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<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs" lang="de" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Median – Wikipedia</title> <script>(function(){var className="client-js";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )dewikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t.",".\t,"],"wgDigitTransformTable":["",""],"wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","Januar","Februar","März","April","Mai","Juni","Juli","August","September","Oktober","November","Dezember"],"wgRequestId":"34371145-a893-428e-84d8-8f5a2727ceaa","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Median","wgTitle":"Median","wgCurRevisionId":249422232,"wgRevisionId":249422232,"wgArticleId":15363,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Mittelwert"], "wgPageViewLanguage":"de","wgPageContentLanguage":"de","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Median","wgRelevantArticleId":15363,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgFlaggedRevsParams":{"tags":{"accuracy":{"levels":1}}},"wgStableRevisionId":249422232,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"de","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"de"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":20000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgCentralAuthMobileDomain":false,"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":true,"wgVector2022LanguageInHeader":false,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false, "wgWikibaseItemId":"Q226995","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.gadget.citeRef":"ready","ext.gadget.defaultPlainlinks":"ready","ext.gadget.dewikiCommonHide":"ready","ext.gadget.dewikiCommonLayout":"ready","ext.gadget.dewikiCommonStyle":"ready","ext.gadget.NavFrame":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.math.styles":"ready","ext.cite.styles":"ready","skins.vector.styles.legacy":"ready","ext.flaggedRevs.basic":"ready","mediawiki.codex.messagebox.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","codex-search-styles":"ready","ext.uls.interlanguage": "ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","mediawiki.page.media","site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.legacy.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.flaggedRevs.advanced","ext.gadget.createNewSection","ext.gadget.WikiMiniAtlas","ext.gadget.OpenStreetMap","ext.gadget.CommonsDirekt","ext.gadget.donateLink","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.compactlinks","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); 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border-bottom-width: 1px; font-size:95%; margin-bottom:1em; padding: 0.25em; overflow: hidden; word-break: break-word; word-wrap: break-word;" id="Vorlage_Dieser_Artikel"><div class="noviewer noresize" style="display: table-cell; padding-bottom: 0.2em; padding-left: 0.25em; padding-right: 1em; padding-top: 0.2em; vertical-align: middle;" id="bksicon" aria-hidden="true" role="presentation"><span typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/Disambig-dark.svg/25px-Disambig-dark.svg.png" decoding="async" width="25" height="19" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/Disambig-dark.svg/38px-Disambig-dark.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/Disambig-dark.svg/50px-Disambig-dark.svg.png 2x" data-file-width="444" data-file-height="340" /></span></span></div> <div style="display: table-cell; vertical-align: middle; width: 100%;"> <div role="navigation"> Dieser Artikel behandelt den Median in der Statistik. Zum Median einer Wahrscheinlichkeitsverteilung siehe <a href="/wiki/Median_(Stochastik)" title="Median (Stochastik)">Median (Stochastik)</a>. Zu weiteren Bedeutungen siehe <a href="/wiki/Median_(Begriffskl%C3%A4rung)" class="mw-disambig" title="Median (Begriffsklärung)">Median (Begriffsklärung)</a>.</div> </div></div> <p>In der <a href="/wiki/Statistik" title="Statistik">Statistik</a> ist der <b>Median</b> (Plural <i>Mediane</i>) – auch <b>Zentralwert</b> genannt – ein <a href="/wiki/Mittelwert" title="Mittelwert">Mittelwert</a> und <a href="/wiki/Lageparameter_(deskriptive_Statistik)" title="Lageparameter (deskriptive Statistik)">Lageparameter</a>. Der Median der Messwerte einer <a href="/wiki/Urliste" title="Urliste">Urliste</a> ist derjenige Messwert, der genau „in der Mitte“ steht, wenn man die Messwerte der Größe nach sortiert. Beispielsweise ist für die ungeordnete Urliste 4, 1, 37, 2, 1 der Messwert 2 der Median, der in der Mitte stehende Wert der geordneten Urliste 1, 1, <u>2</u>, 4, 37. </p><p>Im Allgemeinen teilt ein Median einen Datensatz, eine Stichprobe oder eine Verteilung so in zwei gleich große Teile, dass die Werte in der einen Hälfte nicht größer als der Median sind und in der anderen nicht kleiner. </p> <div id="toc" class="toc" role="navigation" aria-labelledby="mw-toc-heading"><input type="checkbox" role="button" id="toctogglecheckbox" class="toctogglecheckbox" style="display:none" /><div class="toctitle" lang="de" dir="ltr"><h2 id="mw-toc-heading">Inhaltsverzeichnis</h2><span class="toctogglespan"><label class="toctogglelabel" for="toctogglecheckbox"></label></span></div> <ul> <li class="toclevel-1 tocsection-1"><a href="#Beschreibung"><span class="tocnumber">1</span> <span class="toctext">Beschreibung</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-2"><a href="#Vergleich_mit_anderen_Maßen_der_zentralen_Tendenz"><span class="tocnumber">2</span> <span class="toctext">Vergleich mit anderen Maßen der zentralen Tendenz</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-3"><a href="#Median_und_arithmetisches_Mittel:_anschauliches_Beispiel"><span class="tocnumber">3</span> <span class="toctext">Median und arithmetisches Mittel: anschauliches Beispiel</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-4"><a href="#Anwendungsbereiche"><span class="tocnumber">4</span> <span class="toctext">Anwendungsbereiche</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-5"><a href="#Median_einer_Stichprobe"><span class="tocnumber">5</span> <span class="toctext">Median einer Stichprobe</span></a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-6"><a href="#Ober-_und_Untermedian"><span class="tocnumber">5.1</span> <span class="toctext">Ober- und Untermedian</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-7"><a href="#Eigenschaften"><span class="tocnumber">5.2</span> <span class="toctext">Eigenschaften</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-8"><a href="#Median_von_gruppierten_Daten"><span class="tocnumber">5.3</span> <span class="toctext">Median von gruppierten Daten</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-9"><a href="#Beispiel"><span class="tocnumber">5.4</span> <span class="toctext">Beispiel</span></a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-10"><a href="#Andere_Varianten"><span class="tocnumber">6</span> <span class="toctext">Andere Varianten</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-11"><a href="#Weblinks"><span class="tocnumber">7</span> <span class="toctext">Weblinks</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-12"><a href="#Einzelnachweise"><span class="tocnumber">8</span> <span class="toctext">Einzelnachweise</span></a></li> </ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beschreibung">Beschreibung</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Median&veaction=edit&section=1" title="Abschnitt bearbeiten: Beschreibung" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Median&action=edit&section=1" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Beschreibung"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Der Median teilt eine Liste von Werten in zwei Hälften. Er kann auf folgende Weise bestimmt werden: </p> <ul><li>Alle Werte werden (aufsteigend) geordnet.