1.3"></minus></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem1.p1.18.18.m18.1c">L^{-}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem1.p1.18.18.m18.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, respectively.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p2.1"><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p2.1.1" style="font-size:90%;">As a corollary, we also get the following result.</span></p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_theorem" id="Thmtheorem2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem" style="font-size:90%;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem2.1.1.1">Theorem 2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem2.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem2.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem2.p1.10"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem2.p1.10.10" style="font-size:90%;">Let <math alttext="\psi" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1a"><mi id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.cmml">ψ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1b"><ci id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1">𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1c">\psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1d">italic_ψ</annotation></semantics></math> be a radiation solution of equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S1.E1" title="In 1 Introduction"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>) as in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S1.E3" title="In 1 Introduction"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>). Let <math alttext="L" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1a"><mi id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.cmml">L</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1b"><ci id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1">𝐿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1c">L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1d">italic_L</annotation></semantics></math> be as given in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S1.E3" title="In 1 Introduction"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>) such that <math alttext="L=L_{x_{0},\theta}\subset{\cal U}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2"><semantics id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2a"><mrow id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.3" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.3.cmml"><mi id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.3.2" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.3.2.cmml">L</mi><mo id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.3.3" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.3.3.cmml">=</mo><msub id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.3.4" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.3.4.cmml"><mi id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.3.4.2" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.3.4.2.cmml">L</mi><mrow id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.2.2" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.2.3.cmml"><msub id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.2" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.2.cmml">x</mi><mn id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.3" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.1" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.cmml">θ</mi></mrow></msub><mo id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.3.5" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.3.5.cmml">⊂</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.3.6" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.3.6.cmml">𝒰</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2b"><apply id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.3.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.3"><and id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.3a.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.3"></and><apply id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.3b.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.3"><eq id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.3.3.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.3.3"></eq><ci id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.3.2.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.3.2">𝐿</ci><apply id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.3.4.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.3.4.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.3.4">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.3.4.2.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.3.4.2">𝐿</ci><list id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.2.2"><apply id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.2">𝑥</ci><cn id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.3">0</cn></apply><ci id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.1">𝜃</ci></list></apply></apply><apply id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.3c.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.3"><subset id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.3.5.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.3.5"></subset><share href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.3.4.cmml" id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.3d.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.3"></share><ci id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.3.6.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.3.6">𝒰</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2c">L=L_{x_{0},\theta}\subset{\cal U}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2d">italic_L = italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT , italic_θ end_POSTSUBSCRIPT ⊂ caligraphic_U</annotation></semantics></math>, where <math alttext="{\cal U}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1"><semantics id="Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1.cmml">𝒰</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1b"><ci id="Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1">𝒰</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1c">{\cal U}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1d">caligraphic_U</annotation></semantics></math> is the region in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S1.E1" title="In 1 Introduction"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>). Then <math alttext="\psi" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1"><semantics id="Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1a"><mi id="Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1" xref="Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.cmml">ψ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1b"><ci id="Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1">𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1c">\psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1d">italic_ψ</annotation></semantics></math> on <math alttext="L" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1"><semantics id="Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1a"><mi id="Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.1" xref="Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.1.cmml">L</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1b"><ci id="Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1.1">𝐿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1c">L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem2.p1.6.6.m6.1d">italic_L</annotation></semantics></math> is uniquely determined by Im<math alttext="(\psi)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1"><semantics id="Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1a"><mrow id="Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.2.2"><mo id="Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1" xref="Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.cmml">ψ</mi><mo id="Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1b"><ci id="Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1.1">𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1c">(\psi)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem2.p1.7.7.m7.1d">( italic_ψ )</annotation></semantics></math> on <math alttext="\Lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem2.p1.8.8.m8.1"><semantics id="Thmtheorem2.p1.8.8.m8.1a"><mi id="Thmtheorem2.p1.8.8.m8.1.1" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem2.p1.8.8.m8.1.1.cmml">Λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem2.p1.8.8.m8.1b"><ci id="Thmtheorem2.p1.8.8.m8.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.8.8.m8.1.1">Λ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem2.p1.8.8.m8.1c">\Lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem2.p1.8.8.m8.1d">roman_Λ</annotation></semantics></math>, where <math alttext="\Lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem2.p1.9.9.m9.1"><semantics id="Thmtheorem2.p1.9.9.m9.1a"><mi id="Thmtheorem2.p1.9.9.m9.1.1" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem2.p1.9.9.m9.1.1.cmml">Λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem2.p1.9.9.m9.1b"><ci id="Thmtheorem2.p1.9.9.m9.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.9.9.m9.1.1">Λ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem2.p1.9.9.m9.1c">\Lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem2.p1.9.9.m9.1d">roman_Λ</annotation></semantics></math> is an arbitrary non-empty interval of <math alttext="L" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem2.p1.10.10.m10.1"><semantics id="Thmtheorem2.p1.10.10.m10.1a"><mi id="Thmtheorem2.p1.10.10.m10.1.1" xref="Thmtheorem2.p1.10.10.m10.1.1.cmml">L</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem2.p1.10.10.m10.1b"><ci id="Thmtheorem2.p1.10.10.m10.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.10.10.m10.1.1">𝐿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem2.p1.10.10.m10.1c">L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem2.p1.10.10.m10.1d">italic_L</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p3.2"><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p3.2.1" style="font-size:90%;">Theorem 1 is proved in Section 4 using the Karp expansion of </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p3.2.2.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib13" title="">13</a><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p3.2.3.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p3.2.4" style="font-size:90%;"> for the radiation solutions of equation (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S1.E1" style="font-size:90%;" title="In 1 Introduction"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p3.2.5" style="font-size:90%;">), results of </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p3.2.6.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib16" title="">16</a><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p3.2.7.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p3.2.8" style="font-size:90%;">, and methods of </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p3.2.9.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib25" title="">25</a><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p3.2.10.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p3.2.11" style="font-size:90%;">. Similar to </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p3.2.12.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib25" title="">25</a><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p3.2.13.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p3.2.14" style="font-size:90%;">, we use a two-point approximation for </span><math alttext="\psi" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p3.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p3.1.m1.1a"><mi id="S2.SS1.p3.1.m1.1.1" mathsize="90%" xref="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml">ψ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p3.1.m1.1b"><ci id="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.1.m1.1.1">𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.1.m1.1c">\psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.1.m1.1d">italic_ψ</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p3.2.15" style="font-size:90%;"> in terms of </span><math alttext="Im(\psi)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p3.2.m2.1"><semantics id="S2.SS1.p3.2.m2.1a"><mrow id="S2.SS1.p3.2.m2.1.2" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.2.m2.1.2.2" mathsize="90%" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.2.2.cmml">I</mi><mo id="S2.SS1.p3.2.m2.1.2.1" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p3.2.m2.1.2.3" mathsize="90%" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.2.3.cmml">m</mi><mo id="S2.SS1.p3.2.m2.1.2.1a" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p3.2.m2.1.2.4.2" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p3.2.m2.1.2.4.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1" mathsize="90%" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.cmml">ψ</mi><mo id="S2.SS1.p3.2.m2.1.2.4.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p3.2.m2.1b"><apply id="S2.SS1.p3.2.m2.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.2"><times id="S2.SS1.p3.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.2.1"></times><ci id="S2.SS1.p3.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.2.2">𝐼</ci><ci id="S2.SS1.p3.2.m2.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.2.3">𝑚</ci><ci id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1">𝜓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.2.m2.1c">Im(\psi)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.2.m2.1d">italic_I italic_m ( italic_ψ )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p3.2.16" style="font-size:90%;">; see Proposition 1 in Section 3.</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p4"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p4.7"><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p4.7.1" style="font-size:90%;">Note that </span><math alttext="\psi" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p4.1.m1.1a"><mi id="S2.SS1.p4.1.m1.1.1" mathsize="90%" xref="S2.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml">ψ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.1.m1.1b"><ci id="S2.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.1.m1.1.1">𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.1.m1.1c">\psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.1.m1.1d">italic_ψ</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p4.7.2" style="font-size:90%;"> and </span><math alttext="Im(\psi)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.2.m2.1"><semantics id="S2.SS1.p4.2.m2.1a"><mrow id="S2.SS1.p4.2.m2.1.2" xref="S2.SS1.p4.2.m2.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.2.m2.1.2.2" mathsize="90%" xref="S2.SS1.p4.2.m2.1.2.2.cmml">I</mi><mo id="S2.SS1.p4.2.m2.1.2.1" xref="S2.SS1.p4.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p4.2.m2.1.2.3" mathsize="90%" xref="S2.SS1.p4.2.m2.1.2.3.cmml">m</mi><mo id="S2.SS1.p4.2.m2.1.2.1a" xref="S2.SS1.p4.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p4.2.m2.1.2.4.2" xref="S2.SS1.p4.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.2.m2.1.2.4.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S2.SS1.p4.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p4.2.m2.1.1" mathsize="90%" xref="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.cmml">ψ</mi><mo id="S2.SS1.p4.2.m2.1.2.4.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S2.SS1.p4.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.2.m2.1b"><apply id="S2.SS1.p4.2.m2.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.1.2"><times id="S2.SS1.p4.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.1.2.1"></times><ci id="S2.SS1.p4.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.1.2.2">𝐼</ci><ci id="S2.SS1.p4.2.m2.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.1.2.3">𝑚</ci><ci id="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.1.1">𝜓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.2.m2.1c">Im(\psi)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.2.m2.1d">italic_I italic_m ( italic_ψ )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p4.7.3" style="font-size:90%;"> are real-analytic on </span><math alttext="\cal{U}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.3.m3.1"><semantics id="S2.SS1.p4.3.m3.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p4.3.m3.1.1" mathsize="90%" xref="S2.SS1.p4.3.m3.1.1.cmml">𝒰</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.3.m3.1b"><ci id="S2.SS1.p4.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.3.m3.1.1">𝒰</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.3.m3.1c">\cal{U}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.3.m3.1d">caligraphic_U</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p4.7.4" style="font-size:90%;">, and therefore on </span><math alttext="L^{+}\cup L^{-}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.4.m4.1"><semantics id="S2.SS1.p4.4.m4.1a"><mrow id="S2.SS1.p4.4.m4.1.1" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.cmml"><msup id="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.2" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.2.2.cmml">L</mi><mo id="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.2.3" mathsize="90%" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.2.3.cmml">+</mo></msup><mo id="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.1" mathsize="90%" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.1.cmml">∪</mo><msup id="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.3" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.3.2.cmml">L</mi><mo id="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.3.3.cmml">−</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.4.m4.1b"><apply id="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.1"><union id="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.1"></union><apply id="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.2.2">𝐿</ci><plus id="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.2.3"></plus></apply><apply id="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.3.2">𝐿</ci><minus id="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.3.3"></minus></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.4.m4.1c">L^{+}\cup L^{-}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.4.m4.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT ∪ italic_L start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p4.7.5" style="font-size:90%;"> in Theorem 1 and on </span><math alttext="L" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.5.m5.1"><semantics id="S2.SS1.p4.5.m5.1a"><mi id="S2.SS1.p4.5.m5.1.1" mathsize="90%" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.cmml">L</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.5.m5.1b"><ci id="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.1">𝐿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.5.m5.1c">L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.5.m5.1d">italic_L</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p4.7.6" style="font-size:90%;"> in Theorem 2. Because of this analyticity, Theorem 1 reduces to the case when </span><math alttext="\Lambda^{+}\cup\Lambda^{-}=L^{+}\cup L^{-}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.6.m6.1"><semantics id="S2.SS1.p4.6.m6.1a"><mrow id="S2.SS1.p4.6.m6.1.1" xref="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.2" xref="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.2.cmml"><msup id="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.2.2.2" mathsize="90%" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.2.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.2.2.3" mathsize="90%" xref="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.2.2.3.cmml">+</mo></msup><mo id="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.2.1" mathsize="90%" xref="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.2.1.cmml">∪</mo><msup id="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.2.3.2" mathsize="90%" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.2.3.2.cmml">Λ</mi><mo id="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.2.3.3" mathsize="90%" xref="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.2.3.3.cmml">−</mo></msup></mrow><mo id="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.1" mathsize="90%" xref="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.3" xref="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.3.cmml"><msup id="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.3.2.2" mathsize="90%" xref="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.3.2.2.cmml">L</mi><mo id="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.3.2.3" mathsize="90%" xref="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.3.2.3.cmml">+</mo></msup><mo id="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.3.1" mathsize="90%" xref="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.3.1.cmml">∪</mo><msup id="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.3.3" xref="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.3.3.2" mathsize="90%" xref="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.3.3.2.cmml">L</mi><mo id="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.3.3.3" mathsize="90%" xref="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.3.3.3.cmml">−</mo></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.6.m6.1b"><apply id="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.1.1"><eq id="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.1"></eq><apply id="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.2"><union id="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.2.1"></union><apply id="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.2.2.2">Λ</ci><plus id="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.2.2.3"></plus></apply><apply id="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.2.3.2">Λ</ci><minus id="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.2.3.3"></minus></apply></apply><apply id="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.3"><union id="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.3.1"></union><apply id="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.3.2.2">𝐿</ci><plus id="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.3.2.3"></plus></apply><apply id="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.3.3.2">𝐿</ci><minus id="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.3.3.3"></minus></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.6.m6.1c">\Lambda^{+}\cup\Lambda^{-}=L^{+}\cup L^{-}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.6.m6.1d">roman_Λ start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT ∪ roman_Λ start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT = italic_L start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT ∪ italic_L start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p4.7.7" style="font-size:90%;"> and Theorem 2 reduces to the case when </span><math alttext="\Lambda=L" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.7.m7.1"><semantics id="S2.SS1.p4.7.m7.1a"><mrow id="S2.SS1.p4.7.m7.1.1" xref="S2.SS1.p4.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.7.m7.1.1.2" mathsize="90%" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p4.7.m7.1.1.2.cmml">Λ</mi><mo id="S2.SS1.p4.7.m7.1.1.1" mathsize="90%" xref="S2.SS1.p4.7.m7.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S2.SS1.p4.7.m7.1.1.3" mathsize="90%" xref="S2.SS1.p4.7.m7.1.1.3.cmml">L</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.7.m7.1b"><apply id="S2.SS1.p4.7.m7.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.7.m7.1.1"><eq id="S2.SS1.p4.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.7.m7.1.1.1"></eq><ci id="S2.SS1.p4.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.7.m7.1.1.2">Λ</ci><ci id="S2.SS1.p4.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.7.m7.1.1.3">𝐿</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.7.m7.1c">\Lambda=L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.7.m7.1d">roman_Λ = italic_L</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p4.7.8" style="font-size:90%;">.</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p5"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p5.4"><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p5.4.1" style="font-size:90%;">Theorem 2 is proved as follows (for example). We assume that </span><math alttext="\Lambda=L" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p5.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p5.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS1.p5.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p5.1.m1.1.1.2" mathsize="90%" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p5.1.m1.1.1.2.cmml">Λ</mi><mo id="S2.SS1.p5.1.m1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S2.SS1.p5.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S2.SS1.p5.1.m1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S2.SS1.p5.1.m1.1.1.3.cmml">L</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p5.1.m1.1b"><apply id="S2.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.1.m1.1.1"><eq id="S2.SS1.p5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S2.SS1.p5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.1.m1.1.1.2">Λ</ci><ci id="S2.SS1.p5.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p5.1.m1.1.1.3">𝐿</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p5.1.m1.1c">\Lambda=L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p5.1.m1.1d">roman_Λ = italic_L</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p5.4.2" style="font-size:90%;">. Then we simply consider </span><math alttext="L^{+}\subset L" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p5.2.m2.1"><semantics id="S2.SS1.p5.2.m2.1a"><mrow id="S2.SS1.p5.2.m2.1.1" xref="S2.SS1.p5.2.m2.1.1.cmml"><msup id="S2.SS1.p5.2.m2.1.1.2" xref="S2.SS1.p5.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p5.2.m2.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="S2.SS1.p5.2.m2.1.1.2.2.cmml">L</mi><mo id="S2.SS1.p5.2.m2.1.1.2.3" mathsize="90%" xref="S2.SS1.p5.2.m2.1.1.2.3.cmml">+</mo></msup><mo id="S2.SS1.p5.2.m2.1.1.1" mathsize="90%" xref="S2.SS1.p5.2.m2.1.1.1.cmml">⊂</mo><mi id="S2.SS1.p5.2.m2.1.1.3" mathsize="90%" xref="S2.SS1.p5.2.m2.1.1.3.cmml">L</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p5.2.m2.1b"><apply id="S2.SS1.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.2.m2.1.1"><subset id="S2.SS1.p5.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.2.m2.1.1.1"></subset><apply id="S2.SS1.p5.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p5.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.2.m2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p5.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.2.m2.1.1.2.2">𝐿</ci><plus id="S2.SS1.p5.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p5.2.m2.1.1.2.3"></plus></apply><ci id="S2.SS1.p5.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p5.2.m2.1.1.3">𝐿</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p5.2.m2.1c">L^{+}\subset L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p5.2.m2.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT ⊂ italic_L</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p5.4.3" style="font-size:90%;"> and </span><math alttext="L^{-}\subset L" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p5.3.m3.1"><semantics id="S2.SS1.p5.3.m3.1a"><mrow id="S2.SS1.p5.3.m3.1.1" xref="S2.SS1.p5.3.m3.1.1.cmml"><msup id="S2.SS1.p5.3.m3.1.1.2" xref="S2.SS1.p5.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p5.3.m3.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="S2.SS1.p5.3.m3.1.1.2.2.cmml">L</mi><mo id="S2.SS1.p5.3.m3.1.1.2.3" mathsize="90%" xref="S2.SS1.p5.3.m3.1.1.2.3.cmml">−</mo></msup><mo id="S2.SS1.p5.3.m3.1.1.1" mathsize="90%" xref="S2.SS1.p5.3.m3.1.1.1.cmml">⊂</mo><mi id="S2.SS1.p5.3.m3.1.1.3" mathsize="90%" xref="S2.SS1.p5.3.m3.1.1.3.cmml">L</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p5.3.m3.1b"><apply id="S2.SS1.p5.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.3.m3.1.1"><subset id="S2.SS1.p5.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.3.m3.1.1.1"></subset><apply id="S2.SS1.p5.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p5.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.3.m3.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p5.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.3.m3.1.1.2.2">𝐿</ci><minus id="S2.SS1.p5.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p5.3.m3.1.1.2.3"></minus></apply><ci id="S2.SS1.p5.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p5.3.m3.1.1.3">𝐿</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p5.3.m3.1c">L^{-}\subset L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p5.3.m3.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT ⊂ italic_L</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p5.4.4" style="font-size:90%;"> such that </span><math alttext="L^{+}\cap L^{-}\neq\emptyset" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p5.4.m4.1"><semantics id="S2.SS1.p5.4.m4.1a"><mrow id="S2.SS1.p5.4.m4.1.1" xref="S2.SS1.p5.4.m4.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS1.p5.4.m4.1.1.2" xref="S2.SS1.p5.4.m4.1.1.2.cmml"><msup id="S2.SS1.p5.4.m4.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p5.4.m4.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p5.4.m4.1.1.2.2.2" mathsize="90%" xref="S2.SS1.p5.4.m4.1.1.2.2.2.cmml">L</mi><mo id="S2.SS1.p5.4.m4.1.1.2.2.3" mathsize="90%" xref="S2.SS1.p5.4.m4.1.1.2.2.3.cmml">+</mo></msup><mo id="S2.SS1.p5.4.m4.1.1.2.1" mathsize="90%" xref="S2.SS1.p5.4.m4.1.1.2.1.cmml">∩</mo><msup id="S2.SS1.p5.4.m4.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p5.4.m4.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p5.4.m4.1.1.2.3.2" mathsize="90%" xref="S2.SS1.p5.4.m4.1.1.2.3.2.cmml">L</mi><mo id="S2.SS1.p5.4.m4.1.1.2.3.3" mathsize="90%" xref="S2.SS1.p5.4.m4.1.1.2.3.3.cmml">−</mo></msup></mrow><mo id="S2.SS1.p5.4.m4.1.1.1" mathsize="90%" xref="S2.SS1.p5.4.m4.1.1.1.cmml">≠</mo><mi id="S2.SS1.p5.4.m4.1.1.3" mathsize="90%" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p5.4.m4.1.1.3.cmml">∅</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p5.4.m4.1b"><apply id="S2.SS1.p5.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.4.m4.1.1"><neq id="S2.SS1.p5.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.4.m4.1.1.1"></neq><apply id="S2.SS1.p5.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.4.m4.1.1.2"><intersect id="S2.SS1.p5.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.4.m4.1.1.2.1"></intersect><apply id="S2.SS1.p5.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.4.m4.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p5.4.m4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.4.m4.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p5.4.m4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.4.m4.1.1.2.2.2">𝐿</ci><plus id="S2.SS1.p5.4.m4.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p5.4.m4.1.1.2.2.3"></plus></apply><apply id="S2.SS1.p5.4.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p5.4.m4.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p5.4.m4.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.4.m4.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p5.4.m4.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.4.m4.1.1.2.3.2">𝐿</ci><minus id="S2.SS1.p5.4.m4.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p5.4.m4.1.1.2.3.3"></minus></apply></apply><emptyset id="S2.SS1.p5.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p5.4.m4.1.1.3"></emptyset></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p5.4.m4.1c">L^{+}\cap L^{-}\neq\emptyset</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p5.4.m4.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT ∩ italic_L start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT ≠ ∅</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p5.4.5" style="font-size:90%;">. Then we may apply Theorem 1.</span></p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_corollary" id="Thmcorollary1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem" style="font-size:90%;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmcorollary1.1.1.1">Corollary 1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmcorollary1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmcorollary1.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmcorollary1.p1.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmcorollary1.p1.4.4" style="font-size:90%;">Under the assumptions of Theorem 2, Im<math alttext="(\psi)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmcorollary1.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmcorollary1.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmcorollary1.p1.1.1.m1.1.2.2"><mo id="Thmcorollary1.p1.1.1.m1.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="Thmcorollary1.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmcorollary1.p1.1.1.m1.1.1.cmml">ψ</mi><mo id="Thmcorollary1.p1.1.1.m1.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmcorollary1.p1.1.1.m1.1b"><ci id="Thmcorollary1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmcorollary1.p1.1.1.m1.1.1">𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmcorollary1.p1.1.1.m1.1c">(\psi)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmcorollary1.p1.1.1.m1.1d">( italic_ψ )</annotation></semantics></math> on <math alttext="L" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmcorollary1.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmcorollary1.p1.2.2.m2.1a"><mi id="Thmcorollary1.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmcorollary1.p1.2.2.m2.1.1.cmml">L</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmcorollary1.p1.2.2.m2.1b"><ci id="Thmcorollary1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmcorollary1.p1.2.2.m2.1.1">𝐿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmcorollary1.p1.2.2.m2.1c">L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmcorollary1.p1.2.2.m2.1d">italic_L</annotation></semantics></math> uniquely determines <math alttext="\psi" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmcorollary1.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmcorollary1.p1.3.3.m3.1a"><mi id="Thmcorollary1.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmcorollary1.p1.3.3.m3.1.1.cmml">ψ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmcorollary1.p1.3.3.m3.1b"><ci id="Thmcorollary1.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmcorollary1.p1.3.3.m3.1.1">𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmcorollary1.p1.3.3.m3.1c">\psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmcorollary1.p1.3.3.m3.1d">italic_ψ</annotation></semantics></math> in the entire region <math alttext="{\cal U}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmcorollary1.p1.4.4.m4.1"><semantics id="Thmcorollary1.p1.4.4.m4.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmcorollary1.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmcorollary1.p1.4.4.m4.1.1.cmml">𝒰</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmcorollary1.p1.4.4.m4.1b"><ci id="Thmcorollary1.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmcorollary1.p1.4.4.m4.1.1">𝒰</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmcorollary1.p1.4.4.m4.1c">{\cal U}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmcorollary1.p1.4.4.m4.1d">caligraphic_U</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p6"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p6.2"><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p6.2.1" style="font-size:90%;">Corollary 1 follows from Theorem 2, formula (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S3.E14" style="font-size:90%;" title="In 3.3 A Green type formula ‣ 3 Preliminaries"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">14</span></a><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p6.2.2" style="font-size:90%;">) recalled in Section 3, and analyticity of </span><math alttext="\psi" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p6.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p6.1.m1.1a"><mi id="S2.SS1.p6.1.m1.1.1" mathsize="90%" xref="S2.SS1.p6.1.m1.1.1.cmml">ψ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p6.1.m1.1b"><ci id="S2.SS1.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p6.1.m1.1.1">𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p6.1.m1.1c">\psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p6.1.m1.1d">italic_ψ</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p6.2.3" style="font-size:90%;"> in </span><math alttext="{\cal U}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p6.2.m2.1"><semantics id="S2.SS1.p6.2.m2.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p6.2.m2.1.1" mathsize="90%" xref="S2.SS1.p6.2.m2.1.1.cmml">𝒰</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p6.2.m2.1b"><ci id="S2.SS1.p6.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p6.2.m2.1.1">𝒰</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p6.2.m2.1c">{\cal U}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p6.2.m2.1d">caligraphic_U</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p6.2.4" style="font-size:90%;">.</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p7"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p7.1"><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p7.1.1" style="font-size:90%;">Theorems 1 and 2, and Corollary 1 have holographic prototypes in </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p7.1.2.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib16" title="">16</a><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p7.1.3.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p7.1.4" style="font-size:90%;">. </span> <br class="ltx_break"/></p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p8"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p8.1"><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p8.1.1" style="font-size:90%;">In connection with other curves of measurements instead of the lines </span><math alttext="L" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p8.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p8.1.m1.1a"><mi id="S2.SS1.p8.1.m1.1.1" mathsize="90%" xref="S2.SS1.p8.1.m1.1.1.cmml">L</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p8.1.m1.1b"><ci id="S2.SS1.p8.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p8.1.m1.1.1">𝐿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p8.1.m1.1c">L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p8.1.m1.1d">italic_L</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p8.1.2" style="font-size:90%;"> our results are as follows.</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p9"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p9.1"><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p9.1.1" style="font-size:90%;">The results in Theorems 1 and 2, don’t hold for some other curves in place of </span><math alttext="L" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p9.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p9.1.m1.1a"><mi id="S2.SS1.p9.1.m1.1.1" mathsize="90%" xref="S2.SS1.p9.1.m1.1.1.cmml">L</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p9.1.m1.1b"><ci id="S2.SS1.p9.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p9.1.m1.1.1">𝐿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p9.1.m1.1c">L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p9.1.m1.1d">italic_L</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p9.1.2" style="font-size:90%;">. An example is as follows. Let</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E5"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbb{S}_{r}=\{x\in\mathbb{R}^{2}:|x|=r\},\ \ r>0." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E5.m1.2"><semantics id="S2.E5.m1.2a"><mrow id="S2.E5.m1.2.2.1"><mrow id="S2.E5.m1.2.2.1.1.2" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.4" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.4.2" mathsize="90%" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.4.2.cmml">𝕊</mi><mi id="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.4.3" mathsize="90%" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml">{</mo><mrow id="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mn id="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.4" lspace="0.278em" mathsize="90%" rspace="0.278em" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml">:</mo><mrow id="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml"><mo id="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S2.E5.m1.1.1" mathsize="90%" xref="S2.E5.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.1" mathsize="90%" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">=</mo><mi id="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.3" mathsize="90%" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">r</mi></mrow><mo id="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.5" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E5.m1.2.2.1.1.2.3" mathsize="90%" rspace="1.067em" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E5.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.E5.m1.2.2.1.1.2.2.2" mathsize="90%" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml">r</mi><mo id="S2.E5.m1.2.2.1.1.2.2.1" mathsize="90%" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml">></mo><mn id="S2.E5.m1.2.2.1.1.2.2.3" mathsize="90%" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">0</mn></mrow></mrow><mo id="S2.E5.m1.2.2.1.2" lspace="0em" mathsize="90%">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E5.m1.2b"><apply id="S2.E5.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m1.2.2.1.1.3a.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1"><eq id="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.3"></eq><apply id="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.4.2">𝕊</ci><ci id="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.4.3">𝑟</ci></apply><apply id="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3">conditional-set</csymbol><apply id="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><in id="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></in><ci id="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><apply id="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2">ℝ</ci><cn id="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2"><eq id="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.1"></eq><apply id="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2"><abs id="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1"></abs><ci id="S2.E5.m1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1">𝑥</ci></apply><ci id="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.3">𝑟</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.E5.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.2.2"><gt id="S2.E5.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.2.2.1"></gt><ci id="S2.E5.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.2.2.2">𝑟</ci><cn id="S2.E5.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E5.m1.2.2.1.1.2.2.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E5.m1.2c">\mathbb{S}_{r}=\{x\in\mathbb{R}^{2}:|x|=r\},\ \ r>0.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E5.m1.2d">blackboard_S start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT = { italic_x ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT : | italic_x | = italic_r } , italic_r > 0 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(5)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_example" id="Thmexample1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem" style="font-size:90%;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmexample1.1.1.1">Example 1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmexample1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmexample1.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmexample1.p1.9"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmexample1.p1.9.9" style="font-size:90%;">Let <math alttext="\psi(x)=G^{+}(x,\kappa)=\frac{i}{4}H_{0}(\kappa|x|)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5"><semantics id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5a"><mrow id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.cmml"><mrow id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.3" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.3.cmml"><mi id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.3.2" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.3.2.cmml">ψ</mi><mo id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.3.1" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.3.3.2" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.3.cmml"><mo id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.3.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.3.cmml">(</mo><mi id="Thmexample1.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.3.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.4" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.4.cmml">=</mo><mrow id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.5" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.5.cmml"><msup id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.5.2" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.5.2.cmml"><mi id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.5.2.2" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.5.2.2.cmml">G</mi><mo id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.5.2.3" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.5.2.3.cmml">+</mo></msup><mo id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.5.1" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.5.3.2" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.5.3.1.cmml"><mo id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.5.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.5.3.1.cmml">(</mo><mi id="Thmexample1.p1.1.1.m1.2.2" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.2.2.cmml">x</mi><mo id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.5.3.2.2" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.5.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmexample1.p1.1.1.m1.3.3" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.3.3.cmml">κ</mi><mo id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.5.3.2.3" stretchy="false" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.5.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.6" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.6.cmml">=</mo><mrow id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.cmml"><mfrac id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.3" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.3.cmml"><mi id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.3.2" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.3.2.cmml">i</mi><mn id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.3.3" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.3.3.cmml">4</mn></mfrac><mo id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.2" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.4" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.4.cmml"><mi id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.4.2" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.4.2.cmml">H</mi><mn id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.4.3" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.4.3.cmml">0</mn></msub><mo id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.2a" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">κ</mi><mo id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3.2" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="Thmexample1.p1.1.1.m1.4.4" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.4.4.cmml">x</mi><mo id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5b"><apply id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.cmml" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5"><and id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5a.cmml" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5"></and><apply id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5b.cmml" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5"><eq id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.4.cmml" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.4"></eq><apply id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.3.cmml" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.3"><times id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.3.1.cmml" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.3.1"></times><ci id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.3.2.cmml" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.3.2">𝜓</ci><ci id="Thmexample1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.1.1">𝑥</ci></apply><apply id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.5.cmml" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.5"><times id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.5.1.cmml" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.5.1"></times><apply id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.5.2.cmml" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.5.2.1.cmml" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.5.2">superscript</csymbol><ci id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.5.2.2.cmml" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.5.2.2">𝐺</ci><plus id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.5.2.3.cmml" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.5.2.3"></plus></apply><interval closure="open" id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.5.3.1.cmml" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.5.3.2"><ci id="Thmexample1.p1.1.1.m1.2.2.cmml" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.2.2">𝑥</ci><ci id="Thmexample1.p1.1.1.m1.3.3.cmml" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.3.3">𝜅</ci></interval></apply></apply><apply id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5c.cmml" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5"><eq id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.6.cmml" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.5.cmml" id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5d.cmml" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5"></share><apply id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.cmml" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1"><times id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.2.cmml" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.2"></times><apply id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.3.cmml" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.3"><divide id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.3.1.cmml" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.3"></divide><ci id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.3.2.cmml" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.3.2">𝑖</ci><cn id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.3.3">4</cn></apply><apply id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.4.cmml" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.4.1.cmml" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.4">subscript</csymbol><ci id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.4.2.cmml" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.4.2">𝐻</ci><cn id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.4.3.cmml" type="integer" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.4.3">0</cn></apply><apply id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1"><times id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1"></times><ci id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.2">𝜅</ci><apply id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3.2"><abs id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.1"></abs><ci id="Thmexample1.p1.1.1.m1.4.4.cmml" xref="Thmexample1.p1.1.1.m1.4.4">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5c">\psi(x)=G^{+}(x,\kappa)=\frac{i}{4}H_{0}(\kappa|x|)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmexample1.p1.1.1.m1.5d">italic_ψ ( italic_x ) = italic_G start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_x , italic_κ ) = divide start_ARG italic_i end_ARG start_ARG 4 end_ARG italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_κ | italic_x | )</annotation></semantics></math>, where <math alttext="H_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmexample1.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmexample1.p1.2.2.m2.1a"><msub id="Thmexample1.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmexample1.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmexample1.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmexample1.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">H</mi><mn id="Thmexample1.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmexample1.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmexample1.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmexample1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmexample1.p1.2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample1.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmexample1.p1.2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmexample1.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmexample1.p1.2.2.m2.1.1.2">𝐻</ci><cn id="Thmexample1.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmexample1.p1.2.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmexample1.p1.2.2.m2.1c">H_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmexample1.p1.2.2.m2.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the Hankel function of first kind of order zero. Then <math alttext="\psi" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmexample1.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmexample1.p1.3.3.m3.1a"><mi id="Thmexample1.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmexample1.p1.3.3.m3.1.1.cmml">ψ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmexample1.p1.3.3.m3.1b"><ci id="Thmexample1.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmexample1.p1.3.3.m3.1.1">𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmexample1.p1.3.3.m3.1c">\psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmexample1.p1.3.3.m3.1d">italic_ψ</annotation></semantics></math> is a non-zero radiation solution of equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S1.E1" title="In 1 Introduction"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>) if <math alttext="\{0\}\subset\mathbb{R}^{2}\setminus\overline{\cal{U}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmexample1.p1.4.4.m4.1"><semantics id="Thmexample1.p1.4.4.m4.1a"><mrow id="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.2" xref="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.2.cmml"><mrow id="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.2.2.2" xref="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.2.2.1.cmml"><mo id="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.2.2.2.1" stretchy="false" xref="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.2.2.1.cmml">{</mo><mn id="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.1.cmml">0</mn><mo id="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.2.2.2.2" stretchy="false" xref="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.2.2.1.cmml">}</mo></mrow><mo id="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.2.1" xref="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.2.1.cmml">⊂</mo><mrow id="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.2.3" xref="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.2.3.cmml"><msup id="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.2.3.2" xref="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.2.3.2.cmml"><mi id="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.2.3.2.2" xref="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.2.3.2.2.cmml">ℝ</mi><mn id="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.2.3.2.3" xref="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.2.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.2.3.1" xref="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.2.3.1.cmml">∖</mo><mover accent="true" id="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.2.3.3" xref="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.2.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.2.3.3.2" xref="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.2.3.3.2.cmml">𝒰</mi><mo id="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.2.3.3.1" xref="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.2.3.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmexample1.p1.4.4.m4.1b"><apply id="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.2.cmml" xref="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.2"><subset id="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.2.1.cmml" xref="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.2.1"></subset><set id="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.2.2.1.cmml" xref="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.2.2.2"><cn id="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.1">0</cn></set><apply id="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.2.3.cmml" xref="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.2.3"><setdiff id="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.2.3.1.cmml" xref="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.2.3.1"></setdiff><apply id="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.2.3.2.cmml" xref="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.2.3.2.1.cmml" xref="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.2.3.2.2.cmml" xref="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.2.3.2.2">ℝ</ci><cn id="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.2.3.2.3">2</cn></apply><apply id="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.2.3.3.cmml" xref="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.2.3.3"><ci id="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.2.3.3.1.cmml" xref="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.2.3.3.1">¯</ci><ci id="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.2.3.3.2.cmml" xref="Thmexample1.p1.4.4.m4.1.2.3.3.2">𝒰</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmexample1.p1.4.4.m4.1c">\{0\}\subset\mathbb{R}^{2}\setminus\overline{\cal{U}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmexample1.p1.4.4.m4.1d">{ 0 } ⊂ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∖ over¯ start_ARG caligraphic_U end_ARG</annotation></semantics></math>, but <math alttext="Im(\psi)\equiv 0" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmexample1.p1.5.5.m5.1"><semantics id="Thmexample1.p1.5.5.m5.1a"><mrow id="Thmexample1.p1.5.5.m5.1.2" xref="Thmexample1.p1.5.5.m5.1.2.cmml"><mrow id="Thmexample1.p1.5.5.m5.1.2.2" xref="Thmexample1.p1.5.5.m5.1.2.2.cmml"><mi id="Thmexample1.p1.5.5.m5.1.2.2.2" xref="Thmexample1.p1.5.5.m5.1.2.2.2.cmml">I</mi><mo id="Thmexample1.p1.5.5.m5.1.2.2.1" xref="Thmexample1.p1.5.5.m5.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmexample1.p1.5.5.m5.1.2.2.3" xref="Thmexample1.p1.5.5.m5.1.2.2.3.cmml">m</mi><mo id="Thmexample1.p1.5.5.m5.1.2.2.1a" xref="Thmexample1.p1.5.5.m5.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmexample1.p1.5.5.m5.1.2.2.4.2" xref="Thmexample1.p1.5.5.m5.1.2.2.cmml"><mo id="Thmexample1.p1.5.5.m5.1.2.2.4.2.1" stretchy="false" xref="Thmexample1.p1.5.5.m5.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="Thmexample1.p1.5.5.m5.1.1" xref="Thmexample1.p1.5.5.m5.1.1.cmml">ψ</mi><mo id="Thmexample1.p1.5.5.m5.1.2.2.4.2.2" stretchy="false" xref="Thmexample1.p1.5.5.m5.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmexample1.p1.5.5.m5.1.2.1" xref="Thmexample1.p1.5.5.m5.1.2.1.cmml">≡</mo><mn id="Thmexample1.p1.5.5.m5.1.2.3" xref="Thmexample1.p1.5.5.m5.1.2.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmexample1.p1.5.5.m5.1b"><apply id="Thmexample1.p1.5.5.m5.1.2.cmml" xref="Thmexample1.p1.5.5.m5.1.2"><equivalent id="Thmexample1.p1.5.5.m5.1.2.1.cmml" xref="Thmexample1.p1.5.5.m5.1.2.1"></equivalent><apply id="Thmexample1.p1.5.5.m5.1.2.2.cmml" xref="Thmexample1.p1.5.5.m5.1.2.2"><times id="Thmexample1.p1.5.5.m5.1.2.2.1.cmml" xref="Thmexample1.p1.5.5.m5.1.2.2.1"></times><ci id="Thmexample1.p1.5.5.m5.1.2.2.2.cmml" xref="Thmexample1.p1.5.5.m5.1.2.2.2">𝐼</ci><ci id="Thmexample1.p1.5.5.m5.1.2.2.3.cmml" xref="Thmexample1.p1.5.5.m5.1.2.2.3">𝑚</ci><ci id="Thmexample1.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmexample1.p1.5.5.m5.1.1">𝜓</ci></apply><cn id="Thmexample1.p1.5.5.m5.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmexample1.p1.5.5.m5.1.2.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmexample1.p1.5.5.m5.1c">Im(\psi)\equiv 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmexample1.p1.5.5.m5.1d">italic_I italic_m ( italic_ψ ) ≡ 0</annotation></semantics></math> on the circles <math alttext="\mathbb{S}_{r}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmexample1.p1.6.6.m6.1"><semantics id="Thmexample1.p1.6.6.m6.1a"><msub id="Thmexample1.p1.6.6.m6.1.1" xref="Thmexample1.p1.6.6.m6.1.1.cmml"><mi id="Thmexample1.p1.6.6.m6.1.1.2" xref="Thmexample1.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml">𝕊</mi><mi id="Thmexample1.p1.6.6.m6.1.1.3" xref="Thmexample1.p1.6.6.m6.1.1.3.cmml">r</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmexample1.p1.6.6.m6.1b"><apply id="Thmexample1.p1.6.6.m6.1.1.cmml" xref="Thmexample1.p1.6.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample1.p1.6.6.m6.1.1.1.cmml" xref="Thmexample1.p1.6.6.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmexample1.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml" xref="Thmexample1.p1.6.6.m6.1.1.2">𝕊</ci><ci id="Thmexample1.p1.6.6.m6.1.1.3.cmml" xref="Thmexample1.p1.6.6.m6.1.1.3">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmexample1.p1.6.6.m6.1c">\mathbb{S}_{r}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmexample1.p1.6.6.m6.1d">blackboard_S start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> for <math alttext="r=\frac{c_{j}}{\kappa},\ j\in{\mathbb{N}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmexample1.p1.7.7.m7.2"><semantics id="Thmexample1.p1.7.7.m7.2a"><mrow id="Thmexample1.p1.7.7.m7.2.2.2" xref="Thmexample1.p1.7.7.m7.2.2.3.cmml"><mrow id="Thmexample1.p1.7.7.m7.1.1.1.1" xref="Thmexample1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmexample1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.2" xref="Thmexample1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.2.cmml">r</mi><mo id="Thmexample1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1" xref="Thmexample1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mfrac id="Thmexample1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.3" xref="Thmexample1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="Thmexample1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.3.2" xref="Thmexample1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="Thmexample1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.3.2.2" xref="Thmexample1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.3.2.2.cmml">c</mi><mi id="Thmexample1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.3.2.3" xref="Thmexample1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mi id="Thmexample1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.3.3" xref="Thmexample1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.3.3.cmml">κ</mi></mfrac></mrow><mo id="Thmexample1.p1.7.7.m7.2.2.2.3" rspace="0.617em" xref="Thmexample1.p1.7.7.m7.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="Thmexample1.p1.7.7.m7.2.2.2.2" xref="Thmexample1.p1.7.7.m7.2.2.2.2.cmml"><mi id="Thmexample1.p1.7.7.m7.2.2.2.2.2" xref="Thmexample1.p1.7.7.m7.2.2.2.2.2.cmml">j</mi><mo id="Thmexample1.p1.7.7.m7.2.2.2.2.1" xref="Thmexample1.p1.7.7.m7.2.2.2.2.1.cmml">∈</mo><mi id="Thmexample1.p1.7.7.m7.2.2.2.2.3" xref="Thmexample1.p1.7.7.m7.2.2.2.2.3.cmml">ℕ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmexample1.p1.7.7.m7.2b"><apply id="Thmexample1.p1.7.7.m7.2.2.3.cmml" xref="Thmexample1.p1.7.7.m7.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample1.p1.7.7.m7.2.2.3a.cmml" xref="Thmexample1.p1.7.7.m7.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="Thmexample1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.cmml" xref="Thmexample1.p1.7.7.m7.1.1.1.1"><eq id="Thmexample1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmexample1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1"></eq><ci id="Thmexample1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmexample1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.2">𝑟</ci><apply id="Thmexample1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmexample1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.3"><divide id="Thmexample1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmexample1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.3"></divide><apply id="Thmexample1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmexample1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmexample1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="Thmexample1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmexample1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.3.2.2">𝑐</ci><ci id="Thmexample1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="Thmexample1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="Thmexample1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmexample1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.3.3">𝜅</ci></apply></apply><apply id="Thmexample1.p1.7.7.m7.2.2.2.2.cmml" xref="Thmexample1.p1.7.7.m7.2.2.2.2"><in id="Thmexample1.p1.7.7.m7.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmexample1.p1.7.7.m7.2.2.2.2.1"></in><ci id="Thmexample1.p1.7.7.m7.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmexample1.p1.7.7.m7.2.2.2.2.2">𝑗</ci><ci id="Thmexample1.p1.7.7.m7.2.2.2.2.3.cmml" xref="Thmexample1.p1.7.7.m7.2.2.2.2.3">ℕ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmexample1.p1.7.7.m7.2c">r=\frac{c_{j}}{\kappa},\ j\in{\mathbb{N}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmexample1.p1.7.7.m7.2d">italic_r = divide start_ARG italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_κ end_ARG , italic_j ∈ blackboard_N</annotation></semantics></math> where <math alttext="c_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmexample1.p1.8.8.m8.1"><semantics id="Thmexample1.p1.8.8.m8.1a"><msub id="Thmexample1.p1.8.8.m8.1.1" xref="Thmexample1.p1.8.8.m8.1.1.cmml"><mi id="Thmexample1.p1.8.8.m8.1.1.2" xref="Thmexample1.p1.8.8.m8.1.1.2.cmml">c</mi><mi id="Thmexample1.p1.8.8.m8.1.1.3" xref="Thmexample1.p1.8.8.m8.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmexample1.p1.8.8.m8.1b"><apply id="Thmexample1.p1.8.8.m8.1.1.cmml" xref="Thmexample1.p1.8.8.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample1.p1.8.8.m8.1.1.1.cmml" xref="Thmexample1.p1.8.8.m8.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmexample1.p1.8.8.m8.1.1.2.cmml" xref="Thmexample1.p1.8.8.m8.1.1.2">𝑐</ci><ci id="Thmexample1.p1.8.8.m8.1.1.3.cmml" xref="Thmexample1.p1.8.8.m8.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmexample1.p1.8.8.m8.1c">c_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmexample1.p1.8.8.m8.1d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are the positive real roots of the Bessel function <math alttext="J_{0}=Re(H_{0})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmexample1.p1.9.9.m9.1"><semantics id="Thmexample1.p1.9.9.m9.1a"><mrow id="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1" xref="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.cmml"><msub id="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.3" xref="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.3.cmml"><mi id="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.3.2" xref="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.3.2.cmml">J</mi><mn id="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.3.3" xref="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub><mo id="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.2" xref="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.1" xref="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.1.cmml"><mi id="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.1.3" xref="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.1.3.cmml">R</mi><mo id="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.1.2" xref="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.1.4" xref="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.1.4.cmml">e</mi><mo id="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.1.2a" xref="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.1.1.1" xref="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.1.1.1.1" xref="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.1.1.1.1.2.cmml">H</mi><mn id="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmexample1.p1.9.9.m9.1b"><apply id="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.cmml" xref="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1"><eq id="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.2.cmml" xref="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.2"></eq><apply id="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.3.cmml" xref="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.3.1.cmml" xref="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.3.2.cmml" xref="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.3.2">𝐽</ci><cn id="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.3.3">0</cn></apply><apply id="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.1.cmml" xref="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.1"><times id="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.1.2.cmml" xref="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.1.2"></times><ci id="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.1.3.cmml" xref="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.1.3">𝑅</ci><ci id="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.1.4.cmml" xref="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.1.4">𝑒</ci><apply id="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.1.1.1.1.2">𝐻</ci><cn id="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmexample1.p1.9.9.m9.1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmexample1.p1.9.9.m9.1c">J_{0}=Re(H_{0})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmexample1.p1.9.9.m9.1d">italic_J start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = italic_R italic_e ( italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p10"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p10.2"><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p10.2.1" style="font-size:90%;">The fact that there are infinite positive real roots of </span><math alttext="J_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p10.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p10.1.m1.1a"><msub id="S2.SS1.p10.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.p10.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p10.1.m1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S2.SS1.p10.1.m1.1.1.2.cmml">J</mi><mn id="S2.SS1.p10.1.m1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S2.SS1.p10.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p10.1.m1.1b"><apply id="S2.SS1.p10.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p10.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p10.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p10.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p10.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p10.1.m1.1.1.2">𝐽</ci><cn id="S2.SS1.p10.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p10.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p10.1.m1.1c">J_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p10.1.m1.1d">italic_J start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p10.2.2" style="font-size:90%;"> and they tend to positive infinity can be found in </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p10.2.3.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib1" title="">1</a><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p10.2.4.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p10.2.5" style="font-size:90%;">. Nevertheless, as in the three-dimensional scenario, the uniqueness results of Theorem 2 and Corollary 1, remain valid for many interesting curves instead of the lines </span><math alttext="L" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p10.2.m2.1"><semantics id="S2.SS1.p10.2.m2.1a"><mi id="S2.SS1.p10.2.m2.1.1" mathsize="90%" xref="S2.SS1.p10.2.m2.1.1.cmml">L</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p10.2.m2.1b"><ci id="S2.SS1.p10.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p10.2.m2.1.1">𝐿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p10.2.m2.1c">L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p10.2.m2.1d">italic_L</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p10.2.6" style="font-size:90%;">.</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p11"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p11.1"><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p11.1.1" style="font-size:90%;">Suppose that</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E6"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{split}\cal{D}\text{ is an open bounded domain in $\mathbb{R}^{2}$},\\ \Gamma=\partial\cal{D}\text{ is real analytic and connected.}\end{split}" class="ltx_Math" display="block" id="S2.E6.m1.10"><semantics id="S2.E6.m1.10a"><mtable displaystyle="true" id="S2.E6.m1.10.10.2" rowspacing="0pt" xref="S2.E6.m1.9.9.1.cmml"><mtr id="S2.E6.m1.10.10.2a" xref="S2.E6.m1.9.9.1.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S2.E6.m1.10.10.2b" xref="S2.E6.m1.9.9.1.cmml"><mrow id="S2.E6.m1.10.10.2.9.4.4.4" xref="S2.E6.m1.9.9.1.cmml"><mrow id="S2.E6.m1.10.10.2.9.4.4.4.1" xref="S2.E6.m1.9.9.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E6.m1.2.2.2.2.2.2" mathsize="90%" xref="S2.E6.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">𝒟</mi><mo id="S2.E6.m1.10.10.2.9.4.4.4.1.1" xref="S2.E6.m1.9.9.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml"><mtext id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1a" mathsize="90%" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml"> is an open bounded domain in </mtext><msup id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mn id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S2.E6.m1.3.3.3.3.3.3" mathsize="90%" xref="S2.E6.m1.9.9.1.cmml">,</mo></mrow></mtd></mtr><mtr id="S2.E6.m1.10.10.2c" xref="S2.E6.m1.9.9.1.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S2.E6.m1.10.10.2d" xref="S2.E6.m1.9.9.1.cmml"><mrow id="S2.E6.m1.8.8.8.5.5" xref="S2.E6.m1.9.9.1.cmml"><mi id="S2.E6.m1.4.4.4.1.1.1" mathsize="90%" mathvariant="normal" xref="S2.E6.m1.4.4.4.1.1.1.cmml">Γ</mi><mo id="S2.E6.m1.5.5.5.2.2.2" mathsize="90%" rspace="0.1389em" xref="S2.E6.m1.5.5.5.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.E6.m1.8.8.8.5.5.6" xref="S2.E6.m1.9.9.1.cmml"><mo id="S2.E6.m1.6.6.6.3.3.3" lspace="0.1389em" mathsize="90%" rspace="0em" xref="S2.E6.m1.6.6.6.3.3.3.cmml">∂</mo><mrow id="S2.E6.m1.8.8.8.5.5.6.1" xref="S2.E6.m1.9.9.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E6.m1.7.7.7.4.4.4" mathsize="90%" xref="S2.E6.m1.7.7.7.4.4.4.cmml">𝒟</mi><mo id="S2.E6.m1.8.8.8.5.5.6.1.1" xref="S2.E6.m1.9.9.1.cmml">⁢</mo><mtext id="S2.E6.m1.8.8.8.5.5.5" mathsize="90%" xref="S2.E6.m1.8.8.8.5.5.5a.cmml"> is real analytic and connected.</mtext></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E6.m1.10b"><apply id="S2.E6.m1.9.9.1.cmml" xref="S2.E6.m1.10.10.2"><eq id="S2.E6.m1.5.5.5.2.2.2.cmml" xref="S2.E6.m1.5.5.5.2.2.2"></eq><list id="S2.E6.m1.9.9.1.1.2.cmml" xref="S2.E6.m1.10.10.2"><apply id="S2.E6.m1.9.9.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E6.m1.10.10.2"><times id="S2.E6.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E6.m1.10.10.2"></times><ci id="S2.E6.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E6.m1.2.2.2.2.2.2">𝒟</ci><ci id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1"><mtext id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1a.cmml" mathsize="90%" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1"> is an open bounded domain in </mtext><msup id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><mi id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" mathsize="90%" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">ℝ</mi><mn id="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" mathsize="90%" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3">2</mn></msup></mrow></ci></apply><ci id="S2.E6.m1.4.4.4.1.1.1.cmml" xref="S2.E6.m1.4.4.4.1.1.1">Γ</ci></list><apply id="S2.E6.m1.9.9.1.3.cmml" xref="S2.E6.m1.10.10.2"><partialdiff id="S2.E6.m1.6.6.6.3.3.3.cmml" xref="S2.E6.m1.6.6.6.3.3.3"></partialdiff><apply id="S2.E6.m1.9.9.1.3.2.cmml" xref="S2.E6.m1.10.10.2"><times id="S2.E6.m1.9.9.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E6.m1.10.10.2"></times><ci id="S2.E6.m1.7.7.7.4.4.4.cmml" xref="S2.E6.m1.7.7.7.4.4.4">𝒟</ci><ci id="S2.E6.m1.8.8.8.5.5.5a.cmml" xref="S2.E6.m1.8.8.8.5.5.5"><mtext id="S2.E6.m1.8.8.8.5.5.5.cmml" mathsize="90%" xref="S2.E6.m1.8.8.8.5.5.5"> is real analytic and connected.</mtext></ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E6.m1.10c">\begin{split}\cal{D}\text{ is an open bounded domain in $\mathbb{R}^{2}$},\\ \Gamma=\partial\cal{D}\text{ is real analytic and connected.}\end{split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E6.m1.10d">start_ROW start_CELL caligraphic_D is an open bounded domain in blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT , end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL roman_Γ = ∂ caligraphic_D is real analytic and connected. end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(6)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_theorem" id="Thmtheorem3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem" style="font-size:90%;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem3.1.1.1">Theorem 3</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem3.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem3.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem3.p1.13"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem3.p1.13.13" style="font-size:90%;">Let <math alttext="\psi" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1a"><mi id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.cmml">ψ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1b"><ci id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1">𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1c">\psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1d">italic_ψ</annotation></semantics></math> be a radiation solution of equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S1.E1" title="In 1 Introduction"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>) as in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S1.E2" title="In 1 Introduction"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>). Let <math alttext="\Gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1a"><mi id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1.cmml">Γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1b"><ci id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1">Γ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1c">\Gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1d">roman_Γ</annotation></semantics></math> be a curve as above, where <math alttext="\kappa" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1a"><mi id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.cmml">κ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1b"><ci id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1">𝜅</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1c">\kappa</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1d">italic_κ</annotation></semantics></math> is not a Dirichlet eigenvalue for <math alttext="\cal{D}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1"><semantics id="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.1.cmml">𝒟</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1b"><ci id="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.1">𝒟</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1c">\cal{D}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1d">caligraphic_D</annotation></semantics></math>, and <math alttext="\overline{\cal{D}}=\cal{D}\ \cup" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1"><semantics id="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1a"><mrow id="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1" xref="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.cmml"><mover accent="true" id="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.2" xref="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.2.2" xref="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.2.2.cmml">𝒟</mi><mo id="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.2.1" xref="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.1" xref="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.3" xref="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.3.2" xref="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.3.2.cmml">𝒟</mi><mo id="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.3.3" lspace="0.672em" xref="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.3.3.cmml">∪</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1b"><apply id="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1"><eq id="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.1"></eq><apply id="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.2"><ci id="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.2.1">¯</ci><ci id="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.2.2">𝒟</ci></apply><apply id="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.3">limit-from</csymbol><ci id="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.3.2">𝒟</ci><union id="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.3.3"></union></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1c">\overline{\cal{D}}=\cal{D}\ \cup</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1d">over¯ start_ARG caligraphic_D end_ARG = caligraphic_D ∪</annotation></semantics></math> <math alttext="\Gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem3.p1.6.6.m6.1"><semantics id="Thmtheorem3.p1.6.6.m6.1a"><mi id="Thmtheorem3.p1.6.6.m6.1.1" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem3.p1.6.6.m6.1.1.cmml">Γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem3.p1.6.6.m6.1b"><ci id="Thmtheorem3.p1.6.6.m6.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.6.6.m6.1.1">Γ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem3.p1.6.6.m6.1c">\Gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem3.p1.6.6.m6.1d">roman_Γ</annotation></semantics></math> <math alttext="\subset\cal{U}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem3.p1.7.7.m7.1"><semantics id="Thmtheorem3.p1.7.7.m7.1a"><mrow id="Thmtheorem3.p1.7.7.m7.1.1" xref="Thmtheorem3.p1.7.7.m7.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem3.p1.7.7.m7.1.1.2" xref="Thmtheorem3.p1.7.7.m7.1.1.2.cmml"></mi><mo id="Thmtheorem3.p1.7.7.m7.1.1.1" xref="Thmtheorem3.p1.7.7.m7.1.1.1.cmml">⊂</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmtheorem3.p1.7.7.m7.1.1.3" xref="Thmtheorem3.p1.7.7.m7.1.1.3.cmml">𝒰</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem3.p1.7.7.m7.1b"><apply id="Thmtheorem3.p1.7.7.m7.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.7.7.m7.1.1"><subset id="Thmtheorem3.p1.7.7.m7.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.7.7.m7.1.1.1"></subset><csymbol cd="latexml" id="Thmtheorem3.p1.7.7.m7.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.7.7.m7.1.1.2">absent</csymbol><ci id="Thmtheorem3.p1.7.7.m7.