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<!DOCTYPE html> <html lang="en"> <head> <meta content="text/html; charset=utf-8" http-equiv="content-type"/> <title>Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros</title>   <meta content="width=device-width, initial-scale=1, shrink-to-fit=no" name="viewport"/> <link href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/css/bootstrap.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv-fonts.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/latexml_styles.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/js/bootstrap.bundle.min.js"></script> <script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/html2canvas/1.3.3/html2canvas.min.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/addons_new.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/feedbackOverlay.js"></script> <meta content="Riemann zeta-function, zeros, pair correlation, simple zeros, critical zeros" lang="en" name="keywords"/> <base href="/html/2503.15449v1/"/></head> <body> <nav class="ltx_page_navbar"> <nav class="ltx_TOC"> <ol class="ltx_toclist"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S1" title="In Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">1 </span>Introduction and Statement of Results</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S2" title="In Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">2</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_bold">The Second Moment for Zeros in Short Intervals</span></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S3" title="In Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">3</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_bold">Proof of Theorem </span><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S4" title="In Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">4</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_bold">Proof of the lemmas</span></span></a></li> </ol></nav> </nav> <div class="ltx_page_main"> <div class="ltx_page_content"> <article class="ltx_document ltx_authors_1line ltx_leqno"> <h1 class="ltx_title ltx_title_document">Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros</h1> <div class="ltx_authors"> <span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname">Daniel Alan Goldston </span><span class="ltx_author_notes"> <span class="ltx_contact ltx_role_address">Department of Mathematics and Statistics, San Jose State University </span> <span class="ltx_contact ltx_role_email"><a href="mailto:daniel.goldston@sjsu.edu">daniel.goldston@sjsu.edu</a> </span></span></span> <span class="ltx_author_before">, </span><span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname">Junghun Lee </span><span class="ltx_author_notes"> <span class="ltx_contact ltx_role_address">Department of Mathematics Education, Chonnam National University </span> <span class="ltx_contact ltx_role_email"><a href="mailto:junghun@jnu.ac.kr">junghun@jnu.ac.kr</a> </span></span></span> <span class="ltx_author_before">, </span><span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname">Jordan Schettler </span><span class="ltx_author_notes"> <span class="ltx_contact ltx_role_address">Department of Mathematics and Statistics, San José State University </span> <span class="ltx_contact ltx_role_email"><a href="mailto:jordan.schettler@sjsu.edu">jordan.schettler@sjsu.edu</a> </span></span></span> <span class="ltx_author_before"> and </span><span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname">Ade Irma Suriajaya </span><span class="ltx_author_notes"> <span class="ltx_contact ltx_role_address">Faculty of Mathematics, Kyushu University </span> <span class="ltx_contact ltx_role_email"><a href="mailto:adeirmasuriajaya@math.kyushu-u.ac.jp">adeirmasuriajaya@math.kyushu-u.ac.jp</a> </span></span></span> </div> <div class="ltx_dates">(Date: March 19, 2025)</div> <div class="ltx_abstract"> <h6 class="ltx_title ltx_title_abstract">Abstract.</h6> <p class="ltx_p" id="id1.id1">Montgomery in 1973 introduced the Pair Correlation Conjecture (PCC) for zeros of the Riemann zeta-function. In addition he conjectured that asymptotically 100% of the zeros are simple. His reasoning to support these two conjectures made free use of the Riemann Hypothesis (RH). Using a different method, Gallagher and Mueller proved in 1978 that PCC under RH implies that 100% of the zeros are simple, but we show here that their method does not actually require RH. Thus Montgomery’s second conjecture follows from his PCC conjecture. Recent work has shown that one can use pair correlation methods to obtain information not only on the vertical distribution of zeros, but also on the horizontal distribution. Applying this idea to Gallagher and Mueller’s method, we show that PCC implies that asymptotically 100% of the zeros are both simple and on the critical line.</p> </div> <div class="ltx_keywords"> <h6 class="ltx_title ltx_title_keywords">Key words and phrases: </h6>Riemann zeta-function, zeros, pair correlation, simple zeros, critical zeros </div> <div class="ltx_classification"> <h6 class="ltx_title ltx_title_classification">2010 Mathematics Subject Classification: </h6>11M06, 11M26 </div> <section class="ltx_section" id="S1"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">1. </span>Introduction and Statement of Results</h2> <div class="ltx_para" id="S1.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.p1.25">In this paper we do not assume the Riemann Hypothesis (RH) is true or make use of results that depend on RH. The Riemann zeta-function <math alttext="\zeta(s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.1.m1.1"><semantics id="S1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S1.p1.1.m1.1.2" xref="S1.p1.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S1.p1.1.m1.1.2.2" xref="S1.p1.1.m1.1.2.2.cmml">ζ</mi><mo id="S1.p1.1.m1.1.2.1" xref="S1.p1.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p1.1.m1.1.2.3.2" xref="S1.p1.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S1.p1.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.p1.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S1.p1.1.m1.1.1" xref="S1.p1.1.m1.1.1.cmml">s</mi><mo id="S1.p1.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.p1.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.1.m1.1b"><apply id="S1.p1.1.m1.1.2.cmml" xref="S1.p1.1.m1.1.2"><times id="S1.p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S1.p1.1.m1.1.2.1"></times><ci id="S1.p1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S1.p1.1.m1.1.2.2">𝜁</ci><ci id="S1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p1.1.m1.1.1">𝑠</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.1.m1.1c">\zeta(s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.1.m1.1d">italic_ζ ( italic_s )</annotation></semantics></math> has “trivial” zeros at <math alttext="s=-2n" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.2.m2.1"><semantics id="S1.p1.2.m2.1a"><mrow id="S1.p1.2.m2.1.1" xref="S1.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S1.p1.2.m2.1.1.2" xref="S1.p1.2.m2.1.1.2.cmml">s</mi><mo id="S1.p1.2.m2.1.1.1" xref="S1.p1.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S1.p1.2.m2.1.1.3" xref="S1.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><mo id="S1.p1.2.m2.1.1.3a" xref="S1.p1.2.m2.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="S1.p1.2.m2.1.1.3.2" xref="S1.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml"><mn id="S1.p1.2.m2.1.1.3.2.2" xref="S1.p1.2.m2.1.1.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="S1.p1.2.m2.1.1.3.2.1" xref="S1.p1.2.m2.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p1.2.m2.1.1.3.2.3" xref="S1.p1.2.m2.1.1.3.2.3.cmml">n</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.2.m2.1b"><apply id="S1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.1"><eq id="S1.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S1.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.1.2">𝑠</ci><apply id="S1.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.1.3"><minus id="S1.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.1.3"></minus><apply id="S1.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.1.3.2"><times id="S1.p1.2.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.1.3.2.1"></times><cn id="S1.p1.2.m2.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S1.p1.2.m2.1.1.3.2.2">2</cn><ci id="S1.p1.2.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.1.3.2.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.2.m2.1c">s=-2n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.2.m2.1d">italic_s = - 2 italic_n</annotation></semantics></math>, <math alttext="n\in\mathbb{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.3.m3.1"><semantics id="S1.p1.3.m3.1a"><mrow id="S1.p1.3.m3.1.1" xref="S1.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S1.p1.3.m3.1.1.2" xref="S1.p1.3.m3.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S1.p1.3.m3.1.1.1" xref="S1.p1.3.m3.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S1.p1.3.m3.1.1.3" xref="S1.p1.3.m3.1.1.3.cmml">ℕ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.3.m3.1b"><apply id="S1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.p1.3.m3.1.1"><in id="S1.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.3.m3.1.1.1"></in><ci id="S1.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.3.m3.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S1.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.3.m3.1.1.3">ℕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.3.m3.1c">n\in\mathbb{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.3.m3.1d">italic_n ∈ blackboard_N</annotation></semantics></math>, and, letting <math alttext="s=\sigma+it" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.4.m4.1"><semantics id="S1.p1.4.m4.1a"><mrow id="S1.p1.4.m4.1.1" xref="S1.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S1.p1.4.m4.1.1.2" xref="S1.p1.4.m4.1.1.2.cmml">s</mi><mo id="S1.p1.4.m4.1.1.1" xref="S1.p1.4.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S1.p1.4.m4.1.1.3" xref="S1.p1.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S1.p1.4.m4.1.1.3.2" xref="S1.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mo id="S1.p1.4.m4.1.1.3.1" xref="S1.p1.4.m4.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S1.p1.4.m4.1.1.3.3" xref="S1.p1.4.m4.1.1.3.3.cmml"><mi id="S1.p1.4.m4.1.1.3.3.2" xref="S1.p1.4.m4.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S1.p1.4.m4.1.1.3.3.1" xref="S1.p1.4.m4.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p1.4.m4.1.1.3.3.3" xref="S1.p1.4.m4.1.1.3.3.3.cmml">t</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.4.m4.1b"><apply id="S1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S1.p1.4.m4.1.1"><eq id="S1.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.4.m4.1.1.1"></eq><ci id="S1.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.4.m4.1.1.2">𝑠</ci><apply id="S1.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.4.m4.1.1.3"><plus id="S1.p1.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p1.4.m4.1.1.3.1"></plus><ci id="S1.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S1.p1.4.m4.1.1.3.2">𝜎</ci><apply id="S1.p1.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S1.p1.4.m4.1.1.3.3"><times id="S1.p1.4.m4.1.1.3.3.1.cmml" xref="S1.p1.4.m4.1.1.3.3.1"></times><ci id="S1.p1.4.m4.1.1.3.3.2.cmml" xref="S1.p1.4.m4.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S1.p1.4.m4.1.1.3.3.3.cmml" xref="S1.p1.4.m4.1.1.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.4.m4.1c">s=\sigma+it</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.4.m4.1d">italic_s = italic_σ + italic_i italic_t</annotation></semantics></math> where <math alttext="\sigma,\,t\in\mathbb{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.5.m5.2"><semantics id="S1.p1.5.m5.2a"><mrow id="S1.p1.5.m5.2.3" xref="S1.p1.5.m5.2.3.cmml"><mrow id="S1.p1.5.m5.2.3.2.2" xref="S1.p1.5.m5.2.3.2.1.cmml"><mi id="S1.p1.5.m5.1.1" xref="S1.p1.5.m5.1.1.cmml">σ</mi><mo id="S1.p1.5.m5.2.3.2.2.1" rspace="0.337em" xref="S1.p1.5.m5.2.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="S1.p1.5.m5.2.2" xref="S1.p1.5.m5.2.2.cmml">t</mi></mrow><mo id="S1.p1.5.m5.2.3.1" xref="S1.p1.5.m5.2.3.1.cmml">∈</mo><mi id="S1.p1.5.m5.2.3.3" xref="S1.p1.5.m5.2.3.3.cmml">ℝ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.5.m5.2b"><apply id="S1.p1.5.m5.2.3.cmml" xref="S1.p1.5.m5.2.3"><in id="S1.p1.5.m5.2.3.1.cmml" xref="S1.p1.5.m5.2.3.1"></in><list id="S1.p1.5.m5.2.3.2.1.cmml" xref="S1.p1.5.m5.2.3.2.2"><ci id="S1.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S1.p1.5.m5.1.1">𝜎</ci><ci id="S1.p1.5.m5.2.2.cmml" xref="S1.p1.5.m5.2.2">𝑡</ci></list><ci id="S1.p1.5.m5.2.3.3.cmml" xref="S1.p1.5.m5.2.3.3">ℝ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.5.m5.2c">\sigma,\,t\in\mathbb{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.5.m5.2d">italic_σ , italic_t ∈ blackboard_R</annotation></semantics></math>, the remaining zeros are non-real and lie in the “critical strip” <math alttext="0<\sigma<1" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.6.m6.1"><semantics id="S1.p1.6.m6.1a"><mrow id="S1.p1.6.m6.1.1" xref="S1.p1.6.m6.1.1.cmml"><mn id="S1.p1.6.m6.1.1.2" xref="S1.p1.6.m6.1.1.2.cmml">0</mn><mo id="S1.p1.6.m6.1.1.3" xref="S1.p1.6.m6.1.1.3.cmml"><</mo><mi id="S1.p1.6.m6.1.1.4" xref="S1.p1.6.m6.1.1.4.cmml">σ</mi><mo id="S1.p1.6.m6.1.1.5" xref="S1.p1.6.m6.1.1.5.cmml"><</mo><mn id="S1.p1.6.m6.1.1.6" xref="S1.p1.6.m6.1.1.6.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.6.m6.1b"><apply id="S1.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S1.p1.6.m6.1.1"><and id="S1.p1.6.m6.1.1a.cmml" xref="S1.p1.6.m6.1.1"></and><apply id="S1.p1.6.m6.1.1b.cmml" xref="S1.p1.6.m6.1.1"><lt id="S1.p1.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.6.m6.1.1.3"></lt><cn id="S1.p1.6.m6.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S1.p1.6.m6.1.1.2">0</cn><ci id="S1.p1.6.m6.1.1.4.cmml" xref="S1.p1.6.m6.1.1.4">𝜎</ci></apply><apply id="S1.p1.6.m6.1.1c.cmml" xref="S1.p1.6.m6.1.1"><lt id="S1.p1.6.m6.1.1.5.cmml" xref="S1.p1.6.m6.1.1.5"></lt><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S1.p1.6.m6.1.1.4.cmml" id="S1.p1.6.m6.1.1d.cmml" xref="S1.p1.6.m6.1.1"></share><cn id="S1.p1.6.m6.1.1.6.cmml" type="integer" xref="S1.p1.6.m6.1.1.6">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.6.m6.1c">0<\sigma<1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.6.m6.1d">0 < italic_σ < 1</annotation></semantics></math>. We denote these “non-trivial” zeros by <math alttext="\rho=\beta+i\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.7.m7.1"><semantics id="S1.p1.7.m7.1a"><mrow id="S1.p1.7.m7.1.1" xref="S1.p1.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S1.p1.7.m7.1.1.2" xref="S1.p1.7.m7.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S1.p1.7.m7.1.1.1" xref="S1.p1.7.m7.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S1.p1.7.m7.1.1.3" xref="S1.p1.7.m7.1.1.3.cmml"><mi id="S1.p1.7.m7.1.1.3.2" xref="S1.p1.7.m7.1.1.3.2.cmml">β</mi><mo id="S1.p1.7.m7.1.1.3.1" xref="S1.p1.7.m7.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S1.p1.7.m7.1.1.3.3" xref="S1.p1.7.m7.1.1.3.3.cmml"><mi id="S1.p1.7.m7.1.1.3.3.2" xref="S1.p1.7.m7.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S1.p1.7.m7.1.1.3.3.1" xref="S1.p1.7.m7.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p1.7.m7.1.1.3.3.3" xref="S1.p1.7.m7.1.1.3.3.3.cmml">γ</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.7.m7.1b"><apply id="S1.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="S1.p1.7.m7.1.1"><eq id="S1.p1.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.7.m7.1.1.1"></eq><ci id="S1.p1.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.7.m7.1.1.2">𝜌</ci><apply id="S1.p1.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.7.m7.1.1.3"><plus id="S1.p1.7.m7.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p1.7.m7.1.1.3.1"></plus><ci id="S1.p1.7.m7.1.1.3.2.cmml" xref="S1.p1.7.m7.1.1.3.2">𝛽</ci><apply id="S1.p1.7.m7.1.1.3.3.cmml" xref="S1.p1.7.m7.1.1.3.3"><times id="S1.p1.7.m7.1.1.3.3.1.cmml" xref="S1.p1.7.m7.1.1.3.3.1"></times><ci id="S1.p1.7.m7.1.1.3.3.2.cmml" xref="S1.p1.7.m7.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S1.p1.7.m7.1.1.3.3.3.cmml" xref="S1.p1.7.m7.1.1.3.3.3">𝛾</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.7.m7.1c">\rho=\beta+i\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.7.m7.1d">italic_ρ = italic_β + italic_i italic_γ</annotation></semantics></math> where <math alttext="0<\beta<1" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.8.m8.1"><semantics id="S1.p1.8.m8.1a"><mrow id="S1.p1.8.m8.1.1" xref="S1.p1.8.m8.1.1.cmml"><mn id="S1.p1.8.m8.1.1.2" xref="S1.p1.8.m8.1.1.2.cmml">0</mn><mo id="S1.p1.8.m8.1.1.3" xref="S1.p1.8.m8.1.1.3.cmml"><</mo><mi id="S1.p1.8.m8.1.1.4" xref="S1.p1.8.m8.1.1.4.cmml">β</mi><mo id="S1.p1.8.m8.1.1.5" xref="S1.p1.8.m8.1.1.5.cmml"><</mo><mn id="S1.p1.8.m8.1.1.6" xref="S1.p1.8.m8.1.1.6.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.8.m8.1b"><apply id="S1.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="S1.p1.8.m8.1.1"><and id="S1.p1.8.m8.1.1a.cmml" xref="S1.p1.8.m8.1.1"></and><apply id="S1.p1.8.m8.1.1b.cmml" xref="S1.p1.8.m8.1.1"><lt id="S1.p1.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.8.m8.1.1.3"></lt><cn id="S1.p1.8.m8.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S1.p1.8.m8.1.1.2">0</cn><ci id="S1.p1.8.m8.1.1.4.cmml" xref="S1.p1.8.m8.1.1.4">𝛽</ci></apply><apply id="S1.p1.8.m8.1.1c.cmml" xref="S1.p1.8.m8.1.1"><lt id="S1.p1.8.m8.1.1.5.cmml" xref="S1.p1.8.m8.1.1.5"></lt><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S1.p1.8.m8.1.1.4.cmml" id="S1.p1.8.m8.1.1d.cmml" xref="S1.p1.8.m8.1.1"></share><cn id="S1.p1.8.m8.1.1.6.cmml" type="integer" xref="S1.p1.8.m8.1.1.6">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.8.m8.1c">0<\beta<1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.8.m8.1d">0 < italic_β < 1</annotation></semantics></math> and <math alttext="\gamma\neq 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.9.m9.1"><semantics id="S1.p1.9.m9.1a"><mrow id="S1.p1.9.m9.1.1" xref="S1.p1.9.m9.1.1.cmml"><mi id="S1.p1.9.m9.1.1.2" xref="S1.p1.9.m9.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S1.p1.9.m9.1.1.1" xref="S1.p1.9.m9.1.1.1.cmml">≠</mo><mn id="S1.p1.9.m9.1.1.3" xref="S1.p1.9.m9.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.9.m9.1b"><apply id="S1.p1.9.m9.1.1.cmml" xref="S1.p1.9.m9.1.1"><neq id="S1.p1.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.9.m9.1.1.1"></neq><ci id="S1.p1.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.9.m9.1.1.2">𝛾</ci><cn id="S1.p1.9.m9.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.p1.9.m9.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.9.m9.1c">\gamma\neq 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.9.m9.1d">italic_γ ≠ 0</annotation></semantics></math>. The Riemann Hypothesis states that every complex zero lies on the “critical line” <math alttext="\sigma=1/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.10.m10.1"><semantics id="S1.p1.10.m10.1a"><mrow id="S1.p1.10.m10.1.1" xref="S1.p1.10.m10.1.1.cmml"><mi id="S1.p1.10.m10.1.1.2" xref="S1.p1.10.m10.1.1.2.cmml">σ</mi><mo id="S1.p1.10.m10.1.1.1" xref="S1.p1.10.m10.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S1.p1.10.m10.1.1.3" xref="S1.p1.10.m10.1.1.3.cmml"><mn id="S1.p1.10.m10.1.1.3.2" xref="S1.p1.10.m10.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S1.p1.10.m10.1.1.3.1" xref="S1.p1.10.m10.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S1.p1.10.m10.1.1.3.3" xref="S1.p1.10.m10.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.10.m10.1b"><apply id="S1.p1.10.m10.1.1.cmml" xref="S1.p1.10.m10.1.1"><eq id="S1.p1.10.m10.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.10.m10.1.1.1"></eq><ci id="S1.p1.10.m10.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.10.m10.1.1.2">𝜎</ci><apply id="S1.p1.10.m10.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.10.m10.1.1.3"><divide id="S1.p1.10.m10.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p1.10.m10.1.1.3.1"></divide><cn id="S1.p1.10.m10.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.p1.10.m10.1.1.3.2">1</cn><cn id="S1.p1.10.m10.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.p1.10.m10.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.10.m10.1c">\sigma=1/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.10.m10.1d">italic_σ = 1 / 2</annotation></semantics></math>, and thus RH is the statement that <math alttext="\beta=1/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.11.m11.1"><semantics id="S1.p1.11.m11.1a"><mrow id="S1.p1.11.m11.1.1" xref="S1.p1.11.m11.1.1.cmml"><mi id="S1.p1.11.m11.1.1.2" xref="S1.p1.11.m11.1.1.2.cmml">β</mi><mo id="S1.p1.11.m11.1.1.1" xref="S1.p1.11.m11.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S1.p1.11.m11.1.1.3" xref="S1.p1.11.m11.1.1.3.cmml"><mn id="S1.p1.11.m11.1.1.3.2" xref="S1.p1.11.m11.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S1.p1.11.m11.1.1.3.1" xref="S1.p1.11.m11.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S1.p1.11.m11.1.1.3.3" xref="S1.p1.11.m11.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.11.m11.1b"><apply id="S1.p1.11.m11.1.1.cmml" xref="S1.p1.11.m11.1.1"><eq id="S1.p1.11.m11.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.11.m11.1.1.1"></eq><ci id="S1.p1.11.m11.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.11.m11.1.1.2">𝛽</ci><apply id="S1.p1.11.m11.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.11.m11.1.1.3"><divide id="S1.p1.11.m11.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p1.11.m11.1.1.3.1"></divide><cn id="S1.p1.11.m11.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.p1.11.m11.1.1.3.2">1</cn><cn id="S1.p1.11.m11.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.p1.11.m11.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.11.m11.1c">\beta=1/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.11.m11.1d">italic_β = 1 / 2</annotation></semantics></math> for every complex zero. Since <math alttext="\zeta(s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.12.m12.1"><semantics id="S1.p1.12.m12.1a"><mrow id="S1.p1.12.m12.1.2" xref="S1.p1.12.m12.1.2.cmml"><mi id="S1.p1.12.m12.1.2.2" xref="S1.p1.12.m12.1.2.2.cmml">ζ</mi><mo id="S1.p1.12.m12.1.2.1" xref="S1.p1.12.m12.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p1.12.m12.1.2.3.2" xref="S1.p1.12.m12.1.2.cmml"><mo id="S1.p1.12.m12.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.p1.12.m12.1.2.cmml">(</mo><mi id="S1.p1.12.m12.1.1" xref="S1.p1.12.m12.1.1.cmml">s</mi><mo id="S1.p1.12.m12.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.p1.12.m12.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.12.m12.1b"><apply id="S1.p1.12.m12.1.2.cmml" xref="S1.p1.12.m12.1.2"><times id="S1.p1.12.m12.1.2.1.cmml" xref="S1.p1.12.m12.1.2.1"></times><ci id="S1.p1.12.m12.1.2.2.cmml" xref="S1.p1.12.m12.1.2.2">𝜁</ci><ci id="S1.p1.12.m12.1.1.cmml" xref="S1.p1.12.m12.1.1">𝑠</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.12.m12.1c">\zeta(s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.12.m12.1d">italic_ζ ( italic_s )</annotation></semantics></math> is real on the real axis with a simple pole at <math alttext="s=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.13.m13.1"><semantics id="S1.p1.13.m13.1a"><mrow id="S1.p1.13.m13.1.1" xref="S1.p1.13.m13.1.1.cmml"><mi id="S1.p1.13.m13.1.1.2" xref="S1.p1.13.m13.1.1.2.cmml">s</mi><mo id="S1.p1.13.m13.1.1.1" xref="S1.p1.13.m13.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S1.p1.13.m13.1.1.3" xref="S1.p1.13.m13.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.13.m13.1b"><apply id="S1.p1.13.m13.1.1.cmml" xref="S1.p1.13.m13.1.1"><eq id="S1.p1.13.m13.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.13.m13.1.1.1"></eq><ci id="S1.p1.13.m13.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.13.m13.1.1.2">𝑠</ci><cn id="S1.p1.13.m13.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.p1.13.m13.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.13.m13.1c">s=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.13.m13.1d">italic_s = 1</annotation></semantics></math>, by the reflection principle any zero <math alttext="\rho=\beta+i\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.14.m14.1"><semantics id="S1.p1.14.m14.1a"><mrow id="S1.p1.14.m14.1.1" xref="S1.p1.14.m14.1.1.cmml"><mi id="S1.p1.14.m14.1.1.2" xref="S1.p1.14.m14.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S1.p1.14.m14.1.1.1" xref="S1.p1.14.m14.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S1.p1.14.m14.1.1.3" xref="S1.p1.14.m14.1.1.3.cmml"><mi id="S1.p1.14.m14.1.1.3.2" xref="S1.p1.14.m14.1.1.3.2.cmml">β</mi><mo id="S1.p1.14.m14.1.1.3.1" xref="S1.p1.14.m14.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S1.p1.14.m14.1.1.3.3" xref="S1.p1.14.m14.1.1.3.3.cmml"><mi id="S1.p1.14.m14.1.1.3.3.2" xref="S1.p1.14.m14.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S1.p1.14.m14.1.1.3.3.1" xref="S1.p1.14.m14.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p1.14.m14.1.1.3.3.3" xref="S1.p1.14.m14.1.1.3.3.3.cmml">γ</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.14.m14.1b"><apply id="S1.p1.14.m14.1.1.cmml" xref="S1.p1.14.m14.1.1"><eq id="S1.p1.14.m14.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.14.m14.1.1.1"></eq><ci id="S1.p1.14.m14.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.14.m14.1.1.2">𝜌</ci><apply id="S1.p1.14.m14.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.14.m14.1.1.3"><plus id="S1.p1.14.m14.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p1.14.m14.1.1.3.1"></plus><ci id="S1.p1.14.m14.1.1.3.2.cmml" xref="S1.p1.14.m14.1.1.3.2">𝛽</ci><apply id="S1.p1.14.m14.1.1.3.3.cmml" xref="S1.p1.14.m14.1.1.3.3"><times id="S1.p1.14.m14.1.1.3.3.1.cmml" xref="S1.p1.14.m14.1.1.3.3.1"></times><ci id="S1.p1.14.m14.1.1.3.3.2.cmml" xref="S1.p1.14.m14.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S1.p1.14.m14.1.1.3.3.3.cmml" xref="S1.p1.14.m14.1.1.3.3.3">𝛾</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.14.m14.1c">\rho=\beta+i\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.14.m14.1d">italic_ρ = italic_β + italic_i italic_γ</annotation></semantics></math> has a reflected zero <math alttext="\overline{\rho}=\beta-i\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.15.m15.1"><semantics id="S1.p1.15.m15.1a"><mrow id="S1.p1.15.m15.1.1" xref="S1.p1.15.m15.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S1.p1.15.m15.1.1.2" xref="S1.p1.15.m15.1.1.2.cmml"><mi id="S1.p1.15.m15.1.1.2.2" xref="S1.p1.15.m15.1.1.2.2.cmml">ρ</mi><mo id="S1.p1.15.m15.1.1.2.1" xref="S1.p1.15.m15.1.1.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S1.p1.15.m15.1.1.1" xref="S1.p1.15.m15.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S1.p1.15.m15.1.1.3" xref="S1.p1.15.m15.1.1.3.cmml"><mi id="S1.p1.15.m15.1.1.3.2" xref="S1.p1.15.m15.1.1.3.2.cmml">β</mi><mo id="S1.p1.15.m15.1.1.3.1" xref="S1.p1.15.m15.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S1.p1.15.m15.1.1.3.3" xref="S1.p1.15.m15.1.1.3.3.cmml"><mi id="S1.p1.15.m15.1.1.3.3.2" xref="S1.p1.15.m15.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S1.p1.15.m15.1.1.3.3.1" xref="S1.p1.15.m15.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p1.15.m15.1.1.3.3.3" xref="S1.p1.15.m15.1.1.3.3.3.cmml">γ</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.15.m15.1b"><apply id="S1.p1.15.m15.1.1.cmml" xref="S1.p1.15.m15.1.1"><eq id="S1.p1.15.m15.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.15.m15.1.1.1"></eq><apply id="S1.p1.15.m15.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.15.m15.1.1.2"><ci id="S1.p1.15.m15.1.1.2.1.cmml" xref="S1.p1.15.m15.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S1.p1.15.m15.1.1.2.2.cmml" xref="S1.p1.15.m15.1.1.2.2">𝜌</ci></apply><apply id="S1.p1.15.m15.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.15.m15.1.1.3"><minus id="S1.p1.15.m15.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p1.15.m15.1.1.3.1"></minus><ci id="S1.p1.15.m15.1.1.3.2.cmml" xref="S1.p1.15.m15.1.1.3.2">𝛽</ci><apply id="S1.p1.15.m15.1.1.3.3.cmml" xref="S1.p1.15.m15.1.1.3.3"><times id="S1.p1.15.m15.1.1.3.3.1.cmml" xref="S1.p1.15.m15.1.1.3.3.1"></times><ci id="S1.p1.15.m15.1.1.3.3.2.cmml" xref="S1.p1.15.m15.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S1.p1.15.m15.1.1.3.3.3.cmml" xref="S1.p1.15.m15.1.1.3.3.3">𝛾</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.15.m15.1c">\overline{\rho}=\beta-i\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.15.m15.1d">over¯ start_ARG italic_ρ end_ARG = italic_β - italic_i italic_γ</annotation></semantics></math>. If <math alttext="\beta\neq 1/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.16.m16.1"><semantics id="S1.p1.16.m16.1a"><mrow id="S1.p1.16.m16.1.1" xref="S1.p1.16.m16.1.1.cmml"><mi id="S1.p1.16.m16.1.1.2" xref="S1.p1.16.m16.1.1.2.cmml">β</mi><mo id="S1.p1.16.m16.1.1.1" xref="S1.p1.16.m16.1.1.1.cmml">≠</mo><mrow id="S1.p1.16.m16.1.1.3" xref="S1.p1.16.m16.1.1.3.cmml"><mn id="S1.p1.16.m16.1.1.3.2" xref="S1.p1.16.m16.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S1.p1.16.m16.1.1.3.1" xref="S1.p1.16.m16.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S1.p1.16.m16.1.1.3.3" xref="S1.p1.16.m16.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.16.m16.1b"><apply id="S1.p1.16.m16.1.1.cmml" xref="S1.p1.16.m16.1.1"><neq id="S1.p1.16.m16.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.16.m16.1.1.1"></neq><ci id="S1.p1.16.m16.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.16.m16.1.1.2">𝛽</ci><apply id="S1.p1.16.m16.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.16.m16.1.1.3"><divide id="S1.p1.16.m16.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p1.16.m16.1.1.3.1"></divide><cn id="S1.p1.16.m16.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.p1.16.m16.1.1.3.2">1</cn><cn id="S1.p1.16.m16.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.p1.16.m16.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.16.m16.1c">\beta\neq 1/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.16.m16.1d">italic_β ≠ 1 / 2</annotation></semantics></math> we obtain by the functional equation and the reflection principle four zeros <math alttext="\rho=\beta+i\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.17.m17.1"><semantics id="S1.p1.17.m17.1a"><mrow id="S1.p1.17.m17.1.1" xref="S1.p1.17.m17.1.1.cmml"><mi id="S1.p1.17.m17.1.1.2" xref="S1.p1.17.m17.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S1.p1.17.m17.1.1.1" xref="S1.p1.17.m17.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S1.p1.17.m17.1.1.3" xref="S1.p1.17.m17.1.1.3.cmml"><mi id="S1.p1.17.m17.1.1.3.2" xref="S1.p1.17.m17.1.1.3.2.cmml">β</mi><mo id="S1.p1.17.m17.1.1.3.1" xref="S1.p1.17.m17.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S1.p1.17.m17.1.1.3.3" xref="S1.p1.17.m17.1.1.3.3.cmml"><mi id="S1.p1.17.m17.1.1.3.3.2" xref="S1.p1.17.m17.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S1.p1.17.m17.1.1.3.3.1" xref="S1.p1.17.m17.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p1.17.m17.1.1.3.3.3" xref="S1.p1.17.m17.1.1.3.3.3.cmml">γ</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.17.m17.1b"><apply id="S1.p1.17.m17.1.1.cmml" xref="S1.p1.17.m17.1.1"><eq id="S1.p1.17.m17.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.17.m17.1.1.1"></eq><ci id="S1.p1.17.m17.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.17.m17.1.1.2">𝜌</ci><apply id="S1.p1.17.m17.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.17.m17.1.1.3"><plus id="S1.p1.17.m17.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p1.17.m17.1.1.3.1"></plus><ci id="S1.p1.17.m17.1.1.3.2.cmml" xref="S1.p1.17.m17.1.1.3.2">𝛽</ci><apply id="S1.p1.17.m17.1.1.3.3.cmml" xref="S1.p1.17.m17.1.1.3.3"><times id="S1.p1.17.m17.1.1.3.3.1.cmml" xref="S1.p1.17.m17.1.1.3.3.1"></times><ci id="S1.p1.17.m17.1.1.3.3.2.cmml" xref="S1.p1.17.m17.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S1.p1.17.m17.1.1.3.3.3.cmml" xref="S1.p1.17.m17.1.1.3.3.3">𝛾</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.17.m17.1c">\rho=\beta+i\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.17.m17.1d">italic_ρ = italic_β + italic_i italic_γ</annotation></semantics></math>, <math alttext="\overline{\rho}=\beta-i\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.18.m18.1"><semantics id="S1.p1.18.m18.1a"><mrow id="S1.p1.18.m18.1.1" xref="S1.p1.18.m18.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S1.p1.18.m18.1.1.2" xref="S1.p1.18.m18.1.1.2.cmml"><mi id="S1.p1.18.m18.1.1.2.2" xref="S1.p1.18.m18.1.1.2.2.cmml">ρ</mi><mo id="S1.p1.18.m18.1.1.2.1" xref="S1.p1.18.m18.1.1.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S1.p1.18.m18.1.1.1" xref="S1.p1.18.m18.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S1.p1.18.m18.1.1.3" xref="S1.p1.18.m18.1.1.3.cmml"><mi id="S1.p1.18.m18.1.1.3.2" xref="S1.p1.18.m18.1.1.3.2.cmml">β</mi><mo id="S1.p1.18.m18.1.1.3.1" xref="S1.p1.18.m18.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S1.p1.18.m18.1.1.3.3" xref="S1.p1.18.m18.1.1.3.3.cmml"><mi id="S1.p1.18.m18.1.1.3.3.2" xref="S1.p1.18.m18.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S1.p1.18.m18.1.1.3.3.1" xref="S1.p1.18.m18.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p1.18.m18.1.1.3.3.3" xref="S1.p1.18.m18.1.1.3.3.3.cmml">γ</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.18.m18.1b"><apply id="S1.p1.18.m18.1.1.cmml" xref="S1.p1.18.m18.1.1"><eq id="S1.p1.18.m18.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.18.m18.1.1.1"></eq><apply id="S1.p1.18.m18.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.18.m18.1.1.2"><ci id="S1.p1.18.m18.1.1.2.1.cmml" xref="S1.p1.18.m18.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S1.p1.18.m18.1.1.2.2.cmml" xref="S1.p1.18.m18.1.1.2.2">𝜌</ci></apply><apply id="S1.p1.18.m18.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.18.m18.1.1.3"><minus id="S1.p1.18.m18.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p1.18.m18.1.1.3.1"></minus><ci id="S1.p1.18.m18.1.1.3.2.cmml" xref="S1.p1.18.m18.1.1.3.2">𝛽</ci><apply id="S1.p1.18.m18.1.1.3.3.cmml" xref="S1.p1.18.m18.1.1.3.3"><times id="S1.p1.18.m18.1.1.3.3.1.cmml" xref="S1.p1.18.m18.1.1.3.3.1"></times><ci id="S1.p1.18.m18.1.1.3.3.2.cmml" xref="S1.p1.18.m18.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S1.p1.18.m18.1.1.3.3.3.cmml" xref="S1.p1.18.m18.1.1.3.3.3">𝛾</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.18.m18.1c">\overline{\rho}=\beta-i\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.18.m18.1d">over¯ start_ARG italic_ρ end_ARG = italic_β - italic_i italic_γ</annotation></semantics></math>, <math alttext="1-\rho=1-\beta-i\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.19.m19.1"><semantics id="S1.p1.19.m19.1a"><mrow id="S1.p1.19.m19.1.1" xref="S1.p1.19.m19.1.1.cmml"><mrow id="S1.p1.19.m19.1.1.2" xref="S1.p1.19.m19.1.1.2.cmml"><mn id="S1.p1.19.m19.1.1.2.2" xref="S1.p1.19.m19.1.1.2.2.cmml">1</mn><mo id="S1.p1.19.m19.1.1.2.1" xref="S1.p1.19.m19.1.1.2.1.cmml">−</mo><mi id="S1.p1.19.m19.1.1.2.3" xref="S1.p1.19.m19.1.1.2.3.cmml">ρ</mi></mrow><mo id="S1.p1.19.m19.1.1.1" xref="S1.p1.19.m19.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S1.p1.19.m19.1.1.3" xref="S1.p1.19.m19.1.1.3.cmml"><mn id="S1.p1.19.m19.1.1.3.2" xref="S1.p1.19.m19.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S1.p1.19.m19.1.1.3.1" xref="S1.p1.19.m19.1.1.3.1.cmml">−</mo><mi id="S1.p1.19.m19.1.1.3.3" xref="S1.p1.19.m19.1.1.3.3.cmml">β</mi><mo id="S1.p1.19.m19.1.1.3.1a" xref="S1.p1.19.m19.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S1.p1.19.m19.1.1.3.4" xref="S1.p1.19.m19.1.1.3.4.cmml"><mi id="S1.p1.19.m19.1.1.3.4.2" xref="S1.p1.19.m19.1.1.3.4.2.cmml">i</mi><mo id="S1.p1.19.m19.1.1.3.4.1" xref="S1.p1.19.m19.1.1.3.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p1.19.m19.1.1.3.4.3" xref="S1.p1.19.m19.1.1.3.4.3.cmml">γ</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.19.m19.1b"><apply id="S1.p1.19.m19.1.1.cmml" xref="S1.p1.19.m19.1.1"><eq id="S1.p1.19.m19.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.19.m19.1.1.1"></eq><apply id="S1.p1.19.m19.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.19.m19.1.1.2"><minus id="S1.p1.19.m19.1.1.2.1.cmml" xref="S1.p1.19.m19.1.1.2.1"></minus><cn id="S1.p1.19.m19.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S1.p1.19.m19.1.1.2.2">1</cn><ci id="S1.p1.19.m19.1.1.2.3.cmml" xref="S1.p1.19.m19.1.1.2.3">𝜌</ci></apply><apply id="S1.p1.19.m19.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.19.m19.1.1.3"><minus id="S1.p1.19.m19.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p1.19.m19.1.1.3.1"></minus><cn id="S1.p1.19.m19.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.p1.19.m19.1.1.3.2">1</cn><ci id="S1.p1.19.m19.1.1.3.3.cmml" xref="S1.p1.19.m19.1.1.3.3">𝛽</ci><apply id="S1.p1.19.m19.1.1.3.4.cmml" xref="S1.p1.19.m19.1.1.3.4"><times id="S1.p1.19.m19.1.1.3.4.1.cmml" xref="S1.p1.19.m19.1.1.3.4.1"></times><ci id="S1.p1.19.m19.1.1.3.4.2.cmml" xref="S1.p1.19.m19.1.1.3.4.2">𝑖</ci><ci id="S1.p1.19.m19.1.1.3.4.3.cmml" xref="S1.p1.19.m19.1.1.3.4.3">𝛾</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.19.m19.1c">1-\rho=1-\beta-i\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.19.m19.1d">1 - italic_ρ = 1 - italic_β - italic_i italic_γ</annotation></semantics></math>, and <math alttext="1-\overline{\rho}=1-\beta+i\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.20.m20.1"><semantics id="S1.p1.20.m20.1a"><mrow id="S1.p1.20.m20.1.1" xref="S1.p1.20.m20.1.1.cmml"><mrow id="S1.p1.20.m20.1.1.2" xref="S1.p1.20.m20.1.1.2.cmml"><mn id="S1.p1.20.m20.1.1.2.2" xref="S1.p1.20.m20.1.1.2.2.cmml">1</mn><mo id="S1.p1.20.m20.1.1.2.1" xref="S1.p1.20.m20.1.1.2.1.cmml">−</mo><mover accent="true" id="S1.p1.20.m20.1.1.2.3" xref="S1.p1.20.m20.1.1.2.3.cmml"><mi id="S1.p1.20.m20.1.1.2.3.2" xref="S1.p1.20.m20.1.1.2.3.2.cmml">ρ</mi><mo id="S1.p1.20.m20.1.1.2.3.1" xref="S1.p1.20.m20.1.1.2.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><mo id="S1.p1.20.m20.1.1.1" xref="S1.p1.20.m20.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S1.p1.20.m20.1.1.3" xref="S1.p1.20.m20.1.1.3.cmml"><mrow id="S1.p1.20.m20.1.1.3.2" xref="S1.p1.20.m20.1.1.3.2.cmml"><mn id="S1.p1.20.m20.1.1.3.2.2" xref="S1.p1.20.m20.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="S1.p1.20.m20.1.1.3.2.1" xref="S1.p1.20.m20.1.1.3.2.1.cmml">−</mo><mi id="S1.p1.20.m20.1.1.3.2.3" xref="S1.p1.20.m20.1.1.3.2.3.cmml">β</mi></mrow><mo id="S1.p1.20.m20.1.1.3.1" xref="S1.p1.20.m20.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S1.p1.20.m20.1.1.3.3" xref="S1.p1.20.m20.1.1.3.3.cmml"><mi id="S1.p1.20.m20.1.1.3.3.2" xref="S1.p1.20.m20.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S1.p1.20.m20.1.1.3.3.1" xref="S1.p1.20.m20.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p1.20.m20.1.1.3.3.3" xref="S1.p1.20.m20.1.1.3.3.3.cmml">γ</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.20.m20.1b"><apply id="S1.p1.20.m20.1.1.cmml" xref="S1.p1.20.m20.1.1"><eq id="S1.p1.20.m20.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.20.m20.1.1.1"></eq><apply id="S1.p1.20.m20.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.20.m20.1.1.2"><minus id="S1.p1.20.m20.1.1.2.1.cmml" xref="S1.p1.20.m20.1.1.2.1"></minus><cn id="S1.p1.20.m20.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S1.p1.20.m20.1.1.2.2">1</cn><apply id="S1.p1.20.m20.1.1.2.3.cmml" xref="S1.p1.20.m20.1.1.2.3"><ci id="S1.p1.20.m20.1.1.2.3.1.cmml" xref="S1.p1.20.m20.1.1.2.3.1">¯</ci><ci id="S1.p1.20.m20.1.1.2.3.2.cmml" xref="S1.p1.20.m20.1.1.2.3.2">𝜌</ci></apply></apply><apply id="S1.p1.20.m20.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.20.m20.1.1.3"><plus id="S1.p1.20.m20.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p1.20.m20.1.1.3.1"></plus><apply id="S1.p1.20.m20.1.1.3.2.cmml" xref="S1.p1.20.m20.1.1.3.2"><minus id="S1.p1.20.m20.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.p1.20.m20.1.1.3.2.1"></minus><cn id="S1.p1.20.m20.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S1.p1.20.m20.1.1.3.2.2">1</cn><ci id="S1.p1.20.m20.1.1.3.2.3.cmml" xref="S1.p1.20.m20.1.1.3.2.3">𝛽</ci></apply><apply id="S1.p1.20.m20.1.1.3.3.cmml" xref="S1.p1.20.m20.1.1.3.3"><times id="S1.p1.20.m20.1.1.3.3.1.cmml" xref="S1.p1.20.m20.1.1.3.3.1"></times><ci id="S1.p1.20.m20.1.1.3.3.2.cmml" xref="S1.p1.20.m20.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S1.p1.20.m20.1.1.3.3.3.cmml" xref="S1.p1.20.m20.1.1.3.3.3">𝛾</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.20.m20.1c">1-\overline{\rho}=1-\beta+i\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.20.m20.1d">1 - over¯ start_ARG italic_ρ end_ARG = 1 - italic_β + italic_i italic_γ</annotation></semantics></math> symmetric with respect to both the real axis and the critical line. As usual, we only need to consider zeros with <math alttext="\gamma>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.21.m21.1"><semantics id="S1.p1.21.m21.1a"><mrow id="S1.p1.21.m21.1.1" xref="S1.p1.21.m21.1.1.cmml"><mi id="S1.p1.21.m21.1.1.2" xref="S1.p1.21.m21.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S1.p1.21.m21.1.1.1" xref="S1.p1.21.m21.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S1.p1.21.m21.1.1.3" xref="S1.p1.21.m21.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.21.m21.1b"><apply id="S1.p1.21.m21.1.1.cmml" xref="S1.p1.21.m21.1.1"><gt id="S1.p1.21.m21.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.21.m21.1.1.1"></gt><ci id="S1.p1.21.m21.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.21.m21.1.1.2">𝛾</ci><cn id="S1.p1.21.m21.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.p1.21.m21.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.21.m21.1c">\gamma>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.21.m21.1d">italic_γ > 0</annotation></semantics></math> above the real axis which we divide into two disjoint sets: 1) zeros on the critical line with <math alttext="\beta=1/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.22.m22.1"><semantics id="S1.p1.22.m22.1a"><mrow id="S1.p1.22.m22.1.1" xref="S1.p1.22.m22.1.1.cmml"><mi id="S1.p1.22.m22.1.1.2" xref="S1.p1.22.m22.1.1.2.cmml">β</mi><mo id="S1.p1.22.m22.1.1.1" xref="S1.p1.22.m22.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S1.p1.22.m22.1.1.3" xref="S1.p1.22.m22.1.1.3.cmml"><mn id="S1.p1.22.m22.1.1.3.2" xref="S1.p1.22.m22.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S1.p1.22.m22.1.1.3.1" xref="S1.p1.22.m22.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S1.p1.22.m22.1.1.3.3" xref="S1.p1.22.m22.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.22.m22.1b"><apply id="S1.p1.22.m22.1.1.cmml" xref="S1.p1.22.m22.1.1"><eq id="S1.p1.22.m22.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.22.m22.1.1.1"></eq><ci id="S1.p1.22.m22.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.22.m22.1.1.2">𝛽</ci><apply id="S1.p1.22.m22.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.22.m22.1.1.3"><divide id="S1.p1.22.m22.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p1.22.m22.1.1.3.1"></divide><cn id="S1.p1.22.m22.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.p1.22.m22.1.1.3.2">1</cn><cn id="S1.p1.22.m22.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.p1.22.m22.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.22.m22.1c">\beta=1/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.22.m22.1d">italic_β = 1 / 2</annotation></semantics></math>, and 2) symmetric pairs of zeros <math alttext="\rho=\beta+i\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.23.m23.1"><semantics id="S1.p1.23.m23.1a"><mrow id="S1.p1.23.m23.1.1" xref="S1.p1.23.m23.1.1.cmml"><mi id="S1.p1.23.m23.1.1.2" xref="S1.p1.23.m23.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S1.p1.23.m23.1.1.1" xref="S1.p1.23.m23.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S1.p1.23.m23.1.1.3" xref="S1.p1.23.m23.1.1.3.cmml"><mi id="S1.p1.23.m23.1.1.3.2" xref="S1.p1.23.m23.1.1.3.2.cmml">β</mi><mo id="S1.p1.23.m23.1.1.3.1" xref="S1.p1.23.m23.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S1.p1.23.m23.1.1.3.3" xref="S1.p1.23.m23.1.1.3.3.cmml"><mi id="S1.p1.23.m23.1.1.3.3.2" xref="S1.p1.23.m23.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S1.p1.23.m23.1.1.3.3.1" xref="S1.p1.23.m23.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p1.23.m23.1.1.3.3.3" xref="S1.p1.23.m23.1.1.3.3.3.cmml">γ</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.23.m23.1b"><apply id="S1.p1.23.m23.1.1.cmml" xref="S1.p1.23.m23.1.1"><eq id="S1.p1.23.m23.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.23.m23.1.1.1"></eq><ci id="S1.p1.23.m23.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.23.m23.1.1.2">𝜌</ci><apply id="S1.p1.23.m23.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.23.m23.1.1.3"><plus id="S1.p1.23.m23.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p1.23.m23.1.1.3.1"></plus><ci id="S1.p1.23.m23.1.1.3.2.cmml" xref="S1.p1.23.m23.1.1.3.2">𝛽</ci><apply id="S1.p1.23.m23.1.1.3.3.cmml" xref="S1.p1.23.m23.1.1.3.3"><times id="S1.p1.23.m23.1.1.3.3.1.cmml" xref="S1.p1.23.m23.1.1.3.3.1"></times><ci id="S1.p1.23.m23.1.1.3.3.2.cmml" xref="S1.p1.23.m23.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S1.p1.23.m23.1.1.3.3.3.cmml" xref="S1.p1.23.m23.1.1.3.3.3">𝛾</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.23.m23.1c">\rho=\beta+i\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.23.m23.1d">italic_ρ = italic_β + italic_i italic_γ</annotation></semantics></math> and <math alttext="1-\overline{\rho}=1-\beta+i\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.24.m24.1"><semantics id="S1.p1.24.m24.1a"><mrow id="S1.p1.24.m24.1.1" xref="S1.p1.24.m24.1.1.cmml"><mrow id="S1.p1.24.m24.1.1.2" xref="S1.p1.24.m24.1.1.2.cmml"><mn id="S1.p1.24.m24.1.1.2.2" xref="S1.p1.24.m24.1.1.2.2.cmml">1</mn><mo id="S1.p1.24.m24.1.1.2.1" xref="S1.p1.24.m24.1.1.2.1.cmml">−</mo><mover accent="true" id="S1.p1.24.m24.1.1.2.3" xref="S1.p1.24.m24.1.1.2.3.cmml"><mi id="S1.p1.24.m24.1.1.2.3.2" xref="S1.p1.24.m24.1.1.2.3.2.cmml">ρ</mi><mo id="S1.p1.24.m24.1.1.2.3.1" xref="S1.p1.24.m24.1.1.2.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><mo id="S1.p1.24.m24.1.1.1" xref="S1.p1.24.m24.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S1.p1.24.m24.1.1.3" xref="S1.p1.24.m24.1.1.3.cmml"><mrow id="S1.p1.24.m24.1.1.3.2" xref="S1.p1.24.m24.1.1.3.2.cmml"><mn id="S1.p1.24.m24.1.1.3.2.2" xref="S1.p1.24.m24.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="S1.p1.24.m24.1.1.3.2.1" xref="S1.p1.24.m24.1.1.3.2.1.cmml">−</mo><mi id="S1.p1.24.m24.1.1.3.2.3" xref="S1.p1.24.m24.1.1.3.2.3.cmml">β</mi></mrow><mo id="S1.p1.24.m24.1.1.3.1" xref="S1.p1.24.m24.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S1.p1.24.m24.1.1.3.3" xref="S1.p1.24.m24.1.1.3.3.cmml"><mi id="S1.p1.24.m24.1.1.3.3.2" xref="S1.p1.24.m24.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S1.p1.24.m24.1.1.3.3.1" xref="S1.p1.24.m24.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p1.24.m24.1.1.3.3.3" xref="S1.p1.24.m24.1.1.3.3.3.cmml">γ</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.24.m24.1b"><apply id="S1.p1.24.m24.1.1.cmml" xref="S1.p1.24.m24.1.1"><eq id="S1.p1.24.m24.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.24.m24.1.1.1"></eq><apply id="S1.p1.24.m24.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.24.m24.1.1.2"><minus id="S1.p1.24.m24.1.1.2.1.cmml" xref="S1.p1.24.m24.1.1.2.1"></minus><cn id="S1.p1.24.m24.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S1.p1.24.m24.1.1.2.2">1</cn><apply id="S1.p1.24.m24.1.1.2.3.cmml" xref="S1.p1.24.m24.1.1.2.3"><ci id="S1.p1.24.m24.1.1.2.3.1.cmml" xref="S1.p1.24.m24.1.1.2.3.1">¯</ci><ci id="S1.p1.24.m24.1.1.2.3.2.cmml" xref="S1.p1.24.m24.1.1.2.3.2">𝜌</ci></apply></apply><apply id="S1.p1.24.m24.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.24.m24.1.1.3"><plus id="S1.p1.24.m24.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p1.24.m24.1.1.3.1"></plus><apply id="S1.p1.24.m24.1.1.3.2.cmml" xref="S1.p1.24.m24.1.1.3.2"><minus id="S1.p1.24.m24.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.p1.24.m24.1.1.3.2.1"></minus><cn id="S1.p1.24.m24.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S1.p1.24.m24.1.1.3.2.2">1</cn><ci id="S1.p1.24.m24.1.1.3.2.3.cmml" xref="S1.p1.24.m24.1.1.3.2.3">𝛽</ci></apply><apply id="S1.p1.24.m24.1.1.3.3.cmml" xref="S1.p1.24.m24.1.1.3.3"><times id="S1.p1.24.m24.1.1.3.3.1.cmml" xref="S1.p1.24.m24.1.1.3.3.1"></times><ci id="S1.p1.24.m24.1.1.3.3.2.cmml" xref="S1.p1.24.m24.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S1.p1.24.m24.1.1.3.3.3.cmml" xref="S1.p1.24.m24.1.1.3.3.3">𝛾</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.24.m24.1c">1-\overline{\rho}=1-\beta+i\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.24.m24.1d">1 - over¯ start_ARG italic_ρ end_ARG = 1 - italic_β + italic_i italic_γ</annotation></semantics></math>, with <math alttext="\beta\neq 1/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.25.m25.1"><semantics id="S1.p1.25.m25.1a"><mrow id="S1.p1.25.m25.1.1" xref="S1.p1.25.m25.1.1.cmml"><mi id="S1.p1.25.m25.1.1.2" xref="S1.p1.25.m25.1.1.2.cmml">β</mi><mo id="S1.p1.25.m25.1.1.1" xref="S1.p1.25.m25.1.1.1.cmml">≠</mo><mrow id="S1.p1.25.m25.1.1.3" xref="S1.p1.25.m25.1.1.3.cmml"><mn id="S1.p1.25.m25.1.1.3.2" xref="S1.p1.25.m25.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S1.p1.25.m25.1.1.3.1" xref="S1.p1.25.m25.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S1.p1.25.m25.1.1.3.3" xref="S1.p1.25.m25.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.25.m25.1b"><apply id="S1.p1.25.m25.1.1.cmml" xref="S1.p1.25.m25.1.1"><neq id="S1.p1.25.m25.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.25.m25.1.1.1"></neq><ci id="S1.p1.25.m25.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.25.m25.1.1.2">𝛽</ci><apply id="S1.p1.25.m25.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.25.m25.1.1.3"><divide id="S1.p1.25.m25.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p1.25.m25.1.1.3.1"></divide><cn id="S1.p1.25.m25.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.p1.25.m25.1.1.3.2">1</cn><cn id="S1.p1.25.m25.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.p1.25.m25.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.25.m25.1c">\beta\neq 1/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.25.m25.1d">italic_β ≠ 1 / 2</annotation></semantics></math>. This classification will be important later.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p2"> <p class="ltx_p" id="S1.p2.3">Let <math alttext="N(T)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p2.1.m1.1"><semantics id="S1.p2.1.m1.1a"><mrow id="S1.p2.1.m1.1.2" xref="S1.p2.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S1.p2.1.m1.1.2.2" xref="S1.p2.1.m1.1.2.2.cmml">N</mi><mo id="S1.p2.1.m1.1.2.1" xref="S1.p2.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p2.1.m1.1.2.3.2" xref="S1.p2.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S1.p2.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.p2.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S1.p2.1.m1.1.1" xref="S1.p2.1.m1.1.1.cmml">T</mi><mo id="S1.p2.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.p2.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p2.1.m1.1b"><apply id="S1.p2.1.m1.1.2.cmml" xref="S1.p2.1.m1.1.2"><times id="S1.p2.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S1.p2.1.m1.1.2.1"></times><ci id="S1.p2.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S1.p2.1.m1.1.2.2">𝑁</ci><ci id="S1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p2.1.m1.1.1">𝑇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p2.1.m1.1c">N(T)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p2.1.m1.1d">italic_N ( italic_T )</annotation></semantics></math> denote the number of zeros of <math alttext="\zeta(s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p2.2.m2.1"><semantics id="S1.p2.2.m2.1a"><mrow id="S1.p2.2.m2.1.2" xref="S1.p2.2.m2.1.2.cmml"><mi id="S1.p2.2.m2.1.2.2" xref="S1.p2.2.m2.1.2.2.cmml">ζ</mi><mo id="S1.p2.2.m2.1.2.1" xref="S1.p2.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p2.2.m2.1.2.3.2" xref="S1.p2.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S1.p2.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.p2.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S1.p2.2.m2.1.1" xref="S1.p2.2.m2.1.1.cmml">s</mi><mo id="S1.p2.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.p2.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p2.2.m2.1b"><apply id="S1.p2.2.m2.1.2.cmml" xref="S1.p2.2.m2.1.2"><times id="S1.p2.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S1.p2.2.m2.1.2.1"></times><ci id="S1.p2.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S1.p2.2.m2.1.2.2">𝜁</ci><ci id="S1.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p2.2.m2.1.1">𝑠</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p2.2.m2.1c">\zeta(s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p2.2.m2.1d">italic_ζ ( italic_s )</annotation></semantics></math> above the real axis up to height <math alttext="T" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p2.3.m3.1"><semantics id="S1.p2.3.m3.1a"><mi id="S1.p2.3.m3.1.1" xref="S1.p2.3.m3.1.1.cmml">T</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p2.3.m3.1b"><ci id="S1.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.p2.3.m3.1.1">𝑇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p2.3.m3.1c">T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p2.3.m3.1d">italic_T</annotation></semantics></math>, counted with multiplicity. Then by <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#bib.bibx9" title="">Tit86</a>, Theorem 9.4]</cite></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S1.E1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(1.1)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="N(T):=\sum_{\begin{subarray}{c}\rho\\ 0<\gamma\leq T\end{subarray}}1\sim\frac{T}{2\pi}{\log T}=TL," class="ltx_Math" display="block" id="S1.E1.m1.3"><semantics id="S1.E1.m1.3a"><mrow id="S1.E1.m1.3.3.1" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S1.E1.m1.3.3.1.1" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S1.E1.m1.3.3.1.1.2" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.cmml">N</mi><mo id="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.1" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.3.2" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S1.E1.m1.2.2" xref="S1.E1.m1.2.2.cmml">T</mi><mo id="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.3.2.2" rspace="0.278em" stretchy="false" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3" rspace="0.111em" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.cmml">:=</mo><mrow id="S1.E1.m1.3.3.1.1.4" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.4.cmml"><munder id="S1.E1.m1.3.3.1.1.4.1" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.4.1.cmml"><mo id="S1.E1.m1.3.3.1.1.4.1.2" movablelimits="false" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.4.1.2.cmml">∑</mo><mtable id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S1.E1.m1.1.1.1.2.cmml"><mtr id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="S1.E1.m1.1.1.1.2.cmml"><mtd id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1b" xref="S1.E1.m1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">ρ</mi></mtd></mtr><mtr id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1c" xref="S1.E1.m1.1.1.1.2.cmml"><mtd id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1d" xref="S1.E1.m1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mn id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">0</mn><mo id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml"><</mo><mi id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.4" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.4.cmml">γ</mi><mo id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.5" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.5.cmml">≤</mo><mi id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.6" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.6.cmml">T</mi></mrow></mtd></mtr></mtable></munder><mn id="S1.E1.m1.3.3.1.1.4.2" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.4.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S1.E1.m1.3.3.1.1.5" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.5.cmml">∼</mo><mrow id="S1.E1.m1.3.3.1.1.6" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.6.cmml"><mfrac id="S1.E1.m1.3.3.1.1.6.2" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.6.2.cmml"><mi id="S1.E1.m1.3.3.1.1.6.2.2" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.6.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S1.E1.m1.3.3.1.1.6.2.3" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.6.2.3.cmml"><mn id="S1.E1.m1.3.3.1.1.6.2.3.2" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.6.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S1.E1.m1.3.3.1.1.6.2.3.1" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.6.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E1.m1.3.3.1.1.6.2.3.3" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.6.2.3.3.cmml">π</mi></mrow></mfrac><mo id="S1.E1.m1.3.3.1.1.6.1" lspace="0.167em" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E1.m1.3.3.1.1.6.3" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.6.3.cmml"><mi id="S1.E1.m1.3.3.1.1.6.3.1" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.6.3.1.cmml">log</mi><mo id="S1.E1.m1.3.3.1.1.6.3a" lspace="0.167em" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.6.3.cmml">⁡</mo><mi id="S1.E1.m1.3.3.1.1.6.3.2" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.6.3.2.cmml">T</mi></mrow></mrow><mo id="S1.E1.m1.3.3.1.1.7" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.7.cmml">=</mo><mrow id="S1.E1.m1.3.3.1.1.8" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.8.cmml"><mi id="S1.E1.m1.3.3.1.1.8.2" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.8.2.cmml">T</mi><mo id="S1.E1.m1.3.3.1.1.8.1" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.8.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E1.m1.3.3.1.1.8.3" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.8.3.cmml">L</mi></mrow></mrow><mo id="S1.E1.m1.3.3.1.2" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E1.m1.3b"><apply id="S1.E1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1"><and id="S1.E1.m1.3.3.1.1a.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1"></and><apply id="S1.E1.m1.3.3.1.1b.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3">assign</csymbol><apply id="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.2"><times id="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.1"></times><ci id="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2">𝑁</ci><ci id="S1.E1.m1.2.2.cmml" xref="S1.E1.m1.2.2">𝑇</ci></apply><apply id="S1.E1.m1.3.3.1.1.4.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.4"><apply id="S1.E1.m1.3.3.1.1.4.1.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E1.m1.3.3.1.1.4.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.4.1">subscript</csymbol><sum id="S1.E1.m1.3.3.1.1.4.1.2.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.4.1.2"></sum><list id="S1.E1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1"><matrix id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1"><matrixrow id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1"><ci id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">𝜌</ci></matrixrow><matrixrow id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><and id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1a.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"></and><apply id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1b.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><lt id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3"></lt><cn id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2">0</cn><ci id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.4.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.4">𝛾</ci></apply><apply id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1c.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><leq id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.5.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.4.cmml" id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1d.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"></share><ci id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.6.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.6">𝑇</ci></apply></apply></matrixrow></matrix></list></apply><cn id="S1.E1.m1.3.3.1.1.4.2.cmml" type="integer" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.4.2">1</cn></apply></apply><apply id="S1.E1.m1.3.3.1.1c.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.E1.m1.3.3.1.1.5.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.5">similar-to</csymbol><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S1.E1.m1.3.3.1.1.4.cmml" id="S1.E1.m1.3.3.1.1d.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1"></share><apply id="S1.E1.m1.3.3.1.1.6.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.6"><times id="S1.E1.m1.3.3.1.1.6.1.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.6.1"></times><apply id="S1.E1.m1.3.3.1.1.6.2.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.6.2"><divide id="S1.E1.m1.3.3.1.1.6.2.1.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.6.2"></divide><ci id="S1.E1.m1.3.3.1.1.6.2.2.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.6.2.2">𝑇</ci><apply id="S1.E1.m1.3.3.1.1.6.2.3.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.6.2.3"><times id="S1.E1.m1.3.3.1.1.6.2.3.1.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.6.2.3.1"></times><cn id="S1.E1.m1.3.3.1.1.6.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.6.2.3.2">2</cn><ci id="S1.E1.m1.3.3.1.1.6.2.3.3.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.6.2.3.3">𝜋</ci></apply></apply><apply id="S1.E1.m1.3.3.1.1.6.3.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.6.3"><log id="S1.E1.m1.3.3.1.1.6.3.1.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.6.3.1"></log><ci id="S1.E1.m1.3.3.1.1.6.3.2.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.6.3.2">𝑇</ci></apply></apply></apply><apply id="S1.E1.m1.3.3.1.1e.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1"><eq id="S1.E1.m1.3.3.1.1.7.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.7"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S1.E1.m1.3.3.1.1.6.cmml" id="S1.E1.m1.3.3.1.1f.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1"></share><apply id="S1.E1.m1.3.3.1.1.8.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.8"><times id="S1.E1.m1.3.3.1.1.8.1.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.8.1"></times><ci id="S1.E1.m1.3.3.1.1.8.2.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.8.2">𝑇</ci><ci id="S1.E1.m1.3.3.1.1.8.3.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.8.3">𝐿</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E1.m1.3c">N(T):=\sum_{\begin{subarray}{c}\rho\\ 0<\gamma\leq T\end{subarray}}1\sim\frac{T}{2\pi}{\log T}=TL,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E1.m1.3d">italic_N ( italic_T ) := ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_ρ end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 < italic_γ ≤ italic_T end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT 1 ∼ divide start_ARG italic_T end_ARG start_ARG 2 italic_π end_ARG roman_log italic_T = italic_T italic_L ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.p2.5">where we introduce the notation we will use throughout this paper</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S1.E2"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(1.2)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="L:=\frac{1}{2\pi}\log T," class="ltx_Math" display="block" id="S1.E2.m1.1"><semantics id="S1.E2.m1.1a"><mrow id="S1.E2.m1.1.1.1" xref="S1.E2.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S1.E2.m1.1.1.1.1" xref="S1.E2.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.E2.m1.1.1.1.1.2" xref="S1.E2.m1.1.1.1.1.2.cmml">L</mi><mo id="S1.E2.m1.1.1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S1.E2.m1.1.1.1.1.1.cmml">:=</mo><mrow id="S1.E2.m1.1.1.1.1.3" xref="S1.E2.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S1.E2.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S1.E2.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S1.E2.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S1.E2.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S1.E2.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S1.E2.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mn id="S1.E2.m1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S1.E2.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S1.E2.m1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S1.E2.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E2.m1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S1.E2.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">π</mi></mrow></mfrac><mo id="S1.E2.m1.1.1.1.1.3.1" lspace="0.167em" xref="S1.E2.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E2.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S1.E2.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S1.E2.m1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S1.E2.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">log</mi><mo id="S1.E2.m1.1.1.1.1.3.3a" lspace="0.167em" xref="S1.E2.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">⁡</mo><mi id="S1.E2.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S1.E2.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">T</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.E2.m1.1.1.1.2" xref="S1.E2.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E2.m1.1b"><apply id="S1.E2.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E2.m1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.E2.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E2.m1.1.1.1.1.1">assign</csymbol><ci id="S1.E2.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E2.m1.1.1.1.1.2">𝐿</ci><apply id="S1.E2.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E2.m1.1.1.1.1.3"><times id="S1.E2.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E2.m1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S1.E2.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E2.m1.1.1.1.1.3.2"><divide id="S1.E2.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.E2.m1.1.1.1.1.3.2"></divide><cn id="S1.E2.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S1.E2.m1.1.1.1.1.3.2.2">1</cn><apply id="S1.E2.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S1.E2.m1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S1.E2.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S1.E2.m1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><cn id="S1.E2.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.E2.m1.1.1.1.1.3.2.3.2">2</cn><ci id="S1.E2.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S1.E2.m1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝜋</ci></apply></apply><apply id="S1.E2.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.E2.m1.1.1.1.1.3.3"><log id="S1.E2.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S1.E2.m1.1.1.1.1.3.3.1"></log><ci id="S1.E2.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S1.E2.m1.1.1.1.1.3.3.2">𝑇</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E2.m1.1c">L:=\frac{1}{2\pi}\log T,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E2.m1.1d">italic_L := divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 italic_π end_ARG roman_log italic_T ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.p2.4">thus by (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S1.E1" title="Equation 1.1 ‣ 1. Introduction and Statement of Results ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.1</span></a>), we see that the average vertical spacing between zeros is <math alttext="1/L" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p2.4.m1.1"><semantics id="S1.p2.4.m1.1a"><mrow id="S1.p2.4.m1.1.1" xref="S1.p2.4.m1.1.1.cmml"><mn id="S1.p2.4.m1.1.1.2" xref="S1.p2.4.m1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S1.p2.4.m1.1.1.1" xref="S1.p2.4.m1.1.1.1.cmml">/</mo><mi id="S1.p2.4.m1.1.1.3" xref="S1.p2.4.m1.1.1.3.cmml">L</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p2.4.m1.1b"><apply id="S1.p2.4.m1.1.1.cmml" xref="S1.p2.4.m1.1.1"><divide id="S1.p2.4.m1.1.1.1.cmml" xref="S1.p2.4.m1.1.1.1"></divide><cn id="S1.p2.4.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S1.p2.4.m1.1.1.2">1</cn><ci id="S1.p2.4.m1.1.1.3.cmml" xref="S1.p2.4.m1.1.1.3">𝐿</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p2.4.m1.1c">1/L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p2.4.m1.1d">1 / italic_L</annotation></semantics></math>. In the sum above, we count zeros with multiplicity so that, for example, a double zero is counted twice in the sum.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p3"> <p class="ltx_p" id="S1.p3.1">Following Gallagher and Mueller <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#bib.bibx5" title="">GM78</a>]</cite>, we now introduce the pair correlation counting function <math alttext="N(T,U)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p3.1.m1.2"><semantics id="S1.p3.1.m1.2a"><mrow id="S1.p3.1.m1.2.3" xref="S1.p3.1.m1.2.3.cmml"><mi id="S1.p3.1.m1.2.3.2" xref="S1.p3.1.m1.2.3.2.cmml">N</mi><mo id="S1.p3.1.m1.2.3.1" xref="S1.p3.1.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p3.1.m1.2.3.3.2" xref="S1.p3.1.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S1.p3.1.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.p3.1.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S1.p3.1.m1.1.1" xref="S1.p3.1.m1.1.1.cmml">T</mi><mo id="S1.p3.1.m1.2.3.3.2.2" xref="S1.p3.1.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S1.p3.1.m1.2.2" xref="S1.p3.1.m1.2.2.cmml">U</mi><mo id="S1.p3.1.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S1.p3.1.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p3.1.m1.2b"><apply id="S1.p3.1.m1.2.3.cmml" xref="S1.p3.1.m1.2.3"><times id="S1.p3.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S1.p3.1.m1.2.3.1"></times><ci id="S1.p3.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S1.p3.1.m1.2.3.2">𝑁</ci><interval closure="open" id="S1.p3.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S1.p3.1.m1.2.3.3.2"><ci id="S1.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p3.1.m1.1.1">𝑇</ci><ci id="S1.p3.1.m1.2.2.cmml" xref="S1.p3.1.m1.2.2">𝑈</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p3.1.m1.2c">N(T,U)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p3.1.m1.2d">italic_N ( italic_T , italic_U )</annotation></semantics></math> given by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S1.E3"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(1.3)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="N(T,U):=\sum_{\begin{subarray}{c}\rho,\rho^{\prime}\\ 0<\gamma,\gamma^{\prime}\leq T\\ 0<\gamma^{\prime}-\gamma\leq U\end{subarray}}1." class="ltx_Math" display="block" id="S1.E3.m1.4"><semantics id="S1.E3.m1.4a"><mrow id="S1.E3.m1.4.4.1" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S1.E3.m1.4.4.1.1" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mi id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.cmml">N</mi><mo id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.1" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.3.2" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S1.E3.m1.2.2" xref="S1.E3.m1.2.2.cmml">T</mi><mo id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.3.2.2" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S1.E3.m1.3.3" xref="S1.E3.m1.3.3.cmml">U</mi><mo id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.3.2.3" rspace="0.278em" stretchy="false" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.E3.m1.4.4.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.1.cmml">:=</mo><mrow id="S1.E3.m1.4.4.1.1.3" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.cmml"><munder id="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.1" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.1.cmml"><mo id="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.1.2" movablelimits="false" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.1.2.cmml">∑</mo><mtable id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S1.E3.m1.1.1.1.2.cmml"><mtr id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="S1.E3.m1.1.1.1.2.cmml"><mtd id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1b" xref="S1.E3.m1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">ρ</mi><mo id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msup id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3.cmml">′</mo></msup></mrow></mtd></mtr><mtr id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1c" xref="S1.E3.m1.1.1.1.2.cmml"><mtd id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1d" xref="S1.E3.m1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.4.cmml"><mrow id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.cmml"><mn id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2.cmml">0</mn><mo id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.cmml"><</mo><mi id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.3" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.4a.cmml">,</mo><mrow id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.cmml"><msup id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.cmml"><mi id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.2" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.3" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.1" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.1.cmml">≤</mo><mi id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.cmml">T</mi></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1e" xref="S1.E3.m1.1.1.1.2.cmml"><mtd id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1f" xref="S1.E3.m1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.cmml"><mn id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.2" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.2.cmml">0</mn><mo id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.3" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.3.cmml"><</mo><mrow id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4.cmml"><msup id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4.2" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4.2.cmml"><mi id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4.2.2" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4.2.3" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4.1" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4.1.cmml">−</mo><mi id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4.3" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4.3.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.5" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.5.cmml">≤</mo><mi id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.6" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.6.cmml">U</mi></mrow></mtd></mtr></mtable></munder><mn id="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></mrow><mo id="S1.E3.m1.4.4.1.2" lspace="0em" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E3.m1.4b"><apply id="S1.E3.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.E3.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.1">assign</csymbol><apply id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2"><times id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.1"></times><ci id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.2">𝑁</ci><interval closure="open" id="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.2.3.2"><ci id="S1.E3.m1.2.2.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2">𝑇</ci><ci id="S1.E3.m1.3.3.cmml" xref="S1.E3.m1.3.3">𝑈</ci></interval></apply><apply id="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.3"><apply id="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.1.1.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.1.2.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.1.2"></sum><list id="S1.E3.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1"><matrix id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1"><matrixrow id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1"><list id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2"><ci id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">𝜌</ci><apply id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2">𝜌</ci><ci id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3">′</ci></apply></list></matrixrow><matrixrow id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.4.cmml" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.4a.cmml" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1"><lt id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.cmml" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1"></lt><cn id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2.cmml" type="integer" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2">0</cn><ci id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1">𝛾</ci></apply><apply id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.cmml" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2"><leq id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.1.cmml" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.1"></leq><apply id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.cmml" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.2">𝛾</ci><ci id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.3">′</ci></apply><ci id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.cmml" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3">𝑇</ci></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1c.cmml" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.cmml" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1"><and id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1a.cmml" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1"></and><apply id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1b.cmml" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1"><lt id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.3.cmml" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.3"></lt><cn id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.2">0</cn><apply id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4.cmml" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4"><minus id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4.1.cmml" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4.1"></minus><apply id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4.2.cmml" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4.2.1.cmml" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4.2">superscript</csymbol><ci id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4.2.2.cmml" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4.2.2">𝛾</ci><ci id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4.2.3.cmml" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4.2.3">′</ci></apply><ci id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4.3.cmml" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4.3">𝛾</ci></apply></apply><apply id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1c.cmml" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1"><leq id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.5.cmml" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4.cmml" id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1d.cmml" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1"></share><ci id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.6.cmml" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.6">𝑈</ci></apply></apply></matrixrow></matrix></list></apply><cn id="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.E3.m1.4.4.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E3.m1.4c">N(T,U):=\sum_{\begin{subarray}{c}\rho,\rho^{\prime}\\ 0<\gamma,\gamma^{\prime}\leq T\\ 0<\gamma^{\prime}-\gamma\leq U\end{subarray}}1.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E3.m1.4d">italic_N ( italic_T , italic_U ) := ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_ρ , italic_ρ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 < italic_γ , italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ≤ italic_T end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 < italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT - italic_γ ≤ italic_U end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT 1 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.p3.9">Thus we are counting the number of pairs of zeros with heights between <math alttext="0" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p3.2.m1.1"><semantics id="S1.p3.2.m1.1a"><mn id="S1.p3.2.m1.1.1" xref="S1.p3.2.m1.1.1.cmml">0</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p3.2.m1.1b"><cn id="S1.p3.2.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S1.p3.2.m1.1.1">0</cn></annotation-xml></semantics></math> and <math alttext="T" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p3.3.m2.1"><semantics id="S1.p3.3.m2.1a"><mi id="S1.p3.3.m2.1.1" xref="S1.p3.3.m2.1.1.cmml">T</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p3.3.m2.1b"><ci id="S1.p3.3.m2.1.1.cmml" xref="S1.p3.3.m2.1.1">𝑇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p3.3.m2.1c">T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p3.3.m2.1d">italic_T</annotation></semantics></math>, where the height of the second zero is greater than the first by as much as <math alttext="U" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p3.4.m3.1"><semantics id="S1.p3.4.m3.1a"><mi id="S1.p3.4.m3.1.1" xref="S1.p3.4.m3.1.1.cmml">U</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p3.4.m3.1b"><ci id="S1.p3.4.m3.1.1.cmml" xref="S1.p3.4.m3.1.1">𝑈</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p3.4.m3.1c">U</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p3.4.m3.1d">italic_U</annotation></semantics></math>. We are particularly interested when <math alttext="U\asymp 1/L" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p3.5.m4.1"><semantics id="S1.p3.5.m4.1a"><mrow id="S1.p3.5.m4.1.1" xref="S1.p3.5.m4.1.1.cmml"><mi id="S1.p3.5.m4.1.1.2" xref="S1.p3.5.m4.1.1.2.cmml">U</mi><mo id="S1.p3.5.m4.1.1.1" xref="S1.p3.5.m4.1.1.1.cmml">≍</mo><mrow id="S1.p3.5.m4.1.1.3" xref="S1.p3.5.m4.1.1.3.cmml"><mn id="S1.p3.5.m4.1.1.3.2" xref="S1.p3.5.m4.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S1.p3.5.m4.1.1.3.1" xref="S1.p3.5.m4.1.1.3.1.cmml">/</mo><mi id="S1.p3.5.m4.1.1.3.3" xref="S1.p3.5.m4.1.1.3.3.cmml">L</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p3.5.m4.1b"><apply id="S1.p3.5.m4.1.1.cmml" xref="S1.p3.5.m4.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.p3.5.m4.1.1.1.cmml" xref="S1.p3.5.m4.1.1.1">asymptotically-equals</csymbol><ci id="S1.p3.5.m4.1.1.2.cmml" xref="S1.p3.5.m4.1.1.2">𝑈</ci><apply id="S1.p3.5.m4.1.1.3.cmml" xref="S1.p3.5.m4.1.1.3"><divide id="S1.p3.5.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p3.5.m4.1.1.3.1"></divide><cn id="S1.p3.5.m4.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.p3.5.m4.1.1.3.2">1</cn><ci id="S1.p3.5.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S1.p3.5.m4.1.1.3.3">𝐿</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p3.5.m4.1c">U\asymp 1/L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p3.5.m4.1d">italic_U ≍ 1 / italic_L</annotation></semantics></math>. Here <math alttext="f\asymp g" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p3.6.m5.1"><semantics id="S1.p3.6.m5.1a"><mrow id="S1.p3.6.m5.1.1" xref="S1.p3.6.m5.1.1.cmml"><mi id="S1.p3.6.m5.1.1.2" xref="S1.p3.6.m5.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S1.p3.6.m5.1.1.1" xref="S1.p3.6.m5.1.1.1.cmml">≍</mo><mi id="S1.p3.6.m5.1.1.3" xref="S1.p3.6.m5.1.1.3.cmml">g</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p3.6.m5.1b"><apply id="S1.p3.6.m5.1.1.cmml" xref="S1.p3.6.m5.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.p3.6.m5.1.1.1.cmml" xref="S1.p3.6.m5.1.1.1">asymptotically-equals</csymbol><ci id="S1.p3.6.m5.1.1.2.cmml" xref="S1.p3.6.m5.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S1.p3.6.m5.1.1.3.cmml" xref="S1.p3.6.m5.1.1.3">𝑔</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p3.6.m5.1c">f\asymp g</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p3.6.m5.1d">italic_f ≍ italic_g</annotation></semantics></math> means <math alttext="f\ll g" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p3.7.m6.1"><semantics id="S1.p3.7.m6.1a"><mrow id="S1.p3.7.m6.1.1" xref="S1.p3.7.m6.1.1.cmml"><mi id="S1.p3.7.m6.1.1.2" xref="S1.p3.7.m6.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S1.p3.7.m6.1.1.1" xref="S1.p3.7.m6.1.1.1.cmml">≪</mo><mi id="S1.p3.7.m6.1.1.3" xref="S1.p3.7.m6.1.1.3.cmml">g</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p3.7.m6.1b"><apply id="S1.p3.7.m6.1.1.cmml" xref="S1.p3.7.m6.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.p3.7.m6.1.1.1.cmml" xref="S1.p3.7.m6.1.1.1">much-less-than</csymbol><ci id="S1.p3.7.m6.1.1.2.cmml" xref="S1.p3.7.m6.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S1.p3.7.m6.1.1.3.cmml" xref="S1.p3.7.m6.1.1.3">𝑔</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p3.7.m6.1c">f\ll g</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p3.7.m6.1d">italic_f ≪ italic_g</annotation></semantics></math> and <math alttext="g\ll f" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p3.8.m7.1"><semantics id="S1.p3.8.m7.1a"><mrow id="S1.p3.8.m7.1.1" xref="S1.p3.8.m7.1.1.cmml"><mi id="S1.p3.8.m7.1.1.2" xref="S1.p3.8.m7.1.1.2.cmml">g</mi><mo id="S1.p3.8.m7.1.1.1" xref="S1.p3.8.m7.1.1.1.cmml">≪</mo><mi id="S1.p3.8.m7.1.1.3" xref="S1.p3.8.m7.1.1.3.cmml">f</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p3.8.m7.1b"><apply id="S1.p3.8.m7.1.1.cmml" xref="S1.p3.8.m7.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.p3.8.m7.1.1.1.cmml" xref="S1.p3.8.m7.1.1.1">much-less-than</csymbol><ci id="S1.p3.8.m7.1.1.2.cmml" xref="S1.p3.8.m7.1.1.2">𝑔</ci><ci id="S1.p3.8.m7.1.1.3.cmml" xref="S1.p3.8.m7.1.1.3">𝑓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p3.8.m7.1c">g\ll f</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p3.8.m7.1d">italic_g ≪ italic_f</annotation></semantics></math>. To put this precisely, let <math alttext="\lambda>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p3.9.m8.1"><semantics id="S1.p3.9.m8.1a"><mrow id="S1.p3.9.m8.1.1" xref="S1.p3.9.m8.1.1.cmml"><mi id="S1.p3.9.m8.1.1.2" xref="S1.p3.9.m8.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S1.p3.9.m8.1.1.1" xref="S1.p3.9.m8.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S1.p3.9.m8.1.1.3" xref="S1.p3.9.m8.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p3.9.m8.1b"><apply id="S1.p3.9.m8.1.1.cmml" xref="S1.p3.9.m8.1.1"><gt id="S1.p3.9.m8.1.1.1.cmml" xref="S1.p3.9.m8.1.1.1"></gt><ci id="S1.p3.9.m8.1.1.2.cmml" xref="S1.p3.9.m8.1.1.2">𝜆</ci><cn id="S1.p3.9.m8.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.p3.9.m8.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p3.9.m8.1c">\lambda>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p3.9.m8.1d">italic_λ > 0</annotation></semantics></math> be a constant such that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S1.E4"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(1.4)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="UL=\lambda,\qquad\text{or}\qquad U=\frac{\lambda}{L}=\frac{2\pi\lambda}{\log T}." class="ltx_Math" display="block" id="S1.E4.m1.3"><semantics id="S1.E4.m1.3a"><mrow id="S1.E4.m1.3.3.1"><mrow id="S1.E4.m1.3.3.1.1.2" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S1.E4.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S1.E4.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S1.E4.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">U</mi><mo id="S1.E4.m1.3.3.1.1.1.1.2.1" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E4.m1.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">L</mi></mrow><mo id="S1.E4.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S1.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml"><mi id="S1.E4.m1.1.1" xref="S1.E4.m1.1.1.cmml">λ</mi><mo id="S1.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1" rspace="2.167em" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mtext id="S1.E4.m1.2.2" xref="S1.E4.m1.2.2a.cmml">or</mtext></mrow></mrow><mspace id="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.3" width="2em" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.3a.cmml"></mspace><mrow id="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><mi id="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml">U</mi><mo id="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml">=</mo><mfrac id="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.4" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.4.cmml"><mi id="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.4.2" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.4.2.cmml">λ</mi><mi id="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.4.3" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.4.3.cmml">L</mi></mfrac><mo id="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.5" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.5.cmml">=</mo><mfrac id="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.6" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.6.cmml"><mrow id="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.6.2" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.6.2.cmml"><mn id="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.6.2.2" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.6.2.2.cmml">2</mn><mo id="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.6.2.1" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.6.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.6.2.3" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.6.2.3.cmml">π</mi><mo id="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.6.2.1a" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.6.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.6.2.4" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.6.2.4.cmml">λ</mi></mrow><mrow id="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.6.3" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.6.3.cmml"><mi id="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.6.3.1" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.6.3.1.cmml">log</mi><mo id="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.6.3a" lspace="0.167em" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.6.3.cmml">⁡</mo><mi id="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.6.3.2" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.6.3.2.cmml">T</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo id="S1.E4.m1.3.3.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E4.m1.3b"><apply id="S1.E4.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E4.m1.3.3.1.1.3a.cmml" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S1.E4.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.1.1"><eq id="S1.E4.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S1.E4.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.1.1.2"><times id="S1.E4.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S1.E4.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.1.1.2.2">𝑈</ci><ci id="S1.E4.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.1.1.2.3">𝐿</ci></apply><list id="S1.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2"><ci id="S1.E4.m1.1.1.cmml" xref="S1.E4.m1.1.1">𝜆</ci><ci id="S1.E4.m1.2.2a.cmml" xref="S1.E4.m1.2.2"><mtext id="S1.E4.m1.2.2.cmml" xref="S1.E4.m1.2.2">or</mtext></ci></list></apply><apply id="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2"><and id="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2a.cmml" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2"></and><apply id="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2b.cmml" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2"><eq id="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.3"></eq><ci id="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.2">𝑈</ci><apply id="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.4.cmml" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.4"><divide id="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.4"></divide><ci id="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.4.2.cmml" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.4.2">𝜆</ci><ci id="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.4.3.cmml" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.4.3">𝐿</ci></apply></apply><apply id="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2c.cmml" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2"><eq id="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.5.cmml" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.4.cmml" id="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2d.cmml" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2"></share><apply id="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.6.cmml" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.6"><divide id="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.6.1.cmml" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.6"></divide><apply id="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.6.2.cmml" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.6.2"><times id="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.6.2.1.cmml" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.6.2.1"></times><cn id="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.6.2.2.cmml" type="integer" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.6.2.2">2</cn><ci id="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.6.2.3.cmml" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.6.2.3">𝜋</ci><ci id="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.6.2.4.cmml" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.6.2.4">𝜆</ci></apply><apply id="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.6.3.cmml" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.6.3"><log id="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.6.3.1.cmml" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.6.3.1"></log><ci id="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.6.3.2.cmml" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.6.3.2">𝑇</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E4.m1.3c">UL=\lambda,\qquad\text{or}\qquad U=\frac{\lambda}{L}=\frac{2\pi\lambda}{\log T}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E4.m1.3d">italic_U italic_L = italic_λ , or italic_U = divide start_ARG italic_λ end_ARG start_ARG italic_L end_ARG = divide start_ARG 2 italic_π italic_λ end_ARG start_ARG roman_log italic_T end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.p3.11">Thus <math alttext="U" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p3.10.m1.1"><semantics id="S1.p3.10.m1.1a"><mi id="S1.p3.10.m1.1.1" xref="S1.p3.10.m1.1.1.cmml">U</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p3.10.m1.1b"><ci id="S1.p3.10.m1.1.1.cmml" xref="S1.p3.10.m1.1.1">𝑈</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p3.10.m1.1c">U</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p3.10.m1.1d">italic_U</annotation></semantics></math> has length <math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p3.11.m2.1"><semantics id="S1.p3.11.m2.1a"><mi id="S1.p3.11.m2.1.1" xref="S1.p3.11.m2.1.1.cmml">λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p3.11.m2.1b"><ci id="S1.p3.11.m2.1.1.cmml" xref="S1.p3.11.m2.1.1">𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p3.11.m2.1c">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p3.11.m2.1d">italic_λ</annotation></semantics></math> times the average spacing. Montgomery <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#bib.bibx6" title="">Mon73</a>]</cite> made the following two conjectures on pair correlation and simplicity of zeros.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_PCC" id="ThmPCCx1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="ThmPCCx1.1.1.1">Pair Correlation Conjecture (PCC)</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="ThmPCCx1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="ThmPCCx1.p1"> <p class="ltx_p" id="ThmPCCx1.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="ThmPCCx1.p1.1.1">For <math alttext="UL=\lambda>0" class="ltx_Math" display="inline" id="ThmPCCx1.p1.1.1.m1.1"><semantics id="ThmPCCx1.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="ThmPCCx1.p1.1.1.m1.1.1" xref="ThmPCCx1.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="ThmPCCx1.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="ThmPCCx1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="ThmPCCx1.p1.1.1.m1.1.1.2.2" xref="ThmPCCx1.p1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">U</mi><mo id="ThmPCCx1.p1.1.1.m1.1.1.2.1" xref="ThmPCCx1.p1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="ThmPCCx1.p1.1.1.m1.1.1.2.3" xref="ThmPCCx1.p1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">L</mi></mrow><mo id="ThmPCCx1.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="ThmPCCx1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">=</mo><mi id="ThmPCCx1.p1.1.1.m1.1.1.4" xref="ThmPCCx1.p1.1.1.m1.1.1.4.cmml">λ</mi><mo id="ThmPCCx1.p1.1.1.m1.1.1.5" xref="ThmPCCx1.p1.1.1.m1.1.1.5.cmml">></mo><mn id="ThmPCCx1.p1.1.1.m1.1.1.6" xref="ThmPCCx1.p1.1.1.m1.1.1.6.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="ThmPCCx1.p1.1.1.m1.1b"><apply id="ThmPCCx1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.1.1.m1.1.1"><and id="ThmPCCx1.p1.1.1.m1.1.1a.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.1.1.m1.1.1"></and><apply id="ThmPCCx1.p1.1.1.m1.1.1b.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.1.1.m1.1.1"><eq id="ThmPCCx1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.1.1.m1.1.1.3"></eq><apply id="ThmPCCx1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.1.1.m1.1.1.2"><times id="ThmPCCx1.p1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.1.1.m1.1.1.2.1"></times><ci id="ThmPCCx1.p1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.1.1.m1.1.1.2.2">𝑈</ci><ci id="ThmPCCx1.p1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.1.1.m1.1.1.2.3">𝐿</ci></apply><ci id="ThmPCCx1.p1.1.1.m1.1.1.4.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.1.1.m1.1.1.4">𝜆</ci></apply><apply id="ThmPCCx1.p1.1.1.m1.1.1c.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.1.1.m1.1.1"><gt id="ThmPCCx1.p1.1.1.m1.1.1.5.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.1.1.m1.1.1.5"></gt><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#ThmPCCx1.p1.1.1.m1.1.1.4.cmml" id="ThmPCCx1.p1.1.1.m1.1.1d.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.1.1.m1.1.1"></share><cn id="ThmPCCx1.p1.1.1.m1.1.1.6.cmml" type="integer" xref="ThmPCCx1.p1.1.1.m1.1.1.6">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="ThmPCCx1.p1.1.1.m1.1c">UL=\lambda>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="ThmPCCx1.p1.1.1.m1.1d">italic_U italic_L = italic_λ > 0</annotation></semantics></math>, then</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S1.E5"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(1.5)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="N(T,U)=TL\int_{0}^{UL}\left(1-\left(\frac{\sin\pi\alpha}{\pi\alpha}\right)^{2}% \right)d\alpha+o(TL),\qquad\text{as}\qquad T\to\infty," class="ltx_Math" display="block" id="S1.E5.m1.5"><semantics id="S1.E5.m1.5a"><mrow id="S1.E5.m1.5.5.1"><mrow id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mrow id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.3" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.3.2" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.cmml">N</mi><mo id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.1.3.1" 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<td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="ThmPCCx1.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="ThmPCCx1.p1.2.1">uniformly in each interval <math alttext="0<\lambda_{0}=U_{0}L\leq UL\leq U_{1}L=\lambda_{1}<\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1"><semantics id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1a"><mrow id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.cmml"><mn id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.2" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.2.cmml">0</mn><mo id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.3" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.3.cmml"><</mo><msub id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.4" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.4.cmml"><mi id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.4.2" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.4.2.cmml">λ</mi><mn id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.4.3" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.4.3.cmml">0</mn></msub><mo id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.5" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.6" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.6.cmml"><msub 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id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1b"><apply id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1"><and id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1a.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1"></and><apply id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1b.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1"><lt id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.3"></lt><cn id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.2">0</cn><apply id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.4.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.4.1.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.4.2.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.4.2">𝜆</ci><cn id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.4.3">0</cn></apply></apply><apply id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1c.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1"><eq id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.5.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.4.cmml" id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1d.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1"></share><apply id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.6.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.6"><times id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.6.1.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.6.1"></times><apply id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.6.2.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.6.2.1.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.6.2">subscript</csymbol><ci id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.6.2.2.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.6.2.2">𝑈</ci><cn id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.6.2.3.cmml" type="integer" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.6.2.3">0</cn></apply><ci id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.6.3.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.6.3">𝐿</ci></apply></apply><apply id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1e.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1"><leq id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.7.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.7"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.6.cmml" id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1f.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1"></share><apply id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.8.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.8"><times id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.8.1.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.8.1"></times><ci id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.8.2.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.8.2">𝑈</ci><ci id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.8.3.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.8.3">𝐿</ci></apply></apply><apply id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1g.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1"><leq id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.9.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.9"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.8.cmml" id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1h.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1"></share><apply id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.10.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.10"><times id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.10.1.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.10.1"></times><apply id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.10.2.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.10.2"><csymbol cd="ambiguous" id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.10.2.1.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.10.2">subscript</csymbol><ci id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.10.2.2.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.10.2.2">𝑈</ci><cn id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.10.2.3.cmml" type="integer" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.10.2.3">1</cn></apply><ci id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.10.3.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.10.3">𝐿</ci></apply></apply><apply id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1i.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1"><eq id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.11.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.11"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.10.cmml" id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1j.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1"></share><apply id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.12.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.12"><csymbol cd="ambiguous" id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.12.1.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.12">subscript</csymbol><ci id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.12.2.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.12.2">𝜆</ci><cn id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.12.3.cmml" type="integer" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.12.3">1</cn></apply></apply><apply id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1k.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1"><lt id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.13.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.13"></lt><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.12.cmml" id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1l.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1"></share><infinity id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.14.cmml" xref="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1.1.14"></infinity></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1c">0<\lambda_{0}=U_{0}L\leq UL\leq U_{1}L=\lambda_{1}<\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="ThmPCCx1.p1.2.1.m1.1d">0 < italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = italic_U start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT italic_L ≤ italic_U italic_L ≤ italic_U start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_L = italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT < ∞</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_remark" id="Thmremark1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmremark1.1.1.1">Remark 1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmremark1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmremark1.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmremark1.p1.8">As in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#bib.bibx5" title="">GM78</a>]</cite>, when applying <a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#ThmPCCx1" title="Pair Correlation Conjecture (PCC). ‣ 1. Introduction and Statement of Results ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros">PCC</a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmremark1.p1.8.8">, since <math alttext="U_{0}L=\lambda_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmremark1.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmremark1.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><msub id="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.2.2" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.2.2.2" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml">U</mi><mn id="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.2.2.3" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.2.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.2.1" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.2.3" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">L</mi></mrow><mo id="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><msub id="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mn id="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.3.3" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmremark1.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1"><eq id="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.2"><times id="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.2.1"></times><apply id="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.2.2.2">𝑈</ci><cn id="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.2.2.3">0</cn></apply><ci id="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.2.3">𝐿</ci></apply><apply id="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.3.2">𝜆</ci><cn id="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.3.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmremark1.p1.1.1.m1.1c">U_{0}L=\lambda_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmremark1.p1.1.1.m1.1d">italic_U start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT italic_L = italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="U_{1}L=\lambda_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmremark1.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmremark1.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mrow id="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml"><msub id="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.2.2" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.2.2.cmml"><mi id="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.2.2.2" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.2.2.2.cmml">U</mi><mn id="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.2.2.3" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.2.1" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.2.3" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.2.3.cmml">L</mi></mrow><mo id="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.1" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><msub id="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.3.2" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mn id="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.3.3" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmremark1.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1"><eq id="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.1"></eq><apply id="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.2"><times id="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.2.1"></times><apply id="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.2.2.2">𝑈</ci><cn id="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.2.2.3">1</cn></apply><ci id="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.2.3">𝐿</ci></apply><apply id="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.3.2">𝜆</ci><cn id="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmremark1.p1.2.2.m2.1c">U_{1}L=\lambda_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmremark1.p1.2.2.m2.1d">italic_U start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_L = italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are arbitrary positive constants we can take <math alttext="U_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmremark1.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmremark1.p1.3.3.m3.1a"><msub id="Thmremark1.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmremark1.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="Thmremark1.p1.3.3.m3.1.1.2" xref="Thmremark1.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml">U</mi><mn id="Thmremark1.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="Thmremark1.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmremark1.p1.3.3.m3.1b"><apply id="Thmremark1.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmremark1.p1.3.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmremark1.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmremark1.p1.3.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmremark1.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmremark1.p1.3.3.m3.1.1.2">𝑈</ci><cn id="Thmremark1.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmremark1.p1.3.3.m3.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmremark1.p1.3.3.m3.1c">U_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmremark1.p1.3.3.m3.1d">italic_U start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="U_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmremark1.p1.4.4.m4.1"><semantics id="Thmremark1.p1.4.4.m4.1a"><msub id="Thmremark1.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmremark1.p1.4.4.m4.1.1.cmml"><mi id="Thmremark1.p1.4.4.m4.1.1.2" xref="Thmremark1.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml">U</mi><mn id="Thmremark1.p1.4.4.m4.1.1.3" xref="Thmremark1.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmremark1.p1.4.4.m4.1b"><apply id="Thmremark1.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmremark1.p1.4.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmremark1.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="Thmremark1.p1.4.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmremark1.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="Thmremark1.p1.4.4.m4.1.1.2">𝑈</ci><cn id="Thmremark1.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmremark1.p1.4.4.m4.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmremark1.p1.4.4.m4.1c">U_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmremark1.p1.4.4.m4.1d">italic_U start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> to be functions of <math alttext="T" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmremark1.p1.5.5.m5.1"><semantics id="Thmremark1.p1.5.5.m5.1a"><mi id="Thmremark1.p1.5.5.m5.1.1" xref="Thmremark1.p1.5.5.m5.1.1.cmml">T</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmremark1.p1.5.5.m5.1b"><ci id="Thmremark1.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmremark1.p1.5.5.m5.1.1">𝑇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmremark1.p1.5.5.m5.1c">T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmremark1.p1.5.5.m5.1d">italic_T</annotation></semantics></math> for which <math alttext="U_{0}L\to 0" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmremark1.p1.6.6.m6.1"><semantics id="Thmremark1.p1.6.6.m6.1a"><mrow id="Thmremark1.p1.6.6.m6.1.1" xref="Thmremark1.p1.6.6.m6.1.1.cmml"><mrow id="Thmremark1.p1.6.6.m6.1.1.2" xref="Thmremark1.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml"><msub id="Thmremark1.p1.6.6.m6.1.1.2.2" xref="Thmremark1.p1.6.6.m6.1.1.2.2.cmml"><mi id="Thmremark1.p1.6.6.m6.1.1.2.2.2" xref="Thmremark1.p1.6.6.m6.1.1.2.2.2.cmml">U</mi><mn id="Thmremark1.p1.6.6.m6.1.1.2.2.3" xref="Thmremark1.p1.6.6.m6.1.1.2.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="Thmremark1.p1.6.6.m6.1.1.2.1" xref="Thmremark1.p1.6.6.m6.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmremark1.p1.6.6.m6.1.1.2.3" xref="Thmremark1.p1.6.6.m6.1.1.2.3.cmml">L</mi></mrow><mo id="Thmremark1.p1.6.6.m6.1.1.1" stretchy="false" xref="Thmremark1.p1.6.6.m6.1.1.1.cmml">→</mo><mn id="Thmremark1.p1.6.6.m6.1.1.3" xref="Thmremark1.p1.6.6.m6.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmremark1.p1.6.6.m6.1b"><apply id="Thmremark1.p1.6.6.m6.1.1.cmml" xref="Thmremark1.p1.6.6.m6.1.1"><ci id="Thmremark1.p1.6.6.m6.1.1.1.cmml" xref="Thmremark1.p1.6.6.m6.1.1.1">→</ci><apply id="Thmremark1.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml" xref="Thmremark1.p1.6.6.m6.1.1.2"><times id="Thmremark1.p1.6.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="Thmremark1.p1.6.6.m6.1.1.2.1"></times><apply id="Thmremark1.p1.6.6.m6.1.1.2.2.cmml" xref="Thmremark1.p1.6.6.m6.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmremark1.p1.6.6.m6.1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmremark1.p1.6.6.m6.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmremark1.p1.6.6.m6.1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmremark1.p1.6.6.m6.1.1.2.2.2">𝑈</ci><cn id="Thmremark1.p1.6.6.m6.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmremark1.p1.6.6.m6.1.1.2.2.3">0</cn></apply><ci id="Thmremark1.p1.6.6.m6.1.1.2.3.cmml" xref="Thmremark1.p1.6.6.m6.1.1.2.3">𝐿</ci></apply><cn id="Thmremark1.p1.6.6.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmremark1.p1.6.6.m6.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmremark1.p1.6.6.m6.1c">U_{0}L\to 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmremark1.p1.6.6.m6.1d">italic_U start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT italic_L → 0</annotation></semantics></math> and <math alttext="U_{1}L\to\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmremark1.p1.7.7.m7.1"><semantics id="Thmremark1.p1.7.7.m7.1a"><mrow id="Thmremark1.p1.7.7.m7.1.1" xref="Thmremark1.p1.7.7.m7.1.1.cmml"><mrow id="Thmremark1.p1.7.7.m7.1.1.2" xref="Thmremark1.p1.7.7.m7.1.1.2.cmml"><msub id="Thmremark1.p1.7.7.m7.1.1.2.2" xref="Thmremark1.p1.7.7.m7.1.1.2.2.cmml"><mi id="Thmremark1.p1.7.7.m7.1.1.2.2.2" xref="Thmremark1.p1.7.7.m7.1.1.2.2.2.cmml">U</mi><mn id="Thmremark1.p1.7.7.m7.1.1.2.2.3" xref="Thmremark1.p1.7.7.m7.1.1.