</li> <li>Wenn die Anzahl der Werte ungerade ist, ist die mittlere Zahl der Median.</li> <li>Wenn die Anzahl der Werte gerade ist, wird der Median meist als <a href="/wiki/Arithmetisches_Mittel" title="Arithmetisches Mittel">arithmetisches Mittel</a> der beiden mittleren Zahlen definiert, die dann <b>Unter-</b> und <b>Obermedian</b> heißen.</li></ul> <p>Eine wichtige Eigenschaft des Medians ist die <a href="/wiki/Robuste_Sch%C3%A4tzverfahren" title="Robuste Schätzverfahren">Robustheit</a> gegenüber <a href="/wiki/Ausrei%C3%9Fer" title="Ausreißer">Ausreißern</a>. </p> <ul><li>Beispiel: Sieben unsortierte Messwerte 4, 1, 15, 2, 4, 5, 4 werden nach Größe sortiert: 1, 2, 4, <u><b>4</b></u>, 4, 5, 15; Der Median (auch der Ober- und der Untermedian) ist der Wert an der mittleren Stelle, also 4. Wenn im Beispiel durch einen Fehler eine 4 durch 46 ersetzt wurde, ändert sich der Median nicht: 1, 2, 4, <u><b>4</b></u>, 5, 15, 46. Das arithmetische Mittel hingegen springt von 5 auf 11.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Vergleich_mit_anderen_Maßen_der_zentralen_Tendenz"><span id="Vergleich_mit_anderen_Ma.C3.9Fen_der_zentralen_Tendenz"></span>Vergleich mit anderen Maßen der zentralen Tendenz</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Median&veaction=edit&section=2" title="Abschnitt bearbeiten: Vergleich mit anderen Maßen der zentralen Tendenz" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Median&action=edit&section=2" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Vergleich mit anderen Maßen der zentralen Tendenz"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/w/index.php?title=Datei:Comparison_mean_median_mode.svg&lang=de" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/de/Comparison_mean_median_mode.svg/langde-220px-Comparison_mean_median_mode.svg.png" decoding="async" width="220" height="165" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/de/Comparison_mean_median_mode.svg/langde-330px-Comparison_mean_median_mode.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/de/Comparison_mean_median_mode.svg/langde-440px-Comparison_mean_median_mode.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="384" /></a><figcaption>Vergleich zwischen Modus, Median und „Mittel“ (eigentlich: <a href="/wiki/Erwartungswert" title="Erwartungswert">Erwartungswert</a>) zweier <a href="/wiki/Log-Normalverteilung" class="mw-redirect" title="Log-Normalverteilung">Log-Normalverteilungen</a> mit Median 1</figcaption></figure> <p>Der Median ist ein spezielles <a href="/wiki/Quantil_(Wahrscheinlichkeitstheorie)" title="Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)">Quantil</a>, nämlich das <span class="bruch template-frac" style="line-height:0"><sup style="font-size: 70%; vertical-align: 0.4em;">1</sup>⁄<sub style="font-size: 70%; vertical-align: 0em;">2</sub></span>-Quantil. Andere wichtige <a href="/wiki/Lageparameter_(Deskriptive_Statistik)" class="mw-redirect" title="Lageparameter (Deskriptive Statistik)">Lagemaße</a> sind das <a href="/wiki/Arithmetisches_Mittel" title="Arithmetisches Mittel">arithmetische Mittel</a> und der <a href="/wiki/Modus_(Statistik)" title="Modus (Statistik)">Modus</a>. </p><p>Im Vergleich zum arithmetischen Mittel, oft Durchschnitt genannt, ist der Median <a href="/wiki/Robuste_Statistik" class="mw-redirect" title="Robuste Statistik">robuster</a> gegenüber <a href="/wiki/Ausrei%C3%9Fer" title="Ausreißer">Ausreißern</a> (extrem abweichenden Werten) und lässt sich auch auf <a href="/wiki/Ordinalskala" title="Ordinalskala">ordinal skalierte</a> Variablen anwenden. Der Begriff Median (von <span style="font-style:normal;font-weight:normal"><a href="/wiki/Latein" title="Latein">lateinisch</a></span> <span lang="la-Latn" style="font-style:italic">medianus</span> ‚in der Mitte befindlich‘, ‚der Mittlere‘) entstammt der <a href="/wiki/Geometrie" title="Geometrie">Geometrie</a>, wo er ebenfalls eine Grenze zwischen zwei Hälften gleicher Größe bezeichnet. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Median_und_arithmetisches_Mittel:_anschauliches_Beispiel">Median und arithmetisches Mittel: anschauliches Beispiel</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Median&veaction=edit&section=3" title="Abschnitt bearbeiten: Median und arithmetisches Mittel: anschauliches Beispiel" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Median&action=edit&section=3" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Median und arithmetisches Mittel: anschauliches Beispiel"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>In einer Gruppe von zehn Personen haben alle Personen Monatseinkommen in unterschiedlicher Höhe. Eine Person erhält 1.000.000 €, die übrigen neun bekommen 1.000 €, 2.000 €, 3.000 € usw. bis 9.000 €. </p><p>Das arithmetische Mittel, der „Durchschnitt“ – das Monatseinkommen jeder der zehn Personen bei gleichmäßiger Aufteilung der Summe aller Einkommen auf sie –, beträgt in diesem Falle 104.500 €. Allerdings verdient nur eine der zehn Personen mehr als diesen Betrag, die neun anderen deutlich weniger. </p><p>Der Median dagegen ist 5.500 €. Fünf Personen verdienen mehr als das, fünf Personen weniger. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendungsbereiche">Anwendungsbereiche</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Median&veaction=edit&section=4" title="Abschnitt bearbeiten: Anwendungsbereiche" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Median&action=edit&section=4" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Anwendungsbereiche"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Median_notenspiegel.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d5/Median_notenspiegel.svg/330px-Median_notenspiegel.svg.png" decoding="async" width="330" height="236" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d5/Median_notenspiegel.svg/495px-Median_notenspiegel.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d5/Median_notenspiegel.svg/660px-Median_notenspiegel.svg.png 2x" data-file-width="629" data-file-height="449" /></a><figcaption>Der Median dieses <a href="/wiki/Notenspiegel" class="mw-redirect" title="Notenspiegel">Notenspiegels</a> ist 3−. Etwas weniger als die Hälfte der Ergebnisse ist schlechter; durch Hinzunahme der Notenstufe 3− selbst wird die Hälfte gerade überschritten.