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.7.7.m7.1.1.3">𝒰</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem3.p1.7.7.m7.1c">\subset\cal{U}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem3.p1.7.7.m7.1d">⊂ caligraphic_U</annotation></semantics></math>. Then <math alttext="\psi" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem3.p1.8.8.m8.1"><semantics id="Thmtheorem3.p1.8.8.m8.1a"><mi id="Thmtheorem3.p1.8.8.m8.1.1" xref="Thmtheorem3.p1.8.8.m8.1.1.cmml">ψ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem3.p1.8.8.m8.1b"><ci id="Thmtheorem3.p1.8.8.m8.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.8.8.m8.1.1">𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem3.p1.8.8.m8.1c">\psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem3.p1.8.8.m8.1d">italic_ψ</annotation></semantics></math> on <math alttext="\cal{U}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem3.p1.9.9.m9.1"><semantics id="Thmtheorem3.p1.9.9.m9.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmtheorem3.p1.9.9.m9.1.1" xref="Thmtheorem3.p1.9.9.m9.1.1.cmml">𝒰</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem3.p1.9.9.m9.1b"><ci id="Thmtheorem3.p1.9.9.m9.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.9.9.m9.1.1">𝒰</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem3.p1.9.9.m9.1c">\cal{U}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem3.p1.9.9.m9.1d">caligraphic_U</annotation></semantics></math> is uniquely determined by Im<math alttext="(\psi)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem3.p1.10.10.m10.1"><semantics id="Thmtheorem3.p1.10.10.m10.1a"><mrow id="Thmtheorem3.p1.10.10.m10.1.2.2"><mo id="Thmtheorem3.p1.10.10.m10.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="Thmtheorem3.p1.10.10.m10.1.1" xref="Thmtheorem3.p1.10.10.m10.1.1.cmml">ψ</mi><mo id="Thmtheorem3.p1.10.10.m10.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem3.p1.10.10.m10.1b"><ci id="Thmtheorem3.p1.10.10.m10.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.10.10.m10.1.1">𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem3.p1.10.10.m10.1c">(\psi)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem3.p1.10.10.m10.1d">( italic_ψ )</annotation></semantics></math> on <math alttext="\Lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem3.p1.11.11.m11.1"><semantics id="Thmtheorem3.p1.11.11.m11.1a"><mi id="Thmtheorem3.p1.11.11.m11.1.1" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem3.p1.11.11.m11.1.1.cmml">Λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem3.p1.11.11.m11.1b"><ci id="Thmtheorem3.p1.11.11.m11.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.11.11.m11.1.1">Λ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem3.p1.11.11.m11.1c">\Lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem3.p1.11.11.m11.1d">roman_Λ</annotation></semantics></math> where <math alttext="\Lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem3.p1.12.12.m12.1"><semantics id="Thmtheorem3.p1.12.12.m12.1a"><mi id="Thmtheorem3.p1.12.12.m12.1.1" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem3.p1.12.12.m12.1.1.cmml">Λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem3.p1.12.12.m12.1b"><ci id="Thmtheorem3.p1.12.12.m12.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.12.12.m12.1.1">Λ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem3.p1.12.12.m12.1c">\Lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem3.p1.12.12.m12.1d">roman_Λ</annotation></semantics></math> is an arbitrary non-empty open interval of <math alttext="\Gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem3.p1.13.13.m13.1"><semantics id="Thmtheorem3.p1.13.13.m13.1a"><mi id="Thmtheorem3.p1.13.13.m13.1.1" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem3.p1.13.13.m13.1.1.cmml">Γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem3.p1.13.13.m13.1b"><ci id="Thmtheorem3.p1.13.13.m13.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.13.13.m13.1.1">Γ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem3.p1.13.13.m13.1c">\Gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem3.p1.13.13.m13.1d">roman_Γ</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p12"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p12.1"><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p12.1.1" style="font-size:90%;">The proof of Theorem 3 is similar to that of Theorem 4 in </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p12.1.2.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib25" title="">25</a><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p12.1.3.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p12.1.4" style="font-size:90%;">. In particular, this proof uses real analytic continuations, solving the Dirichlet problem for the Helmholtz equation in </span><math alttext="\cal{D}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p12.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p12.1.m1.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p12.1.m1.1.1" mathsize="90%" xref="S2.SS1.p12.1.m1.1.1.cmml">𝒟</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p12.1.m1.1b"><ci id="S2.SS1.p12.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p12.1.m1.1.1">𝒟</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p12.1.m1.1c">\cal{D}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p12.1.m1.1d">caligraphic_D</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p12.1.5" style="font-size:90%;">, and Corollary 1 in place of its three-dimensional prototype in </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p12.1.6.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib25" title="">25</a><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p12.1.7.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S2.SS1.p12.1.8" style="font-size:90%;">.</span></p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S2.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection" style="font-size:90%;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">2.2 </span>Applications to Gelfand-Krein-Levitan problem</h3> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p1.18"><span class="ltx_text" id="S2.SS2.p1.18.1" style="font-size:90%;">The aforementioned results on recovering a radiation solution </span><math alttext="\psi" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p1.1.m1.1a"><mi id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1" mathsize="90%" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml">ψ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.1.m1.1b"><ci id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1">𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.1.m1.1c">\psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.1.m1.1d">italic_ψ</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S2.SS2.p1.18.2" style="font-size:90%;"> from Im</span><math alttext="(\psi)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.2.m2.1"><semantics id="S2.SS2.p1.2.m2.1a"><mrow id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2"><mo id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2.1" maxsize="90%" minsize="90%">(</mo><mi id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1" mathsize="90%" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml">ψ</mi><mo id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2.2" maxsize="90%" minsize="90%">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.2.m2.1b"><ci id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1">𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.2.m2.1c">(\psi)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.2.m2.1d">( italic_ψ )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S2.SS2.p1.18.3" style="font-size:90%;"> give a reduction of the Gelfand-Krein-Levitan problem (of inverse spectral theory and passive imaging in dimension </span><math alttext="d=2" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.3.m3.1"><semantics id="S2.SS2.p1.3.m3.1a"><mrow id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.2" mathsize="90%" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1" mathsize="90%" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.3" mathsize="90%" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.3.m3.1b"><apply id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1"><eq id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1"></eq><ci id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.2">𝑑</ci><cn id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.3.m3.1c">d=2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.3.m3.1d">italic_d = 2</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S2.SS2.p1.18.4" style="font-size:90%;">) to the inverse scattering problem of finding </span><math alttext="v" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.4.m4.1"><semantics id="S2.SS2.p1.4.m4.1a"><mi id="S2.SS2.p1.4.m4.1.1" mathsize="90%" xref="S2.SS2.p1.4.m4.1.1.cmml">v</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.4.m4.1b"><ci id="S2.SS2.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.4.m4.1.1">𝑣</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.4.m4.1c">v</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.4.m4.1d">italic_v</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S2.SS2.p1.18.5" style="font-size:90%;"> in (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S1.E4" style="font-size:90%;" title="In 1 Introduction"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a><span class="ltx_text" id="S2.SS2.p1.18.6" style="font-size:90%;">) from boundary values of </span><math alttext="\psi=R_{v}^{+}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.5.m5.1"><semantics id="S2.SS2.p1.5.m5.1a"><mrow id="S2.SS2.p1.5.m5.1.1" xref="S2.SS2.p1.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.5.m5.1.1.2" mathsize="90%" xref="S2.SS2.p1.5.m5.1.1.2.cmml">ψ</mi><mo id="S2.SS2.p1.5.m5.1.1.1" mathsize="90%" xref="S2.SS2.p1.5.m5.1.1.1.cmml">=</mo><msubsup id="S2.SS2.p1.5.m5.1.1.3" xref="S2.SS2.p1.5.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.5.m5.1.1.3.2.2" mathsize="90%" xref="S2.SS2.p1.5.m5.1.1.3.2.2.cmml">R</mi><mi id="S2.SS2.p1.5.m5.1.1.3.2.3" mathsize="90%" xref="S2.SS2.p1.5.m5.1.1.3.2.3.cmml">v</mi><mo id="S2.SS2.p1.5.m5.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="S2.SS2.p1.5.m5.1.1.3.3.cmml">+</mo></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.5.m5.1b"><apply id="S2.SS2.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m5.1.1"><eq id="S2.SS2.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m5.1.1.1"></eq><ci id="S2.SS2.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m5.1.1.2">𝜓</ci><apply id="S2.SS2.p1.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m5.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p1.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.5.m5.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m5.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p1.5.m5.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m5.1.1.3.2.2">𝑅</ci><ci id="S2.SS2.p1.5.m5.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m5.1.1.3.2.3">𝑣</ci></apply><plus id="S2.SS2.p1.5.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m5.1.1.3.3"></plus></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.5.m5.1c">\psi=R_{v}^{+}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.5.m5.1d">italic_ψ = italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_v end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S2.SS2.p1.18.7" style="font-size:90%;">. This reduction and known results imply, in particular, that </span><math alttext="v" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.6.m6.1"><semantics id="S2.SS2.p1.6.m6.1a"><mi id="S2.SS2.p1.6.m6.1.1" mathsize="90%" xref="S2.SS2.p1.6.m6.1.1.cmml">v</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.6.m6.1b"><ci id="S2.SS2.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.6.m6.1.1">𝑣</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.6.m6.1c">v</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.6.m6.1d">italic_v</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S2.SS2.p1.18.8" style="font-size:90%;"> in (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S1.E4" style="font-size:90%;" title="In 1 Introduction"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a><span class="ltx_text" id="S2.SS2.p1.18.9" style="font-size:90%;">) is uniquely determined by Im</span><math alttext="(R_{v}^{+}(x,y,\kappa))" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.7.m7.4"><semantics id="S2.SS2.p1.7.m7.4a"><mrow id="S2.SS2.p1.7.m7.4.4.1" xref="S2.SS2.p1.7.m7.4.4.1.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p1.7.m7.4.4.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S2.SS2.p1.7.m7.4.4.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS2.p1.7.m7.4.4.1.1" xref="S2.SS2.p1.7.m7.4.4.1.1.cmml"><msubsup id="S2.SS2.p1.7.m7.4.4.1.1.2" xref="S2.SS2.p1.7.m7.4.4.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.7.m7.4.4.1.1.2.2.2" mathsize="90%" xref="S2.SS2.p1.7.m7.4.4.1.1.2.2.2.cmml">R</mi><mi id="S2.SS2.p1.7.m7.4.4.1.1.2.2.3" mathsize="90%" xref="S2.SS2.p1.7.m7.4.4.1.1.2.2.3.cmml">v</mi><mo id="S2.SS2.p1.7.m7.4.4.1.1.2.3" mathsize="90%" xref="S2.SS2.p1.7.m7.4.4.1.1.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S2.SS2.p1.7.m7.4.4.1.1.1" xref="S2.SS2.p1.7.m7.4.4.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p1.7.m7.4.4.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p1.7.m7.4.4.1.1.3.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p1.7.m7.4.4.1.1.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S2.SS2.p1.7.m7.4.4.1.1.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS2.p1.7.m7.1.1" mathsize="90%" xref="S2.SS2.p1.7.m7.1.1.cmml">x</mi><mo id="S2.SS2.p1.7.m7.4.4.1.1.3.2.2" mathsize="90%" xref="S2.SS2.p1.7.m7.4.4.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS2.p1.7.m7.2.2" mathsize="90%" xref="S2.SS2.p1.7.m7.2.2.cmml">y</mi><mo id="S2.SS2.p1.7.m7.4.4.1.1.3.2.3" mathsize="90%" xref="S2.SS2.p1.7.m7.4.4.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS2.p1.7.m7.3.3" mathsize="90%" xref="S2.SS2.p1.7.m7.3.3.cmml">κ</mi><mo id="S2.SS2.p1.7.m7.4.4.1.1.3.2.4" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S2.SS2.p1.7.m7.4.4.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS2.p1.7.m7.4.4.1.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S2.SS2.p1.7.m7.4.4.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.7.m7.4b"><apply id="S2.SS2.p1.7.m7.4.4.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.7.m7.4.4.1"><times id="S2.SS2.p1.7.m7.4.4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.7.m7.4.4.1.1.1"></times><apply id="S2.SS2.p1.7.m7.4.4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.7.m7.4.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.7.m7.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.7.m7.4.4.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p1.7.m7.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.7.m7.4.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.7.m7.4.4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.7.m7.4.4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p1.7.m7.4.4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.7.m7.4.4.1.1.2.2.2">𝑅</ci><ci id="S2.SS2.p1.7.m7.4.4.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.7.m7.4.4.1.1.2.2.3">𝑣</ci></apply><plus id="S2.SS2.p1.7.m7.4.4.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.7.m7.4.4.1.1.2.3"></plus></apply><vector id="S2.SS2.p1.7.m7.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.7.m7.4.4.1.1.3.2"><ci id="S2.SS2.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.7.m7.1.1">𝑥</ci><ci id="S2.SS2.p1.7.m7.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.7.m7.2.2">𝑦</ci><ci id="S2.SS2.p1.7.m7.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.7.m7.3.3">𝜅</ci></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.7.m7.4c">(R_{v}^{+}(x,y,\kappa))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.7.m7.4d">( italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_v end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_x , italic_y , italic_κ ) )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S2.SS2.p1.18.10" style="font-size:90%;"> for one </span><math alttext="\kappa" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.8.m8.1"><semantics id="S2.SS2.p1.8.m8.1a"><mi id="S2.SS2.p1.8.m8.1.1" mathsize="90%" xref="S2.SS2.p1.8.m8.1.1.cmml">κ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.8.m8.1b"><ci id="S2.SS2.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.8.m8.1.1">𝜅</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.8.m8.1c">\kappa</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.8.m8.1d">italic_κ</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S2.SS2.p1.18.11" style="font-size:90%;"> and all </span><math alttext="x,y" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.9.m9.2"><semantics id="S2.SS2.p1.9.m9.2a"><mrow id="S2.SS2.p1.9.m9.2.3.2" xref="S2.SS2.p1.9.m9.2.3.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.9.m9.1.1" mathsize="90%" xref="S2.SS2.p1.9.m9.1.1.cmml">x</mi><mo id="S2.SS2.p1.9.m9.2.3.2.1" mathsize="90%" xref="S2.SS2.p1.9.m9.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS2.p1.9.m9.2.2" mathsize="90%" xref="S2.SS2.p1.9.m9.2.2.cmml">y</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.9.m9.2b"><list id="S2.SS2.p1.9.m9.2.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.9.m9.2.3.2"><ci id="S2.SS2.p1.9.m9.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.9.m9.1.1">𝑥</ci><ci id="S2.SS2.p1.9.m9.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.9.m9.2.2">𝑦</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.9.m9.2c">x,y</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.9.m9.2d">italic_x , italic_y</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S2.SS2.p1.18.12" style="font-size:90%;"> on an arbitrary open interval </span><math alttext="\Lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.10.m10.1"><semantics id="S2.SS2.p1.10.m10.1a"><mi id="S2.SS2.p1.10.m10.1.1" mathsize="90%" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p1.10.m10.1.1.cmml">Λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.10.m10.1b"><ci id="S2.SS2.p1.10.m10.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.10.m10.1.1">Λ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.10.m10.1c">\Lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.10.m10.1d">roman_Λ</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S2.SS2.p1.18.13" style="font-size:90%;"> of </span><math alttext="L" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.11.m11.1"><semantics id="S2.SS2.p1.11.m11.1a"><mi id="S2.SS2.p1.11.m11.1.1" mathsize="90%" xref="S2.SS2.p1.11.m11.1.1.cmml">L</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.11.m11.1b"><ci id="S2.SS2.p1.11.m11.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.11.m11.1.1">𝐿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.11.m11.1c">L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.11.m11.1d">italic_L</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S2.SS2.p1.18.14" style="font-size:90%;">, where </span><math alttext="supp\ v\subset\Omega" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.12.m12.1"><semantics id="S2.SS2.p1.12.m12.1a"><mrow id="S2.SS2.p1.12.m12.1.1" xref="S2.SS2.p1.12.m12.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS2.p1.12.m12.1.1.2" xref="S2.SS2.p1.12.m12.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.12.m12.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="S2.SS2.p1.12.m12.1.1.2.2.cmml">s</mi><mo id="S2.SS2.p1.12.m12.1.1.2.1" xref="S2.SS2.p1.12.m12.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p1.12.m12.1.1.2.3" mathsize="90%" xref="S2.SS2.p1.12.m12.1.1.2.3.cmml">u</mi><mo id="S2.SS2.p1.12.m12.1.1.2.1a" xref="S2.SS2.p1.12.m12.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p1.12.m12.1.1.2.4" mathsize="90%" xref="S2.SS2.p1.12.m12.1.1.2.4.cmml">p</mi><mo id="S2.SS2.p1.12.m12.1.1.2.1b" xref="S2.SS2.p1.12.m12.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p1.12.m12.1.1.2.5" mathsize="90%" xref="S2.SS2.p1.12.m12.1.1.2.5.cmml">p</mi><mo id="S2.SS2.p1.12.m12.1.1.2.1c" lspace="0.450em" xref="S2.SS2.p1.12.m12.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p1.12.m12.1.1.2.6" mathsize="90%" xref="S2.SS2.p1.12.m12.1.1.2.6.cmml">v</mi></mrow><mo id="S2.SS2.p1.12.m12.1.1.1" mathsize="90%" xref="S2.SS2.p1.12.m12.1.1.1.cmml">⊂</mo><mi id="S2.SS2.p1.12.m12.1.1.3" mathsize="90%" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p1.12.m12.1.1.3.cmml">Ω</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.12.m12.1b"><apply id="S2.SS2.p1.12.m12.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.12.m12.1.1"><subset id="S2.SS2.p1.12.m12.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.12.m12.1.1.1"></subset><apply id="S2.SS2.p1.12.m12.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.12.m12.1.1.2"><times id="S2.SS2.p1.12.m12.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.12.m12.1.1.2.1"></times><ci id="S2.SS2.p1.12.m12.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.12.m12.1.1.2.2">𝑠</ci><ci id="S2.SS2.p1.12.m12.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.12.m12.1.1.2.3">𝑢</ci><ci id="S2.SS2.p1.12.m12.1.1.2.4.cmml" xref="S2.SS2.p1.12.m12.1.1.2.4">𝑝</ci><ci id="S2.SS2.p1.12.m12.1.1.2.5.cmml" xref="S2.SS2.p1.12.m12.1.1.2.5">𝑝</ci><ci id="S2.SS2.p1.12.m12.1.1.2.6.cmml" xref="S2.SS2.p1.12.m12.1.1.2.6">𝑣</ci></apply><ci id="S2.SS2.p1.12.m12.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.12.m12.1.1.3">Ω</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.12.m12.1c">supp\ v\subset\Omega</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.12.m12.1d">italic_s italic_u italic_p italic_p italic_v ⊂ roman_Ω</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S2.SS2.p1.18.15" style="font-size:90%;">, </span><math alttext="L" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.13.m13.1"><semantics id="S2.SS2.p1.13.m13.1a"><mi id="S2.SS2.p1.13.m13.1.1" mathsize="90%" xref="S2.SS2.p1.13.m13.1.1.cmml">L</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.13.m13.1b"><ci id="S2.SS2.p1.13.m13.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.13.m13.1.1">𝐿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.13.m13.1c">L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.13.m13.1d">italic_L</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S2.SS2.p1.18.16" style="font-size:90%;"> is a line in </span><math alttext="\mathbb{R}^{2}\setminus\overline{\Omega}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.14.m14.1"><semantics id="S2.SS2.p1.14.m14.1a"><mrow id="S2.SS2.p1.14.m14.1.1" xref="S2.SS2.p1.14.m14.1.1.cmml"><msup id="S2.SS2.p1.14.m14.1.1.2" xref="S2.SS2.p1.14.m14.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.14.m14.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="S2.SS2.p1.14.m14.1.1.2.2.cmml">ℝ</mi><mn id="S2.SS2.p1.14.m14.1.1.2.3" mathsize="90%" xref="S2.SS2.p1.14.m14.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.SS2.p1.14.m14.1.1.1" mathsize="90%" xref="S2.SS2.p1.14.m14.1.1.1.cmml">∖</mo><mover accent="true" id="S2.SS2.p1.14.m14.1.1.3" xref="S2.SS2.p1.14.m14.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.14.m14.1.1.3.2" mathsize="90%" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p1.14.m14.1.1.3.2.cmml">Ω</mi><mo id="S2.SS2.p1.14.m14.1.1.3.1" mathsize="90%" xref="S2.SS2.p1.14.m14.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.14.m14.1b"><apply id="S2.SS2.p1.14.m14.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.14.m14.1.1"><setdiff id="S2.SS2.p1.14.m14.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.14.m14.1.1.1"></setdiff><apply id="S2.SS2.p1.14.m14.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.14.m14.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.14.m14.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.14.m14.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p1.14.m14.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.14.m14.1.1.2.2">ℝ</ci><cn id="S2.SS2.p1.14.m14.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p1.14.m14.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.SS2.p1.14.m14.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.14.m14.1.1.3"><ci id="S2.SS2.p1.14.m14.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.14.m14.1.1.3.1">¯</ci><ci id="S2.SS2.p1.14.m14.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.14.m14.1.1.3.2">Ω</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.14.m14.1c">\mathbb{R}^{2}\setminus\overline{\Omega}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.14.m14.1d">blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∖ over¯ start_ARG roman_Ω end_ARG</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S2.SS2.p1.18.17" style="font-size:90%;">, </span><math alttext="\Omega" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.15.m15.1"><semantics id="S2.SS2.p1.15.m15.1a"><mi id="S2.SS2.p1.15.m15.1.1" mathsize="90%" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p1.15.m15.1.1.cmml">Ω</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.15.m15.1b"><ci id="S2.SS2.p1.15.m15.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.15.m15.1.1">Ω</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.15.m15.1c">\Omega</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.15.m15.1d">roman_Ω</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S2.SS2.p1.18.18" style="font-size:90%;"> is an open bounded connected domain in </span><math alttext="\mathbb{R}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.16.m16.1"><semantics id="S2.SS2.p1.16.m16.1a"><msup id="S2.SS2.p1.16.m16.1.1" xref="S2.SS2.p1.16.m16.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.16.m16.1.1.2" mathsize="90%" xref="S2.SS2.p1.16.m16.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mn id="S2.SS2.p1.16.m16.1.1.3" mathsize="90%" xref="S2.SS2.p1.16.m16.1.1.3.cmml">2</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.16.m16.1b"><apply id="S2.SS2.p1.16.m16.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.16.m16.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.16.m16.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.16.m16.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p1.16.m16.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.16.m16.1.1.2">ℝ</ci><cn id="S2.SS2.p1.16.m16.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p1.16.m16.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.16.m16.1c">\mathbb{R}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.16.m16.1d">blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S2.SS2.p1.18.19" style="font-size:90%;">, </span><math alttext="\overline{\Omega}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.17.m17.1"><semantics id="S2.SS2.p1.17.m17.1a"><mover accent="true" id="S2.SS2.p1.17.m17.1.1" xref="S2.SS2.p1.17.m17.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.17.m17.1.1.2" mathsize="90%" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p1.17.m17.1.1.2.cmml">Ω</mi><mo id="S2.SS2.p1.17.m17.1.1.1" mathsize="90%" xref="S2.SS2.p1.17.m17.1.1.1.cmml">¯</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.17.m17.1b"><apply id="S2.SS2.p1.17.m17.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.17.m17.1.1"><ci id="S2.SS2.p1.17.m17.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.17.m17.1.1.1">¯</ci><ci id="S2.SS2.p1.17.m17.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.17.m17.1.1.2">Ω</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.17.m17.1c">\overline{\Omega}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.17.m17.1d">over¯ start_ARG roman_Ω end_ARG</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S2.SS2.p1.18.20" style="font-size:90%;"> is the closure of </span><math alttext="\Omega" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.18.m18.1"><semantics id="S2.SS2.p1.18.m18.1a"><mi id="S2.SS2.p1.18.m18.1.1" mathsize="90%" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p1.18.m18.1.1.cmml">Ω</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.18.m18.1b"><ci id="S2.SS2.p1.18.m18.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.18.m18.1.1">Ω</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.18.m18.1c">\Omega</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.18.m18.1d">roman_Ω</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S2.SS2.p1.18.21" style="font-size:90%;">; see Theorem 4 below.</span></p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_theorem" id="Thmtheorem4"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem" style="font-size:90%;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem4.1.1.1">Theorem 4</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem4.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem4.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem4.p1.16"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem4.p1.16.16" style="font-size:90%;">Let <math alttext="v\in L^{\infty}(\mathbb{R}^{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">v</mi><mo id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml"><msup id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.3" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mi id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.3.3" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.3.3.cmml">∞</mi></msup><mo id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.2" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mn id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1"><in id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.2"></in><ci id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.3">𝑣</ci><apply id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1"><times id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.2"></times><apply id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2">𝐿</ci><infinity id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.3.3"></infinity></apply><apply id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><cn id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1c">v\in L^{\infty}(\mathbb{R}^{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1d">italic_v ∈ italic_L start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>, <math alttext="supp\ v\subset\Omega" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mrow id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.2.2" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.2.2.cmml">s</mi><mo id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.2.1" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.2.3" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.2.3.cmml">u</mi><mo id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.2.1a" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.2.4" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.2.4.cmml">p</mi><mo id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.2.1b" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.2.5" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.2.5.cmml">p</mi><mo id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.2.1c" lspace="0.450em" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.2.6" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.2.6.cmml">v</mi></mrow><mo id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.1" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml">⊂</mo><mi id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.3" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">Ω</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1"><subset id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.1"></subset><apply id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.2"><times id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.2.1"></times><ci id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.2.2">𝑠</ci><ci id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.2.3">𝑢</ci><ci id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.2.4.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.2.4">𝑝</ci><ci id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.2.5.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.2.5">𝑝</ci><ci id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.2.6.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.2.6">𝑣</ci></apply><ci id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.3">Ω</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1c">supp\ v\subset\Omega</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1d">italic_s italic_u italic_p italic_p italic_v ⊂ roman_Ω</annotation></semantics></math>, and <math alttext="L\subset\mathbb{R}^{2}\setminus\overline{\Omega}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1a"><mrow id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.2" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml">L</mi><mo id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml">⊂</mo><mrow id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml"><msup id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.3.2" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.3.2.cmml"><mi id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.3.2.2" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.3.2.2.cmml">ℝ</mi><mn id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.3.2.3" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.3.1" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.3.1.cmml">∖</mo><mover accent="true" id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.3.3" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.3.3.cmml"><mi id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.3.3.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.3.3.2.cmml">Ω</mi><mo id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.3.3.1" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.3.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1b"><apply id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1"><subset id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1"></subset><ci id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.2">𝐿</ci><apply id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.3"><setdiff id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.3.1"></setdiff><apply id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.3.2.2">ℝ</ci><cn id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.3.2.3">2</cn></apply><apply id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.3.3"><ci id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.3.3.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.3.3.1">¯</ci><ci id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.3.3.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.3.3.2">Ω</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1c">L\subset\mathbb{R}^{2}\setminus\overline{\Omega}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1d">italic_L ⊂ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∖ over¯ start_ARG roman_Ω end_ARG</annotation></semantics></math>, where <math alttext="\Omega" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1"><semantics id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1a"><mi id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.cmml">Ω</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1b"><ci id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1">Ω</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1c">\Omega</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1d">roman_Ω</annotation></semantics></math> is an open bounded connected domain in <math alttext="\mathbb{R}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1"><semantics id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1a"><msup id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1" xref="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.2" xref="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mn id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.3" xref="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml">2</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1b"><apply id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.2">ℝ</ci><cn id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1c">\mathbb{R}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1d">blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="\overline{\Omega}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem4.p1.6.6.m6.1"><semantics id="Thmtheorem4.p1.6.6.m6.1a"><mover accent="true" id="Thmtheorem4.p1.6.6.m6.1.1" xref="Thmtheorem4.p1.6.6.m6.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem4.p1.6.6.m6.1.1.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem4.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml">Ω</mi><mo id="Thmtheorem4.p1.6.6.m6.1.1.1" xref="Thmtheorem4.p1.6.6.m6.1.1.1.cmml">¯</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem4.p1.6.6.m6.1b"><apply id="Thmtheorem4.p1.6.6.m6.1.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.6.6.m6.1.1"><ci id="Thmtheorem4.p1.6.6.m6.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.6.6.m6.1.1.1">¯</ci><ci id="Thmtheorem4.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.6.6.m6.1.1.2">Ω</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem4.p1.6.6.m6.1c">\overline{\Omega}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem4.p1.6.6.m6.1d">over¯ start_ARG roman_Ω end_ARG</annotation></semantics></math> is the closure of <math alttext="\Omega" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem4.p1.7.7.m7.1"><semantics id="Thmtheorem4.p1.7.7.m7.1a"><mi id="Thmtheorem4.p1.7.7.m7.1.1" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem4.p1.7.7.m7.1.1.cmml">Ω</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem4.p1.7.7.m7.1b"><ci id="Thmtheorem4.p1.7.7.m7.1.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.7.7.m7.1.1">Ω</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem4.p1.7.7.m7.1c">\Omega</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem4.p1.7.7.m7.1d">roman_Ω</annotation></semantics></math>, and <math alttext="L" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem4.p1.8.8.m8.1"><semantics id="Thmtheorem4.p1.8.8.m8.1a"><mi id="Thmtheorem4.p1.8.8.m8.1.1" xref="Thmtheorem4.p1.8.8.m8.1.1.cmml">L</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem4.p1.8.8.m8.1b"><ci id="Thmtheorem4.p1.8.8.m8.1.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.8.8.m8.1.1">𝐿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem4.p1.8.8.m8.1c">L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem4.p1.8.8.m8.1d">italic_L</annotation></semantics></math> is a straight line. Let <math alttext="R_{v}^{+}(x,y,\kappa)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.3"><semantics id="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.3a"><mrow id="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.3.4" xref="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.3.4.cmml"><msubsup id="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.3.4.2" xref="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.3.4.2.cmml"><mi id="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.3.4.2.2.2" xref="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.3.4.2.2.2.cmml">R</mi><mi id="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.3.4.2.2.3" xref="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.3.4.2.2.3.cmml">v</mi><mo id="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.3.4.2.3" xref="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.3.4.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.3.4.1" xref="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.3.4.3.2" xref="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.3.4.3.1.cmml"><mo id="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.3.4.3.1.cmml">(</mo><mi id="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.1.1" xref="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.1.1.cmml">x</mi><mo id="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.3.4.3.2.2" xref="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.2.2" xref="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.2.2.cmml">y</mi><mo id="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.3.4.3.2.3" xref="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.3.3" xref="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.3.3.cmml">κ</mi><mo id="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.3.4.3.2.4" stretchy="false" xref="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.3.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.3b"><apply id="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.3.4.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.3.4"><times id="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.3.4.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.3.4.1"></times><apply id="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.3.4.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.3.4.2.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.3.4.2">superscript</csymbol><apply id="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.3.4.2.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.3.4.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.3.4.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.3.4.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.3.4.2.2.2">𝑅</ci><ci id="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.3.4.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.3.4.2.2.3">𝑣</ci></apply><plus id="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.3.4.2.3.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.3.4.2.3"></plus></apply><vector id="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.3.4.3.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.3.4.3.2"><ci id="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.1.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.1.1">𝑥</ci><ci id="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.2.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.2.2">𝑦</ci><ci id="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.3.3.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.3.3">𝜅</ci></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.3c">R_{v}^{+}(x,y,\kappa)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem4.p1.9.9.m9.3d">italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_v end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_x , italic_y , italic_κ )</annotation></semantics></math> be the outgoing Green function for equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S1.E4" title="In 1 Introduction"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>). Then <math alttext="v" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem4.p1.10.10.m10.1"><semantics id="Thmtheorem4.p1.10.10.m10.1a"><mi id="Thmtheorem4.p1.10.10.m10.1.1" xref="Thmtheorem4.p1.10.10.m10.1.1.cmml">v</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem4.p1.10.10.m10.1b"><ci id="Thmtheorem4.p1.10.10.m10.1.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.10.10.m10.1.1">𝑣</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem4.p1.10.10.m10.1c">v</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem4.p1.10.10.m10.1d">italic_v</annotation></semantics></math> is uniquely determined by Im<math alttext="(R_{v}^{+}(x,y,\kappa))" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4"><semantics id="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4a"><mrow id="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4.4.1" xref="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4.4.1.1.cmml"><mo id="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4.4.1.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4.4.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4.4.1.1" xref="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4.4.1.1.cmml"><msubsup id="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4.4.1.1.2" xref="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4.4.1.1.2.cmml"><mi id="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4.4.1.1.2.2.2" xref="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4.4.1.1.2.2.2.cmml">R</mi><mi id="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4.4.1.1.2.2.3" xref="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4.4.1.1.2.2.3.cmml">v</mi><mo id="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4.4.1.1.2.3" xref="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4.4.1.1.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4.4.1.1.1" xref="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4.4.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4.4.1.1.3.2" xref="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4.4.1.1.3.1.cmml"><mo id="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4.4.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4.4.1.1.3.1.cmml">(</mo><mi id="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.1.1" xref="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.1.1.cmml">x</mi><mo id="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4.4.1.1.3.2.2" xref="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4.4.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.2.2" xref="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.2.2.cmml">y</mi><mo id="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4.4.1.1.3.2.3" xref="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4.4.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.3.3" xref="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.3.3.cmml">κ</mi><mo id="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4.4.1.1.3.2.4" stretchy="false" xref="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4.4.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4.4.1.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4.4.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4b"><apply id="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4.4.1.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4.4.1"><times id="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4.4.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4.4.1.1.1"></times><apply id="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4.4.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4.4.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4.4.1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4.4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4.4.1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4.4.1.1.2.2.2">𝑅</ci><ci id="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4.4.1.1.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4.4.1.1.2.2.3">𝑣</ci></apply><plus id="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4.4.1.1.2.3.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4.4.1.1.2.3"></plus></apply><vector id="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4.4.1.1.3.2"><ci id="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.1.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.1.1">𝑥</ci><ci id="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.2.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.2.2">𝑦</ci><ci id="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.3.3.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.3.3">𝜅</ci></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4c">(R_{v}^{+}(x,y,\kappa))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem4.p1.11.11.m11.4d">( italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_v end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_x , italic_y , italic_κ ) )</annotation></semantics></math> for one <math alttext="\kappa" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem4.p1.12.12.m12.1"><semantics id="Thmtheorem4.p1.12.12.m12.1a"><mi id="Thmtheorem4.p1.12.12.m12.1.1" xref="Thmtheorem4.p1.12.12.m12.1.1.cmml">κ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem4.p1.12.12.m12.1b"><ci id="Thmtheorem4.p1.12.12.m12.1.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.12.12.m12.1.1">𝜅</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem4.p1.12.12.m12.1c">\kappa</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem4.p1.12.12.m12.1d">italic_κ</annotation></semantics></math> and all <math alttext="x,y" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem4.p1.13.13.m13.2"><semantics id="Thmtheorem4.p1.13.13.m13.2a"><mrow id="Thmtheorem4.p1.13.13.m13.2.3.2" xref="Thmtheorem4.p1.13.13.m13.2.3.1.cmml"><mi id="Thmtheorem4.p1.13.13.m13.1.1" xref="Thmtheorem4.p1.13.13.m13.1.1.cmml">x</mi><mo id="Thmtheorem4.p1.13.13.m13.2.3.2.1" xref="Thmtheorem4.p1.13.13.m13.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem4.p1.13.13.m13.2.2" xref="Thmtheorem4.p1.13.13.m13.2.2.cmml">y</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem4.p1.13.13.m13.2b"><list id="Thmtheorem4.p1.13.13.m13.2.3.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.13.13.m13.2.3.2"><ci id="Thmtheorem4.p1.13.13.m13.1.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.13.13.m13.1.1">𝑥</ci><ci id="Thmtheorem4.p1.13.13.m13.2.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.13.13.m13.2.2">𝑦</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem4.p1.13.13.m13.2c">x,y</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem4.p1.13.13.m13.2d">italic_x , italic_y</annotation></semantics></math> on <math alttext="\Lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem4.p1.14.14.m14.1"><semantics id="Thmtheorem4.p1.14.14.m14.1a"><mi id="Thmtheorem4.p1.14.14.m14.1.1" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem4.p1.14.14.m14.1.1.cmml">Λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem4.p1.14.14.m14.1b"><ci id="Thmtheorem4.p1.14.14.m14.1.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.14.14.m14.1.1">Λ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem4.p1.14.14.m14.1c">\Lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem4.p1.14.14.m14.1d">roman_Λ</annotation></semantics></math>, where <math alttext="\Lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem4.p1.15.15.m15.1"><semantics id="Thmtheorem4.p1.15.15.m15.1a"><mi id="Thmtheorem4.p1.15.15.m15.1.1" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem4.p1.15.15.m15.1.1.cmml">Λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem4.p1.15.15.m15.1b"><ci id="Thmtheorem4.p1.15.15.m15.1.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.15.15.m15.1.1">Λ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem4.p1.15.15.m15.1c">\Lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem4.p1.15.15.m15.1d">roman_Λ</annotation></semantics></math> is an arbitrary non-empty open interval of <math alttext="L" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem4.p1.16.16.m16.1"><semantics id="Thmtheorem4.p1.16.16.m16.1a"><mi id="Thmtheorem4.p1.16.16.m16.1.1" xref="Thmtheorem4.p1.16.16.m16.1.1.cmml">L</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem4.p1.16.16.m16.1b"><ci id="Thmtheorem4.p1.16.16.m16.1.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.16.16.m16.1.1">𝐿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem4.p1.16.16.m16.1c">L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem4.p1.16.16.m16.1d">italic_L</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_theorem" id="Thmtheorem5"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem" style="font-size:90%;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem5.1.1.1">Theorem 5</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem5.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem5.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem5.p1.14"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem5.p1.14.14" style="font-size:90%;">Let <math alttext="v\in L^{\infty}(\mathbb{R}^{2}),\ supp\ v\subset\mathbb{R}^{2}\setminus% \overline{\cal{U}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2"><semantics id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2a"><mrow id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.3.cmml"><mrow id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">v</mi><mo id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mi id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">∞</mi></msup><mo id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mn id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.3" rspace="0.617em" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">s</mi><mo id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.1" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.3" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">u</mi><mo id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.1a" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.4" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.4.cmml">p</mi><mo id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.1b" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.5" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.5.cmml">p</mi><mo id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.1c" lspace="0.450em" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.6" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.6.cmml">v</mi></mrow><mo id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.cmml">⊂</mo><mrow id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml"><msup id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.2" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.2.2" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.2.2.cmml">ℝ</mi><mn id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.2.3" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.1" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.1.cmml">∖</mo><mover accent="true" id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.3" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.3.2" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.3.2.cmml">𝒰</mi><mo id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.3.1" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2b"><apply id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.3a.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1"><in id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2"></in><ci id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3">𝑣</ci><apply id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1"><times id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝐿</ci><infinity id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3"></infinity></apply><apply id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><cn id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2"><subset id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1"></subset><apply id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2"><times id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.1"></times><ci id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2">𝑠</ci><ci id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.3">𝑢</ci><ci id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.4.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.4">𝑝</ci><ci id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.5.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.5">𝑝</ci><ci id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.6.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.6">𝑣</ci></apply><apply id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3"><setdiff id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.1"></setdiff><apply id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.2.2">ℝ</ci><cn id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.2.3">2</cn></apply><apply id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.3"><ci id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.3.1">¯</ci><ci id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.3.2">𝒰</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2c">v\in L^{\infty}(\mathbb{R}^{2}),\ supp\ v\subset\mathbb{R}^{2}\setminus% \overline{\cal{U}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.2d">italic_v ∈ italic_L start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) , italic_s italic_u italic_p italic_p italic_v ⊂ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∖ over¯ start_ARG caligraphic_U end_ARG</annotation></semantics></math>, where <math alttext="\cal{U}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.cmml">𝒰</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1b"><ci id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1">𝒰</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1c">\cal{U}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1d">caligraphic_U</annotation></semantics></math> is as in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S1.E1" title="In 1 Introduction"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>), and property (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S3.E17" title="In 3.4 Some facts of direct scattering ‣ 3 Preliminaries"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">17</span></a>) hold for fixed <math alttext="\kappa>0" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1a"><mrow id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.2" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml">κ</mi><mo id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml">></mo><mn id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1b"><apply id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1"><gt id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.1"></gt><ci id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.2">𝜅</ci><cn id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1c">\kappa>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1d">italic_κ > 0</annotation></semantics></math>. Let <math alttext="\Gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1"><semantics id="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1a"><mi id="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1.1" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1.1.cmml">Γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1b"><ci id="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1.1">Γ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1c">\Gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1d">roman_Γ</annotation></semantics></math> be a curve as in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S2.E6" title="In 2.1 Determination of radiation solutions 𝜓 from Im(𝜓) ‣ 2 Main results"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>), where <math alttext="\kappa" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem5.p1.5.5.m5.1"><semantics id="Thmtheorem5.p1.5.5.m5.1a"><mi id="Thmtheorem5.p1.5.5.m5.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.5.5.m5.1.1.cmml">κ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem5.p1.5.5.m5.1b"><ci id="Thmtheorem5.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.5.5.m5.1.1">𝜅</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem5.p1.5.5.m5.1c">\kappa</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem5.p1.5.5.m5.1d">italic_κ</annotation></semantics></math> is not a Dirichlet eigenvalue for <math alttext="\cal{D}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem5.p1.6.6.m6.1"><semantics id="Thmtheorem5.p1.6.6.m6.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmtheorem5.p1.6.6.m6.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.6.6.m6.1.1.cmml">𝒟</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem5.p1.6.6.m6.1b"><ci id="Thmtheorem5.p1.6.6.m6.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.6.6.m6.1.1">𝒟</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem5.p1.6.6.m6.1c">\cal{D}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem5.p1.6.6.m6.1d">caligraphic_D</annotation></semantics></math>, and <math alttext="\overline{\cal{D}}=\cal{D}\ \cup" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1"><semantics id="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1a"><mrow id="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.1.cmml"><mover accent="true" id="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.1.2" xref="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.1.2.2" xref="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.1.2.2.cmml">𝒟</mi><mo id="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.1.2.1" xref="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.1.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.1.3" xref="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.1.3.2" xref="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.1.3.2.cmml">𝒟</mi><mo id="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.1.3.3" lspace="0.672em" xref="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.1.3.3.cmml">∪</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1b"><apply id="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.1"><eq id="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.1.1"></eq><apply id="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.1.2"><ci id="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.1.2.1">¯</ci><ci id="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.1.2.2">𝒟</ci></apply><apply id="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.1.3">limit-from</csymbol><ci id="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.1.3.2">𝒟</ci><union id="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.1.3.3"></union></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1c">\overline{\cal{D}}=\cal{D}\ \cup</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1d">over¯ start_ARG caligraphic_D end_ARG = caligraphic_D ∪</annotation></semantics></math> <math alttext="\Gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1"><semantics id="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1a"><mi id="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1.1" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1.1.cmml">Γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1b"><ci id="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1.1">Γ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1c">\Gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1d">roman_Γ</annotation></semantics></math> <math alttext="\subset\cal{U}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1"><semantics id="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1a"><mrow id="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1.1.2" xref="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1.1.2.cmml"></mi><mo id="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1.1.1.cmml">⊂</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1.1.3" xref="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1.1.3.cmml">𝒰</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1b"><apply id="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1.1"><subset id="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1.1.1"></subset><csymbol cd="latexml" id="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1.1.2">absent</csymbol><ci id="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1.1.3">𝒰</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1c">\subset\cal{U}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1d">⊂ caligraphic_U</annotation></semantics></math>. Then <math alttext="v" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1"><semantics id="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1a"><mi id="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1.1.cmml">v</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1b"><ci id="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1.1">𝑣</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1c">v</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1d">italic_v</annotation></semantics></math> is uniquely determined by Im<math alttext="(R_{v}^{+}(x,y,\kappa))" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4"><semantics id="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4a"><mrow id="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4.4.1" xref="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4.4.1.1.cmml"><mo id="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4.4.1.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4.4.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4.4.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4.4.1.1.cmml"><msubsup id="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4.4.1.1.2" xref="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4.4.1.1.2.cmml"><mi id="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4.4.1.1.2.2.2" xref="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4.4.1.1.2.2.2.cmml">R</mi><mi id="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4.4.1.1.2.2.3" xref="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4.4.1.1.2.2.3.cmml">v</mi><mo id="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4.4.1.1.2.3" xref="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4.4.1.1.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4.4.1.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4.4.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4.4.1.1.3.2" xref="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4.4.1.1.3.1.cmml"><mo id="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4.4.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4.4.1.1.3.1.cmml">(</mo><mi id="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.1.1.cmml">x</mi><mo id="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4.4.1.1.3.2.2" xref="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4.4.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.2.2" xref="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.2.2.cmml">y</mi><mo id="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4.4.1.1.3.2.3" xref="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4.4.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.3.3" xref="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.3.3.cmml">κ</mi><mo id="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4.4.1.1.3.2.4" stretchy="false" xref="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4.4.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4.4.1.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4.4.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4b"><apply id="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4.4.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4.4.1"><times id="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4.4.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4.4.1.1.1"></times><apply id="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4.4.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4.4.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4.4.1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4.4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4.4.1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4.4.1.1.2.2.2">𝑅</ci><ci id="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4.4.1.1.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4.4.1.1.2.2.3">𝑣</ci></apply><plus id="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4.4.1.1.2.3.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4.4.1.1.2.3"></plus></apply><vector id="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4.4.1.1.3.2"><ci id="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.1.1">𝑥</ci><ci id="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.2.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.2.2">𝑦</ci><ci id="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.3.3.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.3.3">𝜅</ci></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4c">(R_{v}^{+}(x,y,\kappa))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.4d">( italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_v end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_x , italic_y , italic_κ ) )</annotation></semantics></math> on <math alttext="\Lambda\times\Lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1"><semantics id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1a"><mrow id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1.2.cmml">Λ</mi><mo id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1.1.cmml">×</mo><mi id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1.3" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1.3.cmml">Λ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1b"><apply id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1"><times id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1.1"></times><ci id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1.2">Λ</ci><ci id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1.3">Λ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1c">\Lambda\times\Lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1d">roman_Λ × roman_Λ</annotation></semantics></math>, where <math alttext="\Lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.1"><semantics id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.1a"><mi id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.1.1" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.1.1.cmml">Λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.1b"><ci id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.1.1">Λ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.1c">\Lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.1d">roman_Λ</annotation></semantics></math> is an arbitrary non-empty open interval of <math alttext="\Gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem5.p1.14.14.m14.1"><semantics id="Thmtheorem5.p1.14.14.m14.1a"><mi id="Thmtheorem5.p1.14.14.m14.1.1" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem5.p1.14.14.m14.1.1.cmml">Γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem5.p1.14.14.m14.1b"><ci id="Thmtheorem5.p1.14.14.m14.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.14.14.m14.1.1">Γ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem5.p1.14.14.m14.1c">\Gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem5.p1.14.14.m14.1d">roman_Γ</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p2.3"><span class="ltx_text" id="S2.SS2.p2.3.1" style="font-size:90%;">In Theorems 4 and 5, we do not assume that </span><math alttext="v" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.1.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p2.1.m1.1a"><mi id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1" mathsize="90%" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml">v</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.1.m1.1b"><ci id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1">𝑣</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.1.m1.1c">v</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.1.m1.1d">italic_v</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S2.SS2.p2.3.2" style="font-size:90%;"> is real-valued, but we assume that (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S3.E17" style="font-size:90%;" title="In 3.4 Some facts of direct scattering ‣ 3 Preliminaries"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">17</span></a><span class="ltx_text" id="S2.SS2.p2.3.3" style="font-size:90%;">) formulated in Subsection 3.4 holds. </span> <br class="ltx_break"/><span class="ltx_text" id="S2.SS2.p2.3.4" style="font-size:90%;">Theorems 4 and 5 can be proved in a similar way to Theorems 3 and 5 in </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S2.SS2.p2.3.5.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib25" title="">25</a><span class="ltx_text" id="S2.SS2.p2.3.6.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S2.SS2.p2.3.7" style="font-size:90%;">, respectively. These proofs use Theorems 1,2, and 3 in place of their three-dimensional prototypes in </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S2.SS2.p2.3.8.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib25" title="">25</a><span class="ltx_text" id="S2.SS2.p2.3.9.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S2.SS2.p2.3.10" style="font-size:90%;">, some known results on two-dimensional direct scattering in place of similar results on three-dimensional direct scattering used in </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S2.SS2.p2.3.11.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib25" title="">25</a><span class="ltx_text" id="S2.SS2.p2.3.12.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S2.SS2.p2.3.13" style="font-size:90%;">, and also the two-dimensional global uniqueness result on recovering from the scattering amplitude </span><math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.2.m2.1"><semantics id="S2.SS2.p2.2.m2.1a"><mi id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1" mathsize="90%" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.2.m2.1b"><ci id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.2.m2.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.2.m2.1d">italic_A</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S2.SS2.p2.3.14" style="font-size:90%;"> in (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S3.E21" style="font-size:90%;" title="In 3.4 Some facts of direct scattering ‣ 3 Preliminaries"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">21</span></a><span class="ltx_text" id="S2.SS2.p2.3.15" style="font-size:90%;">) at fixed </span><math alttext="\kappa" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.3.m3.1"><semantics id="S2.SS2.p2.3.m3.1a"><mi id="S2.SS2.p2.3.m3.1.1" mathsize="90%" xref="S2.SS2.p2.3.m3.1.1.cmml">κ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.3.m3.1b"><ci id="S2.SS2.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m3.1.1">𝜅</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.3.m3.1c">\kappa</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.3.m3.1d">italic_κ</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S2.SS2.p2.3.16" style="font-size:90%;"> (see Corollary 5.1 in </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S2.SS2.p2.3.17.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib6" title="">6</a><span class="ltx_text" id="S2.SS2.p2.3.18.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S2.SS2.p2.3.19" style="font-size:90%;"> in addition to results of </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S2.SS2.p2.3.20.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib17" title="">17</a><span class="ltx_text" id="S2.SS2.p2.3.21.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S2.SS2.p2.3.22" style="font-size:90%;">, </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S2.SS2.p2.3.23.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib18" title="">18</a><span class="ltx_text" id="S2.SS2.p2.3.24.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S2.SS2.p2.3.25" style="font-size:90%;">). These proofs follow from these indications in a straightforward way.</span></p> </div> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S3"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section" style="font-size:90%;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">3 </span>Preliminaries</h2> <div class="ltx_para" id="S3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.p1.6"><span class="ltx_text" id="S3.p1.6.1" style="font-size:90%;">Let </span><math alttext="(r,\phi)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.1.m1.2"><semantics id="S3.p1.1.m1.2a"><mrow id="S3.p1.1.m1.2.3.2" xref="S3.p1.1.m1.2.3.1.cmml"><mo id="S3.p1.1.m1.2.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.p1.1.m1.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.p1.1.m1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.p1.1.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S3.p1.1.m1.2.3.2.2" mathsize="90%" xref="S3.p1.1.m1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.p1.1.m1.2.2" mathsize="90%" xref="S3.p1.1.m1.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S3.p1.1.m1.2.3.2.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.p1.1.m1.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.1.m1.2b"><interval closure="open" id="S3.p1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.p1.1.m1.2.3.2"><ci id="S3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.p1.1.m1.1.1">𝑟</ci><ci id="S3.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.p1.1.m1.2.2">italic-ϕ</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.1.m1.2c">(r,\phi)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.1.m1.2d">( italic_r , italic_ϕ )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S3.p1.6.2" style="font-size:90%;"> denote the polar coordinates of a point </span><math alttext="x" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.p1.2.m2.1a"><mi id="S3.p1.2.m2.1.1" mathsize="90%" xref="S3.p1.2.m2.1.1.cmml">x</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.2.m2.1b"><ci id="S3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.p1.2.m2.1.1">𝑥</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.2.m2.1c">x</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.2.m2.1d">italic_x</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S3.p1.6.3" style="font-size:90%;"> and let </span><math alttext="\theta=\frac{x}{|x|}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.p1.3.m3.1a"><mrow id="S3.p1.3.m3.1.2" xref="S3.p1.3.m3.1.2.cmml"><mi id="S3.p1.3.m3.1.2.2" mathsize="90%" xref="S3.p1.3.m3.1.2.2.cmml">θ</mi><mo id="S3.p1.3.m3.1.2.1" mathsize="90%" xref="S3.p1.3.m3.1.2.1.cmml">=</mo><mfrac id="S3.p1.3.m3.1.1" xref="S3.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.p1.3.m3.1.1.3" mathsize="90%" xref="S3.p1.3.m3.1.1.3.cmml">x</mi><mrow id="S3.p1.3.m3.1.1.1.3" xref="S3.p1.3.m3.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.p1.3.m3.1.1.1.3.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.p1.3.m3.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="S3.p1.3.m3.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.p1.3.m3.1.1.1.3.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.p1.3.m3.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mfrac></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.3.m3.1b"><apply id="S3.p1.3.m3.1.2.cmml" xref="S3.p1.3.m3.1.2"><eq id="S3.p1.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S3.p1.3.m3.1.2.1"></eq><ci id="S3.p1.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S3.p1.3.m3.1.2.2">𝜃</ci><apply id="S3.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.p1.3.m3.1.1"><divide id="S3.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.3.m3.1.1"></divide><ci id="S3.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.p1.3.m3.1.1.3">𝑥</ci><apply id="S3.p1.3.m3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.3.m3.1.1.1.3"><abs id="S3.p1.3.m3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p1.3.m3.1.1.1.3.1"></abs><ci id="S3.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.3.m3.1.1.1.1">𝑥</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.3.m3.1c">\theta=\frac{x}{|x|}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.3.m3.1d">italic_θ = divide start_ARG italic_x end_ARG start_ARG | italic_x | end_ARG</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S3.p1.6.4" style="font-size:90%;"> be its direction. So </span><math alttext="-\theta" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.4.m4.1"><semantics id="S3.p1.4.m4.1a"><mrow id="S3.p1.4.m4.1.1" xref="S3.p1.4.m4.1.1.cmml"><mo id="S3.p1.4.m4.1.1a" mathsize="90%" xref="S3.p1.4.m4.1.1.cmml">−</mo><mi id="S3.p1.4.m4.1.1.2" mathsize="90%" xref="S3.p1.4.m4.1.1.2.cmml">θ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.4.m4.1b"><apply id="S3.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.p1.4.m4.1.1"><minus id="S3.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.4.m4.1.1"></minus><ci id="S3.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.4.m4.1.1.2">𝜃</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.4.m4.1c">-\theta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.4.m4.1d">- italic_θ</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S3.p1.6.5" style="font-size:90%;"> will be the direction of </span><math alttext="-x" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.5.m5.1"><semantics id="S3.p1.5.m5.1a"><mrow id="S3.p1.5.m5.1.1" xref="S3.p1.5.m5.1.1.cmml"><mo id="S3.p1.5.m5.1.1a" mathsize="90%" xref="S3.p1.5.m5.1.1.cmml">−</mo><mi id="S3.p1.5.m5.1.1.2" mathsize="90%" xref="S3.p1.5.m5.1.1.2.cmml">x</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.5.m5.1b"><apply id="S3.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.p1.5.m5.1.1"><minus id="S3.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.5.m5.1.1"></minus><ci id="S3.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.5.m5.1.1.2">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.5.m5.1c">-x</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.5.m5.1d">- italic_x</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S3.p1.6.6" style="font-size:90%;"> whose polar coordinates will be </span><math alttext="(r,\phi+\pi)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.6.m6.2"><semantics id="S3.p1.6.m6.2a"><mrow id="S3.p1.6.m6.2.2.1" xref="S3.p1.6.m6.2.2.2.cmml"><mo id="S3.p1.6.m6.2.2.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.p1.6.m6.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p1.6.m6.1.1" mathsize="90%" xref="S3.p1.6.m6.1.1.cmml">r</mi><mo id="S3.p1.6.m6.2.2.1.3" mathsize="90%" xref="S3.p1.6.m6.2.2.2.cmml">,</mo><mrow id="S3.p1.6.m6.2.2.1.1" xref="S3.p1.6.m6.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.p1.6.m6.2.2.1.1.2" mathsize="90%" xref="S3.p1.6.m6.2.2.1.1.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S3.p1.6.m6.2.2.1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.p1.6.m6.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S3.p1.6.m6.2.2.1.1.3" mathsize="90%" xref="S3.p1.6.m6.2.2.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S3.p1.6.m6.2.2.1.4" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.p1.6.m6.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.6.m6.2b"><interval closure="open" id="S3.p1.6.m6.2.2.2.cmml" xref="S3.p1.6.m6.2.2.1"><ci id="S3.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.p1.6.m6.1.1">𝑟</ci><apply id="S3.p1.6.m6.2.2.1.1.cmml" xref="S3.p1.6.m6.2.2.1.1"><plus id="S3.p1.6.m6.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.6.m6.2.2.1.1.1"></plus><ci id="S3.p1.6.m6.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.6.m6.2.2.1.1.2">italic-ϕ</ci><ci id="S3.p1.6.m6.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.p1.6.m6.2.2.1.1.3">𝜋</ci></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.6.m6.2c">(r,\phi+\pi)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.6.m6.2d">( italic_r , italic_ϕ + italic_π )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S3.p1.6.7" style="font-size:90%;">. </span> <br class="ltx_break"/><span class="ltx_text" id="S3.p1.6.8" style="font-size:90%;">Let</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E7"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="B_{\rho}=\{x\in\mathbb{R}^{2}\ |\ |x|<\rho\},\ \ \rho>0." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E7.m1.2"><semantics id="S3.E7.m1.2a"><mrow id="S3.E7.m1.2.2.1"><mrow id="S3.E7.m1.2.2.1.1.2" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.4" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.4.2" mathsize="90%" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.4.2.cmml">B</mi><mi id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.4.3" mathsize="90%" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.cmml">ρ</mi></msub><mo id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml">{</mo><mrow id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mn id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.4" lspace="0em" mathsize="90%" rspace="0.450em" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml"><mo id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E7.m1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.E7.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.1" mathsize="90%" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml"><</mo><mi id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.3" mathsize="90%" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">ρ</mi></mrow><mo id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.5" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E7.m1.2.2.1.1.2.3" mathsize="90%" rspace="1.067em" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E7.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E7.m1.2.2.1.1.2.2.2" mathsize="90%" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.E7.m1.2.2.1.1.2.2.1" mathsize="90%" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml">></mo><mn id="S3.E7.m1.2.2.1.1.2.2.3" mathsize="90%" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">0</mn></mrow></mrow><mo id="S3.E7.m1.2.2.1.2" lspace="0em" mathsize="90%">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E7.m1.2b"><apply id="S3.E7.