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="Thmremark1.p1.7.7.m7.1.1.2.1" xref="Thmremark1.p1.7.7.m7.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmremark1.p1.7.7.m7.1.1.2.3" xref="Thmremark1.p1.7.7.m7.1.1.2.3.cmml">L</mi></mrow><mo id="Thmremark1.p1.7.7.m7.1.1.1" stretchy="false" xref="Thmremark1.p1.7.7.m7.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="Thmremark1.p1.7.7.m7.1.1.3" mathvariant="normal" xref="Thmremark1.p1.7.7.m7.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmremark1.p1.7.7.m7.1b"><apply id="Thmremark1.p1.7.7.m7.1.1.cmml" xref="Thmremark1.p1.7.7.m7.1.1"><ci id="Thmremark1.p1.7.7.m7.1.1.1.cmml" xref="Thmremark1.p1.7.7.m7.1.1.1">→</ci><apply id="Thmremark1.p1.7.7.m7.1.1.2.cmml" xref="Thmremark1.p1.7.7.m7.1.1.2"><times id="Thmremark1.p1.7.7.m7.1.1.2.1.cmml" xref="Thmremark1.p1.7.7.m7.1.1.2.1"></times><apply id="Thmremark1.p1.7.7.m7.1.1.2.2.cmml" xref="Thmremark1.p1.7.7.m7.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmremark1.p1.7.7.m7.1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmremark1.p1.7.7.m7.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmremark1.p1.7.7.m7.1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmremark1.p1.7.7.m7.1.1.2.2.2">𝑈</ci><cn id="Thmremark1.p1.7.7.m7.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmremark1.p1.7.7.m7.1.1.2.2.3">1</cn></apply><ci id="Thmremark1.p1.7.7.m7.1.1.2.3.cmml" xref="Thmremark1.p1.7.7.m7.1.1.2.3">𝐿</ci></apply><infinity id="Thmremark1.p1.7.7.m7.1.1.3.cmml" xref="Thmremark1.p1.7.7.m7.1.1.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmremark1.p1.7.7.m7.1c">U_{1}L\to\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmremark1.p1.7.7.m7.1d">italic_U start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_L → ∞</annotation></semantics></math> as <math alttext="T\to\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmremark1.p1.8.8.m8.1"><semantics id="Thmremark1.p1.8.8.m8.1a"><mrow id="Thmremark1.p1.8.8.m8.1.1" xref="Thmremark1.p1.8.8.m8.1.1.cmml"><mi id="Thmremark1.p1.8.8.m8.1.1.2" xref="Thmremark1.p1.8.8.m8.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="Thmremark1.p1.8.8.m8.1.1.1" stretchy="false" xref="Thmremark1.p1.8.8.m8.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="Thmremark1.p1.8.8.m8.1.1.3" mathvariant="normal" xref="Thmremark1.p1.8.8.m8.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmremark1.p1.8.8.m8.1b"><apply id="Thmremark1.p1.8.8.m8.1.1.cmml" xref="Thmremark1.p1.8.8.m8.1.1"><ci id="Thmremark1.p1.8.8.m8.1.1.1.cmml" xref="Thmremark1.p1.8.8.m8.1.1.1">→</ci><ci id="Thmremark1.p1.8.8.m8.1.1.2.cmml" xref="Thmremark1.p1.8.8.m8.1.1.2">𝑇</ci><infinity id="Thmremark1.p1.8.8.m8.1.1.3.cmml" xref="Thmremark1.p1.8.8.m8.1.1.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmremark1.p1.8.8.m8.1c">T\to\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmremark1.p1.8.8.m8.1d">italic_T → ∞</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p4"> <p class="ltx_p" id="S1.p4.2">To state Montgomery’s other conjecture in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#bib.bibx6" title="">Mon73</a>]</cite>, we let <math alttext="m_{\rho}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.1.m1.1"><semantics id="S1.p4.1.m1.1a"><msub id="S1.p4.1.m1.1.1" xref="S1.p4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S1.p4.1.m1.1.1.2" xref="S1.p4.1.m1.1.1.2.cmml">m</mi><mi id="S1.p4.1.m1.1.1.3" xref="S1.p4.1.m1.1.1.3.cmml">ρ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.1.m1.1b"><apply id="S1.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p4.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.p4.1.m1.1.1.2">𝑚</ci><ci id="S1.p4.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S1.p4.1.m1.1.1.3">𝜌</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.1.m1.1c">m_{\rho}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.1.m1.1d">italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> denote the multiplicity of the zero <math alttext="\rho" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.2.m2.1"><semantics id="S1.p4.2.m2.1a"><mi id="S1.p4.2.m2.1.1" xref="S1.p4.2.m2.1.1.cmml">ρ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.2.m2.1b"><ci id="S1.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p4.2.m2.1.1">𝜌</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.2.m2.1c">\rho</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.2.m2.1d">italic_ρ</annotation></semantics></math>. We define</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S1.E6"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(1.6)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="N^{*}(T):=\sum_{\begin{subarray}{c}\rho\\ 0<\gamma\leq T\end{subarray}}m_{\rho}=\sum_{\begin{subarray}{c}\rho\ \text{% distinct}\\ 0<\gamma\leq T\end{subarray}}m_{\rho}^{2}," class="ltx_Math" display="block" id="S1.E6.m1.4"><semantics id="S1.E6.m1.4a"><mrow id="S1.E6.m1.4.4.1" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S1.E6.m1.4.4.1.1" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S1.E6.m1.4.4.1.1.2" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.2.cmml"><msup id="S1.E6.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"><mi id="S1.E6.m1.4.4.1.1.2.2.2" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml">N</mi><mo id="S1.E6.m1.4.4.1.1.2.2.3" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S1.E6.m1.4.4.1.1.2.1" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E6.m1.4.4.1.1.2.3.2" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="S1.E6.m1.4.4.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S1.E6.m1.3.3" xref="S1.E6.m1.3.3.cmml">T</mi><mo id="S1.E6.m1.4.4.1.1.2.3.2.2" rspace="0.278em" stretchy="false" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.E6.m1.4.4.1.1.3" rspace="0.111em" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.3.cmml">:=</mo><mrow id="S1.E6.m1.4.4.1.1.4" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.4.cmml"><munder id="S1.E6.m1.4.4.1.1.4.1" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.4.1.cmml"><mo id="S1.E6.m1.4.4.1.1.4.1.2" movablelimits="false" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.4.1.2.cmml">∑</mo><mtable id="S1.E6.m1.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S1.E6.m1.1.1.1.2.cmml"><mtr id="S1.E6.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="S1.E6.m1.1.1.1.2.cmml"><mtd id="S1.E6.m1.1.1.1.1.1.1b" xref="S1.E6.m1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">ρ</mi></mtd></mtr><mtr id="S1.E6.m1.1.1.1.1.1.1c" xref="S1.E6.m1.1.1.1.2.cmml"><mtd id="S1.E6.m1.1.1.1.1.1.1d" xref="S1.E6.m1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mn id="S1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">0</mn><mo id="S1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml"><</mo><mi id="S1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.4" xref="S1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.4.cmml">γ</mi><mo id="S1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.5" xref="S1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.5.cmml">≤</mo><mi id="S1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.6" xref="S1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.6.cmml">T</mi></mrow></mtd></mtr></mtable></munder><msub id="S1.E6.m1.4.4.1.1.4.2" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.4.2.cmml"><mi id="S1.E6.m1.4.4.1.1.4.2.2" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.4.2.2.cmml">m</mi><mi id="S1.E6.m1.4.4.1.1.4.2.3" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.4.2.3.cmml">ρ</mi></msub></mrow><mo id="S1.E6.m1.4.4.1.1.5" rspace="0.111em" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S1.E6.m1.4.4.1.1.6" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.6.cmml"><munder id="S1.E6.m1.4.4.1.1.6.1" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.6.1.cmml"><mo id="S1.E6.m1.4.4.1.1.6.1.2" movablelimits="false" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.6.1.2.cmml">∑</mo><mtable id="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S1.E6.m1.2.2.1.2.cmml"><mtr id="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1a" xref="S1.E6.m1.2.2.1.2.cmml"><mtd id="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1b" xref="S1.E6.m1.2.2.1.2.cmml"><mrow id="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" lspace="0.350em" xref="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mtext id="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml">distinct</mtext></mrow></mtd></mtr><mtr id="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1c" xref="S1.E6.m1.2.2.1.2.cmml"><mtd id="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1d" xref="S1.E6.m1.2.2.1.2.cmml"><mrow id="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1" xref="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mn id="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">0</mn><mo id="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml"><</mo><mi id="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.4" xref="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.4.cmml">γ</mi><mo id="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.5" xref="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.5.cmml">≤</mo><mi id="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.6" xref="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.6.cmml">T</mi></mrow></mtd></mtr></mtable></munder><msubsup id="S1.E6.m1.4.4.1.1.6.2" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.6.2.cmml"><mi id="S1.E6.m1.4.4.1.1.6.2.2.2" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.6.2.2.2.cmml">m</mi><mi id="S1.E6.m1.4.4.1.1.6.2.2.3" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.6.2.2.3.cmml">ρ</mi><mn id="S1.E6.m1.4.4.1.1.6.2.3" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.6.2.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow><mo id="S1.E6.m1.4.4.1.2" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E6.m1.4b"><apply id="S1.E6.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S1.E6.m1.4.4.1"><and id="S1.E6.m1.4.4.1.1a.cmml" xref="S1.E6.m1.4.4.1"></and><apply id="S1.E6.m1.4.4.1.1b.cmml" xref="S1.E6.m1.4.4.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.E6.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.3">assign</csymbol><apply id="S1.E6.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.2"><times id="S1.E6.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.2.1"></times><apply id="S1.E6.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E6.m1.4.4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S1.E6.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.2.2.2">𝑁</ci><times id="S1.E6.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.2.2.3"></times></apply><ci id="S1.E6.m1.3.3.cmml" xref="S1.E6.m1.3.3">𝑇</ci></apply><apply id="S1.E6.m1.4.4.1.1.4.cmml" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.4"><apply id="S1.E6.m1.4.4.1.1.4.1.cmml" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E6.m1.4.4.1.1.4.1.1.cmml" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.4.1">subscript</csymbol><sum id="S1.E6.m1.4.4.1.1.4.1.2.cmml" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.4.1.2"></sum><list id="S1.E6.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E6.m1.1.1.1.1.1.1"><matrix id="S1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E6.m1.1.1.1.1.1.1"><matrixrow id="S1.E6.m1.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S1.E6.m1.1.1.1.1.1.1"><ci id="S1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">𝜌</ci></matrixrow><matrixrow id="S1.E6.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="S1.E6.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><and id="S1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1a.cmml" xref="S1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"></and><apply id="S1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1b.cmml" xref="S1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><lt id="S1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3"></lt><cn id="S1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2">0</cn><ci id="S1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.4.cmml" xref="S1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.4">𝛾</ci></apply><apply id="S1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1c.cmml" xref="S1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><leq id="S1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.5.cmml" xref="S1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.4.cmml" id="S1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1d.cmml" xref="S1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"></share><ci id="S1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.6.cmml" xref="S1.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.6">𝑇</ci></apply></apply></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="S1.E6.m1.4.4.1.1.4.2.cmml" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E6.m1.4.4.1.1.4.2.1.cmml" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="S1.E6.m1.4.4.1.1.4.2.2.cmml" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.4.2.2">𝑚</ci><ci id="S1.E6.m1.4.4.1.1.4.2.3.cmml" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.4.2.3">𝜌</ci></apply></apply></apply><apply id="S1.E6.m1.4.4.1.1c.cmml" xref="S1.E6.m1.4.4.1"><eq id="S1.E6.m1.4.4.1.1.5.cmml" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S1.E6.m1.4.4.1.1.4.cmml" id="S1.E6.m1.4.4.1.1d.cmml" xref="S1.E6.m1.4.4.1"></share><apply id="S1.E6.m1.4.4.1.1.6.cmml" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.6"><apply id="S1.E6.m1.4.4.1.1.6.1.cmml" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.6.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E6.m1.4.4.1.1.6.1.1.cmml" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.6.1">subscript</csymbol><sum id="S1.E6.m1.4.4.1.1.6.1.2.cmml" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.6.1.2"></sum><list id="S1.E6.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1"><matrix id="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1"><matrixrow id="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1a.cmml" xref="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1"><apply id="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜌</ci><ci id="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><mtext id="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">distinct</mtext></ci></apply></matrixrow><matrixrow id="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1b.cmml" xref="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1"><apply id="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1"><and id="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1a.cmml" xref="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1"></and><apply id="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1b.cmml" xref="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1"><lt id="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3"></lt><cn id="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.2">0</cn><ci id="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.4.cmml" xref="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.4">𝛾</ci></apply><apply id="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1c.cmml" xref="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1"><leq id="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.5.cmml" xref="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.4.cmml" id="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1d.cmml" xref="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1"></share><ci id="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.6.cmml" xref="S1.E6.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.6">𝑇</ci></apply></apply></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="S1.E6.m1.4.4.1.1.6.2.cmml" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E6.m1.4.4.1.1.6.2.1.cmml" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.6.2">superscript</csymbol><apply id="S1.E6.m1.4.4.1.1.6.2.2.cmml" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E6.m1.4.4.1.1.6.2.2.1.cmml" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.6.2">subscript</csymbol><ci id="S1.E6.m1.4.4.1.1.6.2.2.2.cmml" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.6.2.2.2">𝑚</ci><ci id="S1.E6.m1.4.4.1.1.6.2.2.3.cmml" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.6.2.2.3">𝜌</ci></apply><cn id="S1.E6.m1.4.4.1.1.6.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.6.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E6.m1.4c">N^{*}(T):=\sum_{\begin{subarray}{c}\rho\\ 0<\gamma\leq T\end{subarray}}m_{\rho}=\sum_{\begin{subarray}{c}\rho\ \text{% distinct}\\ 0<\gamma\leq T\end{subarray}}m_{\rho}^{2},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E6.m1.4d">italic_N start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T ) := ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_ρ end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 < italic_γ ≤ italic_T end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ end_POSTSUBSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_ρ distinct end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 < italic_γ ≤ italic_T end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.p4.5">where in the last summation each zero <math alttext="\rho" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.3.m1.1"><semantics id="S1.p4.3.m1.1a"><mi id="S1.p4.3.m1.1.1" xref="S1.p4.3.m1.1.1.cmml">ρ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.3.m1.1b"><ci id="S1.p4.3.m1.1.1.cmml" xref="S1.p4.3.m1.1.1">𝜌</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.3.m1.1c">\rho</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.3.m1.1d">italic_ρ</annotation></semantics></math> is only counted once, while the first sum counts <math alttext="\rho" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.4.m2.1"><semantics id="S1.p4.4.m2.1a"><mi id="S1.p4.4.m2.1.1" xref="S1.p4.4.m2.1.1.cmml">ρ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.4.m2.1b"><ci id="S1.p4.4.m2.1.1.cmml" xref="S1.p4.4.m2.1.1">𝜌</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.4.m2.1c">\rho</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.4.m2.1d">italic_ρ</annotation></semantics></math> with multiplicity. Thus, <math alttext="N^{*}(T)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.5.m3.1"><semantics id="S1.p4.5.m3.1a"><mrow id="S1.p4.5.m3.1.2" xref="S1.p4.5.m3.1.2.cmml"><msup id="S1.p4.5.m3.1.2.2" xref="S1.p4.5.m3.1.2.2.cmml"><mi id="S1.p4.5.m3.1.2.2.2" xref="S1.p4.5.m3.1.2.2.2.cmml">N</mi><mo id="S1.p4.5.m3.1.2.2.3" xref="S1.p4.5.m3.1.2.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S1.p4.5.m3.1.2.1" xref="S1.p4.5.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p4.5.m3.1.2.3.2" xref="S1.p4.5.m3.1.2.cmml"><mo id="S1.p4.5.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.p4.5.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="S1.p4.5.m3.1.1" xref="S1.p4.5.m3.1.1.cmml">T</mi><mo id="S1.p4.5.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.p4.5.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.5.m3.1b"><apply id="S1.p4.5.m3.1.2.cmml" xref="S1.p4.5.m3.1.2"><times id="S1.p4.5.m3.1.2.1.cmml" xref="S1.p4.5.m3.1.2.1"></times><apply id="S1.p4.5.m3.1.2.2.cmml" xref="S1.p4.5.m3.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p4.5.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S1.p4.5.m3.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S1.p4.5.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S1.p4.5.m3.1.2.2.2">𝑁</ci><times id="S1.p4.5.m3.1.2.2.3.cmml" xref="S1.p4.5.m3.1.2.2.3"></times></apply><ci id="S1.p4.5.m3.1.1.cmml" xref="S1.p4.5.m3.1.1">𝑇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.5.m3.1c">N^{*}(T)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.5.m3.1d">italic_N start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T )</annotation></semantics></math> counts zeros weighted by their multiplicity, and if zeros are counted distinctly, then each zero is weighted by its multiplicity squared. The reader can check that a double zero gets counted four times in either of the sums above.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_SMC" id="ThmSMCx1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="ThmSMCx1.1.1.1">Simple Multiplicity Conjecture (SMC)</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="ThmSMCx1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="ThmSMCx1.p1"> <p class="ltx_p" id="ThmSMCx1.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="ThmSMCx1.p1.1.1">We have, as <math alttext="T\to\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="ThmSMCx1.p1.1.1.m1.1"><semantics id="ThmSMCx1.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="ThmSMCx1.p1.1.1.m1.1.1" xref="ThmSMCx1.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="ThmSMCx1.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="ThmSMCx1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="ThmSMCx1.p1.1.1.m1.1.1.1" stretchy="false" xref="ThmSMCx1.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="ThmSMCx1.p1.1.1.m1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="ThmSMCx1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="ThmSMCx1.p1.1.1.m1.1b"><apply id="ThmSMCx1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="ThmSMCx1.p1.1.1.m1.1.1"><ci id="ThmSMCx1.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="ThmSMCx1.p1.1.1.m1.1.1.1">→</ci><ci id="ThmSMCx1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="ThmSMCx1.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑇</ci><infinity id="ThmSMCx1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="ThmSMCx1.p1.1.1.m1.1.1.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="ThmSMCx1.p1.1.1.m1.1c">T\to\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="ThmSMCx1.p1.1.1.m1.1d">italic_T → ∞</annotation></semantics></math>,</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S1.E7"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(1.7)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="N^{*}(T)=TL+o(TL)." class="ltx_Math" display="block" id="S1.E7.m1.2"><semantics id="S1.E7.m1.2a"><mrow id="S1.E7.m1.2.2.1" xref="S1.E7.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S1.E7.m1.2.2.1.1" xref="S1.E7.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S1.E7.m1.2.2.1.1.3" xref="S1.E7.m1.2.2.1.1.3.cmml"><msup id="S1.E7.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S1.E7.m1.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S1.E7.m1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S1.E7.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml">N</mi><mo id="S1.E7.m1.2.2.1.1.3.2.3" xref="S1.E7.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S1.E7.m1.2.2.1.1.3.1" xref="S1.E7.m1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E7.m1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S1.E7.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S1.E7.m1.2.2.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.E7.m1.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S1.E7.m1.1.1" xref="S1.E7.m1.1.1.cmml">T</mi><mo id="S1.E7.m1.2.2.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.E7.m1.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.E7.m1.2.2.1.1.2" xref="S1.E7.m1.2.2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S1.E7.m1.2.2.1.1.1" xref="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">T</mi><mo id="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.3.1" xref="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">L</mi></mrow><mo id="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">o</mi><mo id="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">L</mi></mrow><mo id="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.E7.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S1.E7.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E7.m1.2b"><apply id="S1.E7.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S1.E7.m1.2.2.1"><eq id="S1.E7.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S1.E7.m1.2.2.1.1.2"></eq><apply id="S1.E7.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S1.E7.m1.2.2.1.1.3"><times id="S1.E7.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E7.m1.2.2.1.1.3.1"></times><apply id="S1.E7.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E7.m1.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E7.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.E7.m1.2.2.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S1.E7.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S1.E7.m1.2.2.1.1.3.2.2">𝑁</ci><times id="S1.E7.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S1.E7.m1.2.2.1.1.3.2.3"></times></apply><ci id="S1.E7.m1.1.1.cmml" xref="S1.E7.m1.1.1">𝑇</ci></apply><apply id="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S1.E7.m1.2.2.1.1.1"><plus id="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.2"></plus><apply id="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.3"><times id="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.3.1"></times><ci id="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.3.2">𝑇</ci><ci id="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.3.3">𝐿</ci></apply><apply id="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.1"><times id="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.1.2"></times><ci id="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.1.3">𝑜</ci><apply id="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><times id="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">𝐿</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E7.m1.2c">N^{*}(T)=TL+o(TL).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E7.m1.2d">italic_N start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T ) = italic_T italic_L + italic_o ( italic_T italic_L ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p5"> <p class="ltx_p" id="S1.p5.1">Gallagher and Mueller <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#bib.bibx5" title="">GM78</a>]</cite> proved that <a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#ThmPCCx1" title="Pair Correlation Conjecture (PCC). ‣ 1. Introduction and Statement of Results ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros">PCC</a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S1.p5.1.1"> implies <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#ThmSMCx1" title="Simple Multiplicity Conjecture (SMC). ‣ 1. Introduction and Statement of Results ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros">SMC</a>, under RH, by taking their sums to be over only the critical zeros <math alttext="1/2+i\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.1.1.m1.1"><semantics id="S1.p5.1.1.m1.1a"><mrow id="S1.p5.1.1.m1.1.1" xref="S1.p5.1.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="S1.p5.1.1.m1.1.1.2" xref="S1.p5.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mn id="S1.p5.1.1.m1.1.1.2.2" xref="S1.p5.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mo id="S1.p5.1.1.m1.1.1.2.1" xref="S1.p5.1.1.m1.1.1.2.1.cmml">/</mo><mn id="S1.p5.1.1.m1.1.1.2.3" xref="S1.p5.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="S1.p5.1.1.m1.1.1.1" xref="S1.p5.1.1.m1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S1.p5.1.1.m1.1.1.3" xref="S1.p5.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.p5.1.1.m1.1.1.3.2" xref="S1.p5.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S1.p5.1.1.m1.1.1.3.1" xref="S1.p5.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p5.1.1.m1.1.1.3.3" xref="S1.p5.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">γ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.1.1.m1.1b"><apply id="S1.p5.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p5.1.1.m1.1.1"><plus id="S1.p5.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S1.p5.1.1.m1.1.1.1"></plus><apply id="S1.p5.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.p5.1.1.m1.1.1.2"><divide id="S1.p5.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.p5.1.1.m1.1.1.2.1"></divide><cn id="S1.p5.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S1.p5.1.1.m1.1.1.2.2">1</cn><cn id="S1.p5.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.p5.1.1.m1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S1.p5.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S1.p5.1.1.m1.1.1.3"><times id="S1.p5.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p5.1.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S1.p5.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.p5.1.1.m1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S1.p5.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.p5.1.1.m1.1.1.3.3">𝛾</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.1.1.m1.1c">1/2+i\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.1.1.m1.1d">1 / 2 + italic_i italic_γ</annotation></semantics></math>. Their approach and the proof, in fact, do not depend at all on RH. This is what we intend to clarify in this paper by introducing further consequences of <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#ThmPCCx1" title="Pair Correlation Conjecture (PCC). ‣ 1. Introduction and Statement of Results ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros">PCC</a> which can only be obtained if we do not assume RH. An additional immediate consequence of <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#ThmPCCx1" title="Pair Correlation Conjecture (PCC). ‣ 1. Introduction and Statement of Results ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros">PCC</a> is that</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S1.E8"> <tbody> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S1.E8X"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="2"><span class="ltx_tag ltx_tag_equationgroup ltx_align_left">(1.8)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle N(T,U_{0})\ll TL(U_{0}L)+o(TL)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.E8X.2.1.1.m1.4"><semantics id="S1.E8X.2.1.1.m1.4a"><mrow id="S1.E8X.2.1.1.m1.4.4" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.4.4.cmml"><mrow id="S1.E8X.2.1.1.m1.2.2.1" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.2.2.1.cmml"><mi id="S1.E8X.2.1.1.m1.2.2.1.3" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.2.2.1.3.cmml">N</mi><mo id="S1.E8X.2.1.1.m1.2.2.1.2" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E8X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S1.E8X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S1.E8X.2.1.1.m1.1.1" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.1.1.cmml">T</mi><mo id="S1.E8X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">,</mo><msub id="S1.E8X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.E8X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">U</mi><mn id="S1.E8X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S1.E8X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.E8X.2.1.1.m1.4.4.4" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.4.4.4.cmml">≪</mo><mrow id="S1.E8X.2.1.1.m1.4.4.3" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.4.4.3.cmml"><mrow id="S1.E8X.2.1.1.m1.3.3.2.1" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.3.3.2.1.cmml"><mi id="S1.E8X.2.1.1.m1.3.3.2.1.3" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.3.3.2.1.3.cmml">T</mi><mo id="S1.E8X.2.1.1.m1.3.3.2.1.2" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.3.3.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E8X.2.1.1.m1.3.3.2.1.4" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.3.3.2.1.4.cmml">L</mi><mo id="S1.E8X.2.1.1.m1.3.3.2.1.2a" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.3.3.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E8X.2.1.1.m1.3.3.2.1.1.1" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.3.3.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.E8X.2.1.1.m1.3.3.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.3.3.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.E8X.2.1.1.m1.3.3.2.1.1.1.1" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.3.3.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S1.E8X.2.1.1.m1.3.3.2.1.1.1.1.2" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.3.3.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S1.E8X.2.1.1.m1.3.3.2.1.1.1.1.2.2" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.3.3.2.1.1.1.1.2.2.cmml">U</mi><mn id="S1.E8X.2.1.1.m1.3.3.2.1.1.1.1.2.3" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.3.3.2.1.1.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S1.E8X.2.1.1.m1.3.3.2.1.1.1.1.1" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E8X.2.1.1.m1.3.3.2.1.1.1.1.3" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.cmml">L</mi></mrow><mo id="S1.E8X.2.1.1.m1.3.3.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.3.3.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.E8X.2.1.1.m1.4.4.3.3" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.4.4.3.3.cmml">+</mo><mrow id="S1.E8X.2.1.1.m1.4.4.3.2" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.4.4.3.2.cmml"><mi id="S1.E8X.2.1.1.m1.4.4.3.2.3" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.4.4.3.2.3.cmml">o</mi><mo id="S1.E8X.2.1.1.m1.4.4.3.2.2" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.4.4.3.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E8X.2.1.1.m1.4.4.3.2.1.1" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.4.4.3.2.1.1.1.cmml"><mo id="S1.E8X.2.1.1.m1.4.4.3.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.4.4.3.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.E8X.2.1.1.m1.4.4.3.2.1.1.1" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.4.4.3.2.1.1.1.cmml"><mi id="S1.E8X.2.1.1.m1.4.4.3.2.1.1.1.2" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.4.4.3.2.1.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S1.E8X.2.1.1.m1.4.4.3.2.1.1.1.1" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.4.4.3.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E8X.2.1.1.m1.4.4.3.2.1.1.1.3" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.cmml">L</mi></mrow><mo id="S1.E8X.2.1.1.m1.4.4.3.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.4.4.3.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E8X.2.1.1.m1.4b"><apply id="S1.E8X.2.1.1.m1.4.4.cmml" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.4.4"><csymbol cd="latexml" id="S1.E8X.2.1.1.m1.4.4.4.cmml" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.4.4.4">much-less-than</csymbol><apply id="S1.E8X.2.1.1.m1.2.2.1.cmml" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.2.2.1"><times id="S1.E8X.2.1.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.2.2.1.2"></times><ci id="S1.E8X.2.1.1.m1.2.2.1.3.cmml" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.2.2.1.3">𝑁</ci><interval closure="open" id="S1.E8X.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1"><ci id="S1.E8X.2.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.1.1">𝑇</ci><apply id="S1.E8X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E8X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.E8X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝑈</ci><cn id="S1.E8X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3">0</cn></apply></interval></apply><apply id="S1.E8X.2.1.1.m1.4.4.3.cmml" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.4.4.3"><plus id="S1.E8X.2.1.1.m1.4.4.3.3.cmml" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.4.4.3.3"></plus><apply id="S1.E8X.2.1.1.m1.3.3.2.1.cmml" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.3.3.2.1"><times id="S1.E8X.2.1.1.m1.3.3.2.1.2.cmml" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.3.3.2.1.2"></times><ci id="S1.E8X.2.1.1.m1.3.3.2.1.3.cmml" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.3.3.2.1.3">𝑇</ci><ci id="S1.E8X.2.1.1.m1.3.3.2.1.4.cmml" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.3.3.2.1.4">𝐿</ci><apply id="S1.E8X.2.1.1.m1.3.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.3.3.2.1.1.1"><times id="S1.E8X.2.1.1.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.3.3.2.1.1.1.1.1"></times><apply id="S1.E8X.2.1.1.m1.3.3.2.1.1.1.1.2.cmml" 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id="S1.E8X.2.1.1.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E8X.2.1.1.m1.4.4.3.2.1.1.1.3">𝐿</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E8X.2.1.1.m1.4c">\displaystyle N(T,U_{0})\ll TL(U_{0}L)+o(TL)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E8X.2.1.1.m1.4d">italic_N ( italic_T , italic_U start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) ≪ italic_T italic_L ( italic_U start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT italic_L ) + italic_o ( italic_T italic_L )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\lambda_{0}TL+o(TL)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.E8X.3.2.2.m1.1"><semantics id="S1.E8X.3.2.2.m1.1a"><mrow id="S1.E8X.3.2.2.m1.1.1" xref="S1.E8X.3.2.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S1.E8X.3.2.2.m1.1.1.3" xref="S1.E8X.3.2.2.m1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S1.E8X.3.2.2.m1.1.1.2" xref="S1.E8X.3.2.2.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S1.E8X.3.2.2.m1.1.1.1" 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id="S1.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S1.E8X.3.2.2.m1.1.1.1"><plus id="S1.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.2"></plus><apply id="S1.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.3"><times id="S1.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S1.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S1.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S1.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.3.2.2">𝜆</ci><cn id="S1.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.3.2.3">0</cn></apply><ci id="S1.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.3.3">𝑇</ci><ci id="S1.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S1.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.3.4">𝐿</ci></apply><apply id="S1.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1"><times id="S1.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2"></times><ci 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class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=o(TL)\qquad\qquad\quad\text{if}\quad\lambda_{0}=U_{0}L\to 0~{}% \text{ as }~{}T\to\infty." class="ltx_Math" display="inline" id="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2"><semantics id="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2a"><mrow id="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1"><mrow id="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2" xref="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">o</mi><mo id="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" 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class="ltx_mathvariant_bold" id="S1.E8Xa.2.1.1.m1.1.1" xref="S1.E8Xa.2.1.1.m1.1.1a.cmml">if</mtext></mrow></mrow><mspace id="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.3" width="1em" xref="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.3a.cmml"></mspace><mrow id="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.cmml"><msub id="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mn id="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.2.3" xref="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.4" xref="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.4.cmml"><msub id="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.4.2" xref="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.4.2.cmml"><mi id="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.4.2.2" xref="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.4.2.2.cmml">U</mi><mn id="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.4.2.3" xref="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.4.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.4.1" xref="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.4.3" xref="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.4.3.cmml">L</mi></mrow><mo id="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.5" stretchy="false" xref="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.5.cmml">→</mo><mrow id="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.6" xref="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.6.cmml"><mn id="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.6.2" xref="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.6.2.cmml">0</mn><mo id="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.6.1" lspace="0.330em" xref="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.6.1.cmml">⁢</mo><mtext class="ltx_mathvariant_bold" id="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.6.3" xref="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.6.3a.cmml"> as </mtext><mo id="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.6.1a" lspace="0.330em" xref="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.6.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.6.4" xref="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.6.4.cmml">T</mi></mrow><mo id="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.7" stretchy="false" xref="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.7.cmml">→</mo><mi id="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.8" mathvariant="normal" xref="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.8.cmml">∞</mi></mrow></mrow><mo id="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2b"><apply id="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.3a.cmml" xref="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1"><eq id="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3">absent</csymbol><list id="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><apply id="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" 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id="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.6.2.cmml" type="integer" xref="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.6.2">0</cn><ci id="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.6.3a.cmml" xref="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.6.3"><mtext class="ltx_mathvariant_bold" id="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.6.3.cmml" xref="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.6.3"> as </mtext></ci><ci id="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.6.4.cmml" xref="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.6.4">𝑇</ci></apply></apply><apply id="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2e.cmml" xref="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2"><ci id="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.7.cmml" xref="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.7">→</ci><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.6.cmml" id="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2f.cmml" xref="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2"></share><infinity id="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.8.cmml" xref="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.8"></infinity></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2c">\displaystyle=o(TL)\qquad\qquad\quad\text{if}\quad\lambda_{0}=U_{0}L\to 0~{}% \text{ as }~{}T\to\infty.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E8Xa.2.1.1.m1.2d">= italic_o ( italic_T italic_L ) if italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = italic_U start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT italic_L → 0 as italic_T → ∞ .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.p5.2"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S1.p5.2.1">In fact, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#ThmPCCx1" title="Pair Correlation Conjecture (PCC). ‣ 1. Introduction and Statement of Results ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros">PCC</a> implies a third power repulsion, but (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S1.E8" title="Equation 1.8 ‣ 1. Introduction and Statement of Results ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.8</span></a>) is all we need here.</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p6"> <p class="ltx_p" id="S1.p6.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S1.p6.1.1">Mueller <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#bib.bibx7" title="">Mue83</a>]</cite> combined (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S1.E7" title="Equation 1.7 ‣ Simple Multiplicity Conjecture (SMC). ‣ 1. Introduction and Statement of Results ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.7</span></a>) (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S1.E8" title="Equation 1.8 ‣ 1. Introduction and Statement of Results ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.8</span></a>) and called this “Essential Simplicity”. Since Mueller was assuming RH in her paper, we define a slightly different version of Essential Simplicity that covers situations that can occur if RH is not true. For this purpose, we define</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S1.E9"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(1.9)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="N^{\circledast}(T):=\sum_{\begin{subarray}{c}\rho,\rho^{\prime}\\ 0<\gamma,\gamma^{\prime}\leq T\\ \gamma=\gamma^{\prime}\end{subarray}}1" class="ltx_Math" display="block" id="S1.E9.m1.2"><semantics id="S1.E9.m1.2a"><mrow id="S1.E9.m1.2.3" xref="S1.E9.m1.2.3.cmml"><mrow id="S1.E9.m1.2.3.2" xref="S1.E9.m1.2.3.2.cmml"><msup id="S1.E9.m1.2.3.2.2" xref="S1.E9.m1.2.3.2.2.cmml"><mi id="S1.E9.m1.2.3.2.2.2" xref="S1.E9.m1.2.3.2.2.2.cmml">N</mi><mo id="S1.E9.m1.2.3.2.2.3" xref="S1.E9.m1.2.3.2.2.3.cmml">⊛</mo></msup><mo id="S1.E9.m1.2.3.2.1" xref="S1.E9.m1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E9.m1.2.3.2.3.2" xref="S1.E9.m1.2.3.2.cmml"><mo id="S1.E9.m1.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.E9.m1.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S1.E9.m1.2.2" xref="S1.E9.m1.2.2.cmml">T</mi><mo id="S1.E9.m1.2.3.2.3.2.2" rspace="0.278em" stretchy="false" xref="S1.E9.m1.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.E9.m1.2.3.1" rspace="0.111em" xref="S1.E9.m1.2.3.1.cmml">:=</mo><mrow id="S1.E9.m1.2.3.3" xref="S1.E9.m1.2.3.3.cmml"><munder id="S1.E9.m1.2.3.3.1" xref="S1.E9.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S1.E9.m1.2.3.3.1.2" movablelimits="false" xref="S1.E9.m1.2.3.3.1.2.cmml">∑</mo><mtable id="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S1.E9.m1.1.1.1.2.cmml"><mtr id="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="S1.E9.m1.1.1.1.2.cmml"><mtd id="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1b" xref="S1.E9.m1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">ρ</mi><mo id="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2" 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xref="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.4a.cmml">,</mo><mrow id="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2" xref="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.cmml"><msup id="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2" xref="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.cmml"><mi id="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.2" xref="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.3" xref="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.1" xref="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.1.cmml">≤</mo><mi id="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3" xref="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.cmml">T</mi></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1e" xref="S1.E9.m1.1.1.1.2.cmml"><mtd id="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1f" xref="S1.E9.m1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1" xref="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.cmml"><mi id="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.2" xref="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.1" xref="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.1.cmml">=</mo><msup id="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.3" xref="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.3.cmml"><mi id="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.3.2" xref="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mo id="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.3.3" xref="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow></mtd></mtr></mtable></munder><mn id="S1.E9.m1.2.3.3.2" xref="S1.E9.m1.2.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E9.m1.2b"><apply id="S1.E9.m1.2.3.cmml" xref="S1.E9.m1.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S1.E9.m1.2.3.1.cmml" xref="S1.E9.m1.2.3.1">assign</csymbol><apply id="S1.E9.m1.2.3.2.cmml" xref="S1.E9.m1.2.3.2"><times id="S1.E9.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S1.E9.m1.2.3.2.1"></times><apply id="S1.E9.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S1.E9.m1.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E9.m1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S1.E9.m1.2.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S1.E9.m1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S1.E9.m1.2.3.2.2.2">𝑁</ci><ci id="S1.E9.m1.2.3.2.2.3.cmml" xref="S1.E9.m1.2.3.2.2.3">⊛</ci></apply><ci id="S1.E9.m1.2.2.cmml" xref="S1.E9.m1.2.2">𝑇</ci></apply><apply id="S1.E9.m1.2.3.3.cmml" xref="S1.E9.m1.2.3.3"><apply id="S1.E9.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S1.E9.m1.2.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E9.m1.2.3.3.1.1.cmml" xref="S1.E9.m1.2.3.3.1">subscript</csymbol><sum id="S1.E9.m1.2.3.3.1.2.cmml" xref="S1.E9.m1.2.3.3.1.2"></sum><list id="S1.E9.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1"><matrix id="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1"><matrixrow id="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1"><list id="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2"><ci id="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">𝜌</ci><apply id="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2">𝜌</ci><ci id="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3">′</ci></apply></list></matrixrow><matrixrow id="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.4.cmml" xref="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.4a.cmml" xref="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1"><lt id="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.cmml" xref="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1"></lt><cn id="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2.cmml" type="integer" xref="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2">0</cn><ci id="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1">𝛾</ci></apply><apply id="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.cmml" xref="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2"><leq id="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.1.cmml" xref="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.1"></leq><apply id="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.cmml" xref="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.2">𝛾</ci><ci id="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.3">′</ci></apply><ci id="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.cmml" xref="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3">𝑇</ci></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1c.cmml" xref="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.cmml" xref="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1"><eq id="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.1.cmml" xref="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.1"></eq><ci id="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.2.cmml" xref="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.2">𝛾</ci><apply id="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.3.cmml" xref="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.3.2">𝛾</ci><ci id="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.3.3.cmml" xref="S1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.1.3.3">′</ci></apply></apply></matrixrow></matrix></list></apply><cn id="S1.E9.m1.2.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.E9.m1.2.3.3.2">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E9.m1.2c">N^{\circledast}(T):=\sum_{\begin{subarray}{c}\rho,\rho^{\prime}\\ 0<\gamma,\gamma^{\prime}\leq T\\ \gamma=\gamma^{\prime}\end{subarray}}1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E9.m1.2d">italic_N start_POSTSUPERSCRIPT ⊛ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T ) := ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_ρ , italic_ρ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 < italic_γ , italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ≤ italic_T end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_γ = italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT 1</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_ESH" id="ThmESHx1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="ThmESHx1.1.1.1">Essential Simplicity Hypothesis (ESH)</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="ThmESHx1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="ThmESHx1.p1"> <p class="ltx_p" id="ThmESHx1.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="ThmESHx1.p1.1.1">We have</span></p> <ol class="ltx_enumerate" id="S1.I1"> <li class="ltx_item" id="S1.I1.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item"><em class="ltx_emph ltx_font_bold ltx_font_italic" id="S1.I1.i1.1.1.1">[ES1]</em></span> <div class="ltx_para" id="S1.I1.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.I1.i1.p1.2"><math alttext="\displaystyle N^{\circledast}(T)=TL+o(TL)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.I1.i1.p1.1.m1.2"><semantics id="S1.I1.i1.p1.1.m1.2a"><mrow id="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.cmml"><mrow id="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.3" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.3.cmml"><msup id="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.3.2" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.3.2.cmml"><mi id="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.3.2.2" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.3.2.2.cmml">N</mi><mo id="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.3.2.3" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.3.2.3.cmml">⊛</mo></msup><mo id="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.3.1" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.3.3.2" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.3.cmml"><mo id="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S1.I1.i1.p1.1.m1.1.1" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml">T</mi><mo id="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.cmml"><mrow id="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.3" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.3.cmml"><mi id="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.3.2" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.3.2.cmml">T</mi><mo id="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.3.1" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.3.3" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.3.3.cmml">L</mi></mrow><mo id="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.2" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.3.cmml">o</mi><mo id="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.2" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">L</mi></mrow><mo id="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.I1.i1.p1.1.m1.2b"><apply id="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2"><eq id="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2"></eq><apply id="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.3"><times id="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.3.1"></times><apply id="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.3.2.2">𝑁</ci><ci id="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.3.2.3.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.3.2.3">⊛</ci></apply><ci id="S1.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.1.1">𝑇</ci></apply><apply id="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1"><plus id="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.2"></plus><apply id="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.3.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.3"><times id="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.3.1"></times><ci id="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.3.2">𝑇</ci><ci id="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.3.3.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.3.3">𝐿</ci></apply><apply id="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1"><times id="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.2"></times><ci id="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.3">𝑜</ci><apply id="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1"><times id="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3">𝐿</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.I1.i1.p1.1.m1.2c">\displaystyle N^{\circledast}(T)=TL+o(TL)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.I1.i1.p1.1.m1.2d">italic_N start_POSTSUPERSCRIPT ⊛ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T ) = italic_T italic_L + italic_o ( italic_T italic_L )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.I1.i1.p1.2.1">, as </span><math alttext="T\to\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.I1.i1.p1.2.m2.1"><semantics id="S1.I1.i1.p1.2.m2.1a"><mrow id="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1" xref="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.2" xref="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1" stretchy="false" xref="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.I1.i1.p1.2.m2.1b"><apply id="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1"><ci id="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1">→</ci><ci id="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.2">𝑇</ci><infinity id="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.I1.i1.p1.2.m2.1c">T\to\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.I1.i1.p1.2.m2.1d">italic_T → ∞</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.I1.i1.p1.2.2">, and</span></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S1.I1.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item"><em class="ltx_emph ltx_font_bold ltx_font_italic" id="S1.I1.i2.1.1.1">[ES2]</em></span> <div class="ltx_para" id="S1.I1.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.I1.i2.p1.3"><math alttext="\displaystyle N(T,U_{0})=o(TL)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.I1.i2.p1.1.m1.3"><semantics id="S1.I1.i2.p1.1.m1.3a"><mrow id="S1.I1.i2.p1.1.m1.3.3" xref="S1.I1.i2.p1.1.m1.3.3.cmml"><mrow id="S1.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1" xref="S1.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.cmml"><mi id="S1.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.3" xref="S1.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.3.cmml">N</mi><mo id="S1.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.2" xref="S1.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S1.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S1.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S1.I1.i2.p1.1.m1.1.1" xref="S1.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml">T</mi><mo id="S1.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S1.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">,</mo><msub id="S1.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S1.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S1.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">U</mi><mn id="S1.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S1.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S1.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S1.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.I1.i2.p1.1.m1.3.3.3" xref="S1.I1.i2.p1.1.m1.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S1.I1.i2.p1.1.m1.3.3.2" xref="S1.I1.i2.p1.1.m1.3.3.2.cmml"><mi id="S1.I1.i2.p1.1.m1.3.3.2.3" xref="S1.I1.i2.p1.1.m1.3.3.2.3.cmml">o</mi><mo id="S1.I1.i2.p1.1.m1.3.3.2.2" xref="S1.I1.i2.p1.1.m1.3.3.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.I1.i2.p1.1.m1.3.3.2.1.1" xref="S1.I1.i2.p1.1.m1.3.3.2.1.1.1.cmml"><mo id="S1.I1.i2.p1.1.m1.3.3.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.I1.i2.p1.1.m1.3.3.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.I1.i2.p1.1.m1.3.3.2.1.1.1" xref="S1.I1.i2.p1.1.m1.3.3.2.1.1.1.cmml"><mi id="S1.I1.i2.p1.1.m1.3.3.2.1.1.1.2" xref="S1.I1.i2.p1.1.m1.3.3.2.1.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S1.I1.i2.p1.1.m1.3.3.2.1.1.1.1" xref="S1.I1.i2.p1.1.m1.3.3.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.I1.i2.p1.1.m1.3.3.2.1.1.1.3" xref="S1.I1.i2.p1.1.m1.3.3.2.1.1.1.3.cmml">L</mi></mrow><mo id="S1.I1.i2.p1.1.m1.3.3.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.I1.i2.p1.1.m1.3.3.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.I1.i2.p1.1.m1.3b"><apply id="S1.I1.i2.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.1.m1.3.3"><eq id="S1.I1.i2.p1.1.m1.3.3.3.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.1.m1.3.3.3"></eq><apply id="S1.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1"><times id="S1.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.2"></times><ci id="S1.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.3.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.3">𝑁</ci><interval closure="open" id="S1.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1"><ci id="S1.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.1.m1.1.1">𝑇</ci><apply id="S1.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝑈</ci><cn id="S1.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3">0</cn></apply></interval></apply><apply id="S1.I1.i2.p1.1.m1.3.3.2.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.1.m1.3.3.2"><times id="S1.I1.i2.p1.1.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.1.m1.3.3.2.2"></times><ci id="S1.I1.i2.p1.1.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.1.m1.3.3.2.3">𝑜</ci><apply id="S1.I1.i2.p1.1.m1.3.3.2.1.1.1.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.1.m1.3.3.2.1.1"><times id="S1.I1.i2.p1.1.m1.3.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.1.m1.3.3.2.1.1.1.1"></times><ci id="S1.I1.i2.p1.1.m1.3.3.2.1.1.1.2.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.1.m1.3.3.2.1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S1.I1.i2.p1.1.m1.3.3.2.1.1.1.3.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.1.m1.3.3.2.1.1.1.3">𝐿</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.I1.i2.p1.1.m1.3c">\displaystyle N(T,U_{0})=o(TL)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.I1.i2.p1.1.m1.3d">italic_N ( italic_T , italic_U start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) = italic_o ( italic_T italic_L )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.I1.i2.p1.3.1">, if </span><math alttext="U_{0}L\to 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.I1.i2.p1.2.m2.1"><semantics id="S1.I1.i2.p1.2.m2.1a"><mrow id="S1.I1.i2.p1.2.m2.1.1" xref="S1.I1.i2.p1.2.m2.1.1.cmml"><mrow id="S1.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2" xref="S1.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.cmml"><msub id="S1.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.2" xref="S1.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S1.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.2" xref="S1.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.2.cmml">U</mi><mn id="S1.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.3" xref="S1.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S1.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.1" xref="S1.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.3" xref="S1.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml">L</mi></mrow><mo id="S1.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1" stretchy="false" xref="S1.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.cmml">→</mo><mn id="S1.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3" xref="S1.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.I1.i2.p1.2.m2.1b"><apply id="S1.I1.i2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.2.m2.1.1"><ci id="S1.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1">→</ci><apply id="S1.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2"><times id="S1.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.1"></times><apply id="S1.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.2">𝑈</ci><cn id="S1.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.3">0</cn></apply><ci id="S1.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.3">𝐿</ci></apply><cn id="S1.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.I1.i2.p1.2.m2.1c">U_{0}L\to 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.I1.i2.p1.2.m2.1d">italic_U start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT italic_L → 0</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.I1.i2.p1.3.2"> as </span><math alttext="T\to\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.I1.i2.p1.3.m3.1"><semantics id="S1.I1.i2.p1.3.m3.1a"><mrow id="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1" xref="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.2" xref="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.1" stretchy="false" xref="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.I1.i2.p1.3.m3.1b"><apply id="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1"><ci id="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.1">→</ci><ci id="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.2">𝑇</ci><infinity id="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.I1.i2.p1.3.m3.1c">T\to\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.I1.i2.p1.3.m3.1d">italic_T → ∞</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.I1.i2.p1.3.3">.</span></p> </div> </li> </ol> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p7"> <p class="ltx_p" id="S1.p7.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S1.p7.1.1">By (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S1.E8" title="Equation 1.8 ‣ 1. Introduction and Statement of Results ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.8</span></a>) we have already shown that <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#ThmPCCx1" title="Pair Correlation Conjecture (PCC). ‣ 1. Introduction and Statement of Results ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros">PCC</a> implies <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S1.I1.i2" title="Item ES2 ‣ Essential Simplicity Hypothesis (ESH). ‣ 1. Introduction and Statement of Results ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros"><span class="ltx_text ltx_ref_tag"><span class="ltx_text ltx_font_bold">ES2</span></span></a>. We will give a proof later that <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#ThmPCCx1" title="Pair Correlation Conjecture (PCC). ‣ 1. Introduction and Statement of Results ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros">PCC</a> also implies <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S1.I1.i1" title="Item ES1 ‣ Essential Simplicity Hypothesis (ESH). ‣ 1. Introduction and Statement of Results ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros">ES1</a>, and thus we have the following theorem.</span></p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_theorem" id="Thmtheorem1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem1.1.1.1">Theorem 1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem1.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem1.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem1.p1.1.1">The Pair Correlation Conjecture <a class="ltx_ref ltx_font_bold ltx_font_upright" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#ThmPCCx1" title="Pair Correlation Conjecture (PCC). ‣ 1. Introduction and Statement of Results ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros">PCC</a></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem1.p1.1.2"> implies the Essential Simplicity Hypothesis <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#ThmESHx1" title="Essential Simplicity Hypothesis (ESH). ‣ 1. Introduction and Statement of Results ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros">ESH</a>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p8"> <p class="ltx_p" id="S1.p8.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S1.p8.1.1">Our proof is entirely based on Gallagher and Mueller’s <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#bib.bibx5" title="">GM78</a>]</cite> proof except we more explicitly consider the effect of zeros off the critical line. We reproduce their proof here to clarify this effect, which is also the reason why we are able to remove the assumption of RH in the whole argument. This is done in Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S3" title="3. Proof of Theorem 1 ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>.</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p9"> <p class="ltx_p" id="S1.p9.4"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S1.p9.4.4">We now prove that <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#ThmESHx1" title="Essential Simplicity Hypothesis (ESH). ‣ 1. Introduction and Statement of Results ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros">ESH</a> implies that asymptotically 100% of the zeros of the Riemann zeta-function are simple and on the critical line. This actually only requires the first statement <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S1.I1.i1" title="Item ES1 ‣ Essential Simplicity Hypothesis (ESH). ‣ 1. Introduction and Statement of Results ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros"><span class="ltx_text ltx_ref_tag"><span class="ltx_text ltx_font_bold">ES1</span></span></a>. Note that in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S1.E9" title="Equation 1.9 ‣ 1. Introduction and Statement of Results ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.9</span></a>) the condition <math alttext="\gamma=\gamma^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p9.1.1.m1.1"><semantics id="S1.p9.1.1.m1.1a"><mrow id="S1.p9.1.1.m1.1.1" xref="S1.p9.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S1.p9.1.1.m1.1.1.2" xref="S1.p9.1.1.m1.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S1.p9.1.1.m1.1.1.1" xref="S1.p9.1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><msup id="S1.p9.1.1.m1.1.1.3" xref="S1.p9.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.p9.1.1.m1.1.1.3.2" xref="S1.p9.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mo id="S1.p9.1.1.m1.1.1.3.3" xref="S1.p9.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p9.1.1.m1.1b"><apply id="S1.p9.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p9.1.1.m1.1.1"><eq id="S1.p9.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S1.p9.1.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S1.p9.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.p9.1.1.m1.1.1.2">𝛾</ci><apply id="S1.p9.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S1.p9.1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p9.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p9.1.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S1.p9.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.p9.1.1.m1.1.1.3.2">𝛾</ci><ci id="S1.p9.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.p9.1.1.m1.1.1.3.3">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p9.1.1.m1.1c">\gamma=\gamma^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p9.1.1.m1.1d">italic_γ = italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> has three types of solutions: diagonal terms when <math alttext="\rho=\rho^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p9.2.2.m2.1"><semantics id="S1.p9.2.2.m2.1a"><mrow id="S1.p9.2.2.m2.1.1" xref="S1.p9.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S1.p9.2.2.m2.1.1.2" xref="S1.p9.2.2.m2.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S1.p9.2.2.m2.1.1.1" xref="S1.p9.2.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><msup id="S1.p9.2.2.m2.1.1.3" xref="S1.p9.2.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S1.p9.2.2.m2.1.1.3.2" xref="S1.p9.2.2.m2.1.1.3.2.cmml">ρ</mi><mo id="S1.p9.2.2.m2.1.1.3.3" xref="S1.p9.2.2.m2.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p9.2.2.m2.1b"><apply id="S1.p9.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p9.2.2.m2.1.1"><eq id="S1.p9.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S1.p9.2.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S1.p9.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S1.p9.2.2.m2.1.1.2">𝜌</ci><apply id="S1.p9.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S1.p9.2.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p9.2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p9.2.2.m2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S1.p9.2.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S1.p9.2.2.m2.1.1.3.2">𝜌</ci><ci id="S1.p9.2.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S1.p9.2.2.m2.1.1.3.3">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p9.2.2.m2.1c">\rho=\rho^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p9.2.2.m2.1d">italic_ρ = italic_ρ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, symmetric diagonal terms when <math alttext="\beta\neq\frac{1}{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p9.3.3.m3.1"><semantics id="S1.p9.3.3.m3.1a"><mrow id="S1.p9.3.3.m3.1.1" xref="S1.p9.3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S1.p9.3.3.m3.1.1.2" xref="S1.p9.3.3.m3.1.1.2.cmml">β</mi><mo id="S1.p9.3.3.m3.1.1.1" xref="S1.p9.3.3.m3.1.1.1.cmml">≠</mo><mfrac id="S1.p9.3.3.m3.1.1.3" xref="S1.p9.3.3.m3.1.1.3.cmml"><mn id="S1.p9.3.3.m3.1.1.3.2" xref="S1.p9.3.3.m3.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S1.p9.3.3.m3.1.1.3.3" xref="S1.p9.3.3.m3.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p9.3.3.m3.1b"><apply id="S1.p9.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.p9.3.3.m3.1.1"><neq id="S1.p9.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S1.p9.3.3.m3.1.1.1"></neq><ci id="S1.p9.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S1.p9.3.3.m3.1.1.2">𝛽</ci><apply id="S1.p9.3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S1.p9.3.3.m3.1.1.3"><divide id="S1.p9.3.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p9.3.3.m3.1.1.3"></divide><cn id="S1.p9.3.3.m3.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.p9.3.3.m3.1.1.3.2">1</cn><cn id="S1.p9.3.3.m3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.p9.3.3.m3.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p9.3.3.m3.1c">\beta\neq\frac{1}{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p9.3.3.m3.1d">italic_β ≠ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG</annotation></semantics></math> and <math alttext="\rho^{\prime}=1-\overline{\rho}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p9.4.4.m4.1"><semantics id="S1.p9.4.4.m4.1a"><mrow id="S1.p9.4.4.m4.1.1" xref="S1.p9.4.4.m4.1.1.cmml"><msup id="S1.p9.4.4.m4.1.1.2" xref="S1.p9.4.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S1.p9.4.4.m4.1.1.2.2" xref="S1.p9.4.4.m4.1.1.2.2.cmml">ρ</mi><mo id="S1.p9.4.4.m4.1.1.2.3" xref="S1.p9.4.4.m4.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S1.p9.4.4.m4.1.1.1" xref="S1.p9.4.4.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S1.p9.4.4.m4.1.1.3" xref="S1.p9.4.4.m4.1.1.3.cmml"><mn id="S1.p9.4.4.m4.1.1.3.2" xref="S1.p9.4.4.m4.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S1.p9.4.4.m4.1.1.3.1" xref="S1.p9.4.4.m4.1.1.3.1.cmml">−</mo><mover accent="true" id="S1.p9.4.4.m4.1.1.3.3" xref="S1.p9.4.4.m4.1.1.3.3.cmml"><mi id="S1.p9.4.4.m4.1.1.3.3.2" xref="S1.p9.4.4.m4.1.1.3.3.2.cmml">ρ</mi><mo id="S1.p9.4.4.m4.1.1.3.3.1" xref="S1.p9.4.4.m4.1.1.3.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p9.4.4.m4.1b"><apply id="S1.p9.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S1.p9.4.4.m4.1.1"><eq id="S1.p9.4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S1.p9.4.4.m4.1.1.1"></eq><apply id="S1.p9.4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S1.p9.4.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p9.4.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S1.p9.4.4.m4.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S1.p9.4.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S1.p9.4.4.m4.1.1.2.2">𝜌</ci><ci id="S1.p9.4.4.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S1.p9.4.4.m4.1.1.2.3">′</ci></apply><apply id="S1.p9.4.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S1.p9.4.4.m4.1.1.3"><minus id="S1.p9.4.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p9.4.4.m4.1.1.3.1"></minus><cn id="S1.p9.4.4.m4.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.p9.4.4.m4.1.1.3.2">1</cn><apply id="S1.p9.4.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S1.p9.4.4.m4.1.1.3.3"><ci id="S1.p9.4.4.m4.1.1.3.3.1.cmml" xref="S1.p9.4.4.m4.1.1.3.3.1">¯</ci><ci id="S1.p9.4.4.m4.1.1.3.3.2.cmml" xref="S1.p9.4.4.m4.1.1.3.3.2">𝜌</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p9.4.4.m4.1c">\rho^{\prime}=1-\overline{\rho}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p9.4.4.m4.1d">italic_ρ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT = 1 - over¯ start_ARG italic_ρ end_ARG</annotation></semantics></math>, and non-symmetric horizontal terms that occur when there are more than two distinct zeros on a horizontal line with differences between two of these zeros not including the pairs of symmetric diagonal terms. Thus</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S1.E10"> <tbody> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S1.E10X"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="2"><span class="ltx_tag ltx_tag_equationgroup ltx_align_left">(1.10)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle N^{\circledast}(T)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.E10X.2.1.1.m1.1"><semantics id="S1.E10X.2.1.1.m1.1a"><mrow id="S1.E10X.2.1.1.m1.1.2" xref="S1.E10X.2.1.1.m1.1.2.cmml"><msup id="S1.E10X.2.1.1.m1.1.2.2" xref="S1.E10X.2.1.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S1.E10X.2.1.1.m1.1.2.2.2" xref="S1.E10X.2.1.1.m1.1.2.2.2.cmml">N</mi><mo id="S1.E10X.2.1.1.m1.1.2.2.3" xref="S1.E10X.2.1.1.m1.1.2.2.3.cmml">⊛</mo></msup><mo id="S1.E10X.2.1.1.m1.1.2.1" xref="S1.E10X.2.1.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E10X.2.1.1.m1.1.2.3.2" xref="S1.E10X.2.1.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S1.E10X.2.1.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.E10X.2.1.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S1.E10X.2.1.1.m1.1.1" xref="S1.E10X.2.1.1.m1.1.1.cmml">T</mi><mo id="S1.E10X.2.1.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.E10X.2.1.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E10X.2.1.1.m1.1b"><apply id="S1.E10X.2.1.1.m1.1.2.cmml" xref="S1.E10X.2.1.1.m1.1.2"><times id="S1.E10X.2.1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S1.E10X.2.1.1.m1.1.2.1"></times><apply id="S1.E10X.2.1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S1.E10X.2.1.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E10X.2.1.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S1.E10X.2.1.1.m1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S1.E10X.2.1.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S1.E10X.2.1.1.m1.1.2.2.2">𝑁</ci><ci id="S1.E10X.2.1.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S1.E10X.2.1.1.m1.1.2.2.3">⊛</ci></apply><ci id="S1.E10X.2.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.E10X.2.1.1.m1.1.1">𝑇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E10X.2.1.1.m1.1c">\displaystyle N^{\circledast}(T)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E10X.2.1.1.m1.1d">italic_N start_POSTSUPERSCRIPT ⊛ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{\begin{subarray}{c}\rho\\ 0<\gamma\leq T\end{subarray}}m_{\rho}+\sum_{\begin{subarray}{c}\rho\neq\rho^{% \prime}\\ 0<\gamma,\gamma^{\prime}\leq T\\ \gamma^{\prime}=\gamma\end{subarray}}1" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.E10X.3.2.2.m1.1"><semantics id="S1.E10X.3.2.2.m1.1a"><mrow id="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1" xref="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.2" xref="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.1" xref="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3" xref="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.cmml"><mrow id="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.2" xref="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.2.1" xref="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.2.1.cmml"><munder id="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.2.1a" xref="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.2.1.cmml"><mo id="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.2.1.2" movablelimits="false" xref="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.2.1.2.cmml">∑</mo><mtable id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf" rowspacing="0pt" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1a.2.cmml"><mtr id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mfa" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mfb" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1a.2.cmml"><mi id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.cmml">ρ</mi></mtd></mtr><mtr id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mfc" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mfd" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1.cmml"><mn id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1.2" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1.2.cmml">0</mn><mo id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1.3" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1.3.cmml"><</mo><mi id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1.4" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1.4.cmml">γ</mi><mo id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1.5" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1.5.cmml">≤</mo><mi id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1.6" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1.6.cmml">T</mi></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><msub id="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.2.2" xref="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.2.2.2" xref="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.2.2.2.cmml">m</mi><mi id="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.2.2.3" xref="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.2.2.3.cmml">ρ</mi></msub></mrow><mo id="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.1" xref="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.3" xref="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.3.1" xref="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.3.1.cmml"><munder id="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.3.1a" xref="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.3.1.2" movablelimits="false" xref="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.3.1.2.cmml">∑</mo><mtable id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf" rowspacing="0pt" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1a.2.cmml"><mtr id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mfa" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1a.2.cmml"><mtd id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mfb" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1a.2.cmml"><mrow id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.4.1.1" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.4.1.1.cmml"><mi id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.4.1.1.2" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.4.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.4.1.1.1" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.4.1.1.1.cmml">≠</mo><msup id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.4.1.1.3" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.4.1.1.3.cmml"><mi id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.4.1.1.3.2" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.4.1.1.3.2.cmml">ρ</mi><mo id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.4.1.1.3.3" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.4.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow></mtd></mtr><mtr id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mfc" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1a.2.cmml"><mtd id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mfd" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1a.2.cmml"><mrow id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.3.3.3.3.3" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.3.3.3.3.4.cmml"><mrow id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.2.2.2.2.2.1" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.2.2.2.2.2.1.cmml"><mn id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.2.2.2.2.2.1.2" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.2.2.2.2.2.1.2.cmml">0</mn><mo id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.2.2.2.2.2.1.1" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><</mo><mi id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.3.3.3.3.3.3" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.3.3.3.3.4a.cmml">,</mo><mrow id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.3.3.3.3.3.2" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.3.3.3.3.3.2.cmml"><msup id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.3.3.3.3.3.2.2" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.3.3.3.3.3.2.2.cmml"><mi id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.3.3.3.3.3.2.2.2" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.3.3.3.3.3.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.3.3.3.3.3.2.2.3" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.3.3.3.3.3.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.3.3.3.3.3.2.1" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.3.3.3.3.3.2.1.cmml">≤</mo><mi id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.3.3.3.3.3.2.3" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.3.3.3.3.3.2.3.cmml">T</mi></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mfe" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1a.2.cmml"><mtd id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mff" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1a.2.cmml"><mrow id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.5.1.1" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.5.1.1.cmml"><msup id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.5.1.1.2" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.5.1.1.2.cmml"><mi id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.5.1.1.2.2" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.5.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.5.1.1.2.3" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.5.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.5.1.1.1" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.5.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.5.1.1.3" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.5.1.1.3.cmml">γ</mi></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><mn id="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.3.2" xref="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E10X.3.2.2.m1.1b"><apply id="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.cmml" xref="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1"><eq id="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3"><plus id="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.1"></plus><apply id="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.2"><apply id="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.2.1">subscript</csymbol><sum id="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.2.1.2"></sum><list id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1a.2.cmml" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf"><matrix id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.cmml" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf"><matrixrow id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mfa.cmml" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf"><ci id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.cmml" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1">𝜌</ci></matrixrow><matrixrow id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mfb.cmml" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf"><apply id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1.cmml" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1"><and id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1a.cmml" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1"></and><apply id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1b.cmml" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1"><lt id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1.3.cmml" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1.3"></lt><cn id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1.2">0</cn><ci id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1.4.cmml" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1.4">𝛾</ci></apply><apply id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1c.cmml" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1"><leq id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1.5.cmml" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1.4.cmml" id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1d.cmml" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1"></share><ci id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1.6.cmml" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1.6">𝑇</ci></apply></apply></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.2.2.2">𝑚</ci><ci id="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.2.2.3">𝜌</ci></apply></apply><apply id="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.3"><apply id="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.3.1">subscript</csymbol><sum id="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.3.1.2.cmml" xref="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.3.1.2"></sum><list id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1a.2.cmml" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf"><matrix id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.cmml" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf"><matrixrow id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mfa.cmml" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf"><apply id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.4.1.1.cmml" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.4.1.1"><neq id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.4.1.1.1.cmml" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.4.1.1.1"></neq><ci id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.4.1.1.2.cmml" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.4.1.1.2">𝜌</ci><apply id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.4.1.1.3.cmml" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.4.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.4.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.4.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.4.1.1.3.2">𝜌</ci><ci id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.4.1.1.3.3.cmml" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.4.1.1.3.3">′</ci></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mfb.cmml" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf"><apply id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.3.3.3.3.4.cmml" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.3.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.3.3.3.3.4a.cmml" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.3.3.3.3.3.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.2.2.2.2.2.1"><lt id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.2.2.2.2.2.1.1"></lt><cn id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.2.2.2.2.2.1.2.cmml" type="integer" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.2.2.2.2.2.1.2">0</cn><ci id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1">𝛾</ci></apply><apply id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.3.3.3.3.3.2"><leq id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.3.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.3.3.3.3.3.2.1"></leq><apply id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.3.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.3.3.3.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.3.3.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.3.3.3.3.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.3.3.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.3.3.3.3.3.2.2.2">𝛾</ci><ci id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.3.3.3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.3.3.3.3.3.2.2.3">′</ci></apply><ci id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.3.3.3.3.3.2.3.cmml" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.3.3.3.3.3.2.3">𝑇</ci></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mfc.cmml" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf"><apply id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.5.1.1.cmml" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.5.1.1"><eq id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.5.1.1.1.cmml" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.5.1.1.1"></eq><apply id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.5.1.1.2.cmml" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.5.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.5.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.5.1.1.2.2.cmml" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.5.1.1.2.2">𝛾</ci><ci id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.5.1.1.2.3.cmml" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.5.1.1.2.3">′</ci></apply><ci id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.5.1.1.3.cmml" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.mf.5.1.1.3">𝛾</ci></apply></matrixrow></matrix></list></apply><cn id="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.E10X.3.2.2.m1.1.1.3.3.2">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E10X.3.2.2.m1.1c">\displaystyle=\sum_{\begin{subarray}{c}\rho\\ 0<\gamma\leq T\end{subarray}}m_{\rho}+\sum_{\begin{subarray}{c}\rho\neq\rho^{% \prime}\\ 0<\gamma,\gamma^{\prime}\leq T\\ \gamma^{\prime}=\gamma\end{subarray}}1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E10X.3.2.2.m1.1d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_ρ end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 < italic_γ ≤ italic_T end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ end_POSTSUBSCRIPT + ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_ρ ≠ italic_ρ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 < italic_γ , italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ≤ italic_T end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT = italic_γ end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT 1</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S1.E10Xa"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{\begin{subarray}{c}\rho\\ 0<\gamma\leq T\end{subarray}}m_{\rho}+\sum_{\begin{subarray}{c}\rho\\ 0<\gamma\leq T\\ \beta\neq\frac{1}{2}\end{subarray}}m_{\rho}+\sum_{\begin{subarray}{c}\rho\neq% \rho^{\prime}\\ 0<\gamma,\gamma^{\prime}\leq T\\ \beta+\beta^{\prime}\neq 1,\,\gamma=\gamma^{\prime}\end{subarray}}1=:N^{*}(T)+% N_{\beta\neq\frac{1}{2}}^{*}(T)+N^{\circleddash}(T)." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1"><semantics id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1a"><mrow id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1b"><mo id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1.1">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1.2"><munder id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1.2a"><mo id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1.2.2" movablelimits="false">∑</mo><mtable id="S1.E10.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.mf" rowspacing="0pt"><mtr id="S1.E10.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.mfa"><mtd id="S1.E10.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.mfb"><mi id="S1.E10.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1">ρ</mi></mtd></mtr><mtr id="S1.E10.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.mfc"><mtd id="S1.E10.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.mfd"><mrow id="S1.E10.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1"><mn id="S1.E10.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1.2">0</mn><mo id="S1.E10.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1.3"><</mo><mi id="S1.E10.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1.4">γ</mi><mo id="S1.E10.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1.5">≤</mo><mi id="S1.E10.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1.6">T</mi></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><msub id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1.3"><mi id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1.3.2">m</mi><mi id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1.3.3">ρ</mi></msub><mo id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1.4">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1.5"><munder id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1.5a"><mo id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1.5.2" movablelimits="false">∑</mo><mtable id="S1.E10.m1.4.4.4.2.2.2.1.1.1.1.mf" rowspacing="0pt"><mtr id="S1.E10.m1.4.4.4.2.2.2.1.1.1.1.mfa"><mtd id="S1.E10.m1.4.4.4.2.2.2.1.1.1.1.mfb"><mi id="S1.E10.m1.4.4.4.2.2.2.1.1.1.1.mf.1.1.1">ρ</mi></mtd></mtr><mtr id="S1.E10.m1.4.4.4.2.2.2.1.1.1.1.mfc"><mtd id="S1.E10.m1.4.4.4.2.2.2.1.1.1.1.mfd"><mrow id="S1.E10.m1.4.4.4.2.2.2.1.1.1.1.mf.2.1.1"><mn id="S1.E10.m1.4.4.4.2.2.2.1.1.1.1.mf.2.1.1.2">0</mn><mo id="S1.E10.m1.4.4.4.2.2.2.1.1.1.1.mf.2.1.1.3"><</mo><mi id="S1.E10.m1.4.4.4.2.2.2.1.1.1.1.mf.2.1.1.4">γ</mi><mo id="S1.E10.m1.4.4.4.2.2.2.1.1.1.1.mf.2.1.1.5">≤</mo><mi id="S1.E10.m1.4.4.4.2.2.2.1.1.1.1.mf.2.1.1.6">T</mi></mrow></mtd></mtr><mtr id="S1.E10.m1.4.4.4.2.2.2.1.1.1.1.mfe"><mtd id="S1.E10.m1.4.4.4.2.2.2.1.1.1.1.mff"><mrow id="S1.E10.m1.4.4.4.2.2.2.1.1.1.1.mf.3.1.1"><mi id="S1.E10.m1.4.4.4.2.2.2.1.1.1.1.mf.3.1.1.2">β</mi><mo id="S1.E10.m1.4.4.4.2.2.2.1.1.1.1.mf.3.1.1.1">≠</mo><mfrac id="S1.E10.m1.4.4.4.2.2.2.1.1.1.1.mf.3.1.1.3"><mn id="S1.E10.m1.4.4.4.2.2.2.1.1.1.1.mf.3.1.1.3.2">1</mn><mn id="S1.E10.m1.4.4.4.2.2.2.1.1.1.1.mf.3.1.1.3.3">2</mn></mfrac></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><msub id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1.6"><mi id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1.6.2">m</mi><mi id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1.6.3">ρ</mi></msub><mo id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1.7">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1.8"><munder id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1.8a"><mo id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1.8.2" movablelimits="false">∑</mo><mtable id="S1.E10.m1.5.5.5.3.3.3.1.1.1.1.mf" rowspacing="0pt"><mtr id="S1.E10.m1.5.5.5.3.3.3.1.1.1.1.mfa"><mtd id="S1.E10.m1.5.5.5.3.3.3.1.1.1.1.mfb"><mrow id="S1.E10.m1.5.5.5.3.3.3.1.1.1.1.mf.6.1.1"><mi id="S1.E10.m1.5.5.5.3.3.3.1.1.1.1.mf.6.1.1.2">ρ</mi><mo id="S1.E10.m1.5.5.5.3.3.3.1.1.1.1.mf.6.1.1.1">≠</mo><msup id="S1.E10.m1.5.5.5.3.3.3.1.1.1.1.mf.6.1.1.3"><mi id="S1.E10.m1.5.5.5.3.3.3.1.1.1.1.mf.6.1.1.3.2">ρ</mi><mo id="S1.E10.m1.5.5.5.3.3.3.1.1.1.1.mf.6.1.1.3.3">′</mo></msup></mrow></mtd></mtr><mtr id="S1.E10.m1.5.5.5.3.3.3.1.1.1.1.mfc"><mtd id="S1.E10.m1.5.5.5.3.3.3.1.1.1.1.mfd"><mrow id="S1.E10.m1.5.5.5.3.3.3.1.1.1.1.mf.3.3.3.3.3"><mrow id="S1.E10.m1.5.5.5.3.3.3.1.1.1.1.mf.2.2.2.2.2.1"><mn id="S1.E10.m1.5.5.5.3.3.3.1.1.1.1.mf.2.2.2.2.2.1.2">0</mn><mo id="S1.E10.m1.5.5.5.3.3.3.1.1.1.1.mf.2.2.2.2.2.1.1"><</mo><mi id="S1.E10.m1.5.5.5.3.3.3.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1">γ</mi></mrow><mo id="S1.E10.m1.5.5.5.3.3.3.1.1.1.1.mf.3.3.3.3.3.3">,</mo><mrow id="S1.E10.m1.5.5.5.3.3.3.1.1.1.1.mf.3.3.3.3.3.2"><msup id="S1.E10.m1.5.5.5.3.3.3.1.1.1.1.mf.3.3.3.3.3.2.2"><mi id="S1.E10.m1.5.5.5.3.3.3.1.1.1.1.mf.3.3.3.3.3.2.2.2">γ</mi><mo id="S1.E10.m1.5.5.5.3.3.3.1.1.1.1.mf.3.3.3.3.3.2.2.3">′</mo></msup><mo id="S1.E10.m1.5.5.5.3.3.3.1.1.1.1.mf.3.3.3.3.3.2.1">≤</mo><mi id="S1.E10.m1.5.5.5.3.3.3.1.1.1.1.mf.3.3.3.3.3.2.3">T</mi></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S1.E10.m1.5.5.5.3.3.3.1.1.1.1.mfe"><mtd id="S1.E10.m1.5.5.5.3.3.3.1.1.1.1.mff"><mrow id="S1.E10.m1.5.5.5.3.3.3.1.1.1.1.mf.5.5.2.2.2"><mrow id="S1.E10.m1.5.5.5.3.3.3.1.1.1.1.mf.4.4.1.1.1.1"><mrow id="S1.E10.m1.5.5.5.3.3.3.1.1.1.1.mf.4.4.1.1.1.1.2"><mi id="S1.E10.m1.5.5.5.3.3.3.1.1.1.1.mf.4.4.1.1.1.1.2.2">β</mi><mo id="S1.E10.m1.5.5.5.3.3.3.1.1.1.1.mf.4.4.1.1.1.1.2.1">+</mo><msup id="S1.E10.m1.5.5.5.3.3.3.1.1.1.1.mf.4.4.1.1.1.1.2.3"><mi id="S1.E10.m1.5.5.5.3.3.3.1.1.1.1.mf.4.4.1.1.1.1.2.3.2">β</mi><mo id="S1.E10.m1.5.5.5.3.3.3.1.1.1.1.mf.4.4.1.1.1.1.2.3.3">′</mo></msup></mrow><mo id="S1.E10.m1.5.5.5.3.3.3.1.1.1.1.mf.4.4.1.1.1.1.1">≠</mo><mn id="S1.E10.m1.5.5.5.3.3.3.1.1.1.1.mf.4.4.1.1.1.1.3">1</mn></mrow><mo id="S1.E10.m1.5.5.5.3.3.3.1.1.1.1.mf.5.5.2.2.2.3" rspace="0.337em">,</mo><mrow id="S1.E10.m1.5.5.5.3.3.3.1.1.1.1.mf.5.5.2.2.2.2"><mi id="S1.E10.m1.5.5.5.3.3.3.1.1.1.1.mf.5.5.2.2.2.2.2">γ</mi><mo id="S1.E10.m1.5.5.5.3.3.3.1.1.1.1.mf.5.5.2.2.2.2.1">=</mo><msup id="S1.E10.m1.5.5.5.3.3.3.1.1.1.1.mf.5.5.2.2.2.2.3"><mi id="S1.E10.m1.5.5.5.3.3.3.1.1.1.1.mf.5.5.2.2.2.2.3.2">γ</mi><mo id="S1.E10.m1.5.5.5.3.3.3.1.1.1.1.mf.5.5.2.2.2.2.3.3">′</mo></msup></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><mn id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1.9">1</mn><mo id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1.10" rspace="0em">=</mo><mo id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1.11" rspace="0.278em">:</mo><msup id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1.12"><mi id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1.12.2">N</mi><mo id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1.12.3">∗</mo></msup><mrow id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1.13"><mo id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1.13.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1.13.2">T</mi><mo id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1.13.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1.14">+</mo><msubsup id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1.15"><mi id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1.15.2.2">N</mi><mrow id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1.15.2.3"><mi id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1.15.2.3.2">β</mi><mo id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1.15.2.3.1">≠</mo><mfrac id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1.15.2.3.3"><mn id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1.15.2.3.3.2">1</mn><mn id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1.15.2.3.3.3">2</mn></mfrac></mrow><mo id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1.15.3">∗</mo></msubsup><mrow id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1.16"><mo id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1.16.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1.16.2">T</mi><mo id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1.16.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1.17">+</mo><msup id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1.18"><mi id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1.18.2">N</mi><mo id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1.18.3">⊝</mo></msup><mrow id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1.19"><mo id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1.19.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1.19.2">T</mi><mo id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1.19.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1.20" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1c">\displaystyle=\sum_{\begin{subarray}{c}\rho\\ 0<\gamma\leq T\end{subarray}}m_{\rho}+\sum_{\begin{subarray}{c}\rho\\ 0<\gamma\leq T\\ \beta\neq\frac{1}{2}\end{subarray}}m_{\rho}+\sum_{\begin{subarray}{c}\rho\neq% \rho^{\prime}\\ 0<\gamma,\gamma^{\prime}\leq T\\ \beta+\beta^{\prime}\neq 1,\,\gamma=\gamma^{\prime}\end{subarray}}1=:N^{*}(T)+% N_{\beta\neq\frac{1}{2}}^{*}(T)+N^{\circleddash}(T).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E10Xa.2.1.1.m1.1d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_ρ end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 < italic_γ ≤ italic_T end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ end_POSTSUBSCRIPT + ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_ρ end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 < italic_γ ≤ italic_T end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_β ≠ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ end_POSTSUBSCRIPT + ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_ρ ≠ italic_ρ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 < italic_γ , italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ≤ italic_T end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_β + italic_β start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ≠ 1 , italic_γ = italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT 1 = : italic_N start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T ) + italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_β ≠ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T ) + italic_N start_POSTSUPERSCRIPT ⊝ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.p9.6"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S1.p9.6.2">By <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S1.I1.i1" title="Item ES1 ‣ Essential Simplicity Hypothesis (ESH). ‣ 1. Introduction and Statement of Results ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros"><span class="ltx_text ltx_ref_tag"><span class="ltx_text ltx_font_bold">ES1</span></span></a> of <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#ThmESHx1" title="Essential Simplicity Hypothesis (ESH). ‣ 1. Introduction and Statement of Results ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros">ESH</a>, we have <math alttext="N^{\circledast}(T)\leq TL+o(TL)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p9.5.1.m1.2"><semantics id="S1.p9.5.1.m1.2a"><mrow id="S1.p9.5.1.m1.2.2" xref="S1.p9.5.1.m1.2.2.cmml"><mrow id="S1.p9.5.1.m1.2.2.3" xref="S1.p9.5.1.m1.2.2.3.cmml"><msup id="S1.p9.5.1.m1.2.2.3.2" xref="S1.p9.5.1.m1.2.2.3.2.cmml"><mi id="S1.p9.5.1.m1.2.2.3.2.2" xref="S1.p9.5.1.m1.2.2.3.2.2.cmml">N</mi><mo id="S1.p9.5.1.m1.2.2.3.2.3" xref="S1.p9.5.1.m1.2.2.3.2.3.cmml">⊛</mo></msup><mo id="S1.p9.5.1.m1.2.2.3.1" xref="S1.p9.5.1.m1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p9.5.1.m1.2.2.3.3.2" xref="S1.p9.5.1.m1.2.2.3.cmml"><mo id="S1.p9.5.1.m1.2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.p9.5.1.m1.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S1.p9.5.1.m1.1.1" xref="S1.p9.5.1.m1.1.1.cmml">T</mi><mo id="S1.p9.5.1.m1.2.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.p9.5.1.m1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.p9.5.1.m1.2.2.2" xref="S1.p9.5.1.m1.2.2.2.cmml">≤</mo><mrow id="S1.p9.5.1.m1.2.2.1" xref="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.cmml"><mrow id="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.3" xref="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.3.cmml"><mi id="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.3.2" xref="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.3.2.cmml">T</mi><mo id="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.3.1" xref="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.3.3" xref="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.3.3.cmml">L</mi></mrow><mo id="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.2" xref="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.1" xref="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.1.3.cmml">o</mi><mo id="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.1.2" xref="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">L</mi></mrow><mo id="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p9.5.1.m1.2b"><apply id="S1.p9.5.1.m1.2.2.cmml" xref="S1.p9.5.1.m1.2.2"><leq id="S1.p9.5.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S1.p9.5.1.m1.2.2.2"></leq><apply id="S1.p9.5.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S1.p9.5.1.m1.2.2.3"><times id="S1.p9.5.1.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S1.p9.5.1.m1.2.2.3.1"></times><apply id="S1.p9.5.1.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S1.p9.5.1.m1.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p9.5.1.m1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S1.p9.5.1.m1.2.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S1.p9.5.1.m1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S1.p9.5.1.m1.2.2.3.2.2">𝑁</ci><ci id="S1.p9.5.1.m1.2.2.3.2.3.cmml" xref="S1.p9.5.1.m1.2.2.3.2.3">⊛</ci></apply><ci id="S1.p9.5.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p9.5.1.m1.1.1">𝑇</ci></apply><apply id="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.cmml" xref="S1.p9.5.1.m1.2.2.1"><plus id="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.2"></plus><apply id="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.3.cmml" xref="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.3"><times id="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.3.1"></times><ci id="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.3.2">𝑇</ci><ci id="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.3.3.cmml" xref="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.3.3">𝐿</ci></apply><apply id="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.1"><times id="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.1.2"></times><ci id="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.1.3">𝑜</ci><apply id="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.1.1.1"><times id="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.p9.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3">𝐿</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p9.5.1.m1.2c">N^{\circledast}(T)\leq TL+o(TL)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p9.5.1.m1.2d">italic_N start_POSTSUPERSCRIPT ⊛ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T ) ≤ italic_T italic_L + italic_o ( italic_T italic_L )</annotation></semantics></math>. Since <math alttext="N^{\circledast}(T)\geq N^{*}(T)\geq N(T)=TL+o(TL)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p9.6.2.m2.4"><semantics id="S1.p9.6.2.m2.4a"><mrow id="S1.p9.6.2.m2.4.4" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.cmml"><mrow id="S1.p9.6.2.m2.4.4.3" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.3.cmml"><msup id="S1.p9.6.2.m2.4.4.3.2" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.3.2.cmml"><mi id="S1.p9.6.2.m2.4.4.3.2.2" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.3.2.2.cmml">N</mi><mo id="S1.p9.6.2.m2.4.4.3.2.3" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.3.2.3.cmml">⊛</mo></msup><mo id="S1.p9.6.2.m2.4.4.3.1" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p9.6.2.m2.4.4.3.3.2" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.3.cmml"><mo id="S1.p9.6.2.m2.4.4.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.3.cmml">(</mo><mi id="S1.p9.6.2.m2.1.1" xref="S1.p9.6.2.m2.1.1.cmml">T</mi><mo id="S1.p9.6.2.m2.4.4.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.p9.6.2.m2.4.4.4" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.4.cmml">≥</mo><mrow id="S1.p9.6.2.m2.4.4.5" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.5.cmml"><msup id="S1.p9.6.2.m2.4.4.5.2" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.5.2.cmml"><mi id="S1.p9.6.2.m2.4.4.5.2.2" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.5.2.2.cmml">N</mi><mo id="S1.p9.6.2.m2.4.4.5.2.3" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.5.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S1.p9.6.2.m2.4.4.5.1" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p9.6.2.m2.4.4.5.3.2" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.5.cmml"><mo id="S1.p9.6.2.m2.4.4.5.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.5.cmml">(</mo><mi id="S1.p9.6.2.m2.2.2" xref="S1.p9.6.2.m2.2.2.cmml">T</mi><mo id="S1.p9.6.2.m2.4.4.5.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.5.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.p9.6.2.m2.4.4.6" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.6.cmml">≥</mo><mrow id="S1.p9.6.2.m2.4.4.7" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.7.cmml"><mi id="S1.p9.6.2.m2.4.4.7.2" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.7.2.cmml">N</mi><mo id="S1.p9.6.2.m2.4.4.7.1" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.7.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p9.6.2.m2.4.4.7.3.2" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.7.cmml"><mo id="S1.p9.6.2.m2.4.4.7.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.7.cmml">(</mo><mi id="S1.p9.6.2.m2.3.3" xref="S1.p9.6.2.m2.3.3.cmml">T</mi><mo id="S1.p9.6.2.m2.4.4.7.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.7.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.p9.6.2.m2.4.4.8" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.8.cmml">=</mo><mrow id="S1.p9.6.2.m2.4.4.1" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.cmml"><mrow id="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.3" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.3.cmml"><mi id="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.3.2" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.3.2.cmml">T</mi><mo id="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.3.1" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.3.3" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.3.3.cmml">L</mi></mrow><mo id="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.2" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.1" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.1.cmml"><mi id="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.1.3" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.1.3.cmml">o</mi><mo id="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.1.2" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.1.1.1" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml">L</mi></mrow><mo id="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p9.6.2.m2.4b"><apply id="S1.p9.6.2.m2.4.4.cmml" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4"><and id="S1.p9.6.2.m2.4.4a.cmml" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4"></and><apply id="S1.p9.6.2.m2.4.4b.cmml" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4"><geq id="S1.p9.6.2.m2.4.4.4.cmml" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.4"></geq><apply id="S1.p9.6.2.m2.4.4.3.cmml" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.3"><times id="S1.p9.6.2.m2.4.4.3.1.cmml" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.3.1"></times><apply id="S1.p9.6.2.m2.4.4.3.2.cmml" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p9.6.2.m2.4.4.3.2.1.cmml" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.3.2">superscript</csymbol><ci id="S1.p9.6.2.m2.4.4.3.2.2.cmml" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.3.2.2">𝑁</ci><ci id="S1.p9.6.2.m2.4.4.3.2.3.cmml" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.3.2.3">⊛</ci></apply><ci id="S1.p9.6.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p9.6.2.m2.1.1">𝑇</ci></apply><apply id="S1.p9.6.2.m2.4.4.5.cmml" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.5"><times id="S1.p9.6.2.m2.4.4.5.1.cmml" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.5.1"></times><apply id="S1.p9.6.2.m2.4.4.5.2.cmml" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p9.6.2.m2.4.4.5.2.1.cmml" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.5.2">superscript</csymbol><ci id="S1.p9.6.2.m2.4.4.5.2.2.cmml" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.5.2.2">𝑁</ci><times id="S1.p9.6.2.m2.4.4.5.2.3.cmml" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.5.2.3"></times></apply><ci id="S1.p9.6.2.m2.2.2.cmml" xref="S1.p9.6.2.m2.2.2">𝑇</ci></apply></apply><apply id="S1.p9.6.2.m2.4.4c.cmml" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4"><geq id="S1.p9.6.2.m2.4.4.6.cmml" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.6"></geq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S1.p9.6.2.m2.4.4.5.cmml" id="S1.p9.6.2.m2.4.4d.cmml" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4"></share><apply id="S1.p9.6.2.m2.4.4.7.cmml" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.7"><times id="S1.p9.6.2.m2.4.4.7.1.cmml" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.7.1"></times><ci id="S1.p9.6.2.m2.4.4.7.2.cmml" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.7.2">𝑁</ci><ci id="S1.p9.6.2.m2.3.3.cmml" xref="S1.p9.6.2.m2.3.3">𝑇</ci></apply></apply><apply id="S1.p9.6.2.m2.4.4e.cmml" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4"><eq id="S1.p9.6.2.m2.4.4.8.cmml" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.8"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S1.p9.6.2.m2.4.4.7.cmml" id="S1.p9.6.2.m2.4.4f.cmml" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4"></share><apply id="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.cmml" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.1"><plus id="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.2.cmml" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.2"></plus><apply id="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.3.cmml" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.3"><times id="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.3.1.cmml" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.3.1"></times><ci id="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.3.2.cmml" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.3.2">𝑇</ci><ci id="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.3.3.cmml" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.3.3">𝐿</ci></apply><apply id="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.1.cmml" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.1"><times id="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.1.2.cmml" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.1.2"></times><ci id="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.1.3.cmml" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.1.3">𝑜</ci><apply id="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.1.1.1"><times id="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.p9.