</figcaption></figure> <p>Im Gegensatz zum arithmetischen Mittel kann der Median auch für <a href="/wiki/Ordinalskala" title="Ordinalskala">ordinal skalierte</a> Variablen wie beispielsweise Notenstufen, bei denen es keinen quantitativen Abstand gibt, verwendet werden. Aber auch bei <a href="/wiki/Intervallskala" title="Intervallskala">intervall-</a> und <a href="/wiki/Verh%C3%A4ltnisskala" title="Verhältnisskala">verhältnisskalierten</a> Daten kann der Median herangezogen werden und hat dann Nachteile und Vorteile gegenüber dem arithmetischen Mittel als Lagemaß. Für lediglich <a href="/wiki/Nominalskala" title="Nominalskala">nominal skalierte</a> Variablen, deren Ausprägungen keine natürliche Rangfolge aufweisen, wie zum Beispiel eine Variable <i>Geburtsland</i>, kann der Median nicht angewendet werden. Hier ist der <a href="/wiki/Modus_(Statistik)" title="Modus (Statistik)">Modalwert</a> das einzige Lagemaß, das festgestellt werden kann. </p><p>Der Median wird in der Statistik und der <a href="/wiki/Wahrscheinlichkeitstheorie" title="Wahrscheinlichkeitstheorie">Wahrscheinlichkeitstheorie</a> in drei unterschiedlichen Bedeutungen angewendet: </p> <ol><li>als <a href="/wiki/Lageparameter_(Deskriptive_Statistik)" class="mw-redirect" title="Lageparameter (Deskriptive Statistik)">Lagemaß</a> der <a href="/wiki/Deskriptive_Statistik" title="Deskriptive Statistik">deskriptiven Statistik</a> zur Beschreibung einer konkreten Liste von <a href="/wiki/Stichprobe" title="Stichprobe">Stichprobenwerten</a>.</li> <li>in der Wahrscheinlichkeitstheorie als Median einer <a href="/wiki/Wahrscheinlichkeitsverteilung" class="mw-redirect" title="Wahrscheinlichkeitsverteilung">Wahrscheinlichkeitsverteilung</a> oder einer <a href="/wiki/Zufallsvariable" title="Zufallsvariable">Zufallsvariablen</a>. Hier stellt der Median eine Alternative zum <a href="/wiki/Erwartungswert" title="Erwartungswert">Erwartungswert</a> für die Angabe eines „mittleren Werts“ dar.</li> <li>in der <a href="/wiki/Mathematische_Statistik" title="Mathematische Statistik">mathematischen Statistik</a> als Median einer <a href="/wiki/Zufallsstichprobe" title="Zufallsstichprobe">Zufallsstichprobe</a> zur <a href="/wiki/Robuste_Sch%C3%A4tzverfahren" title="Robuste Schätzverfahren">robusten Schätzung</a> unbekannter Verteilungen.</li></ol> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Median_einer_Stichprobe">Median einer Stichprobe</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Median&veaction=edit&section=5" title="Abschnitt bearbeiten: Median einer Stichprobe" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Median&action=edit&section=5" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Median einer Stichprobe"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Ein Wert <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}"></span> ist Median einer <a href="/wiki/Stichprobe" title="Stichprobe">Stichprobe</a>, wenn mindestens die Hälfte der Stichprobenelemente nicht größer als <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}"></span> und mindestens die Hälfte nicht kleiner als <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}"></span> ist. </p><p>Sortiert man die Beobachtungswerte der Größe nach, das heißt, geht man zur nach dem <a href="/wiki/Rang_(Statistik)" title="Rang (Statistik)">Rang</a> geordneten Stichprobe über, so ist der Median bei einer ungeraden Anzahl von Beobachtungen der Wert der in der Mitte dieser <a href="/wiki/Folge_(Mathematik)" title="Folge (Mathematik)">Folge</a> liegenden Beobachtung. Bei einer geraden Anzahl von Beobachtungen gibt es kein einzelnes mittleres Element, sondern zwei. Hier sind die Werte der beiden mittleren Beobachtungen sowie alle Werte dazwischen (obwohl diese möglicherweise bei keiner Beobachtung aufgetreten sind) Mediane der Stichprobe, da für alle diese Werte obige Bedingung zutrifft. </p><p>Bei <a href="/wiki/Intervallskala" title="Intervallskala">kardinal skalierten</a> Messgrößen (wenn es also sinnvoll möglich ist, die Differenz von Messwerten zu berechnen) verwendet man im Falle einer geraden Anzahl Beobachtungen meist das arithmetische Mittel der beiden mittleren Beobachtungswerte. Der Median <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tilde {x}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">~</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {x}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f5c5435030c952a58a756e691ea64f60c1bd240" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {x}}}"></span> einer geordneten Stichprobe <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a902bf77c7a2c796e751a25fc09da30fe80815a9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.337ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})}"></span> von <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> Messwerten ist dann also </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tilde {x}}={\begin{cases}x_{m+1}&{\text{ für ungerades n = 2m+1}}\\{\frac {1}{2}}(x_{m}+x_{m+1})&{\text{ für gerades n = 2m}}\end{cases}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">~</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>{</mo> <mtable columnalign="left left" rowspacing=".2em" columnspacing="1em" displaystyle="false"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext> für ungerades n = 2m+1</mtext> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext> für gerades n = 2m</mtext> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {x}}={\begin{cases}x_{m+1}&{\text{ für ungerades n = 2m+1}}\\{\frac {1}{2}}(x_{m}+x_{m+1})&{\text{ für gerades n = 2m}}\end{cases}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ef4b926e0de66a05c7c31c8d3ddb42fd8fb491c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:49.001ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {x}}={\begin{cases}x_{m+1}&{\text{ für ungerades n = 2m+1}}\\{\frac {1}{2}}(x_{m}+x_{m+1})&{\text{ für gerades n = 2m}}\end{cases}}}"></span></dd></dl> <p>Diese Definition hat den Vorteil, dass bei Stichproben aus <a href="/wiki/Symmetrische_Verteilung" class="mw-redirect" title="Symmetrische Verteilung">symmetrischen Verteilungen</a> das <a href="/wiki/Arithmetisches_Mittel" title="Arithmetisches Mittel">arithmetische Mittel</a> und der Median im Erwartungswert identisch sind.<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ober-_und_Untermedian">Ober- und Untermedian</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Median&veaction=edit&section=6" title="Abschnitt bearbeiten: Ober- und Untermedian" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Median&action=edit&section=6" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Ober- und Untermedian"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Oft möchte man sicherstellen, dass der Median ein Element der Stichprobe ist. In diesem Fall wird alternativ zu obiger Definition bei einer geraden Anzahl <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=2m}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>m</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=2m}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d42d6f855a8c9c526b0bebd6a41389ca605c36c8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.696ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n=2m}"></span> von Elementen entweder der Untermedian <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tilde {x}}_{u}=x_{m}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">~</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>u</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {x}}_{u}=x_{m}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/393add85f744b3f931bb735f5a6684b7493473b1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.605ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {x}}_{u}=x_{m}}"></span> oder der Obermedian <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tilde {x}}_{o}=x_{m+1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">~</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>o</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {x}}_{o}=x_{m+1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9480972bf6d38cf31db0fb40868c075a305d3cd7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.563ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {x}}_{o}=x_{m+1}}"></span> als <i>Median</i> gewählt. Im Falle einer ungeraden Anzahl <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=2m+1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=2m+1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d89f9bd84d50b23c0f8f2bb0d67c524a13d440f3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.699ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle n=2m+1}"></span> der Beobachtungen gilt natürlich wie oben <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tilde {x}}={\tilde {x}}_{u}={\tilde {x}}_{o}=x_{m+1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">~</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">~</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>u</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">~</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>o</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {x}}={\tilde {x}}_{u}={\tilde {x}}_{o}=x_{m+1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac9b7b0478b08cdf6e5fcf35064db944dd556c35" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:20.592ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {x}}={\tilde {x}}_{u}={\tilde {x}}_{o}=x_{m+1}}"></span>. </p><p>Mithilfe von <a href="/wiki/Abrundungsfunktion_und_Aufrundungsfunktion" title="Abrundungsfunktion und Aufrundungsfunktion">Gauß-Klammern</a> lassen sich die Indizes auch relativ kompakt durch <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> selbst ausdrücken: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tilde {x}}_{u}=x_{\left\lfloor {\frac {n+1}{2}}\right\rfloor }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">~</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>u</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>⌊</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>⌋</mo> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {x}}_{u}=x_{\left\lfloor {\frac {n+1}{2}}\right\rfloor }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2461955a2698408bc0904d1371ca6d8340bc4bd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:12.241ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {x}}_{u}=x_{\left\lfloor {\frac {n+1}{2}}\right\rfloor }}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tilde {x}}_{o}=x_{\left\lceil {\frac {n+1}{2}}\right\rceil }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">~</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>o</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>⌈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>⌉</mo> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {x}}_{o}=x_{\left\lceil {\frac {n+1}{2}}\right\rceil }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e66dbd1a9401888ce390fe8b9fd05945e9cc872" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:12.098ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {x}}_{o}=x_{\left\lceil {\frac {n+1}{2}}\right\rceil }}"></span></dd></dl> <p>Diese Medianbestimmung spielt beispielsweise bei <a href="/wiki/Datenbanksystem" class="mw-redirect" title="Datenbanksystem">Datenbanksystemen</a> eine große Rolle, wie z. B. bei <a href="/wiki/Selektion_(Informatik)" title="Selektion (Informatik)">SELECT-Abfragen</a> mittels des Medians der Mediane. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Eigenschaften">Eigenschaften</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Median&veaction=edit&section=7" title="Abschnitt bearbeiten: Eigenschaften" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Median&action=edit&section=7" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Eigenschaften"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Der Median <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tilde {x}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">~</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {x}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f5c5435030c952a58a756e691ea64f60c1bd240" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {x}}}"></span>, und im Fall einer geraden Anzahl von Messwerten alle Werte <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tilde {x}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">~</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {x}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f5c5435030c952a58a756e691ea64f60c1bd240" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {x}}}"></span> mit <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tilde {x}}_{u}\leq {\tilde {x}}\leq {\tilde {x}}_{o}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">~</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>u</mi> </mrow> </msub> <mo>≤</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">~</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>≤</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">~</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>o</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {x}}_{u}\leq {\tilde {x}}\leq {\tilde {x}}_{o}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff9c920ffbcf9d798e7c60da3c8022b882ababdf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.388ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {x}}_{u}\leq {\tilde {x}}\leq {\tilde {x}}_{o}}"></span>, minimieren die Summe der absoluten Abweichungen, das heißt, für alle <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span> gilt </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|{\tilde {x}}-x_{i}|\leq \sum _{i=1}^{n}|x-x_{i}|.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">~</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>−</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>≤</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|{\tilde {x}}-x_{i}|\leq \sum _{i=1}^{n}|x-x_{i}|.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79c84a5d6b1e1ac5d8706a9fa705c5bfc50ee06f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:26.416ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|{\tilde {x}}-x_{i}|\leq \sum _{i=1}^{n}|x-x_{i}|.}"></span></dd></dl> <p>Der Median ist Grundlage der <a href="/wiki/Median-Regression" title="Median-Regression">Methode der kleinsten absoluten Abweichungen</a> und Verfahren der <a href="/wiki/Robuste_Regression" class="mw-redirect" title="Robuste Regression">robusten Regression</a>. Das arithmetische Mittel dagegen minimiert die <a href="/wiki/Summe_der_Abweichungsquadrate" title="Summe der Abweichungsquadrate">Summe der Abweichungsquadrate</a>, ist Grundlage der <a href="/wiki/Methode_der_kleinsten_Quadrate" title="Methode der kleinsten Quadrate">Methode der kleinsten Quadrate</a> und der <a href="/wiki/Regressionsanalyse" title="Regressionsanalyse">Regressionsanalyse</a> und ist mathematisch leichter zu handhaben, jedoch nicht robust gegen Ausreißer. </p><p>Der Median kann, wie oben beschrieben, algorithmisch bestimmt werden, indem die Messwerte sortiert werden. Das ist im Allgemeinen mit Aufwand <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega (n\log n)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Ω</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega (n\log