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.2.2.1.1.3a.cmml" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1"><eq id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.3"></eq><apply id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.4.2">𝐵</ci><ci id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.4.3">𝜌</ci></apply><apply id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3">conditional-set</csymbol><apply id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><in id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></in><ci id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><apply id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2">ℝ</ci><cn id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2"><lt id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.1"></lt><apply id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2"><abs id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1"></abs><ci id="S3.E7.m1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1">𝑥</ci></apply><ci id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.3">𝜌</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E7.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.2.2"><gt id="S3.E7.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.2.2.1"></gt><ci id="S3.E7.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.2.2.2">𝜌</ci><cn id="S3.E7.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.2.2.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E7.m1.2c">B_{\rho}=\{x\in\mathbb{R}^{2}\ |\ |x|<\rho\},\ \ \rho>0.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E7.m1.2d">italic_B start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ end_POSTSUBSCRIPT = { italic_x ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT | | italic_x | < italic_ρ } , italic_ρ > 0 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(7)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p1.7"><span class="ltx_text" id="S3.p1.7.1" style="font-size:90%;">We use the following asymptotic expansion for radiation solution </span><math alttext="\psi" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.7.m1.1"><semantics id="S3.p1.7.m1.1a"><mi id="S3.p1.7.m1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.p1.7.m1.1.1.cmml">ψ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.7.m1.1b"><ci id="S3.p1.7.m1.1.1.cmml" xref="S3.p1.7.m1.1.1">𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.7.m1.1c">\psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.7.m1.1d">italic_ψ</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S3.p1.7.2" style="font-size:90%;"> of equation (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S1.E1" style="font-size:90%;" title="In 1 Introduction"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a><span class="ltx_text" id="S3.p1.7.3" style="font-size:90%;">):</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E8"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\psi(x)\sim\sqrt{\frac{2}{\pi\kappa|x|}}e^{i(\kappa|x|-\frac{\pi}{4})}\sum% \limits_{j=0}^{\infty}\frac{f_{j}(\phi)}{|x|^{j}}\ \ \mbox{\rm for}\ \ x\in% \mathbb{R}^{2},\ \ |x|\to\infty." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E8.m1.8"><semantics id="S3.E8.m1.8a"><mrow id="S3.E8.m1.8.8.1"><mrow id="S3.E8.m1.8.8.1.1.2" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.2" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.2.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E8.m1.6.6" mathsize="90%" xref="S3.E8.m1.6.6.cmml">x</mi><mo id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.2.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.3.cmml">∼</mo><mrow id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.cmml"><msqrt id="S3.E8.m1.1.1" xref="S3.E8.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S3.E8.m1.1.1.1" xref="S3.E8.m1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.E8.m1.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S3.E8.m1.1.1.1.3.cmml">2</mn><mrow id="S3.E8.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi><mo id="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.4" mathsize="90%" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.4.cmml">κ</mi><mo id="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.5.2" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.5.1.cmml"><mo id="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.5.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.5.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.5.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.5.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mfrac></msqrt><mo id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.1" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.2" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.2.2" mathsize="90%" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S3.E8.m1.3.3.2" xref="S3.E8.m1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.E8.m1.3.3.2.4" mathsize="90%" xref="S3.E8.m1.3.3.2.4.cmml">i</mi><mo id="S3.E8.m1.3.3.2.3" xref="S3.E8.m1.3.3.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E8.m1.3.3.2.2.1" xref="S3.E8.m1.3.3.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.E8.m1.3.3.2.2.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E8.m1.3.3.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E8.m1.3.3.2.2.1.1" xref="S3.E8.m1.3.3.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E8.m1.3.3.2.2.1.1.2" xref="S3.E8.m1.3.3.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E8.m1.3.3.2.2.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="S3.E8.m1.3.3.2.2.1.1.2.2.cmml">κ</mi><mo id="S3.E8.m1.3.3.2.2.1.1.2.1" xref="S3.E8.m1.3.3.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E8.m1.3.3.2.2.1.1.2.3.2" xref="S3.E8.m1.3.3.2.2.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S3.E8.m1.3.3.2.2.1.1.2.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E8.m1.3.3.2.2.1.1.2.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E8.m1.2.2.1.1" mathsize="90%" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.E8.m1.3.3.2.2.1.1.2.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E8.m1.3.3.2.2.1.1.2.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E8.m1.3.3.2.2.1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.E8.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mfrac id="S3.E8.m1.3.3.2.2.1.1.3" xref="S3.E8.m1.3.3.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E8.m1.3.3.2.2.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S3.E8.m1.3.3.2.2.1.1.3.2.cmml">π</mi><mn id="S3.E8.m1.3.3.2.2.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="S3.E8.m1.3.3.2.2.1.1.3.3.cmml">4</mn></mfrac></mrow><mo id="S3.E8.m1.3.3.2.2.1.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E8.m1.3.3.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup><mo id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.1a" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.cmml"><munderover id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.1" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.1.cmml"><mo id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.1.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" movablelimits="false" stretchy="true" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.1.2.3" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.1.2.3.2" mathsize="90%" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.1.2.3.1" mathsize="90%" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.1.2.3.3" mathsize="90%" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.1.2.3.3.cmml">0</mn></mrow><mi id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.1.3" mathsize="90%" mathvariant="normal" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.1.3.cmml">∞</mi></munderover><mrow id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.2" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.2.cmml"><mfrac id="S3.E8.m1.5.5" xref="S3.E8.m1.5.5.cmml"><mrow id="S3.E8.m1.4.4.1" xref="S3.E8.m1.4.4.1.cmml"><msub id="S3.E8.m1.4.4.1.3" xref="S3.E8.m1.4.4.1.3.cmml"><mi id="S3.E8.m1.4.4.1.3.2" mathsize="90%" xref="S3.E8.m1.4.4.1.3.2.cmml">f</mi><mi id="S3.E8.m1.4.4.1.3.3" mathsize="90%" xref="S3.E8.m1.4.4.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.E8.m1.4.4.1.2" xref="S3.E8.m1.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E8.m1.4.4.1.4.2" xref="S3.E8.m1.4.4.1.cmml"><mo id="S3.E8.m1.4.4.1.4.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E8.m1.4.4.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E8.m1.4.4.1.1" mathsize="90%" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.cmml">ϕ</mi><mo id="S3.E8.m1.4.4.1.4.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E8.m1.4.4.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><msup id="S3.E8.m1.5.5.2" xref="S3.E8.m1.5.5.2.cmml"><mrow id="S3.E8.m1.5.5.2.3.2" xref="S3.E8.m1.5.5.2.3.1.cmml"><mo id="S3.E8.m1.5.5.2.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E8.m1.5.5.2.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E8.m1.5.5.2.1" mathsize="90%" xref="S3.E8.m1.5.5.2.1.cmml">x</mi><mo id="S3.E8.m1.5.5.2.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E8.m1.5.5.2.3.1.1.cmml">|</mo></mrow><mi id="S3.E8.m1.5.5.2.4" mathsize="90%" xref="S3.E8.m1.5.5.2.4.cmml">j</mi></msup></mfrac><mo id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.2.1" lspace="0.900em" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><mtext id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.2.2" mathsize="90%" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.2.2a.cmml">for</mtext><mo id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.2.1a" lspace="0.900em" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.2.3" mathsize="90%" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.2.3.cmml">x</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.5" mathsize="90%" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.5.cmml">∈</mo><msup id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.6" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.6.2" mathsize="90%" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.6.2.cmml">ℝ</mi><mn id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.6.3" mathsize="90%" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.6.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S3.E8.m1.8.8.1.1.2.3" mathsize="90%" rspace="1.067em" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E8.m1.8.8.1.1.2.2" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.E8.m1.8.8.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.cmml"><mo id="S3.E8.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E8.m1.7.7" mathsize="90%" xref="S3.E8.m1.7.7.cmml">x</mi><mo id="S3.E8.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.E8.m1.8.8.1.1.2.2.1" mathsize="90%" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.2.2.1.cmml">→</mo><mi id="S3.E8.m1.8.8.1.1.2.2.3" mathsize="90%" mathvariant="normal" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.2.2.3.cmml">∞</mi></mrow></mrow><mo id="S3.E8.m1.8.8.1.2" lspace="0em" mathsize="90%">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E8.m1.8b"><apply id="S3.E8.m1.8.8.1.1.3.cmml" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.8.8.1.1.3a.cmml" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1"><and id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1a.cmml" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1"></and><apply id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1b.cmml" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.3">similar-to</csymbol><apply id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.2"><times id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.2.2">𝜓</ci><ci id="S3.E8.m1.6.6.cmml" xref="S3.E8.m1.6.6">𝑥</ci></apply><apply id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4"><times id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.1"></times><apply id="S3.E8.m1.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.1.1"><root id="S3.E8.m1.1.1a.cmml" xref="S3.E8.m1.1.1"></root><apply id="S3.E8.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.1.1.1"><divide 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type="integer" xref="S3.E8.m1.3.3.2.2.1.1.3.3">4</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3"><apply id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.1.2.cmml" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.1.2.1.cmml" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.1">subscript</csymbol><sum id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.1.2.2.cmml" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.1.2.2"></sum><apply id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.1.2.3.cmml" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.1.2.3"><eq id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.1.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.1.2.3.3">0</cn></apply></apply><infinity id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.1.3.cmml" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.1.3"></infinity></apply><apply id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.2"><times id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.2.1.cmml" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.2.1"></times><apply id="S3.E8.m1.5.5.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5"><divide id="S3.E8.m1.5.5.3.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5"></divide><apply id="S3.E8.m1.4.4.1.cmml" xref="S3.E8.m1.4.4.1"><times id="S3.E8.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S3.E8.m1.4.4.1.2"></times><apply id="S3.E8.m1.4.4.1.3.cmml" xref="S3.E8.m1.4.4.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.4.4.1.3.1.cmml" xref="S3.E8.m1.4.4.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.4.4.1.3.2.cmml" xref="S3.E8.m1.4.4.1.3.2">𝑓</ci><ci id="S3.E8.m1.4.4.1.3.3.cmml" xref="S3.E8.m1.4.4.1.3.3">𝑗</ci></apply><ci id="S3.E8.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1">italic-ϕ</ci></apply><apply id="S3.E8.m1.5.5.2.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.5.5.2.2.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E8.m1.5.5.2.3.1.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5.2.3.2"><abs id="S3.E8.m1.5.5.2.3.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5.2.3.2.1"></abs><ci id="S3.E8.m1.5.5.2.1.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5.2.1">𝑥</ci></apply><ci id="S3.E8.m1.5.5.2.4.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5.2.4">𝑗</ci></apply></apply><ci id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.2.2a.cmml" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.2.2"><mtext id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.2.2.cmml" mathsize="90%" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.2.2">for</mtext></ci><ci id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.2.3.cmml" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.2.3">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1c.cmml" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1"><in id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.5"></in><share href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.4.cmml" id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1d.cmml" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1"></share><apply id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.6.cmml" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.6">superscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.6.2">ℝ</ci><cn id="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.6.3.cmml" type="integer" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.1.1.6.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.E8.m1.8.8.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.2.2"><ci id="S3.E8.m1.8.8.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.2.2.1">→</ci><apply id="S3.E8.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.2.2.2.2"><abs id="S3.E8.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.1"></abs><ci id="S3.E8.m1.7.7.cmml" xref="S3.E8.m1.7.7">𝑥</ci></apply><infinity id="S3.E8.m1.8.8.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E8.m1.8.8.1.1.2.2.3"></infinity></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E8.m1.8c">\psi(x)\sim\sqrt{\frac{2}{\pi\kappa|x|}}e^{i(\kappa|x|-\frac{\pi}{4})}\sum% \limits_{j=0}^{\infty}\frac{f_{j}(\phi)}{|x|^{j}}\ \ \mbox{\rm for}\ \ x\in% \mathbb{R}^{2},\ \ |x|\to\infty.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E8.m1.8d">italic_ψ ( italic_x ) ∼ square-root start_ARG divide start_ARG 2 end_ARG start_ARG italic_π italic_κ | italic_x | end_ARG end_ARG italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_i ( italic_κ | italic_x | - divide start_ARG italic_π end_ARG start_ARG 4 end_ARG ) end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ϕ ) end_ARG start_ARG | italic_x | start_POSTSUPERSCRIPT italic_j end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG for italic_x ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT , | italic_x | → ∞ .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(8)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p1.8"><span class="ltx_text" id="S3.p1.8.1" style="font-size:90%;">Expansion (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S3.E8" style="font-size:90%;" title="In 3 Preliminaries"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">8</span></a><span class="ltx_text" id="S3.p1.8.2" style="font-size:90%;">) looks similar to the convergent Atkinson-Wilcox expansion in three dimensions (in </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S3.p1.8.3.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib4" title="">4</a><span class="ltx_text" id="S3.p1.8.4.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S3.p1.8.5" style="font-size:90%;">). However, the series in (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S3.E8" style="font-size:90%;" title="In 3 Preliminaries"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">8</span></a><span class="ltx_text" id="S3.p1.8.6" style="font-size:90%;">) diverges in general and in particular for </span><math alttext="\psi(x)=H_{0}(\kappa|x|)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.8.m1.3"><semantics id="S3.p1.8.m1.3a"><mrow id="S3.p1.8.m1.3.3" xref="S3.p1.8.m1.3.3.cmml"><mrow id="S3.p1.8.m1.3.3.3" xref="S3.p1.8.m1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.p1.8.m1.3.3.3.2" mathsize="90%" xref="S3.p1.8.m1.3.3.3.2.cmml">ψ</mi><mo id="S3.p1.8.m1.3.3.3.1" xref="S3.p1.8.m1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p1.8.m1.3.3.3.3.2" xref="S3.p1.8.m1.3.3.3.cmml"><mo id="S3.p1.8.m1.3.3.3.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.p1.8.m1.3.3.3.cmml">(</mo><mi id="S3.p1.8.m1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.p1.8.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.p1.8.m1.3.3.3.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.p1.8.m1.3.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.p1.8.m1.3.3.2" mathsize="90%" xref="S3.p1.8.m1.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.p1.8.m1.3.3.1" xref="S3.p1.8.m1.3.3.1.cmml"><msub id="S3.p1.8.m1.3.3.1.3" xref="S3.p1.8.m1.3.3.1.3.cmml"><mi id="S3.p1.8.m1.3.3.1.3.2" mathsize="90%" xref="S3.p1.8.m1.3.3.1.3.2.cmml">H</mi><mn id="S3.p1.8.m1.3.3.1.3.3" mathsize="90%" xref="S3.p1.8.m1.3.3.1.3.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.p1.8.m1.3.3.1.2" xref="S3.p1.8.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p1.8.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.p1.8.m1.3.3.1.1.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S3.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">κ</mi><mo id="S3.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S3.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.p1.8.m1.2.2" mathsize="90%" xref="S3.p1.8.m1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S3.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S3.p1.8.m1.3.3.1.1.1.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.8.m1.3b"><apply id="S3.p1.8.m1.3.3.cmml" xref="S3.p1.8.m1.3.3"><eq id="S3.p1.8.m1.3.3.2.cmml" xref="S3.p1.8.m1.3.3.2"></eq><apply id="S3.p1.8.m1.3.3.3.cmml" xref="S3.p1.8.m1.3.3.3"><times id="S3.p1.8.m1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.p1.8.m1.3.3.3.1"></times><ci id="S3.p1.8.m1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.p1.8.m1.3.3.3.2">𝜓</ci><ci id="S3.p1.8.m1.1.1.cmml" xref="S3.p1.8.m1.1.1">𝑥</ci></apply><apply id="S3.p1.8.m1.3.3.1.cmml" xref="S3.p1.8.m1.3.3.1"><times id="S3.p1.8.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S3.p1.8.m1.3.3.1.2"></times><apply id="S3.p1.8.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S3.p1.8.m1.3.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.8.m1.3.3.1.3.1.cmml" xref="S3.p1.8.m1.3.3.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.8.m1.3.3.1.3.2.cmml" xref="S3.p1.8.m1.3.3.1.3.2">𝐻</ci><cn id="S3.p1.8.m1.3.3.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p1.8.m1.3.3.1.3.3">0</cn></apply><apply id="S3.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.8.m1.3.3.1.1.1"><times id="S3.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.2">𝜅</ci><apply id="S3.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.3.2"><abs id="S3.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1"></abs><ci id="S3.p1.8.m1.2.2.cmml" xref="S3.p1.8.m1.2.2">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.8.m1.3c">\psi(x)=H_{0}(\kappa|x|)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.8.m1.3d">italic_ψ ( italic_x ) = italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_κ | italic_x | )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S3.p1.8.7" style="font-size:90%;"> (see </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S3.p1.8.8.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib13" title="">13</a><span class="ltx_text" id="S3.p1.8.9.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S3.p1.8.10" style="font-size:90%;"> for more details). </span> <br class="ltx_break"/></p> </div> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection" style="font-size:90%;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">3.1 </span>The Karp Expansion</h3> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p1.1"><span class="ltx_text" id="S3.SS1.p1.1.1" style="font-size:90%;">Due to </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S3.SS1.p1.1.2.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib13" title="">13</a><span class="ltx_text" id="S3.SS1.p1.1.3.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S3.SS1.p1.1.4" style="font-size:90%;">, we have the following Karp expansion:</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p2.2"><span class="ltx_text" id="S3.SS1.p2.2.1" style="font-size:90%;">Suppose that </span><math alttext="\psi" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p2.1.m1.1a"><mi id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml">ψ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.1.m1.1b"><ci id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1">𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.1.m1.1c">\psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.1.m1.1d">italic_ψ</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S3.SS1.p2.2.2" style="font-size:90%;"> is a radiation solution of equation (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S1.E1" style="font-size:90%;" title="In 1 Introduction"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a><span class="ltx_text" id="S3.SS1.p2.2.3" style="font-size:90%;">), and </span><math alttext="\mathbb{R}^{2}\setminus B_{\rho}\subset{\cal U}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.2.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p2.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2.cmml"><msup id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2.2" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2.2.2" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2.2.2.cmml">ℝ</mi><mn id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2.2.3" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2.1" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2.1.cmml">∖</mo><msub id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2.3" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2.3.2" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2.3.2.cmml">B</mi><mi id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2.3.3" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2.3.3.cmml">ρ</mi></msub></mrow><mo id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.1.cmml">⊂</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.cmml">𝒰</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.2.m2.1b"><apply id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1"><subset id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.1"></subset><apply id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2"><setdiff id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2.1"></setdiff><apply id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2.2.2">ℝ</ci><cn id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2.3.2">𝐵</ci><ci id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2.3.3">𝜌</ci></apply></apply><ci id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3">𝒰</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.2.m2.1c">\mathbb{R}^{2}\setminus B_{\rho}\subset{\cal U}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.2.m2.1d">blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∖ italic_B start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ end_POSTSUBSCRIPT ⊂ caligraphic_U</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S3.SS1.p2.2.4" style="font-size:90%;">. </span> <br class="ltx_break"/></p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p3"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E9"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\psi(x)=H_{0}(\kappa|x|)\sum\limits_{j=0}^{\infty}\frac{F_{j}(\phi)}{|x|^{j}}+% H_{1}(\kappa|x|)\sum\limits_{j=0}^{\infty}\frac{G_{j}(\phi)}{|x|^{j}}," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E9.m1.8"><semantics id="S3.E9.m1.8a"><mrow id="S3.E9.m1.8.8.1" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.cmml"><mrow id="S3.E9.m1.8.8.1.1" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.cmml"><mrow id="S3.E9.m1.8.8.1.1.4" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.4.cmml"><mi id="S3.E9.m1.8.8.1.1.4.2" mathsize="90%" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.4.2.cmml">ψ</mi><mo id="S3.E9.m1.8.8.1.1.4.1" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E9.m1.8.8.1.1.4.3.2" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.4.cmml"><mo id="S3.E9.m1.8.8.1.1.4.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="S3.E9.m1.5.5" mathsize="90%" xref="S3.E9.m1.5.5.cmml">x</mi><mo id="S3.E9.m1.8.8.1.1.4.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E9.m1.8.8.1.1.3" mathsize="90%" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.E9.m1.8.8.1.1.2" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E9.m1.8.8.1.1.1.1" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E9.m1.8.8.1.1.1.1.3" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E9.m1.8.8.1.1.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.cmml">H</mi><mn id="S3.E9.m1.8.8.1.1.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.E9.m1.8.8.1.1.1.1.2" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">κ</mi><mo id="S3.E9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.E9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E9.m1.6.6" mathsize="90%" xref="S3.E9.m1.6.6.cmml">x</mi><mo id="S3.E9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E9.m1.8.8.1.1.1.1.2a" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E9.m1.8.8.1.1.1.1.4" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.1.1.4.cmml"><munderover id="S3.E9.m1.8.8.1.1.1.1.4.1" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="S3.E9.m1.8.8.1.1.1.1.4.1.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" movablelimits="false" stretchy="true" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.1.1.4.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E9.m1.8.8.1.1.1.1.4.1.2.3" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.1.1.4.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E9.m1.8.8.1.1.1.1.4.1.2.3.2" mathsize="90%" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.1.1.4.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E9.m1.8.8.1.1.1.1.4.1.2.3.1" mathsize="90%" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.1.1.4.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.E9.m1.8.8.1.1.1.1.4.1.2.3.3" mathsize="90%" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.1.1.4.1.2.3.3.cmml">0</mn></mrow><mi id="S3.E9.m1.8.8.1.1.1.1.4.1.3" mathsize="90%" mathvariant="normal" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.1.1.4.1.3.cmml">∞</mi></munderover><mfrac id="S3.E9.m1.2.2" xref="S3.E9.m1.2.2.cmml"><mrow id="S3.E9.m1.1.1.1" xref="S3.E9.m1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E9.m1.1.1.1.3" xref="S3.E9.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E9.m1.1.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S3.E9.m1.1.1.1.3.2.cmml">F</mi><mi id="S3.E9.m1.1.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="S3.E9.m1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.E9.m1.1.1.1.2" xref="S3.E9.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E9.m1.1.1.1.4.2" xref="S3.E9.m1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E9.m1.1.1.1.4.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E9.m1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E9.m1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.cmml">ϕ</mi><mo id="S3.E9.m1.1.1.1.4.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E9.m1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><msup id="S3.E9.m1.2.2.2" xref="S3.E9.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.E9.m1.2.2.2.3.2" xref="S3.E9.m1.2.2.2.3.1.cmml"><mo id="S3.E9.m1.2.2.2.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E9.m1.2.2.2.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E9.m1.2.2.2.1" mathsize="90%" xref="S3.E9.m1.2.2.2.1.cmml">x</mi><mo id="S3.E9.m1.2.2.2.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E9.m1.2.2.2.3.1.1.cmml">|</mo></mrow><mi id="S3.E9.m1.2.2.2.4" mathsize="90%" xref="S3.E9.m1.2.2.2.4.cmml">j</mi></msup></mfrac></mrow></mrow><mo id="S3.E9.m1.8.8.1.1.2.3" mathsize="90%" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S3.E9.m1.8.8.1.1.2.2" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.2.2.cmml"><msub id="S3.E9.m1.8.8.1.1.2.2.3" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E9.m1.8.8.1.1.2.2.3.2" mathsize="90%" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.2.2.3.2.cmml">H</mi><mn id="S3.E9.m1.8.8.1.1.2.2.3.3" mathsize="90%" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.E9.m1.8.8.1.1.2.2.2" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E9.m1.8.8.1.1.2.2.1.1" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E9.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E9.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E9.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">κ</mi><mo id="S3.E9.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E9.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.E9.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E9.m1.7.7" mathsize="90%" xref="S3.E9.m1.7.7.cmml">x</mi><mo id="S3.E9.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E9.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E9.m1.8.8.1.1.2.2.2a" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E9.m1.8.8.1.1.2.2.4" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.2.2.4.cmml"><munderover id="S3.E9.m1.8.8.1.1.2.2.4.1" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.2.2.4.1.cmml"><mo id="S3.E9.m1.8.8.1.1.2.2.4.1.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" movablelimits="false" stretchy="true" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.2.2.4.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E9.m1.8.8.1.1.2.2.4.1.2.3" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.2.2.4.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E9.m1.8.8.1.1.2.2.4.1.2.3.2" mathsize="90%" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.2.2.4.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E9.m1.8.8.1.1.2.2.4.1.2.3.1" mathsize="90%" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.2.2.4.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.E9.m1.8.8.1.1.2.2.4.1.2.3.3" mathsize="90%" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.2.2.4.1.2.3.3.cmml">0</mn></mrow><mi id="S3.E9.m1.8.8.1.1.2.2.4.1.3" mathsize="90%" mathvariant="normal" xref="S3.E9.m1.8.8.1.1.2.2.4.1.3.cmml">∞</mi></munderover><mfrac id="S3.E9.m1.4.4" xref="S3.E9.m1.4.4.cmml"><mrow id="S3.E9.m1.3.3.1" xref="S3.E9.m1.3.3.1.cmml"><msub id="S3.E9.m1.3.3.1.3" xref="S3.E9.m1.3.3.1.3.cmml"><mi id="S3.E9.m1.3.3.1.3.2" mathsize="90%" xref="S3.E9.m1.3.3.1.3.2.cmml">G</mi><mi id="S3.E9.m1.3.3.1.3.3" mathsize="90%" xref="S3.E9.m1.3.3.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.E9.m1.3.3.1.2" xref="S3.E9.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E9.m1.3.3.1.4.2" xref="S3.E9.m1.3.3.1.cmml"><mo id="S3.E9.m1.3.3.1.4.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" 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x\in\mathbb{R}^{2}\setminus B_{\rho}," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p3.1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p3.1.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1" xref="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mtext id="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.2.2a.cmml">for</mtext><mo id="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.2.1" lspace="0.900em" xref="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.2.3" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">x</mi></mrow><mo id="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.3.2.2" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">ℝ</mi><mn id="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.3.2.3" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.3.1" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">∖</mo><msub id="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.3.3.2" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">B</mi><mi id="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.3.3.3" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">ρ</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p3.1.1.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1"><in id="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.1"></in><apply id="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.2"><times id="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.2.2a.cmml" xref="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.2.2"><mtext id="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.2.2">for</mtext></ci><ci id="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.2.3">𝑥</ci></apply><apply id="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.3"><setdiff id="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.3.1"></setdiff><apply id="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.3.2.2">ℝ</ci><cn id="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.3.3.2">𝐵</ci><ci id="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.3.3.3">𝜌</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p3.1.1.m1.1c">\mbox{\rm for}\ \ x\in\mathbb{R}^{2}\setminus B_{\rho},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p3.1.1.m1.1d">for italic_x ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∖ italic_B start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S3.SS1.p3.1.1.1" style="font-size:90%;"></span></p> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p3.5"><span class="ltx_text" id="S3.SS1.p3.5.1" style="font-size:90%;">where </span><math alttext="H_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p3.2.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p3.2.m1.1a"><msub id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.2.cmml">H</mi><mn id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p3.2.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.2">𝐻</ci><cn id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p3.2.m1.1c">H_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p3.2.m1.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S3.SS1.p3.5.2" style="font-size:90%;"> and </span><math alttext="H_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p3.3.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p3.3.m2.1a"><msub id="S3.SS1.p3.3.m2.1.1" xref="S3.SS1.p3.3.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p3.3.m2.1.1.2" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p3.3.m2.1.1.2.cmml">H</mi><mn id="S3.SS1.p3.3.m2.1.1.3" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p3.3.m2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p3.3.m2.1b"><apply id="S3.SS1.p3.3.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p3.3.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p3.3.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m2.1.1.2">𝐻</ci><cn id="S3.SS1.p3.3.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p3.3.m2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p3.3.m2.1c">H_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p3.3.m2.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S3.SS1.p3.5.3" style="font-size:90%;"> are the Hankel functions of the first kind of order zero and one respectively. The series converges absolutely and uniformly for </span><math alttext="|x|\geqq\rho_{1}>\rho" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p3.4.m3.1"><semantics id="S3.SS1.p3.4.m3.1a"><mrow id="S3.SS1.p3.4.m3.1.2" xref="S3.SS1.p3.4.m3.1.2.cmml"><mrow id="S3.SS1.p3.4.m3.1.2.2.2" xref="S3.SS1.p3.4.m3.1.2.2.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p3.4.m3.1.2.2.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.SS1.p3.4.m3.1.2.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.SS1.p3.4.m3.1.1" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p3.4.m3.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.SS1.p3.4.m3.1.2.2.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.SS1.p3.4.m3.1.2.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.SS1.p3.4.m3.1.2.3" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p3.4.m3.1.2.3.cmml">≧</mo><msub id="S3.SS1.p3.4.m3.1.2.4" xref="S3.SS1.p3.4.m3.1.2.4.cmml"><mi id="S3.SS1.p3.4.m3.1.2.4.2" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p3.4.m3.1.2.4.2.cmml">ρ</mi><mn id="S3.SS1.p3.4.m3.1.2.4.3" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p3.4.m3.1.2.4.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.SS1.p3.4.m3.1.2.5" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p3.4.m3.1.2.5.cmml">></mo><mi id="S3.SS1.p3.4.m3.1.2.6" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p3.4.m3.1.2.6.cmml">ρ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p3.4.m3.1b"><apply id="S3.SS1.p3.4.m3.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.4.m3.1.2"><and id="S3.SS1.p3.4.m3.1.2a.cmml" xref="S3.SS1.p3.4.m3.1.2"></and><apply id="S3.SS1.p3.4.m3.1.2b.cmml" xref="S3.SS1.p3.4.m3.1.2"><geq id="S3.SS1.p3.4.m3.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p3.4.m3.1.2.3"></geq><apply id="S3.SS1.p3.4.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.4.m3.1.2.2.2"><abs id="S3.SS1.p3.4.m3.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.4.m3.1.2.2.2.1"></abs><ci id="S3.SS1.p3.4.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.4.m3.1.1">𝑥</ci></apply><apply id="S3.SS1.p3.4.m3.1.2.4.cmml" xref="S3.SS1.p3.4.m3.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p3.4.m3.1.2.4.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.4.m3.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p3.4.m3.1.2.4.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.4.m3.1.2.4.2">𝜌</ci><cn id="S3.SS1.p3.4.m3.1.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p3.4.m3.1.2.4.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.SS1.p3.4.m3.1.2c.cmml" xref="S3.SS1.p3.4.m3.1.2"><gt id="S3.SS1.p3.4.m3.1.2.5.cmml" xref="S3.SS1.p3.4.m3.1.2.5"></gt><share href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S3.SS1.p3.4.m3.1.2.4.cmml" id="S3.SS1.p3.4.m3.1.2d.cmml" xref="S3.SS1.p3.4.m3.1.2"></share><ci id="S3.SS1.p3.4.m3.1.2.6.cmml" xref="S3.SS1.p3.4.m3.1.2.6">𝜌</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p3.4.m3.1c">|x|\geqq\rho_{1}>\rho</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p3.4.m3.1d">| italic_x | ≧ italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT > italic_ρ</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S3.SS1.p3.5.4" style="font-size:90%;"> (for any such </span><math alttext="\rho_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p3.5.m4.1"><semantics id="S3.SS1.p3.5.m4.1a"><msub id="S3.SS1.p3.5.m4.1.1" xref="S3.SS1.p3.5.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p3.5.m4.1.1.2" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p3.5.m4.1.1.2.cmml">ρ</mi><mn id="S3.SS1.p3.5.m4.1.1.3" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p3.5.m4.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p3.5.m4.1b"><apply id="S3.SS1.p3.5.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.5.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p3.5.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.5.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p3.5.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.5.m4.1.1.2">𝜌</ci><cn id="S3.SS1.p3.5.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p3.5.m4.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p3.5.m4.1c">\rho_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p3.5.m4.1d">italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S3.SS1.p3.5.5" style="font-size:90%;">).</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p4"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p4.3"><span class="ltx_text" id="S3.SS1.p4.3.1" style="font-size:90%;">The important result is that </span><math alttext="F_{j}(\phi),G_{j}(\phi),\ j=0,1,2,...n," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p4.1.m1.6"><semantics id="S3.SS1.p4.1.m1.6a"><mrow id="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1"><mrow id="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.2" xref="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.cmml"><mrow id="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">F</mi><mi id="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml">ϕ</mi><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><msub id="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.2" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">G</mi><mi id="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.3" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p4.1.m1.2.2" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p4.1.m1.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.4" mathsize="90%" rspace="0.617em" xref="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.SS1.p4.1.m1.3.3" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p4.1.m1.3.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mn id="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.4" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.4.cmml">0</mn></mrow><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.2.3" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.2.2.1" xref="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.2.2.2.cmml"><mn id="S3.SS1.p4.1.m1.4.4" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p4.1.m1.4.4.cmml">1</mn><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.2.2.1.2" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.2.2.2.cmml">,</mo><mn id="S3.SS1.p4.1.m1.5.5" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p4.1.m1.5.5.cmml">2</mn><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.2.2.1.3" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.2.2.2.cmml">,</mo><mrow id="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.2.2.1.1" xref="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2" mathsize="90%" mathvariant="normal" xref="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2.cmml">…</mi><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1" xref="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.cmml">n</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.2" 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id="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐹</ci><ci id="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1">italic-ϕ</ci></apply><apply id="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2"><times id="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.1"></times><apply id="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝐺</ci><ci id="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S3.SS1.p4.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.2.2">italic-ϕ</ci></apply><ci id="S3.SS1.p4.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.3.3">𝑗</ci></list><cn id="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.4.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.1.1.4">0</cn></apply><list id="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.2.2.1"><cn id="S3.SS1.p4.1.m1.4.4.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p4.1.m1.4.4">1</cn><cn id="S3.SS1.p4.1.m1.5.5.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p4.1.m1.5.5">2</cn><apply id="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.2.2.1.1"><times id="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1"></times><ci id="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2">…</ci><ci id="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3">𝑛</ci></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p4.1.m1.6c">F_{j}(\phi),G_{j}(\phi),\ j=0,1,2,...n,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p4.1.m1.6d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ϕ ) , italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ϕ ) , italic_j = 0 , 1 , 2 , … italic_n ,</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S3.SS1.p4.3.2" style="font-size:90%;"> in (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S3.E9" style="font-size:90%;" title="In 3.1 The Karp Expansion ‣ 3 Preliminaries"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">9</span></a><span class="ltx_text" id="S3.SS1.p4.3.3" style="font-size:90%;">) are uniquely determined from </span><math alttext="f_{j}(\phi),f_{j}(\phi+\pi),\ j=0,1,2,...n," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p4.2.m2.5"><semantics id="S3.SS1.p4.2.m2.5a"><mrow id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1"><mrow id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.2" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2" 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xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.3" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><msub id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.2" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml">f</mi><mi id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.3" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.1.1" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.4" mathsize="90%" rspace="0.617em" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.SS1.p4.2.m2.2.2" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p4.2.m2.2.2.cmml">j</mi></mrow><mo id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mn id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.4" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.4.cmml">0</mn></mrow><mo id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.2.3" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.2.2.1" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.2.2.2.cmml"><mn id="S3.SS1.p4.2.m2.3.3" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p4.2.m2.3.3.cmml">1</mn><mo id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.2.2.1.2" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.2.2.2.cmml">,</mo><mn id="S3.SS1.p4.2.m2.4.4" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p4.2.m2.4.4.cmml">2</mn><mo id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.2.2.1.3" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.2.2.2.cmml">,</mo><mrow id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.2.2.1.1" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.2.2.1.1.2" mathsize="90%" mathvariant="normal" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.2.2.1.1.2.cmml">…</mi><mo id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.2.2.1.1.1" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.2.2.1.1.3" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.2.2.1.1.3.cmml">n</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.2" mathsize="90%">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p4.2.m2.5b"><apply id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.3a.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1"><eq id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.3"></eq><list id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2"><apply id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑓</ci><ci id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1">italic-ϕ</ci></apply><apply id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2"><times id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2"></times><apply id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.2">𝑓</ci><ci id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.1.1"><plus id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2">italic-ϕ</ci><ci id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3">𝜋</ci></apply></apply><ci id="S3.SS1.p4.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.2.2">𝑗</ci></list><cn id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.4.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.1.1.4">0</cn></apply><list id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.2.2.1"><cn id="S3.SS1.p4.2.m2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p4.2.m2.3.3">1</cn><cn id="S3.SS1.p4.2.m2.4.4.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p4.2.m2.4.4">2</cn><apply id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.2.2.1.1"><times id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.2.2.1.1.1"></times><ci id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.2.2.1.1.2">…</ci><ci id="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.5.5.1.1.2.2.1.1.3">𝑛</ci></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p4.2.m2.5c">f_{j}(\phi),f_{j}(\phi+\pi),\ j=0,1,2,...n,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p4.2.m2.5d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ϕ ) , italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ϕ + italic_π ) , italic_j = 0 , 1 , 2 , … italic_n ,</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S3.SS1.p4.3.4" style="font-size:90%;"> in (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S3.E8" style="font-size:90%;" title="In 3 Preliminaries"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">8</span></a><span class="ltx_text" id="S3.SS1.p4.3.5" style="font-size:90%;">) via recurrent formulas; (see Theorem III of </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S3.SS1.p4.3.6.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib13" title="">13</a><span class="ltx_text" id="S3.SS1.p4.3.7.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S3.SS1.p4.3.8" style="font-size:90%;"> for </span><math alttext="n=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p4.3.m3.1"><semantics id="S3.SS1.p4.3.m3.1a"><mrow id="S3.SS1.p4.3.m3.1.1" xref="S3.SS1.p4.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p4.3.m3.1.1.2" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p4.3.m3.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S3.SS1.p4.3.m3.1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p4.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.SS1.p4.3.m3.1.1.3" mathsize="90%" xref="S3.SS1.p4.3.m3.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p4.3.m3.1b"><apply id="S3.SS1.p4.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.3.m3.1.1"><eq id="S3.SS1.p4.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.3.m3.1.1.1"></eq><ci id="S3.SS1.p4.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.3.m3.1.1.2">𝑛</ci><cn id="S3.SS1.p4.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p4.3.m3.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p4.3.m3.1c">n=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p4.3.m3.1d">italic_n = 0</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S3.SS1.p4.3.9" style="font-size:90%;">, Theorem 3 of </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S3.SS1.p4.3.10.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib16" title="">16</a><span class="ltx_text" id="S3.SS1.p4.3.11.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S3.SS1.p4.3.12" style="font-size:90%;"> for the general case).</span></p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection" style="font-size:90%;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">3.2 </span>A two-point approximation for <math alttext="\psi" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.1.m1.1b"><mi id="S3.SS2.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.1.m1.1.1.cmml">ψ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.1.m1.1c"><ci id="S3.SS2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.1.m1.1.1">𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.1.m1.1d">\psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.1.m1.1e">italic_ψ</annotation></semantics></math> </h3> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p1.2"><span class="ltx_text" id="S3.SS2.p1.2.1" style="font-size:90%;">Let</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E10"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="I(x)=\sqrt{|x|}Im(\psi(x)),\ \ x\in\cal{U}," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E10.m1.4"><semantics id="S3.E10.m1.4a"><mrow id="S3.E10.m1.4.4.1"><mrow id="S3.E10.m1.4.4.1.1.2" xref="S3.E10.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml">I</mi><mo id="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.E10.m1.2.2" mathsize="90%" xref="S3.E10.m1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><msqrt id="S3.E10.m1.1.1" xref="S3.E10.m1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E10.m1.1.1.1.3" xref="S3.E10.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E10.m1.1.1.1.3.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E10.m1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E10.m1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.E10.m1.1.1.1.3.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E10.m1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></msqrt><mo id="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml">I</mi><mo id="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.1.4" mathsize="90%" xref="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.cmml">m</mi><mo id="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.1.2b" xref="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mo id="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E10.m1.3.3" mathsize="90%" xref="S3.E10.m1.3.3.cmml">x</mi><mo id="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E10.m1.4.4.1.1.2.3" mathsize="90%" rspace="1.067em" xref="S3.E10.m1.4.4.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E10.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S3.E10.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E10.m1.4.4.1.1.2.2.2" mathsize="90%" xref="S3.E10.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S3.E10.m1.4.4.1.1.2.2.1" mathsize="90%" xref="S3.E10.m1.4.4.1.1.2.2.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E10.m1.4.4.1.1.2.2.3" mathsize="90%" xref="S3.E10.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml">𝒰</mi></mrow></mrow><mo id="S3.E10.m1.4.4.1.2" mathsize="90%">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E10.m1.4b"><apply id="S3.E10.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S3.E10.m1.4.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E10.m1.4.4.1.1.3a.cmml" xref="S3.E10.m1.4.4.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1"><eq id="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.3"><times id="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.3.2">𝐼</ci><ci id="S3.E10.m1.2.2.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2">𝑥</ci></apply><apply id="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.1"><times id="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E10.m1.1.1.cmml" xref="S3.E10.m1.1.1"><root id="S3.E10.m1.1.1a.cmml" xref="S3.E10.m1.1.1"></root><apply id="S3.E10.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E10.m1.1.1.1.3"><abs id="S3.E10.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E10.m1.1.1.1.3.1"></abs><ci id="S3.E10.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1">𝑥</ci></apply></apply><ci id="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.1.3">𝐼</ci><ci id="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.1.4">𝑚</ci><apply id="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E10.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S3.E10.m1.3.3.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3">𝑥</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E10.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E10.m1.4.4.1.1.2.2"><in id="S3.E10.m1.4.4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E10.m1.4.4.1.1.2.2.1"></in><ci id="S3.E10.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E10.m1.4.4.1.1.2.2.2">𝑥</ci><ci id="S3.E10.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E10.m1.4.4.1.1.2.2.3">𝒰</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E10.m1.4c">I(x)=\sqrt{|x|}Im(\psi(x)),\ \ x\in\cal{U},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E10.m1.4d">italic_I ( italic_x ) = square-root start_ARG | italic_x | end_ARG italic_I italic_m ( italic_ψ ( italic_x ) ) , italic_x ∈ caligraphic_U ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(10)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p1.1"><span class="ltx_text" id="S3.SS2.p1.1.1" style="font-size:90%;">where </span><math alttext="\psi" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p1.1.m1.1a"><mi id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml">ψ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.1.m1.1b"><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1">𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.1.m1.1c">\psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.1.m1.1d">italic_ψ</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S3.SS2.p1.1.2" style="font-size:90%;"> is a radiation solution of equation (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S1.E1" style="font-size:90%;" title="In 1 Introduction"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a><span class="ltx_text" id="S3.SS2.p1.1.3" style="font-size:90%;">). </span> <br class="ltx_break"/></p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p2.4"><span class="ltx_text" id="S3.SS2.p2.4.1" style="font-size:90%;">We have that</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E11"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="2iI(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi\kappa}}(e^{i(\kappa|x|-\frac{\pi}{4})}f_{0}(\phi)-e^% {-i(\kappa|x|-\frac{\pi}{4})}\overline{f_{0}(\phi)})+O\bigl{(}\frac{1}{|x|}% \bigr{)},\text{ as }|x|\to\infty," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E11.m1.10"><semantics id="S3.E11.m1.10a"><mrow id="S3.E11.m1.10.10.1"><mrow id="S3.E11.m1.10.10.1.1.2" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.3" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi><mo id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.3.1a" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.3.4" mathsize="90%" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.3.4.cmml">I</mi><mo id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.3.1b" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.3.5.2" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.3.5.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.E11.m1.7.7" mathsize="90%" xref="S3.E11.m1.7.7.cmml">x</mi><mo id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.3.5.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.cmml"><msqrt id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.2.2" mathsize="90%" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">2</mn><mrow id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" mathsize="90%" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">π</mi><mo id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" mathsize="90%" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">κ</mi></mrow></mfrac></msqrt><mo id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" mathsize="90%" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S3.E11.m1.2.2.2" xref="S3.E11.m1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E11.m1.2.2.2.4" mathsize="90%" xref="S3.E11.m1.2.2.2.4.cmml">i</mi><mo id="S3.E11.m1.2.2.2.3" xref="S3.E11.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E11.m1.2.2.2.2.1" xref="S3.E11.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.E11.m1.2.2.2.2.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E11.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E11.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S3.E11.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E11.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S3.E11.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E11.m1.2.2.2.2.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="S3.E11.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml">κ</mi><mo id="S3.E11.m1.2.2.2.2.1.1.2.1" xref="S3.E11.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E11.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.2" xref="S3.E11.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S3.E11.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E11.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E11.m1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.E11.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E11.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E11.m1.2.2.2.2.1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.E11.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mfrac id="S3.E11.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S3.E11.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E11.m1.2.2.2.2.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S3.E11.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml">π</mi><mn id="S3.E11.m1.2.2.2.2.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="S3.E11.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml">4</mn></mfrac></mrow><mo id="S3.E11.m1.2.2.2.2.1.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E11.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup><mo id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" mathsize="90%" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">f</mi><mn id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" mathsize="90%" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E11.m1.8.8" mathsize="90%" xref="S3.E11.m1.8.8.cmml">ϕ</mi><mo id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" mathsize="90%" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S3.E11.m1.4.4.2" xref="S3.E11.m1.4.4.2.cmml"><mo id="S3.E11.m1.4.4.2a" mathsize="90%" xref="S3.E11.m1.4.4.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.E11.m1.4.4.2.2" xref="S3.E11.m1.4.4.2.2.cmml"><mi id="S3.E11.m1.4.4.2.2.3" mathsize="90%" xref="S3.E11.m1.4.4.2.2.3.cmml">i</mi><mo id="S3.E11.m1.4.4.2.2.2" xref="S3.E11.m1.4.4.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E11.m1.4.4.2.2.1.1" xref="S3.E11.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E11.m1.4.4.2.2.1.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E11.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E11.m1.4.4.2.2.1.1.1" xref="S3.E11.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E11.m1.4.4.2.2.1.1.1.2" xref="S3.E11.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E11.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="S3.E11.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.cmml">κ</mi><mo id="S3.E11.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.1" xref="S3.E11.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E11.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E11.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S3.E11.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E11.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E11.m1.3.3.1.1" mathsize="90%" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.E11.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E11.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E11.m1.4.4.2.2.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.E11.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mfrac id="S3.E11.m1.4.4.2.2.1.1.1.3" xref="S3.E11.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E11.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S3.E11.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.cmml">π</mi><mn id="S3.E11.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="S3.E11.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.3.cmml">4</mn></mfrac></mrow><mo id="S3.E11.m1.4.4.2.2.1.1.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E11.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></msup><mo id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S3.E11.m1.5.5" xref="S3.E11.m1.5.5.cmml"><mrow id="S3.E11.m1.5.5.1" xref="S3.E11.m1.5.5.1.cmml"><msub id="S3.E11.m1.5.5.1.3" xref="S3.E11.m1.5.5.1.3.cmml"><mi id="S3.E11.m1.5.5.1.3.2" mathsize="90%" xref="S3.E11.m1.5.5.1.3.2.cmml">f</mi><mn id="S3.E11.m1.5.5.1.3.3" mathsize="90%" xref="S3.E11.m1.5.5.1.3.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.E11.m1.5.5.1.2" xref="S3.E11.m1.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E11.m1.5.5.1.4.2" xref="S3.E11.m1.5.5.1.cmml"><mo id="S3.E11.m1.5.5.1.4.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E11.m1.5.5.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E11.m1.5.5.1.1" mathsize="90%" xref="S3.E11.m1.5.5.1.1.cmml">ϕ</mi><mo id="S3.E11.m1.5.5.1.4.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E11.m1.5.5.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E11.m1.5.5.2" mathsize="90%" xref="S3.E11.m1.5.5.2.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><mo id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.2.cmml">O</mi><mo id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E11.m1.6.6.cmml"><mo id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.3.2.1" maxsize="120%" minsize="120%" xref="S3.E11.m1.6.6.cmml">(</mo><mfrac id="S3.E11.m1.6.6" xref="S3.E11.m1.6.6.cmml"><mn id="S3.E11.m1.6.6.3" mathsize="90%" xref="S3.E11.m1.6.6.3.cmml">1</mn><mrow id="S3.E11.m1.6.6.1.3" xref="S3.E11.m1.6.6.1.2.cmml"><mo id="S3.E11.m1.6.6.1.3.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E11.m1.6.6.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E11.m1.6.6.1.1" mathsize="90%" xref="S3.E11.m1.6.6.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.E11.m1.6.6.1.3.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E11.m1.6.6.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mfrac><mo id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.3.2.2" maxsize="120%" minsize="120%" xref="S3.E11.m1.6.6.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E11.m1.10.10.1.1.2.3" mathsize="90%" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E11.m1.10.10.1.1.2.2" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.E11.m1.10.10.1.1.2.2.2" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.2.2.2.cmml"><mtext id="S3.E11.m1.10.10.1.1.2.2.2.2" mathsize="90%" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.2.2.2.2a.cmml"> as </mtext><mo id="S3.E11.m1.10.10.1.1.2.2.2.1" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E11.m1.10.10.1.1.2.2.2.3.2" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.2.2.2.3.1.cmml"><mo id="S3.E11.m1.10.10.1.1.2.2.2.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.2.2.2.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E11.m1.9.9" mathsize="90%" xref="S3.E11.m1.9.9.cmml">x</mi><mo id="S3.E11.m1.10.10.1.1.2.2.2.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.2.2.2.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E11.m1.10.10.1.1.2.2.1" mathsize="90%" stretchy="false" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.2.2.1.cmml">→</mo><mi id="S3.E11.m1.10.10.1.1.2.2.3" mathsize="90%" mathvariant="normal" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.2.2.3.cmml">∞</mi></mrow></mrow><mo id="S3.E11.m1.10.10.1.2" mathsize="90%">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E11.m1.10b"><apply id="S3.E11.m1.10.10.1.1.3.cmml" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.10.10.1.1.3a.cmml" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1"><eq id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.3"><times id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.3.1"></times><cn id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.3.3">𝑖</ci><ci id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.3.4">𝐼</ci><ci id="S3.E11.m1.7.7.cmml" xref="S3.E11.m1.7.7">𝑥</ci></apply><apply id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1"><plus id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.2"></plus><apply id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3"><root id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3"></root><apply id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.2"><divide id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.2"></divide><cn id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.2.2">2</cn><apply id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝜋</ci><ci id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝜅</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑒</ci><apply id="S3.E11.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.2.2.2"><times id="S3.E11.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E11.m1.2.2.2.3"></times><ci id="S3.E11.m1.2.2.2.4.cmml" xref="S3.E11.m1.2.2.2.4">𝑖</ci><apply id="S3.E11.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.2.2.2.2.1"><minus id="S3.E11.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.2.2.2.2.1.1.1"></minus><apply id="S3.E11.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.m1.2.2.2.2.1.1.2"><times id="S3.E11.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.2.2.2.2.1.1.2.1"></times><ci id="S3.E11.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.2.2.2.2.1.1.2.2">𝜅</ci><apply id="S3.E11.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.2"><abs id="S3.E11.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.2.1"></abs><ci id="S3.E11.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S3.E11.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E11.m1.2.2.2.2.1.1.3"><divide id="S3.E11.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.2.2.2.2.1.1.3"></divide><ci id="S3.E11.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E11.m1.2.2.2.2.1.1.3.2">𝜋</ci><cn id="S3.E11.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E11.m1.2.2.2.2.1.1.3.3">4</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑓</ci><cn id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">0</cn></apply><ci id="S3.E11.m1.8.8.cmml" xref="S3.E11.m1.8.8">italic-ϕ</ci></apply><apply id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑒</ci><apply id="S3.E11.m1.4.4.2.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2"><minus id="S3.E11.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2"></minus><apply id="S3.E11.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.2"><times id="S3.E11.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.2.2"></times><ci id="S3.E11.m1.4.4.2.2.3.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.2.3">𝑖</ci><apply id="S3.E11.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.2.1.1"><minus id="S3.E11.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.2.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.E11.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.2.1.1.1.2"><times id="S3.E11.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.E11.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2">𝜅</ci><apply id="S3.E11.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.3.2"><abs id="S3.E11.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.3.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.3.2.1"></abs><ci id="S3.E11.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S3.E11.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.2.1.1.1.3"><divide id="S3.E11.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.2.1.1.1.3"></divide><ci id="S3.E11.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2">𝜋</ci><cn id="S3.E11.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E11.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.3">4</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E11.m1.5.5.cmml" xref="S3.E11.m1.5.5"><ci id="S3.E11.m1.5.5.2.cmml" xref="S3.E11.m1.5.5.2">¯</ci><apply id="S3.E11.m1.5.5.1.cmml" xref="S3.E11.m1.5.5.1"><times id="S3.E11.m1.5.5.1.2.cmml" xref="S3.E11.m1.5.5.1.2"></times><apply id="S3.E11.m1.5.5.1.3.cmml" xref="S3.E11.m1.5.5.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.5.5.1.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.5.5.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E11.m1.5.5.1.3.2.cmml" xref="S3.E11.m1.5.5.1.3.2">𝑓</ci><cn id="S3.E11.m1.5.5.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E11.m1.5.5.1.3.3">0</cn></apply><ci id="S3.E11.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.5.5.1.1">italic-ϕ</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.2">𝑂</ci><apply id="S3.E11.m1.6.6.cmml" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.3.2"><divide id="S3.E11.m1.6.6.2.cmml" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.3.2"></divide><cn id="S3.E11.m1.6.6.3.cmml" type="integer" xref="S3.E11.m1.6.6.3">1</cn><apply id="S3.E11.m1.6.6.1.2.cmml" xref="S3.E11.m1.6.6.1.3"><abs id="S3.E11.m1.6.6.1.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.6.6.1.3.1"></abs><ci id="S3.E11.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.6.6.1.1">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E11.m1.10.10.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.2.2"><ci id="S3.E11.m1.10.10.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.2.2.1">→</ci><apply id="S3.E11.m1.10.10.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.2.2.2"><times id="S3.E11.m1.10.10.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.2.2.2.1"></times><ci id="S3.E11.m1.10.10.1.1.2.2.2.2a.cmml" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.2.2.2.2"><mtext id="S3.E11.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.cmml" mathsize="90%" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.2.2.2.2"> as </mtext></ci><apply id="S3.E11.m1.10.10.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.2.2.2.3.2"><abs id="S3.E11.m1.10.10.1.1.2.2.2.3.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.2.2.2.3.2.1"></abs><ci id="S3.E11.m1.9.9.cmml" xref="S3.E11.m1.9.9">𝑥</ci></apply></apply><infinity id="S3.E11.m1.10.10.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E11.m1.10.10.1.1.2.2.3"></infinity></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E11.m1.10c">2iI(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi\kappa}}(e^{i(\kappa|x|-\frac{\pi}{4})}f_{0}(\phi)-e^% {-i(\kappa|x|-\frac{\pi}{4})}\overline{f_{0}(\phi)})+O\bigl{(}\frac{1}{|x|}% \bigr{)},\text{ as }|x|\to\infty,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E11.m1.10d">2 italic_i italic_I ( italic_x ) = square-root start_ARG divide start_ARG 2 end_ARG start_ARG italic_π italic_κ end_ARG end_ARG ( italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_i ( italic_κ | italic_x | - divide start_ARG italic_π end_ARG start_ARG 4 end_ARG ) end_POSTSUPERSCRIPT italic_f start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ϕ ) - italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_i ( italic_κ | italic_x | - divide start_ARG italic_π end_ARG start_ARG 4 end_ARG ) end_POSTSUPERSCRIPT over¯ start_ARG italic_f start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ϕ ) end_ARG ) + italic_O ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG | italic_x | end_ARG ) , as | italic_x | → ∞ ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(11)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p2.3"><span class="ltx_text" id="S3.SS2.p2.3.1" style="font-size:90%;">uniformly in </span><math alttext="\theta" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p2.1.m1.1a"><mi id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml">θ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.1.m1.1b"><ci id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1">𝜃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.1.m1.1c">\theta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.1.m1.1d">italic_θ</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S3.SS2.p2.3.2" style="font-size:90%;"> = </span><math alttext="x/|x|" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.p2.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS2.p2.2.m2.1.2" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.2.m2.1.2.2" mathsize="90%" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S3.SS2.p2.2.m2.1.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" stretchy="true" symmetric="true" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.2.1.cmml">/</mo><mrow id="S3.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.2.3.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.2.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1" mathsize="90%" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.2.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.2.m2.1b"><apply id="S3.SS2.p2.2.m2.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.2"><divide id="S3.SS2.p2.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.2.1"></divide><ci id="S3.SS2.p2.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.2.2">𝑥</ci><apply id="S3.SS2.p2.2.m2.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2"><abs id="S3.SS2.p2.2.m2.1.2.3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.1"></abs><ci id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1">𝑥</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.2.m2.1c">x/|x|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.2.m2.1d">italic_x / | italic_x |</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S3.SS2.p2.3.3" style="font-size:90%;">, where </span><math alttext="f_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.3.m3.1"><semantics id="S3.SS2.p2.3.m3.1a"><msub id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.2" mathsize="90%" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.2.cmml">f</mi><mn id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.3" mathsize="90%" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.3.m3.1b"><apply id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.2">𝑓</ci><cn id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.3.m3.1c">f_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.3.m3.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S3.SS2.p2.3.4" style="font-size:90%;"> is the leading coefficient in (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S3.E8" style="font-size:90%;" title="In 3 Preliminaries"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">8</span></a><span class="ltx_text" id="S3.SS2.p2.3.5" style="font-size:90%;">).</span> <br class="ltx_break"/></p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_proposition" id="Thmproposition1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem" style="font-size:90%;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmproposition1.1.1.1">Proposition 1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmproposition1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmproposition1.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmproposition1.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmproposition1.p1.1.1" style="font-size:90%;">Let <math alttext="\psi" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.1a"><mi id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.1.1.cmml">ψ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.1b"><ci id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.1.1">𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.1c">\psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.1d">italic_ψ</annotation></semantics></math> be a radiation solution of equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S1.E1" title="In 1 Introduction"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>). Then</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E12"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="f_{0}(\phi)=\frac{1}{sin(\kappa\tau)}\sqrt{\frac{\pi\kappa}{2}}\bigl{(}I(x)e^{% -i(\kappa|y|-\frac{\pi}{4})}-I(y)e^{-i(\kappa|x|-\frac{\pi}{4})}+O\bigl{(}% \frac{1}{|x|}\bigr{)}\bigr{)},\text{ as }|x|\to\infty," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E12.m1.11"><semantics id="S3.E12.m1.11a"><mrow id="S3.E12.m1.11.11.1"><mrow id="S3.E12.m1.11.11.1.1.2" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.3" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.3.2.2" mathsize="90%" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.3.2.2.cmml">f</mi><mn id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.3.2.3" mathsize="90%" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.3.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.3.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.E12.m1.7.7" mathsize="90%" xref="S3.E12.m1.7.7.cmml">ϕ</mi><mo id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.3.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S3.E12.m1.1.1" xref="S3.E12.m1.1.1.cmml"><mn id="S3.E12.m1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S3.E12.m1.1.1.3.cmml">1</mn><mrow id="S3.E12.m1.1.1.1" xref="S3.E12.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E12.m1.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S3.E12.m1.1.1.1.3.cmml">s</mi><mo id="S3.E12.m1.1.1.1.2" xref="S3.E12.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E12.m1.1.1.1.4" mathsize="90%" xref="S3.E12.m1.1.1.1.4.cmml">i</mi><mo id="S3.E12.m1.1.1.1.2a" xref="S3.E12.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E12.m1.1.1.1.5" mathsize="90%" xref="S3.E12.m1.1.1.1.5.cmml">n</mi><mo id="S3.E12.m1.1.1.1.2b" xref="S3.E12.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E12.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">κ</mi><mo id="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><mo id="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac><mo id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msqrt id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.2.2.2" mathsize="90%" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">π</mi><mo id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.2.2.3" mathsize="90%" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">κ</mi></mrow><mn id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.2.3" mathsize="90%" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac></msqrt><mo id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="120%" minsize="120%" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" mathsize="90%" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">I</mi><mo id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E12.m1.8.8" mathsize="90%" xref="S3.E12.m1.8.8.cmml">x</mi><mo id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1a" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.cmml"><mi id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2" mathsize="90%" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.cmml">e</mi><mrow id="S3.E12.m1.3.3.2" xref="S3.E12.m1.3.3.2.cmml"><mo id="S3.E12.m1.3.3.2a" mathsize="90%" xref="S3.E12.m1.3.3.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.E12.m1.3.3.2.2" xref="S3.E12.m1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S3.E12.m1.3.3.2.2.3" mathsize="90%" xref="S3.E12.m1.3.3.2.2.3.cmml">i</mi><mo id="S3.E12.m1.3.3.2.2.2" xref="S3.E12.m1.3.3.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E12.m1.3.3.2.2.1.1" xref="S3.E12.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E12.m1.3.3.2.2.1.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E12.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E12.m1.3.3.2.2.1.1.1" xref="S3.E12.