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.3">𝐿</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p9.6.2.m2.4c">N^{\circledast}(T)\geq N^{*}(T)\geq N(T)=TL+o(TL)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p9.6.2.m2.4d">italic_N start_POSTSUPERSCRIPT ⊛ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T ) ≥ italic_N start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T ) ≥ italic_N ( italic_T ) = italic_T italic_L + italic_o ( italic_T italic_L )</annotation></semantics></math>, we get that</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S1.Ex1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="N^{*}(T)=TL+o(TL)," class="ltx_Math" display="block" id="S1.Ex1.m1.2"><semantics id="S1.Ex1.m1.2a"><mrow id="S1.Ex1.m1.2.2.1" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.3" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.3.cmml"><msup id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml">N</mi><mo id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.3.2.3" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.3.1" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex1.m1.1.1" xref="S1.Ex1.m1.1.1.cmml">T</mi><mo id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.2" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">T</mi><mo id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.3.1" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">L</mi></mrow><mo id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">o</mi><mo id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">L</mi></mrow><mo id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.Ex1.m1.2.2.1.2" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Ex1.m1.2b"><apply id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1"><eq id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.2"></eq><apply id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.3"><times id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.3.1"></times><apply id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.3.2.2">𝑁</ci><times id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.3.2.3"></times></apply><ci id="S1.Ex1.m1.1.1.cmml" xref="S1.Ex1.m1.1.1">𝑇</ci></apply><apply id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1"><plus id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.2"></plus><apply id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.3"><times id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.3.1"></times><ci id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.3.2">𝑇</ci><ci id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.3.3">𝐿</ci></apply><apply id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1"><times id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.2"></times><ci id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.3">𝑜</ci><apply id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><times id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">𝐿</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Ex1.m1.2c">N^{*}(T)=TL+o(TL),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Ex1.m1.2d">italic_N start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T ) = italic_T italic_L + italic_o ( italic_T italic_L ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.p9.7"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S1.p9.7.1">and thus we conclude from (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S1.E10" title="Equation 1.10 ‣ 1. Introduction and Statement of Results ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.10</span></a>) that</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S1.Ex2"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="N_{\beta\neq\frac{1}{2}}^{*}(T)=o(TL)\quad\text{and}\quad N^{\circleddash}(T)=% o(TL)." class="ltx_Math" display="block" id="S1.Ex2.m1.4"><semantics id="S1.Ex2.m1.4a"><mrow id="S1.Ex2.m1.4.4.1"><mrow id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mrow id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">N</mi><mrow id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">β</mi><mo id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">≠</mo><mfrac id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml"><mn id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2.cmml">1</mn><mn id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mrow><mo id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.3.1" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex2.m1.1.1" xref="S1.Ex2.m1.1.1.cmml">T</mi><mo id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">o</mi><mo id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">L</mi></mrow><mo id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mspace id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" width="1em" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"></mspace><mtext class="ltx_mathvariant_bold" id="S1.Ex2.m1.3.3" xref="S1.Ex2.m1.3.3a.cmml">and</mtext></mrow></mrow><mspace id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.3" width="1em" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.3a.cmml"></mspace><mrow id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.3" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml"><msup id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.3.2" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.cmml"><mi id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.2" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.2.cmml">N</mi><mo id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.3" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.3.cmml">⊝</mo></msup><mo id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.3.1" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.3.3.2" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex2.m1.2.2" xref="S1.Ex2.m1.2.2.cmml">T</mi><mo id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.1" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.1.cmml"><mi id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.1.3" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.1.3.cmml">o</mi><mo id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.1.2" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi 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id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑁</ci><apply id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.3"><neq id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.3.1"></neq><ci id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.3.2">𝛽</ci><apply id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.3.3"><divide id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.3.3.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.3.3"></divide><cn id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2.cmml" type="integer" 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id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝐿</ci></apply></apply><ci id="S1.Ex2.m1.3.3a.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3"><mtext class="ltx_mathvariant_bold" id="S1.Ex2.m1.3.3.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3">and</mtext></ci></list></apply><apply id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2"><eq id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2"></eq><apply id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.3"><times id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.3.1"></times><apply id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.2">𝑁</ci><ci id="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.3.cmml" xref="S1.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.3">⊝</ci></apply><ci id="S1.Ex2.m1.2.2.cmml" 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end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T ) = italic_o ( italic_T italic_L ) and italic_N start_POSTSUPERSCRIPT ⊝ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T ) = italic_o ( italic_T italic_L ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p10"> <p class="ltx_p" id="S1.p10.3"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S1.p10.3.1">Now, let</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S1.E11"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(1.11)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="N_{0}(T):=\sum_{\begin{subarray}{c}\rho\\ 0<\gamma\leq T\\ \beta=\frac{1}{2}\end{subarray}}1,\qquad\text{and}\qquad N_{s}(T):=\sum_{% \begin{subarray}{c}\rho\ \text{simple}\\ 0<\gamma\leq T\end{subarray}}1." class="ltx_Math" display="block" id="S1.E11.m1.6"><semantics id="S1.E11.m1.6a"><mrow id="S1.E11.m1.6.6.1"><mrow id="S1.E11.m1.6.6.1.1.2" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.3.cmml"><mrow id="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.3" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.3.2" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.cmml">N</mi><mn id="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.3" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.3.1" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S1.E11.m1.3.3" xref="S1.E11.m1.3.3.cmml">T</mi><mo id="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.2" rspace="0.278em" stretchy="false" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.2" rspace="0.111em" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">:=</mo><mrow id="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><munder id="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2" movablelimits="false" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">∑</mo><mtable id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S1.E11.m1.1.1.1.2.cmml"><mtr id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="S1.E11.m1.1.1.1.2.cmml"><mtd id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1b" xref="S1.E11.m1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">ρ</mi></mtd></mtr><mtr id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1c" xref="S1.E11.m1.1.1.1.2.cmml"><mtd id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1d" xref="S1.E11.m1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" 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xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.3" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mrow></mtd></mtr></mtable></munder><mn id="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" rspace="2.167em" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mtext class="ltx_mathvariant_bold" id="S1.E11.m1.5.5" xref="S1.E11.m1.5.5a.cmml">and</mtext></mrow></mrow><mspace id="S1.E11.m1.6.6.1.1.2.3" width="2em" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.3a.cmml"></mspace><mrow id="S1.E11.m1.6.6.1.1.2.2" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S1.E11.m1.6.6.1.1.2.2.2" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.2.2.2.cmml"><msub id="S1.E11.m1.6.6.1.1.2.2.2.2" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S1.E11.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.cmml">N</mi><mi id="S1.E11.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.3" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.3.cmml">s</mi></msub><mo id="S1.E11.m1.6.6.1.1.2.2.2.1" 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xref="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" lspace="0.350em" xref="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mtext class="ltx_mathvariant_bold" id="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml">simple</mtext></mrow></mtd></mtr><mtr id="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1c" xref="S1.E11.m1.2.2.1.2.cmml"><mtd id="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1d" xref="S1.E11.m1.2.2.1.2.cmml"><mrow id="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1" xref="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mn id="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">0</mn><mo id="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml"><</mo><mi id="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.4" xref="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.4.cmml">γ</mi><mo id="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.5" xref="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.5.cmml">≤</mo><mi id="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.6" xref="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.6.cmml">T</mi></mrow></mtd></mtr></mtable></munder><mn id="S1.E11.m1.6.6.1.1.2.2.3.2" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.2.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.E11.m1.6.6.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E11.m1.6b"><apply id="S1.E11.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E11.m1.6.6.1.1.3a.cmml" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.2">assign</csymbol><apply id="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.3"><times id="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2">𝑁</ci><cn id="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.3">0</cn></apply><ci id="S1.E11.m1.3.3.cmml" xref="S1.E11.m1.3.3">𝑇</ci></apply><list id="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1"><apply id="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><sum id="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></sum><list id="S1.E11.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1"><matrix id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1"><matrixrow id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1"><ci id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">𝜌</ci></matrixrow><matrixrow id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><and id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1a.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"></and><apply id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1b.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><lt id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3"></lt><cn id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2">0</cn><ci id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.4.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.4">𝛾</ci></apply><apply id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1c.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><leq id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.5.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.4.cmml" id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1d.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"></share><ci id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.6.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.6">𝑇</ci></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1c.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1"><eq id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1"></eq><ci id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2">𝛽</ci><apply id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3"><divide id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3"></divide><cn id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.2">1</cn><cn id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></matrixrow></matrix></list></apply><cn id="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn></apply><ci id="S1.E11.m1.5.5a.cmml" xref="S1.E11.m1.5.5"><mtext class="ltx_mathvariant_bold" id="S1.E11.m1.5.5.cmml" xref="S1.E11.m1.5.5">and</mtext></ci></list></apply><apply id="S1.E11.m1.6.6.1.1.2.2.cmml" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S1.E11.m1.6.6.1.1.2.2.1.cmml" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.2.2.1">assign</csymbol><apply id="S1.E11.m1.6.6.1.1.2.2.2.cmml" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.2.2.2"><times id="S1.E11.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.2.2.2.1"></times><apply id="S1.E11.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E11.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.E11.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2">𝑁</ci><ci id="S1.E11.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.3">𝑠</ci></apply><ci id="S1.E11.m1.4.4.cmml" xref="S1.E11.m1.4.4">𝑇</ci></apply><apply id="S1.E11.m1.6.6.1.1.2.2.3.cmml" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.2.2.3"><apply id="S1.E11.m1.6.6.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.2.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E11.m1.6.6.1.1.2.2.3.1.1.cmml" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.2.2.3.1">subscript</csymbol><sum id="S1.E11.m1.6.6.1.1.2.2.3.1.2.cmml" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.2.2.3.1.2"></sum><list id="S1.E11.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1"><matrix id="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1"><matrixrow id="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1a.cmml" xref="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1"><apply id="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜌</ci><ci id="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_bold" id="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">simple</mtext></ci></apply></matrixrow><matrixrow id="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1b.cmml" xref="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1"><apply id="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1"><and id="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1a.cmml" xref="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1"></and><apply id="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1b.cmml" xref="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1"><lt id="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3"></lt><cn id="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.2">0</cn><ci id="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.4.cmml" xref="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.4">𝛾</ci></apply><apply id="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1c.cmml" xref="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1"><leq id="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.5.cmml" xref="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.4.cmml" id="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1d.cmml" xref="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1"></share><ci id="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.6.cmml" xref="S1.E11.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.6">𝑇</ci></apply></apply></matrixrow></matrix></list></apply><cn id="S1.E11.m1.6.6.1.1.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.E11.m1.6.6.1.1.2.2.3.2">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E11.m1.6c">N_{0}(T):=\sum_{\begin{subarray}{c}\rho\\ 0<\gamma\leq T\\ \beta=\frac{1}{2}\end{subarray}}1,\qquad\text{and}\qquad N_{s}(T):=\sum_{% \begin{subarray}{c}\rho\ \text{simple}\\ 0<\gamma\leq T\end{subarray}}1.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E11.m1.6d">italic_N start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T ) := ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_ρ end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 < italic_γ ≤ italic_T end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_β = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT 1 , and italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T ) := ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_ρ simple end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 < italic_γ ≤ italic_T end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT 1 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.p10.4"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S1.p10.4.1">Using Montgomery’s argument, we have</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S1.Ex3"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="N(T)\geq N_{s}(T)\geq\sum_{\begin{subarray}{c}\rho\\ 0<\gamma\leq T\end{subarray}}(2-m_{\rho})=2N(T)-N^{*}(T)=TL+o(TL)=N(T)+o(TL)," class="ltx_Math" display="block" id="S1.Ex3.m1.7"><semantics id="S1.Ex3.m1.7a"><mrow id="S1.Ex3.m1.7.7.1" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.5" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.5.cmml"><mi id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.5.2" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.5.2.cmml">N</mi><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.5.1" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.5.3.2" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.5.cmml"><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.5.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.5.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex3.m1.2.2" xref="S1.Ex3.m1.2.2.cmml">T</mi><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.5.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.5.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.6" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.6.cmml">≥</mo><mrow id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.7" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.7.cmml"><msub id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.7.2" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.7.2.cmml"><mi id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.7.2.2" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.7.2.2.cmml">N</mi><mi id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.7.2.3" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.7.2.3.cmml">s</mi></msub><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.7.1" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.7.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.7.3.2" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.7.cmml"><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.7.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.7.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex3.m1.3.3" xref="S1.Ex3.m1.3.3.cmml">T</mi><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.7.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.7.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.8" rspace="0.111em" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.8.cmml">≥</mo><mrow id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.1" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.1.cmml"><munder id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.1.2" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.1.2.cmml"><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.1.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mtable id="S1.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S1.Ex3.m1.1.1.1.2.cmml"><mtr id="S1.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="S1.Ex3.m1.1.1.1.2.cmml"><mtd id="S1.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1b" xref="S1.Ex3.m1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S1.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">ρ</mi></mtd></mtr><mtr id="S1.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1c" xref="S1.Ex3.m1.1.1.1.2.cmml"><mtd id="S1.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1d" xref="S1.Ex3.m1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S1.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S1.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mn id="S1.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S1.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">0</mn><mo id="S1.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S1.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml"><</mo><mi id="S1.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.4" xref="S1.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.4.cmml">γ</mi><mo id="S1.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.5" xref="S1.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.5.cmml">≤</mo><mi id="S1.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.6" xref="S1.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.6.cmml">T</mi></mrow></mtd></mtr></mtable></munder><mrow id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mi id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">ρ</mi></msub></mrow><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.9" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.9.cmml">=</mo><mrow id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.cmml"><mrow id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.2" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.2.cmml"><mn id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.2.2" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.2.2.cmml">2</mn><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.2.1" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.2.3" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.2.3.cmml">N</mi><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.2.1a" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.2.4.2" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.2.cmml"><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.2.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex3.m1.4.4" xref="S1.Ex3.m1.4.4.cmml">T</mi><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.1" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.1.cmml">−</mo><mrow id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.3" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.3.cmml"><msup id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.3.2" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.3.2.cmml"><mi id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.3.2.2" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.3.2.2.cmml">N</mi><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.3.2.3" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.3.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.3.1" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.3.3.2" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.3.cmml"><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.3.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex3.m1.5.5" xref="S1.Ex3.m1.5.5.cmml">T</mi><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.11" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.11.cmml">=</mo><mrow id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.cmml"><mrow id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.3" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.3.cmml"><mi id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.3.2" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.3.2.cmml">T</mi><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.3.1" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.3.3" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.3.3.cmml">L</mi></mrow><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.2" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.2.cmml">+</mo><mrow id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.1" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.1.cmml"><mi id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.1.3" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.1.3.cmml">o</mi><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.1.2" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.1.1.1" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml">L</mi></mrow><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.12" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.12.cmml">=</mo><mrow id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.cmml"><mrow id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.3" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.3.cmml"><mi id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.3.2" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.3.2.cmml">N</mi><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.3.1" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.3.3.2" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.3.cmml"><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.3.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex3.m1.6.6" xref="S1.Ex3.m1.6.6.cmml">T</mi><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.2" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.2.cmml">+</mo><mrow id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.1" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.1.cmml"><mi id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.1.3" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.1.3.cmml">o</mi><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.1.2" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.1.1.1" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.3.cmml">L</mi></mrow><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.Ex3.m1.7.7.1.2" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Ex3.m1.7b"><apply id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1"><and id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1a.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1"></and><apply id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1b.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1"><geq id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.6.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.6"></geq><apply id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.5.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.5"><times id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.5.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.5.1"></times><ci id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.5.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.5.2">𝑁</ci><ci id="S1.Ex3.m1.2.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.2.2">𝑇</ci></apply><apply id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.7.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.7"><times id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.7.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.7.1"></times><apply id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.7.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.7.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.7.2.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.7.2">subscript</csymbol><ci id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.7.2.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.7.2.2">𝑁</ci><ci id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.7.2.3.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.7.2.3">𝑠</ci></apply><ci id="S1.Ex3.m1.3.3.cmml" xref="S1.Ex3.m1.3.3">𝑇</ci></apply></apply><apply id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1c.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1"><geq id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.8.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.8"></geq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S1.Ex3.m1.7.7.1.1.7.cmml" id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1d.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1"></share><apply id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.1"><apply id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.1.2.2"></sum><list id="S1.Ex3.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1"><matrix id="S1.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1"><matrixrow id="S1.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S1.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1"><ci id="S1.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">𝜌</ci></matrixrow><matrixrow id="S1.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="S1.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S1.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><and id="S1.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1a.cmml" xref="S1.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"></and><apply id="S1.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1b.cmml" xref="S1.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><lt id="S1.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3"></lt><cn id="S1.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S1.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2">0</cn><ci id="S1.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.4.cmml" xref="S1.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.4">𝛾</ci></apply><apply id="S1.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1c.cmml" xref="S1.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><leq id="S1.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.5.cmml" xref="S1.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S1.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.4.cmml" id="S1.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1d.cmml" xref="S1.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"></share><ci id="S1.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.6.cmml" xref="S1.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.6">𝑇</ci></apply></apply></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.1.1.1"><minus id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2">2</cn><apply id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑚</ci><ci id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.3">𝜌</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1e.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1"><eq id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.9.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.9"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S1.Ex3.m1.7.7.1.1.1.cmml" id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1f.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1"></share><apply id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10"><minus id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.1"></minus><apply id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.2"><times id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.2.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.2.1"></times><cn id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.2.2.cmml" type="integer" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.2.2">2</cn><ci id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.2.3.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.2.3">𝑁</ci><ci id="S1.Ex3.m1.4.4.cmml" xref="S1.Ex3.m1.4.4">𝑇</ci></apply><apply id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.3.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.3"><times id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.3.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.3.1"></times><apply id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.3.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.3.2.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.3.2">superscript</csymbol><ci id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.3.2.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.3.2.2">𝑁</ci><times id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.3.2.3.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.3.2.3"></times></apply><ci id="S1.Ex3.m1.5.5.cmml" xref="S1.Ex3.m1.5.5">𝑇</ci></apply></apply></apply><apply id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1g.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1"><eq id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.11.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.11"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S1.Ex3.m1.7.7.1.1.10.cmml" id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1h.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1"></share><apply id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2"><plus id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.2"></plus><apply id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.3.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.3"><times id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.3.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.3.1"></times><ci id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.3.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.3.2">𝑇</ci><ci id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.3.3.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.3.3">𝐿</ci></apply><apply id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.1"><times id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.1.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.1.2"></times><ci id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.1.3.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.1.3">𝑜</ci><apply id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.1.1.1"><times id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1"></times><ci id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.3">𝐿</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1i.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1"><eq id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.12.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.12"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S1.Ex3.m1.7.7.1.1.2.cmml" id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1j.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1"></share><apply id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3"><plus id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.2"></plus><apply id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.3.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.3"><times id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.3.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.3.1"></times><ci id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.3.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.3.2">𝑁</ci><ci id="S1.Ex3.m1.6.6.cmml" xref="S1.Ex3.m1.6.6">𝑇</ci></apply><apply id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.1"><times id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.1.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.1.2"></times><ci id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.1.3.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.1.3">𝑜</ci><apply id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.1.1.1"><times id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.1"></times><ci id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex3.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.3">𝐿</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Ex3.m1.7c">N(T)\geq N_{s}(T)\geq\sum_{\begin{subarray}{c}\rho\\ 0<\gamma\leq T\end{subarray}}(2-m_{\rho})=2N(T)-N^{*}(T)=TL+o(TL)=N(T)+o(TL),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Ex3.m1.7d">italic_N ( italic_T ) ≥ italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T ) ≥ ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_ρ end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 < italic_γ ≤ italic_T end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT ( 2 - italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ end_POSTSUBSCRIPT ) = 2 italic_N ( italic_T ) - italic_N start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T ) = italic_T italic_L + italic_o ( italic_T italic_L ) = italic_N ( italic_T ) + italic_o ( italic_T italic_L ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.p10.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S1.p10.1.1">and therefore <math alttext="N_{s}(T)\sim N(T)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p10.1.1.m1.2"><semantics id="S1.p10.1.1.m1.2a"><mrow id="S1.p10.1.1.m1.2.3" xref="S1.p10.1.1.m1.2.3.cmml"><mrow id="S1.p10.1.1.m1.2.3.2" xref="S1.p10.1.1.m1.2.3.2.cmml"><msub id="S1.p10.1.1.m1.2.3.2.2" xref="S1.p10.1.1.m1.2.3.2.2.cmml"><mi id="S1.p10.1.1.m1.2.3.2.2.2" xref="S1.p10.1.1.m1.2.3.2.2.2.cmml">N</mi><mi id="S1.p10.1.1.m1.2.3.2.2.3" xref="S1.p10.1.1.m1.2.3.2.2.3.cmml">s</mi></msub><mo id="S1.p10.1.1.m1.2.3.2.1" xref="S1.p10.1.1.m1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p10.1.1.m1.2.3.2.3.2" xref="S1.p10.1.1.m1.2.3.2.cmml"><mo id="S1.p10.1.1.m1.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.p10.1.1.m1.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S1.p10.1.1.m1.1.1" xref="S1.p10.1.1.m1.1.1.cmml">T</mi><mo id="S1.p10.1.1.m1.2.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.p10.1.1.m1.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.p10.1.1.m1.2.3.1" xref="S1.p10.1.1.m1.2.3.1.cmml">∼</mo><mrow id="S1.p10.1.1.m1.2.3.3" xref="S1.p10.1.1.m1.2.3.3.cmml"><mi id="S1.p10.1.1.m1.2.3.3.2" xref="S1.p10.1.1.m1.2.3.3.2.cmml">N</mi><mo id="S1.p10.1.1.m1.2.3.3.1" xref="S1.p10.1.1.m1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p10.1.1.m1.2.3.3.3.2" xref="S1.p10.1.1.m1.2.3.3.cmml"><mo id="S1.p10.1.1.m1.2.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.p10.1.1.m1.2.3.3.cmml">(</mo><mi id="S1.p10.1.1.m1.2.2" xref="S1.p10.1.1.m1.2.2.cmml">T</mi><mo id="S1.p10.1.1.m1.2.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.p10.1.1.m1.2.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p10.1.1.m1.2b"><apply id="S1.p10.1.1.m1.2.3.cmml" xref="S1.p10.1.1.m1.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S1.p10.1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S1.p10.1.1.m1.2.3.1">similar-to</csymbol><apply id="S1.p10.1.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S1.p10.1.1.m1.2.3.2"><times id="S1.p10.1.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S1.p10.1.1.m1.2.3.2.1"></times><apply id="S1.p10.1.1.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S1.p10.1.1.m1.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p10.1.1.m1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S1.p10.1.1.m1.2.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.p10.1.1.m1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S1.p10.1.1.m1.2.3.2.2.2">𝑁</ci><ci id="S1.p10.1.1.m1.2.3.2.2.3.cmml" xref="S1.p10.1.1.m1.2.3.2.2.3">𝑠</ci></apply><ci id="S1.p10.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p10.1.1.m1.1.1">𝑇</ci></apply><apply id="S1.p10.1.1.m1.2.3.3.cmml" xref="S1.p10.1.1.m1.2.3.3"><times id="S1.p10.1.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S1.p10.1.1.m1.2.3.3.1"></times><ci id="S1.p10.1.1.m1.2.3.3.2.cmml" xref="S1.p10.1.1.m1.2.3.3.2">𝑁</ci><ci id="S1.p10.1.1.m1.2.2.cmml" xref="S1.p10.1.1.m1.2.2">𝑇</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p10.1.1.m1.2c">N_{s}(T)\sim N(T)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p10.1.1.m1.2d">italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T ) ∼ italic_N ( italic_T )</annotation></semantics></math>. Next</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S1.Ex4"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="N(T)\geq N_{0}(T)=N(T)-\sum_{\begin{subarray}{c}\rho\\ 0<\gamma\leq T\\ \beta\neq\frac{1}{2}\end{subarray}}1\geq N(T)-\sum_{\begin{subarray}{c}\rho\\ 0<\gamma\leq T\\ \beta\neq\frac{1}{2}\end{subarray}}m_{\rho}=N(T)-N_{\beta\neq\frac{1}{2}}^{*}(% T)=N(T)+o(TL)," class="ltx_Math" display="block" id="S1.Ex4.m1.10"><semantics id="S1.Ex4.m1.10a"><mrow id="S1.Ex4.m1.10.10.1" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.cmml"><mrow id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.cmml"><mrow id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.3" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.3.cmml"><mi id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.3.2" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.3.2.cmml">N</mi><mo id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.3.1" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.3.3.2" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.3.cmml"><mo id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex4.m1.3.3" xref="S1.Ex4.m1.3.3.cmml">T</mi><mo id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.4" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.4.cmml">≥</mo><mrow id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.5" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.5.cmml"><msub id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.5.2" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.5.2.cmml"><mi id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.5.2.2" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.5.2.2.cmml">N</mi><mn id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.5.2.3" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.5.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.5.1" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.5.3.2" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.5.cmml"><mo id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.5.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.5.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex4.m1.4.4" xref="S1.Ex4.m1.4.4.cmml">T</mi><mo id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.5.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.5.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.6" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.7" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.7.cmml"><mrow id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.7.2" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.7.2.cmml"><mi id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.7.2.2" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.7.2.2.cmml">N</mi><mo id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.7.2.1" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.7.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.7.2.3.2" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.7.2.cmml"><mo id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.7.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.7.2.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex4.m1.5.5" xref="S1.Ex4.m1.5.5.cmml">T</mi><mo id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.7.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.7.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.7.1" rspace="0.055em" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.7.1.cmml">−</mo><mrow id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.7.3" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.7.3.cmml"><munder id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.7.3.1" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.7.3.1.cmml"><mo id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.7.3.1.2" movablelimits="false" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.7.3.1.2.cmml">∑</mo><mtable id="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S1.Ex4.m1.1.1.1.2.cmml"><mtr id="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="S1.Ex4.m1.1.1.1.2.cmml"><mtd id="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1b" xref="S1.Ex4.m1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">ρ</mi></mtd></mtr><mtr id="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1c" xref="S1.Ex4.m1.1.1.1.2.cmml"><mtd id="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1d" xref="S1.Ex4.m1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mn id="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">0</mn><mo id="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml"><</mo><mi id="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.4" xref="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.4.cmml">γ</mi><mo id="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.5" xref="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.5.cmml">≤</mo><mi id="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.6" xref="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.6.cmml">T</mi></mrow></mtd></mtr><mtr id="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1e" xref="S1.Ex4.m1.1.1.1.2.cmml"><mtd id="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1f" xref="S1.Ex4.m1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1" xref="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml"><mi id="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2" xref="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml">β</mi><mo id="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml">≠</mo><mfrac id="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3" xref="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml"><mn id="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.2" xref="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.3" xref="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mrow></mtd></mtr></mtable></munder><mn id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.7.3.2" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.7.3.2.cmml">1</mn></mrow></mrow><mo id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.8" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.8.cmml">≥</mo><mrow id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9.cmml"><mrow id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9.2" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9.2.cmml"><mi id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9.2.2" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9.2.2.cmml">N</mi><mo id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9.2.1" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9.2.3.2" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9.2.cmml"><mo id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9.2.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex4.m1.6.6" xref="S1.Ex4.m1.6.6.cmml">T</mi><mo id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9.1" rspace="0.055em" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9.1.cmml">−</mo><mrow id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9.3" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9.3.cmml"><munder id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9.3.1" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9.3.1.cmml"><mo id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9.3.1.2" movablelimits="false" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9.3.1.2.cmml">∑</mo><mtable id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.2.cmml"><mtr id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1a" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.2.cmml"><mtd id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1b" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.2.cmml"><mi id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">ρ</mi></mtd></mtr><mtr id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1c" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.2.cmml"><mtd id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1d" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.2.cmml"><mrow id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mn id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">0</mn><mo id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml"><</mo><mi id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.4" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.4.cmml">γ</mi><mo id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.5" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.5.cmml">≤</mo><mi id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.6" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.6.cmml">T</mi></mrow></mtd></mtr><mtr id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1e" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.2.cmml"><mtd id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1f" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.2.cmml"><mrow id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.cmml"><mi id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.2" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml">β</mi><mo id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml">≠</mo><mfrac id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.3" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml"><mn id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.3.2" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.3.3" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mrow></mtd></mtr></mtable></munder><msub id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9.3.2" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9.3.2.cmml"><mi id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9.3.2.2" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9.3.2.2.cmml">m</mi><mi id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9.3.2.3" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9.3.2.3.cmml">ρ</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.10" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.10.cmml">=</mo><mrow id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.cmml"><mrow id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.2" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.2.cmml"><mi id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.2.2" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.2.2.cmml">N</mi><mo id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.2.1" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.2.3.2" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.2.cmml"><mo id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.2.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex4.m1.7.7" xref="S1.Ex4.m1.7.7.cmml">T</mi><mo id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.1" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.1.cmml">−</mo><mrow id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.cmml"><msubsup id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.2" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.2.cmml"><mi id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.2.2.2" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.2.2.2.cmml">N</mi><mrow id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.2.2.3" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.2.2.3.cmml"><mi id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.2.2.3.2" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.2.2.3.2.cmml">β</mi><mo id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.2.2.3.1" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.2.2.3.1.cmml">≠</mo><mfrac id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.2.2.3.3" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.2.2.3.3.cmml"><mn id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.2.2.3.3.2" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.2.2.3.3.2.cmml">1</mn><mn id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.2.2.3.3.3" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.2.2.3.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mrow><mo id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.2.3" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.1" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.3.2" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.cmml"><mo id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex4.m1.8.8" xref="S1.Ex4.m1.8.8.cmml">T</mi><mo id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.12" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.12.cmml">=</mo><mrow id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.cmml"><mrow id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.3" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.3.2" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.3.2.cmml">N</mi><mo id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.3.1" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.3.3.2" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.3.cmml"><mo id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex4.m1.9.9" xref="S1.Ex4.m1.9.9.cmml">T</mi><mo id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.2" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.1" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.1.3.cmml">o</mi><mo id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">L</mi></mrow><mo id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.Ex4.m1.10.10.1.2" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Ex4.m1.10b"><apply id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1"><and id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1a.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1"></and><apply id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1b.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1"><geq id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.4.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.4"></geq><apply id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.3"><times id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.3.1"></times><ci id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.3.2">𝑁</ci><ci id="S1.Ex4.m1.3.3.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3">𝑇</ci></apply><apply id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.5.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.5"><times id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.5.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.5.1"></times><apply id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.5.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.5.2.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.5.2">subscript</csymbol><ci id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.5.2.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.5.2.2">𝑁</ci><cn id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.5.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.5.2.3">0</cn></apply><ci id="S1.Ex4.m1.4.4.cmml" xref="S1.Ex4.m1.4.4">𝑇</ci></apply></apply><apply id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1c.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1"><eq id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.6.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S1.Ex4.m1.10.10.1.1.5.cmml" id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1d.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1"></share><apply id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.7.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.7"><minus id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.7.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.7.1"></minus><apply id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.7.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.7.2"><times id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.7.2.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.7.2.1"></times><ci id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.7.2.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.7.2.2">𝑁</ci><ci id="S1.Ex4.m1.5.5.cmml" xref="S1.Ex4.m1.5.5">𝑇</ci></apply><apply 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id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9.1"></minus><apply id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9.2"><times id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9.2.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9.2.1"></times><ci id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9.2.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9.2.2">𝑁</ci><ci id="S1.Ex4.m1.6.6.cmml" xref="S1.Ex4.m1.6.6">𝑇</ci></apply><apply id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9.3.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9.3"><apply id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9.3.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9.3.1.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9.3.1">subscript</csymbol><sum id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9.3.1.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9.3.1.2"></sum><list id="S1.Ex4.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1"><matrix id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1"><matrixrow id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1a.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1"><ci id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" 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id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.6.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.6">𝑇</ci></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1c.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1"><apply id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1"><neq id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1"></neq><ci id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.2">𝛽</ci><apply id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.3"><divide id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.3"></divide><cn id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.3.2">1</cn><cn id="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9.3.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9.3.2.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9.3.2">subscript</csymbol><ci id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9.3.2.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9.3.2.2">𝑚</ci><ci id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9.3.2.3.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9.3.2.3">𝜌</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1g.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1"><eq id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.10.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.10"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S1.Ex4.m1.10.10.1.1.9.cmml" id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1h.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1"></share><apply id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11"><minus id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.1"></minus><apply id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.2"><times id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.2.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.2.1"></times><ci id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.2.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.2.2">𝑁</ci><ci id="S1.Ex4.m1.7.7.cmml" xref="S1.Ex4.m1.7.7">𝑇</ci></apply><apply id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3"><times id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.1"></times><apply id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.2.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.2">superscript</csymbol><apply id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.2.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.2.2.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.2">subscript</csymbol><ci id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.2.2.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.2.2.2">𝑁</ci><apply id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.2.2.3.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.2.2.3"><neq id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.2.2.3.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.2.2.3.1"></neq><ci id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.2.2.3.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.2.2.3.2">𝛽</ci><apply id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.2.2.3.3.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.2.2.3.3"><divide id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.2.2.3.3.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.2.2.3.3"></divide><cn id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.2.2.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.2.2.3.3.2">1</cn><cn id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.2.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply><times id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.2.3.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.3.2.3"></times></apply><ci id="S1.Ex4.m1.8.8.cmml" xref="S1.Ex4.m1.8.8">𝑇</ci></apply></apply></apply><apply id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1i.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1"><eq id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.12.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.12"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S1.Ex4.m1.10.10.1.1.11.cmml" id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1j.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1"></share><apply id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1"><plus id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.2"></plus><apply id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.3"><times id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.3.1"></times><ci id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.3.2">𝑁</ci><ci id="S1.Ex4.m1.9.9.cmml" xref="S1.Ex4.m1.9.9">𝑇</ci></apply><apply id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.1"><times id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.1.2"></times><ci id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.1.3">𝑜</ci><apply id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.1.1.1"><times id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex4.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.3">𝐿</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Ex4.m1.10c">N(T)\geq N_{0}(T)=N(T)-\sum_{\begin{subarray}{c}\rho\\ 0<\gamma\leq T\\ \beta\neq\frac{1}{2}\end{subarray}}1\geq N(T)-\sum_{\begin{subarray}{c}\rho\\ 0<\gamma\leq T\\ \beta\neq\frac{1}{2}\end{subarray}}m_{\rho}=N(T)-N_{\beta\neq\frac{1}{2}}^{*}(% T)=N(T)+o(TL),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Ex4.m1.10d">italic_N ( italic_T ) ≥ italic_N start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T ) = italic_N ( italic_T ) - ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_ρ end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 < italic_γ ≤ italic_T end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_β ≠ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT 1 ≥ italic_N ( italic_T ) - ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_ρ end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 < italic_γ ≤ italic_T end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_β ≠ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ end_POSTSUBSCRIPT = italic_N ( italic_T ) - italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_β ≠ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T ) = italic_N ( italic_T ) + italic_o ( italic_T italic_L ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.p10.2"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S1.p10.2.1">from which we obtain <math alttext="N_{0}(T)\sim N(T)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p10.2.1.m1.2"><semantics id="S1.p10.2.1.m1.2a"><mrow id="S1.p10.2.1.m1.2.3" xref="S1.p10.2.1.m1.2.3.cmml"><mrow id="S1.p10.2.1.m1.2.3.2" xref="S1.p10.2.1.m1.2.3.2.cmml"><msub id="S1.p10.2.1.m1.2.3.2.2" xref="S1.p10.2.1.m1.2.3.2.2.cmml"><mi id="S1.p10.2.1.m1.2.3.2.2.2" xref="S1.p10.2.1.m1.2.3.2.2.2.cmml">N</mi><mn id="S1.p10.2.1.m1.2.3.2.2.3" xref="S1.p10.2.1.m1.2.3.2.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S1.p10.2.1.m1.2.3.2.1" xref="S1.p10.2.1.m1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p10.2.1.m1.2.3.2.3.2" xref="S1.p10.2.1.m1.2.3.2.cmml"><mo id="S1.p10.2.1.m1.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.p10.2.1.m1.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S1.p10.2.1.m1.1.1" xref="S1.p10.2.1.m1.1.1.cmml">T</mi><mo id="S1.p10.2.1.m1.2.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.p10.2.1.m1.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.p10.2.1.m1.2.3.1" xref="S1.p10.2.1.m1.2.3.1.cmml">∼</mo><mrow id="S1.p10.2.1.m1.2.3.3" xref="S1.p10.2.1.m1.2.3.3.cmml"><mi id="S1.p10.2.1.m1.2.3.3.2" xref="S1.p10.2.1.m1.2.3.3.2.cmml">N</mi><mo id="S1.p10.2.1.m1.2.3.3.1" xref="S1.p10.2.1.m1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p10.2.1.m1.2.3.3.3.2" xref="S1.p10.2.1.m1.2.3.3.cmml"><mo id="S1.p10.2.1.m1.2.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.p10.2.1.m1.2.3.3.cmml">(</mo><mi id="S1.p10.2.1.m1.2.2" xref="S1.p10.2.1.m1.2.2.cmml">T</mi><mo id="S1.p10.2.1.m1.2.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.p10.2.1.m1.2.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p10.2.1.m1.2b"><apply id="S1.p10.2.1.m1.2.3.cmml" xref="S1.p10.2.1.m1.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S1.p10.2.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S1.p10.2.1.m1.2.3.1">similar-to</csymbol><apply id="S1.p10.2.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S1.p10.2.1.m1.2.3.2"><times id="S1.p10.2.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S1.p10.2.1.m1.2.3.2.1"></times><apply id="S1.p10.2.1.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S1.p10.2.1.m1.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p10.2.1.m1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S1.p10.2.1.m1.2.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.p10.2.1.m1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S1.p10.2.1.m1.2.3.2.2.2">𝑁</ci><cn id="S1.p10.2.1.m1.2.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.p10.2.1.m1.2.3.2.2.3">0</cn></apply><ci id="S1.p10.2.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p10.2.1.m1.1.1">𝑇</ci></apply><apply id="S1.p10.2.1.m1.2.3.3.cmml" xref="S1.p10.2.1.m1.2.3.3"><times id="S1.p10.2.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S1.p10.2.1.m1.2.3.3.1"></times><ci id="S1.p10.2.1.m1.2.3.3.2.cmml" xref="S1.p10.2.1.m1.2.3.3.2">𝑁</ci><ci id="S1.p10.2.1.m1.2.2.cmml" xref="S1.p10.2.1.m1.2.2">𝑇</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p10.2.1.m1.2c">N_{0}(T)\sim N(T)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p10.2.1.m1.2d">italic_N start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T ) ∼ italic_N ( italic_T )</annotation></semantics></math>. Hence we have proved the following theorem.</span></p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_theorem" id="Thmtheorem2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem2.1.1.1">Theorem 2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem2.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem2.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem2.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem2.p1.1.1">Assume <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S1.I1.i1" title="Item ES1 ‣ Essential Simplicity Hypothesis (ESH). ‣ 1. Introduction and Statement of Results ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros"><span class="ltx_text ltx_ref_tag"><span class="ltx_text ltx_font_bold">ES1</span></span></a>. Then, asymptotically 100% of the zeros of the Riemann zeta-function are simple and on the critical line.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p11"> <p class="ltx_p" id="S1.p11.3"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S1.p11.3.3">Combining Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#Thmtheorem1" title="Theorem 1. ‣ 1. Introduction and Statement of Results ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> and Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#Thmtheorem2" title="Theorem 2. ‣ 1. Introduction and Statement of Results ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>, we have that the Pair Correlation Conjecture <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#ThmPCCx1" title="Pair Correlation Conjecture (PCC). ‣ 1. Introduction and Statement of Results ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros">PCC</a> implies asymptotically 100% of the zeros of the Riemann zeta-function are simple and on the critical line. We remark that Gallagher and Mueller <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#bib.bibx5" title="">GM78</a>]</cite> also obtained results on a more general version of <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#ThmPCCx1" title="Pair Correlation Conjecture (PCC). ‣ 1. Introduction and Statement of Results ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros">PCC</a> which we do not pursue. Since our version of <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#ThmPCCx1" title="Pair Correlation Conjecture (PCC). ‣ 1. Introduction and Statement of Results ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros">PCC</a> has an error term <math alttext="o(TL)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p11.1.1.m1.1"><semantics id="S1.p11.1.1.m1.1a"><mrow id="S1.p11.1.1.m1.1.1" xref="S1.p11.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S1.p11.1.1.m1.1.1.3" xref="S1.p11.1.1.m1.1.1.3.cmml">o</mi><mo id="S1.p11.1.1.m1.1.1.2" xref="S1.p11.1.1.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p11.1.1.m1.1.1.1.1" xref="S1.p11.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.p11.1.1.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.p11.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.p11.1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S1.p11.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.p11.1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.p11.1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S1.p11.1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.p11.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p11.1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.p11.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">L</mi></mrow><mo id="S1.p11.1.1.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.p11.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p11.1.1.m1.1b"><apply id="S1.p11.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p11.1.1.m1.1.1"><times id="S1.p11.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.p11.1.1.m1.1.1.2"></times><ci id="S1.p11.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S1.p11.1.1.m1.1.1.3">𝑜</ci><apply id="S1.p11.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p11.1.1.m1.1.1.1.1"><times id="S1.p11.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p11.1.1.m1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S1.p11.1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p11.1.1.m1.1.1.1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S1.p11.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.p11.1.1.m1.1.1.1.1.1.3">𝐿</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p11.1.1.m1.1c">o(TL)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p11.1.1.m1.1d">italic_o ( italic_T italic_L )</annotation></semantics></math>, this number of zeros can be moved slightly horizontally without affecting <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#ThmPCCx1" title="Pair Correlation Conjecture (PCC). ‣ 1. Introduction and Statement of Results ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros">PCC</a>. Simple zeros can also be replaced by double zeros up to this size error term. Thus, the size of <math alttext="N_{0}(T)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p11.2.2.m2.1"><semantics id="S1.p11.2.2.m2.1a"><mrow id="S1.p11.2.2.m2.1.2" xref="S1.p11.2.2.m2.1.2.cmml"><msub id="S1.p11.2.2.m2.1.2.2" xref="S1.p11.2.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S1.p11.2.2.m2.1.2.2.2" xref="S1.p11.2.2.m2.1.2.2.2.cmml">N</mi><mn id="S1.p11.2.2.m2.1.2.2.3" xref="S1.p11.2.2.m2.1.2.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S1.p11.2.2.m2.1.2.1" xref="S1.p11.2.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p11.2.2.m2.1.2.3.2" xref="S1.p11.2.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S1.p11.2.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.p11.2.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S1.p11.2.2.m2.1.1" xref="S1.p11.2.2.m2.1.1.cmml">T</mi><mo id="S1.p11.2.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.p11.2.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p11.2.2.m2.1b"><apply id="S1.p11.2.2.m2.1.2.cmml" xref="S1.p11.2.2.m2.1.2"><times id="S1.p11.2.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S1.p11.2.2.m2.1.2.1"></times><apply id="S1.p11.2.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S1.p11.2.2.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p11.2.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S1.p11.2.2.m2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.p11.2.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S1.p11.2.2.m2.1.2.2.2">𝑁</ci><cn id="S1.p11.2.2.m2.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.p11.2.2.m2.1.2.2.3">0</cn></apply><ci id="S1.p11.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p11.2.2.m2.1.1">𝑇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p11.2.2.m2.1c">N_{0}(T)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p11.2.2.m2.1d">italic_N start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T )</annotation></semantics></math> and <math alttext="N_{s}(T)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p11.3.3.m3.1"><semantics id="S1.p11.3.3.m3.1a"><mrow id="S1.p11.3.3.m3.1.2" xref="S1.p11.3.3.m3.1.2.cmml"><msub id="S1.p11.3.3.m3.1.2.2" xref="S1.p11.3.3.m3.1.2.2.cmml"><mi id="S1.p11.3.3.m3.1.2.2.2" xref="S1.p11.3.3.m3.1.2.2.2.cmml">N</mi><mi id="S1.p11.3.3.m3.1.2.2.3" xref="S1.p11.3.3.m3.1.2.2.3.cmml">s</mi></msub><mo id="S1.p11.3.3.m3.1.2.1" xref="S1.p11.3.3.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p11.3.3.m3.1.2.3.2" xref="S1.p11.3.3.m3.1.2.cmml"><mo id="S1.p11.3.3.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.p11.3.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="S1.p11.3.3.m3.1.1" xref="S1.p11.3.3.m3.1.1.cmml">T</mi><mo id="S1.p11.3.3.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.p11.3.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p11.3.3.m3.1b"><apply id="S1.p11.3.3.m3.1.2.cmml" xref="S1.p11.3.3.m3.1.2"><times id="S1.p11.3.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S1.p11.3.3.m3.1.2.1"></times><apply id="S1.p11.3.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S1.p11.3.3.m3.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p11.3.3.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S1.p11.3.3.m3.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.p11.3.3.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S1.p11.3.3.m3.1.2.2.2">𝑁</ci><ci id="S1.p11.3.3.m3.1.2.2.3.cmml" xref="S1.p11.3.3.m3.1.2.2.3">𝑠</ci></apply><ci id="S1.p11.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.p11.3.3.m3.1.1">𝑇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p11.3.3.m3.1c">N_{s}(T)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p11.3.3.m3.1d">italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T )</annotation></semantics></math> cannot be improved beyond the size of this error term by our method.</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p12"> <p class="ltx_p" id="S1.p12.5"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S1.p12.5.5">The work in this paper is related to work in two papers of Baluyot, Goldston, Suriajaya and Turnage-Butterbaugh <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#bib.bibx1" title="">BGSTB24</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#bib.bibx2" title="">BGSTB25</a>]</cite>. The former paper showed how RH can be partially removed from Montgomery’s paper <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#bib.bibx6" title="">Mon73</a>]</cite>. The latter paper continued this work to prove that if all the zeros of the Riemann zeta-function with <math alttext="T<\gamma\leq 2T" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p12.1.1.m1.1"><semantics id="S1.p12.1.1.m1.1a"><mrow id="S1.p12.1.1.m1.1.1" xref="S1.p12.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S1.p12.1.1.m1.1.1.2" xref="S1.p12.1.1.m1.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S1.p12.1.1.m1.1.1.3" xref="S1.p12.1.1.m1.1.1.3.cmml"><</mo><mi id="S1.p12.1.1.m1.1.1.4" xref="S1.p12.1.1.m1.1.1.4.cmml">γ</mi><mo id="S1.p12.1.1.m1.1.1.5" xref="S1.p12.1.1.m1.1.1.5.cmml">≤</mo><mrow id="S1.p12.1.1.m1.1.1.6" xref="S1.p12.1.1.m1.1.1.6.cmml"><mn id="S1.p12.1.1.m1.1.1.6.2" xref="S1.p12.1.1.m1.1.1.6.2.cmml">2</mn><mo id="S1.p12.1.1.m1.1.1.6.1" xref="S1.p12.1.1.m1.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p12.1.1.m1.1.1.6.3" xref="S1.p12.1.1.m1.1.1.6.3.cmml">T</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p12.1.1.m1.1b"><apply id="S1.p12.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p12.1.1.m1.1.1"><and id="S1.p12.1.1.m1.1.1a.cmml" xref="S1.p12.1.1.m1.1.1"></and><apply id="S1.p12.1.1.m1.1.1b.cmml" xref="S1.p12.1.1.m1.1.1"><lt id="S1.p12.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S1.p12.1.1.m1.1.1.3"></lt><ci id="S1.p12.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.p12.1.1.m1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S1.p12.1.1.m1.1.1.4.cmml" xref="S1.p12.1.1.m1.1.1.4">𝛾</ci></apply><apply id="S1.p12.1.1.m1.1.1c.cmml" xref="S1.p12.1.1.m1.1.1"><leq id="S1.p12.1.1.m1.1.1.5.cmml" xref="S1.p12.1.1.m1.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S1.p12.1.1.m1.1.1.4.cmml" id="S1.p12.1.1.m1.1.1d.cmml" xref="S1.p12.1.1.m1.1.1"></share><apply id="S1.p12.1.1.m1.1.1.6.cmml" xref="S1.p12.1.1.m1.1.1.6"><times id="S1.p12.1.1.m1.1.1.6.1.cmml" xref="S1.p12.1.1.m1.1.1.6.1"></times><cn id="S1.p12.1.1.m1.1.1.6.2.cmml" type="integer" xref="S1.p12.1.1.m1.1.1.6.2">2</cn><ci id="S1.p12.1.1.m1.1.1.6.3.cmml" xref="S1.p12.1.1.m1.1.1.6.3">𝑇</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p12.1.1.m1.1c">T<\gamma\leq 2T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p12.1.1.m1.1d">italic_T < italic_γ ≤ 2 italic_T</annotation></semantics></math> satisfy <math alttext="|\beta-1/2|<b/\log T" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p12.2.2.m2.1"><semantics id="S1.p12.2.2.m2.1a"><mrow id="S1.p12.2.2.m2.1.1" xref="S1.p12.2.2.m2.1.1.cmml"><mrow id="S1.p12.2.2.m2.1.1.1.1" xref="S1.p12.2.2.m2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S1.p12.2.2.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.p12.2.2.m2.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S1.p12.2.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S1.p12.2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.p12.2.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S1.p12.2.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">β</mi><mo id="S1.p12.2.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S1.p12.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S1.p12.2.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S1.p12.2.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S1.p12.2.2.m2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S1.p12.2.2.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S1.p12.2.2.m2.1.1.1.1.1.3.1" xref="S1.p12.2.2.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S1.p12.2.2.m2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S1.p12.2.2.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><mo id="S1.p12.2.2.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.p12.2.2.m2.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S1.p12.2.2.m2.1.1.2" xref="S1.p12.2.2.m2.1.1.2.cmml"><</mo><mrow id="S1.p12.2.2.m2.1.1.3" xref="S1.p12.2.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S1.p12.2.2.m2.1.1.3.2" xref="S1.p12.2.2.m2.1.1.3.2.cmml">b</mi><mo id="S1.p12.2.2.m2.1.1.3.1" xref="S1.p12.2.2.m2.1.1.3.1.cmml">/</mo><mrow id="S1.p12.2.2.m2.1.1.3.3" xref="S1.p12.2.2.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S1.p12.2.2.m2.1.1.3.3.1" xref="S1.p12.2.2.m2.1.1.3.3.1.cmml">log</mi><mo id="S1.p12.2.2.m2.1.1.3.3a" lspace="0.167em" xref="S1.p12.2.2.m2.1.1.3.3.cmml">⁡</mo><mi id="S1.p12.2.2.m2.1.1.3.3.2" xref="S1.p12.2.2.m2.1.1.3.3.2.cmml">T</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p12.2.2.m2.1b"><apply id="S1.p12.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p12.2.2.m2.1.1"><lt id="S1.p12.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S1.p12.2.2.m2.1.1.2"></lt><apply id="S1.p12.2.2.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p12.2.2.m2.1.1.1.1"><abs id="S1.p12.2.2.m2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.p12.2.2.m2.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S1.p12.2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p12.2.2.m2.1.1.1.1.1"><minus id="S1.p12.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p12.2.2.m2.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S1.p12.2.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p12.2.2.m2.1.1.1.1.1.2">𝛽</ci><apply id="S1.p12.2.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.p12.2.2.m2.1.1.1.1.1.3"><divide id="S1.p12.2.2.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p12.2.2.m2.1.1.1.1.1.3.1"></divide><cn id="S1.p12.2.2.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.p12.2.2.m2.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S1.p12.2.2.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.p12.2.2.m2.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S1.p12.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S1.p12.2.2.m2.1.1.3"><divide id="S1.p12.2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p12.2.2.m2.1.1.3.1"></divide><ci id="S1.p12.2.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S1.p12.2.2.m2.1.1.3.2">𝑏</ci><apply id="S1.p12.2.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S1.p12.2.2.m2.1.1.3.3"><log id="S1.p12.2.2.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S1.p12.2.2.m2.1.1.3.3.1"></log><ci id="S1.p12.2.2.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S1.p12.2.2.m2.1.1.3.3.2">𝑇</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p12.2.2.m2.1c">|\beta-1/2|<b/\log T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p12.2.2.m2.1d">| italic_β - 1 / 2 | < italic_b / roman_log italic_T</annotation></semantics></math> then with <math alttext="b=1/1000" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p12.3.3.m3.1"><semantics id="S1.p12.3.3.m3.1a"><mrow id="S1.p12.3.3.m3.1.1" xref="S1.p12.3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S1.p12.3.3.m3.1.1.2" xref="S1.p12.3.3.m3.1.1.2.cmml">b</mi><mo id="S1.p12.3.3.m3.1.1.1" xref="S1.p12.3.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S1.p12.3.3.m3.1.1.3" xref="S1.p12.3.3.m3.1.1.3.cmml"><mn id="S1.p12.3.3.m3.1.1.3.2" xref="S1.p12.3.3.m3.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S1.p12.3.3.m3.1.1.3.1" xref="S1.p12.3.3.m3.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S1.p12.3.3.m3.1.1.3.3" xref="S1.p12.3.3.m3.1.1.3.3.cmml">1000</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p12.3.3.m3.1b"><apply id="S1.p12.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.p12.3.3.m3.1.1"><eq id="S1.p12.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S1.p12.3.3.m3.1.1.1"></eq><ci id="S1.p12.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S1.p12.3.3.m3.1.1.2">𝑏</ci><apply id="S1.p12.3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S1.p12.3.3.m3.1.1.3"><divide id="S1.p12.3.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p12.3.3.m3.1.1.3.1"></divide><cn id="S1.p12.3.3.m3.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.p12.3.3.m3.1.1.3.2">1</cn><cn id="S1.p12.3.3.m3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.p12.3.3.m3.1.1.3.3">1000</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p12.3.3.m3.1c">b=1/1000</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p12.3.3.m3.1d">italic_b = 1 / 1000</annotation></semantics></math> at least 67.25% of the zeros are simple, at least 67.25% of the zeros are on the critical line, and at least 34.5% of the zeros are both simple and on the critical line. The idea of using <math alttext="N^{*}_{\beta\neq\frac{1}{2}}(T)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p12.4.4.m4.1"><semantics id="S1.p12.4.4.m4.1a"><mrow id="S1.p12.4.4.m4.1.2" xref="S1.p12.4.4.m4.1.2.cmml"><msubsup id="S1.p12.4.4.m4.1.2.2" xref="S1.p12.4.4.m4.1.2.2.cmml"><mi id="S1.p12.4.4.m4.1.2.2.2.2" xref="S1.p12.4.4.m4.1.2.2.2.2.cmml">N</mi><mrow id="S1.p12.4.4.m4.1.2.2.3" xref="S1.p12.4.4.m4.1.2.2.3.cmml"><mi id="S1.p12.4.4.m4.1.2.2.3.2" xref="S1.p12.4.4.m4.1.2.2.3.2.cmml">β</mi><mo id="S1.p12.4.4.m4.1.2.2.3.1" xref="S1.p12.4.4.m4.1.2.2.3.1.cmml">≠</mo><mfrac id="S1.p12.4.4.m4.1.2.2.3.3" xref="S1.p12.4.4.m4.1.2.2.3.3.cmml"><mn id="S1.p12.4.4.m4.1.2.2.3.3.2" xref="S1.p12.4.4.m4.1.2.2.3.3.2.cmml">1</mn><mn id="S1.p12.4.4.m4.1.2.2.3.3.3" xref="S1.p12.4.4.m4.1.2.2.3.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mrow><mo id="S1.p12.4.4.m4.1.2.2.2.3" xref="S1.p12.4.4.m4.1.2.2.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S1.p12.4.4.m4.1.2.1" xref="S1.p12.4.4.m4.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p12.4.4.m4.1.2.3.2" xref="S1.p12.4.4.m4.1.2.cmml"><mo id="S1.p12.4.4.m4.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.p12.4.4.m4.1.2.cmml">(</mo><mi id="S1.p12.4.4.m4.1.1" xref="S1.p12.4.4.m4.1.1.cmml">T</mi><mo id="S1.p12.4.4.m4.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.p12.4.4.m4.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p12.4.4.m4.1b"><apply id="S1.p12.4.4.m4.1.2.cmml" xref="S1.p12.4.4.m4.1.2"><times id="S1.p12.4.4.m4.1.2.1.cmml" xref="S1.p12.4.4.m4.1.2.1"></times><apply id="S1.p12.4.4.m4.1.2.2.cmml" xref="S1.p12.4.4.m4.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p12.4.4.m4.1.2.2.1.cmml" xref="S1.p12.4.4.m4.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S1.p12.4.4.m4.1.2.2.2.cmml" xref="S1.p12.4.4.m4.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p12.4.4.m4.1.2.2.2.1.cmml" xref="S1.p12.4.4.m4.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S1.p12.4.4.m4.1.2.2.2.2.cmml" xref="S1.p12.4.4.m4.1.2.2.2.2">𝑁</ci><times id="S1.p12.4.4.m4.1.2.2.2.3.cmml" xref="S1.p12.4.4.m4.1.2.2.2.3"></times></apply><apply id="S1.p12.4.4.m4.1.2.2.3.cmml" xref="S1.p12.4.4.m4.1.2.2.3"><neq id="S1.p12.4.4.m4.1.2.2.3.1.cmml" xref="S1.p12.4.4.m4.1.2.2.3.1"></neq><ci id="S1.p12.4.4.m4.1.2.2.3.2.cmml" xref="S1.p12.4.4.m4.1.2.2.3.2">𝛽</ci><apply id="S1.p12.4.4.m4.1.2.2.3.3.cmml" xref="S1.p12.4.4.m4.1.2.2.3.3"><divide id="S1.p12.4.4.m4.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S1.p12.4.4.m4.1.2.2.3.3"></divide><cn id="S1.p12.4.4.m4.1.2.2.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.p12.4.4.m4.1.2.2.3.3.2">1</cn><cn id="S1.p12.4.4.m4.1.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.p12.4.4.m4.1.2.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply><ci id="S1.p12.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S1.p12.4.4.m4.1.1">𝑇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p12.4.4.m4.1c">N^{*}_{\beta\neq\frac{1}{2}}(T)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p12.4.4.m4.1d">italic_N start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_β ≠ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T )</annotation></semantics></math> in addition to <math alttext="N^{*}(T)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p12.5.5.m5.1"><semantics id="S1.p12.5.5.m5.1a"><mrow id="S1.p12.5.5.m5.1.2" xref="S1.p12.5.5.m5.1.2.cmml"><msup id="S1.p12.5.5.m5.1.2.2" xref="S1.p12.5.5.m5.1.2.2.cmml"><mi id="S1.p12.5.5.m5.1.2.2.2" xref="S1.p12.5.5.m5.1.2.2.2.cmml">N</mi><mo id="S1.p12.5.5.m5.1.2.2.3" xref="S1.p12.5.5.m5.1.2.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S1.p12.5.5.m5.1.2.1" xref="S1.p12.5.5.m5.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p12.5.5.m5.1.2.3.2" xref="S1.p12.5.5.m5.1.2.cmml"><mo id="S1.p12.5.5.m5.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.p12.5.5.m5.1.2.cmml">(</mo><mi id="S1.p12.5.5.m5.1.1" xref="S1.p12.5.5.m5.1.1.cmml">T</mi><mo id="S1.p12.5.5.m5.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.p12.5.5.m5.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p12.5.5.m5.1b"><apply id="S1.p12.5.5.m5.1.2.cmml" xref="S1.p12.5.5.m5.1.2"><times id="S1.p12.5.5.m5.1.2.1.cmml" xref="S1.p12.5.5.m5.1.2.1"></times><apply id="S1.p12.5.5.m5.1.2.2.cmml" xref="S1.p12.5.5.m5.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p12.5.5.m5.1.2.2.1.cmml" xref="S1.p12.5.5.m5.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S1.p12.5.5.m5.1.2.2.2.cmml" xref="S1.p12.5.5.m5.1.2.2.2">𝑁</ci><times id="S1.p12.5.5.m5.1.2.2.3.cmml" xref="S1.p12.5.5.m5.1.2.2.3"></times></apply><ci id="S1.p12.5.5.m5.1.1.cmml" xref="S1.p12.5.5.m5.1.1">𝑇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p12.5.5.m5.1c">N^{*}(T)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p12.5.5.m5.1d">italic_N start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T )</annotation></semantics></math> in the pair correlation method originated in this paper.</span></p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S2"> <h2 class="ltx_title ltx_font_bold ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">2. </span>The Second Moment for Zeros in Short Intervals</h2> <div class="ltx_para" id="S2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p1.1.1">In this section, we introduce the main ingredients needed to prove Theorem </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#Thmtheorem1" title="Theorem 1. ‣ 1. Introduction and Statement of Results ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p1.1.2">. We give its proof in the next section.</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.p2.2"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p2.2.1">We start with the Riemann-von Mangoldt formula for </span><math alttext="N(T)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.1.m1.1"><semantics id="S2.p2.1.m1.1a"><mrow id="S2.p2.1.m1.1.2" xref="S2.p2.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S2.p2.1.m1.1.2.2" xref="S2.p2.1.m1.1.2.2.cmml">N</mi><mo id="S2.p2.1.m1.1.2.1" xref="S2.p2.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p2.1.m1.1.2.3.2" xref="S2.p2.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S2.p2.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.p2.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.p2.1.m1.1.1" xref="S2.p2.1.m1.1.1.cmml">T</mi><mo id="S2.p2.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.p2.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.1.m1.1b"><apply id="S2.p2.1.m1.1.2.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.2"><times id="S2.p2.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.2.1"></times><ci id="S2.p2.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.2.2">𝑁</ci><ci id="S2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1">𝑇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.1.m1.1c">N(T)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.1.m1.1d">italic_N ( italic_T )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p2.2.2">. From Titchmarsh </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p2.2.3.1">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#bib.bibx9" title="">Tit86</a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p2.2.4.2">, Theorem 9.3]</span></cite><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p2.2.5"> or </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p2.2.6.1">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#bib.bibx8" title="">MV07</a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p2.2.7.2">, Corollary 14.2]</span></cite><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p2.2.8"> we have, for </span><math alttext="T\geq 2" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.2.m2.1"><semantics id="S2.p2.2.m2.1a"><mrow id="S2.p2.2.m2.1.1" xref="S2.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.p2.2.m2.1.1.2" xref="S2.p2.2.m2.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S2.p2.2.m2.1.1.1" xref="S2.p2.2.m2.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="S2.p2.2.m2.1.1.3" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.2.m2.1b"><apply id="S2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.p2.2.m2.1.1"><geq id="S2.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.2.m2.1.1.1"></geq><ci id="S2.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.2.m2.1.1.2">𝑇</ci><cn id="S2.p2.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.2.m2.1c">T\geq 2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.2.m2.1d">italic_T ≥ 2</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p2.2.9">,</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(2.1)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="N(T)=M(T)+\frac{7}{8}+S(T)+O(1/T)," class="ltx_Math" display="block" id="S2.E1.m1.4"><semantics id="S2.E1.m1.4a"><mrow id="S2.E1.m1.4.4.1" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.4.4.1.1" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.4.4.1.1.3" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E1.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">N</mi><mo id="S2.E1.m1.4.4.1.1.3.1" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E1.m1.4.4.1.1.3.3.2" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mo id="S2.E1.m1.4.4.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S2.E1.m1.1.1" xref="S2.E1.m1.1.1.cmml">T</mi><mo id="S2.E1.m1.4.4.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E1.m1.4.4.1.1.2" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.E1.m1.4.4.1.1.1" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.3.2" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml">M</mi><mo id="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.3.1" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.3.3.2" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.3.cmml"><mo id="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S2.E1.m1.2.2" xref="S2.E1.m1.2.2.cmml">T</mi><mo id="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">+</mo><mfrac id="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.4" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.4.cmml"><mn id="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.4.2" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.4.2.cmml">7</mn><mn id="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.4.3" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.4.3.cmml">8</mn></mfrac><mo id="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.2a" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.5" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.5.cmml"><mi id="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.5.2" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.5.2.cmml">S</mi><mo id="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.5.1" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.5.3.2" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.5.cmml"><mo id="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.5.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.5.cmml">(</mo><mi id="S2.E1.m1.3.3" xref="S2.E1.m1.3.3.cmml">T</mi><mo id="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.5.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.5.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.2b" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml">O</mi><mo id="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">/</mo><mi id="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">T</mi></mrow><mo id="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E1.m1.4.4.1.2" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E1.m1.4b"><apply id="S2.E1.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.4.4.1"><eq id="S2.E1.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.2"></eq><apply id="S2.E1.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.3"><times id="S2.E1.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.3.1"></times><ci id="S2.E1.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.3.2">𝑁</ci><ci id="S2.E1.m1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1">𝑇</ci></apply><apply id="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.1"><plus id="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.2"></plus><apply id="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.3"><times id="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.3.2">𝑀</ci><ci id="S2.E1.m1.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2">𝑇</ci></apply><apply id="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.4"><divide id="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.4"></divide><cn id="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.4.2.cmml" type="integer" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.4.2">7</cn><cn id="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.4.3">8</cn></apply><apply id="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.5.cmml" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.5"><times id="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.5.1.cmml" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.5.1"></times><ci id="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.5.2.cmml" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.5.2">𝑆</ci><ci id="S2.E1.m1.3.3.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3">𝑇</ci></apply><apply id="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.1"><times id="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.1.2"></times><ci id="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.1.3">𝑂</ci><apply id="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><divide id="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1"></divide><cn id="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑇</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E1.m1.4c">N(T)=M(T)+\frac{7}{8}+S(T)+O(1/T),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E1.m1.4d">italic_N ( italic_T ) = italic_M ( italic_T ) + divide start_ARG 7 end_ARG start_ARG 8 end_ARG + italic_S ( italic_T ) + italic_O ( 1 / italic_T ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.p2.7"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p2.7.1">where</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S2.E2"> <tbody> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S2.E2X"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="2"><span class="ltx_tag ltx_tag_equationgroup ltx_align_left">(2.2)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle M(T)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E2X.2.1.1.m1.1"><semantics id="S2.E2X.2.1.1.m1.1a"><mrow id="S2.E2X.2.1.1.m1.1.2" xref="S2.E2X.2.1.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S2.E2X.2.1.1.m1.1.2.2" xref="S2.E2X.2.1.1.m1.1.2.2.cmml">M</mi><mo id="S2.E2X.2.1.1.m1.1.2.1" xref="S2.E2X.2.1.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E2X.2.1.1.m1.1.2.3.2" xref="S2.E2X.2.1.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S2.E2X.2.1.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E2X.2.1.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E2X.2.1.1.m1.1.1" xref="S2.E2X.2.1.1.m1.1.1.cmml">T</mi><mo id="S2.E2X.2.1.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E2X.2.1.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E2X.2.1.1.m1.1b"><apply id="S2.E2X.2.1.1.m1.1.2.cmml" xref="S2.E2X.2.1.1.m1.1.2"><times id="S2.E2X.2.1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S2.E2X.2.1.1.m1.1.2.1"></times><ci id="S2.E2X.2.1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S2.E2X.2.1.1.m1.1.2.2">𝑀</ci><ci id="S2.E2X.2.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.E2X.2.1.1.m1.1.1">𝑇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E2X.2.1.1.m1.1c">\displaystyle M(T)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E2X.2.1.1.m1.1d">italic_M ( italic_T )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle:=\frac{T}{2\pi}\log\frac{T}{2\pi e}=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi e}^% {T}\log\frac{t}{2\pi}\,dt," class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E2X.3.2.2.m1.1"><semantics id="S2.E2X.3.2.2.m1.1a"><mrow id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.3.cmml">:=</mo><mrow id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mfrac id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2a" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml"><mn id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.3.2" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.3.1" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.3.3" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml">π</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.1" lspace="0.167em" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.1" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">log</mi><mo id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3a" lspace="0.167em" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.cmml">⁡</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml"><mfrac id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.2a" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml"><mi id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.2.2" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.2.3" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.2.3.cmml"><mn id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.2.3.2" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.2.3.1" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.2.3.3" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.2.3.3.cmml">π</mi><mo id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.2.3.1a" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.2.3.4" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.2.3.4.cmml">e</mi></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow><mo id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.5" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.2" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.2.cmml"><mfrac id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.2a" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.2.cmml"><mn id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.2.2" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.2.3" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.2.3.cmml"><mn id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.2.3.2" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.2.3.1" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.2.3.3" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.2.3.3.cmml">π</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.1" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.1" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.1.cmml"><msubsup id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.1a" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.1.cmml"><mo id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.1.2.2" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.1.2.2.cmml">∫</mo><mrow id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.1.2.3" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.1.2.3.cmml"><mn id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.1.2.3.2" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.1.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.1.2.3.1" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.1.2.3.3" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.1.2.3.3.cmml">π</mi><mo id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.1.2.3.1a" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.1.2.3.4" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.1.2.3.4.cmml">e</mi></mrow><mi id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.1.3" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.1.3.cmml">T</mi></msubsup></mstyle><mrow id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.cmml"><mi id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.1" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.1.cmml">log</mi><mo id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2a" lspace="0.167em" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.2" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.2" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.2.cmml"><mfrac id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.2a" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.2.2" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.2.2.cmml">t</mi><mrow id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.2.3" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.2.3.cmml"><mn id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.2.3.2" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.2.3.1" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.2.3.3" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.2.3.3.cmml">π</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.1" lspace="0.170em" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.3" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.3.cmml">d</mi><mo id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.1a" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.4" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.4.cmml">t</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.2" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E2X.3.2.2.m1.1b"><apply id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1"><and id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1"></and><apply id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.3">assign</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4"><times id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.1"></times><apply id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2"><divide id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2"></divide><ci id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.2">𝑇</ci><apply id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.3"><times id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.3.1"></times><cn id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.3.2">2</cn><ci id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.3.3">𝜋</ci></apply></apply><apply id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3"><log id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.1"></log><apply id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.2"><divide id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.cmml" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.2"></divide><ci id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.2.2.cmml" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.2.2">𝑇</ci><apply id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.2.3.cmml" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.2.3"><times id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.2.3.1.cmml" 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xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.1">subscript</csymbol><int id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.1.2.2.cmml" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.1.2.2"></int><apply id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.1.2.3.cmml" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.1.2.3"><times id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.1.2.3.1"></times><cn id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.1.2.3.2">2</cn><ci id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.1.2.3.3.cmml" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.1.2.3.3">𝜋</ci><ci id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.1.2.3.4.cmml" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.1.2.3.4">𝑒</ci></apply></apply><ci id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.1.3.cmml" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.1.3">𝑇</ci></apply><apply id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.cmml" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2"><log id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.1.cmml" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.1"></log><apply id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.cmml" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.2"><times id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.1"></times><apply id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.2"><divide id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.2"></divide><ci id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.2.2">𝑡</ci><apply id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.2.3"><times id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.2.3.1"></times><cn id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.2.3.2">2</cn><ci id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.2.3.3.cmml" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.2.3.3">𝜋</ci></apply></apply><ci id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.3.cmml" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.3">𝑑</ci><ci id="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.4.cmml" xref="S2.E2X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.4">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E2X.3.2.2.m1.1c">\displaystyle:=\frac{T}{2\pi}\log\frac{T}{2\pi e}=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi e}^% {T}\log\frac{t}{2\pi}\,dt,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E2X.3.2.2.m1.1d">:= divide start_ARG italic_T end_ARG start_ARG 2 italic_π end_ARG roman_log divide start_ARG italic_T end_ARG start_ARG 2 italic_π italic_e end_ARG = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 italic_π end_ARG ∫ start_POSTSUBSCRIPT 2 italic_π italic_e end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT roman_log divide start_ARG italic_t end_ARG start_ARG 2 italic_π end_ARG italic_d italic_t ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S2.E2Xa"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle S(T)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E2Xa.2.1.1.m1.1"><semantics id="S2.E2Xa.2.1.1.m1.1a"><mrow id="S2.E2Xa.2.1.1.m1.1.2" xref="S2.E2Xa.2.1.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S2.E2Xa.2.1.1.m1.1.2.2" xref="S2.E2Xa.2.1.1.m1.1.2.2.cmml">S</mi><mo id="S2.E2Xa.2.1.1.m1.1.2.1" xref="S2.E2Xa.2.1.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E2Xa.2.1.1.m1.1.2.3.2" xref="S2.E2Xa.2.1.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S2.E2Xa.2.1.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E2Xa.2.1.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E2Xa.2.1.1.m1.1.1" xref="S2.E2Xa.2.1.1.m1.1.1.cmml">T</mi><mo id="S2.E2Xa.2.1.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E2Xa.2.1.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E2Xa.2.1.1.m1.1b"><apply id="S2.E2Xa.2.1.1.m1.1.2.cmml" xref="S2.E2Xa.2.1.1.m1.1.2"><times id="S2.E2Xa.2.1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S2.E2Xa.2.1.1.m1.1.2.1"></times><ci id="S2.E2Xa.2.1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S2.E2Xa.2.1.1.m1.1.2.2">𝑆</ci><ci id="S2.E2Xa.2.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.E2Xa.2.1.1.m1.1.1">𝑇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E2Xa.2.1.1.m1.1c">\displaystyle S(T)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E2Xa.2.1.1.m1.1d">italic_S ( italic_T )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle:=\frac{1}{\pi}{\rm arg}\,\zeta(\tfrac{1}{2}+iT)=O(\log T)=O(L)," class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2"><semantics id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2a"><mrow id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.4" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.4.cmml"></mi><mo id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.5" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.5.cmml">:=</mo><mrow id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.3a" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mi id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">π</mi></mfrac></mstyle><mo id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.4" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.4.cmml">arg</mi><mo id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.2a" lspace="0.170em" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.5" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.5.cmml">ζ</mi><mo id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.2b" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mn id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">T</mi></mrow></mrow><mo id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.6" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.2" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.2.3" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.2.3.cmml">O</mi><mo id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.2.1.1" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.2.1.1.1" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.2.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml">⁡</mo><mi id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.2" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.2.cmml">T</mi></mrow><mo id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.7" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.7.cmml">=</mo><mrow id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.8" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.8.cmml"><mi id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.8.2" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.8.2.cmml">O</mi><mo id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.8.1" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.8.