n)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00663e988b37b064dbfe30791c3ad477907cc3a4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.023ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Omega (n\log n)}"></span> verbunden, nur auf speziellen Klassen von Eingabedaten ist <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {O}}(n)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">O</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {O}}(n)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c7bbe0124ae81792773344bc8709fc2f9c9910d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.054ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {O}}(n)}"></span> möglich (siehe <a href="/wiki/Sortieralgorithmus" class="mw-redirect" title="Sortieralgorithmus">Sortieralgorithmus</a>). Es gibt aber auch Algorithmen zur Quantilsbestimmung mit linearem <a href="/wiki/Worst-Case" class="mw-redirect" title="Worst-Case">Worst-Case</a>-Aufwand <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {O}}(n)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">O</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {O}}(n)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c7bbe0124ae81792773344bc8709fc2f9c9910d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.054ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {O}}(n)}"></span> sowie Algorithmen zur Abschätzung, beispielsweise die <a href="/wiki/Cornish-Fisher-Methode" title="Cornish-Fisher-Methode">Cornish-Fisher-Methode</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Median_von_gruppierten_Daten">Median von gruppierten Daten</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Median&veaction=edit&section=8" title="Abschnitt bearbeiten: Median von gruppierten Daten" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Median&action=edit&section=8" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Median von gruppierten Daten"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Bev%C3%B6lkerungspyramide_Tansania_2016.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c6/Bev%C3%B6lkerungspyramide_Tansania_2016.png/220px-Bev%C3%B6lkerungspyramide_Tansania_2016.png" decoding="async" width="220" height="153" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c6/Bev%C3%B6lkerungspyramide_Tansania_2016.png/330px-Bev%C3%B6lkerungspyramide_Tansania_2016.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c6/Bev%C3%B6lkerungspyramide_Tansania_2016.png/440px-Bev%C3%B6lkerungspyramide_Tansania_2016.png 2x" data-file-width="610" data-file-height="425" /></a><figcaption>Bevölkerungspyramide Tansania 2016, der Median liegt bei geschätzt 18 Jahren</figcaption></figure> <p>Vor allem in den <a href="/wiki/Sozialwissenschaft" class="mw-redirect" title="Sozialwissenschaft">Sozialwissenschaften</a> wird bei Statistiken häufig der Median geschätzt, da nicht alle Daten explizit und exakt gegeben sind, sondern nur in <a href="/wiki/Klasseneinteilung_(Statistik)" title="Klasseneinteilung (Statistik)">Intervallen gruppiert</a> vorliegen. So wird beispielsweise bei <a href="/wiki/Umfrage" class="mw-redirect" title="Umfrage">Umfragen</a> selten nach dem exakten Gehalt gefragt, sondern nur nach der Einkommensklasse, also dem Bereich, in dem das Gehalt liegt. Wenn nur die Häufigkeiten jeder Klasse bekannt sind, dann lässt sich der Median einer solchen Stichprobe im Allgemeinen nur näherungsweise bestimmen. Es seien <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> die Anzahl <i>aller</i> Daten, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57f87f905ba5a4d8c691ccaecd65fc47bd007ba4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.194ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle n_{i}}"></span> die jeweilige Anzahl der Daten der <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}"></span>-ten Gruppe und <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14f13cb025ff2e136dcbd2fc81ddf965b728e3d7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.129ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle u_{i}}"></span> bzw. <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle o_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle o_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c81b6f1251a0d2e12011a746b586c5fa9a132d48" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.927ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle o_{i}}"></span> die entsprechenden unteren bzw. oberen Intervallgrenzen. Zunächst wird nun die <i>mediane Klasse</i> (oder <i>mediane Gruppe</i>) bestimmt, d. h., diejenige Gruppe, in die der Median (nach obiger, konventioneller Definition) hineinfällt, z. B. die <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}"></span>-te Gruppe. Die Zahl <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}"></span> ist dadurch bestimmt, dass <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{m-1}n_{k}<{\frac {n}{2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo><</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{m-1}n_{k}<{\frac {n}{2}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d797408f60877fb1c67ff4d8d205ae4599d9e87a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:14.021ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{m-1}n_{k}<{\frac {n}{2}}}"></span>, aber <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{m}n_{k}\geq {\frac {n}{2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>≥</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{m}n_{k}\geq {\frac {n}{2}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9594d0fe757c9036cb712aaf8fa7026136b7422" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:13.434ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{m}n_{k}\geq {\frac {n}{2}}}"></span> gilt. Wenn keine weiteren Angaben über die <a href="/wiki/Wahrscheinlichkeitsverteilung" class="mw-redirect" title="Wahrscheinlichkeitsverteilung">Verteilung</a> der Daten gegeben sind, wird z. B. <a href="/wiki/Gleichverteilung" title="Gleichverteilung">Gleichverteilung</a> postuliert, sodass man sich der <a href="/wiki/Lineare_Interpolation" class="mw-redirect" title="Lineare Interpolation">linearen Interpolation</a> als Hilfsmittel bedienen kann, um eine Schätzung des Medians der gruppierten Daten zu erhalten: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{\mathrm {med} }=u_{m}+{\frac {{\frac {n}{2}}-\sum \limits _{k=1}^{m-1}n_{k}}{n_{m}}}\cdot (o_{m}-u_{m})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">m</mi> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <munderover> <mo movablelimits="false">∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{\mathrm {med} }=u_{m}+{\frac {{\frac {n}{2}}-\sum \limits _{k=1}^{m-1}n_{k}}{n_{m}}}\cdot (o_{m}-u_{m})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/befd5caa1f735b44d1829bd960e9366148792e1c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:37.567ex; height:9.509ex;" alt="{\displaystyle x_{\mathrm {med} }=u_{m}+{\frac {{\frac {n}{2}}-\sum \limits _{k=1}^{m-1}n_{k}}{n_{m}}}\cdot (o_{m}-u_{m})}"></span></dd></dl> <p>Wenn keine weiteren Angaben über die Verteilung der Daten gegeben sind, kann auch jede andere Verteilung außer der Gleichverteilung vorliegen und somit kann auch jeder andere Wert im <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}"></span>-ten Intervall der Median sein. </p><p>Im Gegensatz zur konventionellen Definition des Medians muss dieser nicht zwangsläufig ein Element aus der tatsächlichen Datenmenge sein, die in aller Regel auch gar nicht bekannt ist. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beispiel">Beispiel</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Median&veaction=edit&section=9" title="Abschnitt bearbeiten: Beispiel" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Median&action=edit&section=9" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Beispiel"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><i>Einkommen</i>: </p> <table class="wikitable"> <tbody><tr> <th>Klasse (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}"></span>) </th> <th>Bereich (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14f13cb025ff2e136dcbd2fc81ddf965b728e3d7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.129ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle u_{i}}"></span> bis <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle o_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle o_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c81b6f1251a0d2e12011a746b586c5fa9a132d48" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.927ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle o_{i}}"></span>) </th> <th>Gruppengröße (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57f87f905ba5a4d8c691ccaecd65fc47bd007ba4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.194ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle n_{i}}"></span>) </th></tr> <tr> <td>1 </td> <td>mind. 0, weniger als 1500 </td> <td>160 </td></tr> <tr> <td>2 </td> <td>mind. 1500, weniger als 2500 </td> <td>320 </td></tr> <tr> <td>3 </td> <td>mind. 2500, weniger als 3500 </td> <td>212 </td></tr></tbody></table> <p>Man berechne </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {n}{2}}={\frac {212+320+160}{2}}={\frac {692}{2}}=346.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>212</mn> <mo>+</mo> <mn>320</mn> <mo>+</mo> <mn>160</mn> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>692</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>346.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {n}{2}}={\frac {212+320+160}{2}}={\frac {692}{2}}=346.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/689b9cac98d49554b3a8c429c3dfdcc350971cdc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:36.963ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {n}{2}}={\frac {212+320+160}{2}}={\frac {692}{2}}=346.}"></span></dd></dl> <p>Also liegt der Median in der 2. Klasse (d. h. <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m=2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m=2}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b32de1b0dc05f6e525ad6a3e8ddeeb4321fd79e5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.301ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle m=2}"></span>), da die erste Klasse nur 160 Elemente umfasst. Somit ergibt sich als Schätzung für den Median </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{\mathrm {med} }=1500+{\frac {346-160}{320}}\cdot (2500-1500)=2081{,}25.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">m</mi> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1500</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>346</mn> <mo>−</mo> <mn>160</mn> </mrow> <mn>320</mn> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2500</mn> <mo>−</mo> <mn>1500</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>2081</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>,</mo> </mrow> <mn>25.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{\mathrm {med} }=1500+{\frac {346-160}{320}}\cdot (2500-1500)=2081{,}25.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794d30cdc001896fad2d21207ffd96432a11a922" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:52.81ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle x_{\mathrm {med} }=1500+{\frac {346-160}{320}}\cdot (2500-1500)=2081{,}25.}"></span></dd></dl> <p>Da die konkrete Verteilung der Daten in den Intervallen unbekannt ist, kann auch jeder andere Wert im 2. Intervall der Median sein. Der beispielhaft errechnete Wert 2081,25 kann daher bis zu 581,25 zu groß und bis zu 418,75 zu klein sein, der Fehler der Schätzung also bis zu 28 % betragen. </p><p>Eine Veranschaulichung dieses Verfahrens zur Festlegung des Medians bei gruppierten Daten ist die grafische Ermittlung mit Hilfe der <a href="/w/index.php?title=Summenkurve&action=edit&redlink=1" class="new" title="Summenkurve (Seite nicht vorhanden)">Summenkurve</a>. Hier wird der <a href="/wiki/Abszisse" class="mw-redirect" title="Abszisse">Abszissenwert</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{\mathrm {med} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">m</mi> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{\mathrm {med} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e1218e049c162d181b5711816260095bb64f4ac" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.575ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{\mathrm {med} }}"></span> gesucht, der zum <a href="/wiki/Ordinate" class="mw-redirect" title="Ordinate">Ordinatenwert</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {n}{2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {n}{2}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2fd493036e5cdcb87f9ddfdc7ab475e74636b5e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:1.822ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {n}{2}}}"></span> gehört. Bei kleinerem und geradem <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> kann stattdessen auch der Ordinatenwert <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {n}{2}}+1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {n}{2}}+1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bc3654f51fc19586602f666d8c854034d189215" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:5.825ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {n}{2}}+1}"></span> gewählt werden. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Andere_Varianten">Andere Varianten</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Median&veaction=edit&section=10" title="Abschnitt bearbeiten: Andere Varianten" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Median&action=edit&section=10" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Andere Varianten"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>Die <a href="/wiki/Wohlfahrtsfunktion" title="Wohlfahrtsfunktion">Wohlfahrtsfunktion</a> ist eine Alternative zum Median bei der Ermittlung des Masseneinkommens aus einer gegebenen Einkommensverteilung.</li> <li>Eine andere Möglichkeit als der Median, mit extremen Werten umzugehen, ist die Benutzung eines <i>getrimmten Mittelwerts</i>, den man ermittelt, indem man die kleinsten und größten Werte vor der Berechnung entfernt (typischerweise werden 5 % der Werte weggelassen).<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></li> <li>Nach Butler<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> gibt es auch eine strengere Definition von Median (die weniger gebräuchlich ist), die sagt, der Median ist der Wert, für den gilt, <i>die Zahl der kleineren Werte in der Reihe ist gleich der Zahl der größeren Werte in der Reihe</i>. Für Spezialfälle wie 3, 3, 3, 3, 4 oder 1, 2, 3, 3, 3 gibt es ein Verfahren, mit dem man einen eindeutigen Median unter Beibehaltung der strengeren Definition berechnen kann.