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E12.m1.3.3.2.2.1.1.1.2" xref="S3.E12.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E12.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="S3.E12.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.2.cmml">κ</mi><mo id="S3.E12.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.1" xref="S3.E12.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E12.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E12.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S3.E12.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E12.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E12.m1.2.2.1.1" mathsize="90%" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.cmml">y</mi><mo id="S3.E12.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E12.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E12.m1.3.3.2.2.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.E12.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mfrac id="S3.E12.m1.3.3.2.2.1.1.1.3" xref="S3.E12.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E12.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S3.E12.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.2.cmml">π</mi><mn id="S3.E12.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="S3.E12.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.3.cmml">4</mn></mfrac></mrow><mo id="S3.E12.m1.3.3.2.2.1.1.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E12.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></msup></mrow><mo id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" mathsize="90%" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" mathsize="90%" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">I</mi><mo id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S3.E12.m1.9.9" mathsize="90%" xref="S3.E12.m1.9.9.cmml">y</mi><mo id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1a" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.cmml"><mi id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.2" mathsize="90%" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.2.cmml">e</mi><mrow id="S3.E12.m1.5.5.2" xref="S3.E12.m1.5.5.2.cmml"><mo id="S3.E12.m1.5.5.2a" mathsize="90%" xref="S3.E12.m1.5.5.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.E12.m1.5.5.2.2" xref="S3.E12.m1.5.5.2.2.cmml"><mi id="S3.E12.m1.5.5.2.2.3" mathsize="90%" xref="S3.E12.m1.5.5.2.2.3.cmml">i</mi><mo id="S3.E12.m1.5.5.2.2.2" xref="S3.E12.m1.5.5.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E12.m1.5.5.2.2.1.1" xref="S3.E12.m1.5.5.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E12.m1.5.5.2.2.1.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E12.m1.5.5.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E12.m1.5.5.2.2.1.1.1" xref="S3.E12.m1.5.5.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E12.m1.5.5.2.2.1.1.1.2" xref="S3.E12.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E12.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="S3.E12.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.2.cmml">κ</mi><mo id="S3.E12.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.1" xref="S3.E12.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E12.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E12.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S3.E12.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E12.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E12.m1.4.4.1.1" mathsize="90%" xref="S3.E12.m1.4.4.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.E12.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E12.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E12.m1.5.5.2.2.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.E12.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mfrac id="S3.E12.m1.5.5.2.2.1.1.1.3" xref="S3.E12.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E12.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S3.E12.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.2.cmml">π</mi><mn id="S3.E12.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="S3.E12.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.3.cmml">4</mn></mfrac></mrow><mo id="S3.E12.m1.5.5.2.2.1.1.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E12.m1.5.5.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></msup></mrow></mrow><mo id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">O</mi><mo id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E12.m1.6.6.cmml"><mo id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" maxsize="120%" minsize="120%" xref="S3.E12.m1.6.6.cmml">(</mo><mfrac id="S3.E12.m1.6.6" xref="S3.E12.m1.6.6.cmml"><mn id="S3.E12.m1.6.6.3" mathsize="90%" xref="S3.E12.m1.6.6.3.cmml">1</mn><mrow id="S3.E12.m1.6.6.1.3" xref="S3.E12.m1.6.6.1.2.cmml"><mo id="S3.E12.m1.6.6.1.3.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E12.m1.6.6.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E12.m1.6.6.1.1" mathsize="90%" xref="S3.E12.m1.6.6.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.E12.m1.6.6.1.3.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E12.m1.6.6.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mfrac><mo id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" maxsize="120%" minsize="120%" xref="S3.E12.m1.6.6.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="120%" minsize="120%" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E12.m1.11.11.1.1.2.3" mathsize="90%" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E12.m1.11.11.1.1.2.2" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.E12.m1.11.11.1.1.2.2.2" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.2.2.2.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.E12.m1.11.11.1.1.2.2.2.2" mathsize="90%" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.2.2.2.2a.cmml"> as </mtext><mo id="S3.E12.m1.11.11.1.1.2.2.2.1" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E12.m1.11.11.1.1.2.2.2.3.2" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.2.2.2.3.1.cmml"><mo id="S3.E12.m1.11.11.1.1.2.2.2.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.2.2.2.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E12.m1.10.10" mathsize="90%" xref="S3.E12.m1.10.10.cmml">x</mi><mo id="S3.E12.m1.11.11.1.1.2.2.2.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.2.2.2.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E12.m1.11.11.1.1.2.2.1" mathsize="90%" stretchy="false" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.2.2.1.cmml">→</mo><mi id="S3.E12.m1.11.11.1.1.2.2.3" mathsize="90%" mathvariant="normal" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.2.2.3.cmml">∞</mi></mrow></mrow><mo id="S3.E12.m1.11.11.1.2" mathsize="90%">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E12.m1.11b"><apply id="S3.E12.m1.11.11.1.1.3.cmml" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E12.m1.11.11.1.1.3a.cmml" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1"><eq id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.3"><times id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.3.2.2">𝑓</ci><cn id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.3.2.3">0</cn></apply><ci id="S3.E12.m1.7.7.cmml" xref="S3.E12.m1.7.7">italic-ϕ</ci></apply><apply id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1"><times id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E12.m1.1.1.cmml" xref="S3.E12.m1.1.1"><divide id="S3.E12.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.E12.m1.1.1"></divide><cn id="S3.E12.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E12.m1.1.1.3">1</cn><apply id="S3.E12.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.m1.1.1.1"><times id="S3.E12.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E12.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E12.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E12.m1.1.1.1.3">𝑠</ci><ci id="S3.E12.m1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E12.m1.1.1.1.4">𝑖</ci><ci id="S3.E12.m1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.E12.m1.1.1.1.5">𝑛</ci><apply id="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝜅</ci><ci id="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E12.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝜏</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.3"><root id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.3a.cmml" 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xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><minus id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></minus><apply id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><times id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1"></times><ci id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝐼</ci><ci id="S3.E12.m1.8.8.cmml" xref="S3.E12.m1.8.8">𝑥</ci><apply id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.cmml" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.cmml" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2">𝑒</ci><apply id="S3.E12.m1.3.3.2.cmml" xref="S3.E12.m1.3.3.2"><minus id="S3.E12.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.E12.m1.3.3.2"></minus><apply id="S3.E12.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E12.m1.3.3.2.2"><times id="S3.E12.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E12.m1.3.3.2.2.2"></times><ci id="S3.E12.m1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S3.E12.m1.3.3.2.2.3">𝑖</ci><apply id="S3.E12.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.m1.3.3.2.2.1.1"><minus id="S3.E12.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.m1.3.3.2.2.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.E12.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E12.m1.3.3.2.2.1.1.1.2"><times id="S3.E12.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E12.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.E12.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E12.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.2">𝜅</ci><apply id="S3.E12.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E12.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.3.2"><abs id="S3.E12.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.3.1.1.cmml" xref="S3.E12.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.3.2.1"></abs><ci id="S3.E12.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1">𝑦</ci></apply></apply><apply id="S3.E12.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E12.m1.3.3.2.2.1.1.1.3"><divide id="S3.E12.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E12.m1.3.3.2.2.1.1.1.3"></divide><ci id="S3.E12.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E12.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.2">𝜋</ci><cn id="S3.E12.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E12.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.3">4</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝐼</ci><ci id="S3.E12.m1.9.9.cmml" xref="S3.E12.m1.9.9">𝑦</ci><apply id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.cmml" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.1.cmml" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4">superscript</csymbol><ci id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.2.cmml" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.2">𝑒</ci><apply id="S3.E12.m1.5.5.2.cmml" xref="S3.E12.m1.5.5.2"><minus id="S3.E12.m1.5.5.2.3.cmml" xref="S3.E12.m1.5.5.2"></minus><apply id="S3.E12.m1.5.5.2.2.cmml" xref="S3.E12.m1.5.5.2.2"><times id="S3.E12.m1.5.5.2.2.2.cmml" xref="S3.E12.m1.5.5.2.2.2"></times><ci id="S3.E12.m1.5.5.2.2.3.cmml" xref="S3.E12.m1.5.5.2.2.3">𝑖</ci><apply id="S3.E12.m1.5.5.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.m1.5.5.2.2.1.1"><minus id="S3.E12.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.m1.5.5.2.2.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.E12.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E12.m1.5.5.2.2.1.1.1.2"><times id="S3.E12.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E12.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.E12.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E12.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.2">𝜅</ci><apply id="S3.E12.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E12.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.3.2"><abs id="S3.E12.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.3.1.1.cmml" xref="S3.E12.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.3.2.1"></abs><ci id="S3.E12.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.E12.m1.4.4.1.1">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S3.E12.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E12.m1.5.5.2.2.1.1.1.3"><divide id="S3.E12.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E12.m1.5.5.2.2.1.1.1.3"></divide><ci id="S3.E12.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E12.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.2">𝜋</ci><cn id="S3.E12.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E12.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.3">4</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑂</ci><apply id="S3.E12.m1.6.6.cmml" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2"><divide id="S3.E12.m1.6.6.2.cmml" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2"></divide><cn id="S3.E12.m1.6.6.3.cmml" type="integer" xref="S3.E12.m1.6.6.3">1</cn><apply id="S3.E12.m1.6.6.1.2.cmml" xref="S3.E12.m1.6.6.1.3"><abs id="S3.E12.m1.6.6.1.2.1.cmml" xref="S3.E12.m1.6.6.1.3.1"></abs><ci id="S3.E12.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S3.E12.m1.6.6.1.1">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E12.m1.11.11.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.2.2"><ci id="S3.E12.m1.11.11.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.2.2.1">→</ci><apply id="S3.E12.m1.11.11.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.2.2.2"><times id="S3.E12.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.2.2.2.1"></times><ci id="S3.E12.m1.11.11.1.1.2.2.2.2a.cmml" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.2.2.2.2"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.E12.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.cmml" mathsize="90%" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.2.2.2.2"> as </mtext></ci><apply id="S3.E12.m1.11.11.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.2.2.2.3.2"><abs id="S3.E12.m1.11.11.1.1.2.2.2.3.1.1.cmml" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.2.2.2.3.2.1"></abs><ci id="S3.E12.m1.10.10.cmml" xref="S3.E12.m1.10.10">𝑥</ci></apply></apply><infinity id="S3.E12.m1.11.11.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E12.m1.11.11.1.1.2.2.3"></infinity></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E12.m1.11c">f_{0}(\phi)=\frac{1}{sin(\kappa\tau)}\sqrt{\frac{\pi\kappa}{2}}\bigl{(}I(x)e^{% -i(\kappa|y|-\frac{\pi}{4})}-I(y)e^{-i(\kappa|x|-\frac{\pi}{4})}+O\bigl{(}% \frac{1}{|x|}\bigr{)}\bigr{)},\text{ as }|x|\to\infty,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E12.m1.11d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ϕ ) = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_s italic_i italic_n ( italic_κ italic_τ ) end_ARG square-root start_ARG divide start_ARG italic_π italic_κ end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_ARG ( italic_I ( italic_x ) italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_i ( italic_κ | italic_y | - divide start_ARG italic_π end_ARG start_ARG 4 end_ARG ) end_POSTSUPERSCRIPT - italic_I ( italic_y ) italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_i ( italic_κ | italic_x | - divide start_ARG italic_π end_ARG start_ARG 4 end_ARG ) end_POSTSUPERSCRIPT + italic_O ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG | italic_x | end_ARG ) ) , as | italic_x | → ∞ ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(12)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p ltx_align_center" id="Thmproposition1.p1.6.5"><math alttext="x,y\in L_{x_{0},\theta}^{+}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition1.p1.2.1.m1.4"><semantics id="Thmproposition1.p1.2.1.m1.4a"><mrow id="Thmproposition1.p1.2.1.m1.4.5" xref="Thmproposition1.p1.2.1.m1.4.5.cmml"><mrow id="Thmproposition1.p1.2.1.m1.4.5.2.2" xref="Thmproposition1.p1.2.1.m1.4.5.2.1.cmml"><mi id="Thmproposition1.p1.2.1.m1.3.3" mathsize="90%" xref="Thmproposition1.p1.2.1.m1.3.3.cmml">x</mi><mo id="Thmproposition1.p1.2.1.m1.4.5.2.2.1" mathsize="90%" xref="Thmproposition1.p1.2.1.m1.4.5.2.1.cmml">,</mo><mi id="Thmproposition1.p1.2.1.m1.4.4" mathsize="90%" xref="Thmproposition1.p1.2.1.m1.4.4.cmml">y</mi></mrow><mo id="Thmproposition1.p1.2.1.m1.4.5.1" mathsize="90%" xref="Thmproposition1.p1.2.1.m1.4.5.1.cmml">∈</mo><msubsup id="Thmproposition1.p1.2.1.m1.4.5.3" xref="Thmproposition1.p1.2.1.m1.4.5.3.cmml"><mi id="Thmproposition1.p1.2.1.m1.4.5.3.2.2" mathsize="90%" xref="Thmproposition1.p1.2.1.m1.4.5.3.2.2.cmml">L</mi><mrow id="Thmproposition1.p1.2.1.m1.2.2.2.2" xref="Thmproposition1.p1.2.1.m1.2.2.2.3.cmml"><msub id="Thmproposition1.p1.2.1.m1.2.2.2.2.1" xref="Thmproposition1.p1.2.1.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="Thmproposition1.p1.2.1.m1.2.2.2.2.1.2" mathsize="90%" xref="Thmproposition1.p1.2.1.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">x</mi><mn id="Thmproposition1.p1.2.1.m1.2.2.2.2.1.3" mathsize="90%" xref="Thmproposition1.p1.2.1.m1.2.2.2.2.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="Thmproposition1.p1.2.1.m1.2.2.2.2.2" mathsize="90%" xref="Thmproposition1.p1.2.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="Thmproposition1.p1.2.1.m1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="Thmproposition1.p1.2.1.m1.1.1.1.1.cmml">θ</mi></mrow><mo id="Thmproposition1.p1.2.1.m1.4.5.3.3" mathsize="90%" xref="Thmproposition1.p1.2.1.m1.4.5.3.3.cmml">+</mo></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition1.p1.2.1.m1.4b"><apply id="Thmproposition1.p1.2.1.m1.4.5.cmml" xref="Thmproposition1.p1.2.1.m1.4.5"><in id="Thmproposition1.p1.2.1.m1.4.5.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.2.1.m1.4.5.1"></in><list id="Thmproposition1.p1.2.1.m1.4.5.2.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.2.1.m1.4.5.2.2"><ci id="Thmproposition1.p1.2.1.m1.3.3.cmml" xref="Thmproposition1.p1.2.1.m1.3.3">𝑥</ci><ci id="Thmproposition1.p1.2.1.m1.4.4.cmml" xref="Thmproposition1.p1.2.1.m1.4.4">𝑦</ci></list><apply id="Thmproposition1.p1.2.1.m1.4.5.3.cmml" xref="Thmproposition1.p1.2.1.m1.4.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproposition1.p1.2.1.m1.4.5.3.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.2.1.m1.4.5.3">superscript</csymbol><apply id="Thmproposition1.p1.2.1.m1.4.5.3.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.2.1.m1.4.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproposition1.p1.2.1.m1.4.5.3.2.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.2.1.m1.4.5.3">subscript</csymbol><ci id="Thmproposition1.p1.2.1.m1.4.5.3.2.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.2.1.m1.4.5.3.2.2">𝐿</ci><list id="Thmproposition1.p1.2.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="Thmproposition1.p1.2.1.m1.2.2.2.2"><apply id="Thmproposition1.p1.2.1.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.2.1.m1.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproposition1.p1.2.1.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.2.1.m1.2.2.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="Thmproposition1.p1.2.1.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.2.1.m1.2.2.2.2.1.2">𝑥</ci><cn id="Thmproposition1.p1.2.1.m1.2.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmproposition1.p1.2.1.m1.2.2.2.2.1.3">0</cn></apply><ci id="Thmproposition1.p1.2.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.2.1.m1.1.1.1.1">𝜃</ci></list></apply><plus id="Thmproposition1.p1.2.1.m1.4.5.3.3.cmml" xref="Thmproposition1.p1.2.1.m1.4.5.3.3"></plus></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition1.p1.2.1.m1.4c">x,y\in L_{x_{0},\theta}^{+}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition1.p1.2.1.m1.4d">italic_x , italic_y ∈ italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT , italic_θ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmproposition1.p1.6.5.1" style="font-size:90%;">, </span><math alttext="x_{0}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition1.p1.3.2.m2.1"><semantics id="Thmproposition1.p1.3.2.m2.1a"><mrow id="Thmproposition1.p1.3.2.m2.1.1" xref="Thmproposition1.p1.3.2.m2.1.1.cmml"><msub id="Thmproposition1.p1.3.2.m2.1.1.2" xref="Thmproposition1.p1.3.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="Thmproposition1.p1.3.2.m2.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="Thmproposition1.p1.3.2.m2.1.1.2.2.cmml">x</mi><mn id="Thmproposition1.p1.3.2.m2.1.1.2.3" mathsize="90%" xref="Thmproposition1.p1.3.2.m2.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="Thmproposition1.p1.3.2.m2.1.1.1" mathsize="90%" xref="Thmproposition1.p1.3.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="Thmproposition1.p1.3.2.m2.1.1.3" mathsize="90%" xref="Thmproposition1.p1.3.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition1.p1.3.2.m2.1b"><apply id="Thmproposition1.p1.3.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.3.2.m2.1.1"><eq id="Thmproposition1.p1.3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.3.2.m2.1.1.1"></eq><apply id="Thmproposition1.p1.3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.3.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproposition1.p1.3.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.3.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmproposition1.p1.3.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.3.2.m2.1.1.2.2">𝑥</ci><cn id="Thmproposition1.p1.3.2.m2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmproposition1.p1.3.2.m2.1.1.2.3">0</cn></apply><cn id="Thmproposition1.p1.3.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmproposition1.p1.3.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition1.p1.3.2.m2.1c">x_{0}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition1.p1.3.2.m2.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmproposition1.p1.6.5.2" style="font-size:90%;">, </span><math alttext="y=x+\tau\theta" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition1.p1.4.3.m3.1"><semantics id="Thmproposition1.p1.4.3.m3.1a"><mrow id="Thmproposition1.p1.4.3.m3.1.1" xref="Thmproposition1.p1.4.3.m3.1.1.cmml"><mi id="Thmproposition1.p1.4.3.m3.1.1.2" mathsize="90%" xref="Thmproposition1.p1.4.3.m3.1.1.2.cmml">y</mi><mo id="Thmproposition1.p1.4.3.m3.1.1.1" mathsize="90%" xref="Thmproposition1.p1.4.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="Thmproposition1.p1.4.3.m3.1.1.3" xref="Thmproposition1.p1.4.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="Thmproposition1.p1.4.3.m3.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="Thmproposition1.p1.4.3.m3.1.1.3.2.cmml">x</mi><mo id="Thmproposition1.p1.4.3.m3.1.1.3.1" mathsize="90%" xref="Thmproposition1.p1.4.3.m3.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="Thmproposition1.p1.4.3.m3.1.1.3.3" xref="Thmproposition1.p1.4.3.m3.1.1.3.3.cmml"><mi id="Thmproposition1.p1.4.3.m3.1.1.3.3.2" mathsize="90%" xref="Thmproposition1.p1.4.3.m3.1.1.3.3.2.cmml">τ</mi><mo id="Thmproposition1.p1.4.3.m3.1.1.3.3.1" xref="Thmproposition1.p1.4.3.m3.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmproposition1.p1.4.3.m3.1.1.3.3.3" mathsize="90%" xref="Thmproposition1.p1.4.3.m3.1.1.3.3.3.cmml">θ</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition1.p1.4.3.m3.1b"><apply id="Thmproposition1.p1.4.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.4.3.m3.1.1"><eq id="Thmproposition1.p1.4.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.4.3.m3.1.1.1"></eq><ci id="Thmproposition1.p1.4.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.4.3.m3.1.1.2">𝑦</ci><apply id="Thmproposition1.p1.4.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmproposition1.p1.4.3.m3.1.1.3"><plus id="Thmproposition1.p1.4.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.4.3.m3.1.1.3.1"></plus><ci id="Thmproposition1.p1.4.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.4.3.m3.1.1.3.2">𝑥</ci><apply id="Thmproposition1.p1.4.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="Thmproposition1.p1.4.3.m3.1.1.3.3"><times id="Thmproposition1.p1.4.3.m3.1.1.3.3.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.4.3.m3.1.1.3.3.1"></times><ci id="Thmproposition1.p1.4.3.m3.1.1.3.3.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.4.3.m3.1.1.3.3.2">𝜏</ci><ci id="Thmproposition1.p1.4.3.m3.1.1.3.3.3.cmml" xref="Thmproposition1.p1.4.3.m3.1.1.3.3.3">𝜃</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition1.p1.4.3.m3.1c">y=x+\tau\theta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition1.p1.4.3.m3.1d">italic_y = italic_x + italic_τ italic_θ</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmproposition1.p1.6.5.3" style="font-size:90%;">, </span><math alttext="\theta\in\mathbb{S}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition1.p1.5.4.m4.1"><semantics id="Thmproposition1.p1.5.4.m4.1a"><mrow id="Thmproposition1.p1.5.4.m4.1.1" xref="Thmproposition1.p1.5.4.m4.1.1.cmml"><mi id="Thmproposition1.p1.5.4.m4.1.1.2" mathsize="90%" xref="Thmproposition1.p1.5.4.m4.1.1.2.cmml">θ</mi><mo id="Thmproposition1.p1.5.4.m4.1.1.1" mathsize="90%" xref="Thmproposition1.p1.5.4.m4.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="Thmproposition1.p1.5.4.m4.1.1.3" mathsize="90%" xref="Thmproposition1.p1.5.4.m4.1.1.3.cmml">𝕊</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition1.p1.5.4.m4.1b"><apply id="Thmproposition1.p1.5.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.5.4.m4.1.1"><in id="Thmproposition1.p1.5.4.m4.1.1.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.5.4.m4.1.1.1"></in><ci id="Thmproposition1.p1.5.4.m4.1.1.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.5.4.m4.1.1.2">𝜃</ci><ci id="Thmproposition1.p1.5.4.m4.1.1.3.cmml" xref="Thmproposition1.p1.5.4.m4.1.1.3">𝕊</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition1.p1.5.4.m4.1c">\theta\in\mathbb{S}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition1.p1.5.4.m4.1d">italic_θ ∈ blackboard_S</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmproposition1.p1.6.5.4" style="font-size:90%;">, </span><math alttext="\tau>0" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition1.p1.6.5.m5.1"><semantics id="Thmproposition1.p1.6.5.m5.1a"><mrow id="Thmproposition1.p1.6.5.m5.1.1" xref="Thmproposition1.p1.6.5.m5.1.1.cmml"><mi id="Thmproposition1.p1.6.5.m5.1.1.2" mathsize="90%" xref="Thmproposition1.p1.6.5.m5.1.1.2.cmml">τ</mi><mo id="Thmproposition1.p1.6.5.m5.1.1.1" mathsize="90%" xref="Thmproposition1.p1.6.5.m5.1.1.1.cmml">></mo><mn id="Thmproposition1.p1.6.5.m5.1.1.3" mathsize="90%" xref="Thmproposition1.p1.6.5.m5.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition1.p1.6.5.m5.1b"><apply id="Thmproposition1.p1.6.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.6.5.m5.1.1"><gt id="Thmproposition1.p1.6.5.m5.1.1.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.6.5.m5.1.1.1"></gt><ci id="Thmproposition1.p1.6.5.m5.1.1.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.6.5.m5.1.1.2">𝜏</ci><cn id="Thmproposition1.p1.6.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmproposition1.p1.6.5.m5.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition1.p1.6.5.m5.1c">\tau>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition1.p1.6.5.m5.1d">italic_τ > 0</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmproposition1.p1.6.5.5" style="font-size:90%;">,</span></p> <p class="ltx_p" id="Thmproposition1.p1.11"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmproposition1.p1.11.5" style="font-size:90%;">uniformly in <math alttext="\theta" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition1.p1.7.1.m1.1"><semantics id="Thmproposition1.p1.7.1.m1.1a"><mi id="Thmproposition1.p1.7.1.m1.1.1" xref="Thmproposition1.p1.7.1.m1.1.1.cmml">θ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition1.p1.7.1.m1.1b"><ci id="Thmproposition1.p1.7.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.7.1.m1.1.1">𝜃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition1.p1.7.1.m1.1c">\theta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition1.p1.7.1.m1.1d">italic_θ</annotation></semantics></math>, where <math alttext="f_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition1.p1.8.2.m2.1"><semantics id="Thmproposition1.p1.8.2.m2.1a"><msub id="Thmproposition1.p1.8.2.m2.1.1" xref="Thmproposition1.p1.8.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmproposition1.p1.8.2.m2.1.1.2" xref="Thmproposition1.p1.8.2.m2.1.1.2.cmml">f</mi><mn id="Thmproposition1.p1.8.2.m2.1.1.3" xref="Thmproposition1.p1.8.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition1.p1.8.2.m2.1b"><apply id="Thmproposition1.p1.8.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.8.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproposition1.p1.8.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.8.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmproposition1.p1.8.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.8.2.m2.1.1.2">𝑓</ci><cn id="Thmproposition1.p1.8.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmproposition1.p1.8.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition1.p1.8.2.m2.1c">f_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition1.p1.8.2.m2.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the leading coefficient in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S3.E8" title="In 3 Preliminaries"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">8</span></a>), I is defined in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S3.E10" title="In 3.2 A two-point approximation for 𝜓 ‣ 3 Preliminaries"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10</span></a>), <math alttext="L^{+}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition1.p1.9.3.m3.1"><semantics id="Thmproposition1.p1.9.3.m3.1a"><msup id="Thmproposition1.p1.9.3.m3.1.1" xref="Thmproposition1.p1.9.3.m3.1.1.cmml"><mi id="Thmproposition1.p1.9.3.m3.1.1.2" xref="Thmproposition1.p1.9.3.m3.1.1.2.cmml">L</mi><mo id="Thmproposition1.p1.9.3.m3.1.1.3" xref="Thmproposition1.p1.9.3.m3.1.1.3.cmml">+</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition1.p1.9.3.m3.1b"><apply id="Thmproposition1.p1.9.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.9.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproposition1.p1.9.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.9.3.m3.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmproposition1.p1.9.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.9.3.m3.1.1.2">𝐿</ci><plus id="Thmproposition1.p1.9.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmproposition1.p1.9.3.m3.1.1.3"></plus></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition1.p1.9.3.m3.1c">L^{+}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition1.p1.9.3.m3.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is the ray defined by (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S1.E3" title="In 1 Introduction"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>), and <math alttext="sin(\kappa\tau)\neq 0" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1"><semantics id="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1a"><mrow id="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1" xref="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.cmml"><mrow id="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.1" xref="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.1.cmml"><mi id="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.1.3" xref="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.1.3.cmml">s</mi><mo id="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.1.2" xref="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.1.4" xref="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.1.4.cmml">i</mi><mo id="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.1.2a" xref="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.1.5" xref="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.1.5.cmml">n</mi><mo id="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.1.2b" xref="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.1.1.1" xref="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.1.1.1.1" xref="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">κ</mi><mo id="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><mo id="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.2" xref="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.2.cmml">≠</mo><mn id="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.3" xref="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1b"><apply id="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1"><neq id="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.2"></neq><apply id="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.1"><times id="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.1.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.1.2"></times><ci id="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.1.3.cmml" xref="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.1.3">𝑠</ci><ci id="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.1.4.cmml" xref="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.1.4">𝑖</ci><ci id="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.1.5.cmml" xref="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.1.5">𝑛</ci><apply id="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.1.1.1"><times id="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.1.1.1.1.2">𝜅</ci><ci id="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.1.1.1.1.3">𝜏</ci></apply></apply><cn id="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1c">sin(\kappa\tau)\neq 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition1.p1.10.4.m4.1d">italic_s italic_i italic_n ( italic_κ italic_τ ) ≠ 0</annotation></semantics></math> for fixed <math alttext="\tau" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition1.p1.11.5.m5.1"><semantics id="Thmproposition1.p1.11.5.m5.1a"><mi id="Thmproposition1.p1.11.5.m5.1.1" xref="Thmproposition1.p1.11.5.m5.1.1.cmml">τ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition1.p1.11.5.m5.1b"><ci id="Thmproposition1.p1.11.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.11.5.m5.1.1">𝜏</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition1.p1.11.5.m5.1c">\tau</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition1.p1.11.5.m5.1d">italic_τ</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p3.3"><span class="ltx_text" id="S3.SS2.p3.3.1" style="font-size:90%;">Formula (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S3.E12" style="font-size:90%;" title="In Proposition 1. ‣ 3.2 A two-point approximation for 𝜓 ‣ 3 Preliminaries"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">12</span></a><span class="ltx_text" id="S3.SS2.p3.3.2" style="font-size:90%;">) is a two-point approximation for </span><math alttext="f_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p3.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p3.1.m1.1a"><msub id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.2.cmml">f</mi><mn id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p3.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.2">𝑓</ci><cn id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p3.1.m1.1c">f_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p3.1.m1.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S3.SS2.p3.3.3" style="font-size:90%;"> and together with (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S3.E8" style="font-size:90%;" title="In 3 Preliminaries"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">8</span></a><span class="ltx_text" id="S3.SS2.p3.3.4" style="font-size:90%;">) also gives a two-point approximation for </span><math alttext="\psi" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p3.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.p3.2.m2.1a"><mi id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1" mathsize="90%" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.cmml">ψ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p3.2.m2.1b"><ci id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1">𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p3.2.m2.1c">\psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p3.2.m2.1d">italic_ψ</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S3.SS2.p3.3.5" style="font-size:90%;"> in terms of </span><math alttext="I" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p3.3.m3.1"><semantics id="S3.SS2.p3.3.m3.1a"><mi id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1" mathsize="90%" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.cmml">I</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p3.3.m3.1b"><ci id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1">𝐼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p3.3.m3.1c">I</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p3.3.m3.1d">italic_I</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S3.SS2.p3.3.6" style="font-size:90%;">. For phaseless inverse scattering and holography formulas of such a type go back to </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S3.SS2.p3.3.7.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib19" title="">19</a><span class="ltx_text" id="S3.SS2.p3.3.8.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S3.SS2.p3.3.9" style="font-size:90%;"> (see also </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S3.SS2.p3.3.10.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib23" title="">23</a><span class="ltx_text" id="S3.SS2.p3.3.11.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S3.SS2.p3.3.12" style="font-size:90%;">, </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S3.SS2.p3.3.13.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib22" title="">22</a><span class="ltx_text" id="S3.SS2.p3.3.14.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S3.SS2.p3.3.15" style="font-size:90%;">, </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S3.SS2.p3.3.16.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib21" title="">21</a><span class="ltx_text" id="S3.SS2.p3.3.17.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S3.SS2.p3.3.18" style="font-size:90%;">, </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S3.SS2.p3.3.19.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib16" title="">16</a><span class="ltx_text" id="S3.SS2.p3.3.20.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S3.SS2.p3.3.21" style="font-size:90%;">, </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S3.SS2.p3.3.22.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib25" title="">25</a><span class="ltx_text" id="S3.SS2.p3.3.23.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S3.SS2.p3.3.24" style="font-size:90%;">).</span></p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_remark" id="Thmremark1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem" style="font-size:90%;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmremark1.1.1.1">Remark 1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmremark1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmremark1.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmremark1.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmremark1.p1.3.3" style="font-size:90%;">If an arbitrary function <math alttext="I" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmremark1.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmremark1.p1.1.1.m1.1a"><mi id="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.cmml">I</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmremark1.p1.1.1.m1.1b"><ci id="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1">𝐼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmremark1.p1.1.1.m1.1c">I</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmremark1.p1.1.1.m1.1d">italic_I</annotation></semantics></math> on <math alttext="L_{0,\theta}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2"><semantics id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2a"><msub id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.3" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.3.cmml"><mi id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.3.2" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.3.2.cmml">L</mi><mrow id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.2.4" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.2.3.cmml"><mn id="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.1.1" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.2.4.1" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.2.2" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.2.2.cmml">θ</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2b"><apply id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.3.cmml" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.3.1.cmml" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.3">subscript</csymbol><ci id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.3.2.cmml" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.3.2">𝐿</ci><list id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.2.4"><cn id="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.1.1">0</cn><ci id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.2.2">𝜃</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2c">L_{0,\theta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT 0 , italic_θ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> satisfies (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S3.E11" title="In 3.2 A two-point approximation for 𝜓 ‣ 3 Preliminaries"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">11</span></a>), then formula (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S3.E12" title="In Proposition 1. ‣ 3.2 A two-point approximation for 𝜓 ‣ 3 Preliminaries"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">12</span></a>) holds, for fixed <math alttext="\theta\in\mathbb{S}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmremark1.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmremark1.p1.3.3.m3.1a"><mrow id="Thmremark1.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmremark1.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="Thmremark1.p1.3.3.m3.1.1.2" xref="Thmremark1.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml">θ</mi><mo id="Thmremark1.p1.3.3.m3.1.1.1" xref="Thmremark1.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="Thmremark1.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="Thmremark1.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml">𝕊</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmremark1.p1.3.3.m3.1b"><apply id="Thmremark1.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmremark1.p1.3.3.m3.1.1"><in id="Thmremark1.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmremark1.p1.3.3.m3.1.1.1"></in><ci id="Thmremark1.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmremark1.p1.3.3.m3.1.1.2">𝜃</ci><ci id="Thmremark1.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmremark1.p1.3.3.m3.1.1.3">𝕊</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmremark1.p1.3.3.m3.1c">\theta\in\mathbb{S}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmremark1.p1.3.3.m3.1d">italic_θ ∈ blackboard_S</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p4"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p4.1"><span class="ltx_text" id="S3.SS2.p4.1.1" style="font-size:90%;">We obtain (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S3.E12" style="font-size:90%;" title="In Proposition 1. ‣ 3.2 A two-point approximation for 𝜓 ‣ 3 Preliminaries"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">12</span></a><span class="ltx_text" id="S3.SS2.p4.1.2" style="font-size:90%;">) from the system of equations for </span><math alttext="f_{0},\overline{f_{0}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p4.1.m1.2"><semantics id="S3.SS2.p4.1.m1.2a"><mrow id="S3.SS2.p4.1.m1.2.2.1" xref="S3.SS2.p4.1.m1.2.2.2.cmml"><msub id="S3.SS2.p4.1.m1.2.2.1.1" xref="S3.SS2.p4.1.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.1.m1.2.2.1.1.2" mathsize="90%" xref="S3.SS2.p4.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">f</mi><mn id="S3.SS2.p4.1.m1.2.2.1.1.3" mathsize="90%" xref="S3.SS2.p4.1.m1.2.2.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.SS2.p4.1.m1.2.2.1.2" mathsize="90%" xref="S3.SS2.p4.1.m1.2.2.2.cmml">,</mo><mover accent="true" id="S3.SS2.p4.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.2.2.cmml">f</mi><mn id="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.2.3" mathsize="90%" xref="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p4.1.m1.2b"><list id="S3.SS2.p4.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.1.m1.2.2.1"><apply id="S3.SS2.p4.1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.1.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p4.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.1.m1.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p4.1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.1.m1.2.2.1.1.2">𝑓</ci><cn id="S3.SS2.p4.1.m1.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p4.1.m1.2.2.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.1.m1.1.1"><ci id="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.1">¯</ci><apply id="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.2.2">𝑓</ci><cn id="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.2.3">0</cn></apply></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p4.1.m1.2c">f_{0},\overline{f_{0}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p4.1.m1.2d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT , over¯ start_ARG italic_f start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S3.SS2.p4.1.3" style="font-size:90%;">:</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E13"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\sqrt{\frac{2}{\pi\kappa}}(e^{i(\kappa|x|-\frac{\pi}{4})}f_{0}(\phi)-e^{-i(% \kappa|x|-\frac{\pi}{4})}\overline{f_{0}(\phi)})=2iI(x)+O(|x|^{-1})," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E13.m1.9"><semantics id="S3.E13.m1.9a"><mrow id="S3.E13.m1.9.9.1" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.cmml"><mrow id="S3.E13.m1.9.9.1.1" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.cmml"><mrow id="S3.E13.m1.9.9.1.1.1" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.cmml"><msqrt id="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.3" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.3.2" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.3.2.2" mathsize="90%" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.3.2.2.cmml">2</mn><mrow id="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.3.2.3.2" mathsize="90%" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.3.2.3.2.cmml">π</mi><mo id="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.3.2.3.1" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.3.2.3.3" mathsize="90%" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.3.2.3.3.cmml">κ</mi></mrow></mfrac></msqrt><mo id="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.2" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.1.1" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.1.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.2.2" mathsize="90%" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S3.E13.m1.2.2.2" xref="S3.E13.m1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E13.m1.2.2.2.4" mathsize="90%" xref="S3.E13.m1.2.2.2.4.cmml">i</mi><mo id="S3.E13.m1.2.2.2.3" xref="S3.E13.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E13.m1.2.2.2.2.1" xref="S3.E13.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.E13.m1.2.2.2.2.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E13.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E13.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S3.E13.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E13.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S3.E13.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E13.m1.2.2.2.2.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="S3.E13.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml">κ</mi><mo id="S3.E13.m1.2.2.2.2.1.1.2.1" xref="S3.E13.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E13.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.2" xref="S3.E13.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S3.E13.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E13.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E13.m1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.E13.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E13.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mfrac id="S3.E13.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S3.E13.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E13.m1.2.2.2.2.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S3.E13.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml">π</mi><mn id="S3.E13.m1.2.2.2.2.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="S3.E13.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml">4</mn></mfrac></mrow><mo id="S3.E13.m1.2.2.2.2.1.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E13.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup><mo id="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.3.2" mathsize="90%" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">f</mi><mn id="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.3.3" mathsize="90%" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.4.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E13.m1.6.6" mathsize="90%" xref="S3.E13.m1.6.6.cmml">ϕ</mi><mo id="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.2.2" mathsize="90%" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S3.E13.m1.4.4.2" xref="S3.E13.m1.4.4.2.cmml"><mo id="S3.E13.m1.4.4.2a" mathsize="90%" xref="S3.E13.m1.4.4.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.E13.m1.4.4.2.2" xref="S3.E13.m1.4.4.2.2.cmml"><mi id="S3.E13.m1.4.4.2.2.3" mathsize="90%" xref="S3.E13.m1.4.4.2.2.3.cmml">i</mi><mo id="S3.E13.m1.4.4.2.2.2" xref="S3.E13.m1.4.4.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E13.m1.4.4.2.2.1.1" xref="S3.E13.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E13.m1.4.4.2.2.1.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E13.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E13.m1.4.4.2.2.1.1.1" xref="S3.E13.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E13.m1.4.4.2.2.1.1.1.2" xref="S3.E13.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E13.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="S3.E13.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.cmml">κ</mi><mo id="S3.E13.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.1" xref="S3.E13.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E13.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E13.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S3.E13.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E13.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E13.m1.3.3.1.1" mathsize="90%" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.E13.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E13.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E13.m1.4.4.2.2.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.E13.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mfrac id="S3.E13.m1.4.4.2.2.1.1.1.3" xref="S3.E13.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E13.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S3.E13.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.cmml">π</mi><mn id="S3.E13.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="S3.E13.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.3.cmml">4</mn></mfrac></mrow><mo id="S3.E13.m1.4.4.2.2.1.1.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E13.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></msup><mo id="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S3.E13.m1.5.5" xref="S3.E13.m1.5.5.cmml"><mrow id="S3.E13.m1.5.5.1" xref="S3.E13.m1.5.5.1.cmml"><msub id="S3.E13.m1.5.5.1.3" xref="S3.E13.m1.5.5.1.3.cmml"><mi id="S3.E13.m1.5.5.1.3.2" mathsize="90%" xref="S3.E13.m1.5.5.1.3.2.cmml">f</mi><mn id="S3.E13.m1.5.5.1.3.3" mathsize="90%" xref="S3.E13.m1.5.5.1.3.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.E13.m1.5.5.1.2" xref="S3.E13.m1.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E13.m1.5.5.1.4.2" xref="S3.E13.m1.5.5.1.cmml"><mo id="S3.E13.m1.5.5.1.4.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E13.m1.5.5.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E13.m1.5.5.1.1" mathsize="90%" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.cmml">ϕ</mi><mo id="S3.E13.m1.5.5.1.4.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E13.m1.5.5.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E13.m1.5.5.2" mathsize="90%" 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maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S3.E13.m1.7.7" mathsize="90%" xref="S3.E13.m1.7.7.cmml">x</mi><mo id="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.3.5.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.2.cmml">+</mo><mrow id="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.1" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.1.cmml"><mi id="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.1.3" mathsize="90%" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.1.3.cmml">O</mi><mo id="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.1.2" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.1.1.1" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml"><mo id="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E13.m1.8.8" mathsize="90%" xref="S3.E13.m1.8.8.cmml">x</mi><mo id="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.3a" mathsize="90%" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E13.m1.9.9.1.2" mathsize="90%" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E13.m1.9b"><apply id="S3.E13.m1.9.9.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.9.9.1"><eq id="S3.E13.m1.9.9.1.1.3.cmml" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.3"></eq><apply 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xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑓</ci><cn id="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.3.3">0</cn></apply><ci id="S3.E13.m1.6.6.cmml" xref="S3.E13.m1.6.6">italic-ϕ</ci></apply><apply id="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑒</ci><apply id="S3.E13.m1.4.4.2.cmml" xref="S3.E13.m1.4.4.2"><minus id="S3.E13.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.E13.m1.4.4.2"></minus><apply id="S3.E13.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S3.E13.m1.4.4.2.2"><times id="S3.E13.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="S3.E13.m1.4.4.2.2.2"></times><ci id="S3.E13.m1.4.4.2.2.3.cmml" xref="S3.E13.m1.4.4.2.2.3">𝑖</ci><apply id="S3.E13.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.4.4.2.2.1.1"><minus id="S3.E13.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.4.4.2.2.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.E13.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E13.m1.4.4.2.2.1.1.1.2"><times id="S3.E13.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E13.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.E13.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E13.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2">𝜅</ci><apply id="S3.E13.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E13.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.3.2"><abs id="S3.E13.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.3.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.3.2.1"></abs><ci id="S3.E13.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S3.E13.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E13.m1.4.4.2.2.1.1.1.3"><divide id="S3.E13.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E13.m1.4.4.2.2.1.1.1.3"></divide><ci id="S3.E13.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E13.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2">𝜋</ci><cn id="S3.E13.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E13.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.3">4</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E13.m1.5.5.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5"><ci id="S3.E13.m1.5.5.2.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.2">¯</ci><apply id="S3.E13.m1.5.5.1.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1"><times id="S3.E13.m1.5.5.1.2.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.2"></times><apply id="S3.E13.m1.5.5.1.3.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.5.5.1.3.1.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E13.m1.5.5.1.3.2.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.3.2">𝑓</ci><cn id="S3.E13.m1.5.5.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E13.m1.5.5.1.3.3">0</cn></apply><ci id="S3.E13.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1">italic-ϕ</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.cmml" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.2"><plus id="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.2"></plus><apply id="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.3"><times id="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.3.1"></times><cn id="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.3.2">2</cn><ci id="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.3.3">𝑖</ci><ci id="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.3.4.cmml" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.3.4">𝐼</ci><ci id="S3.E13.m1.7.7.cmml" xref="S3.E13.m1.7.7">𝑥</ci></apply><apply id="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.1"><times id="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.1.2"></times><ci id="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.1.3.cmml" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.1.3">𝑂</ci><apply id="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.2"><abs id="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1"></abs><ci id="S3.E13.m1.8.8.cmml" xref="S3.E13.m1.8.8">𝑥</ci></apply><apply id="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.3"><minus id="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.3"></minus><cn id="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E13.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E13.m1.9c">\sqrt{\frac{2}{\pi\kappa}}(e^{i(\kappa|x|-\frac{\pi}{4})}f_{0}(\phi)-e^{-i(% \kappa|x|-\frac{\pi}{4})}\overline{f_{0}(\phi)})=2iI(x)+O(|x|^{-1}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E13.m1.9d">square-root start_ARG divide start_ARG 2 end_ARG start_ARG italic_π italic_κ end_ARG end_ARG ( italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_i ( italic_κ | italic_x | - divide start_ARG italic_π end_ARG start_ARG 4 end_ARG ) end_POSTSUPERSCRIPT italic_f start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ϕ ) - italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_i ( italic_κ | italic_x | - divide start_ARG italic_π end_ARG start_ARG 4 end_ARG ) end_POSTSUPERSCRIPT over¯ start_ARG italic_f start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ϕ ) end_ARG ) = 2 italic_i italic_I ( italic_x ) + italic_O ( | italic_x | start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(13)</span></td> </tr></tbody> </table> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex3"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\sqrt{\frac{2}{\pi\kappa}}(e^{i(\kappa|y|-\frac{\pi}{4})}f_{0}(\phi)-e^{-i(% \kappa|y|-\frac{\pi}{4})}\overline{f_{0}(\phi)})=2iI(y)+O(|y|^{-1})," class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex3.m1.9"><semantics id="S3.Ex3.m1.9a"><mrow id="S3.Ex3.m1.9.9.1" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.cmml"><msqrt id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.3" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.3.2.2" mathsize="90%" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.3.2.2.cmml">2</mn><mrow id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.3.2.3.2" mathsize="90%" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.3.2.3.2.cmml">π</mi><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.3.2.3.1" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.3.2.3.3" mathsize="90%" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.3.2.3.3.cmml">κ</mi></mrow></mfrac></msqrt><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.2" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.2.2" mathsize="90%" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S3.Ex3.m1.2.2.2" xref="S3.Ex3.m1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.2.2.2.4" mathsize="90%" xref="S3.Ex3.m1.2.2.2.4.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex3.m1.2.2.2.3" xref="S3.Ex3.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml">κ</mi><mo id="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.1.1.2.1" xref="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.Ex3.m1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.cmml">y</mi><mo id="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mfrac id="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml">π</mi><mn id="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml">4</mn></mfrac></mrow><mo id="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.1.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.3.2" mathsize="90%" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">f</mi><mn id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.3.3" mathsize="90%" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.4.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex3.m1.6.6" mathsize="90%" xref="S3.Ex3.m1.6.6.cmml">ϕ</mi><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.2.2" mathsize="90%" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S3.Ex3.m1.4.4.2" xref="S3.Ex3.m1.4.4.2.cmml"><mo id="S3.Ex3.m1.4.4.2a" mathsize="90%" xref="S3.Ex3.m1.4.4.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.4.4.2.2" xref="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.3" mathsize="90%" xref="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.3.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.2" xref="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.1.1" xref="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.1.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.cmml">κ</mi><mo id="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1" mathsize="90%" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.cmml">y</mi><mo id="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mfrac id="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.cmml">π</mi><mn id="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.3.cmml">4</mn></mfrac></mrow><mo id="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.1.1.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></msup><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S3.Ex3.m1.5.5" xref="S3.Ex3.m1.5.5.cmml"><mrow id="S3.Ex3.m1.5.5.1" xref="S3.Ex3.m1.5.5.1.cmml"><msub id="S3.Ex3.m1.5.5.1.3" xref="S3.Ex3.m1.5.5.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.5.5.1.3.2" mathsize="90%" xref="S3.Ex3.m1.5.5.1.3.2.cmml">f</mi><mn id="S3.Ex3.m1.5.5.1.3.3" mathsize="90%" xref="S3.Ex3.m1.5.5.1.3.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.Ex3.m1.5.5.1.2" xref="S3.Ex3.m1.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.5.5.1.4.2" xref="S3.Ex3.m1.5.5.1.cmml"><mo id="S3.Ex3.m1.5.5.1.4.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.Ex3.m1.5.5.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex3.m1.5.5.1.1" mathsize="90%" xref="S3.Ex3.m1.5.5.1.1.cmml">ϕ</mi><mo id="S3.Ex3.m1.5.5.1.4.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.Ex3.m1.5.5.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex3.m1.5.5.2" 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id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.3.5.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex3.m1.7.7" mathsize="90%" xref="S3.Ex3.m1.7.7.cmml">y</mi><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.3.5.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.2.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.3" mathsize="90%" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.3.cmml">O</mi><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.2" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml"><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.Ex3.m1.8.8" mathsize="90%" xref="S3.Ex3.m1.8.8.cmml">y</mi><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.3a" mathsize="90%" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.2" mathsize="90%" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex3.m1.9b"><apply id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1"><eq id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.3.cmml" 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xref="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.3">𝑖</ci><apply id="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.1.1"><minus id="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.1.1.1.2"><times id="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2">𝜅</ci><apply id="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.3.2"><abs id="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.3.2.1"></abs><ci id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1">𝑦</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.1.1.1.3"><divide id="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.1.1.1.3"></divide><ci id="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2">𝜋</ci><cn id="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex3.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.3">4</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex3.m1.5.5.cmml" xref="S3.Ex3.m1.5.5"><ci id="S3.Ex3.m1.5.5.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.5.5.2">¯</ci><apply id="S3.Ex3.m1.5.5.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.5.5.1"><times id="S3.Ex3.m1.5.5.1.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.5.5.1.2"></times><apply id="S3.Ex3.m1.5.5.1.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.5.5.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m1.5.5.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.5.5.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex3.m1.5.5.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.5.5.1.3.2">𝑓</ci><cn id="S3.Ex3.m1.5.5.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex3.m1.5.5.1.3.3">0</cn></apply><ci id="S3.Ex3.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.5.5.1.1">italic-ϕ</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2"><plus id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.2"></plus><apply id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.3"><times id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.3.1"></times><cn id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.3.2">2</cn><ci id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.3.3">𝑖</ci><ci id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.3.4.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.3.4">𝐼</ci><ci id="S3.Ex3.m1.7.7.cmml" xref="S3.Ex3.m1.7.7">𝑦</ci></apply><apply id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1"><times id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.2"></times><ci id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.3">𝑂</ci><apply id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.2"><abs id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1"></abs><ci id="S3.Ex3.m1.8.8.cmml" xref="S3.Ex3.m1.8.8">𝑦</ci></apply><apply id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.3"><minus id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.3"></minus><cn id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex3.m1.9c">\sqrt{\frac{2}{\pi\kappa}}(e^{i(\kappa|y|-\frac{\pi}{4})}f_{0}(\phi)-e^{-i(% \kappa|y|-\frac{\pi}{4})}\overline{f_{0}(\phi)})=2iI(y)+O(|y|^{-1}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex3.m1.9d">square-root start_ARG divide start_ARG 2 end_ARG start_ARG italic_π italic_κ end_ARG end_ARG ( italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_i ( italic_κ | italic_y | - divide start_ARG italic_π end_ARG start_ARG 4 end_ARG ) end_POSTSUPERSCRIPT italic_f start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ϕ ) - italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_i ( italic_κ | italic_y | - divide start_ARG italic_π end_ARG start_ARG 4 end_ARG ) end_POSTSUPERSCRIPT over¯ start_ARG italic_f start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ϕ ) end_ARG ) = 2 italic_i italic_I ( italic_y ) + italic_O ( | italic_y | start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p4.3"><span class="ltx_text" id="S3.SS2.p4.3.1" style="font-size:90%;">where </span><math alttext="x,y" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p4.2.m1.2"><semantics id="S3.SS2.p4.2.m1.2a"><mrow id="S3.SS2.p4.2.m1.2.3.2" xref="S3.SS2.p4.2.m1.2.3.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.2.m1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.SS2.p4.2.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.SS2.p4.2.m1.2.3.2.1" mathsize="90%" xref="S3.SS2.p4.2.m1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.p4.2.m1.2.2" mathsize="90%" xref="S3.SS2.p4.2.m1.2.2.cmml">y</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p4.2.m1.2b"><list id="S3.SS2.p4.2.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.2.m1.2.3.2"><ci id="S3.SS2.p4.2.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.2.m1.1.1">𝑥</ci><ci id="S3.SS2.p4.2.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.2.m1.2.2">𝑦</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p4.2.m1.2c">x,y</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p4.2.m1.2d">italic_x , italic_y</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S3.SS2.p4.3.2" style="font-size:90%;"> are as in (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S3.E12" style="font-size:90%;" title="In Proposition 1. ‣ 3.2 A two-point approximation for 𝜓 ‣ 3 Preliminaries"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">12</span></a><span class="ltx_text" id="S3.SS2.p4.3.3" style="font-size:90%;">). In particular, we use that </span><math alttext="|y|=|x|+\tau" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p4.3.m2.2"><semantics id="S3.SS2.p4.3.m2.2a"><mrow id="S3.SS2.p4.3.m2.2.3" xref="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.cmml"><mrow id="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.2.2" xref="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.2.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.2.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.SS2.p4.3.m2.1.1" mathsize="90%" xref="S3.SS2.p4.3.m2.1.1.cmml">y</mi><mo id="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.2.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.1" mathsize="90%" xref="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.3" xref="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.3.cmml"><mrow id="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.3.2.2" xref="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.3.2.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.3.2.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.3.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.SS2.p4.3.m2.2.2" mathsize="90%" xref="S3.SS2.p4.3.m2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.3.2.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.3.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.3.1" mathsize="90%" xref="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.3.1.cmml">+</mo><mi id="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.3.3" mathsize="90%" xref="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.3.3.cmml">τ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p4.3.m2.2b"><apply id="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m2.2.3"><eq id="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.1"></eq><apply id="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.2.2"><abs id="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.2.2.1"></abs><ci id="S3.SS2.p4.3.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m2.1.1">𝑦</ci></apply><apply id="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.3"><plus id="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.3.1"></plus><apply id="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.3.2.2"><abs id="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.3.2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.3.2.2.1"></abs><ci id="S3.SS2.p4.3.m2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m2.2.2">𝑥</ci></apply><ci id="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.3.3">𝜏</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p4.3.m2.2c">|y|=|x|+\tau</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p4.3.m2.2d">| italic_y | = | italic_x | + italic_τ</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S3.SS2.p4.3.4" style="font-size:90%;">. In turn, (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S3.E13" style="font-size:90%;" title="In 3.2 A two-point approximation for 𝜓 ‣ 3 Preliminaries"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">13</span></a><span class="ltx_text" id="S3.SS2.p4.3.5" style="font-size:90%;">) follows from (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S3.E11" style="font-size:90%;" title="In 3.2 A two-point approximation for 𝜓 ‣ 3 Preliminaries"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">11</span></a><span class="ltx_text" id="S3.SS2.p4.3.6" style="font-size:90%;">).</span></p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS3"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection" style="font-size:90%;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">3.3 </span>A Green type formula</h3> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p1.10"><span class="ltx_text" id="S3.SS3.p1.10.1" style="font-size:90%;">The following formula holds:</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S4.EGx1"> <tbody id="S3.E14"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\psi(x)=2\int_{L}\frac{\partial G^{+}(x-y,\kappa)}{\partial\nu_{y% }}\psi(y)dy,\ \ x\in V_{L}," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E14.m1.5"><semantics id="S3.E14.m1.5a"><mrow id="S3.E14.m1.5.5.1"><mrow id="S3.E14.m1.5.5.1.1.2" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E14.m1.3.3" mathsize="90%" xref="S3.E14.m1.3.3.cmml">x</mi><mo id="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><msub id="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.1a" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" stretchy="true" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.1.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.1.3" mathsize="90%" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.1.3.cmml">L</mi></msub></mstyle><mrow id="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E14.m1.2.2" xref="S3.E14.m1.2.2.cmml"><mfrac id="S3.E14.m1.2.2a" xref="S3.E14.m1.2.2.cmml"><mrow id="S3.E14.m1.2.2.2" xref="S3.E14.m1.2.2.2.cmml"><mo id="S3.E14.m1.2.2.2.3" mathsize="90%" rspace="0em" xref="S3.E14.m1.2.2.2.3.cmml">∂</mo><mrow id="S3.E14.m1.2.2.2.2" xref="S3.E14.m1.2.2.2.2.cmml"><msup id="S3.E14.m1.2.2.2.2.3" xref="S3.E14.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E14.m1.2.2.2.2.3.2" mathsize="90%" xref="S3.E14.m1.2.2.2.2.3.2.cmml">G</mi><mo id="S3.E14.m1.2.2.2.2.3.3" mathsize="90%" xref="S3.E14.m1.2.2.2.2.3.3.cmml">+</mo></msup><mo id="S3.E14.m1.2.2.2.2.2" xref="S3.E14.m1.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E14.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S3.E14.m1.2.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.E14.m1.2.2.2.2.1.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E14.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.E14.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S3.E14.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E14.m1.2.2.2.2.1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S3.E14.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S3.E14.m1.2.2.2.2.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.E14.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S3.E14.m1.2.2.2.2.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S3.E14.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">y</mi></mrow><mo id="S3.E14.m1.2.2.2.2.1.1.3" mathsize="90%" xref="S3.E14.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.E14.m1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.cmml">κ</mi><mo id="S3.E14.m1.2.2.2.2.1.1.4" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E14.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mrow id="S3.E14.m1.2.2.4" xref="S3.E14.m1.2.2.4.cmml"><mo id="S3.E14.m1.2.2.4.1" mathsize="90%" rspace="0em" xref="S3.E14.m1.2.2.4.1.cmml">∂</mo><msub id="S3.E14.m1.2.2.4.2" xref="S3.E14.m1.2.2.4.2.cmml"><mi id="S3.E14.m1.2.2.4.2.2" mathsize="90%" xref="S3.E14.m1.2.2.4.2.2.cmml">ν</mi><mi id="S3.E14.m1.2.2.4.2.3" mathsize="90%" xref="S3.E14.m1.2.2.4.2.3.cmml">y</mi></msub></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2.1" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2.2" mathsize="90%" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2.1a" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mo id="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E14.m1.4.4" mathsize="90%" xref="S3.E14.m1.4.4.cmml">y</mi><mo id="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2.1b" lspace="0em" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2.4" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2.4.cmml"><mo id="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2.4.1" mathsize="90%" rspace="0em" 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xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3a.cmml" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1"><eq id="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.2"><times id="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.2.2">𝜓</ci><ci id="S3.E14.m1.3.3.cmml" xref="S3.E14.m1.3.3">𝑥</ci></apply><apply id="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3"><times id="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.1"></times><cn id="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.2">2</cn><apply id="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.3"><apply id="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.1">subscript</csymbol><int id="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.1.2.cmml" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.1.2"></int><ci id="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.1.3.cmml" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.1.3">𝐿</ci></apply><apply id="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2"><times id="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2.1"></times><apply id="S3.E14.m1.2.2.cmml" xref="S3.E14.m1.2.2"><divide id="S3.E14.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.E14.m1.2.2"></divide><apply id="S3.E14.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.E14.m1.2.2.2"><partialdiff id="S3.E14.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E14.m1.2.2.2.3"></partialdiff><apply id="S3.E14.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E14.m1.2.2.2.2"><times id="S3.E14.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E14.m1.2.2.2.2.2"></times><apply id="S3.E14.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E14.m1.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E14.m1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E14.m1.2.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E14.m1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E14.m1.2.2.2.2.3.2">𝐺</ci><plus id="S3.E14.m1.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.E14.m1.2.2.2.2.3.3"></plus></apply><interval closure="open" id="S3.E14.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E14.m1.2.2.2.2.1.1"><apply id="S3.E14.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E14.m1.2.2.2.2.1.1.1"><minus id="S3.E14.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E14.m1.2.2.2.2.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.E14.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E14.m1.2.2.2.2.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S3.E14.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E14.m1.2.2.2.2.1.1.1.3">𝑦</ci></apply><ci id="S3.E14.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1">𝜅</ci></interval></apply></apply><apply id="S3.E14.m1.2.2.4.cmml" xref="S3.E14.m1.2.2.4"><partialdiff id="S3.E14.m1.2.2.4.1.cmml" xref="S3.E14.m1.2.2.4.1"></partialdiff><apply id="S3.E14.m1.2.2.4.2.cmml" xref="S3.E14.m1.2.2.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E14.m1.2.2.4.2.1.cmml" xref="S3.E14.m1.2.2.4.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E14.m1.2.2.4.2.2.cmml" xref="S3.E14.m1.2.2.4.2.2">𝜈</ci><ci id="S3.E14.m1.2.2.4.2.3.cmml" xref="S3.E14.m1.2.2.4.2.3">𝑦</ci></apply></apply></apply><ci id="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2.2">𝜓</ci><ci id="S3.E14.m1.4.4.cmml" xref="S3.E14.m1.4.4">𝑦</ci><apply id="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2.4.cmml" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2.4"><csymbol cd="latexml" id="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2.4.1.cmml" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2.4.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2.4.2.cmml" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2.4.2">𝑦</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.2"><in id="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.2.1"></in><ci id="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.2.2">𝑥</ci><apply id="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.2.3.2">𝑉</ci><ci id="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.2.3.3">𝐿</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E14.m1.5c">\displaystyle\psi(x)=2\int_{L}\frac{\partial G^{+}(x-y,\kappa)}{\partial\nu_{y% }}\psi(y)dy,\ \ x\in V_{L},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E14.m1.5d">italic_ψ ( italic_x ) = 2 ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG ∂ italic_G start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_x - italic_y , italic_κ ) end_ARG start_ARG ∂ italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_y end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_ψ ( italic_y ) italic_d italic_y , italic_x ∈ italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(14)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex4"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle G^{+}(x,\kappa)=\frac{i}{4}H_{0}(\kappa|x|),\ \ x\in\mathbb{R}^{% 2}," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex4.m1.4"><semantics id="S3.Ex4.m1.4a"><mrow id="S3.Ex4.m1.4.4.1"><mrow id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2" mathsize="90%" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.cmml">G</mi><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3" mathsize="90%" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.cmml">+</mo></msup><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex4.m1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.Ex4.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.2" mathsize="90%" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex4.m1.2.2" mathsize="90%" xref="S3.Ex4.m1.2.2.cmml">κ</mi><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.3a" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mn id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml">4</mn></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.2" mathsize="90%" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.2.cmml">H</mi><mn id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.3" mathsize="90%" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">κ</mi><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.Ex4.m1.3.3" mathsize="90%" xref="S3.Ex4.m1.3.3.cmml">x</mi><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.3" mathsize="90%" rspace="1.067em" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.2" mathsize="90%" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1" mathsize="90%" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1.cmml">∈</mo><msup id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.3.2" mathsize="90%" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.cmml">ℝ</mi><mn id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.3.3" mathsize="90%" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.2" mathsize="90%">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex4.m1.4b"><apply id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.3a.