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.8.3.2" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.8.cmml"><mo id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.8.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.8.cmml">(</mo><mi id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.1.1" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.1.1.cmml">L</mi><mo id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.8.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.8.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.2" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2b"><apply id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1"><and id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1a.cmml" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1"></and><apply id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1b.cmml" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.5.cmml" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.5">assign</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.4.cmml" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.4">absent</csymbol><apply id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1"><times id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.2"></times><apply id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.3"><divide id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.3"></divide><cn id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.3.2">1</cn><ci id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.3.3">𝜋</ci></apply><ci id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.4">arg</ci><ci id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.5.cmml" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.5">𝜁</ci><apply id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1"><plus id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><divide id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2"></divide><cn id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2">1</cn><cn id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑇</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1c.cmml" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1"><eq id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.6.cmml" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.1.cmml" id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1d.cmml" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1"></share><apply id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.2"><times id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.2.2"></times><ci id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.2.3">𝑂</ci><apply id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.2.1.1"><log id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1"></log><ci id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.2">𝑇</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1e.cmml" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1"><eq id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.7.cmml" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.7"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.2.cmml" id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1f.cmml" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1"></share><apply id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.8.cmml" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.8"><times id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.8.1.cmml" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.8.1"></times><ci id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.8.2.cmml" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2.2.1.1.8.2">𝑂</ci><ci id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.1.1.cmml" xref="S2.E2Xa.3.2.2.m1.1.1">𝐿</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2c">\displaystyle:=\frac{1}{\pi}{\rm arg}\,\zeta(\tfrac{1}{2}+iT)=O(\log T)=O(L),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E2Xa.3.2.2.m1.2d">:= divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_π end_ARG roman_arg italic_ζ ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG + italic_i italic_T ) = italic_O ( roman_log italic_T ) = italic_O ( italic_L ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.p2.6"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p2.6.1">and the term </span><math alttext="O(1/T)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.3.m1.1"><semantics id="S2.p2.3.m1.1a"><mrow id="S2.p2.3.m1.1.1" xref="S2.p2.3.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.p2.3.m1.1.1.3" xref="S2.p2.3.m1.1.1.3.cmml">O</mi><mo id="S2.p2.3.m1.1.1.2" xref="S2.p2.3.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p2.3.m1.1.1.1.1" xref="S2.p2.3.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.p2.3.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p2.3.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.p2.3.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.p2.3.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.p2.3.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.p2.3.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S2.p2.3.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.p2.3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">/</mo><mi id="S2.p2.3.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.p2.3.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">T</mi></mrow><mo id="S2.p2.3.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.p2.3.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.3.m1.1b"><apply id="S2.p2.3.m1.1.1.cmml" xref="S2.p2.3.m1.1.1"><times id="S2.p2.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.3.m1.1.1.2"></times><ci id="S2.p2.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.p2.3.m1.1.1.3">𝑂</ci><apply id="S2.p2.3.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.3.m1.1.1.1.1"><divide id="S2.p2.3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.3.m1.1.1.1.1.1.1"></divide><cn id="S2.p2.3.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.p2.3.m1.1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="S2.p2.3.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p2.3.m1.1.1.1.1.1.3">𝑇</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.3.m1.1c">O(1/T)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.3.m1.1d">italic_O ( 1 / italic_T )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p2.6.2"> is continuous. These formulas assume </span><math alttext="T\neq\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.4.m2.1"><semantics id="S2.p2.4.m2.1a"><mrow id="S2.p2.4.m2.1.1" xref="S2.p2.4.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.p2.4.m2.1.1.2" xref="S2.p2.4.m2.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S2.p2.4.m2.1.1.1" xref="S2.p2.4.m2.1.1.1.cmml">≠</mo><mi id="S2.p2.4.m2.1.1.3" xref="S2.p2.4.m2.1.1.3.cmml">γ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.4.m2.1b"><apply id="S2.p2.4.m2.1.1.cmml" xref="S2.p2.4.m2.1.1"><neq id="S2.p2.4.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.4.m2.1.1.1"></neq><ci id="S2.p2.4.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.4.m2.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S2.p2.4.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.p2.4.m2.1.1.3">𝛾</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.4.m2.1c">T\neq\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.4.m2.1d">italic_T ≠ italic_γ</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p2.6.3"> for any zero, while if </span><math alttext="T" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.5.m3.1"><semantics id="S2.p2.5.m3.1a"><mi id="S2.p2.5.m3.1.1" xref="S2.p2.5.m3.1.1.cmml">T</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.5.m3.1b"><ci id="S2.p2.5.m3.1.1.cmml" xref="S2.p2.5.m3.1.1">𝑇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.5.m3.1c">T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.5.m3.1d">italic_T</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p2.6.4"> is the ordinate of a zero then we set </span><math alttext="N(T)=N(T^{+})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.6.m4.2"><semantics id="S2.p2.6.m4.2a"><mrow id="S2.p2.6.m4.2.2" xref="S2.p2.6.m4.2.2.cmml"><mrow id="S2.p2.6.m4.2.2.3" xref="S2.p2.6.m4.2.2.3.cmml"><mi id="S2.p2.6.m4.2.2.3.2" xref="S2.p2.6.m4.2.2.3.2.cmml">N</mi><mo id="S2.p2.6.m4.2.2.3.1" xref="S2.p2.6.m4.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p2.6.m4.2.2.3.3.2" xref="S2.p2.6.m4.2.2.3.cmml"><mo id="S2.p2.6.m4.2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.p2.6.m4.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S2.p2.6.m4.1.1" xref="S2.p2.6.m4.1.1.cmml">T</mi><mo id="S2.p2.6.m4.2.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.p2.6.m4.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.p2.6.m4.2.2.2" xref="S2.p2.6.m4.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.p2.6.m4.2.2.1" xref="S2.p2.6.m4.2.2.1.cmml"><mi id="S2.p2.6.m4.2.2.1.3" xref="S2.p2.6.m4.2.2.1.3.cmml">N</mi><mo id="S2.p2.6.m4.2.2.1.2" xref="S2.p2.6.m4.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p2.6.m4.2.2.1.1.1" xref="S2.p2.6.m4.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.p2.6.m4.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p2.6.m4.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.p2.6.m4.2.2.1.1.1.1" xref="S2.p2.6.m4.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p2.6.m4.2.2.1.1.1.1.2" xref="S2.p2.6.m4.2.2.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S2.p2.6.m4.2.2.1.1.1.1.3" xref="S2.p2.6.m4.2.2.1.1.1.1.3.cmml">+</mo></msup><mo id="S2.p2.6.m4.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.p2.6.m4.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.6.m4.2b"><apply id="S2.p2.6.m4.2.2.cmml" xref="S2.p2.6.m4.2.2"><eq id="S2.p2.6.m4.2.2.2.cmml" xref="S2.p2.6.m4.2.2.2"></eq><apply id="S2.p2.6.m4.2.2.3.cmml" xref="S2.p2.6.m4.2.2.3"><times id="S2.p2.6.m4.2.2.3.1.cmml" xref="S2.p2.6.m4.2.2.3.1"></times><ci id="S2.p2.6.m4.2.2.3.2.cmml" xref="S2.p2.6.m4.2.2.3.2">𝑁</ci><ci id="S2.p2.6.m4.1.1.cmml" xref="S2.p2.6.m4.1.1">𝑇</ci></apply><apply id="S2.p2.6.m4.2.2.1.cmml" xref="S2.p2.6.m4.2.2.1"><times id="S2.p2.6.m4.2.2.1.2.cmml" xref="S2.p2.6.m4.2.2.1.2"></times><ci id="S2.p2.6.m4.2.2.1.3.cmml" xref="S2.p2.6.m4.2.2.1.3">𝑁</ci><apply id="S2.p2.6.m4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.6.m4.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.6.m4.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.6.m4.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.p2.6.m4.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.6.m4.2.2.1.1.1.1.2">𝑇</ci><plus id="S2.p2.6.m4.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p2.6.m4.2.2.1.1.1.1.3"></plus></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.6.m4.2c">N(T)=N(T^{+})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.6.m4.2d">italic_N ( italic_T ) = italic_N ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math><span class="ltx_note ltx_role_footnote" id="footnotex1"><sup class="ltx_note_mark">3</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">3</sup><span class="ltx_tag ltx_tag_note">3</span>The choice <math alttext="N(T)=\frac{1}{2}(N(T^{+})+N(T^{-}))" class="ltx_Math" display="inline" id="footnotex1.m1.2"><semantics id="footnotex1.m1.2b"><mrow id="footnotex1.m1.2.2" xref="footnotex1.m1.2.2.cmml"><mrow id="footnotex1.m1.2.2.3" xref="footnotex1.m1.2.2.3.cmml"><mi id="footnotex1.m1.2.2.3.2" xref="footnotex1.m1.2.2.3.2.cmml">N</mi><mo id="footnotex1.m1.2.2.3.1" xref="footnotex1.m1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="footnotex1.m1.2.2.3.3.2" xref="footnotex1.m1.2.2.3.cmml"><mo id="footnotex1.m1.2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="footnotex1.m1.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="footnotex1.m1.1.1" xref="footnotex1.m1.1.1.cmml">T</mi><mo id="footnotex1.m1.2.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="footnotex1.m1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="footnotex1.m1.2.2.2" xref="footnotex1.m1.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="footnotex1.m1.2.2.1" xref="footnotex1.m1.2.2.1.cmml"><mfrac id="footnotex1.m1.2.2.1.3" xref="footnotex1.m1.2.2.1.3.cmml"><mn id="footnotex1.m1.2.2.1.3.2" xref="footnotex1.m1.2.2.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="footnotex1.m1.2.2.1.3.3" xref="footnotex1.m1.2.2.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="footnotex1.m1.2.2.1.2" xref="footnotex1.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="footnotex1.m1.2.2.1.1.1" xref="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">N</mi><mo id="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">+</mo></msup><mo id="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">N</mi><mo id="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1" xref="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml">−</mo></msup><mo id="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnotex1.m1.2c"><apply id="footnotex1.m1.2.2.cmml" xref="footnotex1.m1.2.2"><eq id="footnotex1.m1.2.2.2.cmml" xref="footnotex1.m1.2.2.2"></eq><apply id="footnotex1.m1.2.2.3.cmml" xref="footnotex1.m1.2.2.3"><times id="footnotex1.m1.2.2.3.1.cmml" xref="footnotex1.m1.2.2.3.1"></times><ci id="footnotex1.m1.2.2.3.2.cmml" xref="footnotex1.m1.2.2.3.2">𝑁</ci><ci id="footnotex1.m1.1.1.cmml" xref="footnotex1.m1.1.1">𝑇</ci></apply><apply id="footnotex1.m1.2.2.1.cmml" xref="footnotex1.m1.2.2.1"><times id="footnotex1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="footnotex1.m1.2.2.1.2"></times><apply id="footnotex1.m1.2.2.1.3.cmml" xref="footnotex1.m1.2.2.1.3"><divide id="footnotex1.m1.2.2.1.3.1.cmml" xref="footnotex1.m1.2.2.1.3"></divide><cn id="footnotex1.m1.2.2.1.3.2.cmml" type="integer" xref="footnotex1.m1.2.2.1.3.2">1</cn><cn id="footnotex1.m1.2.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="footnotex1.m1.2.2.1.3.3">2</cn></apply><apply id="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="footnotex1.m1.2.2.1.1.1"><plus id="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.3"></plus><apply id="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.1"><times id="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑁</ci><apply id="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑇</ci><plus id="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></plus></apply></apply><apply id="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.2"><times id="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.2"></times><ci id="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3">𝑁</ci><apply id="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.2">𝑇</ci><minus id="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="footnotex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3"></minus></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnotex1.m1.2d">N(T)=\frac{1}{2}(N(T^{+})+N(T^{-}))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnotex1.m1.2e">italic_N ( italic_T ) = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( italic_N ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT ) + italic_N ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT ) )</annotation></semantics></math> if <math alttext="T" class="ltx_Math" display="inline" id="footnotex1.m2.1"><semantics id="footnotex1.m2.1b"><mi id="footnotex1.m2.1.1" xref="footnotex1.m2.1.1.cmml">T</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnotex1.m2.1c"><ci id="footnotex1.m2.1.1.cmml" xref="footnotex1.m2.1.1">𝑇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnotex1.m2.1d">T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnotex1.m2.1e">italic_T</annotation></semantics></math> is the ordinate of a zero is also commonly made. Our choice is in agreement with (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S1.E1" title="Equation 1.1 ‣ 1. Introduction and Statement of Results ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.1</span></a>) and makes it easier to think about situations such as in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S1.E10" title="Equation 1.10 ‣ 1. Introduction and Statement of Results ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.10</span></a>).</span></span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p2.6.5">.</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p3"> <p class="ltx_p" id="S2.p3.4"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p3.4.1">Our results depend on the following formula of Tsang </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p3.4.2.1">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#bib.bibx10" title="">Tsa84</a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p3.4.3.2">, Theorem 13.2]</span></cite><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p3.4.4"> which follows from an idea of Selberg and refines a result of Fujii </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p3.4.5.1">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#bib.bibx3" title="">Fuj74</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#bib.bibx4" title="">Fuj81</a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p3.4.6.2">]</span></cite><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p3.4.7">. Let </span><math alttext="T\to\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.1.m1.1"><semantics id="S2.p3.1.m1.1a"><mrow id="S2.p3.1.m1.1.1" xref="S2.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.p3.1.m1.1.1.2" xref="S2.p3.1.m1.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S2.p3.1.m1.1.1.1" stretchy="false" xref="S2.p3.1.m1.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="S2.p3.1.m1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.p3.1.m1.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.1.m1.1b"><apply id="S2.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.p3.1.m1.1.1"><ci id="S2.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.1.m1.1.1.1">→</ci><ci id="S2.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.p3.1.m1.1.1.2">𝑇</ci><infinity id="S2.p3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.p3.1.m1.1.1.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.1.m1.1c">T\to\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.1.m1.1d">italic_T → ∞</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p3.4.8">, </span><math alttext="T^{\eta}<H\leq T" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.2.m2.1"><semantics id="S2.p3.2.m2.1a"><mrow id="S2.p3.2.m2.1.1" xref="S2.p3.2.m2.1.1.cmml"><msup id="S2.p3.2.m2.1.1.2" xref="S2.p3.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S2.p3.2.m2.1.1.2.2" xref="S2.p3.2.m2.1.1.2.2.cmml">T</mi><mi id="S2.p3.2.m2.1.1.2.3" xref="S2.p3.2.m2.1.1.2.3.cmml">η</mi></msup><mo id="S2.p3.2.m2.1.1.3" xref="S2.p3.2.m2.1.1.3.cmml"><</mo><mi id="S2.p3.2.m2.1.1.4" xref="S2.p3.2.m2.1.1.4.cmml">H</mi><mo id="S2.p3.2.m2.1.1.5" xref="S2.p3.2.m2.1.1.5.cmml">≤</mo><mi id="S2.p3.2.m2.1.1.6" xref="S2.p3.2.m2.1.1.6.cmml">T</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.2.m2.1b"><apply id="S2.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.p3.2.m2.1.1"><and id="S2.p3.2.m2.1.1a.cmml" xref="S2.p3.2.m2.1.1"></and><apply id="S2.p3.2.m2.1.1b.cmml" xref="S2.p3.2.m2.1.1"><lt id="S2.p3.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.p3.2.m2.1.1.3"></lt><apply id="S2.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.p3.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p3.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p3.2.m2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.p3.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.p3.2.m2.1.1.2.2">𝑇</ci><ci id="S2.p3.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.p3.2.m2.1.1.2.3">𝜂</ci></apply><ci id="S2.p3.2.m2.1.1.4.cmml" xref="S2.p3.2.m2.1.1.4">𝐻</ci></apply><apply id="S2.p3.2.m2.1.1c.cmml" xref="S2.p3.2.m2.1.1"><leq id="S2.p3.2.m2.1.1.5.cmml" xref="S2.p3.2.m2.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S2.p3.2.m2.1.1.4.cmml" id="S2.p3.2.m2.1.1d.cmml" xref="S2.p3.2.m2.1.1"></share><ci id="S2.p3.2.m2.1.1.6.cmml" xref="S2.p3.2.m2.1.1.6">𝑇</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.2.m2.1c">T^{\eta}<H\leq T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.2.m2.1d">italic_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_η end_POSTSUPERSCRIPT < italic_H ≤ italic_T</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p3.4.9">, </span><math alttext="\eta>\frac{1}{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.3.m3.1"><semantics id="S2.p3.3.m3.1a"><mrow id="S2.p3.3.m3.1.1" xref="S2.p3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.p3.3.m3.1.1.2" xref="S2.p3.3.m3.1.1.2.cmml">η</mi><mo id="S2.p3.3.m3.1.1.1" xref="S2.p3.3.m3.1.1.1.cmml">></mo><mfrac id="S2.p3.3.m3.1.1.3" xref="S2.p3.3.m3.1.1.3.cmml"><mn id="S2.p3.3.m3.1.1.3.2" xref="S2.p3.3.m3.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S2.p3.3.m3.1.1.3.3" xref="S2.p3.3.m3.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.3.m3.1b"><apply id="S2.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.p3.3.m3.1.1"><gt id="S2.p3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.3.m3.1.1.1"></gt><ci id="S2.p3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.p3.3.m3.1.1.2">𝜂</ci><apply id="S2.p3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.p3.3.m3.1.1.3"><divide id="S2.p3.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p3.3.m3.1.1.3"></divide><cn id="S2.p3.3.m3.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.p3.3.m3.1.1.3.2">1</cn><cn id="S2.p3.3.m3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.p3.3.m3.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.3.m3.1c">\eta>\frac{1}{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.3.m3.1d">italic_η > divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p3.4.10">, and </span><math alttext="0<h\ll 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.4.m4.1"><semantics id="S2.p3.4.m4.1a"><mrow id="S2.p3.4.m4.1.1" xref="S2.p3.4.m4.1.1.cmml"><mn id="S2.p3.4.m4.1.1.2" xref="S2.p3.4.m4.1.1.2.cmml">0</mn><mo id="S2.p3.4.m4.1.1.3" xref="S2.p3.4.m4.1.1.3.cmml"><</mo><mi id="S2.p3.4.m4.1.1.4" xref="S2.p3.4.m4.1.1.4.cmml">h</mi><mo id="S2.p3.4.m4.1.1.5" xref="S2.p3.4.m4.1.1.5.cmml">≪</mo><mn id="S2.p3.4.m4.1.1.6" xref="S2.p3.4.m4.1.1.6.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.4.m4.1b"><apply id="S2.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.p3.4.m4.1.1"><and id="S2.p3.4.m4.1.1a.cmml" xref="S2.p3.4.m4.1.1"></and><apply id="S2.p3.4.m4.1.1b.cmml" xref="S2.p3.4.m4.1.1"><lt id="S2.p3.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.p3.4.m4.1.1.3"></lt><cn id="S2.p3.4.m4.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.p3.4.m4.1.1.2">0</cn><ci id="S2.p3.4.m4.1.1.4.cmml" xref="S2.p3.4.m4.1.1.4">ℎ</ci></apply><apply id="S2.p3.4.m4.1.1c.cmml" xref="S2.p3.4.m4.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.p3.4.m4.1.1.5.cmml" xref="S2.p3.4.m4.1.1.5">much-less-than</csymbol><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S2.p3.4.m4.1.1.4.cmml" id="S2.p3.4.m4.1.1d.cmml" xref="S2.p3.4.m4.1.1"></share><cn id="S2.p3.4.m4.1.1.6.cmml" type="integer" xref="S2.p3.4.m4.1.1.6">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.4.m4.1c">0<h\ll 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.4.m4.1d">0 < italic_h ≪ 1</annotation></semantics></math><span class="ltx_note ltx_role_footnote" id="footnotex2"><sup class="ltx_note_mark">4</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">4</sup><span class="ltx_tag ltx_tag_note">4</span>This was stated in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#bib.bibx10" title="">Tsa84</a>, Theorem 13.2]</cite> with <math alttext="0<h<1" class="ltx_Math" display="inline" id="footnotex2.m1.1"><semantics id="footnotex2.m1.1b"><mrow id="footnotex2.m1.1.1" xref="footnotex2.m1.1.1.cmml"><mn id="footnotex2.m1.1.1.2" xref="footnotex2.m1.1.1.2.cmml">0</mn><mo id="footnotex2.m1.1.1.3" xref="footnotex2.m1.1.1.3.cmml"><</mo><mi id="footnotex2.m1.1.1.4" xref="footnotex2.m1.1.1.4.cmml">h</mi><mo id="footnotex2.m1.1.1.5" xref="footnotex2.m1.1.1.5.cmml"><</mo><mn id="footnotex2.m1.1.1.6" xref="footnotex2.m1.1.1.6.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnotex2.m1.1c"><apply id="footnotex2.m1.1.1.cmml" xref="footnotex2.m1.1.1"><and id="footnotex2.m1.1.1a.cmml" xref="footnotex2.m1.1.1"></and><apply id="footnotex2.m1.1.1b.cmml" xref="footnotex2.m1.1.1"><lt id="footnotex2.m1.1.1.3.cmml" xref="footnotex2.m1.1.1.3"></lt><cn id="footnotex2.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="footnotex2.m1.1.1.2">0</cn><ci id="footnotex2.m1.1.1.4.cmml" xref="footnotex2.m1.1.1.4">ℎ</ci></apply><apply id="footnotex2.m1.1.1c.cmml" xref="footnotex2.m1.1.1"><lt id="footnotex2.m1.1.1.5.cmml" xref="footnotex2.m1.1.1.5"></lt><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#footnotex2.m1.1.1.4.cmml" id="footnotex2.m1.1.1d.cmml" xref="footnotex2.m1.1.1"></share><cn id="footnotex2.m1.1.1.6.cmml" type="integer" xref="footnotex2.m1.1.1.6">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnotex2.m1.1d">0<h<1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnotex2.m1.1e">0 < italic_h < 1</annotation></semantics></math> but the proof works for <math alttext="h\ll 1" class="ltx_Math" display="inline" id="footnotex2.m2.1"><semantics id="footnotex2.m2.1b"><mrow id="footnotex2.m2.1.1" xref="footnotex2.m2.1.1.cmml"><mi id="footnotex2.m2.1.1.2" xref="footnotex2.m2.1.1.2.cmml">h</mi><mo id="footnotex2.m2.1.1.1" xref="footnotex2.m2.1.1.1.cmml">≪</mo><mn id="footnotex2.m2.1.1.3" xref="footnotex2.m2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnotex2.m2.1c"><apply id="footnotex2.m2.1.1.cmml" xref="footnotex2.m2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="footnotex2.m2.1.1.1.cmml" xref="footnotex2.m2.1.1.1">much-less-than</csymbol><ci id="footnotex2.m2.1.1.2.cmml" xref="footnotex2.m2.1.1.2">ℎ</ci><cn id="footnotex2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="footnotex2.m2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnotex2.m2.1d">h\ll 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnotex2.m2.1e">italic_h ≪ 1</annotation></semantics></math>.</span></span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p3.4.11">. Then we have</span><span class="ltx_note ltx_role_footnote" id="footnote1"><sup class="ltx_note_mark">*</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">*</sup><span class="ltx_tag ltx_tag_note">*</span>Tsang <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#bib.bibx10" title="">Tsa84</a>]</cite> and Fujii <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#bib.bibx3" title="">Fuj74</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#bib.bibx4" title="">Fuj81</a>]</cite> actually proved a general <math alttext="2k" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote1.m1.1"><semantics id="footnote1.m1.1b"><mrow id="footnote1.m1.1.1" xref="footnote1.m1.1.1.cmml"><mn id="footnote1.m1.1.1.2" xref="footnote1.m1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="footnote1.m1.1.1.1" xref="footnote1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="footnote1.m1.1.1.3" xref="footnote1.m1.1.1.3.cmml">k</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote1.m1.1c"><apply id="footnote1.m1.1.1.cmml" xref="footnote1.m1.1.1"><times id="footnote1.m1.1.1.1.cmml" xref="footnote1.m1.1.1.1"></times><cn id="footnote1.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="footnote1.m1.1.1.2">2</cn><ci id="footnote1.m1.1.1.3.cmml" xref="footnote1.m1.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote1.m1.1d">2k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote1.m1.1e">2 italic_k</annotation></semantics></math>-th moment version for any positive integer <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote1.m2.1"><semantics id="footnote1.m2.1b"><mi id="footnote1.m2.1.1" xref="footnote1.m2.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote1.m2.1c"><ci id="footnote1.m2.1.1.cmml" xref="footnote1.m2.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote1.m2.1d">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote1.m2.1e">italic_k</annotation></semantics></math>.</span></span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p3.4.12"></span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E3"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(2.3)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\int_{T}^{T+H}\big{(}S(t+h)-S(t)\big{)}^{2}\,dt=\frac{H}{\pi^{2}}\log(2+h\log T% )+O\left(H\left(1+\sqrt{\log(2+h\log T)}\right)\right)." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E3.m1.5"><semantics id="S2.E3.m1.5a"><mrow id="S2.E3.m1.5.5.1" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S2.E3.m1.5.5.1.1" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.cmml"><msubsup id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.2" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.2.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.2.2.3" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.2.2.3.cmml">T</mi><mrow id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.2.3" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.2.3.2" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.2.3.2.cmml">T</mi><mo id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.2.3.1" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mi id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.2.3.3" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.2.3.3.cmml">H</mi></mrow></msubsup><mrow id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" maxsize="120%" minsize="120%" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">S</mi><mo id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">h</mi></mrow><mo id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">S</mi><mo id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S2.E3.m1.3.3" xref="S2.E3.m1.3.3.cmml">t</mi><mo id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="120%" minsize="120%" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.3" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.cmml">t</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E3.m1.5.5.1.1.4" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S2.E3.m1.5.5.1.1.3" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E3.m1.5.5.1.1.2.1" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.2.1.cmml"><mfrac id="S2.E3.m1.5.5.1.1.2.1.3" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.2.1.3.cmml"><mi id="S2.E3.m1.5.5.1.1.2.1.3.2" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.2.1.3.2.cmml">H</mi><msup id="S2.E3.m1.5.5.1.1.2.1.3.3" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.2.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E3.m1.5.5.1.1.2.1.3.3.2" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.2.1.3.3.2.cmml">π</mi><mn id="S2.E3.m1.5.5.1.1.2.1.3.3.3" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.2.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac><mo id="S2.E3.m1.5.5.1.1.2.1.2" lspace="0.167em" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E3.m1.4.4" xref="S2.E3.m1.4.4.cmml">log</mi><mo id="S2.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1a" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S2.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S2.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S2.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">h</mi><mo id="S2.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1" lspace="0.167em" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">log</mi><mo id="S2.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3a" lspace="0.167em" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">⁡</mo><mi id="S2.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">T</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.3" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.3.cmml">+</mo><mrow id="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.2" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.2.3" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.2.3.cmml">O</mi><mo id="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.2.2" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.2.1.1" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.2" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.3" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.3.cmml">H</mi><mo id="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msqrt id="S2.E3.m1.2.2" xref="S2.E3.m1.2.2.cmml"><mrow id="S2.E3.m1.2.2.2.2" xref="S2.E3.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E3.m1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S2.E3.m1.2.2.2.2a" xref="S2.E3.m1.2.2.2.3.cmml">⁡</mo><mrow id="S2.E3.m1.2.2.2.2.1" xref="S2.E3.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E3.m1.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.E3.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S2.E3.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S2.E3.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mn id="S2.E3.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S2.E3.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S2.E3.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S2.E3.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.E3.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S2.E3.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E3.m1.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S2.E3.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml">h</mi><mo id="S2.E3.m1.2.2.2.2.1.1.3.1" lspace="0.167em" xref="S2.E3.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E3.m1.2.2.2.2.1.1.3.3" xref="S2.E3.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E3.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1" xref="S2.E3.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.cmml">log</mi><mo id="S2.E3.m1.2.2.2.2.1.1.3.3a" lspace="0.167em" xref="S2.E3.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml">⁡</mo><mi id="S2.E3.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2" xref="S2.E3.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.cmml">T</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E3.m1.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" 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.</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.p3.5"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p3.5.1">Following Gallagher and Mueller </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p3.5.2.1">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#bib.bibx5" title="">GM78</a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p3.5.3.2">]</span></cite><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p3.5.4">, we use the forward difference notation</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E4"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(2.4)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Delta_{U}F(t):=F(t+U)-F(t)." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E4.m1.3"><semantics id="S2.E4.m1.3a"><mrow id="S2.E4.m1.3.3.1" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.E4.m1.3.3.1.1" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.E4.m1.3.3.1.1.3" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.3.cmml"><msub id="S2.E4.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml">Δ</mi><mi id="S2.E4.m1.3.3.1.1.3.2.3" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml">U</mi></msub><mo id="S2.E4.m1.3.3.1.1.3.1" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E4.m1.3.3.1.1.3.3" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.3.3.cmml">F</mi><mo id="S2.E4.m1.3.3.1.1.3.1a" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mo id="S2.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S2.E4.m1.1.1" xref="S2.E4.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.E4.m1.3.3.1.1.3.4.2.2" rspace="0.278em" 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xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.3"><times id="S2.E4.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.3.1"></times><apply id="S2.E4.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.3.2.2">Δ</ci><ci id="S2.E4.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.3.2.3">𝑈</ci></apply><ci id="S2.E4.m1.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.3.3">𝐹</ci><ci id="S2.E4.m1.1.1.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1"><minus id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.2"></minus><apply id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1"><times id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.2"></times><ci id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3">𝐹</ci><apply id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><plus id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑈</ci></apply></apply><apply id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.3"><times id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.3.2">𝐹</ci><ci id="S2.E4.m1.2.2.cmml" xref="S2.E4.m1.2.2">𝑡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E4.m1.3c">\Delta_{U}F(t):=F(t+U)-F(t).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E4.m1.3d">roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT italic_F ( italic_t ) := italic_F ( italic_t + italic_U ) - italic_F ( italic_t ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lem" id="Thmlem1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlem1.1.1.1">Lemma 1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlem1.2.2"> </span>(Fujii <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#bib.bibx3" title="">Fuj74</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#bib.bibx4" title="">Fuj81</a>]</cite>, Tsang <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#bib.bibx10" title="">Tsa84</a>, Theorem 13.2]</cite>)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlem1.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlem1.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmlem1.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlem1.p1.1.1">For <math alttext="0<U\leq 1" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlem1.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmlem1.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mn id="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">0</mn><mo id="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><</mo><mi id="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.4" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.4.cmml">U</mi><mo id="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.5" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.5.cmml">≤</mo><mn id="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.6" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.6.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlem1.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1"><and id="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1a.cmml" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1"></and><apply id="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1b.cmml" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1"><lt id="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.3"></lt><cn id="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.2">0</cn><ci id="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.4.cmml" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.4">𝑈</ci></apply><apply id="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1c.cmml" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1"><leq id="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.5.cmml" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.4.cmml" id="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1d.cmml" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1"></share><cn id="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.6.cmml" type="integer" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.6">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlem1.p1.1.1.m1.1c">0<U\leq 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlem1.p1.1.1.m1.1d">0 < italic_U ≤ 1</annotation></semantics></math>, we have</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E5"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(2.5)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\int_{0}^{T}\big{(}\Delta_{U}S(t)\big{)}^{2}\,dt=\frac{T}{\pi^{2}}\log(2+UL)+O% \left(T\sqrt{\log(2+UL)}\right),\qquad\text{as}\quad T\to\infty." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E5.m1.6"><semantics id="S2.E5.m1.6a"><mrow id="S2.E5.m1.6.6.1"><mrow id="S2.E5.m1.6.6.1.1.2" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∫</mo><mn id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">0</mn><mi id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></msubsup><mrow id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" maxsize="120%" minsize="120%" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Δ</mi><mi id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">U</mi></msub><mo id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">S</mi><mo id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E5.m1.3.3" xref="S2.E5.m1.3.3.cmml">t</mi><mo id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="120%" minsize="120%" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">t</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.3" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mfrac id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml">T</mi><msup id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.2" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.2.cmml">π</mi><mn id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.3" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac><mo id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.2" lspace="0.167em" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E5.m1.4.4" xref="S2.E5.m1.4.4.cmml">log</mi><mo id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1a" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">U</mi><mo id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">L</mi></mrow></mrow><mo id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.3" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.3.cmml">O</mi><mo id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.2" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.1.1" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.1.1.2" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.1.1.1" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.1.1.1.2" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.1.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.1.1.1.1" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msqrt id="S2.E5.m1.2.2" xref="S2.E5.m1.2.2.cmml"><mrow id="S2.E5.m1.2.2.2.2" xref="S2.E5.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E5.m1.1.1.1.1" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S2.E5.m1.2.2.2.2a" xref="S2.E5.m1.2.2.2.3.cmml">⁡</mo><mrow id="S2.E5.m1.2.2.2.2.1" xref="S2.E5.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E5.m1.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.E5.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S2.E5.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S2.E5.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mn id="S2.E5.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S2.E5.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S2.E5.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S2.E5.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.E5.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S2.E5.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E5.m1.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S2.E5.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml">U</mi><mo id="S2.E5.m1.2.2.2.2.1.1.3.1" xref="S2.E5.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E5.m1.2.2.2.2.1.1.3.3" xref="S2.E5.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml">L</mi></mrow></mrow><mo id="S2.E5.m1.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.E5.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></msqrt></mrow><mo id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.1.1.3" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.2" rspace="2.167em" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.cmml">,</mo><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E5.m1.5.5" xref="S2.E5.m1.5.5a.cmml">as</mtext></mrow></mrow><mspace id="S2.E5.m1.6.6.1.1.2.3" width="1em" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.3a.cmml"></mspace><mrow id="S2.E5.m1.6.6.1.1.2.2" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.E5.m1.6.6.1.1.2.2.2" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.2.2.2.cmml">T</mi><mo id="S2.E5.m1.6.6.1.1.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.2.2.1.cmml">→</mo><mi id="S2.E5.m1.6.6.1.1.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.2.2.3.cmml">∞</mi></mrow></mrow><mo id="S2.E5.m1.6.6.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E5.m1.6b"><apply id="S2.E5.m1.6.6.1.1.3.cmml" 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xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">Δ</ci><ci id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑈</ci></apply><ci id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑆</ci><ci id="S2.E5.m1.3.3.cmml" xref="S2.E5.m1.3.3">𝑡</ci></apply><cn id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1">differential-d</csymbol><ci id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑡</ci></apply></apply></apply><list id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1"><apply id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1"><plus id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.3"></plus><apply id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1"><times id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.2"></times><apply id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.3"><divide id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.3"></divide><ci id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2">𝑇</ci><apply id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.2">𝜋</ci><cn id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1"><log id="S2.E5.m1.4.4.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4"></log><apply id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><cn id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2">2</cn><apply id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑈</ci><ci id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝐿</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2"><times id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.2"></times><ci id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.3">𝑂</ci><apply id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.1.1"><times id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.1.1.1.1"></times><ci id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="S2.E5.m1.2.2.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2"><root id="S2.E5.m1.2.2a.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2"></root><apply id="S2.E5.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.2.2"><log id="S2.E5.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1"></log><apply id="S2.E5.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.2.2.1.1"><plus id="S2.E5.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.2.2.1.1.1"></plus><cn id="S2.E5.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.E5.m1.2.2.2.2.1.1.2">2</cn><apply id="S2.E5.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.2.2.1.1.3"><times id="S2.E5.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.2.2.1.1.3.1"></times><ci id="S2.E5.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.2.2.1.1.3.2">𝑈</ci><ci id="S2.E5.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.2.2.1.1.3.3">𝐿</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><ci id="S2.E5.m1.5.5a.cmml" xref="S2.E5.m1.5.5"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E5.m1.5.5.cmml" xref="S2.E5.m1.5.5">as</mtext></ci></list></apply><apply id="S2.E5.m1.6.6.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.2.2"><ci id="S2.E5.m1.6.6.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.2.2.1">→</ci><ci id="S2.E5.m1.6.6.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.2.2.2">𝑇</ci><infinity id="S2.E5.m1.6.6.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.2.2.3"></infinity></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E5.m1.6c">\int_{0}^{T}\big{(}\Delta_{U}S(t)\big{)}^{2}\,dt=\frac{T}{\pi^{2}}\log(2+UL)+O% \left(T\sqrt{\log(2+UL)}\right),\qquad\text{as}\quad T\to\infty.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E5.m1.6d">∫ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT italic_S ( italic_t ) ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_t = divide start_ARG italic_T end_ARG start_ARG italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG roman_log ( 2 + italic_U italic_L ) + italic_O ( italic_T square-root start_ARG roman_log ( 2 + italic_U italic_L ) end_ARG ) , as italic_T → ∞ .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p4"> <p class="ltx_p" id="S2.p4.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p4.1.1">The next two lemmas provide the information needed to prove Theorem </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#Thmtheorem1" title="Theorem 1. ‣ 1. Introduction and Statement of Results ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p4.1.2">.</span></p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lem" id="Thmlem2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlem2.1.1.1">Lemma 2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlem2.2.2"> </span>(Gallagher and Mueller <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#bib.bibx5" title="">GM78</a>, Section 1]</cite>)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlem2.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlem2.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmlem2.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlem2.p1.2.2">For <math alttext="0<U\leq 1" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlem2.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmlem2.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mn id="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">0</mn><mo id="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><</mo><mi id="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.4" xref="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.4.cmml">U</mi><mo id="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.5" xref="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.5.cmml">≤</mo><mn id="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.6" xref="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.6.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlem2.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1"><and id="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1a.cmml" xref="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1"></and><apply id="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1b.cmml" xref="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1"><lt id="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.3"></lt><cn id="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.2">0</cn><ci id="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.4.cmml" xref="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.4">𝑈</ci></apply><apply id="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1c.cmml" xref="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1"><leq id="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.5.cmml" xref="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.4.cmml" id="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1d.cmml" xref="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1"></share><cn id="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.6.cmml" type="integer" xref="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.6">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlem2.p1.1.1.m1.1c">0<U\leq 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlem2.p1.1.1.m1.1d">0 < italic_U ≤ 1</annotation></semantics></math>, we have as <math alttext="T\to\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlem2.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmlem2.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="Thmlem2.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmlem2.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmlem2.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmlem2.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="Thmlem2.p1.2.2.m2.1.1.1" stretchy="false" xref="Thmlem2.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="Thmlem2.p1.2.2.m2.1.1.3" mathvariant="normal" xref="Thmlem2.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlem2.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmlem2.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmlem2.p1.2.2.m2.1.1"><ci id="Thmlem2.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmlem2.p1.2.2.m2.1.1.1">→</ci><ci id="Thmlem2.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmlem2.p1.2.2.m2.1.1.2">𝑇</ci><infinity id="Thmlem2.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmlem2.p1.2.2.m2.1.1.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlem2.p1.2.2.m2.1c">T\to\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlem2.p1.2.2.m2.1d">italic_T → ∞</annotation></semantics></math>,</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E6"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(2.6)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\int_{0}^{T}(\Delta_{U}N(t))^{2}\,dt=T(UL)^{2}+O(TU^{2}L)+\int_{0}^{T}(\Delta_% {U}S(t))^{2}\,dt+O(L^{2})." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E6.m1.3"><semantics id="S2.E6.m1.3a"><mrow id="S2.E6.m1.3.3.1" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.E6.m1.3.3.1.1" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.cmml"><msubsup id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml">∫</mo><mn id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.2.2.3" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.cmml">0</mn><mi id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.2.3" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></msubsup><mrow id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" stretchy="false" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Δ</mi><mi id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">U</mi></msub><mo id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">N</mi><mo id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E6.m1.1.1" xref="S2.E6.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">t</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E6.m1.3.3.1.1.6" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="S2.E6.m1.3.3.1.1.5" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.5.cmml"><mrow id="S2.E6.m1.3.3.1.1.2.1" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.2.1.cmml"><mi id="S2.E6.m1.3.3.1.1.2.1.3" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.2.1.3.cmml">T</mi><mo id="S2.E6.m1.3.3.1.1.2.1.2" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E6.m1.3.3.1.1.2.1.1" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml">U</mi><mo id="S2.E6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml">L</mi></mrow><mo id="S2.E6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S2.E6.m1.3.3.1.1.2.1.1.3" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S2.E6.m1.3.3.1.1.5.5" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.5.5.cmml">+</mo><mrow id="S2.E6.m1.3.3.1.1.3.2" 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xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.5.5"></plus><apply id="S2.E6.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.2.1"><times id="S2.E6.m1.3.3.1.1.2.1.2.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.2.1.2"></times><ci id="S2.E6.m1.3.3.1.1.2.1.3.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.2.1.3">𝑇</ci><apply id="S2.E6.m1.3.3.1.1.2.1.1.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E6.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.E6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1"><times id="S2.E6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S2.E6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.2">𝑈</ci><ci id="S2.E6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3">𝐿</ci></apply><cn id="S2.E6.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.2.1.1.3">2</cn></apply></apply><apply id="S2.E6.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.3.2"><times id="S2.E6.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.3.2.2"></times><ci id="S2.E6.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.3.2.3">𝑂</ci><apply id="S2.E6.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.3.2.1.1"><times id="S2.E6.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1"></times><ci id="S2.E6.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="S2.E6.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E6.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E6.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.3.2">𝑈</ci><cn id="S2.E6.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.3.3">2</cn></apply><ci id="S2.E6.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.4">𝐿</ci></apply></apply><apply id="S2.E6.m1.3.3.1.1.4.3.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.4.3"><apply id="S2.E6.m1.3.3.1.1.4.3.2.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E6.m1.3.3.1.1.4.3.2.1.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.4.3.2">superscript</csymbol><apply id="S2.E6.m1.3.3.1.1.4.3.2.2.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E6.m1.3.3.1.1.4.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.4.3.2">subscript</csymbol><int id="S2.E6.m1.3.3.1.1.4.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.4.3.2.2.2"></int><cn id="S2.E6.m1.3.3.1.1.4.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.4.3.2.2.3">0</cn></apply><ci id="S2.E6.m1.3.3.1.1.4.3.2.3.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.4.3.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="S2.E6.m1.3.3.1.1.4.3.1.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.4.3.1"><times id="S2.E6.m1.3.3.1.1.4.3.1.2.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.4.3.1.2"></times><apply id="S2.E6.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.4.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E6.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.2.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.4.3.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.E6.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1"><times id="S2.E6.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.E6.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E6.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E6.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1.1.2.2">Δ</ci><ci id="S2.E6.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1.1.2.3">𝑈</ci></apply><ci id="S2.E6.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1.1.3">𝑆</ci><ci id="S2.E6.m1.2.2.cmml" xref="S2.E6.m1.2.2">𝑡</ci></apply><cn id="S2.E6.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S2.E6.m1.3.3.1.1.4.3.1.3.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.4.3.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.E6.m1.3.3.1.1.4.3.1.3.1.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.4.3.1.3.1">differential-d</csymbol><ci id="S2.E6.m1.3.3.1.1.4.3.1.3.2.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.4.3.1.3.2">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.E6.m1.3.3.1.1.5.4.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.5.4"><times id="S2.E6.m1.3.3.1.1.5.4.2.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.5.4.2"></times><ci id="S2.E6.m1.3.3.1.1.5.4.3.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.5.4.3">𝑂</ci><apply id="S2.E6.m1.3.3.1.1.5.4.1.1.1.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.5.4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E6.m1.3.3.1.1.5.4.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.5.4.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.E6.m1.3.3.1.1.5.4.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.5.4.1.1.1.2">𝐿</ci><cn id="S2.E6.m1.3.3.1.1.5.4.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.5.4.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E6.m1.3c">\int_{0}^{T}(\Delta_{U}N(t))^{2}\,dt=T(UL)^{2}+O(TU^{2}L)+\int_{0}^{T}(\Delta_% {U}S(t))^{2}\,dt+O(L^{2}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E6.m1.3d">∫ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT italic_N ( italic_t ) ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_t = italic_T ( italic_U italic_L ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_O ( italic_T italic_U start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_L ) + ∫ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT italic_S ( italic_t ) ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_t + italic_O ( italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lem" id="Thmlem3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlem3.1.1.1">Lemma 3</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlem3.2.2"> </span>(Gallagher and Mueller <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#bib.bibx5" title="">GM78</a>, (20) of Section 1]</cite>)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlem3.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlem3.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmlem3.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlem3.p1.2.2">For <math alttext="0<U\leq 1" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlem3.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmlem3.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmlem3.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmlem3.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mn id="Thmlem3.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmlem3.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">0</mn><mo id="Thmlem3.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmlem3.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><</mo><mi id="Thmlem3.p1.1.1.m1.1.1.4" xref="Thmlem3.p1.1.1.m1.1.1.4.cmml">U</mi><mo id="Thmlem3.p1.1.1.m1.1.1.5" xref="Thmlem3.p1.1.1.m1.1.1.5.cmml">≤</mo><mn id="Thmlem3.p1.1.1.m1.1.1.6" xref="Thmlem3.p1.1.1.m1.1.1.6.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlem3.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmlem3.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmlem3.p1.1.1.m1.1.1"><and id="Thmlem3.p1.1.1.m1.1.1a.cmml" xref="Thmlem3.p1.1.1.m1.1.1"></and><apply id="Thmlem3.p1.1.1.m1.1.1b.cmml" xref="Thmlem3.p1.1.1.m1.1.1"><lt id="Thmlem3.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmlem3.p1.1.1.m1.1.1.3"></lt><cn id="Thmlem3.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="Thmlem3.p1.1.1.m1.1.1.2">0</cn><ci id="Thmlem3.p1.1.1.m1.1.1.4.cmml" xref="Thmlem3.p1.1.1.m1.1.1.4">𝑈</ci></apply><apply id="Thmlem3.p1.1.1.m1.1.1c.cmml" xref="Thmlem3.p1.1.1.m1.1.1"><leq id="Thmlem3.p1.1.1.m1.1.1.5.cmml" xref="Thmlem3.p1.1.1.m1.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#Thmlem3.p1.1.1.m1.1.1.4.cmml" id="Thmlem3.p1.1.1.m1.1.1d.cmml" xref="Thmlem3.p1.1.1.m1.1.1"></share><cn id="Thmlem3.p1.1.1.m1.1.1.6.cmml" type="integer" xref="Thmlem3.p1.1.1.m1.1.1.6">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlem3.p1.1.1.m1.1c">0<U\leq 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlem3.p1.1.1.m1.1d">0 < italic_U ≤ 1</annotation></semantics></math>, we have as <math alttext="T\to\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlem3.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmlem3.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="Thmlem3.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmlem3.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmlem3.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmlem3.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="Thmlem3.p1.2.2.m2.1.1.1" stretchy="false" xref="Thmlem3.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="Thmlem3.p1.2.2.m2.1.1.3" mathvariant="normal" xref="Thmlem3.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlem3.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmlem3.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmlem3.p1.2.2.m2.1.1"><ci id="Thmlem3.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmlem3.p1.2.2.m2.1.1.1">→</ci><ci id="Thmlem3.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmlem3.p1.2.2.m2.1.1.2">𝑇</ci><infinity id="Thmlem3.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmlem3.p1.2.2.m2.1.1.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlem3.p1.2.2.m2.1c">T\to\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlem3.p1.2.2.m2.1d">italic_T → ∞</annotation></semantics></math>,</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S2.E7"> <tbody> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S2.E7X"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="2"><span class="ltx_tag ltx_tag_equationgroup ltx_align_left">(2.7)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\int_{0}^{T}(\Delta_{U}N(t))^{2}\,dt" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E7X.2.1.1.m1.2"><semantics id="S2.E7X.2.1.1.m1.2a"><mrow id="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.2" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.2.cmml"><msubsup id="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.2a" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.2.cmml"><mo id="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml">∫</mo><mn id="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.2.2.3" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml">0</mn><mi id="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.2.3" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.2.3.cmml">T</mi></msubsup></mstyle><mrow id="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.cmml"><msup id="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.1" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Δ</mi><mi id="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">U</mi></msub><mo id="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">N</mi><mo id="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E7X.2.1.1.m1.1.1" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.3" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.3.cmml"><mo id="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.3.1" rspace="0em" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.3.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.3.2" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.3.2.cmml">t</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E7X.2.1.1.m1.2b"><apply id="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.cmml" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2"><apply id="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.2">subscript</csymbol><int id="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2"></int><cn id="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.2.2.3">0</cn></apply><ci id="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.cmml" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1"><times id="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.2"></times><apply id="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1"><times id="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2">Δ</ci><ci id="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3">𝑈</ci></apply><ci id="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑁</ci><ci id="S2.E7X.2.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.1.1">𝑡</ci></apply><cn id="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.3.cmml" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.3.1">differential-d</csymbol><ci id="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.2.2.1.3.2">𝑡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E7X.2.1.1.m1.2c">\displaystyle\int_{0}^{T}(\Delta_{U}N(t))^{2}\,dt</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E7X.2.1.1.m1.2d">∫ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT italic_N ( italic_t ) ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_t</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{\begin{subarray}{c}\rho,\rho^{\prime}\\ 0<\gamma,\gamma^{\prime}\leq T\\ |\gamma^{\prime}-\gamma|\leq U\end{subarray}}\left(U-|\gamma^{\prime}-\gamma|% \right)+O(L^{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E7X.3.2.2.m1.2"><semantics id="S2.E7X.3.2.2.m1.2a"><mrow id="S2.E7X.3.2.2.m1.2.2" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.2.2.cmml"><mi id="S2.E7X.3.2.2.m1.2.2.4" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.2.2.4.cmml"></mi><mo id="S2.E7X.3.2.2.m1.2.2.3" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.E7X.3.2.2.m1.2.2.2" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.cmml"><munder id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2a" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mtable id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf" rowspacing="0pt" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1a.2.cmml"><mtr id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mfa" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mfb" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.2.2.2" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.cmml">ρ</mi><mo id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msup id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.2.2.2.1" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.2.2.2.1.2" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.2.2.2.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.2.2.2.1.3" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.2.2.2.1.3.cmml">′</mo></msup></mrow></mtd></mtr><mtr id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mfc" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mfd" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.5.5.3.3.3" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.5.5.3.3.4.cmml"><mrow id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.4.4.2.2.2.1" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.4.4.2.2.2.1.cmml"><mn id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.4.4.2.2.2.1.2" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.4.4.2.2.2.1.2.cmml">0</mn><mo id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.4.4.2.2.2.1.1" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.4.4.2.2.2.1.1.cmml"><</mo><mi id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.3.3.1.1.1" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.3.3.1.1.1.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.5.5.3.3.3.3" 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id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.6.6.1.1" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.6.6.1.1.1.1" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.6.6.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.6.6.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.6.6.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.6.6.1.1.1.1.1" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.6.6.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.6.6.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.6.6.1.1.1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.6.6.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.6.6.1.1.1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.6.6.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.6.6.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.6.6.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.6.6.1.1.2" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.6.6.1.1.2.cmml">≤</mo><mi id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.6.6.1.1.3" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.6.6.1.1.3.cmml">U</mi></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><mrow id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">U</mi><mo id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E7X.3.2.2.m1.2.2.2.3" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.2.2.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S2.E7X.3.2.2.m1.2.2.2.2" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E7X.3.2.2.m1.2.2.2.2.3" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.2.2.2.2.3.cmml">O</mi><mo id="S2.E7X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E7X.3.2.2.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E7X.3.2.2.m1.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.E7X.3.2.2.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E7X.3.2.2.m1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">L</mi><mn id="S2.E7X.3.2.2.m1.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.E7X.3.2.2.m1.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" 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cd="ambiguous" id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.5.5.3.3.4a.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.5.5.3.3.3.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.4.4.2.2.2.1"><lt id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.4.4.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.4.4.2.2.2.1.1"></lt><cn id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.4.4.2.2.2.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.4.4.2.2.2.1.2">0</cn><ci id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.3.3.1.1.1">𝛾</ci></apply><apply id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.5.5.3.3.3.2.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.5.5.3.3.3.2"><leq id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.5.5.3.3.3.2.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.5.5.3.3.3.2.1"></leq><apply id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.5.5.3.3.3.2.2.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.5.5.3.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.5.5.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.5.5.3.3.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.5.5.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.5.5.3.3.3.2.2.2">𝛾</ci><ci id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.5.5.3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.5.5.3.3.3.2.2.3">′</ci></apply><ci id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.5.5.3.3.3.2.3.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.5.5.3.3.3.2.3">𝑇</ci></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mfc.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf"><apply id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.6.6.1.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.6.6.1.1"><leq id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.6.6.1.1.2.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.6.6.1.1.2"></leq><apply id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.6.6.1.1.1.1"><abs id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.6.6.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.6.6.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.6.6.1.1.1.1.1"><minus id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.6.6.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.6.6.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.6.6.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.6.6.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.6.6.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.6.6.1.1.1.1.1.2.2">𝛾</ci><ci id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.6.6.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.6.6.1.1.1.1.1.2.3">′</ci></apply><ci id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.6.6.1.1.1.1.1.3">𝛾</ci></apply></apply><ci id="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.6.6.1.1.3.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.6.6.1.1.3">𝑈</ci></apply></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"></minus><ci id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑈</ci><apply id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><abs id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝛾</ci><ci id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">′</ci></apply><ci id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝛾</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E7X.3.2.2.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.2.2.2.2"><times id="S2.E7X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2"></times><ci id="S2.E7X.3.2.2.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.2.2.2.2.3">𝑂</ci><apply id="S2.E7X.3.2.2.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7X.3.2.2.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.2.2.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.E7X.3.2.2.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.2.2.2.2.1.1.1.2">𝐿</ci><cn id="S2.E7X.3.2.2.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.2.2.2.2.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E7X.3.2.2.m1.2c">\displaystyle=\sum_{\begin{subarray}{c}\rho,\rho^{\prime}\\ 0<\gamma,\gamma^{\prime}\leq T\\ |\gamma^{\prime}-\gamma|\leq U\end{subarray}}\left(U-|\gamma^{\prime}-\gamma|% \right)+O(L^{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E7X.3.2.2.m1.2d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_ρ , italic_ρ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 < italic_γ , italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ≤ italic_T end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL | italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT - italic_γ | ≤ italic_U end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT ( italic_U - | italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT - italic_γ | ) + italic_O ( italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S2.E7Xa"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=UN^{\circledast}(T)+2\int_{0}^{U}N(T,u)\,du+O(L^{2})." class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4"><semantics id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4a"><mrow id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.cmml"><mi id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.3" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.2" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.3.2" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml">U</mi><mo id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.3.1" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.3.3" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.3.3.2" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.cmml">N</mi><mo id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.3.3.3" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.cmml">⊛</mo></msup><mo id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.3.1a" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.3.4.2" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.3.cmml"><mo id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.1.1" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.1.1.cmml">T</mi><mo id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.3.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.4" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.4.cmml"><mn id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.4.2" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.4.2.cmml">2</mn><mo id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.4.1" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.4.3" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.4.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.4.3.1" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.4.3.1.cmml"><msubsup id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.4.3.1a" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.4.3.1.cmml"><mo id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.4.3.1.2.2" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.4.3.1.2.2.cmml">∫</mo><mn id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.4.3.1.2.3" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.4.3.1.2.3.cmml">0</mn><mi id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.4.3.1.3" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.4.3.1.3.cmml">U</mi></msubsup></mstyle><mrow id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.4.3.2" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.4.3.2.cmml"><mi id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.4.3.2.2" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.4.3.2.2.cmml">N</mi><mo id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.4.3.2.1" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.4.3.2.3.2" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.4.3.2.3.1.cmml"><mo id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.4.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.4.3.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.2.2" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.2.2.cmml">T</mi><mo id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.4.3.2.3.2.2" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.4.3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.3.3" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.3.3.cmml">u</mi><mo id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.4.3.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.4.3.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.4.3.2.1a" lspace="0.170em" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.4.3.2.4" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.4.3.2.4.cmml"><mo id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.4.3.2.4.1" rspace="0em" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.4.3.2.4.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.4.3.2.4.2" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.4.3.2.4.2.cmml">u</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.2a" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml">O</mi><mo id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">L</mi><mn id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.2" lspace="0em" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4b"><apply id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1"><eq id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1"><plus id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" 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id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.2"></times><ci id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3">𝑂</ci><apply id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐿</ci><cn id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4c">\displaystyle=UN^{\circledast}(T)+2\int_{0}^{U}N(T,u)\,du+O(L^{2}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E7Xa.2.1.1.m1.4d">= italic_U italic_N start_POSTSUPERSCRIPT ⊛ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T ) + 2 ∫ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_U end_POSTSUPERSCRIPT italic_N ( italic_T , italic_u ) italic_d italic_u + italic_O ( italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> </tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p5"> <p class="ltx_p" id="S2.p5.7"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p5.7.1">Lemma </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#Thmlem2" title="Lemma 2 (Gallagher and Mueller [GM78, Section 1]). ‣ 2. The Second Moment for Zeros in Short Intervals ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p5.7.2"> relates the second moment of </span><math alttext="\Delta_{U}N(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p5.1.m1.1"><semantics id="S2.p5.1.m1.1a"><mrow id="S2.p5.1.m1.1.2" xref="S2.p5.1.m1.1.2.cmml"><msub id="S2.p5.1.m1.1.2.2" xref="S2.p5.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.p5.1.m1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.p5.1.m1.1.2.2.2.cmml">Δ</mi><mi id="S2.p5.1.m1.1.2.2.3" xref="S2.p5.1.m1.1.2.2.3.cmml">U</mi></msub><mo id="S2.p5.1.m1.1.2.1" xref="S2.p5.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p5.1.m1.1.2.3" xref="S2.p5.1.m1.1.2.3.cmml">N</mi><mo id="S2.p5.1.m1.1.2.1a" xref="S2.p5.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p5.1.m1.1.2.4.2" xref="S2.p5.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S2.p5.1.m1.1.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.p5.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.p5.1.m1.1.1" xref="S2.p5.1.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.p5.1.m1.1.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.p5.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p5.1.m1.1b"><apply id="S2.p5.1.m1.1.2.cmml" xref="S2.p5.1.m1.1.2"><times id="S2.p5.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S2.p5.1.m1.1.2.1"></times><apply id="S2.p5.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S2.p5.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.p5.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p5.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.p5.1.m1.1.2.2.2">Δ</ci><ci id="S2.p5.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.p5.1.m1.1.2.2.3">𝑈</ci></apply><ci id="S2.p5.1.m1.1.2.3.cmml" xref="S2.p5.1.m1.1.2.3">𝑁</ci><ci id="S2.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.p5.1.m1.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p5.1.m1.1c">\Delta_{U}N(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p5.1.m1.1d">roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT italic_N ( italic_t )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p5.7.3"> to the second moment of </span><math alttext="\Delta_{U}S(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p5.2.m2.1"><semantics id="S2.p5.2.m2.1a"><mrow id="S2.p5.2.m2.1.2" xref="S2.p5.2.m2.1.2.cmml"><msub id="S2.p5.2.m2.1.2.2" xref="S2.p5.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S2.p5.2.m2.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.p5.2.m2.1.2.2.2.cmml">Δ</mi><mi id="S2.p5.2.m2.1.2.2.3" xref="S2.p5.2.m2.1.2.2.3.cmml">U</mi></msub><mo id="S2.p5.2.m2.1.2.1" xref="S2.p5.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p5.2.m2.1.2.3" xref="S2.p5.2.m2.1.2.3.cmml">S</mi><mo id="S2.p5.2.m2.1.2.1a" xref="S2.p5.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p5.2.m2.1.2.4.2" xref="S2.p5.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S2.p5.2.m2.1.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.p5.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.p5.2.m2.1.1" xref="S2.p5.2.m2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.p5.2.m2.1.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.p5.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p5.2.m2.1b"><apply id="S2.p5.2.m2.1.2.cmml" xref="S2.p5.2.m2.1.2"><times id="S2.p5.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S2.p5.2.m2.1.2.1"></times><apply id="S2.p5.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S2.p5.2.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S2.p5.2.m2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p5.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S2.p5.2.m2.1.2.2.2">Δ</ci><ci id="S2.p5.2.m2.1.2.2.3.cmml" xref="S2.p5.2.m2.1.2.2.3">𝑈</ci></apply><ci id="S2.p5.2.m2.1.2.3.cmml" xref="S2.p5.2.m2.1.2.3">𝑆</ci><ci id="S2.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.p5.2.m2.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p5.2.m2.1c">\Delta_{U}S(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p5.2.m2.1d">roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT italic_S ( italic_t )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p5.7.4">, and Lemma </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#Thmlem1" title="Lemma 1 (Fujii [Fuj74, Fuj81], Tsang [Tsa84, Theorem 13.2]). ‣ 2. The Second Moment for Zeros in Short Intervals ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p5.7.5"> then allows us to evaluate both moments asymptotically when </span><math alttext="UL\to\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p5.3.m3.1"><semantics id="S2.p5.3.m3.1a"><mrow id="S2.p5.3.m3.1.1" xref="S2.p5.3.m3.1.1.cmml"><mrow id="S2.p5.3.m3.1.1.2" xref="S2.p5.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S2.p5.3.m3.1.1.2.2" xref="S2.p5.3.m3.1.1.2.2.cmml">U</mi><mo id="S2.p5.3.m3.1.1.2.1" xref="S2.p5.3.m3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p5.3.m3.1.1.2.3" xref="S2.p5.3.m3.1.1.2.3.cmml">L</mi></mrow><mo id="S2.p5.3.m3.1.1.1" stretchy="false" xref="S2.p5.3.m3.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="S2.p5.3.m3.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.p5.3.m3.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p5.3.m3.1b"><apply id="S2.p5.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.p5.3.m3.1.1"><ci id="S2.p5.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.p5.3.m3.1.1.1">→</ci><apply id="S2.p5.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.p5.3.m3.1.1.2"><times id="S2.p5.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p5.3.m3.1.1.2.1"></times><ci id="S2.p5.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.p5.3.m3.1.1.2.2">𝑈</ci><ci id="S2.p5.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S2.p5.3.m3.1.1.2.3">𝐿</ci></apply><infinity id="S2.p5.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.p5.3.m3.1.1.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p5.3.m3.1c">UL\to\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p5.3.m3.1d">italic_U italic_L → ∞</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p5.7.6">. Lemma </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#Thmlem3" title="Lemma 3 (Gallagher and Mueller [GM78, (20) of Section 1]). ‣ 2. The Second Moment for Zeros in Short Intervals ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p5.7.7"> relates the second moment of </span><math alttext="\Delta_{U}N(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p5.4.m4.1"><semantics id="S2.p5.4.m4.1a"><mrow id="S2.p5.4.m4.1.2" xref="S2.p5.4.m4.1.2.cmml"><msub id="S2.p5.4.m4.1.2.2" xref="S2.p5.4.m4.1.2.2.cmml"><mi id="S2.p5.4.m4.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.p5.4.m4.1.2.2.2.cmml">Δ</mi><mi id="S2.p5.4.m4.1.2.2.3" xref="S2.p5.4.m4.1.2.2.3.cmml">U</mi></msub><mo id="S2.p5.4.m4.1.2.1" xref="S2.p5.4.m4.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p5.4.m4.1.2.3" xref="S2.p5.4.m4.1.2.3.cmml">N</mi><mo id="S2.p5.4.m4.1.2.1a" xref="S2.p5.4.m4.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p5.4.m4.1.2.4.2" xref="S2.p5.4.m4.1.2.cmml"><mo id="S2.p5.4.m4.1.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.p5.4.m4.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.p5.4.m4.1.1" xref="S2.p5.4.m4.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.p5.4.m4.1.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.p5.4.m4.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p5.4.m4.1b"><apply id="S2.p5.4.m4.1.2.cmml" xref="S2.p5.4.m4.1.2"><times id="S2.p5.4.m4.1.2.1.cmml" xref="S2.p5.4.m4.1.2.1"></times><apply id="S2.p5.4.m4.1.2.2.cmml" xref="S2.p5.4.m4.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.4.m4.1.2.2.1.cmml" xref="S2.p5.4.m4.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p5.4.m4.1.2.2.2.cmml" xref="S2.p5.4.m4.1.2.2.2">Δ</ci><ci id="S2.p5.4.m4.1.2.2.3.cmml" xref="S2.p5.4.m4.1.2.2.3">𝑈</ci></apply><ci id="S2.p5.4.m4.1.2.3.cmml" xref="S2.p5.4.m4.1.2.3">𝑁</ci><ci id="S2.p5.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.p5.4.m4.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p5.4.m4.1c">\Delta_{U}N(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p5.4.m4.1d">roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT italic_N ( italic_t )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p5.7.8"> to a smoothed double sum over differences </span><math alttext="|\gamma^{\prime}-\gamma|" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p5.5.m5.1"><semantics id="S2.p5.5.m5.1a"><mrow id="S2.p5.5.m5.1.1.1" xref="S2.p5.5.m5.1.1.2.cmml"><mo id="S2.p5.5.m5.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p5.5.m5.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.p5.5.m5.1.1.1.1" xref="S2.p5.5.m5.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.p5.5.m5.1.1.1.1.2" xref="S2.p5.5.m5.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.p5.5.m5.1.1.1.1.2.2" xref="S2.p5.5.m5.1.1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S2.p5.5.m5.1.1.1.1.2.3" xref="S2.p5.5.m5.1.1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.p5.5.m5.1.1.1.1.1" xref="S2.p5.5.m5.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S2.p5.5.m5.1.1.1.1.3" xref="S2.p5.5.m5.1.1.1.1.3.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S2.p5.5.m5.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.p5.5.m5.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p5.5.m5.1b"><apply id="S2.p5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.p5.5.m5.1.1.1"><abs id="S2.p5.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p5.5.m5.1.1.1.2"></abs><apply id="S2.p5.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p5.5.m5.1.1.1.1"><minus id="S2.p5.5.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p5.5.m5.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S2.p5.5.m5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p5.5.m5.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.5.m5.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p5.5.m5.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.p5.5.m5.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.p5.5.m5.1.1.1.1.2.2">𝛾</ci><ci id="S2.p5.5.m5.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.p5.5.m5.1.1.1.1.2.3">′</ci></apply><ci id="S2.p5.5.m5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p5.5.m5.1.1.1.1.3">𝛾</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p5.5.m5.1c">|\gamma^{\prime}-\gamma|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p5.5.m5.1d">| italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT - italic_γ |</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p5.7.9"> where the non-diagonal terms can be evaluated asymptotically by </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#ThmPCCx1" title="Pair Correlation Conjecture (PCC). ‣ 1. Introduction and Statement of Results ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros">PCC</a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p5.7.10">. Taken together, these results provide an asymptotic formula for the diagonal terms </span><math alttext="N^{\circledast}(T)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p5.6.m6.1"><semantics id="S2.p5.6.m6.1a"><mrow id="S2.p5.6.m6.1.2" xref="S2.p5.6.m6.1.2.cmml"><msup id="S2.p5.6.m6.1.2.2" xref="S2.p5.6.m6.1.2.2.cmml"><mi id="S2.p5.6.m6.1.2.2.2" xref="S2.p5.6.m6.1.2.2.2.cmml">N</mi><mo id="S2.p5.6.m6.1.2.2.3" xref="S2.p5.6.m6.1.2.2.3.cmml">⊛</mo></msup><mo id="S2.p5.6.m6.1.2.1" xref="S2.p5.6.m6.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p5.6.m6.1.2.3.2" xref="S2.p5.6.m6.1.2.cmml"><mo id="S2.p5.6.m6.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.p5.6.m6.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.p5.6.m6.1.1" xref="S2.p5.6.m6.1.1.cmml">T</mi><mo id="S2.p5.6.m6.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.p5.6.m6.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p5.6.m6.1b"><apply id="S2.p5.6.m6.1.2.cmml" xref="S2.p5.6.m6.1.2"><times id="S2.p5.6.m6.1.2.1.cmml" xref="S2.p5.6.m6.1.2.1"></times><apply id="S2.p5.6.m6.1.2.2.cmml" xref="S2.p5.6.m6.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.6.m6.1.2.2.1.cmml" xref="S2.p5.6.m6.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.p5.6.m6.1.2.2.2.cmml" xref="S2.p5.6.m6.1.2.2.2">𝑁</ci><ci id="S2.p5.6.m6.1.2.2.3.cmml" xref="S2.p5.6.m6.1.2.2.3">⊛</ci></apply><ci id="S2.p5.6.m6.1.1.cmml" xref="S2.p5.6.m6.1.1">𝑇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p5.6.m6.1c">N^{\circledast}(T)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p5.6.m6.1d">italic_N start_POSTSUPERSCRIPT ⊛ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p5.7.11"> as </span><math alttext="UL\to\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p5.7.m7.1"><semantics id="S2.p5.7.m7.1a"><mrow id="S2.p5.7.m7.1.1" xref="S2.p5.7.m7.1.1.cmml"><mrow id="S2.p5.7.m7.1.1.2" xref="S2.p5.7.m7.1.1.2.cmml"><mi id="S2.p5.7.m7.1.1.2.2" xref="S2.p5.7.m7.1.1.2.2.cmml">U</mi><mo id="S2.p5.7.m7.1.1.2.1" xref="S2.p5.7.m7.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p5.7.m7.1.1.2.3" xref="S2.p5.7.m7.1.1.2.3.cmml">L</mi></mrow><mo id="S2.p5.7.m7.1.1.1" stretchy="false" xref="S2.p5.7.m7.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="S2.p5.7.m7.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.p5.7.m7.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p5.7.m7.1b"><apply id="S2.p5.7.m7.1.1.cmml" xref="S2.p5.7.m7.1.1"><ci id="S2.p5.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S2.p5.7.m7.1.1.1">→</ci><apply id="S2.p5.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S2.p5.7.m7.1.1.2"><times id="S2.p5.7.m7.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p5.7.m7.1.1.2.1"></times><ci id="S2.p5.7.m7.1.1.2.2.cmml" xref="S2.p5.7.m7.1.1.2.2">𝑈</ci><ci id="S2.p5.7.m7.1.1.2.3.cmml" xref="S2.p5.7.m7.1.1.2.3">𝐿</ci></apply><infinity id="S2.p5.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S2.p5.7.m7.1.1.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p5.7.m7.1c">UL\to\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p5.7.m7.1d">italic_U italic_L → ∞</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p5.7.12"> which proves </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#ThmESHx1" title="Essential Simplicity Hypothesis (ESH). ‣ 1. Introduction and Statement of Results ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros">ESH</a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p5.7.13">. We prove these three lemmas in Section </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S4" title="4. Proof of the lemmas ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p5.7.14">.</span></p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_remark" id="Thmremark2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmremark2.1.1.1">Remark 2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmremark2.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmremark2.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmremark2.p1.4">Gallagher and Mueller <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#bib.bibx5" title="">GM78</a>]</cite> write they are following Montgomery’s unpublished paper “Gaps between primes” here, and show how to use these lemmas to prove unconditionally that <math alttext="N^{*}(T)\ll TL" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmremark2.p1.1.m1.1"><semantics id="Thmremark2.p1.1.m1.1a"><mrow id="Thmremark2.p1.1.m1.1.2" xref="Thmremark2.p1.1.m1.1.2.cmml"><mrow id="Thmremark2.p1.1.m1.1.2.2" xref="Thmremark2.p1.1.m1.1.2.2.cmml"><msup id="Thmremark2.p1.1.m1.1.2.2.2" xref="Thmremark2.p1.1.m1.1.2.2.2.cmml"><mi id="Thmremark2.p1.1.m1.1.2.2.2.2" xref="Thmremark2.p1.1.m1.1.2.2.2.2.cmml">N</mi><mo id="Thmremark2.p1.1.m1.1.2.2.2.3" xref="Thmremark2.p1.1.m1.1.2.2.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="Thmremark2.p1.1.m1.1.2.2.1" xref="Thmremark2.p1.1.m1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmremark2.p1.1.m1.1.2.2.3.2" xref="Thmremark2.p1.1.m1.1.2.2.cmml"><mo id="Thmremark2.p1.1.m1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmremark2.p1.1.m1.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="Thmremark2.p1.1.m1.1.1" xref="Thmremark2.p1.1.m1.1.1.cmml">T</mi><mo id="Thmremark2.p1.1.m1.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmremark2.p1.1.m1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmremark2.p1.1.m1.1.2.1" xref="Thmremark2.p1.1.m1.1.2.1.cmml">≪</mo><mrow id="Thmremark2.p1.1.m1.1.2.3" xref="Thmremark2.p1.1.m1.1.2.3.cmml"><mi id="Thmremark2.p1.1.m1.1.2.3.2" xref="Thmremark2.p1.1.m1.1.2.3.2.cmml">T</mi><mo id="Thmremark2.p1.1.m1.1.2.3.1" xref="Thmremark2.p1.1.m1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmremark2.p1.1.m1.1.2.3.3" xref="Thmremark2.p1.1.m1.1.2.3.3.cmml">L</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmremark2.p1.1.m1.1b"><apply id="Thmremark2.p1.1.m1.1.2.cmml" xref="Thmremark2.p1.1.m1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="Thmremark2.p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="Thmremark2.p1.1.m1.1.2.1">much-less-than</csymbol><apply id="Thmremark2.p1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="Thmremark2.p1.1.m1.1.2.2"><times id="Thmremark2.p1.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmremark2.p1.1.m1.1.2.2.1"></times><apply id="Thmremark2.p1.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmremark2.p1.1.m1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmremark2.p1.1.m1.1.2.2.2.1.cmml" xref="Thmremark2.p1.1.m1.1.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="Thmremark2.p1.1.m1.1.2.2.2.2.cmml" xref="Thmremark2.p1.1.m1.1.2.2.2.2">𝑁</ci><times id="Thmremark2.p1.1.m1.1.2.2.2.3.cmml" xref="Thmremark2.p1.1.m1.1.2.2.2.3"></times></apply><ci id="Thmremark2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmremark2.p1.1.m1.1.1">𝑇</ci></apply><apply id="Thmremark2.p1.1.m1.1.2.3.cmml" xref="Thmremark2.p1.1.m1.1.2.3"><times id="Thmremark2.p1.1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="Thmremark2.p1.1.m1.1.2.3.1"></times><ci id="Thmremark2.p1.1.m1.1.2.3.2.cmml" xref="Thmremark2.p1.1.m1.1.2.3.2">𝑇</ci><ci id="Thmremark2.p1.1.m1.1.2.3.3.cmml" xref="Thmremark2.p1.1.m1.1.2.3.3">𝐿</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmremark2.p1.1.m1.1c">N^{*}(T)\ll TL</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmremark2.p1.1.m1.1d">italic_N start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T ) ≪ italic_T italic_L</annotation></semantics></math> and <math alttext="N(T,U)\ll TUL^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmremark2.p1.2.m2.2"><semantics id="Thmremark2.p1.2.m2.2a"><mrow id="Thmremark2.p1.2.m2.2.3" xref="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.cmml"><mrow id="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.2" xref="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.2.cmml"><mi id="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.2.2" xref="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.2.2.cmml">N</mi><mo id="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.2.1" xref="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.2.3.2" xref="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.2.3.1.cmml"><mo id="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="Thmremark2.p1.2.m2.1.1" xref="Thmremark2.p1.2.m2.1.1.cmml">T</mi><mo id="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.2.3.2.2" xref="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmremark2.p1.2.m2.2.2" xref="Thmremark2.p1.2.m2.2.2.cmml">U</mi><mo id="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.2.3.2.3" stretchy="false" xref="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.1" xref="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.1.cmml">≪</mo><mrow id="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.3" xref="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.3.cmml"><mi id="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.3.2" xref="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.3.2.cmml">T</mi><mo id="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.3.1" xref="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.3.3" xref="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.3.3.cmml">U</mi><mo id="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.3.1a" xref="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.3.4" xref="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.3.4.cmml"><mi id="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.3.4.2" xref="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.3.4.2.cmml">L</mi><mn id="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.3.4.3" xref="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.3.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmremark2.p1.2.m2.2b"><apply id="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.cmml" xref="Thmremark2.p1.2.m2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.1.cmml" xref="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.1">much-less-than</csymbol><apply id="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.2.cmml" xref="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.2"><times id="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.2.1.cmml" xref="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.2.1"></times><ci id="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.2.2.cmml" xref="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.2.2">𝑁</ci><interval closure="open" id="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.2.3.1.cmml" xref="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.2.3.2"><ci id="Thmremark2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmremark2.p1.2.m2.1.1">𝑇</ci><ci id="Thmremark2.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="Thmremark2.p1.2.m2.2.2">𝑈</ci></interval></apply><apply id="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.3.cmml" xref="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.3"><times id="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.3.1.cmml" xref="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.3.1"></times><ci id="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.3.2.cmml" xref="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.3.2">𝑇</ci><ci id="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.3.3.cmml" xref="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.3.3">𝑈</ci><apply id="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.3.4.cmml" xref="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.3.4.1.cmml" xref="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.3.4">superscript</csymbol><ci id="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.3.4.2.cmml" xref="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.3.4.2">𝐿</ci><cn id="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.3.4.3.cmml" type="integer" xref="Thmremark2.p1.2.m2.2.3.3.4.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmremark2.p1.2.m2.2c">N(T,U)\ll TUL^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmremark2.p1.2.m2.2d">italic_N ( italic_T , italic_U ) ≪ italic_T italic_U italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> for <math alttext="L^{-1}\ll U\ll 1" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmremark2.p1.3.m3.1"><semantics id="Thmremark2.p1.3.m3.1a"><mrow id="Thmremark2.p1.3.m3.1.1" xref="Thmremark2.p1.3.m3.1.1.cmml"><msup id="Thmremark2.p1.3.m3.1.1.2" xref="Thmremark2.p1.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="Thmremark2.p1.3.m3.1.1.2.2" xref="Thmremark2.p1.3.m3.1.1.2.2.cmml">L</mi><mrow id="Thmremark2.p1.3.m3.1.1.2.3" xref="Thmremark2.p1.3.m3.1.1.2.3.cmml"><mo id="Thmremark2.p1.3.m3.1.1.2.3a" xref="Thmremark2.p1.3.m3.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="Thmremark2.p1.3.m3.1.1.2.3.2" xref="Thmremark2.p1.3.m3.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="Thmremark2.p1.3.m3.1.1.3" xref="Thmremark2.p1.3.m3.1.1.3.cmml">≪</mo><mi id="Thmremark2.p1.3.m3.1.1.4" xref="Thmremark2.p1.3.m3.1.1.4.cmml">U</mi><mo id="Thmremark2.p1.3.m3.1.1.5" xref="Thmremark2.p1.3.m3.1.1.5.cmml">≪</mo><mn id="Thmremark2.p1.3.m3.1.1.6" xref="Thmremark2.p1.3.m3.1.1.6.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmremark2.p1.3.m3.1b"><apply id="Thmremark2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmremark2.p1.3.m3.1.1"><and id="Thmremark2.p1.3.m3.1.1a.cmml" xref="Thmremark2.p1.3.m3.1.1"></and><apply id="Thmremark2.p1.3.m3.1.1b.cmml" xref="Thmremark2.p1.3.m3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="Thmremark2.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmremark2.p1.3.m3.1.1.3">much-less-than</csymbol><apply id="Thmremark2.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmremark2.p1.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmremark2.p1.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="Thmremark2.p1.3.m3.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="Thmremark2.p1.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="Thmremark2.p1.3.m3.1.1.2.2">𝐿</ci><apply id="Thmremark2.p1.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="Thmremark2.p1.3.m3.1.1.2.3"><minus id="Thmremark2.p1.3.m3.1.1.2.3.1.cmml" xref="Thmremark2.p1.3.m3.1.1.2.3"></minus><cn id="Thmremark2.p1.3.m3.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="Thmremark2.p1.3.m3.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="Thmremark2.p1.3.m3.1.1.4.cmml" xref="Thmremark2.p1.3.m3.1.1.4">𝑈</ci></apply><apply id="Thmremark2.p1.3.m3.1.1c.cmml" xref="Thmremark2.p1.3.m3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="Thmremark2.p1.3.m3.1.1.5.cmml" xref="Thmremark2.p1.3.m3.1.1.5">much-less-than</csymbol><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#Thmremark2.p1.3.m3.1.1.4.cmml" id="Thmremark2.p1.3.m3.1.1d.cmml" xref="Thmremark2.p1.3.m3.1.1"></share><cn id="Thmremark2.p1.3.m3.1.1.6.cmml" type="integer" xref="Thmremark2.p1.3.m3.1.1.6">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmremark2.p1.3.m3.1c">L^{-1}\ll U\ll 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmremark2.p1.3.m3.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ≪ italic_U ≪ 1</annotation></semantics></math>. This last result also holds for <math alttext="1\leq U\leq T" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmremark2.p1.4.m4.1"><semantics id="Thmremark2.p1.4.m4.1a"><mrow id="Thmremark2.p1.4.m4.1.1" xref="Thmremark2.p1.4.m4.1.1.cmml"><mn id="Thmremark2.p1.4.m4.1.1.2" xref="Thmremark2.p1.4.m4.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="Thmremark2.p1.4.m4.1.1.3" xref="Thmremark2.p1.4.m4.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="Thmremark2.p1.4.m4.1.1.4" xref="Thmremark2.p1.4.m4.1.1.4.cmml">U</mi><mo id="Thmremark2.p1.4.m4.1.1.5" xref="Thmremark2.p1.4.m4.1.1.5.cmml">≤</mo><mi id="Thmremark2.p1.4.m4.1.1.6" xref="Thmremark2.p1.4.m4.1.1.6.cmml">T</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmremark2.p1.4.m4.1b"><apply id="Thmremark2.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmremark2.p1.4.m4.1.1"><and id="Thmremark2.p1.4.m4.1.1a.cmml" xref="Thmremark2.p1.4.m4.1.1"></and><apply id="Thmremark2.p1.4.m4.1.1b.cmml" xref="Thmremark2.p1.4.m4.1.1"><leq id="Thmremark2.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="Thmremark2.p1.4.m4.1.1.3"></leq><cn id="Thmremark2.p1.4.m4.1.1.2.cmml" type="integer" xref="Thmremark2.p1.4.m4.1.1.2">1</cn><ci id="Thmremark2.p1.4.m4.1.1.4.cmml" xref="Thmremark2.p1.4.m4.1.1.4">𝑈</ci></apply><apply id="Thmremark2.p1.4.m4.1.1c.cmml" xref="Thmremark2.p1.4.m4.1.1"><leq id="Thmremark2.p1.4.m4.1.1.5.cmml" xref="Thmremark2.p1.4.m4.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#Thmremark2.p1.4.m4.1.1.4.cmml" id="Thmremark2.p1.4.m4.1.1d.cmml" xref="Thmremark2.p1.4.m4.1.1"></share><ci id="Thmremark2.p1.4.m4.1.1.6.cmml" xref="Thmremark2.p1.4.m4.1.1.6">𝑇</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmremark2.p1.4.m4.1c">1\leq U\leq T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmremark2.p1.4.m4.1d">1 ≤ italic_U ≤ italic_T</annotation></semantics></math> using (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S4.E1" title="Equation 4.1 ‣ 4. Proof of the lemmas ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.1</span></a>).</p> </div> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S3"> <h2 class="ltx_title ltx_font_bold ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">3. </span>Proof of Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#Thmtheorem1" title="Theorem 1. ‣ 1. Introduction and Statement of Results ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> </h2> <div class="ltx_para" id="S3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.p1.2.1">To show </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#ThmESHx1" title="Essential Simplicity Hypothesis (ESH). ‣ 1. Introduction and Statement of Results ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros">ESH</a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.p1.2.2">, it suffices to show that </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#ThmPCCx1" title="Pair Correlation Conjecture (PCC). ‣ 1. Introduction and Statement of Results ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros">PCC</a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.p1.2.3"> implies</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(3.1)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\sum_{\begin{subarray}{c}\rho,\rho^{\prime}\\ 0<\gamma,\gamma^{\prime}\leq T\\ |\gamma^{\prime}-\gamma|\leq U_{0}\end{subarray}}1=N^{\circledast}(T)+2N(T,U_{% 0})=TL+o(TL),\quad\text{if}\quad U_{0}L\to 0~{}\text{ as }~{}T\to\infty." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E1.m1.5"><semantics id="S3.E1.m1.5a"><mrow id="S3.E1.m1.5.5.1"><mrow id="S3.E1.m1.5.5.1.1.2" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.4" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.4.cmml"><munder id="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.4.1" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.4.1.2" movablelimits="false" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.4.1.2.cmml">∑</mo><mtable id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S3.E1.m1.1.1.1.2.cmml"><mtr id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.E1.m1.1.1.1.2.cmml"><mtd id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1b" xref="S3.E1.m1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">ρ</mi><mo id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msup id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3.cmml">′</mo></msup></mrow></mtd></mtr><mtr id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1c" xref="S3.E1.m1.1.1.1.2.cmml"><mtd id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1d" xref="S3.E1.m1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.4.cmml"><mrow id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.cmml"><mn id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2.cmml">0</mn><mo id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.cmml"><</mo><mi id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.3" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.4a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.cmml"><msup id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.cmml"><mi id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.2" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.3" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.1" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.1.cmml">≤</mo><mi id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.cmml">T</mi></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1e" xref="S3.E1.m1.1.1.1.2.cmml"><mtd id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1f" xref="S3.E1.m1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.2" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.2.cmml">≤</mo><msub id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.3" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.3.2" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.3.2.cmml">U</mi><mn id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.3.3" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow></mtd></mtr></mtable></munder><mn id="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.4.2" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.4.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.5" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">N</mi><mo id="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">⊛</mo></msup><mo id="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.E1.m1.2.2" xref="S3.E1.m1.2.2.cmml">T</mi><mo id="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.cmml">N</mi><mo id="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E1.m1.3.3" xref="S3.E1.m1.3.3.cmml">T</mi><mo id="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><msub id="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">U</mi><mn id="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.6" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.2.cmml">T</mi><mo id="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.1" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.3.cmml">L</mi></mrow><mo id="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml">+</mo><mrow id="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml"><mi id="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.3" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.3.cmml">o</mi><mo id="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.2" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml">L</mi></mrow><mo id="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.1" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.2.