<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Median&veaction=edit&section=11" title="Abschnitt bearbeiten: Weblinks" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Median&action=edit&section=11" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Weblinks"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><span class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Wiktionary"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Wiktfavicon_en.svg/16px-Wiktfavicon_en.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Wiktfavicon_en.svg/24px-Wiktfavicon_en.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Wiktfavicon_en.svg/32px-Wiktfavicon_en.svg.png 2x" data-file-width="16" data-file-height="16" /></span></span></span><b><a href="https://de.wiktionary.org/wiki/Median" class="extiw" title="wikt:Median">Wiktionary: Median</a></b> – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen</div> <div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Wikibooks"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/16px-Wikibooks-logo.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/24px-Wikibooks-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/32px-Wikibooks-logo.svg.png 2x" data-file-width="300" data-file-height="300" /></span></span></div><b><a href="https://de.wikibooks.org/wiki/Mathematrix:_Kompass/_Statistik_und_Wahrscheinlichkeitsrechnung/_Lageparameter" class="extiw" title="b:Mathematrix: Kompass/ Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung/ Lageparameter">Wikibooks: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\mathbf {MATHE} \mu \alpha T\mathbb {R} ix}\end{smallmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle scriptlevel="1"> <mtable rowspacing=".2em" columnspacing="0.333em" displaystyle="false"> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">M</mi> <mi mathvariant="bold">A</mi> <mi mathvariant="bold">T</mi> <mi mathvariant="bold">H</mi> <mi mathvariant="bold">E</mi> </mrow> <mi>μ</mi> <mi>α</mi> <mi>T</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mi>i</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\mathbf {MATHE} \mu \alpha T\mathbb {R} ix}\end{smallmatrix}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c71cd325b35ecc71be7a5be416a9097488a0bed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.342ex; margin-bottom: -0.33ex; width:13.904ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\mathbf {MATHE} \mu \alpha T\mathbb {R} ix}\end{smallmatrix}}}"></span>: Mathematik für die Schule</a></b> – Lageparameter</div> <div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Wikibooks"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/16px-Wikibooks-logo.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/24px-Wikibooks-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/32px-Wikibooks-logo.svg.png 2x" data-file-width="300" data-file-height="300" /></span></span></div><b><a href="https://de.wikibooks.org/wiki/Statistik:_Lageparameter_eines_Merkmals_mit_wenigen_verschiedenen_Beobachtungen" class="extiw" title="b:Statistik: Lageparameter eines Merkmals mit wenigen verschiedenen Beobachtungen">Wikibooks: Ausführliche Erläuterungen zur Berechnung des Medians</a></b> – Lern- und Lehrmaterialien</div> <ul><li>Ausnutzung der robusten Eigenschaften des Medians am Beispiel der <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r246413598">.mw-parser-output .webarchiv-memento{color:var(--color-base,#202122)!important}</style><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20100402014311/http://diegeodaeten.de/least-median-square.html"><i>Kreisausgleichung.</i></a> (<a href="/wiki/Web-Archivierung#Begrifflichkeiten" title="Web-Archivierung"><span class="webarchiv-memento">Memento</span></a> vom 2. April 2010 im <i><a href="/wiki/Internet_Archive" title="Internet Archive">Internet Archive</a></i>).</li> <li><a href="/wiki/Eric_Weisstein" title="Eric Weisstein">Eric W. Weisstein</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/StatisticalMedian.html"><i>Statistical Median</i>.</a> In: <i><a href="/wiki/MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a></i> (englisch).</li> <li>A.V. Prokhorov: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Median (in statistics)</cite>. In: <a href="/wiki/Michiel_Hazewinkel" title="Michiel Hazewinkel">Michiel Hazewinkel</a> (Hrsg.): <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic"><a href="/wiki/Encyclopedia_of_Mathematics" class="mw-redirect" title="Encyclopedia of Mathematics">Encyclopedia of Mathematics</a></cite>. Springer-Verlag und <a href="/wiki/European_Mathematical_Society" title="European Mathematical Society">EMS</a> Press, Berlin 2002, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/1556080107" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 1-55608-010-7</a> (englisch, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Median_%28in_statistics%29&oldid=11382">encyclopediaofmath.org</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Median&rft.atitle=Median+%28in+statistics%29&rft.au=A.V.+Prokhorov&rft.btitle=Encyclopedia+of+Mathematics&rft.date=2002&rft.genre=book&rft.isbn=1556080107&rft.place=Berlin&rft.pub=Springer-Verlag+und+EMS+Press" style="display:none"> </span></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Median&veaction=edit&section=12" title="Abschnitt bearbeiten: Einzelnachweise" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Median&action=edit&section=12" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Einzelnachweise"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="/wiki/Eric_Weisstein" title="Eric Weisstein">Eric W. Weisstein</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/StatisticalMedian.html"><i>Statistical Median</i>.</a> In: <i><a href="/wiki/MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a></i> (englisch). </span> </li> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text">Hans Lohninger: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_meanval.html"><i>Grundlagen der Statistik. Mittelwert</i>.</a></span> </li> <li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text">Christopher Butler: <cite style="font-style:italic">Statistics in Linguistics</cite>. 1985.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Median&rft.au=Christopher+Butler&rft.btitle=Statistics+in+Linguistics&rft.date=1985&rft.genre=book" style="display:none"> </span></span> </li> <li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a></span> <span class="reference-text"><span class="cite"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20130116010101/http://homepage.ruhr-uni-bochum.de/stephen.berman/Statistik/Zentrale-Tendenz.html"><i>Zentrale Tendenz.</i></a> Archiviert vom <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r235239667">.mw-parser-output .dewiki-iconexternal>a{background-position:center right;background-repeat:no-repeat}body.skin-minerva .mw-parser-output .dewiki-iconexternal>a{background-image:url("https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a4/OOjs_UI_icon_external-link-ltr-progressive.svg")!important;background-size:10px;padding-right:13px!important}body.skin-timeless .mw-parser-output .dewiki-iconexternal>a,body.skin-monobook .mw-parser-output .dewiki-iconexternal>a{background-image:url("https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/30/MediaWiki_external_link_icon.svg")!important;padding-right:13px!important}body.skin-vector .mw-parser-output .dewiki-iconexternal>a{background-image:url("https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/96/Link-external-small-ltr-progressive.svg")!important;background-size:0.857em;padding-right:1em!important}</style><span class="dewiki-iconexternal"><a class="external text" href="https://redirecter.toolforge.org/?url=http%3A%2F%2Fhomepage.ruhr-uni-bochum.de%2Fstephen.berman%2FStatistik%2FZentrale-Tendenz.html">Original</a></span> (nicht mehr online verfügbar) am <span style="white-space:nowrap;">16. Januar 2013</span><span>;</span><span class="Abrufdatum"> abgerufen am 9. Mai 2016</span>.