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1"><eq id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3"><times id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2">𝐺</ci><plus id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3"></plus></apply><interval closure="open" id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2"><ci id="S3.Ex4.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1">𝑥</ci><ci id="S3.Ex4.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2">𝜅</ci></interval></apply><apply id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.3"><divide id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.3"></divide><ci id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3">4</cn></apply><apply id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.2">𝐻</ci><cn id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.3">0</cn></apply><apply id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜅</ci><apply id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><abs id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1"></abs><ci id="S3.Ex4.m1.3.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.3.3">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2"><in id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1"></in><ci id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.2">𝑥</ci><apply id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.3.2">ℝ</ci><cn id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex4.m1.4c">\displaystyle G^{+}(x,\kappa)=\frac{i}{4}H_{0}(\kappa|x|),\ \ x\in\mathbb{R}^{% 2},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex4.m1.4d">italic_G start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_x , italic_κ ) = divide start_ARG italic_i end_ARG start_ARG 4 end_ARG italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_κ | italic_x | ) , italic_x ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p1.9"><span class="ltx_text" id="S3.SS3.p1.9.1" style="font-size:90%;">where </span><math alttext="\psi" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS3.p1.1.m1.1a"><mi id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.cmml">ψ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.1.m1.1b"><ci id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1">𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.1.m1.1c">\psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.1.m1.1d">italic_ψ</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S3.SS3.p1.9.2" style="font-size:90%;"> is a radiation solution of equation (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S1.E1" style="font-size:90%;" title="In 1 Introduction"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a><span class="ltx_text" id="S3.SS3.p1.9.3" style="font-size:90%;">), </span><math alttext="L" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.SS3.p1.2.m2.1a"><mi id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1" mathsize="90%" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.cmml">L</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.2.m2.1b"><ci id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1">𝐿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.2.m2.1c">L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.2.m2.1d">italic_L</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S3.SS3.p1.9.4" style="font-size:90%;"> and </span><math alttext="V_{L}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.SS3.p1.3.m3.1a"><msub id="S3.SS3.p1.3.m3.1.1" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.2" mathsize="90%" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.2.cmml">V</mi><mi id="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.3" mathsize="90%" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.3.cmml">L</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.3.m3.1b"><apply id="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.2">𝑉</ci><ci id="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.3">𝐿</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.3.m3.1c">V_{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.3.m3.1d">italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S3.SS3.p1.9.5" style="font-size:90%;"> are line and open half-plane in </span><math alttext="{\cal U}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.4.m4.1"><semantics id="S3.SS3.p1.4.m4.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS3.p1.4.m4.1.1" mathsize="90%" xref="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.cmml">𝒰</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.4.m4.1b"><ci id="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m4.1.1">𝒰</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.4.m4.1c">{\cal U}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.4.m4.1d">caligraphic_U</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S3.SS3.p1.9.6" style="font-size:90%;">, where </span><math alttext="L" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.5.m5.1"><semantics id="S3.SS3.p1.5.m5.1a"><mi id="S3.SS3.p1.5.m5.1.1" mathsize="90%" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.cmml">L</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.5.m5.1b"><ci id="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.1">𝐿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.5.m5.1c">L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.5.m5.1d">italic_L</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S3.SS3.p1.9.7" style="font-size:90%;"> is the boundary of </span><math alttext="V_{L}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.6.m6.1"><semantics id="S3.SS3.p1.6.m6.1a"><msub id="S3.SS3.p1.6.m6.1.1" xref="S3.SS3.p1.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.6.m6.1.1.2" mathsize="90%" xref="S3.SS3.p1.6.m6.1.1.2.cmml">V</mi><mi id="S3.SS3.p1.6.m6.1.1.3" mathsize="90%" xref="S3.SS3.p1.6.m6.1.1.3.cmml">L</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.6.m6.1b"><apply id="S3.SS3.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p1.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p1.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m6.1.1.2">𝑉</ci><ci id="S3.SS3.p1.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m6.1.1.3">𝐿</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.6.m6.1c">V_{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.6.m6.1d">italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S3.SS3.p1.9.8" style="font-size:90%;">, </span><math alttext="\nu" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.7.m7.1"><semantics id="S3.SS3.p1.7.m7.1a"><mi id="S3.SS3.p1.7.m7.1.1" mathsize="90%" xref="S3.SS3.p1.7.m7.1.1.cmml">ν</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.7.m7.1b"><ci id="S3.SS3.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.7.m7.1.1">𝜈</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.7.m7.1c">\nu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.7.m7.1d">italic_ν</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S3.SS3.p1.9.9" style="font-size:90%;"> is the outward normal to </span><math alttext="L" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.8.m8.1"><semantics id="S3.SS3.p1.8.m8.1a"><mi id="S3.SS3.p1.8.m8.1.1" mathsize="90%" xref="S3.SS3.p1.8.m8.1.1.cmml">L</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.8.m8.1b"><ci id="S3.SS3.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.8.m8.1.1">𝐿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.8.m8.1c">L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.8.m8.1d">italic_L</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S3.SS3.p1.9.10" style="font-size:90%;"> relative to </span><math alttext="V_{L}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.9.m9.1"><semantics id="S3.SS3.p1.9.m9.1a"><msub id="S3.SS3.p1.9.m9.1.1" xref="S3.SS3.p1.9.m9.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.9.m9.1.1.2" mathsize="90%" xref="S3.SS3.p1.9.m9.1.1.2.cmml">V</mi><mi id="S3.SS3.p1.9.m9.1.1.3" mathsize="90%" xref="S3.SS3.p1.9.m9.1.1.3.cmml">L</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.9.m9.1b"><apply id="S3.SS3.p1.9.m9.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.9.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p1.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.9.m9.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p1.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.9.m9.1.1.2">𝑉</ci><ci id="S3.SS3.p1.9.m9.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.9.m9.1.1.3">𝐿</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.9.m9.1c">V_{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.9.m9.1d">italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S3.SS3.p1.9.11" style="font-size:90%;">; see, for example, formula 5.84 in </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S3.SS3.p1.9.12.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib7" title="">7</a><span class="ltx_text" id="S3.SS3.p1.9.13.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S3.SS3.p1.9.14" style="font-size:90%;">.</span></p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS4"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection" style="font-size:90%;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">3.4 </span>Some facts of direct scattering</h3> <div class="ltx_para" id="S3.SS4.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p1.1"><span class="ltx_text" id="S3.SS4.p1.1.1" style="font-size:90%;">The radiation solution </span><math alttext="R_{v}^{+}=R_{v}^{+}(.,y,\kappa)" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S3.SS4.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS4.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS4.p1.1.m1.1b"><msubsup id="S3.SS4.p1.1.m1.1.1"><mi id="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.2.2" mathsize="90%">R</mi><mi id="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.2.3" mathsize="90%">v</mi><mo id="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.3" mathsize="90%">+</mo></msubsup><mo id="S3.SS4.p1.1.m1.1.2" mathsize="90%">=</mo><msubsup id="S3.SS4.p1.1.m1.1.3"><mi id="S3.SS4.p1.1.m1.1.3.2.2" mathsize="90%">R</mi><mi id="S3.SS4.p1.1.m1.1.3.2.3" mathsize="90%">v</mi><mo id="S3.SS4.p1.1.m1.1.3.3" mathsize="90%">+</mo></msubsup><mrow id="S3.SS4.p1.1.m1.1.4"><mo id="S3.SS4.p1.1.m1.1.4.1" maxsize="90%" minsize="90%">(</mo><mo id="S3.SS4.p1.1.m1.1.4.2" lspace="0em" mathsize="90%" rspace="0.167em">.</mo><mo id="S3.SS4.p1.1.m1.1.4.3" mathsize="90%">,</mo><mi id="S3.SS4.p1.1.m1.1.4.4" mathsize="90%">y</mi><mo id="S3.SS4.p1.1.m1.1.4.5" mathsize="90%">,</mo><mi id="S3.SS4.p1.1.m1.1.4.6" mathsize="90%">κ</mi><mo id="S3.SS4.p1.1.m1.1.4.7" maxsize="90%" minsize="90%">)</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p1.1.m1.1c">R_{v}^{+}=R_{v}^{+}(.,y,\kappa)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p1.1.m1.1d">italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_v end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT = italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_v end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT ( . , italic_y , italic_κ )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S3.SS4.p1.1.2" style="font-size:90%;"> for equation (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S1.E4" style="font-size:90%;" title="In 1 Introduction"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a><span class="ltx_text" id="S3.SS4.p1.1.3" style="font-size:90%;">) satisfies the integral equation</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E15"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="R_{v}^{+}(x,y,\kappa)=-G^{+}(x-y,\kappa)+\int_{\Omega}G^{+}(x-y,\kappa)v(z)R_{% v}^{+}(z,y,\kappa)dz," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E15.m1.10"><semantics id="S3.E15.m1.10a"><mrow id="S3.E15.m1.10.10.1" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.cmml"><mrow id="S3.E15.m1.10.10.1.1" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.cmml"><mrow id="S3.E15.m1.10.10.1.1.4" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.4.cmml"><msubsup id="S3.E15.m1.10.10.1.1.4.2" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.4.2.cmml"><mi id="S3.E15.m1.10.10.1.1.4.2.2.2" mathsize="90%" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.4.2.2.2.cmml">R</mi><mi id="S3.E15.m1.10.10.1.1.4.2.2.3" mathsize="90%" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.4.2.2.3.cmml">v</mi><mo id="S3.E15.m1.10.10.1.1.4.2.3" mathsize="90%" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.4.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S3.E15.m1.10.10.1.1.4.1" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E15.m1.10.10.1.1.4.3.2" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.4.3.1.cmml"><mo id="S3.E15.m1.10.10.1.1.4.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.4.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E15.m1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.E15.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.E15.m1.10.10.1.1.4.3.2.2" mathsize="90%" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E15.m1.2.2" mathsize="90%" xref="S3.E15.m1.2.2.cmml">y</mi><mo id="S3.E15.m1.10.10.1.1.4.3.2.3" mathsize="90%" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E15.m1.3.3" mathsize="90%" xref="S3.E15.m1.3.3.cmml">κ</mi><mo id="S3.E15.m1.10.10.1.1.4.3.2.4" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E15.m1.10.10.1.1.3" mathsize="90%" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.E15.m1.10.10.1.1.2" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E15.m1.10.10.1.1.1.1" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E15.m1.10.10.1.1.1.1a" mathsize="90%" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E15.m1.10.10.1.1.1.1.1" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.E15.m1.10.10.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E15.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.2.cmml">G</mi><mo id="S3.E15.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.3.cmml">+</mo></msup><mo id="S3.E15.m1.10.10.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E15.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E15.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.E15.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E15.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S3.E15.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S3.E15.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">y</mi></mrow><mo id="S3.E15.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.E15.m1.4.4" mathsize="90%" xref="S3.E15.m1.4.4.cmml">κ</mi><mo id="S3.E15.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.4" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.3" mathsize="90%" rspace="0.055em" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.cmml"><msub id="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.2" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" stretchy="true" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.2.3" mathsize="90%" mathvariant="normal" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.2.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.1" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.1.cmml"><msup id="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.1.3" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.1.3.cmml"><mi id="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.1.3.2" mathsize="90%" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.1.3.2.cmml">G</mi><mo id="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.1.3.3" mathsize="90%" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.1.3.3.cmml">+</mo></msup><mo id="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.1.2" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">y</mi></mrow><mo id="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.E15.m1.5.5" mathsize="90%" xref="S3.E15.m1.5.5.cmml">κ</mi><mo id="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.4" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.1.2a" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.1.4" mathsize="90%" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.1.4.cmml">v</mi><mo id="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.1.2b" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.1.5.2" 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id="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.1.8.2" mathsize="90%" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.1.8.2.cmml">z</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E15.m1.10.10.1.2" mathsize="90%" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E15.m1.10b"><apply id="S3.E15.m1.10.10.1.1.cmml" xref="S3.E15.m1.10.10.1"><eq id="S3.E15.m1.10.10.1.1.3.cmml" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.3"></eq><apply id="S3.E15.m1.10.10.1.1.4.cmml" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.4"><times id="S3.E15.m1.10.10.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.4.1"></times><apply id="S3.E15.m1.10.10.1.1.4.2.cmml" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E15.m1.10.10.1.1.4.2.1.cmml" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.4.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E15.m1.10.10.1.1.4.2.2.cmml" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E15.m1.10.10.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E15.m1.10.10.1.1.4.2.2.2.cmml" 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xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.1.6">subscript</csymbol><ci id="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.1.6.2.2.cmml" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.1.6.2.2">𝑅</ci><ci id="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.1.6.2.3.cmml" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.1.6.2.3">𝑣</ci></apply><plus id="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.1.6.3.cmml" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.1.6.3"></plus></apply><vector id="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.1.7.1.cmml" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.1.7.2"><ci id="S3.E15.m1.7.7.cmml" xref="S3.E15.m1.7.7">𝑧</ci><ci id="S3.E15.m1.8.8.cmml" xref="S3.E15.m1.8.8">𝑦</ci><ci id="S3.E15.m1.9.9.cmml" xref="S3.E15.m1.9.9">𝜅</ci></vector><apply id="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.1.8.cmml" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.1.8"><csymbol cd="latexml" id="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.1.8.1.cmml" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.1.8.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.1.8.2.cmml" xref="S3.E15.m1.10.10.1.1.2.2.1.8.2">𝑧</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E15.m1.10c">R_{v}^{+}(x,y,\kappa)=-G^{+}(x-y,\kappa)+\int_{\Omega}G^{+}(x-y,\kappa)v(z)R_{% v}^{+}(z,y,\kappa)dz,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E15.m1.10d">italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_v end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_x , italic_y , italic_κ ) = - italic_G start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_x - italic_y , italic_κ ) + ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT italic_G start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_x - italic_y , italic_κ ) italic_v ( italic_z ) italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_v end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_z , italic_y , italic_κ ) italic_d italic_z ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(15)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p1.3"><span class="ltx_text" id="S3.SS4.p1.3.1" style="font-size:90%;">where </span><math alttext="x,y\in\mathbb{R}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p1.2.m1.2"><semantics id="S3.SS4.p1.2.m1.2a"><mrow id="S3.SS4.p1.2.m1.2.3" xref="S3.SS4.p1.2.m1.2.3.cmml"><mrow id="S3.SS4.p1.2.m1.2.3.2.2" xref="S3.SS4.p1.2.m1.2.3.2.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p1.2.m1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.SS4.p1.2.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.SS4.p1.2.m1.2.3.2.2.1" mathsize="90%" xref="S3.SS4.p1.2.m1.2.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS4.p1.2.m1.2.2" mathsize="90%" xref="S3.SS4.p1.2.m1.2.2.cmml">y</mi></mrow><mo id="S3.SS4.p1.2.m1.2.3.1" mathsize="90%" xref="S3.SS4.p1.2.m1.2.3.1.cmml">∈</mo><msup id="S3.SS4.p1.2.m1.2.3.3" xref="S3.SS4.p1.2.m1.2.3.3.cmml"><mi id="S3.SS4.p1.2.m1.2.3.3.2" mathsize="90%" xref="S3.SS4.p1.2.m1.2.3.3.2.cmml">ℝ</mi><mn id="S3.SS4.p1.2.m1.2.3.3.3" mathsize="90%" xref="S3.SS4.p1.2.m1.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p1.2.m1.2b"><apply id="S3.SS4.p1.2.m1.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p1.2.m1.2.3"><in id="S3.SS4.p1.2.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.2.m1.2.3.1"></in><list id="S3.SS4.p1.2.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.2.m1.2.3.2.2"><ci id="S3.SS4.p1.2.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.2.m1.1.1">𝑥</ci><ci id="S3.SS4.p1.2.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.2.m1.2.2">𝑦</ci></list><apply id="S3.SS4.p1.2.m1.2.3.3.cmml" xref="S3.SS4.p1.2.m1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p1.2.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.2.m1.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p1.2.m1.2.3.3.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.2.m1.2.3.3.2">ℝ</ci><cn id="S3.SS4.p1.2.m1.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS4.p1.2.m1.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p1.2.m1.2c">x,y\in\mathbb{R}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p1.2.m1.2d">italic_x , italic_y ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S3.SS4.p1.3.2" style="font-size:90%;">, </span><math alttext="G^{+}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p1.3.m2.1"><semantics id="S3.SS4.p1.3.m2.1a"><msup id="S3.SS4.p1.3.m2.1.1" xref="S3.SS4.p1.3.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p1.3.m2.1.1.2" mathsize="90%" xref="S3.SS4.p1.3.m2.1.1.2.cmml">G</mi><mo id="S3.SS4.p1.3.m2.1.1.3" mathsize="90%" xref="S3.SS4.p1.3.m2.1.1.3.cmml">+</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p1.3.m2.1b"><apply id="S3.SS4.p1.3.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.3.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p1.3.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.3.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p1.3.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.3.m2.1.1.2">𝐺</ci><plus id="S3.SS4.p1.3.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p1.3.m2.1.1.3"></plus></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p1.3.m2.1c">G^{+}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p1.3.m2.1d">italic_G start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S3.SS4.p1.3.3" style="font-size:90%;"> is given in (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S3.E14" style="font-size:90%;" title="In 3.3 A Green type formula ‣ 3 Preliminaries"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">14</span></a><span class="ltx_text" id="S3.SS4.p1.3.4" style="font-size:90%;">). </span> <br class="ltx_break"/><span class="ltx_text" id="S3.SS4.p1.3.5" style="font-size:90%;">We consider equations (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S1.E4" style="font-size:90%;" title="In 1 Introduction"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a><span class="ltx_text" id="S3.SS4.p1.3.6" style="font-size:90%;">) and (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S3.E15" style="font-size:90%;" title="In 3.4 Some facts of direct scattering ‣ 3 Preliminaries"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">15</span></a><span class="ltx_text" id="S3.SS4.p1.3.7" style="font-size:90%;">) assuming for simplicity that</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS4.p2"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E16"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\text{$v$ is complex-valued},\ v\in L^{\infty}(\Omega),\ v\equiv 0\text{ on }% \mathbb{R}^{2}\setminus\overline{\Omega},\ " class="ltx_Math" display="block" id="S3.E16.m1.4"><semantics id="S3.E16.m1.4a"><mrow id="S3.E16.m1.4.4.1"><mrow id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml"><mrow id="S3.E16.m1.1.1.1" xref="S3.E16.m1.1.1.1b.cmml"><mi id="S3.E16.m1.1.1.1.m1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.E16.m1.1.1.1.m1.1.1.cmml">v</mi><mtext id="S3.E16.m1.1.1.1a" mathsize="90%" xref="S3.E16.m1.1.1.1b.cmml"> is complex-valued</mtext></mrow><mo id="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1" mathsize="90%" rspace="0.617em" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E16.m1.3.3" mathsize="90%" xref="S3.E16.m1.3.3.cmml">v</mi></mrow><mo id="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2" mathsize="90%" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.cmml">L</mi><mi id="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3" mathsize="90%" mathvariant="normal" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.cmml">∞</mi></msup><mo id="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.E16.m1.2.2" mathsize="90%" mathvariant="normal" xref="S3.E16.m1.2.2.cmml">Ω</mi><mo id="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.3" mathsize="90%" rspace="0.617em" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.2" mathsize="90%" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml">v</mi><mo id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.1" mathsize="90%" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.1.cmml">≡</mo><mrow id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.2" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.cmml"><mn id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.2" mathsize="90%" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.2.cmml">0</mn><mo id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.1" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mtext id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.3" mathsize="90%" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.3a.cmml"> on </mtext><mo id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.1a" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.4" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.4.cmml"><mi id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.4.2" mathsize="90%" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.4.2.cmml">ℝ</mi><mn id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.4.3" mathsize="90%" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.1" mathsize="90%" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.1.cmml">∖</mo><mover accent="true" id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.3" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.3.2" mathsize="90%" mathvariant="normal" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.3.2.cmml">Ω</mi><mo id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.3.1" mathsize="90%" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E16.m1.4.4.1.2" mathsize="90%">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E16.m1.4b"><apply id="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E16.m1.4.4.1.1.3a.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1"><in id="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.1"></in><list id="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.2.2"><ci id="S3.E16.m1.1.1.1b.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1"><mrow id="S3.E16.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1"><mi id="S3.E16.m1.1.1.1.m1.1.1.cmml" mathsize="90%" xref="S3.E16.m1.1.1.1.m1.1.1">v</mi><mtext id="S3.E16.m1.1.1.1a.cmml" mathsize="90%" xref="S3.E16.m1.1.1.1"> is complex-valued</mtext></mrow></ci><ci id="S3.E16.m1.3.3.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3">𝑣</ci></list><apply id="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.3"><times id="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2">𝐿</ci><infinity id="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3"></infinity></apply><ci id="S3.E16.m1.2.2.cmml" xref="S3.E16.m1.2.2">Ω</ci></apply></apply><apply id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2"><equivalent id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.1"></equivalent><ci id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.2">𝑣</ci><apply id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3"><setdiff id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.1"></setdiff><apply id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.2"><times id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.1"></times><cn id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.2">0</cn><ci id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.3a.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.3"><mtext id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.3.cmml" mathsize="90%" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.3"> on </mtext></ci><apply id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.4.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.4.1.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.4">superscript</csymbol><ci id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.4.2.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.4.2">ℝ</ci><cn id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.4.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.3"><ci id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.3.1">¯</ci><ci id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.3.2">Ω</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E16.m1.4c">\text{$v$ is complex-valued},\ v\in L^{\infty}(\Omega),\ v\equiv 0\text{ on }% \mathbb{R}^{2}\setminus\overline{\Omega},\ </annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E16.m1.4d">italic_v is complex-valued , italic_v ∈ italic_L start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Ω ) , italic_v ≡ 0 on blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∖ over¯ start_ARG roman_Ω end_ARG ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(16)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p2.1"><span class="ltx_text" id="S3.SS4.p2.1.1" style="font-size:90%;">and</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E17"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\text{equation (\ref{eq:2.3}) is uniquely solvable for }R_{v}^{+}(.,y,\kappa)% \in L^{2}(\Omega)." class="ltx_math_unparsed" display="block" id="S3.E17.m1.1"><semantics id="S3.E17.m1.1a"><mrow id="S3.E17.m1.1b"><mrow id="S3.E17.m1.1.1"><mtext id="S3.E17.m1.1.1a" mathsize="90%">equation (</mtext><mtext id="S3.E17.m1.1.1b" mathsize="90%"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S3.E15" style="font-size:90%;" title="In 3.4 Some facts of direct scattering ‣ 3 Preliminaries"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">15</span></a></mtext><mtext id="S3.E17.m1.1.1e" mathsize="90%">) is uniquely solvable for </mtext></mrow><msubsup id="S3.E17.m1.1.2"><mi id="S3.E17.m1.1.2.2.2" mathsize="90%">R</mi><mi id="S3.E17.m1.1.2.2.3" mathsize="90%">v</mi><mo id="S3.E17.m1.1.2.3" mathsize="90%">+</mo></msubsup><mrow id="S3.E17.m1.1.3"><mo id="S3.E17.m1.1.3.1" maxsize="90%" minsize="90%">(</mo><mo id="S3.E17.m1.1.3.2" lspace="0em" mathsize="90%" rspace="0.167em">.</mo><mo id="S3.E17.m1.1.3.3" mathsize="90%">,</mo><mi id="S3.E17.m1.1.3.4" mathsize="90%">y</mi><mo id="S3.E17.m1.1.3.5" mathsize="90%">,</mo><mi id="S3.E17.m1.1.3.6" mathsize="90%">κ</mi><mo id="S3.E17.m1.1.3.7" maxsize="90%" minsize="90%">)</mo></mrow><mo id="S3.E17.m1.1.4" mathsize="90%">∈</mo><msup id="S3.E17.m1.1.5"><mi id="S3.E17.m1.1.5.2" mathsize="90%">L</mi><mn id="S3.E17.m1.1.5.3" mathsize="90%">2</mn></msup><mrow id="S3.E17.m1.1.6"><mo id="S3.E17.m1.1.6.1" maxsize="90%" minsize="90%">(</mo><mi id="S3.E17.m1.1.6.2" mathsize="90%" mathvariant="normal">Ω</mi><mo id="S3.E17.m1.1.6.3" maxsize="90%" minsize="90%">)</mo></mrow><mo id="S3.E17.m1.1.7" lspace="0em" mathsize="90%">.</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E17.m1.1c">\text{equation (\ref{eq:2.3}) is uniquely solvable for }R_{v}^{+}(.,y,\kappa)% \in L^{2}(\Omega).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E17.m1.1d">equation ( ) is uniquely solvable for italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_v end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT ( . , italic_y , italic_κ ) ∈ italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Ω ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(17)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS4.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p3.2"><span class="ltx_text" id="S3.SS4.p3.2.1" style="font-size:90%;">It is known that if </span><math alttext="v" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p3.1.m1.1"><semantics id="S3.SS4.p3.1.m1.1a"><mi id="S3.SS4.p3.1.m1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.cmml">v</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p3.1.m1.1b"><ci id="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p3.1.m1.1.1">𝑣</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p3.1.m1.1c">v</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p3.1.m1.1d">italic_v</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S3.SS4.p3.2.2" style="font-size:90%;"> satisfies (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S3.E16" style="font-size:90%;" title="In 3.4 Some facts of direct scattering ‣ 3 Preliminaries"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">16</span></a><span class="ltx_text" id="S3.SS4.p3.2.3" style="font-size:90%;">) and is real-valued (or Im</span><math alttext="(v)\leq 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p3.2.m2.1"><semantics id="S3.SS4.p3.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS4.p3.2.m2.1.2" xref="S3.SS4.p3.2.m2.1.2.cmml"><mrow id="S3.SS4.p3.2.m2.1.2.2.2" xref="S3.SS4.p3.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S3.SS4.p3.2.m2.1.2.2.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.SS4.p3.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS4.p3.2.m2.1.1" mathsize="90%" xref="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.cmml">v</mi><mo id="S3.SS4.p3.2.m2.1.2.2.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.SS4.p3.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.SS4.p3.2.m2.1.2.1" mathsize="90%" xref="S3.SS4.p3.2.m2.1.2.1.cmml">≤</mo><mn id="S3.SS4.p3.2.m2.1.2.3" mathsize="90%" xref="S3.SS4.p3.2.m2.1.2.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p3.2.m2.1b"><apply id="S3.SS4.p3.2.m2.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p3.2.m2.1.2"><leq id="S3.SS4.p3.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p3.2.m2.1.2.1"></leq><ci id="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p3.2.m2.1.1">𝑣</ci><cn id="S3.SS4.p3.2.m2.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS4.p3.2.m2.1.2.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p3.2.m2.1c">(v)\leq 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p3.2.m2.1d">( italic_v ) ≤ 0</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S3.SS4.p3.2.4" style="font-size:90%;">) then (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S3.E17" style="font-size:90%;" title="In 3.4 Some facts of direct scattering ‣ 3 Preliminaries"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">17</span></a><span class="ltx_text" id="S3.SS4.p3.2.5" style="font-size:90%;">) is fulfilled automatically; see, for example, </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S3.SS4.p3.2.6.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib9" title="">9</a><span class="ltx_text" id="S3.SS4.p3.2.7.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S3.SS4.p3.2.8" style="font-size:90%;">, at least in three dimensions.</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS4.p4"> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p4.1"><span class="ltx_text" id="S3.SS4.p4.1.1" style="font-size:90%;">Note that</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E18"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="R_{v}^{+}(x,y,\kappa)=R_{v}^{+}(y,x,\kappa),\ \ x,y\in\mathbb{R}^{2};" class="ltx_Math" display="block" id="S3.E18.m1.8"><semantics id="S3.E18.m1.8a"><mrow id="S3.E18.m1.8.8.1"><mrow id="S3.E18.m1.8.8.1.1.2" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.2.2" mathsize="90%" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">R</mi><mi id="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.2.3" mathsize="90%" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">v</mi><mo id="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.3" mathsize="90%" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E18.m1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.E18.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.2" mathsize="90%" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E18.m1.2.2" mathsize="90%" xref="S3.E18.m1.2.2.cmml">y</mi><mo id="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.3" mathsize="90%" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E18.m1.3.3" mathsize="90%" xref="S3.E18.m1.3.3.cmml">κ</mi><mo id="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.4" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" mathsize="90%" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">R</mi><mi id="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" mathsize="90%" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">v</mi><mo id="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.3" mathsize="90%" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E18.m1.4.4" mathsize="90%" xref="S3.E18.m1.4.4.cmml">y</mi><mo id="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" mathsize="90%" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E18.m1.5.5" mathsize="90%" xref="S3.E18.m1.5.5.cmml">x</mi><mo id="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" mathsize="90%" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E18.m1.6.6" mathsize="90%" xref="S3.E18.m1.6.6.cmml">κ</mi><mo id="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.4" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2" mathsize="90%" rspace="1.067em" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.E18.m1.7.7" mathsize="90%" xref="S3.E18.m1.7.7.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="S3.E18.m1.8.8.1.1.2.3" mathsize="90%" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E18.m1.8.8.1.1.2.2" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E18.m1.8.8.1.1.2.2.2" mathsize="90%" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.2.2.2.cmml">y</mi><mo id="S3.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1" mathsize="90%" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.cmml">∈</mo><msup id="S3.E18.m1.8.8.1.1.2.2.3" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E18.m1.8.8.1.1.2.2.3.2" mathsize="90%" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.2.2.3.2.cmml">ℝ</mi><mn id="S3.E18.m1.8.8.1.1.2.2.3.3" mathsize="90%" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.2.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S3.E18.m1.8.8.1.2" mathsize="90%">;</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E18.m1.8b"><apply id="S3.E18.m1.8.8.1.1.3.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E18.m1.8.8.1.1.3a.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1"><eq id="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3"><times id="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑅</ci><ci id="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.2.3">𝑣</ci></apply><plus id="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.3"></plus></apply><vector id="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2"><ci id="S3.E18.m1.1.1.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1">𝑥</ci><ci id="S3.E18.m1.2.2.cmml" xref="S3.E18.m1.2.2">𝑦</ci><ci id="S3.E18.m1.3.3.cmml" xref="S3.E18.m1.3.3">𝜅</ci></vector></apply><list id="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.1.1"><apply id="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑅</ci><ci id="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑣</ci></apply><plus id="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.3"></plus></apply><vector id="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S3.E18.m1.4.4.cmml" xref="S3.E18.m1.4.4">𝑦</ci><ci id="S3.E18.m1.5.5.cmml" xref="S3.E18.m1.5.5">𝑥</ci><ci id="S3.E18.m1.6.6.cmml" xref="S3.E18.m1.6.6">𝜅</ci></vector></apply><ci id="S3.E18.m1.7.7.cmml" xref="S3.E18.m1.7.7">𝑥</ci></list></apply><apply id="S3.E18.m1.8.8.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.2.2"><in id="S3.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1"></in><ci id="S3.E18.m1.8.8.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.2.2.2">𝑦</ci><apply id="S3.E18.m1.8.8.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E18.m1.8.8.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E18.m1.8.8.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.2.2.3.2">ℝ</ci><cn id="S3.E18.m1.8.8.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E18.m1.8.8.1.1.2.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E18.m1.8c">R_{v}^{+}(x,y,\kappa)=R_{v}^{+}(y,x,\kappa),\ \ x,y\in\mathbb{R}^{2};</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E18.m1.8d">italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_v end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_x , italic_y , italic_κ ) = italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_v end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_y , italic_x , italic_κ ) , italic_x , italic_y ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ;</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(18)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS4.p5"> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p5.2"><span class="ltx_text" id="S3.SS4.p5.2.1" style="font-size:90%;">We also consider the scattering wave functions </span><math alttext="\psi^{+}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p5.1.m1.1"><semantics id="S3.SS4.p5.1.m1.1a"><msup id="S3.SS4.p5.1.m1.1.1" xref="S3.SS4.p5.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p5.1.m1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S3.SS4.p5.1.m1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mo id="S3.SS4.p5.1.m1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S3.SS4.p5.1.m1.1.1.3.cmml">+</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p5.1.m1.1b"><apply id="S3.SS4.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p5.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p5.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p5.1.m1.1.1.2">𝜓</ci><plus id="S3.SS4.p5.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p5.1.m1.1.1.3"></plus></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p5.1.m1.1c">\psi^{+}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p5.1.m1.1d">italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S3.SS4.p5.2.2" style="font-size:90%;"> for the homogeneous equation (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S1.E4" style="font-size:90%;" title="In 1 Introduction"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a><span class="ltx_text" id="S3.SS4.p5.2.3" style="font-size:90%;">) (i.e without </span><math alttext="\delta" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p5.2.m2.1"><semantics id="S3.SS4.p5.2.m2.1a"><mi id="S3.SS4.p5.2.m2.1.1" mathsize="90%" xref="S3.SS4.p5.2.m2.1.1.cmml">δ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p5.2.m2.1b"><ci id="S3.SS4.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p5.2.m2.1.1">𝛿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p5.2.m2.1c">\delta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p5.2.m2.1d">italic_δ</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S3.SS4.p5.2.4" style="font-size:90%;">):</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E19"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\psi^{+}=\psi^{+}(x.k)=e^{ikx}+\psi^{+}_{sc}(x,k),\ \ x,k\in\mathbb{R}^{2},\ |% k|=\kappa," class="ltx_math_unparsed" display="block" id="S3.E19.m1.1"><semantics id="S3.E19.m1.1a"><mrow id="S3.E19.m1.1b"><msup id="S3.E19.m1.1.1"><mi id="S3.E19.m1.1.1.2" mathsize="90%">ψ</mi><mo id="S3.E19.m1.1.1.3" mathsize="90%">+</mo></msup><mo id="S3.E19.m1.1.2" mathsize="90%">=</mo><msup id="S3.E19.m1.1.3"><mi id="S3.E19.m1.1.3.2" mathsize="90%">ψ</mi><mo id="S3.E19.m1.1.3.3" mathsize="90%">+</mo></msup><mrow id="S3.E19.m1.1.4"><mo id="S3.E19.m1.1.4.1" maxsize="90%" minsize="90%">(</mo><mi id="S3.E19.m1.1.4.2" mathsize="90%">x</mi><mo id="S3.E19.m1.1.4.3" lspace="0em" mathsize="90%" rspace="0.167em">.</mo><mi id="S3.E19.m1.1.4.4" mathsize="90%">k</mi><mo id="S3.E19.m1.1.4.5" maxsize="90%" minsize="90%">)</mo></mrow><mo id="S3.E19.m1.1.5" mathsize="90%">=</mo><msup id="S3.E19.m1.1.6"><mi id="S3.E19.m1.1.6.2" mathsize="90%">e</mi><mrow id="S3.E19.m1.1.6.3"><mi id="S3.E19.m1.1.6.3.2" mathsize="90%">i</mi><mo id="S3.E19.m1.1.6.3.1">⁢</mo><mi id="S3.E19.m1.1.6.3.3" mathsize="90%">k</mi><mo id="S3.E19.m1.1.6.3.1a">⁢</mo><mi id="S3.E19.m1.1.6.3.4" mathsize="90%">x</mi></mrow></msup><mo id="S3.E19.m1.1.7" mathsize="90%">+</mo><msubsup id="S3.E19.m1.1.8"><mi id="S3.E19.m1.1.8.2.2" mathsize="90%">ψ</mi><mrow id="S3.E19.m1.1.8.3"><mi id="S3.E19.m1.1.8.3.2" mathsize="90%">s</mi><mo id="S3.E19.m1.1.8.3.1">⁢</mo><mi id="S3.E19.m1.1.8.3.3" mathsize="90%">c</mi></mrow><mo id="S3.E19.m1.1.8.2.3" mathsize="90%">+</mo></msubsup><mrow id="S3.E19.m1.1.9"><mo id="S3.E19.m1.1.9.1" maxsize="90%" minsize="90%">(</mo><mi id="S3.E19.m1.1.9.2" mathsize="90%">x</mi><mo id="S3.E19.m1.1.9.3" mathsize="90%">,</mo><mi id="S3.E19.m1.1.9.4" mathsize="90%">k</mi><mo id="S3.E19.m1.1.9.5" maxsize="90%" minsize="90%">)</mo></mrow><mo id="S3.E19.m1.1.10" mathsize="90%" rspace="1.067em">,</mo><mi id="S3.E19.m1.1.11" mathsize="90%">x</mi><mo id="S3.E19.m1.1.12" mathsize="90%">,</mo><mi id="S3.E19.m1.1.13" mathsize="90%">k</mi><mo id="S3.E19.m1.1.14" mathsize="90%">∈</mo><msup id="S3.E19.m1.1.15"><mi id="S3.E19.m1.1.15.2" mathsize="90%">ℝ</mi><mn id="S3.E19.m1.1.15.3" mathsize="90%">2</mn></msup><mo id="S3.E19.m1.1.16" mathsize="90%" rspace="0.617em">,</mo><mo fence="false" id="S3.E19.m1.1.17" maxsize="90%" minsize="90%" rspace="0.167em">|</mo><mi id="S3.E19.m1.1.18" mathsize="90%">k</mi><mo fence="false" id="S3.E19.m1.1.19" maxsize="90%" minsize="90%">|</mo><mo id="S3.E19.m1.1.20" lspace="0.167em" mathsize="90%">=</mo><mi id="S3.E19.m1.1.21" mathsize="90%">κ</mi><mo id="S3.E19.m1.1.22" mathsize="90%">,</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E19.m1.1c">\psi^{+}=\psi^{+}(x.k)=e^{ikx}+\psi^{+}_{sc}(x,k),\ \ x,k\in\mathbb{R}^{2},\ |% k|=\kappa,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E19.m1.1d">italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT = italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_x . italic_k ) = italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_k italic_x end_POSTSUPERSCRIPT + italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_s italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x , italic_k ) , italic_x , italic_k ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT , | italic_k | = italic_κ ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(19)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p5.4"><span class="ltx_text" id="S3.SS4.p5.4.1" style="font-size:90%;">where </span><math alttext="\psi^{+}_{sc}(x,k)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p5.3.m1.2"><semantics id="S3.SS4.p5.3.m1.2a"><mrow id="S3.SS4.p5.3.m1.2.3" xref="S3.SS4.p5.3.m1.2.3.cmml"><msubsup id="S3.SS4.p5.3.m1.2.3.2" xref="S3.SS4.p5.3.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S3.SS4.p5.3.m1.2.3.2.2.2" mathsize="90%" xref="S3.SS4.p5.3.m1.2.3.2.2.2.cmml">ψ</mi><mrow id="S3.SS4.p5.3.m1.2.3.2.3" xref="S3.SS4.p5.3.m1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S3.SS4.p5.3.m1.2.3.2.3.2" mathsize="90%" xref="S3.SS4.p5.3.m1.2.3.2.3.2.cmml">s</mi><mo id="S3.SS4.p5.3.m1.2.3.2.3.1" xref="S3.SS4.p5.3.m1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS4.p5.3.m1.2.3.2.3.3" mathsize="90%" xref="S3.SS4.p5.3.m1.2.3.2.3.3.cmml">c</mi></mrow><mo id="S3.SS4.p5.3.m1.2.3.2.2.3" mathsize="90%" xref="S3.SS4.p5.3.m1.2.3.2.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S3.SS4.p5.3.m1.2.3.1" xref="S3.SS4.p5.3.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS4.p5.3.m1.2.3.3.2" xref="S3.SS4.p5.3.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.SS4.p5.3.m1.2.3.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.SS4.p5.3.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS4.p5.3.m1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.SS4.p5.3.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.SS4.p5.3.m1.2.3.3.2.2" mathsize="90%" xref="S3.SS4.p5.3.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS4.p5.3.m1.2.2" mathsize="90%" xref="S3.SS4.p5.3.m1.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.SS4.p5.3.m1.2.3.3.2.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.SS4.p5.3.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p5.3.m1.2b"><apply id="S3.SS4.p5.3.m1.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p5.3.m1.2.3"><times id="S3.SS4.p5.3.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p5.3.m1.2.3.1"></times><apply id="S3.SS4.p5.3.m1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS4.p5.3.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p5.3.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p5.3.m1.2.3.2">subscript</csymbol><apply id="S3.SS4.p5.3.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p5.3.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p5.3.m1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p5.3.m1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p5.3.m1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p5.3.m1.2.3.2.2.2">𝜓</ci><plus id="S3.SS4.p5.3.m1.2.3.2.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p5.3.m1.2.3.2.2.3"></plus></apply><apply id="S3.SS4.p5.3.m1.2.3.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p5.3.m1.2.3.2.3"><times id="S3.SS4.p5.3.m1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p5.3.m1.2.3.2.3.1"></times><ci id="S3.SS4.p5.3.m1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S3.SS4.p5.3.m1.2.3.2.3.2">𝑠</ci><ci id="S3.SS4.p5.3.m1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S3.SS4.p5.3.m1.2.3.2.3.3">𝑐</ci></apply></apply><interval closure="open" id="S3.SS4.p5.3.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p5.3.m1.2.3.3.2"><ci id="S3.SS4.p5.3.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p5.3.m1.1.1">𝑥</ci><ci id="S3.SS4.p5.3.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p5.3.m1.2.2">𝑘</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p5.3.m1.2c">\psi^{+}_{sc}(x,k)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p5.3.m1.2d">italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_s italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x , italic_k )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S3.SS4.p5.4.2" style="font-size:90%;"> satisfies the radiation condition (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S1.E2" style="font-size:90%;" title="In 1 Introduction"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a><span class="ltx_text" id="S3.SS4.p5.4.3" style="font-size:90%;">) at fixed </span><math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p5.4.m2.1"><semantics id="S3.SS4.p5.4.m2.1a"><mi id="S3.SS4.p5.4.m2.1.1" mathsize="90%" xref="S3.SS4.p5.4.m2.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p5.4.m2.1b"><ci id="S3.SS4.p5.4.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p5.4.m2.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p5.4.m2.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p5.4.m2.1d">italic_k</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S3.SS4.p5.4.4" style="font-size:90%;">.</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS4.p6"> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p6.6"><span class="ltx_text" id="S3.SS4.p6.6.1" style="font-size:90%;">The following formulas hold:</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E20"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="R_{v}^{+}(x,y,\kappa)=-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2\pi\kappa|x|}}e^{i(\kappa|x|% +\frac{\pi}{4})}\psi^{+}(y.-\kappa\frac{x}{|x|})+O\bigl{(}\frac{1}{|x|^{3/2}}% \bigr{)},\ \text{ as }|x|\to\infty," class="ltx_math_unparsed" display="block" id="S3.E20.m1.8"><semantics id="S3.E20.m1.8a"><mrow id="S3.E20.m1.8b"><msubsup id="S3.E20.m1.8.9"><mi id="S3.E20.m1.8.9.2.2" mathsize="90%">R</mi><mi id="S3.E20.m1.8.9.2.3" mathsize="90%">v</mi><mo id="S3.E20.m1.8.9.3" mathsize="90%">+</mo></msubsup><mrow id="S3.E20.m1.8.10"><mo id="S3.E20.m1.8.10.1" maxsize="90%" minsize="90%">(</mo><mi id="S3.E20.m1.6.6" mathsize="90%">x</mi><mo id="S3.E20.m1.8.10.2" mathsize="90%">,</mo><mi id="S3.E20.m1.7.7" mathsize="90%">y</mi><mo id="S3.E20.m1.8.10.3" mathsize="90%">,</mo><mi id="S3.E20.m1.8.8" mathsize="90%">κ</mi><mo id="S3.E20.m1.8.10.4" maxsize="90%" minsize="90%">)</mo></mrow><mo id="S3.E20.m1.8.11" mathsize="90%" rspace="0em">=</mo><mo id="S3.E20.m1.8.12" lspace="0em" mathsize="90%">−</mo><mfrac id="S3.E20.m1.8.13"><mn id="S3.E20.m1.8.13.2" mathsize="90%">1</mn><mn id="S3.E20.m1.8.13.3" mathsize="90%">2</mn></mfrac><msqrt id="S3.E20.m1.1.1"><mfrac id="S3.E20.m1.1.1.1"><mn id="S3.E20.m1.1.1.1.3" mathsize="90%">1</mn><mrow id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1"><mn id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.3" mathsize="90%">2</mn><mo id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.2">⁢</mo><mi id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.4" mathsize="90%">π</mi><mo id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.2a">⁢</mo><mi id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.5" mathsize="90%">κ</mi><mo id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.2b">⁢</mo><mrow id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.6.2"><mo id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.6.2.1" maxsize="90%" minsize="90%">|</mo><mi id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1" mathsize="90%">x</mi><mo id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.6.2.2" maxsize="90%" minsize="90%">|</mo></mrow></mrow></mfrac></msqrt><msup id="S3.E20.m1.8.14"><mi id="S3.E20.m1.8.14.2" mathsize="90%">e</mi><mrow id="S3.E20.m1.3.3.2"><mi id="S3.E20.m1.3.3.2.4" mathsize="90%">i</mi><mo id="S3.E20.m1.3.3.2.3">⁢</mo><mrow id="S3.E20.m1.3.3.2.2.1"><mo id="S3.E20.m1.3.3.2.2.1.2" maxsize="90%" minsize="90%">(</mo><mrow id="S3.E20.m1.3.3.2.2.1.1"><mrow id="S3.E20.m1.3.3.2.2.1.1.2"><mi id="S3.E20.m1.3.3.2.2.1.1.2.2" mathsize="90%">κ</mi><mo id="S3.E20.m1.3.3.2.2.1.1.2.1">⁢</mo><mrow id="S3.E20.m1.3.3.2.2.1.1.2.3.2"><mo id="S3.E20.m1.3.3.2.2.1.1.2.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%">|</mo><mi id="S3.E20.m1.2.2.1.1" mathsize="90%">x</mi><mo id="S3.E20.m1.3.3.2.2.1.1.2.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%">|</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E20.m1.3.3.2.2.1.1.1" mathsize="90%">+</mo><mfrac id="S3.E20.m1.3.3.2.2.1.1.3"><mi id="S3.E20.m1.3.3.2.2.1.1.3.2" mathsize="90%">π</mi><mn id="S3.E20.m1.3.3.2.2.1.1.3.3" mathsize="90%">4</mn></mfrac></mrow><mo id="S3.E20.m1.3.3.2.2.1.3" maxsize="90%" minsize="90%">)</mo></mrow></mrow></msup><msup id="S3.E20.m1.8.15"><mi id="S3.E20.m1.8.15.2" mathsize="90%">ψ</mi><mo id="S3.E20.m1.8.15.3" mathsize="90%">+</mo></msup><mrow id="S3.E20.m1.8.16"><mo id="S3.E20.m1.8.16.1" maxsize="90%" minsize="90%">(</mo><mi id="S3.E20.m1.8.16.2" mathsize="90%">y</mi><mo id="S3.E20.m1.8.16.3" lspace="0em" mathsize="90%" rspace="0em">.</mo><mo id="S3.E20.m1.8.16.4" lspace="0em" mathsize="90%">−</mo><mi id="S3.E20.m1.8.16.5" mathsize="90%">κ</mi><mfrac id="S3.E20.m1.4.4"><mi id="S3.E20.m1.4.4.3" mathsize="90%">x</mi><mrow id="S3.E20.m1.4.4.1.3"><mo id="S3.E20.m1.4.4.1.3.1" maxsize="90%" minsize="90%">|</mo><mi id="S3.E20.m1.4.4.1.1" mathsize="90%">x</mi><mo id="S3.E20.m1.4.4.1.3.2" maxsize="90%" minsize="90%">|</mo></mrow></mfrac><mo id="S3.E20.m1.8.16.6" maxsize="90%" minsize="90%">)</mo></mrow><mo id="S3.E20.m1.8.17" mathsize="90%">+</mo><mi id="S3.E20.m1.8.18" mathsize="90%">O</mi><mrow id="S3.E20.m1.8.19"><mo id="S3.E20.m1.8.19.1" maxsize="120%" minsize="120%">(</mo><mfrac id="S3.E20.m1.5.5"><mn id="S3.E20.m1.5.5.3" mathsize="90%">1</mn><msup id="S3.E20.m1.5.5.1"><mrow id="S3.E20.m1.5.5.1.3.2"><mo id="S3.E20.m1.5.5.1.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%">|</mo><mi id="S3.E20.m1.5.5.1.1" mathsize="90%">x</mi><mo id="S3.E20.m1.5.5.1.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%">|</mo></mrow><mrow id="S3.E20.m1.5.5.1.4"><mn id="S3.E20.m1.5.5.1.4.2" mathsize="90%">3</mn><mo id="S3.E20.m1.5.5.1.4.1" maxsize="90%" minsize="90%" stretchy="true" symmetric="true">/</mo><mn id="S3.E20.m1.5.5.1.4.3" mathsize="90%">2</mn></mrow></msup></mfrac><mo id="S3.E20.m1.8.19.2" maxsize="120%" minsize="120%">)</mo></mrow><mo id="S3.E20.m1.8.20" mathsize="90%" rspace="0.617em">,</mo><mtext id="S3.E20.m1.8.21" mathsize="90%"> as </mtext><mo fence="false" id="S3.E20.m1.8.22" maxsize="90%" minsize="90%" rspace="0.167em">|</mo><mi id="S3.E20.m1.8.23" mathsize="90%">x</mi><mo fence="false" id="S3.E20.m1.8.24" maxsize="90%" minsize="90%">|</mo><mo id="S3.E20.m1.8.25" lspace="0.167em" mathsize="90%" stretchy="false">→</mo><mi id="S3.E20.m1.8.26" mathsize="90%" mathvariant="normal">∞</mi><mo id="S3.E20.m1.8.27" mathsize="90%">,</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E20.m1.8c">R_{v}^{+}(x,y,\kappa)=-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2\pi\kappa|x|}}e^{i(\kappa|x|% +\frac{\pi}{4})}\psi^{+}(y.-\kappa\frac{x}{|x|})+O\bigl{(}\frac{1}{|x|^{3/2}}% \bigr{)},\ \text{ as }|x|\to\infty,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E20.m1.8d">italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_v end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_x , italic_y , italic_κ ) = - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG square-root start_ARG divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 italic_π italic_κ | italic_x | end_ARG end_ARG italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_i ( italic_κ | italic_x | + divide start_ARG italic_π end_ARG start_ARG 4 end_ARG ) end_POSTSUPERSCRIPT italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_y . - italic_κ divide start_ARG italic_x end_ARG start_ARG | italic_x | end_ARG ) + italic_O ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG | italic_x | start_POSTSUPERSCRIPT 3 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) , as | italic_x | → ∞ ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(20)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p6.1"><span class="ltx_text" id="S3.SS4.p6.1.1" style="font-size:90%;">at fixed </span><math alttext="y" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p6.1.m1.1"><semantics id="S3.SS4.p6.1.m1.1a"><mi id="S3.SS4.p6.1.m1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.SS4.p6.1.m1.1.1.cmml">y</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p6.1.m1.1b"><ci id="S3.SS4.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p6.1.m1.1.1">𝑦</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p6.1.m1.1c">y</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p6.1.m1.1d">italic_y</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S3.SS4.p6.1.2" style="font-size:90%;">;</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E21"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\psi^{+}_{sc}(x,k)=\frac{e^{i\kappa|x|}}{|x|^{1/2}}A(k,\kappa\frac{x}{|x|})+O% \bigl{(}\frac{1}{|x|^{3/2}}\bigr{)},\ \text{ as }|x|\to\infty," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E21.m1.9"><semantics id="S3.E21.m1.9a"><mrow id="S3.E21.m1.9.9.1"><mrow id="S3.E21.m1.9.9.1.1.2" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.3" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.2" mathsize="90%" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">ψ</mi><mrow id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.3.2" mathsize="90%" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">s</mi><mo id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.3.3" mathsize="90%" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">c</mi></mrow><mo id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.3" mathsize="90%" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E21.m1.5.5" mathsize="90%" xref="S3.E21.m1.5.5.cmml">x</mi><mo id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2.2" mathsize="90%" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E21.m1.6.6" 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id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.5.2" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.5.1.cmml"><mo id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.5.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.5.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.5.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.5.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msup><msup id="S3.E21.m1.2.2.2" xref="S3.E21.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.E21.m1.2.2.2.3.2" xref="S3.E21.m1.2.2.2.3.1.cmml"><mo id="S3.E21.m1.2.2.2.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E21.m1.2.2.2.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E21.m1.2.2.2.1" mathsize="90%" xref="S3.E21.m1.2.2.2.1.cmml">x</mi><mo id="S3.E21.m1.2.2.2.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E21.m1.2.2.2.3.1.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="S3.E21.m1.2.2.2.4" xref="S3.E21.m1.2.2.2.4.cmml"><mn id="S3.E21.m1.2.2.2.4.2" mathsize="90%" xref="S3.E21.m1.2.2.2.4.2.cmml">1</mn><mo id="S3.E21.m1.2.2.2.4.1" maxsize="90%" minsize="90%" stretchy="true" symmetric="true" xref="S3.E21.m1.2.2.2.4.1.cmml">/</mo><mn id="S3.E21.m1.2.2.2.4.3" mathsize="90%" xref="S3.E21.m1.2.2.2.4.3.cmml">2</mn></mrow></msup></mfrac><mo id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.cmml">A</mi><mo id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E21.m1.7.7" mathsize="90%" xref="S3.E21.m1.7.7.cmml">k</mi><mo id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">κ</mi><mo id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S3.E21.m1.3.3" xref="S3.E21.m1.3.3.cmml"><mi id="S3.E21.m1.3.3.3" mathsize="90%" xref="S3.E21.m1.3.3.3.cmml">x</mi><mrow id="S3.E21.m1.3.3.1.3" xref="S3.E21.m1.3.3.1.2.cmml"><mo id="S3.E21.m1.3.3.1.3.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E21.m1.3.3.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E21.m1.3.3.1.1" mathsize="90%" xref="S3.E21.m1.3.3.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.E21.m1.3.3.1.3.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E21.m1.3.3.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mfrac></mrow><mo id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.4" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.2.cmml">O</mi><mo id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E21.m1.4.4.cmml"><mo id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.3.2.1" maxsize="120%" minsize="120%" xref="S3.E21.m1.4.4.cmml">(</mo><mfrac id="S3.E21.m1.4.4" xref="S3.E21.m1.4.4.cmml"><mn id="S3.E21.m1.4.4.3" mathsize="90%" xref="S3.E21.m1.4.4.3.cmml">1</mn><msup id="S3.E21.m1.4.4.1" xref="S3.E21.m1.4.4.1.cmml"><mrow id="S3.E21.m1.4.4.1.3.2" xref="S3.E21.m1.4.4.1.3.1.cmml"><mo id="S3.E21.m1.4.4.1.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E21.m1.4.4.1.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E21.m1.4.4.1.1" mathsize="90%" xref="S3.E21.m1.4.4.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.E21.m1.4.4.1.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E21.m1.4.4.1.3.1.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="S3.E21.m1.4.4.1.4" xref="S3.E21.m1.4.4.1.4.cmml"><mn id="S3.E21.m1.4.4.1.4.2" mathsize="90%" xref="S3.E21.m1.4.4.1.4.2.cmml">3</mn><mo id="S3.E21.m1.4.4.1.4.1" maxsize="90%" minsize="90%" stretchy="true" symmetric="true" xref="S3.E21.m1.4.4.1.4.1.cmml">/</mo><mn id="S3.E21.m1.4.4.1.4.3" mathsize="90%" xref="S3.E21.m1.4.4.1.4.3.cmml">2</mn></mrow></msup></mfrac><mo id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.3.2.2" maxsize="120%" minsize="120%" xref="S3.E21.m1.4.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E21.m1.9.9.1.1.2.3" mathsize="90%" rspace="0.617em" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E21.m1.9.9.1.1.2.2" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.E21.m1.9.9.1.1.2.2.2" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.2.2.2.cmml"><mtext id="S3.E21.m1.9.9.1.1.2.2.2.2" mathsize="90%" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.2.2.2.2a.cmml"> as </mtext><mo id="S3.E21.m1.9.9.1.1.2.2.2.1" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E21.m1.9.9.1.1.2.2.2.3.2" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.2.2.2.3.1.cmml"><mo id="S3.E21.m1.9.9.1.1.2.2.2.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.2.2.2.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E21.m1.8.8" mathsize="90%" xref="S3.E21.m1.8.8.cmml">x</mi><mo id="S3.E21.m1.9.9.1.1.2.2.2.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.2.2.2.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E21.m1.9.9.1.1.2.2.1" mathsize="90%" stretchy="false" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.2.2.1.cmml">→</mo><mi id="S3.E21.m1.9.9.1.1.2.2.3" mathsize="90%" mathvariant="normal" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.2.2.3.cmml">∞</mi></mrow></mrow><mo id="S3.E21.m1.9.9.1.2" mathsize="90%">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E21.m1.9b"><apply id="S3.E21.m1.9.9.1.1.3.cmml" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E21.m1.9.9.1.1.3a.cmml" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1"><eq id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.3"><times id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.2">𝜓</ci><plus id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.3"></plus></apply><apply id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑠</ci><ci id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑐</ci></apply></apply><interval closure="open" id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2"><ci id="S3.E21.m1.5.5.cmml" xref="S3.E21.m1.5.5">𝑥</ci><ci id="S3.E21.m1.6.6.cmml" xref="S3.E21.m1.6.6">𝑘</ci></interval></apply><apply id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1"><plus id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.2"></plus><apply id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E21.m1.2.2.cmml" xref="S3.E21.m1.2.2"><divide id="S3.E21.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.E21.m1.2.2"></divide><apply id="S3.E21.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E21.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E21.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.3">𝑒</ci><apply id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci><ci id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.4">𝜅</ci><apply id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.5.2"><abs id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.5.1.1.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.5.2.1"></abs><ci id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1">𝑥</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E21.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.E21.m1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E21.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E21.m1.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E21.m1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E21.m1.2.2.2.3.2"><abs id="S3.E21.m1.2.2.2.3.1.1.cmml" xref="S3.E21.m1.2.2.2.3.2.1"></abs><ci id="S3.E21.m1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E21.m1.2.2.2.1">𝑥</ci></apply><apply id="S3.E21.m1.2.2.2.4.cmml" xref="S3.E21.m1.2.2.2.4"><divide id="S3.E21.m1.2.2.2.4.1.cmml" xref="S3.E21.m1.2.2.2.4.1"></divide><cn id="S3.E21.m1.2.2.2.4.2.cmml" type="integer" xref="S3.E21.m1.2.2.2.4.2">1</cn><cn id="S3.E21.m1.2.2.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.E21.m1.2.2.2.4.3">2</cn></apply></apply></apply><ci id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3">𝐴</ci><interval closure="open" id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1"><ci id="S3.E21.m1.7.7.cmml" xref="S3.E21.m1.7.7">𝑘</ci><apply id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜅</ci><apply id="S3.E21.m1.3.3.cmml" xref="S3.E21.m1.3.3"><divide id="S3.E21.m1.3.3.2.cmml" xref="S3.E21.m1.3.3"></divide><ci id="S3.E21.m1.3.3.3.cmml" xref="S3.E21.m1.3.3.3">𝑥</ci><apply id="S3.E21.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S3.E21.m1.3.3.1.3"><abs id="S3.E21.m1.3.3.1.2.1.cmml" xref="S3.E21.m1.3.3.1.3.1"></abs><ci id="S3.E21.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E21.m1.3.3.1.1">𝑥</ci></apply></apply></apply></interval></apply><apply id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.2">𝑂</ci><apply id="S3.E21.m1.4.4.cmml" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.3.2"><divide id="S3.E21.m1.4.4.2.cmml" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.3.2"></divide><cn id="S3.E21.m1.4.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.E21.m1.4.4.3">1</cn><apply id="S3.E21.m1.4.4.1.cmml" xref="S3.E21.m1.4.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E21.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S3.E21.m1.4.4.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E21.m1.4.4.1.3.1.cmml" xref="S3.E21.m1.4.4.1.3.2"><abs id="S3.E21.m1.4.4.1.3.1.1.cmml" xref="S3.E21.m1.4.4.1.3.2.1"></abs><ci id="S3.E21.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.E21.m1.4.4.1.1">𝑥</ci></apply><apply id="S3.E21.m1.4.4.1.4.cmml" xref="S3.E21.m1.4.4.1.4"><divide id="S3.E21.m1.4.4.1.4.1.cmml" xref="S3.E21.m1.4.4.1.4.1"></divide><cn id="S3.E21.m1.4.4.1.4.2.cmml" type="integer" xref="S3.E21.m1.4.4.1.4.2">3</cn><cn id="S3.E21.m1.4.4.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.E21.m1.4.4.1.4.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E21.m1.9.9.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.2.2"><ci id="S3.E21.m1.9.9.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.2.2.1">→</ci><apply id="S3.E21.m1.9.9.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.2.2.2"><times id="S3.E21.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.2.2.2.1"></times><ci id="S3.E21.m1.9.9.1.1.2.2.2.2a.cmml" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.2.2.2.2"><mtext id="S3.E21.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.cmml" mathsize="90%" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.2.2.2.2"> as </mtext></ci><apply id="S3.E21.m1.9.9.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.2.2.2.3.2"><abs id="S3.E21.m1.9.9.1.1.2.2.2.3.1.1.cmml" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.2.2.2.3.2.1"></abs><ci id="S3.E21.m1.8.8.cmml" xref="S3.E21.m1.8.8">𝑥</ci></apply></apply><infinity id="S3.E21.m1.9.9.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E21.m1.9.9.1.1.2.2.3"></infinity></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E21.m1.9c">\psi^{+}_{sc}(x,k)=\frac{e^{i\kappa|x|}}{|x|^{1/2}}A(k,\kappa\frac{x}{|x|})+O% \bigl{(}\frac{1}{|x|^{3/2}}\bigr{)},\ \text{ as }|x|\to\infty,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E21.m1.9d">italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_s italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x , italic_k ) = divide start_ARG italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_κ | italic_x | end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG | italic_x | start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG italic_A ( italic_k , italic_κ divide start_ARG italic_x end_ARG start_ARG | italic_x | end_ARG ) + italic_O ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG | italic_x | start_POSTSUPERSCRIPT 3 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) , as | italic_x | → ∞ ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(21)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p6.5"><span class="ltx_text" id="S3.SS4.p6.5.1" style="font-size:90%;">at fixed </span><math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p6.2.m1.1"><semantics id="S3.SS4.p6.2.m1.1a"><mi id="S3.SS4.p6.2.m1.1.1" mathsize="90%" xref="S3.SS4.p6.2.m1.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p6.2.m1.1b"><ci id="S3.SS4.p6.2.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p6.2.m1.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p6.2.m1.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p6.2.m1.1d">italic_k</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S3.SS4.p6.5.2" style="font-size:90%;">, where </span><math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p6.3.m2.1"><semantics id="S3.SS4.p6.3.m2.1a"><mi id="S3.SS4.p6.3.m2.1.1" mathsize="90%" xref="S3.SS4.p6.3.m2.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p6.3.m2.1b"><ci id="S3.SS4.p6.3.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p6.3.m2.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p6.3.m2.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p6.3.m2.1d">italic_A</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S3.SS4.p6.5.3" style="font-size:90%;"> arising in (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S3.E21" style="font-size:90%;" title="In 3.4 Some facts of direct scattering ‣ 3 Preliminaries"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">21</span></a><span class="ltx_text" id="S3.SS4.p6.5.4" style="font-size:90%;">) is the scattering amplitude for the homogeneous equation (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S1.E4" style="font-size:90%;" title="In 1 Introduction"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a><span class="ltx_text" id="S3.SS4.p6.5.5" style="font-size:90%;">).</span> <br class="ltx_break"/><span class="ltx_text" id="S3.SS4.p6.5.6" style="font-size:90%;">In connection with the aforementioned facts concerning </span><math alttext="R^{+}_{v}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p6.4.m3.1"><semantics id="S3.SS4.p6.4.m3.1a"><msubsup id="S3.SS4.p6.4.m3.1.1" xref="S3.SS4.p6.4.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p6.4.m3.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="S3.SS4.p6.4.m3.1.1.2.2.cmml">R</mi><mi id="S3.SS4.p6.4.m3.1.1.3" mathsize="90%" xref="S3.SS4.p6.4.m3.1.1.3.cmml">v</mi><mo id="S3.SS4.p6.4.m3.1.1.2.3" mathsize="90%" xref="S3.SS4.p6.4.m3.1.1.2.3.cmml">+</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p6.4.m3.1b"><apply id="S3.SS4.p6.4.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p6.4.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p6.4.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p6.4.m3.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS4.p6.4.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p6.4.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p6.4.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p6.4.m3.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p6.4.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p6.4.m3.1.1.2.2">𝑅</ci><plus id="S3.SS4.p6.4.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p6.4.m3.1.1.2.3"></plus></apply><ci id="S3.SS4.p6.4.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p6.4.m3.1.1.3">𝑣</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p6.4.m3.1c">R^{+}_{v}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p6.4.m3.1d">italic_R start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_v end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S3.SS4.p6.5.7" style="font-size:90%;"> and </span><math alttext="\psi^{+}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p6.5.m4.1"><semantics id="S3.SS4.p6.5.m4.1a"><msup id="S3.SS4.p6.5.m4.1.1" xref="S3.SS4.p6.5.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p6.5.m4.1.1.2" mathsize="90%" xref="S3.SS4.p6.5.m4.1.1.2.cmml">ψ</mi><mo id="S3.SS4.p6.5.m4.1.1.3" mathsize="90%" xref="S3.SS4.p6.5.m4.1.1.3.cmml">+</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p6.5.m4.1b"><apply id="S3.SS4.p6.5.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p6.5.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p6.5.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p6.5.m4.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p6.5.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p6.5.m4.1.1.2">𝜓</ci><plus id="S3.SS4.p6.5.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p6.5.m4.1.1.3"></plus></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p6.5.m4.1c">\psi^{+}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p6.5.m4.1d">italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S3.SS4.p6.5.8" style="font-size:90%;">, see, e.g., </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S3.SS4.p6.5.9.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib10" title="">10</a><span class="ltx_text" id="S3.SS4.p6.5.10.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S3.SS4.p6.5.11" style="font-size:90%;">.</span></p> </div> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S4"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section" style="font-size:90%;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">4 </span>Proof of Theorem 1</h2> <section class="ltx_subsection" id="S4.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection" style="font-size:90%;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">4.1 </span>Case <math alttext="L^{+}_{x_{1},\theta}\cup L^{-}_{x_{2},\theta}\subseteq L_{0,\theta}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.1.m1.6"><semantics id="S4.SS1.1.m1.6b"><mrow id="S4.SS1.1.m1.6.7" xref="S4.SS1.1.m1.6.7.cmml"><mrow id="S4.SS1.1.m1.6.7.2" xref="S4.SS1.1.m1.6.7.2.cmml"><msubsup id="S4.SS1.1.m1.6.7.2.2" xref="S4.SS1.1.m1.6.7.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.1.m1.6.7.2.2.2.2" xref="S4.SS1.1.m1.6.7.2.2.2.2.cmml">L</mi><mrow id="S4.SS1.1.m1.2.2.2.2" xref="S4.SS1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><msub id="S4.SS1.1.m1.2.2.2.2.1" xref="S4.SS1.1.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S4.SS1.1.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S4.SS1.1.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">x</mi><mn id="S4.SS1.1.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S4.SS1.1.m1.2.2.2.2.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.SS1.1.m1.2.2.2.2.2" xref="S4.SS1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.SS1.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.1.m1.1.1.1.1.cmml">θ</mi></mrow><mo id="S4.SS1.1.m1.6.7.2.2.2.3" xref="S4.SS1.1.m1.6.7.2.2.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S4.SS1.1.m1.6.7.2.1" xref="S4.SS1.1.m1.6.7.2.1.cmml">∪</mo><msubsup id="S4.SS1.1.m1.6.7.2.3" xref="S4.SS1.1.m1.6.7.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.1.m1.6.7.2.3.2.2" xref="S4.SS1.1.m1.6.7.2.3.2.2.cmml">L</mi><mrow id="S4.SS1.1.m1.4.4.2.2" xref="S4.SS1.1.m1.4.4.2.3.cmml"><msub id="S4.SS1.1.m1.4.4.2.2.1" xref="S4.SS1.1.m1.4.4.2.2.1.cmml"><mi id="S4.SS1.1.m1.4.4.2.2.1.2" xref="S4.SS1.1.m1.4.4.2.2.1.2.cmml">x</mi><mn id="S4.SS1.1.m1.4.4.2.2.1.3" xref="S4.SS1.1.m1.4.4.2.2.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.SS1.1.m1.4.4.2.2.2" xref="S4.SS1.1.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.SS1.1.m1.3.3.1.1" xref="S4.SS1.1.m1.3.3.1.1.cmml">θ</mi></mrow><mo id="S4.SS1.1.m1.6.7.2.3.2.3" xref="S4.SS1.1.m1.6.7.2.3.2.3.cmml">−</mo></msubsup></mrow><mo id="S4.SS1.1.m1.6.7.1" xref="S4.SS1.1.m1.6.7.1.cmml">⊆</mo><msub id="S4.SS1.1.m1.6.7.3" xref="S4.SS1.1.m1.6.7.3.cmml"><mi id="S4.SS1.1.m1.6.7.3.2" xref="S4.SS1.1.m1.6.7.3.2.cmml">L</mi><mrow id="S4.SS1.1.m1.6.6.2.4" xref="S4.SS1.1.m1.6.6.2.3.cmml"><mn id="S4.SS1.1.m1.5.5.1.1" xref="S4.SS1.1.m1.5.5.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.SS1.1.m1.6.6.2.4.1" xref="S4.SS1.1.m1.6.6.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.SS1.1.m1.6.6.2.2" xref="S4.SS1.1.m1.6.6.2.2.cmml">θ</mi></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.1.m1.6c"><apply id="S4.SS1.1.m1.6.7.cmml" xref="S4.SS1.1.m1.6.7"><subset id="S4.SS1.1.m1.6.7.1.cmml" xref="S4.SS1.1.m1.6.7.1"></subset><apply id="S4.SS1.1.m1.6.7.2.cmml" xref="S4.SS1.1.m1.6.7.2"><union id="S4.SS1.1.m1.6.7.2.1.cmml" xref="S4.SS1.1.m1.6.7.2.1"></union><apply id="S4.SS1.1.m1.6.7.2.2.cmml" xref="S4.SS1.1.m1.6.7.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.1.m1.6.7.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.1.m1.6.7.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.1.m1.6.7.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.1.m1.6.7.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.1.m1.6.7.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.1.m1.6.7.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.1.m1.6.7.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.1.m1.6.7.2.2.2.2">𝐿</ci><plus id="S4.SS1.1.m1.6.7.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.1.m1.6.7.2.2.2.3"></plus></apply><list id="S4.SS1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.1.m1.2.2.2.2"><apply id="S4.SS1.1.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.1.m1.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.1.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.1.m1.2.2.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.1.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.SS1.1.m1.2.2.2.2.1.2">𝑥</ci><cn id="S4.SS1.1.m1.2.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.1.m1.2.2.2.2.1.3">1</cn></apply><ci id="S4.SS1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.1.m1.1.1.1.1">𝜃</ci></list></apply><apply id="S4.SS1.1.m1.6.7.2.3.cmml" xref="S4.SS1.1.m1.6.7.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.1.m1.6.7.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.1.m1.6.7.2.3">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.1.m1.6.7.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.1.m1.6.7.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.1.m1.6.7.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.1.m1.6.7.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.1.m1.6.7.2.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.1.m1.6.7.2.3.2.2">𝐿</ci><minus id="S4.SS1.1.m1.6.7.2.3.2.3.cmml" xref="S4.SS1.1.m1.6.7.2.3.2.3"></minus></apply><list id="S4.SS1.1.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S4.SS1.1.m1.4.4.2.2"><apply id="S4.SS1.1.m1.4.4.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.1.m1.4.4.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.1.m1.4.4.2.2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.1.m1.4.4.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.1.m1.4.4.2.2.1.2.cmml" xref="S4.SS1.1.m1.4.4.2.2.1.2">𝑥</ci><cn id="S4.SS1.1.m1.4.4.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.1.m1.4.4.2.2.1.3">2</cn></apply><ci id="S4.SS1.1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.1.m1.3.3.1.1">𝜃</ci></list></apply></apply><apply id="S4.SS1.1.m1.6.7.3.cmml" xref="S4.SS1.1.m1.6.7.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.1.m1.6.7.3.1.cmml" xref="S4.SS1.1.m1.6.7.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.1.m1.6.7.3.2.cmml" xref="S4.SS1.1.m1.6.7.3.2">𝐿</ci><list id="S4.SS1.1.m1.6.6.2.3.cmml" xref="S4.SS1.1.m1.6.6.2.4"><cn id="S4.SS1.1.m1.5.5.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.1.m1.5.5.1.1">0</cn><ci id="S4.SS1.1.m1.6.6.2.2.cmml" xref="S4.SS1.1.m1.6.6.2.2">𝜃</ci></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.1.m1.6d">L^{+}_{x_{1},\theta}\cup L^{-}_{x_{2},\theta}\subseteq L_{0,\theta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.1.m1.6e">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_θ end_POSTSUBSCRIPT ∪ italic_L start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_θ end_POSTSUBSCRIPT ⊆ italic_L start_POSTSUBSCRIPT 0 , italic_θ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> </h3> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p1.11"><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p1.11.1" style="font-size:90%;">In a similar way to </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p1.11.2.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib25" title="">25</a><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p1.11.3.