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_bold" id="S3.E1.m1.4.4" xref="S3.E1.m1.4.4a.cmml">if</mtext><mspace id="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2" width="1em" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.2.cmml"></mspace><mrow id="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.2.2" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml">U</mi><mn id="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.2.3" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml">L</mi></mrow></mrow><mo id="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml">→</mo><mrow id="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.4" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.4.cmml"><mn id="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.4.2" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.4.2.cmml">0</mn><mo id="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.4.1" lspace="0.330em" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.4.1.cmml">⁢</mo><mtext class="ltx_mathvariant_bold" id="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.4.3" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.4.3a.cmml"> as </mtext><mo id="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.4.1a" lspace="0.330em" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.4.4" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.4.4.cmml">T</mi></mrow><mo id="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.5.cmml">→</mo><mi id="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.6" mathvariant="normal" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.6.cmml">∞</mi></mrow></mrow><mo id="S3.E1.m1.5.5.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E1.m1.5b"><apply id="S3.E1.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E1.m1.5.5.1.1.3a.cmml" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1"><and id="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1a.cmml" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1"></and><apply id="S3.E1.m1.5.5.1.1.1.1b.cmml" 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id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2"><leq id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.1"></leq><apply id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.2">𝛾</ci><ci id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.3">′</ci></apply><ci id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3">𝑇</ci></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1c.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1"><leq id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.2"></leq><apply 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id="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.1"><ci id="S3.E1.m1.4.4a.cmml" xref="S3.E1.m1.4.4"><mtext class="ltx_mathvariant_bold" id="S3.E1.m1.4.4.cmml" xref="S3.E1.m1.4.4">if</mtext></ci><apply id="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1"><times id="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1"></times><apply id="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.2.2">𝑈</ci><cn id="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.2.3">0</cn></apply><ci id="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.3">𝐿</ci></apply></list><apply id="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.4.cmml" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.4"><times id="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.4.1"></times><cn id="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.4.2.cmml" type="integer" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.4.2">0</cn><ci id="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.4.3a.cmml" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.4.3"><mtext class="ltx_mathvariant_bold" id="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.4.3.cmml" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.4.3"> as </mtext></ci><ci id="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.4.4.cmml" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.4.4">𝑇</ci></apply></apply><apply id="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2c.cmml" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2"><ci id="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.5.cmml" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.5">→</ci><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.4.cmml" id="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2d.cmml" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2"></share><infinity id="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.6.cmml" xref="S3.E1.m1.5.5.1.1.2.2.6"></infinity></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E1.m1.5c">\sum_{\begin{subarray}{c}\rho,\rho^{\prime}\\ 0<\gamma,\gamma^{\prime}\leq T\\ |\gamma^{\prime}-\gamma|\leq U_{0}\end{subarray}}1=N^{\circledast}(T)+2N(T,U_{% 0})=TL+o(TL),\quad\text{if}\quad U_{0}L\to 0~{}\text{ as }~{}T\to\infty.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E1.m1.5d">∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_ρ , italic_ρ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 < italic_γ , italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ≤ italic_T end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL | italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT - italic_γ | ≤ italic_U start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT 1 = italic_N start_POSTSUPERSCRIPT ⊛ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T ) + 2 italic_N ( italic_T , italic_U start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) = italic_T italic_L + italic_o ( italic_T italic_L ) , if italic_U start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT italic_L → 0 as italic_T → ∞ .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.p1.1.1">We have already seen by (</span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S1.E8" title="Equation 1.8 ‣ 1. Introduction and Statement of Results ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.8</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.p1.1.2">) that </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#ThmPCCx1" title="Pair Correlation Conjecture (PCC). ‣ 1. Introduction and Statement of Results ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros">PCC</a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.p1.1.3"> implies </span><math alttext="N(T,U_{0})=o(TL)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.1.m1.3"><semantics id="S3.p1.1.m1.3a"><mrow id="S3.p1.1.m1.3.3" xref="S3.p1.1.m1.3.3.cmml"><mrow id="S3.p1.1.m1.2.2.1" xref="S3.p1.1.m1.2.2.1.cmml"><mi id="S3.p1.1.m1.2.2.1.3" xref="S3.p1.1.m1.2.2.1.3.cmml">N</mi><mo id="S3.p1.1.m1.2.2.1.2" xref="S3.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p1.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.p1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.p1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p1.1.m1.1.1" xref="S3.p1.1.m1.1.1.cmml">T</mi><mo id="S3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.p1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">,</mo><msub id="S3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">U</mi><mn id="S3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.p1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.p1.1.m1.3.3.3" xref="S3.p1.1.m1.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.p1.1.m1.3.3.2" xref="S3.p1.1.m1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.p1.1.m1.3.3.2.3" xref="S3.p1.1.m1.3.3.2.3.cmml">o</mi><mo id="S3.p1.1.m1.3.3.2.2" xref="S3.p1.1.m1.3.3.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p1.1.m1.3.3.2.1.1" xref="S3.p1.1.m1.3.3.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.p1.1.m1.3.3.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.p1.1.m1.3.3.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.p1.1.m1.3.3.2.1.1.1" xref="S3.p1.1.m1.3.3.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p1.1.m1.3.3.2.1.1.1.2" xref="S3.p1.1.m1.3.3.2.1.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S3.p1.1.m1.3.3.2.1.1.1.1" xref="S3.p1.1.m1.3.3.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p1.1.m1.3.3.2.1.1.1.3" xref="S3.p1.1.m1.3.3.2.1.1.1.3.cmml">L</mi></mrow><mo id="S3.p1.1.m1.3.3.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.p1.1.m1.3.3.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.1.m1.3b"><apply id="S3.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.p1.1.m1.3.3"><eq id="S3.p1.1.m1.3.3.3.cmml" xref="S3.p1.1.m1.3.3.3"></eq><apply id="S3.p1.1.m1.2.2.1.cmml" xref="S3.p1.1.m1.2.2.1"><times id="S3.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.p1.1.m1.2.2.1.2"></times><ci id="S3.p1.1.m1.2.2.1.3.cmml" xref="S3.p1.1.m1.2.2.1.3">𝑁</ci><interval closure="open" id="S3.p1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.1.m1.2.2.1.1.1"><ci id="S3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.p1.1.m1.1.1">𝑇</ci><apply id="S3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝑈</ci><cn id="S3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3">0</cn></apply></interval></apply><apply id="S3.p1.1.m1.3.3.2.cmml" xref="S3.p1.1.m1.3.3.2"><times id="S3.p1.1.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.p1.1.m1.3.3.2.2"></times><ci id="S3.p1.1.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.p1.1.m1.3.3.2.3">𝑜</ci><apply id="S3.p1.1.m1.3.3.2.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.1.m1.3.3.2.1.1"><times id="S3.p1.1.m1.3.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.1.m1.3.3.2.1.1.1.1"></times><ci id="S3.p1.1.m1.3.3.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.1.m1.3.3.2.1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S3.p1.1.m1.3.3.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p1.1.m1.3.3.2.1.1.1.3">𝐿</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.1.m1.3c">N(T,U_{0})=o(TL)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.1.m1.3d">italic_N ( italic_T , italic_U start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) = italic_o ( italic_T italic_L )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.p1.1.4"> which is </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S1.I1.i2" title="Item ES2 ‣ Essential Simplicity Hypothesis (ESH). ‣ 1. Introduction and Statement of Results ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros"><span class="ltx_text ltx_ref_tag"><span class="ltx_text ltx_font_bold">ES2</span></span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.p1.1.5">, so it only remains to prove </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S1.I1.i1" title="Item ES1 ‣ Essential Simplicity Hypothesis (ESH). ‣ 1. Introduction and Statement of Results ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros"><span class="ltx_text ltx_ref_tag"><span class="ltx_text ltx_font_bold">ES1</span></span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.p1.1.6">, i.e., that </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#ThmPCCx1" title="Pair Correlation Conjecture (PCC). ‣ 1. Introduction and Statement of Results ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros">PCC</a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.p1.1.7"> implies</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E2"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(3.2)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="N^{\circledast}(T)=TL+o(TL)." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E2.m1.2"><semantics id="S3.E2.m1.2a"><mrow id="S3.E2.m1.2.2.1" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E2.m1.2.2.1.1" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.cmml"><msup id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml">N</mi><mo id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.2.3" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml">⊛</mo></msup><mo id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.1" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.E2.m1.1.1" xref="S3.E2.m1.1.1.cmml">T</mi><mo id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E2.m1.2.2.1.1.2" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">T</mi><mo id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.3.1" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">L</mi></mrow><mo id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">o</mi><mo id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">L</mi></mrow><mo id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E2.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E2.m1.2b"><apply id="S3.E2.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1"><eq id="S3.E2.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.2"></eq><apply id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3"><times id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.1"></times><apply id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.2.2">𝑁</ci><ci id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.2.3">⊛</ci></apply><ci id="S3.E2.m1.1.1.cmml" xref="S3.E2.m1.1.1">𝑇</ci></apply><apply id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1"><plus id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.2"></plus><apply id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.3"><times id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.3.2">𝑇</ci><ci id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.3.3">𝐿</ci></apply><apply id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1"><times id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.3">𝑜</ci><apply id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">𝐿</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E2.m1.2c">N^{\circledast}(T)=TL+o(TL).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E2.m1.2d">italic_N start_POSTSUPERSCRIPT ⊛ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T ) = italic_T italic_L + italic_o ( italic_T italic_L ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S3.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.p2.6"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.p2.6.1">Let </span><math alttext="U_{0}L=\lambda_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.1.m1.1"><semantics id="S3.p2.1.m1.1a"><mrow id="S3.p2.1.m1.1.1" xref="S3.p2.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="S3.p2.1.m1.1.1.2" xref="S3.p2.1.m1.1.1.2.cmml"><msub id="S3.p2.1.m1.1.1.2.2" xref="S3.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.p2.1.m1.1.1.2.2.2" xref="S3.p2.1.m1.1.1.2.2.2.cmml">U</mi><mn id="S3.p2.1.m1.1.1.2.2.3" xref="S3.p2.1.m1.1.1.2.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.p2.1.m1.1.1.2.1" xref="S3.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p2.1.m1.1.1.2.3" xref="S3.p2.1.m1.1.1.2.3.cmml">L</mi></mrow><mo id="S3.p2.1.m1.1.1.1" xref="S3.p2.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><msub id="S3.p2.1.m1.1.1.3" xref="S3.p2.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p2.1.m1.1.1.3.2" xref="S3.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mn id="S3.p2.1.m1.1.1.3.3" xref="S3.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.1.m1.1b"><apply id="S3.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.p2.1.m1.1.1"><eq id="S3.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="S3.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.1.m1.1.1.2"><times id="S3.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p2.1.m1.1.1.2.1"></times><apply id="S3.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p2.1.m1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.p2.1.m1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.1.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.p2.1.m1.1.1.2.2.2">𝑈</ci><cn id="S3.p2.1.m1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.p2.1.m1.1.1.2.2.3">0</cn></apply><ci id="S3.p2.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.p2.1.m1.1.1.2.3">𝐿</ci></apply><apply id="S3.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p2.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p2.1.m1.1.1.3.2">𝜆</ci><cn id="S3.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p2.1.m1.1.1.3.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.1.m1.1c">U_{0}L=\lambda_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.1.m1.1d">italic_U start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT italic_L = italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.p2.6.2"> and </span><math alttext="UL=\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.2.m2.1"><semantics id="S3.p2.2.m2.1a"><mrow id="S3.p2.2.m2.1.1" xref="S3.p2.2.m2.1.1.cmml"><mrow id="S3.p2.2.m2.1.1.2" xref="S3.p2.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.p2.2.m2.1.1.2.2" xref="S3.p2.2.m2.1.1.2.2.cmml">U</mi><mo id="S3.p2.2.m2.1.1.2.1" xref="S3.p2.2.m2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p2.2.m2.1.1.2.3" xref="S3.p2.2.m2.1.1.2.3.cmml">L</mi></mrow><mo id="S3.p2.2.m2.1.1.1" xref="S3.p2.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S3.p2.2.m2.1.1.3" xref="S3.p2.2.m2.1.1.3.cmml">λ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.2.m2.1b"><apply id="S3.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.p2.2.m2.1.1"><eq id="S3.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.2.m2.1.1.1"></eq><apply id="S3.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.2.m2.1.1.2"><times id="S3.p2.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p2.2.m2.1.1.2.1"></times><ci id="S3.p2.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p2.2.m2.1.1.2.2">𝑈</ci><ci id="S3.p2.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.p2.2.m2.1.1.2.3">𝐿</ci></apply><ci id="S3.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.2.m2.1.1.3">𝜆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.2.m2.1c">UL=\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.2.m2.1d">italic_U italic_L = italic_λ</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.p2.6.3">, where </span><math alttext="0<\lambda_{0}<\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.3.m3.1"><semantics id="S3.p2.3.m3.1a"><mrow id="S3.p2.3.m3.1.1" xref="S3.p2.3.m3.1.1.cmml"><mn id="S3.p2.3.m3.1.1.2" xref="S3.p2.3.m3.1.1.2.cmml">0</mn><mo id="S3.p2.3.m3.1.1.3" xref="S3.p2.3.m3.1.1.3.cmml"><</mo><msub id="S3.p2.3.m3.1.1.4" xref="S3.p2.3.m3.1.1.4.cmml"><mi id="S3.p2.3.m3.1.1.4.2" xref="S3.p2.3.m3.1.1.4.2.cmml">λ</mi><mn id="S3.p2.3.m3.1.1.4.3" xref="S3.p2.3.m3.1.1.4.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.p2.3.m3.1.1.5" xref="S3.p2.3.m3.1.1.5.cmml"><</mo><mi id="S3.p2.3.m3.1.1.6" xref="S3.p2.3.m3.1.1.6.cmml">λ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.3.m3.1b"><apply id="S3.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.p2.3.m3.1.1"><and id="S3.p2.3.m3.1.1a.cmml" xref="S3.p2.3.m3.1.1"></and><apply id="S3.p2.3.m3.1.1b.cmml" xref="S3.p2.3.m3.1.1"><lt id="S3.p2.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.3.m3.1.1.3"></lt><cn id="S3.p2.3.m3.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.p2.3.m3.1.1.2">0</cn><apply id="S3.p2.3.m3.1.1.4.cmml" xref="S3.p2.3.m3.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.3.m3.1.1.4.1.cmml" xref="S3.p2.3.m3.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.3.m3.1.1.4.2.cmml" xref="S3.p2.3.m3.1.1.4.2">𝜆</ci><cn id="S3.p2.3.m3.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.p2.3.m3.1.1.4.3">0</cn></apply></apply><apply id="S3.p2.3.m3.1.1c.cmml" xref="S3.p2.3.m3.1.1"><lt id="S3.p2.3.m3.1.1.5.cmml" xref="S3.p2.3.m3.1.1.5"></lt><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S3.p2.3.m3.1.1.4.cmml" id="S3.p2.3.m3.1.1d.cmml" xref="S3.p2.3.m3.1.1"></share><ci id="S3.p2.3.m3.1.1.6.cmml" xref="S3.p2.3.m3.1.1.6">𝜆</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.3.m3.1c">0<\lambda_{0}<\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.3.m3.1d">0 < italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT < italic_λ</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.p2.6.4">. If </span><math alttext="0<u\leq v" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.4.m4.1"><semantics id="S3.p2.4.m4.1a"><mrow id="S3.p2.4.m4.1.1" xref="S3.p2.4.m4.1.1.cmml"><mn id="S3.p2.4.m4.1.1.2" xref="S3.p2.4.m4.1.1.2.cmml">0</mn><mo id="S3.p2.4.m4.1.1.3" xref="S3.p2.4.m4.1.1.3.cmml"><</mo><mi id="S3.p2.4.m4.1.1.4" xref="S3.p2.4.m4.1.1.4.cmml">u</mi><mo id="S3.p2.4.m4.1.1.5" xref="S3.p2.4.m4.1.1.5.cmml">≤</mo><mi id="S3.p2.4.m4.1.1.6" xref="S3.p2.4.m4.1.1.6.cmml">v</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.4.m4.1b"><apply id="S3.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.p2.4.m4.1.1"><and id="S3.p2.4.m4.1.1a.cmml" xref="S3.p2.4.m4.1.1"></and><apply id="S3.p2.4.m4.1.1b.cmml" xref="S3.p2.4.m4.1.1"><lt id="S3.p2.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.4.m4.1.1.3"></lt><cn id="S3.p2.4.m4.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.p2.4.m4.1.1.2">0</cn><ci id="S3.p2.4.m4.1.1.4.cmml" xref="S3.p2.4.m4.1.1.4">𝑢</ci></apply><apply id="S3.p2.4.m4.1.1c.cmml" xref="S3.p2.4.m4.1.1"><leq id="S3.p2.4.m4.1.1.5.cmml" xref="S3.p2.4.m4.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S3.p2.4.m4.1.1.4.cmml" id="S3.p2.4.m4.1.1d.cmml" xref="S3.p2.4.m4.1.1"></share><ci id="S3.p2.4.m4.1.1.6.cmml" xref="S3.p2.4.m4.1.1.6">𝑣</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.4.m4.1c">0<u\leq v</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.4.m4.1d">0 < italic_u ≤ italic_v</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.p2.6.5"> then </span><math alttext="N(T,u)\leq N(T,v)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.5.m5.4"><semantics id="S3.p2.5.m5.4a"><mrow id="S3.p2.5.m5.4.5" xref="S3.p2.5.m5.4.5.cmml"><mrow id="S3.p2.5.m5.4.5.2" xref="S3.p2.5.m5.4.5.2.cmml"><mi id="S3.p2.5.m5.4.5.2.2" xref="S3.p2.5.m5.4.5.2.2.cmml">N</mi><mo id="S3.p2.5.m5.4.5.2.1" xref="S3.p2.5.m5.4.5.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p2.5.m5.4.5.2.3.2" xref="S3.p2.5.m5.4.5.2.3.1.cmml"><mo id="S3.p2.5.m5.4.5.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p2.5.m5.4.5.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.p2.5.m5.1.1" xref="S3.p2.5.m5.1.1.cmml">T</mi><mo id="S3.p2.5.m5.4.5.2.3.2.2" xref="S3.p2.5.m5.4.5.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.p2.5.m5.2.2" xref="S3.p2.5.m5.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.p2.5.m5.4.5.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.p2.5.m5.4.5.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.p2.5.m5.4.5.1" xref="S3.p2.5.m5.4.5.1.cmml">≤</mo><mrow id="S3.p2.5.m5.4.5.3" xref="S3.p2.5.m5.4.5.3.cmml"><mi id="S3.p2.5.m5.4.5.3.2" xref="S3.p2.5.m5.4.5.3.2.cmml">N</mi><mo id="S3.p2.5.m5.4.5.3.1" xref="S3.p2.5.m5.4.5.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p2.5.m5.4.5.3.3.2" xref="S3.p2.5.m5.4.5.3.3.1.cmml"><mo id="S3.p2.5.m5.4.5.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p2.5.m5.4.5.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.p2.5.m5.3.3" xref="S3.p2.5.m5.3.3.cmml">T</mi><mo id="S3.p2.5.m5.4.5.3.3.2.2" xref="S3.p2.5.m5.4.5.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.p2.5.m5.4.4" xref="S3.p2.5.m5.4.4.cmml">v</mi><mo id="S3.p2.5.m5.4.5.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.p2.5.m5.4.5.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.5.m5.4b"><apply id="S3.p2.5.m5.4.5.cmml" xref="S3.p2.5.m5.4.5"><leq id="S3.p2.5.m5.4.5.1.cmml" xref="S3.p2.5.m5.4.5.1"></leq><apply id="S3.p2.5.m5.4.5.2.cmml" xref="S3.p2.5.m5.4.5.2"><times id="S3.p2.5.m5.4.5.2.1.cmml" xref="S3.p2.5.m5.4.5.2.1"></times><ci id="S3.p2.5.m5.4.5.2.2.cmml" xref="S3.p2.5.m5.4.5.2.2">𝑁</ci><interval closure="open" id="S3.p2.5.m5.4.5.2.3.1.cmml" xref="S3.p2.5.m5.4.5.2.3.2"><ci id="S3.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.p2.5.m5.1.1">𝑇</ci><ci id="S3.p2.5.m5.2.2.cmml" xref="S3.p2.5.m5.2.2">𝑢</ci></interval></apply><apply id="S3.p2.5.m5.4.5.3.cmml" xref="S3.p2.5.m5.4.5.3"><times id="S3.p2.5.m5.4.5.3.1.cmml" xref="S3.p2.5.m5.4.5.3.1"></times><ci id="S3.p2.5.m5.4.5.3.2.cmml" xref="S3.p2.5.m5.4.5.3.2">𝑁</ci><interval closure="open" id="S3.p2.5.m5.4.5.3.3.1.cmml" xref="S3.p2.5.m5.4.5.3.3.2"><ci id="S3.p2.5.m5.3.3.cmml" xref="S3.p2.5.m5.3.3">𝑇</ci><ci id="S3.p2.5.m5.4.4.cmml" xref="S3.p2.5.m5.4.4">𝑣</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.5.m5.4c">N(T,u)\leq N(T,v)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.5.m5.4d">italic_N ( italic_T , italic_u ) ≤ italic_N ( italic_T , italic_v )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.p2.6.6">, and therefore </span><math alttext="\int_{0}^{U_{0}}N(T,u)\,du\leq U_{0}N(T,U_{0})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.6.m6.4"><semantics id="S3.p2.6.m6.4a"><mrow id="S3.p2.6.m6.4.4" xref="S3.p2.6.m6.4.4.cmml"><mrow id="S3.p2.6.m6.4.4.3" xref="S3.p2.6.m6.4.4.3.cmml"><msubsup id="S3.p2.6.m6.4.4.3.1" xref="S3.p2.6.m6.4.4.3.1.cmml"><mo id="S3.p2.6.m6.4.4.3.1.2.2" xref="S3.p2.6.m6.4.4.3.1.2.2.cmml">∫</mo><mn id="S3.p2.6.m6.4.4.3.1.2.3" xref="S3.p2.6.m6.4.4.3.1.2.3.cmml">0</mn><msub id="S3.p2.6.m6.4.4.3.1.3" xref="S3.p2.6.m6.4.4.3.1.3.cmml"><mi id="S3.p2.6.m6.4.4.3.1.3.2" xref="S3.p2.6.m6.4.4.3.1.3.2.cmml">U</mi><mn id="S3.p2.6.m6.4.4.3.1.3.3" xref="S3.p2.6.m6.4.4.3.1.3.3.cmml">0</mn></msub></msubsup><mrow id="S3.p2.6.m6.4.4.3.2" xref="S3.p2.6.m6.4.4.3.2.cmml"><mi id="S3.p2.6.m6.4.4.3.2.2" xref="S3.p2.6.m6.4.4.3.2.2.cmml">N</mi><mo id="S3.p2.6.m6.4.4.3.2.1" xref="S3.p2.6.m6.4.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p2.6.m6.4.4.3.2.3.2" xref="S3.p2.6.m6.4.4.3.2.3.1.cmml"><mo id="S3.p2.6.m6.4.4.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p2.6.m6.4.4.3.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.p2.6.m6.1.1" xref="S3.p2.6.m6.1.1.cmml">T</mi><mo id="S3.p2.6.m6.4.4.3.2.3.2.2" xref="S3.p2.6.m6.4.4.3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.p2.6.m6.2.2" xref="S3.p2.6.m6.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.p2.6.m6.4.4.3.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.p2.6.m6.4.4.3.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.p2.6.m6.4.4.3.2.1a" lspace="0.170em" xref="S3.p2.6.m6.4.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p2.6.m6.4.4.3.2.4" xref="S3.p2.6.m6.4.4.3.2.4.cmml"><mo id="S3.p2.6.m6.4.4.3.2.4.1" rspace="0em" 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xref="S3.p2.6.m6.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.6.m6.4.4.1.1.1.1.2" xref="S3.p2.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.cmml">U</mi><mn id="S3.p2.6.m6.4.4.1.1.1.1.3" xref="S3.p2.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.p2.6.m6.4.4.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.p2.6.m6.4.4.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.6.m6.4b"><apply id="S3.p2.6.m6.4.4.cmml" xref="S3.p2.6.m6.4.4"><leq id="S3.p2.6.m6.4.4.2.cmml" xref="S3.p2.6.m6.4.4.2"></leq><apply id="S3.p2.6.m6.4.4.3.cmml" xref="S3.p2.6.m6.4.4.3"><apply id="S3.p2.6.m6.4.4.3.1.cmml" xref="S3.p2.6.m6.4.4.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.6.m6.4.4.3.1.1.cmml" xref="S3.p2.6.m6.4.4.3.1">superscript</csymbol><apply id="S3.p2.6.m6.4.4.3.1.2.cmml" xref="S3.p2.6.m6.4.4.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.6.m6.4.4.3.1.2.1.cmml" xref="S3.p2.6.m6.4.4.3.1">subscript</csymbol><int id="S3.p2.6.m6.4.4.3.1.2.2.cmml" xref="S3.p2.6.m6.4.4.3.1.2.2"></int><cn id="S3.p2.6.m6.4.4.3.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.p2.6.m6.4.4.3.1.2.3">0</cn></apply><apply id="S3.p2.6.m6.4.4.3.1.3.cmml" xref="S3.p2.6.m6.4.4.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.6.m6.4.4.3.1.3.1.cmml" xref="S3.p2.6.m6.4.4.3.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.6.m6.4.4.3.1.3.2.cmml" xref="S3.p2.6.m6.4.4.3.1.3.2">𝑈</ci><cn id="S3.p2.6.m6.4.4.3.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p2.6.m6.4.4.3.1.3.3">0</cn></apply></apply><apply id="S3.p2.6.m6.4.4.3.2.cmml" xref="S3.p2.6.m6.4.4.3.2"><times id="S3.p2.6.m6.4.4.3.2.1.cmml" xref="S3.p2.6.m6.4.4.3.2.1"></times><ci id="S3.p2.6.m6.4.4.3.2.2.cmml" xref="S3.p2.6.m6.4.4.3.2.2">𝑁</ci><interval closure="open" id="S3.p2.6.m6.4.4.3.2.3.1.cmml" xref="S3.p2.6.m6.4.4.3.2.3.2"><ci id="S3.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.p2.6.m6.1.1">𝑇</ci><ci id="S3.p2.6.m6.2.2.cmml" xref="S3.p2.6.m6.2.2">𝑢</ci></interval><apply id="S3.p2.6.m6.4.4.3.2.4.cmml" xref="S3.p2.6.m6.4.4.3.2.4"><csymbol cd="latexml" id="S3.p2.6.m6.4.4.3.2.4.1.cmml" xref="S3.p2.6.m6.4.4.3.2.4.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.p2.6.m6.4.4.3.2.4.2.cmml" xref="S3.p2.6.m6.4.4.3.2.4.2">𝑢</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.p2.6.m6.4.4.1.cmml" xref="S3.p2.6.m6.4.4.1"><times id="S3.p2.6.m6.4.4.1.2.cmml" xref="S3.p2.6.m6.4.4.1.2"></times><apply id="S3.p2.6.m6.4.4.1.3.cmml" xref="S3.p2.6.m6.4.4.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.6.m6.4.4.1.3.1.cmml" xref="S3.p2.6.m6.4.4.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.6.m6.4.4.1.3.2.cmml" xref="S3.p2.6.m6.4.4.1.3.2">𝑈</ci><cn id="S3.p2.6.m6.4.4.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p2.6.m6.4.4.1.3.3">0</cn></apply><ci id="S3.p2.6.m6.4.4.1.4.cmml" xref="S3.p2.6.m6.4.4.1.4">𝑁</ci><interval closure="open" id="S3.p2.6.m6.4.4.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.6.m6.4.4.1.1.1"><ci id="S3.p2.6.m6.3.3.cmml" xref="S3.p2.6.m6.3.3">𝑇</ci><apply id="S3.p2.6.m6.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.6.m6.4.4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.6.m6.4.4.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.6.m6.4.4.1.1.1.1.2">𝑈</ci><cn id="S3.p2.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.p2.6.m6.4.4.1.1.1.1.3">0</cn></apply></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.6.m6.4c">\int_{0}^{U_{0}}N(T,u)\,du\leq U_{0}N(T,U_{0})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.6.m6.4d">∫ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_U start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT italic_N ( italic_T , italic_u ) italic_d italic_u ≤ italic_U start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT italic_N ( italic_T , italic_U start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.p2.6.7">. Hence by </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#ThmPCCx1" title="Pair Correlation Conjecture (PCC). ‣ 1. Introduction and Statement of Results ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros">PCC</a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.p2.6.8"> and (</span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S1.E8" title="Equation 1.8 ‣ 1. Introduction and Statement of Results ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.8</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.p2.6.9">),</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx1"> <tbody id="S3.Ex1"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle 2\int_{0}^{U}N(T,u)\,du" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex1.m1.2"><semantics id="S3.Ex1.m1.2a"><mrow id="S3.Ex1.m1.2.3" xref="S3.Ex1.m1.2.3.cmml"><mn id="S3.Ex1.m1.2.3.2" xref="S3.Ex1.m1.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S3.Ex1.m1.2.3.1" xref="S3.Ex1.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex1.m1.2.3.3" xref="S3.Ex1.m1.2.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex1.m1.2.3.3.1" xref="S3.Ex1.m1.2.3.3.1.cmml"><msubsup id="S3.Ex1.m1.2.3.3.1a" xref="S3.Ex1.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex1.m1.2.3.3.1.2.2" xref="S3.Ex1.m1.2.3.3.1.2.2.cmml">∫</mo><mn id="S3.Ex1.m1.2.3.3.1.2.3" xref="S3.Ex1.m1.2.3.3.1.2.3.cmml">0</mn><mi id="S3.Ex1.m1.2.3.3.1.3" xref="S3.Ex1.m1.2.3.3.1.3.cmml">U</mi></msubsup></mstyle><mrow id="S3.Ex1.m1.2.3.3.2" xref="S3.Ex1.m1.2.3.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex1.m1.2.3.3.2.2" xref="S3.Ex1.m1.2.3.3.2.2.cmml">N</mi><mo id="S3.Ex1.m1.2.3.3.2.1" xref="S3.Ex1.m1.2.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex1.m1.2.3.3.2.3.2" xref="S3.Ex1.m1.2.3.3.2.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex1.m1.2.3.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex1.m1.2.3.3.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex1.m1.1.1" xref="S3.Ex1.m1.1.1.cmml">T</mi><mo id="S3.Ex1.m1.2.3.3.2.3.2.2" xref="S3.Ex1.m1.2.3.3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex1.m1.2.2" xref="S3.Ex1.m1.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.Ex1.m1.2.3.3.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex1.m1.2.3.3.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex1.m1.2.3.3.2.1a" lspace="0.170em" xref="S3.Ex1.m1.2.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex1.m1.2.3.3.2.4" xref="S3.Ex1.m1.2.3.3.2.4.cmml"><mo id="S3.Ex1.m1.2.3.3.2.4.1" rspace="0em" xref="S3.Ex1.m1.2.3.3.2.4.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.Ex1.m1.2.3.3.2.4.2" xref="S3.Ex1.m1.2.3.3.2.4.2.cmml">u</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex1.m1.2b"><apply id="S3.Ex1.m1.2.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.2.3"><times id="S3.Ex1.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.2.3.1"></times><cn id="S3.Ex1.m1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex1.m1.2.3.2">2</cn><apply id="S3.Ex1.m1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.2.3.3"><apply id="S3.Ex1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.2.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1.m1.2.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.2.3.3.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex1.m1.2.3.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.2.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1.m1.2.3.3.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.2.3.3.1">subscript</csymbol><int id="S3.Ex1.m1.2.3.3.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.2.3.3.1.2.2"></int><cn id="S3.Ex1.m1.2.3.3.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex1.m1.2.3.3.1.2.3">0</cn></apply><ci id="S3.Ex1.m1.2.3.3.1.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.2.3.3.1.3">𝑈</ci></apply><apply id="S3.Ex1.m1.2.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.2.3.3.2"><times id="S3.Ex1.m1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.2.3.3.2.1"></times><ci id="S3.Ex1.m1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.2.3.3.2.2">𝑁</ci><interval closure="open" id="S3.Ex1.m1.2.3.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.2.3.3.2.3.2"><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1">𝑇</ci><ci id="S3.Ex1.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.2.2">𝑢</ci></interval><apply id="S3.Ex1.m1.2.3.3.2.4.cmml" xref="S3.Ex1.m1.2.3.3.2.4"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex1.m1.2.3.3.2.4.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.2.3.3.2.4.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.Ex1.m1.2.3.3.2.4.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.2.3.3.2.4.2">𝑢</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex1.m1.2c">\displaystyle 2\int_{0}^{U}N(T,u)\,du</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex1.m1.2d">2 ∫ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_U end_POSTSUPERSCRIPT italic_N ( italic_T , italic_u ) italic_d italic_u</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=2\int_{U_{0}}^{U}N(T,u)\,du+O\left(U_{0}N(T,U_{0})\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex1.m2.4"><semantics id="S3.Ex1.m2.4a"><mrow id="S3.Ex1.m2.4.4" xref="S3.Ex1.m2.4.4.cmml"><mi id="S3.Ex1.m2.4.4.3" xref="S3.Ex1.m2.4.4.3.cmml"></mi><mo id="S3.Ex1.m2.4.4.2" xref="S3.Ex1.m2.4.4.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex1.m2.4.4.1" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.cmml"><mrow id="S3.Ex1.m2.4.4.1.3" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.cmml"><mn id="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.2" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.1" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.1" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.1.cmml"><msubsup id="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.1a" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.1.2.2" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.1.2.2.cmml">∫</mo><msub id="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.1.2.3" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.1.2.3.2" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.1.2.3.2.cmml">U</mi><mn id="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.1.2.3.3" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.1.2.3.3.cmml">0</mn></msub><mi id="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.1.3" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.1.3.cmml">U</mi></msubsup></mstyle><mrow id="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.2" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.2.2" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.2.2.cmml">N</mi><mo id="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.2.1" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.2.3.2" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.2.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex1.m2.1.1" xref="S3.Ex1.m2.1.1.cmml">T</mi><mo id="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.2.3.2.2" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex1.m2.2.2" xref="S3.Ex1.m2.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.2.1a" lspace="0.170em" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.2.4" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.2.4.cmml"><mo id="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.2.4.1" rspace="0em" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.2.4.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.2.4.2" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.2.4.2.cmml">u</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex1.m2.4.4.1.2" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex1.m2.4.4.1.1" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.3" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.3.cmml">O</mi><mo id="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.2" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml">U</mi><mn id="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.4.cmml">N</mi><mo id="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex1.m2.3.3" xref="S3.Ex1.m2.3.3.cmml">T</mi><mo id="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">U</mi><mn id="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex1.m2.4b"><apply id="S3.Ex1.m2.4.4.cmml" xref="S3.Ex1.m2.4.4"><eq id="S3.Ex1.m2.4.4.2.cmml" xref="S3.Ex1.m2.4.4.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex1.m2.4.4.3.cmml" xref="S3.Ex1.m2.4.4.3">absent</csymbol><apply id="S3.Ex1.m2.4.4.1.cmml" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1"><plus id="S3.Ex1.m2.4.4.1.2.cmml" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.2"></plus><apply id="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.cmml" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.3"><times id="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.1"></times><cn id="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.2">2</cn><apply id="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3"><apply id="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.1">subscript</csymbol><int id="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.1.2.2"></int><apply id="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.1.2.3.2">𝑈</ci><cn id="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.1.2.3.3">0</cn></apply></apply><ci id="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.1.3.cmml" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.1.3">𝑈</ci></apply><apply id="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.2"><times id="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.2.1"></times><ci id="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.2.2">𝑁</ci><interval closure="open" id="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.2.3.2"><ci id="S3.Ex1.m2.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m2.1.1">𝑇</ci><ci id="S3.Ex1.m2.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m2.2.2">𝑢</ci></interval><apply id="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.2.4.cmml" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.2.4"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.2.4.1.cmml" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.2.4.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.2.4.2.cmml" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.3.3.2.4.2">𝑢</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.1"><times id="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.2"></times><ci id="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.3">𝑂</ci><apply id="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1"><times id="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.2">𝑈</ci><cn id="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.3">0</cn></apply><ci id="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.4">𝑁</ci><interval closure="open" id="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1"><ci id="S3.Ex1.m2.3.3.cmml" xref="S3.Ex1.m2.3.3">𝑇</ci><apply id="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑈</ci><cn id="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex1.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></interval></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex1.m2.4c">\displaystyle=2\int_{U_{0}}^{U}N(T,u)\,du+O\left(U_{0}N(T,U_{0})\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex1.m2.4d">= 2 ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_U end_POSTSUPERSCRIPT italic_N ( italic_T , italic_u ) italic_d italic_u + italic_O ( italic_U start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT italic_N ( italic_T , italic_U start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex2"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=2\int_{U_{0}}^{U}TL\int_{0}^{uL}\left(1-\left(\frac{\sin\pi% \alpha}{\pi\alpha}\right)^{2}\right)\,d\alpha\,du+o(TUL)+O(T(U_{0}L)^{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex2.m1.4"><semantics id="S3.Ex2.m1.4a"><mrow id="S3.Ex2.m1.4.4" xref="S3.Ex2.m1.4.4.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.4.4.5" xref="S3.Ex2.m1.4.4.5.cmml"></mi><mo id="S3.Ex2.m1.4.4.4" xref="S3.Ex2.m1.4.4.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.4.4.3" xref="S3.Ex2.m1.4.4.3.cmml"><mrow id="S3.Ex2.m1.2.2.1.1" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.cmml"><mn id="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2a" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">∫</mo><msub id="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml">U</mi><mn id="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.3" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.3.cmml">0</mn></msub><mi id="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml">U</mi></msubsup></mstyle><mrow id="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">T</mi><mo id="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.4.cmml">L</mi><mo id="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∫</mo><mn id="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">0</mn><mrow id="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">u</mi><mo id="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">L</mi></mrow></msubsup></mstyle><mrow id="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msup id="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex2.m1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S3.Ex2.m1.1.1.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex2.m1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S3.Ex2.m1.1.1a" xref="S3.Ex2.m1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex2.m1.1.1.2" xref="S3.Ex2.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.1.1.2.1" xref="S3.Ex2.m1.1.1.2.1.cmml">sin</mi><mo id="S3.Ex2.m1.1.1.2a" lspace="0.167em" xref="S3.Ex2.m1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.1.1.2.2" xref="S3.Ex2.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex2.m1.1.1.2.2.2.cmml">π</mi><mo id="S3.Ex2.m1.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex2.m1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex2.m1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex2.m1.1.1.2.2.3.cmml">α</mi></mrow></mrow><mrow id="S3.Ex2.m1.1.1.3" xref="S3.Ex2.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.1.1.3.2" xref="S3.Ex2.m1.1.1.3.2.cmml">π</mi><mo id="S3.Ex2.m1.1.1.3.1" xref="S3.Ex2.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex2.m1.1.1.3.3" xref="S3.Ex2.m1.1.1.3.3.cmml">α</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.Ex2.m1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" lspace="0.170em" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">α</mi></mrow><mo id="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2a" lspace="0.170em" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mo id="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.1" rspace="0em" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">u</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex2.m1.4.4.3.4" xref="S3.Ex2.m1.4.4.3.4.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.3.3.2.2" xref="S3.Ex2.m1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.3.3.2.2.3" xref="S3.Ex2.m1.3.3.2.2.3.cmml">o</mi><mo id="S3.Ex2.m1.3.3.2.2.2" xref="S3.Ex2.m1.3.3.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.3.3.2.2.1.1" xref="S3.Ex2.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex2.m1.3.3.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.3.3.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.3.3.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex2.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S3.Ex2.m1.3.3.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex2.m1.3.3.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex2.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.cmml">U</mi><mo id="S3.Ex2.m1.3.3.2.2.1.1.1.1a" xref="S3.Ex2.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex2.m1.3.3.2.2.1.1.1.4" xref="S3.Ex2.m1.3.3.2.2.1.1.1.4.cmml">L</mi></mrow><mo id="S3.Ex2.m1.3.3.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex2.m1.4.4.3.4a" xref="S3.Ex2.m1.4.4.3.4.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.4.4.3.3" xref="S3.Ex2.m1.4.4.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.4.4.3.3.3" xref="S3.Ex2.m1.4.4.3.3.3.cmml">O</mi><mo id="S3.Ex2.m1.4.4.3.3.2" xref="S3.Ex2.m1.4.4.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.4.4.3.3.1.1" xref="S3.Ex2.m1.4.4.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex2.m1.4.4.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m1.4.4.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.4.4.3.3.1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.4.4.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.4.4.3.3.1.1.1.3" xref="S3.Ex2.m1.4.4.3.3.1.1.1.3.cmml">T</mi><mo id="S3.Ex2.m1.4.4.3.3.1.1.1.2" xref="S3.Ex2.m1.4.4.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">U</mi><mn id="S3.Ex2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.Ex2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">L</mi></mrow><mo id="S3.Ex2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.Ex2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo 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class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex3.m1.4"><semantics id="S3.Ex3.m1.4a"><mrow id="S3.Ex3.m1.4.4" xref="S3.Ex3.m1.4.4.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.4.4.5" xref="S3.Ex3.m1.4.4.5.cmml"></mi><mo id="S3.Ex3.m1.4.4.4" xref="S3.Ex3.m1.4.4.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.4.4.3" xref="S3.Ex3.m1.4.4.3.cmml"><mrow id="S3.Ex3.m1.2.2.1.1" xref="S3.Ex3.m1.2.2.1.1.cmml"><mn id="S3.Ex3.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex3.m1.2.2.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="S3.Ex3.m1.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex3.m1.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex3.m1.2.2.1.1.4" xref="S3.Ex3.m1.2.2.1.1.4.cmml">T</mi><mo id="S3.Ex3.m1.2.2.1.1.2a" xref="S3.Ex3.m1.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex3.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex3.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex3.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S3.Ex3.m1.2.2.1.1.1.2a" xref="S3.Ex3.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex3.m1.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex3.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">∫</mo><msub id="S3.Ex3.m1.2.2.1.1.1.2.2.3" 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ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=2T\int_{0}^{\lambda}\int_{0}^{v}\left(1-\left(\frac{\sin\pi% \alpha}{\pi\alpha}\right)^{2}\right)\,d\alpha\,dv+o(\lambda T)+O(\lambda_{0}^{% 2}T)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex4.m1.4"><semantics id="S3.Ex4.m1.4a"><mrow id="S3.Ex4.m1.4.4" xref="S3.Ex4.m1.4.4.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.4.4.5" xref="S3.Ex4.m1.4.4.5.cmml"></mi><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.4" xref="S3.Ex4.m1.4.4.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.4.4.3" xref="S3.Ex4.m1.4.4.3.cmml"><mrow id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.cmml"><mn id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.4" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.4.cmml">T</mi><mo id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.2a" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.2" 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id="S3.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.2" xref="S3.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1" xref="S3.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mn id="S3.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><msup id="S3.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex5.m1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.1" xref="S3.Ex5.m1.1.1.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex5.m1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S3.Ex5.m1.1.1a" xref="S3.Ex5.m1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex5.m1.1.1.2" xref="S3.Ex5.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.1.1.2.1" xref="S3.Ex5.m1.1.1.2.1.cmml">sin</mi><mo id="S3.Ex5.m1.1.1.2a" lspace="0.167em" xref="S3.Ex5.m1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.Ex5.m1.1.1.2.2" xref="S3.Ex5.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex5.m1.1.1.2.2.2.cmml">π</mi><mo id="S3.Ex5.m1.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex5.m1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex5.m1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex5.m1.1.1.2.2.3.cmml">α</mi></mrow></mrow><mrow id="S3.Ex5.m1.1.1.3" xref="S3.Ex5.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.1.1.3.2" xref="S3.Ex5.m1.1.1.3.2.cmml">π</mi><mo id="S3.Ex5.m1.1.1.3.1" xref="S3.Ex5.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex5.m1.1.1.3.3" xref="S3.Ex5.m1.1.1.3.3.cmml">α</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.2" xref="S3.Ex5.m1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.3" xref="S3.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S3.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.3" xref="S3.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.3a" lspace="0.170em" xref="S3.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.4" xref="S3.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.4.cmml"><mo id="S3.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.4.1" rspace="0em" xref="S3.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.4.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.4.2" xref="S3.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.4.2.cmml">α</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex5.m1.5.5.4.5" xref="S3.Ex5.m1.5.5.4.5.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex5.m1.4.4.3.3" xref="S3.Ex5.m1.4.4.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.4.4.3.3.3" xref="S3.Ex5.m1.4.4.3.3.3.cmml">o</mi><mo id="S3.Ex5.m1.4.4.3.3.2" xref="S3.Ex5.m1.4.4.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex5.m1.4.4.3.3.1.1" xref="S3.Ex5.m1.4.4.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex5.m1.4.4.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m1.4.4.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex5.m1.4.4.3.3.1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.4.4.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.4.4.3.3.1.1.1.2" xref="S3.Ex5.m1.4.4.3.3.1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.Ex5.m1.4.4.3.3.1.1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex5.m1.4.4.3.3.1.1.1.3" xref="S3.Ex5.m1.4.4.3.3.1.1.1.3.cmml">T</mi></mrow><mo id="S3.Ex5.m1.4.4.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m1.4.4.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex5.m1.5.5.4.5a" xref="S3.Ex5.m1.5.5.4.5.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex5.m1.5.5.4.4" xref="S3.Ex5.m1.5.5.4.4.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.5.5.4.4.3" xref="S3.Ex5.m1.5.5.4.4.3.cmml">O</mi><mo id="S3.Ex5.m1.5.5.4.4.2" xref="S3.Ex5.m1.5.5.4.4.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex5.m1.5.5.4.4.1.1" xref="S3.Ex5.m1.5.5.4.4.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex5.m1.5.5.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m1.5.5.4.4.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex5.m1.5.5.4.4.1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.5.5.4.4.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.Ex5.m1.5.5.4.4.1.1.1.2" xref="S3.Ex5.m1.5.5.4.4.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.5.5.4.4.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex5.m1.5.5.4.4.1.1.1.2.2.2.cmml">λ</mi><mn id="S3.Ex5.m1.5.5.4.4.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex5.m1.5.5.4.4.1.1.1.2.2.3.cmml">0</mn><mn id="S3.Ex5.m1.5.5.4.4.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex5.m1.5.5.4.4.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S3.Ex5.m1.5.5.4.4.1.1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.5.5.4.4.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex5.m1.5.5.4.4.1.1.1.3" xref="S3.Ex5.m1.5.5.4.4.1.1.1.3.cmml">T</mi></mrow><mo id="S3.Ex5.m1.5.5.4.4.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m1.5.5.4.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex5.m1.5b"><apply id="S3.Ex5.m1.5.5.cmml" xref="S3.Ex5.m1.5.5"><eq id="S3.Ex5.m1.5.5.5.cmml" xref="S3.Ex5.m1.5.5.5"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex5.m1.5.5.6.cmml" xref="S3.Ex5.m1.5.5.6">absent</csymbol><apply id="S3.Ex5.m1.5.5.4.cmml" xref="S3.Ex5.m1.5.5.4"><plus id="S3.Ex5.m1.5.5.4.5.cmml" xref="S3.Ex5.m1.5.5.4.5"></plus><apply id="S3.Ex5.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.2.2"><times id="S3.Ex5.m1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.2.2.3"></times><cn id="S3.Ex5.m1.3.3.2.2.4.cmml" type="integer" xref="S3.Ex5.m1.3.3.2.2.4">2</cn><ci id="S3.Ex5.m1.3.3.2.2.5.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.2.2.5">𝑇</ci><apply id="S3.Ex5.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.2.2.2"><apply id="S3.Ex5.m1.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.3.3.2.2.2.3.1.cmml" 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id="S3.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.2.1"><minus id="S3.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.1"></minus><cn id="S3.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.2">1</cn><apply id="S3.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex5.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2"><divide id="S3.Ex5.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2"></divide><apply id="S3.Ex5.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.2"><sin id="S3.Ex5.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.2.1"></sin><apply id="S3.Ex5.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.2.2"><times id="S3.Ex5.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.2.2.1"></times><ci id="S3.Ex5.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.2.2.2">𝜋</ci><ci id="S3.Ex5.m1.1.1.2.2.3.cmml" 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end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_d italic_α + italic_o ( italic_λ italic_T ) + italic_O ( italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_T )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex6"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\lambda^{2}T-T\int_{-\lambda}^{\lambda}(\lambda-|\alpha|)\left(% \frac{\sin\pi\alpha}{\pi\alpha}\right)^{2}\,d\alpha+o(\lambda T)+O(\lambda_{0}% ^{2}T)." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex6.m1.3"><semantics id="S3.Ex6.m1.3a"><mrow id="S3.Ex6.m1.3.3.1" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.5" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.5.cmml"></mi><mo 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id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∫</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3a" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">−</mo><mi id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">λ</mi></mrow><mi id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">λ</mi></msubsup></mstyle><mrow id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.Ex6.m1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.1.1.cmml">α</mi><mo id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex6.m1.2.2.cmml"><mo id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S3.Ex6.m1.2.2.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex6.m1.2.2" xref="S3.Ex6.m1.2.2.cmml"><mfrac id="S3.Ex6.m1.2.2a" xref="S3.Ex6.m1.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex6.m1.2.2.2" xref="S3.Ex6.m1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.2.2.2.1" xref="S3.Ex6.m1.2.2.2.1.cmml">sin</mi><mo id="S3.Ex6.m1.2.2.2a" lspace="0.167em" xref="S3.Ex6.m1.2.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.2.2.2.2" xref="S3.Ex6.m1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex6.m1.2.2.2.2.2.cmml">π</mi><mo id="S3.Ex6.m1.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex6.m1.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex6.m1.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex6.m1.2.2.2.2.3.cmml">α</mi></mrow></mrow><mrow id="S3.Ex6.m1.2.2.3" xref="S3.Ex6.m1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.2.2.3.2" xref="S3.Ex6.m1.2.2.3.2.cmml">π</mi><mo id="S3.Ex6.m1.2.2.3.1" xref="S3.Ex6.m1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex6.m1.2.2.3.3" xref="S3.Ex6.m1.2.2.3.3.cmml">α</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.Ex6.m1.2.2.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2a" lspace="0em" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mo id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.4.1" rspace="0em" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">α</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.4" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.4.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml">o</mi><mo id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2.1.1" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml">T</mi></mrow><mo id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.4a" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.4.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.3" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.3.3.cmml">O</mi><mo id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow 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∫ start_POSTSUBSCRIPT - italic_λ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_λ - | italic_α | ) ( divide start_ARG roman_sin italic_π italic_α end_ARG start_ARG italic_π italic_α end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_α + italic_o ( italic_λ italic_T ) + italic_O ( italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_T ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p2.11"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.p2.11.1">We thus conclude from Lemma </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#Thmlem3" title="Lemma 3 (Gallagher and Mueller [GM78, (20) of Section 1]). ‣ 2. The Second Moment for Zeros in Short Intervals ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.p2.11.2"> that</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E3"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(3.3)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\int_{0}^{T}(\Delta_{U}N(t))^{2}\,dt=UN^{\circledast}(T)+\lambda^{2}T-T\int_{-% \lambda}^{\lambda}(\lambda-|\alpha|)\left(\frac{\sin\pi\alpha}{\pi\alpha}% \right)^{2}\,d\alpha+o(\lambda T)+O(\lambda_{0}^{2}T)." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E3.m1.5"><semantics id="S3.E3.m1.5a"><mrow id="S3.E3.m1.5.5.1" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow 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xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Δ</mi><mi id="S3.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">U</mi></msub><mo id="S3.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">N</mi><mo id="S3.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E3.m1.1.1" xref="S3.E3.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E3.m1.5.5.1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E3.m1.5.5.1.1.1.1.3" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.E3.m1.5.5.1.1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.E3.m1.5.5.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.cmml">t</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E3.m1.5.5.1.1.5" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S3.E3.m1.5.5.1.1.4" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.cmml"><mrow id="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.cmml"><mrow id="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.3" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.3.cmml"><mrow id="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.3.2" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.3.2.2" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.3.2.2.cmml">U</mi><mo id="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.3.2.1" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.3.2.3" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.3.2.3.2" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.3.2.3.2.cmml">N</mi><mo id="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.3.2.3.3" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.3.2.3.3.cmml">⊛</mo></msup><mo id="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.3.2.1a" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.3.2.4.2" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.3.2.cmml"><mo id="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.3.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E3.m1.2.2" xref="S3.E3.m1.2.2.cmml">T</mi><mo id="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.3.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.3.1" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.3.3" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.3.3.cmml"><msup id="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.3.3.2" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.3.3.2.2" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.3.3.2.2.cmml">λ</mi><mn id="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.3.3.2.3" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.3.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.3.3.1" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.3.3.3" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.3.3.3.cmml">T</mi></mrow></mrow><mo id="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.2" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.3" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.3.cmml">T</mi><mo id="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.2" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2.2.2" rspace="0em" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2.2.2.cmml">∫</mo><mrow id="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2.2.3a" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2.2.3.cmml">−</mo><mi id="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml">λ</mi></mrow><mi id="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2.3" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml">λ</mi></msubsup><mrow id="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E3.m1.3.3" xref="S3.E3.m1.3.3.cmml">α</mi><mo id="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E3.m1.4.4.cmml"><mo id="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S3.E3.m1.4.4.cmml">(</mo><mfrac id="S3.E3.m1.4.4" xref="S3.E3.m1.4.4.cmml"><mrow id="S3.E3.m1.4.4.2" xref="S3.E3.m1.4.4.2.cmml"><mi id="S3.E3.m1.4.4.2.1" xref="S3.E3.m1.4.4.2.1.cmml">sin</mi><mo id="S3.E3.m1.4.4.2a" lspace="0.167em" xref="S3.E3.m1.4.4.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.E3.m1.4.4.2.2" xref="S3.E3.m1.4.4.2.2.cmml"><mi id="S3.E3.m1.4.4.2.2.2" xref="S3.E3.m1.4.4.2.2.2.cmml">π</mi><mo id="S3.E3.m1.4.4.2.2.1" xref="S3.E3.m1.4.4.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E3.m1.4.4.2.2.3" xref="S3.E3.m1.4.4.2.2.3.cmml">α</mi></mrow></mrow><mrow id="S3.E3.m1.4.4.3" xref="S3.E3.m1.4.4.3.cmml"><mi id="S3.E3.m1.4.4.3.2" xref="S3.E3.m1.4.4.3.2.cmml">π</mi><mo id="S3.E3.m1.4.4.3.1" xref="S3.E3.m1.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E3.m1.4.4.3.3" xref="S3.E3.m1.4.4.3.3.cmml">α</mi></mrow></mfrac><mo id="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.E3.m1.4.4.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2a" lspace="0em" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.4" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.4.cmml"><mo id="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.4.1" rspace="0em" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.4.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.4.2" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.4.2.cmml">α</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.4" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.4.cmml">+</mo><mrow id="S3.E3.m1.5.5.1.1.3.2" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E3.m1.5.5.1.1.3.2.3" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.3.2.3.cmml">o</mi><mo id="S3.E3.m1.5.5.1.1.3.2.2" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E3.m1.5.5.1.1.3.2.1.1" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E3.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E3.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E3.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.E3.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.1" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E3.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.3" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.3.cmml">T</mi></mrow><mo id="S3.E3.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.4a" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.4.cmml">+</mo><mrow id="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.3" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.3.cmml"><mi id="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.3.3" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.3.3.cmml">O</mi><mo id="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.3.2" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.3.1.1" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.3.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.3.1.1.1" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.3.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.3.1.1.1.2" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.3.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.3.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.3.1.1.1.2.2.2.cmml">λ</mi><mn id="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.3.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.3.1.1.1.2.2.3.cmml">0</mn><mn id="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.3.1.1.1.2.3" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.3.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.3.1.1.1.1" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.3.1.1.1.3" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.3.1.1.1.3.cmml">T</mi></mrow><mo id="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.3.1.1.3" stretchy="false" 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xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.1"></times><ci id="S3.E3.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S3.E3.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.3">𝑇</ci></apply></apply><apply id="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.3.cmml" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.3"><times id="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.3.2.cmml" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.3.2"></times><ci id="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.3.3.cmml" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.3.3">𝑂</ci><apply id="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.3.1.1.1.cmml" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.3.1.1"><times id="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.3.1.1.1.1"></times><apply id="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.3.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.3.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.3.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.3.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.3.1.1.1.2.2.2">𝜆</ci><cn id="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.3.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.3.1.1.1.2.2.3">0</cn></apply><cn id="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.3.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.3.1.1.1.2.3">2</cn></apply><ci id="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E3.m1.5.5.1.1.4.3.1.1.1.3">𝑇</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E3.m1.5c">\int_{0}^{T}(\Delta_{U}N(t))^{2}\,dt=UN^{\circledast}(T)+\lambda^{2}T-T\int_{-% \lambda}^{\lambda}(\lambda-|\alpha|)\left(\frac{\sin\pi\alpha}{\pi\alpha}% \right)^{2}\,d\alpha+o(\lambda T)+O(\lambda_{0}^{2}T).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E3.m1.5d">∫ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT italic_N ( italic_t ) ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_t = italic_U italic_N start_POSTSUPERSCRIPT ⊛ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T ) + italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_T - italic_T ∫ start_POSTSUBSCRIPT - italic_λ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_λ - | italic_α | ) ( divide start_ARG roman_sin italic_π italic_α end_ARG start_ARG italic_π italic_α end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_α + italic_o ( italic_λ italic_T ) + italic_O ( italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_T ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p2.12"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.p2.12.1">Hence</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex7"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{split}UN^{\circledast}(T)&=\int_{0}^{T}(\Delta_{U}N(t))^{2}\,dt-\lambda% ^{2}T+T\int_{-\lambda}^{\lambda}(\lambda-|\alpha|)\left(\frac{\sin\pi\alpha}{% \pi\alpha}\right)^{2}\,d\alpha+o(\lambda T)+O(\lambda_{0}^{2}T)\\ &=\int_{0}^{T}(\Delta_{U}S(t))^{2}\,dt+T\int_{-\lambda}^{\lambda}(\lambda-|% \alpha|)\left(\frac{\sin\pi\alpha}{\pi\alpha}\right)^{2}\,d\alpha+o(\lambda T)% +O(\lambda TU)+O(\lambda_{0}^{2}T),\end{split}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex7.m1.118"><semantics id="S3.Ex7.m1.118a"><mtable columnspacing="0pt" displaystyle="true" id="S3.Ex7.m1.118.118.6" rowspacing="0pt"><mtr id="S3.Ex7.m1.118.118.6a"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S3.Ex7.m1.118.118.6b"><mrow id="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6"><mi id="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">U</mi><mo id="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.8"><mi id="S3.Ex7.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex7.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">N</mi><mo id="S3.Ex7.m1.3.3.3.3.3.3.1" xref="S3.Ex7.m1.3.3.3.3.3.3.1.cmml">⊛</mo></msup><mo id="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7a" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.9"><mo id="S3.Ex7.m1.4.4.4.4.4.4" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex7.m1.5.5.5.5.5.5" xref="S3.Ex7.m1.5.5.5.5.5.5.cmml">T</mi><mo id="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.6" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.Ex7.m1.118.118.6c"><mrow id="S3.Ex7.m1.117.117.5.116.61.55"><mi id="S3.Ex7.m1.117.117.5.116.61.55.56" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml"></mi><mo id="S3.Ex7.m1.7.7.7.7.1.1" rspace="0.111em" xref="S3.Ex7.m1.7.7.7.7.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.117.117.5.116.61.55.55"><mrow id="S3.Ex7.m1.114.114.2.113.58.52.52.1"><mrow id="S3.Ex7.m1.114.114.2.113.58.52.52.1.1"><msubsup id="S3.Ex7.m1.114.114.2.113.58.52.52.1.1.2"><mo id="S3.Ex7.m1.8.8.8.8.2.2" rspace="0em" xref="S3.Ex7.m1.8.8.8.8.2.2.cmml">∫</mo><mn id="S3.Ex7.m1.9.9.9.9.3.3.1" xref="S3.Ex7.m1.9.9.9.9.3.3.1.cmml">0</mn><mi id="S3.Ex7.m1.10.10.10.10.4.4.1" xref="S3.Ex7.m1.10.10.10.10.4.4.1.cmml">T</mi></msubsup><mrow id="S3.Ex7.m1.114.114.2.113.58.52.52.1.1.1"><msup id="S3.Ex7.m1.114.114.2.113.58.52.52.1.1.1.1"><mrow id="S3.Ex7.m1.114.114.2.113.58.52.52.1.1.1.1.1.1"><mo id="S3.Ex7.m1.11.11.11.11.5.5" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.114.114.2.113.58.52.52.1.1.1.1.1.1.1"><msub id="S3.Ex7.m1.114.114.2.113.58.52.52.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S3.Ex7.m1.12.12.12.12.6.6" mathvariant="normal" xref="S3.Ex7.m1.12.12.12.12.6.6.cmml">Δ</mi><mi id="S3.Ex7.m1.13.13.13.13.7.7.1" xref="S3.Ex7.m1.13.13.13.13.7.7.1.cmml">U</mi></msub><mo id="S3.Ex7.m1.114.114.2.113.58.52.52.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex7.m1.14.14.14.14.8.8" xref="S3.Ex7.m1.14.14.14.14.8.8.cmml">N</mi><mo id="S3.Ex7.m1.114.114.2.113.58.52.52.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.114.114.2.113.58.52.52.1.1.1.1.1.1.1.3"><mo id="S3.Ex7.m1.15.15.15.15.9.9" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex7.m1.16.16.16.16.10.10" xref="S3.Ex7.m1.16.16.16.16.10.10.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex7.m1.17.17.17.17.11.11" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.18.18.18.18.12.12" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.Ex7.m1.19.19.19.19.13.13.1" xref="S3.Ex7.m1.19.19.19.19.13.13.1.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex7.m1.114.114.2.113.58.52.52.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.114.114.2.113.58.52.52.1.1.1.3"><mo id="S3.Ex7.m1.20.20.20.20.14.14" rspace="0em" xref="S3.Ex7.m1.20.20.20.20.14.14.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.Ex7.m1.21.21.21.21.15.15" xref="S3.Ex7.m1.21.21.21.21.15.15.cmml">t</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.22.22.22.22.16.16" xref="S3.Ex7.m1.22.22.22.22.16.16.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.114.114.2.113.58.52.52.1.2"><msup id="S3.Ex7.m1.114.114.2.113.58.52.52.1.2.2"><mi id="S3.Ex7.m1.23.23.23.23.17.17" xref="S3.Ex7.m1.23.23.23.23.17.17.cmml">λ</mi><mn id="S3.Ex7.m1.24.24.24.24.18.18.1" xref="S3.Ex7.m1.24.24.24.24.18.18.1.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex7.m1.114.114.2.113.58.52.52.1.2.1" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex7.m1.25.25.25.25.19.19" xref="S3.Ex7.m1.25.25.25.25.19.19.cmml">T</mi></mrow></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.26.26.26.26.20.20" xref="S3.Ex7.m1.26.26.26.26.20.20.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.115.115.3.114.59.53.53.2"><mi id="S3.Ex7.m1.27.27.27.27.21.21" xref="S3.Ex7.m1.27.27.27.27.21.21.cmml">T</mi><mo id="S3.Ex7.m1.115.115.3.114.59.53.53.2.2" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.115.115.3.114.59.53.53.2.1"><msubsup id="S3.Ex7.m1.115.115.3.114.59.53.53.2.1.2"><mo id="S3.Ex7.m1.28.28.28.28.22.22" rspace="0em" xref="S3.Ex7.m1.28.28.28.28.22.22.cmml">∫</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.29.29.29.29.23.23.1" xref="S3.Ex7.m1.29.29.29.29.23.23.1.cmml"><mo id="S3.Ex7.m1.29.29.29.29.23.23.1a" xref="S3.Ex7.m1.29.29.29.29.23.23.1.cmml">−</mo><mi id="S3.Ex7.m1.29.29.29.29.23.23.1.2" xref="S3.Ex7.m1.29.29.29.29.23.23.1.2.cmml">λ</mi></mrow><mi id="S3.Ex7.m1.30.30.30.30.24.24.1" xref="S3.Ex7.m1.30.30.30.30.24.24.1.cmml">λ</mi></msubsup><mrow id="S3.Ex7.m1.115.115.3.114.59.53.53.2.1.1"><mrow id="S3.Ex7.m1.115.115.3.114.59.53.53.2.1.1.1.1"><mo id="S3.Ex7.m1.31.31.31.31.25.25" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.115.115.3.114.59.53.53.2.1.1.1.1.1"><mi id="S3.Ex7.m1.32.32.32.32.26.26" xref="S3.Ex7.m1.32.32.32.32.26.26.cmml">λ</mi><mo id="S3.Ex7.m1.33.33.33.33.27.27" xref="S3.Ex7.m1.33.33.33.33.27.27.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.115.115.3.114.59.53.53.2.1.1.1.1.1.1"><mo id="S3.Ex7.m1.34.34.34.34.28.28" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.Ex7.m1.35.35.35.35.29.29" xref="S3.Ex7.m1.35.35.35.35.29.29.cmml">α</mi><mo id="S3.Ex7.m1.36.36.36.36.30.30" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.37.37.37.37.31.31" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.115.115.3.114.59.53.53.2.1.1.2" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex7.m1.115.115.3.114.59.53.53.2.1.1.3"><mrow id="S3.Ex7.m1.115.115.3.114.59.53.53.2.1.1.3.2"><mo id="S3.Ex7.m1.38.38.38.38.32.32" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">(</mo><mfrac id="S3.Ex7.m1.39.39.39.39.33.33" xref="S3.Ex7.m1.39.39.39.39.33.33.cmml"><mrow id="S3.Ex7.m1.39.39.39.39.33.33.2" xref="S3.Ex7.m1.39.39.39.39.33.33.2.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.39.39.39.39.33.33.2.1" xref="S3.Ex7.m1.39.39.39.39.33.33.2.1.cmml">sin</mi><mo id="S3.Ex7.m1.39.39.39.39.33.33.2a" lspace="0.167em" xref="S3.Ex7.m1.39.39.39.39.33.33.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.39.39.39.39.33.33.2.2" xref="S3.Ex7.m1.39.39.39.39.33.33.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.39.39.39.39.33.33.2.2.2" xref="S3.Ex7.m1.39.39.39.39.33.33.2.2.2.cmml">π</mi><mo id="S3.Ex7.m1.39.39.39.39.33.33.2.2.1" xref="S3.Ex7.m1.39.39.39.39.33.33.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex7.m1.39.39.39.39.33.33.2.2.3" xref="S3.Ex7.m1.39.39.39.39.33.33.2.2.3.cmml">α</mi></mrow></mrow><mrow id="S3.Ex7.m1.39.39.39.39.33.33.3" xref="S3.Ex7.m1.39.39.39.39.33.33.3.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.39.39.39.39.33.33.3.2" xref="S3.Ex7.m1.39.39.39.39.33.33.3.2.cmml">π</mi><mo id="S3.Ex7.m1.39.39.39.39.33.33.3.1" xref="S3.Ex7.m1.39.39.39.39.33.33.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex7.m1.39.39.39.39.33.33.3.3" xref="S3.Ex7.m1.39.39.39.39.33.33.3.3.cmml">α</mi></mrow></mfrac><mo id="S3.Ex7.m1.40.40.40.40.34.34" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.Ex7.m1.41.41.41.41.35.35.1" xref="S3.Ex7.m1.41.41.41.41.35.35.1.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex7.m1.115.115.3.114.59.53.53.2.1.1.2a" lspace="0em" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.115.115.3.114.59.53.53.2.1.1.4"><mo id="S3.Ex7.m1.42.42.42.42.36.36" rspace="0em" xref="S3.Ex7.m1.42.42.42.42.36.36.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.Ex7.m1.43.43.43.43.37.37" xref="S3.Ex7.m1.43.43.43.43.37.37.cmml">α</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.26.26.26.26.20.20a" xref="S3.Ex7.m1.26.26.26.26.20.20.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.116.116.4.115.60.54.54.3"><mi id="S3.Ex7.m1.45.45.45.45.39.39" xref="S3.Ex7.m1.45.45.45.45.39.39.cmml">o</mi><mo id="S3.Ex7.m1.116.116.4.115.60.54.54.3.2" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.116.116.4.115.60.54.54.3.1.1"><mo id="S3.Ex7.m1.46.46.46.46.40.40" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.116.116.4.115.60.54.54.3.1.1.1"><mi id="S3.Ex7.m1.47.47.47.47.41.41" xref="S3.Ex7.m1.47.47.47.47.41.41.cmml">λ</mi><mo id="S3.Ex7.m1.116.116.4.115.60.54.54.3.1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex7.m1.48.48.48.48.42.42" xref="S3.Ex7.m1.48.48.48.48.42.42.cmml">T</mi></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.49.49.49.49.43.43" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.26.26.26.26.20.20b" xref="S3.Ex7.m1.26.26.26.26.20.20.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.117.117.5.116.61.55.55.4"><mi id="S3.Ex7.m1.51.51.51.51.45.45" xref="S3.Ex7.m1.51.51.51.51.45.45.cmml">O</mi><mo id="S3.Ex7.m1.117.117.5.116.61.55.55.4.2" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.117.117.5.116.61.55.55.4.1.1"><mo id="S3.Ex7.m1.52.52.52.52.46.46" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.117.117.5.116.61.55.55.4.1.1.1"><msubsup id="S3.Ex7.m1.117.117.5.116.61.55.55.4.1.1.1.2"><mi id="S3.Ex7.m1.53.53.53.53.47.47" xref="S3.Ex7.m1.53.53.53.53.47.47.cmml">λ</mi><mn id="S3.Ex7.m1.54.54.54.54.48.48.1" xref="S3.Ex7.m1.54.54.54.54.48.48.1.cmml">0</mn><mn id="S3.Ex7.m1.55.55.55.55.49.49.1" xref="S3.Ex7.m1.55.55.55.55.49.49.1.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S3.Ex7.m1.117.117.5.116.61.55.55.4.1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex7.m1.56.56.56.56.50.50" xref="S3.Ex7.m1.56.56.56.56.50.50.cmml">T</mi></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.57.57.57.57.51.51" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S3.Ex7.m1.118.118.6d"><mtd id="S3.Ex7.m1.118.118.6e" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.Ex7.m1.118.118.6f"><mrow id="S3.Ex7.m1.118.118.6.117.56.56.56"><mrow id="S3.Ex7.m1.118.118.6.117.56.56.56.1"><mi id="S3.Ex7.m1.118.118.6.117.56.56.56.1.6" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml"></mi><mo id="S3.Ex7.m1.58.58.58.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S3.Ex7.m1.58.58.58.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.118.118.6.117.56.56.56.1.5"><mrow id="S3.Ex7.m1.118.118.6.117.56.56.56.1.1.1"><msubsup id="S3.Ex7.m1.118.118.6.117.56.56.56.1.1.1.2"><mo id="S3.Ex7.m1.59.59.59.2.2.2" rspace="0em" xref="S3.Ex7.m1.59.59.59.2.2.2.cmml">∫</mo><mn id="S3.Ex7.m1.60.60.60.3.3.3.1" xref="S3.Ex7.m1.60.60.60.3.3.3.1.cmml">0</mn><mi id="S3.Ex7.m1.61.61.61.4.4.4.1" xref="S3.Ex7.m1.61.61.61.4.4.4.1.cmml">T</mi></msubsup><mrow id="S3.Ex7.m1.118.118.6.117.56.56.56.1.1.1.1"><msup id="S3.Ex7.m1.118.118.6.117.56.56.56.1.1.1.1.1"><mrow id="S3.Ex7.m1.118.118.6.117.56.56.56.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S3.Ex7.m1.62.62.62.5.5.5" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.118.118.6.117.56.56.56.1.1.1.1.1.1.1.1"><msub id="S3.Ex7.m1.118.118.6.117.56.56.56.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S3.Ex7.m1.63.63.63.6.6.6" mathvariant="normal" xref="S3.Ex7.m1.63.63.63.6.6.6.cmml">Δ</mi><mi id="S3.Ex7.m1.64.64.64.7.7.7.1" xref="S3.Ex7.m1.64.64.64.7.7.7.1.cmml">U</mi></msub><mo id="S3.Ex7.m1.118.118.6.117.56.56.56.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex7.m1.65.65.65.8.8.8" xref="S3.Ex7.m1.65.65.65.8.8.8.cmml">S</mi><mo id="S3.Ex7.m1.118.118.6.117.56.56.56.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.118.118.6.117.56.56.56.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><mo id="S3.Ex7.m1.66.66.66.9.9.9" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex7.m1.67.67.67.10.10.10" xref="S3.Ex7.m1.67.67.67.10.10.10.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex7.m1.68.68.68.11.11.11" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.69.69.69.12.12.12" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.Ex7.m1.70.70.70.13.13.13.1" xref="S3.Ex7.m1.70.70.70.13.13.13.1.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex7.m1.118.118.6.117.56.56.56.1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.118.118.6.117.56.56.56.1.1.1.1.3"><mo id="S3.Ex7.m1.71.71.71.14.14.14" rspace="0em" xref="S3.Ex7.m1.71.71.71.14.14.14.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.Ex7.m1.72.72.72.15.15.15" xref="S3.Ex7.m1.72.72.72.15.15.15.cmml">t</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.73.73.73.16.16.16" xref="S3.Ex7.m1.73.73.73.16.16.16.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.118.118.6.117.56.56.56.1.2.2"><mi id="S3.Ex7.m1.74.74.74.17.17.17" xref="S3.Ex7.m1.74.74.74.17.17.17.cmml">T</mi><mo id="S3.Ex7.m1.118.118.6.117.56.56.56.1.2.2.2" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.118.118.6.117.56.56.56.1.2.2.1"><msubsup id="S3.Ex7.m1.118.118.6.117.56.56.56.1.2.2.1.2"><mo id="S3.Ex7.m1.75.75.75.18.18.18" rspace="0em" xref="S3.Ex7.m1.75.75.75.18.18.18.cmml">∫</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.76.76.76.19.19.19.1" xref="S3.Ex7.m1.76.76.76.19.19.19.1.cmml"><mo id="S3.Ex7.m1.76.76.76.19.19.19.1a" xref="S3.Ex7.m1.76.76.76.19.19.19.1.cmml">−</mo><mi id="S3.Ex7.m1.76.76.76.19.19.19.1.2" xref="S3.Ex7.m1.76.76.76.19.19.19.1.2.cmml">λ</mi></mrow><mi id="S3.Ex7.m1.77.77.77.20.20.20.1" xref="S3.Ex7.m1.77.77.77.20.20.20.1.cmml">λ</mi></msubsup><mrow id="S3.Ex7.m1.118.118.6.117.56.56.56.1.2.2.1.1"><mrow id="S3.Ex7.m1.118.118.6.117.56.56.56.1.2.2.1.1.1.1"><mo id="S3.Ex7.m1.78.78.78.21.21.21" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.118.118.6.117.56.56.56.1.2.2.1.1.1.1.1"><mi id="S3.Ex7.m1.79.79.79.22.22.22" xref="S3.Ex7.m1.79.79.79.22.22.22.cmml">λ</mi><mo id="S3.Ex7.m1.80.80.80.23.23.23" xref="S3.Ex7.m1.80.80.80.23.23.23.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.118.118.6.117.56.56.56.1.2.2.1.1.1.1.1.1"><mo id="S3.Ex7.m1.81.81.81.24.24.24" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.Ex7.m1.82.82.82.25.25.25" xref="S3.Ex7.m1.82.82.82.25.25.25.cmml">α</mi><mo id="S3.Ex7.m1.83.83.83.26.26.26" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.84.84.84.27.27.27" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.118.118.6.117.56.56.56.1.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex7.m1.118.118.6.117.56.56.56.1.2.2.1.1.3"><mrow id="S3.Ex7.m1.118.118.6.117.56.56.56.1.2.2.1.1.3.2"><mo id="S3.Ex7.m1.85.85.85.28.28.28" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">(</mo><mfrac id="S3.Ex7.m1.86.86.86.29.29.29" xref="S3.Ex7.m1.86.86.86.29.29.29.cmml"><mrow id="S3.Ex7.m1.86.86.86.29.29.29.2" xref="S3.Ex7.m1.86.86.86.29.29.29.2.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.86.86.86.29.29.29.2.1" xref="S3.Ex7.m1.86.86.86.29.29.29.2.1.cmml">sin</mi><mo id="S3.Ex7.m1.86.86.86.29.29.29.2a" lspace="0.167em" xref="S3.Ex7.m1.86.86.86.29.29.29.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.86.86.86.29.29.29.2.2" xref="S3.Ex7.m1.86.86.86.29.29.29.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.86.86.86.29.29.29.2.2.2" xref="S3.Ex7.m1.86.86.86.29.29.29.2.2.2.cmml">π</mi><mo id="S3.Ex7.m1.86.86.86.29.29.29.2.2.1" xref="S3.Ex7.m1.86.86.86.29.29.29.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex7.m1.86.86.86.29.29.29.2.2.3" xref="S3.Ex7.m1.86.86.86.29.29.29.2.2.3.cmml">α</mi></mrow></mrow><mrow id="S3.Ex7.m1.86.86.86.29.29.29.3" xref="S3.Ex7.m1.86.86.86.29.29.29.3.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.86.86.86.29.29.29.3.2" xref="S3.Ex7.m1.86.86.86.29.29.29.3.2.cmml">π</mi><mo id="S3.Ex7.m1.86.86.86.29.29.29.3.1" xref="S3.Ex7.m1.86.86.86.29.29.29.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex7.m1.86.86.86.29.29.29.3.3" xref="S3.Ex7.m1.86.86.86.29.29.29.3.3.cmml">α</mi></mrow></mfrac><mo id="S3.Ex7.m1.87.87.87.30.30.30" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.Ex7.m1.88.88.88.31.31.31.1" xref="S3.Ex7.m1.88.88.88.31.31.31.1.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex7.m1.118.118.6.117.56.56.56.1.2.2.1.1.2a" lspace="0em" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.118.118.6.117.56.56.56.1.2.2.1.1.4"><mo id="S3.Ex7.m1.89.89.89.32.32.32" rspace="0em" xref="S3.Ex7.m1.89.89.89.32.32.32.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.Ex7.m1.90.90.90.33.33.33" xref="S3.Ex7.m1.90.90.90.33.33.33.cmml">α</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.73.73.73.16.16.16a" xref="S3.Ex7.m1.73.73.73.16.16.16.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.118.118.6.117.56.56.56.1.3.3"><mi id="S3.Ex7.m1.92.92.92.35.35.35" xref="S3.Ex7.m1.92.92.92.35.35.35.cmml">o</mi><mo id="S3.Ex7.m1.118.118.6.117.56.56.56.1.3.3.2" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.118.118.6.117.56.56.56.1.3.3.1.1"><mo id="S3.Ex7.m1.93.93.93.36.36.36" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.118.118.6.117.56.56.56.1.3.3.1.1.1"><mi id="S3.Ex7.m1.94.94.94.37.37.37" xref="S3.Ex7.m1.94.94.94.37.37.37.cmml">λ</mi><mo id="S3.Ex7.m1.118.118.6.117.56.56.56.1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex7.m1.95.95.95.38.38.38" xref="S3.Ex7.m1.95.95.95.38.38.38.cmml">T</mi></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.96.96.96.39.39.39" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.73.73.73.16.16.16b" xref="S3.Ex7.m1.73.73.73.16.16.16.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.118.118.6.117.56.56.56.1.4.4"><mi id="S3.Ex7.m1.98.98.98.41.41.41" xref="S3.Ex7.m1.98.98.98.41.41.41.cmml">O</mi><mo id="S3.Ex7.m1.118.118.6.117.56.56.56.1.4.4.2" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.118.118.6.117.56.56.56.1.4.4.1.1"><mo id="S3.Ex7.m1.99.99.99.42.42.42" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.118.118.6.117.56.56.56.1.4.4.1.1.1"><mi id="S3.Ex7.m1.100.100.100.43.43.43" xref="S3.Ex7.m1.100.100.100.43.43.43.cmml">λ</mi><mo id="S3.Ex7.m1.118.118.6.117.56.56.56.1.4.4.1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex7.m1.101.101.101.44.44.44" xref="S3.Ex7.m1.101.101.101.44.44.44.cmml">T</mi><mo id="S3.Ex7.m1.118.118.6.117.56.56.56.1.4.4.1.1.1.1a" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex7.m1.102.102.102.45.45.45" xref="S3.Ex7.m1.102.102.102.45.45.45.cmml">U</mi></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.103.103.103.46.46.46" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.73.73.73.16.16.16c" xref="S3.Ex7.m1.73.73.73.16.16.16.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.118.118.6.117.56.56.56.1.5.5"><mi id="S3.Ex7.m1.105.105.105.48.48.48" xref="S3.Ex7.m1.105.105.105.48.48.48.cmml">O</mi><mo id="S3.Ex7.m1.118.118.6.117.56.56.56.1.5.5.2" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.118.118.6.117.56.56.56.1.5.5.1.1"><mo id="S3.Ex7.m1.106.106.106.49.49.49" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.118.118.6.117.56.56.56.1.5.5.1.1.1"><msubsup id="S3.Ex7.m1.118.118.6.117.56.56.56.1.5.5.1.1.1.2"><mi id="S3.Ex7.m1.107.107.107.50.50.50" xref="S3.Ex7.m1.107.107.107.50.50.50.cmml">λ</mi><mn id="S3.Ex7.m1.108.108.108.51.51.51.1" xref="S3.Ex7.m1.108.108.108.51.51.51.1.cmml">0</mn><mn id="S3.Ex7.m1.109.109.109.52.52.52.1" xref="S3.Ex7.m1.109.109.109.52.52.52.1.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S3.Ex7.m1.118.118.6.117.56.56.56.1.5.5.1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex7.m1.110.110.110.53.53.53" xref="S3.Ex7.m1.110.110.110.53.53.53.cmml">T</mi></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.111.111.111.54.54.54" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.112.112.112.55.55.55" xref="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml">,</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex7.m1.118b"><apply id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7"><and id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1a.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7"></and><apply id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1b.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7"><eq id="S3.Ex7.m1.7.7.7.7.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.7.7.7.7.1.1"></eq><apply id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.11.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7"><times id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.11.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7"></times><ci id="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1">𝑈</ci><apply id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.11.3.cmml" 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xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7"><times id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7"></times><apply id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7"><minus id="S3.Ex7.m1.33.33.33.33.27.27.cmml" xref="S3.Ex7.m1.33.33.33.33.27.27"></minus><ci id="S3.Ex7.m1.32.32.32.32.26.26.cmml" xref="S3.Ex7.m1.32.32.32.32.26.26">𝜆</ci><apply id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7"><abs id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7"></abs><ci id="S3.Ex7.m1.35.35.35.35.29.29.cmml" xref="S3.Ex7.m1.35.35.35.35.29.29">𝛼</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex7.m1.39.39.39.39.33.33.cmml" xref="S3.Ex7.m1.39.39.39.39.33.33"><divide id="S3.Ex7.m1.39.39.39.39.33.33.1.cmml" 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id="S3.Ex7.m1.41.41.41.41.35.35.1.cmml" type="integer" xref="S3.Ex7.m1.41.41.41.41.35.35.1">2</cn></apply><apply id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.2.2.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex7.m1.42.42.42.42.36.36.cmml" xref="S3.Ex7.m1.42.42.42.42.36.36">differential-d</csymbol><ci id="S3.Ex7.m1.43.43.43.43.37.37.cmml" xref="S3.Ex7.m1.43.43.43.43.37.37">𝛼</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7"><times id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7"></times><ci id="S3.Ex7.m1.45.45.45.45.39.39.cmml" xref="S3.Ex7.m1.45.45.45.45.39.39">𝑜</ci><apply id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7"><times id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7"></times><ci id="S3.Ex7.m1.47.47.47.47.41.41.cmml" xref="S3.Ex7.m1.47.47.47.47.41.41">𝜆</ci><ci id="S3.Ex7.m1.48.48.48.48.42.42.cmml" xref="S3.Ex7.m1.48.48.48.48.42.42">𝑇</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.4.4.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7"><times id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.4.4.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7"></times><ci id="S3.Ex7.m1.51.51.51.51.45.45.cmml" xref="S3.Ex7.m1.51.51.51.51.45.45">𝑂</ci><apply id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7"><times id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7"></times><apply id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.4.4.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.4.4.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.4.4.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex7.m1.53.53.53.53.47.47.cmml" xref="S3.Ex7.m1.53.53.53.53.47.47">𝜆</ci><cn 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id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.5.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.5.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.5.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7">subscript</csymbol><int id="S3.Ex7.m1.59.59.59.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.59.59.59.2.2.2"></int><cn id="S3.Ex7.m1.60.60.60.3.3.3.1.cmml" type="integer" xref="S3.Ex7.m1.60.60.60.3.3.3.1">0</cn></apply><ci id="S3.Ex7.m1.61.61.61.4.4.4.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.61.61.61.4.4.4.1">𝑇</ci></apply><apply id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.5.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7"><times id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.5.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7"></times><apply id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.5.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.5.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.5.1.1.1.1.1.1.cmml" 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id="S3.Ex7.m1.72.72.72.15.15.15.cmml" xref="S3.Ex7.m1.72.72.72.15.15.15">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.6.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7"><times id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.6.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7"></times><ci id="S3.Ex7.m1.74.74.74.17.17.17.cmml" xref="S3.Ex7.m1.74.74.74.17.17.17">𝑇</ci><apply id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.6.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7"><apply id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.6.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.6.2.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.6.2.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.6.2.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7">subscript</csymbol><int id="S3.Ex7.m1.75.75.75.18.18.18.cmml" xref="S3.Ex7.m1.75.75.75.18.18.18"></int><apply id="S3.Ex7.m1.76.76.76.19.19.19.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.76.76.76.19.19.19.1"><minus id="S3.Ex7.m1.76.76.76.19.19.19.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.76.76.76.19.19.19.1"></minus><ci id="S3.Ex7.m1.76.76.76.19.19.19.1.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.76.76.76.19.19.19.1.2">𝜆</ci></apply></apply><ci id="S3.Ex7.m1.77.77.77.20.20.20.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.77.77.77.20.20.20.1">𝜆</ci></apply><apply id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.6.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7"><times id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.6.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7"></times><apply id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.6.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7"><minus id="S3.Ex7.m1.80.80.80.23.23.23.cmml" xref="S3.Ex7.m1.80.80.80.23.23.23"></minus><ci id="S3.Ex7.m1.79.79.79.22.22.22.cmml" xref="S3.Ex7.m1.79.79.79.22.22.22">𝜆</ci><apply id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.6.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7"><abs id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.6.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7"></abs><ci id="S3.Ex7.m1.82.82.82.25.25.25.cmml" xref="S3.Ex7.m1.82.82.82.25.25.25">𝛼</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.6.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.6.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex7.m1.86.86.86.29.29.29.cmml" xref="S3.Ex7.m1.86.86.86.29.29.29"><divide id="S3.Ex7.m1.86.86.86.29.29.29.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.86.86.86.29.29.29"></divide><apply id="S3.Ex7.m1.86.86.86.29.29.29.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.86.86.86.29.29.29.2"><sin id="S3.Ex7.m1.86.86.86.29.29.29.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.86.86.86.29.29.29.2.1"></sin><apply id="S3.Ex7.m1.86.86.86.29.29.29.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.86.86.86.29.29.29.2.2"><times id="S3.Ex7.m1.86.86.86.29.29.29.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.86.86.86.29.29.29.2.2.1"></times><ci id="S3.Ex7.m1.86.86.86.29.29.29.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.86.86.86.29.29.29.2.2.2">𝜋</ci><ci id="S3.Ex7.m1.86.86.86.29.29.29.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.86.86.86.29.29.29.2.2.3">𝛼</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex7.m1.86.86.86.29.29.29.3.cmml" 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id="S3.Ex7.m1.102.102.102.45.45.45.cmml" xref="S3.Ex7.m1.102.102.102.45.45.45">𝑈</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.9.5.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7"><times id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.9.5.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7"></times><ci id="S3.Ex7.m1.105.105.105.48.48.48.cmml" xref="S3.Ex7.m1.105.105.105.48.48.48">𝑂</ci><apply id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.9.5.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7"><times id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.9.5.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7"></times><apply id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.9.5.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.9.5.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.9.5.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.113.113.1.1.1.9.5.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.6.6.6.7">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex7.m1.107.107.107.50.50.50.cmml" xref="S3.Ex7.m1.107.107.107.50.50.50">𝜆</ci><cn id="S3.Ex7.m1.108.108.108.51.51.51.1.cmml" type="integer" xref="S3.Ex7.m1.108.108.108.51.51.51.1">0</cn></apply><cn id="S3.Ex7.m1.109.109.109.52.52.52.1.cmml" type="integer" xref="S3.Ex7.m1.109.109.109.52.52.52.1">2</cn></apply><ci id="S3.Ex7.m1.110.110.110.53.53.53.cmml" xref="S3.Ex7.m1.110.110.110.53.53.53">𝑇</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex7.m1.118c">\begin{split}UN^{\circledast}(T)&=\int_{0}^{T}(\Delta_{U}N(t))^{2}\,dt-\lambda% ^{2}T+T\int_{-\lambda}^{\lambda}(\lambda-|\alpha|)\left(\frac{\sin\pi\alpha}{% \pi\alpha}\right)^{2}\,d\alpha+o(\lambda T)+O(\lambda_{0}^{2}T)\\ &=\int_{0}^{T}(\Delta_{U}S(t))^{2}\,dt+T\int_{-\lambda}^{\lambda}(\lambda-|% \alpha|)\left(\frac{\sin\pi\alpha}{\pi\alpha}\right)^{2}\,d\alpha+o(\lambda T)% +O(\lambda TU)+O(\lambda_{0}^{2}T),\end{split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex7.m1.118d">start_ROW start_CELL italic_U italic_N start_POSTSUPERSCRIPT ⊛ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T ) end_CELL start_CELL = ∫ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT italic_N ( italic_t ) ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_t - italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_T + italic_T ∫ start_POSTSUBSCRIPT - italic_λ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_λ - | italic_α | ) ( divide start_ARG roman_sin italic_π italic_α end_ARG start_ARG italic_π italic_α end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_α + italic_o ( italic_λ italic_T ) + italic_O ( italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_T ) end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL = ∫ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT italic_S ( italic_t ) ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_t + italic_T ∫ start_POSTSUBSCRIPT - italic_λ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_λ - | italic_α | ) ( divide start_ARG roman_sin italic_π italic_α end_ARG start_ARG italic_π italic_α end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_α + italic_o ( italic_λ italic_T ) + italic_O ( italic_λ italic_T italic_U ) + italic_O ( italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_T ) , end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p2.13"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.p2.13.1">where we used Lemma </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#Thmlem2" title="Lemma 2 (Gallagher and Mueller [GM78, Section 1]). ‣ 2. The Second Moment for Zeros in Short Intervals ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.p2.13.2"> in the last line. By Lemma </span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#Thmlem1" title="Lemma 1 (Fujii [Fuj74, Fuj81], Tsang [Tsa84, Theorem 13.2]). ‣ 2. The Second Moment for Zeros in Short Intervals ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.p2.13.3">,</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex8"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\int_{0}^{T}(\Delta_{U}S(t))^{2}\,dt\ll T\log(2+\lambda)," class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex8.m1.3"><semantics id="S3.Ex8.m1.3a"><mrow id="S3.Ex8.m1.3.3.1" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml">∫</mo><mn id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2.2.3" 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xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">S</mi><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex8.m1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" 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id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml">λ</mi></mrow><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.1.2" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex8.m1.3b"><apply id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.3">much-less-than</csymbol><apply id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1"><apply id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2">subscript</csymbol><int id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml" 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xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">Δ</ci><ci id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑈</ci></apply><ci id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑆</ci><ci id="S3.Ex8.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1">𝑡</ci></apply><cn id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.3.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.3.2">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2"><times id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.2"></times><ci id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.3">𝑇</ci><apply id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1"><log 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ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p2.14"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.p2.14.1">and</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx2"> <tbody id="S3.Ex9"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\int_{-\lambda}^{\lambda}(\lambda-|\alpha|)\left(\frac{\sin\pi% \alpha}{\pi\alpha}\right)^{2}\,d\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex9.m1.3"><semantics id="S3.Ex9.m1.3a"><mrow id="S3.Ex9.m1.3.3" xref="S3.Ex9.m1.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex9.m1.3.3.2" xref="S3.Ex9.m1.3.3.2.cmml"><msubsup id="S3.Ex9.m1.3.3.2a" xref="S3.Ex9.m1.3.3.2.cmml"><mo id="S3.Ex9.m1.3.3.2.2.2" xref="S3.Ex9.m1.3.3.2.2.2.cmml">∫</mo><mrow id="S3.Ex9.m1.3.3.2.2.3" xref="S3.Ex9.m1.3.3.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex9.m1.3.3.2.2.3a" 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stretchy="false" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex9.m1.3.3.1.2" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex9.m1.3.3.1.3" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.2.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.cmml"><mo id="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.2.2.1" xref="S3.Ex9.m1.2.2.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex9.m1.2.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.cmml"><mfrac id="S3.Ex9.m1.2.2a" xref="S3.Ex9.m1.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex9.m1.2.2.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.2.2.2.1" xref="S3.Ex9.m1.2.2.2.1.cmml">sin</mi><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.2a" lspace="0.167em" xref="S3.Ex9.m1.2.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.Ex9.m1.2.2.2.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.2.2.2.cmml">π</mi><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex9.m1.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex9.m1.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.2.2.3.cmml">α</mi></mrow></mrow><mrow id="S3.Ex9.m1.2.2.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.2.2.3.2" 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ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\lambda\int_{-\lambda}^{\lambda}\left(\frac{\sin\pi\alpha}{\pi% \alpha}\right)^{2}\,d\alpha+O\left(\int_{0}^{1}d\alpha+\int_{1}^{\lambda}\frac% {1}{\alpha}\,d\alpha\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex9.m2.2"><semantics id="S3.Ex9.m2.2a"><mrow id="S3.Ex9.m2.2.2" xref="S3.Ex9.m2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex9.m2.2.2.3" xref="S3.Ex9.m2.2.2.3.cmml"></mi><mo id="S3.Ex9.m2.2.2.2" xref="S3.Ex9.m2.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex9.m2.2.2.1" xref="S3.Ex9.m2.2.2.1.cmml"><mrow id="S3.Ex9.m2.2.2.1.3" xref="S3.Ex9.m2.2.2.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex9.m2.2.2.1.3.2" xref="S3.Ex9.m2.2.2.1.3.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.Ex9.m2.2.2.1.3.1" xref="S3.Ex9.m2.2.2.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex9.m2.2.2.1.3.3" xref="S3.Ex9.m2.2.2.1.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex9.m2.2.2.1.3.3.1" xref="S3.Ex9.m2.2.2.1.3.3.1.cmml"><msubsup id="S3.Ex9.m2.2.2.1.3.3.1a" xref="S3.Ex9.m2.2.2.1.3.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex9.m2.2.2.1.3.3.1.2.2" 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xref="S3.Ex10.m1.1.1.3.2.cmml">π</mi><mo id="S3.Ex10.m1.1.1.3.1" xref="S3.Ex10.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex10.m1.1.1.3.3" xref="S3.Ex10.m1.1.1.3.3.cmml">α</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.3.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex10.m1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.3.2.2.3" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.3.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.3.2.1" lspace="0em" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.3.2.3" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.3.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.3.2.3.1" rspace="0em" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.3.2.3.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.3.2.3.2" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.3.2.3.2.cmml">α</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex10.m1.4.4.2.3" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3.cmml">O</mi><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><msubsup id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.2.2" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.2.3" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml">λ</mi><mi id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml">∞</mi></msubsup></mstyle><mrow id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mfrac id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2a" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mn id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">1</mn><msup id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">α</mi><mn id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.1" lspace="0.170em" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.1" rspace="0em" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">α</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex10.m1.4.4.2.3a" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.4.4.2.2" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.3" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.3.cmml">O</mi><mo id="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.2" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.1.1" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.cmml"><mo id="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.2.2" xref="S3.Ex10.m1.2.2.cmml">log</mi><mo id="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.1.1.1.1a" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">λ</mi></mrow><mo id="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex10.m1.4b"><apply id="S3.Ex10.m1.4.4.cmml" xref="S3.Ex10.m1.4.4"><eq id="S3.Ex10.m1.4.4.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.4.4.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex10.m1.4.4.4.cmml" xref="S3.Ex10.m1.4.4.4">absent</csymbol><apply id="S3.Ex10.m1.4.4.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2"><plus id="S3.Ex10.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.3"></plus><apply id="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.cmml" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.4"><times id="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.1"></times><ci id="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.2">𝜆</ci><apply id="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.3"><apply id="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.3.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.3.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.3.1">subscript</csymbol><int id="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.3.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.3.1.2.2"></int><apply id="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.3.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.3.1.2.3"><minus id="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.3.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.3.1.2.3"></minus><infinity id="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.3.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.3.1.2.3.2"></infinity></apply></apply><infinity id="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.3.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.3.1.3"></infinity></apply><apply id="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.3.2"><times id="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.3.2.1"></times><apply id="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.3.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex10.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.3.2.2.2.2"><divide id="S3.Ex10.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.3.2.2.2.2"></divide><apply id="S3.Ex10.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.2"><sin id="S3.Ex10.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.2.1"></sin><apply id="S3.Ex10.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.2.2"><times id="S3.Ex10.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.2.2.1"></times><ci id="S3.Ex10.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.2.2.2">𝜋</ci><ci id="S3.Ex10.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.2.2.3">𝛼</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex10.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.3"><times id="S3.Ex10.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.Ex10.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.3.2">𝜋</ci><ci id="S3.Ex10.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.3.3">𝛼</ci></apply></apply><cn id="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.3.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.3.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.3.2.3.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.3.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.4.3.2.3.2">𝛼</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1"><times id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2"></times><ci id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3">𝑂</ci><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1"><times id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.2">𝜆</ci><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3"><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><int id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.2.2"></int><ci id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.2.3">𝜆</ci></apply><infinity id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.3"></infinity></apply><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2"><times id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.1"></times><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2"><divide id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2"></divide><cn id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.2">1</cn><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2">𝛼</ci><cn id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝛼</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.2"><times id="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.2"></times><ci id="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.3">𝑂</ci><apply id="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.1.1.1.1"><log id="S3.Ex10.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2"></log><apply id="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></plus><cn id="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.2">2</cn><ci id="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.3">𝜆</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex10.m1.4c">\displaystyle=\lambda\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{\sin\pi\alpha}{\pi% \alpha}\right)^{2}\,d\alpha+O\left(\lambda\int_{\lambda}^{\infty}\frac{1}{% \alpha^{2}}\,d\alpha\right)+O(\log(2+\lambda))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex10.m1.4d">= italic_λ ∫ start_POSTSUBSCRIPT - ∞ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT ( divide start_ARG roman_sin italic_π italic_α end_ARG start_ARG italic_π italic_α end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_α + italic_O ( italic_λ ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_α start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG italic_d italic_α ) + italic_O ( roman_log ( 2 + italic_λ ) )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex11"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\lambda+O(\log(2+\lambda))," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex11.m1.2"><semantics id="S3.Ex11.m1.2a"><mrow id="S3.Ex11.m1.2.2.1" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">λ</mi><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">O</mi><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">λ</mi></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex11.m1.2b"><apply id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1"><eq id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1"><plus id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.2"></plus><ci id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.3">𝜆</ci><apply id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1"><times id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.3">𝑂</ci><apply id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><log id="S3.Ex11.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1"></log><apply id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><cn id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">2</cn><ci id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜆</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex11.m1.2c">\displaystyle=\lambda+O(\log(2+\lambda)),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex11.m1.2d">= italic_λ + italic_O ( roman_log ( 2 + italic_λ ) ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p2.15"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.p2.15.1">and therefore</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex12"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="UN^{\circledast}(T)=\lambda T+O(T\log(2+\lambda))+o(\lambda T)+O(\lambda TU)+O% (\lambda_{0}^{2}T)." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex12.m1.3"><semantics id="S3.Ex12.m1.3a"><mrow id="S3.Ex12.m1.3.3.1" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.6" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.6.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.6.2" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.6.2.cmml">U</mi><mo id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.6.1" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.6.3" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.6.3.