</span><span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3AMedian&rft.title=Zentrale+Tendenz&rft.description=Zentrale+Tendenz&rft.identifier=https%3A%2F%2Fweb.archive.org%2Fweb%2F20130116010101%2Fhttp%3A%2F%2Fhomepage.ruhr-uni-bochum.de%2Fstephen.berman%2FStatistik%2FZentrale-Tendenz.html&rft.source=http://homepage.ruhr-uni-bochum.de/stephen.berman/Statistik/Zentrale-Tendenz.html"> </span></span> </li> </ol> <div class="hintergrundfarbe1 rahmenfarbe1 navigation-not-searchable normdaten-typ-s" style="border-style: solid; border-width: 1px; clear: left; margin-bottom:1em; margin-top:1em; padding: 0.25em; overflow: hidden; word-break: break-word; word-wrap: break-word;" id="normdaten"> <div style="display: table-cell; vertical-align: middle; width: 100%;"> <div> Normdaten (Sachbegriff): <a href="/wiki/Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <span class="plainlinks-print"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4652849-0">4652849-0</a></span> <span class="noprint">(<a rel="nofollow" class="external text" href="https://lobid.org/gnd/4652849-0">lobid</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://swb.bsz-bw.de/DB=2.104/SET=1/TTL=1/CMD?retrace=0&trm_old=&ACT=SRCHA&IKT=2999&SRT=RLV&TRM=4652849-0">OGND</a><span class="metadata">, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://prometheus.lmu.de/gnd/4652849-0">AKS</a></span>)</span> <span class="metadata"></span></div> </div></div></div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Abgerufen von „<a dir="ltr" href="https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Median&oldid=249422232">https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Median&oldid=249422232</a>“</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Wikipedia:Kategorien" title="Wikipedia:Kategorien">Kategorie</a>: <ul><li><a href="/wiki/Kategorie:Mittelwert" title="Kategorie:Mittelwert">Mittelwert</a></li></ul></div></div> </div> </div> <div id="mw-navigation"> <h2>Navigationsmenü</h2> <div id="mw-head"> <nav id="p-personal" class="mw-portlet mw-portlet-personal vector-user-menu-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-personal-label" > <h3 id="p-personal-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Meine Werkzeuge</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anonuserpage" class="mw-list-item"><span title="Benutzerseite der IP-Adresse, von der aus du Änderungen durchführst">Nicht angemeldet</span></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spezial:Meine_Diskussionsseite" title="Diskussion über Änderungen von dieser IP-Adresse [n]" accesskey="n"><span>Diskussionsseite</span></a></li><li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spezial:Meine_Beitr%C3%A4ge" title="Eine Liste der Bearbeitungen, die von dieser IP-Adresse gemacht wurden [y]" accesskey="y"><span>Beiträge</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Spezial:Benutzerkonto_anlegen&returnto=Median" title="Wir ermutigen dich dazu, ein Benutzerkonto zu erstellen und dich anzumelden. Es ist jedoch nicht zwingend erforderlich."><span>Benutzerkonto erstellen</span></a></li><li id="pt-login" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Spezial:Anmelden&returnto=Median" title="Anmelden ist zwar keine Pflicht, wird aber gerne gesehen. [o]" accesskey="o"><span>Anmelden</span></a></li> </ul> </div> </nav> <div id="left-navigation"> <nav id="p-namespaces" class="mw-portlet mw-portlet-namespaces vector-menu-tabs vector-menu-tabs-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-namespaces-label" > <h3 id="p-namespaces-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Namensräume</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected mw-list-item"><a href="/wiki/Median" title="Seiteninhalt anzeigen [c]" accesskey="c"><span>Artikel</span></a></li><li id="ca-talk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Diskussion:Median" rel="discussion" title="Diskussion zum Seiteninhalt [t]" accesskey="t"><span>Diskussion</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-variants" class="mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet vector-menu-dropdown vector-menu" aria-labelledby="p-variants-label" > <input type="checkbox" id="p-variants-checkbox" 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accesskey="v"><span>Bearbeiten</span></a></li><li id="ca-edit" class="collapsible mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Median&action=edit" title="Den Quelltext dieser Seite bearbeiten [e]" accesskey="e"><span>Quelltext bearbeiten</span></a></li><li id="ca-history" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Median&action=history" title="Frühere Versionen dieser Seite [h]" accesskey="h"><span>Versionsgeschichte</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-cactions" class="mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-menu-dropdown vector-menu" aria-labelledby="p-cactions-label" title="Weitere Optionen" > <input type="checkbox" id="p-cactions-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-cactions" class="vector-menu-checkbox" aria-labelledby="p-cactions-label" > <label id="p-cactions-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Weitere</span> </label> <div class="vector-menu-content"> <ul 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data-language-local-name="Serbokroatisch" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-si mw-list-item"><a href="https://si.wikipedia.org/wiki/%E0%B6%B8%E0%B6%B0%E0%B7%8A%E2%80%8D%E0%B6%BA%E0%B7%83%E0%B7%8A%E0%B6%AE%E0%B6%BA" title="මධ්‍යස්ථය – Singhalesisch" lang="si" hreflang="si" data-title="මධ්‍යස්ථය" data-language-autonym="සිංහල" data-language-local-name="Singhalesisch" class="interlanguage-link-target"><span>සිංහල</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Median" title="Median – einfaches Englisch" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Median" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="einfaches Englisch" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Medi%C3%A1n" title="Medián – Slowakisch" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Medián" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="Slowakisch" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Mediana" title="Mediana – Slowenisch" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Mediana" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="Slowenisch" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sn mw-list-item"><a href="https://sn.wikipedia.org/wiki/Chipakati" title="Chipakati – Shona" lang="sn" hreflang="sn" data-title="Chipakati" data-language-autonym="ChiShona" data-language-local-name="Shona" class="interlanguage-link-target"><span>ChiShona</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Mediana_(statistik%C3%AB)" title="Mediana (statistikë) – 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