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p1.11.4" style="font-size:90%;"> (where the three-dimensional case is considered), we prove that Im</span><math alttext="(\psi)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS1.p1.1.m1.1.2.2"><mo id="S4.SS1.p1.1.m1.1.2.2.1" maxsize="90%" minsize="90%">(</mo><mi id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml">ψ</mi><mo id="S4.SS1.p1.1.m1.1.2.2.2" maxsize="90%" minsize="90%">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.1.m1.1b"><ci id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1">𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.1.m1.1c">(\psi)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.1.m1.1d">( italic_ψ )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p1.11.5" style="font-size:90%;"> on </span><math alttext="L^{+}_{x_{1},\theta}\cup L^{-}_{x_{2},\theta}\subseteq L_{0,\theta}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.2.m2.6"><semantics id="S4.SS1.p1.2.m2.6a"><mrow id="S4.SS1.p1.2.m2.6.7" xref="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.cmml"><mrow id="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.2" xref="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.2.cmml"><msubsup id="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.2.2" xref="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.2.2.2.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.2.2.2.2.cmml">L</mi><mrow id="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml"><msub id="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.1" xref="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.1.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.1.2.cmml">x</mi><mn id="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.1.3" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml">θ</mi></mrow><mo id="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.2.2.2.3" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.2.2.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.2.1" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.2.1.cmml">∪</mo><msubsup id="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.2.3" xref="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.2.3.2.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.2.3.2.2.cmml">L</mi><mrow id="S4.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2" xref="S4.SS1.p1.2.m2.4.4.2.3.cmml"><msub id="S4.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.1" xref="S4.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.1.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.1.2.cmml">x</mi><mn id="S4.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.1.3" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.2.m2.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.cmml">θ</mi></mrow><mo id="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.2.3.2.3" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.2.3.2.3.cmml">−</mo></msubsup></mrow><mo id="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.1" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.1.cmml">⊆</mo><msub id="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.3" xref="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.3.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.3.2.cmml">L</mi><mrow id="S4.SS1.p1.2.m2.6.6.2.4" xref="S4.SS1.p1.2.m2.6.6.2.3.cmml"><mn id="S4.SS1.p1.2.m2.5.5.1.1" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.2.m2.5.5.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.SS1.p1.2.m2.6.6.2.4.1" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.2.m2.6.6.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.SS1.p1.2.m2.6.6.2.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.2.m2.6.6.2.2.cmml">θ</mi></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.2.m2.6b"><apply id="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.6.7"><subset id="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.1"></subset><apply id="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.2"><union id="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.2.1"></union><apply id="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.2.2.2.2">𝐿</ci><plus id="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.2.2.2.3"></plus></apply><list id="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2"><apply id="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.1.2">𝑥</ci><cn id="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.1.3">1</cn></apply><ci id="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1">𝜃</ci></list></apply><apply id="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.2.3">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.2.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.2.3.2.2">𝐿</ci><minus id="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.2.3.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.2.3.2.3"></minus></apply><list id="S4.SS1.p1.2.m2.4.4.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2"><apply id="S4.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.1.2">𝑥</ci><cn id="S4.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.1.3">2</cn></apply><ci id="S4.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1">𝜃</ci></list></apply></apply><apply id="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.6.7.3.2">𝐿</ci><list id="S4.SS1.p1.2.m2.6.6.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.6.6.2.4"><cn id="S4.SS1.p1.2.m2.5.5.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p1.2.m2.5.5.1.1">0</cn><ci id="S4.SS1.p1.2.m2.6.6.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.6.6.2.2">𝜃</ci></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.2.m2.6c">L^{+}_{x_{1},\theta}\cup L^{-}_{x_{2},\theta}\subseteq L_{0,\theta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.2.m2.6d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_θ end_POSTSUBSCRIPT ∪ italic_L start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_θ end_POSTSUBSCRIPT ⊆ italic_L start_POSTSUBSCRIPT 0 , italic_θ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p1.11.6" style="font-size:90%;"> defined as in (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S1.E3" style="font-size:90%;" title="In 1 Introduction"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p1.11.7" style="font-size:90%;">) where </span><math alttext="{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.3.m3.1"><semantics id="S4.SS1.p1.3.m3.1a"><mn id="S4.SS1.p1.3.m3.1.1" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml">0</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.3.m3.1b"><cn id="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.1">0</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.3.m3.1c">{0}</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p1.11.8" style="font-size:90%;"> denotes the origin in </span><math alttext="\mathbb{R}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.4.m4.1"><semantics id="S4.SS1.p1.4.m4.1a"><msup id="S4.SS1.p1.4.m4.1.1" xref="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mn id="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.3" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.3.cmml">2</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.4.m4.1b"><apply id="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.2">ℝ</ci><cn id="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.4.m4.1c">\mathbb{R}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.4.m4.1d">blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p1.11.9" style="font-size:90%;">, uniquely determines </span><math alttext="f_{j}(\phi)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.5.m5.1"><semantics id="S4.SS1.p1.5.m5.1a"><mrow id="S4.SS1.p1.5.m5.1.2" xref="S4.SS1.p1.5.m5.1.2.cmml"><msub id="S4.SS1.p1.5.m5.1.2.2" xref="S4.SS1.p1.5.m5.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.5.m5.1.2.2.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.5.m5.1.2.2.2.cmml">f</mi><mi id="S4.SS1.p1.5.m5.1.2.2.3" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.5.m5.1.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.SS1.p1.5.m5.1.2.1" xref="S4.SS1.p1.5.m5.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p1.5.m5.1.2.3.2" xref="S4.SS1.p1.5.m5.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p1.5.m5.1.2.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.SS1.p1.5.m5.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p1.5.m5.1.1" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.5.m5.1.1.cmml">ϕ</mi><mo id="S4.SS1.p1.5.m5.1.2.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.SS1.p1.5.m5.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.5.m5.1b"><apply id="S4.SS1.p1.5.m5.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m5.1.2"><times id="S4.SS1.p1.5.m5.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m5.1.2.1"></times><apply id="S4.SS1.p1.5.m5.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m5.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.5.m5.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m5.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.5.m5.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m5.1.2.2.2">𝑓</ci><ci id="S4.SS1.p1.5.m5.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m5.1.2.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S4.SS1.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m5.1.1">italic-ϕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.5.m5.1c">f_{j}(\phi)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.5.m5.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ϕ )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p1.11.10" style="font-size:90%;"> in (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S3.E8" style="font-size:90%;" title="In 3 Preliminaries"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">8</span></a><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p1.11.11" style="font-size:90%;">) </span><math alttext="\forall j\in\mathbb{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.6.m6.1"><semantics id="S4.SS1.p1.6.m6.1a"><mrow id="S4.SS1.p1.6.m6.1.1" xref="S4.SS1.p1.6.m6.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS1.p1.6.m6.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.6.m6.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p1.6.m6.1.1.2.1" mathsize="90%" rspace="0.167em" xref="S4.SS1.p1.6.m6.1.1.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S4.SS1.p1.6.m6.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.6.m6.1.1.2.2.cmml">j</mi></mrow><mo id="S4.SS1.p1.6.m6.1.1.1" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.6.m6.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S4.SS1.p1.6.m6.1.1.3" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.6.m6.1.1.3.cmml">ℕ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.6.m6.1b"><apply id="S4.SS1.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.6.m6.1.1"><in id="S4.SS1.p1.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.6.m6.1.1.1"></in><apply id="S4.SS1.p1.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.6.m6.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS1.p1.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.6.m6.1.1.2.1">for-all</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.6.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.6.m6.1.1.2.2">𝑗</ci></apply><ci id="S4.SS1.p1.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.6.m6.1.1.3">ℕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.6.m6.1c">\forall j\in\mathbb{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.6.m6.1d">∀ italic_j ∈ blackboard_N</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p1.11.12" style="font-size:90%;">. The proof is given below. Then, using formulas in </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p1.11.13.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib13" title="">13</a><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p1.11.14.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p1.11.15" style="font-size:90%;"> and </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p1.11.16.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib16" title="">16</a><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p1.11.17.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p1.11.18" style="font-size:90%;"> as recalled in Subsection 3.1, all </span><math alttext="F_{j}(\phi),G_{j}(\phi)," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.7.m7.3"><semantics id="S4.SS1.p1.7.m7.3a"><mrow id="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1"><mrow id="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">F</mi><mi id="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.2.3" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p1.7.m7.1.1" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.7.m7.1.1.cmml">ϕ</mi><mo id="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.2.3" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.3.cmml">,</mo><mrow id="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.2.2.cmml"><msub id="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.2.2.2.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml">G</mi><mi id="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.2.2.2.3" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.2.2.1" xref="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.2.2.3.2" xref="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.2.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.2.2.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p1.7.m7.2.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.7.m7.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.2.2.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.2" mathsize="90%">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.7.m7.3b"><list id="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.2"><apply id="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1"><times id="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.1"></times><apply id="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.2.2">𝐹</ci><ci id="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S4.SS1.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m7.1.1">italic-ϕ</ci></apply><apply id="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.2.2"><times id="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.2.2.1"></times><apply id="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.2.2.2.2">𝐺</ci><ci id="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m7.3.3.1.1.2.2.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S4.SS1.p1.7.m7.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m7.2.2">italic-ϕ</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.7.m7.3c">F_{j}(\phi),G_{j}(\phi),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.7.m7.3d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ϕ ) , italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ϕ ) ,</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p1.11.19" style="font-size:90%;"> in (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S3.E9" style="font-size:90%;" title="In 3.1 The Karp Expansion ‣ 3 Preliminaries"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">9</span></a><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p1.11.20" style="font-size:90%;">) are uniquely determined by </span><math alttext="f_{j}(\phi),f_{j}(\phi+\pi)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.8.m8.3"><semantics id="S4.SS1.p1.8.m8.3a"><mrow id="S4.SS1.p1.8.m8.3.3.2" xref="S4.SS1.p1.8.m8.3.3.3.cmml"><mrow id="S4.SS1.p1.8.m8.2.2.1.1" xref="S4.SS1.p1.8.m8.2.2.1.1.cmml"><msub id="S4.SS1.p1.8.m8.2.2.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.8.m8.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.8.m8.2.2.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.8.m8.2.2.1.1.2.2.cmml">f</mi><mi id="S4.SS1.p1.8.m8.2.2.1.1.2.3" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.8.m8.2.2.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.SS1.p1.8.m8.2.2.1.1.1" xref="S4.SS1.p1.8.m8.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p1.8.m8.2.2.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p1.8.m8.2.2.1.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p1.8.m8.2.2.1.1.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.SS1.p1.8.m8.2.2.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p1.8.m8.1.1" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.8.m8.1.1.cmml">ϕ</mi><mo id="S4.SS1.p1.8.m8.2.2.1.1.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.SS1.p1.8.m8.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.p1.8.m8.3.3.2.3" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.8.m8.3.3.3.cmml">,</mo><mrow id="S4.SS1.p1.8.m8.3.3.2.2" xref="S4.SS1.p1.8.m8.3.3.2.2.cmml"><msub id="S4.SS1.p1.8.m8.3.3.2.2.3" xref="S4.SS1.p1.8.m8.3.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.8.m8.3.3.2.2.3.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.8.m8.3.3.2.2.3.2.cmml">f</mi><mi id="S4.SS1.p1.8.m8.3.3.2.2.3.3" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.8.m8.3.3.2.2.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.SS1.p1.8.m8.3.3.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.8.m8.3.3.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p1.8.m8.3.3.2.2.1.1" xref="S4.SS1.p1.8.m8.3.3.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p1.8.m8.3.3.2.2.1.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.SS1.p1.8.m8.3.3.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS1.p1.8.m8.3.3.2.2.1.1.1" xref="S4.SS1.p1.8.m8.3.3.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.8.m8.3.3.2.2.1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.8.m8.3.3.2.2.1.1.1.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S4.SS1.p1.8.m8.3.3.2.2.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.8.m8.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S4.SS1.p1.8.m8.3.3.2.2.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.8.m8.3.3.2.2.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S4.SS1.p1.8.m8.3.3.2.2.1.1.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.SS1.p1.8.m8.3.3.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.8.m8.3b"><list id="S4.SS1.p1.8.m8.3.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.8.m8.3.3.2"><apply id="S4.SS1.p1.8.m8.2.2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.8.m8.2.2.1.1"><times id="S4.SS1.p1.8.m8.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.8.m8.2.2.1.1.1"></times><apply id="S4.SS1.p1.8.m8.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.8.m8.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.8.m8.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.8.m8.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.8.m8.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.8.m8.2.2.1.1.2.2">𝑓</ci><ci id="S4.SS1.p1.8.m8.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.8.m8.2.2.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S4.SS1.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.8.m8.1.1">italic-ϕ</ci></apply><apply id="S4.SS1.p1.8.m8.3.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.8.m8.3.3.2.2"><times id="S4.SS1.p1.8.m8.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.8.m8.3.3.2.2.2"></times><apply id="S4.SS1.p1.8.m8.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.8.m8.3.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.8.m8.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.8.m8.3.3.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.8.m8.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.8.m8.3.3.2.2.3.2">𝑓</ci><ci id="S4.SS1.p1.8.m8.3.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.8.m8.3.3.2.2.3.3">𝑗</ci></apply><apply id="S4.SS1.p1.8.m8.3.3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.8.m8.3.3.2.2.1.1"><plus id="S4.SS1.p1.8.m8.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.8.m8.3.3.2.2.1.1.1.1"></plus><ci id="S4.SS1.p1.8.m8.3.3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.8.m8.3.3.2.2.1.1.1.2">italic-ϕ</ci><ci id="S4.SS1.p1.8.m8.3.3.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.8.m8.3.3.2.2.1.1.1.3">𝜋</ci></apply></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.8.m8.3c">f_{j}(\phi),f_{j}(\phi+\pi)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.8.m8.3d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ϕ ) , italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ϕ + italic_π )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p1.11.21" style="font-size:90%;">. The rest follows from the convergence of the series in (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S3.E9" style="font-size:90%;" title="In 3.1 The Karp Expansion ‣ 3 Preliminaries"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">9</span></a><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p1.11.22" style="font-size:90%;">) and analyticity of </span><math alttext="\psi" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.9.m9.1"><semantics id="S4.SS1.p1.9.m9.1a"><mi id="S4.SS1.p1.9.m9.1.1" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.9.m9.1.1.cmml">ψ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.9.m9.1b"><ci id="S4.SS1.p1.9.m9.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.9.m9.1.1">𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.9.m9.1c">\psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.9.m9.1d">italic_ψ</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p1.11.23" style="font-size:90%;"> and Im</span><math alttext="(\psi)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.10.m10.1"><semantics id="S4.SS1.p1.10.m10.1a"><mrow id="S4.SS1.p1.10.m10.1.2.2"><mo id="S4.SS1.p1.10.m10.1.2.2.1" maxsize="90%" minsize="90%">(</mo><mi id="S4.SS1.p1.10.m10.1.1" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.10.m10.1.1.cmml">ψ</mi><mo id="S4.SS1.p1.10.m10.1.2.2.2" maxsize="90%" minsize="90%">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.10.m10.1b"><ci id="S4.SS1.p1.10.m10.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.10.m10.1.1">𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.10.m10.1c">(\psi)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.10.m10.1d">( italic_ψ )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p1.11.24" style="font-size:90%;"> on </span><math alttext="L^{+}\subseteq L^{+}_{0,\theta}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.11.m11.2"><semantics id="S4.SS1.p1.11.m11.2a"><mrow id="S4.SS1.p1.11.m11.2.3" xref="S4.SS1.p1.11.m11.2.3.cmml"><msup id="S4.SS1.p1.11.m11.2.3.2" xref="S4.SS1.p1.11.m11.2.3.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.11.m11.2.3.2.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.11.m11.2.3.2.2.cmml">L</mi><mo id="S4.SS1.p1.11.m11.2.3.2.3" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.11.m11.2.3.2.3.cmml">+</mo></msup><mo id="S4.SS1.p1.11.m11.2.3.1" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.11.m11.2.3.1.cmml">⊆</mo><msubsup id="S4.SS1.p1.11.m11.2.3.3" xref="S4.SS1.p1.11.m11.2.3.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.11.m11.2.3.3.2.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.11.m11.2.3.3.2.2.cmml">L</mi><mrow id="S4.SS1.p1.11.m11.2.2.2.4" xref="S4.SS1.p1.11.m11.2.2.2.3.cmml"><mn id="S4.SS1.p1.11.m11.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.11.m11.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.SS1.p1.11.m11.2.2.2.4.1" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.11.m11.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.SS1.p1.11.m11.2.2.2.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.11.m11.2.2.2.2.cmml">θ</mi></mrow><mo id="S4.SS1.p1.11.m11.2.3.3.2.3" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p1.11.m11.2.3.3.2.3.cmml">+</mo></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.11.m11.2b"><apply id="S4.SS1.p1.11.m11.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.11.m11.2.3"><subset id="S4.SS1.p1.11.m11.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.11.m11.2.3.1"></subset><apply id="S4.SS1.p1.11.m11.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.11.m11.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.11.m11.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.11.m11.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.11.m11.2.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.11.m11.2.3.2.2">𝐿</ci><plus id="S4.SS1.p1.11.m11.2.3.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.11.m11.2.3.2.3"></plus></apply><apply id="S4.SS1.p1.11.m11.2.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.11.m11.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.11.m11.2.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.11.m11.2.3.3">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p1.11.m11.2.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.11.m11.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.11.m11.2.3.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.11.m11.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.11.m11.2.3.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.11.m11.2.3.3.2.2">𝐿</ci><plus id="S4.SS1.p1.11.m11.2.3.3.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.11.m11.2.3.3.2.3"></plus></apply><list id="S4.SS1.p1.11.m11.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.11.m11.2.2.2.4"><cn id="S4.SS1.p1.11.m11.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p1.11.m11.1.1.1.1">0</cn><ci id="S4.SS1.p1.11.m11.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.11.m11.2.2.2.2">𝜃</ci></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.11.m11.2c">L^{+}\subseteq L^{+}_{0,\theta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.11.m11.2d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT ⊆ italic_L start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 0 , italic_θ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p1.11.25" style="font-size:90%;">.</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p2.3"><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p2.3.1" style="font-size:90%;">The determination of </span><math alttext="f_{0}(\phi)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p2.1.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p2.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS1.p2.1.m1.1.2" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.2.cmml"><msub id="S4.SS1.p2.1.m1.1.2.2" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.1.m1.1.2.2.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.2.2.2.cmml">f</mi><mn id="S4.SS1.p2.1.m1.1.2.2.3" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.2.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S4.SS1.p2.1.m1.1.2.1" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p2.1.m1.1.2.3.2" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p2.1.m1.1.2.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml">ϕ</mi><mo id="S4.SS1.p2.1.m1.1.2.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p2.1.m1.1b"><apply id="S4.SS1.p2.1.m1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.2"><times id="S4.SS1.p2.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.2.1"></times><apply id="S4.SS1.p2.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p2.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p2.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.2.2.2">𝑓</ci><cn id="S4.SS1.p2.1.m1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.2.2.3">0</cn></apply><ci id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1">italic-ϕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.1.m1.1c">f_{0}(\phi)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.1.m1.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ϕ )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p2.3.2" style="font-size:90%;"> from Im</span><math alttext="(\psi)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p2.2.m2.1"><semantics id="S4.SS1.p2.2.m2.1a"><mrow id="S4.SS1.p2.2.m2.1.2.2"><mo id="S4.SS1.p2.2.m2.1.2.2.1" maxsize="90%" minsize="90%">(</mo><mi id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml">ψ</mi><mo id="S4.SS1.p2.2.m2.1.2.2.2" maxsize="90%" minsize="90%">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p2.2.m2.1b"><ci id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.1.1">𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.2.m2.1c">(\psi)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.2.m2.1d">( italic_ψ )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p2.3.3" style="font-size:90%;"> on </span><math alttext="L^{+}_{x_{1},\theta}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p2.3.m3.2"><semantics id="S4.SS1.p2.3.m3.2a"><msubsup id="S4.SS1.p2.3.m3.2.3" xref="S4.SS1.p2.3.m3.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.3.m3.2.3.2.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p2.3.m3.2.3.2.2.cmml">L</mi><mrow id="S4.SS1.p2.3.m3.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p2.3.m3.2.2.2.3.cmml"><msub id="S4.SS1.p2.3.m3.2.2.2.2.1" xref="S4.SS1.p2.3.m3.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.3.m3.2.2.2.2.1.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p2.3.m3.2.2.2.2.1.2.cmml">x</mi><mn id="S4.SS1.p2.3.m3.2.2.2.2.1.3" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p2.3.m3.2.2.2.2.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.SS1.p2.3.m3.2.2.2.2.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p2.3.m3.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.SS1.p2.3.m3.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p2.3.m3.1.1.1.1.cmml">θ</mi></mrow><mo id="S4.SS1.p2.3.m3.2.3.2.3" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p2.3.m3.2.3.2.3.cmml">+</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p2.3.m3.2b"><apply id="S4.SS1.p2.3.m3.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.3.m3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p2.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.3.m3.2.3">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p2.3.m3.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.3.m3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p2.3.m3.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.3.m3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p2.3.m3.2.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.3.m3.2.3.2.2">𝐿</ci><plus id="S4.SS1.p2.3.m3.2.3.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.3.m3.2.3.2.3"></plus></apply><list id="S4.SS1.p2.3.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.3.m3.2.2.2.2"><apply id="S4.SS1.p2.3.m3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.3.m3.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p2.3.m3.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.3.m3.2.2.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p2.3.m3.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.3.m3.2.2.2.2.1.2">𝑥</ci><cn id="S4.SS1.p2.3.m3.2.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p2.3.m3.2.2.2.2.1.3">1</cn></apply><ci id="S4.SS1.p2.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.3.m3.1.1.1.1">𝜃</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.3.m3.2c">L^{+}_{x_{1},\theta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.3.m3.2d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_θ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p2.3.4" style="font-size:90%;"> follows from (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S3.E12" style="font-size:90%;" title="In Proposition 1. ‣ 3.2 A two-point approximation for 𝜓 ‣ 3 Preliminaries"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">12</span></a><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p2.3.5" style="font-size:90%;">).</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p3.4"><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p3.4.1" style="font-size:90%;">Suppose that </span><math alttext="f_{0}(\phi),f_{1}(\phi),f_{2}(\phi),...f_{n}(\phi)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.1.m1.8"><semantics id="S4.SS1.p3.1.m1.8a"><mrow id="S4.SS1.p3.1.m1.8.8.4" xref="S4.SS1.p3.1.m1.8.8.5.cmml"><mrow id="S4.SS1.p3.1.m1.5.5.1.1" xref="S4.SS1.p3.1.m1.5.5.1.1.cmml"><msub id="S4.SS1.p3.1.m1.5.5.1.1.2" xref="S4.SS1.p3.1.m1.5.5.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.1.m1.5.5.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p3.1.m1.5.5.1.1.2.2.cmml">f</mi><mn id="S4.SS1.p3.1.m1.5.5.1.1.2.3" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p3.1.m1.5.5.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S4.SS1.p3.1.m1.5.5.1.1.1" xref="S4.SS1.p3.1.m1.5.5.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p3.1.m1.5.5.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p3.1.m1.5.5.1.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.1.m1.5.5.1.1.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.SS1.p3.1.m1.5.5.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p3.1.m1.1.1" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml">ϕ</mi><mo id="S4.SS1.p3.1.m1.5.5.1.1.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.SS1.p3.1.m1.5.5.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.p3.1.m1.8.8.4.5" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p3.1.m1.8.8.5.cmml">,</mo><mrow id="S4.SS1.p3.1.m1.6.6.2.2" xref="S4.SS1.p3.1.m1.6.6.2.2.cmml"><msub id="S4.SS1.p3.1.m1.6.6.2.2.2" xref="S4.SS1.p3.1.m1.6.6.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.1.m1.6.6.2.2.2.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p3.1.m1.6.6.2.2.2.2.cmml">f</mi><mn id="S4.SS1.p3.1.m1.6.6.2.2.2.3" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p3.1.m1.6.6.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.SS1.p3.1.m1.6.6.2.2.1" xref="S4.SS1.p3.1.m1.6.6.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p3.1.m1.6.6.2.2.3.2" xref="S4.SS1.p3.1.m1.6.6.2.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.1.m1.6.6.2.2.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.SS1.p3.1.m1.6.6.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p3.1.m1.2.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S4.SS1.p3.1.m1.6.6.2.2.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.SS1.p3.1.m1.6.6.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.p3.1.m1.8.8.4.6" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p3.1.m1.8.8.5.cmml">,</mo><mrow id="S4.SS1.p3.1.m1.7.7.3.3" xref="S4.SS1.p3.1.m1.7.7.3.3.cmml"><msub id="S4.SS1.p3.1.m1.7.7.3.3.2" xref="S4.SS1.p3.1.m1.7.7.3.3.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.1.m1.7.7.3.3.2.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p3.1.m1.7.7.3.3.2.2.cmml">f</mi><mn id="S4.SS1.p3.1.m1.7.7.3.3.2.3" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p3.1.m1.7.7.3.3.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.SS1.p3.1.m1.7.7.3.3.1" xref="S4.SS1.p3.1.m1.7.7.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p3.1.m1.7.7.3.3.3.2" xref="S4.SS1.p3.1.m1.7.7.3.3.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.1.m1.7.7.3.3.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.SS1.p3.1.m1.7.7.3.3.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p3.1.m1.3.3" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p3.1.m1.3.3.cmml">ϕ</mi><mo id="S4.SS1.p3.1.m1.7.7.3.3.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.SS1.p3.1.m1.7.7.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.p3.1.m1.8.8.4.7" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p3.1.m1.8.8.5.cmml">,</mo><mrow id="S4.SS1.p3.1.m1.8.8.4.4" xref="S4.SS1.p3.1.m1.8.8.4.4.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.1.m1.8.8.4.4.2" mathsize="90%" mathvariant="normal" xref="S4.SS1.p3.1.m1.8.8.4.4.2.cmml">…</mi><mo id="S4.SS1.p3.1.m1.8.8.4.4.1" xref="S4.SS1.p3.1.m1.8.8.4.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.SS1.p3.1.m1.8.8.4.4.3" xref="S4.SS1.p3.1.m1.8.8.4.4.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.1.m1.8.8.4.4.3.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p3.1.m1.8.8.4.4.3.2.cmml">f</mi><mi id="S4.SS1.p3.1.m1.8.8.4.4.3.3" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p3.1.m1.8.8.4.4.3.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S4.SS1.p3.1.m1.8.8.4.4.1a" xref="S4.SS1.p3.1.m1.8.8.4.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p3.1.m1.8.8.4.4.4.2" xref="S4.SS1.p3.1.m1.8.8.4.4.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.1.m1.8.8.4.4.4.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.SS1.p3.1.m1.8.8.4.4.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p3.1.m1.4.4" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p3.1.m1.4.4.cmml">ϕ</mi><mo id="S4.SS1.p3.1.m1.8.8.4.4.4.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.SS1.p3.1.m1.8.8.4.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.1.m1.8b"><list id="S4.SS1.p3.1.m1.8.8.5.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.8.8.4"><apply id="S4.SS1.p3.1.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.5.5.1.1"><times id="S4.SS1.p3.1.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.5.5.1.1.1"></times><apply id="S4.SS1.p3.1.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.5.5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.1.m1.5.5.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.5.5.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.1.m1.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.5.5.1.1.2.2">𝑓</ci><cn id="S4.SS1.p3.1.m1.5.5.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p3.1.m1.5.5.1.1.2.3">0</cn></apply><ci id="S4.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.1.1">italic-ϕ</ci></apply><apply id="S4.SS1.p3.1.m1.6.6.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.6.6.2.2"><times id="S4.SS1.p3.1.m1.6.6.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.6.6.2.2.1"></times><apply id="S4.SS1.p3.1.m1.6.6.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.6.6.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.1.m1.6.6.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.6.6.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.1.m1.6.6.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.6.6.2.2.2.2">𝑓</ci><cn id="S4.SS1.p3.1.m1.6.6.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p3.1.m1.6.6.2.2.2.3">1</cn></apply><ci id="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.2.2">italic-ϕ</ci></apply><apply id="S4.SS1.p3.1.m1.7.7.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.7.7.3.3"><times id="S4.SS1.p3.1.m1.7.7.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.7.7.3.3.1"></times><apply id="S4.SS1.p3.1.m1.7.7.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.7.7.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.1.m1.7.7.3.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.7.7.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.1.m1.7.7.3.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.7.7.3.3.2.2">𝑓</ci><cn id="S4.SS1.p3.1.m1.7.7.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p3.1.m1.7.7.3.3.2.3">2</cn></apply><ci id="S4.SS1.p3.1.m1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.3.3">italic-ϕ</ci></apply><apply id="S4.SS1.p3.1.m1.8.8.4.4.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.8.8.4.4"><times id="S4.SS1.p3.1.m1.8.8.4.4.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.8.8.4.4.1"></times><ci id="S4.SS1.p3.1.m1.8.8.4.4.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.8.8.4.4.2">…</ci><apply id="S4.SS1.p3.1.m1.8.8.4.4.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.8.8.4.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.1.m1.8.8.4.4.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.8.8.4.4.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.1.m1.8.8.4.4.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.8.8.4.4.3.2">𝑓</ci><ci id="S4.SS1.p3.1.m1.8.8.4.4.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.8.8.4.4.3.3">𝑛</ci></apply><ci id="S4.SS1.p3.1.m1.4.4.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.4.4">italic-ϕ</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.1.m1.8c">f_{0}(\phi),f_{1}(\phi),f_{2}(\phi),...f_{n}(\phi)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.1.m1.8d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ϕ ) , italic_f start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ϕ ) , italic_f start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ϕ ) , … italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ϕ )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p3.4.2" style="font-size:90%;"> are determined then the determination of </span><math alttext="f_{n+1}(\phi)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.2.m2.1"><semantics id="S4.SS1.p3.2.m2.1a"><mrow id="S4.SS1.p3.2.m2.1.2" xref="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.cmml"><msub id="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.2" xref="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.2.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.2.2.cmml">f</mi><mrow id="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.2.3" xref="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.2.3.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.2.3.1" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.2.3.3" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.1" xref="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.3.2" xref="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p3.2.m2.1.1" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p3.2.m2.1.1.cmml">ϕ</mi><mo id="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.2.m2.1b"><apply id="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m2.1.2"><times id="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.1"></times><apply id="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.2.2">𝑓</ci><apply id="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.2.3"><plus id="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.2.3.1"></plus><ci id="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.2.3.2">𝑛</ci><cn id="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.SS1.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m2.1.1">italic-ϕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.2.m2.1c">f_{n+1}(\phi)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.2.m2.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_n + 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ϕ )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p3.4.3" style="font-size:90%;"> from Im</span><math alttext="(\psi)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.3.m3.1"><semantics id="S4.SS1.p3.3.m3.1a"><mrow id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2"><mo id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.1" maxsize="90%" minsize="90%">(</mo><mi id="S4.SS1.p3.3.m3.1.1" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.1.cmml">ψ</mi><mo id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.2" maxsize="90%" minsize="90%">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.3.m3.1b"><ci id="S4.SS1.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.1">𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.3.m3.1c">(\psi)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.3.m3.1d">( italic_ψ )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p3.4.4" style="font-size:90%;"> on </span><math alttext="L^{+}_{x_{1},\theta}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.4.m4.2"><semantics id="S4.SS1.p3.4.m4.2a"><msubsup id="S4.SS1.p3.4.m4.2.3" xref="S4.SS1.p3.4.m4.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.4.m4.2.3.2.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p3.4.m4.2.3.2.2.cmml">L</mi><mrow id="S4.SS1.p3.4.m4.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p3.4.m4.2.2.2.3.cmml"><msub id="S4.SS1.p3.4.m4.2.2.2.2.1" xref="S4.SS1.p3.4.m4.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.4.m4.2.2.2.2.1.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p3.4.m4.2.2.2.2.1.2.cmml">x</mi><mn id="S4.SS1.p3.4.m4.2.2.2.2.1.3" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p3.4.m4.2.2.2.2.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.SS1.p3.4.m4.2.2.2.2.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p3.4.m4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.SS1.p3.4.m4.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.1.1.1.cmml">θ</mi></mrow><mo id="S4.SS1.p3.4.m4.2.3.2.3" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p3.4.m4.2.3.2.3.cmml">+</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.4.m4.2b"><apply id="S4.SS1.p3.4.m4.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.4.m4.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m4.2.3">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p3.4.m4.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.4.m4.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m4.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.4.m4.2.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m4.2.3.2.2">𝐿</ci><plus id="S4.SS1.p3.4.m4.2.3.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m4.2.3.2.3"></plus></apply><list id="S4.SS1.p3.4.m4.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m4.2.2.2.2"><apply id="S4.SS1.p3.4.m4.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m4.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.4.m4.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m4.2.2.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.4.m4.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m4.2.2.2.2.1.2">𝑥</ci><cn id="S4.SS1.p3.4.m4.2.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p3.4.m4.2.2.2.2.1.3">1</cn></apply><ci id="S4.SS1.p3.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.1.1.1">𝜃</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.4.m4.2c">L^{+}_{x_{1},\theta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.4.m4.2d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_θ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p3.4.5" style="font-size:90%;"> is as follows.</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p4"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p4.3"><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p4.3.1" style="font-size:90%;">Let</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E22"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\psi_{n}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi\kappa|x|}}e^{i(\kappa|x|-\frac{\pi}{4})}\sum% \limits_{j=0}^{n}\frac{f_{j}(\phi)}{|x|^{j}},\ \ \mbox{\rm where}\ \ \theta=% \frac{x}{|x|}=(cos(\phi),sin(\phi))," class="ltx_Math" display="block" id="S4.E22.m1.10"><semantics id="S4.E22.m1.10a"><mrow id="S4.E22.m1.10.10.1"><mrow id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.2" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.2.2.2" mathsize="90%" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.2.2.2.cmml">ψ</mi><mi id="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.2.2.3" mathsize="90%" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.2.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.2.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.E22.m1.7.7" mathsize="90%" xref="S4.E22.m1.7.7.cmml">x</mi><mo id="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.2.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.3" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.3.cmml"><msqrt id="S4.E22.m1.1.1" xref="S4.E22.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S4.E22.m1.1.1.1" xref="S4.E22.m1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.E22.m1.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S4.E22.m1.1.1.1.3.cmml">2</mn><mrow id="S4.E22.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E22.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E22.m1.1.1.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S4.E22.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi><mo id="S4.E22.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E22.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E22.m1.1.1.1.1.1.4" mathsize="90%" xref="S4.E22.m1.1.1.1.1.1.4.cmml">κ</mi><mo id="S4.E22.m1.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.E22.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E22.m1.1.1.1.1.1.5.2" xref="S4.E22.m1.1.1.1.1.1.5.1.cmml"><mo id="S4.E22.m1.1.1.1.1.1.5.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E22.m1.1.1.1.1.1.5.1.1.cmml">|</mo><mi id="S4.E22.m1.1.1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S4.E22.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S4.E22.m1.1.1.1.1.1.5.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E22.m1.1.1.1.1.1.5.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mfrac></msqrt><mo id="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.2" mathsize="90%" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.E22.m1.3.3.2" xref="S4.E22.m1.3.3.2.cmml"><mi id="S4.E22.m1.3.3.2.4" mathsize="90%" xref="S4.E22.m1.3.3.2.4.cmml">i</mi><mo id="S4.E22.m1.3.3.2.3" xref="S4.E22.m1.3.3.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E22.m1.3.3.2.2.1" xref="S4.E22.m1.3.3.2.2.1.1.cmml"><mo id="S4.E22.m1.3.3.2.2.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E22.m1.3.3.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E22.m1.3.3.2.2.1.1" xref="S4.E22.m1.3.3.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.E22.m1.3.3.2.2.1.1.2" xref="S4.E22.m1.3.3.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E22.m1.3.3.2.2.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="S4.E22.m1.3.3.2.2.1.1.2.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.E22.m1.3.3.2.2.1.1.2.1" xref="S4.E22.m1.3.3.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E22.m1.3.3.2.2.1.1.2.3.2" xref="S4.E22.m1.3.3.2.2.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S4.E22.m1.3.3.2.2.1.1.2.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E22.m1.3.3.2.2.1.1.2.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S4.E22.m1.2.2.1.1" mathsize="90%" xref="S4.E22.m1.2.2.1.1.cmml">x</mi><mo id="S4.E22.m1.3.3.2.2.1.1.2.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E22.m1.3.3.2.2.1.1.2.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E22.m1.3.3.2.2.1.1.1" mathsize="90%" xref="S4.E22.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mfrac id="S4.E22.m1.3.3.2.2.1.1.3" xref="S4.E22.m1.3.3.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E22.m1.3.3.2.2.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S4.E22.m1.3.3.2.2.1.1.3.2.cmml">π</mi><mn id="S4.E22.m1.3.3.2.2.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="S4.E22.m1.3.3.2.2.1.1.3.3.cmml">4</mn></mfrac></mrow><mo id="S4.E22.m1.3.3.2.2.1.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E22.m1.3.3.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup><mo id="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.3.1a" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.cmml"><munderover id="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.1.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" movablelimits="false" stretchy="true" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.1.2.3" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.1.2.3.2" mathsize="90%" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.1.2.3.1" mathsize="90%" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.1.2.3.3" mathsize="90%" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.1.2.3.3.cmml">0</mn></mrow><mi id="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.1.3" mathsize="90%" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.1.3.cmml">n</mi></munderover><mfrac id="S4.E22.m1.5.5" xref="S4.E22.m1.5.5.cmml"><mrow id="S4.E22.m1.4.4.1" xref="S4.E22.m1.4.4.1.cmml"><msub id="S4.E22.m1.4.4.1.3" xref="S4.E22.m1.4.4.1.3.cmml"><mi id="S4.E22.m1.4.4.1.3.2" mathsize="90%" xref="S4.E22.m1.4.4.1.3.2.cmml">f</mi><mi id="S4.E22.m1.4.4.1.3.3" mathsize="90%" xref="S4.E22.m1.4.4.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.E22.m1.4.4.1.2" xref="S4.E22.m1.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E22.m1.4.4.1.4.2" xref="S4.E22.m1.4.4.1.cmml"><mo id="S4.E22.m1.4.4.1.4.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E22.m1.4.4.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E22.m1.4.4.1.1" mathsize="90%" xref="S4.E22.m1.4.4.1.1.cmml">ϕ</mi><mo id="S4.E22.m1.4.4.1.4.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E22.m1.4.4.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><msup id="S4.E22.m1.5.5.2" xref="S4.E22.m1.5.5.2.cmml"><mrow id="S4.E22.m1.5.5.2.3.2" xref="S4.E22.m1.5.5.2.3.1.cmml"><mo id="S4.E22.m1.5.5.2.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E22.m1.5.5.2.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S4.E22.m1.5.5.2.1" mathsize="90%" xref="S4.E22.m1.5.5.2.1.cmml">x</mi><mo id="S4.E22.m1.5.5.2.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E22.m1.5.5.2.3.1.1.cmml">|</mo></mrow><mi id="S4.E22.m1.5.5.2.4" mathsize="90%" xref="S4.E22.m1.5.5.2.4.cmml">j</mi></msup></mfrac></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.3" mathsize="90%" rspace="1.067em" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.4" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.4.cmml"><mtext id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.4.2" mathsize="90%" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.4.2a.cmml">where</mtext><mo id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.4.1" lspace="0.900em" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.4.3" mathsize="90%" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.4.3.cmml">θ</mi></mrow><mo id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.5" mathsize="90%" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.5.cmml">=</mo><mfrac id="S4.E22.m1.6.6" xref="S4.E22.m1.6.6.cmml"><mi id="S4.E22.m1.6.6.3" mathsize="90%" xref="S4.E22.m1.6.6.3.cmml">x</mi><mrow id="S4.E22.m1.6.6.1.3" xref="S4.E22.m1.6.6.1.2.cmml"><mo id="S4.E22.m1.6.6.1.3.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E22.m1.6.6.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="S4.E22.m1.6.6.1.1" mathsize="90%" xref="S4.E22.m1.6.6.1.1.cmml">x</mi><mo id="S4.E22.m1.6.6.1.3.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E22.m1.6.6.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mfrac><mo id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.6" mathsize="90%" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.6.cmml">=</mo><mrow id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.2.2" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">c</mi><mo id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml">o</mi><mo id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1a" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.4" mathsize="90%" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.4.cmml">s</mi><mo id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1b" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.5.2" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.5.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E22.m1.8.8" mathsize="90%" xref="S4.E22.m1.8.8.cmml">ϕ</mi><mo id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.5.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.4" mathsize="90%" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.2.2" mathsize="90%" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">s</mi><mo id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.2.1" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.2.3" mathsize="90%" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">i</mi><mo id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.2.1a" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.2.4" mathsize="90%" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.2.4.cmml">n</mi><mo id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.2.1b" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.2.5.2" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.2.5.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.E22.m1.9.9" mathsize="90%" xref="S4.E22.m1.9.9.cmml">ϕ</mi><mo id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.2.5.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.5" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E22.m1.10.10.1.2" mathsize="90%">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E22.m1.10b"><apply id="S4.E22.m1.10.10.1.1.3.cmml" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E22.m1.10.10.1.1.3a.cmml" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1"><eq id="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.2"><times id="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.2.2.2">𝜓</ci><ci id="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.2.2.3">𝑛</ci></apply><ci id="S4.E22.m1.7.7.cmml" xref="S4.E22.m1.7.7">𝑥</ci></apply><apply id="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.3"><times id="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.E22.m1.1.1.cmml" xref="S4.E22.m1.1.1"><root id="S4.E22.m1.1.1a.cmml" xref="S4.E22.m1.1.1"></root><apply id="S4.E22.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.E22.m1.1.1.1"><divide id="S4.E22.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E22.m1.1.1.1"></divide><cn id="S4.E22.m1.1.1.1.3.cmml" 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id="S4.E22.m1.3.3.2.4.cmml" xref="S4.E22.m1.3.3.2.4">𝑖</ci><apply id="S4.E22.m1.3.3.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E22.m1.3.3.2.2.1"><minus id="S4.E22.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E22.m1.3.3.2.2.1.1.1"></minus><apply id="S4.E22.m1.3.3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E22.m1.3.3.2.2.1.1.2"><times id="S4.E22.m1.3.3.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E22.m1.3.3.2.2.1.1.2.1"></times><ci id="S4.E22.m1.3.3.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E22.m1.3.3.2.2.1.1.2.2">𝜅</ci><apply id="S4.E22.m1.3.3.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E22.m1.3.3.2.2.1.1.2.3.2"><abs id="S4.E22.m1.3.3.2.2.1.1.2.3.1.1.cmml" xref="S4.E22.m1.3.3.2.2.1.1.2.3.2.1"></abs><ci id="S4.E22.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E22.m1.2.2.1.1">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S4.E22.m1.3.3.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.E22.m1.3.3.2.2.1.1.3"><divide id="S4.E22.m1.3.3.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E22.m1.3.3.2.2.1.1.3"></divide><ci id="S4.E22.m1.3.3.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E22.m1.3.3.2.2.1.1.3.2">𝜋</ci><cn id="S4.E22.m1.3.3.2.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E22.m1.3.3.2.2.1.1.3.3">4</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.3.3"><apply id="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.1.2.cmml" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.1.2.1.cmml" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.1">subscript</csymbol><sum id="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.1.2.2.cmml" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.1.2.2"></sum><apply id="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.1.2.3.cmml" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.1.2.3"><eq id="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.1.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.1.2.3.3">0</cn></apply></apply><ci id="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.1.3.cmml" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.1.3">𝑛</ci></apply><apply id="S4.E22.m1.5.5.cmml" xref="S4.E22.m1.5.5"><divide id="S4.E22.m1.5.5.3.cmml" xref="S4.E22.m1.5.5"></divide><apply id="S4.E22.m1.4.4.1.cmml" xref="S4.E22.m1.4.4.1"><times id="S4.E22.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S4.E22.m1.4.4.1.2"></times><apply id="S4.E22.m1.4.4.1.3.cmml" xref="S4.E22.m1.4.4.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E22.m1.4.4.1.3.1.cmml" xref="S4.E22.m1.4.4.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E22.m1.4.4.1.3.2.cmml" xref="S4.E22.m1.4.4.1.3.2">𝑓</ci><ci id="S4.E22.m1.4.4.1.3.3.cmml" xref="S4.E22.m1.4.4.1.3.3">𝑗</ci></apply><ci id="S4.E22.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S4.E22.m1.4.4.1.1">italic-ϕ</ci></apply><apply id="S4.E22.m1.5.5.2.cmml" xref="S4.E22.m1.5.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E22.m1.5.5.2.2.cmml" xref="S4.E22.m1.5.5.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E22.m1.5.5.2.3.1.cmml" xref="S4.E22.m1.5.5.2.3.2"><abs id="S4.E22.m1.5.5.2.3.1.1.cmml" xref="S4.E22.m1.5.5.2.3.2.1"></abs><ci id="S4.E22.m1.5.5.2.1.cmml" xref="S4.E22.m1.5.5.2.1">𝑥</ci></apply><ci id="S4.E22.m1.5.5.2.4.cmml" xref="S4.E22.m1.5.5.2.4">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2"><and id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2a.cmml" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2"></and><apply id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2b.cmml" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2"><eq id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.5.cmml" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.5"></eq><apply id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.4.cmml" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.4"><times id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.4.1"></times><ci id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.4.2a.cmml" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.4.2"><mtext id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.4.2.cmml" mathsize="90%" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.4.2">where</mtext></ci><ci id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.4.3.cmml" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.4.3">𝜃</ci></apply><apply id="S4.E22.m1.6.6.cmml" xref="S4.E22.m1.6.6"><divide id="S4.E22.m1.6.6.2.cmml" xref="S4.E22.m1.6.6"></divide><ci id="S4.E22.m1.6.6.3.cmml" xref="S4.E22.m1.6.6.3">𝑥</ci><apply id="S4.E22.m1.6.6.1.2.cmml" xref="S4.E22.m1.6.6.1.3"><abs id="S4.E22.m1.6.6.1.2.1.cmml" xref="S4.E22.m1.6.6.1.3.1"></abs><ci id="S4.E22.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S4.E22.m1.6.6.1.1">𝑥</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2c.cmml" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2"><eq id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.6.cmml" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S4.E22.m1.6.6.cmml" id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2d.cmml" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2"></share><interval closure="open" id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.2.2"><apply id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1"><times id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1"></times><ci id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.2">𝑐</ci><ci id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.3">𝑜</ci><ci id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.4">𝑠</ci><ci id="S4.E22.m1.8.8.cmml" xref="S4.E22.m1.8.8">italic-ϕ</ci></apply><apply id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.2"><times id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.2.1"></times><ci id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.2.2">𝑠</ci><ci id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.2.3">𝑖</ci><ci id="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.2.4.cmml" xref="S4.E22.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.2.4">𝑛</ci><ci id="S4.E22.m1.9.9.cmml" xref="S4.E22.m1.9.9">italic-ϕ</ci></apply></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E22.m1.10c">\psi_{n}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi\kappa|x|}}e^{i(\kappa|x|-\frac{\pi}{4})}\sum% \limits_{j=0}^{n}\frac{f_{j}(\phi)}{|x|^{j}},\ \ \mbox{\rm where}\ \ \theta=% \frac{x}{|x|}=(cos(\phi),sin(\phi)),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E22.m1.10d">italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) = square-root start_ARG divide start_ARG 2 end_ARG start_ARG italic_π italic_κ | italic_x | end_ARG end_ARG italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_i ( italic_κ | italic_x | - divide start_ARG italic_π end_ARG start_ARG 4 end_ARG ) end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ϕ ) end_ARG start_ARG | italic_x | start_POSTSUPERSCRIPT italic_j end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG , where italic_θ = divide start_ARG italic_x end_ARG start_ARG | italic_x | end_ARG = ( italic_c italic_o italic_s ( italic_ϕ ) , italic_s italic_i italic_n ( italic_ϕ ) ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(22)</span></td> </tr></tbody> </table> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E23"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="I_{n}(x)=\sqrt{|x|}Im(\psi(x))," class="ltx_Math" display="block" id="S4.E23.m1.4"><semantics id="S4.E23.m1.4a"><mrow id="S4.E23.m1.4.4.1" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S4.E23.m1.4.4.1.1" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.cmml"><msub id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.2" mathsize="90%" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml">I</mi><mi id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.3" mathsize="90%" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.1" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.3.2" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.E23.m1.2.2" mathsize="90%" xref="S4.E23.m1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E23.m1.4.4.1.1.2" mathsize="90%" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.E23.m1.4.4.1.1.1" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.cmml"><msqrt id="S4.E23.m1.1.1" xref="S4.E23.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E23.m1.1.1.1.3" xref="S4.E23.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E23.m1.1.1.1.3.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E23.m1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="S4.E23.m1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S4.E23.m1.1.1.1.3.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E23.m1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></msqrt><mo id="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.3.cmml">I</mi><mo id="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.2a" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.4" mathsize="90%" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.4.cmml">m</mi><mo id="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.2b" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mo id="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E23.m1.3.3" mathsize="90%" xref="S4.E23.m1.3.3.cmml">x</mi><mo id="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E23.m1.4.4.1.2" mathsize="90%" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E23.m1.4b"><apply id="S4.E23.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S4.E23.m1.4.4.1"><eq id="S4.E23.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.2"></eq><apply id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3"><times id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.1"></times><apply id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.2">𝐼</ci><ci id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.3">𝑛</ci></apply><ci id="S4.E23.m1.2.2.cmml" xref="S4.E23.m1.2.2">𝑥</ci></apply><apply id="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.1"><times id="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E23.m1.1.1.cmml" xref="S4.E23.m1.1.1"><root id="S4.E23.m1.1.1a.cmml" xref="S4.E23.m1.1.1"></root><apply id="S4.E23.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E23.m1.1.1.1.3"><abs id="S4.E23.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E23.m1.1.1.1.3.1"></abs><ci id="S4.E23.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1">𝑥</ci></apply></apply><ci id="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.3">𝐼</ci><ci id="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.4">𝑚</ci><apply id="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1"><times id="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S4.E23.m1.3.3.cmml" xref="S4.E23.m1.3.3">𝑥</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E23.m1.4c">I_{n}(x)=\sqrt{|x|}Im(\psi(x)),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E23.m1.4d">italic_I start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) = square-root start_ARG | italic_x | end_ARG italic_I italic_m ( italic_ψ ( italic_x ) ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(23)</span></td> </tr></tbody> </table> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E24"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="J_{n}(x)=|x|^{n+1}(I(x)-I_{n}(x))," class="ltx_Math" display="block" id="S4.E24.m1.5"><semantics id="S4.E24.m1.5a"><mrow id="S4.E24.m1.5.5.1" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S4.E24.m1.5.5.1.1" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S4.E24.m1.5.5.1.1.3" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.3.cmml"><msub id="S4.E24.m1.5.5.1.1.3.2" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E24.m1.5.5.1.1.3.2.2" mathsize="90%" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml">J</mi><mi id="S4.E24.m1.5.5.1.1.3.2.3" mathsize="90%" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.3.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S4.E24.m1.5.5.1.1.3.1" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E24.m1.5.5.1.1.3.3.2" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E24.m1.5.5.1.1.3.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.E24.m1.1.1" mathsize="90%" xref="S4.E24.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S4.E24.m1.5.5.1.1.3.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E24.m1.5.5.1.1.2" mathsize="90%" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.E24.m1.5.5.1.1.1" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.cmml"><msup id="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.3" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.3.2.1.cmml"><mo id="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.3.2.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.3.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S4.E24.m1.2.2" mathsize="90%" xref="S4.E24.m1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.3.2.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.3.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.3.3" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.3.3.2" mathsize="90%" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.3.3.1" mathsize="90%" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.3.3.3" mathsize="90%" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.2" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">I</mi><mo id="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.E24.m1.3.3" mathsize="90%" xref="S4.E24.m1.3.3.cmml">x</mi><mo id="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2" mathsize="90%" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">I</mi><mi id="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.3" mathsize="90%" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.E24.m1.4.4" mathsize="90%" xref="S4.E24.m1.4.4.cmml">x</mi><mo id="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E24.m1.5.5.1.2" mathsize="90%" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E24.m1.5b"><apply id="S4.E24.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S4.E24.m1.5.5.1"><eq id="S4.E24.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.2"></eq><apply id="S4.E24.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.3"><times id="S4.E24.m1.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.3.1"></times><apply id="S4.E24.m1.5.5.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E24.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E24.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.3.2.2">𝐽</ci><ci id="S4.E24.m1.5.5.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.3.2.3">𝑛</ci></apply><ci id="S4.E24.m1.1.1.cmml" xref="S4.E24.m1.1.1">𝑥</ci></apply><apply id="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.1"><times id="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.3.2.2"><abs id="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.3.2.2.1"></abs><ci id="S4.E24.m1.2.2.cmml" xref="S4.E24.m1.2.2">𝑥</ci></apply><apply id="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.3.3"><plus id="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.3.3.1"></plus><ci id="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.3.3.2">𝑛</ci><cn id="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1"><minus id="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐼</ci><ci id="S4.E24.m1.3.3.cmml" xref="S4.E24.m1.3.3">𝑥</ci></apply><apply id="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝐼</ci><ci id="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E24.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑛</ci></apply><ci id="S4.E24.m1.4.4.cmml" xref="S4.E24.m1.4.4">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E24.m1.5c">J_{n}(x)=|x|^{n+1}(I(x)-I_{n}(x)),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E24.m1.5d">italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) = | italic_x | start_POSTSUPERSCRIPT italic_n + 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_I ( italic_x ) - italic_I start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(24)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p4.2"><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p4.2.1" style="font-size:90%;">where </span><math alttext="x" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p4.1.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p4.1.m1.1a"><mi id="S4.SS1.p4.1.m1.1.1" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml">x</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p4.1.m1.1b"><ci id="S4.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.1">𝑥</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p4.1.m1.1c">x</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p4.1.m1.1d">italic_x</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p4.2.2" style="font-size:90%;"> is as in (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S3.E9" style="font-size:90%;" title="In 3.1 The Karp Expansion ‣ 3 Preliminaries"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">9</span></a><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p4.2.3" style="font-size:90%;">), </span><math alttext="I(x)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p4.2.m2.1"><semantics id="S4.SS1.p4.2.m2.1a"><mrow id="S4.SS1.p4.2.m2.1.2" xref="S4.SS1.p4.2.m2.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.2.m2.1.2.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p4.2.m2.1.2.2.cmml">I</mi><mo id="S4.SS1.p4.2.m2.1.2.1" xref="S4.SS1.p4.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p4.2.m2.1.2.3.2" xref="S4.SS1.p4.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p4.2.m2.1.2.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.SS1.p4.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p4.2.m2.1.1" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p4.2.m2.1.1.cmml">x</mi><mo id="S4.SS1.p4.2.m2.1.2.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.SS1.p4.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p4.2.m2.1b"><apply id="S4.SS1.p4.2.m2.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.1.2"><times id="S4.SS1.p4.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.1.2.1"></times><ci id="S4.SS1.p4.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.1.2.2">𝐼</ci><ci id="S4.SS1.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.1.1">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p4.2.m2.1c">I(x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p4.2.m2.1d">italic_I ( italic_x )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p4.2.4" style="font-size:90%;"> is defined by (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S3.E10" style="font-size:90%;" title="In 3.2 A two-point approximation for 𝜓 ‣ 3 Preliminaries"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10</span></a><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p4.2.5" style="font-size:90%;">).</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p5"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p5.4"><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p5.4.1" style="font-size:90%;">We have that:</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S4.EGx2"> <tbody id="S4.E25"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle 2iI(x)=2I_{n}(x)+\sqrt{\frac{2}{\pi\kappa}}\frac{e^{i(\kappa|x|-% \frac{\pi}{4})}}{|x|^{n+1}}f_{n+1}(\phi)-\sqrt{\frac{2}{\pi\kappa}}\frac{e^{-i% (\kappa|x|-\frac{\pi}{4})}}{|x|^{n+1}}\overline{f_{n+1}(\phi)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E25.m1.10"><semantics id="S4.E25.m1.10a"><mrow id="S4.E25.m1.10.11" xref="S4.E25.m1.10.11.cmml"><mrow id="S4.E25.m1.10.11.2" xref="S4.E25.m1.10.11.2.cmml"><mn id="S4.E25.m1.10.11.2.2" mathsize="90%" xref="S4.E25.m1.10.11.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.E25.m1.10.11.2.1" xref="S4.E25.m1.10.11.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E25.m1.10.11.2.3" mathsize="90%" xref="S4.E25.m1.10.11.2.3.cmml">i</mi><mo id="S4.E25.m1.10.11.2.1a" xref="S4.E25.m1.10.11.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E25.m1.10.11.2.4" mathsize="90%" xref="S4.E25.m1.10.11.2.4.cmml">I</mi><mo id="S4.E25.m1.10.11.2.1b" xref="S4.E25.m1.10.11.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E25.m1.10.11.2.5.2" xref="S4.E25.m1.10.11.2.cmml"><mo id="S4.E25.m1.10.11.2.5.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E25.m1.10.11.2.cmml">(</mo><mi id="S4.E25.m1.8.8" mathsize="90%" xref="S4.E25.m1.8.8.cmml">x</mi><mo id="S4.E25.m1.10.11.2.5.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E25.m1.10.11.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E25.m1.10.11.1" mathsize="90%" xref="S4.E25.m1.10.11.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E25.m1.10.11.3" xref="S4.E25.m1.10.11.3.cmml"><mrow id="S4.E25.m1.10.11.3.2" xref="S4.E25.m1.10.11.3.2.cmml"><mrow id="S4.E25.m1.10.11.3.2.2" xref="S4.E25.m1.10.11.3.2.2.cmml"><mn id="S4.E25.m1.10.11.3.2.2.2" mathsize="90%" xref="S4.E25.m1.10.11.3.2.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.E25.m1.10.11.3.2.2.1" xref="S4.E25.m1.10.11.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E25.m1.10.11.3.2.2.3" xref="S4.E25.m1.10.11.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E25.m1.10.11.3.2.2.3.2" mathsize="90%" xref="S4.E25.m1.10.11.3.2.2.3.2.cmml">I</mi><mi id="S4.E25.m1.10.11.3.2.2.3.3" mathsize="90%" xref="S4.E25.m1.10.11.3.2.2.3.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S4.E25.m1.10.11.3.2.2.1a" xref="S4.E25.m1.10.11.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E25.m1.10.11.3.2.2.4.2" xref="S4.E25.m1.10.11.3.2.2.cmml"><mo id="S4.E25.m1.10.11.3.2.2.4.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E25.m1.10.11.3.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.E25.m1.9.9" mathsize="90%" xref="S4.E25.m1.9.9.cmml">x</mi><mo id="S4.E25.m1.10.11.3.2.2.4.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E25.m1.10.11.3.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E25.m1.10.11.3.2.1" mathsize="90%" xref="S4.E25.m1.10.11.3.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.E25.m1.10.11.3.2.3" xref="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.cmml"><msqrt id="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.2" xref="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.2.2" xref="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.2.2.cmml"><mfrac id="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.2.2a" xref="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.2.2.cmml"><mn id="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.2.2.2" mathsize="90%" xref="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.2.2.2.cmml">2</mn><mrow id="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.2.2.3" xref="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.2.2.3.2" mathsize="90%" xref="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.2.2.3.2.cmml">π</mi><mo id="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.2.2.3.1" xref="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.2.2.3.3" mathsize="90%" xref="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.2.2.3.3.cmml">κ</mi></mrow></mfrac></mstyle></msqrt><mo id="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.1" xref="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.E25.m1.3.3" xref="S4.E25.m1.3.3.cmml"><mfrac id="S4.E25.m1.3.3a" xref="S4.E25.m1.3.3.cmml"><msup id="S4.E25.m1.2.2.2" xref="S4.E25.m1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E25.m1.2.2.2.4" mathsize="90%" xref="S4.E25.m1.2.2.2.4.cmml">e</mi><mrow id="S4.E25.m1.2.2.2.2.2" xref="S4.E25.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E25.m1.2.2.2.2.2.4" mathsize="90%" xref="S4.E25.m1.2.2.2.2.2.4.cmml">i</mi><mo id="S4.E25.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S4.E25.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E25.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S4.E25.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S4.E25.m1.2.2.2.2.2.2.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E25.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E25.m1.2.2.2.2.2.2.1.1" xref="S4.E25.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.E25.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.2" xref="S4.E25.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E25.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="S4.E25.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.E25.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.1" xref="S4.E25.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E25.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.3.2" xref="S4.E25.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S4.E25.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E25.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S4.E25.m1.1.1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S4.E25.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E25.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E25.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1" mathsize="90%" xref="S4.E25.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mfrac id="S4.E25.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3" xref="S4.E25.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E25.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S4.E25.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml">π</mi><mn id="S4.E25.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="S4.E25.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml">4</mn></mfrac></mrow><mo id="S4.E25.m1.2.2.2.2.2.2.1.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E25.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup><msup id="S4.E25.m1.3.3.3" xref="S4.E25.m1.3.3.3.cmml"><mrow id="S4.E25.m1.3.3.3.3.2" xref="S4.E25.m1.3.3.3.3.1.cmml"><mo id="S4.E25.m1.3.3.3.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E25.m1.3.3.3.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S4.E25.m1.3.3.3.1" mathsize="90%" xref="S4.E25.m1.3.3.3.1.cmml">x</mi><mo id="S4.E25.m1.3.3.3.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E25.m1.3.3.3.3.1.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="S4.E25.m1.3.3.3.4" xref="S4.E25.m1.3.3.3.4.cmml"><mi id="S4.E25.m1.3.3.3.4.2" mathsize="90%" xref="S4.E25.m1.3.3.3.4.2.cmml">n</mi><mo id="S4.E25.m1.3.3.3.4.1" mathsize="90%" xref="S4.E25.m1.3.3.3.4.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E25.m1.3.3.3.4.3" mathsize="90%" xref="S4.E25.m1.3.3.3.4.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mfrac></mstyle><mo id="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.1a" xref="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.3" xref="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.3.cmml"><mi id="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.3.2" mathsize="90%" xref="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.3.2.cmml">f</mi><mrow id="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.3.3" xref="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.3.3.cmml"><mi id="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.3.3.2" mathsize="90%" xref="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.3.3.1" mathsize="90%" xref="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.3.3.3" mathsize="90%" xref="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.1b" xref="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.4.2" xref="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.cmml"><mo id="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.4.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.cmml">(</mo><mi id="S4.E25.m1.10.10" mathsize="90%" xref="S4.E25.m1.10.10.cmml">ϕ</mi><mo id="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.4.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E25.m1.10.11.3.1" mathsize="90%" xref="S4.E25.m1.10.11.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.E25.m1.10.11.3.3" xref="S4.E25.m1.10.11.3.3.cmml"><msqrt id="S4.E25.m1.10.11.3.3.2" xref="S4.E25.m1.10.11.3.3.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E25.m1.10.11.3.3.2.2" xref="S4.E25.m1.10.11.3.3.2.2.cmml"><mfrac id="S4.E25.m1.10.11.3.3.2.2a" xref="S4.E25.m1.10.11.3.3.2.2.cmml"><mn id="S4.E25.m1.10.11.3.3.2.2.2" mathsize="90%" xref="S4.E25.m1.10.11.3.3.2.2.2.cmml">2</mn><mrow id="S4.E25.m1.10.11.3.3.2.2.3" xref="S4.E25.m1.10.11.3.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E25.m1.10.11.3.3.2.2.3.2" mathsize="90%" xref="S4.E25.m1.10.11.3.3.2.2.3.2.cmml">π</mi><mo id="S4.E25.m1.10.11.3.3.2.2.3.1" xref="S4.E25.m1.10.11.3.