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.6.3.2" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.6.3.2.cmml">N</mi><mo id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.6.3.3" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.6.3.3.cmml">⊛</mo></msup><mo id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.6.1a" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.6.4.2" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.6.cmml"><mo id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.6.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.6.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex12.m1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.1.1.cmml">T</mi><mo id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.6.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.6.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.5" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.cmml"><mrow id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.6" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.6.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.6.2" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.6.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.6.1" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.6.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.6.3" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.6.3.cmml">T</mi></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.5" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.5.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">O</mi><mo id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">T</mi><mo id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" lspace="0.167em" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.2.2" xref="S3.Ex12.m1.2.2.cmml">log</mi><mo id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">λ</mi></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.5a" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.5.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml">o</mi><mo id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.2.2.1.1" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml">T</mi></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.5b" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.5.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.3.3" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.3.3.3.cmml">O</mi><mo id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.3.3.1.1" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.2" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.3" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.3.cmml">T</mi><mo id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1a" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.4" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.4.cmml">U</mi></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.5c" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.5.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.3" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.3.cmml">O</mi><mo id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.2" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.1.1" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.2" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.2.2.2.cmml">λ</mi><mn id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.2.2.3.cmml">0</mn><mn id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.3" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.3.cmml">T</mi></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex12.m1.3b"><apply id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1"><eq id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.5"></eq><apply id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.6.cmml" 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cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.2.2.2">𝜆</ci><cn id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.2.2.3">0</cn></apply><cn id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.2.3">2</cn></apply><ci id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.3">𝑇</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex12.m1.3c">UN^{\circledast}(T)=\lambda T+O(T\log(2+\lambda))+o(\lambda T)+O(\lambda TU)+O% (\lambda_{0}^{2}T).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex12.m1.3d">italic_U italic_N start_POSTSUPERSCRIPT ⊛ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T ) = italic_λ italic_T + italic_O ( italic_T roman_log ( 2 + italic_λ ) ) + italic_o ( italic_λ italic_T ) + italic_O ( italic_λ italic_T italic_U ) + italic_O ( italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_T ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p2.7"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.p2.7.1">Dividing by </span><math alttext="U" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.7.m1.1"><semantics id="S3.p2.7.m1.1a"><mi id="S3.p2.7.m1.1.1" xref="S3.p2.7.m1.1.1.cmml">U</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.7.m1.1b"><ci id="S3.p2.7.m1.1.1.cmml" xref="S3.p2.7.m1.1.1">𝑈</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.7.m1.1c">U</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.7.m1.1d">italic_U</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.p2.7.2"> we obtain</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex13"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="N^{\circledast}(T)=TL+o(TL)+O\left(\frac{\log(2+\lambda)}{\lambda}TL\right)+O% \left(\frac{\lambda_{0}^{2}}{\lambda}TL\right)." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex13.m1.4"><semantics id="S3.Ex13.m1.4a"><mrow id="S3.Ex13.m1.4.4.1" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.5" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.5.cmml"><msup id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.5.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.5.2.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.5.2.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.5.2.2.cmml">N</mi><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.5.2.3" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.5.2.3.cmml">⊛</mo></msup><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.5.1" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.5.3.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.5.cmml"><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.5.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.5.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex13.m1.3.3" xref="S3.Ex13.m1.3.3.cmml">T</mi><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.5.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.5.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.4" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.5" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.5.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.5.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.5.2.cmml">T</mi><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.5.1" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.5.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.5.3" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.5.3.cmml">L</mi></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.4" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.4.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml">o</mi><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">L</mi></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.4a" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.4.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml">O</mi><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.1.1" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mfrac id="S3.Ex13.m1.2.2" xref="S3.Ex13.m1.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex13.m1.2.2.2.2" xref="S3.Ex13.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S3.Ex13.m1.2.2.2.2a" xref="S3.Ex13.m1.2.2.2.3.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex13.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex13.m1.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S3.Ex13.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mn id="S3.Ex13.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex13.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S3.Ex13.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S3.Ex13.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex13.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml">λ</mi></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mi id="S3.Ex13.m1.2.2.4" xref="S3.Ex13.m1.2.2.4.cmml">λ</mi></mfrac><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1a" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml">L</mi></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.4b" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.4.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.3.cmml">O</mi><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.cmml"><mfrac id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mn id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.2.2.2.3.cmml">0</mn><mn id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.2.3.cmml">λ</mi></mfrac><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.3" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.3.cmml">T</mi><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.1a" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.4" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.4.cmml">L</mi></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.3" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex13.m1.4b"><apply id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1"><eq id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.4"></eq><apply id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.5"><times id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.5.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.5.1"></times><apply id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.5.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.5.2.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.5.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.5.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.5.2.2">𝑁</ci><ci id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.5.2.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.5.2.3">⊛</ci></apply><ci id="S3.Ex13.m1.3.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.3.3">𝑇</ci></apply><apply id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3"><plus id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.4.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.4"></plus><apply id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.5.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.5"><times id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.5.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.5.1"></times><ci id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.5.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.5.2">𝑇</ci><ci id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.5.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.5.3">𝐿</ci></apply><apply id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1"><times id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.3">𝑜</ci><apply id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3">𝐿</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2"><times id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.2"></times><ci id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.3">𝑂</ci><apply id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.1.1"><times id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1"></times><apply id="S3.Ex13.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2"><divide id="S3.Ex13.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2"></divide><apply id="S3.Ex13.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.2.2"><log id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1"></log><apply id="S3.Ex13.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.2.2.1.1"><plus id="S3.Ex13.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.2.2.1.1.1"></plus><cn id="S3.Ex13.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex13.m1.2.2.2.2.1.1.2">2</cn><ci id="S3.Ex13.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.2.2.1.1.3">𝜆</ci></apply></apply><ci id="S3.Ex13.m1.2.2.4.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.4">𝜆</ci></apply><ci id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.3">𝐿</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3"><times id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.2"></times><ci id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.3">𝑂</ci><apply id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1"><times id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.1"></times><apply id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.2"><divide id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.2"></divide><apply id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.2.2.2.2">𝜆</ci><cn id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.2.2.2.3">0</cn></apply><cn id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.2.2.3">2</cn></apply><ci id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.2.3">𝜆</ci></apply><ci id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.3">𝑇</ci><ci id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.3.1.1.1.4">𝐿</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex13.m1.4c">N^{\circledast}(T)=TL+o(TL)+O\left(\frac{\log(2+\lambda)}{\lambda}TL\right)+O% \left(\frac{\lambda_{0}^{2}}{\lambda}TL\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex13.m1.4d">italic_N start_POSTSUPERSCRIPT ⊛ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T ) = italic_T italic_L + italic_o ( italic_T italic_L ) + italic_O ( divide start_ARG roman_log ( 2 + italic_λ ) end_ARG start_ARG italic_λ end_ARG italic_T italic_L ) + italic_O ( divide start_ARG italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_λ end_ARG italic_T italic_L ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p2.10"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.p2.10.1">Letting </span><math alttext="\lambda_{0}\to 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.8.m1.1"><semantics id="S3.p2.8.m1.1a"><mrow id="S3.p2.8.m1.1.1" xref="S3.p2.8.m1.1.1.cmml"><msub id="S3.p2.8.m1.1.1.2" xref="S3.p2.8.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.p2.8.m1.1.1.2.2" xref="S3.p2.8.m1.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mn id="S3.p2.8.m1.1.1.2.3" xref="S3.p2.8.m1.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.p2.8.m1.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.p2.8.m1.1.1.1.cmml">→</mo><mn id="S3.p2.8.m1.1.1.3" xref="S3.p2.8.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.8.m1.1b"><apply id="S3.p2.8.m1.1.1.cmml" xref="S3.p2.8.m1.1.1"><ci id="S3.p2.8.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.8.m1.1.1.1">→</ci><apply id="S3.p2.8.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.8.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.8.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p2.8.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.8.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p2.8.m1.1.1.2.2">𝜆</ci><cn id="S3.p2.8.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.p2.8.m1.1.1.2.3">0</cn></apply><cn id="S3.p2.8.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.p2.8.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.8.m1.1c">\lambda_{0}\to 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.8.m1.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT → 0</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.p2.10.2"> and </span><math alttext="\lambda\to\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.9.m2.1"><semantics id="S3.p2.9.m2.1a"><mrow id="S3.p2.9.m2.1.1" xref="S3.p2.9.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.9.m2.1.1.2" xref="S3.p2.9.m2.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.p2.9.m2.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.p2.9.m2.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="S3.p2.9.m2.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.p2.9.m2.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.9.m2.1b"><apply id="S3.p2.9.m2.1.1.cmml" xref="S3.p2.9.m2.1.1"><ci id="S3.p2.9.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.9.m2.1.1.1">→</ci><ci id="S3.p2.9.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.9.m2.1.1.2">𝜆</ci><infinity id="S3.p2.9.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.9.m2.1.1.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.9.m2.1c">\lambda\to\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.9.m2.1d">italic_λ → ∞</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.p2.10.3"> slowly we conclude </span><math alttext="N^{\circledast}(T)=TL+o(TL)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.10.m3.2"><semantics id="S3.p2.10.m3.2a"><mrow id="S3.p2.10.m3.2.2" xref="S3.p2.10.m3.2.2.cmml"><mrow id="S3.p2.10.m3.2.2.3" xref="S3.p2.10.m3.2.2.3.cmml"><msup id="S3.p2.10.m3.2.2.3.2" xref="S3.p2.10.m3.2.2.3.2.cmml"><mi id="S3.p2.10.m3.2.2.3.2.2" xref="S3.p2.10.m3.2.2.3.2.2.cmml">N</mi><mo id="S3.p2.10.m3.2.2.3.2.3" xref="S3.p2.10.m3.2.2.3.2.3.cmml">⊛</mo></msup><mo id="S3.p2.10.m3.2.2.3.1" xref="S3.p2.10.m3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p2.10.m3.2.2.3.3.2" xref="S3.p2.10.m3.2.2.3.cmml"><mo id="S3.p2.10.m3.2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p2.10.m3.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S3.p2.10.m3.1.1" xref="S3.p2.10.m3.1.1.cmml">T</mi><mo id="S3.p2.10.m3.2.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.p2.10.m3.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.p2.10.m3.2.2.2" xref="S3.p2.10.m3.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.p2.10.m3.2.2.1" xref="S3.p2.10.m3.2.2.1.cmml"><mrow id="S3.p2.10.m3.2.2.1.3" xref="S3.p2.10.m3.2.2.1.3.cmml"><mi id="S3.p2.10.m3.2.2.1.3.2" xref="S3.p2.10.m3.2.2.1.3.2.cmml">T</mi><mo id="S3.p2.10.m3.2.2.1.3.1" xref="S3.p2.10.m3.2.2.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p2.10.m3.2.2.1.3.3" xref="S3.p2.10.m3.2.2.1.3.3.cmml">L</mi></mrow><mo id="S3.p2.10.m3.2.2.1.2" xref="S3.p2.10.m3.2.2.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S3.p2.10.m3.2.2.1.1" xref="S3.p2.10.m3.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.10.m3.2.2.1.1.3" xref="S3.p2.10.m3.2.2.1.1.3.cmml">o</mi><mo id="S3.p2.10.m3.2.2.1.1.2" xref="S3.p2.10.m3.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p2.10.m3.2.2.1.1.1.1" xref="S3.p2.10.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.p2.10.m3.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.p2.10.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.p2.10.m3.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.p2.10.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.10.m3.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p2.10.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S3.p2.10.m3.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.p2.10.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p2.10.m3.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p2.10.m3.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">L</mi></mrow><mo id="S3.p2.10.m3.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.p2.10.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.10.m3.2b"><apply id="S3.p2.10.m3.2.2.cmml" xref="S3.p2.10.m3.2.2"><eq id="S3.p2.10.m3.2.2.2.cmml" xref="S3.p2.10.m3.2.2.2"></eq><apply id="S3.p2.10.m3.2.2.3.cmml" xref="S3.p2.10.m3.2.2.3"><times id="S3.p2.10.m3.2.2.3.1.cmml" xref="S3.p2.10.m3.2.2.3.1"></times><apply id="S3.p2.10.m3.2.2.3.2.cmml" xref="S3.p2.10.m3.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.10.m3.2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.p2.10.m3.2.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.p2.10.m3.2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.p2.10.m3.2.2.3.2.2">𝑁</ci><ci id="S3.p2.10.m3.2.2.3.2.3.cmml" xref="S3.p2.10.m3.2.2.3.2.3">⊛</ci></apply><ci id="S3.p2.10.m3.1.1.cmml" xref="S3.p2.10.m3.1.1">𝑇</ci></apply><apply id="S3.p2.10.m3.2.2.1.cmml" xref="S3.p2.10.m3.2.2.1"><plus id="S3.p2.10.m3.2.2.1.2.cmml" xref="S3.p2.10.m3.2.2.1.2"></plus><apply id="S3.p2.10.m3.2.2.1.3.cmml" xref="S3.p2.10.m3.2.2.1.3"><times id="S3.p2.10.m3.2.2.1.3.1.cmml" xref="S3.p2.10.m3.2.2.1.3.1"></times><ci id="S3.p2.10.m3.2.2.1.3.2.cmml" xref="S3.p2.10.m3.2.2.1.3.2">𝑇</ci><ci id="S3.p2.10.m3.2.2.1.3.3.cmml" xref="S3.p2.10.m3.2.2.1.3.3">𝐿</ci></apply><apply id="S3.p2.10.m3.2.2.1.1.cmml" xref="S3.p2.10.m3.2.2.1.1"><times id="S3.p2.10.m3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.10.m3.2.2.1.1.2"></times><ci id="S3.p2.10.m3.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.10.m3.2.2.1.1.3">𝑜</ci><apply id="S3.p2.10.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.10.m3.2.2.1.1.1.1"><times id="S3.p2.10.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.10.m3.2.2.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.p2.10.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.10.m3.2.2.1.1.1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S3.p2.10.m3.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.10.m3.2.2.1.1.1.1.1.3">𝐿</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.10.m3.2c">N^{\circledast}(T)=TL+o(TL)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.10.m3.2d">italic_N start_POSTSUPERSCRIPT ⊛ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T ) = italic_T italic_L + italic_o ( italic_T italic_L )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.p2.10.4"> which establishes (</span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S3.E2" title="Equation 3.2 ‣ 3. Proof of Theorem 1 ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.2</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.p2.10.5">).</span></p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S4"> <h2 class="ltx_title ltx_font_bold ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">4. </span>Proof of the lemmas</h2> <div class="ltx_para" id="S4.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.p1.3.1">We will make use of the trivial estimates</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(4.1)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Delta_{U}N(t)\ll(1+U)L,\quad\Delta_{U}S(t)\ll L,\qquad\text{for}\qquad 0\leq t% \leq T\quad\text{and}\quad 0\leq U\leq T," class="ltx_Math" display="block" id="S4.E1.m1.7"><semantics id="S4.E1.m1.7a"><mrow id="S4.E1.m1.7.7.1"><mrow id="S4.E1.m1.7.7.1.1.2" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">Δ</mi><mi id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">U</mi></msub><mo id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">N</mi><mo id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.E1.m1.1.1" xref="S4.E1.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2" stretchy="false" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml">≪</mo><mrow id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">U</mi></mrow><mo id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">L</mi></mrow></mrow><mo id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><msub id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.cmml">Δ</mi><mi id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">U</mi></msub><mo id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml">S</mi><mo id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1a" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.2.4.2" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.E1.m1.2.2" xref="S4.E1.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">≪</mo><mrow id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml"><mi id="S4.E1.m1.3.3" xref="S4.E1.m1.3.3.cmml">L</mi><mo id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.1" rspace="2.167em" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml">,</mo><mtext class="ltx_mathvariant_bold" id="S4.E1.m1.4.4" xref="S4.E1.m1.4.4a.cmml">for</mtext></mrow></mrow><mspace id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.3" width="2em" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.3a.cmml"></mspace><mrow id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mn id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">≤</mo><mi id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.4" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.4.cmml">t</mi><mo id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.5" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.5.cmml">≤</mo><mi id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.6" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.6.cmml">T</mi></mrow></mrow></mrow><mspace id="S4.E1.m1.7.7.1.1.2.3" width="1em" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.3a.cmml"></mspace><mrow id="S4.E1.m1.7.7.1.1.2.2" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S4.E1.m1.7.7.1.1.2.2.2.2" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_bold" id="S4.E1.m1.5.5" xref="S4.E1.m1.5.5a.cmml">and</mtext><mspace id="S4.E1.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.1" width="1em" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.cmml"></mspace><mn id="S4.E1.m1.6.6" xref="S4.E1.m1.6.6.cmml">0</mn></mrow><mo id="S4.E1.m1.7.7.1.1.2.2.3" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml">≤</mo><mi id="S4.E1.m1.7.7.1.1.2.2.4" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.2.2.4.cmml">U</mi><mo id="S4.E1.m1.7.7.1.1.2.2.5" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.2.2.5.cmml">≤</mo><mi id="S4.E1.m1.7.7.1.1.2.2.6" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.2.2.6.cmml">T</mi></mrow></mrow><mo id="S4.E1.m1.7.7.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E1.m1.7b"><apply id="S4.E1.m1.7.7.1.1.3.cmml" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E1.m1.7.7.1.1.3a.cmml" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2">much-less-than</csymbol><apply id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.2">Δ</ci><ci id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑈</ci></apply><ci id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑁</ci><ci id="S4.E1.m1.1.1.cmml" xref="S4.E1.m1.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><cn id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑈</ci></apply><ci id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3">𝐿</ci></apply></apply><apply id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.3a.cmml" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.1">much-less-than</csymbol><apply id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.2"><times id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1"></times><apply id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2">Δ</ci><ci id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3">𝑈</ci></apply><ci id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3">𝑆</ci><ci id="S4.E1.m1.2.2.cmml" xref="S4.E1.m1.2.2">𝑡</ci></apply><list id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2"><ci id="S4.E1.m1.3.3.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3">𝐿</ci><ci id="S4.E1.m1.4.4a.cmml" xref="S4.E1.m1.4.4"><mtext class="ltx_mathvariant_bold" id="S4.E1.m1.4.4.cmml" xref="S4.E1.m1.4.4">for</mtext></ci></list></apply><apply id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2"><and id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2a.cmml" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2"></and><apply id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2b.cmml" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2"><leq id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.3"></leq><cn id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.2">0</cn><ci id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.4.cmml" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.4">𝑡</ci></apply><apply id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2c.cmml" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2"><leq id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.5.cmml" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.4.cmml" id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2d.cmml" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2"></share><ci id="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.6.cmml" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.6">𝑇</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E1.m1.7.7.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.2.2"><and id="S4.E1.m1.7.7.1.1.2.2a.cmml" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.2.2"></and><apply id="S4.E1.m1.7.7.1.1.2.2b.cmml" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.2.2"><leq id="S4.E1.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.2.2.3"></leq><list id="S4.E1.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.2.2.2.2"><ci id="S4.E1.m1.5.5a.cmml" xref="S4.E1.m1.5.5"><mtext class="ltx_mathvariant_bold" id="S4.E1.m1.5.5.cmml" xref="S4.E1.m1.5.5">and</mtext></ci><cn id="S4.E1.m1.6.6.cmml" type="integer" xref="S4.E1.m1.6.6">0</cn></list><ci id="S4.E1.m1.7.7.1.1.2.2.4.cmml" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.2.2.4">𝑈</ci></apply><apply id="S4.E1.m1.7.7.1.1.2.2c.cmml" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.2.2"><leq id="S4.E1.m1.7.7.1.1.2.2.5.cmml" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.2.2.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S4.E1.m1.7.7.1.1.2.2.4.cmml" id="S4.E1.m1.7.7.1.1.2.2d.cmml" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.2.2"></share><ci id="S4.E1.m1.7.7.1.1.2.2.6.cmml" xref="S4.E1.m1.7.7.1.1.2.2.6">𝑇</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E1.m1.7c">\Delta_{U}N(t)\ll(1+U)L,\quad\Delta_{U}S(t)\ll L,\qquad\text{for}\qquad 0\leq t% \leq T\quad\text{and}\quad 0\leq U\leq T,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E1.m1.7d">roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT italic_N ( italic_t ) ≪ ( 1 + italic_U ) italic_L , roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT italic_S ( italic_t ) ≪ italic_L , for 0 ≤ italic_t ≤ italic_T and 0 ≤ italic_U ≤ italic_T ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.p1.2.1">which follow immediately from the estimates </span><math alttext="S(T)\ll L" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.p1.1.m1.1a"><mrow id="S4.p1.1.m1.1.2" xref="S4.p1.1.m1.1.2.cmml"><mrow id="S4.p1.1.m1.1.2.2" xref="S4.p1.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.p1.1.m1.1.2.2.2" xref="S4.p1.1.m1.1.2.2.2.cmml">S</mi><mo id="S4.p1.1.m1.1.2.2.1" xref="S4.p1.1.m1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p1.1.m1.1.2.2.3.2" xref="S4.p1.1.m1.1.2.2.cmml"><mo id="S4.p1.1.m1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p1.1.m1.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.p1.1.m1.1.1" xref="S4.p1.1.m1.1.1.cmml">T</mi><mo id="S4.p1.1.m1.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.p1.1.m1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.p1.1.m1.1.2.1" xref="S4.p1.1.m1.1.2.1.cmml">≪</mo><mi id="S4.p1.1.m1.1.2.3" xref="S4.p1.1.m1.1.2.3.cmml">L</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.1.m1.1b"><apply id="S4.p1.1.m1.1.2.cmml" xref="S4.p1.1.m1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.p1.1.m1.1.2.1">much-less-than</csymbol><apply id="S4.p1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.p1.1.m1.1.2.2"><times id="S4.p1.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.p1.1.m1.1.2.2.1"></times><ci id="S4.p1.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.p1.1.m1.1.2.2.2">𝑆</ci><ci id="S4.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p1.1.m1.1.1">𝑇</ci></apply><ci id="S4.p1.1.m1.1.2.3.cmml" xref="S4.p1.1.m1.1.2.3">𝐿</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.1.m1.1c">S(T)\ll L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.1.m1.1d">italic_S ( italic_T ) ≪ italic_L</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.p1.2.2"> and </span><math alttext="N(T+1)-N(T)\ll L" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.2.m2.2"><semantics id="S4.p1.2.m2.2a"><mrow id="S4.p1.2.m2.2.2" xref="S4.p1.2.m2.2.2.cmml"><mrow id="S4.p1.2.m2.2.2.1" xref="S4.p1.2.m2.2.2.1.cmml"><mrow id="S4.p1.2.m2.2.2.1.1" xref="S4.p1.2.m2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.p1.2.m2.2.2.1.1.3" xref="S4.p1.2.m2.2.2.1.1.3.cmml">N</mi><mo id="S4.p1.2.m2.2.2.1.1.2" xref="S4.p1.2.m2.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.p1.2.m2.2.2.1.2" xref="S4.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S4.p1.2.m2.2.2.1.3" xref="S4.p1.2.m2.2.2.1.3.cmml"><mi id="S4.p1.2.m2.2.2.1.3.2" xref="S4.p1.2.m2.2.2.1.3.2.cmml">N</mi><mo id="S4.p1.2.m2.2.2.1.3.1" xref="S4.p1.2.m2.2.2.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p1.2.m2.2.2.1.3.3.2" xref="S4.p1.2.m2.2.2.1.3.cmml"><mo id="S4.p1.2.m2.2.2.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p1.2.m2.2.2.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.p1.2.m2.1.1" xref="S4.p1.2.m2.1.1.cmml">T</mi><mo id="S4.p1.2.m2.2.2.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.p1.2.m2.2.2.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.p1.2.m2.2.2.2" xref="S4.p1.2.m2.2.2.2.cmml">≪</mo><mi id="S4.p1.2.m2.2.2.3" xref="S4.p1.2.m2.2.2.3.cmml">L</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.2.m2.2b"><apply id="S4.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="S4.p1.2.m2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.p1.2.m2.2.2.2.cmml" xref="S4.p1.2.m2.2.2.2">much-less-than</csymbol><apply id="S4.p1.2.m2.2.2.1.cmml" xref="S4.p1.2.m2.2.2.1"><minus id="S4.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.p1.2.m2.2.2.1.2"></minus><apply id="S4.p1.2.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.p1.2.m2.2.2.1.1"><times id="S4.p1.2.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.p1.2.m2.2.2.1.1.2"></times><ci id="S4.p1.2.m2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.p1.2.m2.2.2.1.1.3">𝑁</ci><apply id="S4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1"><plus id="S4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2">𝑇</ci><cn id="S4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.p1.2.m2.2.2.1.3.cmml" xref="S4.p1.2.m2.2.2.1.3"><times id="S4.p1.2.m2.2.2.1.3.1.cmml" xref="S4.p1.2.m2.2.2.1.3.1"></times><ci id="S4.p1.2.m2.2.2.1.3.2.cmml" xref="S4.p1.2.m2.2.2.1.3.2">𝑁</ci><ci id="S4.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p1.2.m2.1.1">𝑇</ci></apply></apply><ci id="S4.p1.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S4.p1.2.m2.2.2.3">𝐿</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.2.m2.2c">N(T+1)-N(T)\ll L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.2.m2.2d">italic_N ( italic_T + 1 ) - italic_N ( italic_T ) ≪ italic_L</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.p1.2.3"> obtained from (</span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S2.E1" title="Equation 2.1 ‣ 2. The Second Moment for Zeros in Short Intervals ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.1</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.p1.2.4">) and (</span><a class="ltx_ref ltx_font_bold" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S2.E2" title="Equation 2.2 ‣ 2. The Second Moment for Zeros in Short Intervals ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.2</span></a><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.p1.2.5">).</span></p> </div> <div class="ltx_proof" id="S4.1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof of Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#Thmlem1" title="Lemma 1 (Fujii [Fuj74, Fuj81], Tsang [Tsa84, Theorem 13.2]). ‣ 2. The Second Moment for Zeros in Short Intervals ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>.</h6> <div class="ltx_para" id="S4.1.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.1.p1.3"><span class="ltx_text" id="S4.1.p1.3.3">In (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S2.E3" title="Equation 2.3 ‣ 2. The Second Moment for Zeros in Short Intervals ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.3</span></a>) we take <math alttext="H=T" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.1.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.1.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.1.p1.1.1.m1.1.1" xref="S4.1.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.1.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">H</mi><mo id="S4.1.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="S4.1.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S4.1.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="S4.1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">T</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.1.p1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.1.p1.1.1.m1.1.1"><eq id="S4.1.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.1.p1.1.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S4.1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.1.p1.1.1.m1.1.1.2">𝐻</ci><ci id="S4.1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.1.p1.1.1.m1.1.1.3">𝑇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.1.p1.1.1.m1.1c">H=T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.1.p1.1.1.m1.1d">italic_H = italic_T</annotation></semantics></math>, <math alttext="h=U" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.1.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S4.1.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="S4.1.p1.2.2.m2.1.1" xref="S4.1.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.1.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="S4.1.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">h</mi><mo id="S4.1.p1.2.2.m2.1.1.1" xref="S4.1.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S4.1.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="S4.1.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">U</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.1.p1.2.2.m2.1b"><apply id="S4.1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.1.p1.2.2.m2.1.1"><eq id="S4.1.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.1.p1.2.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S4.1.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.1.p1.2.2.m2.1.1.2">ℎ</ci><ci id="S4.1.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.1.p1.2.2.m2.1.1.3">𝑈</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.1.p1.2.2.m2.1c">h=U</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.1.p1.2.2.m2.1d">italic_h = italic_U</annotation></semantics></math> and have, for <math alttext="0<U\leq 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.1.p1.3.3.m3.1"><semantics id="S4.1.p1.3.3.m3.1a"><mrow id="S4.1.p1.3.3.m3.1.1" xref="S4.1.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><mn id="S4.1.p1.3.3.m3.1.1.2" xref="S4.1.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml">0</mn><mo id="S4.1.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="S4.1.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml"><</mo><mi id="S4.1.p1.3.3.m3.1.1.4" xref="S4.1.p1.3.3.m3.1.1.4.cmml">U</mi><mo id="S4.1.p1.3.3.m3.1.1.5" xref="S4.1.p1.3.3.m3.1.1.5.cmml">≤</mo><mn id="S4.1.p1.3.3.m3.1.1.6" xref="S4.1.p1.3.3.m3.1.1.6.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.1.p1.3.3.m3.1b"><apply id="S4.1.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.1.p1.3.3.m3.1.1"><and id="S4.1.p1.3.3.m3.1.1a.cmml" xref="S4.1.p1.3.3.m3.1.1"></and><apply id="S4.1.p1.3.3.m3.1.1b.cmml" xref="S4.1.p1.3.3.m3.1.1"><lt id="S4.1.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.1.p1.3.3.m3.1.1.3"></lt><cn id="S4.1.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.1.p1.3.3.m3.1.1.2">0</cn><ci id="S4.1.p1.3.3.m3.1.1.4.cmml" xref="S4.1.p1.3.3.m3.1.1.4">𝑈</ci></apply><apply id="S4.1.p1.3.3.m3.1.1c.cmml" xref="S4.1.p1.3.3.m3.1.1"><leq id="S4.1.p1.3.3.m3.1.1.5.cmml" xref="S4.1.p1.3.3.m3.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S4.1.p1.3.3.m3.1.1.4.cmml" id="S4.1.p1.3.3.m3.1.1d.cmml" xref="S4.1.p1.3.3.m3.1.1"></share><cn id="S4.1.p1.3.3.m3.1.1.6.cmml" type="integer" xref="S4.1.p1.3.3.m3.1.1.6">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.1.p1.3.3.m3.1c">0<U\leq 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.1.p1.3.3.m3.1d">0 < italic_U ≤ 1</annotation></semantics></math>,</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\int_{T}^{2T}\big{(}\Delta_{U}S(t)\big{)}^{2}\,dt=\frac{T}{\pi^{2}}\log(2+U% \log T)+O\left(T\sqrt{\log(2+U\log T)}\right),\qquad\text{as}\quad T\to\infty." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex1.m1.6"><semantics id="S4.Ex1.m1.6a"><mrow id="S4.Ex1.m1.6.6.1"><mrow id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.2" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">T</mi><mrow id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mn id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">T</mi></mrow></msubsup><mrow id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" maxsize="120%" minsize="120%" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Δ</mi><mi id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">U</mi></msub><mo id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">S</mi><mo id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex1.m1.3.3" xref="S4.Ex1.m1.3.3.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="120%" minsize="120%" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">t</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mfrac id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml">T</mi><msup id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.2.cmml">π</mi><mn id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac><mo id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.2" lspace="0.167em" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.4.4" xref="S4.Ex1.m1.4.4.cmml">log</mi><mo id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1a" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">U</mi><mo id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1" lspace="0.167em" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">log</mi><mo id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3a" lspace="0.167em" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">⁡</mo><mi id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">T</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.3" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.3.cmml">O</mi><mo id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.2" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.1.1" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.1.1.2" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.1.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msqrt id="S4.Ex1.m1.2.2" xref="S4.Ex1.m1.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex1.m1.2.2.2.2" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S4.Ex1.m1.2.2.2.2a" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.3.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.1" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mn id="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml">U</mi><mo id="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.1.1.3.1" lspace="0.167em" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.1.1.3.3" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.cmml">log</mi><mo id="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.1.1.3.3a" lspace="0.167em" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml">⁡</mo><mi id="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.cmml">T</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></msqrt></mrow><mo id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.1.1.3" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.2" rspace="2.167em" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.cmml">,</mo><mtext id="S4.Ex1.m1.5.5" xref="S4.Ex1.m1.5.5a.cmml">as</mtext></mrow></mrow><mspace id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.2.3" width="1em" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.3a.cmml"></mspace><mrow id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.2.2" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.2.2.2.cmml">T</mi><mo id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.2.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.2.2.1.cmml">→</mo><mi id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.2.2.3.cmml">∞</mi></mrow></mrow><mo id="S4.Ex1.m1.6.6.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml 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xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.2">𝜋</ci><cn id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1"><log id="S4.Ex1.m1.4.4.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4"></log><apply id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><cn id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2">2</cn><apply id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑈</ci><apply id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><log id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></log><ci id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑇</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2"><times id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.2"></times><ci id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.3">𝑂</ci><apply id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.1.1"><times id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.1.1.1.1"></times><ci id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.1.2.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="S4.Ex1.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.2.2"><root id="S4.Ex1.m1.2.2a.cmml" xref="S4.Ex1.m1.2.2"></root><apply id="S4.Ex1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.2"><log id="S4.Ex1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.1.1.1.1"></log><apply id="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.1.1"><plus id="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.1.1.1"></plus><cn id="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.1.1.2">2</cn><apply id="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.1.1.3"><times id="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.1.1.3.1"></times><ci id="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.1.1.3.2">𝑈</ci><apply id="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.1.1.3.3"><log id="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1"></log><ci id="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2">𝑇</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><ci id="S4.Ex1.m1.5.5a.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5"><mtext id="S4.Ex1.m1.5.5.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5">as</mtext></ci></list></apply><apply id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.2.2"><ci id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.2.2.1">→</ci><ci id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.2.2.2">𝑇</ci><infinity id="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.6.6.1.1.2.2.3"></infinity></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex1.m1.6c">\int_{T}^{2T}\big{(}\Delta_{U}S(t)\big{)}^{2}\,dt=\frac{T}{\pi^{2}}\log(2+U% \log T)+O\left(T\sqrt{\log(2+U\log T)}\right),\qquad\text{as}\quad T\to\infty.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex1.m1.6d">∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_T end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT italic_S ( italic_t ) ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_t = divide start_ARG italic_T end_ARG start_ARG italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG roman_log ( 2 + italic_U roman_log italic_T ) + italic_O ( italic_T square-root start_ARG roman_log ( 2 + italic_U roman_log italic_T ) end_ARG ) , as italic_T → ∞ .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.1.p1.6"><span class="ltx_text" id="S4.1.p1.6.3">Now replacing <math alttext="T" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.1.p1.4.1.m1.1"><semantics id="S4.1.p1.4.1.m1.1a"><mi id="S4.1.p1.4.1.m1.1.1" xref="S4.1.p1.4.1.m1.1.1.cmml">T</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.1.p1.4.1.m1.1b"><ci id="S4.1.p1.4.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.1.p1.4.1.m1.1.1">𝑇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.1.p1.4.1.m1.1c">T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.1.p1.4.1.m1.1d">italic_T</annotation></semantics></math> by <math alttext="T/2^{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.1.p1.5.2.m2.1"><semantics id="S4.1.p1.5.2.m2.1a"><mrow id="S4.1.p1.5.2.m2.1.1" xref="S4.1.p1.5.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.1.p1.5.2.m2.1.1.2" xref="S4.1.p1.5.2.m2.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S4.1.p1.5.2.m2.1.1.1" xref="S4.1.p1.5.2.m2.1.1.1.cmml">/</mo><msup id="S4.1.p1.5.2.m2.1.1.3" xref="S4.1.p1.5.2.m2.1.1.3.cmml"><mn id="S4.1.p1.5.2.m2.1.1.3.2" xref="S4.1.p1.5.2.m2.1.1.3.2.cmml">2</mn><mi id="S4.1.p1.5.2.m2.1.1.3.3" xref="S4.1.p1.5.2.m2.1.1.3.3.cmml">j</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.1.p1.5.2.m2.1b"><apply id="S4.1.p1.5.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.1.p1.5.2.m2.1.1"><divide id="S4.1.p1.5.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.1.p1.5.2.m2.1.1.1"></divide><ci id="S4.1.p1.5.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.1.p1.5.2.m2.1.1.2">𝑇</ci><apply id="S4.1.p1.5.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.1.p1.5.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.1.p1.5.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.1.p1.5.2.m2.1.1.3">superscript</csymbol><cn id="S4.1.p1.5.2.m2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.1.p1.5.2.m2.1.1.3.2">2</cn><ci id="S4.1.p1.5.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.1.p1.5.2.m2.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.1.p1.5.2.m2.1c">T/2^{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.1.p1.5.2.m2.1d">italic_T / 2 start_POSTSUPERSCRIPT italic_j end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and summing over integers <math alttext="1\leq j\leq 4\log\log T" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.1.p1.6.3.m3.1"><semantics id="S4.1.p1.6.3.m3.1a"><mrow id="S4.1.p1.6.3.m3.1.1" xref="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.cmml"><mn id="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.2" xref="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.3" xref="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.4" xref="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.4.cmml">j</mi><mo id="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.5" xref="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.5.cmml">≤</mo><mrow id="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.6" xref="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.6.cmml"><mn id="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.6.2" xref="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.6.2.cmml">4</mn><mo id="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.6.1" lspace="0.167em" xref="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.6.3" xref="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.6.3.cmml"><mi id="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.6.3.1" xref="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.6.3.1.cmml">log</mi><mo id="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.6.3a" lspace="0.167em" xref="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.6.3.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.6.3.2" xref="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.6.3.2.cmml"><mi id="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.6.3.2.1" xref="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.6.3.2.1.cmml">log</mi><mo id="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.6.3.2a" lspace="0.167em" xref="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.6.3.2.cmml">⁡</mo><mi id="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.6.3.2.2" xref="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.6.3.2.2.cmml">T</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.1.p1.6.3.m3.1b"><apply id="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.1.p1.6.3.m3.1.1"><and id="S4.1.p1.6.3.m3.1.1a.cmml" xref="S4.1.p1.6.3.m3.1.1"></and><apply id="S4.1.p1.6.3.m3.1.1b.cmml" xref="S4.1.p1.6.3.m3.1.1"><leq id="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.3"></leq><cn id="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.2">1</cn><ci id="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.4.cmml" xref="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.4">𝑗</ci></apply><apply id="S4.1.p1.6.3.m3.1.1c.cmml" xref="S4.1.p1.6.3.m3.1.1"><leq id="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.5.cmml" xref="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S4.1.p1.6.3.m3.1.1.4.cmml" id="S4.1.p1.6.3.m3.1.1d.cmml" xref="S4.1.p1.6.3.m3.1.1"></share><apply id="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.6.cmml" xref="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.6"><times id="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.6.1.cmml" xref="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.6.1"></times><cn id="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.6.2.cmml" type="integer" xref="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.6.2">4</cn><apply id="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.6.3.cmml" xref="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.6.3"><log id="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.6.3.1.cmml" xref="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.6.3.1"></log><apply id="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.6.3.2.cmml" xref="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.6.3.2"><log id="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.6.3.2.1.cmml" xref="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.6.3.2.1"></log><ci id="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.6.3.2.2.cmml" xref="S4.1.p1.6.3.m3.1.1.6.3.2.2">𝑇</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.1.p1.6.3.m3.1c">1\leq j\leq 4\log\log T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.1.p1.6.3.m3.1d">1 ≤ italic_j ≤ 4 roman_log roman_log italic_T</annotation></semantics></math>, we have</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex2"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{split}\int_{0}^{T}\big{(}\Delta_{U}S(t)\big{)}^{2}\,dt&=\sum_{1\leq j% \leq 4\log\log T}\left(\frac{T}{2^{j}\pi^{2}}\log\left(2+U\log\frac{T}{2^{j}}% \right)+O\left(T\sqrt{\log\left(2+U\log\frac{T}{2^{j}}\right)}\right)\right)\\ &\qquad\qquad+O\left(\int_{0}^{\frac{T}{\log^{2}T}}\big{(}\Delta_{U}S(t)\big{)% }^{2}\,dt\right)\\ &=\frac{T}{\pi^{2}}\log(2+U\log T)+O\left(T\sqrt{\log(2+U\log T)}\right)+O(T)+% O\left(\int_{0}^{\frac{T}{\log^{2}T}}L^{2}\,dt\right)\\ &=\frac{T}{\pi^{2}}\log(2+UL)+O\left(T\sqrt{\log(2+UL)}\right)+O(T),\qquad% \text{as}\quad T\to\infty,\end{split}" class="ltx_math_unparsed" display="block" id="S4.Ex2.m1.117"><semantics id="S4.Ex2.m1.117a"><mtable columnspacing="0pt" displaystyle="true" id="S4.Ex2.m1.117.117.7" rowspacing="0pt"><mtr id="S4.Ex2.m1.117.117.7a"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S4.Ex2.m1.117.117.7b"><mrow id="S4.Ex2.m1.111.111.1.111.35.15"><msubsup id="S4.Ex2.m1.111.111.1.111.35.15.16"><mo id="S4.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1">∫</mo><mn id="S4.Ex2.m1.2.2.2.2.2.2.1">0</mn><mi id="S4.Ex2.m1.3.3.3.3.3.3.1">T</mi></msubsup><mrow id="S4.Ex2.m1.111.111.1.111.35.15.15"><msup id="S4.Ex2.m1.111.111.1.111.35.15.15.1"><mrow id="S4.Ex2.m1.111.111.1.111.35.15.15.1.1.1"><mo id="S4.Ex2.m1.4.4.4.4.4.4" lspace="0em" maxsize="120%" minsize="120%">(</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.111.111.1.111.35.15.15.1.1.1.1"><msub id="S4.Ex2.m1.111.111.1.111.35.15.15.1.1.1.1.2"><mi id="S4.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5" mathvariant="normal">Δ</mi><mi id="S4.Ex2.m1.6.6.6.6.6.6.1">U</mi></msub><mo id="S4.Ex2.m1.111.111.1.111.35.15.15.1.1.1.1.1">⁢</mo><mi id="S4.Ex2.m1.7.7.7.7.7.7">S</mi><mo id="S4.Ex2.m1.111.111.1.111.35.15.15.1.1.1.1.1a">⁢</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.111.111.1.111.35.15.15.1.1.1.1.3"><mo id="S4.Ex2.m1.8.8.8.8.8.8" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.Ex2.m1.9.9.9.9.9.9">t</mi><mo id="S4.Ex2.m1.10.10.10.10.10.10" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex2.m1.11.11.11.11.11.11" maxsize="120%" minsize="120%">)</mo></mrow><mn id="S4.Ex2.m1.12.12.12.12.12.12.1">2</mn></msup><mo id="S4.Ex2.m1.111.111.1.111.35.15.15.2" lspace="0em">⁢</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.111.111.1.111.35.15.15.3"><mo id="S4.Ex2.m1.13.13.13.13.13.13" rspace="0em">𝑑</mo><mi id="S4.Ex2.m1.14.14.14.14.14.14">t</mi></mrow></mrow></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.Ex2.m1.117.117.7c"><mrow id="S4.Ex2.m1.112.112.2.112.36.21"><mi id="S4.Ex2.m1.112.112.2.112.36.21.22"></mi><mo id="S4.Ex2.m1.15.15.15.15.1.1" rspace="0.111em">=</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.112.112.2.112.36.21.21"><munder id="S4.Ex2.m1.112.112.2.112.36.21.21.2"><mo id="S4.Ex2.m1.16.16.16.16.2.2" movablelimits="false" rspace="0em">∑</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.17.17.17.17.3.3.1"><mn id="S4.Ex2.m1.17.17.17.17.3.3.1.2">1</mn><mo id="S4.Ex2.m1.17.17.17.17.3.3.1.3">≤</mo><mi id="S4.Ex2.m1.17.17.17.17.3.3.1.4">j</mi><mo id="S4.Ex2.m1.17.17.17.17.3.3.1.5">≤</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.17.17.17.17.3.3.1.6"><mn id="S4.Ex2.m1.17.17.17.17.3.3.1.6.2">4</mn><mo id="S4.Ex2.m1.17.17.17.17.3.3.1.6.1" lspace="0.167em">⁢</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.17.17.17.17.3.3.1.6.3"><mi id="S4.Ex2.m1.17.17.17.17.3.3.1.6.3.1">log</mi><mo id="S4.Ex2.m1.17.17.17.17.3.3.1.6.3a" lspace="0.167em">⁡</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.17.17.17.17.3.3.1.6.3.2"><mi id="S4.Ex2.m1.17.17.17.17.3.3.1.6.3.2.1">log</mi><mo id="S4.Ex2.m1.17.17.17.17.3.3.1.6.3.2a" lspace="0.167em">⁡</mo><mi id="S4.Ex2.m1.17.17.17.17.3.3.1.6.3.2.2">T</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></munder><mrow id="S4.Ex2.m1.112.112.2.112.36.21.21.1.1"><mo id="S4.Ex2.m1.18.18.18.18.4.4">(</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.112.112.2.112.36.21.21.1.1.1"><mrow id="S4.Ex2.m1.112.112.2.112.36.21.21.1.1.1.1"><mfrac id="S4.Ex2.m1.19.19.19.19.5.5"><mi id="S4.Ex2.m1.19.19.19.19.5.5.2">T</mi><mrow id="S4.Ex2.m1.19.19.19.19.5.5.3"><msup id="S4.Ex2.m1.19.19.19.19.5.5.3.2"><mn id="S4.Ex2.m1.19.19.19.19.5.5.3.2.2">2</mn><mi id="S4.Ex2.m1.19.19.19.19.5.5.3.2.3">j</mi></msup><mo id="S4.Ex2.m1.19.19.19.19.5.5.3.1">⁢</mo><msup id="S4.Ex2.m1.19.19.19.19.5.5.3.3"><mi id="S4.Ex2.m1.19.19.19.19.5.5.3.3.2">π</mi><mn id="S4.Ex2.m1.19.19.19.19.5.5.3.3.3">2</mn></msup></mrow></mfrac><mo id="S4.Ex2.m1.112.112.2.112.36.21.21.1.1.1.1.2" lspace="0.167em">⁢</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.112.112.2.112.36.21.21.1.1.1.1.1.1"><mi id="S4.Ex2.m1.20.20.20.20.6.6">log</mi><mo id="S4.Ex2.m1.112.112.2.112.36.21.21.1.1.1.1.1.1a">⁡</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.112.112.2.112.36.21.21.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S4.Ex2.m1.21.21.21.21.7.7">(</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.112.112.2.112.36.21.21.1.1.1.1.1.1.1.1"><mn id="S4.Ex2.m1.22.22.22.22.8.8">2</mn><mo id="S4.Ex2.m1.23.23.23.23.9.9">+</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.112.112.2.112.36.21.21.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S4.Ex2.m1.24.24.24.24.10.10">U</mi><mo id="S4.Ex2.m1.112.112.2.112.36.21.21.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" lspace="0.167em">⁢</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.112.112.2.112.36.21.21.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S4.Ex2.m1.25.25.25.25.11.11">log</mi><mo id="S4.Ex2.m1.112.112.2.112.36.21.21.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" lspace="0.167em">⁡</mo><mfrac id="S4.Ex2.m1.26.26.26.26.12.12"><mi id="S4.Ex2.m1.26.26.26.26.12.12.2">T</mi><msup id="S4.Ex2.m1.26.26.26.26.12.12.3"><mn id="S4.Ex2.m1.26.26.26.26.12.12.3.2">2</mn><mi id="S4.Ex2.m1.26.26.26.26.12.12.3.3">j</mi></msup></mfrac></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex2.m1.27.27.27.27.13.13">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex2.m1.28.28.28.28.14.14">+</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.112.112.2.112.36.21.21.1.1.1.2"><mi id="S4.Ex2.m1.29.29.29.29.15.15">O</mi><mo id="S4.Ex2.m1.112.112.2.112.36.21.21.1.1.1.2.2">⁢</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.112.112.2.112.36.21.21.1.1.1.2.1.1"><mo id="S4.Ex2.m1.30.30.30.30.16.16">(</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.112.112.2.112.36.21.21.1.1.1.2.1.1.1"><mi id="S4.Ex2.m1.31.31.31.31.17.17">T</mi><mo id="S4.Ex2.m1.112.112.2.112.36.21.21.1.1.1.2.1.1.1.1">⁢</mo><msqrt id="S4.Ex2.m1.32.32.32.32.18.18"><mrow id="S4.Ex2.m1.32.32.32.32.18.18.2.2"><mi id="S4.Ex2.m1.32.32.32.32.18.18.1.1">log</mi><mo id="S4.Ex2.m1.32.32.32.32.18.18.2.2a">⁡</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.32.32.32.32.18.18.2.2.1"><mo id="S4.Ex2.m1.32.32.32.32.18.18.2.2.1.2">(</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.32.32.32.32.18.18.2.2.1.1"><mn id="S4.Ex2.m1.32.32.32.32.18.18.2.2.1.1.2">2</mn><mo id="S4.Ex2.m1.32.32.32.32.18.18.2.2.1.1.1">+</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.32.32.32.32.18.18.2.2.1.1.3"><mi id="S4.Ex2.m1.32.32.32.32.18.18.2.2.1.1.3.2">U</mi><mo id="S4.Ex2.m1.32.32.32.32.18.18.2.2.1.1.3.1" lspace="0.167em">⁢</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.32.32.32.32.18.18.2.2.1.1.3.3"><mi id="S4.Ex2.m1.32.32.32.32.18.18.2.2.1.1.3.3.1">log</mi><mo id="S4.Ex2.m1.32.32.32.32.18.18.2.2.1.1.3.3a" lspace="0.167em">⁡</mo><mfrac id="S4.Ex2.m1.32.32.32.32.18.18.2.2.1.1.3.3.2"><mi id="S4.Ex2.m1.32.32.32.32.18.18.2.2.1.1.3.3.2.2">T</mi><msup id="S4.Ex2.m1.32.32.32.32.18.18.2.2.1.1.3.3.2.3"><mn id="S4.Ex2.m1.32.32.32.32.18.18.2.2.1.1.3.3.2.3.2">2</mn><mi id="S4.Ex2.m1.32.32.32.32.18.18.2.2.1.1.3.3.2.3.3">j</mi></msup></mfrac></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex2.m1.32.32.32.32.18.18.2.2.1.3">)</mo></mrow></mrow></msqrt></mrow><mo id="S4.Ex2.m1.33.33.33.33.19.19">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex2.m1.34.34.34.34.20.20">)</mo></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.Ex2.m1.117.117.7d"><mtd id="S4.Ex2.m1.117.117.7e"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.Ex2.m1.117.117.7f"><mrow id="S4.Ex2.m1.113.113.3.113.19.19"><mo id="S4.Ex2.m1.113.113.3.113.19.19a">+</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.113.113.3.113.19.19.19"><mi id="S4.Ex2.m1.36.36.36.2.2.2">O</mi><mo id="S4.Ex2.m1.113.113.3.113.19.19.19.2">⁢</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.113.113.3.113.19.19.19.1.1"><mo id="S4.Ex2.m1.37.37.37.3.3.3">(</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.113.113.3.113.19.19.19.1.1.1"><msubsup id="S4.Ex2.m1.113.113.3.113.19.19.19.1.1.1.2"><mo id="S4.Ex2.m1.38.38.38.4.4.4" lspace="0em" rspace="0em">∫</mo><mn id="S4.Ex2.m1.39.39.39.5.5.5.1">0</mn><mfrac id="S4.Ex2.m1.40.40.40.6.6.6.1"><mi id="S4.Ex2.m1.40.40.40.6.6.6.1.2">T</mi><mrow id="S4.Ex2.m1.40.40.40.6.6.6.1.3"><msup id="S4.Ex2.m1.40.40.40.6.6.6.1.3.1"><mi id="S4.Ex2.m1.40.40.40.6.6.6.1.3.1.2">log</mi><mn id="S4.Ex2.m1.40.40.40.6.6.6.1.3.1.3">2</mn></msup><mo id="S4.Ex2.m1.40.40.40.6.6.6.1.3a" lspace="0.167em">⁡</mo><mi id="S4.Ex2.m1.40.40.40.6.6.6.1.3.2">T</mi></mrow></mfrac></msubsup><mrow id="S4.Ex2.m1.113.113.3.113.19.19.19.1.1.1.1"><msup id="S4.Ex2.m1.113.113.3.113.19.19.19.1.1.1.1.1"><mrow id="S4.Ex2.m1.113.113.3.113.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S4.Ex2.m1.41.41.41.7.7.7" maxsize="120%" minsize="120%">(</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.113.113.3.113.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1"><msub id="S4.Ex2.m1.113.113.3.113.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S4.Ex2.m1.42.42.42.8.8.8" mathvariant="normal">Δ</mi><mi id="S4.Ex2.m1.43.43.43.9.9.9.1">U</mi></msub><mo id="S4.Ex2.m1.113.113.3.113.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1">⁢</mo><mi id="S4.Ex2.m1.44.44.44.10.10.10">S</mi><mo id="S4.Ex2.m1.113.113.3.113.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1a">⁢</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.113.113.3.113.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><mo id="S4.Ex2.m1.45.45.45.11.11.11" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.Ex2.m1.46.46.46.12.12.12">t</mi><mo id="S4.Ex2.m1.47.47.47.13.13.13" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex2.m1.48.48.48.14.14.14" maxsize="120%" minsize="120%">)</mo></mrow><mn id="S4.Ex2.m1.49.49.49.15.15.15.1">2</mn></msup><mo id="S4.Ex2.m1.113.113.3.113.19.19.19.1.1.1.1.2" lspace="0em">⁢</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.113.113.3.113.19.19.19.1.1.1.1.3"><mo id="S4.Ex2.m1.50.50.50.16.16.16" rspace="0em">𝑑</mo><mi id="S4.Ex2.m1.51.51.51.17.17.17">t</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex2.m1.52.52.52.18.18.18">)</mo></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.Ex2.m1.117.117.7g"><mtd id="S4.Ex2.m1.117.117.7h"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.Ex2.m1.117.117.7i"><mrow id="S4.Ex2.m1.116.116.6.116.35.35"><mi id="S4.Ex2.m1.116.116.6.116.35.35.36"></mi><mo id="S4.Ex2.m1.53.53.53.1.1.1">=</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.116.116.6.116.35.35.35"><mrow id="S4.Ex2.m1.114.114.4.114.33.33.33.1"><mfrac id="S4.Ex2.m1.54.54.54.2.2.2"><mi id="S4.Ex2.m1.54.54.54.2.2.2.2">T</mi><msup id="S4.Ex2.m1.54.54.54.2.2.2.3"><mi id="S4.Ex2.m1.54.54.54.2.2.2.3.2">π</mi><mn id="S4.Ex2.m1.54.54.54.2.2.2.3.3">2</mn></msup></mfrac><mo id="S4.Ex2.m1.114.114.4.114.33.33.33.1.2" lspace="0.167em">⁢</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.114.114.4.114.33.33.33.1.1.1"><mi id="S4.Ex2.m1.55.55.55.3.3.3">log</mi><mo id="S4.Ex2.m1.114.114.4.114.33.33.33.1.1.1a">⁡</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.114.114.4.114.33.33.33.1.1.1.1"><mo id="S4.Ex2.m1.56.56.56.4.4.4" stretchy="false">(</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.114.114.4.114.33.33.33.1.1.1.1.1"><mn id="S4.Ex2.m1.57.57.57.5.5.5">2</mn><mo id="S4.Ex2.m1.58.58.58.6.6.6">+</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.114.114.4.114.33.33.33.1.1.1.1.1.1"><mi id="S4.Ex2.m1.59.59.59.7.7.7">U</mi><mo id="S4.Ex2.m1.114.114.4.114.33.33.33.1.1.1.1.1.1.1" lspace="0.167em">⁢</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.114.114.4.114.33.33.33.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S4.Ex2.m1.60.60.60.8.8.8">log</mi><mo id="S4.Ex2.m1.114.114.4.114.33.33.33.1.1.1.1.1.1.2a" lspace="0.167em">⁡</mo><mi id="S4.Ex2.m1.61.61.61.9.9.9">T</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex2.m1.62.62.62.10.10.10" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex2.m1.63.63.63.11.11.11">+</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.115.115.5.115.34.34.34.2"><mi id="S4.Ex2.m1.64.64.64.12.12.12">O</mi><mo id="S4.Ex2.m1.115.115.5.115.34.34.34.2.2">⁢</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.115.115.5.115.34.34.34.2.1.1"><mo id="S4.Ex2.m1.65.65.65.13.13.13">(</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.115.115.5.115.34.34.34.2.1.1.1"><mi id="S4.Ex2.m1.66.66.66.14.14.14">T</mi><mo id="S4.Ex2.m1.115.115.5.115.34.34.34.2.1.1.1.1">⁢</mo><msqrt id="S4.Ex2.m1.67.67.67.15.15.15"><mrow id="S4.Ex2.m1.67.67.67.15.15.15.2.2"><mi id="S4.Ex2.m1.67.67.67.15.15.15.1.1">log</mi><mo id="S4.Ex2.m1.67.67.67.15.15.15.2.2a">⁡</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.67.67.67.15.15.15.2.2.1"><mo id="S4.Ex2.m1.67.67.67.15.15.15.2.2.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.67.67.67.15.15.15.2.2.1.1"><mn id="S4.Ex2.m1.67.67.67.15.15.15.2.2.1.1.2">2</mn><mo id="S4.Ex2.m1.67.67.67.15.15.15.2.2.1.1.1">+</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.67.67.67.15.15.15.2.2.1.1.3"><mi id="S4.Ex2.m1.67.67.67.15.15.15.2.2.1.1.3.2">U</mi><mo id="S4.Ex2.m1.67.67.67.15.15.15.2.2.1.1.3.1" lspace="0.167em">⁢</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.67.67.67.15.15.15.2.2.1.1.3.3"><mi id="S4.Ex2.m1.67.67.67.15.15.15.2.2.1.1.3.3.1">log</mi><mo id="S4.Ex2.m1.67.67.67.15.15.15.2.2.1.1.3.3a" lspace="0.167em">⁡</mo><mi id="S4.Ex2.m1.67.67.67.15.15.15.2.2.1.1.3.3.2">T</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex2.m1.67.67.67.15.15.15.2.2.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></msqrt></mrow><mo id="S4.Ex2.m1.68.68.68.16.16.16">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex2.m1.63.63.63.11.11.11a">+</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.116.116.6.116.35.35.35.4"><mi id="S4.Ex2.m1.70.70.70.18.18.18">O</mi><mo id="S4.Ex2.m1.116.116.6.116.35.35.35.4.1">⁢</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.116.116.6.116.35.35.35.4.2"><mo id="S4.Ex2.m1.71.71.71.19.19.19" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.Ex2.m1.72.72.72.20.20.20">T</mi><mo id="S4.Ex2.m1.73.73.73.21.21.21" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex2.m1.63.63.63.11.11.11b">+</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.116.116.6.116.35.35.35.3"><mi id="S4.Ex2.m1.75.75.75.23.23.23">O</mi><mo id="S4.Ex2.m1.116.116.6.116.35.35.35.3.2">⁢</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.116.116.6.116.35.35.35.3.1.1"><mo id="S4.Ex2.m1.76.76.76.24.24.24">(</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.116.116.6.116.35.35.35.3.1.1.1"><msubsup id="S4.Ex2.m1.116.116.6.116.35.35.35.3.1.1.1.1"><mo id="S4.Ex2.m1.77.77.77.25.25.25" lspace="0em">∫</mo><mn id="S4.Ex2.m1.78.78.78.26.26.26.1">0</mn><mfrac id="S4.Ex2.m1.79.79.79.27.27.27.1"><mi id="S4.Ex2.m1.79.79.79.27.27.27.1.2">T</mi><mrow id="S4.Ex2.m1.79.79.79.27.27.27.1.3"><msup id="S4.Ex2.m1.79.79.79.27.27.27.1.3.1"><mi id="S4.Ex2.m1.79.79.79.27.27.27.1.3.1.2">log</mi><mn id="S4.Ex2.m1.79.79.79.27.27.27.1.3.1.3">2</mn></msup><mo id="S4.Ex2.m1.79.79.79.27.27.27.1.3a" lspace="0.167em">⁡</mo><mi id="S4.Ex2.m1.79.79.79.27.27.27.1.3.2">T</mi></mrow></mfrac></msubsup><mrow id="S4.Ex2.m1.116.116.6.116.35.35.35.3.1.1.1.2"><msup id="S4.Ex2.m1.116.116.6.116.35.35.35.3.1.1.1.2.2"><mi id="S4.Ex2.m1.80.80.80.28.28.28">L</mi><mn id="S4.Ex2.m1.81.81.81.29.29.29.1">2</mn></msup><mo id="S4.Ex2.m1.116.116.6.116.35.35.35.3.1.1.1.2.1" lspace="0em">⁢</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.116.116.6.116.35.35.35.3.1.1.1.2.3"><mo id="S4.Ex2.m1.82.82.82.30.30.30" rspace="0em">𝑑</mo><mi id="S4.Ex2.m1.83.83.83.31.31.31">t</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex2.m1.84.84.84.32.32.32">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.Ex2.m1.117.117.7j"><mtd id="S4.Ex2.m1.117.117.7k"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.Ex2.m1.117.117.7l"><mrow id="S4.Ex2.m1.117.117.7.117.27.27.27"><mrow id="S4.Ex2.m1.117.117.7.117.27.27.27.1"><mrow id="S4.Ex2.m1.117.117.7.117.27.27.27.1.1.1"><mi id="S4.Ex2.m1.117.117.7.117.27.27.27.1.1.1.2"></mi><mo id="S4.Ex2.m1.85.85.85.1.1.1">=</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.117.117.7.117.27.27.27.1.1.1.1.1"><mrow id="S4.Ex2.m1.117.117.7.117.27.27.27.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S4.Ex2.m1.117.117.7.117.27.27.27.1.1.1.1.1.1.1"><mfrac id="S4.Ex2.m1.86.86.86.2.2.2"><mi id="S4.Ex2.m1.86.86.86.2.2.2.2">T</mi><msup id="S4.Ex2.m1.86.86.86.2.2.2.3"><mi id="S4.Ex2.m1.86.86.86.2.2.2.3.2">π</mi><mn id="S4.Ex2.m1.86.86.86.2.2.2.3.3">2</mn></msup></mfrac><mo id="S4.Ex2.m1.117.117.7.117.27.27.27.1.1.1.1.1.1.1.2" lspace="0.167em">⁢</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.117.117.7.117.27.27.27.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S4.Ex2.m1.87.87.87.3.3.3">log</mi><mo id="S4.Ex2.m1.117.117.7.117.27.27.27.1.1.1.1.1.1.1.1.1a">⁡</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.117.117.7.117.27.27.27.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S4.Ex2.m1.88.88.88.4.4.4" stretchy="false">(</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.117.117.7.117.27.27.27.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mn id="S4.Ex2.m1.89.89.89.5.5.5">2</mn><mo id="S4.Ex2.m1.90.90.90.6.6.6">+</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.117.117.7.117.27.27.27.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S4.Ex2.m1.91.91.91.7.7.7">U</mi><mo id="S4.Ex2.m1.117.117.7.117.27.27.27.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">⁢</mo><mi id="S4.Ex2.m1.92.92.92.8.8.8">L</mi></mrow></mrow><mo id="S4.Ex2.m1.93.93.93.9.9.9" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex2.m1.94.94.94.10.10.10">+</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.117.117.7.117.27.27.27.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S4.Ex2.m1.95.95.95.11.11.11">O</mi><mo id="S4.Ex2.m1.117.117.7.117.27.27.27.1.1.1.1.1.1.2.2">⁢</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.117.117.7.117.27.27.27.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><mo id="S4.Ex2.m1.96.96.96.12.12.12">(</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.117.117.7.117.27.27.27.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1"><mi id="S4.Ex2.m1.97.97.97.13.13.13">T</mi><mo id="S4.Ex2.m1.117.117.7.117.27.27.27.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1">⁢</mo><msqrt id="S4.Ex2.m1.98.98.98.14.14.14"><mrow id="S4.Ex2.m1.98.98.98.14.14.14.2.2"><mi id="S4.Ex2.m1.98.98.98.14.14.14.1.1">log</mi><mo id="S4.Ex2.m1.98.98.98.14.14.14.2.2a">⁡</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.98.98.98.14.14.14.2.2.1"><mo id="S4.Ex2.m1.98.98.98.14.14.14.2.2.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.98.98.98.14.14.14.2.2.1.1"><mn id="S4.Ex2.m1.98.98.98.14.14.14.2.2.1.1.2">2</mn><mo id="S4.Ex2.m1.98.98.98.14.14.14.2.2.1.1.1">+</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.98.98.98.14.14.14.2.2.1.1.3"><mi id="S4.Ex2.m1.98.98.98.14.14.14.2.2.1.1.3.2">U</mi><mo id="S4.Ex2.m1.98.98.98.14.14.14.2.2.1.1.3.1">⁢</mo><mi id="S4.Ex2.m1.98.98.98.14.14.14.2.2.1.1.3.3">L</mi></mrow></mrow><mo id="S4.Ex2.m1.98.98.98.14.14.14.2.2.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></msqrt></mrow><mo id="S4.Ex2.m1.99.99.99.15.15.15">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex2.m1.94.94.94.10.10.10a">+</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.117.117.7.117.27.27.27.1.1.1.1.1.1.3"><mi id="S4.Ex2.m1.101.101.101.17.17.17">O</mi><mo id="S4.Ex2.m1.117.117.7.117.27.27.27.1.1.1.1.1.1.3.1">⁢</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.117.117.7.117.27.27.27.1.1.1.1.1.1.3.2"><mo id="S4.Ex2.m1.102.102.102.18.18.18" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.Ex2.m1.103.103.103.19.19.19">T</mi><mo id="S4.Ex2.m1.104.104.104.20.20.20" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex2.m1.105.105.105.21.21.21" rspace="2.167em">,</mo><mtext id="S4.Ex2.m1.106.106.106.22.22.22">as</mtext></mrow></mrow><mspace id="S4.Ex2.m1.117.117.7.117.27.27.27.1.3" width="1em"></mspace><mrow id="S4.Ex2.m1.117.117.7.117.27.27.27.1.2.2"><mi id="S4.Ex2.m1.107.107.107.23.23.23">T</mi><mo id="S4.Ex2.m1.108.108.108.24.24.24" stretchy="false">→</mo><mi id="S4.Ex2.m1.109.109.109.25.25.25" mathvariant="normal">∞</mi></mrow></mrow><mo id="S4.Ex2.m1.110.110.110.26.26.26">,</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex2.m1.117b">\begin{split}\int_{0}^{T}\big{(}\Delta_{U}S(t)\big{)}^{2}\,dt&=\sum_{1\leq j% \leq 4\log\log T}\left(\frac{T}{2^{j}\pi^{2}}\log\left(2+U\log\frac{T}{2^{j}}% \right)+O\left(T\sqrt{\log\left(2+U\log\frac{T}{2^{j}}\right)}\right)\right)\\ &\qquad\qquad+O\left(\int_{0}^{\frac{T}{\log^{2}T}}\big{(}\Delta_{U}S(t)\big{)% }^{2}\,dt\right)\\ &=\frac{T}{\pi^{2}}\log(2+U\log T)+O\left(T\sqrt{\log(2+U\log T)}\right)+O(T)+% O\left(\int_{0}^{\frac{T}{\log^{2}T}}L^{2}\,dt\right)\\ &=\frac{T}{\pi^{2}}\log(2+UL)+O\left(T\sqrt{\log(2+UL)}\right)+O(T),\qquad% \text{as}\quad T\to\infty,\end{split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex2.m1.117c">start_ROW start_CELL ∫ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT italic_S ( italic_t ) ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_t end_CELL start_CELL = ∑ start_POSTSUBSCRIPT 1 ≤ italic_j ≤ 4 roman_log roman_log italic_T end_POSTSUBSCRIPT ( divide start_ARG italic_T end_ARG start_ARG 2 start_POSTSUPERSCRIPT italic_j end_POSTSUPERSCRIPT italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG roman_log ( 2 + italic_U roman_log divide start_ARG italic_T end_ARG start_ARG 2 start_POSTSUPERSCRIPT italic_j end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) + italic_O ( italic_T square-root start_ARG roman_log ( 2 + italic_U roman_log divide start_ARG italic_T end_ARG start_ARG 2 start_POSTSUPERSCRIPT italic_j end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) end_ARG ) ) end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL + italic_O ( ∫ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG italic_T end_ARG start_ARG roman_log start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT italic_S ( italic_t ) ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_t ) end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL = divide start_ARG italic_T end_ARG start_ARG italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG roman_log ( 2 + italic_U roman_log italic_T ) + italic_O ( italic_T square-root start_ARG roman_log ( 2 + italic_U roman_log italic_T ) end_ARG ) + italic_O ( italic_T ) + italic_O ( ∫ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG italic_T end_ARG start_ARG roman_log start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_t ) end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL = divide start_ARG italic_T end_ARG start_ARG italic_π start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG roman_log ( 2 + italic_U italic_L ) + italic_O ( italic_T square-root start_ARG roman_log ( 2 + italic_U italic_L ) end_ARG ) + italic_O ( italic_T ) , as italic_T → ∞ , end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.1.p1.7"><span class="ltx_text" id="S4.1.p1.7.1">where we used (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S4.E1" title="Equation 4.1 ‣ 4. Proof of the lemmas ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.1</span></a>) in the second line. The error term <math alttext="O(T)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.1.p1.7.1.m1.1"><semantics id="S4.1.p1.7.1.m1.1a"><mrow id="S4.1.p1.7.1.m1.1.2" xref="S4.1.p1.7.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S4.1.p1.7.1.m1.1.2.2" xref="S4.1.p1.7.1.m1.1.2.2.cmml">O</mi><mo id="S4.1.p1.7.1.m1.1.2.1" xref="S4.1.p1.7.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.1.p1.7.1.m1.1.2.3.2" xref="S4.1.p1.7.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S4.1.p1.7.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.1.p1.7.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.1.p1.7.1.m1.1.1" xref="S4.1.p1.7.1.m1.1.1.cmml">T</mi><mo id="S4.1.p1.7.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.1.p1.7.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.1.p1.7.1.m1.1b"><apply id="S4.1.p1.7.1.m1.1.2.cmml" xref="S4.1.p1.7.1.m1.1.2"><times id="S4.1.p1.7.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.1.p1.7.1.m1.1.2.1"></times><ci id="S4.1.p1.7.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.1.p1.7.1.m1.1.2.2">𝑂</ci><ci id="S4.1.p1.7.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.1.p1.7.1.m1.1.1">𝑇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.1.p1.7.1.m1.1c">O(T)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.1.p1.7.1.m1.1d">italic_O ( italic_T )</annotation></semantics></math> is covered by the other error term. ∎</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S4.3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof of Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#Thmlem2" title="Lemma 2 (Gallagher and Mueller [GM78, Section 1]). ‣ 2. The Second Moment for Zeros in Short Intervals ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>.</h6> <div class="ltx_para" id="S4.2.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.2.p1.1"><span class="ltx_text" id="S4.2.p1.1.1">Let <math alttext="0<U\leq 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.2.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.2.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.2.p1.1.1.m1.1.1" xref="S4.2.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mn id="S4.2.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.2.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">0</mn><mo id="S4.2.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="S4.2.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><</mo><mi id="S4.2.p1.1.1.m1.1.1.4" xref="S4.2.p1.1.1.m1.1.1.4.cmml">U</mi><mo id="S4.2.p1.1.1.m1.1.1.5" xref="S4.2.p1.1.1.m1.1.1.5.cmml">≤</mo><mn id="S4.2.p1.1.1.m1.1.1.6" xref="S4.2.p1.1.1.m1.1.1.6.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.2.p1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.2.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.2.p1.1.1.m1.1.1"><and id="S4.2.p1.1.1.m1.1.1a.cmml" xref="S4.2.p1.1.1.m1.1.1"></and><apply id="S4.2.p1.1.1.m1.1.1b.cmml" xref="S4.2.p1.1.1.m1.1.1"><lt id="S4.2.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.2.p1.1.1.m1.1.1.3"></lt><cn id="S4.2.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.2.p1.1.1.m1.1.1.2">0</cn><ci id="S4.2.p1.1.1.m1.1.1.4.cmml" xref="S4.2.p1.1.1.m1.1.1.4">𝑈</ci></apply><apply id="S4.2.p1.1.1.m1.1.1c.cmml" xref="S4.2.p1.1.1.m1.1.1"><leq id="S4.2.p1.1.1.m1.1.1.5.cmml" xref="S4.2.p1.1.1.m1.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S4.2.p1.1.1.m1.1.1.4.cmml" id="S4.2.p1.1.1.m1.1.1d.cmml" xref="S4.2.p1.1.1.m1.1.1"></share><cn id="S4.2.p1.1.1.m1.1.1.6.cmml" type="integer" xref="S4.2.p1.1.1.m1.1.1.6">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.2.p1.1.1.m1.1c">0<U\leq 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.2.p1.1.1.m1.1d">0 < italic_U ≤ 1</annotation></semantics></math>. By (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S2.E1" title="Equation 2.1 ‣ 2. The Second Moment for Zeros in Short Intervals ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.1</span></a>), we have</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E2"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(4.2)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{split}\int_{0}^{T}(\Delta_{U}N(t))^{2}\,dt=\int_{2}^{T}(\Delta_{U}N(t))% ^{2}\,dt&=\int_{2}^{T}\left(\Delta_{U}M(t)+\Delta_{U}S(t)+O\left(\tfrac{1}{t}% \right)\right)^{2}\,dt\\ &=\int_{2}^{T}\left(\Delta_{U}M(t)\right)^{2}\,dt+\int_{2}^{T}\left(\Delta_{U}% S(t)+O\left(\tfrac{1}{t}\right)\right)^{2}\,dt\\ &\qquad\qquad+O\left(\left|\int_{2}^{T}\Delta_{U}M(t)\left(\Delta_{U}S(t)+O% \left(\tfrac{1}{t}\right)\right)\,dt\right|\right).\end{split}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E2.m1.129"><semantics id="S4.E2.m1.129a"><mtable columnspacing="0pt" displaystyle="true" id="S4.E2.m1.129.129.7" rowspacing="0pt"><mtr id="S4.E2.m1.129.129.7a"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S4.E2.m1.129.129.7b"><mrow id="S4.E2.m1.125.125.3.124.58.31"><mrow id="S4.E2.m1.124.124.2.123.57.30.30"><msubsup id="S4.E2.m1.124.124.2.123.57.30.30.2"><mo id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">∫</mo><mn id="S4.E2.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S4.E2.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml">0</mn><mi id="S4.E2.m1.3.3.3.3.3.3.1" xref="S4.E2.m1.3.3.3.3.3.3.1.cmml">T</mi></msubsup><mrow id="S4.E2.m1.124.124.2.123.57.30.30.1"><msup id="S4.E2.m1.124.124.2.123.57.30.30.1.1"><mrow id="S4.E2.m1.124.124.2.123.57.30.30.1.1.1.1"><mo id="S4.E2.m1.4.4.4.4.4.4" lspace="0em" stretchy="false">(</mo><mrow id="S4.E2.m1.124.124.2.123.57.30.30.1.1.1.1.1"><msub id="S4.E2.m1.124.124.2.123.57.30.30.1.1.1.1.1.2"><mi id="S4.E2.m1.5.5.5.5.5.5" mathvariant="normal" xref="S4.E2.m1.5.5.5.5.5.5.cmml">Δ</mi><mi id="S4.E2.m1.6.6.6.6.6.6.1" xref="S4.E2.m1.6.6.6.6.6.6.1.cmml">U</mi></msub><mo id="S4.E2.m1.124.124.2.123.57.30.30.1.1.1.1.1.1">⁢</mo><mi id="S4.E2.m1.7.7.7.7.7.7" xref="S4.E2.m1.7.7.7.7.7.7.cmml">N</mi><mo id="S4.E2.m1.124.124.2.123.57.30.30.1.1.1.1.1.1a">⁢</mo><mrow id="S4.E2.m1.124.124.2.123.57.30.30.1.1.1.1.1.3"><mo id="S4.E2.m1.8.8.8.8.8.8" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.E2.m1.9.9.9.9.9.9" xref="S4.E2.m1.9.9.9.9.9.9.cmml">t</mi><mo id="S4.E2.m1.10.10.10.10.10.10" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E2.m1.11.11.11.11.11.11" stretchy="false">)</mo></mrow><mn id="S4.E2.m1.12.12.12.12.12.12.1" xref="S4.E2.m1.12.12.12.12.12.12.1.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.E2.m1.124.124.2.123.57.30.30.1.2" lspace="0em">⁢</mo><mrow id="S4.E2.m1.124.124.2.123.57.30.30.1.3"><mo id="S4.E2.m1.13.13.13.13.13.13" rspace="0em" xref="S4.E2.m1.13.13.13.13.13.13.cmml">𝑑</mo><mi id="S4.E2.m1.14.14.14.14.14.14" xref="S4.E2.m1.14.14.14.14.14.14.cmml">t</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E2.m1.15.15.15.15.15.15" rspace="0.111em" xref="S4.E2.m1.15.15.15.15.15.15.cmml">=</mo><mrow id="S4.E2.m1.125.125.3.124.58.31.31"><msubsup id="S4.E2.m1.125.125.3.124.58.31.31.2"><mo id="S4.E2.m1.16.16.16.16.16.16" rspace="0em" xref="S4.E2.m1.16.16.16.16.16.16.cmml">∫</mo><mn id="S4.E2.m1.17.17.17.17.17.17.1" xref="S4.E2.m1.17.17.17.17.17.17.1.cmml">2</mn><mi id="S4.E2.m1.18.18.18.18.18.18.1" xref="S4.E2.m1.18.18.18.18.18.18.1.cmml">T</mi></msubsup><mrow id="S4.E2.m1.125.125.3.124.58.31.31.1"><msup id="S4.E2.m1.125.125.3.124.58.31.31.1.1"><mrow id="S4.E2.m1.125.125.3.124.58.31.31.1.1.1.1"><mo id="S4.E2.m1.19.19.19.19.19.19" stretchy="false">(</mo><mrow id="S4.E2.m1.125.125.3.124.58.31.31.1.1.1.1.1"><msub id="S4.E2.m1.125.125.3.124.58.31.31.1.1.1.1.1.2"><mi id="S4.E2.m1.20.20.20.20.20.20" mathvariant="normal" xref="S4.E2.m1.20.20.20.20.20.20.cmml">Δ</mi><mi id="S4.E2.m1.21.21.21.21.21.21.1" xref="S4.E2.m1.21.21.21.21.21.21.1.cmml">U</mi></msub><mo id="S4.E2.m1.125.125.3.124.58.31.31.1.1.1.1.1.1">⁢</mo><mi id="S4.E2.m1.22.22.22.22.22.22" xref="S4.E2.m1.22.22.22.22.22.22.cmml">N</mi><mo id="S4.E2.m1.125.125.3.124.58.31.31.1.1.1.1.1.1a">⁢</mo><mrow id="S4.E2.m1.125.125.3.124.58.31.31.1.1.1.1.1.3"><mo id="S4.E2.m1.23.23.23.23.23.23" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.E2.m1.24.24.24.24.24.24" xref="S4.E2.m1.24.24.24.24.24.24.cmml">t</mi><mo id="S4.E2.m1.25.25.25.25.25.25" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E2.m1.26.26.26.26.26.26" stretchy="false">)</mo></mrow><mn id="S4.E2.m1.27.27.27.27.27.27.1" xref="S4.E2.m1.27.27.27.27.27.27.1.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.E2.m1.125.125.3.124.58.31.31.1.2" lspace="0em">⁢</mo><mrow id="S4.E2.m1.125.125.3.124.58.31.31.1.3"><mo id="S4.E2.m1.28.28.28.28.28.28" rspace="0em" xref="S4.E2.m1.28.28.28.28.28.28.cmml">𝑑</mo><mi id="S4.E2.m1.29.29.29.29.29.29" xref="S4.E2.m1.29.29.29.29.29.29.cmml">t</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E2.m1.129.129.7c"><mrow id="S4.E2.m1.126.126.4.125.59.28"><mi id="S4.E2.m1.126.126.4.125.59.28.29"></mi><mo id="S4.E2.m1.30.30.30.30.1.1" rspace="0.111em" xref="S4.E2.m1.30.30.30.30.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E2.m1.126.126.4.125.59.28.28"><msubsup id="S4.E2.m1.126.126.4.125.59.28.28.2"><mo id="S4.E2.m1.31.31.31.31.2.2" rspace="0em" xref="S4.E2.m1.31.31.31.31.2.2.cmml">∫</mo><mn id="S4.E2.m1.32.32.32.32.3.3.1" xref="S4.E2.m1.32.32.32.32.3.3.1.cmml">2</mn><mi id="S4.E2.m1.33.33.33.33.4.4.1" xref="S4.E2.m1.33.33.33.33.4.4.1.cmml">T</mi></msubsup><mrow id="S4.E2.m1.126.126.4.125.59.28.28.1"><msup id="S4.E2.m1.126.126.4.125.59.28.28.1.1"><mrow id="S4.E2.m1.126.126.4.125.59.28.28.1.1.1.1"><mo id="S4.E2.m1.34.34.34.34.5.5">(</mo><mrow id="S4.E2.m1.126.126.4.125.59.28.28.1.1.1.1.1"><mrow id="S4.E2.m1.126.126.4.125.59.28.28.1.1.1.1.1.1"><msub id="S4.E2.m1.126.126.4.125.59.28.28.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S4.E2.m1.35.35.35.35.6.6" mathvariant="normal" xref="S4.E2.m1.35.35.35.35.6.6.cmml">Δ</mi><mi id="S4.E2.m1.36.36.36.36.7.7.1" xref="S4.E2.m1.36.36.36.36.7.7.1.cmml">U</mi></msub><mo id="S4.E2.m1.126.126.4.125.59.28.28.1.1.1.1.1.1.1">⁢</mo><mi id="S4.E2.m1.37.37.37.37.8.8" xref="S4.E2.m1.37.37.37.37.8.8.cmml">M</mi><mo id="S4.E2.m1.126.126.4.125.59.28.28.1.1.1.1.1.1.1a">⁢</mo><mrow id="S4.E2.m1.126.126.4.125.59.28.28.1.1.1.1.1.1.3"><mo id="S4.E2.m1.38.38.38.38.9.9" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.E2.m1.39.39.39.39.10.10" xref="S4.E2.m1.39.39.39.39.10.10.cmml">t</mi><mo id="S4.E2.m1.40.40.40.40.11.11" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E2.m1.41.41.41.41.12.12" xref="S4.E2.m1.41.41.41.41.12.12.cmml">+</mo><mrow id="S4.E2.m1.126.126.4.125.59.28.28.1.1.1.1.1.2"><msub id="S4.E2.m1.126.126.4.125.59.28.28.1.1.1.1.1.2.2"><mi id="S4.E2.m1.42.42.42.42.13.13" mathvariant="normal" xref="S4.E2.m1.42.42.42.42.13.13.cmml">Δ</mi><mi id="S4.E2.m1.43.43.43.43.14.14.1" xref="S4.E2.m1.43.43.43.43.14.14.1.cmml">U</mi></msub><mo id="S4.E2.m1.126.126.4.125.59.28.28.1.1.1.1.1.2.1">⁢</mo><mi id="S4.E2.m1.44.44.44.44.15.15" xref="S4.E2.m1.44.44.44.44.15.15.cmml">S</mi><mo id="S4.E2.m1.126.126.4.125.59.28.28.1.1.1.1.1.2.1a">⁢</mo><mrow id="S4.E2.m1.126.126.4.125.59.28.28.1.1.1.1.1.2.3"><mo id="S4.E2.m1.45.45.45.45.16.16" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.E2.m1.46.46.46.46.17.17" xref="S4.E2.m1.46.46.46.46.17.17.cmml">t</mi><mo id="S4.E2.m1.47.47.47.47.18.18" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E2.m1.41.41.41.41.12.12a" xref="S4.E2.m1.41.41.41.41.12.12.cmml">+</mo><mrow id="S4.E2.m1.126.126.4.125.59.28.28.1.1.1.1.1.3"><mi id="S4.E2.m1.49.49.49.49.20.20" xref="S4.E2.m1.49.49.49.49.20.20.cmml">O</mi><mo id="S4.E2.m1.126.126.4.125.59.28.28.1.1.1.1.1.3.1">⁢</mo><mrow id="S4.E2.m1.126.126.4.125.59.28.28.1.1.1.1.1.3.2"><mo id="S4.E2.m1.50.50.50.50.21.21">(</mo><mstyle displaystyle="false" id="S4.E2.m1.51.51.51.51.22.22" xref="S4.E2.m1.51.51.51.51.22.22.cmml"><mfrac id="S4.E2.m1.51.51.51.51.22.22a" xref="S4.E2.m1.51.51.51.51.22.22.cmml"><mn id="S4.E2.m1.51.51.51.51.22.22.2" xref="S4.E2.m1.51.51.51.51.22.22.2.cmml">1</mn><mi id="S4.E2.m1.51.51.51.51.22.22.3" xref="S4.E2.m1.51.51.51.51.22.22.3.cmml">t</mi></mfrac></mstyle><mo id="S4.E2.m1.52.52.52.52.23.23">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E2.m1.53.53.53.53.24.24">)</mo></mrow><mn id="S4.E2.m1.54.54.54.54.25.25.1" xref="S4.E2.m1.54.54.54.54.25.25.1.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.E2.m1.126.126.4.125.59.28.28.1.2" lspace="0em">⁢</mo><mrow id="S4.E2.m1.126.126.4.125.59.28.28.1.3"><mo id="S4.E2.m1.55.55.55.55.26.26" rspace="0em" xref="S4.E2.m1.55.55.55.55.26.26.cmml">𝑑</mo><mi id="S4.E2.m1.56.56.56.56.27.27" xref="S4.E2.m1.56.56.56.56.27.27.cmml">t</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.E2.m1.129.129.7d"><mtd id="S4.E2.m1.129.129.7e"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E2.m1.129.129.7f"><mrow id="S4.E2.m1.128.128.6.127.37.37"><mi id="S4.E2.m1.128.128.6.127.37.37.38"></mi><mo id="S4.E2.m1.57.57.57.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S4.E2.m1.57.57.57.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E2.m1.128.128.6.127.37.37.37"><mrow id="S4.E2.m1.127.127.5.126.36.36.36.1"><msubsup id="S4.E2.m1.127.127.5.126.36.36.36.1.2"><mo id="S4.E2.m1.58.58.58.2.2.2" rspace="0em" xref="S4.E2.m1.58.58.58.2.2.2.cmml">∫</mo><mn id="S4.E2.m1.59.59.59.3.3.3.1" xref="S4.E2.m1.59.59.59.3.3.3.1.cmml">2</mn><mi id="S4.E2.m1.60.60.60.4.4.4.1" xref="S4.E2.m1.60.60.60.4.4.4.1.cmml">T</mi></msubsup><mrow id="S4.E2.m1.127.127.5.126.36.36.36.1.1"><msup id="S4.E2.m1.127.127.5.126.36.36.36.1.1.1"><mrow id="S4.E2.m1.127.127.5.126.36.36.36.1.1.1.1.1"><mo id="S4.E2.m1.61.61.61.5.5.5">(</mo><mrow id="S4.E2.m1.127.127.5.126.36.36.36.1.1.1.1.1.1"><msub id="S4.E2.m1.127.127.5.126.36.36.36.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S4.E2.m1.62.62.62.6.6.6" mathvariant="normal" xref="S4.E2.m1.62.62.62.6.6.6.cmml">Δ</mi><mi id="S4.E2.m1.63.63.63.7.7.7.1" xref="S4.E2.m1.63.63.63.7.7.7.1.cmml">U</mi></msub><mo id="S4.E2.m1.127.127.5.126.36.36.36.1.1.1.1.1.1.1">⁢</mo><mi id="S4.E2.m1.64.64.64.8.8.8" xref="S4.E2.m1.64.64.64.8.8.8.cmml">M</mi><mo id="S4.E2.m1.127.127.5.126.36.36.36.1.1.1.1.1.1.1a">⁢</mo><mrow id="S4.E2.m1.127.127.5.126.36.36.36.1.1.1.1.1.1.3"><mo id="S4.E2.m1.65.65.65.9.9.9" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.E2.m1.66.66.66.10.10.10" xref="S4.E2.m1.66.66.66.10.10.10.cmml">t</mi><mo id="S4.E2.m1.67.67.67.11.11.11" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E2.m1.68.68.68.12.12.12">)</mo></mrow><mn id="S4.E2.m1.69.69.69.13.13.13.1" xref="S4.E2.m1.69.69.69.13.13.13.1.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.E2.m1.127.127.5.126.36.36.36.1.1.2" lspace="0em">⁢</mo><mrow id="S4.E2.m1.127.127.5.126.36.36.36.1.1.3"><mo id="S4.E2.m1.70.70.70.14.14.14" rspace="0em" xref="S4.E2.m1.70.70.70.14.14.14.cmml">𝑑</mo><mi id="S4.E2.m1.71.71.71.15.15.15" xref="S4.E2.m1.71.71.71.15.15.15.cmml">t</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E2.m1.72.72.72.16.16.16" rspace="0.055em" xref="S4.E2.m1.72.72.72.16.16.16.cmml">+</mo><mrow id="S4.E2.m1.128.128.6.127.37.37.37.2"><msubsup id="S4.E2.m1.128.128.6.127.37.37.37.2.2"><mo id="S4.E2.m1.73.73.73.17.17.17" rspace="0em" xref="S4.E2.m1.73.73.73.17.17.17.cmml">∫</mo><mn id="S4.E2.m1.74.74.74.18.18.18.1" xref="S4.E2.m1.74.74.74.18.18.18.1.cmml">2</mn><mi id="S4.E2.m1.75.75.75.19.19.19.1" xref="S4.E2.m1.75.75.75.19.19.19.1.cmml">T</mi></msubsup><mrow id="S4.E2.m1.128.128.6.127.37.37.37.2.1"><msup id="S4.E2.m1.128.128.6.127.37.37.37.2.1.1"><mrow id="S4.E2.m1.128.128.6.127.37.37.37.2.1.1.1.1"><mo id="S4.E2.m1.76.76.76.20.20.20">(</mo><mrow id="S4.E2.m1.128.128.6.127.37.37.37.2.1.1.1.1.1"><mrow id="S4.E2.m1.128.128.6.127.37.37.37.2.1.1.1.1.1.1"><msub id="S4.E2.m1.128.128.6.127.37.37.37.2.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S4.E2.m1.77.77.77.21.21.21" mathvariant="normal" xref="S4.E2.m1.77.77.77.21.21.21.cmml">Δ</mi><mi id="S4.E2.m1.78.78.78.22.22.22.1" xref="S4.E2.m1.78.78.78.22.22.22.1.cmml">U</mi></msub><mo id="S4.E2.m1.128.128.6.127.37.37.37.2.1.1.1.1.1.1.1">⁢</mo><mi id="S4.E2.m1.79.79.79.23.23.23" xref="S4.E2.m1.79.79.79.23.23.23.cmml">S</mi><mo id="S4.E2.m1.128.128.6.127.37.37.37.2.1.1.1.1.1.1.1a">⁢</mo><mrow id="S4.E2.m1.128.128.6.127.37.37.37.2.1.1.1.1.1.1.3"><mo id="S4.E2.m1.80.80.80.24.24.24" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.E2.m1.81.81.81.25.25.25" xref="S4.E2.m1.81.81.81.25.25.25.cmml">t</mi><mo id="S4.E2.m1.82.82.82.26.26.26" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E2.m1.83.83.83.27.27.27" xref="S4.E2.m1.83.83.83.27.27.27.cmml">+</mo><mrow id="S4.E2.m1.128.128.6.127.37.37.37.2.1.1.1.1.1.2"><mi id="S4.E2.m1.84.84.84.28.28.28" xref="S4.E2.m1.84.84.84.28.28.28.cmml">O</mi><mo id="S4.E2.m1.128.128.6.127.37.37.37.2.1.1.1.1.1.2.1">⁢</mo><mrow id="S4.E2.m1.128.128.6.127.37.37.37.2.1.1.1.1.1.2.2"><mo id="S4.E2.m1.85.85.85.29.29.29">(</mo><mstyle displaystyle="false" id="S4.E2.m1.86.86.86.30.30.30" xref="S4.E2.m1.86.86.86.30.30.30.cmml"><mfrac id="S4.E2.m1.86.86.86.30.30.30a" xref="S4.E2.m1.86.86.86.30.30.30.cmml"><mn id="S4.E2.m1.86.86.86.30.30.30.2" xref="S4.E2.m1.86.86.86.30.30.30.2.cmml">1</mn><mi id="S4.E2.m1.86.86.86.30.30.30.3" xref="S4.E2.m1.86.86.86.30.30.30.3.cmml">t</mi></mfrac></mstyle><mo id="S4.E2.m1.87.87.87.31.31.31">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E2.m1.88.88.88.32.32.32">)</mo></mrow><mn id="S4.E2.m1.89.89.89.33.33.33.1" xref="S4.E2.m1.89.89.89.33.33.33.1.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.E2.m1.128.128.6.127.37.37.37.2.1.2" lspace="0em">⁢</mo><mrow id="S4.E2.m1.128.128.6.127.37.37.37.2.1.3"><mo id="S4.E2.m1.90.90.90.34.34.34" rspace="0em" xref="S4.E2.m1.90.90.90.34.34.34.cmml">𝑑</mo><mi id="S4.E2.m1.91.91.91.35.35.35" xref="S4.E2.m1.91.91.91.35.35.35.cmml">t</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.E2.m1.129.129.7g"><mtd id="S4.E2.m1.129.129.7h"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E2.m1.129.129.7i"><mrow id="S4.E2.m1.129.129.7.128.32.32.32"><mrow id="S4.E2.m1.129.129.7.128.32.32.32.1"><mo id="S4.E2.m1.129.129.7.128.32.32.32.1a">+</mo><mrow id="S4.E2.m1.129.129.7.128.32.32.32.1.1"><mi id="S4.E2.m1.93.93.93.2.2.2" xref="S4.E2.m1.93.93.93.2.2.2.cmml">O</mi><mo id="S4.E2.m1.129.129.7.128.32.32.32.1.1.2">⁢</mo><mrow id="S4.E2.m1.129.129.7.128.32.32.32.1.1.1.1"><mo id="S4.E2.m1.94.94.94.3.3.3">(</mo><mrow id="S4.E2.m1.129.129.7.128.32.32.32.1.1.1.1.1"><mo id="S4.E2.m1.95.95.95.4.4.4">|</mo><mrow id="S4.E2.m1.129.129.7.128.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1"><msubsup id="S4.E2.m1.129.129.7.128.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.2"><mo id="S4.E2.m1.96.96.96.5.5.5" lspace="0em" xref="S4.E2.m1.96.96.96.5.5.5.cmml">∫</mo><mn id="S4.E2.m1.97.97.97.6.6.6.1" xref="S4.E2.m1.97.97.97.6.6.6.1.cmml">2</mn><mi id="S4.E2.m1.98.98.98.7.7.7.1" xref="S4.E2.m1.98.98.98.7.7.7.1.cmml">T</mi></msubsup><mrow id="S4.E2.m1.129.129.7.128.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1"><msub id="S4.E2.m1.129.129.7.128.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><mi id="S4.E2.m1.99.99.99.8.8.8" mathvariant="normal" xref="S4.E2.m1.99.99.99.8.8.8.cmml">Δ</mi><mi id="S4.E2.m1.100.100.100.9.9.9.1" xref="S4.E2.m1.100.100.100.9.9.9.1.cmml">U</mi></msub><mo id="S4.E2.m1.129.129.7.128.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.2">⁢</mo><mi id="S4.E2.m1.101.101.101.10.10.10" xref="S4.E2.m1.101.101.101.10.10.10.cmml">M</mi><mo id="S4.E2.m1.129.129.7.128.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.2a">⁢</mo><mrow id="S4.E2.m1.129.129.7.128.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><mo id="S4.E2.m1.102.102.102.11.11.11" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.E2.m1.103.103.103.12.12.12" xref="S4.E2.m1.103.103.103.12.12.12.cmml">t</mi><mo id="S4.E2.m1.104.104.104.13.13.13" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.E2.m1.129.129.7.128.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.2b">⁢</mo><mrow id="S4.E2.m1.129.129.7.128.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S4.E2.m1.105.105.105.14.14.14">(</mo><mrow id="S4.E2.m1.129.129.7.128.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S4.E2.m1.129.129.7.128.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><msub id="S4.E2.m1.129.129.7.128.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S4.E2.m1.106.106.106.15.15.15" mathvariant="normal" xref="S4.E2.m1.106.106.106.15.15.15.cmml">Δ</mi><mi id="S4.E2.m1.107.107.107.16.16.16.1" xref="S4.E2.m1.107.107.107.16.16.16.1.cmml">U</mi></msub><mo id="S4.E2.m1.129.129.7.128.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">⁢</mo><mi id="S4.E2.m1.108.108.108.17.17.17" xref="S4.E2.m1.108.108.108.17.17.17.cmml">S</mi><mo id="S4.E2.m1.129.129.7.128.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a">⁢</mo><mrow id="S4.E2.m1.129.129.7.128.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><mo id="S4.E2.m1.109.109.109.18.18.18" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.E2.m1.110.110.110.19.19.19" xref="S4.E2.m1.110.110.110.19.19.19.cmml">t</mi><mo id="S4.E2.m1.111.111.111.20.20.20" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E2.m1.112.112.112.21.21.21" xref="S4.E2.m1.112.112.112.21.21.21.cmml">+</mo><mrow id="S4.E2.m1.129.129.7.128.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S4.E2.m1.113.113.113.22.22.22" xref="S4.E2.m1.113.113.113.22.22.22.cmml">O</mi><mo id="S4.E2.m1.129.129.7.128.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">⁢</mo><mrow id="S4.E2.m1.129.129.7.128.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><mo id="S4.E2.m1.114.114.114.23.23.23">(</mo><mstyle displaystyle="false" id="S4.E2.m1.115.115.115.24.24.24" xref="S4.E2.m1.115.115.115.24.24.24.cmml"><mfrac id="S4.E2.m1.115.115.115.24.24.24a" xref="S4.E2.m1.115.115.115.24.24.24.cmml"><mn id="S4.E2.m1.115.115.115.24.24.24.2" xref="S4.E2.m1.115.115.115.24.24.24.2.cmml">1</mn><mi id="S4.E2.m1.115.115.115.24.24.24.3" xref="S4.E2.m1.115.115.115.24.24.24.3.cmml">t</mi></mfrac></mstyle><mo id="S4.E2.m1.116.116.116.25.25.25">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E2.m1.117.117.117.26.26.26">)</mo></mrow><mo id="S4.E2.m1.129.129.7.128.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.2c" lspace="0.170em">⁢</mo><mrow id="S4.E2.m1.129.129.7.128.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.5"><mo id="S4.E2.m1.118.118.118.27.27.27" rspace="0em" xref="S4.E2.m1.118.118.118.27.27.27.cmml">𝑑</mo><mi id="S4.E2.m1.119.119.119.28.28.28" xref="S4.E2.m1.119.119.119.28.28.28.cmml">t</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E2.m1.120.120.120.29.29.29">|</mo></mrow><mo id="S4.E2.m1.121.121.121.30.30.30">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E2.m1.122.122.122.31.31.31" lspace="0em">.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E2.m1.129b"><apply id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.3a.cmml">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.cmml"><and id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1a.cmml"></and><apply id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1b.cmml"><eq id="S4.E2.m1.15.15.15.15.15.15.cmml" xref="S4.E2.m1.15.15.15.15.15.15"></eq><apply id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.1.cmml"><apply id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><csymbol cd="ambiguous" 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id="S4.E2.m1.16.16.16.16.16.16.cmml" xref="S4.E2.m1.16.16.16.16.16.16"></int><cn id="S4.E2.m1.17.17.17.17.17.17.1.cmml" type="integer" xref="S4.E2.m1.17.17.17.17.17.17.1">2</cn></apply><ci id="S4.E2.m1.18.18.18.18.18.18.1.cmml" xref="S4.E2.m1.18.18.18.18.18.18.1">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><times id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml"></times><apply id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">superscript</csymbol><apply id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><times id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml"></times><apply id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">subscript</csymbol><ci id="S4.E2.m1.20.20.20.20.20.20.cmml" xref="S4.E2.m1.20.20.20.20.20.20">Δ</ci><ci id="S4.E2.m1.21.21.21.21.21.21.1.cmml" xref="S4.E2.m1.21.21.21.21.21.21.1">𝑈</ci></apply><ci 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id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">subscript</csymbol><int id="S4.E2.m1.31.31.31.31.2.2.cmml" xref="S4.E2.m1.31.31.31.31.2.2"></int><cn id="S4.E2.m1.32.32.32.32.3.3.1.cmml" type="integer" xref="S4.E2.m1.32.32.32.32.3.3.1">2</cn></apply><ci id="S4.E2.m1.33.33.33.33.4.4.1.cmml" xref="S4.E2.m1.33.33.33.33.4.4.1">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><times id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml"></times><apply id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml">superscript</csymbol><apply id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml"><plus id="S4.E2.m1.41.41.41.41.12.12.cmml" xref="S4.E2.m1.41.41.41.41.12.12"></plus><apply id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><times id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml"></times><apply id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">subscript</csymbol><ci id="S4.E2.m1.35.35.35.35.6.6.cmml" xref="S4.E2.m1.35.35.35.35.6.6">Δ</ci><ci id="S4.E2.m1.36.36.36.36.7.7.1.cmml" xref="S4.E2.m1.36.36.36.36.7.7.1">𝑈</ci></apply><ci id="S4.E2.m1.37.37.37.37.8.8.cmml" xref="S4.E2.m1.37.37.37.37.8.8">𝑀</ci><ci id="S4.E2.m1.39.39.39.39.10.10.cmml" xref="S4.E2.m1.39.39.39.39.10.10">𝑡</ci></apply><apply id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><times id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></times><apply id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">subscript</csymbol><ci id="S4.E2.m1.42.42.42.42.13.13.cmml" xref="S4.E2.m1.42.42.42.42.13.13">Δ</ci><ci id="S4.E2.m1.43.43.43.43.14.14.1.cmml" xref="S4.E2.m1.43.43.43.43.14.14.1">𝑈</ci></apply><ci id="S4.E2.m1.44.44.44.44.15.15.cmml" xref="S4.E2.m1.44.44.44.44.15.15">𝑆</ci><ci id="S4.E2.m1.46.46.46.46.17.17.cmml" xref="S4.E2.m1.46.46.46.46.17.17">𝑡</ci></apply><apply id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.4.cmml"><times id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.4.1.cmml"></times><ci id="S4.E2.m1.49.49.49.49.20.20.cmml" xref="S4.E2.m1.49.49.49.49.20.20">𝑂</ci><apply id="S4.E2.m1.51.51.51.51.22.22.cmml" xref="S4.E2.m1.51.51.51.51.22.22"><divide id="S4.E2.m1.51.51.51.51.22.22.1.cmml" xref="S4.E2.m1.51.51.51.51.22.22"></divide><cn id="S4.E2.m1.51.51.51.51.22.22.2.cmml" type="integer" xref="S4.E2.m1.51.51.51.51.22.22.2">1</cn><ci id="S4.E2.m1.51.51.51.51.22.22.3.cmml" xref="S4.E2.m1.51.51.51.51.22.22.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><cn id="S4.E2.m1.54.54.54.54.25.25.1.cmml" type="integer" xref="S4.E2.m1.54.54.54.54.25.25.1">2</cn></apply><apply id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml"><csymbol cd="latexml" id="S4.E2.m1.55.55.55.55.26.26.cmml" xref="S4.E2.m1.55.55.55.55.26.26">differential-d</csymbol><ci id="S4.E2.m1.56.56.56.56.27.27.cmml" xref="S4.E2.m1.56.56.56.56.27.27">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1e.cmml"><eq id="S4.E2.m1.57.57.57.1.1.1.cmml" xref="S4.E2.m1.57.57.57.1.1.1"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.3.cmml" id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1f.cmml"></share><apply id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.5.cmml"><plus id="S4.E2.m1.72.72.72.16.16.16.cmml" xref="S4.E2.m1.72.72.72.16.16.16"></plus><apply id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.4.1.cmml"><apply id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.4.1.2.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.4.1.2.1.cmml">superscript</csymbol><apply id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.4.1.2.2.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.4.1.2.2.1.cmml">subscript</csymbol><int id="S4.E2.m1.58.58.58.2.2.2.cmml" xref="S4.E2.m1.58.58.58.2.2.2"></int><cn id="S4.E2.m1.59.59.59.3.3.3.1.cmml" type="integer" xref="S4.E2.m1.59.59.59.3.3.3.1">2</cn></apply><ci id="S4.E2.m1.60.60.60.4.4.4.1.cmml" xref="S4.E2.m1.60.60.60.4.4.4.1">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.4.1.1.cmml"><times id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.4.1.1.2.cmml"></times><apply id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.4.1.1.1.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.4.1.1.1.2.cmml">superscript</csymbol><apply id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><times id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"></times><apply id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">subscript</csymbol><ci id="S4.E2.m1.62.62.62.6.6.6.cmml" xref="S4.E2.m1.62.62.62.6.6.6">Δ</ci><ci id="S4.E2.m1.63.63.63.7.7.7.1.cmml" xref="S4.E2.m1.63.63.63.7.7.7.1">𝑈</ci></apply><ci id="S4.E2.m1.64.64.64.8.8.8.cmml" xref="S4.E2.m1.64.64.64.8.8.8">𝑀</ci><ci id="S4.E2.m1.66.66.66.10.10.10.cmml" xref="S4.E2.m1.66.66.66.10.10.10">𝑡</ci></apply><cn id="S4.E2.m1.69.69.69.13.13.13.1.cmml" type="integer" xref="S4.E2.m1.69.69.69.13.13.13.1">2</cn></apply><apply id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.4.1.1.3.cmml"><csymbol cd="latexml" id="S4.E2.m1.70.70.70.14.14.14.cmml" xref="S4.E2.m1.70.70.70.14.14.14">differential-d</csymbol><ci id="S4.E2.m1.71.71.71.15.15.15.cmml" xref="S4.E2.m1.71.71.71.15.15.15">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.5.2.cmml"><apply id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.5.2.2.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.5.2.2.1.cmml">superscript</csymbol><apply id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.5.2.2.2.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.5.2.2.2.1.cmml">subscript</csymbol><int id="S4.E2.m1.73.73.73.17.17.17.cmml" xref="S4.E2.m1.73.73.73.17.17.17"></int><cn id="S4.E2.m1.74.74.74.18.18.18.1.cmml" type="integer" xref="S4.E2.m1.74.74.74.18.18.18.1">2</cn></apply><ci id="S4.E2.m1.75.75.75.19.19.19.1.cmml" xref="S4.E2.m1.75.75.75.19.19.19.1">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.5.2.1.cmml"><times id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.5.2.1.2.cmml"></times><apply id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.5.2.1.1.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.5.2.1.1.2.cmml">superscript</csymbol><apply id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1.cmml"><plus id="S4.E2.m1.83.83.83.27.27.27.cmml" xref="S4.E2.m1.83.83.83.27.27.27"></plus><apply id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><times id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml"></times><apply id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">subscript</csymbol><ci id="S4.E2.m1.77.77.77.21.21.21.cmml" xref="S4.E2.m1.77.77.77.21.21.21">Δ</ci><ci id="S4.E2.m1.78.78.78.22.22.22.1.cmml" xref="S4.E2.m1.78.78.78.22.22.22.1">𝑈</ci></apply><ci id="S4.E2.m1.79.79.79.23.23.23.cmml" xref="S4.E2.m1.79.79.79.23.23.23">𝑆</ci><ci id="S4.E2.m1.81.81.81.25.25.25.cmml" xref="S4.E2.m1.81.81.81.25.25.25">𝑡</ci></apply><apply id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><times id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></times><ci id="S4.E2.m1.84.84.84.28.28.28.cmml" xref="S4.E2.m1.84.84.84.28.28.28">𝑂</ci><apply id="S4.E2.m1.86.86.86.30.30.30.cmml" xref="S4.E2.m1.86.86.86.30.30.30"><divide id="S4.E2.m1.86.86.86.30.30.30.1.cmml" xref="S4.E2.m1.86.86.86.30.30.30"></divide><cn id="S4.E2.m1.86.86.86.30.30.30.2.cmml" type="integer" xref="S4.E2.m1.86.86.86.30.30.30.2">1</cn><ci id="S4.E2.m1.86.86.86.30.30.30.3.cmml" xref="S4.E2.m1.86.86.86.30.30.30.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><cn id="S4.E2.m1.89.89.89.33.33.33.1.cmml" type="integer" xref="S4.E2.m1.89.89.89.33.33.33.1">2</cn></apply><apply id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.1.1.5.2.1.3.cmml"><csymbol cd="latexml" id="S4.E2.m1.90.90.90.34.34.34.cmml" xref="S4.E2.m1.90.90.90.34.34.34">differential-d</csymbol><ci id="S4.E2.m1.91.91.91.35.35.35.cmml" xref="S4.E2.m1.91.91.91.35.35.35">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.2.2.cmml"><plus id="S4.E2.m1.92.92.92.1.1.1.cmml"></plus><apply id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.2.2.1.cmml"><times id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.2.2.1.2.cmml"></times><ci id="S4.E2.m1.93.93.93.2.2.2.cmml" xref="S4.E2.m1.93.93.93.2.2.2">𝑂</ci><apply id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><abs id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml"></abs><apply id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><apply id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">superscript</csymbol><apply id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">subscript</csymbol><int id="S4.E2.m1.96.96.96.5.5.5.cmml" xref="S4.E2.m1.96.96.96.5.5.5"></int><cn id="S4.E2.m1.97.97.97.6.6.6.1.cmml" type="integer" xref="S4.E2.m1.97.97.97.6.6.6.1">2</cn></apply><ci id="S4.E2.m1.98.98.98.7.7.7.1.cmml" xref="S4.E2.m1.98.98.98.7.7.7.1">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><times id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></times><apply id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">subscript</csymbol><ci id="S4.E2.m1.99.99.99.8.8.8.cmml" xref="S4.E2.m1.99.99.99.8.8.8">Δ</ci><ci id="S4.E2.m1.100.100.100.9.9.9.1.cmml" xref="S4.E2.m1.100.100.100.9.9.9.1">𝑈</ci></apply><ci id="S4.E2.m1.101.101.101.10.10.10.cmml" xref="S4.E2.m1.101.101.101.10.10.10">𝑀</ci><ci id="S4.E2.m1.103.103.103.12.12.12.cmml" xref="S4.E2.m1.103.103.103.12.12.12">𝑡</ci><apply id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><plus id="S4.E2.m1.112.112.112.21.21.21.cmml" xref="S4.E2.m1.112.112.112.21.21.21"></plus><apply id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><times id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"></times><apply id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">subscript</csymbol><ci id="S4.E2.m1.106.106.106.15.15.15.cmml" xref="S4.E2.m1.106.106.106.15.15.15">Δ</ci><ci id="S4.E2.m1.107.107.107.16.16.16.1.cmml" xref="S4.E2.m1.107.107.107.16.16.16.1">𝑈</ci></apply><ci id="S4.E2.m1.108.108.108.17.17.17.cmml" xref="S4.E2.m1.108.108.108.17.17.17">𝑆</ci><ci id="S4.E2.m1.110.110.110.19.19.19.cmml" xref="S4.E2.m1.110.110.110.19.19.19">𝑡</ci></apply><apply id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><times id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></times><ci id="S4.E2.m1.113.113.113.22.22.22.cmml" xref="S4.E2.m1.113.113.113.22.22.22">𝑂</ci><apply id="S4.E2.m1.115.115.115.24.24.24.cmml" xref="S4.E2.m1.115.115.115.24.24.24"><divide id="S4.E2.m1.115.115.115.24.24.24.1.cmml" xref="S4.E2.m1.115.115.115.24.24.24"></divide><cn id="S4.E2.m1.115.115.115.24.24.24.2.cmml" type="integer" xref="S4.E2.m1.115.115.115.24.24.24.2">1</cn><ci id="S4.E2.m1.115.115.115.24.24.24.3.cmml" xref="S4.E2.m1.115.115.115.24.24.24.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E2.m1.123.123.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.6.cmml"><csymbol cd="latexml" id="S4.E2.m1.118.118.118.27.27.27.cmml" xref="S4.E2.m1.118.118.118.27.27.27">differential-d</csymbol><ci id="S4.E2.m1.119.119.119.28.28.28.cmml" xref="S4.E2.m1.119.119.119.28.28.28">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E2.m1.129c">\begin{split}\int_{0}^{T}(\Delta_{U}N(t))^{2}\,dt=\int_{2}^{T}(\Delta_{U}N(t))% ^{2}\,dt&=\int_{2}^{T}\left(\Delta_{U}M(t)+\Delta_{U}S(t)+O\left(\tfrac{1}{t}% \right)\right)^{2}\,dt\\ &=\int_{2}^{T}\left(\Delta_{U}M(t)\right)^{2}\,dt+\int_{2}^{T}\left(\Delta_{U}% S(t)+O\left(\tfrac{1}{t}\right)\right)^{2}\,dt\\ &\qquad\qquad+O\left(\left|\int_{2}^{T}\Delta_{U}M(t)\left(\Delta_{U}S(t)+O% \left(\tfrac{1}{t}\right)\right)\,dt\right|\right).\end{split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E2.m1.129d">start_ROW start_CELL ∫ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT italic_N ( italic_t ) ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_t = ∫ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT italic_N ( italic_t ) ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_t end_CELL start_CELL = ∫ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT italic_M ( italic_t ) + roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT italic_S ( italic_t ) + italic_O ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_t end_ARG ) ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_t end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL = ∫ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT italic_M ( italic_t ) ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_t + ∫ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT italic_S ( italic_t ) + italic_O ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_t end_ARG ) ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_t end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL + italic_O ( | ∫ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT italic_M ( italic_t ) ( roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT italic_S ( italic_t ) + italic_O ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_t end_ARG ) ) italic_d italic_t | ) . end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.2.p1.3"><span class="ltx_text" id="S4.2.p1.3.1">Now</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex3"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Delta_{U}M(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{t}^{t+U}\log\frac{u}{2\pi}\,du=\frac{U}{2% \pi}(\log t+O(1))," class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex3.m1.3"><semantics id="S4.Ex3.m1.3a"><mrow id="S4.Ex3.m1.3.3.1" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.3" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.3.cmml"><msub id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml">Δ</mi><mi id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml">U</mi></msub><mo id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.3.1" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.3.3" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.3.3.cmml">M</mi><mo id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.3.1a" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.3.4.2" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mo id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex3.m1.1.1" xref="S4.Ex3.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.3.4.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.4" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.cmml"><mfrac id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.2" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.2.cmml"><mn id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.2.2" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.2.3" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.2.3.cmml"><mn id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.2.3.2" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.2.3.1" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.2.3.3" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.2.3.3.cmml">π</mi></mrow></mfrac><mo id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.1" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.cmml"><msubsup id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.1" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.1.2.2" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.1.2.3" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.1.2.3.cmml">t</mi><mrow id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.1.3" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.1.3.2" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.1.3.1" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.1.3.1.cmml">+</mo><mi id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.1.3.3" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.1.3.3.cmml">U</mi></mrow></msubsup><mrow id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.2" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.2.1" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.2.1.cmml">log</mi><mo id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.2a" lspace="0.167em" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.2.2" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.2.2.cmml"><mfrac id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.2.2.2" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.2.2.2.2" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.2.2.2.2.cmml">u</mi><mrow id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.2.2.2.3" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.2.2.2.3.cmml"><mn id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.2.2.