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E25.m1.10.11.3.3.2.2.3.3" mathsize="90%" xref="S4.E25.m1.10.11.3.3.2.2.3.3.cmml">κ</mi></mrow></mfrac></mstyle></msqrt><mo id="S4.E25.m1.10.11.3.3.1" xref="S4.E25.m1.10.11.3.3.1.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.E25.m1.6.6" xref="S4.E25.m1.6.6.cmml"><mfrac id="S4.E25.m1.6.6a" xref="S4.E25.m1.6.6.cmml"><msup id="S4.E25.m1.5.5.2" xref="S4.E25.m1.5.5.2.cmml"><mi id="S4.E25.m1.5.5.2.4" mathsize="90%" xref="S4.E25.m1.5.5.2.4.cmml">e</mi><mrow id="S4.E25.m1.5.5.2.2.2" xref="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.cmml"><mo id="S4.E25.m1.5.5.2.2.2a" mathsize="90%" xref="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.cmml">−</mo><mrow id="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.2" xref="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.2.3" mathsize="90%" xref="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.2.3.cmml">i</mi><mo id="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.2.2" xref="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.2.1.1" xref="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.2.1" xref="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.2.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S4.E25.m1.4.4.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S4.E25.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.2.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mfrac id="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">π</mi><mn id="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">4</mn></mfrac></mrow><mo id="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></msup><msup id="S4.E25.m1.6.6.3" xref="S4.E25.m1.6.6.3.cmml"><mrow id="S4.E25.m1.6.6.3.3.2" xref="S4.E25.m1.6.6.3.3.1.cmml"><mo id="S4.E25.m1.6.6.3.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E25.m1.6.6.3.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S4.E25.m1.6.6.3.1" mathsize="90%" xref="S4.E25.m1.6.6.3.1.cmml">x</mi><mo id="S4.E25.m1.6.6.3.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E25.m1.6.6.3.3.1.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="S4.E25.m1.6.6.3.4" xref="S4.E25.m1.6.6.3.4.cmml"><mi id="S4.E25.m1.6.6.3.4.2" mathsize="90%" xref="S4.E25.m1.6.6.3.4.2.cmml">n</mi><mo id="S4.E25.m1.6.6.3.4.1" mathsize="90%" xref="S4.E25.m1.6.6.3.4.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E25.m1.6.6.3.4.3" mathsize="90%" xref="S4.E25.m1.6.6.3.4.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mfrac></mstyle><mo id="S4.E25.m1.10.11.3.3.1a" xref="S4.E25.m1.10.11.3.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.E25.m1.7.7" xref="S4.E25.m1.7.7.cmml"><mrow id="S4.E25.m1.7.7.1" xref="S4.E25.m1.7.7.1.cmml"><msub id="S4.E25.m1.7.7.1.3" xref="S4.E25.m1.7.7.1.3.cmml"><mi id="S4.E25.m1.7.7.1.3.2" mathsize="90%" xref="S4.E25.m1.7.7.1.3.2.cmml">f</mi><mrow id="S4.E25.m1.7.7.1.3.3" xref="S4.E25.m1.7.7.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E25.m1.7.7.1.3.3.2" mathsize="90%" xref="S4.E25.m1.7.7.1.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S4.E25.m1.7.7.1.3.3.1" mathsize="90%" xref="S4.E25.m1.7.7.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E25.m1.7.7.1.3.3.3" mathsize="90%" xref="S4.E25.m1.7.7.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S4.E25.m1.7.7.1.2" xref="S4.E25.m1.7.7.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E25.m1.7.7.1.4.2" xref="S4.E25.m1.7.7.1.cmml"><mo id="S4.E25.m1.7.7.1.4.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E25.m1.7.7.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E25.m1.7.7.1.1" mathsize="90%" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.cmml">ϕ</mi><mo id="S4.E25.m1.7.7.1.4.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E25.m1.7.7.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E25.m1.7.7.2" mathsize="90%" xref="S4.E25.m1.7.7.2.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E25.m1.10b"><apply id="S4.E25.m1.10.11.cmml" xref="S4.E25.m1.10.11"><eq id="S4.E25.m1.10.11.1.cmml" xref="S4.E25.m1.10.11.1"></eq><apply id="S4.E25.m1.10.11.2.cmml" xref="S4.E25.m1.10.11.2"><times id="S4.E25.m1.10.11.2.1.cmml" xref="S4.E25.m1.10.11.2.1"></times><cn id="S4.E25.m1.10.11.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.E25.m1.10.11.2.2">2</cn><ci id="S4.E25.m1.10.11.2.3.cmml" xref="S4.E25.m1.10.11.2.3">𝑖</ci><ci id="S4.E25.m1.10.11.2.4.cmml" xref="S4.E25.m1.10.11.2.4">𝐼</ci><ci id="S4.E25.m1.8.8.cmml" xref="S4.E25.m1.8.8">𝑥</ci></apply><apply id="S4.E25.m1.10.11.3.cmml" xref="S4.E25.m1.10.11.3"><minus id="S4.E25.m1.10.11.3.1.cmml" 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xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.1.1">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S4.E25.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.E25.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3"><divide id="S4.E25.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E25.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3"></divide><ci id="S4.E25.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E25.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2">𝜋</ci><cn id="S4.E25.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E25.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3">4</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E25.m1.3.3.3.cmml" xref="S4.E25.m1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E25.m1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.E25.m1.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E25.m1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.E25.m1.3.3.3.3.2"><abs id="S4.E25.m1.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E25.m1.3.3.3.3.2.1"></abs><ci id="S4.E25.m1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.E25.m1.3.3.3.1">𝑥</ci></apply><apply id="S4.E25.m1.3.3.3.4.cmml" xref="S4.E25.m1.3.3.3.4"><plus id="S4.E25.m1.3.3.3.4.1.cmml" xref="S4.E25.m1.3.3.3.4.1"></plus><ci id="S4.E25.m1.3.3.3.4.2.cmml" xref="S4.E25.m1.3.3.3.4.2">𝑛</ci><cn id="S4.E25.m1.3.3.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.E25.m1.3.3.3.4.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.3.cmml" xref="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.3.1.cmml" xref="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.3.2.cmml" xref="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.3.2">𝑓</ci><apply id="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.3.3.cmml" xref="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.3.3"><plus id="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.3.3.1.cmml" xref="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.3.3.1"></plus><ci id="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.3.3.2.cmml" xref="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.3.3.2">𝑛</ci><cn id="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E25.m1.10.11.3.2.3.3.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.E25.m1.10.10.cmml" xref="S4.E25.m1.10.10">italic-ϕ</ci></apply></apply><apply id="S4.E25.m1.10.11.3.3.cmml" xref="S4.E25.m1.10.11.3.3"><times id="S4.E25.m1.10.11.3.3.1.cmml" xref="S4.E25.m1.10.11.3.3.1"></times><apply id="S4.E25.m1.10.11.3.3.2.cmml" xref="S4.E25.m1.10.11.3.3.2"><root id="S4.E25.m1.10.11.3.3.2a.cmml" xref="S4.E25.m1.10.11.3.3.2"></root><apply id="S4.E25.m1.10.11.3.3.2.2.cmml" xref="S4.E25.m1.10.11.3.3.2.2"><divide id="S4.E25.m1.10.11.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E25.m1.10.11.3.3.2.2"></divide><cn id="S4.E25.m1.10.11.3.3.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.E25.m1.10.11.3.3.2.2.2">2</cn><apply id="S4.E25.m1.10.11.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.E25.m1.10.11.3.3.2.2.3"><times id="S4.E25.m1.10.11.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E25.m1.10.11.3.3.2.2.3.1"></times><ci id="S4.E25.m1.10.11.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E25.m1.10.11.3.3.2.2.3.2">𝜋</ci><ci id="S4.E25.m1.10.11.3.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.E25.m1.10.11.3.3.2.2.3.3">𝜅</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E25.m1.6.6.cmml" xref="S4.E25.m1.6.6"><divide id="S4.E25.m1.6.6.4.cmml" xref="S4.E25.m1.6.6"></divide><apply id="S4.E25.m1.5.5.2.cmml" xref="S4.E25.m1.5.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E25.m1.5.5.2.3.cmml" xref="S4.E25.m1.5.5.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E25.m1.5.5.2.4.cmml" xref="S4.E25.m1.5.5.2.4">𝑒</ci><apply id="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.cmml" xref="S4.E25.m1.5.5.2.2.2"><minus id="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E25.m1.5.5.2.2.2"></minus><apply id="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.2"><times id="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.2.2"></times><ci id="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.2.3">𝑖</ci><apply id="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.2.1.1"><minus id="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.2"><times id="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.2.2">𝜅</ci><apply id="S4.E25.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml" 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xref="S4.E25.m1.6.6.3.1">𝑥</ci></apply><apply id="S4.E25.m1.6.6.3.4.cmml" xref="S4.E25.m1.6.6.3.4"><plus id="S4.E25.m1.6.6.3.4.1.cmml" xref="S4.E25.m1.6.6.3.4.1"></plus><ci id="S4.E25.m1.6.6.3.4.2.cmml" xref="S4.E25.m1.6.6.3.4.2">𝑛</ci><cn id="S4.E25.m1.6.6.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.E25.m1.6.6.3.4.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.E25.m1.7.7.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7"><ci id="S4.E25.m1.7.7.2.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.2">¯</ci><apply id="S4.E25.m1.7.7.1.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1"><times id="S4.E25.m1.7.7.1.2.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.2"></times><apply id="S4.E25.m1.7.7.1.3.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E25.m1.7.7.1.3.1.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E25.m1.7.7.1.3.2.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.3.2">𝑓</ci><apply id="S4.E25.m1.7.7.1.3.3.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.3.3"><plus id="S4.E25.m1.7.7.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.3.3.1"></plus><ci id="S4.E25.m1.7.7.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.3.3.2">𝑛</ci><cn id="S4.E25.m1.7.7.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E25.m1.7.7.1.3.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.E25.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1">italic-ϕ</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E25.m1.10c">\displaystyle 2iI(x)=2I_{n}(x)+\sqrt{\frac{2}{\pi\kappa}}\frac{e^{i(\kappa|x|-% \frac{\pi}{4})}}{|x|^{n+1}}f_{n+1}(\phi)-\sqrt{\frac{2}{\pi\kappa}}\frac{e^{-i% (\kappa|x|-\frac{\pi}{4})}}{|x|^{n+1}}\overline{f_{n+1}(\phi)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E25.m1.10d">2 italic_i italic_I ( italic_x ) = 2 italic_I start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) + square-root start_ARG divide start_ARG 2 end_ARG start_ARG italic_π italic_κ end_ARG end_ARG divide start_ARG italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_i ( italic_κ | italic_x | - divide start_ARG italic_π end_ARG start_ARG 4 end_ARG ) end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG | italic_x | start_POSTSUPERSCRIPT italic_n + 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_n + 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ϕ ) - square-root start_ARG divide start_ARG 2 end_ARG start_ARG italic_π italic_κ end_ARG end_ARG divide start_ARG italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_i ( italic_κ | italic_x | - divide start_ARG italic_π end_ARG start_ARG 4 end_ARG ) end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG | italic_x | start_POSTSUPERSCRIPT italic_n + 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG over¯ start_ARG italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_n + 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ϕ ) end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(25)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex5"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle+O\bigr{(}\frac{1}{|x|^{n+2}}\bigl{)}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S4.Ex5.m1.1"><semantics id="S4.Ex5.m1.1a"><mrow id="S4.Ex5.m1.1b"><mo id="S4.Ex5.m1.1.2" mathsize="90%">+</mo><mi id="S4.Ex5.m1.1.3" mathsize="90%">O</mi><mo id="S4.Ex5.m1.1.4" lspace="0em" mathsize="120%" rspace="0em">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex5.m1.1.1"><mfrac id="S4.Ex5.m1.1.1a"><mn id="S4.Ex5.m1.1.1.3" mathsize="90%">1</mn><msup id="S4.Ex5.m1.1.1.1"><mrow id="S4.Ex5.m1.1.1.1.3.2"><mo id="S4.Ex5.m1.1.1.1.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%">|</mo><mi id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1" mathsize="90%">x</mi><mo id="S4.Ex5.m1.1.1.1.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%">|</mo></mrow><mrow id="S4.Ex5.m1.1.1.1.4"><mi id="S4.Ex5.m1.1.1.1.4.2" mathsize="90%">n</mi><mo id="S4.Ex5.m1.1.1.1.4.1" mathsize="90%">+</mo><mn id="S4.Ex5.m1.1.1.1.4.3" mathsize="90%">2</mn></mrow></msup></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex5.m1.1.5" lspace="0em" mathsize="120%">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex5.m1.1c">\displaystyle+O\bigr{(}\frac{1}{|x|^{n+2}}\bigl{)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex5.m1.1d">+ italic_O ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG | italic_x | start_POSTSUPERSCRIPT italic_n + 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E26"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="2iJ_{n}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi\kappa}}(e^{i(\kappa|x|-\frac{\pi}{4})}f_{n+1}(% \phi)-e^{-i(\kappa|x|-\frac{\pi}{4})}\overline{f_{n+1}(\phi)})+O\bigl{(}\frac{% 1}{|x|}\bigr{)}," class="ltx_Math" display="block" id="S4.E26.m1.9"><semantics id="S4.E26.m1.9a"><mrow id="S4.E26.m1.9.9.1" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.cmml"><mrow id="S4.E26.m1.9.9.1.1" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.cmml"><mrow id="S4.E26.m1.9.9.1.1.3" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.3.cmml"><mn id="S4.E26.m1.9.9.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S4.E26.m1.9.9.1.1.3.1" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E26.m1.9.9.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.3.3.cmml">i</mi><mo id="S4.E26.m1.9.9.1.1.3.1a" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E26.m1.9.9.1.1.3.4" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.3.4.cmml"><mi id="S4.E26.m1.9.9.1.1.3.4.2" mathsize="90%" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.3.4.2.cmml">J</mi><mi id="S4.E26.m1.9.9.1.1.3.4.3" mathsize="90%" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.3.4.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S4.E26.m1.9.9.1.1.3.1b" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E26.m1.9.9.1.1.3.5.2" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E26.m1.9.9.1.1.3.5.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.E26.m1.7.7" mathsize="90%" xref="S4.E26.m1.7.7.cmml">x</mi><mo id="S4.E26.m1.9.9.1.1.3.5.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E26.m1.9.9.1.1.2" mathsize="90%" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.cmml"><msqrt id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.3" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2" mathsize="90%" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.cmml">2</mn><mrow id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.3.2" mathsize="90%" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">π</mi><mo id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.3.3" mathsize="90%" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">κ</mi></mrow></mfrac></msqrt><mo id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.2" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" mathsize="90%" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.E26.m1.2.2.2" xref="S4.E26.m1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E26.m1.2.2.2.4" mathsize="90%" xref="S4.E26.m1.2.2.2.4.cmml">i</mi><mo id="S4.E26.m1.2.2.2.3" xref="S4.E26.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E26.m1.2.2.2.2.1" xref="S4.E26.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S4.E26.m1.2.2.2.2.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E26.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E26.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S4.E26.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.E26.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S4.E26.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E26.m1.2.2.2.2.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="S4.E26.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.E26.m1.2.2.2.2.1.1.2.1" xref="S4.E26.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E26.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.2" xref="S4.E26.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S4.E26.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E26.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S4.E26.m1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S4.E26.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E26.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E26.m1.2.2.2.2.1.1.1" mathsize="90%" xref="S4.E26.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mfrac id="S4.E26.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S4.E26.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E26.m1.2.2.2.2.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S4.E26.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml">π</mi><mn id="S4.E26.m1.2.2.2.2.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="S4.E26.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml">4</mn></mfrac></mrow><mo id="S4.E26.m1.2.2.2.2.1.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E26.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup><mo id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" mathsize="90%" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">f</mi><mrow id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2" mathsize="90%" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1" mathsize="90%" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3" mathsize="90%" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.E26.m1.8.8" mathsize="90%" xref="S4.E26.m1.8.8.cmml">ϕ</mi><mo id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" mathsize="90%" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.E26.m1.4.4.2" xref="S4.E26.m1.4.4.2.cmml"><mo id="S4.E26.m1.4.4.2a" mathsize="90%" xref="S4.E26.m1.4.4.2.cmml">−</mo><mrow id="S4.E26.m1.4.4.2.2" xref="S4.E26.m1.4.4.2.2.cmml"><mi id="S4.E26.m1.4.4.2.2.3" mathsize="90%" xref="S4.E26.m1.4.4.2.2.3.cmml">i</mi><mo id="S4.E26.m1.4.4.2.2.2" xref="S4.E26.m1.4.4.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E26.m1.4.4.2.2.1.1" xref="S4.E26.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E26.m1.4.4.2.2.1.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E26.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E26.m1.4.4.2.2.1.1.1" xref="S4.E26.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E26.m1.4.4.2.2.1.1.1.2" xref="S4.E26.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E26.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="S4.E26.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.E26.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.1" xref="S4.E26.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E26.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E26.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S4.E26.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E26.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S4.E26.m1.3.3.1.1" mathsize="90%" xref="S4.E26.m1.3.3.1.1.cmml">x</mi><mo id="S4.E26.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E26.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E26.m1.4.4.2.2.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S4.E26.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mfrac id="S4.E26.m1.4.4.2.2.1.1.1.3" xref="S4.E26.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E26.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S4.E26.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.cmml">π</mi><mn id="S4.E26.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="S4.E26.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.3.cmml">4</mn></mfrac></mrow><mo id="S4.E26.m1.4.4.2.2.1.1.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E26.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></msup><mo id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.E26.m1.5.5" xref="S4.E26.m1.5.5.cmml"><mrow id="S4.E26.m1.5.5.1" xref="S4.E26.m1.5.5.1.cmml"><msub id="S4.E26.m1.5.5.1.3" xref="S4.E26.m1.5.5.1.3.cmml"><mi id="S4.E26.m1.5.5.1.3.2" mathsize="90%" xref="S4.E26.m1.5.5.1.3.2.cmml">f</mi><mrow id="S4.E26.m1.5.5.1.3.3" xref="S4.E26.m1.5.5.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E26.m1.5.5.1.3.3.2" mathsize="90%" xref="S4.E26.m1.5.5.1.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S4.E26.m1.5.5.1.3.3.1" mathsize="90%" xref="S4.E26.m1.5.5.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E26.m1.5.5.1.3.3.3" mathsize="90%" xref="S4.E26.m1.5.5.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S4.E26.m1.5.5.1.2" xref="S4.E26.m1.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E26.m1.5.5.1.4.2" xref="S4.E26.m1.5.5.1.cmml"><mo id="S4.E26.m1.5.5.1.4.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E26.m1.5.5.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E26.m1.5.5.1.1" mathsize="90%" xref="S4.E26.m1.5.5.1.1.cmml">ϕ</mi><mo id="S4.E26.m1.5.5.1.4.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E26.m1.5.5.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E26.m1.5.5.2" mathsize="90%" xref="S4.E26.m1.5.5.2.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><mo id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.3" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.3.2.cmml">O</mi><mo id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.3.1" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E26.m1.6.6.cmml"><mo id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.3.3.2.1" maxsize="120%" minsize="120%" xref="S4.E26.m1.6.6.cmml">(</mo><mfrac id="S4.E26.m1.6.6" xref="S4.E26.m1.6.6.cmml"><mn id="S4.E26.m1.6.6.3" mathsize="90%" xref="S4.E26.m1.6.6.3.cmml">1</mn><mrow id="S4.E26.m1.6.6.1.3" xref="S4.E26.m1.6.6.1.2.cmml"><mo id="S4.E26.m1.6.6.1.3.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E26.m1.6.6.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="S4.E26.m1.6.6.1.1" mathsize="90%" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.cmml">x</mi><mo id="S4.E26.m1.6.6.1.3.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E26.m1.6.6.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mfrac><mo id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.3.3.2.2" maxsize="120%" minsize="120%" xref="S4.E26.m1.6.6.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E26.m1.9.9.1.2" mathsize="90%" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E26.m1.9b"><apply id="S4.E26.m1.9.9.1.1.cmml" xref="S4.E26.m1.9.9.1"><eq id="S4.E26.m1.9.9.1.1.2.cmml" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.2"></eq><apply id="S4.E26.m1.9.9.1.1.3.cmml" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.3"><times id="S4.E26.m1.9.9.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.3.1"></times><cn id="S4.E26.m1.9.9.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.3.2">2</cn><ci id="S4.E26.m1.9.9.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.3.3">𝑖</ci><apply id="S4.E26.m1.9.9.1.1.3.4.cmml" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E26.m1.9.9.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E26.m1.9.9.1.1.3.4.2.cmml" 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id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.3.2">𝜋</ci><ci id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.3.3">𝜅</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑒</ci><apply id="S4.E26.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.E26.m1.2.2.2"><times id="S4.E26.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E26.m1.2.2.2.3"></times><ci id="S4.E26.m1.2.2.2.4.cmml" xref="S4.E26.m1.2.2.2.4">𝑖</ci><apply id="S4.E26.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E26.m1.2.2.2.2.1"><minus id="S4.E26.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E26.m1.2.2.2.2.1.1.1"></minus><apply id="S4.E26.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E26.m1.2.2.2.2.1.1.2"><times id="S4.E26.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E26.m1.2.2.2.2.1.1.2.1"></times><ci id="S4.E26.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E26.m1.2.2.2.2.1.1.2.2">𝜅</ci><apply id="S4.E26.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E26.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.2"><abs id="S4.E26.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.1.1.cmml" xref="S4.E26.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.2.1"></abs><ci id="S4.E26.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S4.E26.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.E26.m1.2.2.2.2.1.1.3"><divide id="S4.E26.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E26.m1.2.2.2.2.1.1.3"></divide><ci id="S4.E26.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E26.m1.2.2.2.2.1.1.3.2">𝜋</ci><cn id="S4.E26.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E26.m1.2.2.2.2.1.1.3.3">4</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑓</ci><apply id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3"><plus id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1"></plus><ci id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2">𝑛</ci><cn id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.E26.m1.8.8.cmml" xref="S4.E26.m1.8.8">italic-ϕ</ci></apply><apply id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑒</ci><apply id="S4.E26.m1.4.4.2.cmml" xref="S4.E26.m1.4.4.2"><minus id="S4.E26.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S4.E26.m1.4.4.2"></minus><apply id="S4.E26.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S4.E26.m1.4.4.2.2"><times id="S4.E26.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="S4.E26.m1.4.4.2.2.2"></times><ci id="S4.E26.m1.4.4.2.2.3.cmml" xref="S4.E26.m1.4.4.2.2.3">𝑖</ci><apply id="S4.E26.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E26.m1.4.4.2.2.1.1"><minus id="S4.E26.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E26.m1.4.4.2.2.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.E26.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E26.m1.4.4.2.2.1.1.1.2"><times id="S4.E26.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E26.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.E26.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E26.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2">𝜅</ci><apply id="S4.E26.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E26.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.3.2"><abs id="S4.E26.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.3.1.1.cmml" xref="S4.E26.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.3.2.1"></abs><ci id="S4.E26.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E26.m1.3.3.1.1">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S4.E26.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E26.m1.4.4.2.2.1.1.1.3"><divide id="S4.E26.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E26.m1.4.4.2.2.1.1.1.3"></divide><ci id="S4.E26.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E26.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2">𝜋</ci><cn id="S4.E26.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E26.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.3">4</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E26.m1.5.5.cmml" xref="S4.E26.m1.5.5"><ci id="S4.E26.m1.5.5.2.cmml" xref="S4.E26.m1.5.5.2">¯</ci><apply id="S4.E26.m1.5.5.1.cmml" xref="S4.E26.m1.5.5.1"><times id="S4.E26.m1.5.5.1.2.cmml" xref="S4.E26.m1.5.5.1.2"></times><apply id="S4.E26.m1.5.5.1.3.cmml" xref="S4.E26.m1.5.5.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E26.m1.5.5.1.3.1.cmml" xref="S4.E26.m1.5.5.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E26.m1.5.5.1.3.2.cmml" xref="S4.E26.m1.5.5.1.3.2">𝑓</ci><apply id="S4.E26.m1.5.5.1.3.3.cmml" xref="S4.E26.m1.5.5.1.3.3"><plus id="S4.E26.m1.5.5.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E26.m1.5.5.1.3.3.1"></plus><ci id="S4.E26.m1.5.5.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E26.m1.5.5.1.3.3.2">𝑛</ci><cn id="S4.E26.m1.5.5.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E26.m1.5.5.1.3.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.E26.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S4.E26.m1.5.5.1.1">italic-ϕ</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.3"><times id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.3.2">𝑂</ci><apply id="S4.E26.m1.6.6.cmml" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.3.3.2"><divide id="S4.E26.m1.6.6.2.cmml" xref="S4.E26.m1.9.9.1.1.1.3.3.2"></divide><cn id="S4.E26.m1.6.6.3.cmml" type="integer" xref="S4.E26.m1.6.6.3">1</cn><apply id="S4.E26.m1.6.6.1.2.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.3"><abs id="S4.E26.m1.6.6.1.2.1.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.3.1"></abs><ci id="S4.E26.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E26.m1.9c">2iJ_{n}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi\kappa}}(e^{i(\kappa|x|-\frac{\pi}{4})}f_{n+1}(% \phi)-e^{-i(\kappa|x|-\frac{\pi}{4})}\overline{f_{n+1}(\phi)})+O\bigl{(}\frac{% 1}{|x|}\bigr{)},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E26.m1.9d">2 italic_i italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) = square-root start_ARG divide start_ARG 2 end_ARG start_ARG italic_π italic_κ end_ARG end_ARG ( italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_i ( italic_κ | italic_x | - divide start_ARG italic_π end_ARG start_ARG 4 end_ARG ) end_POSTSUPERSCRIPT italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_n + 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ϕ ) - italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_i ( italic_κ | italic_x | - divide start_ARG italic_π end_ARG start_ARG 4 end_ARG ) end_POSTSUPERSCRIPT over¯ start_ARG italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_n + 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ϕ ) end_ARG ) + italic_O ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG | italic_x | end_ARG ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(26)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p5.3"><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p5.3.1" style="font-size:90%;">as </span><math alttext="|x|\to+\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.1.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p5.1.m1.1a"><mrow 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id="S4.SS1.p5.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.2.2.2"><abs id="S4.SS1.p5.1.m1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.2.2.2.1"></abs><ci id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1">𝑥</ci></apply><apply id="S4.SS1.p5.1.m1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.2.3"><plus id="S4.SS1.p5.1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.2.3"></plus><infinity id="S4.SS1.p5.1.m1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.2.3.2"></infinity></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.1.m1.1c">|x|\to+\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.1.m1.1d">| italic_x | → + ∞</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p5.3.2" style="font-size:90%;">, uniformly in </span><math alttext="\theta=x/|x|" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.2.m2.1"><semantics id="S4.SS1.p5.2.m2.1a"><mrow id="S4.SS1.p5.2.m2.1.2" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.2.m2.1.2.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.2.2.cmml">θ</mi><mo id="S4.SS1.p5.2.m2.1.2.1" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS1.p5.2.m2.1.2.3" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.2.m2.1.2.3.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.2.3.2.cmml">x</mi><mo id="S4.SS1.p5.2.m2.1.2.3.1" maxsize="90%" minsize="90%" stretchy="true" symmetric="true" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.2.3.1.cmml">/</mo><mrow id="S4.SS1.p5.2.m2.1.2.3.3.2" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p5.2.m2.1.2.3.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.2.3.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S4.SS1.p5.2.m2.1.1" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.cmml">x</mi><mo id="S4.SS1.p5.2.m2.1.2.3.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.2.3.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.2.m2.1b"><apply id="S4.SS1.p5.2.m2.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.2"><eq id="S4.SS1.p5.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.2.1"></eq><ci id="S4.SS1.p5.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.2.2">𝜃</ci><apply id="S4.SS1.p5.2.m2.1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.2.3"><divide id="S4.SS1.p5.2.m2.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.2.3.1"></divide><ci id="S4.SS1.p5.2.m2.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.2.3.2">𝑥</ci><apply id="S4.SS1.p5.2.m2.1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.2.3.3.2"><abs id="S4.SS1.p5.2.m2.1.2.3.3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.2.3.3.2.1"></abs><ci id="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.1">𝑥</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.2.m2.1c">\theta=x/|x|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.2.m2.1d">italic_θ = italic_x / | italic_x |</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p5.3.3" style="font-size:90%;">, where </span><math alttext="I" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.3.m3.1"><semantics id="S4.SS1.p5.3.m3.1a"><mi id="S4.SS1.p5.3.m3.1.1" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.cmml">I</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.3.m3.1b"><ci id="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.1.1">𝐼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.3.m3.1c">I</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.3.m3.1d">italic_I</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p5.3.4" style="font-size:90%;"> is defined by (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S3.E10" style="font-size:90%;" title="In 3.2 A two-point approximation for 𝜓 ‣ 3 Preliminaries"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10</span></a><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p5.3.5" style="font-size:90%;">).</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p6"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p6.1"><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p6.1.1" style="font-size:90%;">Due to (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S4.E26" style="font-size:90%;" title="In 4.1 Case 𝐿⁺_{𝑥₁,𝜃}∪𝐿⁻_{𝑥₂,𝜃}⊆𝐿_{0,𝜃} ‣ 4 Proof of Theorem 1"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">26</span></a><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p6.1.2" style="font-size:90%;">) and Remark 1, as </span><math alttext="|x|\to+\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.1.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p6.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS1.p6.1.m1.1.2" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.2.cmml"><mrow id="S4.SS1.p6.1.m1.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.2.2.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p6.1.m1.1.2.2.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.2.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S4.SS1.p6.1.m1.1.2.2.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.2.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S4.SS1.p6.1.m1.1.2.1" mathsize="90%" stretchy="false" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.2.1.cmml">→</mo><mrow id="S4.SS1.p6.1.m1.1.2.3" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.2.3.cmml"><mo id="S4.SS1.p6.1.m1.1.2.3a" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.2.3.cmml">+</mo><mi id="S4.SS1.p6.1.m1.1.2.3.2" mathsize="90%" mathvariant="normal" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.2.3.2.cmml">∞</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p6.1.m1.1b"><apply id="S4.SS1.p6.1.m1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.2"><ci id="S4.SS1.p6.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.2.1">→</ci><apply id="S4.SS1.p6.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.2.2.2"><abs id="S4.SS1.p6.1.m1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.2.2.2.1"></abs><ci id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1">𝑥</ci></apply><apply id="S4.SS1.p6.1.m1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.2.3"><plus id="S4.SS1.p6.1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.2.3"></plus><infinity id="S4.SS1.p6.1.m1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.2.3.2"></infinity></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.1.m1.1c">|x|\to+\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.1.m1.1d">| italic_x | → + ∞</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p6.1.3" style="font-size:90%;"> we get:</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S4.EGx3"> <tbody id="S4.E27"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle f_{n+1}(\phi)=\frac{1}{sin(\kappa\tau)}\sqrt{\frac{\pi\kappa}{2}% }\bigl{(}J_{n}(x)e^{-i(\kappa|y|-\frac{\pi}{4})}-J_{n}(y)e^{-i(\kappa|x|-\frac% {\pi}{4})}+O\bigl{(}\frac{1}{|x|}\bigr{)}\bigr{)}," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E27.m1.10"><semantics id="S4.E27.m1.10a"><mrow id="S4.E27.m1.10.10.1" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.cmml"><mrow id="S4.E27.m1.10.10.1.1" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.cmml"><mrow id="S4.E27.m1.10.10.1.1.3" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.3.cmml"><msub id="S4.E27.m1.10.10.1.1.3.2" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E27.m1.10.10.1.1.3.2.2" mathsize="90%" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.3.2.2.cmml">f</mi><mrow id="S4.E27.m1.10.10.1.1.3.2.3" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E27.m1.10.10.1.1.3.2.3.2" mathsize="90%" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.3.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S4.E27.m1.10.10.1.1.3.2.3.1" mathsize="90%" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.3.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E27.m1.10.10.1.1.3.2.3.3" mathsize="90%" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S4.E27.m1.10.10.1.1.3.1" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E27.m1.10.10.1.1.3.3.2" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E27.m1.10.10.1.1.3.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.E27.m1.7.7" mathsize="90%" xref="S4.E27.m1.7.7.cmml">ϕ</mi><mo id="S4.E27.m1.10.10.1.1.3.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E27.m1.10.10.1.1.2" mathsize="90%" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E27.m1.1.1" xref="S4.E27.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S4.E27.m1.1.1a" xref="S4.E27.m1.1.1.cmml"><mn id="S4.E27.m1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S4.E27.m1.1.1.3.cmml">1</mn><mrow id="S4.E27.m1.1.1.1" xref="S4.E27.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E27.m1.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S4.E27.m1.1.1.1.3.cmml">s</mi><mo id="S4.E27.m1.1.1.1.2" xref="S4.E27.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E27.m1.1.1.1.4" mathsize="90%" xref="S4.E27.m1.1.1.1.4.cmml">i</mi><mo id="S4.E27.m1.1.1.1.2a" xref="S4.E27.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E27.m1.1.1.1.5" mathsize="90%" xref="S4.E27.m1.1.1.1.5.cmml">n</mi><mo id="S4.E27.m1.1.1.1.2b" xref="S4.E27.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><mo id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.2" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msqrt id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.3" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.3.2" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.3.2a" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.3.2.2.2" mathsize="90%" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.3.2.2.2.cmml">π</mi><mo id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.3.2.2.1" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.3.2.2.3" mathsize="90%" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.3.2.2.3.cmml">κ</mi></mrow><mn id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.3.2.3" mathsize="90%" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle></msqrt><mo id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.2a" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.2" maxsize="120%" minsize="120%" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><msub id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" mathsize="90%" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">J</mi><mi id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" mathsize="90%" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.E27.m1.8.8" mathsize="90%" xref="S4.E27.m1.8.8.cmml">x</mi><mo id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.2.1a" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.2.4" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.2.4.cmml"><mi id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2" mathsize="90%" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.E27.m1.3.3.2" xref="S4.E27.m1.3.3.2.cmml"><mo id="S4.E27.m1.3.3.2a" mathsize="90%" xref="S4.E27.m1.3.3.2.cmml">−</mo><mrow id="S4.E27.m1.3.3.2.2" xref="S4.E27.m1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E27.m1.3.3.2.2.3" mathsize="90%" xref="S4.E27.m1.3.3.2.2.3.cmml">i</mi><mo id="S4.E27.m1.3.3.2.2.2" xref="S4.E27.m1.3.3.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E27.m1.3.3.2.2.1.1" xref="S4.E27.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E27.m1.3.3.2.2.1.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E27.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E27.m1.3.3.2.2.1.1.1" xref="S4.E27.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E27.m1.3.3.2.2.1.1.1.2" xref="S4.E27.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E27.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="S4.E27.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.E27.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.1" xref="S4.E27.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E27.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E27.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S4.E27.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E27.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S4.E27.m1.2.2.1.1" mathsize="90%" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1.cmml">y</mi><mo id="S4.E27.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E27.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E27.m1.3.3.2.2.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S4.E27.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mfrac id="S4.E27.m1.3.3.2.2.1.1.1.3" xref="S4.E27.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E27.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S4.E27.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.2.cmml">π</mi><mn id="S4.E27.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="S4.E27.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.3.cmml">4</mn></mfrac></mrow><mo id="S4.E27.m1.3.3.2.2.1.1.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E27.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></msup></mrow><mo id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.1" mathsize="90%" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><msub id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" mathsize="90%" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">J</mi><mi id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" mathsize="90%" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S4.E27.m1.9.9" mathsize="90%" xref="S4.E27.m1.9.9.cmml">y</mi><mo id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.3.1a" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.3.4" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.3.4.cmml"><mi id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.3.4.2" mathsize="90%" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.3.4.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.E27.m1.5.5.2" xref="S4.E27.m1.5.5.2.cmml"><mo id="S4.E27.m1.5.5.2a" mathsize="90%" xref="S4.E27.m1.5.5.2.cmml">−</mo><mrow id="S4.E27.m1.5.5.2.2" xref="S4.E27.m1.5.5.2.2.cmml"><mi id="S4.E27.m1.5.5.2.2.3" mathsize="90%" xref="S4.E27.m1.5.5.2.2.3.cmml">i</mi><mo id="S4.E27.m1.5.5.2.2.2" xref="S4.E27.m1.5.5.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E27.m1.5.5.2.2.1.1" xref="S4.E27.m1.5.5.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E27.m1.5.5.2.2.1.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E27.m1.5.5.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E27.m1.5.5.2.2.1.1.1" xref="S4.E27.m1.5.5.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E27.m1.5.5.2.2.1.1.1.2" xref="S4.E27.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E27.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="S4.E27.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.E27.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.1" xref="S4.E27.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E27.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E27.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S4.E27.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E27.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S4.E27.m1.4.4.1.1" mathsize="90%" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.cmml">x</mi><mo id="S4.E27.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E27.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E27.m1.5.5.2.2.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S4.E27.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mfrac id="S4.E27.m1.5.5.2.2.1.1.1.3" xref="S4.E27.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E27.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S4.E27.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.2.cmml">π</mi><mn id="S4.E27.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="S4.E27.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.3.cmml">4</mn></mfrac></mrow><mo id="S4.E27.m1.5.5.2.2.1.1.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E27.m1.5.5.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></msup></mrow></mrow><mo id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">O</mi><mo id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E27.m1.6.6.cmml"><mo id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" maxsize="120%" minsize="120%" xref="S4.E27.m1.6.6.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.E27.m1.6.6" xref="S4.E27.m1.6.6.cmml"><mfrac id="S4.E27.m1.6.6a" xref="S4.E27.m1.6.6.cmml"><mn id="S4.E27.m1.6.6.3" mathsize="90%" xref="S4.E27.m1.6.6.3.cmml">1</mn><mrow id="S4.E27.m1.6.6.1.3" xref="S4.E27.m1.6.6.1.2.cmml"><mo id="S4.E27.m1.6.6.1.3.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E27.m1.6.6.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="S4.E27.m1.6.6.1.1" mathsize="90%" xref="S4.E27.m1.6.6.1.1.cmml">x</mi><mo id="S4.E27.m1.6.6.1.3.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E27.m1.6.6.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" maxsize="120%" minsize="120%" xref="S4.E27.m1.6.6.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.3" maxsize="120%" minsize="120%" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E27.m1.10.10.1.2" mathsize="90%" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E27.m1.10b"><apply id="S4.E27.m1.10.10.1.1.cmml" xref="S4.E27.m1.10.10.1"><eq id="S4.E27.m1.10.10.1.1.2.cmml" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.2"></eq><apply id="S4.E27.m1.10.10.1.1.3.cmml" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.3"><times id="S4.E27.m1.10.10.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.3.1"></times><apply id="S4.E27.m1.10.10.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E27.m1.10.10.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E27.m1.10.10.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.3.2.2">𝑓</ci><apply id="S4.E27.m1.10.10.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.3.2.3"><plus id="S4.E27.m1.10.10.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.3.2.3.1"></plus><ci id="S4.E27.m1.10.10.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.3.2.3.2">𝑛</ci><cn id="S4.E27.m1.10.10.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.E27.m1.7.7.cmml" xref="S4.E27.m1.7.7">italic-ϕ</ci></apply><apply id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.cmml" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1"><times id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E27.m1.1.1.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1"><divide id="S4.E27.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1"></divide><cn id="S4.E27.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E27.m1.1.1.3">1</cn><apply id="S4.E27.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1"><times id="S4.E27.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S4.E27.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.3">𝑠</ci><ci id="S4.E27.m1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.4">𝑖</ci><ci id="S4.E27.m1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.5">𝑛</ci><apply id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.1"><times id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝜅</ci><ci id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝜏</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.3"><root id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.3a.cmml" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.3"></root><apply id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.3.2"><divide id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.3.2"></divide><apply id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.3.2.2"><times id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.3.2.2.1"></times><ci id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.3.2.2.2">𝜋</ci><ci id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.3.2.2.3">𝜅</ci></apply><cn id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply></apply><apply id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1"><plus id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2"><minus id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.1"></minus><apply id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.2"><times id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.2.1"></times><apply id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝐽</ci><ci id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">𝑛</ci></apply><ci id="S4.E27.m1.8.8.cmml" xref="S4.E27.m1.8.8">𝑥</ci><apply id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.2.4.cmml" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.cmml" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2">𝑒</ci><apply id="S4.E27.m1.3.3.2.cmml" xref="S4.E27.m1.3.3.2"><minus id="S4.E27.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.E27.m1.3.3.2"></minus><apply id="S4.E27.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.E27.m1.3.3.2.2"><times id="S4.E27.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E27.m1.3.3.2.2.2"></times><ci id="S4.E27.m1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.E27.m1.3.3.2.2.3">𝑖</ci><apply id="S4.E27.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E27.m1.3.3.2.2.1.1"><minus id="S4.E27.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E27.m1.3.3.2.2.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.E27.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E27.m1.3.3.2.2.1.1.1.2"><times id="S4.E27.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E27.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.E27.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E27.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.2">𝜅</ci><apply id="S4.E27.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E27.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.3.2"><abs id="S4.E27.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.3.1.1.cmml" xref="S4.E27.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.3.2.1"></abs><ci id="S4.E27.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E27.m1.2.2.1.1">𝑦</ci></apply></apply><apply id="S4.E27.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E27.m1.3.3.2.2.1.1.1.3"><divide id="S4.E27.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E27.m1.3.3.2.2.1.1.1.3"></divide><ci id="S4.E27.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E27.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.2">𝜋</ci><cn id="S4.E27.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E27.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.3">4</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><apply id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝐽</ci><ci id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3">𝑛</ci></apply><ci id="S4.E27.m1.9.9.cmml" xref="S4.E27.m1.9.9">𝑦</ci><apply id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.3.4.cmml" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.3.4.1.cmml" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.3.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.3.4.2.cmml" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.3.4.2">𝑒</ci><apply id="S4.E27.m1.5.5.2.cmml" xref="S4.E27.m1.5.5.2"><minus id="S4.E27.m1.5.5.2.3.cmml" xref="S4.E27.m1.5.5.2"></minus><apply id="S4.E27.m1.5.5.2.2.cmml" xref="S4.E27.m1.5.5.2.2"><times id="S4.E27.m1.5.5.2.2.2.cmml" xref="S4.E27.m1.5.5.2.2.2"></times><ci id="S4.E27.m1.5.5.2.2.3.cmml" xref="S4.E27.m1.5.5.2.2.3">𝑖</ci><apply id="S4.E27.m1.5.5.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E27.m1.5.5.2.2.1.1"><minus id="S4.E27.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E27.m1.5.5.2.2.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.E27.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E27.m1.5.5.2.2.1.1.1.2"><times id="S4.E27.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E27.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.E27.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E27.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.2">𝜅</ci><apply id="S4.E27.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E27.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.3.2"><abs id="S4.E27.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.3.1.1.cmml" xref="S4.E27.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.3.2.1"></abs><ci id="S4.E27.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S4.E27.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E27.m1.5.5.2.2.1.1.1.3"><divide id="S4.E27.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E27.m1.5.5.2.2.1.1.1.3"></divide><ci id="S4.E27.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E27.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.2">𝜋</ci><cn id="S4.E27.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E27.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.3">4</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑂</ci><apply id="S4.E27.m1.6.6.cmml" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.3.2"><divide id="S4.E27.m1.6.6.2.cmml" xref="S4.E27.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.3.2"></divide><cn id="S4.E27.m1.6.6.3.cmml" type="integer" xref="S4.E27.m1.6.6.3">1</cn><apply id="S4.E27.m1.6.6.1.2.cmml" xref="S4.E27.m1.6.6.1.3"><abs id="S4.E27.m1.6.6.1.2.1.cmml" xref="S4.E27.m1.6.6.1.3.1"></abs><ci id="S4.E27.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S4.E27.m1.6.6.1.1">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E27.m1.10c">\displaystyle f_{n+1}(\phi)=\frac{1}{sin(\kappa\tau)}\sqrt{\frac{\pi\kappa}{2}% }\bigl{(}J_{n}(x)e^{-i(\kappa|y|-\frac{\pi}{4})}-J_{n}(y)e^{-i(\kappa|x|-\frac% {\pi}{4})}+O\bigl{(}\frac{1}{|x|}\bigr{)}\bigr{)},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E27.m1.10d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_n + 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ϕ ) = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_s italic_i italic_n ( italic_κ italic_τ ) end_ARG square-root start_ARG divide start_ARG italic_π italic_κ end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_ARG ( italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_i ( italic_κ | italic_y | - divide start_ARG italic_π end_ARG start_ARG 4 end_ARG ) end_POSTSUPERSCRIPT - italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ( italic_y ) italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_i ( italic_κ | italic_x | - divide start_ARG italic_π end_ARG start_ARG 4 end_ARG ) end_POSTSUPERSCRIPT + italic_O ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG | italic_x | end_ARG ) ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(27)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex6"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle x,y\in L^{+}\subseteq L^{+}_{0,\theta},\ \ y=x+\tau\theta,\ \ % \theta\in\mathbb{S}^{1},\ \ \tau>0," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex6.m1.5"><semantics id="S4.Ex6.m1.5a"><mrow id="S4.Ex6.m1.5.5.1"><mrow id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mrow 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id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.1" mathsize="90%" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml">𝕊</mi><mn id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml">1</mn></msup></mrow><mo id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3" mathsize="90%" rspace="1.067em" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2" mathsize="90%" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">τ</mi><mo id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.1" mathsize="90%" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.1.cmml">></mo><mn id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.3" mathsize="90%" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">0</mn></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex6.m1.5.5.1.2" 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xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2">𝕊</ci><cn id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2"><gt id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.1"></gt><ci id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2">𝜏</ci><cn id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.3">0</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex6.m1.5c">\displaystyle x,y\in L^{+}\subseteq L^{+}_{0,\theta},\ \ y=x+\tau\theta,\ \ % \theta\in\mathbb{S}^{1},\ \ \tau>0,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex6.m1.5d">italic_x , italic_y ∈ italic_L start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT ⊆ italic_L start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 0 , italic_θ end_POSTSUBSCRIPT , italic_y = italic_x + italic_τ italic_θ , italic_θ ∈ blackboard_S start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_τ > 0 ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p6.6"><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p6.6.1" style="font-size:90%;">uniformly in </span><math alttext="\theta" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.2.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p6.2.m1.1a"><mi id="S4.SS1.p6.2.m1.1.1" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p6.2.m1.1.1.cmml">θ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p6.2.m1.1b"><ci id="S4.SS1.p6.2.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.2.m1.1.1">𝜃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.2.m1.1c">\theta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.2.m1.1d">italic_θ</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p6.6.2" style="font-size:90%;">, assuming that </span><math alttext="sin(\kappa\tau)\neq 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.3.m2.1"><semantics id="S4.SS1.p6.3.m2.1a"><mrow id="S4.SS1.p6.3.m2.1.1" xref="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.1" xref="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.1.3.cmml">s</mi><mo id="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.1.4" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.1.4.cmml">i</mi><mo id="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.1.2a" xref="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.1.5" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.1.5.cmml">n</mi><mo id="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.1.2b" xref="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.1.1.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.1.1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.1.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><mo id="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.1.1.1.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.2.cmml">≠</mo><mn id="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.3" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p6.3.m2.1b"><apply id="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m2.1.1"><neq id="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.2"></neq><apply id="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.1"><times id="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.1.2"></times><ci id="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.1.3">𝑠</ci><ci id="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.1.4.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.1.4">𝑖</ci><ci id="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.1.5.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.1.5">𝑛</ci><apply id="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.1.1.1"><times id="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.1.1.1.1.2">𝜅</ci><ci id="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.1.1.1.1.3">𝜏</ci></apply></apply><cn id="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p6.3.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.3.m2.1c">sin(\kappa\tau)\neq 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.3.m2.1d">italic_s italic_i italic_n ( italic_κ italic_τ ) ≠ 0</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p6.6.3" style="font-size:90%;"> for fixed </span><math alttext="\tau" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.4.m3.1"><semantics id="S4.SS1.p6.4.m3.1a"><mi id="S4.SS1.p6.4.m3.1.1" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p6.4.m3.1.1.cmml">τ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p6.4.m3.1b"><ci id="S4.SS1.p6.4.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.4.m3.1.1">𝜏</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.4.m3.1c">\tau</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.4.m3.1d">italic_τ</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p6.6.4" style="font-size:90%;"> (where the parameter </span><math alttext="\tau" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.5.m4.1"><semantics id="S4.SS1.p6.5.m4.1a"><mi id="S4.SS1.p6.5.m4.1.1" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p6.5.m4.1.1.cmml">τ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p6.5.m4.1b"><ci id="S4.SS1.p6.5.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.5.m4.1.1">𝜏</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.5.m4.1c">\tau</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.5.m4.1d">italic_τ</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p6.6.5" style="font-size:90%;"> can always be fixed in such a way for fixed </span><math alttext="\kappa>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.6.m5.1"><semantics id="S4.SS1.p6.6.m5.1a"><mrow id="S4.SS1.p6.6.m5.1.1" xref="S4.SS1.p6.6.m5.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.6.m5.1.1.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p6.6.m5.1.1.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.SS1.p6.6.m5.1.1.1" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p6.6.m5.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S4.SS1.p6.6.m5.1.1.3" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p6.6.m5.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p6.6.m5.1b"><apply id="S4.SS1.p6.6.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.6.m5.1.1"><gt id="S4.SS1.p6.6.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.6.m5.1.1.1"></gt><ci id="S4.SS1.p6.6.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.6.m5.1.1.2">𝜅</ci><cn id="S4.SS1.p6.6.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p6.6.m5.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.6.m5.1c">\kappa>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.6.m5.1d">italic_κ > 0</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p6.6.6" style="font-size:90%;">).</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p7"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p7.7"><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p7.7.1" style="font-size:90%;">Formulas (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S3.E10" style="font-size:90%;" title="In 3.2 A two-point approximation for 𝜓 ‣ 3 Preliminaries"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10</span></a><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p7.7.2" style="font-size:90%;">), (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S4.E22" style="font-size:90%;" title="In 4.1 Case 𝐿⁺_{𝑥₁,𝜃}∪𝐿⁻_{𝑥₂,𝜃}⊆𝐿_{0,𝜃} ‣ 4 Proof of Theorem 1"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">22</span></a><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p7.7.3" style="font-size:90%;">)-(</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S4.E24" style="font-size:90%;" title="In 4.1 Case 𝐿⁺_{𝑥₁,𝜃}∪𝐿⁻_{𝑥₂,𝜃}⊆𝐿_{0,𝜃} ‣ 4 Proof of Theorem 1"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">24</span></a><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p7.7.4" style="font-size:90%;">) and (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S4.E27" style="font-size:90%;" title="In 4.1 Case 𝐿⁺_{𝑥₁,𝜃}∪𝐿⁻_{𝑥₂,𝜃}⊆𝐿_{0,𝜃} ‣ 4 Proof of Theorem 1"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">27</span></a><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p7.7.5" style="font-size:90%;">) determine </span><math alttext="f_{n+1}(\phi)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p7.1.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p7.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS1.p7.1.m1.1.2" xref="S4.SS1.p7.1.m1.1.2.cmml"><msub id="S4.SS1.p7.1.m1.1.2.2" xref="S4.SS1.p7.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p7.1.m1.1.2.2.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p7.1.m1.1.2.2.2.cmml">f</mi><mrow id="S4.SS1.p7.1.m1.1.2.2.3" xref="S4.SS1.p7.1.m1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p7.1.m1.1.2.2.3.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p7.1.m1.1.2.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S4.SS1.p7.1.m1.1.2.2.3.1" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p7.1.m1.1.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.SS1.p7.1.m1.1.2.2.3.3" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p7.1.m1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S4.SS1.p7.1.m1.1.2.1" xref="S4.SS1.p7.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p7.1.m1.1.2.3.2" xref="S4.SS1.p7.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p7.1.m1.1.2.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.SS1.p7.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p7.1.m1.1.1" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p7.1.m1.1.1.cmml">ϕ</mi><mo id="S4.SS1.p7.1.m1.1.2.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.SS1.p7.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p7.1.m1.1b"><apply id="S4.SS1.p7.1.m1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p7.1.m1.1.2"><times id="S4.SS1.p7.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p7.1.m1.1.2.1"></times><apply id="S4.SS1.p7.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p7.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p7.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p7.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p7.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p7.1.m1.1.2.2.2">𝑓</ci><apply id="S4.SS1.p7.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p7.1.m1.1.2.2.3"><plus id="S4.SS1.p7.1.m1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p7.1.m1.1.2.2.3.1"></plus><ci id="S4.SS1.p7.1.m1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p7.1.m1.1.2.2.3.2">𝑛</ci><cn id="S4.SS1.p7.1.m1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p7.1.m1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.SS1.p7.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p7.1.m1.1.1">italic-ϕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p7.1.m1.1c">f_{n+1}(\phi)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p7.1.m1.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_n + 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ϕ )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p7.7.6" style="font-size:90%;">, give the step of induction for finding all </span><math alttext="f_{j}(\phi)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p7.2.m2.1"><semantics id="S4.SS1.p7.2.m2.1a"><mrow id="S4.SS1.p7.2.m2.1.2" xref="S4.SS1.p7.2.m2.1.2.cmml"><msub id="S4.SS1.p7.2.m2.1.2.2" xref="S4.SS1.p7.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p7.2.m2.1.2.2.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p7.2.m2.1.2.2.2.cmml">f</mi><mi id="S4.SS1.p7.2.m2.1.2.2.3" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p7.2.m2.1.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.SS1.p7.2.m2.1.2.1" xref="S4.SS1.p7.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p7.2.m2.1.2.3.2" xref="S4.SS1.p7.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p7.2.m2.1.2.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.SS1.p7.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p7.2.m2.1.1" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p7.2.m2.1.1.cmml">ϕ</mi><mo id="S4.SS1.p7.2.m2.1.2.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.SS1.p7.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p7.2.m2.1b"><apply id="S4.SS1.p7.2.m2.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p7.2.m2.1.2"><times id="S4.SS1.p7.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p7.2.m2.1.2.1"></times><apply id="S4.SS1.p7.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p7.2.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p7.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p7.2.m2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p7.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p7.2.m2.1.2.2.2">𝑓</ci><ci id="S4.SS1.p7.2.m2.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p7.2.m2.1.2.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S4.SS1.p7.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p7.2.m2.1.1">italic-ϕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p7.2.m2.1c">f_{j}(\phi)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p7.2.m2.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ϕ )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p7.7.7" style="font-size:90%;"> from Im</span><math alttext="(\psi)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p7.3.m3.1"><semantics id="S4.SS1.p7.3.m3.1a"><mrow id="S4.SS1.p7.3.m3.1.2.2"><mo id="S4.SS1.p7.3.m3.1.2.2.1" maxsize="90%" minsize="90%">(</mo><mi id="S4.SS1.p7.3.m3.1.1" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p7.3.m3.1.1.cmml">ψ</mi><mo id="S4.SS1.p7.3.m3.1.2.2.2" maxsize="90%" minsize="90%">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p7.3.m3.1b"><ci id="S4.SS1.p7.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p7.3.m3.1.1">𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p7.3.m3.1c">(\psi)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p7.3.m3.1d">( italic_ψ )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p7.7.8" style="font-size:90%;"> on </span><math alttext="L^{+}_{x_{1},\theta}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p7.4.m4.2"><semantics id="S4.SS1.p7.4.m4.2a"><msubsup id="S4.SS1.p7.4.m4.2.3" xref="S4.SS1.p7.4.m4.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p7.4.m4.2.3.2.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p7.4.m4.2.3.2.2.cmml">L</mi><mrow id="S4.SS1.p7.4.m4.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p7.4.m4.2.2.2.3.cmml"><msub id="S4.SS1.p7.4.m4.2.2.2.2.1" xref="S4.SS1.p7.4.m4.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p7.4.m4.2.2.2.2.1.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p7.4.m4.2.2.2.2.1.2.cmml">x</mi><mn id="S4.SS1.p7.4.m4.2.2.2.2.1.3" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p7.4.m4.2.2.2.2.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.SS1.p7.4.m4.2.2.2.2.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p7.4.m4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.SS1.p7.4.m4.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p7.4.m4.1.1.1.1.cmml">θ</mi></mrow><mo id="S4.SS1.p7.4.m4.2.3.2.3" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p7.4.m4.2.3.2.3.cmml">+</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p7.4.m4.2b"><apply id="S4.SS1.p7.4.m4.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p7.4.m4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p7.4.m4.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p7.4.m4.2.3">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p7.4.m4.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p7.4.m4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p7.4.m4.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p7.4.m4.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p7.4.m4.2.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p7.4.m4.2.3.2.2">𝐿</ci><plus id="S4.SS1.p7.4.m4.2.3.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p7.4.m4.2.3.2.3"></plus></apply><list id="S4.SS1.p7.4.m4.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p7.4.m4.2.2.2.2"><apply id="S4.SS1.p7.4.m4.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p7.4.m4.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p7.4.m4.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p7.4.m4.2.2.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p7.4.m4.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p7.4.m4.2.2.2.2.1.2">𝑥</ci><cn id="S4.SS1.p7.4.m4.2.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p7.4.m4.2.2.2.2.1.3">1</cn></apply><ci id="S4.SS1.p7.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p7.4.m4.1.1.1.1">𝜃</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p7.4.m4.2c">L^{+}_{x_{1},\theta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p7.4.m4.2d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_θ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p7.7.9" style="font-size:90%;">. The determination of </span><math alttext="f_{j}(\phi+\pi)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p7.5.m5.1"><semantics id="S4.SS1.p7.5.m5.1a"><mrow id="S4.SS1.p7.5.m5.1.1" xref="S4.SS1.p7.5.m5.1.1.cmml"><msub id="S4.SS1.p7.5.m5.1.1.3" xref="S4.SS1.p7.5.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p7.5.m5.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p7.5.m5.1.1.3.2.cmml">f</mi><mi id="S4.SS1.p7.5.m5.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p7.5.m5.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.SS1.p7.5.m5.1.1.2" xref="S4.SS1.p7.5.m5.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p7.5.m5.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p7.5.m5.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p7.5.m5.1.1.1.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.SS1.p7.5.m5.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS1.p7.5.m5.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p7.5.m5.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p7.5.m5.1.1.1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p7.5.m5.1.1.1.1.1.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S4.SS1.p7.5.m5.1.1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p7.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S4.SS1.p7.5.m5.1.1.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p7.5.m5.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S4.SS1.p7.5.m5.1.1.1.1.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.SS1.p7.5.m5.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p7.5.m5.1b"><apply id="S4.SS1.p7.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p7.5.m5.1.1"><times id="S4.SS1.p7.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p7.5.m5.1.1.2"></times><apply id="S4.SS1.p7.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p7.5.m5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p7.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p7.5.m5.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p7.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p7.5.m5.1.1.3.2">𝑓</ci><ci id="S4.SS1.p7.5.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p7.5.m5.1.1.3.3">𝑗</ci></apply><apply id="S4.SS1.p7.5.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p7.5.m5.1.1.1.1"><plus id="S4.SS1.p7.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p7.5.m5.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S4.SS1.p7.5.m5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p7.5.m5.1.1.1.1.1.2">italic-ϕ</ci><ci id="S4.SS1.p7.5.m5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p7.5.m5.1.1.1.1.1.3">𝜋</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p7.5.m5.1c">f_{j}(\phi+\pi)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p7.5.m5.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ϕ + italic_π )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p7.7.10" style="font-size:90%;"> from Im</span><math alttext="(\psi)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p7.6.m6.1"><semantics id="S4.SS1.p7.6.m6.1a"><mrow id="S4.SS1.p7.6.m6.1.2.2"><mo id="S4.SS1.p7.6.m6.1.2.2.1" maxsize="90%" minsize="90%">(</mo><mi id="S4.SS1.p7.6.m6.1.1" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p7.6.m6.1.1.cmml">ψ</mi><mo id="S4.SS1.p7.6.m6.1.2.2.2" maxsize="90%" minsize="90%">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p7.6.m6.1b"><ci id="S4.SS1.p7.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p7.6.m6.1.1">𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p7.6.m6.1c">(\psi)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p7.6.m6.1d">( italic_ψ )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p7.7.11" style="font-size:90%;"> on </span><math alttext="L^{-}_{x_{2},\theta}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p7.7.m7.2"><semantics id="S4.SS1.p7.7.m7.2a"><msubsup id="S4.SS1.p7.7.m7.2.3" xref="S4.SS1.p7.7.m7.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p7.7.m7.2.3.2.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p7.7.m7.2.3.2.2.cmml">L</mi><mrow id="S4.SS1.p7.7.m7.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p7.7.m7.2.2.2.3.cmml"><msub id="S4.SS1.p7.7.m7.2.2.2.2.1" xref="S4.SS1.p7.7.m7.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p7.7.m7.2.2.2.2.1.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p7.7.m7.2.2.2.2.1.2.cmml">x</mi><mn id="S4.SS1.p7.7.m7.2.2.2.2.1.3" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p7.7.m7.2.2.2.2.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.SS1.p7.7.m7.2.2.2.2.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p7.7.m7.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.SS1.p7.7.m7.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p7.7.m7.1.1.1.1.cmml">θ</mi></mrow><mo id="S4.SS1.p7.7.m7.2.3.2.3" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p7.7.m7.2.3.2.3.cmml">−</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p7.7.m7.2b"><apply id="S4.SS1.p7.7.m7.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p7.7.m7.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p7.7.m7.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p7.7.m7.2.3">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p7.7.m7.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p7.7.m7.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p7.7.m7.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p7.7.m7.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p7.7.m7.2.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p7.7.m7.2.3.2.2">𝐿</ci><minus id="S4.SS1.p7.7.m7.2.3.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p7.7.m7.2.3.2.3"></minus></apply><list id="S4.SS1.p7.7.m7.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p7.7.m7.2.2.2.2"><apply id="S4.SS1.p7.7.m7.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p7.7.m7.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p7.7.m7.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p7.7.m7.2.2.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p7.7.m7.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p7.7.m7.2.2.2.2.1.2">𝑥</ci><cn id="S4.SS1.p7.7.m7.2.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p7.7.m7.2.2.2.2.1.3">2</cn></apply><ci id="S4.SS1.p7.7.m7.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p7.7.m7.1.1.1.1">𝜃</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p7.7.m7.2c">L^{-}_{x_{2},\theta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p7.7.m7.2d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_θ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p7.7.12" style="font-size:90%;"> is completely similar.</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p8"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p8.1"><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p8.1.1" style="font-size:90%;">This completes the proof of Theorem 1 for the case </span><math alttext="L^{+}_{x_{1},\theta}\cup L^{-}_{x_{2},\theta}\subseteq L_{0,\theta}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p8.1.m1.6"><semantics id="S4.SS1.p8.1.m1.6a"><mrow id="S4.SS1.p8.1.m1.6.7" xref="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.cmml"><mrow id="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.2" xref="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.2.cmml"><msubsup id="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.2.2" xref="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.2.2.2.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.2.2.2.2.cmml">L</mi><mrow id="S4.SS1.p8.1.m1.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p8.1.m1.2.2.2.3.cmml"><msub id="S4.SS1.p8.1.m1.2.2.2.2.1" xref="S4.SS1.p8.1.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p8.1.m1.2.2.2.2.1.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p8.1.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">x</mi><mn id="S4.SS1.p8.1.m1.2.2.2.2.1.3" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p8.1.m1.2.2.2.2.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.SS1.p8.1.m1.2.2.2.2.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p8.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.SS1.p8.1.m1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p8.1.m1.1.1.1.1.cmml">θ</mi></mrow><mo id="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.2.2.2.3" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.2.2.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.2.1" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.2.1.cmml">∪</mo><msubsup id="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.2.3" xref="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.2.3.2.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.2.3.2.2.cmml">L</mi><mrow id="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.2.2" xref="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.2.3.cmml"><msub id="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.2.2.1" xref="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.2.2.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.2.2.1.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.2.2.1.2.cmml">x</mi><mn id="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.2.2.1.3" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.2.2.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.2.2.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.SS1.p8.1.m1.3.3.1.1" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p8.1.m1.3.3.1.1.cmml">θ</mi></mrow><mo id="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.2.3.2.3" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.2.3.2.3.cmml">−</mo></msubsup></mrow><mo id="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.1" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.1.cmml">⊆</mo><msub id="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.3" xref="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.3.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.3.2.cmml">L</mi><mrow id="S4.SS1.p8.1.m1.6.6.2.4" xref="S4.SS1.p8.1.m1.6.6.2.3.cmml"><mn id="S4.SS1.p8.1.m1.5.5.1.1" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p8.1.m1.5.5.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.SS1.p8.1.m1.6.6.2.4.1" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p8.1.m1.6.6.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.SS1.p8.1.m1.6.6.2.2" mathsize="90%" xref="S4.SS1.p8.1.m1.6.6.2.2.cmml">θ</mi></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p8.1.m1.6b"><apply id="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.cmml" xref="S4.SS1.p8.1.m1.6.7"><subset id="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.1.cmml" xref="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.1"></subset><apply id="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.2.cmml" xref="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.2"><union id="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.2.1"></union><apply id="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.2.2.2.2">𝐿</ci><plus id="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.2.2.2.3"></plus></apply><list id="S4.SS1.p8.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p8.1.m1.2.2.2.2"><apply id="S4.SS1.p8.1.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p8.1.m1.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p8.1.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p8.1.m1.2.2.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p8.1.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p8.1.m1.2.2.2.2.1.2">𝑥</ci><cn id="S4.SS1.p8.1.m1.2.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p8.1.m1.2.2.2.2.1.3">1</cn></apply><ci id="S4.SS1.p8.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p8.1.m1.1.1.1.1">𝜃</ci></list></apply><apply id="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.2.3">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.2.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.2.3.2.2">𝐿</ci><minus id="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.2.3.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.2.3.2.3"></minus></apply><list id="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.2.2"><apply id="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.2.2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.2.2.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.2.2.1.2">𝑥</ci><cn id="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.2.2.1.3">2</cn></apply><ci id="S4.SS1.p8.1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p8.1.m1.3.3.1.1">𝜃</ci></list></apply></apply><apply id="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.3.cmml" xref="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p8.1.m1.6.7.3.2">𝐿</ci><list id="S4.SS1.p8.1.m1.6.6.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p8.1.m1.6.6.2.4"><cn id="S4.SS1.p8.1.m1.5.5.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p8.1.m1.5.5.1.1">0</cn><ci id="S4.SS1.p8.1.m1.6.6.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p8.1.m1.6.6.2.2">𝜃</ci></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p8.1.m1.6c">L^{+}_{x_{1},\theta}\cup L^{-}_{x_{2},\theta}\subseteq L_{0,\theta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p8.1.m1.6d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_θ end_POSTSUBSCRIPT ∪ italic_L start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_θ end_POSTSUBSCRIPT ⊆ italic_L start_POSTSUBSCRIPT 0 , italic_θ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S4.SS1.p8.1.2" style="font-size:90%;">.</span></p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S4.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection" style="font-size:90%;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">4.2 </span>General Case</h3> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p1.9"><span class="ltx_text" id="S4.SS2.p1.9.1" style="font-size:90%;">In fact, in a similar way with </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S4.SS2.p1.9.2.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib21" title="">21</a><span class="ltx_text" id="S4.SS2.p1.9.3.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S4.SS2.p1.9.4" style="font-size:90%;">, </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S4.SS2.p1.9.5.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib25" title="">25</a><span class="ltx_text" id="S4.SS2.p1.9.6.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S4.SS2.p1.9.7" style="font-size:90%;">, and </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S4.SS2.p1.9.8.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib16" title="">16</a><span class="ltx_text" id="S4.SS2.p1.9.9.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S4.SS2.p1.9.10" style="font-size:90%;">, the general case reduces to the case of Subsection 4.1 by the change of variables</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S4.EGx4"> <tbody id="S4.E28"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle x^{\prime}=x-q" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E28.m1.1"><semantics id="S4.E28.m1.1a"><mrow id="S4.E28.m1.1.1" xref="S4.E28.m1.1.1.cmml"><msup id="S4.E28.m1.1.1.2" xref="S4.E28.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E28.m1.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="S4.E28.m1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S4.E28.m1.1.1.2.3" mathsize="90%" xref="S4.E28.m1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.E28.m1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S4.E28.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E28.m1.1.1.3" xref="S4.E28.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E28.m1.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S4.E28.m1.1.1.3.2.cmml">x</mi><mo id="S4.E28.m1.1.1.3.1" mathsize="90%" xref="S4.E28.m1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mi id="S4.E28.m1.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="S4.E28.m1.1.1.3.3.cmml">q</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E28.m1.1b"><apply id="S4.E28.m1.1.1.cmml" xref="S4.E28.m1.1.1"><eq id="S4.E28.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.E28.m1.1.1.1"></eq><apply id="S4.E28.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.E28.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E28.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E28.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E28.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E28.m1.1.1.2.2">𝑥</ci><ci id="S4.E28.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E28.m1.1.1.2.3">′</ci></apply><apply id="S4.E28.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.E28.m1.1.1.3"><minus id="S4.E28.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E28.m1.1.1.3.1"></minus><ci id="S4.E28.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E28.m1.1.1.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.E28.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E28.m1.1.1.3.3">𝑞</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E28.m1.1c">\displaystyle x^{\prime}=x-q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E28.m1.1d">italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT = italic_x - italic_q</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(28)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex7"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mbox{\rm for some fixed }\ \ q\in\mathbb{R}^{2}\ \ \mbox{\rm such% that}\ \ L^{+}\subseteq L^{+}_{q,\theta},\ \ L^{-}\subseteq L^{-}_{q,\theta}." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex7.m1.5"><semantics id="S4.Ex7.m1.5a"><mrow id="S4.Ex7.m1.5.5.1"><mrow id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.2" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mtext id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.2.2a.cmml">for some fixed </mtext><mo id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.2.1" lspace="0.900em" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.2.3" mathsize="90%" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml">q</mi></mrow><mo id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml">∈</mo><mrow id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.4.cmml"><msup id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.4.2" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.4.2.2" mathsize="90%" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.4.2.2.cmml">ℝ</mi><mn id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.4.2.3" mathsize="90%" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.4.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.4.1" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mtext id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.4.3" mathsize="90%" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.4.3a.cmml">such that</mtext><mo id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.4.1a" lspace="0.900em" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.4.4" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.4.4.cmml"><mi id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.4.4.2" mathsize="90%" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.4.4.2.cmml">L</mi><mo id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.4.4.3" mathsize="90%" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.4.4.3.cmml">+</mo></msup></mrow><mo id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.5" mathsize="90%" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.5.cmml">⊆</mo><msubsup id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.6" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.6.2.2" mathsize="90%" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.6.2.2.cmml">L</mi><mrow id="S4.Ex7.m1.2.2.2.4" xref="S4.Ex7.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.cmml">q</mi><mo id="S4.Ex7.m1.2.2.2.4.1" mathsize="90%" xref="S4.Ex7.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex7.m1.2.2.2.2" mathsize="90%" xref="S4.Ex7.m1.2.2.2.2.cmml">θ</mi></mrow><mo id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.6.2.3" mathsize="90%" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.6.2.3.cmml">+</mo></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.2.3" mathsize="90%" rspace="1.067em" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.2.2" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.2.2.cmml"><msup id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.2.2.2.2" mathsize="90%" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml">L</mi><mo id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.2.2.2.3" mathsize="90%" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.cmml">−</mo></msup><mo id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.2.2.1" mathsize="90%" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.2.2.1.cmml">⊆</mo><msubsup id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.2" mathsize="90%" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.2.cmml">L</mi><mrow id="S4.Ex7.m1.4.4.2.4" xref="S4.Ex7.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex7.m1.3.3.1.1" mathsize="90%" xref="S4.Ex7.m1.3.3.1.1.cmml">q</mi><mo id="S4.Ex7.m1.4.4.2.4.1" mathsize="90%" xref="S4.Ex7.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex7.m1.4.4.2.2" mathsize="90%" xref="S4.Ex7.m1.4.4.2.2.cmml">θ</mi></mrow><mo id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.3" mathsize="90%" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.3.cmml">−</mo></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex7.m1.5.5.1.2" lspace="0em" mathsize="90%">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex7.m1.5b"><apply id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.3a.cmml" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1"><and id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1a.cmml" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1"></and><apply id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1b.cmml" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1"><in id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.3"></in><apply id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.2.2a.cmml" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.2.2"><mtext id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml" mathsize="90%" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.2.2">for some fixed </mtext></ci><ci id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.2.3">𝑞</ci></apply><apply id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.4"><times id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.4.1"></times><apply id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.4.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.4.2.2">ℝ</ci><cn id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.4.2.3">2</cn></apply><ci id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.4.3a.cmml" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.4.3"><mtext id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.4.3.cmml" mathsize="90%" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.4.3">such that</mtext></ci><apply id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.4.4.cmml" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.4.4.1.cmml" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.4.4">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.4.4.2.cmml" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.4.4.2">𝐿</ci><plus id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.4.4.3.cmml" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.4.4.3"></plus></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1c.cmml" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1"><subset id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.5"></subset><share href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.4.cmml" id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1d.cmml" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1"></share><apply id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.6.cmml" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.6">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.6.2.1.cmml" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.6">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.6.2.2.cmml" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.6.2.2">𝐿</ci><plus id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.6.2.3.cmml" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.6.2.3"></plus></apply><list id="S4.Ex7.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex7.m1.2.2.2.4"><ci id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1">𝑞</ci><ci id="S4.Ex7.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex7.m1.2.2.2.2">𝜃</ci></list></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.2.2"><subset id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.2.2.1"></subset><apply id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.2.2.2.2">𝐿</ci><minus id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.2.2.2.3"></minus></apply><apply id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.2">𝐿</ci><minus id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.3"></minus></apply><list id="S4.Ex7.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex7.m1.4.4.2.4"><ci id="S4.Ex7.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex7.m1.3.3.1.1">𝑞</ci><ci id="S4.Ex7.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex7.m1.4.4.2.2">𝜃</ci></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex7.m1.5c">\displaystyle\mbox{\rm for some fixed }\ \ q\in\mathbb{R}^{2}\ \ \mbox{\rm such% that}\ \ L^{+}\subseteq L^{+}_{q,\theta},\ \ L^{-}\subseteq L^{-}_{q,\theta}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex7.m1.5d">for some fixed italic_q ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT such that italic_L start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT ⊆ italic_L start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_q , italic_θ end_POSTSUBSCRIPT , italic_L start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT ⊆ italic_L start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_q , italic_θ end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p1.2"><span class="ltx_text" id="S4.SS2.p1.2.1" style="font-size:90%;">In the new variables </span><math alttext="x^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.SS2.p1.1.m1.1a"><msup id="S4.SS2.p1.1.m1.1.1" xref="S4.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.1.m1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S4.SS2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S4.SS2.p1.1.m1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S4.SS2.p1.1.m1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.1.m1.1b"><apply id="S4.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.1.m1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S4.SS2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.1.m1.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.1.m1.1c">x^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.1.m1.1d">italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S4.SS2.p1.2.2" style="font-size:90%;">, where </span><math alttext="x^{\prime}\in{\cal U^{\prime}}={\cal U}-q" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.SS2.p1.2.m2.1a"><mrow id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml"><msup id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.2.3" mathsize="90%" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.3" mathsize="90%" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.3.cmml">∈</mo><msup id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.4" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.4.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.4.2" mathsize="90%" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.4.2.cmml">𝒰</mi><mo id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.4.3" mathsize="90%" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.4.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.5" mathsize="90%" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.6" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.6.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.6.2" mathsize="90%" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.6.2.cmml">𝒰</mi><mo id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.6.1" mathsize="90%" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.6.1.cmml">−</mo><mi id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.6.3" mathsize="90%" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.6.3.cmml">q</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.2.m2.1b"><apply id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1"><and id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1a.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1"></and><apply id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1b.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1"><in id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.3"></in><apply id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.2.2">𝑥</ci><ci id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.2.3">′</ci></apply><apply id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.4.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.4.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.4.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.4.2">𝒰</ci><ci id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.4.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.4.3">′</ci></apply></apply><apply id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1c.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1"><eq id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.5.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S4.SS2.p1.2.m2.1.1.4.cmml" id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1d.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1"></share><apply id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.6.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.6"><minus id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.6.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.6.1"></minus><ci id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.6.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.6.2">𝒰</ci><ci id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.6.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.6.3">𝑞</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.2.m2.1c">x^{\prime}\in{\cal U^{\prime}}={\cal U}-q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.2.m2.1d">italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ caligraphic_U start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT = caligraphic_U - italic_q</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S4.SS2.p1.2.3" style="font-size:90%;"> we have that:</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E29"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="L^{+}\subseteq L^{+}_{q,\theta}=L^{+}_{0,\theta}\;\;\;\;\;\;\;L^{-}\subseteq L% ^{-}_{q,\theta}=L^{-}_{0,\theta}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.E29.m1.9"><semantics id="S4.E29.m1.9a"><mrow id="S4.E29.m1.9.9.1"><mrow id="S4.E29.m1.9.9.1.1.2" xref="S4.E29.m1.9.9.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.E29.m1.9.9.1.1.1.1" xref="S4.E29.m1.9.9.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.E29.m1.9.9.1.1.1.1.2" xref="S4.E29.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E29.m1.9.9.1.1.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="S4.E29.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.cmml">L</mi><mo id="S4.E29.m1.9.9.1.1.1.1.2.3" mathsize="90%" xref="S4.E29.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.cmml">+</mo></msup><mo id="S4.E29.m1.9.9.1.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S4.E29.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml">⊆</mo><msubsup id="S4.E29.m1.9.9.1.1.1.1.4" xref="S4.E29.m1.9.9.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.E29.m1.9.9.1.1.1.1.4.2.2" mathsize="90%" xref="S4.E29.m1.9.9.1.1.1.1.4.2.2.cmml">L</mi><mrow id="S4.E29.m1.2.2.2.4" xref="S4.E29.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E29.m1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.cmml">q</mi><mo id="S4.E29.m1.2.2.2.4.1" mathsize="90%" xref="S4.E29.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E29.m1.2.2.2.2" mathsize="90%" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.cmml">θ</mi></mrow><mo id="S4.E29.m1.9.9.1.1.1.1.4.2.3" mathsize="90%" xref="S4.E29.m1.9.9.1.1.1.1.4.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S4.E29.m1.9.9.1.1.1.1.5" mathsize="90%" xref="S4.E29.m1.9.9.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><msubsup id="S4.E29.m1.9.9.1.1.1.1.6" xref="S4.E29.m1.9.9.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="S4.E29.m1.9.9.1.1.1.1.6.2.2" mathsize="90%" xref="S4.E29.m1.9.9.1.1.1.1.6.2.2.cmml">L</mi><mrow id="S4.E29.m1.4.4.2.4" xref="S4.E29.m1.4.4.2.3.cmml"><mn id="S4.E29.m1.3.3.1.1" mathsize="90%" xref="S4.E29.m1.3.3.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.E29.m1.4.4.2.4.1" mathsize="90%" xref="S4.E29.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E29.m1.4.4.2.2" mathsize="90%" xref="S4.E29.m1.4.4.2.2.cmml">θ</mi></mrow><mo id="S4.E29.m1.9.9.1.1.1.1.6.2.3" mathsize="90%" xref="S4.E29.m1.9.9.1.1.1.1.6.2.3.cmml">+</mo></msubsup></mrow><mspace id="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.3" width="1.94444444444445em" xref="S4.E29.m1.9.9.1.1.3a.cmml"></mspace><mrow id="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2" xref="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2.cmml"><msup id="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2.2" xref="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2.2.2" mathsize="90%" xref="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.cmml">L</mi><mo id="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2.2.3" mathsize="90%" xref="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2.2.3.cmml">−</mo></msup><mo id="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2.3" mathsize="90%" xref="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2.3.cmml">⊆</mo><msubsup id="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2.4" xref="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2.4.cmml"><mi id="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2.4.2.2" 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id="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2"><and id="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2a.cmml" xref="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2"></and><apply id="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2b.cmml" xref="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2"><subset id="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2.3"></subset><apply id="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2.2.2">𝐿</ci><minus id="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2.2.3"></minus></apply><apply id="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2.4.cmml" xref="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2.4">subscript</csymbol><apply id="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2.4.2.cmml" xref="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2.4.2.1.cmml" xref="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2.4.2.2.cmml" xref="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2.4.2.2">𝐿</ci><minus id="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2.4.2.3.cmml" xref="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2.4.2.3"></minus></apply><list id="S4.E29.m1.6.6.2.3.cmml" xref="S4.E29.m1.6.6.2.4"><ci id="S4.E29.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S4.E29.m1.5.5.1.1">𝑞</ci><ci id="S4.E29.m1.6.6.2.2.cmml" xref="S4.E29.m1.6.6.2.2">𝜃</ci></list></apply></apply><apply id="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2c.cmml" xref="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2"><eq id="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2.5.cmml" xref="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2.4.cmml" id="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2d.cmml" xref="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2"></share><apply id="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2.6.cmml" xref="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2.6.1.cmml" xref="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2.6">subscript</csymbol><apply id="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2.6.2.cmml" xref="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2.6.2.1.cmml" xref="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2.6">superscript</csymbol><ci id="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2.6.2.2.cmml" xref="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2.6.2.2">𝐿</ci><minus id="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2.6.2.3.cmml" xref="S4.E29.m1.9.9.1.1.2.2.6.2.3"></minus></apply><list id="S4.E29.m1.8.8.2.3.cmml" xref="S4.E29.m1.8.8.2.4"><cn id="S4.E29.m1.7.7.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.E29.m1.7.7.1.1">0</cn><ci id="S4.E29.m1.8.8.2.2.cmml" xref="S4.E29.m1.8.8.2.2">𝜃</ci></list></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E29.m1.9c">L^{+}\subseteq L^{+}_{q,\theta}=L^{+}_{0,\theta}\;\;\;\;\;\;\;L^{-}\subseteq L% ^{-}_{q,\theta}=L^{-}_{0,\theta}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E29.m1.9d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT ⊆ italic_L start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_q , italic_θ end_POSTSUBSCRIPT = italic_L start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 0 , italic_θ end_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT ⊆ italic_L start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_q , italic_θ end_POSTSUBSCRIPT = italic_L start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 0 , italic_θ end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(29)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p1.10"><span class="ltx_text" id="S4.SS2.p1.10.1" style="font-size:90%;">In addition,</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E30"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\psi(x^{\prime})=\sqrt{\frac{2}{\pi\kappa|x^{\prime}|}}e^{i(\kappa|x^{\prime}|% -\frac{\pi}{4})}\sum\limits_{j=0}^{\infty}\frac{f_{j}^{\prime}(\phi)}{|x^{% \prime}|^{j}}\ \ \mbox{\rm for}\ \ x^{\prime}\in\mathbb{R}^{2}\setminus B_{r^{% \prime}},\ \ " class="ltx_Math" display="block" id="S4.E30.m1.5"><semantics id="S4.E30.m1.5a"><mrow id="S4.E30.m1.5.5.1" xref="S4.E30.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S4.E30.m1.5.5.1.1" xref="S4.E30.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S4.E30.m1.5.5.1.1.1" xref="S4.E30.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E30.m1.5.5.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S4.E30.m1.5.5.1.1.1.3.cmml">ψ</mi><mo id="S4.E30.m1.5.5.1.1.1.2" xref="S4.E30.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E30.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S4.E30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E30.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S4.E30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S4.E30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S4.E30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S4.E30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.E30.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E30.m1.5.5.1.1.3" mathsize="90%" xref="S4.E30.m1.5.5.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.E30.m1.5.5.1.1.4" xref="S4.E30.m1.5.5.1.1.4.cmml"><msqrt id="S4.E30.m1.1.1" xref="S4.E30.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S4.E30.m1.1.1.1" xref="S4.E30.m1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.E30.m1.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S4.E30.m1.1.1.1.3.cmml">2</mn><mrow id="S4.E30.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E30.m1.1.1.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi><mo id="S4.E30.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E30.m1.1.1.1.1.1.4" mathsize="90%" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.1.4.cmml">κ</mi><mo id="S4.E30.m1.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msup id="S4.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S4.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mfrac></msqrt><mo id="S4.E30.m1.5.5.1.1.4.1" xref="S4.E30.m1.5.5.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E30.m1.5.5.1.1.4.2" xref="S4.E30.m1.5.5.1.1.4.2.cmml"><mi id="S4.E30.m1.5.5.1.1.4.2.2" mathsize="90%" xref="S4.E30.m1.5.5.1.1.4.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.E30.m1.2.2.1" xref="S4.E30.m1.2.2.1.cmml"><mi id="S4.E30.m1.2.2.1.3" mathsize="90%" xref="S4.E30.m1.2.2.1.3.cmml">i</mi><mo id="S4.E30.m1.2.2.1.2" xref="S4.E30.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E30.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.E30.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E30.m1.2.2.1.1.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E30.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E30.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.E30.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E30.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.E30.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E30.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S4.E30.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">κ</mi><mo id="S4.E30.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E30.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E30.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E30.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E30.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E30.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msup id="S4.E30.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E30.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E30.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S4.E30.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S4.E30.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S4.E30.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.E30.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E30.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E30.m1.2.2.1.1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S4.E30.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mfrac id="S4.E30.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.E30.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E30.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S4.E30.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">π</mi><mn id="S4.E30.m1.2.2.1.1.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="S4.E30.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">4</mn></mfrac></mrow><mo id="S4.E30.m1.2.2.1.1.1.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E30.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup><mo id="S4.E30.m1.5.5.1.1.4.1a" xref="S4.E30.m1.5.5.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E30.m1.5.5.1.1.4.3" xref="S4.E30.m1.5.5.1.1.4.3.cmml"><munderover id="S4.E30.m1.5.5.1.1.4.3.1" xref="S4.E30.m1.5.5.1.1.4.3.1.cmml"><mo id="S4.E30.m1.5.5.1.1.4.3.1.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" movablelimits="false" stretchy="true" xref="S4.E30.m1.5.5.1.1.4.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E30.m1.5.5.1.1.4.3.1.2.3" xref="S4.E30.m1.5.5.1.1.4.3.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E30.m1.5.5.1.1.4.3.1.2.3.2" mathsize="90%" xref="S4.E30.m1.5.5.1.1.4.3.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S4.E30.m1.5.5.1.1.4.3.1.2.3.1" mathsize="90%" xref="S4.E30.m1.5.5.1.1.4.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.E30.m1.5.5.1.1.4.3.1.2.3.3" mathsize="90%" xref="S4.E30.m1.5.5.1.1.4.3.1.2.3.3.cmml">0</mn></mrow><mi id="S4.E30.m1.5.5.1.1.4.3.1.3" mathsize="90%" mathvariant="normal" xref="S4.E30.m1.5.5.1.1.4.3.1.3.cmml">∞</mi></munderover><mrow id="S4.E30.m1.5.5.1.1.4.3.2" xref="S4.E30.m1.5.5.1.1.4.3.2.cmml"><mfrac id="S4.E30.m1.4.4" xref="S4.E30.m1.4.4.cmml"><mrow id="S4.E30.m1.3.3.1" xref="S4.E30.m1.3.3.1.cmml"><msubsup id="S4.E30.m1.3.3.1.3" xref="S4.E30.m1.3.3.1.3.cmml"><mi id="S4.E30.m1.3.3.1.3.2.2" mathsize="90%" xref="S4.E30.m1.3.3.1.3.2.2.cmml">f</mi><mi id="S4.E30.m1.3.3.1.3.2.3" mathsize="90%" xref="S4.E30.m1.3.3.1.3.2.3.cmml">j</mi><mo id="S4.E30.m1.3.3.1.3.3" mathsize="90%" xref="S4.E30.m1.3.3.1.3.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S4.E30.m1.3.3.1.2" xref="S4.E30.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E30.m1.3.3.1.4.2" xref="S4.E30.m1.3.3.1.cmml"><mo id="S4.E30.m1.3.3.1.4.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E30.m1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E30.m1.3.3.1.1" mathsize="90%" xref="S4.E30.m1.3.3.1.1.cmml">ϕ</mi><mo id="S4.E30.m1.3.3.1.4.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E30.m1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><msup id="S4.E30.m1.4.4.2" xref="S4.E30.m1.4.4.2.cmml"><mrow id="S4.E30.m1.4.4.2.1.1" xref="S4.E30.m1.4.4.2.1.2.cmml"><mo id="S4.E30.m1.4.4.2.1.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E30.m1.4.4.2.1.2.1.cmml">|</mo><msup id="S4.E30.m1.4.4.2.1.1.1" xref="S4.E30.m1.4.4.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E30.m1.4.4.2.1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S4.E30.m1.4.4.2.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S4.E30.m1.4.4.2.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S4.E30.m1.4.4.2.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.E30.m1.4.4.2.1.1.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E30.m1.4.4.2.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mi id="S4.E30.m1.4.4.2.3" mathsize="90%" xref="S4.E30.m1.4.4.2.3.cmml">j</mi></msup></mfrac><mo id="S4.E30.m1.5.5.1.1.4.3.2.1" lspace="0.900em" xref="S4.E30.m1.5.5.1.1.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><mtext id="S4.E30.m1.5.5.1.1.4.3.2.2" mathsize="90%" xref="S4.E30.m1.5.5.1.1.4.3.2.2a.cmml">for</mtext><mo id="S4.E30.m1.5.5.1.1.4.3.2.1a" lspace="0.900em" xref="S4.E30.m1.5.5.1.1.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E30.m1.5.5.1.1.4.3.2.3" xref="S4.E30.m1.5.5.1.1.4.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E30.m1.5.5.1.1.4.3.2.3.2" mathsize="90%" xref="S4.E30.m1.5.5.1.1.4.3.2.3.2.cmml">x</mi><mo id="S4.E30.m1.5.5.1.1.4.3.2.3.3" mathsize="90%" xref="S4.E30.m1.5.5.1.1.4.3.2.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E30.m1.5.5.1.1.5" mathsize="90%" xref="S4.E30.m1.5.5.1.1.5.cmml">∈</mo><mrow id="S4.E30.m1.5.5.1.1.6" xref="S4.E30.m1.5.5.1.1.6.cmml"><msup id="S4.E30.m1.5.5.1.1.6.2" xref="S4.E30.m1.5.5.1.1.6.2.cmml"><mi id="S4.E30.m1.5.5.1.1.6.2.2" mathsize="90%" xref="S4.E30.m1.5.5.1.1.6.2.2.cmml">ℝ</mi><mn id="S4.E30.m1.5.5.1.1.6.2.3" mathsize="90%" xref="S4.E30.m1.5.5.1.1.6.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.E30.m1.5.5.1.1.6.1" mathsize="90%" xref="S4.E30.m1.5.5.1.1.6.1.cmml">∖</mo><msub id="S4.E30.m1.5.5.1.1.6.3" xref="S4.E30.m1.5.5.1.1.6.3.cmml"><mi id="S4.E30.m1.5.5.1.1.6.3.2" mathsize="90%" xref="S4.E30.m1.5.5.1.1.6.3.2.cmml">B</mi><msup id="S4.E30.m1.5.5.1.1.6.3.3" xref="S4.E30.m1.5.5.1.1.6.3.3.cmml"><mi id="S4.E30.m1.5.5.1.1.6.3.3.2" mathsize="90%" xref="S4.E30.m1.5.5.1.1.6.3.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.E30.m1.5.5.1.1.6.3.3.3" mathsize="90%" xref="S4.E30.m1.5.5.1.1.6.3.3.3.cmml">′</mo></msup></msub></mrow></mrow><mo id="S4.E30.m1.5.5.1.2" mathsize="90%" xref="S4.E30.m1.5.5.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E30.m1.5b"><apply id="S4.E30.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S4.E30.m1.5.5.1"><and id="S4.E30.m1.5.5.1.1a.cmml" xref="S4.E30.m1.5.5.1"></and><apply 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</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E30.m1.5d">italic_ψ ( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) = square-root start_ARG divide start_ARG 2 end_ARG start_ARG italic_π italic_κ | italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT | end_ARG end_ARG italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_i ( italic_κ | italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT | - divide start_ARG italic_π end_ARG start_ARG 4 end_ARG ) end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_ϕ ) end_ARG start_ARG | italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT | start_POSTSUPERSCRIPT italic_j end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG for italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∖ italic_B start_POSTSUBSCRIPT italic_r start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(30)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p1.5"><span class="ltx_text" id="S4.SS2.p1.5.1" style="font-size:90%;">for some new </span><math alttext="f_{j}^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.3.m1.1"><semantics id="S4.SS2.p1.3.m1.1a"><msubsup id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.2.2.cmml">f</mi><mi id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.2.3" mathsize="90%" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.2.3.cmml">j</mi><mo id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.3.cmml">′</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.3.m1.1b"><apply id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.2.2">𝑓</ci><ci id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.3.m1.1c">f_{j}^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.3.m1.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S4.SS2.p1.5.2" style="font-size:90%;">, where </span><math alttext="r^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.4.m2.1"><semantics id="S4.SS2.p1.4.m2.1a"><msup id="S4.SS2.p1.4.m2.1.1" xref="S4.SS2.p1.4.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.4.m2.1.1.2" mathsize="90%" xref="S4.SS2.p1.4.m2.1.1.2.cmml">r</mi><mo id="S4.SS2.p1.4.m2.1.1.3" mathsize="90%" xref="S4.SS2.p1.4.m2.1.1.3.cmml">′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.4.m2.1b"><apply id="S4.SS2.p1.4.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.4.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.4.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.4.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.4.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.4.m2.1.1.2">𝑟</ci><ci id="S4.SS2.p1.4.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.4.m2.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.4.m2.1c">r^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.4.m2.1d">italic_r start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S4.SS2.p1.5.3" style="font-size:90%;"> is such that </span><math alttext="\mathbb{R}^{2}\setminus B_{r^{\prime}}\subset\cal{U^{\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.5.m3.1"><semantics id="S4.SS2.p1.5.m3.1a"><mrow id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.2.cmml"><msup id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.2.2" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.2.2.2" mathsize="90%" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.2.2.2.cmml">ℝ</mi><mn id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.2.2.3" mathsize="90%" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.2.1" mathsize="90%" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.2.1.cmml">∖</mo><msub id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.2.3" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.2.3.2" mathsize="90%" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.2.3.2.cmml">B</mi><msup id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.2.3.3" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.2.3.3.2" mathsize="90%" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.2.3.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.2.3.3.3" mathsize="90%" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.2.3.3.3.cmml">′</mo></msup></msub></mrow><mo id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1" mathsize="90%" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.cmml">⊂</mo><msup id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.3.2.cmml">𝒰</mi><mo id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.5.m3.1b"><apply id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1"><subset id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1"></subset><apply id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.2"><setdiff id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.2.1"></setdiff><apply id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.2.2.2">ℝ</ci><cn id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.2.3.2">𝐵</ci><apply id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.2.3.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.2.3.3.3">′</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.3.2">𝒰</ci><ci id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.3.3">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.5.m3.1c">\mathbb{R}^{2}\setminus B_{r^{\prime}}\subset\cal{U^{\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.5.m3.1d">blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∖ italic_B start_POSTSUBSCRIPT italic_r start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ⊂ caligraphic_U start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S4.SS2.p1.5.4" style="font-size:90%;">. </span> <br class="ltx_break"/><span class="ltx_text" id="S4.SS2.p1.5.5" style="font-size:90%;">We also have</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E31"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\psi(x^{\prime})=H_{0}(\kappa|x^{\prime}|)\sum\limits_{j=0}^{\infty}\frac{F_{j% }^{\prime}(\phi)}{|x^{\prime}|^{j}}+H_{1}(\kappa|x^{\prime}|)\sum\limits_{j=0}% ^{\infty}\frac{G_{j}^{\prime}(\phi)}{|x^{\prime}|^{j}}," class="ltx_Math" display="block" id="S4.E31.m1.5"><semantics id="S4.E31.m1.5a"><mrow id="S4.E31.m1.5.5.1" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S4.E31.m1.5.5.1.1" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S4.E31.m1.5.5.1.1.1" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E31.m1.5.5.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.1.3.cmml">ψ</mi><mo id="S4.E31.m1.5.5.1.1.1.2" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E31.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E31.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S4.E31.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E31.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S4.E31.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.E31.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E31.m1.5.5.1.1.4" mathsize="90%" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.cmml"><msub id="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.3" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.3.cmml"><mi id="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.3.2" mathsize="90%" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.3.2.cmml">H</mi><mn id="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.3.3" mathsize="90%" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.3.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.2" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.1.1" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml">κ</mi><mo id="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msup id="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.2a" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.4" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.4.cmml"><munderover id="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.4.1" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.4.1.cmml"><mo id="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.4.1.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" movablelimits="false" stretchy="true" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.4.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.4.1.2.3" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.4.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.4.1.2.3.2" mathsize="90%" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.4.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.4.1.2.3.1" mathsize="90%" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.4.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.4.1.2.3.3" mathsize="90%" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.4.1.2.3.3.cmml">0</mn></mrow><mi id="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.4.1.3" mathsize="90%" mathvariant="normal" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.4.1.3.cmml">∞</mi></munderover><mfrac id="S4.E31.m1.2.2" xref="S4.E31.m1.2.2.cmml"><mrow id="S4.E31.m1.1.1.1" xref="S4.E31.m1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.E31.m1.1.1.1.3" xref="S4.E31.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E31.m1.1.1.1.3.2.2" mathsize="90%" xref="S4.E31.m1.1.1.1.3.2.2.cmml">F</mi><mi id="S4.E31.m1.1.1.1.3.2.3" mathsize="90%" xref="S4.E31.m1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi><mo id="S4.E31.m1.1.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="S4.E31.m1.1.1.1.3.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S4.E31.m1.1.1.1.2" xref="S4.E31.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E31.m1.1.1.1.4.2" xref="S4.E31.m1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E31.m1.1.1.1.4.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E31.m1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E31.m1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.cmml">ϕ</mi><mo id="S4.E31.m1.1.1.1.4.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E31.m1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><msup id="S4.E31.m1.2.2.2" xref="S4.E31.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.E31.m1.2.2.2.1.1" xref="S4.E31.m1.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.E31.m1.2.2.2.1.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E31.m1.2.2.2.1.2.1.cmml">|</mo><msup id="S4.E31.m1.2.2.2.1.1.1" xref="S4.E31.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E31.m1.2.2.2.1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S4.E31.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S4.E31.m1.2.2.2.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S4.E31.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.E31.m1.2.2.2.1.1.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E31.m1.2.2.2.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mi id="S4.E31.m1.2.2.2.3" mathsize="90%" xref="S4.E31.m1.2.2.2.3.cmml">j</mi></msup></mfrac></mrow></mrow><mo id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.3.cmml">+</mo><mrow id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.cmml"><msub id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.3" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.3.2" mathsize="90%" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.3.2.cmml">H</mi><mn id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.3.3" mathsize="90%" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.2" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.1.1" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.3.cmml">κ</mi><mo id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.1.1" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msup id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.1.1.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.2a" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.4" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.4.cmml"><munderover id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.4.1" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.4.1.cmml"><mo id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.4.1.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" movablelimits="false" stretchy="true" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.4.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.4.1.2.3" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.4.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.4.1.2.3.2" mathsize="90%" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.4.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.4.1.2.3.1" mathsize="90%" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.4.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.4.1.2.3.3" mathsize="90%" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.4.1.2.3.3.cmml">0</mn></mrow><mi id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.4.1.3" mathsize="90%" mathvariant="normal" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.4.1.3.cmml">∞</mi></munderover><mfrac id="S4.E31.m1.4.4" xref="S4.E31.m1.4.4.cmml"><mrow id="S4.E31.m1.3.3.1" xref="S4.E31.m1.3.3.1.cmml"><msubsup id="S4.E31.m1.3.3.1.3" xref="S4.E31.m1.3.3.1.3.cmml"><mi id="S4.E31.m1.3.3.1.3.2.2" mathsize="90%" xref="S4.E31.m1.3.3.1.3.2.2.cmml">G</mi><mi id="S4.E31.m1.3.3.1.3.2.3" mathsize="90%" xref="S4.E31.m1.3.3.1.3.2.3.cmml">j</mi><mo id="S4.E31.m1.3.3.1.3.3" mathsize="90%" xref="S4.E31.m1.3.3.1.3.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S4.E31.m1.3.3.1.2" xref="S4.E31.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E31.m1.3.3.1.4.2" xref="S4.E31.m1.3.3.1.cmml"><mo id="S4.E31.m1.3.3.1.4.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E31.m1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E31.m1.3.3.1.1" mathsize="90%" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1.cmml">ϕ</mi><mo id="S4.E31.m1.3.3.1.4.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E31.m1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><msup id="S4.E31.m1.4.4.2" xref="S4.E31.m1.4.4.2.cmml"><mrow id="S4.E31.m1.4.4.2.1.1" xref="S4.E31.m1.4.4.2.1.2.cmml"><mo id="S4.E31.m1.4.4.2.1.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E31.m1.4.4.2.1.2.1.cmml">|</mo><msup id="S4.E31.m1.4.4.2.1.1.1" xref="S4.E31.m1.4.4.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E31.m1.4.4.2.1.1.1.2" mathsize="90%" xref="S4.E31.m1.4.4.2.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S4.E31.m1.4.4.2.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S4.E31.m1.4.4.2.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.E31.m1.4.4.2.1.1.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.E31.m1.4.4.2.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mi id="S4.E31.m1.4.4.2.3" mathsize="90%" xref="S4.E31.m1.4.4.2.3.cmml">j</mi></msup></mfrac></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E31.m1.5.5.1.2" mathsize="90%" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E31.m1.5b"><apply id="S4.E31.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S4.E31.m1.5.5.1"><eq id="S4.E31.m1.5.5.1.1.4.cmml" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.4"></eq><apply id="S4.E31.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.1"><times id="S4.E31.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.1.2"></times><ci id="S4.E31.m1.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.1.3">𝜓</ci><apply id="S4.E31.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E31.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.E31.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S4.E31.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply></apply><apply id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3"><plus id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.3"></plus><apply id="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.cmml" 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xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.4.cmml" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.4"><apply id="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.4.1.cmml" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.4.1.1.cmml" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.4.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.4.1.2.cmml" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.4.1.2.1.cmml" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.4.1">subscript</csymbol><sum id="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.4.1.2.2.cmml" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.4.1.2.2"></sum><apply id="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.4.1.2.3.cmml" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.4.1.2.3"><eq id="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.4.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.4.1.2.3.1"></eq><ci id="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.4.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.4.1.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.4.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.4.1.2.3.3">0</cn></apply></apply><infinity id="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.4.1.3.cmml" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.2.1.4.1.3"></infinity></apply><apply id="S4.E31.m1.2.2.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2"><divide id="S4.E31.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2"></divide><apply id="S4.E31.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1"><times id="S4.E31.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E31.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E31.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E31.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E31.m1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E31.m1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.3.2.2">𝐹</ci><ci id="S4.E31.m1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S4.E31.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.3.3">′</ci></apply><ci id="S4.E31.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1">italic-ϕ</ci></apply><apply id="S4.E31.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E31.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E31.m1.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.1.1"><abs id="S4.E31.m1.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.1.1.2"></abs><apply id="S4.E31.m1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E31.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.E31.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S4.E31.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.1.1.1.3">′</ci></apply></apply><ci id="S4.E31.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2"><times id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.2"></times><apply id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.3.2">𝐻</ci><cn id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.3.3">1</cn></apply><apply id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.1.1"><times id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2"></times><ci id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.3">𝜅</ci><apply id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.1.1"><abs id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.4.cmml" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.4"><apply id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.4.1.cmml" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.4.1.1.cmml" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.4.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.4.1.2.cmml" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.4.1.2.1.cmml" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.4.1">subscript</csymbol><sum id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.4.1.2.2.cmml" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.4.1.2.2"></sum><apply id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.4.1.2.3.cmml" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.4.1.2.3"><eq id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.4.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.4.1.2.3.1"></eq><ci id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.4.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.4.1.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.4.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.4.1.2.3.3">0</cn></apply></apply><infinity id="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.4.1.3.cmml" xref="S4.E31.m1.5.5.1.1.3.2.4.1.3"></infinity></apply><apply id="S4.E31.m1.4.4.cmml" xref="S4.E31.m1.4.4"><divide id="S4.E31.m1.4.4.3.cmml" xref="S4.E31.m1.4.4"></divide><apply id="S4.E31.m1.3.3.1.cmml" xref="S4.E31.m1.3.3.1"><times id="S4.E31.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S4.E31.m1.3.3.1.2"></times><apply id="S4.E31.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S4.E31.m1.3.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E31.m1.3.3.1.3.1.cmml" xref="S4.E31.m1.3.3.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E31.m1.3.3.1.3.2.cmml" xref="S4.E31.m1.3.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E31.m1.3.3.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E31.m1.3.3.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E31.m1.3.3.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E31.m1.3.3.1.3.2.2">𝐺</ci><ci id="S4.E31.m1.3.3.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E31.m1.3.3.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S4.E31.m1.3.3.1.3.3.cmml" xref="S4.E31.m1.3.3.1.3.3">′</ci></apply><ci id="S4.E31.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E31.m1.3.3.1.1">italic-ϕ</ci></apply><apply id="S4.E31.m1.4.4.2.cmml" xref="S4.E31.m1.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E31.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S4.E31.m1.4.4.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E31.m1.4.4.2.1.2.cmml" xref="S4.E31.m1.4.4.2.1.1"><abs id="S4.E31.m1.4.4.2.1.2.1.cmml" xref="S4.E31.m1.4.4.2.1.1.2"></abs><apply id="S4.E31.m1.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E31.m1.4.4.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E31.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E31.m1.4.4.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.E31.m1.4.4.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E31.m1.4.4.2.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S4.E31.m1.4.4.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E31.m1.4.4.2.1.1.1.3">′</ci></apply></apply><ci id="S4.E31.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S4.E31.m1.4.4.2.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E31.m1.5c">\psi(x^{\prime})=H_{0}(\kappa|x^{\prime}|)\sum\limits_{j=0}^{\infty}\frac{F_{j% }^{\prime}(\phi)}{|x^{\prime}|^{j}}+H_{1}(\kappa|x^{\prime}|)\sum\limits_{j=0}% ^{\infty}\frac{G_{j}^{\prime}(\phi)}{|x^{\prime}|^{j}},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E31.m1.5d">italic_ψ ( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) = italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_κ | italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT | ) ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_ϕ ) end_ARG start_ARG | italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT | start_POSTSUPERSCRIPT italic_j end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG + italic_H start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_κ | italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT | ) ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_ϕ ) end_ARG start_ARG | italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT | start_POSTSUPERSCRIPT italic_j end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(31)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p1.8"><span class="ltx_text" id="S4.SS2.p1.8.1" style="font-size:90%;">where </span><math alttext="F_{j}^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.6.m1.1"><semantics id="S4.SS2.p1.6.m1.1a"><msubsup id="S4.SS2.p1.6.m1.1.1" xref="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.2.2.cmml">F</mi><mi id="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.2.3" mathsize="90%" xref="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.2.3.cmml">j</mi><mo id="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.3" mathsize="90%" xref="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.3.cmml">′</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.6.m1.1b"><apply id="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.2.2">𝐹</ci><ci id="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.6.m1.1c">F_{j}^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.6.m1.1d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S4.SS2.p1.8.2" style="font-size:90%;"> and </span><math alttext="G_{j}^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.7.m2.1"><semantics id="S4.SS2.p1.7.m2.1a"><msubsup id="S4.SS2.p1.7.m2.1.1" xref="S4.SS2.p1.7.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.7.m2.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="S4.SS2.p1.7.m2.1.1.2.2.cmml">G</mi><mi id="S4.SS2.p1.7.m2.1.1.2.3" mathsize="90%" xref="S4.SS2.p1.7.m2.1.1.2.3.cmml">j</mi><mo id="S4.SS2.p1.7.m2.1.1.3" mathsize="90%" xref="S4.SS2.p1.7.m2.1.1.3.cmml">′</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.7.m2.1b"><apply id="S4.SS2.p1.7.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.7.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.7.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.7.m2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p1.7.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.7.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.7.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.7.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.7.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.7.m2.1.1.2.2">𝐺</ci><ci id="S4.SS2.p1.7.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.7.m2.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S4.SS2.p1.7.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.7.m2.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.7.m2.1c">G_{j}^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.7.m2.1d">italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S4.SS2.p1.8.3" style="font-size:90%;"> are appropriate new coefficients (in accordance with subsection 6.2 of </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S4.SS2.p1.8.4.1" style="font-size:90%;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib16" title="">16</a><span class="ltx_text" id="S4.SS2.p1.8.5.2" style="font-size:90%;">]</span></cite><span class="ltx_text" id="S4.SS2.p1.8.6" style="font-size:90%;">), and the series converges absolutely and uniformly in </span><math alttext="|x|>r^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.8.m3.1"><semantics id="S4.SS2.p1.8.m3.1a"><mrow id="S4.SS2.p1.8.m3.1.2" xref="S4.SS2.p1.8.m3.1.2.cmml"><mrow id="S4.SS2.p1.8.m3.1.2.2.2" xref="S4.SS2.p1.8.m3.1.2.2.1.cmml"><mo id="S4.SS2.p1.8.m3.1.2.2.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.SS2.p1.8.m3.1.2.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S4.SS2.p1.8.m3.1.1" mathsize="90%" xref="S4.SS2.p1.8.m3.1.1.cmml">x</mi><mo id="S4.SS2.p1.8.m3.1.2.2.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.SS2.p1.8.m3.1.2.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S4.SS2.p1.8.m3.1.2.1" mathsize="90%" xref="S4.SS2.p1.8.m3.1.2.1.cmml">></mo><msup id="S4.SS2.p1.8.m3.1.2.3" xref="S4.SS2.p1.8.m3.1.2.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.8.m3.1.2.3.2" mathsize="90%" xref="S4.SS2.p1.8.m3.1.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.SS2.p1.8.m3.1.2.3.3" mathsize="90%" xref="S4.SS2.p1.8.m3.1.2.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.8.m3.1b"><apply id="S4.SS2.p1.8.m3.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.8.m3.1.2"><gt id="S4.SS2.p1.8.m3.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.8.m3.1.2.1"></gt><apply id="S4.SS2.p1.8.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.8.m3.1.2.2.2"><abs id="S4.SS2.p1.8.m3.1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.8.m3.1.2.2.2.1"></abs><ci id="S4.SS2.p1.8.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.8.m3.1.1">𝑥</ci></apply><apply id="S4.SS2.p1.8.m3.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.8.m3.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.8.m3.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.8.m3.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.8.m3.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.8.m3.1.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.SS2.p1.8.m3.1.2.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.8.m3.1.2.3.3">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.8.m3.1c">|x|>r^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.8.m3.1d">| italic_x | > italic_r start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S4.SS2.p1.8.7" style="font-size:90%;">.</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p2.1"><span class="ltx_text" id="S4.SS2.p2.1.1" style="font-size:90%;">In view of (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S4.E30" style="font-size:90%;" title="In 4.2 General Case ‣ 4 Proof of Theorem 1"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">30</span></a><span class="ltx_text" id="S4.SS2.p2.1.2" style="font-size:90%;">), (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#S4.E31" style="font-size:90%;" title="In 4.2 General Case ‣ 4 Proof of Theorem 1"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">31</span></a><span class="ltx_text" id="S4.SS2.p2.1.3" style="font-size:90%;">), we complete the proof of Theorem 1 by repeating the proof of Subsection 4.1.</span></p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_remark" id="Thmremark2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem" style="font-size:90%;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmremark2.1.1.1">Remark 2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmremark2.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmremark2.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmremark2.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmremark2.p1.1.1" style="font-size:90%;">Our proof of Theorem 1 has holographic prototypes in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib16" title="">16</a>]</cite>. Additional formulas for finding <math alttext="f_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmremark2.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmremark2.p1.1.1.m1.1a"><msub id="Thmremark2.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmremark2.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmremark2.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmremark2.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">f</mi><mi id="Thmremark2.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmremark2.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmremark2.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmremark2.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmremark2.p1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmremark2.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmremark2.p1.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmremark2.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmremark2.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑓</ci><ci id="Thmremark2.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmremark2.p1.1.1.m1.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmremark2.p1.1.1.m1.1c">f_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmremark2.p1.1.1.m1.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> can also be obtained using approaches of <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib20" title="">20</a>]</cite>, <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib23" title="">23</a>]</cite>, <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13575v1#bib.bib24" title="">24</a>]</cite>.</span></p> </div> </div> </section> </section> <section class="ltx_bibliography" id="bib"> <h2 class="ltx_title ltx_title_bibliography" style="font-size:90%;">References</h2> <ul class="ltx_biblist"> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib1"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[1]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text" id="bib.bib1.1.1" style="font-size:90%;"> M. Abramowitz, I. A. Stegun (Editors), Handbook of Mathematical Functions, Dover, New York (1965) </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib2"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[2]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text" id="bib.bib2.1.1" style="font-size:90%;"> A.D. Agaltsov, T. Hohage, R.G. Novikov, Monochromatic identities for the Green function and uniqueness results for passive imaging, SIAM J. Appl. Math. 78(5), 2865-2890 (2018) </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib3"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[3]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text" id="bib.bib3.1.1" style="font-size:90%;"> A.D. Agaltsov, T. Hohage, R.G. Novikov, Global uniqueness in a passive inverse problem of helioseismology, Inverse Problems 36, 055004 (2020) </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib4"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[4]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text" id="bib.bib4.1.1" style="font-size:90%;"> F.V. Atkinson, On Sommerfeld’s ‘‘Radiation Condition’’, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib4.2.2" style="font-size:90%;">Philos. Mag.</span><span class="ltx_text" id="bib.bib4.3.3" style="font-size:90%;"> </span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib4.4.4" style="font-size:90%;">XI</span><span class="ltx_text" id="bib.bib4.5.5" style="font-size:90%;">, 645–651 (1949) </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib5"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[5]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text" id="bib.bib5.1.1" style="font-size:90%;"> Yu.M. Berezanskii, On the uniqueness theorem in the inverse problem of spectral analysis for the Schrödinger equation, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib5.2.2" style="font-size:90%;">Tr. Mosk. Mat. Obshch.</span><span class="ltx_text" id="bib.bib5.3.3" style="font-size:90%;"> </span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib5.4.4" style="font-size:90%;">7</span><span class="ltx_text" id="bib.bib5.5.5" style="font-size:90%;">, 3–62 (1958) (in Russian); English translation: </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib5.6.6" style="font-size:90%;">Transl., Ser. 2, Am. Math. Soc.</span><span class="ltx_text" id="bib.bib5.7.7" style="font-size:90%;"> </span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib5.8.8" style="font-size:90%;">35</span><span class="ltx_text" id="bib.bib5.9.9" style="font-size:90%;">, 167–235 (1964) </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib6"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[6]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text" id="bib.bib6.1.1" style="font-size:90%;"> A.L. Bukhgeim, Recovering a potential from Cauchy data in the two-dimensional case, Journal of Inverse and Ill-posed Problems </span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib6.2.2" style="font-size:90%;">16</span><span class="ltx_text" id="bib.bib6.3.3" style="font-size:90%;">(1), 19-33 (2008) </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib7"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[7]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text" id="bib.bib7.1.1" style="font-size:90%;"> V.A. Burov, O.D. Rumyantseva, Inverse wave problems of acoustic tomography. Part 2. Inverse problems of acoustic scattering, Moscow, LENAND, 2019 (in Russian) </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib8"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[8]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text" id="bib.bib8.1.1" style="font-size:90%;"> V.A. Burov, S.N. Sergeev, A.S. Shurup, The use of low-frequency noise in passive tomography of the ocean, Acoustical Physics </span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib8.2.2" style="font-size:90%;">48</span><span class="ltx_text" id="bib.bib8.3.3" style="font-size:90%;">(1), 42–51 (2008) </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib9"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[9]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text" id="bib.bib9.1.1" style="font-size:90%;"> D. Colton, R. Kress, Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory, 2nd. ed. 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Gizon, Quantitative passive imaging by iterative holography: the example of helioseismic holography, Inverse Problems </span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib15.2.2" style="font-size:90%;">40</span><span class="ltx_text" id="bib.bib15.3.3" style="font-size:90%;">, 045016 (2024) </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib16"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[16]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text" id="bib.bib16.1.1" style="font-size:90%;"> A.V. Nair, R.G. Novikov, A holographic uniqueness theorem for the two-dimensional Helmholtz equation, arXiv:2408.08326 [math.AP] (2024) </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib17"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[17]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text" id="bib.bib17.2.1" style="font-size:90%;"> R.G. Novikov, Multidimensional inverse spectral problem for the equation </span> <br class="ltx_break"/><math alttext="-\Delta\psi+(v(x)-Eu(x))\psi=0" class="ltx_Math" display="inline" id="bib.bib17.1.m1.3"><semantics id="bib.bib17.1.m1.3a"><mrow id="bib.bib17.1.m1.3.3" xref="bib.bib17.1.m1.3.3.cmml"><mrow id="bib.bib17.1.m1.3.3.1" xref="bib.bib17.1.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="bib.bib17.1.m1.3.3.1.3" xref="bib.bib17.1.m1.3.3.1.3.cmml"><mo id="bib.bib17.1.m1.3.3.1.3a" mathsize="90%" xref="bib.bib17.1.m1.3.3.1.3.cmml">−</mo><mrow id="bib.bib17.1.m1.3.3.1.3.2" xref="bib.bib17.1.m1.3.3.1.3.2.cmml"><mi id="bib.bib17.1.m1.3.3.1.3.2.2" mathsize="90%" mathvariant="normal" xref="bib.bib17.1.m1.3.3.1.3.2.2.cmml">Δ</mi><mo id="bib.bib17.1.m1.3.3.1.3.2.1" xref="bib.bib17.1.m1.3.3.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="bib.bib17.1.m1.3.3.1.3.2.3" mathsize="90%" xref="bib.bib17.1.m1.3.3.1.3.2.3.cmml">ψ</mi></mrow></mrow><mo id="bib.bib17.1.m1.3.3.1.2" mathsize="90%" xref="bib.bib17.1.m1.3.3.1.2.cmml">+</mo><mrow id="bib.bib17.1.m1.3.3.1.1" xref="bib.bib17.1.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="bib.bib17.1.m1.3.3.1.1.1.1" xref="bib.bib17.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="bib.bib17.1.m1.3.3.1.1.1.1.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="bib.bib17.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="bib.bib17.1.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="bib.bib17.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="bib.bib17.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="bib.bib17.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="bib.bib17.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="bib.bib17.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml">v</mi><mo id="bib.bib17.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1" xref="bib.bib17.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="bib.bib17.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="bib.bib17.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="bib.bib17.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="bib.bib17.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="bib.bib17.1.m1.1.1" mathsize="90%" xref="bib.bib17.1.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="bib.bib17.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.2.2" maxsize="90%" minsize="90%" 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Anal. Appl. </span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib17.4.3" style="font-size:90%;">22</span><span class="ltx_text" id="bib.bib17.5.4" style="font-size:90%;">, 263-272 (1988) </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib18"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[18]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text" id="bib.bib18.1.1" style="font-size:90%;"> R.G. Novikov, The inverse scattering problem on a fixed energy level for the two-dimensional Schrödinger operator, Journal of Functional Analysis </span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib18.2.2" style="font-size:90%;">103</span><span class="ltx_text" id="bib.bib18.3.3" style="font-size:90%;"> (2), 409-463 (1992) </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib19"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[19]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text" id="bib.bib19.1.1" style="font-size:90%;"> R.G. Novikov, Inverse scattering without phase information, Seminaire Laurent Schwartz - EDP et applications (2014-2015), Exp. No16, 13p. </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib20"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[20]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text" id="bib.bib20.1.1" style="font-size:90%;"> R.G. Novikov, Multipoint formulas for phase recovering from phaseless scattering data, </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib20.2.2" style="font-size:90%;">J. Geom. Anal.</span><span class="ltx_text" id="bib.bib20.3.3" style="font-size:90%;"> </span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib20.4.4" style="font-size:90%;">31</span><span class="ltx_text" id="bib.bib20.5.5" style="font-size:90%;">, 1965–1991 (2021) </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib21"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[21]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text" id="bib.bib21.1.1" style="font-size:90%;"> R. G. Novikov, A holographic uniqueness theorem, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, </span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib21.2.2" style="font-size:90%;">325</span><span class="ltx_text" id="bib.bib21.3.3" style="font-size:90%;">, 218-223 (2024) </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib22"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[22]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text" id="bib.bib22.1.1" style="font-size:90%;"> R.G. Novikov, B.L. Sharma, Phase recovery from phaseless scattering data for discrete Schrodinger operators, Inverse Problems </span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib22.2.2" style="font-size:90%;">39</span><span class="ltx_text" id="bib.bib22.3.3" style="font-size:90%;">, 125006 (2023) </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib23"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[23]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text" id="bib.bib23.1.1" style="font-size:90%;"> R.G. Novikov, V. N. Sivkin, Fixed-distance multipoint formulas for the scattering amplitude from phaseless measurements, Inverse Problems </span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib23.2.2" style="font-size:90%;">38</span><span class="ltx_text" id="bib.bib23.3.3" style="font-size:90%;">, 025012 (2022) </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib24"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[24]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text" id="bib.bib24.1.1" style="font-size:90%;"> R.G. Novikov, V.N. Sivkin, G.V. Sabinin, Multipoint formulas in inverse problems and their numerical implementation, Inverse Problems 39, 125016 (2023) </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib25"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[25]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text" id="bib.bib25.1.1" style="font-size:90%;"> R.G. Novikov, A holographic global uniqueness in passive imaging, arXiv:2405.10333 [math.AP] (2024) </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib26"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[26]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text" id="bib.bib26.1.1" style="font-size:90%;"> R.L. Weaver, O.I. Lobkis, Ultrasonics without a source: Thermal fluctuation correlations at MHz frequencies, Physical Review Letters </span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib26.2.2" style="font-size:90%;">84</span><span class="ltx_text" id="bib.bib26.3.3" style="font-size:90%;">(13), 134301 (2001) </span> </span> </li> </ul> </section> <div class="ltx_pagination ltx_role_newpage"></div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="p3"> <p class="ltx_p" id="p3.1"><span class="ltx_text" id="p3.1.1" style="font-size:90%;">Arjun V. Nair</span> <br class="ltx_break"/><span class="ltx_text" id="p3.1.2" style="font-size:90%;">School of Mathematics,</span> <br class="ltx_break"/><span class="ltx_text" id="p3.1.3" style="font-size:90%;">IISER Thiruvanthapuram, Thiruvananthapuram, India;</span> <br class="ltx_break"/><span class="ltx_text" id="p3.1.4" style="font-size:90%;">E-mail: arjunnair172920@iisertvm.ac.in </span> <br class="ltx_break"/> <br class="ltx_break"/> <br class="ltx_break"/></p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="p4"> <p class="ltx_p" id="p4.1"><span class="ltx_text" id="p4.1.1" style="font-size:90%;">Roman G. Novikov</span> <br class="ltx_break"/><span class="ltx_text" id="p4.1.2" style="font-size:90%;">CMAP, CNRS, Ecole Polytechnique,</span> <br class="ltx_break"/><span class="ltx_text" id="p4.1.3" style="font-size:90%;">Institut Polytechnique de Paris, 91128 Palaiseau, France;</span> <br class="ltx_break"/><span class="ltx_text" id="p4.1.4" style="font-size:90%;">IEPT RAS, 117997 Moscow, Russia;</span> <br class="ltx_break"/><span class="ltx_text" id="p4.1.5" style="font-size:90%;">E-mail: novikov@cmap.polytechnique.fr</span></p> </div> </article> </div> <footer class="ltx_page_footer"> <div class="ltx_page_logo">Generated on Thu Nov 14 10:23:41 2024 by <a class="ltx_LaTeXML_logo" href="http://dlmf.nist.gov/LaTeXML/"><span style="letter-spacing:-0.2em; margin-right:0.1em;">L<span class="ltx_font_smallcaps" style="position:relative; bottom:2.2pt;">a</span>T<span class="ltx_font_smallcaps" style="font-size:120%;position:relative; bottom:-0.2ex;">e</span></span><span style="font-size:90%; position:relative; bottom:-0.2ex;">XML</span><img alt="Mascot Sammy" src="data:image/png;base64,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"/></a> </div></footer> </div> </body> </html>