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.2.2.2.3.1" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.2.2.2.3.3.cmml">π</mi></mrow></mfrac><mo id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.2.2.1" lspace="0.170em" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.2.2.3" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.2.2.3.cmml">d</mi><mo id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.2.2.1a" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.2.2.4" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.2.2.4.cmml">u</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.6" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mfrac id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml">U</mi><mrow id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.3.3.1" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.cmml">π</mi></mrow></mfrac><mo id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">log</mi><mo id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2a" lspace="0.167em" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mi id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">t</mi></mrow><mo id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">O</mi><mo id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mn id="S4.Ex3.m1.2.2" xref="S4.Ex3.m1.2.2.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex3.m1.3.3.1.2" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex3.m1.3b"><apply id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1"><and id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1a.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1"></and><apply id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1b.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1"><eq id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.4"></eq><apply id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.3"><times id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" 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id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.3.3"><times id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.3.3.1"></times><cn id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.3.3.2">2</cn><ci id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.3.3.3">𝜋</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1"><plus id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2"><log id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1"></log><ci id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑡</ci></apply><apply id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑂</ci><cn id="S4.Ex3.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex3.m1.2.2">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex3.m1.3c">\Delta_{U}M(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{t}^{t+U}\log\frac{u}{2\pi}\,du=\frac{U}{2% \pi}(\log t+O(1)),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex3.m1.3d">roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT italic_M ( italic_t ) = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 italic_π end_ARG ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t + italic_U end_POSTSUPERSCRIPT roman_log divide start_ARG italic_u end_ARG start_ARG 2 italic_π end_ARG italic_d italic_u = divide start_ARG italic_U end_ARG start_ARG 2 italic_π end_ARG ( roman_log italic_t + italic_O ( 1 ) ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.2.p1.4"><span class="ltx_text" id="S4.2.p1.4.1">and therefore</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E3"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(4.3)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\int_{2}^{T}\left(\Delta_{U}M(t)\right)^{2}\,dt=T(UL)^{2}+O(TU^{2}L)." class="ltx_Math" display="block" id="S4.E3.m1.2"><semantics id="S4.E3.m1.2a"><mrow id="S4.E3.m1.2.2.1" xref="S4.E3.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.E3.m1.2.2.1.1" xref="S4.E3.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.E3.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.E3.m1.2.2.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.E3.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.E3.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E3.m1.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E3.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">∫</mo><mn id="S4.E3.m1.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="S4.E3.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn><mi 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xref="S4.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E3.m1.1.1" xref="S4.E3.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S4.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S4.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.E3.m1.2.2.1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.E3.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E3.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.E3.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E3.m1.2.2.1.1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="S4.E3.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S4.E3.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E3.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">t</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E3.m1.2.2.1.1.4" 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xref="S4.E3.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.2.cmml">U</mi><mn id="S4.E3.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.3" xref="S4.E3.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.E3.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1a" xref="S4.E3.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E3.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.4" xref="S4.E3.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.4.cmml">L</mi></mrow><mo id="S4.E3.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E3.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E3.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S4.E3.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E3.m1.2b"><apply id="S4.E3.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.2.2.1"><eq id="S4.E3.m1.2.2.1.1.4.cmml" xref="S4.E3.m1.2.2.1.1.4"></eq><apply id="S4.E3.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.2.2.1.1.1"><apply id="S4.E3.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E3.m1.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E3.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E3.m1.2.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E3.m1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" 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id="S4.E3.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E3.m1.2.2.1.1.3.2.3">𝑂</ci><apply id="S4.E3.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.2.2.1.1.3.2.1.1"><times id="S4.E3.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1"></times><ci id="S4.E3.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E3.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="S4.E3.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E3.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E3.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E3.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E3.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E3.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.2">𝑈</ci><cn id="S4.E3.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E3.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.3">2</cn></apply><ci id="S4.E3.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E3.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.4">𝐿</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E3.m1.2c">\int_{2}^{T}\left(\Delta_{U}M(t)\right)^{2}\,dt=T(UL)^{2}+O(TU^{2}L).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E3.m1.2d">∫ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT italic_M ( italic_t ) ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_t = italic_T ( italic_U italic_L ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_O ( italic_T italic_U start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_L ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.2.p1.2"><span class="ltx_text" id="S4.2.p1.2.1">Since <math alttext="\Delta_{U}S(t)\ll L" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.2.p1.2.1.m1.1"><semantics id="S4.2.p1.2.1.m1.1a"><mrow id="S4.2.p1.2.1.m1.1.2" xref="S4.2.p1.2.1.m1.1.2.cmml"><mrow id="S4.2.p1.2.1.m1.1.2.2" xref="S4.2.p1.2.1.m1.1.2.2.cmml"><msub id="S4.2.p1.2.1.m1.1.2.2.2" xref="S4.2.p1.2.1.m1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.2.p1.2.1.m1.1.2.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.2.p1.2.1.m1.1.2.2.2.2.cmml">Δ</mi><mi id="S4.2.p1.2.1.m1.1.2.2.2.3" xref="S4.2.p1.2.1.m1.1.2.2.2.3.cmml">U</mi></msub><mo id="S4.2.p1.2.1.m1.1.2.2.1" xref="S4.2.p1.2.1.m1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.2.p1.2.1.m1.1.2.2.3" xref="S4.2.p1.2.1.m1.1.2.2.3.cmml">S</mi><mo id="S4.2.p1.2.1.m1.1.2.2.1a" xref="S4.2.p1.2.1.m1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.2.p1.2.1.m1.1.2.2.4.2" xref="S4.2.p1.2.1.m1.1.2.2.cmml"><mo id="S4.2.p1.2.1.m1.1.2.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.2.p1.2.1.m1.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.2.p1.2.1.m1.1.1" xref="S4.2.p1.2.1.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.2.p1.2.1.m1.1.2.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S4.2.p1.2.1.m1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.2.p1.2.1.m1.1.2.1" xref="S4.2.p1.2.1.m1.1.2.1.cmml">≪</mo><mi id="S4.2.p1.2.1.m1.1.2.3" xref="S4.2.p1.2.1.m1.1.2.3.cmml">L</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.2.p1.2.1.m1.1b"><apply id="S4.2.p1.2.1.m1.1.2.cmml" xref="S4.2.p1.2.1.m1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.2.p1.2.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.2.p1.2.1.m1.1.2.1">much-less-than</csymbol><apply id="S4.2.p1.2.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.2.p1.2.1.m1.1.2.2"><times id="S4.2.p1.2.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.2.p1.2.1.m1.1.2.2.1"></times><apply id="S4.2.p1.2.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.2.p1.2.1.m1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.2.p1.2.1.m1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.2.p1.2.1.m1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.2.p1.2.1.m1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.2.p1.2.1.m1.1.2.2.2.2">Δ</ci><ci id="S4.2.p1.2.1.m1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.2.p1.2.1.m1.1.2.2.2.3">𝑈</ci></apply><ci id="S4.2.p1.2.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.2.p1.2.1.m1.1.2.2.3">𝑆</ci><ci id="S4.2.p1.2.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.2.p1.2.1.m1.1.1">𝑡</ci></apply><ci id="S4.2.p1.2.1.m1.1.2.3.cmml" xref="S4.2.p1.2.1.m1.1.2.3">𝐿</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.2.p1.2.1.m1.1c">\Delta_{U}S(t)\ll L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.2.p1.2.1.m1.1d">roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT italic_S ( italic_t ) ≪ italic_L</annotation></semantics></math>,</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E4"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(4.4)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{split}\int_{2}^{T}\left(\Delta_{U}S(t)+O\left(\tfrac{1}{t}\right)\right% )^{2}\,dt&=\int_{2}^{T}\left(\Delta_{U}S(t)\right)^{2}\,dt+O\left(\int_{2}^{T}% \frac{|\Delta_{U}S(t)|}{t}\,dt\right)+O(1)\\ &=\int_{2}^{T}\left(\Delta_{U}S(t)\right)^{2}\,dt+O\left(L\int_{2}^{T}\frac{1}% {t}\,dt\right)+O(1)\\ &=\int_{0}^{T}\left(\Delta_{U}S(t)\right)^{2}\,dt+O\left(L^{2}\right).\end{split}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E4.m1.109"><semantics id="S4.E4.m1.109a"><mtable columnspacing="0pt" displaystyle="true" id="S4.E4.m1.109.109.7" rowspacing="0pt"><mtr id="S4.E4.m1.109.109.7a"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S4.E4.m1.109.109.7b"><mrow id="S4.E4.m1.104.104.2.103.50.20"><msubsup id="S4.E4.m1.104.104.2.103.50.20.21"><mo id="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">∫</mo><mn id="S4.E4.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S4.E4.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml">2</mn><mi id="S4.E4.m1.3.3.3.3.3.3.1" xref="S4.E4.m1.3.3.3.3.3.3.1.cmml">T</mi></msubsup><mrow id="S4.E4.m1.104.104.2.103.50.20.20"><msup id="S4.E4.m1.104.104.2.103.50.20.20.1"><mrow id="S4.E4.m1.104.104.2.103.50.20.20.1.1.1"><mo id="S4.E4.m1.4.4.4.4.4.4" lspace="0em" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E4.m1.104.104.2.103.50.20.20.1.1.1.1"><mrow id="S4.E4.m1.104.104.2.103.50.20.20.1.1.1.1.1"><msub id="S4.E4.m1.104.104.2.103.50.20.20.1.1.1.1.1.2"><mi id="S4.E4.m1.5.5.5.5.5.5" mathvariant="normal" xref="S4.E4.m1.5.5.5.5.5.5.cmml">Δ</mi><mi id="S4.E4.m1.6.6.6.6.6.6.1" xref="S4.E4.m1.6.6.6.6.6.6.1.cmml">U</mi></msub><mo id="S4.E4.m1.104.104.2.103.50.20.20.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E4.m1.7.7.7.7.7.7" xref="S4.E4.m1.7.7.7.7.7.7.cmml">S</mi><mo id="S4.E4.m1.104.104.2.103.50.20.20.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E4.m1.104.104.2.103.50.20.20.1.1.1.1.1.3"><mo id="S4.E4.m1.8.8.8.8.8.8" stretchy="false" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E4.m1.9.9.9.9.9.9" xref="S4.E4.m1.9.9.9.9.9.9.cmml">t</mi><mo id="S4.E4.m1.10.10.10.10.10.10" stretchy="false" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E4.m1.11.11.11.11.11.11" xref="S4.E4.m1.11.11.11.11.11.11.cmml">+</mo><mrow id="S4.E4.m1.104.104.2.103.50.20.20.1.1.1.1.2"><mi id="S4.E4.m1.12.12.12.12.12.12" xref="S4.E4.m1.12.12.12.12.12.12.cmml">O</mi><mo id="S4.E4.m1.104.104.2.103.50.20.20.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E4.m1.104.104.2.103.50.20.20.1.1.1.1.2.2"><mo id="S4.E4.m1.13.13.13.13.13.13" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="false" id="S4.E4.m1.14.14.14.14.14.14" xref="S4.E4.m1.14.14.14.14.14.14.cmml"><mfrac id="S4.E4.m1.14.14.14.14.14.14a" xref="S4.E4.m1.14.14.14.14.14.14.cmml"><mn id="S4.E4.m1.14.14.14.14.14.14.2" xref="S4.E4.m1.14.14.14.14.14.14.2.cmml">1</mn><mi id="S4.E4.m1.14.14.14.14.14.14.3" xref="S4.E4.m1.14.14.14.14.14.14.3.cmml">t</mi></mfrac></mstyle><mo id="S4.E4.m1.15.15.15.15.15.15" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E4.m1.16.16.16.16.16.16" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S4.E4.m1.17.17.17.17.17.17.1" xref="S4.E4.m1.17.17.17.17.17.17.1.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.E4.m1.104.104.2.103.50.20.20.2" lspace="0em" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E4.m1.104.104.2.103.50.20.20.3"><mo id="S4.E4.m1.18.18.18.18.18.18" rspace="0em" xref="S4.E4.m1.18.18.18.18.18.18.cmml">𝑑</mo><mi id="S4.E4.m1.19.19.19.19.19.19" xref="S4.E4.m1.19.19.19.19.19.19.cmml">t</mi></mrow></mrow></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E4.m1.109.109.7c"><mrow id="S4.E4.m1.106.106.4.105.52.32"><mi id="S4.E4.m1.106.106.4.105.52.32.33" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml"></mi><mo id="S4.E4.m1.20.20.20.20.1.1" rspace="0.111em" xref="S4.E4.m1.20.20.20.20.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E4.m1.106.106.4.105.52.32.32"><mrow id="S4.E4.m1.105.105.3.104.51.31.31.1"><msubsup id="S4.E4.m1.105.105.3.104.51.31.31.1.2"><mo id="S4.E4.m1.21.21.21.21.2.2" rspace="0em" xref="S4.E4.m1.21.21.21.21.2.2.cmml">∫</mo><mn id="S4.E4.m1.22.22.22.22.3.3.1" xref="S4.E4.m1.22.22.22.22.3.3.1.cmml">2</mn><mi id="S4.E4.m1.23.23.23.23.4.4.1" xref="S4.E4.m1.23.23.23.23.4.4.1.cmml">T</mi></msubsup><mrow id="S4.E4.m1.105.105.3.104.51.31.31.1.1"><msup id="S4.E4.m1.105.105.3.104.51.31.31.1.1.1"><mrow id="S4.E4.m1.105.105.3.104.51.31.31.1.1.1.1.1"><mo id="S4.E4.m1.24.24.24.24.5.5" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E4.m1.105.105.3.104.51.31.31.1.1.1.1.1.1"><msub id="S4.E4.m1.105.105.3.104.51.31.31.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S4.E4.m1.25.25.25.25.6.6" mathvariant="normal" xref="S4.E4.m1.25.25.25.25.6.6.cmml">Δ</mi><mi id="S4.E4.m1.26.26.26.26.7.7.1" xref="S4.E4.m1.26.26.26.26.7.7.1.cmml">U</mi></msub><mo id="S4.E4.m1.105.105.3.104.51.31.31.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E4.m1.27.27.27.27.8.8" xref="S4.E4.m1.27.27.27.27.8.8.cmml">S</mi><mo id="S4.E4.m1.105.105.3.104.51.31.31.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E4.m1.105.105.3.104.51.31.31.1.1.1.1.1.1.3"><mo id="S4.E4.m1.28.28.28.28.9.9" stretchy="false" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E4.m1.29.29.29.29.10.10" xref="S4.E4.m1.29.29.29.29.10.10.cmml">t</mi><mo id="S4.E4.m1.30.30.30.30.11.11" stretchy="false" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E4.m1.31.31.31.31.12.12" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S4.E4.m1.32.32.32.32.13.13.1" xref="S4.E4.m1.32.32.32.32.13.13.1.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.E4.m1.105.105.3.104.51.31.31.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E4.m1.105.105.3.104.51.31.31.1.1.3"><mo id="S4.E4.m1.33.33.33.33.14.14" rspace="0em" xref="S4.E4.m1.33.33.33.33.14.14.cmml">𝑑</mo><mi id="S4.E4.m1.34.34.34.34.15.15" xref="S4.E4.m1.34.34.34.34.15.15.cmml">t</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E4.m1.35.35.35.35.16.16" xref="S4.E4.m1.35.35.35.35.16.16.cmml">+</mo><mrow id="S4.E4.m1.106.106.4.105.52.32.32.2"><mi id="S4.E4.m1.36.36.36.36.17.17" xref="S4.E4.m1.36.36.36.36.17.17.cmml">O</mi><mo id="S4.E4.m1.106.106.4.105.52.32.32.2.2" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E4.m1.106.106.4.105.52.32.32.2.1.1"><mo id="S4.E4.m1.37.37.37.37.18.18" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E4.m1.106.106.4.105.52.32.32.2.1.1.1"><msubsup id="S4.E4.m1.106.106.4.105.52.32.32.2.1.1.1.1"><mo id="S4.E4.m1.38.38.38.38.19.19" lspace="0em" xref="S4.E4.m1.38.38.38.38.19.19.cmml">∫</mo><mn id="S4.E4.m1.39.39.39.39.20.20.1" xref="S4.E4.m1.39.39.39.39.20.20.1.cmml">2</mn><mi id="S4.E4.m1.40.40.40.40.21.21.1" xref="S4.E4.m1.40.40.40.40.21.21.1.cmml">T</mi></msubsup><mrow id="S4.E4.m1.106.106.4.105.52.32.32.2.1.1.1.2"><mfrac id="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22" xref="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.cmml"><mrow id="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.2.2" xref="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.2.3.cmml"><mo id="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.2.2.2" stretchy="false" xref="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.2.3.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.2.2.1" xref="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.2.2.1.cmml"><msub id="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.2.2.1.2" xref="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.2.2.1.2.cmml"><mi id="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.2.2.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.2.2.1.2.2.cmml">Δ</mi><mi id="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.2.2.1.2.3" xref="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.2.2.1.2.3.cmml">U</mi></msub><mo id="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.2.2.1.1" xref="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.2.2.1.3" xref="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.2.2.1.3.cmml">S</mi><mo id="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.2.2.1.1a" xref="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.2.2.1.4.2" xref="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.2.2.1.cmml"><mo id="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.2.2.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.2.2.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.1.1" xref="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.2.2.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.2.2.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.2.3.1.cmml">|</mo></mrow><mi id="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.4" xref="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.4.cmml">t</mi></mfrac><mo id="S4.E4.m1.106.106.4.105.52.32.32.2.1.1.1.2.1" lspace="0.170em" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E4.m1.106.106.4.105.52.32.32.2.1.1.1.2.2"><mo id="S4.E4.m1.42.42.42.42.23.23" rspace="0em" xref="S4.E4.m1.42.42.42.42.23.23.cmml">𝑑</mo><mi id="S4.E4.m1.43.43.43.43.24.24" xref="S4.E4.m1.43.43.43.43.24.24.cmml">t</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E4.m1.44.44.44.44.25.25" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E4.m1.35.35.35.35.16.16a" xref="S4.E4.m1.35.35.35.35.16.16.cmml">+</mo><mrow id="S4.E4.m1.106.106.4.105.52.32.32.3"><mi id="S4.E4.m1.46.46.46.46.27.27" xref="S4.E4.m1.46.46.46.46.27.27.cmml">O</mi><mo id="S4.E4.m1.106.106.4.105.52.32.32.3.1" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E4.m1.106.106.4.105.52.32.32.3.2"><mo id="S4.E4.m1.47.47.47.47.28.28" stretchy="false" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml">(</mo><mn id="S4.E4.m1.48.48.48.48.29.29" xref="S4.E4.m1.48.48.48.48.29.29.cmml">1</mn><mo id="S4.E4.m1.49.49.49.49.30.30" stretchy="false" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.E4.m1.109.109.7d"><mtd id="S4.E4.m1.109.109.7e" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E4.m1.109.109.7f"><mrow id="S4.E4.m1.108.108.6.107.33.33"><mi id="S4.E4.m1.108.108.6.107.33.33.34" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml"></mi><mo id="S4.E4.m1.50.50.50.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S4.E4.m1.50.50.50.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E4.m1.108.108.6.107.33.33.33"><mrow id="S4.E4.m1.107.107.5.106.32.32.32.1"><msubsup id="S4.E4.m1.107.107.5.106.32.32.32.1.2"><mo id="S4.E4.m1.51.51.51.2.2.2" rspace="0em" xref="S4.E4.m1.51.51.51.2.2.2.cmml">∫</mo><mn id="S4.E4.m1.52.52.52.3.3.3.1" xref="S4.E4.m1.52.52.52.3.3.3.1.cmml">2</mn><mi id="S4.E4.m1.53.53.53.4.4.4.1" xref="S4.E4.m1.53.53.53.4.4.4.1.cmml">T</mi></msubsup><mrow id="S4.E4.m1.107.107.5.106.32.32.32.1.1"><msup id="S4.E4.m1.107.107.5.106.32.32.32.1.1.1"><mrow id="S4.E4.m1.107.107.5.106.32.32.32.1.1.1.1.1"><mo id="S4.E4.m1.54.54.54.5.5.5" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E4.m1.107.107.5.106.32.32.32.1.1.1.1.1.1"><msub id="S4.E4.m1.107.107.5.106.32.32.32.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S4.E4.m1.55.55.55.6.6.6" mathvariant="normal" xref="S4.E4.m1.55.55.55.6.6.6.cmml">Δ</mi><mi id="S4.E4.m1.56.56.56.7.7.7.1" xref="S4.E4.m1.56.56.56.7.7.7.1.cmml">U</mi></msub><mo id="S4.E4.m1.107.107.5.106.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E4.m1.57.57.57.8.8.8" xref="S4.E4.m1.57.57.57.8.8.8.cmml">S</mi><mo id="S4.E4.m1.107.107.5.106.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E4.m1.107.107.5.106.32.32.32.1.1.1.1.1.1.3"><mo id="S4.E4.m1.58.58.58.9.9.9" stretchy="false" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E4.m1.59.59.59.10.10.10" xref="S4.E4.m1.59.59.59.10.10.10.cmml">t</mi><mo id="S4.E4.m1.60.60.60.11.11.11" stretchy="false" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E4.m1.61.61.61.12.12.12" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S4.E4.m1.62.62.62.13.13.13.1" xref="S4.E4.m1.62.62.62.13.13.13.1.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.E4.m1.107.107.5.106.32.32.32.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E4.m1.107.107.5.106.32.32.32.1.1.3"><mo id="S4.E4.m1.63.63.63.14.14.14" rspace="0em" xref="S4.E4.m1.63.63.63.14.14.14.cmml">𝑑</mo><mi id="S4.E4.m1.64.64.64.15.15.15" xref="S4.E4.m1.64.64.64.15.15.15.cmml">t</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E4.m1.65.65.65.16.16.16" xref="S4.E4.m1.65.65.65.16.16.16.cmml">+</mo><mrow id="S4.E4.m1.108.108.6.107.33.33.33.2"><mi id="S4.E4.m1.66.66.66.17.17.17" xref="S4.E4.m1.66.66.66.17.17.17.cmml">O</mi><mo id="S4.E4.m1.108.108.6.107.33.33.33.2.2" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E4.m1.108.108.6.107.33.33.33.2.1.1"><mo id="S4.E4.m1.67.67.67.18.18.18" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E4.m1.108.108.6.107.33.33.33.2.1.1.1"><mi id="S4.E4.m1.68.68.68.19.19.19" xref="S4.E4.m1.68.68.68.19.19.19.cmml">L</mi><mo id="S4.E4.m1.108.108.6.107.33.33.33.2.1.1.1.1" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E4.m1.108.108.6.107.33.33.33.2.1.1.1.2"><msubsup id="S4.E4.m1.108.108.6.107.33.33.33.2.1.1.1.2.1"><mo id="S4.E4.m1.69.69.69.20.20.20" xref="S4.E4.m1.69.69.69.20.20.20.cmml">∫</mo><mn id="S4.E4.m1.70.70.70.21.21.21.1" xref="S4.E4.m1.70.70.70.21.21.21.1.cmml">2</mn><mi id="S4.E4.m1.71.71.71.22.22.22.1" xref="S4.E4.m1.71.71.71.22.22.22.1.cmml">T</mi></msubsup><mrow id="S4.E4.m1.108.108.6.107.33.33.33.2.1.1.1.2.2"><mfrac id="S4.E4.m1.72.72.72.23.23.23" xref="S4.E4.m1.72.72.72.23.23.23.cmml"><mn id="S4.E4.m1.72.72.72.23.23.23.2" xref="S4.E4.m1.72.72.72.23.23.23.2.cmml">1</mn><mi id="S4.E4.m1.72.72.72.23.23.23.3" xref="S4.E4.m1.72.72.72.23.23.23.3.cmml">t</mi></mfrac><mo id="S4.E4.m1.108.108.6.107.33.33.33.2.1.1.1.2.2.1" lspace="0.170em" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E4.m1.108.108.6.107.33.33.33.2.1.1.1.2.2.2"><mo id="S4.E4.m1.73.73.73.24.24.24" rspace="0em" xref="S4.E4.m1.73.73.73.24.24.24.cmml">𝑑</mo><mi id="S4.E4.m1.74.74.74.25.25.25" xref="S4.E4.m1.74.74.74.25.25.25.cmml">t</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E4.m1.75.75.75.26.26.26" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E4.m1.65.65.65.16.16.16a" xref="S4.E4.m1.65.65.65.16.16.16.cmml">+</mo><mrow id="S4.E4.m1.108.108.6.107.33.33.33.3"><mi id="S4.E4.m1.77.77.77.28.28.28" xref="S4.E4.m1.77.77.77.28.28.28.cmml">O</mi><mo id="S4.E4.m1.108.108.6.107.33.33.33.3.1" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E4.m1.108.108.6.107.33.33.33.3.2"><mo id="S4.E4.m1.78.78.78.29.29.29" stretchy="false" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml">(</mo><mn id="S4.E4.m1.79.79.79.30.30.30" xref="S4.E4.m1.79.79.79.30.30.30.cmml">1</mn><mo id="S4.E4.m1.80.80.80.31.31.31" stretchy="false" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.E4.m1.109.109.7g"><mtd id="S4.E4.m1.109.109.7h" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E4.m1.109.109.7i"><mrow id="S4.E4.m1.109.109.7.108.23.23.23"><mrow id="S4.E4.m1.109.109.7.108.23.23.23.1"><mi id="S4.E4.m1.109.109.7.108.23.23.23.1.3" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml"></mi><mo id="S4.E4.m1.81.81.81.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S4.E4.m1.81.81.81.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E4.m1.109.109.7.108.23.23.23.1.2"><mrow id="S4.E4.m1.109.109.7.108.23.23.23.1.1.1"><msubsup id="S4.E4.m1.109.109.7.108.23.23.23.1.1.1.2"><mo id="S4.E4.m1.82.82.82.2.2.2" rspace="0em" xref="S4.E4.m1.82.82.82.2.2.2.cmml">∫</mo><mn id="S4.E4.m1.83.83.83.3.3.3.1" xref="S4.E4.m1.83.83.83.3.3.3.1.cmml">0</mn><mi id="S4.E4.m1.84.84.84.4.4.4.1" xref="S4.E4.m1.84.84.84.4.4.4.1.cmml">T</mi></msubsup><mrow id="S4.E4.m1.109.109.7.108.23.23.23.1.1.1.1"><msup id="S4.E4.m1.109.109.7.108.23.23.23.1.1.1.1.1"><mrow id="S4.E4.m1.109.109.7.108.23.23.23.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S4.E4.m1.85.85.85.5.5.5" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E4.m1.109.109.7.108.23.23.23.1.1.1.1.1.1.1.1"><msub id="S4.E4.m1.109.109.7.108.23.23.23.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S4.E4.m1.86.86.86.6.6.6" mathvariant="normal" xref="S4.E4.m1.86.86.86.6.6.6.cmml">Δ</mi><mi id="S4.E4.m1.87.87.87.7.7.7.1" xref="S4.E4.m1.87.87.87.7.7.7.1.cmml">U</mi></msub><mo id="S4.E4.m1.109.109.7.108.23.23.23.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E4.m1.88.88.88.8.8.8" xref="S4.E4.m1.88.88.88.8.8.8.cmml">S</mi><mo id="S4.E4.m1.109.109.7.108.23.23.23.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E4.m1.109.109.7.108.23.23.23.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><mo id="S4.E4.m1.89.89.89.9.9.9" stretchy="false" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E4.m1.90.90.90.10.10.10" xref="S4.E4.m1.90.90.90.10.10.10.cmml">t</mi><mo id="S4.E4.m1.91.91.91.11.11.11" stretchy="false" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E4.m1.92.92.92.12.12.12" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S4.E4.m1.93.93.93.13.13.13.1" xref="S4.E4.m1.93.93.93.13.13.13.1.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.E4.m1.109.109.7.108.23.23.23.1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E4.m1.109.109.7.108.23.23.23.1.1.1.1.3"><mo id="S4.E4.m1.94.94.94.14.14.14" rspace="0em" xref="S4.E4.m1.94.94.94.14.14.14.cmml">𝑑</mo><mi id="S4.E4.m1.95.95.95.15.15.15" xref="S4.E4.m1.95.95.95.15.15.15.cmml">t</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E4.m1.96.96.96.16.16.16" xref="S4.E4.m1.96.96.96.16.16.16.cmml">+</mo><mrow id="S4.E4.m1.109.109.7.108.23.23.23.1.2.2"><mi id="S4.E4.m1.97.97.97.17.17.17" xref="S4.E4.m1.97.97.97.17.17.17.cmml">O</mi><mo id="S4.E4.m1.109.109.7.108.23.23.23.1.2.2.2" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E4.m1.109.109.7.108.23.23.23.1.2.2.1.1"><mo id="S4.E4.m1.98.98.98.18.18.18" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S4.E4.m1.109.109.7.108.23.23.23.1.2.2.1.1.1"><mi id="S4.E4.m1.99.99.99.19.19.19" xref="S4.E4.m1.99.99.99.19.19.19.cmml">L</mi><mn id="S4.E4.m1.100.100.100.20.20.20.1" xref="S4.E4.m1.100.100.100.20.20.20.1.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.E4.m1.101.101.101.21.21.21" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E4.m1.102.102.102.22.22.22" lspace="0em" xref="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml">.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E4.m1.109b"><apply id="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.4.4"><and id="S4.E4.m1.103.103.1.1.1a.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.4.4"></and><apply 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xref="S4.E4.m1.9.9.9.9.9.9">𝑡</ci></apply><apply id="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.4.4"><times id="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.4.4"></times><ci id="S4.E4.m1.12.12.12.12.12.12.cmml" xref="S4.E4.m1.12.12.12.12.12.12">𝑂</ci><apply id="S4.E4.m1.14.14.14.14.14.14.cmml" xref="S4.E4.m1.14.14.14.14.14.14"><divide id="S4.E4.m1.14.14.14.14.14.14.1.cmml" xref="S4.E4.m1.14.14.14.14.14.14"></divide><cn id="S4.E4.m1.14.14.14.14.14.14.2.cmml" type="integer" xref="S4.E4.m1.14.14.14.14.14.14.2">1</cn><ci id="S4.E4.m1.14.14.14.14.14.14.3.cmml" xref="S4.E4.m1.14.14.14.14.14.14.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><cn id="S4.E4.m1.17.17.17.17.17.17.1.cmml" type="integer" xref="S4.E4.m1.17.17.17.17.17.17.1">2</cn></apply><apply id="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.4.4"><csymbol cd="latexml" id="S4.E4.m1.18.18.18.18.18.18.cmml" xref="S4.E4.m1.18.18.18.18.18.18">differential-d</csymbol><ci id="S4.E4.m1.19.19.19.19.19.19.cmml" xref="S4.E4.m1.19.19.19.19.19.19">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.4.4"><plus id="S4.E4.m1.35.35.35.35.16.16.cmml" xref="S4.E4.m1.35.35.35.35.16.16"></plus><apply id="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.4.4"><apply id="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.4.4">superscript</csymbol><apply id="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.2.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.4.4">subscript</csymbol><int id="S4.E4.m1.21.21.21.21.2.2.cmml" xref="S4.E4.m1.21.21.21.21.2.2"></int><cn id="S4.E4.m1.22.22.22.22.3.3.1.cmml" type="integer" xref="S4.E4.m1.22.22.22.22.3.3.1">2</cn></apply><ci id="S4.E4.m1.23.23.23.23.4.4.1.cmml" xref="S4.E4.m1.23.23.23.23.4.4.1">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.4.4"><times id="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.4.4"></times><apply id="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.4.4">superscript</csymbol><apply id="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.4.4"><times id="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.4.4"></times><apply id="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.4.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E4.m1.25.25.25.25.6.6.cmml" xref="S4.E4.m1.25.25.25.25.6.6">Δ</ci><ci id="S4.E4.m1.26.26.26.26.7.7.1.cmml" xref="S4.E4.m1.26.26.26.26.7.7.1">𝑈</ci></apply><ci id="S4.E4.m1.27.27.27.27.8.8.cmml" xref="S4.E4.m1.27.27.27.27.8.8">𝑆</ci><ci id="S4.E4.m1.29.29.29.29.10.10.cmml" xref="S4.E4.m1.29.29.29.29.10.10">𝑡</ci></apply><cn id="S4.E4.m1.32.32.32.32.13.13.1.cmml" type="integer" xref="S4.E4.m1.32.32.32.32.13.13.1">2</cn></apply><apply id="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.4.4"><csymbol cd="latexml" id="S4.E4.m1.33.33.33.33.14.14.cmml" xref="S4.E4.m1.33.33.33.33.14.14">differential-d</csymbol><ci id="S4.E4.m1.34.34.34.34.15.15.cmml" xref="S4.E4.m1.34.34.34.34.15.15">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.4.4"><times id="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.4.4"></times><ci id="S4.E4.m1.36.36.36.36.17.17.cmml" xref="S4.E4.m1.36.36.36.36.17.17">𝑂</ci><apply id="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.3.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.4.4"><apply id="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.4.4">superscript</csymbol><apply id="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.3.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.3.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.4.4">subscript</csymbol><int id="S4.E4.m1.38.38.38.38.19.19.cmml" xref="S4.E4.m1.38.38.38.38.19.19"></int><cn id="S4.E4.m1.39.39.39.39.20.20.1.cmml" type="integer" xref="S4.E4.m1.39.39.39.39.20.20.1">2</cn></apply><ci id="S4.E4.m1.40.40.40.40.21.21.1.cmml" xref="S4.E4.m1.40.40.40.40.21.21.1">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.3.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.4.4"><times id="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.3.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.4.4"></times><apply id="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.cmml" xref="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22"><divide id="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.3.cmml" xref="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22"></divide><apply id="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.2.3.cmml" xref="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.2.2"><abs id="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.2.3.1.cmml" xref="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.2.2.2"></abs><apply id="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.2.2.1.cmml" xref="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.2.2.1"><times id="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.2.2.1.1"></times><apply id="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.2.2.1.2.cmml" xref="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.2.2.1.2.1.cmml" xref="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.2.2.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.2.2.1.2.2.cmml" xref="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.2.2.1.2.2">Δ</ci><ci id="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.2.2.1.2.3.cmml" xref="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.2.2.1.2.3">𝑈</ci></apply><ci id="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.2.2.1.3.cmml" xref="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.2.2.1.3">𝑆</ci><ci id="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.1.1">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.4.cmml" xref="S4.E4.m1.41.41.41.41.22.22.4">𝑡</ci></apply><apply id="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.3.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.4.4"><csymbol cd="latexml" id="S4.E4.m1.42.42.42.42.23.23.cmml" xref="S4.E4.m1.42.42.42.42.23.23">differential-d</csymbol><ci id="S4.E4.m1.43.43.43.43.24.24.cmml" xref="S4.E4.m1.43.43.43.43.24.24">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.4.4"><times id="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.4.4"></times><ci id="S4.E4.m1.46.46.46.46.27.27.cmml" xref="S4.E4.m1.46.46.46.46.27.27">𝑂</ci><cn id="S4.E4.m1.48.48.48.48.29.29.cmml" type="integer" xref="S4.E4.m1.48.48.48.48.29.29">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.E4.m1.103.103.1.1.1c.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.4.4"><eq id="S4.E4.m1.50.50.50.1.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.50.50.50.1.1.1"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S4.E4.m1.103.103.1.1.1.3.cmml" id="S4.E4.m1.103.103.1.1.1d.cmml" 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id="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.4.1.1.2.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.4.4"></times><apply id="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.4.1.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.4.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.4.4">superscript</csymbol><apply id="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.4.4"><times id="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.4.4"></times><apply id="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.4.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E4.m1.55.55.55.6.6.6.cmml" xref="S4.E4.m1.55.55.55.6.6.6">Δ</ci><ci id="S4.E4.m1.56.56.56.7.7.7.1.cmml" xref="S4.E4.m1.56.56.56.7.7.7.1">𝑈</ci></apply><ci id="S4.E4.m1.57.57.57.8.8.8.cmml" xref="S4.E4.m1.57.57.57.8.8.8">𝑆</ci><ci id="S4.E4.m1.59.59.59.10.10.10.cmml" xref="S4.E4.m1.59.59.59.10.10.10">𝑡</ci></apply><cn id="S4.E4.m1.62.62.62.13.13.13.1.cmml" type="integer" xref="S4.E4.m1.62.62.62.13.13.13.1">2</cn></apply><apply id="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.4.1.1.3.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.4.4"><csymbol cd="latexml" id="S4.E4.m1.63.63.63.14.14.14.cmml" xref="S4.E4.m1.63.63.63.14.14.14">differential-d</csymbol><ci id="S4.E4.m1.64.64.64.15.15.15.cmml" xref="S4.E4.m1.64.64.64.15.15.15">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.5.2.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.4.4"><times id="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.5.2.2.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.4.4"></times><ci id="S4.E4.m1.66.66.66.17.17.17.cmml" xref="S4.E4.m1.66.66.66.17.17.17">𝑂</ci><apply id="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.5.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.4.4"><times id="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.5.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.4.4"></times><ci id="S4.E4.m1.68.68.68.19.19.19.cmml" xref="S4.E4.m1.68.68.68.19.19.19">𝐿</ci><apply id="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.5.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.4.4"><apply 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xref="S4.E4.m1.87.87.87.7.7.7.1">𝑈</ci></apply><ci id="S4.E4.m1.88.88.88.8.8.8.cmml" xref="S4.E4.m1.88.88.88.8.8.8">𝑆</ci><ci id="S4.E4.m1.90.90.90.10.10.10.cmml" xref="S4.E4.m1.90.90.90.10.10.10">𝑡</ci></apply><cn id="S4.E4.m1.93.93.93.13.13.13.1.cmml" type="integer" xref="S4.E4.m1.93.93.93.13.13.13.1">2</cn></apply><apply id="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.6.1.1.3.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.4.4"><csymbol cd="latexml" id="S4.E4.m1.94.94.94.14.14.14.cmml" xref="S4.E4.m1.94.94.94.14.14.14">differential-d</csymbol><ci id="S4.E4.m1.95.95.95.15.15.15.cmml" xref="S4.E4.m1.95.95.95.15.15.15">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.7.2.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.4.4"><times id="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.7.2.2.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.4.4"></times><ci id="S4.E4.m1.97.97.97.17.17.17.cmml" xref="S4.E4.m1.97.97.97.17.17.17">𝑂</ci><apply id="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.7.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.4.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E4.m1.103.103.1.1.1.7.2.1.1.1.1.cmml" 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italic_t ) + italic_O ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_t end_ARG ) ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_t end_CELL start_CELL = ∫ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT italic_S ( italic_t ) ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_t + italic_O ( ∫ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG | roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT italic_S ( italic_t ) | end_ARG start_ARG italic_t end_ARG italic_d italic_t ) + italic_O ( 1 ) end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL = ∫ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT italic_S ( italic_t ) ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_t + italic_O ( italic_L ∫ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_t end_ARG italic_d italic_t ) + italic_O ( 1 ) end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL = ∫ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT italic_S ( italic_t ) ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_t + italic_O ( italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) . end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.3.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.3.p2.4"><span class="ltx_text" id="S4.3.p2.4.1">Finally,</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E5"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(4.5)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{split}\int_{2}^{T}\Delta_{U}M(t)\left(\Delta_{U}S(t)+O\left(\tfrac{1}{t% }\right)\right)\,dt&=\int_{2}^{T}\Delta_{U}M(t)\Delta_{U}S(t)\,dt+O\left(\int_% {2}^{T}\Delta_{U}M(t)\,\frac{dt}{t}\right)\\ &=\int_{2}^{T}\Delta_{U}M(t)\Delta_{U}S(t)\,dt+O(UL^{2}).\end{split}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E5.m1.86"><semantics id="S4.E5.m1.86a"><mtable columnspacing="0pt" displaystyle="true" id="S4.E5.m1.86.86.4" rowspacing="0pt"><mtr id="S4.E5.m1.86.86.4a"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S4.E5.m1.86.86.4b"><mrow id="S4.E5.m1.84.84.2.83.57.25"><msubsup id="S4.E5.m1.84.84.2.83.57.25.26"><mo id="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">∫</mo><mn id="S4.E5.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S4.E5.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml">2</mn><mi 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id="S4.E5.m1.10.10.10.10.10.10" xref="S4.E5.m1.83.83.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E5.m1.84.84.2.83.57.25.25.1.1.1"><mrow id="S4.E5.m1.84.84.2.83.57.25.25.1.1.1.1"><msub id="S4.E5.m1.84.84.2.83.57.25.25.1.1.1.1.2"><mi id="S4.E5.m1.11.11.11.11.11.11" mathvariant="normal" xref="S4.E5.m1.11.11.11.11.11.11.cmml">Δ</mi><mi id="S4.E5.m1.12.12.12.12.12.12.1" xref="S4.E5.m1.12.12.12.12.12.12.1.cmml">U</mi></msub><mo id="S4.E5.m1.84.84.2.83.57.25.25.1.1.1.1.1" xref="S4.E5.m1.83.83.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E5.m1.13.13.13.13.13.13" xref="S4.E5.m1.13.13.13.13.13.13.cmml">S</mi><mo id="S4.E5.m1.84.84.2.83.57.25.25.1.1.1.1.1a" xref="S4.E5.m1.83.83.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E5.m1.84.84.2.83.57.25.25.1.1.1.1.3"><mo id="S4.E5.m1.14.14.14.14.14.14" stretchy="false" xref="S4.E5.m1.83.83.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E5.m1.15.15.15.15.15.15" xref="S4.E5.m1.15.15.15.15.15.15.cmml">t</mi><mo id="S4.E5.m1.16.16.16.16.16.16" stretchy="false" xref="S4.E5.m1.83.83.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E5.m1.17.17.17.17.17.17" xref="S4.E5.m1.17.17.17.17.17.17.cmml">+</mo><mrow id="S4.E5.m1.84.84.2.83.57.25.25.1.1.1.2"><mi id="S4.E5.m1.18.18.18.18.18.18" xref="S4.E5.m1.18.18.18.18.18.18.cmml">O</mi><mo id="S4.E5.m1.84.84.2.83.57.25.25.1.1.1.2.1" xref="S4.E5.m1.83.83.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E5.m1.84.84.2.83.57.25.25.1.1.1.2.2"><mo id="S4.E5.m1.19.19.19.19.19.19" xref="S4.E5.m1.83.83.1.1.1.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="false" id="S4.E5.m1.20.20.20.20.20.20" xref="S4.E5.m1.20.20.20.20.20.20.cmml"><mfrac id="S4.E5.m1.20.20.20.20.20.20a" xref="S4.E5.m1.20.20.20.20.20.20.cmml"><mn id="S4.E5.m1.20.20.20.20.20.20.2" xref="S4.E5.m1.20.20.20.20.20.20.2.cmml">1</mn><mi id="S4.E5.m1.20.20.20.20.20.20.3" xref="S4.E5.m1.20.20.20.20.20.20.3.cmml">t</mi></mfrac></mstyle><mo id="S4.E5.m1.21.21.21.21.21.21" xref="S4.E5.m1.83.83.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E5.m1.22.22.22.22.22.22" xref="S4.E5.m1.83.83.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E5.m1.84.84.2.83.57.25.25.2c" lspace="0.170em" xref="S4.E5.m1.83.83.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E5.m1.84.84.2.83.57.25.25.5"><mo id="S4.E5.m1.23.23.23.23.23.23" rspace="0em" xref="S4.E5.m1.23.23.23.23.23.23.cmml">𝑑</mo><mi id="S4.E5.m1.24.24.24.24.24.24" xref="S4.E5.m1.24.24.24.24.24.24.cmml">t</mi></mrow></mrow></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E5.m1.86.86.4c"><mrow id="S4.E5.m1.85.85.3.84.58.33"><mi id="S4.E5.m1.85.85.3.84.58.33.34" xref="S4.E5.m1.83.83.1.1.1.cmml"></mi><mo id="S4.E5.m1.25.25.25.25.1.1" rspace="0.111em" xref="S4.E5.m1.25.25.25.25.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E5.m1.85.85.3.84.58.33.33"><mrow id="S4.E5.m1.85.85.3.84.58.33.33.2"><msubsup id="S4.E5.m1.85.85.3.84.58.33.33.2.1"><mo id="S4.E5.m1.26.26.26.26.2.2" xref="S4.E5.m1.26.26.26.26.2.2.cmml">∫</mo><mn id="S4.E5.m1.27.27.27.27.3.3.1" xref="S4.E5.m1.27.27.27.27.3.3.1.cmml">2</mn><mi id="S4.E5.m1.28.28.28.28.4.4.1" xref="S4.E5.m1.28.28.28.28.4.4.1.cmml">T</mi></msubsup><mrow id="S4.E5.m1.85.85.3.84.58.33.33.2.2"><msub id="S4.E5.m1.85.85.3.84.58.33.33.2.2.2"><mi id="S4.E5.m1.29.29.29.29.5.5" mathvariant="normal" xref="S4.E5.m1.29.29.29.29.5.5.cmml">Δ</mi><mi id="S4.E5.m1.30.30.30.30.6.6.1" xref="S4.E5.m1.30.30.30.30.6.6.1.cmml">U</mi></msub><mo id="S4.E5.m1.85.85.3.84.58.33.33.2.2.1" xref="S4.E5.m1.83.83.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E5.m1.31.31.31.31.7.7" xref="S4.E5.m1.31.31.31.31.7.7.cmml">M</mi><mo id="S4.E5.m1.85.85.3.84.58.33.33.2.2.1a" xref="S4.E5.m1.83.83.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E5.m1.85.85.3.84.58.33.33.2.2.3"><mo id="S4.E5.m1.32.32.32.32.8.8" stretchy="false" xref="S4.E5.m1.83.83.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E5.m1.33.33.33.33.9.9" xref="S4.E5.m1.33.33.33.33.9.9.cmml">t</mi><mo id="S4.E5.m1.34.34.34.34.10.10" stretchy="false" xref="S4.E5.m1.83.83.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E5.m1.85.85.3.84.58.33.33.2.2.1b" xref="S4.E5.m1.83.83.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E5.m1.85.85.3.84.58.33.33.2.2.4"><mi id="S4.E5.m1.35.35.35.35.11.11" mathvariant="normal" xref="S4.E5.m1.35.35.35.35.11.11.cmml">Δ</mi><mi id="S4.E5.m1.36.36.36.36.12.12.1" xref="S4.E5.m1.36.36.36.36.12.12.1.cmml">U</mi></msub><mo id="S4.E5.m1.85.85.3.84.58.33.33.2.2.1c" xref="S4.E5.m1.83.83.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E5.m1.37.37.37.37.13.13" xref="S4.E5.m1.37.37.37.37.13.13.cmml">S</mi><mo id="S4.E5.m1.85.85.3.84.58.33.33.2.2.1d" xref="S4.E5.m1.83.83.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E5.m1.85.85.3.84.58.33.33.2.2.5"><mo id="S4.E5.m1.38.38.38.38.14.14" stretchy="false" xref="S4.E5.m1.83.83.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E5.m1.39.39.39.39.15.15" xref="S4.E5.m1.39.39.39.39.15.15.cmml">t</mi><mo id="S4.E5.m1.40.40.40.40.16.16" stretchy="false" xref="S4.E5.m1.83.83.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E5.m1.85.85.3.84.58.33.33.2.2.1e" lspace="0.170em" xref="S4.E5.m1.83.83.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E5.m1.85.85.3.84.58.33.33.2.2.6"><mo id="S4.E5.m1.41.41.41.41.17.17" rspace="0em" xref="S4.E5.m1.41.41.41.41.17.17.cmml">𝑑</mo><mi id="S4.E5.m1.42.42.42.42.18.18" xref="S4.E5.m1.42.42.42.42.18.18.cmml">t</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E5.m1.43.43.43.43.19.19" xref="S4.E5.m1.43.43.43.43.19.19.cmml">+</mo><mrow id="S4.E5.m1.85.85.3.84.58.33.33.1"><mi id="S4.E5.m1.44.44.44.44.20.20" xref="S4.E5.m1.44.44.44.44.20.20.cmml">O</mi><mo id="S4.E5.m1.85.85.3.84.58.33.33.1.2" xref="S4.E5.m1.83.83.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E5.m1.85.85.3.84.58.33.33.1.1.1"><mo id="S4.E5.m1.45.45.45.45.21.21" xref="S4.E5.m1.83.83.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E5.m1.85.85.3.84.58.33.33.1.1.1.1"><msubsup id="S4.E5.m1.85.85.3.84.58.33.33.1.1.1.1.1"><mo id="S4.E5.m1.46.46.46.46.22.22" lspace="0em" xref="S4.E5.m1.46.46.46.46.22.22.cmml">∫</mo><mn id="S4.E5.m1.47.47.47.47.23.23.1" xref="S4.E5.m1.47.47.47.47.23.23.1.cmml">2</mn><mi id="S4.E5.m1.48.48.48.48.24.24.1" xref="S4.E5.m1.48.48.48.48.24.24.1.cmml">T</mi></msubsup><mrow id="S4.E5.m1.85.85.3.84.58.33.33.1.1.1.1.2"><msub id="S4.E5.m1.85.85.3.84.58.33.33.1.1.1.1.2.2"><mi id="S4.E5.m1.49.49.49.49.25.25" mathvariant="normal" xref="S4.E5.m1.49.49.49.49.25.25.cmml">Δ</mi><mi id="S4.E5.m1.50.50.50.50.26.26.1" xref="S4.E5.m1.50.50.50.50.26.26.1.cmml">U</mi></msub><mo id="S4.E5.m1.85.85.3.84.58.33.33.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E5.m1.83.83.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E5.m1.51.51.51.51.27.27" xref="S4.E5.m1.51.51.51.51.27.27.cmml">M</mi><mo id="S4.E5.m1.85.85.3.84.58.33.33.1.1.1.1.2.1a" xref="S4.E5.m1.83.83.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E5.m1.85.85.3.84.58.33.33.1.1.1.1.2.3"><mo id="S4.E5.m1.52.52.52.52.28.28" stretchy="false" xref="S4.E5.m1.83.83.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E5.m1.53.53.53.53.29.29" xref="S4.E5.m1.53.53.53.53.29.29.cmml">t</mi><mo id="S4.E5.m1.54.54.54.54.30.30" stretchy="false" xref="S4.E5.m1.83.83.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E5.m1.85.85.3.84.58.33.33.1.1.1.1.2.1b" lspace="0.170em" xref="S4.E5.m1.83.83.1.1.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S4.E5.m1.55.55.55.55.31.31" xref="S4.E5.m1.55.55.55.55.31.31.cmml"><mrow id="S4.E5.m1.55.55.55.55.31.31.2" xref="S4.E5.m1.55.55.55.55.31.31.2.cmml"><mi id="S4.E5.m1.55.55.55.55.31.31.2.2" xref="S4.E5.m1.55.55.55.55.31.31.2.2.cmml">d</mi><mo id="S4.E5.m1.55.55.55.55.31.31.2.1" xref="S4.E5.m1.55.55.55.55.31.31.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E5.m1.55.55.55.55.31.31.2.3" xref="S4.E5.m1.55.55.55.55.31.31.2.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.E5.m1.55.55.55.55.31.31.3" xref="S4.E5.m1.55.55.55.55.31.31.3.cmml">t</mi></mfrac></mrow></mrow><mo id="S4.E5.m1.56.56.56.56.32.32" xref="S4.E5.m1.83.83.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.E5.m1.86.86.4d"><mtd id="S4.E5.m1.86.86.4e" xref="S4.E5.m1.83.83.1.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E5.m1.86.86.4f"><mrow id="S4.E5.m1.86.86.4.85.27.27.27"><mrow id="S4.E5.m1.86.86.4.85.27.27.27.1"><mi id="S4.E5.m1.86.86.4.85.27.27.27.1.2" xref="S4.E5.m1.83.83.1.1.1.cmml"></mi><mo id="S4.E5.m1.57.57.57.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S4.E5.m1.57.57.57.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E5.m1.86.86.4.85.27.27.27.1.1"><mrow id="S4.E5.m1.86.86.4.85.27.27.27.1.1.2"><msubsup id="S4.E5.m1.86.86.4.85.27.27.27.1.1.2.1"><mo id="S4.E5.m1.58.58.58.2.2.2" xref="S4.E5.m1.58.58.58.2.2.2.cmml">∫</mo><mn id="S4.E5.m1.59.59.59.3.3.3.1" xref="S4.E5.m1.59.59.59.3.3.3.1.cmml">2</mn><mi id="S4.E5.m1.60.60.60.4.4.4.1" xref="S4.E5.m1.60.60.60.4.4.4.1.cmml">T</mi></msubsup><mrow id="S4.E5.m1.86.86.4.85.27.27.27.1.1.2.2"><msub id="S4.E5.m1.86.86.4.85.27.27.27.1.1.2.2.2"><mi id="S4.E5.m1.61.61.61.5.5.5" mathvariant="normal" xref="S4.E5.m1.61.61.61.5.5.5.cmml">Δ</mi><mi id="S4.E5.m1.62.62.62.6.6.6.1" xref="S4.E5.m1.62.62.62.6.6.6.1.cmml">U</mi></msub><mo id="S4.E5.m1.86.86.4.85.27.27.27.1.1.2.2.1" xref="S4.E5.m1.83.83.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E5.m1.63.63.63.7.7.7" xref="S4.E5.m1.63.63.63.7.7.7.cmml">M</mi><mo id="S4.E5.m1.86.86.4.85.27.27.27.1.1.2.2.1a" xref="S4.E5.m1.83.83.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E5.m1.86.86.4.85.27.27.27.1.1.2.2.3"><mo id="S4.E5.m1.64.64.64.8.8.8" stretchy="false" xref="S4.E5.m1.83.83.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E5.m1.65.65.65.9.9.9" xref="S4.E5.m1.65.65.65.9.9.9.cmml">t</mi><mo id="S4.E5.m1.66.66.66.10.10.10" stretchy="false" xref="S4.E5.m1.83.83.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E5.m1.86.86.4.85.27.27.27.1.1.2.2.1b" xref="S4.E5.m1.83.83.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E5.m1.86.86.4.85.27.27.27.1.1.2.2.4"><mi id="S4.E5.m1.67.67.67.11.11.11" mathvariant="normal" xref="S4.E5.m1.67.67.67.11.11.11.cmml">Δ</mi><mi id="S4.E5.m1.68.68.68.12.12.12.1" xref="S4.E5.m1.68.68.68.12.12.12.1.cmml">U</mi></msub><mo id="S4.E5.m1.86.86.4.85.27.27.27.1.1.2.2.1c" xref="S4.E5.m1.83.83.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E5.m1.69.69.69.13.13.13" xref="S4.E5.m1.69.69.69.13.13.13.cmml">S</mi><mo id="S4.E5.m1.86.86.4.85.27.27.27.1.1.2.2.1d" xref="S4.E5.m1.83.83.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E5.m1.86.86.4.85.27.27.27.1.1.2.2.5"><mo id="S4.E5.m1.70.70.70.14.14.14" stretchy="false" xref="S4.E5.m1.83.83.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E5.m1.71.71.71.15.15.15" xref="S4.E5.m1.71.71.71.15.15.15.cmml">t</mi><mo id="S4.E5.m1.72.72.72.16.16.16" stretchy="false" xref="S4.E5.m1.83.83.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E5.m1.86.86.4.85.27.27.27.1.1.2.2.1e" lspace="0.170em" xref="S4.E5.m1.83.83.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E5.m1.86.86.4.85.27.27.27.1.1.2.2.6"><mo id="S4.E5.m1.73.73.73.17.17.17" rspace="0em" xref="S4.E5.m1.73.73.73.17.17.17.cmml">𝑑</mo><mi id="S4.E5.m1.74.74.74.18.18.18" xref="S4.E5.m1.74.74.74.18.18.18.cmml">t</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E5.m1.75.75.75.19.19.19" xref="S4.E5.m1.75.75.75.19.19.19.cmml">+</mo><mrow id="S4.E5.m1.86.86.4.85.27.27.27.1.1.1"><mi id="S4.E5.m1.76.76.76.20.20.20" xref="S4.E5.m1.76.76.76.20.20.20.cmml">O</mi><mo id="S4.E5.m1.86.86.4.85.27.27.27.1.1.1.2" xref="S4.E5.m1.83.83.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E5.m1.86.86.4.85.27.27.27.1.1.1.1.1"><mo id="S4.E5.m1.77.77.77.21.21.21" stretchy="false" xref="S4.E5.m1.83.83.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E5.m1.86.86.4.85.27.27.27.1.1.1.1.1.1"><mi id="S4.E5.m1.78.78.78.22.22.22" xref="S4.E5.m1.78.78.78.22.22.22.cmml">U</mi><mo id="S4.E5.m1.86.86.4.85.27.27.27.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E5.m1.83.83.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E5.m1.86.86.4.85.27.27.27.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S4.E5.m1.79.79.79.23.23.23" xref="S4.E5.m1.79.79.79.23.23.23.cmml">L</mi><mn id="S4.E5.m1.80.80.80.24.24.24.1" xref="S4.E5.m1.80.80.80.24.24.24.1.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S4.E5.m1.81.81.81.25.25.25" stretchy="false" xref="S4.E5.m1.83.83.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E5.m1.82.82.82.26.26.26" lspace="0em" xref="S4.E5.m1.83.83.1.1.1.cmml">.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E5.m1.86b"><apply id="S4.E5.m1.83.83.1.1.1.cmml" xref="S4.E5.m1.84.84.2.83.57.25.25.2"><and id="S4.E5.m1.83.83.1.1.1a.cmml" xref="S4.E5.m1.84.84.2.83.57.25.25.2"></and><apply id="S4.E5.m1.83.83.1.1.1b.cmml" xref="S4.E5.m1.84.84.2.83.57.25.25.2"><eq id="S4.E5.m1.25.25.25.25.1.1.cmml" 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italic_t end_CELL start_CELL = ∫ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT italic_M ( italic_t ) roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT italic_S ( italic_t ) italic_d italic_t + italic_O ( ∫ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT italic_M ( italic_t ) divide start_ARG italic_d italic_t end_ARG start_ARG italic_t end_ARG ) end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL = ∫ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT italic_M ( italic_t ) roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT italic_S ( italic_t ) italic_d italic_t + italic_O ( italic_U italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) . end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.3.p2.1"><span class="ltx_text" id="S4.3.p2.1.1">For <math alttext="2\leq t\leq T" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.3.p2.1.1.m1.1"><semantics id="S4.3.p2.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.3.p2.1.1.m1.1.1" xref="S4.3.p2.1.1.m1.1.1.cmml"><mn id="S4.3.p2.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.3.p2.1.1.m1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S4.3.p2.1.1.m1.1.1.3" xref="S4.3.p2.1.1.m1.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="S4.3.p2.1.1.m1.1.1.4" xref="S4.3.p2.1.1.m1.1.1.4.cmml">t</mi><mo id="S4.3.p2.1.1.m1.1.1.5" xref="S4.3.p2.1.1.m1.1.1.5.cmml">≤</mo><mi id="S4.3.p2.1.1.m1.1.1.6" xref="S4.3.p2.1.1.m1.1.1.6.cmml">T</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.3.p2.1.1.m1.1b"><apply id="S4.3.p2.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.3.p2.1.1.m1.1.1"><and id="S4.3.p2.1.1.m1.1.1a.cmml" xref="S4.3.p2.1.1.m1.1.1"></and><apply id="S4.3.p2.1.1.m1.1.1b.cmml" xref="S4.3.p2.1.1.m1.1.1"><leq id="S4.3.p2.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.3.p2.1.1.m1.1.1.3"></leq><cn id="S4.3.p2.1.1.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.3.p2.1.1.m1.1.1.2">2</cn><ci id="S4.3.p2.1.1.m1.1.1.4.cmml" xref="S4.3.p2.1.1.m1.1.1.4">𝑡</ci></apply><apply id="S4.3.p2.1.1.m1.1.1c.cmml" xref="S4.3.p2.1.1.m1.1.1"><leq id="S4.3.p2.1.1.m1.1.1.5.cmml" xref="S4.3.p2.1.1.m1.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S4.3.p2.1.1.m1.1.1.4.cmml" id="S4.3.p2.1.1.m1.1.1d.cmml" xref="S4.3.p2.1.1.m1.1.1"></share><ci id="S4.3.p2.1.1.m1.1.1.6.cmml" xref="S4.3.p2.1.1.m1.1.1.6">𝑇</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.3.p2.1.1.m1.1c">2\leq t\leq T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.3.p2.1.1.m1.1d">2 ≤ italic_t ≤ italic_T</annotation></semantics></math>, we have</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex4"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{split}S_{1}(t,U):&=\int_{2}^{t}\Delta_{U}S(u)\,du=\int_{2}^{t}S(u+U)\,% du-\int_{2}^{t}S(u)\,du\\ &=\int_{t}^{t+U}S(u)\,du-\int_{2}^{2+U}S(u)\,du\ll U\log t.\end{split}" class="ltx_math_unparsed" display="block" id="S4.Ex4.m1.69"><semantics id="S4.Ex4.m1.69a"><mtable columnspacing="0pt" displaystyle="true" id="S4.Ex4.m1.69.69.2" rowspacing="0pt"><mtr id="S4.Ex4.m1.69.69.2a"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S4.Ex4.m1.69.69.2b"><mrow id="S4.Ex4.m1.8.8.8.8.8"><mrow id="S4.Ex4.m1.8.8.8.8.8.9"><msub id="S4.Ex4.m1.8.8.8.8.8.9.2"><mi id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1">S</mi><mn id="S4.Ex4.m1.2.2.2.2.2.2.1">1</mn></msub><mo id="S4.Ex4.m1.8.8.8.8.8.9.1">⁢</mo><mrow id="S4.Ex4.m1.8.8.8.8.8.9.3"><mo id="S4.Ex4.m1.3.3.3.3.3.3" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.Ex4.m1.4.4.4.4.4.4">t</mi><mo id="S4.Ex4.m1.5.5.5.5.5.5">,</mo><mi id="S4.Ex4.m1.6.6.6.6.6.6">U</mi><mo id="S4.Ex4.m1.7.7.7.7.7.7" rspace="0.278em" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex4.m1.8.8.8.8.8.8" rspace="0.278em">:</mo><mi id="S4.Ex4.m1.8.8.8.8.8.10"></mi></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.Ex4.m1.69.69.2c"><mrow id="S4.Ex4.m1.68.68.1.68.43.35"><mi id="S4.Ex4.m1.68.68.1.68.43.35.37"></mi><mo id="S4.Ex4.m1.9.9.9.9.1.1" rspace="0.111em">=</mo><mrow id="S4.Ex4.m1.68.68.1.68.43.35.38"><msubsup id="S4.Ex4.m1.68.68.1.68.43.35.38.1"><mo id="S4.Ex4.m1.10.10.10.10.2.2">∫</mo><mn id="S4.Ex4.m1.11.11.11.11.3.3.1">2</mn><mi id="S4.Ex4.m1.12.12.12.12.4.4.1">t</mi></msubsup><mrow id="S4.Ex4.m1.68.68.1.68.43.35.38.2"><msub id="S4.Ex4.m1.68.68.1.68.43.35.38.2.2"><mi id="S4.Ex4.m1.13.13.13.13.5.5" mathvariant="normal">Δ</mi><mi id="S4.Ex4.m1.14.14.14.14.6.6.1">U</mi></msub><mo id="S4.Ex4.m1.68.68.1.68.43.35.38.2.1">⁢</mo><mi id="S4.Ex4.m1.15.15.15.15.7.7">S</mi><mo id="S4.Ex4.m1.68.68.1.68.43.35.38.2.1a">⁢</mo><mrow id="S4.Ex4.m1.68.68.1.68.43.35.38.2.3"><mo id="S4.Ex4.m1.16.16.16.16.8.8" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.Ex4.m1.17.17.17.17.9.9">u</mi><mo id="S4.Ex4.m1.18.18.18.18.10.10" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex4.m1.68.68.1.68.43.35.38.2.1b" lspace="0.170em">⁢</mo><mrow id="S4.Ex4.m1.68.68.1.68.43.35.38.2.4"><mo id="S4.Ex4.m1.19.19.19.19.11.11" rspace="0em">𝑑</mo><mi id="S4.Ex4.m1.20.20.20.20.12.12">u</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex4.m1.21.21.21.21.13.13" rspace="0.111em">=</mo><mrow id="S4.Ex4.m1.68.68.1.68.43.35.35"><mrow id="S4.Ex4.m1.68.68.1.68.43.35.35.1"><msubsup id="S4.Ex4.m1.68.68.1.68.43.35.35.1.2"><mo id="S4.Ex4.m1.22.22.22.22.14.14">∫</mo><mn id="S4.Ex4.m1.23.23.23.23.15.15.1">2</mn><mi id="S4.Ex4.m1.24.24.24.24.16.16.1">t</mi></msubsup><mrow id="S4.Ex4.m1.68.68.1.68.43.35.35.1.1"><mi id="S4.Ex4.m1.25.25.25.25.17.17">S</mi><mo id="S4.Ex4.m1.68.68.1.68.43.35.35.1.1.2">⁢</mo><mrow id="S4.Ex4.m1.68.68.1.68.43.35.35.1.1.1.1"><mo id="S4.Ex4.m1.26.26.26.26.18.18" stretchy="false">(</mo><mrow id="S4.Ex4.m1.68.68.1.68.43.35.35.1.1.1.1.1"><mi id="S4.Ex4.m1.27.27.27.27.19.19">u</mi><mo id="S4.Ex4.m1.28.28.28.28.20.20">+</mo><mi id="S4.Ex4.m1.29.29.29.29.21.21">U</mi></mrow><mo id="S4.Ex4.m1.30.30.30.30.22.22" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex4.m1.68.68.1.68.43.35.35.1.1.2a" lspace="0.170em">⁢</mo><mrow id="S4.Ex4.m1.68.68.1.68.43.35.35.1.1.3"><mo id="S4.Ex4.m1.31.31.31.31.23.23" rspace="0em">𝑑</mo><mi id="S4.Ex4.m1.32.32.32.32.24.24">u</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex4.m1.33.33.33.33.25.25" rspace="0.055em">−</mo><mrow id="S4.Ex4.m1.68.68.1.68.43.35.35.2"><msubsup id="S4.Ex4.m1.68.68.1.68.43.35.35.2.1"><mo id="S4.Ex4.m1.34.34.34.34.26.26">∫</mo><mn id="S4.Ex4.m1.35.35.35.35.27.27.1">2</mn><mi id="S4.Ex4.m1.36.36.36.36.28.28.1">t</mi></msubsup><mrow id="S4.Ex4.m1.68.68.1.68.43.35.35.2.2"><mi id="S4.Ex4.m1.37.37.37.37.29.29">S</mi><mo id="S4.Ex4.m1.68.68.1.68.43.35.35.2.2.1">⁢</mo><mrow id="S4.Ex4.m1.68.68.1.68.43.35.35.2.2.2"><mo id="S4.Ex4.m1.38.38.38.38.30.30" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.Ex4.m1.39.39.39.39.31.31">u</mi><mo id="S4.Ex4.m1.40.40.40.40.32.32" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex4.m1.68.68.1.68.43.35.35.2.2.1a" lspace="0.170em">⁢</mo><mrow id="S4.Ex4.m1.68.68.1.68.43.35.35.2.2.3"><mo id="S4.Ex4.m1.41.41.41.41.33.33" rspace="0em">𝑑</mo><mi id="S4.Ex4.m1.42.42.42.42.34.34">u</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.Ex4.m1.69.69.2d"><mtd id="S4.Ex4.m1.69.69.2e"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.Ex4.m1.69.69.2f"><mrow id="S4.Ex4.m1.69.69.2.69.26.26.26"><mrow id="S4.Ex4.m1.69.69.2.69.26.26.26.1"><mi id="S4.Ex4.m1.69.69.2.69.26.26.26.1.2"></mi><mo id="S4.Ex4.m1.43.43.43.1.1.1" rspace="0.111em">=</mo><mrow id="S4.Ex4.m1.69.69.2.69.26.26.26.1.3"><mrow id="S4.Ex4.m1.69.69.2.69.26.26.26.1.3.1"><msubsup id="S4.Ex4.m1.69.69.2.69.26.26.26.1.3.1.1"><mo id="S4.Ex4.m1.44.44.44.2.2.2">∫</mo><mi id="S4.Ex4.m1.45.45.45.3.3.3.1">t</mi><mrow id="S4.Ex4.m1.46.46.46.4.4.4.1"><mi id="S4.Ex4.m1.46.46.46.4.4.4.1.2">t</mi><mo id="S4.Ex4.m1.46.46.46.4.4.4.1.1">+</mo><mi id="S4.Ex4.m1.46.46.46.4.4.4.1.3">U</mi></mrow></msubsup><mrow id="S4.Ex4.m1.69.69.2.69.26.26.26.1.3.1.2"><mi id="S4.Ex4.m1.47.47.47.5.5.5">S</mi><mo id="S4.Ex4.m1.69.69.2.69.26.26.26.1.3.1.2.1">⁢</mo><mrow id="S4.Ex4.m1.69.69.2.69.26.26.26.1.3.1.2.2"><mo id="S4.Ex4.m1.48.48.48.6.6.6" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.Ex4.m1.49.49.49.7.7.7">u</mi><mo id="S4.Ex4.m1.50.50.50.8.8.8" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex4.m1.69.69.2.69.26.26.26.1.3.1.2.1a" lspace="0.170em">⁢</mo><mrow id="S4.Ex4.m1.69.69.2.69.26.26.26.1.3.1.2.3"><mo id="S4.Ex4.m1.51.51.51.9.9.9" rspace="0em">𝑑</mo><mi id="S4.Ex4.m1.52.52.52.10.10.10">u</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex4.m1.53.53.53.11.11.11" rspace="0.055em">−</mo><mrow id="S4.Ex4.m1.69.69.2.69.26.26.26.1.3.2"><msubsup id="S4.Ex4.m1.69.69.2.69.26.26.26.1.3.2.1"><mo id="S4.Ex4.m1.54.54.54.12.12.12">∫</mo><mn id="S4.Ex4.m1.55.55.55.13.13.13.1">2</mn><mrow id="S4.Ex4.m1.56.56.56.14.14.14.1"><mn id="S4.Ex4.m1.56.56.56.14.14.14.1.2">2</mn><mo id="S4.Ex4.m1.56.56.56.14.14.14.1.1">+</mo><mi id="S4.Ex4.m1.56.56.56.14.14.14.1.3">U</mi></mrow></msubsup><mrow id="S4.Ex4.m1.69.69.2.69.26.26.26.1.3.2.2"><mi id="S4.Ex4.m1.57.57.57.15.15.15">S</mi><mo id="S4.Ex4.m1.69.69.2.69.26.26.26.1.3.2.2.1">⁢</mo><mrow id="S4.Ex4.m1.69.69.2.69.26.26.26.1.3.2.2.2"><mo id="S4.Ex4.m1.58.58.58.16.16.16" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.Ex4.m1.59.59.59.17.17.17">u</mi><mo id="S4.Ex4.m1.60.60.60.18.18.18" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex4.m1.69.69.2.69.26.26.26.1.3.2.2.1a" lspace="0.170em">⁢</mo><mrow id="S4.Ex4.m1.69.69.2.69.26.26.26.1.3.2.2.3"><mo id="S4.Ex4.m1.61.61.61.19.19.19" rspace="0em">𝑑</mo><mi id="S4.Ex4.m1.62.62.62.20.20.20">u</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex4.m1.63.63.63.21.21.21">≪</mo><mrow id="S4.Ex4.m1.69.69.2.69.26.26.26.1.4"><mi id="S4.Ex4.m1.64.64.64.22.22.22">U</mi><mo id="S4.Ex4.m1.69.69.2.69.26.26.26.1.4.1" lspace="0.167em">⁢</mo><mrow id="S4.Ex4.m1.69.69.2.69.26.26.26.1.4.2"><mi id="S4.Ex4.m1.65.65.65.23.23.23">log</mi><mo id="S4.Ex4.m1.69.69.2.69.26.26.26.1.4.2a" lspace="0.167em">⁡</mo><mi id="S4.Ex4.m1.66.66.66.24.24.24">t</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex4.m1.67.67.67.25.25.25" lspace="0em">.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex4.m1.69b">\begin{split}S_{1}(t,U):&=\int_{2}^{t}\Delta_{U}S(u)\,du=\int_{2}^{t}S(u+U)\,% du-\int_{2}^{t}S(u)\,du\\ &=\int_{t}^{t+U}S(u)\,du-\int_{2}^{2+U}S(u)\,du\ll U\log t.\end{split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex4.m1.69c">start_ROW start_CELL italic_S start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t , italic_U ) : end_CELL start_CELL = ∫ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT italic_S ( italic_u ) italic_d italic_u = ∫ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT italic_S ( italic_u + italic_U ) italic_d italic_u - ∫ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT italic_S ( italic_u ) italic_d italic_u end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL = ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t + italic_U end_POSTSUPERSCRIPT italic_S ( italic_u ) italic_d italic_u - ∫ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 + italic_U end_POSTSUPERSCRIPT italic_S ( italic_u ) italic_d italic_u ≪ italic_U roman_log italic_t . end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.3.p2.3"><span class="ltx_text" id="S4.3.p2.3.2">Since <math alttext="\Delta_{U}M(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.3.p2.2.1.m1.1"><semantics id="S4.3.p2.2.1.m1.1a"><mrow id="S4.3.p2.2.1.m1.1.2" xref="S4.3.p2.2.1.m1.1.2.cmml"><msub id="S4.3.p2.2.1.m1.1.2.2" xref="S4.3.p2.2.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.3.p2.2.1.m1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.3.p2.2.1.m1.1.2.2.2.cmml">Δ</mi><mi id="S4.3.p2.2.1.m1.1.2.2.3" xref="S4.3.p2.2.1.m1.1.2.2.3.cmml">U</mi></msub><mo id="S4.3.p2.2.1.m1.1.2.1" xref="S4.3.p2.2.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.3.p2.2.1.m1.1.2.3" xref="S4.3.p2.2.1.m1.1.2.3.cmml">M</mi><mo id="S4.3.p2.2.1.m1.1.2.1a" xref="S4.3.p2.2.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.3.p2.2.1.m1.1.2.4.2" xref="S4.3.p2.2.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S4.3.p2.2.1.m1.1.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.3.p2.2.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.3.p2.2.1.m1.1.1" xref="S4.3.p2.2.1.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.3.p2.2.1.m1.1.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S4.3.p2.2.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.3.p2.2.1.m1.1b"><apply id="S4.3.p2.2.1.m1.1.2.cmml" xref="S4.3.p2.2.1.m1.1.2"><times id="S4.3.p2.2.1.m1.1.2.1.cmml" 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id="S4.3.p2.3.2.m2.3.3.3.4" xref="S4.3.p2.3.2.m2.3.3.3.4.cmml">M</mi><mo id="S4.3.p2.3.2.m2.3.3.3.1b" xref="S4.3.p2.3.2.m2.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.3.p2.3.2.m2.3.3.3.5.2" xref="S4.3.p2.3.2.m2.3.3.3.cmml"><mo id="S4.3.p2.3.2.m2.3.3.3.5.2.1" stretchy="false" xref="S4.3.p2.3.2.m2.3.3.3.cmml">(</mo><mi id="S4.3.p2.3.2.m2.1.1" xref="S4.3.p2.3.2.m2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.3.p2.3.2.m2.3.3.3.5.2.2" stretchy="false" xref="S4.3.p2.3.2.m2.3.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.3.p2.3.2.m2.3.3.2" xref="S4.3.p2.3.2.m2.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.3.p2.3.2.m2.3.3.1" xref="S4.3.p2.3.2.m2.3.3.1.cmml"><mfrac id="S4.3.p2.3.2.m2.3.3.1.3" xref="S4.3.p2.3.2.m2.3.3.1.3.cmml"><mn id="S4.3.p2.3.2.m2.3.3.1.3.2" xref="S4.3.p2.3.2.m2.3.3.1.3.2.cmml">1</mn><mrow id="S4.3.p2.3.2.m2.3.3.1.3.3" xref="S4.3.p2.3.2.m2.3.3.1.3.3.cmml"><mn id="S4.3.p2.3.2.m2.3.3.1.3.3.2" xref="S4.3.p2.3.2.m2.3.3.1.3.3.2.cmml">2</mn><mo id="S4.3.p2.3.2.m2.3.3.1.3.3.1" xref="S4.3.p2.3.2.m2.3.3.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi 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id="S4.3.p2.3.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.3.p2.3.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.3"></divide><ci id="S4.3.p2.3.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.3.p2.3.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.2">𝑈</ci><ci id="S4.3.p2.3.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.3.p2.3.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.3.p2.3.2.m2.3c">\frac{d}{dt}\Delta_{U}M(t)=\frac{1}{2\pi}\log(1+\frac{U}{t})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.3.p2.3.2.m2.3d">divide start_ARG italic_d end_ARG start_ARG italic_d italic_t end_ARG roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT italic_M ( italic_t ) = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 italic_π end_ARG roman_log ( 1 + divide start_ARG italic_U end_ARG start_ARG italic_t end_ARG )</annotation></semantics></math>, we have</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E6"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(4.6)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{split}\int_{2}^{T}\Delta_{U}M(t)\Delta_{U}S(t)\,dt&=\int_{2}^{T}\Delta_% {U}M(t)\frac{d}{dt}(S_{1}(t,U))\,dt\\ &=\Delta_{U}M(t)S_{1}(t,U)\bigg{|}_{2}^{T}-\frac{1}{2\pi}\int_{2}^{T}\log\!% \left(1+\frac{U}{t}\right)S_{1}(t,U)\,dt\\ &\ll U^{2}L^{2}+U^{2}\int_{2}^{T}\frac{\log t}{t}\,dt\ll(UL)^{2}\ll L^{2}.\end% {split}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E6.m1.105"><semantics id="S4.E6.m1.105a"><mtable columnspacing="0pt" displaystyle="true" id="S4.E6.m1.105.105.5" rowspacing="0pt"><mtr id="S4.E6.m1.105.105.5a"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S4.E6.m1.105.105.5b"><mrow id="S4.E6.m1.17.17.17.17.17"><msubsup id="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.18"><mo id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">∫</mo><mn id="S4.E6.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S4.E6.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml">2</mn><mi id="S4.E6.m1.3.3.3.3.3.3.1" xref="S4.E6.m1.3.3.3.3.3.3.1.cmml">T</mi></msubsup><mrow id="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.19"><msub id="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.19.2"><mi id="S4.E6.m1.4.4.4.4.4.4" mathvariant="normal" xref="S4.E6.m1.4.4.4.4.4.4.cmml">Δ</mi><mi id="S4.E6.m1.5.5.5.5.5.5.1" xref="S4.E6.m1.5.5.5.5.5.5.1.cmml">U</mi></msub><mo id="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.19.1" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E6.m1.6.6.6.6.6.6" xref="S4.E6.m1.6.6.6.6.6.6.cmml">M</mi><mo id="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.19.1a" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.19.3"><mo id="S4.E6.m1.7.7.7.7.7.7" stretchy="false" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E6.m1.8.8.8.8.8.8" xref="S4.E6.m1.8.8.8.8.8.8.cmml">t</mi><mo id="S4.E6.m1.9.9.9.9.9.9" stretchy="false" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.19.1b" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.19.4"><mi id="S4.E6.m1.10.10.10.10.10.10" mathvariant="normal" xref="S4.E6.m1.10.10.10.10.10.10.cmml">Δ</mi><mi id="S4.E6.m1.11.11.11.11.11.11.1" xref="S4.E6.m1.11.11.11.11.11.11.1.cmml">U</mi></msub><mo id="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.19.1c" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E6.m1.12.12.12.12.12.12" xref="S4.E6.m1.12.12.12.12.12.12.cmml">S</mi><mo id="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.19.1d" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.19.5"><mo id="S4.E6.m1.13.13.13.13.13.13" stretchy="false" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E6.m1.14.14.14.14.14.14" xref="S4.E6.m1.14.14.14.14.14.14.cmml">t</mi><mo id="S4.E6.m1.15.15.15.15.15.15" stretchy="false" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.19.1e" lspace="0.170em" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.19.6"><mo id="S4.E6.m1.16.16.16.16.16.16" rspace="0em" xref="S4.E6.m1.16.16.16.16.16.16.cmml">𝑑</mo><mi id="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.17" xref="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.17.cmml">t</mi></mrow></mrow></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E6.m1.105.105.5c"><mrow id="S4.E6.m1.102.102.2.101.40.23"><mi id="S4.E6.m1.102.102.2.101.40.23.24" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml"></mi><mo id="S4.E6.m1.18.18.18.18.1.1" rspace="0.111em" xref="S4.E6.m1.18.18.18.18.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E6.m1.102.102.2.101.40.23.23"><msubsup id="S4.E6.m1.102.102.2.101.40.23.23.2"><mo id="S4.E6.m1.19.19.19.19.2.2" xref="S4.E6.m1.19.19.19.19.2.2.cmml">∫</mo><mn id="S4.E6.m1.20.20.20.20.3.3.1" xref="S4.E6.m1.20.20.20.20.3.3.1.cmml">2</mn><mi id="S4.E6.m1.21.21.21.21.4.4.1" xref="S4.E6.m1.21.21.21.21.4.4.1.cmml">T</mi></msubsup><mrow id="S4.E6.m1.102.102.2.101.40.23.23.1"><msub id="S4.E6.m1.102.102.2.101.40.23.23.1.3"><mi id="S4.E6.m1.22.22.22.22.5.5" mathvariant="normal" xref="S4.E6.m1.22.22.22.22.5.5.cmml">Δ</mi><mi id="S4.E6.m1.23.23.23.23.6.6.1" xref="S4.E6.m1.23.23.23.23.6.6.1.cmml">U</mi></msub><mo id="S4.E6.m1.102.102.2.101.40.23.23.1.2" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E6.m1.24.24.24.24.7.7" xref="S4.E6.m1.24.24.24.24.7.7.cmml">M</mi><mo id="S4.E6.m1.102.102.2.101.40.23.23.1.2a" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E6.m1.102.102.2.101.40.23.23.1.4"><mo id="S4.E6.m1.25.25.25.25.8.8" stretchy="false" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E6.m1.26.26.26.26.9.9" xref="S4.E6.m1.26.26.26.26.9.9.cmml">t</mi><mo id="S4.E6.m1.27.27.27.27.10.10" stretchy="false" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E6.m1.102.102.2.101.40.23.23.1.2b" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S4.E6.m1.28.28.28.28.11.11" xref="S4.E6.m1.28.28.28.28.11.11.cmml"><mi id="S4.E6.m1.28.28.28.28.11.11.2" xref="S4.E6.m1.28.28.28.28.11.11.2.cmml">d</mi><mrow id="S4.E6.m1.28.28.28.28.11.11.3" xref="S4.E6.m1.28.28.28.28.11.11.3.cmml"><mi id="S4.E6.m1.28.28.28.28.11.11.3.2" xref="S4.E6.m1.28.28.28.28.11.11.3.2.cmml">d</mi><mo id="S4.E6.m1.28.28.28.28.11.11.3.1" xref="S4.E6.m1.28.28.28.28.11.11.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E6.m1.28.28.28.28.11.11.3.3" xref="S4.E6.m1.28.28.28.28.11.11.3.3.cmml">t</mi></mrow></mfrac><mo id="S4.E6.m1.102.102.2.101.40.23.23.1.2c" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E6.m1.102.102.2.101.40.23.23.1.1.1"><mo id="S4.E6.m1.29.29.29.29.12.12" stretchy="false" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E6.m1.102.102.2.101.40.23.23.1.1.1.1"><msub id="S4.E6.m1.102.102.2.101.40.23.23.1.1.1.1.2"><mi id="S4.E6.m1.30.30.30.30.13.13" xref="S4.E6.m1.30.30.30.30.13.13.cmml">S</mi><mn id="S4.E6.m1.31.31.31.31.14.14.1" xref="S4.E6.m1.31.31.31.31.14.14.1.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.E6.m1.102.102.2.101.40.23.23.1.1.1.1.1" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E6.m1.102.102.2.101.40.23.23.1.1.1.1.3"><mo id="S4.E6.m1.32.32.32.32.15.15" stretchy="false" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E6.m1.33.33.33.33.16.16" xref="S4.E6.m1.33.33.33.33.16.16.cmml">t</mi><mo id="S4.E6.m1.34.34.34.34.17.17" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="S4.E6.m1.35.35.35.35.18.18" xref="S4.E6.m1.35.35.35.35.18.18.cmml">U</mi><mo id="S4.E6.m1.36.36.36.36.19.19" stretchy="false" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E6.m1.37.37.37.37.20.20" stretchy="false" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E6.m1.102.102.2.101.40.23.23.1.2d" lspace="0.170em" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E6.m1.102.102.2.101.40.23.23.1.5"><mo id="S4.E6.m1.38.38.38.38.21.21" rspace="0em" xref="S4.E6.m1.38.38.38.38.21.21.cmml">𝑑</mo><mi id="S4.E6.m1.39.39.39.39.22.22" xref="S4.E6.m1.39.39.39.39.22.22.cmml">t</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.E6.m1.105.105.5d"><mtd id="S4.E6.m1.105.105.5e" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E6.m1.105.105.5f"><mrow id="S4.E6.m1.104.104.4.103.39.39"><mi id="S4.E6.m1.104.104.4.103.39.39.40" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml"></mi><mo id="S4.E6.m1.40.40.40.1.1.1" xref="S4.E6.m1.40.40.40.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E6.m1.104.104.4.103.39.39.39"><msubsup id="S4.E6.m1.103.103.3.102.38.38.38.1.1"><mrow id="S4.E6.m1.103.103.3.102.38.38.38.1.1.1.1"><mrow id="S4.E6.m1.103.103.3.102.38.38.38.1.1.1.1.1"><msub id="S4.E6.m1.103.103.3.102.38.38.38.1.1.1.1.1.2"><mi id="S4.E6.m1.41.41.41.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.E6.m1.41.41.41.2.2.2.cmml">Δ</mi><mi id="S4.E6.m1.42.42.42.3.3.3.1" xref="S4.E6.m1.42.42.42.3.3.3.1.cmml">U</mi></msub><mo id="S4.E6.m1.103.103.3.102.38.38.38.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E6.m1.43.43.43.4.4.4" xref="S4.E6.m1.43.43.43.4.4.4.cmml">M</mi><mo id="S4.E6.m1.103.103.3.102.38.38.38.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E6.m1.103.103.3.102.38.38.38.1.1.1.1.1.3"><mo id="S4.E6.m1.44.44.44.5.5.5" stretchy="false" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E6.m1.45.45.45.6.6.6" xref="S4.E6.m1.45.45.45.6.6.6.cmml">t</mi><mo id="S4.E6.m1.46.46.46.7.7.7" stretchy="false" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E6.m1.103.103.3.102.38.38.38.1.1.1.1.1.1b" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E6.m1.103.103.3.102.38.38.38.1.1.1.1.1.4"><mi id="S4.E6.m1.47.47.47.8.8.8" xref="S4.E6.m1.47.47.47.8.8.8.cmml">S</mi><mn id="S4.E6.m1.48.48.48.9.9.9.1" xref="S4.E6.m1.48.48.48.9.9.9.1.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.E6.m1.103.103.3.102.38.38.38.1.1.1.1.1.1c" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E6.m1.103.103.3.102.38.38.38.1.1.1.1.1.5"><mo id="S4.E6.m1.49.49.49.10.10.10" stretchy="false" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E6.m1.50.50.50.11.11.11" xref="S4.E6.m1.50.50.50.11.11.11.cmml">t</mi><mo id="S4.E6.m1.51.51.51.12.12.12" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="S4.E6.m1.52.52.52.13.13.13" xref="S4.E6.m1.52.52.52.13.13.13.cmml">U</mi><mo id="S4.E6.m1.53.53.53.14.14.14" stretchy="false" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E6.m1.54.54.54.15.15.15" maxsize="210%" minsize="210%" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S4.E6.m1.55.55.55.16.16.16.1" xref="S4.E6.m1.55.55.55.16.16.16.1.cmml">2</mn><mi id="S4.E6.m1.56.56.56.17.17.17.1" xref="S4.E6.m1.56.56.56.17.17.17.1.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S4.E6.m1.57.57.57.18.18.18" xref="S4.E6.m1.57.57.57.18.18.18.cmml">−</mo><mrow id="S4.E6.m1.104.104.4.103.39.39.39.2"><mfrac id="S4.E6.m1.58.58.58.19.19.19" xref="S4.E6.m1.58.58.58.19.19.19.cmml"><mn id="S4.E6.m1.58.58.58.19.19.19.2" xref="S4.E6.m1.58.58.58.19.19.19.2.cmml">1</mn><mrow id="S4.E6.m1.58.58.58.19.19.19.3" xref="S4.E6.m1.58.58.58.19.19.19.3.cmml"><mn id="S4.E6.m1.58.58.58.19.19.19.3.2" xref="S4.E6.m1.58.58.58.19.19.19.3.2.cmml">2</mn><mo id="S4.E6.m1.58.58.58.19.19.19.3.1" xref="S4.E6.m1.58.58.58.19.19.19.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E6.m1.58.58.58.19.19.19.3.3" xref="S4.E6.m1.58.58.58.19.19.19.3.3.cmml">π</mi></mrow></mfrac><mo id="S4.E6.m1.104.104.4.103.39.39.39.2.2" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E6.m1.104.104.4.103.39.39.39.2.1"><msubsup id="S4.E6.m1.104.104.4.103.39.39.39.2.1.2"><mo id="S4.E6.m1.59.59.59.20.20.20" xref="S4.E6.m1.59.59.59.20.20.20.cmml">∫</mo><mn id="S4.E6.m1.60.60.60.21.21.21.1" xref="S4.E6.m1.60.60.60.21.21.21.1.cmml">2</mn><mi id="S4.E6.m1.61.61.61.22.22.22.1" xref="S4.E6.m1.61.61.61.22.22.22.1.cmml">T</mi></msubsup><mrow id="S4.E6.m1.104.104.4.103.39.39.39.2.1.1"><mrow id="S4.E6.m1.104.104.4.103.39.39.39.2.1.1.1.1"><mpadded width="1.146em"><mi id="S4.E6.m1.62.62.62.23.23.23" xref="S4.E6.m1.62.62.62.23.23.23.cmml">log</mi></mpadded><mo id="S4.E6.m1.104.104.4.103.39.39.39.2.1.1.1.1a" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.E6.m1.104.104.4.103.39.39.39.2.1.1.1.1.1"><mo id="S4.E6.m1.63.63.63.24.24.24" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E6.m1.104.104.4.103.39.39.39.2.1.1.1.1.1.1"><mn id="S4.E6.m1.64.64.64.25.25.25" xref="S4.E6.m1.64.64.64.25.25.25.cmml">1</mn><mo id="S4.E6.m1.65.65.65.26.26.26" xref="S4.E6.m1.65.65.65.26.26.26.cmml">+</mo><mfrac id="S4.E6.m1.66.66.66.27.27.27" xref="S4.E6.m1.66.66.66.27.27.27.cmml"><mi id="S4.E6.m1.66.66.66.27.27.27.2" xref="S4.E6.m1.66.66.66.27.27.27.2.cmml">U</mi><mi id="S4.E6.m1.66.66.66.27.27.27.3" xref="S4.E6.m1.66.66.66.27.27.27.3.cmml">t</mi></mfrac></mrow><mo id="S4.E6.m1.67.67.67.28.28.28" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E6.m1.104.104.4.103.39.39.39.2.1.1.2" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E6.m1.104.104.4.103.39.39.39.2.1.1.3"><mi id="S4.E6.m1.68.68.68.29.29.29" xref="S4.E6.m1.68.68.68.29.29.29.cmml">S</mi><mn id="S4.E6.m1.69.69.69.30.30.30.1" xref="S4.E6.m1.69.69.69.30.30.30.1.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.E6.m1.104.104.4.103.39.39.39.2.1.1.2a" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E6.m1.104.104.4.103.39.39.39.2.1.1.4"><mo id="S4.E6.m1.70.70.70.31.31.31" stretchy="false" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E6.m1.71.71.71.32.32.32" xref="S4.E6.m1.71.71.71.32.32.32.cmml">t</mi><mo id="S4.E6.m1.72.72.72.33.33.33" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="S4.E6.m1.73.73.73.34.34.34" xref="S4.E6.m1.73.73.73.34.34.34.cmml">U</mi><mo id="S4.E6.m1.74.74.74.35.35.35" stretchy="false" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E6.m1.104.104.4.103.39.39.39.2.1.1.2b" lspace="0.170em" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E6.m1.104.104.4.103.39.39.39.2.1.1.5"><mo id="S4.E6.m1.75.75.75.36.36.36" rspace="0em" xref="S4.E6.m1.75.75.75.36.36.36.cmml">𝑑</mo><mi id="S4.E6.m1.76.76.76.37.37.37" xref="S4.E6.m1.76.76.76.37.37.37.cmml">t</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.E6.m1.105.105.5g"><mtd id="S4.E6.m1.105.105.5h" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E6.m1.105.105.5i"><mrow id="S4.E6.m1.105.105.5.104.25.25.25"><mrow id="S4.E6.m1.105.105.5.104.25.25.25.1"><mi id="S4.E6.m1.105.105.5.104.25.25.25.1.3" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml"></mi><mo id="S4.E6.m1.77.77.77.1.1.1" xref="S4.E6.m1.77.77.77.1.1.1.cmml">≪</mo><mrow id="S4.E6.m1.105.105.5.104.25.25.25.1.4"><mrow id="S4.E6.m1.105.105.5.104.25.25.25.1.4.1"><msup id="S4.E6.m1.105.105.5.104.25.25.25.1.4.1.2"><mi id="S4.E6.m1.78.78.78.2.2.2" xref="S4.E6.m1.78.78.78.2.2.2.cmml">U</mi><mn id="S4.E6.m1.79.79.79.3.3.3.1" xref="S4.E6.m1.79.79.79.3.3.3.1.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.E6.m1.105.105.5.104.25.25.25.1.4.1.1" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E6.m1.105.105.5.104.25.25.25.1.4.1.3"><mi id="S4.E6.m1.80.80.80.4.4.4" xref="S4.E6.m1.80.80.80.4.4.4.cmml">L</mi><mn id="S4.E6.m1.81.81.81.5.5.5.1" xref="S4.E6.m1.81.81.81.5.5.5.1.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S4.E6.m1.82.82.82.6.6.6" xref="S4.E6.m1.82.82.82.6.6.6.cmml">+</mo><mrow id="S4.E6.m1.105.105.5.104.25.25.25.1.4.2"><msup id="S4.E6.m1.105.105.5.104.25.25.25.1.4.2.2"><mi id="S4.E6.m1.83.83.83.7.7.7" xref="S4.E6.m1.83.83.83.7.7.7.cmml">U</mi><mn id="S4.E6.m1.84.84.84.8.8.8.1" xref="S4.E6.m1.84.84.84.8.8.8.1.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.E6.m1.105.105.5.104.25.25.25.1.4.2.1" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E6.m1.105.105.5.104.25.25.25.1.4.2.3"><msubsup id="S4.E6.m1.105.105.5.104.25.25.25.1.4.2.3.1"><mo id="S4.E6.m1.85.85.85.9.9.9" xref="S4.E6.m1.85.85.85.9.9.9.cmml">∫</mo><mn id="S4.E6.m1.86.86.86.10.10.10.1" xref="S4.E6.m1.86.86.86.10.10.10.1.cmml">2</mn><mi id="S4.E6.m1.87.87.87.11.11.11.1" xref="S4.E6.m1.87.87.87.11.11.11.1.cmml">T</mi></msubsup><mrow id="S4.E6.m1.105.105.5.104.25.25.25.1.4.2.3.2"><mfrac id="S4.E6.m1.88.88.88.12.12.12" xref="S4.E6.m1.88.88.88.12.12.12.cmml"><mrow id="S4.E6.m1.88.88.88.12.12.12.2" xref="S4.E6.m1.88.88.88.12.12.12.2.cmml"><mi id="S4.E6.m1.88.88.88.12.12.12.2.1" xref="S4.E6.m1.88.88.88.12.12.12.2.1.cmml">log</mi><mo id="S4.E6.m1.88.88.88.12.12.12.2a" lspace="0.167em" xref="S4.E6.m1.88.88.88.12.12.12.2.cmml">⁡</mo><mi id="S4.E6.m1.88.88.88.12.12.12.2.2" xref="S4.E6.m1.88.88.88.12.12.12.2.2.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.E6.m1.88.88.88.12.12.12.3" xref="S4.E6.m1.88.88.88.12.12.12.3.cmml">t</mi></mfrac><mo id="S4.E6.m1.105.105.5.104.25.25.25.1.4.2.3.2.1" lspace="0.170em" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E6.m1.105.105.5.104.25.25.25.1.4.2.3.2.2"><mo id="S4.E6.m1.89.89.89.13.13.13" rspace="0em" xref="S4.E6.m1.89.89.89.13.13.13.cmml">𝑑</mo><mi id="S4.E6.m1.90.90.90.14.14.14" xref="S4.E6.m1.90.90.90.14.14.14.cmml">t</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E6.m1.91.91.91.15.15.15" xref="S4.E6.m1.91.91.91.15.15.15.cmml">≪</mo><msup id="S4.E6.m1.105.105.5.104.25.25.25.1.1"><mrow id="S4.E6.m1.105.105.5.104.25.25.25.1.1.1.1"><mo id="S4.E6.m1.92.92.92.16.16.16" stretchy="false" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E6.m1.105.105.5.104.25.25.25.1.1.1.1.1"><mi id="S4.E6.m1.93.93.93.17.17.17" xref="S4.E6.m1.93.93.93.17.17.17.cmml">U</mi><mo id="S4.E6.m1.105.105.5.104.25.25.25.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E6.m1.94.94.94.18.18.18" xref="S4.E6.m1.94.94.94.18.18.18.cmml">L</mi></mrow><mo id="S4.E6.m1.95.95.95.19.19.19" stretchy="false" xref="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S4.E6.m1.96.96.96.20.20.20.1" xref="S4.E6.m1.96.96.96.20.20.20.1.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.E6.m1.97.97.97.21.21.21" xref="S4.E6.m1.97.97.97.21.21.21.cmml">≪</mo><msup id="S4.E6.m1.105.105.5.104.25.25.25.1.5"><mi id="S4.E6.m1.98.98.98.22.22.22" xref="S4.E6.m1.98.98.98.22.22.22.cmml">L</mi><mn id="S4.E6.m1.99.99.99.23.23.23.1" 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id="S4.E6.m1.60.60.60.21.21.21.1.cmml" type="integer" xref="S4.E6.m1.60.60.60.21.21.21.1">2</cn></apply><ci id="S4.E6.m1.61.61.61.22.22.22.1.cmml" xref="S4.E6.m1.61.61.61.22.22.22.1">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.19.1"><times id="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.3.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.19.1"></times><apply id="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.3.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.19.1"><log id="S4.E6.m1.62.62.62.23.23.23.cmml" xref="S4.E6.m1.62.62.62.23.23.23"></log><apply id="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.19.1"><plus id="S4.E6.m1.65.65.65.26.26.26.cmml" xref="S4.E6.m1.65.65.65.26.26.26"></plus><cn id="S4.E6.m1.64.64.64.25.25.25.cmml" type="integer" xref="S4.E6.m1.64.64.64.25.25.25">1</cn><apply id="S4.E6.m1.66.66.66.27.27.27.cmml" xref="S4.E6.m1.66.66.66.27.27.27"><divide id="S4.E6.m1.66.66.66.27.27.27.1.cmml" xref="S4.E6.m1.66.66.66.27.27.27"></divide><ci id="S4.E6.m1.66.66.66.27.27.27.2.cmml" xref="S4.E6.m1.66.66.66.27.27.27.2">𝑈</ci><ci id="S4.E6.m1.66.66.66.27.27.27.3.cmml" xref="S4.E6.m1.66.66.66.27.27.27.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.3.2.1.1.3.cmml" xref="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.19.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.3.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.19.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E6.m1.68.68.68.29.29.29.cmml" xref="S4.E6.m1.68.68.68.29.29.29">𝑆</ci><cn id="S4.E6.m1.69.69.69.30.30.30.1.cmml" type="integer" xref="S4.E6.m1.69.69.69.30.30.30.1">1</cn></apply><interval closure="open" id="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.3.2.1.1.4.cmml" xref="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.19.1"><ci id="S4.E6.m1.71.71.71.32.32.32.cmml" xref="S4.E6.m1.71.71.71.32.32.32">𝑡</ci><ci id="S4.E6.m1.73.73.73.34.34.34.cmml" xref="S4.E6.m1.73.73.73.34.34.34">𝑈</ci></interval><apply id="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.3.2.1.1.5.cmml" xref="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.19.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E6.m1.75.75.75.36.36.36.cmml" xref="S4.E6.m1.75.75.75.36.36.36">differential-d</csymbol><ci id="S4.E6.m1.76.76.76.37.37.37.cmml" xref="S4.E6.m1.76.76.76.37.37.37">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E6.m1.101.101.1.1.1e.cmml" xref="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.19.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E6.m1.77.77.77.1.1.1.cmml" xref="S4.E6.m1.77.77.77.1.1.1">much-less-than</csymbol><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S4.E6.m1.101.101.1.1.1.3.cmml" id="S4.E6.m1.101.101.1.1.1f.cmml" xref="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.19.1"></share><apply id="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.10.cmml" xref="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.19.1"><plus id="S4.E6.m1.82.82.82.6.6.6.cmml" xref="S4.E6.m1.82.82.82.6.6.6"></plus><apply id="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.10.2.cmml" xref="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.19.1"><times id="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.10.2.1.cmml" xref="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.19.1"></times><apply id="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.10.2.2.cmml" xref="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.19.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.10.2.2.1.cmml" xref="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.19.1">superscript</csymbol><ci id="S4.E6.m1.78.78.78.2.2.2.cmml" xref="S4.E6.m1.78.78.78.2.2.2">𝑈</ci><cn id="S4.E6.m1.79.79.79.3.3.3.1.cmml" type="integer" xref="S4.E6.m1.79.79.79.3.3.3.1">2</cn></apply><apply id="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.10.2.3.cmml" xref="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.19.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.10.2.3.1.cmml" xref="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.19.1">superscript</csymbol><ci id="S4.E6.m1.80.80.80.4.4.4.cmml" xref="S4.E6.m1.80.80.80.4.4.4">𝐿</ci><cn id="S4.E6.m1.81.81.81.5.5.5.1.cmml" type="integer" xref="S4.E6.m1.81.81.81.5.5.5.1">2</cn></apply></apply><apply id="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.10.3.cmml" xref="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.19.1"><times id="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.10.3.1.cmml" xref="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.19.1"></times><apply id="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.10.3.2.cmml" xref="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.19.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.10.3.2.1.cmml" xref="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.19.1">superscript</csymbol><ci id="S4.E6.m1.83.83.83.7.7.7.cmml" xref="S4.E6.m1.83.83.83.7.7.7">𝑈</ci><cn id="S4.E6.m1.84.84.84.8.8.8.1.cmml" type="integer" xref="S4.E6.m1.84.84.84.8.8.8.1">2</cn></apply><apply id="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.10.3.3.cmml" xref="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.19.1"><apply id="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.10.3.3.1.cmml" xref="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.19.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.10.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.19.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.10.3.3.1.2.cmml" xref="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.19.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.10.3.3.1.2.1.cmml" xref="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.19.1">subscript</csymbol><int id="S4.E6.m1.85.85.85.9.9.9.cmml" xref="S4.E6.m1.85.85.85.9.9.9"></int><cn id="S4.E6.m1.86.86.86.10.10.10.1.cmml" type="integer" xref="S4.E6.m1.86.86.86.10.10.10.1">2</cn></apply><ci id="S4.E6.m1.87.87.87.11.11.11.1.cmml" xref="S4.E6.m1.87.87.87.11.11.11.1">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.10.3.3.2.cmml" xref="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.19.1"><times id="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.10.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.19.1"></times><apply id="S4.E6.m1.88.88.88.12.12.12.cmml" xref="S4.E6.m1.88.88.88.12.12.12"><divide id="S4.E6.m1.88.88.88.12.12.12.1.cmml" xref="S4.E6.m1.88.88.88.12.12.12"></divide><apply id="S4.E6.m1.88.88.88.12.12.12.2.cmml" xref="S4.E6.m1.88.88.88.12.12.12.2"><log id="S4.E6.m1.88.88.88.12.12.12.2.1.cmml" xref="S4.E6.m1.88.88.88.12.12.12.2.1"></log><ci id="S4.E6.m1.88.88.88.12.12.12.2.2.cmml" xref="S4.E6.m1.88.88.88.12.12.12.2.2">𝑡</ci></apply><ci id="S4.E6.m1.88.88.88.12.12.12.3.cmml" xref="S4.E6.m1.88.88.88.12.12.12.3">𝑡</ci></apply><apply id="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.10.3.3.2.3.cmml" xref="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.19.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E6.m1.89.89.89.13.13.13.cmml" xref="S4.E6.m1.89.89.89.13.13.13">differential-d</csymbol><ci id="S4.E6.m1.90.90.90.14.14.14.cmml" xref="S4.E6.m1.90.90.90.14.14.14">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E6.m1.101.101.1.1.1g.cmml" xref="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.19.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E6.m1.91.91.91.15.15.15.cmml" xref="S4.E6.m1.91.91.91.15.15.15">much-less-than</csymbol><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S4.E6.m1.101.101.1.1.1.10.cmml" id="S4.E6.m1.101.101.1.1.1h.cmml" xref="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.19.1"></share><apply id="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.19.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.19.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.4.1.1.1.cmml" xref="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.19.1"><times id="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.19.1"></times><ci id="S4.E6.m1.93.93.93.17.17.17.cmml" xref="S4.E6.m1.93.93.93.17.17.17">𝑈</ci><ci id="S4.E6.m1.94.94.94.18.18.18.cmml" xref="S4.E6.m1.94.94.94.18.18.18">𝐿</ci></apply><cn id="S4.E6.m1.96.96.96.20.20.20.1.cmml" type="integer" xref="S4.E6.m1.96.96.96.20.20.20.1">2</cn></apply></apply><apply id="S4.E6.m1.101.101.1.1.1i.cmml" xref="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.19.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E6.m1.97.97.97.21.21.21.cmml" xref="S4.E6.m1.97.97.97.21.21.21">much-less-than</csymbol><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S4.E6.m1.101.101.1.1.1.4.cmml" id="S4.E6.m1.101.101.1.1.1j.cmml" xref="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.19.1"></share><apply id="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.13.cmml" xref="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.19.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E6.m1.101.101.1.1.1.13.1.cmml" xref="S4.E6.m1.17.17.17.17.17.19.1">superscript</csymbol><ci id="S4.E6.m1.98.98.98.22.22.22.cmml" xref="S4.E6.m1.98.98.98.22.22.22">𝐿</ci><cn id="S4.E6.m1.99.99.99.23.23.23.1.cmml" type="integer" xref="S4.E6.m1.99.99.99.23.23.23.1">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E6.m1.105c">\begin{split}\int_{2}^{T}\Delta_{U}M(t)\Delta_{U}S(t)\,dt&=\int_{2}^{T}\Delta_% {U}M(t)\frac{d}{dt}(S_{1}(t,U))\,dt\\ &=\Delta_{U}M(t)S_{1}(t,U)\bigg{|}_{2}^{T}-\frac{1}{2\pi}\int_{2}^{T}\log\!% \left(1+\frac{U}{t}\right)S_{1}(t,U)\,dt\\ &\ll U^{2}L^{2}+U^{2}\int_{2}^{T}\frac{\log t}{t}\,dt\ll(UL)^{2}\ll L^{2}.\end% {split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E6.m1.105d">start_ROW start_CELL ∫ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT italic_M ( italic_t ) roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT italic_S ( italic_t ) italic_d italic_t end_CELL start_CELL = ∫ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT italic_M ( italic_t ) divide start_ARG italic_d end_ARG start_ARG italic_d italic_t end_ARG ( italic_S start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t , italic_U ) ) italic_d italic_t end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL = roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT italic_M ( italic_t ) italic_S start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t , italic_U ) | start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 italic_π end_ARG ∫ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT roman_log ( 1 + divide start_ARG italic_U end_ARG start_ARG italic_t end_ARG ) italic_S start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t , italic_U ) italic_d italic_t end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL ≪ italic_U start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_U start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG roman_log italic_t end_ARG start_ARG italic_t end_ARG italic_d italic_t ≪ ( italic_U italic_L ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ≪ italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT . end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.3.p2.5"><span class="ltx_text" id="S4.3.p2.5.1">Combining (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S4.E2" title="Equation 4.2 ‣ Proof of Lemma 2. ‣ 4. Proof of the lemmas ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.2</span></a>), (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S4.E3" title="Equation 4.3 ‣ Proof of Lemma 2. ‣ 4. Proof of the lemmas ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.3</span></a>), (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S4.E4" title="Equation 4.4 ‣ Proof of Lemma 2. ‣ 4. Proof of the lemmas ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.4</span></a>), (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S4.E5" title="Equation 4.5 ‣ Proof of Lemma 2. ‣ 4. Proof of the lemmas ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.5</span></a>), and (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S4.E6" title="Equation 4.6 ‣ Proof of Lemma 2. ‣ 4. Proof of the lemmas ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.6</span></a>), we have</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex5"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\int_{0}^{T}(\Delta_{U}N(t))^{2}\,dt=T(UL)^{2}+O(TU^{2}L)+\int_{1}^{T}(\Delta_% {U}S(t))^{2}\,dt+O(L^{2})." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex5.m1.3"><semantics id="S4.Ex5.m1.3a"><mrow id="S4.Ex5.m1.3.3.1" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml">∫</mo><mn id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.cmml">0</mn><mi id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></msubsup><mrow id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" stretchy="false" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Δ</mi><mi id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">U</mi></msub><mo id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" 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id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.3.2.cmml">U</mi><mn id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1a" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.4" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.4.cmml">L</mi></mrow><mo id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.5.5a" rspace="0.055em" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.5.5.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.cmml"><msubsup id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.2" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.2.cmml"><mo id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.2.2.2" rspace="0em" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.2.2.2.cmml">∫</mo><mn id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.2.2.3" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.2.2.3.cmml">1</mn><mi id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.2.3" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.2.3.cmml">T</mi></msubsup><mrow id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.cmml"><msup id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.1" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Δ</mi><mi id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml">U</mi></msub><mo id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1.1.3.cmml">S</mi><mo id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex5.m1.2.2" xref="S4.Ex5.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.3" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.3" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.3.cmml"><mo id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.3.1" rspace="0em" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.3.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.3.2" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.3.2.cmml">t</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.5.5b" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.5.5.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.5.4" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.5.4.cmml"><mi id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.5.4.3" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.5.4.3.cmml">O</mi><mo id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.5.4.2" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.5.4.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.5.4.1.1" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.5.4.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.5.4.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.5.4.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.5.4.1.1.1" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.5.4.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.5.4.1.1.1.2" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.5.4.1.1.1.2.cmml">L</mi><mn id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.5.4.1.1.1.3" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.5.4.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.5.4.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.5.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex5.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex5.m1.3b"><apply id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1"><eq id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.6.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.6"></eq><apply id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1"><apply id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.2">subscript</csymbol><int id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.2.2.2"></int><cn id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.2.2.3">0</cn></apply><ci id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1"><times id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">Δ</ci><ci id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑈</ci></apply><ci id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑁</ci><ci id="S4.Ex5.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.1.1">𝑡</ci></apply><cn id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.3.1">differential-d</csymbol><ci id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.3.2">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.5.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.5"><plus id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.5.5.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.5.5"></plus><apply id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.2.1"><times id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.2.1.2"></times><ci id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.2.1.3.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.2.1.3">𝑇</ci><apply id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1"><times id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.2">𝑈</ci><ci id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3">𝐿</ci></apply><cn id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.2.1.1.3">2</cn></apply></apply><apply id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2"><times id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.2"></times><ci id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.3">𝑂</ci><apply id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.1.1"><times id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1"></times><ci id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.3.2">𝑈</ci><cn id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.3.3">2</cn></apply><ci id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.4">𝐿</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3"><apply id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.2">subscript</csymbol><int id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.2.2.2"></int><cn id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.2.2.3">1</cn></apply><ci id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1"><times id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.2"></times><apply id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1"><times id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1.1.2.2">Δ</ci><ci id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1.1.2.3">𝑈</ci></apply><ci id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.1.1.1.3">𝑆</ci><ci id="S4.Ex5.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.2.2">𝑡</ci></apply><cn id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.3.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.3.1">differential-d</csymbol><ci id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.1.3.2">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.5.4.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.5.4"><times id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.5.4.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.5.4.2"></times><ci id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.5.4.3.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.5.4.3">𝑂</ci><apply id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.5.4.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.5.4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.5.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.5.4.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.5.4.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.5.4.1.1.1.2">𝐿</ci><cn id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.5.4.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.5.4.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex5.m1.3c">\int_{0}^{T}(\Delta_{U}N(t))^{2}\,dt=T(UL)^{2}+O(TU^{2}L)+\int_{1}^{T}(\Delta_% {U}S(t))^{2}\,dt+O(L^{2}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex5.m1.3d">∫ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT italic_N ( italic_t ) ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_t = italic_T ( italic_U italic_L ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_O ( italic_T italic_U start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_L ) + ∫ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT italic_S ( italic_t ) ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_t + italic_O ( italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.3.p2.6"><span class="ltx_text" id="S4.3.p2.6.1">∎</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S4.4"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof of Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#Thmlem3" title="Lemma 3 (Gallagher and Mueller [GM78, (20) of Section 1]). ‣ 2. The Second Moment for Zeros in Short Intervals ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>.</h6> <div class="ltx_para" id="S4.4.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.4.p1.1"><span class="ltx_text" id="S4.4.p1.1.1">This is the same proof as in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#bib.bibx5" title="">GM78</a>]</cite>. For <math alttext="0<U\leq 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.4.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.4.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.4.p1.1.1.m1.1.1" xref="S4.4.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mn id="S4.4.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.4.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">0</mn><mo id="S4.4.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="S4.4.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><</mo><mi id="S4.4.p1.1.1.m1.1.1.4" xref="S4.4.p1.1.1.m1.1.1.4.cmml">U</mi><mo id="S4.4.p1.1.1.m1.1.1.5" xref="S4.4.p1.1.1.m1.1.1.5.cmml">≤</mo><mn id="S4.4.p1.1.1.m1.1.1.6" xref="S4.4.p1.1.1.m1.1.1.6.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.4.p1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.4.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.4.p1.1.1.m1.1.1"><and id="S4.4.p1.1.1.m1.1.1a.cmml" xref="S4.4.p1.1.1.m1.1.1"></and><apply id="S4.4.p1.1.1.m1.1.1b.cmml" xref="S4.4.p1.1.1.m1.1.1"><lt id="S4.4.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.4.p1.1.1.m1.1.1.3"></lt><cn id="S4.4.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.4.p1.1.1.m1.1.1.2">0</cn><ci id="S4.4.p1.1.1.m1.1.1.4.cmml" xref="S4.4.p1.1.1.m1.1.1.4">𝑈</ci></apply><apply id="S4.4.p1.1.1.m1.1.1c.cmml" xref="S4.4.p1.1.1.m1.1.1"><leq id="S4.4.p1.1.1.m1.1.1.5.cmml" xref="S4.4.p1.1.1.m1.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S4.4.p1.1.1.m1.1.1.4.cmml" id="S4.4.p1.1.1.m1.1.1d.cmml" xref="S4.4.p1.1.1.m1.1.1"></share><cn id="S4.4.p1.1.1.m1.1.1.6.cmml" type="integer" xref="S4.4.p1.1.1.m1.1.1.6">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.4.p1.1.1.m1.1c">0<U\leq 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.4.p1.1.1.m1.1d">0 < italic_U ≤ 1</annotation></semantics></math>,</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex6"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\int_{0}^{T}(\Delta_{U}N(t))^{2}\,dt=\int_{0}^{T}\bigg{(}\sum_{\begin{subarray% }{c}\rho\\ t<\gamma\leq t+U\end{subarray}}1\bigg{)}^{2}\,dt=\sum_{\begin{subarray}{c}\rho% ,\rho^{\prime}\\ 0<\gamma,\gamma^{\prime}\leq T+U\end{subarray}}d(\gamma,\gamma^{\prime})," class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex6.m1.5"><semantics id="S4.Ex6.m1.5a"><mrow id="S4.Ex6.m1.5.5.1" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.2" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.2.2.2.cmml">∫</mo><mn id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.2.2.3.cmml">0</mn><mi id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></msubsup><mrow id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" stretchy="false" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Δ</mi><mi id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">U</mi></msub><mo id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">N</mi><mo id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex6.m1.3.3" xref="S4.Ex6.m1.3.3.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.cmml">t</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.5" rspace="0.111em" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2.cmml"><mo id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2.2.2" rspace="0em" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml">∫</mo><mn id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.cmml">0</mn><mi id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml">T</mi></msubsup><mrow id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1.cmml"><msup id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1.1" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2" maxsize="210%" minsize="210%" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><munder id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" movablelimits="false" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">∑</mo><mtable id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.2.cmml"><mtr id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.2.cmml"><mtd id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1b" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">ρ</mi></mtd></mtr><mtr id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1c" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.2.cmml"><mtd id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1d" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml"><</mo><mi id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.4" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.4.cmml">γ</mi><mo id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.5" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.5.cmml">≤</mo><mrow id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.6" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.6.cmml"><mi id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.6.2" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.6.2.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.6.1" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.6.1.cmml">+</mo><mi id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.6.3" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.6.3.cmml">U</mi></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable></munder><mn id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.3" maxsize="210%" minsize="210%" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1.1.3" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1.3" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1.3.cmml"><mo id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1.3.1" rspace="0em" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1.3.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1.3.2" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1.3.2.cmml">t</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.6" rspace="0.111em" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.3" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.3.cmml"><munder id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.3.2" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.3.2.cmml"><mo id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.3.2.2" movablelimits="false" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml">∑</mo><mtable id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.2.cmml"><mtr id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1a" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.2.cmml"><mtd id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1b" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">ρ</mi><mo id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msup id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3.cmml">′</mo></msup></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1c" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.2.cmml"><mtd id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1d" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.4.cmml"><mrow id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.cmml"><mn id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2.cmml">0</mn><mo id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.cmml"><</mo><mi id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.3" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.4a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.cmml"><msup id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.2" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.3" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.1" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.1.cmml">≤</mo><mrow id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.2" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.2.cmml">T</mi><mo id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.1" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.1.cmml">+</mo><mi id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.3" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.3.cmml">U</mi></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable></munder><mrow id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.3.1" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.3.1.cmml"><mi id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.3.1.3" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.3.1.3.cmml">d</mi><mo id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.3.1.2" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.3.1.1.1" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.3.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.3.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex6.m1.4.4" xref="S4.Ex6.m1.4.4.cmml">γ</mi><mo id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.3" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.3.1.1.2.cmml">,</mo><msup id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.3.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex6.m1.5.5.1.2" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex6.m1.5b"><apply id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1"><and id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1a.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1"></and><apply id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1b.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1"><eq id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.5.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.5"></eq><apply id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1"><apply id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.2">subscript</csymbol><int id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.2.2.2"></int><cn id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.2.2.3">0</cn></apply><ci id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1"><times id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">Δ</ci><ci id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑈</ci></apply><ci id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑁</ci><ci id="S4.Ex6.m1.3.3.cmml" xref="S4.Ex6.m1.3.3">𝑡</ci></apply><cn id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.3.1">differential-d</csymbol><ci id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.1.1.3.2">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2"><apply id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2">subscript</csymbol><int id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2.2.2"></int><cn id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2.2.3">0</cn></apply><ci id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1"><times id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1.2"></times><apply id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1"><apply id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><sum id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2"></sum><list id="S4.Ex6.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1"><matrix id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1"><matrixrow id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1"><ci id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">𝜌</ci></matrixrow><matrixrow id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><and id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1a.cmml" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"></and><apply id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1b.cmml" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><lt id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3"></lt><ci id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.4">𝛾</ci></apply><apply id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1c.cmml" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><leq id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.5.cmml" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.4.cmml" id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1d.cmml" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"></share><apply id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.6.cmml" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.6"><plus id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.6.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.6.1"></plus><ci id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.6.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.6.2">𝑡</ci><ci id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.6.3.cmml" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.6.3">𝑈</ci></apply></apply></apply></matrixrow></matrix></list></apply><cn id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.2">1</cn></apply><cn id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1.3.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1.3.1">differential-d</csymbol><ci id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.1.3.2">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1c.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1"><eq id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.6.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S4.Ex6.m1.5.5.1.1.2.cmml" id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1d.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1"></share><apply id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.3"><apply id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.3.2">subscript</csymbol><sum id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.3.2.2"></sum><list id="S4.Ex6.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1"><matrix id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1"><matrixrow id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1a.cmml" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1"><list id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2"><ci id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1">𝜌</ci><apply id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2">𝜌</ci><ci id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3">′</ci></apply></list></matrixrow><matrixrow id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1b.cmml" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1"><apply id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.4.cmml" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.4a.cmml" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1"><lt id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1"></lt><cn id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2">0</cn><ci id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.1.1.1">𝛾</ci></apply><apply id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2"><leq id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.1"></leq><apply id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.2">𝛾</ci><ci id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.3">′</ci></apply><apply id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3"><plus id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.1"></plus><ci id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.2">𝑇</ci><ci id="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.3">𝑈</ci></apply></apply></apply></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.3.1"><times id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.3.1.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.3.1.2"></times><ci id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.3.1.3.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.3.1.3">𝑑</ci><interval closure="open" id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.3.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.3.1.1.1"><ci id="S4.Ex6.m1.4.4.cmml" xref="S4.Ex6.m1.4.4">𝛾</ci><apply id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.2">𝛾</ci><ci id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.3">′</ci></apply></interval></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex6.m1.5c">\int_{0}^{T}(\Delta_{U}N(t))^{2}\,dt=\int_{0}^{T}\bigg{(}\sum_{\begin{subarray% }{c}\rho\\ t<\gamma\leq t+U\end{subarray}}1\bigg{)}^{2}\,dt=\sum_{\begin{subarray}{c}\rho% ,\rho^{\prime}\\ 0<\gamma,\gamma^{\prime}\leq T+U\end{subarray}}d(\gamma,\gamma^{\prime}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex6.m1.5d">∫ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_U end_POSTSUBSCRIPT italic_N ( italic_t ) ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_t = ∫ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_ρ end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_t < italic_γ ≤ italic_t + italic_U end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT 1 ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_t = ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_ρ , italic_ρ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 < italic_γ , italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ≤ italic_T + italic_U end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT italic_d ( italic_γ , italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.4.p1.4"><span class="ltx_text" id="S4.4.p1.4.3">where <math alttext="d(\gamma,\gamma^{\prime})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.4.p1.2.1.m1.2"><semantics id="S4.4.p1.2.1.m1.2a"><mrow id="S4.4.p1.2.1.m1.2.2" xref="S4.4.p1.2.1.m1.2.2.cmml"><mi id="S4.4.p1.2.1.m1.2.2.3" xref="S4.4.p1.2.1.m1.2.2.3.cmml">d</mi><mo id="S4.4.p1.2.1.m1.2.2.2" xref="S4.4.p1.2.1.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.4.p1.2.1.m1.2.2.1.1" xref="S4.4.p1.2.1.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.4.p1.2.1.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.4.p1.2.1.m1.2.2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.4.p1.2.1.m1.1.1" xref="S4.4.p1.2.1.m1.1.1.cmml">γ</mi><mo id="S4.4.p1.2.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S4.4.p1.2.1.m1.2.2.1.2.cmml">,</mo><msup id="S4.4.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.4.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.4.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.4.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.4.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.4.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.4.p1.2.1.m1.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.4.p1.2.1.m1.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.4.p1.2.1.m1.2b"><apply id="S4.4.p1.2.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.4.p1.2.1.m1.2.2"><times id="S4.4.p1.2.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.4.p1.2.1.m1.2.2.2"></times><ci id="S4.4.p1.2.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.4.p1.2.1.m1.2.2.3">𝑑</ci><interval closure="open" id="S4.4.p1.2.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S4.4.p1.2.1.m1.2.2.1.1"><ci id="S4.4.p1.2.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.4.p1.2.1.m1.1.1">𝛾</ci><apply id="S4.4.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.4.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.4.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.4.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.4.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.4.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.2">𝛾</ci><ci id="S4.4.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.4.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.3">′</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.4.p1.2.1.m1.2c">d(\gamma,\gamma^{\prime})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.4.p1.2.1.m1.2d">italic_d ( italic_γ , italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> is the measure of the set <math alttext="t\in[0,T]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.4.p1.3.2.m2.2"><semantics id="S4.4.p1.3.2.m2.2a"><mrow id="S4.4.p1.3.2.m2.2.3" xref="S4.4.p1.3.2.m2.2.3.cmml"><mi id="S4.4.p1.3.2.m2.2.3.2" xref="S4.4.p1.3.2.m2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.4.p1.3.2.m2.2.3.1" xref="S4.4.p1.3.2.m2.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S4.4.p1.3.2.m2.2.3.3.2" xref="S4.4.p1.3.2.m2.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.4.p1.3.2.m2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.4.p1.3.2.m2.2.3.3.1.cmml">[</mo><mn id="S4.4.p1.3.2.m2.1.1" xref="S4.4.p1.3.2.m2.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.4.p1.3.2.m2.2.3.3.2.2" xref="S4.4.p1.3.2.m2.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.4.p1.3.2.m2.2.2" xref="S4.4.p1.3.2.m2.2.2.cmml">T</mi><mo id="S4.4.p1.3.2.m2.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.4.p1.3.2.m2.2.3.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.4.p1.3.2.m2.2b"><apply id="S4.4.p1.3.2.m2.2.3.cmml" xref="S4.4.p1.3.2.m2.2.3"><in id="S4.4.p1.3.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S4.4.p1.3.2.m2.2.3.1"></in><ci id="S4.4.p1.3.2.m2.2.3.2.cmml" xref="S4.4.p1.3.2.m2.2.3.2">𝑡</ci><interval closure="closed" id="S4.4.p1.3.2.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.4.p1.3.2.m2.2.3.3.2"><cn id="S4.4.p1.3.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.4.p1.3.2.m2.1.1">0</cn><ci id="S4.4.p1.3.2.m2.2.2.cmml" xref="S4.4.p1.3.2.m2.2.2">𝑇</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.4.p1.3.2.m2.2c">t\in[0,T]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.4.p1.3.2.m2.2d">italic_t ∈ [ 0 , italic_T ]</annotation></semantics></math> with <math alttext="t<\gamma,\gamma^{\prime}\leq t+U" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.4.p1.4.3.m3.3"><semantics id="S4.4.p1.4.3.m3.3a"><mrow id="S4.4.p1.4.3.m3.3.3.2" xref="S4.4.p1.4.3.m3.3.3.3.cmml"><mrow id="S4.4.p1.4.3.m3.2.2.1.1" xref="S4.4.p1.4.3.m3.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.4.p1.4.3.m3.2.2.1.1.2" xref="S4.4.p1.4.3.m3.2.2.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S4.4.p1.4.3.m3.2.2.1.1.1" xref="S4.4.p1.4.3.m3.2.2.1.1.1.cmml"><</mo><mi id="S4.4.p1.4.3.m3.1.1" xref="S4.4.p1.4.3.m3.1.1.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S4.4.p1.4.3.m3.3.3.2.3" xref="S4.4.p1.4.3.m3.3.3.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.4.p1.4.3.m3.3.3.2.2" xref="S4.4.p1.4.3.m3.3.3.2.2.cmml"><msup id="S4.4.p1.4.3.m3.3.3.2.2.2" xref="S4.4.p1.4.3.m3.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S4.4.p1.4.3.m3.3.3.2.2.2.2" xref="S4.4.p1.4.3.m3.3.3.2.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.4.p1.4.3.m3.3.3.2.2.2.3" xref="S4.4.p1.4.3.m3.3.3.2.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.4.p1.4.3.m3.3.3.2.2.1" xref="S4.4.p1.4.3.m3.3.3.2.2.1.cmml">≤</mo><mrow id="S4.4.p1.4.3.m3.3.3.2.2.3" xref="S4.4.p1.4.3.m3.3.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.4.p1.4.3.m3.3.3.2.2.3.2" xref="S4.4.p1.4.3.m3.3.3.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.4.p1.4.3.m3.3.3.2.2.3.1" xref="S4.4.p1.4.3.m3.3.3.2.2.3.1.cmml">+</mo><mi id="S4.4.p1.4.3.m3.3.3.2.2.3.3" xref="S4.4.p1.4.3.m3.3.3.2.2.3.3.cmml">U</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.4.p1.4.3.m3.3b"><apply id="S4.4.p1.4.3.m3.3.3.3.cmml" xref="S4.4.p1.4.3.m3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.4.p1.4.3.m3.3.3.3a.cmml" xref="S4.4.p1.4.3.m3.3.3.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.4.p1.4.3.m3.2.2.1.1.cmml" xref="S4.4.p1.4.3.m3.2.2.1.1"><lt id="S4.4.p1.4.3.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.4.p1.4.3.m3.2.2.1.1.1"></lt><ci id="S4.4.p1.4.3.m3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.4.p1.4.3.m3.2.2.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S4.4.p1.4.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.4.p1.4.3.m3.1.1">𝛾</ci></apply><apply id="S4.4.p1.4.3.m3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.4.p1.4.3.m3.3.3.2.2"><leq id="S4.4.p1.4.3.m3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.4.p1.4.3.m3.3.3.2.2.1"></leq><apply id="S4.4.p1.4.3.m3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.4.p1.4.3.m3.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.4.p1.4.3.m3.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.4.p1.4.3.m3.3.3.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.4.p1.4.3.m3.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.4.p1.4.3.m3.3.3.2.2.2.2">𝛾</ci><ci id="S4.4.p1.4.3.m3.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S4.4.p1.4.3.m3.3.3.2.2.2.3">′</ci></apply><apply id="S4.4.p1.4.3.m3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.4.p1.4.3.m3.3.3.2.2.3"><plus id="S4.4.p1.4.3.m3.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.4.p1.4.3.m3.3.3.2.2.3.1"></plus><ci id="S4.4.p1.4.3.m3.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.4.p1.4.3.m3.3.3.2.2.3.2">𝑡</ci><ci id="S4.4.p1.4.3.m3.3.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.4.p1.4.3.m3.3.3.2.2.3.3">𝑈</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.4.p1.4.3.m3.3c">t<\gamma,\gamma^{\prime}\leq t+U</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.4.p1.4.3.m3.3d">italic_t < italic_γ , italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ≤ italic_t + italic_U</annotation></semantics></math>, namely,</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex7"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="d(\gamma,\gamma^{\prime}):=\mathrm{meas}\!\left(\left[\max\{\gamma-U,\gamma^{% \prime}-U\},\min\{\gamma,\gamma^{\prime}\}\right]\right)" class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex7.m1.6"><semantics id="S4.Ex7.m1.6a"><mrow id="S4.Ex7.m1.6.6" xref="S4.Ex7.m1.6.6.cmml"><mrow id="S4.Ex7.m1.5.5.1" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.cmml"><mi id="S4.Ex7.m1.5.5.1.3" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.3.cmml">d</mi><mo id="S4.Ex7.m1.5.5.1.2" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex7.m1.1.1" xref="S4.Ex7.m1.1.1.cmml">γ</mi><mo id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.3" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.2.cmml">,</mo><msup id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.4" rspace="0.278em" stretchy="false" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex7.m1.6.6.3" rspace="0.278em" xref="S4.Ex7.m1.6.6.3.cmml">:=</mo><mrow id="S4.Ex7.m1.6.6.2" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.cmml"><mpadded width="2.171em"><mi id="S4.Ex7.m1.6.6.2.3" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.3.cmml">meas</mi></mpadded><mo id="S4.Ex7.m1.6.6.2.2" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.cmml"><mo id="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.2" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.3.cmml">[</mo><mrow id="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex7.m1.2.2" xref="S4.Ex7.m1.2.2.cmml">max</mi><mo id="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.3.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.3.cmml">{</mo><mrow id="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">U</mi></mrow><mo id="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.2.4" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.3.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><msup id="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">−</mo><mi id="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">U</mi></mrow><mo id="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.2.5" stretchy="false" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.3.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.2.4" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.3.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex7.m1.3.3" xref="S4.Ex7.m1.3.3.cmml">min</mi><mo id="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.1a" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.1.1" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.2.cmml">{</mo><mi id="S4.Ex7.m1.4.4" xref="S4.Ex7.m1.4.4.cmml">γ</mi><mo id="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.2.cmml">,</mo><msup id="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.2.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.2.5" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.3.cmml">]</mo></mrow><mo id="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.3" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex7.m1.6b"><apply id="S4.Ex7.m1.6.6.cmml" xref="S4.Ex7.m1.6.6"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex7.m1.6.6.3.cmml" xref="S4.Ex7.m1.6.6.3">assign</csymbol><apply id="S4.Ex7.m1.5.5.1.cmml" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1"><times id="S4.Ex7.m1.5.5.1.2.cmml" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.2"></times><ci id="S4.Ex7.m1.5.5.1.3.cmml" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.3">𝑑</ci><interval closure="open" id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1"><ci id="S4.Ex7.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1">𝛾</ci><apply id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.2">𝛾</ci><ci id="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex7.m1.5.5.1.1.1.1.3">′</ci></apply></interval></apply><apply id="S4.Ex7.m1.6.6.2.cmml" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2"><times id="S4.Ex7.m1.6.6.2.2.cmml" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.2"></times><ci id="S4.Ex7.m1.6.6.2.3.cmml" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.3">meas</ci><interval closure="closed" id="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.2"><apply id="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2"><max id="S4.Ex7.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex7.m1.2.2"></max><apply id="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝛾</ci><ci id="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑈</ci></apply><apply id="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.2.2"><minus id="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.2.2.1"></minus><apply id="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝛾</ci><ci id="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">′</ci></apply><ci id="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.2.2.3">𝑈</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.1"><min id="S4.Ex7.m1.3.3.cmml" xref="S4.Ex7.m1.3.3"></min><ci id="S4.Ex7.m1.4.4.cmml" xref="S4.Ex7.m1.4.4">𝛾</ci><apply id="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.1.1.1.2">𝛾</ci><ci id="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex7.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.1.1.1.3">′</ci></apply></apply></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex7.m1.6c">d(\gamma,\gamma^{\prime}):=\mathrm{meas}\!\left(\left[\max\{\gamma-U,\gamma^{% \prime}-U\},\min\{\gamma,\gamma^{\prime}\}\right]\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex7.m1.6d">italic_d ( italic_γ , italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) := roman_meas ( [ roman_max { italic_γ - italic_U , italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT - italic_U } , roman_min { italic_γ , italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT } ] )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.4.p1.13"><span class="ltx_text" id="S4.4.p1.13.9">where <math alttext="\mathrm{meas}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.4.p1.5.1.m1.1"><semantics id="S4.4.p1.5.1.m1.1a"><mi id="S4.4.p1.5.1.m1.1.1" xref="S4.4.p1.5.1.m1.1.1.cmml">meas</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.4.p1.5.1.m1.1b"><ci id="S4.4.p1.5.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.4.p1.5.1.m1.1.1">meas</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.4.p1.5.1.m1.1c">\mathrm{meas}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.4.p1.5.1.m1.1d">roman_meas</annotation></semantics></math> denotes the usual Lebesgue measure on <math alttext="\mathbb{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.4.p1.6.2.m2.1"><semantics id="S4.4.p1.6.2.m2.1a"><mi id="S4.4.p1.6.2.m2.1.1" xref="S4.4.p1.6.2.m2.1.1.cmml">ℝ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.4.p1.6.2.m2.1b"><ci id="S4.4.p1.6.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.4.p1.6.2.m2.1.1">ℝ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.4.p1.6.2.m2.1c">\mathbb{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.4.p1.6.2.m2.1d">blackboard_R</annotation></semantics></math>. Obviously this is <math alttext="0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.4.p1.7.3.m3.1"><semantics id="S4.4.p1.7.3.m3.1a"><mn id="S4.4.p1.7.3.m3.1.1" xref="S4.4.p1.7.3.m3.1.1.cmml">0</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.4.p1.7.3.m3.1b"><cn id="S4.4.p1.7.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.4.p1.7.3.m3.1.1">0</cn></annotation-xml></semantics></math> if <math alttext="|\gamma^{\prime}-\gamma|\geq U" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.4.p1.8.4.m4.1"><semantics id="S4.4.p1.8.4.m4.1a"><mrow id="S4.4.p1.8.4.m4.1.1" xref="S4.4.p1.8.4.m4.1.1.cmml"><mrow id="S4.4.p1.8.4.m4.1.1.1.1" xref="S4.4.p1.8.4.m4.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.4.p1.8.4.m4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.4.p1.8.4.m4.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.4.p1.8.4.m4.1.1.1.1.1" xref="S4.4.p1.8.4.m4.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.4.p1.8.4.m4.1.1.1.1.1.2" xref="S4.4.p1.8.4.m4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.4.p1.8.4.m4.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.4.p1.8.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.4.p1.8.4.m4.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.4.p1.8.4.m4.1.1.1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.4.p1.8.4.m4.1.1.1.1.1.1" xref="S4.4.p1.8.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S4.4.p1.8.4.m4.1.1.1.1.1.3" xref="S4.4.p1.8.4.m4.1.1.1.1.1.3.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S4.4.p1.8.4.m4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.4.p1.8.4.m4.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S4.4.p1.8.4.m4.1.1.2" xref="S4.4.p1.8.4.m4.1.1.2.cmml">≥</mo><mi id="S4.4.p1.8.4.m4.1.1.3" xref="S4.4.p1.8.4.m4.1.1.3.cmml">U</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.4.p1.8.4.m4.1b"><apply id="S4.4.p1.8.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.4.p1.8.4.m4.1.1"><geq id="S4.4.p1.8.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.4.p1.8.4.m4.1.1.2"></geq><apply id="S4.4.p1.8.4.m4.1.1.1.2.cmml" xref="S4.4.p1.8.4.m4.1.1.1.1"><abs id="S4.4.p1.8.4.m4.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.4.p1.8.4.m4.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S4.4.p1.8.4.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.4.p1.8.4.m4.1.1.1.1.1"><minus id="S4.4.p1.8.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.4.p1.8.4.m4.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.4.p1.8.4.m4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.4.p1.8.4.m4.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.4.p1.8.4.m4.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.4.p1.8.4.m4.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.4.p1.8.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.4.p1.8.4.m4.1.1.1.1.1.2.2">𝛾</ci><ci id="S4.4.p1.8.4.m4.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.4.p1.8.4.m4.1.1.1.1.1.2.3">′</ci></apply><ci id="S4.4.p1.8.4.m4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.4.p1.8.4.m4.1.1.1.1.1.3">𝛾</ci></apply></apply><ci id="S4.4.p1.8.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.4.p1.8.4.m4.1.1.3">𝑈</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.4.p1.8.4.m4.1c">|\gamma^{\prime}-\gamma|\geq U</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.4.p1.8.4.m4.1d">| italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT - italic_γ | ≥ italic_U</annotation></semantics></math>, while if <math alttext="|\gamma^{\prime}-\gamma|\leq U" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.4.p1.9.5.m5.1"><semantics id="S4.4.p1.9.5.m5.1a"><mrow id="S4.4.p1.9.5.m5.1.1" xref="S4.4.p1.9.5.m5.1.1.cmml"><mrow id="S4.4.p1.9.5.m5.1.1.1.1" xref="S4.4.p1.9.5.m5.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.4.p1.9.5.m5.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.4.p1.9.5.m5.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.4.p1.9.5.m5.1.1.1.1.1" xref="S4.4.p1.9.5.m5.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.4.p1.9.5.m5.1.1.1.1.1.2" xref="S4.4.p1.9.5.m5.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.4.p1.9.5.m5.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.4.p1.9.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.4.p1.9.5.m5.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.4.p1.9.5.m5.1.1.1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.4.p1.9.5.m5.1.1.1.1.1.1" xref="S4.4.p1.9.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S4.4.p1.9.5.m5.1.1.1.1.1.3" xref="S4.4.p1.9.5.m5.1.1.1.1.1.3.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S4.4.p1.9.5.m5.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.4.p1.9.5.m5.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S4.4.p1.9.5.m5.1.1.2" xref="S4.4.p1.9.5.m5.1.1.2.cmml">≤</mo><mi id="S4.4.p1.9.5.m5.1.1.3" xref="S4.4.p1.9.5.m5.1.1.3.cmml">U</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.4.p1.9.5.m5.1b"><apply id="S4.4.p1.9.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.4.p1.9.5.m5.1.1"><leq id="S4.4.p1.9.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.4.p1.9.5.m5.1.1.2"></leq><apply id="S4.4.p1.9.5.m5.1.1.1.2.cmml" xref="S4.4.p1.9.5.m5.1.1.1.1"><abs id="S4.4.p1.9.5.m5.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.4.p1.9.5.m5.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S4.4.p1.9.5.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.4.p1.9.5.m5.1.1.1.1.1"><minus id="S4.4.p1.9.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.4.p1.9.5.m5.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.4.p1.9.5.m5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.4.p1.9.5.m5.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.4.p1.9.5.m5.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.4.p1.9.5.m5.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.4.p1.9.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.4.p1.9.5.m5.1.1.1.1.1.2.2">𝛾</ci><ci id="S4.4.p1.9.5.m5.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.4.p1.9.5.m5.1.1.1.1.1.2.3">′</ci></apply><ci id="S4.4.p1.9.5.m5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.4.p1.9.5.m5.1.1.1.1.1.3">𝛾</ci></apply></apply><ci id="S4.4.p1.9.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S4.4.p1.9.5.m5.1.1.3">𝑈</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.4.p1.9.5.m5.1c">|\gamma^{\prime}-\gamma|\leq U</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.4.p1.9.5.m5.1d">| italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT - italic_γ | ≤ italic_U</annotation></semantics></math> this measure is <math alttext="=U-|\gamma^{\prime}-\gamma|" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.4.p1.10.6.m6.1"><semantics id="S4.4.p1.10.6.m6.1a"><mrow id="S4.4.p1.10.6.m6.1.1" xref="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.3" xref="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.2" xref="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.1" xref="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.1.cmml"><mi id="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.1.3" xref="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.1.3.cmml">U</mi><mo id="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.1.2" xref="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.1.1.1" xref="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.1.1.1.1" xref="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.4.p1.10.6.m6.1b"><apply id="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.4.p1.10.6.m6.1.1"><eq id="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.1"><minus id="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.1.2.cmml" xref="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.1.2"></minus><ci id="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.1.3.cmml" xref="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.1.3">𝑈</ci><apply id="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.1.1.1"><abs id="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.2">𝛾</ci><ci id="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.3">′</ci></apply><ci id="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.4.p1.10.6.m6.1.1.1.1.1.1.3">𝛾</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.4.p1.10.6.m6.1c">=U-|\gamma^{\prime}-\gamma|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.4.p1.10.6.m6.1d">= italic_U - | italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT - italic_γ |</annotation></semantics></math> provided <math alttext="0<\gamma,\gamma^{\prime}\leq T" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.4.p1.11.7.m7.3"><semantics id="S4.4.p1.11.7.m7.3a"><mrow id="S4.4.p1.11.7.m7.3.3.2" xref="S4.4.p1.11.7.m7.3.3.3.cmml"><mrow id="S4.4.p1.11.7.m7.2.2.1.1" xref="S4.4.p1.11.7.m7.2.2.1.1.cmml"><mn id="S4.4.p1.11.7.m7.2.2.1.1.2" xref="S4.4.p1.11.7.m7.2.2.1.1.2.cmml">0</mn><mo id="S4.4.p1.11.7.m7.2.2.1.1.1" xref="S4.4.p1.11.7.m7.2.2.1.1.1.cmml"><</mo><mi id="S4.4.p1.11.7.m7.1.1" xref="S4.4.p1.11.7.m7.1.1.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S4.4.p1.11.7.m7.3.3.2.3" xref="S4.4.p1.11.7.m7.3.3.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.4.p1.11.7.m7.3.3.2.2" xref="S4.4.p1.11.7.m7.3.3.2.2.cmml"><msup id="S4.4.p1.11.7.m7.3.3.2.2.2" xref="S4.4.p1.11.7.m7.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S4.4.p1.11.7.m7.3.3.2.2.2.2" xref="S4.4.p1.11.7.m7.3.3.2.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.4.p1.11.7.m7.3.3.2.2.2.3" xref="S4.4.p1.11.7.m7.3.3.2.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.4.p1.11.7.m7.3.3.2.2.1" xref="S4.4.p1.11.7.m7.3.3.2.2.1.cmml">≤</mo><mi id="S4.4.p1.11.7.m7.3.3.2.2.3" xref="S4.4.p1.11.7.m7.3.3.2.2.3.cmml">T</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.4.p1.11.7.m7.3b"><apply id="S4.4.p1.11.7.m7.3.3.3.cmml" xref="S4.4.p1.11.7.m7.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.4.p1.11.7.m7.3.3.3a.cmml" xref="S4.4.p1.11.7.m7.3.3.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.4.p1.11.7.m7.2.2.1.1.cmml" xref="S4.4.p1.11.7.m7.2.2.1.1"><lt id="S4.4.p1.11.7.m7.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.4.p1.11.7.m7.2.2.1.1.1"></lt><cn id="S4.4.p1.11.7.m7.2.2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.4.p1.11.7.m7.2.2.1.1.2">0</cn><ci id="S4.4.p1.11.7.m7.1.1.cmml" xref="S4.4.p1.11.7.m7.1.1">𝛾</ci></apply><apply id="S4.4.p1.11.7.m7.3.3.2.2.cmml" xref="S4.4.p1.11.7.m7.3.3.2.2"><leq id="S4.4.p1.11.7.m7.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.4.p1.11.7.m7.3.3.2.2.1"></leq><apply id="S4.4.p1.11.7.m7.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.4.p1.11.7.m7.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.4.p1.11.7.m7.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.4.p1.11.7.m7.3.3.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.4.p1.11.7.m7.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.4.p1.11.7.m7.3.3.2.2.2.2">𝛾</ci><ci id="S4.4.p1.11.7.m7.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S4.4.p1.11.7.m7.3.3.2.2.2.3">′</ci></apply><ci id="S4.4.p1.11.7.m7.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.4.p1.11.7.m7.3.3.2.2.3">𝑇</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.4.p1.11.7.m7.3c">0<\gamma,\gamma^{\prime}\leq T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.4.p1.11.7.m7.3d">0 < italic_γ , italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ≤ italic_T</annotation></semantics></math>. Hence, since <math alttext="\gamma>14.1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.4.p1.12.8.m8.1"><semantics id="S4.4.p1.12.8.m8.1a"><mrow id="S4.4.p1.12.8.m8.1.1" xref="S4.4.p1.12.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S4.4.p1.12.8.m8.1.1.2" xref="S4.4.p1.12.8.m8.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.4.p1.12.8.m8.1.1.1" xref="S4.4.p1.12.8.m8.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S4.4.p1.12.8.m8.1.1.3" xref="S4.4.p1.12.8.m8.1.1.3.cmml">14.1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.4.p1.12.8.m8.1b"><apply id="S4.4.p1.12.8.m8.1.1.cmml" xref="S4.4.p1.12.8.m8.1.1"><gt id="S4.4.p1.12.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S4.4.p1.12.8.m8.1.1.1"></gt><ci id="S4.4.p1.12.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S4.4.p1.12.8.m8.1.1.2">𝛾</ci><cn id="S4.4.p1.12.8.m8.1.1.3.cmml" type="float" xref="S4.4.p1.12.8.m8.1.1.3">14.1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.4.p1.12.8.m8.1c">\gamma>14.1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.4.p1.12.8.m8.1d">italic_γ > 14.1</annotation></semantics></math> and <math alttext="0<U\leq 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.4.p1.13.9.m9.1"><semantics id="S4.4.p1.13.9.m9.1a"><mrow id="S4.4.p1.13.9.m9.1.1" xref="S4.4.p1.13.9.m9.1.1.cmml"><mn id="S4.4.p1.13.9.m9.1.1.2" xref="S4.4.p1.13.9.m9.1.1.2.cmml">0</mn><mo id="S4.4.p1.13.9.m9.1.1.3" xref="S4.4.p1.13.9.m9.1.1.3.cmml"><</mo><mi id="S4.4.p1.13.9.m9.1.1.4" xref="S4.4.p1.13.9.m9.1.1.4.cmml">U</mi><mo id="S4.4.p1.13.9.m9.1.1.5" xref="S4.4.p1.13.9.m9.1.1.5.cmml">≤</mo><mn id="S4.4.p1.13.9.m9.1.1.6" xref="S4.4.p1.13.9.m9.1.1.6.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.4.p1.13.9.m9.1b"><apply id="S4.4.p1.13.9.m9.1.1.cmml" xref="S4.4.p1.13.9.m9.1.1"><and id="S4.4.p1.13.9.m9.1.1a.cmml" xref="S4.4.p1.13.9.m9.1.1"></and><apply id="S4.4.p1.13.9.m9.1.1b.cmml" xref="S4.4.p1.13.9.m9.1.1"><lt id="S4.4.p1.13.9.m9.1.1.3.cmml" xref="S4.4.p1.13.9.m9.1.1.3"></lt><cn id="S4.4.p1.13.9.m9.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.4.p1.13.9.m9.1.1.2">0</cn><ci id="S4.4.p1.13.9.m9.1.1.4.cmml" xref="S4.4.p1.13.9.m9.1.1.4">𝑈</ci></apply><apply id="S4.4.p1.13.9.m9.1.1c.cmml" xref="S4.4.p1.13.9.m9.1.1"><leq id="S4.4.p1.13.9.m9.1.1.5.cmml" xref="S4.4.p1.13.9.m9.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S4.4.p1.13.9.m9.1.1.4.cmml" id="S4.4.p1.13.9.m9.1.1d.cmml" xref="S4.4.p1.13.9.m9.1.1"></share><cn id="S4.4.p1.13.9.m9.1.1.6.cmml" type="integer" xref="S4.4.p1.13.9.m9.1.1.6">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.4.p1.13.9.m9.1c">0<U\leq 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.4.p1.13.9.m9.1d">0 < italic_U ≤ 1</annotation></semantics></math>, we have</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx3"> <tbody id="S4.Ex8"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\sum_{\begin{subarray}{c}\rho,\rho^{\prime}\\ 0<\gamma,\gamma^{\prime}\leq T+U\end{subarray}}d(\gamma,\gamma^{\prime})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex8.m1.3"><semantics id="S4.Ex8.m1.3a"><mrow id="S4.Ex8.m1.3.3" xref="S4.Ex8.m1.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex8.m1.3.3.2" xref="S4.Ex8.m1.3.3.2.cmml"><munder id="S4.Ex8.m1.3.3.2a" xref="S4.Ex8.m1.3.3.2.cmml"><mo id="S4.Ex8.m1.3.3.2.2" movablelimits="false" xref="S4.Ex8.m1.3.3.2.2.cmml">∑</mo><mtable id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtr id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1b" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">ρ</mi><mo id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msup id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3.cmml">′</mo></msup></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1c" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1d" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.4.cmml"><mrow id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.cmml"><mn id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2.cmml">0</mn><mo id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.cmml"><</mo><mi id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.3" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.4a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.cmml"><msup id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.2" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.3" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.1" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.1.cmml">≤</mo><mrow id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.2" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.2.cmml">T</mi><mo id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.1" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.1.cmml">+</mo><mi id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.3" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.3.cmml">U</mi></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><mrow id="S4.Ex8.m1.3.3.1" xref="S4.Ex8.m1.3.3.1.cmml"><mi id="S4.Ex8.m1.3.3.1.3" xref="S4.Ex8.m1.3.3.1.3.cmml">d</mi><mo id="S4.Ex8.m1.3.3.1.2" xref="S4.Ex8.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex8.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex8.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex8.m1.3.3.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex8.m1.2.2" xref="S4.Ex8.m1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S4.Ex8.m1.3.3.1.1.2.cmml">,</mo><msup id="S4.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S4.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.Ex8.m1.3.3.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.Ex8.m1.3.3.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex8.m1.3b"><apply id="S4.Ex8.m1.3.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.3.3"><apply id="S4.Ex8.m1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex8.m1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.3.3.2">subscript</csymbol><sum id="S4.Ex8.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.3.3.2.2"></sum><list id="S4.Ex8.m1.1.1.1a.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1"><matrix id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1"><matrixrow id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1"><list id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2"><ci id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">𝜌</ci><apply id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2">𝜌</ci><ci id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3">′</ci></apply></list></matrixrow><matrixrow id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.4.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.4a.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1"><lt id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1"></lt><cn id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2">0</cn><ci id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1">𝛾</ci></apply><apply id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2"><leq id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.1"></leq><apply id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.2">𝛾</ci><ci id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.3">′</ci></apply><apply id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3"><plus id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.1"></plus><ci id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.2">𝑇</ci><ci id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.3">𝑈</ci></apply></apply></apply></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="S4.Ex8.m1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.3.3.1"><times id="S4.Ex8.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.3.3.1.2"></times><ci id="S4.Ex8.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.3.3.1.3">𝑑</ci><interval closure="open" id="S4.Ex8.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.3.3.1.1.1"><ci id="S4.Ex8.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.2.2">𝛾</ci><apply id="S4.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.2">𝛾</ci><ci id="S4.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.3">′</ci></apply></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex8.m1.3c">\displaystyle\sum_{\begin{subarray}{c}\rho,\rho^{\prime}\\ 0<\gamma,\gamma^{\prime}\leq T+U\end{subarray}}d(\gamma,\gamma^{\prime})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex8.m1.3d">∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_ρ , italic_ρ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 < italic_γ , italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ≤ italic_T + italic_U end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT italic_d ( italic_γ , italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\left(\sum_{\begin{subarray}{c}\rho,\rho^{\prime}\\ 0<\gamma,\gamma^{\prime}\leq T\end{subarray}}+\sum_{\begin{subarray}{c}\rho,% \rho^{\prime}\\ T<\gamma,\gamma^{\prime}\leq T+U\end{subarray}}+\ \ 2\sum_{\begin{subarray}{c}% \rho,\rho^{\prime}\\ T<\gamma\leq T+U\\ T-U<\gamma^{\prime}\leq T\end{subarray}}\right)\left(U-|\gamma^{\prime}-\gamma% |\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex8.m2.5"><semantics id="S4.Ex8.m2.5a"><mrow id="S4.Ex8.m2.5.5" xref="S4.Ex8.m2.5.5.cmml"><mi id="S4.Ex8.m2.5.5.4" xref="S4.Ex8.m2.5.5.4.cmml"></mi><mo id="S4.Ex8.m2.5.5.3" xref="S4.Ex8.m2.5.5.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex8.m2.5.5.2" xref="S4.Ex8.m2.5.5.2.cmml"><mrow id="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1" xref="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.2" xref="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1" xref="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><munder id="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.2a" xref="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mtable id="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S4.Ex8.m2.1.1.1a.2.cmml"><mtr id="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.Ex8.m2.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1b" xref="S4.Ex8.m2.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">ρ</mi><mo id="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msup id="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1" xref="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2" xref="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3" xref="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3.cmml">′</mo></msup></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1c" xref="S4.Ex8.m2.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1d" xref="S4.Ex8.m2.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3" xref="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.4.cmml"><mrow id="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1" xref="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.cmml"><mn id="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2" xref="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2.cmml">0</mn><mo id="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.cmml"><</mo><mi id="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.3" xref="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.4a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2" xref="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.cmml"><msup id="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2" xref="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.2" xref="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.3" xref="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.1" xref="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.1.cmml">≤</mo><mi id="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3" xref="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.cmml">T</mi></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><mo id="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><munder id="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.3a" xref="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.3.2" movablelimits="false" xref="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml">∑</mo><mtable id="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S4.Ex8.m2.2.2.1a.2.cmml"><mtr id="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1a" xref="S4.Ex8.m2.2.2.1a.2.cmml"><mtd id="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1b" xref="S4.Ex8.m2.2.2.1a.2.cmml"><mrow id="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">ρ</mi><mo id="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msup id="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1" xref="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2" xref="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3" xref="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3.cmml">′</mo></msup></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1c" xref="S4.Ex8.m2.2.2.1a.2.cmml"><mtd id="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1d" xref="S4.Ex8.m2.2.2.1a.2.cmml"><mrow id="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3" xref="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.4.cmml"><mrow id="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1" xref="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.cmml"><mi id="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2" xref="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2.cmml">T</mi><mo id="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.cmml"><</mo><mi id="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.3" xref="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.4a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2" xref="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.cmml"><msup id="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2" xref="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.2" xref="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.3" xref="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.1" xref="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.1.cmml">≤</mo><mrow id="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3" xref="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.2" xref="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.2.cmml">T</mi><mo id="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.1" xref="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.1.cmml">+</mo><mi id="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.3" xref="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.3.cmml">U</mi></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><mo id="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.1a" xref="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.4.cmml"><mn id="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.4.2" xref="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.4.2.cmml"> 2</mn><mo id="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.4.1" xref="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.4.3" xref="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.4.3.cmml"><munder id="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.4.3a" xref="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.4.3.cmml"><mo id="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.4.3.2" movablelimits="false" xref="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.4.3.2.cmml">∑</mo><mtable id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1a.2.cmml"><mtr id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1a" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1a.2.cmml"><mtd id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1b" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1a.2.cmml"><mrow id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">ρ</mi><mo id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msup id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3.cmml">′</mo></msup></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1c" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1a.2.cmml"><mtd id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1d" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1a.2.cmml"><mrow id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.1" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.1.3" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml"><</mo><mi id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.1.4" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.1.4.cmml">γ</mi><mo id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.1.5" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.1.5.cmml">≤</mo><mrow id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.1.6" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.1.6.cmml"><mi id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.1.6.2" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.1.6.2.cmml">T</mi><mo id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.1.6.1" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.1.6.1.cmml">+</mo><mi id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.1.6.3" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.1.6.3.cmml">U</mi></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1e" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1a.2.cmml"><mtd id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1f" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1a.2.cmml"><mrow id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1.2" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1.2.2" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1.2.2.cmml">T</mi><mo id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1.2.1" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1.2.1.cmml">−</mo><mi id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1.2.3" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1.2.3.cmml">U</mi></mrow><mo id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1.3" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1.3.cmml"><</mo><msup id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1.4" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1.4.cmml"><mi id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1.4.2" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1.4.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1.4.3" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1.4.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1.5" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1.5.cmml">≤</mo><mi id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1.6" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1.6.cmml">T</mi></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle></mrow></mrow><mo id="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.3" xref="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex8.m2.5.5.2.3" xref="S4.Ex8.m2.5.5.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1" xref="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1.2" xref="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1.1" xref="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1.1.3.cmml">U</mi><mo id="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1.3" xref="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex8.m2.5b"><apply id="S4.Ex8.m2.5.5.cmml" xref="S4.Ex8.m2.5.5"><eq id="S4.Ex8.m2.5.5.3.cmml" xref="S4.Ex8.m2.5.5.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex8.m2.5.5.4.cmml" xref="S4.Ex8.m2.5.5.4">absent</csymbol><apply id="S4.Ex8.m2.5.5.2.cmml" xref="S4.Ex8.m2.5.5.2"><times id="S4.Ex8.m2.5.5.2.3.cmml" xref="S4.Ex8.m2.5.5.2.3"></times><apply id="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1"><plus id="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.2.2"></sum><list id="S4.Ex8.m2.1.1.1a.2.cmml" xref="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1"><matrix id="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1"><matrixrow id="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1"><list id="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2"><ci id="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">𝜌</ci><apply id="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2">𝜌</ci><ci id="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3">′</ci></apply></list></matrixrow><matrixrow id="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1"><apply id="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.4.cmml" xref="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.4a.cmml" xref="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1"><lt id="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1"></lt><cn id="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2">0</cn><ci id="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1">𝛾</ci></apply><apply id="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2"><leq id="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.1"></leq><apply id="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.2">𝛾</ci><ci id="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.3">′</ci></apply><ci id="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3">𝑇</ci></apply></apply></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><sum id="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.3.2"></sum><list id="S4.Ex8.m2.2.2.1a.2.cmml" xref="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1"><matrix id="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1"><matrixrow id="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1a.cmml" xref="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1"><list id="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2"><ci id="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1">𝜌</ci><apply id="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2">𝜌</ci><ci id="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3">′</ci></apply></list></matrixrow><matrixrow id="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1b.cmml" xref="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1"><apply id="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.4.cmml" xref="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.4a.cmml" xref="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1"><lt id="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1"></lt><ci id="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2">𝑇</ci><ci id="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.1.1.1">𝛾</ci></apply><apply id="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2"><leq id="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.1"></leq><apply id="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.2">𝛾</ci><ci id="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.3">′</ci></apply><apply id="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3"><plus id="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.1"></plus><ci id="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.2">𝑇</ci><ci id="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.3">𝑈</ci></apply></apply></apply></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.4"><times id="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.4.1"></times><cn id="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.4.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.4.2">2</cn><apply id="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.4.3">subscript</csymbol><sum id="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex8.m2.4.4.1.1.1.1.4.3.2"></sum><list id="S4.Ex8.m2.3.3.1a.2.cmml" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1"><matrix id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1"><matrixrow id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1a.cmml" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1"><list id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2.2"><ci id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1">𝜌</ci><apply id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2">𝜌</ci><ci id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3">′</ci></apply></list></matrixrow><matrixrow id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1b.cmml" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1"><apply id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.1"><and id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.1a.cmml" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.1"></and><apply id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.1b.cmml" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.1"><lt id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.1.3"></lt><ci id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.1.4">𝛾</ci></apply><apply id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.1c.cmml" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.1"><leq id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.1.5.cmml" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.1.4.cmml" id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.1d.cmml" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.1"></share><apply id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.1.6.cmml" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.1.6"><plus id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.1.6.1.cmml" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.1.6.1"></plus><ci id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.1.6.2.cmml" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.1.6.2">𝑇</ci><ci id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.1.6.3.cmml" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.1.6.3">𝑈</ci></apply></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1c.cmml" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1"><apply id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1"><and id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1a.cmml" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1"></and><apply id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1b.cmml" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1"><lt id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1.3"></lt><apply id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1.2"><minus id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1.2.1"></minus><ci id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1.2.2">𝑇</ci><ci id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1.2.3">𝑈</ci></apply><apply id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1.4.2">𝛾</ci><ci id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1.4.3.cmml" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1.4.3">′</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1c.cmml" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1"><leq id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1.5.cmml" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1.4.cmml" id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1d.cmml" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1"></share><ci id="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1.6.cmml" xref="S4.Ex8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.1.6">𝑇</ci></apply></apply></matrixrow></matrix></list></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1"><minus id="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1.1.2"></minus><ci id="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1.1.3">𝑈</ci><apply id="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1.1.1.1"><abs id="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1.1.1.1.1.2.2">𝛾</ci><ci id="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1.1.1.1.1.2.3">′</ci></apply><ci id="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex8.m2.5.5.2.2.1.1.1.1.1.3">𝛾</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex8.m2.5c">\displaystyle=\left(\sum_{\begin{subarray}{c}\rho,\rho^{\prime}\\ 0<\gamma,\gamma^{\prime}\leq T\end{subarray}}+\sum_{\begin{subarray}{c}\rho,% \rho^{\prime}\\ T<\gamma,\gamma^{\prime}\leq T+U\end{subarray}}+\ \ 2\sum_{\begin{subarray}{c}% \rho,\rho^{\prime}\\ T<\gamma\leq T+U\\ T-U<\gamma^{\prime}\leq T\end{subarray}}\right)\left(U-|\gamma^{\prime}-\gamma% |\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex8.m2.5d">= ( ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_ρ , italic_ρ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 < italic_γ , italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ≤ italic_T end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT + ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_ρ , italic_ρ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_T < italic_γ , italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ≤ italic_T + italic_U end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT + 2 ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_ρ , italic_ρ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_T < italic_γ ≤ italic_T + italic_U end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_T - italic_U < italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ≤ italic_T end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT ) ( italic_U - | italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT - italic_γ | )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex9"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{\begin{subarray}{c}\rho,\rho^{\prime}\\ 0<\gamma,\gamma^{\prime}\leq T\\ |\gamma^{\prime}-\gamma|\leq U\end{subarray}}\left(U-|\gamma^{\prime}-\gamma|% \right)+O\Bigg{(}\sum_{\begin{subarray}{c}\rho,\rho^{\prime}\\ T-U<\gamma,\gamma^{\prime}\leq T+U\end{subarray}}U\Bigg{)}," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex9.m1.3"><semantics id="S4.Ex9.m1.3a"><mrow id="S4.Ex9.m1.3.3.1" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.4" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.4.cmml"></mi><mo id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.3" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.2" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><munder id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2a" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mtable id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtr id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1b" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">ρ</mi><mo id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msup id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3.cmml">′</mo></msup></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1c" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1d" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.4.cmml"><mrow id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.cmml"><mn id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2.cmml">0</mn><mo id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.cmml"><</mo><mi id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.3" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.4a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.cmml"><msup id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.2" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.3" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.1" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.1.cmml">≤</mo><mi id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.cmml">T</mi></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1e" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1f" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.2" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.2.cmml">≤</mo><mi id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.3" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.3.cmml">U</mi></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><mrow id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">U</mi><mo id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml">O</mi><mo id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.2.2.1.1" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2" maxsize="260%" minsize="260%" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><munder id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1a" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.2" movablelimits="false" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">∑</mo><mtable id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1a.2.cmml"><mtr id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1a" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1a.2.cmml"><mtd id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1b" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1a.2.cmml"><mrow id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">ρ</mi><mo id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msup id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3.cmml">′</mo></msup></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1c" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1a.2.cmml"><mtd id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1d" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1a.2.cmml"><mrow id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.4.cmml"><mrow id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.cmml"><mrow id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2.2" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2.2.cmml">T</mi><mo id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2.1" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2.1.cmml">−</mo><mi id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2.3" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2.3.cmml">U</mi></mrow><mo id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.cmml"><</mo><mi id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.3" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.4a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.cmml"><msup id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.2" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.3" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.1" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.1.cmml">≤</mo><mrow id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.2" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.2.cmml">T</mi><mo id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.1" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.1.cmml">+</mo><mi id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.3" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.3.cmml">U</mi></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><mi id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">U</mi></mrow><mo id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.3" maxsize="260%" minsize="260%" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex9.m1.3.3.1.2" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex9.m1.3b"><apply id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1"><eq id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.4">absent</csymbol><apply id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.2"><plus id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.2.3"></plus><apply id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1"><apply id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.2"></sum><list id="S4.Ex9.m1.1.1.1a.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1"><matrix id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1"><matrixrow id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1"><list id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2"><ci id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">𝜌</ci><apply id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2">𝜌</ci><ci id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3">′</ci></apply></list></matrixrow><matrixrow id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.4.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.4a.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1"><lt id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1"></lt><cn id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2">0</cn><ci id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1">𝛾</ci></apply><apply id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2"><leq id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.1"></leq><apply id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.2">𝛾</ci><ci id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.3">′</ci></apply><ci id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3">𝑇</ci></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1c.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1"><leq id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.2"></leq><apply id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1"><abs id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.2.2">𝛾</ci><ci id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.2.3">′</ci></apply><ci id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.3">𝛾</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.3">𝑈</ci></apply></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2"></minus><ci id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑈</ci><apply id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><abs id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝛾</ci><ci id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">′</ci></apply><ci id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝛾</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.2.2"><times id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.2.2.2"></times><ci id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.2.2.3">𝑂</ci><apply id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.2.2.1.1"><apply id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><sum id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.2"></sum><list id="S4.Ex9.m1.2.2.1a.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1"><matrix id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1"><matrixrow id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1a.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1"><list id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2"><ci id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1">𝜌</ci><apply id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2">𝜌</ci><ci id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3">′</ci></apply></list></matrixrow><matrixrow id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1b.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1"><apply id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.4.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.4a.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1"><lt id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1"></lt><apply id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2"><minus id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2.1"></minus><ci id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2.2">𝑇</ci><ci id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2.3">𝑈</ci></apply><ci id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.1.1.1">𝛾</ci></apply><apply id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2"><leq id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.1"></leq><apply id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.2">𝛾</ci><ci id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.3">′</ci></apply><apply id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3"><plus id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.1"></plus><ci id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.2">𝑇</ci><ci id="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.3">𝑈</ci></apply></apply></apply></matrixrow></matrix></list></apply><ci id="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2">𝑈</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex9.m1.3c">\displaystyle=\sum_{\begin{subarray}{c}\rho,\rho^{\prime}\\ 0<\gamma,\gamma^{\prime}\leq T\\ |\gamma^{\prime}-\gamma|\leq U\end{subarray}}\left(U-|\gamma^{\prime}-\gamma|% \right)+O\Bigg{(}\sum_{\begin{subarray}{c}\rho,\rho^{\prime}\\ T-U<\gamma,\gamma^{\prime}\leq T+U\end{subarray}}U\Bigg{)},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex9.m1.3d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_ρ , italic_ρ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 < italic_γ , italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ≤ italic_T end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL | italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT - italic_γ | ≤ italic_U end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT ( italic_U - | italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT - italic_γ | ) + italic_O ( ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_ρ , italic_ρ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_T - italic_U < italic_γ , italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ≤ italic_T + italic_U end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT italic_U ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.4.p1.15"><span class="ltx_text" id="S4.4.p1.15.2">and by (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S4.E1" title="Equation 4.1 ‣ 4. Proof of the lemmas ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.1</span></a>), this last error term is <math alttext="O(L^{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.4.p1.14.1.m1.1"><semantics id="S4.4.p1.14.1.m1.1a"><mrow id="S4.4.p1.14.1.m1.1.1" xref="S4.4.p1.14.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.4.p1.14.1.m1.1.1.3" xref="S4.4.p1.14.1.m1.1.1.3.cmml">O</mi><mo id="S4.4.p1.14.1.m1.1.1.2" xref="S4.4.p1.14.1.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.4.p1.14.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.4.p1.14.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.4.p1.14.1.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.4.p1.14.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S4.4.p1.14.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.4.p1.14.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.4.p1.14.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.4.p1.14.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">L</mi><mn id="S4.4.p1.14.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.4.p1.14.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.4.p1.14.1.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.4.p1.14.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.4.p1.14.1.m1.1b"><apply id="S4.4.p1.14.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.4.p1.14.1.m1.1.1"><times id="S4.4.p1.14.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.4.p1.14.1.m1.1.1.2"></times><ci id="S4.4.p1.14.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.4.p1.14.1.m1.1.1.3">𝑂</ci><apply id="S4.4.p1.14.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.4.p1.14.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.4.p1.14.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.4.p1.14.1.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.4.p1.14.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.4.p1.14.1.m1.1.1.1.1.1.2">𝐿</ci><cn id="S4.4.p1.14.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.4.p1.14.1.m1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.4.p1.14.1.m1.1c">O(L^{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.4.p1.14.1.m1.1d">italic_O ( italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> which proves the first equality of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S2.E7" title="Equation 2.7 ‣ Lemma 3 (Gallagher and Mueller [GM78, (20) of Section 1]). ‣ 2. The Second Moment for Zeros in Short Intervals ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.7</span></a>). Finally, using Riemann-Stieltjes integration and recalling the definition of <math alttext="N^{\circledast}(T)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.4.p1.15.2.m2.1"><semantics id="S4.4.p1.15.2.m2.1a"><mrow id="S4.4.p1.15.2.m2.1.2" xref="S4.4.p1.15.2.m2.1.2.cmml"><msup id="S4.4.p1.15.2.m2.1.2.2" xref="S4.4.p1.15.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S4.4.p1.15.2.m2.1.2.2.2" xref="S4.4.p1.15.2.m2.1.2.2.2.cmml">N</mi><mo id="S4.4.p1.15.2.m2.1.2.2.3" xref="S4.4.p1.15.2.m2.1.2.2.3.cmml">⊛</mo></msup><mo id="S4.4.p1.15.2.m2.1.2.1" xref="S4.4.p1.15.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.4.p1.15.2.m2.1.2.3.2" xref="S4.4.p1.15.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S4.4.p1.15.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.4.p1.15.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.4.p1.15.2.m2.1.1" xref="S4.4.p1.15.2.m2.1.1.cmml">T</mi><mo id="S4.4.p1.15.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.4.p1.15.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.4.p1.15.2.m2.1b"><apply id="S4.4.p1.15.2.m2.1.2.cmml" xref="S4.4.p1.15.2.m2.1.2"><times id="S4.4.p1.15.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S4.4.p1.15.2.m2.1.2.1"></times><apply id="S4.4.p1.15.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S4.4.p1.15.2.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.4.p1.15.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S4.4.p1.15.2.m2.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.4.p1.15.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S4.4.p1.15.2.m2.1.2.2.2">𝑁</ci><ci id="S4.4.p1.15.2.m2.1.2.2.3.cmml" xref="S4.4.p1.15.2.m2.1.2.2.3">⊛</ci></apply><ci id="S4.4.p1.15.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.4.p1.15.2.m2.1.1">𝑇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.4.p1.15.2.m2.1c">N^{\circledast}(T)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.4.p1.15.2.m2.1d">italic_N start_POSTSUPERSCRIPT ⊛ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T )</annotation></semantics></math> in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S1.E9" title="Equation 1.9 ‣ 1. Introduction and Statement of Results ‣ Pair Correlation Conjecture for the zeros of the Riemann zeta-function I: simple and critical zeros"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.9</span></a>), we have</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex10"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{split}\sum_{\begin{subarray}{c}\rho,\rho^{\prime}\\ 0<\gamma,\gamma^{\prime}\leq T\\ |\gamma^{\prime}-\gamma|\leq U\end{subarray}}\left(U-|\gamma^{\prime}-\gamma|% \right)&=UN^{\circledast}(T)+2\sum_{\begin{subarray}{c}\rho,\rho^{\prime}\\ 0<\gamma,\gamma^{\prime}\leq T\\ 0<\gamma^{\prime}-\gamma\leq U\end{subarray}}\left(U-(\gamma^{\prime}-\gamma)% \right)\\ &=UN^{\circledast}(T)+2\int_{0}^{U}(U-u)\,d_{u}N(T,u)\\ &=UN^{\circledast}(T)+2\int_{0}^{U}N(T,u)\,du.\end{split}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex10.m1.84"><semantics id="S4.Ex10.m1.84a"><mtable columnspacing="0pt" displaystyle="true" id="S4.Ex10.m1.84.84.5" rowspacing="0pt"><mtr id="S4.Ex10.m1.84.84.5a"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S4.Ex10.m1.84.84.5b"><mrow id="S4.Ex10.m1.81.81.2.80.34.13"><munder id="S4.Ex10.m1.81.81.2.80.34.13.14"><mo id="S4.Ex10.m1.3.3.3.3.2.2" movablelimits="false" xref="S4.Ex10.m1.3.3.3.3.2.2.cmml">∑</mo><mtable id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mtr id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mtd id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1b" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">ρ</mi><mo id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msup id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3.cmml">′</mo></msup></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1c" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mtd id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1d" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.4.cmml"><mrow id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.cmml"><mn id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2.cmml">0</mn><mo id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.cmml"><</mo><mi id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.3" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.4a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.cmml"><msup id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.2" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.3" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.1" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.1.cmml">≤</mo><mi id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.cmml">T</mi></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1e" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mtd id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1f" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.2" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.2.cmml">≤</mo><mi id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.3" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.3.cmml">U</mi></mrow></mtd></mtr></mtable></munder><mrow id="S4.Ex10.m1.81.81.2.80.34.13.13.1"><mo id="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3" lspace="0em" xref="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex10.m1.81.81.2.80.34.13.13.1.1"><mi id="S4.Ex10.m1.5.5.5.5.4.4" xref="S4.Ex10.m1.5.5.5.5.4.4.cmml">U</mi><mo id="S4.Ex10.m1.6.6.6.6.5.5" xref="S4.Ex10.m1.6.6.6.6.5.5.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex10.m1.81.81.2.80.34.13.13.1.1.1.1"><mo id="S4.Ex10.m1.7.7.7.7.6.6" stretchy="false" xref="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.Ex10.m1.81.81.2.80.34.13.13.1.1.1.1.1"><msup id="S4.Ex10.m1.81.81.2.80.34.13.13.1.1.1.1.1.1"><mi id="S4.Ex10.m1.8.8.8.8.7.7" xref="S4.Ex10.m1.8.8.8.8.7.7.cmml">γ</mi><mo id="S4.Ex10.m1.9.9.9.9.8.8.1" xref="S4.Ex10.m1.9.9.9.9.8.8.1.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.Ex10.m1.10.10.10.10.9.9" xref="S4.Ex10.m1.10.10.10.10.9.9.cmml">−</mo><mi id="S4.Ex10.m1.11.11.11.11.10.10" xref="S4.Ex10.m1.11.11.11.11.10.10.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S4.Ex10.m1.12.12.12.12.11.11" stretchy="false" xref="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex10.m1.13.13.13.13.12.12" xref="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.Ex10.m1.84.84.5c"><mrow id="S4.Ex10.m1.82.82.3.81.35.22"><mi id="S4.Ex10.m1.82.82.3.81.35.22.23" xref="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.cmml"></mi><mo id="S4.Ex10.m1.14.14.14.14.2.2" xref="S4.Ex10.m1.14.14.14.14.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex10.m1.82.82.3.81.35.22.22"><mrow id="S4.Ex10.m1.82.82.3.81.35.22.22.2"><mi id="S4.Ex10.m1.15.15.15.15.3.3" xref="S4.Ex10.m1.15.15.15.15.3.3.cmml">U</mi><mo id="S4.Ex10.m1.82.82.3.81.35.22.22.2.1" xref="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex10.m1.82.82.3.81.35.22.22.2.2"><mi id="S4.Ex10.m1.16.16.16.16.4.4" xref="S4.Ex10.m1.16.16.16.16.4.4.cmml">N</mi><mo id="S4.Ex10.m1.17.17.17.17.5.5.1" xref="S4.Ex10.m1.17.17.17.17.5.5.1.cmml">⊛</mo></msup><mo id="S4.Ex10.m1.82.82.3.81.35.22.22.2.1a" xref="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex10.m1.82.82.3.81.35.22.22.2.3"><mo id="S4.Ex10.m1.18.18.18.18.6.6" stretchy="false" xref="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex10.m1.19.19.19.19.7.7" xref="S4.Ex10.m1.19.19.19.19.7.7.cmml">T</mi><mo id="S4.Ex10.m1.20.20.20.20.8.8" stretchy="false" xref="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex10.m1.21.21.21.21.9.9" xref="S4.Ex10.m1.21.21.21.21.9.9.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex10.m1.82.82.3.81.35.22.22.1"><mn id="S4.Ex10.m1.22.22.22.22.10.10" xref="S4.Ex10.m1.22.22.22.22.10.10.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex10.m1.82.82.3.81.35.22.22.1.2" xref="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex10.m1.82.82.3.81.35.22.22.1.1"><munder id="S4.Ex10.m1.82.82.3.81.35.22.22.1.1.2"><mo id="S4.Ex10.m1.23.23.23.23.11.11" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S4.Ex10.m1.23.23.23.23.11.11.cmml">∑</mo><mtable id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mtr id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mtd id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1b" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">ρ</mi><mo id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msup id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3.cmml">′</mo></msup></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1c" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mtd id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1d" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.4.cmml"><mrow id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.cmml"><mn id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2.cmml">0</mn><mo id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.cmml"><</mo><mi id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.3" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.4a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.cmml"><msup id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.2" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.3" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.1" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.1.cmml">≤</mo><mi id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.cmml">T</mi></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1e" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mtd id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1f" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1.cmml"><mn id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1.2" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1.2.cmml">0</mn><mo id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1.3" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1.3.cmml"><</mo><mrow id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4.cmml"><msup id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4.2" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4.2.cmml"><mi id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4.2.2" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4.2.3" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4.1" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4.1.cmml">−</mo><mi id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4.3" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4.3.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1.5" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1.5.cmml">≤</mo><mi id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1.6" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1.6.cmml">U</mi></mrow></mtd></mtr></mtable></munder><mrow id="S4.Ex10.m1.82.82.3.81.35.22.22.1.1.1.1"><mo id="S4.Ex10.m1.24.24.24.24.12.12" xref="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex10.m1.82.82.3.81.35.22.22.1.1.1.1.1"><mi id="S4.Ex10.m1.25.25.25.25.13.13" xref="S4.Ex10.m1.25.25.25.25.13.13.cmml">U</mi><mo id="S4.Ex10.m1.26.26.26.26.14.14" xref="S4.Ex10.m1.26.26.26.26.14.14.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex10.m1.82.82.3.81.35.22.22.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S4.Ex10.m1.27.27.27.27.15.15" stretchy="false" xref="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex10.m1.82.82.3.81.35.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1"><msup id="S4.Ex10.m1.82.82.3.81.35.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S4.Ex10.m1.28.28.28.28.16.16" xref="S4.Ex10.m1.28.28.28.28.16.16.cmml">γ</mi><mo id="S4.Ex10.m1.29.29.29.29.17.17.1" xref="S4.Ex10.m1.29.29.29.29.17.17.1.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.Ex10.m1.30.30.30.30.18.18" xref="S4.Ex10.m1.30.30.30.30.18.18.cmml">−</mo><mi id="S4.Ex10.m1.31.31.31.31.19.19" xref="S4.Ex10.m1.31.31.31.31.19.19.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S4.Ex10.m1.32.32.32.32.20.20" stretchy="false" xref="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex10.m1.33.33.33.33.21.21" xref="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.Ex10.m1.84.84.5d"><mtd id="S4.Ex10.m1.84.84.5e" xref="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.Ex10.m1.84.84.5f"><mrow id="S4.Ex10.m1.83.83.4.82.26.26"><mi id="S4.Ex10.m1.83.83.4.82.26.26.27" xref="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.cmml"></mi><mo id="S4.Ex10.m1.34.34.34.1.1.1" xref="S4.Ex10.m1.34.34.34.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex10.m1.83.83.4.82.26.26.26"><mrow id="S4.Ex10.m1.83.83.4.82.26.26.26.2"><mi id="S4.Ex10.m1.35.35.35.2.2.2" xref="S4.Ex10.m1.35.35.35.2.2.2.cmml">U</mi><mo id="S4.Ex10.m1.83.83.4.82.26.26.26.2.1" xref="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex10.m1.83.83.4.82.26.26.26.2.2"><mi id="S4.Ex10.m1.36.36.36.3.3.3" xref="S4.Ex10.m1.36.36.36.3.3.3.cmml">N</mi><mo id="S4.Ex10.m1.37.37.37.4.4.4.1" xref="S4.Ex10.m1.37.37.37.4.4.4.1.cmml">⊛</mo></msup><mo id="S4.Ex10.m1.83.83.4.82.26.26.26.2.1a" xref="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex10.m1.83.83.4.82.26.26.26.2.3"><mo id="S4.Ex10.m1.38.38.38.5.5.5" stretchy="false" xref="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex10.m1.39.39.39.6.6.6" xref="S4.Ex10.m1.39.39.39.6.6.6.cmml">T</mi><mo id="S4.Ex10.m1.40.40.40.7.7.7" stretchy="false" xref="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex10.m1.41.41.41.8.8.8" xref="S4.Ex10.m1.41.41.41.8.8.8.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex10.m1.83.83.4.82.26.26.26.1"><mn id="S4.Ex10.m1.42.42.42.9.9.9" xref="S4.Ex10.m1.42.42.42.9.9.9.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex10.m1.83.83.4.82.26.26.26.1.2" xref="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex10.m1.83.83.4.82.26.26.26.1.1"><msubsup id="S4.Ex10.m1.83.83.4.82.26.26.26.1.1.2"><mo id="S4.Ex10.m1.43.43.43.10.10.10" rspace="0em" xref="S4.Ex10.m1.43.43.43.10.10.10.cmml">∫</mo><mn id="S4.Ex10.m1.44.44.44.11.11.11.1" xref="S4.Ex10.m1.44.44.44.11.11.11.1.cmml">0</mn><mi id="S4.Ex10.m1.45.45.45.12.12.12.1" xref="S4.Ex10.m1.45.45.45.12.12.12.1.cmml">U</mi></msubsup><mrow id="S4.Ex10.m1.83.83.4.82.26.26.26.1.1.1"><mrow id="S4.Ex10.m1.83.83.4.82.26.26.26.1.1.1.1.1"><mo id="S4.Ex10.m1.46.46.46.13.13.13" stretchy="false" xref="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex10.m1.83.83.4.82.26.26.26.1.1.1.1.1.1"><mi id="S4.Ex10.m1.47.47.47.14.14.14" xref="S4.Ex10.m1.47.47.47.14.14.14.cmml">U</mi><mo id="S4.Ex10.m1.48.48.48.15.15.15" xref="S4.Ex10.m1.48.48.48.15.15.15.cmml">−</mo><mi id="S4.Ex10.m1.49.49.49.16.16.16" xref="S4.Ex10.m1.49.49.49.16.16.16.cmml">u</mi></mrow><mo id="S4.Ex10.m1.50.50.50.17.17.17" stretchy="false" xref="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex10.m1.83.83.4.82.26.26.26.1.1.1.2" lspace="0.170em" xref="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex10.m1.83.83.4.82.26.26.26.1.1.1.3"><mi id="S4.Ex10.m1.51.51.51.18.18.18" xref="S4.Ex10.m1.51.51.51.18.18.18.cmml">d</mi><mi id="S4.Ex10.m1.52.52.52.19.19.19.1" xref="S4.Ex10.m1.52.52.52.19.19.19.1.cmml">u</mi></msub><mo id="S4.Ex10.m1.83.83.4.82.26.26.26.1.1.1.2a" xref="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex10.m1.53.53.53.20.20.20" xref="S4.Ex10.m1.53.53.53.20.20.20.cmml">N</mi><mo id="S4.Ex10.m1.83.83.4.82.26.26.26.1.1.1.2b" xref="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex10.m1.83.83.4.82.26.26.26.1.1.1.4"><mo id="S4.Ex10.m1.54.54.54.21.21.21" stretchy="false" xref="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex10.m1.55.55.55.22.22.22" xref="S4.Ex10.m1.55.55.55.22.22.22.cmml">T</mi><mo id="S4.Ex10.m1.56.56.56.23.23.23" xref="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex10.m1.57.57.57.24.24.24" xref="S4.Ex10.m1.57.57.57.24.24.24.cmml">u</mi><mo id="S4.Ex10.m1.58.58.58.25.25.25" stretchy="false" xref="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.Ex10.m1.84.84.5g"><mtd id="S4.Ex10.m1.84.84.5h" xref="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.Ex10.m1.84.84.5i"><mrow id="S4.Ex10.m1.84.84.5.83.22.22.22"><mrow id="S4.Ex10.m1.84.84.5.83.22.22.22.1"><mi id="S4.Ex10.m1.84.84.5.83.22.22.22.1.1" xref="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.cmml"></mi><mo id="S4.Ex10.m1.59.59.59.1.1.1" xref="S4.Ex10.m1.59.59.59.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex10.m1.84.84.5.83.22.22.22.1.2"><mrow id="S4.Ex10.m1.84.84.5.83.22.22.22.1.2.1"><mi id="S4.Ex10.m1.60.60.60.2.2.2" xref="S4.Ex10.m1.60.60.60.2.2.2.cmml">U</mi><mo id="S4.Ex10.m1.84.84.5.83.22.22.22.1.2.1.1" xref="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex10.m1.84.84.5.83.22.22.22.1.2.1.2"><mi id="S4.Ex10.m1.61.61.61.3.3.3" xref="S4.Ex10.m1.61.61.61.3.3.3.cmml">N</mi><mo id="S4.Ex10.m1.62.62.62.4.4.4.1" xref="S4.Ex10.m1.62.62.62.4.4.4.1.cmml">⊛</mo></msup><mo id="S4.Ex10.m1.84.84.5.83.22.22.22.1.2.1.1a" xref="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex10.m1.84.84.5.83.22.22.22.1.2.1.3"><mo id="S4.Ex10.m1.63.63.63.5.5.5" stretchy="false" xref="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex10.m1.64.64.64.6.6.6" xref="S4.Ex10.m1.64.64.64.6.6.6.cmml">T</mi><mo id="S4.Ex10.m1.65.65.65.7.7.7" stretchy="false" xref="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex10.m1.66.66.66.8.8.8" xref="S4.Ex10.m1.66.66.66.8.8.8.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex10.m1.84.84.5.83.22.22.22.1.2.2"><mn id="S4.Ex10.m1.67.67.67.9.9.9" xref="S4.Ex10.m1.67.67.67.9.9.9.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex10.m1.84.84.5.83.22.22.22.1.2.2.1" xref="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex10.m1.84.84.5.83.22.22.22.1.2.2.2"><msubsup id="S4.Ex10.m1.84.84.5.83.22.22.22.1.2.2.2.1"><mo id="S4.Ex10.m1.68.68.68.10.10.10" xref="S4.Ex10.m1.68.68.68.10.10.10.cmml">∫</mo><mn id="S4.Ex10.m1.69.69.69.11.11.11.1" xref="S4.Ex10.m1.69.69.69.11.11.11.1.cmml">0</mn><mi id="S4.Ex10.m1.70.70.70.12.12.12.1" xref="S4.Ex10.m1.70.70.70.12.12.12.1.cmml">U</mi></msubsup><mrow id="S4.Ex10.m1.84.84.5.83.22.22.22.1.2.2.2.2"><mi id="S4.Ex10.m1.71.71.71.13.13.13" xref="S4.Ex10.m1.71.71.71.13.13.13.cmml">N</mi><mo id="S4.Ex10.m1.84.84.5.83.22.22.22.1.2.2.2.2.1" xref="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex10.m1.84.84.5.83.22.22.22.1.2.2.2.2.2"><mo id="S4.Ex10.m1.72.72.72.14.14.14" stretchy="false" xref="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex10.m1.73.73.73.15.15.15" xref="S4.Ex10.m1.73.73.73.15.15.15.cmml">T</mi><mo id="S4.Ex10.m1.74.74.74.16.16.16" xref="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex10.m1.75.75.75.17.17.17" xref="S4.Ex10.m1.75.75.75.17.17.17.cmml">u</mi><mo id="S4.Ex10.m1.76.76.76.18.18.18" stretchy="false" xref="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex10.m1.84.84.5.83.22.22.22.1.2.2.2.2.1a" lspace="0.170em" xref="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex10.m1.84.84.5.83.22.22.22.1.2.2.2.2.3"><mo id="S4.Ex10.m1.77.77.77.19.19.19" rspace="0em" xref="S4.Ex10.m1.77.77.77.19.19.19.cmml">𝑑</mo><mi id="S4.Ex10.m1.78.78.78.20.20.20" xref="S4.Ex10.m1.78.78.78.20.20.20.cmml">u</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex10.m1.79.79.79.21.21.21" lspace="0em" xref="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.cmml">.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex10.m1.84b"><apply id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3"><and id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1a.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3"></and><apply id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1b.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3"><eq id="S4.Ex10.m1.14.14.14.14.2.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.14.14.14.14.2.2"></eq><apply id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3"><apply id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3">subscript</csymbol><sum id="S4.Ex10.m1.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.3.3.3.3.2.2"></sum><list id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><matrix id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><matrixrow id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><list id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2"><ci id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">𝜌</ci><apply id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2">𝜌</ci><ci id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3">′</ci></apply></list></matrixrow><matrixrow id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.4.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.4a.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1"><lt id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1"></lt><cn id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2">0</cn><ci id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1">𝛾</ci></apply><apply id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2"><leq id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.1"></leq><apply id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.2">𝛾</ci><ci id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.3">′</ci></apply><ci id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3">𝑇</ci></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1c.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1"><leq id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.2"></leq><apply id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1"><abs id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.2.2">𝛾</ci><ci id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.2.3">′</ci></apply><ci id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.1.3">𝛾</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.6.1.1.3">𝑈</ci></apply></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3"><minus id="S4.Ex10.m1.6.6.6.6.5.5.cmml" xref="S4.Ex10.m1.6.6.6.6.5.5"></minus><ci id="S4.Ex10.m1.5.5.5.5.4.4.cmml" xref="S4.Ex10.m1.5.5.5.5.4.4">𝑈</ci><apply id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3"><abs id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3"></abs><apply id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3"><minus id="S4.Ex10.m1.10.10.10.10.9.9.cmml" xref="S4.Ex10.m1.10.10.10.10.9.9"></minus><apply id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex10.m1.8.8.8.8.7.7.cmml" xref="S4.Ex10.m1.8.8.8.8.7.7">𝛾</ci><ci id="S4.Ex10.m1.9.9.9.9.8.8.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.9.9.9.9.8.8.1">′</ci></apply><ci id="S4.Ex10.m1.11.11.11.11.10.10.cmml" xref="S4.Ex10.m1.11.11.11.11.10.10">𝛾</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3"><plus id="S4.Ex10.m1.21.21.21.21.9.9.cmml" xref="S4.Ex10.m1.21.21.21.21.9.9"></plus><apply id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3"><times id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3"></times><ci id="S4.Ex10.m1.15.15.15.15.3.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.15.15.15.15.3.3">𝑈</ci><apply id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex10.m1.16.16.16.16.4.4.cmml" xref="S4.Ex10.m1.16.16.16.16.4.4">𝑁</ci><ci id="S4.Ex10.m1.17.17.17.17.5.5.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.17.17.17.17.5.5.1">⊛</ci></apply><ci id="S4.Ex10.m1.19.19.19.19.7.7.cmml" xref="S4.Ex10.m1.19.19.19.19.7.7">𝑇</ci></apply><apply id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3"><times id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3"></times><cn id="S4.Ex10.m1.22.22.22.22.10.10.cmml" type="integer" xref="S4.Ex10.m1.22.22.22.22.10.10">2</cn><apply id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3"><apply id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3">subscript</csymbol><sum id="S4.Ex10.m1.23.23.23.23.11.11.cmml" xref="S4.Ex10.m1.23.23.23.23.11.11"></sum><list id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1"><matrix id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1"><matrixrow id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1"><list id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2"><ci id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">𝜌</ci><apply id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2">𝜌</ci><ci id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3">′</ci></apply></list></matrixrow><matrixrow id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1"><apply id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.4.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.4a.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1"><lt id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1"></lt><cn id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2">0</cn><ci id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1">𝛾</ci></apply><apply id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2"><leq id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.1"></leq><apply id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.2">𝛾</ci><ci id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.2.3">′</ci></apply><ci id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5.5.3.3.3.2.3">𝑇</ci></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1c.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1"><apply id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1"><and id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1a.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1"></and><apply id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1b.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1"><lt id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1.3"></lt><cn id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1.2">0</cn><apply id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4"><minus id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4.1"></minus><apply id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4.2.2">𝛾</ci><ci id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4.2.3">′</ci></apply><ci id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4.3">𝛾</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1c.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1"><leq id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1.5.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1.4.cmml" id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1d.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1"></share><ci id="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1.6.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.1.6">𝑈</ci></apply></apply></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3"><minus id="S4.Ex10.m1.26.26.26.26.14.14.cmml" xref="S4.Ex10.m1.26.26.26.26.14.14"></minus><ci id="S4.Ex10.m1.25.25.25.25.13.13.cmml" xref="S4.Ex10.m1.25.25.25.25.13.13">𝑈</ci><apply id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3"><minus id="S4.Ex10.m1.30.30.30.30.18.18.cmml" xref="S4.Ex10.m1.30.30.30.30.18.18"></minus><apply id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex10.m1.28.28.28.28.16.16.cmml" xref="S4.Ex10.m1.28.28.28.28.16.16">𝛾</ci><ci id="S4.Ex10.m1.29.29.29.29.17.17.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.29.29.29.29.17.17.1">′</ci></apply><ci id="S4.Ex10.m1.31.31.31.31.19.19.cmml" xref="S4.Ex10.m1.31.31.31.31.19.19">𝛾</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1c.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3"><eq id="S4.Ex10.m1.34.34.34.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.34.34.34.1.1.1"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.2.cmml" id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1d.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3"></share><apply id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3"><plus id="S4.Ex10.m1.41.41.41.8.8.8.cmml" xref="S4.Ex10.m1.41.41.41.8.8.8"></plus><apply id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3"><times id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3"></times><ci id="S4.Ex10.m1.35.35.35.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.35.35.35.2.2.2">𝑈</ci><apply id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex10.m1.36.36.36.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.36.36.36.3.3.3">𝑁</ci><ci id="S4.Ex10.m1.37.37.37.4.4.4.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.37.37.37.4.4.4.1">⊛</ci></apply><ci id="S4.Ex10.m1.39.39.39.6.6.6.cmml" xref="S4.Ex10.m1.39.39.39.6.6.6">𝑇</ci></apply><apply id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3"><times id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3"></times><cn id="S4.Ex10.m1.42.42.42.9.9.9.cmml" type="integer" xref="S4.Ex10.m1.42.42.42.9.9.9">2</cn><apply id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3"><apply id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.3.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3">subscript</csymbol><int id="S4.Ex10.m1.43.43.43.10.10.10.cmml" xref="S4.Ex10.m1.43.43.43.10.10.10"></int><cn id="S4.Ex10.m1.44.44.44.11.11.11.1.cmml" type="integer" xref="S4.Ex10.m1.44.44.44.11.11.11.1">0</cn></apply><ci id="S4.Ex10.m1.45.45.45.12.12.12.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.45.45.45.12.12.12.1">𝑈</ci></apply><apply id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3"><times id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3"></times><apply id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3"><minus id="S4.Ex10.m1.48.48.48.15.15.15.cmml" xref="S4.Ex10.m1.48.48.48.15.15.15"></minus><ci id="S4.Ex10.m1.47.47.47.14.14.14.cmml" xref="S4.Ex10.m1.47.47.47.14.14.14">𝑈</ci><ci id="S4.Ex10.m1.49.49.49.16.16.16.cmml" xref="S4.Ex10.m1.49.49.49.16.16.16">𝑢</ci></apply><apply id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex10.m1.51.51.51.18.18.18.cmml" xref="S4.Ex10.m1.51.51.51.18.18.18">𝑑</ci><ci id="S4.Ex10.m1.52.52.52.19.19.19.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.52.52.52.19.19.19.1">𝑢</ci></apply><ci id="S4.Ex10.m1.53.53.53.20.20.20.cmml" xref="S4.Ex10.m1.53.53.53.20.20.20">𝑁</ci><interval closure="open" id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.3.1.1.1.5.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3"><ci id="S4.Ex10.m1.55.55.55.22.22.22.cmml" xref="S4.Ex10.m1.55.55.55.22.22.22">𝑇</ci><ci id="S4.Ex10.m1.57.57.57.24.24.24.cmml" xref="S4.Ex10.m1.57.57.57.24.24.24">𝑢</ci></interval></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1e.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3"><eq id="S4.Ex10.m1.59.59.59.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.59.59.59.1.1.1"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15449v1#S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.3.cmml" id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1f.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3"></share><apply id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.8.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3"><plus id="S4.Ex10.m1.66.66.66.8.8.8.cmml" xref="S4.Ex10.m1.66.66.66.8.8.8"></plus><apply id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.8.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3"><times id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.8.2.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3"></times><ci id="S4.Ex10.m1.60.60.60.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.60.60.60.2.2.2">𝑈</ci><apply id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.8.2.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.8.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex10.m1.61.61.61.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.61.61.61.3.3.3">𝑁</ci><ci id="S4.Ex10.m1.62.62.62.4.4.4.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.62.62.62.4.4.4.1">⊛</ci></apply><ci id="S4.Ex10.m1.64.64.64.6.6.6.cmml" xref="S4.Ex10.m1.64.64.64.6.6.6">𝑇</ci></apply><apply id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.8.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3"><times id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.8.3.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3"></times><cn id="S4.Ex10.m1.67.67.67.9.9.9.cmml" type="integer" xref="S4.Ex10.m1.67.67.67.9.9.9">2</cn><apply id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.8.3.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3"><apply id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.8.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.8.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.8.3.3.1.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex10.m1.80.80.1.1.1.8.3.3.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.4.4.3.3">subscript</csymbol><int id="S4.Ex10.m1.68.68.68.10.10.10.cmml" xref="S4.Ex10.m1.68.68.68.10.10.10"></int><cn id="S4.Ex10.m1.69.69.69.11.11.11.1.cmml" type="integer" xref="S4.Ex10.m1.69.69.69.11.11.11.1">0</cn></apply><ci 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encoding="application/x-tex" id="S4.Ex10.m1.84c">\begin{split}\sum_{\begin{subarray}{c}\rho,\rho^{\prime}\\ 0<\gamma,\gamma^{\prime}\leq T\\ |\gamma^{\prime}-\gamma|\leq U\end{subarray}}\left(U-|\gamma^{\prime}-\gamma|% \right)&=UN^{\circledast}(T)+2\sum_{\begin{subarray}{c}\rho,\rho^{\prime}\\ 0<\gamma,\gamma^{\prime}\leq T\\ 0<\gamma^{\prime}-\gamma\leq U\end{subarray}}\left(U-(\gamma^{\prime}-\gamma)% \right)\\ &=UN^{\circledast}(T)+2\int_{0}^{U}(U-u)\,d_{u}N(T,u)\\ &=UN^{\circledast}(T)+2\int_{0}^{U}N(T,u)\,du.\end{split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex10.m1.84d">start_ROW start_CELL ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_ρ , italic_ρ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 < italic_γ , italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ≤ italic_T end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL | italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT - italic_γ | ≤ italic_U end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT ( italic_U - | italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT - italic_γ | ) end_CELL start_CELL = italic_U italic_N start_POSTSUPERSCRIPT ⊛ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T ) + 2 ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_ρ , italic_ρ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 < italic_γ , italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ≤ italic_T end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 < italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT - italic_γ ≤ italic_U end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT ( italic_U - ( italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT - italic_γ ) ) end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL = italic_U italic_N start_POSTSUPERSCRIPT ⊛ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T ) + 2 ∫ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_U end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_U - italic_u ) italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_u end_POSTSUBSCRIPT 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The second author was supported by the National Research Foundation of Korea (NRF) grant funded by the government of the Republic of Korea (MSIT) (No. RS-2024-00415601, RS-2024-00341372, and RS-2025-00553763). The fourth author was supported by the Inamori Research Grant 2024 and JSPS KAKENHI Grant Number 22K13895.</span></p> </div> </section> <section class="ltx_bibliography" id="bib"> <h2 class="ltx_title ltx_font_bold ltx_title_bibliography">References</h2> <ul class="ltx_biblist"> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bibx1"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[BGSTB24]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bibx1.1.1"> Siegfred Alan C. Baluyot, Daniel Alan Goldston, Ade Irma Suriajaya, and Caroline L. Turnage-Butterbaugh. </span> </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bibx1.2.1">An unconditional Montgomery theorem for pair correlation of zeros of the Riemann zeta-function. </span> </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold ltx_font_italic" id="bib.bibx1.3.1">Acta Arith.</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bibx1.4.2">, 214:357–376, 2024. </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bibx2"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[BGSTB25]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bibx2.1.1"> Siegfred Alan C. Baluyot, Daniel Alan Goldston, Ade Irma Suriajaya, and Caroline L. Turnage-Butterbaugh. </span> </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bibx2.2.1">Pair correlation of zeros of the Riemann zeta function I: Proportions of simple zeros and critical zeros. </span> </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold ltx_font_italic" id="bib.bibx2.3.1">arXiv:2501.14545</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bibx2.4.2">, 2025. </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bibx3"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[Fuj74]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bibx3.2.1"> Akio Fujii. </span> </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bibx3.3.1">On the zeros of Dirichlet </span><math alttext="L" class="ltx_Math" display="inline" id="bib.bibx3.1.m1.1"><semantics id="bib.bibx3.1.m1.1a"><mi id="bib.bibx3.1.m1.1.1" xref="bib.bibx3.1.m1.1.1.cmml">L</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="bib.bibx3.1.m1.1b"><ci id="bib.bibx3.1.m1.1.1.cmml" xref="bib.bibx3.1.m1.1.1">𝐿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="bib.bibx3.1.m1.1c">L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="bib.bibx3.1.m1.1d">italic_L</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bibx3.4.2">-functions. I. </span> </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold ltx_font_italic" id="bib.bibx3.5.1">Trans. Amer. Math. Soc.</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bibx3.6.2">, 196:225–235, 1974. </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bibx4"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[Fuj81]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bibx4.2.1"> Akio Fujii. </span> </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bibx4.3.1">On the zeros of Dirichlet </span><math alttext="L" class="ltx_Math" display="inline" id="bib.bibx4.1.m1.1"><semantics id="bib.bibx4.1.m1.1a"><mi id="bib.bibx4.1.m1.1.1" xref="bib.bibx4.1.m1.1.1.cmml">L</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="bib.bibx4.1.m1.1b"><ci id="bib.bibx4.1.m1.1.1.cmml" xref="bib.bibx4.1.m1.1.1">𝐿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="bib.bibx4.1.m1.1c">L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="bib.bibx4.1.m1.1d">italic_L</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bibx4.4.2">-functions. II. </span> </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold ltx_font_italic" id="bib.bibx4.5.1">Trans. Amer. Math. Soc.</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bibx4.6.2">, 267(1):33–40, 1981. </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bibx5"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[GM78]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bibx5.1.1"> P. X. Gallagher and Julia H. Mueller. </span> </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bibx5.2.1">Primes and zeros in short intervals. </span> </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold ltx_font_italic" id="bib.bibx5.3.1">J. Reine Angew. Math.</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bibx5.4.2">, 303/304:205–220, 1978. </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bibx6"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[Mon73]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bibx6.1.1"> H. L. Montgomery. </span> </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bibx6.2.1">The pair correlation of zeros of the zeta function. </span> </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bibx6.3.1">In </span><span class="ltx_text ltx_font_bold ltx_font_italic" id="bib.bibx6.4.2">Analytic number theory (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXIV, St. Louis Univ., St. Louis, Mo., 1972)</span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bibx6.5.3">, volume Vol. XXIV of </span><span class="ltx_text ltx_font_bold ltx_font_italic" id="bib.bibx6.6.4">Proc. Sympos. 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